Physics 2

2ฟสิ กิ ส์ PHYSICS นกั ศกึ ษามหาวิทยาลัยราชภฏั ชวี ะ ทัศนา ภาควชิ าฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั รำไพพรรณี 2560



คำนำ ตำรารายวชิ าฟสิ กิ ส์ 2 เล่มนี้ ผเู้ ขยี นได้แตง่ และเรยี บเรยี งขึ้นจากประสบการณ์จากการสอนใน มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี โดยใช้เป็นเอกสารหลักในการเรียนการสอนระดับปริญญาตรี สำหรับนักศึกษาหลักสูตรครุศาสตรบัณฑิตและหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต ทั้งนี้ผู้เขียนแบ่งเนื้อหา เป็น 7 บทประกอบด้วย บททที่ 1 แรงทางไฟฟา้ และสนามไฟฟา้ บทที่ 2 ศักย์ไฟฟา้ และความจไุ ฟฟ้า บทท่3ี วงจรไฟฟ้ากระแสตรง บทท่ี 4 แรงแม่เหล็กและสนามแม่เหล็ก บทท่ี 5 วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ และคลนื่ แมเ่ หล็กไฟฟ้า บทท่ี 6 แสงเชงิ เรขาคณิต และบทท่ี 7 นวิ เคลียร์ฟสิ กิ ส์เบื้องตน้ โดยเนอ้ื หา จะมงุ่ เนน้ ให้ผเู้ รยี นมีความรู้ ความสามารถในการวิเคราะหเ์ ก่ยี วกบั ไฟฟ้าสถิต ไฟฟ้ากระแส แมเ่ หล็ก คล่ืนแมเ่ หล็กไฟฟา้ แสงและนวิ เคลยี รเ์ บ้ืองต้น ตลอดจนสมารถนำไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นชีวิตประจำวันได้ ผูเ้ รียบเรียงไดห้ ลกี เลีย่ งศพั ท์หรอื ขอ้ ความท่เี ข้าใจยากและไมไ่ ด้เน้นการพิสูจน์ เนื้อหาทั้งหมดของตำราเล่มนี้ผู้เขียนได้เรียบเรียงจากตำราภาษาไทยและภาษาอังกฤษ โดยอาศัยประสบการณ์ที่ได้จากการศึกษาในมหาวิทยาลัยนเรศวรและสถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้า เจ้าคุณทหารลาดกระบัง รวมถึงประสบการณ์ในการสอนในมหาวิทยาลัยราชภัฏนครราชสีมา ตลอดจนบูรณาการจากประสบการณ์การสอนในรายฟิสิกส์ 2 ฟิสิกส์พื้นฐาน ฟิสิกส์เบื้องต้นและ ฟิสกิ ส์สำหรับวิศวกรรม 2 ในระดบั ปริญญาตรี ในส่วนศพั ทท์ ใี่ ช้ในหนังสือเลม่ นไ้ี ด้ยึดตามหนงั สือศัพท์ วทิ ยาศาสตร์ฉบับราชบณั ฑติ ยสถานและหนังสอื ศัพทค์ ณิตศาสตร์ฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2554 และในสว่ นรปู ภาพท่ใี ชป้ ระกอบ ในเอกสารน้นั ผู้เรียบเรยี งไดเ้ ขยี นขึ้นโดยใชป้ ระสบการณจ์ ากการศกึ ษา จากเอกสารตามบรรณานุกรม การเขียนหนังสือเล่มนี้สำเร็จลงได้ด้วยดีโดยได้รับความช่วยเหลือจากอาจารย์ที่ปรึกษาปริญญา นิพนธ์ รองศาสตราจารย์วิชาญ เตชิตธีระ ท่ีช่วยแนะนำและตรวจสอบความถูกต้องและบคุ คลที่สำคัญ ท่ีสดุ คือสมาชิกในครอบครัว “ทัศนา” ท่ใี ห้กำลังใจจนทำใหส้ ามารถจัดทำต้นฉบับสำเรจ็ ลงได้ดว้ ยดี สดุ ท้ายผู้เรยี บเรียงหวังว่าหนงั สือเลม่ นีค้ งให้ประโยชนต์ ่อการเรียนการสอนในรายวชิ าฟสิ กิ ส์ 2 ฟิสิกส์ พ้ืนฐาน ฟิสกิ ส์เบ้ืองตน้ และฟสิ ิกสส์ ำหรบั วิศวกรรม 2 ตามสมควร หากทา่ นใดทีน่ ำใชม้ ขี อ้ เสนอแนะ ผเู้ ขียนยนิ ดีรับฟงั และขอขอบคุณในความอนุเคราะหน์ น้ั ณ โอกาสนดี้ ้วย ชวี ะ ทศั นา กันยายน 2556



สารบญั หนา้ คำนำ .......................................................................(1) สารบัญ ................................................................(2) สารบญั ภาพ ..........................................................(7) สารบัญตาราง ............................................................(16) บทที่ 1 แรงทางไฟฟ้าและสนามไฟฟ้า:..................................1 1.1 ประจุไฟฟา้ : 1 1.2 กฏของคลู อมบ์และแรงทางไฟฟา้ : 4 1.3 สนามไฟฟา้ และกฎของเกาส:์ 11 1.3.1 สนามไฟฟ้าจากจุดประจุ/..........................................12 1.3.2 สนามไฟฟ้าจากประจทุ ี่กระจายตัวอย่างต่อเนือ่ ง/.......16 1.3.3 เส้นสนามไฟฟ้าและฟลักซ์ไฟฟ้า/...............................22 1.3.4 กฏของเกาส/์.............................................................26 1.4 ศกั ยไ์ ฟฟ้า: 31 1.4.1 นิยามของศกั ย์ไฟฟ้า/..................................................31 1.4.2 ความต่างศักย์ไฟฟ้าในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ/.............32 1.4.3 ศกั ย์ไฟฟ้าจากจุดประจ/ุ ............................................33 1.4.4 ศกั ย์ไฟฟ้าจากประจตุ ่อเนื่อง/.....................................36 1.5 ความจุไฟฟ้าและตัวเก็บประจ:ุ 40 1.5.1 ความจุไฟฟ้า/.............................................................40 1.5.2 ตวั เกบ็ ประจแุ ละชนิดของตัวเก็บประจ/ุ ......................41 1.5.3 การต่อตวั เก็บประจุในวงจรไฟฟ้า/.............................44 1.6 สรปุ : 47 แบบฝึกหดั บทที่ 1:...................................................................49

บทที่ 2 วงจรไฟฟา้ กระแสตรงและกฏของโอห์ม:...................53 2.1 กระแสไฟฟา้ : 53 2.1.1 นิยามของกระแสไฟฟ้า/..............................................54 2.1.2 แบบจำลองของกระแสไฟฟ้า/....................................54 2.1.3 ความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า/...............................56 2.2 ความต้านทานไฟฟา้ : 58 2.2.1 สภาพนำไฟฟ้า/.........................................................58 2.2.2 ตวั ต้านทาน/.............................................................60 2.2.3 แถบสีและค่าความต้านทาน/.....................................60 2.3 กฎของโอหม์ : 62 2.4 วงจรไฟฟ้ากระแสตรงอยา่ งงา่ ย: 63 2.4.1 วงจรตัวต้านทานแบบอนกุ รม/...................................63 2.4.2 วงจรตวั ต้านทานแบบขนาน/......................................66 2.4.3. วงจรตวั ต้านทานแบบผสม/......................................69 2.5 กำลังไฟฟ้า: 71 2.6 การวิเคระหว์ งจรไฟฟ้ากฎของเคิร์ชฮอฟฟ:์ 75 2.6.1 กฎกระแสของเคิร์ชฮอฟฟ/์ ........................................75 2.6.2 กฎแรงดนั ของเคิร์ชฮอฟฟ/์........................................76 2.7 สรุป: 81 แบบฝึกหดั บทที่ 2:..................................................................83 บทที่ 3 แรงแมเ่ หลก็ และสนามแม่เหล็ก:..............................87 3.1 วสั ดุแมเ่ หลก็ และสนามแม่เหลก็ : 88 3.1.1 วสั ดุแม่เหล็ก/............................................................88 3.2.2 สนามแม่เหลก็ /.........................................................89 3.2 แรงลอเรนตซ:์ 90 3.2.1 แรงทางไฟฟ้า/...........................................................91 3.2.2 แรงแม่เหลก็ /............................................................91 3.3 แรงแมเ่ หล็กและทอรค์ บนตวั นำที่มีกระแสไฟฟ้า: 95

3.3.1 แรงแม่เหล็กเนื่องจากกระแสไฟฟ้า/...........................95 3.3.2 ทอร์คบนตัวนำที่มีกระแสไฟฟ้า/................................98 3.4 การเคลือ่ นทีข่ องประจุไฟฟ้าในสนามแมเ่ หล็ก: 100 3.4.1 ประจเุ คลื่อนที่ต้ังฉากกบั สนามแม่เหล็ก/....................101 3.4.2 ประจุเคลื่อนทีโ่ ดยทำมมุ ใดๆ กับสนามแม่เหลก็ /........104 3.5 สนามแม่เหล็กเนื่องจากกระแสไฟฟา้ : 106 3.5.1 สนามแม่เหล็กบนตัวนำตรงยาว/................................106 3.5.2 สนามแม่เหลก็ บนขดลวดตัวนำวงกลม/.....................107 3.6 กฎของบิโอต-์ ซาวาร์ตและกฎของแอมแปร:์ 108 3.6.1 กฎของบิโอต์ – ซาวาร์ต/..........................................108 3.6.2 กฎของแอมแปร/์ ......................................................110 3.7 สรุป: 113 แบบฝึกหดั บทที่ 3:..................................................................118 บทที่ 4 ไฟฟ้ากระแสสลบั และคลื่นแม่เหล็กไฟฟา้ :................122 4.1 แรงเคลื่อนไฟฟา้ เหนีย่ วนำ: 123 4.1.1 การทดลองของฟาราเดย์/..........................................123 4.1.2 กฎเหนีย่ วนำของฟาราเดย/์........................................123 4.1.3 กฎของเลนซ์/............................................................128 4.2 เครื่องกำเนิดไฟฟา้ กระแสสลบั : 130 4.2.1 เครื่องกำเนิดไฟฟ้า/...................................................130 4.2.2 การเหนี่ยวนำตนเอง/................................................132 4.2.3 วงจรอนุกรมอาร์เอล/...............................................134 4.3 วงจรไฟฟา้ กระแสสลับ: 137 4.3.1 แหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับ/.................................137 4.3.2 ตวั ต้านทานในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ/.......................137 4.3.3 ตวั เหนี่ยวนำในวงจรไฟฟ้ากระแสสลบั /......................139 4.3.4 ตวั เกบ็ ประจใุ นวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ/......................142 4.4 วงจรอนกุ รมไฟฟา้ กระแสสลบั : 144

4.4.1 วงจรอนกุ รมอาร์เอลซี/.............................................144 4.4.2 ความถี่เรโซแนนต์/....................................................149 4.5 คลื่นแม่เหล็กไฟฟา้ : 150 4.5.1 สมการแมกซ์เวลล์/..................................................150 4.5.2 สมการคลื่นแม่เหลก็ ไฟฟ้าในระนาบ/.........................151 4.5.3 สเปกตรัมคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า/..................................154 4.6 สรปุ : 156 แบบฝึกหดั บทที่ 4:..................................................................163 บทที่ 5 แสงเชิงเรขาคณิต:.................................................166 5.1 ธรรมชาติของแสง: 167 5.1.1 การสะท้อนของแสง/..................................................167 5.1.2 การหกั เหของแสง/...................................................169 5.2 ดรรชนีหกั เหและกฎของการหักเห: 170 5.2.1 ดรรชนีหกั เหและกฎของสเนล/.................................170 5.2.2 ปริซึมและการกระเจิงของแสง/.................................175 5.2.3 การสะท้อนกลับหมด/.............................................178 5.3 การเกิดภาพจากกระจก: 180 5.3.1 กระจกเงาราบ/.........................................................180 5.3.2 กระจกเว้า/...............................................................183 5.3.3 กระจกนูน/...............................................................185 5.4 การเกิดภาพจากการหกั เห: 193 5.5 เลนสบ์ าง: 197 5.5 สรุป: 209 แบบฝึกหดั บทที่ 5:..................................................................214 บทที่ 6 นิวเคลียร์ฟิสิกสเ์ บือ้ งตน้ :........................................217 6.1 โครงสร้างของนิวเคลียส: 218 6.1.1 หน่วยมวลอะตอมและขนาดของนิวเคลียส/................219

