คณิตเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

หนังสอื เรยี น MAC 4.0 หนังสือเรียน MAC 4.0 จัด าขนเ ือ เ นสือการเรียนรูเ ือ ั นานักเรียน หมีค า ามมา ร านการเรียนรูและ ัว ีวัด สาระการเรียนรูแกนกลาง บับ รับ รง . . 0 ามหลักสู รแกนกลางการ ก าขัน ืน าน . . ีกาหนดไว รวม งั ั นานกั เรยี น หมี กั ะแหง วรร ี และสมรร นะสาคั าม ี องการ งั ดานการสอื สาร การคด การแก หา การสรางสรรค การ เ ค น ลยสี ารสนเ และการสอื สาร และ กั ะ วี ดยออกแบบหนวยการเรยี นรู หแ ละหนวยการเรยี นรู ระกอบดวย องค ระกอบสาคั หนงั สอื เรยี น MAC 4.0 มีเครืองมอื สนบั สนนการจัดการเรียนรูสาหรบั ครูและนกั เรียน สี ามาร เขา งและ งานไดงายบนเวบ็ ไ . งแบงออกเ น สวนหลกั ดงั นี . สาหรบั ครู ระกอบดวย คมู ือครู แผนการจัดการเรยี นรู และการบานและการ ดสอบออนไลน ครูสามาร เลือก งาน นแ ละสวนเ อื นาไ จัดการเรยี นรู ัง นและนอกหองเรยี นไดอยางมี ระส า และยงั ไดแลกเ ลยี นเรยี นรกู ับครดู วยกนั งจะ า หหนังสอื เรียน 4.0 หมากกวาความรู แ รวม ง ระสบการ ีมีค คา . สาหรบั นักเรยี นและผู กครอง ระกอบดวย และการบานและการ ดสอบออนไลน นกั เรยี นและผู กครองสามาร รวมเรยี นรสู ง าง นอกเหนอื จากบ เรยี นไดอยางสนกสนานไ กบั 4.0 จี ะ วย า ห ลก งั บกลายเ นแหลงเรยี นรดู วยเ ค น ลยี เ ือการ ก าอนั ันสมัย หนงั สอื เร�ยน MAC 4.0 MACeducation.com แหลงความรนู กั เรียน ครู นกั เรย� น และผูปกครอง การบานและคลังขอสอบออนไลน MAC PLC MAC SLC คมู ือครแู มค็ 4.0 แผนการจดั การเรยี นรู MACTIVE

MACeducation.com ครู นักเรย� นและผปู กครอง ส นประกอ ส นประกอ ส หรั ครู ส หรั นกั เรย� นและผปู กครอง คู ือครูแ ค 1. MAC SLC (Student Learning Community) คมู อื สาหรบั ครู นการจดั การเรยี นรู ามแบบ แหลงความรู คอื คลงั บ ความและสอื มลั มเี ดยี 4 ขัน อน 4 เ อื หครสู อน หนอยลง และ ีจะ วยสงเสรมการเรียนรู เสรมสรางจน นาการ และแรงบันดาล จสาหรับนักเรียน นักเรียนสามาร ขนั อน เ อื หนกั เรยี นเรยี นรไู ดมากขน คนควาและเรียนรูเ มเ มนอกเหนือจากบ เรียนได อยางอสระ แผนก ร ั ก รเรย� นรู แผนการจัดการเรียนการสอนสาหรับครู เ รียมการจัดการ คอื คลบั ออนไลนสาหรบั นกั เรยี น ไดเขามาแลกเ ลยี น ระสบการ และเรยี นรรู ะหวางกนั เรียนรู หแกนักเรียน ดย กระบวนการจัดการเรียนรูรู แบบ งจะ วยเสรมสราง ัก ะสาคั แหง วรร ี ดยเ าะการ ีว นสังคมรวมกับผูอืน ีมีความ 3. MAC PLC (Professional Learning Community) แ ก าง แ งเปน ส น ก ร นและก ร สอ ออน ลน แหลงความรู คอื คลงั บ ความและสอื มลั มเี ดยี เ อื การจดั การ แมค็ เลเวลอั คอื แอ ลเค ัน เรยี นรูครอบคลม กกลมสาระ ครูสามาร เขาไ เลอื ก มและนาไ การบานและการ ดสอบออนไลน คี รเู นผมู อบหมาย สนบั สนนการจัดการเรียนรูได ลอดเวลา การบานและขอสอบ หแกนักเรียน เมือนักเรียน า หอง กั ครู คือ ม นออนไลนสาหรับแลกเ ลยี น ระสบการ การบานหรือขอสอบเสร็จจะ ราบผลได น ัน ี และเรยี นรรู ะหวางครดู วยกนั ครสู ามาร นาความรู เ คนคว กี ารสอน และการจัดการเรียนรู นกลมสาระ ี นเองอยูมาแลกเ ลียนและ เรียนรกู นั ได ก ร นและก ร สอ ออน ลน แมค็ เลเวลอั คือ แอ ลเค ันการบานและ การ ดสอบออนไลน ีครูสามาร เลือกและมอบหมายการบาน และขอสอบ หแกนักเรียน ดยครูสามาร เลือกแบบ กหัดเ ือเ น การบาน เลอื กขอสอบวดั ผลสมั างการเรยี นหรอื ขอสอบแนว เ อื เ นแบบ ดสอบยอยระหวางเรยี น หรอื แบบ ดสอบระหวาง าค และ ลาย าคได เมือนักเรียนเขามา าการบานและแบบ ดสอบ ออนไลน ีไดรับมอบหมาย นกั เรยี นจะ ราบผล ัน เี มอื าเสรจ็

หนังสือเรยี น MAC 4.0 ACTIVE BOOK, ACTIVE TEACHING, ACTIVE LEARNING การนาำ เสนอเนื้อหาแตล่ ะหน่วยการเรยี นรู้ 1. บทนาำ (Introduction) 6. กจิ กรรมบรู ณาการ / กจิ กรรมสะเตม็ ศกึ ษา ภาพรวมของเนอื้ หาในหนว่ ยการเรยี นรดู้ ว้ ยภาพ (Integrated Activities/STEM Activities) หรือสถานการณ์ หรือคำาถามเพ่ือกระตุ้นให้ผู้เรียน 6.1 กจิ กรรมบรู ณาการ สนใจอยากเรียนรู้เน้ือหาในหนว่ ยการเรียนรูน้ ้ันๆ กิจกรรมหรือโครงงานท่ีบูรณาการการเรียนรู้ 2. แนวคิดสาำ คัญ (Key Idea) ท่ีหลากหลายเข้าไว้ด้วยกัน โดยวัตถุประสงค์หลัก เนื้อหาสำาคัญในแต่ละเร่ืองหรือหัวข้อเพ่ือให้ เพ่ือให้ผู้เรียนได้ลงมือปฏิบัติจริงด้วยตัวเอง จนเกดิ ชน้ิ งานหรอื นวตั กรรม (กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ ผเู้ รยี นจดจาำ หรอื เขา้ ใจอยา่ งลกึ ซง้ึ สงั คมศึกษาฯ) 3. MAC iLink / SnapLearn 6.2 กิจกรรมสะเต็มศึกษา (STEM) (Multimedia & AR) กิจกรรมท่ีบูรณาการความรู้และทักษะ 4 สาขา 3.1 MAC iLink วชิ าหลกั คอื วทิ ยาศาสตร์ เทคโนโลยี วศิ วกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์ เพ่ือนำาความรู้เหล่าน้ันไปใช้ เนอ้ื หาเสรมิ จากบทเรยี นในรปู แบบของมลั ตมิ เี ดยี แก้ปัญหาและสร้างสรรค์ชิ้นงานท่ีเป็นประโยชน์ ผา่ นการสแกน QR Code โดยใช้สมารต์ โฟน หรือ ในชีวิตจริงและพัฒนาทักษะแห่งศตวรรษท่ี 21 ผา่ นเว็บไซต์ MACeducation.com เพอ่ื ใหผ้ ูเ้ รยี น (กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์) เข้าใจเน้อื หาในเร่ืองน้ันๆ มากย่ิงขน้ึ 6.3 กจิ กรรมเพอ่ื สง่ เสรมิ ความคิดสร้างสรรค์ 3.2 SnapLearn กจิ กรรมทบี่ รู ณาการความรดู้ า้ นวทิ ยาศาสตรแ์ ละ เน้ือหาเสริมจากบทเรียนในรูปแบบมัลติมีเดีย ความรใู้ นกลมุ่ สาระการเรียนรอู้ นื่ ๆ โดยนาำ มาสร้าง และ 3D Models ผ่าน AR Technology ผลงานที่มีคุณภาพและความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ บนแอปพลิเคชัน SnapLearn ในสมาร์ตโฟน เพอ่ื ใหเ้ กดิ ประโยชนแ์ ละพฒั นาทกั ษะแหง่ ศตวรรษท่ี21 เพ่ือให้ผู้เรียนเข้าใจเน้ือหาในเรื่องนั้นๆ มากยิ่งข้ึน (กลุ่มสาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตร)์ (เฉพาะกลุ่มสาระการเรียนร้วู ทิ ยาศาสตร์) 7. สรุปองค์ความรู้ 4. กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรู้ (Conclusion of Knowledge) (Recheck & Review) การสรุปองค์ความรู้ในแต่ละหน่วยการเรียนรู้ กิจกรรมที่มีความหลากหลายซึ่งออกแบบมา ซง่ึ ประกอบไปดว้ ยการสรปุ เน้อื หา 3 ด้าน คือ ความเข้าใจเนอ้ื หาในแต่ละเรือ่ งของผเู้ รียน • ดา้ นความรู้ (Knowledge) 5. กจิ กรรมตามธรรมชาติวิชา • ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (Process) (Activity Based-Learning) • ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (Attribute) กจิ กรรมทใี่ หผ้ เู้ รยี นไดฝ้ กึ ปฏบิ ตั เิ พอื่ ใหเ้ กดิ ทกั ษะ 8. แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ ในวิชานน้ั ๆ (Achievement Test) คาำ ถามทเ่ี นน้ ทกั ษะกระบวนการคดิ เพอ่ื ตรวจสอบ ความรรู้ วบยอดของผเู้ รยี นใหเ้ ปน็ ไปตามแนวคดิ หลกั ตวั ชว้ี ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง 9. อภิธานศพั ท์ (Glossary) คาำ สาำ คญั คาำ ยาก หรอื คาำ คน้ ทสี่ มั พนั ธก์ บั เนอื้ หา ในหน่วยการเรยี นรู้ต่างๆ ในหนงั สอื เรียน MAC 4.0 โดยจะมกี ารอธบิ ายความหมายหรอื ใหค้ าำ จาำ กดั ความ

MAC iLink MAC iLink เปน็ เน้อื หาเพิม่ เตมิ นอกเหนอื จากหนังสือเรยี น MAC 4.0 เพือ่ ให้ครแู ละผเู้ รยี นที่มคี วามสนใจทีจ่ ะศึกษาคน้ คว้า เพ่มิ เตมิ หาขอ้ มลู ได้จากฐานข้อมูลทบ่ี ริษัทได้จดั ทาำ ข้นึ โดยผา่ น 2 ช่องทาง ดังน้ี 1 ใชส้ มาร์ตโฟนสแกน QR code จากหนา้ หนังสอื ท่ีมีสัญลกั ษณ์ MAC iLink 2 เปิดเว็บไซต์ MACeducation.com เพ่ือเข้าเมนู การศึกษาข้ันพื้นฐาน MAC iLink และเลือกเปิดดูส่วนเสริม ของบทเรียนในหนงั สอื แต่ละเล่มได้ ท้งั น้ีเน้ือหาเสรมิ เพ่มิ เตมิ นาำ เสนอหลายรูปแบบ เชน่ แอนิเมชนั วิดโี อ เสยี ง ภาพ และขอ้ ความ 12 MACeducation.com DIGITAL CONTENT DIGITAL CONTENT

SnapLearn 1. ดาวน์โหลดแอปพลเิ คชนั SnapLearn ไดฟ้ รีที่ Google Play Store สำาหรับ Android หรือ App Store สาำ หรบั IOS 2. เปิดใชง้ านแอปพลเิ คชนั SnapLearn ค้นหาหนงั สือเรยี น MAC โดย 2.1 การกดปุ่ม เพือ่ สแกนบาร์โค้ด หรอื QR Code 2.2 เข้าไปท่ี Bookstore แลว้ กรอกช่ือหนังสอื เรยี น MAC ลงในช่องค้นหาดา้ นบน 3. กดดาวน์โหลดหนังสอื เรียน MAC เลม่ ท่ีต้องการมาไวใ้ น Bookshelf 4. กดเขา้ ไปในหนงั สอื เรียน MAC บน Bookshelf แลว้ ทำาการสแกนหน้าหนังสือเรียน MAC ทีม่ สี ญั ลกั ษณ์ เพ่ือเข้าส่โู ลกเสมือนจรงิ หรอื มัลตมิ ีเดีย 1 ดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน SnapLearn 2 เปดิ ใช้งานแอปพลเิ คชนั SnapLearn 2.1 กดปมุ่ ตรงกลาง เพอ่ื สแกนบาร์โคด้ หรอื QR Code (Google Play) (App Store) หรอื 2.2 กรอกชื่อหนงั สือเรยี นลงในช่องค้นหา Search in SnapLearn 3 กดดาวน์โหลดหนังสือเรียน MAC 4 สแกนหนา้ หนังสือเรียน MAC 18 วทิ ยาศาสตร์ ม.2 ทบ่ี รเิ วณทอ่ ของหนว่ ยไตจะมกี ารดดู ซมึ สารทเี่ ปน็ ประโยชนต์ อ่ รา่ งกาย เชน่ แรธ่ าต ุ นา้ำ ตาลกลโู คส กรดอะมิโน รวมทั้งนำ้ากลับคืนสู่หลอดเลือดฝอยและเข้าสู่หลอดเลือดดำา ส่วนของเสียอื่น ๆ ท่ีเหลือ ก็คือปัสสาวะจะถกู ส่งมาตามท่อไตเข้าสู่กระเพาะปสั สาวะ ซึ่งมคี วามจปุ ระมาณ 500 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร แตก่ ระเพาะปสั สาวะสามารถทจี่ ะหดตวั ขบั ปสั สาวะออกมาได ้ เมอ่ื มปี สั สาวะมาขงั อยปู่ ระมาณ 250ลกู บาศก์ เซนติเมตร ซง่ึ ในวนั หนงึ่ ๆ รา่ งกายจะขับปัสสาวะออกมาประมาณ 1-1.5 ลติ ร เวนา คาวา ไต กรวยไต เมดลั ลา คอร์เทกซ์ หลอดเลอื ดรนี ลั อารเ์ ตอเอรแีอลอะรเต์ วาน กระเพาะปสั ทสาอ่ วไะต คอร์เทกซ์ ท่อไต ท่อปสั สาวะ โกลเมอรลู สั โบวแ์ มนสแ์ คปซูล ท่อขดส่วนต้น หลอดเลือดฝอย ท่อขดส่วนปลาย ห่วงเฮนเล ทอ่ รวม ท่อรวม เมดัลลา ไปกรวยไต รปู ท่ี 1.8 ระบบการทาำ งานของไตและอวยั วะทเี่ กี่ยวขอ้ ง - เวนา คาวา (vena cava) หลอดเลอื ดดาำ ใหญท่ ล่ี าำ เลยี งเลอื ดจากรา่ งกายเขา้ สหู่ วั ใจโดยตรง - รนี ลั อารเ์ ตอร ี (renal artery) หลอดเลอื ดแดงทแี่ ตกแขนงออกจากเอออรต์ าเพอ่ื ไปยังไต - รีนัลเวน (renal vein) หลอดเลือดดาำ ทีน่ าำ เลอื ดออกจากไตไปยังหัวใจ - เอออร์ตา (aorta) หลอดเลือดแดงใหญ่ที่นำาเลือดจากหัวใจห้องล่างซ้ายไปหล่อเลี้ยง รา่ งกาย ตรวจสอบรายการหนังสอื เรยี น MAC กลมุ่ สาระการเรียนรูว้ ทิ ยาศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ทใ่ี ชแ้ อปพลเิ คชัน SnapLearn ได้ท่ี www.MACeducation.com

