MORALES_ALQUICIRA_ANDRES_Introduccion_al_algebra_lineal_y_de

Cuando v es el vector minimizante de los vectores de la forma [; ] y el producto de Av forman parte del subespacio S de Rn. Teorema 15 ^y,), (x2?y2), ...,(xn,yn), \"n\" puntos distintos en donde Xj < x 2 < ... < xn y la recta y = a + bx de mejor ajuste tiene coeficientes dados por v = (A1 A)1 A*y. Ejemplo: Encontrar la recta de mejor ajuste de los puntos obtenidos de siete experimentos. (0, 0), (3, 5), (4, 7), (5, 11), (6, 13) y (7, 17) \"1 x l ~ \"1 0' 1 x2 13 1 x3 14 15 A= 16 1 7_ 1 X4 1 X5 1 X6_ y, 0' y2 5 yV = 3 7 y4 11 y5 13 17 .y6_ 251 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

lililí A* = 034567 AlA = 6 25 _2f 135 r 81 5 (A'A}' - m 37 6 5 37 185 v = (A1 AV1 A1 y 81 5 lililí 7 111 37 V= 6 5 0 3 4 5 6 7 11 185 37 13 17 81 v= 111 37 53 5 6 295 37 185 252 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

-1.189 V= 2.405 La ecuación de la recta de mejor ajuste es: 2.4x Teorema 16 ^yj), (x2,y2), •-., (xn, yn), \"n\" puntos distintos en donde xi < X2< ••• < xn? y el polinomio de grado m, y = a0 + ajXj + ... + amxm de mejor ajuste tiene coeficientes dados por v = (A*A)\"1 Afy. 1 x, lm \"y i v= A= 2m y 2 • 5 nm _ .y n _ Ejemplo: Encontrar el polinomio de segundo grado de mejor ajuste para el conjunto de datos (0, 100), (1, 90), (2, 60), (3, 12) y (4, -57) \"1 0 0\" \"100 \" 11 1 90 A= 1 2 4 13 9 y = 60 1 4 16 12 _-57_ 253 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

10 0 1 1 1 1 1 \" 1 1 1 \"5 10 30 A'A = 0 1 2 3 4 1 2 4 = 10 30 100 0 1 4 9 16 1 3 9 30 100 354 1 4 16 \" 62 — 54 10 \" -20 =1f 1 -54 87 5 ,70 ) 10 -20 \"100\" r62 -54 101 1 1 1 1 90 = (A'A)\"1AtY = -54 87 -20 0 1 2 3 4 60 70 10 -20 5 0 1 4 9 16 12 -57 v = 70 62 -54 10\" 205 ' - 54 87 - 20 18 10 - 2 0 5 -474 v = 70 - 6998 -24 680 -99.971 v = - 0.343 9.714 254 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La ecuación es: Y =-99.971-0.343x +9.714 x2 10.9 Espacios vectoriales Es importante mencionar que existen semejanzas en las defini- ciones de los conceptos en el espacio de Rn, con las definiciones de los espacios vectoriales. Porque para poder definir los concep- tos de espacios con producto interno, norma de un vector, deter- minar si dos vectores son ortogonales y ortonormales en cualquier espacio vectorial, se debe de partir tal y como se analizó en el caso de Rn, tomando en consideración las propiedades del produc- to interno en Rn. Espacios con producto interno Los espacios vectoriales en los que puede definir el producto in- terno, se les conoce como espacios con producto interno. Definición: Sea V un espacio vectorial sobre los números reales. Un producto interno real en V es una función que asocia a cada pareja de vectores u y v pertenecientes a V, un número real <u¿ v>, con las siguientes propiedades: a) <u, v> « <v, u> b)<u + v, w> ~ <u, w> + <v, w> c)<ctt, v> » c<n, v> d)<u, u> > 0 y <u, u> ~ 0 < - > u ~ 0 Ejemplo 1) Sea u = (a^ a2) y v = (b1? b2) vectores en R2, si < u , v > = 3aibi + 2a2b2 podemos afirmar que < u , v > es un producto interno. 255 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2) Comprobar las propiedades del inciso a al d de la definición. 2.a) < u , v > = Sa^j +2a2b2 = 3a.Jo\\ +2a2b2 = < u , v > 2.b) Si w = (c1? c2) < u + v, w > == 3 (ai + bi) q + 2 (a2 + b2) c2 = 3 aiCi + 3 biCi + 2 a2c2 + 2 b2c2 < u , w > + < v , w > = (3 a^i + 2 a2c2) + (3 b ^ + 2 b2c2) 2.c) < cu , v > = 3 (caO b! + 2 (ca2) b2 c < u , v > = c[3a1b1 + 2a2b2] 2.d) S Í < U , U > = 3 a í + 2 a > > 0 ó < u , u > = 0 = 3 a í + 2a * se cumple, si y sólo si 2Í\\= a2 = 0, entonces < u , u > = 0 Teorema 17 Sea V un espacio de un producto interno, u, v y w son vectores en V, y que a y b son escalares. a) <au + bv, w> = <w, au + bv> = a <u, w> + b <v, w> b) <0, u> = <u, 0> = 0 Definición: Sea v un espacio con producto interno. La norma v de un vector v está dada por | v 1= -\\/<v,v> Cuando la norma ||v de un vector v es un espacio con produc- to interno, va ha denotar la magnitud del vector v. Entonces u — v 256 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

