65-07-23-คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย

197 -27 = x3 [ x ยกกำลงั ค่ี ได้ค่าเดยี ว -3 = x และลบได้ลบ / บวกได้บวก ] แทน x ใน A, B , A =  (-3)2 -2 2  B = -2 -4(-3) 2 2 (-3)   2 0  A =  9 2 -2 2  B = -2 12 2 -3   2 0  หา det (B) = -2 12 2 0 = (-2)(0) - (12)(2) = 0 - 24 det (B) = -24 ลองตอบแตล่ ะข้อ ข้อ 1. C = 1 -1 , det C = 1 -1 1 2  1 2 = (1)(2) - (1)(-1) =2+1=3 ∴ det (B) det (C) = (-24)(3) = -72 ถูกอยใู่ นช่วง (-100, -50) ข้อ 2. C = -1 2 , det C = -1 2  1 1 1 1 = (-1)(1) - (2)(1) = -1 - 2 = -3 ∴ det (B) det (C) = (-24)(-3) = 72 ผิด ขอ้ 3. C = 2 1 , det C = 2 1 -1 4  -1 4 = (2)(4) - (1)(-1) =8+1=9 ∴ det (B) det (C) = (-24)(9) = -216 ผดิ ขอ้ 4. C = 2 1 , det C = 2 1 3 -1 3 -1

198 = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5 ∴ det (B) det (C) = (-24)(-5) = 210 ผดิ ตอบ ข้อ 1. 1 2 3 2 x 3 ตวั อยา่ งท่ี 13 กำหนดให้ x และ y เปน็ จำนวนจริง และ A = 2 x 1 B = 2 y 3 3 y 2 1 2 3 ถ้า A และ B ไม่มีตัวผกผัน แลว้ x + y เท่ากบั เท่าใด วิธีคิด A และ B ไมม่ ตี ัวผกผนั หรอื อินเวอร์ส คือ A-1 และ B-1 แสดงว่า det(A) = 0 และ det(B) = 0 เพราะ A -1 = 1 [Cij]t , B-1 = 1 [Cij]t det (A) det (B) ดงั น้ัน det (A) = 0 det (B) = 0 9x + y + 8 3y + 12 + 6x 12312 2x32x 2x12x 2y32y 3y23y 12312 2x + 6 + 6y 6y + 3x + 12 (2x + 6 + 6y) - (9x + y + 8) = 0 (6y + 3x + 12) - (3y + 12 + 6x) = 0 2x + 6 + 6y - 9x - y - 8 = 0 6y + 3x + 12 - 3y - 12 - 6x = 0 -7x + 5y - 2 = 0 3y - 3x = 0 -7x + 5y = 2 ----- 3 หาร, y - x = 0 ----- ×5, 5y – 5x = 0 ----- -, -2x = 2 แทน x ใน , x = 2 = -1 -2 y - (-1) = 0

199 y+1=0 y = -1 x + y = (-1)(+(-1) = -2 ตอบ x + y = -2 a -1 0  ตวั อย่างที่ 14 ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริง และ A = b 1 1 ให้ Cij (A) เปน็ โคแฟคเตอร์ของ c 1 -1 สมาชกิ ในตำแหน่ง แถวที่ i และหลักที่ j ของ A ถ้า C12 (A) = 1 และ det (A) = -5 แลว้ a มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด 1. -5 2. -1 3. 2 4. 3 วธิ ีคดิ แถวที่ 1 หา det (A) = aC11 + (-1)C12 + (0)C13 แทนค่า det (A) = -5 , C12 = 1, -5 = a(-1)1+1 1 1 + (-1)(1) + 0 1 -1 -5 = a ((1)(-1) - (1)(1)) - 1 -5 = a (-2) - 1 -5 = -2a - 1 2a = 5 - 1 2a = 4 a = 4 = 2 2 ตอบ a = 2 ตวั อย่างท่ี 15 กำหนดให้ A, B, C และ  เปน็ เมทริกซ์มิติ 3 × 3 ซงึ่ A-1 B = A + C และ AC = C2 det (A2 + C2) = 2 คา่ ของ det (3 adj (B)) เทา่ กบั ข้อใด 1. 27 2. 36 3. 54 4. 108 วธิ ีคดิ จาก A-1 B = A + C หรอื A + C = A-1 B A คูณข้างหน้า , A  A + AC = A  A-1 B A2 + AC = B

200 AC = C2 แทน , A2 + C2 = B A2 + C2 = B ---------- det (A2 + C2) = det B det (adj (B)) = det (B)n-1] 2 = det B ตอบ ขอ้ 4. จากโจทย์ถาม det (3 adj (B)) = 33det (adj (B)) = 27 (det (B)3-1) [ = 27 (det (B)2) = 27 det (B)2 = 27 (2)2 det (3 adj (B) ) = 108 8.6 เมทรกิ ซ์ผกู พนั (Adjoint) เมทริกซ์ผูกพัน หมายถงึ ทรานโพสของเมทรกิ ซ์โคแฟคเตอร์ adj (A) = [Cij (A)]t แต่ A -1 = 1 adj (A) ---------- det (A) det (A) A-1 = adj (A) ----------  A คูณท้ัง 2 ข้าง, det (A) A-1  A = adj (A) A det (A) Ι = adj (A) A ---------- [A-1A = ]  ใส่ det ท้ังสองข้าง, det (det (A) A-1) = det (adj (A)) det (A)n (det A-1) = det (adj (A)) det (A)n 1 A = det (adj (A)) det det (A)n-1 = det (adj (A)) ----------

201 ตวั อย่างท่ี 16 ให้ A, B เป็นเมทรกิ ซ์จัตุรัสมิติ 3 × 3 และ Ι เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลักษณม์ ิติ 3 × 3 1 1 -1 ถา้ AB = BA = Ι และ A = 2 1 3  แลว้ เมทริกซ์ผกู พนั ของ B เทา่ กับข้อใด 1 0 1  1. 1 A 2. -3A 3. 1 At 4. -3At 3 3 วธิ ีคดิ โจทยใ์ หห้ า adj (B) จาก adj (B) = det (B) B-1 ---------- แต่ AB = BA = Ι หรือ A = B-1 det (A) = det (B-1) det (A) = 1 ---------- det (B) -1 + 0 + 2 = 1 1 1 -1 1 1 det(A) = 2 1 3 2 1 10 1 10 1+3+0=4 det (A) = 4 - 1 = 3 แทน  3 = 1 det (B) det (B) = 1 แทน  3 adj (B) = det (B) B-1 = 1 B-1 3 = 1 A [ A = B-1] 3 ตอบ ขอ้ 1.

202 ตวั อยา่ งท่ี 17 กำหนดให้ adj (A) แทนเมทรกิ ซผ์ ูกพันของ A adj (A) = B - Bt det (A) = 1 และ 8 C = det (A) B-1 + Bt A B-1 เม่ือ A, B มีมติ ิ 2 × 2 จงหา det (2Ct)-1 วธิ ีคดิ จาก adj (A) = B - Bt det (A) A-1 = B - Bt [ det (A) A-1 = adj (A)] 1 A -1 = B - Bt 8 × A ทัง้ 2 ข้างหลัง , 1 A -1 A = BA - A t A 8 1  = BA - BtA 8 × B-1 ทง้ั 2 ขา้ งหลงั , 1 B-1 = B A B-1 - Bt A B-1 ---------- 8 จาก C = det (A) B-1 + Bt A B-1 ---------- + C + 1 B-1 = det (A) B-1 + Bt A B-1 + B A B-1 + Bt A B-1 8 C + 1 B-1 = det (A) B-1 + B A B-1 8 - 1 B-1 ทัง้ 2 ขา้ ง C = det (A) B-1 + B A B-1 - 1 B-1 8 8 det (A) = 1 แทนคา่ , C = 1 B-1 +B A B-1- 1 B-1 8 8 8 C = BAB-1 det C = det (B A B-1) = det (B) det (A) det (B-1) = det (B) det (A) 1 det (B) det C = det (A) = 1 8 จากโจทย์ถาม det (2Ct)-1 = det 1 (2C)t = 1 (Ct) 22det

