วงจรไฟฟ้า 1 ปวส.

241 i iL 12V vC ภำพ 6.30 Schematics ของวงจรตามภาพ 6.24 ขอ้ สังเกต 6.3 จากภาพ 6.30 จะเห็นว่าตัวเก็บประจุขนาด 1 F จากวงจรดังภาพ 6.24 จะถูกแทนด้วยตัวเก็บประจุ ขนาด 2 F จานวน 2 ตัวต่ออนุกรมกัน (ค่าความจุไฟฟ้ารวมเท่ากับ 1 F เช่นเดิม) เพ่ือแสดงให้เห็นว่า การจาลองเหตุการณ์ในวงจรท่ีมีตัวเก็บประจุอนุกรมกันน้ัน สามารถทาได้โดยการวางตัวต้านทานที่มีค่าความ ต้านทานสูง ๆ มาขนานกับตัวเก็บประจุแต่ละตัวที่ต่ออนุกรมกัน มิฉะนั้น PSpice จะไม่สามารถประมวลผล วงจรได้ 6.7 กำรประยุกต์ใช้ตัวเกบ็ ประจุและตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุไฟฟ้าและตัวเหนี่ยวนาไฟฟ้า มีคุณสมบัติท่ีสาคัญ 3 ประการ จึงถูกนามาใช้งานใน วงจรไฟฟา้ อยา่ งแพรห่ ลาย คุณสมบตั ิดังกลา่ ว ไดแ้ ก่ 1. มีความสามารถเก็บสะสมพลังงาน จึงสามารถใช้เป็นแหล่งจ่ายแรงดันหรือกระแสไฟฟ้าสารองได้ ดังนน้ั จึงถูกใช้สาหรับสรา้ งกระแสหรอื แรงดันไฟฟ้าค่าสงู มากสาหรับชว่ งเวลาส้ัน ๆ ได้ 2. ตัวเก็บประจุต้านทานการเปลี่ยนแปลงอย่างทันทีทันใดของแรงดันไฟฟ้า ในขณะที่ตัวเหนี่ยวนา ต้านทานการเปลี่ยนแปลงอย่างทันทีทันใดของกระแส ด้วยคุณสมบัตินี้ทาให้ตัวเก็บประจุและตัวเหน่ียวนา ไฟฟ้าถูกนามาใช้สาหรับลดการเกิดประกายไฟ (spark หรือ arc) และใช้ในการเปลี่ยนสัญญาณแรงดันไฟฟ้า พลั ส์ dc ใหเ้ ปน็ สัญญาณไฟฟา้ กระแสตรง dc ที่สมั พนั ธ์กนั 3. ตัวเก็บประจุและตัวเหน่ียวนาไฟฟ้านั้นตอบสนองต่อความถี่ จึงใช้คุณสมบัติน้ีในการแยกแยะ ความถี่ได้

242 คุณสมบัติ 2 ประการแรกนั้นถูกนามาใช้ในวงจร dc สาหรับประการท่ีสามใช้ในวงจร ac คุณสมบัติ ต่าง ๆ ของตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนาไฟฟ้าจะแสดงในบทถัดไป ในหัวข้อน้ีจะยกตัวอย่างการประยุกต์ใช้ รว่ มกับออปแอมป์เพ่ือสร้างเป็นวงจรทาอินทิเกรต วงจรทาอนุพันธ์ และตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทางวิศวกรรม ไฟฟา้ แรงสงู ตามลาดบั 6.7.1 วงจรทำอนิ ทเิ กรต (Integrator) วงจรออปแอมป์ท่ีมีการใช้องค์ประกอบประเภทสะสมพลังงานต่อร่วมกัน ได้แก่ วงจรทาอินทิเกรต และวงจรทาอนุพันธ์ วงจรออปแอมป์เหล่านี้มักจะมีตัวต้านทานและตัวเก็บประจุเป็นส่วนประกอบ ส่วนตัว เหนยี่ วนาไฟฟ้ามกั ไม่ได้รับความนิยม เนือ่ งจากมีขนาดใหญ่และมรี าคาสูง วงจรออปแอมป์ทาอินทิเกรตสามารถนามาประยุกต์ใช้งานได้อย่างกว้างขวาง โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน คอมพวิ เตอรแ์ อนะล็อก วงจรทาอินทิเกรต คือ วงจรออปแอมป์ซ่ึงให้สัญญาณขาออก (เอาท์พุต) เป็นอินทิกรัลของสัญญาณ ขาเข้า (อนิ พุต) ถา้ แทนตวั ตา้ นทานปอ้ นกลับ Rf ด้วยตัวเก็บประจุในวงจรขยายแบบกลับเฟสของภาพ 6.31 (ก) จะได้ วงจรทาอินทิเกรตในทางอุดมคติ ดังภาพ 6.31 (ข) และสามารถหาความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ของการ อินทิเกรตได้ ดงั นี้ i2 Rf i1 R1 v1 0A   0V vi   v2  vo  (ก)  vo iC C  iR R a vi  (ข) ภำพ 6.31 การแทนตวั ต้านทานปอ้ นกลับในวงจรขยายแบบกลับเฟสภาพ (ก) ทาเปน็ วงจรทาอนิ ทิเกรตภาพ (ข)

243 จากภาพ 6.31 (ข) KCL ที่โนด a จะได้ iR  iC (6.36) แต่ iR  vi และ iC   C dvo R dt แทนลงในสมการ (6.36) จะได้ vi   C dv o (6.37a) R dt dv o   1 v i dt (6.37b) RC อนิ ทิกรัลสมการ (6.37b) จะได้ vo (t)  vo (0)   1 0t v i (t ) dt (6.38) RC ในทางปฏิบตั ิ vo(0) = 0 ดงั น้ัน vo (t)   1 0t v i (t ) dt (6.39) RC จากสมการ (6.39) ซ่ึงแสดงให้เห็นว่าวงจรในภาพ 6.31 (ข) ส่งผลให้สัญญาณขาออกแปรผันตรงกับ การอินทิเกรตสัญญาณขาเข้า ในการใช้งานจริงวงจรออปแอมป์ทาอินทิเกรตจะต้องใส่ตัวต้านทานป้อนกลับ ด้วย เพื่อลดอัตราขยายทาง dc และป้องกันการอิ่มตัว (saturation) ของวงจรขยาย ซึ่งจะต้องคานึงถึงการ ทางานของออปแอมปใ์ ห้ทางานในยา่ นที่เปน็ เชิงเสน้ เทา่ นน้ั เพือ่ ป้องกนั การอ่ิมตัว 6.7.2 วงจรทำอนพุ ันธ์ (Differentiator) วงจรทาอนุพันธ์ คือ วงจรออปแอมป์ที่มีสัญญาณขาออกแปรผันตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ สัญญาณขาเข้า iR R iC C a  vo vi   ภำพ 6.32 วงจรออปแอมป์ทาเป็นวงจรอนุพนั ธ์

244 จากภาพ 6.31 (ก) ถ้าเปลี่ยนให้ตัวต้านทานขาเข้าแทนด้วยตัวเก็บประจุ ผลลัพธ์คือจะทาให้วงจร กลายเปน็ วงจรทาอนุพันธ์ ดังแสดงภาพ 6.32 เมอื่ ใช้ KCL ทโ่ี นด a จะได้ iR  iC (6.40) แต่ iR   vo และ iC  C dv i R dt แทนลงในสมการ (6.40) จะได้ vo (t)   RC dv i (t ) (6.41) dt จากสมการ (6.41) แสดงให้เห็นว่าสัญญาณขาออกเป็นอนุพันธ์ของสัญญาณขาเข้า วงจรทาอนุพันธ์ เป็นวงจรที่ไม่เสถียรทางไฟฟ้า เพราะว่าสัญญาณรบกวนทางไฟฟ้าใด ๆ ที่เข้ามาในวงจรจะถูกขยายโดยวงจร ทาอนพุ ันธ์ดว้ ย จากเหตุนี้จึงทาใหว้ งจรทาอนุพันธ์ในภาพ 6.32 มกั ไมน่ ิยมนามาใชใ้ นการปฏบิ ัติงานจริงเหมอื น วงจรทาอินทเิ กรต 6.7.3 ตัวอย่ำงกำรประยุกต์ใชท้ ำงวศิ วกรรมไฟฟ้ำแรงสูง ตวั อย่างการประยุกต์ใชต้ ัวเก็บประจุในทางวศิ วกรรมไฟฟา้ แรงสงู มดี งั นี้ 1. การออกแบบระบบวัดไฟฟ้าแรงดันสูงกระแสสลับสาหรับห้องปฏิบัติการ เป็นการประยุกต์ใช้ตัว เก็บประจุท้ังตัวเก็บประจุสาเร็จภาพมีขายตามท้องตลาดนามาต่ออนุกรมกันในลักษณะวงจรแบ่งแรงดัน เพอ่ื แบ่งแรงดันส่วนมากไวท้ ่ีตวั เก็บประจภุ าคแรงสูง (CHV) และแรงดนั ส่วนน้อยไว้ทต่ี ัวเก็บประจุภาคแรงดนั ต่า (CLV) สาหรับใช้เคร่ืองมือวัดแรงดันวัดค่าได้ ซ่ึงในหัวข้อนี้จะเป็นการนาเสนอเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้เท่านั้น ส่วนการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับจะนาเสนอในบทต่อไปหลังจากน้ี โดยมีรายละเอียดการประยุกต์ใช้ ดังนี้ ตัวอย่างการออกแบบโวลเตจดิไวเดอรแ์ บบตัวเกบ็ ประจุ (ธนากร นา้ หอมจันทร,์ 2554) มีดังนี้ พกิ ดั แรงดนั (Rated Voltage) : 20 kV, 50 Hz แรงดันทดสอบสูงสุด (110% of Rated Voltage) : 22 kV แรงดนั ท่ีใช้ในการออกแบบ (125% of Rated Voltage) : 25 kV กระแสท่ีไหลผ่านโวลเตจดิไวเดอร์ :  0.5 mA พิกดั แรงดนั ตัวเก็บประจยุ ่อย : 1,000 Vdc , 600 Vac อตั ราส่วนแรงดัน : 1,000 : 1

245 จากขอ้ กาหนดข้างต้น สามารถหาจานวนตวั เก็บประจยุ ่อย จะได้จาก n  Design Voltage Capacitor RatedVoltage  25103  41.66 600 = 42 ตวั คา่ ความจไุ ฟฟ้าของตัวเก็บประจภุ าคแรงสูง จาก IC  CU ดงั นัน้ C HV  IC U  0.5  10 3  79.5771012 F 2  50 (20103 ) = 79.577 pF จากค่าความจุไฟฟ้าของตัวเก็บประจุภาคแรงสูงข้างต้น จะสามารถหาค่าความจุไฟฟ้าของตัวเก็บ ประจไุ ฟฟ้ายอ่ ยได้ ดังนี้ Cn  CHV  n  (79.5771012 )  42  3,342.251012 F = 3,300 pF เลอื กใช้ ตวั เก็บประจยุ ่อย พกิ ัด 3,300 pF, 1,000 V, 5% (MKP 10 mm) จานวน 42 ตัว ตอ่ อนุกรมกัน จะได้ C HV  Cn n  (3,3001012 )  78.5711012 F 42 = 78.571 pF กระแสไฟฟ้าที่ไหลผา่ นโวลเตจดิไวเดอรแ์ บบตัวเก็บประจุ จะหาไดด้ ังนี้ IC  2  50 (78.5711012 )  (20103 )

