65-07-23-คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย

x = -6 = -3 297 2 ตอบ แทน x = -3 ในสมการ y = x2 + 2x หา y y = x2 + 2x y = (-3)2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 ดงั นน้ั (x1, y1) = (-3, 3) สมการเส้นสัมผสั จาก  m = y - y1 x - x1 -4 = y -3 x- (-3) -4 = y-3 x+3 -4x - 12 = y - 3 0 = y - 3 + 4x + 12 หรือ 4x + y + 9 = 0 ตัวอย่างท่ี 16 คา่ x ที่ทำใหค้ วามชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง y= 2x2 - 1 มีคา่ เท่ากับ 4 x วิธคี ิด y = 2x2 - 1 = 2x2 - 1 = 2x - x -1 x x x y = 2 - (-1)x-2 y = 2 + x -2 = 2 + 1 x2 ดังน้นั ความชัน = y = 2 + 1 = 4 x2 2 + 1 = 4 x2 1 = 4 - 2 = 2 x2 1 = x2 2 x=± 1 = ± 1 ตอบ 2 2

298 ตวั อยา่ งท่ี 17 ถา้ f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่อง ซง่ึ f(4) = -4 และ lim f(4 + h) + 4 =4 แลว้ ความชนั ของเสน้ h h→0 สัมผัสเส้นโค้ง g(x) = x2 + 4 x + f(x) ท่ีจดุ (4, 20) เท่ากบั ขอ้ ใด 1. 5 2. 13 3. 16 4. 20 วิธคี ิด หาความชนั จาก g(x) แทนค่าหาคา่ ความชนั g(x) = x2 + 4 x + f(x) = x2 + 4x 1 + f(x) 2 ( )g(x) = 2x + 42 1 x 1 -1 + f(x) 2 2 g(x) = 2x + 2x - 1 + f(x) ---------- 2 หา f(x) จาก lim f(4 + h) + 4 = 4 ดังนนั้ h h→0 หรอื lim f(4 + h) - f(4) = 4 [ f(4) = -4] h h→0 f(4) = 4 แทนใน  จาก (x, y) = (4, 20), g(4) = 2(4) + 2(4) - 1 + 4 2 =8+ 2 + 4 = 12 + 2 = 12 + 2 4 2 1 42 = 12 + 1 = 13 ตอบ ขอ้ 2 ตัวอยา่ งท่ี 18 ถ้าเสน้ โคง้ y = x2 + ax + b และเส้นโค้ง y = cx - x2 สมั ผัสกันท่ีจดุ (1, 0) และค่า b มีคา่ เทา่ ใด (คณิต 2/2543) 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 วิธีคดิ แทน (x, y) = (1, 0) ในสมการเส้นโค้งท้งั สองแล้วหาความชนั ที่จดุ สมั ผสั y = x2 + ax + b 0 = 12 + a(1) + b 0 = 1+ a+b ---------- a + b = -1 y = cx - x2 0 = c(1) - 12

0=c-1 299 c=1 ตอบ ขอ้ 3 หาความชนั y = x2 + ax + b และ y = cx - x2 y= 2x + a และ y = c - 2x ความชันเทา่ กนั เพราะเปน็ เส้นสมั ผัสเดียวกันทจ่ี ุด (1, 0) 2x + ac = c - 2x แทน x = 1; c = 1, 2(1) + a(1) = 1 - 2(1) 2+a=1-2 a = 1 - 2 - 2 = -3 แทนใน  -3 + b = -1 b = -1 + 3 = 2 2 ตัวอย่างท่ี 19 กำหนดให้ f(x) = x3 - x3 สมการเส้นตรงท่ผี ่านจุด (1, 2) และมคี วามชันเทา่ กับความชันของ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ทีจ่ ดุ x = -1 เท่ากบั ข้อใด 1. 7x + 3y -13 = 0 2. 11x - 3y - 17 = 0 3. -7x + 3y + 1 = 0 4. -11x + 3y + 5 = 0 วิธีคดิ หาความชนั ของ f(x) แล้วสร้างสมการเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (1, 2) 2 f(x) = x 3 - x3 ความชัน = f(x) = 2 x 2 -1 - 3x2 = 2 x - 1 - 3x2 3 3 3 3 ความชนั ที่จุด x = -1 แทนใน f(x) f(-1) = 2 (-1) - 1 - 3(-1)2 = -2 - 3 = -2 - 9 = -11 3 3 3 3 3 [เนื่องจาก (-1)- 1 = 1 = 1 = 1 = -1 ] 3 1 (-1)1 -1 (-1) 3 3 ดังน้นั สมการเส้นตรงมคี วามชัน -11 ผ่านจุด (1, 2) หาสมการไดค้ วามชนั = y - y1 3 x - x1 -11 = y - y1 3 x - x1

-11 = y -2 300 3 x -1 ตอบ ข้อ 2 -11x + 11 = 3y - 6 0 = 3y - 6 + 11x - 11 11x + 3y - 17 = 0 4.5 ฟังกช์ นั เพม่ิ ฟงั ก์ชนั ลด และคา่ สงู สดุ ต่ำสุด 1. ฟังก์ชันเพม่ิ หมายถึง เม่ือ x เพิม่ ขึน้ แลว้ f(x) หรือ y ก็จะเพ่มิ ขนึ้ ด้วย หรอื ความชนั เป็น บวก 2. ฟงั กช์ ันลด หมายถงึ เมอื่ x เพม่ิ ขน้ึ แลว้ f(x) หรือ y กลบั ลดลง หรอื ความชันเป็นลบ 3. การใชอ้ นพุ ันธ์ เพือ่ หาฟังก์ชนั เพ่ิม หรือฟงั กช์ นั ลด และฟังกช์ ันค่าสูงสดุ และค่าต่ำสุด f(x) > 0 แสดงว่า เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ f(x) < 0 แสดงวา่ เปน็ ฟังกช์ ันลด f(x) = 0 แสดงวา่ เปน็ ฟังก์ชนั ค่าสงู สุด หรือค่าตำ่ สุด เพราะเปน็ จดุ ยอดของฟังกช์ นั หรอื จุดวกกลับและเรียกค่า x ณ จุดน้วี า่ คา่ วิกฤต ดังนั้น ค่าวกิ ฤต (x) จะทำใหเ้ กิดฟังกช์ นั ค่าสูงสดุ ถ้าความชัน f(x) เปล่ียนจากลดไป เพิม่ จะเกิดค่าตำ่ สุด -ลด เพ่ิม+ ถา้ ความชนั f(x) เปลีย่ น จากเพ่ิมไปลด จะเกดิ คา่ สงู สุด +เพ่ิม -ลด f(x) > 0 แสดงวา่ ความชันมากขึ้นเรอื่ ยๆ เปล่ียนจากลบไปบวกเกิดจุดต่ำสุด f(x) < 0 แสดงวา่ ความชันลดลงเรือ่ ยๆ เปลย่ี นจากบวกไปลบ เกิดจุดสูงสดุ f(x) = 0 แสดงวา่ ความชนั ไม่เปลี่ยนแปลง อาจเกดิ จุดสงู สุด หรอื จดุ ตำ่ สุดก็ได้ หรือไม่เกิดจุดสูงสดุ หรือต่ำสดุ ก็ได้ 4. จุดสงู สุดหรือต่ำสุดสัมพทั ธ์และสัมบรู ณ์ 1. จดุ สูงสุด หรือต่ำสดุ สัมพัทธ์ หมายถึง จดุ ทม่ี ีคา่ ฟงั กช์ นั สงู สดุ หรอื ตำ่ สดุ เมอ่ื เทียบกบั จุดข้างเคียงซ่ึง อาจมไี ด้หลายจุด 2. จุดสงู สุด หรอื ต่ำสุดสมบูรณ์ หมายถงึ จดุ ทมี่ คี ่าฟังก์ชันสูงสดุ หรอื ตำ่ สุดจรงิ ๆ ซงึ่ มีเพยี งอยา่ งละ 1 จดุ เทา่ นั้น

301 Y จากรูปกราฟ A เปน็ จดุ สงู สุดสมั บูรณ์ A F เปน็ จดุ ต่ำสุดสมั บรู ณ์ C A, C, E, G เปน็ จดุ สูงสุดสัมพัทธ์ B, D, F เปน็ จดุ ตำ่ สุดสัมพัทธ์ B 0 E G X D F มขี อ้ สงั เกต ไมม่ จี ดุ ต่ำสุดสมั บรู ณ์ เพราะกราฟมีแนวดิง่ ลงไปได้อกี ตวั อยา่ งที่ 20 ฟงั ก์ชัน f(x) เปน็ ฟังกช์ นั พหนุ ามกำลังสามซงึ่ หารด้วย x + 1 แล้วเหลือเศษ 6 และสัมผสั กบั เสน้ ตรง 12x + y + 7 = 0 ณ จุดตดั แกน y และคา่ วกิ ฤต (x) = 1 จงหาฟงั กช์ ัน f(x) วิธีคิด หาความชนั เส้นสัมผัสเท่ากบั อนพุ นั ธข์ อง f(x) = f(x) 12x + y + 7 = 0 y = -12x - 7 ความชนั = -12 = f(x) สมมติ f(x) = ax3 + bx2 + cx + d f(x) ÷ (x + 1) เหลือเศษ = 6 แสดงว่า x + 1 = 0 หรือ x = -1 แทน f(x) = 6 f(-1) = a(-1)3 + b(-1)2 + c(-1) + d 6 = -a + b - c + d หรอื -a + b - c + d = 6 ---------- จาก f(x) = ax3 + bx2 + cx + d f(x) = 3ax2 + 2bx + c = ความชนั เสน้ สัมผัส f(x) = 3ax2 + 2bx + c ---------- แต่ค่าวกิ ฤต (x) = 1 แสดงวา่ f(1) = 0

302 3a(1)2 + 2b(1) + c = 0 ---------- 3a + 2b + c = 0 เสน้ ตรง 12x + y + 7 = 0 ตัดแกน y และเป็นจุดสมั ผัสด้วย จดุ ตดั แกน y, x = 0 แทนในสมการเสน้ ตรง 12(0) + y + 7 = 0 0+y+7=0 y = -7 แสดงว่า จุดสมั ผัส (x, y) = (0, -7) แทนในสมการ f(x) จาก f(x) = ax3 + bx2 + cx + d f(0) = a(0)3 + b(0)2 + c(0) + d -7 = d จุดสมั ผัส (x, y) = (0, -7) และ f(0) = -12 แทน x = 0 ใน  f(0) = 3a(0)2 + 2b(0)2 + c -12 = 0 + 0 + c [ความชัน = -12 แทน] c = -12 แทน c, d ใน  -a + b - (-12) + (-7) = 6 -a + b + 12 - 7 = 6 -a + b = 6 - 12 + 7 -a + b = 1 --------- แทน c ใน , 3a + 2b + (-12) = 0 3a + 2b = 12 ----------  × 3, -3a + 3b = 3 ---------- + 5b = 15 b = 15 = 3 แทนใน  5 -a + 3 = 1 3-1=a a=2

