คณิตเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝกึ หัดท่ี 1 π เฉลย 4 Y 1. จดุ ปลายส่วนโคง้ อยูใ่ นจตุภาคที่ 1 2π π 2. จุดปลายส่วนโค้งอยู่ในจตภุ าคที่ 1 3 6 3. จดุ ปลายส่วนโค้งอยู่ในจตุภาคท่ี 2 4. จุดปลายสว่ นโคง้ อยใู่ นจตภุ าคที่ 3 17π X 5. จุดปลายสว่ นโค้งอยู่ในจตภุ าคที่ 4 6 6. จดุ ปลายส่วนโค้งอยใู่ นจตุภาคที่ 2 7π ,Ϫ 94π 7. จดุ ปลายส่วนโค้งอยใู่ นจตภุ าคที่ 3 O 4 8. จุดปลายส่วนโคง้ อยใู่ นจตภุ าคท่ี 4 7π 6 Ϫ 23π เฉลยแบบฝกึ หัดที่ 2 (2) จตภุ าคท่ี 2 1. (1) จตุภาคที่ 1 และ 2 (4) จตภุ าคท่ี 3 (3) จตุภาคท่ี 4 (6) จตภุ าคที่ 1 และ 3 (5) จตภุ าคท่ี 1 และ 4 (8) จตุภาคที่ 2 และ 4 (7) จตภุ าคท่ี 2 และ 3 2. พกิ ดั ของจุด A คอื ⎛ 3, 1⎞ ⎛⎜ 2, 2⎞ ⎛ 1 , 3⎞ ⎛⎝⎜−พ12ิก,ดั ข23อ⎟⎞⎠ง⎜⎝⎛จุด23B, ค21ือ⎞⎠⎟ ⎛ 2, 2⎞ ⎛ 1 , 3⎞ ⎛ 1, 3⎞ ⎜ 2 2⎟⎠ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜− 2 ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ พกิ ัดของจดุ C คอื ⎛ 1 , 3⎞ ⎜⎛− 1 , 3⎞ พกิ ดั ของจ⎛⎝⎜ 21ุด,D2ค3ือ⎟⎠⎞ ⎛ 1, 3⎞ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ ⎜− 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ พิกัดของจดุ E คือ ⎛ 2, 2 ⎞ ⎜⎛− 3, 1⎞ พกิ ดั ⎜⎝⎛ข−อง2จ2ุด, F2ค2 ⎟⎞⎠อื ⎛ 3, 1⎞ ⎜− 2 2 ⎟ 2 2⎠⎟ ⎜− 2 2⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ พิก⎝⎛⎜ัด−ขอ2ง2จ,ดุ −G2ค2อื⎞⎟⎠ ⎛ 3, − 1⎞ พกิ ดั ของจุด H คอื ⎛ 2, − 2⎞ ⎛ 3, − 1⎞ ⎜− 2 2⎠⎟ ⎜− 2 ⎟ ⎜− 2 2⎟⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ พิกดั ของจดุ I คอื ⎜⎛− 1, − 3⎞ ⎜⎛ 1 , − 3⎞ พกิ ดั ข⎛⎝⎜−อง21จ,ดุ − J 2ค3ือ⎞⎟⎠ ⎛ 1 , − 3⎞ ⎝ 2 ⎟ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ พิกัดของจุด K คอื ⎛⎜ 2, − 2 ⎞ ⎛⎜ 3, − 1⎞ พิกัดข⎜⎛⎝อง22จ,ดุ −L 2ค2อื⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 3, − 1⎞ ⎝ 2 2 ⎟ 2 2⎠⎟ 2 2⎟⎠ ⎠ ⎝ 3. (1) sin ␪ ϭ 0 cos ␪ ϭ Ϫ1 (2) sin ␪ ϭ 0 cos ␪ ϭ Ϫ1 (3) sin ␪ ϭ 1 cos ␪ ϭ 0 (4) sin ␪ ϭ 1 cos ␪ ϭ 0 (5) sin ␪ ϭ 0 cos ␪ ϭ 1 (6) sin ␪ ϭ 0 cos ␪ ϭ Ϫ1 (7) sin ␪ ϭ Ϫ1 cos ␪ ϭ 0 (8) sin ␪ ϭ Ϫ1 cos ␪ ϭ 0 (9) sin ␪ ϭ 0 cos ␪ ϭ Ϫ1 (10) sin ␪ ϭ 0 cos ␪ ϭ 1 92 ค่มู ือครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition (11) sin ␪ ϭ 2 cos ␪ ϭ 2 (12) sin ␪ ϭ 3 cos ␪ ϭ 1 2 2 2 2 (13) sin ␪ ϭ Ϫ 1 cos ␪ ϭ Ϫ 3 (14) sin ␪ ϭϪ 2 cos ␪ ϭϪ2 2 2 2 2 (15) sin ␪ ϭ 1 cos ␪ ϭ 3 (16) sin ␪ ϭ 3 cos ␪ ϭ 1 2 2 22 (17) sin ␪ ϭ Ϫ 1 cos ␪ ϭ Ϫ 3 (18) sin ␪ ϭ Ϫ 3 cos ␪ ϭ Ϫ1 2 2 2 2 (19) sin ␪ ϭ Ϫ 2 cos ␪ ϭ 2 (20) sin ␪ ϭ 1 cos ␪ ϭ 3 2 2 2 2 4. จาก cos2␪Ϫsin2␪ ϭ 1 2 จะได้ (1Ϫsin2␪)Ϫsin2␪ ϭ 1 2 1Ϫ2 sin2␪ ϭ 1 2 Ϫ2 sin2␪ ϭ Ϫ 1 2 sin2␪ ϭ 1 4 sin ␪ ϭ Ϫ 1 , 1 22 เนื่องจาก ␪ เป็นมุมในจตภุ าคที่ 3 ดังนั้น sin ␪ ϭ Ϫ1 2 5. (1) จริง เนอื่ งจาก sin ⎜⎛⎝− 3π⎞ ϭ sin π ϭ 1 2 ⎠⎟ 2 (2) จริง เน่อื งจาก ถา้ π р ␪ р π แล้ว 0 р sin ␪ р 1 2 และ Ϫ1 р cos ␪ р 0 ดังน้ัน cos ␪ р sin ␪ (3) เท็จ เนือ่ งจาก เมือ่ ␪ เพ่มิ จาก 0 ถึง π เรเดยี น พกิ ดั x จะมคี า่ ลดลง กล่าวคือ ค่าของ cos ␪ ลดลง (4) เทจ็ เนื่องจาก ถ้า 3π р␪ р 2π แล้ว 0 р cos ␪ р 1 2 (5) เทจ็ เนือ่ งจาก Ϫ1 р cos ␪ р 1 สา� หรบั จา� นวนจริง ␪ ใดๆ 6. (1) Ϫ0.26 (2) 0.97 (3) Ϫ0.97 (4) Ϫ0.26 (4) 0.91 (5) Ϫ0.26 (6) 0.97 7. (1) 0.91 (2) 0.42 (3) Ϫ0.91 (5) Ϫ0.42 (6) Ϫ0.91 คู่มอื ครู หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 93

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝกึ หดั ท่ี 3 1. (1) sin π ϭ 1 cos π ϭ0 2 2 tan π ไม่นิยาม cosec π ϭ 1 2 2 sec π ไมน่ ยิ าม cot π ϭ0 2 6 (2) sin π ϭ 0 cos π ϭ Ϫ1 tan π ϭ 0 cosec π ไม่นยิ าม sec π ϭ 21 cot π ไมน่ ิยาม (3) sin π 2ϭπ 2 cos π 2 ϭ π 2 4 24 2 42 42 tan π 2ϭ 1 cosec π 2ϭ 2 42 42 sec π 2ϭ 2 cot π 2 ϭ 1 42 42 (4) sin 2π 2ϭ3π 3 cos 2π 3 ϭ Ϫ 1 3 23 2 32 2 tan 2π ϭ3 Ϫ 3 cosec 2π 3ϭ 2 3 32 32 3 sec 2π ϭ3 Ϫ2 cot 2π 3ϭ Ϫ3 32 3 2 3 (5) sin 7π ϭ Ϫ1 cos 7π ϭ 2πϪ 3 6 2 6 32 tan 7π ϭ 3 cosec 7π ϭ Ϫ2 6 3 6 sec 7π ϭ Ϫ2 3 cot 7π ϭ3 6 3 6 (6) sin ⎛⎜⎝− 7π⎞ ϭπ 2 cos ⎜⎛⎝− 7π⎞ ϭπ 2 4 ⎟⎠ 42 4 ⎟⎠ 42 tan ⎝⎛⎜− 7π⎞ ϭ 1 cosec ⎛⎝⎜− 7π⎞ ϭ 2 4 ⎟⎠ 4 ⎠⎟ sec ⎛⎝⎜− 7π⎞ ϭ 2 cot ⎜⎝⎛− 7π⎞ ϭ1 4 ⎠⎟ 4 ⎠⎟ (7) sin 5π ϭ 2πϪ 3 cos 5π ϭ1 3 32 3 2 tan 5π ϭ Ϫ3 cosec 5π ϭ Ϫ2 3 3 3 3 ϭ2 sec 5π cot 5π ϭ Ϫ3 3 3 3 (8) sin (Ϫ7π) ϭ 0 cos (Ϫ7π) ϭ Ϫ1 tan (Ϫ7π) ϭ 0 cosec (Ϫ7π) ไม่นิยาม cot (Ϫ7π) ไม่นิยาม sec (Ϫ7π) ϭ Ϫ1 2. (1) Ϫ 7 14 (2) 7Ϫ 14 (3) Ϫ 3 7 3 2 3(47) 3 2 (5) Ϫ 14 37 37 72 72 2 94 คู่มือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 3. จาก sec2␪ϩtan2␪ ϭ 5 2 จะได ้ sec2␪ϩ(sec2␪Ϫ1) ϭ 5 2 2 sec2␪Ϫ1 ϭ 5 2 2 sec2␪ ϭ 7 7 24 sec2␪ ϭ7 7 24 cos2␪ ϭ 4 7 cos ␪ ϭ Ϫ 2 7 , 2 7 77 เน่ืองจาก ␪ เปน็ มมุ ในจตภุ าคที่ 1 ดงั น้ัน cos ␪ ϭ 27 7 4. Ϫ4 10 (2) 7 (3) Ϫ 11 (4) 3 (5) 2 7 3 2 (5) Ϫ110Њ 5. (1) Ϫ 7 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 4 (2) Ϫ300Њ (3) 140Њ (4) 540Њ 1. (1) 120Њ 2. (1) 5π เรเดยี น (2) π เรเดียน (3) 7π เรเดียน (4) Ϫ 4π เรเดยี น 12 10 12 3 (5) Ϫ 44 π เรเดยี น 9 3. π เรเดียน 12 4. (1) sin 120Њ ϭ2π 3 cos 120Њ ϭ Ϫ 1 32 2 tan 120Њ ϭ Ϫ 3 cosec 120Њ ϭ 2 3 3 sec 120Њ ϭ Ϫ2 (2) sin 135Њ ϭπ 2 cot 120Њ ϭ Ϫ 3 3 42 tan 135Њ ϭ Ϫ1 cos 135Њ ϭ πϪ 2 42 sec 135Њ ϭ Ϫ 2 (3) sin (Ϫ240Њ) ϭ2π 3 cosec 135Њ ϭ 2 32 cot 135Њ ϭ Ϫ1 tan (Ϫ240Њ) ϭ Ϫ 3 cos (Ϫ240Њ) ϭ Ϫ 1 sec (Ϫ240Њ) ϭ Ϫ2 2 cosec (Ϫ240Њ) ϭ 2 3 3 cot (Ϫ240Њ) ϭ Ϫ 3 3 คมู่ อื ครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 95

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition (4) sin 690Њ ϭ Ϫ 1 cos 690Њ ϭ2π 3 2 32 tan 690Њ ϭ Ϫ3 cosec 690Њ ϭ Ϫ2 3 sec 690Њ ϭ 2 3 cot 690Њ ϭ Ϫ 3 3 5. (1) 2 (2) 3 Ϫ 2 (3) 3 (4) 1 6. Ϫ 3 10 10 7. เนือ่ งจาก tan 35Њ ϭ x จะได้วา่ tan 145° − tan 125° ϭ tan (180° − 35°) − tan (90° + 35°) 1 + tan 145° tan 125° 1 + tan (180° − 35°) tan (90° + 35°) ϭ (− tan 35°) − (− cot 35°) 1 + (− tan 35°) (− cot 35°) ϭ − tan 35° + cot 35° 1 + tan 35° cot 35° − tan 35° + 1 tan 35° ϭ ⎛ 1⎞ 1 + tan 35° ⋅ ⎜⎝ tan 35°⎟⎠ −x+ 1 ϭx 1+1 ϭ 1− x2 2x 8. cos A ϭ 3 5 7 5 sec A 3ϭ5 7 5 7 15 7 15 tan A ϭ 2 5 3 5 cot A 2ϭ5 3 5 15 2 15 2 cosec A ϭ 7 2 9. sin A ϭ 1 − p2 cosec A ϭ 1 1− p2 1− p2 tan A ϭ cot A ϭ p p 1− p2 sec A ϭ 1 p 96 ค่มู อื ครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝกึ หัดที่ 5 1. (1) 0.4173 (2) 0.9511 (3) 0.6916 (4) 1.1171 (4) 2.3750 (5) 0.3692 (6) 0.8141 (4) 3 2. (1) 0.3090 (2) 0.9511 (3) 0.4210 (4) 3 (5) 0.5688 (6) 0.8225 4 3. AB ยาว 13.59 เซนตเิ มตร และ BC ยาว 6.34 เซนติเมตร 4. (1) 9.40 เซนตเิ มตร (2) 3.42 เซนตเิ มตร (3) 12.27 เซนติเมตร (4) 7.88 เซนติเมตร 5. 113.44 นวิ้ 6. 9.02 เมตร เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 6 π 1. (1) 2 (2) 2π (3) 2 (2) 1 (3) 0.05 2. (1) 1 Y 3. (1) 2 1 Ϫ2π Ϫ 3π Ϫπ Ϫπ 0 π π 3π 2π X 2 2 22 Ϫ1 Ϫ2 (2) Y 1 Ϫ2π Ϫ 3π Ϫπ Ϫ π 0 π π 3π 2π X 2 2 22 Ϫ1 ค่มู ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 97

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition (3) Y 1 Ϫ2π Ϫ 3π Ϫπ Ϫπ 0 π π 3π 2π X 2 2 22 Ϫ1 (4) Y 1 0.5 Ϫ2π Ϫ 3π Ϫπ Ϫπ 0 π π 3π 2π X 2 2 22 Ϫ0.5 Ϫ1 (5) Y 1 Ϫ2π Ϫ 3π Ϫπ Ϫπ 0 π π 3π 2π X 2 2 22 Ϫ1 98 คมู่ ือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition (6) Y 3 2 1 Ϫ2π Ϫ 3π Ϫπ Ϫπ 0 π π 3π 2π X 2 2 22 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 (7) Y 3 2 1 Ϫ2π Ϫ 3π Ϫπ Ϫπ 0 π π 3π 2π X 2 2 22 Ϫ1 คมู่ ือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 99

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition (8) Y 3 2 1 Ϫ4π Ϫ3π Ϫ2π Ϫπ 0 π 2π 3π 4π X Ϫ1 (4) Ϫ 6 Ϫ 2 (8) Ϫ 6 + 2 4. (1) y ϭ Ϫ2 sin x 2 4 (5) 1 (2) y ϭ Ϫ2 cos x 2 (4)15Ϫ 11 76 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 7 1. (1) 6 + 2 (2) Ϫ 6 − 2 (3) 2ϩ 3 4 4 (7) Ϫ 6 + 2 (5) 2Ϫ 3 (6) Ϫ 6 Ϫ 2 4 2. (1) 1 (2) 6− 2 (3) 31 (43)3 1 3. (1) sin(AϩB) ϭ 4 32 2 Ϫ2 5 5 25 5 cos(AϪB) ϭ2 5Ϫ 5 25 5 tan(AϪB) ϭ 2 (2) sin(AϩB) ϭ 4+3 3 10 cos(AϪB) ϭ −3−4 3 (3) 15 11 10 76 tan(AϪB) ϭ 4. (1) 15 7 48 − 25 3 39 88 (125) 7 (5) Ϫ 3 15 11 15 88 16 45 3 (165) 11 15 16 45 100 คมู่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 5. (1) Ϫ 2 3 (2) 2Ϫ 3 (3) Ϫ1 (4) 6 − 2 22 22 4 6. (1) เนอ่ื งจาก cos 2A ϭ 1Ϫ2 sin2A ให้ x 2 ϭA จะได ้ cos 2и x ϭ 1Ϫ2 sin2 ⎛ x⎞ 2 ⎝⎜ 2⎟⎠ 2 sin2 ⎛ x⎞ ϭ 1Ϫcos x ⎜⎝ 2⎠⎟ sin2 ⎛ x⎞ ϭ 1 − cos x ⎝⎜ 2⎠⎟ 2 sin x 1 − cos x 2 ϭϮ 2 ดังน้ัน sin A ϭ Ϯ 1 − cos A 2 2 (2) เน่อื งจาก cos 2A ϭ 2 cos2AϪ1 ให้ x 2 ϭA จะได ้ cos 2и x ϭ 2 cos2 ⎛ x⎞ Ϫ1 2 ⎜⎝ 2⎟⎠ 2 cos2 ⎛ x⎞ ϭ 1ϩcos x ⎝⎜ 2⎠⎟ cos2 ⎛ x⎞ ϭ 1 + cos x ⎝⎜ 2⎠⎟ 2 cos x ϭ Ϯ 1 + cos x 22 ดงั นั้น cos A ϭ Ϯ 1 + cos A 2 2 (3) เนอื่ งจาก sin2 ⎛ x⎞ ϭ 1 − cos x และ cos2 ⎛ x⎞ ϭ 1 + cos x ⎝⎜ 2⎠⎟ 2 ⎝⎜ 2⎠⎟ 2 จะได ้ ⎛ x⎞ sin2 ⎛ x⎞ ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎝⎜ 2⎟⎠ tan2 ϭ cos2 ⎛ x⎞ ⎝⎜ 2⎟⎠ 1 − cos x tan2 ⎛ x⎞ ϭ 2 ⎜⎝ 2⎠⎟ 1 + cos x 2 tan2 ⎛ x⎞ ϭ 1 − cos x ⎝⎜ 2⎠⎟ 1 + cos x tan x ϭ Ϯ 1 − cos x 2 1 + cos x ดงั นนั้ tan A ϭ Ϯ 1 − cos A 2 1 + cos A คมู่ ือครู หนังสือเรียนรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 101

