วงจรไฟฟ้า 1 ปวส.

91 2.11 หาค่าความนาไฟฟา้ สมมูล Geq จากวงจรดงั ภาพ 2.77 Geq  8S 4S 6S 2S 12 S ภาพ 2.77 สาหรับแบบฝกึ หัดทา้ ยบท ข้อท่ี 2.11 ตอบ Geq  4 S 2.12 หา v1 , v2 , i1 , i2 , PR12 และ PR40 จากวงจรดังภาพ 2.78 i1 12   v1  6  i2  15 V 10  v 2 40   ภาพ 2.78 สาหรบั แบบฝกึ หัดท้ายบท ข้อท่ี 2.12 ตอบ v1  5 V i1  416.667 mA p1  2.083 W v2  10 V i2  250 mA p2  2.5 W 2.13 หา ก) v1 , v2 ข) PR3k , PR20k ค) Pcurrent source จากวงจรดงั ภาพ 2.79 1 k 3 k  10 mA 5 k  v1  v 2 20 k  ภาพ 2.79 สาหรับแบบฝกึ หัดทา้ ยบท ข้อท่ี 2.13 ตอบ ก) v1  15 V v2  20 V ค) p  - 200 mW ข) P1  75 mW P2  20 mW

92 2.14 แปลงรปู โครงขา่ ยแบบวายใหอ้ ยใู่ นรูปโครงขา่ ยแบบเดลตา จากวงจรดงั ภาพ 2.80 a R1 R2 b 10  20  R3 40  c ภาพ 2.80 สาหรับแบบฝกึ หัดทา้ ยบท ข้อที่ 2.14 ตอบ Ra  140  Rb  70  Rc  35  2.15 หาคา่ ความตา้ นทานสมมลู Rab และกระแสไฟฟา้ i จากวงจรดังภาพ 2.81 ia 13  24  10  100 V 20  30  50  b ภาพ 2.82 สาหรบั แบบฝกึ หัดทา้ ยบท ข้อท่ี 2.15 ตอบ Rab  40  i  2.5 A 2.16 หาค่าความต้านทานสมมูล Req จากวงจร ดังภาพ 2.83 โดยใช้ PSPICE ถ้ามีแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้า ขนาด 5 A ตอ่ เขา้ ทขี่ ้ัว a-b a 10  c 1 d 1 6 Req  3 4 5 b 12  b b ภาพ 2.83 สาหรบั แบบฝึกหัดท้ายบท ข้อท่ี 2.16

93 ตอบ ภาพ 2.84 Schematics สาหรับแบบฝึกหดั ทา้ ยบท ขอ้ ท่ี 2.16 2.17 หาขนาดของระบบ PV โดยใช้ PV module พิกัด 12 Vdc 110 Wp จ่ายให้กับการใช้งานอุปกรณ์ ไฟฟ้าและระยะเวลาการใชง้ านในหนง่ึ วัน ดงั น้ี โดยออกแบบที่ 3 day autonomy 1. หลอดฟลอู อเรสเซนต์ 18 W ใช้บัลลาสต์อเิ ลก็ ทรอนิกส์จานวน 1 หลอด ใช้งาน 4 h/day 2. ตูเ้ ยน็ ขนาด 75 W จานวน 1 เครื่อง ใชง้ านตลอด 24 h ซง่ึ คอมเพรสเซอรท์ างาน 12 h/day 3. พดั ลมขนาด 60 W จานวน 1 เครื่อง ใชง้ าน 2 h/day ตอบ PV module จานวน 4 แผง อินเวอร์เตอร์ไม่ต่ากว่า 190 W แบตเตอร่ี 12 V 600 Ah สาหรบั 3 day autonomy เครื่องควบคมุ การประจุ 12 V 40 A

94 รายการเอกสารอ้างองิ Alexander, C. K. and Sadiku, N.O. M. (2009 ). Fundamental of Electric Circuit. (4th ed). New York, NY: McGraw-Hill. Hayt, W. H. Jr. and Kimmerly, J. E. (1993). Engineering Circuit Analysis. (5th ed). Singapore: McGraw-Hill. How to Design Solar PV System. (n.d). Retrieved March 15, 2 016, from http://www.leonics. com/support/article2_12j/articles2_12j_en.php Peebles, Z. P. Jr. and Giuma A. T. (1991). Principles of Electrical Engineering. Singapore: McGraw-Hill. Rizzoni, G. (2003). Principles and Applications of Electrical Engineering. (4th ed). New York, NY: McGRAW-Hill. Steven, S. E. and William, O. G. (1993). Electrical Engineering : An Introduction. (2nd ed). Philadelphia, PA: Saunders College Publishing. ชัญชนา ตั้งวงศ์ศานต์, อาภรณ์ ธีรมงคลรัศมี, ชาญชัย ปล้ืมปิติวิริยะเวช, ลัญฉกร วุฒิ สิทธิกุลกิจ, มานะ ศรียุทธศักด์ิ, ชุมพล อันตรเสน, . . . เทียนชัย ประดิสถายน. (2556). ทฤษฎีวงจรไฟฟ้า ภาควงจร กระแสไฟฟ้าตรง. กรงุ เทพฯ: สานกั พิมพแ์ หง่ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั . ธนากร น้าหอมจันทร.์ (2554). ทฤษฎีวงจรไฟฟา้ . ปทมุ ธานี: มหาวทิ ยาลยั อีสเทิรน์ เอเชยี . ธนากร นา้ หอมจนั ทร์. (2554). ระบบวดั ไฟฟา้ แรงดันสูง พิกัด 20 kVac 28 kVdc โดยใช้วิธโี วลเตจดิไวเดอรแ์ ละ วิธีชับแอนด์โพเทสคิวเพื่อการเรียนการสอนและการวิจัย. รายงานการวิจัยมหาวิทยาลัยอีสเทิร์นเอเชีย งานวิจยั ลาดบั ที่ 42 – 2554. บัณฑิต บวั บูชา. (2541). ทฤษฎแี ละการวิเคราะหว์ งจรไฟฟา้ 1. กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์ ฟิสกิ ส์เซ็นเตอร์. อภนิ ันท์ อุรโสภณ. (2554). วงจรไฟฟา้ . กรงุ เทพฯ: สานกั พมิ พ์ ดวงกมลพับลชิ ชงิ่ .

บทท่ี 3 ระเบยี บวิธกี ารวเิ คราะห์วงจร 3.1 บทนา จากกฎของโอห์ม และกฎของเคอร์ชอฟฟ์ ซึ่งเป็นกฎพื้นฐานสาหรับการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าในบทท่ี ผ่านมา ในบทนี้จะอธิบายถึงการประยุกต์ใช้กฎพื้นฐานสาหรับการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า 2 วิธี ที่มีอิทธิพลต่อ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าเป็นอย่างมาก คือ ระเบียบวิธีแรงดันโนด ซ่ึงประยุกต์จากกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ และระเบียบวิธีกระแสเมซ ซ่ึงประยุกต์จากกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ ซ่ึงท้ัง 2 วิธีนี้ เป็นวิธีการวิเคราะห์ วงจรไฟฟ้าทม่ี คี วามสาคญั และใชก้ ันอย่างแพร่หลายท่ีสุดในด้านวิศวกรรมไฟฟา้ ระเบียบวิธีท่ีกล่าวมาน้ี จะทาให้สามารถวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าแบบเชิงเส้นได้โดยการสร้างชุดของ สมการต่าง ๆ ข้ึนมา โดยจานวนสมการ และตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจะสัมพันธ์กับจานวนโนดสาหรับระเบียบวิธี แรงดันโนด และจานวนเท่ากับจานวนเมซสาหรับระเบียบวิธีกระแสเมซ ซึ่งสามารถนามาวิเคราะห์หาค่าของ กระแสหรือแรงดันไฟฟ้าในวงจรได้ วิธที ี่ใชใ้ นการแกป้ ญั หาจากชุดสมการท่ีได้ คอื กฎของเครเมอร์ ซ่ึงเป็นกฎที่ ใชส้ าหรบั การแก้ปัญหาสมการเชิงเสน้ ในรปู ของเมทรกิ ซ์ ดีเทอร์มแิ นนต์ ดังแสดงในภาคผนวก ก และวธิ ีการใช้ โปรแกรม MATLAB สาหรบั แกส้ มการแสดงดังภาคผนวก จ เน้อื หาในบทน้ีประกอบด้วย การวิเคราะห์วงจร ระเบียบวิธีแรงดันโนด ระเบียบวธิ ีแรงดันโนดในวงจร แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า ระเบียบวิธีกระแสเมซ ระเบียบวิธีกระแสเมซในวงจรแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้า การ วิเคราะห์วงจรไฟฟ้าด้วยโปรแกรม PSpice Student Version และการประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีการวิเคราะห์ วงจร ตามลาดบั 3.2 การวเิ คราะห์วงจร การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าประกอบด้วยตัวแปรไม่ทราบค่า ได้แก่ แรงดันท่ีโนดแต่ละโนด กระแสท่ีไหล ผ่านองค์ประกอบแต่ละตัว ดังน้ัน ก่อนเร่ิมการวิเคราะห์วงจรจะต้องนยิ ามตัวแปรที่เก่ียวข้องให้ชัดเจนและเป็น ระบบเสียก่อน เพ่ือนามาสร้างชุดสมการสาหรับการวิเคราะห์วงจรนั้น ๆ วงจรตัวอย่างการกาหนดตัวแปร แรงดนั ไฟฟ้าในวงจรซง่ึ สมั พันธ์กับโนด และกิง่ ในวงจร แสดงดังภาพ 3.1 และตาราง 3.1 ตามลาดับ a  vR1  b  vR3  c  R1  R3  vs R2 vR2 vR4 R4   d ภาพ 3.1 ตวั อยา่ งการกาหนดตัวแปรค่าแรงดันในวงจร

96 ตาราง 3.1 ตวั อยา่ งการกาหนดตัวแปรค่าแรงดนั ในวงจร จากวงจรดังภาพ 3.1 แรงดนั โนด แรงดันกิง่ (Node Voltage) (Branch Voltage) va  vs (source voltage) vs  va vd  va vb  vR2 vR1  va  vb vc  vR4 vR2  vb  vd  vb vd  0 (ground) vR3  vb  vc vR4  vc vd  vc วงจรตัวอย่างการกาหนดตัวแปรกระแสไฟฟ้าในวงจรซ่ึงสัมพันธ์กับเมซ และกิ่งในวงจร แสดงดัง ภาพ 3.2 และตาราง 3.2 ตามลาดบั R1 R3 I vs IR1 IR2 IR3 IR4 vs ia R2 vR2 ib R4  ภาพ 3.2 วงจรตวั อยา่ งการกาหนดตัวแปรค่ากระแสในวงจร ตาราง 3.2 ตวั อยา่ งการกาหนดตวั แปรค่ากระแสในวงจร จากวงจรดงั ภาพ 3.2 กระแสเมซ กระแสกง่ิ (Mesh Current) (Branch Current) imesh a  ia ia  Ivs  IR1 imesh b  ib ib  IR3  IR4 IR2  ia  ib  IR1  IR3 จากตัวแปรค่ากระแสไฟฟ้าหรือแรงดันไฟฟ้าในวงจรที่ได้กาหนดไว้แล้ว ข้ันตอนต่อมา คือ การใช้กฎ พ้ืนฐานต่าง ๆ เพ่ือการสร้างชุดสมการเชิงเส้นข้ึนมา และแก้สมการเพ่ือหาค่าตัวแปรท่ีกาหนดเป็นข้ันตอน สุดท้าย

