MORALES_ALQUICIRA_ANDRES_Introduccion_al_algebra_lineal_y_de

u= V = La suma de u y v se define como: a, +b. a2+b2 u+v= Para que pueda efectuarse la suma u y v deben tener el mismo número de componentes y ser todos vectores renglones o vectores columnas. Ejemplos: Sumar los vectores u y v : 1) u = (l,2) = (5,4) \"6\" \"9\" 7 v= 1 80 \"6 + 9\" 15 U+ V = 7 + 1 = 8 8 8 +0 51 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

\"5\" = (3,2, 1,8) 3) u = 7 No está definida la suma ya que u es vector columna y v es vector fila 4) o = (5, 8) v = (6,7,8) No está definida la suma por ser vectores de diferente orden. Representación geométrica La representación geométrica de la suma de vectores se obtiene formando un paralelogramo determinado por los vectores u y v (ver figura 2.4). En donde la flecha dirigida que corresponde a la diagonal del paralelogramo representa la suma de los vectores u y v, y sus lados son los vectores u y v. Figura 2.4 u+v Producto de escalar y vector Dado un escalar X y un vector a en un plano 5R2, se define el pro- ducto como el vector Xa, y sus componentes vienen dados de mul- 52 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

tiplicar el escalar X por cada componente del vector a. Un escalar es un número real o complejo. Xa = (k&i, Xa2) Para el plano 9í3 es: Xa (Xa1? Xa2, Xa3) En el plano 9ín tenemos Xa = (Xab Xa2,... Xan) Ejemplos: 1) SeaX = 3 y a = (5,-1) Xa = 3 (5,-1) = (15,-3) 2) Si X= -2 y b = (6,4,-l) Xb =-2 (6, 4,-1) = (-12,-8, 2) 3) Sea X=5 c= \"7\" 35 2 10 Xc = 5 5 1 15 3 4) Sea X un escalar. 53 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Aa, El producto de aX es: Representación geométrica Si consideramos X un escalar y v un vector en el plano 5R2 la inter- pretación geométrica de X\\9 es una flecha de longitud | X | multi- plicando a la longitud de v, y la dirección de éste es la misma que la del vector v, siempre que X > 0, cuando X < 0 la dirección es opuesta a la del vector v, y si X = 0 entonces Ov = 0. Ejemplos: 1) Sea 1 = 3 y v = (l, 1) lv = 3 ( l , l ) = (3,3) Figura 2.5 2) 54 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Figura 2.6 Producto de vector fila y vector columna Si un vector fila ulxn multiplica a un vector columna vnxl, da como redultado un escalar (w) al que se le llama producto interno de dos vectores (uixn vnxl). Si u = [u1? ... , un] es el vector renglón n-dimensional y v = es el vector columna n-dimensional, entonces el producto uv esta dado por: uv = [up u2, . . ., un] 55 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El vector renglón siempre debe de escribirse a la derecha del vector columna. Ejemplo: 1) Encontrar el producto de u = [5 8] y v = uv = [5 8] - (5X6) + (8X9) = 30 + 72 = 102 2) Encontrar el producto de u v uv = 2 3] = 4 + 10 + 18 = 32 3) Obtener el producto de u = [3 5 9] y v = u v = [3 5 9] = 24 + 20 + 18 = 62 Ahora si un vector columna vnxj multiplica a un vector fila uixn el resultado es una matriz cuadrada nxn. 56 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Sea v = el vector columna n-dimensional y u = [uj . ., un ] el vector fila n-dimensional. El producto de uv está dado por: vnxi unxi = xnxn (Matriz cuadada) siendo x¡¡ = u¡ v¡ Ejemplo: 1) Encontrar el producto de u v 1 v= 2 3 1 13 VU = 2 [1 3] = 2 6 3 39 2) Encontrar el producto de ~2 v = y u = [2 1 1] 57 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

vu = \"4 2 2 [2 1 1] = 8 4 4 633 3) Encontrar el producto uv 0 u=[l 0 1 2] -1 v= 0000 4 -10-12 3 [l 0 1 2] = 4048 0 3036 -1 vu = 4 3 2.5 Propiedades Sean u , v y w vectores en el plano 9T, y a, b escalares. Con ellas se deben de cumplir las siguientes propiedades: a) u + 0 = u Identidad aditiva b) u Conmutativa de suma de vectores c) u + (v + w) = (u + v) + w Asociativa de suma de vectores d) Ou = 0 Cancelación multiplicativa (vectores) e) a (u + v) = au + av Distributiva (escalar suma de vectores) f) (a + b)u = au + bu Distributiva (suma de escala- res - vector) 58 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

