65-07-23-คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย

97 ตัวอยา่ งที่ 24 f(x) = x 1 1 โดยที่ x  -1 ให้ Ι เป็นฟังก์ชนั เอกลกั ษณ์ และ g = (fof)(f + Ι) แลว้ g(x) + เท่ากับเทา่ ใด (คณิต กข/2541) 1. 1 2. (x +1)2 x+2 3. (x +1)2 + x 4. (x +1)2 - x x+2 x+2 วิธคี ดิ จาก g = (fof) . (f + Ι) g(x) = [(fof) . (f + )](x) = (fof)(x) . (f + )(x) หา fof(x) = f(f(x)) = 1 f(x) = x 1 1  f(x) +1 +  = 1 1 (x + 1) = 1 1 x +1 = 1 x +1 x + 1 x +1 + x +1 1+ x +1 + 1 x +1 = x +1 x +2 (f + Ι)(x) = f(x) + Ι (x) [จาก Ι(x) = x] = x 1 1 + x(x +1) + 1(x +1) = 1+ x(x +1) = 1+ x2 + x x +1 x +1 ดังนั้ (fof)(x) . (f + )(x) = x +1  1+ x2 + x x+2 x +1 = x2 + x + 1 = x2 + 2x +1 - x x+2 x+2 = (x + 1)2 - x ตอบ ข้อ 4. x +2

98 ตัวอยา่ งที่ 25 กำหนดให้ f(x) = 2-x และ g(x) =x- 3 แล้ว (fog)(1 - x) คอื ข้อใดต่อไปนี้ 1-x (คณติ 2/2543) 1. 1-x 2. 5- x 3. x+1 4. x +4 3-x 4- x x+2 x +3 วิธคี ดิ (fog)(1 - x) = f(g(1 - x)) แต่ g(x) = x - 3 หรือ g(1 - x) = (1 - x) - 3 =1-x-3 = -x - 2 และ f(x) = 2 - x 1 - x หรือ f(g(1 - x)) = 2 - g(1- x) 1 - g(1- x) = 2 - (-x - 2) = 2+ x+2 = x +4 ตอบ ข้อ 4. 1 - (-x - 2) 1+ x+2 x +3 ตัวอย่างท่ี 26 ถา้ f(x) = 4x และ g(x) = 2 แลว้ ค่า x ท่ีทำให้ (fog)(x) = (gof)(x) เท่ากบั เท่าไร x -1 (คณติ 1/2542) วิธีคิด fog(x) = f(g(x)) แต่ f(x) = 4x ∴ f(g(x)) = 4(g(x)) แต่ g(x) = 2 x -1 ( )= 4 2 x -1 = x 8 1 ---------- - gof(x) = g(f(x)) แต่ f(x) = 4x  g(f(x)) = 2 - 1 f(x) = 2 1 ---------- 4x -

=, 8 1 = 2 1 99 x- 4x - ตอบ 32x - 8 = 2x - 2 32x - 2x = -2 + 8 30x = 6 x = 6 = 1 30 5 ตวั อยา่ งที่ 27 ให้ x เปน็ จำนวนจริงใดๆ f, g และ h เปน็ ฟังกช์ ัน โดยท่ี f(x) = 2x - 1 , h(x) = 2x2 - 2x +1 และ (fog)(x) = h(x) และ g(3) มีค่าเท่ากับเท่าใด (คณิต 2/2542) วธิ ีคิด จาก (fog)(x) = h(x) f(g(x)) = h(x) หา f(g(x)) จาก f(x) = 2x - 1 f(g(x)) = 2(g(x)) - 1 ---------- จาก h(x) = 2x2 - 2x +1 ----------  = , 2(g(x)) - 1 = 2x2 - 2x +1 [ (fog)(x) = h(x)] 2(g(x)) = 2x2 - 2x +2 2 หารตลอด g(x) = x2 - x +1  g(3) = 32 - 3 +1 = 9 - 3 +1 = 7 ตอบ ตัวอยา่ งที่ 28 กำหนดให้ f(x) = 1 x x และ g(x) = x2 - 1 ถา้ A = Dgof และ B = Dg แล้ว A  B - 2. (-1, ) คือเซตในข้อใด (คณติ 1/2542) 4. (-1,1)  (1, ) 1. R - {-1, 1} 3.  1 ,1  (1, )  2 A = Dgof หาคา่ x ใน gof gof(x) = g(f(x)) แต่ g(x) = x2 - 1

100  g(f(x)) = f(x)2 -1 แต่ f(x) = 1 x -x ( )= x 2 1- x -1 ( )g(f(x)) จะเป็นจำนวนจรงิ เมือ่ x 2 1-x -1  0 ( 1 x2 - 1  0 - x)2 x2 - (1- x)2  0 (1- x)2 (1 - x)2 > 0 คณู , x2 - (1 - x)2  0  (1 - x)2 เม่อื (1 - x)2  0 คำตอบ x2 - (1 - 2x + x)2  0 1-x 0 x2 - 1 + 2x - x2  0 x  1 (รอตอบ) 1 -1+2x  0 2x 1 x  1 2  Dgof = [21 ,1)  (1, ) = A B = Dg หาค่า x ใน g g(x) = x2 -1 g(x) จะเป็นจำนวนจริงก็ตอ่ เม่ือ x2 - 1  0 หาค่าวิกฤต, (x -1)(x +1)  0 +-+ x - 1 = 0 หรือ x + 1 = 0 -1 1 x = 1 หรอื x = -1 x = (- , -1] [1, ) หรือ Dg = (- , -1]  [1, ) = B คำถาม A  B = ซ่งึ ������ = จำนวนจรงิ R

คำตอบ  B = (-1,1) 101 A A B = [12 ,1)  (1, )  (-1,1) ตอบ ขอ้ 4. -1 0 1 = (-1,1)  (1, ) 9. ฟงั ก์ชันผกผัน ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั 1 - 1 แลว้ f-1 เปน็ ฟงั ก์ชันผกผนั โดยมเี งื่อนไข f = {(x, y)} f-1 = {(y, x) / (x, y)  f} [ สลับ Y เป็น x , x เปน็ y ] ดังนน้ั Df = Rf-1 Rf = Df-1 ตวั อยา่ งท่ี 29 กำหนดให้ f(x) = 3x - 4 และ (fog)(x) = x + 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูกต้อง (คณิต 2/2544) 1. g-1(x) = x - 5 2. g-1(x) = x + 5 3 3 3. g-1(x) = 3x + 5 4. g-1(x) = 3x - 5 วิธคี ิด (fog)(x) = f(g(x)) = x + 1 3(g(x)) - 4 = x + 1 3(g(x)) = x + 5 g(x) = x + 5 3 ให้ g1(x) = y , x = y + 5 3 3x = y + 5 y = 3x - 5 g-1(x) = 3x - 5 ตอบ ขอ้ 4.

102 10. ส่งิ ทีค่ วรจำเกยี่ วกับฟงั กช์ ันประกอบ ก. fogoh = (fog)oh = fo(goh) ข. ถ้า f และ g เป็นฟงั กช์ นั 1 - 1 และ f : A ⎯ท⎯1ั่ ว-1ถึ⎯ง→B และ g : B ⎯ท⎯1่ั ว-1ถึ⎯ง→ C จะไดว้ า่ (gof)-1 = f -1og-1 ตวั อย่างท่ี 30 ถ้า f = {(1, a) , (2, b) , (3, c) , (4, d)} และ f-1og = {(1, 3), (3,1), (4, 4)} แลว้ g คือ ฟงั กช์ นั ในข้อใด (คณติ 2/2542) 1. {(a, 3) , (c, 1) , (d, 4)} 2. {(1, c) , (3, a) , (4, d)} 3. {(1, 1) , (3, 3) , (4, 4)} 4. {(a, c) , (c, a) , (d, d)} วธิ คี ดิ (f-1og)(x) = f-1(g(x)) = {(1, 3), (3,1), (4, 4)} ขอ้ 2 f(x) = {(1, a) , (2, b) , (3, c) , (4, d)} 1gc ลองขอ้ 2 ตรวจคำตอบตรงกับ f(x) หรือไม่ 3a 3 f(x) = {(3, c) , (1, a) , (4, d)} ใช่ 4d 1 4 ดงั นั้น g(x) = {(1, c) , (3, a) , (4, d)} ตอบ ขอ้ 2 ตัวอยา่ งท่ี 31 กำหนดให้ f(x) = (2x - 1)2 เมื่อ x  -1 และ g(x) = f(x) + 2 เม่ือ - 1 < x < 2 x + 1 เม่ือ x  2 ถ้า k เปน็ จำนวนเต็มนอ้ ยท่ีสดุ ทท่ี ำให้ g(k) > 5 แลว้ (gof)(k) มีคา่ เท่ากับขอ้ ใด (คณิต 1/2545) 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 วธิ ีคิด (gof)(k) = g(f(k)) g(x) = f(x) + 2  g(k) = f(k) + 2 f(k) + 2 > 5 f(k) > 3 k+1>3 k>2 แสดงว่า k ทีเ่ ป็นจำนวนเต็มนอ้ ยทสี่ ุด = 3

