MORALES_ALQUICIRA_ANDRES_Introduccion_al_algebra_lineal_y_de

1 -1 1 .60 A = su matriz de coeficientes es -.60 1 11 11 de manera que la adj A = .60 1 y su matriz inversa es A\"1 = - ^ a d j de esta manera el sistema de ecuaciones Ax = d, donde X = y d= se soluciona como \"Y\" 1 \" 1 lTl40\" 1 140+5 \"145\" .40 \"362.5\" c 1-.60 .60 lj[ 5 .40 .60(14Q+5 89 222.5_ .40 de manera que y = 362.5 C = 222.5 Mismos valores obtenidos mediante el método de Cramer 13.3 Modelo de mercado con dos bienes Es necesario mencionar que operamos con un modelo en equili- brio donde los bienes tienen sustitutos cercanos de manera que la cantidad (Q¿) y el precio (P¿) de un bien afectan la cantidad y el 301 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

precio del otro bien; no existe excedente por lo cual la oferta es igual a la demanda. Bajo estas condiciones el equilibrio se da cuan- do Qd¿= QSJ. Así dicho equilibrio en el modelo de mercado con n mercancías comprenderá n ecuaciones; una para cada mercacía, de modo que E¡ = Qd¡ = Qs¡ = 0 (i = 1,2,...., n) Si hay una solución, tendremos un conjunto de precios p7*y sus correspondientes cantidades QTde manera que se satisfarán de forma simultánea todas las n ecuciones de las condiciones de equi- librio. Al plantear el modelo simplificamos las funciones de demanda y oferta de ambas mercancías haciéndolas lineales. Con términos paramétricos el modelo puede escribirse como: (1) Qd¿ - Qst = 0 Donde Q¡ y P¿son variables (2) Qd,: endógenas (3) Qsr Además a,b,<|) y 8 son co- (4) Qdz - Qsz = 0 eficientes de demanda y (5) Qdz = <|)o+(|)1P1+<|)2P2 oferta. Un primer paso en la solución de este modelo consiste en la eliminación de variables. Sustituyendo las ecuaciones segunda y tercera en la primera (del primer bien), y la quinta y sexta en la cuarta (del segundo bien), el modelo se simplifica a dos ecuaciones de dos variables. * Donde P4 Q{ se refieren a precio y cantidad de equilibrio para el bien de i. 302 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Con esto, losprecios de equilibrio son: A, e2a0-e0a2 =-_ A2 eoa,-e,a0 r2 A e,a2-a,e2 p— 1 — A - e,a2 - a , e 2 Ejemplo numérico Sean las funciones de oferta y demanda: Qd,= 6-3P, + 2P2 Qs, = - 4 + 5P, Qd2=13+2P,-8P2 Qs2 = -1 + 4P2 Obtener lascantidades de equilibrio (Q .) y losprecios de equi- librio (p~). Antes de iniciar las operaciones, procedamos a analizar los coeficientes numéricos. En cada bien, Qsx depende sólo deP1? pero Qd} se presenta como unafunción de ambos precios. Se señalaque mientras Vxtiene un coeficiente negativo en Qd1? como cabría es- perar, el coeficiente P2es positivo. El hecho de queunaumentoen P2 tienda a aumentar Qdx sugiere que los dos artículos tienen una relación mutua de sustitución. La función de Yx en Qd2 tiene una interpretación similar. Con los coeficientes del sistema de ecuaciones, losvalores de los simplificadores son: eo = 6-(-4) =10 el = -3-(5) = - 8 e2 = 2 - 0 = 2 oc0 = 13 - (-1) =14 0^= 2-0 = 2 a2 = - 8 - 4 =-12 304 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

(a0 - b o ) + ( a , -bJP, +(a2 -b2)P2 = 0 Aquí se presenta la versión de dos mercancías, luego que se han sustituido las funciones de oferta y demanda en lasdosecuacio- nes de la condición de equilibrio. Este sistema de sólo dos ecua- ciones, contiene no menos de 12 parámetros, lo cual hace muy ardua la manipulación algebraica a menos que propongamos algún tipo de simplificación. Así definimos los símbolos simplificadores. ctiS-ck-Si (i = 0,1,2) De esta manera se tiene, después de despejar e0 y ccoal lado derecho de la igualdad e P 4. a, D = /a o t ^ + ct2P2 = -oto Planteado así, el sistema de ecuaciones para