ຄະນິດສາດ ມ5

ĺĦŀ ŌģĪ ŌĵŒļņ īŁŗ ĸŁ f ōĽĵīĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ [a, c] ōĸĿ ĤĮœŅ īĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ [c, b] : y << f c < 0a cb x ŏĮģĸŗ ĿĮĮń ńœ f (c) ŌİŀĮĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ f ĭŒ ńŌįŒ ĦŃ ĺĿŌijŁĿŏĮŌĤĪļļœ ĵōļĵœ ŌĵĪŀ x c . ŌijŒ ŃĮŌļĮńœ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĮĹœń ŁŒ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĭŋįĬŁĮ. īŒ ŗŐİħĿŏĨĥœ Łŗ ĹŁŒ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ōĭĮĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĭŋįĬŁĮ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĥŁŒ ŏĻĩĺŒ ĪŇ ōĸĿ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) x4  2x2 ĹĭŃ ńōģ:œ ŏĻœ f (x) x4  2x2 f '(x) 4x3  4x 4x(x2 1) 4x(x 1)(x  1) ŌĥŒ ļņ ĦţŁĩĤļĦ f c(x)  x xx x  1 01 īŁŗ ĸŁ f ħŁģŌĥŒ ļņ ĦţŁĩĤļĦ f '(x) ŐĪ:œ f (x) x4  2x2 ōĽĵīĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ ]  f, 1] ōĸĹœ ĤĮŅœ īĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ [1, 0] ĺĿōĪĦĹŁŒ f (1) 1 ŌİŀĮĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ; f (x) x4  2x2 ĤĮœŅ īĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ [1, 0] ōĸĹœ ōĽĵīĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ [0,1] ĺĿōĪĦĹŁŒ f (0) 0 ŌİŀĮĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ; f (x) x4  2x2 ōĽĵīĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ [0,1] ōĸĹœ ĤĮœŅ īĿĻŊļĪŏĮĻĹŁŒ Ħ [1, f[ ĺĿōĪĦĹŁŒ f (1) 1 ŌİŀĮĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ . 195

īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ŏĻīœ Łŗ ĸŁ f (x) x3  x2  8x 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ ĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ōĸĿ ĥŁŒ Ţļœ ĩ ĺĪŇ ĤļĦ f (ĬŁœ ĵ)ń . įĪʼn ōģ:œ ħŁģ f (x) x3  x2  8x 1 ŐĪœ f '(x) 3x2  2x  8 À£ˆº¤Ï¾¨¢º¤ f c(x)  x x x 2  4 3 f f (2) fmax f ( 4 ) fmin 3 (ŏĮĮœń fmax , fmin ōĵĮŒ ĺĮŀ ĩĿĸģŀ ĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ōĸĿ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ f īŁĵĸŁŗ Īįŀ ) ħŁģ f (2) (2)3  (2)2  8(2) 1 11 f (4 / 3) (4 / 3)3  (4 / 3)2  8(4 / 3) 1 203 / 27 | 7,52 ŐĪœ 11 ōĵĮŒ ĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ōĸĿ 7,52 ōĵĮŒ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ f ĭŒ ńŏĻĵœ Ł. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ŏĻīœ Łŗ ĸŁ f (x) x3  3x  6,  3 d x d 3. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ōĸĿ 2 ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ f . įĪʼn ōģ.œ f '(x) 3x2  3  x 1  1 f ŐĪœ f (1) 8 ŌİŀĮĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ĭŋįĬŁĮ ōĸĿ f (1) 4 ŌİŀĮĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĭŋįĬŁĮ. ōīĹŒ ŁŒ īļœ ĦŐĪĭœ ŋįĺļĦĥŁŒ Įģœń įŀ ĥŁŒ ĤļĦīŁŗ ĸŁĶĺŒň Įʼnœ ĤļĦĻĹŁŒ ĦģŁŗ ĮĪʼn ĥ:ņ f ( 3 ) 57 7,125 ōĸĿ f (3) 24. 2 8 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , f (1) 4 ōĵĮŒ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ōĸĿ f (3) 24 ōĵĮŒ ĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ĤļĦ f (x) x3  3x  6,  3 d x d 3. 2 196

5. ĥĹŁĵŎĥĦœ ōĸĿ ŌĵĪŀ İŋŒ ĮŎĥĦœ . ĺĦŀ ŌģĪŌįŒ ĦŃ : - İŁķŁŎįĮ y x2 : ŌĻŀĮ y ' 2x 0 x  y y\" 2 ! 0 y ŌĺŀĮœ ŎĥĦœ ĸĦʼn : x 0 - İŁĸŁŎįĮ y x2 : ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ0 x ŌĻŀĮ y ' 2x  y y\" 2  0 y ŌĺŀœĮŎĥĦœ ĤĮœŅ : 0x - ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y x3 : ŌĻŀĮ y ' 3x2 t 0,x  \\ Ÿ y ĤĮœŅ īĿĻŊļĪ. < 0 y y\" 6x 0 x  197

y ŎĥĦœ ĤĮŅœ ,ŎĥĦœ ĸĦʼn ŏĮģĸŗ ĿĮĮń œń (0, 0) ĵĨń Œ Ĺņ ŁŒ ŌĵĪŀ İŋŒ ĮŎĥĦœ ĤļĦ y x3 . ĺĦŀ ŌģĪŌĻŀĮ: - ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁ y f (x) ŎĥĦœ ĤĮŅœ ŏĮĻĹŁŒ ĦĭŒ ń f \"(x)  0. - ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁ y f (x) ŎĥĦœ ĸĦʼn ŏĮĻĹŁŒ ĦĭŒ ń f \"(x) ! 0. - ŏħıĮʼn ĤļĦĺĵʼn ıĮʼn f \"(x) 0 ōĵĮŒ īĹʼn İĿĺŁĮ x ĤļĦŌĵĪŀ İŒŋĮŎĥĦœ . īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĨļģĻĹŁŒ ĦĤĮŅœ , ĻĹŁŒ ĦōĽĵ, ĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ , ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ , ĻĹŁŒ ĦŎĥĦœ ĸĦʼn , ĻĹŁŒ ĦŎĥĦœ ĤĮŅœ , ŌĵĪŀ İŒŋĮŎĥĦœ ōĸĿ ōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) x4  4x3. įĪʼn ōģ.œ f (x) x4  4x3 Ÿ f '(x) 4x3 12x2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 3 x  ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ]  f,3] ōĵĮŒ ĻĹŁŒ ĦōĽĵ, [3, f[ ōĵĮŒ ĻĹŁŒ ĦĤĮŅœ ōĸĿ f (3) 27 ōĵĮŒ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ f (x) x4  4x3. f '(x) 4x3 12x2 Ÿ f \"(x) 12x2  24x 12x(x  2)  x 0 2 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ f (x) x4  4x3 ŎĥĦœ ĸĦʼn ŏĮĻĹŁŒ Ħ ]  f, 0] ‰[2, f[ ōĸĿŎĥĦœ ĤĮœŅ ŏĮĻĹŁŒ Ħ [0, 2] . f (0) 0, f (2) 16 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ŌĵĪŀ (0, 0) ōĸĿ (2, 16) ŌİŀĮŌĵĪŀ İŋŒ ĮŎĥĦœ . ħŁģĤĵŗœ Įň ĤŁœ ĦŌĭŃĦĮńœ ĺŁĵŁĪōīĵœ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦ f (x) x4  4x3 ĪĦŒ ŀ Į:ńœ 198

6. ħĮŇ ĸĿĥĿĮĪŃ ōĸĿ ģŁĮĨļģĥŁŒ ŏģĥœ ŋĦ. f '(x)dx ĹŁŒ ħĮŇ ĸĿĥĿĮĪŃ ĮĩŃ Łĵ. ŏĻœ y f (x) ŌİŀĮīŁŗ ĸŁĭŒ ńĵıń Įʼn īŁŗ ĸŁ. ŌijŒ ŃĮŌļĮńœ dy ĤļĦ y f (x) . īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ŏĻœ y x3  2x2.ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ2 ōĸĿ dx0,1. ģ. ħĦŒ ʼn Ĩļģ dy . Ĥ. ħĦŒ ʼn Ĩļģ dy ŏĮģĸŗ ĿĮń x įĪʼn ōģ.œ ģ. f (x) x3  2x2 Ÿ f '(x) 3x2  4x dy f '(x)dx (3x2  4x)dx. Ĥ. dy (3.22  4.2)(0,1) 2. ™ ħŁģ dy lim 'y dx 'xo0 'x ŐĪœ 'y | dy 'x dx ŌĵŒļņ 'x Ţļœ ĩĻŊŁĩ. ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ŌĵŒļņ ŏĻœ dx 'x ŐĪœ 'y | dy ŌĵŒļņ dx 'x ōĸĿ Ţļœ ĩĻŊŁĩ. ĺĪň Įŏńœ Ĩŏœ ĮģŁĮĥĪŃ ŐĸŒ dy ōĭĮ 'y ŌĮŒļņ ĦħŁģ ģŁĮĥĪŃ ŐĸŒ 'y ĤļĦįŁĦīŁŗ ĸŁĩŁģĻŊŁĩ ĻŊņ ŐĪĥœ ŁŒ ĭŒ ńįŒ ŗĨĪŀ ŌħĮ. ħŁģ 'y f (x  'x)  f (x) ĻŊņ f (x  'x) f (x)  'y ŌĵŒļņ Ľĥňœ ŁŒ ħĦŃ ĤļĦ f (a) ōĸĿ 'x Ţļœ ĩĻŊŁĩĺŁĵŁĪŏĨĺœ Īň īŒ ŗŐİĮœń ŌijŒ ņļĥĪŃ ŐĸĥŒ ŁŒ ŏģĥœ ŋĦĤļĦ f (a  'x) : f (a  'x) | f (a)  dy. 199

īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ŏĨħœ ĮŇ ĸĿĥĿĮĪŃ ŌijŒ ņļĨļģĥŁŒ ŏģĥœ ŋĦĤļĦ 3 65. įĪʼn ōģ.œ ŏĻœ f (x) 3 x. ŌĮŒ ļņ ĦħŁģĽĥňœ ŁŒ ħĦŃ ĤļĦ f (64) 3 64 4 ōĸĿ 1 ŐĪ:œ 3 3x 2  f '(x) 3 65 f (64 1) f (a  'x) | f (a)  dy f (a)  f '(a)dx  3 64  1 2 (1) 4  1 | 4, 021. 33 64 48 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ŌĵŒļņ ŏĨħœ ĮŇ ĸĿĥĿĮĪŃ , ĥŁŒ ŏģĥœ ŋĦĤļĦ 3 65 ōĵĮŒ 4,021. īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ĺĵʼn ĵĪŇ ıĮʼn ģŁĮĹĪŀ ōĭģĸĪŀ ĺĿţńĤļĦŢĹŒ ĩĵĮʼn ŢŒ ŅĦ ōĵĮŒ 21 cm ōĸĿ ĥŁŒ ıŃĪĪŋŒ ĦŏĮģŁĮĹĪŀ ōĭģĮįńœ Œ ŗŌģĮń 0,05 cm. ĬŁĵĹŁŒ ĥŁŒ ıŃĪĪŋŒ ĦĻŊŁĩĺĪŇ ŏĮģŁĮŏĨœ ĥŁŒ ĹĪŀ ōĭģĮŌńœ ijŒ ņļĥĪŃ ŐĸįŒ ŗĸĵŃ ŁĪŢĹŒ ĩĵĮʼn ĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹōĵĮŒ ŌĭŒ ʼnŁŏĪ? ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ įĪʼn ōģ.œ ŏĻœ V įŗĸĵŃ ŁĪŢĹŒ ĩĵĮʼn ĸĪŀ ĺĿţń r. ŐĪœ V 4 S r 3, dV 4S r2dr. 3 ŌĵŒļņ r 21, dr 0, 05 ŐĪœ dV 4S (21)2 (0, 05) | 277 ŌĨŒ ĦŃ ţŁĩĥĹŁĵĹŁŒ ŌĵŒļņ ĥĪŃ ŐĸįŒ ŗĸĵŃ ŁĪŢĹŒ ĩĵĮʼn ĪĦŒ ŀ ģŁŒ Ĺĵĥń ŁŒ ıŃĪĪŋŒ ĦĻŊŁĩĺĪŇ ōĵĮŒ 277 cm3. įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 1. ŌĵŒļņ ĺįň ĸĵʼn ŌĤʼnœŁţŁģįŁĮĭŒ ńŌİŀĮĽįň ŢĹŒ ĩĵĮʼn ĪĹœ ĩįŗĸĵŃ ŁĪ 2 cm3 / s . ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ ļĪŀ īŁŌijŒ ńĵĤĮœŅ ĤļĦĸĪŀ ĺĿţńŌĵŒļņ įŗĵŁĪĤļĦţŁģįŁĮŌĭŒ ʼnŁģįŀ 50cm3 . 2. ļŁŒ ĦŌģįŀ ĮŁŗœ ļĮŀ ŢŒ ŅĦŌİŀĮĽįň ħĹĩ, ŌĨŒ ĦŃ ŌĺŀœĮıŁŒ ĮŏħģŁĦİŁģħĹĩĩŁĹ 10m ōĸĿ ĸĹĦĺĦň 10m. ŌijŒ ŃĮŌİŒ ŀĦĮŁŗœ ŌĤʼnœŁļŁŒ ĦĪĹœ ĩļĪŀ īŁ 4 m3/mn. ĬŁĵĹŁŒ ĸĿĪįŀ ĮŁŗœ ħĿĺĦň ĤĮœŅ ĪĹœ ĩļĪŀ īŁŌĭŒ ʼnŁŏĪĻŊĦŀ ħŁģĸĿĪįŀ ĮŁŗœ ĺĦň 6m. 200

3. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĺĵʼn ıĮʼn ŌĺŀĮœ īĪŃ ōĸĿ ŌĺŀĮœ īĦŀœ ĺŁģ ģįŀ ŌĺŀœĮŎĥĦœ īŒ ŗŐİĮĶńœ ŌŒň ĵĪŀ ĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ 1) y x3  2x2 ŌĵĪŀ (1, 1) 2) y 2x4  6x2  8 ŌĵĪŀ (2,16) 3) y 2x  1 ŌĵĪŀ (1, 4) x 4) x2y2 9 ŌĵĪŀ (1,3) 4. ħĦŒ ʼn Ĩļģĺĵʼn ıĮʼn ŌĺŀĮœ īĪŃ ģįŀ y x3  3x2 1 ōĸĿ ŌĺŀĮœ īĪŃ Įıńœ ŁŒ ĮŌĵĪŀ ŌĥʼnœŁ. 5. ĹijŃ ŁģħŁŗ ĮĹĮŌĺŀœĮīĪŃ ģįŀ y x3  2x2  4x ōĸĿ ŌĺŀĮœ īĪŃ Įıœń ŁŒ ĮŌĵĪŀ (0, k). 6. ħĦŒ ʼn Ĩļģĺĵʼn ıĮʼn ŌĺŀĮœ īĪŃ ĽĹŒ ĵĸĿĻĹŁŒ Ħ y x2 ōĸĿ y x2  3x  2 . 7. ŏĻœ C1 : y x3  x2 12x 1 ōĸĿ C2 : y x3  2x2  a . ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ a ŌijŒ ņļŏĻœ C1 ĵŌń ĵĪŀ īĪŃ ģįŀ C2 . 8. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĻĹŁŒ ĦĤĮŅœ ōĸĿĻĹŁŒ ĦōĽĵĤļĦīŁŗ ĸŁĸĵŇŒ Į:œń ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1) f (x) x2  4x  5 2) f (x) 1 2x  x2 3) f (x) 1 x3  x2  3x  2 4) f (x) x3  3x  2 . 3 9. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĤĪĥŁŒ ĤļĦ k ŌijŒ ņļŏĻīœ Łŗ ĸŁ y 2x3  kx2  kx ĤĮŅœ īĿĻŊļĪ. 10. ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ a,b, c ōĸĿ ĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) x3  ax2  bx  c ŌĵŒļņ īŁŗ ĸŁ Įĵœń ĥń ŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ĻŊņ Ţļœ ĩĺĪŇ ĶŌŒň ĵĪŀ x 2 , x 2 ōĸĿ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦīŁŗ ĸŁĮōńœ ĵĮŒ 3 0. 11. ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ōĸĿ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦīŁŗ ĸŁĸĵŇŒ Į:œń 1. f (x) 1 x3  2x2  5x  3 3 2. f (x) 1 3x  4x2  x3 3. f (x) 2x3  3x2 12x, 2 d x d 4. 4. f (x) x3  3x2  4, 3 d x d 2. 201

12. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĤĪĥŁŒ ĤļĦ k ŌijŒ ņļŏĻĺœ ĵʼn ıĮʼn īŒ ŗŐİĮĵœń ń 3 ŏħıĮʼn ĭŒ ńŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮħĦŃ : 1) 2x3  3x2 12x  k 0 2) x3  2x2  4x  k 0 13. ŏĻĭœ Œ ŗģĵʼn ĸĹĦĺĦň 2x ōĸĿ a ōĵĮŒ ĸĪŀ ĺĿţńĤļĦĭŒ ŗģĵʼn Į.ńœ ĭŒ ŗģĵʼn Įōœń ĮįŏĮŢĹŒ ĩĵĮʼn ĸĪŀ ĺĿţń 2. ģ. ħĦŒ ʼn ĤŋĮ a īŁĵ x. Ĥ. ĤŋĮįŗĸŃĵŁĪĤļĦĭŒ ŗģĵʼn Įīœń Łĵ x. ĥ. ĨļģįŗĸĵŃ ŁĪĻŊŁĩĺĪŇ ĤļĦĭŒ ŗģĵʼn Į.ńœ 14. ŏĻĭœ Œ ŗģĵʼn ŢŒ ŅĦōĮįŏĮħĹĩĭŋŒ ĦĭŒ ńĸĹĦĺĦň ŌĭŒ ʼnŁģįŀ 12 ōĸĿ ĸĪŀ ĺĿţńĤļĦijœņĮŌĭŒ ʼnŁģįŀ 6. ħĦŒ ʼn ĨļģįŗĸĵŃ ŁĪĻŊŁĩĺĪŇ ĤļĦĭŒ ŗģĵʼn Į.ńœ 15. ħĦŒ ʼn ĨļģĻĹŁŒ ĦĤĮŅœ , ĻĹŁŒ ĦōĽĵ, ĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ , ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ , ĻĹŁŒ ĦŎĥĦœ ĸĦʼn , ĻĹŁŒ Ħ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŎĥĦœ ĤĮœŅ , ŌĵĪŀ İŋŒ ĮŎĥĦœ ōĸĿ ōīĵœ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁĸĵŇŒ Į:œń 1) f (x) x3  x. 2) f (x) x4  6x2. 3) f (x) x4  3x3  3x2  x. 4) f (x) 3x5  5x3  3. 16. ħĦŒ ʼn ĨļģħĮŇ ĸĿĥĿĮĪŃ ĤļĦīŁŗ ĸŁĸĵŇŒ Į:œń 1) f (x) x5. 2) f (x) 4 x. 3) f (x) x  2 . 2x 3 17. ħĦŒ ʼn ŏĨħœ ĮŇ ĸĿĥĿĮĪŃ ŌijŒ ņļĥĪŃ ŐĸĥŒ ŁŒ ĤļĦĺŁŗ ĮĹĮĸĵŇŒ Į:ńœ 1) 36,1 2) 3 1, 02  4 1, 02 3) 1,976 4) 1 10,1 18. ĺĵʼn ĵĪŇ ıĮʼn ģŁĮĹĪŀ ōĭģĸĪŀ ĺĿţńĤļĦōıĮŒ ĵĮʼn ŢŒ ŅĦ ōĵĮŒ 24 cm ōĸĿ ĥŁŒ ıŃĪĪŋŒ ĦŏĮģŁĮ ĹĪŀ ōĭģĮįœń Œ ŗŌģĮń 0,2 cm. ĬŁĵĹŁŒ ĥŁŒ ıŃĪĪŋŒ ĦĻŊŁĩĺĪŇ ŏĮģŁĮŏĨĥœ ŁŒ ĹĪŀ ōĭģĮŌńœ ijŒ ņļĥĪŃ ŐĸŒ ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦōıĮŒ ĵĮʼn ĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹōĵĮŒ ŌĭŒ ʼnŁŏĪ? 202

ijŁģĭń VIII ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁ ōĸĿ ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ įĪʼn ĭń 19 ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ įŒ ŗĵĤń ļį 1. ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁ ŏĮįĪʼn ĽŋĮıŁŒ ĮĵŁĮģŀ ĽŋĮŐĪĽœ ŋĮĽģňœ ŁĮĨļģĻŁıĮʼn īŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁīŁŒ Ħő. ōīĹŒ ŁŒ ģŁĮōģœ ĻŊŁĩőįĮŀ ĻŁĭŁĦĪŁœ ĮĥĿĮĪŃ ĺŁĪ ōĸĿ ģŁĮĮŁŗ ŏĨĤœ ļĦĵĮŀ īļœ ĦĽħňœ ģŀ ōģįœ Įŀ ĻŁİńœĮĥĮņ ģįŀ įĮŀ ĻŁ ĤŁœ ĦŌĭŃĦĮĥńœ įņ Įŀ ĻŁĨļģĻŁīŁŗ ĸŁ ŌĵŒļņ Ľıňœ Įʼn īŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁĮĮŀœ ő. ŌijŒ ŃĮŌļĮńœ įĮŀ ĻŁĮĹœń ŁŒ ģŁĮĨļģ ĻŁŌĥʼnœŁĤļĦīŁŗ ĸŁ. ĮĩŃ Łĵ 1. ŌijŒ ŃĮŌĹʼnœŁĹŁŒ īŁŗ ĸŁ F (x) ōĵĮŒ ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) ŏĮĻĹŁŒ Ħ I ĬŁœ ĹŁŒ F '(x) f (x). ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) 1 x2 ōĵĮŒ F ( x) 1 x3 ŏĮĻĹŁŒ Ħ I \\ 2 6 ŌijŁĿĹŁŒ F '(x) § 1 x3 ·' 1 x2 . ¨© 6 ¹¸ 2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) 5x3  3x2 1 ōĵĮŒ F ( x) 5 x4  x3  x ŏĮĻĹŁŒ Ħ I \\ ŌijŁĿĹŁŒ 4 F '(x) § 5 x4  x3  x ·' 5x3  3x2 1. ¨© 4 ¸¹ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) 3 x ōĵĮŒ F (x) x x ŏĮĻĹŁŒ Ħ 2 I [ 0;f[ ŌijŁĿĹŁŒ F '(x) (x x)' 3 x ōĸĿ x t 0 . 2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 4. ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) 43 x ōĵĮŒ F (x) x 3 x ŏĮĻĹŁŒ Ħ I \\ 3 ŌijŁĿĹŁŒ F '(x) (x3 x)' 43 x. 3 203