หน้าตัวอย่างการใชง้ าน SnapLearn จากตวั อย่างหนังสอื เรียน รายวิชาพื้นฐานวิทยาศาสตร์ ม.2 18 วทิ ยาศาสตร์ ม.2 ทบี่ รเิ วณทอ่ ของหนว่ ยไตจะมกี ารดดู ซมึ สารทเี่ ปน็ ประโยชนต์ อ่ รา่ งกาย เชน่ แรธ่ าต ุ นาำ้ ตาลกลโู คส กรดอะมิโน รวมท้ังน้ำากลับคืนสู่หลอดเลือดฝอยและเข้าสู่หลอดเลือดดำา ส่วนของเสียอื่น ๆ ท่ีเหลือ กค็ ือปัสสาวะจะถูกส่งมาตามท่อไตเข้าสูก่ ระเพาะปัสสาวะ ซงึ่ มคี วามจุประมาณ 500 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร แตก่ ระเพาะปสั สาวะสามารถทจ่ี ะหดตวั ขบั ปสั สาวะออกมาได ้ เมอ่ื มปี สั สาวะมาขงั อยปู่ ระมาณ 250ลกู บาศก์ เซนตเิ มตร ซึง่ ในวันหนึง่ ๆ ร่างกายจะขับปัสสาวะออกมาประมาณ 1-1.5 ลติ ร เวนา คาวา ไต กรวยไต เมดลั ลา คอรเ์ ทกซ์ หลอดเลอื ดรนี ลั อารเ์ ตอเอรแีอลอะรเต์ วาน กระเพาะปัสทสาอ่ วไะต คอรเ์ ทกซ์ ทอ่ ไต ทอ่ ปสั สาวะ โกลเมอรลู สั โบวแ์ มนสแ์ คปซลู ท่อขดส่วนตน้ หลอดเลือดฝอย ท่อขดสว่ นปลาย ห่วงเฮนเล ทอ่ รวม ทอ่ รวม เมดัลลา ไปกรวยไต รา่ งกายขบั ปัสสาวะได้อยา่ งไร รปู ท่ี 1.8 ระบบการทาำ งานของไตและอวยั วะทเี่ ก่ียวข้อง - เวนา คาวา (vena cava) หลอดเลอื ดดาำ ใหญท่ ล่ี าำ เลยี งเลอื ดจากรา่ งกายเขา้ สหู่ วั ใจโดยตรง - รีนลั อาร์เตอรี (renal artery) หลอดเลอื ดแดงทแี่ ตกแขนงออกจากเอออร์ตาเพื่อไปยังไต - รีนลั เวน (renal vein) หลอดเลอื ดดาำ ทน่ี ำาเลือดออกจากไตไปยงั หวั ใจ - เอออร์ตา (aorta) หลอดเลือดแดงใหญ่ท่ีนำาเลือดจากหัวใจห้องล่างซ้ายไปหล่อเล้ียง รา่ งกาย

คมู ือครแู มค็ 4.0 ค่มู อื ครูแม็ค 4.0 MACTIVE จัดทำาขึน้ เพอ่ื เป็นแนวทางให้ผสู้ อนท่ใี ชห้ นังสือเรยี น MAC 4.0 ได้นาำ ไปจดั การเรยี นการสอน ในช้นั เรียนอย่างมีประสทิ ธภิ าพและสะดวกมากยง่ิ ข้นึ โดยออกแบบการจัดการเรียนรตู้ ามแนวคดิ 4I 2L Introduction Indesign Innovation ICT Introduction Indesign Innovation ICT สว า Learning for 21st Learning for Learning for 21st Learning for Century Skills Metacognition Century Skills Metacognition ใช้หลักการเรียนรู้ Active Teaching (4I) และ Active Learning (2L) เพ่ือเป็นแนวทางให้ ู้สอนจัด า ส รย 2 กิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ท่ีมีทุกเนื้อหาหลัก การเรียนการสอนได้มีประสิทธิ าพและสะดวกมากขึ้นโดยมี แนวคิดสำาคัญดังนี้ จะนำาเสนอแนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ หลักการเรยี นร ู้ 2L คอื 1 เน้ือหาหลักในแต่ละหน่วยการเรียนรู้จะนำาเสนอ 2L L earning for 21st Century Skills แนวทางการจดั การเรยี นรโู้ ดยใชห้ ลกั การเรยี นรโู้ ดยใชห้ ลกั การ (กิจกรรมทักษะแห่งศตวรรษท่ี 21) เรียนร ู้ 4I ทปี่ ระกอบดว้ ย ขัน้ ตอน คือ การสอดแทรกกิจกรรมหรือแนวทางการฝกทัก ะแห่ง I ntroduction ศตวรร ท่ี ที่เป็นทัก ะท่ีสอดคล้องกับหัวข้อใน (น�ำเข้ำสู่บทเรียน) หนว่ ยการเรียนรู้ การนำาเสนอแนวทางการเตรียม ู้เรียนเข้าสู่บทเรียน L earning for Metacognition เพื่อกระตุ้นให้ ู้เรียนมีความพร้อมก่อนเรียนและ (สะทอ้ นควำมคดิ จำกกจิ กรรม) ชว่ ยเพม่ิ ประสิทธิ าพการเรยี นร้ใู ห้มากขน้ึ จุดเน้นสำาคัญท่ีมุ่งให้ ู้สอนได้เช่ือมโยงความรู้ทุกครั้ง I ndesign า ส รย ท่ีมีโอกาส เพื่อฝกทกั ะการคิดขน้ั สงู ให้แก่ ูเ้ รียน (ออกแบบกำรเรียนรู)้ 4I การออกแบบกิจกรรมการเรียนรู้ที่เน้นการเรียนรู้ แบบกระตอื รอื รน้ ตืน่ ตัวโดยให้ ูเ้ รยี นมีสว่ นรว่ มสูงสดุ I ืnnovation (เสนอแนะภำระงำน/นวัตกรรม) การเสนอกิจกรรมท่ีฝ กการคิดสร้างสร รค์เพื่อนำา ไปสู่ การสร้างสรรค์ส่ิงประดิ ์หรือวิธีการใหม่ ๆ เพ่ือเข้าสู่ Thailand 4.0 I CT (สู่กำรใช้ ICT) การสอดแทรกเนื้อหาหรือวิธีการใช้เคร่ืองมือสารสนเทศ เพอื่ การสบื คน้ ความร ู้ การนาำ เสนอ ลงาน หรอื การพั นางาน สว มิ ตมิ ควำมรู้เพม่ิ เตมิ แหล่งสบื คน้ เ นื้ อ ห า เ พ่ิ ม เ ติ ม น อ ก เ ห นื อ เฉลย ในบทเรียน เพื่อให้ ู้เรียน เพ่ือช่วยลด าระและสะดวกต่อการจัดกิจกรรมสำาหรับ ู้สอน เกรด็ ความรทู้ ส่ี อดคลอ้ งกบั เนอ้ื หาสาำ หรบั สู้ อนใชใ้ นการสอน รวมทงั้ วธิ ลี ดั เทคนคิ หรอื สตู รตา่ งๆ ที่อยเู่ ว็บไซต ์ ในอินเทอร์เน็ตทใี่ ช้ค้นหาความรู้เพ่มิ เติมจากเนอื้ หา เข้าใจเนื้อหาน้ันๆ มากย่ิงขึ้น สว่ นทเ่ี ลยกจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรู้ ได้เพม่ิ เตมิ ส่วนสาำ คญั ดังนี้ ใ น รู ป แ บ บ ข อ ง มั ล ติ มี เ ดี ย กิจกรรมตามธรรมชาติวิชา และแบบ ข้อสอบแนว O-NET โดยใช้สมาร์ตโ นสแกน หรือ ทดสอบวัดล ลสมั ทธิ เปดใช้เวบ็ ไซต์ ศัพทน์ ำ่ รู้ (ระดับประถมศึกษำ) กิจกรรมเสนอแนะ การเกง็ ขอ้ สอบ - ทจ่ี ะออก โดยสอดคลอ้ งกับบทเรยี น การแปลคำาศัพท์ที่ปราก ในบทเรียน า าอังก เพ่ือให้ กิจกรรมสำาหรับ ู้เรียนได้พั นาเพิ่มเติมในด้านต่าง ๆ นอกเหนือจากที่ได้จัดการเรียน ูเ้ รียนค้นุ เคยกับคำาศพั ท์ า าอังก การสอนแล้วในช่วั โมงเรียนและกจิ กรรมสาำ หรบั ฝกทกั ะเพ่มิ เตมิ

สารบั 1 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ตรีโกณมติ ิ 5 1. ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ 65 2. ฟังก์ชันตรโี กณมิติผกผัน 74 3. เอกลกั ษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ 81 4. กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ 91 แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิ์ 117 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 2 จำานวนเชงิ ซอ้ น 120 1. จาำ นวนเชงิ ซ้อนและสมบตั ิของจำานวนเชงิ ซ้อน 139 2. จาำ นวนเชงิ ซ้อนในรปู เชงิ ข้วั 146 3. รากท่ี n ของจำานวนเชงิ ซอ้ น เม่ือ n เป็นจาำ นวนนับท่ีมากกวา่ 1 150 4. สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว 159 แบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิ 169 หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 3 เมทริกซ์ 172 1. เมทรกิ ซแ์ ละเมทรกิ ซส์ ลบั เปลี่ยน 184 2. การบวกเมทริกซ์ การคณู เมทรกิ ซ์กับจำานวนจรงิ การคณู ระหวา่ งเมทรกิ ซ์ 209 3. ดเี ทอรม์ แิ นนต์ 225 4. เมทรกิ ซผ์ กผัน 238 5. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใชเ้ มทริกซ์ 251 แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิ์

1หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ สำระกำรเรียนรู้ ตร มติ ิ สมรรถนะสำ� คั / า วามร ทกั ษะแหง่ ศตวรรษที่ 21 1. งั ก์ชนั ตรโี กณมิติ ตร มิติ สมรร สา 2. งั กช์ ันตรีโกณมติ ิ ก นั 1. ความสามารถในการสอื่ สาร 3. เอกลัก ณ์และสมการตรีโกณมิติ 2. ความสามารถในการคิดวเิ คราะห์ 4. ก ของโคไซนแ์ ละก ของไซน์ ท ศตวรร ท 21 า ท ร ว าร 1. ทัก ะการแกป้ ญั หา 1. การสงั เกต 2. ทัก ะการเชอื่ มโยง 2. การอา่ นและการเขยี น 3. ทัก ะการใหเ้ หตุ ล 3. การคดิ วเิ คราะห์ 4. ทัก ะการคดิ สรา้ งสรรค์ 4. การตีความหมาย า รส ์ ภำระงำน/ชินงำนส�ำคั 1. ทาำ ความเข้าใจหรอื สร้างกรณที ว่ั ไป 1. แบบฝกหัดท่ี 1-11 โดยใช้ความรู้ที่ไดจ้ ากการศึก า 2. กิจกรรมตรวจสอบการเรียนรูท้ ี่ 1-4 กรณีตวั อยา่ งหลายๆ กรณี 3. กจิ กรรมสะเต็มศึก า ไคลโนมเิ ตอรอ์ ยา่ งงา่ ย 2. มองเหน็ ว่าสามารถใชค้ ณติ ศาสตร์ 4. แบบทดสอบวัด ลสมั ทธิ แก้ปญั หาในชีวิตจรงิ ได้ 5. ใบงานท่ี 1-4 3. มีความมมุ านะในการทาำ ความ เข้าใจปัญหาและแก้ปญั หาทาง คณิตศาสตร์ 4. คน้ หาลัก ณะที่เกดิ ขึน้ ซ้ำาๆ และ ประยกุ ตใ์ ชล้ ัก ณะดงั กล่าวเพอื่ ทาำ ความเข้าใจหรือแก้ปญั หาใน สถานการณ์ต่างๆ



Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ 1หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี สาร าร รย ร 1 ์ ตร มิติ 2 ์ ตร มิติ 3 ์ สม ารตร มติ ิ 4 ์์ าร รย ร 1. เขา้ ใจ ังก์ชันตรโี กณมิติและลัก ณะกรา ของ ังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ และนาำ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา 2. แกส้ มการตรีโกณมิติ และนำาไปใช้ในการแก้ปัญหา 3. ใช้ก ของโคไซนแ์ ละก ของไซนใ์ นการแก้ปญั หา ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 3

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition พลอยยืนอยู่บนหอคอยสูง 60 เมตร ใช้กล้องส่องทางไกล สอ่ งไปยงั จดุ ก ทา� มมุ กม้ 30 องศากบั เสน้ แนวระดบั สายตา พลอยจะหาระยะทางจากฐานของหอคอยไปยงั จดุ ก ไดห้ รอื ไม่ อยา่ งไร 4 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ ก น รี ก 3 I ntroduction ก น รี ก 1. ครูใหน้ กั เรยี นทำาแบบทดสอบกอ่ นเรยี น 2. ครูทบทวนความรู้เร่ืองสมการวงกลม โดยให้นักเรียน แนวคิดส�ำคั งั กช์ นั ตรโี กณมติ ถิ กู นาำ ไปใชอ้ ยา่ งกวา้ งขวาง ในคณิตศาสตร์ข้ันสูง วิศวกรรมศาสตร์และ ช่วยกันบอกรูปแบบมาตร านของสมการวงกลม การกาหนดคาของ งก นั รี ก ม าได ดย วิทยาศาสตร์แขนงตา่ งๆ [(x – h)2 + (y – k)2 = r2] จากนั้นครูเขียนสมการ วงกลมหนงหนวย งก ัน รี ก ม ระกอบดวย x2 + y2 = 1 บนกระดาน ใหน้ กั เรยี นอาสาสมคั รออกมา งก ันไ น งก ัน คไ น งก ันแ นเจน งก ัน เขียนกรา คแ นเจน งก นั เ แคน และ งก นั คเ แคน 3. ครซู ักถามนักเรียนดงั นี้ งกรา ของ งก นั รี ก ม มลี กั ะเ นคาบ า าม : - กรา ของสมการ x2 + y2 = 1 มีลัก ณะอย่างไร ว ก หน่ หนว่ ย (แนว าำ ตอบ : เ นวงกล ท่ี ี นยกลางที่ (0, 0) และ รี ั ียาว 1 นวย) ว ม วย หมายถงึ วงกลมทีม่ จี ดุ ศูนยก์ ลางท่จี ุด (0, 0) และรัศมียาว 1 หน่วย ซง่ึ าสา : วงกลมน้เี ป็นกรา ของความสัมพนั ธ์ (x, y) ʦ |RϫR x2ϩy2 ϭ 1} วงกลมหนึ่งหน่วย เมอื่ กำาหนดจำานวนจรงิ ␪ (ทตี า) ให้นกั เรยี นสงั เกต ลทไ่ี ด้จากการป บิ ตั ิกิจกรรมต่อไปนี้ I ndesign ิ รรม ท า าร ิ ติ ิ รรม 1. จากข้ันนำา ครูอธิบายว่าวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางท่ีจุด Y (0, 0) และมรี ศั มยี าว 1 หนว่ ย เรยี กวา่ วงกลมหนงึ่ หนว่ ย ซึง่ วงกลมน้ีเป็นกรา ของความสัมพนั ธ์ จากจุด (1, 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม (x, y) ␪ {(x, y) ʦ R ϫ R | x2 ϩ y2 ϭ 1} หนงึ่ หน่วยให้ยาว ␪ หน่วย ในทศิ ทวนเข็มนา ิกา O จะถงึ จุด (x, y) ซึ่งอย่บู นวงกลมหนงึ่ หนว่ ย X 2. ครูให้นักเรียนศึก าเร่ืองวงกลมหนึ่งหน่วยในหนังสือ (1, 0) เรยี น แลว้ ส่งตวั แทนออกมาสรุปสาระสาำ คัญท่ไี ด้ จากจุด (1, 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม ถา้ ␪ ϭ 0 จดุ ปลายส่วนโค้งคอื จดุ (1, 0) 3. ครูใหน้ ักเรียนทำาแบบฝกหัดที่ 1 หนง่ึ หนว่ ยใหย้ าว ␪ หนว่ ย ในทิศตามเข็มนา ิกา จะถงึ จดุ (x, y) ซึ่งอยู่บนวงกลมหนงึ่ หนว่ ย Y O X I CT (1, 0) (x, y) ให้นักเรียนศึก าเพิ่มเติมเก่ียวกับวงกลมหน่ึงหน่วย จาก ␪ search engine ตา่ ง ๆ ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 4 า รเ ่ เ เ่ ครกู ำาหนดจดุ P, Q, R, S บนวงกลมหนึ่งหน่วย ใหน้ กั เรยี น รปู ตอ่ ไปนแ้ี สดงตาำ แหนง่ ของจดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยเมอ่ื กาำ หนดให ้ ␪ มคี า่ ตา่ งกนั บอกคา่ ␪ ซ่งึ มจี ุดเริ่มตน้ ท่ี (1, 0) ไปยังจุดต่างๆ ในทศิ ทาง ทวนเขม็ นา กิ าและตามเขม็ นา กิ าพรอ้ มทง้ั บอกพกิ ดั ของจดุ YY Y (x, y) P ␪ ϭ p 2 O X OX (1, 0) ␪ ϭ Ϫp2 (x, y) S Y Y QX ␪ϭp R (x, y) (x, y) O X OX (1, 0) ␪ ϭ Ϫp ทว ม า ิ า ายสว ␪ ิ Y Y (x, y) π (0, 1) 3p P2 ␪ ϭ 2 Q π (Ϫ1, 0) O X O X 3π (1, 0) R 2 (0, Ϫ1) (x, y) ␪ ϭ Ϫ 3p S 2π (1, 0) 2 Y Y Y P (x, y) ␪ ϭ Ϫ2p (x, y) X O X O (1, 0) ␪ ϭ 2p S X Q R ตาม ม า ิ า ายสว ␪ ิ แหล่งสบื ค้น R Ϫ π (0, Ϫ1) - https://www.youtube.com/watch?v=pI_ktpwk7gM 2 (Ϫ1, 0) (0, 1) Q Ϫπ (1, 0) P Ϫ32π S 2π 6 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 5 ควำมรเู้ พม่ิ เติม เม่ือกำาหนดจำานวนจริง ␪ ให้ จะสามารถหาจุด (x, y) ซ่ึงเป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว ตว ยา สรมิ ท รย |␪ หนว่ ย ไดเ้ สมอ (ไมว่ า่ ␪ จะเปน็ จาำ นวนเทา่ ไร) ไดเ้ พยี งจดุ เดยี วเทา่ นน้ั และถา้ ␪| Ͼ 2p แสดงวา่ วัดสว่ นโคง้ เกิน 1 รอบ เพราะเสน้ รอบวงของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว 2p เรเดียน ␪ ϭ 3π ϭ 2π ϩ π จุดปลายส่วนโค้งคอื (–1, 0) Y มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซ่ึงรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมท่ียาวเท่ากับรัศมีของวงกลมน้ัน เปน็ มมุ ทีม่ ีขนาดเท่ากบั 1 เรเดยี น ดงั รปู Y X (x, y) ␪ϭ1ϭr ␪ X Orϭ1 (1, 0) ␪ ϭ 19π ϭ 6π ϩ π 3 3 จากรปู วงกลมมีรัศมียาว r หนว่ ย ความยาวส่วนโคง้ ยาว r หนว่ ย จะเรยี ก ␪ วา่ มุมท่ีมีขนาด จุดปลายสว่ นโค้งอย่ใู นจตุ าคท่ี 1 คอื จุด 1 , 3 1 เรเดยี น 2 2 Y ถ้าใหจ้ ุด (x, y) ใดๆ ในวงกลมหน่ึงหน่วยแทนดว้ ย P(␪) แล้ว P(␪) ϭ P(␪ϩ2np) สำาหรบั π ทกุ จำานวนเต็ม n 3 X ย า 92 แบบ กหัดที่ 1 จงเขียนวงกลมหน่ึงหน่วยและเขียนจุดปลายส่วนโค้งท่ียาว ␪ หน่วย พร้อมทั้งบอกว่าจุดปลาย ␪ ϭ Ϫ174π ϭ Ϫ4π Ϫ π ส่วนโค้งในแตล่ ะข้ออยใู่ นจตุ าคใด 4 จุดปลายส่วนโค้งอย่ใู นจตุ าคท่ี 4 คือจดุ 2 ,Ϫ 2 2 2 1. ␪ ϭ π π 2π 7π 6 2. ␪ ϭ 4 3. ␪ ϭ 3 4. ␪ ϭ 6 Y 5. ␪ ϭ 7π 6. ␪ ϭ 17π 7. ␪ ϭ Ϫ 2π 8. ␪ ϭ Ϫ 9π 4 6 3 4 X π 4 ข้อสอบแนว O-NET กำาหนดให้ P(␪) เป็นจดุ ปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนง่ึ หน่วย ท่เี รม่ิ วดั จากจุด (1, 0) ดังนั้น P 20π อย่ใู นจตุ าคทีเ่ ท่าไร 3 1. จตุ าคท่ี 1 2. ต า ท 2 3. จตุ าคที่ 3 4. จตุ าคที่ 4 ต2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 7

