65-07-23-คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย

 แทน 1.0 + P(B) = 1.2 347 P(B) = 1.2 - 1.0 = 0.2 ตอบ ตวั อย่างที่ 6 ถ้าเขยี นพจนท์ กุ พจน์ของการกระจาย (a + b)10 เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง ซง่ึ a  b ลง บนฉลากขนาดเทา่ กนั ละหน่ึงพจน์ ใสส่ ลากท้ังหมดลงในกล่อง แลว้ หยิบสลากออกมา 1 ใบ โดยการสมุ่ ความ นา่ จะเปน็ ที่จะไดส้ ลากมพี จนซ์ ง่ึ มีสมั ประสิทธท์ิ วนิ ามเป็น 252 เท่ากบั ขอ้ ใด 1. 0 2. 1 3. 1 4. 2 11 10 11 วธิ ีคดิ หาว่าสมั ประสิทธิ์ทวินาม = 252 อย่พู จนใ์ ด มี a b กีต่ วั ( )10 = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 252 5 1×2×3×4×5 ( )แสดงว่า เป็นพจน์ที่ 6 = 10 a5b5 มีเพยี ง 1 ใบ 5 ( ) ( ) ( ) ( )ในขณะทส่ี มั ประสิทธิ์1010 10 10 0 = 10 มี 2 ใบ หรือ 1 = 9 มี 2 ใบ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1010 10 10 10 10 2 8 3 7 4 6 = มี 2 ใบ หรือ = มี 2 ใบ หรือ = มี 2 ใบ ( )แต่10 มี 1 ใบ n(E) = 1 5 รวมมีทงั้ หมด 11 ใบ n(S) = 11  P(E) = n(E) = 1 ตอบ ข้อ 2 n(S) 11 * คำอธบิ ายเพิ่มเติม กฎของปาสคาล (PASCAL) แสดงสมั ประสิทธิ์แต่ละพจน์ (a ± b)0 (a ± b)1 1a ±1b (a ± b)2 +1a2 ± 2ab +1b2 (a ± b)3 +a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 (a ± b)4 +a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(a±b)555a4b + 5 5 5 5 + 0 a5 ± 1 2 a3b2 ± 3 a2b3 + 4 ab4 ± 5 b5 ..

348 .. .. .. (a ± b)10 = 1a10 ±10a9b + 45a8b2 ±120a7b3 + 210a6b4 ± 252a5b5 + 210a4b6 ±120a3b7 + 45a2b8 ±10ab9 +1b10 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ตวั อยา่ งท่ี 7 โยนเหรยี ญ 1 อัน พร้อมกบั ลูกเต๋า 2 ลูก ถา้ เหรียญขึ้นหัวจะไดเ้ งนิ เทา่ กบั ผลบวกของแต้มของ ลูกเตา๋ ท้ังสอง ถ้าเหรยี ญขน้ึ ก้อยจะไดเ้ งนิ เท่ากบั ผลตา่ งของแต้มของลูกเต๋าท้งั สอง ความน่าจะเปน็ ท่ีจะได้เงนิ อย่างมาก 4 บาท มีค่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 17 4. 5 12 9 36 9 วิธคี ดิ n(S) = 2 × 6 × 6 = 72 วิธี แต้มผลบวกของลูกเตา๋ เมือ่ เหรียญข้นึ หวั อย่างมาก 4 = (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 3) (3, 1) (2, 2) 6 วธิ ี แตม้ ผลต่างของลูกเตา๋ เมื่อเหรียญขึ้นกอ้ ยอย่างมาก 4 ทั้งหมด 36 วธิ ี - ผลต่างของลูกเต๋ามากกวา่ 4 แตม้ ผลตา่ งของลกู เตา๋ มากกวา่ 4 = (6, 1) (1, 6) 2 วิธี แตม้ ผลตา่ งของลกู เตา๋ อย่างมาก 4 = 36 - 2 = 34 วธิ ี

รวมจำนวนวธิ ี n(E) = 6 + 34 = 40 วิธี = n(E) = 40 = 5 349 ความน่าจะเปน็ ท่จี ะได้แต้มตามตอ้ งการ n(S) 72 9 ตอบ ข้อ 4 ตัวอยา่ งท่ี 8 ในการเลอื กหวั หนา้ หอ้ ง รองหวั หน้าหอ้ งคนท่ี 1 และรองหวั หนา้ ห้องคนท่ี 2 จากผู้สมัคร 10 คน ซ่ึงเป็นชาย 6 คน และหญิง 4 คน ความนา่ เป็นท่ีจะไดห้ วั หนา้ ห้องเปน็ ชาย และรองหวั หน้าหอ้ งคนท่ี 1 เปน็ หญงิ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (คณิต 2/2543) 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 15 15 5 5 วธิ ีคิด n(S) = 10 × 9 × 8 = 720 วธิ ี n(E) = หวั หนา้ ห้อง (ช) รองหัวหนา้ ห้องคนที่ 1 (ญ) × รองหวั หน้าห้อง คนที่ 2 6× 4 ×8 = 192 วธิ ี ความน่าจะเป็น P(E) = n(E) = 192 48124 = 4 ตอบ ขอ้ 1 n(S) 720 1804515 15 ตัวอยา่ งท่ี 9 ชาย 3 คน และหญงิ 4 คน เขา้ ควิ ในแถวเดยี วกนั เพื่อซ้อื ต๋วั รถไฟขบวนหนึง่ ความนา่ จะเป็นที่ หญงิ ทั้ง 4 คน จะยืนเรียงติดกนั ทัง้ หมดในแถว จะเท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 6 3. 12 4. 4 210 210 210 35 วิธคี ดิ n(S) = 7! n(E) = (หญงิ 4 คน ถือเป็น 1 กลุ่ม + ชาย 3 คน) × หญงิ 4 คน สลบั ท่ี = 4! × 4! P(E) = n(E) = 4! × 4! = 4! 4  3  2 1 = 4 ตอบ ขอ้ 4 n(S) 7! 7  6  5  4! 35 ตัวอย่างท่ี 10 ในการใส่จดหมาย 5 ฉบับ ทเ่ี ขยี นถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองทจี่ ่าหนา้ ซองไวแ้ ลว้ 5 ซอง ซองละ 1 ฉบบั ความน่าเปน็ ทใี่ ส่จดหมายในซองไดต้ รงกบั ชื่อหน้าซองไม่เกนิ 3 ซอง และไมน่ อ้ ยกว่า 1 ซอง เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 75 2. 85 3. 95 4. 96 120 120 120 120

350 วิธคี ิด n(S) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 และมีซองตรงชื่อ 5 ฉบับ n(E1) = ใส่ซองตรงช่อื 1 ซอง × ใส่ไม่ตรงชอื่ 4 ซอง ( )=5 × (4! - 4.3! + 6.2! - 4.1! + 1.0!) [ดสู ตู รบทก่อน ตัวอย่างที่ 22] 1 = 5 × (24 - 24 + 12 - 4 + 1) = 5 × 9 = 45 วิธี n(E2) = ใส่ซองตรงชือ่ 2 ซอง × ใส่ไมต่ รงชือ่ 3 ซอง ( )=5 × (3! - 3.2! + 3.1! - 1.0!) 2 = 10 × (6 - 6 + 3 - 1) = 10 × 2 = 20 วิธี n(E3) = ใสซ่ องตรงชอ่ื 3 ซอง × ใสไ่ ม่ตรงชอ่ื 2 ซอง ( )=5 × (2! - 2.1! + 1.0!) 3 = 10 × (2 - 2 + 1) = 10 × 1 = 10 วธิ ี  n(E) = n(E1) + n(E2) + n(E3) = 45 + 20 +10 = 75 P(E) = n(E) = 75 ตอบ ขอ้ 1 n(S) 120 ตัวอย่างที่ 11 คนกล่มุ หน่ึงมี 10 คน โดยมนี ายมานะและนายวริ ิยะรวมอย่ดู ้วย ในการเลอื กตวั แทน 3 คนจาก คนกล่มุ นี้ ความน่าจะเป็นท่ีนายมานะไดร้ บั เลือก แตน่ ายวิริยะ ไม่ได้รบั เลอื ก หรือนายมานะและนายวริ ยะ ได้รับเลอื กท้ังค่เู ท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 2 3. 7 4. 11 10 15 15 30 วธิ คี ิด 10 เลอื ก 3 ( )10 = 10 × 93 × 84 = 120 วิธี 3 1× 2 × 3 n(S) = 120 n(E1) = นายมานะได้รบั เลอื กแต่นายวิริยะไมไ่ ดร้ ับเลือก ( )= 1×8 = 1 × 8× 7 = 28 วธิ ี 2 1× 2 n(E2) = นายมานะและนายวิริยะได้รับเลอื กท้ังคู่ ( )= 1×8 = 1× 8 = 8 วธิ ี 1

351 n(E) = n(E1) + n(E2) = 28 + 8 = 36 P(E) = n(E) = 36 93 = 3 ตอบ ข้อ 1 n(S) 120 3010 10 ตัวอย่างท่ี 12 กำหนดเซต A มีสมาชกิ 5 ตัว ถ้าสรา้ งฟงั ก์ชนั จาก A ไป A แล้ว ความน่าจะเปน็ ที่ไดฟ้ ังกช์ ัน 1 - 1 มีค่าเท่ากับในขอ้ ใด 1. 24 2. 120 3. 24 4. 120 625 625 196 196 วิธคี ิด n(S) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125 n(E) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 P(E) = n(E) = 120 = 24 ตอบ ขอ้ 1 n(S) 3125 625