203 = 4 1 C (det (Ct) = det (C)) det ( )= 1 = 1 1 1 4 8 2 =2 ตอบ ตัวอย่างท่ี 18 ให้ A เปน็ เมทรกิ ซ์จตั ุรสั 4 × 4 และ Mij (A) คอื ไมเนอร์ของ aij ถา้ M23 (A) = 5 แล้ว M32 (2At) เท่ากับเท่าใด 1. 10 2. 20 3. 40 4. 80 วธิ ีคิด A = aaaa13421111 aaaa12432222 aaaa13243333 aaaa12344444     M23 (A) = 5 แต่ M32 (At) = M23 (A) =5 M32 (2At) = 24-1M32 (At) = (23)M32 (A) ตอบ ข้อ 3. = 8 (5) = 40 ตัวอยา่ งที่ 19 กำหนดให้ A เมทริกซม์ ิติ 3 × 3 และ Aij คอื เมทริกซท์ ่ไี ดจ้ ากการตัดแถวท่ี i และหลักท่ี j  2 -5 -1 A 11 = -1 -2 A 32 = 1 -1 ของเมทรกิ ซ์ A ออก ถา้ adj (A) = -28 10 -1  5 8  3 -2  17 5 -1 แล้ว det (A) มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด 1. -92 2. -15 3. 15 4. 92 วธิ คี ิด เปลี่ยน adj (A) = [Cij (A)]t ให้เป็น [Cij (A)]  2 -5 -1  2 -28 17 adj (A) = -28 10 -1 → [Cij (A)] = -5 10 -5  ----------  17 5 -1 -1 -1 -1

204 แต่ A 11 = -1 -2 (ตดั แถว 1 หลัก 1) และ A 32 = 1 -1 (ตดั แถว 3 หลกั 2)  5 8  3 -2 ดงั น้ัน 1 a-112 -1 ---------- A=3 -2 a31 5 8  จาก  และ  -28 = (-1)1+2 3 -2 -1 = (-1)3+1 a-112 -1 a31 8 -2 -28 = (-1)3 [(3)(8) - (-2)(a31)] -1 = (-1)4 [(a12)(-2) - (-1)(-1)] -28 = -1 (24 + 2a31) -1 = 1 (-2a12 - 1) -28 = -24 - 2a31 -1 = -2a12 - 1 2a31 = -24 + 28 2a12 = -1 +1 = 0 2a31 = 4 a12 = 0 = 0 2 a31 = 4 = 2 a12 = 0 2 1 0 -1  A = 3 -1 -2 2 5 8  2 - 10 + 0 = -8 ตอบ ขอ้ 2. 1 0 -1 1 0 det A = 3 -1 -2 3 -1 25 825 -8 + 0 - 15 = -23 = -23 - (-8) = -23 + 8 = -15

205 -2 2 3 สมาชิกในแถวที่ 2 และหลักท่ี 3 ของ A-1 เทา่ กบั ข้อใด ตัวอย่างที่ 20 กำหนดให้ At =  1 -1 0  0 1 4 1. -2 2. -2 3. 2 4. 2 3 3 วิธคี ิด โจทย์ถาม a23 ของ A-1 = a32 ของ A -2 1 0 A =  2 -1 1  3 0 4 A -1 = 1  adj (A) det (A) 0+0+8=8 -2 1 0 - 2 1 det(A) = 2 -1 1 2 -1 3 043 0 8 + 3 + 0 = 11 det (A) = 11 - 8 = 3 adj (A) = CCC123111 CCC123222 CCC123333  t   C32 (A) = (-1)3+2 -2 0 2 1 = (-1)5 [(-2)(1) - (2)(0)] = -1 (-2) =2 ดงั นั้น A -1 = 1 - - - det (A) - - - - C32 - = 1 - - - = -- - -- 3 - - - - - - - 2 - 2 3

สมาชิก a23 ของ A -1 = 2 206 3 ตอบ 8.2 การใชเ้ มทรกิ ซ์แก้ระบบสมการเชงิ เส้น ตวั อย่างที่ 21 จงแกส้ มการหาคา่ x, y 4x + 20y = -16 ---------- 1x + 10y = -9 ---------- 4 20 x = -16 1 10 y  -9  x = det (A1) det (A1) = -16 20 det (A) -9 10 = (-16)(10) - (20)(-9) (4)(10) - (1)(20) = -160 + 180 = 20 = 1 40 - 20 20 y = det (A2) det (A2) = 4 -16 det (A) 1 -9 = (4)(-9) - (-16)(1) (4)(10) - (1)(20) = -36 +16 = -20 = -1 40 - 20 20 ตอบ x = 1, y = -1 ตวั อย่างที่ 22 จงแกส้ มการ หาค่า x, y ---------- 4x - y + 3z = 1 ---------- 6x + 2y - z = 0 ---------- 3x + 3y + 2z = -1 4 -1 3  x  1  6 2 -1 y =  0  3 3 2  z -1

207 -6 - 3 + 0 = -9 x = det (A1) det (A1) = 1 -1 3 1 -1 det (A) 0 2 -1 0 2 -1 3 2 -1 3 4-1+0=3 = 3 - (-9) = 3 + 9 = 12 18 - 12 - 12 = -6 4 -1 3 4 -1 det (A) = 6 2 -1 6 2 33 233 16 + 3 + 54 = 73 det (A) = 73 - (-6) = 73 + 6 =79  x = 12 79 0 + 4 + 12 = 16 y = det (A2) det (A2) = 41 341 det (A) 6 0 -1 6 0 3 -1 2 3 -1 0 - 3 -18 = -21 = -37 det (A2) = -21 - 16 79 = -37 6 + 0 + 6 = 12 z = ddeett((AA3)) det (A3) = 4 -1 14 -1 6 2 06 2 3 3 -1 3 3 -8 + 0 + 18 = 10 = -2 det (A3) = 10 - 12 = -2 79 ตอบ x = 12 , y = -37 , z = -2 79 79 79

208 ตวั อย่างที่ 23 ถ้า x1 สอดคล้องระบบสมการ x1 + 2x2 + x3 = 0 3x1 + x2 - 2x3 = 5 2x1 - 3x2 - 3x3 = 9 และ A =  x1 + y 2yx1 แลว้ ผลบวกของ y ทง้ั หมด ทท่ี ำให้ A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน เท่ากบั เทา่ ใด  3 1. 0 2. -1 3. -2 4. -3 วธิ คี ดิ 1 2 1  xxx123  = 0  B = 3 1 -2 5 -3 -3   9  2    2 + 6 - 18 = -10 12 112 det (B) = 3 1 -2 3 1 2 -3 -3 2 -3 -3 -8 -9 = -20 det (B) = (-20) - (-10) = -20 + 10 = -10 9 + 0 - 30 = -21 det 02 102 (B1) = 5 1 -2 5 1 9 -3 -3 9 -3 0 - 36 - 15 = -51 det (B1) = -51 - (-21) = -51 + 21 = -30 x1 = det (B1) = -30 = 3 det (B) -10 ดังน้ัน A =  x1 + y 2yx1  เปน็ เมทรกิ ซเ์ อกฐาน  3  ∴ det A = 0 (x1 + y)(y) - (3)(2x1) = 0 แทน x1 = 3 (3 + y)(y) - (6)(3) = 0

209 3y + y2 -18 = 0 y2 + 3y -18 = 0 (y + 6)(y - 3) = 0 y + 6 = 0 หรือ y - 3 = 0 y = -6 หรือ y = 3 ∴ ผลบวกของค่า y = (-6) + 3 = -3 ตอบ -3 x 1 1 ตัวอยา่ งที่ 24 กำหนดให้ A = 3 1 1 ถ้า C12(A) = 4 แล้ว det (2A) มีคา่ เท่าใด x 0 -1 วธิ ีคิด C12(A) = (-1)1+2 3 1 x -1 C12(A) = (-1)3 [(3)(-1) - (1)(x)] C12(A) = (-1)(-3 - x) 4=3+x 1=4-3=x x = 1 แทนใน A 1 1 1  A = 3 1 1  1 0 -1 1 + 0 - 3 = -2 11 1 11 det (A) = 3 1 1 3 1 1 0 -1 1 0 -1 + 1 + 0 = 0 det (A) = 0 - (-2) = 2 แต่ det (2A) = 23det A = 8(2) = 16 ตอบ 16

