ประพนธ์ เลิศลอยปัญญาชัย

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ฟิ สิกส์ทวั่ ไป 2 General Physics 2 ผู้ช่วยศาสตราจารย์ประพนธ์ เลศิ ลอยปัญญาชัย คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั หมู่บ้านจอมบงึ 2564

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ฟิ สิกส์ทวั่ ไป 2 General Physics 2 ผู้ช่วยศาสตราจารย์ประพนธ์ เลศิ ลอยปัญญาชัย คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั หมู่บ้านจอมบงึ 2564

ก คํานาํ ตาํ ราฟส ิกสท่ัวไป 2 (General Physics 2) เลมนี้ เรยี บเรยี งข้ึนเพือ่ ใชป ระกอบการเรียนการ สอนรายวิชาฟสิกสท่ัวไป 2 ฟสิกส 2 และฟสิกสพ้ืนฐาน สําหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรี สายครุ ศาสตร โดยแบงเนื้อหาในการเรียนการสอนไว 9 หัวเร่ือง ประกอบดวย สนามไฟฟา ศักยไฟฟา ไดอิเล็กทริกและการเก็บประจุ กระแสไฟฟา วงจรไฟฟากระแสตรง แมเหล็กไฟฟา ความเหนี่ยวนํา คลื่นแมเหล็กไฟฟา กระแสสลับ ระยะเวลาในการสอน 16 สัปดาห คําศัพทวิทยาศาสตร ผูเรียบเรียง อา งองิ มาจากศัพทวิทยาศาสตรฉ บับราชบณั ฑติ ยสถาน พ.ศ. 2546 พิมพครัง้ ที่ 5 (แกไ ขเพิ่มเตมิ ) ถาทานผูอานพบสิ่งควรปรับปรุงแกไข ผูเรียบเรียงคาดหวังจะไดรับความกรุณาแนะนํา ทวงติงจากทานดวยความยินดีย่ิง ถาเอกสารประกอบการสอนเลมนี้จะมีความดีอยูบาง ผูเรียบเรียง ขอมอบเพ่ือแสดงความยกยองชื่นชม คารวะแดนักคิด นักวิชาการและนักเขียนทางฟสิกส และ สุดทายทางผเู ขียนขอขอบคณุ มารดา ผทู เ่ี ปน ทั้งกําลังใจและแรงบนั ดาลใจของผูเขยี น ประพนธ เลิศลอยปญญาชัย ธนั วาคม 2564 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ข สารบัญ หนา คาํ นํา……………………………………………………………………………………………………………………………… ก สารบญั …………………………………………………………………………………………………………………………. ข สารบัญภาพ ……………………………………………………………………………………..…………………………… ฉ สารบัญตาราง ………………………………………………………………………………….……………………………. ฌ บทท่ี 1 สนามไฟฟา ………………………………………………………………….………....………………………… 1 ประจุไฟฟา ……………………………………….………...…….…………………....………………………… 2 กฎคูลอมบ ………………………………………………….………….….…………..…………………………. 4 สนามไฟฟาของจุดประจุ ……………………………………….…….……….……....……………………. 6 สนามไฟฟา เนื่องจากการกระจายตัวประจุอยางสมํ่าเสมอ……….…….……….……...………… 8 ฟลกั ซไฟฟา ………………………………………………………………….………...………………………….. 12 ผิวเกาสเ ซียน………………………………………………………………….………..…………………………. 13 กฎของเกาส………………………………………………………………….………...………………………….. 14 สรปุ ……………………………………………………………………….……….….…………………………….. 18 แบบฝก หดั ………………………………………………………………….…….….…………………………... 19 เอกสารอา งอิง ……………………………………………………………….….……..………………………… 21 บทที่ 2 ศักยไฟฟา……………………………………………………..….…………………….…………………………. 22 พลังงานศักยไ ฟฟาในสนามสมาํ่ เสมอ ………………………..….…………………....………………… 22 ศักยไ ฟฟา ..........................….………….……………………….………………………..………………… 25 เกรเดียนตศักยไฟฟา ….………….………………………….……..…………………………………………. 34 สรปุ ….…………………………………………………………..………………………………………………….. 36 แบบฝกหัด ….………….….………….…………….…........….…….………………...…...…….………….. 37 เอกสารอา งอิง ….………….….………….…………..………….…….………………..............…………… 39 บทที่ 3 ไดอิเลก็ ทรกิ และการเกบ็ ประจุ ….…………..……………………………….…...........……………….. 40 ตัวเก็บประจไุ ฟฟาและความจุไฟฟา ….………………..…......................…………….....………….. 40 ตัวเก็บประจุแผนคูขนาน ….………….………….…….........……………….………….…..…………….. 41 การตอตวั เกบ็ ประจุ ….………….……………….…………………….……………..............…………….. 44 พลงั งานของตวั เก็บประจุ ….………….………….…………………….…….........…….…….………….. 47 ไดอิเล็กทรกิ ….………….………………………….……..............…………………………..….…………… 50

ค สารบัญ (ตอ) หนา มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง สรุป ….………………………………..…………….……………………….……..................………………... 56 แบบฝก หัด ….………………….…………………….…………………….………...............……………….. 56 เอกสารอา งอิง ….……………………….…………….………………….…………..............….…………… 57 บทที่ 4 กระแสไฟฟา ….………………….………………….……………….............……….….…..…..………….. 58 กระแสไฟฟา ….……………………………………….….........…………….…………..….....…………….. 58 ความตานทาน ….………….………………………….……………….….........……….....……………...... 60 แรงเคลื่อนไฟฟา ….………….………………………….…………….….......….…….....……..………….. 64 ความสัมพันธร ะหวา งกระแสไฟฟา และความตา งศักย ….………………….........….…………… 65 งานและกําลงั ในวงจรไฟฟา ……………………………….………...……..…….…...……...…………… 67 ตวั นํา ฉนวนและสารก่ึงตัวนาํ ……………………………….………….….....………....…...………….. 69 สรุป ….………….….…………..…………………………….……………..…….................…..…………….. 71 แบบฝกหัด ….………….….………….……………………….…………….…….…...…..........…………..... 72 เอกสารอา งองิ ….………….….………….…………………….……...........……...…........…..……………73 บทที่ 5 วงจรไฟฟา กระแสตรง ….………….………………………….….…….....…....……........…..…………. 74 การตอตัวตานทานไฟฟา ….………….…………………………..……….....……....……...….…......... 74 กฎเคิรช ฮอฟฟ ….………….……………………………………...……………................…….…........... 77 แอมมิเตอรและโวลตมิเตอร ….………….………………………..…………..……........….…….......... 81 วงจร R-C ….……………….…….........………………………………..……….……......….…....….......... 83 สรปุ ….………….….………….……………………………...................…………….…………..…........…. 88 แบบฝก หดั ….………………….......................………………………………………………….…........…. 88 เอกสารอางอิง ….………….….…………………………………………….…................……...…........… 90 บทท่ี 6 แมเ หล็กไฟฟา ….…………………………………………………………..................…….…...….......... 91 สนามแมเ หลก็ .....................………………………………………….……….............………..…........ 91 การเคลอ่ื นท่ีของอนุภาคมีประจุไฟฟาในสนามแมเ หล็ก ……………….……………....….......... 92 แรงบนตวั นําไฟฟา ….………….…………...............………………………….….…………….….......... 96 กฎแอมแปร ….………….…………….................………………………….….…………………….......... 98 แรงเคลอื่ นไฟฟาเหน่ียวนาํ เนื่องจากการเคล่ือนท่ีของตวั นําในสนามแมเ หลก็ ….…........ 100 กฎของฟาราเดย ….………….…………………………………................…….….………………....... 101 กฎของเลนซ ….…………….……………….................………………………….….…………..…....... 104

ง สารบัญ (ตอ ) หนา มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง สารแมเหลก็ ….……………..………………………………………................….….…………..…........ 104 สรปุ ….………………………….…………………………...........……….........……….….…………........ 106 แบบฝก หดั ….…………………..…………………………….................…………….….…………........ 107 เอกสารอางอิง ……………………..……………………………………...............….….…………........ 109 บทท่ี 7 ความเหนี่ยวนํา ….……………………………………………................……………….…….…........ 110 ความเหนยี่ วนาํ รว ม ….………….…………………………………….……….............…………........ 110 ความเหน่ียวนําในตวั ….………….………………………………….….……............…………........ 112 พลังงานของสนามแมเหล็กในขดลวดเหนย่ี วนํา……………………….…...…………..…........ 114 หมอแปลง ….………….…………………………………………….……………..............………........ 116 วงจร R-L ….………………..………………………………………….….….............………..….......... 118 วงจร L-C ….………………..……………………………………………..............……………….......... 122 วงจร R-L-C ….…………….……………………………………….…..............……………..….......... 125 สรุป ….………………………….…………………………...........……….........……….….…………........ 128 แบบฝกหดั ….…………………..…………………………….................…………….….…………........ 129 เอกสารอา งอิง ……………………..……………………………………...............….….…………........ 131 บทท่ี 8 คลนื่ แมเหลก็ ไฟฟา ….………………………………………………….....……….…...…………......... 132 อตั ราเรว็ ของคล่ืนแมเ หลก็ ไฟฟา ……………………………………….…………...………….......... 132 พลงั งานของคลนื่ แมเหลก็ ไฟฟา ………………………………………….………...…………........... 137 คล่ืนรูปไซนข องคล่นื แมเหล็กไฟฟา …………………………………….………...…………............ 141 คล่ืนนงิ่ ของคลนื่ แมเหล็กไฟฟา ……………………………………………………..…………............ 142 คลน่ื แมเ หล็กไฟฟา ในสสาร ….………………………………………….…………..…………............. 144 สเปกตรัมของคลืน่ แมเ หล็กไฟฟา ………………………………………….……..………….............. 147 สรปุ ….………………………….………………………………………….….…….......….…………............ 150 แบบฝกหดั ….………………………………………………………………..….……....…………............... 150 เอกสารอา งอิง….……………………………..…………….……………….………………………............ 151

จ สารบัญ (ตอ) หนา บทที่ 9 กระแสสลับ .…………..........…………..............…………............…………...........…………........ 152 เครอ่ื งกําเนิดกระแสสลบั ....…………..............…………............…………...........…………........ 152 ความตานทานในวงจรไฟฟากระแสสลับ.......…………............…………...........…………....... 154 วงจรอนกุ รม RLC (RLC Series Circuit) ......…………............…………...........…………..... 160 กาํ ลงั ไฟฟา ในวงจรกระแสสลบั .......…………............…………...........………….................... 163 สรุป….………………………….………………………………………….….…….......….…………............ 164 แบบฝก หดั ….………………………………………………………………..….……....…………............... 164 เอกสารอางองิ ….……………………………..…………….……………….………………………............. 166 บรรณานุกรม ……………………………………………………………….…………..………………………............. 167 ภาคผนวก ……………………………………………………………………..……………………….............………… 169 แนวคาํ ตอบ …………………………………………………………………… ………………………....................... 181 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ฉ สารบญั ภาพ ภาพท่ี หนา 1.1 แรงเนอ่ื งจากประจุไฟฟา ……………..…………………………………………..………………………. 1 1.2 สนามไฟฟา ท่จี ุด P ………………………………………………………………….………………………. 8 1.3 เสนแรงไฟฟาทผี่ านพนื้ ท่ี…………………………………………………………...……………………... 12 1.4 พน้ื ที่ผวิ ใด ๆ วางในสนามไฟฟา ……………….….…………………………………………………….. 13 1.5 ผิวปด ทรงกลม…………………………………………………………………..….……………………….... 14 1.6 ผิวเกาสเ ซยี นทรงกลมรอบจุดประจไุ ฟฟา q …………………………..……….….………………. 14 2.1 การเคล่อื นทีข่ องประจไุ ฟฟา q จากจุด A ไปยังจดุ B …………………..........….……… 22 2.2 ประจบุ วกและประจลุ บเคล่อื นทีจ่ ากจดุ หนึง่ ไปยงั อีกจุดหน่ึง...……….……….…………….. 23 2.3 ประจุ q2 เคลื่อนทีต่ ามแนวแกน x .............................................................................. 24 2.4 ศกั ยไ ฟฟาลพั ธท ีต่ าํ แหนง P ของจดุ ประจุไฟฟา หลายจดุ ประจุ………….…………...……. 26 2.5 สนามไฟฟา E และศกั ยไฟฟา V ทจี่ ดุ ภายในและภายนอกตวั นําทรงกลม................ 28 3.1 ตวั นาํ สองตัวใด ๆ ท่ีมีขนาดเทา กันแตป ระจุตางชนิดกัน................................................ 40 3.2 ตวั เก็บประจุแบบแผน ขนานประกอบดวยแผนตัวนาํ ท่วี างขนานกนั สองแผน….…….….. 42 3.3 การตอตวั เกบ็ ประจุแบบขนาน….………………………………………...................………..…….. 44 3.4 การตอตวั เก็บประจแุ บบอนุกรม……………..................................................….………..…. 45 3.5 ตัวเก็บประจุท่ีชารจ ประจุไวแลว (a) กอน และ (b) หลังใสแผน ไดอิเล็กทริกคั่นกลาง.. 50 3.6 การเหนยี่ วนาํ บนผิวของไดอิเล็กทริกเน่อื งจากสนามไฟฟา ........................................... 52 4.1 สว นหนึ่งของอนภุ าคมปี ระจไุ ฟฟา ในทรงกระบอกชวงเวลา ∆t ……….....…..….…….…. 58 4.2 ตัวนาํ พ้นื ทีห่ นา ตดั สมาํ่ เสมอ ความหนาแนนกระแสไฟฟา และสนามไฟฟาคงตวั …….... 60 4.3 การเปลยี่ นคา ของสภาพตานทาน (ตวั นํายวดย่งิ ) ......................................................... 63 4.4 ความสัมพนั ธร ะหวา งกระแสไฟฟา และศักยไฟฟา ........................................................ 65 4.5 คาตัดแกน V ตรงกบั สภาวะวงจรเปด ………………………………………………..…………..... 66 4.6 กําลงั ไฟฟา P ในสวนของวงจรไฟฟาระหวางจดุ a และ b ….……………………………. 67 4.7 โครงสรางอะตอม (ก) ฉนวน (ข) ตวั นาํ ..……..........................................……...……….. 70 4.8 โครงสรางอะตอมของสารก่งึ ตัวนํา .…….................................................................……. 70 5.1 การตอตัวตานทานแบบอนกุ รม………………………………………...….….......................…… 74 5.2 การตอ ตวั ตานทานแบบขนาน……………………............................……………….…………… 75 5.3 กระแสไฟฟาเขาและออกจากจุดรว ม……………...........................…………….….….……... 78

