MORALES_ALQUICIRA_ANDRES_Introduccion_al_algebra_lineal_y_de

-3 -7\" 3 7 -45 -6 1 45 45 El vector solución X es 6 1 45 45 45 7 45 \"27\" X= 19 6_ 45 45. La solución de un sistema es Xj = 3 y x2 = 4 2) Resolver el sistema de ecuaciones X - y+z = 2 X + y+z = 4 2x -t-2y- z -4 La ecuación matricial r\"1 - 1 V 2 1 1 1 x2 = 4 2 2 - 1 X, - 4 La matriz de coeficientes 1 -1 A= 1 1 2 -1 201 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La matriz de cofactores \"-3 3 0' 1 -3 -4 -2 0 2 El determinante de A se encuentra tomando la columna 3 de la matriz A y A . La matriz transpuesta de cofactores \"-3 1 -2' K= 3 -3 0 0 -4 2 Matriz inversa de A \"-3 1 -2\" A---L 3 - 3 0 —o 0 -4 2 El vector solución es 3 1 2\" 666 2\" 330 4 ~6 6 6 -4 042 666 202 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

-f x= 1 4 La solución del sistema e s x 1 = - l , x 2 = l y x 3 = 8.4 Regla de Cramer Es un método para resolver un sistema de \"n\" ecuaciones lineales con \"n\" incógnitas, a través de los determinantes, empleando los siguientes pasos. Sea el sistema: a i l X l + ai2X2 + - + ainXn = C l = C2 1. Encontrar la ecuación matricial del sistema de ecuaciones I AX = C 2. Encontrar el valor de la variable j-ésima, empleando la expre- sión A; X: = — 1A 2.1 A j se obtiene al reemplazar laj-ésima columna de A con el vector columna C. 203 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Cuando |A| = 0 y X. no está definida, entonces A es singular, y el sistema de ecuaciones no tiene solución o se obtienen un número infinito de soluciones. Si |A| & 0, existe una solución única. Resolver el sistema 11X1 + ai2X2 ~ IC l \\ •21X1 + a22X2 = C2) Ecuación matricial del sistema de ecuaciones (I) X *12 LC2J l22j La2i Encontrar la expresión para x c a22 a12 x, = a-n a21 a22 Encontrar la expresión para x all cl 21 12 22 Por ejemplo 1) Resolver el sistema mediante la regla de Cramer 204 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 2x,- Ecuación matricial del sistema de ecuacionesII 3 5' -4 X 2 -1 Encontrar la expresión para X y elvalor de la misma 75 7(-l)-(-4)(5) - 7 +20 13 -4 -1 3(-l)-(2)(5) = -1 X, - -3-10 -13 35 2 -1 Para X, 37 -3(-4)-2(7) -12-14 -26 = 2 - 2 -A -13 -13 -13 X, = 35 2 -1 Por lotanto lasolución esx{ =-1 y x2= 2 2) Resolver elsistema mediante laregla de Cramer Xj + x 2 + x3= 4 III 2Xj - 3x2 + 5x3 = -5 3x, +4x2 + 7x3= 10 205 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ecuación matricial del sistema de ecuaciones III X a21 a22 a23 33 Encontrar el valor de X, 4 11 -5 -3 5 10 4 7 -69 X, = =3 1 1 1 -23 2 -3 5 347 Encontrar el valor de 14 1 2 -5 5 3 10 7 - 4 6 X2 = 1 1 1 =2 2 -3 5 347 Encontrar el valor de X3 206 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 14 2 -3 5 Y 3 4 10 23 A3 1 1 1 -23 2 -3 5 347 Por lo tanto la solución es x, = 3, x2 = 2 y x3 = 1. 207 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Capítulo 9 Determinantes y transpuestas con excel Objetivos; Al terminar este capítulo: V El lector será capaz de obtener determinantes y trans- puestas de una matriz utilizando Excel. 9.1 Introducción La hoja electrónica de Excel resuelve la totalidad de las operacio- nes que se desarrollan con determinates de una matriz utilizando pegar función y la función MDETERM. Para el caso de la matriz transpuesta se utiliza el menú Edición, transpuesta de una matriz y pegado especial; porque en este caso sólo se trata de un ordena- miento de datos. 9.2 Determinantes El determinante de la matriz B es = -1 \"2 1 0 ira 1 3 2 12 1 209 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Para calcular el determinante de una matriz se utiliza la fun- ción MDETERM, la cual se obtiene seleccionando de la barra estándar <Pegar función>, <Matemáticas y trigomométricas>, <MDETERM>, ver imagen 9.1 Imagen 9.1 Selección de MDETERM Paste Function IMost Recently Used GCD All INT ¡Financial Lcm ¡Date & Time LCM LN Statistical LOG Lookup & Ref erence LOG10 Datábase Text JISJH3; Logical Information MINVERSE MMULT MOD Enseguida aparece una ventana que solicita la identificación de las celdas en que se encuentran los elementos de la matriz a la que se le calculará el determinante, ver imagen 9.2 Ya que el valor del determinante es único, esta operación no requiere expanción de fórmula. La imagen 9.3 muestra que el determinante es calculado utilizando todos los valores de la ma- triz. 210 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 9.2 Llenado de MDETERM Imagen 9.3 £1 valor del determinante se calcula utilizando todos los elementos de la matriz. 211 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