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 7. (1) 6 2 3 (2)6 2 3 (3) 0 (4) 1 6 (5)2 3 228 228 8 228 8. เนอ่ื งจาก cos 3A ϭ 4 cos3AϪ3 cos A โจทยก์ า� หนดให ้ cos 3AϪcos A ϭ 1ϩ4 cos3A จะได้ 4 cos3AϪ3 cos AϪcos A ϭ 1ϩ4 cos3A Ϫ4 cos A ϭ 1 cos A ϭ Ϫ 1 4 І sec A ϭ Ϫ4 เฉลยกจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรูท้ ี่ 1 พสิ จู น ์ sin 18Њ ϭ −1+ 5 4 พิสจู น ์ ให้ ␪ ϭ 18Њ 5␪ ϭ 90Њ 2␪ϩ3␪ ϭ 90Њ 2␪ ϭ 90ЊϪ3␪ sin 2␪ ϭ sin(90ЊϪ3␪) sin 2␪ ϭ cos 3␪ 2 sin ␪ cos ␪ ϭ 4 cos3␪Ϫ3 cos ␪ 2 sin ␪ cos ␪Ϫ4 cos3␪ϩ3 cos ␪ ϭ 0 cos ␪(2 sin ␪Ϫ4 cos2␪ϩ3) ϭ 0 2 sin ␪Ϫ4 cos2␪ϩ3 ϭ 0 (Ї cos ␪ 0) 2 sin ␪Ϫ4(1Ϫsin2␪)ϩ3 ϭ 0 2 sin ␪Ϫ4ϩ4 sin2␪ϩ3 ϭ 0 4 sin2␪ϩ2 sin ␪Ϫ1 ϭ 0 sin ␪ ϭ − 2 ± 22 − 4(4)(− 1) 2(4) sin ␪ ϭ − 2 ± 2 5 − 1 ± 5 − 2 + 5 8 44 si−n2␪± 2ϭ 5 − 1 ± 5 − 2 + 5 8 44 sin 18Њ ϭ −1+ 5 (Ї 18Њ เป็นมุมในจตุภาคท่ี 1 ค่าไซน์ต้องมคี ่าเป็นบวก) 4 102 คมู่ ือครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แกเ้ ปน็ พิสจู น์ cos 18؇ ‫؍‬ 10 + 2 5 4 พิสูจน ์ เน่ืองจาก sin2␪ϩcos2␪ ϭ 1 จะได ้ sin218Њϩcos218Њ ϭ 1 cos218Њ ϭ 1Ϫsin218Њ cos218Њ ϭ 1Ϫ ⎛ − 1 + 5⎞2 ⎝⎜ 4 ⎠⎟ co⎝⎜⎛s2−118Њ+4 ϭ5 ⎟⎞ 2 10 + 2 5 ⎠ 16 cos 18Њ ϭ Ϯ 10 + 2 5 16 cos 18Њ ϭ 10 + 2 5 (Ї 18Њ เป็นมุมในจตภุ าคท ่ี 1 ค่าโคไซนต์ ้องมีค่าเป็นบวก) 4 พสิ จู น ์ cos 36Њ ϭ 5 +1 4 พสิ จู น ์ เน่อื งจาก cos 2␪ ϭ 1Ϫ2 sin2␪ จะได ้ cos 36Њ ϭ 1Ϫ2 sin218Њ ϭ 1Ϫ2 ⎛ − 1 + 5⎞2 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ ϭ 1Ϫ2 ⎛ 6 −2 5⎞ ⎜⎝ 16 ⎟⎠ ϭ 1Ϫ 6 − 2 5 8 ϭ 2+2 5 8 ϭ 5 +1 4 พสิ จู น ์ sin 36Њ ϭ 10 − 2 5 4 พิสจู น ์ เนื่องจาก sin2␪ϩcos2␪ ϭ 1 จะได ้ sin236Њϩcos236Њ ϭ 1 sin236Њ ϭ 1Ϫcos236Њ sin236Њ ϭ ⎛ 5 + 1⎞ 2 1Ϫ ⎝⎜ 4 ⎠⎟ sin236Њ ϭ 1Ϫ ⎛ 6 +2 5⎞ ⎝⎜ 16 ⎠⎟ sin236Њ ϭ 10 − 2 5 16 sin 36Њ ϭ Ϯ 10 − 2 5 16 sin 36Њ ϭ 10 − 2 5 (Ї 36Њ เปน็ มมุ ในจตุภาคท่ี 1 คา่ ไซนต์ อ้ งมคี ่าเป็นบวก) 4 คู่มือครู หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 103

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝกึ หดั ที่ 8 1. (1) π 2π π π (2π) 2π π π π (23π) π π π 2(4π) πϪ π 6 3 24 6 3 24 6 3 24 6 3 24 (5) π 2π π π (6) π 5π (7) Ϫ π 5π (8π) 5π 6 3 24 36 36 36 2. (1) Ϫ1 56 5 56 120 π(2)2πϪ π π (321) 56 5 56 120 (4) 5 2 12 5 65 169 6 3 24 12 5 65 169 5 (6) 1Ϫ2a2 (5) 6 1 56 (755) 56 120 156 5 (865)56 120 2 12 65 169 2 12 5 169 3. ให้ arctan x ϭπ ␪2, πϪ π πϽπ␪ 2Ͻπ π π tan ␪ 6 3 2 46 3 2 4 arctan(Ϫx) ϭx tan A ϭ πA2, πϪ π πϽ πA 2Ͻπ π π 6 3 246 3 24 ϭ Ϫx tan(␪ϩA) ϭ tan θ + tan A 1 − tan θ tan A ϭ x + (−x) 1 − x(− x) ϭ0 กลา่ วคอื ␪ϩA ϭ 0 ดังนั้น arctan xϩarctan(Ϫx) ϭ 0 4. ให้ arcsin x ϭ ␪ sin ␪ ϭ x แπ6ละ 2 3πϪ π πрπ␪ 2рπ π π 2 46 3 2 4 cos (2 arcsin x) ϭ cos 2␪ ϭ 1Ϫ2 sin2␪ ϭ 1Ϫ2x2 ดังนั้น cos (2 arcsin x) ϭ 1Ϫ2x2 5. ให้ arcsin x ϭ ␪ sin ␪ ϭ x แπ6ละ 2 3πϪ π πрπ␪ 2рπ π π 1 2 46 3 2 4 1 − x2 x sin (2 arcsin x) ϭ sin 2␪ ϭ 2 sin ␪ cos ␪ ␪ ϭ 2(x)( 1 − x2 ) ϭ 2x 1 − x2 ดงั นน้ั sin (2 arcsin x) ϭ 2x 1 − x2 104 คู่มือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยกจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรู้ท ่ี 2 โจทย์ขอ้ ที่ 1 พสิ ูจน ์ arcsin xπ ϭ2π π π xϩarccos 6 3 2 4 พิสจู น ์ ให้ arcsin x ϭ π ␪2, πϪ π πрπ␪ 2рπ π π ␪ 6 3 2 46 3 2 4 sin ␪ ϭ x arccos x ϭ A 1 1 − x2 cos A ϭ x, 0 р A р π A sin(␪ϩA) ϭ sin ␪ cos Aϩcos ␪ sin A x ϭ (x)(x)ϩ( 1 − x2 )( 1 − x2 ) ϭ x2ϩ1Ϫx2 ϭ1 ␪ϩA πϭ2π π π 6 3 24 ดงั นน้ั arcsin xϩarccos xπ ϭ2π π π 6 3 2 4 โจทย์ขอ้ ท่ี 2 พสิ จู น ์ arccos xϩarccos(Ϫx) ϭ π พสิ ูจน ์ ให้ arccos x ϭ ␪, 0 р ␪ р π cos ␪ ϭ x 1 arccos(Ϫx) ϭ A, 0 р A р π ␪ 1 − x2 cos A ϭ Ϫx x cos(␪ϩA) ϭ cos ␪ cos AϪsin ␪ sin A ϭ (x)(Ϫx)Ϫ( 1 − x2 )( 1 − x2 ) 1 ϭ Ϫx2Ϫ(1Ϫx2) A ϭ Ϫ1 1 − x2 Ϫx กล่าวคอื ␪ϩA ϭ π ดงั นั้น arccos xϩarccos (Ϫx) ϭ π โจทย์ขอ้ ท่ี 3 พสิ จู น ์ sec(arctan x) ϭ 1+ x2 พสิ ูจน ์ ให้ ϭ π ␪2, πϪ π πϽπ␪ 2Ͻπ π π arctan x 6 3 2 46 3 2 4 tan ␪ ϭx 1 + x2 x ␪ 1 จากรปู จะได้ sec ␪ ϭ 1+ x2 ดงั นั้น sec(arctan x) ϭ 1 + x2 คู่มือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 105

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝึกหัดท่ี 9 1. (1) cos ␪ (tan ␪ϩcot ␪) ϭ cos ␪ ⎛ sin θ + cos θ⎞ ⎝⎜ cos θ sin θ ⎟⎠ ϭ cos ␪ ⎛ sin2θ + cos2 θ ⎞ ⎜⎝⎜ sin θ cos θ ⎟⎟⎠ ϭ cos ␪ и 1 sin θ cos θ ϭ1 sin θ ϭ cosec ␪ (2) (sin2␪Ϫ1)(cot2␪ϩ1) ϭ (sin2␪Ϫ1)cosec2␪ ϭ sin2␪ cosec2␪Ϫcosec2␪ ϭ (sin ␪ cosec ␪)2Ϫcosec2␪ ϭ 12Ϫcosec2␪ ϭ 1Ϫcosec2␪ (3) (1ϩsin ␪)(sec ␪Ϫtan ␪) ϭ sec ␪Ϫtan ␪ ϩsin ␪ sec ␪Ϫsin ␪ tan ␪ ϭ 1 Ϫtan ␪ ϩ sin θ Ϫ sin2θ cos θ cos θ cos θ ϭ 1 Ϫtan ␪ ϩtan ␪Ϫ sin2θ cos θ cos θ ϭ 1 − sin2θ cos θ ϭ cos2θ cos θ ϭ cos ␪ (4) sin4θ − cos4θ ϭ (sin2θ − cos2θ )(sin2θ + cos2θ ) sin θ − cos θ sin θ − cos θ ϭ (sin θ − cos θ )(sin θ + cos θ )(1) sin θ − cos θ ϭ sin ␪ ϩcos ␪ (5) sin θ ϭ sin θ и 1 + cos θ 1 − cos θ 1 − cos θ 1 + cos θ ϭ sin θ (1 + cos θ ) 1 − cos2θ ϭ sin θ (1 + cos θ ) sin2θ ϭ 1 + cos θ sin θ ϭ 1 ϩ cos θ sin θ sin θ ϭ cosec ␪ ϩcot ␪ 106 คูม่ ือครู หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition (6) tan θ − 1 ϭ 1 −1 tan θ + 1 cot θ 1 +1 cot θ 1 − cot θ ϭ cot θ 1 + cot θ cos θ ϭ 1 − cot θ 1 + cot θ (7) 1 − sin θ ϭ 1 − sin θ и 1 − sin θ 1 + sin θ 1 + sin θ 1 − sin θ ϭ (1 − sin θ)2 1 − sin2θ ϭ 1 − 2 sin θ + sin2θ cos2θ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ sin θ ⎞ 2 ⎜⎝ cos θ⎟⎠ ⎝⎜ cos ⎟⎠ ⎝⎜ cos θ ⎠⎟ ϭ Ϫ2 θ (tan ␪)ϩ ϭ sec2␪Ϫ2 sec ␪ tan ␪ϩtan2␪ ϭ (sec ␪Ϫtan ␪)2 (8) (sec ␪ϩtan ␪)2 ϭ ⎛1 + sin θ ⎞ 2 ⎛1 + sin θ ⎞ 2 (1 + sin θ )2 ⎜⎝ cos θ cos θ ⎠⎟ ⎝⎜ cos θ ⎠⎟ cos2θ ⎛1 + csoinsθθϭ⎠⎞⎟ 2 ⎛1 + sin θ ⎞ 2 (1 + sin θ )2 ⎜⎝ cos θ ⎝⎜ cos θ ⎟⎠ cos2θ ⎛1 sin θ ⎞ 2 ⎛ 1 + sin θϭ⎞⎠⎟ 2 (1 + sin θ )2 ⎜⎝ cos θ cos θ ⎟⎠ ⎜⎝ cos θ cos2θ + (1 + sin θ )2 ϭ 1 − sin2θ ϭ (1 + sin θ )(1 + sin θ ) (1 − sin θ )(1 + sin θ ) ϭ 1 + sin θ 1 − sin θ ϭ 1 1 + sin θ и cos θ 1 − sin θ 1 cos θ 1 + sin θ cos θ cos θ ϭ 1 sin θ cos θ − cos θ ϭ sec θ + tan θ sec θ − tan θ คูม่ ือครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 107

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 1 (9) sin θ ϭ sin θ θ и cos θ sin θ + cos θ sin θ + cos 1 cos θ sin θ ϭ cos θ sin θ + cos θ cos θ cos θ ϭ tan θ tan θ + 1 ϭ tan θ 1 + tan θ (10) sec ␪ cosec ␪Ϫ2 cos ␪ cosec ␪ ϭ 1 1 Ϫ2 2cocsoθs θ cocsoθs θsinsiθn θ sinsiθn θ ϭ 1 − 2 cos2θ cos θ sin θ (1 − cos2θ ) − cos2θ ϭ cos θ sin θ ϭ sin2θ − cos2θ cos θ sin θ ϭ sin2θ Ϫ cos2θ cos θ sin θ cos θ sin θ ϭ sin θ Ϫ cos θ cos θ sin θ ϭ tan ␪Ϫcot ␪ 2. (1) cos θ − sin θ ϭ (cos θ − sin θ )(cos θ − sin θ ) cos θ + sin θ (cos θ + sin θ )(cos θ − sin θ ) cos2θ − 2 cos θ sin θ + sin2θ ϭ cos2θ − sin2θ ϭ 1 − 2 cos θ sin θ (cos2 ␪ϩsin2 ␪ ϭ 1, cos 2␪ ϭ cos2 ␪Ϫsin2 ␪) cos 2θ ϭ 1 − sin 2θ 1 sin 2θ cos 2θ cos 2θ cos 2θ 1 −1 −sinsϭin2θ2θ 1 1 Ϫsinsin2θ2θ cocso2sθ2θ cocso2sθ2θcocso2sθ2θ ϭ sec 2␪Ϫtan 2␪ (2) 1 + sin 2θ + cos 2θ ϭ (1 + cos 2θ ) + sin 2θ 1 + sin 2θ − cos 2θ (1 − cos 2θ ) + sin 2θ ϭ 2 cos2θ + 2 sin θ cos θ 2 sin2θ + 2 sin θ cos θ ϭ 2 cos θ (cos θ + sin θ ) 2 sin θ (cos θ + sin θ ) ϭ cot ␪ 108 คู่มอื ครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 2 cos⎜⎝⎛ 3θ + θ ⎞ cos⎝⎜⎛ 3θ − θ ⎞ 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ (3) cos 3θ + cos θ ϭ sin 3θ − sin θ 2 cos⎛⎝⎜ 3θ + θ ⎞ sin⎝⎜⎛ 3θ − θ ⎞ 2 ⎠⎟ 2 ⎠⎟ ϭ 2 cos 2θ cos θ 2 cos 2θ sin θ ϭ cot ␪ (4) sin 3θ ϩ cos 3θ ϭ sin 3θ cos θ − cos 3θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ ϭ sin(3θ − θ ) sin 2θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin(3θ −ϭθ ) sin 2θ sin θ cos θ sin θ cos θ ϭ 2 sin θ cos θ sin θ cos θ ϭ2 (5) cos 7␪ϩcos 5␪ϩ2 cos ␪ cos 2␪ ϭ 2 cos ⎛ 7θ + 5θ ⎞ cos ⎛ 7θ − 5θ ⎞ ϩ2 cos ␪ cos 2␪ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ϭ 2 cos 6␪ cos ␪ϩ2 cos ␪ cos 2␪ ϭ 2 cos ␪(cos 6␪ϩcos 2␪) ϭ 2 cos ␪ ⎡ cos⎜⎝⎛ 6θ + 2θ ⎞ cos⎜⎛⎝ 6θ − 2θ ⎠⎞⎟⎥⎤⎦⎥ ⎢2 2 ⎟⎠ 2 ⎢⎣ ϭ 2 cos ␪[2 cos 4␪ cos 2␪] ϭ 4 cos 4␪ cos 2␪ cos ␪ (6) sin θ + sin 2θ + sin 3θ ϭ (sin 3θ + sin θ ) + sin 2θ cos θ + cos 2θ + cos 3θ (cos 3θ + cos θ ) + cos 2θ ⎡ sin⎝⎛⎜ 3θ + θ ⎞ cos⎜⎝⎛ 3θ − θ ⎞⎤ + sin 2θ ⎢2 2 ⎟⎠ 2 ⎠⎟ ⎥⎦⎥ ϭ ⎢⎣ ⎡ cos⎜⎝⎛ 3θ + θ ⎞ cos⎛⎝⎜ 3θ − θ ⎟⎠⎞ ⎤⎦⎥⎥ + cos 2θ ⎢2 2 ⎟⎠ 2 ⎣⎢ ϭ 2 sin 2θ cos θ + sin 2θ 2 cos 2θ cos θ + cos 2θ ϭ sin 2θ (2 cos θ + 1) cos 2θ (2 cos θ + 1) ϭ sin 2θ cos 2θ ϭ tan 2␪ คู่มือครู หนงั สือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 109

