65-07-23-คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย

47 โจทย์ ขอ้ ข. p  (q → r)  p  ( q  r) (q → p)  (p → r)  ( q  p)  ( p  r)  ( q  p)  (p  r) ไม่สมมูลกัน ขอ้ ข. ผดิ ตอบ ข้อ ก. ตัวอย่างท่ี 9 ถา้ p และ q เปน็ ประพจน์แลว้ ประพจน์ p → (q → p) สมมูลกบั ประพจนใ์ นขอ้ ใด ต่อไปนี้ (คณิต กข / 2540) 1. p  ( p  q) 2. p  (p  q) 3. p → ( p  q) 4. p → (p  q) โจทย์ p → (q → p)  p → ( q  p)  p → (q  p)  p  (q  p)  p  ( p  q) ขอ้ 1. p  ( p  q) ถูก ข้อ 2. p  (p  q) ผิด ขอ้ 3. p → ( p  q)  p  ( p  q)  p pq  p  q ผดิ ข้อ 4. p → (p  q)  p  ( (p  q))  p  ( p  q) ตอบ ข้อ 1  p p q  p  q ผิด ตวั อย่างที่ 10 กำหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ ประพจน์ [(p  q) → ( q  r)] สมมลู กบั ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (คณติ 1/2542) 1. p  (q → r) 2. q  ( p  r) 3. (p  q)  (q  r) 4. (p  q) → (q  r) โจทย์ [(p  q) → ( q  r)]  [ (p  q)  ( q  r)]  [( p  q)  ( q  r)]

48  [ p  q  q  r]  [ p  q  r] pq r ขอ้ 1. p  (q → r)  p  ( q  r)  p  (q  r)  p  q  r ถกู ขอ้ 2. q  ( p  r) ผิด ข้อ 3. (p  q)  (q  r)  ( p  q)  (q  r) ผิด ขอ้ 4. (p  q) → (q  r)  ( (p  q))  (q  r)  (p  q)  (q  r)  (q  p)  (q   q  (p  r) r) ผดิ ตัวอย่างท่ี 11 ประพจน์ในขอ้ ใดต่อไปนีส้ มมลู กบั ประพจน์ (p → r)  (q → r) (คณติ กข /2537) 1. (p  q)  r 2. (p  q) → r 3. (p  q)  r 4. (p  q) → r โจทย์ (p → r)  (q → r)  ( p  r)  ( q  r)  ( p  q)  r  (p  q)  r ข้อ 1. (p  q)  r ผดิ ข้อ 2. (p  q) → r  (p  q)  r ผิด ข้อ 3. (p  q)  r ถูก ข้อ 4. (p  q) → r  ( (p  q) )  r  (p  q)  r ผดิ ตอบ ข้อ 3 ตัวอย่างท่ี 12 นิเสธประพจน์ p → q คอื ขอ้ ใดต่อไปน้ี (คณิต ก/2536) 1. p  q 2. p  q 3. p → q 4. p → q

49 โจทย์ (p → q)  ( p  q) ขอ้ 1. p  q p q ผดิ ข้อ 2. p  q ถูก ข้อ 3. p → q  ( p)  ( q)  p  q ผิด ข้อ 4. p → q  p  q ผิด ตอบ ข้อ 2

50 ค่าความจรงิ ของประโยคท่ีมตี วั บง่ ปรมิ าณ 1. ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรอื ประโยคปฎิเสธ ทีม่ ตี ัวแปรไมท่ ราบคา่ และยงั ไม่เปน็ ประพจน์ ตวั อยา่ งเช่น 1. เขาชอบเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์ ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะ “เขา” เป็นตวั แปร 2. x + 2 = 1 ไม่เปน็ ประพจน์ เพราะ “x” เปน็ ตัวแปร 2. สญั ลักษณ์ แทนประโยคเปดิ ใดๆ ท่มี ี x เป็นตัวแปร เขยี นแทนด้วย P(x) 3. อย่างไรก็ตามหากประโยคเปดิ แทนค่าตวั แปร หรือ เตมิ ตวั บง่ ปริมาณ และกำหนดเอกภพสมั พัทธ์ จึงสามารถทำประโยคเปดิ ใหเ้ ป็นประพจนไ์ ด้ 4. ตวั บ่งปริมาณ มี 2 ประเภท ไดแ้ ก่ x... เป็นสญั ลักษณ์ ของตวั บ่งปรมิ าณของประโยคเปิดใดๆ แทนคำว่า “สำหรับทกุ ค่าของ x” “สำหรบั แต่ละค่าของ x” x... เป็นสญั ลกั ษณข์ องตัวบ่งปริมาณของประโยคเปิดใดๆ แทนคำวา่ “สำหรับบางคา่ ของ x” “ มี x บางค่า” 5. สัญลกั ษณ์ท่ปี ระโยคเปิดมีตัวแปรมากกวา่ 1 ตัว ต้องมีตวั บง่ ปริมาณมากกว่า 1 ตวั หากแทนค่าตัวแปร หรอื ตวั บง่ ปรมิ าณในประโยคเหล่านีแ้ ลว้ จงึ สามารถทำประโยคเปิดใหเ้ ป็นประพจนไ์ ด้ ตวั อยา่ ง : คา่ ความจริงของประโยคเปดิ ทมี่ ีตัวบ่งปรมิ าณ 1 ตวั กำหนดเอกภพสัมพทั ธ์ ������ 1. x [P(x)] มคี ่าความจริงเป็น “จริง” ก็ต่อเมือ่ สำหรบั ทกุ x ใน ������ ทท่ี ำให้ P(x) มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ 2. x [P(x)] มคี า่ ความจริงเปน็ “เท็จ” ก็ต่อเม่ือมี x บางตวั ใน ������ ที่ทำให้ P(x) มีค่าความจริง เป็นเทจ็ 3. x [P(x)] มคี า่ ความจริงเปน็ “จริง” ก็ต่อเมอื่ มี x บางตวั ใน ������ ทีท่ ำให้ P(x) มีค่าความจริง เปน็ จรงิ 4. x [P(x)] มคี า่ ความจริงเป็น “เทจ็ ” กต็ อ่ เมื่อสำหรับทุก x ใน ������ ทีท่ ำให้ P(x) มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็

51 ตวั อย่าง : ค่าความจรงิ ของประโยคเปิดที่มีตัวบง่ ปรมิ าณ 2 ตวั 1. xy [P(x, y)] มีคา่ ความจรงิ เป็น “จริง” กต็ ่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ทกุ ตัว ใน ������ แลว้ ทำ ให้ P(x, y) เป็นจรงิ xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็น “เทจ็ ” ก็ตอ่ เม่อื แทนตัวแปร x และ y บางตัว ใน ������ แล้วทำ ให้ P(x, y) เป็นเทจ็ 2. xy [P(x, y)] มคี ่าความจรงิ เปน็ “จริง” กต็ ่อเมอ่ื แทนตวั แปร x และ y บางตัว ใน ������ แล้วทำ ให้ P(x, y) เป็นจริง xy [P(x, y)] มีคา่ ความจริงเปน็ “เทจ็ ” ก็ตอ่ เมอ่ื แทนตัวแปร x และ y ทกุ ตวั ใน ������ แล้วทำให้ P(x, y) เปน็ เท็จ 3. xy [P(x, y)] มีคา่ ความจรงิ เป็น “จรงิ ” ก็ตอ่ เมอ่ื แทนตัวแปร x ทกุ ตวั กบั y บางตวั ใน ������ แล้ว ทำให้ P(x, y) เปน็ จริง xy [P(x, y)] มคี ่าความจริงเปน็ “เทจ็ ” ก็ต่อเม่ือ แทนตวั แปร x กับ y บางตวั ใน ������ แล้วทำให้ P(x, y) เปน็ เท็จ 4. xy [P(x, y)] มคี า่ ความจรงิ เปน็ “จรงิ ” กต็ ่อเม่อื แทนตัวแปร x บางตวั กบั y ทกุ ตัวใน ������ แล้ว ทำให้ P(x, y) เปน็ จริง xy [P(x, y)] มคี ่าความจริงเป็น “เท็จ” กต็ อ่ เมอ่ื แทนตัวแปร x ทุกตวั กับ y ทกุ ตัว ใน ������ แลว้ ทำให้ P(x, y) เปน็ เทจ็ ตัวอยา่ งท่ี 13 กำหนดให้เอกภพสมั พทั ธ์ คือ ������ = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีมีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ 1. xy [x + y < y] 2. xy [x - y2 < x] 3. xy [xy2 = x] 4. xy [x2y = y] (A-NET/2549) ขอ้ 1. xy [x + y < y] เปน็ จริง x = -3 , y = ±3 , ± 2 , ±1 ทำให้ x + y < y ทกุ จำนวนของ y ข้อ 2. xy [x - y2 < x] เป็นจริง x = 3 , y = ±3 , ± 2 , ± 1 ทำให้ x - y2 < x ทกุ จำนวนของ y ขอ้ 3. xy [xy2 = x] เปน็ เทจ็ x = 1, y = ±3 , ± 2 , ±1 ทำให้ xy2  x