ช สารบัญภาพ (ตอ) หนา 5.4 การตอภายในของแอมมิเตอรและโวลตม เิ ตอร …..….……............................................ 81 5.5 การวดั ความตานทานหรือกาํ ลังไฟฟา ดวยแอมมิเตอรและโวลตม เิ ตอร………….……….. 82 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 5.6 สวนประกอบของโอหมมิเตอร………..……………………………………..................…………… 82 5.7 ตวั เก็บประจุตอ อนุกรมกับตัวตา นทาน สวิตซ และแบตตอร่ี.…............................……. 83 5.8 กราฟของตวั เก็บประจุระหวางประจุกบั เวลาและกราฟของกระแสกบั เวลา…...………. 85 6.1 สนามแมเหลก็ และเสน แรงแมเหลก็ ………………...................………………………….………. 91 6.2 ฟลักซแ มเหล็ก …………………………………………………………….…..........................………. 92   6.3 แรงแมเหล็ก F กระทําตออนภุ าคมปี ระจุไฟฟา q อนุภาคมคี วามเรว็ v ..….………. 93 6.4 ความเรว็ ของอนภุ าคประจไุ ฟฟา ท่มี ที ิศต้ังฉากกบั สนามแมเหล็กสมา่ํ เสมอ อนภุ าคจะวิ่ง  เปนวงกลมในระนาบทต่ี ั้งฉากกบั B .............................................................................93 6.5 เครอื่ งมือของทอมสนั ทีใ่ ชวัดอตั ราสว น e สําหรับหลอดรงั สแี คโทด.......................... 94 m 6.6 แรงแมเหล็กที่กระทําตอประจุบนวัสดุตัวนํากระแสไฟฟา และผลรวมของแรงขึ้นกับ ความยาวของวัสดุตวั นาํ ...............................................……………………………………….….…………….. 96 6.7 การเกดิ กระแสไฟฟา เน่ืองจากการเคล่อื นท่ีของตัวนาํ ในสนามแมเ หลก็ ..................... 101 6.8 การทดลองของฟาราเดย ........................................................................................ 102 6.9 การเกดิ กระแสเหนี่ยวนําในขดลวดตวั นําวงกลม ….……………………………….………... 102 6.10 การเคล่ือนท่ีแมเ หลก็ เขาหาขดลวดเกดิ การไหลของกระแสไฟฟา เหนย่ี วนํา........…. 104 7.1 การเหนีย่ วนาํ ระหวา งขดลวดท่ี 1 และขดลวดที่ 2….……………………………….………... 110 7.2 การเกดิ แรงเคล่ือนไฟฟา เหนี่ยวนาํ ในตวั เม่อื กระแสไฟฟาและฟลักซแมเหลก็ เปลย่ี นแปลง….……………………………….………...….……………………………….………...….……………….. 112 7.3 หมอแปลงและสัญลักษณของหมอแปลง………………………….………...….…………………. 117 7.4 ขดลวดเหนีย่ วนาํ อดุ มคติตอ แบบอนุกรมกบั ตัวตา นทาน…….………...….…………………. 118 7.5 การเพม่ิ และการลดลงของกระแสไฟฟาในวงจร R-L…….………...….………………………. 120 7.6 การถายโอนพลังงานระหวา งสนามไฟฟาและสนามแมเหล็กในวงจร L-C………………. 122 7.7 วงจร R-L-C…………………….………...….……………………………….………...….……………….. 125 7.8 กราฟระหวา งประจุไฟฟา q และเวลา t ในวงจร R-L-C…….………...….………………. 127

ซ สารบญั ภาพ (ตอ) หนา 8.1 คลืน่ ระนาบแมเหล็กไฟฟาเคลอ่ื นท่ีไปตามแนวแกน x ………………………………………. 133    8.2 เวกเตอร E ,H และ S ของคล่ืนแมเหลก็ ไฟฟา รูปไซน …………………………………. 139 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 8.3 คลน่ื นิ่งของเวกเตอร E และ H มคี าเพิ่มขนึ้ หรือลดลงขนึ้ กบั เวลา ………………..… 143 8.4 สเปกตรมั ของคลื่นแมเหล็กไฟฟา ………………………………….………………………………….. 148 9.1 เครื่องกําเนิดกระแสสลับ………………………………….………………………………….………….. 152 9.2 แรงเคลอ่ื นไฟฟากระแสสลับ………………………………….………………………………….…….. 153 9.3 ความตา นทานในวงจรไฟฟา กระแสสลบั ………………………………….………………………. 154 9.4 เฟสของกระแสไฟฟาและความตางศักยบนตัวตานทาน………………………………….…… 155 9.5 กราฟหาคารากกําลงั สองเฉลี่ย………………………………….……………………………………… 156 9.6 เฟสของกระแสไฟฟาและความตางศักยบนตวั เก็บประจุ………………………………….….. 157 9.7 เฟสของกระแสไฟฟาและความตางศักยบนขดลวดเหน่ียวนํา……………………………….. 159 9.8 วงจรอนกุ รม RLC………………………………….…………….……………………….………………… 160 9.9 แผนภาพเฟเซอรของอุปกรณใ นวงจร RLC ………………………………….…………………… 161 9.10 ความตางศักยรวมจากแผนภาพเฟเซอร ………………………………….……………………… 161

ฌ สารบญั ตาราง ตารางท่ี หน้า 1.1 คา ประจุไฟฟา และมวลของโปรตอน อิเล็กตรอน และนิวตรอน .. ........................... 2 3.1 คา คงตัวไดอิเล็กทรกิ ( k ) ของวสั ดตุ างๆ ทอี่ ุณหภมู ิหอ ง …………………..….............. 51 4.1 สภาพตานทานของสสารที่อุณหภูมิ 20℃ .......…………………………….….….............. 62 4.2 สัมประสิทธิ์สภาพตา นทาน ……………………………………….………….......................... 63 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง บทที่ 1 สนามไฟฟา ประจุไฟฟา แรงไฟฟา และสนามไฟฟา เปนปริมาณที่สําคัญในการศึกษาของไฟฟาสถิต (electrostatic) โดยไฟฟา สถติ ไดถ ูกคน พบโดยชาวกรีกโบราณเม่ือประมาณ 600 ปกอนคริสตศักราช (600 B.C.) โดยทาลีส (Thales) นักปราชญชาวกรีก ไดบันทึกไววา “เม่ือนําอําพันถูกับผาขนสัตว จะ ทําใหอําพันดูดวัตถุอ่ืนท่ีมีน้ําหนักเบาได เน่ืองจากประจุไฟฟา (electric charge) ประจุไฟฟามีราก ศัพทมาจากภาษากรีกคําวา elektron จนเวลาผานไปอีก 2,000 ป วิลเลี่ยม กิลเบิรต (William Gilbert) ชาวอังกฤษ ทําการศึกษาเพ่ิมเติมจบพบวามีวัตถุอีกหลายชนิดท่ีนํามาถูกันก็สามารถแสดง คณุ สมบัติดังกลาวได และเรยี กอาํ นาจทไี่ ดจากการนําวัตถุมาถกู นั น้วี า “ไฟฟา (Electricity)” ซ่ึงยอมา จากคําวา elektron ในภาษากรีกซึ่งหมายถึงอําพัน ปจจุบันความรูเก่ียวกับประจุไฟฟา หรือไฟฟา สถิต แรงไฟฟา หรือสนามไฟฟา ถกู นาํ ไปประยุกตใ ชประโยชนด า นตางๆ มากมาย 1.1 ประจุไฟฟา ประจุไฟฟามี 2 ชนดิ คอื ประจุไฟฟา บวก(+) และประจุไฟฟา ลบ (-) สมบัตสิ าํ คญั เม่ือ ประจไุ ฟฟา 2 ประจไุ ฟฟา คือ ถา เปนประจไุ ฟฟาชนดิ เดียวกันจะเกดิ แรงผลกั กัน แตถา เปน ประจุ ไฟฟา ตางชนิดจะเกดิ แรงดึงดูด แสดงดังภาพที่ 1.1 (ก) (ข) ภาพท่ี 1.1 แรงเน่อื งจากประจุไฟฟา (ก) แรงผลัก และ (ข) แรงดึงดูด ทมี่ า (ดัดแปลงมาจาก Halliday, Resnick, & Walker, 2018) โดยท่ัวไปวัสดุที่เปนของแข็งที่เปนกลางทางไฟฟา ภายในของแข็งจะมีอะตอมที่มีจํานวน ประจไุ ฟฟา บวกและประจไุ ฟฟาลบเทากัน ประจุไฟฟาเหลาน้ีจะมีแรงดึงดูดซ่ึงกันและกันสงผลใหแรง ไฟฟา ภายในอะตอมหกั ลา งกันเปนศูนยจงึ ไมแสดงอาํ นาจทางไฟฟา ออกมา เรียกวัสดุนี้วามีประจุไฟฟา สทุ ธมิ คี าเปนศูนยเรียกวาวัสดุนี้วามีอํานาจเปนกลางทางไฟฟา ในกรณีที่วัสดุมีการแสดงอํานาจประจุ ไฟฟา ออกมาเปนลบหมายความวา ในวสั ดมุ ีประจุลบมากกวาประจุบวก หรือ วัสดุท่ีมีการแสดงอํานาจ ประจุไฟฟาออกมาเปนประจุบวกหมายความวา ในวสั ดนุ นั้ มีประจบุ วกมากกวา ประจลุ บ

2 นอกจากประจุไฟฟาบวกหรือโปตรอน และประจุไฟฟาลบหรือ อิเล็กตรอน แลว ยังมี ปรมิ าณท่ีนาสนใจเพ่ิมคือ นิวตรอน ที่แสดงสมบัติเปนกลางทางไฟฟา โดยพิจารณาขอมูลไดดังตาราง ท่ี 1.1 ตารางท่ี 1.1 แสดงคาประจไุ ฟฟา และมวลของโปรตอน อิเล็กตรอน และนวิ ตรอน อนุภาค สัญลักษณ ประจไุ ฟฟา (C) มวล (kg) โปรตรอน P อิเล็กตรอน +1.602 ×10−19 1.672 ×10−27 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงe- −1.602 ×10−19 9.109 ×10−31 นวิ ตรอน N 0 1.674×10−27 จากตารางท่ี 1.1 พบวาโปรตอนและอิเล็กตรอนมีคาขนาดประจุไฟฟาท่ีเทากัน แตแสดง อํานาจประจุคนละชนิดกัน และโปรตรอนกันนิวตรอนมีมวลท่ีใกลเคียงกันมาก ถือวามีคาเทากันได โดยเรียกปริมาณทั้งสามนี้เปนอนุภาคหลักมูล (fundamental unit) โดยประจุไฟฟาจะมีคาเปน จํานวนเต็มเทาของอนุภาคหลักมูล กลาวคือ=e− 1.602×10−19C และเรียกคาประจุไฟฟา (q) มี ลกั ษณะเปนควอนตัม (quantum) จะไดว า (1-1) q = n e− เมื่อ n คอื จาํ นวนเต็มบวก 1.2 กฎคูลอมบ ชารล-โอกูสแตง เดอ กลู ง (Charles-Augustin de Coulomb, 1736-1806) หรือ ทรี่ จู กั กัน ในนาม คูมลอมบ ไดศ ึกษาอันตรกิรยิ าทางไฟฟา (electrical interaction) ระหวา งประจุไฟฟาใน เทอมของแรงกระทําตอ อนภุ าคทมี่ ปี ระจไุ ฟฟา และไดส รุปผลไวดังนี้ “แรงระหวา งประจไุ ฟฟาสองประจุ F จะเปนสัดสว นโดยตรงกับขนาดของประจุไฟฟาทั้ง สองคือ q1 และ q2 และเปน สัดสวนผกผันกบั กาํ ลงั สองของระยะทางระหวางประจุไฟฟา ท้ังสอง” เขียนเปนสมการไดด งั นี้ F = kq1q2 (1-2) r2 สมการ (1-2) เรยี กวา กฎของคลู อมบ (Coulomb’s law) เมือ่ k คือ คาคงตวั สมการ (1-2) เปนการ แสดงเฉพาะขนาดของแรงระหวา งประจุไฟฟา q1 และ q2 ในกรณปี ระจุไฟฟา เหมือนกนั เปน แรง ผลัก(ประจบุ วก-ประจบุ วก หรอื ประจุลบ-ประจลุ บ) และดงึ ดูดกนั เม่ือเปน ประจุไฟฟาตา งชนดิ กัน (ประจบุ วก-ประจลุ บ) ภายใตกฎขอ ท่สี ามของนิวตนั โดยแรงที่ประจุไฟฟา q1 กระทําตอ q2 หรอื แรง F21 จะมขี นาดเทา กันและทิศทางตรงขามกับแรงทป่ี ระจุไฟฟา q2 กระทาํ ตอ q1 หรือแรง F12 กรณที มี่ ีประจุไฟฟา มากกวา 2 ประจุไฟฟา แรงลัพธสทุ ธสิ ามารถคํานวณไดโดยอาศัยการ รวมแบบเวกเตอรของแรงแตละคตู ามหลักการซอนทบั (superposition principle)