303 แทน a = 2, b = 3, c = -12, d = -7 ใน f(x) f(x) = (2)x3 + (3)x2 + (-12)x + (-7) = 2x3 + 3x2 - 12x - 7 ตอบ ตวั อยา่ งท่ี 21 กำหนดให้ f(x) = x3 + cx2 - 9x เมือ่ c เปน็ จำนวนจริง ถา้ ค่าวิกฤตค่าหนึ่งของ f(x) = 1 และ f(x) เปน็ ฟงั ก์ชนั ลดในเซตใดต่อไปนี้ (คณิต 1/2543) 1. (-3, 1) 2. (- , -3)  (1, ) 3. (-1, 4) 4. (- , -1)  (4, ) วิธคี ิด คา่ วกิ ฤต x เม่ือ f(x) = 0 f(x) = x3 + cx2 - 9x f(x) = 3x2 + 2cx - 9 f(1) = 3(1)2 + 2c(1) - 9 = 0 3 + 2c - 9 = 0 2c = 9 - 3 c = 6 = 3 2 ดงั นัน้ f(x) = x3 + 3x2 - 9x หาว่าเปน็ ฟงั ก์ชนั เพมิ่ หรือลด ลองแทนค่าดู f(x) f(x) = 3x2 + 6x - 9 หาคา่ สูงสดุ ต่ำสุด, 3x2 + 6x - 9 = 0 3 หาร, x2 + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0 x = -3, 1 f(x) = 6x + 6 f(-3) = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12 (ลบ) คา่ สงู สุด f(1) = 6(1) + 6 = 6 + 6 = 12 (บวก) คา่ ต่ำสุด

304 y 0 x -3 -1 1 ดูจากรปู ตอบ ขอ้ 1. ขอ้ 1, (-3, 1) เปน็ ฟังกช์ นั ลด ✓ ข้อ 2, (- , -3) เปน็ ฟังกช์ ันเพ่ิม  ขอ้ 3, (-1, 4) เป็นฟังก์ชนั เพ่ิม  ขอ้ 4, (- , -1) เปน็ ฟังกช์ นั เพม่ิ ก่อน แล้วค่อยลด  ตวั อย่างท่ี 22 จงหาจุดสงู สุดสัมพัทธ์ และจุดตำ่ สุดสัมพทั ธ์ของ f(x) = x4 - 18x2 วธิ ีคิด หา f(x) = 0 แล้วแยกตวั ประกอบหาค่า x ทีเ่ ปน็ จรงิ แล้วหา f(x) f(x) = x4 - 18x2 f(x) = 4x3 - 36x 0 = 4x(x2 - 9) 4x(x2 - 32) = 0 4x (x - 3()x + 3) = 0 4x = 0 หรอื x - 3 = 0 หรือ x + 3 = 0 x= 0 =0 หรอื x = 3 หรอื x = -3 4 - +- + 3 -3 0 ลองแทนค่า x ใน f(x) เพอื่ หาจุดสูงสุด จดุ ต่ำสุด

f(x) = 4x3 - 36x 305 f(x) = 12x2 - 36 x = -3, f(-3) = 12(-3)2 - 36 = 108 - 36 = 72 (บวก) ตอบ แสดงวา่ ท่ีจุด x = -3 เปน็ จดุ ตำ่ สุดสมั พทั ธ์ ตอบ x = 0, f(0) = 12(0)2 - 36 = -36 (ลบ) ตอบ แสดงวา่ ท่ีจุด x = 0 เปน็ จุดสงู สุดสมั พัทธ์ x = 3, f(3) = 12(3)2 - 36 = 108 - 36 = 72 (บวก) แสดงวา่ ท่ีจดุ x = -3 เปน็ จุดตำ่ สุดสัมพัทธ์ หาค่า (x, y) โดยแทน x = -3 ใน f(x) = x4 - 18x2 x = -3, f(-3) = (-3)4 - 18(-3)2 = 81 - 162 = -81 ∴ (x, y) = (-3, -81) เป็นจุดต่ำสดุ สมั พทั ธ์ x = 0, f(0) = 04 - 18(0)2 = 0 ∴ (x, y) = (0, 0) เปน็ จดุ สงู สดุ สัมพทั ธ์ x = 3, f(3) = 34 - 18(3)2 = -81 ∴ (x, y) = (3, -81) เป็นจุดต่ำสดุ สัมพัทธ์ ตวั อย่างที่ 23 ให้ f(x) = x3 + x 2 - x + 1 ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูกตอ้ ง (คณิต ก/2541) 2 1. f มีคา่ สงู สดุ สมั พัทธท์ ี่ x = -1 2. f มคี ่าสงู สุดสมั พัทธ์ท่ี x = 2 3. f มีคา่ ตำ่ สดุ สัมพัทธท์ ี่ x = 1 4. f มคี ่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 2 วธิ ีคิด หา f(x) = 0 แลว้ หาค่าวกิ ฤต x แลว้ f(x) เพ่อื หาว่าเปน็ คา่ สูงสุด หรือต่ำสุดสมั พัทธ์ f(x) = x3 + x 2 - x + 1 2 f(x) = 3x2 + 2x - 1 = 0 (3x - 1)(x + 1) = 0 3x - 1 = 0 หรอื x + 1 = 0

306 x = 1 หรอื x = -1 3 เนอ่ื งจาก f(x) = 3x2 + 2x - 1 f(x) = 6x + 2 ถา้ f(13) = 62(13) + 2 = 4 เปน็ + แสดงวา่ เปน็ ค่าตำ่ สุดท่ี x = 1 3 f(-1) = 6(-1) + 2 = -4 เปน็ - แสดงว่าเปน็ ค่าสงู สดุ ที่ x = -1 ตอบ ขอ้ 1 ตวั อย่างที่ 24 จงหาจุดสูงสุดสัมพทั ธแ์ ละจุดต่ำสุดสมั พทั ธข์ อง f(x) = x3 + 2 วิธคี ดิ หา f(x) = 0 แล้วแยกตัวประกอบหาค่า x ทเ่ี ปน็ จรงิ แล้วหา f(x) f(x) = x3 + 2 f(x) = 3x2 = 0 x2 = 0 = 0 3 x=0 y แทนค่า x = 0 ใน f(x) เพ่ือหาจดุ สูงสุด จุดต่ำสุด 2 f(x) = 3x2 ตอบ 0 x f(x) = 6x f(0) = 6(0) = 0 แสดงวา่ หาจุดสูงสุด จุดตำ่ สุดไม่ได้ ตัวอยา่ งที่ 25 กำหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ซ่ึงหาอนพุ นั ธไ์ ดท้ ่ีทุกจดุ และ h(x) = x3 +1 ถ้า a เปน็ จำนวนจริงซง่ึ (hof)(a) = 9 , (hof)(a) = 0 (hof)(a) = -1 แลว้ ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง (คณติ 1/2547) 1. f มคี ่าสงู สดุ สมั พัทธ์ท่ีจุด a และมีค่า = 1 2. f มคี ่าสงู สดุ สัมพัทธท์ ี่จดุ a และมีค่า = 2 3. f มีค่าต่ำสดุ สมั พัทธท์ ีจ่ ุด a และมคี ่า = 1 4. f มีคา่ ต่ำสุดสมั พัทธ์ท่จี ุด a และมีค่า = 2

307 วิธีคดิ หา f(a) จาก (hof)(a) กอ่ น แลว้ ทำเหมอื นตวั อย่างที่ 22 (hof)(a) = 9 h(f(a)) = 9 แต่ h(x) = x3 +1 แสดงวา่ h(f(a)) = (f(a))3 +1 ดงั นัน้ (f(a))3 + 1 = 9 (f(a))3 = 9 - 1 = 8 = 23 ---------- ∴ f(a) = 2 จาก h(x) = x3 + 1 จาก h(x) = 3x2 และ h(x) = 6x ---------- แต่ (hof)(a) = 0 หรอื h(f(a))  f(a) = 0 h(2) f(a) = 0 หรอื (12)(f(a) = 0 หรอื f(a) = 0 = 0 12 จาก (hof)(a) = -1 หรือ [(hof)(a)] = [h(f(a))  f(a)] = -1 h(f(a)) f(a) + f(a)h(f(a)) = -1 [หน้าดฟิ ท์หลงั + หลงั ดิฟท์หน้า] h(2) f(a) + 0 h(f(a)) = -1 จาก  h(x) = 3x2, h(2) = 3(2)2 = 12 แทน h(2) 12  f(a) + 0 = -1 หรือ f(a) = -1 (ลบ) 12 แสดงวา่ เป็นค่าสงู สดุ ของ f(a) โดย f(a) = 2 ตอบ ขอ้ 2 ตวั อย่างท่ี 26 จงหาค่าสูงสดุ สมั บรู ณ์ และค่าต่ำสุดสัมบรู ณข์ องฟงั ก์ชัน f(x) = -x3 + 12x + 5 ; - 3  x  3 พรอ้ มเขียนกราฟ วธิ ีคิด หา f(x) และ f(x) f(x) = -x3 +12x + 5 f(x) = -3x2 +12 = 0 เพื่อหาค่าวกิ ฤต 12 = 3x2 x2 = 12 = 4 3 x = ±2 f(x) = -3x2 + 12

308 f(x) = -6x แทน x = 2, f(2) = -6(2) = -12 เปน็ ลบแสดงวา่ เป็นค่าสูงสุดสมั พทั ธ์ แทน x = -2, f(-2) = -6(-2) = 12 เปน็ บวกแสดงวา่ เปน็ ค่าตำ่ สูงสุดสมั พัทธ์ ดงั นั้นคา่ สงู สุดสมั พัทธท์ ี่ x = 2 ของฟงั ก์ชัน f(x) = -x3 +12x + 5 f(2) = -23 +12(2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21 คา่ ต่ำสดุ สมั พัทธท์ ี่ x = -2 f(-2) = -(-2)3 +12(-2) + 5 = -(-8) - 24 + 5 = 8 - 24 + 5 = -11 หาคา่ f(x) ท่ีชว่ งปิด [-3, 3] x = 3, f(3) = -(3)3 +12(3) + 5 = -27 + 36 + 5 = 14 x = -3, f(-3) = -(-3)3 +12(-3) + 5 = -(-27) - 36 + 5 = 27 - 36 + 5 = -4 ตอบ คา่ สงู สุดสัมบรู ณ์ชว่ งปดิ [-3, 3] ของฟังก์ชัน = 21 ค่าต่ำสดุ สัมบูรณ์ชว่ งปดิ [-3, 3] ของฟังกช์ นั = -11 กราฟ y 21 (2, 21) 14 (3, 14) -3 -2 5 x (-3, -4) 0 (-2, -11) -4 2 3 -11 ตวั อย่างท่ี 27 สามเหลยี่ มมมุ ฉากรปู หนงึ่ มีด้านทงั้ สามยาว 6, 8, 10 นวิ้ สเี่ หล่ียมผนื ผ้า ทม่ี พี ื้นที่มากที่สดุ ท่ี สามารถบรรจุลงในสามเหล่ียมนไี้ ด้ จะมีพนื้ ท่เี ทา่ ใด

309 วิธคี ดิ A พ้นื ท่ี ∆ = 1 × ฐาน × สูง 2 8 D x F10 y A1 = 1 × 6 3 × 8 [สมมติพ้นื ท่ี = A] 2 B EC [A1 = พ.ท. ] 6 A1 = 24 ตร.น. [A2 = พ.ท. ] พื้นท่ี  = ก × ย A2 = x × y จาก ∆ ADF คล้ายกับ ∆ FEC ดังนัน้ AD = DF EF EC 8 - y = 6 x x y - (8 - y)(6 - x) = xy 48 - 8x - 6y + xy = xy 48 - 8x = 6y หรือ 6y = 48 - 8x 6 หารตลอด , 6y = 48 - 8x 6 6 6 y = 8 - 8x ---------- 6 พ.ท. A2 = x × y = x (8 - 86x) A = 8x - 8x 2 6 2 ( )A2 = 8 - 2 8 x 6 = 8 - 8 x 3 A2 คอื ความชันท่ี A2 มีค่ามากสดุ เม่อื ความชนั = 0 8 - 8x = 0 3 8 = 8x 3