97 3.3 ระเบียบวิธแี รงดนั โนด ระเบียบวิธีแรงดันโนด (Node Voltage Method) หรือการวิเคราะห์โนด (Nodal Analysis) เป็น ระเบียบวิธีพื้นฐานสาหรับการวิเคราะห์ทางไฟฟ้า เช่น การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า วงจรอิเล็กทรอนิกส์ และ เครอื่ งจักรกลไฟฟ้า เป็นต้น ระเบียบวิธีน้ีจะนิยามแรงดันโนดเป็นตัวแปรอิสระและต้องกาหนดโนดใดโนดหนึ่ง ในวงจรให้เป็นโนดอ้างอิงที่ทราบค่าศักย์ไฟฟ้าหรือแรงดันไฟฟ้า ซ่ึงค่าแรงดันท่ีโนดอ้างอิงสามารถกาหนดให้มี ค่าเท่ากับค่าใดก็ได้ แต่โดยท่ัวไปมักกาหนดให้เป็นโนดกราวนด์ ซึ่งมีศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ (0 V) ดังน้ัน ตัวแปร ค่าแรงดันท่ีโนดอื่น ๆ ในวงจรจะมีค่าแรงดันเทียบกับโนดอ้างอิง (Reference Node) หรือโนดกราวนด์ ทม่ี ีศักย์เป็นดิน (Ground) น้ีเสมอ จากน้ันพิจารณาความสัมพันธ์ของกระแสไฟฟ้าที่โนด โดยใช้กฎกระแสของ เคอร์ชอฟฟ์ และใช้กฎของโอห์มเพ่ือแสดงความสัมพันธ์ของแรงดันระหว่างโนด แล้วทาการแก้สมการเพ่ือหา ค่าแรงดันในตาแหน่งโนดท่ีสนใจ เพื่อความเข้าใจเก่ียวกับระเบียบวิธีแรงดันโนด ในหัวข้อน้ีจะอธิบายถึงการ ประยุกต์ระเบียบวิธีแรงดันโนดในวงจรที่ไม่มีแหล่งจ่ายแรงดันระหว่างโนด สาหรับวงจรท่ีประกอบด้วย แหลง่ จ่ายแรงดันระหวา่ งโนดจะอธบิ ายในหัวข้อถดั ไป กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผ่านองค์ประกอบ หรืออุปกรณ์ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปสมการแรงดันโนดจาก กฎของโอห์มได้ดังภาพ 3.3 และเม่ือประยุกต์ใช้กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์สาหรับวิเคราะห์แรงดันที่โนดจะ แสดงดังภาพ 3.4 aR b i  va  vb R i ภาพ 3.3 สมการกระแสท่ีไหลผ่าน R va  R1  vb  R3  vd i1  i3 KCL vb : i1 i2 i3  0 R2 i2  va vb  vb vc  vb vd  0 vc R1 R2 R3 ภาพ 3.4 การประยุกตใ์ ช้กฎกระแสของเคอรช์ อฟฟส์ าหรับวเิ คราะห์แรงดนั ทีโ่ นด การวิเคราะห์วงจรโดยใช้ระเบียบวิธีแรงดันโนด สาหรับวงจรท่ีประกอบไปด้วยโนดจานวน n โนด และไมม่ แี หลง่ จ่ายแรงดันระหวา่ งโนด มี 3 ขนั้ ตอนดงั น้ี 1. พิจารณาจานวนโนดท้งั หมดในวงจร วงจรทม่ี ี n โนด จะวิเคราะห์เพยี ง n - 1 โนด สว่ นโนดที่เหลือ จะกาหนดให้เป็นโนดอา้ งองิ โดยโนดที่จะกาหนดใหเ้ ป็นโนดอ้างอิงควรเป็นโนดท่ีมีก่งิ มาก ๆ

98 สัญลกั ษณข์ องโนดอ้างอิง แสดงดงั ภาพ 3.5 (ก) (ข) (ค) ภาพ 3.5 สญั ลักษณ์โดยทวั่ ไปของโนดอ้างอิงหรอื โนดกราวนด์ หลังจากกาหนดโนดอ้างอิงแล้ว ลาดับถัดมา คือ กาหนดโนดอิสระ ซ่ึงโนด 0 คือ โนดอ้างอิง (v = 0) โนด 1 และ 2 คือ แรงดนั โนด v1 และ v2 ที่กาหนดตามลาดับ ดังภาพ 3.6 (ก) I2 I2 I2 I2 1 R2 2 I1 v1 i2 R2 i2 v2 I1   I1 i1 i3 v1 R1 v2 R3 R1 R3 0  (ก) (ข) ภาพ 3.6 ตวั อย่างการวเิ คราะห์วงจรโดยใช้ระเบยี บวิธีแรงดนั โนด 2. ใช้ KCL ในทุก ๆ โนดอิสระ แล้วใช้กฎของโอห์มแสดงค่ากระแสไฟฟ้าทุกกิ่ง ในเทอมของแรงดัน โนด จากภาพ 3.6 (ข) จะได้ KCL ที่โนด v1 ; I1  I2  i1  i2 (3.1) KCL ที่โนด v2 ; I2  i2  i3 (3.2) จากนั้น ใช้กฎของโอห์ม แสดงกระแสท่ีไม่ทราบค่า i1, i2, i3 ในเทอมของแรงดันโนด โดยกาหนดให้ กระแสไหลจากโนดแรงดันสูงไปยังโนดแรงดันต่า โดยทิศทางการไหลของกระแส แสดงดงั สมการ (3.3) i  vhigher  vlower (3.3) R จากภาพ 3.6 (ข) จะได้ i1  v1  0 or i1  G1v1 (3.4a) R1

99 i2  v1  v2 or i2  G2 (v1  v2 ) (3.4b) R2 (3.4c) i3  v2 0 or i3  G3v2 R3 แทนสมการ (3.4) ในสมการ (3.1) และ (3.2) จะได้ I1  I2  v1  v1  v2 (3.5) R1 R2 และ I2  v1  v2  v2 (3.6) R2 R3 ซง่ึ สามารถแสดงค่าความตา้ นทานในเทอมของคา่ ความนาไฟฟ้าได้ ดงั สมการ (3.7) และ (3.8) I1  I2  G1v1  G2 (v1  v2 ) (3.7) I2  G2 (v1  v2 )  G3v2 (3.8) 3. หาผลลัพธ์จากการแก้สมการได้จากแรงดันโนดอิสระ ซึ่งจะได้ n-1 สมการ จากจานวน n-1 โนดที่ พิจารณา เช่น สมการ (3.5) และ (3.6) หรือสมการ (3.7) และ (3.8) จากวงจรดังภาพ 3.6 การแก้สมการเพื่อ หาค่าแรงดันโนด v1 และ v2 สามารถทาได้ 2 วิธี คือ 1) แทนค่าสมการ หรอื 2) ใช้กฎของเครเมอร์ หรือใช้การ อนิ เวริ ส์ เมทรกิ ซ์วิธีใดวธิ ีหนงึ่ ก็ได้ จากสมการ (3.5) – (3.6) จะได้เมทริกซ์ ดงั สมการ (3.9a) และสมการ (3.7) – (3.8) จะได้ เมทรกิ ซ์ ดงั สมการ (3.9b)  1  1  1   I1I2   R1 R2 R2  vv21   I2   1 11  (3.9a)   R2 R2 R3  G1  G2  G2 v1   I1I2  (3.9b)   G2 G2  G3 v2   I2  ผลการแกป้ ัญหาสมการ (3.9a) และ (3.9b) จะได้ค่าแรงดันโนดของโนดอสิ ระที่กาหนดตวั แปรไวใ้ น ตอนต้น สาหรับคา่ กระแสกิ่งในวงจรจะหาไดจ้ ากการแทนค่าแรงดนั โนดลงในสมการ (3.4)

100 ขอ้ สังเกต 3.1 จากสมการ 3.9b ซ่ึงเขียนอยูใ่ นรูปเมทรกิ ซ์ GV = I ดังน้ี G11 G12 v1   I1  (3.10) G21 G22 v2  I2  จากสมการ (3.10) ค่าความนาไฟฟ้าในตาแหน่ง G11 จะพบว่า มีค่าเท่ากับค่าความนาไฟฟ้ารวมท่ีต่อ โดยตรงเข้าที่โนด v1 และค่าความนาไฟฟ้าในตาแหน่ง G12 จะพบว่า มีค่าเท่ากับค่าความนาไฟฟ้าที่เช่ือมโยง จากโนด v1 ไปยังโนด v2 และมีค่าเป็นลบ (-) ในทานองเดียวกัน ค่าความนาไฟฟ้าในตาแหน่ง G22 จะมี ค่าเท่ากับค่าความนาไฟฟ้ารวมที่ต่อโดยตรงเข้าท่ีโนด v2 และค่าความนาไฟฟ้าในตาแหน่ง G21 จะมีค่าเท่ากับ คา่ ความนาไฟฟา้ ที่เชอื่ มโยงจากโนด v2 ไปยังโนด v1 และมคี ่าเปน็ ลบ สรุปได้ดังนี้ ในวงจรไฟฟ้าท่ีไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ประกอบไปด้วย n โนดที่พิจารณา (ไม่รวมโนด อ้างอิง) ค่าความนาไฟฟ้าในเมทริกซ์ GV = I ในตาแหน่งแนวทแยง (ตาแหน่งเลขแถวเท่ากับเลขหลัก เช่น G11 G22 G33 เป็นต้น) จะมีค่าความนาไฟฟ้าเท่ากับค่าความนาไฟฟ้ารวมที่ต่อโดยตรงเข้ากับโนดนั้น ๆ และ ค่าความนาไฟฟา้ ในตาแหน่งอ่ืนจะมีค่าเท่ากับค่าความนาไฟฟ้าท่เี ช่อื มโยงไปโนดข้างเคียงและมีค่าเป็นลบ เช่น G12 คือ ค่าความนาไฟฟ้าเชื่อมโยงจากโนด v1 ไปยังโนด v2 และ G21 คือ ค่าความนาไฟฟ้าเชื่อมโยงจากโนด v2 ไปยังโนด v1 เปน็ ต้น ตัวอยา่ ง 3.1 หาแรงดันโนดในวงจร จากวงจรดงั ภาพ 3.7 5A 4 2 6 10 A ภาพ 3.7 สาหรบั ตวั อยา่ ง 3.1 วิธที า จากภาพ 3.7 พบว่า มี จานวน 3 โนด คือ 1) โนดของก่ิง R 2 , R 4  และ Is 5 A กาหนดให้เป็น โนด v1 2) โนดของกิ่ง R 4 , R 6  และ Is 10 A กาหนดให้เป็นโนด v2 และ 3) โนดของกิ่ง R 2 , R 6  และ Is 10 A กาหนดให้เปน็ โนดอา้ งอิง (0 V) แรงดันโนดซึ่งเป็นตัวแปรอิสระ และทิศทางการไหลของ กระแสก่งิ ทแ่ี ตล่ ะโนดทกี่ าหนด แสดงดงั ภาพ 3.8 จากภาพ 3.8 KCL ทีโ่ นด v1 จะได้ i1  i2  i3

ใชก้ ฎของโอห์ม จะได้ 5  v1  v2  v1  0 101 42 (3.1.1) หรอื (3.1.2) จะได้ 5   1  1 v1  1 v 2 ดงั นนั้  4 2 4 (3.1.3) (3.1.4) 20  v1  v2  2v1 (3.1.5) 3v1  v2  20 5A v1 i1  5A 4  i1  5A v2 i4  10 A i2 i2 10 A 2  i3 i5 6  0 ภาพ 3.8 สาหรบั ตัวอย่าง 3.1 KCL ทโี่ นด v2 จะได้ i2  i4  i1  i5 ใชก้ ฎของโอหม์ จะได้ v1  v2 10  5  v2  0 46 หรอื 5   1 v1   1  1 v 2 4  4 6  จะได้ 60   3v1  3v2  2v2 ดังนัน้  3v1  5v2  60 พิจารณาสมการ (3.1.1) และ (3.1.3) จะพบวา่ เป็นไปตามข้อสังเกตที่ 3.1 จากสมการ (3.1.2) และ (3.1.4) สามารถหาคา่ v1 และ v2 ได้ 2 วิธีดังนี้ วิธีท่ี 1 วิธีแทนคา่ สมการ ดังน้ี จากสมการ (3.1.2) จะได้ v1  20  v2 3 แทนสมการ (3.1.5) ลงในสมการ (3.1.4) ได้ดังน้ี

102  3 20  v 2   5v2  60 3   20  v2  5v2  60 5v2  v2  60  20 จะได้ 4v2  80 หรอื v2  20 V แทนค่า v2 ในสมการ (3.1.2) จะได้ 3v1  20  20 หรอื v1  40  13.33 V 3 วธิ ที ่ี 2 ใชก้ ฎของเครเมอร์จากสมการ (3.1.2) และ (3.1.4) จะได้ 3 1v1   20  3 5 v2  60 โดยที่   3 1  15 3  12 3 5 v1  20 1  100 (60)  160 60 5 v2  3 20  180  (60)  240 3 60 ฉะน้นั v1  v1  160  13.33 V  12 v2  v2  240  20 V  12 ค่ากระแสไฟฟ้าท่กี ่ิงจะหาได้ ดังน้ี i1  Is5A  5 A i2  v1  v2  1.6667 A 4