ĻŊģŀ ŌģĮ 1: ŏĻœ F (x) ŌİŀĮŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) ŏĮĻĹŁŒ Ħ I ħĿŐĪœ F (x)  C ģōŗ ĵĮŒ ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) ŏĮĻĹŁŒ Ħ I ŌĨŒ ĦŃ C ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĥĦʼn ĥŁŒ ŏĪŢŒ ŅĦ. īĹʼn ĶŁŒ Ħ. īŁŗ ĸŁ 1 x4; 1 x4  5 ōĸĿ 1 x4 10 ĸĹœ ĮōīōŒ ĵĮŒ ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) x3. 44 4 ĺĦŀ ŌģĪŌĻŀĮĹŁŒ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦįĮŀ ĪŁŌĥʼnœŁĤļĦ f (x) x3 ĸĹœ ĮōĵĮŒ ŌĺŀĮœ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮĩŁœ ĩ ĤĿŢŁĮŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦ y 1 x4 ŐİīŁĵōģĮ y. 4 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ģŁĮōģįœ Įŀ ĻŁĨļģĻŁ F (x) ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦ f (x) ĭŒ ńŌİĮŀ īŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒļņ Ħ ŏĮĻĹŁŒ Ħ I ijŁĩŏīŌœ ĦŒļņ ĮŐĤ F (x0 ) y0 ōĵĮŒ ģŁĮĨļģĻŁŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦ f (x) ĭŒ ńŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦĵĮŀ ıŁŒ ĮŌĵĪŀ (x0, y0 ). įĮŀ ĻŁĮĵńœ Ĩń Œ Ĺņ ŁŒ įĮŀ ĻŁĤļĦ ĭŁŒ Į ŎģĨ,ń ŌĨŒ ĦŃ ŌijŒ ŃĮŐĪijœ ŃĺĪň ōĸĿ ĵįń Įŀ ĪŁĮģŀ ĥĿĮĪŃ ĺŁĪijĿĩŁĩŁĵijŃĺĪň ĪĹœ ĩĹĭŃ ńĭŒ ńōīģīŁŒ ĦģĮŀ . ōīĹŒ ŁŒ ıĮʼn ĤļĦģŁĮijŃĺĪň ĭĦŀ ĻŊŁĩĮĮŀœ ĸĹœ ĮōīĶŒ ņĮĶĮŀ ĹŁŒ įĮŀ ĻŁĮĵœń ijń ŋĦōīĥŒ Łŗ īļį ĻŊņ ŏħıĮʼn ĪŋĹŌĭŒ ʼnŁĮĮŀœ . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ĻŊģŀ ŌģĮ 2: ŏĻœ f (x) ŌİŀĮīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦŏĮĻĹŁŒ Ħ I , ŏĻœ x0 ōĸĿ y0 ĭŒ ńŌİŀĮ ħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ħĿĵŌń ĥʼnœŁīŁŗ ĸŁ F (x) ijŋĦļĮŀ ĪŋĹĤļĦ f (x) ĶŏŒň Į I ŎĪĩĹŁŒ F (x0 ) y0 . īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁ F (x) ĤļĦ f (x) x2  2x  3 ĶŏŒň Į I \\ ŎĪĩĹŁŒ F (x0 ) y0; x0 1 ōĸĿ y0 0 . įĪʼn ōģ:œ ĬŁœ F (x) ōĵĮŒ ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) ĶŏŒň Į I ħĿŐĪœ F (x) x3  x2  3x  C 3 ĺŁŗ ĸįŀ x0 1 ōĸĿ y0 0 ħĿŐĪœ F (1) 13 12  3(1)  C 0 3 C  13 3 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ F (x) x3  x2  3x  13 33 204

2. ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ įŒ ŗĵĤń ļį ĮĩŃ Łĵ 2: ŌĵŒļņ F (x) ōĵĮŒ ŌĥʼnœŁĤļĦīŁŗ ĸŁŢŒ ŅĦĤļĦ f (x) , ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ įŒ ŗĵĤń ļį ĻŊņ ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) ōĸĿ ĺĮŀ ĩĿĸģŀ ĪĹœ ĩ ³ f (x)dx ōĵĮŒ ģĵŇŒ ŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĭĦŀ ţĪʼn ĤļĦ f (x) ĻŊņ ³ f (x)dx F (x)  C. ŌĨŒ ĦŃ C ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĥĦʼn ĥŁŒ ŏĪő. īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ģ. ³ x6dx x7  C Ĥ. ĥ. 7 ³ x2dx  1  C x ³3 2 5  C x 2 dx 5 x2 ĺĪň īŒ ŗŐİĮōńœ ĵĮŒ ĺĪň ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ijœņĮĬŁĮ ŏĻœ k ōĸĿ C ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĥĦʼn ĥŁŒ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ³ kdx kx  C (n z -1) ³ xndx xn1  C n 1 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ģ. ³ 5dx 5x  C Ĥ. ĥ. ³  3dx  3 xC Ħ. 2 2 ĺ. ³ x3dx x4  C 4 5 5 1 8 x 3 3 ³ x3dx 5  C x3  C  8 1 3 2  2 1 1 x3 ³ x 3dx 2  C 3x3  C . 3 1 205

ĺĪň īŒ ŗŐİĮōœń ĵĮŒ ĥĮŇ ĸģŀ ĺĿĮĿĤļĦĺĦŀ ĥĿĮĪŃ įŒ ŗĵĤń ļį: ŏĻœ k ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĥĦʼn ĥŁŒ ³ kf (x)dx k ³ f (x)dx ³[ f (x)  g(x)]dx ³ f (x)dx  ³ g(x)dx. 4 x 2 dx 4 x2dx § x 21 · 4 x3  C ³ ³īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ģ. 4 ¨ 2 ¸  C 3 © 1 ¹ ³ ³ ³Ĥ. (x3  x4 )dx x3dx  x4dx x4  x5  C 45 ĥ. ³§ x2  1  3 x  2¸·¹dx ³ x2dx  ³ 1 dx  3³ xdx  2³ dx ©¨ x5 x5 ³ ³ ³ ³x2dx  x5dx  3 x1/2dx  2 dx ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ x 2 1 x51 x1 1 2  3  2x C 2 1 5 1 1 1 2 x3  1  2x3/2  2x  C. 3 4x4 t 2  2t 4 (t2  2)dt  1  2t  C. t4 t ³ ³Ħ. dt ħŁģĮĩŃ ŁĵŌĥʼnœŁĤļĦīŁŗ ĸŁ ŐĪĺœ Īň īŒ ŗŐİĮńœ f (x) ³ f '(x)dx . īĹʼn ĶŁŒ Ħ 4. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁīŁŗ ĸŁ f (x) ŌĵŒļņ ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻīœ Łŗ ĸŁ f '(x) : ³ ³ģ. ĬŁœ f '(x) x10 ħĿŐĪœ f (x) x10dx x11  C f '(x)dx 11 5 ³ ³2 2 x3 C 3 5  5 Ĥ. ĬŁœ f '(x) x3 ħĿŐĪœ f (x) x3 dx x3 f '(x)dx 5 C 3 4 1 ³ ³f (x) 1 x5 C 5 4  f '(x)dx 4 C ĥ. ĬŁœ f '(x) x 5 ħĿŐĪœ x 5dx 4 x5 5 206

īĹʼn ĶŁŒ Ħ 5. ŏĻœ f '(x) x3  4x2  6 . ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ f (x) ŌĵŒļņ ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ f (1) 5 įĪʼn ōģ:œ ħŁģ f '(x) x3  4x2  6 ŐĪ:œ f (x) ³ f '(x)dx ³ (x3  4x2  6)dx f (x) x4  4x3  6x  C 43 ħŁģ f (1) 5 ŐĪœ 5 1 46C ŸC 113 43 12 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ f (x) x4  4x3  6x  113 43 12 įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĭģŇ őŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁĸĵŇŒ Į:œń 3x2 1 Ĥ. f (x) (x  2)(x2  2x  3) ŏĮ \\ ģ. f (x) ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ1x2ŏĮ \\ ĥ. f (x) x ŏĮĻĹŁŒ Ħ ]0;f[ Ħ. f (x) 2 (x x  2) ŏĮĻĹŁŒ Ħ ]0; f[ 3 2. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁĤļĦīŁŗ ĸŁĸĵŇŒ Įŏœń ĮĻĹŁŒ Ħ I ŎĪĩĹŁŒ F (x0 ) y0 ģ. f (x) 1 x  x2  x3; I \\; x0 1; y0 0 Ĥ. f (x) x  1  1 ;I ]0; f[; x0 1; y0 1 x2 x 3. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸĺŒ Ħŀ ĥĿĮĪŃ ĸĵŇŒ Į:œń ģ. ³ 7dx Ĥ. ³ x6dx ĥ. ³ 8x3dx Ħ. ³ (2x 1)dx ħ. ³ (3x  2x  5)dx ³ĺ. (s4  8s5 )ds ³Ĩ. 6x1/2dx ³ĩ. 8x3dx Ī. ³ du u ī. ³ dx Ĭ. ³ du ³ĭ. § 3t 2  2 ¸·¹dt 4x3 2u5 ¨© t2 ³Į. §¨©10x4  8  2·¸¹dx į. ³ § 3 x 2 ¸¹·dx ³İ. § 3 x2  4 ¹¸·dx x5 ¨© x ©¨ x3 ³ı. 2 x4  xdx x3 207

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ4. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ f (x) ŌĵŒļņ ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ ģ. f '(x) 200x4 Ĥ. f '(x) 24  6x ĥ. f '(x) 2x5  3x2 1 Ħ. f '(x) 5x2  2x1/2 1 ħ. f '(x) 2x  3 ōĸĿ f (0) 5 ĺ. f '(x) 6x2  4x ōĸĿ f (0) 3000 Ĩ. f '(x) 20 ōĸĿ f (1) 40 x ĩ. f \"(x) 2x 1 ōĸĿ f '(1) 4, f (0) 5 5. ŏĻœ f (x  y) f (x)  f ( y), f '(0) 2. ħĦŒ ʼn Ĩļģ f (0), f '(x) ōĸĿ f (x). 6. ŏĻœ f (x  y) f (x)  f ( y)  3xy(x  y)  2, f '(0) 1. ħĦŒ ʼn Ĩļģ f (0), f '(x) ōĸĿ f (x). 208

įĪʼn ĭń 20 ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ĵĤń ļį 1. ĮĩŃ Łĵ. ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ f (x) ŌİŀĮīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒļņ ĦŏĮĻĹŁŒ ĦİŃĪ [a,b] ōĸĿ F (x) ŌİŀĮŌĥʼnœŁīŁŗ ĸŁ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) . ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ĵĤń ļįĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) ŏĮĻĹŁŒ Ħ x a ŌĬĦŃ x b b ³ĺĮŀ ĩĿĸģŀ ĪĹœ ĩ f (x)dx ōĵĮŒ F(x) b F (b)  F (a) . a a b ³ f (x)dx F (x) b F (b)  F (a). a a b a ŌļĮńœ ĹŁŒ ĤļįĸĵŇŒ ōĸĿ b ŌļĮńœ ĹŁŒ ĤļįŌĭŃĦĤļĦ ³ f (x)dx . a ³īĹʼn ĶŁŒ Ħ: 1)1 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ§x2· 1 F (1)  F (0) 5 ¨ 3x 2 ¸ 0 2 (3  x)dx © ¹ 0 22 ³2) (3x2  2x)dx (x3  x2 ) F (2)  F (1) 6 1 1 22 ³3) (2x 1)dx (x2  x) [22  2] [(2)2  (2)] 2  6 4 2 2 ³4) 2 § x3  2x2 · 2 ª 23  2(22 ) º  ª (1)3  2(1)2 º ¨ 3 ¸ 1 « » « » (x2  4x)dx © ¹ ¬ 3 ¼ ¬ 3 ¼ 1  16  7 3 . 33 x  1 1 f (t)dt ŌijŒ ņļĨļģ f (x). 20 ³5) ōģĺœ ĵʼn ıĮʼn f (x) f (x) x  1 K, 2 K 1 1 § t  1 K · dt 11KŸK 1. ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , f (x) x1 . ¨© 2 ¸¹ 22 ³ f (t)dt ³ 2 0 0 209

