MORALES_ALQUICIRA_ANDRES_Introduccion_al_algebra_lineal_y_de

Para poder comprobar si los vectores son linealmente inde- pendientes, se forma una combinación lineal de los vectores y se iguala a cero: c,(l, l,-2) + c2(4,-2,-2) + c3(3,-9,6) = (0,0,0) Entonces: ( cl5 c,, -2Cl) + (4c25 -2c2, -2c2) + ( 3c35 -9c35 6c3 ) = ( 0, 0, 0 ) Obtenemos el sistema: Cj + 4c2 + 3c3 = 0 Cj - 2c2 - 9c3 = 0 -2cx - 2c2 + 6c3 = 0 Resolviendo el sistema para c1? c2 y c3: 1 4 30 14 30 1 4 30 1 -2 -9 0 0 -6 -12 0 0 1 20 2 -2 6 0 -2 _ o 6 0 -2 -2 6 0 14 3 0 14 30 1 0 -5 0 01 2 0 0 1 2 0 ->• 0 1 2 0 00 0 0 0 6 12 0 0000 Se obtiene que: c, - 5c3 = 0 c2+2c3 =0 En donde c{ = 5c3 y c2 = -2c3, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones y los vectores son linealmente de- pendientes. 101 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2) ¿Los vectores ( 1 , -2,1 ) , ( 3, 1,2) y ( 5, 0,3 ) son linealmente independientes? Formando una combinación lineal de los vectores e igualando a cero: C l ( l , - 2 , l ) + c2( 3 , 1 , 2 ) + c3( 5 , 0 , 3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) Entonces (cir2c1? C l ) + ( 3c2, + c2 + 2c2) + ( 5c3, 0, 3c3) = ( 0, 0, 0 ) Obtenemos el sistema: c, + 3c2 + 5c3 = 0 -2c! + c2 + 0 = 0 c, + 2c2 + 3c3 = 0 Resolviendo el sistema para c1?c2 y c3 1 350 1 3 5 0 1 3 5 0\" 2 100 1 230 0 7 10 0 -> 0 1 10 0 —» 1 2 y3 0 12 3 0 1 3 5 0\" 1 3 5 \"1 3 5 0 0 1 10 0 01 ^ 10 0 -1 -2 0 —^ 0 1 7 0 o o-1 00 1 0 7! 1350 1300 1000 0 1 0 0 —>• 0 1 0 0 -» 0 1 0 0 00 10 00 10 00 10 102 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Se obtiene que: C ll = CC2 ~ C3 = Entonces los vectores son linealmente independientes. Un conjunto de m vectores en 9ín es linealmente dependiente si m > n. Por ejemplo: 1) Los vectores (-3,2,-1,0), ( 0 , 1 , 0,1), (0,1,-2,4), (-1,3,2, 2 ) , ( 1 , 2, 3, 0 ), ¿Son linealmente independientes? No, ya que hay cinco vectores en un plano 914. 2) Los vectores (1, 2, 3), (0, 1, -2), (-1, 3, 2), (0, 1, 1) ¿Son linealmente independientes? No, ya que se tienen cuatro vectores en el plano 9í3, los vectores son linealmente dependientes. 103 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Capítulo 5 Algebra de matrices Objetivos; Al terminar este capítulo: V El lector comprenderá la notación matrieial V Identificará diferentes tipos de matrices. 5.1 Introducción El álgebra de matrices es una rama de las matemáticas que se utili- za para analizar los sistemas de ecuaciones lineales, cuando éstos tienen un número de ecuaciones superiores a tres. 5.2 Matrices Definición de matriz: La matriz es un arreglo rectangular de elementos ordena- dos en m filas y n columnas 105 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La forma general de una matriz Aes: a21 a22 l2n A- Lm2 Esta matriz esta constituida por elementos a^ Los elementos de una matriz pueden ser números reales (91), polinomios, números complejos (C), etc. En este material sólo se utilizan números reales como elementos de una matriz. Cada elemento de la matriz tiene dos subíndices, el primer subíndice indica la fila o renglón ( / ) y el segundo la columna (/) de la matriz. El elemento a^ indica que está en la z-ésima fila ylay- ésima columna, para i = 1,2,...,m y j = 1,2,...n. El elemento a12 que está situado en la intersección del renglón 1 y la columna 2; a22 es el elemento que está situado en el renglón 2 y la columna 2 . Por ejemplo: El 5 está situado en el primer renglón y en la primera columna, así su posición es la an El 9 está en el primer renglón y en la segunda columna, su posi- ción es la a12 El 2 está en el segundo renglón y en la primera columna, su posición es la a21 El 7 está en el segundo renglón y enlasegunda columna, suposi- ción es a22 106 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Notación de matrices 1. Se representan mediante una letra latina mayúscula (A, B, C,..., Z) en negritas. 2. También suelen representarse utilizando corchetes [a^] o El orden de la matrizfay ] se representa como: [a,j] mxn. Nota: no confundir al elemento a^ con la matriz [ a j . Ejemplos de matrices 1) Calificaciones obtenidas por seis estudiantes en cuatro exá- menes. Exámenes Estudiantes 78 9 8 9 9 10 10 67 7 8 A= 6 8 10 8 78 7 9 5 8 7 10 2) Representación de una tabla de costos de producción por tipo de producto. Costos de producción por tipo de producto Costos Producto A Bc D Mano de obra 10 12 16 9 Materiales 5 7 94 107 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Los datos de la tabla se pueden representar en una matriz A 10 12 16 9 5 7 94 Ejercicios: 1) Identificación de! elementos: '7 2 8 2\" 9535 A= 8 12 6 3359 ¿Qué valor tiene el elemento? a 15 — nc) existe 5 a 24 2 a-,, — ¿De qué orden es esta matriz? 4x4 2) ¿Que diferencia hay entre : a¡j y [a¡j ]? a¡j es el elemento genérico de la matriz, ubicado en la fila \"i\", columna\"/'- [a¡j ] es la notación abreviada de la matriz. Dimensión de una matriz La dimensión de una matriz u orden, indica primero el número de renglones (m), enseguida el número de columna (n), que forman a la matriz m x n, la cual se lee \"m por n\". 108 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

