ຄະນິດສາດ ມ5

6. ĺĪň ŐīĵĵŇ ĵīŃ ĤŃ ļĦĵĵŇ ĻŁĮĺļĦ ħŁģĺĪň cos 2a cos2 a  sin2 a 2 cos2 a 1 1 2sin2 a ŐĪœ cos2 a 1 cos 2a , cos a r 1 cos 2a 22 sin2 a 1 cos 2a , sin a r 1 cos 2a . 22 ŌĵŒļņ ōĭĮ a ĪĹœ ĩ a ĺŁĵŁĪĤŋĮĺĪň ĤŁœ ĦŌĭŃĦĮŏœń ĮĽįň ĽŁŒ Ħ: 2 cos a r 1 cos a 22 sin a r 1 cos a . 22 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ĺŁŗ ĸįŀ ĺĪň tan a ħĿĤŋĮŐĪœ 2 sin a r 1 cos a 1 cos a 2 2 tan a r 2 r 1 cos a 2 cos a r 1 cos a 1 cos a 1 cos a 2 2 2 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ : tan a r 1 cos a 2 1 cos a īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ŏĻœ cos a 0, 8 , a  º 0; S ª . ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸĥŒ ŁŒ ĤļĦ sin a , cos a , tan a ōĸĿ »¼ 2 «¬ 222 cot a 1 a . 2 tan 2 įĪʼn ōģ:œ ŌĮŒļņ ĦħŁģ 0aS ŐĪœ 0 a S , cos a ! 0, sin a ! 0, tan a ! 0 ōĸĿ 2 24 22 2 sin a 1 cos a 1 0,8 0,1. 22 2 245

cos a 1 cos a 1 0,8 0,9 2 2 2 tan a 1 cos a 1 cos a 0,1 1 2 1 cos a 0,9 3 2 cot a 1 cos a 2 2 1 3. tan a 2 7. ĺĪň İŋŒ ĮıĮʼn ĥĮň ļļģŌİŀĮıĮʼn įĹģ ħŁģĺĪň ŐīĵĵŇ ĵīŃ ĤŃ ļĦıĮʼn įĹģ ōĸĿ ıĮʼn ĸįʼn ĤļĦĺļĦĵĵŇ : ®°­°¯ssiinn  a  b sin a cos b  cos a sin b  a  b sin a cos b  cos a sin b ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŌĵŒļņ įĹģĺļĦĺĿŌţńıĮʼn ĮŌœń ĽʼnŁħĿŐĪœ sin a  b  sin a  b 2sin a cosb sin a cos b 1 ¬ªsin  a  b   sin  a  b¼º . 2 ħŁģ °­cos a  b cos a cos b  sin a sin b ® °¯cos  a  b cos a cos b  sin a sin b ŌĵŒļņ įĹģĺļĦĺĿŌţńıĮʼn ĮŌńœ ĽʼnŁħĿŐĪœ cosa  b  cosa  b 2cos a cosb cos a cos b 1 ª¬cos  a  b   cos  a  bº¼ . 2 246

ħŁģ ¯­°®°ccooss  a  b cos a cos b  sin a sin b  a  b cos a cos b  sin a sin b ŌĵŒļņ ĸįʼn ĺļĦĺĿŌţńıĮʼn ĮŌœń ĽʼnŁħĿŐĪœ cosa  b  cosa  b 2sin a sin b sin a sin b  1 ª¬cos  a  b  cos  a  b ¼º . 2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸĥŒ ŁŒ ĤļĦ cos 20D cos 40D cos80D įĪʼn ōģ:œ  cos 20D cos 40D cos80D 1 cos 60D  cos 20D cos80D 2  1 cos 60D cos80D  cos 20D cos80D 2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ  1§ 1 1 · ¨© 2 2 ¸¹ 2 cos 80D  cos100D  cos 60D  1§ 80D 1 · ©¨ 2 ¹¸ 4 cos  cos 180D  80D  1 § cos 80D  cos 80D  1 · 4 ¨© 2 ¹¸ 1 8 8. ĺĪň İŋŒ ĮıĮʼn įĹģļļģŌİŀĮıĮʼn ĥĮň ħŁģĺĪň sin a  b  sin a  b 2sin a cosb sin a  b  sin a  b 2cos a sin b cosa  b  cosa  b 2cos a cosb cosa  b  cosa  b 2sin a sin b 247

ŌĵŒļņ ŏĻœ A a  b, B a  b ŐĪ:œ sin A  sin B 2sin A  B cos A  B sin A  sin B 22 2 cos A  B sin A  B 22 cos A  cos B 2cos A  B cos A  B 22 cos A  cos B 2sin A  B sin A  B 22 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. sin 75D  sin15D 2sin 75D 15D cos 75D 15D 22 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2sin 45D cos 30D 2 2 3 6 . 22 2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸĥŒ ŁŒ ĤļĦ cos10D  cos110D  cos 230D įĪʼn ōģ:œ cos10D  cos110D  cos 230D 2 cos 60D cos 50D  cos 230D cos 50D  cos 230D 2 cos140D cos 90D 0 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ŏĻœ sin x  sin y 1, cos x  cos y 1 . ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ tan x  y . 3 2 įĪʼn ōģ:œ sin x  sin y 1 Ÿ 2sin x  y cos x  y 1 22 cos x  cos y 1 Ÿ 2 cos x  y cos x  y 1 . 3 2 23 ŌĵŒļņ ĻŁĮĺļĦĺļĦĺĿŌţńıĮʼn ĮŐńœ Īœ tan x  y 1 3. 2 1 3 248

įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 1. 180D 32D 9D 1D ļĦʼn ĺŁ S S ķŁĪŋĦ S 12 1 10 2. ħĦŒ ʼn İŒŋĮĵĵŇ įĹģĸĵŇŒ ĮŌńœ İŀĮĵĵŇ ĸįʼn ōĸĿ İŒŋĮĵĵŇ ĸįʼn ĸĵŇŒ ĮŌńœ İŀĮĵĵŇ įĹģ. ģ. 40D Ĥ. 140D ĥ. S Ħ. 7S 16 5 ħ. 35D ĺ. 130D Ĩ.  5S ĩ.  S 16 5 3. ħĦŒ ʼn ōģĺœ ĵʼn ıĮʼn ōĸĿ ļĿĺĵʼn ıĮʼn ijŁĩŏīŌœ ĦŒļņ ĮŐĤĸĵŇŒ Į:œń ģ. cos x  1 , 0  x  2S. 2 Ĥ. cos x   1 , S  x d S. 22 ĥ. cos x t 1 ,  2S  x  0. 2 Ħ. cos x  1 , 3S  x  2S. 22 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 4. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĥŁŒ ĤļĦĺŁŗ ĮĹĮīŒ ŗŐİĮ:ńœ ģ. sin105D Ĥ. sin135D ĥ. tan 75D Ħ. cos 225D ħ. tan15D ĺ. sin 22,5D Ĩ. cos 22,5D ĩ. tan 22,5D Ī. cos170D  sin 200D  cos 70D  sin 280D. 5. ŏĻœ 0D S, 0E S, tan D 2, tan E 3. ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ tan D  E 2 2 ōĸĿ ĵĵŇ D  E. 249

6. ŏĻœ S  D  3S , 3S  E  2S, sin D  3 , sin E  15 . 2 2 5 17 ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ sin D  E ōĸĿ cos D  E. 7. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĤĪĥŁŒ ĤļĦĺŁŗ ĮĹĮīŒ ŗŐİĮ:ńœ ģ. sin x  cos x Ĥ. sin x  3 cos x ĥ. sin x  cos x  2 Ħ. 1 sin x  3 cos x 8. ŏĻœ cos T 1, S  T  2S. ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ cos T . 5 2 9. ŏĻœ sin T 3,ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ0T S.ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦtan T . 5 2 2 10. ŏĻœ T 18D. ģ. ħĦŒ ʼn ĺĿōĪĦŏĻŌœ ĻŀĮĹŁŒ sin 2T cos 3T. Ĥ. ħĦŒ ʼn ĨļģĥŁŒ ĤļĦ sin18D ōĸĿ cos18D. 11. ĨļģĥŁŒ ĤļĦ sin 65D  sin185D  sin 235D. 12. ŏĻœ 0 d x d S, 0 d y d S, sin x  sin y 1. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĤĪĥŁŒ ĤļĦ cos x  cos y. 250

ijŁģĭń X ŌĹŀģŌīń ĭĹĮĥĮņ Įģŀ ĽŋĮōīĸŒ ĿĥĮʼn ĺŁĵŁĪĺĿĻŇŊįŐĪĻœ ĩĦŀ ōĪĺŒ Łŗ ĸįŀ ĥĹŁĵĽģňœ ŋŒ Ĺģįŀ ŌĹŀģŌīŏń ĮĺļĦĵīŃ Ń ĭŒ ńŌĥĩń ŐĪĽœ ŋĮıŁŒ ĮĵŁ ĪĦŒ ŀ ĭŒ ńĮģŀ ĽŋĮŐĪĽœ ŋĮĽĵňœ ŁōĸĹœ ŏĮ ĵ.4 ŌĨŒ ŀĮĮĩŃ ŁĵīŁŒ Ħő īŒ ŗŐİĮœń - İĿĸĵŃ ŁĮĭŒ ńĵĭń Ħŀ ĤĿŢŁĪ, ĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦ ŌļĮńœ ĹŁŒ “ŌĹŀģŌī”ń . ĺĹŒ ĮİĿĸĵŃ ŁĮĭŒ ńĵń ĤĿŢŁĪijŋĦĶŁŒ ĦĪŋĹŌļĮœń ĹŁŒ ĺĿģŁōĸ. G GG - u ōĸĿ v ĤĿŢŁĮģĮŀ ģŒīŗ Œ ŗŌĵŒļņ ŌĹŀģŌīĭń Ħŀ ĺļĦĵĸń ĹĦĪŋĹģĮŀ ĤŋĮōĭĮĪĹœ ĩ u // v G - u ŌĭŒ ʼnŁģįŀ v ģŒīŗ Œ ŗŌĵŒļņ ŌĹŀģŌīĭń Ħŀ ĺļĦĵĤń ĿŢŁĪŌĭŒ ʼnŁģĮŀ ĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĪŋĹģĮŀ ĤŋĮōĭĮĪĹœ ĩ u v ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ - ŌĹŀģŌīģń Ħʼn ģGĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ u ōĵĮŒ ŌĹŀģŌīĭń Œ ńĵĤń ĿŢŁĪŌĭŒ ʼnŁģįŀ u ōīĵŒ ĭń ŃĪģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵ ĤŋĮōĭĮĪĹœ ĩ u G GG - ŏĻœ u ōĸĿ v ŌĹŀģŌīĭń ŒĹʼn Őİ, ŌĸŒ ļņ Į v ŏĻŌœ ĵĪŀ īĮʼnœ ĤļĦ v ŌīŀĦģįŀ ŌĵĪŀ İŁĩĤļĦ G u . ıĮʼn įĹģĤļĦ u ōĸĿ v ĤŋĮōĭĮĪĹœ ĩ “ u  v ” ōĵĮŒ ŌĹŀģŌīĭń Œ ńĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ĶŌŒň ĵĪŀ īĮʼnœ G ĤļĦ u ōĸĿŌĵĪŀ İŁĩĶŌŒň ĵĪŀ İŁĩĤļĦ v (Ľįň 1) GG - ŏĻœ u ōĸĿ v ŌĹŀģŌīĭń ŒĹʼn GŐİ, ıĮʼn ĸįʼn ĤļĦ u ōGĸĿ v ţŁĩŌĬĦŃ ıĮʼn įĹģĤļĦ u G GG G G  ōĸĿ ŌĹŀģŌīģń Ħʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵĤļĦ v ĤŋĮōĭĮĪĹœ ĩ “ u  v ” ĮĮŀœ ōĵĮŒ u  v u  v G ōĵĮŒ ŌĹŀģŌīĭń Œ ńĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ĶŌŒň ĵĪŀ īĮʼnœ ĤļĦ u ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩĶŌŒň ĵĪŀ İŁĩĤļĦ v (Ľįň 1) D uv ĩļœ ĮĹŁŒ AB u , AD v v C ħĿŐĪœ CD u , CB v ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ AC AB  BC u  v uv A uB BD v  u DB u  v . (Ľįň 1) 251