representa la distancia entre los vectores u y v, los cuales pertene- cen a un espacio con producto interno. Teorema 18 Si u y v son vectores en un espacio con producto interno, enton- ces: u,v < u v La desigualdad de Cauchy - Schwarz es la resultante de rela- cionar el producto interno de dos vectores con sus normas. Ejemplo: 1) Sean u = (al5 a2, •••?an)y v = (bb ^2? •••> bn) dos vectores en Rn. El producto definido por: <u, v> = ait>i+ a2b2+ ...+ anbn Ahora, si aplicamos la desigualdad de Cauchy - Schwarz + a2b2 +... +a22 + ...+ a2i ^ b 2 +b22 +... 2) Sean u = (al5 a2) y v = (b1?b2) dos vectores en Rn. El producto definido por: <u, v> = 3a!bi+ 2a2b2 Si aplicamos la desigualdad de Cauchy - Schwarz 3 a 1 b 1 + 2 a 2 b 2 | < ^ 3 a f + 2 a \\ ^J3bf + 2b 2 257 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El concepto de ortogonalidad en un espacio vectorial con pro- ducto interno, se define a continuación. Definición: Sí u y v son vectores que pertenecen a un espacio vectorial con producto interno, entonces u y v serán ortogonales si cumplen <u, v> - 0 Ejemplo: Sea u = (a1? a2) y v = (b1? b2) vectores en R2, entonces <u, v> = aibi+ a2b2 es un producto interno de R2, ahora para que <u, v> = 0 = aibi+ a2b2, si sólo si &\\ = a2 = 0, por lo tanto <u, v> = 0. Es importante recordar que dos vectores en Rn son ortogonales si su producto interno es cero. Si consideramos ahora a un conjun- to S contenido en un espacio con producto interno ortogonal, en- tonces toda pareja de elementos de S es ortogonal. Para que un conjunto S sea ortonormal debe de cumplir con que S sea ortogonal y que todo vector S tenga una norma igual a uno. 258 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Capítulo 11 Transformaciones lineales Objetivos: Al finalizar este capítulo* el lector: S Identificará funciones de transformación lineal. V Realizará transformaciones lineales básicas. S Representará matricialmente una transformación lineal. 1.1 Introducción La utilidad de una función de transformación lineal (T), es la de aplicar (o transformar) elementos de un espacio vectorial U a un espacio vectorial V. Toda función de transformación lineal T debe tener las propiedades siguientes. 1) Para todo u y v en V, T (u + v) = T(u) + T(v) 2) Para todo u en V, cualquier escalar c opera como; Tc(u) = cT(u). Ver figura 11.1 259 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Figura 11.1 Algunos ejemplos de transformación lineal u -> * T(u) -> * T(v) V - * * T(cu) = cT(u) -> *T(u + v) = T(u) + T(v) cu 11 + V Ejemplo: Sea la función T: R2 -• R2 dada por: T [(p, q)] = (3p + 2q), donde T es una transformación lineal. Para comprobar que T es una transformación lineal se de- muestran las propiedades de suma y multiplicación por un escalar enunciadas anteriormente. 1) T[(pb qO + (p2, q2)] = T [(Pl + p2, q i + q2)] = (3[pi+ P2L2[qi + q2]) = (3pi + 3p2? 2 q i +2q2) De otra forma: T[(p2, q2)] =(3p,, 2q,)+ (3p2, En consecuencia: T [(Pi, qi) + (P2, q2)] = T [(pb qO] + T[(p2, 260 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2) T[c (p, q) ] = T [(cp, cq)] = (3 (cp), 2 (cq)) = c(3p,2q) = cT[(p,q)] Por lo tanto T[c(p,q)]=cT[(p,q)] Ya que T satisface las propiedades de suma y multiplicación por un escalar, T es una transformación lineal. 11.2 Representación matricial de unatransformación lineal En esta sección se muestra la forma como se representa matricial- mente una transformación lineal. Para facilitar la comprensión del tema se inicia la exposición con la representación matricial de unatransformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W. Teorema1 Sea T: V -> W unatransformación lineal entre dos espacios vecto- riales V y W. Si {ub u2, u3,..., Un} es una base de v, luego T está determinada demanera única porlosvectores deT ^ ) , T(u2), T(u3), ...,T(un). En los siguientes ejemplos se expresan los elementos de los espacios vectoriales como vectores columna. Ejemplos: 1) Sea T: R2 -> R3 una transformación lineal donde: 3 9 -2 261 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

ya que: o 1 -3 5T = (-3)T /i \\ +5 v-2, Matricialmente la transformación lineal que resulta es: \"-3\" 1 _5_ = -27 11 De aquí se infiere que: ' 3 ' \"2\" \" 3 ' \"2\" (-3) 9 + 5 0 = 9 ( - 3 ) + 0 (5) -2 1 -2 1 Donde, 32 \"_ 3\" 90 _5_ -2 1 t T(e2) -3 =T 262 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2) Sea T: R3 —•R2 una transformación lineal en donde: 10 -2 0 0 0 0 Ya que: \" 4 \" \"1\" \"0\" \"0\" 2 = 4 0 + 2 1 + (-2) 0 -2 0 0 1 4 + 2T (-2)r 2 = 4T -2 -2 (-2) -2 Matricialmente la transformación lineal que resulta es: 20 -2 Al analizar se observa que: -2 2' \"4\" \"-2\" \"2\" +2 (4) + (2) + (-2) (-2) 2 602 263 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

