Binder4

3. Image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone . Théorème 1 (admis)  Si f est croissante et majorée sur a,b  Si f est décroissante et minorée sur a,b alors f ............................................................. alors f ............................................................  Si f est croissante et majorée sur a,  Si f est décroissante et minorée sur alors f ............................................................ a, alors f ................................................  Si f est croissante et non majorée sur  Si f est décroissante et non minorée sur Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 a,b alors f ........................................................ a,b alors f ...................................................  Si f est croissante et non majorée sur  Si f est décroissante et non minorée sur a, alors f ................................................. a, alors f ...................................................

Théorème 2 Soit f une fonction continue et strictement Soit f une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle I. décroissante sur un intervalle I.  Si I  a,b , alors f a,b   Si I  a,b , alors f a,b   Si I  a,b , alors f a,b   Si I  a,b , alors f a,b   Si I  a,b , alors f a,b  ....................  Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021  Si I  a,b , alors f a,b  ....................  Si I  a,b , alors f a,b  ....................  Si I  a,b , alors f a,b  ....................  Si I  a, , alors f a,  ...............  Si I  a, , alors f a,  .................  Si I  a, , alors f a,  ...............  Si I  a, , alors f a,  .................  Si I  ,b , alors f ,b  ...............  Si I  ,b . alors f ,b  .................  Si I  ,b , alors f ,b  ...............  Si I  ,b . alors f ,b  ...............  Si I  , , alors f ,  ............  Si I  , . alors f ,  ...........

Application 1. Soit f la fonction définie sur 1, par : f(x)  2xx11. Déterminer f 1,; f 1,2; f 2,3; f 4,5; f 2,8. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Soit f la fonction définie sur    ,   par : f(x)  tan(x)  cos(x). Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021  2 2  Déterminer f     ,    ; f   0,    ; f    ,   ; f    ,   .   2 2     2     6 3   4 2  ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………

D - Fonction réciproque I. Définition . Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est une bijection de I sur f(I) ou que f réalise une bijection de I sur f(I) si …………………………………….......... ……………….......................................................................................................................... ……………………………………………………........................................................................ Activité 1 Parmi les fonctions représentées ci-dessous, identifier celles qui réalisent une bijection de I sur f(I). 1).................................................. 2).................................................. I  2,7 I   2, 7  9 8 7 6 5 4 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 3).................................................. 4).................................................. I  2, 3 6 I  1,3 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 12345 -1

Théorème 1 (de la bijection) Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I, alors f........................... .................................................................................................................................................... Définition 2 Soit f une bijection d'un intervalle I sur f(I). On appelle fonction réciproque de f et on note f-1 la fonction définie sur ................................................................................................ ……………………………………………………........................................................................... C.A.D : f(x)  y  .........................    ..........................  x  I  Conséquence Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Soit f une bijection d'un intervalle I sur f(I). Alors  Pour tout x élément de I, f 1  f(x)  .................................  Pour tout x élément de f(I), f  f 1(x)  ............................. Application 1.  Dans la figure ci-contre  est la courbe représentative d'une fonction f bijective de 3,6 sur 3,3. En utilisant le graphique, déterminer f 1(3), f 1(1), f 1(1) et f 1(3). ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… Application 2. Soit f la fonction définie sur I  1, par f  x  x x . 1 1. Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l'on précisera. 2. Expliciter f 1 x pour tout x  J. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 3. Soit f la fonction définie sur I  1, par f x  x2  2x  3. 1. Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J que l'on précisera. 2. Expliciter f 1 x pour tout x  J. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… Application 4 (revenant sur le T.V.I). Montrer que l'équation x3  3x  3  0 , admet dans  , une seule solution  et que 1   0. …………………………………………………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………………............. …………………………………………………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………………............. …………………………………………………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………………............. …………………………………………………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………………............. …………………………………………………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………………............. …………………………………………………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………………............. ………………………………………………………………………………………………………............. ……………………………………………………………………………………………………….............

Application 5 (revenant encore sur le T.V.I). Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Montrer que l'équation 1 x  x , admet dans l'intervalle 0,2 une seule solution . 2x  x2 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. II. Représentation graphique de la courbe d'une fonction réciproque Activité (Cahier de recherche)    Soit O, OI ,OJ un repère orthonormé du plan. On désigne par  la droite d'équation y  x. 1. Soit M(a, b), on pose M'  S M. Montrer que M' a pour coordonnées (b, a). 2. Soit f une bijection d'un intervalle I sur f(I). Montrer que les courbes de f et de f-1 sont symétriques par rapport à la droite  . Théorème 2 (de la bijection) Soit f une bijection d'un intervalle I sur f(I).    Dans un repère orthonormé O, OI ,OJ les courbes de f et de f-1 ....................... .............................................................. ........................................................... ...........................................................