∴ gof(k) = g(f(k)) = f(f(k)) + 2 103 = f(f(3)) + 2 = f(3 + 1) + 2 [f(x) = x + 1 เมื่อ x  2] = f(4) + 2 [f(x) = x + 1 เมื่อ x  2] = (4 + 1) + 2 =7 ตอบ ข้อ 3. ตวั อยา่ งท่ี 32 กำหนดให้ f(x) = 5x +1 ถา้ a เป็นจำนวนจรงิ ซึ่ง a4 แล้ว f-1(a +1) คือ เท่าใด (คณติ x-2 2/2543) วิธีคดิ f(x) = y = 5x +1 x-2 ดงั นัน้ ให้ f -1(x) = y, x= 5y +1 y-2 xy - 2x = 5y + 1 xy - 5y = 1 + 2x y(x - 5) = 1 + 2x f -1( x) = y = 1 + 2x x-5 ตอบ  f -1( a + 1 ) = 1+ 2(a + 1) = 1 + 2a + 2 = 2a + 3 (a +1) - 5 a+1-5 a-4 ตัวอยา่ งท่ี 33 กำหนดให้ f(x) = -(x -1)2 ทุก x  1 g(x) = 1 - x ทุก x  1 พิจารณาข้อความต่อไปน้ี (คณิต 1/2546) ก. f-1(x) = 1 - x ทุก x  0 ( )ข. (g-1of-1) - 1 = 3 4 4 ขอ้ ความใดถูก, ผิด วธิ คี ดิ 1. หา f-1(x) , f(x) = -(x - 1)2 เมือ่ x 1

104 ให้ y = f-1(x) , x = -(y - 1)2 เม่อื y  1 (y - 1)2 = -x เมอ่ื y  1, x  0 y - 1= - -x y = - -x +1 y = f-1(x) = - -x +1 แต่ -x = x เมือ่ x  0 = 1- -x = 1- x ตอบ ขอ้ ก. ถูก f-1(x) = 1 - x , เม่ือ y  1 และ x  0 จาก (g-1of-1)(- 41) = g-1(f -1(- 41)) จาก g(x) = 1 - x เมื่อ x  1 ให้ y = g-1(x) , x = 1 - y เมอ่ื y  1 x2 =1- y y =1- x2 หรือ y = g-1(x) = 1 - x2 เมื่อ x  0 จาก f-1(x) = 1- x ( )f-1-1 =1- - 1 4 4 =1- 1 4 = 1 - 1 = 1 2 2 ดงั น้ัน g-1(f-1(- 41)) = 1 - (f -1(- 41))2 ( )=1- 1 2 1 3 2 4 4 = 1 - = ถูก ตอบ ข้อ ข. ถกู

105 ตัวอยา่ งท่ี 34 กำหนดให้ f(x) = 1 x x , x  -1 และ g(x) = x เมอื่ x1 ขอ้ ใดผิด + 1-x (คณิต 1/2544) 1. (fog)-1(x) = x , x  1 2. (f -1og-1)(x) = x , x  -1 3. (f-1og)(x) = x , x 1 4. (g-1of)(x) = x , x  -1 1 + 2x x +2x วิธีคดิ หา (fog)(x) ข้อ 1. (fog)(x) = f(g(x)) = 1 g(x)  f(x) = 1 x x  + g(x) +  xx x 1-x 1-x 1-x 1-x 1 = x = 1 - x + x = × = x ถกู 1 + - 1 x 1-x และ (fog)-1(x) = x ถูก [ f(x) = x แลว้ f-1(x) = x , y = x x = y] ขอ้ 2. (f-1og-1)(x) = (gof)-1(x) [ สูตร (gof)-1 = f -1og-1 ] หา gof(x) = g(f(x)) = 1 f(x)  g (x) = 1 x x  - f(x) -  xx x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1 (gof)(x) = g(f(x)) = x = 1+ x - x = × = x 1 - + 1+ x 1 x  (gof)-1(x) = x ถูก [ (gof)(x) = x, (gof)-1(x) = x เหมอื นกับ y = x แลว้ x = y ] ข้อ 3. (f-1og)(x) = f -1(g(x)) f(x) = x x 1+ ให้ f -1(x) = y , x = y 1+ y x + xy = y xy - y = -x y(x - 1) = -x

106 f -1( x) = y = -x x -1 -g(x) -x [ g(x) = 1 -xx] g(x) -1 1-x ดงั นัน้ f -1(g(x)) = = x 1-x -1 -x -x -x -x 1- x 1-x 1-x 1-x 1-x 2x -1 = x - (1- x) = x -1+ x = 2x -1 = × 1-x 1-x 1-x = 2 -x 1 ผดิ ตอบ ขอ้ 3. x- ขอ้ 4. (g-1of)(x) = 1 x + 2x (g-1of)(x) = g-1(f(x)) g(x) = 1 x x - ให้ g-1(x) = y , x= y 1-y x - xy = y x = y + xy x = y(1 + x) g- 1(x ) = y = 1 x x + f(x) xx x 1+ f(x) 1+ x 1+ x 1+ g-1(f(x)) = = x = 1+ x + x [f(x) = x] 1 + + 1 x 1+ x x x 1+ x x 1+ x 1+ x 1 + 2x 1 + 2x = 1 + 2x = × = ถกู 1+ x

107 ตัวอย่างท่ี 35 กำหนดให้ f(x) = x เมื่อ x  0 g(x) x เมื่อ 0  x < 1 x + 1 เม่ือ x  1 พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. gof-1 เป็นฟังก์ชันเพิม่ บน Rf [Rf = Df ]-1 ข. fog-1 เปน็ ฟังกช์ นั เพิม่ บน Rg [Rg = Dg-1] ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูก, ผิด (คณิต 1/2545) วธิ คี ดิ ขอ้ ก. gof -1(x) = g(f -1(x)) จาก f(x) = x เมื่อ x  0 ให้ y = f -1(x) , x = y เมื่อ y  0 y=x ยกกำลงั 2, y = x2 เมื่อ x  0  f-1(x) = x2 บน Df-1 [0, ) g(f -1(x)) = g(x2) = x2 เม่อื 0  x < 1 = x2 +1 เม่อื x  1 ข้อ ก. ถูก คำตอบเปน็ ฟงั ก์ชนั เพิม่ เพราะ f1(x) เพ่ิมแลว้ x2, x2 + 1 เพ่มิ ข้อ ข. fog-1(x) = f(g-1(x)) จาก g(x) = x เมอ่ื 0  x < 1 = x + 1 เม่ือ x  1 ให้ y = g-1(x) , x = y เมือ่ 0  y < 1 =y+1 เมอ่ื y  1 เมื่อ 0  x < 1 หรอื y = x =x-1 เมื่อ x - 1  1 หรือ x  2 บน Dg-1 [0,1)  [2, ), f(g-1(x)) = f(x) = x เมอื่ 0  x < 1 f(x - 1) = x - 1 เม่ือ x  2 ขอ้ ข. ถูก คำตอบเป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ เพราะ g-1(x)  แล้ว x, x - 1 

108 ตวั อยา่ งที่ 36 กำหนดใหฟ้ งั ก์ชัน f และ g ดังนี้ f(x) = x3 -1 g(x) = 2x + 1 เม่ือ x  0 x - 3 เม่ือ x 0 > ถา้ (f-1og)(1) = a และ (gof-1)(-1) = b แลว้ ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง (คณิต 2/2544) 1. a = 1 , b = 1 2. a = 1 , b = -1 3. a = -1 , b = 1 4. a = -1 , b = -1 วธิ คี ิด จาก (f-1og)(1) = a (f-1(g(1)) = a ---------- แต่ f(x) = x3 - 1 ให้ f-1(x) = y , x = y3 - 1 y3 = x +1 y = 3 x+1 หรอื f -1(x) = 3 x + 1 ดังนั้น f -1(g(x)) = 3 g(x) + 1 เมื่อ x = 1 แสดงวา่ g(x) = x - 3 หรือ f-1(g(x)) = 3 (x - 3) +1 = 3 x - 3 +1 = 3 x - 2 f-1(g(1)) = 3 1 - 2 = 3 -1 = -1 = a (จาก  ) ดงั น้นั a = -1 จาก (gof-1)(x) = b g(f-1(x)) = b แต่ g(x) = 2x + 1 เม่ือ x = -1 หรือ g(f-1(x)) = 2(f -1(x)) +1 ( )g(f -1(-1)) = 2 3 x + 1 + 1 b = 2 ( 3 (-1) +1 ) +1 = 23 0 +1 = 2(0) +1 = 1 ตอบ ขอ้ 3