g) (ab)u = a (bu) Asociativa (escalares-vector) h) lu = u Identidad multiplicativa i) u + (-u) =O Inverso aditivo Identidad aditiva u= 0= u, + 0' u, u2 + 0 u2 u3 + 0 u3 u+0= = 0 .Un. 59 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: \"0 \"3 + 0\" \"3\" 0= 0 u+0 = 2 + 0 = 2 r3\" u= 2 0 1+0 1 1 Conmutativa de suma de vectores u+v=v+u u= V = \" i \" \"v,\" \"v,\" .Un_ .Vn. _Vn_ _Un. 60 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: 5 6 y 7 |2| 1 \"3\" \"5\" \"5\" \"3\" 2+6=6+2 177 1 u+ v=v+u U 4- V = 8\" V+ U = 8 Asociativa de suma de vectores u + (v + w) = (u + v) + w u= V = w = w 61 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

u l \"v,\" U l \"v,\" w2 u2 v2 w2 u2 v2 ++ = ++ -Un. _V _ W n _ .Un. .Vn. -Wn. u+ (v + w) = (u + v) + Ejemplo: V= w= \"3 u= 1 \"3\" \"5\" \" l \" '3' \"5\"' \"l\" 2 + 4+2 = 2+4 + 2 1 71 17 1 (v + w) = (u + v) + w 3 \"6\" 8 1 2+6= 6+2 18 8 1 \"9\" \"9\" 8=8 99 62 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Cancelación multiplicativa (vectores) 0u = 0 Ou, vector cero 0u2 UnJ LOU nJ L 0 . 0(u) = Ou = 0 Distributiva (escalar suma de vectores) a (u + v) = au + av = a, u = v= LVnJ 63 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

\"v,\" \"i u2 v2 U 2 V2 + = a +a .Un. .vn. au _vn_ a (u v) = av Ejemplo: a=2 u= V= T5\" V \"5\" \"l\" = 26 + 23 6+ 3 7 2 L7 2 = 2u + 2v 2 (u + v) \"6\" \"10\" '2 9 = 12 + 6 9 14 4 12 12 18 = 18 18 18 64 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Distributiva (suma de escalares - vector) (a + b)u = au + bu u, V \"V U2 U2 U2 (a + b) =a +b • .Un. .Un. .Un. (a+b) u = a u + b u Ejemplo: b=3 1 a=2 u= 1 1 \"1 (2 + 3) 2 = 2 2 + 3 2 3 3 _3_ (a+b) u = a u + b v V \"2\" \"3\" 2=4+6 369 \"5\" ' 5 ' 10 = 10 15 15 65 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Asociativa (escalares - vector) (ab) u = a (bu) = a? = b, u, u2 u2 ab = a b .Un. -UnJ. (ab) u = a (bu) Ejemplo: a = 2, b = 3, 1 u= 2 3 \"1\" \"ll 2-3 2 = 2 3 2 3 3J ab (u) = a (b u) 66 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 \"3\" 2 —2 6 39 66 12 = 12 18 18 Identidad multiplicativa lu = u ul 1= u= \"1,\" ~ui~ U2 12 U2 \"3 13 «3 = .Un. (u) = 67 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: 1 1 1= u= 2 3 11 1 1 2=2 1 3 3_ u=u Inverso aditivo u + (-u) = 0 u u= \"2 U2 \"i\" =0 \"3 \"3 U2 ~ U 2 + (-l) • «3 -u, +• .Un. .Un. .Un. u +(-1) u U + (-U) 68 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: \"3\" u= 1 \"3\" \"3\" \"3\" \"-3\" 2 + (-l) 2 = 2 - 2 = 0 1 1 1 -1 u +(-1) u = u +(-u) = 0 69 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Capítulo 3 Operaciones con escalares y vectores utilizando Excel Objetivos: Al terminar este capítulo: S El lector será capaz de realizar operaciones con vectores y escalares utilizando la hoja de cálculo electrónica Excel. 3.1 Introducción La hoja de cálculo electrónica Excel resuelve prácticamente la totalidad de las operaciones que se desarrollan con matrices. Las operaciones más comunes como: la multiplicación de vectores, multiplicación de matrices, inversa, el cálculo de determinantes, etc. se resuelven utilizando funciones automáticas, otras opera- ciones como la suma de matrices, el producto de un escalar por un vector, el producto de un escalar por una matriz, etc. se calculan en forma manual generando las funciones; algunos arreglos como la transpuesta de una matriz, se obtienen utilizando las funciones de edición: copiado-pegado y especial-transpuesta. Las aplica- ciones requieren el uso combinado de las funciones automáticas, las de edición, junto con la construcción de funciones manuales específicas. 71 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