9.3 Tanspuesta La transpuesta de una matriz se obtiene utilizando el menú Edi- ción. En'este caso más que una operación es un ordenamiento de elementos. Procedimiento: 1. En primer lugar hay que rotular y capturar los datos de las matrices. 2. Enseguida se selecciona la matriz a transponer. 3. Después se selecciona \\% celda donde se desea aparezca el primer elemento de la transpuesta. 4. Se selecciona el menú Edición, ver imagen 9.4 5. Se pulsa <Pegado especial><Pegar valores><Operación nin- guna>, en la parte inferior de laventana depegado especial se selecciona transponer y aceptar, verimagen 9.5. Latranspuesta aparece iniciando en la celda seleccionada, este proceso no requiere expanción de fórmula, ver imagen 9.6 Imagen 9.4 Uso delmenú Edición para transponer unamatriz f* % ; OH+C * MATRIZ \"B\"\" «J.L TRANSPUESTA DE^B^ ^~ 'a'j &**** si * 2 10 1 32 1 21 « I *** |H (**«$*» 9; ¿j M0BA» Ctrí+H ' Orl+G ÍSJ J.ÍL.... _ t • • ...f1 í/wd-Matriz p£M¡cxo*oft E*c«rf - E 212 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Imagen 9.5 Uso del menú Edición para transponer una matriz ;/-';-\"' 1/ ;- OK , I ' Cancel J Imagen 9.6 Matriz transpuesta lío 'V« \"pTjr;gjtpi ZE r - í l ElIfO i H '] I I i L K JLi MATRIZ B k. 2 1 ± 13 02 JL 'L 1 i£ 14| Bookl^ 213 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Capítulo 10 Algebra del espacio Objetivos: Al finalizar este capítulo, el lector : S Construirá los ejes coordenados empleando vectores. S Identificará vectores linealmente independientes. S Gererará subespacios en W* y conocerá su dimensión. S Identificará el rango de una matriz. S Generará bases ortonormales en$Hr>t 10.1 Introducción En esté capitulo se estudia la forma de obtener los ejes coordenados empleando los vectores, y también utilizando los conceptos de independencia lineal, conjuntos generadores y bases, desarrolla- dos en capítulos anteriores. 10.2 Ejes de coordenadas usando vectores A partir de cualquier par de rectas que se cortan se pueden cons- truir ejes de coordenadas si las rectas son perpendiculares. Por ejemplo considere dos vectores unitarios u y v perpendiculares en el espacio (euclidiano real) denotado por R2 y un punto de origen 215 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

común de éstos como 0. Ahora bien si P es un punto en el plano R2 como se muestra en la figura 10.1 Figura 10.1 i bv, i P / / V ii / u au Los vectores u^y v desde 0 hasta donde las perpendiculares de P son au y bv, y QP es un vector que se denota como: OP = au + bv Las rectas que contienen a los vectores unitarios u y v se trans- forman en los ejes de coordenadas, y las coordenadas del punto P son (a,b), representándose gráficamente como se muestra en la figura 10.2 Figura 10.2 P(a,b) 216 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Capítulo 10 Algebra del espacio Objetivos: Al finalizar este capítulo, el lector : S Construirá los ejes coordenados empleando vectores. S Identificará vectores linealmente independientes. S Gererará subespacios en W* y conocerá su dimensión. S Identificará el rango de una matriz. S Generará bases ortonormales en$Hr>t 10.1 Introducción En esté capitulo se estudia la forma de obtener los ejes coordenados empleando los vectores, y también utilizando los conceptos de independencia lineal, conjuntos generadores y bases, desarrolla- dos en capítulos anteriores. 10.2 Ejes de coordenadas usando vectores A partir de cualquier par de rectas que se cortan se pueden cons- truir ejes de coordenadas si las rectas son perpendiculares. Por ejemplo considere dos vectores unitarios u y v perpendiculares en el espacio (euclidiano real) denotado por R2 y un punto de origen 215 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

si y solo si Ax=u tiene una solución única, si la columna /-ésima de A=[vbv2,...,vk] es u,. Si tiene solución, los componentes Xj^v-jX^ de x proporcio- nan los coeficientes de la combinación lineal. Ejemplo a) Expresar el vector (7, -4) como una combinación lineal de los vectores u = (3,2) y v = (5, -1), representando los vectores en columnas, y usando como escalares a y b. 35 3a + 5b~ 7 +b 2a -b - 4 2 -1 > v '' u se puede escribir como: 2 -ib o también 3a + 5b = 7 2a - b = 4 se puede encontrar la solución p 5! 7 1- -2R1+R2 o I 3-26 3 3J 2-li-4 2 -1 -4 13 1 O -1 O1 O1 218 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