- ģŁĮijĹʼn ijĮŀ ĨŁĮ AB  BC AC ĺŁŗ ĸįŀ ĭģŇ ŌĵĪŀ A, B, C ĶŌŒň ĭŃĦŢŁœ ijŋĦŌĽʼnŁŐĪœ JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG AB  BA AA 0 ŌĵŒļņ AB BA ĺŁŗ ĸįŀ ŌĹŀģŌīŏń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁĺŁģĺļĦĵīŃ Ń ģŁĮŌĭŒ ʼnŁģĮŀ ĤļĦŌĹŀģŌī,ń ģŁĮįĹģ ōĸĿĸįʼn ŌĹŀģŌī,ń ŌĹŀģŌīńĺĮň , ŌĹŀģŌīģń Ħʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵ ōĸĿ ģŁĮĥĮň ŌĹŀģŌīĪń Ĺœ ĩĺĿģŁōĸ ĵĮń ĩŃ ŁĵĪĦŒ ŀ Į:ńœ ĮĩŃ Łĵ ŌĹŀģŌīŏń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁīĦŀœ ĺŁģ ģŁĮŌĭŒ ʼnŁģĮŀ ªaº ªc º ģīŗ Œ ŗŌĵŒļņ a c, b d ģŁĮįĹģŌĹŀģŌīń ¬«b »¼ ¬«d »¼ ģŁĮĸįʼn ŌĹŀģŌīń ŌĹŀģŌīĺń Įň ªaº  ªc º ªa  c º «¬b ¼» «¬d »¼ «¬b  d »¼ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ªaº  ªc º ªa  c º «¬b ¼» «¬d ¼» ¬«b  d ¼» ŌĹŀģŌīĺń Įň ōĵĮŒ ª0º «¬0¼» ŌĹŀģŌīģń Ħʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵĤļĦ ªaº ōĵĮŒ  ªaº ªaº «¬b ¼» ¬«b ¼» «¬b ¼» ģŁĮĥĮň ŌĹŀģŌīĪń Ĺœ ĩĺĿģŁōĸ D ªa º ªD aº ŌĵŒļņ D ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ŏĪŢŒ ŅĦ ¬«b ¼» ¬«D b ¼» - a ŌİŀĮĺĿģŁōĸ ōĸĿ u ŌİŀĮŌĹŀģŌī,ń ıĮʼn ĥĮň ĤŋĮōĭĮĪĹœ ĩ au ŌĨŒ ĦŃ ĹŁŒ 1) ĬŁœ a ! 0 ōĸĹœ au ħĿĵĤń ĿŢŁĪŌĭŒ ʼnŁģįŀ a u ōĸĿĵĭń ŃĪĪŋĹģįŀ u 2) ĬŁœ a  0 ōĸĹœ au ħĿĵĤń ĿŢŁĪŌĭŒ ʼnŁģįŀ a u ōīĵŒ ĭń ŃĪģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ u GG 3) ĬŁœ a 0 ōĸĹœ au 0. - ıĮʼn ĥGĮň ĺĿģGŁōĸţG ŁĩŌĬĦŃ ıGĮʼn ĥĮň GĤļĦŌĹG ŀģŌīĭń Œ ńŐĪıœ Įʼn Ľįŀ ŌİŀĮĺĿģGŁōĸ G ĬGŁœ G u x1i  y1 j ōĸĿ v x2 i  y2 j , ıĮʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸĤļĦ u ōĸĿ v ōĵĮŒ u ˜ v x1x2  y1 y2 252

įĪʼn ĭń 23 ŌĹŀģŌīŏń ĮĺŁĵĵīŃ Ń 1. ĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁīĦŀœ ĺŁģĺŁĵĵīŃ Ń E ģĪŃ ħĿģŁŗ Z G D A(3, 3, 4) F O ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Y C B X ŏĻĽœ įň ģįŀ ĺŁģ ABCD. EFOG ōĸĿ ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ ŌĵĪŀ A(3,3, 4) . ħĦŒ ʼn įļģīĹʼn İĿĺŁĮĤļĦŌĵĪŀ B, C, D, E, F ōĸĿ G: B ………………… C ………………… D ………………… E ………………… F ………………… G ………………… 253

Ľįň ĭŒĹʼn Őİ: ĮĩŃ ĵʼn ĤŋĮōģĮ X ōģĮ Y ōĸĿ ōģĮ Z ōĸĹœ ŏĺĻŒ Ĺʼn ĸģň ĺļĮģŁŗ ģįŀ ĺĿŌijŁĿĭŁĦĭŃĪįĹģ ĺĹŒ ĮĭŁĦĭŃĪĸįʼn ōĵĮŒ İĿŐĹŏœ ĮĬŁĮĭŒ ńŌĤʼnœŁŏħōĸĹœ , ŌĨŒ ŀĮ: ZZ OY OX XY ĺŁĵōģĮ X, Y ōĸĿ Z (īĦŀœ ĺŁģŌĨŒ ĦŃ ģĮŀ ōĸĿ ģĮŀ ĶĭŒň Œ ńŌĵĪŀ O) ħĿģŁŗ ŢĪʼn ōıĮŒ ijŋĦ(ŢŁœ ijŋĦ) ĤĮœŅ 3 ōıĮŒ ijŋĦ ŌĨŒ ĦŃ ŌļĮńœ ĹŁŒ : ōıĮŒ ijŋĦijņœĮĬŁĮ. ŌĽʼnŁŌļĮœń ōıĮŒ ijŋĦĭŒ ń ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ģŁŗ ĮĪʼn ĪĹœ ĩōģĮ X ōĸĿ ōģĮ Y ĹŁŒ ōıĮŒ ijŋĦijņœĮĬŁĮ XY, ōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ĪĹœ ĩ ōģĮ X ōĸĿ ōģĮ Z ĹŁŒ ōıĮŒ ijŋĦijœņĮĬŁĮ XZ, ōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ĪĹœ ĩōģĮ Y ōĸĿ ōģĮ Z ĹŁŒ : ōıĮŒ ijŋĦijņœĮĬŁĮ YZ. ĺŁĵōıĮŒ ijŋĦ XY, YZ ōĸĿ XZ ħĿōįĦŒ ģŁĦĻŁĹļļģŌİŀĮ 8 ĺĹŒ Į, ŌĨŒ ĦŃ ĶŌŒň ĭŃĦ ōıĮŒ ijŋĦ XY ħŁŗ ĮĹĮ 4 ĺĹŒ Į ōĸĿ ĶĸŒň ĵŇŒ ōıĮŒ ijŋĦ XY ħŁŗ ĮĹĮ 4 ĺĹŒ Į, ĪĦŒ ŀ Ľįň ĪŁœ ĮĸĵŇŒ : z o y x 254

ŌĵŒļņ ģŁŗ ŢĪʼn ŌĵĪŀ P ŏĪŢŒ ŅĦŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁīĦŀœ ĺŁģĺŁĵĵīŃ ,Ń ħĿĸĿįīŇ Łŗ ōŢĦŒ ĤļĦ ŌĵĪŀ P ŎĪĩŏĨħœ Łŗ ĮĹĮħĦŃ ĺŁĵħŁŗ ĮĹĮĽŋĦģĮŀ īŁĵĸŁŗ Īįŀ ŌļĮœń ĹŁŒ īĹʼn İĿĺŁĮĤļĦŌĵĪŀ P, ŌĨŒ ĦŃ ĤŋĮŏĮĽįň (x, y, z) . Z x Y y P(x, y,z) Oz ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ X x ĸĿįĹŇ ŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģōıĮŒ ijŋĦ YZ ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ X ŌİŀĮŐĸĩĿ ŌĭŒ ʼnŁŏĪ ōĸĿ ŏĮĭŃĪĭŁĦŏĪ, ŌĵŒļņ x ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮįĹģĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģ ōıĮŒ ijŋĦ YZ ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ X ĭŁĦĪŁœ ĮįĹģŌİŀĮŐĸĩĿ x ĻĹʼn ŢĹŒ ĩ, ŌĵŒļņ x ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĸįʼn ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģōıĮŒ ijŋĦ YZ ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ X ĭŁĦĪŁœ Įĸįʼn ŌİŀĮŐĸĩĿ x ĻĹʼn ŢĹŒ ĩ ōĸĿ ŌĵŒļņ x ŌİŀĮ 0 ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶŌŒň ĭŃĦ ōıĮŒ ijŋĦ YZ. y ĸĿįĹŇ ŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģōıĮŒ ijŋĦ XZ ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ Y ŌİŀĮŐĸĩĿ ŌĭŒ ʼnŁ ŏĪ ōĸĿ ŏĮĭŃĪĭŁĦŏĪ, ŌĵŒļņ y ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮįĹģ ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģ ōıĮŒ ijŋĦ XZ ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ y ĭŁĦĪŁœ ĮįĹģŌİŀĮŐĸĩĿ y ĻĹʼn ŢĹŒ ĩ, ŌĵŒļņ y ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĸįʼn ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģōıĮŒ ijŋĦ XZ ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ Y ĭŁĦĪŁœ Įĸįʼn ŌİŀĮŐĸĩĿ y ĻĹʼn ŢĹŒ ĩ ōĸĿ ŌĵŒļņ y ŌİŀĮ 0 ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶŌŒň ĭŃĦ ōıĮŒ ijŋĦ XZ. z ĸĿįĹŇ ŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģōıĮŒ ijŋĦ XY ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ Z ŌİŀĮŐĸĩĿ ŌĭŒ ʼnŁŏĪ ōĸĿ ŏĮĭŃĪĭŁĦŏĪ, ŌĵŒļņ z ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮįĹģ ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģ ōıĮŒ ijŋĦ XY ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ Z ĭŁĦĪŁœ ĮįĹģŌİŀĮŐĸĩĿ z ĻĹʼn ŢĹŒ ĩ, ŌĵŒļņ z ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮĸįʼn ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶĻŒň ŁŒ ĦħŁģōıĮŒ ijŋĦ XY ŐİīŁĵĸĹĦĤļĦōģĮ Z ĭŁĦĪŁœ Įĸįʼn ŌİŀĮŐĸĩĿ z ĻĹʼn ŢĹŒ ĩ ōĸĿ ŌĵŒļņ z ŌİŀĮ 0 ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĵĪŀ P ĶŌŒň ĭŃĦ ōıĮŒ ijŋĦ XY 255

ŐĸĩĿĻŁŒ ĦĸĿĻĹŁŒ ĦĺļĦŌĵĪŀ ŏĮ R3 ģŁĮĨļģĻŁŐĸĩĿĻŁŒ Ħ ĸĿĻĹŁŒ ĦŌĵĪŀ ĺļĦŌĵĪŀ ŏĮģŁĦĻŁĹ ĺĵʼn ĵĪŇ ĹŁŒ ōĵĮŒ ŌĵĪŀ P(x1, y1, z1) & Q(x2 , y2 , z2 ) ŌĽʼnŁħĿŏĨœ ģŁĮĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ ōĸĿ ĻŊģŀ ŌģĮİńīŁģŗ ĪĦŒ ŀ Į:ńœ Z Q(x 2 , y 2 , z 2 ) P(x 1 , y 1 , z 1 ) R(x 2 , y 2 , z 1 ) O S Y ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ X ŌĵŒļņ ĺĦŀ ŌģĪĽįň ģįŀ ĺŁģĤŁœ ĦŌĭŃĦ ŎĪĩĮŁŗ ŏĨĥœ ĹŁĵĽŌňœ ĸŒ ņļĦŐĸĩĿĻŁŒ ĦĸĿĻĹŁŒ ĦĺļĦ ŌĵĪŀ ŌĭŃĦōıĮŒ ijŋĦ ŌĽʼnŁŐĪ:œ PR2 (x2 - x1 )2  ( y2 - y1 )2 ĻŊņ PR (x2 - x1 )2  ( y2 - y1 )2 ōĸĿ RQ2 (z2 - z1 )2 . ōīļŒ Ħń īŁĵĻŊģŀ ŌģĮİńīŁģŌŗ ĽʼnŁĵń PQ2 PR2  RQ2 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ PQ2 (x2 - x1 )2  ( y2 - y1 )2  (z2 - z1 )2 ĺĿĮĮŀœ ¥¾žœÉŸŒŠŒ P(x1, y1, z1 ) &Q(x2 , y2 , z2 ) ¢š”É PQ (x2 - x1 )2  ( y2 - y1 )2  (z2 - z1 )2  256

īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ P(2, 2,3) ŌĭŃĦōıĮŒ ijŋĦ XY, YZ ōĸĿ XZ. įĪʼn ōģ.œ Z ħŁģĽįň (2, 0, 3) (0, 2, 3) - ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ P(2, 2,3) ŌĭŃĦ P(2, 2, 3) ōıĮŒ ijŋĦ XY ōĵĮŒ ŌĵĪŀ (2, 2, 0) - ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ P(2, 2,3) ŌĭŃĦ OY ōıĮŒ ijŋĦ YZ ōĵĮŒ ŌĵĪŀ (0, 2, 3) X (2, 2, 0) - ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ P(2, 2,3) ŌĭŃĦ ōıĮŒ ijŋĦ XZ ōĵĮŒ ŌĵĪŀ (2, 0, 3) īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2). ħĦŒ ʼn ĨļģŐĸĩĿĻŁŒ ĦĸĿĻĹŁŒ ĦŌĵĪŀ A(1,3,0) & B(2, 1, 1) ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ įĪʼn ōģ.œ ļĦŃ īŁĵĺĪň AB (x2 - x1 )2  ( y2 - y1 )2  (z2 - z1 )2 ŌĵŒļņ ōĭĮĥŁŒ ħĿŐĪœ AB (2  1)2  (1  3)2  (1  0)2 1  16  1 18 3 2 įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 1 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮĤļĦŌĵĪŀ ĭŒ ńĩĦŀ ŌĻŊņļĤļĦĽįň ģįŀ ĺŁģŌĨŒ ĦŃ ŢŁœ ĭģŇ ŢŁœ ĤĿŢŁĮ ģįŀ ōıĮŒ ijŋĦijņœĮĬŁĮ Z G F(1, 4, 3) B C Y O E H D A(3, 1, 0) X 257

2. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮĭŒ ńŌİŀĮŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ B(2, 4, 2) ŌĭŃĦōģĮ ōĸĿ ōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńģŁŗ ŢĪʼn ŏĻīœ Œ ŗŐİĮ:œń Z FG C B(2, 4, 2) Y O H D A 2) ŌĭŃĦōģĮ Y X 1) ŌĭŃĦōģĮ X 3) ŌĭŃĦōģĮ Z 4) ŌĭŃĦōıĮŒ ijŋĦ XY ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5) ŌĭŃĦōıĮŒ ijŋĦ XZ 6) ŌĭŃĦŢŁœ ijŋĦ YZ 3. ħĦŒ ʼn ĨļģīĹʼn İĿĺŁĮĭŒĹʼn ŐİĤļĦŌĵĪŀ īĪŀ ĭŒ ńĶŌŒň ĭŃĦōģĮ ĻŊņ ŢŁœ ijŋĦĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ĪŏĻīœ Œ ŗŐİĮ:œń 1) ŌĵĪŀ ŌĭŃĦōģĮ X 2) ŌĵĪŀ ŌĭŃĦōģĮ Y 3) ŌĵĪŀ ŌĭŃĦōģĮ Z 4) ŌĵĪŀ ŌĭŃĦŢŁœ ijŋĦ XY 5) ŌĵĪŀ ŌĭŃĦŢŁœ ijŋĦ XZ 6) ŌĵĪŀ ŌĭŃĦŢŁœ ijŋĦ YZ 4. ħĦŒ ʼn ĹŁĦŌĵĪŀ īŒ ŗŐİĮŏńœ ĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁīĦŀœ ĺŁģĺŁĵĵīŃ Ń A(1, 2, 0) B(1, 2, 1) C(1,3, 2) D(2, 1, 1) 5. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ P ōĸĿ Q ŌĭŃĦŢŁœ ijŋĦ XY, XZ ōĸĿ YZ ŌĵŒļņ P(3, 4, 6) ōĸĿ Q(5, 2, 6) 6. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŐĸĩĿĻŁŒ ĦĸĿĻĹŁŒ ĦŌĵĪŀ P(1, 3, 6) ōĸĿ Q(3, 2,1) 7. ħĦŒ ʼn ijŃħŁĸĿĮŁĽįň ĺŁĵōħĭŒ ńĵħń ļĵ A(1, 2,1) , B(3, 7, 9) ōĸĿ C(11, 4, 2) ŌİŀĮĽįň ĺŁĵōħĨĿĮĪŃ ŏĪ? 258

2. ŌĹŀģŌīŏń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁīĦŀœ ĺŁģĺŁĵĵīŃ Ń G GGGG G G G ŏĻŌœ ĹŀģŌīń u xi  y j  zk & v x 'i  y ' j  z 'k ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁīĦŀœ ĺŁģĺŁĵĵīŃ .Ń GG ģ) ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸıŒ Įʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸĤļĦ u & v ĽĹňœ ŁŒ :      G 2 G 2 G 2 GG GG G G i j k 1 & i˜ j i˜ j j˜k 0 Ĥ) ħĦŒ ʼn ĮŁŗ ŏĨıĮʼn ŐĪĽœ įŀ ħŁģĤŗœ ģ) ŌijŒ ņļĥĪŃ ŐĸıŒ Įʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸ ĤļĦŌĹŀģŌīń GG u (1, 0,3) & v(0, 2, 0) ħŁģĭŒ ńŐĪģœ ŁŒ ĹĵŁōĸĹœ ĹŁŒ ŌĹŀģŌīŏń ĮĺļĦĵīŃ ģŃ Łŗ ĮĪʼn ŏĮĽįň ªaº , ŌĨŒ ĦŃ ţŁĩŌĬĦŃ ŌĹŀģ ¬«b »¼ Ōīń ĭŒ ńĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ (ħĪŇ ģŁŗ ŌĮĪń ) ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩ(ħĪŇ ĺĮœŃ ĺĪŇ ) (a,b) ĻŊņ ŌĵĪŀ īĮʼnœ ĭŒ ń (x, y) ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩĭŒ ń (x  a, y  b) .ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īŒ ŗŐİŌĽʼnŁħĿĤĿĻĩŁĩōĮĹĥĪŃ ħŁģŌĹŀģŌīń ŏĮĺļĦĵīŃ ŌŃ İŀĮŌĹŀģŌīŏń ĮĺŁĵĵīŃ Ń ŎĪĩ ŏĨĸœ Ŀįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁĺŁģĺŁĵĵīŃ Ń ĭŒ ńŐĪĽœ ŋĮĵŁōĸĹœ ŌİŀĮijņœĮĬŁĮ. ªxº « » ĮĩŃ Łĵ ŏĻœ x, y, z ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ŌļĮńœ « y » ĹŁŒ ŌĹŀģŌīŏń ĮĺŁĵĵīŃ Ń ĻŊņ ŌļĮœń ĺĮŀœ őĹŁŒ «¬z »¼ ŌĹŀģŌīń ªxº « » ŏĮĭŁĦŌĸĤŁĥĿĮĪŃ ŌĽʼnŁōĭĮŌĹŀģŌīń « y » ĪĹœ ĩĭļŒ ĮĨŒ ĭņ Œ ńĵĭń ŃĪĭŁĦ (ĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦ) ¬«z »¼ ŌĨŒ ĦŃ ĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ (O) ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩ (x, y, z) ĪĦŒ ŀ Ľįň ĤŁœ ĦĸĵŇŒ : 259

Z P(x, y, z) OP OY X īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ŏJJĻJGœ O ŌİŀĮŌĵĪŀ ŌĥʼnœŁ P(2, 3,1) ōĸĿ Q(0, 4, 2). ħĦŒ ʼn ĨļģŌĹŀģŌīīń Œ ŗŐİĮœń ģ. OP JJJG Ĥ. OQ JJJG ĥ. PQ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ įĪʼn ōģ.œ JJJG ª 2º Ĥ. ģ. OP ««3»» ĥ. «¬ 1 »¼ JJJG ª 0º OQ « » « 4 » «¬2»¼ JJJG ª 02 º ª2º PQ « 4  (3)»» « » « « 7 » «¬(2) 1 »¼ ¬«3»¼ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ħĦŒ ʼn ōīĵœ ŌĹŀģŌīīń Œ ŗŐİĮŏœń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁĺŁģ G ª 3º G ª 4º G ª2º a ««1»» b « » c ««3»» ģ. Ĥ. « 1 » ĥ. «¬ 4 »¼ ¬«2»¼ ¬«4¼» 260

įĪʼn ōģ.œ ŌĽʼnŁōīĵœ ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁĺŁģĪŋĹģĮŀ ŐĪĥœ :ņ (3, - 1, 4) Z a (2, 3, 4) c O Y b Xສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ (4, 1, - 2) ŏĮĮĩŃ ŁĵĤŁœ ĦŌĭŃĦ ŐĪŌœ ĹʼnœŁŌĬĦŃ ģŁĮģŁŗ ĮĪʼn ŌĹŀģŌīŏń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁĺŁģ ĭŒ ńĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ ĺĹŒ ĮģŁĮģŁŗ ĮĪʼn ŌĹŀģŌīŏń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁĺŁģĭŒ ńŌĵĪŀ īĮʼnœ įŒ ŗĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ ĺŁĵŁĪ ģŁŗ ĮĪʼn ŐĪĪœ ĦŒ ŀ Į:ńœ ĭļŒ ĮĨŒ ĭņ Œ ńĸĿįĭŇ ŃĪĭŁĦ ŌĨŒ ĦŃ ĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ĶŒň P1(x1, y1, z1) ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩ JJJJG ªx2  x1 º ĶŒň P2 (x2 , y2 , z2 ) ōĵĮŒ P1P2 « » ţŁĩŌĬĦŃ ŌĹŀģŌīń « y2  y1 » (ĪĦŒ ŀ Ľįň ĸĵŇŒ Į)œń «¬z2  z1 ¼» Z P2(x2, y2, z2) P1P2 P1(x1,y1,z1) O Y X 261

JJJG īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ŏĻœ P(2, 3,1) ōĸĿ Q(0, 4, 2). ħĦŒ ʼn ĨļģŌĹŀģŌīń PQ JJJG ª 02 º ª2º PQ « 4  (3)»» « » įĪʼn ōģ.œ « « 7 » «¬(2) 1 »¼ «¬3»¼ ĥĮŇ ĸģŀ ĺĿĮĿ ŌĹŀģŌīŏń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁīĦŀœ ĺŁģĺŁĵĵīŃ Ń ģŁĮŌĭŒ ʼnŁģĮŀ ªaº ªd º ««b » ««e » » » ģŒīŗ Œ ŗŌĵŒļņ a d , b e ōĸĿ c f ¬«c »¼ «¬ f »¼ ģŁĮįĹģŌĹŀģŌīń ªaº ªd º ªa  d º ««b » ««e » ««b » »  »  e » ¬«c »¼ «¬ f ¼» ¬«c  f »¼ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ģŁĮĸįʼn ŌĹŀģŌīń ªaº ªd º ªa  d º ««b » ««e » ««b » »  »  e » «¬c ¼» ¬« f ¼» ¬«c  f ¼» ŌĹŀģŌīĺń Įň ª0º ŌĹŀģŌīĺń Įň ōĵĮŒ ««0»» «¬0»¼ ªaº ªaº ªaº ««b » ««b » ««b » ŌĹŀģŌīģń Ħʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵĤļĦ » ōĵĮŒ  » » ¬«c »¼ «¬c ¼» ¬«c »¼ ģŁĮĥĮň ŌĹŀģŌīĪń Ĺœ ĩĺĿģŁōĸ ªaº ªD aº ««b » ««D b » D » » ŌĵŒļņ D ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ŏĪŢŒ ŅĦ ¬«c »¼ ¬«Dc ¼» 262

Ĥŗĺœ Ħŀ ŌģĪ: ªaº ª(1)aº ªaº ««b » ««(1)b » ««b » 1. ŏĮģĸŗ ĿĮĭń Œ ń D 1 ħĿŌĻŀĮĹŁŒ (1) » » » ĮĮŀœ ģĥŗ ņ ¬«c »¼ «¬(1)c »¼ ¬«c »¼ ªaº ªaº ªaº ««b » ««b » ««b » (1) »  » » «¬c ¼» ¬«c ¼» ¬«c ¼» ªaº ªa 'º ««b » ĤĿŢŁĮģįŀ ««b '»» ģīŗ Œ ŗŌĵŒļņ ĵħń Łŗ ĮĹĮħĦŃ O z 0 ĭŒ ńŌĽŀĪŏĻœ 2. ŌĹŀģŌīń » «¬c ¼» «¬c '¼» a Oa ', b Ob ' & c Oc ' G ª2º G ª1 º ŏĻœ a ««1 » b ««3»» ōĸĿ D īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ», 2 G «¬3G¼» G ¬«4G¼» G G ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ a  3b , 2a  b,  a & D b ĹĭŃ ńōģ.œ GG ª2º ª1 º ª2º ª3u1 º ª2  3 º ª5 º a  3b ««1 » ««3 » ««1 » ««3 3»» ««1  9 » ««10»» »  3 » »  u » ¬«15»¼ ª3 º ¬«3¼» ¬«4»¼ «¬3¼» «¬3u 4»¼ ¬«3  12¼» ««1»» «¬2 ¼» GG ª2º ª1 º ª2 u 2º ª1 º ª4 1º 2a  b ««1 » ««3»» ««2 » ««3»» ««2 » 2 »  u 1 »   3 » «¬3¼» «¬4¼» ¬«2 u 3¼» ¬«4¼» ¬«6  4»¼ G ª2º ª2º a ««1 » ««1»»  » ¬«3¼» «¬3»¼ G ª1 º ª2u1 º ª2º Db ««3 » ««2 u 3»» ««6»» 2 » «¬4»¼ «¬2 u 4»¼ «¬8¼» 263

įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 2 JJJJG JJJJG 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ MN ōĸĿ NM ŌĵŒļņ ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ M ōĸĿ N ĪĦŒ ŀ īŒ ŗŐİĮ:œń 1) M (1, 2,1), N(2, 2, 4) 2) M (4,1,7), N(2, 2, 4) 3) M (5,7,9), N(8, 6, 4) 4) M (0,8,9), N (3, 7,3) G G G GG GG GG 5) ŏĻœ i  4 j  k x(i  j)  y( j  i)  z(2k  j) . ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ x  y  z G ª2º G ª2º a « » b ««3 » 2. ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ « 0 » , » . ¬« 3 »¼ «¬1 »¼ ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ: ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ GG 1) a  3b GG 2) 5a b GG 3) 4a  4b GG 4) a  2b GG 5) ŌĹŀģŌīģń Ħʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵĤļĦ 5a  b GG 6) ŌĹŀģŌīģń Ħʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵĤļĦ a  2 b 7) ŏĻœ R(2,  1, 2) & S (0,  5, 6) . ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĹŀģŌīĺń ŁĵĻĹʼn ŢĹŒ ĩĭŒ ńĵĭń ŃĪ JJJG ģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ RS 3. ŌĹŀģŌīŏń ĪīŒ ŗŐİĮĭńœ Œ ńĤĿŢŁĮģĮŀ ªº «1 » ª1º ª 0º ª 3º ª1 º ª 0º « » « » ««3»» , ««6»» , ««1 » ««3»» , «« 1 » « 2 » , «¬2»¼ «¬3»¼ » , «¬ 2 »¼ 3 » «¬ 1 »¼ «¬2»¼ « 2 » « » ¬ 3¼ 264

3. ĤĿŢŁĪĤļĦŌĹŀģŌīń īŁĵĭŒ ńŐĪģŒ ŁŒ ĹĵŁōĸĹœ ĹŁŒ ĤĿŢŁĪĤļĦŌĹŀģŌīŏń ĪŢŒ ŅĦ ţŁĩŌĬĦŃ ĥĹŁĵĩŁĹĤļĦĭļŒ Į ĨŒ ĭņ Œ ńĸĿįĭŇ ŃĪĭŁĦĭŒ ńōĭĮŌĹŀģŌīĮń Įŀœ JJJJG Z ĬŁœ MN ŌİŀĮŌĹŀģŌīŏń ĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁĺŁģ MN ĺŁĵĵīŃ Ń M ĵīń Ĺʼn İĿĺŁĮ (x1, y1, z1) ōĸĿ N(x 2 , y 2 , z 2 ) N ĵīń Ĺʼn İĿĺŁĮ (x2 , y2 , z2 ) ĪĦŒ ŀ Ľįň ħĿŐĪœ M(x 1 ,y 1 ,z 1 ) JJJJG ª x2  x1 º MN « » « y2  y1 » Y ¬« z2  z1 ¼» O ōĸĿ X JJJJG MN ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ (x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  (z2  z1 )2 JJJG īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ŏĻœ P(1,3, 2) &Q(1, 2, 6) , ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĤĿŢŁĪĤļĦŌĹŀģŌīń PQ . JJJG įĪʼn ōģ.œ PQ (1  (1))2  (2  3)2  (6  2)2 4  25  16 45 3 5 ŌĹŀģŌīĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩ ĮĩŃ Łĵ ŌĹŀģŌīĭń Œ ńĵĤń ĿŢŁĪ 1 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩŌļĮńœ ĹŁŒ ŌĹŀģŌīĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩ (unit vector) ªaº ««b » ŌĹŀģŌīĭń Œ ńĵĤń ĿŢŁĪŢŒ ŅĦĻĹʼn ŢĹŒ ĩ ōĸĿ ĵĭń ŃĪĭŁĦĪŋĹģįŀ ŌĹŀģŌīń » ŏĪŢŒ ŅĦĭŒ ńįŒ ŗ ¬«c »¼ 1 ªaº  b2 ««b » ōĵĮŒ ŌĹŀģŌīńĺĮň ōĵĮŒ a2  c2 » . ¬«c ¼» 265

G ª1 º G ª0º G ª0º ŌĹŀģŌīĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩĭŒ ńĺŁŗ ĥĮŀ ōĵĮŒ i ««0»» j ««1 » k ««0»» ĪĦŒ ŀ Ľįň , » & «¬1 »¼ ¬«0¼» «¬0»¼ Z (0,0,1) k (1,0,0) j Y i (0,1,0) X G ªaº ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ G GG G ĬŁœ ŏĻœ u ««b » u ŏĻĶœ ŏŒň ĮĽįň ĤļĦ i , j & k ŐĪĪœ ĦŒ ŀ Įńœ » ŌĽʼnŁĺŁĵŁĪĤŋĮ «¬c »¼ G ªaº ªaº ª0º ª0º u ««b » ««0 » ««b»» ««0»» » »   ¬«c »¼ «¬0»¼ ¬«0¼» ¬«c¼» ª1 º ª0º ª0º ««0»» ««1 » ««0»» a  b »  c ¬«0¼» ¬«0»¼ ¬«1 »¼ GG G ai  b j  ck JJJG īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ŏĻœ AB ŌĨŒ ĦŃ ŌĵĪŀ īĮʼnœ A ĵīń Ĺʼn İĿĺŁĮ (2, 0, -1) ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩ B ĵīń Ĺʼn JJJG İĿĺŁĮ (3, -1, 1). ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĹŀģŌīĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩĭŒ ńĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĪŋĹģįŀ AB ŏĮĽįň GG G ĤļĦ i , j & k. JJJG ª3  2 º ª1 º įĪʼn ōģ.œ AB ««1  0 » ««1»» » «¬2 ¼» ¬«1  (1)¼» 266

JJJG 12  (1)2  22 6 ħĿŐĪœ ŌĹŀģŌīĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩĭŒ ńĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĪŋĹ ŐĪœ AB JJJG ª1 º ª1 º ª0º ª0º ģįŀ AB ōĵĮŒ 1 ««1»» 1 ««0»» 1 ««1 » 1 ««0 » 6 ¬«2 »¼ 6 «¬0¼»  6 »  6 » ¬«0¼» ¬«2¼» JJJG G G G ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĹŀģŌīĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩĭŒ ńĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĪŋĹģįŀ AB ŏĮĽįň ĤļĦ i , j & k JJJG 1 G 1 G 1 G ōĵĮŒ AB i j k 66 6 ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦ ģŁĮģŁŗ ĮĪʼn ĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦŌĹŀģŌīŏń ĪŢŒ ŅĦĮĮŀœ ĮļģħŁģģŁŗ ĮĪʼn ĪĹœ ĩīĹʼn İĿĺŁĮ ĤļĦŌĹŀģŌīōń ĸĹœ ĩĦŀ ĺŁĵŁĪģŁŗ ĮĪʼn ĪĹœ ĩĵĵŇ ĭŒ ńŌĹŀģŌīļń ļģħŁģōģĮĭĦŀ ĺŁĵĪĦŒ ŀ Įœń ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Z JJJG ªaº S ģŁŗ ĮĪʼn ŌĵĪŀ P(a,b,c) ħĿŐĪœ OP ««b » » ¬«c ¼» J P(a, b, c) ģŁŗ ĮĪʼn D, E ,J >0,S @ ŌİŀĮĤĿŢŁĪĤļĦ DE RY JJJG ĵĵŇ ĭŒ ńĸĿĻĹŁŒ Ħ OP ģįŀ ōģĮĭŁĦįĹģĭĦŀ X O ĺŁĵīŁĵĸŁŗ Īįŀ ħĿŐĪœ JJaJG Q cosD OJJQJG OP OP cos E OJJRJG JJbJG OP OP cosJ OJJSJG JJcJG OP OP JJJG ŏĮĮńœ ŌļĮńœ D, E ,J ĹŁŒ ĵĵŇ ģŁŗ ĮĪʼn ĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦ ĤļĦ OP ĭŋįģįŀ ōģĮ X, Y, Z JJJG īŁĵĸŁŗ Īįŀ ōĸĿ ŌļĮńœ cosD , cos E , cosJ ĹŁŒ ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ OP ŌĨŒ ĦŃ ĺŁĵŁĪĮĩŃ ŁĵŐĪĪœ ĦŒ ŀ Įńœ 267

GG ªaº G ĮĩŃ Łĵ ŎģĨĮŃ ĺĿōĪĦĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ a ŌĵŒļņ a ««b » a z 0 ĭŋįģįŀ ōģĮ X, » ŌĨŒ ĦŃ ¬«c ¼» Y, Z īŁĵĸŁŗ Īįŀ ōĵĮŒ ħŁŗ ĮĹĮĺŁĵħŁŗ ĮĹĮĭŒ ńĽŋĦīŁĵĸŁŗ Īįŀ ĪĦŒ ŀ Įńœ aG , bG , cG aaa īĹʼn ĶŁŒ Ħ. G ª3º ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ G įĪʼn ōģ.œ ŏĻœ a ««2»» ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ a G «¬1 ¼» a 32  22  12 9  4  1 14 G 3, 2, 1 ĺĿĮĮŀœ ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ a ōĵĮŒ 14 14 14 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ. (ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮōģŌœ ļĦ) ŏĻœ M (1,3,5) & N(3, 4, 7) . JJJJG ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ MN ĮĩŃ Łĵ ŌĹŀģŌīĺń ļĦŌĹŀģŌīħń Ŀĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĪŋĹģĮŀ ģŒīŗ Œ ŗŌĵŒļņ ĵŎń ģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĨŇĪĪŋĹģĮŀ ōĸĿ ħĿĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵģĮŀ ģŒīŗ Œ ŗŌĵŒļņ ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦ ĭŋįōīĸŒ ĿōģĮĤļĦŌĹŀģŌīŢń Œ ŅĦŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ ŎģĨĮŃ įļģ ĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦļģń ŌĹŀģŌīŢń Œ ŅĦ. īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ģĹĪĺļįŌįŒ ĦŃ ĹŁŒ ŌĹŀģŌīĥń ŏňŒ ĪīŒ ŗŐİĮĤœń ĿŢŁĮģĮŀ G ª2 º ģ. a ««10»» «¬ 4 »¼ G Ĥ. ŌĹŀģŌīń b ĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ĭŒ ń (1, 2,3) ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩĭŒ ń (2, 3,5) G ĥ. ŌĹŀģŌīń c ĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ĭŒ ńŌĵĪŀ ŌĥʼnœŁ ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩĭŒ ń (3,15, 6) 268

G ª2 º įĪʼn ōģ.œ ģ. a ««10»» ¬« 4 ¼» G 4 100  16 120 2 30 a 22  (10)2  42 G 2 , 10 , 4 ĻŊņ ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ a ōĵĮŒ 2 30 2 30 2 30 1 , 5 , 2 30 30 30 Ĥ. G ª2 1 º ª1 º b ««3  2»» ««5»» «¬5  3 ¼» «¬2 »¼ G b 12  (5)2  22 1  25  4 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 30 G 1 , 5 , 2 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ b ōĵĮŒ 30 30 30 G ª3  0º ª3º c ««15 » ««15 » ĥ.  0 » » «¬6  0¼» «¬6»¼ G c (3)2  152  (6)2 9  225  36 270 3 30 G 3 , 15 , 6 ĻŊņ ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĤļĦ c ōĵĮŒ 3 30 3 30 3 30 1 , 5 , 2 30 30 30 GG G GG ħĿŌĻŀĮĹŁŒ a , b & c ĸĹœ ĮōīĤŒ ĿŢŁĮģĮŀ ŎĪĩĭŒ ń a &b ĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĪŋĹģĮŀ GG ōīĹŒ ŁŒ b & c ĵń ĸĹĦĪŋĹģĮŀ ōĸĿ ĭŃĪģĦʼn ģĮŀ ĤŁœ ĵģĮŀ . 269

įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 3 GG G 1. ħĦŒ ʼn ĤŋĮŌĹŀģŌīīń Œ ŗŐİĮŏńœ ĮĽįň ĤļĦ i , j & k ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁĺŁģ JJJG ª 2º 1) OA « » « 1 » ¬«3¼» JJJG 2) PQ ŎĪĩĭŒ ń P(1, 2, 2) & Q(2,1, 4) JJJJG 3) MN ŎĪĩĭŒ ń M (0,1, 2) & N (2,1, 4) 2. ħĦŒ ʼn ĨļģĤĿŢŁĪĤļĦŌĹŀģŌīīń Œ ŗŐİĮńœ ª1 º ª 2º ª10º ««2»» , ««1»» « » 1) , « 0 » ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ «¬3¼» «¬ 4¼» ¬«8 ¼» JJJG 2) AB ŌĵŒļņ īĹʼn İĿĺŁĮĤļĦ A ōĸĿ B ōĵĮŒ (3, 4,1) & (1, 1, 6) īŁĵĸŁŗ Īįŀ ª1º ª3º ª1 º ª 3º ««1 » ««2»» ««1 » « 7»» 3. ħĦŒ ʼn ōģĺœ ĵʼn ıĮʼn x »  y  z » « «¬3»¼ ¬«1 ¼» «¬2»¼ «¬1¼» 4. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĹŀģŌīĻń Ĺʼn ŢĹŒ ĩĭŒ ńĵĭń ŃĪ ōĸĿ ĸĹĦĪŋĹģįŀ ŌĹŀģŌīĭń Œ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻŏœ ĮĽįň ĤļĦ GG G i , j & k ŏĮĸĿįįʼn ĺĮŀœ ŌĥʼnœŁĺŁģ G ª1º 1) a ««2»» JJJG «¬ 3 ¼» 2) QR ŎĪĩĭŒ ń Q(1,5,8) & R(0, 3,1) 5. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĹŀģŌīĭń Œ ńĵĤń ĿŢŁĪ 2 ĻĹʼn ŢĹŒ ĩ ōĸĿ ĤĿŢŁĮģįŀ ŌĹŀģŌīĭń Œ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ ŏĮĤŗœ 4 ĤŁœ ĦŌĭŃĦĮ.œń 270

6. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĹŀģŌīijń ļœ ĵĭĦŀ įļģĤĿŢŁĪ ōĸĿ ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦ ĤļĦ ŌĹŀģŌīń ŌĨŒ ĦŃ ĵŌń ĵĪŀ īĮʼnœ ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩĪĦŒ ŀ īŒ ŗŐİĮœń 1) ŌĵĪŀ īĮʼnœ A(2, 5, 3) ŌĵĪŀ İŁĩ B(3,5, 1) 2) ŌĵĪŀ īĮʼnœ M (1, 4, 2) ŌĵĪŀ İŁĩ N(2, 4, 7) 3) ŌĵĪŀ īĮʼnœ S (3,1, 0) ŌĵĪŀ İŁĩ T (4, 2,8) 7. ħĦŒ ʼn ģĹĪĺļįĹŁŒ ŌĹŀģŌīīń Œ ŗŐİĮœń ŌĹŀģŌīŏń ĪĭŒ ńĤĿŢŁĮģĮŀ JJJG 1) ŌĹŀŌīń PQ ĭŒ ńŌĵĪŀ īĮʼnœ ōĵĮŒ P(1, 4,3) ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩōĵĮŒ Q(2,0,1) JJJG 2) ŌĹŀŌīń OR ĭŒ ńŌĵĪŀ īĮʼnœ ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ŌĥʼnœŁ ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩōĵĮŒ R(5,0, 2) 3) G ª3º ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ u ««4»» ¬«2¼» 271

ıĮʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸ (Scalar Product or Dot Product) ıĮʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸţŁĩŌĬĦŃ ıĮʼn ĥĮň ĤļĦŌĹŀģŌīĭń Œ ńŐĪıœ Įʼn Ľįŀ ŌİŀĮĺĿģŁōĸ GGGG GGGG ĮĩŃ Łĵ: ĬŁœ u x1i  y1 j  z1 k ōĸĿ v x2 i  y2 j  z2 k , ıĮʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸĤļĦ G G GG u ōĸĿ v ōĵĮŒ u ˜ v x1x2  y1 y2  z1z2 G ª2 º G ª3º GG ŏĻœ u ««1»» ōĸĿ v ««4 » u˜v īĹʼn ĶŁŒ Ħ. » ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ ¬«5 ¼» «¬6 »¼ GG ª2 º ª3º u˜v ««1»» ˜ ««4 » įĪʼn ōģ.œ » 2(3)  (1)4  5 ˜ 6 20 ¬«5 ¼» «¬6 ¼» ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ĥĮŇ ĸģŀ ĺĿĮĿĭŒ ńĺŁŗ ĥĮŀ ĤļĦıĮʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸ 1. ŏĻœ u , v & w ŌİŀĮŌĹŀģŌīŏń ĪŢŒ ŅĦ ōĸĿ a ŌİŀĮĺĿģŁōĸ ħĿŐĪœ  G G G G 1.1 u ˜ v v ˜ u , u ˜ v  w u ˜ v  u ˜ w      1.2 a u ˜ v au ˜ v u ˜ av u 1.3 0 ˜ u 0 1.4 u ˜ u _ u _ 2 GG GG G G GG G G G G i˜ j i˜k j˜k 0 1.5 i ˜ i j ˜ j k ˜ k 1 2. ĬŁœ T ŌİŀĮĵĵŇ ĸĿGĻĹGŁŒ Ħ u & v ŌĨŒ ĦŃ A G G 0 d T d 180q ōĸĹœ u ˜ v | u || v | cosT GG u 3. ĬŁœ u, v z 0 ōĸĹœ G G GG 1. u A v œ u ˜ v 0 œ u ˜ v OT G G GG G G G B 2. u // v œ u ˜ v r | u || v | | u | cosT v 272

GG GG 1.1 u ˜ v v ˜ u G GGG G GGG ijŃĺĪň : ŏĻœ u x1i  y1 j  z1 k ōĸĿ v x2 i  y2 j  z3 k GG x1x2  y1 y2  z1z2 u˜v GG x2 x1  y2 y1  z2 z1 v˜u ŎĪĩŏĨĥœ ĮŇ ĸģŀ ĺĿĮĿģŁĮĺĿĻŊįŀ įļŒ ĮĤļĦģŁĮĥĮň ĤļĦħŁŗ ĮĹĮħĦŃ ħĿŐĪœ x1x2  y1 y2  z1z2 x2 x1  y2 y1  z2 z1 GG GG ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ u ˜ v v ˜ u G G G2 1.4 u ˜ u u ªxº G « y »» ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ijŃĺĪň : ŏĻœ u « «¬z »¼ GG ªxº ªxº u˜u « » « » « y » ˜ « y » «¬z ¼» «¬z ¼» xx  yy  zz x2  y2  z2  2 x2  y2  z2 G2 u 273

GG G G GG 2. ĬŁœ T ōĵĮŒ ĵĵŇ ĸĿĻĹŁŒ Ħ u ōĸĿ v ŌĨŒ ĦŃ 0q d T d 180q ōĸĹœ u ˜ v u v cosT JJJG G JJJJG G ijŃĺĪň : ģŁŗ ĮĪʼn OP1 u ōĸĿ GOPG2 v Z JJJJG ħĿŐĪœ P2 P1 u  v P1 u- v G ª x1 º G ª x2 º u u « » v « » ĬŁœ « y1 » , « y2 » Tv P2 «¬z1 »¼ «¬z2 ¼» Y GG ª x1  x2 º ħĿŐĪĹœ ŁŒ u  v « » O « y1  y2 » X «¬ z1  z2 »¼ ŎĪĩļŁŐĺĻŊģŀ ŌģĮŎģĨĮŃ ħĿŐĪœ (P2 P1 )2 (OP1 )2  (OP2 )2  2(OP1 )(OP2 ) cosT ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ĮĮŀœ ĥņ GG (x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  (z1  z2 )2 (x12  y12  z12 )  (x22  y22  z22 )  2 u v cosT ōĸĿ (x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  (z1  z2 )2 (x12  y12  z12 )  (x22  y22  z22 ) ħĿŐĪœ x1 x2  y1 y2  z1 z2 G G 2(x1x2  y1 y2  z1z2 ) ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ G G GG u v cosT u ˜ v u v cosT G GG G GG 3. u z 0 ōĸĿ v z 0, v īĦŀœ ĺŁģģįŀ u ģīŗ Œ ŗŌĵŒļņ u ˜ v 0 GG ijŃĺĪň : ŏĻœ T ŌİŀĮĵG ĵŇ GĸĿĻGĹGŁŒ Ħ u ōĸĿ v ĭŒ ń 0 d T d 180q ŌĮŒ ļņ ĦħŁģ u ˜ v u v cosT G G GG ōĸĿ u ˜ v 0 ģīŗ Œ ŗŌĵŒļņ u v cosT 0 GG ōīŒ u z 0 ōĸĿ v z 0 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ cosT 0 ŐĪœ T 90q G G ĻŊņ u īĦŀœ ĺŁģģįŀ v G G GG ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ u īĦŀœ ĺŁģģįŀ v ģīŗ Œ ŗŌĵŒļņ u ˜ v 0 274

GG īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŎģĨĮŃ ĤļĦĵĵŇ ĸĿĻĹŁŒ Ħ u ōĸĿ v ŌĵŒļņ G ª2º G ª 1º u « » v « 3»» « 1 » , « ¬« 2¼» «¬G1»¼G G G įĪʼn ōģ.œ ŌĮŒ ļņ ĦħŁģ u ˜ v u v cosT GG cosT uG ˜ Gv ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ uv GG ōīŒ u ˜ v (2)(1)  (1)(3)  (2)(1) 3 G ōĸĿ u (2)2  12  22 5 G v 12  32  (1)2 11 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ cosT 3 3 | 0, 4 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5 11 55 īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĺĿōĪĦĹŁŒ Ľįň ĺŁĵōħĭŒ ńĵħń ļĵĶŌŒň ĵĪŀ A(4, 9, 1), B(-2, 6, 3), C(6, 3, -2) ŌİŀĮĽįň ĺŁĵōħĺŁģ JJJG ª2  4º ª6º AB « » ««3»» įĪʼn ōģ.œ « 69 » ¬« 3 1 »¼ «¬ 2 »¼ JJJG ª6  4 º ª2 º AC « » ««6 » « 3  9 » » «¬2 1»¼ ¬«  3»¼ JJJG JJJG ª6º ª 2 º AB ˜ AC ««3»» ««6 » ˜ » «¬ 2 ¼» ¬«  3¼» (6)(2)  (3)(6)  2(3) 12 18  6 0 JJJG JJJG ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , ABC ŌİŀĮĽįň ĺŁĵōħĺŁģ ĭŒ ńĵń AB īĦŀœ ĺŁģģįŀ AC 275

īĹʼn ĶŁŒ Ħ. ħĦŒ ʼn ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĺŀĮœ ħļĵģŁĦĭŒ ńĤĪń ħŁģħļĵĤļĦĽįň ĺŁĵōħĭŋŒ Ħ ĩļŒ ĵīĦŀœ ĺŁģ ģįŀ ijņœĮ įĪʼn ōģ.œ ŏĻœ ABC ŌİŀĮĽįň ĺŁĵōħĭŋŒ ĦŎĪĩĭŒ ń AB = BC ōĸĿ ĵŌń ĺŀœĮ BM ōįĦŒ ŌĥŒ ĦŃ JJJJG JJJG ijœņĮ AC ĶŌŒň ĵĪŀ M (ĪĦŒ ŀ Ľįň ) ħĿīļœ ĦĺĿōĪĦĹŁŒ BM īĦŀœ ĺŁģģįŀ AC B A C M ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ JJJG G JJJG G GG ŏĻœ AB u ōĸĿ BC v ħĿŐĪœ u v JJJG JJJG JJJG G G AC AB  BC u  v  JJJJG 1 JJJG 1 GG AC uv MC 22 GG G GG uv v uv JJJG    MB JJJJG JJJG 1 1 MC  CB 22 GG uv    JJJG JJJJG1 GG ˜1 uv MB ˜ MC 22 1 uG  G  ˜ uG  vG 4 v GGG GGG u v ˜u uv ˜v ^ `   14 GG GG GG GG u˜u v˜u u˜vv˜v 4 1 G2 G2 u v 4 1 0 276

