Binder4

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Corollaire V Soit f une fonction dérivable sur un inervalle I. S'il existe un réel K tel que pour tout x élément de I, f 'x  K, alors pour tous a et b éléments de I, f b  f a  K b  a . Application 1 Montrer que pour tous réels a et b tels que 0ab  : 2 b a  tan b  tan a   b a . cos2 cos2 b a ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. 1. Montrer que pour tous réels a et b, cos(b)  cos(a)  b  a . 2. Soit (Un )n la suite définie par : Un  cos( n 1)  cos( n). Déterminer lim Un. n ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 32 Soit f la fonction définie sur  par : f(x)  3 x. 1. Montrer que pour tout x 1000,1001, 1  f '(x)  3 1 . . 3  10,12  102 2. En déduire que : 10,0032  3 1001  10,0033. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 42 Soit f la fonction définie sur 0,   , par : f(x)  tan(x). 4  1. Montrer que pour tout t  0,   , 1 f '(t)  2. 4  2. En déduire que pour tout x  0,   , x  tan(x)  2x . 4 

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 52 Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle 0,1 et telle que f 0,1  0,1. On suppose que pour tout x élément de 0,1 , f '(x)  1 . 2 1. Montrer que l’équation f(x)  x, admet dans 0,1 , une unique solution  . 2. Soit (Un )n la suite définie par U0  1 et pour tout n  ,Un1  f(Un ) . 2 a. Montrer que pour tout n   : 0  Un  1. b. Montrer que pour tout n : Un1    1 Un  . 2 c. En déduire que pour tout n : Un    1 n1 . Trouver alors lim Un.  2  n ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. VII - Variations d'une fonction Théorème 1 (Rappel) Soit f une fonction dérivable sur intervalle I.  Si f '(x)  0 pour tout x I,alors f est …………………………………………………….....  Si f '(x)  0 pour tout x I,alors f est …………………………………………………….....  Si f '(x)  0 pour tout x I,alors f est …………………………………………………….....  Si f '(x)  0 pour tout x I, alors f est …………………………………………………….....  Si f '(x)  0 pour tout x I,alors f est ……………………………………………………….....

Théorème 2 Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.  Si f '(x)  0 pour tout x I, et f ' n'est pas identiquement nulle sur aucun intervalle ouvert inclus dans I, alors f est strictement croissante sur I.  Si f '(x)  0 pour tout x I, et f ' n'est pas identiquement nulle sur aucun intervalle ouvert inclus dans I, alors f est strictement décroissante sur I. Application. Soit f la fonction définie sur , par : f(x)  sin(x)  x. Montrer que f est strictement croissante sur . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Activité Soit a,b   tq b  a. Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Montrer que si f '(x)  0 pour tout x  a,b,alors f est croissante sur [a, b] . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème 3 Soit a,b   tq b  a. Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.  Si f '(x)  0 pour tout x  a,b, alors f est …………………………………………………  Si f '(x)  0 pour tout x  a,b, alors f est…………………………………………………  Si f '(x)  0 pour tout x  a,b, alors f est …………………………………………………  Si f '(x)  0 pour tout x  a,b, alors f est …………………………………………………  Si f '(x)  0 pour tout x  a,b,alors f est ………………………………………………… Application. On suppose qu'il existe une seule fonction dérivable sur  , telle que pour tout x   : f '(x)  1 1 , f 0   0 et lim f x    .  x2 2 x g(x)  f(x)  f ( x1) si x  0   Soit g la fonction définie sur 0,  , par : g(0)  2 1. Montrer que g est continue à droite en 0. 2.a. Montrer que g est dérivable sur 0, et calculer g'(x) pour tout x  0 . Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 b. En déduire que pour tout x  0, , f(x)  f ( 1 )   . x 2 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. VIII - Extrema Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble D et x un élément de D. 0  On dit que f admet un minimum relatif (ou local) en x s'il existe un intervalle ouvert I 0 contenant x et inclus dans D tel que pour tout x un élément de I ..................................... 0  On dit que f admet un maximum relatif (ou local) en x s'il existe un intervalle ouvert I 0 contenant x et inclus dans D tel que pour tout x un élément de I .................................... 0  Vocabulaire : un minimum ou un maximum est dit ...................................................

Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x un élément de I. 0  Si f admet un extremum en x , alors ............................................................................. 0  Si f ' s'annule en x en changeant, alors .......................................................................... 0 .................................................................................................................................................... Application 1. L Les deux extrémités d'une règle de longueur L J se déplacent sur deux axes d'un OI   repère orthonormé (O,OI,OJ) . Pour quelle position de la règle le triangle ainsi formé est-il d'aire maximale? ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Application 2. X Y Dans la figure ci-contre AB  8 et AI  2. N Les demi-droites AX et BX' sont perpendiculaires à la droite (AB). M est un point variable sur AX et N est un point variable sur BX' tel que le triangle MIN est rectangle en I. Déterminer la position du M point M pour que l'aire du triangle MIN soit minimale. ………………………………………………………………………A……………I ………………………. B Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

IX - Point d'inflexion Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 Définition Soit C la courbe d'une fonction f et A un point de C . On dit que le point A est un point d'inflexion de C si ……………………………………………...................... Activité Soit f une fonction deux fois dérivale sur un intervalle de la forme I  x0  r,x0  r   On désigne par  la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ) . 1. Ecrire une équation de la tangente T à  au point d'abscisse x0. 2. Soit g la fonction définie sur I par : gx  f x  f '(x0)x  x0   f(x0) . a. Justifier que g est deux fois dérivale sur I. b. On suppose que f\" s'annule en x0 en chageant de signe . Etudier le sens de variation de la fonction g'. c. En déduire que le point d'abscisse x0 est un point d'inflexion de  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Application 2. On a représenté ci-dessous la courbe  de la fonction f : x  cos(x)  sin(x). Il semble que  admet des points d'inflexion, déterminer leurs coordonnées. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………................................. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………................................. Application 3. Soit f la fonction définie sur  par : f  x   1 x . 1 x2 1. Donner une équation de la tangente T à la courbe  de f au point M0 d'abscisse 1. 2. Etudier la position relative de T et  . Chapitre 3 : Analyse : Dérivabilité_ Kais Nsib_2020-2021 3. Que peut-on conclure ? ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………................................. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………................................. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………................................. …………………………………………………………………………………………………………….

CHAPITRE 1 Nombres complexes

Plan du chapitre I - Rappels - Colinéarité et orthogonalité 1. Définition.. 2. Représentation graphique d'un nombre complexe.. 3. Colinéarité et orthogonalité... 4. Conjugué d'un nombre complexe.. 5. Module d'un nombre complexe.. 6. Argument d'un nombre complexe non nul.. 7. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul.. 8. Calcul algébrique du module et de l'argument. 9. Opérations sur les arguments.. 10. Formule de Moivre... II - Ecriture exponentielle d’un nombre complexe non nul III - Nombres complexes et géométrie 1. Angles orientés et nombres complexes.. 2. Angles orientés et transformations.... IV - Racines nièmes d'un nombre complexe V - Equations à coefficients complexes 1. Equations du second degré.. 2. Exemples d'équations de degré supérieur ou égal à 3..

I - Rappels - Colinéarité et orthogonalité 1. Définition.. ha. z1  i7Activité 1 Donner l’écriture cartésienne de chacun des nombres complexes suivants : b. z2  1 2i2 1 i c. z3  3  2i1 i3 d. z4  1 i 2i ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème et définition : Il existe un ensemble, noté , appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :   contient.....................  Il existe dans  un élément noté ......... tel que ................  L’ensemble  est muni d’une addition et d’une multiplication qui vérifient les mêmes ............................................................................................................................. .......  Tout élément z de  s'écrit de manière unique sous la forme................................... ....................................................................................................................................

 Vocabulaires et notations : Soit z  a  ib un nombre complexe où a et b sont des réels.  L'écriture z  a  ib est appelée ....................................................................................  a est la partie ..........................................et notée..........................................................  b est la partie ..........................................et notée..........................................................  Lorsque a  0 , on dit que z est.......................................................................................  Lorsque b  0 , on dit que z est....................................................................................... Conséquence.. .......................................................... .......................................................... Soient z et z' deux nombres complexes. .......................................................... ................................................ .......................................  z  z'   ....................................... Activité 2 Déterminer tous les nombres complexes z tels que z2  1  i Imz. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