4-2 4 2 60 tf 2 2 t -2 Donde, f(e,) T(e2) T(e3) 4 =T 2 -2 3) Sea T: Rn ~~^ Rm una transformación lineal en donde: {e^ e2, e3,..., en} es la base canónica de Rn, y los vectores T(e,) están definidos para 1 < i < n, de esta forma los vectores T(e,) son: T(e,) = \"22 T(eB) = T(e2) = y el vector X = es cualquier vector en Rn 264 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

ya que: X = x(e! + x2e2 + x3e3 + ... + x,e,+ ... + xnen T(x) = x1T(e,)+x2T(e2)+ x3T(e3)+ ... +x/T(e¿)+ ... +xnT(en) \"en\" \"e12\" \"e13\" \"e,i\" \"em\" e2i eM e23 e2i e2n e3i e32 e33 e3i e3n T(x) = x, • + x 2 • + x 3 + ... + X; + ... + xn • .e-i. . e m 2 . .em3. emi .e«nn. \"11 *\"12 *\"13 e,s ln \"x,\" 2n x2 \"21 *\"22 *\"23 3n 3 \"31 ^32 ^33 T(x) = mn . X n . \"31 C32 C33 e2i ... e3i ... T(x) = X ^^^ ^^W, ^^fck em¡ ^^^' T ( x ) = [T'(e,) T(e2) T(e3) ... T(e,) ... X T(x) = STX 265 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

De esta forma se obtiene que para cualquier transformación lineal T : Rn ~> Rm corresponde una matriz ST de m x n, tal como para todo X en Rn . La matriz ST se conoce como matriz estándar o canónica de T. Teorema 2 Sea T : R3 - * R3 una transformación lineal. Luego entonces existe una sola matriz estándar (ó canónica) tal que, para toda X en Rnes T (x) = ST X, en donde la columna z-ésima de ST es T (e^, y {el5 e2, e3,..., ei5..., en} es la base canónica de Rn. Ejemplo: Sea T : Rn —•Rmuna transformación lineal definida como: T[(p, q, r)]=(p + 3q, 2p + q + 5r, - p + 2r) Para obtener la matriz estándar (ó canónica) ST, se procede de la siguiente forma: 1) Se obtienen los vectores T (e¡). En este caso se requieren 3 vectores. T ( e i ) = ( l , 2 , -1) ,T(e2) = ( 3 , l , 0 ) , T (e3) = (0, 5, 2) 2) Se reescriben los vectores como vectores columna para for- mar la matriz estándar, ST. 1 3 0\" ST = 2 1 5 -10 2 3) De acuerdo con el teorema 2, T (x) = ST X 266 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 3 0' X, 2 15 -1 0 2 x2 x3 T(x) = STX De esta forma se prueba que la matriz estándar o canó- nica del ejemplo es: 1 30 2 15 ST = -10 2 267 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Capítulo 12 Valores y vectores propios Objetivos; Al finalizar £ste capítulo, el lector: V Comprenderá la importancia de los valores y vectores propios. S Calculará los valores propios de una matriz A de orden n x n. / Obtendrá íos vectores propios de una matriz A de ordeá 12.1 Introducción Una de las utilidades de los valores y vectores propios1 en las ciencias sociales, la economía y la administración, es que permi- ten obtener transformaciones lineales que especifican un nuevo sistema de ejes de coordenadas, que permiten describir en forma más sencilla comportamientos analizados. Por ejemplo, suponga que tiene una transformación lineal T: R3 —• R3, y que requiere tres vectores ul5 u2 y u3 para construir ejes de coordenadas, de tal forma que éstos permanezcan 1 Estos conceptos también se conocen como valores y vectores caracterís- ticos. En algunos textos aparecen los términos híbridos eigenvalores y eigenvectores, en éstos se utiliza el término alemán eigen, que significa propio. 269 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

iguales al aplicarse la transformación T. Esto puede lograrse si T(u1) = c1u1? T(u2) = c2U2 y T(u3) = c3u3, aquí los escalares c1? c2 y c3 son * 0. Los vectores c ^ , c2u2 y c3u3 generan los mismos ejes de coordenadas de u b u2 y u3 pero con diferentes o iguales unidades, ver figura 12.1 Figura 12.1 /• 12.2 Valores propios Sea A una matriz de orden n x n. Una matriz u no nula de dimen- sión n x 1 es un vector propio de A si tiene un escalar real de A, (lambda) de forma que: Au = A,u Donde: X= valor propio de lamatrizA, el cual corresponde al vector u. u = vector propio. Para una matriz A de orden n x n es conveniente obtener todos sus vectores propios, así como sus correspondientes valores característicos, para ello aplicaremos los siguientes teoremas: 270 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Teorema 1 El escalar X es un valor propio de una matriz A de orden n x n si y sólo si, X tiene solución real en la ecuación det (k I- A) = 0 Ejemplo: 15 - 6 SeaA = - 6 6 Aplicando XI - A se tiene 1O 15 - 6 Xl-A = X O 1 -6 6 XO 15 - 6 OX -6 6 -15 6 6 A,-6 Enseguida se aplica el det (k I - A) = 0, y se obtiene la ecua- ción propia de A -15 det(M-A) = =0 -Ecuación propia de A 271 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