3.2 Suma de vectores Para explicar el procedimiento de sumar vectores utilizando Excel, supondremos que tenemos tres vectores, el a, el b, y el que resul- ta de sumarlos (a + b) = c. a= b= 6+9 15 a + b = c = 7 +1 8 8 8+0 6 9 15\" 7+1= 8 80 8 Recuerde que sólo se puede sumar vectores del mismo tipo y cantidad de componentes Pasos para sumar dos o más vectores utilizando Excel: 1. Se despliega una hoja, se etiquetan y capturan los elementos de los vectores. En seguida se posiciona el cursor en la celda en donde se desea aparezca el resultado, ver la imagen 3.1a continuación. 72 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 3.1 Hoja básica de Excel 7 (versión en inglés). I ? .1... Q ! E _ L H_J_Í j [ VECTORA VECTOR í VECTOR A + VECTOR B X2~ JL JL JL 7 T «I R íf 2. En la celda seleccionada se construye manualmente la fun- ción que especifica la suma, ésta aparece en la barra de fór- mulas, ver imagen 3.2 3. Se copia la fórmula en todas las celdas que requiera la dimen- sión de los vectores. Automáticamente aparecerán los resul- tados. 4. Utilizando el menú de herramientas (tools) y seleccionando auditoría-trazado de precedentes (auditing-trace precedents) se identifica visualmente la operación realizada por celda, ver imagen 3.2 73 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 3.2 Hoja básica de Excel 7 11 lili j**£) Efe 5#* 50** Ir*e * FsrflWi: lools Qj9td ffindow tfclp }Í ~ <IA>\" © sh \" \"• ^ I H § 411 ioo«*» \" {8} Líi_ _ : io '- ¡fi\" / ' s i B ' I s l i t % * '*&& E5 Z l \"~mT=+AS+C5 *~ \"\"\" 1 A 1B j C 1 D ! E 1 F \\ G H 11 t LECTORA VECTOR B VECTOR A + VECTORB 6 9 15 18 JL 7 \"g\" 7 3 \"9 1D 11 33 1143 '1S Ts' 1? •— í iJlJMKsheetl/á» i Ready i; ' Como puede observar los resultados son iguales alos obteni- dos manualmente. Auditoria muestra los elementos utilizados en la fórmula que aparece en la barra de herramientas, ésta fórmula corresponde ala celda seleccionada. 3.3 Producto de escalar por vector Suponga que tiene el vector columna a, el escalar X, y el producto de ^-a. \"7\" \"35\" 2 10 a= 1 5 _3_ 15 74 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Para calcular el producto de un escalar por un vector se reali- zan los siguientes pasos: 1. Se despliega una hoja, se anotan los títulos de escalar A,, vector a, y se capturan sus elementos. 2. Se coloca el cursor en la celda donde interesa aparezca el producto, ver imagen 3.3. Imagen 3.3 Etiquetas y valores para multiplicar un escalar por un vector J^ aéacír . • Mí T Umm 3. En la celda marcada se elabora manualmente la función que especifica la suma. 4. Se copia la fórmula en todas las celdas que requiera la dimen- sión de los vectores. Automáticamente aparecerán los resul- tados. 75 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

5. Utilizando el menú de herramientas (tools) y seleccionando auditoría-trazado de precedentes (auditing-trace precedents) se identifica visualmente la operación realizada por celda, ver imagen 3.4. Imagen 3.4 Resultado y empleo de Auditoría en la multiplicación de un escalar por un vector Los resultados son iguales a los obtenidos manualmente. 3.4 Producto de vector columna por vector fila Cuando se multiplica un vector columna por un vector fila, el re- sultado es una matriz de dimensión m x n. La letra m corresponde al número de filas del vector columna y n el número de columnas del vector fila. 76 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