3 คาคงตัว =k 8.98755×109 N.m2.C−2 ≈ 9.0×109 N.m2.C−2 บางครัง้ เพ่ือความ สะดวกในการคํานวณ คาคงตัว k มกั เขยี นแสดงในเทอมของ ε (อักษรกรกี อานวา epsilon) ดงั น้ี k= 1 4πε0 เมอ่ื ε0 เรียกวา สภาพยอมในสุญญากาศ (vacuum permittivity) โดยท่ี มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงε 0 = 8.854185 ×10−12 C 2 .N −1.m−2 สมการ (1-2) จึงเขียนใหมไดเ ปน F = 1 q1q2 4πε0 r2 เขยี นแสดงความสัมพันธในเทอมของปริมาณเวกเตอร เม่ือ rˆ เปนเวกเตอรห นึ่งหนวยไดเ ปน  = 1 q1q2 rˆ (1-3) F 4πε0 r2 ตัวอยา ง 1.1 ประจุไฟฟา ถูกวางตามแนวแกน x ดังภาพตวั อยา ง 1.1 ถา q=1 4.0×10−6C อยหู าง จากจดุ กาํ เนดิ 2 cm และ q2 =−9.0×10−6C อยหู า งจากจดุ กําเนิด 4 cm จงหาแรงลพั ธส ุทธิ กระทาํ ตอ ประจุไฟฟา q3 เน่ืองจากประจุไฟฟา ทั้งสอง เมื่อ q=3 5.0×10−6C และวางทจ่ี ุดกําเนิด ภาพตัวอยา ง 1.1 วิธที ํา จากกฎคูลอมบ F = kq1q2 r122 แรงลัพธก ระทําตอประจุไฟฟา q3 คือผลรวมเวกเตอรของแรงเน่ืองจากประจไุ ฟฟา q1 และ q2 ให F31 แทนขนาดของแรงกระทําตอ q3 เนอื่ งจากประจุไฟฟา q1 จะเขียนไดวา =F31 k=q3q1 (9 ×109 N.m2.C−2 )(5×10−6 C)(4 ×10−6 C) r321 (0.02m)2 = +450 N ทิศไปทางซาย หรือ -x

4 ให F32 แทนขนาดของแรงกระทําตอ q3 เนื่องจากประจุไฟฟา q2 จะเขียนไดวา =F32 k=q3q2 (9 ×109 N.m2.C−2 )(5×10−6 C)(−9 ×10−6 C) r322 (0.04m)2 = -253.125 N ทิศไปทางขวา หรอื +x แรง F31 มีเครื่องหมายบวกเพราะประจุไฟฟา q3 ถกู ผลกั ดว ย q1 แรง F32 มเี ครอ่ื งหมายลบเพราะ ประจไุ ฟฟา q3 ถกู ดงึ ดูดดวย q2 ผลรวมของแรงตามองคประกอบในแนวแกน x คือ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง Σ Fx = F31 + (−F32 ) = 450 −253.125 = 196.875 N นน่ั คอื แรงลัพธกระทําตอประจไุ ฟฟา q3 =196.875 N มที ิศทางไปทางซาย หรอื -x ตวั อยา ง 1.2 อะตอมไฮโดรเจนมีอิเล็กตอนโคจรรอบโปรตรอนดวยรัศมี 5.3×1011m จงหาอัตราสวน ระหวางแรงทางไฟฟา กับแรงดึงดูดระหวางมวลของอะตอมไฮโดรเจนน้ี วธิ ที ํา แรงเนือ่ งจากอํานาจทางไฟฟาตามกฎคลู อมบ 1 q2 …1 Fe = 4πε0 r2 แรงตามกฎของความโนม ถว ง Fg = Gmemp …2 r2 อตั ราสวนของแรงท้ังสอง =Fe 1 q2 × r/ 2 Fg 4pe0 r/ 2 Gmemp = q2 × 1 = 4pe0 Gmemp (1.602 ×10−19 )2 × (6.67 ×10−11 )(9.10 1 )(1.672 ×10−27 ) 4p(8.85×10−12 ) ×10−31 = 2.27 ×1039 จากตัวอยาง 1.2 พบวาแรงตามกฎของความโนมถวงมีขนาดนอยมากเมื่อเทียบกับแรง เน่อื งจากอํานาจไฟฟาตามกฎคลู อมบ ดังน้ันในการศกึ ษาแรงทเ่ี กดิ จากประจไุ ฟฟาน้ันจะไมสนใจแรงที่ เกิดจากแรงดงึ ดูดระหวา งมวล

5 ตัวอยา ง 1.3 จากภาพตัวอยา ง 1.3 จงหาขนาดและทิศทางของแรงท่กี ระทาํ ตอประจุ q1 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงภาพตวั อยา ง 1.3 วธิ ที าํ เมื่อพิจารณาวามีเฉพาะประจุ q1 กับ ประจุ q2 สามารถพิจารณาไดวาประจุ q2 จะออกแรงดึงดูด ประจุ q1 ขึ้นในทิศทางแกน +y เน่ืองจาก ประจุ q1 กับ ประจุ q2 เปนประจุคนละชนิด เม่ือ กําหนดให แรง F21 เปน แรงที่ประจุ q2 จะออกแรงกระทาํ ดึงดูดประจุ q1 หาไดจ าก F21 = 1 q2q1 4πε0 r221 1 (4 ×10−6 )(−3×10−6 ) = 4π(8.85×10−12 ) (4 ×10−2 )2 = −67.5 N แรง F21 ติดลบเน่อื งจากเปน แรงดงึ ดดู ดังนนั้ แรง F21 = 67.5 N มีทิศ +y เม่ือพิจารณาวามีเฉพาะประจุ q1 กับ ประจุ q3 สามารถพิจารณาไดวาประจุ q3 จะออกแรงดึงดูด ประจุ q1 ข้ึนในทิศทางแกน +x เนื่องจาก ประจุ q1 กับ ประจุ q3 เปนประจุคนละชนิด เม่ือ กาํ หนดให แรง F31เปน แรงท่ปี ระจุ q3 จะออกแรงกระทําดงึ ดดู ประจุ q1 หาไดจ าก F31 = 1 q3q1 4πε0 r321 = 1 (6 ×10−6 )(−3×10−6 ) 4π(8.85 ×10−12 (3×10−2 )2 ) = −180 N แรง F31ตดิ ลบเนื่องจากเปนแรงดึงดดู ดงั น้ัน F31 = 180 N มที ิศ +x

6 จากขอมูลพบวาแรงที่กระทาํ ตอประจุ q1 นั้น มีแรงที่เกิดจากประจุ q2 และ ประจุ q3 เมื่อนําแรงทั้ง สองมารวมกันจะเปนแรงท่ีกระทําตอประ q1 กําหนดให ขนาดขแงแรง F1เปนแรงท่ีกระทําตอประจุ q1 หาไดจ าก F1 = F221 + F321 = (67.5)2 + (180)2 = 192.24 N หาทิศทางของแรง F1 จาก θ ==tan−1  FFxy  ta=n−1  6178.05  20.55o กบั แกน +x มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 1.3 สนามไฟฟา ของจดุ ประจุ (  ) หมายถึง แรงที่กระทําตอประจุทดสอบบวก 1 หนวย โดย สนามไฟฟา ณ ตําแหนงใดๆ E กาํ หนดใหเ ปน ประจทุ ดสอบคอื q0 (Eq0=มFีคา เทา กับ 1C ) สามารถเขียนความสมั พันธได คอื (1-4) q0 หรือ  = 1 q rˆ (1-5) E 4πε0 r2 เนื่องจากสนามไฟฟาเปนปริมาณเวกเตอรมีทิศทางตามยูนิตเวกเตอร rˆ เชนเดียวกับแรงในกรณีมีจุด ประจุมากกวา 1 ประจุ คอื q1, q2, q3, ... อยทู ีร่ ะยะทาง r1, r2, r2, ... เวกเตอรตําแหนงคือ rˆ1, rˆ2 , rˆ3, …ตามลําดับ จากตําแหนงท่ีตองการวัดขนาดของสนามไฟฟา สนามไฟฟารวมของแตละจุดประจุ สามารถหาหาไดจากการซอนทับกันของเวกเตอรดังน้ี E = E1+E2 +E3 +... = 1 ( q1 rˆ1 + q2 rˆ2 + q3 rˆ3 +...) 4πε0 r12 r22 r32 ∑= 1 qi rˆ (1-6) ri2 4πε0 i เน่ืองจากสนามไฟฟาวัสดุมักมีประจุไฟฟาที่กระจายอยางตอเน่ืองในรูปรางตางๆ การคํานวณ เสสนมาือมนไฟจุดฟปารอะาจจุเทมํา่ือไเดทโียดบยกกับารรแะบยะงปทราะง จrุไฟจฟาากตสอวเนนเื่อลง็กอๆอกdเqปนดสังวนน้ันเสลน็กาๆมไdฟqฟาโดEย ถจือาวกาสdวqนเลเป็กนๆ dq สามารถเขียนในรปู ของปริพนั ธเ วกเตอรหรืออินทกิ รลั เวกเตอร (vector integral) ไดว า ∫ 1 dq rˆ (1-7) E= r2 4πε0

7 ตวั อยา ง 1.4 จงหาสนามไฟฟา  ท่ีตําแหนง P เมอ่ื P อยตู รงจุดกึง่ กลางระหวางประจุไฟฟา +q E สูงเปนระยะ z และประจุไฟฟา q อยหู า งกนั เทา กับ 2L ดังภาพตวั อยาง 1.4 (ก) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง(ก) (ข) ภาพตวั อยาง 1.4 วจเมธิาอ่ืทีกพภาํ จิาาพรตณัวาอกยาารงร1ว.ม4ส(นกา)มแไลฟะฟ(า ข)Eส1นแาลมะไฟEฟ2าในEแ=นP วราEบ1 สนามไฟฟา รวมในแนวราบ หรือ แนวแกน x ,  + E2 และแนวดิง่ =Ex E1 sin θ − E2 sin θ และขนาดของสนามไฟฟา E1และ E2 มีขนาดเทากัน แตมีทิศ ตรงกันขาม ดังนั้นสนามไฟฟาในแนวแกน x เทากับศูนย (มีประจุ q เทากัน อยูหางเปนระยะ r เทากนั ) สนามไฟฟา รวมในแนวดิง่ หรือ แนวแกน y , ขนาดสนามไฟฟารวมในแนวแกน y =Ey E1 cos θ + E2 c=os θ 2E cos θ มีทิศชี้ใน แนวแกน +y ดงั นั้นสนามไฟฟารวมทีจ่ ุด P, EP E=P Ex + Ey =0 + 2E cos θ = 2E cos θ จากสมการสนามไฟฟา E= 1 q และ cos θ =z 4πε 0 r 2 r

8 EP =  1 q  z  2 4πε0 r2   r    = 1 2zq 4πε0 r3 =1 2zq 3 z2 + L2 2 ( )4πε0 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ( ) EP ดงั นั้นสนามไฟฟารวมที่จดุ P, = 1 2zq มีทศิ +y 4πε0 3 z2 + L2 2 ในการณี z >> L ประมาณคาของ (z2 + L2 )3 = ( )3 z3 2 z2 2 = ดังนั้นจะไดวาสนามไฟฟา  = 1 2q ทิศ +y หรือกลาวไดวา เม่ือระยะ z มากกวา L EP 4πε0 z2 มากๆ น้ัน สามารถสรุปไดวาประจุ q ท้ังสองรวมกันอยูที่จุด ๆ เดียวกัน มีขนาดเทากับ 2q โดยอยู หา งจากจุด P เปน ระยะ z 1.4 สนามไฟฟา เน่อื งจากการกระจายตวั ประจุอยางสม่ําเสมอ สมํ่าเสมอกาพริจหาารณสนาจามากไฟกาฟราแทบี่ตงํปาแระหจนอุ งอPกเปน ทสี่เว กนิดเลจก็ากๆวัตdถqุทสี่มงีกผาลรทกํารใะหจเกาิดยสตนัวาขมอไงฟปฟราะจdุไEฟฟดังาภอายพา ท่ี 1.2 ดงั ภาพท่ี 1.2 สนามไฟฟาท่จี ุด P เนือ่ งจากการกระจายตวั ของประจอุ ยา งสมาํ่ เสมอ (ประพนธ เลศิ ลอยปญ ญาชัย, 2564) จากภาพท่ี 1.2 สามารถเขียนความสัมพันธระหวางประจุ dq กับสนามไฟฟา  คือ dE  1 dq rˆ เมือ่ ทาํ การรวมประจุไฟฟา dq จะไดสนามไฟฟา รวมท้ังหมด ตามสมการที่ 1-7 dE = 4πε0 r2 ∫ 1 dq rˆ (1-7) E= 4πε0 r2