210 กำหนดการเชงิ เส้น 1. ใชว้ ธิ ีการทางเรขาคณิต (กราฟเส้นตรง) เพื่อหาคำตอบของปญั หากำหนดการเชงิ เส้น 2. ปญั หากำหนดการเชงิ เสน้ เป็นปัญหาท่เี กี่ยวกบั การหาค่าสูงสุด หรอื หาค่าต่ำสดุ ของฟงั ก์ชันเชงิ เสน้ ซึ่งนยิ าม บนเซตคำตอบของระบบสมการ หรืออสมการเชงิ เส้น 3. เซตคำตอบของระบบสมการหรอื อสมการเชงิ เสน้ ในปญั หากำหนดการเชงิ เส้น เรยี กวา่ เซตคำตอบท่เี ป็นไป ได้ 4. สมการ หรืออสมการเชิงเส้นซง่ึ กำหนดข้อจำกัดเงื่อนไขของปัญหา เรยี กวา่ เง่ือนไขบังคบั 5. ฟงั ก์ชันเชงิ เส้นทีจ่ ะหาค่าสงู สุด หรอื ค่าต่ำสดุ เรยี กวา่ ฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาค่าสงู สุด และค่าต่ำสุดของฟังกช์ ันจุดประสงค์ P = x - 2y โดยมีเงือ่ นไขบังคบั ดังน้ี x+y 2 ---------- x + 3y  4 ---------- x+y 4 ---------- x  0 ---------- y  0 ---------- วิธีคิด เขียนกราฟเสน้ ตรง ท้งั 5 เส้น x 02 y y20  4 (0,4) 3 x0 4 (012,2) (1,1)  (4,0) x -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 y 1 1 0  3 -2 -3  -4  x 04 y40 ทำให้ท้งั 5 เส้น ซ้อนกัน

โดยใช้หลัก x  0 กบั y  0 211 อยชู่ อ่ งทจ่ี ตภุ าค 1 ตอบ หาจุดตัดระหว่างเสน้ กราฟ ท่ีทำให้เกิดพื้นทแี่ รเงา ดูเสน้  กับ  ยังไม่ทราบจดุ ตัด ต้องแก้สมการหาคา่ x, y x+y=2 ---------- x + 3y = 4 ---------- - 2y = 2 y=1 แทน y = 1 ใน  x+1=2 x=2-1 x=1 ∴ (x, y) = (1, 1) จุดมุม (x, y) P = x - 2y (1, 1) (1) - 2(1) = -1 (4, 0) (4) - 2(0) = 4 (0, 4) (0) - 2(4) = -8 (0, 2) (0) - 2(2) = -4 ∴ P มีคา่ สูงสุด = 4 และ P มีคา่ ตำ่ สุด = -8 ตวั อยา่ งท่ี 2 สำนกั พมิ พ์ผลติ หนงั สือ 2 ประเภท ประเภท ก. หน้าปกพมิ พ์ 4 สี ใช้เวลาในการผลติ 12 นาที ตอ่ เลม่ โดยมกี ำไรเลม่ ละ 40 บาท ประเภท ข. หนา้ ปก ขาว - ดำ ใชเ้ วลาในการผลติ 6 นาที ตอ่ เล่มมกี ำไร เลม่ ละ 10 บาท จากการสำรวจตลาดพบว่า ความตอ้ งการหนงั สือประเภท ก. และ ข. ไม่เกิน 100 และ 300 เล่มต่อสัปดาห์ตามลำดบั โดยที่เคร่ืองจักรทใ่ี ช้ในการผลิตสามารถทำงานไดส้ ปั ดาห์ละไม่เกนิ 40 ชวั่ โมง คาดวา่ สำนกั พมิ พ์จะมกี ำไรมากทส่ี ดุ จากการพิมพ์หนังสือทง้ั 2 ประเภท สัปดาห์ละเทา่ ไร วิธีคดิ สมมติตามโจทย์ถาม ประเภท ก. พมิ พ์สปั ดาหล์ ะ x เล่มกำไร 40 x บาท ประเภท ข. พิมพ์สัปดาหล์ ะ y เลม่ กำไร 40y บาท กำไรสงู สุด สมการดังนี้ P = 40x + 10y

212 อสมการมีดังนี้ 0  x  100 ---------- 0  y  300 ---------- 1 สัปดาห์ ประเภท ก. ผลิต 1 เล่ม ใช้เวลา 12 นาที ถา้ x เล่มใช้เวลา 12x นาที 1 สปั ดาห์ ประเภท ข. ผลติ 1 เลม่ ใช้เวลา 6 นาที ถา้ y เลม่ ใช้เวลา 6y นาที แต่เครื่องจกั รผลิตได้ ไมเ่ กนิ สปั ดาห์ละ 40 ชว่ั โมง หรอื 60 × 40 = 2400 นาที ดังนนั้ 12x + 6y  2400 ---------- y x=0 x=100  (50,300) y=300 300 (0,300) (100,200)  y=0 x 0 (0,0) (100,0) 100 200 เขยี นกราฟสมการ  12x + 6y = 2400 x 0 200 y 400 0 หาจุดตัดระหวา่ ง  กับ  โดยแทน y = 300 ในสมการ  12x + 6y = 2400 แลว้ หาค่า x 12x + 6(300) = 2400 12x + 1800 = 2400 x = 600 = 50 12 ∴ (x, y) = (50, 300) หาจุดตัดระหวา่ ง  กบั  โดยแทน x = 100 ในสมการ  12(100) + 6y = 2400 1200 + 6y = 2400

213 6y = 2400 - 1200 y = 1200 = 200 6 ∴ (x, y) = (100, 200) หาค่า P สงู สุดจากสมการ P = 40x + 10y จุดมมุ (x, y) P = 40x + 10y (0, 0) 40(0) + 10(0) = 0 (100, 0) 40(100) + 10(0) = 4000 (100, 200) 40(100) + 10(200) = 6000 (50, 300) 40(50) + 10(300) = 5000 (0, 300) 40(0) + 10(300) = 3000 ตอบ P สูงสุด = 6000 แสดงว่า สำนักพมิ พจ์ ะมกี ำไรมากท่สี ดุ จากการพมิ พ์หนงั สือ 2 ประเภท สัปดาห์ละ 6,000 บาท ตวั อย่างท่ี 3 สินค้า 2 ชนิด ผลติ จากโรงงานผลติ เดยี วกนั โดยใช้วตั ถุดบิ จากแหล่ง 2 แหลง่ ดงั นี้ - ปรมิ าณวตั ถุดิบท้ังหมดท่ีมีให้ใช้จากแหล่งท่ี 1 และแหลง่ ท่ี 2 มีคา่ เป็น 18 หน่วย และ 10 หน่วย ตามลำดบั - แตล่ ะชน้ิ ของสนิ ค้าชนดิ ท่ี 1 ต้องใช้วัตถดุ ิบจากแหล่งที่ 1 และแหลง่ ที่ 2 เปน็ ปริมาณ 2 หน่วย และ 1 หนว่ ย ตามลำดับ - แต่ละชนิ้ ของสนิ ค้าชนิดท่ี 2 ตอ้ งใชว้ ัตถุดิบจากแหลง่ ท่ี 1 และ แหล่งที่ 2 เป็นปรมิ าณ 3 หน่วย และ 2 หน่วย ตามลำดับ - แตล่ ะชนิ้ ของสินค้าชนิดท่ี 1 และชนิดท่ี 2 จะให้รายไดเ้ ป็นเงนิ 300 และ 400 บาท ตามลำดับ อยากทราบวา่ เม่ือผลิตสินค้าจนมรี ายไดม้ ากที่สุดตามข้อจำกัดของวัตถดุ บิ ทมี่ อี ยู่แลว้ ข้อใดต่อไปนี้เปน็ จรงิ 1. ยังมีวตั ถุดิบเหลืออยู่จากแหล่งที่ 1 และแหลง่ ท่ี 2 2. ยงั มีวตั ถุดิบเหลืออยู่จากแหลง่ ที่ 1 แตไ่ ม่มวี ตั ถดุ บิ เหลอื จากแหลง่ ท่ี 2 3. ไม่มวี ตั ถดุ บิ เหลอื จากแหลง่ ท่ี 1 แต่มีวตั ถดุ ิบเหลอื อยูจ่ ากแหล่งท่ี 2 4. ไม่มีวัตถดุ บิ เหลอื ท้งั จากแหลง่ ที่ 1 และแหล่งท่ี 2