52 ขอ้ 4. xy [x2y = y] เป็นจริง x = 1, y = ±3 , ± 2 , ±1 ทำให้ x2y = y ทุกจำนวนของ y ตอบ ขอ้ 3 ตัวอย่างท่ี 14 กำหนดให้เอกภพสัมพทั ธ์ คอื ������ = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} ข้อใดต่อไปนถี้ ูก 1. xy [x  y  ] 2. xy [x  y = ������] 3. xy [y  x  y  x] 4. xy [y  x  y  x] (x, y) = ({1, 2} , {1, 2}) , ({1, 2} , {1, 3}) , ({1, 2 } , {2, 3}) , ({1, 3} , {1, 3}) , ({1, 3} , {2, 3}) , ({2, 3} , {2, 3}) ข้อ 1. xy [x  y  ] ถกู เพราะ ทุกคู่ x  y   ขอ้ 2. xy [x  y = ������] ผดิ เพราะ x  y  ������ เชน่ {1,2} {1,3} = {1,2,3} xy ข้อ 3. xy [y  x  y  x] ผิด เพราะ {1, 2} กบั {1, 3} ซ่งึ y  x แต่ {1, 3}  {1, 2} ทกุ คู่ ไมเ่ ปน็ สับเซต ขอ้ 4. xy [y  x  y  x] ผดิ เพราะ ทกุ คา่ ไม่เปน็ จรงิ ตวั อยา่ งท่ี 15 กำหนดให้เอกภพสมั พัทธ์ คอื ������ = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ 1. xy [x + y < y] 2. xy [x - y2 < x] 3. xy [xy2 = x] 4. xy [x2y = y] (A-NET/2549) ขอ้ 1. xy [x + y < y] มี x = -3 , y ทุกคา่ ทำให้ x + y < y เป็นจรงิ ข้อ 2. xy [x - y2 < x] มี x = 3 , y ทกุ ค่า ทำให้ x - y2 < x เป็นจริง ข้อ 3. xy [xy2 = x] ไมม่ ี x ใดๆ เลยท่ีทำให้ xy2 = x เป็นจรงิ จึงเป็นเทจ็ ขอ้ 4. xy [x2y = y] มี x = 1 , y ทกุ คา่ ทำให้ x2y = y เป็นจรงิ ตอบ ขอ้ 3

53 6. นเิ สธของประโยคเปิดที่มีตวั บ่งปริมาณ x [P(x)]  x [ P(x)] x [P(x)]  x [ P(x)] ตวั อย่างที่ 16 นเิ สธของข้อความ xy [(xy = 0  x  0) → y = 0] สมมูลกบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. xy [(xy = 0  x = 0)  y  0] 2. xy [(xy  0  x = 0)  y = 0] 3. xy [(xy = 0  x  0)  y  0] 4. xy [(xy  0  x = 0)  y = 0] วิธคี ดิ [xy [(xy = 0  x  0) → y = 0]]  xy [ [(xy = 0  x  0) → y = 0]]  xy [ [ (xy = 0  x  0)  (y = 0)]] [จาก p → q  p  q ]  xy [(xy = 0  x  0) (y = 0)] ตอบ ขอ้ 3  xy [(xy = 0  x  0)  (y  0)] ตัวอยา่ งท่ี 17 ขอ้ ใดไมใ่ ช่นเิ สธของข้อความ x [P(x)  Q(x)] (คณิต กข/2541) 1. x [ P(x)  Q(x)] 2. x [P(x) → Q(x)] 3. x [ Q(x) → P(x)] 4. x [P(x)  Q(x)] วิธีคดิ x [P(x)  Q(x)]  x [ [P(x)  Q(x)]] [จาก (p  q)  p q ]  x [ P(x)  Q(x)] ข้อ 1. ถกู ขอ้ 2. x [P(x) → Q(x)]  x [ P(x)  Q(x)] ถกู ข้อ 3. x [ Q(x) → P(x)]  x [Q(x) P(x)] [จาก p → q  p  q ]  x [ P(x)  Q(x)] [จากสลบั ทไ่ี ด้] ถกู ข้อ 4. x [P(x) Q(x)] ผดิ ตอบ

54 การอา้ งเหตผุ ล 1. การอา้ งเหตุผล ประกอบดว้ ย สว่ นทีเ่ ปน็ เหตุหรือ สง่ิ ท่กี ำหนดให้ (p) กับสว่ นที่เป็นผล (q) p1  p2  p3  ... → q p มคี ่าความจริงเป็น “จริง” ทุกประพจน์ หากผล q มีค่าความจริงเป็น “จรงิ ” เรยี กการอ้างเหตุผลนว้ี ่า “สมเหตุสมผล” ถา้ ผล q มีค่าความจรงิ เป็น “เทจ็ ” เรียกการอ้างเหตผุ ลนี้วา่ “ไมส่ มเหตุสมผล” 2. การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอา้ งเหตุผล ทำได้ 2 วธิ ี วิธีที่ 1 ใช้พสิ จู น์ว่าเปน็ จริงตลอดกาล หรอื เปน็ สจั นริ ันดร์ p1  p2  p3 ...  pn → q เป็นสจั นิรันดร์ วิธที ่ี 2 ใช้การอ้างเหตุผลที่สมเหตสุ มผลท่ีรูอ้ ยู่แลว้ และที่นิยมใชก้ นั 1. เหตุ 1. p → q [Common Sense] 2. p ผล q 2. เหตุ 1. p → q [จากสมมลู p → q  q → p ] 2. q ผล p 3. เหตุ 1. p → q [จรงิ ต่อจรงิ จะเป็นจรงิ ] 2. q → r ผล p → r 4. เหตุ p → q [จากสมมูล p → q  q → p ] ผล q → p 5. เหตุ 1. p  q [ q  T แสดงวา่ q  F ดังนัน้ p  q  p ] 2. q ผล p 6. เหตุ 1. p → r [p → r และ p จะได้ r และ q → s และ q ผลจะได้ s] 2. q → s ดงั นน้ั p  q  r  s และ p  q  T 3. p  q

55 ผล r  s แสดงว่า p  F และ q  F หรอื r  F และ s  F ]’ 7. เหตุ p  q [จาก p  q  T แสดงว่า p  T และ q  T ] ผล p [p  T แล้ว p  q  T เสมอ ] 8. เหตุ P ผล p  q ตวั อยา่ งท่ี 18 พิจารณาการใหเ้ หตผุ ลตอ่ ไปนี้ ก. เหตุ 1. p → (q → r) 2. p 3. t → q ผล r → t วิธีคิด วธิ ีที่ 1 [p → (q → r)]  p  ( t → q) ⎯F⎯→(r → t) T Tp T F Tp T Ft Tr Ft Tq Tr T Tq ไม่ขดั แย้งกนั แสดงวา่ เปน็ เท็จ ไม่เป็นสจั นิรนั ดร์ ไมส่ มเหตสุ มผล

56 วิธีที่ 2 เหตุ ผล p → (q → r) p t→q r→t q → r (1) q → t (2) r→ q r→t  ไม่ (3) สมเหตุสมผล ข. เหตุ 1. p → (q → s) 2. p  s ผล q วิธคี ิด วิธีที่ 1 [p → (q → s)]  (p  s) ⎯F⎯→q วิธีที่ 2 T Ts T Fq T Tp Ts Tp F Fq ไมข่ ดั แย้งกนั แสดงว่า เปน็ เท็จ ไมเ่ ปน็ สัจนิรนั ดร์ ไมส่ มเหตสุ มผล เหตุ ผล p → (q → s) p  s q (1) q → s s (7) s → q (4)  ไม่สมเหตุสมผล

57 ตวั อย่างท่ี 19 ให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปนี้ เหตุ 1. p → ( q  r) 2. q  r 3. r ผล A A เปน็ ประพจน์ในขอ้ ใดจึงจะทำให้สมเหตุสมผล 1. p 3. p  q 2. q 4. p  r วธิ คี ิด ใชว้ ิธที ี่ 2 เหตุ ผล A p → ( q  r) q  r r q (5) r (5) p→r p (2) ขอ้ 1 ถกู ใช้วิธที ี่ 1 [p → ( q r)]  (q  r)  ( r) ⎯F⎯→ p ขอ้ 1. T TT F T p T T q Fr Fr Tp T Fr Fq ขัดแย้งกัน แสดงวา่ ไม่เปน็ เท็จ เป็นจรงิ เป็นสัจนิรันดร์ สมเหตุสมผล

58 ขอ้ 2. [p → ( q  r)]  (q  r)  ( r) ⎯F⎯→ q T q Fr T T F Tq Fr Fr F Tq F Fp T ไม่ขดั แยง้ กนั แสดงว่า เป็นเทจ็ ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์ ไมส่ มเหตสุ มผล ขอ้ 3. [p → ( q  r)]  (q  r)  ( r) → p  q F T T q Fr T T F Tq Fp F T q Fr Fr Fp F F ไมข่ ดั แย้งกัน แสดงว่า เปน็ เท็จ ไม่เปน็ สัจนริ นั ดร์ ไมส่ มเหตสุ มผล ขอ้ 4. [p → ( q  r)]  (q  r)  ( r) → p  r F T T q Fr T T F Fp F T q Fr Fr Fp Fr F ไมข่ ัดแย้งกนั แสดงวา่ เปน็ เทจ็ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ไมส่ มเหตุสมผล ตวั อยา่ งท่ี 20 พจิ ารณาการอา้ งเหตุผลต่อไปนี้ (คณติ กข/2540) ก. เหตุ 1. p → q 2. q  r 3. r ผล p

