คณิตเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ความรเู้ พม่ิ เตมิ 154 คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ม.5 เลม่ 1 บท ท 1 ถา้ c เป็นจำานวนจรงิ และ A1, A2, ..., Ak เป็น ตวั อย่างท่ี 9 เมทรกิ ซท์ ่มี มี ิติเทากนั แลว้ บท ท กาำ หนดเมทริกซ ์ A และ B ดงั น้ี c(A1ϩA2ϩ...ϩAk) ϭ cA1ϩcA2ϩ...ϩcAk ⎡3 1 −3⎤ ⎡1 3 −5⎤ 2 ถ้า c1, c2, ..., ck เป็นจาำ นวนจรงิ และ A เปน็ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ เมทรกิ ซ์ใด ๆ แลว้ ⎢⎣ 0 2 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 4 − 2 2 ⎥⎦ (c1ϩc2ϩ...ϩck)A ϭ c1Aϩc2Aϩ...ϩckA จงแกส้ มการ 2XϪA ϭ 3B สำาหรบั เมทรกิ ซ ์ X ทมี่ มี ิติ 2ϫ3 วธิ ที ำา 2XϪA ϭ 3B 2XϪAϩA ϭ 3BϩA 2X ϭ 3BϩA ⎡ 1 3 −5⎤ ⎡ 3 1 −3⎤ 2X ϭ 3 ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 2 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 − 2 2 ⎥⎦ แหล่งสืบค้น ⎡ 3 9 − 15 ⎤ ⎡ 3 1 − 3 ⎤ - https://www.youtube.com/watch?v=jpimXJKtSjc 2X ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 6 12 ⎦⎥ ⎢⎣ 4 − 2 2 ⎥⎦ ⎡ 6 10 − 18 ⎤ 2X ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 4 14 ⎦⎥ 1 ؒ2X ϭ 1 ⎡6 10 − 18 ⎤ 2 2 ⎢ 4 ⎥ ⎢⎣ 4 14 ⎦⎥ ⎡3 5 −9⎤ ตอบ Xϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 2 7 ⎦⎥ สมบกัตบัิกจารำานคณูวนเมจทรงิริกซ์ 1. ถา้ A และ B เป็นเมทริกซ์ใดๆ และ c เปน็ จาำ นวนจรงิ ใดๆ แล้ว c(AϩB) ϭ cAϩcB 2. ถ้า A เปน็ เมทริกซ์ใดๆ c และ d เปน็ จาำ นวนจริงใดๆ แลว้ (cϩd)A ϭ cAϩdA 3. ถา้ A เปน็ เมทริกซ์ใดๆ c และ d เปน็ จาำ นวนจริงใดๆ แลว้ (cd)A ϭ c(dA) ϭ d(cA) 4. ถา้ A เป็นเมทริกซใ์ ดๆ และ c เปน็ จาำ นวนจรงิ ใดๆ แล้ว (cA)t ϭ cAt 192 ค่มู ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 155 I ndesign . ารคณร ่า เม ริ ์ 1. ร บิ า บทนิ ามการ ระหวางเมทรกิ ซต์ ามหนงั ส เรี นหนา้ 155 จากนนั้ ใหน้ กั เรี นแบงกลม ก าสมบตั ิ บท ยิ า ถา้ A ϭ aij mϫn และ B ϭ bij nϫr ล ง A และ B เ ี นแทนด้ว AϫB การ ระหวางเมทริกซ์และตัว างท่ี 10-18 ใน หร AB เมทริกซ์ C ϭ cij mϫr ด ท่ี cij ϭ ai1b1jϩai2b2jϩ...