MORALES_ALQUICIRA_ANDRES_Introduccion_al_algebra_lineal_y_de

Demuestre que: QxQ' = Q'xQ=161 151 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Capítulo 7 Operaciones con vectores y matrices usando Excel Objetivos: Al terminar este capítulo: S El lector será capaz de realizar operaciones entre matrices y vectores utilizando la hoja electrónica Excel. 7.1 Introducción La hoja de cálculo electrónica Excel resuelve las operaciones que se desarrollan con matrices y vectores, las operaciones más comu- nes: el producto de una matriz por un vector columna, vector fila por una matriz, la solución de matrices de orden (m,n) y la obten- ción de la inversa de una matriz. 7.2 Operaciones entre matrices y vectores con excel Matriz por vector columna Para multiplicar una matriz por un vector columna es necesario que sean conformables, es decir el número de columnas de la ma- triz debe ser igual al número de filas del vector. 153 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

En símbolos: A x Y = AY mxn nx 1 mx 1 Ejemplo: 25 B= A= 2X1 1 3 2x2 6 + 20 26\" AB = — 3 + 12 2X1 15 Una vez revisada la conformabilidad entre la matriz y el vector se despliega la hoja de cálculo, se indican los títulos, se anota la información, y se posiciona el cursor en la celda en que se desea anotar el resultado, ver imagen 7.1 Imagen 7.1 Producto de matriz por vector columna t**> | \\ ! Q ^ 0 * # G k V^ = # % Üs <? í > 14; I Anal * 10 * |j B / S i l 1 MATRIZ A VECTOR COLUMNA (MATRIZ Á)(VECTORCOLUMNA) ¿ 25 13 14! Ready 154 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Enseguida se selecciona <Pegar función><Matemáticas y trigonométricas><MMULT>, ver imagen 7.2 Imagen 7.2 Ventana de pegar función MMULT despliega una ventana en la que aparecen 2 renglo- nes uno para la matriz 1 (en este caso la matriz A) y otro para la matriz 2 (el vector columna B). En los renglones se anota la dimen- sión en que se encuentran los valores de las matrices solicitadas, ver imagen 7.3 Una vez indicada la localización de la información de las matrices, se pulsa aceptar. El resultado aparecerá en la celda pre- viamente seleccionada, ver imagen 7.4 Enseguida se expande la fórmula mediante el procedimiento descrito anteriormente, ver imagen 7.5 Después de expandir la matriz se obtiene el resultado para to- dos los elementos, ver imagen 7.6 155 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.3 Llenado de la información que solicita MMULT . . . . \\i: <$;> Returns the fnatrix proctó: ofiwo arrays, an array wifchíhe same number oí rows as Arrayl Array2 ís the first array of numbers to multipiy ana must havé th& same number Imagen 7.4 Producto de una matriz por un vector columna utilizando MMULT *??• ! ^ ? ? í Z ^ ? í í l B I =MMULT(A4:B5;G4:G5) __yü'SJLkLLMMSUX1i1llJJ——JJSiLLl1.1J—L.!i.L J I _ i LLL_.1 Ü L - J L MATRIZ A VECTOR COLUMNA (MATRIZ A)(VECTOR COLUMNA) I2 5 3 13 4 JL A7. 9 W 31 JBL M Ü: Jt ,JÍ¿«««^ÍÍ¿IÍ¿¿^Í^ 156 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.5 Expansión de MMULT (MATRIZ A)(VECTOR COLUMNA) [=MMÜLTÍÁ4:B5;G4:G5) JiU. Imagen 7.6 Resultado de expandir MMULT ff*; ioob yeip «fc # \\ «U |* • i \\ K 1 . i >! > . Anal • lo - f ¿ z ii \\m m m£ (MATRIZ A)(VECTOR COLUMNA) M20 ~ 3 26 15 ! A£ÍJ 0 í 0} VECTOR COLUMNA 1 j MATRIZ A miI\" 3 4 «i 3! itie? ! J?J H_ j 157 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Vector fila por matriz Para multiplicar un vector fila por una matriz se requiere que sean conformables. Ejemplo: Q = [l 2 3 l l 14 12 ^L JIX 4 2 323 3234 4 1 4 1 4X4 El producto será QA = [18 17 18 21] Procedimiento Una vez seleccionada la celda donde se desea que aparezca el pri- mer elemento del vector fila resultante se realizan los siguientes pasos: 1. Seleccionar <Pegar función>. 2. Seleccionar <Matemáticas y trigonométricas>. 3. Seleccionar <MMULT>. 4. Indicar la posición de la matriz 1, y matriz 2, ver imagen 7.7 5. Pulsar <aceptar>. 6. Expandir la función a la dimención del vector resultante. En la imagen 7.8 se observa que cada uno de los elementos de la matriz resultante (vector fila en este caso) están vinculados con todos los elementos de la matriz y del vector, en consecuencia, si se trata de borrar algún elemento, Excel indicará mediante un mensa- je que la operación de borrado no se puede realizar. Sólo es posible borrar completamente una matriz o vector. 158 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.7 Selección de información para matriz 2 en MMULT Ww¡uñí \\ fií'jí «MÜLT ~ F f i ' =MMULT(A4:D4;F3:I6) Á ' $ , C i D: £ F \\ 0 H ' } 1 VECTOR FILA Q MATRIZ A (VECTOR FILA Q)(MATRIZ A) '* • i - 3* *V\"4\"\"Í\"\" 2: N;F3:I6) } 4| 1 2 3 1 3| 7J 3 2 3 4! i: to Arrayl |A4.CM •y Arr»y2JF3:I6| 11 Returrt$tt j <j 13 ./« 31' te; Í7: Point Imagen 7.8 Vínculos entre el vector resultante y las matrices utilizando auditoría fe* »H=MMULT(A4 D4.F3 E)} J 1K i L ; M (VECTOR FILA O)(MATRIZ A) 10 i IB 159 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

