Binder4

Lycée pilote ELKEF Année : 2020-2021 Cahier de cours 4Mème ath Math Terminale Math h Premier Trimestre Mathspilote Kais Nsib

Sommaire Analyse Chapitre 1 : Limites, continuité et fonction réciproque.......... 6 Chapitre 2 : Suites réelles............................................................................71 Chapitre 3 : Dérivabilité.....................................................................................122 Géométrie Chapitre 1 : Nombres complexes............................................................164 Chapitre 2 : Isométries du plan.................................................................211 Chapitre 2 : Déplacements et antidéplacements....................238

“Des mathématiques pour enfants, si l'on veut qu'elles soient dignes de ce nom, ne sauraient être comme un médicament détestable que nous nous permettrions de leur infliger, tout en nous gardant bien d'en absorber nous-mêmes.” Seymour Papert

CHAPITRE  1   Limites Continuité Fonction réciproque

Plan du chapitre A - Rappels : Généralités sur les fonctions I - Ensemble de définition - Majorant - Minorant. II - Eléments de symétries de la courbe d'une fonction. 1. Fonctions paires - Fonctions impaires 2. Axe de symétrie - Centre de symétrie 3. Fonctions périodiques B - Limites de fonctions I. Rappels. 1. Activités.. 2. Limites à droite - Limite à gauche . 3. Opérations sur les Limites. 4. Limites de fonctions trigonométriques 5. Branches infinies. II. Limites et ordres ou théorèmes de comparaisons.. III. Limite d'une fonction composée...... 1. Composée de deux fonctions. 2. Limite d'une fonction composée C - Continuité I. Rappels. 1. Continuité en un point . 2. Continuité à droite et continuité à gauche . 3. Prolongement par continuité . 4. Opérations sur les fonctions continues 5. Continuité sur un intervalle . 6. Continuité de quelques fonctions usuelles . II. Continuité d'une fonction composée. III. Image d'un intervalle par une fonction Continue - TVI.... 1. Image d'un intervalle par une fonction continue . 2. Théorème des valeurs intermédiaires . 3. Image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone . D - Fonction réciproque I. Définition . II. Représentation graphique de la courbe d'une fonction réciproque III. Monotonie et continuité d'une fonction réciproque . IV. Fonction racine nième. V. Puissances à exposant rationnel .

A - Rappels : Généralités sur les fonctions I - Ensemble de définition - Majorant - Minorant. Activité 1 Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : a. f x  x2  2x  3 ; b. gx  1 x2  2x ; c. hx  x 1 x2 ; d. kx  E 1 . x2  3x  2 x  x2 5 x 6 x ..........................................................................................................P...a..r..t..i.e...e...n..t..i.è..r..e.......................... .....................................................................................  Soit p  . Pour tout xp,p  1, ...........................................................................................E.....x............................................................................................................... ...........................................................................................E....0.,.5.................;.E......0..,.7................;.E....1.,.9.............................. ............................................................................................................................................................. ................................................................................ E1  .....; E7,09  ......; E1,99  ...... ..........................................................................................P...o..u..r..t.o..u..t..r.é..e..l..x..,....x....1.....E....x......x.................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Activité 2 Ci-dessous  et ' sont les courbes respectives de deux fonctions f et g définies sur . Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : hx  f x et k x  gx . gx f x 10 9 ' 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 -2 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 -3 -4 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Activité 3 Soit f la fonction définie sur  par : f x  1  x2 . 1 x  x2 2 Montrer que sur , f est minorée par 3 et majorée par 2.

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... II - Eléments de symétries de la courbe d'une fonction. 1. Fonctions paires - Fonctions impaires. Activité 1 On a représenté ci-dessous une partie de la courbe d'une fonction paire et définie sur ,1  1,. Compléter la courbe . 