59 วิธคี ิด วธิ ที ่ี 1 (p → q)  (q  r)  ( r) ⎯F⎯→p วธิ ีท่ี 2 TT T T F ไมข่ ดั แยง้ กันแสดงว่า เป็นเทจ็ ไมเ่ ป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่สมเหตสุ มผล เหตุ ผล (p → q) (q  r) r p q (5) (2) ผล p ไม่สมเหตุสมผล ข. เหตุ 1. p  q r  s) ⎯F⎯→s 2. q → r ผล วิธีคิด วิธที ี่ 1 3. r  s S (p  q)  (q → r)  (

60 วิธที ี่ 2 ผล S เหตุ pq q→r rs q  p s r (7) q (1)  r (5)  s สมเหตุสมผล

61 การให้เหตุผล 1. การใหเ้ หตผุ ลมี 2 ลักษณะ คอื 1. การให้เหตุผล แบบอปุ นยั (Inductive Reasoning) เป็นการให้เหตุผลโดยใช้ประสบการณ์ หรอื การสังเกตเหตกุ ารณ์ซ่งึ เกดิ ขึ้นซ้ำๆกนั หรอื การ ทดลองหลายๆคร้ัง เกิดผลสรุป ซึ่งผลสรุปอาจเปน็ จรงิ หรอื เท็จกไ็ ด้ 2. การใหเ้ หตุผลแบบ นิรนยั (Deductive Reasoning) เป็นการใหเ้ หตุผลท่อี ้างถงึ ส่ิงทีก่ ำหนดให้ทเี่ ป็นทย่ี อมรบั กนั ท่ัวไป โดยกำหนดให้เหตุเปน็ จริง แล้วใชก้ ฎเกณฑ์ต่างๆ สรุปผลจากเหตุทีก่ ำหนดให้ ตวั อย่างท่ี 1 การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นัย = 12 1=1 = 22 = 32 1+3 = 4 = 42 1+3+5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 . .. . .. .. . 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... = x = y2 เม่อื ใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย สรุปคา่ x และ y ข้อใดกลา่ วถูกต้อง 1. x เป็นจำนวนค่ี 2. y เป็นจำนวนคู่ 3. x + y = 36 4. x = (จานวนพจน์)2 หรอื y = จำนวนพจน์ ตอบ ขอ้ 4 2. การตรวจสอบความสมเหตสุ มผล วิธีทีน่ ิยมในการตรวจสอบ คือ การใช้แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ เช่น

62 ก. a เปน็ สมาชิกของ A A ข. a ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ A a A a ค. a เป็นสมาชิกของ A และของ B AB B a A a ง. a ไม่เป็นสมาชกิ ของ A และของ B B A a จ. a เป็นสมาชกิ ของ A แตไ่ มเ่ ป็นสมาชกิ ของ B หรอื x A แต่ x B AB a

63 ตวั อย่างท่ี 2 การใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั Z เหตุ 1) ทกุ ๆ A เปน็ B C 2) ทกุ ๆ B เป็น C B 3) ทกุ ๆ C เปน็ Z A ผล ทุกๆ A เป็น Z ตอบ ถกู ตามรปู ตัวอยา่ งที่ 3 กำหนดเหตุให้ดังตอ่ ไปนี้ เหตุ (ก) ทกุ จังหวัดที่อยไู่ กลจากกรงุ เทพฯเปน็ จงั หวดั ท่ีมีอากาศดี (ข) เชียงใหม่เปน็ จงั หวดั ทีม่ อี ากาศไม่ดี ขอ้ สรปุ ในขอ้ ใดต่อไปน้ี สมเหตสุ มผล 1. เชยี งใหมเ่ ป็นจังหวดั ท่อี ยู่ไม่ไกลจากกรงุ เทพฯ 2. นราธิวาสเป็นจงั หวัดท่อี ยู่ไม่ไกลจากกรุงเทพฯ 3. เชียงใหมเ่ ปน็ จงั หวัดท่อี ยูไ่ กลจากกรุงเทพฯ 4. นราธิวาสเป็นจงั หวดั ทอี ยู่ไกลจากกรุงเทพฯ B CA A = จังหวดั ทอี่ ยูไ่ กลจากกรงุ เทพฯ B = จังหวดั ทม่ี ีอากาศดี C = จงั หวดั เชียงใหม่ ตอบ ขอ้ 1. ตัวอย่างท่ี 4 จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี 1. คนตีเทนนสิ เกง่ ทุกคน เปน็ คนสายตาดี 2. คนตเี ทนนิสหนา้ เนตดีบางคน เปน็ คนสายตาดี 3. สมชัยตีเทนนสิ เกง่ แตต่ ีเทนนสิ หนา้ เนตไมด่ ี

64 แผนภาพในขอ้ ใดต่อไปน้ี มคี วามเปน็ ไปได้ที่จะสอดคลอ้ งกบั ขอ้ ความทัง้ สามข้างตน้ เม่อื จดุ แทนสมชยั AC AC 1. B 2. B  3. A C 4. A C B  B  A = สายตาดี B = ตเี ทนนสิ เกง่ C = คนตีเทนนิสหนา้ เนตดี  = สมชยั ตอบ ขอ้ 4 ตวั อย่างที่ 5 จากแบบรูปต่อไปน้ี โดยการใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั 2a - b + c มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใด 7 14 21 77 1 2 4 2 4 8 3 6 12 ... a b c 1. 11 2. 22 3. 33 4. 44 วธิ ที ำ abc 11 + 22 + 44 = 77 ∴ 2a - b + c = 2(11) - 22 + 44 = 44 ตอบ ข้อ 4

ตัวอย่างท่ี 6 พจิ ารณาการให้เหตุผลตอ่ ไปน้ี 65 1) เหตุ 1. สิ่งมชี ีวติ ทุกชนดิ ต้องหายใจ 2. ต้นไม้ทุกตน้ เป็นสิ่งมชี ีวิต 2. 1) สมเหตุสมผล แต่ 2) ไม่สมเหตุสมผล 3. ตน้ มะมว่ งเปน็ สง่ิ มีชวี ติ 4. 1) และ 2) ไมส่ มเหตุสมผล ผล ต้นมะม่วงเปน็ ตน้ ไม้ 2) เหตุ 1. นกทกุ ตวั เปน็ สัตว์ปกี A = นก 2. สตั ว์มีปกี บางตัวมีหาง B = สตั วป์ ีก ผล นกบางตวั มีหาง C = มีหาง 1. 1) และ 2) สมเหตสุ มผล 3. 1) ไมส่ มเหตุสมผล 2) สมเหตสุ มผล 2) B A = สง่ิ มชี ีวิต B = หายใจ A C = ต้นมะม่วง D = ตน้ ไม้ B 1) A D   อาจเป็น C1 หรือ C2 ก็ได้ อาจเป็น C1 หรอื C2 กไ็ ด้ C2 ต้นมะมว่ งไมเ่ ปน็ ตน้ ไม้ C1 นกทกุ ตวั ไมม่ ีหาง C1ต้นมะมว่ งเป็นต้นไม้ C2 นกบางตวั มหี าง สรุป ไม่สมเหตสุ มผล สรปุ ไม่สมเหตสุ มผล ตอบ ข้อ 4

66 ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ นั 1. ความสมั พนั ธ์ (r) คือ เซตของคู่อันดบั โดยไมม่ เี งื่อนไขใดๆ 1. ผลคูณคารท์ ีเชยี น เขียนสัญลกั ษณ์ A × B ให้ A = {1, 2} มีจำนวนสมาชกิ 2 ตัว B = {a, b, c} มจี ำนวนสมาชกิ 3 ตวั A × B = {(1, b) , (1, b) , (1, c) , (2, a) , (2, b) , (2, c)} จำนวนสมาชิก 2 × 3 = 6 คู่ สญั ลักษณ์ A × B = {(x, y) / x  A และ y  B} n(A × B) = n(A) × n(B) = n(B × A) แต่ A × B  B × A 2. สตู ร ให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ ก. A × B =  กต็ อ่ เมื่อ A =  หรือ B =  ข. ถา้ A × B = A × C และ A   แลว้ B = C ค. A × (B C) = (A ×B) (A × C) ง. A × (B C) = (A ×B) (A × C) จ. A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ฉ. (A - B) × C = (A × C) - (B × C) ตัวอยา่ งท่ี 1 กำหนดให้ A = {1, 2 , {1, 2} , (1, 2)} เม่อื (1, 2) หมายถึง คอู่ นั ดับ และ B = (A × A) - A จำนวนสมาชิกของเซต B เทา่ กับเท่าใด (A-NET/2549) n(A × A) = 4 × 4 = 16 (A × A)  A = {(1, 2)} ตอบ ∴ n[(A × A) - A] = 16 - 1 = 15 = n(B) ตวั อย่างที่ 2 กำหนดให้ S เป็นเซตคำตอบของอสมการ x2  8x + 20 ถา้ A = {x  S / x เปน็ จานวนเฉพาะบวก} และ B = {x S / x เปน็ จานวนเตม็ ค่ี} แล้ว (A × B) - (B × A) มจี ำนวนสมาชิกเท่ากับเท่าใด (คณติ 1/2543)

