Binder4

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. On considère dans  l'équation E : z3  26  18i. 1. Vérifier que z0  1 3i est une solution de E . 2. Déterminer alors sous forme cartésienne toutes les solutions de E. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 3. On donne trois nombres complexes a, b et c d'images respectives A, B et C . Montrer que si a3  b3  c3  0 alors ABC est un triangle équilatéral. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 4. 1. Montrer que : z 1  ei  z  icot an      2k, k   z 1  2  2. Déterminer les racines 5ièmes de l’unité. 3. Résoudre dans  , l’équation z  15  z 15 . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. V - Equations à coefficients complexes 1. Equations du second degré..  Activité collective proposée au tableau Théorème et définition : Soit a,b,c   tel que a  0. On pose   b2  4ac . L'équation E : az2  bz  c  0 admet dans  deux solutions, distinctes ou confondus, à savoir : z1  .................................et z2  ................................................................... .....................................................................................................................................  Si   0, alors z1 et z2 sont .......................................................................................  Si   0, on dit que l'équation E admet.................................................................... ......................................................................................................................................  Application 1. Résoudre dans  les équations suivantes : a. z2  z  1  0; b. z2  4  i z  5  5i  0; c. iz2  4  3i z  5  i  0; d. iz2  z  1  0.

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 2. Résoudre dans  les équations suivantes : 1. a. z2  2eiz  ei2  1  0; b. z2  1 isin() z  1 i sin()  0.    2    2. a. z2  m(1 im)z  im3  0; b. z2  m  m z  m ²  0. m   ............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Corollaire : Soit a,b,c   tel que a  0. Si z1 et z2 sont les solutions dans  de l'équation E : az2  bz  c  0 alors :  z1  z2  .................................et z1  z2  ..................................................................  pour tout z  , az2  bz  c  a  .....................................................................................

Application.  On considère dans  l'équation E : eiz2  1 isin() z  7ei  0.  0,2 On désigne par M1 et M2 les images des solutions de E.    1. Montrer OI est la bissectrice intérieure de OM1 ,OM2 .   2. Déterminer  pour que OM1  M2I. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. Exemples d'équations de degré supérieur ou égal à 3.. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021  Activité collective proposée au tableau . Théorème :  Soit a1,a2,,an   tel que an  0. On pose p z  anzn  an1zn1   a1z  a0. Si z0 est une racine de p, alors ........................................................................................ ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. Exemple 1 On considère dans  l'équation E : z3  3  4i z2  41 3i z 12  0 1. Montrer que (E) admet une solution réelle que l'on précisera. 2. Résoudre alors dans  l'équation (E).

............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Exemple 2. On considère dans  l'équation E : z3  5  2i z2  7  2i z  7  4i  0 1. Montrer que (E) admet une solution imaginaire que l'on précisera. 2. Résoudre alors dans  l'équation (E). ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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............................................................................................................................................................. Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Exemple 4 Chapitre 1 : : Géométrie : Nombres complexes_ Kais Nsib _ 2020-2021 On considère dans  l'équation E : z7  8iz5  z4  25z3  8iz2  25  0. Résoudre dans  l'équation (E), sachant que les racines cubiques de l'unité sont des solutions de (E). ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

CHAPITRE Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021        2      Isométries du plan      

Plan du chapitre I - Définition et propriétés 1. Définition. 2. Isométries et produit scalaire. 3. Isométrie réciproque.. 4. Isométries et configurations.. II - Composition des isométries 1. Définition de la composée de deux applications.. 2. Propriétés de la composée de deux isométries.. 3. composée de deux symétries orthogonales.. III - Isométries et points fixes 1. Isométries ayant des points fixes.. 2. Isométries sans point fixe..