214 วิธคี ดิ สมมติ ผลิตสนิ คา้ ชนิดท่ี 1 x ช้นิ ดงั นนั้ x  0 ---------- ผลิตสินค้า ชนิดที่ 2 y ชนิ้ ดงั นัน้ y  0 ---------- ใชว้ ัตถดุ ิบจากแหล่งท่ี 1 ท้งั 2 สนิ ค้า = 2x + 3y หนว่ ย ใช้วตั ถดุ ิบจากแหล่งที่ 2 ท้ัง 2 สนิ ค้า = 1x + 2y หน่วย ดังน้นั 2x + 3y  18 ---------- 1x + 2y  10 ---------- สนิ ค้าชนดิ ที่ 1 ใหร้ ายไดช้ น้ิ ละ 300 บาท และสินค้าชนิดที่ 2 ใหร้ ายได้ช้นิ ละ 400 บาท มรี ายได้จากการผลิต = 300x + 400y หรอื P = 300x + 400y y ---------- 2x + 3y = 18  x09 6 y60 5 (0,5) 3 2 (6,2)  1x + 2y = 10 0 (0,0) 3 (10,0) x x0 6 (9,0)9 10 y5 10 0  หาจุดตัดของสมการ  ,  2x + 3y = 18 ---------- ---------- 1x + 2y = 10 ---------- ×2, 2x + 4y = 20 -, y=2 แทนคา่ y = 2 ใน  1x + 2(2) = 10 x + 4 = 10 x = 10 - 4 = 6 ∴ (x, y) = (6, 2)

215 หาค่าสูงสุดของ P = 300x + 400y จดุ มุม (x, y) P = 300x + 400y (0, 0) 300(0) + 400(0) = 0 (0 5) 300(0) + 400(5) = 2000 (6, 2) 300(6) + 400(2) = 2600 (9, 0) 300(9) + 400(0) = 2700 P สูงสดุ = 2,700 แสดงว่า ผลติ สินค้าจนมีรายไดส้ ูงสุด เมื่อ x = 9 และ y = 0 หรอื มีการใชว้ ัตถุดบิ จากแหลง่ ท่ี 1 = 2(9) + 3(0) = 18 หน่วย และมีการใชว้ ัตถุดิบจากแหลง่ ท่ี 2 = 1(9) + 2(0) = 9 หนว่ ย ดังนั้น วตั ถดุ ิบแหลง่ ที่ 1 เดิมมี 18 หน่วย ใชห้ มด 18 หนว่ ย แต่วตั ถดุ บิ แหลง่ ที่ 2 เดมิ มี 10 หน่วย ใชไ้ ป 9 หนว่ ย เหลือ 1 หนว่ ย ตอบ ขอ้ 3.

216 เวคเตอร์ 1. สัญลักษณ์ แทนBเวคเตอร์ A⃑⃑B แทน เวคเตอร์ AB จาก A ไป B มขี นาด |A⃑⃑B| A u แทน เวคเตอร์ u มีขนาด u 2. การเขียนเวคเตอร์ในระบบเลข 3 ตวั โดยเขยี นทิศทางจากทิศเหนอื เป็นหลกั แลว้ หมนุ ตามเขม็ นาฬกิ า เปน็ มุมต้งั แต่ 0o ถึง 360o และ กำหนดสญั ลกั ษณใ์ ส่ 0 ข้างหนา้ กรณีมีเลขไมค่ รบ 3 หลกั เพ่ือใหม้ ตี วั เลขครบ 3 หลัก เชน่ 050o แทน 50o เปน็ ตน้ เหนือ B 12 เมตร จากรปู แทน AB มีทศิ 50o มรี ะยะทาง 12 เมตร A 3. เวคเตอร์ เท่ากัน u = v เม่ือ ขนาดของ u เท่ากับขนาดของ v และมที ศิ ทางเดยี วกนั 4. นิเสธของเวคเตอร์ นิเสธของ v = -u มขี นาดเท่ากนั แต่ทิศทางตรงกนั ข้าม 5. การบวกเวคเตอร์ ใชห้ ลัก Head to Tail (หัวไปต่อหาง) จดุ สดุ ท้าย จดุ เร่ิมต้น w= u + v

217 จุดเรม่ิ ต้น w = u + (-v) = u - v - จดุ สุดทา้ ย 6. เวคเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก สญั ลักษณ์ u = a b เม่ือ a หนว่ ย แทนค่าในแกน x ถา้ a เปน็ บวก แสดงว่าไปทางขวา ถา้ a เป็นลบ แสดงว่า ไปทางซ้าย และ b หนว่ ย แทนค่าในแกน Y ถ้า b เปน็ บวก แสดงว่าขนึ้ ขา้ งบน ถ้า b เปน็ ลบ แสดงวา่ ลงขา้ งล่าง y b A(a,b) O ax 0 OA = a b 7. เวคเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ a เวคเตอร์พกิ ดั ฉาก 3 มิติ ประกอบดว้ ย เสน้ จำนวน 3 เสน้ ไดแ้ ก่ xx, yy OA = b  c  และ zz แต่ละเส้น ต้งั ฉากซงึ่ กนั และกัน โดยมจี ดุ ตดั กันท้ัง 3 เสน้ เปน็ จุดกำเนดิ หรือจดุ 0 จดุ A มีพิกดั (a, b, c) z A(a,b, c) โดยกำหนดแกนตรงหัวลูกศร C bY เปน็ ดา้ นบวก จงึ แบ่งเป็น 3 ระนาบ เปรียบเสมอื น 0O ฝาห้อง 2 ด้าน เป็นแกน x xa กบั y และ z เป็นแกนดา้ นสูง

218 8. การบวก ลบ ของเวคเตอร์ ในระบบพิกัดฉาก u = a v = c b d u + v = a + c b + d u - v = a - c b - d 9. การคณู เวคเตอร์ด้วยตัวเลขใดๆ (ปรมิ าณสเกลาร์) u = a b ku = ka เมื่อ k เปน็ จำนวนจริงใดๆ kb 10. การหาขนาดของเวคเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก สมมติ จุด A มีพิกดั (x1, y1) =  yx11    จดุ B มพี ิกัด (x2, y2) =  yx22    ดงั น้ัน AB = B - A =  yx22  -  yx11      AB =  yx22 - yx11   -  AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 เมื่อ AB คอื ขนาดของ AB y B A 0x

219 ถ้าให้ u = a b u = a2 + b2 11. เวคเตอรห์ นึง่ หนว่ ย คือ เวคเตอรใ์ ดๆ ทีม่ ขี นาดเพียง 1 หนว่ ย a a b ดังนน้ั เวคเตอร์ 1 หนว่ ย ของ b = a2 + b2 หรอื = 1 a a2 + b2 b สัญลกั ษณ์ เวคเตอร์ 1 หนว่ ย 2 มติ ิ คอื i = 1 และ j = 0 0 1 ดงั นนั้ a =a i +bj b 1 0 0 สัญลกั ษณเ์ วคเตอร์ 1 หน่วย 3 มติ ิ คอื i = 0 , j = 1 , k = 0 0 0 1 a ดงั นั้น b = a i + b j + c k  c  ตวั อย่างท่ี 1 อัตราเรว็ ของการพายเรอื ในน้ำนิ่งของชายคนหนึง่ เปน็ 4 กิโลเมตรต่อช่วั โมง ถา้ เขาพายเรือขา้ ม ฝั่งแมน่ ้ำโดยพายไปทางทิศเหนือ ในขณะทนี่ ้ำไหลไปทางทิศตะวนั ออกดว้ ยอตั ราเรว็ 3 กิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมง เรอื ของเขาจะแลน่ ไปในทศิ ทางใด ด้วยอตั ราเรว็ เทา่ ใด และเม่อื เวลาผ่านไป 5 นาที เขาพายเรือไปไดไ้ กลเท่าใด N C AC = AB +BC B3 AC = AB 2 + BC 2 4 Aθ = 42 + 32 0 S

220 = 16 + 9 = 25 AC = 5 กม. / ชม. 5 tan  = 3 4 4 3 = tan-1 3 4  หรอื  = 37o (คา่ ประมาณ) อัตราเร็วของ AC = 5 กม. / ชม. 1 ชั่วโมง หรอื 60 นาที พายเรือได้ไกล 5 กโิ ลเมตร ถา้ 5 นาที พายเรอื ได้ไกล 5 × 5 6012 = 5 กิโลเมตร 12 ตอบ ทิศ 037o และพายได้ไกล 5 กิโลเมตร 12 ตัวอยา่ งที่ 2 จากตัวอย่างที่ 1 ถา้ ชายคนดงั กล่าว ตอ้ งการใหเ้ รือแล่นไปทิศทางเหนอื ดว้ ยความเร็ว 4 กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง และควรพายเรอื ไปในทิศทางใด และด้วยอัตราเรว็ เทา่ ใด B C AC = AB +BC 3 AB = AC 2 + BC 2 4 θ = 42 + 32 A = 16 + 9 = 25 AB = 5 กม. / ชม. tan  = 3 4  = tan-1 3 4 หรือ  = 37o ดงั น้ัน เขาพายเรอื ด้วยอัตราเรว็ 5 กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง

ในทิศ 360o - 37o = 323o 221 ตอบ ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ u , v เปน็ เวคเตอร์บนระนาบท่ี u  0 , v  0 และ u ไมข่ นานกบั v ถา้ a, b เป็นจำนวนจรงิ ที่ทำให้ 2au + 6v = (a2 - 3)u + 2bv จงหาค่า a, b วิธีคดิ ยา้ ยขา้ ง u รวม u , v รวม v แลว้ เม่ือ u ไมข่ นานกับ v ดังนัน้ จำนวนทีอ่ ย่ขู า้ งหนา้ u และ v (สมั ประสิทธ์ิ) ต้อง = 0 เมอื่ ผลรวม u + ผลรวม v = 0 2au + 6v = (a2 - 3)u + 2bv 2au - (a2 - 3)u + 6v - 2bv = 0 (2a - (a2 - 3))u + (6 - 2b)v = 0 (2a - a2 + 3)u + (6 - 2b)v = 0 ดงั นัน้ 2a - a2 + 3 = 0 และ 6 - 2b = 0 ย้ายข้างเพ่อื ให้ -a2 เปน็ +a2 และ 6 = 2b 0 = -2a + a2 - 3 และ 6 = b 2 หรอื a2 - 2a - 3 = 0 และ 3 = b (a - 3)(a + 1) = 0 และ b = 3 a - 3 = 0 หรอื a + 1 = 0 และ b = 3 a = 3 หรือ a = -1 และ b = 3 ตอบ (a, b) = (3, 3) หรอื (a, b) = (-1, 3) ตัวอย่างที่ 4 กำหนด u และ v เปน็ เวคเตอรบ์ นระนาบที่ u  0 และ v  0 จงหาค่า a ท่ีทำให้ 1. u และ v มีทศิ ทางเดยี วกันโดย a2 u - 2v = 3au + 3v 2. u และ v มที ิศทางตรงข้ามกนั โดย 2a2 u - v = 3au - u + v วธิ ีคิด 1) ยา้ ยข้าง u และ v มารวมกัน u รวมกับ u และ v รวมกบั v แลว้ เม่อื u และ v มีทิศทางเดียวกนั แสดงว่า จำนวนข้างหนา้ u กบั v ต้องมเี คร่อื งหมาย เหมอื นกัน หรือนำมาหารกนั จะตอ้ งได้ หรือมากกวา่ 0

222 a2 u - 2v = 3au + 3v a2 u - 3au = 3v + 2v (a2 - 3a)u = 5v u = 5 หรอื v = a2 - 3a v - 3a u 5 a2 เมื่อ u มีทิศทางเดยี วกับ v ดงั น้นั a2 - 3a > 0 5 5 คณู ทัง้ 2 ขา้ ง ไม่ตอ้ งเปล่ียนเครอ่ื งหมายอสมการ เพราะ 5 เป็นบวก (5) a2 - 3a > 0(5) 5 a2 - 3a > 0 ดึงตัวร่วม a ออก เพื่อทำให้คูณกนั ได้ เมื่อคณู กนั แลว้ > 0 แสดงว่า ตัวทีค่ ูณกนั ตอ้ งมีเครือ่ งหมายเหมอื นกนั a(a - 3) > 0 ตอ้ งหาค่าวิกฤต a = 0 หรือ a - 3 = 0 กอ่ น แล้วจงึ หาค่า a จากอสมการ a = 0 หรือ a - 3 = 0 a=3 +-+ 0 3 ตอบ a < 0 หรือ a > 3 2) เมื่อ u มีทิศทางตรงข้ามกบั v เมอื่ นำ u กบั v มาหารกันต้องได้ ลบ หรือ < 0 2a2 u - v = 3au - u + v 2a2 u - 3au + u = v + v (2a2 - 3a +1)u = 2v 2a2 - 3a +1 = v 2 u

223 ดงั นั้น 2a2 - 3a + 1 < 0 2 คณู ตลอด, 2 (2) 2a2 - 3a + 1 < (2)0 2 2a2 - 3a +1< 0 (2a - 1)(a - 1) < 0 หาค่าวิกฤต เพอ่ื หาค่า a 2a - 1 = 0 หรือ a - 1 = 0 2a = 1 หรือ a = 1 a = 1 2 +- + 1 ตอบ 1 < a < 1 2 ตวั อย่างที่ 5 จงหาผลลัพธ์ของเวคเตอร์ท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี โดยวธิ กี ารเขียนรปู 1) a - b 2) c - d 3) c - b 4) d - a

224 วิธีคิด เขียนรปู วธิ หี ัวไปหาง (Head to Tail) 1) a - b หรอื a + (-b) a -b 2) c - d = c + (-d) 3) c - b = c + (-b) 4) d - a = d + (-a)

225 ตวั อย่างท่ี 6 จากรปู ABCD เปน็ ส่ีเหลยี่ มจัตรุ ัส BF = 1 BE 2 AD = 2 AE ถ้า AB = u และ EC = v และ m, n เปน็ จำนวนจริงทีท่ ำให้ CF = mu +nv จงหาค่า m + n วธิ ีคดิ จาก CF = mu +nv เปลย่ี น CF ใหอ้ ยู่ในรปู u และ v แล้วเข้าสมการ A B CF = CB + BF ---------- F CB = DA E = 2 DE (DE = EA) = 2 (DC + CE) D C = 2(u - v) (AB = DC) ---------- (DC = AB = u) BF = FE ---------- = FC + CE = FC+(-v)  ,  แทน  CF = 2(u - v) +FC + (-v) CF - FC = 2u - 2v - v CF - (-CF) = 2u - 3v CF + CF = 2u - 3v 2CF = 2u - 3 v 2CF = 2u - 3 v 2 หารตลอด แทนค่า CF = mu + nv CF = 1u - 3 v 2 2(mu + nv) = 2u - 3v 2mu + 2nv = 2u - 3v CF = mu + nv  m=1 2mu - 2u = -3v - 2nv n = - 3 2 (2m - 2)u = (-3 - 2n) v u กับ v ไม่ขนานกัน

226 ดังนน้ั 2m - 2 = 0 หรือ -3 - 2n = 0 m = 2 หรือ -3 = 2n 2 m = 1 หรือ n = - 3 2 ( )ตอบ 3 1 m+n=1+ - 2 = - 2 ตวั อยา่ งท่ี 7 จงหาเวคเตอรห์ นงึ่ หน่วย u จากเงอื่ นไข ดังน้ี 1. u มที ศิ ทางเดยี วกบั v = 3 4 -3 2. u มที ศิ ทางตรงข้ามกบั v =  4  12 วธิ ีคิด หาขนาดของท่ีโจทยถ์ าม v แลว้ ไปหารเวคเตอร์ท่ีต้องการ 1. v = 32 + 42 v = 9 +16 = 25 v =5 ดงั น้ัน เวคเตอร์หนึ่งหนว่ ย u ทม่ี ีทิศทางเดยี วกบั 3 4 u = 1 3 5 4 3 5 u =  4    5 2. v = (-3)2 + 42 + 122 = 9 +16 +144

227 = 169 = 13  -3  ดงั นน้ั เวคเตอร์หนึ่งหนว่ ย u ทม่ี ที ิศทางตรงกนั ขา้ มกบั  4  12 u = - 1  -3  13 4 12 3 --111134323 u =  = 3 i - 4 j - 12 k  13 13 13    ตัวอย่างที่ 8 จงหาเวคเตอร์ขนาด 3 หน่วย ท่ีมีทิศทางเดยี วกันกบั u = 2 i + 3 j - 4 k u = 22 + 32 + (-4)2 = 4 + 9 +16 = 29 เวคเตอร์ 1 หนว่ ยของ u = 1 u 29 = 1 (2 i +3j -4k ) 29 เวคเตออร์ 3 หน่วยของ u = 3 (2 i +3 j -4k ) 29 ดงั น้ัน เวคเตอร์ 3 หน่วย ทม่ี ที ิศทางเดยี วกนั กบั u = 3 (2 i +3j -4k ) 29 = 6 i + 9 j- 12 k ตอบ 29 29 29 12. ผลคูณเชงิ สเกลาร์ 12.1 สญั ลกั ษณ์ u  v อา่ นวา่ เวคเตอร์ U dot เวคเตอร์ V

