คู่มือรูปแบบการสอนแก้ปัญหา

คำนำ คูม่ ือรปู แบบการสอนแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เพือ่ พัฒนาความสามารถในการแกป้ ญั หาและ ความสามารถในการคิดขั้นสูง เรื่องลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ สำหรับนักเรียนช้ันมัธยมศึกษา ปีท่ี 6 ทผี่ ู้วจิ ัยได้สังเคราะห์จากเอกสาร ตำรา บทความและงานวจิ ัยที่เก่ยี วข้องผ่านกระบวนการพัฒนา โดยผู้เช่ียวชาญ ซึ่งมีวัตถุประสงค์สำคัญเพ่ือพัฒนาให้นักเรียนมีความสามารถในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ มีความสามารถในการคิดข้ันสูงและผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนคณิตศาสตร์สูงขึ้น โดยใน คู่มือเล่มนี้ได้รวบรวมแนวทางการจัดการเรียนรู้ไว้อย่างสมบูรณ์ เหมาะสำหรับครูผู้สอนกลุ่มสาระ การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ทีจ่ ะนำไปใชเ้ ป็นเครอ่ื งมือในการพฒั นาผู้เรียนได้เปน็ อยา่ งดี ผู้วิจัยหวังเป็นอย่างยิ่งว่า คู่มือเล่มน้ีจะเป็นประโยชน์สำหรับครูผู้สอนในการจัดกิจกรรม การเรียนรู้ตามรูปแบบการสอนแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหา และความสามารถในการคดิ ขนั้ สูง ให้กบั นักเรียนตอ่ ไป สทุ ธดา เหลอื งห่อ

สารบัญ หน้า แนวคิดของรูปแบบการสอน…....………………………………………………………………………………… 1 วตั ถปุ ระสงค…์ ………………………………………………………………………………………………………….. 3 ผลลัพธท์ คี่ าดหวงั ……………………………………………………………………………………………………... 3 กระบวนการจัดการเรียนการสอน……………………………………………………………………............. 5 ขั้นท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา………………………………………………………………………….. 5 ขน้ั ท่ี 2 คิดวธิ หี าคำตอบเพอ่ื วางแผนแกป้ ัญหา…………………………………………………… 5 ขัน้ ท่ี 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค…์ ………………………………………………… 6 ขั้นที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยทุ ธวธิ ีแกป้ ัญหา………………………………………………. 7 เนอื้ หาท่ีจะใช้จดั การเรียนรู้ตามรูปแบบการสอน……............………………………………………….. 8 กำหนดการจดั การเรียนร.ู้ ...........………………………………………………………………………………… 9 แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 1………………………………………………………………………………………….. 11 แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 2………………………………………………………………………………………….. 30 แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3………………………………………………………………………………………….. 43 แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 4………………………………………………………………………………………….. 62 แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 5………………………………………………………………………………………….. 83 แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 6………………………………………………………………………………………….. 101 แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 7………………………………………………………………………………………….. 124 แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 8………………………………………………………………………………………….. 146 แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 9………………………………………………………………………………………….. 167 แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 10……………………………………………………………………………………….. 190 แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 11……………………………………………………………………………………….. 212 แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 12……………………………………………………………………………………….. 224 แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 13……………………………………………………………………………………….. 235 แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 14……………………………………………………………………………………….. 249 การวดั และประเมนิ ผล……………………………………………………………………………………….......... 263 แบบทดสอบวัดความสามารถในการแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์………………………………………. 264 แบบทดสอบวัดความสามารถในการแก้ปัญหาอยา่ งสร้างสรรค์และมวี จิ ารณญาณ................ 273 แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธท์ิ างการเรียนคณติ ศาสตร์…………........…………………………………… 282 บรรณานกุ รม……………………………………………………………………………………………………………. 288

1 คู่มอื รูปแบบการสอนแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์เพอ่ื พัฒนาความสามารถในการแก้ปญั หา และความสามารถในการคิดขั้นสูง เรือ่ งลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนันต์ สำหรบั นกั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 แนวคิดของรูปแบบการสอน การจัดการเรียนตามรปู แบบการสอนแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาความสามารถใน การแก้ปัญหาและความสามารถในการคิดขั้นสูง เรื่องลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ สำหรับ นกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 มวี ตั ถุประสงคเ์ พอ่ื พัฒนาความสามารถในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ ของนกั เรียนและการนำความรู้ท่ีได้รบั ถ่ายโยงไปสู่ความสามารถในการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ปัญหา อื่น ๆ ได้ เมื่อได้รับการพัฒนาอย่างต่อเน่ืองจะเป็นความสามารในการคดิ ขัน้ สูง สอดคล้องกับแนวคดิ และทฤษฎพี ้ืนฐาน ดังนี้ 1. ทฤษฎีคอนสตรัคติวิสต์ ซึ่งเป็นรูปแบบการเรียนรู้หนึ่งที่เหมาะสมกับกลุ่มสาระ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยให้ความสำคัญกับประสบการณ์และกระบวนการเรียนรู้ที่เกิดขึ้นภายใน นักเรียนเป็นผู้สร้างความรู้จากความสมั พันธ์ระหว่างสิ่งที่พบเห็นกับความรู้ความเข้าใจที่มีอยู่เดิมจาก ประสบการณ์ต่าง ๆ ที่ได้พบ ได้สัมผัสและได้ทำโดยอาศัยประสบการณ์และโครงสร้างเดิมของแต่ละ บุคคลซึ่งกระบวนการในการสร้างความรู้นั้น เป็นการกระทำของนักเรียน ทำให้นักเรียนตื่นตัว รู้จัก ควบคุมการเรียนของตนและส่งเสริมการคิดอย่างมีวิจารณญาณ ส่งผลให้นักเรียนได้พัฒนาความคิด สามารถวิเคราะห์ สังเคราะห์ แสดงความคิดเห็นแสวงหาความรู้ได้ด้วยตนเอง และสามารถเรียนรู้ จากการปฏิสัมพันธ์กับกลุ่ม การทำกิจกรรมกลุ่มนั้นช่วยให้นักเรียนได้แลกเปลี่ยนความคิดเห็น มีการตรวจสอบความคิดเห็น การยอมรับฟังความคิดเห็นซึ่งกันและกัน นักเรียนได้อภิปรายถึง แนวทางการแก้ปัญหา ให้เหตุผล สรุปสาระและหลักการของเรื่องที่เรียนได้อย่างชัดเจน ตลอดจน การใชภ้ าษาทน่ี กั เรยี นสอ่ื สารกนั ยงั เป็นภาษาทสี่ ามารถเข้าใจกันได้ดแี ละเหมาะสมกวา่ ภาษาของครู 2. การจัดการเรียนรู้แบบ SSCS และกระบวนการแก้ปัญหาของ Polya เป็นรูปแบบใน การพฒั นาความสามารถในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์และผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนของนักเรยี นได้อย่าง มีประสิทธิภาพ ซึ่งการจัดการเรียนรู้รูปแบบ SSCS (Pizzini, Abell and Shepardson, 1988) ที่มี ขั้นตอน 4 ขั้นตอน คือ 1) การค้นหา (Search: S) 2) การแก้ปัญหา(Solve: S) 3) การสร้างสรรค์ คำตอบ หรือจัดกระทำกับคำตอบให้สื่อสารกับผู้อื่นได้ง่ายขึ้น (Create: C) และ 4) การแลกเปลี่ยน ความคดิ เห็น (Share: S) กระบวนการแก้ปัญหาของ Polya (Polya, 1957) มี 4 ขัน้ ตอนเช่นเดียวกัน คือ ขั้นที่ 1 ทำความเข้าใจปัญหา (Understanding the problem) ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปัญหา (Devising a plan) ขั้นที่ 3 ดำเนินการตามแผน (Carrying out the plan) และขั้นที่ 4 ตรวจสอบ (Looking back)

2 3. กลวิธีเอสคิวอาร์คิวซีคิว (SQRQCQ) เป็นกลวิธีที่ช่วยให้นักเรียนแสดงการแก้ปัญหา อย่างเป็นลำดับขั้นตอน ซ่ึง Heidema (2009) ได้กล่าวถึงกลวิธีเอสคิวอาร์คิวซีคิวนั้น เกิดจาก การพัฒนาของ Fay โดยนำกลวิธีเอสคิวทรีอาร์ (SQ3R) ซึ่งเป็นกลวิธีเพื่อพัฒนาการอ่านร่วมกับ กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา (Polya) จึงทำให้กลวิธีเอสควิ อาร์คิวซีคิวเป็นกลวิธีท่ีถูกออกแบบมา เพื่อช่วยส่งเสริมนักเรียนในด้านการอ่าน และช่วยให้สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ ทำให้รู้ว่า ส่วนใดคือข้อมูลที่สำคัญและรู้ว่าวิธีการไหนที่เหมาะกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากที่สุด ซึ่งข้ันตอนของกลวิธีเอสคิวอาร์คิวซีคิวมี 6 ขั้นตอน ดังนี้ 1) ขั้น S (Survey) เป็นข้ันที่นักเรียน อ่านปญั หาทั้งหมดอยา่ งผา่ น ๆ เพอ่ื ท่จี ะรู้ว่าปญั หาน้ัน เก่ียวกบั เรื่องใด ถ้ามีคำบางคำไมเ่ ข้าใจนักเรียน ต้องสอบถามครูหรือเพื่อน ๆ ในช้ันเรียนก่อนไปในขั้นถัดไป 2) ขั้น Q (Question) เป็นข้ันที่นักเรียน ถามตนเองถึงข้อมูลที่ได้มาจากข้ัน S และเปลี่ยนภาษาของปัญหาให้เป็นภาษาของตนเอง เพื่อที่จะ ช่วยให้นักเรียนเข้าใจปัญหามากยิ่งข้ึน 3) ขั้น R (Read) เป็นข้ันที่นักเรียนอ่านปัญหาน้ัน อย่าง รอบคอบอีกคร้ัง เพื่อดูว่าข้อมูลใดเป็นข้อมูลสำคัญ ข้อมูลใดไม่สำคัญ ข้อมูลที่สำคัญจดบันทึกลงไป เพื่อนำไปสู่การหาคำตอบของปัญหา 4) ข้ัน Q (Question) เป็นข้ันที่นักเรียนถามตนเองถึงวิธีการ แก้ปัญหา โดยนำข้อมูลจากขั้นก่อนหนา้ นี้มาวิเคราะหเ์ พื่อจะนำไปสู่การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ โดยใช้ กฎ สตู ร นยิ ามต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ 5) ขน้ั C (Compute) เปน็ ขน้ั ทนี่ กั เรียนแสดงวิธีการแก้ปัญหา โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปัญหาน้ัน ๆ 6) ข้ัน Q (Question) เป็นข้ันที่นักเรียน ถามตนเองถึงการไดม้ าซ่ึงคำตอบเพื่อตรวจสอบวา่ คำตอบถูกหรือผิด และมีความสมเหตุสมผลหรือไม่ (สิรภพ สนิ ธุประเสรฐิ , 2559) 4. การจัดกจิ กรรมการเรียนรู้แบบฮิวริสติกส์ร่วมกบั เทคนคิ Think Talk Write ผู้เรียน จำเป็นต้องมีทักษะการสื่อสารทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ผู้เรียนสามารถอภิปรายผลได้อย่างถูกต้อง และชัดเจน ซึ่งเทคนิค Think Talk Write เป็นเทคนิคที่ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารผ่านทาง ช่องทางการพูดและการเขียน โดยแนวความคิดนี้มีพื้นฐานมาจากการเข้าใจทางการเรียน ที่ส่งเสริม ให้ผู้เรียนคิด พูดและเขียนได้ (Huinker and Laughlin, 1996; Rabu, 2008; Dila, 2012) ซึ่ง ประกอบด้วย 3 ส่วนสำคัญที่จะต้องพัฒนาในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ มีดังนี้ 1) การคิด (Think) เป็นการคิดเกี่ยวกับปัญหาและคิดเกี่ยวกับคำตอบที่เป็นไปได้ และเขียนบันทึกความรู้ 2) การพูด (Talk) เป็นการสื่อสารโดยใช้การพูดกับเพื่อนในชั้นเรียนหรือในกลุ่ม เพื่อถ่ายทอดสิ่งที่เขาคิด ออกมาให้เพื่อนได้รับรู้และอภิปรายเกี่ยวกับความคิดนั้น แล้วช่วยกันค้นหาข้อสรุปที่เป็นไปได้ และ 3) การเขียน (Write) เป็นการเขียนสรุปผลที่ได้จากการอภิปราย ยุทธวิธีการแก้ปัญหา ผลที่ได้รับและ คำตอบ (พชั ราภรณ์ ทองนาค , 2559) จากแนวคิดทฤษฎีข้างต้น ทำให้สรุปแนวคิดของรูปแบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ เพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาและความสามารถในการคิดขั้นสูง เรื่องลำดับอนันต์และ อนกุ รมอนนั ต์ สำหรับนกั เรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 ดงั นี้ การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนท่สี ง่ เสริมใหน้ ักเรยี นพฒั นาความสามารถในการแก้ปัญหา และความสามารถในการคิดขั้นสูง ควรปลูกฝังให้นักเรียนมีการจัดระบบทางความคิดอย่างเหมาะสม