Activité 2 On a représenté ci-dessous une partie de la courbe d'une fonction impaire et définie sur . Compléter la courbe .  Définition 1: 3 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 2 Soit f une fonction définie sur un ensemble D. 1 On dit que f est une fonction paire si -3 -2 -1 ............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. 123 A noter que Dans un repère orthogonal la courbe représentative d'une fonction paire, est symétrique par rapport à .................................................................................................................................. Définition 2 4 123456 3 Soit f une fonction définie sur un ensemble D. 2 On dit que f est une fonction impaire si 1 ............................................................................. -5 -4 -3 -2 -1 .............................................................................. -1 .............................................................................. -2 -3 -4

A noter que Dans un repère cartésien la courbe représentative d'une fonction impaire, est symétrique par rapport à .................................................................................................................................. Exemple Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de défintion de la fonction f puis etudier sa parité . a. f x  x; b. f x  1  1 ; c. f x  E  x  1  2 . x2 1 x2 x   2    ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

2. Axe de symétrie - Centre de symétrie. Théorème 1 Soit a  .Soit C la courbe d'une fonction f définie sur un ensemble D dans un repère orthogonal. La droite d'équation x  a,est un axe de symétrie de C si et seulement si ………………………........ ……................................................................................................................................ ………………………………………………....................................................................... Théorème 2 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Soit a,b  . Soit C la courbe d'une fonction f définie sur un ensemble D dans un repère orthogonal. Le point A a,b est un centre de symétrie de C si et seulement si ………………………........ ……................................................................................................................................ ………………………………………………....................................................................... Application 1. On considère la fonction f:x  1  1. x x2 1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Montrer que la droite d'équation x  1 est un axe de symétrie de la courbe de f . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. On considère la fonction f : x  x. x  1 x 1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Montrer que le point A(0,5;0,5) est un centre de symétrie de la courbe de f. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. Fonctions périodiques. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est une fonction périodique s'il ............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. Commentaire Si T est le plus petit réel strictement positif vérifiant : pour tout x  D, x  T  D et f x  T   f x , on dit que T est la période de f et que f est période de période T ou que f est T-période . Dans ce cas il suffit d'étudier f sur a, a  T  D et la courbe de f sera déduit par des translation de vecteurs kTi k  

Propriétés. Soit a et b deux réels tel que a  0.Alors  La fonction x  sinax  b est période de période 2 . a  La fonction x  cosax  b est période de période 2 . a  La fonction x  tanax  b est période de période  . a Activité On a représenté ci-dessous une partie de la courbe d'une fonction définie sur  , paire, périodique de période 1 et admettent le point A 1,0 comme centre de symétrie. Compléter la courbe , sur l'intervalle 3,4 . 1 1234 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 -3 -2 -1 -1 Application 1. Donner la période de chacune des fonctions suivantes : f x  cosx; gx   tan( 2x )  sin( 2 x); hx  cos2 x; x  cos2 xsin2 x . 3 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Retrouver la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes : f1(x)  sin2x; f2(x)  sinx; f3(x)  cos 2x  et f4(x)  cos 0,5x. Application 3. Soit f une fonction définie sur  . On suppose que la courbe de f admet un centre de symétrie Ia,b . 1. Montrer que la fonction définie sur  , par g(x)  f x  a  b est impaire. 2. On suppose que la courbe de f admet un second centre de symétrie Jc,dc  a . Montrer que la fonction f est périodique. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

B - Limites de fonctions I. Rappels . 1. Activités.. Activité 1 Etudier les limites suivantes : lim 2x3  5x2  x 1 ; lim  3x5  2x4  x2 1 lim x3  x2  2x  3 ; lim x x2  x2  2x  3 . 1 x2 1  4x3 x x x x ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Activité 2 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Etudier les limites suivantes : lim x  3 ; lim x  3 ; lim x  3  9x² ; lim x3 . x0 x x0 x x x 1 4x ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... ........ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... ........

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Activité 3 Etudier les limites suivantes : lim x  3  9x²  3x ; lim x  3  9x²  4x ; lim x  3  x²  x . x x x ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... ........ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... ........ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... ........

2. Limites à droite - Limite à gauche. Activité Sur la figure ci-contre on a représenté la courbe d'une fonction f définie sur . Etudier la limite de f en 1. ............................................................................................................................................................ Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème Soit I un intervalle ouvert et x0 I. Soit f une fonction définie sur I sauf peut-être en x0 lim f(x)   si et seulement si ………………………........................................................... xx0 ……………………………………………….................................................................................... Application.  x2  5  3 si x  2 f(x)  x  2 . Etudier Soit f la fonction définie sur  \\ {2} par :  6x2  12x la limite de f en 2. f(x)  x3  8 si x  2 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ..........................................................................................................................................................