103 i3  v1  6.666 A 2 i4  Is10A  10 A i5  v2  3.333 A 6 จากค่ากระแสกิ่ง i2 ท่มี ีขนาดเป็นลบ นั่นหมายความว่า กระแส i2 ตามพฤตกิ รรมของวงจรจะไหลจาก โนด v2 ไปยังโนด v1 ซง่ึ มีทศิ ทางการไหลตรงขา้ มกับทก่ี าหนดไว้ ตัวอยา่ ง 3.2 หาแรงดนั โนด กระแสกิง่ และกาลงั ไฟฟา้ ในวงจร จากวงจรดงั ภาพ 3.9 6 1 3 2 ix 12 3 6 A 6  4ix 0 ภาพ 3.9 สาหรบั ตวั อยา่ ง 3.2 วิธีทา จากภาพ 3.9 ประกอบด้วย 4 โนด ซ่ึงกาหนดให้โนดด้านล่างเป็นโนดอ้างอิง โดยกาหนดแรงดันโนด อิสระและทศิ ทางการไหลของกระแสก่ิง ดงั ภาพ 3.10 6 i1 3 v2 12 i1 v1 ix v3 6 A i2 i2 ix 4ix 6 A 6  i3 0 ภาพ 3.10 สาหรับตวั อย่าง 3.2

104 KCL ที่โนด 1; 6  i1  i2 ใชก้ ฎของโอหม์ จะได้ 6  v1  v3  v1  v2 6 3 หรือ 3v1  2v2  v3  36 (3.2.1) KCL ท่โี นด 2; i2  i3  ix (3.2.2) ใชก้ ฎของโอหม์ จะได้ v1  v2  v2  0  v2  v3 (3.2.3) 3 6 12 (3.2.4) (3.2.5) หรอื 4v1  7v2  v3  0 (3.2.6) KCL ที่โนด 3; i1  ix  4ix  i1  3ix  0 (3.2.7) ใช้กฎของโอหม์ จะได้ v1  v3  3(v2  v3 )  0 6 12 หรือ 2v1  3v2  v3  0 วธิ ีท่ี 1 วธิ ีการแทนค่า ทาได้โดยแทนค่าสมการ (3.2.1) ลงในสมการ (3.2.3) ดังน้ี จากสมการ (3.2.1) จะได้ 3v1  2v2  36  v3 แทนสมการ (3.2.4) ลงในสมการ (3.2.3) จะได้ 2v1  3v2  3v1  2v2  36  0 หรอื 5v1  5v2  36 และแทนคา่ สมการ (3.2.2) ลงในสมการ (3.2.3) ดงั นี้ จากสมการ (3.2.2) จะได้  4v1  7v2  v3 แทนสมการ (3.2.6) ลงในสมการ (3.2.3) จะได้ 2v1  3v2  4v1  7v2  0 หรอื  2v1  4v2  0 จะได้ v1  2v2 จากนน้ั แทนค่าสมการ (3.2.7) ลงในสมการ (3.2.5) จะได้ 5(2v2 )  5v2  36

105 หรือ 5v2  36 ดงั น้ัน v2  36  7.2 V (3.2.8) 5 ซง่ึ จะไดค้ ่าแรงดนั โนด v1 โดยแทน v2 ลงในสมการ (3.2.7) จะได้ v1  27.2  14.4 V หาคา่ แรงดันโนด v3 โดยแทน v1 และ v2 ลงในสมการ (3.2.6) จะได้  4(14.4)  7(7.2)   7.2 V วธิ ที ่ี 2 ใช้กฎของเครเมอร์จากสมการ (3.2.1), (3.2.2) และ (3.2.3) จดั สมการให้อยใู่ นรปู เมทริกซ์ จะได้ 3  2 1v1  36 4  7 1 vv32   0 2  3 1   0  3 2 13 2 โดยท่ี   4  7 1 4  7  [21 4  12]  [14  9  8] 2 3 1 2 3  13  3  10 36  2 1 36  2 v1  0 7 1 0  7  [252  0  0]  [0 108  0] 0 3 1 0 3   252 108  144 3 36 1 3 36  [0  72  0]  [0  0 144] v2 4 0 14 0  2 0 12 0  72 144   72 3  2 36 3  2  [0  0  432]  [504  0  0] v3 4 7 0 4 7  2 3 0 2 3   432 504  72 ดงั นั้น จะไดแ้ รงดันโนด v1  v1   144  14.4 V   10

106 v2  v2   72  7.2 V   10 v3  v3  72   7.2 V   10 กระแสก่งิ จะหาไดจ้ าก i1  v1  v3  14.4  (7.2)  3.6 A 6 6 i2  v1  v2  14.4  7.2  2.4 A 3 3 i3  v2  7.2  1.2 A 6 6 ix  v2  v3  7.2  (7.2)  1.2 A 12 12 กาลังไฟฟ้า จะหาไดจ้ าก Pis 6A   is6A  v1   614.4   86.4 W PR6  i1(v1  v3 )  3.6[14.4 (7.2)]  77.76 W PR3  i2 (v1  v2 )  2.4(14.4- 7.2)  17.28 W PR6  i3 v2  1.27.2  8.64 W PR12  ix (v2  v3 )  1.2 (7.2  (7.2))  17.28 W Pis 4ix  4ix  v3  4(1.2)  (7.2)   34.56 W กาลังไฟฟ้าท่ีแหล่งจ่ายกระแสอิสระ 6 A มีค่าเท่ากับ –86.4 W เน่ืองจากกระแสไหลออกจากข้ัวบวก ซ่ึงเป็นไปตามข้อกาหนดเคร่ืองหมายแบบพาสซีฟ สาหรับกาลังไฟฟ้าท่ีแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าไม่อิสระ 4ix กระแสไหลเข้าขั้วบวกท่ีโนด v3 สมการค่ากาลังไฟฟ้าจึงไม่มีเคร่ืองหมายลบ แต่เน่ืองจากแรงดันโนด v3 มีค่า เปน็ ลบ จงึ ทาให้กาลังไฟฟ้าทแ่ี หล่งจ่ายกระแส 4ix เปน็ ลบ ซึ่งแสดงถึงการเป็นองคป์ ระกอบจ่ายกาลงั ไฟฟา้ 3.4 ระเบยี บวิธแี รงดนั โนดในวงจรแหล่งจา่ ยแรงดนั ไฟฟ้า สาหรับวงจรท่ีประกอบด้วย แหล่งจ่ายแรงดันระหว่างโนด 2 โนด จะมีข้ันตอนในการวิเคราะห์วงจร ด้วยระเบียบวิธีแรงดนั โนดในวงจรแหล่งจา่ ยแรงดันไฟฟ้า (Node Voltage Method with Voltage Source) ดังแสดงตัวอย่างวงจรดงั ภาพ 3.11

107 กรณีท่ี 1 แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าอยู่ระหว่างแรงดันโนด (vn) และโนดอ้างอิง (0 V) จะกาหนดให้แรงดันโนดมี คา่ เท่ากบั แรงดันไฟฟา้ ทแี่ หล่งจ่าย จากภาพ 3.11 แรงดันโนด v1 จะได้ v1  12 V (3.11) 6  Supernode v1 3  i1 v2 6 V i4 v3 i2 i3 12V 9  12  ภาพ 3.11 วงจรท่ปี ระกอบด้วยซเู ปอร์โนด กรณีท่ี 2 แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า (ทั้งแบบอิสระและไม่อิสระ) อยู่ระหว่างแรงดันโนด 2 โนด (v2 และ v3) เรียกว่า โนดทั่วไป (Generalized node) หรือ ซูเปอร์โนด (Supernode) ซึ่งจะใช้ทั้ง KCL และ KVL ในการ พจิ ารณาค่าแรงดันทโี่ นดดังกล่าว ดังน้ี จากภาพ 3.11 โนด v2 และ v3 อย่ใู นลกั ษณะซเู ปอรโ์ นดใช้ KCL ทซ่ี ูเปอรโ์ นด จะได้ i1  i4  i2  i3 (3.12a) หรอื v1  v2  v1  v3  v2  0  v3  0 (3.12b) 36 9 12 และใช้ KVL ทซ่ี เู ปอร์โนด จากภาพ 3.11 ได้ ดงั ภาพ 3.12 6V  (3.13) v2 v3  ภาพ 3.12 การใช้ KVL ทซ่ี ูเปอร์โนด v2  6  v3  0  v2 v3  6 จากสมการ (3.11) – (3.13) ซึง่ จะสามารถแก้สมการหาคา่ แรงดนั ทีโ่ นดได้ ดงั ตัวอยา่ ง 3.3

108 v2 ตัวอยา่ ง 3.3 หาค่าแรงดนั โนด จากวงจรดงั ภาพ 3.13 40  5V v1 2 A 10 20 4A ภาพ 3.13 สาหรับตวั อยา่ ง 3.3 วธิ ีทา จากภาพ 3.13 ซูเปอร์โนดอยู่ที่โนด v1, v2 ตัวต้านทาน R 40  และแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า 5 V ดงั ภาพ 3.14 v1 v2 4A 2A i1 4A 2 A 10 i2 20  ภาพ 3.14 สาหรับตวั อยา่ ง 3.3 KCL ท่ี ซเู ปอรโ์ นด; 2  4  i1  i2 ใชก้ ฎของโอห์ม จะได้ 6  v1  0  v2  0 10 20 หรือ v2  120  2v1 (3.3.1) (3.3.2) ใช้ KVL ทซี่ เู ปอร์โนด เพ่อื หาความสมั พนั ธ์ระหวา่ งแรงดนั โนด v1 และ v2 ดงั ภาพ 3.15 จะได้  v1  5  v2  0 หรือ v2  v1  5

109 5V  v1 v2  ภาพ 3.15 สาหรบั ตัวอยา่ ง 3.3 จากสมการ (3.3.1) และ (3.3.2) จะได้ v1  5  120 2v1 หรอื 3v1  125 ดงั น้นั v1  41.67 V และ v2  36.67 V ตวั อย่าง 3.4 หาแรงดันท่โี นด จากวงจรดังภาพ 3.16 15  1 10 V  vx  3 2vx 4 2 20  5 5 A 2 A 10  ภาพ 3.16 สาหรบั ตัวอยา่ ง 3.4 วิธีทา จากภาพ 3.16 v1, v2 และ v3, v4 อยูใ่ นลกั ษณะของซเู ปอร์โนด ดงั ภาพ 3.17 15  i1  vx  i1 v2 20  v3 v4 v1 i3 i4 i2 5 5A 2A 10  ภาพ 3.17 สาหรับตวั อย่าง 3.4

110 KCL ทซี่ เู ปอร์โนด v1, v2 ; 5  i1  i2  i3 จากกฎของโอห์ม จะได้ 5  v1  v4  v1  v2  v3 15 5 20 หรือ 16v1  3v2  3v3  4v4  300 (3.4.1) (3.4.2) KCL ทซี่ เู ปอร์โนด v3, v4 ; 2  i1  i3  i4 (3.4.3) จากกฎของโอหม์ จะได้ 2  v1  v4  v2  v3  v4 (3.4.4) 15 20 10 (3.4.5) หรอื  4v1  3v2  3v3 10v4  120 ใช้ KVL เพ่อื หาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งแรงดนั โนดและแหล่งจา่ ยแรงดัน ดงั ภาพ 3.18 15   vx  mesh 3 10 V 20  2v x   i3   v1 mesh 1 v2 v3 mesh 2 v4   ภาพ 3.18 สาหรบั ตัวอยา่ ง 3.4 KVL เมซ 1;  v1 10  v2  0 ดงั นั้น v1  v2  10 KVL เมซ 2;  v3  2vx  v4  0 ซง่ึ vx = v1 – v4 ดังนั้น 2v1  v3  v4  0 KVL เมซ 3; vx  2vx  20i3 10  0 ซง่ึ 20i3 = v3 - v2 และ vx = v1 - v4 ดังนัน้  v1  v2  v3  v4  10 แทนสมการ (3.4.3) ลงในสมการ (3.4.1) และ (3.4.2) จะได้