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 6 า รเ ่ เ เ่ ครทู บทวนความรู้เร่อื งวงกลมหนึง่ หนว่ ยทไ่ี ด้เรียนมาแลว้ กน น กน น าสา : 1. ังกช์ ันไซน์ ให้นกั เรยี นพิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วย โดยท่ีให้ P(x, y) เปน็ จุดใดๆ บนเส้นรอบวงของวงกลม 2. งั กช์ ันโคไซน์ หนึ่งหนว่ ย ลาก PA ตัง้ ากกับแกน X ทีจ่ ุด A ดงั รูป Y P(x, y) I ndesign ␪ y␪ Ox A X (1, 0) 1. ครใู หน้ กั เรยี นศกึ าเรอ่ื ง งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซน์ จากรปู จะไดร้ ูปสามเหลี่ยมมมุ าก OAP ซึ่งเม่ือนาำ มาเขียนเป็นอตั ราสว่ นตรโี กณมิตจิ ะไดด้ ังนี้ ในหนงั สอื เรยี น แล้วให้ตัวแทนออกมาสรปุ สาระสำาคัญ ทไ่ี ด้ จากนน้ั ครยู าำ้ เรอื่ งโดเมน (เซตของจาำ นวนจรงิ ) และ PA y sin ␪ ϭ OP ϭ 1 ϭy เรนจ์ (เซตของจำานวนจริงตัง้ แต่ –1 ถงึ 1) ของ ังกช์ ัน cos ␪ ϭ OA ϭ x ϭx ไซน์และ งั กช์ นั โคไซน์ OP 1 sin ␪ อา่ นวา่ ไซน์ทีตา 2. ครอู ธบิ ายการหาค่าของ งั ก์ชนั ไซน์และ งั ก์ชนั โคไซน์ นน่ั คือ x ϭ cos ␪ และ y ϭ sin ␪ cos ␪ อา่ นว่า คอสทีตา โดยใชว้ งกลมหนง่ึ หนว่ ยโดยอธบิ ายถงึ ความยาวสว่ นโคง้ ที่วัดจากจุด (1, 0) ไปยังจุดต่างๆ 4 จุด คือ (0, 1), (–1, 0), (0, –1), (1, 0) ตามลำาดับ (ท้ังแบบทวนเข็ม นา กิ าและตามเขม็ นา กิ า) หลงั จากนน้ั ครแู สดงวธิ กี าร ดงั น้ันจึงสรปุ ไดว้ า่ หาคา่ ของ งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซนข์ องจาำ นวนจรงิ ตัวหนา้ ของคอู่ ันดับ (x) คือ คา่ cos ␪ บางจำานวน พร้อมวาดรูปประกอบ ตัวหลงั ของคอู่ นั ดบั (y) คือ ค่า sin ␪ 3. ครูแสดงวิธีหาค่าของ ังก์ชันตรีโกณมิติของจำานวนใน กลา่ วคอื จุดบนเสน้ รอบวงของวงกลมหนง่ึ หน่วยเปน็ คา่ ของ cos ␪ กบั sin ␪ ดงั รูป 3 กลมุ่ ต่อไปน้ี Y cos ␪ sin ␪ (1) π , 3π , 5π , 7π P(x, y) 44 4 4 ␪ (2) π , 5π , 7π , 11π ␪ X 66 6 6 O (1, 0) (3) π , 2π , 4π , 5π 3 3 3 3 4. ครูให้นกั เรยี นทำาแบบฝกหัดที่ 2 I nnovation แหลง่ สบื ค้น ให้นักเรียนแบ่งกลุ่มตามความเหมาะสม แต่ละกลุ่มทำา - https://www.youtube.com/watch?v=8DC-peBUR-s บัตรความรู้สรุปค่าของ ังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่างๆ (ทั้ง 4 จตุ าค) โดยสรา้ งจากวงกลมหน่งึ หน่วย 8 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ ก น รี ก 7 กจิ กรรมเสนอแนะ จากลัก ณะการกำาหนดจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมหนึ่งหน่วย พบว่าทุกครั้งท่ีมีการกำาหนด เนอ่ื งจาก P(␪) ϭ P(␪ϩ2nπ) ครใู หน้ กั เรยี นชว่ ยกนั ยกตวั อยา่ ง ค่า ␪ จะหาจดุ (x, y) ซง่ึ เป็นจุดปลายของสว่ นโคง้ ท่วี ัดตามแนวเสน้ รอบวงโดยมีจดุ เร่มิ ตน้ ทีจ่ ดุ (1, 0) จาำ นวนจรงิ ทไี่ มเ่ ทา่ กนั แตใ่ หจ้ ดุ ปลายสว่ นโคง้ เปน็ จดุ เดยี วกนั ให้ยาว ␪ หนว่ ย ได้เพียงจดุ เดยี วเสมอ กล่าวคือ แตล่ ะคา่ ของ ␪ จะทาำ ใหเ้ กดิ คา่ x เพียง 1 ค่า และคา่ y เพิ่มเตมิ จากตัวอยา่ งในหนังสอื เรียน เชน่ เพียง 1 ค่า จากความรดู้ งั กลา่ วสามารถนาำ มาสรา้ ง งั กช์ นั โคไซนแ์ ละ งั กช์ นั ไซนไ์ ดต้ ามบทนยิ ามตอ่ ไปน้ี 1. ให้ ␪1 ϭ π และ ␪2 ϭ 5π ท ิยาม งั กช์ นั ไซน ์ หมายถงึ งั กช์ นั f : R R ซง่ึ นยิ ามวา่ จะได้วา่ P(␪1) ϭ P(␪2) ϭ (–1, 0) sine ϭ (␪, y) ʦ RϫR|f(␪) ϭ y} ดงั นนั้ cos ␪1 ϭ cos ␪2 ϭ –1 และ sin ␪1 ϭ sin ␪2 ϭ 0 ถ้า (␪, y) ʦ sine แลว้ จะเขียนวา่ y ϭ sine(␪) หรือ y ϭ sin ␪ 2. ให้ ␪1 ϭ 3π และ ␪2 ϭ 7π 2 2 จะได้ว่า P(␪1) ϭ P(␪2) ϭ (0, –1) ดังนน้ั cos ␪1 ϭ cos ␪2 ϭ 0 จากบทนยิ ามอาจกลา่ วได้ว่า ถา้ f(␪) ϭ (x, y) แลว้ sin ␪ ϭ y เนอ่ื งจาก f(␪) ϭ (x, y) และ –sin ␪1 ϭ sin ␪2 ϭ 1 เป็นจุดบนวงกลมหนึง่ หน่วย ดังนน้ั Ϫ1 р y р 1 นัน่ คือ ถ้า ␪ ʦ R แล้ว Ϫ1 р sin ␪ р 1 ดงั นัน้ โดเมนของ ังก์ชันไซน ์ คอื R ข้อสอบแนว O-NET เรนจข์ อง ังก์ชนั ไซน ์ คือ Ϫ1, 1] ท ยิ าม ังกช์ ันโคไซน ์ หมายถงึ ังกช์ นั g : R R ซง่ึ นิยามว่า cosine ϭ (␪, x) ʦ RϫR|g(␪) ϭ x} กาำ หนดให้ P(␪) เปน็ จดุ ปลายสว่ นโคง้ บนวงกลมหนึ่งหน่วย ถา้ (␪, x) ʦ cosine แล้วจะเขยี นวา่ x ϭ cosine(␪) หรอื y ϭ cos ␪ ทเ่ี รมิ่ วดั จากจดุ (1, 0) ดงั นนั้ P 17π มพี กิ ดั เดยี วกนั กบั 3 จดุ ในขอ้ ใด จากบทนยิ ามอาจกล่าวได้วา่ ถา้ g(␪) ϭ (x, y) แลว้ cos ␪ ϭ x เนือ่ งจาก g(␪) ϭ (x, y) 1. P Ϫ 25π 2. P Ϫ 35π เปน็ จุดบนวงกลมหน่งึ หนว่ ย ดังน้นั Ϫ1 р x р 1 นนั่ คอื ถ้า ␪ ʦ R แลว้ Ϫ1 р cos ␪ р 1 4 4 ดังนนั้ โดเมนของ ังก์ชนั โคไซน์ คือ R 3. P Ϫ 45π 4. P ؊ 55π เรนจข์ อง ังกช์ นั โคไซน์ คอื Ϫ1, 1] 4 4 เน่อื งจาก P(␪) ϭ P(␪ϩ2np) เม่อื n เป็นจาำ นวนเตม็ แสดงว่ามจี าำ นวนจริงมากมายที่ไม่เทา่ กนั ต4 แตใ่ หจ้ ดุ ปลายสว่ นโคง้ เปน็ จดุ เดยี วกนั ดงั นน้ั งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซนจ์ งึ ไมเ่ ปน็ งั กช์ นั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ เชน่ ให้ ␪1 ϭ π และ ␪2 ϭ 5π จะได้วา่ 2 2 P(␪1) ϭ P(␪2) ϭ (0, 1) ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 9