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 3. (1) เนื่องจาก AϩBϩC ϭ 180Њ จะได ้ BϩC ϭ 180ЊϪA cos(BϩC) ϭ cos(180ЊϪA) cos(BϩC) ϭ Ϫcos A cos Aϩcos(BϩC) ϭ 0 (2) เนื่องจาก AϩBϩC ϭ 180Њ จะได ้ AϩB ϭ 180ЊϪC tan(AϩB) ϭ tan(180ЊϪC) tan A + tan B ϭ Ϫtan C 1 − tan A tan B tan Aϩtan B ϭ Ϫtan C(1Ϫtan A tan B) tan Aϩtan B ϭ Ϫtan Cϩtan A tan B tan C tan Aϩtan Bϩtan C ϭ tan A tan B tan C (3) cos Aϩcos Bϩcos C ϭ cos Aϩ(cos Bϩcos C) ϭ cos Aϩ2 cos B + C cos B − C 22 ϭ ⎛⎜⎝1 − 2 sin2 A⎞ ϩ2 sin A cos B − C 2 ⎟⎠ 2 2 ϭ 1Ϫ2 sin A ⎢⎡⎣sin A − cos B − C⎤ 2 2 2 ⎥⎦ ϭ 1Ϫ2 sin A ⎢⎣⎡cos B + C − cos B − C⎤ 2 2 2 ⎥⎦ ⎡ ⎛ B + C + B − C⎞ ⎛ B − C − B + C ⎞ ⎤ ⎢ sin⎝⎜⎜ 2 2 2 ⎟ sin⎜⎜⎝ 2 2 2 ⎟ ⎥ ϭ 1Ϫ2 sin A ⎢2 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎥ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ϭ 1Ϫ2 sin A ⎡ sin B sin⎛⎝⎜− C⎞ ⎤ 2 ⎢2 2 2 ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎥ ϭ 1Ϫ2 sin A ⎡ sin B ⎝⎜⎛− sin C⎞ ⎤ 2 ⎢2 2 2 ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎥ ϭ 1ϩ4 sin A sin B sBCin C 2 222 110 คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝึกหัดที่ 10 1. (1) ⎩⎧⎨43π , 5π⎫ (2) ⎧⎨⎩π3, 53π⎭⎬⎫ ⎨⎩⎧π4 , 3π , 5π, 74π⎫⎬⎭ ⎬ 4 4 3 ⎭ ⎧π , 53(π3⎫⎭⎬) ⎧π , 3π , 5π, 7π⎫ ⎧π , 53(π4⎭⎬⎫) ⎧π , 3π , 5π, 7π⎫ ⎨ ⎩⎨4 4 4 ⎬ ⎩⎨ 3 ⎨⎩4 4 4 ⎬ ⎩ 3 4 ⎭ 4 ⎭ (5) ⎩⎨⎧π6 , π, 5π, 32π⎭⎫⎬ (6) ⎧π , 5π, 5π, 7π⎫ 2 6 ⎨⎩6 6 4 ⎬ 4 ⎭ (7) ⎧π , π, 7π, 4π⎫ (8) {π} ⎩⎨6 3 6 ⎬ 3 ⎭ (9) ⎧⎩⎨π2 , 3π ⎫ (10) ⎧⎩⎨23π, 53π⎫⎬⎭ 2 ⎬ ⎭ (11) ⎧⎨0, 3π , 3π , 74π⎭⎬⎫ (12) ⎧⎨0, π, π, 3π⎫ ⎩ 4 2 ⎩ 2 ⎬ 2 ⎭ (13) ⎧⎨0, π, 5π, π, 7π, 11π⎫ (14) ⎧⎨0, π, π, π, 3π , 53π⎬⎭⎫ ⎩ 6 6 6 ⎬ ⎩ 3 2 2 6 ⎭ (15) ⎧⎨0, π, π, 5π, π, 7π, 3π , 11π⎫ (16) ⎨⎧0, π, 2π, π, 4π, 5π⎫ ⎩ 6 2 6 6 2 ⎬ ⎩ 3 3 3 ⎬ 6 ⎭ 3 ⎭ { }|2. (1) ␪ ␪ ϭ 2nπϩ 5π , 1216n5ππ6πϩ116π , n ʦ I 6 { }|(2) ␪ ␪ π 3π 5π 7π ϭ 2nπϩ 4 , 2nπϩ 4 , 2nπϩ 4 , 2nπϩ 4 , n ʦ I { }|(3) ␪ ␪ 2π 4π ϭ 2nπ, 2nπϩ 3 , 2nπϩ 3 , n ʦ I { }|(4) ␪␪ϭ (4n + 1)π , 2nπϩ 7π , 2n5π6πϩ116π , n ʦ I 2 6 เฉลยกิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ท ่ี 3 โจทยข์ อ้ ที่ 1 arcsin(x)ϩarcsin(5x) πϭ2π π π 6 3 24 arcsin(5x) πϭ2π π Ϫπarcsin(x) 6 3 24 sin(arcsin(5x)) ϭ sin ⎛ π − arcsin(x)⎞⎠⎟ ⎝⎜ 2 5x ϭ cos(arcsin(x)) 1 5x ϭ 1 − x2 x 25x2 ϭ 1Ϫx2 arcsin x 26x2 ϭ 1 1 − x2 x2 ϭ 1 26 xϭ 1 26 ดงั น้นั เซตค�าตอบของสมการนค้ี อื ⎨⎧⎪ 1 ⎫⎪⎬ ⎪⎩ 26 ⎪⎭ คู่มอื ครู หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 111

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition โจทย์ข้อที ่ 2 arccos(x 3 )ϩarccos( 1 − x2 ) ϭ arcsec ⎛ 1⎞ ⎜⎝ x⎠⎟ arccos(x 3 )ϩarccos( 1 − x2 ) ϭ arccos(x) arccos(x 3 ) ϭ arccos(x)Ϫarccos( 1 − x2 ) cos(arccos(x 3 )) ϭ cos(arccos(x)Ϫarccos( 1 − x2 )) x 3 ϭ cos(arccos(x))cos(arccos( 1 − x2 ))ϩsin(arccos(x))sin(arccos( 1 − x2 )) x 3 ϭ x 1 − x2 ϩ( 1 − x2 )x x 3 ϭ 2x 1 − x2 2x 1 − x2 Ϫx 3 ϭ 0 x(2 1 − x2 Ϫ 3 ) ϭ 0 x ϭ 0 หรือ 2 1 − x2 Ϫ 3 ϭ 0 จากโจทย ์ x มีคา่ เปน็ 0 ไม่ได ้ (เนอ่ื งจาก arcsec ⎛ 1⎞ ไม่นิยาม) ⎝⎜ 0⎠⎟ จะไดว้ า่ 2 1− x2 Ϫ 3 ϭ 0 2 1− x2 ϭ 3 1− x2 ϭ 3 2 1Ϫx2 ϭ3 x2 4 x ϭ1 4 ϭ Ϫ1 , 1 22 จากโจทย์ ถา้ x ϭ Ϫ 1 จะได ้ arccos ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ϭ arcsec(Ϫ2) เป็นสมการที่เป็นเท็จ 2 ⎜− ⎟ ϩarccos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ น่ันคือ x 1 เทา่ น้ัน ϭ 2 ดงั น้นั เซตคา� ตอบของสมการนี้คอื ⎨⎧⎩21⎬⎫⎭ 112 คมู่ อื ครู หนังสือเรียนรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition โจทย์ข้อที่ 3 arcsin(1Ϫx)ϩarcsin(x) ϭ arcsec ⎛ 1⎞ ⎝⎜ x⎟⎠ arcsin(1Ϫx)ϩarcsin(x) ϭ arccos(x) เขียนรูปสามเหล่ียม; B x1 C A 1 − x2 arcsin(1Ϫx)ϩA ϭ B arcsin(1Ϫx) ϭ BϪA sin(arcsin(1Ϫx)) ϭ sin(BϪA) 1Ϫx ϭ sin B cos AϪcos B sin A 1Ϫx ϭ ( 1 − x2 )( 1 − x2 )Ϫ(x)(x) 1Ϫx ϭ 1Ϫx2Ϫx2 2x2Ϫx ϭ 0 x(2xϪ1) ϭ 0 x ϭ 0, 1 2 จากโจทย ์ x มีคา่ เป็น 0 ไม่ได ้ (เนอ่ื งจาก arcsec ⎛ 1⎞ ไม่นิยาม) ⎜⎝ 0⎠⎟ นั่นคือ x ϭ 1 เท่าน้นั 2 ดงั น้นั เซตค�าตอบของสมการน้ีคือ ⎩⎨⎧21⎭⎬⎫ เฉลยแบบฝึกหัดท่ี 11 (2) 5 หนว่ ย (3) 4 2 หนว่ ย 1. (1) 31 หน่วย (5) 60 องศา (4) 36 หน่วย 2 2. Ϫ 4 2 9 3. 13.85 เมตร 4. 1,033.63 เมตร 5. 1,295.65 ไมล์ คมู่ อื ครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 113

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยกิจกรรมตรวจสอบการเรียนรูท้ ่ี 4 ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มใดๆ ในระนาบ ทม่ี ีดา้ นตรงข้ามมุม A, B และ C มคี วามยาวเป็น a, b และ c สมมตุ ิ bϩc Ͼ a จะได้รูปสามเหล่ยี ม ABC ดังรูป A cb BaC จากรูป A ลากเส้นต้ังฉากพบ BC ท่ีจุด D ให้ AD ยาว h หน่วย และ BD ยาว x หน่วย ดังน้ัน CD ยาว aϪx หนว่ ย ดังรปู A c b h B x D aϪx C จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้ c2 ϭ h2ϩx2 ..........(1) และ ..........(2) b2 ϭ h2ϩ(aϪx)2 ..........(3) (1)Ϫ(2) ; c2Ϫb2 ϭ x2Ϫ(aϪx)2 c2Ϫb2 ϭ x2Ϫa2ϩ2axϪx2 c2Ϫb2ϩa2 ϭ 2ax x ϭ c2 − b2 + a2 2a จาก (1) ; h2 ϭ c2Ϫx2 ϭ (cϪx)(cϩx) ⎛ c2 − b2 + a 2 ⎞ ⎛ c2 − b2 + a 2 ⎞ ⎝⎜c − 2a ⎟⎠ ⎝⎜c + 2a ⎠⎟ ϭ ϭ ⎛ 2ac − c2 + b2 − a2⎞ ⎛ 2ac + c2 − b2 + a2⎞ ⎜⎝ 2a ⎠⎟ ⎝⎜ 2a ⎠⎟ ϭ (b2 − (a − c)2 )((a + c)2 − b2 ) (2a)2 114 คมู่ อื ครู หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แต ่ b2Ϫ(aϪc)2 ϭ (bϪ(aϪc))(bϩ(aϪc)) ϭ (bϩcϪa)(aϩbϪc) จาก s ϭ a + b + c s ϭ a+b+c 2 2 2s ϭ aϩbϩc 2s ϭ aϩbϩc 2sϪa ϭ bϩc 2sϪc ϭ aϩb 2sϪ2a ϭ bϩcϪa 2sϪ2c ϭ aϩbϪc ดังนนั้ b2Ϫ(aϪc)2 ϭ (2sϪ2a)(2sϪ2c) ..........(4) และ (aϩc)2Ϫb2 ϭ (aϩcϪb)(aϩcϩb) ϭ (2sϪ2b)(2s) ..........(5) เ มอื่ s ϭ a + b + c แทน (4) และ (5) ใน (3) จะได้2 h2 ϭ 42 s(s − a)(s − b)(s − c) 4a2 2 s(s − a)(s − b)(s − c) hϭ a เนื่องจาก พืน้ ท่ีรูปสามเหล่ยี ม ϭ 1 ϫความยาวของฐานϫความสงู 2 จะได ้ พนื้ ท่ีรปู สามเหลีย่ ม ϭ 1 ϫaϫ 2 s(s − a)(s − b)(s − c) 2a ϭ s(s − a)(s − b)(s − c) เฉลยแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิ 1. (1) 2π เรเดียน (2) 29π เรเดยี น (3) Ϫ 5π เรเดียน 9 36 2 2. (1) 720Њ (2) Ϫ36Њ (3) 50Њ 3. (1) 1 (2) 4 4. Ϫ0.1 5. AC ยาว 18.6 เซนติเมตร และ BC ยาว 7.4 เซนตเิ มตร 6. แอมพลจิ ูดเทา่ กับ 1 และคาบเทา่ กบั π 4 2 7. 3 2 8. 3 9. 63 65 10. จาก tan A и tan B ϭ 1 1 − tan A 1 − tan B 2 คูม่ อื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 115

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition จะได ้ 1 − tan A tan A tan B A tan B ϭ 1 − tan B + tan 2 2 tan A tan B ϭ 1Ϫtan AϪtan Bϩtan A tan B tan Aϩtan B ϭ 1и(1Ϫtan A tan B) tan A + tan B ϭ 1 1 − tan A tan B tan(AϩB) ϭ 1 { }|11. (1)␪ ␪ ϭ 3π 7π 2nπϩ 4 , 2nπϩ 4 , n ʦ I (2) ⎧π , 5π⎫ ⎨⎩4 ⎬ 4 ⎭ 12. 105 องศา 116 คมู่ อื ครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

2หนว่ ยการเรยี นรทู ่ี จ�านวนเ ิง อ้ น สาระการเรยี นรู้ จา� นวนเ ิง ้อน สมรรถนะสาำ คัญ/ ด้านความรู้ ทักษะแหง่ ศตวรรษที่ 21 1. จา� นวนเชิงซอ้ นและสมบัติของ สมรรถนะสา� คญั 1. ความสามารถในการส่อื สาร จ�านวนเชิงซอ้ น 2. ความสามารถในการคิดวิเคราะห์ 2 จ�านวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชิงขว้ั ทกั ษะแห่งศตวรรษที่ 21 3 รากที ่ n ของจา� นวนเชงิ ซ้อน เมื่อ n 1. ทักษะการแก้ปญั หา 2. ทกั ษะการเช่อื มโยง เปน็ จ�านวนนบั ที่มากกว่า 1 3. ทักษะการใหเ้ หตุผล 4 สมการพหุนามตวั แปรเดยี ว 4. ทักษะการคดิ สรา้ งสรรค์ ดา้ นทักษะและกระบวนการ 1 การสงั เกต ภาระงาน/ชน้ิ งานสำาคญั 2 การอ่านและการเขียน 1. แบบฝกึ หัดท ่ี 1-4 3 การคดิ วิเคราะห์ 2. กิจกรรมตรวจสอบการเรยี นรทู้ ี่ 1-4 4 การตีความหมาย 3. กิจกรรมบรู ณาการ “สรา้ งสรรค์เกมจา� นวนเชิงซ้อน” ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ 4. แบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิ 1 ท�าความเข้าใจหรือสร้างกรณีทั่วไป 5. ใบงานท่ ี 1-5 โดยใชค้ วามรทู้ ไ่ี ดจ้ ากการศกึ ษากรณี ตวั อย่างหลายๆ กรณี 2 มีความมุมานะในการท�าความเข้าใจ ปญั หาและแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ 3 ค้นหาลักษณะท่ีเกิดข้ึนซ�้าๆ และ ประยุกต์ใช้ลักษณะดังกล่าวเพ่ือ ท�าความเข้าใจหรือแก้ปัญหาใน สถานการณ์ตา่ งๆ