6.1.2 มวลบกพ่องและพลังงานยึดเหนี่ยว/..........................221 6.2 กมั มันตภาพรงั สี: 225 6.2.1 อตั ราการสลายตัวของนิวเคลียส/..............................225 6.2.2 ค่าคงตวั ของการสลายตัวของนิวเคลียส/..................225 6.2.3 กฎการสลายตวั ของกมั มนั ตภาพรงั สี/.......................226 6.2.4 ครึ่งชีวิตของกัมมันตภาพรงั ส/ี ...................................226 6.3 การสลายตัวของนิวเคลียส: 228 6.3.1 รังสีอลั ฟา/................................................................228 6.3.2 รงั สีเบตา/................................................................229 6.3.3 รงั สีแกมมา/..............................................................231 6.4 ปฏิกิริยานิวเคลียร์: 231 6.4.1 ปฏิกิริยาฟิสชนั /.........................................................231 6.4.2 ปฏิกิริยาฟิวชนั /........................................................234 6.5 สรปุ : 237 แบบฝึกหดั บทที่ 6:..................................................................240 บรรณานุกรม:........................................................................242 ภาคผวก:...............................................................................244 เฉลยแบบฝึกหัดบทที่ 1/....................................................246 เฉลยแบบฝึกหดั บทที่ 2/....................................................246 เฉลยแบบฝึกหัดบทที่ 3/....................................................247 เฉลยแบบฝึกหดั บทที่ 4/....................................................247 เฉลยแบบฝึกหัดบทที่ 5/....................................................248 เฉลยแบบฝึกหดั บทที่ 6/....................................................249 ดรรชน:ี..................................................................................251



สารบญั ภาพ ภาพที่ หนา้ 1.1 การทดลองเพื่อสังเกตแรงทางไฟฟ้าของวัตถุทีม่ ี ก) ประจไุ ฟฟ้าต่างชนิดกัน และ ข) ประจไุ ฟฟ้าชนิดเดียวกนั 2 1.2 ก) การขดั ถแู ท่งพลาสติกกบั ผ้าไหม และ ข) การดดู กระดาษชิ้นเล็กๆ ของแท่งพลาสติก 2 1.3 ก) แรงผลกั ของประจุบวกสองประจุ และ ข)แรงดึงดดู ของประจุบวกและประจุลบ 5 1.4 จุดประจุสามประจวุ างอยู่ในแนวแกน x 6 1.5 แรงคลู อมบ์ในสองมิติของประจสุ ามประจุ 7 1.6 จุดประจุสามประจวุ างอยู่ในแนวแกน x 8 1.7 สนามไฟฟ้าเนื่องจากประจบุ วก ที่กระทำต่อประจุทดสอบ 10 1.8 แรงทางไฟฟ้าและสนามไฟฟ้าที่ประจุ กระทำต่อประจทุ ดสอบ 10 1.9 สนามไฟฟ้าจากประจบุ วกสองประจุ 12 1.10 สนามไฟฟ้าเนื่องจากจดุ ประจสุ องจดุ 13 1.11 สนามไฟฟ้าจากประจทุ ีก่ ระจายตัวอย่างต่อเนือ่ ง 15 1.12 สนามไฟฟ้าทีเ่ กิดจากประจุต่อเนื่องในแท่งโลหะตวั นำยาวอนนั ต์ 16 1.13 สนามไฟฟ้าในแท่งโลหะตวั นำยาว 18 1.14 สนามไฟฟ้าเนือ่ งจากตัวนำวงกลม 19 1.15 สนามไฟฟ้าเนื่องจากแผ่นตวั นำวงกลม 20 1.16 เส้นสนามไฟฟ้าที่ทะลผุ ่านสองพื้นผิว 21 1.17 เส้นสนามไฟฟ้า ก) ประจบุ วก และ ข) ประจลุ บ 23 1.18 เส้นสนามไฟฟ้าของ ก) ประจตุ ่างชนิดกนั แต่ที่มีขนาดเท่ากนั ข) ประจชุ นิดเดียวกนั และมีขนาดเท่ากัน และ ค) ประจุต่างชนิดกันและมีขนาดไม่เท่ากนั 22 1.19 เส้นแรงไฟฟ้าทีผ่ ่านพื้นที่ 23 1.20 พื้นที่ผิวปิดรปู ทรงใดๆ ในสนามไฟฟ้า 23 1.21 พื้นทีผ่ ิวปิดรปู ทรงลูกบาศก์ในสนามไฟฟ้าสมำ่ เสมอ 24 1.22 พื้นผิวปิดเกาส์เซียนทรงกลมรัศมี r รอบประจุบวก q 25 1.23 ผิวเกาส์เซียนทรงกระบอก 26 1.24 ผิวปิดเกาส์รูปทรงกระบอก ก) r > a และ ข) r < a 27 1.25 สนามไฟฟ้าภายในและนอกทรงกลมรัศมี a 28 1.26 ลวดตวั นำตรงยาวอนนั ต์และผิวเกาส์เซียนทรงกระบอก 29

สารบญั ภาพ ภาพที่ หน้า 1.27 การเคลือ่ นที่ของประจุ จากจุด ไปยงั จุด ตามเส้นทาง ℓ\" ภายใต้สนามไฟฟ้าที่มีขนาดและทิศทางไม่คงตัว 30 1.28 การเคลื่อนประจบุ วก q0 จากจุด ไปยงั ไปตามแนวแกน −y ภายใต้สนามไฟฟ้าทีม่ ีขนาดและมีทิศทางคงตวั 31 1.29 ความต่างศกั ย์ไฟฟ้าระหว่างจุด A และ B เนื่องจากประจุ q ซึง่ ขึ้นกับจดุ เริม่ ต้นและ จดุ สิ้นสุดเท่านั้น 32 1.30 ศกั ย์ไฟฟ้าทีจ่ ดุ P เนือ่ งจากประจบุ วกและประจลุ บ 33 1.31 ศกั ย์ไฟฟ้าทีจ่ ุดกึ่งกลาง P เนื่องจากประจทุ ี่มมุ ของสีเ่ หลีย่ มจตรุ ัส 34 1.32 ศกั ย์ไฟฟ้าทีจ่ ุด P เนื่องจากประจทุ ีก่ ระจายตัวอย่างต่อเนือ่ ง 35 1.33 ศกั ย์ไฟฟ้าที่จดุ P เนือ่ งจากประจุในวงแหวนรศั มี a 36 1.34 ศกั ย์ไฟฟ้าที่จดุ P เนื่องจากแผ่นโลหะวงกลมรศั มี R 37 1.35 ศักย์ไฟฟ้าที่จดุ P เนื่องจากประจใุ นลวดตัวนำตรงยาว ℓ 38 1.36 ตัวเก็บประจทุ ี่ประกอบด้วยสองตัวนำ 39 1.37 ตัวเกบ็ ประจุแบบแผ่นตัวนำคู่ขนาน 40 1.38 ตัวอย่าง ก) ตัวเก็บประจุชนิดต่างๆ ข) ตัวเกบ็ ประจะชนิดมีข้ัว (อิเล็กโทรไลต์) และ ค) ตวั เกบ็ ประจุชนิดไม่มีขั้ว (ไมลาร์) 41 1.39 ตวั เกบ็ ประจแุ บบทรงกระบอก 42 1.40 ก) การต่อตัวเก็บประจแุ บบอนุกรม และ ข) วงจรไฟฟ้าสมมูล 43 1.41 ก) การต่อตัวเก็บประจุแบบขนาน และ ข) วงจรไฟฟ้าสมมลู 44 1.42 สำหรบั แบบฝึกหัดข้อ 4 49 1.43 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 6 50 1.44 สำหรับแบบฝึกหดั ข้อ 7 50 1.45 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 8 50 1.46 สำหรับแบบฝึกหดั ข้อ 10 51 2.1 การเคลื่อนทีข่ องประจผุ ่านพื้นที่หน้าตดั A 53 2.2 การเคลือ่ นทีข่ องประจุพาหะผ่านพื้นที่หน้าตดั ในช่วงเวลา Δt 55 2.3 ทิศทางการเคลือ่ นที่ของประจุพาหะในตัวนำ เมือ่ ก) ไม่มีสนามไฟฟ้า ข) มีสนามไฟฟ้า 55 2.4 ตวั ทานชนิด ก) ค่าคงตัว ข) ปรับค่าได้ และ ค) พิเศษ 59 2.5 ตวั ต้านทานชนิดค่าคงตัว แบบ (ก) สี่แถบสี และ (ข) ห้าแถบสี 60 2.6 ตวั ต้านทานชนิดค่าคงตัว แบบ ก) สีแ่ ถบสี และ ข) ห้าแถบสี 61

สารบญั ภาพ ภาพที่ หนา้ 2.7 วงจรไฟฟ้าอย่างง่ายประกอบด้วยตัวต้านทานและแหล่งจ่ายไฟฟ้ากระแสตรง 62 2.8 ก) การต่อตัวต้านทานแบบอนกุ รมและแรงดนั ตกคร่อมตวั ต้านทาน และ ข)วงจรสมมลู 63 2.9 การต่อตวั ต้านทานแบบอนกุ รมและแรงดนั ตกคร่อมตวั ต้านทานแต่ละตวั 63 2.10 สำหรับตัวอย่างที่ 2.5 64 2.11 การต่อตัวต้านทานแบบขนานและกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตวั ต้านทานแต่ละตัว 65 2.12 สำหรับตวั อย่างที่ 2.7 66 2.13 สำหรับตวั อย่างที่ 2.8 67 2.14 ตัวอย่างการต่อตัวต้านทานแบบผสม 68 2.15 สำหรบั ตวั อย่างที่ 2.9 68 2.16 สำหรับตัวอย่างที่ 2.10 70 2.17 สำหรบั ตวั อย่างที่ 2.11 71 2.18 สำหรับตัวอย่างที่ 2.12 72 2.19 สำหรบั ตวั อย่างที่ 2.13 74 2.20 สำหรบั ตัวอย่างที่ 2.14 75 2.21 สำหรบั ตัวอย่างที่ 2.15 76 2.22 สำหรบั ตวั อย่างที่ 2.16 78 2.23 สำหรบั แบบฝึกหดั ข้อ 3 81 2.24 สำหรบั แบบฝึกหดั ข้อ 4 81 2.25 สำหรับแบบฝึกหดั ข้อ 5 82 2.26 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 6 82 2.27 สำหรบั แบบฝึกหัดข้อ 7 82 2.28 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 8 83 2.29 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 9 83 2.30 สำหรบั แบบฝึกหดั ข้อ 10 84 3.1 วตั ถทุ ีม่ ีอำนาจแม่เหลก็ 85 3.2 ทิศของสนามแม่เหล็ก 87 3.3 ซซทกขึง่ ึ่งั้วิศฎกกขทำมำอลาือลงังงขังสเขวคเนอคาลางแลื่อมแสื่อนรแดนงมทงทแ่เที่ดหมีด่ ้วศิ ่เล้วยหทยก็ คลาคโวงก็ลวแาการมF!ม\"งเสแรBเรนว็มทว็ า่เี่กหvม!v!รลแะใ็กมทน่เใสำหนF!ตน\"ลส่อาBก็ นมปแาทแรลมี่กะมขแจร่เ้ัวหมะุบโทล่เลวหำก็กกลบท็ก!Bนา\"ปง!B\"ภรมูะจิศบุ าวสกตร์ 87 3.4 89 3.5 89

สารบัญภาพ ภาพที่ หน้า 3.6 ทิศทางของแรงแม่เหล็กที่กระทำบนประจุบวกและประจุลบ 90 3.7 โปรตอนเคลื่อนทีท่ ำมุม 60 องศากับสนามแม่เหลก็ 91 3.8 ก) ทิศทางของแรงแม่เหลก็ เนือ่ งจากกระแสไฟฟ้า ข) กฎมือซ้ายของเฟลมมิง 92 3.9 สนามแม่เหล็ก แรงแม่เหล็กและกระแสไฟฟ้าในลวดตัวนำ 93 3.10 ก) ขดลวดตวั นำสี่เหลี่ยมกว้าง b ยาว a วางอยู่ในสนามแม่เหลก็ ข) ทอร์ครอบจุด O และทิศทางของแรงแม่เหลก็ และ ค) ระนาบของตวั นำทำมุม θ ใดๆ กับสนามแม่เหลก็ 95 3.11 สัญลกั ษณ์แทนทิศของสนามแม่เหลก็ ก) พุ่งออกจากกระดาษ และ ข) พุ่งเข้ากระดาษ 97 3.12 ประจุบวกกำลงั เคลือ่ นทีเ่ ปน็ วงกลมและตั้งฉากกับสนามแม่เหล็ก 98 3.13 การเคลือ่ นทีเ่ ปน็ เกลียวภายในสนามแม่เหล็กของประจบุ วก 101 3.14 การทดลองของเออสเตด 103 3.15 กฎมือขวา 103 3.16 สนามแม่เหลก็ ทีเ่ กิดจากกระแสไฟฟ้า ไหลในตัวนำวงกลม 104 3.17 สนามแม่เหลก็ ทีเ่ กิดจากกระแสไฟฟ้า ในตวั นำรปู ทรงใดๆ ยาว เมตร 105 3.18 สนามแม่เหลก็ ที่เกิดกระแสไฟฟ้าในลวดตัวนำตรงยาว 106 3.19 สนามไฟฟ้าเนือ่ งจากกระแสไฟฟ้าในตวั นำตรงยสวอนนั ต์ 108 3.20 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 2 113 3.21 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 6 114 3.22 สำหรับแบบฝึกหัดข้อ 8 114 3.23 สำหรบั แบบฝึกหัดข้อ 9 115 3.24 สำหรบั แบบฝึกหัดข้อ 10 115 4.1 การทดลองของฟาราเดย์ 117 4.2 การเกิดกระแสเหนีย่ วนำในขดลวดตัวนำวงกลม 118 4.3 สำหรับตวั อย่างที่ 4.1 120 4.4 สำหรับตวั อย่างที่ 4.2 121 4.5 กระแสเหนี่นวนำและสนามแม่เหลก็ ที่เกิดจากกระแสเหนีย่ วนำ 123 4.6 ก) แผนภาพไดอะแกรมเครือ่ งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับ และ ข) แรงเคลื่อนไฟฟ้ากระแสสลบั ซึ่งเปน็ ฟงั ก์ชนั ไซน์ตามเวลา 124 4.7 ก) แผนภาพไดอะแกรมเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากระแสตรง และ ข) แรงเคลือ่ นไฟฟ้าซึง่ เป็นฟังก์ชนั ของเวลา 125