2. Représentation graphique d'un nombre complexe..    Dans toute la suite le plan est rapporté à un repère orthonormé O, OI ,OJ .  Affixe d’un point, affixe d’un vecteur T A tout nombre complexe z  a  ib où a et b sont des réels on associe l'unique point M(a, b) du plan P, appelé ..............................................et noté........................... o A tout point N, du plan P, on associe l'unique nombre complexe z    i appelé ....................................................et noté............................................................   Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB . On appelle affixe du vecteur AB et on note .............................................le nombre complexe.......................................   Mz    z  a  ib    zN    i  Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021  Propriétés..  Soient A et B deux points, u et v deux vecteurs et  et  deux réels, alors :  A et B sont confondus si et seulement si .......................................................................  A  OI si et seulement si ............................................................................................  A  OJ si et seulement si ...........................................................................................    aff AB  ......................................................................................................................     aff u  v  ...............................................................................................................       aff u  aff v si et seulement si.................................................................................

Application 1. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 On donne les points A,B et C d'affixes respectives 1 i,  2  i et 1 3i .     1. Donner l'affixe de chacun des vecteurs AB, AC et -2AB  3AC. 2. a. Prouver que les points A,B et C ne sont pas alignés. b. Déterminer l'affixe du point D pour que ABCD soit un parallélogramme. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Déterminer et construire les ensembles suivants : 1. E1  {Mz / Réz2   Réz2} 2. E2  {Mz / 1 iz2  } ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. Colinéarité et orthogonalité.. Activité Donner l’écriture cartésienne de chacun des nombres complexes suivants : Soit z,z '   tel que z '  0. On pose z  x  iy et z'  x  iy x,x',y,y'     On désigne par U et V les vecteurs d'affixes repectives z e t z ' . 1. Ecrire sous forme catésienne le nombre complexe z . q z' 2. En déduire que :     aff U a. U et V sont colinéaires si et seulement si     aff V Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021     aff U b. U et V sont orthogonaux si et seulement si  i  aff V ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ Théorème :     Soit U et V deux vecteurs tels que V  0.    Les vecteurs U et V sont colinéaires si et seulement si .....................................................    Les vecteurs U et V sont orthogonaux si et seulement si ................................................. Application 1. On donne les points A et B d'affixes respectives (1 i)17 et (1 i)15 . Prouver que les points O,A et B ne sont pas alignés. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Déterminer les ensembles suivants : 1.E1  {Mz / z  2i i  } 2.E2  {Mz / z  2i i  i} z2 z2 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. Conjugué d'un nombre complexe.. Définition.. Soit z  a  ib un nombre complexe où a et b sont des réels. On appelle conjugué de z et on note .................le nombre complexe défini par ..................................................... Exemple Completer : 2  ..........; 1 2i  .............; 7i  ..............; 3i  5  ....................

Conséquence.. Soit z un nombre complexe.  z  z si et seulement si............................................................................................  z  z si et seulement si ......................................................................................... Propriétés. Soit z et z' deux nombres complexes, n un entier naturel non nul et m un entier relatif.  z  .............; z  z  ....................; z  z  ....................; z  z  .....................................  z  z '  ...........................; z  z'  ........................; zn  ...............................................  Si z  0 alors : 1  .............;  z'  ......................... .; zm  ....................................... z  z  Application 1. a17  a 17 et z '  1 a  a .    Soit a 17 z un nombre complexe. On pose : z  a17  Prouver que z est réel et que z' est imaginaire. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Mettre sous forme cartésienne les nombres complexes suivants : z  2 2 ; z '  2i et z\"  1 i 13  3i 1 i7 2  i2 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 5. Module d'un nombre complexe.. Définition Soit z  a  ib,un nombre complexe où a et b sont des réels. On appelle module de z et on note ....................le réel positif défini par ............................................................ Exemple Completer : 1 2i  ..................; 7i  ..............; i  4  .................... Conséquences.  Soit z un nombre complexe d'image M alors z  ..........................................................  Soit z un nombre complexe alors z  z  .....................................................................  Soit z un nombre complexe alors z  .......... Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021  Soit z un nombre complexe non nul alors 1  ............................................................... z  Si A et B sont deux points d'affixes respectives zA et zB alors AB  ...........................