352 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟในเรื่องนไ้ี มใ่ ช่สมการกราฟท่เี คยเรียนมา แต่เป็นกราฟท่เี ป็นแผนภาพท่ีประกอบดว้ ย จุดยอด (Vertex, V) กับเส้นเชอ่ื มระหวา่ งจดุ ยอด (Edge, E) 2. สมมตกิ ราฟ G ซง่ึ ประกอบด้วย เซตของจดุ ยอด, V(G) และเซตของเส้นเช่อื ม E(G) 3. จำนวนจุดในกราฟ G ใช้สัญลกั ษณ์ V(G) จำนวนเส้นเชือ่ มในกราฟ G ใช้สญั ลกั ษณ์ E(G) 4. จุดประชิด คอื จุดยอด 2 จุดท่ีเช่ือมดว้ ยเสน้ เช่ือม 5. เส้นเช่ือมขนาน คือ เส้นเช่ือมตั้งแต่ 2 เส้น ท่ีเชื่อมระหวา่ งจดุ ยอดคเู่ ดยี วกัน 6. เสน้ เชอ่ื มวงวน คอื เส้นเชอื่ มที่เชอื่ มจุดยอดเพียงจุดเดียว 7. กราฟเชิงเดยี ว หรอื กราฟอยา่ งง่าย คือ กราฟที่ไมม่ เี ส้นเช่ือมขนานและไม่มีวงวนปรากฏอยู่ 8. กราฟหลายเชงิ คอื กราฟทมี่ เี สน้ เช่อื มขนาน หรอื เส้นเชื่อมวงวนปรากฏอยู่ 9. ดกี รีของจดุ ยอด V ในกราฟ คอื จำนวนเสน้ เชื่อมทต่ี ดิ กับจุดยอด V ใช้สญั ลักษณ์ deg V 10. ผลรวมดีกรีของจดุ ยอดทั้งหมด = 2 เท่าของจำนวนเส้นเชื่อมท้ังหมด (จำนวนคู่) 11. จำนวนจดุ ยอดทมี่ ีดีกรีของจุดยอดเป็นจำนวนค่ี ในกราฟใดๆ จะต้องเปน็ จำนวนคู่เสมอ เชน่ มเี ส้น เช่อื ม 3 เสน้ แสดงวา่ มีจดุ ยอด 4 จดุ เปน็ ต้น 12. จดุ ยอดเอกเทศ คอื จุดยอดทมี่ ีดีกรี 0 จุดยอดปลาย คอื จุดยอดทม่ี ดี ีกรี 1 จดุ ยอดคู่ หรอื จุดคู่ คือ จุดยอดทม่ี ีดกี รเี ปน็ จำนวนคู่ จดุ ยอดคี่ หรือจุดคี่ คอื จุดยอดท่ีมดี ีกรเี ป็นจำนวนคี่ 13. แนวเดนิ คือ ลำดับจำกดั ของจุดยอดสลับกบั เสน้ เช่ือม 14. กราฟเชอ่ื มโยง คอื กราฟทีม่ ีแนวเดนิ ถงึ กันทุกๆ จดุ ยอด 15. วงจร คอื แนวเดนิ ซ่ึงเร่มิ และจบที่จุดเดยี วกัน โดยไมใ่ ช้เส้นเชื่อมซำ้ กนั และเรียกวงจรทผ่ี า่ นจุด ยอดและเสน้ เชือ่ มทัง้ หมดท่ีมีในกราฟวา่ วงจรออยเลอร์ และเรยี กกราฟทสี่ ามารถหาวงจรออยเลอร์ ไดว้ า่ กราฟออยเลอร์ 16. องคป์ ระกอบเชอ่ื มโยง คอื ส่วนย่อยๆ ของกราฟไม่เชอ่ื มโยง แต่เป็นกราฟเชื่อมโยง 17. วงจรออยเลอร์ ต้องมี 1. เป็นวงจร 2. แนวเดนิ ผ่านจุดยอดทุกจุดโดยซ้ำจุดยอดเดมิ ได้แต่ตอ้ งไม่ซ้ำแนวเดินเดิม

353 ข้อสังเกต : วงจรออยเลอร์ จะตอ้ งเปน็ กราฟเช่อื มโยง และจดุ ยอดทกุ จุดตอ้ งเป็นจดุ ยอดคู่ เพราะวา่ ไมว่ า่ จุดใดจะต้องมเี ส้นทางใหเ้ ดนิ เข้าเป็นจำนวนเทา่ กบั เสน้ ทางให้เดินออก 18. คา่ นำ้ หนักของเส้นเชื่อม คือความยาวของเส้นเช่อื ม 19. กราฟถ่วงนำ้ หนกั คอื กราฟท่เี ส้นเช่ือมทกุ เส้นมีค่าน้ำหนัก 20. วถิ ี คอื แนวเดินในกราฟท่ีจุดยอดทง้ั หมดแตกต่างกัน หรอื ไม่ซ้ำจุดยอดเดิม 21. ความยาวของวถิ ีในกราฟถว่ งน้ำหนกั คอื ผลรวมของนำ้ หนกั ของเสน้ เชื่อมทุกๆ เส้นในวถิ ีนั้น 22. วิถีทส่ี นั้ ที่สุด คือ วิถีที่ผลรวมของค่าน้ำหนกั ของเสน้ เช่ือมทุกเส้นในวถิ ีใดๆ มีค่านอ้ ยทส่ี ดุ 23. วัฏจักร คือ วงจรท่ีไม่มีจุดยอดซำ้ กันยกเว้นจุดเริม่ ตน้ และจดุ จบสุดทา้ ย 24. ต้นไม้ คอื กราฟเช่อื มโยงไมม่ วี ฏั จักร 25. ต้นไมแ้ ผท่ ัว่ คือ ตน้ ไมท้ ่มี จี ดุ ยอดครบทุกจดุ 26. ต้นไม้แผ่ทั่วทีน่ ้อยทส่ี ุด คือ ต้นไม้แผ่ท่วั ท่ีมีผลรวมค่าน้ำหนกั ของแต่ละเส้นเช่ือมน้อยทีส่ ุด ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดกราฟ G แต่ละขอ้ ให้เขียน V(G) และ V(G) , E(G) และ E(G) , deg A, deg D และ ใหห้ าว่า จุดยอด D กับจดุ ยอดใด ทเ่ี ป็นจุดยอดประชดิ และเส้นเชอ่ื ม e3 เกดิ กบั จุดยอดใด 1) B ตอบ AD V(G) = {A, B, C, D} E(G) = {AB, AC, BD, BC, CD}, C V(G) = 4 และ E(G) = 5 deg A = 2 และ deg D = 2 2) B จุดยอดประชิดกบั D คือ B กับ C E เส้นเชือ่ ม e3 เกดิ กับจุดยอด A กับ C C A ตอบ V(G) = {A, B, C, D, E} D E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} V(G) = 5 และ E(G) = 6 deg A = 2 และ deg D = 3 จดุ ยอดประชิดกับ D คอื A, C และ E

354 3) D E F เส้นเช่อื ม e3 เกดิ กับจุดยอด C กับ D ตอบ CBA V(G) = {A, B, C, D, E, F} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} = {EF, AE, AA, AB, BC, CE} V(G) = 6 E(G) = 6 deg A = 4 deg D = 0 จดุ ยอดประชดิ กับ D คือ ไมม่ ี เสน้ เชือ่ ม e3 เกดิ กบั จุดยอด A ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณากราฟแต่ละข้อต่อไปน้ี ว่าเป็นกราฟเชงิ เดยี วหรือกราฟหลายเชิง 1) E ตอบ เป็นกราฟเชิงเดยี ว เพราะไม่มีเส้นเชื่อม ขนาน และไมม่ ีเสน้ เชอ่ื มวงวน B C AF D G 2) A ตอบ เป็นกราฟหลายเชงิ EB เพราะมีเส้นเช่อื มวงวนทีจ่ ดุ ยอด E D C

355 ตวั อย่างที่ 3 กราฟหนง่ึ มจี ดุ ยอดทม่ี ดี กี รี 2 จำนวน 6 จดุ มจี ุดยอดทมี่ ีดีกรี 3 จำนวน 5 จุด มจี ดุ ยอดท่ีมีดกี รี 4 จำนวน 2 จุด ที่เหลือเป็นจดุ ยอดที่มดี กี รี 5 ถ้ากราฟนี้มเี สน้ เช่อื มทงั้ หมด 25 เส้น แลว้ กราฟนี้มีจุดยอดทม่ี ี ดีกรี 5 จำนวนก่ีจดุ วธิ ีคิด สมมติ จุดยอดทม่ี ีดีกรี 5 จำนวน n จุด มีเสน้ เชื่อม 5n เส้น จุดยอดทม่ี ีดีกรี 2 จำนวน 6 จุด มเี ส้นเชอ่ื ม 2 × 6 = 12 เส้น จุดยอดที่มีดกี รี 3 จำนวน 5 จุด มีเส้นเช่อื ม 3 × 5 = 15 เส้น จดุ ยอดท่มี ีดีกรี 4 จำนวน 2 ชุด มเี ส้นเชอื่ ม 4 × 2 = 8 เส้น ∴ ผลรวมของเสน้ เชื่อม = 2 × 25 12 + 15 + 8 + 5n = 2 × 25 35 + 5n = 50 5n = 50 - 35 n = 15 = 3 5 ตอบ 3 จุด ตวั อยา่ งที่ 4 ชนั้ เรียน ม.1 มีนักเรียน 50 คน เป็นไปได้หรือไมท่ จี่ ะมนี กั เรยี นภายในช้นั นี้ 22 คน ท่แี ตล่ ะคน จะมเี พอ่ื น 3 คน และมี 11 คน ท่ีแต่ละคนมีเพือ่ น 4 คน และมี 15 คน ทแ่ี ตล่ ะคนมเี พ่ือน 5 คน วิธคี ิด หาผลรวมของดีกรที กุ จุดซงึ่ ต้องเป็น จำนวนคเู่ ท่านน้ั จงึ จะเปน็ ไปได้ (22 × 3) + (11 × 4) + (15 × 5) = 66 + 44 + 75 = 185 ตอบ เป็นไปไมไ่ ด้ เพราะผลรวมของดีกรี เป็นจำนวนคี่ ตวั อย่างที่ 5 นักเรียนหอ้ งหนึง่ มี 34 คน ในสัปดาหท์ ่ีผ่านมานักเรยี นแต่ละคน โทรศัพท์กบั เพ่อื น 5 ครั้ง พอดี จงหาว่า มกี ารโทรศัพท์เกดิ ข้ึนท้ังหมดกค่ี รง้ั ระหว่างนกั เรียนในชั้นเรียนน้ีในสัปดาห์ทผี่ ่านมา วิธคี ิด ผลรวมของดกี รี = 2 เท่าของจำนวนเส้นเช่อื ม สมมติจำนวนเสน้ เช่อื ม = n ∴ 34 × 5 = 2n 34 17 × 5 = n 2 85 = n

356 ตอบ มกี ารโทรศัพทท์ ั้งหมด 85 ครั้ง ตัวอยา่ งที่ 6 พิจารณากราฟตอ่ ไปน้ี จงหาแนวเดิน a - c มาทกุ แนว กราฟ G : a b d c วิธีคดิ แนวเดนิ a-c ท้ังหมดดงั นี้ แนวเดนิ 1 a, e2, d, e4, c หรอื a, d, c แนวเดนิ 2 a, e1, b, e3, c หรือ a, b, c แนวเดนิ 3 a, e1, b, e5, d, e4, c หรอื a, b, d, c แนวเดิน 4 a, e2, d, e5, b, e3, c หรอื a, d, b, c ตัวอยา่ งที่ 7 กราฟดงั กล่าวเปน็ กราฟเชอ่ื มโยง หรือมีก่อี งค์ประกอบ 1) G1 : a ตอบ เปน็ กราฟเช่อื มโยง เพราะกราฟนี้มีแนวเดิน ถึงกนั ทุกจดุ ยอด มี 1 องค์ประกอบ เพราะ a - f c b มอี งค์ประกอบเช่ือมโยงกนั (a-f) 1 องค์ประกอบ e d f 2) G2 : a b ตอบ ไมเ่ ปน็ กราฟเชอื่ มโยง เพราะมแี นวเดนิ ไม่ถงึ กัน e ทกุ จุดยอด กล่าวคือ ไม่มแี นวเดิน a-e แต่มี 2 c องค์ประกอบ เพราะมี 1 องค์ประกอบเชื่อมโยง d กนั (a-d) และอีก 1 องคป์ ระกอบ ไม่เชื่อมโยง (จดุ e)