สารบญั ภาพ ภาพที่ หน้า 4.8 วงจรการเหนีย่ วนำตนเอง 126 4.9 วงจรไฟฟ้าประกอบด้วยแหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสตรงต่ออยู่กับ ก) ตัวต้านทาน R และ ข) ตัวเหนีย่ ว 128 4.10 ก) วงจรอนกุ รมอาร์เอล และ ข) การเพิ่มขึ้นของกระแสในวงจร 129 4.11 ก) ตวั ต้านทานต่อกับแหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับ และ ข) กระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟ้าทีต่ ัวต้านทาน 132 4.12 ก) การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของกระแสไฟฟ้าทีไ่ หลผ่านตัวต้านทาน และ ข) ความสมั พนั ธ์ระหว่างกระแสไฟฟ้ากำลงั สองเฉลีย่ กบั กระแสไฟฟ้าสูงสุด 134 4.13 ก) ตวั เหนีย่ วนำต่อกบั แหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับ และ ข) กระแสไฟฟ้าและแรงดนั ไฟฟ้าที่ตัวเหนี่ยวนำ 134 4.14 ก) ตัวเก็บประจตุ ่อกบั แหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับ และ ข) กระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟ้าที่ตัวเกบ็ ประจุ 136 4.15 วงจรอนุกรมอาร์เอลซี 138 4.16 เฟสของวงจรอนุกรมอาร์เอลซี 139 4.17 ก) แผนภาพเฟสเซอร์ของวงจรอนกุ รมอาร์เอลซี ข) การบวกเฟสเซอร์แบบเวกเตอร์ และ ค) ความสมั พันธ์ระหว่างความต้านทานเชิงซ้อนและค่ารีแอคแตนซ์ 140 4.18 สำหรบั ตัวอย่างที่ 4.9 142 4.19 คลืน่ แม่เหล็กไฟฟ้ากำลังเคลื่อนที่ไปตามแกน โดยทีส่ นามไฟฟ้ามีทิศไปตามแนวแกน และสนามแม่เหลก็ มีทิศไปตามแนวแกน 145 4.20 สเปกตรัมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า 149 4.21 สำหรบั แบบฝึกหัดข้อ 6 158 4.22 สำหรับแบบฝึกหดั ข้อ 9 159 5.1 ก) โมเดลการสะท้อนและการหกั เหของแสง และ ข) แสงเดินทางตกกระทบแท่งแก้วลูไซด์ แล้วเกิดการสะท้อนและเกิดการหกั เห 161 5.2 ก) โมเดลการสะท้อนของแสง ข) การสะท้อนของแสงเมือ่ ตกกระทบผิวราบเรียบและพื้นผิวขรขุ ระ 162 5.3 สำหรับตัวอย่างที่ 5.1 162 5.4 การหกั เหของแสง เมื่อ ก) แสงเดินทางจากอากาศเข้าสูแก่้ว ข) แสงเดินทางจากแก้วเข้าสู่อากาศ 164

สารบัญภาพ ภาพที่ หนา้ 5.5 แสงเดินทางผ่านตัวกลาง 1 ไปยังตวั กลาง 2 ด้วยอตั ราเรว็ ที่ลดลง 165 5.6 ไดอะแกรมแสดงการลดลงของความยาวคลืน่ เมื่อแสงเดินจาก ตวั กลางทีม่ ีดรรชนีหกั เหต่ำไปยงั ตวั กลางที่มีดรรชนีหักเหสงู กว่า 166 5.7 สำหรบั ตัวอย่างที่ 5.2 167 5.8 ก) การเปลี่ยนค่าของดรรชนีหักเหของวตั ถุตามความยาวคลืน่ แสง ข) รงั สีหักเหของแสงเมือ่ ผ่านปริซึม และ ค) การหกั เหของแสงขาวเมือ่ เคลื่อนที่ผ่านปริซึม 169 5.9 การเจิงของแสงขาวทีต่ กกระทบปริซึม 170 5.10 สำหรบั ตวั อย่างที่ 5.4 170 5.11 ก) แสงเดินทางจากตวั กลางดรรชนีหักเห n1 ไปยัง n2 เมื่อ n1 > n2 ข) การสะท้อนกลับหมด 172 5.12 สำหรบั ตัวอย่างที่ 5.5 173 5.13 การเกิดภาพจากการสะท้อนที่กระจกเงาราบของ ก) จุดวตั ถุ และ ข) วตั ถุมีขนาด 174 5.14 สำหรับตวั อย่างที่ 5.6 175 5.15 ก) กระจกโค้งรัศมี R และ ข) การเกิดภาพจริงของจดุ วตั ถทุ ี่ตำแหน่ง I 177 5.16 การเกิดภาพจากกระจกเว้า 177 5.17 การเกิดภาพทีจ่ ดุ โฟกัสของกระจกเว้า 179 5.18 การเกิดภาพเสมือนหัวต้ัง ขนาดเลก็ กว่าวตั ถุจากกระจกนนู 179 5.19 การเกิดภาพจากกระจกเว้า ก) ภาพจริงหวั กลับ ข) ภาพเสมือนหวั ตั้ง และ ค) การเกิดภาพเสมือนหวั ต้ังจากกระจกนูน 182 5.20 การเกิดภาพจากการหักเหภายในผิวทรงกลม 186 5.21 การเกิดภาพจากการหักเหภายในตัวกลางผิวราบเรียบ 187 5.22 สำหรบั ตัวอย่างที่ 5.10 188 5.23 สำหรับตวั อย่างที่ 5.11 189 5.24 เลนส์รปู ทรงต่างๆ ก) เลนส์รวมแสง และ ข) เลนส์กระจายแสง 190 5.25 แสดงจดุ โฟกสั ของ ก) เลนส์นนู และ ข) เลนสเว้า 190 5.26 แผนภาพโครงสร้างในการหาสมการเลนส์บาง 191 5.27 แผนภาพไดอะแกรมเพื่อหาตำแหน่งภาพซึ่งเกิดจากเลนส์นนู 192 5.28 ก) การเกิดภาพจริงจากเลนส์นูน ข) การเกิดภาพเสมือนจากเลนส์นูน และ ค) การเกิดภาพเสมือนจากเลนส์เว้า 193 5.29 สำหรบั ตวั อย่างที่ 5.14 198

สารบัญภาพ ภาพที่ หนา้ 5.30 การเกิดภาพจากเลนส์นนู สองอนั 199 205 5.31 สำหรบั แบบฝึกหดั ข้อ 5 209 6.1 อนุภาคอลั ฟา ( 2 He ) เคลือ่ นที่เข้าใกล้นิวเคลียสทีม่ ีประจุ Ze 4 6.2 แบบจำลองนิวเคลียสของอะตอม 210 6.3 พลังงานสำหรบั แยกโปรตอนและนิวตรอนภายในนิวเคลียสออกจากกัน 211 6.4 สำหรบั ตวั อย่างที่ 6.3 213 6.5 ไดอะแกรมการสลายกัมมนั ตรงั สีรังสีอลั ฟา 217 6.6 การสลายของนิวเคลียสแล้วเกิดรังสีเบตาลบ ( β− อิเลก็ ตรอน) 218 6.7 การสลายของนิวเคลียสแล้วเกิดรงั สีเบตาบวก ( β+ โพซิตรอน) 219 6.8 ปฏิกิริยาฟิสชนั ของยูเรเนียม -235 221 6.9 ปฏิกิริยานิวเคลียร์ฟิวชัน 223



สารบัญตาราง ตารางที่ หน้า 1.1 อนุภาค สญั ลักษณ์ ประจุและมวลของประจไุ ฟฟ้า 3 2.1 ค่าสภาพต้านทานไฟฟ้าของวัตถุต่างๆ ที่อุณหภมู ิ 20 องศาเซลเซียส 57 2.2 แถบสีและค่าของแถบสีของตัวต้านทาน 60 5.1 ค่าดรรชนีหกั เหของวัตถุต่างๆ เมื่อวดั ในสญุ ญกาศที่ นาโนเมตร 165 5.2 เครื่องหมายทีใ่ ช้ในการคำนวณสำหรบั กระจกเว้าและกระจกนูน 180 5.3 ชนิดของกระจกและเครือ่ งหมายสำหรบั การคำนวณ 181 5.4 เครื่องหมายที่ใช้ในการคำนวณสำหรบั ผิวหกั เห 187 5.5 เครือ่ งหมายที่ใช้ในการคำนวณสำหรบั เลนส์บาง 192 5.6 ระยะวัตถุ ระยะภาพ และลกั ษณะของภาพจากเลนส์นูน 194 6.1 หน่วยมวลของโปรตอน นิวตรอนและอิเลก็ ตรอน 209



บทท่ี 1 1 บทที่ 1 แรงทางไฟ!ฟ\"!า้ #แลĈะĆส&#นา(มḄไĆฟ#ฟ+!า้ ČḆ- !\"!#ĈĆ&#(&!\"-Č แรงทางไฟฟ้าและสนามไฟฟ้า เม่อื ราวๆ 700 ปี ก่อนครสิ ตกาล เธลิสแหง่ มเิ ลทสั (Thales of Miletus, BC 640-546) นกั ปราชญ์ชาวกรีกค้นพบว่า ถ้านำอำพันขดั ถูกับกบั ขนแกะแลว้ อำพนั จะสามารถดดู วตั ถชุ ิน้ เล็กๆ ได้ และในช่วงต่อมาก็พบว่าวัตถุอื่นที่ไม่ใช่ตัวนำเมื่อนำมาขัดถูกันก็จะเกิดปรากฎการณ์ดังกล่าวได้เช่นกัน อาทเิ ชน่ การท่หี วีพลาสติกท่เี ราใช้หวผี มสามารถดูดเศษกระดาษชิ้นเล็กๆ ได้ชว่ั คราว หรอื การที่เรา รูส้ กึ ว่าไฟฟา้ ซ๊อต เม่ือเราไปสมั ผัสกับมือของเพอ่ื นในวนั ทอี่ ากาศหนาวและแหง้ จดั ฯลฯ เปน็ ตน้ เอกสารบทน้ีเราจะกล่าวถึงประจไุ ฟฟ้า แรงทางไฟฟา้ และกฎของคูลอมบซ์ ง่ึ เป็นกฎพืน้ ฐานของ แรงระหว่างจดุ ประจหุ ยุดนงิ่ สองจุดประจุ รวมถงึ สนามไฟฟ้าจากจดุ ประจแุ ละอิทธพิ ลของสนามไฟฟา้ สนามไฟฟา้ ฟลกั ซ์ไฟฟา้ กฎของเกาส์ ศักย์ไฟฟ้า ความจไุ ฟฟา้ ตวั เกบ็ ประจแุ ละการต่อตวั เกบ็ ประจุ 1.1 ประจไุ ฟฟ้า เบนจามิน แฟรงคลิน (Benjamin Franklin, 1706-1790) นักวิทยาศาสตรช์ าวอเมริกนั แบ่งประจุไฟฟ้า (electric charge) ออกเปน็ สองชนดิ คือประจไุ ฟฟา้ บวก (positive charge) และ ประจไุ ฟฟา้ ลบ (negative charge) ซึง่ การทดลองงา่ ยๆ ท่สี ามารถอธิบายถงึ ชนดิ ของประจุไฟฟ้าและ แรงทางไฟฟ้าได้เป็นอย่างดีคือการนำแท่งพลาสติกที่ขัดถูด้วยผ้าขนสัตว์แล้วไปแขวนด้วยเชือกเบา ดังภาพที่ 1.1 จากนัน้ นำแท่งแก้วหรอื แทง่ พลาสตกิ อีกอันที่ขดั ถดู ้วยผ้าขนสตั ว์แลว้ เข้าไปไว้ใกล้ๆ กัน จะพบว่าเมื่อนำแทง่ แกว้ เข้าไปใกล้ๆ กับแทง่ พลาสติกทแ่ี ขวนอยู่ แท่งพลาสตจิ ะถูกดงึ ดดู เคลื่อนท่ีเขา้ หา แท่งแกว้ ดังภาพท่ี 1.1(ก) แต่ถา้ นำแท่งพลาสตกิ เขา้ ไปใกลๆ้ กบั แท่งพลาสตกิ แลว้ แท่งพลาสติกที่แขวน อยจู่ ะถูกผลักใหเ้ คลอ่ื นท่อี อกห่างออกไป ดงั ภาพท่ี 1.1(ข) การทดลองแสดงให้เห็นวา่ แทง่ แกว้ และ แท่งพลาสติกมีประจุไฟฟ้าสุทธิต่างกัน โดยที่ประจุไฟฟ้าสุทธิในแท่งแก้วเป็นประจุบวกและ ประจุไฟฟ้าสุทธิในแท่งพลาสติกเป็นประจุลบ ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้ว่าประจุไฟฟ้าต่างชนิดกัน จะดงึ ดูดกนั และประจุไฟฟ้าชนดิ เดยี วกนั จะผลักกัน

