Calculus 1

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ວຊິ າ ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 1 ເຫມຼັ້ ທີ 1 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2019

ຄໍານາໍ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫຼວງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ, ການຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງ ຕໍາລາ, ການຊອກຫາຂອບເຂດຂອງຕໍາທ່ ສີ າມາດກໍານດົ ໄດ,້ ການຊອກຫາຂອບເຂດຂອງຕໍາລາທ່ ີ ບ່ ໍສາມາດກໍານດົ ໄດ,້ ນໍາໃຊນ້ ຍິ າມ ເພ່ ອື ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ, ນໍາໃຊສ້ ູດ ເພ່ ອື ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ. ແຕ່ ລະ ເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກຄໍ ທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ ບດົ ທີ 1 - ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ y = f ( x ) ຢ່ ູເມດັ x = x0 1 5 ບດົ ທີ 2 - ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາ 11 ບດົ ທີ 3-ຂອດເຂດຂອງຕໍາລາທ່ ສີ າມາດກໍານດົ ໄດ ້ 17 ບດົ ທີ 4- ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາທ່ ບີ ່ ໍສາມາດກໍານດົ ໄດ້ 17 4.1. ຂອບເຂດທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0 29 0 30 4.2. ຂອບເຂດທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ 35 ∞ 37 40 4.3. ຂອບເຂດຂອງ sin x ເມ່ ອື x → 0 49 x 4.4. ຂອບເຂດມຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ − ∞ 4.5. ຂອບເຂດທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ (1)∞ ບດົ ທີ 5 - ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາ f ຢ່ ູເມດັ x0 ບດົ ທີ 6- ນໍາໃຊສ້ ູດຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ

ບດົ ທີ 1 ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕາໍ ລາ y =f ( x) ຢ່ ູເມດັ x = x 0 ທດິ ສະດ:ີ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x)= x2 −5x +3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1  , f (2), f (−1) 2 ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ : f  1  = ? 2 ເຮາົ ມ:ີ f ( x ) = x2 −5x + 3 f  1  =  1 2 − 5 1  + 3 = 1 − 5 + 3 = 1 − 10 + 12 =1−10 +12 = 3 2 2  2 4 2 4 4 4 4 4 ສໍາລບັ : f (2) = ? ເຮາົ ມ:ີ f ( x ) = x2 −5x + 3 f (2) =(2)2 − 5(2) + 3 = 4 −10 + 3 = − 3 ສໍາລບັ : f (−1) = ? ເຮາົ ມ:ີ f ( x ) = x2 −5x + 3 f (−1) =(−1)2 − 5(−1) + 3 =1+ 5 + 3 =9 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x +1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (4), f  − 1  2 ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ : f (4) = ? ເຮາົ ມ:ີ f (x) = 2x +1 f (4)= 2(4) +1 = 8+1 = 9 =3 1

ສໍາລບັ : f  − 1  = ? 2 ເຮາົ ມ:ີ f (x) = 2x +1 f  − 1  = 2  − 1  +1 = −1+1 = 0=0 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x + 3) = 4x − 5. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1  , f (5) 4 ບດົ ແກ:້ ວາງ x + 3 = t ⇔ x = t − 3 f (t) = 4(t − 3) − 5 = 4t −12 − 5 = 4t −17 ສໍາລບັ : f  1  = ? 4 ເຮາົ ມ:ີ f ( t) = 4t −17 f  1  = 4  1  − 17 = 1 −17 = −16 4 4 ສໍາລບັ : f (5) = ? ເຮາົ ມ:ີ f ( t) = 4t −17 f (5) = 4(5) −17 = 20 −17 =3 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x ) = 2sin x + cos x − 5 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (π ), f  π  2 ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ : f (π ) = ? ເຮາົ ມ:ີ f (x ) = 2sin x + cos x − 5 f (π ) = 2sin π + cosπ − 5 = 2.0 −1− 5 = −1− 5 = −6 ສໍາລບັ : f  π  = ? 2 ເຮາົ ມ:ີ f (x ) = 2sin x + cos x − 5 f  π  = 2 sin π + cos π − 5 = 2.1 + 0 − 5 = 2 − 5 = −3 2 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = 2x2 − 3x +1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (2t −1), f (2x + 3) ບດົ ແກ:້ 2

ສໍາລບັ : f (2t −1) = ? ເຮາົ ມ:ີ f ( x ) = 2x2 − 3x +1 f (2t −1) = 2(2t −1)2 − 3(2t −1) +1 = 2(4t2 − 4t +1) − 6t + 3 +1 = 8t2 − 8t + 2 − 6t + 4 = 8t2 −14t + 6 . ສໍາລບັ : f (2x + 3) = ? ເຮາົ ມ:ີ f ( x ) = 2x2 − 3x +1 f (2x + 3)= 2(2x + 3)2 − 3(2x + 3) +1 = 2(4x2 +12x + 9) − 6x − 9 +1 = 8x2 + 24x +18 − 6x − 8 = 8x2 +18x +10. ຕວົ ຢ່ າງ 6: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x − 2) = 2x − 3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (a +1), f (b − 2) ບດົ ແກ:້ ວາງ x − 2 = t ⇔ x = t + 2 f (t) = 2(t + 2) − 3 = 2t + 4 − 3 = 2t +1 ສໍາລບັ : f (a +1) = ? ເຮາົ ມ:ີ f ( t ) = 2t +1 f (a +1) = 2(a +1) +1 = 2a + 2 +1 = 2a + 3. ສໍາລບັ : f (b − 2) = ? ເຮາົ ມ:ີ f ( t ) = 2t +1 f (b − 2)= 2(b − 2) +1 = 2b − 4 +1 = 2b − 3 . ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. f (x) = 3x2 + 5x − 21.ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0), f (−2), f (1) 2. h (t) =(2t +1)2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ h (−1), h (0), h (1) 3. g ( x ) = x − 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ g (−1), g (1), g (2) x 4. f ( x ) = x x 1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (2), f (0), f (−1) 2+ 5. h (t ) = t2 + 2t + 4 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ h (2), h (0), h (−4) 3 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ g (0), g (−1), g (8) 6. g (u) =(u +1)2 . 7. f ( t ) = ( 2t − 1)− 3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1), f (5), f (13) 2 3

8. g (x) = 4 + x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ g (−2), g (0), g (2) 9. f (x) = x − x − 2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1), f (2), f (3) 10. f (x) = x3 − 3x2 + 2x + 5. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (−1), f (0), f (1) 11. g (x) = x −1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ g (2), g (3), g (4) x2 +1 12. h (x) = log3 (3x) . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ h (3) , h  1  , h  1  3 9 13. f (t ) = t2 + 9 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0), f (4) 14. f (x ) = 2x2 − x − 6 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (2t −1), f (t + 3) 15. g (t ) = 5t2 − 6 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (x + 2), f (x − 2) 16. f (x −1) = x −1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0), f  − 1  , f  1  x+2 2 2 17. f (2x −1) = 2 − 3x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ( −1) , f ( −2 ) , f  1  3 18. f (1− x ) = x2 − 2x + 3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f ( −1) , f (0), f  − 1  , f  1  2 2 19. f (t − 2t)= t − 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  − 1  , f  1  3 3 20. g (3x) =(x + 2)2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ g (0), g (−1), g (1) 21. f (2x +1) = 3x2 + x + 5. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1) , f ( −2 ) , f (3), f  1  2 22. f (x + 1) = 2x − 3 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (2), f (3), f (−5), f (7) 1− x 23. f (2 − x) = 5x + 2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1  , f  1  , f ( −2 ) , f ( b) 3 2 24. f (2x) = x +1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1) , f ( 5), f (3), f  1  2x − 3 5 ( )25.  1  ,  1  , f (x ) = log3 3x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1) , f 3 f 9 f 3 26. f (x) = 1− cos 2x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0), f (π ), f  π  , f  π  6 4 27. f (x) = sin x − cos x . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0), f (π ) , f  π  , f  π  3 6 28. f (x) = tan x + cot x + sec x + cs cx . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  π  , f  π  3 6 4

ບດົ ທີ 2 ຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ ທດິ ສະດ:ີ ຕໍາລາ ເງ່ອື ນໄຂ y = f (x ) g(x) ≠ 0 g (x ) f (x)≥ 0 y = f (x) y= 1 f (x)>0 f (x) y = loga f ( x) 0 < a ≠ 1 y = logg(x) f ( x ) y = f ( x )g(x) f (x) > 0 f0(<xg) >0 ≠ 1 (x) f (x) > 0 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນີ້ y = 4 2 − x2 ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: 4 − x2 ≠ 0 ⇔ (2 − x)(2 + x) ≠ 0 ⇔ 2 − x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 2 + x ≠ 0 x ≠ −2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D =(− ∞;+ ∞) \\ {−2; 2}. ຮູບແບບທີ 2: D = ]− ∞; + ∞[ \\ {−2; 2}. ຮູບແບບທີ 3: D = ℝ \\ {−2;2} . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນີ້ y = 2x −1 ບດົ ແກ:້ 5

ເງ່ອື ນໄຂ: 2x −1 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D =  1 ; + ∞  .  2 ຮູບແບບທີ 2: D =  1 ; + ∞  .  2  ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນີ້y = 7x −5 2x −1 ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: 2x −1 > 0 ⇔ 2x > 1 ⇔ x > 1 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D =  1 ; + ∞  . 2 ຮູບແບບທີ 2: D =  1 ; + ∞  .  2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນີ້y = logx−1 ( x + 3) ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: x +3>0 ⇔ x > −3 ⇔ x >1 x −1> 0 x > 1 x ≠2 x −1≠1 x ≠ 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D = (1; + ∞) \\ {2}. ຮູບແບບທີ 2: D = ]1; + ∞[ \\ {2}. ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນີ້y = log2 (2 − x ) ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: 2 − x > 0 ⇔ −x > −2 ⇔ x < 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາ: D = (− ∞; 2) . ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນີ້ y = lg ( x − 2) ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: x − 2 > 0 ⇔ x > 2 ⇔ x < −2 ∪ x > 2 6

ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D = (− ∞; − 2) ∪ (2; + ∞). ຮູບແບບທີ 2: D = ]− ∞;− 2[ ∪ ]2; + ∞[ . ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ໄໍ ປນີ້y = ln (1− x ) ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: 1− x > 0 ⇔ x < 1 ⇔ −1 < x < 1 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D = (−1;1) . ຮູບແບບທີ 2: D = ]−1;1[ . ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ໄໍ ປນີ້ y = 5x − 2x2 − 2 + ln 1 x2 −1 ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: −2x2 + 5x − 2 ≥ 0 ⇔  1 ≤ x≤2 ⇔ < ≤  2 < −1∪ x 1 x 2 x2 −1 > 0 x > 1 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D = (1; 2] . ຮູບແບບທີ 2: D = ]1;2]. ຕວົ ຢ່ າງ 9: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕ່ໄໍ ປນີ້ y = x2 − 4x + 3 log2 (25 − 4x2 ) ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: x2 − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ −x ≤ 1∪ x ≥3 ⇔ − 5 < x ≤ 1  − 4x2 > 0 5 <x < 5 2 25 2 2 ດ່ ງັ ນນັ້ , D =  − 5 ;1 . 2 ຕວົ ຢ່ າງ 10: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາ y = log2x+1 (3x +1) − 2 log3x+1 (2x +1) ບດົ ແກ:້ 7

ເງ່ອື ນໄຂ: 0 < 2x +1 ≠1 ⇔ x > − 1 0 < 3x +1 ≠1 x ≠ 0 3 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D =  − 1 ; + ∞  \\ {0} . 3 ຮູບແບບທີ 2: D =  − 1 ; + ∞  \\ {0} .  3  ( )ຕວົ ຢ່ າງ 11: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາຕ່ໄໍ ປນີ້y = log 1− 1− 4x2 3x+2 ບດົ ແກ:້ ເງ່ອື ນໄຂ: 10−< 3x + 2 ≠ 1 0 ⇔ x > − 2 1− 4x2 > x ≠ − 3 1 ; x ≠ 0 3 ດ່ ງັ ນນັ້ , ຫວ່ າງກໍານດົ ຂອງຕໍາລາເຮາົ ສາມາດເລອື ກຂຽນຫຼາຍຮູບແບບດ່ ງັ ນ:ີ້ ຮູບແບບທີ 1: D =  − 2 ; + ∞  \\ − 1 ; 0 . 3 3 ຮູບແບບທີ 2: D =  − 2 ; + ∞  \\ − 1 ; 0 .  3  3 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາຫວ່ າງກາໍ ນດົ ຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = x +1 2. f (x) = 2 x2 −4 4x − 3 x −1 3. f (x) = 1 4. f (x) = x2 − 5x + 6 9− x2 5. f (x) = x2 2x − 2 6. f (x) = x2 5 −12 −x +x x −1 7. f (x) = x2 + 4x 8. f (x) = x x2 +1 x +1 9. f (x) = x2 + 1 +9 10. f (x) = x3 − 4x 6x 11. f ( x ) = x 1 1 + 2 12. f (x) = x2 7 + 12 + x −3 − 7x 8

13. f (x) = 6x2 x+5 −5 14. f (x) = x +1 −13x x2 − 4x 15. f (x) = 3 − x 16. f (x) = 2 + x 17. f (x) = 4 − x 18. f (x ) = x −1 19. f (x ) = x2 − 5x + 6 20. f (x ) = x2 + x −12 21. f ( x) = x − 4 − 3x 22. f (x) = x +1 − 3x 23. f (x ) = 2x +8 − x 1 24. f (x) = 1 5 + 5 + 3x −5 2x + 25. f (x) = x − 5 + 3 + x 26. f (x) = 2x − 3 + 1 2+x 27. f ( x ) = x2 −1 + 16 − x2 28. f (x) = x 2 + 1 + 2 − x 5 29. f (x) = 3 − 2x + x 30. f (x) = 3x + 2 − x +1 3x − 5 (5x + 3)5 31. f (x) = 1 − 2−x 32. f (x) = x2 − x − 2 x −1 x2 − 5x 33. f (x) = 1− 2x − 1 34. y = 4x − x2 + lg ( x2 −1) x2 − 4 35. y = 1− lg (x −1) + 4−x 36. y = log x −1 x+2 0 ,3 x + 5 ( )37. y = log0,4 x − x2 38. y = ( )log0,5 +1 −x2 + x + 6 x2 + x 39. y = ( )log0,5 x2 − 9 + 4 40. y = x −1 1 41. y = ( )log0,3 x2 − 5x + 7 log0,4 x + 5 . x2 − 36 42. y = 16x − x5 (+ log1 x2 − 4) 2 3x2 +18 x+29 3x2 +18 x +29 43. y = 4 x+3 − 26x+17 44. y = 4 x+3 − 26x+17 45. y = log 1 x ( )46. y = log0,5 (3x − 8) − log0,5 x2 + 4 2 x2 −1 47. y = 4x − x3 + lg ( x2 −1) 48. y = 1 log 4 16 − log8 ( x2 − 4x + 3) 2 49. y = 3x − 4x2 50. y = 6x − x2 − 5 2x2 − x − 8 5x−2 −1 51. y = x 52. y = −x2 + 2x + 3 + log (x −1) 3 x2 − 5x + 6 9

53. y = lg x x 2 − x−3 54. y = x 2 − 2x − log x 5 ( −1) ( )55. y = log2x−5 x2 − 3x −10 56. y = 1 x3 − 3 x2 − 2x + 3 32 2 57. y = 4x + 82(x−2) − 52 − 22(x−1) 58. y = log x − 2 3 0,3 x 59. y = 6 x + x2 − 2x3 60. y = x − 4 − x x 5 + lg (39 − x ) − −1 61. y = lg 1− lg (x2 − 5x +16) 62. y = log0,5  − log2 3x +2  3x ( )64. y = lg 63. y = ( )logx−2 x2 − 8x +15 8 − 4−2+lg x 3 2−lg x 65. y = log 21lg x +1 66. y = sinx + 16 − x2 100 x −x 67. y = log x −4 2 68. y = log x −4 2 69. y = log 1 x −1 70. y = lg (lg2 x − 5lg x + 6) 2 3x + 5 71. y = lg sin (x − 3) − 16 − x2 72. y = log100x 2 lg x + 2 −x 73. y = lg x y = ( x + 0,5)74. logx+0 ,5 x2 +2x−3 4x2 −4x−3 x2 − 2x − 63 75. y = 2sin x −1 76. y = 2sin x 2 77. y = 1 2 cos x +1 78. y = −2cos2x + 3cos x −1 79. y = x − x2 80. y = sin2 x − sinx 81. y = 3x2 − 4x + 5 82. y = lg (3x2 − 4x + 5) 83. y = lg (5x2 − 8x + 4) 84. y = x x 85. y = x −1 + 2 3 − x 87. y = log s inx − cosx + 3 2 86. y = 2 − x + 1+ x 22 10

ບດົ ທີ 3 ຂອດເຂດຂອງຕໍາລາທ່ ສີ າມາດກາໍ ນດົ ໄດ້ ທດິ ສະດ:ີ 1. lim f ( x ) + g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = f ( x 0 ) ± g ( x 0 ) . x→x0 x→x0 x→x0 2. lim f ( x ) × g ( x ) = lim f ( x ) × lim g ( x ) = f ( x 0 ) × g ( x0 ) . x→x0 x→x0 x→x0 3. lim  f (x)  = lim f (x) = f (x0 ) .  g(x)  (x) g (x0 ) x→x0   x→x0 lim g x→x0  g( x )  lim g(x) g(x0 ) . x  = fx→x0 ( ) ( ) ( )4.  = lim f x lim f x 0 x→x0 x→x0 ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : (−∞)k = +∞ ( k = 2n , n = 1, 2,...) (−∞)2 = +∞ (−∞)k = −∞ ( k = 2n +1, n = 0,1, 2, ...) (−∞)3 = − ∞ +∞ × a = +∞ (a > 0) +∞ ×5 = +∞ +∞ × a = −∞ (a < 0) +∞ × (−5) = −∞ −∞ × a = −∞ (a > 0) −∞ × 2 = −∞ −∞ × a = +∞ (a < 0) −∞ × (−3) = +∞ 11

a = +∞ (a > 0) 2 = +∞ 0 0 a = −∞ (a < 0) − 2 = −∞ 0 0 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim(5x3 + 4x2 − 3) x→1 ບດົ ແກ:້ lim(5x3 + 4x2 − 3)= 5(1)3 + 4(1)2 − 3 = 5 + 4 − 3 = 5 + 1 = 6 x→1 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim 2x3 + 3 x+2 x→−1 ບດົ ແກ:້ lim 2x3 + 3 = 2 ( −1)3 + 3 = 2 ( −1) + 3 = −2 + 3 = 1 x+2 2 x→−1 −1 + 1 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim ( x3 − x2 − 5) x→−2 ບດົ ແກ:້ lim( x3 − x2 − 5) = (−2)3 − (−2)2 − 5 = − 8 − 4 − 5= −17 x→−2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim ( x2 + 4x − 5) x→−1 ບດົ ແກ:້ lim(x2 + 4x − 5) = (−1)2 + 4(−1) − 5 = 1− 4 − 5 = −8 x→−1 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim (2x2 − 5x +1) x→1 3 ບດົ ແກ:້ lim (2x2 − 5x + 1) = 2  1 2 − 5 1  +1 = 2. 1 − 5 +1 = 2 − 15 + 9 = −4 3  3 9 3 9 9 9 9 x→1 3 ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim 2−x 4x + 5 x→−1 2 ບດົ ແກ:້ 2−x 2 −  − 1  2+ 1 5 5 4x + 5 2 2 6 lim = = = 2 = 4  1  −2 + 5 3 x→−1 − 2 + 5 2 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim 3x − 2 1− 5x x→3 2 12