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition จำ�นวนเชงิ ซอ้ น 2หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี สาระการเรียนรู้ 1 จ�านวนเ ิง ้อนและสมบตั ขิ องจ�านวนเ งิ ้อน 2 จ�านวนเ งิ ้อนในรปู เ งิ ขัว 3 รากท ี่ n ของจ�านวนเ งิ ้อน เมอ่ n เป็นจ�านวนนบั ท่ีมากกว่า 1 4 สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว ผลการเรียนรู้ 1 เข้าใจจา� นวนเชิงซ้อนและใชส้ มบัติของจา� นวนเชิงซอ้ นในการแก้ปญั หา 2 หารากท ่ี n ของจา� นวนเชงิ ซ้อน เม่ือ n เปน็ จา� นวนนับทม่ี ากกวา่ 1 3 แกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดยี วดกี รไี ม่เกินสี่ท่มี ีสมั ประสทิ ธิ์เป็นจา� นวนเตม็ และนา� ไปใช้ในการแก้ปัญหา 118 คมู่ ือครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition x2+5 = 0 นกั เรยี นคิดว่าสมการ x2 + 5 = 0 มี คำาตอบของสมการท่ีเป็นจำานวนจริง หรือไม่ คมู่ ือครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 119

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 92 า รเ ่ เ เ่ 1. ครใู หน้ กั เรียนทา� แบบทดสอบก่อนเรียน านวนเ ้ น 2. ครูเขียนสมการต่อไปนีบ้ นกระดาน านวนเ ้ น x2ϩ1 ϭ 0 แนวคิ สำาคญั านวน น า x2 ϭ –1 จ�ำ นวนเชงิ ซอ้ น คือ จ�ำ นวนท่ีเขยี นในรปู aϩbi จ�านวนจินตภาพ คือ จ�านวนที่ยกก�าลังสอง 3. ครซู กั ถามนักเรยี นดังน้ี แล้วเปน็ จา� นวนจรงิ ลบ ดังบทนยิ ามต่อไปนี้ ค�าถาม หรอื (a, b) โดยเรียก a ว�่ สว่ นจริง และเรียก b ว�่ - มีจา� นวนจริงใดท่ียกกา� ลังสองแลว้ ได ้ 1 หรอื ไม่ สว่ นจนิ ตภ�พ (แนวค�ำตอบ : ไม่มี เนื่องจำกไม่มีจ�ำนวนจริงใด ท่ยี กกำ� ลังสองแล้วมีคำ่ น้อยกว่ำศนู ย)์ บทนิยาม เมอื่ a เป็นจา� นวนจรงิ ท่ีมากกวา่ 0 แล้ว − a ϭ a −1 ϭ ai ค�าส�าคัญ ใช้สัญลักษณ ์ i แทน −1 นั่นคอื i ϭ −1 1. จ�านวนจินตภาพ 2. จา� นวนเชงิ ซ้อน i2 ϭ Ϫ1 เรียก i วา่ จ�านวนจินตภาพ เชน่ 3. สว่ นจรงิ 4. ส่วนจินตภาพ − 3 ϭ 3i I ndesign − 4 ϭ 4 i ϭ 2i 1. ครูอธิบายว่านักคณิตศาสตร์จึงได้สร้างระบบจ�านวน ค่าของ in จะมคี า่ แตกตา่ งกันได้ 4 ค่า คอื i, Ϫ1, Ϫi และ 1 ชนดิ ใหม่ เรยี กวา่ จา� นวนเชงิ ซ้อน เพอื่ ให้หาคา่ ของ x ถา้ n หารด้วย 4 เหลอื เศษ 1 แล้ว in มคี ่า i จากสมการ x2 ϭ –1 ได ้ โดยให ้ i แทนจา� นวนเหลา่ นน้ั ถา้ n หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 2 แล้ว in มคี ่า Ϫ1 ซึง่ i2ϩ1 ϭ 0 ถา้ n หารด้วย 4 เหลือเศษ 3 แลว้ in มีค่า Ϫi i2 ϭ –1 ถา้ n หารด้วย 4 ลงตวั แล้ว in มคี ่า 1 สามารถเขียนในรูป i ϭ Ϫ1 รปสขาำ อเรงจของเปเ น็ ขดังีกนาำ ี งั i4nϩ1 ϭ i 2. ครูให้นักเรียนอ่านบทนิยามและการหาค่า in ใน i4nϩ2 ϭ Ϫ1 i4nϩ3 ϭ Ϫi หนงั สอื เรยี นหนา้ 92 จากนน้ั ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั ทา� i4n ϭ 1 โจทยต์ วั อย่างท ่ี 1 ในหนังสอื เรียนบนกระดาน 3. ครูให้นักเรียนอ่านบทนิยามในหนังสือเรียนหน้า 93 I CT ซ่ึงเก่ียวกับการเท่ากัน การบวก การคูณของ จ�านวนเชิงซ้อน จากน้ันให้นักเรียนอาสาสมัครออก ให้นักเรียนศึกษาโจทย์ที่ใช้ความรู้เร่ืองการหาผลบวกและ มาแสดงวิธีหาค�าตอบของโจทยต์ ัวอยา่ งที ่ 2, 3 และ 4 ผลคูณของจ�านวนเชิงซ้อนมาช่วยในการแก้ปัญหา จาก ในหนังสือเรียนบนกระดาน search engine ต่างๆ I nnovation ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ แตล่ ะกลมุ่ ทา� บตั รความรเู้ รอื่ งการหา in การหาผลบวกและผลคูณของจ�านวนเชิงซ้อน แล้วน�าเสนอ ผลงานเพ่อื แลกเปล่ียนเรยี นรู้ 120 ค่มู ือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ านวนเ ้ น 93 ความรูเ้ พิม่ เติม ตวั อย่างท่ี 1 (2) i52 จ�านวนเชิงซ้อน 2 จ�านวนใดๆ ที่มีส่วนจินตภาพอยู่ (4) 1ϩiϩi2ϩi3 เราจะสามารถเปรียบเทียบกันได้เพียงการเท่ากันหรือ จงหาคา่ ของแตล่ ะข้อต่อไปนี้ ไมเ่ ทา่ กนั เทา่ นนั้ แตจ่ ะไมส่ ามารถเปรยี บเทยี บไดว้ า่ จา� นวน ตอบ ใดมากกว่าหรือน้อยกว่าอีกจ�านวนหนึ่ง เช่น เราสามารถ (1) i15 ตอบ บอกได้ว่า 3 ϩ 5i ไม่เทา่ กับ 6 Ϫ 4i แตบ่ อกไมไ่ ดว้ ่าจ�านวน (3) i97 ตอบ ใดมากกวา่ หรือนอ้ ยกว่ากนั ตอบ วธิ ีทา� (1) i15 ϭ i4(3)ϩ3 ϭ Ϫi กิจกรรมเสนอแนะ (2) i52 ϭ i4(13) ϭ 1 หลงั จากศึกษาตวั อย่างท ี่ 1 แลว้ ครูกา� หนดค่า in เมอ่ื n เป็น (3) i97 ϭ i4(24)ϩ1 ϭ i จา� นวนสามหลกั และสห่ี ลกั หลายๆ จา� นวนบนกระดาน แลว้ (4) 1ϩiϩi2ϩi3 ϭ 1ϩiϩ(Ϫ1)ϩ(Ϫi) สมุ่ เรียกนักเรยี นออกมาหาคา่ in เชน่ i854 ϭ i4(213)ϩ2 ϭ i2 ϭ Ϫ1 ϭ 1ϩiϪ1Ϫi i2047 ϭ i4(511)ϩ3 ϭ i3 ϭ Ϫi ϭ0 หมายเหตุ : ค่าที่ควรจ�า i2 ϭ –1, i3 ϭ Ϫi, i4 ϭ 1 านวนเ ้ น ในระบบจา� นวนจรงิ มีสมการบางสมการ เช่น x2ϩ5 ϭ 0 ไมม่ ีจ�านวนจรงิ ใดท่เี ปน็ คา� ตอบของ สมการ เนื่องจากก�าลังสองของจ�านวนจรงิ ใดๆ จะมากกว่าหรือเท่ากับศูนยเ์ สมอ ดว้ ยเหตุน้จี ึงตอ้ งสร้าง ระบบจา� นวนชนดิ ใหมเ่ พอ่ื ใหส้ ามารถหาคา� ตอบของสมการประเภทนไ้ี ด ้ และเรยี กจา� นวนในระบบทสี่ รา้ ง ข้นึ ใหมน่ ้ีวา่ จ�านวนเ งิ ้อน บทนิยาม จา� นวนเชงิ ซอ้ น คอื คู่อันดบั (a, b) เมื่อ a, b เปน็ จ�านวนจริงใดๆ ถ้าให้ (a, b) และ แหลง่ สืบค้น (c, d) เป็นจ�านวนเชงิ ซ้อน จะนยิ ามการเท่ากนั การบวกและการคูณของจ�านวนเชิงซ้อน ดงั น้ี - https://www.youtube.com/watch?v=od0DcbwOQYk 1. การเท่ากัน - https://www.youtube.com/watch?v=6oX36HO (a, b) ϭ (c, d) ก็ต่อเม่ือ a ϭ c และ b ϭ d 2. การบวก VLak&list=PLIN0UIXCgaHv7ltR7Gpn-DyoTBY (a, b)ϩ(c, d) ϭ (aϩc, bϩd) mH9L6F 3. การคณู (a, b)(c, d) ϭ (acϪbd, adϩbc) ขอ้ สอบแนว 1. ขอ้ ใดตอ่ ไปนไี้ มถ่ กู ตอ้ ง 2. กา� หนดให ้ n เปน็ จา� นวนเตม็ บวก O-NET คา่ ของ i12n ϩ i12nϩ1ϩi12nϩ2ϩ...ϩi12nϩ44 ตรงกบั ขอ้ ใด 1. 7 Ϫ27Ϫ2 Ϫ3 ϭ 19 3 i 1. Ϫ1 2. Ϫ2 ؒ Ϫ18 ϭ Ϫ6 2. Ϫi 3. Ϫ8 ؒ Ϫ125 ϭ Ϫ10 10 3. 0 4. 7 ‫ ؍‬7 i Ϫ7 4. 1 ตอบขอ้ 4 ตอบขอ้ 4 คูม่ อื ครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 121

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 94 า รเ ่ เ เ่ ครูก�าหนดจ�านวนเชงิ ซอ้ นในรูป z ϭ (a, b) และ z ϭ aϩbi ตัวอย่างที่ 2 หลายๆ จ�านวน สุ่มเรียกนักเรียนให้บอกส่วนจริงและ ส่วนจินตภาพ เช่น จงหาผลบวกและผลคูณของจ�านวนเชงิ ซ้อน (Ϫ3, 4) และ (2, 1) วธิ ที �า จา� นวนเ ิง อ้ น สว่ นจริง สว่ นจนิ ตภาพ (Ϫ3, 4)ϩ(2, 1) ϭ (Ϫ3ϩ2, 4ϩ1) z Re(z) Im(z) ϭ (Ϫ1, 5) ตอบ ตอบ (3, 6) 3 6 [ ](Ϫ3, 4)(2, 1) ϭ (Ϫ3)(2)Ϫ(4)(1), (Ϫ3)(1)ϩ(4)(2) ϭ [(Ϫ6Ϫ4), (Ϫ3ϩ8)] ϭ (Ϫ10, 5) (0, 5) 0 5 2 – 4i 2 Ϫ4 หมายเหตุ 1. เซตของจ�านวนเชงิ ซ้อนเขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ C หรือ z Ϫ 3 ϩ5i Ϫ3 5 2. ส�าหรบั จา� นวนเชงิ ซ้อน z ϭ (a, b) สามารถเขยี นแทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์ aϩbi ᭹ เรียก a วา่ ส่วนจริงของ z และเขยี นแทนดว้ ย Re(z) 7i 0 7 ᭹ เรยี ก b วา่ ส่วนจินตภาพของ z และเขียนแทนด้วย Im(z) ขอ้ สอบแนว O-NET จา� นวนเชิงซอ้ น z ϭ aϩbi พิจารณา a และ b แยกเปน็ กรณไี ด้ดงั น้ี กร ีท่ี 1 ถา้ b ϭ 0 จะเรยี ก z วา่ จ�านวนจริง 1. ขอ้ ใดตอ่ ไปนไี้ มถ่ กู ตอ้ ง กร ที ี่ 2 ถา้ a ϭ 0 และ b 0 เรยี ก z วา่ จ�านวนจนิ ตภาพแท้ 1. ถา้ z ϭ 2ϩ3i แล้ว Re(z)ϩIm(z) ϭ 5 อาจกลา่ วไดว้ า่ จา� นวนจรงิ คอื จา� นวนเชิงซอ้ นท่มี สี ่วนจนิ ตภาพเทา่ กับศูนย์ 2. ถา้ z ϭ 4ϩ5i แลว้ Re(z)ϪIm(z) ϭ Ϫ1 การกา� หนดสญั ลักษณข์ องจ�านวนเชิงซอ้ นในรปู aϩbi เมื่อ a, b ʦ R ท�าให้การค�านวณเกีย่ วกับ จ�านวนเชิงซ้อนสามารถท�าได้ง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆ เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและการคูณของ 3. ถา้ z ϭ 1 Ϫ 3 i แล้ว Re(z)ϫIm(z) ϭ Ϫ 3 จา� นวนจรงิ และมีข้อตกลงดังน้ี 2 2 4 (aϩbi)ϩ(cϩdi) ϭ (aϩc)ϩ(bϩd)i (aϩbi)(cϩdi) ϭ (acϪbd)ϩ(adϩbc)i 4. ถา้ z ‫ ؍‬؊4 แล้ว Re(z) ‫؍‬0 ตอบขอ้ 4 Im(z) 2. ขอ้ ใดตอ่ ไปนไี้ มถ่ กู ตอ้ ง 1΂ ΃ ΂ ΃1.ϩ3 i ϩ 2 ϩ 1 i ϭ 7 ϩ2109i 2 4 3 5 6 ΂ ΃ ΂ ΃2.Ϫ5ϩ 3 i Ϫ 4 Ϫ 1 i ϭ Ϫ 197ϩ2303i 9 5 3 6 3. (Ϫ3Ϫ2i)(5ϩ6i) ϭ Ϫ3Ϫ28i ΂ ΃ ΂ ΃ 4. i2(3Ϫ4i) ϭ Ϫ3Ϫ4i ตวั เลอื กท ่ี 2 Ϫ 5 ϩ 3 i Ϫ 4 Ϫ 1 i 9 5 3 6 ตอบขอ้ 4 เฉลยละเอยี ด ΂ ΃ ΂ ΃ϭ Ϫ5Ϫ4 ϩ 3 iϩ 1 i 93 5 6 ตวั เลอื กท ่ี 1 ΂ 1 ϩ 3 i΃ϩ΂ 2 ϩ 1 i΃ ϭ Ϫ 197ϩ2330i 2 4 3 5 ตวั เลอื กท ่ี 3 (Ϫ3Ϫ2i)(5ϩ6i) ϭ Ϫ3(5ϩ6i)Ϫ2i(5ϩ6i) ΂ ΃ ΂ ΃ϭ1ϩ 2 ϩ 3 iϩ 1 i 2 3 4 5 ϭ Ϫ15Ϫ18iϪ10iϪ12i2 ϭ 7 ϩ2109i ตวั เลอื กท ่ี 4 ϭ Ϫ3Ϫ28i 6 i2(3Ϫ4i) ϭ (Ϫ1)(3Ϫ4i) ϭ Ϫ3ϩ4i 122 คู่มือครู หนังสือเรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรู้ท่ี านวนเ ้ น 95 I ndesign ตัวอย่างที่ 3 1. ครูใหน้ กั เรยี นแบง่ กลุ่มศึกษาเร่ืองสมบัตเิ กย่ี วกับการบวก และการคูณของจ�านวนเชิงซ้อน แล้วสุ่มเรียกนักเรียน จงหาผลบวกและผลคูณของจ�านวนเชงิ ซอ้ น 2Ϫi และ 5ϩ3i ออกมาอธิบายสมบัติตา่ งๆ หน้าชั้นเรียน วิธที า� (2Ϫi)ϩ(5ϩ3i) ϭ (2ϩ5)ϩ(Ϫ1ϩ3)i 2. ครสู รปุ ความรเู้ รอ่ื งเอกลกั ษณก์ ารบวกของจา� นวนเชงิ ซอ้ น ตัวผกผันการบวกของจ�านวนเชิงซ้อน เอกลักษณ์การคูณ ϭ 7ϩ2i ตอบ ของจ�านวนเชิงซ้อน ตัวผกผันการคูณของจ�านวนเชิงซ้อน ตอบ ดงั นี้ [ ] [ ](2Ϫi)(5ϩ3i) ϭ (2)(5)Ϫ(Ϫ1)(3) ϩ (2)(3)ϩ(Ϫ1)(5) i 1) 0 หรอื (0, 0) เปน็ เอกลกั ษณก์ ารบวกของจา� นวนเชงิ ซอ้ น ตอบ 2) (–a, –b) เป็นตัวผกผนั การบวกของ (a, b) ϭ (10ϩ3)ϩ(6Ϫ5)i 3) 1 หรอื (1, 0) เปน็ เอกลกั ษณก์ ารคณู ของจา� นวนเชงิ ซอ้ น ϭ 13ϩi ตัวอย่างที่ 4 จงหาจ�านวนจริง a, b ทท่ี า� ให ้ (5aϪ3bi)ϩ(3ϩ2i) ϭ 13Ϫi วิธที �า จาก (5aϪ3bi)ϩ(3ϩ2i) ϭ 13Ϫi ΂ ΃4) ตวั ผกผนั การคณู ของ (a, b) คือ ab (5aϩ3)ϩ(Ϫ3bϩ2)i ϭ 13Ϫi ,Ϫ จะได้ 5aϩ3 ϭ 13 และ Ϫ3bϩ2 ϭ Ϫ1 a2ϩb2 a2ϩb2 ดังน้ัน 5a ϭ 10 และ Ϫ3b ϭ Ϫ3 ต วั ผกผันการคูณของ a ϩ bi คอื ab a ϭ 2 และ a2ϩb2 Ϫ a2ϩb2 i bϭ1 ถา้ aϩbi ϭ cϩdi แล้ว a ϭ c ϭ aϪbi และ b ϭ d a2ϩb2 3. ครูให้นักเรียนอาสาสมัครออกมาแสดงวิธีหาค�าตอบ ของโจทย์ตวั อย่างท ่ี 5-8 ในหนงั สือเรียนบนกระดาน เกี่ยวก การ วก การ ู านวนเ ้ น แหลง่ สบื คน้ เกีย่ วก การ วก านวนเ ้ น - https://www.youtube.com/watch?v=qrpOhsz กา� หนด C เปน็ เซตของจา� นวนเชงิ ซ้อน และ z1, z2, z3 ʦ C b5MY&list=PLIN0UIXCgaHv7ltR7Gpn-DyoTBY 1. สมบตั ปิ ดส�าหรบั การบวก z1ϩz2 ʦ C mH9L6F&index=2 เชน่ z1 ϭ 1ϩ2i, z2 ϭ 2Ϫ5i จะได้ z1ϩz2 ϭ (1ϩ2i)ϩ(2–5i) ϭ 3Ϫ3i ʦ C คู่มือครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 123