โดยปกตแิ ล้ววัตถุจะมปี ระจบุ วกและประจลุ บเท่าๆ กนั และกระจายตวั อยา่ งสม่ำเสมอ โดย ประจุไฟฟ้าบวก (โปรตอน) จะอยู่ในนิวเคลียสของอะตอมร่วมกับนิวตรอนและนิวเคลียสมีรัศมี ประมาณ 10−15 เมตรจะถูกล้อมรอบด้วยกลุ่มหมอกอิเล็กตรอนซึ่งเป็นประจุลบ ทั้งนี้โปรตอนและ อิเล็กตรอนจะมขี นาดของประจุเท่ากนั แต่มีเครอื่ งหมายตรงข้ามกัน ซึ่งสสารใดๆ ปรมิ าณหน่ึงกรัมจะมี ประจุบวกประมาณ 1023 ประจุ และมีประจุลบเปน็ จำนวนมาก ดงั นัน้ ประจสุ ทุ ธจิ งึ เปน็ ศูนย์ (ก) (ข) ภาพที่ 1.1 การทดลองเพือ่ สงั เกตแรงทางไฟฟา้ ของวตั ถทุ ีม่ ปี ระจไุ ฟฟ้า ก) ประจุไฟฟา้ ต่างชนิดกัน และ ข) ประจุไฟฟา้ ชนิดเดียวกนั (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway, 514 )

เนอ่ื งจากนวิ เคลียสของอะตอมอยู่น่ิงๆ ภายในของแข็ง ดงั นนั้ โปรตอนจงึ ไมส่ ามารถเคลือ่ นทีอ่ อก จากวัตถุหนง่ึ ไปยงั อกี วัตถุหน่ึง แตอ่ ิเลก็ ตรอนซ่งึ มีขนาดเบากวา่ จึงเคลอ่ื นทไี่ ด้ง่าย เมอื่ มแี รงมากระทำ ดังนั้นวัตถุใดๆ จะกลายเป็นวัตถุที่มีประจุได้ถ้าวัตถุนั้นอิเล็กตรอนเพิ่มขึ้นหรือลดลงโดยผ่าน กระบวนการเคลอื่ นทีข่ องอิเลก็ ตรอน (หรือประจไุ ฟฟ้าลบ) เท่านนั้ และนอกจากนปี้ ระจไุ ฟฟา้ ยังมี คณุ ลกั ษณะทีส่ ำคญั คอื ไมส่ ามารถสรา้ งขน้ึ หรือทำลายได้ การขัดถูแท่งพลาสติกกับผ้าไหมจะทำให้อิเล็กตรอน(หรือประจุไฟฟ้าลบ) ส่วนหนึ่งจากแท่ง พลาสตกิ เคลือ่ นทไ่ี ปยงั ผา้ ไหมทำให้ปรมิ าณประจไุ ฟฟา้ สุทธขิ องแทง่ พลาสตกิ เป็นประจุบวก ในขณะที่ ผา้ ไหมจะรับอิเลก็ ตรอนจากแทง่ พลาสติกจึงทำใหป้ ระจุไฟฟ้าสทุ ธมิ ปี ระจุลบ ดังแสดงในภาพท่ี 1.2(ก) ดังนั้นเมื่อนำแท่งพลาสติกดังกล่าวเข้าไปใกล้ๆ กระดาษชิ้นเล็กๆ แท่งพลาสติกก็จะสามารถดูด กระดาษชน้ิ เล็กๆ เหล่านัน้ ดังภาพที่ 1.2(ข) (ก) (ข) ภาพท่ี 1.2 ก) การขัดถูแท่งพลาสติกกบั ผา้ ไหม และ ข) การดูดกระดาษช้ินเล็กๆ ของแท่งพลาสตกิ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 515 ) การแบ่งชนิดของวัตถุตามความสามารถในการนำประจุไฟฟ้าแบ่งออกเป็นสองประเภทได้แก่ ตัวนำ (conductor) และ ฉนวน (insulator) โดยวตั ถุท่ีเปน็ ตวั นำจะหมายถงึ วตั ถุทม่ี ีประจุลบ จำนวนมากและประจุลบเหล่านน้ั สามารถเคล่อื นทไี่ ด้อย่างอสิ ระ ดงั นั้นถ้านำวตั ถุทีเ่ ป็นตัวนำ อาทเิ ชน่ ทองแดง เงิน หรืออลมู เิ นียม เป็นต้น ซึ่งเปน็ โลหะตวั นำท่ีดไี ปขดั ถูกับวัตถอุ ืน่ จะมีอเิ ลก็ ตรอนบางสว่ น จากวัตถุตัวนำเท่านั้นจะเคลื่อนที่ออกจากบริเวณที่ถูกขัดถู แต่อิเล็กตรอนจากบริเวณอื่นของตัวนำนั้น จะแพร่กระจายมาแทนที่และเมื่อนำวัตถุตัวนำที่ขัดถูแล้วไปเข้ากับกระดาษชิ้นเล็กๆ เราจะพบได้ว่า วัตถตุ ัวนำดงั กล่าวจะไมส่ ามารถดดู กระดาษเหลา่ น้นั ได้ แต่วัตถุท่เี ปน็ ฉนวน เช่น แกว้ และพลาสตกิ ซึง่ มจี ำนวนประจลุ บและประจบุ วกเท่ากนั ดงั นั้นประจสุ ทุ ธิภายในจงึ เปน็ ศนู ย์ ทง้ั นีเ้ ราสามารถทำให้ วตั ถุฉนวนกลายเป็นวัตถทุ มี่ ปี ระจุได้โดยการนำไปขดั ถูกบั ผ้าขนสตั ว์

ตารางที่ 1.1 อนภุ าค สัญลักษณ์ ประจุและมวลของประจุไฟฟา้ อนุภาค สัญลักษณ์ ประจุ (คลู อมบ)์ มวล (กิโลกรมั ) โปรตอน (proton) p +1.602 × 10−19 1.67262 × 10−27 อเิ ล็กตรอน (electron) 9.1094 × 10−31 นิวตรอน (neutron) e- −1.602 × 10−19 1.67493 × 10−27 n 0 ตารางที่ 1.1 แสดงอนุภาค สัญลักษณ์ ประจุและมวลของประจุไฟฟา้ ภายในอะตอมซงึ่ ประกอบดว้ ย โปรตอน อิเลก็ ตรอนและนวิ ตรอน โดยโปรตอนเปน็ ประจุบวก อิเล็กตรอนเปน็ ประจุลบ ในขณะที่นิวตรอน เปน็ กลางไมม่ ปี ระจุไฟฟ้า แตอ่ ยา่ งไรกต็ ามเราจะเห็นว่าโปรตอนและอเิ ลก็ ตรอนมมี วลแตกต่างกนั มาก ถึงแมว้ า่ จะมีขนาดของประจเุ ทา่ กันคือ 1.60 ×10−19 คูลอมบ์ ในขณะทโ่ี ปรตอนและนวิ ตรอนมมี วลใกลเ้ คยี งกันแต่ ขนาดของประจไุ ม่เทา่ กนั ทัง้ น้ีประจขุ นาด 1.0 คูลอมบ์ หมายถึงประจุทม่ี อี เิ ล็กตรอน (หรือโปรตอน) จำนวน 6.24 ×1018 อนุภาค ดงั นัน้ ประจุ 1.0 คลู อมบจ์ ึงมีจำนวนอเิ ลก็ ตรอน(โปรตอน)นอ้ ยมากๆ เมอื่ เทยี บกับ จำนวนอิเล็กตรอน(โปรตอน) ของทองแดงขนาดหน่ึงลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตรซ่งึ มอี เิ ล็กตรอนจำนวน 1023 อนุภาค และจากการทดลองพบว่าประจไุ ฟฟา้ ท่ีเคล่ือนท่ีออกจากพลาสติกหรอื แทง่ แกว้ มคี า่ ประมาณ 10−6 คลู อมบ์ นนั่ คือ มีอเิ ล็กตรอนจำนวนมากๆ เคลื่อนทอี่ ยู่ระหวา่ งแท่งแกว้ (หรอื พลาสติก) กบั วตั ถใุ ดๆ ท่ีนำมาถกู นั 1.2 กฏของคูลอมบ์และแรงทางไฟฟา้ ปคี ริสตศักราช 1985 ชารล์ คลู อมบ์ (Charles Coulomb, 1736-1806 ) นกั ฟสิ ิกสช์ าวฝรั่งเศส ได้ทำการทดลองเพ่ือหาแรงทางไฟฟ้าระหวา่ งจุดประจซุ ่งึ หยดุ นิ่งสองจุดประจุ (point charge) ใดๆ ซึง่ คูลอมบพ์ บว่า แรงทางไฟฟา้ (electrostatic force) หรือแรงคูลอมบ์ (Coulomb force) ป็นไปตาม ความสมั พันธ์ ดงั น้ี 1. ขนาดของแรงจะแปรผันตรงกับขนาดของประจุไฟฟา้ แตจ่ ะแปรผกผนั กับกำลังสองของ ระยะระหวา่ งประจุไฟฟา้ ทงั้ สองนนั้ 2. ทศิ ทางของแรงจะอย่ใู นแนวเส้นตรงทีเ่ ช่ือมระหว่างประจไุ ฟฟา้ ทง้ั สอง

3. ถ้าเปน็ ประจุไฟฟา้ ตา่ งชนิดกันจะเปน็ แรงดึงดดู แต่ถา้ เป็นประจชุ นิดเดยี วจะเปน็ แรงผลักกนั ทั้งน้เี ราสามารถหาขนาดของแรงทางไฟฟา้ ไดจ้ าก FE = ke q1 q2 (1.1) r2 เม่ือ FE คอื ขนาดของแรงทางไฟฟา้ หรอื แรงคูลอมบ์ มหี นว่ ยเปน็ นิวตัน (N ) q1 , q2 คอื ขนาดของประจไุ ฟฟา้ q1 และ q2 มีหนว่ ยเปน็ คลู อมบ์ (C ) r คอื ระยะหา่ งระว่างประจุ q1 และ q2 มหี น่วยเป็น เมตร(m ) ke คอื ค่าคงตวั ของคูลอมบ์ ซึง่ ke =1 4πε0 ≈ 8.99 ×109 N-m2 C2 เมอื่ ε0 = 8.85 × 10−12 C2 คือ ค่าความซาบซมึ ได้ทางไฟฟา้ ในสญุ ญากาศ (Vacuum permittivity) N-m2 ประจุไฟฟ้าภายในอะตอมซึ่งประกอบด้วยประจุลบหรืออิเล็กตรอนและประจุบวกหรือโปรตอน มีขนาดของประจุเท่ากนั คือ คลู อมบ์ น่ันหมายความวา่ ประจขุ นาด 1.0 คูลอมบ์จะมี อเิ ล็กตรอนหรอื โปรตอนเปน็ จำนวน 6.24 x 1018 อนุภาค ดงั นนั้ ประจุ 1.0 คูลอมบ์จงึ มีจำนวน อิเล็กตรอน(โปรตอน) น้อยมากๆ เมื่อเทียบกับจำนวนอิเล็กตรอนของทองแดงขนาดหนึ่งลูกบาศก์ เซนติเมตรซึ่งมีอเิ ลก็ ตรอนจำนวน 1023 อนภุ าค และจากการทดลองพบวา่ ประจุไฟฟ้า ทเี่ คลื่อนทอี่ อก จากพลาสติกหรอื แท่งแกว้ มีค่าประมาณ 10-6 คูลอมบ์ น่ันคอื มอี ิเล็กตรอนจำนวนมากๆ ท่ีเคล่อื นท่ี ระหว่างแท่งแก้ว(หรอื พลาสตกิ )กบั วัตถุใดๆ ทน่ี ำมาถูกับแทง่ แกว้ ซึง่ จากตารางท่ี 1.1 จะเหน็ วา่ มวลของโปรตอนและอิเล็กตรอนมีความแตกต่างกันมากถงึ แม้ว่าจะมขี นาดของประจเุ ท่ากนั ในขณะท่ี โปรตอนและนิวตรอนมมี วลใกล้เคยี งกันแตข่ นาดของประจไุ มเ่ ทา่ กัน