109 เรขาคณติ วิเคราะห์ และภาคตัดกรวย 1. หาระยะห่างระหวา่ งจุดพกิ ัด A (x1, y1) กับจุด B (x2, y2) y B A AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 0 x = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 2. หาจดุ แบ่งของส่วนของเส้นตรง AP : PB = m : n y x B Pn A m (x, y) 0 จุดพิกัด P(x, y), x = mxm2 + nnx1 + mym2 + nny1 y = + ถ้า P เป็นจดุ กึง่ กลางของ AB จะได้ จดุ พกิ ดั P =  x1 + x2 , y1 + y2   2 2  ตัวอย่างที่ 1 รปู ∆ ทีม่ ีจุดมุมอย่ทู ี่ A (4, 7) , B (2, 3) , C (-4, 5) ความยาวของเส้นมธั ยฐานทลี่ ากจากจุด A มายังดา้ นตรงขา้ มกีห่ น่วย * เส้นมธั ยฐานของ ∆ คือ เส้นท่ีลากจาก จุดมุมของ ∆ ไปแบง่ ครึง่ ด้านตรงข้ามกับมุมนนั้ ของ ∆ ( )หาจุด P =  x1 + x2 , y1 + y 2  = -4 + 2 , 5 + 3 2 2 2 2 = (-1, 4)

y AP = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 110 C 7 A (4, 7) = (4 - (-1))2 + (7 - 4)2 = (4 + 1)2 + 32 ตอบ = 52 + 32 = 25 + 9 = 34 หน่วย (-4, 5) 5 P B (2, 3) -4 0 2 4 x 3. ความชันของเส้นตรง m = ความชนั ,  คือมมุ ที่เสน้ ตรงทำกับแกน x y ทวนเข็มนาฬิกา B m = tan  = ข้าม = y 2 - yx11 Aθ ชิด x 2 - 0 x ถ้า  < 90o, tan  = + (มุมแหลม) y ถา้ 90o <  < 180o, tan  = - (มมุ ปา้ น) BD A = (x1, y1) 0 Aθ Cθ B = (x2, y2) x C = (x3, y3) D = (x4, y4) 3.1 เสน้ ตรงขนานกัน เม่อื m1 = m2 3.2 เส้นตรงตดั กัน m1  m2 3.3 เสน้ ตรงตดั กนั เปน็ มุมฉาก m1 × m2 = -1

111 3.4 การหาสมการเสน้ ตรงเมอ่ื รู้คา่ ความชนั และจุดพิกดั 1 จุด (x1, y1) m = y2 - y1 = y - y1 หรอื y = mx + c เมื่อ c เป็นจดุ ตดั แกน y หรือ x + y =1 x2 - x1 x - x1 a b เมอื่ a เปน็ จุดตัดแกน x และ b เป็นจุดตดั แกน y 4. ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงกบั จดุ พกิ ัด d = ระยะหา่ งจากจุด P กบั เส้นตรง yP AX + BY + C = 0 d d= Ax1 + By1 + C 0x A2 + B2 5. ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง 2 เสน้ ขนานกนั d = ระยะหา่ งจากเสน้ ตรง 2 เสน้ ขนานกัน y d= C2 - C1 A2 + B2 d0 x 6. วงกลม 6.1 จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมอยู่ท่ี (0, 0) x2 + y2 = r2 y r (x, y) yr -r 0 x r x -r

112 6.2 จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมอยทู่ ่ี (h, k) กรณี x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ( )(h,k) = -A , -B y 2 2 (h, k) r = 1 A2 + B2 - 4C 0x 2 6.3 ความยาวเส้นสมั ผัสวงกลม P AP = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C 0 A ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาสมการเส้นตรงท่ผี า่ นจุด (4, 1) และตง้ั ฉากกับเสน้ ตรงท่ผี ่านจุด A (-1, 1) และ B (3, 7) วธิ คี ดิ หาความชนั m ก่อน m = y2 - y1 x2 - x1 = 7 -1 เมอ่ื (x1, y1) = (-1,1) 3- (-1) (x2, y2) = (3, 7) m1 = 3 6 1 = 6 = 3 + 4 2 แต่ m2 ⊥ m1 ,  m2 × m1 = -1 ดงั นั้น m2 = - 2 [กลบั เศษสว่ นเปลยี่ นเครือ่ งหมาย] 3 สร้างสมการ m2 = y - y1 (x1, y1) = (4,1) x - x1

- 2 = y-1 113 3 x-4 ตอบ - 2 = y -1 3 x-4 -2x + 8 = 3y - 3 0 = 3y - 3 + 2x - 8 2x + 3y - 11 = 0 ตวั อย่างที่ 3 จงแสดงวา่ R (4, 5) อยบู่ นเสน้ ตรงท่ตี งั้ ฉาก และแบ่งครงึ่ ส่วนของเสน้ ตรงท่ีมจี ุดปลายที่ P(-1, 4) และ Q (5, 10) วิธคี ิด หาความชนั m1 กอ่ น และ หา m2 เพราะต้งั ฉากกนั หาจุดกึ่งกลาง PQ และหา m2 จากจุดก่งึ กลางกับจุด R แล้วดวู ่า m2 เทา่ กนั หรือไม่ ถา้ เทา่ กันแสดงว่า จดุ R อยบู่ นเส้น m2 (2, 7) Q (5, 10) m1 = y2 - y1 เมือ่ (x1, y1) = (-1, 4) S x2 - x1 (x2, y2) = (5,10) P (-1, 4) R (4, 5) = 10 - 4 = 5 6 5 - (-1) +1 =1  m2 = -1 ---------- หาจดุ S = (x, y) =  x1 + x2 , y1 + y2  2 2 ( )= -1 + 5 , 4 + 10 2 2 = (2, 7) m3 = y2 - y1 = 7 - 5 = 2 = -1 x2 - x1 2 - 4 -2 m3 = m2 จาก  ตอบ R (4, 5) อยบู่ นเสน้ ต้งั ฉาก และแบ่งครงึ่ ด้าน PQ

114 ตวั อย่างที่ 4 จงหาสมการของวงกลมท่ผี ่านจุด (0, 0) , (1, 2) และ (-1, -1) จากสมการ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 วธิ ีคิด ผ่านจดุ (((xxx321,,, yyy132))) = (0, 0)  แทนค่าในสมการ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 = (1, 2)  = (-1, -1)  แล้วแก้สมการ หาค่า A, B, C (x1, y1) = (0, 0) , 02 + 02 + A(0) + B(0) + C = 0 ---------- C=0 (x2, y2) = (1, 2),12 + 22 + A(1) + B(2) + 0 = 0 [C=0] 1 + 4 + A + 2B + 0 = 0 A + 2B = -5 ---------- (x3, y3) = (-1, -1) , (-1)2 + (-1)2 + A(-1) + B(-1) + C = 0 1+1-A-B+0=0 -A - B = -2 ---------- + B = -7 แทน B = -7 ใน  , A + 2(-7) = -5 A - 14 = -5 A = -5 + 14 A=9 ตอบ ∴ สมการ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 คือ x2 + y2 + 9x - 7y = 0 ตวั อย่างที่ 5 จงหาสมการของเสน้ ตรงท่ีขนานกับเสน้ ตรง 3x + 4y + 2 = 0 และอยหู่ า่ งจากเส้นตรงนี้ 3 หน่วย วิธีคดิ เสน้ ตรงขนานกับเส้นตรง 3x + 4y + 2 = 0 แสดงว่า Ax, By เทา่ กัน แต่ C ไมเ่ ท่ากนั จาก Ax + By + C = 0 ดงั นน้ั สมการเสน้ ตรงนี้ = 3x + 4y + c = 0 d d จากสูตร ระยะหา่ ง d= C2 - C1 A2 + B2