ບດົ ແກ:້ 3x − 2 3 3  − 2 9−2 5 − 5.2 −5 1− 5x 2  2 13.2 13 lim = = 1− 15 = 2 = = 5  3 − 13 x→3 1 − 2 2 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim x +8 x +8 x→−8 − ບດົ ແກ:້ lim x +8 = (x + 8) = −1 x +8 −(x +8) x→−8 − ຕວົ ຢ່ າງ 9: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim x+6 x+6 x→−6+ ບດົ ແກ:້ lim x+6 = (x + 6) = 1. x+6 (x + 6) x→− 6+ ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1. lim ( x4 − x2 +1) 2. lim (3x3 + x2 +1) x→1 x→0 3. lim x2 −1 4. lim x3 −7 xx→1 x2 −4 x→3 5. lim 2x − 24x2 6. lim x3 − x2 +1 x2 − 2 x→1 6x −1 x→1 7. lim x3 − 7x2 +16x −12 8. lim  x3  x2 − 8x −1  2x2 −1 x→2 x →1 9. lim  1 1 x − 1 3 3  10. lim(3x2 − 2x + 4 ) − −x xx→2 x→0 11. lim x3 + 7 12. lim x2 − 5x + 6 x2 − 3x + 2 2x2 − x +1 x→0 x→0 13. lim  2 ( x +1) − x x 4  14. lim x−2 − x2 + x x→−3 x→0 15. lim 1+ x + x2 16. lim x +1 x3 + 3x2 + x x −1 x→0 x→1 13

17. lim 5 − 7x 18. lim 6+ x +7 x→3 x+4 x→−2 14 + 3x − 2x 2 19. lim 3 x + 7 −1 20. lim x2 −9 x→1 3x +1 + 2 x→3 x + 6 −1 3 2x + 2 + 3 3x +1 5−x 2− 5x 21. lim 22. lim x→5 x→ 1 2 23. lim (x2 − 7x + 5) 24. lim x −1 x→− 1 2 x→2 2 x − 3 3 25. lim  2x −1 + 1 1  26. lim 5x − 7 x−2 − x→−2 x x→1 1 − 3x 3 ( )27. lim 5x5 − 3x3 +10x −15 28. lim x +7 +3 x→1 x→2 3x + 5 29. lim x + 2 30. lim (5x2 − 4x + 3) . x→3 2x − 5 + 7 x →1 31. lim ( x4 − x2 +1) 32. lim (3x3 + x2 +1) x→1 x→0 33. x2 −1 34. lim x3 −7 lim x2 −4 xx→1 x→3 2 x− 24x 2 x3 − x2 +1 6x −1 x2 − 2 35. lim 36. lim x→1 x→1 37. lim x3 − 7x2 +16x −12 38. lim  x 3 − x2  x2 − 8x −1  x2 2x +1 x→1 x →1 2 − 1 39. lim  1 − 3  40. lim  3x 2 − 2x + 4  − −x x x→0 1 x 1 3 x→2 41. lim  2 ( x +1) − x x  42. lim x 2− 5x + 6 .  − 4  2 x2 −x + 1 x → −3 x→0 43. lim (x2 + 2x +1) ( )44. lim x + 2 x +1 x→−1 x →1 45. lim (3 − 4x)4 46. lim x +1 x →3 x →1 2x + 1 47. lim x2 + x +1 48. lim 4x + 7 2x5 + 3 x→−1 x→0 x+2 49. lim (2x x − x3 − 3) 50. lim x2 − 4 x→ 3 x →1 − 1) ( x 4 14

51. lim x4 + 3x +1 1− 1 x →1 2x2 −1 52. lim x x→2 1+ 1 x 53. lim sin 5x 54. lim 5 − x 1x→0 x →5− + 4x 55. lim 5 − x 56. lim 8 − x3 x→5+ x→2− 57. lim 8 − x3 58. lim 5 − x x →2+ x→5 59. lim 8 − x3 60. lim 3 x3 −1 x→2 x→1− 61. lim 3 x3 −1 62. lim 3 x3 −1 x →1+ x →1 2 2 63. lim x 3 64. lim x 3 x→−8− x→−8+ 2 66. lim x−4 65. lim x 3 x →4− x−4 x →−8 67. lim x−4 68. lim x−4 x−4 x−4 x →4+ x→4 69. lim x+5 70. lim x+5 x+5 x+5 x→−5+ x→−5− 71. lim x+5 ( )72. lim 4 + x x+5 x→0+ x→−5 73. lim  4 x 3 − x + 3 ( )74. lim x + 6 + x 2 x→−6+ x→0+ ( )76. lim x2 − 25 + 3 ( )75. lim 5 − 2x − x25− x→5+ x → 2  77. lim x 9 − x2 78. lim 4− x2 x →3− x → 2+ 2−x 79. lim 2x2 + 5x −12 80. lim (x − 3)2 x2 + 3x − 4 x →3+ x→−4+ x−3 81. lim x +10 82. 1+ 2x −10 ( )x→−10− lim x+3 x +10 2 x→5+ 4 x2 −16 x+7 x+4 x+7 83. lim 84. lim x→4+ x → −7+ 15

85. lim π −x 86. lim 1 x −π xx → 0+ x→π − 87. lim 1 88. lim x −1 x →1− x →8− x − 8 ( )89. lim 5 − x + 2x 90. lim 1 x→5− x →3− x − 3 91. lim 1 92. lim x + 2 x x −x→0− x x →3+ x − 3 93. lim 4 − x2 94. lim x2 − 7x +12 x→2− 2 − x 9 − xx→3− 2 95. lim 4 − x2 96. lim x2 + 3x + 2 x→2− 2 − x x →( −1)+ x5 + x4 97. lim 4 − x2 98. lim 3x + 6 x→2− 2 − x x+2 x →( −2 )+ 99. lim 3x + 6 100. lim x2 + 3x + 2 x+2 x +1 x →( −2 )− x →( −1)− 101. lim x2 + 3x + 2 102. lim sin x +1 x +1 2cos x + 3 x →( −1)+ x→π 2 103. lim tan x + 4 104. lim 2sin x −1 x→π 1 − 2 cot x x→π 1 − 3 cos x 3 2 105. lim 2sin x − cos x + 5 106. lim 1− 5sin x sin2 x + 3cos x + 4 cos x + 2 x→π x→π 2 2 107. lim 2sin x −1 108. lim tan x + 2 1− 3cos x 3 − 2cot x x→π x→π 2 4 109. lim 5 − 2cot x 110. lim sin x + cos x −1 1− 3tan x x→π 2 cos x x→π 4 3 111. lim 7 − cos x 112. lim tan x + sin 2x 1+ 2sin x 1+ 3cos 4x x→π x→π 3 4 113. lim sin x − cos x + 2 1 . 5cos x + 2sin x + x→π 16

ບດົ ທີ 4 ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາທ່ ບີ ່ ໍສາມາດກາໍ ນດົ ໄດ້ 4.1. ຂອບເຂດທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0 0 17

ບນັ ດາສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : a2 − b2 = (a − b)(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) x2 ± bx =  x ± b 2 −  b 2 2  2  ( )( )an − bn = a − b a bn−1 0 + a bn−2 1 + ... + a b0 n−1 xn −1 = ( x ()−1 xn−1 + xn−2 + ... + x +1) ax2 + bx + c = a ( x − x )(x − x ) 12 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x −1 x2 −1 x →1 ບດົ ແກ:້ lim x −1 → 1 −1 → 0 x2 −1 12 −1 0 x→1 lim x −1 = lim (x x −1 + 1) = lim (x (x −1) = lim 1 = 1 . x2 −1 −1) (x +1) x +1 2 x→1 x →1 − 1) ( x x→1 x→1 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim 4−x x2 −16 x→4 ບດົ ແກ:້ lim 4 −x → 4 −4 → 0 x2 −16 42 − 16 0 x→4 lim 4−x = lim −(x − 4) = lim − (x − 4) 4) = lim −1 = − 1. x2 −16 x→4 x→4 (x − 4) (x + x→4 x+4 8 x→4 x2 − 42 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດlim x+9 − 3 x→0 2x ບດົ ແກ:້ lim x + 9 − 3 → 0 + 9 − 3 → 0 x→0 2x 2.0 0 ( )lim x + 9 − 3 = lim ( x + 9 − 3)( x + 9 + 3) = lim x + 9 2 − (3)2 x→0 2x x→0 2x( x + 9 + 3) x→0 2x( x + 9 + 3) 18