los precios de equilibrio puede resolverse por el método de Cramer. Para ello es necesario obtener los tres determinantes (|A |, |A JI y |A 21) tomando los valores siguientes: A= -er = -e0a2 +e2a0 -ct -er = -e,a0 + eoa, 303 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Al sustituir los valores de e¡y a! en |A|, |A1| y |A2| tenemos: -8 2 = (- 8X- 12 ) - (2X2) = 96 - 4 = 92 2 -12 -10 2 A, = (- 10X-12)- (- 14X2) = 120 + 28 = 148 -14 -12 -8 -10 A22 = 2 = (- 8X-14)- (2X-10) = 112 + 20 - 132 -14 Luego, los precios de equilibrio son: A, 148 37 P, = 92 23 92 23 Sustituyendo P, yP2 en Qd, y Qs, para obtener Q, 33_ 23 138_1U_ 6 6 _ 9 3 _ 4 J _ ~23~ 23 + 23 ~ 23 \" 23 . .. 37^1 92 185 93 , 1 Qs, = - 4 + 5 — = + = — = 4 — 1 ' 23 J 23 23 23 23 305 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

luego la cantidad ofertada y demandada de equilibrio Q1 es igual a 4— 23 Ahora para obtener la cantidad de equilibrio Q2 sustituimos yP^ enQd2yQs2 Qd2 =13 + 2P^-8P¡ 23 1J 8 ÍI 23 = 299 74 264 109 17 23 + 2 3 23 ~ 23 23 Qs2 = -1 + 4 33 ^l -23 +++ 132 4412039 = 17 23) 23 23 4 23 . 17 Luego Q2 =4 — En conjunto los precios y las cantidades de equilibrio en el modelo de dos bienes son: =r . 14 =- , 10 Qi=4 23 P, = 1 P, =1 23 23 23 Podemos también obtener los precios y las cantidades de equi- librio (P^ y Q , ) al sustituir la inversa de una matriz, de manera que si \"p,\" ei e2 y d = r - e o0i = -10 a2 -14 x= A= -a0 Ti. «i 306 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

xA = d entonces: -x = A. _,d, Siendo la matriz de coeficientes de nuestro sistema ecuacional -12 -2\" A -1 | su matriz de cofactores será -2 -8 -12 - 2 y la de Adj A= - 8 en donde la matriz inversa es -2 A\"1 =—adjA = 1 -12 - 2 (-8X-12)-(2X2) - 2 - 8 -12 - 2 A\"1 = 92 I - 2 - 8 De esta forma obtenemos Pt y Q 1 resolviendo 148 37 \"-101 1 \"120+28\" ^ 2 23 92 - 2 - 8 _-14j 92 20+112 132 33 .\"92. .23. ConestoP^lM. y P 2 = l | Mismos valores obtenidos mediante el método de Cramer. Los valores de Q7 y Q7 se obtienen de la forma ya antes ex- puesta. 307 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Capítulo 14 Cálculo de la matriz insumo-producto con Excel Objetivos: Al terminar este capítulo: V El lector será capaz de calcular la matriz de Insump- Producto utilizando Excel. En éste capítulo, se describe el cálculo de la matriz Insumo-Pro- ducto, utilizando la hoja de cálculo electrónica de Excel. El proce- so es el siguiente: 14.1 Cálculo de las matrices de transacciones interindustriales y coeficientes técnicos 1) Se despliega una hoja de cálculo 2) Se captura la tabla de transacciones interindustriales. (Ver ima- gen 14.1) 309 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 14.1 Captura de transacciones interindustriales Htón £ r ¡nswtar Eonnato Herramientas Dab» Venta» I Anal % ww s*&*4' A12 E ¡lili A B C :D Demanda Producción final Bruta 1 Transacciones interindustriales 2 3 . NCompras Demanda intermedia 4 VentasC SI S2 S3 7 SI 200 300 400 100 1000 8 S2 500 600 900 200 2200 9 S3 300 1300 700 400 2700 11 . i nr 12 HMFÜO 13. 14 & f 7:48 N1O HX . M U Xlnsumo-Piod/ Hóf,2 ^Hqa3 / listo -1^Inicio ^Microjoft Excel-Apli... ifMicrosoftWord-Matáex 3) Se genera la matriz de coeficientes técnicos; para esto se divi- de cada valor de la Demanda intermedia de los sectores entre su correspondiente valor de producción bruta. En la imagen 14.2, se muestra la celda II5, en la barra de edición de fórmu- las aparece =+C8/$F$8, esto indica que el coeficiente de re- querimientos directos por unidad de producción bruta del sector dos al sector dos (a22), es igual a 0.273 unidades (600 / 2200). El requerimiento del sector uno al sector