= X2-21X + 54 = 0 = (X-3)(X-18) = X, = 3, X2=18 Valores propios de A Ya que el det (XI - A) = 0 tiene solución real, X, = 3 y son valores propios de la matriz A n x n = [15 - 6 VV -6 6 244 2) SeaB = 4 2 4 442 Aplicando XI - B se tiene: \"1 0 0\" 2 4 4 00 244 XI-B =X 0 1 0- 4 2 4=0 X 0-4 2 4 0 0 1 4 4 2 0 0 x_ 4 4 2_ X-2 -4 -4 -4 U-B = -4 X-2 X-2 -4 -4 Aplicando det (XI-B)=0 sedeterminalaecuación propia de B. X-2 -4 -4 det - 4 -4 =0 -4 -4 X-2 272 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

X-2 -4 -4 -4 X-2 -4 -4 -4 A,-2 A.-2 -4 -4 -4 A.-2 -4 -2)|^ = (A,-2)3 -128 - [l6(A. - 2)+ 16(X - 2)+ 16 (A. - 2)]= O = (k-iy - 128 - 3(16 X - 32 ) =O = (X-2J -128 -48A,+ 96 = 0 = (X-2y -48X-32 =0 = X3- 6X2+ 12A, - 8 - 48A, - 32 = 0 A partir del polinomio propio se simplifica y se obtiene la ecuación propia. = X3 - 6X2- 3 6A,- 40 = 0 * Ecuación propia de B Si al resolver la ecuación propia de B se obtienen soluciones reales, éstas son valores propios de la matriz B. Las soluciones de = X3- 6A,2-36A, - 40 = 0 son: X¡= -2, X2 — 10 Ya que Xx y X2 tienen soluciones reales, son valores propios de la matriz B. 273 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

- 2 O O\" 3) SeaC = 0 - 4 0 00 8 Al aplicar XI - C resulta: 1 0 0 - 2 0 0\" 'X 0 0' '-2 0 0\" 0 1 0 - 0 -4 0 = 0 X 0 - 0 -4 0 001 0 0 8 00X 0 0 8 u-c = 1 +2 0 0 0 X+ 4 0 =0 0 A.-8 0 Cálculo del det (XI - C) = 0 X-±2 0 0 det (A. I-C) = det (3 X. + 4 0 =0 (3 0 x-s X+2 0 0 0 X+ 4 0 0 0 X-S = X+2 0 0 0 A,+ 4 () 274 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

= (X + 2)+ (A, + 4)+ (X - 8 ) - [O + O+ 0] =O De aquí se obtiene que las soluciones del det (XI - C) = 0 son reales: Xx =-4, X2= -2 y X3= 8, por lo tanto son valores propios de la matriz C. 12.3 Vectores propios Teorema 2 Sea X un valor propio de una matriz A de orden n x n. El conjunto Ex de todas las matrices columna de orden n x 1 en Rn? tales que Au =Xues un subespacio de Rn y se conoce como espacio o vector propio de A correspondiente al valor propio X. Para obtener los vectores propios (u) correspondientes a los valores propios (X¡) se haya el espacio solución de (A,,I - A) u = 0, para ésto se desarrollan dos pasos: 1. Se calculan los valores propios Xi9para cada i = 1, 2, 3,..., k. 2. Se obtienen los vectores que resultan de resolver el espacio solución (X¡I - A) u = 0 para / = 1, 2, 3,..., k. Ejemplos: 1) Obtener los valores y vectores propios de la matriz: 15 - 6 A= -6 6 a) Cálculo de los valores propios X0 0X 275 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

det(XI-A) =det L6[ \" A , - 1 5 X-6 = 0 = X2- 2\\X + 54 = (X- 3) (X -18) = 0 = (X-15)(X-6)-36 < Valores propios deA X, = 3, X2=18 b) Cálculo de los vectores propios. Cálculo del vector propio asociado a X! = 3 Para calcular el vector se obtiene el espacio solución (X, I -A) u = 0 para X, = 3 -15 6 (XI-AH 6 X- 6 1(3 I - A) u = 3-15 6 -12 6 T x l fO JL J U6 3- y. (1) -12x +6y\" -12x + 6y = 0] (2) 6x-3y 6x-3y = 0l El espacio solución puede obtenerse reduciendo el sistemade ecuaciones, o reduciendo los renglones de la matriz de coefi- cientes. • Reduciendo el sistema de ecuaciones (2) se obtiene: 276 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

