65-07-23-คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย

147 [cos - 50o = cos (0o - 50o) = cos50o (Q4)] = 2 cos 60o cos 50o ( )= 21 cos 50o = cos 50o 2 จาก  sin140o - (cos10o + cos110o) = sin140o - cos 50o = sin140o - cos (90o - 40o) = sin140o - sin 40o = 2 sin  140o - 40o  cos  140o + 40o   2   2  = 2 sin 50o cos 90o = 2 sin 50o (0) ตอบ =0 4.14 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ ปกติ y y = sin x อนิ เวอร์ส y y = arc sin x = sin-1x (ผกผนั ) ค่า x (โดเมน) = [-1, 1] 1 0 x -1 0 1 x มมุ y (เรนจ์) = [-  , 2 ] 2 -1 ปกติ y = cos x อนิ เวอร์ส y = arc cos x = cos-1x คา่ x (โดเมน) = [-1, 1] y (ผกผนั ) y มุม y (เรนจ์) = [0, ] 1 -1 0 x 0x 1 -1 ปกติ y y = tan x อนิ เวอรส์ y y = arc tan x = tan-1x (ผกผัน) คา่ x (โดเมน) = R 1 -1 0 1 x มมุ y (เรนจ)์ = (-  , 2 ) -10 x 2

148 ปกติ y y = cosec x อนิ เวอรส์ y y = arc cosec x = cosec-1x ค่า x (โดเมน) = R - (-1, 1) 1 (ผกผัน) x มุม y (เรนจ)์ = [-  , 2 ] - {0} 0x -1 0 2 1 -1 ปกติ y y = sec x อินเวอรส์ y = arc sec x = sec-1x 1 (ผกผัน) y คา่ x (โดเมน) = R - (-1, 1) 0x -1 0 x  มุม y (เรนจ)์ = [0,] -  2 -1 1 ปกติ y = cot x อินเวอร์ส y y = arc cot x = cot-1x (ผกผัน) ค่า x (โดเมน) = R y 0 x มุม y (เรนจ)์ = (0, ) 0x ตวั อย่างที่ 14 กำหนด sin x = - 1 จงหาคา่ x ของ 2 1. arc tan x 2. arc cos x y วิธคี ิด sin x = - 1 1 sin x 2 tan x sin x = -sin  0 x 6 -1 cos x = sin(0 - 6), sin( + 6) sin x = sin(- 6), sin(76) x = - , 7 6 6

ข้อ ก.  arctan x = -  , 7 149 6 6 ตอบ ตอบ ( )=- -  <  6 arctan x < 2 2 ดงั นน้ั x = tan(- 6) = - 1 3 ข้อ ข. และ arccos x = -  , 7 6 6 = ไม่มีคำตอบ (0  arccos x  ) ดงั นั้น x = ไมม่ คี ำตอบ 4.15 ความสมั พันธข์ องฟงั ก์ชันและอินเวอรส์ ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ เนือ่ งจาก ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิไมเ่ ป็น ฟงั กช์ ัน 1-1 จงึ ทำให้ ไม่สามารถทำอนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั ได้ แตส่ ามารถกำหนดโดเมนของฟังก์ชันให้เหมาะสม ได้ ซง่ึ ทำให้สามารถทำอินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันได้ ฟงั กช์ นั โดเมน (เซต x ) เรนจ์ (เซต y ) y = arc sin x [-1, 1] [-  , 2 ] 2 y = arc cos x [-1, 1] [0, ] y = arc tan x R (-  , 2 ) 2 ( )arc tan x ± arc tan y = arc tan x±y 1 xy sin (arc sin x) = x เม่อื -1  x 1 และ arc sin (sin x) = x เมอ่ื -   x   2 2 cos (arc cos x) = x เม่ือ -1  x  1 และ arc cos (cos x) = x เม่ือ 0  x   tan (arc tan x) = x เมอื่ x R และ arc tan (tan x) = x เมือ่ -  < x <  2 2

( )ตัวอยา่ งที่ 15 จงหาคา่ ของ cos2arcsin3 150 5 ตอบ ให้ arc sin 3 = x 5 5 3 = sin x 3 5 x 4 ( )แต่cos 2 arc sin 3 = cos 2x 5 cos 2x = cos2 x - sin2 x ( ) ( )=4 2 3 2 5 5 - = 16 - 9 = 7 25 25 25 ตวั อย่างที่ 16 จงหาค่า x จากสมการ arc tan (x + 1) - arc tan (x - 1) = arc cot 2 ให้ arc tan(x +1) = y1 x +1 = tan y1 ให้ arc tan(x - 1) = y2 x - 1 = tan y2 tan (y1 - y 2) = tan y1 - tan y2 1 + tan y1 tan y 2 tan (y1 - y2) = (x +1) - (x - 1) = x +1 - x +1 = 1 + 2 - 1 1+ (x +1)(x - 1) 1 + (x2 - 1) x2 tan (y1 - y2) = 2 x2 y1 - y2 = arc tan 2 ---------- x2 แต่ y1 - y2 = arc cot 2  arc tan 2 = arc cot 2 ให้ arc cot 2 = A x2 1 = arc tan 1 2 = cot A 2

151 2 = 1  tan A = 1 x2 2 2 4 = x2 A = arc tan 1 2 x = ±2 ตอบ วธิ ีที่ 2 ( ) ( )arc tan (x +1) - (x - 1) = arc cot 2 arc tan x - arc tan y = arc tan x-y  1+ (x +1)(x - 1) 1+ xy  arc tan  x + 1 - x +1  = arc cot 2 1 + (x2 - 12) arc tan 1 + 2 - 1 = arc cot 2 x2 arc tan 2 = arc cot 2 x2 arc tan 2 = arc tan 1 x2 2 2 = 1 x2 2 x = ±2 ตอบ ลองแทนค่าดู (ตรวจคำตอบ) x = -2 x = +2 arc tan (2 + 1) - tan (2 - 1) = arc cot 2 arc tan(-2 + 1) -1 - arc tan(-2 - 1) -3 = arc cot 2 arc tan 3 - arc tan 1 = arc cot 2 arc tan  (-1) - +3(-3)  = arc cot 2  1+ (-1)(-3)  ( )arc tan ( )arc tan 2 2 3-1 = arc cot 2 3+1 = arc cot 1 1 + (3)(1) ( )arc tan 2 = arc cot 2 4 arc tan 1 = arc tan 1 arc tan 2 = arc tan 1 2 2 4 2

152 เท่ากัน arc tan 1 = arc tan 1 เทา่ กนั 2 2 ตวั อย่างที่ 17 จงหาคา่ arc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1 3 5 7 8 วิธที ี่ 1 ให้ arc tan 1 = x1 3 1 = tan x1 3 arc tan 1 = y1 5 1 = tan y1 5 แต่ tan (x1 + y1) = tan x1 + tan y1 1 - tan x1 tan y1 1 + 1 88 3 5 15 15 ( )( )= 1 1 = 1 = 14 5 1 - 15 15 1 - 3 tan (x1 + y1) = 8 ÷ 14 = 8 4 × 15 = 4 15 15 15 14 7 7 x1 + y1 = arc tan 4 ---------- 7 ให้ arc tan 1 = x 2 7 1 = tan x2 7 arc tan 1 = y2 8 1 = tan y 2 8 แต่ tan (x 2 + y 2) = tan x2 + tan y2 1 - tan x2 tan y2

1 + 1 15 15 153 7 8 56 56 ( )( )= 1 1 = 1 = 55 ตอบ 8 1 - 56 56 1 - 7 tan (x2 + y2) = 15 ÷ 55 = 153 × 56 = 3 56 56 56 5511 11 x 2 + y 2 = arc tan 3 ---------- 11 ( ) ( )ดงั นั้นarc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1 + arc tan 1 3 5 7 8 (x1 + y1) + (x 2 + y 2) = arc tan 4 + arc tan 3 7 11  A+ B ให้ A = arc tan 4 B = arc tan 3 7 11 tan A = 4 tan B = 3 7 11 ดงั นน้ั tan (A + B) = tan A + tan B 1 - tan A tan B 4 + 3 44 + 21 7 11 77 ( )( )= 4 = 12 3 1 - 77 1 - 7 11 65 65 65 65 77 77 77 77 77 65 = 65 = ÷ = × = 1 77 ดังนั้น tan (A + B) = 1 = tan 45o หรือ A + B = 45o =  4 วธิ ที ี่ 2 ใช้สูตรลดั ( )arc tan x + arc tan y = arc tan x+y 1 - xy