67 วธิ ที ำ x2  8x + 20 x2 - 8x - 20  0 +-+ -2 10 (x - 10)(x + 2)  0 หาคา่ วิกฤต, x - 10 = 0 หรอื x + 2 = 0 x = 10 หรือ x = -2 เซตคำตอบ -2  x  10 B = {-1, 1, 3, 5, 7, 9} A = {2, 3, 5, 7} คำถาม n[(A × B) - (B × A)] = ? A × B = { (2, -1) , (2, 1) , (2, 3) , (2, 5) , (2, 7) , (2, 9) , (3, -1) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (3, 7) , (3, 9) , (5, -1) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5) , (5, 7) , (5, 9) , (7, -1) , (7, 1) , (7, 3) , (7, 5) , (7, 7) , (7, 9) } B × A = { (-1, 2) , (-1, 3) , (-1, 5) , (-1, 7) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 5) , (1, 7) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 5) , (3, 7) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 5) , (5, 7) , (7, 2) , (7, 3) , (7, 5) , (7, 7) , (9, 2) , (9, 3) , (9, 5) , (9, 7) } A B = {3,5,7} n[(A B) × (A B)] = 3 × 3 = 9 n(A × B) = 4 × 6 = 24 ∴ n[(A × B) - (B × A)] = 24 - 9 = 15 อธบิ าย สมาชกิ ซำ้ กัน จับค่กู นั จะได้คทู่ ีซ่ ำ้ กนั 1 ชดุ เชน่ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)} ตวั อย่างท่ี 3 ถา้ A = {-2, -1, 0, 1, 2} และ r = {(a, b)  A × A / a = b หรือ a = -2b2} แลว้ จำนวน สมาชิกของ r เท่ากบั เท่าใด (คณิต 2/2542) วิธคี ิด (a, b) และ a = b แสดงว่า 0= 0 =0 (0, 0) 1 = 1 , -1 = 1 (1, 1) , (1, -1) 2 = 2 , -2 = 2 (2, 2) , (2, -2) แสดงว่า a = 0, 1, 2 แต่ b = 0, 1, -1, 2, -2

68 หรือ (a, b) และ a = -2b2 0 = -2(0)2 (0, 0) -2 = -2(1)2, - 2(-1)2 (-2, 1) (-2, -1) แสดงว่า a = 0, -2 แต่ b = 0, 1, -1 ดงั นัน้ r = {(0, 0) (1, 1) (1, -1) (2, 2) (2, -2) (-2, 1) (-2, -1)} จำนวนสมาชิกของ r = 7 3. โดเมน และเรนจ์ ของความสมั พันธ์ (x, y) = (หน้า, หลงั ) Dr , โดเมนของความสัมพนั ธ์ หมายถึง เซตของสมาชิกตวั หน้าหรอื {x} Rr , เรนจข์ องความสัมพันธ์ หมายถึง เซตของสมาชกิ ตวั หลงั หรือ {y} ตัวอย่างท่ี 4 กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ ให้ r = {(1, 2) , (1, 4) , (1, 5) , (3, 1) , (3, 4) , (3, 5) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 4)} เป็นความสมั พนั ธ์ใน A ข้อใดตอ่ ไปนี้ผิด (คณิต 2/2542) 1. {x A / 3r x} = {1,4,5} 2. {x  A / (x, 2) r} = {3} 3. {x  A / (4, x) r} = A 4. {x A / x r 5} = {1,3} วธิ ีคิด ความสัมพนั ธ์ ใน A หมายถงึ r = A × A ขอ้ 1. 3 r x แปลว่า 3 จับคู่กับ x โดย x  A โดย x คือ 1, 4, 5 จรงิ เพราะ (3, 1) , (3, 4) , (3, 5) ถูก ข้อ 2. (x, 2) r แปลว่า x จบั ค่กู ับ 2 โดย x  A แต่ (x, 2) r โดย x คอื 3 ไมจ่ ริง เพราะ (x, 2) r คือ x = {2, 3, 4} ผดิ ข้อ 3. (4, x) r แปลว่า 4 จับคู่กับ x โดย x  A แต่ (4, x) r โดย x คือ 1, 2, 3, 4, 5 จรงิ เพราะ r ไมม่ ีคู่ใดท่ีขึ้นตน้ ดว้ ย 4 กล่าวคอื (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) ถูก ข้อ 4. x r 5 แปลว่า x จบั ค่กู บั 5 โดย x  A โดย x คือ 1, 3 จริง เพราะ (1, 5) , (3, 5) r ถูก ตอบ ข้อ 2

69 ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ r = {(x, y) / x  y และ y2 = x2 + 2x - 3} จงพจิ ารณาขอ้ ใดถกู ผิด ก. Dr = [1, ) ข. Rr = (- , ) (คณิต 1/2547) วธิ คี ิด พิจารณาค่า x, y2 = x2 + 2x - 3 เน่ืองจาก y2  0 เสมอ ดังนั้น x2 + 2x - 3  0 + - +  (x + 3)(x - 1)  0 -3 1 หาค่าวิกฤต, x + 3 = 0 หรือ x - 1 = 0 x = -3 หรอื x = 1 พิจารณาค่า y, ดู y2  0 แสดงวา่ y+ , y- , y = 0 ก็ทำให้ y2  0 แสดงวา่ y เป็นจำนวนจรงิ R ---------- ขอ้ ข. ถกู Rr = R ส่วน Dr ดู x  y แต่ y เปน็ จำนวนจรงิ R แสดงวา่ x เปน็ จำนวนจรงิ R ดว้ ย    ข้อ ก. ผดิ -3 1 ดังนั้น Dr = (- , -3] [1, ) ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ความสมั พนั ธ์ r= (x, y) R × R / y = x2 - 4 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใด  x2  9 -  ผิด, ถูก (คณติ 2/2545) ก. โดเมน ของ r คือ (- , -3)  (3, ) ข. เรนจ์ ของ r คอื (-), - 1)  (- 4 , ) 9 วธิ คี ดิ พิจารณาจาก y = x2 - 4 9 - x2 หาสมาชิก x, y จะเปน็ จำนวนจรงิ ได้ เมื่อ 9 - x2  0 - ∞ ∞ -3 3

70 หรือ x2 - 32  0 (x - 3)(x + 3)  0 x - 3  0 หรอื x + 3  0 x  3 หรือ x  -3 ดงั นัน้ x  ±3 ขอ้ ก. ผิด หรอื Dr = R - {-3, 3} = (- , -3)  (-3, 3)  (3, )  หาสมาชิก Y , y = x2 - 4 9 - x2 9y - yx2 = x2 - 4 9y + 4 = 1 x2 + yx2 = (1+ y)x2 9y + 4 = x2 1+ y หรอื x2 = 9y + 4 1+ y x2 เปน็ +, 0 เสมอ แสดงวา่ 9y + 4  0 1+ y คูณ (1 + y)2 , (1 + y)2 9y + 4 = (1 + y)2  0 , เมื่อ 1+ y 0 1+ y y  -1 (รอตอบ) (1 + y)(9y + 4)  0 หาคา่ วกิ ฤต, (y +1)(9y + 4)  0 9y + 4 = 0 -∞ y + 1 = 0 หรอื y = - 4 +- 9 y = -1 หรอื -1 ∞ +

71 Rr = (- , -1)  [- 4 , ) 9 ( )ข้อ ข. ผิด ตรง-4 ,  9  ตัวอยา่ งที่ 7 กำหนดให้ r = (x, y) / y = 3x - 4 + 2 พิจารณา ขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ถูก, ผิด x2 - 3x + 2 x ก. Dr =/x4 ข. Rr = {y / y  0} (คณิต 2/2546) 3 วิธีคดิ y= 3x - 4 + 2 x2 - 3x + 2 พิจารณา x , y จะเป็นจำนวนจรงิ ก็ต่อเมือ่ ตวั หาร  0 x2 - 3x + 2  0 (x - 2)(x -1)  0 x - 2  0 หรือ x -1  0 x  2 หรอื x  1 ---------- ส่วนเศษ 3x - 4 + 2 ต้องพิจารณาเพิ่ม 3x - 4  0 หรือ 3x - 4  0 3x  4 x  4 ---------- 3   Dr 12 ตอบ 2 )Dr =  4 , 2  (2,) ขอ้ ก. ผดิ  3

72 พิจารณา y, y= 3x - 4 + 2 x2 - 3x + 2 1) yx2 - 3xy + 2y = 3x - 4 + 2 1. ดูแลว้ หากยา้ ย x2 - 3x + 2 ไปคณู Y ยุง่ ยากมากไมท่ ำตอ่ นา่ จะยงุ่ ลองถอดราก 3x - 4 ดู 2) y = ( 3x - 4 + 2)( 3x - 4 - 2) 2. โดยการสงั ยคุ (x2 - 3x + 2)( 3x - 4 - 2) น2 - ล2 = (น - ล)(น + ล) แต่สดุ ท้าย y = ( 3x - 4)2 - 22 ทำอะไรไม่ไดอ้ ยดู่ ี 3x + 2)( 3x - 4 (x2 - - 2) y = (x - (3x - 4) - 4 4 - 2) = (x - 2)(x 3x - 8 - 4 - 2) 2)(x - 1)( 3x - - 1)( 3x 3) ต้องพิจารณาจากคา่ x จาก Dr ลองแทนค่าดอู าจหาค่า Y ได้ พิจารณาเศษ, 3x - 4  0 3x - 4 + 2  0 12 พิจารณาส่วน, x2 - 3x + 2 )หาก x อยู่ใน  4 , 2 , x2 - 3x + 2 < 0 ดงั น้ัน y= 3x -4 +2 = + = -  3 x2 - 3x + 2 - หาก x > 2 (2, ), x2 - 3x + 2 > 0 ดงั นัน้ y= 3x -4 +2 = + = + x2 - 3x + 2 + ดังน้ัน y < 0 หรือ y > 0 , เซตคำตอบ Rr = (- , 0)  (0, ) ขอ้ ข. ผิด  y  0 ผิดตรง y = 0 [นา่ สังเกตว่า y = ตัวต้ัง เม่ือตัวตงั้ > 0 แล้ว y  0 แน่นอน] ตัวหาร ตัวอย่างท่ี 8 กำหนดให้ r = {(x, y) R × R / x2 + y2 = 16} S = {(x, y) R × R / xy2 + x + 3y2 + 2 = 0} เซตในขอ้ ใดต่อไปน้ีเปน็ สับเซตของ Dr - DS 1. [-4, -1] 2. [-3, 0] 3. [-2, 1] 4. [-1, 2] วิธคี ิด ดูโจทยห์ าเฉพาะค่า x,Dr,DS ไมต่ อ้ งหาค่า Y พิจารณา r, x2 + y2 = 16