-6x + 3y = O 3y =6x y = 2x ó 2x = y 1 x=-y • Reduciendo los renglones de la matriz de coeficientes (1) resulta: 16 r i r -12 6 ' 12 1 2 i2 6 _^ 13 11 00 6. 2 La solución de la ecuación se obtiene de: 1 1X 1 \"o\" 2~ X 2~ y 0 0 0 .y. 0 x--y=0 De esta forma el espacio solución, es el conjunto de todos los vectores de la forma: Así el vector propio E, que corresponde a X = 3 es: 277 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Comprobación: Utilizando Au = A,u 15 -6' u= 6 A= -6 \"15 - 6 ' \"l\" \"1\" 2 =3 2 -6 6 1 1 222 -3 + 6 = 3 • Cálculo del vector propio asociado a A^ = 18 ,-15 6 (U-A) = 18-15 6 Txl 6Tx 6 = »lyJ l(18I-A)u = (3) 18-6 • K l -3x + 6y (4) 6x + 12y 12y = Reduciendo el sistema de ecuaciones (4) se obtiene: 3x + 6y = 0 x = -2y 278 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

De esta forma el espacio solución es (-2y, y) = y (-2, 1); es decir el vector propio E2 que corresponde a X2 = 18 es E2 = s{-2, 1}. Comprobación: Utilizando Au = Xu 15 -6~ -2 = 18 A= 6 u= -6 15 - 6 \"-2' '-2' = 18 -6 6 -30-6 = -36 • , 12 + 6 = 1 8 / 2) Obtener los valores y vectores propios de la matriz 10 02 A= 2 20 20 -14 a) Cálculo de los valores propios Aplicando XI - A = A se tiene: 1 0 0\" \"10 0 2 'X 0 0 10 0 2 0 1 0- 2 2 0=0 X 0- 2 2 0 0 0 1 -14 2 0 0 0 X -14 2 0 279 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

A.-10 0 -2 -2 X-2 0 14 -2 X Utilizando det (XI- A) = 0 se determina laecuación propiadeA: X-\\0 0 - 2 det - 2 X-2 0 = 0 14 -2 X X-10 0 -2 -2 A—2 0 -2 X det 14 0 -2 X-10 X-2 0 -2 = (X - - 8- [- - 2)] - \\0X2 + 20X - 8 + 281 - 56 = X3 -12X.2 +48X.-64 = La solución de X3 - Y2X1 + 48X - 64 = 0 es X = 4 280 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Comprobación: 43-12(4)2+48(4)-64 = 0 64-192+192-64 = 0 El valor propio de la matriz A es X = 4 b) Cálculo del vector propio asociado a A, = 4 A,-10 0 -2 -2 X-2 0 14 -2 X 4-10 0 - 2 X - 6 0 - 2 X \"0\" (41 - A) u = - 2 4-2 0 y = - 2 2 0 y = 0 (5) 14 - 2 4 z 14 - 2 4 z 0 -6x Oy -2z 0 -6x -2z = 0^ (4 I - A) u = -2x 2y Oz = 0 —2x+2y =0 (6) 14c -2y 4z 0 14x-2y+4z =0 Resolviendo el sistema de ecuaciones (6) se tiene: -6x - 2z = 0 -6x = 2z x= 2 z -6 x=--z 281 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

-2x + 2y =O -2x = - 2y x=y 1 14x-2y + 4z= 0 14x-2x + 4z= 0 12x + 4z= 0 4z = -12x z =-3x 3 z=z Comprobación de los valores obtenidos en el sistema de ecua- ciones (6) «1' 1 =0 2z -2z == 0 • A< l z] +2 =0 (\" 3Z - —2 z = 0 3 282 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

z + —z + 4 z = 0 33 12 4z = 0 4z 4z =0 • En consecuencia el vector propio que corresponde a X = 4 es: 11 Comprobación de que E es un vector propio: Utilizando Au = A.u 10 0 2 1 3 A= 2 2 0 -14 2 0 1 u= 3 10 0 2\" r r 2 20 -14 2 0 3 i 1 3 3 =4 1 1 283 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

33 _2_!2= _ 4 3 3\" 3 y~ ?= 12 , Todos los elementos del vector cumplen con la igualdad Au = ^u. En consecuencia, el vector es un vector propio de la matriz A, correspondiente al vector pro- pio X = 4. 284 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Capítulo 13 Aplicaciones Objetivos; Al terminar vste capítulo, el lector: V Podrá aplicar matrices en la solución de problemas eco* nómieos de: Insumo-Producto. Ingreso Nacional. Modelos de Mercado. * Diferenciar que operación matricia! usar en la solución de un problema reáL En éste capítulo, se presentan tres ejemplos tradicionales del uso del álgebra lineal y matrices en el campo de las Ciencias Sociales; el análisis de insumo-producto, el modelo de ingreso nacional, y un modelo de mercado para dos productos. 13.1 El análisis de Insumo-Producto La matriz de insumo-producto desarrollada por Wassily W. Leontief 'señala las interrelaciones de oferta y demanda existentes entre los diversos sectores de una economía durante cierto perio- do de tiempo. 285 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La matriz de insumo-producto se construye con los datos ob- tenidos del cuadro de transacciones interindustriales, éste muestra como se Ínterrelacionan todas las industrias, en el sentido de que cada una adquiere productos fabricados por los demás a fin de llevar a cabo su propio proceso. Enseguida se presenta un ejemplo hipotético de una econo- mía abierta simplificada, en la que sólo participan tres sectores, (agricultura, manufactura y servicios), complementados con la \"de- manda final\" la cual está integrada por las familias, el gobierno, etc. Cuadro 13.1 Transacciones interindustriales \\Tompras Demanda intermedia Demanda Producción Ventas X . SI S2 S3 final bruta SI 200 300 400 100 1000 900 200 2200 S2 500 600 700 400 2700 S3 300 1300 Siguiendo el cuadro de transacciones interindustriales 13.1 encontramos que cada uno de los sectores aparecen en un renglón y en una columna formando lo que se conoce como demanda in- termedia. Una cuarta columna forma la demanda final cuyos asientos sumados a los totales de la demanda intermedia constituyen la producción bruta de cada uno de los sectores en un determinado periodo, (quinta columna). Contablemente el cuadro es de doble entrada, los renglones registran las ventas, las columnas las compras. Cada registro re- presenta el valor de los productos, normalmente están expresados en unidades monetarias a precio de mercado. En el ejemplo, del total de la producción del sector 1; 200 unidades sirvieron de insumo al mismo sector 1, 300 pasaron al 286 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