8 × 3 = x 310 8 ตอบ ดงั นั้น x = 3 แทน  y = 8 - 8 (3) = 8 - 4 = 4 6 ดงั นนั้ A2 = x × y = 3 × 4 = 12 ตร.นิว้ ตัวอยา่ งท่ี 28 ปรมิ าตรกล่องมากที่สุดทีพ่ บั ได้เมื่อตดั มมุ กระดาษ รูปส่เี หล่ียมจัตรุ สั ออกตามรปู สมมติปรมิ าตรกลอ่ ง = V x x V= ก×ย×ส x a - 2x x x V = (a - 2x)(a - 2x) x a a - 2x x x V = (a2 - 4ax + 4x2)x x V = a2x - 4ax2 + 4x3 a V = a2 - 8ax + 12x2 ต้องการปรมิ าตรมากทส่ี ดุ ดังน้ัน ความชัน (V) = 0 a2 - 8ax + 12x2 = 0 (a - 6x)(a - 2x) = 0 ดังนน้ั a - 6x = 0 หรือ a - 2x = 0 a = 6x หรอื a = 2x a = x หรือ a = x 6 2 หรือ x = a หรอื x = a 6 2 ( )ดูคำตอบ a 2x = 2 a =a x = 2 เปน็ ไปไมไ่ ด้ เพราะ 2 เมอ่ื a - 2x = a - a = 0 ดังนัน้ x = a 6 หรือหาค่าสูงสดุ จาก V = a2 - 8ax +12x2

311 V = -8a + 24x แทน x = a → ( )V = -8a + 24 a = -8a + 4a = -4a 6 6 V < 0 แสดงวา่ V เป็นคา่ สงู สุด ตอบ x = a 6 ตัวอยา่ งที่ 29 การผลิตอาหารสำเรจ็ รปู ชนดิ หน่งึ ของบรษิ ทั ขนาดเลก็ เสียค่าใช้จา่ ยหนว่ ยละ 0.2x + 4 + 400 บาท รัฐบาลเกบ็ ภาษีอีกหนว่ ยละ 22 บาท บรษิ ทั ขายหน่วยละ 400 - 2x บาท โดยที่ x x หมายถึง จำนวนหนว่ ยท่ผี ลิตตอ่ เดอื น ถ้าจะใหไ้ ด้กำไรต่อเดอื นมากท่สี ดุ บรษิ ัทจะต้องผลิตสินค้านี้เปน็ จำนวน เท่าใด วิธีคิด สมมติ กำไรตอ่ เดอื น = y บาท กำไร = ขาย - ทนุ (คา่ ใชจ้ ่ายท้ังหมดรวมภาษ)ี ขาย x หนว่ ยๆ ละ 400 - 2x บาท เป็นเงนิ x(400 - 2x) บาท ค่าใช้จา่ ย + ภาษี = x(0.2x + 4 + 40x0) + 22x บาท กำไร = x(400 - 2x) - x(0.2x + 4 + 40x0) + 22x   = (400x - 2x2) - (0.2x2 + 4x + 400 + 22x) = (400x - 2x2) - (0.2x2 + 26x + 400) = -2.2x2 + 374x - 400  y = -2.2x2 + 374x - 400 หาคา่ y มากท่ีสุดจาก ความชนั (y) = 0 y = -4.4x + 374 [กราฟพาราโบลาคว่ำ หาคา่ สงู สดุ ] 0 = -4.4x + 374 4.4x = 374 x = 374 34 = 340 = 85 ตอบ 4.4 0.4 4

312 5. ปฏยิ านุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันหรอื อนิ ทิเกรต 5.1 สญั ลักษณ์ = F(x) โดยท่ี F(x) = f(x) และ  f(x) dx = F(x)  เรียกวา่ เครอื่ งหมาย อนิ ทิกรลั และเรยี ก  f(x) dx วา่ ตัวถูกอนิ ทเิ กรต และเรยี ก F(x) วา่ เป็น ปฏยิ านพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั หรอื อินทิกรลั ไมจ่ ำกดั เขต แต่ ปฏิยานุพนั ธท์ งั้ หมดของ f(x) = F(x) + c เมือ่ c เป็นค่าคงที่ใดๆ 5.2 สูตรในการหาอินทกิ รลั 1.  xn dx = xn+1 +c n+1 2.  k dx = kx + c 3.  k f(x) dx = k  f(x) dx 4.  [f(x) ± g(x)]dx =  f(x) dx ± g(x) dx 5.  un du = un+1 + c เมือ่ u = f(x) n+1 5.3 สูตรในการหาอินทิกรัลพิเศษ 1.  1 dx = In x + c เม่ือ d In x = 1 x dx x 2.  ex dx = ex + c 3.  cos x dx = sin x + c 4.  sin x dx = -cos x + c ตวั อยา่ งท่ี 30 ถ้า F(x) = -2 - x และ F(-1) = 1 จะได้ฟังก์ชัน F(x) เท่ากับเท่าไร x3 วธิ ีคดิ หา F(x) ก่อน, F(x) = -2 - x = -2 - x = -2x -3 - x -2 x3 x3 x3  F(x) dx =  (-2x-3 - x-2) dx F(x) = -2x -3+1 - x -2+1 + c -3 +1 -2 +1

313 F(x) = -2 x -2 - x -1 + c -2 -1 F(x) = x-2 + x-1 + c ---------- ∴ F(-1) = 1 , F(-1) = (-1)-2 + (-1)-1 + c 1 = 1 + (-1) + c c=1 แทน  F(x) = x-2 + x-1 + 1 หรือ F(x) = 1 + 1 + 1 ตอบ x2 x ตวั อย่างที่ 31 กำหนดให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั บนชว่ ง (0, ) โดยท่ี f(2) = 2f(1) และ f(x) = 27x - 1 ถ้า L เป็น x2 เสน้ สัมผัสกราฟ y = f(x) ที่จุด (1, f(1)) แลว้ จุดในขอ้ ใดต่อไปนี้อยบู่ น L (A-NET / 2550) 1. (1, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96) วธิ คี ดิ หา f(x), f(x) = 27x - 1 = 27x - x -2 x2  f(x) dx =  (27x - x-2)dx f(x) = 27 x2 - x -2+1 + C = 27 x2 + x -1 + C ---------- 2 -2 +1 2 แทน f(1), f(2) f(1) = 27 (1)2 + 1-1 + c แต่ f(2) = 2f(1), 2 f(1) = 27 + 1 + c ---------- 2 f(2) = 27 (2)2 + 2-1 + c 2 f(2) = 54 + 1 + c ---------- 2 ( )54 + 1 + c = 2 27 + 1 + c 2 2 54 + 1 + c = 27 + 2 + 2c 2 54 + 1 - 29 = 2c - c 2

314 51 = 25 1 = c 2 2 แทน c ใน , f(x) = 27 x2 + x -1 + 51 ---------- 2 2 หาสมการเสน้ สัมผัสจากความชนั f(x) ท่ี x = 1 f(x) = 27x - x-2 f(1) = 27(1) - 1-2 = 26 สมการเสน้ ตรง ความชัน = y - y1 ทจ่ี ุด (x, y) = (1, f(1)) x - x1 จาก , หา f(1) = 27 (1)2 + 1-1 + 51 = 40 2 2 แทน ความชัน = y - 40 = 26 x -1 y - 40 = 26x - 26 y = 26x - 26 +40 y = 26x + 14 ---------- จากคำถามในตัวเลือก แทน x = 2, 3 ดู x = 2, y = 26(2) + 14 = 52 + 14 = 66 x = 3, y = 26(3) + 14 = 78 + 14 = 92 ตอบ ขอ้ 2 ตวั อย่างท่ี 32 กำหนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ซง่ึ f(2) = -1 , f(1) = -3 และ f(x) = 3 ทุกๆคา่ x แล้ว f(0) มีค่า เทา่ ใด วธิ คี ดิ หา f(x) จาก f(x) และ f(x) จาก f(x) = 3  f(x) dx = 3x + c1 f(x) = 3x + c1 ---------- ----------  f(x) = 3 x2 + c1x + c2 2 f(x) = 3 x2 + c1x + c2 2 แทน f(1) = -3 ใน  -3 = 3(1) + c1

-3 = 3 + c1 315 c1 = -3 - 3 = -6 แทนใน  ตอบ 5 แทน f(2) = -1 ใน , f(2) = 3 (2)2 + (-6)(2) + c2 แทน c1, c2 ใน  , 2 -1 = 6 - 12 + c2 c2 = -1+ 6 = 5 f(x) = 3 x2 + (-6)x + 5 2 f(x) = 3 x2 - 6x + 5 2 f(0) = 3 (0)2 - 6(0) + 5 = 5 2 ตัวอย่างที่ 33 ให้ F เปน็ ปฏิยานพุ ันธ์ของ f โดยท่ี f(x) = 3x2 - 6x + 3 ถ้า F(0) = -1 และ F มีค่าสูงสดุ สมั บรู ณ์ในช่วง [0, 2] ท่ีจุด x = c แลว้ F(c) มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. -1 2. 0 3. 1 4. 2 วิธีคดิ หา F(x) จากอินทิเกรต f(x) f(x) = 3x2 - 6x + 3 f(x) dx = 3 x 3 - 6 x2 + 3x + c1 3 2  F(x) = x3 - 3x2 + 3x + c1 ---------- แทน F(0) = -1 , F(0) = 03 - 3(0)2 + 3(0) + c1 -1 = c1 --------- จาก F มีค่าสงู สุดสัมพทั ธ์ โดย F(x) = f(x) = 0 ช่วงเปดิ (0, 2) ดงั น้นั 3x2 - 6x + 3 = 0 3 หารตลอด, x2 - 2x +1 = 0 (x - 1)(x - 1) = 0 x = 1 แสดงวา่ x = c = 1 คา่ F(c) = F(1) เปน็ ค่าสงู สุดสมั พทั ธใ์ นชว่ งเปิด (0, 2) แตต่ อ้ งหาคา่ สงู สุดสมั บูรณใ์ นชว่ งปดิ [0, 2] เทียบว่าคา่ สงู สดุ สัมพทั ธ์ในช่วงเปิด, จาก f(x) = x3 - 3x2 + 3x + (-1) [c = -1

316 แทนใน  x = 0, f(0) = (0)3 - 3(0)2 + 3(0) + (-1) = -1 x = 1, f(1) = 13 - 3(1)2 + 3(1) + (-1) = 0 x = 2, f(2) = (2)3 - 3(2)2 + 3(2) + (-1) = 8 - 12 + 6 - 1 = 1 ดงั น้นั F(c) เมอื่ c = 2 ท่ีทำใหไ้ ดค้ า่ สูงสดุ สมั บูรณ์ในชว่ ง [0, 2] คือ = 1 ตอบ ขอ้ 3 ตัวอยา่ งที่ 34 กำหนดให้ F(x) = f(x) = (1 - x)2 แล้ว F(x) มีค่าเทา่ ใด (คณิต 2/2542) 1. x3 - x2 + x +c 2. -2(1 - x) + c 3 3. 2x2 - 2x + c 4. (1 - x)3 +c 3 วธิ ีคิด อนิ ทิเกรต F(x) จะได้ F(x) F(x) = (1 - x)2 = 12 - 2(1)(x) + x2 = 1 - 2x + x2 ( ) F(x) dx =  1x 2x2 x3 1 - 2x + x2 dx = 1 - 2 + 3 + c F(x) = x3 - x2 + x + c ตอบ ข้อ1 3 หรือ อีกวธิ ี ให้ u = 1 - x หรือ du = -1 ∴ du = -dx หรอื dx = -du dx  (1 - x)2 dx =  u2(-du) = -  u2 du = - u3 +c 3 = -u3 + c = -(1 - x)3 + c = -(1 - 3x + 3x2 - x3) + c 3 3 3 = - 1 +x- x2 + x3 +c= x3 - x2 + x + (c - 13) , c = c - 1  3 3 3 3  = x3 - x2 + x + c ตอบ 3 ตวั อย่างที่ 35 จงหาค่า 1)  (3x - 1) dx 2)  x(2x2 +1)15 dx 3)  (x3 + 2)23x2 dx 1)  3x - 1 dx