ϩainbnj หนังส เรี น แล้วสมเรี กนักเรี น กมาแสดงวิ ีหา สาำ หรบั ทก i ϭ 1, 2, 3, ..., m และ j ϭ 1, 2, 3, ..., r าำ ต บบนกระดาน จากบทนิ าม ้างต้นจะเหนวา เม่ กำาหนดเมทริกซ์ A และ B มาให้จะสามารถหา AB ด้ 2. รใหน้ กั เรี นทาำ แบบ กหดั ท ี่ 2 และกจิ กรรมตรวจส บ เม่ A มีจาำ นวนหลักเทากบั จำานวนแถว ง B เทาน้นั การเรี นรท้ ่ี 2 ตัวอยา่ งที่ 10 I nnovation กาำ หนดเมทริกซ ์ A และ B ดังนี้ ให้นักเรี นแบงกลม กแบบการเลนเกมที่ใ ้ วามร้ เร่ งการ ระหวางเมทริกซ์ แล้วนำาเสน ลงานเ ่ ⎡3 2⎤ ⎡ 1 0 −3⎤ แลกเปลี่ นเรี นร้ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 4 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 6 7 ⎦⎥ จงหา AB วธิ ีทาำ ให้ AB ϭ C ด เมทริกซ์ C จะเปน็ เมทริกซ์ นาด 2ϫ3 ⎡3 2⎤ ⎡ 1 0 −3⎤ AB ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 4 ⎦⎥ ⎢⎣ − 2 6 7 ⎥⎦ เน่ งจาก AB ϭ C I CT จะ ด ้ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ b11 b12 b13 ⎤ ϭ ⎡ c11 c12 c13 ⎤ ให้นักเรี น ก า จท ์เร่ งการ ระหวางเมทริกซ์ จาก ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ search engine ตางๆ ⎢⎣ a21 a22 ⎦⎥ ⎣⎢ b21 b22 b23 ⎥⎦ ⎢⎣ c21 c22 c23 ⎦⎥ ั ตอ า า า ิ ท ิ ⎡3 2⎤ ⎡ 1 0 −3⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ 5 4 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 6 7 ⎦⎥ ข้นั ที่ 1 แถวท ่ี 1 ง A กบั หลักที่ 1 ง B c11 ϭ a11b11ϩa12b21 ⎡ a11b11 + a12b21 ....................... ....................... ⎤ ⎢ ....................... ⎥ c11 ϭ (3)(1)ϩ(2)(Ϫ2) ϭ Ϫ1 ⎣⎢ ....................... ....................... ⎦⎥ ขน้ั ท่ี 2 แถวท ่ี 1 ง A กบั หลกั ที่ 2 ง B ความรเู้ พิม่ เติม c12 ϭ a11b12ϩa12b22 ⎡ ....................... a11b12 + a12b22 ....................... ⎤ AB ท่ี ด้จะเป็นเมทริกซ์ที่มีจำานวนแถวเทากับจำานวนแถว c12 ϭ (3)(0)ϩ(2)(6) ϭ 12 ⎢ ....................... ⎥ งเมริกซ์ A และมีจำานวนหลักเทากับจำานวนหลัก ง ⎣⎢ ....................... ....................... ⎦⎥ เมทริกซ์ B Ϫ1 ข้อสอบแนว O-NET กำาหนดให ้ A ϭ 0 และ B ϭ [Ϫ1 0 1] จงหาวา AB ตรงกบั ้ ใด 1 2. [1 0 1] 3. Ϫ1 0 1 1 0 ؊1 1 0 Ϫ1 4. 0 0 0 1 1. 0 ؊1 0 1 1 ตอบ อ 4 ค่มู ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 193

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 156 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.5 เล่ม 1 ให้นักเรี นบ กมิติ งเมทริกซ์ ล ต ปนี้ (ถ้าหา ขั้นท่ี 3 แถวท ่ี 1 ง A กบั หลักที่ 3 ง B ล ด)้ c13 ϭ a11b13ϩa12b23 ⎡ ....................... ....................... a11b13 + a12b23 ⎤ c13 ϭ (3)(Ϫ3)ϩ(2)(7) ϭ 5 ⎢ ....................... ⎥ 1. Ϫ5 [Ϫ2 3] มติ ิ งเมทรกิ ซ์ ล ........................ ⎣⎢ ....................... ....................... ⎦⎥ 0 ขั้นที่ 4 แถวท ี่ 2 ง A กับหลกั ที่ 1 ง B 2. [8] [2 0 1 4] มติ ิ งเมทริกซ์ ล ........... c21 ϭ a21b11ϩa22b21 ⎡ ....................... ....................... ....................... ⎤ ⎢ ....................... ⎥ c21 ϭ (5)(1)ϩ(4)(Ϫ2) ϭ Ϫ3 ⎣⎢ a21b11+ a22b21 6 Ϫ1 1 มติ ิ งเมทรกิ ซ์ ล .................... ....................... ⎥⎦ 3. 7 2 Ϫ2 ขนั้ ที่ 5 แถวท ่ี 2 ง A กับหลกั ท่ี 2 ง B 4. 2 6 9 2 c22 ϭ a21b12ϩa22b22 ⎡ ....................... ....................... ....................... ⎤ 3 4 Ϫ3 4 มติ ิ งเมทรกิ ซ์ ล ........... c22 ϭ (5)(0)ϩ(4)(6) ϭ 24 ⎢ a21b12 + a22b22 ⎥ ⎣⎢ ....................... ....................... ⎥⎦ Ϫ6 ขน้ั ท่ี 6 แถวท ี่ 2 ง A กบั หลกั ท่ี 3 ง B 1 ................... c23 ϭ a21b13ϩa22b23 ⎡ ....................... ....................... ....................... ⎤ ⎢ ....................... ⎥ 5. 2 [4 5 6] มติ ิ งเมทรกิ ซ์ ล c23 ϭ (5)(Ϫ3)ϩ(4)(7) ϭ 13 ⎢⎣ ....................... a21b13 + a22b23 ⎥⎦ 3 ดังนัน้ AB ϭ ⎡3 2⎤⎡ 1 0 − 3⎤ ⎡ −1 12 5⎤ ตอบ ⎢ ⎥⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ 1 12 70 8 9 ⎣⎢ 5 4 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 6 7 ⎥⎦ ⎢⎣ − 3 24 13 ⎦⎥ 6. 2 35 12 0 5 4 Ϫ8 4 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 ตัวอย่างที่ 11 Ϫ2 ......................... มติ ิ งเมทรกิ ซ์ ล กาำ หนดเมทรกิ ซ ์ A และ B ดงั น้ี าำ ตอบ ⎡ −1 2⎤ ⎡−2⎤ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ อ ว ิ ( ติ )ิ ติ ิ อง ท ิ 2⎤ ⎡−2⎤ เมทรกิ ซ ์ A มมี ิติ 2ϫ2 ⎢⎣ 3 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 8 ⎦⎥ ⎥⎢ ⎥ เมทรกิ ซ ์ B มีมติ ิ 2ϫ1 1 2ϫ1 กบั 1ϫ2 2ϫ2 ⎡ −1 เมทริกซ ์ AϫB จะมีมติ ิ 2ϫ1 2 1ϫ1 กบั 1ϫ4 จงหา AB และ BA 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 8 ⎥⎦ 3 2ϫ1 กบั 2ϫ2 1ϫ4 AB ϭ ⎢ 4 2ϫ3 กับ 3ϫ1 วิธที ำา ⎣⎢ 3 5 3ϫ1 กับ 1ϫ3 หา ล ม ด้ 6 3ϫ3 กับ 3ϫ4 ⎡ (− 1)(− 2) + (2)(8) ⎤ 2ϫ1 ⎢⎥ ϭ ⎣⎢ (3)(− 2) + (4)(8) ⎥⎦ 3ϫ3 ⎡ 18 ⎤ ตอบ 3ϫ4 ϭ⎢ ⎥ ตอบ ⎢⎣ 26 ⎥⎦ เน่ งจากเมทรกิ ซ์ B มจี ำานวนหลัก มเทากบั จำานวนแถว งเมทรกิ ซ ์ A ดังนั้น มสามารถหา BA ด ้ แหลง่ สบื คน้ - https://www.youtube.com/watch?v=Gocc4CriZdA - https://www.youtube.com/watch?v=rarpcl5iF0Q 194 คู่มือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 157 กจิ กรรมเสนอแนะ จากตัว างที่ 11 จะ ด้วา ให้นักเรี นหา An เม่ กาำ หนดให ้ A ϭ 1 Ϫ1 การ ระหวางเมทรกิ ซ์ มมสี มบตั ิการสลบั ทส่ี าำ หรับการ 2 กลาว AB BA 0 ว ำาตอบ A2 ϭ AA ϭ 1 Ϫ1 1 Ϫ1 0 20 2 ในการ เมทรกิ ซ์บาง รั้ง าจ เมทรกิ ซ์ใดๆ กับเมทรกิ ซต์ ัวมนั เ ง เ น เมทริกซ์ A กบั 1 Ϫ3 เมทรกิ ซ์ A จะเ ี น ล ด้เป็น AA ซ่งสามารถเ ี นให้ส้ันลงเปน็ A2 ϭ 0 22 ดงั นั้น เ ่ วามสะดวก ถ้า A เปน็ nϫn เมทริกซ์ A3 ϭ A2A ϭ 1 Ϫ3 1 Ϫ1 A1 หมา ถง A 0 40 2 Ak หมา ถง AAkϪ1 เม่ k เปน็ จาำ นวนเตมบวกทมี่ ากกวา 1 1 Ϫ7 จะ ด้วา A2 ϭ AA, A3 ϭ AA2 ϭ A(AA), ... ϭ 0 23 ตัวอยา่ งที่ 12 กาำ หนดให้ A ϭ ⎡1 2⎤ A4 ϭ A3A ⎢ ⎥ ⎣⎢ 4 − 3 ⎦⎥ จงหา (1) A2 (2) A3 2⎤ วิธีทาำ (1) A2 ϭ AA ϭ ⎡1 2⎤⎡ 1 ϭ 1 Ϫ7 1 Ϫ1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 80 2 ⎣⎢ 4 − 3 ⎥⎦ − 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 4 ⎡ (1)(1) + (2)(4) (1)(2) + (2)(− 3) ⎤ 1 Ϫ15 ϭ⎢ ⎥ ϭ 0 24 ⎣⎢ (4)(1) + (− 3)(4) (4)(2) + (− 3)(− 3) ⎦⎥ ⎡9 −4⎤ ตอบ 1 1Ϫ2n ϭ⎢ ⎥ ตอบ 0 2n ⎣⎢ − 8 17 ⎦⎥ (2) A3 ϭ AA3Ϫ1 ϭ AA2 ϭ ⎡1 2⎤⎡ 9 −4⎤ จะ บวา An ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 − 3 ⎥⎦ ⎣⎢ − 8 17 ⎥⎦ ⎡ (1)(9) + (2)(− 8) (1)(− 4) + (2)(17) ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ (4)(9) + (− 3)(− 8) (4)(− 4) + (− 3)(17) ⎦⎥ ⎡−7 30 ⎤ ขอ้ สอบแนว O-NET ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 60 − 67 ⎦⎥ ถา้ A ϭ 1 x และ A2Ϫ2AϪ Ϫ4 Ϫ6 y Ϫ2 3 ϭI 5 แลว้ x และ y มี าเทา ร 1. x ‫ ؍‬2, y ‫ ؍‬؊1 2. x ϭ 1, y ϭ 4 3. x ϭ 1, y ϭ Ϫ1 4. x ϭ 1, y ϭ 1 ตอบ อ 1 ค่มู ือครู หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 195

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 158 คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ม.5 เลม่ 1 หมายเหตุ ์ และ k เปน็ I ϭ I2 ϭ I3 ϭ I4 ϭ ... ϭ Ik เม่ I เป็นเมทรกิ ซ์เ กลกั จำานวนเตมบวกท่ีมากกวา 1 รสมบวตัางกิ เามรทครณู กิ ซ์ ถา้ A และ B เปน็ nϫn เมทรกิ ซ ์ หร เมทรกิ ซจ์ ตั รสั จะ ด ้ AB และ BA เปน็ 1. สมบตั ปิ ดสาำ หรับการ nϫn เมทรกิ ซ์ 2. สมบตั กิ ารเปลี่ นหมสาำ หรบั การ ถ้า A, B และ C เป็น nϫn เมทรกิ ซ์ 3. สมบตั กิ ารมเี