columna 351 renglón 263 m = 2, n = La matriz de calificaciones obtenidas por estudiantes, tiene dimensión 6x4, son seis renglones con cuatro columnas. Exámenes 78 9 8 9 9 10 10 67 7 8 Estudiantes 6 8 10 8 78 7 9 5 8 7 10 6 x 4 Matriz rectangular La matriz rectangular se forma cuando m ^ n, o sea, el número de renglones es diferente al número de columnas. A= De dimensión m x n 109 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Por ejemplo: \"6 7 8 A= 2 2 1 2x3 En donde m = 2 y n = 3, entonces m * n, y A es una matriz rectangular de dimensión 2x3. 67 2) B = 2 21 81 J3x2 En donde m = 3 y n = 2 entonces 3 * 2, y B es una matriz rectangular de dimensiones 3x2. Matriz cuadrada de dimensión n La matriz cuadrada se forma cuando se tiene el mismo número de renglones y columnas, o sea, que m = n. C= 32 a 3 3 En donde m = 3 y n = 3, entonces m = n y la matriz C cuadrada es de dimensión n = 3. Ejemplos: 1) R = [ 7 ] cuadrada de dimensión 1 ó [ X ] 3 ll S= 2) -2 1 cuadrada de dimensión 2 110 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

000 3) 1 1 1 222 J3x3 cuadrada de dimensión 3 En la matriz cuadrada los elementos que tienen el mismo índi- ce en la fila y columna forman la diagonal principal. Por ejemplo: 13 24 *31 4 4 J4x4 Los elementos an a22 a33 a44 forman la diagonal principal de la matriz cuadrada de dimensión n = 4. Por ejemplo: 1 \\2 F= E= 4\\5 2x2 3x3 Escalar (A,) Es un caso especial de la matriz cuadrada, cuando está formada de una fila y una columna, el elemento que contiene es un número real. Por ejemplo: lxl El elemento an es un número real y la matriz cuadrada de dimensión n = 1 o escalar. 111 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