317 วิธีคิด ให้ 1 u = 3x - 1  3x - 1 = u = u2 du = 3 ∴ du = 3dx หรอื dx = 1 du dx 3 ดังนัน้  3x -1 dx = 1 dx = 1 (13 du) = 1 1 du = 1 u 3 + c = 2 3 + c 3 3 3 2 9 u2 u2 u2 u2 2 = 2 (3x - 1) 3 + c ตอบ 9 2 2)  x(2x2 + 1)15 dx วธิ ีคิด ให้ u = 2x2 + 1 du = 4x หรอื du = 4x dx dx ดังนัน้  x(2x2 + 1)15 dx =  u15x dx =  u15 4x dx 4 =  u15 1 du = 1 u16 + c 4 4 16 = 1 (2x2 + 1)16 + c ตอบ 64 3)  (x3 + 2)23x2 dx วิธคี ิด ให้ u = x3 + 2 du = 3x2 หรือ du = 3x2 dx dx ดงั นัน้  (x3 + 2)3x2 dx =  u2 3x2 dx =  u2 du = u3 + c = (x3 + 2)3 + c ตอบ 3 3 ตวั อย่างที่ 36 กำหนดให้ f เป็นฟงั กช์ ันซงึ่ f(x) = 2x +1 ถ้าค่าสูงสดุ สมั พทั ธข์ อง f = 1 ท่ี x = -1 แลว้ คา่ 2 ตำ่ สดุ สมั พัทธ์ของ f มคี า่ เท่ากับเท่าใด (คณิต 1/2546) 1. -1 2. - 1 3. 0 4. 1 3 3

318 วิธีคิด อนิ ทเิ กรต f(x) → แล้วคา่ f(x) f(x) = 2x +1  f(x) dx =  (2x + 1) dx = 2x2 + 1x + c = x2 + x + c 2 1 f(x) = x2 + x + c = 0 f(-1) = (-1)2 + (-1) + c = 0 1-1+c=0 c=0 ดงั นน้ั f(x) = x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 x = 0 หรือ x + 1 = 0 x = 0 หรอื x = -1 เนอ่ื งจาก x = -1 เปน็ ค่าวิกฤตทำให้ f(x) มีค่าสงู สุดสัมพทั ธ์ แต่ x = 0 แทนใน f(x) = 2x +1 f(0) = 2(0) +1 = 1 (บวก) แสดงวา่ x = 0 เปน็ ค่าวกิ ฤตท่ีทำให้ f(x) มีคา่ ต่ำสุดสัมพัทธ์ ค่าตำ่ สดุ เมือ่ x = 0 แทนใน f(x) เพ่อื หา f(x) f(x) = x2 + x  f(x) dx =  (x2 + x) dx f(x) = x3 + x2 + c --------- 3 2 แต่หา x = -1 แล้ว f(x) = 1 หาค่า c 2 1 = (-1)3 + (-1)2 + c 2 3 2 1 = -1 + 1 +c 2 3 2 c = 1 แทนใน  3

f(x) = x3 + x2 + 1 319 3 2 3 ตอบ ข้อ 4 แทน x = 0, f(0) = 03 + 02 + 1 = 1 3 2 3 3 ตอบ 5.4 อนิ ทเิ กรตจำกดั เขต และพืน้ ทีใ่ ตโ้ ค้ง สญั ลกั ษณ์ b = F(x) b = F(b) - F(a) a  f(x) dx a หรอื b f(x) dx = F(x) b = F(b) - F(a) a  a ยกตวั อย่างเช่น 1. 3 (x2 - 1)dx =  x3 - x + c  3 = F(3) - F(0)  3  0  0 =  33 - 3 + c  -  03 - 0 + c  = 9 - 3 = 6  3   3  2. ถา้ a (x2 - 4x) dx = 18 แลว้ a มีค่าเท่าไร  -a a (x2 - 4x) dx =  x3 - 4x2 + c  a = F(a) - F(-a)  3 2  -a  -a 18 =  a3 - 4a2 + c  -  (-a)3 - 4(-a)2 + c   3 2   3 2  = a3 - 2a2 - (-a)3 + 4a2 3 3 2 = a3 - 2a2 + a3 + 2a2 3 3 18 = 2a2 3 18 9 × 3 = a3 2 a3 = 27 a=3

320 ตวั อยา่ งที่ 37 จงหา 3 x2 - 4 dx มคี ่าเทา่ ใด  1 วิธีคดิ ต้องหาชว่ งของคา่ x ทท่ี ำให้ x2 - 4  0 แลว้ คอ่ ยหาคา่ อินทิเกรตช่วง 1 ถงึ 3 กรณี 1, x2 - 4 = x2 - 4 กต็ อ่ เม่อื x2 - 4  0 หรอื (x - 2)(x + 2)  0 +- + เซตคำตอบ x, (- , -2] [2, ) -2 2 กรณี 2, x2 - 4 = -(x2 - 4) ก็ต่อเมื่อ x2 - 4  0 หรอื (x - 2)(x + 2)  0 +- + 2 เซตคำตอบ x, [-2, 2] -2 แตต่ อ้ งการ x = [1, 3] x จงึ อยู่ 2 ช่วง คอื [1, 2] [2, 3] ดังน้ัน 3 x2 - 4 dx = 2 x2 - 4 dx + 3 x2 - 4 dx    1 12 = 2 -(x 2 - 4) dx + 3 (x 2 - 4) dx   12 = 2 (-x 2 + 4) dx + 3 (x 2 - 4) dx   12 =  - x3 + 4x  2 +  x3 - 4x  3  3 1  1  3 1  2 =  - 23 + 4(2)  -  - 12 + 4(1)  +  33 - 4(3)  -  23 - 4(2)   3   3   3   3  ( ) ( )=- 8 + 8 + 1 - 4 + 9 - 12 - 8 + 8 3 3 3 = - 8 + 1 + 4 + 5 - 8 = - 15 + 9 = 12 = 4 ตอบ 3 3 3 3 3 ตวั อย่างที่ 38 กำหนด f(x) = x-3 ; x2 6 -1 ; x < 2 ใหห้ า  f(x) dx 0 วิธคี ิด แบ่ง x เปน็ 2 ชว่ ง 0 ถึง 2 กบั 2 ถงึ 6 แลว้ อินทเิ กรต 626  f(x) dx =  (-1) dx +  (x - 3) dx 002

321 ( )= -1x 2 +  x2 - 3x 6 1 0  2 1 2 ( ) ( )=-1(2) - -1(0)  +  62 - 3(6)  -  22 - 3(2)   1 1   2 1   2 1  = (-2 + 0) + [(18 - 18) - (2 - 6)] = -2 + (0 - (-4)) = -2 + 4 = 2 ตอบ y 3 4.5 ตร.น -10 1 2 34 5 6 x [ ตรวจคำตอบจากรูป 4.5 - 2.5 = 2 ตรงกบั คำตอบ] 2.5 ตร.น 2 ตัวอย่างท่ี 39 ถา้ ความชันของเสน้ โค้ง y = f(x) ท่จี ุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ x2 - 3x + 2 และ  f(x) dx = 4 0 แลว้ จุด (x, y) ในขอ้ ต่อไปนีอ้ ยู่บนเส้นโคง้ y = f(x) แลว้ f(0) มีค่าเท่าใด (คณิต 1/2546) วธิ คี ิด ความชนั ของเส้นโค้ง = f(x) และอนิ ทเิ กรต f(x) = f(x) x2 - 3x + 2 = f(x)  f(x) dx =  (x2 - 3x + 2) dx f(x) = x3 - 3x2 + 2x + c1 3 2 1 2 f(x) dx = 2  x3 - 3x2 + 2x + c1  dx  3 2    0 0 4 = x4 - 3x3 + 2x2 + c1x + c2 2 3x4 2x3 2 0 x4 x3 2 12 2 4 = - + x2 + c1x + c2 0 = F(2) - F(0)

322 4 =  24 - 23 + 22 + c1(2)  -  04 - 03 + 02 + c1(0)   12 2   12 2  4 = 4 - 4 + 4 + 2c1 3 4 - 4 = 2c1 3 8 = 2c1 3 c1 = 8 4 = 4 3 × 2 3 ดังน้นั f(x) = x3 - 3x2 + 2x + 4 3 2 3 (x, y) เปน็ จดุ ใดๆ ควรเลอื ก เมื่อ x = 0 แทนใน f(x) f(0) = 03 - 3(0)2 + 2(0) + 4 = 4 ตอบ 3 2 3 3 ตวั อย่างท่ี 40 กำหนดให้ f(x) = x2 - 1 พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. 1 f(x) dx = 4 3  -1 ข. พ้ืนทที่ ป่ี ิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง y = f(x) จาก x = -1 ถึง x = 1 เท่ากบั 4 ตร.หน่วย 3 ข้อความใดถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด วธิ คี ิด ก. อินทิเกรต f(x) = y = x2 - 1 1 dx = 1 (x 2 - 1) dx = x3 - x 1 3 1 -1  f(x)  -1 -1 = F(1) - F(-1) =  13 - 1 -  (-1)3 - (-1)   3  3 

( ) ( )=1- 1 - - 1 + 1 323 3 3 ตอบ ขอ้ 3 = 1 - 1 + 1 - 1 = 2 - 2 = -4 ข้อ ก ผดิ 3 3 3 3 ข. หาพื้นทีป่ ิดล้อม โดยหาจดุ ตัดแกน x x2 -1= 0 (x - 1)(x + 1) = 0 x - 1 = 0 หรือ x + 1 = 0 x = 1 หรือ x = -1 ดังนั้น พืน้ ที่ปดิ ลอ้ ม ต้ังแต่ x = -1 ถงึ x = 1 ได้โดยอนิ ทิเกรต  (x2 - 1) dx = -4 [ค่าลบ แสดงวา่ เป็นพน้ื ทใ่ี ต้แกน x] 3 ดังนน้ั พน้ื ที่ ปดิ ลอ้ ม = 4 ตร.หนว่ ย ขอ้ ข ถูก 3 ตวั อยา่ งที่ 41 จงหาพื้นที่ของบริเวณท่ีปดิ ลอ้ มด้วย y = 2x - x2 จาก x = 1 ถึง x = 4 วิธีคดิ อินทเิ กรต f(x) = y = 2x - x2 ต้งั แต่ x = 1 ถึง 4 หาคา่ วกิ ฤต (จดุ ตดั แกน x) y = 2x - x2 0 = x(2 - x) x = 0 หรือ 2 - x = 0 x = 0 หรอื 2 = x แสดงว่า พ้นื ทปี่ ดิ ล้อมแบ่งเปน็ 2 ส่วน จาก x = 1 ถึง 2 และ 2 ถึง 4 2 (2x - x2) dx =  2x2 - x3  2 =  x2 - x3  2  2 3  1  3  1  1 = F(2) - F(1) =  22 - 23  -  12 - 13   3   3 

324 y พน้ื ท่ี ดา้ นบน ( ) ( )=4 - 8 - 1 - 1 = 4 - 2 = 2 ---------- 3 3 3 3 3 0 24x 1 4 4 (2x - x2)dx =  x2 - x3  2  3   2 = F(4) - F(2) =  42 - 43  -  22 - 23   3   3  ( ) ( )=16 - 64 - 4 - 8 = -16 - 4 = -20 3 3 3 3 3 พน้ื ทด่ี า้ นลา่ ง = 20 ตร.หนว่ ย 3 รวมพื้นทป่ี ดิ ล้อม = 2 + 20 = 22 ตร.หนว่ ย ตอบ 3 3 3 ตวั อยา่ งที่ 42 จงหาพ้ืนทท่ี ่ีถูกลอ้ มด้วยเส้นโคง้ y = x2 + 2x +1 และเส้นตรง y = 2x + 5 วธิ คี ดิ 1. วาดรูป y = x2 + 2x +1 y y = (x +1)2 5 เลือ่ นไปทางซ้าย 1 ช่อง x จุดยอด (-1, 0) ตดั แกน y = 1 x1 y = 2x + 5 x 0 - 5 -3 -2 -1 0 x 2 y50 2. หาจดุ ตัดของกราฟทงั้ สอง (แกส้ มการ) --------- y = x2 + 2x +1 ---------- y = 2x + 5  = , x2 + 2x +1 = 2x + 5 x2 = 4 แทนคา่ x หาคา่ y ใน  x = ±2 x = 2, y = 2(2) + 5 = 9 x = -2, y = 2(-2) + 5 = 1