357 3) G3 : ตอบ ไม่เป็นกราฟเชือ่ มโยง เพราะมีแนวเดินไมถ่ ึงกนั e ทกุ จดุ ยอด กลา่ วคือ ไมม่ ีแนวเดนิ a-b หรอื a-d ab d f เปน็ ต้น แตม่ ี 3 องคป์ ระกอบ g c ตวั อย่างท่ี 8 จงพิจารณากราฟตอ่ ไปน้ี เปน็ กราฟออยเลอรห์ รือไม่ 1) G1 : c ตอบ เปน็ กราฟออยเลอร์ เพราะจุดยอดทกุ b จุดของ G1 เปน็ จดุ ยอดคู่ a c ตอบ ไมเ่ ป็นกราฟออยเลอร์ เพราะ มีจดุ ยอด 2) G2 : d c, e ที่มดี ีกรีเปน็ จำนวนค่ี b e a f 3) G3 : b c ตอบ ไมเ่ ป็นกราฟออยเลอร์ เพราะ ไม่เปน็ e กราฟเชื่อมโยง a f d g

4) G4 : a 358 ตอบ เปน็ กราฟออยเลอร์ เพราะจดุ ยอดทกุ จดุ ของกราฟเป็นจดุ ยอดคู่ bc ตวั อยา่ งที่ 9 4 ฝ่ัง ก. กระแสนา้ สะพาน เกาะ ค. 5. เกาะ ง. 6. 1. 2. 3. ฝ่ัง ข. จากรปู สามารถขา้ มสะพานให้ครบท้งั 6 สะพาน โดยขา้ มสะพานเพียงครั้งเดยี ว และกลับมา ยงั จุดเริม่ ตน้ ใหม่ไดห้ รือไม่ วิธีคิด เปลย่ี นรูปให้เปน็ กราฟ ก 4 6 ง5 ค 31 ข2 กราฟนเ้ี ปน็ กราฟออยเลอร์ เพราะจุดยอดทกุ จดุ ของกราฟเปน็ จุดยอดคู่ หรอื มีดีกรเี ป็น จำนวนคู่ ดงั นนั้ ตอบ สามารถเดินข้ามสะพานครบทุกสะพาน และสามารถกลบั มาทจ่ี ุดเริ่มต้นได้

359 ตวั อยา่ งที่ 10 นายตำรวจสายตรวจ ในตำบลแห่งหน่งึ ต้องขับรถตรวจตามจุดเสีย่ งต่างๆ โดยมีจดุ ตรวจ ตาม รปู ขฉ ก จช ค ฌ ง 1) นายตำรวจ สามารถขบั รถจาก จดุ ก. ไปตรวจตามจุดต่างๆ ในตำบล โดยนายตำรวจจะขบั ผ่านถนน ทกุ สายเพยี งครั้งเดยี ว แล้วกลบั ไปท่ีเดมิ ได้หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด วิธีคิด นายตำรวจไม่สามารถขับรถจากจุด ก. ไปตรวจจุดตา่ งๆ ในตำบล โดยทน่ี ายตำรวจจะขับผ่าน ถนนทุกสายเพียงครั้งเดียว แล้วกลับไปทเ่ี ดิมได้ เพราะกราฟน้ีไม่เปน็ กราฟออยเลอร์ เพราะ จุดยอดท่แี ทนจุดตรวจไม่เปน็ จุดยอดคู่ เช่น จุด ก. มี deg ก. = 3 หรอื deg ช. = 3 2) หากตอ้ งการให้นายตำรวจขบั รถผ่านถนนทุกสายเพียงครั้งเดยี วแล้วกลบั ไปทเี่ ดิมได้ นายตำรวจ จะต้องดำเนนิ การเพ่ิมจุดตรวจได้หรอื ไม่อย่างไร วธิ คี ิด ได้ โดยเพ่ิมจดุ ตรวจระหวา่ งจุด ก. กับจุด ช. ตามรูป นายตำรวจก็สามารถขบั รถผา่ นถนน ทุกสายเพยี งครัง้ เดยี วแลว้ กลับไปทเ่ี ดมิ ได้ เพราะกราฟนเี้ ปน็ กราฟออยเลอร์ เน่อื งจากจดุ ยอด ทแี่ ทนจดุ ตรวจทุกจดุ เป็นจุดยอดคู่ ขฉ ก จช ค ฌ ง ญ

360 ตัวอย่างท่ี 11 มตี ำบลแห่งหนึ่งอยหู่ ่างไกลความเจรญิ มีความต้องการจะวางสายเช่ือมโทรศัพทก์ ระจายไป ตามจุดต่างๆ ทั่วตำบลทง้ั หมด 6 จุด ดังรปู โดยทางองค์การโทรศัพท์คิดค่าดำเนินการแตล่ ะคู่สายเปน็ ค่า น้ำหนกั แสดงคา่ ใช้จา่ ย มีหน่วยเป็นหมน่ื บาท ถามว่า หากต้องการให้เสยี ค่าใชจ้ ่ายนอ้ ยท่ีสุดควรเดนิ สายตาม คู่สายใด และคา่ ใช้จ่ายทนี่ อ้ ยท่ีสุดเป็นเท่าใด 100 ข 50 วิธีคิด คู่สายโทรศพั ท์ต้องต่อกันไดท้ ุกจุด 6 จุด ก 40 ค โดยให้ค่าน้ำหนักทเ่ี ปน็ ค่าใช้จ่าย 50 60 60 ในการดำเนนิ การน้อยที่สุด เรม่ิ ต้นเลอื ก ทจี่ ุด ข เพราะเปน็ จุดเชื่อมมากที่สดุ 110 ง คู่สาย ข - ค, ข - ง, ข - จ และ ข -ก ฉ 55 และที่จุด จ-ฉ โดยท่ี ข - จ = 50, 45 จ ข - ง = 40, ฉ - ค = 60 ตอบ สรุปเส้นคู่สายท่ีสามารถติดตอ่ กันไดห้ มด แล้วคา่ ใช้จา่ ยในการดำเนินการน้อยทีส่ ดุ ไดแ้ ก่ ข-ค, ข-ง, ข-จ, ข-ก, จ-ฉ ค่าใช้จา่ ย 50 + 40 + 50 + 100 + 45 = 285 หน่วย หรอื 285 × 10,000 บาท หรือ 2.85 ลา้ นบาท ตวั อยา่ งที่ 12 จากกราฟ G ดังรปู จงเขยี นวถิ ี ก-ง มาทัง้ หมด ข ก ค ง ฉ จ วิธคี ดิ ก-ง มที ัง้ หมด 6 แบบ ท่แี ตกตา่ งกนั 1. ก, ข, ค, ง 2. ก, ข, ฉ, ง 3. ก, ข, ฉ, จ, ง

361 4. ก, ฉ, ข, ค, ง 5. ก, ฉ, จ, ง 6. ก, ฉ, ง

362 สถติ ิ 1. สถิติ คือ ขอ้ มูลทเ่ี ปน็ ขอ้ เท็จจรงิ เปน็ ตวั เลขทแ่ี ทนข้อเท็จจรงิ หรือขอ้ มลู ทีเ่ ปลย่ี นแปลง หรอื แปรปรวนซึง่ อาจนำมาใชป้ ระโยชน์ได้ โดยเฉพาะการพยากรณ์ล่วงหนา้ 2. แหล่งของข้อมลู ประกอบดว้ ย 2.1 แหลง่ ข้อมลู ปฐมภมู ิ เป็นขอ้ มูลท่ีไดจ้ ากแหล่งของขอ้ มูลโดยตรง 2.2 แหลง่ ข้อมูลทุตยิ ภูมิ เปน็ ข้อมูลที่ไดจ้ ากผู้อ่ืนเก็บรวบรวมไวแ้ ล้ว เช่น จากรายงาน หรอื จากทะเบียนประวตั ิ เป็นต้น 3. ลักษณะของข้อมลู ประกอบดว้ ย 3.1 ข้อมลู เชงิ ปริมาณ เปน็ ขอ้ มูลที่ใช้แทนขนาด หรือปริมาณที่วัดเป็นตวั เลข เชน่ นำ้ หนัก ความสงู คะแนนสอบ เปน็ ตน้ 3.2 ข้อมูลเชิงคุณภาพ เปน็ ขอ้ มลู ท่ไี มเ่ ป็นตวั เลข เช่น ขนาดของเส้อื /กางเกง หรือรองเทา้ เพศ ศาสนา ความพึงพอใจ สี เปน็ ตน้ 4. ประชากร คอื เซตของข้อมูลท้ังหมดท่ีต้องการนำมาใช้ประโยชน์ 5. ตวั อยา่ ง คือ สับเซตของข้อมลู ประชากรท่เี ลอื กมาใชป้ ระโยชน์ 6. ค่าทางสถิติ คือ คา่ ที่คำนวณไดจ้ ากตัวอย่าง เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) ค่ามธั ยฐาน (Med.) ค่าฐานนิยม (Mod) สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (SD) ค่ามาตรฐาน (Z) เป็นตน้ 7. การนำเสนอข้อมลู ประกอบดว้ ย 7.1 การนำเสนอขอ้ มูลโดยใชต้ าราง 7.2 การนำเสนอขอ้ มูลโดยใช้แผนภมู ิ 7.3 การนำเสนอข้อมูลโดยใชก้ ราฟเส้น 8. การวเิ คราะหข์ ้อมลู เบือ้ งต้น จากขอ้ มูลที่มกี ารแจกแจงความถ่ี 8.1 การแจกแจงความถี่ ของขอ้ มูลโดยใชต้ าราง - อันตรภาคชน้ั ประกอบด้วย ความกวา้ งของอันตรภาคชน้ั จำนวนช้นั ของอันตรภาคชน้ั ขอบล่าง-ขอบบน ของอันตรภาคชนั้ จุดก่งึ กลางชั้น - ความถี่ของแตล่ ะช้ัน และความถี่สัมพัทธ์ - ความถ่ีสะสมของแตล่ ะชั้น และความถี่สะสมสมั พทั ธ์ 8.2 การแจกแจงความถี่ของขอ้ มูลโดยใช้กราฟ - แผนภูมแิ ท่ง แผนภมู เิ ชงิ เส้น และแผนภูมิวงกลม