7.3 Multiplicación de matrices utilizando Excel Matriz de orden (m, n) por matriz (n, p) Para multiplicar matrices, Excel requiere que previamente se revi- se que éstas sean conformables. 115 6 2 13 A= 362 B= 2 37 1 32 1 2X4 113 26 23 28 AB = C = 35 35 22 2X3 Procedimiento 1. Etiquetar y anotar la información de las matrices en la hoja de cálculo. 2. Seleccionar la celda en la que se espera registrar el primer elemento de la matriz resultante, Cn- 3. Seleccionar el icono <fx> (pegado de función). 4. Seleccionar Matemáticas y trigonométricas. 5. Seleccionar MMULT. 6. Registrar la información de matriz 1 y 2 en la ventana de MMULT, ver imagen 7.9 7. Pulsar aceptar 8. Enseguida aparecerá el primer elemento del producto en la hoja de cálculo. 9. Expandir la fórmula. 160 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.9 Registro dematrices 1y 2 enMMULT }ü^:¿jáf¿Vj^'^ fe f 1 ^5Ti¥;fi ?F'w IKÍk f ftferlí?; =^MMULT(A3:D4;G3Ti6) MMATRIZA MATRIZ B (MATRIZ A)(MÁtR¡ZB) j3j1 1 1 5 6 3 6 2¡ su 3 2i! 4 2 3 71 1 1 3< |4M*f \"7 \" \"—-- - ;- — r - . ,Arr«yl|A3:M «i i I^f - ._ _* i i Imagen 7.10 Vínculos entre lamatriz resultante y las matrices utilizando auditoría 1JMATRIZA \\ M.\\ \"i:1* l'i 1 g 4 (MATRIZA)(MATRIZB) 26 Í 3 21 1 13 f x,,,.,, j. 161 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La imagen 7.10 muestra que cada elementos de la matriz re- sultante está vinculado con el total de elementos de las matrices. 7.4 Obtención de la inversa de una matriz mediante Excel A partir de una matriz cuadrada A es posible obtener su inversaA\"1 Ejemplo: La inversa de: 12 es A\"1 = 3 -2 A= -1 1 1 3 2X2 Procedimiento: 1. Titular y registrar la información de la matriz a invertir en la hoja de cálculo, ver imagen 7.11 2. Seleccionar la celda en la que se espera registrar el primer elemento de la matriz inversa, (a\"1 j?1). 3. Seleccionar el icono <fx>,(pegado de función). 4. Seleccionar Matemáticas y trigonométricas. 5. Seleccionar MINVERSE, ver imagen 7.12 6. Registrar la información de matriz a invertir en el renglón de MINVERSE, ver imagen 7.13 7. Pulsar aceptar 8. Enseguida aparecerá el primer elemento de la inversa de la matriz A. 9. Expandir la fórmula, ver imagen 7.14 162 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.11 Registro de la matriz a invertir en MINVERSE jfflS*! i T ** 9 é JJU1 MATRIZ INVERSA DE A • A* MATRIZ A »m»_í _<3 12 13 'UL Ready \"r ' ' Imagen 7.12 Selección de MINVERSE I Paste Funclion Function $$mi J Most Recently Used V1DETERM ****** All MMULT Financial MOD Date & Time MRound MROUND SBQSBEHHH Multinomial MULTINOMIAL Statistical —i ODD Lookup & Ref erence Datábase z.1PI Text POWER Logical Information MINVERSE(array) Cancd 163 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.13 Selección delamatriz a invertir con MINVERSE ^* ^ A ^» ^ *> j*ttf ' SE J ^ X w Ü f » 1 =MINVERSE(A3:64) LIJ MATRIZ INVERSA DE A Al \"l«J « Imagen 7.14 Matriz Ainversa generada J-JLiLfciJLLiJ-i: .LS':L.»:J .i.1 JLJ...K .í . k l . g MATRIZ A i : MATRIZ INVERSA DE A J • X#JL 164 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La matriz identidad Una aplicación delamatriz inversa es lamatriz identidad. 1 2 3 -2 3_2 -2 -2 10 1 3 -1 1 3 - 3 - 2 +3 01 La matriz identidad de Ase puede obtener con Exel, para ello se hacen dos operaciones, primero seobtiene lamatriz inversade A, y enseguida se multiplican lamatriz Apor suinversa (A\"1). En la imagen 7.15 semuestra el producto deMMULT deA por A\"1 . Imagen 7.15 Cálculo de lamatriz identidad utilizando MMULT ew insert Ffirtrwfc Ioofs fc&a Rindes* üeip ! ¡ÜS • :$ *& í*{ ^ m0. ~%f \\ >\"> - & - % y Js MMÜtT Q X i / p i =MMULT(A3:B4;F3:G4) D! iA ! MATRIZ INVERSA DE A 1 ¡MATRIZ A IDENTIDAD T] 3 -2; -1 1 ! 1, WMÜlt • 5 ArraylJA3:B4 H2. AfraY2 ¡F3:G4| 1 fUW* mi R««üm$ the matrix product of two arrays, an array with (he same nwiber of rows as Atray1 arwi coturnos as Array2. 11 Í Formuíafesüft*! Cancel 12J 13j Jll %&M wai\" 141 |[^Mic»oto» Excel - Booki mim*o\\ 165 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.16 Cálculo de la matriz identidad utilizando MMULT .jfclaf &|v*;8ipja AJ_8'i O 1 O L E .I'.FJ.Q ; H ' ¡I | J | K . MATRIZ Á MATRIZ INVERSA DE A IDENTIDAD 3 -2 1O -1 1 O1 SFi4Í¥í£Ksheeti jl^MicoJoH Escsl •Booki gglnicfel EfMiorosoítWoKf-Ma Ejemplo: Obtener la inversa de A. \"1 2 3\" A= 2 5 3 10 8 '-40 16 9 ' A\"': 13 -5 -3 -2 -1 5 166 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 7.17 Cálculo de la matriz inversa utilizando MMULT. X Microsoft Excel - Booki ]¡f}lb:gi* 5£few ínse h3rt¿ ÍD*:H 'íi «.tt 100% • | § f j uI Arial jTTJZZElJjr 12 * JAI f 1 6 I H 1 Ii j j MATRIZ A ! MATRIZ INVERSA DE A 123 EIH 16 g! 253 13! íj ' ^ 108 5l -2 í «J 13! T4] 1 Booki 18:32 167 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Capítulo 8 Determinantes Objetivos; Al terminar este capítulo: S Entenderá qué son los determinantes S Manejará sus propiedades S Utilizará los determinantes en la solución de ecuacio- nes lineales S Aplicará los determinantes en la solución de la inversa de una matriz utilizando el método de cofactores y el de matriz adjunta 8.1 Introducción El concepto de determinante es de gran utilidad en la solución de ecuaciones simultáneas. Analicemos el sistema de ecuaciones I -2x -22yy = -88 \\ -2x.-+ 4y = 14J El sistema puede representarse por los coeficientes -2 -2 =-8 -2 4 = 14 169 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El conjunto de coeficientes de las incógnitas -2 -2 -2 4 se conoce como matriz de incógnitas A El determinante de la matriz A del sistema de ecuaciones li- neales I, puede denotarse escribiendo líneas paralelas a los lados del nombre de la matriz o a los lados de los elementos de la matriz como se muestra: -2 -2 |A| ó -2 4 8.2 Determinantes Determinante de una matriz (2 x 2) La matriz A es (2 x 2) y tiene la forma: ab A= cd entonces el determinante de A es | A | = ad - cb, el cálculo se rea- liza haciendo una multiplicación cruzada de los elementos a y d menos los elementos c y b. Ejemplo: Sea la matriz A= 170 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