= lim x + 9− 9 3) = lim 2 x ( x + 3) = lim 2( x 1 + 3) = 1 . 2x( x +9 + x+9 x→0 +9 12 x→0 x→0 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດlim x −1 x→1 3 5x + 3 − 2 ບດົ ແກ:້ lim x −1 → 1−1 → 0 x→1 3 5x + 3 − 2 3 5.1+ 3 − 2 0 −1 ( ( ) )= (x −1)  3 5x + 3 2 +2 3 5x +3 + 4 3−  +2 3 5x +3 + lim x lim + 2 3 5x + 2 (3 5x + 3 − 2)  3 5x 4 x→1 x→1  3 ( )=  + 4 (x −1)  3 5x + 3 2 + 2 3 5x + 3 lim 3 5x + 3 3 − (2)3 ( )x→1 ( )=  + 4 (x −1)  3 5x + 3 2 + 2 3 5x + 3 5x + 3 − 8 lim x→1 ( )=  + 4 (x −1)  3 5x + 3 2 + 2 3 5x + 3 5x −5 lim x →1 ( )= lim  + 4 x →1  ( x −1) 3 5x + 3 2 + 2 3 5x + 3 5 (x −1) ( )= lim 3 5x + 3 2 + 2 3 5x + 3 + 4 = 12 . 5x→1 5 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x2 − 2x − 3 x→1 x −1 ບດົ ແກ:້ lim x2 − 2x − 3 → 12 − 2.1− 3 → 0 x −1 1−1 0 x→1 lim x2 − 2x − 3 = lim (x +1)(x − 3) = lim (x +1) (x − 3) = −2 . x −1 (x +1) (x +1) x→1 x→1 x→1 ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x3 −8 x −2 x→2 19

ບດົ ແກ:້ lim x3 −8 → 23 − 8 → 0 x−2 2−2 0 x→2 ( )lim x→2 x3 −8 = lim x3 − 23 = lim (x − 2) x2 + 2x + 4 = 12 . x −2 x−2 x→2 (x − 2) x→2 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x +2 x3 +8 x →−2 ບດົ ແກ:້ lim x+2 → ( −2 + 2 x3 + 8 x→−2 −2)3 + 8 x +2 = x + 2 = lim (x + 2) = 1. x3 +8 x3 + 23 x→−2 (x + 2) x2 − 2x + 4 12 lim lim ( )x→−2 x →−2 ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x3 − 27 x2 − x −6 x→3 ບດົ ແກ:້ lim x3 − 27 → 33 − 27 → 0 x2 − x − 6 32 − 3 − 6 0 x→3 lim x3 − 27 = lim x3 − 33 = lim (x − 3) (x2 + 3x + 9) = 27 . x2 − x −6 5 x→3 x→3 (x − 3)(x + 2) x→3 (x − 3) (x + 2) ຕວົ ຢ່ າງ 8: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x2 − 4 x→2 x−2 ບດົ ແກ:້ lim x2 −4 → 22 −4 → 0 x −2 2 −2 0 x→2 lim x2 − 4 = lim (x − 2) (x + 2) = lim ( x + 2) = 4 . x−2 (x − 2) x→2 x→2 x→2 ຕວົ ຢ່ າງ 9: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດlim x2 x −1 x→1 − 2x +1 ບດົ ແກ:້ lim x2 x −1 → 12 1−1 → 0 − 2x +1 − 2.1+1 0 x→1 20

lim x2 x −1 = lim (x −1) = lim 1 = 1 = +∞ . − 2x +1 (x −1)2 x −1 0 x→1 x→1 x→1 ຕວົ ຢ່ າງ 10: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x2 + 2x +1 x +1 x→−1 ບດົ ແກ:້ x 2 + 2x +1 ( −1)2 + 2(−1) + 1 0 x +1 0 lim → −1 + 1 → x→−1 lim x2 + 2x +1 = lim (x +1)2 = lim(x +1) = 0 x +1 (x +1) x → −1 x→−1 x →−1 ຕວົ ຢ່ າງ 11: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x2 −1 x −1 x →1 ບດົ ແກ:້ lim x2 −1 → 12 −1 → 0 x −1 1−1 0 x→1 lim x2 −1 = lim (x −1) (x +1) = lim ( x + 1) = 2. x −1 (x −1) x→1 x →1 x →1 ຕວົ ຢ່ າງ 12: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim 1− x 2 − 2x2 x→1 ບດົ ແກ:້ lim 1− x → 1−1 → 0 2 − 2.12 0 x→1 2 − 2x 2 1− x 1− x (1− x) 1 1. 1− x2 4 lim 2 − 2x 2 lim( )=2 = lim 2 (1 − x ) (1 + x ) = lim 2 (1 + x ) = x→1 x→1 x →1 x→1 ຕວົ ຢ່ າງ 13: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim 2x2 − 3x 2 5xx→0 ບດົ ແກ:້ lim 2x2 − 3x → 2.02 − 3.0 → 0 5xx→0 2 5.02 0 2x2 − 3x = lim x (2x − 3) = lim 2x −3 = −3 = −∞ . lim 5xx→0 2 5 xx→0 2 x→0 5x 0 ຕວົ ຢ່ າງ 14: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x−3 x2 −9 x→3 21

ບດົ ແກ:້ lim x−3 → 3 −3 → 0 x2 −9 32 −9 0 x→3 lim x−3 = lim (x (x − 3) = lim 1 = 1 . x2 −9 − 3) (x + 3) x+3 6 x→3 x→3 x →3 ຕວົ ຢ່ າງ 15: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim 4a2 − x2 x − 2a x→2a ບດົ ແກ:້ lim 4a2 − x2 → 4a2 − (2a )2 → 0 0 x→2a x − 2a 2a − 2a lim 4a2 − x2 = lim (2a − x) (2a + x) = lim 2a + x = −4a x→2a − (2a − x) −1 x→2a x − 2a x→2a ຕວົ ຢ່ າງ 16: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x2 − 5x + 6 x−2 x→2 ບດົ ແກ:້ lim x2 − 5x + 6 → 22 − 5.2 + 6 → 0 x −2 2−2 0 x→2 lim x2 − 5x + 6 = lim (x − 2) (x − 3) = lim (x − 3) = −1. x−2 (x − 2) x→2 x→2 x→2 ຕວົ ຢ່ າງ 17: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x x→0 1 − 1− x ບດົ ແກ:້ lim 1 − x→ 0 →0 1− x 1− 1−0 0 x→0 ( ) ( )lim x = lim x 1+ 1− x x 1+ 1− x 1+ 1−x = lim 1 −x→0 2 ( )( ) ( )x→0 1− 1− x x→0 1− 1− x 1− x 2 = lim x (1+ 1− x ) = lim x (1+ 1− x ) = lim x (1+ 1− x ) = 2. x→0 x→0 x→0 1− (1− x) 1−1+x x ຕວົ ຢ່ າງ 18: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x − 2 x→2 x2 − 2 − 2 ບດົ ແກ:້ 22

lim x − 2 → 2 − 2 → 0 x→2 x2 − 2 − 2 22 − 2 − 2 0 ( )lim x − 2 = lim ( )( )x→2 x2 − 2 − 2 x→2 (x − 2) x2 − 2 + 2 x2 − 2 − 2 x2 − 2 + 2 ( )(x − 2) x2 − 2 + 2 ( )(x − 2) x2 − 2 + 2 ( ) ( )= lim = lim x→2 x2 − 2 − 2 x2 − 2 2 − 2 x→2 2 = lim ( )(x − 2) x2 − 2 + 2 = lim ( )(x − 2) x2 − 2 + 2 x→2 x→2 x2 − 4 x2 − 22 ( ) ( )(x − 2) x2 − 2 + 2 = lim = lim x2 − 2 + 2 = 2. x→2 x→2 x+2 2 (x − 2) (x + 2) ຕວົ ຢ່ າງ 19: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x−3 x →3 x +1−2 ບດົ ແກ:້ lim x − 3 → 3 − 3 → 0 x→3 x +1 − 2 3+1−2 0 ( ) ( )lim ( )( ) ( )x→3 x−3 (x − 3) x +1 + 2 (x − 3) x +1 + 2 x +1− = lim = lim 2 x +1 − 2 x +1 + 2 x→3 x +1 2 − 22 x→3 ( ) ( )(x − 3) x +1 + 2 (x − 3) x +1 + 2 ( )= lim x→3 x +1−4 = lim (x − 3) = lim x +1+ 2 = 4. x→3 x→3 ຕວົ ຢ່ າງ 20: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim x +1−1 x→0 x ບດົ ແກ:້ lim x +1 −1 → 0 +1 −1 → 0 xx→0 00 ( )( ) ( )lim x +1 −1 = lim x +1 2 −12 x +1−1 x +1+1 = lim ( ) ( )xx→0 x→0 x x +1+1 xx→0 x +1 +1 ( ) ( )= lim x +1−1 = lim xx→0 x + 1 + 1 xx→0 x = lim 1 = 1 . x +1 +1 x→0 x +1 +1 2 23

ຕວົ ຢ່ າງ 21: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim 1+ x − 1− x x→0 4x ບດົ ແກ:້ lim 1+ x − 1− x → 1+ 0 − 1− 0 → 0 x→0 4x 4.0 0 ( )( )lim 1+ x − 1− x = lim 1+ x − 1− x 1+ x + 1− x ( )x→0 4x x→0 4x 1+ x + 1− x = lim ( ) ( )1+ x 2 − 1− x 2 = lim 1+ x − (1− x) ( ) ( )x→0 4x 1+ x + 1− x x→0 4x 1+ x + 1− x ( ) ( )= lim 1 + x − 1 + x = lim 2x = 1 . x→0 4x 1+ x + 1− x x→0 4x 1+ x + 1− x 4 ຕວົ ຢ່ າງ 22: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim a− a−x x→0 x ບດົ ແກ:້ lim a − a − x → a − a − 0 → 0 xx→0 00 ( )( ) ( ) ( )lim a − a − x = lim a− a−x a+ a−x = lim a 2 − a−x 2 ( ) ( )xx→0 x→0 x a+ a−x xx→0 a + a − x = lim a − (a − x ) = lim a − a + x = lim ( ) ( ) ( )xx→0 a + a − x xx→0 a + a − x xx→0 x =1=a a + a − x 2 a 2a ຕວົ ຢ່ າງ 23: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim a+x− a−x x→0 x ບດົ ແກ:້ lim a + x − a − x → a + 0 − a − 0 → 0 xx→0 00 ( )( )lim a + x − a − x = lim a + x − a − x a + x + a − x ( )xx→0 x→0 x a + x + a − x ( ) ( )= lim a+x 2− a−x 2 a + x −(a − x) = lim ( ) ( )xx→0 a + x + a − x xx→0 a + x + a − x 24