363 - ฮิสโตแกรม สามารถเขียนไดห้ ลายรูปแบบ เช่น รปู หลายเหลีย่ มของความถี่ เส้นโคง้ ของ ความถ่ี เปน็ ต้น 9. แผนภาพลำตน้ -ใบ 10. การวัดคา่ กลางของข้อมูล 10.1 คา่ เฉลยี่ เลขคณติ (x) 10.2 คา่ มัธยฐาน (Med.) 10.3 คา่ ฐานนยิ ม (Mod.) 10.4 คา่ เฉลี่ยเรขาคณิต (G.M.) 10.5 คา่ เฉลีย่ ฮาร์โมนิก (H.M.) 10.6 คา่ กง่ึ กลางพิสยั (M.R.) 11. ค่าควอไทล์ (Q) ค่าเดไซล์ (D) และค่าเปอร์เซนไทล์ (P) 12. คา่ การกระจายสมั บรู ณ์ 12.1 คา่ พสิ ัย (R) 12.2 สว่ นเบียงเบนควอไทล์ (Q.D.) 12.3 สว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี (M.D.) 12.4 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (S.D.) 13. คา่ การกระจายสัมพทั ธ์ 13.1 สัมประสิทธพ์ิ ิสัย (C.R.) 13.2 สัมประสทิ ธ์ิ ส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ (C.Q.) 13.3 สมั ประสิทธ์ิ ส่วนเบย่ี งเบนเฉลยี่ (C.M.) 13.4 สมั ประสิทธิ์ การแปรผัน (C.V.) 14. คา่ มาตรฐาน (Z) กับการแจกแจงขอ้ มูลแบบปกติ 15. ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ระหว่างขอ้ มลู

364 1. การแจกแจงความถี่ของขอ้ มลู และแผนภาพลำต้น-ใบ ตวั อย่างท่ี 1 ข้อมลู น้ำหนกั (กก.) ของนกั เรียน 40 คนในชน้ั เรียน ม.2 64 58 55 41 42 53 58 66 52 48 56 67 49 43 48 61 51 40 48 65 50 54 50 59 46 53 61 68 46 51 64 63 45 55 62 64 40 50 58 59 1) จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี โดยใชข้ ้อมูลข้างต้นพรอ้ มสร้างกราฟฮสี โตแกรมรปู หลายเหลีย่ มของ ความถ่ี และเสน้ โค้งของความถี่ โดยกำหนดจำนวนชั้น 6 ช้ัน วิธีคิด ตอ้ งหาความกว้างอันตรภาคช้ันในแต่ละช้นั เท่าๆ กัน โดยต้องหาคา่ พิสยั คอื ความห่างของคา่ สูงสดุ กับค่าต่ำสดุ หรือค่าพสิ ยั ก่อน แล้วนำมาแบง่ 6 ชั้น เศษปัดขึน้ ทัง้ หมด ความกว้างอันตรภาคช้ัน = ค่าพิสัย จานวนช้ัน คา่ พสิ ยั = ค่าสงู สดุ - คา่ ต่ำสดุ = 68 - 40 = 28 ความกวา้ งอันตรภาคช้ัน = 28  5 สรา้ งตารางได้ดังนี้ 6 นำ้ หนกั (กก.) รอยขีด จำนวนนกั เรยี น ขอบล่าง ขอบบน จดุ กง่ึ กลางช้นั 40-44 IIII 5 39.5 44.5 42 45-49 IIII II 7 44.5 49.5 47 50-54 IIII IIII 9 49.5 54.5 52 55-59 IIII III 8 54.5 59.5 57 60-64 IIII II 7 59.5 64.5 62 65-69 IIII 4 64.5 69.5 67 รวม 40

365 ความถี่ 1. กราฟแท่งแสดงฮสี โตแกรม 2. กราฟเส้นตรงแสดงรูปหลายเหลยี่ ม 10 ของความถี่ 8 3. กราฟเสน้ โค้งทบึ แสดงเสน้ โค้งของ 6 ความถ่ี 4 2 คะแนน 0 39.5 42 44.5 47 49.5 5254.5 57 59.5 62 64.5 67 69.5 2) จากข้อมูลข้างต้น จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี ความถ่ีสะสม ความถ่ีสมั พทั ธ์ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ และกราฟเส้นโคง้ ของความถ่สี ะสม คะแนน ความถ่ี ความถีสะสม ความถ่สี ัมพัทธ์ ความถ่สี ะสมสมั พทั ธ์ %ความถี่สะสมสัมพทั ธ์ 40-44 45-49 5 5 5 = 0.125 5 = 0.125 12.5 50-54 40 40 30 55-59 52.5 60-64 7 12 7 = 0.175 12 = 0.3 72.5 65-70 40 40 90 รวม 100 9 21 9 = 0.225 21 = 0.525 40 40 8 29 8 = 0.2 29 = 0.725 40 40 7 36 7 = 0.175 36 = 0.9 40 40 4 40 4 = 0.1 40 = 1.0 40 40 40 1.0

366 ความถีส่ ะสม 60 50 40 30 20 10 คะแนน 0 37 39.5 42 44.5 4749.5 52 54.5 57 59.5 62 64.5 67 69.5 72 ตวั อยา่ งที่ 2 ขอ้ มลู ผลคะแนนสอบของนักเรียน ม.4/1 กับ ม.4/2 10 คนแรก วชิ าคณติ ศาสตร์ คะแนนเต็ม 200 คะแนน ของโรงเรยี นแหง่ หนงึ่ ดังน้ี ห้อง ม.4/1 มีคะแนน 157 144 160 162 158 161 155 180 156 149 ห้อง ม.4/2 มีคะแนน 180 160 174 175 176 149 174 186 158 167 สามารถเขยี นแผนภาพ ลำตนั -ใบ ดงั นี้ 9 ม.4/2 6 ม.4/1 ตน้ 8 9 4 14 0 7 4 45 8 7 6 5 15 0 6 2 1 0 16 17 0 18

367 1) นกั เรียนห้องใดมคี ะแนนสว่ นมากสูงกว่า วิธีคิด ดูจากแผนภาพ ลำตน้ -ใบ พบวา่ นกั เรยี น ม.4/2 มคี ะแนน174-176 เปน็ สว่ นมาก ขณะทนี่ ักเรียน ม.4/1 มีคะแนน 155-158 เป็นส่วนมาก 2) นกั เรียนห้อง ม.4/1 มคี ะแนนต่ำสดุ และสูงสุดเทา่ ใด วิธคี ิด คะแนนต่ำสดุ 144 คะแนนสูงสุด 180 3) คะแนนเฉลีย่ ของนกั เรยี นหอ้ ง ม.4/1 สงู หรือตำ่ กว่า คะแนนเฉลยี่ ของนักเรยี นห้อง ม.4/2 วธิ คี ิด ดูแผนภาพ ลำต้น-ใบ ตอบไดว้ ่า คะแนนเฉลี่ยของนกั เรียน ห้อง ม.4/2 สูงกวา่ คะแนนเฉลยี่ ของนักเรยี นหอ้ ง ม.4/1 2. คา่ กลางของข้อมูล 2.1 ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ( x ) สูตร x = N fix i ---------- เมอ่ื fi คอื ความถ่ีของชน้ั ที่ i xi คอื คะแนนของชั้นท่ี i  N คือ จำนวนขอ้ มลู ทั้งหมด ( fi) i=1 I คือ ความกว้างอันตรภาคช้นั N เขียนย่อๆ x =  fx N ( )หรือสตู รลดั  fd I x =a+ N a คือ ตวั กลางสมมติ d คือ อัตราส่วนระหว่างผลต่างของข้อมูล กับตัวกลางสมมติกบั ความกวา้ ง อันตรภาคช้นั d = xi - a I

368 หรือ x =  NiXi = N1X1 + N2X2 + N3X3 + ... Xi คือ ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มูล  Ni N1 + N2 + N3 + ... กลมุ่ ท่ี i Ni คอื จำนวนขอ้ มูลกลุ่มที่ i 2.2 ค่ามัธยฐาน (Med.) คอื คา่ ตำแหนง่ กลางของขอ้ มูล ก. วธิ ีไมใ่ ช้สตู ร มี 2 ขัน้ ตอน 1. หาตำแหน่งของคา่ มธั ยฐาน มี 2 แบบ - แบบไม่มกี ารแจกแจงความถี่ ตำแหนง่ ค่ามธั ยฐาน = N + 1 2 - แบบมีการแจกแจงความถี่ ตำแหนง่ ค่ามัธยฐาน = N 2 2. หาคา่ มัธยฐาน โดยไล่จากคา่ ตำ่ สุดไปหาคา่ มธั ยฐาน โดยหาว่าตำแหนง่ มัธยฐานมคี ่า เทา่ ใด มี 2 แบบ - แบบไมม่ กี ารแจกแจงความถี่ (ไมม่ คี ่าอนั ตรภาคชัน้ ) - แบบมกี ารแจกแจงความถ่ี มี 2 วธิ ี ก. วธิ ีไม่ใชส้ ตู ร โดยหาตำแหน่งมัธยฐานว่าอยชู่ ัน้ ใด แลว้ หาค่าสงู สุด (ขอบบน) ของช้ันก่อนช้ันมัธยฐานบวกกบั คา่ ท่อี ยู่ในชั้นมัธยฐาน คำนวณจากความถ่ีทขี่ าดอยหู่ ารดว้ ยความถี่ชัน้ มธั ยฐาน คูณดว้ ยความกว้างอันตรภาคช้ัน  N - fL   2 fm  ข. วิธีใช้สูตร Med. = L +   I  เม่ือ  fL คอื ความถ่ีสะสมถึงชัน้ ก่อนช้นั มัธยฐานติดกนั fm คอื ความถี่ของชัน้ มธั ยฐาน L คือ ค่าสูงสุด (ขอบบน) ของชัน้ ก่อนชนั้ มัธยฐาน หรือขอบล่าง ของชน้ั มัธยฐาน

369 2.3 คา่ ฐานนิยม (Mod.) คอื ค่ากลางของขอ้ มูลทซ่ี ้ำมากที่สุด ใชส้ ูตร Mod = L +  d1 d1  I + d2 เมื่อ L = ค่าขอบล่างของชั้นฐานนิยม d1 = ผลต่างความถข่ี องชั้นฐานนยิ มกับความถ่ีของชนั้ กอ่ นชน้ั ฐานนิยม d2 = ผลตา่ งความถขี่ องช้ันฐานนยิ มกบั ความถี่ของช้นั ถดั ไปของชั้น ฐานนิยม 2.4 ค่าเฉลีย่ เรขาคณิต (G.M.) G.M. = N x1  x2  x3 ...  xn = N x f1  x f2  x f3 เม่ือ N =  f 1 2 3 2.5 ค่าเฉล่ียฮาร์โมนิก (H.M.) H.M. = 1 + 1 + N + ... + 1 x1 x2 1 xN x3 2.6 คา่ กึ่งกลางพสิ ยั (M.R.) M.R. = ค่าสูงสุด + ค่าต่าสุด 2 2.7 คุณสมบัติท่สี ำคัญของคา่ กลาง N  (xi - x) = 0 i=1 N (x - a) 2 มีคา่ นอ้ ยที่สดุ เมือ่ a = คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ( x )  i i=1 N xi -a มีค่านอ้ ยท่สี ุด เมอ่ื a = ค่ามธั ยฐาน (Med.)  i=1

370 2.8 กรณขี อ้ มลู แจกแจงแบบโคง้ ปกติ คา่ เฉล่ยี เลขคณิต ( x ) = ค่ามัธยฐาน (Med.) = คา่ ฐานนยิ ม (Mod.) Med. Mod. 2.9 กรณีข้อมูลแจกแจงแบบโคง้ เบ้ ก. โคง้ เบข้ วา (แบนขวา) Mod. Med. ข. โคง้ เบซ้ า้ ย (แบนซ้าย) Med. Mod.

