Binder4

Application. Pour tout n  , on poseUnn1 et Vn  Un  1 p2 n p1 1. Montrer que Un  est croissante et que  Vn  est décroissante. 2. Montrer que pour tout n  , Un  Vn . 3. En déduire que Un  et  Vn  sont convergentes vers une même limite L. 4. a. Montrer que pour tout n  , Un  L  Vn . b. Prouver U11 approche L à 0,1 prés. U11  1,558 ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème 2  Toute suite croissante et non majorée tend vers .........................................................  Toute suite décroissante et non minorée tend vers.................................................... Application. On se demande si en empilant des cubes d'arêtes 1m , 1 m, 1 m , 1 m ,etc, 2 3 4 on peut former une pile plus grande que le Djebel Chambi (1 544 m ). Soit hn la hauteur de la pile obtenue avec les n premiers cubes. 1. Le tableau ci-dessous peut-il suggérer une réponse au problème ? h1000 h2000 h5000 h10000 h15000 h20000 h30000 h40000 h60000 h70000 7.4855 8.1784 9.0946 9.7877 10.193 10.481 10.886 11.174 11.579 11.734 2. a. Montrer que hn  est croissante. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 b. Montrer que pour tout n  , h2n  hn  21. c. hn  est-elle majorée? Répondrez alors au problème posé. d. Quelle est la limite de la suite hn  . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème 1 Soit n0   et I = { n   / n  n0 }. Soient  Un nI et Vn nI deux suites convergentes respectivement vers  et ’ . Si Un  Vn , à partir d’un certain rang p I, alors ........................................................... Remarque Un  2  0 et n2 Soit  Un nI une telle que : a  Un  b à partir d’un certain rang p I a,b   lim Un  ......... Si Un nI converge vers un réel alors n ............................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 Activité 2 Soit n0   et I = { n   / n  n0 }. Soient    Un et  Wn nI trois suites telles que , Vn nI nI Vn  Un  Wn , à partir d’un certain rang p I. Montrer que si lim Vn  lim Wn   , alors lim Un  Vn 0. En déduire que lim Un  . n n n n ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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Application 1. Pour tout n, on pose : Un  n 2  n2  cosn 1. Montrer que pour tout n  , n  Un  n . 3  n2 1 n2 2. En déduire que (Un) est convergente et préciser sa limite. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. ( 1)n sin(  n2 ) 3 . Pour tout n  , on pose : Un  1 1 n 1. Montrer que pour tout n  , Un 1  1 n . 1 2. En déduire lim Un . n ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 3. par : Un n1 . Soit p1 n  (Un) la suite définie sur   p 1. a. Montrer que pour tout n  , et p  {1,2,,n} , n 1 n  1 p  1.  n n1 b. En déduire que pour tout n   , n n n  Un  n n 1.   2. Déterminer alors lim Un. n ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. Cas d'une limite infinie. Théorème Soit n0   et I = { n   / n  n0 }. Soient  Un nI et  Vn nI deux suites telles que Un  Vn , à partir d’un certain rang p I.  Si lim Un   alors................................................................... n  Si lim Vn   alors................................................................... n

Application 1. Pour tout n  , on pose : Un  n  cos( n). 1 n 1. Montrer que pour tout n, n 1  Un  n  1. n 1 n 1 2. En déduire lim Un. n ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Soit (Un) la suite définie sur  par U0  2 et pour tout n , Un1  Un 1 Un . 1. Montrer que pour tout n  , Un  2 . 2. a. Montrer que pour tout n  , Un1  2 Un. b. En déduire que pour tout n  , Un  2n1. Déterminer alors lim Un. n ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. Représentation des premiers termes d’une suite de la forme Un+1 = f(Un). Remarque Soit (Un )nI une suite de la forme Un1  f(Un ) où f est une fonction et C sa courbe représentative. On sait que si (Un )nI est convergente vers un réel , alors f() = . Donc est ............................................... .................................................................. .................................................................. Activité 1 On a représenté ci-dessous la courbe  d’une fonction f définie et continue sur I, ainsi que la droite D d’équation y = x. Soit (Un )n la suite par U0 = a et pour tout n   Un1  f(Un ). Dans chacun des cas suivants représenter les termes U0,U1,U2,U3 et U4 sur l'axe des abscisses. Que peut-on conjecturer quand à la monotonie et la convergence de la suite (Un )n ? 1. I   et a  5.  Conjecture ................................................... ................................................... ...................................................