X= [ 7 ] cuadrada de dimensión 1 ó [ x ] 5.3 Tipos de matrices La matriz triangular es un caso especial de la matriz cuadrada, se forma cuando todos los elementos por debajo o por encima de la diagonal principal de la matriz son nulos (tienen el número cero). Matriz triangular superior Es una matriz triangular que tiene elementos nulos por debajo de la diagonal principal. Definición: Es una matriz triangular superior si cumple con a¡j~ 0 V i > j G = (5.3.3) 33 Los elementos a21 a31 a32 son nulos y están por debajo de la diagonal principal (an a22 a33)5 entonces es una Matriz Triangular Superior de dimensión n = 3. Ejemplo: \"6 9 1 = o\\\\ 8 3 0_ ^1 J3x3 112 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2) Algunos de los elementos a/y para los que i <j pueden ser tam- bién nulos, es decir, no hay restricción en esos elementos. 873 4x4 o\\\\° 7 0 o\\\\ 5 0 0 0\\ Esta es una matriz triangular superior ya que se cumple que aiJ = 0 V/ >j. Nótese que también hay ceros en la diagonal principal en los elementos i < j . ¿Cuáles son los elementos donde i >/? Respuesta: a21 a31 a41 a32 a42 a43 ¿Cuál elemento de la diagonal principal es nulo? Respuesta: a22 Matriz triangular inferior Está formada por elementos nulos en la parte superior de la diago- nal principal de la matriz cuadrada. Definición: La matriz triangular inferior es en la que todos ios elemen- tos sobre la diagonal principal son nulos, a§ V i < j En símbolos, una matriz A ~ [aij]n x n es trinagular inferior si cumple que: a¿j = 0 V i < j Por ejemplo: H = (5, 3, 4) 113 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Los elementos a12j a13 a23 ?son nulos y están por encima de la diagonal principal (a11? a225 a33), entonces es una matriz triangular inferior de dimensión n = 3. Ejemplo: 1) ¿Cuáles son los elementos donde i < j de la matriz A? A= 1 53 Respuesta: a12 a13 a23, es una matriz triangular inferior. 2) ¿Cuáles son los elementos donde / < j de la matriz B? 5 B= 1O Respuesta: a21, B es una matriz triangular inferior. Matriz diagonal (D) Definición: La matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Se simboliza como: D = [a^]^, si cumple a¿y- 0 V ?V/ Sea la matriz A= O a0 La matriz A cuadrada está formada por elementos nulos (a21 = a12 = 0) en la parte superior e inferior de la diagonal principal ( a n y a22). 114 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Por ejemplo: \"a,, 0 0 0 1) 0 a22 0 0 Q- 0 0 a33 0 0 0 0 a. Los elementos a12, a13, a14, a21, a23, a245 a31? a32, a34, a41, a42 y a43 son nulos, excepto los de la diagonal principal (a11? a22, a33, a44), entonces es una matriz diagonal de dimensión n = 4. 40 Matriz diagonal 2) A = Matriz diagonal 03 500 3) 0 0 0 006 00 Matriz diagonal Matriz diagonal 4) C = o o & oo 5) D = o & o o o& Nota: Obsérvese que los elementos de la diagonal principal pueden ser diferentes. La matriz diagonal también la podemos representar como D=[A,/5(/ ],si /=l,2,...,nyy=l,25...,nendonde Xi es un escalar y 5/yes llamado símbolo de Kronecker. Por definición, el símbolo de Kronecker es igual a 1 para i =j, e igual a cero para i ^j 115 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Matriz unitaria o idéntica ( I ) Definición: La matriz unitaria es una matriz triangular superior e infe- rior (matriz diagnal) en donde los elementos de la diagonal deben de ser igual a uno y se representan con la letra I o In (cuando es muy importante indicar el orden). 10 si i Por ejemplo: \"1 0 0\" 0 10 001 Otra forma de expresarla es: \"l 0 0' 0 10 00 1 La matriz unitaria en álgebra matricial cumple con el mismo papel que la unidad en el álgebra básica (números reales), es decir, = a. Propiedades de la matriz unitaria AI = A IA = A 116 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Matriz escalar ( XI ) Es una matriz diagonal en la que todos sus elementos diagonales son iguales entre si y se expresa X I = [%8^ ] ^ y es una matriz escalar si cumple con 5 =ílsii =J ü ~ [O si i * j A, puede ser un número natural, o entero, racional real o complejo. Por ejemplo: y0 A= a) 0y b) Multiplicar la matriz I por el escalar 2 \"l 0 0\" 0 10 00 1 200 2I3=[281J] = 0 2 0 002 La operación de la multiplicación de la matriz (I) por el escalar (2), es para dar sentido a la operación: I3 + I3 , la cual se puede escribir como 2I3 . Matriz simétrica Definición: en que a^ para todo i, j Es una matriz cuadrada A 117 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Sea M = [a¿j ] 3x3 la siguiente matriz: \"1 2 1 M= 3 -3 1 -3 a,, J \\ l = «.7,, cj^,o c*23 Ti a\"32 d 3 3 . Es simétrica puesto que cumple n1} =ntJ a 21 = ai2 = ^ a 31 = ai3 = 1 23 = a23 = \" ^ Las matrices escalares, las matrices diagonales y las matrices identidad de los diversos órdenes son simétricas. Matriz asimétrica Definición: Es una matriz cuadrada A - [a/y] en que a/y ~ -a/iV i,j. Los términos de la diagonal son nulos, es decir, la matriz antisimétrica es aquella en que: \"-a// Vij. a# *= 0 donde i ~j Matriz nula o cero (0) Definición: Una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero y se representa con la letra mayúscula O en negritas. 118 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Por ejemplo: \"0 0 ... 0\" 0 0 ... 0 o. 0 0 ... 0 mxn La matriz O es diferente al número real cero. Matrices iguales Definición: Cuando dos matrices A y B son iguales (A = B), al tener la misma dimensión (m x n); todo elemento de A son iguales a su correspondiente elemento de B, o sea, si a,-, = by para toda i, j . Por ejemplo: 32 a) B= 2+1 2 6 1 2x2 A= 3*2 1 au = b,, b«21 = 21 2+1 = 3 3x2 = 6 a,2 = b12 a22 = b22 2=2 1=1 119 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Como cada elemento de A es igual a su correspondiente elemento B, entonces la matriz A es igual a la matriz B ( A = B ) , por tener el mismo número de filas y columnas. b) A = B = [2 3 c) A = [2 X2 = [2 3 Propiedades de las matrices iguales a) Reflexiva A=A b) Simétrica Si: A = B, entonces B = A c) Transitiva Si: A = B y B = C, entonces A = C Problemas 1. Marca con una x en el espacio correspondiente cuál es el or- den de las siguientes matrices: 10 7 5 1 5 01 5 [0] 4.3 23 3x1 1 3x2 3 0 6 1x3 2x3 1 lxl Io 120 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2. Dada la matriz P: 532 222 464 721 284 445 p= 482 285 ... 1000 Identifique el valor de los siguientes elementos: * mn Pln = 3. Escriba una matriz de orden 5 x 2 anotando sus elementos en forma simbólica; utilice la figura de abajo: T( ) = 4. ¿Cuál de los siguientes arreglos de números no constituyen una matriz? 11 0 10 Iog210 A= 0 B= 0 0 0 c= 211 - 1 2 0 10 121 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