entonces a = -1 y b = 2, por lo tanto (7, -4) = -u +2 v b) Expresar el vector (6, 5, -10) como una combinación lineal de los vectores u = (l, 1, l),v = (1,-1,-1) y w = (l, 2, -3), represente los vectores en columnas y utilice como escalares a, b y c. \"1\" \" 1\" \" 1 ' a + b + c ' 6 ' 1 + b - 1 + c 2 = a - b + 2c = 5 1 -1 -3 a - b -3c -10 se puede escribir como 11 1a 6 1 -1 2 b = 5 1 -1 -3 c -10 o también a+b+ c= 6 a - b + 2c = 5 a -b -3c = -10 Encontrar la solución 111 6 \"11 1|6 \"1 0 0¡ 1\" 1 - 1 2 5 -R2+R, I -3 I 1 -1 -3'-10 0 2 -l! 1 - R3+R1 o 1 o!2 I I 1 -1 -3¡-10 0 0 1¡3 entonces a= l,b=2yc=3, por lo tanto (6,5,-10) =u+2v+3w. 219 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

10.3 Base en Rn Un subconjunto de vectores en Rn se puede utilizar para formar un sistema de coordenadas en Rn, al cual se le llama base de Rn. Definición: Sea el conjunto {xxh u2,..., uk} de vectores Rn, se le conoce como base de Rn si todo elemento de Rn se puede expresar como una combinación lineal de ub u2, ..-> uk en una y sólo una forma. El método para determinar si un conjunto de vectores S es de base Rn es el siguiente: 1. Formular una matriz A de orden n x n cuyas columnas sean u1? u2,..., uk 2. Para saber si S es base, se debe de cumplir cualquiera de los siguientes casos: a) es invertible, b) el determinante de A es distinto de cero, c) A se reduce por renglones a In. 3. Para saber que S no es base, no se cumplen los casos mencio- nados en el segundo punto. Antes de plantear algunos ejemplos es importante mencionar el teorema 2. Teorema 2 Sean los vectores v1?v2,...,vn en Rn y [Vj,v2,...,vn] la matriz n x n cuya columna / -ésima es vi. a) {vi,v2,.-.,vn} es una base de Rn b) [vi,v2,...,vn] es invertible c) [vi,v2v..,Vn] es In d) Determinante [ v ^ , . . . ^ ] * 0 220 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: 1) Probar que el conjunto de vectores u = (-1, -3, -3), v = (3, -1, 9) y w = (5, 5, 15) no es una base de R3. Formar una matriz A de n x n cuyas columnas son u, v y w -1 3 5 • vectores A = -3 -1 5 - 3 9 15 UVW encontrar el determinante de A -13 5 -3 -1 5 = 0 - 3 9 15 Como el |A| =0, los vectores u, v y w no forman una base de R3 Si empleamos la forma reducida de renglones de A -1 3 5 1 -3 -5 - 3 -1 5 O1 1 - 3 9 15 00 0 Como se observa la matriz A no se puede reducir a I3, enton- ces el conjunto de vectores u, v y w no forman una base de R3. 2) Probar que el conjunto de vectores u = (l, l,2),v = (-l, 1,2) y w = (1, 1, -1) forman una base de R3. Construir la matriz A de n x n cuyas columnas son los vectores u, v y w . 221 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

1 -1 1 A= 1 1 1 2 2-1 UVW encontrar el determinante de A 1 -1 1 A = 1 1 1 = -6 2 2-1 Como el |A| * 0, entonces los vectores u, v y w forman una base en R3. Empleando la formas reducida de renglones de A 1 -1 1 100 1 1 1 ->....-• 0 1 0 2 2 _l 001 La matriz A se pudo reducir a I3 , entonces el conjunto de vectores u , v y w , forman una base de R3. Encontrar la inversa de la matriz A. 3 -1 2 666 -3 3 0 66 4 -2 0 66 Como la matriz A es invertible, el conjunto de vectores u , v y w, forman una base de R3. 222 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

3) Demostrar que los vectores u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) y w = (0,0, 1), son base de R3. Construir la matriz A de n x n cuyas columnas son los vectores \"1 0 0\" A= 0 1 0 00 1 Como se observa la matriz A es de forma \"1 0 0\" 0 10 001 Lo cual nos indica que también es invertible y que su determinante es distinto de cero (|A| = 1), entonces el conjun- to de vectores u, v y w son base de R3. En base al ejemplo 3 podemos plantear la forma general de la base canónica de Rn, en donde los vectores uj = (1, 0,..., 0), U2= (0,1,..., 0),...., un = (0, 0,..., 1), forman el conjunto S = { u b u2,..., un } de la base canónica de Rn. La matriz A de n x n cuyas columnas son los vectores ul5 u2 10 01 A= 0 0 ... 1 es invertible y el determinante de A es distinto de cero. 223 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