325 ดังนน้ั จดุ ตดั ของกราฟทั้งสอง = (-2, 1), (2, 9) 3. การหาพื้นทป่ี ดิ ล้อมของกราฟทงั้ สอง ต้องดูวา่ รูปพนื้ ท่ีปดิ ลอ้ มกราฟใดอยู่ดา้ นบน เอา ฟงั ก์ชันบน - ฟังก์ชันล่าง โดยกำหนดชว่ งของ x [-2, 2] , y = 2x + 5 อยูบ่ นและ y = x2 + 2x +1 อยูล่ า่ ง พ้ืนทปี่ ดิ ลอ้ ม (แรเงา) = 2 [(2x + 5) - (x2 + 2x + 1)] dx  -2 = 2 (4 - x 2) dx  -2 =  4x - x3  2 = F(2) - F(-2)  3  -2 = 4(2) - 23  - 4(-2) - (-2)3  3  3  ( ) ( )=8 - 8 - -8 + 8 3 3 = 8 - 8 + 8 - 8 = 16 - 16 = 32 3 3 3 3 ดังนน้ั พน้ื ทปี่ ิดล้อม = 32 ตร.หน่วย ตอบ 3 ตัวอย่างที่ 43 x+3 ; x < -1 จงหาพื้นท่ปี ิดลอ้ มด้วยกราฟของ f บนช่วง [-4, 0] กำหนดให้ f(x) = -2x3 ; x  -1 วธิ คี ิด อนิ ทเิ กรต 2 ช่วง ของ x คือ [-4, -1] กับ [-1, 0] แต่ละชว่ งตอ้ งคา่ วิกฤต x เม่ือ y = 0 ด้วย y ช่วงของ x [-4, -1], f(x) = x + 3 0=x+3 -3 = x 3 x แสดงว่ามคี า่ วกิ ฤต x = -3 จงึ ต้องอนิ ทิเกรตอกี 2 ช่วง x 0 คอื [-4, -3] กับ [-3, -1] -4 -3 -2 -1 ชว่ งของ x [-1, 0] หาค่าวกิ ฤต x เม่อื y = 0 f(x) = -2x3

326 0 = -2x3 x = 0 ชนขอบบนของ [ -1, 0] พอดี -3 (x + 3) dx =  x2 + 3x  -3 = F(-3) - F(-4)  2  -4  -4  (-3)2 3(-3)  (-4)2  9 16 8 1  2  2  2 2 2 = + - + 3(-4) = - 9 - + 12 = - -1 (x + 3) dx =  x2 + 3x  -1 = F(-1) - F(-3)  2  -3  -3 =  (-1)2 + 3(-1) -  (-3)2 + 3(-3)  = 1 - 3 - 9 + 9 = 2  2  2  2 2 0 (-2x 3) dx =  -2x 4  0 =  -x4  0 = F(0) - F(-1)  4 2  -1  2  -1  -1 = -04 -  -(-1)4  = 0 + 1 = 1 2  2  2 2 ดงั นั้น รวมพน้ื ท่ีปดิ ลอ้ ม = 1 + 2 + 1 = 3 ตร.หนว่ ย ตอบ 2 2 ตวั อยา่ งท่ี 44 จงหาพน้ื ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y = 13 - x2 กบั เส้นตรง y = x + 1 วิธคี ดิ y 1. วาดรูป y = 13 - x2 13 (3, 4) y = -x2 +13 (กราฟคว่ำ, จุดยอดตัดแกน Y ท่ี 13 จุด (0, 13) -4 x y=x+1 x 0 -1 -1 0 y10 (-4, -3) 2. หาจุดตัดกราฟทั้งสอง y = 13 - x2 ---------- y=x+1 ----------  =  , 13 - x2 = x +1 0 = x2 + x - 12

327 0 = (x + 4)(x - 3) x = -4, 3 แทนค่า x หาคา่ y ใน  x = -4, y = -4 + 1 = -3 x = 3, y = 3 + 1 = 4 ดงั น้ัน จดุ ตัดกราฟทั้งสอง (-4, 3), (3, 4) 3. หาพนื้ ที่ปดิ ลอ้ มของกราฟทงั้ สองช่วงของ x [-4, 3] รปู แรเงากราฟโคง้ อยบู่ น กราฟเส้นตรงอยูล่ ่าง ดงั น้นั พื้นที่ปิดลอ้ ม = 3 [(13 - x2) - (x + 1)] dx  -4 = 3 (12 - x - x 2) dx  -4 = (12x - 1 x 2 - 1 x 3) 3 = F(3) - F(-4) 2 3 -4 = [12(3) - 1 (3)2 - 1 (3)3] - [12(-4) - 1 (-4)2 - 1 (-4)3] 2 3 2 3 = (36 - 4.5 - 9) - (-48 - 8 + 21.333) = 22.5 - (-34.667) = 22.5 + 34.667 = 57.167 ตร.หนว่ ย ดังนน้ั พื้นทป่ี ิดล้อม = 57.167 ตร.หน่วย ตอบ

328 วธิ เี รียงสับเปลยี่ น การจดั หมู่และทฤษฎีบททวินาม 1. กฎการนับเบ้ืองตน้ 1.1 การทำงานแบบหนึง่ ประกอบดว้ ย k ขั้นตอน และแตล่ ะข้นั ตอนยงั สามารถเลือกวธิ ี ni วธิ ี, เมอื่ i = 1, 2, 3, ... เช่น ขน้ั ตอนท่ี 1 มี n1 วธิ ี ในแต่ละวธิ ขี องขนั้ ตอนท่ี 1 สามารถทำงานขน้ั ตอนท่ี 2 ได้ n2 วิธี เทา่ ๆกัน และในแต่ละวธิ ีของข้นั ตอนท่ี 2 สามารถทำงานขนั้ ตอนท่ี 3 ได้ n3 วธิ ี เทา่ ๆกัน ... ไปเร่อื ยๆ จน ขัน้ ตอนท่ี k สามารถทำงานได้ nk วิธี ดงั น้นั จำนวนวิธที ง้ั หมด = n1 × n2 × n3 × ... × nk 1.2 การทำงานแบบหน่ึงสามารถเลือกทำได้หลายๆ หนทาง เช่น m1, m2, m3, ...mk ซ่งึ แต่ละหนทางหาได้จาก 1.1 นำหนทางท้งั หมดรวมกัน ดังนัน้ จำนวนวิธที งั หมด = m1 + m2 + m3 + ... + mk 1.3 แฟคทอเรียล - สัญลกั ษณ์ n! หมายความว่า n× (n -1) × (n - 2) ×... ×3 ×2 ×1 - ข้อสังเกต 0! = 1 n! = n × (n - 1)! หรือ 10! = 9 × 8! n! = n × (n - 1)(n - 2)! หรอื 10! = 9 × 8 × 7! 1.4 วิธเี รียงสบั เปลย่ี น หมายถงึ จำนวนวธิ ที ม่ี ีการเรยี งตามลำดับ หรอื ตามตำแหนง่ ที่แตกต่างกัน หรอื ตามชนดิ ที่ แตกตา่ งกนั เช่น 1. ถ้ามสี ิง่ ของ n ชิ้น ตา่ งๆ กนั นำมาวางเรยี งลำดับกนั r ตำแหนง่ จำนวนวิธที ง้ั หมด = n! = n! (ถา้ n = r) (n - r)! สญั ลักษณ์ จำนวนวธิ ที ง้ั หมด = nPr = Pn,r ถ้า n = r จะได้ Pn,n = n! 2. ถา้ มสี ่งิ ของ n ช้นิ ทม่ี ีสงิ่ ของบางสิง่ ซำ้ กัน n1,n2,...nk ส่งิ นำมาวางเรยี งลำดับกนั n ตำแหน่ง จำนวนวิธที งั้ หมด = n! n1! × n2! × n3! × ... × nk!

329 3. ถ้ามีสง่ิ ของ n ชน้ิ ตา่ งๆ กนั นำมาวางเรียงลำดับเปน็ วงกลม n ตำแหนง่ จำนวนวธิ ที ้ังหมด = (n - 1)! แตห่ ากจดั เป็นวงกลมแลว้ ได้ 2 ดา้ นเหมอื นกนั จำนวนวิธีท้ังหมด = (n - 1)! 2 ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาคา่ n เมือ่ (n + 3)! = 30 (n +1)! วธิ คี ดิ กระจาย (n + 3)! ลงเหลอื (n + 1)! แลว้ ตัดกนั (n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)! จาก (n + 3)! = 30 (n + 1)! (n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30 (n + 1)! (n + 3)(n + 2) = 30 (n + 3)(n + 2) = 6 × 5 ดงั น้นั n + 3 = 6 หรือ n + 2 = 5 n = 6 - 3 หรอื n = 5 - 2 n = 3 หรอื n = 3 ตอบ n = 3 ตัวอยา่ งที่ 2 ถา้ 3Pn,4 = Pn-1, 5 แล้ว n(n - 1) มคี ่าเท่ากบั เท่าใด วิธคี ดิ Pn,r = n! (n - r)! Pn,4 = n! (n - 4)! Pn-1,5 = (n - 1)! = (n - 1)! = (n - 1)! ((n - 1) - 5)! (n - 1 - 5)! (n - 6)! จาก 3Pn,4 = Pn-1, 5 ( )3n! = (n - 1)! (n - 4)! (n - 6)!

330 3 = (n - 1)! × (n - 4)! (n - 6)! n! 3 = (n - 1)! × (n - 4)(n - 5)(n - 6)! [เปล่ียนจำนวนมาก (n - 6)! × n (n - 1)! เป็นจำนวนนอ้ ย] 3 = (n - 4)(n - 5) ตอบ n 3n = (n - 4)(n - 5) 3n = n2 - 5n - 4n + 20 0 = n2 - 9n + 20 - 3n 0 = n2 - 12n + 20 0 = (n - 10)(n - 2) n - 10 = 0 หรอื n - 2 = 0 n = 10 หรือ n = 2 n = 2 เปน็ ไปไม่ได้ เพราะ Pn,4 n ตอ้ ง ≥ 4 ดังนั้น n = 10 หรือ n(n - 1) = 10(10 - 1) = 10 × 9 = 90 ตัวอย่างท่ี 3 กำหนดให้ A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, ..., 10} เซต C = {f / f : A ⎯1⎯-1→B และมี x  A ซึง่ f(x) =x} มีจำนวนสมาชิกเทา่ กับข้อใด (คณิต 1/2546) 1. 16 2. 17 3. 18 4. 19 วิธีคิด f(x) = x แสดงวา่ y = x f(1) = 1 f(2) = 2 เซต C = {f / f : A ⎯1⎯-1→B และมี f(1) = 1, f(2) = 2} (ไมใ่ ช่ f 1-1) กรณี (1, 1) จับกับ (2, 1) กรณี (2, 2) จบั กับ (1, 1) (1, 1) \" (2, 2) (2, 2) \" (1, 2) (ไม่ใช่ f 1-1) (1, 1) \" (2, 3) (2, 2) \" (1, 3) (1, 1) \" (2, 4) (2, 2) \" (1, 4) (1, 1) \" (2, 5) (2, 2) \" (1, 5) (1, 1) \" (2, 6) (2, 2) \" (1, 6)