5. El departamento de planeación de la cadena de supermercados \"Zamir\" ha elaborado la siguiente tabla que resume las ventas (en miles de pesos) registradas durante el curso de una semana en sus principales secciones: Días Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Secciones A 10.0 11.0 9.8 13.2 11.2 12.0 B 9.9 10.2 12.7 11.6 12.0 11.4 C 14.3 13.8 14.5 14.0 13.9 14.1 D 12.0 12.3 11.9 12.1 12.2 11.6 a) Indique a que es igual el elemento v24 y que representa b) Indique, señalando el elemento v/y respectivo, que día se alcanzo la venta máxima en la sección en la A; en la B; en la C; y en la D. c) Indique, señalando el elemento correspondiente, cuál fue la sección de menor movimiento en el día jueves, y cuál fue la del día sábado. 6. Dadas las siguientes matrices: a) Indique el orden de cada una de ellas. b) ¿A que casos especiales corresponde cada una de ellas? \"0 0 1\" 11 0 0 '0 0\" A= 0 1 0 B = 0 11 0 c= 0 0 1 0 1_ 0 0 11 7. ¿Cómo clasificaría a las siguientes matrices? 0 -3 5 ' r0 1 0 D = 3 0 -2 E = 100 1 F = o o\" oo 0001 -5 2 0 1 1 10 122 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

8. Esciriba ejemplos de matrices de orden (3,3) que satisfagan respectivamente a cadaunode los siguientesconjuntos de requi- sitos. a) Que sea triangular superior, diagonal y no escalar b) Que sea simétrica, escalar y no diagonal c) Que sea simétrica y no diagonal 9. Indique en la columna de la derecha, la letra que le corres- ponde en la columna de la izquierda. a) a,j = a¿j para toda ij Matriz escalar b) (&¡j 11 = J Matriz triangular { X para i = j Diagonal principal 0 para ¿ ^ j r i si i = j d) I = [Sjj ] con 8¡j = Y = < Matriz diagonal [0 para i * j e) ay * 0 para i * j Matriz identidad f) a¿j = -ay para todo ij Matriz simétrica Matriz nula Matriz antisimétrica 10. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o fal- sas: V Una matriz identidad es simétrica Una matriz escalar es diagonal Una matriz nula es cuadrada Una matriz simétrica es diagonal Una matriz nula es simétrica Un vector fila es simétrico Una matriz triangular es rectangular Las matrices triangulares son simétricas Un vector suma es un vector unidad 123 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

En las matrices rectangulares interesa: La diagonal principal Hay matrices nulas que son cuadradas Hay matrices rectangulares que son cuadradas Una matriz diagonal es antisimétrica Hay matrices rectangulares que son simétricas 124 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Capítulo 6 Operaciones con matrices Objetivos: Al terminar este capítulo: S Podrá sumar y restar matrices, S Obtendrá el producto de una matriz A por una matriz B. S Calculará la inversa de una matriz. S Resolverá un sistema de ecuaciones lineales mediante la matriz inversa. 6.1 Introducción Una gran variedad de problemas de asignación de recursos en la economía, la administración y las políticas públicas se relacionan con matrices. Prácticamente la totalidad de procesos con matrices se basan en la adición, sustracción y el producto, así como en ope- raciones especiales como la inversa. En este capitulo de abordan estos temas. 6.2 Adición y sustracción de matrices Adición de matrices Definición: Pueden sumarse dos matrices A y B> si sólo si tienen la misma dimensión (mismos números de filas y columnas), al ser someti- das a la operación de suma, da como resultado una tercera matriz C, y ésta tendrá la misma dimensión que la matriz A y B. 125 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Para obtener los elementos de la matriz C, se suman los ele- mentos correspondientes de la matriz A y B, es decir: C,j = a¡j + b¡j; para todas las / yj Por ejemplo: a) A = b n b12 B= b b2 x 2 21 2 2 2 x 2 a,,+bn a12+b!2 A+B =C = a 2 2 + b 2 2 j2 x 2 _a21+b2) 42 7 -3 b) A = 3 9 B= 2 5 0 5 16 1 3x2 3x2 4+7 2-3' A + B = C = 3+2 9+5 16+0 5+1 12 B= c) A = 34 2x2 A + B ^ C, por que no cumple con la condición de que la matriz A y la matriz B, deben tener la misma dimensión. 126 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Propiedades de la suma de matrices a) Conmutativa A+B=B+A b) Asociativa (A + B) + C = c) Identidad A+0=0+A Producto de un escalar por una matriz Definición: Sea una matriz A de dimensión m x n y un escalar X9se puede definir al producto de la matri2 A por un escalar X9 para dar sentido a la operación A + A + ... El producto se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz A por e escalar X. A = [ a » B « l %A=\\ (62A) La21 a 22 J 2x2 L i *a22j Por ejemplo: 1) Matriz A = -la,, -laI2 Escalar X = -\\ XA = - A = - I a 22_ 63 12 6 2) A = 14 - 8 7 -4 Escalar X = 2 -2(6) 2(3) 2A = .2(7) 2(-4) 127 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