I - Définition et propriétés 1. Définition. Définition On appelle isométrie du plan toute application du plan dans lui-même .............................. .................................................................................................................................. .............. C.A.D...................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Exemples ............................................................................................................................................... M N M' M N' I N' N Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 M' M' M M N' N' I N N M'

Activité.    Le plan P est rapporté à un repère orthonormé O, OI ,OJ . On considère l’application f du plan dans lui même qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z'  iz  1. Montrer que g est une isométrie du plan. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. Isométries et produit scalaire. Activité 1. 1. Soit f une application du plan dans lui même qui conseve le produit scalaire.     ( c.a.d AB.AC  A 'B'.A 'C' pour tous points A, B et C d'images respectives A, B et C par f) Montrer que f est une isométrie.    2  .............................................. 2. a. On rappelle que pour tous vecteurs u et v, u v b. Soit g est une isométrie. Montrer que g conseve le produit scalaire. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème 1: Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 Une application du plan dans lui- même est une isométrie, si et seulement si, .............. ............................................................................................................................. ............  Corollaire : Une isométrie conserve les angles .................................................................................. C.A.D : Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts, d’images respectives A', B' et C', alors ........................................................................................................................ Activité 2. Soit f une isométrie du plan, A, B et C trois points non alignés du plan et A', B' et C'    leurs images respectives par f tels que le repère R  A, AB ,AC soit orthonormé.    1. Montrer que le repère R'  A ', A 'B' ,A 'C' est orthonormé. 2. Soit M un point d'image M' par f. Montrer que si Mx, yR alors si M'x, yR' . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème 2: Soit f une isométrie du plan, A, B et C trois points non alignés du plan et A', B' et C'    leurs images respectives par f tels que le repère A, AB ,AC est orthonormé, alors     le repère A ', A 'B' ,A 'C' est ....................................................................................  si    alors  AM  xAB  yAC, A 'M'  ...............................................................................  3. Isométrie réciproque.. Activité. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 Soit f une isométrie du plan, A, B et C trois points non alignés du plan et A', B' et C'    leurs images respectives par f tels que le repère R  A, AB ,AC soit orthonormé. Soit Nx, yR' et Mx, yR . Montrer que le point M est l'unique antécedant de N par f. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème:  Une isométrie f est une ..............................................................................................  L’application du plan dans lui même qui à tout point N du plan associe son unique antécédent M par f est une isométrie appelée réciproque de f et notée f-1 . ( f A  B  est ................................... )

 Remarque  s 1  ........................   tu 1  ........................  sO 1  ........................   rO, 1  ........................  4. Isométries et configurations..  Théorème: Soit f une isométrie du plan et A, B, C, D, E et F six points d' images respectives A', B', C' D', E' et F' par f .  si     alors .............................................................................................. EF AB  CD,  en particulier si   alors .................................................................................... AB  CD, Propriétés. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021   Une isométrie conserve le barycentre de deux points. En particulier une isométrie conserve le milieu d’un segment.  L’image d’une droite par une isométrie est une droite.  L’image d’un segment par une isométrie est un segment qui lui est isométrique.  Les images de deux droites parallèles par une isométrie sont deux droites parallèles. ( On dit qu’une isométrie conserve le parallélisme).  L’image d’un parallélogramme par une isométrie est un parallélogramme.  Les images de deux droites perpendiculaires par une isométrie sont deux droites perpendiculaires. ( On dit qu’une isométrie conserve l’orthogonalité).  L’image d’un cercle par une isométrie est un cercle qui lui est isométrique.  L’image par une isométrie de la tangente en un point M à un cercle est la tangente au cercle image, au point M' image de M.( On dit qu’une isométrie conserve le contact.) 

II - Composition des isométries 1. Définition de la composée de deux applications.. Définition Soit f et g deux applications du plan dans lui-même. L’application du plan dans lui-même qui à tout point M du plan associe le point g (f (M)) est appelée la composée de f par g . On la note g  f . Remarque Soit f, g et h trois applications du plan dans lui-même, alors g  f   h  ......................  ................................. Activité. C Le plan est orienté dans le sens direct. Dans la figure ci-contre ABCD un losange D  tel que  ,    2. B AB AC 3 On pose f  r  t  r .  C,3  B,3  A   BC  Préciser f B et f C. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ......................................................................................................................t.u.....t.v................................................. ......................................................................................................................r..I,......r..I,..'........................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

2. Propriétés de la composée de deux isométries.. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 Activité 1. Montrer que La composée de deux isométries est une isométrie. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................... Théorème 1: La composée de deux isométries est ...................................................... .............  Activité 2. Soit f et g deux isométries du plan dans lui-même. Montrer que g  f  Idp si et seulement si g  f 1. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................... Théorème 2: Soit f et g deux isométries du plan dans lui-même. g  f  Idp si et seulement si ..............................................................................................