3. Opérations sur les Limites. Soit , ’  . Compléter et retenir les tableaux suivants : lim f x lim gx lim f  gx xx0 xx0 xx0  ’ lim f x  gx   xx0       lim f x lim gx Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 xx0 xx0  ’           lim f x lim gx lim f x gx xx0 xx0 xx0  ’  0    > 0  < 0 0 0 lim f x lim f x lim f x xx0 xx0 xx0    A noter que Tous les résultats précédents sont aussi valables en...........................................................

Limite d’une fonction polynôme ou rationnelle en l'infini On considère les deux polynômes :  Pn(x)  anxn  an1xn1    a1x  a0 et Qm(x)  bmxm  bm1xm1    b1x  b0. an  0 et bm  0 Alors : lim Pn (x )  ..................................... et lim Pn ( x )  ............................................. Qm ( x ) x x Application. Etudier les limites suivantes : lim 2x3  5x4  x2  5 ; lim x3  x2  7x  3 ; lim x  x2  x4  3x 1 ; lim x2  5x  6 ; 1 x3 1 x3 x x x x1 lim 3x 1  x  3 ; lim x  4x2  x 1 ; lim 1 1 ; lim x  3 . x2  3x  4 1 x x2 x  2 x2 2  x  2 x1 x  x  22 ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. 4. Limites de fonctions trigonométriques Théorème Soit a un réel, alors : lim sin  ax   ......; lim ta n  ax   ......; lim 1 cos  x   .......; lim 1 cos  x   ....... x0 x x0 x x0 x x0 x2 Application. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Etudier les limites suivantes : lim sin  3x  ; lim 1 cosx  ; lim 1 cos x  ; lim 2x 1  x  1 ; lim tan( x)  sin(x) . sin  x  tan  2x  sin2 x x3 x0 x0 x0  x0 sin 3x  x0 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. 5. Branches infinies. Activité Dans lafigure ci-dessous  est la courbe représentative dans un repère orthonormé (O,OI,OJ) d’une fonction f définie sur  \\ {2} .  Par une lecture graphique compléter : lim f(x)  .......; , lim f(x)........; , lim f(x)  ......... Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 x0 x0 x2 lim f(x)  .......; lim f(x)  .......; lim f(x)  ......; lim f(x)  .........; lim f(x)  x  .........; x x2 x x x x lim 1  .........; lim 1  ......... f(x) f(x) x x2 Définition Asymptotes parallèles à l'axe des ordonnées Soit D un ensemble et x0 D. Soit f est une fonction définie sur D \\ {x0} . On dit que la droite  : x  x0, est asymptote à la courbe de f si.................................................... ....................................................................................

Définitions : Asymptotes parallèles à l'axe des abscisses - Asymptotes obliques   Soit f une fonction et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,I,J .  Lorsque.......................... (resp.........................) on dit que la droite d’équation y  b est une asymptote à la courbe C au voisinage de . (resp au voisinage de  )  Lorsque.............................. (resp...............................) on dit que la droite d’équation y  ax  b est une asymptote à la courbe C de f au voisinage de . (resp au voisinage de  ) Plus généralement Soit C la courbe d'une fonction f. C'est terminé lim f(x)  b lim f(x)   Pas x x encore lim f(x)  a lim f(x)   lim f(x)  0 x x x x x x lim f(x)  ax  b lim f(x)  ax   Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 x x .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ..........................

Application 1. Soit f la fonction définie sur  par : f(x)  3x2  4x  3 . On désigne par  1 x2   la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ). 1. Déterminer lim f(x) et lim f(x). Interpréter graphiquement les résultats obtenus. x x 2. Dresser le tableau de variation de la fonction f. 3. Tracer la courbe  . ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Soit f la fonction définie sur  par : f(x)  x2  4 . On désigne par  4 x   la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ). 1. Dresser le tableau de variation de la fonction f. 2. Etudier les branches infinies de . 3. Tracer  ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3. Soit f la fonction définie sur  par : f(x)  x  x . On désigne par    la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ) 1. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2. Dresser le tableau de variation de la fonction f. 3. Etudier les branches infinies de  . 4. Tracer  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. II. Limites et ordres ou théorèmes de comparaisons.. Théorème 1 (rappel) Soit I un intervalle ouvert et x0 I. Soit f une fonction définie sur I sauf peut-être en x0 telle que lim f(x)  L  . xx0  Si f(x)  0 pour tout x I \\ {x0} alors ............................  Si f(x)  0 pour tout x I \\ {x0} alors ............................