246  0.493103 A = 0.493 mA ความจุไฟฟา้ ของตวั เกบ็ ประจภุ าคแรงต่า คานวณได้จาก C LV  UUHLVV  CHV   CHV    [1,000 (78.5711012 )]  (78.5711012 )  78.491109 F = 78.491 nF เลอื กใช้ ตวั เก็บประจุยอ่ ย พิกดั 0.015 F จานวน 5 ตวั และ 3,300 pF จานวน 1 ตวั ตอ่ ขนานกัน จะได้ CLV  [5 (0.015106 )]  (3,3001012 )  78.3 109 F = 78.3 nF ซ่ึงจะได้ อตั ราส่วนแรงดนั เท่ากบั UHV  CHV  CLV ULV C HV  (78.5711012 )  (78.3 109 ) 78.571 10 12 = 997.55 : 1 2. ตัวอย่างการออกแบบตัวเก็บประจุภาคแรงสูงโดยใช้ทรงกระบอกซ้อนแกนร่วม 3 ช้ัน (ธนากร นา้ หอมจนั ทร,์ อติกร เสรพี ัฒนานนท์, พงษ์สวสั ด์ิ คชภูมิ และสุพิศ บุญรัตน์, 2552) มดี ังนี้ พิจารณาภาพ 6.3 (ข) โดยท่ีอิเล็กโตรดช้ันในเป็นอิเล็กโตรดแรงสูงมีรัศมี r1 12.3 mm อิเล็กโตรด ชนั้ ท่ี 2 เป็นอิเล็กโตรดลดความเครียดสนามไฟฟ้า โดยอาศัยหลกั การควบคมุ สนามไฟฟ้าในฉนวนทรงกระบอก ซ้อนแกนร่วม มีรัศมี r2 24 mm และอิเล็กโตรดนอกเป็นอิเล็กโตรดกราวด์ มีรัศมี r3 36 mm ซึ่งใช้น้ามัน หม้อแปลงเป็นฉนวนคั่นระหว่างอิเล็กโตรด การออกแบบความยาวของอิเล็กโตรดจะใช้หลักการออกแบบ ปลอกฉนวนตัวนาแบบตัวเก็บประจุ ตามเงื่อนไขดังสมการ (6.42) รายละเอียดสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จาก หนงั สอื วิชาวิศวกรรมไฟฟา้ แรงสงู (สารวย สังขสะอาด, 2549)

247 r1l1  r2l2  r3l3    rnln (6.42) จากขนาดของอิเล็กโตรด r1, r2, r3 และสมการ (6.42) จะได้ l1 = 350 mm, l2 = 180 mm, และ l3 = 120 mm ซง่ึ สามารถคานวณค่าความจไุ ฟฟ้าของทรงกระบอกซ้อนแกนรว่ ม 3 ช้นั ไดด้ งั นี้ จากสมการ (6.4) C  21 2l r2 r3 r1 1 ln r2 2 ln เม่ือใช้วัสดุฉนวนชนิดเดียวกัน ดังนั้นค่าเปอร์มิตติวิตี้ของวัสดุฉนวน 1 = 2 สมการ (6.4) จะได้ดังสมการ (6.43) C  2 l (6.43) ln r3 r1 เม่ือ  = 0r โดยที่ 0 = 8.854 x 10-12 F/m และ r ของฉนวนน้ามันหม้อแปลงจากตาราง 6.1 เทา่ กับ 2.5 ดังนัน้ จะได้ค่าความจุไฟฟา้ ของตัวเก็บประจุภาคแรงสูง C HV  2  (8.8541012 F / m)(2)(0.12m)  15.54 pF ln 36 12.3 3. ตัวอยา่ งการออกแบบขดลวดเหนยี่ วนาสาหรบั หมอ้ แปลงเทสลา หม้อแปลงเทสลา คือ หม้อแปลงแรงดันสูงความถ่ีสูง ประกอบไปด้วยขดลวดเหน่ียวนาและตัวเก็บ ประจุต่อขนานกัน จานวน 2 ชุด คือ ภาคแรงสูงและภาคแรงต่า ความถี่สูงท่ีสร้างข้ึนเกิดจากคุณสมบัติของ ขดลวดเหน่ียวนาและตัวเก็บประจุ ซึ่งทาให้เกิดการแกว่ง (oscillate) ของสัญญาณ สามารถกาหนดความถี่ได้ จากคา่ ความเหน่ยี วนาและคา่ ความจไุ ฟฟา้ ของหม้อแปลงเทสลา ตัวอย่างการออกแบบขดลวดเหนี่ยวนาแกนอากาศสาหรับภาคแรงต่า (สมเกียรติ ทองแก้ว, ศุภวุฒิ เนตรโพธ์ิแกว้ , บญุ ยัง ปลง่ั กลาง และธนากร น้าหอมจนั ทร์, 2550) แสดงดงั นี้ ขดลวดแบบทรงกระบอก ออกแบบโดยใช้ท่อทองแดงขนาด 1/4 น้ิว มาประยุกต์เป็นตัวนาไฟฟ้า ซงึ่ มี ความหนาของส่วนที่เป็นทองแดง 0.03 น้ิว ทาการพันเป็นขดโดยมีระยะ r เท่ากับ 7.25 นิ้ว ระยะ l เท่ากับ 4.5 นิ้ว จานวนท้งั หมด 10 รอบ จากสมการ (6.22) จะได้คา่ ความเหนย่ี วนา ดังนี้ L  (7.25)2  (10)2 (9  7.25)  (10 4.5)  47.67 H

248 ขดลวดแบบระนาบ ออกแบบโดยใช้ท่อทองแดงขนาด 1/4 นวิ้ มาประยุกตเ์ ป็นตวั นาไฟฟ้า ซึ่งมีความ หนาของส่วนท่ีเป็นทองแดง 0.028 นิ้ว โดยทาการพันเปน็ ขด โดยมีระยะ r เท่ากับ 5.125 นิ้ว ระยะ d เทา่ กับ 6.5 น้ิว จานวนทงั้ หมด 14 รอบ จากสมการ (6.23) จะได้คา่ ความเหนี่ยวนา ดังนี้ L  (5.125)2  (14)2 (8  5.125)  (11 6.5)  45.76 H 6.8 บทสรปุ 1. ตวั เกบ็ ประจุแบบแผน่ ตวั นาขนานกัน คา่ ความจไุ ฟฟ้าจะหาได้จาก C  A d 2. ตวั เกบ็ ประจุไฟฟ้าทรงกระบอกซ้อนแกนรว่ ม ตวั นา 2 ชนั้ ค่าความจไุ ฟฟ้าจะหาไดจ้ าก C  2 l ln r2 r1 3. ตัวเก็บประจุไฟฟา้ ทรงกระบอกซ้อนแกนร่วม ตวั นา 3 ชน้ั คา่ ความจไุ ฟฟ้าจะหาไดจ้ าก C  21 2l r2 r3 r1 1 ln r2 2 ln 4. กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุจะมีค่าแปรผันตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของแรงดันไฟฟ้า ตกคร่อมต่อหน่วยเวลา คอื i  C dv dt กระแสที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุจะมีค่าเป็นศูนย์ เม่ือแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมมีค่าคงท่ีหรือไม่มี การเปลีย่ นแปลง ดังนัน้ ตัวเกบ็ ประจจุ ึงเปรยี บเสมือนเปน็ การเปดิ วงจรเมื่ออยู่ในวงจร dc 5. แรงดงั ไฟฟา้ ตกคร่อมตวั เก็บประจุจะแปรผนั กับการอินทกิ รลั ตามเวลาของกระแสไฟฟา้ ที่ไหลผ่าน v  1 t i dt  1 t i dt  v(t0 ) C C    t0

249 แรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุจึงไม่สามารถเปลี่ยนแปลงทันทีทันใดได้ หรือตัวเก็บประจุ ต้านทานการเปล่ยี นแปลงแรงดันไฟฟ้าอยา่ งทันทีทันใด 6. ตวั เกบ็ ประจุไฟฟา้ ที่ตอ่ เข้าด้วยกันทั้งแบบอนกุ รมและแบบขนาน สามารถหาคา่ ความจุไฟฟ้ารวมได้ เชน่ เดยี วกบั วธิ ีการรวมค่าความนาไฟฟา้ 7. ขดลวดเหนี่ยวนาแกนอากาศ หาค่าความเหนีย่ วนาได้จาก L  N 2 A l 8. ขดลวดเหนี่ยวนาแกนอากาศทรงกระบอก หาค่าความเหนยี่ วนาไดจ้ าก L  r2N2 9r  10l 9. ขดลวดเหนย่ี วนาแกนอากาศแบบระนาบ หาคา่ ความเหนย่ี วนาไดจ้ าก L  r2N2 8r 11d 10. แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเหนี่ยวนาไฟฟ้าจะแปรผันตรงกับอัตราการเปล่ียนแปลงกระแสไฟฟ้า ที่ไหลผา่ นต่อหน่วยเวลา คอื v  L di dt แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเหนี่ยวนาไฟฟ้าจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อกระแสที่ไหลผ่านมีค่าคงท่ีหรือไม่มีการ เปลีย่ นแปลง ดังนัน้ ตัวเหน่ยี วนาไฟฟา้ จงึ เปรยี บเสมือนการลดั วงจรเม่ืออยใู่ นวงจร dc 11. กระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาไฟฟ้าจะแปรผันตรงกับการอินทิเกรตตามเวลาของแรงดันไฟฟ้า ทตี่ กครอ่ มตัวมนั i  1 t (t ) dt  1 t v(t) dt  i(t0 ) L L v   t0 กระแสท่ีไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาไฟฟ้าจึงไม่สามารถเปล่ียนแปลงทันทีทันใดได้ หรือตัวเหนี่ยวนา ตา้ นทานการเปลยี่ นแปลงกระแสอยา่ งทันทีทนั ใด 12. ตัวเหนี่ยวนาไฟฟา้ ที่ตอ่ เข้าด้วยกนั ทง้ั แบบอนุกรมหรือขนาน สามารถหาคา่ ความเหนย่ี วนารวมได้ เช่นเดยี วกับวธิ ีการรวมคา่ ความต้านทาน