Activité 3. Soit f, g et h trois isométries du plan dans lui-même. Montrer que :  g  f 1  f 1  g1.  h  f  h  g  f  g.  h  f  g  f  h1  g. ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Propriétés.  Soit f, g et h trois isométries du plan dans lui-même. Alors :  g  f 1  .........................................................................  h  f  h  g si et seulement si ...........................................  h  f  g si et seulement si f  ........................................... Application. On donne deux points distincts A et B. Caractériser f dans chacun des cas suivants :  t  f  Idp ................................................................................................................. AB  f  SAB  Idp ..............................................................................................................  SA f  r A,3 . ..............................................................................................................      t  f  t ................................................................................................................. AB BA

3. composée de deux symétries orthogonales.. Activité 1. Soit D et D' deux droites sécantes en un point I et de vecteurs directeurs respectifs u et v. On considère un point M du plan distinct de I et on pose M'  SD M et M\"  SD' M'.    1. Montrer que IM  IM' et que,2,  2. IM IM' u v 2. Déduire que SD'  SD est une rotation dont on précisera les éléments caractéristiques. 3. Caractériser SD'  SD lorsque D et D' sont perpendiculaires. 4. Soit R une roation de centre A et d'angle  . Soit  ' une droite passant par A et de   veteur directeur  ' et  ' la droite passant par A et de veteur directeur  tel que  2,  2. Montrer que S'  S . On désigne par  ' .................................................................................. I D' .................................................................................. .................................................................................. M\" .................................................................................. .................................................................................. M' D .................................................................................. M .................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 .................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème 1: Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021  La composée de deux symétries orthogonales d'axes sécants en I est ..................... Si D et D'..................................................................................................................... ............................................................................................................................ ........ ............................................................................................................................. ....... D' M\" M' ID M  Toute rotation est...................................................................................................... Si R une rotation de centre A et d'angle  .............................................................. ................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ... A  Corollaire :  La composée de deux symétries orthogonales d'axes perpendiculaires en I est ............................................................................................................................. .....  Toute symétrie centrale de centre A est..................................................................... ............................................................................................................................. .....

Application. Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC rectangle, isocèle et direct en A. On désigne par I, J et O les milieux respectifs des segments [BC], [AC], [AB]. 1. Caractériser les applications SBI  SBO et SAB  SOI. 2. Montrer que f  R(B,  )  SO est une rotation dont on précisera le centre et l’angle. 2 3. Caractériser l'application f  R C,2 . ( ) ........................................................................................................................... C I ........................................................................................................................... J ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... A OB ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

Activité 2. Soit D et D' deux droites parallèles, A un point D' et B son projeté orthogonal sur D. On considère un point M du plan et on pose M'  SD' M et M\"  SD M'.   1. Montrer que MM'  2 AB . 2. Déduire la nature et les éléments caractéristiques de SD  SD' .  3. Soit t une translation de vecteur u . Trouver deux droites  et  ' telles que t  S  S' . ......................................................................................... M\" M' M ......................................................................................... A ......................................................................................... B ......................................................................................... ......................................................................................... D' ......................................................................................... D ......................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................

Théorème 2:  La composée de deux symétries orthogonales d'axes parallèles est ..................... Si D et D'..................................................................................................................... ................................................................................................................................. ... .................................................................................................................................... BA  Toute translation est.........................................................................................  Si t est une translation de vecteur u .............................................................. ............................................................................................................................. ... ................................................................................................................................  Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 Application 1. Dans le plan orienté dans le sens direct, on donne un carré ABCD direct de centre O. On désigne par E le symétrique de B par rapport à C et par I le milieu du segment [DC]. 1. a. Prouver que le triangle BDE est rectangle isocèle. b. Caractériser l’application S(DE)oS(AC). c. Montrer que t oR  est une rotation dont on précisera le centre et l’angle. BD ( C, 2 ) 2. Caractériser l’application S(OI)  S S(AD) (DC)  S(AB).