Activité 1 Soit I un intervalle ouvert et x0 I. Soit f et g deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 telles que : lim f(x)  L   et lim g(x)  L'  . xx0 xx0 Montrer que si f(x)  g(x) pour tout x  I \\ {x0} alors L  L '. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème 2 Soit I un intervalle ouvert et x0 I. Soit f et g deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 telles que : lim f(x)  L   et lim g(x)  L'  . xx0 xx0 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Si f(x)  g(x) pour tout x  I \\ {x0} alors .......................................................................... Activité 2 Dans la figure ci-dessous on a représenté la courbe de la fonction f : x  3 sinx D'après le graphique f admet-elle une limite en  ?

Activité 3 Dans la figure ci-dessous on a représenté la courbe de la fonction f : x  3  sin  x  x ainsi que les courbes des fonctions féfinies sur  0,  par : g:x  3 et h : x  3 . x x 1. Montrer que pour tout x  0, hx  f x  gx. 2. Que peut-on conjecturer quand à la limite f en . ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Activité 4 Soit I un intervalle ouvert et x0  I. Soit f, g et h trois fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 telles que : g(x)  f(x)  h(x) pour tout x  I \\ {x0} . Montrer que si lim h(x)  lim g(x)  L   alors lim f(x)  L. xx0 xx0 xx0 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème 3 V Soit I un intervalle ouvert et x0 I. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Soit f, g et h trois fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 telles que : g(x)  f(x)  h(x) pour tout x  I \\ {x0}, si lim h(x)  lim g(x)  L   alors ............................ xx0 xx0 ....................................................................................................................................................... Corollaire Soit I un intervalle ouvert, x0 I . Soit f et g deux fonctions définie sur I sauf peut-être en x0 telles que : f(x)  g(x) pour tout x  I \\ {x0} si lim g(x)  .................. alors........................... xx0 ................................................................................................................................... A noter que Tous les résultats précédents sont aussi valables en..................................................

Application 1.  Pour tout x  , on pose : f ( x )  2  x2 cos  1  .  x   g(x)  f(x)  h(x) alors 1. Montrer que pour tout x  , 2  x2  f(x)  2  x2. lim g(x)  lim f(x)  lim h(x) xx0 xx0 xx0 2. En déduire lim f(x). ou x0 lim f(x)  lim g(x)  lim h(x) xx0 xx0 xx0 …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Pour tout x  , on pose : f(x)  x2  sin2x  . 1 2x² 1. Montrer que pour tout x  , x2 1  f(x)  x2 1 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 1 2x² 1 2x² 2. En déduire lim f(x). x ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3. Pour tout x  , on pose : f(x)  sin2  x  sin  1 et gx  E x .  x  x Etudier la limite de f en 0 et la limite de g en  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 4. x 3 sin  1   x  Pour tout x   on pose : f(x)  1 . 1 2x² 1. Montrer que pour tout x  , f ( x )  1  1 x3 ²  2x 2. En déduire lim f(x). x0 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. Activité 5 Dans la figure ci-dessous on a représenté la courbe de la fonction f : x  sin2 x  x ainsi que la courbe de la fonction définie sur  par : gx  x. Que peut-on conjecturer quand à la limite f en .

Théorème 4 (cas d'une limite infinie) Soit I un intervalle ouvert et x0 I. Soit f et g deux fonctions définie sur I sauf peut-être en x0 telles que : f(x)  g(x) pour tout x  I \\ {x0}  Si lim g(x)   alors ............................................................................................. xx0  Si lim f(x)   alors ............................................................................................. xx0 A noter que : les résultats précédents sont aussi valables en ............................... Application 1.  Pour tout x  , on pose : f(x)  sin  x  cosx  x3 .  g(x)  f(x)  h(x) alors 1 x2 ......................................... ........................................... 1. Montrer que pour tout x  , x3 1  f(x)  x3 1 ........................................... 1 x² 1 x² 2. Etudier la limite de f en  et en  . ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Pour tout x   on pose : f(x)  x  cos x  x. Etudier la limite de f en  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

III. Limite d'une fonction composée..  1. Composée de deux fonctions. ' Activité  Dans la figure ci-contre  et  ' sont les courbes représentatives de deux fonctions f et g définies respectivement sur 4,3 et . Soit la fonction h : x  g(f(x)). 1. Déterminer h(2),h(3) et h(4). 2. Peut on parler de l'image du réel 0 ou du réel 1 par la fonction h ? 3. Quel est l'ensemble de définition de la fonction h? ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………… ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Définition : Soit f une fonction définie sur un ensemble I, g une fonction définie sur un ensemble J tel que f(I)  J. On appelle fonction composée de f et g et on note g  f , la fonction définie sur I par : gof(x)  ....................................