250 13. พลังงานท่ีเกบ็ สะสมในตวั เกบ็ ประจุ คือ wC  1 Cv 2 2 พลังงานทเี่ กบ็ สะสมในตัวเหน่ยี วนาไฟฟา้ คอื wL  1 Li2 2 14. การวิเคราะห์วงจรตัวเกบ็ ประจุและตัวเหนี่ยวนาโดยใช้ PSpice ในวงจรไฟฟ้ากระแสตรงสามารถ ทาได้เช่นเดียวกับวงจรตัวต้านทาน ข้อพึงระวังคือ ตัวเก็บประจุไม่สามารถต่ออนุกรมใน PSpice ได้ แต่สามารถแก้ไขได้โดยการต่อตัวต้านทานท่ีมีค่าความต้านทานสูง ๆ ขนานกับตัวเก็บประจุแต่ละตัวที่ต่อ อนกุ รมกนั 15. ตัวอย่างการประยุกต์ใช้งาน คือ วงจรทาอินทิเกรต วงจรทาอนุพันธ์ และการประยุกต์ใช้ทาง วิศวกรรมไฟฟา้ แรงสงู 6.9 แบบฝึกหัดท้ำยบท 6.1 หาแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ C 3 F ถ้ามีประจุไฟฟ้า q 0.12 mC ท่ีแผ่นตัวนา และหาค่า พลังงานทสี่ ะสมในตัวเกบ็ ประจุ ตอบ v  40 V w  2.4 mJ 6.2 ถ้า C 10 F ต่อเข้ากับแหลง่ กาเนดิ แรงดนั v(t) = 50 sin 2000t V หากระแสไฟฟ้า i ทไ่ี หลผา่ น C ตอบ i  cos2000t A 6.3 ถ้า C 100 F มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่าน i(t) = 50 sin 120t mA หาแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุที่ เวลา t = 1 ms และ 5 ms โดยท่ี v(0) = 0 V ตอบ v(1ms)  93.136 mV v(5ms)  1.736 V 6.4 กระแสไฟฟ้า i(t) ที่ไหลผ่าน C 1 mF [v(0) = 0 V] จากวงจรดังภาพ 6.33 หาแรงดันตกคร่อม C ท่ี เวลา t = 2 ms และ 5 ms i(mA) 100 0 2 4 6 t(ms) ภำพ 6.33 สาหรบั แบบฝกึ หัดท้ายบทข้อที่ 6.4 ตอบ v(2ms)  100 V v(5ms)  500 mV

251 6.5 ใช้ dc condition หาพลงั งานท่ีสะสมในตวั เก็บประจแุ ตล่ ะตวั จากวงจรดงั ภาพ 6.34 3 k 1 k 20 F 10 V 10 F 6 k ภำพ 6.34 สาหรบั แบบฝกึ หัดท้ายบทข้อท่ี 6.5 ตอบ wC1  405 J wC2  90 J 6.6 หา Ceq จากวงจรดังภาพ 6.35 60 F 50 F Ceq  70 F 20 F 120 F ภำพ 6.35 สาหรับแบบฝกึ หัดทา้ ยบทข้อท่ี 6.6 ตอบ Ceq  40 F 6.7 หาแรงดนั ตกคร่อมตัวเกบ็ ประจุแตล่ ะตัว จากวงจรดงั ภาพ 6.36 40 F 60 F  v1    v3   60 V v 2 20 F v4 30 F  ภำพ 6.36 สาหรับแบบฝึกหัดท้ายบทข้อที่ 6.7 ตอบ v1  30 V v2  30 V v3  10 V v4  20 V 6.8 ถ้ากระแสท่ีไหลผ่านตัวเหน่ียวนา L 1 mH มีค่า i(t) = 20cos 100t mA หาแรงดันตกคร่อมและ พลงั งานทีส่ ะสมใน L ตอบ v   2sin100t mV wL  0.2cos2 100t J

252 6.9 แรงดันที่ขั้ว L 2 H มีค่า v(t) = 10(1-t) V หากระแสไฟฟ้า i(t) ท่ีไหลผ่าน L ที่เวลา t = 4 s และ พลังงานท่สี ะสมใน L ท่ีเวลา 0 < t < 4 ms โดยท่ี i(0) = 2 A ตอบ i  18 A w  320 J 6.10 หา iL , vC , wL , wC ภายใต้ dc condition จากวงจรดงั ภาพ 6.37 0.25 H iL  4 A 3 1 vC 2 F  ภำพ 6.37 สาหรบั แบบฝึกหัดท้ายบทข้อท่ี 6.10 ตอบ iL  3 A vC  3 V wL  1.125 J wC  9 J 6.11 หา Leq จากวงจรดังภาพ 6.38 100 mH 40 mH 20 mH Leq  50 mH 40 mH 30 mH 20 mH ภำพ 6.38 สาหรบั แบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อท่ี 6.11 ตอบ Leq  25 mH 6.12 วงจรดังภาพ 6.39ถ้า i1(t) = 0.6e-2t A โดยท่ี i(0) = 1.4 A หา ก) i2(0), ข) i2(t) , i(t) , ค) v(t) , v1(t) , v2(t) i2 3 H i  v1   i1 6 H  v v2 8 H   ภำพ 6.39 สาหรับแบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อท่ี 6.12 ตอบ ก) i2 (0)  0.8 A ข) i2 (t)   0.4  1.2e2t A , i(t)   0.4  1.8e2t A ค) v1 (t)   7.2e2t V v2 (t)   28.8e2t V, v(t)   36e2t V

253 6.13 ทาซ้าแบบฝกึ หดั ทา้ ยบทขอ้ ท่ี 6.10 หา iL และ vC ภายใต้ dc condition จากวงจรดงั ภาพ 6.37 ตอบ iL + 4A vC - ภำพ 6.40 Schematics สาหรับแบบฝกึ หดั ท้ายบท ขอ้ ท่ี 6.13

254 รำยกำรเอกสำรอำ้ งอิง Alexander, C. K. and Sadiku, N.O. M. (2009 ). Fundamental of Electric Circuit. (4th ed). New York, NY: McGraw-Hill. Hayt, W. H. Jr. and Kimmerly, J. E. (1993). Engineering Circuit Analysis. (5th ed). Singapore: McGraw-Hill. Peebles, Z. P. Jr. and Giuma A. T. (1991). Principles of Electrical Engineering. Singapore: McGraw-Hill. Rizzoni, G. (2003). Principles and Applications of Electrical Engineering. (4th ed). New York, NY: McGRAW-Hill. Steven, S. E. and William, O. G. (1993). Electrical Engineering : An Introduction. (2nd ed). Philadelphia, PA: Saunders College Publishing. ธนากร น้าหอมจันทร์, อติกร เสรีพัฒนานนท์, พงษ์สวัสดิ์ คชภูมิ และสุพิศ บุญรัตน์. (2552). คาปาซิทีฟ โวลเตจดิไวเดอร์ พิกัดแรงดัน 20 กิโลโวลท์ 50 เฮิรตซ์ โดยใช้อิเล็คโตรดทรงกระบอกซ้อนแกนร่วม 3 ช้ัน ร่วมกับฉนวนน้ามันหม้อแปลง. การประชุมทางวิชาการของมหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ คร้ังท่ี 47: สาขาสถาปตั ยกรรมและวิศวกรรมศาสตร์, หนา้ 293-300. ธนากร น้าหอมจนั ทร.์ (2554). ทฤษฎีวงจรไฟฟ้า. ปทมุ ธานี: มหาวทิ ยาลัยอสี เทริ ์นเอเชีย. ธนากร นา้ หอมจันทร์. (2554). ระบบวัดไฟฟา้ แรงดนั สงู พิกัด 20 kVac 28 kVdc โดยใช้วิธโี วลเตจดิไวเดอร์และ วิธีชับแอนด์โพเทสคิวเพื่อการเรียนการสอนและการวิจัย. รายงานการวิจัยมหาวิทยาลัยอีสเทิร์นเอเชีย งานวจิ ยั ลาดบั ท่ี 42 – 2554. บณั ฑิต บวั บูชา. (2541). ทฤษฎีและการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า1. กรุงเทพฯ: สานกั พิมพ์ ฟสิ กิ สเ์ ซ็นเตอร.์ สมเกียรติ ทองแก้ว, ศภุ วฒุ ิ เนตรโพธ์ิแกว้ , บญุ ยงั ปล่งั กลาง และธนากร น้าหอมจันทร.์ (2550). การวิเคราะห์ ค่าความเครียดสนามไฟฟ้าแรงสูงในขดลวด LP และ Ls ของหม้อแปลงเทสลา เพ่ือศึกษาหา ประสิทธิภาพของการออกแบบสร้าง. การประชุมวิชาการทางวิศวกรรมไฟฟ้า คร้ังท่ี 30, หน้า 301 - 304. สารวย สังขสะอาด. (2549). วิศวกรรมไฟฟ้าแรงสูง. กรุงเทพฯ: ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า จุฬาลงกรณ์ มหาวทิ ยาลัย. อภินันท์ อุรโสภณ. (2554). วงจรไฟฟ้า. กรุงเทพฯ: สานักพมิ พ์ ดวงกมลพบั ลิชช่ิง.

ภาคผนวก ก สมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซผ์ กผัน ก.1 บทนา ในการวเิ คราะห์วงจรไฟฟ้าบ่อยคร้ังที่จะพบตวั แปรที่ไม่ทราบคา่ อย่ใู นรูปของสมการเชิงเส้น ดังสมการ (ก.1) a11x1  a12 x2  a1n xn  b1 (ก.1) a21x1  a22 x2  a2n xn  b2    an1x1  an2 x2  ann xn  bn โดยท่ีตวั แปรที่ไม่ทราบค่า จานวน n ตัว x1 , x2 , … , xn ทพ่ี จิ ารณา จากสมการ (ก.1) สามารถเขยี น ใหอ้ ยู่ในรูปแบบเมทริกซ์ได้ ดังน้ี a11 a12  a1n x1  b1  a21 a22  a2n  x2  b2         (ก.2) an1 an2  ann xn  bn  หรือ AX  B (ก.3) a11 a12  a1n  x1  b1  A  a21 a22  a2n  x  b2  เม่อื     , X   2  , B   (ก.4) an1 an2  ann  xn  bn  โดยท่ี A เป็นเมทรกิ ซ์จัตรุ สั ขนาด nn, X และ B เปน็ เมทรกิ ซ์หลกั การแก้ปัญหาสมการ (ก.1) หรือ (ก.3) มีหลายระเบียบวิธีด้วยกัน ในหัวข้อนี้จะอธิบายเฉพาะกฎของ เครเมอร์ และเมทรกิ ซ์ผกผัน เท่านั้น ก.2 กฎของเครเมอร์ กฎของเครเมอร์ (Cramer’s rule) สามารถใช้แกป้ ัญหาสมการเชิงเส้น เพื่อหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟา้ ได้ในหลายกรณี กฎของเครเมอรก์ ารแก้ปัญหาสมการ (ก.1) หรอื (ก.3) ได้ ดังน้ี x1  1 , x2  2 ,, xn  n (ก.5)    โดยที่  , 1, 2,  , n คอื ดีเทอร์มแิ นนท์ ซง่ึ หาได้จาก

256 a11 a12  a1n  b1 a12  a1n    a21 a22  a2n  1  b2 a22  a2n      ,     an1 an2  ann  bn an2  ann    (ก.6) a11 b1  a1n  b11 a12  b1  2  a21 b2  a2n  n  b21 a22  b2      , ,     an1 bn  ann  bn1 an2  bn  กฎของเครเมอรจ์ ะใชไ้ ด้เฉพาะกรณีท่ี   0 การหาคา่  ของเมทรกิ ซ์จตั รุ สั ขนาด 2  2 และ 3  3 ทาได้ ดังน้ี _ a11 a12   a21 a22  a11a22  a12a21 (ก.7) + (ก.8) ___ a11 a12 a13 a11 a12   a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 +a31 +a32 +  (a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 )  (a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12 ) สาหรับเมทริกซ์จัตรุ สั ท่มี ขี นาดใหญ่กว่า 3  3 จะทาได้โดยการกระจายโคแฟคเตอร์ ดงั นี้ ถ้ากาหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ ขนาด [A]ij det(A)  A  ai1Ci1  ai2Ci2  ..... ainCin n เมอ่ื ใช้แถวที่ i ในการคานวณ (ก.9)  aijCij j1 และ det(A)  A  a1jC1j  a2 jC2 j  ..... anj Cnj n เมือ่ ใช้หลกั ท่ี j ในการคานวณ (ก.10)   aijCij i1 โดยที่ Cij  (1)i j Mij ; เปน็ โคแฟคเตอร์ (cofactor) ของ aij