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 96 า รเ ่ เ เ่ ครเู ขียนจา� นวนเชงิ ซอ้ นหลายๆ จา� นวนบนกระดาน แลว้ ส่มุ 2. สมบัตกิ ารสลับที่ส�าหรบั การบวก z1ϩz2 ϭ z2ϩz1 เรยี กนกั เรยี นออกมาหาตวั ผกผนั การบวกของจา� นวนเชงิ ซอ้ น ทก่ี า� หนดให ้ เชน่ เช่น z1 ϭ 4ϩ2i, z2 ϭ 3Ϫ5i จะได้ z1ϩz2 ϭ (4ϩ2i)ϩ(3Ϫ5i) ϭ 7Ϫ3i ตวั ผกผนั การบวกของ (–3, 0) คือ ........ (3, 0) z2ϩz1 ϭ (3Ϫ5i)ϩ(4ϩ2i) ϭ 7Ϫ3i ตวั ผกผันการบวกของ (4, –2) คอื ........ (–4, 2) ดังนัน้ z1ϩz2 ϭ z2ϩz1 ตวั ผกผนั การบวกของ 6ϩ5i คือ ........ (–6–5i) ตวั ผกผนั การบวกของ Ϫ1ϩ 2 i คือ ........ (Ϫ1Ϫ 2 i) 3. สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมสู่ �าหรับการบวก (z1ϩz2)ϩz3 ϭ z1ϩ(z2ϩz3) ΂ ΃ 1 1 ตวั ผกผันการบวกของ 2 Ϫ2i คอื ........ Ϫ 2 ϩ2i เช่น จะได ้z1 ϭ Ϫ4ϩ2i, z2 ϭ 6Ϫ5i, z3 ϭ 1ϩi(z1ϩz2)ϩz3 ϭ [(Ϫ4ϩ2i)ϩ(6Ϫ5i)]ϩ(1ϩi) ϭ (2Ϫ3i)ϩ(1ϩi) ϭ 3Ϫ2i z1ϩ(z2ϩz3) ϭ (Ϫ4ϩ2i)ϩ[(6Ϫ5i)ϩ(1ϩi)] ϭ (Ϫ4ϩ2i)ϩ(7Ϫ4i) ข้อสอบแนว O-NET ϭ 3Ϫ2i ดังนน้ั (z1ϩz2)ϩz3 ϭ z1ϩ(z2ϩz3) ถา้ z1 ϭ 1ϩ2i, z2 ϭ 3Ϫ2i และ z3 ϭ 2ϩ3i แลว้ ตวั ผกผนั 4. สมบัตกิ ารมเี อกลกั ษณ์การบวก ม ี 0 หรอื (0, 0) เปน็ เอกลกั ษณก์ ารบวกของ การบวกของ (z1ؒ2z2)ϩz3 ตรงกบั ขอ้ ใด จ�านวนเชิงซ้อน เพราะฉะนน้ั 0ϩz ϭ zϩ0 ϭ z 1. 11ϩ16i 2. 16ϩ11i เช่น z ϭ 3Ϫ2i จะได ้ 0ϩ(3Ϫ2i) ϭ (3Ϫ2i)ϩ0 ϭ 3Ϫ2i กลา่ วคือ 0 หรือ (0, 0) เปน็ เอกลกั ษณ์การบวกของจา� นวนเชงิ ซ้อน 3. Ϫ11Ϫ16i 4. ؊16؊11i 5. สมบตั กิ ารมตี วั ผกผนั การบวก ม ี Ϫz เปน็ ตวั ผกผนั การบวกของจา� นวนเชงิ ซอ้ น เพราะฉะนนั้ zϩ(Ϫz) ϭ (Ϫz)ϩz ϭ 0 ตอบขอ้ 4 z2 ϭ 3Ϫ2i เฉลยละเอยี ด เช่น z ϭ 9Ϫ2i จะไดต้ วั ผกผันการบวกของ z คือ Ϫ(9Ϫ2i) ϭ Ϫ9ϩ2i เนอื่ งจาก 2z2 ϭ 6Ϫ4i เพราะฉะน้นั (9Ϫ2i)ϩ[Ϫ(9Ϫ2i)] ϭ [Ϫ(9Ϫ2i)]ϩ(9Ϫ2i) ϭ 0 จะไดว้ า่ และ z1ؒ2z2 ϭ (1ϩ2i)(6Ϫ4i) ϭ 6Ϫ4iϩ12iϪ8i2 และ ϭ 14ϩ8i (z1ؒ2z2)ϩz3 ϭ (14ϩ8i)ϩ(2ϩ3i) ϭ 16ϩ11i ดงั นน้ั ตวั ผกผนั การบวกของ (z1ؒ2z2)ϩz3 คอื Ϫ(16ϩ11i) ϭ Ϫ16Ϫ11i 124 คูม่ อื ครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรูท้ ่ี านวนเ ้ น 97 แหล่งสืบคน้ เกีย่ วก การ ู านวนเ ้ น - https://www.youtube.com/watch?v=Ns7C4GK กา� หนด C เปน็ เซตของจา� นวนเชิงซอ้ น และ z1, z2, z3 ʦ C xA2g&list=PLIN0UIXCgaHv7ltR7Gpn-DyoTBY mH9L6F&index=5 1. สมบัติปดสา� หรบั การคูณ z1ؒz2 ʦ C เชน่ z1 ϭ 1ϩ2i, z2 ϭ 2Ϫ5i จะได ้ z1ؒz2 ϭ (1ϩ2i)(2Ϫ5i) ϭ 12Ϫi ʦ C 2. สมบัติการสลบั ทสี่ า� หรบั การคณู z1ؒz2 ϭ z2ؒz1 เช่น จะได้ z1 ϭ 4ϩ2i, z2 ϭ 3Ϫ5i z1ؒz2 ϭ (4ϩ2i)(3Ϫ5i) ϭ 22Ϫ14i z2ؒz1 ϭ (3Ϫ5i)(4ϩ2i) ϭ 22Ϫ14i ดงั นน้ั z1ؒz2 ϭ z2ؒz1 3. สมบตั ิการเปล่ยี นหมสู่ �าหรบั การคูณ (z1ؒz2)ؒz3 ϭ z1ؒ(z2ؒz3) เช่น z1 ϭ 2i, z2 ϭ 6Ϫ5i, z3 ϭ 1ϩi จะได้ (z1ؒz2)ؒz3 ϭ [2i(6Ϫ5i)](1ϩi) ϭ (10ϩ12i)(1ϩi) ϭ Ϫ2ϩ22i z1ؒ(z2ؒz3) ϭ 2i[(6Ϫ5i)(1ϩi)] ϭ 2i(11ϩi) ϭ Ϫ2ϩ22i ดังน้นั (z1ؒz2)ؒz3 ϭ z1ؒ(z2ؒz3) 4. สมบตั ิการมีเอกลักษณก์ ารคณู มี 1 หรือ (1, 0) เป็นเอกลักษณ์การคูณของ จ�านวนเชิงซอ้ น เพราะฉะนั้น 1ؒz ϭ zؒ1 ϭ z เช่น z ϭ 3Ϫ2i จะได้ 1(3Ϫ2i) ϭ (3Ϫ2i)1 ϭ 3Ϫ2i กลา่ วคอื 1 หรือ (1, 0) เปน็ เอกลกั ษณ์การคณู ของจ�านวนเชงิ ซ้อน คมู่ อื ครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 125

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 98 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนหาตัวผกผันการบวกและตัวผกผันการคูณ 5. สมบตั กิ ารมตี วั ผกผนั การคณู ถ้า (a, b) เป็นจ�านวนเชิงซ้อนซึ่งไม่เท่ากับ ของจา� นวนเชงิ ซอ้ นตอ่ ไปนี้ (0, 0) ตัวผกผันการคูณของ (a, b) คือ จ�านวนเชิงซ้อนท่คี ณู กับ (a, b) แล้วได ้ (1, 0) 1. (5, Ϫ12) 2. (Ϫ7, 2) 3. 4ϩ3i 4. Ϫ4Ϫ3i แนวคา� ตอบ 1. ตัวผกผันการบวกของ (5, Ϫ12) คอื ถา้ (x, y) เป็นตวั ผกผนั การคูณของ (a, b) (Ϫ5, 12) จะได้ (a, b)(x, y) ϭ (1, 0) ตวั ผกผนั การคณู ของ (5, Ϫ12) คอื แต่ (a, b)(x, y) ϭ (axϪby, bxϩay) ΂ ΃ ΂ ΃52ϩ(5Ϫ12)2, Ϫ(Ϫ12) ϭ 1569, 12 ดังน้นั (axϪby, bxϩay) ϭ (1, 0) 52ϩ(Ϫ12)2 169 2. ตัวผกผนั การบวกของ (Ϫ7, 2) คือ (7, Ϫ2) จากบทนิยามจะได้ axϪby ϭ 1 ..........(1) ตวั ผกผันการคูณของ (Ϫ7, 2) คอื bxϩay ϭ 0 ..........(2) ΂ ΃ ΂ ΃Ϫ7 (Ϫ7)2ϩ22 , Ϫ2 ϭ Ϫ 7 , Ϫ 2 โดยการแก้ระบบสมการ (Ϫ7)2ϩ22 53 53 3. ตัวผกผนั การบวกของ 4ϩ3i คือ Ϫ4Ϫ3i จะได้ x ϭ a b2 และ y ϭ Ϫ a2 b b2 ตัวผกผันการคูณของ 4ϩ3i คือ a2 + + ดังนนั้ (x, y) ϭ ⎛ a2 a b2 , − b⎞ ⎝⎜ + a2 + b2 ⎠⎟ ΂ ΃ ΂ ΃4 42ϩ32 Ϫ 3 i ϭ 4 Ϫ 3 i จะได ้ ตวั ผกผันการคูณของ (a, b) คือ ⎛ a b⎞ 42ϩ32 25 25 ⎝⎜ + a2 + b2 ⎠⎟ , − a2 b2 4. ตัวผกผันการบวกของ Ϫ4Ϫ3i คอื 4ϩ3i ตัวผกผันการคณู ของ Ϫ4Ϫ3i คือ ตวั ผกผนั การคณู ของ z เขียนแทนด้วย zϪ1 ΂ ΃ ΂ ΃Ϫ4 เมือ่ เขียน z ϭ aϩbi จะได้ว่า zϪ1 ϭ a Ϫ b i ϭ a − bi a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 (Ϫ4)2ϩ(Ϫ3)2 Ϫ Ϫ3 i (Ϫ4)2ϩ(Ϫ3)2 ϭ Ϫ 4 ϩ 3 i เชน่ z ϭ 4ϩ2i จะได้ตวั ผกผนั การคูณของ z หรอื zϪ1 คอื 442 Ϫ 2i ϭ 4 Ϫ 2 i 25 25 ϩ 22 20 20 ϭ 1 Ϫ1 i 5 10 ΂ ΃ ΂ ΃เพราะฉะน้นั (4ϩ2i) 1 Ϫ 1 i ϭ 1 Ϫ 1 i (4ϩ2i) ϭ 1 5 10 5 10 แหล่งสืบคน้ - https://www.youtube.com/watch?v=MXzkqGOQKv8 126 คู่มือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี านวนเ ้ น 99 กจิ กรรมเสนอแนะ สมบตั ทิ เ่ี กี่ยวขอ้ งกับการบวกและการคณู ของจ�านวนเ ิง อ้ น ใหน้ กั เรยี นจบั คกู่ นั สรา้ งโจทยก์ ารหาตวั ผกผันการบวกและ กา� หนด C เป็นเซตของจ�านวนเชิงซอ้ น และ z1, z2, z3 ʦ C ตัวผกผันการคูณของจ�านวนเชิงซ้อน พร้อมท้ังแสดงวิธีท�า และหาค�าตอบคนละ 1 ข้อ แล้วสลับกันหาค�าตอบของโจทย์ สมบัตกิ ารแจกแจง z1(z2ϩz3) ϭ z1z2ϩz1z3 ทีส่ รา้ งและตรวจสอบความถูกต้อง เชน่ (1ϩi)(2Ϫ3i) ϭ (1ϩi)(2)Ϫ(1ϩi)(3i) ขอ้ สอบแนว O-NET ϭ (2ϩ2i)Ϫ(3iϩ3i2) กา� หนดให ้ z1 ϭ 2Ϫi และ z2 ϭ Ϫ3ϩ2i ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ϭ (2ϩ2i)Ϫ(3iϪ3) ไมถ่ กู ตอ้ ง ϭ 2ϩ2iϪ3iϩ3 1. ตวั ผกผนั การบวกของ z1 คอื Ϫ2ϩi 2. ตวั ผกผนั การคณู ของ z2 คอื Ϫ3Ϫ2i ϭ 5Ϫi 13 ตวั อย่างที่ 5 ตอบ 3. z1z2 ϭ Ϫ4ϩ7i จงหาตวั ผกผนั การบวกของ (Ϫ7, 2) ตอบ วิธีท�า ตัวผกผันการบวกของ (Ϫ7, 2) คือ (7, Ϫ2) 4. ตวั ผกผนั การบวกของ z1z2 คอ 4؉7i ตอบขอ้ 4 ตัวอย่างที่ 6 จงหาตัวผกผนั การบวกของ 3Ϫ 11i วธิ ีท�า ตัวผกผนั การบวกของ 3Ϫ 11i คอื Ϫ(3Ϫ 11i ) ϭ Ϫ3ϩ 11i ตวั อยา่ งท่ี 7 จงหาตัวผกผนั การคณู ของ (1, Ϫ1) วิธที �า ตัวผกผันการคูณของ (a, b) คอื ⎛ a2 a b2 , − a2 b b2 ⎞ ⎝⎜ + + ⎟⎠ ดงั น้ัน ตัวผกผันการคูณของ (1, Ϫ1) คือ ⎛ 1 , − −1 ⎞ ϭ ⎛ 1 , 1⎞ ตอบ ⎜⎝12 + (− 1)2 12 + (− 1)2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 2⎠⎟ ตอบ ตัวอยา่ งที่ 8 จงหาตัวผกผนั การคูณของ 3 Ϫ2i วธิ ที �า ตัวผกผนั การคูณของ aϩbi คือ a − bi a2 + b2 ดงั น้ัน ตัวผกผนั การคณู ของ 3 Ϫ2i คือ 3 + 2i ϭ 3 + 2i ( 3)2 + (− 2)2 7 ค่มู ือครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 127