3 จัดการกับข้อมูลที่มีอยู่ เชื่อมโยงความสัมพันธ์ของข้อมูล วางแผนแก้ปัญหาด้วยระบบการแก้ปัญหา ทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้มองเห็นภาพลำดับขัน้ ตอนของแผนงาน กำหนดลำดับขั้นตอนในการแก้ปัญหา อยา่ งชดั เจนกอ่ นลงมือแก้ปัญหา นักเรยี นเปน็ ผสู้ ร้างความรใู้ หมผ่ ่านกระบวนการคิดดว้ ยการแก้ปัญหา อย่างมีความหมายต่อนักเรียน โดยใช้สถานการณ์ปัญหาที่เกิดขึ้นจริงเป็นบริบทของการเรียนรู้เป็น ตัวกระตุ้น เป็นจุดเริ่มต้นของการแสวงหาความรู้ ใฝ่หาความรู้ เรียนรู้ด้วยการแก้ปัญหา เพื่อให้เกิด ทักษะในการคิดวิเคราะห์และการคิดปัญหา รวมทั้งได้ความรู้ในเนื้อหาที่ตนศึกษาไปพร้อมกันด้วย เรียนรู้เป็นกลุ่มโดยใช้เทคนิค การระดมสมอง รวบรวมกลวิธีแก้ปัญหาอย่างสร้างสรรค์และพิจารณา การตัดสินใจ เลือกวิธีทีด่ ีทีส่ ุด พร้อมตรวจสอบและประเมินทางเลือกที่ใชใ้ นการแก้ปัญหาที่เหมาะสม มีความเป็นไปได้ และจากการสร้างองค์ประกอบของการแก้ไขปัญหาอย่างสร้างสรรค์ เกิดเป็น ประสบการณ์ ความสามารถนำทกั ษะและความรู้ท่ีไดร้ บั ถ่ายโยงไปสู่ความสามารถในการคดิ เชิงปฏิบัติ กบั การแก้ปัญหาในสถานการณป์ ัญหาอ่ืน ๆ ได้ วัตถุประสงค์ เพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาและความสามารถในการคิดขั้นสูง เรื่องลำดับ อนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ สำหรบั นกั เรียนช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 ผลลพั ธท์ ค่ี าดหวงั 1. นกั เรียนมีความสามารถในการแกป้ ญั หา ซ่งึ ประกอบดว้ ย 1) สามารถระบุปัญหา หมายถึง ความสามารถในการบอกข้อมูลที่ใช้ในการแก้ปัญหา บอกเง่ือนไขของปญั หา สิง่ ทเ่ี กีย่ วข้องกับการแกป้ ัญหา รวมถงึ ประเดน็ ของปัญหาน้นั ๆ โดยการเขียน บอกความสัมพันธ์ของข้อมูลจากสถานการณ์ปัญหา หรือเขียนอธิบายถึงความสัมพันธ์ของสิ่งที่โจทย์ กำหนดให้ และสิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบ 2) การเลือกใช้กลวิธีแก้ปัญหา หมายถึง ความสามารถในการกำหนดกลวิธีหรือ แผนการแก้ปัญหาที่หลากหลาย และระบุหรือเลือกวิธีที่เหมาะสมที่สุด แล้วกำหนดเป็นรายละเอียด หรือขั้นตอนในการดำเนินการ โดยการเขียนกลวิธีหรือแผนการแก้ปัญหาเป็นขั้นตอนอย่างคร่าว ๆ เพ่ือแสดงให้เห็นถึงแนวคิดของการแก้ปัญหาตา่ ง ๆ อย่างหลากหลาย และวิเคราะห์องค์ประกอบของ ปญั หาหลาย ๆ องคป์ ระกอบที่มคี วามสัมพันธ์นำมาเช่ือมโยงกัน เพอื่ ใชป้ ระกอบการพิจารณาตัดสินใจ เลอื กกลวธิ ี แนวทางในการแกป้ ัญหาอย่างเหมาะสม 3) สามารถดำเนินการแก้ปัญหา หมายถึง ความสามารถในการดำเนินการตาม ขั้นตอนที่ได้กำหนดไว้ในกลวิธีที่ได้ตัดสินใจเลือก ในขั้นตอนที่ผ่านมาโดยการเขียนแสดงขั้นตอน ในการแก้ปัญหาตามกลวิธีหรือแนวทางแก้ปัญหาจากที่ได้วางแผนไว้ให้ได้มาซึ่งคำตอบอย่างถูกต้อง ชัดเจน

4 4) สามารถตรวจสอบการแก้ปัญหา หมายถึง ความสามารถในการแสดงให้เห็นว่า คำตอบที่ได้มีความสอดคล้องกับเงื่อนไขและสิ่งที่โจทย์กำหนด โดยการเขียนแสดงด้วยวิธีการ ย้อนกลับเพื่อให้ได้สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ หรือเขียนอธิบายเหตุผลของคำตอบอย่างสมเหตุสมผล และมคี วามสอดคลอ้ งกบั เง่ือนไขของปญั หาที่กำหนด 5) สามารถประยุกต์ใช้ความรู้กับปัญหาใหม่ หมายถึง การนำความรู้หรือ ประสบการณ์ที่ได้รับจากกระบวนการแก้ปัญหาเดิมไปประยุกต์ใช้แก้ปัญหากับสถานการณ์ปัญหา อื่น ๆ โดยให้นักเรียนสร้างสถานการณ์ปัญหาใหม่บนฐานของปัญหาเดิม หรือเขียนปัญหาที่คล้ายกัน กับปัญหาเดิม พร้อมวางแผนเลือกใช้กลวิธีในการแก้ปัญหาและหาคำตอบของปัญหาได้อย่างถูกต้อง และมคี วามสมเหตุสมผลของคำตอบเปน็ รายบคุ คล 2. นักเรยี นมีความสามารถในการคิดขน้ั สูง ซง่ึ ประกอบดว้ ย 1) ความสามารถในการคิดวิเคราะห์อย่างสร้างสรรค์และมีวิจารณญาณ หมายถึง ความสามารถในการทำกิจกรรมการเรียนรู้ เพื่อสร้างองค์ความรู้ใหม่ โดยใช้กระบวนการคิดวิเคราะห์ ในกจิ กรรมการเรียนรู้ ใช้กระบวนการคดิ วิเคราะห์อย่างสร้างสรรค์และมีวิจารณญาณ ซึง่ กจิ กรรมแต่ละ กิจกรรมจะให้นักเรียนทำตามขั้นตอนของกระบวนการคิดวิเคราะห์ ประกอบด้วย 5 ขั้นตอน คือ 1) ขั้นกำหนดสิ่งที่ต้องการวิเคราะห์ 2) ขั้นกำหนดปัญหา/วัตถุประสงค์ 3) ขั้นกำหนดหลักการ/ กฎเกณฑ์ 4) พิจารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมูลและ 5) ขั้นสรุปคำตอบและการจัดกิจกรรม การเรียนรู้แต่ล ะกิจ กรร มเพื่ อส่งเส ริมความส ามารถในการ คิดส ร้างสรร ค์แล ะการ คิดอย ่า ง มี วิจารณญาณ เครื่องมือที่ใช้ในการวัดผลจะใช้การสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในการทำกิจกรรม สร้างองค์ความรู้ โดยพิจารณาความสามารถในการใช้กระบวนการคิดวิเคราะห์ในแต่ละขั้นตอน ความคิดคล่องแคล่ว ความคิดยืดหยุ่น ความคิดริเริ่ม ความสมเหตุสมผล ในการจัดลำดับความสำคญั ของวิธีการและการตัดสินใจเลือกวิธีท่ดี ที ี่สดุ 2) ความสามารถในการแก้ปัญหาอย่างสร้างสรรค์และมีวิจารณญาณ หมายถึง ความสามารถในการทำกิจกรรมการเรียนรู้เพื่อแก้ปัญหา โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาอย่าง สรา้ งสรรคแ์ ละมวี จิ ารณญาณประกอบดว้ ย 4 ขน้ั ตอน คอื 1) ขน้ั ทำความเข้าใจปัญหา 2) ขนั้ คดิ วิธีหา คำตอบเพ่อื วางแผนแก้ปญั หา 3) ขั้นแสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ และ 4) ขนั้ ตรวจคำตอบ และสรุปผลยุทธวิธีแก้ปัญหา เพื่อส่งเสริมความสามารถในการคิดสร้างสรรค์และการคิดอย่างมี วิจารณญาณ เครื่องมือที่ใช้ในการวัด ประกอบด้วย แบบสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในการทำ กิจกรรมแก้ปัญหา แบบทดสอบแบบอัตนัย จำนวน 2 ข้อโดยพิจารณาความสามารถในการใช้ กระบวนการในการแก้ปัญหาในแต่ละขั้นตอน ความคิดคล่องแคล่ว ความคิดยืดหยุ่น ความคิดริเริ่ม ความสมเหตุสมผล ในการจัดลำดบั ความสำคัญของวิธกี ารและการตดั สนิ ใจเลอื กวธิ ที ด่ี ที ีส่ ดุ

5 กระบวนการจดั การเรียนการสอน ลำดับขั้นตอนของกระบวนการจัดการเรียนการสอนของแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เพื่อ พัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาและความสามารถในการคิดขั้นสูง เรื่องลำดับอนันตแ์ ละอนุกรม อนนั ต์ สำหรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 แบง่ เป็น 4 ขัน้ ตอน ดังน้ี ขนั้ ท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา ครูกำหนดและออกแบบสถานการณ์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสอนให้เป็น สถานการณ์ปัญหาที่เกี่ยวข้องหรือคล้ายคลึง หรือเป็นสถานการณ์ที่ใกล้เคียงบริบทจริงของนักเรียน เพื่อกระตุ้นให้นักเรียนสนใจและมองเห็นปัญหา กำหนดสิ่งที่เป็นปัญหา และเกิดความอยากรู้ อยากเห็น เกิดความสนใจที่จะค้นหาคำตอบ โดยครูร่วมอภิปราย สนทนาเกี่ยวกับสถานการณ์ปัญหา ใช้ประเด็นคำถามกระตุ้นให้นักเรียนคิดวิเคราะห์ ทำความเข้าใจในสถานการณ์ปัญหา มองเห็น ความสัมพันธข์ องขอ้ มูลจากสถานการณ์ปัญหา เพื่อเป็นการสำรวจความรูเ้ ดิมและเชื่อมโยงกับเนื้อหา ที่เรียน โดยครูเปิดโอกาสให้นักเรียนได้อธิบาย อภิปรายความคิดของตนเองเกี่ยวกับสถานการณ์ ร่วมกนั จนสามารถระบปุ ัญหาสำคญั ของสถานการณ์ได้ บทบาทครู ในขั้นนี้ครูมีบทบาทหน้าที่สำคัญ คือ ออกแบบสถานการณ์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ท่ี เปน็ สถานการณป์ ัญหาท่เี กยี่ วข้องหรือคล้ายคลงึ หรอื เปน็ สถานการณใ์ นบริบทจรงิ ของนักเรียนเพ่ือให้ นักเรียนได้วิเคราะห์ทำความเข้าใจสถานการณ์ปัญหา ใช้ประเด็นคำถามกระตุ้นให้นักเรียนอธิบาย การคิดของตนเองหรือร่วมกัน และอธิบายเพื่อให้นักเรียนได้วิเคราะห์และทำความเข้าใจสถานการณ์ ปญั หา รบั ฟงั ความคิดเห็นของนกั เรยี นเกยี่ วกับสถานการณป์ ัญหา พรอ้ มสนทนาและอภิปรายร่วมกนั บทบาทนักเรยี น ในขั้นนี้นักเรียนมีบทบาทสำคัญ คือ วิเคราะห์และทำความเข้าใจสถานการณ์ปัญหา อธิบายความคิดของตนเองเกี่ยวกับสถานการณ์ปัญหา อภิปรายร่วมกันในการวิเคราะห์และทำความ เขา้ ใจสถานการณ์ปญั หาตามหลักและเหตุผล รว่ มตอบคำถามเกย่ี วกบั สถานการณ์ปญั หาข้อมูลท่ีใช้ใน การแกส้ ถานการณป์ ญั หา ข้นั ท่ี 2 คดิ วธิ ีหาคำตอบเพอื่ วางแผนแก้ปญั หา นักเรียนทบทวนสถานการณ์ปัญหา วิเคราะห์กระบวนการในการแก้ปัญหาวางแผน หากลวิธีในการแก้ปัญหาอย่างหลากหลาย ครูมีบทบาทในการให้ความรู้เกี่ยวกับเนื้อหาทาง คณิตศาสตร์ เกี่ยวกับกระบวนการแก้ปัญหา 4 ขั้นตอน คือ 1) โจทย์ให้อะไร 2) คิดวิธีหาคำตอบ 3) แสดงวิธีหาคำตอบ 4) ตรวจคำตอบ เกี่ยวกับกลวิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมให้กับ นักเรียนเป็นระยะ ๆ เพื่อเป็นการกระตุ้นและเป็นพื้นฐานให้นักเรียนแสวงหากลวิธีในการแก้ปัญหา อย่างอิสระและหลากหลาย โดยครูเป็นผู้ชี้แนะ แนะนำ แหล่งเรียนรู้เพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาค้นคว้า