sector 2, 400 fueron vendidas al sector 3 y 100 llegaron en forma directa al sector de demanda final. (200 + 300 + 400+100=1,000) El análisis de insumo-producto permite estimar la producción total de cada sector si existe cambio en la demanda final; todo esto bajo el supuesto de que la estructura básica de la economía perma- nece ceteris paribus, es decir sin cambio alguno. Este importante supuesto significa que, para cada sector, debe permanecer fija la cantidad invertida en cada uno de los insumos por cada unidad monetaria invertida. La matriz de coeficientes técnicos de insumo-producto Es necesario introducir la notación necesaria para simbolizar las relaciones entre producción; demanda intermedia y demanda final que resultan del cuadro 13.1 que se esta considerando. Simbolizando con X¡ la producción bruta del sector /, esto es: x, 1000 x2 = 2200 _X3- 2700 Con y¿; se representa la demanda final del sector /, así: \"y,\" 600 y2 = 200 y3. 400 Xy, representarán las ventas que el sector i ha efectuado al sectory, esto es: 287 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

x l l X12 X13 200 300 400 X 2 1 x22 x23 = 500 600 900 X31 X32 X33. 300 1300 700 Debido a que la producción bruta de cada sector es igual a la suma de las ventas a demanda intermedia más las ventas a deman- da final, las relaciones entre producción y demanda se pueden ex- presar como sigue: X, = xu + x12 + x13 + y, X2 = x21 + x22 + x23 + y2 (I) En término matriciales: xx l l 12 X 1 3 1\" \" y / X2 x21 X 2 2 X 2 3 • 1 + y2 xX 3 1 X 3 2 33 1 .y 3 Para encontrar la cadena de reacciones directas e indirectas que tienden a modificar todo el flujo de transacciones interindus- triales, se elabora una matriz que se conoce con el nombre de matriz de coeficientes técnicos o matriz de insumo producto, en algunos textos se conoce como matriz de coeficientes de requerimientos directos por unidad de producción bruta. Retomando el cuadro de transacciones intersectoriales se tiene que en cada transacción existen dos sectores; el sector vendedor i y el sector comprador y. Relacionando cada Xy (ventas del sector i al sector j) con la producción bruta Xj5 del sector comprador, efec- tuando el cociente x^/Xj, que define el coeficiente técnico a^ el 288 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