( ) ( )= lim a + x − a + x = lim 2x = 1 = a. xx→0 a + x + a − x xx→0 a + x + a − x aa ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ 3 x +7 − 2 x −1 ຕວົ ຢ່ າງ 24: lim x→1 ບດົ ແກ:້ 3 x+7−2 → 3 1+ 7 − 2 → 0 x −1 1−1 0 lim x→1 ( ) ( )lim  2 + 2 3 x + 7 + 4 ( )x→1  3 x+7 − 2 = 3 x+7−2 3 x+7 x −1 lim ( x −1)  3 x+7 2 +23 x + 7 + 4  x →1 ( )3 x + 7 3 − 23 lim( )= ( x − 1)  3 x+7 2 + 2 3 x + 7 + 4 x →1  x + 7 −8 3 x + 7 2 + 2 3 x + 7 + 4 lim( )=( x − 1)   x →1 lim( )=(x −1)  (x −1) + + 4 = 1 .  12 x →1 3 x +7 2 + 23 x 7 ຕວົ ຢ່ າງ 25: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim 3 1+ x2 −1 2 xx→0 ບດົ ແກ:້ lim 3 1 + x2 −1 → 3 1 + 02 −1 → 0 xx→0 2 02 0 ( ) ( )lim 3 1+ x2 −1 = lim  2 + 3 1+ x2 +1 3 1+ x2 −1  3 1+ x2 ( )xx→0 2 x→0  2 + 3 1+ x2 +1 x2  3 1+ x2 ( ( ) ) ( )= 3 1 + x2 3 −13 = 1+ x2 −1 3 1 + x2 2 + 3 1+ x2 +1 lim x2  3 1 + x2 2 + 3 1 + x2 +1 x 2    x→0 ( ) ( )= lim  x2 + 1 = lim 1 =1. x→0  2+ 2 + 3 1+ x2 +1 3 x2 3 1+ x2 3 1+ x2 x→0 3 1+ x2 25

ຕວົ ຢ່ າງ 26: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim 3 1+ x − 3 1− x xx→0 ບດົ ແກ:້ lim 3 1+ x − 3 1− x → 3 1+ 0 − 3 1− 0 → 0 xx→0 00 ( ) ( ) ( )lim 3 1+ x − 3 1− x = lim  2 3 1+ x − 3 1− x  3 1+ x 2 + 3 1− x2 + 3 1− x  ( ) ( )xx→0  2 x→0 x  3 1+ x 2 + 3 1− x2 + 3 1− x  ( ) ( )3 1+ x 3 − 3 1− x 3 lim( ) ( )= x  3 1+ x 2 + 3 1− x2 + 3 1− x 2 x→0   1+ x − (1− x) 3 1+ x 2 + 3 1− x2 + lim( ) ( )= 2 x  3 1− x  x→0 2x 2 + 3 1− x2 + ( ) ( )= lim 2 x→0  x 3 1+ x 3 1− x 2 = 2. 3 1+ x 2 + 3 1− x2 + 3 ( ) ( )= lim 2 x→0 3 1− x ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1. lim x−3 2. lim x2 − 25 x2 −9 x−5 x→3 x→5 3. lim x2 −x 4. lim 1− x x −1 2 − 2x2 x→1 x→1 5. lim 4a2 − x2 6. lim x2 − 49 x − 2a 7−x x→2a x→7 7. lim 4− x2 8. lim x2 − 64 x−2 8 − x x→2 x→8 9. lim 2x2 − 3x 2 10. lim x2 −1 5xx→0 x −1 x →1 11. lim x3 − 27 12. lim x3 + 64 x − 2 x+4 x→2 x→−4 26

13. lim x2 − 2x +1 14. lim x3 −8 x −1 2x −4 x→1 x→2 15. lim x−3 16. lim x2 − 5x + 6 − 6x + 9 x−2 x→3 x2 x→2 17. lim x2 + 2x −8 18. lim x2 + 7x −18 x3 −8 x−2 x→2 x→2 19. lim x2 −7 − 3 20. lim x − 1 x→4 x−4 x→1 x − 1 21. lim x −1 22. lim 1+ x − 1 x →1 x2 −1 xx→0 23. lim 2−x 24. lim x +15 − 4 x→2 x+2 − 2 x→1 2 − 2x 25. lim x−3 26. lim 1 − x x→3 x +1 − 2 1− x x→0 27. lim1 − 1− x 28. lim x−3 xx→0 x→3 x+6 − 3 29. lim x − 3x + 4 30.lim 1+ x − 1− x 16 − x2 x→0 4x x→4 32. lim x − 2 31. lim 5 − x − 2 x→2 x2 − 2 − 2 x→1 2 − x − 1 33. lim a+x − a−x 34. lim a− a−x x→0 x x→0 x x+3 − 2 35. lim x +1 36. lim x→−1 6x2 + 3 + 3x x→1 2x +1 − x + 2 37. lim x +1 − 1 38. lim 3 1+ x − 1 xx→0 x→0 2x +1 − 3x +1 39. lim 3 1+ x − 1 40. lim 3 3x +1 − 1 xx→0 x→0 3x 41. lim 3 1+ x − 3 1− x 42. lim 3 1+ x2 − 1 2 xx→0 xx→0 2(x −1) 3 x −1 − 2 x−9 43. lim 3 26 + x − 3 44. lim x→1 x→9 27

45. lim 3 1+ x − 3 1− x 46. lim x3 + x2 + x −3 x→0 5x x −1 x→1 47. lim x4 + x3 − 2x −2 48. lim 2x3 + 3x2 + x −6 x +1 x −1 x→−1 x→1 49. lim x2 −1 50. lim x2 x −3 x −1 + 2x −15 x →1 x→3 51. lim x4 −1 52. lim x2 − 3x + 2 xx→1 2 + 2x − 3 x→2 (x − 2)2 53. lim x2 − x 54. (x − 2)3 +8 x→1 x −1 lim 55. lim 2( x + h )3 − 2x3 xx→0 hh→0 56. lim x2 − 3x + 2 x→2 (x − 2)2 57. lim 2x2 − 3x +1 58. lim x3 + x2 − 2x − 8 x3 − x2 − x +1 x2 − 3x + 2 x →1 x→2 59. lim x3 − 4x2 + 4x −3 60. lim x2 − 3x + 2 x2 − 3x x→3 x→2 (x − 2)2 61. lim 8x3 −1 1 62. lim x3 −8 6x2 − 5x + x2 −4 x→1 x→2 2 63. lim 2x4 − 5x3 + 3x2 + x −1 64. lim x2 − 5x + 6 3x4 − 8x3 + 6x2 −1 x2 − 8x +15 x→1 x →3 65. lim x3 − 3x + 2 66. lim (1+ x)(1+ 2x )(1+ 3x) −1 x4 − 4x + 3 xx→0 x→1 67. lim x100 − 2x + 1 68. lim xm −1 x50 − 2x + 1 xn −1 x→1 h→1 ( )70. lim x→a 69. lim xn − an xn − an − n.a n−1 ( x − a ) x −a (x − a)2 x→a 71. (1+ mx)n − (1+ nx)m 72. lim 3− x −1 x−2 −2 lim 2 x→4 xx→0 lim x20 −1 3 4x − 2 xx→0 25 −1 x−2 73. 74. lim x →1 75. lim 3 1− x −1 3 2x −1 −1 xx→1 x −1 76. lim x→1 28

77. lim 3 x −1 78. lim 3 2x −1 − 3 x x→1 3 x − 2 +1 x→1 x −1 79. lim 3 x −1 − 3 x +1 80. lim 5 5x +1 −1 x→1 2x +1 − x +1 xx→0 4 4x − 3 −1 7 2 − x −1 x −1 x −1 81. lim 82. lim x→1 x→1 83. lim n x +1 −1 84. lim m x −1 xx→0 n x −1 x→0 84. lim ( )( ) ( )1− x 1− 3 x ... 1− n x 86. lim 2 1+ x − 3 8 − x x→1 xx→0 (1 − x )n−1 4 2x −1+ 5 x −2 2x + 2 − 3 7x +1 x −1 x −1 87. lim 88. lim x→1 5 − x3 − 3 x2 + 7 x→1 x2 −1 90. lim 89. lim 1− 2x − 3 1+ 3x 2 x →1 xx→0 (x2 + 2009) 7 1− 2x −1 92. lim 1+ 2x . 3 1+ 3x . 3 1+ 4x −1 xx→0 91. lim xx→0 94. lim m 1+ α x . n 1+ β x −1 xx→0 93. lim x + 2 − 3 x + 20 x→7 4 x + 9 − 2 95. lim 2x +1 + x2 − 3x +1 96. lim 2 − 2x −1. 3 5x + 3 x→1 3 x − 2 + x2 − x +1 x→1 x −1 3 3x + 2 − x−2 4x + 5 + 3x +1 − 5 x2 − x−2 x −1 97. lim 98. lim x→1 x→2 99. lim x −1 100. lim 1+ 2x − 3 x→0 3 x −1 x→4 x − 2 101. lim 4 x + 2 −3 102. lim 1+ x + x2 − 1− x + x2 x +9−2 x→0 x2 − x x→7 103. lim m 1+ α x − n 1− β x 103. lim m 1+ α x.n 1+ β x −1 xx→0 xx→0 105. lim x2 −1 106. lim 3x2 − 8x −16 − 4x + 3 x→1 x2 x→4 2x2 − 9x + 4 ( )107. lim ( )x→2 x2 − x − 2 20 108. lim x + x2 + ... + xn −n x3 −12x +16 2o x −1 x→1 29