228 เมอื่ u =  yx11  v =  yx22      u  v = x1x2 + y1y2 θ 0    180o u  v = u v cos  เรียก u  v ว่า ผลคูณเชงิ สเกลาร์ ดงั น้นั u  v = x1x2 + y1y2 = u v cos  12.2 สมบตั ิของผลคูณเชงิ สเกลาร์ กำหนดให้ u , v และ w เป็นเวคเตอรใ์ ดๆ และ a เปน็ จำนวนจริง 1. u  v = v  u 2. u  (v + w) = (u  v) + (u  w) 3. a(u  v) = (au)  v = u  (a v) 4. u  u = u 2 5. u  v = 0 เม่อื u ⊥ v cos 90o = 0 6. u  v = u v เม่อื u // v cos 0o = 1 7. u + v 2 = u 2 + v 2 + 2u  v u - v 2 = u 2+ v 2 -2u  v ตัวอยา่ งที่ 9 ถา้ a = 2 i - j , b = i + 2 j ถา้ c เปน็ เวคเตอร์หน่ึงหน่วยซง่ึ ทำมมุ กบั เวคเตอร์ a เทา่ กบั ที่ทำกบั เวคเตอร์ b แลว้ c คือ เวคเตอรใ์ นข้อใด 1. ± 1 ( i - 3 j) 2. ± 1 (3 i + j) 10 10 3. ± 1 ( i +3 j) 4. ± 1 (3 i - j) 10 10 วิธีคิด หาขนาดของ c แล้วหาเวคเตอร์ c สมมติ c เปน็ เวคเตอร์ 1 หนว่ ย ดังนน้ั c = 1, a = 2 , b = 1 , c = x -1 2 y

229 จาก c  a = c a cos  ---------- ---------- c  b = c b cos  ---------- ÷, c a = c a cos  ---------- c b c b cos  ---------- b ( c  a) = a ( c  b) b = 12 + 22 = 5 a = 22 + (-1)2 = 5 b และ a แทน  5 ( c  a) = 5 ( c  b) x(2) + y(-1) = x(1) + y(2) 2x - y = x + 2y x = 3y c = x = เวคเตอร์ 1 หน่วย y  c = x2 + y2 1= x2 + y2 1= x2 + y2  แทน  , 1 = (3y)2 + y2 1 = 9y2 + y2 10y2 = 1 y 2 = 1 10 y=± 1 = ± 1 10 10 แทน y ใน  ( )x = 3 ± 1 =± 3 10 10

230 x ± 3 1 3 1 y ± 10  10 1 10 ดังนัน้ c =  = 1  = ± = ± (3 i +1 j)  10  ตอบ ข้อ 2. ตวั อยา่ งที่ 10 ถ้า u = 2 , v = 3 และ u + v = 10 แล้วจะได้วา่ (u  v) u  v เทา่ กับข้อใด 1. - 3 10 2. -6 3. -4 10 4. 6 2 u + v 2 = u 2+ v 2+2u v วิธคี ิด ใชส้ ูตร u - v 2 = u 2+ v 2 -2u  v u + v 2 = u 2+ v 2+2u v ( 10)2 = 22 + 32 + 2u  v 10 = 4 + 9 + 2u  v 10 - 13 = 2u  v u  v = - 3 2 ดังนน้ั u - v 2 = u 2 + v 2 - 2u  v u - v 2 = 22 + 32 - 2(- 32) = 4 + 9 + 3 = 16 u-v =4 ( )ดังนนั้ 3 (u  v) u  v = - 2 (4) = -6 ตอบ 13. ผลคูณเชิงเวคเตอร์ 13.1 สญั ลกั ษณ์ u × v อ่านว่า เวคเตอร์ u cross เวคเตอร์ v

231 เมือ่ u =  yzx111  v =  zyx222          u × v = ( u v sin ) w ซึง่ w เปน็ เวคเตอร์ 1 หนว่ ย ที่มีทศิ ทตี่ ั้งฉากกบั ระนาบของ u กบั v ตามกฎมือขวา u × v = u v sin  i jk θ กฎมือขวา u × v = xx12 yy12 zz12 ( อย่ใู นระนาบเดยี วกัน) = c11a11 + c12a12 + c13a13 zz21 j + (-1)1+3 xx12 yy21 k yy21 k = (-1)1+1 yy21 zz12 i + (-1)1+2 xx12 = yy12 zz12 i - xx12 zz12 j + xx21 13.2 สมบตั ขิ องผลคูณเชงิ เวคเตอร์ กำหนดให้ u , v และ w เปน็ เวคเตอรใ์ ดๆ ใน 3 มิติ และ a เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. u × v = -(v × u) 2. u × (v + w) = (u × v) + (u × w) 3. a(u × v) = a(u) × v = u × (av) 4. u × u = 0 sin  = sin 0o = 0 5. i × j = k , i × k = j , j × k = i 6. u  (v × w) = ( u × v)  w 7. ถา้ u  0 และ v  0 แล้ว u × v = u v sin  8. ถา้ u  0 และ v  0 และ u ไม่ขนานกบั v แลว้ u × v ต้องตัง้ ฉากกับ u และ v 9. (u × v) × w  u × (v × w)

232 ( )ตัวอยา่ งท่ี 11 กำหนดให้ A, B และ C คือ จุดที่มีพิกัด (-5, 0) , (3, 6) และ 2 , - 1 ตามลำดับ 5 5 ถ้า D (a, b) เปน็ จุดที่ทำให้ CD มที ิศทางเดียวกบั AB และขนาดของ CD = 2 หน่วย แลว้ a + b มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด วธิ คี ิด AB = B - A = 3 - -5 = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8 6  0   6 - 0   6  6 CD = D - C a 2  =  a - 2  =  a - 2  ( )= b - -515   - 5   + 51   b 1  5   - 5  b  CD = AB  CD [ CD มีทศิ ทางเดียวกับ AB ] AB = AB 2 = AB 2 = AB 2 = AB 2 82 + 62 64 + 36 100 10 5 CD = AB 5  a - 2  1 8 8   + 51  5 6 65  5 = =  b     5  ดังนน้ั a - 2 = 8 5 5 a = 8 + 2 = 102 = 2 5 5 5 และ b + 1 = 6 5 5 b = 6 - 1 = 5 = 1 5 5 5 ∴ a+b=2+1=3 ตอบ 13.3 การหาเวคเตอร์ทเ่ี กิดจาก v ฉายภาพ หรอื โปรเจคลงบน u 1. ทฤษฎีบท ให้ v  0 แล้ว สำหรับเวคเตอร์อ่ืนๆ u

233 ใหห้ า w ซ่ึง w เปน็ เวคเตอร์ทเี่ กิดจากการฉาย หรือโปรเจคเตอร์ v ลงมาในแนวเดยี วกับเวคเตอร์ u 2. สัญลกั ษณ์ w = Proju v อา่ นว่า เวคเตอร์ทีฉ่ ายภาพ หรือโปรเจคเวคเตอร์ v บน u θ u  v = u v cos  cos  = uv ---------- uv ---------- ---------- w = v cos   แทน  , w = v (u  v) = uv เนอ่ื งจาก u v u  แทน หาเวคเตอร์ w= u w u หาขนาด w= u (u  v) u u w = (u  v) u u 2 w = (u  v) = u v cos  u u = v cos 

234 ตวั อย่างที่ 12 กำหนดให้ AB = 4i + 3 j , AC = 3 i - 2 j ถา้ ลากเสน้ ตรงจากจุด B ลงมาต้งั ฉากกบั AC ทจ่ี ดุ D จงหา AD B วิธีคดิ AD เปน็ ภาพฉายของ AB บน AC AD = (AB  AC) AC C AC 2 A D AB = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 AC = 32 + (-2)2 = 9 + 4 = 13 AB  AC = x1x2 + y1y2 = (4)(3) + (3)(-2) = 12 - 6 = 6 AD = (6) AC = 6 AC ( 13)2 13 AD = 6 (3i - 2j) ตอบ 13 ตวั อยา่ งท่ี 13 ให้ u = 2 i - 3 j และ v = i + j จงคำนวณหา Proj v u วธิ ีคดิ Proj v u แปลว่า หาเวคเตอรฉ์ ายภาพเวคเตอร์ u บน v Proj v u = (u  v)v v2 u  v = x1x2 + y1y2 = (2)(1) + (-3)(1) = 2 - 3 = -1 v = 12 + 12 = 2 Proj v u = (-1) v ( 2)2 = - 1 v 2 Proj v u = - 1 ( i + j) ตอบ 2