Application 1. Dans la figure ci-dessous  est la courbe représentative dans un repère orthonormé de la fonction f :x  2  3x2 , qui est une bijection de  sur 1,3. 1 x2 1. Tracer la courbe de f-1 dans le même repère. 2. Expliciter f 1 x pour tout x 1,3. 6 Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 5 4 3 2 1 -2 -1 12345678 -1 -2 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Application 2. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Dans la figure ci-dessous  est la courbe représentative dans un repère orthonormé d'une fonction f bijective de ,1 sur . Tracer la courbe de f-1 dans le même repère. III. Monotonie et continuité d'une fonction réciproque . Théorème Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors sa fonction réciproque f-1 est ..................................................................................................... .................................................................................................................................................. Démonstration : ................................................................................................................................ ………………………………………………………………………………………………………….…….. …………………………………………………………………………………………………………….……. …………………………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………………………………………………………………………….……

Application. Dans la figure ci-dessous  et  ' sont les courbes représentatives de deux fonctions f et g continues et strictement croissantes respectivement sur 0, et 1,. Soit h la fonction définie sur  par : h(x)  g1  f x si x 0. h(0)  1 1. Montrer que h est continue sur  . Préciser h1, h2 et h4. 2. Montrer que h est strictement croissante sur  . 3. En déduire que h est une bijection de  sur un intervalle J que l'on précisera.  Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ' ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. IV. Fonction racine nième. Activité Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer que la fonction x  xn réalise une bijection de  sur  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Définition 3 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. La fonction x  xn ................................................... 2 …………………………………………………............. 1 ……………………………………………………......... …………………………………………………............ 123 ……………………………………………………........

Notation L'image d'un réel positif x par la fonction racine nième est noté n x et on lit : << racine nième de x >> Conséquences Soit x et y deux réels positifs . Alors  xn  y  x  .............................   n xn  ...................... et n x n  ......................  n x  n y  ......................  n x  n y  ......................  n 0  ...............; n 1  ...............et lim n x  ............. x  La fonction racine nième est continue sur ........................... Exemple Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Simplifier 3 8  .......................; 3 2 2  ...................; 4 81  ......................; 5 243  .................... Propriétés Soit a,b   et et n et p deux entiers naturels supérieurs ou égal à 2. Alors   n a  b  ......................; np ap  ................; n a p  ..................; n p a  ....................  n a  ........................ b  0 b Application 1. Simplifier 6 64; 4 4  38 ; 8 16 ; 3 3  27  3 8 ; et 3 1024  64  5 7776 . 8 81 3 81 18  3 256 ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2.  1. Développer 2  3 3 . 2. Simplifier 3 7  4 3  3 7  4 3 . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Application 3. Résoudre dans , les équations suivantes : 1. x5  2; 2. x3  6; 3. x6  8; 4. x8  2; 5. 3 x  4 2; 6. 6 x2  4 2; 7. 3 x2  5  3 x  6  0. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………..................................................................

……………………………………………………………………………………Xn…=…a…………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 …………………………………………………………………S…oi…t a……… …et…n………. ………………. …………………………………………………………………x…2n……a ……..…....…....…...…....…...…....…....…...…....…...…. . …………………………………………………………………x…2n…1 …a………....…...…....…....…...…....…...…....…....…...….. . …………………………………………………………………x…2n…1 ……a……..…...…....…....…...…....…...…....…....…...….. . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 4. Soit f la fonction définie sur I  0, par f x  1 x3. 1. Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l'on précisera. 2. Expliciter f 1 x pour tout x  J. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. V. Puissances à exposant rationnel . Définition Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 Soit x un réel strictement positif et r un rationnel tel que r  p avec p et p   \\ {1}. q On appelle puissance à exposant r du réel x et on note xr , le réel défini par : xr  q xp . Remarques  Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et pour tout réel strictement positif x, 1 n x  xn.  Pour tout réel strictement positif x et r  0 , xr  1.  Par convention : Pour tout rationnel non nul r, 0r  0. Exemple 3 15 2  164  .......................; 83  .................; 42  ......................; 2 2 3  ...........................