371 ตวั อย่างที่ 3 นักเรยี นชั้นพิเศษห้องหนง่ึ มี 8 คน มคี วามสงู 110, 118, 112, 120, 110, 108, 112 และ 110 ซม. จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนิยม วธิ คี ดิ เรยี งลำดบั จากนอ้ ยไปมาก 108, 110, 110, 110, 112, 112, 118, 120 1. หาค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( x ) = x N = 108 + 110 + 110 + 110 + 112 + 112 + 118 + 120 8 = 112. 5 ซม. ตอบ 2. หาคา่ มัธยฐานโดยหาตำแหน่งมธั ยฐาน = N+ 1 = 8 + 1 = 4.5 1 2 คา่ ในตำแหนง่ 4 = 110 ค่าในตำแหนง่ 5 = 112 ดงั นน้ั คา่ มัธยฐาน = 110 + 112 = 111 ซม. ตอบ 2 ตอบ 3. หาค่าฐานนยิ ม = 110 ซม. ตวั อยา่ งท่ี 4 ชาวเกษตรกรรายหนงึ่ เลี้ยงเป็ดไวใ้ นบ้านตวั เองไวข้ าย แลว้ มกี ารบนั ทกึ น้ำหนักเป็ดไว้ หลังจาก เลยี้ งมาได้ 2 เดอื น ดงั น้ี น้ำหนัก (กิโลกรัม) 1.5 1.8 2.0 2.5 2.8 x จำนวนเป็ด (ตวั ) 3 4 12 3 5 f จงหานำ้ หนกั เฉล่ยี ของเป็ด วิธีคิด x =  fx N = (3 × 1.5) + (4 ×1.8) + (12 × 2) + (3 × 2.5) + (5 × 2.8) 3 + 4 +12 +3+5 x = 4.5 + 7.2 + 24 + 7.5 + 14 27 = 2.12 กิโลกรัม ตอบ

372 ตัวอยา่ งท่ี 5 ผลสอบวิชาฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ของนกั เรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 คนหนึ่ง มีดังน้ี วิชาท่ีเรยี น ฟสิ กิ ส์ เคมี คณิตศาสตร์ จำนวนคาบต่อสัปดาห์ 2 2.5 3 N เกรดทไ่ี ด้ 3 4 2.5 f จงหาเกรดเฉล่ยี ของนกั เรียนคนนี้ วิธีคดิ x = N X = N1X1 + N2X2 + N3X3 N N1 + N2 + N3 = (2 × 3) + (2.5 × 4) + (3 × 2.5) 2 + 2.5 + 3 = 6 +10 + 7.5 7.5 = 23.5 7.5 = 3.13 ตอบ ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาคา่ เฉลยี่ เรขาคณติ ของขอ้ มลู ดังต่อไปนี้ 1) 1, 5, 25, 125, 625, 2) 1 , 1 , 1 , 1 2 4 16 32 วธิ คี ดิ 1) G.M. = 5 (1)(5)(25)(125)(625) ตอบ = 5 5  52  53  54 = 5 510 10 = 5 5 = 52 = 25 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )2) G.M.= 4111 1 =4 1 1 1 1 2 4 16 32 2 22 24 25 = 4 1 = 1 = 1 212 23 12 24 = 1 ตอบ 8

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาค่าเฉลย่ี ฮารโ์ มนิกของขอ้ มลู ต่อไปน้ี 373 1) 1, 2, 4, 8, 16 2) 1 , 1 , 1 , 1 ตอบ วิธีคดิ 2 4 8 16 1) H.M. = 1 + 1 N 1 + 1 x1 x2 + x3 x4 = 1 1 5 = 5 1 2 1 1 1 16 + 8 +4 + 2 +1 + + 4 + 8 + 16 16 = 5 ÷ 31 = 4 × 16 = 64 16 31 31 = 64 31 2) H.M. = 1 1 4 1 1 1 1 1 1 + + + 2 4 8 16 = 2 + 4 4 + 16 = 4 2 = 2 +8 3015 15 = 2 ตอบ 15 ตวั อยา่ งท่ี 8 กำหนดให้ข้อมูลดังตอ่ ไปนี้ 5, 7, 8, 8, 9, 11 จงหาค่า a เม่ือ 6 (x i - a) = 0  i=1 วธิ คี ดิ จากคุณสมบัติ ของค่ากลาง (หนา้ 99)  (xi - x) = 0 แสดงวา่ a= x x = x = 5 + 7 + 8 +8+ 9 + 11 N 6 = 48 = 8 6 ∴ a=8 ตอบ

374 ตัวอย่างท่ี 9 กำหนดให้ข้มูลดงั ต่อไปน้ี 5, 7, 8, 8, 9, 11 จงหาค่า a เม่อื 6 (x - a) 2 มีค่านอ้ ยที่สุด  i i=1 6 และ b เมื่อ  xi - b มีคา่ นอ้ ยที่สุด และจงหาค่า a + b i=1 วธิ คี ดิ จากคุณสมบตั ิ คา่ กลาง N (xi - x)2 มคี ่านอ้ ยท่สี ุด  i=1 ดังนัน้ จากตวั อยา่ งท่ี 8 a = x = 8 N จากคณุ สมบตั ิ คา่ กลาง  x - Med มคี ่านอ้ ยท่ีสุด i=1 ดงั นน้ั b = Med = 8 ∴ a + b = 8 + 8 = 16 ตอบ ตัวอยา่ งท่ี 10 จงหามัธยฐาน ฐานนยิ ม และคา่ เฉล่ยี เลขคณิต จากขอ้ มูลตารางแจกแจงความถี่ต่อไปน้ี คะแนน xi ความถ่ี (f) ความถสี่ ะสม (F) d fd -4 30-39 34.5 1 1 -4 40-49 44.5 2 3 -3 -6 50-59 54.5 6 9 -2 -12 I = 10 60-69 64.5 20 29 ( fL) -1 -20 a = 74.5 70-79 74.5 21 (fm) 50 0 0 80-89 84.5 8 58 1 8 90-99 94.5 2 60 2 4 รวม 60  fd = -30 วิธคี ิด สร้างตาราง ความถ่ีสะสมเพ่มิ - ตำแหนง่ มัธยฐาน = N = 60 = 30 ดจู ากความถ่ีสะสม 2 2 ตำแหน่งมธั ยฐานอยชู่ นั้ ความถ่ีสะสม 50 ถัดจากความถ่ีสะสม 29 หาคะแนนสูงสุดของชัน้ ความถ่ีสะสม 29 = 69.5 (รอบวก) หาความถ่ีที่ขาดอยู่ 30 - 29 = 1 ว่ามีกคี่ ะแนนในช้นั ความถีส่ ะสม 50 คะแนน ขาด 1 คน = ความกว้างอันตรภาคชั้น ×1 ความถ่ี

= 10 ×1 = 0.48 375 21 ตอบ ดงั น้นั คา่ มธั ยฐาน (Med.) = 69.5 + 0.48 = 69.98 - ตำแหน่งฐานนิยม อยใู่ นช้ันท่มี ีความถ่ีมากท่ีสุด คอื ช้ันทมี่ ีความถี่ 21 หาคะแนนสูงสดุ ของชัน้ ความถี่ก่อนช้นั ความถี่ 21 คอื 69.5 (รอบวก) หาคะแนนทขี่ าดอยู่ โดยใช้สตู ร I  d1 d1  + d2 I = ความกว้างอนั ตรภาคชั้นความถ่ี 21 = 10 d1 = ผลต่างความถีก่ ่อนช้ันความถ่ี 21 กับชัน้ ความถี่ 21 = 21 - 20 = 1 d2 = ผลต่างความถี่หลังชั้นความถี่ 21 กบั ชั้นความถ่ี 21 = 21 - 8 = 13 ( )∴ 1 10 คะแนนท่ีขาดอยู่ = 10 × 1 + 13 = 14 = 0.71 ดังนัน้ ค่าฐานนยิ ม = 69.5 + 0.71 = 70.21 ตอบ หรือ วธิ ใี ชส้ ูตร Med = L +  N - fL  I  2 fm     ( )=  60 - 29  30 - 29 69.5 +  2 10 = 69.5 + 21 10  21  = 69.5 + 0.48 = 69.98 ตอบ Mod = L +  d1 d1  I  + d2  ( )= 69.5 + 1 10 = 69.5 + 0.71 1 + 13 = 70.21 ตอบ

( )- ค่าเฉลี่ยเลขคณติ สูตรลัด  fd I 376 x =a+ N ตอบ เม่อื a = คา่ ตวั กลางสมมติ ใช้ค่า xi ชั้นทม่ี คี วามถีม่ ากสุด = 74.5 d = xi - a I เพ่ิมช่อง xi (ค่าก่ึงกลางช้ัน) = ค่าล่าง + ค่าบนของชั้น 2 ดูคา่ d ตรงช้ันตวั กลาง a = 0 ขึน้ ข้างบน = -1, -2, -3... ตามลำดบั ลงขา้ งล่าง 1, 2, 3, ,... ตามลำดับ หา fd และ  fd จะได้  fd = -30 ( )แทนคา่  fd x =a+ N I ( )= 74.5 +-30 10 = 74.5 - 5.0 = 69.5 60 x = 69.5 3. การวัดตำแหนง่ ของขอ้ มูล 3.1 ตำแหน่งควอไทล์ ทต่ี ำแหนง่ r (Qr) เดไซล์ ทีต่ ำแหนง่ r (Dr) เปอร์เซนไทล์ ทตี่ ำแหนง่ r (Pr) ใช้ 2 สตู ร ใช้หาตำแหนง่ 1. ข้อมลู ทีไ่ ม่มกี ารใช้ตารางแจกแจงความถ่ี Qr = r(N + 1) 4 Dr = r(N + 1) 10 Pr = r(N + 1) 100 2. ข้อมลู ทม่ี กี ารใช้ตารางแจกแจงความถี่ Qr = rN 4 Dr = rN 10