257 ซึ่ง Mij เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด (n-1) x (n-1) ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักท่ี j ของ A ออก และ | Mij | คอื ไมเนอร์ของ aij ตวั อย่าง ก.1 หาคา่ x1 และ x2 จากสมการเชงิ เส้นท่กี าหนด โดยใช้กฎของเครเมอร์ 4x1  3x2  17,  3x1  5x2   21 วธิ ที า จากสมการทก่ี าหนด เขยี นให้อยใู่ นรูปเมทริกซ์ได้ ดงั น้ี 4  3  x1    17   3 5   x2   21 หาคา่ ดเี ทอรม์ ิแนนท์ได้ ดงั นี้   4 3  (45)  [(3)  (3)]  11 3 5 1  17 3  (175)  [(21)  (3)]  22  21 5 2  4 17  [4 (21)]  [(3) 17]   33 3  21 จะได้ x1  1  22  2  11 x2  2   33  3  11 ตัวอยา่ ง ก.2 หาค่า x1 , x2 และ x3 จากสมการเชงิ เสน้ ทก่ี าหนด โดยใชก้ ฎของเครเมอร์ 25x1  5x2  20x3  50  5x1 10x2  4x3  0  5x1  4x2  9x3  0 วิธีทา จากสมการทก่ี าหนด เขียนให้อยใู่ นรูปเมทริกซไ์ ด้ ดังน้ี  25  5  20 x1  50  5 10 4  x2   0  5 4 9   x3   0  

258 หาค่าดเี ทอร์มิแนนทไ์ ด้ ดังนี้ _ __ 25  5  20 25  5  20 25  5    5 10  4   5 10  4  5 10 5 4 9 5 4 9 5 4 +++  [(25)(10)(9)  (5)(4)(5)  (20)(5)(4)]  [(5)(10)(20)  (4)(4)(25)  (9)(5)(5)]  125 50  5  20 50  5  20 50_  5_ _ 0 10 4  0 10  4 0 10 + 1  0 4 9 0 4 9 0 4  [(50)(10)(9)  (5)(4)(0)  (20)(0)(4)] ++  [(0)(10)(20)  (4)(4)(50)  (9)(0)(5)]  3700 _ __ 25 50  20 25 50  20 25 50 5 0 4  5 0 4 5 0 2  5 0 9 5 0 9 5 0 ++ +  [(25)(0)(9)  (50)(4)(5)  (20)(5)(0)]  [(5)(0)(20)  (0)(4)(25)  (9)(5)(50)]  3250 25  5 50 _ __ 25  5 50 25  5 5 10 0  5 10 0  5 10 3  5 4 0 5 4 0 5 4  [(25)(10)(0)  (5)(0)(5)  (50)(5)(4)] +++  [(5)(10)(50)  (4)(0)(25)  (0)(5)(5)]  3500

259 จะได้ x1  1  3700  29.6  125 x2  2  3250  26  125 x3  3  3500  28  125 ตัวอยา่ ง ก.3 หา det(A) จากเมทริ กซท์ กี่ าหนดให้  1  2 0 3 5 1 1 2 A   4 3 0 1   2 1  4 1 วิธที า จากเมทรกิ ซ์ท่ีกาหนดให้เป็นเมทรกิ ซ์จัตุรสั ขนาด 4  4 การหาดีเทอร์มแิ นนท์ทาได้โดยการกระจาย โคแฟคเตอร์ ซึ่งเลือกหลกั ท่ี 3 ในการกระจายโคแฟคเตอร์ ดังน้ี  1  2 0 3 5 1 1 2 A   4 3 0 1   2 1  4 1 det(A)  (0)(cofactor of 0)  (-1)(cofactor of -1)  (0)(cofactor of 0)  (-4)(cofactor of - 4)  (-1)(C23 )  (-4)(C43 )  (-1)(-1)23 M23  (-4)(-1)43 M43 1 2 3 1 2 3  (-1)(-1) 4 3 1  (-4)(-1) 5 1 2 2 1 1 431  (-1)(-1)(44)  (-4)(-1)(22)  44  88  132

260 ก.3 เมทริ กซ์ผกผนั สมการเชิงเส้นตามสมการ (ก.3) สามารถแก้ปัญหาเพ่ือหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าได้โดยใช้เมทริกซ์ ผกผัน (matrix inversion) จากสมการเมทริกซ์ AX = B จะสามารถหาค่า X ได้โดยทาเมทริกซ์ผกผันของ A ดังน้ี X  A1B (ก.11) เม่ือ A-1 คือ เมทริกซผ์ กผนั ของ A ซง่ึ A1A  AA1  I (ก.12) เม่อื I คอื เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ (identity matrix) ของ A A-1 หาได้ ดงั นี้ A 1  adjA เม่ือ det(A)  0 (ก.13) det A เม่ือ adjA คอื เมทรกิ ซ์ผกู พนั (adjoint matrix) ของเมทรกิ ซ์ A และ detA คือ |A| adjA หาไดจ้ ากเมทริกซ์สลบั เปล่ยี น (transpose matrix) ของโคแฟคเตอร์ A ถา้ A เป็นเมทริกซข์ นาด n  n จะหาเมทริกซ์ผูกพันได้ ดงั น้ี a11 a12  a1n  A  a21 a22  a2n      (ก.14) an1 an2  ann  โคแฟคเตอร์ของ A คือ c11 c12  c1n  C  cof (A)  c21 c22  c2     n  (ก.15) cn1 cn2  cnn  และ adj (A)  [cij ]Tnn  [c ji ]nn (ก.16) โดยที่ Cij  (1)i j Mij (ก.17) ดงั นนั้ A1  CT (ก.18) |A|

261 ตัวอยา่ ง ก.4 หาคา่ x1 , x2 , x3 และ x4 จากสมการเชิงเสน้ ทกี่ าหนด โดยวิธเี มทริกซผ์ กผนั x1  2x2  3x3  5x4  5 2x1  3x2  x3  2x4  0 x1  4x3  x4  0 x2  2x4  0 วิธีทา จากสมการทก่ี าหนด เขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู เมทรกิ ซไ์ ด้ ดังนี้ 1  2  3 5  x1  5 2 3 1  2  x2  0 1 0 4 1  x3   0 0 1 0 2   x4  0 หรอื AX  B  X  A1B 1  2  3 5   x1  5 2 3 1 12,  x2 , 0 โดยที่ A  1 0 4 2  X   x3  B  0 0  x4 0 1 0 หา det(A) ดว้ ยวธิ ีการกระจายโคแฟคเตอร์ โดยเลือกแถวท่ี 4 เพื่อกระจายโคแฟคเตอร์ 1  2  3 5  2 3 1  2 A  1 0 4 1 0 1 0 2  det(A)  (1)(Co.a42 )  (2)(Co.a44 )  (1)(C42 )  (2)(C44 )  (1)(-1)42 M42  (2)(-1)44 M44 1 3 5 1 2 3  (1)(-1)6 2 1  2  (2)(-1)8 2 3  2 14 1 10 1  (1)(1)[47 - (-9)]  (2)(1)[10 - (-25)] det(A)  126

262 c11 c12  c1n  C  cof (A)  c21 c22  c2n  จาก     และ Cij  (1)i j Mij cn1 cn2  cnn  3 1 2 c11 (1)2 0 4 1  1 0 2 2 1 2 c12 (1)3 1 4 1  0 0 2 2 3 2 c13 (1)4 1 0 1  0 1 2 231 c14 (1)5 1 0 4  0 1 0 (1)3 2 3 5 c21 0 41  1 02 1 3 5 c22 (1)4 1 4 1  0 0 2 1 2 5 c23 (1)5 1 0 1  0 1 2 1 2 3 c24 (1)6 1 0 4  0 1 0 (1)4 2 3 5 c31 3 1 2  1 02

263 1 3 5 c32 (1)5 2 1 2  0 0 2 1 2 5 c33 (1)6 2 3 2  0 1 2 1 2 3 c34 (1)7 2 3 1  0 1 0 (1)5 2 3 5 c41 3 1 2  0 41 1 3 5 c42 (1)6 2 1 2  1 4 1 1 2 5 c43 (1)7 2 3 2  1 0 1 1 2 3 c44 (1)8 2 3 1  1 0 4  33 14 10 7   39 14  8  7 cof (A)   15  14 26 7   51 56 4 35  จาก adj (A)  [cij ]Tnn  [c ji ]nn  33 39 15  51  14 14  14 56  ดังนัน้ adj (A)  cof (A)T   10 8 26 4  7  7 7 35 

264 จะได้ A 1  1 adj (A)  1  33 39 15  51 det ( A  14 14  14 56   10 8 26 4 ) 126  7 7 7 35   0.2619 0.3095 0.1190  0.4048  0.1111 0.1111  0.1111 0.4444  A1   0.0794  0.0635 0.2063 0.0317   0.0556  0.0556 0.0556 0.2778  X  A1B   0.2619 0.3095 0.1190  0.40485  0.1111 0.1111  0.1111 0.4444 0  0.0794  0.0635 0.2063 0.0317 0  0.0556  0.0556 0.0556 0.2778 0  1.3095   0.5556 X   0.3968  0.2278  ดังนั้น จะได้ X1 = 1.3095, X2 = -0.5556, X3 = -0.3968 และ X4 = 0.2278

265 ภาคผนวก ข จานวนเชงิ ซ้อน ข.1 บทนา ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ได้แก่ การหาค่ากระแสไฟฟ้า แรงดันไฟฟ้า และกาลังไฟฟ้า โดยมากจะพบว่า ขนาดขององค์ประกอบต่าง ๆ ในวงจรจะเขียนอยู่ในรูปจานวนเชิงซ้อน (complex numbers) ดังน้นั การคานวณจานวนเชิงซ้อนจะมีความสาคัญสาหรบั การวิเคราะหว์ งจรไฟฟ้ากระแสสลบั เป็น อย่างมาก หัวข้อนี้เป็นการอธิบายพ้ืนฐานของจานวนเชิงซ้อน การคานวณจานวนเชิงซ้อน และกฎพื้นฐานท่ี จาเป็นสาหรับจานวนเชิงซอ้ น ข.2 การแสดงจานวนเชงิ ซ้อน จานวนเชงิ ซอ้ น z สามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นระบบพิกดั ฉาก (rectangular form) ได้ ดังนี้ (ข.1) z  xjy โดยท่ี j  1 , x คอื ส่วนจริง (real part) และ y คือ ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z ดงั นี้ x  Re(z) และ y  Im(z) (ข.2) จานวนเชงิ ซ้อน z บนระนาบเชงิ ซอ้ น แสดงดังภาพ ข.1 Im jy z r  Re x ภาพ ข.1 กราฟแสดงจานวนเชิงซ้อน เม่ือ j  1 ดงั น้นั 1/ j   j (ข.3) j2  1 j3  j j2   j j4  j2  j2  1 j5  j j4  j  jn4  jn