(1, 1) \" (2, 7) 331 (1, 1) \" (2, 8) (1, 1) \" (2, 9) (2, 2) \" (1, 7) (1, 1) \" (2, 10) (2, 2) \" (1, 8) จบั ได้ทงั้ หมด 10 คู่ (2, 2) \" (1, 9) (2, 2) \" (1, 10) จบั ไดท้ ง้ั หมด 10 คู่ แต่จะมซี ำ้ กนั คอื {(1, 1), (2, 2)} กับ {(2, 2), (1, 1)} แต่ {(1, 1), (2, 1)} กบั {(2, 2), (1, 2)} ไม่เปน็ f : A ⎯1⎯-1→B ดังน้นั เซต C มีจำนวนสมาชิก 9 + 9 -1 (ซ้ำ) = 17 ตอบ หรือ เซต C = { {(1, 1), (2, 2)}, {(1, 1), (2, 3)}, {(1, 1), (2, 4)}, ..., {(1, 1), (2, 10)}, {(2, 2), (1, 3)}, {(2, 2), (1, 4)}, {(2, 2), (1, 5)}, ... , {(2, 2), (1, 10)} } ตัวอย่างที่ 4 ในการสรา้ งเลข 4 หลักจากเลข 0 - 9 และไมใ่ ชเ้ ลขซ้ำ จะสร้างเลขทไ่ี ม่มากกว่า 5400 ได้ก่ี จำนวน วิธีคดิ หาจำนวนวิธขี องเลขแตล่ ะหลกั แล้วคณู กัน แต่ต้องไมม่ ากกว่า 5400 แต่อาจตอ้ งแบ่งเป็น หลายหนทาง เอาแต่ละหนทางมาบวกกนั หนทาง 1, ตัวเลข 1,000 - 4,999 หลัก พัน ร้อย สิบ หน่วย รวมจำนวนวธิ ี จำนวนวิธี 4 × 9 × 8 × 7 = 2016 (ลด 1 ตัว) (ลด 2 ตวั ) (ลด 3 ตัว) เลขโดด 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9 5, 6, 7, 8, 9 5, 6, 7, 8, 9

332 หนทาง 2, ตวั เลข 5,000 - 5,400 หลัก พนั ร้อย สบิ หน่วย รวมจำนวนวธิ ี ×7 224 จำนวนวิธี 1 × 4 × 8 (ลด 3 ตวั ) (ลด 2 ตัว) 0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9 เลขโดด 5 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9 รวมท้ังหมด 2016 + 224 = 2, 240 ตวั เลข ตอบ ตวั อย่างที่ 5 วิธใี นการเขยี นจำนวนคูท่ ่ีมีสามหลัก จากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยทต่ี วั เลขหลกั ร้อย และหลกั หนว่ ยเปน็ เลขที่แตกตา่ งกนั และมคี า่ ไมน่ อ้ ยกว่า 200 มีจำนวนวิธีเท่ากับขอ้ ใด (คณิต 1/2547) 1. 72 2. 71 3. 60 4. 59 วิธีคดิ หาจำนวนวิธีของหลักหนว่ ยทเ่ี ปน็ เลขคู่ โดยแบ่งเปน็ หลายหนทาง หนทาง 1, หลกั ร้อย สิบ หนว่ ย รวมจำนวนวิธี 1 24 จำนวนวธิ ี 4 × 6 × 0 36 เลขโดด 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 2 หนทาง 2, จำนวนวิธี 3 × 6 × 2, 4 (ลด 1 ตวั ) เลขโดด 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 รวมท้งั หมด 24 + 36 = 60 วิธี ตอบ ตัวอย่างที่ 6 คนกล่มุ หนึ่งประกอบดว้ ยพี่น้อง 2 คน และเด็กอ่ืนอีก 6 คน ต้องการจดั เดก็ ให้นั่งรอบโตะ๊ กลม โดยท่ไี มใ่ หพ้ ่นี อ้ ง 2 คน นง่ั ตดิ กันจะจดั ไดก้ ่วี ิธี วธิ ีคิด จำนวนวธิ ที ่ีไมใ่ ห้พีน่ อ้ งนัง่ ติดกนั = จำนวนวธิ ที ั้งหมด - จำนวนวธิ ที พ่ี ี่นอ้ งนง่ั ติดกัน จำนวนวธิ ีท้ังหมด = (8 - 1)! = 7! จำนวนวธิ ที พ่ี น่ี ้องน่งั ตดิ กนั = พนี่ อ้ ง 2 คน รวมเป็น 1 กลุม่ กับเด็กอนื่ 6 คน รวมเป็น 6 คน กับ 1 กลุม่

= (7 - 1)! × 2! (พน่ี อ้ งสลับกนั 2!) 333 = 6! 2! ดังนน้ั จำนวนวธิ ที ไี่ ม่ใหพ้ น่ี ้องนัง่ ติดกัน = 7! - 6! 2! วธิ ี ตอบ = 7 × 6! - 6! × 2 × 1 = 6! × (7 - 2) = 5 × 6! ตัวอยา่ งที่ 7 กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {a, b} ฟงั ก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B มีจำนวนทงั้ หมดก่ฟี งั กช์ นั วธิ ีคดิ f : A ⎯ท⎯่ัวถงึ →B เทา่ กับ A 5 ตวั จบั กับ ทงั้ a และ b ใน B (ทว่ั ถึง) A B เนอื่ งจาก A 5 ตัว จับกบั a หรอื b ใน B = 25 ฟงั ก์ชนั 1 แต่ A 5 ตัว จบั กบั a 1 ตวั ใน B ได้ 1 ฟงั ก์ชัน 2 a คือ {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (5, a)} 1 ฟงั ก์ชัน 3 b และ A 5 ตวั จับกับ b 1 ตวั ใน B ได้ 1 ฟังกช์ ัน 4 คือ {(1, b), (2, b), (3, b), (4, b), (5, b)} 1 ฟังก์ชนั 5 [Df = A] [Rf = B] * อีกวธิ ี ใชส้ ูตรดูบทตอ่ ไป ตวั อย่างท่ี 22 ( ) ( ) ( )225 -215 +2 05 1 2 0 1 25 - 2 15 + 1 05 25 - 2 = 30 ดงั นน้ั ฟังก์ชันจาก A ไปท่ัวถงึ B มีจำนวนท้ังหมด = 25 - 2 = 32 - 2 = 30 ฟงั กช์ ัน ตอบ ตวั อย่างที่ 8 จำนวนวิธีการเลอื กอกั ษร 4 ตัว จากตัวอกั ษร BEERBARREL เท่ากบั เทา่ ใด วิธีคดิ เลอื กอักษรหลายๆ หนทางแลว้ นำจำนวนวิธีบวกกัน หนทาง 1, เลือกอกั ษรไมซ่ ้ำกันจาก B, E, R, A, L 5 เลือก 4 ตัว

334 ( ) ( )5= 5 = 5 วธิ ี 1 4 หนทาง 2, เลอื กอักษรซำ้ 1 คู่ จาก BB, EEE, RRR 3 เลือก 1 คู่ ( )3 = 3 วธิ ี 1 เหลืออกี 2 ตัวจากอักษรซ้ำทเ่ี หลือข้างต้นกับอักษรเด่ยี ว A, L รวมเปน็ 4 ตัว ( )4 ตวั เลอื ก 2 ตัว = 4 = 4 × 3 = 6 วิธี 2 1 × 2 รวม 4 อักษร ซำ้ 1 คู่ ไมซ่ ้ำ 1 คู่ = 3 × 6 = 18 วิธี หนทาง 3, เลอื กอกั ษรซำ้ 2 คู่ จาก BB, EEE, RRR 3 เลอื ก 2 คู่ ( )3 = 3×2 = 3 วิธี 1×2 2 หนทาง 4, เลือกอักษรซำ้ 3 ตัว จาก EEE, RRR 2 เลือก 1 ได้ 2 วิธี เหลืออกี 1 ตวั จากอกั ษรซำ้ 3 ตัว ท่เี หลือขา้ งต้นกับอักษรทเ่ี หลืออยา่ งละ 1 ตัว 4 เลอื ก 1 = 4 วธิ ี รวม 2 × 4 = 8 วธิ ี รวมทัง้ หมด = 5 + 18 + 3 + 8 = 34 วิธี ตอบ ตวั อย่างที่ 9 มีหนงั สือคณิตศาสตร์เหมือนกนั 2 เล่ม หนงั สือเคมเี หมือนกนั 2 เลม่ หนงั สือฟิสิกส์ 1 เล่ม และ หนงั สอื ชีววทิ ยา 1 เลม่ จำนวนวธิ ีจดั เรียงหนังสือ 6 เลม่ บนช้ันเดียวกนั โดยท่หี นงั สอื ฟสิ ิกส์อยู่ติดกับหนังสือ ชีววิทยาเสมอเท่ากบั เทา่ ใด (คณิต 2/2544) วิธคี ดิ จำนวนวิธี = n1! × n! × n3! n2! แต่เงอื่ นไข หนงั สือฟิสกิ ส์อยูต่ ดิ กบั หนังสอื ชีววทิ ยาถอื เป็น 1 มดั 2 เลม่ (× 2!) ดังนนั้ หนังสือจงึ มี 4 เล่ม กบั 1 มัด จำนวนวิธี = 5! (×2!) = 5×4 ×3× 2! = 60 ตอบ 2! 2! 2! ตวั อย่างที่ 10 กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A → A / f(x)  x + 1} ทกุ x  A จำนวน ฟังก์ชนั ทงั้ หมดที่เปน็ สมาชกิ ของ S เทา่ กับเทา่ ใด (คณติ 1/2544) วธิ คี ดิ S = {f : A → A / f(x)  x + 1}

335 x f(x)  x +1 (x, f(x)) จำนวนคู่ 2 1 1, 2 (1, 1), (1, 2) 2 1, 2, 3 (2, 1), (2, 2), (2, 3) 3 3 1, 2, 3, 4 (3, 1), (3, 2), (3, 3). (3, 4) 4 4 1, 2, 3, 4 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) 4 จำนวนฟังกช์ นั ทั้งหมดท่เี ป็นสมาชิกของ S = 2 × 3 × 4 × 4 = 96 ตอบ (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (2, 1) (3, 4) (4, 4) (1, 1) (2, 2) . . (2, 3) . . (2, 1) . . (1, 2) (2, 2) . . (2, 3) . . 2 × 3 × 4 × 4 = 96 ตวั อยา่ งที่ 11 มธี งแบบต่างๆ 6 ผืน เป็นสขี าว 2 ผืน สแี ดง 2 ผนื นอกน้ันเป็นสเี ขียวและสีฟ้า นำธงทั้งหมด มาประดบั รอบวงเวยี น โดยธงสเี ดียวกันต้องไมอ่ ยตู่ ดิ กัน จำนวนวิธจี ดั ธงดงั กล่าวมีกว่ี ิธี (คณิต 2/2545) วิธคี ดิ จำนวนวิธธี งสเี ดยี วกนั ตอ้ งไม่ตดิ กัน = จำนวนวิธที งั้ หมด - จำนวนวิธธี งสีเดยี วกันติดกัน หนทาง 1, สเี ดยี วกนั ตดิ กันอย่างน้อย 1 คู่ = 2× (5 - 1)! = 4! (ซ้ำ 1 คู่ ÷ 2! และซำ้ 2 คู่ 2! เลือก 1 คู่ ×2) = 24 วิธี (มีซ้ำ 2 คู่ คิดซ้ำอยู่) หนทาง 2, สีเดยี วกันตดิ กนั 2 คู่ = (4 - 1)! = 3! = 6 วธิ ี (ซำ้ 2 คู่ ตอ้ งลบออก) สีเดียวกันติดกนั เพยี ง 1 คู่ = 24 - 6 = 18 วธิ ี จำนวนวธิ ที ัง้ หมด = (6 - 1)! = 1 × 5! = 30 วิธี ดังนนั้ จำนวนวธิ ีสีเดียวกันตอ้ งไม่ตดิ กนั 2!2! 4 = 30 - 18 = 12 วธิ ี