กลัก ์การ จะ ด้ (AB)C ϭ A(BC) ม ี I เปน็ อ ั า 4. สมบตั ิการมตี วั ก นั การ น่ัน ถ้า A ϭ aij nϫn แลว้ AI ϭ A ϭ IA ถ้า A เป็น nϫn เมทริกซ ์ แลว้ AϪ1 เปน็ ตัว ก นั การ ง A กต เม่ A(AϪ1) ϭ I ϭ (AϪ1)A เม่ I แทนเมทริกซเ์ กลกั ์ สมบตักทิารเกคูณวร งกวาบั งกเมาทรบรกิวกซ์ ถา้ A ϭ aij pϫm, B ϭ bij mϫn, C ϭ Cij mϫn และ D ϭ dij nϫq แลว้ A(BϩC) ϭ ABϩAC และ สมบตั ิการแจกแจง (BϩC)D ϭ BDϩCD 196 คมู่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 159 กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอย่างท่ี 13 จากตัว างท่ี 13 รให้นักเรี นแสดงวา ้ วามต ปน้ี กาำ หนดเมทรกิ ซ ์ A, B และ C ดงั น้ี เปน็ จริงเ นกัน ⎡ −1 1⎤ ⎡4 1 ⎤ และ C ⎡0 3⎤ 1. ϪAB ϭ A(ϪB) Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ ϭ ⎢ ⎥ 2. B2 ϭ (ϪB)2 ⎣⎢ − 2 3. C2ϩC ϭ C(CϩI) ⎢⎣ 0 2 ⎦⎥ − 1 ⎥⎦ ⎣⎢ − 1 1 ⎥⎦ 4. ACϩC2 ϭ (AϩC)C จงแสดงวา ้ วามต ปน้ีเป็นจรงิ (1) (AB)C ϭ A(BC) (2) BI ϭ IB ϭ B (4) (AϩB)C ϭ ACϩBC (3) A(BϩC) ϭ ABϩAC วธิ ที าำ (1) ⎡ −1 1⎤ ⎡ 4 1⎤ และ AB ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 2 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 − 1 ⎥⎦ ⎡ (− 1)(4) + (1)(− 2) (− 1)(1) + (1)(− 1) ⎤ ข้อสอบแนว O-NET ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ (0)(4) + (2)(− 2) (0)(1) + (2)(− 1) ⎥⎦ ⎡−6 −2⎤ ถ้า A ϭ 2 3 Bϭ 1 และ C ϭ [3 4 1 5] ϭ⎢ ⎥ 0 1 2 ⎢⎣ − 4 − 2 ⎥⎦ ⎡−6 −2⎤⎡ 0 3⎤ แลว้ ABC ตรงกับ ้ ใด (AB)C ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ − 4 − 2 ⎦⎥ ⎢⎣ − 1 1 ⎥⎦ ⎡ (− 6)(0) + (− 2)(− 1) (− 6)(3) + (− 2)(1) ⎤ 1. 4 8 2 5 2. 24 32 8 40 ϭ⎢ ⎥ 95 4 1 6 8 2 10 ⎣⎢ (− 4)(0) + (− 2)(− 1) (− 4)(3) + (− 2)(1) ⎦⎥ ⎡2 − 20 ⎤ Ϫ3 4 8 2 4 3 Ϫ2 7 ϭ⎢ ⎥ 3. Ϫ4 6 8 4 4. 6 9 5 1 ⎣⎢ 2 − 14 ⎦⎥ ⎡4 1 ⎤ ⎡ 0 3 ⎤ ตอบ อ 2 BC ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ย อีย ⎣⎢ − 2 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢ −1 1 ⎦⎥ ⎡ (4)(0) + (1)(− 1) (4)(3) + (1)(1) ⎤ AB ϭ 23 1 ϭ⎢ ⎥ 01 2 ⎢⎣ (− 2)(0) + (− 1)(− 1) (− 2)(3) + (− 1)(1) ⎦⎥ ⎡ − 1 13 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 − 7 ⎥⎦ 2ϩ6 ϭ 0ϩ2 8 ϭ2 8 ABC ϭ 2 [3 4 1 5] 24 32 8 40 ϭ 6 8 2 10 คู่มือครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1 197