154  1 + 1   3 5  ( )( )arc tan 1 + arc tan 1 = arc tan  1  3 5 1   1- 3 5 = arc tan 4 ---------- 7 1 1  1 + 1  ( )( )arctan7+ arc tan 8 = arc tan  7 8   1 1   1 - 7 8  = arc tan 3 11 arc tan 4 + arc tan 3 = arc tan ( )( ) 4 + 3  7 11  7 11   43  1 - 7 811  = arc tan 1 arc tan 1 = A 1 = tan A tan 45o = tan A 45o = A =  ตอบ 4 ตวั อย่างท่ี 18 จงแก้สมการ sin 5 + sin  = sin 3 1) เม่ือ   [0, 2] 2)   R ( ) ( )สตู ร A+B A-B sin A + sin B = 2 sin 2 cos 2 ( ) ( )sin 5 + sin  = 2 sin 5 +  cos 5 -  2 2 = 2 sin 3 cos 2 ดังนน้ั 2 sin 3 cos 2 = sin 3 2 sin 3 cos 2 - sin 3 = 0

155 sin 3 (2 cos 2 -1) = 0 sin 3 = 0 หรอื 2 cos 2 -1 = 0 sin 3 = sin 0,180o, 360o cos 2 = 1 2  = 0, 60o,120o ------ cos 2 = cos 60o, cos (360o - 60o) = 0,  , 2 cos 2 = cos 60o, cos 300o 3 3 2 = 60o, 300o 1) เมอ่ื   [0, 2] หรอื  = 30o,150o --------   [0, 360o] จะได้  รวม  ⟶  = 0, 30o, 60o,120o,150o  = 0,  ,  , 2 , 5 ตอบ 6 3 3 6 2) เม่ือ   R หมนุ เปน็ รอบๆ ตอบ 2n, 2n +  , 2n + 2 , 2n + 4 , 2n + 5 เม่ือ n = 0, 1, 2, 3, ... 6 6 6 6 4.16 ความสมั พนั ธร์ ะหว่างความยาวกับมมุ ของ ∆ C a2 = b2 + c2 - 2 bc cos A ba b2 = a2 + c2 - 2 ac cos B AcB c2 = a2 + b2 - 2ab cos C sin A = sin B = sin C a b c ตัวอยา่ งท่ี 19 ในรูป ∆ ABC ถา้ BC = 10 , AB = 2 และ B = arc cos 2 จงหาความยาวของ AC 5 และ Aˆ C จาก B = arc cos 2 5 A B

156  cos B = 2 5 1 ดงั น้ัน sin B = 1 B 5 2 จาก AC2 = AB2 + BC2 - 2(AB)(BC) cos B ( )= 22 + 2 10 2 - 2 ( 2 )( 10 ) 5 = 2 +10 - 4 20 4 5 = 12 - 4( 4) = 12 - 4(2) = 4 ตอบ AC = 4 = 2 ( )BC AC 10 2 10 1 2 sin B sin A 1 2 5 2 sin A = → = → sin A =  = 5 sin A = 2 → Aˆ = 45o ตอบ 2 ตัวอยา่ งท่ี 20 กำหนด cos A = 3 และ 3 < A < 2 จงหาคา่ sin 3A cos 3A และ tan 3A 5 2 วิธคี ดิ 3 < A < 2 2 5 4 270o < A < 360o อยูใ่ น Q4 sin - , cos + , tan - A3 sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A ( ) ( )=3 4 4 3 5 5 - -4 - ( )=- 12 - 4 - 64 5 125 ( )= 25 × -12 + 256 = -300 + 256 25 5 125 125 125 = -44 ตอบ 125

cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A 157 ( ) ( )= 433 3 ตอบ 5 5 ตอบ -3 ( )= 427 - 9 125 5 ( )=108 - 9 × 25 = 108 - 225 = - 117 125 5 25 125 125 125 tan 3A = sin 3A cos 3A -44 -44 125 44 125 125 -117 117 = -117 = × = 125

158 ฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ล และฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ 1. เลขยกกำลงั เม่ือ a  0 , b  0 a5 = a × a × a × a × a สรุป am = a × a × a × a × ... × a 2 m ตัว a5 = 5 a2 m สรุป a n = n am 1 1 a5 =5 a สรุป an = n a (a2)5 = a2 × a2 × a2 × a2 × a2 = a2×5 = a10 สรุป (am)n = amn (a2b3)5 = a2b3 × a2b3 × a2b3 × a2b3 × a2b3 = (a2 × a2 × a2 × a2 × a2) × (b3 × b3 × b3 × b3 × b3) = a2×5 × b3×5 = a10b15 สรุป (ambn)p = amp bnp  a2 5 = a2×5 = a10  am p = amp  b3  b3×5 b15  bn  bnp a0 = 1 เมอ่ื a0 a-m = 1 หรอื 1 = am am a-m ตัวอย่างที่ 1 ถ้า f(x) = ex - e-x และ g(x) = ex + e-x แล้ว f(x + y) = ? 2 2 1. f(x) g(y) + g(x) f(y) 2. f(x) g(x) + f(y) g(y) 3. g(x) f(y) - f(x) g(y) 4. f(y) g(y) - f(x) g(x) วธิ ีคิด f(x) = ex - e-x 2  f(x + y) = ex+y - e-(x+y) = ex+y - e-x-y ---------- 2 2 ดู ex+y กบั e-(x+y) แสดงวา่ f(x) น่าจะคณู กบั g(y) หรือ f(y) คณู กับ g(x)

159 f(x) g(y) =  ex - e-x   ey + e-y   2   2  = exey + exe-y - e-xey - e-xe-y 4 = ex+y + ex-y - e-x+y - e-x-y ---------- 4 ---------- f(y) g(x) =  ey - e-y   ex + e-x   2   2  = eyex + eye-x - e-yex - e-ye-x 4 = ex+y + e-x+y - ex-y - e-x-y 4 ลองเอา  +  f(x) g(y) + f(y) g(x) = ex+y + ex-y - e-x+y - e-x-y + ex+y + e-x+y - ex-y - e-x-y 4 4 = 2(ex+y) - 2(e-x-y) 4 = 2(ex+y - e-x-y) = ex+y - e-x-y 42 2 เทยี บกับ  เท่ากัน ดังน้นั f(x + y) = f(x) g(y) + f(y) g(x) ตอบ ขอ้ 1 2. รากที่ n ในระบบจำนวนจรงิ และจำนวนจรงิ ในรปู กรณฑ์ 1 n a = an เม่อื a เป็นจำนวนจริง และ n เปน็ จำนวนเต็มท่ีมากกว่า 1 2.1 ถา้ n เปน็ จำนวนคู่ ผลลพั ธข์ องรากท่ี n ตอ้ งเปน็ บวก เสมอ โดยท่ี a ตอ้ งเปน็ บวกเสมอ หาก a เปน็ ลบ จะเป็นจำนวนไม่จรงิ 2.2 ถ้า n เปน็ จำนวนคี่ และ a เปน็ บวก ผลลพั ธข์ องรากที่ n จะเปน็ บวก ถา้ a เปน็ ลบ ผลลพั ธข์ องรากท่ี n จะเป็นลบ ตวั อยา่ งเช่น 25 = 5 4 16 = 2