266 จานวนเชิงซ้อน z สามารถเขียนให้อยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว (polar form) ได้ โดย r คือ ขนาด (magnitude) และ  คอื มุม (angle) ดงั นี้ z  | z |   r (ข.4) เมื่อ r  x2  y2 ,  tan1 y (ข.5.1) x หรอื x  r cos , y  r sin (ข.5.2) ดงั นั้น z  x  j y  r  r cos  j r sin (ข.6) การแปลงจานวนเชิงซ้อนระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดเชิงขั้ว สามารถทาได้โดยใช้สมการ (ก.5) พงึ ระมดั ระวังคา่ ของมุม  ซ่งึ สัมพนั ธก์ ับจตุภาคทั้ง 4 ของระนาบ ถ้าสมมติให้ x และ y เป็นค่าบวก จะ ไดด้ ังนี้ z  x  j y,   tan1 y (1st Quadrant ) z  x  j y, x (2nd Quadrant ) z  x  j y   180  tan1 y (3rd Quadrant ) zxjy x (4th Quadrant ) y (ก.7) tan1 x   180    360  tan1 y x และจานวนเชงิ ซอ้ น z สามารถเขียนให้อยู่ในระบบพกิ ัดชีก้ าลงั (exponential form) ได้ ดงั นี้ z  re j (ข.8) ซ่ึงประกอบไปด้วย ขนาด r และ มุม  เช่นเดียวกับ ระบบพกิ ดั เชิงขวั้ การแสดงจานวนเชงิ ซ้อนท้ัง 3 ระบบพิกดั แสดงได้ ดังน้ี z  x  j y, ( x  r cos , y  r sin ) Rectangular form z  r , Polar form (ข.9)  r  x2  y2 ,   tan1 y  z  re j ,  x  Exponentialform  r  x2  y2 ,   tan1 y   x  จากสมการ (ก.9) ระบบพิกัดท่ี 1 และ 2 จะได้จากสมการ (ข.5) และ (ข.6) ในหัวข้อท่ี ข.4 จะอธบิ าย ถงึ สูตรของออยเลอร์ ซ่งึ จะพิสจู นใ์ หเ้ หน็ ว่า ระบบพิกัดชก้ี าลังมีคา่ เทา่ กบั 2 ระบบพิกดั แรก

267 ข.3 การดาเนนิ การทางคณติ ศาสตร์ จานวนเชิงซ้อน z1  x1  j y1 และ z2  x2  j y2 จะเท่ากันก็ต่อเม่ือขนาดของจานวน จริง และจานวนจินตภาพของจานวนเชงิ ซ้อนท้งั 2 เท่ากัน ดังน้ี x1  x2 , y1  y2 (ข.10) ค่าสังยุคเชิงซ้อน (complex conjugate) ของจานวนเชิงซ้อน z  x  j y กาหนดได้โดย แทน j ด้วย -j ดงั นี้ z   x  jy  r   re j (ข.11) กาหนดให้ z1  x1  j y1  r11 และ z2  x2  j y2  r22 การบวก และ การลบคา่ จานวนเชิงซอ้ น มวี ธิ กี ารคานวณ ดังน้ี z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 ) (ข.12) และ z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 ) (ข.13) การบวกและลบจานวนเชิงซ้อนเมื่ออยู่ในระบบพิกัดฉากจะทาได้โดยสะดวกกว่าระบบพิกัดเชิงขั้ว สาหรบั การคณู และหารจานวนเชงิ ซอ้ นจะทาไดโ้ ดยง่ายเมื่ออยู่ในระบบพิกดั เชงิ ขวั้ ดังน้ี z1z2  r1r2(1 2 ) (ข.14) และ z1  r1 (1 2 ) (ข.15) z2 r2 สาหรับการคูณและการหารเมอ่ื จานวนเชงิ ซอ้ นอยใู่ นระบบพกิ ัดฉาก มีวิธกี ารคานวณ ดงั นี้ z1z2  ( x1  j y1)( x2  j y2 ) (ข.16)  ( x1x2  y1y2 )  j ( x1y2 )( x2 y1) และ z1  ( x1  j y1)( x2  j y2 )  x1 x 2  y1 y2  j x2 y1  x1 y2 (ข.17) z2 ( x2  j y2 )( x2  j y2 ) x22  y22 x22  y22 ข.4 สตู รของออยเลอร์ สูตรของออยเลอร์ (Euler’s formula) มีความสาคัญต่อการหาผลลัพธ์ตัวแปรเชิงซ้อนเป็นอย่างมาก สตู รของออยเลอร์ไดจ้ ากการกระจายอนุกรมของ ex, cos และ sin ดงั นี้

268 ex  1 x  x2  x3  x4  (ข.18) 2! 3! 4! แทน x ดว้ ย j จะได้ e j  1 j  2  j 3  4  (ข.19) สาหรับ cos และ sin แสดงดังนี้ 2! 3! 4! cos  1  2  4  6  (ข.20) 2! 4! 6! sin    3  5  7  (ข.21) จากสมการ (ข.20) และ (ข.21) จะได้ 3! 5! 7! และ cos  j sin  1  j   2  j  3   4  j  5  (ข.22) จากสมการ (ข.19) และ (ข.22) จะพบว่า 2! 3! 4! 5! e j  cos  j sin (ข.23) สมการ (ข.22) เรียกว่า สูตรของออยเลอร์ ซ่ึงจานวนเชิงซ้อนท่ีอยู่ในระบบพิกัดช้ีกาลัง ดังสมการ (ข.8) เขียนในสตู รของออยเลอร์ได้ ดงั น้ี cos  Re(e j ), sin  Im(e j ) (ข.24) โดยท่ี e j  cos2   sin2   1 แทน j ด้วย -j ในสมการ (ข.23) จะได้ e j  cos  j sin (ข.25) จากสมการ (ข.23) และ (ข.25) จะได้ (ข.26) (ข.27) cos  1 (e j  e j ) 2 และ sin  1 (e j  e j ) 2j

269 ภาคผนวก ค สตู รทางคณติ ศาสตร์ ค.1 บทนา ถึงแม่ว่าฟังก์ชันในเครื่องคานวณ หรือโปรแกรมคอมพิวเตอร์สาเร็จรูปจะสามารถคานวณค่าสาหรับ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าได้อย่างรวดเร็ว แต่สูตรท่ีเตรียมไว้เหล่าน้ีมีไว้เพ่ืออานวยความสะดวกสาหรับคานวณ ด้วยมอื ในภาคผนวกนน้ี าเสนอสูตรทางคณติ ศาสตร์ที่จาเป็นต่อการวิเคราะหว์ งจรไฟฟ้าในหนงั สือเลม่ นี้ ค.2 สมการกาลังสอง (Quadratic Formula) รากของสมการกาลงั สอง ax2 + bx + c = 0 คือ x1 , x2  b b2  4ac 2a ค.3 เอกลักษณ์ ตรโี กณมิติ (Trigonometric Identities) sin(-x)   sin x cos(-x)  cosx sec x  1 , csc x  1 cosx sinx sin x 1 tan x  cosx , cot x  tanx sin(x  90)   cos x cos(x  90)   sin x sin(x  180)   sinx cos(x  180)   cos x cos2 x  sin2 x  1 a  b  c (law of sines) sin A sin B sin C (law of cosines) a2  b2  c2  2bc cos A tan(1/ 2)( A  B)  ab (law of tangents) tan(1/ 2)( A  B) ab

270 sin( x  y)  sin x cos y  cos x sin y cos( x  y)  cos x cos y  sin x sin y tan(x  y)  tanx  tan y 1 tanx tan y 2sin x sin y  cos( x  y)  cos( x  y) 2sin x cos y  sin( x  y)  sin( x  y) 2cos x cos y  cos( x  y)  cos( x  y) sin2x  2sin x cos x cos 2x  cos2 x  sin2 x  2 cos2 x 1  1  2 sin2 x tan2x  2tanx 1 - tan2x sin2 x  1 (1  cos 2x) 2 cos2 x  1 (1  cos 2 x ) 2 K1 cos x  K2 sin x  K12  K22 cos x  tan1  K2  K1 e jx  cos x  j sin x (Euler' s formular) cos x  e jx  e jx 2 sin x  e jx  e jx 2j 1rad  57.296 ค.4 ฟังก์ชนั ไฮเพอรโ์ บลกิ (Hyperbolic Functions) sinh x  1 (ex  ex ) 2 cosh x  1 (ex  ex ) 2 tanh x  sinh x cosh x

271 coth x  1 tanh x csc hx  1 sinh x sec hx  1 cosh x sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y cosh( x  y)  cosh x cosh y  sinh x sinh y ค.5 อนพุ ันธ์ (Derivatives) ถ้า U = U(x), V = V(x) และ a = constant d ( aU )  a dU dx dx d (UV )  U dV V dU dx dx dx d  U  V dU  U dV dx  V  dx dx  V2 d (aUn )  naU n1 dU dx dx d (aU )  aU ln a dU dx dx d (eU )  eU dU dx dx d (sinU)  cos U dU dx dx d (cos U)   sinU dU dx dx

272 ค.6 ปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขต (Indefinite Integrals) ถา้ U = U(x), V = V(x) และ a = constant  a dx  ax  c U dV  UV  V dU (integration by parts) Un1  C, Un dU  n1 n1  dU  lnU  C U aU  C,  aU dU  ln a a  0, a  1  eax dx  1 eax  C a eax  xeax dx  a2 (ax  1)  C  x2eax dx  eax (a2 x 2  2ax  2)  C a3 ln x dx  x ln x  x  C 1  sinax dx   a cos ax  C  cos ax dx  1 sin ax  C a x sin2ax  sin2 ax dx  2  4a  C  cos2 ax dx  x  sin2ax  C 2 4a 1  x sinax dx  a2 (sin ax  ax cos ax )  C  x cos ax dx  1 (cos ax  ax sin ax )  C a2 1  x2 sinax dx  a3 (2ax sin ax  2 cos ax  a2 x 2 cos ax )  C  x2 cos ax dx  1 (2ax cos ax  2 sin ax  a2 x 2 sin ax )  C a3

 eax sinbx dx  eax b2 (a sin bx  b cos bx )  C 273 a2  eax a2  b2  eax cos bx dx  a2  b2 (a cos bx  b sin bx )  C a2  b2 a2  b2  sinax sinbx dx  sin(a  b)x  sin(a  b) x  C, 2(a  b) 2(a  b) cos(a  b) x cos(a  b) x  sinax cos bx dx   2(a  b)  2(a  b)  C,  cos ax cos bx dx  sin(a  b)x  sin(a  b) x  C, 2(a  b) 2(a  b) dx 1 x  a2  x 2  a tan1 a  C  x 2dx 2  x  a tan1 x  C a2 x a dx 1 x 1 x  2a2  x2  a2  a tan1 a   C  (a2  x2)2   ค.7 ปริพนั ธจ์ ากดั เขต (Definite Integrals) ถา้ m และ n เปน็ จานวนเตม็ 2 sin axdx  0 0 2 cos axdx  0 0  0 sin2 axdx  0 cos2 axdx  2 0 sinmx sinnxdx  0 cos mx cos nxdx  0, m  n 0, m  n  even 0 sinmx cos nxdx   2m , m  n  odd m2  n2 2 0, mn sin mx sin nxdx   sin mx sin nxdx   mn 0  0 sin ax dx  0, / 2, a0 x  / 2, a0 a0