................................................................................................................................... E ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... D I C ................................................................................................................................... O .................................................................................................................................. ................................................................................................................................... A B ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. V............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................r..A.,......r..B.,..'.......................................... ............................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................t.A..B....r..C..,.............................................................. ............................................................................................................................................................ .................................................. ............................................................................................................................................................

Application 2. Dans le plan orienté on considère un triangle ABC équilatéral de sens direct. On désigne par  Le cercle circonscrit au triangle ABC, par O son centre et par D le point diamétralement opposé à A sur  . 1. On pose f  S(AD)  S(DC). Caractériser f et vérifier que f(C) = B. 2. Soit r la rotation de centre A et d’angle  .Caractériser r  f. 3 3. Caractériser les applications : g  S(CA )  S(DC)  S(BD)  S(AB). et h  S(CA )  S(DB)  S(CD)  S(AB). ........................................................................................................ A ........................................................................................................ ........................................................................................................ O ........................................................................................................ ........................................................................................................ B C ........................................................................................................ D ........................................................................................................ ........................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................

III - Isométries et points fixes 1. Isométries ayant des points fixes.. Activité 1. Soit f une isométrie du plan, différente de l’identité du plan et A un point non fixe de f d’image A'. Montrer que si M est un point fixe de f, alors M appartient à la médiatrice du segment [AA']. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème 1: Soit f une isométrie du plan, différente de l’identité du plan et A un point non fixe de f d’image A'. Alors les points fixes, de f s'ils existent, se trouvent sur ......................... .......................................................................................................................................... Activité 2. Soit f une isométrie et A, B et C trois points fixes de f et non alignés. Soit M un point quelconque d'image M' par f. On suppose  M .  x, y  A,AB,AC 1. Montrer que   x   y  . Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 AM' AB AC 2. En déduire que M' = M. 3. Identifier alors l'isométrie f. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

Théorème 2: Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 Une isométrie fixe trois points non alignés, si et seulement si, c'est ......................... .......................................................................................................................................... Activité 3. Soit f et g deux isométries et A, B et C trois points non alignés tels que f A   gA   A ', f B  gB  B' et f C  g C  C '. On pose h  g1  f. 1. Déterminer h A , h B et h C. 2. En déduire que f = g. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Corollaire: Si deux isométries f et g coïncident sur trois points non alignés, alors elles ................. .............................................................................................................................................. On dit qu’une isométrie est déterminée par la donnée de trois points non alignés et leurs images. Activité 4. Soit f une isométrie qui fixe deux points distincts A et B. Montrer que f fixe tous les points de la droite (AB). ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème 3: Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 Si une isométrie fixe deux points distincts A et B, alors elle fixe ................................ ............................................................................................................................. ............... Activité 5. Soit f une isométrie qui fixe deux points distincts A et B. On suppose que f  Idp. Soit C un point non fixe de f (existe car f  Idp ) d'image C' par f. 1. Montrer que f et SAB coïncident sur les points A, B et C. 2. Conclure. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... Théorème 4: Une isométrie différente de l'identité du plan qui fixe deux points distincts A et B, est.......................................................................................................................... ..... Activité 6. Soit f une isométrie qui fixe un seul point I. Soit A un point non fixe de f (existe car I est le seul point fixe de f ) d'image A' par f. On désigne par  la médiatrice du segment [AA']. On pose g  S  f. 1. Déteriner gI et gA. 2. Prouver g  Idp. 3. Conclure.