160 3 -8 = -2 3 -125 = -5 แต่ -25 หาค่าไมไ่ ด้ ไมเ่ ป็นจำนวนจรงิ 2.3 ข้อสังเกต 4 x4 = x ผดิ ทีถ่ กู ตอ้ ง 4 x4 = x เพราะหาก x เปน็ ลบ แลว้ ผลลพั ธจ์ ะเปน็ ลบซึ่งผดิ แต่ถา้ x เปน็ บวก ก็ถูก แต่ไม่รูว้ ่า x เปน็ บวก หรอื ลบ จงึ ต้องใสค่ ่าสัมบูรณ์ เพอื่ ปอ้ งกนั 2.4 สงิ่ ท่ีควรรู้ n n an = an = a1 = a เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ ค่ี n (n a)n = an = a1 = a เมอื่ n เป็นจำนวนเต็มค่ี n an = a เม่ือ n เปน็ จำนวนเตม็ ใดๆ n a n b = n ab n a = n a เมอ่ื b  0 n b b เม่อื a > 0 1 m n a = mn a = amn 2.5 สตู ร หน้า + หลัง ± 2 หน้า × หลัง = ( หน้า ± หลัง)2 = หน้า ± หลัง หรอื a + b ± 2 ab = a ± b เมอ่ื a > 0 ; b > 0 แต่รากที่สองของ a + b ± 2 ab = ±( a ± b) เพราะ รากที่ 2 ต้องได้ 2 คา่ +, - เสมอ แต่ถ้าสญั ลกั ษณ์ จะได้คา่ + เท่าน้ัน เชน่ รากท่สี องของ 4 ได้ ±2 แต่ 4 = 2

161 ตัวอย่างท่ี 2 ผลบวกของคำตอบของสมการ x + 1-x = 2 1 เป็นเทา่ ใด 1-x x 6 วธิ คี ิด ให้ A= 1 x , A + 1 = 2 1 -x A 6 A คณู ตลอด (A)A + (A) 1 = (A) 13 A 6 A 2 + 1 = 13A 6 6 คูณตลอด 6A2 + 6 =13A 3A -9A -3 6A2 -13A + 6 = 0 2A -4A -2 (3A – 2)(2A – 3) = 0 ดงั นั้น x =A แล้ว 1-x = 1 1-x x A ทำให้ A + 1 = 2 1 A 6 หรือ (3A – 2)(2A – 3) = 0 3A – 2 = 0 หรือ 2A – 3 = 0 A = 2 หรือ A = 3 3 2 แทนคา่ A, x = 2 หรอื x = 3 1-x 3 1-x 2 ( ) ( ) ( ) ( )x2 2 2 x 2 3 2 1-x 3 1-x 2 = หรือ = 1 x = 4 หรือ 1 x = 9 -x 9 -x 4 9x = 4 – 4xหรอื 4x = 9 – 9x 13x = 4 หรือ 13x = 9 x = 4 หรือ x = 9 13 13 เวลาจะตอบ ในกรณีติดกรณฑ์ ตอ้ งตรวจคำตอบก่อนเพราะ จำนวนลบตดิ กรณฑ์คไู่ ม่ได้ เพราะไม่เป็นจำนวนจรงิ ( ลบ ไม่ได้)

162 x = 4 → x = 4 ถูก 13 1-x 1 1- 3143 x = 9 → x = 9 ถกู 13 1-x 1 1- 3193 ตอบ ดงั น้นั ผลบวกของคำตอบ = 4 + 9 = 13 = 1 13 13 13 ตัวอยา่ งที่ 3 จำนวนจรงิ x ท่ีเปน็ คำตอบของสมการ 3 - x = 14 - 6 5 มีคา่ เทา่ กับเทา่ ใด วธิ คี ดิ 14 - 6 5 ทำใหเ้ ป็น a + b - 2 ab = a - b = 14 - 2 × 3 5 = 14 - 2 32 × 5 = 14 - 2 45 = 9 + 5 - 2 9 × 5 [เลขอะไรเอ่ย 2 ตัว บวกกนั ได้ 14 แตค่ ณู กันได้ 45 คือ 9 กบั 5] = 9- 5=3- 5 แต่ 3 - x = 14 - 6 5 3- x =3- 5 ตอบ x = 5 3. ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล กำหนดให้ f(x) = y = ax เมอื่ a > 0 และ a  1 เพราะ ถ้า a เปน็ ลบจะยุง่ ฟงั ก์ชนั จะไมต่ อ่ เน่อื ง และถ้า a = 1, y = 1 ตลอดเวลา ดงั นน้ั ถา้ a > 0 และ a  1 แลว้ ฟงั ก์ชนั {(x, y) R × R / y = ax} นเ้ี รียกวา่ ฟงั กช์ นั เอกโพเนนเชียล เมอ่ื y = ax แล้ว f(x) จะเปน็ ฟังกช์ ัน 1-1 จาก R ไปทว่ั ถึง R+ หรอื จาก R ไปบน R+ ดังนนั้ Df = R ( คา่ x แทนอะไรก็ได้ 0 กไ็ ด้ ลบกไ็ ด้บวกก็ได้) Rf = R+ ( ค่า y เปน็ R+ เทา่ น้นั ไมเ่ ปน็ ลบ ไมเ่ ปน็ 0)

163 ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาโดเมน (Df) และเรนจ์ (Rf) ของฟงั ก์ชนั y = 5 x-1 วิธคี ิด y = 5 x-1 หา Df ลบ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ หาค่า x ใน x - 1 ได้ x-1 0 x 1 ตอบ Df = [1, ) หา Rf y = 5 x-1 เมือ่ x -1  0 เปน็ ลบไมไ่ ด้ ( = ลบ ไม่ได)้ และจะทำให้ ค่า y = 5 0 ถ้า y > 0 เปน็ 0 ไม่ได้ เป็นลบไมไ่ ด้ แต่ y = 50 = 1 ดังนั้น y = 5 >0 > 1 ตอบ Rf = [1, ) ตัวอย่างท่ี 5 เซตคำตอบของสมการ ( )2x2(x-3) > 8 2 -x คือข้อใด 3 1. (2, ) 2. (-2, 100) 3. (-10, 10) 4. (- , 2] ( )วิธีคิด 2 -x 2 x 2(x - 3) > 8 3 ( )( )> 23 2 -x 3 > 2( 3( 2 )-3x ) 3 2x2(x-3) > 22-3x เน่อื งจาก ฐาน 2 ยกกำลัง เปน็ ฟังก์ชนั เพมิ่ ดังนนั้ x2(x - 3) > 2 - 3x x3 - 3x2 - 2 + 3x > 0 หรือ x3 - 3x2 + 3x - 2 > 0 ใช้ทฤษฎีเศษเหลือ หาตวั ประกอบของ 2 ได้แก่ ±1, ±2

164 แทนค่า x ±1, x ± 2 ดูวา่ x3 - 3x2 + 3x - 2 ได้ 0 หรือไม่ ถา้ ได้ก็เปน็ ตวั ประกอบหนง่ึ เช่นแทน x = 1, 13 - 3(1)2 + 3(1) - 2 = 1 - 3 + 3 - 2  0 ไม่ใช่ x = -1, (-1)3 - 3(-1)2 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 3 - 2  0 ไมใ่ ช่ x = 2, (2)3 - 3(2)2 + 3(2) - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0 ใช่ แสดงวา่ x = 2 หรือ x - 2 = 0 เป็นตวั ประกอบหน่งึ ของ x3 - 3x2 + 3x - 2 เพราะเมื่อนำ x - 2 ไปหารแลว้ ลงตวั หรือ เหลอื เศษ 0 x3 - 3x2 + 3x - 2 ÷ (x – 2) = ? 1 -3 3 -2 + ++ x=2 2 - 2 2 1 -1 1 0 เศษ ผลหาร = 1x2 -1x +1 แสดงว่า x3 - 3x2 + 3x - 2 = (x - 2)(x2 - x +1) หรือ (x - 2)(x2 - x +1) > 0 หาคา่ วิกฤต x - 2 = 0 หรอื x2 - x +1 = 0 x = 2 หรือ แยกไม่ได้ ใชส้ ูตร x = -b ± b2 - 4ac 2a b2 - 4ac = (-1)2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 ไม่เปน็ จำนวนจรงิ x2 - x +1 กราฟหงาย y > 0 แสดงว่า x2 - x +1 > 0 ตลอดเม่อื x R ดงั นั้น (x - 2)(x2 - x +1) > 0 (x - 2)( + ) > 0 x - 2 เป็น + ดว้ ย, x-2>0 x>2 ตอบ (2, )