111 19v1  3v3  4v4  330 (3.4.6)  7v1  3v3  10v4  90 (3.4.7) จากสมการ (3.4.4), (3.4.6) และ (3.4.7) จะได้  2 1 1v1   0   19 3  4 vv43   330  7 3 10    90  2 1 1 เม่ือ   19  3  4  (60  28  57)  (21  24  190)  7 3 10  (145)  (235)  90 0 1 1 v1 330 3  4  (0  360  990)  (270  0  3300)  90 3 10  (630)  (3030)  2400 v 3 2 0 1 19 330  4  (6600  0  1710)  (2310  720  0)  7 90 10  (4890)  (1590)  3300 v4 2 1 0 19 3 330  (-540  2310  0) - (0  1980 - 1710)  7 3 90  (1770)  (270)  1500 ดงั นั้น v1  v1  2400  26.67 V  90 v3  v3  3300  36.67 V  90 v4  v4  1500  16.67 V  90 v2  v1 10  16.67 V

112 ข้อสังเกต 3.2 ระเบยี บวิธีแรงดันโนด เหมาะสาหรบั วงจรทีม่ ีลักษณะ ดงั นี้ 1. มแี หลง่ จ่ายแรงดันไฟฟา้ หลายแหลง่ จา่ ยในวงจร 2. มีจานวนโนดมากกวา่ จานวนเมซ 3. มซี ูเปอรโ์ นดตอ่ ขนานกนั เปน็ จานวนมาก 4. เปน็ วงจรทต่ี ้องการทราบคา่ แรงดนั ที่โนด 3.5 ระเบียบวธิ กี ระแสเมซ ระเบียบวิธีกระแสเมซ (Mesh Current Method) หรือการวิเคราะห์เมซ (mesh analysis) เป็น ระเบียบวิธีพื้นฐานสาหรับการวิเคราะห์ทางไฟฟ้า เช่น การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า วงจรอิเล็กทรอนิกส์ และ เครือ่ งจักรกลไฟฟ้า เชน่ เดียวกบั ระเบยี บวธิ ีแรงดนั โนด ระเบียบวิธีกระแสเมซจะใช้ KVL เพื่อหาค่ากระแสเมซที่ไม่ทราบค่า ซึ่งสามารถวิเคราะห์ได้เฉพาะ วงจรระนาบ (planar circuit) เท่าน้ัน กล่าวคือ วงจรท่ีจะวิเคราะห์ด้วยระเบียบวิธกี ระแสเมซ ควรเป็นวงจรที่ ไมม่ กี ิง่ หนึง่ กงิ่ ใดพาดผา่ นกัน ตัวอยา่ งเช่นวงจร ดงั ภาพ 3.19 1A 1A 2 2 1 5 6 1 3 3 5 4 6 4 8 7 8 7 (ก) (ข) ภาพ 3.19 ตวั อย่างวงจรที่สามารถใช้วธิ กี ารวิเคราะห์กระแสเมซได้ (ก) วงจรระนาบท่ีมีกง่ิ พาดผา่ น (ข) วงจรจากภาพ (ก) ทจ่ี ัดรปู ใหม่โดยไม่มีกิ่งพาดผ่านกัน สาหรับวงจรที่ไม่สามารถเขียนให้เป็นวงจรระนาบได้ ตวั อยา่ งดงั ภาพ 3.20 จะสามารถวิเคราะห์วงจร ไดโ้ ดยใช้ระเบียบวธิ ีแรงดนั โนดได้ แตไ่ ม่สามารถใช้ระเบียบวธิ กี ระแสเมซได้

113 1 5 4 7 2 6 3 13  5 A 12  9 11  8  10 ภาพ 3.20 วงจรท่ไี มส่ ามารถใชว้ ธิ ีการวเิ คราะห์กระแสเมซได้ a I1 R1 b I2 R2 c i2 V1 i1 I3 V2 R3 fed ภาพ 3.21 วงจรไฟฟา้ ทมี่ ี 2 เมซ เพ่ือความเข้าใจเก่ียวกับระเบียบวิธีกระแสเมซ จึงจาเป็นต้องเข้าใจในความหมายของ เมซ (mesh) เสียก่อน จากภาพ 3.21 บริเวณปิด abefa และ bcdeb เป็นเมซ แต่ abcdefa เป็นลูปเนื่องจากมีเมซอยู่ ภายในลูป กระแสท่ีไหลรอบเมซ เรียกว่า กระแสเมซ (mesh current) ในการวิเคราะห์วงจรด้วยระเบียบวิธี กระแสเมซจะใช้ KVL และกฎของโอห์มเพ่ือหาค่ากระแสเมซในวงจร ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง วงจรท่ีไม่มี แหล่งจ่ายกระแสระหว่างเมซเป็นอันดับแรก และสาหรับวงจรที่ประกอบด้วยแหล่งจ่ายกระแสระหว่างเมซ จะอธบิ ายในหวั ข้อถดั ไป การวิเคราะห์วงจรด้วยระเบียบวธิ ีกระแสเมซ สาหรับวงจร n เมซ ท่ไี มม่ ีแหล่งจ่ายกระแสระหว่างเมซ มี 3 ขั้นตอนดงั น้ี 1. กาหนดกระแสในแต่ละเมซ เช่น i1 และ i2 จากภาพ 3.21 คือ กระแสท่ีไหลในเมซ 1 และ 2 ตามลาดับ โดยกระแสเมซท่ีกาหนดควรกาหนดให้ไหลไปในทิศทางเดียวกัน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ วงจร ในท่นี ้ีจะกาหนดให้ไหลไปในทศิ ทางตามเข็มนาฬิกา 2. ใช้ KVL ในทุก ๆ เมซ ดังน้ี

114 KVL ทเี่ มซ 1; V1  R1i1  R3 (i1  i2 )  0 หรือ (R1  R3 )i1  R3i2  V1 (3.14) (3.15) KVL ทเี่ มซ 2; R2i2 V2  R3 (i2  i1)  0 หรือ  R3i1  (R2  R3 )i2   V2 3. แกส้ มการหาค่ากระแสเมซ จากสมการ (3.14) และ (3.15) จะได้ R1  R3  R3 i1    V1  (3.16)   R3 R2  R3 i2  V2  ในการวิเคราะห์วงจรด้วยระเบียบวิธีกระแสเมซ จะใช้สัญลักษณ์ i แทนกระแสเมซ และสัญลักษณ์ I แทนกระแสในกิ่ง ซ่ึงกระแส I1, I2, และ I3 คอื ผลรวมทางพีชคณิตของกระแสเมซ จากภาพ 3.21 จะได้ I1  i1, I2  i2 , I3  i1  i2 (3.17) ข้อสงั เกต 3.3 จากสมการ 3.16 ซึ่งเขยี นอย่ใู นรปู เมทรกิ ซ์ RI = V ดงั น้ี R11 R12 i1   V1  (3.18) R21 R22 i2  V2  จากสมการ (3.18) คา่ ความต้านทานไฟฟ้าในตาแหน่ง R11 จะพบว่า มีคา่ เท่ากับค่าความต้านทานรวม ทตี่ ่ออยู่ภายในเมซ i1 และค่าความต้านทานไฟฟ้าในตาแหน่ง R12 จะพบว่า มคี ่าเท่ากับค่าความตา้ นทานไฟฟ้า ที่เชอื่ มโยงระหวา่ งเมซ i1 และเมซ i2 และมคี า่ เป็นลบ (-) ในทานองเดียวกนั คา่ ความต้านทานไฟฟ้าในตาแหน่ง R22 จะมคี ่าเทา่ กับค่าความตา้ นทานไฟฟา้ รวมท่ีตอ่ อยู่ภายในเมซ i2 และค่าความต้านทานไฟฟ้าในตาแหนง่ R21 จะมีคา่ เทา่ กบั คา่ ความต้านทานไฟฟ้าที่เชอ่ื มโยงระหว่างเมซ i2 และเมซ i1 และมีคา่ เป็นลบ สรุปได้ดังนี้ ในวงจรไฟฟ้าที่ไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ประกอบไปด้วย n เมซท่ีพิจารณา ค่าความ ต้านทานไฟฟ้าในเมทริกซ์ RI = V ในตาแหน่งแนวทแยง (ตาแหน่งเลขแถวเท่ากับหลัก เช่น R11 R22 R33 เป็นต้น) จะมีค่าความต้านทานไฟฟ้าเท่ากับความต้านทานไฟฟ้ารวมที่ต่ออยู่ภายในเมซนั้น ๆ และค่าความ ต้านทานไฟฟ้าในตาแหน่งอื่นจะมีค่าเท่ากับค่าความต้านทานไฟฟ้าท่ีเช่ือมโยงระหว่างเมซข้างเคียงและมีค่า เป็นลบ เช่น R12 คือ ค่าความต้านทานไฟฟ้าที่เช่ือมโยงระหว่างเมซ i1 และเมซ i2 และ R21 คือ ค่าความต้านทานไฟฟา้ ท่ีเชอื่ มโยงระหวา่ งเมซ i2 และเมซ i1 เป็นต้น

ตัวอย่าง 3.5 หากระแสในกิง่ I1, I2, I3 ดว้ ยระเบียบวธิ ีกระแสเมซ จากวงจรดงั ภาพ 3.22 115 I1 5 I2 5 (3.5.1) (3.5.2) I3 10  10 V i1 i2 15  5V ภาพ 3.22 สาหรับตัวอย่าง 3.5 วิธที า KVL ทเ่ี มซ 1; 10  5i1 10(i1  i2 )  5  0 หรือ 15i1 10i2  15 KVL ที่เมซ 2; หรอื 5i2  15i2 10(i2  i1)  5  0 10i1  30i2   5 พจิ ารณาสมการ (3.5.1) และ (3.5.2) จะพบวา่ เปน็ ไปตามข้อสังเกตท่ี 3.2 วธิ ที ี่ 1 จากสมการ (3.5.1) และ (3.5.2) ใชว้ ธิ ีการแทนค่า แทนสมการ (3.5.2) ใน (3.5.1) จะได้ 45i2  7.5 10i2  15 ดงั นน้ั i2  0.21 A แทนคา่ i2 ใน (3.5.2) จะได้ ฉะน้ัน i1  [30(0.21)  5] /10  1.14 A I1  i1  1.14 A และ I2  i2  0.21 A I3  i1  i2  0.93 A วิธีท่ี 2 ใชก้ ฎของเครเมอร์ จากสมการ (3.5.1) และ (3.5.2) จะได้  15 10i1    15   10 30 i2   5

116 เม่อื  15 10  450 100  350  10 30 i1  15  10  450  50  400 5 30 i2  15 15   75  (150)  75  10 5 ดงั นั้น i1  i1  400  1.14 A  350 i2  i2  75  0.21 A  350 ตวั อยา่ ง 3.6 ใช้ระเบยี บวิธีกระแสเมซ หากระแส io จากวงจรดงั ภาพ 3.23 5  i2 10  5io 12 V i1 5  io KVL ทเ่ี มซ 1; หรอื 15  i3 KVL ทเี่ มซ 2; i3 หรือ i1 KVL ทเ่ี มซ 3; ซง่ึ io = i1 – i3 ที่โนด A จะได้ A หรือ ภาพ 3.23 สาหรับตวั อยา่ ง 3.6 12  5(i1  i2 ) 15(i1  i3 )  0 (3.6.1) 20i1  5i2 15i3  12 (3.6.2) 10i2  5(i2  i3 )  5(i2  i1 )  0 (3.6.3)  5i1  20i2  5i3  0 5io 15(i3  i1 )  5(i3  i2 )  0 5(i1  i3 ) 15(i3  i1 )  5(i3  i2 )  0 10i1  5i2 15i3  0

117 จากสมการ (3.6.1), (3.6.2) และ (3.6.3) จะได้  20  5 15i1  12 5 20 5 ii32   0  10 5 15    0   เมื่อ 20  5 15 20  5    5 20  5  5 20 10  5 15 10  5  [6000 250  375] [3000 500  375]  1500 12  5 1512  5 i1 0 20 5 0 20  3600  300  3300  0 5 15 0 5 20 12 15 20 12 i2 5 0 5 5 0  600  (900)  1500   10 0 15 10 0 20  5 12 20  5 i3 5 20 0 5 20  300  (2400)  2700   10 5 0 10 5 ซง่ึ จะไดก้ ระแสเมซ i1  i1  3300  2.2 A และ  1500 i2  i2  1500  1A  1500 i3  i3  2700  1.8 A  1500 io  i1  i3  0.4 A