377 Pr = rN 100 3.2 คา่ ควอไทลท์ ่ีตำแหนง่ r คา่ เดไซลท์ ี่ตำแหนง่ r ค่าเปอร์เซนไทล์ที่ตำแหน่ง r 1. ข้อมูลทไ่ี ม่มกี ารใช้ตารางแจกแจงความถี่ ไมม่ ีสตู รใชค้ วามเขา้ ใจ 2. ขอ้ มูลทม่ี กี ารใชต้ ารางแจกแจงความถ่ี Qr = L +  rN - fL  I  4 fQr      Dr = L +  rN - fL  I  10 fDr      Pr = L +  rN -  fL  I  100 fPr      เมอื่  fL คอื ความถี่สะสมถงึ ชน้ั ก่อนชั้น Qr / Dr / Pr fQr / fDr / fPr คือ ความถี่ของชั้น Qr / Dr / Pr ตามลำดับ L คือ ค่าขอบล่างของชน้ั Qr / Dr / Pr ตัวอยา่ งที่ 11 ผลสำรวจความสงู ของนกั เรยี นช้นั ม.3 โรงเรียนแหง่ หนง่ึ ดังนี้ (เซนตเิ มตร) 116 106 99 117 103 110 112 118 98 104 97 112 98 99 102 113 116 104 116 123 108 117 98 120 101 110 102 117 97 101 จงหา Q3 , D6 และ P88

378 วธิ คี ดิ เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก 97 97 98 98 98 99 99 101 101 102 102 103 104 104 106 108 110 110 112 112 113 116 116 116 117 117 117 118 120 123 - ตำแหนง่ Q3 หาตำแหน่ง Q3 = 3 (30 + 1) = 23.25 4 หาค่า Q3 ท่ีตำแหน่ง 23.25 ดูจากขอ้ มลู ตำแหน่ง 23 มคี า่ 116 ตำแหน่ง 24 มคี ่า 116 แสดงว่า ตำแหนง่ 23.25 มคี ่า 116  Q3 = 116 ตอบ - หาตำแหน่ง D6 = 6 (30 + 1) = 18.6 10 หาค่า D6 ที่ตำแหน่ง 18.6 ดจู ากขอ้ มูล ตำแหนง่ 18 มคี ่า 110 ตำแหนง่ 19 มีค่า 112 ตำแหน่งขาดอยู่ 18.6 - 18 = 0.6 มีคะแนน = (112 - 110) × 0.6 = 1.2  D6 = 110 +1.2 = 111.2 ตอบ - หาตำแหนง่ P88 = 88 (30 + 1) = 27.28 100 ตำแหน่ง 27 มคี ่า 117 ตำแหน่ง 28 มคี า่ 118 ตำแหนง่ ขาดอยู่ 27.28 - 27 = 0.28 0.28 มคี ะแนน (118 - 117) × 0.28 = 0.28  P88 = 117 + 0.28 = 117.28 ตอบ

379 ตวั อยา่ งที่ 12 คะแนนของนกั เรยี นช้นั ประถมศกึ ษาปที ี่ 4 ของโรงเรยี นแห่งหนง่ึ ดงั นี้ คะแนน (xi) ความถี่ (f) ความถี่สะสม (F) 31-40 2 2 41-50 5 7 51-60 12 19 61-70 17 36 I = 10 71-80 14 50 81-90 4 54 91-100 5 59 101-110 1 60 รวม 60 จงหา Q2 , D7 และ P90 วธิ ีคิด หา Q2 หาตำแหนง่ Q2 = 2 (60) = 30 4 - ตำแหนง่ 30 อยูใ่ นช้นั ความถสี่ ะสม 36 ถดั จากความถ่สี ะสม 19 หาคะแนนสูงสุดของชัน้ ความถี่สะสม 19 = 60.5 หาความถ่ีทข่ี าดอยู่ 30 - 19 = 11 ว่ามกี ีค่ ะแนนในชนั้ ความถี่สะสม 36 ∴ คะแนนขาดอยู่ = ความกว้างอันตรภาคชั้น × 11 ความถี่ = 10 × 11 = 6.5 17 ดงั นั้น ค่า Q2 = 60.5 + 6.5 = 67 ตอบ - หรือใช้สูตร Q = L +  rN - fL  I  4 fm  2    = 60.5 +  2 (60) - 19   4 17 10  

( )= 60.5+ 30 - 19 10 380 17 ตอบ ( )= 60.5+ 11 × 10 17 = 60.5 + 6.5 = 67 หา D7 หาตำแหนง่ D7 = 7 (60) = 42 10 - ตำแหน่ง 42 อยู่ในชัน้ ความถ่สี ะสม 50 ถดั จากความถ่สี ะสม 36 หาคะแนนสูงสดุ ของชน้ั ความถี่สะสม 36 = 70.5 หาความถี่ทข่ี าดอยู่ 42 - 36 = 6 ว่ามกี ่ีคะแนนในชัน้ ความถสี่ ะสม 50 ∴ คะแนนขาดอยู่ = ความกว้างอันตรภาคช้ัน × 6 ความถ่ี = 10 (6) = 4.3 14 ดงั นนั้ ค่า D7 = 70.5 + 4.3 = 74.8 ตอบ ตอบ - หรอื ใช้สูตร D7 = L +  rN - fL  I  10 fm    = 70.5 +  7 (60) - 36  10  10 14    ( )= 70.5 + 6 10 14 ดังนน้ั คา่ D7 = 70.5 + 4.3 = 74.8 หา P90 หาตำแหนง่ P90 = 90 (60) = 54 100 - ตำแหน่ง 54 อยใู่ นช้นั ความถ่สี ะสม 54 พอดี ดงั น้ัน คะแนนสงู สดุ ของตำแหนง่ 54 = 90.5 พอดี - P90 = 90.5 ตอบ

- หรือใช้สูตร P90 = L +  rN - fL  I 381  100 fm    ตอบ = 90.5 +  90 (60) - 54   100 4 10  ( )= 90.5+ 0 10 4 P90 = 90.5 4. การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ 4.1 พิสัย (R) พสิ ัย = ค่าสงู สดุ - ค่าตำ่ สุด 4.2 ส่วนเบีย่ งเบนควอไทล์ (D.Q.) Q.D. = Q3 - Q1 2 4.3 ส่วนเบยี่ งเบนเฉลีย่ (M.D.) M.D. =  xi - x กรณี ไม่มีการใช้ตารางแจกแจงความถ่ี N กรณี มีการใช้ตารางแจกแจงความถ่ี M.D. =  f xi - x N 4.4 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (S.D.) S.D. =  (xi - x)2 กรณี ไม่มกี ารใชต้ ารางแจกแจงความถี่ N หรอื S.D. =  x 2 - x 2 i N S.D. =  f (xi - x)2 กรณี มกี ารใช้ตารางแจกแจงความถี่ N

382 หรือ S.D. =  fx 2 - x 2 = I  fd2 - d 2 i N N 4.5 ความแปรปรวน (V) V = S.D.2 = S2 S2 =  (xi - x)2 กรณี ไมม่ ีการใช้ตารางแจกแจงความถี่ N กรณี มกี ารใชต้ ารางแจกแจงความถ่ี หรือ S2 =  x 2 - x 2 i N S2 =  f (xi - x)2 N หรอื S2 =  fx 2 - x 2 i N 4.6 ความแปรปรวนรวม Sร2วม = N1S12 + N2S22 เมอื่ x1 = x2 N1 + N2 หรือ Sร2วม = N1S12 + N2S22 + N1( x - x1)2 + N2( x - x2)2 เม่อื x1  x2 N1 + N2 เมอ่ื x = xรวม = N1x1 + N2 x2 N1 + N2 ตวั อย่างที่ 13 จงหาค่าสว่ นเบ่ียงเบนเฉลยี่ ของข้อมูล 2, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 10 วิธีคดิ M.D. =  xi - x N x = x = 2 + 3 + 3 + 4 +5 + 5 + 8 + 10 = 5 N 8  xi - x = 2-5 + 3-5 + 3-5 + 4-5 + 5-5 + 5-5 + 8-5 + 10 - 5 8 = 3 + 2 + 2 + 1 + 0 + 0 + 3 + 5 = 16 = 2 8 8  M.D. = 2 = 1 = 0.25 ตอบ 8 4

383 ตัวอย่างท่ี 14 จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบนักเรียน 100 คน จงหาค่าพิสยั ส่วนเบ่ยี งเบนควอ ไทล์ สว่ นเบ่ียงเบนเฉลี่ย และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน คะแนน (x) x ความถี่ (f) ความถส่ี ะสม (F) d fd xi - x d2 fd2 I = 10 50-59 54.5 15 15 -2 -30 18.5 4 60 a = 74.5 60-69 64.5 20 35 -1 -20 8.5 1 20  fd = -15 70-79 74.5 40 75 0 0 1.5 0 0  fd2 = 135 80-89 84.5 15 90 1 15 11.5 1 15 10 100 2 20 21.5 4 40 x = 73 90-99 94.5 วธิ คี ดิ 1. พสิ ัย (R) = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด ตอบ = 99.5 - 49.5 = 50 2. สว่ นเบยี่ งเบนควอไทล์ Q.D. = Q3 - Q1 2 หาตำแหน่ง Q3 = 3(100) = 75 4 ตำแหนง่ 75 อยู่ในชนั้ ความถ่ีสะสม 75 พอดี คะแนนสูงสดุ ของชั้นความถีส่ ะสม 75 = 79.5 พอดี  Q3 = 79.5 หาตำแหน่ง Q1 = 1(100) = 25 4 ตำแหนง่ 25 อยู่ในชนั้ ความถ่ีสะสม 35 หาคะแนนสงู สุดของชน้ั ความถ่ีสะสม 15 = 59.5 หาความถ่ีทข่ี าดอยู่ 35 - 25 = 10 มกี คี่ ะแนนในชั้นความถี่สะสม 35 ∴ คะแนนขาดอยู่ = ความกว้างอันตรภาคช้ัน × 10 ความถ่ี = 10 × 10 = 5 20 ดงั นั้น Q1 = 59.5 + 5 = 64.5