เม่ือเราใชก้ ฎของคูลอมบใ์ นการหาขนาดของแรงทางไฟฟ้า เราตอ้ งไม่ลมื วา่ แรงเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ ดF!\"งั 1น2น้ั ตห้อมงารยะถบงึทุ แศิ รทงาทงีป่ ขรอะงแจรุ qงด1ว้ ยกเสระมทอำบดนงั ภปารพะจทุ่ี 1.3 แแลสะด!Fง\"ท2ิศ1 ทาหงมขาอยงถแรงึ งแครลูงทอม่ีปบร์ขะอจงุ ปqร2ะจกุไฟระฟท้าำบซน่งึ q2 ประจุ q1 โดยท่ี !\" และ !\" จะมีขนาดเท่ากนั ( F12 = F21 ) แตม่ ีทิศทางตรงข้ามกนั !\" !\" F12 F 21 F12 = −F 21 (ก) (ข) ภาพท่ี 1.3 ก) แรงผลกั ของประจุบวกสองประจุ และ ข)แรงดงึ ดูดของประจบุ วกและประจุลบ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 518) การหาแรงทางไฟฟ้าของประจุตั้งแต่สามประจุขึ้นไปนั้นเราสามารถหาแรงลัพธ์ที่ประจุตัวใด ตัวหนึ่งจะถูกกระทำโดยประจตุ วั อืน่ ๆ ไดโ้ ดยการหาแรงที่ประจุแต่ละตัวกระทำกับประจุนน้ั ๆ แลว้ นำมา รวมกันแบบเวกเตอร์ ตัวอย่างเชน่ การหาแรงลัพธท์ ป่ี ระจุ ถูกกระทำโดยประจุ และ !\" !\" !\" !\" !\" !\" !\" นัน้ สามารถทำได้ดงั นี้ F = F 21 + F 31 + F 41 เมือ่ F 21, F 31, F 41 แทน แรงทปี่ ระจุ q2 , q3, q4 กระทำตอ่ ประจุ q1 ตามลำดบั และ !\" คอื แรงลพั ธท์ ปี่ ระจุ q1 ถูกกระทำโดยประจุอนื่ F ตัวอยา่ งที่ 1.1 จงหาชนดิ และขนาดของแรงทางไฟฟา้ ระหวา่ งอิเล็กตรอนและโปรตอนของอะตอม ไฮโดรเจนซง่ึ อยหู่ า่ งกนั 5.30 ×10−11 เมตร วธิ ีทำ ประจขุ องโปรตอนและอิเลก็ ตรอน e = 1.60 x 10-19 คูลอมบ์ และ r = 5.30 ×10−11 เมตร จาก FE = ke q1 q2 = ke e2 r2 r2 × 10−19 C 2 × 10−11m)2 ( )= ⎛ 8.99 × 109 N i m2 ⎞ 1.60 = 8.20 × 10−8 N ⎝⎜ C2 ⎠⎟ (5.30 ตอบ แรงทางไฟฟ้าระหว่างโปรตอนและอิเล็กตรอนเป็นแรงดงึ ดดู ขนาด 8.20 ×10−8 นิวตนั

ตัวอย่างท่ี 1.2 จุดประจสุ ามอนั วางอยใู่ นแนวเดียวกันมีระยะห่างดังภาพที่ 1.4 เมือ่ q1 = 4.00µC q2 = 6.00µC และ q3 = −2.00µC แลว้ จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธท์ กี่ ระทำบนประจุ q3 ภาพที่ 1.4 จุดประจุสามประจวุ างอยใู่ นแนวแกน x วิธีทำ กำหนดให้ !\" และ !\" แทน แรงดงึ ดดู ทีป่ ระจุ q1 และ q2 และกระทำบนประจุ q3 F13 F 23 และ !\" แทน แรงลพั ธ์ทีก่ ระทำบนประจุ q3 ดงั น้นั จะได้ !\" !\" !\" F F = F13 + F 23 เราสามารถหาขนาดของแรงทป่ี ระจุ q1 และ q2 กระทำต่อประจุ q3 ได้จากฎของคลู อมบ์ ( )( )F13 = ke q1 q3 = ⎛ 8.99 × 109 N i m2 ⎞ 4.00 × 10−6 C 2.00 × 10−6 C r123 ⎝⎜ C2 ⎠⎟ (0.200m)2 = 0.180 N เนือ่ งจากประจุ q1 ดงึ ประจุ q3 ใหเ้ คลื่อนไปทางซ้าย ( !\" เปน็ แรงตามแกน −x ) F13 ดังนน้ั จะได้ !\" = − 0.180iˆ N F13 ( )( )และ F23 = ke q2 q3 = ⎛ 8.99 × 109 N i m2 ⎞ 6.00 × 10−6 C 2.00 × 10−6 C r223 ⎜⎝ C2 ⎠⎟ (1.00 − 0.200m)2 = 0.170 N เนื่องจากประจุ q2 ดึงประจุ q3 ใหเ้ คล่ือนไปทางขวา ( !\" 23 เป็นแรงตามแกน +x ) F จะได้ !\" = 0.170iˆ N F 23 ดงั นน้ั จะได้แรงลัพธ์ !\" !\" !\" = − 0.18iˆ + 0.17iˆ N = − 0.01iˆ N F = F13 + F 23 และขนาดของแรงลพั ธ์ F = (−0.01)2 = 0.01 N ตอบ แรงลัพธ์จึงมที ิศไปทางซ้าย (มีทศิ ไปทางประจุ q1) มีขนาดของแรงลพั ธ์ 0.01 นวิ ตัน

ตัวอย่างที่ 1.3 จงหาแรงลพั ธท์ ่ีกระทำบนประจุ ถา้ มีประจไุ ฟฟา้ ประจุวางอยู่ที่มุมของสามเหลยี่ ม มุมฉาก ดังภาพท่ี 1.5 เมอื่ q1 = q3 = 4.00µC , q2 = −2.00µC และ a = 10.0 เซนตเิ มตร ภาพท่ี 1.5 แรงคูลอมบ์ในสองมติ ขิ องประจุสามประจุ (Physics, 9 edition, Serway ; 696) วิธที ำ หาแรงทางไฟฟา้ ที่ประจุ q1 และ กระทำต่อประจุ q3 ได้จากกฎของคูลอมบ์ โดยกำหนดให้ !\" F13 แทน แรงผลกั ท่ีประจุบวก q1 กระทำตอ่ ประจุบวก q3 ที่อยหู่ า่ งกนั เป็นระยะ !\" แทน แรงดงึ ดดู ทป่ี ระจุลบ กระทำต่อประจุบวก q3 ท่อี ยู่ห่างกันเปน็ ระยะ F 23 !\" คอื แรงลพั ธท์ กี่ ระทำบนประจุ ซงึ่ !\" !\" !\" F3 F 3 = F13 + F 23 ดงั นั้น ขนาดของแรงดึงดูดที่ประจลุ บ กระทำตอ่ ประจุบวก จงึ เป็น ( )( )= ⎛ 8.99 × 109 N i m2 ⎞ 2.00 × 10−6 C 4.00 × 10−6 C ⎜⎝ C2 ⎠⎟ (0.100m)2 = 7.20 N เน่อื งจาก !\" เป็นแรงตามแกน ดังน้ัน จึงเขียนเปน็ เวกเตอร์ได้เป็น !\" = − 7.20iˆ N F 23 F 23 และ ขนาดของแรงผลกั ทป่ี ระจุบวก q1 กระทำตอ่ ประจบุ วก q3 หาไดจ้ าก ( )( )= ⎛ 8.99 × 109 N i m2 ⎞ 4.00 × 10−6 C 4.00 × 10−6 C ⎝⎜ C2 ⎟⎠ 2(0.100m)2 = 7.20 N

จากภาพที่ 1.5 จะเห็นวา่ เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากซงึ่ มุมทป่ี ระจุ และ เท่ากบั 45 องศา ดงั น้ัน จงึ ทำมมุ 45 องศากับแกน ซึง่ สามารถหาองคป์ ระกอบของแรง !\" ตามแนวแกน ( ) ได้เปน็ F13x = F13 cos(45# )iˆ = 5.10iˆ N ตามแนวแกน +y ได้เป็น !\" F13 cos(45# ) jˆ = 5.10jˆ N F13y = น่นั คือจะได้ !\" = !\" !\" 5.10iˆ + 5.10 jˆ N F13 F13x + F13y = และหาแรงลพั ธ์จาก !\" !\" !\" = 5.10iˆ + 5.10 ˆj − 7.20iˆ จะได้ F = F13 + F 23 !\" = − 2.10iˆ + 5.10 jˆ F และขนาดของแรงลัพธ์ F = Fx2 +Fy2 = (−2.10)2 + (5.10)2 = 5.50 N และหามมุ ของแรงลัพธ์ !\" เทียบกบั แกน +x F ( )ได้จาก φ = tan−1 Fy Fx จะได้ φ = tan-1 ⎜⎝⎛ − 52..11⎟⎠⎞ = 112.4! ตอบ แรงลพั ธ์ท่ีกระทำบนประจุ คอื −2.10iˆ + 5.10 ˆj นิวตัน และมีขนาด 5.50 นวิ ตัน ทำมุม 112.4 องศากับแกน +x

ตัวอยา่ งที่ 1.4 จดุ ประจุ 3 ประจวุ างอย่ใู นแนวแกน ดงั ภาพที่ 16 ถ้าประจุบวก q1 = 15.0µC วางหา่ งจากประจบุ วก q2 = 5.00µC ซึ่งวางอยู่ทจ่ี ุดกำเนิดเปน็ ระยะ 2.00 เมตร จงหาตำแหน่งท่ี ทำให้แรงลัพธท์ ่ีกระทำบน ประจลุ บ q3เป็นศูนย์ ภาพที่ 1.6 จุดประจสุ ามประจวุ างอยใู่ นแนวแกน x (Physics, 9 edition, Serway ; 697) วิธีทำ แรงลัพธ์ที่กระทำกับประจุลบ q3 เปน็ ศูนย์ เมื่อ F23 มคี า่ เท่ากบั F13 แต่มที ศิ ตรงข้าม หาแรงท่ีประจบุ วก q1 และ q2 กระทำตอ่ ประจุลบ q3 ได้จาก กฎของคูลอมบ์ โดยกำหนดให้จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ป่ี ระจุ q3 และกำหนดให้ !\" F13 แทนแรงดึงดดู ท่ปี ระจุบวก q1 กระทำตอ่ ประจุลบ q3 ซึง่ อยู่ห่างกัน 2.00 − x เมตร จะได้ !\" = ke q1q3 x)2 iˆ N F13 (2.00 − !\" แทน แรงดงึ ดูดทป่ี ระจบุ วก q2 กระทำตอ่ ประจุลบ q3 อยหู่ ่างกัน เมตร F 23 จะได้ !\" = − ke q2q3 iˆ N F 23 x2 และ !\" คอื แรงลัพธ์ทก่ี ระทำบนประจลุ บ q3 ซึ่ง !\" = !\" !\" F3 F3 F13 + F 23 = 0 ดงั นน้ั จะได้ ke q1q3 x)2 iˆ − ke q2q3 iˆ = 0 (2.00 − x2 x2q1 = (2.00 − x)2 q2 x2 (15.0 × 10−6 C) = (2.00 − x)2 (5.00 × 10−6 C) 3.00x2 = 4.00 − 4.00x + 1.00x2

2.00x2 + 4.00x − 4.00 = 0 x = −4.00 ± (4.00)2 − 4(2.00)(−4.00) เมตร 2(2.00) x = 1.46, − 5.46 เมตร แต่เน่ืองจาก 0 < x < 2.00 ตอบ ประจุ q3 อย่หู า่ งประจุ q2 เป็นระยะ 1.46 เมตร 1.3 สนามไฟฟ้าและกฎของเกาส์ สนามไฟฟ้า (Electric Field : ) คอื อัตราสว่ นระหว่างแรงทางไฟฟ้าท่ปี ระจุ กระทำบน ประจุทดสอบ ต่อประจทุ ดสอบ ทงั้ นี้สนามไฟฟ้าจะเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ ซง่ึ ในระบบหน่วย นานาชาติ (S.I unit) มีหนว่ ยเปน็ นวิ ตันต่อคลู อมบ์ (N/C)!\" FE !\" = (1.2) E q0 ถ้านำประจุทดสอบ เขา้ ใกลก้ บั แหล่งกำเนดิ สนามไฟฟา้ ท่ีมีประจุ จะมแี รงทางไฟฟา้ FE ทปี่ ระจุ กระทําตอ่ ประจุทดสอบ โดยที่แรงจะมขี นาดมากหรอื น้อยน้ันขน้ึ อยู่กบั ขนาดของ ประจุ และระยะหา่ งระหว่างประจุทง้ั สองตามกฎคูลอมบ์ และทิศทางของสนามไฟฟ้า จะข้นึ อยู่ กับชนดิ ของประจุ นัน่ คอื ถา้ เป็นประจุบวกแล้วสนามไฟฟ้าจะมีทศิ พุง่ ออก ดงั ภาพที่ 1.7 ภาพท่ี 1.7 สนามไฟฟ้าเนอ่ื งจากประจบุ วก ท่ีกระทำตอ่ ประจทุ ดสอบ ท่ีจดุ P ใดๆ (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 522)