X= nx1 1x m x2y, x.y2 x2y3 ... x2yn xy = x2y2 xny3 ... xnyr El siguiente ejemplo genera una matriz cuadrada de dimención 4x4. 4 -1 r = [l 2 3 4] t= 2 1 4x1 1x4 El producto es: 4 8 12 16 -1 -2 -3 -4 tr = 24 68 1234 4x4 77 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Para obtener este resultado a través de Excel se realizan los siguientes pasos: 1. Se despliega una hoja de cálculo. 2. Se anotan los títulos de los vectores a multiplicar, (vector t, vector r, ..., etc). 3. Se capturan sus elementos. 4. Ya que Excel sólo genera el elemento ubicado en la fila 1 columna 1 de la matriz resultante, se recomienda colocar el cursor en la celda donde interesa aparezca el primer elemento del producto de vectores. 5. Se pulsa el icono selección de funciones, enseguida aparece una ventana que permite seleccionar diferentes categorias de funciones, ver imagen 3.5. Imagen 3.5 Ventana de categoría de funciones. Versión Excel 7 en Inglés Paste Function Funcfcion^ategory: Function ñame; J Most Recently Used LCM All LN Financial LOG Date & Time LOG10 MDETERM Statistical 1MINVER5E Lookup &. Reference Datábase jUIiNNNMNNNMÍ Text Logical IMOD Information MRound MROUND HMULT(arrayI;array2) Multinomial Rafcurns the mafcrix product of two arrays, an array with the same number of rows as Array 1 aiid columns as Array2* OK Cancel 78 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