384 ∴ สว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์ = 79.5 - 64.5 = 7.5 ตอบ 2 2. ส่วนเบีย่ งเบนเฉลยี่ M.D. =  f xi - x N ( )หา  fd x =a+ N I ( )= 74.5 + -15 10 100 = 74.5 - 1.5 = 73 f xi - x = 15(18.5) + 20(8.5) + 40(1.5) + 15(11.5) + 10(21.5) 100 = 895 100  M.D. = 895 = 8.95 ตอบ 100 4. สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน S.D. = I  fd2 - d2 N d =  fd = -15 = -0.15 N 100  S.D. = I 135 - (-0.15)2 100 = (10) 1.35 - 0.0225 = (10) 1.3275 = 11.52 ตอบ 5. การวดั การกระจายสัมพทั ธ์ 5.1 สัมประสทิ ธิพ์ ิสัย (C.R.) = ค่าสูงสุด - ค่าต่าสุด ค่าสูงสุด + ค่าต่าสุด 5.2 สมั ประสิทธส์ิ ว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ (C.Q.) = Q3 - Q1 Q3 + Q1 5.3 สัมประสทิ ธ์สิ ว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี (C.M.) = MD X 5.4 สมั ประสทิ ธส์ิ ่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน หรอื สัมประสทิ ธกิ์ ารแปรผนั (C.V.) = SD X

385 ตัวอยา่ งท่ี 15 นักเรยี นโรงเรียนแหง่ หนึง่ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 ก. วชิ าคณิตศาสตร์ คะแนนเตม็ 100 คะแนน ผลการสอบไดค้ ะแนนดังนี้ คะแนน xi ความถ่ี ความถ่ีสะสม d fd xi - x d2 fd2 (x) f (F) 30-39 34.5 1 1 -4 -4 35 16 16 40-49 44.5 2 3 -3 -6 25 9 18 I = 10 50-59 54.5 6 9 -2 -12 15 4 24 a = 74.5 60-69 64.5 20 29 -1 -20 5 1 20 d = xi - d 70-79 74.5 21 50 0 0 5 0 0 I x = 69.5 80-89 84.5 8 58 1 8 15 1 8  fd = -30 90-99 94.5 2 60 2 4 25 4 8 d = -30 = -0.5 รวม 60  fd = -30  fd2 = 94 60 จงหา 1. สมั ประสทิ ธิ์พสิ ยั (C.R.) 2. สัมประสิทธิ์สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ (C.Q.) วธิ ีคิด 3. สัมประสทิ ธ์สิ ่วนเบี่ยงเบนเฉล่ยี (C.M.) 4. สัมประสิทธิก์ ารแปรผนั (C.V.) 1. สมั ประสิทธ์พิ สิ ยั (C.R.) = ค่าสูงสุด - ค่าต่าสุด ค่าสูงสุด + ค่าต่าสุด = 99.5 - 29.5 99.5 + 29.5 = 70 = 0.54 ตอบ 129 2. สมั ประสิทธสิ์ ว่ นเบ่ียงเบนควอไทล์ (QD) = Q3 - Q1 Q3 + Q1 หาตำแหน่ง Q1 = 1 (60) = 15 4 ตำแหนง่ 15 อยู่ในชนั้ ความถี่สะสม 29 คะแนนสงู สดุ ของช้นั ความถี่สะสม 9 = 59.5 หาความถี่ท่ีขาดอยู่ 15 - 9 = 6 มกี คี่ ะแนนชัน้ ความถสี่ ะสม 29

386 คะแนนขาดอยู่ = ความกว้างอันตรภาคชั้น × 6 ความถี่ = 10 × 6 = 3 20 ดงั นนั้ Q1 = 59.5 + 3 = 62.5 หาตำแหนง่ Q3 = 3 (60) = 45 4 ตำแหนง่ 45 อยใู่ นชั้นความถี่สะสม 50 คะแนนสงู สดุ ของชน้ั ความถี่สะสม 29 = 69.5 หาความถ่ีทข่ี าดอยู่ 45 - 29 = 16 มีกี่คะแนนในชัน้ ความถ่ีสะสม 50 คะแนนขาดอยู่ = 10 × 16 = 7.62 21 ดงั น้นั Q3 = 69.5 + 7.62 = 77.12 สมั ประสิทธสิ์ ว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์ (C.Q.) = 77.12 - 62.5 = 14.62 77.12 + 62.5 139.62 = 0.10 ตอบ 3. สัมประสิทธ์ิส่วนเบีย่ งเบนเฉล่ีย (C.M.) = M.D. x ( )x = a+  fd I = 74.5 + (-30) × 10 = 74.5 - 5 N 60 x = 69.5 M.D. =  f xi - x N  f xi - x = 1(35) + 2(25) + 6(15) + 20(5) + 21(5) + 8(15) + 2(25) M.D. = 550 = 9.17 60 ∴ สมั ประสทิ ธส์ิ ่วนเบยี่ งเบนเฉลยี่ (C.M.) = 9.17 = 0.13 69.5 4. สมั ประสิทธิ์การแปรผัน (C.V.) = S.D. x S.D. = I  fd2 - d2  d =  fd = - 30 = -0.5 N  N 60

387 = 10 94 - (-0.5)2 = 10 1.57 - 0.25 = 11.47 60 ∴ สมั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผัน (C.V.) = 11.47 = 0.17 ตอบ 69.5 ตัวอยา่ งท่ี 16 จากการสำรวจนำ้ หนักของนกั เรียน 2 หอ้ ง ห้องท่ี 1 มี 20 คน มผี ลน้ำหนกั เฉลย่ี 56 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 ส่วนของห้องที่ 2 มี 30 คน มีผลนำ้ หนักเฉล่ีย 56 กิโลกรัม และสว่ นเบย่ี งเบน มาตรฐาน 2 จงหาค่าความแปรปรวนของน้ำหนักทงั้ 2 หอ้ ง วธิ ีคิด Sร2วม = N1S12 + N2S22 เม่ือ x1 = x2 = 56 N1 + N2 N1 = 20 N2 = 30 S1 = 3 ดงั น้นั S12 = 32 = 9 S2 = 2 ดงั น้ัน S22 = 22 = 4 ดงั นั้น S2รวม = 20(9) + 30(4) = 180 +120 = 300 = 6 ตอบ 20 + 30 50 50 ตวั อย่างที่ 17 จากข้อมูลคะแนนสอบของนักเรยี น 2 ห้อง ห้องที่ 1 มี 20 คน ผลสอบวิชาคณิตศาสตรไ์ ด้ x = 25, S2 = 5 ห้องที่ 2 มี 30 คน x = 20, S2 = 4 จงหาความแปรปรวนรวมของนกั เรยี นทง้ั สองหอ้ ง วิธีคดิ Sร2วม = N1S12 + N2S22 + N1( x - x1)2 + N2( x - x2)2 N1 + N2 x = xรวม = N1 x1 + N2 x2 = 20(25) + 30(20) N1 + N2 20 + 30 = 500 + 600 = 1100 = 22 50 50  S2รวม = 20(5) + 30(4) + 20(22 - 25)2 + 30(22 - 20)2 20 + 30 = 100 + 120 +180 + 120 50 S2รวม = 520 = 10.4 ตอบ 50

388 6. ค่ามาตรฐานหรอื คะแนนมาตรฐานกับการแจกแจงขอ้ มลู แบบปกติ 6.1 คา่ มาตรฐานหรอื คะแนนมาตรฐาน (Z) คือ คา่ ที่ใชเ้ ปรียบเทยี บข้อมูลที่ต่างชดุ กนั ซ่งึ มคี า่ เฉลี่ย เลขคณติ ( x ) และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (S.D.) เดียวกัน Zi = xi - x S.D. Z- Z+ Z(0) 6.2 สมบัติของ Z 1. Z ไมม่ หี นว่ ยเพราะเปน็ ค่าเปรียบเทยี บระหว่างความห่างของ xi กบั x วา่ เป็นกเ่ี ท่าของ S.D. 2. Z ตรงกลาง (x) = 0 xi มากกว่า x , Z = + ไปทางขวาหา่ งจากตรงกลาง xi นอ้ ยกว่า x , Z = - ไปทางซา้ ยห่างจากตรงกลาง 3.  Z = 0 หรอื Z = 0 และ Sz = 1 ตวั อยา่ งท่ี 18 ในการสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรยี นห้องหนง่ึ ปรากฏวา่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 50 คะแนน และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน = 5 คะแนน โดยท่ีเด็กชายสมคิดที่เป็นนักเรยี นห้องนไี้ ด้คะแนนเปน็ คา่ มาตรฐาน = 1.2 และเด็กหญงิ ศศิวรรณ นกั เรยี นจากหอ้ งเดียวกนั ได้คะแนนนอ้ ยกว่าเดก็ ชายสมคิดอยู่ 4 คะแนน จงหา 1. เด็กหญิงศศวิ รรณได้กคี่ ะแนน 2. เม่ือรวมคะแนนเก็บซ่ึงทกุ คนได้ 8 คะแนน เทา่ กนั คะแนนรวมของเดก็ หญิงศศิวรรณ คิดเปน็ ค่ามาตรฐานเท่ากบั เท่าใด วธิ ีคิด Z = xi - x S.D. Z1 = 1.2

1.2 = x1 - 50 เมอ่ื x1 = คะแนนของเด็กชายสมคิด 389 5 ตอบ 6 = x1 - 50 ตอบ x1 = 56 x2 = 56 - 4 = 52 เม่อื x2 = คะแนนของเดก็ หญิงศศวิ รรณ เดก็ หญิงศศวิ รรณ มีคะแนน 52 คะแนน เมื่อรวมคะแนน 8 คะแนน x2 = 52 + 8 = 60 คะแนน Z1 = 60 - 50 = 10 = 2 5 5 ดังน้นั เดก็ หญงิ ศศวิ รรณ มคี ่ามาตรฐาน = 2 6.3 พนื้ ท่ใี ตโ้ ค้งปกติ 0.5 0.5 Z=0 พนื้ ทใ่ี ต้กราฟรวม = 1.0 พื้นท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตหิ ่างตรงกลางไปทางซ้าย = 0.5 พื้นที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกติห่างตรงกลางไปทางขวา = 0.5 พืน้ ทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกตหิ าจากตาราง Z กบั A เมอ่ื A = พื้นทใี่ ต้โค้งปกติ เช่น Z = 1 พ้นื ทใี่ ตโ้ คง้ ปกติ = 0.3413 ดา้ นขวาจากตรงกลาง Z = -1 พนื้ ที่ใต้โค้งปกติ = 0.3413 ดา้ นซา้ ยจากตรงกลาง 0.3413 0.3413 Z = -1 Z = 0 Z = 1