Exemple 1 1. On donne h(x)  x7 et k(x)  x 1. Calculer k  h(1) et h  k(1). 1 x 2. Expliciter g  f(x) dans chacun des cas suivants : a. f(x)  1; g(x)  tan  1 . x  x2 b. f(x)  1 x ; g(x)  1 x2 1 x 1 x2 ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Exemple 2 1. On donne la fonction f : x  sin  1 . Trouver deux fonctions u et v telles que   u  v.  x 2. Même question avec g: x  x  tan  1 .  x ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Exemple 3  Ci-contre  est la courbe d'une fonction f définie sur 0,. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f  f ? ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. V g  f(x)  gf(x) existe si et seulement si ............................................................................. Exemple 4  Soit la fonction g : x  x2  3x  4. Ci-contre  est la courbe d'une fonction f définie sur .Quel est l'ensemble de définition de la fonction g  f ? ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

2. Limite d'une fonction composée. Activité Dans la figure ci-contre  et  ' sont les courbes représentatives de deux fonctions définies respectivement sur ,0 et 0,. ' 1. En utilisant le graphique déterminer  lim f(x) et lim g(x). x0 x 2. Conjecturer une méthode pour calculer lim g  f(x). x0 ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème (admis) Si lim f(x)    xx0   alors lim g  f(x)  ................................................ et .......................  xx0  .................................................................................................................................... Application 1.  x2  x 1 ; 1  3x²  2x 4  x2   Calculer  tan   1  . lim cos lim sin  x2  x 1 x ; lim  2   x x x ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ............................................................................................................................................. …………………………………………………………………………………………………………… Application 2. Ci-contre  est la courbe d'une fonction f définie sur  \\ {1}. Calculer lim f  f x; lim f  f x; x x lim f  f x; lim f  f x. x1 x1

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3. Calculer Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021  1 cosx        lim  x  x0 x ; lim x tan ; lim cot anx sin tanx ; lim 1 t an2 x 1 coscos x .  x x0 x 2 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 4. Etudier les limites suivantes : 1 cos(x) ; lim tan 1 cos x  ;        sin  sin(x) sin  cos(x) tan lim ; lim ; lim x0 x x0 x x0 x x0 x ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

C - Continuité I. Rappels. 1. Continuité en un point. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. La fonction f est continue en x0 si …………………………………………………… Exemple  1 sin  2x   cos  x si x  0 Soit f la fonction définie sur , par : f(x)  f(0)  1 x Montrer que f est continue en 0. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. 2. Continuité à droite et continuité à gauche . Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. La fonction f est continue en x0 si et seulement si ……………………………... ..............…………………............................................................................................. Application.  1  2x 2  1 si x f x2 f (x)   0 (0)  Soit f la fonction définie sur  par : 1  sin  sin( x) cos( x ) si x 0 f(x)   x Etudier la continuité de f en 0.

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. 3. Prolongement par continuité . Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Théorème et définition Soit I un intervalle ouvert et x0 I . Soit f une fonction définie sur I \\ {x0} . Si lim f(x)  L   , alors la fonction xx0 g : x  f(x) si x I \\ {x0 } est ………………………………………............................ g(x0 )L Dans ce cas ont dit que f est……………….............................................................. …………………………................................................................................................. Application. Soit f la fonction définie sur    ,   par : f(x)  tan2  x   sin  x  .  2 2  tan2  x   sin  x  Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. 4. Opérations sur les fonctions continues . Théorème Soit f et g deux fonctions continues en x0.   alors les fonctions f  g, f  g, g  , f et f n n   sont......................................  Si de plus g(x0 )  0 alors les fonctions 1 , f et gn n   sont..................................... g g  Si de plus f(x)  0 sur un intervalle ouvert contenant x0 alors la fonction f est ................................................................................................................................................. 5. Continuité sur un intervalle . Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Définitions  Une fonction est continue sur un intervalle ouvert I si elle …………………………...........  Une fonction est continue sur un intervalle a,b si elle ……………………………............  Une fonction est continue sur un intervalle a,bsi elle ………………………………..........  Une fonction est continue sur un intervalle a,bsi elle ………………………………............ 6. Continuité de quelques fonctions usuelles . A Toute fonction polynôme est continue sur………………………................................. B Toute fonction rationnelle est continue sur …………………………………................ C Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur………………………………........ D La fonction tangente est continue sur……………………………………………........... E La fonction cotangente est continue sur……………………………………………....... F La fonction x  x est continue sur…………………………………….......................