3) 1Demuestre que: 1\\ + A = 2A \"6 3 \" \"12 6 \" \"6 + 6 3 + 3 \" \"12 6 7 - 4 14 - 8 1 + 7 -4-4_ 14 - 8 \"6 3\" 4) B = 1 1 24 X= -1 -6 -3 - -1 -1 -2 -4 1 -8 5) 72 = - 3/4 24 3 4 6 21 6 4 12 T4 5- - 1 - 44 128 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

4 -5 6) D = 36 X=0 OO OO 4(0) -5(0)\" OD = .3(0) 6(0) _ 0D = 0 Sustracción de matrices Definición: Pueden restarse dos matrices A y B, si y sólo si, tienen la misma dimensión. Al ser sometidas a la operación de resta, da como resultado una tercera matriz C, y ésta tendrá la mis- ma dimensión que la matriz A y B. C = A-B Para obtener los elementos de la matriz C se realizan los si- guientes pasos: 1) Multiplicar la matriz B por el escalar: 2) Sumar la matriz A y la matriz -B A + B = [ A + (-B) ] = A-B Por ejemplo: 1) Demostrar que: C = A-B = A+ (-B) 129 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

A= i2 B= 22 2 x 2 21 b 2 2 2 x 2 b, - b• b , 2 2 . 2 x 2 C = A + (-B ) = A- B C= J2\\ - bU2, 2 a n ~ b n ai2 ~ a21 ~ b21 a22 ~ 2J2x2 2) 2 3 B= 4 A= 6 1 J2x2 2x2 -2 23 -1 5 18 6 -1 -8 3 2x2 C = A-B= -2 4 l -5 -2 -3 -1 -8 B-A= 2 -4 8 -3 2x2 61 3) 6 2 -2 O A= 1 4 B= 1 6 2 -5 33 \"6 2\" 2 08 2 C = A-B = 1 4 + -1 -6 = O -2 -3 -1 -8 2 _ c -3 2x2 130 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

- 2 0\" ~ - 6 - 2 \" - 8 - 2 ' B-A = 1 6 + - 1 - 4 = 0 2 3 3 -2 5 18 J2x2 En la sustracción no hay propiedad conmutativa A-B^B-A 6.3 Producto de matrices Producto interno de matrices Sean A el vector renglón y B el vector columna, entonces definire- mos el producto interno como A • B = a n b n + a12b2i + + alnbmj. El vector renglón y columna contienen el mismo número de ele- mentos y se calcula multiplicando los elementos correspondientes del vector A y B , y realizando una suma algebraica dando como resultado un valor escalar. Ejemplo: 1) Sean A el vector renglón y B el vector columna A = a11?a12, aln 'mj 131 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