10.4 Independencia Lineal Una ecuación vectorial a1u1 + a2u2 + ... + akuk = 0 va a tener por lo menos una solución, los escalares a1 = a2=... = \\ = 0. Un conjunto {ur u2, ..., uk} es linealmente independiente si y sólo si, se tiene una solución única. Entonces la representación única es empleada para la independencia lineal. Definición: Sea el conjunto {ub u2, ..., uk} de vectores en Rn es linealmente independiente, si y sólo si, la ecuación vectorial tiene una solución única, si existen escalares aj = a2 = ... = ak=0 Los pasos para identificar si un conjunto S = {u1? u2,..., uk} de vectores es linealmente independiente, son los siguientes: 1. Se plantea la ecuación vectorial a ^ + a2u2 + ... + akuk = 0, y se resuelve para los escalares a1? a2,... 5 ak 2. Se verifica que la solución única es a! = a2 = ... = ak = 0, entonces el conjunto S de vectores es linealmente indepen- diente. Ejemplo: 1) Mostrar que los vectores u = (3,4,1) y v = (2,1,0) son linealmente independientes = ^ (3, 4,1)+ a2(2, 1,0) = (3alí4alja1) + (2a2, a2 0) = (3a!+ 2a2, 4a1 + a2,a1) =(0,0,0) El sistema de ecuaciones queda como: 224 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

!2 =0 ® 4a! + a2 =0 © =0 ® ai+ 0 al sustituir aj= 0 en la ecuación 1y 2 a2 es igual a cero, enton- ces tenemos una solución única aj= a2 = 0 de la ecuación ai U + a2 v = 0, esto nos lleva afirmar que los vectores u y v son linealmente independientes. 2) Mostrar que los vectores u = (1, 1) y v = (-1, 2) en R2 son linealmente independientes. = (ai,a!) + (-a2+2a2) = ( a r a 2 , a i + 2a2) = (0,0) El sistema de ecuaciones queda como: Entonces la solución del sistema I es única con ai = a2 = 0, y los vectores u y v son linealmente independientes. Definición: Sea el conjunto {uj, u2, ..., uk} de vectores en Rn es linealmente dependiente, si y sólo si, la ecuación vectorial &!**!+ a2u2 + ,,, + a ^ = 0, se tiene una solución en la que no todos los coeficientes ai son iguales a cero. Ejemplo: 1) Mostrar que los vectores u =(1,1), v = (-l,2)y w = (-2,l)en R2 son linealmente dependientes. 225 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

a! u + a2v + a3w = a,(l,l) + a2(-l,2) + a3(-2,l) = (alt a,) + (-a2,2a2) + (-2a3, a3) = (a! - a2 - 2a3 a! + 2a2 + a3) = (0,0) El sistema de ecuaciones queda como: a! - a2 -2a3 = 0 a! + 2a2 + a3 = 0 como puede observarse la solución del sistema no esúnica por lo que los vectores u, v y w son linealmente dependientes. 2) Mostrar que los vectores u = (2,3), v = (1,-1) y w = (0,1) en R2 son linealmente dependientes. l) +a3(0,l) 3a1) + (a2-a2) + (0,a3) a2,3a1-a2 + a3)= (0,0) El sistema de ecuaciones es =0 3a! - a2 + a3 = 0 El sistema no tiene una solución única, entonces los vectores u, v y w son linealmente dependientes. 3) Mostrar que S = {(1, 0), (0, 1), (1, -1)} son linealmente inde- pendientes aj (1,0) + a2(0,l) + a3 (1,-1) = a! u + a2 v + a3 w ai + a2 + (a3-a3) = (0,0) (ai + a3,a2-a3)=(0,0) El sistema de ecuación es: 226 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

al + a3 = O a2 - a3 = 0 Si c * 0 y a2 = c entonces la solución del sistema es a3 = +c, aj = -c, no se obtiene una solución trivial, por lo que S es lineal- mente dependiente. 4) Mostrar que S = {(1, 0), (0,1)} son linealmente dependientes a i + a2 0) + a2(0, 1) =(0,0) Como tenemos una solución única, entonces S es lineal- mente independiente, ya que a\\ = a2 = 0 Teorema3 Los vectores u1 ,u2,...,uk de Rn forman un conjunto de vectores li- nealmente independientes en Rn, si y sólo si, se cumplen cual- quiera de los siguientes casos. a) El determinante de [u1?u2,...,uk] * 0 b) o es invertible [u!,u2,...,uk] c) o[ubu2,...,uk]esln. Ejemplo: a) Mostrar que los vectores u = (1, 1, 2), v = (-1, 1, 2) y w = (1, -1,-1) son linealmente independientes. \"1 - 1 1 a. Det 1 1 1 = - 6 2 2-1 227 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