390 ตัวอยา่ งจากตาราง Z = 1.2, A = 0.3849 Z = 1.7, A = 0.4554 ตวั อยา่ งที่ 19 ถ้าคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ มีการแจกแจงแบบโคง้ ปกติ โดยมีค่าเฉลีย่ เลขคณิต = 60 และ ค่าความแปรปรวน = 25 ผสู้ อบผา่ นตอ้ งไดค้ ะแนนไม่น้อยกว่า 55 คะแนน จาก 80 คะแนน สมมติ นายสมคดิ นายสมพงษ์ นายสมจิต ทราบว่าตนเองได้คะแนนอยู่ในตำแหน่งเปอรเ์ ซนไทล์ ท่ี 10, 15 และ 30 ตามลำดับ จงหาวา่ 1. แตล่ ะคนไดก้ ค่ี ะแนน 2. ใครสอบผ่าน วิธคี ิด หาค่า Z จากคา่ เปอร์เซนไทล์ เปลย่ี นเป็นพ้นื ที่ (A) จากตรงกลางกราฟแลว้ เปดิ ตารางหาค่า Z จากนนั้ ใช้สตู ร Z = xi - x S.D. A 0.3508 0.4015 0.2019 Z 1.04 1.29 0.53 เปลย่ี น P10 = พืน้ ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกตหิ ่างตรงกลางไปทางซ้าย = 0.40 P15 = พ้ืนทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งปกตหิ ่างตรงกลางไปทางซ้าย = 0.35 P30 = พื้นท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกตหิ ่างตรงกลางไปทางซ้าย = 0.20 จากตาราง Z - A, A = 0.4  Z = 1.29 A = 0.35  Z = 1.04 A = 0.20  Z = 0.53 Z = xi - x S.D. 1. นายสมคิด -1.29 = x1 - 60 (S.D.2 = 25, S.D. = 25) 25 -1.29 = x1 - 60 5 -6.45 = x - 60 x1 = 60 - 6.45 = 53.55 ตอบ

นายสมพงษ์ -1.04 = x2 - 60 391 5 ตอบ x2 = 60 - 5.20 = 54.80 ตอบ นายสมจติ -0.53 = x3 - 60 5 x3 = 60 - 2.65 = 57.35 2. ตง้ั เกณฑค์ ะแนนไมน่ ้อยกว่า 55 คะแนน จงึ จะสอบผา่ น ตอบ ดังนนั้ นายสมคดิ และนายสมพงษ์ สอบไมผ่ ่าน แต่นายสมจิตสอบผา่ น ตัวอย่างท่ี 20 จากขอ้ มูลการสอบของนักเรยี น 6 คน ตามตาราง จงหาสมั ประสทิ ธิ์การแปรผนั คะแนน 30 40 45 60 85 100 คา่ มาตรฐาน -1.2 -0.8 -0.6 0 1.0 1.6 วิธีคดิ สมั ประสิทธ์ิการแปรผัน (C.V.) = S.D. x Z = xi - x S.D. จากตาราง Z = 0 แสดงว่า x = 60 แทนคา่ Z = 1, xi = 85 หา S.D. 1 = 85 - 60 S.D. S.D. = 25 ∴ สัมประสิทธก์ิ ารแปรผนั (C.V.) = 25 = 0.42 ตอบ 60 ตัวอยา่ งที่ 21 คะแนนสอบที่มีการแจกแจงแบบปกติ ท่ีมีคะแนนเตม็ 100 คะแนน ถ้าคา่ เฉล่ียเลขคณติ = 60 และความแปรปรวน = 100 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีมคี ่าสงู สุด 1. คะแนน ณ เปอรเ์ ซนไทล์ท่ี 80 2. คะแนนมาตรฐาน 1.50 3. คะแนนดิบ 85 4. คะแนน ณ เดไซล์ ที่ 7

392 วธิ ีคิด P80 มีคะแนนสงู กว่า D7 แน่นอน เพราะ D7 = P70 เปลีย่ น Z = 1.50 เป็น xi (คะแนนดบิ ) , Z+ ไปทางขวา Z = xi - x S.D. 1.5 = xi - 60 (S.D.2 = 100, S.D. = 10) 10 15 = xi - 60 xi = 75 เปลยี่ น P80 เป็น A = 0.80 – 0.50 = 0.30 ไปทางขวาหา่ งตรงกลาง 0.3 Z=0 เปิดตาราง A = 0.3 แลว้ Z = 0.85 ไปทางขวา น้อยกวา่ Z = 1.50 ตอบ แสดงวา่ xi = 85 > Z = 1.50(xi = 75) > P80(Z = 0.85) > D7 ∴ คะแนนดิบ 85 มคี า่ สงู สดุ ตัวอย่างท่ี 22 คะแนนสอบนกั เรียน 1,000 คน มกี ารแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลีย่ เลขคณิตเป็น  สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเป็น 10 ถ้านักเรียน 900 คน ได้คะแนนตำ่ กวา่ 80 และ P(0 < Z < 1.3) = 0.4 เม่อื Z คอื คะแนนมาตรฐาน ขอ้ ใดตอ่ ไปนผ้ี ดิ 1. คะแนนเฉลยี่ เลขคณิตต่ำกว่า 80 2. คะแนน 54 ตรงกบั คะแนนมาตรฐาน -1.3 3. คะแนน 54 ตรงกับเปอรเ์ ซนไทล์ท่ี 10 4. ผู้ทไ่ี ดค้ ะแนนระหว่าง 54 ถึง 80 มมี ากกว่า 800 คน วิธีคดิ P(0 < Z < Zi) คือ พื้นท่ีใต้เสน้ โค้งปกติทอี่ ย่รู ะหวา่ ง Z ทกี่ ำหนด xi = 80, x =  , S.D. = 10 P(0 < Z < 1.3) = 0.4 ไปทางขวา

แสดงวา่ พื้นท่ีตงั้ แต่ซา้ ยสุดถึง Z(+1.3) = 0.5 + 0.4 = 0.9 393 หรือ ท่ี Z(+1.3) เป็น P90 มี xi = 80 ตอบ ตอบ หา x =  , Z = xi - x ตอบ S.D. ตอบ 1.3 = 80 -  10  = 80 -13 = 67 ∴ คะแนนเฉลย่ี เลขคณิตต่ำกวา่ 80 ถูก คะแนน xi จะเป็นเทา่ ไรเม่อื z = -1.3 -1.3 = xi - 67 10 xi = 67 - 13 = 54 ∴ คะแนน 54 ตรงกบั คะแนนมาตรฐาน -1.3 ถกู คะแนน 54 หา่ งตรงกลางไปทางซ้าย (Z = -1.3) หาพนื้ ท่ี (A) จากตรงกลางไปทางซ้าย Z = -1.3 P(0 < Z < 1.3) = 0.4 ดงั นนั้ พนื้ ท่จี ากซา้ ยสุดไปยงั จดุ Z(-1.3) = 0.5 - 0.4 = 0.1 ∴ คะแนน 54 ตรงกบั เปอร์เซนไทล์ 10 ถูก หาพ้ืนที่ระหวา่ งคะแนน 54 ถึง 80 = 0.4 + 0.4 = 0.8 ดงั น้นั จำนวนนกั เรยี นใตพ้ นื้ ทโ่ี ค้งปกติ (0.8) = 0.8 × 1000 = 800 คน แตไ่ มใ่ ชม่ ากกว่า 800 คน ผดิ 7. ความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังก์ชันระหว่างข้อมลู 7.1 ความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ นั เสน้ ตรง สมการทัว่ ไป y = mx + c เม่อื m = ความชนั เปน็ ค่าคงท่ี c = กราฟตดั แกน y เมอื่ x = 0

394 y x () () 0 จาก y = mx + c ----------   y = mx +  c ---------- ใส่  ทง้ั 2 ขา้ ง,  y = m x + nc ดงั นน้ั x คูณสมการทว่ั ไป xy = mx2 + cx ใส่  ทั้ง 2 ขา้ ง,  xy = m x2 + c x 7.2 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนั พาราโบลา สมการท่ัวไป y = ax2 + bx + c y a+ a- 0x จาก y = ax2 + bx + c ---------- ใส่  ทัง้ 2 ข้าง,  y = a x2 + b x + nc ---------- x คูณสมการท่วั ไป, ---------- ดงั นน้ั xy = ax3 + bx2 + cx x2 คณู สมการทั่วไป  xy = a x3 + b x2 + c x ใส่  ทัง้ 2 ขา้ ง, x2y = ax4 + bx3 + cx2  x2y = a x4 + b x3 + c x2

395 7.3 ความสมั พันธเ์ ชงิ ฟังก์ชนั เอกซโ์ พแนนเชียล สมการทว่ั ไป y = abx y เม่อื a, b เป็นค่าคงท่ี 0x สมการทั่วไป y = abx ใส่ log สมการทั่วไป, log y = log abx = log a + log bx log y = log a + x log b ใส่  ท้งั 2 ข้าง,  (log y) =  (log a) +  (x log b) ดังนน้ั  (log y) = n log a + log b x ---------- ---------- ยกกำลงั x สมการทว่ั ไป, yx = (abx)x หรอื yx = axbx2 ใส่ log ทัง้ สองข้าง x log y = x log a + x2 log b ใส่  ทงั้ 2 ขา้ ง,  (x log y) = log a x + log b x2 หมายเหตุ จากสมการของฟงั กช์ นั ต่างๆ พบวา่ X = เป็นตัวแปรอิสระ ตามตอ้ งการ Y = เปน็ ตวั แปรตาม เพอื่ ใชท้ ำนาย Y

396 ตวั อย่างที่ 23 จากการทดลองวดั ความสัมพันธร์ ะหวา่ งเวลา t (วนิ าท)ี และระยะทาง S (เมตร) ของวตั ถุที่ เคล่ือนทไี่ ด้ผลดังน้ี t1234 t2 1 4 9 16 S 2 8 18 32 ts 2 16 54 128 ถา้ ความสมั พนั ธ์เปน็ แบบเสน้ ตรงแลว้ เราจะทำนายระยะทางวตั ถุเคลื่อนได้ ในขณะที่ t = 1.5 วินาที ไดเ้ ทา่ ใด วิธีคิด ดูจากตารางและโจทย์ทำใหท้ ราบว่า t เป็นตวั แปรอสิ ระ (x) และ S เปน็ ตัวแปรตาม (Y) จาก  Y = m x + nc หรือ  S = m t + nc แต่  S = 2 + 8 +18 + 32 = 60 แทนค่า  t = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 60 = m(10) + 4(c) 60 = 10m + 4c ---------- จาก  xy = m x2 + c x หรอื  ts = m t2 + c t แทนคา่  ts = 2 +16 + 54 +128 = 200  t2 = 1+ 4 + 9 +16 = 30 200 = m(30) + c(10) 200 = 30m + 10c ----------  × 3, 180 = 30m + 12c ----------  -  -20 = 2c c = -10 แทนใน  60 = 10m + 4(-10) 60 = 10m - 40 m = 60 + 40 = 10 10 ∴ สมการของฟงั ก์ชัน S = 10t - 10 แทนคา่ t = 1.5, S = 10(1.5) - 10 S = 15 - 10 = 5 ม. ตอบ