Théorème 5: Une isométrie qui fixe un seul point I, est ..................................................................  Vocabulaire : Soit g une application du plan dans lui-même et  un ensemble de points. On dit que  est globalement invariant par g si g  . (c.a.d : pour tout M , g(M)   ) Attention ça ne veut pas dire que pour tout point M , g(M)  M.   Soit A et B deux points distincts, alors la droite A B (AB) est globalement invariante par t  . Mais t  n'a aucun point fixe. AB AB  Une rotation de centre I et d'angle non nul laisse globalement invariant un cercle de centre I, sans fixer aucun point de ce cercle. Application 1. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 Soit A et B deux points distincts. On désigne par I le milieu du segment [AB]. 1. a. Montrer que si une isométrie f laisse globalement invariant le segment [AB], alors elle fixe le point I. b. Déterminer alors toutes les isométries laissant globalement invariant le segment [AB]. 2. Soit C un cercle de centre O et de rayon R et C ' un cercle de centre O' et de rayon R'. Déterminer toutes les isométries laissant globalement invariant la réunion C  C ' (On distinguera deux cas). ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2. Dans le plan orienté dans le sens direct, on donne un carré ABCD direct de centre O. 1. Montrer que si une isométrie f laisse globalement invariant le carré ABCD, alors elle fixe le point O. 2. Déterminer alors toutes les isométries laissant globalement invariant le carré ABCD. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. Isométries sans point fixe.. Activité 1. Soit f une isométrie, O un point d'image O' par f. On pose g t   f. O'O Soit C un point non fixe de f (existe car f  Idp ) d'image C' par f. 1. Prouver que g est une isométrie qui fixe le point O. 2. En déduire que f se décompose de manière unique en la composée d’une translation Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 et d’une isométrie qui fixe O. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème 1: Soit O un point du plan. Alors toute isométrie f se décompose de manière unique en la composée..................................................................................................................... ....

 Bonne nouvelle : Pour trouver toutes les isométries, il suffit d'utiliser le théorème précédent et de faire varier l'isométrie g qui fixe au moins un point (Paragraphe précédent) Allons-y on commence : Activité 2. Soit D une droite et  un vecteur non nul. On pose f  tu  SD. u 1. On suppose que  est un vecteur normal à D. u Montrer que f est une symétrie d'axe à préciser. 2. On suppose que  n'est ni un vecteur normal à D, ni un vecteur directeur de D. u Soit O un point de D et B le point tel que    . Soit H le projeté orthogonal de B sur D. u OB a. Montrer que f  t   SD' avec  D' t1 D . OH  2 OH b. Que dire alors de l'ensemble des points fixes de f? .......................................................................................................  ....................................................................................................... u ....................................................................................................... .......................................................................................................  ....................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 .....................................................................................................  u ..................................................................................................... B ..................................................................................................... .....................................................................................................  ..................................................................................................... OH ..................................................................................................... ..................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... Activité 3. Soit  un vecteur non nul, r une rotation d'angle non nul  et de centre I. On pose f  tu  r. u Montrer que f est une rotation. ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème 2: Une isométrie qui n’a aucun point fixe est soit ................................................................ ......................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............ Définition La composée d’une translation de vecteur   u non nul u et d’une symétrie orthogonale d’axe   tel que  est directeur de  est appelée u symétrie glissante.

Théorème 3: Toutes les isométries sont ............................................................................................... ............................................................................................................................. ............ Théorème 4: Toute isométrie se décompose en au plus .......................... symétries orthogonales. Ensemble des points fixes Nature de l'isométrie Décomposition en symétries orthogonales Au moins trois points non alignés Au moins deux points distincts A et B et différente de l'Idp Un seul point A Aucun point Application. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021  Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j) . P P x '  1 (4x  3y  6) M(x,y)  M'(x ',y ')   5 On considère l’application f : tel que y ' 1 5 (3x  4y  2) 1. Montrer que f est une isométrie du plan. 2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de f. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Géométrie : Isométries du plan_ Kais Nsib _ 2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

CHAPITRE  3 Déplacements Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 Antidéplacements      

Plan du chapitre I - Définition et propriétés II - Détermination d’un déplacement ou d'un antidéplacement III - Déplacements Angle d'un déplacement. IV - Antidéplacements