3^ 66 b. es invertible -O ~6 6 O 4 -2 1-1 1 '1 0 0\" c ' 1 1 1 -» .... -» 0 1 0 2 2-1 00 1 Los vectores u , v y w son linealmente independientes. Los vectores u1,u25...:>uic de Rn forman un conjunto de vectores linealmente dependientes, si y sólo si, se cumplen cualquiera de los siguientes casos: a) El determinante de [u1?u2,...,uk] = 0 b) o si es singular [ui,U2,...,uJ c) o[u1,u2,...,«ij9tIn Ejemplo: a) Mostrar que los vectores u = (-1,-3,-3), v = (3,-1,9) y w = (5,5,15) son linealmente dependientes. -13 5 a. - 3 - 1 5 = 0 - 3 9 15 vectores U VW b. A = 13 5 3-1 5 =0 39 15 228 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La matriz A no se puede transformar en I3, por lo tanto A\"1 no existe, entonces A es singular porque no existe solución de la ecuación c. - 1 3 5 1 -3 -5 - 3 1 5 -».... -» 0 1 1 - 3 9 15 00 0 Teorema 4 Sea el conjunto S = {u1?u2,...,uk}de vectores en Rn es linealmente independiente, si y sólo si, se cumple para cualquier vector v = a^j + a2u2 +... + a^Uk de tal forma que la representación es única. Dos vectores no paralelos (no colineales) en una misma recta, son linealmente independientes. En el espacio tres vectores cua- lesquiera no paralelos en el mismo plano (no coplanares) son li- nealmente independientes como se muestra en la figura 10.3 Figura 10.3 z Teorema 5 Sea el conjunto S = {u1,u2,...,uk}de vectores en Rn es linealmente dependiente, si y sólo si, al menos uno de los vectores del conjunto S se puede expresar como una combinación lineal en términos de los demás vectores. 229 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: a) Si consideramos dos vectores u y v que tienen un punto inicial en el origen en R2, son linealmente dependientes porque son paralelos en la misma recta que pasa por el origen, ver figura 10.4 Figura 10.4 b) Si consideramos un conjunto S de tres vectores {u, v y w } que tienen un punto inicial en el origen de R3, estos serán linealmente dependientes, por que los vectores son paralelos en el mismo plano (coplanares), como se observa en la figura 10.5 el vector w se puede expresar como una combinación lineal w = au + bv de los vectores u y v. Figura 10.5 230 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

c) Sean cualesquiera cuatro vectores A, B, C y D del espacio son linealmente dependientes, si los vectores OA , OB~, OC~ son no coplanares y sea QD~ otro vector. Ahora sí tenemos la res- tas DDj paralela OC entonces D1pertenece al plano AOB, como se muestra en la figura No. 10.6, el vector OD~ es coplanar respecto a los vectores OA~ y OB~ ?entonces OD~ = OD1 + DXD Figura 10.6 Teorema 6 Sea S = {u1,u2,...,uk} un conjunto de vectores en Rn, si k >n enton- ces S es linealmente dependiente. Ejemplo: Sean tres vectores u = (1,3), v = (0,3) y w = (8,2) en R2 son linealmente dependientes, porque k > n, o sea 3 >2. Si un conjunto de vectores S, es linealmente independiente si k < n. Para la dimensión del conjunto de todos los vectores planos es igual a dos, en el conjunto de vectores espaciales de tres, en una dimensión finita (a la cual se le conoce como espacios de dimen- sión finita) y para un espacio de dimensión infinita se puede en- contrar un número tan grande de vectores independientes como se quiera. 231 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Teorema 7 En un espacio lineal de dimensión finita todo conjunto de vectores linealmente independientes puede ser incluido como una base. 10.5 Subespacios en Rn y dimensión Existe un determinado tipo de aplicaciones en el que es necesario utilizar subconjuntos de espacios vectoriales, siendo a su vez és- tos espacios vectoriales. Comenzaremos primero analizando el espacio generado por S. Sea el conjunto de todas las combinaciones lineales de un con- junto arbitrario S, se le conoce como espacio generado por S. Ahora si {u1?u2,...,uk} es un conjunto generado de Rn, se puede decir que los vectores u1?U2v..?uk generan a Rn. Definición: Dado un conjunto {ub u2*,..>iijj de vectores en Rn, e$ un conjunto generador de Rn, si cada uno de los vectores en Rn se expresan como una combinación lineal de los vectores ul9 u2,..., uk de la base. Ejemplo. 1) Mostrar que los vectores u = ( l , l ) , v = ( l , 2 ) y w = (-2,1) no generan a R2. Se considera un vector arbitrario (a, b) como una combina- ción de los vectores u, v y w. 232 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

el sistema se escribe como: 2L\\ + a2 - 2 a3 = a ai + 2a2 + a3 = b En forma matricial: 1 1 -2 1 0 - 5 ! 2a - b 12 1 0 1 3 !-a +b Como puede observarse no hay una solución única, por lo tanto van a existir una infinidad de soluciones, esto nos lleva a que el vector (a, b) también se puede representar en una infinidad de formas en una combinación lineal de los vectores u, v y w. 2) Mostrar que el vector (0, 3) no pertenece al conjunto de vectores u = (-l,2) y v = (-2,6) para generar a R2. Se considera al vector (0, 3) como una combinación de los vectores u y v. a,(-l,2) + a2(-2,6) = (0,3) El sistema se escribe como: -a! - 2 a2 = 0 2 a! + 6 a2 = 3 En forma matricial: -1 -2 \"1 2 | 0 \" 26 0 0 !3 No hay solución. 233 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