6 หาแนวทางการแก้ปัญหาของตนเอง ซึ่งเป็นพืน้ ฐานในการนำไปใช้แสวงหากลวิธีแกป้ ญั หาเพือ่ นำไปสู่ การเลือกกลวธิ ีแก้ปัญหาทีต่ รงกบั สถานการณแ์ ละมีความเหมาะสมเป็นไปได้ บทบาทครู ในขั้นนี้ครูมีบทบาทที่สำคัญ คือ ครูให้ความรู้กับเนื้อหาทางคณิตศาสตร์เกีย่ วกับกลวธิ ี แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับกระบวนการแก้ปัญหาเพิ่มเติมกับนักเรียนเป็นระยะๆ ครูเป็น ผู้ชี้แนะ แนะนำแหล่งเรียนรู้เพื่อใหน้ กั เรยี นไดศ้ ึกษาค้นคว้าแนวทางการแก้ปญั หาด้วยตนเอง กระตุ้น ให้นักเรียนสร้างสรรค์กลวิธีแก้ปัญหาใหม่ ๆ ครูใช้คำถามเพื่อให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับ เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ใหม่ กระบวนการแก้ปัญหา กลวิธแี ก้ปัญหาโดยเปิดโอกาสให้นักเรียนได้แสดง ความคิดเห็น เมื่อนักเรียนคิดแก้ปัญหาด้วยกลวิธีที่แตกต่าง หรือกลวิธีใหม่ ๆ ออกแบบสถานการณ์ ปัญหา ให้นักเรียนได้ฝึกปฏิบัติกิจกรรมการแก้ปัญหาด้วยการใช้กระบวนการแก้ปัญหาและกลวิธีใน การแก้ปัญหาอย่างหลากหลายและให้ครอบคลุมทักษะด้านการคิดวิเคราะห์ การคิดสร้างสรรค์และ การคิดเชิงปฏบิ ตั ิ บทบาทนักเรียน ในขั้นนน้ี กั เรียนมีบทบาทท่ีสำคัญ คอื ทบทวนสถานการณป์ ัญหา วเิ คราะห์กระบวนการ ในการแก้ปัญหา วางแผนหากลวิธีในการแก้ปัญหาอย่างหลากหลาย ร่วมอภิปรายเกี่ยวกับเนื้อหาทาง คณิตศาสตร์ใหม่ ร่วมแสดงความคิดเห็นเพื่อหาวิธีการแก้ปัญหาด้วยการใช้กระบวนการ กลวิธี แก้ปัญหาและคิดหากลวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างสร้างสรรค์กลวิธีใหม่ ๆ เพื่อฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์ การคิดสร้างสรรค์และการคิดเชงิ ปฏิบัติ ศกึ ษา คน้ คว้าจากแหลง่ เรียนรเู้ อกสารความรู้ เพือ่ ให้นักเรียน ได้ศึกษาค้นคว้า หาแนวทางการแก้ปัญหาด้วยตนเอง เลือกกลวิธีแก้ปัญหาที่ตรงกับสถานการณ์และ มคี วามเหมาะสมเป็นไปได้ ขั้นท่ี 3 แสดงวิธีการหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนเป็นกลุ่มย่อยกลุ่มละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทาง คณิตศาสตร์ เก่ง ปานกลาง อ่อน เมอื่ เข้ากล่มุ ใหน้ ักเรยี นแต่ละคนได้ลงมือปฏบิ ัติกิจการแก้ปัญหาด้วย ตนเองอยา่ งอสิ ระ ตามทีไ่ ดเ้ ลือกกลวธิ แี ก้ปญั หาไว้ โดยเชื่อมโยงความรู้ ประสบการณ์ ความสามารถ ที่มีอยู่นำเสนอแนวคิด แนวทางการแก้ปัญหาของตนเอง อธิบายความคิดของตนเองต่อกลุ่ม แลกเปลี่ยนความรู้ระหว่างกันอย่างอิสระ ซึ่งจะทำให้ได้แนวคิดหรือแนวทางในการหาคำตอบ หรือ วิธีการที่ใช้ในการแก้ปัญหาอย่างหลากหลาย สมาชิกกลุ่มร่วมกันพิจารณาตรวจสอบ และประเมิน ทางเลือกในการแก้ปัญหาเน้นส่งเสริมความคิดแก้ปัญหา ด้วยกลวิธีที่แตกต่างหรือสร้างสรรค์กลวิธี ใหม่ ๆ ทเ่ี ปน็ ไปได้ใหม้ ากที่สุด กล่มุ ร่วมกนั พิจารณาตดั สินใจเลือกกลวิธีที่ดีทีส่ ุด ท่ีตรงกับสถานการณ์ และมคี วามเหมาะสม เปน็ ไปไดแ้ ละดำเนนิ การแกป้ ัญหาของกลุ่ม

7 บทบาทครู ในขั้นนี้ครูมีบทบาทที่สำคัญ คือ แนะนำการเรียนรู้ร่วมกันและอธิบายเกณฑ์ การแบ่งกลุ่ม แนะนำบทบาทหน้าที่ของสมาชิกกลุ่ม ใช้คำถามเพื่อเป็นการแนะนำชี้แนะแนวทาง ในการดำเนินการแก้ปัญหาทั้งในรายบุคคลและต่อกลุ่ม ใช้คำถามกระตุ้น ให้นักเรียนสม าชิกกลุ่ม พิจารณาความเป็นไปได้ ตรวจสอบความถูกต้องของกระบวนการและกลวิธีที่ใช้ ความเป็นไปได้ ความสมเหตุสมผลของคำตอบ และคำตอบมีความสอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดในปัญหา สังเกต พฤติกรรม การปฏบิ ัติกิจกรรมการแกป้ ัญหาของนกั เรยี นภายในกลมุ่ บทบาทนกั เรยี น ในข้ันน้ีนกั เรยี นมีบทบาททส่ี ำคญั คอื เรยี นร้รู ่วมกนั เปน็ กลุ่ม ลงมือแก้ไขเปน็ รายบุคคล เชื่อมโยงความรขู้ องตนไปสู่การแกป้ ญั หา และลงมือแก้ปญั หาด้วยตนเองอยา่ งอิสระ เสนอแนวคิดของ ตนเองอย่างหลากหลายต่อกลุ่ม แลกเปลี่ยนความรู้ระหว่างกันอย่างอิสระ สมาชิกกลุ่มร่วมกัน พจิ ารณาตดั สินใจเลอื กกลวิธแี ก้ปัญหาทีต่ รงกับสถานการณ์ หรือมีความเหมาะสมเปน็ ไปได้ ตรวจสอบ ความถูกต้องของกระบวนการและกลวิธีที่ใช้สมเหตุสมผลของคำตอบ ความสอดคล้องกับเงื่อนไข ทีก่ ำหนดในสถานการณ์ปญั หา ดำเนินการแก้ปญั หาของกลุ่ม ขนั้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวธิ ีแกป้ ญั หา ตัวแทนกลุม่ แตล่ ะกลุม่ นำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวธิ ีที่ใช้แก้ปญั หา คำตอบของ ปัญหาที่กลุ่มได้ร่วมกันพิจารณาตัดสินใจเลือก รวมถึงปัญหาที่พบในการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ ดังกล่าว เพื่อนกลุ่มอื่นร่วมตรวจสอบ ดังนี้ 1) ความถูกต้องของกระบวนการแก้ปัญหาและกลวิธีที่ใช้ 2) คำตอบมีความเป็นไปได้หรือมีความสมเหตุสมผลหรือไม่ 3) ตรวจสอบว่าคำตอบที่ได้มีความ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดไว้ในปัญหาหรือไม่ กลุ่มที่มีวิธีการ กลวิธีการแก้ปัญหาที่แตกต่าง แลกเปลี่ยนแนวทางการแก้ปัญหาระหว่างกลุ่ม เพื่อให้เห็นว่ามีวิธีการแก้ปัญหาได้มากกว่า 1 วิธี ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปราย ครูสรุปเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ใหม่ให้ได้รับจากการแก้ปัญหาและ สรุปแนวทางการแกป้ ญั หาท่เี ปน็ ไปได้และสามารถประยกุ ต์ใช้แนวทางการแก้ปัญหานัน้ ได้ บทบาทครู ในขั้นนี้ครูมีบทบาทที่สำคัญ คือ ตรวจสอบขณะที่นักเรียนตัวแทนออกไปนำเสนอ แนวทางการแก้ปัญหา ใช้คำถามกระตุ้น ให้นักเรียนคิด พิจารณา การนำเสนอผลงานของเพื่อน เพื่อนำมาอภิปราย ตั้งประเด็นซักถามนักเรียนตัวแทนที่ออกมานำเสนอ เพื่อให้นักเรียนได้แสดง แนวคิด สะท้อนความคิด ถ้ากรณีพบข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น ครูใช้ประเด็นคำถาม ถามให้นักเรียน คิดแสดงแนวคิด สุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มอื่น เพื่อตรวจสอบความรู้จากการนำเสนอผลงานโดยใช้การต้ัง ประเด็นคำถาม และการให้นักเรียนร่วมสรุปความรู้ อภิปรายความรู้ที่ได้รับจากการนำเสนอผลงาน ครสู รุปเนือ้ หาทางคณติ ศาสตร์ใหม่ทีไ่ ดร้ ับจากการแกป้ ัญหาและสรุปแนวทางการแกป้ ัญหาท่ีเปน็ ไปได้

8 บทบาทนักเรียน ในขั้นนี้นักเรียนมีบทบาทที่สำคัญ คือ ตัวแทนกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวิธีและคำตอบที่ได้ของปัญหา เพื่อนนักเรียนคนอื่นๆ ตั้งใจฟัง พิจารณา วิเคราะห์ เปรียบเทียบ กระบวนการ กลวิธีแก้ปัญหาและคำตอบของปัญหากับกลุ่มตัวเอง พิจารณาประเด็นคำถาม ร่วมซกั ถาม ขอ้ สงสัยกับเพ่ือนที่ออกไปนำเสนอ ตอบประเดน็ คำถามครู เพ่ือเปน็ การตรวจสอบความรู้ ของตนเองและเปน็ การแสดงแนวคดิ ของตน นกั เรยี นคนอ่นื สามารถรว่ มเสนอ วิธกี ารแก้ปัญหา กลวิธี ท่ีแตกต่างและรว่ มอภปิ รายความรูจ้ ากการนำเสนอผลงาน รว่ มอภปิ รายสรปุ กบั เพอ่ื นและครู เน้อื หาทใี่ ชจ้ ดั การเรียนรู้ตามรปู แบบการสอน ดังน้ี 1 ชั่วโมง แผนการจดั การเรียนการรู้ท่ี 1 ความหมายของลำดับ 2 ชั่วโมง แผนการจัดการเรยี นการรู้ท่ี 2 รปู แบบการกำหนดลำดบั 2 ชั่วโมง แผนการจดั การเรยี นการรู้ท่ี 3 ลำดับเลขคณิต 3 ชว่ั โมง แผนการจดั การเรียนการรู้ที่ 4 ลำดบั เรขาคณิต 2 ช่วั โมง แผนการจัดการเรียนการรู้ท่ี 5 ลิมติ ของลำดับ (1) 3 ช่ัวโมง แผนการจดั การเรยี นการรู้ที่ 6 ลมิ ิตของลำดับ (2) 3 ชั่วโมง แผนการจดั การเรยี นการรู้ท่ี 7 สัญลักษณ์แทนการบวก แผนการจัดการเรียนการรู้ท่ี 8 การหาผลบวก n พจนแ์ รก 2 ชั่วโมง ของอนุกรมเลขคณติ แผนการจดั การเรียนการรู้ท่ี 9 การหาผลบวก n พจน์แรก 2 ชั่วโมง ของอนุกรมเรขาคณติ 2 ชว่ั โมง แผนการจดั การเรยี นการรู้ที่ 10 อนุกรมอนันต์ที่เป็นอนุกรมเรขาคณติ 1 ชั่วโมง แผนการจัดการเรียนการรู้ท่ี 11 อนกุ รมอนันต์รปู แบบอน่ื ๆ แผนการจัดการเรียนการรู้ที่ 12 การหาผลบวกของอนุกรมโดยใช้ 1 ชว่ั โมง ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม

9 แผนการจัดการเรียนการรู้ที่ 13 การนำความรู้เกี่ยวกับลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ ไปใช้ในการแก้ปัญหา (1) 3 ชัว่ โมง แผนการจัดการเรียนการรู้ท่ี 14 การนำความรเู้ ก่ียวกบั ลำดับอนนั ต์และและอนุกรมอนันต์ ไปใช้ในการแกป้ ญั หา (2) 3 ช่วั โมง กำหนดการจดั การเรยี นรู้ รายการ จำนวน วนั เดอื นปี (ชัว่ โมง) ศกุ ร์ท่ี 14 ธันวาคม 2561 ชีแ้ จง ทำความเข้าใจและทดสอบก่อนเรยี น (Pre-test) 1 แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1 ความหมายของลำดับ 1 จันทร์ที่ 17 ธนั วาคม 2561 แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 2 รูปแบบการกำหนดลำดับ 2 องั คารท่ี 18 ธนั วาคม 2561 แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3 พุธท่ี 19 ธนั วาคม 2561 ลำดับเลขคณิต 2 พฤหสั บดีที่ 20 ธันวาคม 2561 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 ศุกร์ท่ี 21 ธนั วาคม 2561 ลำดบั เรขาคณิต จนั ทร์ท่ี 24 ธนั วาคม 2561 แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั (1) 3 องั คารท่ี 25 ธันวาคม 2561 แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 6 พุธท่ี 26 ธนั วาคม 2561 ลิมติ ของลำดับ (2) 2 พฤหัสบดีท่ี 27 ธันวาคม 2561 แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 7 ศกุ ร์ที่ 28 ธันวาคม 2561 สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก อังคารท่ี 8 มกราคม 2562 แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 8 การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ 3 พุธที่ 9 มกราคม 2562 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9 พฤหัสบดีท่ี 12 มกราคม 2562 การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต ศกุ ร์ท่ี 13 มกราคม 2562 3 จนั ทร์ที่ 14 มกราคม 2562 องั คารท่ี 15 มกราคม 2562 พฤหัสบดีท่ี 17 มกราคม 2562 2 ศุกร์ท่ี 18 มกราคม 2562 2 จนั ทร์ที่ 21 มกราคม 2562 องั คารที่ 22 มกราคม 2562

10 รายการ จำนวน วันเดอื นปี (ช่ัวโมง) แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 10 พุธที่ 23 มกราคม 2562 อนกุ รมอนนั ตท์ ่เี ปน็ อนุกรมเรขาคณิต 2 พฤหัสบดีท่ี 24 มกราคม 2562 แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 11 ศุกร์ท่ี 25 มกราคม 2562 อนกุ รมอนนั ตร์ ปู แบบอนื่ ๆ 1 แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 12 การหาผลบวกของอนุกรมโดยใช้ผลบวกย่อย 1 จนั ทร์ที่ 28 มกราคม 2562 ของอนกุ รม แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 13 อังคารที่ 29 มกราคม 2562 การนำความร้เู กี่ยวกบั ลำดบั อนนั ต์และ 3 พธุ ท่ี 30 มกราคม 2562 อนกุ รมอนนั ต์ไปใช้ในการแก้ปัญหา (1) แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 14 พฤหัสบดีที่ 31 มกราคม 2562 การนำความรูเ้ กย่ี วกับลำดบั อนนั ต์และ ศุกร์ที่ 1 กุมภาพันธ์ 2562 อนกุ รมอนันต์ไปใช้ในการแก้ปญั หา (2) 3 จนั ทร์ท่ี 4 กมุ ภาพันธ์ 2562 องั คารท่ี 5 กมุ ภาพันธ์ 2562 สรปุ แลว้ ทดสอบหลงั เรียน (Post-test) 1 พุธที่ 6 กุมภาพนั ธ์ 2562 รวม 32