118 3.6 ระเบียบวิธีกระแสเมซในวงจรแหลง่ จ่ายกระแสไฟฟ้า การใช้ระเบียบวิธีกระแสเมซในวงจรท่ีประกอบด้วยแหล่งจ่ายกระแส (ท้ังอิสระ และไม่อิสระ) (Mesh Current Method with Current Source) สามารถวิเคราะห์ได้ง่ายกว่าวงจรท่ีไม่มีแหล่งจ่ายกระแส เพราะจะช่วยลดจานวนตวั แปรทไี่ ม่ทราบคา่ ได้ โดยจะเปน็ ไปได้ 2 กรณี ดงั น้ี กรณีท่ี 1 แหล่งจ่ายกระแสอยู่ในเมซใดเมซหน่ึง จะสามารถกาหนดให้กระแสในเมซนั้นมคี ่าเทา่ กับกระแสจาก แหล่งจ่ายกระแส ดงั ภาพ 3.24 3 9 12 V i1 6  i2 2.5 A ภาพ 3.24 วงจรที่ประกอบด้วยแหล่งจา่ ยกระแส จากภาพ 3.24 จะกาหนดให้ i2 = -2.5 A โดยจะไดส้ มการกระแสเมซในเมซท่เี หลอื ดังนี้ 12  3i1  6(i1  i2 )  0 i1   0.33 A (3.19) 6  10  6  10  2 4 i1 i2 4  20 V i1 i2 20 V 6A (ข) i1 x i2 Eexleclmudenetthese (ก) ภาพ 3.25 (ก) วงจร 2 เมซ ที่ตอ่ ร่วมแหล่งจา่ ยกระแส (ข) ซูเปอร์เมซ เม่อื ปลดแหล่งจา่ ยกระแส กรณีที่ 2 แหล่งจ่ายกระแสอยู่ระหว่างเมซ 2 เมซ ดังภาพ 3.25 จะเรียกว่า ซูเปอร์เมซ (Supermesh) ซึ่งจะ สามารถวิเคราะหว์ งจร ไดด้ งั นี้ จากภาพ 3.25 (ก) กาหนดให้แหลง่ จ่ายกระแส 6 A ,R 2  เป็นซเู ปอรเ์ มซ ดงั ภาพ 3.25 (ข) ใช้ KVL ในภาพ 3.25 (ข) จะได้  20  6i1 10i2  4i2  0

หรอื 6i1 14i2  20 119 ใช้ KCL ทโี่ นดซูเปอรเ์ มซ (โนด x) จะได้ (3.20) i2  i1  6 จากสมการ (3.20) และ (3.21) จะได้ i1   3.2 A, i2  2.8 A (3.21) (3.22) ตัวอยา่ ง 3.7 หากระเสเมซ i1 , i2 , i3 และ i4 โดยใช้ระเบียบวิธกี ระแสเมซ จากวงจรดังภาพ 3.26 2 4 8 12  10  i4 i1 i1 io P 12 V i2 6 A 6  i2 i3 2io i2 Q i3 ภาพ 3.26 สาหรบั ตัวอยา่ ง 3.7 วธิ ที า จากภาพ เมซ i1 และ i2 อยู่ในรูปแบบซเู ปอรเ์ มซ ท่ีประกอบด้วยแหลง่ จ่ายกระแสอิสระ 6 A เมซ i2 และ i3 อยู่ในรปู แบบซเู ปอรเ์ มซ เชน่ กนั แตป่ ระกอบดว้ ยแหลง่ จ่ายกระแสพงึ่ พงิ 2io A ใช้ KVL ทซ่ี เู ปอร์เมซ จะได้ 6i1  8i3 10(i3  i4 )  6i2  0 หรือ 6i1  6i2 18i3 10i4  0 (3.7.1) ใช้ KVL ทเ่ี มซ i4 จะได้ 12i4 10(i4  i3 ) 12  0 หรอื 10i3  22i4  12 (3.7.2) ใช้ KCL ทโ่ี นดซูเปอรเ์ มซ (โนด P) จะได้ i2  6  i1 (3.7.3) ใช้ KCL ทโ่ี นดซูเปอร์เมซ (โนด Q) จะได้ i3  2io  i2 โดยที่ io = -i4 ฉะนน้ั จะได้ i3  2i4  i2 (3.7.4) แทนสมการ (3.7.3) และ (3.7.4) ใน (3.7.1) จะได้ 30i3 14i4   36 (3.7.5)

120 จากสมการ (3.7.2) และ (3.7.5) จะได้ i3   0.78 A i4   0.90 A แทนคา่ i3 และ i4 ใน (3.7.4) จะได้ i2   2.58 A แทนค่า i2 ใน (3.7.3) จะได้ i1  3.42 A ขอ้ สังเกต 3.4 ระเบยี บวธิ กี ระแสเมซ เหมาะสาหรับวงจรที่มีลักษณะ ดังนี้ 1. มีแหล่งจ่ายกระแสไฟฟา้ หลายแหลง่ จ่ายในวงจร 2. มีจานวนเมซมากกว่าจานวนโนด 3. มซี เู ปอร์เมซตอ่ อนกุ รมกันเปน็ จานวนมาก 4. เป็นวงจรที่ตอ้ งการทราบคา่ กระแสท่เี มซ 3.7 การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า โดยใช้ PSpice Student Version การใช้ PSpice กับระเบียบวิธีวิเคราะห์วงจร มีลาดับข้ันการจาลองเหตุการณ์ในวงจรเช่นเดียวกับใน หัวข้อกฎพื้นฐาน คือ การจาลองเหตุการณ์โดยการวิเคราะห์กระแสตรง ในหัวข้อนี้จะยกตัวอย่างการใช้ PSpice กับ ระเบียบวิธีแรงดันโนด ระเบียบวิธีแรงดันโนดในวงจรแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า ระเบียบวิธีกระแส เมซ และระเบยี บวธิ กี ระแสเมซในวงจรแหลง่ จ่ายกระแสไฟฟ้า ตามลาดบั ตัวอย่าง 3.8 หาแรงดนั โนดในวงจร จากวงจรดงั ภาพ 3.27 (ภาพสาหรับตวั อยา่ ง 3.1) โดยใช้ PSpice 5A 1 4 2 2 6 10 A ภาพ 3.27 สาหรับตัวอยา่ ง 3.1 และ 3.8 วธิ ที า การจาลองเหตุการณใ์ นวงจรตามภาพ 3.27 ทาไดโ้ ดยวิเคราะห์กระแสตรง โดยมีรายการอปุ กรณ์ ดงั นี้ แหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้ากระแสตรง IDC กาหนดค่าท่ี 10 A, 5 A และตัวต้านทาน R กาหนด 2 , 4  และ 6  ตามลาดับ

121 คลิก Analysis/Simulate เพื่อจาลองเหตุการณใ์ นวงจร ผลลพั ธ์ท่ไี ด้ แสดงดังนี้ NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) 13.3330 ( 2) 20.0000 Schematics จากวงจรดังภาพ 3.27 แสดงดังภาพ 3.28 ภาพ 3.28 Schematics และผลการจาลองเหตกุ ารณใ์ นวงจรตามภาพ 3.27 ค่าจาก VIEWPOINT ทีโ่ นด v1 และ v2 ดงั ภาพ 3.28 มคี ่าเท่ากับผลการคานวณในตวั อย่าง 3.1 ตัวอยา่ ง 3.9 ใช้ PSpice ทาซา้ ตวั อยา่ ง 3.2 โดยหาแรงดนั โนด วิธีทา Schematics จากวงจรดงั ภาพ 3.9 แสดงดังภาพ 3.29 GAIN=4 ภาพ 3.29 Schematics และผลการจาลองเหตุการณใ์ นวงจรตามภาพ 3.9 จากภาพ 3.29 แสดงการใช้อุปกรณ์ BUBBLE (สัญลักษณ์ภาพเข็ม) เพื่อลดการเช่ือมต่อแหล่งจ่าย กระแสไฟฟ้าที่ควบคุมด้วยกระแสไฟฟ้า (CCCS) โดยกาหนดช่ือเป็น ix1 และ ix2 แทนทิศทางการไหลของ กระแส ix จาก BUBBLE ix1 ไปยงั ix2 ทั้งการไหลของกระแสระหวา่ งโนด 2 ไปยัง 3 และท่ีไหลเข้า CCCS

122 คลิก Analysis/Simulate เพอ่ื จาลองเหตุการณใ์ นวงจร ผลลัพธท์ ่ไี ด้ แสดงดงั น้ี NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) 14.4000 ( 3) -7.2000 ( ix1) 7.2000 ( ix2) 7.2000 ตวั อย่าง 3.10 ใช้ PSpice ทาซา้ ตวั อยา่ ง 3.3 โดยหาแรงดันโนด วธิ ที า Schematics และผลการจาลองเหตุการณ์ จากวงจรดังภาพ 3.13 แสดงดงั ภาพ 3.30 ภาพ 3.30 Schematics และผลการจาลองเหตกุ ารณใ์ นวงจรตามภาพ 3.13 จากภาพ 3.30 ค่าแรงดนั ไฟฟ้าที่โนด v1 และ v2 มีค่าเท่ากับ 41.67 V และ 36.67 V ตามลาดับ ซึ่งมี คา่ เทา่ กับผลการคานวณในตวั อย่าง 3.3 แตก่ ารจาลองเหตุการณ์ในวงจรทีม่ แี หล่งจา่ ยแรงดันไฟฟา้ ระหว่างโนด ท่ีพิจารณา หรือซูเปอร์โนดโดยใช้ PSpice ทาได้โดยง่าย ซ่ึงไม่ต้องทาการหาความสัมพันธ์ของกระแสไฟฟ้าท่ี ซเู ปอรโ์ นด และหาความสัมพันธข์ องแรงดนั ไฟฟ้าทีซ่ เู ปอร์โนด เช่นเดยี วกบั การคานวณดงั ตวั อย่าง 3.3 ตวั อย่าง 3.11 หาคา่ กระแสไฟฟ้าที่กิง่ i1 , i2 และ i3 จากวงจรดงั ภาพ 3.31 โดยใช้ PSpice 1 4 2 3Vo i3  i1 i2 4 Vo 24 V 2   8 ภาพ 3.31 สาหรับตวั อยา่ ง 3.11 วิธที า Schematics และผลการจาลองเหตุการณ์ จากวงจรดังภาพ 3.31 แสดงดงั ภาพ 3.32

123 GAIN=3 ภาพ 3.32 Schematics และผลการจาลองเหตกุ ารณใ์ นวงจรตามภาพ 3.31 จากภาพ 3.32 แสดงการใช้อุปกรณ์ BUBBLE (สัญลักษณ์ภาพเข็ม) เพ่ือลดการเชื่อมต่อแหล่งจ่าย แรงดันไฟฟ้าที่ควบคุมด้วยแรงดันไฟฟ้า (VCVS) โดยกาหนดช่ือเป็น Vo1 และ Vo2 แทนข้ัวของแรงดัน vo โดยที่ BUBBLE Vo1 มศี ักย์ไฟฟา้ สูงกวา่ Vo2 ท้ังแรงดนั ตกคร่อม R 4  และแรงดันท่ี VCVS คา่ กระแสท่กี ่ิง i1 , i2 และ i3 ตามลาดับ ได้จากการใช้ IPROBE ซ่ึงได้ค่ากระแสไฟฟ้าเทา่ กับ 1.333 A, 1.333 A และ 2.667 A ตามลาดับ 3.8 การวเิ คราะห์วงจรไฟฟ้า โดยใช้ MATLAB โปรแกรม MATLAB เป็นโปรแกรมท่ีมีความสามารถในการวิเคราะห์เมทริกซ์ และเวกเตอร์เป็นอย่าง สูง ดังแสดงการใช้ MATLAB เบ้ืองตน้ ในภาคผนวก จ จากระเบียบวธิ ีแรงดันโนดและกระแสเมซในหัวข้อท่ีผา่ น มา ซึ่งใช้กฎพื้นฐาน ได้แก่ กฎของเคอร์ชอฟฟ์ และกฎของโอห์มเข้ามาช่วยในการวิเคราะห์วงจร ซ่ึงจะได้ชุด สมการเชิงเส้น n ตัวแปร n สมการ ในรูปของเมทริกซ์ GV = I และ RI = V จากระเบียบวิธีแรงดันโนด และ กระแสเมซตามลาดับ การแก้ปัญหาสมการเชิงเส้นมีหลายระเบียบวิธีด้วยกัน ในหัวข้อนี้จะอธิบายเฉพาะวิธีเมทริกซ์ผกผัน และกฎของเครเมอร์ โดยใช้ MATLAB เท่าน้นั 1. วิธีเมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) จากเมทรกิ ซ์ GV = I ซึ่ง G เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ V และ I เปน็ เวกเตอร์ การใช้ MATLAB แก้ปญั หาสมการเชงิ เส้นหาค่า V ทาได้ ดงั นี้ จาก GV = I ดงั น้นั V = G-1I ใช้คาสงั่ บน MATLAB ดงั นี้ >>V = inv(G)*I ตัวอยา่ ง 3.12 ใช้ MATLAB หาคา่ แรงดันทโี่ นดจากตวั อยา่ ง 3.4 โดยมีเมทริกซ์ ดงั น้ี 3 1  2 v1   0  6 1 2 vv43   80 6 5  16  40