JJJG JJJJG G ŌijŁĿĹŁŒ MB ōĸĿ MC īŁŒ ĦįŒ ŗŌĭŒ ʼnŁģįŀ 0 JJJJG JJJG ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ BM īĦŀœ ĺŁģģįŀ AC ĺĿōĪĦĹŁŒ ŌĺŀĮœ ħļĵģŁĦĭŒ ńĤĪń ħŁģħļĵĤļĦĽįň ĺŁĵōħĭŋŒ Ħ ĩļŒ ĵīĦŀœ ĺŁģģįŀ ijņœĮ įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 4 GG G G 1. ħĦŒ ʼn ĨļģGĥŁŒ ĤGļĦ u˜v ŌĵŒļņ ģŁŗ ĮĪʼn u ōĸĿ v ĪĦŒ ŀ īŒ ŗŐİĮńœ GG GG G ģ) u i  3 j  k ōĸĿ v 3i  4k G GG G GG Ĥ) u i  k ōĸĿ v 3i  j 2. ħĦŒ ʼn ĨļģĤĿŢŁĪĤļĦĵĵŇ ĸĿĻĹŁŒ ĦŌĹŀģŌīīń Œ ŗŐİĮœń G GG G GG G G ģ) u 2i  j  k ōĸĿ v i  2 j  4k GG GG ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ G GG G Ĥ) u i  2 j  k ōĸĿ v i  j  4k G ª4º G ª 2 º G ª 6º ģŁŗ ĮĪʼn a « » b « 7 » c ««3»» . ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁıĮʼn ĥĮň ĺĿģŁōĸīŒ ŗŐİĮńœ 3. « 2 » , « » , G G «¬G4G¼»   «¬7¼» «¬ 0 ¼»G G G G ģ) a ˜ b  a ˜ c Ĥ) a  b a  b  G G G Ħ)  G  G   G  bG  a b a ĥ) b a  b 4. ŌĹŀģŌīŏń ĮĤŏŗœ ĪŌİŀĮŌĹŀģŌīīń Ħŀœ ĺŁģŌĨŒ ĦŃ ģĮŀ ōĸĿ ģĮŀ ª 2 º ª1 º ª2º ª 2 º ģ) ««2»» , ««2»» ««1 » ««2»» Ĥ) » , «¬ 1 ¼»G ¬«G2»¼ JG «¬2¼» «¬ 1 ¼» G JG 5. ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻœ u , v ōĸĿ w ŌİŀĮŌĹŀģŌīń ŌĨŒ ĦŃ ĵĥń ĮŇ ĸģŀ ĺĿĮĿ u w ōĸĿ GG G JG G ōĸĿ G S ōĸĹœ ĵĵŇ ĸĿĻĹŁŒ Ħ uv v  w . ĬŁœ ĵĵŇ ĸĿĻĹŁŒ Ħ u v ĵĤń ĿŢŁĪŌĭŒ ʼnŁ 5 G JG v ōĸĿ w ĵĤń ĿŢŁĪŌĭŒ ʼnŁŏĪ? 277

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດijŁģĭń XI ŌĸĤŁĹŌŃ ĥŁĿŏĮōıĮŒ ijŋĦ įĪʼn ĭń 24 Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ 1. ĥĹŁĵĽŌňœ įļņœ ĦīĮʼnœ ģŋŒ Ĺģįŀ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩōĵĮŒ ŢŁœ īĪŀ ĤļĦĽįň ħĹĩ ĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ ĪĹœ ĩōıĮŒ ijŋĦ ōĸĿ Ľįň ĽŁŒ ĦĤļĦŢŁœ īĪŀ ħĹĩōĵĮŒ ĤĮŅœ ģįŀ ĸģŀ ĺĿĮĿĤļĦģŁĮīĪŀ ģĮŀ ĸĿĻĹŁŒ ĦĽįň ħĹĩģįŀ ōıĮŒ ijŋĦĮĮŀœ ŌĨŒ ŀĮ: 1) Ľįň ĹĦʼn ĵĮʼn : ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩ ĪĹœ ĩōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńĤĿŢŁĮ ģįŀ ijņœĮĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ . 2) Ľįň ōļĮĸŃį: ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩ ĪĹœ ĩōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńİĿ ģļįģįŀ ijœņĮĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ ŌİŀĮĵĵŇ ŏĪŢŒ ŅĦ. 278 278

3) Ľįň İŁķŁŎįĮ: ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩĪĹœ ĩōıĮŒ ijŋĦ ĭŒ ńĤĿŢŁĮģįŀ ŌĺŀĮœ ŏĻģœ Łŗ ŌĮĪń ĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ 4) Ľįň ļōń İģŎįĮ: ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩĪĹœ ĩōıĮŒ ijŋĦ ĭŒ ńīĦŀœ ĺŁģģįŀ ijņœĮĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ (ōıĮŒ ijŋĦĤĿŢŁĮģįŀ ōģĮ) ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2. ĮĩŃ ŁĵĤļĦĽįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ ŏĻœ F ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ĥĦʼn ĭŒ ń D ŌİŀĮŌĺŀĮœ ĨŒ ĥņ Ħʼn ĭŒ ń ōĸĿ e ŌİŀĮģĵŇ ħŁŗ ĮĹĮħĦŃ įĹģ (F  D). ĺŁŗ ĸįŀ ŌĵĪŀ M ĭģŇ ŌĵĪŀ ĤļĦōıĮŒ ijŋĦ, ŌijŒ ŃĮģŁŗ ĮĪʼn ŌļʼnŁ H ŌİŀĮŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦ M ŏĺŒ D. ģĵŇŒ C ĤļĦŌĵĪŀ M ĤļĦōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńīļįĺĿŢļĦĺĿŌţńıĮʼn MF e ŌļĮœń ĹŁŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńĵń MH ŌĵĪŀ ĺĵŇ F , ŌĺŀœĮĮŁŗ D ōĸĿ ļĪŀ īŁĺĵŇ e . 279 279

D M H ' K AF M' 3. ōģĮŌĥŒ ĦŃ ĥņ D M ŏĻœ M  C, F  ' ōĸĿ ' A D H ' H ōĵĮŒ ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦ M ŏĺŒ D S ōĵĮŒ ģŁĮŌĥŒ ĦŃ ĥĤņ Łœ ĵōģĮ ' H' M' SM  M ' , SH H '  HM  // ' ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ F ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ  H ' M ' // ' , H c ħŒĦŅ ōĵĮŒ ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦ M c ŏĺŒ D ħŒĦŅ ŐĪœ M 'F MF ĺĿōĪĦĹŁŒ M '  C ĺĿĮĮŀœ ' ħŒĦŅ ŌİŀĮōģĮŌĥŒ ĦŃ ĥņ ĻŊņ ōģĮĺĵŇ M 'H MH ĤļĦĽįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ. 4. ħļĵĤļĦĽįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ ŏĻœ C ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńĵŌń ĵĪŀ ĺĵŇ F , ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D, ōģĮĺĵŇ ' īĦŀœ ĺŁģ ģįŀ D ĶŒň K ōĸĿ A ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ĽĹŒ ĵĸĿĻĹŁŒ Ħ ' ōĸĿ C, ŎĪĩŏĻœ K , A, F ĽĹŒ ĵ ŌĺŀĮœ ĨŒ Īņ ŋĹģĮŀ ōĸĿ AF e e ! 0 AK 280 280

ħŁģ AF e ŌĽʼnŁŐĪœ AF e u AK ĭŁĦĪŁœ ĮŌĹŀģŌī,ń ĬŁœ ĺŁĵŌĵĪŀ K , A, F AK JJJG JJJG ĽĹŒ ĵŌĺŀĮœ ĨŒ Īņ ŋĹģĮŀ ōĵĮŒ ĺļĦŌĹŀģŌīń AF ōĸĿ AK ĽĹŒ ĵĸĹĦĪŋĹģĮŀ , ŌĽʼnŁĤŋĮŐĪ:œ JJJG JJJG JJJG JJJG AF e AK ĻŊņ AF e AK x ĬŁœ e 1 AF AK , įŒ ŗĺŁĵŁĪĺŁœ ĦŌĵĪŀ A ŐĪ;œ AF AK , ĺŁœ ĦŐĪœ A ŌĵĪŀ ŌĥŒ ĦŃ ģŁĦ ĤļĦ >FK @ ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ħļĵĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ x ĬŁœ e z 1 AF e AK , ĺŁœ ĦŐĪŌœ ĵĪŀ A ; AF  eAK , ĺŁœ ĦŐĪŌœ ĵĪŀ Ac ĺĿōĪĦĹŁŒ ĺŁœ ĦŐĪĺœ ļĦŌĵĪŀ A ōĸĿ Ac ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ħļĵĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn , Ľįň ĹĦʼn Ľń ōĸĿ Ľįň ļōń İģŎįĮ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5. ĻŊģŀ ŌģĮ ŏĻĽœ įň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ C ĭŒ ńĵħń ĪŇ ĺĵŇ F , ļĪŀ īŁĺĹŒ ĮĺĵŇ e ōĸĿŌĺŀœĮĮŁŗ D, ŌĺŀœĮĨŒ ņ ' ĭŒ ńıŁŒ ĮŌĵĪŀ ĺĵŇ F ōĸĿ īĦŀœ ĺŁģģįŀ D ĶŒň K ōĵĮŒ ōģĮŌĥŒ ĦŃ ĥĤņ ļĦ C ŌĨŒ ĦŃ ŌļĮńœ ĹŁŒ : ōģĮĺĵŇ . 1. ĬŁœ ĹŁŒ e 1, ĵĮŀ İŁģĪʼn ĵŌń ĵĪŀ ŌĥŒ ĦŃ ģŁĦ A ĤļĦ >FK @ ijŋĦŌĵĪŀ ĪŋĹĤļĦ C ĶōŒň ģĮ ' ŌĨŒ ĦŃ ŌļĮœń ĹŁŒ ħļĵĤļĦĽįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ ōĸĿ ģĵŇŒ ĤļĦŌĵĪŀ M c ŌĨŒ ĦŃ ŌİŀĮ ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦŌĵĪŀ M ŏĺŒ ' ōĵĮŒ ŌĥŒ ĦŃ ŌĺŀĮœ ĨŒ ņ ĭŒ ńĵŌń ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ A ĭŒ ńįĮŀ ħŌŇ ĵĪŀ F . ŌļĮńœ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ C ĹŁŒ Ľįň İŁķŁŎįĮ. 2. ĬŁœ ĹŁŒ 0  e  1 , ĵĮŀ İŁģĪʼn ĵĺń ļĦŌĵĪŀ A ōĸĿ Ac ĤļĦ C ĶōŒň ģĮ ' ŌĨŒ ĦŃ ŌļĮœń ĹŁŒ ħļĵĤļĦĽįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ ōĸĿ ģĵŇŒ ĤļĦŌĵĪŀ M c ōĵĮŒ ĭļŒ ĮĨŒ ņ >AA'@ ŌļĮœń Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ C ĹŁŒ Ľįň ĹĦʼn Ľ.ń 3. ĬŁœ ĹŁŒ e ! 1, ĵĮŀ İŁģĪʼn ĵĺń ļĦŌĵĪŀ A ōĸĿ Ac ĤļĦ C ĶōŒň ģĮ ' ŌĨŒ ĦŃ ŌļĮńœ ĹŁŒ ħļĵĤļĦĽįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ ōĸĿ ģĵŇŒ ĤļĦŌĵĪŀ M c ōĵĮŒ ģŁĮŎĽĵģĮŀ ĤļĦŌĥŒ ĦŃ 281 281

ŌĺŀœĮĨŒ ĭņ Œ ńĵŌń ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ A ōĸĿ Ac īŁĵĸŁŗ Īįŀ ōĸĿ įŒ ŗįĮŀ ħŌŇ ĵĪŀ K. ŌļĮœń Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ C ĹŁŒ Ľįň ļōń İģŎįĮ. ĺĿōĪĦĹŁŒ ĺŁœ ĦŐĪĺœ ļĦŌĵĪŀ A ōĸĿ Ac ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ħļĵĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn , Ľįň ĹĦʼn Ľń ōĸĿ Ľįň ļōń İģŎįĮ. įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ 1. ŏĻŌœ ĵĪŀ F , ŌĺŀĮœ ĨŒ ņ D ĭŒ ńįŒ ŗıŁŒ ĮŌĵĪŀ F ōĸĿ ħŁŗ ĮĹĮħĦŃ įĹģ e. M ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦōıĮŒ ijŋĦŎĪĩŏĻ:œ MF e ŌĨŒ ĦŃ H ōĵĮŒ ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦ M ŏĺŒ D, MH M c ōĵĮŒ ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦ M ŏĺŒ ' . K ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ĽĹŒ ĵĤļĦ D ōĸĿ ' , A ŌİŀĮ ŌĵĪŀ ŌĥŒ ĦŃ ģŁĦĤļĦ >FK @. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1) ħĦŒ ʼn Ĩōńœ ħĦĹŁŒ MF 2  e2MH 2 0 2) ħĦŒ ʼn Ĩōœń ħĦĹŁŒ M ' M 2  M ' F 2  e2 M ' K M ' M 2  (M ' F  e MK ) (M ' F  e MK ) 0 3) ĬŁœ ĹŁŒ e = 1. - ħĦŒ ʼn Ĩōńœ ħĦĹŁŒ M ' F  M ' K 2 M ' A ōĸĿ M ' F  M ' K KF - ħĦŒ ʼn ģĹĪĥĮņ ŌįŒ ĦŃ ĹŁŒ (M ' F  MK ) (M ' F  MK ) 2 MA ˜ KF ōĸĿ M ' M 2 2 AM ˜ KF 4) ĬŁœ ĹŁŒ e z 0 . - ħĦŒ ʼn Ĩōńœ ħĦĹŁŒ M ' F  e M ' K (1  e) M ' A ōĸĿ M ' F  e M ' K (1  e) M ' A - ħĦŒ ʼn ģĹĪĥĮņ ŌįŒ ĦŃ ĹŁŒ M ' M 2 (e2 1) M ' A ˜ M ' A' 282 282