3) Los vectores u = (1, 1, 2), v = (-1, 1, 2) y w = (1, 1, 1) van a generar a R3, porque forman una base de R3. Teorema 8 Sea el conjunto S una base de Rn, si y sólo si es un conjunto gene- rador de Rn linealmente independiente. Ejemplo. 1) Los vectores u = (-1,-3,-3), v = (3,-1,9) y w = (-1 ,1,2) no generan a R3 ya que no forman una base de R3. 2) El conjunto de vectores u = (l,1,2), v = (-l,l,2)yw = (1,1,-1) generan a R3, porque forman una base de R3 y son linealmen- te independientes. Sea v un espacio real o complejo, si S es un subconjunto de v, teniendo S las mismas operaciones que v. Podemos decir que S es un subespacio de v si S tiene las mismas operaciones en un espacio vectorial. Definición: Sea S un subconjunto (no vacío) de Rn, es un subespacio de Rn si cumple con las propiedades siguientes: 1. Si u y v pertenecen a S, entonces u + v pertenecen a S, 2. Si u pertenece a S, sea c cualquier escalar, entonces cu pertenecen a S. Esto quiere decir que todas las combinaciones lineales del conjunto S ={u1,u2v.., UjJ de vectores en Rn, que se conocen como 234 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

un espacio generado por S cualquier subconjunto de Rn que satis- faga estas dos propiedades es llamado un subespacio de Rn . Ejemplo: 1) Sea un espacio generado por {(2,3)} en un subespacio de R2, se encuentra en la recta de la figura 10.7 (todo subespacio de Rn siempre tiene una base). Figura 10.7 Este subespacio contiene a todos los vectores en R2 que se encuentran en la recta que pasa por los puntos (0,0) y (2,3). A los subespacios {0} y Rn se les conoce como subespacios triviales de Rn y a los demás subespacios de Rn se les nombran espacios propios. Si un subconjunto de Rn no contiene a cero, no es un subespacio de Rn (Toda recta o plano que no pasa por el origen no es un subespacio). Ahora si decimos que el vector cero pertenece a todo subespacio de Rn entonces {0} como Rn deben ser subespacios de Rn. 235 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: 2) Sea el espacio generado por {(3,8,5)} en un subespacio de R3, este subespacio contiene a todos los vectores en R3, que se encuentran en la recta que pasa por los puntos (0,0,0) y (3,8,5), como se muestra en la figura 10.8 Figura 10.8 (3, 8, 5) 3) Los vectores m = (2,-1,3), u2 = (4,0,6) y u3 = (8,-2,-3) gene- ran a R3, porque forman una base de R3. El espacio generado por los vectores ul5 u2 y 113 es un subespacio de R3 que contie- ne a los vectores (0,0,0) ul5 u2y u3. Teorema 9 Sea la matriz A de m x n. En donde el conjunto de todas las solu- ciones posibles de un sistema homogéneo de ecuaciones Ax = 0, 236 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

va a serunsubespacio deRn, al cual se le nombrará como espacio solución del sistema. Ejemplo: 1 03 1) Seala matriz A = 0 01 Probar que[1,1,1] nopertenecen al espacio de renglones de A. Sean los escalares Xj y x2 x^l 0 3]+x2[0 0 l]=[l 1 l] Entonces el sistema queda X! + 0 = 1 0 X! + 0 = 1 3 X!+ 0 = 1 El sistema no tiene solución y el subconjunto [1 1 1]no pertenece al espacio vectorial de renglones de la matriz A. 2) Probar que [ 2 0 7 ] pertenece al espacio de renglones de l~ 0 3\" A = L° Sean los escalares \\\\ y x2 xjl 0 3]+x2[0 0 l]=[2 0 7] El sistema de ecuaciones queda: xj + 0 = 2 0x, + 0 = 0 3 x, + 0 = 7 237 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