4.2. ຂອບເຂດມຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ ∞ ແນະນາໍ : α =0; α = 0 ; α = 0 ; α = 0 ເມ່ ອື x→∞ x x2 x +1 x2 −1 ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດ lim 8x3 +12x2 + x + 4 6xx→∞ 3 + 2x2 − 7x − 2 ວທິ ແີ ກ ້ 1: lim 8x3 +12x2 + x + 4 → ∞ 6x3 + 2x2 − 7x − 2 ∞ x→∞ +12x2 + x + 8x3 +12x2 + x + 4 8 + 12 + 1 + 4 + 2x2 − 7x − = lim x x2 x3 lim 8x3 4 = lim 6x3 + x3 7x − 2 = 4 6x3 2 2x2 − x→∞ 6 + 2 − 7 − 2 3 x→∞ x→∞ x3 x x2 x3 ວທິ ແີ ກ ້ 2: lim 8x3 +12x2 + x + 4 x3  8 + 12 + 1 + 4  4 + 2x2 − 7x − 2 x x2 x3 3 = lim = 6xx→∞ 3 x→∞  6 + 2 7 2  x − x2 − x3 x3 ວທິ ແີ ກ ້ 3: lim 8x3 +12x2 + x + 4 = lim 8x3 3 = 4. 6xx→∞ 3 + 2x2 − 7x − 2 6xx→∞ 3 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1. lim 4x3 −x+5 2. lim x2 −12x +1 2x3 + x +1 x3 − 2x +15 x→∞ x→∞ 3. lim x3 +1 4. lim 6x2 − 8x + 5 2x2 +1 7x2 −x−3 x→∞ x→∞ 5. lim 2x − x3 + 5 6. lim 4x2 − 3x +1 3x3 + 2 x→∞ 5 − 7 x + x 3 x→∞ 7. lim 5− x3 + 2x2 8. lim 2x2 − x +1 −1 x−4 xx→∞ 4 x→∞ 9. lim x3 − 3 2x2 − x + 9 x→∞ 30

4.3. ຂອບເຂດຂອງ sin x ເມ່ ອື x → 0 x ຂອບເຂດຂອງ sin x ເມ່ ອື x → 0 . ໝາຍຄວາມວ່ າ lim sin x = 1 x xx→0 ພສິ ູດ: lim sin x = 1 xx→0 - ເຮາົ ແຕມ້ ວງົ ມນົ ໜ່ ງຶ ທ່ ມີ ຈີ ດຸ ໃຈກາງ O ແລະ ລດັ ສະໝີ r, ມູມໃຈກາງ AOM = x ວດັ ແທກ ດວ້ ຍ ລາດຽງ, ເສນັ້ ຕດິ A ຕດັ ພາກສ່ ວນຕ່ ໍຍາວຂອງ OM ຢ່ ູ T. - ເບ່ ງິ ຕາມຮູບພວກເຮາົ ເຫນັ ວ່ າ: S < S < S∆ AOM Vi ∆OAT ⇔ r2 sin x < r2x < r2 tan x 222 ⇔ sin x < x < tan x ⇔1< x < 1 sin x cos x ⇔ cos x < sin x < 1 x ⇔ lim cos x < lim sin x < lim1 x→0 xx→0 x→0 ⇔ 1 < lim sin x < 1 ⇒ lim sin x = 1 xx→0 xx→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : lim sin x = 1. xx→0 31

ໂດຍທ່ ວົ ໄປ: lim sin x = 1 lim x = 1 xx→0 x→0 sin x lim sinα x =1 lim αx =1 αx sinα x x→0 x→0 lim tan x = 1 lim x = 1 xx→0 x→0 tan x lim tanα x =1 lim αx =1 αx tanα x x→0 x→0 lim arcsin x = 1 lim x = 1 xx→0 x→0 arc sin x lim arcsinα x =1 lim αx =1 αx arcsinα x x→0 x→0 lim sin ( x −1) = 1 lim sin ( x −1) = 1 (x −1) (x −1) x →1 x →1 sin 1 lim sin x = ∞ lim x = 1 xx→∞ 1x→∞ x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim sin 3x xx→0 ບດົ ແກ:້ lim sin 3x → sin (3.0) → 0 xx→0 00 lim sin 3x = lim 3sin 3x = 3.lim sin 3x = 3.1 = 3 . xx→0 x→0 3x x→0 3x ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim1− cos x xx→0 ບດົ ແກ:້ lim1− cos x → 1− cos 0 → 0 xx→0 00 32

sin 2 x  2 sin x  2 sin x lim1− cos x lim 2  2  lim 2 xx→0 = xx→0 = lim  .sin x  = xx→0 .lim sin x  x 2  x→0 2 x→0  = sin x x = 0 = = 2 lim .lim sin 1.sin 1.0 0. xx→0 x→0 2 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim sin 2x + sin 5x xx→0 ບດົ ແກ:້ lim sin 2x + sin 5x → sin (2.0) + sin (5.0) → 0 xx→0 00 lim sin 2x + sin 5x = lim  sin 2x + sin 5x  = lim sin 2x + lim sin 5x x x x x x x→0 x→0 x→0 x→0 = 2.lim sin 2x + 5.lim sin 5x = 2 + 5 = 7 . x→0 2x x→0 5x ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim sin 4x x→0 sin 3x ບດົ ແກ:້ lim sin 4x → sin (4.0) → 0 sin 3x sin (3.0) 0 x→0  sin 4x  lim sin 4x 4.lim sin 4x   xx→0 x→0 4x sin 4x = lim  x  = lim sin 3x = = 4. lim  sin 3x  xx→0 3.lim sin 3x 3 x→0 sin 3x x→0 x→0 3x x  ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim sin10x x→0 sin 5x ບດົ ແກ:້ lim sin10x → sin (10.0) → 0 sin 5x sin (5.0) 0 x→0 lim sin10x sin10x 10 × sin10x sin10x x 10 × x 10x = lim = lim = 2 × lim = 2. x→0 sin 5x x→0 sin 5x x→0 sin 5x x→0 sin 5x x 5 × 5× x 5x 33

ບດົ ເຝຶກຫດັ ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ sin x cos x 1. lim sin x cos x 22 xx→0 2. lim x x→0 2 3. lim sin 5x sin x xx→0 4. lim 2 xx→0 5. lim sin 3x tan (mx) x→0 sin 4x 6. lim tan (nx ) x→0 7. lim sin 2x 8. lim tan 2x xx→0 x→0 3x 9. lim tan 2x 10. lim 1− cos 5x 2 x→0 sin 5x xx→0 11. lim 1− cos ax2 12. lim1− cos x cos 2x cos 3x2 xx→0 xx→0 13. 1− cos2 2x 14. lim sin2 2x − sin x sin 4x lim x→0 x sin x xx→0 4 15. lim tan x − sin3 x 16. lim 1+ sin x − cos x − cos x xx→0 3 x→0 1 − sin x 17. lim sin ax 18. lim 1− cos ax x→0 cos bx x→0 1 − cos bx 19. lim sin xm 20. lim1− cos3 x x→0 sinn x x→0 x sin 2x 21. lim (1− cos x)2 22. lim 1− cos 4x x→0 x sin x x→0 tan3 x − sin3 x 23. lim sin 3x 24. lim 2 − 1+ cos x x→0 sin2 x x→π 1 − 2 cos x 3 25. lim 1+ x2 − cos x 2 26. lim sin ax xx→0 x→0 tan bx 34

27. lim sin x 28. lim1− cos t xx→0 3 t→0 sin t 29. lim sin3 t 30. 3θ + sinθ t→0 lim θ ( 2t )3 θ →0 31. lim csc 2x 32. lim 2 cosθ −2 x→0 cot x 3θ θ →0 sin2 x 34. lim1− cos 3t 33. lim 2 tt→0 x→0 sin x 35. lim sin t 36. lim 1 − cos t t →0 + cos 1 t x→0 2 x3 37. lim cos t 38. lim x cos x − x2 t→0 x→0 2x 1 − sin t 39. lim 4t2 + 3t sin t 40. lim sin2 2t tt→0 2 tt→0 2 41. lim sin (−3x) 42. lim1− cos at t→0 bt x→0 4x 43. lim sin 5x sin 3x xx→0 44. lim 2 45. lim sin 4x xx→0 x→0 3x 46. lim sin 7x x→0 x 2 sin x sin 2 x 47. lim 2 48. lim 3 x→0 9x x→0 4x 49. lim sin 7x sin 1 x x→0 sin 8x 50. lim 3 x→0 1 x 2 51. lim sin x .cos x sin x .cos x xx→0 2 2 52. lim x 53. lim tan x x→0 x→0 sin x 2 54. lim sin 3x x→0 tan 2x 35