Propriétés Pour tout a,b        et r,r '    , on a :     ar ar r'  ............................ ar  ar '  .........................; ar '  .....................;  a  br  ........................;  1 r  ...........................;  a r  .....................  a   b  Application 1. Simplifier A  6 9  18 9  9 243 et B  3 9  3 2 3 3 . 83 26 2 5 27 6 ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 2. Résoudre dans les équations suivantes : 3  8; x  5  65 ; 3 3 8  0. 2 32 x7 x2  9x4 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Conséquences Soit r un nombre rationnel.  Alors la fonction x  xr est continue sur   .   Si f est une fonction continue et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction f r est continue sur I.  Si lim f x   L  0 alors lim f r x   ................... xx0 xx0  Si lim f x    alors lim f r x   ......................... xx0 xx0 A noter que : les deux dérniers résultats sont aussi valables en .............................. Application 3. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 3 Soit f la fonction définie sur I  0,, par : f x  3 1 x 15 . 1. a. Montrer que f est continue sur I. b. Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l'on précisera. 2. Expliciter f 1 x pour tout x  J. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Application 4. Etudier les limites suivantes : lim 4 x  x ; lim 3 x3  x 1  2x; lim 3 x3  x 1  x. xx 3  x 5 x x ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Application 5.  Dans le graphique ci-dessous on a représenté dans un repère orthonormé direct (0,i, j) , la courbe  de la fonction f définie sur 0,8 par : f(x)   4  x 2 3 .  3   1. Utiliser le graphique pour justifier que f est une bijection de 0,8 sur un intervalle J que l’on précisera. 2. Expliciter f 1(x) pour tout x  J . 3. Utiliser , pour tracer dans le même repère la courbe d’équation : 3 x2  3 y2  4. ……………………………………………………………………………………………………………. Chapitre 1 : Analyse : Limites - Continuité - Fonction réciproque_ Kais Nsib_2020-2021 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

CHAPITRE 2    Suites réelles  Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021

Plan du chapitre A - Rappels I. Raisonnement par récurrence.. II. Symbole sigma. II. Suites arithmétiques - Suites géométriques. 1. Définition d'une suite. 2. Suites arithmétiques et Suites géométriques. III. Suites monotones. IV. Suites minorées - Suites majorées - Suites bornées . B - Limite d'une suite I. Limite finie d'une suite ou suites convergentes. II. Limite infinie d'une suite. III. Opérations sur les limites de suites. IV. Limite d'une suite monotone. V. Limite d'une suite géométrique. VI. Théorèmes de comparaisons ou limites ordres. 1. Cas d'une limite finie. 2. Cas d'une limite infinie. VII. Suites du type Vn = f(Un). VIII. Suites récurrentes. 1. Limite d'une suite du type Un+1 = f(Un) . 2. Représentation des premiers termes d’une suite de la forme Un+1 = f(Un). IX. Suites adjacentes.

A - Rappels I. Raisonnement par récurrence..  Principe de récurrence Soit n0   et P une propriété dépendant d'un entier naturel n  n0. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :  Initialisation : P est vraie pour l'entier n0 .  Héridité : Si la propriété P est vraie jusqu'à lordre n n  n0  elle reste encore vraie à l'ordre n  1 . alors ............................................................................................................................. Application 1.  Montrer par récurrence que la somme des aires des n n   carrés de côtés 1, 2,3 ...et n est égale à n n  1  2n  1 . 6 123............ n-1 n Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 2.  Montrer que la somme des volumes des n n   cubes d'arêtes 1, 2,3 ...et n est égal à n2 n  12 . 4  .... n-1 n 1 2 3 ............ ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 3. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 Montrer que pour tout entier n  3, 2n  n  3. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Application 4. Montrer que pour tout entier naturel n, 9n1  26n1 est divisible par 11. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................

II. Symbole sigma.  Notation :  k 251  La somme S'  1 2  3  2020 peut-être notée comme suit : S '  k. k 1 S\"  1 1 1 1 k 20 1  2 22 220 k 0 2k La somme   peut-être notée comme suit : S\"  .  En général La somme S  ap  ap1  ap2  aq p,q  tel que p  q kq kq  peut-être notée comme suit : S  ak. c.a. d ak  ap  ap1  ap2    aq. kp kp et se lit << somme pour k variant de p à q des ak >> Exemple. Utiliser le symbole pour exprimer les sommes suivantes : a. S1  1 3  5    2021 b. S2  1 23  33    1513 c. S3  1  2  3  321 2 3 4 322 d. S4  52  42    272 e. S4  6  8 1  300 f. Un  33  34  35    3n n  3   g. Wn  1 22  24    22n n    h. 1 1 1 1 Vn  n  n  1  n 2   2n n   ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