73 หาคา่ x, y2 = 16 - x2 เนือ่ งจาก y2  0 เสมอ ดงั นั้น 16 - x2  0 หรอื x2 - 16  0 , x2 - 42  0 (x - 4)(x + 4)  0 , [น2 - ล2 = (น - ล)(น + ล)] + - + หาค่าวกิ ฤต , x - 4 = 0 หรอื x + 4 = 0 x = 4 หรอื x = -4 -4 4 เซตคำตอบ x, [-4, 4] พิจารณา S , xy2 + x + 3y2 + 2 = 0 xy2 + 3y2 = -x - 2 y2(x + 3) = -x - 2 y2 = -x - 2 x+ 3 เน่อื งจาก y2  0 ดังนนั้ -x - 2  0 x+3 (x + 3)2 คณู ทงั้ 2 ข้าง, (x + 3)2 -x - 2  (x + 3)2 0 , และ x+3  0 x+ 3 x  -3 ----- (x + 3)(-x - 2)  0 คำตอบ (-1) คูณท้งั 2 ข้าง, -(x + 3)(x + 2)  0  (x + 3)(x + 2)  0  x = -3, -2 -3 -2 -3 -2 -3  x  -2 ---------- คำตอบ คำตอบ -4 -3 -2 0 4 Dr - DS = [-4, -3]  (-2, 4]

74 แต่คำถามถามสบั เซตของ Dr - DS ดู ขอ้ 4. ถูก [-1, 2] 4. กราฟของความสัมพนั ธ์ y 1) r = {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3)} 3 (3, 3) 2 (2, 2) 1 (1, 1) x 0 123 2) r = {(x, y)  ×  / y = 2x +1} y y = 2x + 1 3) r = {(x, y) R × R / y = 2x + 1} 3 (1, 3) 2 1 (0, 1) -2 -1 0 x (-1,-1) -3 -11 2 3 -2 (-2,-3) -3 y y 1 (0, 1) y = 2x + 1 x ( ,0) -1 0 1 4) r = {(x, y) R × R / y  x} จงแรเงา y y y≥x y=x x 0

75 5) r = {(x, y) R × R / 0  x < 4} y 0≤x<4 04 x=4 04 x 6) r = {(x, y)  R × R / -2 < y < 3} y y 3 -2 < y < 3 0x 3 y=3 0x -2 -2 y = -2 7) r = {(x, y) R × R / y  x + 2 และ y  -x + 3} yy 2 x Y ≥ x + 2 และ y ≤ - x + 3 3 y= x+2 x-2 0 x 2 x 1 -2 -1 0 1 2 3 y y = -x + 3 3 0 Ix 3

หงาย 76 y 8) r = {(x, y) R × R / y = x } 0x คว่ำ y y 0x 0x ตะแคงขวา 9) r = {(x, y) R × R / x = y } ตะแคงซา้ ย y 0x 10) r = {(x, y) R × R / y = x - 2} y 3 y = x - 2 + 3  เลื่อนข้นึ แกน y 3หนว่ ย 0 (2, 0x) เล่ือนไปทางขวา แกน x 2 หนว่ ย 2 y 3 (2, 3) 02 x

77 y= x+2 -3  y x คว่ำ -2 0 y=- x+2 +3  (-2, 3) -3 (-2, 3) Y 3 -2 0 x 10) r = {(x, y) R × R / x + y = 4} 2 คล้ายๆ กับ กราฟวงกลม x2 + y2 = 4(22) -2 0 2 y x -2 4 -4 0 4 -4 11) r = {(x, y) R × R / x - y = 4} y คล้ายกับกราฟ ไฮเปอรโ์ บลา x2 - y2 = 4 -2 0 2 x yy 4 x -4 0 4 x 0 -4

78 12) 1r = {(x, y) R × R / y = x2 + 3  y = x2 0 y คว่ำ - หงาย y คลา้ ย 3 x 0x 0 y = -x2 y y = -x2 - 3  0 x -3 y y = (x - 2)2 +3  3 (2,-3) x 02 13) r = {(x, y) R × R / x =yy2} y ตะแคงซา้ ย x x x = -y2 0 คลา้ ย 0 x = y2 + 2 เลื่อนไปทางขวา y x 02

79 14) r = {(x, y) R × R / y = x} จาก y = x ยกกำลงั สอง ทง้ั 2 ขา้ ง y2 = x y 0x y  y= x แต่ x เปน็ ลบไม่ได้ x y เปน็ ลบไม่ได้ 0 ในระบบจำนวนจริง y หรอื y = - x 0x 15) r = {(x, y) R × R / x = y} y 0x ยกกำลงั สอง ทง้ั 2 ขา้ ง x2 = y แต่ x, y เป็นลบไม่ไดใ้ นระบบจำนวนจรงิ y y= x 0x 16) r = {(x, y) R × R / x2 + y2 = 9} x2 = 9 - y2 y y y 3 3 3 x = ± 9 - y2 0 3 x -3 x -3 0 3 x -3 0 -3 -3

80 หรอื y2 = 9 - x2 y y = ± 9 - x2 3 y x -3 0 3 -3 0 3 x ตวั อยา่ งที่ 9 กราฟทกี่ ำหนดใหเ้ ป็นกราฟของความสมั พันธใ์ นข้อต่อไปนี้ (คณิต ก/2541) y y = x+1 1. {(x, y) R × R / x + y = 1} (-0.5,0.5) (0,1) y = x-1 2. {(x, y) Î R × R / x + y = 1} x 3. {(x, y) R × R / x - y = 1} (-1,0) 0 (1,0) (0,-1) 4. {(x, y) R × R / x - y = 1} วิธีคดิ จากรปู กราฟ เสน้ บน y = mx + c m = y2 - y1 = 1 -0 = 1 = 1 x2 - x1 0- (-1) 1 c=1 ∴ y=x+1 หรอื -1 = x - y x - y = -1 ---------- จากรปู กราฟ เสน้ ล่าง y = mx + c m = y2 - y1 = 0- (-1) = 1 = 1 x2 - x1 1 -0 1 c = -1 ∴ y=x-1 หรือ 1 = x - y x - y = -1 ----------

81 รวม  กบั  x - y = ±1 ตอบ ขอ้ 3. ดงั นน้ั x-y =1 5. ตัวผกผันของความสมั พนั ธ์ หรืออนิ เวอรส์ ของความสัมพันธ์ (r-1) คอื ค่อู นั ดับของความสัมพนั ธ์ ทสี่ ลบั ตวั หน้ากบั ตัวหลงั ทุกคู่ เชน่ r = {(a, b) , (c, d)} r-1 = {(b,a),(d,c)} หรอื r = {(x, y)} r-1 = {(x, y)} ทำให้เกดิ Dr-1 = Rr หรอื Rr-1 = Dr ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้ r เปน็ ความสมั พันธ์ในเซตของจำนวนจริง โดยที่ r = (x, y) / y = 1- x2   1+ x2   ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู (คณติ 1/2542) 1. Dr = [-1,1] , Dr-1 = [-1,1] 2. Dr = [-1,1] , Dr-1 = [0,1] 3. Dr = [0,1] , Dr-1 = [-1,1] 4. Dr = [0,1] , Dr-1 = [0,1] วิธีคดิ จาก y= 1- x2 1+ x2 Dr → หาค่า x , y จะเปน็ จำนวนจรงิ ได้ ก็ตอ่ เม่ือ 1- x2  0 1+ x2 ดงั นนั้ 1- x2  0 1+ x2 1- x2 = -(x2 -1) -(x2 -1)  0 (-1) คูณ 2 ขา้ ง, 1+ x2 แต่ x2 +1 > 0 เสมอ x2 -1  0 x2 +1  x2 -1  0(x2 +1)