336 1.5 วธิ จี ัดหมู่ หมายถงึ จำนวนวธิ ที ่ีไม่มีการเรยี งตามลำดับ หรือตามตำแหนง่ ทแ่ี ตกตา่ งกัน หรอื ตามชนิดที่ แตกตา่ งกัน 1. ถ้ามสี ิง่ ของ n ช้ิน ต่างกันเลือกสิง่ ของมาคราวละ r ชิ้น รวมๆกัน จำนวนทง้ั หมด = (n n! - r)!r! ( )สญั ลักษณ์ n nCr = Cn,r = r 2. ถา้ มีส่งิ ของ n ชนิ้ ต่างกันเลือกสงิ่ ของมาคราวละ r ชน้ิ ท่ี r ต่างๆกนั ตง้ั แต่ r = 0 ถงึ r=n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )จำนวนวิธีจัดหมู่รวม=n+n + n + n + ... + n = 2n วธิ ี 0 1 2 3 n ( ) ( ) ( ) ( )จำนวนวธิ จี ัดหม่อู ย่างนอ้ ย 1 ชน้ิ =n+n+ n + ... + n = 2n - 1 วธิ ี 1 2 3 n ( ) ( ) ( ) ( )จำนวนวธิ ีจดั หมู่อยา่ งน้อย r ช้ิน=n+ n + n + ... + n วธิ ี r r+1 r+2 n 3. ทฤษฎบี ททวินาม ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(a+b)n =nanb0 +n n n n 0 1 an-1b1 + 2 an-2b2 + 3 an-3b3 + ... + n a0bn ตวั อย่างท่ี 12 C10 = 10Cr+2 อยากทราบวา่ 10Pr จะเปน็ ข้อใด 2r-1 1. 120 2. 720 3. 5,400 4. หาค่าไม่ได้เพราะไมส่ ามารถหาคา่ r ได้ วิธีคดิ 10Cr = C10 หรือ r + (10 - r) = 10 10-r เช่น 5C2 = 5C3 เพราะ 5C2 = (5 5! = 5! - 2)!2! 3!2! เท่ากนั 5C3 = 5! = 5! (5 - 3)!3! 2!3! จากโจทย์ C10 = 10Cr+2 2r-1 ดังนั้น (2r - 1) + (r + 2) = 10 2r - 1 + r + 2 =10 3r + 1 = 10

3r = 10 - 1 337 r = 9 = 3 ตอบ ข้อ 2 3 หรอื 10Pr = 10P3 = 10! = 10! = 10 × 9 × 8 × 7! = 720 วธิ ี (10 - 3)! 7! 7! ตวั อยา่ งท่ี 13 ถา้ S คือเซตของลอ็ ตเตอรร่ี ฐั บาล ซ่งึ มีเลข 6 หลัก และมีเลข 0 อยู่ 4 ตัว แลว้ จำนวนสมาชิก ของ S เทา่ กบั เท่าใด (คณติ 1/2547) วิธีคิด เลข 0 4 ตำแหนง่ เหลอื อกี 2 ตำแหนง่ จากเลข 9 ตวั ต้งั แต่ 1 ถึง 9 ( )จากเลข 9 ตัวเลอื ก 2 ตัว ไม่ซำ้ = 9 = 9×8 = 36 วธิ ี 2 1×2 จากเลข 9 ตวั เลอื ก 2 ตวั ซ้ำกนั = 9 × 1 =9 วิธี ( )หนทาง 1, จำนวนวิธที ่ี 2 ตำแหน่งซำ้ กัน = 9 × 6! = 9 × 63 × 5 × 4! = 135 วิธี 4!2! 4! × 2 ×1 ( )หนทาง 2, จำนวนวธิ ที ่ี 2 ตำแหนง่ ตา่ งกัน = 36 × 6! = 36 × 6 × 5 × 4! = 1080 วธิ ี 4! 4! รวมจำนวนวธิ ีท้ัง 2 หนทาง = 135 + 1, 080 = 1, 215 วธิ ี ตอบ ตวั อย่างที่ 14 นกั เรยี น 7 คน เข้าห้องพัก 3 หอ้ ง ซึ่งมีขนาด 3 คน 2 คน 2 คน และแต่ละหอ้ งถือว่าตา่ งกัน จะจัดไดก้ ีว่ ธิ ี วธิ ีคดิ แบง่ 7 คน 3 กลมุ่ กลุ่ม 3 คน 1 กลุ่ม และกลุ่ม 2 คน 2 กลุ่มต่างกนั จำนวนวธิ ี = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3! = 210 วธิ ี ตอบ 3!2!2! 3!(2 ×1)(2 ×1) ตัวอย่างท่ี 15 มีคนงานหญิง 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซงึ่ มีนายดำรวมอยู่ด้วย ถา้ จะเลือกคนงาน 4 คนไป ทำงาน ทต่ี ่างกัน 4 ประเภท โดยให้เปน็ หญงิ 2 คน และเปน็ ชาย 2 คน และใหน้ ายดำอยู่ใน 4 คนน้ีดว้ ย จำนวนวธิ เี ลือกคนงานดังกลา่ วเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1, 920 วธิ ี 2. 2, 400 วธิ ี 3. 2, 520 วิธี 4. 2, 880 วิธี วธิ ีคดิ แยกชายกับหญงิ โดยรวมนายดำไปด้วย แล้วมาคูณกัน ( )หญงิ 6 คนเลือก 2 คน = 6 = 6×5 = 15 วิธี 2 1×2

338 ชาย 8 คนเลือกนายดำเหลอื อีก 7 คนเลือก 1 คน ได้ 7 วธิ ี ตอบ หญิง 2 คนกับชาย 2 คน รวม 4 คน เลอื กงาน 4 ประเภทได้ = 4! วิธี รวมจำนวนวิธี = 15 × 7× 4! = 2, 520 วิธี ตวั อยา่ งที่ 16 ในการสอบไล่ครั้งหนึ่ง อาจารยอ์ อกข้อสอบท้งั หมด 13 ข้อ ให้นกั เรยี นเลือกทำให้ครบ 10 ข้อ และใน 5 ขอ้ แรก มีข้อบงั คับเลอื ก 3 ข้อ นกั เรียนจะเลอื กทำข้อสอบทง้ั หมดกวี่ ธิ ี ( )วธิ ีคดิ = 5 = 5 × 42 × 3 = 10 5 ข้อแรกเลือก 3 ขอ้ 3 1× 2 × 3 วธิ ี ( ) ( )เหลือ 8 ขอ้ เลือก 7 ข้อ= 8 = 8 =8 วธิ ี 7 1 จำนวนวิธที ัง้ หมด ( ) ( )=5 × 8 = 10 × 8 = 80 วิธี ตอบ 3 7 ตวั อย่างที่ 17 ข้อสอบชุดหนึง่ มี 2 ตอน ตอนละ 4 ขอ้ มคี ำส่งั ให้ผู้สอบทำข้อสอบตอนท่หี นง่ึ อย่างน้อย 1 ข้อ และทำขอ้ สอบตอนท่ีสอง 2 ขอ้ จำนวนวธิ ที ่ผี ู้สอบชุดนี้เทา่ กับเทา่ ใด วิธคี ิด หา 2 ตอน แลว้ คูณกัน โดยวธิ ีจัดหมู่ ตอนท่ีหนง่ึ อย่างนอ้ ย 1 ข้อ × ตอนท่ี 2 4 ขอ้ เลือก 2 ข้อ ( )= (24 -1) ×4 2 ( )=15× 4×3 = 15 × 6 = 90 วิธี ตอบ 1×2 ตัวอย่างที่ 18 ขอ้ สอบปรนยั วชิ าหน่ึงมี 6 ขอ้ ข้อท่ี 1 และขอ้ ท่ี 2 มีคะแนนเต็ม 3 คะแนน ขอ้ อ่ืนมีคะแนน เตม็ ข้อละ 1 คะแนน หากนักเรยี นตอบขอ้ ใดถูกต้อง จะได้คะแนนเตม็ ของขอ้ นน้ั หากตอบผิดจะไมไ่ ดค้ ะแนน จำนวนวธิ ีทน่ี ักเรยี นจะทำคะแนนวิชานี้ได้ 60% พอดเี ทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 6 2. 7 3. 8 4. 9 วธิ ีคิด หาคะแนน 60% จากคะแนนเตม็ คะแนนเตม็ = (2 × 3) + 4 = 10 คะแนน ดงั นัน้ 60% = 60 × 10 = 6 คะแนน 100

339 วิธีท่ีจะได้ 6 คะแนน ดังนี้ ข้อ 1 ถูก ข้อ 2 ถกู ข้ออน่ื ผดิ 1 วิธี ( ) ( )ข้อ 1 หรอื ข้อ 2 ถูก ข้ออ่ืน 3 ขอ้ ถูก = 2 × 4 =2× 4 = 8 วธิ ี 3 1 รวม 1 + 8 = 9 วิธี ตอบ ข้อ 4 ( )ตัวอย่างท่ี 19 กำหนดให้ n เป็นจำนวนเตม็ บวก ซงึ่ ทำให้พจน์ทีไ่ ม่มี x ในการกระจาย x2 1 n 2x + คือ พจน์ ที่ 9 สัมประสิทธิข์ อง x15 ในการกระจายน้ีเทา่ กับเท่าใด ( ) ( ) ( ) ( )วิธีคิดnanb0 +n n n 0 1 an-1b1 + 2 an-2b2 + ... + 8 an-8b8 + ... ( )พจนท์ ่ี 9 =n an-8b8 ไม่มี x ในการกระจาย 8 ถ้า a = x2 และ b = 1 2x ( )หรือb8 = 1 8 1 ซง่ึ an-8 = a4 = (x2)4 = x8 2x 28x8 = ( )จะทำให้a4b8 = (x8)  1 8  = 1 28x 28 ดังน้ัน n - 8 = 4 n = 4 + 8 = 12 ( ) ( )ตอ้ งการ x15 แสดงว่า (x2)9 1 3 x 1815  1  x15 1 2x 23x3 8 = = ( ) ( ) ( )ดังน้นั12 1 3  12 2  3 (x2)9 2x  1 × 11 × 10  (x15) 1 =  × 2 × 3  8 ( )= (220)(x15) 1 = 27.5x15 8 ตอบ สมั ประสิทธทิ์ ีม่ ี x15 = 27.5 ตอบ

340 ตัวอย่างที่ 20 ตอ้ งการจัดคนงาน 7 คน เพ่อื ไปทำงาน 3 แห่ง ทีแ่ ตกต่างกนั โดยงานแตล่ ะแห่งจะใชค้ นงาน กีค่ นก็ได้ จะมีวิธีการจดั คนงานไปแตล่ ะแหง่ ไดก้ วี่ ธิ ี วธิ คี ดิ จดั วิธที ีแ่ ตกต่างกัน โดยแบ่งคนงานไม่ซำ้ กนั งาน 1 งาน 2 งาน 3 สับเปลยี่ น จำนวนวธิ ี คนงาน 1 คน 1 คน 5 คน 3 วิธี 7! × 3 = 126 1!1!5! คนงาน 1 คน 2 คน 4 คน 3 วิธี 7! × 3 = 630 1!2!4! คนงาน 1 คน 3 คน 3 คน 3 วิธี 7! × 3 = 420 1!3!3! คนงาน 2 คน 2 คน 3 คน 3 วิธี 7! × 3 = 630 2!2!3! รวมทง้ั หมด 1806 วธิ ี ตอบ 126 + 630 + 420 + 630 = 1,806 วิธี ตวั อยา่ งท่ี 21 ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {3, 4} ถ้า S = {f : A B → A × B / f เปน็ ฟังก์ชันหนึง่ ตอ่ หนึ่ง} แล้วจำนวนสมาชิกของ S เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. 120 2. 240 3. 360 4. 480 วธิ คี ดิ A B = {1,2,3,4} A × B = { (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} f : A B → A × B = {(1, (1, 3)), (1, (1, 4)), (1, (2, 3)), (1, (2, 4))...(4, (3, 4))} จำนวนสมาชิกของ S เม่อื f เป็นฟังกช์ นั หนง่ึ ต่อหนึง่ = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ตอบ