6. Se selecciona la categoría de función Matemáticas y Trigonométricas. 7. Enseguida aparece en la parte derecha de la ventana los nom- bres de las funciones de la opción matemáticas y trigonomé- tricas. 8. Se selecciona la fínción MMULT, el cual se refiere a lamul- tiplicación de matrices. Con esta función se puede multipli- car vectores. 9. Enseguida aparece una ventana de diálogo que solicita en el primer renglón el rango de la matriz 1, (para este ejemplo el vector t). El rango puede indicarse utilizando el selecciona- dor (ratón o mause) o escribirse directamente. El rango de la segunda matriz (vector r) se introduce en el segundo renglón utilizando el mismo procedimiento, ver imagen 3.6. Imagen 3.6 Ventana de diálogo para generar un producto de vectores I?\" {4A12,16Mr2^^2 Rcturns tbe matrét product of two arrays^ m array wfth the same nurnber of rovsss «s Arrayt 14 i afMÜedumníasArray2. 15] Array2 te the fkst mty oí numbers to rnuítiply and musí have the same number 16J f tA2h 1/1 JIJ Formula resulfc ^ I OK I Cancel _ 1IJ Püirtt 79 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La función MMULT genera el producto matricial de dos ma- trices, en este caso las matrices son dos vectores. Excel sólo genera un valor del producto. Por lo tanto hay que expandir la función a la dimensión de la matriz resultante de or- den m x n. Para ello se realizan los siguientes pasos: 1. Activar la celda que contiene la función MMULT calculada. 2. Utilizando el puntero cruz gruesa del ratón, se marca el área donde se busca expandir o copiar la fórmula, ver imagen 3.7. Imagen 3.7 Área seleccionada para la expansión de la función MMULT fe =MMÜLT(A3:AB;C4:F4r VECTOR T VECTOR R JL (VETOR T)(VECTOR R) 1 2 3 4] 3. Se oprime la tecla de funciones especiales F2. 4. Una vez hecho lo anterior se oprimen simultáneamente las teclas: <shift><control><enter>, automáticamente la función se expande en el rango seleccionado y aparecen los valores buscados, ver imagen 3.8. 80 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 3.8 Expansión de la función MMULT j %~7 :^|{=MMÜLT(A3:AB;C4?F4)} Ii 3 iSJ fiiJJ J__A-IJL (VETORT)(VECTÓRRJ VECTOR R 1 IVECTORT 12 16 \"i. 4 12 3 4 8 í 4 I \"mi it{ 1Si 16! 10 ~iUL™ mmm ir—^r 3.5 Producto de vector fila por vector columna Al igual que para el producto de un vector columna por un vector fila, en el caso de multiplicar un vector fila por un vector colum- na, ambos vectores deben ser conformables, es decir, el número de columnas debe ser igual al número de renglones. Por ejemplo, los vectores fila x y columna y pueden ser mul- tiplicados, ya que el número de columnas de x es igual al número de filas de y. = [5213] y= = 5(2) + 2(l 3 = 18 = 10 + 2 + 81 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El procedimiento es similar al desarrollado en la multiplica- ción de un vector columna por un vector fila: 1. Desplegar una hoja de Excel. 2. Anotar los títulos de los vectores y sus valores. 3. Se capturan sus elementos 4. Seleccionar la celda en que se espera aparezca el resultado. En este caso el producto tendrá una dimensión de lx 1. 5. Seleccionar el icono de funciones fx. 6. Seleccionar función Matemáticas y Trigonométricas. 7. Seleccionar la función MMULT, ver imagen 3.9. Imagen 3.9 Pegado de función MMULT Paste Function Function category: Function ñame? Most Recently Used * ¡ Lcm Al ~ LCM Financial LN Date &Time LOG J Statistical LOGIO Lookup &Reference MDETERM Illllllllll Datábase Text • • • iMINVER5E Logical —1 BliflHHHHHI Information MOD MMULT(arrayl;array2) t MRound 1Z. MROUND Retums the matrix product oftwo arrays, an array with the same rwnber of rows as Arrayl and columns as Array2. Cancel 82 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Enseguida aparece una ventana que solicita los rangos en que se encuentra la información de los vectores, el primer renglón (Array 1), corresponde al vector fila, y el segundo renglón (Array 2), al vector columna, ver imagen 3.10. Imagen 3.10 Llenado de rangos de matriz, (vectores) para MMULT FQTfnat IPQÍS gata SKindow $j& i ™^~\" *A\" H «•& *«*> % | ? -|M j B U • J A I B I C . I D1E1 f \\ 0 I H \\ i J\"! K 1 L ÍJVJECf fKoKx * VEECTOR Y (VEf 0R X)(VEaOR Y) 2í 13 2\\ 52 i! §< Afii JÜ j h Arrayl JA4:D4 ip] iji Array2|G3:G6 1 Retwn$ l í » tpatríx; prodoct <?ftwo arrsys, an array wíth the same number of rows a? Arrayl and &kMtm as Array2, JÜ Array2 is the first array of nwbers to imJ^ply and rmist have íhe Same minéer je Í oF coluros as Array2 has rows. ..id Formula resuft» 18 Cancel ¥1 l±J | JM 9. Al seleccionar aceptar aparecerá el resultado en la hoja de cálculo, ver imagen 3.11. En la imagen 3.11, se presenta el resultado de la multiplica- ción dentro de un cuadro relacionado por flechas con todos los datos del vector fila y columna. Aquí se ha utilizado la opción auditoría y tiene por objetivo mostrar que el resultado proviene de matrices, (en este caso vectores). 83 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 3.11 Producto de vectores, (resultado relacionado mediante la opción auditoría) 84 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Capítulo 4 Vectores en Objetivos: Al terminar el capítulo: S El lector será capaz de realizar operaciones con vectores; S Comprenderá la diferencia entre dependencia e indepen- dencia lineal de vectores. 4.1 Introducción En un plano o espacio euclidiano, los puntos pueden identificarse con una n-ada ordenada de números reales. Si (x,y) está en el plano, lo denotamos con (x, y) en 5R2, (x, y, z) en un espacio de 3 dimensiones o en 9í3, (xl9 x2, ..., x j en un espacio de n-dimensiones o en 9ín cada número de esta n-ada se llama componente del punto. A las n-adas ordenadas de números reales les llamamos vectores (v). En ocaciones es conveniente manejar al vector como un segmento dirigido del origen a un punto P, y no como un simple punto. Si representamos a un vector con flechas (geométricamente) las propiedades más importantes son su tamaño o magnitud y su dirección. 85 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

¡|f§¡ 4.2 Producto interno y proyecciones lili El producto interno de vectores explica los conceptos de longitud y el ángulo en las representaciones geométricas, en forma sencilla. Definición: Sean los vectores ui = (ab a2,..•, an) y v = bn) en el plano 9ín, el producto interno de los vectores se denota por u •v5 y es: u • v = a,b, + a2b2 + ... + anl Ejemplo: 1) Encontrar el producto interno de los vectores u = (-2,4) y v = (4,3) u-v = (-2,4)(4,3) u - v = (-2)(4) + (4)(3) u •v = 4 2) Sean los vectores u = (2, 4, 6) y v = (3, 5, 7) su producto interno es: u-v = (2,4,6)(3,5,7) u v = 2(3) + 4 (5) + 6 (7) u v = 68 La magnitud de un vector u de 9in se denota con u y se define como: u = A|a12+a22+...- esta magnitud de vector representa (geométricamente) la longitud del segmento de recta que lo representa. 86 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