2. I   et a  0.  Conjecture 3. I  0, et a  1. ...................................................  ................................................... ................................................... Conjecture ................................................... ................................................... ................................................... Activité 2 Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 On a représenté ci-contre la courbe  d’une fonction f continue et strictement croissante sur [0, 1], ainsi que la droite D d’équation y = x. Soit (Un ) la suite définie par U0  0,8 et pour tout n  , Un1  f 1(Un ). 1. Représenter les termes U0,U1,U2,U3 et U4 sur 1 l'axe des abscisses. Que peut-on conjecturer ? 2. Montrer que pour tout n  , 0  Un  1 . 3. Montrer que (Un) est une suite monotone. 4. En déduire que (Un) est convergente et préciser sa limite. 1

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. IX. Suites adjacentes. Définition. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 On dit que les deux suites  Un nn0 et  Vn nn0 sont adjacentes si elles vérifient les conditions suivantes : 1 Pour tout entier n  n0, Un  Vn. 2 La suite Un  est croissante et la suite Vn  est décroissante. 3 lim Un  Vn   0. n Exemple. Pour tout n  , on pose : Un  2 et Vn  n1. Montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes. n .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Activité Montrer que si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers une même limite. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème Si deux suites sont adjacentes alors elles ................................................................................ Application 1. Soient (Un) et (Vn) deux suites définies par : U0  12, V0  1 et pour tout n  , Un1  Un  2Vn et Vn1  Un  3Vn . 3 4 1. Montrer que pour tout n  , Un  Vn . 2. Montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes et qu’elles convergent vers la même limite . 3. Pour tout n  , on pose : Wn  3Un  8Vn. a. Montrer que (Wn) est constante. b. En déduire la valeur de . ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. On considère les suites (Un) et (Vn) définies sur  par :  n 1  n1  n 1   Unp1 p   2 et Vn   p1 p   2 n. 1. Prouver que la suite (Vn) est décroissante et que la suite (Un) est croissante. 2. Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes et déduire qu’elles convergent vers une même limite . 3. a. Montrer que pour tout n  , |   Un | 1. n b. Déterminer un entier n0 pour que Un0 constitue une valeur approchée de  à 10-2 prés. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

CHAPITRE 3 Dérivabilté

Plan du chapitre I - Rappels 1. Nombre dérivé 2. Approximation affine.. 3. Continuité à droite et continuité à gauche.. 4. Interprétation graphique.. 5. Dérivabilité sur un intervalle. 6. Dérivée de quelques fonctions usuelles. 7. Opérations sur les fonctions dérivables II - Dérivées successives III - Dérivée d'une fonction composée IV - Dérivée d'une fonction réciproque V - Dérivée de la fonction f r (r ) 1. Dérivée de la fonction x  xr (r ).. 2. Dérivée de la fonction fr (r ).. VI - Théorème des accroissements finis 1. Théorème de Rolle.. 2. Théorème des accroissements finis. 3. Théorème des inégalités accroissements finis. VII - Variations d'une fonction VIII - Extrema IX - Point d'inflexion

I - Rappels 1. Nombre dérivé.. Définition Soit f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. La fonction f est dérivable en x0 si ……………………………………………………............... ………………………………………………………………………………………………………........ Exemple Soit f la fonction définie sur , par : f(x)  cos5x  cosx si x  0.  x f(0)  0 1. Montrer que f est continue en 0. 2. Etudier la dérivabilité de f en 0. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….  Remarque : Une fonction dérivable en x0 est continue en x0. La réciproque est ……… En effet : ........................................................................................................................ 2. Approximation affine.. Définition Soit f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. Si f est dérivable en x0 alors alors le reel f x0   f ' x0   h est une approximation affine du réel ……………………………………………………...........................................