ภาพที่ 1.8 แสดงใหเ้ ห็นว่า สนามไฟฟ้ามีทศิ ทางเดยี วกับทศิ ของแรงทางไฟฟา้ กลา่ วคอื สนาม ไฟฟา้ มที ศิ พงุ่ ออกจากประจุบวก และมีทศิ พงุ่ เขา้ หาประจุลบ ภาพที่ 1.8 แรงทางไฟฟ้าและสนามไฟฟ้าที่ประจุ กระทำตอ่ ประจทุ ดสอบ ทจ่ี ดุ P ใดๆ (Physics for Scientists and Engineers, 8 edition, Serway&Jewett; 668) 1.3.1 สนามไฟฟ้าจากจุดประจุ ถา้ นำประจุทดสอบ วางห่างจากประจุ ทีจ่ ุด P ซึง่ อยู่หา่ งเป็นระยะ ดงั ภาพท่ี 1.8 แลว้ จะมแี รงทางไฟฟ้าเนอื่ งจากประจุ กระทำต่อประจุทดสอบ เป็นไปตามกฎของคู ลอมบ์ คือ !\" = ke qq0 rˆ และจากสนามไฟฟ้า !\" = !\" q0 ดงั นน้ั จะได้ Fe r2 E Fe !\" = ke q rˆ (1.3) E r2 เมอื่ คอื เวกเตอร์หน่ึงหน่วยที่มที ิศทางจากประจุ ไปยงั ประจทุ ดสอบ และขนาดของสนามไฟฟา้ หรือความเข้มของสนามไฟฟ้า หาไดจ้ าก E = ke q (1.4) r2 การหาค่าสนามไฟฟ้าท่ีจดุ P ใดๆ กรณที ่ีมีประจุ q เปน็ จำนวน n ประจุ เราสามารถหา สนามไฟฟา้ ลพั ธ์ได้โดยการหาสนามไฟฟา้ เน่ืองจากแต่ละประจุแลว้ นำมารวมกนั แบบเวกเตอร์ !\" !\" ∑!\" !\" n qi rˆi (1.5) i=1 ri2 E = E1 +E2 + ... + En = ke

ตัวอย่างที่ 1.5 จงหาขนาดของแรงทางไฟฟ้าที่เกิดขึ้นบนโปรตอนตัวหนึ่งซึ่งวางอยู่ในสนามไฟฟ้า ขนาด 5.00 ×103 นิวตันต่อคลู อมบ์ ในทศิ แนวแกน วธิ ที ำ โปรตอนเปน็ ประจุบวกมปี ระจไุ ฟฟ้าเทา่ กบั คูลอมบ์ และจากขนาดของสนามไฟฟ้า E = F q0 ดงั นัน้ จะไดแ้ รงทางไฟฟ้า ( )= 1.60 × 10−19 C 5.00 × 103N/C = 8.00 × 10−16 N ตอบ ขนาดของแรงทางไฟฟ้า เทา่ กบั 8.00 ×10−16 นิวตนั ตัวอยา่ งท่ี 1.6 ถ้าประจุบวก q1 = 8.00µC และ q2 = 6.00µC วางอยู่ในแนวเดียวกันและ หา่ งกันระยะ 30.0 เซนติเมตรแล้วจงหาสนามไฟฟ้าลพั ธข์ นาดและทศิ ทางของสนามไฟฟา้ ลพั ธท์ ีจ่ ดุ P ซ่ึงอยทู่ ี่กึ่งกลางของประจทุ ง้ั สอง ดังภาพที่ 1.9 ภาพที่ 1.9 สนามไฟฟา้ จากประจุบวกสองประจุ วิธที ำ หาขนาดของสนามไฟฟา้ ทจี่ ดุ P ไดจ้ าก E= ke q เม่ือ r = 0.150 เมตร r2 ดงั นน้ั ขนาดของสนามไฟฟ้าเน่อื งจากประจุ q1 จึงเป็น E1 = ke q1 = ⎛ 8.99 × 109 Nm ⎞ 8.00 × 10−6 C = 3.20 × 106 N r2 ⎝⎜ C2 ⎠⎟ 0.1502 m2 C สนามไฟฟ้า !\" เกิดจากประจบุ วก ดงั นน้ั จึงมีทิศไปทางขวาของจุด P (แนวแกน +x ) E1 ดังนนั้ จะได้สนามไฟฟา้ !\" = (3.20 × 106 )iˆ N/C E1

และขนาดของสนามไฟฟา้ เน่ืองจากประจุ q2 เปน็ E2 = ke q2 = ⎛ 8.99 × 109 Nm ⎞ 6.00 × 10−6 C = 2.40 × 106 N r2 ⎜⎝ C2 ⎠⎟ 0.1502 m2 C สนามไฟฟา้ !\" เกดิ จากประจุบวก q2 ดังน้ันจงึ มที ิศไปทางซา้ ยของจดุ P (แนวแกน −x ) E2 ดังนัน้ จะไดส้ นามไฟฟา้ !\" = − (2.40 × 106 )iˆ N/C E2 และหาสนามไฟฟ้าลัพธ์ ได้จาก !\" = !\" !\" 3.20 × 106 iˆ − 2.40 × 106 iˆ N/C E E1 +E2 = = (8.00 × 105 )iˆ N/C ตอบ ขนาดของสนามไฟฟ้าลพั ธเ์ ทา่ กับ 8.00 ×105 นวิ ตนั ต่อคูลอมบ์ และมทีิ ิศไปทางประจุ q2 ตวั อย่างท่ี 1.7 ประจุ q1 = 8.00µC อยู่ที่จดุ กำเนิดและ ประจุ q2 = −5.00µC อย่บู นแกน หา่ งจากจดุ กำเนิด 30.0 เซนตเิ มตร จงหาขนาดและทิศทางสนามไฟฟ้าที่ จดุ P ซ่ึงอยทู่ ี่ตำแหน่ง (0,40.0) เซนตเิ มตร ดงั ภาพท่ี 1.10 ภาพที่ 1.10 สนามไฟฟ้าเนือ่ งจากจดุ ประจสุ องจดุ วิธีทำ หาขนาดสนามไฟฟ้า E1 ซึ่งเกดิ จากประจุบวก q1 ไดจ้ าก E1 = ke q1 r2 E1 = ⎛ 8.99 × 109 Nm ⎞ 8.00 × 10−6 C = 4.50 × 105 N ⎝⎜ C2 ⎠⎟ 0.1502 m2 C เน่อื งจาก มที ศิ ในแนวแกน ดงั นัน้ จึงมสี นามไฟฟา้ เปน็ !\" = (4.50 × 105 ) ˆj N/C E1

และหาขนาดของสนามไฟฟา้ เนือ่ งจากประจุลบ ได้เป็น E2 = ke q2 = ⎛ 8.99 × 109 Nm ⎞ 5.00 × 10−6 C = 1.80 × 105 N/C r2 ⎜⎝ C2 ⎠⎟ 0.1502 m2 แต่เนอื่ งจาก !\" สามารถแยกเป็นสนามไฟฟา้ ย่อยในแนวแกน ไดเ้ ป็น E2 และสนามไฟฟ้ายอ่ ยในแนวแกน ได้เป็น ดังนั้นจะไดส้ นามไฟฟ้า จาก !\" !\" !\" E2 = E2x + E2y = iˆ !\" 2 cosθ − jˆ !\" 2 sinθ E E เมอ่ื คือ มมุ ระหวา่ งแกน กับสนามไฟฟ้า และจากภาพท่ี 1.10 เราจะได้ cosθ = 30 และ sinθ = 40 50 50 ดังนั้นจะได้ !\" = (1.10 × 105 )iˆ − (1.40 × 105 ) ˆj NC E2 และหาสนามไฟฟา้ ลพั ธ์ ไดจ้ าก E !! = E1 +E2 = 4.50 × 105 iˆ + 1.10 × 105 iˆ − 1.40 × 105 jˆ N C = 1.10 × 105 iˆ + 3.10 × 105 ˆj N C ดังน้นั จะได้ขนาดของสนามไฟฟ้าลัพธ์ E = (1.10 ×105 )2 + (3.10 ×105 )2 N C = 3.30 × 105 N C ทศิ ทางของสนามไฟฟา้ ลพั ธ์เม่ือเปรยี บกบั แกน หาไดจ้ าก tanφ = Ey = 3.10 × 105 = 2.80 Ex 1.10 × 105 ดังน้นั จะได้ φ = tan-1(2.80) ≈ 70.5! ตอบ ขนาดของสนามไฟ้า เทา่ กับ 3.30 ×105 นิวตนั ตอ่ คูลอมบ์ ในทศิ 70.5 องศากบั แกน

1.3.2 สนามไฟฟา้ จากประจทุ ่กี ระจายตัวอย่างต่อเนอ่ื ง ! ! ΔEi เราสามารถสนามไฟฟ้า E ทจี่ ดุ P ใดๆ ไดโ้ ดยการหาผลรวมของสนามไฟฟ้าย่อยๆ ที่ เกดิ จากประจยุ ่อยๆ Δqi ซง่ึ ทหี่ ่างออกไปเปน็ ระยะ ri ดงั ภาพที่ 1.11 ไดจ้ ากสนามไฟฟ้า ท่เี กิดจากประจยุ อ่ ย Δq มีค่าเท่ากบั ! ke Δq rˆ เม่ือ r คือระยะทางจาก Δq ถึงจดุ P ΔE = r2 และ rˆ คอื เวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยท่ีมีทิศทางไปยังจุด P ดงั น้นั สนามไฟฟ้า ! ที่เกิดจากประจยุ ่อย E ท้งั หมดทกี่ ระจายตวั อยูภ่ ายในวตั ถจุ งึ หาไดจ้ าก ! = ∑ke Δqi rˆi และเราสมมติให้ประจุ E ri2 i กระจายตัว อย่างต่อเนื่องอยู่ภายในวัตถุดังนั้นสนามไฟฟ้ารวมที่จุด P จึงหาได้จากลิมิต Δqi → 0 ซ่ึงจะได้ ∑ ∫! Δqi rˆi drq2 rˆ (1.6) ri2 E= ke lim = ke Δqi →0 i ภาพท่ี 1.11 สนามไฟฟ้าจากประจทุ ี่กระจายตวั อย่างต่อเนอ่ื ง (Physics 9edition, Serway; 704) ทั้งนเ้ี ราสามารถแบ่งความหนาแน่นและลักษณะของการกระจายตวั ของประจุไฟฟ้าไดเ้ ป็น 3 แบบ คอื 1) ถา้ ประจุ Q กระจายตวั อย่างสม่ำเสมอต่อเน่ืองกันตามความยาว ℓ แลว้ จะเรียกวา่ ความหนาแน่นเชงิ เส้น λ (linear charge density) นน่ั คอื λ = Q ℓ หรือ dq = λdℓ ดังนัน้ λ จงึ มหี น่วยเป็น คลู อมบต์ ่อเมตร (C/m )

2) ถา้ ประจไุ ฟฟา้ Q กระจายตัวอยา่ งสมำ่ เสมอตอ่ เนอ่ื งกันอยบู่ นพื้นผิว A แลว้ จะเรยี กว่า ความหนาแนน่ เชิงพนื้ ผวิ σ (surface charge density) นนั่ คือ σ = Q A ดงั นัน้ σ จึงมหี นว่ ยเปน็ คลู อมบ์ตอ่ ตารางเมตร (C/m2 ) และจะไดว้ ่า dq =σ dA 3) ถา้ ประจุไฟฟา้ Q กระจายตวั อย่างสมำ่ เสมอตอ่ เนอ่ื งกนั อยู่ในปรมิ าตร V แลว้ จะเรยี กว่า ความหนาแนน่ เชงิ ปรมิ าตร ρ (surface charge density) น่นั คอื ρ = Q V ดังนัน้ ρ จงึ มหี น่วยเป็น คลู อมบต์ ่อลูกบาศก์เมตร (C/m3 ) และจะไดว้ ่า dq = ρdV ตัวอย่างที่ 1.8 ถ้าแท่งโลหะยาวอนันต์ภายในมีประจุบวกกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอต่อเนื่องด้วย ความหนาแนน่ เชงิ เส้น λ แลว้ จงหาขนาดและทิศทางของสนามไฟฟ้าทจี่ ุด P ใด ดงั ภาพท่ี 1.12 ภาพท่ี 1.12 สนามไฟฟ้าท่เี กิดจากประจุตอ่ เนื่องในแทง่ โลหะตัวนำยาวอนันต์ วิธีทำ ความเขม้ ของสนามไฟฟ้ายอ่ ย dE เนือ่ งจากประจุย่อย dq หาไดจ้ าก dE = ke dq (A) r2 (B) (C) และจากความหนาแนน่ เชิงเส้น λ = Q ℓ จะได้ dq = λdx (D) และจากภาพที่ 1.12 จะได้ y = rsinθ หรอื r = y = y cscθ sinθ และ −x = r cosθ ซึง่ จะได้ −x = y cosθ หรือ x = − y cotθ sinθ ดังนนั้ จะได้ dx = y csc2 θdθ

เพื่อในงา่ ยตอ่ การอนิ ทเิ กรต เราจงึ ต้องเปลยี่ นระบบพกิ ดั เป็นระบบเชงิ ขัว้ ซ่ึงสามารถทำทำได้โดย การแทน (B) (C) และ (D) ลงใน (A) จะได้ dE = ke yλ csc2 θdθ y2 csc2 θ dE = ke λdθ (E) y เราสามารถหาขนาดของสนามไฟฟา้ รวมของแทง่ โลหะตวั นำยาวอนันต์ โดยการอนิ ทิเกรต (E) แบบจำกัดเขต โดยใชเ้ งื่อนไขขอบเขต 0 ≤ θ ≤ π ซ่งึ จะได้ ∫E = ke π λdθ 0 y จากภาพท่ี 1.12 จะเห็นไดว้ ่าสนามไฟฟ้าแบ่งออกเปน็ สองแนว คอื ! และ ! Ex Ey ซึ่งขนาดของสนามไฟฟา้ ในแนวแกน x หาไดจ้ าก Ex = E cosθ ดังนนั้ จะได้ =∫Ex ke λ π cosθ dθ y 0 = ke λ sinθ π y 0 = ke λ (sin π − sin 0 ) = 0 y ขนาดของสนามไฟฟา้ ในแนวแกน y หาไดจ้ าก Ey = E sinθ ดงั นั้นจะได้ ∫Ey= ke λ π sinθ dθ y 0 = ke λ (− cosθ )π y 0 = − ke λ ( cos π − cos 0 ) y = 2ke λ NC y ตอบ สนามไฟฟ้าในแนวแกน x เทา่ กบั ศนู ย์ และในแนวแกน y เท่ากบั 2ke λ นิวตนั ตอ่ คูลอมบ์ y