y el determinante | A | = (-2) (3) - 4 (1) = - 6 - 4 = -10 | A | = -10. Determinante de una matriz (3 x3) Sea la matriz A i2 A = a21 a22 a23 La31 a32 a33 Para encontrar el determinante se emplean los siguientes pa- sos: 1. Escribir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la matriz A. 2. Localizar los elementos de las tres diagonales primarias (P1? P2, P3) y las tres diagonales secundarias (S1? S2, S3). 3. Multiplicar los elementos de cada diagonal primaria(- • • *) y de cada diagonal secundaria ( • ) . 4. El determinante resultante es igual a la suma de los productos de las tres diagonales primarias menos la suma de los produc- tos de las tres diagonales secundarias. IAI = ana22a33 + a12a23 a31 + a13a21a32 - [a31a22a13 + a32a23au + a33a21a12] 171 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: Encontrar el determinante de la matriz A 3 -2 1 A= 3 2 4 -12 4 s, s2 _s3 [(-1) (2)(1)+ (2) (4) (3)+ (4) (3) (-2)] = 24 + 8 + 6 - [-2 + 24 - 24] = 38 + 2 |A| = 40 Los métodos anteriormente vistos para el cálculo de las matri- ces de (lxl), (2x2) y (3x3), solamente son válidos para las matri- ces que tienen esas dimensiones. Determinante de una matriz (n x n) Para poder resolver matrices cuadradas de un orden superior a (2x2), podemos considerar a una matriz A de (nxn), y el determinante de A es representado por |A|. Ahora podemos definir el concepto de determinante: 172 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Definición: El determinante de una matriz A es denotado por |A| y se define como: Si A = a¡j es de nxn y n > 1 entonces: lAl^anIMnl-aulMjil 4- ... + (-íy^aijIMj!! + ... + (-l)n+ 1 anl|Mnl| Observe que los escalares alb a2i? •••> ani s o n l ° s elementos de la primera columna de A En general, si la matriz A = (a..), entonces su cofactor es A. de a., y se define como: en el que |M..| es el determinante menor de la matriz A. Este deter- minante menor de la matriz de A se obtiene del i-ésimo renglón y la j-ésima columna. Entonces el determinante de una matriz A de nxn se puede expresar también de la siguiente manera: n |A| = a n A n + a12A12 + ... + alnAln = £ aikAik en el que Aik es el factor lk de la matriz A. En el caso de valores pequeños de n, es muy fácil de calcular el determinante de una matriz A, utilizando la definición, por ejemplo: 1. Cuando n = 1 Si A = [a] entonces |A| = a 2. Para n = 2 SiA=|~a b\" cd 173 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