Exemple 1. Donner une approximation affine du réel sin(0,00001). 2. Donner une approximation affine du réel 1 . 1,00001 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. 3. Dérivabilté à droite et dérivabilté à gauche.. Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si ……………………………............... ..............………………….................................................................................................... Application.   sin x2 si x  0 f(x)  Soit f la fonction définie sur  par :  x f(x)  x 1 x2 si x  0 Etudier la dérivabilité de f en 0. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

4. Interprétation graphique.. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 Si f est dérivable en x0, alors la courbe de f admet ........................................................ .................................................................... .................................................................... ................................................................... ................................................................... .................................................................... Si f est dérivable à droite en x0, alors la courbe de f admet ................................ ................................................................... .................................................................... .................................................................... ................................................................... ................................................................... .................................................................... Si f est dérivable à gauche en x0, alors la courbe de f admet ................................ ................................................................... .................................................................... .................................................................... ................................................................... ................................................................... ....................................................................

Si lim f(x)  f(x0)  ............................. x  x0 x  x 0 alors la courbe de f admet ...................... .................................................................... ................................................................... ................................................................... .................................................................... Si lim f(x)  f(x0 )  ............................. xx0 x  x0 alors la courbe de f admet ...................... .................................................................... ................................................................... ................................................................... .................................................................... Si lim f(x)  f(x0)  ............................. x  x0 x  x 0 alors la courbe de f admet ...................... .................................................................... ................................................................... Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ................................................................... .................................................................... Si lim f(x)  f(x0)  ................................ x  x0 x  x 0 alors la courbe de f admet ................... .................................................................... ................................................................... ................................................................... ....................................................................

Application 1.  1 (x  1)2  1 si x  1 f(x)  x 1 Soit f la fonction définie sur , par :  f(x)  1 cos((x  1)2 ) si x  1 Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 1 et interpréter graphiquement les résultats obtenus. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Soit f la fonction définie sur 2,2, par : f x  x 4  x2. 1. Etudier la parité de f. 2. Etudier la dérivabilité de f à gauche en 2 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2. a. Dresser le tableau de variation de f. b. Donner l’allure de la courbe de f. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………… …………………………………………………… ….……………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. 5. Dérivabilité sur un intervalle. Définitions  Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I si elle …………………………...........  Une fonction est dérivable sur un intervalle a,b si elle ……………………………............  Une fonction est dérivable sur un intervalle a,bsi elle ………………………………..........  Une fonction est dérivable sur un intervalle a,bsi elle ………………………………............ 6. Dérivée de quelques fonctions usuelles. Fonction f Intervalle de dérivabilité de f Fonction dérivée f' x  xn (n   \\ {1}) x x  xn (n   ) x x x x x  sin(ax  b) (a,b  ) x x  cos(ax  b) (a,b  ) x x  tan(ax  b) (a,b  ) x

7. Opérations sur les fonctions dérivables Activité : Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Compléter et retenir le tableau suivant : Fonction Intervalle de dérivabilité Fonction dérivée f g f (  ) f g 1 g f g fn (n   \\ {1}) 1 f n(n   ) fn  f Conséquence.  Toute fonction polynôme est dérivable sur……………………….................................  Toute fonction rationnelle est dérivable sur………………………................................. Application 1. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021  x4  3x3  4  2 si x  0 f(x)  x Soit f la fonction définie sur , par :  f(x)  x2 x4  sin2 ( 4 x ) si x  0 Montrer que f est dérivable sur  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Calculer f’(x) dans chacun des cas suivants :    1. f(x)  x2  1 3 x2  2x 2  f '(x)  ……………………………………………………....................... 2. f(x)  1 x2 5  f '(x)  ……………………………………………………....................................    x  3  3. f(x)  cos2 2x sinx  f '(x)  ……………………………………………………....................... 4. f(x)  x 1 x  f '(x)  ……………………………………………………........................................ 1 x    5. f(x)  x2  1 3 x2  2x 2  f '(x)  ……………………………………………………....................... 6. f(x)  1 tan x 2  f '(x)  ……………………………………………………..................................  1 tan x  Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021

II - Dérivées successives Définition Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La dérivée f' de f est appelée ..................................................................................................  Si la fonction f' est dérivable sur I, sa fonction dérivée est appelée .................................. ...........................................................................................................................................................   . . .  par itération, si la fonction  f(n1) n  2 est dérivable sur I, sa fonction dérivée est appelée ............................................................................................................................... La dérivée nième de f est aussi appelée.....................................................................................   Remarque : Pour tout n  , f(n) '  ........................ Application 1. Soit f la fonction définie sur a, par : f(x)  x 1 a .  1. Montrer que pour tout x  a,  et n   : f n(x)  1n n! . Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021  x  an1 2. Soit g la fonction définie sur 1, par : g(x)  x 1 1. 2 a. Montrer que pour tout x  1,, g(x)  1 x 1 1  x 1 1. 2    b. Déterminer la dérivée nième de g. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Soit f la fonction définie sur  par : f(x)  sin(x). Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 Montrer que pour tout x et n   : f n(x )  sin  x  n  .  2 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