55. lim sin ax 56. lim tan bx x→0 sin bx x→0 tan ax 57. lim 1− cos 5x 1 − cos x 4 58. lim xx→0 2 xx→0 2 59. lim tan x 60. lim1− cos 7x 2 x→0 sin 3x 3xx→0 61. lim tan 2x 62. lim tan 5x x→0 sin 5x x→0 3x ຂ. ຈ່ ງົ ພສິ ູດບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1. lim1− cos x = 1 2. 1− cos x = 1 lim 4 xx→0 2 2 xx→0 2 32 3. lim tan x = 1 4. lim tan x = 1 x→0 sin 3x 3 x→0 sin 2x 2 4.4. ຂອບເຂດມຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞ − ∞ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim  1 x − tan x  cos x→π 2 ບດົ ແກ:້ lim  1 x − tan x  = lim  1 x − sin x  = lim1− sin x cos cos cos x x→π cos x x→π x→π 22 2 = lim (1− sin x)(1+ sin x) = lim 1− sin2 x x) = lim cos2 x x) cos x (1+ sin x) x→π x→π cos x (1+ sin x→π cos x (1+ sin 2 2 2 cos π = lim 1 cos x = 2 = 1 0 = 0 = 0 . + sin x π +1 2 x→π 1+ sin 2 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim  1 1 x − 3  − 1− x3 x→1 ບດົ ແກ:້ lim  1 1 x − 3  = lim  1 1 x − (1 − x 3 x + x2 )  − 1− x3  −  x→1 x→1 ) (1 + = lim  (1 (1 +x + x 2) 2 ) − (1 − x ) 3 x + x 2 )  = lim (1 − x 2 + x − 2 x 2 )  + x  x + x + x→1 −x )(1 +x (1 + x →1 ) (1 36

= lim (x −1)(x + 2) ) = lim − (1− x) (x + 2) = lim −(x + 2) = −1. x→1 (1− x)(1+ x + x 2 x→1 (1− x) (1+ x + x2 ) x →1 1 + x + x 2 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim x + x − x x→+∞ ບດົ ແກ:້ ( )( )x + x − x x + x + x ( )lim x + x − x = lim x→+∞ x→+∞ x + x + x ( ) ( )= lim 2 2 x x+ x − x = lim x + x − x = lim x→+∞ x + x + x x→+∞ x + x + x x→+∞ x + x + x = lim  x + 1 = lim 1 = 1. x→+∞ x 1+ 1 1+ 1 +1 2 x→+∞  x x ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim 3 −2   1− 3  x→1 1 − x x ບດົ ແກ:້ ວາງ x = y6 ເມ່ ອື x → 1 ⇒ y → 1 lim 3 −2  = lim 3 −2   1− 3  y→1  1− y2  x→1 1 − x x 1 − y 3 = lim  (1 − y ) 3 y + y2 ) − (1 − y 2 + y )  y→1   (1 + )(1 = lim  (1 − y ) 3(1+ y) y + y 2 ) − (1 − y 2(1+ y + y2 ) + y2 )  y→1   (1+ y)(1+ )(1+ y) (1 + y = lim 3(1+ y) − 2(1+ y + y2 ) = lim (1 − 1+ y − 2y2 y + y2 ) y→1 (1− y)(1+ y)(1+ y + y2 ) y→1 y)(1+ y)(1+ = lim (1 − ( y −1)(−2y −1) y2 ) = lim (1 − (1− y) (2y +1) y2 ) = 1 . y→1 y→1 2 y)(1+ y)(1+ y + y) (1+ y)(1+ y + ບດົ ເຝຶກຫດັ 37

ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 2. lim  x+ x+ x−   x  ( )1. lim x2 + 8x + 3 − x2 + 4x + 3 x→+∞ x→±∞ 3. lim x + x + x ( )4. lim 3 x3 + x2 − x2 − x x→+∞ x + 1 x→+∞ ( )5. lim x2 + x − x2 − x ( )6. lim x − 3 x3 − 3x2 + 4 x→+∞ x→+∞ ( )7. lim x +1 − x ( )8. lim x2 + x +1 − x x→+∞ x→+∞ ( )9. lim 3x2 + x +1 − x 3 ( )10. lim 3x2 + x +1 + x 3 x→+∞ x→−∞ ( )11. lim x2 +1 + x −1 ( )12. lim 2x2 +1 + x x→−∞ x→−∞ ( )13. lim x2 + x − x2 + 4 ( )14. lim x2 − x + 3 + x x→+∞ x→−∞ ( )15. lim x2 + +2x + 4 − x2 − 2x + 4 ( )16. lim x2 + x + 2 − x x→+∞ x→+∞ ( )17. lim x2 + 8x + 4 − x2 + 7x + 4 ( )18. lim 4x2 + x +1 − 2x x→+∞ x→+∞ ( )19. lim x2 + 8x + 4 − x2 + 7x + 4 ( )20. lim x2 − x + 3 − 2x x→+∞ x→−∞ ( )21. lim 3 x3 + 3x − x2 − 2x x→+∞ ( )22. lim 2x − 5 − 4x2 − 4x −1 x→−∞ 4.5. ຂອບເຂດທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ (1)∞ ທດິ ສະດີ 1: ເຮາົ ມີ lim 1 + 1 x = e x  x→∞ ເຮາົ ວາງ u = 1 ເມ່ ອື x → ∞ ⇒ u → 0 x ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ lim 1 + 1 x = lim (1 + u ) 1 = e. x  u x→∞ u→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : lim 1 + 1 x =e ແລະ lim (1 + u ) 1 = e. x u x→∞ u→0 ທດິ ສະດີ 2: ຂອບເຂດ lim f ( )x g(x) x→a 38

( ) ( ) ( )ຖາ້ ວ່ າ lim f =∞ x  = e .g(x) lim f ( x )−1 g ( x ) x→a x =1 ແລະ lim g x ແມ່ ນ lim f x→a x→a x→a ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim  x2 − 1 x2  x2 + 1  x→+∞ ວທິ ແີ ກ ້ 1:   x−22+1 −2 x2  x2 +1  lim  x2 − 1 x2 = lim 1 + −2 x2 = lim  + 1   x2 + 1  x2 +1 1 2+  x→+∞ x→+∞ x →+∞  x 1   −2  1  −2 x2   lim −2 x2    x2 +1 x2 +1  x 2 +1  x2 +1  x→+∞ −2   −2        = lim + x 1 1   =  lim  + x 1 1   = e−2 = 1 . 2+  1 2+  e2 x→+∞ −2  x → +∞  −2     ວທິ ແີ ກ ້ 2: x2  x2 +−11−1 x 2 x2 −1− x2 −1 lim −2 x2 xl→im+∞ x2 x2 +1 x2 +1 x→+∞ lim  xx +−11 = e = e = e1 .x→+∞2 = lim = −2 −2 2 x→+∞ 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ ້ lim  2x2 + 3 8x2 + 3  2x2 + 5  x→∞ ວທິ ແີ ກ ້ 1:  2x2 + 3 8x2 + 3 1 −2 8x2 +20−17  2x2 + 5  2x2 + 5  lim = lim + x→∞ x→∞ lim 1+ 8x2 +20  −17  x→∞      = 1 5  1 + 1 5   2x2 +  2x2 +    −2   −2   = lim 1 + 1 5  ( )4 2x2 +5  1 −17   2x2 +  1 + 2x2 + 5   x→∞        −2   −2   39

( )−8 2 x2 +5  −    2 1    = lim  + 1 5  lim 1 + 1 5  2x2 +   2x2 +  x→∞ x→∞  −2   −2  = lim 1 − 1 −2x2 +5  −8 =   − 1 5 −2x2 +5  −8 = e−8 = 1 . 2x2 + 5 2    2x2 + 2  e8 x→∞  lxi→m∞ 1  2     2               ວທິ ແີ ກ ້ 2: 8x2 + 3 ( ) ( ) xl→im∞ 2x2 +  −2 8 x2 + 3 lim  22xx ++ 35  = e = e = e1 .x→∞2 2x2 + 3 − 1 8x2 + = lim =−8 2 5 3 2x2 + 5 −8 x→∞ 8 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຂອບເຂດຕ່ໄໍ ປນີ້ lim  x + 5 x+3  x + 2  x→∞ ວທິ ແີ ກ ້ 1: lim  x+5 x+3 = lim 1 + 3 x + 2+1 = lim 1 + 3 x+2 1 + 3   x+2  +  +  + x→∞ x→∞ x 2 x→∞ x 2 x 2  3(x + 2)   x+2 3  1 2     = lim 1 + x 1 2 3 lim + x 3 =  lim  1 + x 1 2 3  = e3 .  +  +   +   x→∞  x→∞  x→∞   3  3    ວທິ ແີ ກ ້ 2: x+3 3( x +3) x+2 lim  xx ++ 52  = e = e .x→∞  x + 5 −1( x +3)= lim =3 3 xl→im∞ x + 2 x→∞ ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້  x +3 x  5x + 7  x+2 x −1  4 1. lim  2. lim  5x + 3  x→∞ x→∞ 3x x    3x +14 7 3. lim  1− 2x 4. lim   7− 2x 3x − 2 x→∞ x→∞  x2 + 5x −1 x2 −x +2 3 x2 + 2x + 3   x + 10 4−x2 5. lim  6. lim   5x + 2 x→∞ x→2 40