124 วธิ ที า จากเมทรกิ ซ์ขา้ งต้น สามารถเขยี นเมทริกซ์ G และเวกเตอร์ I บน MATLAB ได้ดังน้ี >> G = [3 -1 -2; 6 -1 -2; 6 -5 -16]; >> I = [0; 80; 40]; >> V = inv(G)*I V= 26.6667 173.3333 -46.6667 ดงั นัน้ จะได้ V1 = 26.67 V, V2 = 173.33 V และ V3 = -46.67 V 2. กฎของเครเมอร์ (Cramer’s rule) มรี ะเบียบวธิ ีการแก้ปญั หาสมการเชิงเส้น ดงั นี้ x1  1 , x2  2 ,, xn  n    โดยท่ี  , 1, 2,  , n คือ ดเี ทอรม์ ิแนนท์ ดงั แสดงรายละเอียดในภาคผนวก ก. ตวั อยา่ ง 3.13 ใช้ MATLAB ทาซา้ ตวั อยา่ ง 3.12 โดยใช้กฎของเครเมอร์ 3 1  2 v1   0  วิธที า จากเมทริกซ์ 6 1 2 vv43   80 6 5  16  40 หรอื GV = I หาเวกเตอร์ V โดยใชก้ ฎของเครเมอร์บน MATLAB ได้ ดังนี้ >> A=[3 -1 -2; 6 -1 -2; 6 -5 -16]; % A = G >> B=[0; 80; 40]; %B=I >> V1=det([B A(:,2) A(:,3)])/det(A); >> V2=det([A(:,1) B A(:,3)])/det(A); >> V3=det([A(:,1) A(:,2) B])/det(A); >> V=[V1; V2; V3]

125 V= 26.6667 173.3333 -46.6667 ดังนน้ั จะได้ V1 = 26.67 V, V2 = 173.33 V และ V3 = -46.67 V 3.9 การประยกุ ต์ใช้ระเบียบวธิ กี ารวิเคราะหว์ งจร เนื้อหาในส่วนนี้จะอธิบายถึงตัวอย่างการประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีวิเคราะห์วงจรที่พบได้บ่อยในด้าน วิศวกรรมไฟฟ้า คือ การวิเคราะห์วงจรทรานซสิ เตอร์ และเครือ่ งจกั กลไฟฟา้ กระแสตรง คือ เครื่องกาเนดิ ไฟฟ้า กระแสตรง และ มอเตอรไ์ ฟฟา้ กระแสตรง ตามลาดบั 3.9.1 วงจรทรานซิสเตอร์กระแสตรง (DC Transistor Circuit) ทรานซิสเตอร์พื้นฐานมีอยู่ 2 แบบ คือ ทรานซิสเตอร์แบบมีผลจากสนามไฟฟ้า (Field Effect Transistor: FET) และทรานซิสเตอร์แบบรอยตอ่ สองขว้ั (Bipolar Junction Transistor: BJT) ทรานซิสเตอร์ แบบ BJT มี 2 ชนิด คือ npn และ pnp มีสัญลักษณ์ดังภาพ 3.33 แต่ละชนิดมีข้ัวต่อ 3 ขั้ว ดังน้ี อิมิตเตอร์ (Emitter: E) เบส (Base: B) และ คอลเลคเตอร์ (Collector: C) ซึ่งในหัวข้อน้ีจะนาเสนอตัวอย่างการ ประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีแรงดันโนด และระเบียบวิธีกระแสเมซในวงจรทรานซิสเตอร์กระแสตรงของแบบ BJT ชนิด npn เทา่ นนั้ Collector C Collector C n p pB Base n B n p E E Emitter Emitter (ก) (ข) ภาพ 3.33 ทรานซสิ เตอรแ์ บบ BJT และสญั ลักษณ์ (ก) npn และ (ข) pnp กระแสไฟฟา้ และแรงดันไฟฟา้ ของทรานซิสเตอร์ชนิด npn แสดงดงั ภาพ 3.34

126 VCE + Collector Emitter - IE -+ IC V BE + Base- VBC IB Re VEE R c VCC ภาพ 3.34 กระแสไฟฟา้ และแรงดนั ไฟฟ้าทขี่ ัว้ ขาของทรานซิสเตอร์ (Schilling, L. D. & Belove, C; 1989) จากภาพ 3.34 พจิ ารณาความสมั พนั ธข์ องกระแสที่ทรานซิสเตอร์ โดยใช้ KCL ท่ีทรานซิสเตอร์ จะได้ IE  IB  IC (3.23) เมือ่ IE , IB และ IC คอื กระแสอิมติ เตอร์ กระแสเบส และกระแสคอลเลคเตอร์ ตามลาดบั พิจารณาความสัมพันธ์ของกระแสและแรงดันท่ีทรานซิสเตอร์ โดยใช้ KVL ที่เบส-อิมิตเตอร์เมซ (base-emitter mesh) จะได้ VBE  IERe VEE  0 หรอื IE  VEE  VBE (3.24) Re จากสมการ (3.23) และ (3.24) แสดงตัวอย่างความสัมพันธ์ของกระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟ้าท่ี ทรานซิสเตอร์แบบ BJT ชนิด npn สาหรับการวิเคราะห์วงจรทรานซิสเตอร์โดยท่ัวไปจะมีคุณลักษณะทาง ไฟฟ้าของทรานซิสเตอร์เข้ามาร่วมพิจารณาด้วย การวิเคราะห์วงจรทรานซิสเตอร์สามารถศึกษาเพิ่มเตมิ ได้จาก หนงั สอื วงจรอิเล็กทรอนกิ ส์ หรอื ศกึ ษาเพม่ิ เตมิ ไดใ้ น Schilling, L. D. & Belove, C (1989) 3.9.2 เครื่องกาเนดิ ไฟฟา้ กระแสตรง (DC Generator) เคร่ืองกาเนิดไฟฟ้ากระแสตรง คือ เครื่องจักรกลไฟฟ้ากระแสตรงประเภทหน่ึง ซ่ึงแปลงพลังงานกล เป็นพลังงานไฟฟ้ากระแสตรง มีหน้าท่ีผลิตไฟฟ้ากระแสตรง โดยอาศัยการเคลื่อนท่ีของตัวนาไฟฟ้าท่ีโรเตอร์ (rotor) (ส่วนหมุน) เคลื่อนตัวตัดผ่านสนามแม่เหล็กไฟฟ้าท่ีสเตเตอร์ (stator) (ส่วนที่อยู่กับท่ี) เคร่ืองกาเนิด ไฟฟ้ากระแสตรงแบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ ชนิดกระตุ้นแยก (separately excited) และชนิดกระตุ้นตัวเอง (self-excited) และถูกแบ่งตามลักษณะการต่อขดลวดออกเป็น 3 แบบ คือ แบบชันท์ (shunt) แบบซีรีส์ (series) และแบบคอมปาวด์ (compound) สาหรับแบบคอมปาวด์ แบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ แบบช๊อตชันท์ (short-shunt compound) และแบบลองชนั ท์ (long-shunt compound) ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีแรงดันโนด และระเบียบวิธีกระแสเมซในหัวข้อน้ีจะเป็นการ ยกตัวอย่างเพียงแบบซีรีส์ และแบบชันท์ สาหรับแบบอื่น ๆ สามารถศึกษาได้จากหนังสือเครื่องจักรกลไฟฟ้า กระแสตรง หรือศกึ ษาเพม่ิ เติมได้ใน Sen, P. C. (1997)

127 วงจรสมมลู ของเครือ่ งกาเนดิ ไฟฟา้ กระแสตรงแบบชันท์ และแบบซีรสี ์ แสดงดงั ภาพ 3.35 If A It + It RSE + Rfc Ia Ra Vt RL Ia Ra Vt RL + - + - Ea Ea Rfw - - (ก) (ข) ภาพ 3.35 วงจรสมมลู ของเครอ่ื งกาเนดิ ไฟฟ้ากระแสตรง (Sen, P. C.; 1997) แบบ (ก) ชันท์ และ (ข) ซรี สี ์ จากภาพ 3.35 (ก) วงจรสมมูลของเครื่องกาเนดิ ไฟฟา้ กระแสตรงแบบชันท์ ใช้ KCL ที่โนด A จะได้ It  Ia  I f (3.25) เมื่อ It , Ia และ If คือ กระแสไฟฟ้าที่ขั้วของเครื่องกาเนิดไฟฟ้า (กระแสไฟฟ้าที่จ่ายสู่โหลด) กระแสไฟฟ้าที่ อาร์เมเจอร์ และกระแสไฟฟ้าทีข่ ดลวดฟิลด์ (ขดลวดสรา้ งสนามแม่เหล็ก) ตามลาดบั แรงดันไฟฟ้าท่ีขวั้ โหลด (Vt) หาไดโ้ ดยใช้ KVL ท่ีข้วั โหลด จะได้ Vt  Ea  IaRa  0 หรอื Vt  Ea  IaRa (3.26) เม่อื Ea คือ แรงดนั ไฟฟ้าเหนีย่ วนาจากเคร่อื งกาเนิดไฟฟา้ Ra คอื ค่าความตา้ นทานของขดลวดอาร์เมเจอร์ จากภาพ 3.35 (ข) วงจรสมมูลของเครื่องกาเนิดไฟฟ้ากระแสตรงแบบซีรีส์ แรงดันไฟฟ้าท่ีขั้วโหลด (Vt) หาไดโ้ ดยใช้ KVL ที่ขว้ั โหลด จะได้  Ea  IaRa  ItRSE  Vt  0 เมอื่ It = Ia ดังน้ัน Vt  Ea  Ia (Ra  RSE ) (3.27) เมื่อ RSE คอื ค่าความตา้ นทานของขดลวดซีรสี ์ (ขดลวดสร้างสนามแม่เหล็กไฟฟา้ ) 3.9.3 มอเตอร์ไฟฟา้ กระแสตรง (DC Motor) มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง คือ เคร่ืองจักรกลไฟฟ้ากระแสตรงประเภทหนึ่ง ซ่ึงแปลงพลังงานไฟฟ้าเป็น พลังงานกล มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงแบ่งตามลักษณะการต่อขดลวดออกเป็น 2 แบบ คือ แบบชันท์ (shunt) และแบบซรี สี ์ (series) วงจรสมมูลของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง แสดงดังภาพ 3.36

128 If A It Ia Ra It Rfc Ia Ra + + RSE + + Vt Ea Vt Ea - - - Rfw - (ก) (ข) ภาพ 3.36 วงจรสมมลู ของมอเตอร์ไฟฟา้ กระแสตรง (Sen, P. C.; 1997) (ก) แบบชันท์ และ (ข) แบบซีรีส์ จากภาพ 3.36 (ก) วงจรสมมลู ของมอเตอรไ์ ฟฟ้ากระแสตรงแบบชันท์ ใช้ KCL ทโ่ี นด A จะได้ It  Ia  I f (3.28) เม่ือ It , Ia และ If คือ กระแสไฟฟ้าท่ีข้ัวของมอเตอร์ไฟฟ้า (กระแสไฟฟ้าที่จ่ายให้กับมอเตอร์) กระแสไฟฟ้าที่ อารเ์ มเจอร์ และกระแสไฟฟ้าท่ีขดลวดฟลิ ด์ (ขดลวดสรา้ งสนามแมเ่ หลก็ ) ตามลาดบั แรงดนั ไฟฟา้ ทีข่ ้วั มอเตอร์ (Vt) หาไดโ้ ดยใช้ KVL ท่ขี วั้ มอเตอร์ จะได้ Vt  Ea  IaRa  0 หรอื Vt  Ea  IaRa (3.29) เม่อื Ea คอื แรงดนั ไฟฟ้าเหน่ยี วนาทอี่ ารเ์ มเจอร์ Ra คือ คา่ ความต้านทานของขดลวดอารเ์ มเจอร์ จากภาพ 3.36 (ข) วงจรสมมูลของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงแบบซีรีส์ แรงดันไฟฟ้าท่ีข้ัวมอเตอร์ (Vt) หาได้โดยใช้ KVL ทขี่ ั้วมอเตอร์ จะได้ Vt  ItRSE  IaRa  Ea  0 เมอื่ It = Ia ดังน้นั Vt  Ea  Ia (Ra  RSE ) (3.30) โดยท่ี RSE คือ ค่าความต้านทานของขดลวดซรี ีส์ (ขดลวดสร้างสนามแม่เหล็กไฟฟา้ ) 3.10 บทสรุป 1. การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าประกอบด้วยตัวแปรไม่ทราบค่า ได้แก่ แรงดันที่โนดแต่ละโนด กระแสท่ี ไหลผ่านองค์ประกอบแต่ละตัว ก่อนเร่ิมการวิเคราะห์วงจรจะต้องนิยามตัวแปรท่ีเกี่ยวข้องให้ชัดเจนและเป็น ระบบเสยี ก่อน เพ่ือนามาสรา้ งชุดสมการสาหรับการวิเคราะห์วงจรน้ัน ๆ ระเบยี บวิธสี าหรับการวิเคราะห์วงจร