ตัวอยา่ งที่ 1.9 แทง่ โลหะตวั นำอันหน่ึงยาว ℓ ภายในมีประจบุ วก Q กระจายตวั อย่างสม่ำเสมอ ดว้ ยความหนาแน่นเชิงเส้น λ ดงั ภาพท่ี 1.13 แล้วจงหาสนามไฟฟา้ ท่จี ุด P ในแนวแกน x ซ่ึงอยู่หา่ ง จากแท่งโลหะตัวนำเป็นระยะ a ภาพท่ี 1.13 สนามไฟฟา้ ในแทง่ โลหะตวั นำยาว ℓ (Physics ,9edition, Serway; 705) วธิ ที ำ จากขนาดของสนามไฟฟ้าย่อย dE เนือ่ งจากประจยุ ่อย dq dE = ke dq r2 และจากความหนาแน่นเชงิ เส้น λ = Q ℓ จะได้ dq = λdx E∫จะได้=keλℓ+a dx = keλ ⎡ − 1 ⎤ℓ+a a x2 ⎣⎢ x ⎥⎦a แทนคา่ λ = Q ℓ จะได้ E = ke Q ⎡ 1 − ℓ 1 ⎤ ℓ ⎢⎣ a +a ⎦⎥ = keQ N a(ℓ + a) C ตอบ สนามไฟฟ้ามีขนาดเท่ากบั keQ นวิ ตันตอ่ คลู อมบ์ a(ℓ + a)

ตัวอย่างท่ี 1.10 ขดตัวนำวงแหวนอันหนงึ่ รัศมี a ภายในมีประจบุ วก Q กระจายตัวอย่างสมำ่ เสมอ แลว้ จงหาสนามไฟฟ้าเนอ่ื งจากวงแหวนที่จุด P ซงึ่ อยู่ห่างจากจดุ ศนู ยกลางและต้ังฉากกบั ระนาบของ วงแหวนเปน็ ระยะ x ดงั ภาพท่ี 1.14 ภาพที่ 1.14 สนามไฟฟ้าเน่อื งจากตัวนำวงกลม (Physics 9edition, Serway; 706) วธิ ีทำ จากขนาดของสนามไฟฟ้าย่อยในแนวแกน x เนอ่ื งจากประจยุ อ่ ย dq dEx = ke dq cosθ = ke dq cosθ r2 a2 + x2 จากภาพที่ 1.14 (ซ้าย) จะได้ cosθ = x = x r a2 + x2 ดังน้นั จะได้ dEx = ke dq ⎡ x⎤ = ke (a2 xdq )32 a2 + x2 ⎣⎢ a2 + x2 ⎥⎦ + x2 ∫Ex = ke x dq (a2 + x2 )32 เน่อื งจากประจสุ ทุ ธิภายในวงแหวนเทา่ กับ Q นัน่ คอื ∫ dq = Q ดงั นั้นจะได้ Ex = ke xQ N C (a2 + x2 3 )2 ตอบ สนามไฟฟา้ มีขนาดเทา่ กบั ke xQ นิวตันตอ่ คูลอมบ์ (a2 + x2 ) 3 2

ตัวอยา่ งท่ี 1.11 แผน่ ตัวนำวงกลมอนั หนงึ่ รัศมี R ภายในมปี ระจบุ วกกระจายตัวอยา่ งสม่ำเสมอด้วย ความหนาแน่นเชิงพ้นื ผวิ σ แลว้ จงหาสนามไฟฟ้าท่จี ุด P ซึง่ อยหู่ า่ งจากจุดศูนยกลางและตง้ั ฉากกบั ระนาบของจานรูปวงกลมเป็นระยะ x ดงั ภาพท่ี 1.15 ภาพท่ี 1.15 สนามไฟฟา้ เนอ่ื งจากแผ่นตวั นำวงกลม (Physics, 9edition, Serway; 707) วิธีทำ หาประจยุ ่อย dq บนพน้ื ทผี่ ิวของวงแหวนรศั มี r กวา้ ง dr ดังภาพที่ 1.15 dq = σ dA = σ (2πrdr) = 2πσ rdr จาก dEx = ke (r2 xdq = ke (r2 x )32 (2πσ rdr ) + x2 )32 + x2 อนิ ทเิ กรตในช่วงขอบเขต 0 ≤ r ≤ R จะได้ ∫Ex R 2r = ke xπσ 0 (r2 + x2 3 dr )2 R )− 3 2 ∫= (r2 x2 d(r2 x2 ke xπσ + + ) 0 ⎡ (r2 + x2 )− 1 ⎤R 2kexπσ ⎢⎡1− x⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎣ R2 + x2 ⎦⎥ ⎢ ⎥ = ke xπσ ⎣⎢ −1 2 ⎦⎥r=0 = ตอบ สนามไฟฟ้ามีขนาดเทา่ กับ 2kexπσ ⎣⎡⎢1− x⎤ นิวตนั ตอ่ คูลอมบ์ R2 + x2 ⎦⎥

1.3.3 เส้นสนามไฟฟา้ และฟลกั ซ์ไฟฟา้ ในหัวข้อนี้เราจะอธิบายเกี่ยวกับสนามไฟฟ้าโดยใช้รูปภาพและเพื่อให้ง่ายในการมองเห็น ภาพรูปแบบของสนามไฟฟา้ นกั ฟสิ ิกส์ชาวอังกฤษ ไมเคลิ ฟาราเดย์ ไดว้ าดเส้นตามทศิ ทางของ เวกเตอร์สนามไฟฟ้าของแต่ละจดุ และเรยี กเสน้ เหล่านว้ี ่า เสน้ แรงไฟฟ้า แตใ่ นปจั จบุ นั เรียกว่า เส้นสนามไฟฟา้ (electric field lines) ซึ่งมคี วามสมั พันธ์กบั สนามไฟฟ้าในปริภูมิเปน็ ดงั นี้ ! 1. เวกเตอรส์ นามไฟฟ้า E ทส่ี ัมผสั กับเส้นสนามไฟฟา้ ในแต่ละจุดจะมีทศิ ทางเดยี วกับแรง ท่ีกระทำบนประจบุ วกท่วี างอยู่ในสนามไฟฟา้ นั้นๆ 2. จำนวนของเส้นต่อหน่วยพื้นที่ผิวที่พุ่งผ่านตั้งฉากกับเส้นทั้งหมดจะแปรผันตามขนาด ของสนามไฟฟา้ ในบรเิ วณนัน้ นัน่ คอื บรเิ วณทมี่ เี ส้นสนามอย่ชู ดิ กันมากจะมีค่าสนามมากกวา่ บริเวณที่มสี นามอยู่ห่างกัน ดงั แสดงในภาพที่ 1.16 เราจะเห็นวา่ เสน้ สนามในบริเวณพ้นื ผวิ A มีความหนาแน่นมากกว่าเส้นสนามในบรเิ วณพน้ื ผิว B ดงั นน้ั ขนาดของสนามไฟฟ้าในพน้ื ผวิ A จงึ มคี า่ มากกว่าพน้ื ผิว B ทัง้ น้ีเน่อื งจากเสน้ สนามในแต่ละจุดมีทศิ ทางท่ีแตกต่างกนั ภาพท่ี 1.16 เสน้ สนามไฟฟ้าทที่ ะลผุ ่านสองพน้ื ผิว (Physics 9edition, Serway; 709) ภาพท่ี 1.17 (ก) แสดงสนามไฟฟา้ เน่ืองจากจดุ ประจบุ วก เราจะเห็นวา่ เส้นสนามไฟฟ้ามีทิศ พุ่งออกจากทรงกลมประจุ ทุกทิศทาง ในแนวรัศมีและตั้งฉากกับพื้นผิวของทรงกลมประจุนั้นๆ แต่เนอื่ งจากในภาพนั้นทำได้แค่สองมติ ิ เราจงึ เหน็ เปน็ เสน้ สนามไฟฟ้าในระนาบ ในขณะทีส่ นามไฟฟา้ เนอ่ื งจากประจลุ บจะมที ิศพ่งุ เขา้ หาประจุลบ ดังภาพที่ 1.17(ข) โดยทีข่ นาดหรือความเขม้ ของสนาม ไฟฟา้ จะเพม่ิ ขึ้นเม่อื เขา้ ใกลบ้ ริเวณผิวของประจุไฟฟา้ กฎในการเขยี นเสน้ สนามโดยทั่วๆ ไป มดี งั น้ี 1. เสน้ จะเร่ิมจากประจุบวกไปส้นิ สดุ ท่ปี ระจุลบ 2. จำนวนเส้นท่อี อกจากประจบุ วกหรอื เสน้ ที่ไปท่ีประจลุ บจะแปรผนั ตรงกบั ขนาดของประจุ 3. เส้นสนามจะไม่ตัดกนั

(ก) (ข) ภาพที่ 1.17 เสน้ สนามไฟฟา้ ก) ประจุบวก และ ข) ประจลุ บ (Physics, 9 edition, Serway ; 709) ภาพท่ี 1.18(ก) แสดงเสน้ สนามไฟฟ้าที่เกิดจากจดุ ประจไฟฟ้าต่างชนดิ (ประจบุ วกและประจุลบ) แต่ ประจุไฟฟ้าท้ังสองขนาดเทา่ กนั ดงั นัน้ จำนวนเส้นสนามไฟฟ้า ทพ่ี งุ่ ออกจากประจุบวกจงึ มเี ท่ากับจำนวน เส้นสนามไฟฟา้ ทพ่ี ุ่งเข้าประจลุ บ นอกจากนจ้ี ะเหน็ ว่าท่ีบริเวณใกลๆ้ กบั แนวรัศมีของประจไุ ฟฟ้าทงั้ สอง จะมเี ส้นสนามไฟฟา้ เปน็ จำนวนมากซง่ึ แสดงให้เหน็ ว่าเป็นบรเิ วณทมี่ ีสนามไฟฟา้ สูง ภาพท่ี 1.18(ข) แสดงให้เหน็ ลักษณะของเส้นสนามไฟฟ้าทเี่ กดิ จากประจบุ วกท่ีมขี นาดเทา่ กนั สองจดุ ประจุ เราจะเหน็ ว่าบริเวณแนวรศั มขี องประจบุ วกทั้งสอง (จุด C) จะไม่มีสนามไฟฟ้า เนื่องจากไม่มปี ระจุ ลบ และที่ระยะห่างอนันต์ เราสามารถหาขนาดของสนามไฟฟ้าได้โดยประมาณว่าประจุบวกทั้งสอง เปน็ จุดประจุมีขนาดเท่ากับ 2q ในขณะท่ีภาพท่ี 1.18(ค) แสดงสนามไฟฟ้าจากประจุไฟฟา้ ทที่ ั้ง ขนาดและชนดิ แตกต่างกัน คือ +2q และ −q ซ่ึงในกรณนี จ้ี ะเหน็ ว่าเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งออกจาก ประจุบวกมีจำนวนเปน็ สองเทา่ ของเสน้ สนามไฟฟ้าทพี่ ่งุ เขา้ ประจุลบ (ก) (ข) (ค) ภาพที่ 1.18 เส้นสนามไฟฟา้ ของ ก) ประจตุ า่ งชนดิ กนั แตท่ ี่มีขนาดเท่ากนั ข) ประจุชนดิ เดยี วกนั และ มขี นาดเทา่ กนั และ ค) ประจตุ ่างชนิดกนั และมีขนาดไมเ่ ท่ากนั (Physics , 9 edition, Serway ,710)