Exemple f(x)  x3  x  3  1  cos( x ) si x  0 f(0)  x2 x2 Soit f la fonction définie sur , par : 1   2  x3  4x2  4 si x  0 f(x) x2 Montrer que f est continue sur  . ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

II. Continuité d'une fonction composée. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Activité Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. Soit g est une fonction définie sur un intervalle ouvert J tel que f(x0 )  J . Montrer que si f est continue en x0 et que g est continue en f(x0 ) alors la fonction g  f est continue en x0. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. Soit g est une fonction définie sur un intervalle ouvert J tel que f(x0 )  J . Si f est continue en x0 ...................................................................................... ............................................................................................................................... Corollaire (sur un intervalle)  Si f est une fonction continue sur un intervalle I .............................................................. ..................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................  Si f est une fonction continue sur un intervalle I .............................................................. ..................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................

Application 1. Soit f la fonction définie sur 0, 2  par : f(x)  tan   (1  x 2 ) .  2 Montrer que f est continue sur 0, 2  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021  1 x2  1 0. f(x)  cos  x  si x  Soit f la fonction définie sur  par :  1 f(0) Montrer que f est continue sur  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

III. Image d'un intervalle par une fonction Continue - TVI. 1. Image d'un intervalle par une fonction continue . Activité 2. Déterminer f   1. Déterminer f 1,3  8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 3. Déterminer f   6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 4. Tracer la courbe d’une fonction continue φ tel que φ 1,3  1,3 Théorème (admis) Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021  L'image d'un intervalle par une fonction continue est ..................................................  L'image d'un intervalle femré borné a,b par une fonction continue est .......................... ............................................................................... ............................................................................... ...............................................................................

Application. Soit f une fonction continue sur . Montrer que lim f  sin x   0. x x ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................... 2. Théorème des valeurs intermédiaires . Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Théorème 1 (des valeurs intermédiaires) Soit f une fonction continue sur un intervalle I Soit a,b I tel que a  b. Alors  Pour tout réel k............................................ ............................................................................ .....................……………………………………....  En particulier si f(a)  f(b)  0 ...................... .............................................................................. ...……………………………………………………............................................................................. Application 1. Soit f la fonction définie sur 1,  par : f(x)  2 sin   x   2 x2  x  2.  2  Montrer que l'équation f(x)  3 admet dans l'intervalle 1,2 au moins une solution  . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ……………………………………………………………………………………………………………..........

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Montrer qu’il existe au moins un réel  a,b tel que 2f a  3f b  5f . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3. Soit f une fonction continue sur  , telle que pour tout réel x, f 2 x  1 x2. Montrer que : ( pour tout réel x, f x  1 x2 ) ou ( pour tout réel x, f x   1 x2 ) ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème 2 (TVI + strictement monotonie) Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soit a,b I tel que a  b. Alors pour tout réel k........................................... ............................................................................. .....................……………………………………..... ....................……………………………………...... ....................……………………………………......

Application 1. 1. Montrer que l'équation x3  x  1  0 admet dans1,0 une seule solution  . 2. Donner un encadrement d'amplitude 0,25 du réel . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. 1. Montrer que l'équation sin  x   1 2x admet dans 0,   une seule solution  . Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 2  2. Prouver que 0,3    0,4. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Activité - application Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Montrer que si f ne s'annule en aucun réel de I, alors f garde un signe constant sur l'intervalle I. Ind : on pourra raisonner par l'absurde. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. Théorème 3 Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si la fonction f ne s'annule en aucun réel de I alors ...................................................... ............................................................................................................................................. Application. Montrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel non nul, 1 sin  x   sin2 x  sinn x  0 2 22 2n ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………