ab = a|d| - c | b | = ad - c b entonces |A| = cd 3. Sin = 3 A = a21 ai2 ai3 a22 a23 a31 a32 a33 aa l l 12 a i 3 a22 a23 a12 a13 ai2 ai3 a21 a22 a23 = a u a32 a33 -a21 +a31 a32 a33 a22 a23 a3i a32 a33 - a32a13) a31(a12a23 - a22a13) 4. Cuando se evalúan determinantes n > 3, se vuelve muy labo- rioso, como se muestra en el caso de n = 4. ai2 ai3 ai4 a24 A = a21 a22 a23 a34 a44 a31 a32 a33 La41 a42 a43 ^22 ^ 3 324 3,2 3,3 3,4 3,3 = a 1 2 332 333 334 332 333 334 +33,82-, a42 a43 a44 a42 343 344 174 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ahora resolviendo cada determinante a22 a23 a24 a34 a 2 3 a 24 a23 a33 -a32 + a42 a24 a 44 a 4 3 l32 \"33 *34 = a 22 a 44 a43 a42 a43 a44 - ai2La22Va33a44 ~ a43ft34 j ~ a12 a13 a14 a*34 13 a 14 a i 3 ai4 = a12 -a a34 32 a 43 + a42 a44 a33 a22 a23 a23 a24 a i 3 a 14 a i 3 ai4 a42 a43 a24 a24 = a 12 -a + a42 a44 44 22 a 4 3 a 44 a23 i2 a i 3 a i 4 23 a13 a14 a22 a23 a24 a32 a33 a34 - a 22 *32 33 a33 a34 a23 a24 175 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