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 160 คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.5 เล่ม 1 ⎡ − 1 1 ⎤ ⎡ − 1 13 ⎤ A(BC) ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 1 − 7 ⎥⎦ ⎡ (− 1)(− 1) + (1)(1) (− 1)(13) + (1)(− 7) ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ (0)(− 1) + (2)(1) (0)(13) + (2)(− 7) ⎦⎥ ⎡2 − 20 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 − 14 ⎥⎦ ดังนน้ั (AB)C ϭ A(BC) ตอบ ตอบ ⎡ 4 1⎤ ⎡ 1 0⎤ (2) BI ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 1 ⎦⎥ ⎡ (4)(1) + (1)(0) (4)(0) + (1)(1) ⎤ ⎢ ⎥ ϭ ⎣⎢ (− 2)(1) + (− 1)(0) (− 2)(0) + (− 1)(1) ⎦⎥ ⎡4 1⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 − 1 ⎦⎥ ⎡1 0⎤⎡ 4 1⎤ IB ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ − 2 − 1 ⎦⎥ ⎡ (1)(4) + (0)(− 2) (1)(1) + (0)(− 1) ⎤ ⎢ ⎥ ϭ ⎣⎢ (0)(4) + (1)(− 2) (0)(1) + (1)(− 1) ⎦⎥ ⎡4 1⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 2 − 1 ⎥⎦ ดังนั้น BI ϭ IB ϭ B (3) BϩC ϭ ⎢ +⎡ 4 1 ⎤ ⎡ 0 3 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 − 1 ⎦⎥ ⎢⎣ − 1 1 ⎦⎥ ϭ ⎡ 4 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −3 0 ⎥⎦ ⎡ −1 1 ⎤ ⎡ 4 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A(BϩC) ϭ ⎣⎢ 0 2 ⎦⎥ ⎣⎢ −3 0 ⎦⎥ ⎡ (−1)(4) + (1)(−3) (−1)(4) + (1)(0) ⎤ ⎢ ⎥ ϭ ⎢⎣ (0)(4) + (2)(−3) (0)(4) + (2)(0) ⎦⎥ ⎡−7 −4⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 6 0 ⎥⎦ 198 คูม่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 161 และ ⎡ − 6 −2 ⎤ ⎛⎡ −1 1⎤ ⎡ 0 3 ⎤⎞ ข้อสอบแนว O-NET ABϩAC ϭ ⎢ ⎥ ϩ⎜⎢ ⎥⎢ ⎥⎟ ⎣⎢ − 4 กาำ หนดให ้ A, B และ C เปน็ nϫn เมทรกิ ซ์ ้ ใดต ปนี้ − 2 ⎦⎥ ⎝ ⎢⎣ 0 2 ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 1 ⎦⎥⎠ ถกต้ ง ⎡−6 − 2 ⎤ ⎡ (− 1)(0) + (1)(− 1) (− 1)(3) + (1)(1) ⎤ 1. ABI ϭ IAB ϭ AB ϭ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ 2. (AB)C ϭ (BA)C 3. (BϩC)A ϭ BAϩCA ⎢⎣ − 4 − 2 ⎥⎦ ⎣⎢ (0)(0) + (2)(− 1) (0)(3) + (2)(1) ⎥⎦ 4. ตองทงั อ 1 อ 3 ⎡−6 −2 ⎤ ⎡ −1 −2⎤ ตอบ อ 4 ϭ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 4 − 2 ⎦⎥ ⎢⎣ − 2 2 ⎦⎥ ⎡−7 −4⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 6 0 ⎦⎥ ดังนัน้ A(BϩC) ϭ ABϩAC ตอบ ⎡ −1 1⎤ ⎡ 4 1⎤ (4) AϩB ϭ ⎢ ⎥ϩ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 2 ⎥⎦ ⎣⎢ − 2 − 