11 แผนการจดั การเรียนร้ทู ี่ 1 เร่อื ง ความหมายของลำดบั เวลา 1 ชว่ั โมง กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตรป์ ระยุกต์ 5 (ค33203) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 เรอ่ื ง ลำดับอนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ เวลา 30 ชวั่ โมง ครผู ู้สอน นางสทุ ธดา เหลืองห่อ ใชส้ อนวนั ที่ ......................................... 1. ผลการเรียนรู้ นำความรู้เรอ่ื งลำดับและอนกุ รมไปใช้แก้ปญั หาได้ 2. จุดประสงค์การเรียนรู้ 1) อธบิ ายความหมายของลำดบั และชนิดของลำดับได้ (K) 2) สามารถเขยี นพจน์ของลำดับและจำแนกชนดิ ของลำดับ(P) 3) ใฝเ่ รียนรู้เก่ยี วกับการให้ความหมายของลำดบั และไปประยุกตใ์ ช้ในชวี ิตจริงได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ 1) ความหมายของลำดบั 2) ชนิดของลำดับ 4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด ฟังกช์ นั ท่ีมโี ดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวกทเี่ รียงจากนอยไปหามากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรยี กวา ลาํ ดับ (Sequence) ในกรณีที่ฟงกชันเปนลําดับทีม่ โี ดเมนเปน {1, 2, 3, ..., n} จะเรยี กลําดบั นัน้ วา ลำดบั จำกัด (finite sequence) และในกรณที ่ีฟงกชนั เปนลําดับทมี่ โี ดเมนเปนจำนวนเต็มบวก จะ เรียก ลาํ ดบั นัน้ วา ลำดบั อนันต์ (infinite sequence) 5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รยี น ความสามารถในการแกป้ ญั หา 6. กระบวนการจัดการเรยี นรู้ รปู แบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคิดข้ันสงู ขน้ั ท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูแจ้งข้อตกลงและจดุ ประสงคก์ ารเรยี นแล้วให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบก่อนเรียนเรื่อง ลำดับ 2. ครทู บทวนความรเู้ ดิมโดยชวนพูดคยุ และตงั้ คำถามกระตุน้ ใหน้ ักเรียนอภิปรายเก่ียวกับ

12 เนือ้ หา เรอื่ ง ลำดบั และอนกุ รม ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 ทเ่ี คยเรยี นมา (ลำดับจำกดั และอนุกรมจำกดั ) โดยครูใช้คำถามต่อไปนี้ - แบบรูปของจำนวน มีลักษณะอยา่ งไร (แนวคำตอบ เพิ่มขึ้น ลดลง คงที่ ) - ทราบได้อยา่ งไรว่า ลำดบั ที่กำหนดใหเ้ ป็นลำดับชนิดใด (แนวคำตอบ ถา้ ลำดบั เลขคณิตจะมผี ลตา่ งรว่ มท่ีเท่ากนั สว่ นลำดับเรขาคณิต จะมีอัตราสว่ นรว่ มที่เท่ากนั ) 3. ครูทบทวนความร้เู ก่ียวกบั การพิจารณาโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ ัน และกำหนดคา่ โดเมน หาคา่ เรนจ์ เพื่อทบทวนความรู้พ้นื ฐานทีใ่ ช้ในการเรียน เรือ่ ง ลำดบั -10 5 10 22 15 38 30 ฟังกช์ ันนี้มีโดเมนคือเซตที่มีสมาชกิ คือ -10, 10, 15, 30 และมีเรนจ์คือเซตที่มสี มาชกิ คือ 5, 22, 38 4. ครใู ห้นักเรียนทุกคนยกตัวอย่างปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็นสถานการณป์ ัญหาท่ีเกย่ี วข้อง หรอื คล้ายคลึงหรือเปน็ สถานการณ์ในบรบิ ทจรงิ ของนกั เรียน แลว้ ใช้คำถามกระตนุ้ ความคดิ นักเรยี น จากตัวอยา่ งของนกั เรียน เช่น • ข้อมลู ดังกล่าวเป็นฟังก์ชนั หรอื ไม่ (แนวคำตอบ เปน็ ฟงั กช์ นั ) • อธิบายโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั จากขอ้ มูลดังกล่าว ข้อมูลการออมของ ด.ญ.ฟา้ ใส เป็นดังนี้ (1,50) (2,100) (3,150) (4,200) (5,250) (6,300) (7,350) (แนวคำตอบ เปน็ ฟังกช์ นั ทม่ี ีโดเมนคอื {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และมีเรนจค์ ือ {50, 100, 150, 200, 250, 300, 350} • ข้อมูลดังกลา่ วฟงั กช์ ันความสมั พนั ธข์ องโดเมนเป็นอย่างไร (แนวคำตอบ ความสมั พนั ธข์ องขอ้ 1 และ 2 เป็นฟงั กช์ ันท่ีมีโดเมนเปน็ เซตของจำนวนเตม็ บวก) จะอธบิ ายความหมายของลำดับ การเขยี นพจนข์ องลำดบั และจำแนกชนิดของลำดบั อยา่ งไร

13 ขัน้ ท่ี 2 คิดวธิ ีหาคำตอบเพอื่ วางแผนแก้ปัญหา 5. ครนู ำเสนอบทนิยามของลำดบั ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 หนา้ 2 และนำเสนอตัวอยา่ งเพ่มิ เติม โดยใช้สื่อในโปรแกรม power point แล้วใหน้ กั เรียนรว่ มกันอภิปรายในตัวอย่าง ดงั นี้ ลำดบั (sequence) คือ ฟงั กช์ นั ท่ีมโี ดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, …, n} หรือมีโดเมนเป็นเซตของ จำนวนเตม็ บวก 6. ครกู ระต้นุ ใหน้ ักเรยี นสงั เกตภู าพ และทำการนับภาพได้ 1, 3, 6, 10, 15 ตามลำดับ เพอื่ ให้ นักเรียนเหน็ ภาพของลำดบั 10 15 3 6 1 กองท่ี 1 กองที่ 2 กองท่ี 3 กองที่ 4 กองท่ี 5 7. ครูอธิบายลำดับในรปู แบบของฟังกช์ นั โดยใช้ภาพของความสมั พันธ์ ดงั นี้ 11 23 35 47 โดเมน = Df = {1, 2, 3, 4} และเรนจ์ = Rf = {1, 3, 5, 7} เมอื่ นำเฉพาะคา่ เรนจ์ของ ฟังกช์ ันมาเขียนเรยี งกนั ได้ดังนี้ คอื 1, 3, 5, 7 เรยี กคา่ เรนจ์ของฟังกช์ นั ทนี่ ำมาเขียนเรียงกันตาม โดเมนเปน็ จำนวนเต็มบวกต้ังแต่ 1, 2, 3, ... ว่า “ลำดับ” 8. ครูอธบิ ายลำดบั ในรปู แบบของฟังกช์ นั โดยใชส้ มการฟงั ก์ชนั ดังนี้ F(x) = x2 + 3 , x ∈ {1,  2,  3,  4} f(1) = 12 + 3 = 4 f(2) = 22 + 3 = 7 f(3) = 32 + 3 = 12 f(4) = 42 + 3 = 19

14 เม่อื นำเฉพาะค่าเรนจ์ของฟงั ก์ชันมาเขยี นเรียงกนั ไดด้ งั นี้ คือ 4, 7, 12, 19 เรยี ก ค่าเรนจข์ อง ฟังก์ชนั นำมาเขยี นเรยี งกันโดยคิดจากโดเมนเปน็ จำนวนเต็มบวกต้ังแต่ 1, 2, 3, 4, 5, ... ว่า “ลำดบั ” เขยี นลำดบั ได้ดังน้ี คอื f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) และสามารถเขยี นอีกรูปแบบหนึ่ง คอื a1, a2, a3, a4, a5, …, an โดยเรยี ก a1 ว่า พจนท์ ี่ 1 ของลำดับ a2 วา่ พจน์ท่ี 2 ของลำดับ a3 วา่ พจนท์ ่ี 3 ของลำดบั    an ว่า พจน์ท่ี n ของลำดับ หรอื พจน์ท่ัวไป ตวั อย่าง ให้เขยี น 4 พจนแ์ รกของลำดับที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้ 1) an = 5n + 3 ตอบ วิธที ำ a1 = 5(1) + 3 = 8 ตอบ a2 = 5(2) + 3 = 13 ตอบ a3 = 5(3) + 3 = 18 a4 = 5(4) + 3 = 23 เขยี น 4 พจนแ์ รกของลำดบั ได้ คอื 8, 13, 18, 23 2) an = n2 + 1 วิธีทำ a1 = (1)2 + 1 = 2 a2 = (2)2 + 1 = 5 a3 = (3)2 + 1 = 10 a4 = (4)2 + 1 = 17 เขียน 4 พจนแ์ รกของลำดบั ได้ คอื 2, 5, 10, 17 3) an = (n + 1)(2n - 3) วิธีทำ a1 = (1 + 1)(2(1) - 3) = 2(-1) = -2 a2 = (2 + 1)(2(2) - 3) = 31 = 3 a3 = (3 + 1)(2(3) - 3) = 43 = 12 a4 = (4 + 1)(2(4) - 3) = 55 = 25 เขียน 4 พจน์แรกของลำดบั ได้ คือ -2, 3, 12, 25, 42

15 9. ครยู กตวั อยา่ งเกีย่ วกับลำดบั จำกดั และลำดับอนันต์ และใหน้ ักเรียนยกตัวอย่างเพม่ิ เติม เพื่อให้นกั เรียนเข้าใจความหมายของลำดับและสามารถแยกชนดิ ของลำดบั ได้ ดังน้ี ตัวอย่าง ลำดับจำกดั (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 100 ตัวอยา่ ง (2) 4, 8, 16, 32, 64, 128, ..., 8192 (3) -20, -15, -10, -5, 0, ..., 100 ลำดับอนันต์ (1) 10, 21, 32, 43, 54, 65, ... (2) 5, 15, 45, 135, 405, ... (3) -1, 1, -1, 1, -1, 1, ... ขัน้ ที่ 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ 10. แบง่ นกั เรยี นเป็นกลุม่ ย่อยกลมุ่ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เก่ง ปานกลาง อ่อน ให้นกั เรียน ช่วยกันหาคำตอบในใบงานที่ 1.1 เรอื่ ง ความหมายของลำดับ 11. ให้นกั เรียนทบทวนสถานการณป์ ัญหา วเิ คราะห์กระบวนการในการแกป้ ญั หาวางแผน ร่วมกนั หากลวิธใี นการแกป้ ัญหาอย่างหลากหลาย ให้นักเรียนแตล่ ะกลุม่ นำเสนอคำตอบ ครสู อบถาม วา่ นักเรยี นแต่ละกลุ่มได้ผลการศึกษาเหมือนกันหรอื ต่างกนั อย่างไร เพราะเหตใุ ด 12. ครูใหน้ ักเรียนไดซ้ กั ถามขอ้ สงสัยและทบทวนในเน้ือหาทีเ่ รยี น แล้วครตู ง้ั คำถามเพื่อให้ นักเรียนสรุปเกย่ี วกับความหมายลำดับและจำแนกชนิดของลำดบั ดงั น้ี • ลำดับ คืออะไร (แนวคำตอบ ลำดับเป็นการนำสมาชกิ ของเรนจท์ ่ีมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก มาเขยี น เรียงต่อกนั ) • ลำดบั จำกัด คืออะไร พร้อมยกตัวอย่าง (แนวคำตอบ ลำดบั จำกัด คือ ลำดบั ท่ีมีโดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …, n} เชน่ 5, 10, 15, ...,50) • ลำดบั อนนั ต์ คืออะไร พร้อมยกตัวอย่าง (แนวคำตอบ ลำดบั อนันต์ คอื ลำดบั ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เชน่ 1, 4, 9, 16,…) 13. ให้นักเรยี นทำใบงานที่ 1.2 เร่ือง ชนดิ ของลำดับ โดยนกั เรยี นแต่ละคนไดล้ งมือปฏิบตั ิ กิจกรรมการแก้ปัญหาด้วยตนเองอย่างอิสระตามที่ได้เลือกกลวิธีแกป้ ัญหาไว้ นำเสนอแนวคดิ แนวทาง

16 การแก้ปัญหาของตนเอง อธิบายความคิดของตนเองต่อกลุ่ม แลกเปล่ียนความรู้ระหว่างกันกลุ่ม ร่วมกันพจิ ารณาตดั สินใจ เลือกกลวิธที ี่ดีที่สดุ ทตี่ รงกับสถานการณแ์ ละมีความเหมาะสมเป็นไปได้และ ดำเนินการแกป้ ัญหาของกลุ่ม ขั้นที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวิธีแก้ปญั หา 14. ตัวแทนกลมุ่ แต่ละกลมุ่ นำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวิธีที่ใชแ้ ก้ปัญหา คำตอบของ ปัญหาทก่ี ลุ่มไดร้ ว่ มกนั พจิ ารณาตัดสนิ ใจเลอื กไว้ 15. ครูซกั ถาม เพ่ือใหน้ ักเรียนร่วมอภปิ ราย แสดงความคิดเห็นเกยี่ วกบั วิธีการแก้ปัญหาและ ผลลพั ธท์ ่ไี ด้ของนักเรียน และตัง้ คำถามให้นักเรยี นสรุปเกี่ยวกับเร่อื งที่เรยี น และครชู ่วยสรุปเพ่ิมเติม เม่ือพบว่านักเรียนสรุปได้ไม่ครอบคลุมเนื้อหา หรือได้มโนมติที่ยังไม่ชัดเจนถูกต้อง สรุปเน้ือหา ที่เรียนเพ่ือทบทวนความรู้ เรอ่ื ง ลำดับ และจำแนกชนิดของลำดับ ดังน้ี • ลำดับเป็นการนำสมาชิกของเรนจ์ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก มาเขียนเรียง ต่อกัน • ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, …, n} เช่น 5, 10, 15, 20, ..., 100 • ลำดับอนันต์ คือ ลำดับท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เช่น 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 16. ครูแนะนำแหล่งเรียนรู้และแหล่งสืบค้นเพ่ิมเติม แลว้ ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรยี น 7. การวัดและประเมนิ ผล รายการวดั วิธกี าร เครื่องมอื เกณฑ์การประเมนิ 7.1 การประเมินกอ่ นเรยี น - แบบทดสอบ - ประเมนิ ตาม - แบบทดสอบก่อนเรยี น - ตรวจแบบทดสอบ กอ่ นเรยี น สภาพจริง ก่อนเรียน