tres (a31), es de 0.3 unidades, es decir; a31 = B9 / $F$7 = 300 /1000 = 0.3 310 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 14.2 Calculo de la matriz de coeficientes técnicos QArchiyo Edición Ver Injertar £ormato Herramientas Da|os Verjfcana I -|flx| i?: IJ Anal 10 v X K S $% 115 ' » : =+C8/$F$8 A BCD 1 Transacciones interindustriales 2 3 ^Compras Demanda intermedia Demanda Producción 4 Ventah. SI S2 S3 final Bruta 7 SI 200 300 400 100 «UOOO 8 S2 500 900 200 •^200 9' S3 1300 k 400 wy matriz de coeficientes técnicos 0.136 0.148 \\0.500 *0.273 0.333 A).3OO 0.591 0.259 Listo .i >ir ;ÍlnicÍQ||^HicrQ:oít Excel-Apli... ffMictosollW«d;MabieKel NUM RJO Si desea ver la fórmula de cada coeficiente técnico, bastará con seleccionar la celda correspondiente, y en la barra de funciones aparecerá la fórmula respectiva, si además se requiere visualizar las celdas involucradas en los cálculos como en la imagen 14.2, debe pulsar: <Herramientas><Auditoría><Rastrearprocedentes> En la imagen 14.3 se muestra ese menú. 311 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 14.3 Menú de auditoría A BC D 1 Transacciones mtenndustnales 4 v^ p*r*b*ná,*x*ul* C06fícient6s técnicos 0136 0148 0 273 0 333 0 591 , 0 259 M \\ IWBÍJWÍ'WW j ^ \"**Í\"PÍW* \\ ' i|i,X*i*MWfiíL „.-, jlSSMw^oflEK-At*.. JftWWtt 1BTM» 14.2 Cálculo de la matriz de Leontief y su inversa 4) Secalcula la diferencia de lamatriz identidad menos la matriz de coeficientes técnicos. Para esto se captura la matriz identi- dad (lacual debe serde igual dimensión mx n quelamatrizde coeficientes técnicos), en seguida se le restan losvalores de la matriz de coeficientes técnicos ver imagen14.4. Imagen 14.4 Diferencia: matriz identidad - matriz decoeficientes técnicos t ;M H , O; Matnz identidad i Matriz de coeficientes técnicos \\ °1VI 0 0 JI200 0.136 0.148 o\\ o 1 0 500 0 273 0 333 / 0 300 0 591 0.259 / Matnz i dentad - Math: de coeficientes técnicos ^ 8 O 0 | -0 136 -0 148 -0 500 0 727 -0 333 -0 300 -0 591 0 741 312 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

5) Se calcula la inversa de la diferencia matriz identidad - matriz de coeficientes técnicos. Para esto se pulsa el icono fie, en se- guida aparece una ventana de procedimiento, en ésta se selec- ciona la función <Matemáticas y Trigonométricas> <MINVERSA>, ver imagen 14.5. Imagen 14.5 La función MEWERSA !Pegar Junción Usadas recientemente M.C.M \\i Todas MDETERM Financieras 8Í1Ü5 Fecha y hora MMULT MRound IBBSBBB Multinomial MULTINOMIAL Estadísticas MULTIPLO.INFERIOR Búsqueda yreferencia MULTIPLO.SUPERIOR NUMERO.ROMANO Base de datos Texto Lógicas \" ' ; . ' H ' : 5 ; ; . : • ? • ' . ' • • • • ' ' . • . • ! ' í \" ? ' \" - \" ' i > : . / . - - ' \" : ~ \" ; ' , • '\"'.\"'. •;••' Al pulsar MINVERSA aparecerá una ventana de proceso que indica la operación a realizar (inversa de matriz), también presenta un área de captura en donde se anota la ubicación de la matriz a invertir, en este ejemplo la ubicación es J21:L23,ver imágenes 14.6 y 14.7 313 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 14.6 Ventana de captura para MINVERSA Edición £er Insertar &*mato Herramientas Datos Verana I l l X V s =MIHVERSAQ L M 1MOPQF2 H i . J 1K 19 MINVERSA Matriz [j Devuelve lamatriz inversa de una matriz dentro de una matriz. Matriz e$ una matriz nuwériea con el tdsm número de filas ^ coluiwas, y puede ser un rango de celdas o una constante tnatridal. Resultado deteformula* T 28 , |»| f 29 30 *WW FIJO 31 H 4 > N \\ «w«*wlciñ¿f ¿ Iraumo^fod \\lnsumo-Piod ( 2 ) / Hoja2 ¿ Ho|»: j <j Modificar lia Inicio [ JSfMbosoftWotd-Mdriexel [[^Miciotoft Excel - Apli... Una vez anotada la ubicación de la matriz que