82 x2 -1  0 หาจดุ วกิ ฤต , (x -1)(x +1)  0 -1 1 x - 1 = 0 หรอื x + 1 = 0 ตอบ ขอ้ 2. x = 1 หรอื x = -1 ตอบ Dr = [-1,1] หาคา่ y, y= 1- x2 1+ x2 y0 แตม่ เี ง่อื นไข เมอื่ -1  x  1 ลองแทนค่า , x = -1 ดู y = 1- (-1)2 = 1-1 = 0 1+ (-1)2 1+1 x=1 ดู y = 1- (-1)2 = 0 1+ (-1)2 x = 0 ดู y = 1- 02 = 1 = 1 1+ 02 1 แสดงวา่ ค่า y = [0, 1] หรือ Rr = Dr-1 = [0,1] ตัวอยา่ งท่ี 11 กำหนดให้ r = {(x, y) R × R / y2 = 16x} ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก (คณิต 2/2543) 1. r-1 = {(x, y) R × R / x = 4 y} 2. กราฟของ r-1 มีแกน x เป็นแกนสมมาตร 3. เรนจข์ อง r-1 = R 4. โดเมนของ r-1 = R วิธีคดิ จาก y2 = 16x Dr → หาคา่ x, y2  0 แสดงว่า 16x  0 ตอบ Dr = [0, ] = Rr-1 หรอื x0 Rr → หาค่า y, y2  0 เม่อื x0 แสดงว่า y เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ , y = +, 0, - ทำให้ y2  0 เสมอ

83 ตอบ Rr = R y2 = 16x y สรปุ ตอบ ขอ้ 4 Dr-1 = Rr = R x ลองเขยี นกราฟดู 0 x2 =16y 0 ดังนนั้ กราฟ r-1 แกนสมมาตรเปน็ แกน Y ตัวอยา่ งที่ 12 กำหนดให้ f(x) =  -1 + 1 + 4x2 ถ้า f -1(a) = 2 แล้ว a มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด  2x 3 0 เม่ือ x = 0 (A-NET/2549) กรณี f -1(a) = 2 3 ( )f2 =a 3 เมอื่ x = 2 3 ดงั นั้น f(x) = -1 + 1 + 4x2 2x ( ) ( )( )a= f2 -1 + 1+4 2 2 1 + 16 3 = 3 9 -1 + 4 2 2 = 3 3 = -1 + 25 = -1 + 5 = -3 + 5 = 2 4 9 3 3 3 4 4 4 3 3 33 = 2 × 3 = 1 3 4 2 ตอบ 1 2

84 2. ฟงั กช์ ัน คอื เซตของคูอ่ นั ดบั ซ่งึ ตัวหนา้ ไม่ซำ้ กนั แตถ่ า้ ตวั หนา้ ซำ้ กนั ตัวหลังตอ้ งซำ้ กัน หรอื เปน็ คู่ อนั ดับเดยี วกัน เช่น {(2, 3) , (3, 4) , (5, 6)} เปน็ ฟังก์ชนั แตถ่ ้า {(2, 3) , (2, 4)} ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชนั ตัวหนา้ 2 ซำ้ กัน ตวั หลัง 3, 4 ทีเ่ ป็นคู่อันดับไมซ่ ำ้ กนั ตัวอย่างที่ 13 กำหนดให้ h(x) = 1 - x5 และ g(x) = x5 ถา้ f เปน็ ฟังกช์ นั ซง่ึ f(g(x)) = h(x) แล้ว f(5) มีค่าเท่าใด (A-NET/2549) f(g(x)) = h(x) วธิ ีคดิ จาก f(x5) = 1 - x5 หรอื f(a) = 1 - a ตอบ ดังน้ัน f(5) = 1 - 5 = -4 = 4 ตัวอย่างที่ 14 กำหนดให้ r = {(a, b) / a  A, b B และ b หารด้ วย a ลงตั ว} ถ้า a = {2, 3, 5} แลว้ ความสมั พนั ธ์ r จะเปน็ ฟังกช์ ัน เมอื่ B เทา่ กับ เซตใดตอ่ ไปนี้ 1. {3, 4, 10} 2. {2, 3, 15} 3. {0, 3, 10} 4. {4, 5, 9} ( )วธิ ีคิด b คูอ่ นั ดบั (a, b) เมอ่ื a  A, b B และ b หารด้ วย a ลงตั ว a ดูคำตอบ ข้อ 1, b ลงตวั แต่ไม่เป็นฟังก์ชนั เพราะ a = 2, หาร b ลงตัว ได้ 2 ตวั คอื 4, 10 a ซึง่ จะได้ (a, b) = (2, 4) (2, 10) ผิด ขอ้ 2, เหมอื นกัน (a, b) = (3, 3) (3, 15) ผดิ ขอ้ 3, ถอื ว่า 0 0 = 0 ไม่ถือวา่ หารลงตัว แม้จะได้ 0 ก็ตาม ผิด เลขใดๆ  ขอ้ 4, จะได้ (a, b) = (2, 4) , (3, 9) , (5, 5) ถกู ∴ B = {4, 5, 9} ตอบ ข้อ 4. ตัวอยา่ งที่ 15 กำหนดให้ k เปน็ ค่าคงตวั และ r = (x, y)R+ × R+ / x + k x = y + k y พจิ ารณา ขอ้ ความต่อไปน้ี ข้อใด ถูก ผิด ก. ถา้ k = 1 แลว้ r เป็นฟังก์ชนั ข. ถ้า k = -1 แลว้ r เปน็ ฟังกช์ ัน (คณิต 1/2545)

85 วิธีคิด (x, y) R+ × R+ ค่อู นั ดับ x เป็นจำนวนจริงบวก y เปน็ จำนวนจริงบวก x+k x =y+k y ดจู าก x , x  0 เป็นบวก , 0 เพราะ ลบ ไม่เปน็ จำนวนจริง y , y  0 เปน็ บวก , 0 เพราะ ลบ ไมเ่ ป็นจำนวนจรงิ x-y+k x -k y =0 (x - y) +k( x + y) = 0 ( x 2 - y 2) = ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) +k( x - y) = 0 ( x - y)[( x + y) +k] = 0 ( x - y)( x + y +k) = 0 x - y = 0 หรือ x + y + k = 0 x = y หรือ x + y = -k ดงั นนั้ ถ้า k = 1, x + y = -1 ซ่งึ เปน็ ไปไมไ่ ด้ เพราะ x R+ , y R+ แสดงวา่ ถ้า k = 1 แลว้ x = y หรอื x = y แสดงวา่ เป็นฟังกช์ นั ข้อ ก. ถูก แต่ ถ้า k = -1 , x + y = -(-1) = 1 ซง่ึ เป็นไปได้ แสดงว่า ถ้า k = -1 , x = y หรอื x = 1 - y แสดงวา่ x 1 ค่า มคี ่า y 2 ค่า คอื x = y กบั x = 1 - y จงึ ไม่เป็นฟงั ก์ชนั เพราะ x มี 2 ค่า ข้อ ข. ผดิ ตอบ ข้อ ก. ถูก ขอ้ ข. ผดิ 5. โดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ นั ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนงึ่ มี 4 แบบ แบบ 1 ฟังก์ชัน A ไป B หมายถงึ สมาชกิ ทกุ ตัวใน A จบั คกู่ ับสมาชิกบางตัวใน B หรือ Df = A และ Rf  B สญั ลักษณ์ f : A →B

86 แบบ 2 ฟังก์ชนั จาก A ไปทว่ั ถงึ B หมายถงึ สมาชิกทุกตัวใน A จับคกู่ ับสมาชกิ ทุกตัวใน B หรอื Df = A และ Rf = B และ n(A)  n(B) [เพราะถ้า n(A) น้อยกว่า n(B) จะมี A 1 ตวั จับค่กู ับ B ซ้ำ แล้วจะไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน] สัญลักษณ์ f : A ⎯ท⎯่ัวถึง→B แบบ 3 ฟังก์ชันหนึ่งตอ่ หนึ่ง หมายถึง สมาชกิ ทกุ ตวั ใน A จับคตู่ ัวตอ่ ตัวกับสมาชกิ บางตวั ใน B หรอื Df = A , Rf  B หรือ Rf = B และ n(A)  n(B) สัญลักษณ์ f : A ⎯1⎯-1→B แบบ 4 ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนง่ึ จาก A ไปท่ัวถึง B หมายถึง สมาชกิ ทกุ ตวั ใน A จับคู่ตัวต่อตัว กบั สมาชกิ ทุกตัวใน B หรือ Df = A , Rf = B, n(A) = n(B) สญั ลักษณ์ f : A ⎯ท⎯1ั่ ว-1ถึ⎯ง→B ตัวอย่างท่ี 16 กำหนดให้ f ( x ) = 1 x เมือ่ x  (-1,1) จงตรวจสอบวา่ f เป็นฟงั กช์ นั 1 - 1 หรอื ไม่ - x2 วิธคี ดิ f ( x ) = y = 1 x 2 เมอื่ x  (-1,1) -x วธิ ีที่ 1 ลองแทนคา่ x ดวู า่ จะมคี า่ x 1 ค่าได้ y 1 ค่า ตลอดหรือไม่ ถ้าได้ก็เป็นฟงั กช์ ัน 1-1 x -1 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 1 4 4 4 4 4 4 y - - 12 - 2 - 4 0 4 2 12 - 7 3 15 15 3 7 x = - 3 , y = - 3 = - 3 = - 3 = - 3 × 16 4 = - 12 4 4 1- 4 4 4 7 7 1 - (- 43)2 9 7 16 16 x = - 2 = - 1 ,y = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 × 42 = - 2 4 2 2 2 2 2 3 3 1 - (- 12)2 1 3 1 - 4 4 x = - 1 , y = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 × 16 4 = - 4 4 4 1- 4 4 4 15 15 1 - (- 41)2 1 15 16 16