17 รายการวดั วิธกี าร เครอื่ งมือ เกณฑ์การประเมิน 7.2 ประเมนิ ระหว่าง การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ - ตรวจใบงานที่ 1.1 - ใบงานที่ 1.1 - รอ้ ยละ 70 1) ความหมายของลำดบั ผ่านเกณฑ์ และจำแนกชนดิ ของลำดบั - ตรวจใบงานที่ 1.2 - ใบงานที่ 1.2 - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 2) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต การทำงานรายบุคคล การทำงานรายบุคคล พฤติกรรมการทำงาน - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 3) พฤติกรรม รายบุคคล การทำงานกลุ่ม - ระดับคณุ ภาพ 2 - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต ผ่านเกณฑ์ 4) คุณลักษณะ การทำงานกลุ่ม พฤติกรรมการทำงาน อนั พงึ ประสงค์ กลุ่ม - สังเกตใฝเ่ รยี นรู้ และ - แบบประเมนิ มุ่งม่นั ในการทำงาน คณุ ลักษณะ ฯ 8. ส่อื /แหลง่ การเรยี นรู้ 8.1 สือ่ การเรยี นรู้ 1) ส่ือในโปรแกรม power point เรอ่ื ง ลำดับ 2) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4-6 3) ใบงานที่ 1.1 เรือ่ ง ความหมายของลำดับ 4) ใบงานที่ 1.2 เร่อื ง ชนิดของลำดับ 5) แบบทดสอบเรอ่ื ง ลำดบั 6) เฉลยแบบทดสอบเร่อื ง ลำดบั 8.2 แหล่งการเรยี นรู้ 1) ห้องเรียน , หอ้ งสมุด 2) อินเทอรเ์ นต็ https://sites.google.com/site/sheetmath/home/ladab-sequence

18 แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรือ่ ง ลำดบั คาํ ชีแ้ จง ใหนกั เรียนทำเคร่ืองหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรือ ง ทีถ่ ูกตองที่สดุ 1. ขอ้ ใดกล่าวไม่ถูกต้อง ก. ฟงกชนั เปนลําดับทม่ี โี ดเมนเปน {1, 2, 3, ..., n} จะเรยี กวา่ ลำดับจำกัด ข. ฟงกชนั เปนลําดบั ทม่ี โี ดเมนเปน จำนวนเตม็ บวก จะเรยี กวา่ ลำดับอนนั ต์ ค. ฟังก์ชนั ที่มลี ักษณะของกราฟขึน้ และลงสลบั กันแล้วเข้าใกล้จำนวนใด จำนวนหน่งึ จะเรียกวา่ ลำดับจำกดั ง. ฟังก์ชนั ท่ีมีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่เรยี งจากนอยไปหามากโดยเร่ิม ตงั้ แต่ 1 เรยี กวา ลําดับ 2. สามพจนถ์ ัดไปของลำดับ 3, 7, 11, 15, … คอื ขอ้ ใด ก. 18, 22, 26 ข. 19, 23, 27 ค. 18, 21, 2 ง. 19, 23, 28 3. ถ้า an = 5n – 1 แลว้ เขยี นลำดับในรูปแจงพจน์ได้ดังข้อใด ก. 1, 2, 3, … ข. 4, 9, 14, … ค. 5, 10, 15, … ง. 6, 11, 16, … 4. ถ้า an = 4n2 – 1 แลว้ สพี่ จน์แรกของลำดับน้คี ือข้อใด ก. 3, 7, 11, 15 ข. 4, 7, 11, 15 ค. 3, 15, 35, 63 ง. 4, 8, 12, 16 5. ถ้า an = nn+1 – 4n แลว้ สพี่ จนแ์ รกของลำดบั นีค้ ือข้อใด ก. -3, 0, 69, 1008 ข. -3, 10, 35, 863 ค. -3, 20, 72, 915 ง. -3, 25, 92, 1016

19 6. ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. an = 4n – 1 เปน็ ลำดบั อนันต์ ข. 5, 10, 15, … เป็นลำดบั อนันต์ ค. an = 4n2 + 3n – 1 เปน็ ลำดบั อนนั ต์ ง. 6, 6, 6, … เปน็ ลำดับจำกัด 7. ลำดบั ในข้อใดเปน็ ลำดับจำกัด ก. 3, 3, 3, … ข. 2, 4, 6, … ค. an = 3n + 2 เม่ือ n = 1, 2, 3, 4, 5 ง. an = 2n + 3 8. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ 1) 4, 4, 4, … เปน็ ลำดบั จำกัด เพราะจำกดั ให้ทุกพจนม์ ีคา่ เทา่ กับ 4 2) an = 4n – 1 เปน็ ลำดบั อนนั ต์ เพราะมีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก ข้อใดถกู ต้อง ก. ขอ้ 1) และข้อ 2) ผดิ ข. ข้อ 1) และข้อ 2) ถกู ค. ข้อ 1) ถูก และข้อ 2) ผดิ ง. ข้อ 1) ผิด และข้อ 2) ถูก 9. ลำดับในข้อใดเป็นลำดบั จำกดั ก. ลำดับทเ่ี กดิ จากเวลาในการข้ึนของดวงอาทติ ย์ ข. ลำดับที่เกดิ จากการออมเงนิ ของนักเรยี นคนหน่ึงในเวลา 1 ปี ค. ลำดบั ทเี่ กดิ จากการขยายพนั ธ์ุของแบคทีเรยี กล่มุ หนึง่ ง. ลำดับที่เกิดจากการลากส่วนของเสน้ ตรงเชื่อมจดุ กง่ึ กลางดา้ นของรูปสเ่ี หล่ยี ม จัตุรัสอยา่ งต่อเน่ือง 10. ลำดับในข้อใดเป็นลำดับอนนั ต์ ก. ลำดบั ท่ีเกิดจากการกระดอนของลกู บอลจนลกู บอลหยุดนิง่ ข. ลำดบั ท่เี กิดจากการมาโรงเรียนของนักเรยี นคนหน่งึ ในปกี ารศกึ ษาน้ี ค. ลำดบั ท่ีเกดิ จากการขายหนังสือพิมพ์ของร้านค้าแห่งหน่ึงใน 1 วัน ง. ลำดบั ทเ่ี กิดจากการเขยี นวันเดือนปีในปฏทิ นิ ไปเรอื่ ย ๆ      

20 กระดาษคำตอบแบบทดสอบ เร่ือง ลำดบั ชื่อ – นามสกุล.....................................................................ชั้น..................... เลขท่ี............. ก่อนเรยี น หลงั เรียน ขอ้ ก ข ค ง ขอ้ ก ข ค ง 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10. คะแนนทไี่ ด้ คะแนนทไี่ ด้ ---------------- ---------------- คะแนนเตม็ คะแนนเตม็ (10) (10)

21 แบบทดสอบหลังเรียน เร่ือง ลำดับ คําชี้แจง ใหนกั เรียนทำเครื่องหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรอื ง ทีถ่ ูกตองที่สดุ 1. ขอ้ ใดกลา่ วไม่ถูกต้อง ก. ฟังกช์ ันทม่ี ีโดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวกทเ่ี รียงจากนอยไปหามากโดยเร่ิม ตงั้ แต่ 1 เรยี กวา ลําดบั ข. ฟงกชนั เปนลาํ ดับท่ีมีโดเมนเปน {1, 2, 3, ..., n} จะเรียกวา่ ลำดบั จำกัด ค. ฟงกชันเปนลาํ ดับที่มโี ดเมนเปน จำนวนเต็มบวก จะเรียกวา่ ลำดบั อนันต์ ง. ฟงั กช์ นั ท่ีมีลกั ษณะของกราฟขึน้ และลงสลบั กนั และเขา้ ใกล้จำนวนใด จำนวนหน่งึ จะเรยี กว่า ลำดับจำกดั 2. สามพจนถ์ ดั ไปของลำดับ 3, 7, 11, 15, … คือขอ้ ใด ก. 18, 22, 26 ข. 18, 21, 2 ค. 19, 23, 27 ง. 19, 23, 28 3. ถ้า an = 5n – 1 แลว้ เขียนลำดับในรูปแจงพจน์ไดด้ ังข้อใด ก. 6, 11, 16, … ข. 5, 10, 15, … ค. 4, 9, 14, … ง. 1, 2, 3, … 4. ถา้ an = 4n2 – 1 แลว้ ส่ีพจนแ์ รกของลำดบั นีค้ ือข้อใด ก. 3, 15, 35, 63 ข. 3, 7, 11, 15 ค. 4, 7, 11, 15 ง. 4, 8, 12, 16 5. ถ้า an = nn+1 – 4n แลว้ สพ่ี จน์แรกของลำดับน้ีคือข้อใด ก. -3, 10, 35, 863 ข. -3, 0, 69, 1008 ค. -3, 20, 72, 915 ง. -3, 25, 92, 1016

22 6. ขอ้ ใดไม่ถกู ต้อง ก. an = 4n – 1 เป็นลำดบั อนันต์ ก. 6, 6, 6, … เปน็ ลำดับจำกัด ข. 5, 10, 15, … เปน็ ลำดบั อนันต์ ค. an = 4n2 + 3n – 1 เป็นลำดับอนันต์ 7. ลำดับในข้อใดเป็นลำดับจำกัด ก. 3, 3, 3, … ก. 2, 4, 6, … ข. an = 2n + 3 ค. an = 3n + 2 เม่ือ n = 1, 2, 3, 4, 5 8. พิจารณาข้อความต่อไปน้ี 1) 4, 4, 4, … เปน็ ลำดบั จำกดั เพราะจำกัดให้ทกุ พจนม์ ีค่าเทา่ กับ 4 2) an = 4n – 1 เปน็ ลำดบั อนันต์ เพราะมโี ดเมนเปน็ จำนวนเตม็ บวก ขอ้ ใดถูกต้อง ก. ขอ้ 1) และข้อ 2) ถูก ข. ขอ้ 1) และข้อ 2) ผดิ ค. ข้อ 1) ถกู และข้อ 2) ผดิ ง. ข้อ 1) ผดิ และขอ้ 2) ถกู 9. ลำดบั ในขอ้ ใดเป็นลำดับจำกดั ก. ลำดับทเ่ี กดิ จากเวลาในการขน้ึ ของดวงอาทติ ย์ ข. ลำดับท่ีเกิดจากการขยายพันธ์ุของแบคทเี รยี กล่มุ หน่ึง ค. ลำดับท่ีเกดิ จากการออมเงนิ ของนักเรียนคนหน่งึ ในเวลา 1 ปี ง. ลำดับทเ่ี กดิ จากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจดุ กึ่งกลางด้านของรปู สี่เหล่ยี ม จตั รุ ัสอย่างต่อเนื่อง 10. ลำดบั ในข้อใดเป็นลำดับอนันต์ ก. ลำดบั ทเี่ กดิ จากการเขยี นวันเดือนปใี นปฏิทินไปเร่ือย ๆ ข. ลำดบั ทเี่ กิดจากการกระดอนของลกู บอลจนลูกบอลหยดุ น่ิง ค. ลำดับทีเ่ กดิ จากการมาโรงเรียนของนักเรยี นคนหนึ่ง ในปกี ารศกึ ษานี้ ง. ลำดับทีเ่ กิดจากการขายหนังสือพิมพ์ของรา้ นค้าแหง่ หน่ึงใน 1วัน      

23 เฉลยแบบทดสอบเรื่อง ลำดบั กอ่ นเรยี น หลังเรียน ขอ้ ตวั เลอื ก ขอ้ ตวั เลอื ก 1. ค. 1. ง. 2. ข. 2. ค. 3. ข. 3. ค. 4. ค. 4. ก. 5. ก. 5. ข. 6. ง. 6. ข. 7. ค. 7. ง. 8. ก. 8. ข. 9. ข. 9. ค. 10. ง. 10. ก. นักเรียนเก่ง ทกุ คนเลย ค่ะ

24 ใบงานที่ 1.1 เร่อื ง ความหมายของลำดับ ➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢➢ คำช้แี จง : ให้นกั เรียนเขยี น 5 พจน์แรกของลำดบั ทีก่ ำหนดให้ 1. an = 2n - 1 2. an = n (n + 1) 3. an = n2 + n 4. an = (n + 1)(2n + 1) 5. an = n - 1 3

25 6. an = 2n - 1 5 7. an = √2n + 5 8. an = 5n 9. an = (-1)n(n + 4) 10. an = nn-1 + 3 

26 เฉลยใบงานที่ 1.1 เรื่อง ความหมายของลำดบั คำชแ้ี จง : ให้นักเรียนเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดับทกี่ ำหนดให้ 1. an = 2n - 1 1, 3, 5, 7, 9 2. an = n(n + 1) 2, 6, 12, 20, 30 3. an = n2 + n 2, 6, 12, 20, 30 4. an = (n + 1)(2n + 1) 6, 15, 28, 45, 66 5. an = n - 1 3 − ������ , − ������ ,  0,  ������ , ������ ,  1, 1 ������ ������ ������ ������ ������ ������ 6. an = 2n - 1 5 ������ , ������ ,  1,  1 ������ ,  1 ������ ,  2 ������ ,  2 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 7. an = √2n + 5 √7,  3, √11, √13, √15, √17, √19 8. an = 5n 5, 25, 125, 625, 3125 9. an = (-1)n(n + 4) -5, 6, -7, 8, -9 10. an = nn-1 + 3 4, 5, 12, 67, 628

27 ใบงานท่ี 1.2 เรื่อง ชนิดของลำดบั  คำช้ีแจง : ใหน้ ักเรยี นพิจารณาวา่ ลำดับทีก่ ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี เปน็ ลำดับจำกดั หรือลำดบั อนนั ต์ 1. 15, 25, 35, 45, ... 2. 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10000000 3. 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ..., 0.00000000000001 4. 1, -1, 1, -1, 1, ..., 1 5. 101, 102, 103, 104, ... 6. 11, 22, 33, 44, 55, ..., nn, ... 7. ลำดับทีเ่ กิดจากความสงู ของลกู บอลท่กี ระทบพน้ื และลอยขึ้นไปเรอ่ื ย ๆ จนหยดุ นงิ่

28 8. ลำดับทีเ่ กิดจากการเขียนวนั เดอื นปใี นปฏิทินไปเรอ่ื ย ๆ 9. ลำดับทเี่ กดิ จากการบนั ทึกเวลาท่นี ำ้ หยดจากถังทลี ะหยด เมอ่ื ถังน้ำบรรจนุ ำ้ 1 ลิตร 10. ลำดบั จากการบันทึกการอา่ นหนังสอื ของนกั เรยี นในแต่ละวันบนั ทึกไปเรอ่ื ย ๆ จนเรยี นจบ  ไมย่ ากใช่ไหมครับ ในการทำตามขัน้ ตอน ของกระบวนการคดิ วิเคราะห์