9 ในการพิจารณาการกระจายตัวประจุอยางสม่ําเสมอ dq สามารถพิจารณาการสมมาตรของ วตั ถไุ ดดังน้ี แบบเชงิ เสน dq = ldl เม่อื λ คือ ความหนาแนนประจเุ ชิงเสน แบบเชงิ พ้ืนที่ dq = σdA เม่อื σ คอื ความหนาแนน ประจเุ ชิงพื้นท่ี แบบเชงิ ปริมาตร dq =ρdτ เมอื่ ρ คือ ความหนาแนน ประจเุ ชงิ ปริมาตร ตวั อยาง 1.5 แทง โลหะยาวอนันต มีการกระจายตวั ของประจุไฟฟา + λ จงหาสนามไฟฟาที่จุด P เม่ือ จุด P อยูหา งจากแทง โลหะ x ดังภาพตัวอยาง 1.5 (ก) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง (ก) (ข) ดงั ภาพตัวอยา ง 1.5 วิธีทํา จากภาพตวั อยาง 1.5 (ก) และ (ข) การหาสนามไฟฟา ทเ่ี กิดจากแทง โลหะที่มีการกระจายตวั อยา งสํา่ เสอมในลักษณะเชิงเสน จะไดวา dq = ldl หรอื l =dq และ dl sin θ= x → csc θ= r → r= x csc θ rx → L = xcot θ → dL = −x csc2 θdθ tan θ = x → cot θ = L Lx

10 กําหนดใหประจุ dq อยูหางจากจุด P เปนระยะ r สงผลใหเกิดสนามไฟฟาในแนวแกน x และแนวแกน y พิจารณาสนามไฟฟา ในแนวแกน x =Ex ∫ dE sin q มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ∫ ∫= 1 dq sin q= 1 λdL x 4πε0 r2 4πε0 r2 r ∫ ∫=1 λ −x2 csc2 dq =1 λ −x2 csc2 dq 4πε0 x3 csc3 q 4πε0 x3 csc3 q ∫ ∫= 1 λ=d qλ1 π sin qdq 4πε0 x csc q 4πε0 x 0 = 1 λ(− cos q=) π λ1 (− cos π) − (− cos 0) 4πε0 x 0 4πε0 x = 1 2λ 4πε0 x พิจารณาสนามไฟฟา ในแนวแกน y =Ey ∫ E cos q ∫ ∫= =1 dq L 1 λdL L 4πε0 r2 r 4πε0 r2 r ( )= 1 λ −x csc2 qd q(xcqot ) ∫4πε0 x3 csc3 q ∫= 1 λπ − co=s qdqλ1 [− sin q] π 4πε0 x 0 4πε0 x 0 =0 ดงั นั้นสนามไฟฟาท่ีจุด P ที่เกิดจากเสนโลหะยาวอนนั ตเทากับ  =  +  = 1 2λ ทิศ +x EP Ex Ey 4πε0 x

11 ตัวอยาง 1.6 ตัวนําวงแหวนรัศมี R มีประจุไฟฟา Q จงหาขนาดและทิศของสนามไฟฟาท่ีจุด P เม่ือ จุด P หา งจากจดุ ศูนยกลางของวงแหวนเปนระยะทาง Z ดังภาพตวั อยาง 1.6 (ก) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง(ก) (ข) ดงั ภาพตวั อยา ง 1.6 วิธที ํา พิจารณาสวนเลก็ ๆ ของวงแหวน ds เสนรอบวง 2πR มปี ระจุไฟฟา dq บนสวนวงแหวน ds dq =λds =Q ds 2πR ทตี่ ําแหนง p สนามไฟฟาทีเ่ กิดจากประจุไฟฟา dq คือ =dE 1 dq ; =r R2 + Z2 4πε0 r2 หรอื สนามไฟฟา ∫E= 1 1 dq 4πε0 R2 + Z2 ∫= 1 1 Q ds 4πε0 R 2 + Z2 2πR เนอ่ื งจากการกระจายของประจไุ ฟฟาทําใหส นามไฟฟาในแนวแกน x สุทธมิ คี าเปน ศูนย จงึ มเี ฉพาะ สนามไฟฟา ในแนวแกน y นน่ั คือ =Ey E cos θ 11 Qds cos θ 4πε0 R 2 + Z2 2πR ∫= 11 ∫ ( ) ( )4πε0 R2 + Z2 Qds Z 1 2πR 1 ; r = R2 + Z2 2 R2 + Z2 2

12 =1 1 ZQ ( ) ∫4πε0 R2 + Z2 ds 1 2πR R2 + Z2 2 1 Z Q 2π 4πε0 R2 + Z2 ( ) ∫= 3 Rdθ ; ds = Rdθ 2 2πR 0 1 Z Q (2πR ) 4πε0 R2 + Z2 ( )= 2πR มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 3 2 ZQ 3 R2 + Z2 2 ( )= 1 4πε0 กรณที ี่ Z >> R จะไดว า (R2 + Z2 )32 ( )3 ≈ Z3 ดังน้ันสนามไฟฟาประมาณไดคือ ≈ 0 + Z2 2 Ex = 1 ZQ 4πε0 Z3 =1 Q 4πε0 Z2 จะเห็นวา กรณีท่ี Z >> R สนามไฟฟา ทเี่ กดิ ข้นึ จะมขี นาดเทากับ 1Q ในทิศ +y โดยเสมือนวา 4πε0 Z2 ประจุของวงแหวนโลหะมารวมตัวกันท่ีจุดกึ่งกลางของวงแหวนโดยมีประจุรวมเทากับ Q หางเปน ระยะทาง Z 1.5 ฟลักซไ ฟฟา ฟลกั ซไฟฟา (electric flux, φE) เปน จาํ นวนเสนแรงไฟฟา ที่ผา นพื้นที่ผวิ ผวิ หนง่ึ พจิ ารณาจากภาพที่ 1.3 (ก) (ข) (ค) ดงั ภาพท่ี 1.3 เสน แรงไฟฟา ท่ีผานพนื้ ท่ี ท่ีมา (ประพนธ เลศิ ลอยปญญาชยั , 2564) เม่อื พจิ ารณาคา สนามไฟฟา  จะมีคา เปนสดั สวนกบั จํานวนเสนแรงไฟฟา และฟลักซไฟฟาก็ E มสนีคาวมามไฟสฟัมาพันEธกทับําจมําุมนวθนสเงสผนลแใรหงจทํา่ีผนาวนนพเสื้นน ทแ่ีผริวงไหฟนฟ่ึงาทๆีผ่ Aา นพดื้นังทภี่ าAพลทดี่ ล1ง.3สง (ผกล)ใเหมคื่อา ฟลพักื้นซทไ ี่ฟAฟากับ

13 ลดลงไป ดังภาพที่ 1.3 (ข) เม่ือพ้ืนที่ A วางตัวขนานกับสนามไฟฟา พบวา ไมมีจํานวนเสนแรงไฟฟา ผานพ้ืนที่ผิว A สงผลใหคาฟลักซไฟฟาเปนศูนย ดังน้ันสามารถเขียนความสัมพันธของ ฟลักซไฟฟา สนามไฟฟา  และพ้ืนท่ี A ดงั น้ี φE E  φ= E ⋅ A (1-8) หรอื (1-9) =φ EA cos θ จากสมการท่ี (1.8) และ (1.9) สามารถอธิบายความหมายของฟลักซไฟฟา วาเปนผลคูณมหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เชงิ สเกลารระหวางสนามไฟฟา และพื้นที่เวกเตอร ของผิวทมี่ สี นามไฟฟาไหลผาน ในกรณีที่สนามไฟฟา ไมไ ดผ า นผวิ ท่เี ปน ระนาบ หรอื เปนพ้นื ที่ผิวท่ัวไปดังภาพท่ี 1.4 ภาพท่ี 1.4 พ้ืนทผี่ ิวใด ๆ วางในสนามไฟฟา ท่ีมา (Serway & Jewett, 2008) ออกเปน เรdาAสiาแมลาะรมถสีพนิจาามรไณฟาฟคา าฟEลi สักาซมไาฟรฟถาหทาี่ผฟาลนักพซื้นไ ฟทฟ่ีผา ิวเนป้ันน โดยพิจารณาแบงพ้ืนที่เล็ก ๆ i ผิว i ท้งั หมดหาไดจาก dφi ผลรวมของฟลักซไฟฟาของพ้ืนท่ี  (1-10) =φ ∫ E ⋅ dA ฟลักซไฟฟามหี นวยเปนนวิ ตนั .เมตร2 ตอ คลู อมบ ( N.m2.C−1 ) 1.6 ผวิ เกาสเซียน โดยท่ัวไป ในการพิจารณาฟลักซไ ฟฟาทีผ่ านผิวปด และเรียกผิวปด สมมติทป่ี ระกอบการหาฟ ลกั ซไฟฟาวา ผวิ เกาสเซียน (Gaussian surface) หาไดจากการอนิ ทริกรัลครบรอบพ้นื ที่ผวิ ������������ = ∮ �������⃑������ ⋅ ������������������⃑������ (1-10)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 14 ภาพที่ 1.5 ผิวปดทรงกลม ทม่ี า (ดัดแปลงมาจาก Serway & Jewett, 2008) จากภาพที่ 1.5 กําหนดใหผิวปดทรงกลมกลวงที่มีรัศมี r ที่มีจุดประจุไฟฟา +q อยูใจกลางท่ี จุดศนู ยก ลางของผิวทรงกลมกลวงผิวน้ัน เสนแรงไฟฟาของประจุ +q จะมีทิศช้ีออกตามแนวรัศมีจาก จุดศูนยกลางโดยที่จํานวนเสนแรงท่ีผานพื้นท่ีผิวปด ไมวาจะหางเปนรัศมีใด จํานวนเสนแรงที่ผาน พื้นที่ผิวปดนั้นจะมีคาเทาเดิม ดังน้ันจํานวนเสนแรงจะมีมากหรือนอย ข้ึนอยูกับคาของประจุ +q ดังน้นั กลาวไดว า จาํ นวนเสน แรงไฟฟาท่ีผานพื้นท่ีผิวปดหน่ึง ๆ ไมขึ้นกับรัศมีของผิวปดทรงกลมกลวง ผวิ นั้น แตขึ้นกบั คาประจุไฟฟา ท่ใี หสนาไฟฟา ดังนัน้ ฟลักซไฟฟา ทผ่ี า นผวิ ปดหน่ึงๆ จะขึน้ อยกู บั คาประจไุ ฟฟาท่ีผิวผดิ น้ันลอมเอาไว โดยท่ีฟ ลักซไฟฟาเปนบวก เม่ือเสนแรงพุงออกผานผิวปดน้ันออกมา และในทางตรงกันขาม ฟลักซไฟฟาจะ เปน ลบ เมอื่ เสน แรงไฟฟา มีทศิ พงุ เขา ไปในพืน้ ทีผ่ วิ ปด 1.7 กฎของเกาส กฎของเกาส (Gauss’s law) นําเสนอโดยคารล ฟรีดริช เกาส (Karl Friedrich Gauss, 1777-1855) นักวิทยาศาสตรและคณิตศาสตรชาวเยอรมัน กฎของเกาสเปนกฎที่แสดงความสัมพันธ ระหวางฟลักซไฟฟา φE และประจุไฟฟาสุทธิ q ท่ีอยูภายในผิวปดสมมติน้ัน ผิวปดสมมติดังกลาว บางครั้งนยิ มเรยี กวา ผวิ เกาเซียน (Gaussian surface) ภาพที่ 1.6 ผิวเกาสเซียนทรงกลมรอบจุดประจไุ ฟฟา q ที่มา (Serway & Jewett, 2008)