2. ĥĮŇ ĸģŀ ĺĿĮĿĤļĦĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ĵĤń ļį a 1. ³ f (x)dx 0 a īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ³5 x2 5 § 52 ·  § 52 · 0. xdx 2 ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹ 5 5 ba 2. ³ f (x)dx  ³ f (x)dx ab ³1 § x3  3x2  1 ¨ 3 2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ģ. (x2  3x  4)dx © · 4x¸ 3 ¹ 3 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ § 1  3  4 ·  §  27  27  12 · ©¨ 3 2 ¹¸ ¨© 3 2 ¹¸ §  13 ·  § 99 ·  112  56 ©¨ 6 ¹¸ ¨© 6 ¹¸ 6 3 ³3 § x3  3x2  3 ¨ 3 2 Ĥ. (x2  3x  4)dx © · 4x¸ 1 ¹1 §  27  27  12 ·  § 1  3  4 · ¨© 3 2 ¸¹ ©¨ 3 2 ¹¸ § 99 ·  §  13 · 112 56 ¨© 6 ¸¹ ¨© 6 ¹¸ 6 3 ħŁģ (ģ) ōĸĿ (Ĥ) ŌĻŀĮĹŁŒ 3 1  ³ (x2  3x  4)dx 1 ³ (x2  3x  4)dx 3 bc b 3. ³ f (x)dx ³ f (x)dx  ³ f (x)dx ŌĵŒļņ c [a,b] aa c īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĺĿōĪĦŏĻŌœ ĻŀĮĹŁŒ 2 02 ³ (3x2  2)dx ³ (3x2  2)dx  ³ (3x2  2)dx 2 2 0 210

2 (x3  2x) 2 2 įĪʼn ōģ:œ ³ (3x2  2)dx 2 [23  2(2)]  [(2)3  2(2)] (8  4)  (8  4) 8 (1) 02 ³ ³(3x2  2)dx  (3x2  2)dx (x3  2x) 0  (x3  2x) 2 2 0 2 0 44 8 (2) 2 02 ŌĻŀĮĹŁŒ ³ (3x2  2)dx ³ (3x2  2)dx  ³ (3x2  2)dx 8 2 2 0 2 y C : y x2  4x īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸŒ ³ x2  4x dx . 1 įĪʼn ōģ.œ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 10 2 4 x 20 2 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ³ x2  4x dx ³ (x2  4x)dx  ³ (x2  4x)dx 1 1 0 x3  2x2 0 §  x3  2x2 · 2 3  ¨ 3 ¸ 0 © ¹ 1  §  1  2 ·  8  8 23 . ¨© 3 ¸¹ 3 3 bb 4. ³ kf (x)dx k ³ f (x)dx ŌĵŒļņ k ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĥĦʼn ĥŁŒ aa īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĺĿōĪĦŏĻŌœ ĻŀĮĹŁŒ 55 ³ 3x2dx 3³ x2dx 22 5 (x3) 5 2 ³įĪʼn ōģ:œ 3x2dx 53  23 117 (1) 2 211

5 § x3 · 5 53  23 117 (2) ¨ ¸ 33 3 ³ x2dx © 3 ¹2 5 117 2 5 3 3³ x2dx ŌĻŀĮĹŁŒ ³ 3x2dx 2 2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ. b įĪʼn ōģ:œ 5. ³ kdx k(b  a) ŌĵŒļņ k ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĥĦʼn ĥŁŒ a 6 ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸŒ ³ 4dx 1 6 ³ 4dx 4(6 1) 5 1 b bb 6. ³[ f (x) r g(x)]dx ³ f (x)dx r³ g(x)dx a aa ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĺĿōĪĦĹŁŒ 3 33 3 ³ (3x2  2x)dx ³ 3x2dx  ³ 2xdx įĪʼn ōģ:œ ³ (3x2  2x)dx 0 00 0 (x3  x2) 3 0 (33  32 )  (03  02 ) 36 (1) 3 2 3 ³ 3x2dx (x3 ) 3 33  03 27 0 36 0 3 ³ 2xdx (x2 ) 3 32  02 9 0 0 3 33 ŌĻŀĮĹŁŒ ³ (3x2  2x)dx ³ 3x2dx  ³ 2xdx 0 00 dx f (t)dt f (x). ³7. dx a īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn Ĩļģ f (x) ōĸĿ ĥŁŒ ĤļĦ a ħŁģĺĵʼn ıĮʼn x ³ f (t)dt x2  x  6, a ! 0. a 212

įĪʼn ōģ.œ ŌĵŒļņ ŏĺıŒ Įʼn īŁŗ ĸŁ ŐĪœ f (x) 2x 1. ŌĵŒļŅņ ōĭĮĥŁŒ ĤļĦ x a ŏĺĺŒ ĵʼn ıĮʼn ĭŒ ńŏĻĵœ Ł ŐĪ:œ a ³ f (t)dt a2  a  6 a 0 a2  a  6 a 3, a 2 a ! 0 Ÿ a 2. ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , f (x) 2x 1, a 2. įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 1. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸĺŒ Ħŀ ĥĿĮĪŃ ĵĤń ļįōīĸŒ ĿĤŗīœ Œ ŗŐİĮœń 43 1 1) ³ 3dx 2) ³ 3xdx 3) ³ x2dx 11 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1 5 2 3 4) ³ (7  x)dx 5) ³ (6x2 1)dx 6) ³ (3x2  x  2)dx 1 1 1 ³7) 9 1 xdx 2 ³9)5 2 dx 2 7x2 02 8) ³ 6(x  x )dx 1 4 x3  x2 1 dx 2 § 1 · 3 1 x2 1 ©¨ ¸¹ ³10) ³11) 3 x  2 x dx 12) ³ x x 1 dx 0 3 3 13) ³ x2  4 dx 14) ³ x2  2x dx 00 2. ħĦŒ ʼn ĺĿōĪĦĹŁŒ 6 36 1) ³ (x2  7)dx ³ (x2  7)dx  ³ (x2  7)dx 1 13 2 0 2) ³ (8  3x)dx 2 10 3) ³ 5dx 50 0 22 4) ³ 7(8  3x)dx 7³ (8  3x)dx 0 22 213

77 5) ³ 3x3dx 3³ x3dx 00 4³ ³6)1 dx 3 1 dx 3 x2 x2  4 2 22 2 7) ³ (9  7x  x2 )dx ³ 9dx  ³ 7xdx  ³ x2dx 1 1 1 1  4 4 4 8) ³ x  x dx ³ xdx ³ xdx 0 00 3 43 9) ³ xdx ³ xdx  ³ xdx 1 14 2 1 10) ³ (x 1)2 dx  ³ (x 1)2 dx . 1 2 3. ħĦŒ ʼn ōģĺœ ĵʼn ıĮʼn ŌijŒ ņļĨļģ f (x) ōĸĿ ĥŁŒ ĤļĦ a : ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1 1) f (x) x  2³ f (t)dt 0 1 2) f (x) x  ³ tf (t)dt 0 1 3) f (x) 2x2  x³ f (t)dt 0 x ³4) f (t)dt x3  2x2  x  4 . a ^ `x 4. ŏĻœ f (x) min x3 1,3  x , F (x) ³ f (t)dt. ħĦŒ ʼn ōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y f (x) 1 ōĸĿ ĨļģĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ōĸĿ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ F (x). 2 5. ŏĻœ I (a) a  3³ x x  a dx . ħĦŒ ʼn Ĩļģ I (a) , ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ I (a) ōĸĿ ĥŁŒ 0 ĤļĦ a ĭŒ ńŌĽŀĪŏĻœ I (a) ĵĥń ŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ . 214

įĪʼn ĭń 21 ģŁĮĮŁŗ ŏĨĺœ Ħŀ ĥĿĮĪŃ 1. ģŁĮĥĪŃ ŐĸŌŒ Įļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮĺĿōĪĦ ŏĮĻĹʼn Ĥīŗœ Œ ŗŐİĮħœń ĿĺĿōĪĦŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮŐĪŌœ ĻŀĮŌĬĦŃ ĥĹŁĵĺŁŗ ijĮŀ ĸĿĻĹŁŒ Ħ ŌĮļœņ ĭŒ ńģļœ Ħ ŌĺŀĮœ ŎĥĦœ ģįŀ ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ĵĤń ļį. ĺĦŀ ŌģĪŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĶĸŒň ĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮĺĿōĪĦ f (x) x ģįŀ ōģĮ x , ŌĨŒ ĦŃ x >0, 4@ ĪĦŒ ŀ Ľįň ĸĵŇŒ Įœń y f x x 4 (4, 4) 2 0 24x ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŌĮŒ ļņ ĦħŁģŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦĽįň ĺŁĵōħĺŁģ 1 u ijņœĮ u ĸĹĦĺĦň 2 1 u4u4 8 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļņœ ĭŒ ń 2 ļģń ĪŁœ ĮŢŒ ŅĦ, ³ ³4 4 x2 4 42  0 8 f (x)dx xdx 22 0 0 0 ĺĦŀ ŌģĪŌĻŀĮŐĪŌœ Įļņœ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ f (x) x ōĸĿ ōģĮ 44 x , ŌĨŒ ĦŃ x >0, 4@ ŌĭŒ ʼnŁģįŀ ³ f (x)dx ³ xdx . 00 b ŎĪĩĭŒĹʼn őŐİōĸĹœ , ŌĵŒļņ f (x) t 0, x >a,b@ ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ĵĤń ļį ³ f (x)dx ŌĭŒ ʼnŁģįŀ a ŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĶĸŒň ĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮŎĥĦœ f (x) ōĸĿ ōģĮ x , ŌĨŒ ĦŃ x >a,b@ 215

y b y f (x) bx A ³ f  xdx a 0a īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀœĮŎĥĦœ y 6x  x2 , ōģĮ x ŌĨŒ ĦŃ 1 d x d 4. įĪʼn ōģ:œ ōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y 6x  x2 ōĸĿ ŏĻœ A ŌİŀĮŌĮļœņ ĭŒ ńĭŒ ńīļœ ĦģŁĮĨļģĻŁ y ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ y 6x  x2 0 12 34 5 6 x ħŁģĽįň ŏĮĻĹŁŒ ĦīĦŀœ ōīŒ x 1 ŌĬĦŃ x 4 ħĿŌĻŀĮ f (x) ! 0 ĮĮŀœ ĥŌņ ĺŀĮœ ŎĥĦœ f (x) ĶŌŒň ĭŃĦōģĮ x . ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĽʼnŁĺŁĵŁĪĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńŐĪĪœ ĦŒ ŀ Įœń 4 4 § 2 x3 · 4 ¨ 3 ¸ 1 f (x)dx (6x  x2 )dx © ¹ 1 1 ³ ³A 3x  § 3(4)2  (4)3 ·  § 3(1)2  (1)3 · 24 ¨ 3 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹ © ¹ ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĮļņœ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŌĭŒ ʼnŁģįŀ 24 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļœņ ĭŒ ń. 216

īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀĮœ ŎĥĦœ f (x) x2 1 , ōģĮ x, ŌĨŒ ĦŃ 1 d x d 2. įĪʼn ōģ:œ ōīĵœ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦ f (x) x2 1 ōĸĿ ŏĻœ A ŌİŀĮŌĮļņœ ĭŒ ń ĭŒ ńīļœ ĦģŁĮĨļģĻŁ. y f (x) x2 1 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ A 2 x 1 0 ħŁģĽįň ŏĮĻĹŁŒ ĦīĦŀœ ōīŒ x 1 ŌĬĦŃ x 2 ŌĻŀĮ f (x) ! 0 ĮĮŀœ ĥŌņ ĺŀĮœ ŎĥĦœ f (x) ĶŌŒň ĭŃĦōģĮ x . ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĽʼnŁĺŁĵŁĪĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńŐĪĪœ ĦŒ ŀ Įœń 2 2 § x3 · 2 ¨ 3 x¸ 1 f (x)dx (x2 1)dx © ¹ 1 1 ³ ³A  § 23  2 ·  § (1)3  (1) · 18 6 ¨ 3 ¸ ¨ 3 ¸ 3 © ¹ © ¹ ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĮļņœ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŌĭŒ ʼnŁģįŀ 6 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļņœ ĭŒ ń. īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ A ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀœĮŎĥĦœ y 9  x2 ōĸĿōģĮ x. įĪʼn ōģ:œ ħŁģŌĺŀœĮĺĿōĪĦ, ŌĺŀœĮŎĥĦœ y 9  x2 īĪŀ ōģĮ x ĶŌŒň ĵĪŀ x r3 : 9  x2 0 Ÿ x 3; 3 217

y 3 0 3x y 9  x2 ōĸĿ y 9  x2 t 0, x >3,3@. ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ : ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 3 3 § x3 · 3 ¨ 3 ¸ 3 f (x)dx (9  x2 )dx © ¹ 3 3 ³ ³A 9x  § 27  33 ·  § 9(3)  (3)3 · 36 ¨ 3 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹ © ¹ ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĮļņœ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŌĭŒ ʼnŁģįŀ 36 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļņœ ĭŒ ń. ĺĦŀ ŌģĪ 3  §  1 · (3  3)3 36. ©¨ 6 ¹¸ 3  ³ (x  3)(x  3)dx 3 A ³ (9  x2 )dx 3 ŎĪĩĭŒĹʼn Őİ, ³E  1 (E  D)3. (x  D)(x  E)dx D6 ŏĮģĸŗ ĿĮń ĭŒ ńŌĽʼnŁīļœ ĦģŁĮĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦĺĮŀœ ŎĥĦœ y f (x) ģįŀ ōģĮ x , a d x d b ŎĪĩĹŁŒ ŌĺŀœĮŎĥĦœ ĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹĶĸŒň ĵŇŒ ōģĮ x : 218

y b x a 0 y f x Ľįň 1 ĬŁœ ŌĽʼnŁijįŀ Ľįň ĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŏĻŐœ İĶŌŒň ĭŃĦōģĮ x ōĸĿ ŏĨōœ ģĮ x ŌİŀĮōģĮŌĥŒ ĦŃ ĥōņ ĸĹœ Ľįň ĭŒ ńŐĪĽœ įŀ ħĿĶŏŒň Įĸģŀ ĺĿĮĿĪĦŒ ŀ Įœń y ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດy  f x 0a bx Ľįň 2 ħŁģĽįň 1 ōĸĿ 2 ħĿijįʼn ĹŁŒ ŌĮļœņ ĭŒ ń A ĤļĦĭĦŀ ĺļĦĽįň ŌĭŒ ʼnŁģĮŀ ĺĿĻŇŊį ŏĮģĸŗ ĿĮń f (x) d 0 ŌĮļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮŎĥĦœ y f (x) ģįŀ ōģĮ x a d x d b, f (x) d 0 ŌĭŒ ʼnŁģįŀ b ĻŊņ A b A ³[ f (x)]dx ³ f (x)dx a a 219

b ţŁĩŌĻĪ: ŏĮģĸŗ ĿĮĭń Œ ń f (x) d 0 , ĬŁœ Įģŀ ĽŋĮĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹħŁģ ³ f (x)dx a ōĸĹœ ıĮʼn ĭŒ ńŐĪĽœ įŀ ļļģĵŁħĿŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ĸįʼn , ŌĨŒ ĦŃ ĥŁŒ ĤļĦŌĮļœņ ĭŒ ńħĿĶŏŒň ĮĽįň ħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ĸįʼn įŒ ŗŐĪ.œ ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ŌĽʼnŁīļœ ĦŐĪİœ ŒŋĮħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ĸįʼn ŏĻŌœ İŀĮħŁŗ ĮĹĮħĦŃ įĹģŎĪĩĥĮň ŏĻœ 1. īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮŎĥĦœ f (x) x2  2x ģįŀ ōģĮ x,1 d x d 2. įĪʼn ōģ.œ ŌĮŒ ļņ ĦħŁģŏĮĻĹŁŒ ĦīĦŀœ ōīŒ x 1 ŌĬĦŃ x 2 ŌĺŀœĮŎĥĦœ f (x) x2  2x ĶĸŒň ĵŇŒ ōģĮ x ĪĦŒ ŀ Ľįň y y x2  2x ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 12 x 0 ŏĻœ A ŌİŀĮŌĮļņœ ĭŒ ńĭŒ ńŌĽʼnŁīļœ ĦģŁĮĨļģĻŁ, ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ 22 2 A ³[f (x)]dx ³ (x2  2x)dx ³ (2x  x2 )dx 11 1 § x2  x3 · 2 § (2)2  (2)3 ·  § (1)2  (1)3 · 2 ¨ 3 ¸ 1 ¨ 3 ¸ ¨ 3 ¸ 3 © ¹ © ¹ © ¹ ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĮļņœ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŌĭŒ ʼnŁģįŀ 2 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļņœ ĭŒ ń. 3 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĭŒ ńĬģņ İŃĪĸļœ ĵĪĹœ ĩŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y f (x) x2  2x ģįŀ ōģĮ x īĦŀœ ōīŒ x 1 ŌĬĦŃ x 4 įĪʼn ōģ:œ ħŁģŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y f (x) x2  2x, 1 d x d 4 : 220

y I2 III x 1 0 II 4 ŌĨŒ ĦŃ ŏĮĻĹŁŒ ĦĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y f (x) x2  2x ĵįń ŁĦĺĹŒ ĮĶŌŒň ĭŃĦōģĮ x ōĸĿ ĵįń ŁĦĺĹŒ ĮĶģŒň ļœ ĦōģĮ x . ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ģŁĮĨļģĻŁ A ĭŒ ńŌİŀĮŌĮļņœ ĭŒ ńĭĦŀ ţĪʼn ĭŒ ń īļœ ĦģŁĮĨļģĻŁ ōĵĮŒ ıĮʼn įĹģĤļĦŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦĺŁĵŌĤĪ A A1  A2  A3 ŌĨŒ ĦŃ A1ōĵĮŒ ŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭń I , A2 ōĵĮŒ ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭń II ōĸĿ A3 ōĵĮŒ ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭń III . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭń I ŌĮŒļņ ĦħŁģ f (x) ĶŌŒň ĭŃĦōģĮ x 0 0 § x3 x2 · 0 ¨ 3 ¸ 1 f (x)dx (x2  2x)dx © ¹ 1 1 ³ ³A1  (0  0)  ( 1 1) 4 33 ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭń II ŌĮŒļņ ĦħŁģ f (x) ĶģŒň ļœ ĦōģĮ x 22 2 A2 ³[f (x)]dx ³ (x2  2x)dx ³ (2x  x2 )dx 00 0 § x2  x3 · 2 (4  8)  (0  0) 4 ¨ 3 ¸ 0 3 3 © ¹ 221

ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭń III ŌĮŒļņ ĦħŁģ f (x) ĶŌŒň ĭŃĦōģĮ x 4 4 § x3 x2 · 4 ¨ 3 ¸ 2 f (x)dx (x2  2x)dx © ¹ 2 2 ³ ³A3  § 64 16 ·  § 8  4 · 20 . ¨© 3 ¸¹ ©¨ 3 ¸¹ 3 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĮļņœ ĭŒ ńĭŒ ńīļœ ĦģŁĮĨļģĻŁōĵĮŒ A A1  A2  A3 4  4  20 28 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļņœ ĭŒ ń. 33 3 3 2. ģŁĮĥĪŃ ŐĸŌŒ Įļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦĺļĦŌĺŀœĮŎĥĦœ ĬŁœ ĹŁŒ f ōĸĿ g ŌİŀĮīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒļņ Ħ ōĸĿ f (x) t g(x) ŏĮĻĹŁŒ Ħ [a,b] ōĸĹœ ŌĮļņœ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮŎĥĦœ f (x) ōĸĿ g(x) , ŌĨŒ ĦŃ a d x d b ōĵĮŒ b A ³[f (x)  g(x)]dx a y y=f(x) y g(x) ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ A oa x b īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦ f (x) 1 x  3 ōĸĿ g(x) x2 1, 2 ŌĨŒ ĦŃ 2 d x d 1. įĪʼn ōģ:œ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ f (x) 1 x  3 ōĸĿ g(x) x2 1 ĵĸń ģŀ ĺĿĮĿĪĦŒ ŀ Įœń 2 222

y f x 1 x  3 2 x1 x 2 2 1 0 1 x g x x2 1 ŏĻœ A ŌİŀĮŌĮļœņ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ Ĺ, ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1 1 [( x  3)  (x2 1)]dx 1 (x2  x  2)dx [f (x)  g(x)]dx ³ ³ ³A 22 2 2 2 ( x3  x2  2x ) 1 (1  1  2)  ( 8  4  4) 33 3 4 2 34 34 4 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĮļœņ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŌĭŒ ʼnŁģįŀ 33 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļņœ ĭŒ ń. 4 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ÆŒÉ ‰œŸ¡”ÊÅ ¼Éà ¼–ÃÉ Â‘¾Êš‘ÊҐ¡Ž”ÁÊ Žž¢‘ŒŠĦ f (x) x2  5 ōĸĿ g(x) 2  2x . ĹĭŃ ńōģ:œ ŌĮŒ ļņ ĦħŁģįĪʼn ŌĸģįŒ ŗŐĪģœ Łŗ ĮĪʼn ĻĹŁŒ ĦŏĮģŁĮĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮĺĿōĪĦ 2 ŌĺŀœĮ. ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĭĦŀ 2 īļœ ĦīĪŀ ģĮŀ , ħŒĦŅ ŌĽŀĪŏĻŌœ ģĪń ŌĤĪĭŒ ńħĿĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ń. ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ īļœ ĦĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮ x ĤļĦŌĵĪŀ ĭŒ ńŌĺŀœĮĺĿōĪĦĭĦŀ ĺļĦīĪŀ ģĮŀ : y f (x) g(x) 5  x2 2  2x x2  2x  3 0 x 1, x 3. 223

ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŐĪĽœ įň īŒ ŗŐİĮńœ f x 5 x2 y gx 22x 1, 4 01 x 3, 4 ħŁģĽįň ŏĮĻĹŁŒ ĦīĦŀœ ōīŒ x 1 ŌĬĦŃ x 3 ħĿŌĻŀĮĹŁŒ f (x) t g(x) . ŏĻœ A ŌİŀĮ ŌĮļœņ ĭŒ ńĪĦŒ ŀ ģŁŒ Ĺ, ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 33 3 A ³ [f (x)  g(x)]dx ³ [(5  x2 )  (2  2x)]dx ³ (3  2x  x2 )dx 1 1 1 (3x  x2  x3 ) 3 3 1 [3(3)  (3)2  (3)3 ] [3(1)  (1)2  (1)3 ] 32 33 3 ŌĮļœņ ĭŒ ń ĭŒ ńĨļģŌĭŒ ʼnŁģįŀ 32 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌĮļņœ ĭŒ ń. 3 ļģń ĪŁœ ĮŢŒ ŅĦ 33 A ³ [f (x)  g(x)]dx ³ [(5  x2 )  (2  2x)]dx 1 1  ³3   1 3 13 32 . 6 3  (x 1)(x  3)dx 1 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦ y x2  3x  2 ōĸĿ y x 1. įĪʼn ōģ.œ ħŁģĺĵʼn ıĮʼn x 1 x2  3x  2 224

x 1, x 3 ĺĿōĪĦĹŁŒ ĺļĦŌĺŀœĮĮīœń Īŀ ģĮŀ ĶŌŒň ĵĪŀ x 1 ōĸĿ x 3 . ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĨļģōĵĮŒ 3 32 . 3  (x 1)(x  3)dx 1  ³A   1 3 13 6 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 4. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦ y x2 1 ōĸĿ y x2  x  2. įĪʼn ōģ.œ ħŁģĺĵʼn ıĮʼn x2 1 x2  x  2 x  1 , x 1 2 ŌĨŒ ĦŃ ĺĿōĪĦĹŁŒ ĺļĦŌĺŀœĮĮīńœ Īŀ ģĮŀ ĶŌŒň ĵĪŀ x  1 ōĸĿ x 1. ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĨļģ 2 ōĵĮŒ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1 1 ¨©§1 1 ·3 9. 2 ¸¹ 8  (2x 1)(x 1)dx ³ ³  A 2  1 x  2  1  ( x 2 )( 1)dx 6  1  1 2 2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 5. ŏĻœ C : y x2 , L ōĵĮŒ ŌĺŀĮœ ĨŒ ĭņ Œ ńĵĺń Łŗ İĿĺĪŃ ĵĵŇ m ōĸĿ ıŁŒ ĮŌĵĪŀ (2,6). ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĥŁŒ ĤļĦ m ŌijŒ ņļŏĻŌœ Įļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩĺļĦŌĺŀĮœ ĮŢńœ ļœ ĩĺĪŇ ōĸĿ ĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńŢļœ ĩĺĪŇ Į.œń įĪʼn ōģ.œ ħŁģĤŗĵœ Įň ĭŒ ńŏĻĵœ ŁŐĪœ L : y m(x  2)  6 ōĸĿ ĺĵʼn ıĮʼn x2 m(x  2)  6 x2  mx  2(m  3) 0 ŌİŀĮĺĵʼn ıĮʼn ŌijŒ ņļĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮ x ĤļĦŌĵĪŀ īĪŀ ģĮŀ ĤļĦ C ōĸĿ L . ŏĻœ D,E (D  E) ōĵĮŒ ŏħıĮʼn ĤļĦ x2  mx  2(m  3) 0 ōĸĿ A(m) ōĵĮŒ ŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩ C ōĸĿ L ŐĪœ E E 1 E  D3 . A(m) ³ m(x  2)  6  x2  dx ³ x  D (x  E)dx 6 D D ŌĮŒ ļņ ĦħŁģ D m  ' ,E m  ' , ' m2  8(m  3) (m  4)2  8 22 225

ŐĪ:œ E  D m ' m ' ' (m  4)2  8 22 1 E  D3 1 3  A(m) 2 m  42  8 66 ħŁģ m  42  8 ĵĥń ŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ 8 ŌĵŒļņ m 4 ħŒĦŅ ŐĪœ A(m) ĵĥń ŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ŌĭŒ ʼnŁ 3 82 8 2 3, 77 ŌĵŒļņ m 4 . 63 įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮĺĿōĪĦĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻīœ Œ ŗŐİĮģńœ įŀ ōģĮ x . 1. y 2x  4, 1 d x d 3. 2. y 3x2, 1 d x d 0. 3. y x2  2, 1 d x d 0. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 4. y 4  x2, 1 d x d 2. 2. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńİŃĪĸļœ ĵĪĹœ ĩŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻīœ Œ ŗŐİĮģńœ įŀ ōģĮ x . 1. f (x) 6  x  x2 2. f (x) x3  4x2  3x 3. f (x) x3  4x2  4x 3. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀĮœ ŎĥĦœ ĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻīœ Œ ŗŐİĮ.œń 1. f (x) x2  2x  3 ōĸĿ g(x) x  5 2. y x2  2x  3 ōĸĿ y 2x  4 3. y x2  4x 10 ōĸĿ y 14  2x  x2 4. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀĮœ ŎĥĦœ y 3  x2  x ōĸĿ y 2x  3, 2 d x d 4. 5. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀĮœ ŎĥĦœ y x2  2x  3 ōĸĿ y 3  x, 2 d x d 3. 6. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĮļņœ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀĮœ ŎĥĦœ y x2 1 ōĸĿ y 2x  2, 1 d x d 2. 7. ŏĻœ S(a) ōĵĮŒ ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀœĮ y x2 1 ōĸĿ y ax. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĥŁŒ ĤļĦ a ŌijŒ ņļŏĻœ S(a) ĵĥń ŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ōĸĿ ĨļģĻŁĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ Į.ńœ 226

8. ŏĻœ T(a) ōĵĮŒ ŌĮļœņ ĭŒ ńĤļĦŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀœĮ y x2 ōĸĿ ŌĺŀĮœ ĨŒ ņ L ĭŒ ńĵĺń Łŗ İĿĺĪŃ ĵĵň a ōĸĿ ıŁŒ ĮŌĵĪŀ (1,2). ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĥŁŒ ĤļĦ a ŌijŒ ņļŏĻœ T(a) ĵĥń ŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ōĸĿ ĨļģĻŁŌĮļœņ ĭŒ ńŢļœ ĩĺĪŇ Į.ńœ 3. ģŁĮĥĪŃ ŐĸįŒ ŗĸĵŃ ŁĪĤļĦĽįň ģļœ ĮĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮļļœ ĵōģĮ ŏĻœ f (x) ŌİŀĮīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒļņ Ħ ōĸĿ f (x) t 0 ŏĮĻĹŁŒ Ħ >a,b@ , R ōĵĮŒ ŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀĮœ y f (x), y 0, x a, x b . ĺŁĵŁĪĺĿōĪĦŏĻŌœ ĻŀĮĹŁŒ įŗĸĵŃ ŁĪ V ĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪ R b ļļœ ĵōģĮ x ŌĭŒ ʼnŁģįŀ V ³ S[f (x)]2 dx . a īĹʼn ĶŁŒ Ħ: 1) V įŗĸŃĵŁĪĤļĦħĹĩĭŋŒ ĦĸĪŀ ĺĿţńĤļĦijœņĮ r 1ōĸĿĸĹĦĺĦň h 1 y ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ yx 1 01 x ŌĨŒ ĦŃ ħŁģŌĸĤŁĥĿĮĪŃ ijņœĮĬŁĮ V 1 S r2h ³S . ħŁģĺĪň V b 3 3 S[f (x)]2 dx ŐĪœ 1 a V ³ Sx2dx 0 S x3 1 S ĻĹʼn ŢĹŒ ĩįŗĸĵŃ ŁĪ 3 3 2) V įŗĸŃĵŁĪĤļĦŢĹŒ ĩĵĮʼn ĸĪŀ ĺĿţń r 0 1: 227

y 1 y 1 x2 1 1 x 1 4 S r3 4S . ħŁģĺĪň V b 3 3 ³ŌĨŒ ĦŃ ħŁģŌĸĤŁĥĿĮĪŃ ijņœĮĬŁĮ V S[f (x)]2 dx ŐĪœ a ³V1 S § x  x3 · 1 4S ĻĹʼn ŢĹŒ ĩįŗĸĵŃ ŁĪ ¨ 3 ¸ 1 3 S(1 x2 )dx © ¹ 1 ŏĻœ g ŌİŀĮīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒļņ Ħ ōĸĿ g( y) t 0 ŏĮĻĹŁŒ Ħ >c, d @, ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ R ōĵĮŒ ŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀĮœ x g( y), x 0, y c, y d . ĺŁĵŁĪĺĿōĪĦŏĻŌœ ĻŀĮĹŁŒ įŗĸŃĵŁĪ V ĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪ R ļļœ ĵōģĮ y ŌĭŒ ʼnŁģįŀ d V ³ S[g(y)]2 dy . c īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁįŗĸŃĵŁĪĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪĭŒ ńİŃĪĸļœ ĵĪĹœ ĩŌĺŀœĮ ŎĥĦœ x 1 y , 0 d y d 4 ļļœ ĵōģĮ y . 2 įĪʼn ōģ.œ ōīĵœ Ľįň ĤļĦŌĤĪ R ĥĪŃ ŐĸįŒ ŗĸĵŃ ŁĪ V y x 0 R mx y d 4§ y ·2 0 S ©¨¨ 2 ¹¸¸ dy 2 S[g(y)]2 dy 0x c ³ ³V ³S 4 ydy S y2 4 42 40 0 2S ĻĹʼn ŢĹŒ ĩįŗĸĵŃ ŁĪ 228

ŏĻœ f ōĸĿ g ŌİŀĮīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒļņ Ħ ōĸĿ f (x) t g(x) , ŌĨŒ ĦŃ a d x d b . R ōĵĮŒ ŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀĮœ y f (x), y g(x), x a, x b ĺŁĵŁĪĺĿōĪĦŏĻŌœ ĻŀĮĹŁŒ įŗĸŃĵŁĪ V ĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪ R ļļœ ĵ ōģĮ x ōĵĮŒ b ^ `³V S [f (x)]2 [g(x)]2 dx a īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁįŗĸŃĵŁĪĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪĭŒ ńİŃĪĸļœ ĵĪĹœ ĩŌĺŀœĮ ŎĥĦœ y x ōĸĿ y x2 ļļœ ĵōģĮ x . įĪʼn ōģ:œ ōīĵœ Ľįň ĤļĦŌĤĪ R y y 1,1 yx yx y x2 1,1 m y x2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ R x0 x 0 ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮ x ĤļĦŌĵĪŀ īĪŀ ģĮŀ ĤļĦŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦ ħŁģ y x (1) ōĸĿ y x2 (2) ħĿŐĪœ x x2 x(1 x) 0 Ÿ x 0, x 1 ĥĪŃ ŐĸįŒ ŗĸŃĵŁĪ V 1 S ª x3  x5 º 4 2S « 3 5 » 0 15 1 ³ S{x2  (x2 )2}dx ¬ ¼ ³V S{[f (x)]2 [g(x)]2}dx 0 0 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩįŗĸŃĵŁĪ 229

īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁįŗĸŃĵŁĪĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪĭŒ ńİŃĪĸļœ ĵĪĹœ ĩŌĺŀœĮ ŎĥĦœ y x2 1 ōĸĿ y 3  x2 ļļœ ĵōģĮ x . įĪʼn ōģ:œ ōīĵœ Ľįň ĤļĦŌĤĪ R y y x2 1 1, 2 R 1, 2 0 x y 3 x2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮ x ĤļĦŌĵĪŀ īĪŀ ģĮŀ ĤļĦŌĺŀœĮĺĿōĪĦ ħŁģ y x2 1 (1) ōĸĿ y 3  x2 (2) ŐĪœ x2 1 3  x2 x2 1 Ÿ x 1, x 1 ĥĪŃ ŐĸįŒ ŗĸĵŃ ŁĪ V 1 1 ³ S{(3  x2 )2  (x2 1)2}dx 0 ³V S{[f (x)]2 [g(x)]2}dx 0 1 S³ (8x2  8)dx 1 8S «ª x3  x º 1 32S ĻĹʼn ŢĹŒ ĩįŗĸŃĵŁĪ ¬ 3 » 1 3 ¼ ŏĻœ f ōĸĿ g ŌİŀĮīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒļņ Ħ ōĸĿ f ( y) t g( y) ŌĵŒļņ c d y d d . R ōĵĮŒ ŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀĮœ x f ( y), x g( y), y c, y d 230

ĺŁĵŁĪĺĿōĪĦŏĻŌœ ĻŀĮĹŁŒ įŗĸŃĵŁĪ V ĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪ R ļļœ ĵōģĮ y ōĵĮŒ b ^ `³V S [f (y)]2 [g(y)]2 dy a īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁįŗĸĵŃ ŁĪĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪĭŒ ńİŃĪĸļœ ĵĪĹœ ĩŌĺŀĮœ ŎĥĦœ y x ōĸĿ y x2 ļļœ ĵōģĮ y. įĪʼn ōģ:œ ōīĵœ Ľįň ĤļĦŌĤĪ R y ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ yx (1,1) x y m y x2 0x R ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮ y ĤļĦŌĵĪŀ īĪŀ ģĮŀ ĤļĦŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦ: ħŁģ x y f (y) (1) x y g(y) (2) ŐĪ:œ y y y 0, y 1 ĥĪŃ ŐĸįŒ ŗĸĵŃ ŁĪ: V b 11 ^ `³ ³ ³S [f (y)]2 [g(y)]2 dy S[( y )2  ( y)2 ]dy S ( y  y2 )dy a 00 S ª y2  y3 º 1 S § 1  1 · S ĻĹʼn ŢĹŒ ĩįŗĸĵŃ ŁĪ « 2 3 » 0 ¨© 2 3 ¹¸ 6 ¬ ¼ 231

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁįŗĸŃĵŁĪĤļĦĽįň ģļœ ĮīĮŀ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮİŒ ŃĮŌĤĪĭŒ ńĤļįĪĹœ ĩŌĺŀĮœ ĭŒ ńŏĻĸœ ĵŇŒ Įœń ļļœ ĵōģĮĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻ.œ 1. x  y 1, x 0, y 0 ļļœ ĵōģĮ x. 2. y x2, y 0, x 2 ļļœ ĵōģĮ x. 3. y x2  4x, y 0 ļļœ ĵōģĮ x. 4. y x2 1, y x  3 ļļœ ĵōģĮ x. 5. y x 1, x 2, x 5, y 0 ļļœ ĵōģĮ x. 6. y 6  x2, y 2 ļļœ ĵōģĮ y. 7. x y2, x 2y ļļœ ĵōģĮ y. 8. x 4y  y2, x 0 ļļœ ĵōģĮ y. 9. y x2  2, x 0, x 1, y 0 ļļœ ĵōģĮ y. 10. y x  2, x 11, y 0 ļļœ ĵōģĮ y. 232

ijŁģĭń IX ŐīĵĵŇ ĵīŃ Ń įĪʼn ĭń 22 ĺĪň ijœņĮĬŁĮŐīĵĵŇ ĵīŃ Ń ĶŏŒň ĮĥĿĮĪŃ ĺŁĪĨĮŀœ ĵĪŀ ĭĿĩĵʼn İńĭń 4 Įģŀ ĽŋĮŐĪĽœ ŋĮģŋŒ Ĺģįŀ ĵĵŇ ĭŒ ńĻĹʼn ŢĹŒ ĩĹĪŀ ōĭģŌİŀĮļĦʼn ĺŁ, ĽĮňœ ĩŃ ŁĵĨĮŃ , ŎģĨĮŃ ōĸĿ īĦŀ ĤļĦĵĵŇ ŢŒ ŅĦĭŒ ńĶĸŒň ĿĻĹŁŒ Ħ 0D ĻŁ 180D. ŐĪĽœ įňœ Įŀ ĪŁĺĪň ŐīĵĵŇ ĵīŃ īŃ Œ ŗŐİĮ:œń  cos 90D T sinT  sin 90D T cosT    tan 90D T sin 90D T cosT 1 cos 90D T sinT tanT ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ  cos 90D T sinT  sin 90D T cosT    tan 90D T sin 90D T cosT  1 cos 90D T  sinT tan T  cos 180D T  cosT  sin 180D T sinT    tan 180D T sin 180D T sinT  tanT cos 180D T  cosT ōīĹŒ ŁŒ ĩĦŀ ĵĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩĹĪŀ ōĭģĵĵŇ ĨĿĮĪŃ ļŒ Įņ ĮļģħŁģļĦʼn ĺŁ, ŌijŒ ŃĮĩĦŀ ļŁŒ ĮĵĵŇ īŁĵĭŃĪ ĭŁĦįĹģ ĻŊņ ĸįʼn ōĸĿ ĩĦŀ ĵĺń Īň ļŒ Įņ őĤļĦŐīĵĵŇ ĵīŃ ĭŃ Œ ńĥĹĮĽ.ňœ 233

1. ĵĵŇ ĭŒ ńĵĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩĹĪŀ ōĭģķŁĪŋĦ ōĸĿ ĵĵŇ ĭŒ ńĵĭń ŃĪĭŁĦ. ĻĹʼn ŢĹŒ ĩķŁĪŋĦĭŒ ńĹĪŀ ōĭģĵĵŇ ĵģń ŁĮijĹʼn ijĮŀ ģĦʼn ģįŀ ĻĹʼn ŢĹŒ ĩļĦʼn ĺŁ, ŌĨŒ ĦŃ 180D ģĦʼn ģįŀ S ķŁĪŋĦ. ōīĹŒ ŁŒ ŌijŒ ŃĮįŒ ŗĤŋĮĺĮŀ ĩĿĸģŀ “ķŁĪŋĦ” ŌĨŒ ŀĮ: - ĵĵŇ S ķŁĪŋĦ ŌijŒ ŃĮĤŋĮijŋĦōīŒ S ōĵĮŒ ĵĵŇ ĭŒ ńģĦʼn ģįŀ 90D . 2 2 - ĵĵŇ S ķŁĪŋĦ ŌijŒ ŃĮĤŋĮijŋĦōīŒ S ōĵĮŒ ĵĵŇ ĭŒ ńģĦʼn ģįŀ 60D . 3 3 - ĵĵŇ S ķŁĪŋĦ ŌijŒ ŃĮĤŋĮijŋĦōīŒ S ōĵĮŒ ĵĵŇ ĭŒ ńģĦʼn ģįŀ 45D . 4 4 - ĵĵŇ S ķŁĪŋĦ ŌijŒ ŃĮĤŋĮijŋĦōīŒ S ōĵĮŒ ĵĵŇ ĭŒ ńģĦʼn ģįŀ 30D . 6 6 - ĵĵŇ 0 ķŁĪŋĦ ŌijŒ ŃĮĤŋĮijŋĦōīŒ 0 ōĵĮŒ ĵĵŇ ĭŒ ńģĦʼn ģįŀ 0D . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŏĻĹœ Ħʼn ĵĮʼn ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁĻĹʼn ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ xy : y 45D œÙÅ S 4 O 45D œÅÙ  S x 4 ĵĵŇ ĭŒ ńĭŋįŏĺŒ Ox ŏĮĭŃĪĭŁĦģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ ĭŃĪŌĪĮń ĤļĦŌĤŀĵŎĵĦŌijŒ ŃĮĬĹņ ŁŒ ŌİŀĮĵĵŇ įĹģ ōĸĿ ĵĵŇ ĭŒ ńĭŋįŏĺŒ Ox ŏĮĭŃĪĭŁĦŌĪĮń ĤļĦŌĤŀĵŎĵĦŌijŒ ŃĮĬĹņ ŁŒ ŌİŀĮĵĵŇ ĸįʼn . ĵĵŇ įĹģĭŒ ńĭŋįŏĺŒ Ox ŏĮĽļįŢŒ ŅĦĤļĦĹĦʼn ĵĮʼn ōĵĮŒ 360D ĻŊņ 2S . ĵĵŇ ĸįʼn ĭŒ ńĭŋįŏĺŒ Ox ŏĮĽļįŢŒ ŅĦĤļĦĹĦʼn ĵĮʼn ōĵĮŒ 360D ĻŊņ 2S . 234

ĪĦŒ ŀ ĵĵŇ ŏĮĽįň ĤŁœ ĦŌĭŃĦĮ:œń - ŌĥŒ ĦŃ ŌĺŀĮœ ĨŒ ĭņ Œ ńģŁŗ ĮĪʼn ĵĵŇ 45D ōĵĮŒ ŌĥŒ ĦŃ ŌĺŀœĮĨŒ Īņ ŋĹģĮŀ ĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ĵĵŇ 360D  45D 315D ĻŊņ 2S  S  7S 44 - ŌĥŒ ĦŃ ŌĺŀœĮĨŒ ĭņ Œ ńģŁŗ ĮĪʼn ĵĵŇ 45D ōĵĮŒ ŌĥŒ ĦŃ ŌĺŀœĮĨŒ Īņ ŋĹģĮŀ ĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ĵĵŇ 360D  45D 315D ĻŊņ 2S  S 7S . 44 īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ōģĺœ ĵʼn ıĮʼn ōĸĿ ļĿĺĵʼn ıĮʼn ijŁĩŏīŌœ ĦŒļņ ĮŐĤĸĵŇŒ Į:œń ģ. sin x 1 , 0  x  2S. 2 Ĥ. sin x  1 , 0  x  2S. 2 ĥ. sin x t 1 ,  2S  x  0. 2 Ħ. sin x  1 ,  2S  x  0. 2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ įĪʼn ōģ:œ  7S , 5S  11S , S 66 66 ħŁģĽįň ĤŁœ ĦŌĭŃĦĮœń ŐĪ:œ ģ. x S, x 5S ōĵĮŒ ŏħıĮʼn ĤļĦĺĵʼn ıĮʼn sin x 1 , 0  x  2S. 6 6 2 Ĥ. 0 x S, 5S  x  2S ōĵĮŒ ŏħıĮʼn ĤļĦļĿĺĵʼn ıĮʼn sin x  1 , 0  x  2S. 6 6 2 235