87 2 1 1 11 1 4 2 4 2 2 2 2 2 3 3 x = = ,y = (12)2 = 1 = 3 = × = 1- 1 - 4 4 3 3 33 3 16 12 4 4 4 4 4 7 7 x = , y = 1 - (43)2 = 9 = 7 = × = 1 - 16 16 x = 0, y = 1 0 = 0 - 02 แสดงว่า เปน็ ฟงั ก์ชนั 1 - 1 เพราะ x 1 คา่ ได้ y 1 ค่า ตลอด ข้อสงั เกต ดู ที่ y ถ้าเป็น y2 จะได้ y 2 ค่า ยกเว้น y = 0 ได้ค่าเดียว ตอบ วธิ ีที่ 2 เม่อื x1, x2 (-1,1) และให้ f(x1) = f(x2) ดังนนั้ x1 = x2 2 1 - x12 2 1 - x x1(1 - x22) = x2(1 - x12) x1 - x1x22 = x2 - x2x12 x1 - x1x 2 - x2 + x 2x12 = 0 2 จบั ค่แู ยกตวั ประกอบ (x1 - x2) + (x2x12 - x1x22) = 0 1 (x1 - x2) + x2x1(x1 - x2) = 0 (x1 - x2)(1+ x1x2) = 0 x1 - x2 = 0 หรอื 1 + x1x2 = 0 x1 = x2 หรือ x1x2 = -1 เป็นไปไม่ได้ x1 คูณ x2 ได้ -1 แต่ x1, x2 เปน็ เศษส่วน ซง่ึ คณู กนั  -1 ซ่งึ เศษส่วนยิ่งคณู กนั คา่ ยิง่ นอ้ ยกวา่ 1 ดังนัน้ x1  x2  -1 และ x1 = x2 เทา่ นัน้ แสดงวา่ f(x1) = f(x2) เมือ่ x1 = x2 ดงั น้ัน f(x) เปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1 ตอบ

88 ตัวอยา่ งท่ี 17 กำหนดให้ A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, ..., 10} เซต {f / f : A ⎯1⎯-1→B และมี x A ซึง่ f(x) = x} มีจำนวนสมาชกิ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี (คณติ 1/2546) 1. 16 2. 17 3. 18 4. 19 วธิ คี ิด x A ซ่งึ f(x) = x f(1) = 1 (x, y) = (1, 1) f(2) = 2 (x, y) = (2, 2) f : A ⎯1⎯-1→B และมี x A ซ่งึ f(x) = x แสดงว่า ฟังกช์ นั มดี ังนี้ (1, 1) (2, 2) / (1, 1) (2, 3) / (1, 1) (2, 4) / (1, 1) (2, 5) / (1, 1) (2, 6) / (1, 1) (2, 7) (1, 1) (2, 8) / (1, 1) (2, 9) / (1, 1) (2, 10) / (2, 2) (1, 3) / (2, 2) (1, 4) / (2, 2) (1, 5) / (2, 2) (1, 6) / (2, 2) (1, 7) / (2, 2) (1, 8) / (2, 2) (1, 9) / (2, 2) (1, 10) / จำนวนสมาชิก = 17 ตอบ 6. ชนิดของฟงั ก์ชัน เม่อื c เปน็ จำนวนจริง ก. ฟงั ก์ชนั คงตวั แสดงวา่ x เปน็ เท่าไรกต็ าม y = 4 เสมอ f(x) = y = c เช่น y = 4 y 4 x 0 ข. ฟังกช์ นั ขนั้ บันได y f(x) = y1 = 1 เมอื่ x [0,1] 3 y2 = 2 เม่ือ x  (1, 2] y3 = 3 เมอ่ื x  (2, 4] 2 1 x 0 12 4

89 ค. ฟงั กช์ ันเชงิ เสน้ f(x) = y = mx + c หรอื y = ax + b หรอื AX + BY + C = 0 y ∆y เม่ือ m, c, a, b, A, B, C เป็นจำนวนจรงิ θ c m = ความชัน = yx22 - yx11 =  y = tan  ∆x -  x θ ∆θy∆x∆y x y - y1 (x1, y1) ∆x0 m= x - x1 สูตรนี้ไว้ใชส้ รา้ งสมการโดยรูค้ ่า และรคู้ า่ m โดยคงมี x, y ไว้ เป็นสมการ และ c เป็นจุดตัดแกน y เพราะ x = 0 แทน y = mx + c จะได้ y = c ง. ฟงั ก์ชันกำลงั สอง f(x) = y = ax2 + bx + c ---------- เมือ่ a, b, c เป็นจำนวนจรงิ หรือ f(x) = y = a(x - h)2 + k ---------- เมอื่ a, h, k เปน็ จำนวนจรงิ จาก  จุดยอด x = - b , จดุ ยอด Y เอาค่าจุดยอด x แทนในสมการ 2a y = ax2 +bx +c หรอื จดุ ยอด y= 4ac - b2 กไ็ ด้ 4a จาก  ตอ้ งทำกำลงั สองสมบรู ณ์กอ่ นแลว้ คอ่ ยหาจดุ ยอด (x, y) = (h, k) ตัวอย่างท่ี 18 กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} ถา้ S เป็นเซตของฟงั ก์ชัน f : A → A ซ่งึ มีสมบตั ิต่อไปนี้ สำหรบั แต่ละ x ใน A , f(x) = x หรือ f(x) > x + 1 แล้ว จำนวนสมาชิกของ S เท่ากับเทา่ ใด (คณิต 2/2547) วิธคี ิด สำหรับ แตล่ ะ x ใน A , f(x) = x หรอื f(x) > x + 1 x ใน สมาชกิ ของ A , y = x หรือ y > x + 1 เนื่องจาก f(x) = y กรณี y = x , (x, y) = (1, 1) , (2, 2) , (3 , 3) , (4, 4) , (5, 5) กรณี y > x + 1 (x, y) = (1, 3) (1, 4) , (1, 5) , (2, 4) , (2, 5) , (3, 5) หรือ (1, 1) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) (2, 2) , (2, 4) , (2, 5) (3, 3) (3, 5) (4, 4)

90 (5, 5) จำนวนฟังก์ชนั = 4 × 3 × 2 1 1 = 24 (1, 1) (2, 2) (3, 3) × (4, 4) × (5, 5) (1, 3) (2, 4) (3, 5) (1, 4) (3, 5) (1, 5) ตอบ จำนวนสมาชิก S = 24 ตวั อย่างท่ี 19 ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b} และให้ S = {f / f : A → B เป็นฟังกช์ นั ทั่วถึง} จำนวนสมาชกิ ของเซต S เท่ากบั เท่าใด (คณิต 1/2543) วิธีคดิ A = {1, 2, 3, 4, 5} 5 ตัว จับกับ B = {a, b} 2 ตัว ไดท้ งั้ หมด = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 วธิ ี แต่ f : A →B เปน็ ฟงั ก์ชันทั่วถงึ ก็ตอ้ งหกั ออก 2 วิธี ทไี่ ม่ทวั่ ถึง คือ A = {1, 2, 3, 4, 5} จบั คกู่ ับ {a} หรือ {b} = {(1, a) , (2, a) , (3, a) , (4, a) , (5, a)} = {(1, b) , (2, b) , (3, b) , (4, b) , (5, b)} ดังนัน้ จำนวนสมาชกิ ของเซต S = 32 - 2 = 30 ตอบ ตวั อยา่ งที่ 20 กำหนดให้ f(x) = -x2 + 4x - 10 ขอ้ ความในขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ต้อง (O-NET/2549) 1. f มีค่าตำ่ สุด = -6 2. f ไมม่ คี า่ สงู สดุ 3. f มคี ่าสงู สุด = 6 4. f  9  < -6 วธิ ีคดิ 2 f(x) = -x2 +4x -10 วธิ ที ่ี 1 จดุ ยอด f(x) = y โดยตอ้ งหาจุดยอด x กอ่ น จดุ ยอด x = -b = -4 = -4 = 2 2a 2(-1) -2 แทน x = 2 ในสมการหาคา่ y

91 y = -(2)2 +4(2) -10 = -4 + 8 - 10 = -6 ตอ้ งดูว่ากราฟหงายหรอื ควำ่ โดยดูเครอื่ งหมายหนา้ x2 ถ้าเป็น + กราฟหงาย y จะเปน็ ค่าตำ่ สดุ ถ้าเปน็ - กราฟคว่ำ y จะเปน็ ค่าสูงสุด ตอบ กราฟคว่ำ y สูงสุด = -6 ไม่ใช่ขอ้ 1, 2, 3 ลองดู ข้อ 4. f(x) = -x2 +4x -10 f  9  = -  9 2 + 4  9  - 10 2 2 2 ( )= - 9 + 4 3 -10 2 2 = - 9 + 4  3 × 2  - 10 2 2 2 = - 9 + 612 2 -10 2 2 = - 9 + 6 2 -10 [ 2 =1.4] 2 = -4.5 - 10 + 6(1.4) = -14.5 + 8.4 = -6.1 -6.1 < -6 ถกู ตอบ ขอ้ 4. หรอื วิธที ี่ 2 y = -x2 + 4x - 10 y กราฟคว่ำ = -(x2 -4x +10) 02 x = -(x2 - 4x +4 - 4 +10) -6 (2, -6) = -((x - 2)2 +6) y = -(x - 2)2 - 6 = a(x -h)2 +k h = 2 , k = -6 k = -6 เปน็ ค่าสงู สดุ ของ f(x) หรอื y