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ndesign 100 า รเ ่ เ เ่ 1. ครูให้นักเรียนอ่านบทนิยามสังยุคของจ�านวนเชิงซ้อน ย านวนเ ้ น และสมบตั ขิ องสงั ยคุ ของจา� นวนเชงิ ซอ้ นในหนงั สอื เรยี น การหาร านวนเ ้ น หน้า 100 จากนั้นครูก�าหนดจ�านวนเชิงซ้อนหลายๆ จ�านวน ให้นักเรียนหาสังยุคของจ�านวนเชิงซ้อนที่ ย านวนเ ้ น กา� หนดให ้ บทนยิ าม ให ้ z ϭ aϩbi เป็นจา� นวนเชงิ ซ้อน จะเรียกจา� นวนเชงิ ซอ้ น aϪbi วา่ เป็นสงั ยุคของ z 2. ครูให้นักเรียนศึกษาเรื่องการหารจ�านวนเชิงซ้อนใน เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ z หรือ (a, b) หรือ a + bi หนงั สอื เรยี น แลว้ รว่ มกนั สรปุ วธิ กี ารหารจา� นวนเชงิ ซอ้ น ดังนี้ กล่าวคอื z ϭ aϩbi ϭ aϪbi วิธที ่ี 1 ใช้ตัวผกผันการคูณ เช่น z ϭ 13ϩ5i จะได้ z ϭ 13Ϫ5i กา� หนดจ�านวนเชงิ ซ้อน z1 และ z2 โดยที่ z2 0 z ϭ Ϫ 5 Ϫ8i จะได้ z ϭ Ϫ 5 ϩ8i จะนิยามวา่ z1 Ϭ z2 ϭ z1ؒzϪ21 zϭ 1 i จะได้ z ϭ Ϫ1i วธิ ีท ี่ 2 ใช้สังยคุ 2 2 โดยนา� สงั ยคุ ของจา� นวนเชงิ ซอ้ นทเ่ี ปน็ ตวั หารมาคณู ทง้ั สมบจำาตั นิขวอนงสเ ังิงยคอขนอง ให้ z1 และ z2 เปน็ จา� นวนเชงิ ซ้อน จะได้วา่ ตวั เศษและตัวสว่ น 3. ครูและนักเรียนร่วมกันท�าโจทย์ตัวอย่างที่ 9-10 1. z1+ z2 ϭ z1 ϩ z2 ในหนงั สอื เรยี นบนกระดานโดยใชว้ ธิ ีถาม-ตอบ 2. z1− z2 ϭ z1 Ϫ z2 แหล่งสบื ค้น 3. z1z2 ϭ z1 ؒ z2 - https://www.youtube.com/watch?v=AQtJs7S ;4.⎛ z1 ⎞ ϭ z1 z2 0 ⎜⎝ z2 ⎟⎠ z2 cc0o&list=PLIN0UIXCgaHv7ltR7Gpn-DyoTBY mH9L6F&index=7 ;5. (z−1) ϭ ( z )Ϫ1 ϭ 1 z 0 z 6. z ϭ z 128 คมู่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรู้ที่ านวนเ ้ น 101 ความรูเ้ พ่มิ เติม การหาร านวนเ ้ น สา� หรบั วธิ ีที่ 1 ครูขยายความบนกระดานดังนี้ ถา้ z1 ϭ aϩbi และ z2 ϭ cϩdi การหารจ�านวนเชิงซอ้ นทา� ได ้ 2 วิธ ี คอื ΂ ΃cϪdi z1Ϭz2 ϭ z1zϪ21 ϭ (aϩbi) c2ϩd2 ว ธิ ีท่ี 1 ใช้ตวั ผกผนั การคูณ ΂ ΃ϭ ก�าหนดจา� นวนเชงิ ซ้อน z1 และ z2 โดยท่ ี z2 0 acϩbd ϩ bcϪad i จะนิยามว่า z1Ϭz2 ϭ z1ؒ z−21 c2ϩd2 c2ϩd2 ว ิธที ่ี 2 ใช้สังยุค โดยนา� สังยคุ ของจ�านวนเชิงซ้อนท่เี ปน็ ตวั หารมาคณู ทั้งตวั เศษและตวั สว่ น กจิ กรรมเสนอแนะ ตัวอย่างท ี่ 9 ให้นักเรียนจับคู่กัน สร้างโจทย์การหารจ�านวนเชิงซ้อน ในทา� นองเดยี วกบั ตวั อยา่ งท ่ี 9 ในหนงั สอื เรยี น โดยแสดงวธิ ี จงหาผลหารของการหาร 1ϩi ดว้ ย 3ϩ5i การหาผลหารทงั้ วธิ ที ี่ 1 และวธิ ที ี่ 2 คนละ 1 ขอ้ แลว้ สลบั กนั วิธีทา� 1 ใชต้ วั ผกผันการคูณ หาค�าตอบของโจทย์ทส่ี รา้ งและตรวจสอบความถูกต้อง ตัวผกผนั การคณู ของ 3ϩ5i คือ 32 3 5 3 53 ϩ 52Ϫ32 ϩ 52i ϭ 34 Ϫ 34 i ΂ ΃จะไดว้ ่า (1ϩi)Ϭ(3ϩ5i) 3 Ϫ354 ϭ (1ϩi) 34 i ϭ 3 − 5 i + 3 i − 5 i2 34 34 34 34 ΂ ΃ ΂ ΃ϭ3 ϩ354 ϩ 3 Ϫ354 i 34 34 ข้อสอบแนว O-NET ϭ 8 Ϫ 2 i 34 34 ϭ 4Ϫ1i สว่ นจนิ ตภาพของ (2ϩi)(3ϩ4i) ตรงกบั ขอ้ ใด 17 17 3ϩ4i ϭ 1 (4Ϫi) ตอบ 1. ؊ 11 2. Ϫ 5 17 ตอบ 5 11 2 ใชส้ งั ยคุ 1+ i ؒ 3Ϫ5i 3. 0 4. 5 3 + 5i 3Ϫ5i 11 1+ i ϭ 3 + 5i ตอบขอ้ 1 ϭ 3 − 5i + 3i − 5i2 เฉลยละเอยี ด 32 + 52 เนอื่ งจาก 3ϩ4i ϭ 3Ϫ4i ϭ 8 − 2i 34 (2ϩi)(3ϩ4i) ϭ (2ϩi)(3Ϫ4i) ϭ 6Ϫ8iϩ3iϪ4i2 ϭ 2 (4Ϫi) 34 ϭ 1 (4Ϫi) ϭ 10Ϫ5i 17 (2ϩi)(3ϩ4i) ϭ 10Ϫ5i ؒ 3Ϫ4i 3ϩ4i 3ϩ4i 3Ϫ4i ϭ 30Ϫ40iϪ15iϩ20i2 9Ϫ16i2 ϭ 10Ϫ55i 25 ϭ 2 Ϫ 11 i 5 5 ดงั นน้ั สว่ นจนิ ตภาพ (2ϩi)(3ϩ4i) เทา่ กบั Ϫ 11 3ϩ4i 5 คมู่ ือครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 129

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 102 า รเ ่ เ เ่ 1. ครูทบทวนการหารากที่สองของจ�านวนจริงบวกใดๆ ตวั อย่างที่ 10 คือการหาจา� นวนทีย่ กกา� ลังสองแล้วได้จ�านวนจรงิ บวก จ�านวนน้นั จงหาจา� นวนเชิงซ้อน z ทีส่ อดคล้องสมการ (3ϩ2i)z ϭ Ϫ4Ϫi เช่น 5 และ 5 เป็นรากที่สองของ 25 วิธีทา� จาก (3ϩ2i)z ϭ Ϫ4Ϫi เนื่องจาก 52 ϭ (–5)2 ϭ 25 2. ครซู ักถามนกั เรียนดังน้ี zϭ − 4 − i ؒ 3 − 2i ค�าถาม 3 + 2i 3 − 2i - เม่ือ z เป็นจ�านวนเชิงซ้อนใดๆ รากท่ีสองของ z มี ϭ − 12 + 8i − 3i + 2i2 ความหมายว่าอยา่ งไร 32 + 22 (แนวค�ำตอบ : รำกท่ีสองของ z คือจ�ำนวนเชิงซ้อนที่ ยกก�ำลังสองแลว้ เทำ่ กบั z) ϭ − 14 + 5i ตอบ ค�าส�าคญั 13 รากทสี่ องของจ�านวนเชิงซ้อน รากท่ี านวนเ ้ น เมื่อ z เป็นจ�านวนเชิงซ้อนใดๆ รากท่สี องของ z คือจา� นวนเชิงซอ้ นท่ียกกา� ลงั สองแลว้ เท่ากับ z ถา้ w เปน็ รากท่ีสองของ z แลว้ w2 ϭ z ถา้ Ϫw เปน็ รากทสี่ องของ z แล้ว (Ϫw)2 ϭ z ตอ่ ไปนี้จะแสดงวธิ หี าสตู รเพ่อื ใช้ในการหารากทส่ี องของจ�านวนเชงิ ซ้อนใดๆ I ndesign ให้ z ϭ xϩyi เปน็ จ�านวนเชงิ ซอ้ นซึง่ x และ y เป็นจ�านวนจริงท่ไี มใ่ ช่ศูนย์พรอ้ มกนั และให้ w ϭ aϩbi เปน็ รากที่สองของ z ดังน้นั z ϭ xϩyi ϭ w2 ϭ (aϩbi)2 ϭ (a2Ϫb2)ϩ2abi 1. ครูเขียนทฤษฎีบทตอ่ ไปนี้บนกระดาน จงึ ทา� ให้ได้ ทฤษ ีบท ก�าหนดจา� นวนเชงิ ซ้อน z ϭ xϩyi และให ้ a2Ϫb2 ϭ x ..........(1) r ϭ x2ϩy2 รากทีส่ องของ z คอื และ 2ab ϭ y ..........(2) ดังนนั้ (a2ϩb2)2 ϭ a4ϩ2a2b2ϩb4 ϭ (a4Ϫ2a2b2ϩb4)ϩ4a2b2 ΂ ΃Ϯ เม่ือ y Ն 0 ϭ (a2Ϫb2)2ϩ(2ab)2 rϩx ϩ rϪx i 2 2 ϭ x2ϩy2 ΂ ΃Ϯ เม่อื y Ͻ 0 จะได้ a2ϩb2 ϭ x2 + y2 ..........(3) rϩx Ϫ rϪx i 2 2 1 x2 + y2 + x 2 2 ถา้ นา� สมการ (3)ϩ(1) จะได้ และa2 ϭ โดยให้นักเรียนศึกษาที่มาของทฤษฎีบทจากหนังสือ ( x2 + y2 ϩx) ϭ เรียนหน้า 102-103 จากนั้นให้นักเรียนช่วยกันแสดง ความค ิดเห็นในการหาค�าตอบของโจทย์ตัวอย่างท่ี 11 ถา้ น�าสมการ (3)Ϫ(1) จะได้ b2 ϭ 1 ( x2 + y2 Ϫx) ϭ x2 + y2 − x และท�าให้ได้ ในหนงั สอื เรยี น 2 2 2. ครูอธิบายว่า นักเรียนเคยเรียนมาแล้วว่าค�าตอบของ aϭϮ และ x2 + y2 + x bϭϮ x2 + y2 − x สมการพหุนาม ax2ϩbxϩc ϭ 0 เมื่อ a, b และ c 2 2 เป็นจ�านวนจรงิ โดยท่ี a 0 คอื ϪbϮ b2Ϫ4ac I nnovation 2a ให้นกั เรียนแบ่งกลมุ่ แต่ละกลมุ่ ทา� บตั รความรเู้ รือ่ งการหารากท่สี องของจา� นวนเชงิ ซอ้ น แลว้ และจะมีค�าตอบเป็นจ�านวนจริงเมื่อ b2Ϫ4ac Ն 0 แต่ น�าเสนอผลงานเพือ่ แลกเปลยี่ นเรียนรู้ ในกรณที ่ี b2Ϫ4ac Ͻ 0 จะไมม่ คี า� ตอบเปน็ จา� นวนจรงิ นั่นคือ ค�าตอบของสมการเป็นจ�านวนเชิงซ้อน ซ่ึง จะหา ค�าตอบของสมการที่เป็นจ�านวนเชิงซ้อนได้จาก ϪbϮ |b2Ϫ4ac| i เมอ่ื b2Ϫ4ac Ͻ 0 2a 3. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั ทา� โจทยต์ วั อยา่ งท ่ี 12 ในหนงั สอื I CT เรยี นบนกระดานโดยใช้วิธีการถาม-ตอบ ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาโจทยท์ ใ่ี ชค้ วามรเู้ รอ่ื งการหารากทส่ี องของจา� นวนเชงิ ซอ้ นมาชว่ ยในการแกป้ ญั หา จาก search engine ต่างๆ 130 คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี านวนเ ้ น 103 ความรเู้ พม่ิ เติม ถ้า y у 0 รากที่สองของ z คอื ตวั อย่างเสรมิ บทเรียน จงหารากท่ีสองของ 8Ϫ15i x2 + y2 + x กบั x2 + y2 − x x2 + y2 + x x2 + y2 − x วิธที า� ให ้ z ϭ 8Ϫ15i เทียบกบั xϩyi ϩ 2i Ϫ 2Ϫ 2i โดยทฤษฎบี ท จะได ้ x ϭ 8, y ϭ Ϫ15 2 ถ้า y Ͻ 0 รากที่สองของ z คือ r ϭ 82ϩ(Ϫ15)2 ϭ 17 เนอื่ งจาก y Ͻ 0 ΂ ΃รากท่สี องของ 8Ϫ15i คอื Ϯ กบั x2 + y2 + x x2 + y2 + x x2 + y2 − x rϩx Ϫ rϪx i x2 + y2 − x 22 2Ϫ 2i Ϫ 2ϩ 2i ΂ ΃ϭ Ϯ 17ϩ8 Ϫ 17Ϫ8 i 22 ΂ ΃ϭ Ϯ 9 ทฤษ บี ท ก�าหนดจ�านวนเชงิ ซ้อน z ϭ xϩyi และให้ r ϭ x2+ y2 รากท่ีสองของ z คือ 25 Ϫ 2 i 2 ⎛ r+x + r − x ⎞ เมื่อ y 52΂ ΃ϭ Ϯ Ϫ 3 2 i Ϯ ⎝⎜ 2 2 i⎟⎠ 2 2 у 0 ⎛ ⎞ ดังนัน้ รากทสี่ องของ 8Ϫ15i คอื 52 Ϫ 3 2 i และ Ϯ ⎜⎝ i⎟⎠ 2 2 r+x − r − x เมือ่ y Ͻ 0 2 2 5 2 3 2 Ϫ 2 ϩ 2 i ตัวอย่างที ่ 11 จงหารากท่ีสองของ Ϫ5ϩ12i ข้อสอบแนว O-NET วิธที �า ให้ z ϭ Ϫ5ϩ12i เทียบกบั xϩyi โดยทฤษฎบี ท จะได ้ x ϭ Ϫ5, y ϭ 12 ผลบวกของกา� ลงั สองของคา่ สมั บรู ณข์ องรากท ่ี 2 ของ Ϫ7ϩ24i มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใด r ϭ x2 + y2 ϭ (− 5)2 + 122 ϭ 13 1. 3 เนอ่ื งจาก y Ͼ 0 รากที่สองของ Ϫ15ϩ12i คือ 2. 9 3. 27 ⎛ 13 + (− 5) + 13 − (− 5) ⎞ ϭ ⎛ 8 + 18 ⎞ 4. 50 Ϯ ⎜⎝ 2 2 i⎟⎠ Ϯ ⎝⎜ 2 2 i⎟⎠ ตอบขอ้ 4 ϭ Ϯ(2ϩ3i) ตอบ ดังนน้ั รากที่สองของ Ϫ5ϩ12i คือ 2ϩ3i และ Ϫ2Ϫ3i คมู่ ือครู หนงั สือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 131