7. lim  x2 + x +12x2 +3x−7 ( )1   x→∞ x2 +5 8. lim 5x2 +1 x2 x→0 9.  2x + 3  1 10.  x +1 x x x − 3  lim x + 3  lim  x→0 x→∞   1 x −5 x   x + 2  11. x+3 x −1 12.  3x +1 lim lim  x→1 x→∞ ບດົ ທີ 5 ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາ f ຢ່ ູເມດັ x0 ນຍິ າມ 1: f ′ ( x ) = lim f ( x) − f( x 0 ) − 0 x→x0 x x0 ນຍິ າມ 2: ວາງ ∆x = x − x0 ⇒ x = ∆x + x0 ຄ່ າເພ່ ມີ ຂອງຕວົ ປ່ ຽນ ∆y = f ( x) − f (x0 ) = f (∆x + x0 ) − f (x0 ) ຄ່ າເພ່ ມີ ຂອງຕໍາລາ ດ່ ງັ ນນັ້ : f′(x0 ) = f (∆x + x0 ) −f (x0 ) lim ∆x ∆x→0 ນຍິ າມ 3: f ′ ( x ) = lim f ( ∆x + x) − f ( x ) ∆x→0 ∆x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = x2 + 2x −1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x0 = 1 ບດົ ແກ ້ 1: f ′( x ) = lim f ( x) − f( x 0 ) − 0 x→x0 x x0 f ′ (1) = lim f ( x) − f (1) − 1 x→1 x ′(1) = x2 + 2x −1− (1)2 + 2 (1) −1 f lim x −1 x→1 41

f ′(1) = lim x2 + 2x −1− 2 x −1 x→1 ′(1) x 2 + 2x − 3 x −1 f = lim x→1 f ′(1) = lim (x −1) (x + 3) x→1 x −1 f ′(1) = lim( x + 3) = 1+ 3 = 4 x→1 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(1) = 4 . ບດົ ແກ ້ 2: f ′ ( x ) = lim f ( ∆x + x0 ) − f ( x 0 ) 0 ∆x→0 ∆x f ′ (1) = lim f ( ∆x + 1) − f (1) ∆x→0 ∆x ′(1) = ( ∆x + 1)2 + 2 ( ∆x +1) −1 − (1)2 + 2 (1) −1 f lim ∆x ∆x→0 ′(1) = ( ∆x )2 + 2∆x +1+ 2∆x + 2 −1 − [1 + 2 −1] ∆x f lim ∆x→0 ′(1) = ( ∆x )2 + 4∆x + 2 − 2 ∆x f lim ∆x→0 f ′ (1) = lim ( ∆x )2 + 4∆x ∆x→0 ∆x f ′(1) = lim ∆x [∆x + 4] ∆x→0 ∆x f ′(1) = lim (∆x + 4) = 0 + 4 = 4 ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(1) = 4 . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x3 +1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາຢ່ ູເມດັ x0 = 0 ບດົ ແກ ້ 1: f ′( x ) = lim f ( x) − f( x 0 ) − 0 x→x0 x x0 42

f ′ ( 0) = lim f ( x) − f ( 0 ) − 0 x→0 x f ′(0) = lim f (x) − f (0) x→0 x f ′(0) = lim 2x3 +1− 2(0)3 +1 x→0 x f ′(0) = lim 2x3 +1−1 x→0 x f ′(0) = lim 2 x3 x→0 x f ′(0) = lim 2x2 = 2(0)2 = 0 x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(0) = 0. ບດົ ແກ ້ 2: f ′ ( x ) = lim f ( ∆x + x)− f ( x 0 ) 0 ∆x→0 ∆x f ′ ( 0 ) = lim f ( ∆x + 0) − f ( 0 ) ∆x→0 ∆x f ′ ( 0 ) = lim f ( ∆x ) − f ( 0 ) ∆x→0 ∆x f ′ ( 0) = lim 2 ( ∆x )3 + 1 − 1 ∆x→0 ∆x f ′ ( 0) = lim 2 ( ∆x )3 ∆x→0 ∆x f ′(0) = lim 2(∆x)2 = 2(0)2 = 0 ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(0) = 0. ຕວົ ຢ່ າງ 3: ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x) = x +1 . ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ f ′(2) x −1 ບດົ ແກ ້ 1: f ′( x ) = lim f ( x) − f( x 0 ) − 0 x→x0 x x0 f ′ ( 2 ) = lim f ( x) − f( 2 ) − x→2 x 2 43

′(2) x +1 −  2 +1  x −1 2 −1 f = lim 2 x− x→2 ′(2) = x +1 − 3 2 f lim x −1 x− x→2 x +1− 3(x −1) f ′(2) = lim x −1 x→2 x−2 f ′ ( 2) = lim x +1− 3x + 3 x→2 (x −1)(x − 2) f ′ ( 2) = lim ( x −2x + 4 2 ) − x→2 − 1) ( x f ′ ( 2 ) = lim ( −2 (x − 2) ) x −1) (x x→2 −2 f ′(2) = lim −2 = −2 = −2 x −1 2 −1 x→2 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(2) = −2 . ບດົ ແກ ້ 2: f ′ ( x0 ) = lim f ( ∆x + x0 ) − f ( x0 ) ∆x→0 ∆x f ′ ( 2) = lim f ( ∆x + 2) − f ( 2) ∆x→0 ∆x ′(2) = ∆x + 2 +1 − 2 +1 ∆x + 2 2 −1 f lim −1 ∆x ∆x→0 ′(2) = ∆x +3 − 3 ∆x 1 f lim +1 ∆x ∆x→0 ′(2) = ∆x +3 − 3 ∆x f lim +1 ∆x ∆x→0 ∆x + 3 − 3(∆x +1) f ′(2) = lim ∆x +1 ∆x→0 ∆x 44

f ′ ( 2) = lim ∆x + 3 − 3∆x − 3 ∆x→0 ∆x ( ∆x +1) f ′(2) = lim −2 ∆x ∆x→0 ∆x (∆x +1) f ′(2) = lim −2 = −2 = −2 ∆x +1 0 +1 ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(2) = −2 . ຕວົ ຢ່ າງ 4: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = 3 − 2x . ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ ຢ່ ູ ເມດັ x = 0 f ′( x ) = lim f ( ∆x + x) − f ( x ) ∆x→0 ∆x f ′( 0) = lim f ( ∆x + 0) − f ( 0) ∆x→0 ∆x f ′ ( 0 ) = lim f ( ∆x ) − f ( 0 ) ∆x→0 ∆x f ′(0) = lim 3 − 2∆x − 3 ∆x→0 ∆x ( )( )f ′(0) = lim 3 − 2∆x − 3 3 − 2∆x + 3 ( )∆x→0 ∆x 3 − 2∆x + 3 ( ) ( )f ′(0) = lim 2 3 − 2∆x 2 − −2 ∆x 3 3 − 2∆x + 3 = lim ( ) ( )∆x→0 ∆x 3 − 2∆x + 3 ∆x→0 ∆x f ′(0) = lim −2 = −2 = − 2 = −1 = − 3 ∆x→0 3 − 2∆x + 3 3 + 3 2 3 3 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(0) = − 3 . 3 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x ) = 2sin x +1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ ຢ່ ູ ເມດັ f ′(0) ບດົ ແກ ້ 1: f ′( x ) = lim f ( x) − f( x 0 ) − 0 x→x0 x x0 f ′ ( 0 ) = lim f ( x) − f ( 0 ) − 0 x→0 x 45

f ′(0) = lim 2sin x +1− (2sin 0 +1) x→0 x f ′(0) = lim 2sin x +1−1 x→0 x f ′(0) = lim 2sin x = 2.1 = 2 x→0 x ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(0) = 2 . ບດົ ແກ ້ 2: f ′ ( x ) = lim f ( ∆x + x0 ) − f ( x 0 ) 0 ∆x→0 ∆x f ′ ( 0) = lim f ( ∆x + 0) − f (0) ∆x→0 ∆x f ′ ( 0 ) = lim f ( ∆x ) − f ( 0 ) ∆x→0 ∆x f ′ ( 0 ) = lim 2 sin ( ∆x ) +1− ( 2 sin 0 + 1) ∆x ∆x→0 f ′ ( 0 ) = lim 2 sin ( ∆x ) + 1 − 1 ∆x→0 ∆x f ′(0) = lim 2sin (∆x) = 2.1 = 2 ∆x→0 ∆x ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(0) = 2 . ຕວົ ຢ່ າງ 6: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = 2x2 − x − 2 . ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຕໍາລາ ຢ່ ູ ເມດັ x = 2 f ′ ( x ) = lim f ( ∆x + x) − f ( x ) ∆x→0 ∆x f ′ ( 2) = lim f ( ∆x + 2) − f ( 2) ∆x→0 ∆x ′(2) = 2 ( 2 + ∆x )2 − ( 2 + ∆x) − 2 −  2 ( 2 )2 − 2 − 2 f lim ∆x ∆x→0 ( )f ′(2) = lim 2 − ∆x − 4 − 4 ∆x→0 4 + 4∆x + ∆x2 ∆x f ′(2) = lim 8 + 8∆x + 2∆x 2 − ∆x − 8 ∆x ∆x→0 ′ ( 2) 7∆x + 2∆x 2 ∆x f = lim ∆x→0 46

f′(2) = lim ∆x (7 + 2∆x) ∆x→0 ∆x f ′(2) = lim (7 + 2∆x) = 7 + 2.0 = 7 ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(2) = 7 . ຕວົ ຢ່ າງ 7: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x3 . ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ f ′(3) ບດົ ແກ ້ 1: f ′( x ) = lim f ( x) − f( x 0 ) − 0 x→x0 x x0 f ′ ( 3) = lim f ( x) − f ( 3) − 3 x→3 x f ′ ( 3) = lim x3 − 33 x − 3 x→3 ( )f ′(3) = (x − 3) x3 + 3x + 9 lim x− 3 x→3 ( )f ′(3) = lim x3 + 3x + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 x→3 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(3) = 27 . ບດົ ແກ ້ 2: f ′ ( x ) = lim f ( ∆x + x0 ) − f ( x 0 ) 0 ∆x→0 ∆x f ′ (3) = lim f ( ∆x + 3) − f (3) ∆x→0 ∆x f ′ (3) = lim (3 + ∆x )3 − 33 ∆x→0 ∆x ′ (3) = (3 + ∆x ) − 3 (3 + ∆x )2 .30 + (3 + ∆x )1 .31 + (3 + ∆x )0 .32  f lim ∆x ∆x→0 f ′(3) = ∆x (3 + ∆x )2 + (3 + ∆x ).3 + 9 lim ∆x ∆x→0 f ′(3) = lim (3 + ∆x )2 + (3 + ∆x ).3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 ∆x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : f ′(3) = 27 . ຕວົ ຢ່ າງ 8: ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x) = x7 . ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ f ′(1) 47