En el caso de losvectores unitarios, se debe de cumplir la condición: u =1 Para determinar la magnitud de un vector u = (a1? a2) en el plano 9l2, setiene: u ,2W En el plano 9í3 lamagnitud del vector v = (b1? b2? b3) es: = Jb12+b22+b32 Cuando sedesea encontrar la magnitud dev - u en el plano 9í2, teniendo los vectores u = (a1? a2) y v = (b1? b2) entonces: b2-a2) por lotanto v - u = A/(b1-a1)2+(b2-a2)2 En el plano 9í3 se tiene que u = (al5 a2, a3) y v = (b1? b2, b3) entonces: v - u = (b,-a1? b 2 - a 2 , b3- a3) Por lo tanto v - u = J(b1-a1)2+(b2-a2)2+(b3-a3)2 En el plano 9ínsetiene u = (a1? a2?..., aj y v = (b1? b 2 ? . . . , bn) entonces: 87 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Las siguientes propiedades son las que se necesitan para apli- car el producto interno: Sean u, v, w vectores en el plano 9in y X un esacalar distinto de cero. a) u • v = v • u b) u ( v + w ) = u v + u w = v u + w u = ( v + w ) u c) u ( A , v ) = ( ^ u ) - v = A , ( u - v ) para todo escalar X d) u u > 0 , s i u ^ 0 y u u = 0 s i u = 0 e) u •u = |u| , ó Demostrar que u • u = | u | 2 para el vector u = ( 8, 4 ) Tenemos que u • u = 64 + 16 = 80 Sabemos que: u = 80 Ángulo entre dos vectores Para encontrar el ángulo entre dos vectores, partimos de la ley de los cosenos, la cual nos permite conocer el ángulo entre cualquier par de lados del triángulo c2 = a2 + b2 - 2ab Cos0 Figura 4.1 88 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ahora si consideramos las propiedades del producto interno, la ley de los cosenos y el triángulo de la figura siguiente tenemos: Figura 4.2 Por la ley de los cosenos 2 2i |2 u + V -2 COS0 v-u - u- v 2| u COS0 = = u u + v- v - ( v - u ) - ( v - u ) = u u + v- v-(v- v-u- v-v- u + u u ) = u-u +v v-v-v + u-v + v u - u - u 2 IuI I vI cos0 =2u • v COS0 - uV COS0 = «1 | v uV uV Definición: El ángulo 0 entre dos vectores u y v en 91* donde u y v son diferentes de cero y con el mismo punto inicial, se define como: eos 0 si G£0 0^180° 89 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Por ejemplo: 1) ¿Cuál es el ángulo entre los vectores u = ( - l , 5 ) y v = (4,3)? u-v = -4+15= ll u = V(-l)\"+5' = -V V = 725 entonces 11 11 11 COS0 V26\"V25\" /650 25.4951 cos0« 0.431455 0 « 64° ó 1.125 rad. 2) ¿ Encontrar el ángulo entre los vectores u = ( 3 , l , 2 ) y v = (2, 4,6)? u - v = 6 + 4 + 1 2 = 22 luí = = A/9 + 1+ 4 = -T V= 16 + 36 = entonces 22 22 22 V784 28 COS0 = VÍ4-756 cos0« 0.78571 0 « 38° ó 21' ó 0.667 rad. 90 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Desigualdad de Cauchy - Schwarz Para todo vector u y v en 5ín? sea u v < u V Si u = (al5 a2,..., a,,) y v = (bl5 b2,..., bn)? la desigualdad de Cauchy - Schwarz queda: 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 > 1 2 + b 2 2 + ... + bn2 También se puede escribir como: u• v <1 UV si los vectores u y v son distintos de cero en 9ín; entonces existe un ángulo único 0 , el cual satisface que: O<0<18O° uv Teorema 1 Sea 0 el ángulo entre dos vectores u y v en 9in u-v = u COS0 Teorema 2 Sea u y v vectores en 9ín y X un escalar a) |v| > 0 y |v| = 0 , si sólo si v = 0 b) A,v = | A-1|v c) u - v | = | v - u | d) lu + v < luí + v 91 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Vectores paralelos Definición: Sean los vectores u y v e n 91n,éstos son paralelos si por lo menos uno de ellos puede escribirse como el proceso de un número real por el otro, y se denota por u 11 v, entonces: u = X\\ con X e 3í Por ejemplo: 1) ¿Son los vectores u = ( 3 , 6 ) y v = ( 2 , 4 ) paralelos? entonces (3,6)||(2A,,4A.) Por la igualdad de vectores obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente: (1) 3=2A, 6 = 4A, (2) de la primera ecuación tenemos que ^ = 3/2 y sustituyendo el valor de X en la segunda 6 = 4(3/2) 6=12/2 6=6 Como la igualdad se cumple, se puede concluir que u y v son paralelos ( u||v) 2) ¿Son los vectores u = ( 1, 3, 2 ) y v = ( 4 , 3, -1 ) paralelos? entonces (1,3,2)||(4A.,3X.,-X 92 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