15 จากภาพท่ี 1. ผิวเกาเซียนรูปทรงกลมรอบจุดประจุ q รัศมี r ฟลักซของสนามไฟฟา  ท่ีผานผิว E ของทรงกลมรอบจดุ ประจุ q หาไดดังนี้ จากสมการ (1-10) ฟลักซไ ฟฟา 1 ������������ 1 ������������ ������������������������ = � �������⃑������ ⋅ d�A⃑ = � 4πε0 ������������2 ������������̂ ⋅ dA�r = � 4πε0 ������������2 dA cos ������������ เน่ืองจากเวกเตอรหนึ่งหนวย ของสนามไฟฟากับ เวกเตอรพ้ืนที่ อยูในแนวเดียวกัน เพราะฉะนั้น ������������������������������������ 0 = 1มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 1 ������������ 1 ������������ = ∮ 4πε0 ������������2 dA = 4πε0 ������������2 ∮ dA เน่อื งจาก ∮ dA เปนพน้ื ท่ีผิวปดของทรงกลม โดยที่ ∮ dA = 4������������������������2 ดงั นัน้ ฟลักซไฟฟา φE = 1 q (4πr2 ) =q (1-11) 4πε0 r2 ε0 สมการ (1-11) แสดงใหเห็นวาฟลักซไฟฟาที่ทะลุผานผิวทรงกลมเปนสัดสวนโดยตรงกับขนาดของ ประจไุ ฟฟา แตไมขน้ึ กับรศั มขี องทรงกลมนั้น นั่นคือถาสรางทรงกลมรัศมีตางๆ มีจุดศูนยกลางรวมกัน แลว ฟลักซไฟฟาที่ผานแตละผิวทรงกลมจะมีขนาดเทากันเสมอ สมการ (1-12) ยังใชไดดีในกรณีมีจุด ประจุหลายจดุ ประจุคือ q1,q2 ,q3,... กระจายอยูภ ายในผิวปดหรือผิวเกาเซียน ฟลักซไฟฟารวมจะ มีคา เทา กับฟลกั ซไ ฟฟา ที่เกดิ จากแตล ะจดุ ประจุ เขยี นไดว า ������������������������ = � �������⃗������ ⋅ ������������������⃑������ ∑= 1 qi Q (1-12) = ε0 i ε0 เม่อื ∑Q = qi = q1 + q2 + q3 + ... เปน ผลรวมทางพชี คณิตของจดุ ประจภุ ายในผิวปด i สมการ (1-12) เรียกวากฎของเกาส กฎของเกาสมีประโยชนมากสําหรับการคํานวณความ เขมสนามไฟฟา ท่เี กดิ จากประจุไฟฟากระจายบนวัตถุอยางสมมาตร (symmetry) โดยการเลือกผิวปด หทไฟ่ีรอฟอืยาผูใบนิวเวผกกิวาปเถซดา ยี ไสนดนใาถหมาเ หไสฟมนฟาาะามสไEฟมแฟลมาวที หEิศาทปมารงีทิพพิศันงุ ทเธขารางอหพบาุงผผอิววิอปปกดดจนปา้ันรกะผกจิวฎไุปฟขดฟอปางรภเะกาจายสุไใฟนยฟังผสวิาาภปมาดายจรใะถนเคปผํานิวนปปวดรณะจจปะุไเรฟปะฟนจาปุไฟลรบฟะจาุ ตัวอยาง 1.7 ลวดโลหะเสนหน่ึง มีความหนาแนนประจุเชิงเสนสมํ่าเสมอ คือ +λ จงหาขนานของ สนามไฟฟา E ที่ระยะ R เม่ือ R คือ บริเวณที่หางออกจากใจกลางเสนลวดตามแนวรัศมีของเสนลวด เม่ือ เสนลวดนยี้ าวอนันต วิธที ํา เน่อื งจากลวดโลหะน้ีมีความยาวอนันตแลมีสมมาตรในลักษณะทรงกระบอก จึงไดสรางพ้ืนท่ี ผิวปด เกาสเซียนรูปทรงกระบอก รัศมี R ยาว L มาลอมรอบเสนลวดน้ีไวโดยใชแกนกลางรวมกันดัง ภาพตัวอยางท่ี 1.7

16 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงภาพตัวอยา งท่ี 1.7 ลวดโลหะมีความหนาแนน ประจุเชงิ เสน λ =q หรอื q = λL L จากกฎของเกาส φE =q และ ������������ = ∮ �������⃑������ ⋅ ������������������⃑������ ε0 จะไดว า ∮ �������⃑������ ⋅ ������������������⃑������ = ������������ ������������0 � ������������������������������������ ������������������������������������ ������������ = ������������ ������������0 เนอ่ื งจากสนนามไฟฟา E และ พ้นื ท่ี dA อยใู นแนวเดียวกัน (แนวรัศมี r ) ดังน้ัน มุม θ =0o หรอื cos0o =1 และ สนามไฟฟา ท่ีรัศมี R มีคาคงท่ี จะไดว า ������������ ∮ ������������������������ = ������������������������ ������������0 ในพจนข อง ∮ ������������������������ เปน การหาพนื้ ท่ีดานขางของทรงกระบอกยาว L รศั มี R ดงั นั้น ∮ ������������������������ = 2������������������������������������ E (2πRL) =λL ε0 ดังน้นั ขนาดของสนามไฟฟาท่ีรศั มี R คอื E= λ 2πε0R

17 ตัวอยาง 1.8 ทรงกลมฉนวนรัศมี R มีความหนาแนนประจุเชิงพ้ืนท่ี ρ อยาลสมํ่าเสมอ และมีประจุ ท้ังหมด Q จงคาํ นวณหาขนานของสนามไฟฟา ทร่ี ะยะ r เม่ือ r > R และ r < R วิธที าํ จากขอ มลู พจิ ารณา r > R ดังภาพตวั อยา ง 1.8 (ก) และ r < R ดังภาพตัวอยาง 1.8 (ข) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง(ก) (ข) ภาพตัวอยาง 1.8 พจิ ารณา หาคาสนามไฟฟา ท่ีตําแหนง r > R จาก ∮ �������⃑������ ⋅ ������������������⃑������ = ������������ ������������0 � ������������������������������������ ������������������������������������ ������������ = ������������ ������������0 เนื่องจากสนนามไฟฟา E และ พื้นท่ี dA อยใู นแนวเดียวกัน (แนวรัศมี r ) ดังน้ัน มุม θ =0o หรือ cos 0o =1 และ สนามไฟฟา ทรี่ ัศมี R มีคาคงที่ และ Q = ρV จะไดวา ������������ ∮ ������������������������ = ������������������������ ������������0 ในพจนข อง ∮ ������������������������ เปนการหาพน้ื ที่ทรงกลมรัศมี r ดังนั้น ∮ ������������������������ = 4������������������������2 และปรมิ าตรของทรงกลม ทีม่ รี ศั มี R คือ V= 4 πR3 3 ( )E 4πr2= r  4 πR 3  ε0  3  E = r R3 3ε0 r2 =1Q 4πε0 r2

18 ดังนัน้ สน=ามไฟฟา E 1 Q > R) 4πε0 r2 ; (r พจิ ารณา หาคาสนามไฟฟาท่ีตาํ แหนง r < R จาก ∮ �������⃑������ ⋅ ������������������⃑������ = ������������ ������������0 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เม่อื q เปนประจทุ ้งั หมดท่ีอยูภายใน ผิวเกาสเ ซียนรัศมี r � ������������������������������������ ������������������������������������ ������������ = ������������ ������������0 เนื่องจากสนนามไฟฟา E และ พื้นท่ี dA อยูในแนวเดียวกัน (แนวรัศมี r ) ดังน้ัน มุม θ =0o หรือ cos 0o = 1 และ สนามไฟฟา ท่ีรัศมี R มีคาคงท่ี และ q = rV = 4 rπr3 จะไดว า 3 ������������ ∮ ������������������������ = 4 ������������������������3������������ 3������������0 ในพจนข อง ∮ ������������������������ เปนการหาพื้นท่ีทรงกลมรัศมี r ดงั นน้ั ∮ ������������������������ = 4������������������������2 แตปริมาตร V เปน ปรมิ าตรภายในรศั มี r ดงั นน้ั E (4πr )2= r  4 πr3  ε0  3  =E 1 qr ;(r < R) 4πε0 R3 ดงั นนั้ สนา=มไฟฟา E 1 qr ;(r < R) 4πε0 R3 สรปุ กฎของคลู อมบ แรงทางไฟฟา F = kq1q2 r2 ค า คง ตั ว=k 8.98755×109 N.m2.C−2 ≈ 9.0×109 N.m2.C−2 บ า งค ร้ั งเ พื่ อคว า ม สะดวกในการคํานวณ คา คงตัว k มกั เขยี นแสดงในเทอมของ ε (อักษรกรกี อานวา epsilon) ดังนี้ k= 1 4πε0 เมือ่ ε0 เรียกวาสภาพยอมในสุญญากาศ (vacuum permittivity) โดยที่ ε=0 8.85 ×10−12 C2.N−1.m−2

19 สนามไฟฟา ณ ตําแหนง ใดๆ (  ) หมายถงึ แรงท่ีกระทําตอ ประจุทดสอบบวก 1 หนว ย โดย E กําหนดใหเปนประจุทดสอบคือ q0 (Eq0=มFีคาเทา กบั 1C ) สามารถเขยี นความสมั พนั ธไ ด คอื q0 หรือ  = 1 q rˆ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงE 4πε0 r2 การพิจารณาการกระจายตัวประจอุ ยางสมาํ่ เสมอ dq สามารถพจิ ารณาการสมมาตรของวัตถุไดดังนี้ แบบเชิงเสน dq = ldl เมื่อ λ คือ ความหนาแนน ประจเุ ชิงเสน แบบเชงิ พ้นื ท่ี dq = σdA เม่ือ σ คอื ความหนาแนน ประจเุ ชงิ พน้ื ท่ี แบบเชงิ ปริมาตร dq =ρdτ เม่อื ρ คอื ความหนาแนนประจเุ ชงิ ปริมาตร ฟลกั ซไฟฟา φE สนามไฟฟา  และพื้นที่ A ดังนี้  E φ= E ⋅ A หรอื =φ EA cos θ กฎของเกาส =φ  Q ε0 ∫ E ⋅ dA= แบบฝกหดั 1. เม่ือวางประจุ 2 ตัวหางกัน 2 cm ทําใหเกิดแรงไฟฟาระหวางสองจุดประจุเทากับ 10−6 N ถา ตอ งการแรงทางไฟฟา 10−8 N จะตองวางประจุหา งกนั เทาใด (คาํ ตอบ 0.2 m ) 2. จงหาจํานวนอิเล็กตรอนที่มีอยูบนทรงกลมเล็กวางหางกัน 3cm ถาแรงระหวางทรงกลมท้ัง สอง มีขนาดเทา กบั 10−19 N (คาํ ตอบ 625) 3. ประจุไฟฟาขนาด +1.0 µC และ +4.0 µC วางหางกัน 20 cm จงหาตําแหนงท่ีวาง ประจุไฟฟา −q บนเสนตรงระหวางประจุไฟฟาท้ังสอง เพ่ือใหแรงลัพธเปนศูนย (คําตอบ 5.8 cm จากประจไุ ฟฟา +1.0µC) 4. ประจุไฟฟาสองจุดประจุ วางในระนาบ xy ดังนี้ ประจุไฟฟา 2.0×10−9 C อยูท่ีจุด (x = 0 cm, y = 4 cm) ประจไุ ฟฟา − 3.0×10−9 C อยูท ่ีจุด (x = 3 cm, y = 4 cm) ก. ถา มปี ระจุไฟฟา 4.0×10−9 C วางท่จี ุดกําเนดิ จงหาองคประกอบแรงลัพธในแนวแกน x และ y กระทําตอประจุไฟฟา (คาํ ตอบ 5.4 ×10−5 N ,−3.45×10−5 N ) ข.จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธก ระทาํ ตอประจุไฟฟาท่ีจดุ กาํ เนิด (คําตอบ 6.41×10−5 N , ทาํ มุม 32.60 ใตแ กน x ) 5. จงหาแรงกระทําตอประจุไฟฟาขนาด 1.0µC ดวยสนามไฟฟา 50V / m (คําตอบ 5.0 ×10−5 N )

20 6. แผนระนาบบางมีพ้ืนที่ 0.25 m2 วางอยูในลักษณะที่เสนแนวฉากของแผนระนาบทํามุม 60o กับสนามไฟฟา สมํ่าเสมอขขนาด 14 N/C จงหาขนาดของฟลกั ซไ ฟฟา ที่ผานแผนระนาบบางนี้ (คาํ ตอบ 1.75 N.m2/C) 7. ประจบุ วก Q มกี ารกระจายตัวอยา งสมาํ่ เสมอ และประจุ -q ดังภาพ จงคาํ นวณหา ก. สนามไฟฟาในแนวแกน x และในแนวแกน y ทีเ่ กิดจากประจุ Q ณ จดุ ใดๆ บนแกน +x (=คําตอบ Ex 1 xQ=2 + a2 , Ey 1 Q1 1  ) 4πε0 x 4πε0   มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง − x2 + a2  a x ข. แรงทางไฟฟาในแนวแกน x และแนวแกน y ท่เี กิดจากการกระทําของ Q และ -q =(คําตอบ Fx 1 =−xq2 Q+ a2 , Fy 1 qQ  1 − 1 4πε0 4πε0 a  x  x  x2 + a2  ภาพสาํ หรบั โจทยข อ 7 8. ทรงกลมไมเ ปนตัวนํารัศมี a วางที่จุดศูนยกลางของทรงกลมตัวนํากลวงรัศมีภายใน b รัศมี ภายนอก c ดังภาพแบบฝกหัดขอที่ 23 ประจุไฟฟา + Q กระจายอยางสมํ่าเสมอบนทรง กลมภายใน (ความหนาแนนประจุไฟฟา ρ ) ตัวนําชั้นนอกมีประจุไฟฟา − Q จงหา สนามไฟฟา ก) ภายในทรงกลม (r < a) (คาํ ตอบ E = 1 Qr ) 4πε 0 a3 ข) ระหวา งทรงกลมภายในและภายนอก (a < r < b) (คาํ ตอบ E = 1 Q ) 4πε 0 r2 ค) ภายในทรงกลมนอก (b < r < c ) (คําตอบ 0) ง) ภายนอกทรงกลมนอก ( r > c ) (คาํ ตอบ 0) จ) จงหาประจุไฟฟาทผี่ ิวภายในและภายนอกตัวนาํ (คําตอบ ภายใน − Q , ภายนอกศนู ย)

21 เอกสารอางองิ Freeman, M. I. (1973). Physics principles and insights. New York: McGraw-Hill. Halliday, D. & Resnick, R. (1978). Physics part 2 (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. Halliday, D. , Resnick, R. , & Walker, J. (2018). Fundamental of physics extended (5th ed.). New York: John Willey & Sons. Sears, W. F. , Zemansky, W. M. , & Young, D. H. (1991). University physics (7th ed.). New York: Addison-Wesley. มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