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสืบค้น 8 า รเ ่ เ เ่ - https://www.youtube.com/watch?v=BF106mD9efw ดังนั้น sin ␪1 ϭ 1 และ sin ␪2 ϭ 1 cos ␪1 ϭ 0 และ cos ␪2 ϭ 0 และจากสมการของวงกลมหน่งึ หนว่ ย x2ϩy2 ϭ 1, y ϭ sin ␪, x ϭ cos ␪ จะได้ความสมั พนั ธ์ ของ sin ␪ และ cos ␪ ดังนี้ (cos ␪)2ϩ(sin ␪)2 ϭ 1 ดงั นั้น cos2␪ϩsin2␪ ϭ 1 เมือ่ ␪ เป็นจาำ นวนจรงิ cos2␪ หมายถึง (cos ␪)(cos ␪) cos ␪2 หมายถึง cos ของจาำ นวนจรงิ ␪2 ซ่ึง cos2␪ cos ␪2 ความหมายของ sin2␪ และ sin ␪2 มคี วามหมายในทาำ นองเดียวกัน า่ ก น น ก น น า่ ก น น ก น น านวน ร า านวน Y จากวงกลมหนง่ึ หนว่ ย π นำามาเขียนในรปู ตารางได้ดงั น้ี 2 (0, 1) p O 0X (Ϫ1, 0) (1, 0) 3p (0, Ϫ1) 2 า ว ริ (␪) ตา ายสว 0 x y 1 0 π 0 1 2 Ϫ1 0 0 Ϫ1 p 3π 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี ก น รี ก 9 จากบทนิยามของ ังก์ชันไซน์และ ังก์ชันโคไซน์จึงหาค่าของ ังก์ชันไซน์และ ังก์ชันโคไซน์ของ ข้อสอบแนว O-NET จำานวนจรงิ ในตารางไดด้ งั น้ี พกิ ดั บนสว่ นโคง้ ของวงกลมหนง่ึ หนว่ ย เมอ่ื ความยาวสว่ นโคง้ sin 0 ϭ 0 cos 0 ϭ 1 (␪) ทเี่ รมิ่ วดั จากจดุ (1, 0) ในขอ้ ใดทท่ี าำ ใหค้ า่ ของ งั กช์ นั sine มคี า่ เปน็ บวก และ cosine มคี า่ เปน็ ศนู ย์ sin π ϭ1 cos π ϭ0 2 2 sin p ϭ 0 cos p ϭ Ϫ1 1. P(0) 2. P π 2 sin 3π ϭ Ϫ1 cos 3π ϭ0 2 2 ในทำานองเดียวกนั จะหาคา่ ของ ังกช์ ันไซน์และ ังก์ชันโคไซน์ของ Ϫ π , Ϫp และ Ϫ 3π ได้ดังนี้ 3. P(π) 4. P 3π 2 2 2 sin ⎝⎛⎜− π⎞ ϭ Ϫ1 cos ⎛⎜⎝− π⎞ ϭ0 ต2 2⎠⎟ 2⎠⎟ sin(Ϫp) ϭ 0 cos(Ϫp) ϭ Ϫ1 sin ⎝⎜⎛− 3π⎞ ϭ1 cos ⎜⎝⎛− 3π⎞ ϭ0 2 ⎠⎟ 2 ⎟⎠ สังเกตได้วπ่า คา่ ของ sin ␪ และ cos ␪ เม่อื ␪ ϭ nπ โดยท ี่ n เปน็ จำานวนเตม็ หาไดจ้ าก 2 2 พกิ ัดของจุดปลายส่วนโคง้ ทย่ี าว nπ หนว่ ย โดยการวัดในทศิ ทางท่ีสอดคล้องกับ ␪ ดงั กล่าว จุดปลาย 2 จะเปน็ จุดใดจดุ หน่งึ ในสจ่ี ุดได้แก่ (1, 0), (0, 1), (Ϫ1, 0) และ (0, Ϫ1) ต่อไปจะพจิ ารณาค่าของ sin ␪ และ cos ␪ โดยแบ่งเปน็ กรณีดงั น้ี ร ท1 า sin p cos p 4 4 ให้ P(x, y) เปน็ จุดปลายสว่ นโค้งบนวงกลมหน่งึ หนว่ ย ซ่งึ มี O เปน็ จดุ กำาเนดิ สร้างรูปสามเหลี่ยมมุม าก PAO โดยม ี A^ เป็นมุม าก และ m(AO^P) ϭ π แสดงวา่ ⌬PAO เปน็ รปู สามเหลี่ยมหน้าจว่ั 4 ดังนั้น OA ϭ PA Y นน่ั คอื x ϭy (0, 1) จาก OA2ϩPA2 ϭ OP2 P(x, y) x2ϩy2 ϭ 12 (Ϫ1, 0) O A X x2ϩx2 ϭ 1 (1, 0) 2x2 ϭ 1 (0, Ϫ1) x2 ϭ 1 2 x ϭ Ϯ1 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 10 า รเ ่ เ เ่ ใหน้ กั เรยี นชว่ ยกนั บอกคา่ ของ งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซน์ แต่ (x, y) เปน็ จุดในจตุ าคที ่ 1 จะได ้ x ϭ 1 ของจาำ นวนจรงิ 3π , 5π และ 7π โดยพจิ ารณาจากคอู่ นั ดบั 2 ซึ่งเป็นจุดปลายส4่วนโค4้งของวงก4ลมหน่ึงหน่วยที่เร่ิมต้นจาก จุด (1, 0) และยาว |␪| หนว่ ย เมือ่ |␪| แทนจาำ นวนจรงิ ใดๆ ดงั น้ัน x ϭ y ϭ 1 ϭ 2 2 2 Y จะได้วา่ จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว π หนว่ ย คือ ⎛ 2 , 2⎞ 4 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ นั่นคอื sin π ϭ cos π ϭ 2 Ϸ 0.7071 4 4 2 Ϫ 2 , 2 2 , 2 2 2 2 2 3π π 44 X ค่าของ งั กช์ นั ไซนแ์ ละ ังกช์ ันโคไซนข์ องจำานวนจริง 3π , 5π, 7π ..., (2n + 1)π เมือ่ n 5π 7π เปน็ จาำ นวนเตม็ จะหาไดโ้ ดยอาศัยวงกลมหน่งึ หน่วยเช่นกัน 4 4 4 4 44 Ϫ 2 ,Ϫ 2 2 ,Ϫ 2 ร ท2 า p p 2 2 2 2 6 6 sin cos ให้ P(x, y) เปน็ จดุ บนวงกลมหนึ่งหนว่ ย ซ่งึ มี O เป็นจดุ กำาเนดิ และ A(1, 0) เป็นจุดบนเสน้ รอบวงทอ่ี ยบู่ นแกน X โดย AO^P ϭ π 6 และให ้ B(0, 1) เป็นจดุ บนเส้นรอบวงท่ีอยู่บนแกน Y Y B(0, 1) (Ϫ1, 0) O P(x, y) A(1, 0) X Q(x, Ϫy) เนอื่ งจาก AO^ B ϭ π 2 จะได้ PO^ B ϭ π Ϫ π ϭ π 26 3 ให้ Q เป็นจดุ ในจตุ าคท ่ี 4 โดยท่ีจดุ Q สมมาตรกับจดุ P เมื่อมีแกน X เปน็ แกนสมมาตร ดังน้ัน จดุ Q คอื (x, Ϫy) และ AO^Q ϭ AO^ P ϭ π 6 ลากเสน้ PB และ PQ จะพบวา่ ⌬POB Х ⌬POQ ดงั นั้น PB ϭ PQ น่นั คือ (x − 0)2 + (y − 1)2 ϭ (x − x)2 + (y + y)2 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี ก น รี ก 11 กจิ กรรมเสนอแนะ x2ϩ(yϪ1)2 ϭ (2y)2 ใหน้ กั เรยี นชว่ ยกนั บอกคา่ ของ งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซน์ ขคอู่องันจดำาับนซว่ึนงเจปร็นิงจุด56ปπล,าย76สπ่วนแโลคะ้งข1อ16งπวงกโดลยมพหิจนาึ่งรหณนา่วจยาทก่ี x2ϩy2Ϫ2yϩ1 ϭ 4y2 .....(1) เรม่ิ ต้นจากจุด (1, 0) และยาว |␪| หนว่ ย เมอ่ื ␪ แทนจาำ นวน จริงใดๆ เนอ่ื งจาก P(x, y) เป็นจดุ บนวงกลมหน่งึ หนว่ ย ดังนั้น x2ϩy2 ϭ 1 นาำ ไปแทนคา่ ใน (1) จะได้ Y 1Ϫ2yϩ1 ϭ 4y2 4y2ϩ2yϪ2 ϭ 0 2y2ϩyϪ1 ϭ 0 (2yϪ1)(yϩ1) ϭ 0 y ϭ 1 , Ϫ1 Ϫ 3 , 1 3 , 1 2 2 2 2 2 แต ่ (x, y) เปน็ จุดในจตุ าคท่ี 1 จะได้ yϭ 1 5π π 2 6 6X จากสมการ 7π 11π x2ϩy2 ϭ 1 6 6 2 3 1 3 1 ⎛ 1⎞ Ϫ 2 , Ϫ 2 2 , Ϫ 2 x2ϩ ⎝⎜ 2⎠⎟ ϭ1 x2ϩ 1 ϭ 1 4 x2 ϭ 3 4 xϭϮ3 2 แต ่ (x, y) เปน็ จดุ ในจตุ าคท ่ี 1 จะได้ xϭ 3 2 ดงั น้นั จุดปลายส่วนโคง้ ทย่ี าว π หนว่ ย คือ ⎛ 3, 1⎞ 6 ⎝⎜ 2 2⎠⎟ นนั่ คอื sin π ϭ 1 ϭ 0.5 62 cos π ϭ 3 Ϸ 0.8660 62 คา่ ของ เงัมกื่อช์ นัn ไเซปน็นแ์ จลาำ ะนวงั นกเช์ ตนั ม็ โ คจไะซหนาข์ไอดงโ้ จดาำยนอวานศจัยรวงิงใกนลรมปู ห 2นn่ึงpหϮนπ6่วย,เ2ชnน่ pกϮัน56π , 2npϮ 7π 6 และ 2npϮ 11π 6 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 12 า รเ ่ เ เ่ ร ท3 า sin p cos p 3 3 ใหจ้ ดุ P(x, y) เปน็ จุดบนสว่ นโคง้ AB ที่ทาำ ใหส้ ่วนโคง้ AP ยาว π หน่วย ให้จุด Q เปน็ าพ สะทอ้ นของจดุ P(x, y) โดยมแี กน Y เปน็ เส้นสะท้อน ดังรูป 3 Y B(0, 1) P(x, y) Q(Ϫx, y) CO X A(1, 0) จากรูปจะได้วา่ พกิ ดั ของจุด Q คอื (Ϫx, y) และสว่ นโค้ง CQ ยาว π หนว่ ย เนือ่ งจากส่วนโคง้ ของครงึ่ วงกลมนย้ี าว p หน่วย 3 ดังน้นั ส่วนโคง้ PQ ยาว π หน่วยดว้ ย 3 จะได้วา่ ระยะทางระหวา่ งจุด PQ ยาวเท่ากบั ระยะทางระหว่างจดุ PA นั่นคือ PQ ϭ PA (x + x)2 + (y − y)2 ϭ (x − 1)2 +(y − 0)2 (x + x)2 ϭ (x − 1)2 + y2 4x2 ϭ x2Ϫ2xϩ1ϩy2 4x2ϩ2xϪ2 ϭ 0 (เนื่องจาก x2ϩy2 ϭ 1) 2(2xϪ1)(xϩ1) ϭ 0 xϭ 1 , Ϫ1 2 แต่ (x, y) เป็นจดุ ในจตุ าคท่ี 1 จะได้ x ϭ 1 2 จากสมการ x2ϩy2 ϭ 1 ⎛ 1⎞ 2 ⎜⎝ 2⎟⎠ ϩy2 ϭ 1 1 ϩy2 ϭ 1 4 y2 ϭ 3 4 yϭϮ3 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ ก น รี ก 13 กิจกรรมเสนอแนะ แต่ (x, y) เป็นจุดในจตุ าคท่ี 1 จะได้ yϭ 3 ใหน้ กั เรยี นชว่ ยกนั บอกคา่ ของ งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซน์ 2 ขคออู่ นังจดำาบั นซวง่ึ เนปจน็ รจิงดุ ป2ล3πาย,สว่ 4น3πโคง้ แขลอะงวง5ก3πลมหโดนยง่ึ หพนิจว่ายรทณเ่ี ราม่ิ จตาน้ก จากจุด (1, 0) และยาว |␪| หน่วย เม่อื ␪ แทนจาำ นวนจรงิ ใดๆ ดงั นน้ั จุดปลายสว่ นโคง้ ท่ียาว π หนว่ ย คอื ⎛ 1 , 3⎞ 3 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ น่ันคือ sin π ϭ 3 Ϸ 0.8660 3 2 Y cos π ϭ 1 ϭ 0.5 3 3 2 2 Ϫ 1 , 3 1 , 2 2 2 และ 2npคϮา่ 5ข3πอง เมงั กื่อ ช์ nนั เไปซนน็ แ์จาำลนะวนงั กเตช์ ม็นั โจคะไหซนาไข์ ดอ้โงดจยาำ อนาวศนัยจวรงงิ กใลนมรปูห น2ง่ึnหpϮน่วπ3ย,เช2น่npกϮัน 2π , 2npϮ 4π 2π π X 3 3 33 4π 5π 33 ่า ก น น ก น น านวน ร Ϫ 1 , Ϫ 3 1 , Ϫ 3 2 2 2 2 พจิ ารณาคา่ ของ sin ␪ และ cos ␪ เมอื่ ␪ เปน็ จาำ นวนจริงใดๆ โดยแบ่งเป็นกรณีดังน้ี ร ท 1 าร า า sin(؊␪) cos(؊␪) ม ␪ า ว ริ ว ถา้ กาำ หนดให้ ␪ เป็นจาำ นวนจริงบวกแล้ว Ϫ␪ จะเปน็ จำานวนจรงิ ลบ การหาค่าของ sin(Ϫ␪) และ cos(Ϫ␪) หาไดจ้ าก sin ␪ และ cos ␪ ซงึ่ มคี วามสมั พนั ธก์ นั ด้วยความสมั พันธ์ท่จี ะกลา่ วตอ่ ไปนี้ สมมตุ ิใหจ้ ุด P(␪) ϭ (x, y) เน่ืองจาก P(␪) เปน็ จดุ บนวงกลมหนึ่งหนว่ ย ซง่ึ วดั จากจดุ A(1, 0) ไปในทิศทวนเขม็ นา ิกาดว้ ย ความยาว ␪ หนว่ ย และ P(Ϫ␪) เปน็ จุดบนวงกลมหนงึ่ หนว่ ย ซงึ่ วดั จากจดุ A(1, 0) ไปในทศิ ตามเข็มนา ิกาดว้ ย ความยาว ␪ หนว่ ย เชน่ กนั ดังนั้น จุด P(␪) และจุด P(Ϫ␪) จะสมมาตรกันโดยมีแกน X เป็นแกนสมมาตร แสดงว่า จุด P(Ϫ␪) ϭ (x, Ϫy) ดงั รปู Y P(␪) ϭ (x, y) ␪ X A(1, 0) O Ϫ␪ P(Ϫ␪) ϭ (x, Ϫy) ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 14 า รเ ่ เ เ่ ใหน้ ักเรยี นจับคู่กัน สร้างโจทยก์ ารหาคา่ ของ sin (Ϫ␪) และ จากบทนิยามของ งั ก์ชนั ไซนแ์ ละ ังก์ชนั โคไซน์ จะได้วา่ cos (Ϫ␪) เม่ือ ␪ เป็นจำานวนจริงบวก ในทำานองเดียวกับ sin ␪ ϭ y และ sin(Ϫ␪) ϭ Ϫy ตัวอย่างที่ 1 แลกเปลี่ยนโจทย์กันหาคำาตอบและตรวจสอบ cos ␪ ϭ x และ cos(Ϫ␪) ϭ x ความถูกต้อง ดังนั้น จงึ สรปุ ความสมั พันธร์ ะหว่าง sin ␪ กบั sin(Ϫ␪) และ cos ␪ กบั cos(Ϫ␪) ได้ดังนี้ sin(Ϫ␪) ϭ Ϫsin ␪ cos(Ϫ␪) ϭ cos ␪ ควำมรเู้ พ่มิ เติม ตว ยา ท 1 จงหาคา่ ของ sin ⎛⎜⎝− π⎞ และ cos ⎝⎜⎛− π⎞ 3⎟⎠ 3⎠⎟ ตว ยา สรมิ ท รย วิ ทา เนอื่ งจาก sin π ϭ 3 และ cos π ϭ 1 ΂ ΃จงหาค่าของ sin ดังนั้น 3 2 3 2 31π และ cos Ϫ35π และ 3 4 sin ⎛⎝⎜− π⎞ ϭ Ϫsin π ϭ Ϫ3 3⎠⎟ 3 2 ΂ ΃sin 31π ϭ วิ ทา 3 sin 10πϩ π cos ⎛⎝⎜− π⎞ ϭ cos π ϭ1 ต 3 3⎠⎟ 3 2 ϭ sin π 3 ร ท2 าร า า sin ␪ cos ␪ ม ␪ Ͼ 2p 3 ϭ2 ถา้ ␪ Ͼ 2p และหาร ␪ ดว้ ย 2p แล้วได้ n เหลอื เศ ␣ (แอล า) นน่ั คอื ␪ ϭ 2npϩ␣ เมือ่ n เปน็ จาำ นวนเต็มบวก และ 0 р ␣ Ͻ 2p ΂ ΃cos Ϫ35π ϭ cos 35π เนอื่ งจาก 4 4 P(2npϩ␣) ϭ P(␣) ϭ ΂ ΃cos 8πϩ3π ดังน้นั P(␪) ϭ P(␣) 4 จงึ สรปุ ความสัมพนั ธใ์ นการหา sin ␪ และ cos ␪ เมอ่ื ␪ Ͼ 2p ได้ดงั นี้ ϭ cos 3π sin ␪ ϭ sin(2npϩ␣) ϭ sin ␣ 4 cos ␪ ϭ cos(2npϩ␣) ϭ cos ␣ ϭ −2 2 สังเกตได้ว่า ถ้าหาค่าของ ังก์ชันไซน์และ ังก์ชัน โคไซน์ของจำานวนจรงิ ท่ีมีค่าต้ังแต ่ 0 ถงึ 2p ไดแ้ ลว้ จะหาค่าของ ังก์ชันไซน์และ ังก์ชันโคไซน์ของ จำานวนจริงบวกทุกจำานวนได้ด้วย ซ่ึงจะทำาให้หาค่า ของ งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซนข์ องจาำ นวนจรงิ ลบ ทกุ จำานวนได้เสมอ ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี ก น รี ก 15 ควำมรู้เพ่ิมเตมิ ตว ยา ท 2 ตว ยา สริม ท รย จงหาค่าของ sin 37π และ cos ⎛ − 13π⎞ กำาหนดให้ sin π ϭ 0.31 และ cos π ϭ 0.95 จงหาคา่ 6 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 10 10 วิ ทา เนือ่ งจาก 37π ϭ 6pϩ π ϭ (3ϫ2p)ϩ π ของ sin 9π และ cos 9π 6 6 6 10 10 ดงั นน้ั sin 37π ϭ sin ⎜⎛⎝(3 × 2π) + π⎞ ϭ sin π ϭ 1 ΂ ΃วิ ทา 6 6⎟⎠ 6 2 sin 9π sin πϪ1π0 10 ϭ และ cos ⎛ − 13π⎞ ϭ cos 13π ϭ cos ⎝⎛⎜2π + 5π⎞ ϭ cos 5π ϭ Ϫ 2 ต ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4 4 ⎠⎟ 4 2 ϭ sin π 10 ร ท 3 าร า า sin ␪ มcos ␪ p Ͻ ␪ Ͻ p ϭ 0.31 2 ให้ P(x, y) เป็นจุดบนวงกลมหน่ึงหน่วย ซึ่งมี O เป็นจุดกำาเนิด และ A(1, 0) เป็นจุดบน ΂ ΃cos 9π 10 เสน้ รอบวงทอ่ี ยู่บนแกน X ทางด้านบวก พจิ ารณารูปของมุม ␪ ต่อไปนี้ ϭ cos πϪ1π0 Y ϭ Ϫcos π 10 (0, 1) P(x, y) ϭ Ϫ0.95 (Ϫ1, 0) ␪ X O A(1, 0) (0, Ϫ1) จากรูป ถ้าให้แกน Y เป็นแกนสมมาตร จะได้ว่า จุด Q(Ϫx, y) จะเป็นจุดที่สมมาตรกับ จุด P(x, y) ดังรปู Y Q(Ϫx, y) (0, 1) P(x, y) (Ϫ1, 0) ␪␪ X O A(1, 0) (0, Ϫ1) เนื่องจากต้องการหามุมท่ีม ี OA เป็นดา้ นเร่ิมต้น และ OQ เป็นด้านสิน้ สดุ ดังนนั้ ขนาดของมมุ ดังกล่าวเทา่ กบั pϪ␪ เรเดยี น ดังรปู Y (0, 1) Q(Ϫx, y) P(x, y) (Ϫ1, 0) pϪ␪ X A(1, 0) ␪ O (0, Ϫ1) ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ควำมรู้เพ่มิ เติม 16 า รเ ่ เ เ่ ตว ยา สริม ท รย เพราะว่า Q เปน็ จดุ บนวงกลมหน่งึ หนว่ ยทมี่ พี กิ ดั ตวั หน้าเป็น Ϫx และพกิ ดั ตัวหลงั เปน็ y จะไดว้ า่ กำาหนดให้ sin π ϭ 0.31 และ cos π ϭ 0.95 จงหาค่า cos(pϪ␪) ϭ Ϫx 10 10 sin(pϪ␪) ϭ y ของ sin 11π และ cos 11π 10 10 แต่ x ϭ cos ␪ และ y ϭ sin ␪ ΂ ΃วิ ทา ดงั นน้ั sin(pϪ␪) ϭ sin ␪ เม่ือ 0 Ͻ ␪ Ͻ π cos(pϪ␪) ϭ Ϫcos ␪ 2 sin 11π sin πϩ1π0 10 ϭ เม่ือ 0 Ͻ ␪ Ͻ π 2 ϭ Ϫsin π ตว ยา ท 3 10 cos 11π ϭ Ϫ0.31 กาำ หนดให ้ sin π ϭ 0.34 และ cos π ϭ 0.94 10 ϭ 9 9 ϭ ΂ ΃cos πϩ1π0 จงหาค่าของ sin 8π และ cos 8π Ϫcos π 9 9 10 วิ ทา sin 8π ϭ sin ⎝⎛⎜π − π⎞ ϭ sin π ϭ 0.34 9 9⎟⎠ 9 ϭ Ϫ0.95 8π cos ⎝⎛⎜π π⎞ ϭ Ϫcos π ต 9 9⎠⎟ 9 cos ϭ − ϭ Ϫ0.94 ร ท 4 าร า า sin ␪ มcos ␪ p Ͻ␪Ͻ 3p 2 แหลง่ สบื ค้น ให้ P(x, y) และ Q(Ϫx, y) เป็นจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย ซ่ึงม ี O เปน็ จุดกำาเนิด และ A(1, 0) เป็น จดุ บนเส้นรอบวงทอี่ ยู่บนแกน X ทางด้านบวก โดยทจ่ี ดุ Q(Ϫx, y) เป็นจดุ ที่สมมาตรกับจดุ P(x, y) จาก - https://www.youtube.com/watch?v=nQ8u1wjbb8Q รูปขา้ งล่าง ถา้ ใช้แกน X เปน็ แกนสมมาตร และหาจุดทสี่ มมาตรกับจดุ Q จะได ้ R(Ϫx, Ϫy) เป็นจุดที่ สมมาตรกบั จดุ Q ดังรูป Q(Ϫx, y) Y (0, 1) P(x, y) (Ϫ1, 0) ␪␪ ␪ X R(Ϫx, Ϫy) O A(1, 0) (0, Ϫ1) จากรปู พบว่าจุด P และจดุ R อยใู่ นแนวเสน้ ตรงเดยี วกนั ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรู้ท่ี ก น รี ก 17 ควำมร้เู พ่มิ เตมิ แตเ่ นอ่ื งจากต้องการหามมุ ท่ีมี OA เปน็ ดา้ นเร่ิมตน้ และ OR เปน็ ด้านส้ินสุด ดังน้ันขนาดของ ตว ยา สริม ท รย มมุ ดังกลา่ วเท่ากบั pϩ␪ เรเดยี น ดงั รปู กำาหนดให้ sin π ϭ 0.31 และ cos π ϭ 0.95 จงหาคา่ Y 10 10 (0, 1) ของ 19π และ 19π sin 10 cos 10 pϩ␪ X ΂ ΃วิ ทา 19π (Ϫ1, 0) ␪O A(1, 0) sin 10 ϭ sin 2πϪ1π0 R(Ϫx, Ϫy) (0, Ϫ1) π 10 เพราะวา่ R เปน็ จดุ บนวงกลมหน่ึงหน่วยทมี่ ีพกิ ัดตวั หน้าเป็น Ϫx และพิกัดตวั หลงั เป็น Ϫy ϭ Ϫsin จะไดว้ ่า cos(pϩ␪) ϭ Ϫx ϭ Ϫ0.31 ϭ sin(pϩ␪) ϭ Ϫy cos 19π ϭ ΂ ΃cos 2πϪ1π0 10 แต ่ x ϭ cos ␪ และ y ϭ sin ␪ cos π 10 ดงั นน้ั sin(pϩ␪) ϭ Ϫsin ␪ เม่อื 0 Ͻ ␪ Ͻ π cos(pϩ␪) ϭ Ϫcos ␪ 2 เมือ่ 0 Ͻ ␪ Ͻ π ϭ 0.95 2 ตว ยา ท 4 กาำ หนดให ้ sin π ϭ 0.34 และ cos π ϭ 0.94 9 9 จงหาคา่ ของ sin 10π และ cos 10π 9 9 วิ ทา sin 10π ϭ sin ⎛⎝⎜π + π⎞ ϭ Ϫsin π ϭ Ϫ0.34 9 9⎟⎠ 9 cos 10π ϭ cos ⎛⎜⎝π + π⎞ ϭ Ϫcos π ϭ Ϫ0.94 ต 9 9⎠⎟ 9 ร ท5 าร า า sin ␪ มcos ␪ 3p Ͻ ␪ Ͻ 2p 2 ในทำานองเดียวกนั สามารถทำาต่อเนือ่ งจากกรณที ี่ 4 โดยใช้แกน Y เป็นแกนสมมาตร หาจดุ ท่ี สมมาตรกับจดุ R จะได้จดุ S(x, Ϫy) เป็นจุดทส่ี มมาตรกบั จดุ R ดงั รปู Y Q(Ϫx, y) (0, 1) P(x, y) (Ϫ1, 0) O␪ ␪ X ␪ A(1, 0) R(Ϫx, Ϫy) S(x, Ϫy) (0, Ϫ1) ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสืบคน้ 18 า รเ ่ เ เ่ - https://www.youtube.com/watch?v=aid9SNLodkI เนื่องจากต้องการหามมุ ท่มี ี OA เปน็ ดา้ นเร่มิ ต้น และ OS เป็นดา้ นสนิ้ สดุ ดงั น้นั ขนาดของมมุ ดังกล่าวเทา่ กบั 2pϪ␪ เรเดยี น ดังรูป Y (0, 1) (Ϫ1, 0) 2pϪ␪ X A(1, 0) O␪ S(x, Ϫy) (0, Ϫ1) เพราะวา่ S เปน็ จดุ บนวงกลมหนงึ่ หนว่ ยทีม่ ีพิกดั ตัวหน้าเป็น x และพิกดั ตวั หลังเปน็ Ϫy จะได้วา่ cos(2pϪ␪) ϭ x sin(2pϪ␪) ϭ Ϫy แต่ x ϭ cos ␪ และ y ϭ sin ␪ ดังนนั้ sin(2pϪ␪) ϭ Ϫsin ␪ เมื่อ 0 Ͻ ␪ Ͻ π cos(2pϪ␪) ϭ cos ␪ 2 เม่ือ 0 Ͻ ␪ Ͻ π 2 ตว ยา ท 5 กาำ หนดให ้ sin π ϭ 0.34 และ cos π ϭ 0.94 9 9 จงหาค่าของ sin 17π และ cos 17π 9 9 วิ ทา sin 17π ϭ sin ⎛⎜⎝2π − π⎞ ϭ Ϫsin π ϭ Ϫ0.34 9 9⎠⎟ 9 cos 17π ϭ cos ⎛⎝⎜2π − π⎞ ϭ cos π ϭ 0.94 ต 9 9⎠⎟ 9 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 19 ย า 92 แบบ กหดั ที่ 2 1. จงพจิ ารณาว่าจดุ ปลายสว่ นโค้งทีย่ าว ␪ หนว่ ย อย่ใู นจตุ าคใด (2) sin ␪ Ͼ 0 และ cos ␪ Ͻ 0 (1) sin ␪ Ͼ 0 (3) sin ␪ Ͻ 0 และ cos ␪ Ͼ 0 (4) sin ␪ Ͻ 0 และ cos ␪ Ͻ 0 (5) cos ␪ Ͼ 0 (6) sin ␪ cos ␪ Ͼ 0 (7) cos ␪ Ͻ 0 (8) sin ␪ cos ␪ Ͻ 0 2. จงหาพิกดั ของจดุ ปลายของส่วนโคง้ แตล่ ะจดุ บนวงกลมหน่งึ หน่วยต่อไปนี้ Y 2p p 3p 3 3 4 Cp 5p D B4p 6E F A6 7p O X 6G (1, 0) 5p H I J L 11p 4 4p K 6 3 5p 7p 3 4 3. จงหาคา่ ของ sin ␪ และ cos ␪ เม่อื ␪ เปน็ จาำ นวนจรงิ ต่อไปน้ี (1) 5p (2) Ϫ3p (3) 9π (4) Ϫ 7π (5) 64p 2 2 (6) Ϫ47p (7) 27π (8) Ϫ 13π (9) 31p (10) Ϫ66p 2 2 9π (12) 13π (13) 19π (14) 21π (15) Ϫ 23π (11) 4 3 6 4 6 (16) Ϫ 29π (17) Ϫ 17π (18) 100π (19) Ϫ2041p (20) Ϫ 95π 3 6 3 6 4. ถ้า cos2␪Ϫsin2␪ ϭ 1 เมือ่ 3π р ␪ р 2p จงหาคา่ ของ sin ␪ 2 2 5. จงพจิ ารณาแต่ละข้อต่อไปน้วี า่ เปน็ จรงิ หรอื เปน็ เทจ็ (1) คา่ ของ sin ⎜⎛⎝− 3π⎞ มีคา่ เท่ากับ sin π 2 ⎟⎠ 2 (2) ถา้ π р ␪ р p แลว้ cos ␪ р sin ␪ 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 20 า รเ ่ เ เ่ 1. ครทู บทวนความรูเ้ รอ่ื ง งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซน์ (3) คา่ cos ␪ เพม่ิ ขึน้ เมอ่ื 0 р ␪ р p 2. ครเู ขยี นกาำ หนดมมุ 10 มมุ แลว้ สมุ่ ตวั แทนออกมาหาคา่ (4) ถ้า 3π р ␪ р 2p แลว้ Ϫ1 р cos ␪ р 1 และ Ϫ1 р sin ␪ р 0 ของ งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซนข์ องมมุ นน้ั ๆ เพอื่ ตรวจ 2 สอบความรูเ้ ดิม าสา : (5) มีจำานวนจริง ␪ ทที่ ำาใหส้ มการ cos ␪ ϭ 3 เปน็ จรงิ 1. ังกช์ นั แทนเจนต์ 2. งั ก์ชันโคแทนเจนต์ 6. กาำ หนดให ้ sin π ϭ 0.26 และ cos π ϭ 0.97 จงหาค่าของ 3. งั กช์ นั เซแคนต์ 12 12 4. งั ก์ชนั โคเซแคนต์ (1) sin ⎛ − π⎞ (2) cos ⎝⎛⎜− π⎞ I ndesign ⎜⎝ 12⎠⎟ 12⎟⎠ 1. ครูให้นักเรียนศึก าเร่ือง ังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ใน (3) cos 11π (4) sin 13π หนงั สอื เรยี น จากนน้ั สง่ ตวั แทนออกมาสรปุ สาระสาำ คญั 12 12 ตามความเข้าใจของนกั เรียน (5) sin 23π (6) cos 25π 2. ครูสรุปความรู้เกี่ยวกับบทนิยามของ ังก์ชันตรีโกณมิติ 12 12 อนื่ ๆ ดงั น้ี งั กช์ นั แทนเจนต์ งั กช์ นั โคแทนเจนต์ งั กช์ นั เซแคนต์ และ งั ก์ชันโคเซแคนต์ 7. กาำ หนดให ้ 0 р␪ р π และ sin ␪ ϭ 0.42 จงหาค่าของ 2 3. ครใู ชก้ ารถาม-ตอบประกอบการอธบิ ายเกยี่ วกบั โดเมน และเรนจข์ อง ังกช์ ันตรีโกณมติ ทิ ุก ังกช์ ัน (1) cos ␪ (2) sin(pϪ␪) 4. ครใู หน้ กั เรยี นทาำ แบบฝกหัดที่ 3 (3) cos(pϪ␪) (4) cos(␪Ϫ2p) I CT (5) sin(2pϪ␪) (6) cos(pϩ␪) ให้นักเรียนศึก าเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ก น รี ก น่ จาก search engine ตา่ ง ๆ นอกจาก งั กช์ นั ไซนแ์ ละ งั กช์ นั โคไซนท์ กี่ ลา่ วมาแลว้ ยงั มี งั กช์ นั ตรโี กณมติ ทิ สี่ าำ คญั อกี 4 งั กช์ นั ตอ่ ไปนี้ ท ิยาม กำาหนดให้ ␪ เปน็ จาำ นวนจรงิ 1. งั กช์ ันแทนเจนต ์ คือ ังกช์ ันที่นิยามวา่ tangent ␪ ϭ sin θ เม่อื cos ␪ 0 cos θ 2. ังก์ชันโคแทนเจนต์ คือ ังกช์ ันท่นี ยิ ามว่า cotangent ␪ ϭ cos θ เมื่อ sin ␪ 0 sin θ 3. งั ก์ชนั เซแคนต ์ คอื งั กช์ ันทีน่ ยิ ามว่า secant ␪ ϭ 1 เม่ือ cos ␪ 0 cos θ 4. ังก์ชนั โคเซแคนต์ คอื ังกช์ นั ท่ีนยิ ามว่า cosecant ␪ ϭ 1 เม่ือ sin ␪ 0 sin θ ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 21 กิจกรรมเสนอแนะ จากบทนิยามจะพบว่า ังก์ชันทั้งส่ี ังก์ชัน นิยามในรูปของ ังก์ชันไซน์และ ังก์ชันโคไซน์ ใหน้ ักเรียนแสดงการพิสจู นต์ ่อไปนี้ กลา่ วคอื ถา้ ทราบคา่ ของ sin ␪ และ cos ␪ แลว้ จะทราบคา่ ของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ อิ นื่ ๆ ทเี่ หลอื ของจาำ นวนจรงิ 1. sec ␪ϩcosec ϭ cosec ␪ ␪ ได้ 1ϩtan␪ 1 2. sin␪cos␪ ϭ tan ␪ϩcot ␪ 1 ϩ 1 ว าต 1. sec␪ϩcosec␪ cos␪ sin␪ 1ϩtan␪ ϭ เพ่ือความสะดวก จะใช้สญั ลัก ณ์ต่อไปน้แี ทน งั ก์ชันตรีโกณมิติอ่นื ๆ sin␪ tangent ␪ จะเขยี นแทนดว้ ย tan ␪ อา่ นว่า แทนทตี า 1ϩ cos␪ cotangent ␪ จะเขยี นแทนดว้ ย cot ␪ อา่ นวา่ คอตทีตา secant ␪ จะเขียนแทนด้วย sec ␪ อ่านว่า เซกทตี า sin␪ϩcos␪ cosecant ␪ จะเขียนแทนดว้ ย cosec ␪ หรอื csc ␪ อา่ นว่า โคเซกทีตา ϭ cos␪sin␪ cos␪ϩsin␪ cos␪ นอกจากนถี้ า้ พิจารณาถงึ โดเมนและเรนจข์ อง ังก์ชันทงั้ ส่ีจะพบวา่ ϭ1 sinθ 1. โดเมนของ ังกช์ นั tan และ sec คอื RϪ{x ʦ R|x ϭ }(2n − 1)π ϭ cosec ␪ 2 ;nʦI 2. โดเมนของ ังกช์ นั cot และ cosec คือ RϪ{x ʦ R|x ϭ np ; n ʦ I} 2. 