= a12[a22(a33a44 -a43a34)-a32(a23a44 -a43a24) + a42(a23a34 -a33a24)] ~ a2lLai2Va33a44 ~ a43a34J~ a32Vai3a44 ~ a43ai4) + a42Vai3a34 ~ a33ai4)J Empleando ejemplos numéricos encontrar los determinantes: 1) A = [5] 2) = 27 .2 9. 3 -1 29 |A| = 29 Au=(-ir|9|=l2|9|= 140 3) C = 85 1 504 176 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

14 0 51 40 40 8 5 1= \\ -8 +5 504 04 04 51 |B| = 1[5(4) - 0(1)] - 8 [4(4) - 0] + 5[4(1) - 5(0)] |B| = 1[ 20 - 0 ] - 8 [16 - 0] + 5[4 - 0] |B| = 20 - 128 + 20 |B| = -88 51 51 =1 04 04 40 = -1 40 04 04 B13 = ((--!!)•« 40 40 =1 51 51 d) 10 1 3 D= 022 0 4 0 1 -1 5 10 1 2 2 0 0 1 3 0 13 0 1 3 0 1 -1 -0 0 1 -1 + 42 2 0 +52 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 -1 177 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Resolviendo los determinantes 22 0 -1 2 0 2 0 -0 +1 1 0 1 -1 = 2 1 0 1 1 -1 0 10 1 - 0]+ l[2(-l) - 1(0)] = 2(l)-0 + l(-2) = 2 - 0 - 2 = 0 01 3 0 1 -1 = 0 1 -1 1 3 1 3 -0 +1 0 1 0 1 1 -1 10 1 0 13 2 0 13 13 2 2 0 = 0 - 2 +1 0 1 01 20 10 1 = 0 - 2[l(l) - 0(3)]+ l[l(0) - 2(3)] = 0 - 2 +1(-6) = -2 - 6 = -8 178 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

01 3 2 0 1 3 13 2 2 0 = 0 -2 +0 1 -1 1 -1 2 0 0 1 -1 = -2[-1 - 3] = -2(-4) =8 |D| = -1(0) - 0(-4) + 4(-8) + 5(8) = -32 +40 |D| = 8 Para simplificar la evaluación de determinantes considérense las siguientes propiedades: Propiedades de los determinantes En todos los casos sea A una matriz cuadrada 1. Si todos los elementos de un renglón o columna de la matriz A son ceros, entonces |A| = 0 000 6 2 3 =0 734 064 0 2 3 =0 037 179 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2. Cuando dos renglones o columnas de la matriz A son idénti- cos, entonces |A| = 0 5 6 35 6 2 16 4 2 3 4=0 5 2 15 13 2 1 porque la columna uno es igual a la columna cuatro. 1 13 5 4 6=0 1 13 ya que el renglón uno es igual al renglón tres. 3. Cuando la matriz A es triangular superior o inferior, entonces |A| es igual al producto de los elementos de la diagonal princi- pal. 2 6 10 03 46 0 0 -3 5 00 0 1 3 00 6 3 0 = (3)(-3)(2) = -18 4 52 180 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

4. Si A es una matriz identidad, entonces su determinante es igual auno. 1 11 1 11 1 11 5. Si B es la matriz que se obtiene de A intercambiando dos ren- glones o columnas, entonces: |A| = -|B|. 2 2 16 22 16 00 0 1 00 0 0 10 00 1O 0 1 -3 4 00 O1 Empleando la propiedad 3, entonces |B| = 2 y |A| -2. 6. Si la matriz B se obtiene de la matriz A al multiplicar un ren- glón o columna por un escalar A. entonces: 324 2-1 2-3 2-4 - 2 1 3 2 1 0 4 10 7. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de su determinante, o sea |AB| = |A| |B|. \"2 f 10 y B= 4 5_ 0 3_ 181 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

|AB| = 2111 = 18 4 5 O3 8. Si A, B y C son matrices idénticas, excepto que para cierta i, el renglón i-ésimo de C es igual a la suma del renglón i- ésimo de A y el renglón i-ésimo de B, entonces |C| = |A| + |B|. 9. Si B es la matriz de sumar a un renglón o columna de A un múltiplo de otro renglón o columna, entonces |B| = |A|. 242 435 Sea la matriz A = 121 253 la matriz B se obtiene de sumarle al renglón 1 el renglón 3 multiplicado por -2 \"2 4 2 6 0000 4351 4 3 5 1 4351 12 13 1 2 1 3 12 13 2536 2 5 3 6 2536 de acuerdo con la primera propiedad |B| = 0 y por lo tanto 0000 4 3 5 1 =0 12 13 2536 182 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