129 ได้แก่ ระเบียบวิธีแรงดันโนด และระเบียบวิธีกระแสเมซ วิธีการแก้สมการเพ่ือหาค่าตัวแปร ได้แก่ การแทนค่า การใชก้ ฎของเครเมอร์ และการใช้ MATLAB 2. ระเบยี บวิธีแรงดนั โนด หรือการวิเคราะห์โนด จะนิยามแรงดนั โนดเป็นตวั แปรอิสระและตอ้ งกาหนด โนดอ้างอิงซ่ึงมีศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ โดยใช้กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ และใช้กฎของโอห์มเพื่อแสดง ความสัมพนั ธ์ของแรงดันระหวา่ งโนด แล้วทาการแก้สมการเพ่อื หาคา่ แรงดนั ท่ีโนดที่พิจารณา 3. ระเบยี บวิธีแรงดนั โนดในวงจรแหลง่ จา่ ยแรงดันไฟฟ้า 3.1 แหล่งจา่ ยแรงดันไฟฟ้าอย่รู ะหว่างแรงดนั โนด และโนดอา้ งอิง จะกาหนดให้แรงดันโนดมีค่าเท่ากับ แรงดันไฟฟ้าทแี่ หลง่ จ่าย 3.2 แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าอยู่ระหว่างแรงดันโนด 2 โนด เรียกว่า ซูเปอร์โนดจะต้องใช้ท้ัง KCL และ KVL เพอื่ หาความสัมพันธข์ องกระแสและแรงดนั ทซี่ เู ปอร์โนด 4. ระเบียบวิธีกระแสเมซ หรือการวิเคราะห์เมซ จะใช้ KVL เพื่อหาค่ากระแสเมซที่ไม่ทราบค่า ซ่ึง สามารถวิเคราะห์ได้เฉพาะวงจรระนาบ คือ วงจรที่ไม่มีกิ่งหนึ่งก่ิงใดพาดผ่านกัน จะนิยามกระแสเมซเป็นตัว แปรอิสระ โดยใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ เพ่ือแสดงความสัมพันธ์ของกระแสระหว่างเมซ แล้วทาการแก้ สมการเพื่อหาคา่ กระแสเมซทพี่ ิจารณา 5. ระเบยี บวิธกี ระแสเมซในวงจรแหลง่ จ่ายกระแสไฟฟ้า 5.1 แหล่งจ่ายกระแสอยู่ในเมซใดเมซหนึ่ง จะกาหนดให้กระแสในเมซน้ันมีค่าเท่ากับกระแสท่ี แหลง่ จา่ ย 5.2 แหล่งจ่ายกระแสอยู่ระหว่างเมซ 2 เมซ จะเรียกว่า ซูเปอร์เมซ จะต้องใช้ทั้ง KVL และ KCL เพ่ือ หาความสัมพนั ธข์ องแรงดันและกระแสทซ่ี ูเปอร์เมซ 6. การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าด้วยโปรแกรม PSpice Student Version สาหรับระเบียบวิธีวิเคราะห์ วงจรมีข้ันตอนเชน่ เดียวกบั การวิเคราะห์กระแสตรงในบทท่ี 2 7. การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าด้วยโปรแกรม MATLAB สามารถแก้ปัญหาสมการเชิงเส้นในรูปแบบ เมทรกิ ซ์ โดยวิธเี มทริกซผ์ กผัน และกฎของเครเมอร์ 8. ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีวิเคราะห์วงจร เช่น วงจรทรานซิสเตอร์กระแสตรง และ เคร่ืองจักรกลไฟฟ้ากระแสตรง ไดแ้ ก่ เครอ่ื งกาเนิดไฟฟ้ากระแสตรง และมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

130 3.11 แบบฝึกหัดทา้ ยบท 3.1 หาแรงดนั ท่โี นด v1 , v2 ในวงจร โดยใช้ Nodal analysis จากวงจรดังภาพ 3.37 v1 6  v2 1A 2 7 4A ภาพ 3.37 สาหรบั แบบฝกึ หัดทา้ ยบทข้อที่ 3.1 ตอบ v1   2 V v2  14 V 3.2 หาแรงดนั ท่ีโนด v1 , v2 , v3 ในวงจร โดยใช้ Nodal analysis จากวงจรดงั ภาพ 3.38 V1 2 4ix V3 10 A 3  V2 6 ix 4 ภาพ 3.38 สาหรบั แบบฝกึ หัดท้ายบทข้อที่ 3.2 ตอบ v1  80 V v2   64 V v3  156 V 3.3 หาแรงดันทโ่ี นด v และ i ในวงจร โดยใช้ Nodal analysis จากวงจรดงั ภาพ 3.39 4  v1 3 V v2  i 6 7V 3 v 2  ภาพ 3.39 สาหรับแบบฝกึ หัดทา้ ยบทข้อที่ 3.3 ตอบ v  200 mV i  1.4 A

131 3.4 หาแรงดนั ที่โนด จากวงจรดงั ภาพ 3.40 6 10 V v2 5i v1 i v3 2 4 3 ภาพ 3.40 สาหรบั แบบฝกึ หัดทา้ ยบทข้อที่ 3.4 ตอบ v1  3.043 V v2   6.956 V v3  652.16 mV 3.5 หากระแส i1 , i2 ในวงจร โดยใช้ Mesh analysis จากวงจรดงั ภาพ 3.41 2 9 12 V i1 12  i2 8 V 4 3 ภาพ 3.41 สาหรบั แบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อท่ี 3.5 ตอบ i1  666.67 mA i2  0 A 3.6 หากระแส io ในวงจร โดยใช้ Mesh analysis จากวงจรดังภาพ 3.42 6 io 4  i3 8  20 V i1 2  i2 10 io ภาพ 3.42 สาหรบั แบบฝกึ หัดท้ายบทข้อท่ี 3.6 ตอบ io   5 A

132 3.7 หากระแส i1 , i2 , i3 ในวงจร โดยใช้ Mesh analysis จากวงจรดงั ภาพ 3.43 2  i3 2 6 V i1 4 3A i2 8 1 ภาพ 3.43 สาหรับแบบฝกึ หัดท้ายบทข้อท่ี 3.7 ตอบ i1  3.473 A i2  473.68 mA i3  1.1052 A 3.8 ทาซา้ แบบฝึกหัดทา้ ยบทขอ้ ที่ 3.6 พร้อมทง้ั หากระแสไฟฟา้ ท่กี ่ิง โดยใช้ PSpice ตอบ GAIN=10 ภาพ 3.44 Schematics สาหรบั แบบฝกึ หดั ทา้ ยบท ขอ้ ที่ 3.8 3.9 ทาซา้ แบบฝึกหัดทา้ ยบทขอ้ ท่ี 3.6 หากระแส io ในวงจร โดยใช้ MATLAB ตอบ >> A=[6 -2 -4; -2 10 -18; -4 -8 18]; >> B=[20; 0; 0]; >> C=inv(A)*B; >> Io=C(3) Io = -5.0000 ดงั น้ัน จะได้ io = -5 A

133 3.10 ทาซ้าแบบฝึกหดั ท้ายบทขอ้ ที่ 3.7 หากระแส i1 , i2 , i3 ในวงจร โดยใช้ MATLAB ตอบ >> A=[14 -6; -6 8]; >> B=[0; 6]; >> C=inv(A)*B; >> I1=C(1)+3; >> I2=C(1); >> I3=C(2); >> D=[I1;I2;I3] D= 3.4737 0.4737 1.1053 ดังน้นั จะได้ I1 = 3.47 A, I2 = 0.48 A และ I3 = 1.11 A

134 รายการเอกสารอา้ งอิง Alexander, C. K. and Sadiku, N.O. M. (2009 ). Fundamental of Electric Circuit. (4th ed). New York, NY: McGraw-Hill. Hayt, W. H. Jr. and Kimmerly, J. E. (1993). Engineering Circuit Analysis. (5th ed). Singapore: McGraw-Hill. Peebles, Z. P. Jr. and Giuma A. T. (1991). Principles of Electrical Engineering. Singapore: McGraw-Hill. Rizzoni, G. (2003). Principles and Applications of Electrical Engineering. (4th ed). New York, NY: McGRAW-Hill. Schilling, L. D. and Belove, C. (1989). Electronic Circuits, Discrete and Integrated. (3rd ed). Singapore: McGraw-Hill. Sen, P. C. (1997). Principles of Electric Machines and Power Electronics. (2nd ed). CANADA: John Wiley & Sons, Inc. Steven, S. E. and William, O. G. (1993). Electrical Engineering : An Introduction. (2nd ed). Philadelphia, PA: Saunders College Publishing. ชัญชนา ตั้งวงศ์ศานต์, อาภรณ์ ธีรมงคลรัศมี, ชาญชัย ปลื้มปิติวิริยะเวช, ลัญฉกร วุฒิสิทธิกุลกิจ, มานะ ศรียุทธศักด์ิ, ชุมพล อันตรเสน, . . . เทียนชัย ประดิสถายน. (2556). ทฤษฎีวงจรไฟฟ้า ภาควงจร กระแสไฟฟ้าตรง. กรงุ เทพฯ: สานกั พมิ พ์แห่งจุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย. ธนากร นา้ หอมจนั ทร.์ (2554). ทฤษฎวี งจรไฟฟ้า. ปทุมธานี: มหาวทิ ยาลยั อสี เทิรน์ เอเชยี . บัณฑติ บวั บชู า. (2541). ทฤษฎแี ละการวเิ คราะหว์ งจรไฟฟ้า1. กรงุ เทพฯ: สานกั พมิ พ์ ฟิสกิ ส์เซน็ เตอร์. อภินนั ท์ อรุ โสภณ. (2554). วงจรไฟฟ้า. กรงุ เทพฯ: สานักพมิ พ์ ดวงกมลพบั ลชิ ชิง่ .