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III. Suites arithmétiques - Suites géométriques. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 Activité ( Cahier de recherche) 1. Chaque année, la grand-mère de Mohamed dépose de l’argent dans une tirelire afin de constituer une Cagnotte pour son petit-fils. Elle a commencé le premier Janvier 1998 par un dépôt de 200 D. Depuis lors, elle a effectué un dépôt chaque 1 er Janvier, en augmentant chaque année le montant de ce dépôt de 50 D. On note Un le montant, exprimé en dinars, de la somme déposée dans la tirelire le 1 er Janvier de l’année (1998 + n). (Ainsi, U0 = 200, U1 = 250,…) et Sn le montant en dinars, de la somme contenue dans la tirelire après le dépôt de l’année (1998 + n).(Ainsi, S0 = 200, S1 = 450,…) a. Calculer U2, puis exprimer Un+1 en fonction de Un. b. Exprimer Un en fonction de n. c. Calculer S2, puis exprimer Sn en fonction de n. d. Le 1er Janvier 2009, la grand-mère de Mohamed effectue son dépôt habituel (en dinars), puis offre la tirelire à Mohamed. Quel est le montant de la somme reçue par Mohamed? 2. Avec le cadeau de sa grand-mère, Mohamed décide d’ouvrir un compte bancaire et d’y placer une partie de la somme qu’il a reçue. Le 1er Janvier 2009, il effectue un placement de 5000 dinars, à intérêts composés, au taux annuel de 4 % ( A la fin de chaque année, les intérêts seront incorporés au capital). De plus, chaque 1er Janvier des années suivantes, il décide d’ajouter sur son compte 200 dinars. On note Cn le montant, exprimé en dinars, du capital disponible sur le compte bancaire de Mohamed après n année de placement. (Ainsi C0 = 5000) a. Calculer C1. b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : Cn+1 = 1,04 Cn + 200. c. (Vn) la suite définie par Vn = Cn + 5000.  Calculer V0.  Montrer que (Vn) une suite géométrique dont on précisera la raison. d. Exprimer Vn puis Cn en fonction de n. e. Combien d’années, au minimum, Mohamed devra-t-il attendre pour disposer d’une somme de 10000 dinars au moins sur son compte bancaire ? 1. Définition d'une suite. Définition Soit n0 un entier naturel et I  {n   / n  n0 }  {n0, n0  1, n0  2,} . On appelle suite réelle définie sur I, toute application U définie de I dans  .  Vocabulaires et notations :  Pour tout entier n  n0, Un est noté............................................................................  La suite U est aussi notée............................................................................................. 

 Exemples  Suite définie par son terme général : ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................  Suite définie par une relation de récurrence : ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Activité Calculer U1,U2 et U3 conjecturer une expression de Un en fonction de n, puis montrer la propriété ainsi conjecturée: a. U0 1 et pour tout n, Un1  Un . 1 Un b. U0  1 et pour tout n   , Un1  Un  2n  3. c. U0  1 et pour tout n   , Un1  Un . 2  Un2 .................................................................................................................................................... Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................... Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................

2. Suites arithmétiques et Suites géométriques. Activité Soit n0  , I  {n   / n  n0}. Compléter et retenir le tableau suivant : Suites arithmétiques Suites géométriques La suite  Un nI est arithmétique s'il La suite  Un nI est géométrique s'il existe un réel r tel que : existe un réel q tel que : pour tout n I .................................... pour tout n I .................................... ........................................................... ........................................................... ............................................................ ............................................................ Si Un n est une suite arithmétique Si Un n est une suite géométrique de de raison r alors pour tout n   raison non nul q alors pour tout n   Un  ................................................... Un  ................................................... En général pour tout m,n   En général pour tout m,n   Un  ................................................... Un  ................................................... Si Un n est une suite arithmétique Si Un n est une suite géométrique de de raison r alors pour tout n   raison q   \\ {1} alors pour tout n   U0  U1    Un  ................................... U0  U1    Un  ................................... Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 =............................................................ =............................................................ Application 1. C3 C4 C2 C1 1cm Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Un l'aire en cm² du carré Cn . (figure ci-contre) 1. Calculer U1 et U2. 2. Exprimer Un1 en fonction de Un . En déduire U7 . 3. A partir de quel rang n0 l'aire du carré Cn sera inférieur à 0.01cm².