บทที่ 2 ศักยไ ฟฟา จากการศึกษาในหัวขอ ประจุไฟฟา สนามไฟฟา และแรงไฟฟา ทําใหทราบวาเม่ืออนุภาคท่ีมี ประจเุ คลอื่ นท่ผี า นในบริเวณทมี่ ีสนามไฟฟา สนามไฟฟาจะออกแรงกระทําทาํ ใหเกิดงานแกอนุภาคนั้น ซงึ่ สามารถเขียนงานในรูปแบบของพลังงานศักยไฟฟาได หรือสามารถเรียกส้ันๆ วา ศักยไฟฟา โดยที่ ศักยไฟฟาข้ึนอยูกับตําแหนงของอนุภาคท่ีอยูในประจุไฟฟา ในชีวิตประจําวันของเราตางคุนเคยกับ พลังงานไฟฟา พลังงานไฟฟาที่เราใชกันในชีวิตปจจุบันลวนมาจากการเปลี่ยนรูปพลังงาน เชน แบตเตอรี่เกิดจากการเปล่ียนพลังงานเคมีเปนพลังงานไฟฟา ไดนาโมเกิดจากการเปลี่ยนพลังงานกล เปน พลังงานไฟฟา หรอื มอเตอรเกิดจากการเปลยี่ นพลงั งานไฟฟาไปเปน พลังงานกล เปนตน มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.1 พลงั งานศักยไฟฟา ในสนามสมํ่าเสมอ  ในทิศทางลงดัง แผนโลหะขนานทีม่ ีประจุสองแผน ทาํ ใหเกิดสนามไฟฟาสมาํ่ เสมอขนาด E ภาพที่ 2.1 ภาพที่ 2.1 ประจุ q เคล่อื นที่จาก a ไป b ทีม่ า (ดดั แปลงมาจาก Halliday & Resnick, 2018) สนามออกแรงขนาด  กระทาํ ตอประจุทดสอบที่เปนประจุบวก q0 ในทิศลง ขณะท่ี F = q0 E ประจุเคลื่อนที่ลงเปนระยะ d จากจุด a ไปยังจุด b พบวาแรงท่ีกระทําตอประจุมีคาคงตัวและไม ข้ึนกับตําแหนง เพราะฉะน้ันงานที่ถูกกระทําโดยสนามไฟฟาจะมีคาเทากับผลคูณของขนาดของแรง กบั สว นประกอบของการกระจัดในทิศ (ลง) ของแรง เขียนเปนสมการไดด งั น้ี (2-1) Wa→b = Fd = q0 Ed จากภาพจะเห็นไดว า งานทีก่ ระทํามีคาเปนบวกเน่ืองจากแรงอยูในทิศทางเดียวกันกับการกระจัดลัพธ ของประจทุ ่นี าํ มาทดสอบ เม่ือพิจารณาแรงในแนวแกน y จากภาพ 2.1 พบวาแรงไฟฟา  มีคาคงตัว และไม Fy = q0 E มีสวนประกอบของแรงไฟฟาในแนวแกน x และ z ดังนั้นจึงสามารถสรุปไดวาจากภาพ 2.1 เปนแรง อนรุ ักษเชนเดยี วกันกับแรงโนมถว ง หรอื สามารถกลาวไดว างานท่ีเกิดจากการเคลื่อนที่จากจุด a ไปยัง

23 จุด b เน่ืองจากสนามไฟฟาไมขึ้นอยูกับเสนทางการเคล่ือนที่ สามารถแทนงานน้ีไดดวยฟงกชันของ พลังงานศกั ย Ep ซง่ึ เมือ่ พจิ ารณาพลงั งานศักยโนมถวงมีคาเทากับ Ep = mgy และเมื่อเทียบกับแรง ของสนามไฟฟาจะไดว า  (2-2) Ep = q0 Ey เมอ่ื ทาํ การพจิ ารณาประจทุ ดสอบทั้งประจุบวกและประจุลบเคลือ่ นท่ีจากจดุ หนงึ่ ไปยังอีกจดุ หน่งึ ดงั ภาพ 2.2 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง (ก) (ข) (ค) (ง) ภาพท่ี 2.2 (ก) ประจุบวกเคลื่อนท่ใี นทศิ เดียวกับสนามไฟฟา (ข) ประจุบวกเคล่ือนที่ในทิศทางตรงกันขา มกบั สนามไฟฟา (ค) ประจุลบเคลื่อนทีใ่ นทิศเดียวกบั สนามไฟฟา (ง) ประจุลบเคล่ือนทใี่ นทิศทางตรงกนั ขา มกบั สนามไฟฟา ท่มี า (ดัดแปลงมาจาก Halliday & Resnick, 2018) งานท่ีสนาWมaไ→ฟbฟ=าก-ΔระEทpํา=ตอ-(ปEระpbจ-สุ Eามpaาร)=ถห-า(ไqด0จEาyกb - q0  ) =q0  ( ya - yb ) (2-3) Eya E หรือสามารถเขยี นในรูปแบบปริพนั ธไดดังนี้ b  b   (2-4) ∫ ∫Wa→b = F ⋅dl = qE ⋅dl aa เมือ่  คอื dl การกระจดั นอยย่งิ ตามเสน ทางของอนุภาค กบรวะกจqัด0อจยเคาูใกลนส่อื ทมนิศกททาี่ลารงงทใเน่ีด(ท2ียศิ-ว3ทก)าับงพแเดบรยีวงวากเFมับื่อ=ทศิ qyท0aEางมขเีคอพางรมสาานะกาฉกมะวไนาฟ้ันฟyสาbนEดามังภทเคาําลพงื่อทานน่ี 2ทบ.ี่จ2วาก(กกแจ)ลุดพะพบaวลมาังาปงยารังนะจจศัดุทักbดยสมกอีคาบรา ลดลง แตถา ya มีคานอยกวา yb ดังภาพท่ี 2.2 (ข) พบวาประจุบวก q0 เคล่ือนที่ในทิศทางตรงกัน ขามกับทิศทางของสนามไฟฟา E ซ่ึงเคลื่อนท่ีจากจุด a ไปยังจุด b การกระจัดสวนทางกับแรง เพราะฉะน้นั สนามทาํ งานตดิ ลบและพลังงานศักยมีคาเพิ่มขนึ้

24 พจิ ารณาประจุลบ ในภาพ 2.2 (ค) และ (ง) จะไดวา พลังงานศกั ยจ ะมคี าเพ่ิมขึ้นเมื่อประจุลบ เคล่ือนท่ีในทิศทางเดียวกับสนามไฟฟา และจะมีคาศักยไฟฟาลดลงเมื่อประจุลบเคลื่อนท่ีสวนทางกับ สนามไฟฟา เมื่อทําการคํานวณหาคาพลังงานศักยไฟฟาของประจุท้ังสอง โดยกําหนดใหประจุ q2 เคลือ่ นที่ตามแนวแกน x พบวาสนามไฟฟาในแนวแกน เนอ่ื งจากจดุ ประจุ q1 มีคา เทา กับ E = q1 (2-5) 4πε0 r2 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง โดยสมการท่ี (2-5) จะมคี า เปน บวกหรือลบขึน้ อยกู ับชนิดของประจุ หากกําหนดใหระยะของ ปdรlะ=จุทdั้งrสˆi อใงนหแานงวกแันกเนปน+ขxนาดดงั ภrาพทซี่ 2่ึง.ม3ีคาเทากับ rˆi และประจุ q2 เคลื่อนที่เปนระยะส้ันๆ ภาพที่ 2.3 ประจุ q2 เคล่ือนทตี่ ามแนวแกน x ทม่ี า (ดัดแปลงมาจาก Halliday & Resnick, 2018)  (Eˆi ) ⋅ (drˆi )= Edr (2-6) E ⋅ dl = เมอ่ื พิจารณาประจุ q2 เคลื่อนท่ีจากระยะ ra เปนระยะ rb พลังงานศักยของระบบ Ep จะมี คาเทากบั rb =− 1 rb dr ra 4pε0 rra 2 ∫ ∫Epb − Epa =−q2 Edr q1 q2 หรือมีคาเทา กบั Epb − E=pa q1q2  1 − 1  (2-7) 4pε0  rb ra    จากสมการท่ี (2-7) พบวาพลังงานศักยไฟฟาของจุดประจุสองประจุท่ีถูกวางใหหางกันเปน ระยะ r ใดๆ จะมีคา เทา กบั Ep = q1q2 (2-8) 4pε0 r สมการที่ (2-8) จะเปนบวกหรือลบนั้นขึ้นอยูกับประจุท้ังสอง ในกรณีที่ประจุท้ังสองเปนประจุชนิด เดียวกันจะทําใหพลังงานศักยไฟฟามีคาเปนบวก ในทางตรงกันขามถาประจุท้ังสองเปนประจุคนละ ชนิดกันพลังงานศักยไฟฟาจะมีคาเปนลบ เม่ือทําการพิจารณาใหประจุ q1 วางอยูในระยะอนันต (r = ∞) พลังงานศักยไฟฟาจะมีคาเทากับศูนย แตถาระบบท่ีพิจารณามีประจุไฟฟามากกวาสองจุด

25 สามารถทําการหาคาพลังงานศักยไฟฟาไดโดยพิจารณาพลังงานศักยไฟฟาของประจุแตละคู ซึ่ง สามารถคาํ นวณไดจาก ∑Ep = 1 q1q2 (2-9) 4pε0 r ตัวอยา งท่ี 2.1 ประจุสามประจอุ ยูบนแกน x โดยประจแุ รก q1 = -e อยูทีต่ ําแหนง x=0 ประจทุ ี่ สอง q2 =+e อยูที่ตําแหนง x= a และประจทุ สี่ าม q3 =+e อยทู ี่ตาํ แหนง x= 2a พลังงานศักย ทง้ั หมดของระบบสามอนุภาคนจ้ี ะมคี า เทา ใด มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงวิธที าํ จากสมการ ∑Ep = 1 q1q2 4pε0 r = 1  q1q2 + q1q3 + q2 q3  4πε0  r12 r13 r23    จะไดวา = 1  ( −e) ( e) + ( −e ) ( e) + ( e)(e)  4πe0    a 2a a  มีคาพลงั งานศักยเทากับ = −e2 8πe 0 a 2.2 ศักยไฟฟา จากการศึกษาพลังงานศักยไฟฟาของประจุทดสอบท่ีถูกนําไปวางในตอนตน หากตองการ บรรยายพลังงานศักยนั้นในรูปแบบตอประจุหน่ึงหนวย สามารถบรรยายไดดวย ศักยไฟฟา V ที่จุด ใดๆ คือ พลงั งานศักย E p ตอ หน่ึงหนว ยของประจุไฟฟาใด ๆ q ณ จดุ นนั้ เขยี นเปน สมการไดว า V = Ep (2-10) q หรอื (2-11) E p = qV ศักยไฟฟาเปนปริมาณสเกลาร เนื่องจากพลังงานศักยและประจุตางเปนปริมาณสเกลาร หนวยของ ศักยไฟฟาในระบบ SI มีหนวยเปนโวลต (V ) โดยท่ี 1V = 1 J C = 1 N C เมื่อทําการพิจารณา  ประจุทดสอบ q ทถี่ ูกเลอื่ นจากจดุ a ไปยังจุด b ตามเสนทางหรือวิถี ใดๆ ในสนามไฟฟา E งาน ท่ีเกิดจากการเคล่ือนที่ของประจุไฟฟา Wab สามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธระหวางงานกับ พลงั งานศักย ในรูปของ “งานตอประจุหน่งึ หนว ย” โดยการหารท้งั สมการดวย q จะไดวา

26 Wa→b ∆E p =−  E pb − E pa  =− (Vb −Va ) =Va −Vb (2-12) q =−  q q  q  เรียกผลตางของ Va −Vb วาศักยของ a เทียบกับ b สามารถเขียนไดเปน Vab ซ่ึงหมายถึงความตาง ศักยระหวาง a และ b จากสมการท่ี (2-10) สามารถกลาวไดวา Vab หรือศักยของ a เทียบ b มี คาเทากับงานท่ีแรงไฟฟากระทําเม่ือประจุหน่ึงหนวยเคล่ือนท่ีจากจุด a ไปยังจุด b ในการหาศักย V เน่ืองจากจดุ ประจเุ ด่ียว q สามารถหาไดโดย มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง =V E=p 1 q (2-13) q 4pε0 r เม่ือ r คือ ระยะจากจุดประจุ q ไปยังตําแหนงท่ีตองการหาคาศักย จากสมการท่ี (2-13) เห็นไดวา ศกั ยข ึน้ อยูกบั ระยะ r เทา น้นั ภาพท่ี 2.4 ศักยไฟฟาลัพธทต่ี ําแหนง P ของจุดประจุไฟฟา หลายจดุ ประจุ ที่มา (ดดั แปลงมาจาก Sears, Zemansky, & Young, 1982) ในกรณีท่ีเปนกลุมประจุ ดังจากภาพท่ี 2.4 พิจารณากรณีประจุไฟฟาหลายจุดประจุ คือ จุด ประจุ q1,q2 ,q3 ,... อยูที่ระยะทาง r1,r2 ,r3 ,... มีศักยไฟฟาเปน V1,V2 ,V3 ,... ตามลําดับ สามารถคาํ นวณหาศกั ยไฟฟาลพั ธของประจุไฟฟาเหลา นท้ี ตี่ าํ แหนง P โดยการหาผลรวมสเกลารของ ศกั ยไฟฟาของจดุ ประจุเหลา น้ัน นั่นคอื V = V1 + V2 + V3 +... = 1 q1 + 1 q2 + 1 q3 +… 4πε0 r1 4πε0 r2 4πε0 r3 ∑1 i qi เม่ือ i = 1,2,3,... (2-14) ri = 4πε0 โดย ri คอื ระยะจากประจุ qi ไปยงั ตําแหนง ทตี่ องการทราบคา V