1 ϭ sin2␪ϩcos2␪ 3. เรนจข์ อง งั ก์ชัน tan และ cot คอื R sin␪cos␪ sin␪cos␪ และ 4. เรนจข์ อง งั ก์ชนั sec และ cosec คือ RϪ{x ʦ R|Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1} ϭ sin2␪ ϩ cos2␪ sin␪cos␪ sin␪cos␪ เนื่องจาก cot ␪ ϭ cos θ เมอ่ื sin ␪ 0 sin θ ϭ sin␪ ϩ cos␪ จะไดว้ ่า 1 ϭ1 cos␪ sin␪ cot ␪ ϭ sin θ tan θ cos θ ϭ tan␪ϩcot␪ ดังนัน้ cot ␪ ϭ 1 θ เม่ือ tan ␪ 0 หรือ sin ␪ 0 tan และเนื่องจาก tan ␪ ϭ sin θ เมอ่ื cos ␪ 0 จะได้วา่ cos θ ⎛ sin θ ⎞ 2 ⎜⎝ cos θ ⎠⎟ 1ϩtan2␪ ϭ 1ϩ ϭ 1ϩ sin2θ ข้อสอบแนว O-NET cos2θ กาำ หนดให ้ A เปน็ มมุ แหลม คา่ ของ ϭ cos2θ + sin2θ cos2θ 1Ϫsin A cos A sin2 AϪcos2A cos A(sec AϪcosec A) ϫ sin3 Aϩcos3A 1 ϭ cos2θ ϭ sec2␪ เทา่ กบั ข้อใด 1. sin A 2. cos A 4. cosec A 3. tan A ต1 ยย 1Ϫsin A cos A ϭ 1Ϫsin A cos A ϭ 1Ϫsin A cos A ϭ sin A(1Ϫsin A cos A) พิจารณา cos A 1 Ϫ 1 sin AϪcos A cos A(sec AϪcosec A) cos A sin AϪcos A และ cos A sin A sin A cos A sin2 AϪcos2 A ϭ (sin AϪcos A)(sin Aϩcos A) ϭ sin AϪcos A sin3 Aϩcos3 A (sin Aϩcos A)(sin2 AϪsin A cos Aϩcos 2 A) 1Ϫsin A cos A ดงั น้ัน 1Ϫsin A cos A ϫ sin2 AϪcos2 A ϭ sin A(1Ϫsin A cos A) ϫ sin AϪcos A ϭ sin A sin3 Aϩcos3 A cosec A(sec AϪcosec A) sin AϪcos A 1Ϫsin A cos A ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 22 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรยี นแสดงการพสิ จู น์ตอ่ ไปน้ี 1 ϩ1ϩc1ot2␪ 1. 1ϩtan2␪ ϭ1 ดังนั้น 1ϩtan2␪ ϭ sec2␪ เมือ่ cos ␪ 0 2. sec␪Ϫ1 tan␪Ϫ 1 ϭ 2 tan ␪ นอกจากความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง ังก์ชนั ตรโี กณมติ ิข้างตน้ อาจหาความสัมพนั ธร์ ะหว่าง cot ␪ กบั sec␪ϩtan␪ cosec ␪ ไดใ้ นทำานองเดยี วกนั ซ่งึ จะได้ความสัมพนั ธด์ งั นี้ ว าต 1. 1 ϩ1ϩc1ot2␪ 1ϩtan2␪ ϭ 1 ϩ 1 1ϩcot2␪ ϭ cosec2␪ เมอ่ื sin ␪ 0 sec2␪ cosec2␪ ϭ cos2␪ϩsin2␪ เม่ือ ังก์ชันตรีโกณมิติที่กำาหนดใหม่ท้ังหมดมีค่าข้ึนอยู่กับค่าของ ังก์ชันไซน์และ ังก์ชันโคไซน์ ϭ1 ดังนั้น จึงหาค่าของ งั ก์ชันตรโี กณมิตเิ มอ่ื กาำ หนด ␪ ตง้ั แต่ 0 ถงึ π ได้ดงั ตารางต่อไปนี้ 2 2. 1 Ϫsec␪ϩ1 tan␪ sec␪Ϫtan␪ ์␪ 0 p p p p ϭ sec␪ϩtan␪Ϫsec␪ϩtan␪ 6 4 3 2 ΂ ΃΂ ΃sec␪Ϫtan␪ sec␪ϩtan␪ sine 0 1 2 3 1 2 2 2 ϭ 2tan␪ cosine 1 3 21 0 sec2␪Ϫtan2␪ 22 2 ϭ 2tan␪ จาก 1ϩtan2␪ ϭ sec2␪ tangent 0 3 1 3 ไม่นยิ าม 1 จะได้ sec2␪Ϫtan2␪ ϭ1 3 ϭ 2 tan ␪ cosecant ไมน่ ยิ าม 2 2 23 1 3 23 secant 1 3 2 2 ไม่นิยาม cotangent ไมน่ ิยาม 3 1 3 0 3 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรู้ที่ ก น รี ก 23 กจิ กรรมเสนอแนะ ตว ยา ท 6 ให้นักเรียนแบง่ กลมุ่ กลุ่มละ 3-4 คน สรา้ งโจทย์การหาคา่ ของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ใิ นทาำ นองเดยี วกบั ตวั อยา่ งท่ี 6-7 แลว้ จงหาคา่ ของ งั ก์ชันตรีโกณมิติทกุ งั ก์ชันของ π แลกเปลย่ี นโจทยก์ ันหาคาำ ตอบและตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 6 วิ ทา เนอื่ งจาก sin π ϭ 1 และ cos π ϭ 3 6 2 6 2 โดยบทนิยามจะได้ tan π ϭ sin π ϭ 1 ϭ 1ϭ 3 6 6 2 3 3 3 cos π 62 cosec π ϭ 1 ϭ 1 ϭ2 6 sin π 1 62 sec π ϭ 1 ϭ 1 ϭ 2 ϭ 23 6 cos π 3 33 62 cot π ϭ 1 ϭ 1 ϭ 3 ต 6 tan π 1 ต 6 3 ตว ยา ท 7 จงหาค่าของ cosec 9π และ cot 9π cos 9π 2 2 วิ ทา cosec 9π ϭ 1 cot 9π ϭ 2 2 sin 9π 2 sin 9π 2 2 ϭ1 cos⎜⎝⎛ 4 π + π⎞ 2⎠⎟ ϭ sin⎝⎜⎛ 4 π π⎞ sin⎛⎜⎝ 4 π π⎞ + 2⎠⎟ + 2⎠⎟ 1 cos π sin π 2 ϭ ϭ sin π 2 2 ϭ1 ϭ0 1 1 ϭ1 ϭ0 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 24 า รเ ่ เ เ่ ข้อสอบแนว O-NET ตว ยา ท 8 กาำ หนดให้ cosec ␪ ϭ Ϫ 17 โดยที่ 3π Ͻ ␪ Ͻ 2π งั กช์ นั จงหาค่าของ cosec 5p และ cot 5p 8 2 ตรีโกณมติ ใิ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้มีคา่ มากท่ีสุด วิ ทา cosec 5p ϭ 1 cot 5p ϭ cos 5π sin 5π sin 5π 1. sin ␪ 2. cos ␪ ϭ1 cos(4π + π) 3. tan ␪ 4. sec ␪ sin(4π + π) ϭ sin(4π + π) ต4 ϭ1 ϭ cos π sin π sin π ϭ1 ϭ −1 0 0 ดังน้นั ไมน่ ิยาม cosec 5p ดงั นั้น ไมน่ ิยาม cot 5p ต ต ตว ยา ท 9 จงหาค่าของ sin 4π cos π Ϫsin π cos 5π 3 6 3 6 วิ ทา sin 4π cos π Ϫsin π cos 5π ϭ sin ⎜⎝⎛π + π⎞ cos π Ϫsin π cos ⎝⎛⎜π − π⎞ 3 6 3 6 3⎠⎟ 6 3 6⎟⎠ ϭ Ϫsin π cos π Ϫsin π ⎜⎝⎛− cos π⎞ 3 6 3 6⎟⎠ ϭ Ϫsin π cos π ϩsin π cos π 3 6 3 6 ϭ0 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ ก น รี ก 25 ย า 94 แบบ กหัดที่ 1. จงหาคา่ ของ งั ก์ชนั ตรีโกณมติ ทิ กุ ังก์ชนั ของจาำ นวนต่อไปนี้ (ถา้ หาค่าได)้ (1) π (2) p 2 (3) π (4) 2π 4 3 (5) 7π (6) Ϫ 7π 6 4 (7) 5π (8) Ϫ7p 3 2. กาำ หนดให้ sin A ϭ 2 และ π Ͻ A Ͻ p จงหาคา่ ของ 3 2 (1) cos A (2) tan A (3) sec A (4) cosec A (5) cot A 3. กาำ หนดให้ sec2␪ϩtan2␪ ϭ 5 และ 0 Ͻ ␪ Ͻ π จงหาคา่ ของ cos ␪ 2 2 4. กาำ หนดให้ tan ␪ ϭ 3 และ cos ␪ Ͻ 0 จงหาค่าของ cosec ␪ϩsec ␪ 5. จงหาคา่ ของ (1) cos 3p tan2 3π Ϫ 3 tan 4π cosec π 4 3 6 (2) sin 5π ϩtan2 7π ϩ 6 cos 3π sin 4π 6 6 4 3 (3) 5 sec 4π cos ⎛⎝⎜− 7π⎞ cosec π ϩcos(Ϫp)tan2 3π 3 4 ⎟⎠ 4 4 (4) sin 3π ϩtan p cos 3π Ϫcot2 5π ϩsin 7π 2 2 6 6 (5) cos2 π ϩsin2 π ϩsin2 11π ϩcos2 π 3 3 6 6 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ndesign 26 า รเ ่ เ เ่ 1. ครูให้นักเรียนศึก าเรื่อง ังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใน ก น รี ก หนังสือเรียน แล้วสรุปสาระสำาคัญตามความเข้าใจของ นักเรียน การว 2. ครอู ธบิ ายสรปุ เนอ้ื หาเพอ่ื ใหน้ กั เรยี นเหน็ ความสมั พนั ธ์ ของมมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมรศั มี r หนว่ ย ซง่ึ รองรบั กาำ หนดสว่ นของเสน้ ตรง OP ต้องการสร้าง PO^Q ให้มขี นาด 60Њ โดยใชโ้ พรแทรกเตอรว์ ัดขนาด ดว้ ยส่วนโคง้ ของวงกลมทยี่ าว a หน่วย จะมีขนาด a ของมมุ ทาำ ไดโ้ ดยวางโพรแทรกเตอรท์ บั สว่ นของเสน้ ตรง OP ซงึ่ วดั ขนาดของมมุ ทต่ี อ้ งการสรา้ งได ้ 2 แบบ เรเดยี น r คอื วดั ในทิศทวนเข็มนา ิกา และวัดในทศิ ตามเข็มนา ิกา ดงั รูป Q 3. ครวู าดรปู สามเหลยี่ มมมุ าก 1 รปู โดยใหค้ วามยาวดา้ น 60Њ P ของรูปสามเหลี่ยมเป็น a, b และ c และให้นักเรียน O ชว่ ยกันหาคา่ งั กช์ ันตรีโกณมติ ติ ่างๆ ของมมุ A, B และ C จากน้ันให้นักเรียนพิจารณาว่ามีค่าใดบ้างที่เท่ากัน 60Њ แลว้ ครูสรุปเปน็ ขอ้ สังเกตใหน้ กั เรยี นทราบ 4. ครใู ห้นกั เรียนทาำ แบบฝกหดั ท่ี 4 ข้อสอบแนว O-NET Q؅ รปู สามเหลย่ี มรปู หนงึ่ มมี มุ สองมมุ มขี นาด 36Њ และ 2π เรยี กจุด O วา่ ย ของมมุ 3 เรยี ก OP วา่ า รมิ ต ของมุม เรยี ก OQ หรอื OQ؅ วา่ า สิ ส ของมุม เรเดยี น ขนาดของมมุ ทเี่ หลอื ในหนว่ ยเรเดยี นเทา่ กบั ขอ้ ใด การวัดขนาดของมุมทำาได้โดยวัดจากด้านเร่ิมต้นไปยังด้านสิ้นสุด โดยการบอกขนาดของมุม มขี ้อตกลงดงั น้ี 1. π 2. 2π ถ้าวดั มมุ ในทศิ ทวนเข็มนา ิกา ขนาดของมุมจะเป็นจาำ นวนบวก 15 15 ถ้าวดั มมุ ในทศิ ตามเขม็ นา กิ า ขนาดของมมุ จะเป็นจาำ นวนลบ หนว่ ยในการวดั มมุ ทนี่ ยิ มใช ้ คอื องศา เขยี นแทนดว้ ย Њ โดยถอื วา่ มมุ ทเ่ี กดิ จากการหมนุ สว่ นของ 3. 4π 4. 7π เส้นตรงไปครบหนง่ึ รอบมขี นาด 360 องศา และแบ่งหน่วยองศาออกเปน็ หนว่ ยย่อยคือ ลิปดา (؅) และ 15 15 พิลปิ ดา (؆) 1Њ ϭ 60Ј 1Ј ϭ 60Љ หนว่ ยวดั มุมท่สี ำาคัญอีกหน่วยหน่ึงคอื เรเดยี น ต2 ยย เนอ่ื งจาก 180 องศา เท่ากับ π เรเดียน จะไดว้ า่ 36 องศา เทา่ กบั 1π80 ϫ63 ϭ π เรเดยี น 5 ดงั นัน้ ขนาดของมมุ ทเ่ี หลือ เทา่ กับ πϪ π Ϫ 2π ϭ 15πϪ3πϪ10π 5 3 15 ϭ 2π 15 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี ก น รี ก 27 กจิ กรรมเสนอแนะ ใหน้ ักเรียนพิจารณารปู ต่อไปน้ี ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ แขง่ กนั เปลยี่ นหนว่ ยเรเดยี นใหเ้ ปน็ องศา และเปลย่ี นหนว่ ยองศาใหเ้ ปน็ เรเดยี น โดยเตมิ ตารางตอ่ ไปน้ี a ใหส้ มบูรณ์ Or รย ศา ย 1 5π 225Њ 4 จากรปู ขา้ งตน้ พบวา่ วงกลมนม้ี รี ศั มยี าว r หนว่ ย ซง่ึ รองรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ ของวงกลมทยี่ าว a หนว่ ย จะมีขนาด a เรเดียน และถา้ ให้ขนาดของมุมดังกลา่ วเป็น ␪ เรเดยี น r 2 7π 210Њ 6 จะได้ ␪ϭ a r เนอื่ งจากมมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมทมี่ รี ศั มยี าว r หนว่ ย ทไี่ ดจ้ ากการหมนุ รศั มไี ปครบ 1 รอบ 3 11π 990Њ มขี นาด 2p เรเดยี น แตม่ ุมดังกลา่ วเม่ือวดั เปน็ องศาวัดได ้ 360 องศา 2 ดงั น้นั 360 องศา เท่ากับ 2p เรเดียน 9π หรอื 180 องศา เทา่ กบั p เรเดียน 4 4 405Њ กล่าวคือ 1 องศา ϭ π เรเดยี น Ϸ 0.01745 เรเดียน 180 และ 1 เรเดียน ϭ 180 องศา Ϸ 57Њ 18Ј 5 4π 240Њ π 3 การเขียนขนาดของมุมท่ีมีหน่วยเป็นเรเดียนมักจะไม่เขียนหน่วยกำากับไว้ ดังน้ัน ถ้า ศา ร ย ย กล่าวถงึ ขนาดของมุมโดยไม่มีหนว่ ยกาำ กบั ให้ถอื ว่ามุมนนั้ มหี น่วยเป็นเรเดยี น 1 120Њ 2π 3 ตว ยา ท 10 2 150Њ 5π 6 จงเขียนมมุ 2 เรเดียน ให้มีหน่วยเป็นองศา 3 690Њ 23π วิ ทา เน่ืองจาก p เรเดียน เท่ากับ 180 องศา 6 ดังนนั้ 2 เรเดียน เทา่ กับ 2 × 180 องศา π 4 780Њ 13π Ϸ 2(57Њ 18Ј) 3 Ϸ 114Њ 36Ј ต 5 1080Њ 6π ดังนั้น มุม 2 เรเดียน มคี ่าประมาณ 114Њ 36Ј แหล่งสืบคน้ - https://www.youtube.com/watch?v=RNZADEK5tF4 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ควำมรูเ้ พมิ่ เติม 28 า รเ ่ เ เ่ ตว ยา สรมิ ท รย ตว ยา ท 11 จงหาคา่ ของ งั ก์ชนั ตรโี กณมิติทกุ งั กช์ นั ของมมุ 315° วิ ทา sin 315Њ ϭ sin (360°Ϫ45Њ) จงเขียนมุม 65 องศา ให้มีหนว่ ยเปน็ เรเดยี น วิ ทา เน่อื งจาก 180 องศา เท่ากบั p เรเดียน ϭ Ϫsin 45Њ ดงั นัน้ 65 องศา เท่ากับ 65 × π เรเดียน 180 ϭ −2 ϭ 13π เรเดียน 2 36 cos 315Њ ϭ cos (360°Ϫ45Њ) ดงั นน้ั มมุ 65 องศา เท่ากับ 13π เรเดยี น ต 36 ϭ cos 45Њ ก น รี ก tan 315Њ ϭ2 เม่อื จดุ ยอดของมุมๆ หน่งึ อยทู่ จ่ี ดุ (0, 0) และด้านเรม่ิ ต้นของมุมนั้นทาบไปตามแกน X ทางบวก 2 จะกล่าวว่ามมุ นน้ั อยู่ในตาำ แหนง่ มาตร าน ϭ tan (360°Ϫ45Њ) YY ϭ Ϫtan 45Њ ϭ Ϫ1 ␪ X O␪ X O cot 315Њ ϭ cot (360°Ϫ45Њ) ϭ Ϫcot 45Њ ϭ Ϫ1 ␪Ͼ0 ␪Ͻ0 sec 315Њ ϭ sec (360°Ϫ45Њ) จากรปู กาำ หนดให้มุม ␪ อย่ใู นตาำ แหนง่ มาตร าน แต่เนอื่ งจากสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึ่งหนว่ ยที่ รองรับมุมท่จี ุดศูนย์กลางขนาด 1 เรเดยี นน้นั จะต้องยาว 1 หนว่ ย ดงั นน้ั ส่วนโคง้ ของวงกลมหนง่ึ หน่วย ϭ sec 45Њ ที่รองรบั มุมทีจ่ ุดศนู ย์กลางขนาด ␪ เรเดยี น จงึ ยาว ␪ หนว่ ย และจากรูปสังเกตได้วา่ จดุ ทีด่ า้ นสนิ้ สดุ ของมมุ ขนาด ␪ เรเดียน ตดั กบั วงกลมหน่ึงหนว่ ยนัน้ มี ϭ2 เพียงจุดเดียวและเป็นจุดเดียวกันกับจุดปลายส่วนโค้งท่ีวัดจากจุด (1, 0) ยาว ␪ หน่วย ในทิศทางท่ี สอดคล้องกับ ␪ cosec 315Њ ϭ cosec (360°Ϫ45Њ) กลา่ วคอื เมอื่ กาำ หนดมมุ ขนาด ␪ เรเดยี นใหห้ นงึ่ มมุ จะหาจดุ ทดี่ า้ นสน้ิ สดุ ของมมุ นน้ั ตดั กบั วงกลม หนึ่งหน่วยได้เพียงจุดเดียว และจุดนั้นจะเป็นจุดปลายส่วนโค้งท่ียาว ␪ หน่วยด้วย หรือส่วนโค้งของ ϭ Ϫsec 45Њ วงกลมหน่ึงหน่วยท่ีรองรับมุม ␪ เรเดียน จะยาว ␪ หน่วย จะเห็นได้ว่าไม่ว่าจะใช้วิธีวัดมุมหรือ วัดความยาวส่วนโค้งของวงกลม จุดท่ีด้านส้ินสุดของมุมตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วยจะเป็นจุดเดียวกับ ϭϪ2 จุดปลายของสว่ นโคง้ จึงสรุปไดว้ ่า ไมว่ ่าจะนิยาม ังก์ชนั ตรโี กณมติ ิในแงข่ องมุมหรือในแง่ของความยาว ส่วนโค้งของวงกลมหนึง่ หนว่ ยที่รองรับมมุ ค่าของ ังก์ชนั ตรโี กณมติ ิของจาำ นวนจรงิ น้ันๆ จะมคี ่าเทา่ กนั แหลง่ สบื ค้น เชน่ sin ␪ อาจหมายถงึ sin ของมุมทม่ี ขี นาด ␪ เรเดียน หรือ sin ของจำานวนจรงิ ␪ กไ็ ด้ - https://www.youtube.com/watch?v=LQTKwLVcoNo ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ่ี ก น รี ก 29 กิจกรรมเสนอแนะ ตว ยา ท 12 ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ แขง่ กนั หาคา่ ของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ อง มมุ ต่อไปนี้ จงหาค่าของ cos 60Њ sin 60Њ 1. sin 960Њ วิ ทา เนือ่ งจาก π เรเดยี น 2. tan 3360Њ ดงั นั้น 3 60Њ ϭ 3. cot (Ϫ310)Њ cos 60Њ sin 60Њ ϭ cos π sin π ว าต 1. sin 960Њ ϭ sin (720Њ ϩ 240Њ) 3 3 ϭ sin 240° ϭ 1 ؒ 3 2 2 ϭ sin (180Њ ϩ 60Њ) ϭ 3 ต ϭ Ϫsin 60Њ 4 ต tϪa⎜⎛⎝⎜n2(33,6−0120⎞⎠⎟⎟° Ϫ240°) ตว ยา ท 13 2. tan 3360Њ ϭ จงหาค่าของ cosec(Ϫ390Њ) ϭ วิ ทา เน่อื งจาก และ cosec(Ϫ390Њ) ϭ 1 ϭ Ϫtan 240° sin(− 390°) ϭ Ϫtan (180° ϩ 60°) ดงั นน้ั sin(Ϫ390Њ) ϭ Ϫsin 390Њ ϭ Ϫtan 60° ϭ Ϫsin(360Њϩ30Њ) ϭ Ϫ3 ϭ Ϫsin 30Њ 3. cot (Ϫ310)Њ ϭ Ϫcot 310Њ ϭ Ϫsin π ϭ Ϫcot (360Њ Ϫ 50Њ) 6 ϭ Ϫ1 ϭ Ϫ(Ϫcot 50Њ) 2 ϭ cot 50Њ 1 cosec(Ϫ390Њ) ϭ ϭ Ϫ2 1 − 2 ก น รี ก รู า เห ยี่ าก พิจารณา ังก์ชนั ตรีโกณมิติของมุมของรปู สามเหลย่ี มมมุ ากต่อไปนี้ Y C E (Ϫ1, 0) A D FB X O ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 30 า รเ ่ เ เ่ ขอ้ สอบแนว O-NET ให้ ABC เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ าก โดยม ี AB^C เปน็ มมุ าก ดังนน้ั BA^C Ͻ 90Њ ให้ a, b 1. ข้อใดต่อไปน้ถี ูกต้อง และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ของรปู สามเหลย่ี ม ABC ตามลำาดบั ให้ BA^C อยู่ ในตำาแหน่งมาตร าน สว่ นโค้งของวงกลมหนึ่งหนว่ ยทีร่ องรับมมุ A คือ ส่วนโค้ง FE 1. sin 30؇ Ͻ sin 45؇ 2. cos 30Њ Ͻ cos 45Њ ดังนั้น sin A ϭ sin (ความยาวส่วนโค้ง FE) ϭ DE cos A ϭ cos (ความยาวส่วนโค้ง FE) ϭ AD 3. tan 45Њ Ͻ cot 45Њ เนอื่ งจาก ⌬ADE ϳ ⌬ABC 4. tan 60Њ Ͻ cot 60Њ ต1 ดงั น้นั DE ϭ BC และ AD ϭ AB แต่ AE AC AE AC ยย ตวั เลือกที่ 1 AE ϭ 1 sin 30Њ ϭ 1 ดังนัน้ DE ϭ BC ϭ a และ AD ϭ AB ϭ c 2 AC b AC b และ 2 นัน่ คือ sin A ϭ a , cos ϭ c นั่นคือ sin 45Њ ϭ b b 2 a sin 30Њ Ͻ sin 45Њ และจะได ้ tan A ϭ sin A ϭ b ϭa 3 cos A c c cos 30Њ ϭ ตัวเลือกที่ 2 จากท่ีกล่าวมาน้ี สรปุ ไดว้ ่า b 2 และ 2 ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A นนั่ คือ cos 45Њ ϭ sin A ϭ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ าก 2 ความยาวของดา้ นประชดิ มุม A cos 30Њ Ͼ cos 45Њ cos A ϭ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ าก ตวั เลือกที่ 3 tan 45Њ ϭ 1 ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A และ cot 45Њ ϭ 1 tan A ϭ ความยาวของดา้ นประชิดมมุ A tan 45Њ Ͼ cot 45Њ น่ันคือ ตวั เลือกที่ 4 tan 60Њ ϭ 3 ค่าของ งั กช์ นั ตรีโกณมิติอ่นื ๆ ของมมุ A หาได้จากสว่ นกลับของคา่ ของ งั กช์ ันทัง้ สามน้ี และ cot 60Њ ϭ 1 นน่ั คือ 3 tan 60Њ Ͼ cot 60Њ 2. C A 21Њ B จากรูป ข้อใดต่อไปนถ้ี กู ต้อง 1. sin 21؇ ‫ ؍‬cos 69؇ 2. sin 21Њ ϭ cos 21Њ 3. cos 21Њ ϭ tan 21Њ 4. tan 21Њ ϭ cos 69Њ ต1 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 31 ควำมรูเ้ พิม่ เติม ตว ยา ท 14 ตว ยา สรมิ ท รย กาำ หนดใหม้ มุ A เปน็ มุมแหลม และ cos A ϭ 2 จงหาคา่ ของ ังก์ชันตรโี กณมิติท่ีเหลอื ท้งั หมดของ กำาหนดให้ π Ͻ ␪ Ͻ π และ cos ␪ ϭ Ϫ 3 จงหาคา่ ของ มุม A 3 2 5 วิ ทา ให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ A, B และ C ของรปู สามเหลีย่ ม ABC ตาม งั กช์ นั ตรโี กณมติ ทิ เี่ หลอื ท้ังหมดของจำานวนจรงิ ␪ วิ ทา เนอื่ งจาก ␪ ตกในจตุ าคที่ 2 คา่ cos ␪ เปน็ ลบ และ ลาำ ดับ ซ่ึงม ี b ϭ 2 และ c ϭ 3 ค่า sin เปน็ บวก จาก = 3 เขียนรปู ได้ จากท ีบทพีทาโกรัสจะได้ว่า a ϭ 32− 22 ϭ 5 หนว่ ย จึงสรา้ งรปู สามเหลี่ยมมมุ าก ดังนี้ ␪ cos ␪ Ϫ 5 ABC ได้ดังนี้ x2 = –52 32 = 16 B x5 35 ␪ x = 4 (ความยาวมคี า่ เปน็ บวก) 3 AC จะได้ความยาวของด้านท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมุม าก 2 ดงั น้ี ดังน้นั sin A ϭ 5 45 และ cosec A ϭ 3 3 ϭ35 ␪ 55 3 tan A ϭ 5 ดังนน้ั sin ␪ ϭ 4 cot A ϭ 2 5 2 ϭ2 5 cosec ␪ ϭ 1 ϭ5 55 sinθ 4 sec A ϭ 3 ต 4 2 ϭ Ϫ4 tan ␪ ϭ 5 3 −3 ตว ยา ท 15 5 กาำ หนดให้มมุ A เป็นมุมแหลม และ cot A ϭ 5x จงหาคา่ ของ ังกช์ นั ตรโี กณมิตทิ ีเ่ หลอื ท้ังหมดของ มมุ A cot ␪ ϭ 1 ϭ Ϫ 3 วิ ทา โจทยก์ าำ หนดให ้ cot A ϭ 5x สามารถสรา้ งรปู สามเหลยี่ มมมุ าก ABC ทม่ี มี มุ C เปน็ มมุ าก tanθ 4 โดยสร้างใหด้ า้ นประชิดมุม A ยาว 5x หนว่ ย และดา้ นตรงข้ามมมุ A ยาว 1 หนว่ ย นนั่ คือ ถ้าให ้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B และ C ของรปู สามเหลย่ี ม sec ␪ ϭ 1 ϭ Ϫ5 ABC ตามลาำ ดบั cosθ 3 จะได้วา่ a ϭ 1 และ b ϭ 5x ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่ 33