274 ค.8 กฏของโลปิตาล (L’Hopital’s Rule) ถา้ f(0) = 0 = h(0) ดงั น้นั lim f( x)  lim f'(x) h( x) h'( x) x 0 x 0 โดยที่ f’(x) และ h’(x) คอื อนุพันธ์ของ f (x) และ h (x) ตามลาดบั

275 ภาคผนวก ง PSpice Student Version ง.1 บทนา โปรแกรมคอมพิวเตอร์สาเร็จภาพใช้สาหรับการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าท่ีนิยมใช้กันอย่างกว้างขวาง คือ PSpice ซ่ึงโปรแกรมสาหรับจาลองเหตุการณ์ในวงจรไฟฟา้ รวมท้ังวงจรรวม (IC) โปรแกรม PSpice พัฒนาข้ึน โดย ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ในปี 1970 บนคอมพิวเตอร์ เมนเฟรม และได้ถูกพัฒนาใหท้ างานบนคอมพิวเตอรส์ ่วนบคุ คลโดยบริษัท microSIM และเร่ิมใช้งานในปี ค.ศ. 1984 ปัจจุบันโปรแกรม PSpice ได้รับการพัฒนาโดยบริษัท OrCAD and cadence ซ่ึงสามารถใช้งานได้ หลากหลายระบบปฏบิ ตั ิการมากยิ่งขึ้น และเปน็ ท่ีรู้จกั ในช่อื OrCAD PSpice สถานศึกษาด้านวศิ วกรรมไฟฟ้าและคอมพวิ เตอรท์ ั่วโลก มกี ารใช้งาน PSpice ในด้านตา่ ง ๆ ดงั นี้ การ เรียนการสอนในช้ันเรียน โครงงานปฏิบัติการ และการวิจัยพัฒนา ซ่ึง PSpice จะช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมการ ทางานของอุปกรณ์ โครงข่าย และวงจรไฟฟ้าท่ีพิจารณาได้ เนื่องจาก PSpice มีองค์ประกอบทางไฟฟ้าและ วงจรรวม รวมถึงเง่ือนไขการจาลองเหตุการณ์ที่ครอบคลุมการวิจัยและพัฒนาทางด้านวงจรไฟฟ้า อเิ ล็กทรอนิกส์ และคอมพิวเตอร์ แต่สาหรับนักเรียน นักศึกษา หรือผู้สนใจที่จะจาลองเหตุการณ์ในวงจรไฟฟ้า ที่ประกอบไปด้วยองค์ประกอบทางไฟฟ้าจานวนไม่มาก บริษัท OrCAD ได้ให้การสนับสนุนโดยมีบริการดาวน์ โหลดฟรใี นชอ่ื โปรแกรมว่า PSpice student version ปัจจุบนั เป็นเวอร์ชนั 9.1 ง.2 เรมิ่ ต้นใช้งาน PSpice หลังจากดาวน์โหลดและติดตั้งโปรแกรม PSpice ลงบนคอมพิวเตอร์แล้วเสร็จ การใช้งานโปรแกรม PSpice มี 3 ข้ันตอนหลัก ๆ คือ 1) วาดภาพวงจร 2) จาลองเหตุการณ์ของวงจร และ 3) แสดงผลการจาลอง เหตกุ ารณ์ของวงจร โดยเนอ้ื หาในส่วนนี้จะนาเสนอการใชง้ านโปรแกรม Schematics ของ PSpice เป็นอันดับ แรก หน้าต่างโปรแกรม Schematics แสดงดังภาพ ง.1 ก่อนท่ีจะเร่ิมต้นวิเคราะห์วงจรโดยใช้ Schematics ควรเข้าใจความหมายของคาส่ังการใช้เมาส์ สาหรับดาเนินการบนหน้าต่างของโปรแกรม Schematics เสียก่อน โดยหนังสือเล่มน้ีจะใช้คาสั่งเหล่าน้ีตลอด ท้ังเล่ม สาสง่ั การใช้เมาส์ดาเนินการตา่ ง ๆ มีความหมาย ดังนี้ CLICKL : คลกิ ซ้ายเพื่อเลือกองคป์ ระกอบ CLICKR : คลิกขวาเพ่อื ยกเลกิ รปู แบบการทางาน DCLICKL : ดบั เบล้ิ คลกิ ซา้ ยเพอ่ื แกไ้ ของคป์ ระกอบทเ่ี ลือก หรอื จบการดาเนนิ การ DCLICKR : ดบั เบล้ิ คลกิ ขวาเพอ่ื ทาซา้ การดาเนนิ การกอ่ นหนา้ น้ี

276 CLICKLH : คลิกซ้ายค้างไว้และเคลื่อนท่ีเมาส์เพ่ือเปล่ียนตาแหน่งขององค์ประกอบ และปล่อยเมาส์ เมื่อองค์ประกอบอยใู่ นตาแหนง่ ทตี่ ้องการ DRAG : ลากเมาส์โดยไม่ตอ้ งคลิกเพ่อื เปล่ยี นการดาเนนิ การกบั องค์ประกอบอนื่ ภาพ ง.1 หนา้ ต่างโปรแกรม Schematics ภาพ ง.1 คือ หน้าต่างโปรแกรม Schematics ท่ีเปิดข้ึน โดยจะมีช่ือไฟล์เป็น Schematic1 p.1 การ สร้างวงจรบน Schematics มี 3 ข้ันตอน คือ 1) วางองค์ประกอบหรืออุปกรณ์ของวงจร 2) เชื่อมต่อแต่ละ อปุ กรณ์เขา้ ดว้ ยกนั (ตอ่ สายตัวนา) และ 3) เปล่ยี นแปลงหรอื แกไ้ ขคณุ ลักษณะของอุปกรณ์ตา่ ง ๆ Get New Part ภาพ ง.2 การเลือกเมนูการเลอื กอุปกรณ์ (Draw/Get New Part)

277 ข้ันตอนที่ 1 วางอุปกรณ์ มลี าดับขน้ั การทางาน ดังน้ี 1. เลอื ก Draw/Get New Part (คลกิ ที่เมนู Draw และเมนยู ่อย Get New Part) หรือกดป่มุ Ctrl+G บนคีย์บอร์ด หรือเลือกไอคอน บนเมนูบาร์ ดังภาพ ง.2 2. ใช้แถบเลื่อนเพ่ือเลือกอุปกรณ์ท่ีจะวาง หรือพิมพ์ในช่อง Part Name ดังภาพ ง.3 และภาพ ง.4 แสดงตัวอย่างสัญลักษณ์ของอุปกรณ์ เช่น ตัวต้านทาน ตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนา กราวนด์แอนาลอก และ แหลง่ จา่ ยอสิ ระ 3. คลิก Place & Close หรอื กดปุ่ม Enter บนคียบ์ อรด์ 4. DRAG อปุ กรณ์เคลื่อนทไี่ ปวางในตาแหนง่ ท่ีต้องการ 5. CLICKR เพอื่ ยกเลิกการเคลอ่ื นท่อี ปุ กรณ์ ในกรณีทต่ี ้องการหมุนอปุ กรณ์ 90o จะทาไดโ้ ดย เลือกอุปกรณ์และคลิก Edit/Rotate หรือกด Ctrl+R และในกรณีทตี่ อ้ งการลบอุปกรณใ์ ห้เลือกอปุ กรณ์และคลิก Edit/Cut หรือกดปมุ่ Delete บนคีย์บอรด์ ภาพ ง.3 หนา้ ตา่ ง Part Browser Basic สาหรบั เลอื กอุปกรณ์

278 AGND ตวั ตา้ นทาน ตัวเกบ็ ประจุ ตัวเหน่ยี วนา กราวนด์แอนาลอก VDC VAC VSIN VSRC (ก) (ข) (ค) (ง) แหลง่ จ่ายแรงดันไฟฟ้า IDC IAC ISIN ISRC (ก) (ข) (ค) (ง) แหล่งจา่ ยกระแสไฟฟา้ ภาพ ง.4 อุปกรณ์พน้ื ฐานสาหรับการวิเคราะหว์ งจร (ก) กระแสตรงเทา่ น้นั (ข) กระแสสลับเทา่ นน้ั (ค) กระแสตรงหรือกระแสสลบั (ง) กระแสตรง กระแสสลบั หรือทรานเช้ยี นท์ ข้ันตอนท่ี 2 เชื่อมต่ออุปกรณ์เข้าด้วยกัน ทาได้โดย คลิก Draw/Wire หรือกดปุ่ม Ctrl+W จะปรากฏ เคอร์เซอร์ภาพดินสอข้ึนมาท่ีหน้าจอ Schematics ให้ DRAG เมาส์ไปยังขาของอุปกรณ์ท่ีต้องการจะเช่ือมต่อ แล้ว CLICKL จากนัน้ DRAG เมาสไ์ ปทีข่ าของอุปกรณอ์ ีกตัวหนง่ึ แลว้ CLICKL เพอ่ื เชื่อมตอ่ เม่ือต้องการยกเลิก การทางานให้คลิก CLICKR และหากต้องการลบให้คลิก Edit/Cut หรือกดปุ่ม Delete บนคีย์บอร์ด หลังจาก เช่ือมต่อสายตัวนาครบท้ังวงจรแล้วจะต้องกาหนดโนดอ้างอิงหรือโนดกราวนด์ของวงจร โดยการวางอุปกรณ์ AGND และเชอื่ มตอ่ เขา้ กับวงจร ขอ้ สังเกต ง.1 โนดที่มีต้ังแต่ 3 กิ่งข้ึนไป Schematics จะแสดงเคร่ืองหมาย • ขึ้นมาโดยอัตโนมัติ หากโนดใดที่มี ตั้งแต่ 3 ก่ิงข้ึนไป แตไ่ มม่ เี ครื่องหมาย • จะตอ้ งทาการตรวจสอบอีกครงั้ วา่ ทาการเชือ่ มต่อครบถ้วนแล้ว R และ C ไมม่ ีการระบหุ นว่ ย ในขณะท่ี L และแหล่งจ่ายทางไฟฟ้ามีการระบหุ น่วย

279 ข้ันตอนที่ 3 เปล่ียนแปลงหรือแก้ไขคุณลักษณะของอุปกรณ์ต่าง ๆ คือ การเปล่ียนชื่อหรือขนาดของ อุปกรณ์ ทาได้โดย DCLICKL ท่ีชื่อ หรือขนาดของอุปกรณ์น้ัน ๆ ตัวอย่างเช่น จากภาพ ง.4 ตัวต้านทาน R2 ขนาด 1k กรณีต้องการเปล่ียนชื่อเป็น RX ทาได้โดยการ DCLICKL ที่ชื่อของ R2 ซึ่งจะปรากฏหน้าต่าง Edit Reference Designator ขึ้นมา ให้การพิมพ์ RX ลงในช่อง Package Reference Designator แล้วคลิกปุ่ม OK ดังภาพ ง.5 (ก) ช่ือของ R2 ก็จะเป็นเปลี่ยนเป็น RX กรณีต้องการจะเปล่ียนขนาดตัวต้านทาน R2 เป็น 5M ทาได้โดย DCLICKL ที่ขนาดของ R2 (1k) ซ่ึงจะปรากฏหน้าต่าง Set Attribute Value ข้ึนมา ให้พิมพ์ 1MEG ลงในช่อง Value แลว้ คลิกป่มุ OK ดงั ภาพ ง.5 (ข) ขนาดของ R2 กจ็ ะเปน็ เปลย่ี นเปน็ 5MEG R X 5MEG (ก) (ข) ภาพ ง.5 (ก) เปลี่ยนชื่อจาก R2 เป็น RX (ข) เปล่ยี นขนาดจาก 1k เป็น 5M ข้อสังเกต ง.2 สัญลักษณ์ของคาอุปสรรค์ตามระบบ SI ของ mega (106) คือ M แต่ตัวอย่างได้ใช้ MEG แทน ทั้งน้ี เน่ืองจากโปรแกรม PSpice จะไม่พิจารณาตัวอักษรพิมพ์เล็กหรือพิมพ์ใหญ่ ทั้งนี้ตัวอักษร M หรือ m จะแทน สญั ลักษณข์ องคาอปุ สรรค์ milli (10-3) และ u หรอื U แทน micro (10-6) ตัวอย่าง ง.1 จากภาพ ง.6 วาดวงจรโดยใช้ Schematics 2  V1  _ 12 V V2 4   ภาพ ง.6 สาหรบั ตวั อย่าง ง.1