27 ถา ประจไุ ฟฟากระจายอยางตอเนือ่ งลงบนรปู รา งใด ๆ ศักยไ ฟฟาสามารถเขยี นในรปู ปรพิ นั ธไ ดวา V = 1 ∫ dq (2-15) 4πε0 r โดย r คือระยะจากประจุ dq ไปยังจดุ ท่ตี องการจะหาคาศกั ย ความสัมพันธของสนามไฟฟากบั ศักยส ามารถหาแทนกนั ไดดวย มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงb  b (2-16) Va −Vb = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cosφ dl aa สมการที่ (2-16) พบวาหนวยของความตางศักย (1V) มีคาเทากับ (1 N C) ของสนามไฟฟาคูณ กับหนวยของระยะทาง (1m) หรือสามารถเขียนในรูปหนวยของสนามไฟฟาไดเปน 1V m =1 N C จากการพิจารณาประจุ q ที่ถูกเล่ือนจากจุด b ไปยังจุด a พลังงานศักยจะมีคา เทากับสมการ (2-11) ถาประจุมีขนาดเทากับประจุของอิเล็กตรอนคือ 1.602×10-19C และความ ตา งศกั ยมีคา เทา กบั (1V) พลงั งานศักยทเ่ี ปล่ยี นไปจะมีคา เทา กับ ( )Epa - Epb =1.602×10-19 C (1 V) = 1.062×10-19 J ซง่ึ นยิ ามพลงั งานปริมาณนใี้ หมีคา เทา กบั 1 อิเล็กตรอนโวลต (1eV) เพราะฉะน้ัน 1eV = 1.062×10-19 J พลังงานหนวยอิเล็กตรอนโวลตอื่นท่ีนิยมใชซ่ึงไดจากการเติมคํานําหนาหนวยแสดงปริมาณ เชน 1keV = 103 eV , 1MeV = 106 eV , 1GeV = 109 eV เปน ตน การใชพ ลงั งานในหนวยอเิ ลก็ ตรอนโวลตค อนขางสะดวก เหมาะสมกับการเคล่ือนท่ีของอนุภาคมีประจุ ไฟฟาเคลื่อนที่อยูในสนามไฟฟา เพราะวาการเปล่ียนแปลงพลังงานศักยระหวางสองจุดตามวิถีของ อนุภาคมีประจุไฟฟา เมื่อแสดงตัวเลขในหนวยอิเล็กตรอนโวลตจะมีขนาดเทากับความตางศักย ระหวางจุดในหนวยโวลต น่ันคือ เราจะกลาววาพลังงานจํานวน Ne หมายถึงการเปลี่ยนแปลง พลงั งานศกั ยด วยขนาดตวั เลข N เทาของความตางศักยในหนวยโวลต นอกจากน้ีพลังงานหนวยอิเล็กตรอนโวลต ยังเหมาะสมกับกรณีการเปรียบเทียบระหวาง พลงั งานจลนข องอนุภาคและพลงั งานมวลนิง่ (rest mass energy) โดยเฉพาะกฎการเคล่ือนท่ีของนิว ตัน จําเปนตองพิจารณาดวยทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เม่ืออนุภาคเคลื่อนท่ีดวยความเร็วสูง เขาใกล ความเร็วของแสง อีกหนึ่งกรณีท่ีนาสนใจของการศึกษาสนามไฟฟา คือ ศักยไฟฟาบนตัวนําทรงกลม รัศมี R มีประจุไฟฟาสุทธิ q กระจายท่ีผิวของทรงกลมสมํ่าเสมอ ซึ่งอาศัยกฎของเกาสท่ีศึกษาใน หัวขอกอนหนานี้ โดยสามารถสรุปไดวาทุกจุดภายนอกทรงกลมจะมีสนามไฟฟาเทากัน ถาระยะทาง จากจุดศนู ยก ลางของทรงกลมเทากัน แตที่จุดภายในทรงกลมสนามไฟฟามีคาเปนศูนยเสมอ ไมวาทรง กลมจะมีประจุไฟฟาภายในหรือไมก็ตาม แสดงดังภาพที่ 2.5

28 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงภาพที่ 2.5 สนามไฟฟา E และศักยไฟฟา V ทจ่ี ุดภายในและภายนอกตวั นําทรงกลมมีประจุ ทม่ี า (Sears, Zemansky, & Young, 1982) จากภาพท่ี 2.5 สนามไฟฟา  ท่ีผิวทรงกลมมีขนาด E 1q (2-17) E = 4πε0 R2 (2-18) (2-19) ศักยไ ฟฟาภายนอกทรงกลม r >> R 1q V = 4πε0 r ศักยไฟฟา ภายในทรงกลม 1q V = 4πε0 R ตัวอยาง 2.2 อนุภาคหนึ่งมีประจุไฟฟา q = +1.602×10-19C เคล่ือนที่จากจุด a ไปยังจุด b เปน เสนตรงระยะทางทั้งหมด d = 0.6 m ในสนามไฟฟาที่มีคาสมํ่าเสมอมีทิศทางจาก a ไปยังจุด b =E 1.75×107 N C จงหาแรงท่ีกระทําตออนุภาคนี้ งานที่สนามไฟฟากระทําตออนุภาค และ ความตางศักย Va −Vb วิธที ํา แรงมีทศิ ทางเดียวกบั สนามไฟฟา ขนาดของแรงมีคาเทากบั F = qE ( )( )= 1.602×10-19 C 1.75×107 N C = 2.80×10-12 N งานทีส่ นามไฟฟา กระทาํ ตออนภุ าคหาไดจ าก W = Fd ( )= 2.80×10-12 N (0.6 m) = 1.68×10-12 J

29 หรือสามารถตอบในหนว ยของอเิ ลก็ ตรอนโวลตไ ดดงั น้ี ( )= 1.68×10-12 J 1 eV 1.602×10-19 J = 10.49×106 eV = 10.46 MeV หาความตางศักยจ าก W Va − Vb = q มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง = 1.68×10-12 J 1.602×10-19 C = 10.49×106 V = 10.46 MV หรอื สามารถหาไดจ ากสมการ (2-16) Va − Vb = Ed (= 1.75×107 N C)(0.6 m) = 10.50×106 V = 10.50 MV ตัวอยาง 2.3 ประจุสองประจุมีขนาด q1 = +6×10 -9 C และ q2 = -6×10 -9 C ประจุท้ังสองวาง อยหู า งกัน 15 cm ดังภาพ จงคาํ นวณหาศักยท่ีจุด a ซึ่งอยูหางจากประจุ q2 6 cm หาศักยที่จุด b ซึง่ อยูห า งจากประจุ q1 8 cm และ หาศักยท จี่ ุด c ซึ่งอยหู า งจากประจุ q1 และประจุ q2 เปนระยะ 20 cm วธิ ที ํา หาศักยไฟฟาจากจดุ ประจุโดยใชสมการ ∑V = 1 qi 4πε0 i r1 คํานวณหาศักยไฟฟา ทจ่ี ดุ a จะได =V 1  q1 + q2  4πε0  r1 r2   

30 แทนคาลงในสมการจะได ( )Va =9×109 N ⋅ m2C2 6 ×10-9 C + -6 ×10-9 C   9 ×10-3 m 6 ×10-3 m    ( )( )= 9×109 N ⋅ m2 C2 6.67×10-7 C m -1×10-6 C m =(6, 003 N ⋅ m C ) - (9, 000 N ⋅ m C ) = (6, 003 J C ) - (9, 000 J C ) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง = 6, 003V − 9, 000V = - 2,997 V หาศักยไ ฟฟา ทีจ่ ดุ b ( )Vb =9×109 N ⋅ m2C2 6 ×10-9 C + -6 ×10-9 C  หาศกั ยไ ฟฟาที่จุด c  8 ×10-3 m 23×10-3 m    = 6, 750V − 2,347.83V = 4, 402.17 V ( )Vc =9×109 N ⋅ m2C2 6 ×10-9 C + -6 ×10-9 C   25 ×10-3 m 25 ×10-3 m    = 2,160V − 2,160V =0 V ตัวอยาง 2.4 จงหาพลังงานศกั ยจ ากภาพตวั อยา งท่ี 2.3 เม่ือนาํ ประจุไฟฟาขนาด + 4 × 10−9 C วางท่ี จดุ a ,b และ c วธิ ที าํ จากสมการพลังงานศกั ย E p = qV ทีจ่ ดุ a E pa = qVa ( )= 4×10-9C (-2,997 V ) ที่จดุ b = -1.20×10-5 J E pb = qVb ( )= 4×10−9C (4, 402.17 V ) = 1.76×10-5 J

31 ท่ีจุด c E pc = qVc = (4×10−9C )(0 V ) =0J ตัวอยาง 2.5 อนภุ าคหนึ่งมีมวล m = 5 mg และมีประจุไฟฟา q = 2 nC เร่ิมเคล่ือนที่จากหยุดน่ิงที่ จดุ a เปนเสนตรงไปยังจุด b ซึ่งทุกหางกัน 1cm โดยศักยไฟฟาท่ีจุด a มีคา Va =1,350 V และ ศกั ยไ ฟฟา ทจ่ี ดุ b มีคา Vb = −1,350 V จงหาอัตราเร็ว v ทจี่ ุด b วิธที ํา จากหลกั การอนรุ กั ษของพลังงาน Eka + E pa = Ekb + E pb มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง พลังงานศักยอยูในเทอมของศักยไฟฟา จะได Eka + qVa =Ekb + qVb แทนคา ในสมการ จะไดวา ( ) ( ) ( )0 + 2×10-9C (1,350 V ) =1 5×10-9 kg v2 + 2×10-9C (-1,350 V ) 2 ( ) ( ) ( )2.7=×10-6V ⋅C 2.5×10-9 kg v2 + -2.70×10-6V ⋅C ( ) ( )2.7×10-6V ⋅C - -2.70×10-6V ⋅C ( )v2 = 2.5×10-9 kg ( )5.4×10-6V ⋅C ( )v2 = 2.5×10-9 kg =v2 2,160 V ⋅C kg =v 2,160 V ⋅C =kg 46.48 m s ตัวอยางท่ี 2.6 เสนประจยุ าวอนันตอ นั หนง่ึ มีความหนาแนนของประจุเชงิ เสน λ จงแสดงวา ศกั ยไฟฟาท่รี ัศมี R มคี า เทากับ V = l ln R 2πε r 0 วธิ ีทํา จากการศึกษาเรื่องสนามไฟฟาท่ีระยะ r ของเสนประจุตรงยาวหรือภายนอกของตัวนําทรงกระบอก ยาวทมี่ ีประจไุ ฟฟา ขนาดของสนามไฟฟา มีคา เทากับ E= 1 λ 2πε r 0

32 สามารถหาศักยไฟฟาไดจากการหาสนามไฟฟา เมื่อพิจารณาในรูปแบบปริพันธ  จะมีคา E ⋅ dl เทากับ Erdr ดังนั้นศักยไฟฟาท่ีจุด a ใด ๆ เทียบกับจุด b ใด ๆ ที่ระยะตามแนวรัศมี ra และ rb จากเสน ประจุจึงมคี า b  E ⋅ dl = b lrb dlr = ln rb 2πε0 ra r 2πε0 ra a a Er dr = ∫ ∫ ∫Va −Vb = ถาจดุ b อยทู ีร่ ะยะอนนั ต Vb = 0 จะพบวา Va มคี า มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง Va = l ln ∞ = ∞ 2πε0 r เม่ือทําการนิยามให V เปนศูนยท่ีจุดใด ๆ เชน กําหนดให Vc = 0 ที่จุด c ตามแนวรัศมี r0 สามารถทาํ การหาศักย V = Vb ท่ีจดุ b ตามแนวรศั มี r ไดจ าก V − 0 = 2πlε0   r0   ln  r   หรอื V =  l  ln  r0   2πε 0   r    โดยสมการนี้สามารถใชหาศักยในสนามของทรงกระบอกตัวนําท่ีมีประจุ ในกรณีเฉพาะคา r ≥ R ของทรงกระบอกเทานน้ั ถา กาํ หนดให r0 เปน รศั มขี องทรงกระบอก R จะไดวา V = 0 เมื่อ r = R โดยที่ r > R จะไดว า V = l ln r0 2πε0 r โดยท่ี r คือ  และที่ผิวของ ระยะจากแกนของทรงกระบอก ภายในทรงกระบอก E=0 ทรงกระบอกศักยไฟฟา มคี าเปนศนู ยเชนเดยี วกนั ตัวอยาง 2.7 จากภาพตัวอยาง 2.7 จงหาศักยไฟฟาที่จุด P บนแกนของแผนจานวงกลมท่ีมีรัศมี R ถา ประจไุ ฟฟา กระจายอยางสม่าํ เสมอบนผิว และมีความหนาแนนประจไุ ฟฟา เทากบั σ ภาพตวั อยา ง 2.7