V z  r  0   M z ........................................  z  z '  r  0  ............................................   Propriétés. Soit z et z' deux nombres complexes, n un entier naturel non nul et m un entier relatif.  z  0 si et seulement si............; z  ..............    ; z  z '  ...............; zn  ...........  Si z  0 alors : 1  .............; z'  ......................... .; zm  .......................................... z z  z  z '  ............................................................................................................................... Application 1..  1 i17  1 i 3 10  ...................................................................................................................... Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021  18 3 i ............................................................................................................................................................ Application 2.  Soient a et b deux nombres complexes non nuls. z 2  .................. Montrer que : a  b  ab . a2 b2 ab ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................

Application 3. Soit z un nombre complexe de module 1. Montrer que : 1. z  12  z  12  4. 2. z  1  i. z  1 z  1 3. Ré  1 z   1 . z  1  1  2 ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 4. Déterminer les ensembles suivants : a. E1  {Mz / iz  2i  z  2  i }; b. E2  {Mz / z  2i  1} 2z  2  4i ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 6. Argument d'un nombre complexe non nul..    Dans toute la suite le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, OI ,OJ . Définition... Soit z un nombre complexe non nul d'image M. On appelle argument de z et on note .................toute mesure ...................................................... ...................................................... Exemple Completer : arg1  .............; arg1  ................; argi  ................; argi  ...............

Conséquences.. Mz  0 Mz Soit z un nombre complexe non nul et  un réel non nul. Mz   arg z  .........................  argz  ........................  Si   0 alors argz  .................. Mz  0  Si   0 alors argz  ................... Mz V Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 argz  2  Mz ........................... ...................................................................... argz  argz '2  .......................... ...................................................................... Résumons: Quand est ce qu'un nombre complexe est réel ou imaginaire ? Soit z un nombre complexe. z   si et seulement si........................................................................................  si et seulement si........................................................................................  si et seulement si........................................................................................ si et seulement si........................................................................................  z  i si et seulement si........................................................................................ si et seulement si........................................................................................  si et seulement si........................................................................................ si et seulement si........................................................................................ 

Application 1. Déterminer et construire les ensembles suivants : 1. E1  {Mz / arg3z  2}  2. E2  {Mz / arg 5z   2} 2  3. E3  {Mz / argz   2} 3 ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 7. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul.. Théorème et définition : v Soit z un nombre complexe non nul d'image M, alors : z  r cos()  isin() ou r est le module de z et  est un argument de z. Cette écriture est appelée .................................................................... Le point M est alors le point d'intersection .................................................................... .................................................................... c si z   et z  r cos()  isin() avec r  0 alors : z  ....... et argz  ..................

Conséquence.. .......................................................... .......................................................... Soient z et z' deux nombres complexes non nuls. .......................................................... ................................................ .......................................  z  z'   ....................................... Exemple Donner l'écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants: 1  ...................................; 1  ......................................; i  ........................................ 3  i  ..........................................................et 3  i  ..................................................... 8. Calcul algébrique du module et de l'argument. Propriétés. Soit z  a  ib un nombre complexe non nul où a et b sont des réels .  ..............................  arg  z   2 si et seulement si  .............................. Application. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 Donner l'écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes: z1  4  4i ; z2   3  3i; z3  2 i 2 et z3   3  i 21. 2 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

9. Opérations sur les arguments.. Propriétés.. Soient z et z' deux nombres complexes non nuls et n un entier relatif.  argz  z '  .......................................................................................................................  arg  1  ....................................................................................................................... z   arg  z  ....................................................................................................................... z '    arg zn  ....................................................................................................................... Application 1.  1 i 12  1 i 3 7  Donner l'écriture trigonométrique du nombres complexe : z  3 i 8 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ Application 2. Montrer que si  est un argument de 2i et  est un argument de 3i alors      2 . 4 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 3. On pose z  1 2 i . 1 2 i 1. Donner l'écriture trigonométrique de z. 2. En déduire le module et un argument du nombre complexe 1 2  i .  3. Prouver que 1 2  i 20  i. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 4. Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que z3  . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

10. Formule de Moivre... Pour tout réel  et pour tout entier n cos()  isin()n  ................................................................................. Cette égalité est appelée formule de Moivre Application. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 1. Exprimer pour tout réel x, sin(3x)en fonction de sin(x) . 2. En déduire que sin(18 ) est une solution dans , de l'équation 8x3  6x  1  0. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. II - Ecriture exponentielle d’un nombre complexe non nul Notation. Pour tout réel , le nombre complexe cos()  isin() est noté ei et on lit << exponentielle i >> Exemple 1. Construire les images des nombres complexes ei 2 , ei, ei2, ei    et ei 2 . 4  3 2. Mettre les nombres complexes précédents sous forme algébrique .