115 3= C-2 = C-2 32 + 42 5 15 = C - 2 C - 2 = 15 C - 2 = 15 หรือ C - 2 = -15 C = 17 หรือ C = -13 ตอบ สมการเสน้ ตรง คือ 3x + 4y + 17 = 0 หรือ 3x + 4y - 13 = 0 ตัวอย่างที่ 6 จงหาสมการของวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางท่ี (0, 1) และเส้นสัมผัสเสน้ ตรง 3x + 4y - 6 = 0 สูตร จดุ ห่างเสน้ ตรง (r) A P r= Ax1 + By1 + C 0r A2 + B2 (x, y) = (0, 1) (0, 1) (h, k) = 3(0) + 4(1) - 6 32 + 42 = 0+4-6 = -2 = 2 9 +16 25 5 ∴ สมการวงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ( )(x - 0)2 + (y -1)2 = 2 2 5 x2 + (y - 1)2 = 4 25 x2 + (y2 - 2y + 1) = 4 25 25 คณู ตลอด, 25x2 + 25y2 - 50y + 25 = 4 25x2 + 25y2 - 50y + 25 - 4 = 0 25x2 + 25y2 - 50y + 21 = 0 ตอบ

116 ตวั อยา่ งที่ 7 จงตรวจสอบวา่ 4x2 + 4y2 - 20x + 8y - 12 = 0 เปน็ สมการวงกลมหรอื ไม่ ในกรณีท่เี ป็นสมการ วงกลม จงหารศั มี และจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม วธิ ีคดิ วธิ ีที่ 1 4x2 + 4y2 - 20x + 8y - 12 = 0 4x2 - 20x + 4y2 + 8y = 12 2 2 2 2 + y2 + 2y + =3+ + ( ) ( ) ( ) ( )4 หารตลอด, x2 - 5x +5 2 5 2 [ ทำกำลังสองสมบรู ณ์] 2 2 2 2 (x - 25) 2 + (y + 22)2 = 3 + 25 + 1 4 = 41 4 (x - 25)2 + (y + 1)2 =  41 2 2  ตอบ เปน็ สมการวงกลม มีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (25 , -1) รัศมียาว 41 2 วิธีท่ี 2 ใช้สูตรจาก x2 + y2 + Ax + By + C = 0 แตโ่ จทยเ์ ปน็ 4x2 + 4y2 - 20x + 8y - 12 = 0 ไมเ่ หมือนกับสูตร ต้องทำให้ สปส หน้า x2 และ y2 = 1 เอา 4 หารตลอด, x2 + y2 - 5x + 2y - 3 = 0 ∴ A = -5, B = 2, C = -3 ( )∴ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม = - A , - B 2 2 ( )= - -5 , - 2  2 2 (h,k) = (25 , -1) ตอบ

รศั มี = 1 A2 + B2 - 4C 117 2 1 1 ตอบ = 2 (-5)2 + 22 - 4(-3) = 2 25 + 4 +12 = 1 41 2 7. พาราโบลา แกนพาราโบลา x = 0 y ความยาวของLatus rectum หน่วย F (0, C) 0 x กราฟหงาย C+ F = จดุ โฟกสั (0, -c) เส้นไดเรกตริกซ์ O = จุดกำเนดิ หรอื จดุ ยอด y = -c เป็นสมการเส้นไดเรกตริกซ์

118 y ความยาวของ Latus rectum เสน้ ไดเรกตริกซ์ ( -c, 0) 0 F x กราฟตะแคงขวา C+ สมการไดเรกตริกซ์ x = -c (c, 0) แกนพาราโบลา y = 0 y แกนพาราโบลา x = h ความยาวของ Latus rectum 0 F (h, k) x เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ y F x แกนพาราโบลา y = k (h, k) ความยาวของ Latus rectum 0 เส้นไดเรกตรกิ ซ์ ตัวอย่างที่ 8 จงหาสมการพาราโบลาทมี่ โี ฟกัสที่ (0, -6) และสมการเส้นไดเรกตริกซ์ คอื y = 6 วธิ ีคดิ วาดรปู จะร้เู ลยว่าจะเปน็ สมการแบบไหน y6 สมการ x2 = 4cy x2 = 4(-6)y y=6 x2 = -24y 0x ตอบ -6 F

119 ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาจดุ ยอด โฟกัส สมการไดเรกตรกิ ซ์ สมการแกนพาราโบลา และความยาวเสน้ Latus rectum พรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟอย่างง่าย ของ 4y2 - 3x = 0 วธิ คี ิด จาก 4y2 - 3x = 0 4y2 = 3x y 2 = 3 x [y2 = 4cx] 4 C + กราฟตะแคงขวา โฟกัสเป็น + y ดงั น้ัน 4c = 3 จดุ กำเนดิ (h, k) = (0, 0) 4 c = 4 3 4 = 3 × 16 F ∴x โฟกัส ( )0 3 , 0 16 จดุ ยอด (h, k) = (0, 0) สมการไดเรก็ ตริกซ์ x = - 3 16 สมการแกนพาราโบลา y = 0 ( )ความยาว Latus rectum = 4c = 4 3 = 3 หนว่ ย ตอบ 16 4 ตวั อย่างท่ี 10 เสาไฟฟ้าสองตน้ ซงึ่ สงู 30 เมตร อยู่หา่ งกัน 100 เมตร สายไฟฟา้ ท่ีอยู่ระหว่างเสาสองตน้ น้ี หย่อน มีลกั ษณะเป็นรปู พาราโบลา และสูงจากพ้ืนดิน 20 เมตร ณ จดุ กงึ่ กลางระหว่างเสาสองต้นนี้ จงหา สายไฟฟ้านีส้ ูงจากพน้ื ดินกเี่ มตร ณ จุดทีอ่ ย่หู ่างจากเสา 10 เมตร y x2 = 4cy (x, y) = (50, 10) (-50, 10) 10 (40, y) (50, 10) 502 = 4c(10) สายไฟฟา้ 50 30 x 0 20 2500 = 40 c 30 50 เสา เสา c = 2500 = 125 ∴ สมการ 40 2 พ้ืน ( )x2 = 4125 2 y x2 = 250y แทน (40, y) , 402 = 250y

120 y = 840 × 40 = 32 = 6.4 ม. 5250 5 ตอบ ดงั นน้ั สายไฟอยูส่ ูงจากพน้ื 20 + 6.4 = 26. 4 ม. ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาจุดยอด โฟกสั สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ สมการแกนพาราโบลา ความยาวของเส้น Latus rectum ของพาราโบลา x2 + 6x - 4y +1 = 0 วิธคี ดิ ทำใหอ้ ยู่ในรูป (x - h)2 = 4c(y - k) y x2 + 6x + (32) = 4y - 1 + (32) [ ทำกำลงั 2 สมบรู ณ์] -3 F 0 x (x + 3)2 = 4y - 1+ 9 -2 = 4y + 8 (-3, -2) -3 y=-2-1=-3 เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ (x + 3)2 = 4(y + 2) ( c + หงาย) จาก (x - h)2 = 4c(y - k) ∴ h = -3 , k = -2 , c = 1 จุดยอด (h, k) = (-3, -2) โฟกัส = (-3, -2+1) = (-3, -1) ความยาว Latus rectum = 4c = 4(1) = 4 หน่วย สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ y = -3 สมการแกนพาราโบลา x = -3 ตอบ 8. วงรี y a p bB pa PF + PF = 2a (คงทีเ่ สมอ) Fc V x b จุดโฟกสั F (c, 0) , F(-c,0) bp -c 0 แกนเอก, จุดยอด V(a,0), V(-a,0) -b p แกนโท, จดุ ปลาย B (0, b), B (0, -b) V V ความยาวแกนเอก = 2a ความยาว Latus rectum B B ความยาวแกนโท = 2b

121 ความยาว Latus rectum = 2b2 a a2 = b2 + c2 a ยาวที่สุด y aa b x2 y2 -c 0 c b x a2 + b2 =1 (จุดกำเนิด 0, 0) y y2 x2 bb a2 b2 + = 1 ca 0 -c a x a2 = b2 + c2 a ยาวท่ีสดุ y x กรณีเลือ่ นจากจุดกำเนดิ (0, 0) เปน็ (h, k) (h, k) สมการวงรี (x - h)2 + (y - k)2 =1 [เมอ่ื a อยบู่ นแกน X] 0 a2 b2 y (h, k) สมการวงรี (y - k)2 + (x - h)2 =1 [เม่ือ a อยบู่ นแกน Y] x a2 b2 0 9. ไฮเปอรโ์ บลา P PF - PF = 2a [คงท่ีเสมอ] จดุ โฟกัส F (c, 0) , F (-c, 0) y แกนตามขวาง, จดุ ยอด V (a, 0), V (-a, 0) x แกนสังยคุ , จดุ ปลาย B (0,b),B (0, -b) p bB V V ความยาวแกนตามขวาง = 2a B B ความยาวแกนสังยุค = 2b -c V -a 0 a cF L1, L2 เป็นเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา -b