280 วิธีทา หลังจากเปิดโปรแกรม Schematics แล้ว จะปรากฏหน้าต่างโปรแกรม Schematics เช่นเดียวกับ หนา้ ต่าง ภาพ ง.1 จากน้นั ทาตามข้ันตอนตามหัวข้อ ง.2 ดงั น้ี การวางแหลง่ จา่ ยแรงดันไฟฟา้ ทาได้โดย 1. คลิก Draw/Get New Part (หรือกดป่มุ Ctrl+G) 2. พมิ พ์ VSRC ในหน้าตา่ ง Part Browser Basic 3. คลิก OK (หรือกดปุ่ม Enter) 4. DRAG อปุ กรณไ์ ปวางในตาแหนง่ ที่ตอ้ งการบนหนา้ ต่างของ Schematics 5. CLICKL เพ่อื วาง VSRC และ CLICKR เมื่อวางแลว้ เสร็จ การวางตัวตา้ นทาน ทาไดโ้ ดย 1. คลกิ Draw/Get New Part. 2. พิมพ์ R ในหนา้ ต่าง Part Browser Basic 3. คลิก OK 4. DRAG ตัวต้านทาน R1 ไปวางในตาแหนง่ ที่ตอ้ งการบนหนา้ ต่างของ Schematics 5. CLICKL เพ่อื วาง R1 6. CLICKL เพอ่ื วาง R2 และ CLICKR เมอ่ื วางแล้วเสรจ็ 7. DRAG R2 ไปวางในตาแหน่งทตี่ ้องการ 8. Edit/Rotate (หรือกดป่มุ Ctrl+R) เพื่อหมนุ R2 จะไดด้ งั ภาพ ง.7 (ก) การเชอื่ มตอ่ แตล่ ะอปุ กรณเ์ ขาดว้ ยกนั ทาไดโ้ ดย 1. คลิก Draw/Wire หรอื กดปุม่ Ctrl+W จะปรากฏเคอรเ์ ซอร์ภาพดินสอขนึ้ มา 2. DRAG ดินสอไปที่ขาดา้ นบนของ V1 3. CLICKL เพอื่ ตอ่ สายไฟเขา้ ท่ขี าบนของ V1 4. DRAG ดินสอไปยังขาด้านซา้ ยของ R1 แล้ว CLICKL และทาจนครบทุกอปุ กรณ์ (ครบลูป หรือเมซ) CLICKR เพ่อื สิ้นสดุ ขั้นตอนการวาง การวางกราวนด์ ทาไดโ้ ดย 1. คลกิ Draw/Get New Part 2. พิมพ์ AGND ในหนา้ ต่าง Part Browser Basic

281 3. คลกิ OK 4. DRAG AGND ไปวางในตาแหนง่ ทตี่ อ้ งการ 5. CLICKL เพื่อวาง AGND และ CLICKR สน้ิ สดุ การทางาน จะได้ดังภาพ ง.7 (ข) การกาหนดขนาดของแหลง่ จา่ ยแรงดันไฟฟ้า V1 เปน็ 12 V ทาได้โดย 1. DCLICKL บนสญั ลกั ษณข์ อง V1 เพอ่ื เปิดหนา้ ต่าง PartName 2. CLICKL ที่ DC = 3. พิมพ์ +12 (หรอื 12) ในชอ่ ง Value 4. คลิก Save Attr 5. คลกิ OK การกาหนดขนาดของตัวตา้ นทาน R1 เป็น 5k ทาไดโ้ ดย 1. DCLICKL ที่ขนาดของ R1 โดยปกติโปรแกรมจะกาหนดค่าเริ่มต้นเป็น 1k เพ่ือเปิดหน้าต่าง Set Attribute Value 2. พมิ พ์ 5k ลงในชอ่ ง Value 3. คลกิ OK การกาหนดขนาดของ R2 ทาเชน่ เดยี วกันกับ R1 จะไดด้ งั ภาพ ง.7 (ค) (ก) (ข) (ค) ภาพ ง.7 ภาพวาดบน Schematics ของวงจรตามภาพ ง.6 ง.3 การวิเคราะห์กระแสตรง การวิเคราะห์กระแสตรง (DC Analysis) เป็นการวิเคราะห์พื้นฐานที่สาคัญบน PSpice แบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ 1) การวิเคราะห์โนดกระแสตรง (DC Nodal Analysis) และ 2) การกวาดกระแสตรง (DC Sweep)

282 1. การวิเคราะห์โนดกระแสตรง คือ การวิเคราะห์หาค่าแรงดันไฟฟ้าท่ีโนด และกระแสไฟฟ้าที่ก่ิงในวงจร การดูหรือพิจารณาค่า แรงดันไฟฟ้าท่ีโนด จะใช้ VIEWPOINT เช่ือมต่อเข้ากับโนดท่ีสนใจ และกระแสไฟฟ้าท่ีก่ิงในวงจร จะใช้ IPROBE เช่ือมต่อเข้าไปในกิ่งท่ีสนใจ สัญลักษณ์ของ voltage VIEWPOINT และ current IPROBE แสดงดัง ภาพ ง.8 การวางอุปกรณ์ VIEWPOINT และ IPROBE ทาได้เช่นเดียวกับการวางตัวต้านทาน หรือแหล่งจ่าย แรงดันไฟฟา้ ตัวอย่างการวางอุปกรณ์ในวงจรแสดงดงั ภาพ ง.9 (ก) (ข) ภาพ ง.8 สญั ลกั ษณ์ของ (ก) voltage VIEWPOINT และ (ข) current IPROBE ภาพ ง.9 ตัวอย่างการวาง VIEWPOINT และ IPROBE ในวงจรภาพ ง.7 แหล่งจ่ายไม่อิสระหรือแหล่งจ่ายพ่ึงพิงสามารถเลือกนามาใช้ได้ด้วยวิธีเดียวกันกับดังท่ีกล่าวมาแล้ว สญั ลกั ษณ์ของแหล่งจ่ายไม่อสิ ระ แสดงดงั ภาพ ง.10 (ก) (ข) (ค) (ง) ภาพ ง.10 สัญลกั ษณ์ของแหล่งจา่ ยไม่อสิ ระ (ก) แหลง่ จา่ ยแรงดนั ไฟฟ้าทค่ี วบคุมด้วยแรงดนั ไฟฟา้ (VCVS) E1 อัตราขยายเทา่ กับ E (ข) แหล่งจ่ายกระแสไฟฟา้ ที่ควบคมุ ด้วยกระแสไฟฟ้า (CCCS) F1 อัตราขยายเท่ากับ F

283 (ค) แหล่งจ่ายกระแสไฟฟา้ ท่ีควบคมุ ด้วยแรงดนั ไฟฟ้า (VCCS) G1 อัตราขยายเทา่ กับ G (ง) แหลง่ จ่ายแรงดันไฟฟ้าทคี่ วบคมุ ด้วยกระแสไฟฟา้ (CCVS) H1 อตั ราขยายเทา่ กับ H ข้อสังเกต ง.3 1. ในการวิเคราะห์วงจร DC จะต้องไม่ลืม AGND หรือ GND_ANALOG เนื่องจากจะเป็นโนดอ้างอิง หรอื จดุ ตอ่ ลงดนิ ของวงจร และ VIEWPOINT จะใช้ AGND เปน็ โนดอา้ งองิ ในการวิเคราะหห์ าค่าแรงดันท่โี นด 2. การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสตรง ตัวเก็บประจุจะเป็นวงจรเปิด (Open circuit) และตัว เหนี่ยวนาจะเป็นลดั วงจรหรือ วงจรปดิ (Close circuit) 2. การกวาดกระแสตรง จากการวิเคราะห์โนดกระแสตรง เป็นการวิเคราะห์วงจรท่ีแหล่งจ่ายไฟฟ้ากระแสตรงมีค่าคงท่ี แต่การ การกวาดกระแสจะเป็นการวิเคราะห์ทย่ี อมให้แหล่งจา่ ยไฟฟ้าในวงจรสามารถกวาดค่าได้ตามช่วงที่กาหนด ซึ่งใน การวิเคราะห์แบบการกวาดกระแสตรงตัวเก็บประจุจะเปิดวงจร ตัวเหน่ียวนาจะลัดวงจรเช่นเดียวกับการ วเิ คราะหโ์ นดกระแสตรง ตัวอย่างการกาหนดการกวาดแรงดันของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าตามภาพ ง.9 ถ้ากาหนดให้แหล่งจ่าย แรงดันกวาดคา่ ได้จาก 0 ถงึ 20 โวลต์ โดยการเพมิ่ ข้นึ ครงั้ ละ 1 ทาไดด้ ังน้ี 1. คลกิ Analysis/Setup 2. CLICKL ปุ่ม DC Sweep 3. พมิ พ์ V1 ลงในช่อง Name 4. พิมพ์ 0 ลงในชอ่ ง Start Value 5. พิมพ์ 20 ลงในช่อง End Value 6. พิมพ์ 1 ลงในชอ่ ง Increment 7. คลิก OK เพอื่ ปิดหน้าตา่ ง DC Sweep และบันทึกคา่ ทก่ี าหนด 8. คลิก Close เพื่อส้นิ สุดการต้ังค่า Analysis Setup ภาพ ง.11 แสดงหนา้ ต่าง DC Sweep ซึ่งกาหนดการกวาดแรงดันแบบเชงิ เส้น ของแหลง่ จ่ายแรงดนั V1 กวาดค่าแรงดันได้จาก 0 ถงึ 20 โวลต์ โดยการเพิม่ ขึน้ ครงั้ ละ 1 โวลต์