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Propriétés. Pour tout réel  et pour tout entier relatif n     ei2n  .............; ei  .........; arg ei  ..............; ei  ...............; ei  ................  ei  ei'  ...............................................................................................................  1  ....................................................................................................................... ei  ei  ....................................................................................................................... Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ei'   ei n  ................................................................................................................... z

Théorème et définition :  Soit z un nombre complexe non nul d'image M, alors : z  rei , où r est le module de z et  est un argument de z. Cette est écriture est appelée .................. ..................................................................  si z   et z  rei avec r  0,alors : z  .................... et argz  ................................ Application 1. 1. Montrer que  7iei7 2040      2. Donner l'écriture exponentielle de chacun des nombres complexes suivants :     z1  4 2ei  ei 7 1 i 3 1 i3  1 i 3 7 .  ; z2  2 et z3  3 i 5 iei  5  1 i6  i  8  3. Donner l'écriture algébrique de : z  3 1 i 3 12 ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Soit z un nombre complexe différent de 1. 1. Montrer que : 1 z  z2  z13  1 z14 . 1 z 2. En déduire que : cos     cos  2   cos  13   1.  7   7   7  ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

Formules d'Euler. Pour tout réel , cos()  .................... et sin()  .................... . ..... ..... Application 1. Soit z un nombre complexe tel que : z  1 et argz  2 . Montrer que : 1 z2n  2 cos n. zn ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Soit x  , Exprimer sin3(x)en fonction de sin(3x) et de sin(x) . ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

Application 3. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 Soit x  . Linéariser cos5(x) . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 4. Soit  un réel de l'intervalle 0,. Donner l'écriture exponentielle de chacun des nombres complexes suivants : z1  1 ei; z2  1 ei et z3  i  ei. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Q  Soit ,  , ei  ei  ................................................... ................................................... ei  ei  ................................................... ...................................................  Soit a,  ,  , si ................ aei  , si ................ pas d'écriture trigonométrique ni exponentielle si ...............

III - Nombres complexes et géométrie    On rappelle que le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, OI ,OJ . 1. Angles orientés et nombres complexes.. Activité Donner l’écriture cartésienne de chacun des nombres complexes suivants :    Soient u et v deux vecteurs non nuls . A et B sont deux points tels que : u  AB.    ,   argzB  zA 2  1. Soit M le point du plan tel que AB  OM. Montrer que OI AB    2. Montrer que u,v   aff v   arg    2  aff u    ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème :    u , v  arg  ....................... 2  ...................... Soit u et v deux vecteurs non nuls. Alors Corollaire : Soit A, B, C et D quatre points du plan tels que A  B et C  D. Alors AB,CD  ....................... 2    arg  ......................  ZD  ZC  .......................................................................................................... ZB  ZA

Application 1. On donne les points A, B et C d'affixes respectives 2, -1 i 3 et -1 i 3.    1. Donner une mesure de l'angle orienté AB ,CD . 2. Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Déterminer les ensembles suivants : a. E1  {Mz / iz 1   }; b. E1  {Mz / arg iz 1    2}. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 2z 4 2z  4  3 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 3. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe i  ei lorsque  varie dans 0, . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 4. On donne trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c. 1. Montrer que ABC est un triangle rectangle et isocèle en A  ca  i ou ca  i. ba ba 2. En déduire que ABC est un triangle rectangle et isocèle en A  b  a2  c  a2  0. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. Angles orientés et transformations.. Activité 1.. (Cahier de recherche) Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout M d’affixe z associe le point M'  d’affixe z'. Montrer que l'application f est une translation de u si et seulelement si il existe   un nombre complexe b tel que z'  z  b et aff u  b. Théorème 1 (Translations): Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z'. L'application f est une translation  de vecteur u si et seulelement si ....................... .......................................................................... ............................................................................