La solución es Xj = 2 y x2 = 1, entonces el vector [ 2 0 7 ] pertenece al espacio de renglones de A. Ahora si partimos de que todo subespacio de Rn tiene una base, y la base de un subespacio v de Rn es un conjunto generado de v linealmente independiente y puede tener muchas bases dife- rentes de Rn. Teorema 10 Sea {u1,u2v..? up} una base de un subespacio de Rn, de tal forma que todo subconjunto de v, que contenga más de p elementos es linealmente dependiente. Demostración del teorema 10 Sea S = {vi,V2,..., vm} un subconjunto de v, en donde m > p. Si {u1?u2,..., up} es una base de v, entonces cada vector v¡ debe de expresarse como una combinación lineal de los elementos de la base. v1=anu1+a21u2+... v2 =a12u1+a22u2+... (1) v m = a l m u 1 + a 2 m u 2 + . . . + apmu Sean los escalares c1? c2, ...,cm; no todos iguales a cero. ClV!+ C2V2+ ... + CmVm=0 (2) La ecuación equivalente 3 se obtiene de las ecuaciones 1 y 2 + c2a12 + ... + cmalm) + u2 ( c ^ i + c2a22 +... + cnía2m) + ... + up ( c ^ ! + c2ap2 + ... + cmapm) = 0 (3) 238 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Si el conjunto {u1)u2v.., up} es una base y es un conjunto li- nealmente dependiente, entonces la ecuación (2) tendrá una so- lución no trivial, solamente cuando los coeficientes de la ecuación (3) sean todos iguales a cero. anc1+a12c2+... a21c1+a22c2+... El sistema anterior es homogéneo con precauciones lineales con m incógnitas, en donde m>p. El sistema tiene una solución no trivial, o sea, que tiene un número infinito de soluciones y por consecuencia se pueden llegar a tener escalares distintos de cero. Por lo tanto: S = {vl5V2,..., vm} es linealmente dependiente Corolario Sean las bases infinitas s, = {u1?u2,..., up} y s2 = {v1?v2,..., vn}de un subespacio v de Rn. Entonces debemos tener el mismo número de elementos (m = p) en el mismo espacio. Teorema 11 Al número de elementos de cualquier base de un subconjunto v de Rn se le llama dimensión de v. Entonces sí la dimensión de v es n, se dice que v es n - dimensional. La dimensión de un subespacio de Rn siempre es menor que, o igual a n. 239 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: a) Si v es el subespacio de Rn generado por el vector (1,2), en- tonces el vector (1,2) es una base de v y la dimensión de v es uno. b) Sea el subespacio v de R3 generado por los vectores (1,1,0) y (2,0,4), los vectores son linealmente independientes y la di- mensión de v es dos. c) La dimensión de un subespacio trivial {0} es cero (por con- vención). 10.6 Rango de una matriz Al relacionar los conceptos de espacios vectoriales en Rn con los de matrices, se puede definir el rango de una matriz. Definición: Sea A una matriz, el rango de ésta es la dimensión del espa- cio de renglones y la dimensión del espacio de columnas. El rango por renglones de la matriz A es igual al número de renglones no nulos, de cualquier forma escalonada por renglones correspondientes a la matriz A. Ejemplo: 1) Determinar el rango de A '1 1 0 2 A= 0 3 1 1 2337 La reducción por renglones de la matriz A es 240 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

110 2 110 2 0 3 1 1 0 1- > • • • 11 - =A' -> 3 2337 00 1 1 Existen tres vectores no nulos, entonces el rango de la matriz A es de tres. 2) Encontrar el rango de la matriz B. - 1 2 5' -2 -1 5 6 18 0 La forma escalonada por renglones de la matriz B es: -1 2 5 13 0 - 2 - 1 5 -> ••• -» 1 1 1 = B' 6 18 0 000 Sólo existen dos renglones no nulos, entonces el rango de la matriz B es de dos. Como la matriz B no se reduce a I3? por lo tanto no es una base de R3 y el espacio generado por {u1? u2, u3} es dado por los renglones no nulos de B?, es decir, vx =(1, 3,0)yv2=(l,l,l). Teorema 12 Sea la matriz A de n x n entonces: 1. A es invertible 241 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

2. En toda matiz B n x 1 la ecuación A X = B tiene solución única. 3. A X = 0 tiene solución trivial. 4. La columna de A forma una base en Rn. 5. Las columnas de A son linealmente independientes 6. Los renglones de A forman una base de Rn. 7. Los renglones de A son linealmente independientes. 8. La forma escalonada reducida por renglones de A es In. 9. Determinante de A es distinto de cero 10. El rango de A es igual a n 10.7 Bases ortonormales Cuando es necesario tener ejes coordenados mutuamente perpen- diculares, se necesita un conjunto ortogonal de vectores como base, o sea, el conjunto de s = {uj, u2, ..., uk} en Rn es ortogonal, si cumple con u¿. u¡ = 0, siempre y cuando j = / Ahora si el conjunto s = {u1? u2, ..., uk} de vectores no nulos en Rn es ortogonal, se puede afirmar que s es linealmente independiente, y si todo vector que pertenece a la base ortogonal s tiene una longitud unitaria, esto quiere decir que la base es lineal o canónica. Definición: Sea el conjunto s = {ui, u2, ..., uk} de vectores en Rn es ortonormal si cumple con que: s es ortogonal y que todo vector de s tiene una longitud unitaria, o sea; 11*,-1 - 1 ,para todo i Ejemplo: 1) Transformar el conjunto {u, v} en un conjunto ortonormal. u = (2,4) y v = (5,-3) 242 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Encontrar la magnitud de cada vector u= 16 = V20\" V= para normalizar cada vector, se divide a éste entre su magni- tud. u= El conjunto ortonormal es { u\\ \\9} y es una base de R2, los vectores u' y v' son linealmente independientes y la matriz es invertible. 2_ To 5_ - 3 T4 Para expresar el vector w = (1, -2) como una combinación lineal de los vectores ortonormales u' y v' es haciendo a w = a u' + b v' y resolviendo para encontrar a y b. Otra alternativa de solución es emplear el siguiente teorema. Teorema 13 Sea {vl5 v2, ..., vn} una base ortonormal de Rn y v es cualquier vector en Rn entonces v = (v. v^Vj + (v. v2)v2 +... + (v. vn)vn el coeficiente de yt es v . vr 243 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Si expresamos a w = (1, -2) como una combinación lineal de vectores ortonormales u ' y v ' empleando el teorema 14 tenemos: w = (w . u') u' + (w . v') v' /20 V20 8 -6 5 -3 720 20 20 5 6 11 -6 , 11 /20J 2) Sean los vectores u = (-1,2,5 ),v = (-2,-1,0) y w = (l,-2,1) a) Encontrar la base ortonormal b) Expresar a t (1, 4, 3) como una combinación lineal de los vectores ortonormales u', v ' y w ' . Solución: a) w= 1, 2, 5) >, - 1 , 0) V= 244 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