III - Dérivée d'une fonction composée Activité 1 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x un élément de I. 0 Soit g une fonction dérivable sur un intervalle ouvert J contenant f  x  . 0  g(t)  g( f ( x 0 )) si t  f(x0 )  t  f(x0 ) Soit h : t   g'(f(x0 )) si t  f(x0 ) 1. Montrer que h est continue en f  x  . 0 2. Montrer que gof est dérivable en x et déterminer gof '(x0 ). 0 ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. Soit g est une fonction définie sur un intervalle ouvert J tel que f(x0 )  J . Si f est dérivable en x0 ............................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

Corollaire (sur un intervalle) V  Si f est une fonction continue sur un intervalle I ................................................. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................  Si f est une fonction continue sur un intervalle I ................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. Application 1. Calculer f’(x) dans chacun des cas suivants : a. f(x)  sin(x3); b. f(x)  cos(sin(x)); c. f(x)  tan( x ). ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Soit f la fonction définie sur , par : f(x)  tan  2 x x2 . Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021  1   Montrer que f est dérivable sur  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3. 2 sin   sin(x)   1  3  Calculer les limites : lim .   x 6 x  6 ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

IV - Dérivée d'une fonction réciproque Activité 1 Soit f une fonction strictement monotone sur intervalle ouvert I, x un élément de I 0  tel que fx  y . 0 0  Montrer que si f est dérivable en x et f ' x  0 alors f 1 est dérivable en y 00 0    et déterminer f 1 ' y 0 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème Soit f une fonction strictement monotone sur intervalle ouvert I, x un élément de I tel 0    que f et x  y . si f est dérivable en x f' x  0 alors la fonction f 1 est..................... 0 0 0 0 ...................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................... Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ....................................................................................................................................................... Corollaire (sur un intervalle) V .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................... ..…....…...…....…....…...…....…...…....…....…...…....…...…....…....…...…....…...…....…....…...…....…...…....…....…...…....…...…....…....…...…....…...…....…....…...…....…...…....…....…...….....

Application 1. Cf  Déterminer f 1 '(2) . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Soit f la fonction définie sur    ,   par : f(x)  tanx.  2 2  1. Montrer que f est une bijection de    ,   sur  .  2 2  2. a. Montrer que f 1 est dérivable sur  .    b. Déterminer f 1 '(1) et f 1 '( 3).  3. Déterminer f 1 '(x) pour tout x  . Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3. Soit f la fonction définie sur 0,1 par : f(x)  cosx. 1. Montrer que f est une bijection de 0,1 sur 1,1.  2. Montrer que f 1 est dérivable sur 1,1 et déterminer f 1 '(x) pour tout x  1,1. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Application 4. Soit f la fonction définie sur 0,   par : f(x)  sin  x . 2  1. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2. a. Montrer que f est une bijection de 0,   sur 0,1. 2   b. Montrer que f 1 est dérivable sur 0,1 et déterminer f 1 '(x) pour tout x  0,1. c. Prouver que f 1 est dérivable à droite en 0. d. Prouver que f 1 n'est pas dérivable à gauche en 1. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. V - Dérivée de la fonction f r (r ) 1. Dérivée de la fonction x  xr (r ).. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 Activité 1 1 1. Soit n   \\ {1}. Montrer que la fonction g : x  n x  xn est dérvivable sur 0, et pour tout x  0,, g'x  1 x 1 1. n n 2. Soit r tel que r  p où p   et q   \\ {1}. Montrer que la fonction h : x  xr p q  xq est dérvivable sur 0, et pour tout x  0,, h ' x  r xr1. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème Soit r   , alors : La fonction f : x  xr est dérvivable .................................................................................. .......................................................................................................................................... Application 1. Soit f la fonction définie sur 0,  par : f(x)  2  1. x5 x x5 Montrer que f est dérivable sur 0, et calculer f '(x) pour tour x  0,. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Application 2. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 Soit f la fonction définie sur 0, par : f(x)  x 3 x.  On désigne par  la courbe de f dans un repère orthonormé (0,i, j). 1. a. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. b. Montrer que f est dérivable sur 0, et calculer f '(x) pour tout x   0,. c. Dresser le tableau de variation. 2. a. Montrer que f est une bijection de 0, sur 0, . b. Expliciter f 1(x) pour tour x 0,. c. Tracer la courbe  et la courbe 'de f-1 dans le même repère. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………… Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 …………………………………… …………………………………. …………………………………… …………………………………… …………………………………. …………………………………… …………………………………… …………………………………. …………………………………… …………………………………… …………………………………. 2. Dérivée de la fonction fr (r ).. Activité Soit r   . Soit f une fonction dérivable et strictement positif sur un intervalle I. Montrer que la fonction g  f r est dérivable sur I et que pour tout x  I, g' x  r  f '(x)  f r1(x). ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème Soit r   . Soit f une fonction dérivable et strictement positif sur un intervalle I. Alors la fonction g  f r est dérivable ............................................................................. .......................................................................................................................................