I - Définition et propriétés Dans tout le chapitre le plan est orienté dans le sens direct. Activité 1. Soit A et C deux points distincts. Soit M et N deux points distincts et E le point tel que   MN  AE. Construire les points M', N', et E' images respectives des points M', N', et E' par SAC.  ,   ,  AC AE AC AE '    1. Comparer et .  , MN  , M' N'    2. Montrer queAC - AC 2. 3. Soit P et Q deux points distincts d'images respectives P' et Q' par SAC.  , PQ  , P'Q' MN M'N'    Comparer et . ........................................................................................ N ........................................................................................ ........................................................................................ E ........................................................................................ M C Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 ........................................................................................ ........................................................................................ A ........................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème 1 (rappel): Toute symétrie orthogonale change les mesures des angles orientés en ..................... ............................................................................................................................. .............. ................................................................................................................... ..........................

Théorème 2. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021  La composée d'un nombre pair de symétries orthogonales ..................................... .......................................................................  La composée d'un nombre impair de symétries orthogonales ................................. ............................................................................................................................. ......... Définition  On appelle déplacement toute isométrie qui ..................................................................... ...................................................................................................................................................  On appelle antidéplacement toute isométrie qui ................................................................ ................................................................................................................................................... Théorème 3.  Une isométrie est un déplacement, si et seulement si, elle est la composée de deux symétries orthogonales.  Une isométrie est un antidéplacement, si et seulement si, elle est une symétrie orthogonale ou la composée trois symétries orthogonales. Activité 2. Faites la demonstration du Théorème 3 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Conséquence.  Tous les déplacements , sont ...................................................................................... ............................................................................................................................. .........  Tous les antidéplacements , sont ............................................................................. ............................................................................................................................. .........

Théorème 4. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021  La composée de deux déplacements est un .................................................................  La composée de deux antidéplacements est un ..........................................................  La composée d'un déplacement et d’un antidéplacement est un ................................  La réciproque d’un déplacement est un .......................................................................  La réciproque d’un antidéplacement est un ................................................................. Application. Soit f une isométrie. Montrer que f  f est un déplacement. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Conséquence. Un déplacement différent de l'identité du plan admet au plus un point fixe. c.a.d : Un déplacement qui f deux points distincts est égal à............................ II - Détermination d’un déplacement ou d'un antidéplacement Activité 1. Soit f et g deux isométries de meme nature et A et B deux points distincts tels que f A   gA   A ' et f B   g B   B '. On pose h  g1  f. 1. Déterminer h A  et h B. 2. En déduire que f = g. Théorème 1.  Deux déplacements, qui coïncident sur deux points distincts ......................................  Deux antidéplacements, qui coïncident sur deux points distincts ................................. Application. Dans la figure ci-contre ABCD est un carré direct de centre O et E  SD C. En utilisant le théorème précédent, montrer que r t  r E DC  BD  SO.  D, 2   B,2     O AB

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Activité 2. B Soit A, B, C et D quatre points du plan tels que AB  CD  0. B' D CB',CD A  1. 2. On pose B'   t B et   Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 AC Prouver que f  rC,  t  est l'unique déplacement C AC qui tranforme A en C et B en D. 2. Trouver l'unique antidéplacement g qui tranforme A en C et B en D. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème 2. Soit A, B, C et D quatre points du plan tels que AB  CD  0. Alors :  il existe un unique déplacement f, .................................................................................  il existe un unique antidéplacement g, ..........................................................................

III - Déplacements 1. Angle d'un déplacement. Activité. Soit f un déplacement. Soit A, B, C et D quatre points tels que A  B et C  D d'images    respectives A', B', C' et D' par f. Montrer que AB,A'B'  CD,C'D' 2. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Théorème et définition. Soit f un déplacement. Soit A, B, C et D quatre points tels que A  B et C  D d'images  respectives A', B', C' et D' par f, alors AB,A'B'  ..........................................................    Si  est une mesure de l'angle AB,A 'B' ....................................................................... ......................................................................................................................................... Conséquence.  Une translation est un déplacement d'angle ...........................................................  Une rotation d'angle non nul  est un déplacement d'angle .................................. Corollaire 1. V Soit f un déplacement d'angle  .  Si   2kk   , alors .........................................................  Si   2kk   , alors ........................................................