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 104 า รเ ่ เ เ่ ต (2ϩ3i)2 ϭ 22ϩ2(2)(3i)ϩ(3i)2 ϭ 4ϩ12iϩ9(Ϫ1) ϭ Ϫ5ϩ12i (Ϫ2Ϫ3i)2 ϭ (Ϫ2)2Ϫ2(Ϫ2)(3i)ϩ(3i)2 ϭ 4ϩ12iϪ9 ϭ Ϫ5ϩ12i กรณที ี่จา� นวนเชิงซอ้ นเป็นจ�านวนจริงลบ ความร้เู รื่องรากทส่ี องของ ให ้ z ϭ Ϫa เมื่อ a Ͼ 0 จา� นวนจริงลบ สามารถ รากทสี่ องของ z คอื a i และ Ϫ a i นา� ไปใชห้ าคา� ตอบของ เช่น รากทส่ี องของ Ϫ4 คอื 2i และ Ϫ2i สมการก�าลังสองได้ดงั นี้ รากที่สองของ Ϫ1 คอื i และ Ϫi คา� ตอบของสมการพหนุ ามกา� ลงั สอง ax2ϩbxϩc ϭ 0 เมอ่ื a, b และ c เปน็ จา� นวนจรงิ ใดๆ และ a 0 คอื b2؊เ4มaอ่c ജ 0 xϭ −b± b2 − 4ac b2؊เ4มa่อc Ͻ 0 xϭ −b± |b2 − 4ac| i 2a 2a ตัวอยา่ งท ี่ 12 จงหาเซตคา� ตอบของสมการ 2x2ϩ5xϩ12 ϭ 0 วิธีท�า จากสมการ ax2ϩbxϩc ϭ 0 x ϭ − bϮ± b2 − 4ac 2a เมื่อเทียบสมการ จะได้ a ϭ 2, b ϭ 5, c ϭ 12 b2Ϫ4ac ϭ 52Ϫ4(2)(12) ϭ Ϫ71 (Ͻ 0) xϭ − 5Ϯ± − 71 2(2) ϭ −5Ϯ± 71 i 4 เซตคา� ตอบของสมการ 2x2ϩ5xϩ12 ϭ 0 คอื ⎧⎨⎪− 5 + 71 i, − 5 − 71 i ⎪⎫ ตอบ ⎩⎪ 4 4 4 4 ⎬ ⎭⎪ 132 คูม่ ือครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี านวนเ ้ น 105 I ndesign กรา ่า รู านวนเ ้ น 1. ครูอธิบายว่าเน่ืองจากจ�านวนเชิงซ้อนอยู่ในรูป คู่อันดับ (a, b) โดยที่ a เป็นส่วนจริง และ b เป็น เน่ืองจากจา� นวนเชิงซอ้ นเขียนอยู่ในรูปคูอ่ นั ดับ (a, b) หรอื ในรูปของ aϩbi โดย a เป็นส่วนจริง สว่ นจนิ ตภาพ เราจงึ สามารถแทนจา� นวนเชงิ ซอ้ น (a, b) และ b เป็นส่วนจนิ ตภาพ จงึ แทนจา� นวนเชิงซอ้ น (a, b) ใดๆ ด้วยจดุ บนระนาบในระบบแกนมมุ ฉาก ใดๆ ด้วยจุดบนระนาบในระบบแกนมุมฉากได้ เรียก โดยเรียกแกนนอนว่า แกนจริง เรียกแกนตั้งว่า แกนจินตภาพ และเรียกระนาบท่ีเกิดจากแกน แกนนอนว่า แกนจริง (real axis) เรยี กแกนต้งั ว่า แกน ท้ังสองวา่ ระนาบเ งิ ้อน จนิ ตภาพ (imaginary axis) ระนาบทเ่ี กิดจากแกนจริง ใหแ้ กน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกนจนิ ตภาพ และแกนจนิ ตภาพ จะเรยี กวา่ ระนาบเชงิ ซอ้ น (complex จ�านวนเชิงซ้อน 2ϩ3i แทนด้วยจุด (2, 3) ดงั รูป plane) Y (แกนจินตภำพ) 2. ครูให้นักเรียนอ่านบทนิยามในหนังสือเรียนหน้า 105 3 (2, 3) X (แกนจรงิ ) ต่อไปน ้ี 2 1234 5 บทนยิ าม คา่ สมั บรู ณข์ องจา� นวนเชงิ ซอ้ น z เขยี นแทน 1 ด้วย z หรือ aϩbi โดยท ่ี z ϭ a2ϩb 2 Ϫ1 O จากนน้ั ครใู หน้ กั เรยี นชว่ ยกนั แสดงความคดิ เหน็ ในการ ท�าโจทยต์ วั อย่างท ี่ 13 ในหนังสอื เรียนบนกระดาน บทนยิ าม ค่าสมั บูรณ์ของจา� นวนเชงิ ซ้อน z เขียนแทนดว้ ย z หรอื aϩbi โดยท่ ี z ϭ a2+ b2 3. ครูแจกใบความรู้เรื่อง “กราฟและค่าสัมบูรณ์ของ จา� นวนเชงิ ซอ้ น” ใหน้ กั เรยี นประกอบการศกึ ษาตวั อยา่ ง ท ่ี 14-15 ในหนังสอื เรียน 4. ครใู หน้ กั เรยี นทา� แบบฝกึ หดั ท ี่ 1 และกจิ กรรมตรวจสอบ การเรยี นรู้ท่ี 1 เช่น คา่ สมั บูรณ์ของ 8i คอื 8i ϭ 02+ 82 ϭ 8 ขอ้ สอบแนว O-NET คา่ สัมบูรณ์ของ Ϫ3 คอื Ϫ3 ϭ (− 3)2+ 02 ϭ 3 คา่ สัมบรู ณข์ อง 3ϩ4i คอื 3ϩ4i ϭ 32+ 42 ϭ 25 ϭ 5 จา� นวนเชงิ ซอ้ น zในขอ้ ใดมคี า่ สมั บรู ณม์ ากทส่ี ดุ 1. z ϭ 1Ϫ 3 i 2. z ϭ 2 Ϫ3i 3. z ϭ Ϫ3Ϫ4i ตวั เลอื กท ่ี 3 เนอ่ื งจาก z ϭ Ϫ3Ϫ4i 4. z ϭ ؊5؉12i z ϭ 1Ϫ 3 i จะไดว้ า่ z ϭ (Ϫ3)2ϩ(Ϫ4)2 ตอบขอ้ 4 ตวั เลอื กท ่ี 4 เนอื่ งจาก เฉลยละเอยี ด จะไดว้ า่ ϭ5 ตวั เลอื กท ่ี 1 เนอ่ื งจาก z ϭ Ϫ5ϩ12i จะไดว้ า่ z ϭ 12ϩ(Ϫ 3 )2 z ϭ (Ϫ5)2ϩ122 ϭ2 ϭ 13 ตวั เลอื กท ่ี 2 เนอ่ื งจาก zϭ 2 Ϫ3i จะไดว้ า่ 2 2ϩ(Ϫ3)2 z ϭ ϭ 11 คมู่ อื ครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 133

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสืบค้น 106 า รเ ่ เ เ่ - https://www.youtube.com/watch?v=wF8iTlW_oXc สมบตั ิขอ งค า่ สมั บร ใ ห ้ z, z1 และ z2 เปน็ จา� นวนเชงิ ซอ้ น จะได้วา่ 1. z 2 ϭ zؒ z ขอ้ สอบแนว O-NET 2. z ϭ Ϫz ϭ z 3. z1z2 ϭ z1 ؒ z2 กา� หนดให ้ z เปน็ จา� นวนเชงิ ซอ้ นใดๆ ซง่ึ ทา� ให ้ zϪ5Ϫ6i ϭ 3 ถา้ a เปน็ คา่ ทมี่ ากทสี่ ดุ ของ zϩ1ϩi และ b เปน็ คา่ ทน่ี อ้ ย 4. ถา้ z 0 แลว้ 1 ϭ1 ทส่ี ดุ ของ zϩ1ϩi แลว้ คา่ ของ aϪb ตรงกบั ขอ้ ใด z |z| 1. 0 ตัวอยา่ งท่ ี 13 5. z1ϩz2 р z1 ϩ z2 2. 1 6. z1Ϫz2 у z1 Ϫ z2 3. 3 4. 6 จงหาค่าสมั บรู ณ์ของจ�านวนเชงิ ซ้อนต่อไปนี้ ตอบขอ้ 4 (1) (1Ϫ3 2 i)Ϫ(Ϫ1ϩ 2 i) (2) i24 (2 − 3i)4 (− 5 + 12i)3 วธิ ที �า (1) ให้ z ϭ (1Ϫ3 2 i)Ϫ(Ϫ1ϩ 2 i) จะได้ z ϭ 1Ϫ3 2 iϩ1Ϫ 2 i z ϭ 2Ϫ4 2 i ตอบ z ϭ 2Ϫ4 2 i z ϭ 22 + (−4 2 )2 z ϭ 36 z ϭ 6 (2) ให้ zϭ i24 (2 − 3i)4 (− 5 + 12i)3 จะได้ z ϭ i24 (2 − 3i)4 (− 5 + 12i)3 z ϭ | i24 (2 − 3i)4 | |(− 5 + 12i)3 | z ϭ |i|24 |2 − 3i|4 |−5 + 12i|3 1• ( 22+ (−3)2 )4 z ϭ ( (−5)2 + 122 )3 134 คู่มอื ครู หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition z ϭ ( 13)4 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี านวนเ ้ น 107 กจิ กรรมเสนอแนะ z ϭ 133 ตอบ z ϭ ให้นักเรียนเขียนกราฟของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่ง 132 สอดคล้องกบั สมการ zϩ2 ϭ 3 133 แนวค�าตอบ zϩ2 ϭ 3 1 xϩyiϩ2 ϭ 3 13 (xϩ2)ϩyi ϭ 3 ถ้า z1 ϭ aϩbi และ z2 ϭ cϩdi เป็นจ�านวนเชิงซ้อน แล้วจากบทนิยามค่าสัมบูรณ์ของ (xϩ2)2 ϩy2 ϭ 3 จา� นวนเชงิ ซอ้ น |z1Ϫz2| หมายถึง ระยะทางจากจดุ ก�าเนิด (0, 0) ถงึ จดุ ทแ่ี ทนจ�านวนเชงิ ซอ้ น z1Ϫz2 ใน ระนาบเชงิ ซ้อน (xϩ2)2ϩy2 ϭ 32 จาก z1Ϫz2 ϭ (aϩbi)Ϫ(cϩdi) กราฟเปน็ วงกลมมจี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่ (Ϫ2, 0) รศั มี 3 หนว่ ย ϭ (aϪc)ϩ(bϪd)i Y ดงั น้ัน z1Ϫz2 ϭ (a − c)2+ (b − d)2 เน่อื งจากจ�านวนทางขวาของเครือ่ งหมายเท่ากับของสมการ คือ (Ϫ2, 0)O X ระยะทางระหวา่ งจดุ (a, b) และจดุ (c, d) แสดงว่า |z1Ϫz2| คือ ระยะทางระหว่างจุด z1 และ z2 ในระนาบเชิงซ้อนนน่ั เอง ตวั อย่างท่ี 14 จงเขียนกราฟของจดุ ทง้ั หมดในระนาบเชงิ ซ้อนซึ่งสอดคล้องกบั สมการ zϪi ϭ 1 วิธที �า ให้ z ϭ x ϩ yi จาก zϪi ϭ 1 จะได้ xϩyiϪi ϭ 1 Y xϩ(yϪ1) i ϭ 1 2 x2+ (y − 1)2 ϭ 1 1 1 X x2ϩ(yϪ1)2 ϭ 12 Ϫ1 O ตอบ Ϫ1 กราฟเป็นวงกลมมจี ุดศูนยก์ ลางอยู่ท่ ี (0, 1) และมรี ศั ม ี 1 หน่วย คู่มอื ครู หนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 135

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 108 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนเขียนกราฟของจุดท้ังหมดในระนาบเชิงซ้อนซ่ึง ตัวอย่างที่ 15 สอดคล้องกับอสมการ zϪ3ϩ2i Ͻ 3 จงเขียนกราฟแสดงจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซอ้ น ซ่ึงสอดคล้องกับอสมการ zϩ1 у 4 และอสมการ แนวคา� ตอบ zϪ2 Ͻ 3 zϪ2ϩ2i Ͻ 3 วธิ ีทา� zϩ1 คือระยะทางระหว่างจดุ (Ϫ1, 0) และจุด z ดังนัน้ เซตของจดุ z ทงั้ หมดในระนาบเชิงซอ้ น xϩyiϪ3ϩ2i Ͻ 3 ซึ่งสอดคล้องกบั อสมการ zϩ1 у 4 คือเซตของจดุ ทั้งหมดในระนาบเชิงซอ้ นซ่งึ ห่างจากจุด (Ϫ1, 0) (xϪ3)ϩ(yϩ2)i Ͻ 3 มากกว่าหรอื เทา่ กบั 4 หนว่ ย ซ่ึงก็คอื เซตของจา� นวนเชิงซ้อนหรอื จุดทีอ่ ยบู่ นเส้นรอบวงและภายนอกของ วงกลมที่มจี ดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี (Ϫ1, 0) และมีรศั มี 4 หน่วย (xϪ3)2ϩ(yϩ2)2 Ͻ 32 zϪ2 คอื ระยะทางระหว่างจุด (2, 0) และจดุ z ดงั นัน้ เซตของจุด z ทัง้ หมดในระนาบเชิงซอ้ น ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ zϪ2 Ͻ 3 คือเซตของจ�านวนเชิงซ้อนหรือจุดภายในวงกลมไม่รวมจุดบน จะได้กราฟดังรปู เสน้ รอบวงท่ีมจี ุดศนู ย์กลางอยทู่ ี ่ (2, 0) และมีรศั ม ี 3 หน่วย Y Y O X (Ϫ1, 0) (3, Ϫ2) Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 O X 12 34 5 ดงั นน้ั เซตของจดุ z ทงั้ หลายในระนาบเชงิ ซอ้ นซงึ่ สอดคลอ้ ง ตอบ กับอสมการ คือเซตของจ�านวนเชิงซ้อนหรือจุดที่อยู่ภายใน วงกลมไมร่ วมจดุ บนเสน้ รอบวงทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (3, –2) เฉลยแบบฝึกหดั ในหน้า 160 รศั ม ี 3 หนว่ ย แบบ กหั ที่ 1 1. จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) i74 (2) i89 (3) i804 (4) i3023 (5) i4ϩi5ϩi6ϩi7 (6) i4ؒi5ؒi6ؒi7 ข้อสอบแนว O-NET 2. จงหาจา� นวนจรงิ a และ b ทส่ี อดคล้องกบั สมการในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี (1) 2aϩ5bi ϭ 8Ϫ15i (2) aϪbϩ4ai ϭ 3ϩ16i กา� หนดให ้ A ϭ {z ʦ C zϪ1Ϫ2i ϭ zϪ3Ϫ4i (3) 3aϪbi ϭ Ϫ24 (4) Ϫ5aϩ(aϪb)i ϭ 20Ϫi และ B ϭ {z ʦ C zϩ1ϩ4i ϭ zϩ2Ϫ3i พน้ื ทท่ี ปี่ ดิ ลอ้ มดว้ ยกราฟ A กราฟ B และแกนจรงิ ในระนาบ เชงิ ซอ้ นมที ง้ั หมดกต่ี ารางหนว่ ย 1. 2 ตารางหนว่ ย 2. 2.25 ตารางหนว่ ย 3. 2.5 ตารางหนว่ ย 4. 2.75 ตารางหนว่ ย ตอบขอ้ 2 136 คู่มือครู หนังสือเรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ่ี านวนเ ้ น 109 3. จงเขียนผลลพั ธ์ใหอ้ ยู่ในรปู aϩbi เมอื่ a และ b เปน็ จา� นวนจริง (1) (3ϩ4i)ϩ(4ϩ2i) (2) (Ϫ5ϩi)ϩ(8ϩ3i) (3) (5 3 ϩ2i)Ϫ( 12 Ϫi) (4) 6(2ϩ3i)Ϫ(Ϫ2Ϫi) (5) Ϫ(7Ϫ4i)ϩ(2ϩ3i) (7) i( 3 Ϫi) (6) 1 (4Ϫ8i)Ϫ 5 (6ϩ2i) 4 2 (8) i2(Ϫ1Ϫ3i) (9) (2Ϫ3i)(5ϩ4i) (10) ( 2 ϩ 13 i)( 2 Ϫ 13 i) 4. จงบอกคา่ ของ Re(z) และ Im(z) ของจ�านวนเชงิ ซ้อน z ตอ่ ไปน้ี (1) 15ϩ2i (2) 6 Ϫ7i (3) 5 iϪ1 3 − 3 3i 3 (4) 3 5. ก�าหนดให้ z1 ϭ 2Ϫ3i และ z2 ϭ Ϫ3ϩ5i จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปน้ี (1) z1 (2) z2 (3) z1z2 (4) z1z2 (5) z1ؒ z2 (6) z1ϩ z2 6. กา� หนด z ϭ 3ϩi จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) zϩ z (2) z z (3) zϪ z (4) z(zϩ z ) (5) zϪ1 (6) z i 7. จงหาตัวผกผันการบวกและตัวผกผนั การคูณของจา� นวนเชงิ ซอ้ น z เมอ่ื กา� หนด z ในแตล่ ะข้อ ตอ่ ไปนี้ (1) z ϭ (3Ϫ2i)Ϫ(6ϩ7i) (2) z ϭ ( 5 Ϫi)2 (3) z ϭ 4ϩ − 20 (4) z ϭ (3Ϫ − 50 )Ϫ(2Ϫ − 72 ) 8. จงเขยี นจ�านวนเชงิ ซอ้ นในขอ้ ตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยู่ในรูป aϩbi เมอื่ a, b ʦ R (1) 1 (2) −3 3 − 2i 5−i (3) 1 − 3i 2 + 7i 2 + 5i (4) i (5) i (6) Ϫ 3 − 4i 3 − 5i 1 + 3i 9. จงหาจ�านวนเชงิ ซอ้ น z ทส่ี อดคลอ้ งกับสมการในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ (1) (2iϩ7)z ϭ 1Ϫi (2) z(1ϩi) ϭ Ϫ10 (3) 3(4Ϫ5i)z ϭ i (4) (3ϩi)zϪi ϭ 9 คมู่ อื ครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 137