284 ภาพ ง.11 หนา้ ตา่ ง DC Sweep การวิเคราะห์ DC sweep ทาได้โดย คลิก Analysis/Simulate จากนั้น Schematics จะสร้าง netlist ขึ้นมาถ้าไม่มีข้อผิดพลาด โปรแกรม PSpice จะถูกเปิดข้ึนโดยอัตโนมัติ ถ้ามีข้อผิดพลาด netlis จะ แสดงข้อผิดพลาดขึ้น เมื่อแก้ไขแล้วเสร็จ PSpice จะส่งข้อมูลไปยังโปรแกรม OrCAD PSpice หน้าต่าง OrCAD PSpice จะแสดงกราฟขึน้ ซง่ึ แกน x จะแสดงค่าในชว่ งการกวาดทก่ี าหนดไว้ ส่วนแกน y จะไม่มขี ้อมูล ใด ๆ ในขั้นตอนนี้จะต้องกาหนดส่ิงที่ต้องการให้ OrCAD PSpice แสดง โดยคลิก Trace/Add บน Orcad PSpice เมนู เพ่ือเปิดหน้าต่าง Add Traces สาหรับคลิกเลือกแรงดันที่โนด หรือกระแสท่ีก่ิงที่สนใจ แล้วคลิก OK เพื่อแสดงผลบนหน้าต่าง Orcad PSpice ถ้าต้องการให้แสดงผลในหน้าต่างใหม่ ให้คลิก Window/New ในกรณีท่ตี อ้ งการลบเส้นกราฟ ใหค้ ลกิ ที่ช่อื trace แล้วคลกิ Edit/Delete (หรือกดป่มุ Delete) ข้อสังเกต ง.4 ผลลัพธ์ที่ OrCAD แสดงจะเป็นไปตามข้อกาหนดเครื่องหมายแบบพาสซีฟ คือ กระแสไหลเข้าขา 1 ผลท่ีได้จะเป็นค่าบวก และถ้ากระแสไหลเข้าขา 2 ผลท่ีได้จะเป็นค่าลบ ฉะน้ันในการวางอุปกรณ์ในวงจรพึง ระมัดระวังการหมุน (rotate) อุปกรณ์ด้วย กล่าวคือ ถ้าอุปกรณ์ที่ค่าเร่ิมต้นการวางเป็นแนวนอน เช่น R C และ L ในภาพ ง.4 ขาด้านซ้ายมือจะเป็นขาที่ 1 และขาด้านขวามือจะเป็นขาท่ี 2 เสมอ ในกรณีที่ทาการหมุน ขา 1 จะเป็นจุดหมุนและจะหมุนไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเสมอ ถ้าทาการหมุนอปุ กรณ์ 2 คร้ัง อปุ กรณ์น้ัน จะกลับมาอยู่ในแนวนอนดังเดิม แต่ขาด้านซ้ายมือจะเป็นขาที่ 2 แทน และสาหรับอุปกรณ์ที่ค่าเร่ิมต้นเป็น แนวตง้ั เช่น แหล่งจา่ ยไฟฟ้า ดังภาพ ง.4 ขาดา้ นบนจะเปน็ ขา 1 เสมอ

ตัวอย่าง ง.2 จากวงจรดงั ภาพ ง.12 หาแรงดนั ทโี่ นด และกระแส io 285 1 12 k 2 1k 3 7 mA 28 V io 3 k 4 k ภาพ ง.12 สาหรบั ตัวอย่าง ง.2 วธิ ีทา วางอุปกรณ์ลงบน Schematics เช่ือมต่อสายตัวนาและวางกราวนด์ การตัง้ ช่ือโนดทาได้โดย DCLICKL ท่ีจุดเชื่อมต่อนั้น ๆ แล้วพิมพ์ชื่อโนดลงใน ช่อง LABEL บนหน้าต่างของ Set Attribute Value แล้วคลิก OK ตามภาพ ง.12 วาง VIEWPOINT ท่ีโนด 2 และ 3 สาหรับโนดท่ี 1 แรงดันโนดจะเท่ากับแรงดันที่จ่ายโดย แหล่งจ่ายแรงดัน 28 V และวาง IPROBE ลงบนก่ิง R 4 k ทาการ save Schematics แล้วคลิก Analysis/Simulate เพ่ือจาลองเหตุการณ์ในวงจร ซ่ึงจะได้ไฟล์ผลลัพธ์ของ VIEWPOINT และ IPROBE ดัง ภาพ ง.13 netlist แสดงดังภาพ ง.14 ซึ่งจะแสดงผลท้ังชื่อ ขนาด และการต่อในวงจร จากตัวอย่างจะพบว่า แหลง่ จา่ ยแรงดันไฟฟ้า V1 มีขนาด 28 V ต่ออยู่ระหว่างโนด 0 และโนด 1 ภาพ ง.13 ผลลัพธ์ของ VIEWPOINT และ IPROBE จากภาพ ง.12 ภาพ ง.14 netlist ของตวั อยา่ ง ง.2

286 ภาพ ง.15 แสดงไฟล์ผลลัพธ์จาก OrCAD PSpice ของตัวอย่าง ง.2 ภาพ ง.15 ไฟล์ผลลพั ธ์ของตัวอยา่ ง ง.2 ตวั อยา่ ง ง.3 พลอ๊ ตกราฟ I1 และ I2 จากวงจรดงั ภาพ ง.16 ถ้าแหล่งจา่ ยแรงดันไฟฟ้ากวาดจาก 2 – 10 V 2k 4Vx  Vx  I2 6k I1 4k 2 10V ภาพ ง.16 สาหรับตวั อย่าง ง.3 วิธีทา วางอุปกรณ์ตามภาพ ง.16 พร้อมทั้งแก้ไขช่ือและขนาดของแต่ละอุปกรณ์ โดยแหล่งจ่าย VCVS (E1) ทาการกาหนดอัตราขยาย (gain) เท่ากับ 4 ในชอ่ ง GAIN = ในหน้าตา่ ง PartName คลิก Save Attr แล้วคลิก OK กาหนดค่าการกวาดแรงดันของแหล่งจ่ายแรงดนั ไฟฟ้า V1 โดยคลกิ Analysis/Setup กาหนดค่าเริ่มตน้ 2 ค่าส้ินสุด 10 และเพ่มิ ข้นึ ครงั้ ละ 0.5 คลิก Analysis/Simulate จะปรากฏหน้าต่าง OrCAD PSpice ขึ้นมา คลิก Trace/Add คลิก I(R1) และ I(R3)

287 ภาพ ง.17 Schematics ของวงจรตามภาพ ง.16 I2 I1 ภาพ ง.18 I1 และ I2 จากการกวาด V1 จากวงจรตามภาพ ง.16 ง.3 การวิเคราะห์ทรานเชีย้ นท์ การวิเคราะห์ทรานเช้ียนท์ (Transient Analysis) เป็นการทดสอบผลตอบสนองต่อรูปคลื่นแรงดัน หรอื กระแสไฟฟา้ ชั่วขณะในวงจรเปรียบเทียบกบั เวลา ใช้สาหรับการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์ (differential equations) ของวงจรซ่ึงเป็นผลตอบสนองของแรงดันหรือกระแสไฟฟ้าเปรียบเทียบกับเวลา โดยท่ัวไปหาได้ จากวิเคราะหฟ์ ูเรียร์ การวิเคราะห์ทรานเช้ียนท์โดยใช้ PSpice มี 3 ขน้ั ตอน ดงั นี้ 1) วาดภาพวงจร 2) กาหนด เงือ่ นไขการจาลองเหตกุ ารณ์ และ 3) จาลองเหตุการณข์ องวงจร

288 ขัน้ ตอนท่ี 1 วาดภาพวงจร การวเิ คราะห์ทรานเซย้ี นท์ในวงจร ขั้นตอนแรก คอื การวาดภาพวงจรลงใน Schematics และกาหนด คุณลักษณะของแหล่งจ่ายไฟฟ้าในวงจร โปรแกรม PSpice รองรับฟังก์ชันทางเวลารูปแบบต่าง ๆ ที่คอบคลุม การวเิ คราะห์ทรานเซยี้ นท์ แหล่งจา่ ยไฟฟา้ ท่ีใช้ในการวเิ คราะหท์ รานเซยี้ น เชน่ VSIN, ISIN สาหรับการวิเคราะห์ผลตอบสนองจากการหน่วงเวลา (damped) แหล่งจา่ ยกระแสไฟฟ้า หรอื แรงดันไฟฟ้ารปู คล่ืนไซน์ท่ีถูกหนว่ งเวลา ตัวอย่างเชน่ v(t)  10e0.2t sin(120 t  60) VPULSE, IPULSE สาหรับการวิเคราะห์ผลตอบสนองจากพัลส์ (pulse) แหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าหรือ แรงดันไฟฟา้ VEXP, IEXP: สาหรับการวิเคราะห์ผลตอบสนองจากแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าหรือแรงดันไฟฟ้าแบบ เอกซ์โพเนนเชียล (exponential) VPWL, IPWL: สาหรับการวิเคราะห์ผลตอบสนองจากแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าหรือแรงดันไฟฟ้าเชิงเส้น แบบตอ่ เนอื่ งเป็นช่วง (piecewise) ตัวอยา่ งการกาหนดคุณลักษณะแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า แสดงดังนี้ VSIN ของฟังก์ชัน v(t)  V0  Vme (ttd ) sin[2 f (t  td ) ) กาหนดคุณลักษณะ ของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า VSIN โดย DCLICKL สัญลักษณ์ของ VSIN บนหน้าต่าง Schematics แล้วกาหนด คณุ ลกั ษณะในหน้าตา่ ง PartName ดงั นี้ ภาพ ง.19 การกาหนดคณุ ลักษณะของแหลง่ จา่ ย VSIN ในหนา้ ต่าง PartName VOFF = กาหนดคา่ Offset voltage, V0 VAMPL = กาหนดค่า Amplitude, Vm = กาหนดคา่ time delay ในหนว่ ย s, td TD = กาหนดค่า frequency ในหน่วย Hz, f FREQ

289 DF = กาหนดคา่ Damping factor (dimensioness),  PHASE = กาหนดคา่ Phase ในหนว่ ย degree,  ค่าเริ่มต้นของ TD, DF และ PHASE โปรแกรมจะกาหนดให้เป็น 0 ในการวิเคราะห์ทรานเซี้ยนท์ สามารถกาหนดค่าให้เปน็ ไปตามท่ตี ้องการจะวเิ คราะหผ์ ลตอบสนองของวงจรได้ แหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้า ISIN สามารถกาหนดคุณลักษณะได้ด้วยวิธีเดียวกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า VSIN VAMPL 1/FREQ TD VOFF ภาพ ง.20 รปู คลื่นแรงดนั VSIN ตามท่ีกาหนดคุณลักษณะดังภาพ ง.19 คุณลกั ษณะของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟา้ VPULSE มีดงั น้ี V1 = กาหนดคา่ แรงดันตา่ Low voltage V2 = กาหนดคา่ แรงดันสงู High voltage TD = กาหนดค่า Initial time delay ในหน่วย seconds TR = กาหนดค่า Rise time ในหนว่ ย seconds TF = กาหนดค่า Fall time ในหนว่ ย seconds PW = กาหนดคา่ Pulse width ในหน่วย seconds PER = กาหนดคา่ Period ในหนว่ ย seconds

290 ภาพ ง.21 การกาหนดคณุ ลักษณะของแหล่งจา่ ย VPULSE ในหนา้ ต่าง PartName TR PW TF TD PER V2 V1 ภาพ ง.22 รูปคล่นื แรงดัน VPULSE ตามที่กาหนดคุณลกั ษณะดังภาพ ง.21 คณุ ลักษณะของแหลง่ จา่ ยแรงดนั ไฟฟ้า VEXP มดี ังนี้ V1 = กาหนดค่า Initial voltage V2 = กาหนดคา่ Final voltage TD1 = กาหนดค่า Rise delay ในหนว่ ย seconds TC1 = กาหนดคา่ Rise time constant ในหนว่ ย seconds TD2 = กาหนดค่า Fall delay ในหนว่ ย seconds TC2 = กาหนดค่า Fall time ในหน่วย seconds