entonces: A • B = a u b n + a12b21 + + alnbmj. \"7\" 2) A . B = (-3 6) 4 = - 2 1 + 2 4 = 3 6 10 3) C • D = (5 4 3 2 l) 20 -4 -2 C • D = (5)(6) + (4)(10) + (3)(20) C « D = 30 + 40 + 6 0 -8 -2 =120 4) E » F = ( - 2 - 4 10 20 6) E • F = (- 2)(0) + (- 4)(1) + (10)(2) + (20)(4) E.F= 0 - 4 + 2 0 + 80 + 30 =126 Producto de matrices Definición: Dada la matriz A de dimensión m x n y una matriz B de dimen- sión n x p, se define el producto de A por B, como una tercera matriz C con una dimensión m x p , cuyo elemento cij es producto escalar del i-ésimo renglón por la jésima columna de las matri- ces A y B respectivamente. 132 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Conformación para la multiplicación de matrices Para poder realizar la multiplicación de dos matrices A y B , se debe de cumplir que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Dando como resultado que la matriz producto C tenga el mismo número de filas que^ la matriz A y el mismo número de columnas que la matriz B. C -Va b (6.3.1) k= i = l , 2, ... ,m j = l> 2' .. , P A aa i i a 12 13 a21 a22 a23 a a2 i a 22 23 J2x3 *31 \"32 3x3 El número de columnas de A es igual al de B , o sea , n = 3. El producto de la matriz A y B da como resultado la matriz C de dimensión mxp (2x3). C l l C12 C13 \"21 V22 \"23 _ 2 x 3 Por ejemplo: \"2 1 6 103 A= B= 4 2 1 1 -3 2 511 133 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Para encontrar la matriz C, hay que sumar los productos for- mados de multiplicar, en orden, cada elemento (es decir, el pri- mero, segundo, etc.) del i-ésimo renglón de A , por el elemento correspondiente (es decir, el primero, el segundo, etc) de laj-ésima columna de B. El cálculo del elemento C u , se obtiene al sumar el producto de los elementos del renglón (1) de la matriz A , por los elementos correspondientes de la columna (1) de la matriz B. C u =(2)(1)+ (1X4) +(6X5) = 2 + 4 + 30 =36 El cálculo del elemento C21 se obtiene al sumar los elementos del renglón dos de la matriz A por los elementos correspondientes de la columna 1. C21 = (1X1) + (- 3X4) + (2X5) = 1 - 1 2 + 10 = - 1 C12 = (2X0) + (1X2) + (6X1) = 0 + 2 + 6 = 8 C22 = (1X0) + (- 3X2) + (2X1) = 0 - 6 + 2 = - 4 C,, = (2X3) + (1X1) + (1X6) = 6 + 1 + 6 =13 C23 = (1X3) + (- 3)(1) + (2X1) = 3 - 3 + 2 = 2 C = AB = C12 C13 _c21 c22 c 2 3 j 2 x 3 36 8 13 C= -1 -4 2 2x3 -1 -2 12 2) A = 1 43 1 2x2 2x2 -9 -8 C = AB = 5 5 2x2 134 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

3) A = [3 2 mxn=nxp C = AB = [ 3 2 ] l x l íí)x(3)=(3)x(T 3x1 4) A = [5 6\\ mxn=nxp x2 3x1 No se puede realizar porque el número de columnas de la matriz A es diferente al número de renglones de la matriz B. 5) A = mxn=nxp 1x3 1x2 Propiedades del producto de matrices a) AB * BA no se cumple la ley conmutativa. b) Asociativa. A(BC ) =(AB ) C c) Distributiva. AB + AC = A ( B + C ) (A + B ) C = 135 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

6.4 Producto de matrices especiales Producto de una matriz por una matriz unitaria IA = A AI = A Demostración: 10 mxn=nxp 1= \"1 2 JT~L A= 0 1 2x2 (2)x(2)=(2)x(2) 5 4 2x2 IA = 10 12 12 0 1 54 — 5 4J 2 x 2 1\"1 2 1 0' ri 2\" 0 1— 4_ AI = 54 Producto de una matriz por una matriz escalar XIA = ;IA A X I = ;\\A Demostración \"1 2 A= \"1 o\" 34 0 1 2x2 2x2 si X = 2 • 136 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

>r= 2 1 0 2 0\" 0 0 \"2 o' \"1 2 '2 4\" 0 2_ 3 4 6 8 a,, =(2)(l) + (0)(3) = 2 a2. =(0X1)+ (2X3) = 6 a12 =(2X2) + (0)(4) = 4 a22 = ( 0 X 2 ) + (2X4) = 8 XA = 2 1 2 \"2 4 = 34 68 Producto de unamatriz Aporunamatriz nula (0) 0A =0 A0 =0 Demostración: 12 A = 0= 34 0 \"1 2 oo 00 A0 = 00 oo an =(l)(0) + (2)(0) = 0 a2i =(3)(0) + (4)(0) = 0 ai2 = ( l ) ( 0 ) + (2)(0) = 0 a22 =(3)(0) + (4)(0)=0 137 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Cuando las matrices AyB dan como producto una matriz nula AB = O Demostración: \"5 6\" 66 A= B= 56 55 56 66 00 AB = 00 56 55 Esto no significa que la matriz A o la B sea necesariamente nula. 6.5 Matriz inversa Dada una matriz A, llamamos a su inversa A1 (si ésta existe), entonces la relación entre la matriz A y su inversa A1, es el pro- ducto de A y A1 el cual da origen a una matriz identidad ( I ) en donde: AA-1 = A\"1 A = I (6.5.1) Si la matriz inversa A1 existe, a la matriz A se le llama Matriz no singular; cuando la matriz inversa A1 no existe, a la matriz A se le llama matriz singular. Para obtener la matriz inversa es necesario considerar los si- guientes puntos: 1) La matriz A debe ser cuadrada para poder obtener su inversa A1 (también es cuadrada), ambas tienen la misma dimensión mxn. 138 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2) Una matriz A cuadrada tiene una matriz inversa A1, siempre y cuando todos los renglones o columnas, sean linealmente inde- pendientes, es decir, que ningún renglón o columna es una combinación lineal de los renglones o columnas restantes, en- tonces la matriz A se denomina no singular. 3) No toda matriz A cuadrada, tiene una inversa. Si una matriz A cuadrada no tiene inversa A1, esto quiere decir que los renglo- nes y columnas son linealmente dependientes, entonces la ma- triz A se denomina Singular. Ejemplo: La inversa de una matriz se parece al recíproco de un número a en álgebra de números reales. Dado un número a, su inverso o recí- proco es un número a1, tal que aa1 = 1. En álgebra de números es fácil de comprender que a1 = 1/a. En álgebra matricial es más la- borioso encontrar la inversa de una matriz y se sabe que el produc- to de una matriz A por su inversa A1 (existe) da por resultado una matriz identidad I, (AA1 = I). Demostrar que la matriz B, es la inversa de la matriz A para obtener los productos AB y BA. \"3 7 5 -1 25 -2 3 Si i A - ^ B Entonces: 37 5 -1 10 a) AB = 3 01 2 5 -2 b) BA = ' 5 - 7 \" \"3 71 '1 0\" = -2 3 2 5 0 1 139 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Como en ambos resultados tenemos una matriz I de dimen- sión de 2x2, entonces podemos afirmar que la matriz B es la inver- sa de la matriz A. Propiedades de la matriz inversa a) La inversa de la matriz inversa da como resultado la matriz original. (A-1 y1 = A b) Utilizando la definición de matriz inversa A\"1 (A\"1 )-* = (A\"1 y1 A\"1 = I A\"1 ( A ) = A( A\"1) = I c) La inversa de la matriz identidad es ella misma I1 =1 d) Inversa de la matriz diagonal Si partimos de la definición de la matriz diagonal D = [8¿jAJ la cual tiene todos los elementos de la diagonal principal distintos de cero, entonces la inversa de la matriz D es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son los inversos de los ele- mentos de la diagonal principal de la matriz original. D= e) La inversa de la matriz transpuesta (A*)\"' es igual a la trans- puesta de la inversa (A\"1)1 140 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