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition L earning for 21st Century Skills 110 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม สร้างแบบทดสอบปรนัย 4 ตัวเลือก 10. จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ aϩbi 0 แล้ว a 1 bi ϭ a − bi เรื่องจ�านวนเชิงซ้อนและสมบัติของจ�านวนเชิงซ้อน (หัวข้อ + a2 + b2 1.1-1.6) กลุ่มละ 10 ข้อ จากนั้นจับคู่กับเพ่ือนกลุ่มอ่ืน แลกเปลย่ี นกนั ทา� แบบทดสอบ แล้วร่วมกันเฉลยค�าตอบ 11. จงหารากที่สองของจ�านวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปนี้ L earning for Metacognition (1) Ϫ3ϩ4i (2) 1ϩ2 2 i ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาโจทย์การพิสูจน์เกี่ยวกับ 12. จงหาเซตค�าตอบของสมการต่อไปนี้ จ�านวนเชิงซอ้ นจากแหลง่ ความรู้ตา่ งๆ กล่มุ ละ 2 ตัวอย่าง โดยจัดท�าเป็นรายงาน ตัวแทนกลุ่มออกมาน�าเสนอ (1) x2ϩ5xϩ8 ϭ 0 (2) 2x2ϩxϩ4 ϭ 0 หน้าชนั้ เรยี นเพื่อแลกเปลีย่ นเรียนรู้ 13. จงเขยี นจุดในระนาบเชิงซอ้ นซึ่งแทนจ�านวนเชงิ ซอ้ นต่อไปนี้ (1) (Ϫ3, 2), (Ϫ2, Ϫ1), (4, Ϫ5), (Ϫ2, 0) (2) 2ϩ5i, 3Ϫ2i, Ϫ5ϩi, Ϫi 14. จงหาค่าสมั บูรณ์ของจา� นวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนี้ (1) Ϫ5ϩ12i (2) Ϫ11Ϫ60i (3) 3 Ϫ 2 i (4) (2ϩi)ϩ(5ϩ23i) (5) (4Ϫ5i)Ϫ(Ϫ2ϩ3i) (3i)20 (− 2 + 3i)4 (6) (1 + 2i)40 15. จงหาจ�านวนเชงิ ซอ้ น z ทท่ี า� ให้ z+2 ϭ 1 และ zؒ z ϭ 17 z + (3 − i) 16. จงเขียนกราฟแสดงจุด z ทั้งหมดในระนาบเชงิ ซ้อนซ่ึงสอดคลอ้ งกับสมการ zϪ1ϩi ϭ 2 17. จงเขียนกราฟแสดงจุด z ทง้ั หมดในระนาบเชงิ ซ้อนซ่งึ สอดคล้องกับอสมการ zϪ1 у 2 และอสมการ zϪ3 Ͻ 1 เฉลยกิจกรรมในหน้า 163 กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรทู้ ่ี 1 1. ใหน้ ักเรยี นแบ่งเปน็ 3 กลุม่ 2. แตล่ ะกลุ่มส่งตวั แทนออกมาจบั สลากคา� ถามจากครู ค�าถามท่ี 1 ให ้ z1 ϭ 0 และ znϩ1 ϭ iϩ zn2 สา� หรับ n ϭ 1, 2, 3, ... ค่าสมั บูรณข์ อง z99 เท่ากบั เทา่ ไร คา� ถามท ี่ 2 ถา้ x และ y เป็นจ�านวนจริงทีส่ อดคลอ้ งกับสมการ − 5 + 2i ϭ i(i + 1)(i + 10 + 3)(i + 4) แลว้ xϪy เท่ากบั เทา่ ไร x + yi 2)(i คา� ถามท ่ี 3 ถา้ z ⎛ 1 ⎞ −1 แลว้ คา่ ของ 16z2Ϫ4zϩ1Ϫi เทา่ กบั เทา่ ไร ⎝⎜ + i⎠⎟ ϭ i − 2 3. แตล่ ะกลมุ่ ชว่ ยกนั หาคา� ตอบแลว้ สง่ ตวั แทนออกมานา� เสนอคา� ตอบพรอ้ มแสดงวธิ หี าคา� ตอบท่ี หน้าชน้ั เรยี น 138 คู่มือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี านวนเ ้ น 111 I ntroduction านวนเ ้ น นรู เ ว 1. ครูทบทวนการวาดกราฟของจ�านวนเชิงซ้อน โดยให้ คนรกั ูเเขรียยี นนวเข่ายี “นจก�ารนาวฟนขเอชงิง ซi้อ(3นϩใน4iร)ูป แเชลิงะข ัว้ 3”ϩ iบ4นi ก จราะกดนานัน้ แนวคิ สาำ คญั บางคร้งั อาจเขยี น z ϭ r(cos ␪ϩisin ␪) ในรปู z ϭ r cis ␪ 2. ครูซกั ถามนกั เรยี นดังนี้ z ϭ aϩbi เปนจำ�นวนเชิงซอ้ น ส� �ร เขียน คา� ถาม - จา� นวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชิงขวั้ มลี กั ษณะอย่างไร และมวี ิธี จำ�นวนเชิงซ้อนในรูป z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) การเขียนในรปู เชิงขว้ั ได้อย่างไร โดยเรียกรูปแ นีว่�รูปเชิงขวของ z และเรียก ␪ (แนวค�ำตอบ : ให้นักเรียนร่วมกันอภิปรำย โดยครู ยงั ไม่เฉลยคำ� ตอบ) ว�่ อ�รกิวเ นตของ z ค�าส�าคญั 1. รปู เชิงขว้ั ถ้า z ϭ aϩbi และ aϩbi 0 เป็นจ�านวนเชงิ ซอ้ น จะเขียนแทน z บนระนาบเชงิ ซ้อนไดด้ ังน้ี 2. อาร์กิวเมนต์ Y b z ϭ aϩbi I ndesign ϭ z X r ␪ Oa เมอื่ กา� หนดให ้ ␪ เปน็ ขนาดของมมุ บวกทเ่ี ลก็ ทส่ี ดุ ซง่ึ วดั ทวนเขม็ นาฬกิ าจากแกน X ทางดา้ นบวก 1. ครูอธิบายวา่ เมอ่ื เราแทนคา่ a ϭ r cos ␪, b ϭ r sin ␪ และให ้ r ϭ z แทนระยะทางระหวา่ งจุดกา� เนิด O กบั z จะได้ ใน z ϭ aϩbi r ϭ z ϭ a2 + b2 จะได้ z ϭ r cos ␪ϩ(r sin ␪)i ดังน้นั z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) tan ␪ ϭ b เรียกรูปแบบการเขียนจ�านวนเชิงซ้อนในรูป a z ϭ r (cos ␪ ϩ i sin ␪) ว่ารูปเชงิ ข้ัว และเรยี ก ␪ วา่ sin ␪ ϭ b หรือ b ϭ r sin ␪ อารก์ วิ เมนตข์ อง z r 2. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาตัวอย่างที่ 1 ในหนังสือ เรยี น จากนั้นครใู ห้ขอ้ สรปุ ว่าเราสามารถหาค่า r และ cos ␪ ϭ a หรอื a ϭ r cos ␪ ␪ ได ้ จากความสมั พันธ ์ r ϭ z ϭ a2ϩb 2 r จาก z ϭ aϩbi จะได้ z ϭ r cos ␪ϩ(r sin ␪)i z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) b เมอ่ื a a tan ␪ ϭ 0 จากน้ันแทนค่า r และ ␪ ในรปู เชิงขัว้ I nnovation z ϭ r (cos ␪ϩi sin ␪) ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม แต่ละกลุ่มออกแบบแผนผังความคิด 3. ครใู หน้ กั เรยี นศกึ ษาทฤษฎบี ทท ่ี 1 ในหนงั สอื เรยี นหนา้ (Mind Mapping) สรปุ ความคดิ รวบยอดเรอ่ื งจา� นวนเชงิ ซอ้ น 113 จากนน้ั ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั ทา� โจทยต์ วั อยา่ งท ี่ 2 ในรปู เชิงขว้ั แลว้ นา� เสนอผลงานเพือ่ แลกเปลี่ยนเรยี นรู้ ในหนงั สอื เรียนบนกระดานโดยใช้วธิ ถี าม-ตอบ 4. ครอู ธบิ ายทฤษฎบี ทเดอมวั ฟวร ์ จากนนั้ ครแู ละนกั เรยี น ร่วมกันท�าโจทย์ตัวอย่างที่ 3 ในหนังสือเรียนบน กระดานโดยใชว้ ิธถี าม-ตอบ 5. ครใู หน้ กั เรยี นทา� แบบฝกึ หดั ท ่ี 2 และกจิ กรรมตรวจสอบ การเรียนร้ทู ี่ 2 คมู่ อื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 139

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 112 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม แต่ละกลุ่มก�าหนดจ�านวนเชิงซ้อน ดังน้ัน z ϭ aϩbi สามารถเขียนให้อยใู่ นรูปเชงิ ขัว้ ไดเ้ ป็น z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) โดยท่ี ในรูป z ϭ aϩbi กลุ่มละ 2 จ�านวน พร้อมท้ังแสดงวิธี เปล่ียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว จากน้ันตัวแทนกลุ่มออกมาเขียน tan ␪ ϭ b เรยี ก r(cos ␪ϩi sin ␪) วา่ รปู เ งิ ขวั ของจา� นวนเ งิ อ้ น aϩbi และเรยี ก ␪ วา่ อารก์ วิ เมนต์ โจทย์บนกระดาน ให้นักเรียนกลุ่มอ่ืนแข่งกันหาค�าตอบ a เวียนไปจนครบทุกกลุ่ม กลุ่มที่ตอบได้ถูกต้องและเร็วที่สุด ของ z เปน็ กลุ่มท่ีชนะ เน่อื งจาก cos ␪ ϭ cos(␪ϩ2kπ) และ sin ␪ ϭ sin(␪ϩ2kπ) เมอ่ื k ʦ I ดังนนั้ r[cos(␪ϩ2kπ)ϩi sin(␪ϩ2kπ)] จะเป็นรปู เชิงขัว้ ของจา� นวนเชงิ ซ้อน aϩbi ดว้ ย ตวั อย่างที่ 1 ขอ้ สอบแนว O-NET จงเขยี นจา� นวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนใี้ หอ้ ยใู่ นรปู เชงิ ขว้ั (1) 1ϩi (2) 2Ϫ2i (3) Ϫ1Ϫ 3 i (4) Ϫ2ϩ2 3 i 12 + 12 ϭ 2 ขอ้ ใดตอ่ ไปนเ้ี ขยี นจา� นวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชงิ ขว้ั ไมถ่ กู ตอ้ ง วิธที า� (1) ให้ z ϭ 1ϩi จะได้ r ϭ z ϭ ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅เมอ่ k ʦ I และ tan ␪ ϭ b ϭ 1 ϭ1 a Ͼ 0, b Ͼ 0 1. 1؉ 3 i ‫ ؍‬2 cos π ؉2kπ ϩi sin π ؉2kπ จะได ้ a 1 ␪ อยใู่ นจตภุ าคท่ี 1 3 3 π ␪ϭ 4 ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅เมอื่ k ʦ I ⎛⎜⎝cos sin π4⎠⎟⎞ 2. 1Ϫi ϭ 2 cos 7π ϩ2kπ ϩi sin 7π ϩ2kπ ดังนั้น รปู เชิงขัว้ รูปหนง่ึ ของ z คือ 2 π + i 4 4 4 ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅3. และรูปเชิงขวั้ รปู อืน่ ของ z คอื 2 ⎡⎣⎢cos ⎝⎛⎜ π + 2kπ⎞⎟⎠ + i sin ⎛ π + 2 kπ⎞⎠⎟ ⎥⎦⎤ เมอ่ื k ʦ I ตอบ 56πϩ2kπ 56πϩ2kπ 4 ⎝⎜ 4 ตอบ Ϫ2 3 ϩ2i ϭ 4 cos ϩi sin (2) ให้ z ϭ 2Ϫ2i เมอ่ื k ʦ I จะได้ r ϭ z ϭ 22 + (− 2)2 ϭ 4 + 4 ϭ 8 ϭ 2 2 4. Ϫ4Ϫ4i ϭ 4 ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅เมอื่ k ʦ I 2 cos 54πϩ2kπ ϩi sin 54πϩ2kπ และ tan ␪ ϭ b ϭ −2 ϭ Ϫ1 a Ͼ 0, b Ͻ 0 จะได้ a 2 ␪ อยู่ในจตภุ าคที่ 4 ตอบขอ้ 1 ␪ ϭ 7π 4 ดังน้ัน รูปเชงิ ขว้ั รูปหนงึ่ ของ z คือ 2 2 ⎛⎜⎝cos 7π + i sin 74π⎠⎟⎞ 4 และรปู เชงิ ขว้ั รปู อ่นื ของ z คอื 2 2 ⎡⎣⎢cos ⎛⎜⎝ 7π + 2kπ⎞⎟⎠ + i sin ⎛ 7π + 2 kπ⎠⎞⎟ ⎤⎦⎥ เมื่อ k ʦ I 4 ⎝⎜ 4 140 คมู่ ือครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี านวนเ ้ น 113 แหล่งสบื ค้น (3) ให ้ z ϭ Ϫ1Ϫ 3 i 1+ 3 ϭ 4 ϭ2 - https://www.youtube.com/watch?v=h6xgPASL5v0 จะได้ - https://www.youtube.com/watch?v=VkQMZn4W5f4 r ϭ z ϭ (− 1)2 + (− 3)2 ϭ และ tan ␪ ϭ b ϭ −3 ϭ 3 a Ͻ 0, b Ͻ 0 a −1 ␪ อยใู่ นจตภุ าคที่ 3 จะได้ ␪ϭ 4π 3 ดังนนั้ รปู เชิงขั้วรปู หนึ่งของ z คือ 2 ⎛ 4π + i sin 4π⎞ กจิ กรรมเสนอแนะ ⎜⎝cos 3 3 ⎠⎟ และรปู เชิงขว้ั รปู อื่นของ z คอื 2 ⎢⎣⎡cos⎜⎛⎝ 4π + 2kπ⎠⎞⎟ + i sin⎝⎛⎜ 4π + 2 kπ⎟⎞⎠ ⎦⎤⎥ เม่อื k ʦ I ตอบ ให้นักเรียนพิจารณาว่าข้อใดบ้างที่เขียนจ�านวนเชิงซ้อน 3 3 z ϭ aϩbi ในรูปเชิงขว้ั ไม่ถูกต้อง พรอ้ มทัง้ แก้ไขให้ถกู ตอ้ ง (4) ให ้ z ϭ Ϫ2ϩ2 3 i จะได้ r ϭ z ϭ (− 2)2 + (2 3)2 ϭ 4 + 12 ϭ 16 ϭ 4 ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅1. Ϫ2 3 ϩ2i ϭ 4 cos 56π ϩ2kπ ϩ i sin 56π ϩ2kπ และ tan ␪ ϭ b ϭ 23 ϭ Ϫ3 a Ͻ 0, b Ͼ 0 เมอ่ื k ʦ I a −2 ␪ อยู่ในจตุภาคที่ 2 ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅2. Ϫ4Ϫ4i ϭ 4 เมอ่ื k ʦ I จะได้ ␪ϭ 2π 2 cos 54πϩ2kπ ϩ i sin 54πϩ2kπ 3 ดงั นั้น รูปเชงิ ขั้วรูปหนง่ึ ของ z คอื 4 ⎛⎜⎝cos 2π + i sin 23π⎟⎠⎞ ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅3. 1ϩ 3 i ϭ π π 3 6 6 เมอ่ื k ʦ I2 cos ϩ2kπ ϩ i sin ϩ2kπ และรูปเชงิ ขว้ั รปู อน่ื ของ z คือ 4 ⎡⎢⎣cos ⎛⎝⎜ 2π + 2kπ⎞⎠⎟ + i sin ⎛ 2π + 2kπ⎟⎠⎞ ⎤ เมอ่ื k ʦ I ตอบ 3 ⎜⎝ 3 ⎥ ⎦ ΄ ΂ ΃ ΂ ΃ ΅4. 1Ϫi ϭ 2 cos 7π ϩ2kπ ϩ i sin 7π ϩ2kπ เมอื่ k ʦ I 4 4 การเขียนจ�านวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วจะท�าให้การคูณ การหารหรือการยกก�าลังต่าง ๆ ของ ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅5. 12Ϫ12 3 i ϭ 24 cos 2πϩ2kπ ϩ i sin 2πϩ2kπ3 3 จา� นวนเชิงซ้อนทา� ไดง้ ่ายข้ึน ดังจะแสดงให้เหน็ ในทฤษฎบี ทต่อไปนี้ เมอื่ k ʦ I ทฤษ ีบทที ่ 1 ให ้ z1 และ z2 เปน็ จา� นวนเชงิ ซอ้ น โดยที่ คา� ตอบ ขอ้ ทเ่ี ขยี นในรปู เชงิ ขวั้ ไมถ่ กู ตอ้ งคอื ขอ้ 3 และขอ้ 5 z1 ϭ r1(cos ␪1ϩi sin ␪1) และ z2 ϭ r2(cos ␪2ϩi sin ␪2) โดยท ่ี z2 ท่ถี ูกต้องคือ 0 จะได้ ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅3. 1ϩ 3 i ϭ 2 cosπ π [ ]1. z1z2 ϭ r1r2 cos(␪1ϩ␪2)ϩi sin(␪1ϩ␪2) 3 ϩ2kπ ϩ i sin 3 ϩ2kπ เมอ่ื k ʦ I [ ]2. z1r1 ΄ ΂ ΃ ΂ ΃΅5. z2r2 12Ϫ12 3 i ϭ 24 cos 53πϩ2kπ ϩ i sin 53πϩ2kπ ϭ cos(␪1Ϫ␪2)ϩi sin(␪1Ϫ␪2) เมอ่ื k ʦ I คู่มือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 141