235 ตัวอยา่ งท่ี 14 กำหนดให้ a = 3 i - 4 j + 2k `และ b = i - j + 2k ถ้า  เปน็ มมุ ระหวา่ ง a กับ b แล้ว sin  มีค่าเท่าใด 1. 51 2. 53 3. 55 4. 57 174 174 174 174 วิธคี ิด a × b = a b sin  หา i jk a × b = 3 -4 2 1 -1 2 = -4 2 i - 3 2 j + 3 -4 k -1 2 1 2 1 -1 = [(-4)(2) - (-1)(2)] i - [(3)(2) - (1)(2)] j +[(3)(-1) - (1)(-4)]k = (-8 + 2) i - (6 - 2) j + (-3 + 4)k a × b = -6 i - 4 j +1k a × b = (-6)2 + (-4)2 +12 = 36 +16 +1 = 53 a = 32 + (-4)2 + 22 = 9 +16 + 4 = 29 b = 12 + (-1)2 + 22 = 1+1+ 4 = 6 ดังน้ัน a × b = a b sin  53 = ( 25)( 6) sin  sin  = ( 53 6) = 53 = 53 29) ( 29 × 6 174 ตอบ ขอ้ 2. 3 3 ตวั อย่างที่ 15 กำหนดให้ u =  5  และ v =  0  จงหาเวคเตอร์ทีม่ ีขนาดเป็น 3 เทา่ ของ u และ -4 -4 มีทิศทางเดยี วกับ v วิธีคดิ u = 32 + 52 + (-4)2 = 9 + 25 +16 = 50 = 5 2

236 หาเวคเตอร์ 1 หน่วย ของ v กอ่ น แลว้ คอ่ ยคูณด้วยขนาด 3 เทา่ ของ u จะเปน็ คำตอบ เวคเตอร์ 1 หนว่ ย ของ v= v v v = 32 + 02 + (-4)2 = 9 +16 = 25 = 5 v =5 เวคเตอร์ 1 หนว่ ย ของ v= v = v = 1 3 v 5 5 0 -4 3  05  =  4  5 -   3 5 ดังนนั้ เวคเตอรท์ โ่ี จทยถ์ าม =3 u 0  4 - 5   3  05  = 3(5 2 )  4  5 -   ( )(15 2) 3  5   =  (15 2) (0)  ( )(15 4  2) - 5  9 2 ตอบ = 0  -12 2 

237 จำนวนเชิงซอ้ น 1. สัญลักษณ์ จำนวนเชิงซอ้ น = a + bi เมือ่ a และ b เป็นจำนวนจรงิ และ i = -1 หรือ เป็นจำนวนจนิ ตภาพ ถ้าให้ Z เปน็ เซตของจำนวนเชิงซ้อน Z = {a + bi / a,bR และ i = -1 } 2. บทนยิ ม ให้ z เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น z = a +bi เรยี ก a เป็นสว่ นจรงิ เขียนแทนดว้ ย Re(z) b เป็นส่วนจินตภาพ เขียนแทนด้วย Im(z) 3. สมบัติของจำนวนเชิงซ้อน 3.1 มีคุณสมบัติปิดของการบวก และของการคณู 3.2 มีคุณสมบัติสลับที่ของการบวก และของการคูณ 3.3 มคี ณุ สมบัติการเปลยี่ นกลุม่ หรอื จัดหมู่ของการบวก และของการคูณ 3.4 มคี ุณสมบัติการแจกแจง 3.5 มีเอกลกั ษณ์การบวก คือ (0, 0) และมอี นิ เวอรส์ หรอื ตวั ผกผนั การบวก คือ -z เม่ือ z เปน็ จำนวน เชิงซ้อน (a, b) 3.6 มีเอกลักษณก์ ารคูณ คือ (1, 0) และมีอินเวอร์ส หรือตัวผกผันการคูณ คือ a2( )z =a b2 , a2 -b เมือ่ z เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน (a, b) + + b2 4. สงั ยคุ ของจำนวนเชิงซ้อน ( z ) ให้ z = a + bi z = a - bi z1 + z2 = z1 + z2 z1 - z2 = z1 - z2 z1z2 = z1  z2 (zn) = (z)n

238  z1  = z1 เม่อื z2  0  z2  z2 5. จำนวนจินตภาพ (i) i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i4i = i i6 = i4 i2 = i2 = -1 i7 = i4 i3 = i3 = -i i8 = i4 i4 = i4 = 1 ตวั อย่างที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน z = 1 + i เป็นคำตอบของสมการในข้อใด (A-NET/2549) 1. z4 - 2z2 + 4z = 0 2. z4 - 2z2 - 4z = 0 3. z4 + 2z2 - 4z = 0 4. z4 + 2z2 + 4z = 0 วิธคี ิด ใชท้ ฤษฎีเศษเหลอื โดยใหค้ ำตอบ z = 1 + i แทนค่าในฟงั ก์ชัน แลว้ ตอ้ งเท่ากบั 0 จงึ จะเปน็ คำตอบของฟังกช์ ันนน้ั ๆ แยกคิดทีละตวั z4 = (1+ i)4 = (1+ i)2(1+ i)2 (1+ i)2 = 12 + 2(1)(i) + i2 = 1 + 2i + (-1) = 2i (1+ i)4 = (2i)(2i) = 4i2 = 4(-1) = -4 = z4 z2 = (1+ i)2 = 2i z=1+i ลองแทนในคำตอบ ข้อ 1 = z4 - 2z2 + 4z = (-4) - 2(2i) + 4(1 + i) = -4 - 4i + 4 + 4i = 0 ตอบ

239 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ (1+ i)4 1 (1 + 2i53 )(3 + i) วธิ คี ิด แยกคิด เศษกับสว่ น (1+ i)4 = (1+ i)2(1+ i)2 (1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i (1+ i)4 = (2i)(2i) = 4i2 = 4(-1) = -4 i53 = (i)53÷4 = (i4)13 (i)1 = i ดงั นัน้ (1+ i)4 = -4 1 21i)(3 (1 + 2i53 )(3 + i) (1 + + i) = -4 + i) (2i2+i 1)(3 = (2i -4(2i) i) +1)(3 + = 6i + -8i 3 + i 2i2 + = 7i + -8i + 3 2(-1) = -8i × (7i - 1) 7i +1 (7i - 1) = -8i (7i - 1) (7i)2 - 12 = -8 (7i2 - i) 49(i2) -1 = -8(-7 - i) -49 -1 = -8 (-7 - i) -50 = 8 (-)(7 + i) 50 = -8 4 (7 + i) 50 25

= - 4 (7 + i) 240 25 ตอบ ตัวอยา่ งที่ 3 ถ้า z เปน็ จำนวนเชิงซ้อน (1+ i)(z +1) = -1 แล้ว สว่ นจริงของจำนวนเชิงซ้อน z(z - z)15 เท่ากับขอ้ ใด 1. - 3 2. 3 3. - 1 4. 1 2 2 2 2 วธิ ีคดิ หา z จาก (1+ i)(z +1) = -1 (z + 1) = -1 i × 1 - i (สังยุค) 1+ 1 - i = -1(1 - i) 12 - i2 = -1+ i = -1+ i = -1+ i 1 - (-1) 1+1 2 z + 1 = -1 + i 2 z + 1 = -1 + i 2 z + 1 = -1 + i 2 z = -1 + i -1 = -1 + i - 2 = -1+ i - 2 2 2 2 2 z = -3 + i = - 3 + i 2 2 2  z = - 3 - i 2 2 จาก z(z - z) ( ) ( )z - z = - 3 - i - - 3 + i 2 2 2 2 = -32 - i + 3 - i = -2i = -i 2 2 2 2 ( ) 3 i (-i)15 z(z - z)15 = - 2 - 2