122 ความยาว Latus rectum = 2b2 a c2 = a2 + b2 c ยาวที่สุด y สมการไฮเปอร์โบลา aa x2 - y2 =1 จดุ กำเนดิ (0,0) b a2 b2 0bF x b a สมการเสน้ กำกับ y = ± x y y2 - x2 =1 จุดกำเนดิ (0, 0) b bF a2 b2 a x สมการเสน้ กำกบั y = ± a x 0a b ตัวอยา่ งที่ 12 จงหาจดุ ยอด โฟกัส ความยาวของแกนเอก ความยาวของแกนโท และความยาวของเสน้ Latus rectum ของวงรี 4x2 + 9y2 + 24x + 36y + 36 = 0 วิธีคิด จดั สมการใหม่ เป็น (x - h)2 + (y - k)2 = 1 a2 b2 4x2 + 24x + 9y2 + 36y = -36 4(x2 + 6x + 32) + 9(y2 + 4y + 22) = -36 + 4(32) + 9(22) 4(x + 3)2 + 9(y + 2)2 = -36+36 + 36 4(x + 3)2 + 9(y + 2)2 = 36 36 หารตลอด, (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1 9 4 (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1 32 22 a = ±3,b = ±2 , c2 = a2 - b2 = 9 - 4 = 5 y c=± 5 -6 a -3 B a 0 x F b จุดศูนย์กลาง (h, k) = (-3, -2) V-2 (-3, -2) b-4 จดุ ยอด V (-6, -2) , V (0, -2)

123 ความยาวของแกนเอก , 2a = 2 × 3 = 6 หนว่ ย ความยาวของแกนโท , 2b = 2 × 2 = 4 หนว่ ย จุดโฟกัส, (-3 + 5,- 2),(-3 - 5,- 2) ความยาวของเส้น Latus rectum = 2a2 = 2(3)2 = 9 หนว่ ย b 2 ตัวอยา่ งท่ี 13 จงหาจุดยอด โฟกสั และเขยี นกราฟอยา่ งงา่ ย ของวงรีทีม่ สี มการ 16x2 + 36y2 - 576 = 0 วธิ ีคิด จดั รปู แบบสมการใหเ้ ป็น x2 + y2 = 1 a2 b2 16x2 + 36y2 = 576 16 x 36 หาร, x2 + y2 = 1 36 16 ดังน้ัน a2 = 36 , b2 = 16 → c2 = a2 + b2 = 36 - 16 = 20 a = ±6 , b = ±4 c = ± 20 = ±2 5 จดุ ยอด a, (6, 0) , (-6, 0) โฟกัส c,(2 5,0),(-2 5,0) y (-6, 0) B (0, 4) V (6, 0x) -6 F’ 4 6 0F -4 (0, -4) ตัวอย่างท่ี 14 ผลตา่ งของระยะของจดุ ใดๆ บนไฮเปอรโ์ บลาไปยังจดุ (13, 0) และ (-13, 0) เท่ากับ 10 หนว่ ย จงหาสมการไฮเปอร์โบลา วธิ ีคิด PF - PF = 2a 10 = 2a 5=a จดุ (13, 0) , (-13, 0) เปน็ จดุ โฟกสั = ±13

โดยใหจ้ ดุ กำเนิด = (0, 0) c = 13 124 F = (13, 0) ตอบ F = (-13, 0) สมการไฮเปอรโ์ บลา = x2 - y2 = 1 หา b จาก a2 b2 c2 = a2 + b2 b2 = c2 - a2 = 132 - 52 = 169 - 25 b2 = 144 b = ±12 ∴ สมการ x2 - y2 = 1 52 122 x2 - y2 = 1 25 144 25 × 144 คูณ, 144x2 - 25y2 = 25 ×144 144x2 - 25y2 = 3600 144x2 - 25y2 - 3600 = 0 ตัวอยา่ งท่ี 15 จงหาสมการวงรี ท่ีมจี ุดศนู ยก์ ลางที่ (0, 0) จุดยอดจดุ หนง่ึ (0, 4) และวงรผี า่ นจุด ( 3, 2) วธิ ีคิด จุดยอด (0, 4) แสดงวา่ เป็นวงรแี นวตง้ั แกนเอกอย่บู น แกน y, a = 4 ผ่านจุด ( 3, 2) = (x1, y1) แทนในสมการ y2 + x2 =1 a2 b2 (0, 4) 0x 22 + 32 = 1 42 b2 (0, -4) 4 + 3 = 1 16 b2 1 + 3 = 1 4 b2 3 = 1 - 1 b2 4

3 = 3 125 b2 4 ตอบ b2 = 3 × 4 3 b2 = 4 ∴ สมการ y2 + x2 = 1 16 คณู ตลอด, 16 4 y2 + 4x2 = 16 4x2 + y2 - 16 = 0 ตัวอยา่ งท่ี 16 ให้ F1 และ F2 เปน็ โฟกัสของไฮเปอรโ์ บลา 16y2 - 9x2 + 36x - 32y - 164 = 0 และ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 แล้วรปู F1F2 O มีเส้นรอบรูปยาวเท่าไร วิธคี ดิ สมการไฮเปอร์โบลา 16y2 - 9x2 + 36x - 32y - 164 = 0 16y2 - 32y - 9x2 + 36x = 164 16(y2 - 2y +12) - 9(x2 - 4x + 22) = 164 +16(12) - 9(22) 16(y - 1)2 - 9(x - 2)2 = 164 +16 - 36 16(y - 1)2 - 9(x - 2)2 = 144 144 หาร, (y - 1)2 - (x - 2)2 = 1 9 16 y (y - 1)2 - (x - 2)2 = 1 32 42 (-1,2)O 2 (2,6) -1 0 (2,1) ∴ a = 3, b = 4 และ c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 +16 4 (2,-4) x c2 = 25 c = ±5 สมการวงกลม, x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 (x2 + 2x + 12) + (y2 - 4y + 22) = -1 + 12 + 22 (2,6) (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4 O -A -B -2 -(-4) ( ) ( )(-1,2) 2 2 2 2 หรือ (h,k) = , = , = (-1,2) , (h, k) = (-1, 2) (2,-4) F1F2 = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10

126 F1 O = (6 - 2)2 + (2 - (-1))2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 F2 O = (2 - (-4))2 + (-1 - 2)2 = (2 + 4)2 + (-3)2 = 62 + 9 = 36 + 9 = 45 = 3 5 ตอบ ∴ ความยาวรอบรูป F1F2 O = 10 + 5 + 3 5 = 15 + 3 5 หน่วย ตวั อยา่ งที่ 17 จงหาสมการของไฮเปอรโ์ บลาทีม่ ีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ี (1, 2) มแี กนตามขวางขนานกบั แกน x Latus rectum ยาว 6 หนว่ ย และแกนสงั ยุคยาว 12 หน่วย วิธีคดิ Latus rectum = 6 2b2 = 6 ---------- a y แกนสงั ยคุ ยาว = 12 แกนสงั ยคุ 2b = 12 b = 6 แทน  แกนตามขวาง 2 (1, 2) 01 x 2(6)2 = 6 a a = 2(6)2 = 12 6 ∴ สมการ (x - h)2 - (y - k)2 = 1 a2 b2 (h, k) = (1, 2) (x - 1)2 - (y - 2)2 = 1 122 62 144 คูณตลอด, (x - 1)2 - 4(y - 2)2 = 144 (ค.ร.น. ของ 122, 62 = 144 ] (x2 - 2x +1) - 4(y2 - 4y + 4) = 144 x2 - 2x +1 - 4y2 +16y - 16 = 144 x2 - 4y2 - 2x +16y - 15 - 144 = 0 x2 - 4y2 - 2x +16y - 159 = 0 ตอบ