165 ตัวอย่างท่ี 6 จงหาค่าสงู สุด และตำ่ สุด ของฟังก์ชัน y = 3sin x หาคา่ สงู สุด และต่ำสุดของ f(x) คอื ค่า y จาก y = 3sin x แต่ -1  sin x  1 เมอ่ื sin x = -1 แล้ว y = 3-1 = 1 เม่อื sin x = 0 3 แล้ว y = 30 = 1 เมอ่ื sin x = 1 แลว้ y = 31 = 3 ดงั นนั้ 1  y  3 3 ค่าต่ำสดุ คา่ สงู สดุ = 1 ตอบ 3 ตอบ =3 ตัวอยา่ งที่ 7 A = { x / x เป็นคำตอบของสมการ 4x2 - 2x2+2x+2 = 24x+5 } A เป็นสับเซตของเซตใด 1. [-2, 3) 2. [-3, 2) 3. (-3, 1) 4. (-2, 3] วิธีคดิ 4x2 - 2x2+2x+2 = 24x+5 (22)x2 - 2x2+2x+2 = 24x  25 (2x2)2 - 2x2+2x  22 - 24x  25 = 0 22x2 - 4  2x2  22x - 32  24x = 0 (2x2)2 - 4(2x2)(22x) - 32  24x = 0 (2x2 + 4  22x)(2x2 - 8  22x) = 0 2x2 + 4  22x = 0 หรือ 2x2 - 8  22x = 0 2x2 = -4  22x หรือ 2x2 = 8  22x เป็นไปไม่ได้ที่ 2 ยกกำลังแลว้ จะได้ = 23  22x คา่ ลบ 2 x2 = 23+2x ดังนนั้ x2 = 3 + 2x x2 - 2x - 3 = 0

166 (x - 3)(x + 1) = 0 x - 3 = 0 หรือ x + 1 = 0 x = 3 หรอื x = -1 -1 3 1. [-2, 3) ผิด ตอบ 2. [-3, 2) ผิด 3. (-3, 1) ผิด 4. (-2, 3] ถกู 4. กราฟของสมการเอกซโ์ พเนนเชียล y = ax เม่ือ a > 0 และ a  1 y ฟังกช์ ันเพ่มิ 4.1 เช่น y = 2x 4 x x 0 1 -1 2 -2 2 2 1 y12 1 4 1 24 เลียบแกน x -2 -1 0 1 แตไ่ ม่ชนแกน x แสดงว่า y  0 แมว้ า่ x จะเป็นลบเท่าไรก็ตาม ( )4.2 y =1 x y 2 4 = (2-1)x = 2-x x 0 1 -1 2 -2 2 ฟังก์ชันเลด y1 1 2 1 4 1 24 -2 -1 0 1 2 x

4.3 y = -2x y 167 0 x -1 ( )4.4 1 x y 2 0x y=- -1 4.5 y = 2x y y = -2x 1 -1 0 x y=( )4.6 1 x y 2 = 2-x 1 -1 0 ( )y = - 1 x x 2 = -(2-x)

168 4.7 กรณกี ราฟเล่อื นแกน x และแกน y เลื่อนแกน x ไปทางขวา 1 ช่อง ↑ เล่ือนแกน y ขึ้นขา้ งบน 2 ช่อง y 3 2 (1, 2) 1 x 0 12 4.8 y = 2 x y 1 x 0 5. ฟังกช์ ันลอการิทมึ (ยา้ ย a ข้าง log ไปยกกำลัง y แล้วตัด log ทิ้ง) 5.1 สมการลอการทิ มึ y = logax เม่ือ a > 0 , และ a  1 ay = x 5.2 สูตรลอการิทึม y = logax หรอื ay = x loga1 = 0 logaa = 1 logaMN = logaM + logaN loga M = logaM - logaN N

169 logaMp = p logaM logac Mb = b logaM c loga M = logb M log10 a = log a logb a loga b = 1 a logb aloga M = M ตวั อย่างที่ 8 จงหาค่าของ log 15 + log 12 + log 5 - log 9 วธิ คี ิด แยก log ออกเป็น log ย่อย log15 + log12 + log 5 - log 9 = log (3 × 5) + log (22 × 3) + log 5 - log 32 = (log 3 + log 5) + (log 22 + log 3) + log 5 - 2 log 3 = log 3 + log 5 + 2 log 2 + log 3 + log 5 - 2 log 3 = 2 log 5 + 2 log 2 = 2(log 5 + log 2) = 2 log (5 × 2) = 2 log 10 = 2(1) ตอบ = 2 ตวั อย่างที่ 9 จงหาคา่ ของ log4 (log3 (log2 512)) วิธคี ดิ ทำจากข้างในออกมาข้างนอก log2 512 = log2 29 = 9 log3 9 = log3 32 = 2 log3 3 = 2 log4 2 = log22 21 = 1 log2 2 = 1 2 2 ตอบ 1 2

ตัวอยา่ งที่ 10 จงหาค่าของ (log3 4)(log4 5)(log5 6)...(log242 243) 170 วธิ คี ิด เปล่ียนเปน็ log ฐาน 10 เป็นเศษส่วน แลว้ ตัดกนั ไปเรือ่ ยๆ ตอบ ( )( )( ) ( )=log4 log5 log6 log3 log4 log5 ... log243 log242 3 243 = 35 = log 243 = log 35 = 5 log 3 = 5 3 81 log 3 log 3 log 3 3 27 39 3 ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาคา่ ของ 18 log2 23 23 2 วิธีคิด หาคา่ 23 23 2 เป็นเลขยกกำลังก่อน จากข้างในไปขา้ งนอก 1 = 3 2 = 23 = 23 2 = 1 = 21+ 13 = 4 21  23 23 = 3 4 = 41 = 4 23 (23) 3 29 = 4 = (21+ 4 1 = 13 1 13 2 21  29 9) (2 9 ) 2 = 218  18 log2 23 23 2 = 18 log2 13 = 18 × 13 log2 2 18 2 18 ตอบ 13 ตวั อย่างที่ 12 จงหาค่าของ 1 A + 2 A + 3 A + 4 log 1 log 2 log 3 log2 A 334 วิธีคิด เปลี่ยนฐาน log ให้เป็น log ฐาน 10 กลับเศษเป็นส่วน = 1 A + 2 A + 3 A + 4 A log 1 log 2 log 3 log2 334

171 = 1 + 2 A + 3 + 4 A log A log log A log 1 2 3 log 2 log 3 log 3 log 4 = log 1 + 2 log 2 + 3 log 3 + 4 log 2 3 3 4 log A log A log A log A ( ) ( )=log1 + log 2 2 3 3 3 3 4 + log + log(2)4 log A ( ) ( )= 1 2 2 3 3 24   3 3 4  log  × × × log A  ( )log 1 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 log 1 3 3 3 4 4 4 log A = = = 0 ตอบ log A ตัวอยา่ งที่ 13 จงเปรยี บเทยี บค่าของ 2. log5 (0.5) และ log1(0.5) 3 1. log5 3 และ log13 3 ขอ้ 2. log5 (0.5)  log1 (0.5)  3 วธิ ีคดิ เปล่ยี นฐาน log เปน็ ฐาน 10 ขอ้ 1. log5 3  log1 3  3 log 3 log3-1 3 ( )log 1 ( )log3-11 log 5 2 2 log 5 log 3 1 log3 3 log 2-1 log 2-1 log 5 -1 log 5 log 3-1 log 3 > -1 -1log 2 -1log 2 log 5 log 5 -1log 3 log 2 log 3 ∴ log5 3 > log1 3 ตอบ -log 2 < log 2 3 log 5 log 3