įĪʼn ĭń 25 Ľįň İŁķŁŎįĮ 1. ĮĩŃ Łĵ: Ľįň İŁķŁŎįĮōĵĮŒ ģĵŇŒ ĤļĦŌĵĪŀ M  x, y ŏĮōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńīļįĺĿŢļĦ ĺĿŌţńıĮʼn MF e 1, H1 ōĵĮŒ ŌĦŁʼn ĺŁĩĺŁģĤļĦ M1 ŏĺŒ D , MH D ōĵĮŒ ŌĺŀĮœ ĨŒ ĥņ Ħʼn ĭŒ ń D F ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ĥĦʼn ĭŒ ń (F  D), M1 ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ĽĹŒ ĵĸĿĻĹŁŒ ĦŌĺŀœĮģŁĦĺŁģĤļĦ H1 M1 H2 M2 KA F ' >H1F @ ōĸĿ ŌĺŀœĮĨŒ ıņ ŁŒ Į H1 ĤĿŢŁĮģįŀ '. H3 M3 H4 M4 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2. ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵħń ļĵĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ O( 0,0) GG A; i , j  ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁ , ŏĻŌœ ĵĪŀ M  x, y īŁĵŏħĶĽŒň įň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ ĬŁœ ŌĽʼnŁĹŁĦ AF AK c c ƒ , ŌĽʼnŁŐĪœ A0, 0, F c, 0, K c, 0 īŁĵĮĩŃ Łĵ, ŌĽʼnŁŐĪ:œ MF 2 MH 2 œ  x  c2   y  02  x  c2   y  y2 œ x2  2cx  c2  y2 x2  2cx  c2 ħŒĦŅ ŐĪœ y 2 4cx ŌĨŒ ĦŃ ŌļĮœń ĹŁŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵń : D - ħļĵ A0,0 KA F - ōģĮĺĵŇ ' : y 0 cc - ħĪŇ ĺĵŇ F c, 0 - ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D: x c x c 283 283

- ĬŁœ c ! 0 , ĦŁŒ İŁķŁŎįĮŌİńĪŐİŌįļœņ ĦĤĹŁ - ĬŁœ c  0 , ĦŁŒ İŁķŁŎįĮŌİńĪŐİŌįļņœ ĦĨŁœ ĩ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn y2 4cx c!0 c0 D D F C,0 F c,0 KA A K x c ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ xc ĪĹœ ĩĹĭŃ ńĪŋĹģĮŀ , ŎĪĩŌļʼnŁ D ŏĮĸĹĦĮļĮ ōĸĿ ' ŏĮĸĹĦīĦŀœ ŌĽʼnŁŐĪĺœ ĵʼn ıĮʼn : x2 4cy ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵń : - ħļĵ A0,0 - ōģĮĺĵŇ ' : x 0 - ħĪŇ ĺĵŇ F 0, c - ŌĺŀœĮĮŁŗ D: y c - ĬŁœ c ! 0 , ŐĪĽœ įň İŁķŁŎįĮĻĦŁĩ - ĬŁœ c  0 , ŐĪĽœ įň İŁķŁŎįĮĤĹŁŗœ 284 284

ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn x2 4cy c!0 c0 DK yc A F0, C A F 0,  c D K y c GG (0 ; i , j ) , ŌijŒ ŃĮŏĻŌœ ĵĪŀ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດīĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁĻĹʼn ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ M  x, y ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵŌń ĺŀĮœ ĮŁŗ D : x 3 ōĸĿ ŌĵĪŀ ĺĵŇ F (3; 0). ħĦŒ ʼn ĺŁœ Ħĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĮĮŀœ . įĪʼn ōģ:œ - ŏĻœ M  x, y ŌİĮŀ ŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ MH  īĦŀœ ĺŁģģįŀ ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D ĶŒň H ţŁĩĥĹŁĵĹŁŒ H 3, y īŁĵĮĩŃ Łĵ ŌĽʼnŁŐĪœ : MF 2 MH 2 œ  x  32   y  02  x  32   y  y2 œ x2  6x  9  y2 x2  6x  9 œ y 2 12x y2 12x ōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ŏĻĽœ įň İŁķŁŎįĮ 5 : x2 12 y , ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁ - īĹʼn İĿĺŁĮĤļĦŌĵĪŀ ĺĵŇ - ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ įĪʼn ōģ:œ ħŁģĺĵʼn ıĮʼn x2 4cy ŌĽʼnŁŐĪœ 4c 12 Ÿ c 3 ħŒĦŅ ŐĪœ F (0;  3) , D : y 3 285 285

3. ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵħń ļĵĶŌŒň ĵĪŀ ( h ;k) ħŁģģŁĮōĭĮ x ĪĹœ ĩ x  h ōĸĿ ōĭĮ y ĪĹœ ĩ y  k x ĺĵʼn ıĮʼn y2 4cx ģŁĩŌİŀĮ ( y  k)2 4c(x  h) ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵ:ń - ŌĵĪŀ ħļĵ Zh ; k  , - ōģĮĺĵŇ ' : y k - ħĪŇ ĺĵŇ F c  h, k  , - ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D: x c  h ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn y k2 4 c x h c!0 c0 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ y' D y y D y' F c  h, k  ' ' F c  h, k  k kZ Z x x h hO Oh 286 286

x ŌĨŒ ŀĮĪŋĹģĮŀ , ĺĵʼn ıĮʼn x2 4cy ģŁĩŌİŀĮ (x  h)2 4c( y  k)2 ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵ:ń 4c( y  k) - ŌĵĪŀ ħļĵ Zh; k , - ōģĮĺĵŇ ' : x h - ħĪŇ ĺĵŇ F h, c  k  , - ŌĺŀœĮĮŁŗ D : y c  k ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn (x  h)2 c!0 c0 y' y' F h, c  k  h O ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ x D x' k Z x' kZ D F h, c  k  Oh x īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮĤļĦŌĵĪŀ ħļĵ, ħĪŇ ĺĵŇ ōĸĿ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ ĤļĦĽįň İŁķŁ ŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn y2  6 y  4x 1 0 ōĸĹœ ōīĵœ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦĽįň ĪĦŒ ŀ ģŁŒ Ĺ ŏĺĸŒ Ŀįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁ GG ĻĹʼn ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ (0 ; i , j ) , įĪʼn ōģ:œ ŌĽʼnŁĵń y 2  6 y  4x  1 0 ( y  3)2  9  4x  1 0 ( y  3)2 8  4x ( y  3)2 4 (x  2) 287 287

ħŒĦŅ ŐĪœ - ŌĵĪŀ ħļĵ Z2 ; 3, y y' D - ħĪŇ ĺĵŇ F 1;3 - ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D: x 3 4 ' 3F x Z 2 1 O 12 3 4 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. GG ŌijŒ ŃĮŏĻŌœ ĵĪŀ M  x, y ŌİŀĮ ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁĻĹʼn ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ (0 ; i , j ) , ŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ ĭŒ ńĵŌń ĺŀœĮĮŁŗ D : y 4 ōĸĿ ħĪŇ ĺĵŇ F (2 ;  2). ħĦŒ ʼn ĺŁœ Ħĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĮĮŀœ . įĪʼn ōģ:œ ŏĻœ M  x, y ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ MH  īĦŀœ ĺŁģģįŀ ŌĺŀœĮĮŁŗ D ĶŒň H , ŌĽʼnŁŐĪœ H  x, 4 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īŁĵĮĩŃ ŁĵŌĽʼnŁŐĪ:œ MF 2 MH 2 œ  x  22   y  22  x  x2   y  42 œ (x  2)2 ( y  4)2  ( y  2)2 œ (x  2)2 œ (x  2)2 ( y  4  y  2) ( y  4  y  2) 2 (2y  6) 4 y  3 ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮōĵĮŒ (x  2)2 4( y  3) 4. ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮŏĮĽįň ĭŒĹʼn Őİ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮŏĮĽįň ĭŒĹʼn ŐİĵĽń įň ĽŁŒ Ħ: 1) Ay 2  By  Cx  D 0 ĦŁŒ İŁķŁŎįĮŌİńĪŐİŌįļņœ ĦĤĹŁ ĻŊņ ĨŁœ ĩ 2) Ax2  Bx  Cy  D 0 ĦŁŒ İŁķŁŎįĮĻĦŁĩ ĻŊņ ĤĹŁŗœ 288 288

ŏĺŏŒ ħ: ĺĵʼn ıĮʼn ŏĮĽįň ĽŁŒ Ħ Ay 2  By  Cx  D 0 ĻŊņ Ax2  Bx  Cy  D 0 įŒ ŗōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĺĿŌţńŐİ. īĹʼn ĶŁŒ Ħ: ĺĵʼn ıĮʼn y 2  2 y 0 ĵń A 1 , B 2 , C D 0 ōĸĿ y 2  2 y y( y  2) 0 ŐĪœ y 0 ĻŊņ y 2 ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĺļĦŌĺŀœĮĨŒ Ĥņ ĿŢŁĮģĮŀ . įĪʼn ŌIJŃģĻĪŀ GG O,i , j  1. P  x, y ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦ ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁĻĹʼn ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ , ŌijŒ ŃĮŏĻœ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵŌń ĺŀĮœ ĮŁŗ D ōĸĿ ħĪŇ ĺĵŇ F . ħĦŒ ʼn ģŁŗ ĮĪʼn ĺĵʼn ıĮʼn P ĤļĦĽįň ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ İŁķŁŎįĮŏĮōīĸŒ Ŀģĸŗ ĿĮĸń ĵŇŒ Į:œń Ĥ. D : y 3; F 0,3 Ħ. D : x 1; F 5, 2 ģ. D : x 2; F 2, 0 ĥ. D : x 4; F 4, 0 ħ. D : y 4; F 2, 2 2. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮĤļĦħĪŇ ĺĵŇ ōĸĿ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀĮœ ĮŁŗ ĤļĦĽįň İŁķŁ ŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn ĸĵŇŒ Į:ńœ ģ. x2 10 y Ĥ. x2 10 y ĥ. y2 8x Ħ. x2 8y ħ. y2 6x ĺ. x2  y 4 3. ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ ōĸĿ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ ŌĵŒļņ ĽĹňœ ŁŒ ŌĵĪŀ ħļĵ ōĵĮŒ ŌĵĪŀ O 0, 0 ōĸĿ ŌĵĪŀ ĺĵŇ ģŁŗ ĮĪʼn ŏĻĪœ ĦŒ ŀ ĸĵŇŒ Į:ńœ ģ. F 3,0 Ĥ. 4,0 ĥ. § 0, 3 · Ħ. § 0,  4 · ¨© 2 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ 289 289

4. ħŁģĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńģŁŗ ĮĪʼn ŏĻĸœ ĵŇŒ Į.œń ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁīĹʼn İĿĺŁĮĤļĦ ŌĵĪŀ ħļĵĤļĦŌĵĪŀ ĺĵŇ ōĸĿ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ , ijļœ ĵĭĦŀ ōīĵœ ŌĺGŀĮœ ĺGĿōĪĦ  ĤļĦōīĸŒ ĿĽįň İŁķŁŎįĮŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀĮœ ŌĥʼnœŁĻĹʼn ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ O, i , j . ģ. y2  6 y  4x 1 0 Ĥ. y2  4 y  x  5 0 ĥ. x2  3y  8x 1 0 Ħ. 3x2 12x  y 12 0 ħ. 2 y2  4 y  x  4 0 5. ģļœ ĦĺļŒ ĦļĮŀ ŢŒ ŅĦĵŎń ĥĵĺĿĭļœ ĮōĺĦŌİŀĮĽįň İŁķŁŎįĮģĹœ ŁĦ 12 cm ōĸĿ ŌĸŃģ 6 cm . ĬŁœ ĶŁģŏĻĻœ ŊļĪŐĴĭŒ ńĶħŒň ĪŇ ĺĵŇ ĤļĦŎĥĵĺŒĦʼn ōĺĦĺĿĭļœ ĮŌİŀĮŌĸʼnŁĤĿ ŢŁĮģįŀ ōģĮĤļĦŎĥĵ, ŌĽʼnŁĥĹĮĹŁĦĻŊļĪŐĴĻŁŒ ĦħŁģħļĵŌĭŒ ʼnŁŏĪ? 6. ıŁŒ ĮħĪŇ   2,1, ŌijŒ ŃĮĤĪń ŌĺŀĮœ ĨŒ īņ Ħŀœ ĺŁģģįŀ  OX  ĶŒň A , B ŌİŀĮŌĵĪŀ ĽĹŒ ĵĸĿ ĻĹŁŒ ĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn y 2x2  5x  3 ōĸĿ ōģĮ OY . ħĦŒ ʼn Ĩļģĺĵʼn ıĮʼn ŌĺŀĮœ ĨŒ ņ AB . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 7. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĵĪŀ ĽĹŒ ĵĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ ōĸĿ ŌĺŀĮœ ĨŒ ĭņ Œ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn x2 4 y ōĸĿ x  y  3 0 īŁĵĸŁŗ Īįŀ . 8. ħĦŒ ʼn ĨļģŌĵĪŀ ĽĹŒ ĵĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ ōĸĿ ŌĺŀœĮĨŒ ĭņ Œ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn y2 9x ōĸĿ 3x  4 y 12 0 . 9. ħĦŒ ʼn ģŁŗ ĮĪʼn ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀœĮīĪŃ ģįŀ Ľįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn y2 8x ōĸĿ ĤĿŢŁĮ ģįŀ ŌĺŀĮœ ĨŒ ņ 2x  2 y  3 0 . 10. ħĦŒ ʼn ģŁŗ ĮĪʼn ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀœĮīĪŃ ģįŀ Ľįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn x2 16 y ōĸĿ īĦŀœ ĺŁģ ģįŀ ŌĺŀœĮĨŒ ņ 2x  4 y  7 0 . 11. ħĦŒ ʼn ģŁŗ ĮĪʼn ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦŌĺŀœĮīĪŃ ģįŀ Ľįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn y2 36x ōĸĿ ıŁŒ ĮŌĵĪŀ A2,9 . 12. ĪŁĹĻŁĦŌĥŒ ļņ ĮĭŒ ńīŁĵŌĺŀœĮİŁķŁŎįĮŌĨŒ ĦŃ ĵħń ĪŇ ĺĵŇ ōĵĮŒ īŁŌĹŀĮ. ŌĵŒļņ ĪŁĹĻŁĦĻŁŒ Ħ ħŁģīŁŌĹŀĮ 40 ĸŁœ ĮŐĵ miles , ŌĺŀœĮĨŒ ĭņ Œ ńĤĪń ħŁģīŁŌĹŀĮĻŁĪŁĹĻŁĦİĿģļį ģįŀ ōģĮİŁķŁŎįĮŌİŀĮĵĵŇ 60D . ĬŁĵĹŁŒ ĪŁĹĻŁĦħĿŌĥŒ ļņ ĮĭŒ ńĵŁŏģĺœ ĪŇ ģįŀ īŁ ŌĹŀĮŏĮŐĸĩĿŌĭŒ ʼnŁŏĪ? 290 290

įĪʼn ĭń 26 Ľįň ĹĦʼn ĵĮʼn 1. ĮĩŃ Łĵ: ĹĦʼn ĵĮʼn ōĵĮŒ ģĵŇŒ ĤļĦŌĵĪŀ M ŏĮōıĮŒ ijŋĦĭŒ ńĻŁŒ ĦĺĿŌţńħŁģŌĵĪŀ ĥĦʼn ĭŒ ńŢŒ ŅĦŌļĮœń ĹŁŒ ŏħģŁĦ ōĸĿ ŐĸĩĿĻŁŒ ĦĺĿŌţńĮĮŀœ ŌļĮœń ĹŁŒ ĸĪŀ ĺĿţńĤļĦĹĦʼn ĵĮʼn . y M  x, y o r j I h, k  Oo x i ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2. ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵŏń ħģŁĦĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ O( 0;0) ŏĻœ C ōĵĮŒ Ľįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵŏń ħģŁĦ O ōĸĿ ĸĪŀ ĺĿţń a. ŏĮĸĿįįʼn ŌĺŀœĮŌĥʼnœŁĻĹʼn GG O; i, j , C  ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ ōĵĮŒ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn x2  y2 a2 īĹʼn ĶŁŒ Ħ: ħĦŒ ʼn ĤŋĮĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵŏń ħģŁĦĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥʼnœŁ- ōĸĿ ĽĹňœ ŁŒ ĹĦʼn ĵĮʼn ĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹīĪŃ ģįŀ ŌĺŀĮœ ĨŒ ņ x 5 . įĪʼn ōģ:œ ŌĽʼnŁĵń h, k  0, 0 ōĸĿ a 5 0 ħŁģĺĪň x2  y2 a2 ŌĽʼnŁŐĪœ x 2  y 2 25 ĻŊņ x2  y 2  25 3. ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵŏń ħģŁĦĶŌŒň ĵĪŀ Z( h;k) ħŁģģŁĮōĭĮ x ĪĹœ ĩ x  h ōĸĿ ōĭĮ y ĪĹœ ĩ y  k ŌĽʼnŁŐĪœ x2  y2 a2 œ  x  h2   y  k 2 a2 ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵń ŏħģŁĦ Zh; k  ōĸĿ ĸĪŀ ĺĿţń r a . 291 291

īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ħĦŒ ʼn ĤŋĮĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵŏń ħģŁĦĶŌŒň ĵĪŀ I 1, 2 ōĸĿ ĸĪŀ ĺĿţń r 4. įĪʼn ōģ:œ ŌĽʼnŁĵń h, k  1, 2 ōĸĿ a 4 ħŁģĺĪň  x  h2   y  k 2 a2  x 12   y  22 16 ĻŊņ x2  y 2  2x  4 y 11 0 īĹʼn ĶŁŒ Ħ 2. ŏĻĽœ įň ĹĦʼn ĵĮʼn C ĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn x2  y 2  4x  6 y  3 0 . ħĦŒ ʼn ĨļģĻŁŌĵĪŀ ŏħģŁĦ ōĸĿ ĸĪŀ ĺĿţńĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĮĮŀœ . įĪʼn ōģ:œ ħŁģĺĵʼn ıĮʼn x2  y 2  4x  6 y  3 0 ŌĽʼnŁŐĪœ (x2  4x  4)  4  ( y 2  6 y  9)  9 3 (x  2)2  ( y  3)2 16 42 ħŒĦŅ ŐĪŌœ ĵĪŀ ŏħģŁĦ I 2, 3 ōĸĿ ĸĪŀ ĺĿţń a 4 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ īĹʼn ĶŁŒ Ħ 3. ħĦŒ ʼn ōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵŌń ĵĪŀ ŏħģŁĦĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ľįň ĹĦʼn ĵĮʼn C ĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn x2  y 2  2x  4 y  1 0 ōĸĿ ĵĸń Īŀ ĺĿţńŌĭŒ ʼnŁĺļĦŌĭŒ ņļ ĸĪŀ ĺĿţńĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn Į.ńœ įĪʼn ōģ:œ ħŁģĺĵʼn ıĮʼn x2  y 2  2x  4 y  1 0 2 ŌĽʼnŁŐĪœ (x2  2x  1) 1  ( y 2  4 y  4)  4  1 0 (x  1)2  ( y  2)2 4 22 ŌĨŒ ĦŃ ōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĭŒ ńĵŌń ĵĪŀ ŏħģŁĦ I 1, 2 ōĸĿ ĸĪŀ ĺĿţń a ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ Ľįň ĹĦʼn ĵĮʼn C ' ħĿĵĺń ĵʼn ıĮʼn  x 12   y  22 42 ĻŊņ x2  y2  2x  4 y 11 0 y I 1, 2 x o j Oo i 292 292

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ4. ĺĵʼn ıĮʼn ĭŒĹʼn ŐİĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ħŁģīĹʼn ĶŁŒ Ħ 1 ĤŁœ ĦŌĭŃĦ, ĺĦŀ ŌģĪŌĻŀĮĹŁŒ ĬŁœ ŌĽʼnŁĤĿĻĩŁĩĺĵʼn ıĮʼn (x  h)2  ( y  k)2 r2 Įļœń ļģ, ŌĽʼnŁħĿŐĪĺœ ĵʼn ıĮʼn ŏĮĽįň ĽŁŒ Ħ x2  y2  Ax  By  C 0, A, B ,C  \\ ŌĨŒ ĦŃ ŌļĮńœ ĹŁŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ŏĮĽįň ĭŒĹʼn Őİ. ŏĺŏŒ ħ: 1) ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĺŁĵŁĪĤŋĮŏĮĽįň ĽŁŒ Ħ x2  y2  Ax  By  C 0, A, B ,C  \\ ŐĪĺœ ĿŌţń. 2) ĺĵʼn ıĮʼn ĭŒ ńŏĮĽįň ĽŁŒ Ħ x2  y2  Ax  By  C 0, A, B ,C  \\ įŒ ŗōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn ĺĿŌţńŐİ. īĹʼn ĶŁŒ Ħ: ŌijŒ ŃĮŏĻĺœ ĵʼn ıĮʼn x2  y 2  4x  6 y  100 0 įĪʼn ōģ:œ ŌĽʼnŁĵń x2  y 2  4x  6 y  100 0 œ x2  y 2  4x  4  6 y  9 100  4  9 œ (x  2)2  ( y  3)2 87 ŌĻŀĮĹŁŒ r 2 87 ŌĨŒ ĦŃ ŌĽʼnŁįŒ ŗĺŁĵŁĪĨļģĥŁŒ ĤļĦ r ŐĪ,œ ĺĿōĪĦĹŁŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĭŒ ńŏĻœ ĵŁįŒ ŗōĵĮŒ ĺĵʼn ıĮʼn ĤļĦĽįň ĹĦʼn ĵĮʼn . 5. ŐĸĩĿĻŁŒ ĦħŁģŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĭŒ ńĶňŒĮļģĹĦʼn ĵĮʼn ĻŁŌĵĪŀ īŃĪģįŀ ĹĦʼn ĵĮʼn . ŏĻĹœ Ħʼn ĵĮʼn C1 ĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn (x  h)2  ( y  k)2 r2 ōĸĿ ŌĵĪŀ P(x1 , y1) ĶĮŒň ļģĹĦʼn ĵĮʼn . 293 293

y P  x1, y1  T  x2 , y2  I h, k  o x j Oo i ŏĻœ T ŌİŀĮŌĵĪŀ īĪŃ , ŌĮŒļņ ĦħŁģĹŁŒ ĸĪŀ ĺĿţńĤļĦĹĦʼn ĵĮʼn īĦŀœ ĺŁģģįŀ ŌĺŀĮœ īĪŃ ŌĽʼnŁŐĪœ PI 2 PT 2  TI 2 ; PT 2 PI 2  TI 2 ōīŒ PI 2 (x1  h)2  ( y2  k)2 ōĸĿ TI 2 r2 ħŒĦŅ ŐĪœ PT (x2  h)2  ( y2  k)2  r2 ĬŁœ ĹĦʼn ĵĮʼn C1 ĵĺń ĵʼn ıĮʼn x2  y 2  Ax  By  C 0, A, B ,C  ƒ ŌĽʼnŁŐĪœ PT x12  y12  Ax1  By2  C īĹʼn ĶŁŒ Ħ 1. ŏĻĽœ įň ĹĦʼn ĵĮʼn ŢŒ ŅĦĭŒ ńĵĺń ĵʼn ıĮʼn x  32  y  22 25 ōĸĿ P 4,  5 ōĵĮŒ ŌĵĪŀ ĭŒ ńĶĮŒň ļģĹĦʼn ĵĮʼn . ıŁŒ ĮŌĵĪŀ P ŌijŒ ŃĮĤĪń ŌĺŀœĮīĪŃ ģįŀ ĹĦʼn ĵĮʼn ĶŌŒň ĵĪŀ Q . ħĦŒ ʼn ĥĪŃ ŐĸĸŒ ĹĦĩŁĹ PQ . įĪʼn ōģ:œ ħŁģĺĵʼn ıĮʼn x  32  y  22 25 ŌĽʼnŁŐĪœ PQ 4  32   5  22  25 25 5 y ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ JG I 3, 2 x j OG Q Q' i P 4, 5 294 294