se busca inver- tir se pulsa Aceptar, en seguida aparece el resultado de la posición 1,1 (primera fila, primera columna) dado que requerimos todos los elementos de la inversa, hay que copiar la formula matricial. Para esto se ubica el cursor en la celda que contiene la fórmula matricial a copiar, en seguida se selecciona, el área donde se desea copiar la fórmula, una vez hecho esto se activan las funciones matemáticas oprimiendo la tecla F2 (ver imagen 14.7), finalmente se pulsan simultáneamente las teclas <Shift><Control><Enter>, y la inversa de la matriz (I-A) = (I-A)\"1 o inversa de la matriz de Leontief apa- recerá automáticamente (ver imagen 14.8), 314 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 14.7 Copiado de una fórmula matricial j j X \\¿ * =MINVERSÁ(J21:L23) O P O fZ H JM NUM FIJO 19 Matriz identidad - Matriz de coeficientes técnicos (I-A) asa 20 21 0 800 -0.136 -0 148 22 -0 500 0.727 -0 333 23 -0 300 -0.591 0 741 24 25 Inversa de (I-A), 26 27 30 \\lnsumo-P.od (2)/Hoj»2 ai tr*rt*^oJoriM X Mocfíflcar S f Microioíl Word - Maínenel || g g MictosoH Excel - Apli... Imagen 14.8 Matriz inversa de Leontief (I-A)1 ^ j archivo Edición £er Insertar £orrr*ato Herramientas Dalos D • • « A ÉI xi Ü • ^ »3o* - m HEArte L29 J • {=MINVERSA(J21 L23)} Estilo miflares | :H í . J K L \\ M N O P Q FI 19 Matriz identidad - Matriz de coeficientes técnicos (I-A) 20 21 0.800 -0.136 -0.148 22 -0.500 0.727 -0 333 23 -0.300 -0.591 0 741 24 25 Inversa de (I-A), ( I - A ) M 26 2.566 1.416 1 150 27 3.532 4.116 2 559 28 3.857 3.857f 3 857 29 i iMumo-Piod \\ nsumo-Prod (2)>( Hoj*2 30 31 ISy MiacMO» V/Ofd •Matriexel [[gg Micnwoft Excel - Apli... 315 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

14.3 Cálculo del incremento en la producción bruta 6) Se calcula el producto de la matriz inversa de Leontief, (I-A)\"1, por la matriz de demanda final (Y). Es decir el producto (I- A)\"1 Y, esto permite probar que la matriz inversa de Leontief por la demanda final es igual a la producción bruta. El producto de matrices se obtiene en forma automática pul- sando el iconofiey seleccionando las opciones <Matemáticas y trigonométricas><MMULT>, (ver imagen 14.9) Imagen 14.9 La función MMULT £ate$QrSa de la fundón! ÍCÍÓrtJ ¿¡ Usadas recientemente ^ LOG J. Todas LOG10 Financieras M.C.D Fecha y hora M.C.M MDETERM , Estadísticas MINVERSA Búsqueda y referencia Base de datos —1 BiiHHÍi Texto MRound Lógicas Multinomial j £ | MULTINOMIAL MMUlT(matri2l;malrí22) O e v ^ e é produjo Oficial dedos matrices, unamatriz ton é mismonúmerodefí^c\\ '' • > 'Á ' •• ' - ' ' i ,- » I - i ' Enseguida aparece una ventana de proceso (ver imagen 14.10), en ésta se capturan los valores de las matrices 1 y 2, es decir las matrices (I-A^y Y. La captura se hace directamente al seleccionar con el mause el área de las matrices; por ejemplo para (I-A)'1 es J27:L29y para Yes N27:N29, ver imágenes 14.10y 14.11 316 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 14.10 Ventana de captura para MMULT =MMULT(J27:L29;N27:Ñ29) 1 por Y * M*W*1 |J27:L29 Matrttí JN27:N29| wí*h*MW?2 'ftesukacbáelafÓrtmJa- t 35; 37'-f icrosoft E«cel - Apíi... Imagen 14.11 Producto de (I-A)1 Y |fipr* fciswtar -gorroato tüsrracníootas Datos Ventana t *- »U{=MMULT(J27:L29;N27:N29)} y~j- yK t v*M- '\"'. H Q Inversa de (I-A), Y Producto de (I-, por Y H —2.566 1.416 1.150 (Demanda final) 1000 3.532 4.116 2.559 2200 3.857 3.857 100 2700 Mastí]Miij 33..8857 200 400 si 33 ¡ fL Á^ 317 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