172  log5 (0.5) < log1 (0.5) ตอบ 3 ตัวอย่างท่ี 14 จงหาเซตคำตอบของสมการ xlogx = 100 x วธิ คี ิด Take log ทง้ั 2 ข้าง xlog x = 100 x log xlog x = log 100 x (log x)(log x) = log 100 + log x (log x)2 = 2 + log x (log x)2 - log x - 2 = 0 (log x - 2)(log x + 1) = 0 log x - 2 = 0 หรือ log x + 1 = 0 log10 x = 2 หรอื log10 x = -1 x = 102 = 100 x = 10-1 = 1 = 0.1 10 ตอบ x = 100 , 0.1 ตัวอยา่ งที่ 15 จงแกส้ มการ loga x - loga2 x + loga4 x = 3 4 วิธีคิด เปล่ยี นฐาน log เปน็ ฐาน 10 log x - log x + log x = 3 log a log a2 log a4 4 log x - log x + log x = 3 log a 2 log a 4 log a 4 4 log x - 2 log x + log x = 3 4 log a 4 3 log x = 3 4 log a 4 log x = 3 × 4 = 1 log a 4 3 log x = log a ตอบ x = a

173 ตวั อย่างที่ 16 จงหาเซตคำตอบของสมการ log(4 - 3x - x2) - log(1 - x) = 0 log(4 - 3x - x2) - log(1 - x) = 0 log (4 - 3x - x2) = log (1 - x) 4 - 3x - x2 = 1- x 0 = x2 + 2x - 3 (x + 3)(x - 1) = 0 x + 3 = 0 หรือ x - 1 = 0 x = -3 หรือ x=1 x = -3 , ตรวจคำตอบ log (4 - 3x - x2) = log (4 - 3(-3) - (-3)2) = log (4 + 9 - 9) = log 4 ถกู log (1 - x) = log (1 - (-3)) = log 4 ถกู x = 1 , log (1 - x) = log (1 - 1) = log 0 ผดิ (log 0 หาคา่ ไม่ได)้ ดังนนั้ ตอบ x = -3 ตวั อยา่ งท่ี 17 จงหาเซตคำตอบของสมการ log (x - 2) + log (x + 2) - log 5 =0 วิธีคิด log (x - 2)(x + 2) = 0 5 log (x2 - 4) = log 1 5  x2 - 4 = 1 5 x2 - 4 = 5 x2 - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0 x - 3 = 0 หรือ x + 3 = 0 x = 3 หรือ x = -3 x = -3 ตรวจคำตอบ log (x - 2) = log (-3 - 2)

174 = log -5 (log ลบ หาคา่ ไมไ่ ด้) x = 3 ตรวจคำตอบ log (x - 2) = log (3 - 2) = log 1 = 0 ตอบ x = 3 ตวั อยา่ งท่ี 18 จงแก้สมการ log (35 - x3) =3 log (5 - x) วิธีคดิ log (35 - x3) = 3 log (5 - x) log (35 - x3) = log (5 - x)3 [(น - ล)3 = น3 - 3น2ล + 3นล2 - ล3] 35 - x3 = (5 - x)3 35 - x3 = 53 - 3(52)(x) + 3(5)(x2) - x3 15 หารตลอด , 35 - x3 = 125 - 75x +15x2 - x3 0 = 15x2 - 75x +125 - 35 0 = 15x2 - 75x + 90 x2 - 5x + 6 = 0 (x - 3)(x - 2) = 0 x - 3 = 0 หรอื x - 2 = 0 x = 3 หรือ x=2 ลองตรวจคำตอบดวู ่า log ลบหรือไม่ ถา้ เปน็ ลบ ก็ใช้ไม่ได้ x = 3, log (35 - x3) = log (35 - 33) = log (35 - 27) = log 8 ถกู log (5 - x) = log (5 - 3) = log 2 ถูก x = 2, log (35 - x3) = log (35 - 23) = log (35 - 8) = log 27 ถูก log (5 - x) = log (5 - 2) = log 3 ถูก ตอบ x = 3, 2

175 ตัวอยา่ งที่ 19 จงหาเซตคำตอบของสมการ log2 x + 4 logx 2 = 5 วิธีคิด logx 2 = 1 x (กลับเศษเปน็ ส่วน) log2 ดงั น้ัน log2 x + 4 logx 2 = 5 log2 x + 4  1 x  = 5 log2 ให้ log2 x = A , ( )A +4 1 =5 A ( )เอา A คูณตลอด , 1 (A) A + (A) 4 A = (A) 5 A2 + 4 = 5A A2 - 5A + 4 = 0 (A - 4)(A - 1) = 0 A - 4 = 0 หรอื A - 1 = 0 A = 4 หรอื A = 1 แทนค่า log2 x = A หรือ log2 x = 1 log2 x = 4 หรือ x = 21 x = 24 x = 16 หรือ x=2 ตอบ x = 16, 2 ตวั อยา่ งท่ี 20 จงหาผลบวกของรากของสมการ 2 log3 x - 2 logx2 9 + 3 = 0 วธิ ีคิด ทำให้เป็น log3 x ใหห้ มด 2 log3 x - 2 logx2 9 + 3 = 0 2 log3 x - 2 log 3 2 + 3 = 0 2 x 2 log3 x - 2 logx 3 + 3 = 0 ให้ log3 x = A แลว้ logx 3 = 1 A

176 ( )ดงั นัน้ 1 2A - 2 A +3=0 ( )A คูณตลอด, 1 (A) 2A - (A) 2 A + (A) 3 = (A) 0 2A2 - 2 + 3A = 0 2A2 + 3A - 2 = 0 (2A - 1)(A + 2) = 0 2A - 1 = 0 หรอื A + 2 = 0 2A = 1 หรือ A = -2 A = 1 2 แทน log3 x = A , log3 x = 1 หรือ log3 x = -2 2 1 x = 3-2 x = 32 หรือ x = 3 หรอื x = 1 = 1 32 9 x= 3, 1 [ค่า log เปน็ + , - ได้ไม่ตอ้ งตรวจคำตอบ] 9 ผลบวกของรากของสมการ = 3 + 1 ตอบ 9 ตวั อย่างท่ี 21 เซตคำตอบของอสมการ log1 (2x2 - 3x + 5) < log1 (x2 + 2x +1) คอื ขอ้ ใด 33 1. (- ,1)  (4, ) 2. (- , -1)  (4, ) 3. (- ,1)  (1, 4) 4. (- , -1)  (-1,1)  (4, ) วิธีคิด ดู log1 จะได้ -log3 เพราะ 1 = 3-1 3 3 log1 (2x2 - 3x + 5) < log1 (x2 + 2x +1) 33

177 log3-1 (2x2 - 3x + 5) < log3-1 (x2 + 2x + 1) 1 log3 (2x2 - 3x + 5) < 1 log3 (x2 + 2x + 1) -1 -1 (-1) คูณตลอด, log3 (2x2 - 3x + 5) > log3 (x2 + 2x +1) เนอ่ื งจาก log3 เป็นฟังก์ชนั เพมิ่ ดังนน้ั 2x2 - 3x + 5 > x2 + 2x +1 x2 - 5x + 4 > 0 (x - 4)(x - 1) > 0 +-+ 14 ดังนั้น x < 1 หรือ x > 4 ---------- แตเ่ พิ่มเง่อื นไข log  จะเปน็ จริงเม่ือ  > 0 ดงั นั้น 2x2 - 3x + 5 > 0 และ x2 + 2x +1 > 0 แยกตัวประกอบไมไ่ ด้ ให้ใช้ b2 - 4ac (x + 1)(x + 1) > 0 (-3)2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31 หาค่าไมไ่ ด้ (x +1)2 > 0 คำตอบ คำตอบ x  -1 ----  รวมตอบ  -1 1 4 (- , -1)  (-1,1)  (4, ) ตอบ ข้อ 4

178 5.3 กราฟของฟังก์ชนั y = logax เมอื่ a > 0 และ a  1 เช่น y = log2x y x1248 ฟังกช์ นั เพม่ิ y0123 3 x 2 8 1 0 12 3 4 x เขา้ ใกล้ 0 แต่ y = log1 x หรอื y = log2-1 x = -log2 x 2 x1248 y x เขา้ ใกล้ 0 แต่ y 0 -1 -2 -3 1 x 8 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 ฟังกช์ นั ลด เลื่อนแกน y = log2 (x - 1) + 3  y 4 3 2 (1,3) (2,3) 1 x 0 12