10. 11. Si A es invertible entonces \\AA\\ = — 8.3 Cálculo de la matriz inversa Método de cofactores Este método es el más usado en la solución de las matrices cuadra- das de dimensión (2x2) o de orden superior. A cualquier matriz cuadrada A se le puede encontrar su matriz de cofactores Ac, la cual tiene la misma dimensión de A. La matriz Ac tiene los elemen- tos a'y a los que se conoce con el nombre de cofactores. Por cada elemento a'y de A existe un cofactor correspondiente a'y. Para encontrar el cofactor a¿j asociado al elemento a¡¡ se em- plean los siguientes pasos: 1. Con un lápiz tachar el renglón i y la columna j seleccionando en la matriz original, los elementos no tachados forman una submatriz (M) de la original. 2. El ij-ésimo menor My, de una matriz A de (nxn) es de la matriz de (n-1) x (n-1), que se obtiene de eliminar el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de A. Por ejemplo: 1) Encontrar la matriz de cofactores (2x2) -4 2 B= 5_ -2 2\" 5 • '-4 DJK— -2 183 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

a ii =(-1 a'i, = 5 - 4 12\" -2 5 12 a'12 = 2 • B= a',. a'21 = -2 • 2\" 5_ \"-4 B= -2 22 a'22 = 4 184 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

5 2\" Ac = -2 4 2) Encontrar la matriz de cofactores para la matriz (3x3) 543 Sea la matriz A = 2 3 0 543 30 A= 2 3 0 = 986 86 submatriz 30 86 a ' n = 18 543 •2 0 96 A= 2 3 0 986 2O 96 185 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

=\"12 543 23 A= 2 3 0 •9 8 986 a'|3 = (-l)1+3[2(8) - 9(3)] a'13 =-11 543 A= 2 3 0 986 43 86 = (-1X24-24) a'21 = 0 186 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

54 3 0 A= 2 3 1 3 -2 53 a' =(-!)« 31 = 1(5-9) =-4 22 54 3 0 A= 2 3 1 3 -2 54 a'23 =(-!)« 3 - 2 a'23 = 2 2 5 4 3 A= 2 3 0 1 3 -2 187 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

a' = 43 3O = (-l)<[4(0)-3(3)] = 1(0-9) a'3l =-9 54 3 A= 2 3 0 1 3 -2 a'32 = ( - D :3+2 5 3 3 1 = -1(5-9) — =4 54 3 A= 2 3 0 1 3 -2 54 23 188 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

= (-l)6[5(3)-2(4)] = 1(15-8) a'33 = 7 \" 18 - 1 2 - 1 1 Ac = 0 - 4 22 -9 4 7 Matriz inversa por el método de cofactores En el capitulo 6 se estudió a la matriz inversa, sus propiedades y el procedimiento de reducción gaussiana para determinar la inversa de una matriz cuadrada; en este tema se analizará el procedimiento para determinar la inversa de una matriz cuadrada a partir de la matriz de cofactores. Los pasos a seguir con este método son los siguientes: 1. Determinar la matriz de cofactores Ac, de la matriz A. 2. Encontrar la matriz transpuesta de Ac 3. La matriz inversa de A se encuentra multiplicando a la matriz A*, por su recíproco. A\"1 = A! 1 A Ejemplo: 1) Determinar la matriz inversa de \"3 7\" A= 25 189 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La matriz de cofactores es: Ac = a22 La21 • A= a'n = 37 • A= 2 5_ \"3 f • A= 25 a'21 -7 '3 7 A= 25 a' =(-l)2+2(3)=l(3) 190 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