por igualdad de vectores tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 1-4A, (1) 3 = 3^ (2) 2 = -* (3) de la tercera ecuación obtenemos que A,= -2 sustituyendo el valor de X en las demás ecuaciones, las igual- dades no se cumplen, por lo que los vectores u y v no son paralelos ( u Jf v ) . en la ec. 1 1=4X l=4(-2) de la ec. 2 3 = 3(-2) Vectores perpendiculares Decimos que dos vectores distintos de cero son perpendiculares si el ángulo que forman entre ellos es de 90°( o n/2 rad) Definición: Dos vectores u y v en $Kn son ortogonales si por lo menos uno de ellos es cero, o el ángulo entre ellos es 90° (o n/2 rad.). Ahora, si consideramos dosvectores u y v en SRn son ortogonales (perpendiculares), si suproducto interno es igual a cero, es decir: u* v~0 y se denota por u 1 v 93 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo : 1) ¿Los vectores u = ( l , 4 ) y v = (3,6) son ortogonales? u v = 21 entonces u •v * 0 los vectores no son ortogonales ( u _Lv ) . 2) ¿Son los vectores u = ( 1 , 4 , 3 ) y v = (-3,6, 7) ortogonales? u •v = ( 1, 4, -3 ) • ( -3, 6, 7 ) = -3 + 24 - 21 = 0 entonces u •v = 0 y los vectores son ortogonales ( u _Lv ) . Proyección de vectores Definición: Sean los vectores u y v en $ttn, con v * 0. La proyección ortogonal de u sobre v, es: e'oy'°ÍWi En la figura 4.3 se observa la proyección del vector u sobre la recta que contiene al vector v Figura 4.3 u - Proyv u v Proyv u 94 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Por ejemplo: 1) Encontrar la proyección de u = (4,4) sobre el vector v = (3,0) Proyvu = u-v v = 12/9 ( 3 , 0 ) = (36/9 , 0/9 ) = ( 4 , 0 ) Figura 4.4 u .... ,.-•••••• fe. 4 3 Proyvu 2) Encontrar la proyección de u = ( 3, 2, -5 ) sobre el vector v=(4,2,0) Proyvu = u v v = 16/20 ( 3, 2, -5 ) = (48/20, 32/20, -80/20) Indicamos tres observaciones que son importantes: a) Proyvu es paralelo a v b) u - Proyv u es ortogonal a v c) u = ( v - Proyv u ) + Proyv u 4.3 Combinación lineal de vectores Se puede considerar cualquier vector como la suma de otros vectores particulares, por ejemplo: el vector 95 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

u = [ a1? a2 ] también se escribe como: u = [a1? a2] = [ a l 5 0 ] + [0, a2] Entonces u = [ a 1 ? 0 ] + [0, a2] Ahora si multiplicamos al vector u por un escalar, podemos escribir el vector como sigue: Entonces un vector u con n componentes, se puede representar como la suma de n vectores unitarios y cada uno de los vectores unitarios multiplicado por un escalar igual al correspondiente com- ponente del vector u, como se muestra a continuación: u = [a1?a2....,an] = a i [ 1, 0?...., 0 ] + a2[0,1,...., 0] + ...+ an[0, a esta expresión se le conoce como Combinación lineal de vectores. Definición: Se dice que un vector u es combinación lineal de los vectores Vj, V2,..., vrt, si se puede expresar en la forma; l9 k2,..», kn) son escalares Ejemplo: Considérese los vectores v = ( 1 , 2 , - l ) y w = ( 6 , 4 , 2 ) en 9t3. Demuestre que: 96 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1) u = ( 9, 2, 7 ) es una combinación lineal d e u y v 2) u'= (4, -1, 8 ) no es combinación lineal de u y v 1) Resolviendo u = + k2v2 + k2(6,4,2) ( 9 , 2 , 7 ) = k,( 1 , 2 , - 1 ) ( 9 , 2 , 7 ) =(k,,2k,,-k,) + (6k2,4k2, 2k2) = ( k, + 6k2, 2k, + 4k2, - k, + 2k2 ) Igualando los componentes correspondientes se obtiene el si- guiente sistema de ecuaciones: k + 6k2 = 9 . ..(1) 2k + 4k2 = 2 . ..(2) -k + 2k2 = 7 ..(3) Resolviendo el sistema: Se toman las ecuaciones 1 y 2 para formar la matriz aumenta- da. \"l 6 19' 2 4 !2 \"1 6 9 \"1 6 9\" \"1 0 - 3 0 -8 -16 —> —> 1 2_ 0 1 2_ 0 k, = -3 k2= 2 Sustituyendo los valores de k, y k2 en: 97 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