241 จาก (-i)1 = -i (-i)2 = i2 = -1 (-i)3 = (-i)2(-i) = (-1)(-i) = i แสดงว่า (-i)4 = (-i)2(-i)2 = (-1)(-1) = 1 (-i)15 = (-i)12 × (-i)3 หรอื (-i)15 = -(i15) = (1)3 (i) = -(i4)3 (i3) = (1) (i) = -(1) (-i) = -(-i) = i = 1 (i) = i ( )ดังนั้น 3 i z(z - z)15 = - 2 - 2 (i) = - 3 i - i2 = - 3 i - (-1) 2 2 2 2 = - 3 i + 1 2 2 = 1 - 3 i 2 2 ตอบ สว่ นจำนวนจริง = 1 ข้อ 4. 2 5. คา่ สัมบรู ณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน 5.1 สัญลกั ษณ์ z = a + bi 5.2 มคี วามหมายวา่ เปน็ ระยะจากจุด (0, 0) บนระนาบไปยงั จดุ (a, b) ใดๆ เม่อื a เป็นสว่ นจรงิ อยู่บนแกน X และ b เป็นส่วนจนิ ตภาพอยู่บนแกน Y y b (a, b) ดังนน้ั z = a + bi = a2 + b2 เมื่อ a,bR 0 ax 5.3 สมบัตขิ องค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น z = -z = z = a2 + b2

z 2 = a2 + b2 = z  z 242 [ z  z = (a + bi)(a - bi) = a2 - b2i2 = a2 - b2(-1) = a2 + b2] ตอบ 1 = 1 เมอ่ื z  0 z z z1z2 = z1 z2 z1 = z1 เมือ่ z2  0 z2 z2 5.4 ใช้กราฟวงกลมสมการ x2 + y2 = r2 เทยี บเคยี งกบั y r k (h, k) a2 + b2 = r2 เมื่อ z = r 0 hx หรอื เล่อื นแกนจดุ ศูนย์กลางจาก (0, 0) ไปยัง (h, k) (a - h)2 + (b - k)2 = r2 หรือ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหารูปกราฟของสมการ z - 3 + 2i = 5 เมอ่ื z = x + yi วิธคี ดิ หาจดุ ศนู ย์กลาง (h, k) ของสมการวงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2 z - 3 + 2i = 5 (x + yi) - 3 + 2i = 5 (x - 3) + (y + 2) i = 5 ดังนัน้ (x - 3)2 + (y + 2)2 = 52 รปู กราฟ มจี ดุ ศนู ยก์ ลาง (h, k) อยู่ที่ (3, -2 ) มรี ศั มี 5 หน่วย y 3 x 0 -2 (3, -2)

243 ตวั อยา่ งที่ 5 ให้ z = a + bi เมื่อ b > 0 ถ้า z สอดคลอ้ งกบั z2 + 4z - 32 = 1 และ z  z = 61 แลว้ z2 - 64 a + b มคี า่ เท่าใด 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 วธิ ีคดิ z2 + 4z - 32 =1 z2 - 64 z2 + 4z - 32 z2 - 64 = 1 z2 + 4z - 32 = z2 - 64 โดย z2 - 64  0 (z + 8)(z - 4) = (z - 8)(z + 8) z2 - 64  0 (z - 8)(z + 8)  0 z+8 z-4 = z-8 z+8 z-4 = z-8 z  8, -8 -------- z-42= z-82 (z - 4)2 = (z - 8)2 (z - 4)2 - (z - 8)2 = 0 [(z - 4)-(z - 8)][(z - 4)+(z - 8)] = 0 (z - 4 - z + 8)(z - 4 + z - 8) = 0 4(2z - 12) = 0 2z - 12 = 0 2z = 12 z = 12 = 6 2 แต่ z  z = 61 (a + bi)(a - bi) = 61 a2 + b2 = 61 หนึง่ สมการ แตม่ ีตัวแปร 2 ตัว คือ a, b ไม่สามารถแกส้ มการได้ ตอ้ งลองแทนคา่ b > 0 ดู แล้ว a ตอ้ งเป็นจำนวนเตม็ เพราะ a + b เปน็ จำนวนเต็ม (ดจู ากตัวเลอื กตอบ) b = 1 , a2 = 61 -1 = 60 → a = 60 ไม่เปน็ จำนวนเตม็

244 b = 2 , a2 = 61 - 4 = 57 → a = 57 ไม่เปน็ จำนวนเต็ม b = 3 , a2 = 61 - 9 = 52 → a = 52 ไมเ่ ปน็ จำนวนเตม็ b = 4 , a2 = 61 - 16 = 45 → a = 45 ไมเ่ ป็นจำนวนเตม็ b = 6 , a2 = 61 - 36 = 25 → a = 25 = 5 เปน็ จำนวนเตม็ ดังนัน้ a + b = 5 + 6 = 11 ตอบ ข้อ 3. 6. รากท่ี 2 ของจำนวนเชิงซอ้ น สูตร เม่อื z เป็นจำนวนเชิงซอ้ น = a + bi , a,bR และ r = a2 + b2 แลว้ รากที่ 2 ของ z = ± r + a + r -a i  เมอ่ื b ≥ 0 2 2 หรอื z = ± r +a - r -a i  เมื่อ b < 0 2 2 ตัวอย่างที่ 6 จงหารากที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน 3. -4 + 3i 4. -5 - 12i 1. -25 2. -6i ตอบ วธิ ีคดิ สูตร รากท่ี 2 ของ z = a + bi = ± r + a + r -a i  ขอ้ 1. 2 2 z = -25 → r = (-25)2 + 02 = 25 เมื่อ a = -25 , b = 0 รากท่ี 2 ของ z = ± 25 + (-25) + 25 - (-25) i  2 2 = ±0 + 25 + 25 i  2 = ±(0 + 25 i) = ± 5i ขอ้ 2. z = -6i → r = 02 + (-6)2 = 6 เมือ่ a = 0 , b = -6 รากท่ี 2 ของ z = ± 6 + 0 - 6 -0 i  เพราะ b < 0 2 2

245 = ±( 3 - 3 i) ข้อ 3. z = -4 + 3i → r = (-4)2 + 32 = 25 = 5 เมอื่ a = -4 , b = 3 และ b > 0 รากท่ี 2 ของ z = ± 5 + (-4) + 5 - (-4) i  2 2 = ±  1 + 9 i  2 2 ( )= ± 1 + 3 i ตอบ 2 2 ข้อ 4. z = -5 - 12i → r = (-5)2 + (-12)2 = 25 + 144 = 169 = 13 เมอื่ a = -5 , b = -12 และ b < 0 รากที่ 2 ของ z = ± 13 + (-5) - 13 - (-5) i  2 2 = ± 8 - 13 + 5 i  2 2 =±( 4 - 9 i) = ± (2 - 3i) ตอบ ตัวอย่างท่ี 7 จงหารากของสมการ x2 - 4x + (1 - 4i) = 0 วิธีคิด จากสตู ร ax2 + bx + c = 0 x = -b ± b2 - 4ac 2a = -(-4) ± (-4)2 - 4(1)(1 - 4i) 2(1) = 4± 16 - 4 +16 i 2 x= 4± 12 + 16i = 4 ± 2 3 + 4i 2 2 = 2(2 ± 3 + 4i) = 2± 3 + 4i 2

หา 3 + 4 i จากสตู ร = r +a + r -a i 246 2 2 ตอบ r2 = 32 + 42 = 9 +16 = 25 = 5 3+4i = 5 + 3 + 5-3 i 2 2 = 8 + 2 i 2 2 = 4+ 1i =2+i ดังนนั้ x = 2 ± 3 + 4 i = 2 ± (2 + i) x = 2 + 2 +i , 2 - 2 - i x = 4 + i , -i ตัวอย่างท่ี 8 จงหารากของสมการ 2x2 + (1 - i)x + (1 - i) = 0 วธิ ีคิด สตู ร ax2 + bx + c = 0 x = -b ± b2 - 4ac 2a หาทีละสว่ น, b2 - 4ac = (1 - i)2 - 4(2)(1 - i) = 1 - 2i + i2 - 8 + 8i 64 + 36 = 100 = 1 - 2i - 1 - 8 + 8i = -8 + 6i → r = (8)2 + 62 = = 10 = r +a + r -a i 2 2 = 10 + (-8) + 10 - (-8) i 2 2 = 10 - 8 + 10 + 8i = 2 + 128 i 2 2 2 = 1 + 9 i = 1+ 3i