33 วิธที าํ พิจารณาสว นของประจุไฟฟา dq ท่อี ยบู นวงแหวนเล็กๆ รศั มี r กวา ง dr โดยท่ี dq = σ (2π r ) dr เมื่อ (2π r)dr เปนพ้ืนทีข่ องวงแหวน แตละสว นของ dq อยูหา งจากจดุ P เทา กนั หมด ระยะทาง เทากับ r2 + x2 เนอ่ื งจากประจุไฟฟากระจายอยางสม่าํ เสมอ จากสมการศกั ยไฟฟา มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง V = 1 ∫ dq 4πε0 r พิจารณาของเขตจาก 0 ถงึ R ∫= 1 R σ (2π r ) dr 4πε0 0 r 2 + x2 ∫= σ R rdr 2ε0 0 r 2 + x2 ( )= σ R 1 d r2 + x2 ∫2ε0 0 2 r2 + x2 ( )= σ R 1 d r2 + x2 ∫2ε0 0 2 r2 + x2 =σ R 2ε 0 r2 + x2 0 ( )= σ r2 + R2 − r 2ε 0 ในกรณีท่ี r � R คา r2 + R2 สามารถประมาณคาไดดงั น้ี r2 + R2 = r 1+ R2 r2 = r  + R2 + 2  1 2r 2    ≅ r + R2 2r ดงั นั้นศักยไฟฟาจะมคี าเทา กับ V ≅ σ  + R2 − r  2ε 0 r 2r    = σ R2 4ε 0 r

34 คณู π ท้งั เศษและสวน จะได V = σπ R2 4πε 0 r เมื่อแทน q = σπ R2 ซึ่งเปน ประจุไฟฟาสทุ ธบิ นแผน จาน จะได V= 1 q 4πε0 r ในกรณีที่ระยะทาง r � R แผนจานจะประพฤตเิ ปนเสมือนจุดประจไุ ฟฟา มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง พ2.ิจ3ารเกณราเดพียบนสวนตาศามมักีคไยวฟไาฟฟมฟสามัา Eพันแธรละะหศวักา ยงไสฟนฟามาไฟVฟาในEปรแิภลูมะิเศปกันยฟไ งฟกฟชาันVของดโังคสอมอกราดริเ(น2ต-1ณ6) ตําแหนง b  ∫Va − Vb = E ⋅ dl a สมการท่ี (2-16) ทําใหสามารถทําการคํานวณหาศักยไฟฟาไดถาทราบคาสนามไฟฟา ในทํานอง เดียวกันถา ทราบคาศกั ยไ ฟฟา ท่ีจุดตาง ๆ ก็จะสามารถหาคาสนามไฟฟาได โดยการพิจารณาในระบบ พิกัดเดียวกัน จากสมการที่ (2-16) สามารถเขียนศักยของจุด a เทียบกับจุด b น่ันคือ ศักยที่ เปลยี่ นไปเมอ่ื เกิดการเคล่อื นทีจ่ ากจดุ b ไปยงั จดุ a สามารถเขียนสมการไดดงั นี้ ∫ ∫a b (2-20) Va − Vb = dV =− dV b a โดยที่ dV คือศักยไ ฟฟาท่ีเกิดจากการเปลี่ยนตําแหนงแบบนอยยิ่ง เมื่อนําสมการท่ี (2-20) แทนลงใน สมการ (2-16) จะไดว า b b  (2-21) −∫a dV =∫a E ⋅ dl (2-22) หรือสามารถเขยี นไดว า  โดย  =ˆiEx + ˆjEy + kˆEz และ −dV =E ⋅ dl kˆdz จะได E dl =ˆidx + ˆjdy + หรอื สามารถเขียนสวนประกอบของ−สนdาVม=ไฟEฟาxdxE+ใEนรyปูdyขอ+งEVzdzไดด ังน้ี (2-23) Ex =− ∂V ,E y =− ∂∂Vy ,Ez =− ∂V (2-24) ∂x ∂z เมื่อเขยี นสมการในรปู แบบของเวกเตอรห น่ึงหนว ยจะได  E =− ˆi ∂∂Vx + ˆj ∂V + kˆ ∂V  (2-25) ∂y ∂z   หดวรยือสสญัามลาักรษถณเขยี ∇นไดในใหบมาใงนครรูปง้ั อแาบจบเรขยี อกงสตัน้ัวดๆาํ วเนาิน“กgาraรdท”างหครณอื ิต“ศdาสeตl”รท ่ีเรียกวา “เกรเดยี นต” แทน  =∇  ˆi ∂ + ˆj ∂ + kˆ ∂   ∂x ∂y ∂z   

35 ทาํ ใหส มการที่ (2-25) สามรถเขียนไดวา   (2-26) E = −∇V ตัวอยาง 2.8 จากสมการ V = 1 q เวกเตอรสนามไฟฟาจากนิพจนนี้มีคาเทาใด ถา r คือระยะ 4πε0 r รัศมี จากประจุ q มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงวธิ ที าํ จะเห็นวาจากโจทยเ ปนการหาสนามไฟฟา ท่มี ที ิศในแนวรัศมเี ทียบกบั จดุ ดังนน้ั Er = − ∂V ∂r = − ∂  1 q ∂r  4πε   0 r  =1 q 4πε0 r 2 เวกเตอรส นามไฟฟาจะมคี าเทากับ  rˆ=Er 1 q rˆ =E 4πε0 r 2 ตัวอยา ง 2.9 จงหาขนาดของสนามไฟฟาของตัวอยางท่ี 2.6 ศักยไฟฟาดานนอกของทรงกระบอก ตวั นํามีประจุไฟฟารัศมี R และประจุไฟฟา ตอ หนวยความยาว λ คอื =V =lln r0l (ln r0 − ln r) 2πε0 r 2πε0 วธิ ที ํา หาขนาดของสนามไฟฟา จาก Er = − ∂V ∂r = − l ∂ (ln r0 − ln r ) 2πε0 ∂r เม่ือ r0 เปนคา คงตัว ดังน้นั Er = −l ∂ (ln r ) 2πε 0 ∂r =1λ 2πε0 r

36 สรปุ งานท่ีถูกกระทาํ โดยสนามไฟฟา   Wa→b = Fd = q0 Ed พลงั งานศักยไ ฟฟา  Ep = q0 Ey งานที่สนามไฟฟา กระทําตอประจสุ ามารถหาไดจ าก มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง Wa→b = -ΔEp เขยี นในรูปแบบของปริพนั ธ b  b   ∫ ∫Wa→b = F ⋅dl = qE ⋅dl aa สนามไฟฟา ในแนวแกน เนื่องจากจดุ ประจุ มีคาเทา กบั E = q1 4πε0 r2 พลังงานศักยไ ฟฟา ของจุดประจสุ องประจทุ ีถ่ ูกวางใหห า งกันเปนระยะ r ใด ๆ Ep = q1q2 4pε0 r พลงั งานศักยไ ฟฟา ของกลุมประจุ ∑Ep = 1 q1q2 4pε0 r ศักยไ ฟฟา V ท่ีจดุ ใดๆ V = Ep q งานทเี่ กดิ จากการเคลอ่ื นทขี่ องประจุไฟฟา Wab Wa→b ∆E p =−  E pb − E pa  =− (Vb −Va ) =Va −Vb q =−  q q  q  การหาศกั ย V เน่อื งจากจดุ ประจเุ ดีย่ ว q สามารถหาไดโ ดย =V E=p 1 q q 4pε0 r การหาศกั ยจากกลุมประจุ ∑V = 1 qi เม่อื i = 1,2,3,... 4πε0 i ri

37 ศกั ยไ ฟฟา ในรปู ปริพนั ธ V = 1 ∫ dq 4πε0 r ความสัมพนั ธของสนามไฟฟากับศกั ยสามารถหาแทนกนั ไดดวย b  b  Va −Vb = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cosφ dl aa มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ความสัมพนั ธข องหนว ยอเิ ล็กตรอนโวลตก บั จลู สนามไฟฟา  1eV = 1.062×10-19 J E ท่ีผิวทรงกลมมขี นาด 1q E = 4πε0 R2 ศกั ยไ ฟฟา ภายนอกทรงกลม r >> R 1q V = 4πε0 r ศกั ยไ ฟฟาภายในทรงกลม 1q V = 4πε0 R เกรเดยี นตศักยไ ฟฟา  โดยท่ี E = −∇V   ˆi ∂ + ˆj ∂ + kˆ ∂  =∇  ∂x ∂y ∂z    แบบฝก หดั 1. จงหางานของการเลอ่ื นประจุไฟฟา 0.2µC จากตําแหนง 30cm ของจุดประจุ 3µC ไปยัง ตําแหนง 12cm (คําตอบ 0.027 J ) 2. ประจุ q1 =+2.40 ×10-6 C วางน่ิง ณ จุดกําเนิด (0,0) ประจุ q2 =-4.30 ×10-6 C เคล่ือนที่จากตําแหนง x = 0.15 m, y = 0 m ไปยังตําแหนง x = 0.25 m, y = 0.25 m สนามไฟฟา ทก่ี ระทําตอประจุ q2 มคี าเทาใด (คําตอบ -0.356 J ) 3. แผนคูขนานมีประจุไฟฟาเทากันแตชนิดตรงขาม วางหางกัน 0.05 m สนามไฟฟาระหวาง แผนคูขนานสมํ่าเสมอขนาด 600 N C จงหาความตางศักยระหวางแผนคูขนาน (คําตอบ 30V )

38 4. ประจุไฟฟา 4×10-9 C กระจายสม่ําเสมอลงบนผิวทรงกลมรัศมี 0.20 m ถาศักยไฟฟาท่ี ระยะทางอนนั ตเปน ศนู ย จงหาศกั ยไ ฟฟา ก) ทผ่ี ิวของทรงกลม (คาํ ตอบ 180V ) ข) ที่ระยะทาง 0.10 m จากจุดศนู ยกลางภายในทรงกลม (คําตอบ180V ) 5. จากภาพประกอบแบบฝกหัดขอที่ 8 จงหาศักยไฟฟาท่ีจุด P ถา q1 = 1× 10−6 C , q2 = −2 × 10−6 C และ q3 = 3 × 10−6 C (คาํ ตอบ 45.0 kV ) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ภาพแบบฝกหัดขอท่ี 5 6. จุดประจุ + q วางท่ีจุด x = −a, y = −a จุดประจุ − q วางท่ีจุด x = +a, y = −a จง หา ก) ศกั ยไ ฟฟา ทีจ่ ดุ กาํ เนิด (คําตอบ 0) ข) ศักยไ ฟฟาท่จี ุดใดๆ บนแกน x [ ](คําตอบq x2 + + 2 − 1 − (x2 − + 2 − 1 ) 4πε0 2ax 2a ) 2 2ax 2a ) 2 7. สนามไฟฟาสม่ําเสมอชี้ในทศิ ทาง −x ความตางศักยร ะหวางจุด a ที่ x = 0.60 m และจุด b ท่ี x = 0.90 m มีคาเทา กบั 240 V ก) จุดใดมีศักยส งู กวา (คาํ ตอบ b) ข) สนามไฟฟา มีคาเทาใด (คาํ ตอบ 800V m ) ค) ถาประจุ q = -0.2×10-6 C เคลือ่ นทจี่ ากจดุ b ไปยังจดุ a งานที่สนามไฟฟากระทําตอ ประจจุ ะมีคาเปน เทา ใด (คาํ ตอบ -4.8×10-5 J ) 8. ตัวนํารูปวงแหวนรัศมี a มีประจุไฟฟา Q วางวงแหวนใหระนาบแนวฉากกับแกน x และ จุดศูนยก ลางอยูท ี่จดุ กาํ เนดิ ก) จงหาศกั ยไฟฟาท่จี ดุ ใดๆ บนแกน x (คําตอบ 1 Q ) 4πε0 (x2 + a 2 ) 1 2 ข) จากขอ (ก) จงหาสนามไฟฟา (คาํ ตอบ 1 Qx ) 4πε0 (x2 + a 2 ) 3 2 9. ตัวนําทรงกลมเหมือนกันทุกประการ รัศมี r = 0.15 m ถูกแยกออกจากกันเปนระยะทาง a = 10.0 m จงหาประจุไฟฟาบนแตละทรงกลม ถาศักยไฟฟาของทรงกลมแรกเปน +1,500 V และอีกอันเปน -1,500 V (คําตอบ ± 2.5 × 10−8 C )

39 10. อนุภาคประจไุ ฟฟา +7.60 nC อยูในบริเวณทีม่ ีสนามไฟฟา สม่ําเสมอมีทิศชี้ไปทางซาย มีแรง อีกแรงหนึ่งนอกจากแรงทางไฟฟากระทําตออนุภาค ทําใหอนุภาคเคล่ือนที่ไปทางขวาเมื่อ ปลอยจากหยุดน่ิง หลังจากที่อนุภาคเคลื่อนท่ีไปเปนระยะ 8 cm แรงอ่ืนน้ันทํางาน 6.5×10-5 J และอนภุ าคมีพลังงานจลน 4.35×10-5 J ก) แรงไฟฟาทาํ งานเทาใดตออนุภาคนี้ (คําตอบ -2.15×10-5 J ) ข) ศกั ยไฟฟาที่จดุ ตั้งตน มีคา เทาใดเม่ือเทยี บกับจดุ ปลาย (คําตอบ -2.83 kV ) ค) สนามไฟฟามขี นาดเทา ใด (คําตอบ 3.54 ×104 V m ) เอกสารอา งองิ Halliday, D. & Resnick, R. (1978). Physics part 2 (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2018). Fundamental of physics extended (5th ed.). New York: John Willey & Sons. Sears, W. F., Zemansky, W. M., & Young, D. H. (1991). University physics (7th ed.). New York: Addison-Wesley. มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง