คณิตเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 114 า รเ ่ เ เ่ ข้อสอบแนว O-NET พสิ จู น์ 1. z1z2 ϭ r1(cos ␪1ϩi sin ␪1) r2(cos ␪2ϩi sin ␪2) 1. กา� หนดให ้ z1 ϭ 2(cos 18Њϩi sin 18Њ) ϭ r1r2(cos ␪1ϩi sin ␪1)(cos ␪2ϩi sin ␪2) z2 ϭ Ϫ3(cos 72Њϩi sin 72Њ) [ ]ϭ r1r2 (cos ␪1 cos ␪2Ϫsin ␪1sin ␪2)ϩi(sin ␪1 cos ␪2ϩ cos ␪1 sin ␪2) [ ]ϭ r1r2 cos(␪1ϩ␪2)ϩi sin(␪1ϩ␪2) z3 ϭ Ϫ4(cos 30Њϩi sin 30Њ) 2. เนอ่ื งจาก 1 ϭ 1 คา่ ของ z1z2z3 ในรปู aϩbi ตรงกบั ขอ้ ใด z2 r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) 1. 4ϩ4 3 i 1 cos θ2 − i sin θ2 θ2 + cos θ2 − i sin θ2 ϭ r2 (cos i sin θ2 ) ؒ 2. Ϫ6ϩ6 3 i 3. ؊12؉12 3 i ϭ cos θ2 − i sin θ2 r2 (cos2θ2 + sin2θ2 ) 4. Ϫ12Ϫ12 3 i ϭ 1 (cos ␪2Ϫi sin ␪2) r2 ตอบขอ้ 3 ΂ ΃6 cos π ϩi sin π 2. กา� หนดให ้ z1 ϭ 22 z2 ϭ ΂ ΃1 cos 5πϩi sin 5π เน่ืองจากส�าหรบั ทุกๆ จ�านวนจริง ␪ จะได้วา่ cos(Ϫ␪) ϭ cos ␪ และ sin(Ϫ␪) ϭ Ϫsin ␪ ดังน้นั 1 1 [ ]1 3 18 18 z2 r2 r2 ϭ (cos ␪2Ϫi sin ␪2) ϭ (cos(Ϫ␪2)ϩi sin(Ϫ␪2) z3 ϭ ΂ ΃5 cos 2πϩi sin 2π ดังนั้น z1 ϭ z1ؒ 1 z4 ϭ 99 z2 z2 และ ΂ ΃2 cos π ϩi sin π [ ]ϭ 1 66 r1(cos ␪1ϩi sin ␪1)ؒ r2 cos(Ϫ␪2)ϩi sin(Ϫ␪2) คา่ ของ z1z2z3 ตรงกบั ขอ้ ใด [ ]ϭr1 z4 r2 (cos ␪1ϩi sin ␪1)(cos(Ϫ␪2)ϩ i sin(Ϫ␪2)) 1. 5(cos 150؇؉i sin 150؇) [ ]ϭr1 r2 (cos ␪1 cos(Ϫ␪1)Ϫsin ␪1 sin(Ϫ␪1))ϩi (sin ␪1 cos(Ϫ␪2)ϩcos ␪1 sin(Ϫ␪2)) 2. 5(cos 150ЊϪi sin 150Њ) 3. 5(sin 150Њϩi cos 150Њ) [ ]ϭr1 r2 cos (␪1ϩ(Ϫ␪2))ϩi sin (␪1ϩ(Ϫ␪2)) 4. 5(sin 150ЊϪi cos 150Њ) [ ]ϭr1 r2 cos(␪1Ϫ␪2)ϩi sin(␪1Ϫ␪2) ตอบขอ้ 1 เฉลยละเอยี ด ΂ ΂ ΃ ΂ ΃΃z1z2z31 ϭ 6ϫ 3 ϫ5 cos π ϩ5πϩ2π ϩi sin π ϩ5πϩ2π 2 18 9 2 18 9 ϭ10(cos π ϩ i sin π) z1z2z3ϭ 10 πϪ π πϪ π 2 6 6 ΂ ΂ ΃ ΂ ΃΃z4 cos ϩi sin ΂ ΃ϭ 5 cos 5π ϩi sin 5π 6 6 ϭ 5(cos 150Њϩi sin 150Њ) 142 ค่มู ือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ านวนเ ้ น 115 ความรเู้ พิม่ เติม ตวั อย่างท่ี 2 ตวั อยา่ งเสรมิ บทเรยี น จงเขยี นจา� นวนเชิงซอ้ นต่อไปนใ้ี นรูป aϩbi ถ้า z1 ϭ 2 2 (cos 45Њϩi sin 45Њ) และ z2 ϭ 2 (cos 15Њϩi sin 15Њ) จงหา 1. [2(cos 15Њϩ i sin 15Њ)][Ϫ3(cos 70Њϩ i sin 70Њ)] (1) z1z2 ในรปู aϩbi (2) z1 ในรปู aϩbi [Ϫ4(cos 65Њϩi sin 65Њ)] z2 ( (2. cos 190Њϩi sin 190Њ) cos 130Њϩi sin 130Њ) วิธีท�า [ ](1) z1z2 ϭ (2 2 )( 2 ) cos(45Њϩ15Њ)ϩi sin(45Њϩ15Њ) (2 cos 50Њϩi sin 50Њ) [ ]ϭ 4 (cos 60Њϩi sin 60Њ แนวคา� ตอบ ϭ 4 ⎛ 1 + 3 ⎞ 1. [2(cos 15Њϩ i sin 15Њ)][Ϫ3(cos 70Њϩ i sin 70Њ)] ⎝⎜ 2 2 i⎟⎠ [Ϫ4(cos 65Њϩi sin 65Њ)] ϭ 2ϩ2 3 i ตอบ ϭ 2(Ϫ3)(Ϫ4)[cos(15Њϩ70Њϩ65Њ)ϩi sin(15Њϩ70Њϩ65Њ)] ตอบ [ ](2) z1 ϭ 2 2 cos(45ЊϪ15Њ)ϩi sin(45ЊϪ15Њ) ϭ 24(cos 150Њϩi sin 150Њ) z2 2 ϭ 2(cos 30Њϩi sin 30Њ) ϭ ⎛ 3 + 1 ⎞ ϭ 24(Ϫ 3 ϩ 1 i) 2 ⎝⎜ 2 2 i⎟⎠ 2 2 ϭ 3 ϩi ϭ Ϫ12 3 ϩ12i จากสตู รการคูณของจา� นวนเชงิ ซ้อนในรูปเชิงข้ัวจะเห็นว่า ถ้า z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) แล้ว ( (2. cos 190Њϩi sin 190Њ) cos 130Њϩi sin 130Њ) (2 cos 50Њϩi sin 50Њ) z2 ϭ zؒz ϭ r2(cos 2␪ϩi sin 2␪) 1 [cos (190Њϩ130ЊϪ50Њ)ϩi sin(190Њϩ130ЊϪ50Њ)] ϭ 2 z3 ϭ z2ؒz ϭ r3(cos(2␪ϩ␪)ϩi sin(2␪ϩ␪)) ϭ r3(cos 3␪ϩi sin 3␪) ϭ 1 (cos 270Њϩi sin 270Њ) จึงสรุปเปน็ ทฤษฎีบทได้ดงั นี้ 2 ϭ 1 (0Ϫi) 2 ทฤษ บี ทเดอมัว วร์ ϭ Ϫ 1 i ถ้า z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) เปน็ จ�านวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ขว้ั และ n ʦ Iϩ จะได้ 2 [ ]zn ϭ rn cos n␪ϩi sin n␪ แหล่งสืบคน้ - https://www.youtube.com/watch?v=NwHS96oJv6A คูม่ อื ครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 143

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ข้อสอบแนว O-NET 116 า รเ ่ เ เ่ ก�าหนดให้ A แทนส่วนจินตภาพของจ�านวนเชิงซ้อน ตัวอย่างท่ ี 3 (Ϫ 3 ϩi)3(2 3 ϩ2i)5 และ B แทนส่วนจินตภาพของ จงเขียน (2 3 ϩ2i)5 ในรูป aϩbi เม่อื a, b ʦ R ΂ ΃จา� นวนเชงิ ซอ้ น 3 1 100 2 ϩ 2 i วิธีท�า ให้ z ϭ 2 3 ϩ2i คา่ ของ A ตรงกบั ขอ้ ใด r ϭ (2 3)2 + 22 ϭ 12 + 4 ϭ 16 ϭ 4 B b 2 1 1. ؊8,192 2. Ϫ4,096 tan ␪ ϭ a ϭ 23 ϭ 3 a Ͼ 0, b Ͼ 0 3. Ϫ2,048 4. 4,096 จะได้ ␪ϭ π ␪ อย่ใู นจตภุ าคที่ 1 6 ตอบขอ้ 1 เฉลยละเอยี ด ดงั น้นั รปู เชงิ ข้ัวของ z คอื 4 ⎛⎜⎝cos π + i sin π⎞ 6 6⎟⎠ พจิ ารณา A จากทฤษฎบี ทเดอมวั ฟวร์ จะได้ว่า กา� หนดให ้ z1 ϭ Ϫ 3 ϩi และ z2 ϭ 2 3 ϩ2i z5 ϭ 45 ⎛ 5 ⎛ π⎞ + i sin 5 ⎛ π⎞⎞ ⎝⎜cos ⎝⎜ 6⎟⎠ ⎝⎜ 6⎟⎠⎠⎟ จะไดว้ า่ r1 ϭ (Ϫ 3 )2ϩ12 และ r2 ϭ (2 3 )2ϩ22 z5 ϭ 1,024 ⎛⎝⎜cos 5π + i sin 5π⎞ 6 6 ⎠⎟ z5 ⎡ 3 1 ⎤ ϭ ⎢− 2 + 2 i⎥ ϭ 2 และ ϭ 4 1,024 ⎣ ⎦ 1 และ tan 1 z5 ϭ Ϫ512 3 ϩ512i ตอบ 3 3 tan ␪1 ϭ Ϫ ␪2 ϭ ␪1 ϭ 150Њ และ ␪2 ϭ 30Њ ดงั นนั้ z1 ϭ 2[cos 150Њϩi sin 150Њ] 1 การคูณจา� นวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชงิ ขั้ว z2 ϭ 4[cos 30Њϩi sin 30Њ] [ ]z1z2 ϭ r1r2 cos(␪1ϩ␪2)ϩi sin(␪1ϩ␪2) z13 ϭ 8[cos 450Њϩi sin 450Њ] การด�าเนินการ 2 การหารจ�านวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ขว้ั ของจา� นวนเ ิง อ้ น และ z25 ϭ 1,024[cos 150Њϩi sin 150Њ] [ ]z1 r1 ในรปู เ งิ ขวั r2 z2 ϭ cos(␪1Ϫ␪2)ϩi sin(␪1Ϫ␪2) จะไดว้ า่ A ϭ z13 ؒz25 ϭ 8,192[cos 600Њϩi sin 600Њ] 3 ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์ ϭ 8,192[cos 240Њϩi sin 240Њ] [ ]zn ϭ rn cos n␪ϩi sin n␪ ΄ ΅ϭ Ϫ 1 Ϫ 3 8,192 2 i 2 ϭ Ϫ4,096Ϫ4,096 3 i พจิ ารณา B กา� หนดให ้ z ϭ 3 ϩ 1 i แสดงวา่ [ ]z100 ϭ 1100 1 cos 3,000Њϩi sin 3,000Њ 2 2 จะไดว้ า่ r ϭ 3 1 ϭ cos 120Њϩi sin 120Њ เนอื่ งจาก t an ␪ ϭ 4 4 ϩ ϭ1 bϭ 1 ϭ Ϫ 1 ϩ 3 a3 2 2i และ ΂ 3 , 1 ΃ เปน็ จดุ ทอ่ี ยใู่ นจตภุ าคท ี่ 1 ดงั นน้ั สว่ นจนิ ตภาพของ A เทา่ กบั Ϫ4,096 3 2 2 และสว่ นจนิ ตภาพของ B เทา่ กบั 3 จงึ ไดว้ า่ ␪ ทา� ให ้ tan ␪ ϭ 1 คอื π หรอื 30Њ 2 3 6 A จะไดว้ า่ B ϭ Ϫ8,192 ดงั นนั้ รปู เชงิ ขว้ั ของ 3 ϩ 1 i คอื 1[cos 30Њϩi sin 30Њ] 2 2 144 คูม่ ือครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ านวนเ ้ น 117 L earning for 21st Century Skills เฉลยแบบฝึกหดั ในหน้า 165 แบบ กหั ท่ี 2 ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม แต่ละกลุ่มระดมความคิดในการเขียน จา� นวนเชงิ ซ้อนต่อไปนใี้ นรูป aϩbi 1. จงเขียนจ�านวนเชิงซ้อนแตล่ ะขอ้ ต่อไปนีใ้ นรปู เชิงขว้ั 1. 4[cos(arctan 2)ϩi sin(arctan 2)] 1 3 2. 20[cos(arctan 3 )ϩi sin(arctan 3 )] 2 2 5 5 (1) ϩ i (2) Ϫ 3 Ϫi (3) 3Ϫ3 3 i ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันอภิปรายว่าได้ค�าตอบท่ี (4) Ϫ4ϩ4i (5) 8 (6) Ϫ5i เหมอื นกันหรือแตกตา่ งกันอยา่ งไรบา้ ง 2. จงเขียนจ�านวนเชิงซ้อนแต่ละข้อต่อไปนใี้ นรูป aϩbi เมือ่ a, b ʦ R แนวคิด 1. ให้ ␪ ϭ arctan 2 [ ][ ](1) 2(cos 25Њϩi sin 25Њ) 3(cos 20Њϩi sin 20Њ) จะได ้ tan ␪ ϭ 2 (2) ⎡1 ⎜⎛⎝cos 5π + i sin 5π⎞ ⎤⎡ ⎜⎝⎛cos π + i sin π⎞ ⎤ ⎢ 36 36⎠⎟ ⎥⎢7 36 36⎠⎟ ⎥ cos ␪ ϭ 1 , sin ␪ ϭ 2 ⎣ 7 ⎦⎣ ⎦ 52 55 ␪ 2 ⎛⎝⎜ cos π + i sin π⎞ 6 6⎠⎟ 1 (3) 6 ⎛⎝⎜ cos 4π 4π⎞ 3 + i sin 3 ⎟⎠ 2. พจิ ารณาในทา� นองเดยี วกบั ขอ้ 1 (4) [3(cos 35° + i sin 35°)][4(cos 65° + i sin 65°)] 6(cos 10° + i sin 10°) (5) (Ϫ1ϩ 3i)9 (6) ( 3 Ϫi)6( 2 ϩ 2 i)4 L earning for Metacognition (7) (1 − i)8 ครใู หน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ ศกึ ษาโจทยท์ ใี่ ชท้ ฤษฎบี ทเดอมวั ฟวร์ (− 1 − i)4 มาช่วยในการแก้ปัญหาที่น่าสนใจกลุ่มละ 3 ข้อ จัดทา� เป็น รายงาน ตัวแทนกลุ่มออกมาน�าเสนอหน้าชั้นเรียนเพ่ือ ⎛ 3 + i⎞ 22 แลกเปล่ียนเรียนรู้ (8) ⎜⎝ 3 − i⎠⎟ เฉลยกจิ กรรมในหน้า 165 กจิ กรรมตรวจสอบการเรียนรูท้ ี่ 2 1. ให้นักเรียนแบง่ กลุม่ กลุ่มละ 2-3 คน 2. แต่ละกลุ่มหาค�าตอบจากโจทย์ต่อไปน้ี ถ้า z1 ϭ (cos 145Њϩi sin 145Њ) และ z2 ϭ 3(cos 115Њϩi sin 115Њ) แลว้ คา่ ของ z1 2 เท่ากบั เทา่ ไร z2 คมู่ ือครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 145

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 118 า รเ ่ เ เ่ ครทู บทวนความรเู้ รอ่ื ง “รากท ี่ n” ของจา� นวนจรงิ โดยซกั ถาม รากท่ี านวนเ ้ น นกั เรยี นดงั น้ี เ ่ เ น านวนน ท่ี ากกวา่ คา� ถาม - รากท ี่ 3 ของ 8 คือจ�านวนใด และเพราะอะไร แนวคิ สำาคัญ การหาค�าตอบของสมการ xn ϭ z เมอ่ื z เป็น จา� นวนเชงิ ซอ้ นท่ีก�าหนดให้ และ n เปน็ จา� นวนเตม็ บวก (แนวคำ� ตอบ : 2 เป็นรำกที่ 3 ของ 8 เพรำะ 23 ϭ 8) ้� z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) แล้วร�กที่ n มีค�าตอบของสมการคือ รากท่ี n ของจ�านวนเชิงซ้อน z - รากท ่ี 5 ของ Ϫ32 คือจ�านวนใด และเพราะอะไร ของ z ที งห ด n ร�กทแ่ี ตกต่�งกน คอื ดังน้ันในหัวข้อน้ีจะเป็นการน�าทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ มาชว่ ยในการหารากที ่ n ของจ�านวนเชงิ ซ้อน ดังตัวอย่าง (แนวค�ำตอบ : Ϫ2 เป็นรำกท่ี 5 ของ –32 เพรำะ zk ϭ nr ⎡ ⎛θ + 2kπ⎞ + i sin ⎛θ + 2kπ⎞ ⎤ ตอ่ ไปน้ี ⎢cos ⎝⎜ n ⎠⎟ ⎝⎜ n ⎟⎠ ⎥ (Ϫ2)5 ϭ Ϫ32) ⎣⎢ ⎥⎦ - รากท่ ี 4 ของ 16 คอื จ�านวนใด และเพราะอะไร เ ่ือ k ʦ {0, 1, 2, ..., nϪ1} (แนวค�ำตอบ : 2 เป็นรำกที่ 4 ของ 16 เพรำะ 24 ϭ 16 และ (Ϫ2) เปน็ รำกท่ี 4 ของ 16 เพรำะ (Ϫ2)4 ϭ 16) ตัวอย่างท่ี 1 ตอบ จงแสดงวา่ x ϭ 2ϩi เป็นรากที่ 3 ของ z ϭ 2ϩ11i - ถา้ 2ϩi เปน็ รากท ี่ 3 ของ 2ϩ11i แลว้ จะหมายความวา่ วธิ ที �า พิจารณา x3 จะพบวา่ อยา่ งไร (แนวค�ำตอบ : ถ้ำ 2ϩi เปน็ รำกที่ 3 ของ 2ϩ11i แลว้ x3 ϭ (2ϩi)3 ϭ 8ϩ12iϩ6i2ϩi3 (2ϩi)3 ϭ 2ϩ11i) ϭ 8ϩ12iϪ6Ϫi I ndesign ϭ 2ϩ11i 1. ครูเขยี นโจทย์ตัวอยา่ งท ี่ 1 ในหนังสอื เรยี นบนกระดาน เพอ่ื ใหน้ กั เรียนแสดงวา่ 2ϩi เป็นรากท ่ี 3 ของ 2ϩ11i ϭz 2. ครูเขียนทฤษฎีบทท่ี 2 ในหนังสือเรียนหน้า 118 แสดงว่า x เปน็ รากที่ 3 ของ z บนกระดาน โดยแนะน�าว่า เราจะน�าทฤษฎีบทที่ 2 มาช่วยในการหารากท่ี n ท้ังหมดของจ�านวนเชิงซ้อน ทฤษฎบี ทที่จะกล่าวต่อไปนี้จะแสดงการหารากที ่ n ท้ังหมดของจา� นวนเชงิ ซ้อนท่กี า� หนดให้ ทก่ี า� หนดให ้ จากนน้ั ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ ศกึ ษาตวั อยา่ งที่ 2-4 ในหนังสือเรียน แล้วสุ่มเรียกนักเรียนออกมา ทฤษ บี ทท ี่ 2 ถา้ z ϭ n(cos ␪ϩi sin ␪) แลว้ รากที่ n ของ z มีทั้งหมด n รากทแ่ี ตกตา่ งกัน แสดงวธิ ที �าบนกระดานคนละ 1 บรรทดั คือ 3. ให้นักเรียนท�าแบบฝึกหัดที่ 3 และกิจกรรมตรวจสอบ zk ϭ nr ⎡⎢⎣cos ⎛⎝⎜ θ + 2kπ⎞ + i sin ⎛θ + 2kπ⎞ ⎤ การเรียนรู้ท ่ี 3 n ⎟⎠ ⎝⎜ n ⎟⎠ ⎥ ⎦ เมอื่ k ϭ 0, 1, 2, ..., nϪ1 แหล่งสบื คน้ - https://www.youtube.com/watch?v=pvRvoyxDSy0 146 คมู่ อื ครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี านวนเ ้ น 119 Trick ตัวอย่างท ่ี 2 1. ถ้า z1, z2, z3, …, zn เปน็ รากท ี่ n ของจ�านวนเชงิ ซ้อน z แลว้ z1 ϭ z2 ϭ z3 ϭ … ϭ zn จงหารากที ่ 4 ของ 16 วธิ ีท�า ให ้ z ϭ 16 ϭ 16(cos 0ϩi sin 0) 2. ถ้า z1, z2, z3, …, zn เปน็ รากท ่ี n ของจา� นวนเชงิ ซอ้ น z จากทฤษฎบี ทท ่ี 2 จะได้ว่า รากที่ 4 ทงั้ หมดของ z คือ แล้ว z1ϩz2ϩz3ϩ … ϩzn ϭ 0 zk ϭ 4 16 ⎝⎜⎛cos (0 + 2kπ) +i sin(0 +42kπ)⎠⎞⎟ เมอื่ k ϭ 0, 1, 2, 3 4 หรือ zk ϭ 2 ⎜⎛⎝cos (0 + 2kπ) + i sin (0 +42kπ)⎟⎠⎞ เมื่อ k ϭ 0, 1, 2, 3 4 ดงั น้ัน รากท ี่ 4 ที่แตกตา่ งกนั ทัง้ หมดของ z คือ ขอ้ สอบแนว O-NET z0 ϭ 2(cos 0ϩi sin 0) ϭ 2 z1 ϭ 2 ⎛⎝⎜cos π + i sin π2⎠⎟⎞ ϭ 2i รากท ่ี 6 ของ Ϫ64 เปน็ จรงิ ตามขอ้ ใด 2 z2 ϭ 2(cos πϩi sin π) ϭ Ϫ2 1. ม ี 4 ราก ไดแ้ ก ่ 3 Ϯi และ Ϯ2i z3 ϭ 2 ⎝⎜⎛cos 3π +i sin 32π⎞⎟⎠ ϭ Ϫ2i ตอบ 2. ม ี 4 ราก ไดแ้ ก ่ 1Ϯ 3 i และ Ϫ1Ϯ 3 i 2 ตวั อย่างที่ 3 3. ม ี 6 ราก ไดแ้ ก ่ 1Ϯ 3 i, Ϫ1Ϯ 3 i และ Ϯ2i 4. ม ี 6 ราก ไดแ้ ก่ 3 ؎ i, Ϫ 3 ؎i และ ؎2i จงหารากที ่ 6 ของ Ϫ729 ตอบขอ้ 4 วิธีท�า ให ้ z ϭ Ϫ729 ϭ 729(cos πϩi sin π) เฉลยละเอยี ด จากทฤษฎีบทท ี่ 2 จะไดว้ ่า รากท่ ี 6 ทัง้ หมดของ z คือ กา� หนดให ้ z ϭ Ϫ64 ⎛ (π + 2kπ) (π + 2kπ)⎞ จะไดว้ า่ r ϭ (Ϫ64)2ϩ02 ϭ 64 ⎝⎜cos 6 6 ⎟⎠ และ tan ␪ ϭ 0 І ␪ ϭ 180Њ เม่ือ zk ϭ 6 729 + i sin k ϭ 0, 1, 2, 3, 4, 5 หรือ zk ϭ 3 ⎛ (π + 2kπ) + i sin (π + 2kπ)⎞ เมอื่ k ϭ 0, 1, 2, 3, 4, 5 นนั่ คอื z ϭ 64[cos 180Њϩi sin 180Њ] ⎝⎜cos 6 6 ⎠⎟ ดังนั้น รากท่ี 6 ทแี่ ตกตา่ งกันทง้ั หมดของ z คอื ΄ ΂ ΃6 z ดงั นน้ั ϭ 6 64 cos 180ϩ360k Њ ⎛ ⎞ 6 z0 ϭ 3 ⎛⎝⎜cos π + i sin π⎞ ϭ 3 ⎝⎜ 3 + 1 i⎟⎠ ϭ 3 3ϩ 3i 6 6⎠⎟ 2 2 22 ΂ ΃ ΅ϩi sin Њ 180ϩ360k z1 ϭ 3 ⎛⎜⎝cos π + i sin π⎞ ϭ 3(0ϩi) ϭ 3i เมอ่ื k ϭ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 6 2 2⎠⎟ z2 ϭ 3 ⎜⎛⎝cos 5π + i sin 5π⎞ ϭ ⎛ 3 + 1 ⎞ ϭ Ϫ3 3ϩ 3i เมอ่ื k ϭ 0 จะไดว้ า่ z1 ϭ 2(cos 30Њϩi sin 30Њ) 6 6 ⎠⎟ 3 ⎝⎜− 2 2 i⎠⎟ 22 ϭ 3 ϩi เมอื่ k ϭ 1 จะไดว้ า่ z2 ϭ 2(cos 90Њϩi sin 90Њ) ϭ 2i เมอื่ k ϭ 2 จะไดว้ า่ z3 ϭ 2(cos 150Њϩi sin 150Њ) ϭ Ϫ 3 ϩi เมอ่ื k ϭ 3 จะไดว้ า่ z4 ϭ 2(cos 210Њϩi sin 210Њ) ϭ Ϫ 3 Ϫi เมอื่ k ϭ 4 จะไดว้ า่ z5 ϭ 2(cos 270Њϩi sin 270Њ) ϭ Ϫ2i เมอื่ k ϭ 5 จะไดว้ า่ z6 ϭ 2(cos 330Њϩi sin 330Њ) ϭ 3 Ϫi คู่มือครู หนังสือเรียนรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 147

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 120 า รเ ่ เ เ่ ข้อสอบแนว O-NET กา� หนดให ้ z เปน็ จา� นวนเชงิ ซอ้ น ถา้ Ϫ1ϩ 3 i เปน็ รากท ี่ 5 z3 ϭ 3 ⎝⎜⎛cos 7π + i sin 7π⎞ ϭ ⎛ 3 − 1 ⎞ ϭ Ϫ3 3Ϫ 3i 6 6 ⎠⎟ 3 ⎜⎝− 2 2 i⎟⎠ 22 ของ z แลว้ รากท ่ี 2 ของ z คอื จา� นวนในขอ้ ใด z4 ϭ 3 ⎛⎜⎝cos 3π + i sin 3π⎞ ϭ 3(0Ϫi) ϭ Ϫ3i 2 2 ⎠⎟ 1. 2 2 (Ϫ 3 Ϫ i) และ 2 2 ( 3 ϩ i) z5 ϭ 3 ⎛⎝⎜cos 11π + i sin 11π⎞ ϭ ⎛ 3 − 1 ⎞ ϭ 3 3Ϫ 3i ตอบ 6 6 ⎟⎠ 3 ⎜⎝ 2 2 i⎟⎠ 22 2. 2 2 (Ϫ 3 ϩ i) และ 2 2 ( 3 Ϫ i) 3. 2 2 (Ϫ1Ϫ 3 i) และ 2 2 (1ϩ 3 i) ตวั อย่างท่ี 4 4. 2 2 (؊1؉ 3 i) และ 2 2 (1؊ 3 i) ตอบขอ้ 4 จงหารากที ่ 3 ของ 1ϩ 3 i เฉลยละเอยี ด กา� หนดให ้ วธิ ที �า ให ้ z ϭ 1ϩ 3i ϭ 2 ⎜⎝⎛cos π + i sin π⎞ 3 3⎠⎟ z1 ϭ Ϫ1ϩ 3 i จากทฤษฎบี ทท่ี 2 จะได้ว่า รากที ่ 3 ทง้ั หมดของ z คือ จะไดว้ า่ r ϭ (Ϫ1)2ϩ 3 2 และ ϭ2 zk ϭ 32 ⎛ ⎝⎜⎛π3 + 2kπ⎟⎠⎞ +i sin ⎜⎝⎛π3 + 2kπ⎞⎠⎟ ⎞ เม่อื k ϭ 0, 1, 2 และ tan ␪ ϭ Ϫ 3 ⎜ 3 3 ⎟ นนั่ คอื ⎜⎜cos ⎟ ␪ ϭ 120Њ ⎟ ⎜⎟ z1 ϭ 2[cos 120Њϩi sin 120Њ] ⎝⎠ หรอื zk ϭ 3 2 ⎜⎛⎝cos (π + 6kπ) + i sin (π + 6kπ)⎞ เมอ่ื k ϭ 0, 1, 2 9 9 ⎠⎟ เนอ่ื งจาก Ϫ1ϩ 3 i เปน็ รากท ี่ 5 ของ z ดังน้นั รากท่ี 3 ทีแ่ ตกตา่ งกันทง้ั หมดของ z คือ z0 ϭ 3 2 ⎛⎝⎜cos π + i sin π⎞ 9 9⎠⎟ จะไดว้ า่ z15 ϭ z 32(cos 600Њϩi sin 600Њ) ϭ z z1 ϭ 3 2 ⎜⎝⎛cos 7π + i sin 7π⎞ 9 9 ⎟⎠ 32(cos 240Њϩi sin 240Њ) ϭ z z2 ϭ 3 2 ⎜⎝⎛cos 13π + i sin 13π⎞ ตอบ 9 9 ⎟⎠ Ϫ16Ϫ16 3 i ϭ z จะพบวา่ z ϭ 32(cos 240Њϩi sin 240Њ) ดงั นนั้ ΄ ΂ ΃ ΂ ΃ ΅z ϭ 32 cos 240ϩ360k Њϩi sin 240ϩ360k Њ 6 6 เมอื่ k ϭ 0 และ 1 เมอื่ k ϭ 0 จะไดว้ า่ z ϭ 32[cos 120Њϩi sin 120Њ] ΂ ΃ϭ 3 4 2 Ϫ1ϩ 2i 2 ϭ 2 2 (Ϫ1ϩ 3 i) เมอื่ k ϭ 1 จะไดว้ า่ 32[cos 300Њϩi sin 300Њ] zϭ ΂ ΃ϭ 1Ϫ 3 42 i 22 ϭ 2 2 (1Ϫ 3 i) 148 คมู่ ือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ านวนเ ้ น 121 L earning for 21st Century Skills เฉลยแบบฝกึ หัดในหน้า 166 ใหน้ ักเรียนแบ่งกลมุ่ เขียนขัน้ ตอนสรุปการหารากท่ ี n ของ จา� นวนเชงิ ซอ้ น พรอ้ มยกตวั อยา่ งประกอบกลมุ่ ละ 1 ตวั อยา่ ง แบบ กหั ที่ แล้วแลกเปลี่ยนผลงานกับเพื่อนกลุ่มอ่ืนเพื่อศึกษาและ ตรวจสอบความถูกต้อง 1. จงหารากท่ี 3 ของจ�านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ (1) 64 (2) Ϫ27i (3) Ϫ8 ⎜⎝⎛cos π + i sin π⎞ (4) Ϫ1ϩ 3 i 4 4⎠⎟ (4) z6ϩ64 ϭ 0 2. จงหารากท่ี 4 ของ 4 ⎜⎛⎝cos 2π + i sin 2π⎞ 3 3 ⎠⎟ 3. จงหารากที่ 5 ของ 4Ϫ4 3 i L earning for Metacognition 4. จงหาจ�านวนเชงิ ซ้อนทง้ั หมดซ่ึงสอดคล้องสมการต่อไปน้ี ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาโจทย์ท่ีใช้ความรู้เร่ืองการหา (1) z3Ϫi ϭ 0 (2) (zϩ2i)3 ϭ 8i (3) z4ϩ1 ϭ 0 รากที่ n ของจ�านวนเชิงซ้อนมาช่วยในการแก้ปัญหาท่ีเป็น ภาษาองั กฤษจากแหล่งความรูต้ า่ งๆ กลมุ่ ละ 2 ข้อ โดยให้ เฉลยกจิ กรรมในหน้า 167 นกั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ แปลโจทยแ์ ละวธิ ที า� จากภาษาองั กฤษเปน็ ภาษาไทย พรอ้ มทงั้ รวบรวมคา� ศพั ทส์ า� คญั จดั ทา� เปน็ รายงาน กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรูท้ ี่ ตัวแทนกลุ่มออกมาน�าเสนอหน้าช้ันเรียนเพ่ือแลกเปล่ียน เรียนรู้ 1. ใหน้ กั เรียนจบั คู่กนั แต่ละคสู่ รา้ งโจทยก์ ารหารากท ่ี n ของจ�านวนเชงิ ซอ้ น เม่อื n เปน็ จ�านวนนบั ทมี่ ากกว่า 1 2. แลกเปลี่ยนโจทยก์ ับเพ่ือนคูอ่ นื่ เพ่ือหาคา� ตอบ ค่มู ือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1 149

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 122 า รเ ่ เ เ่ ครูซักถามนักเรยี นดงั นี้ การ หนา ว รเ ียว ค�าถาม - ใหน้ กั เรยี นบอกความหมายของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปร แนวคิ สาำ คัญ การหาค�าตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียว จะอาศัยความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบของ เดียว ส ก�รพหน� ตวแปรเดยี ว คอื ส ก�รทอ่ี ยใู่ นรปู พหุนาม ทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบท (แนวคำ� ตอบ : พหนุ ำมดกี รสี องตวั แปรเดยี ว คอื พหนุ ำม ตวั ประกอบจา� นวนตรรกยะ ทเี่ ขียนไดใ้ นรปู ax2ϩbxϩc เมอ่ื a, b, c เปน็ คำ่ คงที่ โดยท่ี a 0 และ x เป็นตัวแปร) เ อื่ เปนanxnϩanϪ1xnϪ1ϩ...ϩa1xϩa0 ϭ 0n - สมการก�าลังสองตัวแปรเดียวและรูปท่ัวไปของสมการ กา� ลงั สองมีลกั ษณะอยา่ งไร จ�ำ นวนเต วกและ a0, a1, ..., an เปนจ�ำ นวนเชงิ ซอ้ น (แนวคำ� ตอบ : สมกำรกำ� ลงั สองตวั แปรเดยี ว คอื สมกำร ของพหุนำมตวั แปรเดียวทมี่ ดี กี รีเทำ่ กบั 2 โดยสมกำร โดยท่ี an 0 ก�ำลงั สองอยใู่ นรูป ax2ϩbxϩc ϭ 0 เม่อื a, b, c เปน็ คำ่ คงท่ี และ a 0) ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี n โดยที่ n у 1 แล้วจะเรียกสมการ p(x) ϭ 0 ว่าเป็น สมการพหุนาม ดังนั้น สมการพหุนามจะอยู่ในรูป anxnϩanϪ1xnϪ1ϩanϪ2xnϪ2ϩ...ϩa1xϩa0 ϭ 0 I ndesign เม่ือ n เปน็ จ�านวนเต็มบวก และ a0, a1, ..., an เปน็ จ�านวนเชิงซอ้ น โดยที ่ an 0 จา� นวนเชงิ ซอ้ น a จะเป็นค�าตอบของสมการ p(x) ϭ 0 กต็ อ่ เมอื่ p(a) ϭ 0 เรยี ก p(a) ϭ 0 ว่า คา� ตอบเ ิง อ้ นของ สมการ p(x) ϭ 0 1. ครูอธิบายว่า ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี n โดยที่ ทฤษ บี ทหลักมลู ของพี คณิต n Ն 1 เราจะเรียกสมการ p(x) ϭ 0 ว่าเป็นสมการ ถา้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีดกี รมี ากกว่าศูนย์ และมสี ัมประสิทธิเ์ ป็นจ�านวนเชงิ ซ้อนแลว้ พหนุ ามดกี ร ี n หรอื สมการพหนุ ามกา� ลงั n โดยสมการ สมการ p(x) ϭ 0 จะมีคา� ตอบทเ่ี ปน็ จ�านวนเชงิ ซ้อนอย่างนอ้ ยหนึ่งค�าตอบ พหนุ ามดีกร ี n จะอยใู่ นรปู การพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตต้องอาศัยความรู้มากกว่าระดับชั้นน้ี แต่สามารถน�า …anxnϩan–1xnϪ1ϩan–2xnϪ2ϩ ϩa1x ϩa0 ϭ 0 ผลทีต่ ามมาของทฤษฎีบทน้ีไปใชด้ งั ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษ บี ทท ี่ 3 ถา้ p(x) ϭ 0 เป็นสมการพหุนามดีกร ี n โดยท่ ี n у 1 และมสี มั ประสทิ ธิ์เปน็ เมอื่ n เป็นจา� นวนเตม็ บวก และ a0, a1, …, an เป็น จา� นวนเชงิ ซอ้ น โดยที ่ an 0 จา� นวนเชงิ ซอ้ น a จะเปน็ จา� นวนเชิงซอ้ นแลว้ สมการนี้จะมคี า� ตอบทงั้ หมด n คา� ตอบ เมอื่ นับคา� ตอบท่ีซ้�า คา� ตอบของสมการ p(x) ϭ 0 กต็ ่อเมื่อ p(a) ϭ 0 เรียก กันด้วย p(a) ϭ 0 วา่ คา� ตอบเชิงซ้อนของสมการ p(x) ϭ 0 แหลง่ สบื คน้ 2. ครอู ธบิ ายทฤษฎบี ทหลกั มลู ของพชี คณติ และทฤษฎบี ท ที่ 3 ในหนังสือเรียน จากน้ันครูและนักเรียนร่วมกัน - https://www.youtube.com/watch?v=BM26gD-KS9w ท�าโจทย์ตัวอย่างที่ 1 ในหนังสือเรียนบนกระดานโดย - https://www.youtube.com/watch?v=ctXPXV5r2H4 ใช้วธิ ถี าม-ตอบ 3. ครูอธิบายทฤษฎบี ทตัวประกอบ ทฤษฎีบทตัวประกอบ จ�านวนตรรกยะ และทฤษฎีบทที่ 4 ในหนังสือเรียน จากนนั้ ใหน้ กั เรยี นชว่ ยกนั หาคา� ตอบของโจทยต์ วั อยา่ ง ที่ 2-3 ในหนังสือเรยี นบนกระดาน 4. ให้นักเรียนท�าแบบฝึกหัดท่ี 4 และกิจกรรมตรวจสอบ การเรยี นรู้ท ี่ 4 I CT ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาโจทยท์ ใ่ี ชค้ วามรเู้ รอ่ื งการแกส้ มการพหนุ าม ตัวแปรเดียวมาช่วยในการแก้ปัญหา จาก search engine ตา่ งๆ 150 คมู่ ือครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี านวนเ ้ น 123 กจิ กรรมเสนอแนะ พสิ ูจน์ ให้ p(x) ϭ anxnϩanϪ1xnϪ1ϩ...ϩa1xϩa0 เป็นพหุนามดีกร ี n โดยท ี่ n у 1 จากตวั อยา่ งท ี่ 1 ให้นักเรียนสังเกตว่า x4–21x2–100 ϭ 0 จากทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตจะได้ว่า สมการ p(x) ϭ 0 จะต้องมีค�าตอบเชิงซ้อน เป็นสมการพหุนามดกี ร ี 4 และมคี �าตอบทัง้ หมด 4 คา� ตอบ อย่างนอ้ ยหน่งึ ค�าตอบ ซง่ึ เปน็ ไปตามทฤษฎีบทท ี่ 3 ในหนงั สอื เรยี นหน้า 122 สมมตุ ใิ ห้ c1 เป็นคา� ตอบเชิงซ้อนของสมการ p(x) ϭ 0 นน่ั คือ xϪc1 เปน็ ตวั ประกอบของ p(x) ซึ่งทา� ใหไ้ ดว้ า่ p(x) ϭ (xϪc1)q1(x) โดยที ่ q1(x) เป็นพหนุ ามดกี รี nϪ1 ถ้า nϪ1 у 1 แลว้ สมการ q1(x) ϭ 0 จะมีคา� ตอบเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนง่ึ คา� ตอบเช่นกัน Trick โดยสมมตุ ิว่าเป็น c2 ดงั นั้น xϪc2 กเ็ ป็นตวั ประกอบของ q1(x) 1. ให้ anxnϩanϪ1xnϪ1ϩ...ϩa1xϩa0 ϭ 0 คือสมการ พหนุ าม ซึ่งทา� ให้ไดว้ า่ p(x) ϭ (xϪc1)(xϪc2)q2(x) anϪ1 an โดยที่ q2(x) เป็นพหุนามดกี ร ี nϪ2 ผลบวกของรากของสมการเทา่ กับ Ϫ เมื่อดา� เนินการเช่นนไ้ี ป n ครั้ง จะได้วา่ ผลคูณของรากของสมการเท่ากับ (Ϫ1)n a0 p(x) ϭ (xϪc1)(xϪc2)(xϪc3)...(xϪcn)r(x) an แต ่ (xϪc1)(xϪc2)(xϪc3)...(xϪcn) เปน็ พหุนามดกี ร ี n ซง่ึ เท่ากับดกี รขี องพหุนาม p(x) จึงไดว้ ่า 2. กรณเี ปน็ สมการกา� ลงั สามจะไดว้ า่ ถา้ a, b, c เปน็ รากของ r(x) ต้องเป็นค่าคงตัว สมการ a3x3ϩa2x2ϩa1xϩa0 ϭ 0 แลว้ aϩbϩc ϭ Ϫ a2 น่ันคือ r(x) ϭ d เมือ่ d ʦ C a3 , ดังน้ัน p(x) ϭ d(xϪc1)(xϪc2)(xϪc3)...(xϪcn) หรอื คา� ตอบท้งั หมดของสมการ p(x) ϭ 0 คอื c1, c2, ..., cn abϩbcϩca ϭ a1 และ abc ϭϪ a0 เชน่ p(x) ϭ (xϪ1)2(xϪ7)3(xϩ2i)4 ϭ 0 เป็นสมการพหนุ ามดกี รี 9 จึงตอ้ งมีค�าตอบทั้งหมด a3 a3 9 คา� ตอบ โดยมคี า� ตอบทแ่ี ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด 3 คา� ตอบ คอื 1, 7, Ϫ2i โดยท ่ี 1 เปน็ คา� ตอบทซ่ี า�้ กนั 2 คา� ตอบ 7 เป็นค�าตอบทซ่ี �้ากัน 3 คา� ตอบ และ Ϫ2i เปน็ ค�าตอบทีซ่ า�้ กนั 4 ค�าตอบ ตวั อย่างท่ ี 1 ขอ้ สอบแนว O-NET จงหาเซตค�าตอบของสมการ x4Ϫ21x2Ϫ100 ϭ 0 วธิ ที า� x4Ϫ21x2Ϫ100 ϭ (x2Ϫ25)(x2ϩ4) คา่ สมั บรู ณข์ องรากของสมการ z5Ϫ3iz4ϩ4zϪ12i ϭ 0 เปน็ สมาชกิ ของเซตใดตอ่ ไปนี้ ϭ (xϪ5)(xϩ5)(xϪ2i)(xϩ2i) Ά ·1.2, 3 , 3, 5, 11 จาก x4Ϫ21x2Ϫ100 ϭ 0 2 (xϪ5)(xϩ5)(xϪ2i)(xϩ2i) ϭ 0 ตอบ Ά ·2. 0, 1, 3 , 2, 4 xϪ5 ϭ 0 หรือ xϩ5 ϭ 0 หรอื xϪ2i ϭ 0 หรอื xϩ2i ϭ 0 x ϭ 5 หรือ x ϭ Ϫ5 หรือ x ϭ 2i หรือ x ϭ Ϫ2i เซตค�าตอบของสมการคือ 5, Ϫ5, 2i, Ϫ2i} Ά ·3. 1 , 5 , 5 , 6, 10 22 Ά ·4. 3 , 5 , 7, 8, 9 23 ตอบขอ้ 1 เฉลยละเอยี ด จากสมการ z5Ϫ3iz4ϩ4zϪ12i ϭ 0 z4(zϪ3i)ϩ4(zϪ3i) ϭ 0 (z4ϩ4)(zϪ3i) ϭ 0 นน่ั คอื z4ϩ4 ϭ 0 หรอื zϪ3i ϭ 0 z4 ϭ Ϫ4 หรอื z ϭ 3i z4 ϭ 4 หรอื z ϭ 3 z ϭ 2 ดังนั้น เซตของค่าสัมบูรณ์ของรากของสมการเท่ากับ { 2, 3 คู่มือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 151

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ความรเู้ พมิ่ เติม 124 า รเ ่ เ เ่ หลกั เกณ ์ในการแกส้ มการมดี ังนี้ ในการแก้สมการพหุนามจะน�าความรู้เรื่องทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบ 1. จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรปู p(x) = 0 โดยที่ จา� นวนตรรกยะมาใชใ้ นการหาคา� ตอบ - ขวามือเปน็ 0 - ถา้ มีตวั แปร x ยกก�าลงั ลบใหเ้ ปล่ยี นเปน็ กา� ลงั บวก ทฤษ บี ทตวั ประกอบ ถา้ มรี ากต้องถอดรากออกให้ถกู ต้อง ก�าหนด p(x) เปน็ พหนุ ามทมี่ ีดกี รีมากกว่าหรอื เทา่ กบั 1 จะไดว้ ่าพหุนาม p(x) มี xϪa - ทุกพจน์ต้องมีตัวสว่ นเป็น 1 ถ้ามบี างพจน์ทตี่ ัวส่วน เปน็ ตัวประกอบ กต็ อ่ เม่อื p(a) ϭ 0 ยงั ไม่เปน็ 1 ใหใ้ ช ้ ค.ร.น. ของตวั สว่ นคูณตลอด - เรียงพจน์ของตัวแปร x จากดีกรีสูงสุดไปยังดีกรี ทฤษ บี ทตัวประกอบจา� นวนตรรกยะ ตา�่ สดุ และสมั ประสทิ ธข์ิ องพจนข์ องตวั แปร x ทม่ี ดี กี รี ก�าหนด p(x) เปน็ พหนุ ามในรูป anxnϩanϪ1xnϪ1ϩ...ϩa1xϩa0 โดยท ่ี n ʦ Iϩ และ สงู สุดตอ้ งเป็นบวก an, anϪ1, ..., a1, a0 เปน็ จา� นวนเต็ม ซงึ่ an 0 2. น�า p(x) มาจับคู่ดึงตัวร่วมหรือแยกตัวประกอบโดยใช้ ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ ทฤษฎบี ทตวั ประกอบจา� นวนตรรกยะ ถา้ จ�านวนตรรกยะ k เป็นค�าตอบของสมการ p(x) โดยท ่ี ห.ร.ม. ของ k และ m รว่ มกบั การหารสงั เคราะหจ์ นไดผ้ ลหารทมี่ ตี วั แปร x ดกี รี m สองซง่ึ สามารถแยกตวั ประกอบไดต้ ามทเี่ คยเรยี นมาแลว้ 3. หาตวั แปร x ไดจ้ ากการสรปุ แตล่ ะตวั ประกอบเทา่ กบั ศนู ย ์ เท่ากบั 1 แล้ว m จะเปน็ ตวั ประกอบของ an และ k เป็นตวั ประกอบของ a0 ในกรณที ต่ี วั แปร x มดี กี รสี อง (ax2ϩbxϩc) ซง่ึ ไมส่ ามารถ แยกตวั ประกอบได ้ ใหห้ าคา่ x จากสตู ร ϪbϮ b2Ϫ4ac ตวั อย่างที่ 2 2a จงหาเซตค�าตอบของสมการ 3x3ϩ5x2ϩ8xϩ4 ϭ 0 วธิ ีทา� ให้ p(x) ϭ 3x3ϩ5x2ϩ8xϩ4 แหล่งสืบคน้ และให้ k เปน็ ตวั ประกอบของ 4 และ m เปน็ ตัวประกอบของ 3 ดังนนั้ k ϭ 1, Ϫ1, 2, Ϫ2, 4, Ϫ4 และ m ϭ 1, Ϫ1, 3, Ϫ3 - https://www.youtube.com/watch?v=Rb6olMbkqDw ค�าตอบตรรกยะทเ่ี ปน็ ไปได้คอื k ϭ 1, Ϫ1, 1 , Ϫ 1 , 2, Ϫ2, 2 , Ϫ 2 , 4, Ϫ4, 4 , Ϫ 4 m 33 3 3 3 3 พจิ ารณา p ⎛⎜⎝− 2⎞ ϭ 3 ⎛⎝⎜− 2⎞ 3 ϩ5 ⎛⎝⎜− 2⎞ 2 ϩ8 ⎜⎝⎛− 2⎞ ϩ4 3⎠⎟ 3⎠⎟ 3⎠⎟ 3⎠⎟ ϭ 3 ⎜⎝⎛− 8⎞ ϩ5 ⎛ 4⎞ Ϫ 16 ϩ4 27⎠⎟ ⎜⎝ 9⎠⎟ 3 ϭ Ϫ 8 + 20 − 48 + 36 99 9 9 ϭ0 152 คมู่ ือครู หนังสือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรู้ท่ี านวนเ ้ น 125 แสดงว่า xϩ 2 เปน็ ตวั ประกอบของ p(x) ข้อสอบแนว O-NET 3 ผลบวกของคา่ สมั บรู ณข์ องรากของสมการ ดังนนั้ 3x3ϩ5x2ϩ8xϩ4 ϭ ⎛⎜⎝x + 2⎞ (3x2ϩ3xϩ6) x5ϩ8x4ϩ24x3ϩ26x2Ϫ17xϪ42 ϭ 0 ตรงกบั ขอ้ ใด 3⎟⎠ 1. 3ϩ2 7 ϭ 3 ⎝⎜⎛x + 2⎞ (x2ϩxϩ2) 2. 4ϩ2 7 3⎟⎠ 3. 5ϩ2 7 4. 6؉2 7 จะได้ ⎜⎝⎛x + 2⎞ (x2ϩxϩ2) ϭ 0 3⎠⎟ ตอบขอ้ 4 xϩ 2 ϭ 0 หรอื x2ϩxϩ2 ϭ 0 3 xϭ Ϫ 2 หรอื x2ϩxϩ2 ϭ 0 3 ถ้า x2ϩxϩ2 ϭ 0 แลว้ x ϭ −1± 1 − 4(1)(2) ϭ −1± 7i 2 2 ดงั นั้น เซตค�าตอบของสมการคือ ⎧⎪⎨− 2, − 1− 7i, − 1+ 7 i⎪⎫ ตอบ ⎪⎩ 3 2 2 ⎬ ⎪⎭ ทฤษ บี ทท ่ี 4 ถ้าจา� นวนเชงิ ซ้อน z เปน็ คา� ตอบของสมการพหุนาม p(x) ϭ xnϩa1xnϪ1ϩ…ϩanϪ1xϩan ϭ 0 โดยทส่ี ัมประสิทธ์ ิ a1, ..., an เปน็ จา� นวนจรงิ แลว้ สังยุค z จะเปน็ ค�าตอบของ สมการพหนุ ามด้วย พสิ จู น ์ ให้จา� นวนเชงิ ซอ้ น z เป็นค�าตอบของสมการพหนุ าม p(x) ϭ 0 นั่นคอื p(z) ϭ 0 ดงั น้ัน znϩa1znϪ1ϩ…ϩanϪ1zϩan ϭ 0 znϩa1znϪ1ϩ…ϩanϪ1zϩan ϭ 0 znϩa1zn–1ϩ…ϩan–1z ϩan ϭ 0 znϩa1znϪ1ϩ…ϩanϪ1z ϩan ϭ 0 ; เพราะ a1, ..., an เป็นจา� นวนจรงิ z nϩa1z nϪ1ϩ…ϩanϪ1z ϩan ϭ 0 นน่ั คือ p(z) ϭ 0 แสดงวา่ z เปน็ คา� ตอบของสมการ p(x) ϭ 0 ด้วย คู่มือครู หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1 153

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 126 า รเ ่ เ เ่ ข้อสอบแนว O-NET ตวั อย่างที่ 3 1. ก�าหนดให้ a และ b เป็นจ�านวนจริง และ f(x) ϭ จงแสดงว่า 6 i เป็นค�าตอบของสมการ x4ϩx3ϩ4x2ϩ6xϪ12 ϭ 0 และหาเซตค�าตอบท้ังหมดของ x4Ϫ6x3ϩ15x2ϩaxϩb ถา้ จา� นวนเชงิ ซอ้ น 1ϩi และ 2ϩi สมการนี้ เปน็ รากของสมการ f(x) ϭ 0 แลว้ คา่ ของ 2aϩ2b เทา่ กบั ขอ้ ใด วิธที า� ให้ p(x) ϭ x4ϩx3ϩ4x2ϩ6xϪ12 1. Ϫ20 จะได้ p( 6 i) ϭ ( 6 i)4ϩ( 6 i)3ϩ4( 6 i)2ϩ6( 6 i)Ϫ12 2. Ϫ18 ϭ 36i4ϩ6 6 i3ϩ4(6i2)ϩ6 6 iϪ12 3. ؊16 ϭ 36(1)ϩ6 6 (Ϫi)ϩ24(Ϫ1)ϩ6 6 iϪ12 4. 16 ϭ 36Ϫ6 6 iϪ24ϩ6 6 iϪ12 ตอบขอ้ 3 ϭ0 2. กา� หนดให ้ 3 และ 1Ϫi เปน็ รากของสมการ แสดงว่า 6 i เป็นค�าตอบของสมการ p(x) ϭ 0 x3ϩax2ϩbxϩc ϭ 0 คา่ ของ (cϪa)b ตรงกบั ขอ้ ใด ซง่ึ จะทา� ให้ไดว้ า่ Ϫ 6 i เป็นคา� ตอบของสมการ p(x) ϭ 0 ด้วย 1. Ϫ2 แต ่ xϪ( 6 i)][xϪ(Ϫ 6 i)] ϭ x2ϩ6 2. Ϫ1 และโดยการหารพหนุ ามจะไดว้ า่ 3. 0 x4ϩx3ϩ4x2ϩ6xϪ12 ϭ (x2ϩ6)(x2ϩxϪ2) 4. 1 ดงั นนั้ (x2ϩ6)(x2ϩxϪ2) ϭ 0 ตอบขอ้ 4 เฉลยละเอยี ด นัน่ คือ x2ϩ6 ϭ 0 หรือ x2ϩxϪ2 ϭ 0 กา� หนดให ้ f(x) ϭ x3ϩax2ϩbxϩc เนอื่ งจาก 1Ϫi เปน็ รากของสมการ f(x) ϭ 0 พิจารณา x2ϩxϪ2 ϭ 0 จะไดว้ า่ 1ϩi เปน็ รากของสมการ f(x) ϭ 0 ดว้ ย แสดงวา่ f(x) ϭ (xϪ3)(xϪ1ϩi)(xϪ1Ϫi) (xϪ1)(xϩ2) ϭ 0 ตอบ ϭ (xϪ3)(x2Ϫ2xϩ2) xϪ1 ϭ 0 หรอื xϩ2 ϭ 0 ϭ x3Ϫ2x2ϩ2xϪ3x2ϩ6xϪ6 x ϭ 1 ห รอื x ϭ Ϫ2 ϭ x3Ϫ5x2ϩ8xϪ6 ดังนั้น เซตค�าตอบท้งั หมดของสมการคือ }6 i, Ϫ 6 i, 1, Ϫ2 นนั่ คอื a ϭ Ϫ5, b ϭ 8 และ c ϭ Ϫ6 ดงั นน้ั (cϪa)b ϭ (Ϫ6ϩ5)8 ϭ 1 154 ค่มู ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี านวนเ ้ น 127 L earning for 21st Century Skills เฉลยแบบฝึกหัดในหน้า 167 ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม สร้างโจทย์การหาค�าตอบของสมการ ดกี รี n โดย n มากกว่า 3 กลุ่มละ 1 ข้อ โดยเขียนอธิบาย แบบ กหั ท่ี ขน้ั ตอนการหาคา� ตอบอยา่ งละเอยี ด แลว้ แลกเปลยี่ นผลงาน กับเพอ่ื นกลมุ่ อ่ืนเพอ่ื ศึกษาและตรวจสอบความถกู ต้อง 1. จงหาเซตคา� ตอบของสมการตอ่ ไปน้ี (1) x3Ϫ2x2Ϫ6xϪ8 ϭ 0 (2) 2x3ϩ3x2Ϫ14xϪ15 ϭ 0 (3) x4Ϫx2ϩ2xϩ2 ϭ 0 (4) x4Ϫ6x2Ϫ8xϪ3 ϭ 0 2. จงแสดงวา่ 1Ϫ 3 i เป็นค�าตอบของสมการพหุนาม 4x3Ϫ5x2ϩ10xϩ12 ϭ 0 พร้อมทัง้ หา L earning for Metacognition คา� ตอบท่เี หลือท้ังหมด ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาโจทย์ที่ใช้ความรู้เรื่อง 3. จงหาสมการพหุนามดกี รี 4 ทม่ี ีสัมประสิทธิ์เป็นจา� นวนเตม็ และมี 1, Ϫ2i, 2i และ 4 เปน็ การแกส้ มการพหุนามดีกรี n มาช่วยในการแกป้ ญั หาท่ีเปน็ คา� ตอบ ภาษาอังกฤษจากแหล่งความรู้ตา่ งๆ กลุ่มละ 2 ข้อ โดยให้ นักเรียนแต่ละกลุ่มแปลโจทย์และวิธีท�าจากภาษาอังกฤษ 4. จงหาสมการพหนุ ามดีกร ี 5 ทีม่ สี มั ประสิทธิเ์ ป็นจา� นวนเต็ม และม ี 1, Ϫ2, Ϫ3 และ Ϫ2ϩ 3i เปน็ ภาษาไทย พรอ้ มท้งั รวบรวมค�าศพั ทส์ า� คญั จัดท�าเปน็ เป็นคา� ตอบ รายงาน ตัวแทนกลุ่มออกมาน�าเสนอหน้าช้ันเรียนเพื่อ แลกเปลยี่ นเรยี นรู้ 5. จงหาเซตคา� ตอบของสมการพหุนาม x4Ϫ8x3ϩ27x2Ϫ38xϩ26 ϭ 0 เม่อื ทราบวา่ 3Ϫ2i เปน็ คา� ตอบหนึ่งของสมการพหุนามนี้ เฉลยกิจกรรมในหนา้ 167 กิจกรรมตรวจสอบการเรยี นรู้ท่ี 1. ใหน้ กั เรียนแบ่งเป็น 3 กลมุ่ 2. แต่ละกลุ่มหาเซตคา� ตอบของสมการพหุนามตอ่ ไปนี้ (1) x2ϩ3xϩ5 ϭ 0 (2) 2x3Ϫ5x2ϩ6xϪ15 ϭ 0 (3) x5Ϫ9x4ϩ31x3Ϫ51x2ϩ40xϪ12 ϭ 0 3. แตล่ ะกลุม่ ออกมานา� เสนอวิธกี ารหาคา� ตอบหน้าชนั้ เรยี นกลมุ่ ละ 1 ข้อ (ไมซ่ า้� กัน) เพอ่ื นกลุม่ ที่เหลือช่วยกนั ตรวจสอบความถกู ต้อง คมู่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 155

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 128 า รเ ่ เ เ่ กิจกรรม สรา้ งสรรคเกมจำานวนเชิง อ้ น จุดประสงค์ 1. สร้างชิ้นงานทเี่ ก่ียวกับจา� นวนเชิงซ้อนได้ 2. พั นาศักยภาพการคดิ สร้างสรรค์ อุปกรณ์ 1. กระดาษกราฟ 2. อปุ กรณอ์ ่นื ๆ ทีเ่ ก่ียวข้อง ขนั ตอนในการดา� เนนิ กิจกรรม 1. ใหน้ กั เรยี นจบั คกู่ นั แลว้ ออกแบบเกมทใ่ี ชค้ วามรเู้ กยี่ วกบั กราฟของจา� นวนเชงิ ซอ้ น เชน่ เกมประสมคา� ศัพท์จากจ�านวนเชงิ ซ้อน Y H 4 E M 3 N 2 1 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 12 34 X Ϫ1 A P J Ϫ2 T Ϫ3 Ϫ4 ประสมคา� ศพั ทจ์ ากจา� นวนเชงิ ซ้อนทก่ี า� หนดให้ จะได้คา� ว่า ANT (1) 1Ϫi 3ϩi Ϫ2Ϫ3i (2) Ϫ4ϩi 1Ϫi Ϫ2Ϫ3i Ϫ2ϩ3i จะได้ค�าว่า MATH 2. แตล่ ะคู่ออกมานา� เสนอผลงานทหี่ น้าช้นั เรยี นและแลกเปลี่ยนกนั เล่นเกม 156 คมู่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition สร หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ านวนเ ้ น 129 จ�านวนเ งิ ้อน Knowledge (K) จ�านวนเ งิ ้อนและ สมบัติของจา� นวนเ งิ ้อน จ�านวนเ ิง อ้ น รากทสี่ องของจา� นวนเ ิง ้อน จ�านวนเชงิ ซอ้ น คือ จ�านวนทเี่ ขยี นในรูป z ϭ aϩbi หรือ กา� หนดจ�านวนเชงิ ซ้อน z ϭ aϩbi (a, b) เรียก a วา่ สว่ นจริง และเรยี ก b วา่ ส่วนจนิ ตภาพ และให ้ r ϭ x2+ y2 รากทีส่ องของ z คือ รปู สา� เร็จของเลข ีก�าลังของ i รูปสา� เร็จของเลขชี้กา� ลังของ i ⎛ ⎞ Ϯ ⎝⎜⎜ r+x + r − x i⎟⎠⎟ เมื่อ y у 0 2 2 i4nϩ1 ϭi i4nϩ2 ϭ Ϫ1 ⎛ r+x − r − x ⎞ เมอ่ื y Ͻ 0 i4nϩ3 ϭ Ϫi Ϯ ⎝⎜⎜ 2 2 i⎟⎟⎠ i4n ϭ 1 ค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนเ ิง อ้ น ค่าสัมบรู ณข์ อง z ϭ aϩbi เขยี นแทนดว้ ย z โดย การเทา่ กันของจา� นวนเ ิง ้อน z ϭ a2 + b2 การเท่ากันของจา� นวนเชิงซอ้ น (a, b) ϭ (c, d) ก็ต่อเมอ่ื a ϭ c และ b ϭ d สังยุคของจา� นวนเ ิง ้อน สงั ยุคของ z ϭ aϩbi เขียนแทนด้วย z โดย z ϭ aϪbi สมบัติของจา� นวนเ ิง อ้ น การคูณ สมบัติเกยี่ วกับการบวกและการคณู สมบตั ิ การบวก สมบัตปิ ิด z1ϩz2 ෈ C z1ؒz2 ෈ C สมบัตกิ ารสลบั ที่ z1ϩz2 ϭ z2ϩz1 z1ؒz2 ϭ z2ؒz1 สมบัติการเปลีย่ นหมู่ (z1ϩz2)ϩz3 ϭ z1ϩ(z2ϩz3) (z1ؒz2) ؒz3 ϭ z1ؒ (z2ؒz3) สมบตั กิ ารมเี อกลักษณ์ 0ϩz ϭ zϩ0 ϭ z 1ؒz ϭ zؒ1 ϭ z ม ี 0 เปน็ เอกลกั ษณก์ ารบวก ม ี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ สมบตั ิการมีตัวผกผนั zϩ(Ϫz) ϭ (Ϫz)ϩz ϭ 0 ตวั ผกผันการคณู ของ z ϭ aϩbi ม ี Ϫz เป็นตัวผกผนั การบวก คอื zϪ1 ϭ a − bi a2 + b2 คมู่ ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 157

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 130 า รเ ่ เ เ่ จ�านวนเ งิ อ้ นในรปู ขัว การดา� เนนิ การของจา� นวนเ งิ อ้ นในรปู เ งิ ขวั ● การคูณจา� นวนเชงิ ซ้อนในรปู เชิงขวั้ z1z2 ϭ r1r2[cos(␪1ϩ␪2)ϩi sin(␪1ϩ␪2)] ● การหารจา� นวนเชงิ ซ้อนในรูปเชิงขว้ั z1 r1 z2 ϭ r2 [cos(␪1Ϫ␪2)ϩi sin(␪1Ϫ␪2)] ทฤษ ีบทเดอมัว วร์ zn ϭ rn[cos n␪ ϩ i sin n␪] รากท ี่ n ของจ�านวนเ ิง ้อน ถา้ z ϭ r(cos ␪ϩi sin ␪) แลว้ รากท ี่ n ของ z มีท้งั หมด n รากทแ่ี ตกต่างกัน โดย zk ϭ n r ⎡ (θ + 2kπ) + i sin (θ + 2kπ)⎤ เม่อื k ෈ {1, 2, …, n–1} ⎢⎣cos n n ⎥⎦ 1. ทกั ษะการแกป้ ญั หา 1. ทา� ความเขา้ ใจหรอื สรา้ งกรณที ว่ั ไปโดยใชค้ วามรทู้ ไี่ ดจ้ ากการ 2. ทกั ษะการเชื่อมโยง ศกึ ษากรณตี วั อยา่ งหลายๆ กรณี 3. ทักษะการใหเ้ หตุผล 4. ทักษะการคดิ สร้างสรรค์ 2. มีความมุมานะในการท�าความเข้าใจปัญหาและแก้ปัญหา ทางคณติ ศาสตร์ 3. คน้ หาลกั ษณะทเี่ กดิ ขนึ้ ซา้� ๆ และประยกุ ตใ์ ชล้ กั ษณะดงั กลา่ ว เพ่ือทา� ความเข้าใจหรือแกป้ ญั หาในสถานการณ์ต่างๆ 158 ค่มู อื ครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรู้ท่ี านวนเ ้ น 131 เฉลยแบบทดสอบในหนา้ 168 แบบท สอบวั ลสมั ท ิ 1. i12ϩi13ϩi14ϩ...ϩi200 มีค่าเทา่ กับเท่าไร 2. คา่ ของ (Ϫ1Ϫi)(Ϫ1ϩi)]8 เท่ากบั เทา่ ไร 3. Re(z) และ Im(z) ของจ�านวนเชิงซอ้ น 3− 2 i เท่ากับเทา่ ไร 3+ 2 i 4. ถ้า z ϭ 3− i แลว้ คา่ ของ z z เท่ากับเทา่ ไร i 5. ก�าหนดให ้ zϪ1 ϭ 1 − 3 i ค่าของ z2 เทา่ กับเทา่ ไร 10 10 6. ค่าของ 2(cos 38Њϩi sin 38Њ)(cos 52Њϩi sin 52Њ) ในรปู aϩbi เท่ากบั เทา่ ไร 7. ถ้า z ϭ 2 ⎛⎝⎜sin π + i cos π⎞ แล้วคา่ ของ z6 เท่ากับเทา่ ไร 4 4⎠⎟ 8. จงหารากท่ี 3 ของ 216i 9. จงหาเซตค�าตอบของสมการ x4ϩ2x2Ϫ8 ϭ 0 10. จงหาเซตค�าตอบของสมการ x5Ϫ3x4ϩ2x3Ϫ6x2ϩxϪ3 ϭ 0 คูม่ ือครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 159

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝึกหัดที่ 1 เฉลย 1. (1) Ϫ1 (2) i (3) 1 (4) Ϫi (5) 0 (6) Ϫ1 2. (1) a ϭ 4, b ϭ Ϫ3 (2) a ϭ 4, b ϭ 1 (3) a ϭ Ϫ8, b ϭ 0 (4) a ϭ Ϫ4, b ϭ Ϫ3 3. (1) 7ϩ6i (2) 3ϩ4i (3) 3 3 ϩ3i (4) 14ϩ19i (5) Ϫ5ϩ7i (6) Ϫ14Ϫ7i (7) 1ϩ 3 i (8) 1ϩ3i (9) 22Ϫ7i (10) 15 4. (1) Re(z) ϭ 15, Im(z) ϭ 2 (2) Re(z) ϭ 6 , Im(z) ϭ Ϫ7 (4) Re(z) ϭ 1, Im(z) ϭ Ϫ3 (3) Re(z) ϭ Ϫ1, Im(z) ϭ 5 3 (3) 9ϩ19i 5. (1) 2ϩ3i (2) Ϫ3Ϫ5i (4) 9Ϫ19i (5) 9Ϫ19i (6) Ϫ1Ϫ2i 6. (1) 6 (2) 10 (3) 2i (4) 18ϩ6i (5) 3 3Ϫ1 1 i (6) 1Ϫ3i (4) 7Ϫ2i 10101010 (4) 1414Ϫ33 i 7. (1) ตัวผกผันการบวกคือ 3ϩ9i, ตวั ผกผันการคณู คอื Ϫ 1 1ϩ1 1 i 55 55 30301010 (2) ตวั ผกผันการบวกคือ Ϫ4ϩ2 5 i, ตวั ผกผันการคณู คือ 11ϩ 55 i 99 1188 (3) ตวั ผกผันการบวกคอื Ϫ4Ϫ2 5 i, ตัวผกผันการคณู คอื 11Ϫ 55 i 99 1188 (4) ตัวผกผันการบวกคือ Ϫ1Ϫ 2 i, ตวั ผกผนั การคูณคอื 1 1Ϫ 2 2 i 3 3 33 8. (1) 3 3ϩ2 2 i (2) Ϫ1515Ϫ3 3 i (3) Ϫ 1313Ϫ1111 i 13131313 26262626 29292929 (5) Ϫ 5 5ϩ3 3 i (6) 9 9ϩ1313 i 34343434 10101010 9. (1) 55Ϫ99 i (2) Ϫ5ϩ5i (3) Ϫ 5 5ϩ4 4 i 53535353 121323121323 10. พิสูจน์ 1ϭ 1 ϫ (a − bi) a + bi (a + bi) (a − bi) ϭ a − bi a2 + b2 ดงั น้ัน 1 ϭ a − bi a + bi a2 + b2 160 คมู่ ือครู หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 11. (1) Ϯ(1ϩ2i) (2) Ϯ( 2 ϩi) 12. (1) − 5 ± 7 i (2) − 1 ± 31i 2 4 13. (1) Y 5 4 (Ϫ3, 2) 3 2 1 12345 X (Ϫ2, 0) (4, Ϫ5) Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 O Ϫ1 (Ϫ2, Ϫ1) Ϫ2 Ϫ3 Ϫ4 Ϫ5 (2) Y 14. (1) 13 Ϫ5ϩi 5 2ϩ5i 4 3 2 1 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 O 1 2 3 4 5 X Ϫ1 Ϫi Ϫ2 3Ϫ2i Ϫ3 Ϫ4 Ϫ5 (2) 61 (3) 5 (4) 25 (5) 10 (6) 169 คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 161

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 15. ให้ z ϭ aϩbi z+2 ϭ 1 จาก z + (3 − i) จะได ้ |z + 2| ϭ1 |z + (3 − i)| zϩ2 ϭ zϩ(3Ϫi) aϩbiϩ2 ϭ aϩbiϩ3Ϫi (aϩ2)ϩbi ϭ (aϩ3)ϩ(bϪ1)i (a + 2)2 + b2 ϭ (a + 3)2 + (b − 1)2 ยกกา� ลงั สองทงั้ สองข้าง ; (aϩ2)2ϩb2 ϭ (aϩ3)2ϩ(bϪ1)2 a2ϩ4aϩ4ϩb2 ϭ a2ϩ6aϩ9ϩb2Ϫ2bϩ1 4aϩ4 ϭ 6aϪ2bϩ10 Ϫ2aϩ2b ϭ 6 aϪb ϭ Ϫ3 และจาก a ϭ bϪ3 ..........(1) จะได้ ..........(2) แทนคา่ (1) ใน (2) ; zиz ϭ 17 a2ϩb2 ϭ 17 X (bϪ3)2ϩb2 ϭ 17 b2Ϫ6bϩ9ϩb2 ϭ 17 2b2Ϫ6bϪ8 ϭ 0 b2Ϫ3bϪ4 ϭ 0 (bϩ1)(bϪ4) ϭ 0 b ϭ Ϫ1, 4 แทนคา่ b ϭ Ϫ1 ใน (1) จะได ้ a ϭ Ϫ1Ϫ3 ϭ Ϫ4 แทนคา่ b ϭ 4 ใน (1) จะได้ a ϭ 4Ϫ3 ϭ 1 ดังนั้น จ�านวนเชิงซ้อน z คือ Ϫ4Ϫi หรอื 1ϩ4i 16. จาก zϪ1ϩi ϭ 2 จะได ้ xϩyiϪ1ϩi ϭ 2 (xϪ1)ϩ(yϩ1)i ϭ 2 (x − 1)2 + (y + 1)2 ϭ 2 Y (xϪ1)2ϩ(yϩ1)2 ϭ 22 1 123 (1, Ϫ1) กราฟเป็นวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ท ี่ (1, Ϫ1) Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 O และมรี ัศมี 2 หน่วย Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 162 คู่มือครู หนังสือเรียนรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 17. zϪ1 คือระยะทางระหว่างจุด (1, 0) และจุด z ดงั นั้น เซตของจดุ z ทง้ั หมดในระนาบเชิงซอ้ นซ่งึ สอดคล้องกับอสมการ zϪ1 у 2 คือเซตของจุดทง้ั หมดในระนาบเชงิ ซอ้ นซึ่งห่างจากจุด (1, 0) มากกว่าหรือเท่ากับ 2 หน่วย ซ่ึงกค็ ือเซตของจา� นวนเชงิ ซอ้ นหรอื จดุ ทีอ่ ยู่ บนเส้นรอบวงและภายนอกของวงกลมทม่ี จี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (1, 0) และมีรศั มี 2 หนว่ ย zϪ3 คือระยะทางระหว่างจดุ (3, 0) และจดุ z ดังนนั้ เซตของจุด z ท้งั หมดในระนาบเชิงซ้อนซึง่ สอดคลอ้ งกบั อสมการ zϪ3 Ͻ 1 คอื เซตของจ�านวนเชงิ ซ้อนหรือจุดภายในวงกลมไม่รวมจุดบนเสน้ รอบวงที่มจี ุดศูนย์กลางอยู่ท ี่ (3, 0) และมรี ศั มี 1 หนว่ ย Y (1, 0) X Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 O 1 2 3 4 5 เฉลยกจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นร้ทู ี่ 1 คา� ถามท ่ี 1 จาก znϩ1 ϭ iϩzn2 แทนคา่ n ϭ 1 จะได้ z2 ϭ iϩ(z1)2 ϭ iϩ02 ϭ i แทนค่า n ϭ 2 จะได้ z3 ϭ iϩ(z2)2 ϭ iϩi2 ϭ Ϫ1ϩi แทนค่า n ϭ 3 จะได้ z4 ϭ iϩ(z3)2 ϭ iϩ(Ϫ1ϩi)2 ϭ Ϫi แทนคา่ n ϭ 4 จะได้ z5 ϭ iϩ(z4)2 ϭ iϩ(Ϫi)2 ϭ Ϫ1ϩi แทนคา่ n ϭ 5 จะได้ z6 ϭ iϩ(z5)2 ϭ iϩ(Ϫ1ϩi)2 ϭ Ϫi แทนค่า n ϭ 6 จะได้ z7 ϭ iϩ(z6)2 ϭ iϩ(Ϫi)2 ϭ Ϫ1ϩi ӇӇ Ӈ Ӈ สงั เกตได้วา่ zm ϭ Ϫ1ϩi เมอื่ m เป็นจา� นวนคี่ท่ีมากกวา่ หรอื เท่ากับ 3 Ϫi เม่ือ m เป็นจ�านวนค่ทู ่มี ากกวา่ หรือเท่ากบั 4 จะไดว้ า่ z99 ϭ Ϫ1ϩi ดังนน้ั z99 ϭ (− 1)2(−+11)22 +ϭ122 2 คู่มอื ครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 163

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ค�าถามที่ 2 จาก − 5 + 2i ϭ 10 จะได้ x + yi i(i + 1)(i + 2)(i + 3)(i + 4) − 5 + 2i ϭ 10 x + yi i(1 + i)(4 + i)(2 + i)(3 + i) − 5 + 2i ϭ 10 x + yi i(3 + 5i)(5 + 5i) − 5 + 2i ϭ 10 x + yi 5i(3 + 5i)(1 + i) − 5 + 2i ϭ2 x + yi i(−2 + 8i) − 5 + 2i ϭ2 x + yi − 2i(1 − 4i) − 5 + 2i ϭ −1 x + yi i(1 − 4i) x + yi ϭ Ϫi(1Ϫ4i) − 5 + 2i xϩyi ϭ Ϫi(1Ϫ4i)(Ϫ5ϩ2i) xϩyi ϭ Ϫi(3ϩ22i) xϩyi ϭ 22Ϫ3i จะได้วา่ x ϭ 22, y ϭ Ϫ3 ดงั น้ัน xϪy ϭ 22Ϫ(Ϫ3) ϭ 25 ค�าถามที ่ 3 จาก ⎜⎛⎝i 1 ⎞ −1 + i⎠⎟ zϭ − 2 ϭ ⎛ i(2 + i) − 1⎞ − 1 ⎛ − 2 + 2i⎞ − 1 ⎜⎝ 2 + i ⎟⎠ ⎝⎜ 2 + i ⎟⎠ ⎛ i(2 + i) − 1ϭ⎟⎠⎞ − 1 ⎛ − 2 + 2i⎞ − 1 ⎝⎜ 2+i ⎜⎝ 2 + i ⎟⎠ ϭ 2 + i ϫ − 2 − 2i − 2 + 2i − 2 − 2i ϭ − 4 − 2i − 4i + 2 ϭ 8 ϭ − 2 − 6i จะได้ 16z2Ϫ4zϩ1Ϫi ϭ 8 ϭ − 1 − 3i 4 16 ⎛ − 1− 3i⎞ 2 Ϫ4 ⎛ − 1− 3i⎞ ϩ1Ϫi ⎜⎝ 4 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎠⎟ 16 ⎛ − 8+ 6i⎞ Ϫ(Ϫ1Ϫ3i)ϩ1Ϫi ⎝⎜ 16 ⎠⎟ ϭ Ϫ8ϩ6iϩ1ϩ3iϩ1Ϫi ϭ Ϫ6ϩ8i ดงั นน้ั 16z2Ϫ4zϩ1Ϫi ϭ Ϫ6ϩ8i ϭ (− 6)2 + 82 ϭ 10 164 ค่มู ือครู หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 2 π π (1) รปู เชิงขวั้ รปู หนงึ่ ของ z คือ 3 3 1. cos ϩi sin รปู เชงิ ข้วั รูปอ่นื ของ z คอื cos ⎛ π + 2kπ⎠⎞⎟ ϩi sin ⎛π + 2kπ⎞⎟⎠ เม่อื k ʦ I ⎜⎝ 3 ⎜⎝ 3 (2) รูปเชงิ ขัว้ รูปหนึ่งของ z คือ 2 ⎝⎜⎛cos 7π + i sin 7π⎞ 6 6 ⎠⎟ รปู เชิงข้ัวรปู อืน่ ของ z คือ 2 ⎝⎜⎛cos⎛⎝⎜ 7π + 2kπ⎟⎞⎠ + i sin⎝⎜⎛ 7π + 2kπ⎠⎟⎞⎠⎞⎟ เม่ือ k ʦ I 6 6 (3) รปู เชงิ ขั้วรูปหนง่ึ ของ z คือ 6 ⎝⎛⎜cos 5π + i sin 5π⎞ 3 3 ⎟⎠ รูปเชงิ ขว้ั รูปอื่นของ z คือ 6 ⎝⎜⎛cos⎛⎜⎝ 5π + 2kπ⎟⎠⎞ + i sin⎝⎜⎛ 5π + 2kπ⎞⎠⎟⎟⎠⎞ เมือ่ k ʦ I 3 3 (4) รปู เชงิ ขว้ั รูปหน่งึ ของ z คือ 4 2 ⎜⎛⎝cos 3π + i sin 3π⎞ 4 4 ⎠⎟ รูปเชิงขั้วรปู อืน่ ของ z คอื 4 2 ⎛⎜⎝cos⎜⎝⎛ 3π + 2kπ⎞⎟⎠ + i sin⎜⎝⎛ 3π + 2kπ⎞⎠⎟⎞⎟⎠ เม่ือ k ʦ I 4 4 (5) รปู เชิงขวั้ รปู หนึ่งของ z คอื 8(cos 0ϩi sin 0) รปู เชิงขวั้ รปู อืน่ ของ z คือ 8(cos(2kπ)ϩi sin(2kπ)) เมื่อ k ʦ I (6) รปู เชงิ ขว้ั รปู หน่งึ ของ z คือ 5 ⎛⎜⎝cos 3π + i sin 3π⎞ 2 2 ⎟⎠ รปู เชิงข้ัวรูปอนื่ ของ z คือ 5 ⎝⎛⎜cos⎜⎝⎛ 3π + 2kπ⎞⎠⎟ + i sin⎝⎜⎛ 3π + 2kπ⎟⎞⎠⎠⎞⎟ เมอื่ k ʦ I 2 2 2. (1) 3 2 ϩ3 2 i (2) 3 ϩ 1 i (3) Ϫ 3 3ϩ1 1 i (4) 2i 22 6666 (8) Ϫ 1 Ϫ 3 i (5) 512 (6) Ϫ512i (7) Ϫ4 22 เฉลยกจิ กรรมตรวจสอบการเรียนรู้ท่ี 2 เนอ่ื งจาก z1 ϭ 1(cos 145Њϩi sin 145Њ) และ z2 ϭ 3 (cos 115Њϩi sin 115Њ) จะได้ z1 ϭ 1 (cos(145ЊϪ115Њ)ϩi sin(145ЊϪ115Њ)) z2 3 z1 ϭ 1 (cos 30Њϩi sin 30Њ) z2 3 z1 ϭ 1 ⎛ 3 + 1 ⎞ z2 3 ⎜ 2 2 i⎟ ⎝ ⎠ z1 ϭ 1 1ϩ1 1 i z2 2 22 23 3 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎟ z1 2 ⎜ 2 ⎛ ⎞ 2 ⎟ ϭ 11ϩ111 11ϭ1 1 z2 ⎝⎜ ⎜ 3⎟⎠ ⎟⎠ 44 11224 3312 3 ดังน้ัน ϭ ⎛ 1⎞ + ⎝ 1 ⎝⎜ 2⎠⎟ 2 คมู่ อื ครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 165

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 3 1. (1) z0 ϭ 4 z1 ϭ Ϫ2ϩ2 3 i z2 ϭ Ϫ2Ϫ2 3 i (2) z0 ϭ 3i z1 ϭ Ϫ 3 33 3Ϫ3 3 i 22 22 z2 ϭ 3 33 3Ϫ3 3 i 22 22 (3) z0 ϭ Ϫ 6+ 2Ϫ 6− 2i 2 2 z1 ϭ 2 Ϫ 2 i z2 ϭ 6− 2ϩ 6+ 2i 22 (4) z0 ϭ 3 2 (cos 40Њϩi sin 40Њ) z1 ϭ 3 2 (cos 160Њϩi sin 160Њ) z2 ϭ 3 2 (cos 280Њϩi sin 280Њ) 2. z0 ϭ 6 6ϩ 2 2 i 22 22 z1 ϭ 6Ϫ 2ϩ 6i 2 2 2 2 2 z2 ϭ Ϫ 6 6Ϫ 2 2 i 22 22 z3 ϭ6 2Ϫ 6i 2 2 2 22 3. z0 ϭ 2 5 2 (cos 60Њϩi sin 60Њ) z1 ϭ 2 5 2 (cos 132Њϩi sin 132Њ) z2 ϭ 2 5 2 (cos 204Њϩi sin 204Њ) z3 ϭ 2 5 2 (cos 276Њϩi sin 276Њ) z4 ϭ 2 5 2 (cos 348Њϩi sin 348Њ) 4. (1) z ϭ 3 3ϩ1 1 i, Ϫ 3 3ϩ1 1 i, Ϫi (2) z ϭ 22 22 22 22 3 Ϫi, Ϫ 3 Ϫi, Ϫ4i (3) z ϭ 2 Ϯ 2 i, Ϫ 2 Ϯ 2 i 22 22 (4) z ϭ Ϯ2i, 3 Ϯi, Ϫ 3 Ϯi 166 คูม่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยกิจกรรมตรวจสอบการเรียนรูท้ ่ี 3 คา� ตอบอยู่ในดลุ ยพนิ ิจของผ้สู อน เฉลยแบบฝกึ หัดท่ี 4 (2) ⎧⎨− 3, − 1, 5⎫ 1. (1) {4, Ϫ1Ϯi ⎩ ⎬ 2 ⎭ (3) {Ϫ1, 1Ϯi (4) {Ϫ1, 3 2. ให ้ p(x) ϭ 4x3Ϫ5x2ϩ10xϩ12 จะได ้ p(1Ϫ 3 i) ϭ 4(1Ϫ 3 i)3Ϫ5(1Ϫ 3 i)2ϩ10(1Ϫ 3 i)ϩ12 ϭ 4(Ϫ8)Ϫ5(Ϫ2Ϫ2 3 i)ϩ10Ϫ10 3 iϩ12 ϭ Ϫ32ϩ10ϩ10 3 iϩ10Ϫ10 3 iϩ12 ϭ0 แสดงวา่ 1Ϫ 3i เปน็ ค�าตอบของสมการ p(x) ϭ 0 ซึง่ จะท�าใหไ้ ดว้ า่ 1ϩ 3i เป็นคา� ตอบของสมการ p(x) ϭ 0 ดว้ ย แต ่ xϪ(1Ϫ 3 i)][xϪ(1ϩ 3 i)] ϭ x2Ϫ2xϩ4 และโดยการหารพหนุ ามจะไดว้ ่า 4x3Ϫ5x2ϩ10xϩ12 ϭ (x2Ϫ2xϩ4)(4xϩ3) ดังนน้ั (x2Ϫ2xϩ4)(4xϩ3) ϭ 0 นนั่ คอื x2Ϫ2xϩ4 ϭ 0 หรือ 4xϩ3 ϭ 0 พิจารณา 4xϩ3 ϭ 0 x ϭ Ϫ3 4 ดงั นัน้ ค�าตอบท่เี หลอื คอื Ϫ 3 4 3. k(x4Ϫ5x3ϩ8x2Ϫ20xϩ16) ϭ 0 เมือ่ k ʦ IϪ{0 4. k(x5ϩ8x4ϩ24x3ϩ26x2Ϫ17xϪ42) ϭ 0 เม่ือ k ʦ IϪ{0 5. {1Ϯi, 3Ϯ2i เฉลยกิจกรรมตรวจสอบการเรียนรทู้ ่ี 4 1. ⎪⎧− 3 ± 11i⎪⎫ 2. ⎧5 , ± 3i⎫⎬ 3. {1, 2, 3 ⎨ ⎬ ⎩⎨2 ⎭ ⎪⎩ 2 ⎪⎭ คู่มือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 167

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลยแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ 2. 256 1. 1 4. 4 3. Im(z) ϭ Ϫ 2 6 , 1Re(z)2 ϭ6 1 6. 2i 8. z0 ϭ 3 3 ϩ3i 55 55 5. 10 z1 ϭ Ϫ3 3 ϩ3i 7. Ϫ8i z2 ϭ Ϫ6i 9. {Ϯ 2 , Ϯ2i 10. {3, Ϯi 168 ค่มู ือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

3หนว่ ยการเรยี นรทู ่ี เมทรกิ ์ สาระการเรยี นรู้ เมทรกิ ์ สมรรถนะสาำ คัญ/ ด้านความรู้ ทกั ษะแห่งศตวรรษท่ี 21 1. เมทริกซแ์ ละเมทริกซ์สลบั เปล่ยี น สมรรถนะส�าคัญ 2. การบวกเมทริกซ ์ การคูณเมทรกิ ซ์กับ 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคดิ วเิ คราะห์ จา� นวนจรงิ การคณู ระหว่างเมทรกิ ซ์ ทักษะแห่งศตวรรษที่ 21 3. ดีเทอรม์ ิแนนต์ 1. ทักษะการแก้ปญั หา 4. เมทริกซ์ผกผัน 2. ทักษะการเช่อื มโยง 5. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ 3. ทักษะการใหเ้ หตุผล 4. ทกั ษะการคดิ สร้างสรรค์ เมทรกิ ซ์ ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ ภาระงาน/ชน้ิ งานสำาคัญ 1. การสงั เกต 1. แบบฝึกหดั ที่ 1-5 2. การอ่านและการเขยี น 2. กจิ กรรมตรวจสอบการเรียนรู้ท่ี 1-5 3. การคิดวเิ คราะห์ 3. กิจกรรมบรู ณาการ “ถอดรหัสจากเมทรกิ ซ”์ 4. การตีความหมาย 4. แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิ ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ 5. ใบงานท่ ี 1-4 1. ท�าความเข้าใจหรอื สรา้ งกรณีทว่ั ไป 6. บัตรกจิ กรรม โดยใชค้ วามรูท้ ไี่ ด้จากการศกึ ษากรณี ตวั อยา่ งหลายๆ กรณี 2. มีความมุมานะในการทา� ความเขา้ ใจ ปัญหาและแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เ ิซ 3หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี สาระการเรยี นรู้ 1 เมทริก แ์ ละเมทรกิ ์สลบั เปลี่ยน 2 การบวกเมทรกิ ์ การคณู เมทรกิ ก์ ับจ�านวนจริง การคณู ระหวา่ งเมทรกิ ์ 3 ดเี ทอรม์ แิ นนต์ 4 เมทริก ผ์ กผัน 5 การแกร้ ะบบสมการเ ิงเสน้ โดยใ ้เมทรกิ ์ ผลการเรียนรู้ 1. เขา้ ใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทรกิ ซ์ การคณู เมทริกซ์กบั จา� นวนจรงิ การคณู ระหวา่ งเมทรกิ ซ์และหาเมทรกิ ซส์ ลบั เปล่ยี น หาดีเทอรม์ แิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ nϫn เมื่อ n เปน็ จา� นวนนับที่ไม่เกินสาม 2. หาเมทรกิ ซผ์ กผนั ของเมทรกิ ซ์ 2ϫ2 3. แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้เมทริกซผ์ กผนั และการดา� เนนิ การตามแถว 170 คมู่ อื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition xϩyϩz ϭ 2 .....(1) xϩyϪ3z ϭ 6 .....(2) xϩ2yϩz ϭ 4 .....(3) นกั เรียนมีวิ ีการ กร บบสมการเ งิ เสน ได ดย วิ กี าร ดบาง คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 171

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 134 า รเ ่ เ เ่ 1. ครูใหน้ ักเรยี นทา� แบบทดสอบก่อนเรยี น เ ทรก เ ทรก เ ่ียน 2. ครูเขยี นข้อมลู ต่อไปน้บี นกระดาน เหรียญทอง เหรยี ญเงนิ เหรยี ญทองแดง สถาบัน A 3 5 1 ใชอ้ กั ษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พใ์ หญแ่ ทนชอื่ เมทรกิ ซ ์ และใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทนสมาชิกของ สถาบัน B 4 4 0 สถาบนั C 1 2 5 แนวคิ สำาคญั เมทริกซ ์ เชน่ A ϭ ⎡a b c⎤ ⎢ ⎥ เ ทริกซ คือ กล่ ของจำ�นวนที่เขียนเรียงเปน ⎢⎣ d e f ⎦⎥ แลว้ ซกั ถามนกั เรยี นดังน้ี คา� ถาม รูปสี่เหล่ีย �ก โดยท่ีแต่ละแ ว ีจำ�นวนส �ชิก จาก A ϭ ⎡a b c ⎤ เรยี กแตล่ ะจา� นวนใน เท�่ กน และอยู่ภ�ยในเครอ่ื งห �ย [ ] เ ทริกซ ⎢ ⎥ สล เปล่ยี น คือ เ ทริกซท่ี ด้จ�กก�รสล ส �ชกิ จ�ก ⎢⎣ d e f ⎦⎥ - จากข้อมูลข้างต้น ถ้าพิจารณาเฉพาะตัวเลขโดยน�า วงเลบ็ ปดิ ดา้ นหนา้ และดา้ นหลงั แลว้ ตดั ชอ่ื สถาบนั และ แ วเปนหลกและจ�กหลกเปนแ วของเ ทรกิ ซตน้ แ เคร่ืองหมาย ] วา่ สมา ิกของเมทรกิ ์ เรียกแนวนอนของสมาชิกวา่ แถว และเรยี กแนวตง้ั ของสมาชิกวา่ หลกั ชือ่ เหรียญออกไป จะได้ผลลพั ธอ์ ย่างไร 3 51 จา 4 0) (แนวค�ำตอบ : 4 25 เ ทรก 1 2. แถว บทนยิ าม เมทริกซ์ คอื ชดุ ของจา� นวน mn ตัว (m, n ʦ Iϩ) ซ่งึ เขยี นเรยี งกัน m แถว n หลัก 4. มติ ิของเมทริกซ์ ภายในเครื่องหมายวงเลบ็ ] ในรูปแบบ คา� ส�าคัญ 1. เมทริกซ ์ หลกั ท่ี 1 หลักท่ี 2 ... หลักท่ี n 3. หลัก 5. สมาชกิ ของเมทรกิ ซ ์ ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ แถวที่ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ แถวที่ 2 ⎢ a21 a22 ... a2n ⎥ I ndesign ⎢⎥ ⎢⎥ 1. ครูอธิบายว่าการเขียนตัวเลขแสดงจ�านวนข้อมูลในรูป ⎢ ⎥ แถวและหลกั เรยี งกนั ดงั ตวั อยา่ งขา้ งตน้ เรยี กวา่ เมทรกิ ซ ์ ⎣⎢ a m1 am2 ... amn ⎥⎦ แถวท่ี m โดยให้นักเรียนศึกษาบทนิยามของเมทริกซ์ในหนังสือ เรียนหน้า 134 เรยี ก aij วา่ เปน็ สมา ิกในแถวท ี่ i และหลักท่ี j ของเมทรกิ ซ์ เมือ่ i ϭ 1, 2, 3, ..., m และ j ϭ 1, 2, 3, ..., n เรยี กเมทริกซท์ ีม่ ี m แถว และ n หลักวา่ mϫn เมทรกิ ซ์ และ 2. ครใู หน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ ศกึ ษาตวั อยา่ งท ่ี 1-3 ในหนงั สอื เรยี ก mϫn ว่าเปน็ มิตขิ องเมทรกิ ์ เรียน แล้วสุ่มเรียกนักเรียนออกมาแสดงวิธีหาค�าตอบ บนกระดาน 3. ครูให้นักเรียนกลุ่มเดิมศึกษาชนิดของเมทริกซ์ใน หนงั สอื เรยี นหนา้ 137-139 แลว้ ใหต้ วั แทนกลมุ่ ออกมา เขียนเมทริกซ์บนกระดาน ให้นักเรียนกลุ่มอ่ืนตอบว่า เป็นเมทริกซ์ชนิดใด เพราะเหตใุ ด I nnovation ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม ท�าบัตรความรู้เร่ืองเมทริกซ์และชนิด ของเมทรกิ ซ ์ แล้วนา� เสนอผลงานเพ่อื แลกเปลย่ี นเรียนรู้ 172 ค่มู ือครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี เ ทรก 135 กจิ กรรมเสนอแนะ เชน่ A ϭ a11] เปน็ 1ϫ1 เมทริกซ์ มีมิต ิ 1ϫ1 ครเู ขยี นเมทรกิ ซ์มติ ิ 2ϫ2, 3ϫ3, 3ϫ4 บนกระดาน แลว้ สมุ่ มี 1 แถว 1 หลกั และมีสมาชิก 1 จ�านวน เรียกนักเรียนออกมาเขียนสมาชิกของเมทริกซ์ในต�าแหน่ง แถวและหลักที่กา� หนด เช่น ⎡ b11 ⎤ เป็น 2ϫ1 เมทรกิ ซ์ มมี ิต ิ 2ϫ1 B ϭ ⎢ b21 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ม ี 2 แถว 1 หลัก และมีสมาชกิ 2 จ�านวน 123 a11 ϭ ....., a12 ϭ ....., a13 ϭ ..... Ϫ1 4 0 a21 ϭ ....., a22 ϭ ....., a23 ϭ ..... ⎡ c11 c12 ⎤ เปน็ 2ϫ2 เมทรกิ ซ์ มมี ติ ิ 2ϫ2 a31 ϭ ....., a32 ϭ ....., a33 ϭ ..... ⎢ c22 ⎥ 3 Ϫ5 Ϫ6 ⎥⎦ Cϭ ⎢⎣ c21 ม ี 2 แถว 2 หลกั และมสี มาชิก 4 จ�านวน ค�าตอบ a11 ϭ 1, a12 ϭ 2, a13 ϭ 3 a21 ϭ Ϫ1, a22 ϭ 4, a23 ϭ 0 ⎡ d11 d12 d13 ⎤ เปน็ 2ϫ3 เมทริกซ์ มีมติ ิ 2ϫ3 a31 ϭ 3, a32 ϭ Ϫ5, a33 ϭ Ϫ6 ⎢ d22 d23 ⎥ Dϭ ⎣⎢ d21 ⎦⎥ ม ี 2 แถว 3 หลัก และมสี มาชิก 6 จ�านวน หมายเหตุ ข้อสอบแนว O-NET อาจเขยี นเมทริกซ์ดงั กลา่ วด้วยสัญลกั ษณ์ดงั น้ี ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ปน็ เมทริกซ์ ]A ϭ aij 1ϫ1 ]B ϭ bij 2ϫ1 2 433 ]C ϭ cij 2ϫ2 ]D ϭ dij 2ϫ3 นนั่ คือ A ϭ aij]mϫn เรียก A เป็น mϫn เมทรกิ ซ์ มีมติ เิ ทา่ กับ mϫn ม ี m แถว n หลัก และมีสมาชิก mn จ�านวน ตัวอย่างท ี่ 1 1. Ϫ3 2. 3 Ϫ3 Ϫ3 Ϫ4 3 ชดุ ของจา� นวนตอ่ ไปน้เี ปน็ เมทรกิ ซห์ รือไม่ เพราะเหตุใด ؊13 0 0 ⎡2 0.1 ⎤ Ϫ3 0 0 ⎢ ⎥ ⎢1 −3⎥ (1) ⎢ ⎥ ⎡2 −1⎤ 3. 0 3 0 4. 0 1 0 ⎢ ⎥ (2) ⎢ ⎥ 3 ⎢ 4 2 ⎥ 00 ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 6 Ϫ 2 ⎦⎥ 0 0 1 3 ⎡ 2 0.1 ⎤ ตอบข้อ 4 ⎢⎥ ⎢1 ⎥ ตอบ (1) ⎢ − 3 ⎥ เปน็ เมทริกซ ์ เพราะระบจุ า� นวนแถวและจ�านวนหลกั ได้ โดยม ี 4 แถว 2 หลัก ⎢ 4 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 6 Ϫ 2 ⎦⎥ ⎡2 − 1 ⎤ ไม่เปน็ เมทรกิ ซ์ เพราะไมม่ ีสมาชิกในแถวท่ี 2 หลกั ที่ 1 (2) ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ค่มู ือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 173

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 136 า รเ ่ เ เ่ ขอ้ สอบแนว O-NET ตวั อย่างท่ ี 2 กา� หนดเมทรกิ ซ ์ A ดงั นี้ 2 Ϫ1 2 1 ⎡ 2 0.3 − 1 0.5 ⎤ ก�าหนดให ้ A ϭ Ϫ1 0 4 ⎢⎥ 1 Ϫ3 คา่ ของ a12ϩa21Ϫa33 ตรงกบั ข้อใด ⎢ 2 −2 3 5 ⎥ A ϭ ⎢0 3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 2 1 5 0 ⎦ 1. ؊6 2. Ϫ4 3. 4 4. 6 จงหา (1) มติ ิของเมทรกิ ซ ์ A และจ�านวนสมาชกิ ของเมทรกิ ซ ์ A ตอบขอ้ 1 (2) a12 เฉลยละเอียด จาก A จะได ้ a12 ϭ Ϫ1, a21 ϭ Ϫ1, a33 ϭ 4 (3) a24ϩa33 ดังนน้ั a12ϩa21Ϫa33 ϭ (Ϫ1)+(Ϫ1)Ϫ4 ϭ Ϫ6 วธิ ีท�า (1) พจิ ารณาเมทริกซ์ A หลักที่ 1 หลกั ท่ี 2 หลกั ท่ี 3 หลักท่ี 4 ⎡ 2 0.3 − 1 0.5 ⎤ แถวท่ี 1 ⎢⎥ แถวที่ 2 ⎢ ⎥ แถวท่ี 3 Aϭ ⎢ 0 2 −2 3 5 ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 1 5 0 ⎦ จะได้วา่ เมทรกิ ซ์ A มมี ิต ิ 3ϫ4 ตอบ และเมทรกิ ซ์ A มีสมาชิก 12 จ�านวน ตอบ (2) a12 หมายถึง สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ A ในแถวท่ี 1 หลกั ท่ี 2 ตอบ ดงั น้ัน a12 ϭ 0.3 (3) a24 หมายถงึ สมาชิกของเมทรกิ ซ์ A ในแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 4 a33 หมายถึง สมาชิกของเมทรกิ ซ์ A ในแถวที่ 3 หลักที่ 3 จะไดว้ า่ a24 ϭ 3 5 และ a33 ϭ 5 ดงั นน้ั a24ϩa33 ϭ 3 5 ϩ 5 ϭ 4 5 174 คู่มือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรู้ท่ี เ ทรก 137 กจิ กรรมเสนอแนะ ตอบ ตวั อย่างที่ 3 134 กา� หนดเมทรกิ ซ ์ A ดังนี้ ครเู ขยี นเมทรกิ ซ ์ Aϭ Ϫ3 4 5 บนกระดาน แลว้ Ϫ4 Ϫ5 9 2iϩj เมือ่ i Ͼ j ให้นกั เรยี นเขยี นสมาชิก aij ในรปู แบบบอกเงื่อนไขของ ij A ϭ aij]3ϫ3 โดย aij ϭ Ϫ1 เมือ่ i ϭ j แนวค�าตอบ พิจารณาสมาชกิ ในแตล่ ะต�าแหน่ง จะพบว่า 5Ϫij เมอื่ i Ͻ j 1. เมอื่ i Ͻ j ไดแ้ ก ่ สมาชกิ ทอี่ ยใู่ นตา� แหนง่ a12, a13, a23 มคี า่ เท่ากับ 3, 4, 5 จงเขียน A แบบแจกแจงสมาชิก วิธที า� เนอ่ื งจาก ]A ϭ aij 3ϫ3 ตามลา� ดับ แทนดว้ ย iϩj 2. เมอ่ื i ϭ j ไดแ้ ก ่ สมาชกิ ทอี่ ยใู่ นตา� แหนง่ ⎡ a11 a12 a13 ⎤ a11, a22, a33 มีค่าเท่ากับ 1, 4, 9 ⎢ ⎥ จะได้ ⎢ ⎥ ตามล�าดับแทนดว้ ย ij Aϭ ⎢ a 21 a22 a23 ⎥ 3. เมอื่ i Ͼ j ไดแ้ ก ่ สมาชกิ ทอ่ี ยใู่ นตา� แหนง่ a21, a31, a32, มคี า่ เท่ากบั Ϫ3, Ϫ4, Ϫ5 ⎢ a 31 a 32 a 33 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ตามลา� ดบั แทนด้วย Ϫ(iϩj) ⎡ −1 5 − (1)(2) 5 − (1)(3) ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 23+2 ⎥ ϭ ⎢ 22+1 5 − (2)(3) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 23+1 − 1 ⎥⎦ ⎡ −1 5−2 5−3⎤ ดังน้นั A ϭ [aij]3ϫ3 ⎢ −1 ⎥ ⎢ 25 ⎥ ͕ iϩj เมื่อ i Ͻ j ϭ ⎢ 23 5 − 6 ⎥ ⎢ 24 ⎥ ⎣⎢ − 1 ⎦⎥ โดย aij ϭ ij เมอ่ื i ϭ j ⎡ −1 3 2 ⎤ Ϫ(iϩj) เม่ือ i Ͼ j ⎢⎥ ϭ ⎢ 8 −1 −1⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ 16 32 − 1 ⎦⎥ นดิ ของเมทริก ์ 1. เมทริก แ์ ถว คือ เมทรกิ ซ์ทม่ี ี 1 แถว n หลกั แหล่งสบื ค้น เช่น 2 Ϫ1]1ϫ2 1 3 0 ]2 1ϫ4 - https://www.youtube.com/watch?v=R9qqTLtAWDg 2. เมทริก ห์ ลกั คอื เมทริกซ์ทมี่ ี m แถว 1 หลกั ⎡ 1⎤ ⎡ 1⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ เชน่ ⎢ − 8 ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 4 ⎥⎦ 3×1 ⎢ − 2 ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 4 ×1 คมู่ อื ครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 175

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ความรเู้ พม่ิ เตมิ 138 า รเ ่ เ เ่ ถา้ Aเปน็ เมทรกิ ซจ์ ตั รุ สั แลว้ เสน้ ทแยงมมุ ทล่ี ากจากมมุ บนซา้ ย 3. เมทรกิ ศ์ นู ย์ คือ เมทรกิ ซท์ มี่ สี มาชกิ ทกุ ตวั เปน็ ศูนย์ ใช้สัญลกั ษณ ์ 0 มายังมมุ ล่างขวา โดยลากผา่ นสมาชิก a11, a22, a33, ..., ann เรยี กว่า เส้นทแยงมุมหลกั ⎡0 0⎤ จากเมทรกิ ซจ์ ัตุรสั จะพบวา่ 4. เมทรกิ จ์ ตั รุ สั เชน่ ]⎡ 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡0 0 0⎤ ⎢⎥ 0 0 0 0 1ϫ4 ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ 1. สมาชิกที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักทุกตัว คือ aij ⎢⎣ 0 0 ⎦⎥ 2×2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 ⎦⎥ 2× 3 เมอ่ื i Ͻ j ⎣⎢ 0 0 0 ⎥⎦ 3×2 2. สมาชิกท่ีอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักทุกตัว คือ aij เมื่อ i ϭ j คอื เมทริกซ์ท่ีมจี �านวนแถวเท่ากับจ�านวนหลกั 3. สมาชิกที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักทุกตัว คือ aij ⎡ −1 1 −2 − 3⎤ เมื่อ i Ͼ j ⎡ −1 4 −5 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢4 8 −2⎥ แหล่งสืบคน้ เชน่ ] ⎡ − 2 3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 8 ⎥ 7 1ϫ1 ⎢ ⎥ ⎢−6 4 −2⎥ ⎢ 4 ⎥ - https://www.youtube.com/watch?v=wx3HKGpxvZ4 ⎣⎢ 4 ⎢ 3 ⎢ 2 −4 0 − 1 ⎥ 1 ⎦⎥ 2×2 ⎣⎢ 0 ⎥ − 1 ⎥⎦3× 3 ⎣⎢ − 6 1 0 ⎥⎦ 4 ×4 ก�าหนด A ϭ ]aij nϫn (เปน็ เมทริกซจ์ ตั รุ สั nϫn) ⎡ a11 a12 a13 ... a1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a21 a22 a23 ... a2n ⎥ ϭ ⎢ a 31 a 32 a 33 ... a3n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ an1 an2 an3 ... ann ⎥⎦ เรียกว่า เสน้ ทแยงมมุ หลัก สมาชกิ บนเส้นทแยงมมุ หลักมี a11, a22, a33, ..., ann 5. เมทรกิ ส์ ามเหลยี่ ม (1) เมทริกซ์สำมเหลี่ยมบน คือ เมทริกซ์จัตุรัสท่ีมีสมาชิกใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็น 0 ทุกตัว ⎡6 8 −3 −2⎤ ⎡7 8 3⎤ ⎢ ⎥ เช่น ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 1 −2⎥ ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 ⎢ 0 0 4 − 1 ⎥ − 3 ⎦⎥ 3×3 0 ⎣⎢ 0 0 1 ⎥⎦ 4× 4 176 ค่มู อื ครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ เ ทรก 139 กิจกรรมเสนอแนะ (2) เมทริกซ์สำมเหล่ียมลำ่ ง คอื เมทรกิ ซจ์ ตั ุรัสที่มสี มาชกิ เหนอื เส้นทแยงมุมหลกั เป็น 0 ครูสุ่มเรียกนกั เรยี นออกมาสร้างเมทริกซใ์ หต้ รงกบั ชนิดของ ทกุ ตัว เมทริกซท์ ีค่ รกู า� หนดบนกระดาน เช่น ⎡2 0 0⎤ ⎡−2 0 0 0⎤ 1. ใหน้ กั เรยี นสร้างเมทริกซ์ศนู ย์ มติ ิ 3ϫ4 ⎢ ⎥ 2. ใหน้ กั เรยี นสร้างเมทริกซจ์ ัตรุ ัส มติ ิ 5ϫ5 เช่น ⎢ ⎥ ⎢ − 3 4 0 0 ⎥ 3. ใหน้ กั เรยี นสรา้ งเมทริกซส์ ามเหล่ียมลา่ ง มติ ิ 4ϫ4 ⎢3 −4 0⎥ ⎢ ⎥ 4. ใหน้ ักเรยี นสร้างเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ มติ ิ 4ϫ4 6. เมทรกิ เ์ ฉยี ง ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 7 9 8 ⎥⎦ 3×3 ⎢ 7 −2 0 0 ⎥ 1 8 ⎢⎣ 8 8 ⎦⎥ 4× 4 คือ เมทรกิ ซ์ทเี่ ป็นทง้ั เมทรกิ ซ์สามเหลย่ี มบนและเมทริกซ์สามเหลยี่ มลา่ ง เช่น ⎡ − 2 0 0⎤ ⎡−6 0 0 0⎤ ⎢ 8 ⎥ ⎢ 7 0 ⎥ ⎢0 0 ⎢0 0 5 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0 0 ⎥ 7. เมทรกิ ส์ เกลาร์ ⎣⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ข้อสอบแนว O-NET ⎢ 0 0 ⎥ 4 ⎥⎦ 3×3 ⎢⎣ 0 2 ⎥⎦ 4× 4 คือ เมทรกิ ซ์เฉยี งที่มีสมาชกิ บนเสน้ ทแยงมมุ หลกั เหมอื นกันหมด เมทรกิ ซใ์ นข้อใดไมเ่ ป็นเมทรกิ ซเ์ ฉียง ⎡−5 0 0 0⎤ 100 000 ⎡2 0 0⎤ ⎢ ⎥ 1. 0 2 0 2. 0 0 0 เชน่ ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 5 0 0 ⎥ ⎢0 2 0⎥ ⎢ ⎥ 001 000 8. เมทรกิ เ์ อกลกั ษณ์ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 2 ⎥⎦ 3× 3 ⎢ 0 0 −5 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 − 5 ⎥⎦ 4 ×4 001 4. 0 2 0 คือ เมทริกซ์สเกลาร์ท่ีมีสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็น 1 ทุกตัว หรืออาจนิยาม 3. I เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ท่มี มี ิติ nϫn ดังนี้ 100 ตอบขอ้ 4 บทนิยาม ส�าหรบั จ�านวนเตม็ บวก n ใดๆ จะให ้ In ϭ ijk]nϫn เมอื่ j และ k เปน็ จ�านวนเตม็ บวก ทนี่ ้อยกวา่ หรือเทา่ กบั n มสี มาชกิ ดังน้ี 1 เม่ือ j ϭ k ijk ϭ 0 เมื่อ j k และเรยี ก In วา่ เมทรกิ ์เอกลกั ษณ์ มติ ิ nϫn ⎡1 0 0⎤ ⎢⎥ จากบทนิยามจะได้ว่า I1 ϭ 1] I2 ϭ ⎡1 0⎤ ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ I3 ϭ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 ⎦⎥ คมู่ อื ครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 177

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 140 า รเ ่ เ เ่ ครูเขยี นเมทริกซ์ต่อไปนีบ้ นกระดาน เ ทรก เ ย่ี น Aϭ 2 1 5 บทนยิ าม ให ้ A ϭ aij]mϫn ถ้า B ϭ bij]nϫm มสี มบตั ิวา่ 478 bij ϭ aij ทกุ i ϭ 1, 2, 3, ..., n และ j ϭ 1, 2, 3, ..., m แล้วซักถามนกั เรียนดังน้ี แล้วเรียกเมทรกิ ซ ์ B ว่า เมทรกิ ส์ ลบั เปลี่ยนของ A เขียนแทนด้วย At คา� ถาม - เมื่อเราสลับเปล่ียนจากหลักเป็นแถวทุกหลักหรือ จากบทนยิ าม จะไดว้ ่า ถ้า A ϭ ⎡1 2 ⎤ แล้ว At ϭ ⎡1 3⎤ ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ สลับเปลี่ยนจากแถวเปน็ หลกั ทุกแถว จะได้เมทริกซ์ใด ⎢⎣ 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 และเมทรกิ ซ์ทไี่ ด้มีมติ ใิ ด 4 ⎦⎥ 24 สังเกตวา่ แถวที่ 1 ของ A เป็นหลกั ท ี่ 1 ของ At และ แถวท่ี 2 ของ A เปน็ หลักท ี่ 2 ของ At (แนวคำ� ตอบ : 1 7 มิติ 3ϫ2) ตัวอยา่ งที ่ 4 58 กา� หนดเมทรกิ ซ ์ A และ B ดังนี้ คา� ส�าคัญ ⎡ 1 2 3⎤ ⎡1 2⎤ เมทริกซส์ ลับเปลย่ี น ⎢ ⎥ ⎢⎥ A ϭ ⎢4 5 6⎥, B ϭ ⎢3 4⎥ I ndesign ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 7 8 9 ⎦⎥ ⎢⎣ 5 6 ⎥⎦ 24 จงหา (1) At (2) Bt 1. ครแู นะนา� วา่ ถา้ ใหเ้ มทรกิ ซ ์ B ϭ 1 7 ซงึ่ เมทรกิ ซ์ วธิ ีท�า (1) จาก ⎡ 1 2 3⎤ 58 ⎢⎥ A ϭ ⎢4 5 6⎥ B เกิดจากการสลับเปล่ียนจากหลักเป็นแถวหรือจาก ⎢⎥ แถวเ ป็นหลักของเมทริกซ ์ A เราจะเรียกเมทรกิ ซ ์ B ว่า ⎣⎢ 7 8 9 ⎦⎥ เมทรกิ ซส์ ลบั เปลย่ี นของ A จากนน้ั ครใู หน้ กั เรยี นศกึ ษา บทนิยามของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนในหนังสือเรียน ⎡1 4 7⎤ หนา้ 140 ⎢ ⎥ 2. ครใู หน้ กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา่ งท ี่ 4-5 ในหนงั สอื เรยี น แลว้ จะได ้ At ϭ ⎢2 5 8⎥ ตอบ สมุ่ เรยี กนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ หี าคา� ตอบบนกระดาน ⎢⎥ ตอบ ⎣⎢ 3 6 9 ⎥⎦ (2) จาก Bϭ ⎡1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢3 ⎢ 4⎥ ⎢⎣ 5 ⎥ 6 ⎥⎦ จะได ้ Bt ϭ ⎡1 3 5⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 4 6 ⎥⎦ I nnovation ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ ทา� บตั รความรเู้ รอ่ื งเมทรกิ ซส์ ลบั เปลยี่ น ข้อสอบแนว O-NET แล้วนา� เสนอผลงานเพอ่ื แลกเปลย่ี นเรียนรู้ กา� หนดให้ A เปน็ เมทรกิ ซข์ นาด 2ϫ2 และ At ϭ A แล้ว A คอื เมทรกิ ซใ์ นข้อใด I CT 14 Ϫ3 1 16 0 2 ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาโจทยเ์ รอ่ื งเมทรกิ ซส์ ลบั เปลย่ี น จาก search 1. 2 1 2. 3. 4. 0 engine ต่างๆ ตอบข้อ 3 4 Ϫ2 61 Ϫ2 178 คูม่ อื ครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี เ ทรก 141 I ntroduction จากตัวอยา่ งท่ี 4 จะเห็นไดว้ า่ ถ้า A เปน็ mϫn เมทริกซ ์ แลว้ At จะเป็น nϫm เมทรกิ ซ์ ครูเขยี นเมทรกิ ซ์ A และเมทรกิ ซ์ B ซึง่ มมี ติ ิ 2ϫ3 เท่ากัน บนกระดาน ดงั น้ี ตัวอย่างท่ี 5 3 Ϫ1 4 3x4 A ϭ 2 1 5 ,B ϭ 2 1 5 กา� หนดให้ A ϭ ⎡ −1 0 4⎤ แลว้ ซกั ถามนกั เรยี นดังน้ี ⎢ 0.2 ⎥ คา� ถาม จงหา (At)t ⎣⎢ 2 - ถ้าเมทริกซ ์ A และเมทรกิ ซ ์ B เทา่ กนั นกั เรยี นคิดวา่ x 5 ⎦⎥ ต้องมีค่าเท่าไร วิธีทา� จาก ⎡ −1 0 4 ⎤ (แนวค�ำตอบ : x ϭ Ϫ1) Aϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 0.2 5 ⎦⎥ จะได ้ At ϭ ⎡ −1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢ 0.2 ⎥ ⎣⎢ 4 ⎥ 5 ⎥⎦ ดังนน้ั (At)t ϭ ⎡ −1 0 4⎤ ตอบ I ndesign ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 0.2 5 ⎥⎦ 1. ครูให้นักเรียนศึกษาบทนิยามการเท่ากันของเมทริกซ์ ในหนงั สอื เรยี นหนา้ 141 แลว้ รวมกลมุ่ กนั สรปุ ประเดน็ หมายเหตุ ตอ่ ไปนี้ จากตวั อยา่ งที่ 5 จะเห็นวา่ ถา้ A เป็นเมทริกซใ์ ดๆ แลว้ (At)t ϭ A 1) เมทรกิ ซส์ องเมทรกิ ซท์ มี่ มี ติ ติ า่ งกนั จะเปน็ เมทรกิ ซท์ ่ี ไมเ่ ทา่ กนั การเทา่ กน เ ทรก 2) เมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันแต่สมาชิกท่ีอยู่ ในต�าแหน่งเดียวกันต่างกันเพียง 1 ตัว เมทริกซ์ บทนยิ าม ให ้ A ϭ aij]mϫn และ B ]ϭ bij mϫn ท้งั สองจะไมเ่ ท่ากนั เมทรกิ ซ ์ A และเมทรกิ ซ ์ B จะเทา่ กนั กต็ อ่ เมอ่ื เมทรกิ ซท์ งั้ สองมมี ติ เิ ทา่ กนั และสมาชกิ 2. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 6-7 ในหนังสือเรียน ท่ีอยู่ในต�าแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน หรือ aij ϭ bij ส�าหรับทุกค่าของ i และ j แล้วสุ่มเรียกนักเรียนออกมาแสดงวิธีหาค�าตอบบน เขยี นแทนดว้ ย A ϭ B กระดาน 3. ครใู หน้ กั เรยี นทา� แบบฝกึ หดั ท ี่ 1 และกจิ กรรมตรวจสอบ การเรียนรทู้ ่ี 1 I nnovation ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม ท�าบัตรความรู้เรื่องการเท่ากันของ เมทรกิ ซ ์ แลว้ น�าเสนอผลงานเพ่อื แลกเปลยี่ นเรยี นรู้ I CT ให้นักเรียนศึกษาโจทย์เร่ืองการเท่ากันของเมทริกซ์ จาก search engine ต่างๆ ค่มู ือครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 179

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 142 า รเ ่ เ เ่ ข้อสอบแนว O-NET ตวั อย่างที ่ 6 1. a bϩ1 3 2 คา่ ของ a, b และ c จงหาค่าของ x และ y ที่ทา� ให้ ⎡ 8 2⎤ ⎡8 2 ⎤ cϩ2 7ϭ 4 7 ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ x + 1 y ⎦⎥ ⎢⎣ 4 x2 ⎥⎦ ตรงกบั ข้อใด วธิ ีท�า เมทริกซท์ ั้งสองเทา่ กนั ก็ต่อเม่ือ xϩ1 ϭ 4 และ y ϭ x2 1. a ϭ 1, b ϭ 2, c ϭ 3 x ϭ 3 และ y ϭ 32 2. a ϭ 2, b ϭ 3, c ϭ 4 yϭ9 ตอบ 3. a ϭ 4, b ϭ 1, c ϭ 3 ดงั นน้ั ค่าของ x และ y ท่ที �าให้เมทริกซ์ทีก่ �าหนดเท่ากันคือ x ϭ 3 และ y ϭ 9 4. a ‫ ؍‬3, b ‫ ؍‬1, c ‫ ؍‬2 ตอบขอ้ 4 2. ก�าหนดให ้ a b 9 2 และ หมายเหตุ จากตัวอย่างท่ี 6 จะไดว้ ่า c ϭ x 1. เมทรกิ ซส์ องเมทริกซ์ทม่ี ีมิติต่างกนั จะเป็นเมทริกซ์ท่ีไม่เท่ากนั d Ϫ5 2. เมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันแต่สมาชิกท่ีอยู่ในต�าแหน่งเดียวกันต่างกันเพียง a ϭ bϩcϩ[(bϩ1)ϫd] คา่ ของ x เทา่ กบั ข้อใด 1 ตัว เมทรกิ ซท์ ง้ั สองจะไมเ่ ทา่ กัน 1. 21 2. 3 3. 4 4. 5 ⎡1 2⎤ ⎡ 1 2 ⎤ ⎢ ⎥ ตอบข้อ 3 เช่น ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ เฉลยละเอยี ด ⎢ 3 4⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ 5 6 ⎦⎥ ⎢⎣ 5 9 ⎦⎥ ถ้า a b ϭ9 2 แล้ว a ϭ 9, b ϭ 2, ตัวอยา่ งท่ี 7 c d Ϫ5 x กา� หนดเมทริกซ ์ A และ B ดงั น้ี c ϭ Ϫ5 และ d ϭ x จาก a ϭ bϩcϩ[(bϩ1)ϫd] นา� ค่าของ a, b, c และ d ⎡ 2 −6 ⎤ มาแทนคา่ จะได้ ⎢⎥ ⎡2 −1 2x + 3y 0⎤ ⎢ −1 3x − 4y ⎥ 9 ϭ 2ϩ(Ϫ5)ϩ3x ⎢ 13 1 ⎥ ⎢ ⎥ Aϭ ⎢⎣ − 6 2 ⎥⎦ , B ϭ ⎢ ⎥ 12 ϭ 3x ⎢ ⎥ 3 1 xϭ4 ⎣⎢ 0 2 ⎦⎥ ถ้า A ϭ Bt แล้วค่าของ xϪy เท่ากบั เทา่ ไร ⎡2 −6 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ −1 3x − 4y ⎥ วธิ ที า� เน่อื งจาก Bϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 1 ⎥ ⎢ 0 2 ⎥ ⎣ ⎦ แหล่งสืบค้น กจิ กรรมเสนอแนะ - https://www.youtube.com/watch?v=uLA7hhwnzMw - https://www.youtube.com/watch?v=m1nEv_Uq0RA ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาว่าเมทรกิ ซ์ตอ่ ไปนี้ เมทริกซ์ไดบ้ า้ งเปน็ เมทรกิ ซท์ ่ีเทา่ กนั Aϭ 5 Ϫ32 22 Bϭ 16 Ϫ5 |Ϫ7| 9 36 3 Ϫ64 22 3 Ϫ125 Dϭ 3 Ϫ8 |Ϫ4| Cϭ 49 (Ϫ3)2 6 Ϫ|Ϫ4| 180 ค่มู อื ครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ เ ทรก 143 ข้อสอบแนว O-NET จะได้ Bt ϭ ⎡ 2 −1 3 0⎤ xyϩy2 และ B ϭ 2 z และเนอื่ งจาก ⎢ ⎥ 2 3 ⎣⎢ − 6 3x − 4y 1 2 ⎦⎥ ก�าหนดให้ A ϭ 2 3y A ϭ Bt x จะได้ ⎡ 2 − 1 2x + 3y 0 ⎤ ⎡ 2 −1 3 0 ⎤ ถา้ A ϭ B แล้วคา่ ของ x, y และ z ตามลา� ดบั ตรงกับขอ้ ใด ⎢ ⎥ ϭ⎢ ⎥ 1. 2, 3, 4 2. 1, 2, 3 ⎣⎢ − 6 13 1 2 ⎦⎥ ⎢⎣ − 6 3x − 4y 1 2 ⎦⎥ 3. 2, 1, 3 4. 1, 3, 2 พบวา่ 2xϩ3y ϭ 3 ..........(1) AϭB ..........(2) ตอบข้อ 3 3xϪ4y ϭ 13 ..........(3) เฉลยละเอียด ..........(4) เนือ่ งจาก (1)ϫ3; 6xϩ9y ϭ 9 ตอบ (2)ϫ2; 6xϪ8y ϭ 26 (3)Ϫ(4); (6xϩ9y)Ϫ(6xϪ8y) ϭ 9Ϫ26 จะไดว้ ่า 2 xyϩy2 ϭ 2 z 17y ϭ Ϫ17 x 3y 23 y ϭ Ϫ1 ดังนั้น x ϭ 2 และ 3y ϭ 3 → y ϭ 1 แทนค่า y ϭ Ϫ1 ลงใน (1); 2xϩ3(Ϫ1) ϭ 3 2xϪ3 ϭ 3 2x ϭ 6 น�าคา่ x และ y มาแทนใน xyϩy2 ϭ z xϭ3 ดงั นัน้ z ϭ (2ϫ1)ϩ(1)2 ϭ 3 ดงั นั้น ค่าของ xϪy เท่ากบั 3Ϫ(Ϫ1) ϭ 4 เฉลยแบบฝกึ หัดในหน้า 252 แบบ กหั ที่ 1 1. กา� หนดให้ A ϭ ⎡ −1 3 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 5 1 − 4 ⎦⎥ (1) จงบอกมิตขิ องเมทรกิ ซ์ A (2) เมทรกิ ซ์ A มีกี่แถว ก่ีหลัก และสมาชิกของแต่ละแถว และแต่ละหลักมีอะไรบ้าง 2. กา� หนดให้ B ϭ ⎡−4 0 2 8⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 6 10 − 4 5 ⎥⎦ (1) จงบอกมิตขิ องเมทริกซ์ B (2) เมทรกิ ซ์ B มกี แี่ ถว กีห่ ลกั และสมาชกิ ของแตล่ ะแถว และแตล่ ะหลกั มีอะไรบา้ ง คมู่ ือครู หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 181

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 144 า รเ ่ เ เ่ ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 3. กา� หนดให้ C ϭ ⎢ 0 −1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 − 1 ⎦⎥ (1) Cij ϭ Ϫ1 เมื่อ i และ j สมั พันธ์กนั อย่างไร (2) Cij ϭ 0 เมอื่ i และ j สัมพนั ธก์ นั อยา่ งไร 4. จงเขยี นเมทริกซ์ต่อไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชิก (1) A ϭ [aij]3ϫ4 โดยท ่ี aij ϭ iϩj ส�าหรบั ทกุ i ϭ 1, 2, 3 และ j ϭ 1, 2, 3, 4 (2) B ϭ bij]3ϫ3 โดยท ี่ bij ϭ 1 ,iϽj 3ϪiϪj , i ϭ j (Ϫ4)iϩj , i Ͼ j 5. จงเขยี นเมทริกซส์ ลับเปลย่ี นของเมทริกซ์ท่กี า� หนดใหต้ อ่ ไปน้ี (1) A ϭ 8 5 6] ⎡4 0 2 −4⎤ (2) B ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 7 6 5 11 ⎥⎦ ⎡3 −6⎤ ⎡−3 2⎤ (3) C ϭ ⎢ ⎥ (4) D ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 9 − 12 ⎥⎦ ⎢5 ⎢ 4⎥ ⎢⎣ 7 ⎥ 6 ⎦⎥ 6. กา� หนดให้ A ϭ ⎡3 −4 6 ⎤ จงหา ⎢ 7 8 ⎥ ⎢⎣ − 5 ⎥⎦ (1) At (2) (At)t (3) ((At)t)t (4) (((At)t)t)t 7. กา� หนดให้ Aϭ ⎡−2 3⎤ ⎡3 4⎤ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 5 6 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 1 ⎥⎦ ⎡ 3 22 ⎤ ⎡x−4 3⎤ ⎢ (− 1)2 ⎥ ⎢ ⎥ Cϭ ⎢ ⎥ , D ϭ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ x ⎦⎥ ⎢⎣ 4 เมทริกซใ์ ดบา้ งเป็นเมทรกิ ซ์ท่เี ท่ากัน 182 ค่มู อื ครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ เ ทรก 145 L earning for 21st Century Skills 8. จงหาคา่ ของตัวแปรในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม สร้างแบบทดสอบปรนัย 4 ตัวเลือก ให้มีเน้ือหาครอบคลุมเร่ืองเมทริกซ์ ชนิดของเมทริกซ์ ⎡ −1 2x ⎤ ⎡ − 1 2⎤ ⎡4 −6⎤ ⎡4 −6⎤ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน และการเท่ากันของเมทริกซ์ กลุ่มละ (1) ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 10 ข้อ จากนั้นจับคู่กับเพ่ือนกลุ่มอื่นแลกเปลี่ยนกันท�า (2) ⎢ x ⎢ 2x − 1 แบบทดสอบ แลว้ รว่ มกนั เฉลยค�าตอบ ⎣⎢ 4 5 ⎦⎥ ⎢⎣ 4 5 ⎥⎦ ⎢ 4x ⎥ ϭ ⎢ 2y ⎥ ⎣⎢ 5 ⎥ ⎥ 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 5 0 ⎥⎦ ⎡ x2 − 9 5 ⎤ ⎡0 5⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (3) ⎢ ⎥ ϭ y2 ⎥⎦ ⎢ x2 y2 ⎥ ⎣⎢ z ⎣ + 1 ⎦ 9. ถ้า x2Ϫxϩ1 ϭ 0 แลว้ เมทริกซต์ ่อไปนีเ้ ทา่ กนั หรือไมเ่ ทา่ กนั L earning for Metacognition ⎡ x2 x − x2 ⎤ และ ⎡ x−1 1⎤ ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม แล้วให้ตัวแทนกลุ่มจับสลากเลือก ⎢ x ⎥ ⎢ −3 ⎥ หวั ขอ้ ท ี่ 1.1-1.3 ในหนงั สอื เรยี น จดั ปา้ ยนเิ ทศนา� เสนอความรู้ ⎢⎣ − 3 ⎦⎥ ⎣⎢ ตามหวั ข้อท่จี ับสลากได้ x2 + 1 ⎥⎦ 10. กา� หนดเมทรกิ ซ ์ A และ B ดังนี้ ⎡3 y⎤ ⎡ 3 y+2⎤ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2x 4 ⎥⎦ ⎣⎢ 1 − x 4 ⎦⎥ ถา้ At ϭ B แล้วคา่ ของ x2ϩy2 เท่ากบั เทา่ ไร เฉลยกจิ กรรมในหน้า 253 กจิ กรรมตรวจสอบการเรียนรู้ท่ี 1 1. ใหน้ ักเรียนจบั คูก่ นั แลว้ ศกึ ษาบทนิยามต่อไปนี้ บทนยิ าม ก�าหนด A เปน็ เมทรกิ ซ์จตั ุรัส nϫn A เป็นเมทริกซ์สมมาตรกต็ ่อเมอื่ At ϭ A 2. แตล่ ะคู่ช่วยกันตรวจสอบว่าเมทริกซท์ กี่ �าหนดให้เมทริกซ์ใดบา้ งที่เป็นเมทรกิ ซ์สมมาตร ⎡ 2 4 −6⎤ ⎡1 3 5⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ A ϭ ⎢ 4 −7 7⎥ B ϭ ⎢5 1 3⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ − 6 7 1 ⎦⎥ ⎢⎣ 3 5 1 ⎦⎥ ⎡6 −2 −8 2⎤ ⎡ 2 5 −6 9⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢8 0 2 −8⎥ ⎢ 5 −1 1 4 ⎥ Cϭ ⎢ ⎥ Dϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 2 0 − 2 ⎥ ⎢ − 6 1 0 0 ⎥ ⎣⎢ 2 4 8 6 ⎦⎥ ⎢⎣ 9 4 0 7 ⎥⎦ ค่มู ือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 183

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 146 า รเ ่ เ เ่ ครทู บทวนเกย่ี วกบั การบวกจา� นวนจรงิ จากนนั้ เขยี นเมทรกิ ซ์ การ วกเ ทรก การ ู เ ทรก ก A และ B ทม่ี ีมิติเท่ากันบนกระดาน ดงั น้ี านวน ร การ ู ร หวา่ เ ทรก Ϫ1 3 02 Aϭ ,B ϭ 4 2 Ϫ5 Ϫ7 แล้วซกั ถามนักเรยี นดังน้ี แนวคิ สาำ คญั การ วกเ ทรก คา� ถาม - ถ้าน�าเมทริกซ์ A บวกกับเมทริกซ์ B นักเรียนคิดว่า เ ทรกิ ซใด จะ วกกน ด้เ ่ือเ ทรกิ ซทงสอง ี บทนิยาม ให ้ A ϭ aij]mϫn และ B ]ϭ bij mϫn ิติเท่�กน ก�ร วกเ ทริกซให้นำ�ส �ชิกตำ�แหน่ง จะได ้ AϩB ϭ ]aijϩbij mϫn จะไดผ้ ลลัพธ์เป็นเมทรกิ ซ์หรือจา� นวนจรงิ เดียวกน � วกกน โดยที่เ ทริกซ ลลพ จะ ี ิติ (แนวค�ำตอบ : ได้ ลลัพ ์เป็นเมทรกิ ซ)์ เท่�เดิ ก�รคู เ ทริกซก จำ�นวนจริง ห� ลคู ด้ ]ϭ bijϩaij mϫn - AϩB คือเมทริกซ์ใด โดยนำ�จำ�นวนจริงคู ก ส �ชิกทกตวของเ ทริกซซ่ง จะ ด้ ลลพ เปนเ ทริกซที่ ี ิติเท่�เดิ ส่วนก�รคู ϭ BϩA ระหว่�งเ ทริกซจะห� ลคู ด้เ ื่อจำ�นวนหลกของ (แนวค�ำตอบ : AϩB ϭ (Ϫ1)ϩ0 3ϩ2 ตวตงเท่�ก จำ�นวนแ วของตวคู ซ่งเ ทรกิ ซ ลลพ 4ϩ(Ϫ5) 2ϩ(Ϫ7) จะ ี ิติเท่�ก จำ�นวนแ วของตวตงและจำ�นวนหลก ของตวคู Ϫ1 5 ϭ Ϫ1 Ϫ5 ) คา� ส�าคัญ ตัวอยา่ งท่ ี 1 การบวกเมทรกิ ซ์ จงหาเมทรกิ ซ ์ AϩB เมื่อก�าหนด ⎡7 2 0⎤ ⎡−2 8 4⎤ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ I ndesign ⎢⎣ 3 − 1 4 ⎥⎦ ⎢⎣ − 3 − 2 5 ⎥⎦ 1. ครูให้นักเรียนศึกษาบทนิยามการบวกเมทริกซ์ใน วิธีท�า ⎡7 2 0⎤ ⎡−2 8 4⎤ หนังสือเรียนหน้า 146 โดยครูให้ข้อสังเกตว่าเมทริกซ์ AϩB ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ใดๆ จะบวกกนั ไดต้ อ้ งเปน็ เมทรกิ ซท์ ม่ี มี ติ เิ ดยี วกนั และ ⎣⎢ 3 − 1 4 ⎦⎥ ⎢⎣ − 3 − 2 5 ⎦⎥ วิธีบวกท�าได้โดยน�าสมาชิกต�าแหน่งเดียวกันในแต่ละ เมทริกซ์มาบวกกนั ⎡ 7 + (− 2) 2+8 0+4 ⎤ ϭ⎢ (− 1) + (− 2) ⎥ 2. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษาสมบัติเก่ียวกับการบวก เมทริกซ์และตัวอย่างท่ี 1-6 ในหนังสือเรียน แล้วสุ่ม ⎢⎣ 3 + (− 3) 4 + 5 ⎦⎥ เรยี กนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ กี ารหาคา� ตอบบนกระดาน ⎡ 5 10 4 ⎤ ตอบ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 3 9 ⎦⎥ จากตวั อยา่ งพบวา่ ถา้ A, B เปน็ เมทรกิ ซท์ ม่ี มี ติ เิ ดยี วกนั จะสามารถหา AϩB ไดเ้ สมอ นอกจากน้ี ยังสามารถหา AϪB ได้เม่ือให้บทนยิ ามของ AϪB ดงั น้ี I nnovation I CT ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม ออกแบบการเล่นเกมท่ีใช้ความรู้เรื่อง ให้นกั เรยี นศึกษาโจทย์เรอื่ งการบวกเมทรกิ ซ์ จาก search engine ต่างๆ การบวกเมทรกิ ซ ์ แลว้ นา� เสนอผลงานเพอ่ื แลกเปลย่ี นเรยี นรู้ แหล่งสบื คน้ - https://www.youtube.com/watch?v=mTA0l1mSiV8 184 ค่มู อื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition บทนิยาม ถ้าเมทรกิ ซ ์ A ϭ aij]mϫn และ B ]ϭ bij mϫn หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ เ ทรก 147 กจิ กรรมเสนอแนะ จะได ้ AϪB ]ϭ aijϪbij mϫn ตอบ ให้นกั เรียนแบ่งกลมุ่ สรา้ งเมทรกิ ซ ์ A, B, C, D, E, F, G, H, ตวั อยา่ งท่ ี 2 ตอบ I, J ตามเงอ่ื นไขตอ่ ไปน้ี 1. AϩB เป็นเมทรกิ ซม์ ิต ิ 2ϫ4 จงหาเมทริกซ์ AϪB เม่ือก�าหนด 00 Aϭ ⎡0 −4⎤ ⎡8 1⎤ 2. CϩD ϭ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢3 ⎢ −1 3. EϩF เป็นเมทริกซ์สามเหลย่ี มลา่ ง ⎢ 2⎥, B ϭ ⎢ 2⎥ 4. GϩH มีสมาชกิ ทกุ ตัวเป็นจา� นวนลบ ⎣⎢ 4 ⎥ ⎣⎢ − 2 ⎥ 5. IϩJ บวกกันไม่ได้ 4 ⎥⎦ 0 ⎦⎥ ⎡0 −4⎤ ⎡ 8 1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ วธิ ีทา� ⎢3 ⎥ ⎢ AϪB ϭ ⎢ 2 ⎥ Ϫ ⎢ −1 2⎥ ⎣⎢ 4 ⎥ 4 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 0 ⎥⎦ ⎡ 0−8 (− 4) − 1 ⎤ ข้อสอบแนว O-NET ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ϭ ⎢ 3 − (− 1) 2−2 ⎥ ⎢ 4 − (− 2) 4−0 ⎥ 3 4 12 Ϫ2 4 Ϫ8 ⎣⎢ ⎦⎥ 0 Ϫ1 ถา้ A ϭ 8 ⎡−8 −5⎤ 7 6 ,Bϭ 1 ⎢ ⎥ ϭ ⎢4 9 15 Ϫ2 7 Ϫ2 5 ⎢ 0⎥ ⎢⎣ 6 ⎥ แล้ว AϩB ตรงกับข้อใด 4 ⎥⎦ ตัวอยา่ งท ่ี 3 1 84 กา� หนดเมทริกซ ์ C, D และ E ดังนี้ 1. 9 7 5 16 13 3 C ϭ Ϫ1 Ϫ3], D ϭ 2 Ϫ5], E ϭ ⎡ 0⎤ 5 0 20 ⎢ ⎥ 2. 7 7 7 ⎣⎢ − 6 ⎥⎦ 2 17 Ϫ7 จงหา (1) (CϩD)ϪEt (2) Ctϩ(EϪDt) วิธที า� (1) CϩD ϭ Ϫ1 Ϫ3]ϩ 2 Ϫ5] ]ϭ (Ϫ1)ϩ2 (Ϫ3)ϩ(Ϫ5) ϭ 1 Ϫ8] Ϫ5 0 Ϫ20 (CϩD)ϪEt ϭ 1 Ϫ8]Ϫ 0 Ϫ6] 3. Ϫ7 Ϫ7 Ϫ7 ϭ 1Ϫ0 ](Ϫ8)Ϫ(Ϫ6) Ϫ2 Ϫ17 7 ϭ 1 Ϫ2] Ϫ12 16 Ϫ96 4. 8 0 Ϫ6 63 Ϫ30 Ϫ10 ตอบขอ้ 1 ค่มู อื ครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 185