179 y = log2 x y x 1 -1 2 -2 1 - 1 2 2 y 0 0 1 1 -1 -1 2 1 x -4 -3 -2 -1 0 -1 1234 -2 -3 y = log1 x y 2 -1 0 1 x

180 เมทรกิ ซ์ 1. เมทรกิ ซ์ คือ ชุดของจำนวน m × n ตวั เมอ่ื m, n + ใหเ้ รียงกนั m แถว n หลัก หรอื แถวละ n ตวั ภายในเครอื่ งหมายวงเลบ็ ในรูปแบบ  aa1211 aa1222 aa1233 aa1244 ... aa12nn   แถวที่ 1  ...   แถวที่ 2  ...  am1 am2 am3 am4 ... amn  แถวที่ m   หลัก หลัก หลัก หลัก หลัก ที่ 1 ที่ 2 ที่ 3 ท่ี 4 ท่ี n 2. สญั ลักษณ์ A เป็นเมทริกซ์ ที่มี m แถว และ n หลัก A = [aij]m×n เมือ่ aij แทนสมาชิกของ A ในแถวท่ี i หลัก ท่ี j และ i = 1, 2, 3, ..., m และ j = 1, 2, 3, ..., n 3. การบวกเมทริกซ์ และการคณู เมทรกิ ซด์ ว้ ยจำนวนจรงิ ตวั อยา่ งท่ี 1 A = 1 2 A + B = 1 + 5 2 + 6 = 6 8 3 4  3 + 7 4 + 8 10 12 B = 5 6 7 8 5A = 5 1 2 = 5 ×1 5 × 2 = 5 10  3 4 5 ×3 5 × 4 15 20 4. การคณู เมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ 4.1 เง่อื นไขสำคญั คือ เมทริกซ์จะคณู กันได้กต็ อ่ เมอ่ื n ของเมทรกิ ซ์แรก ต้องเทา่ กับ m ของเมทรกิ ซห์ ลงั เชน่ A2×3 × B3×2 = AB2×2 เท่ากัน ผลลัพธ์

181 4.2 วธิ ีคณู A1 × A2 ตรงกนั คูณกันได้ = 2 × 2 ตัวอย่างที่ 2 A1 =  -1 -2 2 × 2 A 2 = 1 -1 2 ×2  5 8  3 -2 -1 -2  13  A1 × A 2 =  -1 -2 × 1 -1  5 8  3 -2  = (1)(-1) + (3)(-2) (-1)(-1) + (-2)(-2)   (1)(5) + (3)(8) (-1)(5) + (-2)(8)  =  -1 - 6 1+4  5 + 24 -5 - 16 A1 × A2 =  -7 5 ตอบ 29 21 ตัวอย่างที่ 3 ตรงกันคณู กนั ได้ = 3 × 2 0 -1 0 2 1 A = 4 0 2 3 × 3 b = -3 4 3 × 2 8 -1 7  1 3 0 --101 0  2 1 A ×B = 4 2 × -3 4 7  1 6 8 (2)(0) + (-3)(-1) + (1)(0) (1)(0) + (4)(-1) + (6)(0) =  (2)(4) + (-3)(0) + (1)(2) (1)(4) + (4)(0) + (6)(2)  (2)(8) + (-3)(-1) + (1)(7) (1)(8) + (4)(-1) + (6)(7) 0+3+0 0-4+0  =  8 - 0 + 2 4 + 0 +12 16 + 3 + 7 8 - 4 + 42   3 -4  ตอบ = 10 16 26 46

182 ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนดให้ A =  x + y 2 , B = 2 y , C = 1 a ถ้า AB = C แลว้ a มีค่า  3 z  -2 y  0 1 เทา่ ใด 1. 29 2. 27 3. 19 4. 17 36 36 36 36 วิธคี ดิ จาก AB = C x + y 2  2 y = 1 a  3 z -2 y  0 1 2(x + y) + (-2)(2) y(x + y) + y(2)  = 1 a  2(3) + (-2)z y(3) + y(z)  0 1 2x + 2y - 4 xy + y2 + 2y  = 1 a  6 - 2z 3y + yz  0 1 ดงั นนั้ ตัง้ สมการ เพือ่ แก้สมการหาคา่ a 2x + 2y - 4 = 1 2x + 2y = 5 ---------- 6 - 2z = 0 6 = 2z z = 3 ---------- 3y + yz = 1 แทน z = 3 , 3y + y(3) = 1 6y = 1 y = 1 6 แทน y= 1 ใน  2x + 2(16) = 5 6 2x + 1 = 5 3 2x = 5 - 1 = 14 3 3 x = 14 ÷ 2 3 = 14 × 1 = 7 3 2 3

183 ดังนัน้ จาก a = xy + y2 + 2y ( )( ) ( ) ( )=71 + 1 2 1 3 6 6 6 +2 = 7 + 1 + 1 = 2(7) + 1+ 1(12) 18 36 3 36 = 14 +1+ 12 = 27 ตอบ ขอ้ 2. 36 36 5. อินเวอรส์ การคูณ หรอื ตัวผกผนั การคูณ อินเวอร์สการคูณ ใชไ้ ด้เฉพาะเมทรกิ ซ์จัตุรัส (n × n) ถ้า AB = BA = n แล้ว อาจกล่าวไดว้ า่ B เปน็ อินเวอรส์ การคูณ หรือตัวผกผันการคูณของ A และสามารถเขยี นแทน B = A-1 และ A ต้องเปน็ เมทรกิ ซ์ มิใช่ เอกฐาน หรอื นอนซงิ กลู าร์ 5.1 n × n = 2 × 2 , A = a b หาก A เป็นเมทริกซ์ มิใช่เอกฐาน แล้ว ad  bc c d หรอื ad - bc  0 เพราะ A -1 = 1 d -b ad - bc -c a  ตวั อยา่ งท่ี 5 กำหนดให้ A = 0 1 , B = 2 -1 และ C = -1 0 ถา้ X = (B + C) A และ 1 2 -1 3   0 -2 x-1 เป็นอนิ เวอรส์ การคณู ของ x แลว้ x-1 เปน็ เมทรกิ ซใ์ นขอ้ ใด 1. -2 -1 2. 2 1 3. 1 -1 4. -1 1  1 1  -1 -1 -1 0   1 0 วิธีคิด จาก (B + C) A =  2 -1 + -1 0  0 1 -1 3   1 -2 1 2 = 2 -1 -1 + 0 0 1 -1 +1 3 - 2  1 2 = 1 -1 0 1 0 1  1 2 = 0-1 1-2 0 +1 0 + 2 (B + C) A = -1 -1 = X  1 2 

184  x -1 = 1 2 1 (-1)(2) - (1)(-1) -1 -1 = 1 1 2 1 -2 + -1 -1 = 1 2 1 = -2 -1 -1 -1 -1  1 1  ตอบ ข้อ 1 1 -1 0 1 x ตัวอย่างท่ี 6 กำหนดให้ B = 0 1 2 C = 0 X = y 3 เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ 3 0 1 2 z 1 0 0 ขนาด 3 × 3 = 0 1 0 ซง่ึ สอดคล้องกบั สมการ 2AB = Ι และ AX = C แล้วค่าของ x + y + z 0 0 1 เท่ากับขอ้ ใด (คณติ 1/2548) 1. 20 2. 24 3. 36 4. 30 วิธีคิด 2AB = Ι A (2B) = Ι แสดงวา่ 2B = A-1 และ AX = C Take A-1 ท้งั 2 ข้าง, A-1 AX = A-1 C แต่ A-1 = 2B, X = A-1C X = A-1C X = (2B) C x 1 -1 0 1 y = 2 0 1 2 0 z 3 0 1 2 (1)(1) + (0)(-1) + (2)(0) =  (1)(0) + (0)(1) + (2)(2)   (1)(3) + (0)(0) + (2)(1) 

185 x 1  2  y = 2 4 =  8  z 5 10 ∴ x = 2 , y = 8 , z = 10 หรือ x + y + z = 2 + 8 + 10 = 20 ตอบ ขอ้ 1. ตวั อยา่ งที่ 7 กำหนด A = cos  sin    = 1 0 และ B = A2 + (A -1) 2 + 2 แลว้ (A-1)2B  sin  -cos  0 1 มีค่าตรงกบั ข้อใด 1. 2 Ι 2. 4 Ι 3. 4A 4. 8A วิธคี ดิ A 2 = A × A = cos  sin   cos  sin    sin  -cos   sin  -cos  =  cos2 + sin2  sin  cos  - cos  sin  cos  sin  - sin  cos sin2 + cos2  A 2 = 1 0 =  [ sin2 + cos2 = 1] 0 1 A -1 = 1 -cos  -sin  ) -  -sin  cos  (cos )(-cos (sin )(sin ) = 1 sin2) -cos  -sin  -(cos2 +  -sin  cos  = 1 -cos  -sin  -1  -sin  cos  = cos  sin    sin  -cos  (A -1)2 = cos  sin   cos  sin    sin  -cos   sin  -cos  = A2 =  จาก B = A2 + (A-1)2 + 2 =Ι+ Ι+2Ι =4Ι

 (A-1)2 B = (4) = 42 186 =4Ι ตอบ ข้อ 2. 5.2 n×n  3 × 3 A -1 = 1 adj (A) = 1 [Cij (A)]t det (A) det (A) 6. ชนิดของเมทรกิ ซ์ 1. เมทรกิ ซศ์ นู ย์ 0 เช่น 0 0 [0 0] เป็นตน้ (Zero matrix) 0 0 2. เมทริกซ์จตั รุ สั มีขนาด m × n แล้ว m = n (Square matrix) เชน่ A 2×2 = 2 4 0 1 A = 2 4 5  3 1 2 เป็นตน้ 3×3 0 1 -2 3 0 0 (Diagonal matrix) 3. เมทริกซเ์ ฉยี ง 0 2 0 เป็นตน้ 0 0 5 4. เมทรกิ ซ์หน่งึ หนว่ ย หรือเมทริกซ์เอกลักษณ์ n ต้องเป็นเมทริกซจ์ ัตุรสั (Identity matrix) = 1 0 1 0 0 1 = [1] 0 1 0 1 0 เป็นต้น 2 3 0 0 1

187 5. เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) At = A 3 1 6 1 2 7 6 7 5 ตอ้ งเปน็ เมทรกิ ซ์จัตรุ สั 6. เมทรกิ ซ์เสมอื นสมมาตร (Skew symmetric matrix) At = -A  3 1 -6 -1 2 7   6 -7 5  7. เมทรกิ ซ์ซ่งึ มิใช่เอกฐาน (Non - Singular matrix) determinant ≠ 0 A = 4 1 det (A) = (4)(3) – (2)(1) 2 3 = 12 - 2 = 10  0 8. เมทรกิ ซเ์ อกฐาน (Singular matrix) determinant = 0 det (A) = (4)(3) - (2)(6) A = 4 6 2 3 = 12 - 12 = 0 9. เมทรกิ ซ์สามเหล่ียม (Triangular matrix) 1 0 0 2 7 0 1 2 9 4 3 5 0 3 7 0 0 6

188 10. เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar matrix) 5 0 0 5 4 0 0 0 4 0 0 0 4 7. ทรานสโพสของเมทริกซ์ หรอื เมทริกซส์ ลบั เปล่ยี น เปน็ การสลับเปลยี่ นตำแหนง่ จาก aij เปน็ aji ทำให้ขนาดของเมทริกซ์ เปลยี่ นจาก m × n เปน็ n×m ใชส้ ัญลกั ษณ์ จาก A → At เช่น 2 7 A t = 2 3 6 A = 3 5 → 7 5 92×3 93×2 6 7.1 คณุ สมบัตขิ องการสลับเปล่ยี น (At)t = A (A + B)t = At + Bt (A - B)t = At - Bt เม่อื A เปน็ เมทรกิ ซจ์ ัตุรัส และ n+ (จานวนเตม็ +) (KA)t = KAt (AB)t = BtAt (At)n = (An)t ถา้ A เป็นเมทริกซส์ มมาตร แลว้ จะได้ At = A ถา้ A เป็นเมทริกซจ์ ัตุรัส แลว้ A + At จะเปน็ เมทริกซส์ มมาตร ถ้า A เปน็ เมทริกซ์จัตรุ ัส และ A - At จะเปน็ เมทริกซ์สมมาตร ตวั อยา่ งท่ี 8 ถา้ A = 1 -2 B = -1 1 แลว้ 2A -1 Bt คอื เมทรกิ ซ์ในข้อใด -3 4   2 1 1. 2 -10 2. -2 10 3. 5 2 4. -5 -2 2 -7  -2 7  6 6  6 6  วิธีคิด A -1 = (1)(4) 1 4 2 - (-2)(-3) 3 1

189 (( )) (( ))=1 4 2 = 1 4 2 = 4 - 1 2 - 1  - 3 1 -2 3 1 3 2 2  4 6 - 1 1 - 1  2 2  =  -2 -1  3 1 - 2 - 2   B t = -1 2  1 1 2A -1 B t = 2  -2 -1  -1 2 =  -2(2) -1(2)  -1 2 3 1   1 1 3 1  1 1 - 2 - 2  - 2 (2) - 2 (2) = -4 -2 -1 2 = -4(-1) + (-2)(1) -4(2) + (-2)(1) -3 -1  1 1 -3(-1) + (-1)(1) -3(2) + (-1)(1) = 4 - 2 -8 - 2 = 2 -10 ตอบ ข้อ 1.  3 - 1 -6 - 1 2 -7  8. ดเี ทอร์มแิ นนต์ ไมเนอร์ และโคแฟคเตอร์ 8.1 ดเี ทอร์มิแนนต์ (Determinant) เขยี นสัญลกั ษณ์ดีเทอร์มแิ นนต์ ของเมทริกซ์ A = det (A) หรือ A 8.2 สตู รการหา Det (A) ดีเทอร์มิแนนต์ ของเมทริกซ์ A = det (A) หรือ A 1. กรณเี ป็นเมทริกซข์ นาด 1 × 1 เชน่ A =[5] det(A) = 5 หรือ A = 5 หรือ A = [a] det(A) = a หรือ A = a 2. กรณีเปน็ เมทริกซข์ นาด 2 × 2 ถา้ ให้ A = a b โดย a,b, c, dR c d det(A) = a b = ad - bc c d

190 3. กรณีเป็นเมทริกซ์ขนาด 3 × 3, 4 × 4, ... 1 2 3 ถ้าให้ A = 4 5 6 7 8 9 (7)(5)(3)+(8)(6)(1)+(9)(4)(2) 1 2 31 2 det(A) = 4 5 6 4 5 7 8 97 8 (1)(5)(9)+(2)(6)(7)+(3)(4)(8) det(A) = ลา่ ง - บน ล่าง = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) = 45 + 84 + 96 = 225 บน = (7)(5)(3) + (8)(6)(1) + (9)(4)(2) = 105 + 48 + 72 = 225 det(A) = 225 - 225 = 0 8.3 การหาไมเนอร์ และโคแฟคเตอร์ของเมทรกิ ซ์ (Mij , Cij) A = a b c d M11 = a b = d =d c d M12 = a b = c = c c d M21 = a b = b =b c d M22 = a b = a =a c d C11 = (-1)1+1M11 = (-1)2(d) = d C12 = (-1)1+2M12 = (-1)3(c) = -c C21 = (-1)2+1M21 = (-1)3(b) = -b C22 = (-1)2+2M22 = (-1)2+2(a) = a