341 1 2 34 (1, 4) (2, 3) (2, 4) (2, 3) (2, 4) (3, 3) (1, 3) (2, 4) (3, 3) (3, 4) (3, 3) (3, 4) . (3, 4) . . (1, 4) . . . (2, 3) . . . (2, 4) . . . (3, 3) . . . (3, 4) . . . 6×5×4× 3 = 360 วธิ ี ตัวอย่างที่ 22 ในงานเลย้ี งสังสรรคเ์ พื่อนฝูงของนาย ก. มเี พ่อื นรว่ มงาน 8 คน ทุกคนใส่รองเทา้ ขนาด และสี เดยี วกนั มาในงานน้ี ก่อนเขา้ มาในงานเขา้ บา้ นของนาย ก. ก็ต้องถอดรองเทา้ วางไว้ที่ชน้ั วางรองเท้า เม่อื งาน เลิกทกุ คนก็แยกย้ายกนั กลับบ้าน จงหาวิธที เี่ พอื่ นทงั้ 8 คน จะใส่รองเทา้ ถูกคขู่ องตนเองเพยี ง 2 ค่เู ท่านน้ั ( )วิธคี ิด 8 = 8×7 = 28 วิธี เลือก 8 คน มา 2 คน ท่ใี ส่รองเท้าถูกคู่ของตนเอง 2 1×2 เหลอื 6 คน ใส่รองเทา้ ไม่ตรงคขู่ องตนเอง ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=6!-65! -64! + 6 3! - 6 2! + 6 1! - 6 0!  1 2 3 4 5 6 = 6! -  6! - 6! + 6! - 6! + 6! - 6!   1! 2! 3! 4! 5! 6!  = 6! - 6! + (6 × 5 × 4 × 3) - (6 × 5 × 4) + (6 × 5) - 6 +1 = 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265 วิธี ∴ จำนวนทเ่ี พื่อน 2 คน ใส่รองเท้าไดเ้ ปน็ ของตนเอง = 28 × 265 = 7, 420 วธิ ี ตอบ

342 หมายเหตุ : 1. สูตรการหาจำนวนวธิ ที ี่ n ตัว จบั คู่ n ตัว แลว้ ไมต่ รงกับตัวมนั เอง ( ) ( ) ( ) ( )=n n n n 0! n! -  1 (n - 1)! - 2 (n - 2)! + 3 (n - 3)! - ... + (-1)n+1 n 2. สตู รการหาจำนวนวิธีที่ n ตวั จบั คู่ m ตัว (ดูตวั อยา่ งที่ 7) mn( ) ( ) ( ) ( )=n n n n  -  1 (m - 1)n - 2 (m - 2)2 + 3 (m - 3)n - ... + (-1)n+1 n 0n 

343 ความน่าจะเป็น 1. สัญลักษณ์ P(E) = n(E) n(S) เมือ่ P(E) = ความนา่ จะเป็นของเหตุการณท์ เ่ี กิดขน้ึ ได้ n(E) = จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่เกดิ ข้ึนได้ n(S) = จำนวนสมาชิกของทั้งหมดท่สี ามารถเกดิ ข้นึ ได้ (ปริภูมติ วั อยา่ ง) 2. กฎความน่าจะเป็น 2.1 P(E) + P(E) = 1 เม่ือ E = เหตกุ ารณ์ท่ไี มเ่ กิดขน้ึ 2.2 P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2) 2.3 P(E2 / E1) = n(E1  E2) = P(E1  E2) n(E1) P(E1) เมอ่ื E2 / E1 = เหตกุ ารณ์ E2 เมอื่ เกดิ เหตกุ ารณ์ E1 แล้ว หรือ E2 ใน E1 2.4 P(E1 E2) = P(E1) × P(E2) เมอื่ เหตกุ ารณ์ E1 ไม่มผี ลต่อเหตุการณ์ E2 หรือ เหตุการณ์ E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณ์อิสระตอ่ กัน ตวั อย่างที่ 1 จากการสำรวจเลอื กชาวสวนในหมูบ่ า้ นแหง่ หนึ่ง พบว่า ความน่าจะเป็นท่ีจะได้ชาวสวนเงาะ = 0.6 ความนา่ จะเปน็ ท่จี ะไดช้ าวสวนทเุ รยี น = 0.4 ความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะเปน็ ท่ีจะไดช้ าวสวนเงาะ หรอื ทเุ รียน เพยี งชนดิ เดยี ว = 0.6 จงหา 1) ความน่าจะเป็นที่จะไดช้ าวสวนเงาะและทเุ รียน 2) ถา้ ชาวสวนมที ง้ั หมด 200 ครอบครวั จะมชี าวสวนท่ไี มไ่ ดเ้ ปน็ ชาวสวนเงาะ หรือทุเรยี นก่ี ครอบครัว

344 วิธคี ิด 1) วาดรปู เซตใชห้ ลกั เซตความนา่ จะเป็นที่จะได้ชาวสวนเงาะ หรอื ทเุ รียนเพียงอยา่ งเดียว ������ 200 = 0.6 (0.6 - x) + (0.4 - x) = 0.6 0.6 - x 0.6 x 0.4 0.4 - x 0.6 - x + 0.4 - x = 0.6 y 1 - 2x = 0.6 E1 = ชาวสวนเงาะ E2 = ชาวสวนทุเรียน 1 - 0.6 = 2x x = P(E1  E2) y = P(E1 E2) 0.4 = 2x 0.2 = 0.4 = x 2 ตอบ 0.2 2) ชาวสวนท่ไี มไ่ ด้เป็นชาวสวนเงาะ หรอื ทุเรียน (y) ตอบ y = P(S) - (P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)) y = 1 - (0.6 + 0.4 - 0.2) y = 1 - 0.8 = 0.2 → n(y) = 0.2 × 200 = 40 ครอบครัว ตวั อย่างท่ี 2 ให้ A และ B เปน็ เหตกุ ารณ์ใดๆ ในแซมเปิลสเปซ S ถา้ P(A B) = P(A B) = P(A B) = 0.2 แล้ว P(A B) มีค่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 0.3 2. 0.4 3. 0.5 4. 0.6 วิธคี ิด A  B = B  A = B - A AB A  B = A - B P(A B) = 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.6 0.2 0.2 0.2 P(A B) = 1 - P(A B) = 1 - 0.6 = 0.4 ตอบ ข้อ 2

345 ตวั อย่างที่ 3 กล่องใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู่ 10 หลอด เป็นหลอดดี 8 หลอด และหลอดเสีย 2 หลอด สุ่มหยบิ หลอดไฟขึน้ มาครั้งละ 1 หลอด 3 ครั้ง โดยที่การหยิบแตล่ ะคร้ังให้ใสค่ นื หลอดไฟลงไปในกล่องท่จี ะหยิบคร้ัง ตอ่ ไป ความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะได้หลอดเสยี 2 คร้ัง มคี ่าเท่ากบั เท่าไร (A-NET / 2551) 1. 3 2. 6 3. 12 4. 16 125 125 125 125 วิธีคิด วธิ หี ยิบท้งั หมด โดยคนื หลอด 3 ครง้ั = 10 × 10 × 10 = 1,000 วธิ ี วธิ หี ยิบหลอดเสีย 2 คร้ัง ครั้งท่ี  คร้ังท่ี  ครัง้ ท่ี  หลอดดี = ด 1. ด ส ส หลอดเสยี = ส 2. ส ส ด 3 แบบ 3. ส ด ส มี 3 แบบ แบบที่ 1 ได้ 8 × 2 × 2 = 32 วิธี แบบที่ 2 ได้ 2 × 2 × 8 = 32 วธิ ี แบบท่ี 3 ได้ 2 × 8 × 2 = 32 วธิ ี รวม 32 + 32 + 32 = 96 วิธี ความน่าจะเป็นในการหยบิ หลอดเสยี 2 ครง้ั = 96 = 12 ตอบ ขอ้ 3 1, 000 125 ตัวอยา่ งท่ี 4 กลอ่ งใบหนึ่งบรรจุขนมช้นั 24 ชน้ิ แต่ละชิ้นมี 4 ชน้ั ๆ ละสี ซึง่ มีสเี ขียว ขาว แดง เหลือง และ การเรยี งลำดบั สีของแต่ละชนิ้ ท้ัง 24 ช้ิน แตกต่างกนั หมด ถา้ หยิบขนม 1 ช้นิ จากกล่องน้ี โดยสมุ่ แล้วความ นา่ จะเปน็ ทช่ี น้ิ ทห่ี ยบิ ไดม้ ี 2 ชน้ั บนไมใ่ ชส่ ีแดง และไมใ่ ชส่ เี หลืองเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 24 12 6 4 วิธคี ดิ ขนมชน้ั มี 24 ชิ้น โดยแต่ละชนิ้ มี 4 ชนั้ 4 สี ตอ้ งไม่ซำ้ ได้ทงั้ หมด 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ช้นิ 2 ชั้นบน ในแตล่ ะชิ้น ไมใ่ ช่สีแดง และไม่ใชส่ เี หลือง แสดงว่า เป็นชนั้ สีเขียว กบั สขี าว ได้ 2 วธิ ี ในแต่ละช้นิ เขยี ว - ขาว กบั ขาว - เขยี ว ส่วนท่เี หลอื อกี 2 ชั้น ในแตล่ ะชิน้ = 2 × 1 ชิน้ รวมเปน็ 2 × (2 × 1) = 4 ช้นิ

346 ด้ังน้นั ความน่าจะเป็นทจี่ ะเปน็ ช้ินทห่ี ยบิ มาไดม้ ี 2 ช้นั เปน็ เขยี ว - ขาว หรือ ขาว - เขยี ว = 4 = 1 ตอบ 24 6 * คำอธิบายเพ่ิมเติม จำนวนวธิ ีทัง้ หมดท่ไี ม่ซ้ำกัน 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ช้นั 1 ชน้ั 2 ชน้ั 3 ชนั้ 4 เขยี ว ขาว แดง เหลอื ง แดง เหลือง แดง เหลอื ง ขาว เขยี ว แดง เหลอื ง แดง เหลอื ง แดง เหลือง แดง เหลอื ง ตวั อยา่ งที่ 5 ให้ S แทนปรภิ ูมติ วั อยา่ ง และ A, B และ C เป็นเหตุการณ์ โดยให้ A  B  C = S และ A  B = A  C = B  C =  ถ้า P(A B) = 0.7 และ P(B C) = 0.5 แล้ว P(A  C) มคี า่ เทา่ ใด (A-NET / 2551) วิธีคดิ P(A  C) = P(A  C) = P(B) เนอื่ งจาก AB= AC=BC= A B แสดงวา่ P(A B C) = P(A) +P(B) +P(C) = 1.0 และ P(A B) = P(A) +P(B) = 0.7 หรอื P(A) + P(B) = 0.7 ---------- C และ P(B C) = P(B) +P(C) = 0.5 P(B) + P(C) = 0.5 ---------- และ P(A) + P(B) + P(C) = 1.0 ----------  +  P(A) + P(B) + P(C) + P(B) = 0.7 + 0.5 = 1.2