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Application 4. Calculerla : S 15 2k  2k  6 . somme  k 0 3 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. III. Suites monotones. Définition Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 Soit n0 un entier naturel,I  {n   / n  n0} et Un  une suite définie sur I.  On dit que Un nI est croissante si .............................................................................  On dit que Un nI est strictement croissante si ........................................................  On dit que Un nI est décroissante si ........................................................................  On dit que Un nI est strictement décroissante si ....................................................  On dit que Un nI est constante si ..............................................................................  Vocabulaire : Une suite croissante ou décroissante est dite................................... Exemple 1. Etudier la monotonie de la suite n 1 Un n définie par : Un  k 1 5k . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Exemple 2. Etudier la monotonie de la suite Un n définie par : Un  1  n 1 1    1 . n  2n ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ Exemple 3. Etudier la monotonie de la suite Un n3 définie par : Un  2n . n2 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Exemple 4. Soit (Un) la suite définie sur  par U0 = 0 et pour tout n  , Un1  3 1 Un . 2 1. Montrer que pour tout n  , 0  Un  1. 2. Montrer que la suite (Un) est monotone.

............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. III. Suites minorées - Suites majorées - Suites bornées . Définition Soit n0 un entier naturel,I  {n   / n  n0} et Un  une suite définie sur I.  On dit que Un  est majorée s'il existe .............................................................................. ....................................................................................................................................................  On dit que Un  est minorée s'il existe .............................................................................. .....................................................................................................................................................  On dit que Un  est bornée si..............................................................................................

 Exemple: la suite définie sur , par Un  cos  n  est majorée par ............................  3  et minorée par .............................., donc Un  est .............................................................. Exemple 1. Pour tout n   , on pose Un  n . Montrer que la suite Un n est majorée par 3 . 1 2n 4 n k 2. Pour tout n  , on pose Sn  k U . Montrer que la suite Sn  est majorée par 3. k 1 ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

B - Limite d'une suite I. Limite finie d'une suite ou suites convergentes. Activité Dans la figure ci-dessous le rectangle est isocèle rectangle de côté 1cm. (Note : les points qui interviennent sur l’hypoténuse à une étape donnée sont les milieux des segments découpés sur l’hypoténuse à l’étape précédente.) On considère la suite An n des aires des polygones ainsi obtenus. A1 A2 A3 A4 1. Quelle conjecture peut-on faire sur la monotonie de la suite An n 2. Quelle conjecture peut-on faire quand à la majoration de la suite An n 3. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite An n pour de grandes valeurs de n. 4. n1 1 1 1 a. Montrer que tout n  , An  k2 2k . En déduire que An  2 2n1 . b. Montrer que tout entier n 9, An  1  103. 2 c. Montrer que tout entier n  32 , An  1  1010. 2 Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 1 AAAAA1274569836254071 A3 A2 A1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Définition. Soit n0 un entier naturel, I  {n   / n  n0} et un réel. On dit que la suite Un nI a pour limite  ou converge vers si tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang p I . C.A.D pour tout   0 , ......................................................................................................... .............................................................................................................................................    -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40  Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021  Vocabulaires:  Si Un nI converge vers un réel , on dit aussi que Un nI est ......................................  Une suite qui n'est pas convergente est dite ................................................................. Théorème 1 (admis) Si une suite Un  converge vers une limite  alors cette limite est unique.  Notation : Si Un nI converge vers un réel on note lim Un  ou limUn  . n

Exemple 1. Soit  Un n la suite définie par : Un  n1. En utilisant la définition, montrer que la suite  Un n converge vers 0. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Activité 1 Pour chacune des suites représentées ci-dessous, dire quelle semble être sa limite. 1................................................................. 2. ................................................................ 3. ................................................................ 4. ................................................................ Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021

Activité 2 On donne ci-dessous le tableau donnant les premiers termes d'une suite Un . Dire quelle semble être sa limite. U0 U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 1 2,5 1,666 2,25 1,8 2,166 1,857 2,125 1,888 2,1 1,909 2,083 1,923 2,071 1,933 2,062 U16 U17 U18 U19 U20 U21 U22 U23 U24 U25 U26 U27 U79 U80 U99 U100 1,941 2,055 1,947 2,05 1,952 2,045 1,956 2,041 1,96 2,038 1,962 2,035 2,012 1,987 2,,01 1,99 ............................................................................................................................................................. Activité 3 Soit n0  , f une fonction définie sur n0, et  Un nn0 la suite définie par Un  f n. Montrer que si lim f x  L  , alors lim Un  L. x x ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème 2 Soit n0  , f une fonction définie sur n0, et  Un nn0 la suite définie par Un  f n. si lim f x    , alors ........................................................................................ x

Application. Calculer la limite de chacune des suites suivantes : Un  2n  1  n  3; Vn  2n3  n2  1; Wn  n2  4  nn  2; Tn  n sin    n  1. n2  4 n3  n  1 n ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Activité 2 (cahier de recherche) Soit  Un nn0 une suite convergente vers un réel L. 1. En choisissant   1, montrer qu'il existe un entier p  n0, tel que : pour tout entier n  p L  1  Un  L  1. 2. Montrer que la suite est bornée Théorème 3 Toute suite convergente est .............................. Activité 3 (cahier de recherche) Soit  Un nn0 une suite convergente vers un réel L. 1. On suppose Un  0, à partir d'un certain rang p  n0. Montrer que L  0 . Ind : Raisonner par l'absurde et appliquer la définition en choisissant   L . 2 2. Montrer que si Un  0, à partir d'un certain rang p  n0 alors L  0 . 3. Montrer que s'il existe deux réels m et M tels que m  Un  M, à partir d'un certain rang p  n0 alors m  L  M . Théorème 4 Soit  Un nn0 une suite convergente vers un réel L. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021  Si Un  0, à partir d'un certain rang p  n0 alors ..............................  Si Un  0, à partir d'un certain rang p  n0 alors ..............................  S'il existe deux réels m et M tels que m  Un  M, à partir d'un certain rang p  n0 alors ................................. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4

II. Limite infinie d'une suite Activité On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction f définie sur  par : f(x)  x2  2x  3 . Soit  Un n la suite définie par : Un  n2  2n  3. 8 8 1. Utiliser la courbe  pour représenter la suite  Un n 0  n  10 . 2. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite  Un n pour de grandes valeurs de n. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 Définition. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 Soit n0 un entier naturel et I  {n   / n  n0} .  On dit que la suite  Un nI tend vers  si................................................................... ............................................................................................................................................  On dit que la suite  Un nI tend vers  si.................................................................. ............................................................................................................................................ Exemple 1. Soit  Un n la suite définie par : Un  n. En utilisant la définition, montrer que la suite  Un n tend vers .

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Théorème 1 Soit n0  , f une fonction définie sur n0, et  Un nn0 la suite définie par Un  f n.  si lim f x  , alors ........................................................................................ x  si lim f x  , alors ........................................................................................ x  Application. Calculer la limite de chacune des suites suivantes : Un  3n3  4n2 n  2; Vn  2n3  n2  1; Wn  4n2  4  nn  1; Tn  n3 1 cos  1   n  1. n2 n1 n   ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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v\" \" Démonstration Découle directement de la dernière remarque. c\" \" Soit   0 lim U2n L, alors il existe p1 I tel que pour tout n  p1, U2n L  A n lim U2n1 L, alors il existe p2 I tel que pour tout n  p2, U2n1  L  B n On pose p0  max 2p1;2p2  1. Alors n  p0  Un  L  donc lim Un  L. n En effet : si n  2k  p0  max 2p1;2p2  1  n  2k  2p1  k  p1 A U2k  L  ε  Un  L  ε si n  2k  1  p0  max 2p1;2p2  1  n  2k  1  2p2  1 k  p2 B U2k1  L  ε  Un  L  ε Application. Etudier la convergence de chacune des suites suivantes :    Un  1n  1n ; Vn  n   ; Wn  n 2  1n . n ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

III. Opérations sur les limites de suites Soit , ’  . Compléter et retenir les tableaux suivants : lim Un lim Vn lim Un  Vn n n n  ’         lim Un lim Vn lim Un  Vn n n n  ’           lim Un lim Vn lim Un Vn n n n  ’  0     > 0 0 Chapitre 2 : Analyse : Suites réelles_ Kais Nsib_2020-2021 < 0 0 Application. Soient  Un n et  Vn n deux suites telles que pour tout n  , Un  0, lim Un  0 n et lim Vn  . Calculer la limite de chacune des suites suivantes : n  xn   1  2  n2  3n 1 ; yn  n2  2n  1; Zn  1 Un ; rn  Vn  2Un ; sn  2Un  3.  n 2n2 3 Vn  2 Vn  2 Un ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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