ฟลักซ์ไฟฟา้ (electric flux; ) หมายถึง จำนวนเส้นแรงไฟฟา้ ทพ่ี ุ่งผา่ นตั้งฉากกบั พื้นที่ มหี น่วยเปน็ นิวตนั -เมตร 2 ต่อคลู อมบ ์ (N.m2/C) ภาพที่ 1.19 เส้นแรงไฟฟ้าท่ผี า่ นพื้นท่ี (College Physics, 9 edition, Raymond A. Serway ; 533) พิจารณาสนามไฟฟ้าสมำ่ เสมอท้งั ทิศทางและความเขม้ ผ่านพนื้ ทีห่ นา้ ตดั ขนาด ตารางเมตร ดงั ภาพที่ 1.19 จากนยิ ามฟลักซ์ไฟฟ้าสามารถเขยี นเป็นสมการไดด้ ังนี้ (1.7) !\" !\" ΦE = E ⋅ A = EA cosθ เมอ่ื คือ เวกเตอร์พ้นื ทีซ่ ่ึงมที ศิ ตงั้ ฉากกับระนาบของพ้ืนท่ี ดงั นน้ั ฟลักซ์ไฟฟา้ ΦE จะมคี ่าสูงสุดในกรณีที่เสน้ แรงสนามไฟฟา้ ตัง้ ฉากกับพ้นื ทผ่ี วิ และในที่กรณีสนามไฟฟา้ ไม่คงที่ หรอื มุมระหวา่ งสนามไฟฟา้ กับเวกเตอร์พืน้ ทไ่ี มค่ งท่ี ดงั ภาพท่ี 1.20 เราตอ้ งแบ่งพ้ืนทีผ่ วิ ของวัตถุออก เป็นส่วนยอ่ ยๆ ΔAi แลว้ หาฟลักซข์ องพื้นทย่ี ่อยๆ เหลา่ นั้น แลว้ นำมารวมกนั ดังสมการ !\" !\" ΦE = #∫ E i d A (1.8) ภาพท่ี 1.20 พื้นทผี่ ิวปิดรูปทรงใดๆ ในสนามไฟฟา้ (Physics 9 edition, Serway ; 727)

ตัวอย่างที่ 1.12 จงหาฟลักซ์ไฟฟ้าที่ผ่านผิวปิดทรงกลมรัศมี 1.00 เซนติเมตรซึ่งมีประจุไฟฟ้า +1.00µC ซึ่งอยู่ทจี่ ุดศนู ย์กลางของทรงกลม วธิ ที ำ เนื่องจากสนามไฟฟา้ เป็นคา่ คงตัวและมีทศิ ทางเดียวกบั เวกเตอรพ์ ้ืนทีย่ ่อย ดงั นน้ั จาก ΦE = #∫ !\" i d !\" = EA cosθ เมือ่ A = !∫ dA = 4πr2 ( พ้ืนท่ีผวิ ของทรงกลม) E A ( )และ q ⎝⎛⎜ q ⎠⎟⎞ E = ke r2 จะได้ ΦE = EA cos 0! = ke r2 4π r 2 = ⎛ 8.99 × 109 N-m ⎞ (1.00 × 10−6 C)4π ⎜⎝ C2 ⎠⎟ = 1.13 × 105 N-m C2 ตอบ ฟลักซ์ไฟฟา้ 1.13×105 นวิ ตนั -เมตรต่อคูลอมบ2์ ตัวอยา่ งที่ 1.13 จงหาฟลักซ์ไฟฟ้าทท่ี ะลุผา่ นผวิ ปิดทรงลกู บาศก์ท่ีแตล่ ะดา้ นยาว ℓ ซง่ึ อยใู่ นบริเวณที่มี สนามไฟฟา้ สม่ำเสมอ ดงั ภาพที่ 1.21 ภาพท่ี 1.21 พ้ืนท่ีผวิ ปิดรปู ทรงลกู บาศก์ในสนามไฟฟา้ สม่ำเสมอ (Physics, 9 edition, Serway ,728) วธิ ีทำ หาฟลักซไ์ ฟฟ้าได้จาก ΦE = \"∫ ! ⋅ ! + \"∫ ! ⋅ ! + \"∫ ! ⋅ ! + \"∫ ! ⋅ ! E dA1 E dA2 E dA3 E dA4 12 34 ∫ ∫ ∫ ∫ΦE = E dA1 cos180! + E dA2 co+ E dA3 cos 90! + E dA1 cos 270! = − Eℓ2 + Eℓ2 + 0 + 0 = 0 ตอบ ฟลักซไ์ ฟฟ้าเทา่ กับศนู ย์

1.3.4 กฏของเกาส์ ฟลกั ซ์ไฟฟา้ สุทธผิ ่านพื้นผวิ ปดิ ใดๆมีคา่ เทา่ กับประจสุ ทุ ธิในพื้นผิวนนั้ ๆ qin หารดว้ ย #∫ΦE = !\" i d !\" = qin (1.9) E A ε0 เรยี กพ้ืนผวิ ปิดทฟ่ี ลกั ซ์ไฟฟา้ ที่ผา่ นวา่ ผวิ เกาส์เซียน (Gaussian Surface) ซึ่งเปน็ พื้นผิวสมมติ ไม่จำเป็นต้องเป็นผิวเดียวกับวัตถุใดๆ ผิวของเกาส์สามารถสร้างได้หลายรูปแบบ ดังภาพที่ 1.22 ทง้ั นีเ้ พือ่ ให้งา่ ยในการคำนวณสนามไฟฟ้า เราจำเปน็ ตอ้ งสรา้ งผิวให้ปดิ ลอ้ มรอบๆ ประจุที่สนใจและผา่ นจุดที่ต้องการหาสนามไฟฟา้ โดยใหเ้ วกเตอร์พ้นื ทีท่ ำมุม 0 หรือ 90 องศา กับทิศสนามไฟฟ้า นอกจากนี้แล้วเรายังสามารถนำกฎของเกาส์ไปประยุกต์ใช้ในการคำนวณ สนามไฟฟ้าจากระบบของประจไุ ม่วา่ จะเปน็ รปู ทรงใดๆ กไ็ ด้แตเ่ พือ่ ความสะดวกมักจะนำไปใชก้ บั รปู ทรงเรขาคณติ ที่สมมาตร อาทเิ ชน่ ทรงกลม ทรงกระบอก เป็นต้น ภาพท่ี 1.22 พ้ืนผิวปดิ เกาส์เซยี นทรงกลมรัศมี r รอบประจุบวก q (Physics for Science and Enginering 9 edition, Serway ,728) ตวั อย่างท่ี 1.13 จงใช้กฎของเกาสห์ าสนามไฟฟ้าของทรงกลมที่มปี ระจุสทุ ธภิ าย +q ดงั ภาพท่ี 1.22 วิธที ำ จากกฎของเกาส์ #∫ !\" i d !\" = qin จะได้ \"∫ E dAcos0! = qin E A ε0 ε0 เนื่องจาก E มคี า่ คงตวั ดงั นั้นจะได้ E!∫ dA = q ε0 และจากพน้ื ทผ่ี ิวทรงกลม A = !∫ dA = 4πr2 จะได้ E(4πr2 ) = q ε0 ตอบ E = ke q เม่อื ke = 1 r2 4πε 0

ตวั อยา่ งท่ี 1.14 จงหาฟลักซไ์ ฟฟา้ ท้ังหมดท่ผี า่ นพื้นทปี่ ดิ ทรงกระบอกรศั มี ท่ีวางอยู่ในสนาม ไฟฟา้ ขนาดคงตัวสมำ่ เสมอ E ดังภาพท่ี 1.23 ภาพท่ี 1.23 ผิวเกาสเ์ ซียนทรงกระบอก วธิ ีทำ ฟลกั ซไ์ ฟฟา้ จะผา่ นผวิ ปิด 3 ดา้ น คือ ด้านบน (T) ด้านข้าง (S) และดา้ นลา่ ง (B) จาก ΦE = #∫ !\" i d !\" และสนามไฟฟา้ ! มคี ่าคงตัวสม่ำเสมอ ดงั นนั้ จะได้ E A E ΦE = #∫ !\" i !\" + #∫ !\" i !\" + #∫ !\" i !\" E dA E dA E dA T SB = E!∫ dA cos0o + E!∫ dA cos90o + E!∫ dA cos180o TS B เนอ่ื งจาก พื้นทีผ่ ิวด้านบนและพนื้ ท่ีด้านล่างเป็นพื้นทว่ี งกลม : !∫ dA = !∫ dA = πr2 TB และพืน้ ทีผ่ ิวดา้ นข้าง !∫ dA = 2πr2L S จะได้ ΦE = E(πr2 )cos 0! + E(2πrL)cos 90o + E(πr2 )cos180! = Eπ r2 + 0 − Eπ r2 =0 ฟลกั ซ์ไฟฟา้ ทผี่ า่ นผวิ ปิดทรงกระบอก มคี า่ เทา่ กับ ศนู ย์ (พงุ่ เขา้ ด้านล่างและพงุ่ ออกดา้ นบน)

ตัวอย่างท่ี 1.15 ถ้าทรงกลมรัศมี มปี ระจุ กระจายตัวอย่ภู ายในอยา่ งสมำ่ เสมอ แลว้ จงหาสนามไฟฟา้ ทร่ี ะยะหา่ งจากศูนย์กลาง ดงั ภาพที่ 1.24 เมอื่ (ก) r > a และ (ข) r < a (ก) (ข) ภาพที่ 1.24 ผวิ ปดิ เกาสร์ ปู ทรงกระบอก (ก) r > a และ (ข) r < a (Physics for Science and Enginering 9 edition, Serway ,731) วธิ ีทำ ก) หาสนามไฟฟา้ ภายนอกทรงกลม ( r > a ) ภายในทรงกลมรัศมี จะมีประจุไฟฟา้ สุทธิ qin = Q จากกฎของเกาส์ #∫ !\" i d !\" = qin A E ε0 จะได้ E!∫ dA = Q ε0 และจากพื้นท่ีผวิ ทรงกลม !∫ dA = 4πr2 ดังนน้ั จะไดส้ นามไฟฟ้าภายนอกทรงกลม เป็น E(4πr2 ) = Q ε0 E = Q 4πε 0 r 2 เมอื่ ke = 1 จะได้ E = ke Q 4πε 0 r2

ข) สนามไฟฟา้ ภายในทรงกลม (r < a ) หาประจุสุทธิ qin ภายในทรงกลม เมอ่ื r < a จากปริมาตรทรงกลม 4 π a 3 มปี ระจสุ ุทธิเท่ากบั Q 3 ดงั นนั้ ปริมาตรทรงกลม 4 π r 3 จะมีประจุสุทธิ qin = 4 π r3 Q = r3 Q 3 π a3 a3 3 4 3 จาก #∫ !\" i d !\" = qin จะได้ E(4π r2 ) = (r a)3 Q E A ε0 ε0 ดงั นน้ั สนามไฟฟ้าภายในทรงกลมจึงเปน็ E = Qr 4πε 0 a 3 เมอ่ื ke = 1 จะได้ E = ke Qr 4πε 0 a3 ดังน้นั ความสัมพันธร์ ะหวา่ งขนาดของสนามไฟฟา้ ท่ีเกดิ จากตวั นำทรงกลมรัศมี a กบั ระยะ r ซ่งึ แบ่งออกเป็นสองกรณี คือ 1) (ภายในทรงกลม) สนามไฟฟา้ จะแปรผันตรงกบั ระยะ 2) (นอกทรงกลม) สนามไฟฟา้ จะแปรผกผันกบั r2 ดังแสดงในภาพที่ 1.25 ภาพท่ี 1.25 สนามไฟฟา้ ภายในและนอกทรงกลมรศั มี a (Physics for Science and Engineering, 9 edition, Serway ,732)

ตัวอย่างที่ 1.16 จงหาขนาดของสนามไฟฟ้าที่ระยะ ใดๆ ของตัวลวดนำตรงยาวอนันต์ที่มี ความหนาแน่นเชงิ เส้นของประจุเปน็ คูลอมบต์ ่อเมตร กระจายตัวอยา่ งสม่ำเสมอ ดงั ภาพท่ี 1.26 ภาพท่ี 1.26 ลวดตัวนำตรงยาวอนนั ต์และผวิ เกาสเ์ ซยี นทรงกระบอก วิธีทำ การหาความเข้มหรือขนาดของสนามไฟฟ้าที่ระยะ ใดๆ จากตัวนำตรงยาวอนันต์นั้น เราจะตอ้ งสรา้ งผิวของเกาสใ์ หเ้ ป็นรูปทรงกระบอกท่มี ีความยาว ดังภาพที่ 1.26 ซึง่ จะเห็นไดว้ า่ เราตอ้ งหาสนามไฟฟา้ ทางด้านซา้ ย ด้านขวา และดา้ นขา้ งของผวิ ปิดทรงกระบอก 1). หาสนามไฟฟ้าบรเิ วณด้านซ้ายของทรงกระบอก !\" ! ! ! E \"∫ E i dA1 = E\"∫ dA cos90# = 0 ( dA1 ต้งั ฉากกบั ) LL 2). หาสนามไฟฟ้าบริเวณดา้ นขวาของทรงกระบอก ! !\" ! ! dA3 E \"∫ E i dA3 = \"∫ E dA cos90# = 0 ( ตัง้ ฉากกับ ) RR 3). หาสนามไฟฟา้ บริเวณด้านขา้ งของทรงกระบอก !\" E \"∫ \"∫! i ! = E dA cos 0# = qin ( ! ขนานกบั และ ) dA ε0 dA2 E SS หาจำนวนประจุสทุ ธภิ ายในผวิ ปิดทรงกระบอก จาก λ = dq dL = q L (ความหนาแน่นเชงิ เสน้ λ คอื จำนวนประจตุ ่อความยาว) จะได้ และจากพน้ื ทผี่ ิวดา้ นข้างของทรงกระบอก !∫ dA = 2πrL S ดังนนั้ จะได้ E(2πrL) = λL หรอื E= λ ε0 2π rε0 ตอบ ขนาดของสนามไฟฟ้าเทา่ กับ λ 2πε0r นวิ ตันตอ่ คลู อมบ์