I -1 w b) t = ( t u ' ) u + ( t v ) v + ( t w ) w ^ .,,,..„. 2 5 ) -1 8 15 22 30' -M' 430J ^30 ^30 ^30 , - 2 -1 ^ -2 4 -6 Matriz ortogonal La matriz A de n x n es ortogonal si sus columnas forman un conjunto de vectores ortonormales v1?V2v.., vn, si éstos vectores son linealmente independientes entonces la matriz es invertible. Teorema14 Los siguientes enunciados son equivalentes a) A es ortogonal b) A - ^ A 1 c) A1 es ortogonal 245 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ejemplo: 1) Sean los vectores u'-í l 3 ' 3 - 1 . j , ort< Entonces la matriz 13 A = A/20~ A/20 3 -1 _-j20 -J2Q _ es ortogonal y tiene 1 3 A\"' = A' = V20~ -1 -J2Ó 3 A/20~ 2) Como los vectores •• - v= A/5 ) ~J6' son ortonormales. Entonces la matriz -1 2 vr^- 2 -730\" A= v- 1r 1 -2 246 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

es ortogonal -1 - 2 1 A\"1 = A' = 30 5 o * 10.8 Mínimos cuadrados Para explicar este tema, consideremos un experimento que rela- ciona el ingreso obtenido por ventas (en miles de pesos) y el nú- mero de años de experiencia de cada vendedor. Si tomamos una muestra de seis vendedores, se obtiene el siguiente conjunto de datos (1,4), (3,5), (4,7), (5,11), (6,13)y (7,17), vea la figura 10.10. Figura 10.10 Ventas Años de experiencia de los vendedores 247 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Con los puntos obtenidos del experimento {Figura 10.10) deseamos encontrar la recta y = a + bx que mejor se ajuste a los puntos obtenidos. Definición: Sean (xl5 yO, (x2) yi)> ..., (xn, yn) los n puntos distintos de datos. La recta y = a + bx con la prioridad de que el valor es el mínimo, en donde d¿es la distancia vertical desde el punto (x¿,y,-). Y se llama recta de mejor ajuste del conjunto de puntos de datos. Si la recta y = a + bx es la que mejor se ajusta a los puntos (x1? YiX (X2> Y2)> •••> (xn> Yn)- Ahora, sí consideramos que todos los puntos están sobre la recta de mejor ajuste, se tiene el sistema I. yt = a + bXj y2 = a + bx2 I y = a + bxn Jn n el sistema I se puede escribir como y = Av fl X,\" y= V= 248 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Ahora cuando no todos los puntos de datos caen sobre la recta de mejor ajuste, se aplican los dos siguientes pasos, primero se elige una línea recta y = a + bx, como segundo paso se encuentran las distancias verticales de cada uno de los puntos obtenidos (xz, yi) a la línea recta, ver figura 10.11 Figura 10.11 y<) Recta y = a+bx De la figura 10.11 se observa que la distancia vertical d, del punto (x,, y,) a la recta es d, = y,-(a + bx,) para los demás pun- tos: y I - ( a + bx,) = y 2 - ( a + bx2) = yn-(a El sistema II se puede escribir como: 249 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

y - Av = d \"di d= Para calcular la magnitud de los vectores, se tiene |y-Av (i) al efectuar el cuadrado de la ecuación 1 A2 2 y - Av entonces el valor que debe ser minimizado es: y - A v | 2 = d 1 2 + d ^ + . . . + d¡; Para tener la recta del mejor ajuste, el vector v debe ser el vector que minimice el valor de |y - A v|2 Si |y - Av| es mínimo, entonces |y - Av|2 es mínimo cuan- do y - Av es ortogonal a cualquier vector del espacio S como se muestra en la figura 10.12 Figura 10.12 y-Av 250 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]