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 32 า รเ ่ เ เ่ จากท บี ทพที าโกรสั จะไดว้ า่ C ϭ 1+ 5x2 จงึ สรา้ งรูปสามเหลย่ี มมุม าก ABC ไดด้ ังน้ี B C ϭ 1+ 5x2 aϭ1 AC b ϭ 5x ดงั นน้ั sin A ϭ 1 และ 1+ 5x2 cosec A ϭ 1 + 5x2 cos A ϭ 5x 1+ 5x2 sec A ϭ 1+ 5x2 ต tan A ϭ 5x 1 5x ย า 95 แบบ กหดั ที่ 1. จงเขียนมมุ หน่วยเรเดียนในแตล่ ะขอ้ ใหเ้ ปน็ หน่วยองศา (1) 2π (2) Ϫ 5π 3 3 (3) 7π (4) 3p 9 (5) Ϫ11π 18 2. จงเขียนมุมหนว่ ยองศาในแตล่ ะขอ้ ใหเ้ ป็นหน่วยเรเดียน (1) 75Њ (2) 18Њ (3) 105Њ (4) Ϫ240Њ (5) Ϫ880Њ 34 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ่ี ก น รี ก 33 3. รูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึงมีมมุ สองมมุ ท่มี ขี นาด 45Њ และ 2π เรเดียน จงหาขนาดของมมุ ทเี่ หลือ ในหนว่ ยเรเดยี น 3 4. จงหาคา่ ของ งั ก์ชนั ตรโี กณมิตทิ ุก งั ก์ชันของมุมตอ่ ไปน้ี (1) 120Њ (2) 135Њ (3) Ϫ240Њ (4) 690Њ 5. จงหาคา่ ของ [ ](2) 2 cos(Ϫ225Њ)ϩsin(60Њ) (1) sin2120Њϩsin2150Њϩtan245Њ (3) tan(− 480°) + sin 840° (4) 3 tan2 225° − cosec2 330° cos(− 390°) cot 135° 6. กาำ หนดให้ cot ␪ ϭ 3 และ sin ␪ Ͻ 0 จงหาคา่ ของ cos ␪ 7. ถ้า tan 35Њ ϭ x จงหาค่าของ tan 145° − tan 125° 1 + tan 145° tan 125° 8. กาำ หนดใหม้ มุ A เปน็ มมุ แหลม และ sin A ϭ 2 จงหาค่าของ งั ก์ชันตรีโกณมิตทิ ่ีเหลอื ทงั้ หมดของมุม A 7 9. กาำ หนดใหม้ มุ A เปน็ มมุ แหลม และ cos A ϭ p จงหาคา่ ของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ทิ เี่ หลอื ทง้ั หมด ของมมุ A ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ndesign 34 า รเ ่ เ เ่ 1. ครใู หน้ กั เรยี นศกึ าเรอ่ื งการใชต้ ารางคา่ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ การ ้ ารา ่า ก น รี ก ในหนงั สอื เรยี น โดยแนะนาำ วา่ นกั เรยี นสามารถดตู าราง ตรีโกณมิติได้จาก าค นวกท้ายหนังสือเรียน จากน้ัน นักคณิตศาสตร์ได้สร้างตารางแสดงค่าของ ังก์ชันตรีโกณมิติของจำานวนจริงบางจำานวนในช่วง สุ่มตัวแทนออกมานำาเสนอวิธีการใช้ตารางค่า ังก์ชัน ตรีโกณมติ ติ ามความเขา้ ใจของนกั เรียน ⎣⎢⎡0, π ⎤ หรอื ของมมุ บางมมุ ที่มีขนาดตัง้ แต ่ 0Њ ถงึ 90Њ ดังแสดงในตาราง าค นวก 2 ⎦⎥ 2. ครกู าำ หนด งั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องจาำ นวนจรงิ 15 งั กช์ นั แลว้ ให้นกั เรียนแขง่ กนั เปดตารางหาคา่ ของ ังก์ชนั หลักการอา่ นค่า งั กช์ ันตรโี กณมติ ิ ของจำานวนจรงิ หรอื มมุ จากตาราง 3. ครูใหน้ กั เรียนทาำ แบบฝกหัดที่ 5 I nnovation ถ้าอา่ นคา่ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องจาำ นวนจรงิ หรือมุมต้ังแต่ 0 ถึง π ให้ดูทางดา้ นซ้ายของตาราง โดยอ่านจากบนลงลา่ ง 4 ให้นักเรียนแบ่งกลุ่มตามความเหมาะสม แต่ละกลุ่มสรุป แ น งั ความคดิ (Mind Mapping) ขน้ั ตอนการอา่ นคา่ งั กช์ นั ถ้าอา่ นคา่ งั ก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องจาำ นวนจรงิ หรือมมุ ตง้ั แต่ π ถงึ π ตรีโกณมิติจากตาราง (ระบุให้ละเอียดถึงการอ่านค่าของ ใหด้ ทู างดา้ นขวาของตาราง โดยอ่านจากล่างขึน้ บน 4 2 ังก์ชันตรโี กณมติ ขิ องมมุ ทอี่ ยู่ด้านซา้ ยของตาราง และมุมที่ อยู่ด้านขวาของตาราง) พร้อมทัง้ ยกตวั อย่าง Degrees Radians Sine Tangent Cotangent Cosine I CT เชน่ 34° 00́ 5934 5592 .6745 1.4826 .8290 .9774 56° 00 10́ 5963 .5616 .6787 1.4733 .8274 .9745 50́ ใหน้ กั เรยี นศกึ าเพม่ิ เตมิ เกย่ี วกบั ขนั้ ตอนการอา่ นคา่ งั กช์ นั .5992 .5640 .6830 1.4641 .8258 .9716 40́ ตรโี กณมิตจิ ากตาราง จาก search engine ต่าง ๆ 20́ .6021 .5664 .6876 1.4550 .8241 .9687 30́ 30́ .6050 .5688 .6916 1.4460 .8225 .9657 20́ 40́ .6080 .5712 .6959 1.4370 .8208 .9628 10́ 50́ .6109 .5736 .7002 1.4281 .8192 .9599 55° 00́ 35° 00́ .6138 .5760 .7046 1.4193 .8175 .9570 50́ 10́ .6167 .5783 .7089 1.4106 .8158 .9541 40́ 20́ .6196 .5807 .7133 1.4019 .8141 .9512 30́ 30́ .6225 .5831 .7177 1.3634 .8124 .9483 20́ 40́ .6254 .5854 .7221 1.3848 .8107 .9454 10́ 50́ Cosine Cotangent Tangent Sine Radians Degrees sin 34Њ 30؅ ϭ 0.5664 cos 0.6138 ϭ 0.8175 tan 55Њ 40؅ ϭ 1.4641 cot 0.9628 ϭ 0.6959 36 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี ก น รี ก 35 กจิ กรรมเสนอแนะ ใหน้ กั เรียนหาขนาดของมมุ A เมอ่ื กำาหนดให้ ในตารางแสดงเ พาะค่าของ ังก์ชันไซน์ (sine) ังก์ชันแทนเจนต์ (tangent) ังก์ชัน 1. cos A ϭ 0.4315 โคแทนเจนต ์ (cotangent) และ งั กช์ นั โคไซน ์ (cosine) สว่ นคา่ ของ งั กช์ นั โคเซแคนต ์ (cosecant) และ งั กช์ นั เซแคนต ์ (secant) หาได้โดยอาศัย ังก์ชันไซนแ์ ละ ังกช์ ันโคไซน ์ ดงั น้ี 2. sin A ϭ 0.6826 cosec ␪ ϭ 1 และ sec ␪ ϭ 1 ว าต 1. จากตาราง 0.4331 ϭ cos 64Њ 20' sin θ cos θ 0.4305 ϭ cos 64Њ 30' ตว ยา ท 16 คา่ งั กช์ นั โคไซนต์ า่ งกนั 0.0026 ขนาด ของมมุ ต่างกัน 10' ค่า ังก์ชันโคไซน์ต่างกัน 0.4331 – จงหาคา่ ของ 0.4315ϭ 0.0016 0.0016 ขนาดของมุมต่างกัน 206.'0026 ϫ 10 ഠ 6'ดงั น้ัน A ϭ 64Њ (1) sin 40Њ 17؅ (2) cos 40Њ 17؅ วิ ทา เนื่องจาก 40Њ 10؅ Ͻ 40Њ 17؅ Ͻ 40Њ 20؅ 2. จากตาราง 0.6820 ϭ sin 43Њ 0' (1) จากตารางจะไดว้ ่า 0.6841 ϭ sin 43Њ 10' sin 40Њ 10؅ ϭ 0.6450 ค่า ังกช์ ันไซนต์ ่างกนั 0.0021 ขนาด มมุ เพิม่ ข้ึน 10Ј 7Ј sin 40Њ 17؅ ϭ ? x คา่ ังกช์ นั เพิ่มขน้ึ 0.0022 ของมมุ ตา่ งกนั 10'คา่ งั กช์ นั ไซนต์ า่ งกนั sin 40Њ 20؅ ϭ 0.6472 จะได ้ 7ϭ x 0.6826 Ϫ 0.6820 ϭ 0.0006 10 0.0022 ดังนั้น ขนาดของมมุ ตา่ งกนั 0.0006 ϫ10 ഠ 3' (2) จากตารางจะไดว้ า่ 7 × 0.0022 0.0021 xϭ 10 ϭ 0.00154 ดงั นน้ั A ϭ 43Њ 3' sin 40Њ 17؅ ϭ 0.6450ϩ0.00154 ϭ 0.64654 ต มมุ เพิ่มข้ึน 10Ј 7Ј cos 40Њ 10؅ ϭ 0.7642 y คา่ ังกช์ นั ลดลง 0.0019 แหลง่ สืบคน้ cos 40Њ 17؅ ϭ ? cos 40Њ 20؅ ϭ 0.7623 - https://www.youtube.com/watch?v=i5RrWRhLpio จะได ้ 7ϭ y ดงั นั้น 10 0.0019 yϭ 7 × 0.0019 ϭ 0.00133 10 cos 40Њ 17؅ ϭ 0.7642Ϫ0.00133 ϭ 0.76287 ต ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 37

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 36 า รเ ่ เ เ่ ย า 97 แบบ กหดั ที่ 1. จงหาค่าของ งั กช์ ันตรีโกณมิตจิ ากตาราง (1) sin 24Њ 40؅ (2) cos 72Њ (3) tan 55Њ 20؅ (4) cot 41Њ 50؅ (5) sin 68Њ 20؅ (6) cos 35Њ 30؅ 2. จงหาค่าของ งั ก์ชันตรโี กณมิติของจาำ นวนจรงิ จากตาราง (1) sin 0.3142 (2) cos 1.2566 (3) tan 0.3985 (4) cot 1.1723 (5) sin 0.9657 (6) cos 0.6050 3. กาำ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มมุม ากทม่ี ี B เปน็ มมุ าก มมุ A มีขนาด 25 องศา และ มีดา้ นตรงขา้ มมมุ ากยาว 15 เซนติเมตร จงหาความยาวด้าน AB และ BC (ตอบเป็นทศนยิ ม 2 ตาำ แหนง่ ) 4. PQR เป็นรูปสามเหล่ียมทม่ี มุ P มขี นาด 70 องศา มมุ R มขี นาด 50 องศา ด้าน PQ ยาว 10 เซนตเิ มตร จาก Q ลากส่วนของเส้นตรงลงมาตง้ั ากกบั ดา้ น PR ทีจ่ ดุ O จงหาความยาวของ ดา้ นต่อไปน ้ี (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตาำ แหน่ง) (1) QO (2) OP (3) QR (4) OR 5. จงหาความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัวซึ่งมีความสูง 10 น้ิว และมีมุมยอด ขนาด 140 องศา (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตาำ แหนง่ ) 6. นายธนายืนสังเกตการณอ์ าคารหลงั หนง่ึ โดยยนื หา่ งออกไปในแนวราบ 40 เมตร เขามองเหน็ ยอดอาคารและเสาอากาศซง่ึ อยู่บนยอดอาคารเป็นมุมเงย 34 องศา และ 42 องศา ตามลำาดับ จงหาความสูงโดยประมาณของเสาอากาศบนยอดของอาคารหลังนี้ (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตาำ แหนง่ ) 38 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนร้ทู ี่ ก น รี ก 37 I ntroduction กรา ก น รี ก ครูทบทวนการเขียนกรา ของ ังก์ชันต่างๆ ที่นักเรียนเคย เรียนมาแล้ว โดยยกตัวอย่างโจทย์แล้วให้นักเรียนช่วยกัน ในการแก้ปัญหาไม่ว่าจะเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ ปัญหาเกี่ยวกับแสงและเสียงในวิชา สิกส์ เขยี นกรา เช่น y = x2 ปัญหาทางดาราศาสตร์และปัญหาด้าน ูมิศาสตร์ บางคร้ังจำาเป็นต้องอาศัยความรู้เก่ียวกับกรา ของ าสา : ังก์ชันตรีโกณมิติ ดังน้ันจึงควรศึก าลัก ณะและการเขียนกรา ของ ังก์ชันไซน์ ังก์ชันโคไซน์และ 1. งั กช์ นั ทีเ่ ปน็ คาบ งั กช์ ันอื่นๆ ซึง่ มรี ายละเอยี ดดังน้ี 2. แอมพลจิ ดู 3. เสน้ กำากบั กรา ของ งกชันไ น ให้ (x, y) ʦ sine I ndesign จะได้ y ϭ sine x หรอื เขียนส้นั ๆ ว่า y ϭ sin x 1. ครูให้นักเรียนศึก าใบความรู้ท่ี 1 กรา ของ ังก์ชัน ตรโี กณมติ ิ และรายละเอยี ดของกรา ของ งั กช์ นั ชนดิ เพือ่ ความสะดวก จะหากรา ของ งั ก์ชนั ไซนใ์ นช่วง 0, 2p กอ่ น โดยหาค่าของ ังก์ชนั ไซน์จาก ตา่ งๆจากนน้ั สรปุ สาระสาำ คญั ตามความเขา้ ใจของนกั เรยี น แต่ละค่าของ x ท่กี ำาหนดให้ โดยพจิ ารณาเปน็ 2 ชว่ ง ดังนี้ ว ท 1 รา มy ‫ ؍‬sin x ยท x ท วามยาวสว 2. ครูใหน้ ักเรยี นทาำ แบบฝกหดั ที่ 6 0рxрp รย x 0 π π π π 2π 3π 5π p 6 4 3 2 346 sin x 0 1 2 31 3 21 0 22 2 22 2 เมื่อหาค่าไดค้ รบทง้ั หมด จะได้วา่ กรา ของ y ϭ sin x เมื่อ 0 р x р p มีลัก ณะดังนี้ I nnovation Y ใหน้ กั เรียนแบ่งเปน็ 6 กลมุ่ แลว้ ทาำ บัตรความรู้สรปุ ลกั ณะ ของกรา ต่อไปนี้ 1 3 กล ที่ 1 กรา ของ งั กช์ นั ไซน์ 2 กล ท่ี 2 กรา ของ งั ก์ชันโคไซน์ 2 กล ที่ 3 กรา ของ ังก์ชันแทนเจนต์ 2 กล ที่ 4 กรา ของ งั ก์ชนั โคแทนเจนต์ 1 กล ท่ี 5 กรา ของ งั ก์ชนั เซแคนต์ 2 กล ที่ 6 กรา ของ ังกช์ ันโคเซแคนต์ นำาบัตรความรู้ของทุกกลุ่มไปจัดปายนิเทศเพ่ือแลกเปลี่ยน 0 pp p p 2p 3p 5p X เรียนรู้ p 64 3 2 34 6 I CT ใหน้ กั เรยี นศกึ าเพม่ิ เตมิ เกยี่ วกบั กรา ของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ จาก search engine ต่าง ๆ ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่ 39