127 ตวั อยา่ งที่ 18 สวนแห่งหนึง่ เปน็ รปู วงรี มสี มการ คอื 16x2 + 25y2 - 32x - 150y - 159 = 0 ถ้าสว่ นที่แรเงา คือสนามหญา้ จงหาว่าสนามหญ้ามพี น้ื ท่เี ทา่ ไร วธิ ีคดิ จดั สมการให้อย่ใู นรูป (x - h)2 + (y - k)2 = 1 a2 b2 16x2 + 25y2 - 32x - 150y - 159 = 0 16x2 - 32x + 25y2 - 150y = 159 16(x2 - 2x +12) + 25(y2 - 6y + 32) = 159 +16(12) + 25(32) 16(x - 1)2 + 25(y - 3)2 = 159 + 16 + 225 = 400 16 × 25 หาร, (x - 1)2 + (y - 3)2 = 1 25 16 y จดุ ศูนยก์ ลาง = (h, k) = (1, 3) B (x - 1)2 + (y - 3)2 = 1 V 52 42 3 x a2 = 52 , b2 = 42 (1, 3) 01 a = ±5 , b = ±4  c2 = a2 - b2 = 52 - 42 = 25 - 16 = 9 c = ±3 ความยาวแกนเอก = 2a = 2(5) = 10 หน่วย ความยาวแกนโท = 2b = 2(4) = 8 หนว่ ย พืน้ ที่ ป ขนมเปียกปูน = 1 × ผลคูณเส้นทแยงมุม 2 = 1 × 10 ×8 = 40 ตารางหนว่ ย ตอบ 2 ตวั อย่างที่ 19 จงหาจุดยอด โฟกัส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค สมการของเสน้ กำกบั และ ความยาวของ Latus rectum ของไฮเปอรโ์ บลา x2 - 4y2 = -4 วธิ ีคิด x2 - 4y2 = -4 จดั ใหม่ 4y2 - x2 = 4

128 4 หาร, y2 - x2 = 1 [ไฮเปอรโ์ บลา] 1 4 a2 = 1 , b2 = 4 a = ±1 , b = ±2 , c2 = a2 + b2 = 1+ 4 = 5 y c=± 5 จดุ ยอด V (0,1) , V (0,-1) F โฟกัส F(0, 5) , F(0, - 5) V ความยาวแกนตามขวาง = 2a -2 1 B x = 2(1) = 2 หน่วย -01 2 ความยาวแกนสงั ยคุ = 2b = 2(2) = 4 หนว่ ย สมการเสน้ กำกับ = ± a x b = ± 1 x 2 ความยาว Latus rectum = 2b2 a = 2(2)2 = 8 หนว่ ย 1

129 ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ และการประยุกต์ 1. ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก B ดา้ นตรงขา้ มมมุ A sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉ A C sin A = a ---------- ดา้ นประชิดมุม A B c cos A = ความยาวด้านประชิดมุม A = ช ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉ c b cos A = c ---------- A bC tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข ความยาวด้านประชิดมุม A ช tan A = a ---------- b cosec A = กลับเศษเป็นสว่ นของ sin A cosec A = 1 A = c ---------- sin a sec A = กลับเศษเปน็ ส่วนของ cos A sec A = 1 A = c ---------- cos b cot A = กลบั เศษเปน็ สว่ นของ tan A tan A = 1 A = b ---------- tan a 2. คา่ ฟงั ก์ชันตรโี กณของมุม 30o, 45o, 60o ของสามเหลยี่ มมุมฉาก จากรปู สามารถหาค่าฟังกช์ ันตรโี กณมติ ไิ ดห้ มด 2 1 sin 60o = ข = 3 = cos 30o = ช = 3 ฉ 2 ฉ 2 1 1 sin 30o = ข = 1 = cos 60o = ช = 1 ฉ 2 ฉ 2

130 sin 45o = ข = 1 = cos 45o = ช = 1 tan 60o = ข = 3 = cot 30o = 1 = 1 ฉ 2 ฉ 2 ช 1 tan 30o 1 3 =3 tan 45o = ข = 1 = 1 tan 30o = ข = 1 = cot 60o = 1 = 1 ช 1 ช 3 tan 60o 3 1 = 1 3 ตัวอยา่ งท่ี 1 ให้ ABC เป็น รปู ∆ มุมฉาก ดังรปู 40 40 A ให้ AB = 40 3 ซม. AD = 40 ซม. B C และ 4(sin2 2) = 3 แลว้ ADˆC = ? D วธิ คี ิด 4(sin2 2) = 3 sin2 2 = 3 4 sin 2 = ± 3 = ± 3 4 2 แต่ sin 2 เปน็ + เพราะ 0o < 2 < 90o sin 2 = ± 3 2 sin 2 = 3 = sin 60o 2 2 = 60o  = 30o จาก ∆ ADC , sin  = AC = AC ---------- จาก ∆ ABC , AD 40 sin  = AC = AC AB 40 3 sin 30 = AC 40 3

131 1 × 40 3 = AC 2 AC = 20 3 แทนใน  sin = 20 3 = 3 40 2 sin β = sin 60 [ sin 60o = 3 ] 2  = 60o ตอบ ตวั อย่างที่ 2 ถ้ารปู ∆ ABC มี BAˆC = 45o, ACˆB = 60o และดา้ น AC ยาว 20 นว้ิ แลว้ พ้นื ทข่ี อง ∆ ABC มี คา่ เท่าไร วธิ ีคดิ หาพ้ืนท่ี  ABC = 1 × ฐาน × สูง B 2 x A 20 D C ลากเส้น BD ⊥ AC เป็นความสงู หาความสงู BD = x นว้ิ จาก ∆ ABD , หา AD ติดค่า BD ไว้ จาก ∆ CBD , หา DC ตดิ ค่า BD ไว้ แล้วเขา้ สมการ AD + DC = 20 โดยตดิ คา่ BD แลว้ แก้สมการ หาค่า BD ได้  ABD, tan ABˆ D = BD AD tan 45o = BD AD 1 = BD AD AD = BD ----------  CBD, tan BCˆD = BD DC tan 60o = BD DC 3 = BD DC 3 DC = BD

132 DC = BD ---------- 3  +  = 20, AD + DC = 20 BD + BD = 20 3 x+ x = 20 3 3 คณู , 3x + x = 20 3 x( 3 +1) = 20 3 x= 20 3 3 +1 ∴ พ.ท.  ABC = 1 × ฐาน × สูง 2 = 1 × AC × BD 2 = 1 × 2010 × 20 3 = 200 3 น้ิว2 2 3 +1 3 +1 ตอบ 200 3 ตารางน้ิว 3 +1 3. คา่ ของฟังกช์ ัน Sine กบั Cosine ของวงกลม 1 หน่วย (รัศมี = 1) y 3.1 มมุ 2 แบบ 0 2π x 0 องศา = 0 เรเดียน 180 องศา =  เรเดียน π 360 องศา = 2  เรเดียน 90 องศา =  เรเดียน 2 sin 60o = sin  = cos  = 3 3 6 2 sin 30o = sin  = cos  = 1 6 3 2 sin 0o = sin 0 = cos  = 0

133 sin 90o = sin  = cos 0 = 1 2 3.2 ฟังก์ชนั sin ,cos  y sin = y = y = y (0,1) (x,y) r 1 r=1  y cos  = x = x = x (-1,0) 0 θ x (1,0) x r 1 (0,-1) (x, y) = (cos θ ,sin θ) 3.3 เคร่อื งหมายของฟงั ก์ชนั sin ,cos  Quadrant Q1 y sin  + (y+) S+ S+ π C- C+ 0 x cos  + (x+) S- S- 2π C- C+ ( )tan  + y + + x + Quadrant Q2 sin  + (y+) cos  - (x -) ( )tan  - y + - x - Quadrant Q3 sin  - (y -) cos  - (x -) ( )tan  + y - + x - Quadrant Q4 sin  - (y -) cos  + (x+) ( )tan  - y- - x+