Corollaire 2.  La composée de deux déplacements d'angles  et ' est un déplacement d'angle ............................................................................................................................. ....  La réciproque d’un déplacement d'angle  est un déplacement d'angle................... Application 1 . Soit ABC un triangle rectangle isocèle tel que (AB,AC)   2 . On pose I C  B. 2 Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'application   r(C,2 )  t   r(B,2 ) . BC ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2 . Soit ABC un triangle équilatéral de centre I tel que (AB,AC)   2 . 3 1. Montrer qu’il existe un seul déplacement f tel que : f(C) = A et f(A) = B. 2. Montrer que f est une rotation dont on précisera l’angle et le centre. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3 . Soit ABCD un carré tel que (AB,AD)   2 . E 2 DC On pose E  SC(B). Caractériser chacune des applications : 1. f  t   r A, 2 ) AC ( 2. g  SC o f 3. h  f o g . AB ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 4 . Dans la figure ci-contre ABCD est parallélogramme de centre  et les triangles ABO1 , BCO2 , CDO3 et DAO4 sont des triangles rectangles isocèles de sommets (O1A,O1B) principaux respectifs O1, O2, O3 et O4. On suppose que   2 . On désigne 2 par R1, R2, R3 et R4 les rotations d’angles  et de centres respectifs O1 , O2 , O3 et O4. 2 1. a. Determiner r2  r1 A, r3  r2 B et r4  r3 C. b. Montrer que les applications r2  r1, r3  r2 et r4  r3 sont toutes les trois égales à une même application que l’on déterminera et que l’on désignera par f. 2. a. Montrer que r3 r2 O1  r2 O1 et déterminer f(O1). b. Montrer que f(O2) = O4. c. Quelle est la nature du quadrilatère O1O2O3O4 ? ………………………………………………………………………………………………O1……………. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. A B ……………………………………………………………………O…4 ……………………………………. ………………………………………………………………………………………… …………………. O2 …………………………………………………………………………D …………………………C ………. ……………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………O3 ……………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 5 . Soit ABCD un losange tel que (AB,AC)   2 , on désigne par O le centre du triangle 3 ABC et E  SC(A) . 1. a. Montrer qu’il existe un seul déplacement f tel que : f(C) = A et f(E) = B. b. Montrer que f est une rotation dont on précisera l’angle et le centre. 2. On pose g  r(C,3 )  t   r(B,3 ) . Préciser g(B) et g(A) puis caractériser g. BC 3. Caractériser l’application f-1og, en déduire qu’il existe un seul point M tel que f(M) = g(M). ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 6 ( reprendre l'application 1) . Soit ABC un triangle rectangle isocèle tel que AB  AC  1 et (AB,AC) 2 2 .  On pose I  C  B. On rapporte le plan au repère orthonormé direct (A,AB,AC). 1. Donner L'écriture complexe de chacune des applications suivantes : t , r et r(B,2 . BC (C,2 ) ) 2. On pose   r(C,2 )  t   r(B,2 ) . Montrer que M(z)  M'(z')  z'  z 1 i. BC 3. Caractériser alors l'application  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. .............................................................................................................................................. IV - Antidéplacements Remarque.  Un antidéplacement qui fixe un point A est ..........................................................................  Un antidéplacement qui fixe deux points distincts A et B est ............................................ Activité 1. Chapitre 3 : : Géométrie : Déplacements et antidéplacements _ Kais Nsib_2020-2021 Montrer qu'une isométrie est un antidéplacement, si et seulement si, c’est la composée d'une symétrie orthogonale et d'une translation. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème. Une isométrie est un antidéplacement, si et seulement si, c’est la composée d'une symétrie orthogonale et d'une translation. Activité 2.  Soit une droite D de vecteur directeur u . 1. Montrer que tu  SD  tu  SD  t2u. 2. En déduire que tu  SD  SD  tu.    3. Soit une droite D' de vecteur directeur u' . Montre que si tu  SD  t   SD' , alors D = D' et u  u'. u'