cual representa los requerimientos de insumos del sector / necesa- rios para producir una unidad de productoy. También los insumos que venden los sectores proveedores varían en la misma propor- ción en que se modifica la producción bruta del sector que los adquiere. Con estos supuestos se calculan los coeficientes técnicos como sigue: X, 1000 X, 1000 X, 1000 xí2. = J00_ 12 X 2 2200 _ x22 _ 600 22 X 2 2200 1300 X 2 2200 13 X 3 2700 X 3 2700 33 X 3 2700 289 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Al fabricar productos por valor de 1,000 unidades el sector 1 (an, a2i, a31) adquiere 200 de sus propias unidades, 500 unidades del sector 2 y 300 del sector 3. Por consiguiente, por cada unidad monetaria de producción, el sector 1 invierte 200/1000 = 0.20 = $0.20 en compras a sí mismo; 500/1000 = 0.5 = $0.50 en compras al sector 2, y 300/1000 = 0.3 = $0.30 en compras del sector 3. De esta forma se obtiene la matriz de coeficientes técnicos, ay siguiente: a21 a22 a23 0.2 0.136 0.148 0.5 0.273 0.333 0.3 0.591 0.259 Regresando al sistema de ecuaciones (I) X , = ¿ xiJ i = 1,2, 3 (II) si se reemplaza cada x¡j por su equivalente a¡j • Xj se tiene el siste- ma de ecuaciones: i =1,2,3 (ni) J=I que se puede escribir matricialmente así: ail ai2 \"x,\"ai3 \"yi\" (IV) a21 a22 xa23 • 2 + y2 (V) a31 a32 a33. . X 3 . .ya. o en forma simbólica: X=AX+y 290 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El que los coeficientes a^ no varíen durante un cierto periodo de tiempo nos permite utilizar el sistema de ecuaciones (V) con el cual podemos determinar el nivel de producción bruta que se re- quiere en cada sector para satisfacer la demanda final prevista para el periodo siguiente. Si se supone que se requiere satisfacer un aumento en la demando final para el próximo periodo en 50 uni- dades en el sector 1 (agricultura), 50 unidades en el sector 2 (ma- nufactura) y 80 unidades en el sector 3 (servicios); la pregunta a responder es: ¿Cuáles son los valores Xl5 X2 y X3 que cubren esos incrementos?. Esto se resuelve si en el sistema de ecuaciones ex- presamos una relación funcional entre producción bruta y deman- da final en que el vector X es la variable dependiente y el vector \"y\" es la variable independiente. Operando algebraicamente sobre la expresión simbólica (V): X = AX + y X - AX = y IX - AX = y IX = (I - A)1 y La matriz (I-A) es llamada matriz de Leontiefy la matriz (I- A)1 matriz inversa de Leontief, o \"matriz de coeficientes de re- querimientos directos e indirectos por unidad de í(demanda fi- nar. En este ejemplo, se tiene que: 291 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 0 0 0.2 0.136 0.148 0.8 -0.136 -0.148 M= 0 1 0 - 0.5 0.273 0.333 = -0.5 0.727 -0.333 0 0 1 0.3 0.591 0259 -0.3 -0.591 0.741 0.8 -0.136 -0.148 2.566 1.416 1.150 -0.5 0.727 -0.333 3.532 4.116 2.559 -0.3 -0.591 0.741 3.857 3.857 3.857 Esta matriz inversa se utiliza con fines de proyección después de haber verificado que los datos estén correctos para el año que se esta considerando. Por esto debe cumplirse X(0) = [i - A J\"1 y(0) en donde: 1000 100 2200 .y \"y\"= 200 2700 400 Al sustituir valores se tiene que: \"2.566 1.416 1.150' 100' \"1000 X(0) = 3.532 4.116 2.559 200 = 2200 3.857 3.857 3.857 400 2700 comprobándose la igualdad de los valores originales. Regresando ahora a los incrementos previstos en la deman- da final se tiene que satisfacer para el año próximo: \"100\" \"50\" 150 yO) = 200 + 50 = 250 400 80 480 que sustituidos en la ecuación: 292 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

permiten obtener los siguientes niveles estimados: 2.566 1416 1.150 150 1291 .15 3.532 4.116 2.559 • 250 « 2787 .13 3.857 3.857 3.857 480 3394 .29 De aquí se deduce que para satisfacer la demanda final pre- vista, de 50 unidades de productos agrícolas, 50 unidades de pro- ductos manufactureros y 80 de servicios, se debe generar una producción bruta de 1291.15 unidades en el sector 1,2787.13 uni- dades en el sector 2 y 3394.29 unidades en el sector 3. Comparando el vector X(1) con el vector X(o), se obtienen las cifras del incremento de producción de cada sector necesarios para satisfacer el incremento previsto en la demanda final. 1291.15 1000 291.15 2787.13 - 2200 = 587.13 3394.29 2700 694.29 así, para satisfacer los incrementos previstos de demanda final sectorial de: 50 AY = 50 80 debe generarse una producción bruta en el sistema de: \"291 .15' AX = 587.13 694 .29 293 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Aquí contrastamos la falta de proporcionalidad entre ambos in- crementos de demanda final (Ay) y producción bruta (AX). Esto se debe a lo complejo de las interrelaciones entre sectores que determinan efectos indirectos de relativa importancia. 13.2 £1 ingreso nacional El ingreso nacional es un modelo que permite cuantifícar la pro- ducción global de un país durante un periodo de tiempo que gene- ralmente es un año. En éste se integra y registra la producción privada, gubernamental y mixta que se realiza en una nación, así como el intercambio comercial con el exterior. También se asienta el ingreso que perciben quienes proporcionan los factores de la producción (capital, trabajo etc.) y el destino de dicho ingreso, (consumo, ahorro o inversión). Del ingreso nacional se deducen una serie de categorías macroeconómicas básicas para entender la dinámica de la econo- mía de un país, astas categorías son: 1. Producto Nacional Bruto (PNB) 2. Producto Interno Bruto (PIB) 3. Producto Nacional Neto (PNN) 4. Ingreso Nacional (IN) 5. Ingreso Privado (I Priv.) 6. Ingreso Personal (I Pe) 7. Ingreso Personal Disponible (I Pe D) John Maynard Keynes, hace un análisis macroeconómico del sistema capitalista, en el que plantea un posible equilibrio econó- mico general que existe cuando el ingreso nacional es igual al consumo nacional más el ahorro nacional. De manera que: Ingreso Nacional = Consumo Nacional + Ahorro Nacional Y=C + A 294 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