29 เฉลยใบงานที่ 1.2 เรอ่ื ง ชนิดของลำดับ คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรยี นพิจารณาวา่ ลำดับที่กำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี เป็นลำดบั จำกัดหรือลำดบั อนันต์ 1. 15, 25, 35, 45, ... ลำดับอนนั ต์ 2. 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10000000 ลำดบั จำกดั 3. 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ..., 0.00000000000001 ลำดับจำกัด 4. 1, -1, 1, -1, 1, ..., 1 ลำดับจำกดั 5. 101, 102, 103, 104, ... ลำดับอนนั ต์ 6. 11, 22, 33, 44, 55, ..., nn, ... ลำดบั อนนั ต์ 7. ลำดับทีเ่ กิดจากความสงู ของลกู บอลที่กระทบพ้ืนและลอยขน้ึ ไปเร่ือย ๆ จนหยุดนงิ่ ลำดบั จำกัด (เพราะลูกบอลจะกระเด้งด้วยความสูงทลี่ ดลงเร่ือย ๆ จนหยดุ น่ิง) 8. ลำดับท่ีเกิดจากการเขียนวนั เดือนปใี นปฏิทนิ ไปเร่อื ย ๆ ลำดบั อนนั ต์ (เพราะวนั จะถูกนับไปเรอื่ ย ๆ ไมม่ ีสิ้นสดุ ) 9. ลำดับที่เกดิ จากการบันทึกเวลาทน่ี ้ำหยดจากถังทลี ะหยด เม่อื ถังน้ำบรรจนุ ้ำ 1 ลติ ร ลำดบั จำกดั (เพราะนำ้ จะหยดจนหมดถัง การบนั ทึกเวลาหยดของนำ้ จึงมสี นิ้ สดุ ) 10. ลำดบั จากการบันทกึ การอา่ นหนงั สือของนักเรยี นในแตล่ ะวันบันทึกไปเร่อื ย ๆ จนเรียนจบ ลำดบั จำกัด (เพราะการบนั ทึกสนิ้ สุดเมื่อนกั เรยี นเรยี นจบ)

30 แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 2 เรอ่ื ง รูปแบบการกำหนดของลำดับ เวลา 2 ชัว่ โมง กลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 5 (ค33203) ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 เร่อื ง ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนนั ต์ เวลา 30 ชั่วโมง ครผู ้สู อน นางสทุ ธดา เหลืองหอ่ ใชส้ อนวันที่ ......................................... 1. ผลการเรยี นรู้ นำความร้เู ร่อื งลำดับและอนกุ รมไปใชแ้ ก้ปัญหาได้ 2. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 1) อธิบายรูปแบบการกำหนดลำดบั ได้ (K) 2) เขยี นลำดบั ด้วยรปู แบบต่าง ๆ ได้ (P) 3) มีความม่งุ มั่นในการทำงานและตระหนักเกยี่ วกับการนำรูปแบบการกำหนดลำดบั ไปประยุกตใ์ ช้ในชีวิตจริงได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ ลำดับจำกดั และลำดับอนนั ต์ 4. สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด รปู แบบการกำหนดลำดบั คือ การเขยี นลำดับซึ่งจะคล้ายการเขียนฟงั ก์ชนั แต่จะมลี ักษณะ การเขยี นทเ่ี พ่มิ จากการเขียนฟังก์ชันปกติ โดยการเขียนลำดับสามารถเขียนไดห้ ลายรปู แบบ ดังนี้ 1) การเขยี นลำดับโดยเขียนแจกแจงพจน์ของลำดบั 2) การเขียนแสดงลำดับโดยใช้พจนท์ ว่ั ไปของลำดบั 3) การเขยี นแสดงลำดบั โดยใชค้ วามสัมพนั ธเ์ วยี นเกิด (recurrence relation) 4) การเขยี นแสดงลำดบั โดยบอกเง่ือนไขหรือสมบัติของลำดบั การเขียนพจน์ทัว่ ไปของลำดบั ทำได้โดยเขยี น an ในรูปของตัวแปร n โดยท่ี n เป็นจำนวนเตม็ บวก การหาพจนทวั่ ไปของลำดบั มีหลักการ ดงั น้ี 1) สงั เกตความสัมพนั ธของพจนตาง ๆ แตละพจนของลำดับนั้น ๆ วาเปนอยางไร 2) สงั เกตความสัมพันธระหวางพจนกับลาํ ดับทขี่ องพจนน้นั ๆ 3) เขียนความสมั พันธใ์ ห้อยใู่ นรูปพจน์ท่ัวไป (an) 5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการส่อื สาร 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา

31 6. กจิ กรรมการเรียนรู้ รปู แบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์เพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาและ ความสามารถในการคิดขั้นสงู ชัว่ โมงที่ 1 ข้นั ท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูใหน้ ักเรียนอภปิ รายเพ่ือทบทวนความหมายของลำดับ ชนิดของลำดับ และการเขยี นลำดับ พร้อมใหน้ กั เรยี นช่วยกนั ยกตัวอย่าง ➢ ลำดบั คอื อะไร (แนวคำตอบ ลำดับ คอื ฟงั กช์ ันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก) ➢ จงยกตวั อย่างการเขียนแสดงลำดบั an=6n2-1 (แนวคำตอบ 5, 23, 53, 95, …) 2. ครูต้งั คำถามเกย่ี วกับการเขยี นลำดบั ดังกล่าว ว่าเปน็ การเขียนลำดับรปู แบบใด (แนวคำตอบ การเขยี นลำดับโดยการเขยี นแจกแจงพจน์ของลำดับ) 3. ครูยกตัวอย่างการเขียนลำดบั โดยใช้การแจกแจงพจน์เพิม่ เติม ดังน้ี ตวั อย่าง 10, 12, 14, 16, 18, 20 25, 5, 1, 1 ,  1 5 25 a4, a3, a2, …, a-10 1000, 100, 10, 1, …, 0.001 -2, -4, -8, -16, -32, … จะสังเกตได้ว่า การเขียนแสดงลำดบั โดยการแจกแจงจะทำให้นักเรยี นเห็นพจนต์ ่าง ๆ ของลำดบั และสามารถระบุได้ว่าลำดบั ใดเป็นลำดับจำกัด ลำดับใดเปน็ ลำดบั อนนั ต์ 4. ครจู ัดและออกแบบสถานการณ์ปญั หาทางคณิตศาสตร์ท่ีต้องการสอนให้เปน็ สถานการณ์ ปัญหาที่เกย่ี วข้องหรือคลา้ ยคลึงหรอื เปน็ สถานการณใ์ นบริบทจริงของนกั เรียน ให้นักเรยี นวเิ คราะห์ ทำความเข้าใจกบั สถานการณ์ปัญหา โดยใชก้ ระบวนการแก้ปญั หา 5 ขนั้ ตอน คอื 1) ระบุปัญหา 2) เลือกใช้กลวธิ ีในการแกป้ ญั หา 3) ดำเนนิ การแกป้ ญั หา 4) ตรวจสอบการแก้ปญั หา 5) ประยกุ ต์ใช้ความรู้กบั ความรู้ใหม่

32 จากตัวอย่าง -2, -4, -8, -16, -32, … ถ้าต้องการเขยี นลำดับท่พี จนเ์ ปน็ จำนวนมาก หรือเปน็ ลำดับอนนั ต์จะทำอย่างไร ขน้ั ที่ 2 คดิ วธิ หี าคำตอบเพื่อวางแผนแก้ปัญหา 5. ครใู ห้นักเรยี นรว่ มแสดงความคดิ เห็นจากคำถามดงั กลา่ ววา่ นกั เรียนสามารถระบุปญั หาได้ หรือไม่และมีแนวคิดในการเขียนลำดับอย่างไร 6. ครอู ธิบายใช้สือ่ ในโปรแกรม power point เกยี่ วกับรปู แบบการกำหนดลำดบั ดังน้ี รูปแบบการกำหนดลำดับ การเขียนลำดับซ่ึงจะคลา้ ยการเขียนฟังกช์ นั แตจ่ ะมีลักษณะการเขียนที่เพิ่มจากการเขยี น ฟงั กช์ ันปกติ โดยการเขยี นลำดับ สามารถเขียนได้หลายรปู แบบ ดังน้ี 1) การเขยี นลำดับโดยการเขยี นแจกแจงพจน์ของลำดบั 2) การเขียนแสดงลำดับโดยใชพ้ จนท์ ว่ั ไปของลำดับ 3) การเขียนแสดงลำดับโดยใช้ความสมั พนั ธเ์ วียนเกดิ (recurrence relation) 4) การเขียนแสดงลำดบั โดยบอกเงื่อนไขหรือสมบตั ขิ องลำดับ พร้อมยกตัวอย่าง การเขยี นลำดบั โดยการเขยี นแจกแจงพจนข์ องลำดับ ดงั น้ี การเขียนแสดงลำดบั โดยเขียนแจกแจงพจน์จะทำให้เกดิ ความชดั เจนว่า แต่ละพจนม์ ี การเปล่ยี นแปลงเพม่ิ ขนึ้ หรอื ลดลงแบบใด แบบหนงึ่ หรอื มกี ารเพิ่มขน้ึ หรอื ลดลงโดยมกี ฎเกณฑ์ ทแี่ น่นอน เชน่ 2, 4, 6, 8, 10 ในกรณที ม่ี ีจำนวนพจนม์ าก ๆ จะเขยี นพจนแ์ รก ๆ ใหม้ ากพอ ทจ่ี ะกำหนดรูปแบบของลำดับและเขียน “…” ทพ่ี จน์กลาง และเขียนพจน์สุดท้ายกำกบั เช่น 5, 15, 25, 35, …, 105 และในกรณีท่เี ป็นลำดับอนันต์จะเขียนเพยี งพจนแ์ รก ๆ ใหม้ ีจำนวนพจน์ มากพอท่จี ะกำหนดรูปแบบ และเขยี น “…” เพอ่ื ละพจน์ต่อ ๆ ไป โดยทเี่ ขา้ ใจตรงกันวา่ มีพจน์ใดบา้ ง ในลำดับ เช่น 100, 90, 80, 70, …

33 รปู แบบการกำหนดลำดบั การเขยี นลำดับโดยใช้พจน์ทวั่ ไปของลำดับ นยิ มเขยี นลำดบั ทีม่ คี วามสมั พนั ธซ์ ับซ้อน ทำให้มีการเขียนพจนท์ วั่ ไปเพ่ือความชัดเจนว่าแตล่ ะพจน์คือจำนวนใด เชน่ ลำดบั 7, 14, 21, 28, 35 เขยี นแทนดว้ ย an = 7n เม่อื n ∈ I+ ลำดับ 1, 2, 4, 8, 16, …, 2n - 1, … เขยี นแทนดว้ ย an = 2n - 1 เม่อื n ∈ I+ เมื่อ an คือ พจน์ทั่วไปของลำดบั n คอื โดเมน ซง่ึ เปน็ สมาชิกของจำนวนเต็มบวก ตัวอยา่ ง ให้นักเรยี นเขยี นพจน์ทัว่ ไปของลำดับท่ีกำหนดให้ 1) 3, 6, 9, 12, …, 300 พจน์ทวั่ ไป คอื an = 3n 2) 1, 3, 5, 7, 9 พจน์ทว่ั ไป คอื an = 2n - 1 พจน์ท่วั ไป คอื an = n(-1)n 3) -1, 2, -3, 4, -5 n 2n+1 4) 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   … พจน์ทวั่ ไป คือ an = 3 5 7 9 11 5) 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4, 4 x 5 พจนท์ ่ัวไป คือ an = n(n + 1) การหาพจน์ทั่วไปของลำดับชนิดต่าง ๆ มีวิธีการหาโดยเฉพาะในกรณีท่ีไม่ทราบว่าชนิดของลำดับ อาจเริ่มต้นจากการสังเกตพจน์ต่าง ๆ เพ่ือกำหนดพจน์ท่ัวไป ข้ันที่ 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ 7. ครใู ห้แบง่ นักเรยี นเปน็ กลมุ่ ย่อยกล่มุ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ เกง่ ปานกลาง อ่อน และแจง้ บทบาทของสมาชิกในกลมุ่ ใหน้ ักเรยี นรับใบงานที่ 2 เรอื่ ง รูปแบบ การกำหนดลำดบั ทำข้อ 1- 5 8. ครูใช้คำถามกระตุน้ ให้นักเรยี น ลงมอื ปฏบิ ัติกจิ กรรมดว้ ยตนเองอยา่ งอสิ ระ แล้วแสดง ความคดิ เห็นในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกลมุ่ แลว้ สมาชิกกลุม่ รว่ มกนั พจิ ารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลือกในการแก้ปัญหา ก่อนเลือกกลวิธที ่ดี ที ี่สดุ ทตี่ รงกับสถานการณ์และมีความ เหมาะสมเป็นไปได้และดำเนินการแกป้ ญั หาของกลมุ่