ĥ.  11S d x d  7S ōĵĮŒ ŏħıĮʼn ĤļĦļĿĺĵʼn ıĮʼn sin x t 1 ,  2S  x  0. 66 2 Ħ. 2S  x   11S ,  7S  x  0 ōĵĮŒ ŏħıĮʼn ĤļĦļĿĺĵʼn ıĮʼn sin x  1 ,  2S  x  0 6 6 2 2. ĥŁŒ ĤļĦĨĮŃ , ŎģĨĮŃ ōĸĿ īĦŀ ĤļĦĵĵŇ ģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵ. P cos T,sin T  T T  P 'cos T, sin T œÅÙ P 'cos T,sin T  ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ħŁģĽįň ĤŁœ ĦŌĭŃĦŌĻŀĮ: cos T cos T, sin T  sin T . ħŁģĮńœ ŐĪœ tan T sin T  sin T  tan T. cos T cos T īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸĥŒ ŁŒ ĤļĦĺŁŗ ĮĹĮĸĵŇŒ Įńœ cos §  S · sin S  tan S  2 sin §  S · ¨© 6 ¸¹ 3 4 ¨© 4 ¹¸ įĪʼn ōģ:œ cos §  S · sin S  tan S  2 sin §  S · cos S sin S  tan S  2 sin S ©¨ 6 ¹¸ 3 4 ¨© 4 ¹¸ 63 4 4 3 3 1 2 2 22 2 3 11 4 5. 4 236

3. ĥŁŒ ĤļĦĨĮŃ , ŎģĨĮŃ ōĸĿ īĦŀ ĤļĦĵĵŇ S  T, 2S  T . P cos T,sin T  P ' cos T,  sin T, P 'cos S  T,sin S  T  ħŁģĽįň ĤŁœ ĦŌĭŃĦŌĻŀĮ: cos S  T  cos T, sin S  T  sin T . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດħŁģĮńœ ŐĪœ tan S  Tsin S  T sin Ttan T. cos S  T  cos T P cos T,sin T  T 2S  T  P 'cos T,  sin T œÙÅ P 'cos 2S  T,sin 2S  T  ħŁģĽįň ĤŁœ ĦŌĭŃĦŌĻŀĮ: cos 2S  T cos T, sin 2S  T  sin T . ħŁģĮœń ŐĪœ tan 2S  T sin 2S  T  sin T  tan T. cos 2S  T cos T 237

4. ĺĪň ijœņĮĬŁĮĤļĦŐīĵĵŇ ĵīŃ .Ń ŏĻœ P ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦŏĮĹĦʼn ĵĮʼn ĻĹʼn ŢĹŒ ĩĭŒ ńĶīŒň Łŗ ōŢĦŒ ĤļĦĵĵŇ T ĭŋįŏĺōŒ ģĮ x, P1 ōĸĿ P2 ōĵĮŒ ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦ P ŏĺōŒ ģĮ x ōĸĿ ōģĮ y īŁĵĸŁŗ Īįŀ . P2 0,sin T  P cos T,sin T  ħŁģĺĪň İńīŁģŗ ŐĪ:œ T OP12  OP22 OP2 O  P1 cos T, 0  cos2 T  sin2 T 1. ŏĻœ uG ōĸĿ vG ĭŒ ńŌĵĪŀ īĮʼnœ ĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ, İĿģļįģįŀ ōģĮ x ŌİŀĮĵĵŇ a ōĸĿ b ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īŁĵĸŁŗ Īįŀ : uG cos a,sin a  a  b  vG cos b,sin b  ħŁģ uG ˜ vG uG vG cos a  b Ÿ cos a  b uG ˜ vG uG vG cos a cos b  sin a sin b cos a cos b  sin a sin b. cos2 a  sin2 a ˜ cos2 b  sin2 b cosa  b cosa  b cos a cosb  sin a sin b cos a cos b  sin a sin b. 238

sin a  b cos § S   a  b · cos § § S  a ·  b · ©¨ 2 ¹¸ ©¨ ¨© 2 ¸¹ ¸¹ cos § S  a · cos b  sin § S  a · sin b ¨© 2 ¸¹ ¨© 2 ¸¹ sin a cos b  cos a sin b sin a  b sin a cos b  cos a sin b sin a cos b  cos a sin b. tan a  b sin a  b sin a cos b  sin b cos a cos a  b cos a cos b  sin a sin b ĬŁœ ĹŁŒ cos a cos b z 0 ţŁĩĥĹŁĵĹŁŒ ĵĵŇ a,b z S  kS k ] ħĿŐĪœ 2 tan a  b sin a cos b  sin a cos b sin a  sin b cos a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b  sin a sin b 1 sin a ˜ sin b cos a cos b cos a cos b cos a cos b tan a  tan b ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1 tan a tan b tan a  b tan a  b tan a  tan b tan a  tan b 1 tan a tan b 1 tan a tan b ĺĿĻŇŊį. cosa  b cos a cosb  sin a sin b cosa  b cos a cosb  sin a sin b sin a  b sin a cosb  sin b cos a sin a  b sin a cosb  sin b cos a tan a  b tan a  tan b tan a  b 1 tan a tan b tan a  tan b 1 tan a tan b  īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. cos 60D  45D cos 60D cos 45D  sin 60D sin 45D 1˜ 2  3˜ 2 22 2 2 239

2 6 44 2 6 4 1 2 6 4  īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. cos 45D  30D cos 45D cos 30D  sin 45D sin 30D 2˜ 3 2˜1 2 2 22 6 2 6 2 44 4 1  6 2 4 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. sin105D  sin 60D  45D sin 60D cos 45D  sin 45D cos 60D 3˜ 2  2˜1 2 2 22 6 2 44 1  6 2 4 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 4. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸŒ cos S ōĸĿ sin S ŎĪĩĮŁŗ ŏĨĺœ ĿŌŢńıĮʼn S S =S . 12 12 3 4 12 įĪʼn ōģ:œ cos S cos § S  S · cos S cos S  sin S sin S 12 ¨© 3 4 ¸¹ 34 34  1 ˜ 2  3 ˜ 2 2 3 1 22 2 2 4  ĺĿĮĮŀœ cos S 2 3 1 12 4 240

sin S sin § S  S · 12 ¨© 3 4 ¹¸ sin S cos S  sin S cos S 34 43  3 ˜ 2  2 ˜ 1 2 3 1 2 2 22 4  ĺĿĮĮŀœ sin S 2 3 1 12 4 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 5. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸŒ sin15D ōĸĿ cos 75D  įĪʼn ōģ:œ sin15D sin 45D  30D sin 45D cos 30D  cos 45D sin 30D ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ2˜ 3 2˜1 2 2 22 6 2 4 sin 15D 6 2 cos 75D 4  cos 90D 15D sin15D 6 2 4 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 6. ŏĻœ 0D S, 0E S, tan D 1 ōĸĿ tan E 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ 2 2 2 3 tan D  E ōĸĿ ĵĵŇ D  E. įĪʼn ōģ:œ tan D  E tan D  tan E 11 5 1. ħŁģ tan D  E 1ōĸĿ ħŁģ 1 tan D tan E 23 1 1 1 5 23 0D S, 0E S ŐĪœ DE S. 2 2 4 241

īĹʼn ĶŁŒ Ħ 7. ŏĻœ sin x  cos y 1 , cos x  sin y 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ sin  x  y. 2 3 įĪʼn ōģ:œ sin x  cos y 1 Ÿ sin2 x  cos2 y  2sin x cos y 1 2 4 cos x  sin y 1 Ÿ cos2 x  sin2 y  2 cos x sin y 1 39 ŌĵŒļņ įĹģĺļĦĺĿŌţńıĮʼn ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮĤĮŅœ ģŁŗ ĸĦŀ ĺļĦĤŁœ ĦŌĭŃĦĮŌńœ ĤʼnœŁģĮŀ ŐĪ:œ 11 2sin x cos y  cos x sin y 1  1 49 2  2sin  x  y 13 36 sin  x  y  59 . 72 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 8. ŏĻœ f  x 3 cos x  sin x  3. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĤĪĥŁŒ ĤļĦ f  x. įĪʼn ōģ:œ f  x 3 cos x  sin x  3 § 3 cos x  1 sin x ·  3 2 ©¨¨ 2 2 ¹¸¸  2 cos x cos 30D  sin x sin 30D  3  2 cos x  30D  3.  ŌĮŒļņ ĦħŁģ 1 d cos x  30D d 1 ŐĪ:œ  2 d 2 cos x  30D d 2  5 d 2 cos x  30D  3 d 1 5 d f  x d 1. 5. ĺĪň ĵĵŇ ĥĮň ĺļĦ ħŁģĺĪň ıĮʼn įĹģ sin a  b sin a cos b  sin b cos a ĬŁœ ĹŁŒ a b ŐĪœ sin 2a sin a cos a  sin a cos a 2sin a cos a. sin 2a 2 sin a cos a 242

ħŁģĺĪň ıĮʼn įĹģ cosa  b cos a cosb  sin a sin b ĬŁœ ĹŁŒ a b ŌĽʼnŁĵ:ń cos 2a cos a cos a  sin a sin a cos2 a  sin2 a. cos 2a cos2 a  sin2 a ĺŁĵŁĪĤŋĮĺĪň cos 2a ōįįļŒ Įņ ļģń :  cos 2a cos2 a  1 cos2 a 2cos2 a 1, cos 2a 1  sin2 a  sin2 a 1 2sin2 a. ħŁģĺĪň ıĮʼn įĹģ tan a  b tan a  tan b ĬŁœ ĹŁŒ a b ŐĪœ 1 tan a tan b tan 2a tan a  tan a 1 2 tan a . 1 tan a tan a  tan 2a ĺĿĻŇŊį. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ sin 2a 2 sin a cos a cos 2a cos2 a  sin2 a 2 cos2 a 1 1 2sin2 a tan 2a 1 2 tan a .  tan 2a īĹʼn ĶŁŒ Ħ: ŏĻœ cosT 3 ōĸĿ sinT  0 . ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸŒ sin 2T;cos 2T ōĸĿ tan 2T 5 įĪʼn ōģ:œ ĥĪŃ ŐĸŒ sinT . 5 4 ħŁģĺĪň ĨĮŃ ōĸĿ ŎģĨĮŃ ŏĮĽįň ĺŁĵōħĺŁģ: ŐĪœ sinT 4 ĩļœ ĮĹŁŒ sinT  0. T 5 3 ħŁģĺĪň sin 2T 2sinT cosT ħĿŐĪœ sin 2T 2 §  4 · § 3 · ©¨ 5 ¹¸ ¨© 5 ¹¸  24 25 243

ħŁģĺĪň cos 2T cos2 T  sin2 T ħĿŐĪœ cos 2T 9  16 25 25 7 25 ħŁģ tan 2T sin 2T  24 24 cos 2T 25 7 7 25 ħŁģĺĪň ĤļĦĵĵŇ ĥĮň ĺļĦōĸĹœ ŌĽʼnŁĩĦŀ ĺŁĵŁĪĥĪŃ ŐĸĺŒ Īň ŐīĵĵŇ ĵīŃ ĤŃ ļĦĵĵŇ 3a. sin 3a sin 2a  a sin 2a cos a  cos 2a sin a  2 sin a cos a cos a  cos2 a  sin 2 a sin a ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ2sin a cos2 a  cos2 a sin a  sin3 a 3sin a cos2 a  sin3 a  3sin a 1  sin2 a  sin3 a  3sin a 1  sin2 a  sin3 a 3sin a  3sin3 a  sin3 a cos 3a sin 3a 3sin a  4 sin3 a cos2a  a cos 2a cos a  sin 2a sin a  cos2 a  sin2 a cos a  2 sin a cos a sin a cos3 a  sin2 a cos a  2sin2 a cos a cos3 a  3sin2 a cos a  cos3 a  3 1  cos2 a cos a  cos3 a  3 cos a  cos3 a cos3 a  3cos a  3cos3 a 4 cos3 a  3cos a cos 3a 4 cos3 a  3cos a 244