f) La inversa del producto de dos matrices no singulares A y B es igual al producto de las dos matrices inversas en distinto or- den. (AB y1 = B^A1 g) Si el producto de dos matrices A y B es igual a la matriz nula, y la matriz A es no singular, podemos determinar que la ma- triz B es igual a la matriz nula. De la misma manera cuando BA = 0 y la matriz A es no singular se puede determinar que B = 0. Si A es una matriz no singular y que AB = 0, al multi- plicar el producto de matrices A y B por la inversa de A será igual a la matriz nula. A^AB = A1 0 = 0 si: A\"1A = I Entonces: IB = 0 B=0 Determinación de la matriz inversa Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa. Partien- do de la misma definición ( AA1 = I ) . Sea la matriz A, llamamos a la matriz B la inversa de A. 1 -0.6 A =B = -0.3 1 ' 22 2 x 2 si: AB = I .*. AB = - 0 .6\" \"bu b12 10 01 - 0 . 3 1 b21 b 2 2 . 141 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Realizando la multiplicación se obtiene: - b 11 -0.6b21 Ib.2-0- 6 b 2 2 - \"1 0 - 0 . 3b n+lb21 - 0 •3bI2 -f l b 2 2 01 De acuerdo con la regla de multiplicación de matrices se pue- de plantear un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógni- tas: - b , - 0.6b9 = i -1 - 0.6b,, = 0 -2 - 0 . 3 b , , + 1 b21 = 0- •3 - 0.3 b12 + 1 b22 = 1 -4 Resolviendo el sistema se obtiene: b n = 1.22 bI2= 0.73 b21 = 0.36 b22= 1.22 La matriz inversa queda como: A ' = B = \"1.22 0.73\" 0.36 1.22 Inversa de la matriz por reducción gaussiana Para determinar la matriz inversa de A (m x n) empleando el méto- do de reducción gaussiana, se realizan los siguientes pasos: 1. Sumar a la matriz A (m x n) una matriz identidad I (m x n) 142 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2. Realizar las operaciones de renglón en toda la matriz aumenta- da, de tal forma que la matriz A (de coeficientes del sistema) se transforma en una matriz identidad I, y la matriz identidad ori- ginal se convierte en la matriz inversa de A. [iU1] Por ejemplo: 1) Encontrar la matriz inversa. Sea el sistema de ecuaciones 3x + 5y = 7 2x- y =-4 35 2 -1 Encontrar A~ 3 5!1 O 1 \"1 5 1 0\" -2R1+R2 3 i 3' > 01 2 - l l O lj 2 \"1 5 i0 15 1 0 3 3 3\" 3\" -2-R, 0 13 21 3 13 y 0 12 3 13\" ~ 13~_ 10 1 5 Í3~ 13 o1 2 3 Í3~ 13 143 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