Activité 2.. (Cahier de recherche) Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout M d’affixe z associe le point M' d’affixe z'. Montrer que l'application f est une homothétie de rapport k  1 si et seulelement si il existe un nombre complexe b tel que z'  kz  b et le centre I de f à pour affixe b . 1 k Théorème 2 (Homothéties) Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M'd’affixe z'. L'application f est une homothétie de rapport k  1 si et seulelement si................................................... ................................................................................. .................................................................................. Activité 3.. (Cahier de recherche) Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout M d’affixe z associe le point M' d’affixe z'. Montrer que l'application f est une rotation d'angle non nul  si et seulelement si il existe un nombre complexe b tel que z '  eiz  b et le centre I de f à pour affixe b . 1 ei Théorème 3 (Rotations) : Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z'. L'application f est une rotation d'angle non nul  si et seulelement si................................................... ................................................................................. .................................................................................

Résumons Soit a,b   tel que a  0.l'application f : P P  Mz  Mz' / z'  az  b  Si a  1 alors f est .............................................................................................  Si a  1   si a est réel alors f est .....................................................................................   si a  1 alors f est ........................................................................................... Application 1. Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z'. Donner la nature et les élements caractéristiques de f dans chacun des Cas suivants : 1. z '  z  1 2i. 2. z '  3z  2i. 3. z '   1  i 3  z  1.  2 2  Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 2. On donne les points A et B d'affixes respectives1 i et 2i. Déterminer l'affixe du point B' image du point B par la rotation de centre A et d'angle 2 . 3 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ Application 3. Dans la figure ci-contre, ABC et DEF sont deux triangles équilatéraux direct, BDEG et CDFH sont des parallélogrammes. Le but de l’exercice est de prouver que le triangle AGH est équilatéral. On appelle a, b, c, d, e, f, g, h les affixes des points A, B, C, D, E, F, G, H. 1.a. Montrer que c a  ei  (b  a ) . 3 b. Exprimer (f – d) en fonction de (e – d). Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 2.a. En déduire l’expression de g et h en fonction b, c, d, e, f. b. Montrer que ha  ei   ga, conclure. 3 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. IV - Racines nièmes d'un nombre complexe    On rappelle que le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, OI ,OJ . Activité 1.. (Cahier de recherche) 1. Résoudre dans  l'équation E : z5  1. 2. Montrer que les images des solutions de l'équation E sont les sommets d'un pentagone convexe régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ... ........................................................................................................................................................

Activité 2.. (Cahier de recherche) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. 1. Résoudre dans  l'équation E : zn  1. 2. Montrer que si n  3, alors les images des solutions de l'équation E sont les sommets d'un polygone convexe régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. Théorème et définition : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. l'équation E : zn  1, admet dans  ................................................................................ .......................................................................................................................................... Les solutions de l'équation sont appelées ........................................................................... Corollaire : M2 i 4 ) 2 7 7 Soit n un entier naturel tel que n  3. (e Les images des racines nièmes de l'unité sont i .................................................................. ) ..................................................................... M1(e ..................................................................... ..................................................................... M3 i 6 ) 7 (e M0(ei0 ) M4 i 8 ) Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 7 (e M5(ei107 ) M6(ei127 ) Application . Trouver les racines 3ièmes 4ièmes et 6ièmes de l'unité sous forme algébrique. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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Théorème et définition :  Soit n un entier naturel non nul, a un nombre complexe non nul d'argument  . l'équation E : zn  a admet dans  ......................................................................... ................................................................................................................................  Les solutions de l'équation sont appelées ................................................................ En particulier tout nombre complexe non nul d'argument  admet deux racines carrées opposées................................................................................................................................... Corollaire : i 8 ) 6 M4(e n n) Soit n un entier naturel tel que n  3. a un nombre complexe non nul d'argument  . i i 4 Les images des racines nièmes de a sont M3(e M2(e n .................................................................. ) ..................................................................... 2 i 2 ) n M1(e n ..................................................................... M0 (ei0 ) ..................................................................... n a i 2n1 Mn1(e n ) Application 1. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 1. Trouver les racines 4ièmes du nombre complexe  3  i. 2. Trouver les racines carrées du nombre complexe 2  i. 3. Résoudre dans  l'équation z  2i5  16  16 3i. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................