Application 1. Calculer f '(x) dans chacun des suivants:  2 5 sin(x); c. f(x)  3 3 x 2 a. f(x)  1 x2 5 ; b. f(x)   x5. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. 23 lim 3 x  2 lim cos5 (x) 1; c. lim x  17 Etudier les limites suivantes : a. x8 x  8 ; b. x0 x x1 x  1 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Application 3. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 1  Soit f la fonction définie sur 1, par : f(x)  1 x3 3 .  On désigne par  la courbe de f dans un repère orthonormé (o,i, j) . 1. a. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. b. Montrer que f est dérivable sur 1, et calculer f '(x) pour tout x  1,. c. Dresser le tableau de variation de f. d. Préciser la branche infinie de la courbe  au voisinage de . 2. a. Montrer que f est une bijection de 1, sur 0, . b. Expliciter f 1(x) pour tout x 0,. c. Tracer la courbe  et la courbe 'de f-1 dans le même repère. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. VI - Théorème des accroissements finis 1. Théorème de Rolle.. 2. Peut-on tracer la courbe d'une fonction f Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ Activité 1 telle que f(a) = f(b) et qui n'admet aucune 1.Tracer la courbe d'une fonction f continue tangente parallèle à l'axe des abscisses. sur [a, b] telle que f(a) = f(b) et qui n'admet aucune tangente parallèle à l'axe des .................................................................................... abscisses.

Théorème ( de Rolle) Soit a,b   tq b  a. Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f(a) = f(b) alors il existe ....................................................................................................... .....................................................................................................................................................  Démonstration collective ( Cahier de recherche) Interprétation graphique du théorème de Rolle. .................................................................................. A B …………………………………………………….……… …………………………………………........................... .................................................................................. …………………………………………………………… ………………………………………............................ Application Soit f la fonction définie sur    ,  , par : f(x)  (tan(x)  1)7 x3 .  2 2 1 x2 Montrer que l'équation f '(x)  0 admet au moins une solution c  0 ,  . 4 Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

2. Théorème des accroissements finis. Activité 1 Soit a,b   tq b  a. Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Pour tout x a,b, on pose g(x)  f(x)   f (b)  f(a)   x  a.  b  a  1. Déterminer g(a) et g(b). 2. Déterminer g'(x) pour tout x  a , b. 3. En déduire qu'il existe au moins c  a , b tel que f(b)  f(a)  g'(c). b a ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème ( des accroissements finis) Soit a,b   tq b  a. Si f est une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe................... ....................................................................................................................................................

Interprétation graphique du théorème des accroissements finis ................................................................... B ………………………………………………… A ………………………………………………… ………........................................................ ab ……………………………………………….. ……………………………………………… ………………………………………………… Application 1 Soit f une fonction définie par : f(x)  x2  3 x  1 . 1. Montrer que l'équation f '(x)  4 , admet au moins une solution c dans l'intervalle  1,2 . 2. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2 On suppose qu'il existe une seule fonction continue sur 0, et dérivable sur 0, telle que pour tout x 0, : f '(x)  1 et f(0) = 0. 1 x2 1. Montrer que pour tout x  0 il existe cx  0, x tel que : f(x)  1 . x 1  c 2 x 2. En déduire que f est dérivable à droite en 0 et que fd '(0)  1. …………………………………………………………………………………………………………….