34 ขั้นท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวิธแี ก้ปัญหา 9. ครสู ่มุ ให้ตัวแทนกลุ่มแตล่ ะกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวิธที ่ีใชแ้ ก้ปญั หา คำตอบ ของปัญหาท่กี ลุ่มไดร้ ว่ มกนั พิจารณาตัดสินใจเลอื กไว้ 10. ครใู ช้คำถามนำในการกระตนุ้ ใหน้ กั เรียนร่วมอภปิ รายจากการเรยี นในคาบน้ี เพอ่ื แสดงความคดิ เหน็ เกย่ี วกับวิธีการแก้ปญั หาและผลลัพธ์ทไี่ ด้ของนักเรยี น และตั้งคำถามให้นกั เรียน สรุปเกย่ี วกับเร่ืองท่ีเรียน และครชู ่วยสรปุ เพิ่มเติม เรอ่ื ง รปู แบบการกำหนดลำดบั ดังนี้ รูปแบบการกำหนดลำดบั 1) การเขียนลำดบั โดยเขยี นแจกแจงพจน์ของลำดับ ถา้ ลำดบั ท่พี จิ ารณาเปน็ ลำดับจำกดั และมี จำนวนพจนไ์ ม่มากนัก วิธกี ารกำหนดหรือแสดงเขียนแสดงลำดับจะเขียนพจนท์ ้งั หมดของลำดับ 2) การเขยี นแสดงลำดับโดยใชพ้ จน์ทั่วไปของลำดบั กำหนดลำดบั โดยเขยี นพจน์เร่มิ ต้นจำนวนหนง่ึ พรอ้ มกบั พจนท์ ัว่ ไปของลำดับ วธิ กี ารน้ีจะใช้กบั ลำดับท่ีมพี จน์จำนวนมากและลำดับอนนั ต์ ชวั่ โมงที่ 2 ข้นั ที่ 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูต้ังคำถามเพื่อใหน้ ักเรียนทบทวนรูปแบบการกำหนดลำดับ โดยเขียนแจกแจงพจน์และ โดยใช้พจนท์ ว่ั ไปลำดบั ➢ การเขียนลำดับโดยเขียนแจกแจงพจนข์ องลำดับ เหมาะสมกับลำดับชนิดใด (แนวคำตอบ ลำดบั จำกดั และมีจำนวนพจนไ์ ม่มากนัก) ➢ การเขยี นลำดับโดยใชพ้ จนท์ ว่ั ไปของลำดับ เหมาะสมกบั ลำดบั ชนิดใด (แนวคำตอบ ลำดบั ท่มี พี จนจ์ ำนวนมากและลำดบั อนนั ต์) 2. ครสู ุ่มนกั เรียนใหย้ กตัวอย่างในการเขียนลำดบั ทงั้ แบบจำกัดและอนันต์ 3. ครูตั้งคำถามเก่ียวกับรูปแบบการกำหนดลำดับในการเขยี นแสดงลำดับโดยใช้ความสัมพนั ธ์ เวียนเกดิ (recurrence relation) และการเขยี นแสดงลำดับโดยบอกเง่ือนไขหรือสมบัตขิ องลำดบั 4. ครกู ำหนดสถานการณ์ปัญหาทางคณิตศาสตรท์ ี่ตอ้ งการสอน ดังน้ี 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ถา้ ต้องการรปู แบบการกำหนดลำดับจะกำหนดอย่างไร

35 ขน้ั ท่ี 2 คดิ วธิ ีหาคำตอบเพ่ือวางแผนแกป้ ญั หา 5. ครใู ห้นกั เรียนร่วมแสดงความคิดเห็นจากคำถามดังกลา่ วว่า นักเรียนสามารถระบปุ ญั หาได้ หรือไม่และมีแนวคิดในการเขียนแสดงลำดับอยา่ งไร 6. ครอู ธิบายโดยใชส้ ่อื ในโปรแกรม power point เก่ยี วกบั รูปแบบการกำหนดลำดับ ดงั นี้ รูปแบบการกำหนดลำดบั การเขียนแสดงลำดบั โดยใช้ความสมั พันธ์เวียนเกดิ ดงั นี้ ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกดิ สำหรบั ลำดบั an หมายถงึ สมการท่ีแสดงความสัมพันธร์ ะหวา่ ง an กบั พจน์ an - 1, an - 2, …, an - k ในรูปแบบทีแ่ น่นอน เม่ือ k, n ∈ Nและ n ≥ k โดยกำหนด a0, a1, a2, …, ak - 1 เป็นเงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition) เมื่อแทนค่าของ n ด้วย 1, 2, 3, … จะได้ค่า a1, a2, a3 และ พจนอ์ ื่น ๆ ซึ่งมคี วามสมั พันธ์กบั พจน์ในลำดบั ก่อนหนา้ เชน่ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … เร่มิ จาก a1 = 1, a2 = 1 a3 = a1 + a2 a4 = a2 + a3 a5 = a3 + a4 ⋮⋮ an = an-2 + an-1 ตวั อยา่ ง กำหนดลำดับ an ซง่ึ a1 = 1 และ an = an - 1 + 5 เมอ่ื n ≥ 2 ให้หาสี่พจนแ์ รกของลำดบั นี้ วิธที ำ จาก an = an - 1 + 5 และ a1 = 1 เขา้ ใจแล้ว a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6 a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11 a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16 ดงั นั้น ห้าพจนแ์ รกของลำดบั น้ี คอื 1, 6, 11, 16, 21

36 รปู แบบการกำหนดลำดับ ตวั อย่าง กำหนดลำดบั an ซง่ึ a1 = 2, a2 = -3 และ an = an - 2 x an – 1 เมอ่ื n ≥ 3 ใหห้ าห้าพจน์แรกของลำดบั นี้ จาก an = an - 2 x an - 1 และ a1 = 2, a2 = -3 a3 = a1 x a2 = 2 x (-3) = -6 a4 = a2 x a3 = (-3) x (-6) = 18 a5 = a3 x a4 = (-6) x 18 = -108 ดังนนั้ ห้าพจนแ์ รกของลำดับน้ี คือ 2, -3, -6, 18, -108 ตอบ การเขียนแสดงลำดบั โดยบอกเงือ่ นไขหรือสมบัติของลำดบั สำหรับลำดบั ทีไ่ ม่ทราบพจน์ทัว่ ไปของลำดบั และไม่ทราบความสมั พันธ์เวยี นเกิดของลำดบั การกำหนดลำดบั จำเป็นตอ้ งใช้วธิ กี ารบอกเง่อื นไขหรือสมบตั ิของลำดบั ได้ เชน่ 2, 4, 6, 8, … คอื ลำดับ an เมือ่ an เปน็ จำนวนคู่บวก ตวั ที่ n ตัวอย่าง กำหนดลำดบั 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … ดงั นัน้ วเิ คราะหค์ วามสัมพนั ธข์ องจำนวนทีก่ ำหนดเป็นจำนวนเฉพาะบวก ตวั อยา่ ง พจน์ทั่วไป an คือ จำนวนเฉพาะบวกตวั ท่ี n กำหนดลำดบั 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … 234567 วิเคราะห์ความสมั พนั ธข์ องเศษและส่วนของจำนวนท่ีกำหนดทีต่ วั เศษ น้อยกว่าตัวส่วนอยู่ 1 ดังนนั้ พจนท์ ว่ั ไป an คือ จำนวนบวกท่ตี วั เลขเศษมคี ่าน้อยกว่าตวั เลขส่วนอยู่ 1 ขั้นที่ 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 7. ครูกำหนดสถานการณป์ ัญหาทางคณิตศาสตร์ให้นักเรียนคิดวิธีหาคำตอบเพอ่ื วางแผน แกป้ ัญหาแลว้ ให้นักเรียนเข้ากลมุ่ ยอ่ ยกล่มุ เดิมและใหน้ ักเรียนรบั ใบงานที่ 2 เรื่อง รปู แบบการกำหนด ลำดับ ขอ้ 6- 10

37 8. ครใู ชค้ ำถามกระตนุ้ ใหน้ ักเรยี น ลงมอื ปฏิบตั กิ ิจกรรมด้วยตนเองอย่างอสิ ระ แล้วแสดง ความคดิ เหน็ ในแนวทางการแก้ปญั หาของตนเองต่อกลมุ่ แลว้ สมาชิกกล่มุ ร่วมกันพจิ ารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลือกในการแก้ปญั หา ก่อนเลอื กกลวิธีที่ดีท่ีสดุ ทตี่ รงกับสถานการณ์และมีความ เหมาะสมเปน็ ไปไดแ้ ละดำเนินการแก้ปัญหาของกล่มุ พร้อมท้งั สงั เกตพฤติกรรมการทำงาน ขนั้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยทุ ธวิธีแกป้ ัญหา 9. ครถู ามตวั แทนกลมุ่ แต่ละกลมุ่ ให้นำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวิธีท่ีใชแ้ กป้ ญั หา คำตอบของปัญหาที่กลมุ่ ไดร้ ว่ มกนั พิจารณาตดั สินใจเลือกไว้ รวมถึงปัญหาที่พบในการแก้ปญั หา 11. ครูร่วมซกั ถาม อภิปราย แสดงความคิดเหน็ เก่ียวกับวิธีการแก้ปัญหาและผลลัพธท์ ี่ได้ของ นักเรียน และต้งั คำถามใหน้ ักเรียนสรปุ เกี่ยวกับเรอ่ื งท่ีเรยี น และครูช่วยสรุปเพ่ิมเติมเมื่อพบว่านักเรยี น สรุปได้ไม่ครอบคลุมเน้ือหา หรอื ได้มโนมติท่ียังไมช่ ดั เจนถูกต้อง 12. ครูและนักเรียนรว่ มกันสรุปเกี่ยวกับรปู แบบการเขียนลำดับทง้ั 4 รปู แบบ และให้นกั เรียน ไปศึกษาค้นคว้าเพิ่มเติมจากห้องสมดุ หรือ สบื คน้ จากอินเทอร์เน็ต https://prezi.com/edxdsxh8yxxj/presentation/ หลกั การรูปแบบการกำหนดลำดบั 1) การเขียนลำดับโดยเขยี นแจกแจงพจนข์ องลำดบั ถา้ ลำดับทพ่ี จิ ารณาเปน็ ลำดบั จำกดั และ มีจำนวนพจน์ไม่มากนัก วิธกี ารกำหนดหรือแสดงเขียนแสดงลำดบั จะเขยี นพจนท์ ง้ั หมดของลำดับ 2) การเขียนแสดงลำดับโดยใชพ้ จน์ทว่ั ไปของลำดบั กำหนดลำดับโดยเขียนพจนเ์ รม่ิ ต้น จำนวนหนึ่งพร้อมกับพจนท์ ่ัวไปของลำดับ วิธีการนจ้ี ะใชก้ ับลำดับท่มี พี จนจ์ ำนวนมากและลำดบั อนนั ต์ 3) การเขียนแสดงลำดับโดยใช้ความสมั พันธ์เวยี นเกิด กำหนดพจน์เร่ิมตน้ จำนวนหนง่ึ พรอ้ มกับ สูตรการหาพจน์ถัดไปจากพจนก์ ่อนหนา้ การเขียนแสดงลำดับโดยบอกเง่ือนไขหรอื สมบัตขิ องลำดับ 4) การเขยี นแสดงลำดับโดยบอกเงือ่ นไขหรือสมบัตขิ องลำดับ สำหรบั ลำดบั นี้ท่ีไม่ทราบ พจนท์ ว่ั ไปของลำดับ และไม่ทราบความสมั พนั ธเ์ วยี นเกิดของลำดับ

38 7. การวดั และประเมินผล รายการวัด วธิ ีการ เคร่ืองมือ เกณฑ์การประเมนิ - ใบงานที่ 2 การประเมินระหวา่ ง - รอ้ ยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ระดบั คุณภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 1) รูปแบบการกำหนด - ตรวจใบงานท่ี 2 ลำดับ - ระดับคณุ ภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 2) พฤติกรรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานรายบุคคล การทำงาน พฤติกรรมการ - ระดับคณุ ภาพ 2 รายบุคคล ทำงานรายบุคคล ผ่านเกณฑ์ 3) พฤติกรรม การทำงานกลมุ่ - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต การทำงานกลุ่ม พฤติกรรม 4) คุณลักษณะ การทำงานกลุม่ อันพงึ ประสงค์ - สังเกตใฝเ่ รยี นรู้ และม่งุ มัน่ ใน - แบบประเมนิ การทำงาน คุณลักษณะ อันพงึ ประสงค์ 8. สื่อ/แหลง่ การเรียนรู้ 8.1 ส่อื การเรียนรู้ 1) ส่อื ในโปรแกรม power point เรื่อง รูปแบบการกำหนดลำดบั 2) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4-6 3) ใบงานที่ 2 เรอื่ ง รปู แบบการกำหนดลำดบั 8.2 แหล่งการเรียนรู้ 1) ห้องเรียน , หอ้ งสมดุ 2) อนิ เทอร์เน็ต https://prezi.com/edxdsxh8yxxj/presentation/

39 ใบงานท่ี 2 เร่ือง รปู แบบการกำหนดลำดบั  คำชแ้ี จง : ใหน้ กั เรียนเขียนพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั ต่อไปน้ี 1. 1, 1 , 1 ,  1 4 9 16 2. 1,   1 ,   1 ,   1 22 33 44 3. 1, 3, 5, 7, 9 4. 1,  1 ,  1 ,  1 √3 √5 √7 5. 3 × 4 × 5 ,  4 × 5 × 6 ,  5 × 6 × 7 135

40 คำชีแ้ จง : ให้นักเรยี นเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดับ เม่ือกำหนดลำดับท่ัวไป an 6. a = an  − 2 + an  − 1 เมอ่ื a1 = 3, a2 = 5, n ≥ 3 n2 7. an= (-1)nan - 1 เมอื่ a1 = 4, n ≥ 2 8. an= nan - 1 เมอื่ a1 = 1 , n ≥ 2 9. an เปน็ จำนวนเฉพาะบวกท่ี n 10. an เป็นทศนยิ มตำแหน่งที่ n ของ π ซง่ึ เทา่ กบั 3.1415926535...