191 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 M11 = 1 2 3 5 6 4 5 6 = 8 9 = (5)(9) – (8)(6) = 45 – 48 = -3 7 8 9 M12 = 1 2 3 4 6 4 5 6 = 7 9 = (4)(9) – (7)(6) = 36 – 42 = -6 7 8 9 M13 = 1 2 3 4 5 4 5 6 = 7 8 = (4)(8) – (7)(5) = 32 – 35 = -3 7 8 9 ทำไปเรื่อยๆ จนถึง M33 1 2 3 1 2 M33 = 4 5 6 = 4 5 = (1)(5) – (4)(2) = 5 – 8 = -3 7 8 9 C11 = (-1)1+1M11 = (-1)2(-3) = -3 C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3(-6) = 6 C13 = (-1)1+3M13 = (-1)4(-3) = -3 ทำไปเร่ือยๆ จนถงึ M33 C33 = (-1)3+3M33 = (-1)6(-3) = -3 8.4 การหา det(A) จาก Cij (A) → แถวท่ี 1 → แถวที่ 2 1 2 3 → แถวท่ี 3 A = 4 5 6 7 8 9 det (A) = 1(C11) + 2(C12) + 3(C13) = 4(C21) + 5(C22) + 6(C23) = 7(C31) + 8(C32) + 9(C33)

192 = 1(C11) + 4(C21) + 7(C31) → หลักที่ 1 = 2(C12) + 5(C22) + 8(C32) → หลกั ท่ี 2 = 3(C13) + 6(C23) + 9(C33) → หลกั ที่ 3 เลอื กเอาแถว หรอื หลักใดก็ได้ โดยมวี ิธเี ลือก แถวหรอื หลักทม่ี ี 0 เป็นสมาชกิ ในแถว หรอื หลักน้นั หลายๆตวั เพราะผลลัพธข์ องการคูณระหวา่ งสมาชกิ กับ Cij จะเป็น 0 det(A) ใน 8.4 จะไดค้ ่าเทา่ กับ det(A) ใน 8.2 วธิ ีการใน 8.4 ยุ่งยาก แต่ตวั เลขนอ้ ย ใหเ้ ลอื กวธิ ีเอาเอง * แนะนำ ใหใ้ ชว้ ิธีใน 8.2 จะสะดวกกว่า * 8.5 คณุ สมบตั ิของดเี ทอร์มแิ นนต์ 1. หากสมาชกิ มี 0 ทัง้ แถว แถวใดแถวหน่งึ หรอื ท้ังหลัก หลักใดหลกั หนงึ่ ในเมทริกซ์ จัตุรัส (A) แลว้ det(A) = 0 2. หากมี 2 แถว หรือ 2 หลัก เหมอื นกนั ในเมทรกิ ซ์จัตุรสั (A) แลว้ det(A) = 0 3. หากมีการสลับที่ระหว่างแถวคใู่ ดคหู่ นึง่ หรอื หลักคู่ใดคู่หนง่ึ แลว้ det(ใหม่) = -det(เดิม) 4. det (At) = det (A) 5. det(An) = (det(A))n 6. det (A -1) = 1 det (A) 7. det (A×B) = det (A) × det (B) เมอื่ A, B เปน็ เมทริกซ์จตั ุรัส แต่ det (A ±B)  det (A) ± det (B) 8. det (KA)n = Kndet (A) 9. det (n) = 1 และ det (0) = 0 10 ถ้า A เปน็ เมทริกซ์เอกฐาน แล้ว det (A) = 0 หาก A มใิ ช่เมทรกิ ซ์เอกฐาน det (A)  0 ตัวอยา่ งท่ี 9 ถา้ A = -1 1 แลว้ det (-2A3 At (A + At)) เทา่ กบั เทา่ ใด  3 -1 1. 768 2. -768 3. 384 4. -384

193 วธิ คี ดิ A t = -1 3  1 -1 A + A t = -1 1 + -1 3 = (-1) + (-1) 1 + 3  = -2 4  3 -1  1 -1  3 + 1 (-1) + (-1)   4 -2 จาก det (-2A3 At (A + At)) = (-2)2det (A3) det (At) det (A + At) = 4(det(A)3)det(A)det(A + At) ----- หา det (A) = -1 1 = (-1)(-1) - (3)(1) = 1- 3 = -2 3 -1 det (A + At) = -2 4 = (-2)(-2) - (4)(4) = 4 - 16 = -12 4 -2 ดงั นนั้ det (-2A3At (A + At)) = 4(-2)3(-2)(-12) = 4(-8)(24) = -768 ตอบ ข้อ 2. 1 2 -1 ตวั อย่างที่ 10 กำหนดให้ A = 2 x 2 โดยที่ x เป็นจำนวนจรงิ ถ้า C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 2 1 y  แล้ว det (A) เท่ากับเท่าใด 1. -33 2. -30 3. 30 4. 33 วิธีคดิ หาค่า x, y ใน A แล้วค่อยหาคา่ det (A) 1 2 -1 A = 2 x 2  2 1 y  C11(A) = (-1)1+1 x 2 1 y 13 = (-1)2[(x)(y) - (1)(2)] 13 = xy - 2 13 + 2 = xy xy = 15 ---------- C21(A) = (-1)2+1 2 -1 1 y 9 = (-1)3 [(2)(y) - (-1)(1)]

9 = -1 (2y + 1) 194 9 = -2y - 1 ตอบ 2y = -1 - 9 2y = -10 y = -10 = -5 2 y = -5 แทน  x(-5) = 15 x = 15 = -3 -5 1 2 -1  A = 2 -3 2  2 1 -5 6 + 2 - 20 = -12 1 2 -1 1 2 det(A) = 2 -3 2 2 -3 2 1 -5 2 1 15 + 8 - 2 = 21 = 21 - (-12) det (A) = 21 + 12 = 33 ขอ้ 4.  x2 -x 1  ตวั อยา่ งท่ี 11 ให้ f(x) = det   0 1 2  ถ้าช่วง [a, b] เป็นเซตคำตอบของอสมการ f(x)  -2 แล้ว   x 1 1    a - b คือขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 2 3 3 3. 4 4. 5 3 3 วธิ คี ดิ หาค่า x จากอสมการ f(x)  -2

195  x2 -x 1  f(x) = det   0 1 2    x 1 1    x + 2x2 + 0 = 2x2 + x  x2 -x 1  x2 -x 1 x2 -x det   0 1 2  = 0 1 2 0 1   x 1 1  x 1 1x 1   x2 + (-2x2) + 0 = -x2 = (-x)2 - (2x2 + x) = -x2 - 2x2 - x = -3x2 - x แต่ f(x)  -2 ดังน้นั -3x2 - x  -2 ย้ายข้างให้หน้า x2 เปน็ + จะง่ายกว่า 0  -2 + 3x2 + x 0  3x2 + x - 2 หรอื 3x2 + x - 2  0 3x +3x +1 3x2 + x - 2 ≤ 0 x -2x -2 (3x - 2)(x + 1) ≤ 0 หาคา่ วกิ ฤต 3x - 2 = 0 หรอื x + 1 = 0 3x = 2 หรือ x = -1 x = 2 3 +-+ -1

196 คำตอบ [-1, 32] = [a,b] ดังนั้น a = -1, b = 2 3 a-b = -1 - 2 = -3 - 2 = -5 = 5 3 3 3 3 3 ตอบ 5 ขอ้ 4. 3 ตวั อย่างที่ 12 กำหนดให้ เมทรกิ ซ์ A และ B ดังน้ี A =  x 2 -2 2  B = -2 -4x  2 x   2 0  2 โดยที่ x เป็นจำนวนจริง ถ้า det (2A) = -76 แลว้ เมทรกิ ซ์ C ในขอ้ ใดต่อไปนี้ ท่ีทำใหค้ า่ ของ det (BC) อยภู่ ายในชว่ ง (-100, -50) 1. C = 1 -1 2. C = -1 2 1 2   1 1 3. C = 2 1 4. C = 2 1 -1 4  3 -1 วิธีคิด จากโจทย์ det (BC) = (det B) (det C) ดงั นั้น ต้องหา det B กับ det C แต่ A, B ตดิ x ดังนั้น ต้องหาค่า x กอ่ นเพื่อน โดยใชส้ มการ det (2A) = -76 เปน็ ตวั ต้งั สมการ det (2A) = 22det (A) [n × n = 2 × 2] = 4 det (A) = 4 x2 -2 2 22 x = 4[(x2)(x) - (2 2)(-2 2)] แทนคา่ det (2A) , -76 = 4(x3 + 8) -7619 = x3 + 8 4 -19 = x3 + 8 -19 - 8 = x3