u = k^v + k2w u = -3v + 2w (9,2,7) = -3(l,2,-l) + 2(6,4,2) (9,2,7) = (9,2,7) 2) u' = ( 4, -1,8 ) ¿es combinación lineal? Se puede expresar a u' como: u' = k,(v) + k2(w) (4,-l,8) = k,(l,2,-l) + k2(6,4,2) ( 4, - 1 ,8 ) = (k,, 2k,, -k,) + (6k2, 4k2, 2k2) (4, - 1 ,8 ) = (k, + 6k2, 2k, + 4k2, -k, + 2k2) Igualando los componentes correspondientes, se obtiene el si- guiente sistema de ecuaciones: k, + 6k2 = 4 (1) 2kt+4k2 =-1 (2) -k,+2k2 = 8 (3) Resolviendo el sistema: Se toman las ecuaciones (1) y (2) para formar la matriz au- mentada. •J\"] 6 4 i! -1 4 \"1 6 4 \" \"1 6 4 \" 10 11 \" 0 -8 -9 0 1 9 —» 1 A 8. 0 *+ 9 11 7 98 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

u' =-íl ül í^i ^ li /, - , o8x) = f 11 - 22 in f27 18 9 (4, 1, - —, —, — +—,—,- V4 4 4 ^ ^ 4 4 4 (4,-1,8)^(4,-1,5) entonces u' no es combinación lineal de v y w 2) Escribir el vector (1,-2, 5) como combinación lineal de los vectores. e i = ( 1 , 1 , 1 ) e2 = ( 1 , 2 , 3 ) e3 = ( 2 , - 1 , 1 ) u = kj Q{ + k2 e2 + k3 e3 (l,-2,5) = k 1 ( l , l , l ) + k2(l,2,3)+k3( 2,-1, 1) = ( k,, k,, k, ) + (k2, 2k2, 3k2) + ( 2k3, -k3, k 3 ) 1 = k, + k2 + 2k3 -2 = k, + 2k2 - k3 5 = k, + 3k2 + k3 99 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

\"l 1 2 1 \" \"l 1 2 1 \" \"l 12 1\" 1 2 -1 - 2 -> 0 1 _2 - 3 -> 0 1 -3 -3 13 1 5 0 2 -1 40 05 10 \"1 0 5 4\" \"1 0 5 4 \" \"l 0 0 - 6 \" 0 1 - 3 - 3 -» 0 1 - 3 - 3 —> 0 1 0 0 0 5 10 0 0 1 2 0 0 1 k, = -6 k2= 3 k3= 2 u = kj ej + k2 e2 + k3 e3 (l, -2,5) = - 6 ( l , l , l ) + 3(1,2,3) + 2(2,-1,1) 4.4 Dependencia e independencia lineal de vectores Definición: Sea un conjunto de vectores nu u2, ..., un, en %ín9 son linealmente independientes, si existen escalares Xy X2i —9 Xn en el que todos son iguales a cero, tal que la combinación lineal se escribe como sigue: Para el caso contrario se dice que un conjunto de vectores Ui, lis,..,, nn en W son linealmente dependientes sí existen escalares X\\9 Xjy... A«> y ^s posible encontrar al menos uno distinto de cero (Ai * 0), + .- + Xn\\ín & 0 si al menos una X * 0 Ejemplo: 1) ¿Los vectores ( 1 , 1 , - 2 ) , (4, -2, -2) y ( 3 , -9,6 ) son linealmente independientes? 100 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]