134 4. การเปลย่ี นฟังกช์ นั ของมุมใหญ่ เปน็ มุมเลก็ ไม่เกนิ 90o หรอื  เรเดียน 2 4.1 เปลยี่ นมุมตามแนวนอนไมต่ ้องเปล่ียนฟงั ก์ชัน π  คอื 0o,180o, 360o 0 หรอื 0, , 2 เรเดยี น 0, 2π  คอื มุมเลก็ กวา่ 90o sin ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...sin  ตามมุมเดิม cos ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...cos  ตามมุมเดิม เมือ่ = 0o,180o, 360o tan ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...tan  ตามมุมเดิม = 0, , 2  เรเดียน เชน่ sin120o = sin (180o - 60o) = + sin 60o (Qเดิม = Q2) (Qเดิม = Q2) sin 3 = sin ( - 4 ) = + sin  (Qเดิม = Q3) 4 4 (Qเดิม = Q4) (Qเดิม = Q4) cos 210o = cos (180o + 30o) = - cos 30o cos 300o = sin (360o - 60o) = + cos 60o tan 7 = tan (2 - 4 ) = - tan  4 4 4.2 เปล่ยี นมมุ ในแนวตัง้ ต้องเปลย่ี นฟังกช์ ัน y  คือ 90o, 270o หรือ  , 3 เรเดียน 2 2 0x  คอื มุมเล็กกวา่ 90o ต้องเปลย่ี นฟังกช์ ัน เปน็ ฟังกช์ ันใหม่ sin ( ± ) ⎯⎯⎯→เคร่ืองหมาย ...cos  ตามมุมเดิม cos ( ± ) ⎯⎯⎯→เครื่องหมาย ...sin  ตามมุมเดิม

135 tan ( ± ) ⎯⎯⎯→เคร่ืองหมาย ...cot  ตามมุมเดิม เชน่ sin120o = sin (90o + 30o) = + cos 30o มุมเดมิ = Q2 sin + cos 210o = cos (270o - 60o) = - sin 60o มุมเดิม = Q3 cos - tan 225o = tan (270o - 45o) = + cot 45o มุมเดมิ = Q3 tan + 4.3 กรณี  เกนิ 360o , 720o , ... ให้หักมุมท่คี รบทกุ รอบออก เหลือมุมไม่ครบรอบ หรอื ไมเ่ กนิ 360o มาพิจารณา เช่น sin1020o = sin (720o + 300o) = sin 300o sin 300o = sin (360o - 60o) = -sin 60o 4.4 กรณี  เป็นคา่ - แสดงว่า หมุนถอยหลัง ก็ให้ใชห้ ลักเดียวกัน เชน่ sin - 30o หมุนถอยหลังอยู่ Q4 sin เป็น - sin - 30o = sin (0 - 30o) = -sin 30o cos - 120o หมนุ ถอยหลัง อยู่ Q3 cos เปน็ - cos - 120o = cos (-180o + 60o) = -cos 60o tan - 150o หมุนถอยหลัง อยู่ Q3 tan เปน็ + tan - 150o = tan (-180o + 30o) = +tan 30o cos - 240o หมุนถอยหลัง อยู่ Q2 cos เป็น - cos - 240o = cos (-180o - 60o) = -cos 60o cos - 240o = cos (-270o + 30o) = - sin 30o เปลี่ยนฟังก์ชัน [ อยู่ Q2 cos เปน็ - ] tan - 150o = tan (-90o - 60o) = + cot 60o เปลี่ยนฟังก์ชัน [ อยู่ Q3 tan เป็น +]

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคา่ สงู สุด และตำ่ สุดของ sin x - 3 cos x 136 วิธีคิด ปกตคิ ่าสงู สุด และตำ่ สุดของ sin  , cos  อย่ทู ี่ -1 , +1 ตอบ = sin x - 3 cos x = 2  1 sin x - 3 cos x   2 2  = 2[cos 60o sin x - sin 60o cos x] = 2[sin x cos 60o - cos x sin 60o] = 2 sin (x - 60o)  sin x - 3 cos x = 2 sin (x - 60o) แต่ -1  sin   1  - 2  2 sin   2 แสดงวา่ ค่าของ sin x - 3 cos x = 2 sin (x - 60o) -2  sin x - 3 cos x  2 , มคี า่ ตำ่ สุด -2 , สงู สุด 2 5. สตู รฟังก์ชันตรโี กณมิตพิ นื้ ฐาน ที่ตอ้ งจำ sin2  + cos2  = 1 sec2  - tan2  = 1 cosec2  - cot2  = 1 6. สูตรฟงั ก์ชันตรีโกณประยกุ ต์ ท่ีต้องจำ เมือ่ A และ B เป็นจำนวนจริง(เรเดียน) หรือ มมุ องศาใดๆ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B สรุป sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B ---------- cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B สรุป cos (A ± B) = cos A cos B sin A sin B ----------

137 tan (A + B) = tan A + tan B 1 - tan A tan B tan (A - B) = tan A - tan B 1+ tan A tan B สรปุ tan (A ± B) = tan A ± tan B ---------- 1 tan A tan B cot (A ±B) = กลบั เศษเป็นสว่ น / กลบั หนา้ เปน็ หลงั ของ tan (A ±B) สรุป cot (A ± B) = cot A cot B 1 ---------- cot B ± cot A ---------- sin 2A = 2 sin A cos B (มาจาก sin (A + A) = sin A cos A + sin A cos A) cos 2A = cos2 A - sin2 A (มาจาก cos (A + A) = cos A cos A - sin A sin A) cos 2A = 2 cos2 A - 1 ---------- (มาจาก sin2 A + cos2 A = 1 , sin2 A = 1 - cos2 A ) cos 2A = 1 - 2 sin2 A ---------- (มาจาก sin2 A + cos2 A = 1 , cos2 A = 1 - sin2 A ) tan 2A = 2 tan A ---------- 1- tan2 A ---------- (มาจาก tan (A + A) = tan A + tan A ) ---------- 1 - tan A tan A sin 2A = 1 2 tan A + tan2 A cos 2A = 1- tan2 A 1+ tan2 A ตวั อย่างท่ี 4 ผลบวกของคำตอบของสมการ x + 1-x = 2 1 เปน็ เท่าใด 1-x x 6 วธิ ีคดิ ให้ A= 1 x , A + 1 = 2 1 -x A 6 A คูณตลอด (A)A + (A) 1 = (A) 13 A 6

138 A 2 + 1 = 13A 6 6 คูณตลอด 6A2 + 6 = 13A 3A -9A -3 6A2 - 13A + 6 = 0 2A -4A -2 (3A - 2)(2A - 3) = 0 ดงั น้นั x =A แล้ว 1-x = 1 1- x x A ทำให้ A + 1 = 2 1 A 6 หรือ (3A - 2)(2A - 3) = 0 3A - 2 = 0 หรือ 2A - 3 = 0 A = 2 หรอื A = 3 3 2 แทนค่า A, x = 2 หรอื x = 3 1-x 3 1-x 2 ( ) x 2 2 2 ( ) x 2 3 2 -x  3 -x  2 1 = หรอื 1 = 1 x = 4 หรือ 1 x x = 9 -x 9 - 4 9x = 4 - 4x หรอื 4x = 9 - 9x 13x = 4 หรือ 13x = 9 x = 4 หรือ x = 9 13 13 เวลาจะตอบ ในกรณีติดกรณฑ์ ตอ้ งตรวจคำตอบก่อนเพราะ จำนวนลบตดิ กรณฑ์คไู่ ม่ได้ เพราะไม่เปน็ จำนวนจริง ( ลบ ไมไ่ ด้ )

139 4 x 4 13 1- x 13 x = → = 4 ถูก 1 - 13 9 x 9 13 1- x 13 x = → = 9 ถูก 1 - 13 ตอบ ดังนน้ั ผลบวกของคำตอบ = 4 + 9 = 13 =1 13 13 13 7. กราฟของฟังกช์ นั Sine sine = {(x, y) / y = sin x} สมการ y = sin x เมื่อ -2  x  2 -1  y  1 y 1 0 x 2 -1 ดังนนั้ Df เปน็ เซตของจำนวนจริง (x) เม่อื คา่  เรเดยี น แทนด้วย 3.14 หรือ 22 7 Rf เป็นเซตของคา่ -1  y  1 (y) เม่ือ x = 0, y = 0 หรือ (x, y) = (0, 0) จุดกำเนิด 8. กราฟของฟงั กช์ ัน Cosine Cosine = {(x, y) / y = cos x} สมการ y = cos x เม่อื -2  x  2 -1  y  1

y 140 x 1 0 2 -1 ดงั นั้น Df เปน็ เซตของจำนวนจรงิ (x) Rf เป็นเซตของคา่ -1  y  1 (y) เมอื่ x = 0, y = 1 หรือ (x, y) = (0, 1) 9. กราฟของฟังกช์ ัน Tangent y tangent = {(x, y) / y = tan x} เมือ่ x  n +  , n 2 หรอื y = tan x เมือ่ x   , 3 , 5 , 7 , ... 2 2 2 2 0 x หรือ x  90o, 270o, (360o + 90o), (360o + 270o),... y 1 x 0 -1 2 เมื่อ -2  x  2 แต่ x  n +  2 ดงั นั้น Df เปน็ เซตของจำนวนจริง (x) โดย x  n +  , n  2 Rf เปน็ เซตของของจำนวนจรงิ (y)