5 -2 Ac = - 7 3 Encontrar la matriz transpuesta de cofactores 5-7' A = -2 El determinante de A¿ es: i =5(3)-(-2)(-7) = 15-14 La matriz inversa es 5 -7 A\"'-i -2 3 5-7' -2 3 2) Determinar la matriz inversa de 1 11 B= 3 0-4 125 191 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La matriz de cofactores '.. b \\ 2 b'13 Bc = b'21 bf22 i 23 b131 33 111 B= 3 0 -4 12 5 0-4 =8 \\1+1 25 111 • B = 3 0 —4 12 5 3 -4 b\\2=(-l)3 = -1[ 3(5)-l(-4) ] = -1(15+4) = -19 111 • B= 3 0 -4 12 5 30 12 192 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

111 = -3 • B = 3 0 -4 12 5 11 25 111 • B = 3 0 -4 12 5 11 15 111 •B = 3 0 -4 12 5 11 12 111 = -4 • B = 3 0 -4 12 5 11 O -4 193 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 1 1' • B = 3 0 -4 12 5 11 3 -4 1 1 1' • B = 3 0 -4 12 5 11 = -3 3O 8 -19 6 Bc = 3 4 - 1 4 7 -3 Solución de sistemas de ecuaciones utilizando matriz inversa El conjunto solución de un sistema de ecuaciones se puede determi- nar conociendo la inversa de un matriz. Si consideramos un sistema de ecuaciones de (mxn) de la for- ma: 194 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

anx,+a12x2+... + alnxn = Cl a21x, +a22x2 +... + a2nxn = C2 a m i x i + a m 2 x 2 + ••• + a,™*,, = El sistema de ecuaciones (I) se puede representar por la ecua- ción matricial AX = 0) Ahora, si multiplicamos a la ecuación (1) por A\"1 (matriz in- versa de A): A-'AX = A-'C (2) se sabe que A'A = A A1 = I, entonces la ecuación (2) queda como IX = A-'C o bien de la forma X = A'C (3) Por ejemplo: 1) Resolver el sistema de ecuaciones 3^ + 5^= 7 \\ j 195 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El sistema se representa por su ecuación matricial 3 S l f x . l [\" 7 2 -lJU2.l~l.-4 Determinar la matriz inversa de A por el método de cofactores -1 -2\" - 5 3_ Encontrar la transpuesta de A \"-1 -5\" _ - 2 3_ El determinante de la matriz A Por tanto 1 -1 -5 A-- -13 - 2 3 \"1 5\" 13 13 A\"'- 3 13_ 2 13 196 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El vector solución X es: X = A\"'C 15 7 13 13 23 ñ íl. -4 -1 x= 2 La solución del sistema de ecuaciones es = -1 y x2 = 2. 2) Resolver el sistema de ecuaciones Xj + x2 + x3 = 6 x, - x2 + 2x3 = 5 Xj - x2 - 3x3 = -10 Su ecuación matricial 11 1 xi 6 1 -1 2 x2 = 5 1 -1 -3 .X3. -10 La matriz inversa de A por el método de cofactores \"5 5 0\" A. = 2 - 4 2 -2 3 -1 197 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Encontrar la matriz transpuesta de Ac \"5 2 3' 5 -4 -1 0 2-2 = 10 Por lo tanto 1 A: A \"5 2 3\" -4 -1 A1 = 1 5 10 2 0 \"5 2 3 \\0 10 ÍÓ A\"1 = 5 4 1 10 10 10 022 10 10 10 198 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

553 -10 10 10 10 54 1 x = 10 10 10 022 10 10 10 x= La solución del sistema de ecuaciones es x{ = 1, x2 = 2 y x3 = 3. Método de expansión por cofactores Definición: Es una manera general de calcular el determinante de una matriz, a través de los siguientes pasos: 1. Seleccionar un renglón o columna de la matriz. 2. Multiplicar cada elemento del renglón o columna de la matriz A por el elemento correspondiente de la matriz de cofactores Ac, 2A Encontrar el determinante al ampliar el renglón i cualesquiera IA-I ~ anota + ai2a'i2 + ... + aína'ín 2*2 Encontrar el determinante al ampliar el renglón j cualesquiera |1 199 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Por ejemplo 1) Resolver el sistema de ecuaciones x + 6y = 27 7x - 3y = 9 La ecuación matricial 1 6 xi \"27\" = 7 - 3 _ x2 9 La matriz de coeficientes 16 A= 7 -3 Matriz de cofactores -3 -7 -6 1 El determinante de A se encuentra tomando la columna 2 de la matriz A y Ac. 3)-(7)(6) = -42-3 |A| = -45 La matriz inversa de A 200 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]