7) Cálculo de la producción bruta con incrementos en la deman- da final. En este paso se multiplica la matriz inversa de Leontief por la demanda incrementada utilizando la función MMULT y pro- cediendo como en el punto anterior (6), ver imagen 14.12. Imagen 14.12 Producto de (I-A)1 Y incrementada •BBHHHV1O|¿|*1; ^ A r c h i v o Edición Ver Insertar Formato Herramientas Datos Verjtana ? f * 10 * Hi^S £ M ^ g $% ' 4 'VA *Arial P35 a {=MMULT(J27:L29¡L33:L35)} J K L M N O P 1Q R I 25 Inversa de (I-A), (I-A)M Y Producto de ( Í - A ) M por > 26 (Demanda final) 27 2.566 1.416 1.150 100 1000 28 3.532 4.116 2.559 200 2200 29 3.857 3.857 3.857 400 2700 30 31 32 Yo Incremento Y1 Producto de((l-A)^-1)(Y1) 33 100 50 150 1291.15 34 200 50 250 2787.13 3394.29 35 400 80 480 36 37 \\ \\lnsumo-Piodl2)/Ho Listo NUMFI3O áo] gyMfefOsoftWQrd-Mdriexel - ApIL.. 8) Cálculo del incremento en la producción bruta para satisfacer la variación de la demanda final. El incremento en la producción bruta se obtiene mediante la diferencia de PpPo (ver imagen 14.13), los cálculos se hacen con fórmulas manuales. 318 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 14.13 Cálculo delincremento enproducción bruta t ] Archiva gfctin Ver insertar formato Herramientas Datos Ventana > DDgi o 539 1J K L M^ H Demanda final 31 ÑÜM FIJO 32 Yo Incremento Y1 33 34 100 50 150 35 200 50 250 36 37 400 80 480 38 3roducción bruta 30 I Po Incremento P1 40 1000 41 2200 291.15 1291.15 2700 587.13 2787.13 694.29 3394.29 í4oclon#s / InsumoPjod \\ l n sumo-Prod ( 2 ) / Hoja 2 !ÍBInicio[ SyMbo^oftWofd-Matriexel [[¿Miciotoíl Excel - Apli... 319 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Introducción al álgebra lineal y de matrices. Aplicaciones con Excel se terminó de imprimir en los talleres de Jason's Editores, S.A. de C.V., Mar Mediterráneo 211, Col. Popotla, México, D. F. La edición consta de 500 ejemplares más sobrantes para reposición. DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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L as matemáticas constituyen una parte fundamental en la formación de los estudiantes y profesionistas de las Ciencias Sociales. E sto se hace más evidente para los que se encuen- tran en áreas en donde es necesario resolver problemas relacionados con la producción, la organización, la toma de decisiones, etc. E ste libro Introducción al Álgebra Lineal y de Matrices, está dirigido a los que estudian y/o laboran en las áreas de Ad- ministración, E conomía, y Política y Gestión Social. Su objetivo es explicar las partes esenciales del Á lgebra L ineal, de manera clara, comprensiva y precisa, abordando la solu- ción de problemas aplicados, y el uso de la computadora. E sto último, es imprescindible debido a las exigencias del competitivo mundo actual que demanda la solución rápida, y prácticamente inmediata de problemas. A sí, esta obra busca integrar la enseñanza del álgebra lineal y el uso de la computadora mediante el manejo de la hoja de cálculo elec- trónica E xcel. E l libro consta de catorce capítulos en los que se presentan ejemplos que ayudan a comprender los temas tratados. A l principio de cada uno se encuentra una lista de objetivos que indican al lector el propósito del mismo. E l libro abarca desde el modelo lineal con dos incógnitas, hasta el cálculo de la M atriz I nsumo-Producto en forma manual y utili- zando la hoja de cálculo. Otros temas importantes son: propiedades y operaciones entre vectores, matrices, repre- sentaciones gráficas, transformaciones lineales, cálculo de los valores y vectores propios, entre otros. L a presente obra permite comprender y resolver los proble- mas de Á lgebra L ineal y de M atrices que enfrentan los estudiosos de las Ciencias Sociales. DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]