13 13 A\"1 = 13 2 .13\" 2) Encontrar la matriz inversa Sea el sistema de ecuaciones x - y+z=2 x + y + z = 4 \\TL 2x +2y - z =-4 1-1 1 B= 1 1 1 2 2-1 Encontrar la inversa de B 1-1 i 100 10 0 1l i 0 10 0 10 22 -1 0 0 1 001 B\"1 = 144 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

6.6 Solución de ecuaciones lineales con la matriz inversa En esta sección analizaremos un método diferente al de reduc- ción gaussiana, para la solución de ecuaciones lineales. Esta técni- ca general se emplea en sistemas de n ecuaciones lineales y con n incógnitas. a12x2+ a21Xl + a 2 2 X 2 + El sistema I se puede expresar por una ecuación matricial AX = C, como se muestra: \"c,\"ln \" x i \" 2i 22 c2n x2 2 mi am2 .c .mn .Xn.n En donde A es una matriz (m x n), la cual está formada por los coeficientes de las variables del sistema (I) y se le conoce como matriz de coeficientes, X es el vector columna de n variables, C es el vector columna y está formado por los términos independien- tes (constantes del lado derecho) del sistema (I). Para poder explicar con mayor facilidad esta técnica general, considérese primero un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, como el siguiente: 145 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

a12X2 — C¡ II a22X2 = C2 Expresar el sistema II mediante una ecuación matricial X, a21 a22 (1) Suponemos que existe una matriz B de (2 x 2) que sea la in- versa de A. La matriz B se expresa como: b n b12 b21 b22 entonces A\"l = B, Multiplicar la matriz A por B es igual a la matriz identidad (I), o sea AB = I al. ai2 \"bu b 1 2 \" \"1 0 01 K_a2. a 2 2 . b22_ realizando la multiplicación se obtiene: anbu+a12b21 aub12 +a12b22 1 0' a21bll + a22b21 a21b12 + a22b22 J 01 De acuerdo con la multiplicación de matrices se plantea un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas u + a22b21 = 0 2 aub12 + al2b22 = 0 3 4 5 146 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

resolviendo simultáneamente las ecuaciones 2 y 3 se obtienen los valores de b u y b21; para conocer los valores de b12 y b22 se resuel- ven las ecuaciones 4 y 5. Ahora, si multiplicamos la ecuación matricial (1) por la ma- triz B: \"a,, a12\" b12l \"c,\" kM =bja2I a 22 | b 2 1 c2 1b21 b22 como B = A1 y AA1 = BA = I entonces 1 0\" 0 1 X 2J bnci b12C2 b2ici + b22C2_ los valores de Xx = buCn + b12C2 y X2 = b ^ Q + b22C2. Ejemplo: 1) Resolver el sistema de ecuaciones, encontrando la matriz in- versa de coeficientes 3x + 5y= 7 2x- y =-4 Expresar el sistema I mediante una ecuación matricial 3i xi 7 2-1 -4 _X2. La matriz inversa de A es \"1 5\" Í3~ 13\" 23 ]3 13 147 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

entonces: _5_ 13\" 7 2_ 13 J_ - 4 13 M por lo tanto Xj = -1 y x2=2 2) Resolver el sistema de ecuaciones, encontrando la matriz in- versa de coeficientes. 0 + 3x2 + x3 = 1 \\ Xj + x2 + 0 = 2 > II 2xx + 3x2 + 3x3 = 7 ) Expresar el sistema II mediante una ecuación matricial 03r \"1\" 1 1 0 x2 2 2 3 3 .X3_ L7 La matriz inversa de A es 3 -6 -1\" A-= — -3 -2 1 1 6 -3 entonces: 148 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

36 8~ 8 32 í8 16 í8 o 1 por lo tanto Xj= 2, x2 = 0 y x3 =1 Ejercicios 1. Indique cuáles de la siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas: V Las matrices son conformables para la suma si son del mismo orden matricial Si el producto A x B = 0 entonces A = 0, B = 0 Hay matrices cuadradas para las que no existe su transpuesta A x B = B x A s i y sólo si A y B son matrices cuadradas (A x B)' = B ' x A ' para cualquier par de matri- ces conformables para el producto Para que dos matrices sean conformables para el producto deben ser del mismo orden A(B + C ) = B x A + C x A s e cumple siempre que las matrices A, B y C sean conformables para el producto. 149 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2. Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa y ex- plique brevemente su respuesta ( A - B ) + C = A - ( B + C ) para todas las matrices A, B y C conformables para la opera- ción de suma. 234 3.- Dada la matriz P = 1 0 2 0 12 a) Obtenga la matriz P' b) Efectúe el productoPxP' c) ¿Qué tipo de matriz ha obtenido? 33 6 4.- Dada la matriz R = 6 0 3 3 9-3 Calcule: a)(R + R') b)(R-R') c) y2 (R + R ' ) + y2 ( R - R ' ) ¿Qué tipo de matriz ha obtenido en cada caso? ¿Se trata de una propiedad general o de un caso particular? 22 2-2 2-2 2 2 5. Si Q = 2 2-22 2 -2 -2 -2 150 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]