141 10. กราฟของฟงั ก์ชัน cosec, sec, cot ซงึ่ เป็นส่วนกลบั ของ sine, cos, tan y cosec θ 1 sin θ x sin θ 0 -1 cosec θ y sec θ sec θ y tan θ cos θ tan θ 1 0 x1 cos θ -1 0 x sec θ -1 cot θ cot θ ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า sin (-79 1 ) และ cos (-79 1 ) 4 4 วธิ คี ิด มมุ ลบ หมนุ ถอยหลัง หาดวู า่ อยู่ Q ไหนก่อน -79 1  หมุนรอบละ -2 4 เหลือเศษ -1 1  อยู่ Q2 -1  เลยไปอีก - 1  4 4  sin (-79 1 ) = sin (-1 1 ) 4 4 = sin (-1 - 41)  = sin (-  - 1 ) ( อยู่ Q2 sin + ) 4 = +sin 1  (41 = 45o) 4

142 = 1 หรือ 2 เหมอื นกนั 2 2  cos (-79 1 ) = cos (-1 1 ) 4 4 = cos(-  - 1 ) (อยู่ Q2 cos - ) 4 = -cos 1  (41 = 45o) 4 =- 1 = -2 2 2 ตัวอย่างท่ี 6 จงหาค่า cos 65o cos 20o + sin 65o sin 20o วธิ ีคิด จากสูตร cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B cos (65o - 20o) = cos 65o cos 20o + sin 65osin 20o cos 45o = cos 65o cos 20o + sin 65o sin 20o 1 = 2 ตอบ 2 2 ( ) ( )ตวั อย่างที่ 5 4 11 7 จงหาค่าของ sin 6 + cos - 3 - tan - 4 วิธที ำ sin 5 5 ×  = 5 × 30o = 150o อยู่ใน Q2 sin เป็น + 6 6 sin 5 = sin 150o = sin (180o - 30o) = +sin 30 = 1 6 2 ( )cos- 4 4 ×  = 4 × 60o = 240o , - 240o อยู่ใน Q2  3 3  cos (-240o) = cos (-180o - 60o) = -cos 60o = - 1 2 ( )tan-11 11 ×  = 11 × 45o = 495o หัก 360o = 135o , - 135o อยู่ใน Q3  4 4  tan (-135o) = tan (-180o + 45o) = +tan 45o = 1 ( ) ( )sin5+cos - 4 - tan - 11 = 1 +  - 1  +1 = 1 ตอบ 6 3 4 2 2

143 ตวั อยา่ งที่ 8 จงหาคา่ ของ tan 20o + tan 25o + tan 20o tan 25o วิธีคิด สตู ร tan (20o + 25o) = tan 20o + tan 25o 1 - tan 20o tan 15o tan 45o = tan 20o + tan 25o 1 - tan 20o tan 25o 1 = tan 20o + tan 25o 1 - tan 20o tan 25o 1- tan 20o tan 25o = tan 20o + tan 25o 1 = tan 20o + tan 25o + tan 20o tan 25o ตอบ 1 ตวั อย่างที่ 9 จงหาคา่ ของ sin2 A + sin2 (60o + A) + sin2 (60o - A) = sin2 A + [sin 60o cos A + cos 60o sin A]2 + [sin 60o cos A - cos 60o sin A]2 = sin2 A + sin2 60o cos2 A + 2 sin 60o cos A cos 60o sin A + cos2 60o sin2 A +sin2 60 cos2 A - 2 sin 60o cos A cos 60o sin A + cos2 60o sin2 A = sin2 A + 2 sin2 60o cos2 A + 2 cos2 60o sin2 A ( )= sin2 A + 2 3 2 cos2 A + 2 1 2 2  2 sin2 A ( ) ( )= sin2 A + 2 3 1 4 cos2 A + 2 4 sin2 A = 1 sin2 A + 3 cos2 A + 1 sin2 A 2 2 = 1 sin2 A + 1 sin2 A + 3 cos2 A 2 2 = 3 sin2 A + 3 cos2 A 2 2 = 3 (sin2 A + cos2 A) = 3 (1) = 3 ตอบ 2 2 2

144 ตัวอยา่ งท่ี 10 กำหนด cos 2 = - 1 เมื่อ  < 2 < 3 จงหาค่าของ sin  ,cos  และ tan  2 2 วิธคี ดิ  < 2 < 3 หรือ 180o < 2 < 270o (Q3) 2 หรือ 90o <  < 135o อยู่ Q2 cos 2 = - 1 อยู่ Q3 2 = cos (180 + 60) 2 = 240o  = 120o  sin  = sin120o = sin (180o - 60o) = +sin 60o = 3 2 cos  = cos 120o = cos (180o - 60o) = -cos 60 o = - 1 2 tan  = tan120o = tan (180o - 60o) = -tan 60o = - 3 ตอบ 11. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของ 3 เทา่ ของจำนวนจริง (เรเดียน) หรือมุมองศา sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A tan 3A = 3 tan A - tan3 A 1 - 3 tan2 A ตวั อยา่ งที่ 11 กำหนด tan A = 1 จงหาค่า sin A + cos A - tan A 2 2 วิธีคดิ tan A = 1 2 2 จาก sin 2A = 1 2 tan A + tan2 A (( ))หรอื sin A = 2 tan A 2 1 = 1 = 1 = 4 + 2 = 2 + 5 5 A 1 2 1 4 1 tan2 2 1+ 2 1 4

145 cos 2A = 1- tan2 A 1+ tan2 A (( ))หรือ 1- tan2 A 1- 1 2 1- 1 3 3 4 3 1+ tan2 2 = 2 2 1+ 4 4 4 5 5 cos A = A 1 = 1 = 5 = × = 2 1+ 2 4 4 tan 2A = 2 tan A 1- tan2 A (( ))หรอื tan A = 2 tan A 2 1 = 1 = 1 = 4 1- 2 = 2 3 3 A 1 2 1 4 tan2 2 1- 2 1 - 4  sin A + cos A - tan A = 4 + 3 - 4 = 7 - 4 = 21 - 20 = 1 ตอบ 5 5 3 5 3 15 15 4.12 เปลี่ยนฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิจากผลคูณ เปน็ ผลบวก 1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) 2. 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) 3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B) 4. 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B) ตวั อย่างท่ี 12 จงหาค่าของ sin 20o sin 40o sin 80o วธิ คี ดิ เปลีย่ น 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B) sin 20o sin 40o = 1 (2 sin 40o sin 20o) 2 = 1 (cos (40o - 20o) - cos (40o + 20o)) 2 = 1 (cos 20o - cos 60o) 2 = 1 (cos 20o - 12) 2 = 1 cos 20o - 1 2 4

146 sin 20o sin 40o sin 80o = ( 1 cos 20o - 41) sin 80o 2 = 1 cos 20o sin 80o - 1 sin 80o 2 4 = 1 (2 sin 80ocos 20o) - 1 sin 80o 4 4 = 1 (sin (80o + 20o) + sin (80o - 20o)) - 1 sin 80o 4 4 = 1 (sin 100o + sin 60o) - 1 sin 80o 4 4 = 1 (sin 100o + 3 ) - 1 sin 80o 4 2 4 = 1 (sin 80o + 3 ) - 1 sin 80o sin100o = sin(180o - 80o) 4 2 4   = 3 ตอบ  =sin80o (Q2)  8 4.13 เปลย่ี นฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ จากผลบวก เปน็ ผลคูณ ( ) ( )1. sin A + sin B = 2 sin A+B cos A-B 2 2 ( ) ( )2. sin A - sin B = 2 sinA-B cos A+B 2 2 ( ) ( )3. cos A + cos B = 2 cos A+B cos A -B 2 2 ( ) ( )4. cos A - cos B = -2 sin A+B sin A-B 2 2 ตวั อยา่ งท่ี 13 จงหาคา่ ของ sin 500o - cos10o - cos110o วธิ ีคิด เปลีย่ นเป็นมมุ เล็ก แล้วเปลี่ยนฟังก์ชนั ± เป็นคูณ sin500o = sin(360o +140o) = sin140o sin500o - cos10o - cos110o = sin140o - cos10o - cos110o = sin140o - (cos10o + cos110o) ---------- cos 10o + cos110o = 2 cos (10o + 110o ) cos (10 - 110o ) 2 2 = 2cos60o cos - 50o