บทที่ 4 ทฤษฎวี งจร 4.1 บทนำ ระเบียบวิธีวิเคราะหว์ งจรไฟฟา้ ซึ่งประยุกต์จากกฎของเคอร์ชอฟฟ์รว่ มกับกฎของโอหม์ ได้แก่ ระเบยี บ วิธีแรงดันโนด ซึ่งใช้กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ และระเบียบวิธีกระแสเมซ ซึ่งใช้กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ ที่ อธิบายในบทท่ีผ่านมา ระเบียบวิธีดังกล่าวเป็นการวิเคราะห์วงจรโดยไม่เปลี่ยนแปลงรูปวงจร แต่ทั้งน้ีระเบียบ วิธีดังกล่าวไม่เหมาะสมกับวงจรขนาดใหญ่ หรือวงจรที่มีความซับซ้อน รวมถึงวงจรท่ีมีการเปล่ียนแปลงค่า องคป์ ระกอบภายในวงจร เช่น ตัวตา้ นทานโหลด เป็นต้น สาหรับวงจรที่มีความซับซ้อน ยุ่งยาก สามารถวิเคราะห์วงจรได้โดยการแปลงรูปวงจรให้เป็นวงจร สมมูลอย่างง่าย เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์วงจร โดยใช้ทฤษฎีวงจร เช่น ทฤษฎีของเทวินิน และทฤษฎี ของนอร์ตัน เป็นตน้ ซง่ึ สามารถประยกุ ตใ์ ชไ้ ด้กับวงจรทีม่ คี ณุ สมบัติความเปน็ เชงิ เสน้ ไดอ้ ย่างมีประสทิ ธิภาพ ในบทนี้จะอธิบายถึงคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของวงจร ทฤษฎีการทับซ้อน การแปลงแหล่งจ่าย ทฤษฎีของเทวนิ ิน ทฤษฎีของนอร์ตนั การส่งผา่ นกาลงั ไฟฟา้ สูงสดุ ตรวจสอบทฤษฎีวงจรดว้ ย PSpice และการ ประยกุ ต์ใช้ทฤษฎีวงจร ตามลาดับ 4.2 คุณสมบตั ิวงจรเชิงเส้น วงจรท่ีมคี ุณสมบัติความเป็นเชิงเส้น คือ วงจรท่ีแสดงความสัมพันธร์ ะหว่างสิ่งกระตุ้นและผลที่เกิดขึ้น เป็นเชิงเส้น โดยในหัวข้อนี้จะเป็นการอธิบายถึงคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของวงจรตัวต้านทาน ซ่ึงมี คุณสมบัติต่าง ๆ ดังน้ี คุณสมบัติความเป็นหนึ่งเดียว (Homogeneity property) หรือมีความเป็นสัดส่วน (scaling) และมคี ุณสมบตั ิสภาพรวมกันได้ (Additivity) องค์ประกอบจะมีคุณสมบัติความเปน็ หนึง่ เดียวหรอื คุณสมบัตคิ วามเป็นสดั ส่วนก็ตอ่ เมื่อ ถา้ อินพุตหรือ สิง่ กระตุ้นถูกคูณดว้ ยคา่ คงที่แล้ว ส่งผลให้เอาท์พุตหรือผลตอบสนองที่เกิดขึน้ ถูกคูณด้วยค่าคงที่เดียวกับอินพุต เชน่ กนั ตัวอย่างความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาท์พุตของตัวต้านทาน ความสัมพันธ์ของอินพุต i และ เอาท์พุต v จากกฎของโอห์ม จะได้ iR  v (4.1) ถา้ กระแส i เพ่ิมข้ึนดว้ ยคา่ คงที่ k ฉะนน้ั แรงดัน v จะเพ่ิมขึ้นดว้ ยค่าคงที่ k เชน่ เดยี วกัน ดังนี้ kiR  kv (4.2) ความสมั พันธ์ระหว่างอนิ พตุ และเอาทพ์ ุตของ R จากสมการ (4.1) และ (4.2) แสดงดังภาพ 4.1

136  is i R v ki s i R kv  ภำพ 4.1 ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งอินพุต i และเอาทพ์ ุต v ของ R ตามคุณสมบัติความเปน็ หนึ่งเดยี ว คุณสมบัติสภาพรวมกันได้ หมายถึง ผลรวมของผลตอบสนอง (เอาท์พุต) ที่เกิดขึ้น จะได้จากผลรวม ของส่ิงกระตุ้น (อินพุต) แต่ละส่ิงกระตุ้นเข้าด้วยกัน จากความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาท์พุตของตัว ต้านทาน ถา้ v1  i1R (4.3) และ v2  i2R (4.4) เมือ่ i1 + i2 จะได้ v  (i1  i2 )R  i1R  i2R  v1  v2 (4.5) ความสัมพนั ธ์ระหว่างอนิ พตุ และเอาท์พุตของ R จากสมการ (4.3) ถึง (4.5) แสดงดังภาพ 4.2  i1 i R v1 i1 i    R v  v1  v2  i2 i2 i R v2   ภำพ 4.2 ความสัมพนั ธร์ ะหว่างอินพตุ i และเอาท์พุต v ของ R ตามคุณสมบัติสภาพรวมกันได้ ดังน้ัน จะเรียกว่า ตัวต้านทานเป็นองค์ประกอบเชิงเส้น เน่ืองจากความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันและ กระแสเปน็ ไปตามคุณสมบตั ิความเปน็ หน่ึงเดยี วและคุณสมบตั ิสภาพรวมกนั ได้ โดยทั่วไป วงจรจะเป็นเชิงเส้นก็ต่อเม่ือ วงจรนั้นมีคุณสมบัติทั้งคุณสมบัติความเป็นหนึ่งเดียวและ คุณสมบัติสภาพรวมกันได้ วงจรเชิงเสน้ จะประกอบไปด้วยองค์ประกอบเชงิ เสน้ แหล่งจ่ายอิสระ และแหล่งจา่ ย ไมอ่ สิ ระเชงิ เสน้ ข้อสงั เกต 4.1 ความสมั พันธ์ระหวา่ งกาลงั ไฟฟ้ากบั แรงดัน (หรอื กระแส) จะไม่เป็นเชิงเส้น เนือ่ งจาก p = i2R = v2/R (ฟงั ก์ชนั ยกกาลงั 2)

137 เพ่ือความเข้าใจเกี่ยวกับคณุ สมบัติความเป็นเชิงเส้น พิจารณาจากวงจรดังภาพ 4.3 วงจรเชิงเส้นซึ่งไม่ มีแหล่งจ่ายไม่อิสระภายใน ถูกกระตุ้นโดยแหล่งจ่ายแรงดัน vs ซึ่งเป็นอินพุตของวงจร และส่วนท้ายของวงจร คือ โหลดตวั ต้านทาน R โดยจะกาหนดให้กระแส i ทไ่ี หลผา่ น R เปน็ เอาท์พุต i Vs Linear Circuit R ภำพ 4.3 วงจรเชงิ เสน้ ท่ปี ระกอบดว้ ยอินพตุ vs และเอาท์พตุ i ถ้ากาหนดให้อินพตุ vs = 10 V ซง่ึ จะได้เอาทพ์ ตุ i = 2 A จากคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของวงจร ถ้า vs = 1 V จะได้ i = 0.2 A ในทางตรงกนั ขา้ มถ้ากาหนดให้ i = 1 mA ฉะนน้ั vs จะเทา่ กับ 5 mV เปน็ ตน้ ตัวอยำ่ ง 4.1 หา io เม่อื vs เทา่ กบั 12 V และ 24 V จากวงจรดงั ภาพ 4.4 6 8  2 io 4 4 VX i1 Vs i2 2VX  ภำพ 4.4 สาหรับตัวอย่าง 4.1 วิธีทำ KVL เมซ i1 ; 12i1  2i2  vs  0 (4.1.1) (4.1.2) KVL เมซ i2 ;  2i1 14i2  2vx  vs  0 (4.1.3) (4.1.4) แทน vx = -4i1 ในสมการ (4.1.2) จะได้ 10i1 14i2  vs  0 แทน (4.1.3) ใน (4.1.1) จะได้ 2i1 12i2  0  i1   6i2 แทน (4.1.4) ใน (4.1.1) จะได้  74i2  vs  0  i2  vs 74

138 เมอื่ vs เท่ากบั 12 V จะได้ io  i2  12 A 74 เม่อื vs เท่ากบั 24 V จะได้ io  i2  24 A 74 ซึง่ จะพบว่า เมอ่ื แหลง่ จ่ายแรงดันอนิ พตุ vs เพ่ิมขึ้น 2 เท่ากระแสเอาทพ์ ตุ io ก็จะเพิ่มขนึ้ 2 เท่า เชน่ กนั ตัวอยำ่ ง 4.2 กาหนดให้ Io = 1A ใชค้ ณุ สมบตั ิความเปน็ เชงิ เสน้ หากระแส Io ที่ไหลจรงิ ในวงจรดงั ภาพ 4.5 I4 6  V2 I2 5  V1 I o 4  Is I3 I1 Io 5 5 6 24 A ภำพ 4.5 สาหรับตวั อย่าง 4.2 วธิ ีทำ จากภาพ 4.5 ถ้า Io = 1 A ฉะน้นั V1 = (4+6)Io = 10 V และ I1 = V1 /5 = 10 /5 = 2 A KCL โนด V1; I2  I1  Io  3 A จากภาพ 4.5 V2  V1  5I2  10 15  25 V ฉะน้ัน I3  V2  5A 5 KCL โนด V2; Is  I4  I3  I2  8 A จาก Io = 1 A ตามที่กาหนด จะได้ Is = 8 A แต่ในวงจรตามภาพ 4.5 Is = 24 A ซ่ึงมีขนาดเป็น 3 เท่า ของผลจากการคานวณท่ี Io = 1 A ฉะน้นั Io จริงทไ่ี หลในวงจรจะเทา่ กบั 3 A 4.3 ทฤษฎกี ำรทับซ้อน วงจรเชิงเส้นที่ประกอบไปด้วยแหล่งจ่ายอิสระตั้งแต่ 2 ชุดขึ้นไป ในการวิเคราะห์วงจรเพ่ือหาค่า ตัวแปรแรงดันหรือกระแสในวงจรอาจใช้ระเบียบวธิ ีแรงดันโนดหรือกระแสเมซตามท่ีได้กล่าวไว้ในบทที่ผ่านมา หรือจะใช้ทฤษฎีการทับซ้อน (Superposition Theorem) เพื่อหาตัวแปรท่ีสนใจ โดยจะคานวณจากผลรวม

139 ของผลตอบสนอง (เอาท์พุต) ท่ีเกิดจากแต่ละแหล่งจ่าย (ส่ิงกระตุ้นหรืออินพุต) ในวงจร ซ่ึงเป็นไปตาม คณุ สมบตั ิสภาพรวมกันได้ของวงจรเชิงเส้น การวิเคราะห์วงจรด้วยทฤษฎีการทับซ้อน ดังภาพ 4.6 ในวงจรที่มีคุณสมบัติเป็นเชิงเส้น มีข้ันตอน ดงั นี้ 1. หาค่าตัวแปรท่ีสนใจทีละแหล่งจ่าย โดยปิดแหล่งจ่ายอื่น ในกรณีเป็นแหล่งจ่ายแรงดันให้ลัดวงจร ส่วนแหล่งจ่ายกระแสใหเ้ ปดิ วงจร ดงั ภาพ 4.7 สาหรบั แหลง่ จา่ ยไม่อิสระใหค้ งคา่ ไว้ ณ ตาแหนง่ เดมิ 2. ทาซา้ ในข้นั ตอนที่ 1 สาหรับแหล่งจา่ ยทเี่ หลอื โดยพิจารณาเฉพาะแหลง่ จ่ายอิสระเทา่ นัน้ 3. หาผลรวมทางพีชคณติ ของผลตอบสนองจากแหลง่ จ่ายทง้ั หมดของตวั แปรท่สี นใจ vs1 i  i1 R  i2 R  vs2 R v  vs1 v1  vs2 v2    ภำพ 4.6 ทฤษฎีการทับซ้อน R1 vs i s R2 R1 (ก) R1 R2 vs i s is R2 vs (ข) (ค) ภำพ 4.7 (ก) วงจรเชิงเสน้ (ข) การปดิ แหล่งจ่ายแรงดัน และ (ค) การปดิ แหล่งจา่ ยกระแสจากวงจรภาพ (ก)

140 ตวั อยำ่ ง 4.3 ใชท้ ฤษฎกี ารทับซ้อน หาแรงดนั ไฟฟา้ v จากวงจรดังภาพ 4.8 18   12 V 6 v 4A  ภำพ 4.8 สาหรบั ตัวอย่าง 4.3 วิธที ำ จากวงจรดังภาพ 4.8 ประกอบด้วย 2 แหล่งจ่าย ดงั นน้ั v  v1  v2 เมือ่ v1 และ v2 เป็นผลตอบสนองจากแหล่งจ่ายแรงดัน 12 V และแหลง่ จ่ายกระแส 4 A ตามลาดับ หา v1 โดยเปิดวงจรแหล่งจ่ายกระแส แสดงดงั ภาพ 4.9 18   12 V 6  v1  ภำพ 4.9 สาหรบั ตัวอยา่ ง 4.3 KVL เมซ i1 ; 24i1 12  0  i1  0.5 A ดงั นัน้ v1  6i1  3 V หรือใช้วธิ ีการแบง่ แรงดนั เพ่ือหา v1 ได้เชน่ กนั ดังนี้ v1  6 6 (12)  3V  18 หา v2 โดยลัดวงจรแหล่งจ่ายแรงดนั แสดงดงั ภาพ 4.10 18  i2 i3  4A 6  v2  ภำพ 4.10 สาหรบั ตวั อย่าง 4.3