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 148 า รเ ่ เ เ่ ใหน้ กั เรยี นหาเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณก์ ารบวกและเมทรกิ ซผ์ กผนั EϪDt ϭ ⎡ 0⎤ ⎡ 2⎤ ϭ ⎡ 0−2 ⎤ ⎡−2⎤ การบวกของเมทริกซต์ ่อไปน้ี ⎢ ⎥Ϫ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ (2) ⎣⎢ (− 6) − (− 5) ⎥⎦ ⎢⎣ − 1 ⎦⎥ ⎢⎣ − 6 ⎥⎦ ⎣⎢ − 5 ⎥⎦ 1. Ϫ2 3 Ctϩ(EϪDt) ϭ ⎡ −1⎤ ⎡ −2 ⎤ ϭ ⎡ (− 1) + (− 2) ⎤ ϭ ⎡ −3⎤ ตอบ Ϫ3 6 ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎢ (− 3) + (− 1) ⎦⎥ ⎣⎢ − 4 ⎦⎥ ⎣⎢ − 3 ⎥⎦ ⎣⎢ − 1 ⎥⎦ 4 0 Ϫ8 กสามรบบัตวิเกกเีย่มวทกรับกิ 2. Ϫ1 15 1. สมบตั ปิ ิดสา� หรับการบวก 50 0 ถา้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซ์ท่ีมีมิตเิ ดยี วกัน 3. 4 Ϫ5 0 แลว้ AϩB จะเป็นเมทรกิ ซ์ 5 Ϫ2 2 2. สมบัตกิ ารสลับท่สี �าหรบั การบวก ถา้ A และ B เป็นเมทรกิ ซท์ มี่ ีมติ ิเดียวกนั แล้ว AϩB ϭ BϩA คา� ตอบ เมทรกิ เ์ อกลกั ษณก์ ารบวก เมทรกิ ผ์ กผนั การบวก 3. สมบตั กิ ารเปลยี่ นหมสู่ า� หรบั การบวก ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ เดียวกนั แล้ว (AϩB)ϩC ϭ Aϩ(BϩC) 1. 0 0 2 Ϫ3 00 3 Ϫ6 4. สมบตั ิการมเี อกลกั ษณ์การบวก ถ้า A เป็นเมทรกิ ซท์ ่ีมมี ิตเิ ดียวกบั 0 แลว้ Aϩ0 ϭ A ϭ 0ϩA เรยี ก 0 ว่าเปน็ 00 0 Ϫ4 0 8 เอกลกั ษณก์ ารบวกของ A 2. 1 Ϫ1 Ϫ5 5. สมบตั ิการมีตัวผกผนั การบวก ถ้า A เปน็ เมทริกซท์ ม่ี มี ิติเดียวกับ 0 แลว้ 00 0 Ϫ5 0 0 Aϩ(ϪA) ϭ 0 ϭ (ϪA)ϩA เรียก ϪA Ϫ4 5 0 ว่าเปน็ ตัวผกผนั การบวกของ A 00 0 3. 0 0 0 2 Ϫ2 Ϫ5 00 0 ตวั อยา่ งท ี่ 4 กา� หนดเมทริกซ ์ A, B และ C ดงั น้ี ⎡1 2⎤ ⎡−2 4⎤ ⎡6 −3⎤ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥, C ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 − 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 5 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 7 ⎦⎥ จงหา (1) AϩB และ BϩA พร้อมท้ังบอกวา่ AϩB ϭ BϩA หรอื ไม่ (2) (AϩB)ϩC และ Aϩ(BϩC) พรอ้ มทง้ั บอกว่า (AϩB)ϩC ϭ Aϩ(BϩC) หรอื ไม่ (3) เอกลกั ษณก์ ารบวกของ A, B และ C (4) ตวั ผกผนั การบวกของ A, B และ C ข้อสอบแนว O-NET 2 Ϫ3 1 Ϫ2 4 0 1 ,Bϭ 3 2 ถ้า A ϭ Ϫ2 3 2 1 Ϫ2 1 แลว้ AϪB ตรงกบั ข้อใด 14 3 01 1 4 ؊7 1 Ϫ4 Ϫ2 0 2 40 1. 1 5 2 2. ؊5 1 0 3. Ϫ6 6 1 4. Ϫ2 2 1 5 22 0 6 ؊1 1 Ϫ8 6 1 Ϫ2 2 ตอบขอ้ 2 186 คู่มือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรู้ท่ี เ ทรก 149 แหลง่ สบื ค้น วิธที า� (1) ⎡1 2⎤ ⎡−2 4⎤ - https://www.youtube.com/watch?v=0LOhXmrSlsc AϩB ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 − 1 ⎦⎥ ⎢⎣ 5 0 ⎦⎥ ⎡ 1 + (− 2) 2+4 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 + 5 (− 1) + 0 ⎦⎥ ⎡ −1 6 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ 8 − 1 ⎥⎦ ⎡−2 4⎤ ⎡1 2⎤ BϩA ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎣⎢ 5 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 − 1 ⎥⎦ ⎡ (− 2) + 1 4+2 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 + 3 0 + (− 1) ⎦⎥ ⎡ −1 6 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 8 − 1 ⎦⎥ จะไดว้ า่ AϩB ϭ BϩA ตอบ ⎡ −1 6 ⎤ ⎡ 6 − 3⎤ (2) (AϩB)ϩC ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎣⎢ 8 − 1 ⎦⎥ ⎢⎣ 0 7 ⎦⎥ ⎡ (− 1) + 6 6 + (− 3) ⎤ ⎢ ⎥ ϭ ⎢⎣ 8 + 0 (− 1) + 7 ⎥⎦ ⎡5 3⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 8 6 ⎥⎦ ⎡1 2⎤ ⎛⎡−2 4⎤ ⎡6 − 3 ⎤⎞ Aϩ(BϩC) ϭ ⎢ ⎥ ϩ⎜⎢ ⎥+⎢ ⎥⎟ ⎣⎢ 3 − 1 ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣ 5 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 7 ⎥⎦⎠ ⎡1 2 ⎤ ⎡ (− 2) + 6 4 + (− 3) ⎤ ϭ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 − 1 ⎦⎥ ⎢⎣ 5 + 0 0 + 7 ⎦⎥ ⎡1 2⎤ ⎡4 1⎤ ϭ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 7 ⎥⎦ ⎡1+ 4 2+1 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 + 5 (− 1) + 7 ⎦⎥ คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 187

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 150 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนหาเมทรกิ ซ ์ X ทที่ �าให ้ ⎡5 3⎤ ϭ⎢ ⎥ 21 5 Ϫ3 2 Ϫ1 XϪ 1 Ϫ1 4 ϭ Ϫ7 7 4 ⎢⎣ 8 6 ⎥⎦ 7 2 Ϫ3 0 32 จะไดว้ ่า (AϩB)ϩC ϭ Aϩ(BϩC) ตอบ ตอบ แนวคา� ตอบ (3) เอกลักษณก์ ารบวกของ A, B และ C คือ ⎡ 0 0 ⎤ หรอื 0 ⎢ ⎥ ตอบ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦ Ϫ3 2 Ϫ1 2 1 5 (4) ตัวผกผนั การบวกของ A คือ ϪA ⎡1 2 ⎤ ⎡ −1 −2 ⎤ Ϫ7 7 4 ϩ 1 Ϫ1 4 ϭ Ϫ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ 7 ⎢⎣ 3 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢ − 3 1 ⎥⎦ Xϭ 2 Ϫ3 0 3 2 ϭ ตัวผกผันการบวกของ B คอื ϪB ϭ ⎡−2 4⎤ ⎡ 2 −4⎤ Ϫ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 Ϫ1 3 4 0 ⎥⎦ ⎢⎣ − 5 0 ⎦⎥ Ϫ6 6 8 7 ตัวผกผันการบวกของ C คอื ϪC ϭ ⎡6 −3⎤ ⎡−6 3⎤ 5 Ϫ1 Ϫ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 7 ⎦⎥ ⎢⎣ 0 − 7 ⎦⎥ ตวั อยา่ งท ่ี 5 จงหาเมทริกซ ์ X ทีท่ �าให้ Xϩ ⎡ 4 2 0⎤ ⎡−2 2 6⎤ ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ Trick ⎢⎣ − 3 1 7 ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 5 4 ⎥⎦ วธิ ีท�า ให้เมทริกซ์ X มีมิต ิ 2ϫ3 จะได้วา่ ตัวอย่างท่ี 5 (วธิ ีลดั ) ⎡ 4 2 0⎤ ⎡−2 2 6⎤ Xϩ ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 3 1 7 ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 5 4 ⎥⎦ 420 Ϫ2 2 6 ⎛ ⎡ 4 2 0 ⎤⎞ ⎡ − 4 − 2 0 ⎤ ⎡−2 2 6⎤ ⎡−4 −2 0⎤ Xϩ ϭ Ϫ1 5 4 ⎜X+ ⎢ ⎥⎟ ϩ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎝ ⎣⎢ − 3 1 7 ⎦⎥⎠ ⎣⎢ 3 − 1 − 7 ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 5 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 3 − 1 − 7 ⎥⎦ Ϫ3 1 7 จะได ้ X ϭ Ϫ2 2 64 2 0 ⎛⎡ 4 2 0 ⎤ ⎡−4 −2 0 ⎤⎞ ⎡−2 2 6⎤ ⎡−4 −2 0⎤ Ϫ1 5 Ϫ 1 7 Xϩ ⎜ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎟ ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎝ ⎣⎢ − 3 1 7 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 − 1 − 7 ⎥⎦⎠ ⎢⎣ − 1 5 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 − 1 − 7 ⎥⎦ 4 Ϫ3 ⎡0 0 0⎤ ⎡−6 0 6⎤ Ϫ6 0 6 Xϩ ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ϭ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 4 − 3 ⎦⎥ 2 4 Ϫ3 ⎡−6 0 6⎤ ตอบ Xϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 4 − 3 ⎥⎦ ขอ้ สอบแนว O-NET 2 Ϫ1 4 34 1 ถา้ A ϭ 1 0 Ϫ3 , B ϭ 6 8 2 แล้วตวั ผกผนั การบวกของ AϩB ตรงกับข้อใด 2 11 00 0 6 Ϫ4 4 2 Ϫ1 4 ؊5 ؊3 ؊5 Ϫ1 Ϫ5 3 1. 6 0 Ϫ6 2. 1 8 Ϫ1 3. ؊7 ؊8 1 4. Ϫ5 Ϫ8 Ϫ5 00 0 01 2 ؊2 ؊1 ؊1 2 11 ตอบขอ้ 3 188 คมู่ ือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี เ ทรก 151 กจิ กรรมเสนอแนะ จากตวั อยา่ งท่ี 5 จะได้วา่ หลังจากศึกษาตวั อย่างท่ี 6 ครูใหน้ ักเรียนสร้างเมทรกิ ซ์ A และเมทริกซ ์ B ท่ีมีมติ ิ 3ϫ3 แล้วหา ⎡4 2 0⎤ และ ⎡− 4 −2 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1. (AϩB)t ⎣⎢ − 3 1 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 − 1 2. At ϩBt − 7 ⎥⎦ 3. (AϪB)t 4. At ϪBt เป็นตัวผกผันการบวกซง่ึ กันและกนั ตัวอย่างท ่ี 6 กา� หนดเมทรกิ ซ ์ A และ B ดังน้ี ⎡ 2 −1 ⎤ ⎡0 3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢6 A ϭ ⎢ 3 2 ⎥ , B ϭ ⎢ −2⎥ ⎢⎣ 1 ⎥ ⎣⎢ 4 5 ⎦⎥ 1 ⎥⎦ จงหา (1) (AϩB)t (2) AtϩBt (3) (AϪB)t (4) AtϪBt ⎡ 2 −1 ⎤ ⎡0 3⎤ ⎡2 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ วธิ ที า� (1) ⎢ ⎥ AϩB ϭ ⎢ 3 2 ⎥ ϩ ⎢ 6 −2⎥ ϭ ⎢9 0⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 5 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 6 ⎦⎥ (AϩB)t ϭ ⎡2 9 5⎤ ตอบ ⎢ ⎥ ตอบ ⎣⎢ 2 0 6 ⎦⎥ ตอบ ⎡ 2 3 4 ⎤ ⎡0 6 1⎤ ⎡2 9 5⎤ ตอบ (2) AtϩBt ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 2 5 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 −2 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 0 6 ⎦⎥ ⎡ 2 −1 ⎤ ⎡0 3⎤ ⎡ 2 −4⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ (3) AϪB ϭ ⎢ 3 2 ⎥ Ϫ ⎢ 6 −2⎥ ϭ ⎢−3 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 4 5 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 4 ⎥⎦ (AϪB)t ϭ ⎡ 2 −3 3⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 4 4 4 ⎥⎦ AtϪBt ϭ ⎡2 3 4⎤ ⎡0 6 1⎤ ⎡ 2 −3 3⎤ ⎢ ⎥Ϫ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ (4) ⎣⎢ − 1 2 5 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 − 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ − 4 4 4 ⎦⎥ คู่มือครู หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 189

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ndesign 152 า รเ ่ เ เ่ 1. ครูอธิบายบทนิยามการคูณเมทริกซ์กับจ�านวนจริง จากตัวอย่างที่ 6 จะได้ว่า ตามหนงั สอื เรยี นหนา้ 152 จากนนั้ ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ =(AϩB)t ศึกษาสมบัติการคูณเมทริกซ์กับจ�านวนจริง และ AtϩBt ตัวอยา่ งท ี่ 7-9 ในหนังสือเรียน แล้วสุ่มเรียกนกั เรียน ออกมาแสดงวิธหี าคา� ตอบบนกระดาน และ =(AϪB)t AtϪBt 2. ครูให้นักเรียนช่วยกันสรุปสมบัติของการบวกเมทริกซ์ การ ู เ ทรก ก านวน ร และสมบัติการคูณเมทริกซ์กับจ�านวนจริง แล้วเขียน ขอ้ สรุปสมบตั ดิ งั กล่าวบนกระดานดงั นี้ บทนยิ าม ถ้า A ϭ aij]mϫn และ c เป็นจา� นวนจรงิ ผลคณู ของ c กับเมทรกิ ซ ์ A คอื เมทรกิ ซ์ ]bij mϫn สา� หรับเมทรกิ ซ์ A, B, C, 0 ท่ีมมี ติ ิ mϫn สา� หรบั ทกุ i ϭ 1, 2, 3, ..., m และ j ϭ 1, 2, 3, ..., n 1) AϩB มีมิติ mϫn เขียนแทนผลคณู ของ c กบั เมทริกซ ์ A ดว้ ย cA 2) AϩB ϭ BϩA (การสลบั ท)่ี 3) Aϩ(BϩC) ϭ (AϩB)ϩC (การเปลยี่ นกล่มุ ) ตัวอย่างท ่ี 7 4) Aϩ0 ϭ 0ϩA ϭ A (การมีเอกลกั ษณก์ ารบวก) 5) Aϩ(ϪA) ϭ (ϪA)ϩA ϭ 0 (การมีตัวผกผันการบวก) กา� หนดให้ A ϭ ⎡2 4 −6⎤ 6) c(AϩB) ϭ cAϩcB เมือ่ c เปน็ จา� นวนจริงใด ๆ ⎢ −2 ⎥ 7) (cϩd)A ϭ cAϩdA เมอื่ c, d เป็นจา� นวนจรงิ ใด ๆ ⎢⎣ 0 8) (cd)A ϭ c(dA) ϭ d(cA) เมอื่ c, d เปน็ จา� นวนจรงิ ใด ๆ 10 ⎥⎦ 9) (cA)t ϭ cAt เมอ่ื c เป็นจ�านวนจริงใด ๆ จงหา 1 (2) 2At ความรเู้ พม่ิ เตมิ (1) 2 A ถ้า cA ϭ 0 แลว้ c ϭ 0 หรอื A ϭ 0 1 1 ⎡2 4 −6⎤ ⎡ 1 (2) 1 (4) 1 (− 6) ⎤ (1) 2 A ⎢ −2 ⎥ ⎢ 2 2 2 ⎥ วธิ ีท�า ϭ ϭ ⎢ 1(− 2) ⎥ 2 ⎣⎢ 0 10 ⎥⎦ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 (0) 1 (10) ⎥ ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ ⎡ 1 2 −3⎤ ตอบ ϭ⎢ ⎥ ตอบ ⎢⎣ 0 − 1 5 ⎦⎥ (2) At ⎡2 0⎤ ⎢ ⎥ ϭ ⎢4 ⎢ −2⎥ ⎢⎣ − 6 ⎥ 10 ⎦⎥ ⎡2 0⎤ ⎡ 2(2) 2(0) ⎤ ⎡4 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2At ϭ 2⎢ 4 ⎢ ⎥ ⎢8 ⎢ −2⎥ ϭ ⎢ 2(4) 2(− 2) ⎥ ϭ ⎢ −4⎥ ⎣⎢ − 6 ⎥ ⎢⎣ − 12 ⎥ 10 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2(− 6) 2(10) ⎥⎦ 20 ⎥⎦ แหล่งสืบคน้ - https://www.youtube.com/watch?v=gd32vv05BWI 190 คมู่ ือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรูท้ ี่ เ ทรก 153 กจิ กรรมเสนอแนะ ตัวอย่างท ่ี 8 1. จากโจทยต์ ัวอยา่ งท่ี 8 ครูให้นักเรียนหาเมทริกซต์ อ่ ไปนี้ กา� หนดเมทริกซ ์ A และ B ดังนี้ เพมิ่ เติม ⎡8 1⎤ ⎡−2 1⎤ (1) Ϫ3AtϪ2Bt Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ (2) 4Aϩ21B ⎣⎢ 4 5 ⎥⎦ ⎣⎢ 6 − 1 ⎥⎦ 2. ใหน้ กั เรยี นจบั คสู่ รา้ งโจทยก์ ารคณู เมทรกิ ซก์ บั จา� นวนจรงิ ในทา� นองเดยี วกบั ตวั อยา่ งท ่ี 8 ในหนงั สอื เรยี น (มขี อ้ ยอ่ ย จงหา (1) 2AϪ3B (2) 2Bϩ4At 2 ข้อ) พร้อมท้ังแสดงวิธีท�าและหาค�าตอบ จากนั้น วิธที า� ⎡8 1⎤ ⎡−2 1⎤ แลกเปล่ียนโจทย์กับนักเรียนคู่อ่ืนเพื่อหาค�าตอบและ (1) 2AϪ3B ϭ 2 ⎢ ⎥ Ϫ3 ⎢ ⎥ รว่ มกันตรวจสอบความถกู ต้อง ⎢⎣ 4 5 ⎥⎦ ⎣⎢ 6 − 1 ⎦⎥ ⎡ 2(8) 2(1) ⎤ ⎡ 3(− 2) 3(1) ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ Ϫ ⎣⎢ ⎣⎢ 2(4) 3(− 1) ⎦⎥ 2(5) 3(6) ⎡ 16 2⎤ ⎡−6 3⎤ ข้อสอบแนว O-NET ϭ⎢ ⎥Ϫ⎢ ⎥ ⎢⎣ 8 10 ⎦⎥ ⎢⎣ 18 − 3 ⎦⎥ ⎡ 16 − (− 6) 2−3 ⎤ ⎡ 22 −1⎤ ตอบ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ตอบ ϭ ⎣⎢ 10 − (− 3) ⎥⎦ ϭ ⎢⎣ − 10 13 ⎦⎥ 8 − 18 64 4 8 (2) 2Bϩ4At ϭ ⎡−2 1 ⎤ ⎡ 8 4 ⎤ 1. ถ้า A ϭ 16 24 20 แลว้ 3 A ตรงกับข้อใด 2⎢ ⎥ ϩ4⎢ ⎥ 4 8 12 64 ⎢⎣ 6 − 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 1 5 ⎥⎦ ⎡ 2(− 2) 2(1) ⎤ ⎡ 4(8) 4(4) ⎤ 48 3 6 16 1 8 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ϭ ⎣⎢ 2(6) 2(− 1) ⎥⎦ ϩ ⎢⎣ 4(1) 1. 12 18 15 2. 4 6 5 4(5) ⎦⎥ 6 9 48 2 3 16 ⎡−4 2 ⎤ ⎡ 32 16 ⎤ 32 2 4 Ϫ48 Ϫ3 Ϫ6 ϭ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎣⎢ 12 − 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 4 20 ⎥⎦ ⎡ (− 4) + 32 2 + 16 ⎤ ⎡ 28 18 ⎤ 3. 8 12 10 4. Ϫ12 Ϫ18 Ϫ15 ⎥ ⎢ ⎥ ϭ ⎢ ϭ ⎢⎣ 16 4 6 32 Ϫ6 Ϫ9 Ϫ48 ⎣⎢ 12 + 4 (− 2) + 20 ⎦⎥ 18 ⎦⎥ ตอบข้อ 1 Ϫ3 Ϫ1 2 Ϫ2 1 Ϫ1 2. ถา้ Aϭ 4 3 1 และ Bϭ 0 21 10 0 2 Ϫ2 Ϫ2 แลว้ 4AϪ3B ตรงกบั ขอ้ ใด 6 7 Ϫ11 1. Ϫ16 Ϫ6 Ϫ1 Ϫ5 8 Ϫ6 Ϫ6 Ϫ7 Ϫ11 2. 16 6 Ϫ1 6 5 Ϫ8 6 7 11 3. Ϫ16 Ϫ6 1 Ϫ5 Ϫ8 Ϫ6 ؊6 ؊7 11 4. 16 6 1 ؊8 65 ตอบขอ้ 4 คู่มอื ครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 191