41 เฉลยใบงานที่ 1.3 เรื่อง รปู แบบการกำหนดลำดบั  คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรียนเขียนพจน์ท่วั ไปของลำดบั ตอ่ ไปน้ี 1. 1, 1 , 1 ,  1 4 9 16 1 พจน์ทว่ั ไป an = n2 2. 1,   1 ,   1 ,   1 22 33 44 1 พจน์ทว่ั ไป an = nn 3. 1, 3, 5, 7, 9 พจนท์ ว่ั ไป an = 2n – 1 4. 3 × 4 × 5 ,  4 × 5 × 6 ,  5 × 6 × 7 135 (n + 2)(n + 3)(n + 4) พจนท์ ่วั ไป an = 2n - 1 5. 1,  1 ,  1 ,  1 √3 √5 √7 ������ พจนท์ ั่วไป ������������ = √2n - 1 คำชีแ้ จง : ให้นักเรียนเขียน 5 พจน์แรกของลำดบั เมอ่ื กำหนดลำดับทั่วไป an 6. an= nan - 1 an  − 2 + an  − 1 เมือ่ a1 = 3, a2 = 5, n ≥ 3 2 = a1 + a2 = 3+5 = 4 วิธที ำ a3 2 2 = a2 + a3 = 5+4 = 4.5 a4 2 2 = a3 + a4 = 4+4.5 = 4.25 a5 2 2 ดงั นนั้ ห้าพจน์แรกของลำดับ คือ 3, 5, 4, 4.5, 4.25 7. an= (-1)nan - 1 เม่อื a1 = 4, n ≥ 2 วิธที ำ a2 = (-1)2 x a1 = 1 x 4 = 4 a3 = (-1)3 x a2 = (-1) x 4 = -4 a4 = (-1)4 x a3 = 1 x (-4) = -4 a5 = (-1)5 x a4 = (-1) x (-4) = 4 ดังนั้น หา้ พจนแ์ รกของลำดับ คือ 4, 4, -4, -4, 4

42 8. an= nan - 1 เมือ่ a1 = 1, n ≥ 2 วธิ ที ำ a2 = 2a1 = 2(1) = 2 a3 = 3a2 = 3(2) = 6 a4 = 4a3 = 4(6) = 24 a5 = 5a4 = 5(24) = 120 ดงั นัน้ หา้ พจน์แรกของลำดบั คอื 1, 2, 6, 24, 120 9. an= nan - 1เปน็ จำนวนเฉพาะบวกท่ี n วิธที ำ เนือ่ งจากจำนวนเฉพาะบวก คอื 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ดงั น้ัน หา้ พจน์แรกของลำดับ คอื 2, 3, 5, 7, 11 10. an= nan - 1 เปน็ ทศนยิ มตำแหนง่ ที่ n ของ π ซ่งึ เทา่ กับ 3.1415926535... วธิ ที ำ เนอ่ื งจาก π มคี า่ เท่ากบั 3.1415926535... ดังนั้น หา้ พจนแ์ รกของลำดบั คอื 1, 4, 1, 5, 9 ������������ =?

43 แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 3 เรือ่ ง ลำดบั เลขคณิต เวลา 2 ช่วั โมง กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ คณติ ศาสตร์ประยุกต์ 5 (ค33203) ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 1 เรื่อง ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ เวลา 30 ชั่วโมง ครผู ้สู อน นางสุทธดา เหลืองห่อ ใชส้ อนวนั ที่ ......................................... 1. ผลการเรยี นรู้ นำความร้เู ร่อื งลำดบั และอนุกรมไปใชแ้ ก้ปัญหาได้ 2. จุดประสงค์การเรยี นรู้ 1) อธิบายเกี่ยวกับความหมาย การหาพจนท์ วั่ ไปของลำดับเลขคณติ ได้ (K) 2) แสดงวธิ กี ารแก้ปัญหาเก่ยี วกบั ลำดบั เลขคณิตได้ (P) 3) ใฝเ่ รียนร้แู ละมีความมุ่งมัน่ ในการทำงานเกีย่ วกับความร้เู กยี่ วกบั ลำดบั เลขคณติ ไปประยุกต์ ใช้ในชีวติ จรงิ ได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ ลำดบั เลขคณิต 4. สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด ลำดบั เลขคณติ (arithmetic sequence) คือ ลำดบั ซงึ่ มผี ลต่างทไี่ ด้จากการนำพจน์ท่ี n + 1 ลบด้วยพจนท์ ี่ n เปน็ ค่าคงตัวทเี่ ท่ากนั สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกคา่ คงตัวท่เี ป็นผลตา่ งนี้ วา่ ผลต่างรว่ ม (common difference) 5. สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการส่ือสาร 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 6. กิจกรรมการเรียนรู้ รปู แบบการสอนแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์เพื่อพฒั นาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคดิ ข้ันสงู ชวั่ โมงที่ 1 ขนั้ ที่ 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูตง้ั คำถามเพื่อใหน้ ักเรยี นอภปิ รายโดยการยกตวั อยา่ งลำดับท่มี รี ปู แบบง่าย ๆ คอื เพ่ิมข้ึน หรอื ลดลงเท่า ๆ กนั ในแตล่ ะพจน์ ดงั นี้

44 2, 7, 12, 17, 22 เพ่มิ ขึ้นทลี ะ 5 เท่ากนั 100, 90, 80, 70, 60 ลดข้ึนทลี ะ 10 เท่ากนั ➢ เราจะทราบไดอ้ ย่างไรวา่ ลำดับทกี่ ำหนดใหเ้ ป็นลำดับเลขคณติ (แนวคำตอบ ลำดบั ซงึ่ มีผลตา่ งเป็นคา่ คงตวั ที่เท่ากัน) ➢ ถา้ ทกุ จำนวนเท่ากันทกุ พจน์ มีผลต่างเป็นเทา่ ใด (แนวคำตอบ เป็น 0 ) 2. ครูต้งั คำถามเกยี่ วกับการหาผลตา่ งของลำดบั หาได้อยา่ งไร (แนวคำตอบ นำพจน์หลงั ลบพจน์หนา้ หรือจากการนำพจนท์ ี่ n + 1 ลบด้วยพจนท์ ี่ n ) 3. ครยู กตวั อย่างเพ่ิมเติม เพื่อใหน้ ักเรยี นเกิดการเชื่อมโยงความรู้ และสุ่มให้นักเรียนตอบ ผลต่างจากตัวอย่าง ขา้ งตน้ ดังน้ี ตวั อยา่ ง 1) 2, 7, 12, 17, 22 ลำดบั ท่เี พิ่มข้ึนทีละ 5 โดยมพี จน์แรกคอื 2 2) 100, 90, 80, 70, 60 ลำดบั ทีล่ ดลงทีละ 10 โดยมพี จน์แรกคือ 100 3) 99, 94, 89, 84, 79 ลำดับทีล่ ดลงทีละ 5 โดยมพี จน์แรกคือ 99 4) -15, -10, -5, 0, 5 ลำดับที่เพิ่มขึ้นทีละ 5 โดยมีพจน์แรกคือ -15 (แนวคำตอบ ผลตา่ ง เทา่ กบั 5, -10, -5, 5 ตามลำดับ ) จากตัวอย่างท่กี ำหนดให้ เป็นลำดบั เลขคณติ หรอื ไม่ ขัน้ ท่ี 2 คิดวิธหี าคำตอบเพือ่ วางแผนแกป้ ัญหา 4. ครใู หน้ กั เรยี นร่วมแสดงความคิดเห็นจากคำถามดังกล่าววา่ นักเรียนสามารถระบุปญั หาได้ หรอื ไม่และมีแนวคิดในเขียนพจน์ดงั กลา่ วได้อย่างไร 5. ครอู ธิบายใช้สอื่ ในโปรแกรม power point เกีย่ วกับ ลำดับเลขคณิต ดงั น้ี ลำดบั เลขคณิต (arithmetic sequence) บทนยิ าม ลำดบั เลขคณติ (arithmetic sequence) คอื ลำดับซงึ่ มีผลต่างทไี่ ด้จากการนำ พจนท์ ี่ n + 1 ลบดว้ ยพจน์ที่ n เป็นคา่ คงตัวทเ่ี ท่ากนั สำหรบั ทกุ จำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัว ทเ่ี ป็นผลตา่ งนีว้ ่า ผลตา่ งรว่ ม (common difference)

45 ลำดับเลขคณติ (arithmetic sequence) จากบทนยิ ามจะเห็นวา่ ลำดบั a1, a2, a3, …, an, … จะเปน็ ลำดบั เลขคณติ กต็ อ่ เม่อื มีค่าคงตวั d ที่ d = an + 1 - an สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n นักเรียนสามารถเขยี นแสดง ลำดบั เลขคณติ a1, a2, a3, …, an โดยใช้พจน์ทวั่ ไปของลำดบั ได้ ดงั นี้ ให้ a1 เปน็ พจนแ์ รก และ d เปน็ ค่าคงตวั จะได้ a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d ⋮⋮ ⋮ an = an - 1 + d = [a1 + (n - 2)d)] + d = a1 + (n - 1)d ดงั น้นั พจนท์ ่ี n หรือพจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n - 1)d เม่ือ a1 คอื พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต d คอื ผลตา่ งร่วมของลำดับเลขคณิต n คอื ลำดบั ที่ n ของลำดบั เลขคณิต an คือ พจนท์ ่ี n หรอื พจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณติ ตวั อย่าง พจิ ารณาว่า ลำดับทก่ี ำหนดในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนเี้ ปน็ ลำดบั เลขคณติ หรอื ไม่ 1) -8, -5, -2, 1, 4, … 2) 5, 7, 10, 14, 19, … วิธที ำ ลำดับท่ีเป็นลำดับเลขคณติ ตอ้ งมผี ลตา่ งร่วม d = an + 1- an ซง่ึ เปน็ ผลตา่ งของ สองพจน์ใด ๆ ทอี่ ย่ตู ิดกัน 1) หาคา่ a2 - a1, a3 - a2, a4 - a3, a5 - a4 เม่ือแทนคา่ a1 = -8, a2 = -5, a3 = -2, a4 = 1, a5 = 4 จะได้ a2 - a1 = -5 - (-8) = 3 a3 - a2 = -2 - (-5) = 3 a4 - a3 = 1 - (-2) = 3 a5 - a4 = 4 - 1 = 3 ดงั นั้น ลำดับ -8, -5, -2, 1, 4, … เปน็ ลำดบั เลขคณติ ตอบ 2) หาคา่ a3 - a2, a5 - a4 เมอื่ แทนค่า a2 = 7, a3 = 10, a4 = 14, a5 = 19 จะได้ a3 - a2 = 10 - 7 = 3 a5 - a4 = 19 - 14 = 5 เน่อื งจาก a3 - a2 ≠ a5 - a4 จะได้วา่ ลำดับนี้มผี ลต่างของสองพจนใ์ ด ๆ ท่ีอยู่ติดกนั ไม่เท่ากัน ดงั น้นั ลำดบั 5, 7, 10, 14, 19, … ไม่เป็นลำดับเลขคณติ ตอบ

46 ลำดบั เลขคณติ (arithmetic sequence) ตอบ ตัวอย่าง ใหน้ ักเรียนหาพจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณิต 8, 13, 18, 23, 28, … วธิ ีทำ จาก a1 = 8, a2 = 13 จะได้ d = 13 - 8 = 5 และจาก an = a1 + (n - 1)d จะได้ an = 8 + (n - 1)(5) = 8 + 5n – 5 = 5n + 3 ดงั น้ัน พจน์ท่ัวไปของลำดับน้ี คือ an = 5n + 3 6. ครใู ห้นกั เรยี นรว่ มแสดงความคิดเห็นจากตัวอย่าง การหาพจน์ทว่ั ไป แลว้ ให้นกั เรยี น วเิ คราะหท์ ำความเขา้ ใจกบั สถานการณ์ปญั หา โดยใช้กระบวนการแกป้ ัญหา 5 ขั้นตอนคือ 1) ระบุปญั หา (การหาพจนท์ ั่วไปของลำดบั เลขคณติ ) 2) เลอื กใชก้ ลวธิ ีในการแก้ปญั หา (นำสง่ิ ที่โจทยก์ ำหนดให้ หา d และแทน ใน an = a1 + (n - 1) d ) 3) ดำเนนิ การแกป้ ญั หา (คำนวณและจดั รปู ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ) 4) ตรวจสอบการแกป้ ัญหา ( เมอ่ื แทนค่าหาพจน์ที่ 1, 2, 3, 4, 5 แล้วไดต้ รงกับ โจทยท์ ี่กำหนดให้ ) 5) ประยกุ ต์ใชค้ วามรู้กับความร้ใู หม่ (แนวคำตอบ เชอ่ื มโยงในการหาพจน์ถัดไป หรือการหาพจน์ท่โี จทย์ต้องการ ) ขนั้ ท่ี 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอย่างสร้างสรรค์ 7. ครใู ห้แบ่งนักเรยี นเปน็ กลมุ่ ย่อยกล่มุ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกง่ ปานกลาง ออ่ น และให้นักเรยี นแบง่ บทบาทของสมาชิกในกลุม่ รบั ใบงานที่ 3 เรือ่ ง ลำดับ เลขคณิต ทำขอ้ 1- 2 ใหญ่

47 8. ครูใชค้ ำถามกระตนุ้ ใหน้ ักเรยี น ลงมอื ปฏบิ ัติกจิ กรรมด้วยตนเองอยา่ งอสิ ระ แล้วแสดง ความคิดเห็นในแนวทางการแก้ปัญหาของตนเองตอ่ กลุ่ม แลว้ สมาชกิ กลมุ่ รว่ มกันพิจารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลอื กในการแก้ปญั หา กลวธิ ีที่ดที สี่ ดุ ท่ีตรงกบั สถานการณ์และมีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนนิ การแก้ปัญหาของกลุ่ม ขน้ั ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวิธแี ก้ปัญหา 9. ครสู ุ่มให้ตัวแทนกลุ่มแต่ละกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา กลวธิ ที ่ใี ชแ้ ก้ปัญหา คำตอบ ของปัญหาท่ีกลุ่มได้ร่วมกันพจิ ารณาตัดสินใจเลือกไว้ 10. ครใู ชค้ ำถามนำในการกระตุน้ ใหน้ ักเรียนร่วมอภปิ รายสรปุ จากการเรียนในคาบน้ี และเพ่ือ แสดงความคิดเหน็ เก่ยี วกับวิธีการแกป้ ัญหาและผลลัพธ์ท่ีได้ของนักเรียน แลว้ ครูชว่ ยสรุปเพ่มิ เติม เรอ่ื ง ความหมายและการหาพจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณิต ดงั นี้ รปู แบบการกำหนดลำดบั 1) ลำดับ a1, a2, a3, …, an, … จะเป็นลำดับเลขคณิต ก็ต่อเมื่อ มีค่าคงตัว d ท่ี d = an + 1 - an สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n 2) การหาพจน์ท่วั ไปของลำดับเลขคณิต หาไดจ้ าก an = a1 + (n - 1)d ชวั่ โมงที่ 2 ขั้นท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูตัง้ คำถามเพ่ือใหน้ ักเรียนทบทวนการตรวจสอบว่าเป็นลำดบั เลขคณติ และการหา พจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณติ ➢ เราจะทราบไดอ้ ยา่ งไรว่าลำดับทีก่ ำหนดใหเ้ ปน็ ลำดบั เลขคณติ (แนวคำตอบ มคี า่ คงตัว d ที่ d = an + 1 - an เทา่ กันสำหรับทกุ จำนวนเต็มบวก n ) ➢ หาพจน์ทัว่ ไปของลำดบั เลขคณิตไดอ้ ย่างไร (แนวคำตอบ an = a1 + (n - 1) d )