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสืบคน้ 38 า รเ ่ เ เ่ - https://www.youtube.com/watch?v=ti1j4-SaJyY ว ท 2 รา มy ‫ ؍‬sin x p р x р 2p ยท x ท วามยาวสว รย xp 7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π 2p sin x 0 64 3 2346 0 Ϫ1 Ϫ 2 Ϫ 3 Ϫ1 Ϫ 3 Ϫ 2 Ϫ 1 22 2 2 2 2 เมอ่ื หาค่าไดค้ รบทั้งหมด จะได้ว่ากรา ของ y ϭ sin x เม่อื p р x р 2p มีลัก ณะดงั น้ี Y 0p 7p 5p 4p 3p 5p 7p 11p 6 4 3 2 3 4 6 2p X Ϫ 1 2 Ϫ2 2 3 Ϫ2 Ϫ1 จากนั้นนำากรา ทัง้ 2 ชว่ งมารวมกัน จะได้กรา ของ y ϭ sin x เมอ่ื 0 р x р 2p มลี ัก ณะ ดังน ี้ Y 1 0 ppp p 2p 3p 5p p 7p 5p 4p 3p 5p 7p 11p 2p X 643 2 346 6 43 2 3 4 6 Ϫ1 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี ก น รี ก 39 กิจกรรมเสนอแนะ สังเกตได้วา่ ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลมุ่ ละ 3-4 คน เขยี นกรา ของ งั กช์ นั ตอ่ ไปนี้ พร้อมทงั้ บอกคาบและแอมพลิจูดจากกรา ᭹ ขณะที่ ␪ เพ่มิ จาก 0 ถึง π กรา ของ y ϭ sin ␪ จะเรม่ิ จาก 0 และสูงขน้ึ ไปเร่ือยๆ จนถึง 1 2 1. y ϭ 4 sin x ᭹ ขณะท่ี ␪ เพิ่มจาก π ถงึ p กรา ของ y ϭ sin ␪ จะเรม่ิ จาก 1 และลดลงไปเรอื่ ยๆ จนถงึ 0 2. y ϭ 3 sin x 2 2 ᭹ ขณะท่ี ␪ เพม่ิ จาก p ถึง 3π กรา ของ y ϭ sin ␪ จะเริ่มจาก 0 และลดลงไปเรอื่ ยๆ จนถึง Ϫ1 ว าต 1. 2 ᭹ ขณะที่ ␪ เพิ่มจาก 3π ถึง 2p กรา ของ y ϭ sin ␪ จะเร่มิ จาก Ϫ1 และสงู ขึ้นไปเรอ่ื ยๆ จนถึง 0 2 Y 4 Ϫπ π 0 π π X 2 2 พิจารณากรา ของ y ϭ sin x ต่อไปน้ี Ϫ Y Ϫ4 1 y ϭ คาบ ϭ 2π และแอมพลิจูด ϭ 4 Ϫ2p Ϫp 0 p 2p 3p 4p X 2. Ϫ1 Y จากกรา ดังกลา่ ว เนอ่ื งจาก sin(2npϩ␪) ϭ sin ␪ เม่ือ n เป็นจาำ นวนเต็มใดๆ จะพบวา่ ในช่วง 3 [2p, 4p หรือในช่วง Ϫ2p, 0 ลัก ณะของกรา จะเหมือนกับกรา ในชว่ ง 0, 2p และจะมลี ัก ณะเชน่ นี้ Ϫ2π Ϫπ 0 π 2π X ไปเรอื่ ย ๆ งั กช์ ันท่ีมีลกั ณะเชน่ นเ้ี รียกวา่ ์ ท า และคาบของ งั ก์ชนั ดังกล่าวเทา่ กับ 2p Ϫ3 ซ่ึงก็คือความยาวของชว่ งจาก 0 ถึง 2p นั่นเอง ในกรณีท่ี ังก์ชันท่ีเป็นคาบมีค่าต่ำาสุดและค่าสูงสุด จะเรียกค่าท่ีเท่ากับคร่ึงหนึ่งของ ลต่างของ ค่าสงู สดุ กับค่าตา่ำ สดุ ของ งั กช์ ันนนั้ ว่า ม ิ นั่นคือ ถ้า a และ b เป็นค่าสูงสุดและค่าตำ่าสุดของ ังก์ชันท่ีเป็นคาบตามลำาดับ จะได้ว่า คาบ ϭ 4π และแอมพลิจูด ϭ 3 แอมพลิจดู ของ ังกช์ ัน เทา่ กับ 1 (aϪb) 2 เช่น ังกช์ นั y ϭ sin x ค่าสูงสุดของ ังกช์ ัน y ϭ sin x เท่ากบั 1 ค่าตา่ำ สดุ ของ งั กช์ นั y ϭ sin x เท่ากับ Ϫ1 ดงั นนั้ แอมพลิจูดของ ังก์ชนั เทา่ กบั 1 (1Ϫ(Ϫ1)) ϭ 1 2 ยย ตวั เลอื กที่ 1 y ϭ 2 sin (2x) จะพบว่า คาบของ งั ก์ชนั เทา่ กบั 2π 2 ϭ π แอมพลจิ ูดของ งั กช์ นั เทา่ กบั |2| ϭ 2 ตัวเลือกที่ 2 y ϭ 2 sin (3x) ข้อสอบแนว O-NET จะพบวา่ คาบของ ังก์ชัน เทา่ กับ 2π 3 แอมพลจิ ดู ของ งั กช์ ัน เทา่ กบั |2| ϭ 2 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ม ต ตัวเลอื กที่ 3 y ϭ Ϫ3 sin (2x) 1. y ϭ 2 sin(2x) มีคาบเท่ากับ π แอมพลิจูดเทา่ กบั 2 จะพบวา่ คาบของ งั กช์ นั เทา่ กับ 2π ϭ π 2. y ϭ 2 sin(3x) มีคาบเท่ากับ 2π แอมพลจิ ูดเทา่ กบั 2 2 3 แอมพลิจูดของ ังกช์ ัน เทา่ กับ |Ϫ3| ϭ 3 3. y ϭ Ϫ3 sin(2x) มคี าบเทา่ กบั π แอมพลิจูดเทา่ กบั 3 ตัวเลือกที่ 4 π π มา ทา 2π มิ ทา y ϭ 2 sin 3xϩ 4 4 3 4. y ‫ ؍‬2 sin 3x؉ 3 จะพบว่า คาบของ งั ก์ชนั เท่ากบั 2π 3 ต4 แอมพลิจูดของ ังกช์ ัน เทา่ กบั |2| ϭ 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่