92 แสดงว่า f(x ใดๆ) สูงสุด = -6 สรุป f  9  ตอ้ ง < -6 เพราะ -6 เป็นคา่ สูงสุด ตอบ 2 ตอบ หรอื วธิ ที ี่ 3 เมื่อทราบ f(x) หรอื y สงู สุด = -6 แสดงวา่ f  9  < -6 เสมอ 2 ดงั นนั้ ข้อ 4. ถกู ง. ฟังก์ชันพหนุ าม คอื x ยกกำลงั มากกว่า 2 ข้นึ ไป เชน่ y = x3 - x2 - 4x + 2 จ. ฟงั กช์ นั ค่าสัมบรู ณ์ y = x หรอื y = 2 x + 3 - 4 ฉ. ฟังกช์ นั เพ่มิ ฟังกช์ นั ลด และฟงั กช์ นั คงตวั (ดู ข้อ ก. ) ฟังก์ชันเพิ่ม หมายถงึ ถ้าเพิ่ม X แลว้ Y เพม่ิ หรอื ถา้ ลด X แล้ว Y ลดตามกัน ฟงั กช์ ันลด หมายถึง ถ้าเพมิ่ X แลว้ Y ลด หรอื ถ้าลด X แล้ว Y เพิ่ม กลับกัน ตวั อย่างท่ี 21 ฟงั กช์ ัน f ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้มคี ุณสมบตั วิ า่ f(x) = f(-x) (คณิต ก/2540) 1. f(x) = x2 - 2x + 4 2. f(x) = x - 4 3. f(x) = x3 - 1 4. f(x) = x2 + 2 วิธีคดิ พจิ ารณา f(x) = f(-x) แสดงว่า x เป็น +, - แลว้ ค่า f(x) เท่ากนั ดทู ่ี x2 โดยไม่มี x เพราะ x12 = x 2 เม่อื x1 = -x2 2 ตอบ ขอ้ 4 f(x) = x2 +2 สว่ น ขอ้ 1 f(-x) = (-x)2 +2 = x2 +2 f(x) = x2 - 2x + 4 ทำให้แตกต่างกัน เพราะหาก x เปน็ +, -

93 ข้อ 2 f(x) = x - 4 , x ทำใหแ้ ตกต่างกนั ขอ้ 3 f(x) = x3 -1 , x3 ทำให้แตกตา่ งกัน เช่น (-2)3 = -8 , 23 = 8 ช. ฟังก์ชันเอกลักษณ์ คือ ฟงั กช์ นั ของ x = x หรือ y = x เช่น Ι (1) = 1 , Ι (5) = 5 ใช้ Ι แทน f ตัวอย่างท่ี 22 กำหนดให้ f(x) = x เม่ือ x  (-1,1) จงตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม หรอื ลดบน 1- x2 ชว่ ง (-1, 1) วิธคี ิด วิธีที่ 1 ลองแทนค่า x เพิ่มขน้ึ แลว้ ดูว่า y เพมิ่ หรอื ลด x  (-1,1) ให้ x = - 1 ,0, 1 2 2 ( )x= - 1 , y= - 1 = - 1 = - 1 = - 1 × 4 = - 2 2 1- 2 2 2 2 3 3 2 1 3 1 1 - 4 - 2 4 x = 0 , y = 0 = 0 1- 02 1 1 11 1 4 2 2 2 2 2 2 3 3 ( )x= , y= 1 2 = 1 = 3 = × = 1- 2 1 - 4 4 แสดงว่า x เพิ่มจาก - 1 → 0 → 1 2 2 2 2 y เพ่มิ จาก - 3 → 0 → 3 ดังนัน้ เปน็ ฟงั กช์ ันเพิม่ ตอบ วิธที ่ี 2 ลองกำหนดให้ x2 > x1 แทนค่า f(x) หรอื y ดู หากได้ y2 > y1 หรอื y2 - y1 > 0 ก็เปน็ ฟังก์ชนั เพ่ิม แต่ถ้า y2 < y1 หรือ y2 - y1 < 0 กเ็ ปน็ ฟังก์ชันลด f( x1) = 1 x1 - x12

94 f (x2) = 1 x2 - x22 f(x2) - f(x1) = 1 x2 - 1 x1 - x22 - x12 = x2(1 - x12) - x1(1 - x22) (1 - x22)(1 - x12) = x2 - x2x12 - x1 + x1x22) (1 - x22)(1 - x12) = (x2 - x1) + ( x1x 2 - x 2x12) (1- 2 x22)(1 - x12) = 1  (x2 - x1) - x1x2(x2 - x1) (1 - x22)(1 - x12) = (x2 - x1)2(1 - x1x2) (1 - x22)(1 - x12) พจิ ารณา หาก x2 > x1 แล้ว x2 - x1 > 0 หาก x  (-1,1) แสดงวา่ x เปน็ เศษส่วน -, 0, + ดังนั้น x คูณกนั ยอ่ มได้คา่ เศษส่วนน้อยลง < 1 หรือ x1x2 < 1 หรือ 1 - x1x2 > 0 และ 1 - x22 > 0 หรอื 1 - x12 > 0 ดังนัน้ f(x2) - f(x1) = (x2 - x1)2(1 - x1x2) (1 - x22)(1 - x12) = ( +)(+) = + ( +)(+) ตอบ แสดงวา่ เป็นฟงั กช์ นั เพมิ่ บนช่วง x (-1, 1)

95 7. พชี คณิตของฟงั ก์ชนั ให้ f, g เปน็ ฟังก์ชนั ซง่ึ มีโดเมนและเรนจ์ เป็นสับเซตของจำนวนจรงิ หรือ ก. (f + g)(x) = f(x) + g(x) เมอื่ x Df  Dg   ข. (f - g)(x) = f(x) - g(x) เม่อื x Df  Dg   ค. (f∙g)(x) = f(x) × g(x) เมอื่ x Df  Dg   ( )ง.f (x) = f(x) เม่ือ x  Df  Dg   และ g(x)  0 g g(x) ตัวอย่างที่ 23 ให้ f(x) = 1 + 1 และ g(x) = 1- x2 x 1- x x(1- x) ให้ D แทน โดเมน ของฟงั ก์ชนั R แทน เซต ของจำนวนจริง ขอ้ ใดตอ่ ไปนผ้ี ดิ (คณิต 2/2545) 1. Df+g = R - {0,1} 2. Dfg = R - {0,1} 4. Dg = R - {-1, 0,1} 3. Df = R - {-1,0,1} g f วิธคี ิด หาโดเมน ของทั้ง 2 ฟังก์ชัน f, g f(x) = 1 + 1 1 x -x y = (1 - x) +x = 1 - x + x = 1 x) x(1 - x) x(1 - x) x(1 - y จะเป็นจำนวนจริง เมือ่ x(1- x)  0 x  0 หรือ 1- x  0 x  0 หรอื x  1  Df = R - {0,1} g(x) = 1- x2 = (1- x)(1+ x) เมือ่ 1-x 0 x(1- x) x(1- x) y = 1 + x หรอื x  1 (รอตอบ) x y จะเป็นจำนวนจริงเม่ือ x  0 (รอตอบ) สว่ น 1 + x ท่ีเปน็ เศษ x R

96  Dg = R - {0,1} ข้อ 1 (f + g)(x) = 1 + (1 + x)  (1 - x) = 1- x2 เมื่อ Df  Dg = R - {0,1} x(1 - x) x (1 - x) x(1 - x) ขอ้ 2 x  0 และ x  1  Df+g = R - {0,1} ถกู ขอ้ 3 (fg)(x) = 1 x)  1 + x = 1+ x เมื่อ Df  Dg = R - {0,1} เศษ x(1 - x x2(1 - x) ส่วน สว่ น  0 x  0 x  1  Dfg = R - {0,1} ถูก ( )f (x) = 1 x) ÷ 1+ x = 1 x)  (1 x x) = x(1 - x x) g x(1 - x x(1 - + x)(1 + เมอ่ื Df  Dg = R - {0,1} x  0, x  -1, x  1  Df = R - {-1, 0,1} ถูก g ( )ข้อ 4 g (x) = (1 + x) ÷ 1 x) = (1 + x)  x(1 - x) = x(1 + x)(1 - x) f x x(1 - x 1 x เมื่อ Df  Dg = R - {0,1} x  0 แต่ x  1 ด้วย  Dg = R - {0,1} ผิด ตอบ ขอ้ 4. f 8. ฟังก์ชันประกอบ ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ทมี่ ีโดเมน และเรนจ์ เปน็ สับเซตของจำนวนจริง และ Rf Dg   สญั ลักษณ์ ฟังก์ชนั ประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย g f โดย g f(x) = g(f(x)) สำหรบั ทุก x ซ่ึง f(x)  Dg หรือ y ของ f เป็น x ของ g gof x fy g z สรุป y เปน็ ตัวเชื่อมระหวา่ ง f กับ g โดยที่ y เป็น เรนจ์ ของ f และเปน็ โดเมนของ z z = gof(x) และ z = g(y) = g(f(x)) ดงั น้นั gof(x) = g(f(x))