El ahorro nacional (A) es igual a la inversión nacional (I), por lo que: Y=C + I Se observa que el equilibrio económico existe porque: • El ingreso es igual a la producción, es decir, a la oferta, repre- sentado por Y que a su vez es igual a la demanda, es decir, consumo más ahorro. • Los ingresos (Y) son iguales a los \"gastos\" (C + I). Si el Ingreso Nacional se incrementa tiene que aumentar el Consumo y la Inversión, de manera que: AY = AC + AI Para Keynes uno de los factores básicos de la dinámica económica es la inversión, por lo que es necesario incrementarla e impulsarla ya que lleva consigo un efecto multiplicador en la economía. El multiplicador de la inversión expuesto por Keynes es igual al recíproco de la propensión a la inversión, lo que provoca que los efectos de una inversión inicial sean mayores a ésta en un múltiplo de ella que es precisamente el multiplicador. Esto se debe a que una inversión inicial incrementa la producción, ésta a su vez al empleo y por lo tanto la demanda, lo que provoca el incremento de la producción y nuevamente se incrementan el empleo y con el la demanda. Este ciclo (Inversión, producción, empleo y deman- da) se activa através del multiplicador teniendo como límite el que éste señala. La forma del multiplicador es: AY _ I AI \" I - AC 295 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La inversión depende de lo que se gaste en cosumo (propen- sión al consumo), ésto también determina al multiplicador, ejem- plo: Supongamos que el ingreso (Y) es igual a 100, que el consu- mo (C) es igual a 80.y que la inversión (I) es igual a 20 Si Y = C + / , entonces 100 = 80 + 20 En este caso, la propensión al consumo es de 80%, lo que quiere decir que de cada $100 de ingreso se destinan $80 (80%) al consumo y $20 (20%) a la inversión. Si el multiplicador es el inverso de la propensión a la inver- sión que es de 20% entonces K= 5. Manteniendo la misma pro- pensión al consumo y a la inversión, con el multiplicador de 5 el ingreso se incrementa a 500 el consumo a 400 y la inversión a 100, por lo que el nuevo equilibrio general queda como: 7(500) = C (400) + 7(100) Un modelo simple del ingreso nacional Keynesiano puede ser resuelto mediante el empleo de la regla de Cramer. Con ésta se obtienen los valores de equilibrio para el ingreso ( y ) y el Consu- mo ( C ) . Suponga el modelo de dos ecuaciones simultáneas. Y = C + lo + Go C = a + by Donde los parámetros Go = Gasto del Gobierno (variable exógena). lo = Inversión determinada exógenamente 296 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Parámetros a = Consumo autónomo. independientes y b= Propensión marginal al consumo. compatibles a>o y o<b<1 Definidos los parámentros y las variables exógenas (lo, Go, a y b) así como las restricciones para a y b. El sistema de ecuaciones puede ser planteado de las siguiente forma: Y-C = Io + Go -bY+C = a De esta forma las variables endógenas Y y C aparecen única- mente en el primer miembro de las igualdades, en tanto que las variables exógenas y los parámetros independientes aparecen sólo en el segundo miembro. La matriz de coeficientes toma ahora la forma: 1 -í Io+Go\" y el vector columna de las constantes (datos) -b 1 a La suma de lo + Go se considera como una entidad única, es decir, un elemento simple del vector de constantes. La regla de Cramer conduce a la solución siguiente: (Io+Go) -1 (Io+Go)+a a1 siempre que b Y= 1 -1 -b 1 297 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 (Io + Go) a + b(Io + Go) siempre que b -b a c= 1 -1 -b 1 Otra forma de resolver los valores de equilibrio de C e y es mediante la inversa de la matriz de coeficientes. Dado que la matriz es: \"1 - í 1b A= su matriz de cofactores será de manera que: -b 1 11 laadj A= 11 y la matriz inversa es A ' = — adj A , A 1 ^ - , b l |AI 1 b b l De esta manera el sistemade ecuacionesAx= d sesoluciona como: x = A\"'d Donde x = y d = Io+Go con lo cual el presente modelo se resuelve haciendo: 1 l T l o + Go (lo + Go) + a 1-b b 1 a 1-b b(Io + Go) + a Obteniendo los valores de equilibrio y y C Go) + a 1-b siempre que b 298 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

-^ _ b(Io + Go) Mismos valores obtenidos por medio de la regla de Cramer. Un ejemplo numérico (I) (II) Consideramos ahora los datos siguientes: Io= 40 Go=100 a= 5 b = 0.60 Del sistema de ecuaciones: Y = C + lo + Go C = a + by hacemos: Y - C = lo + Go -by + C = a Sustituyendo valores en (II) Y - C = 400 + 100 -.60Y + C = 5 Construyendo la matriz 1 -1 A= -.60 1 299 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Obtenemos el ingreso de equilibrio ( y ) de manera que: 140 - 1 140 + 5 _ 145 = 362 .5 51 1-.60 ^40~ Y = 1 -1 -.60 1 1 140 5 + 84 89 -.60 5 1 - .60 = 222.5 y c = 1 -1 .40 -.60 1 Sustituyendo y y C en las ecuaciones del sistema 1 Y =362.5 = 222.5+ 40+ 100 = 362.5 = 362.5 C = 222.5 = 5+ .60(362.5) 222.5 = 5 + 217.5 222.5 = 222.5 también en el sistema II sustituimos y y C 362.5-222.5 = 40+100 140 = 140 -.60(362.5) + 222.5 =5 -217.5 + 222.5 =5 5 =5 Cumpliendo de esta manera los valores de equilibrio de C y Y e n el sistema. Ahora obtenemos C y Y mediante la matriz inversa 300 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]