1 ⎥⎦ ⎡ 3 2⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 1 ⎦⎥ ⎡3 2 ⎤ ⎡ 0 3 ⎤ (AϩB)C ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 1 ⎦⎥ ⎢⎣ −1 1 ⎥⎦ ⎡ (3)(0) + (2)(− 1) (3)(3) + (2)(1) ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ (− 2)(0) + (1)(− 1) (− 2)(3) + (1)(1) ⎥⎦ ⎡ − 2 11 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 − 5 ⎥⎦ และ ACϩBC ϭ ⎡ −1 −2 ⎤ ⎡ −1 13 ⎤ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 2 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 − 7 ⎦⎥ ⎡ − 2 11 ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 1 − 5 ⎥⎦ ดงั น้นั (AϩB)C ϭ ACϩBC ตอบ คมู่ อื ครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 199

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 162 คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม ม.5 เลม่ 1 หลังจาก ก าตัว างท ่ี 14 รให้นักเรี นแสดงวา ตัวอยา่ งท่ี 14 จงตรวจส บวาเมทริกซ์ทีก่ ำาหนดใหใ้ นแตละ ้ เป็นตัว ก นั การ ซง่ กนั และกนั หร ม 3 Ϫ2 Ϫ1 1 34 1. 10 Ϫ6 Ϫ5 และ 0 4 5 Ϫ8 5 4 2 12 ⎡3 − 2 ⎤ และ B ⎡ −1 −2⎤ (1) A ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎦⎥ ϭ ⎢⎣ − 2 ⎢⎣ − 2 − 3 ⎦⎥ เปน็ ตวั ก นั การ ซง่ กันและกนั ⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎡ 1 2 −2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 10 Ϫ2 Ϫ5 4 (2) C ϭ ⎢ 2 0 − 1 ⎥ และ D ϭ ⎢ −1 0 1⎥ ⎥ ⎢ 2. 1 2 4 และ 3 5 Ϫ4 ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 1 − 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 − 1 − 2 ⎦⎥ 2 35 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1 วธิ ีทำา (1) จากสมบัตกิ ารมีตัว ก ันการ จะ ด้วา มเปน็ ตัว ก นั การ ซง่ กันและกัน ถ้า B เปน็ ตวั ก นั การ ง A แลว้ AB ϭ BA ϭ I ในท่ีนี้จะแสดงวา AB ϭ I และ BA ϭ I ⎡ 3 −2 ⎤⎡ −1 −2 ⎤ AB ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 2 1 ⎥⎦ ⎣⎢ − 2 − 3 ⎦⎥ แหลง่ สบื ค้น ⎡ (3)(− 1) + (− 2)(− 2) (3)(− 2) + (− 2)(− 3) ⎤ ϭ⎢ ⎥ - https://www.youtube.com/watch?v=12s3z-w8Vck ⎢⎣ (− 2)(− 1) + (1)(− 2) (− 2)(− 2) + (1)(− 3) ⎦⎥ ⎡1 0⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 1 ⎥⎦ ϭI ⎡ −1 −2 ⎤ ⎡ 3 −2 ⎤ BA ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 − 3 ⎥⎦ ⎢⎣ − 2 1 ⎦⎥ ⎡ (− 1)(3) + (− 2)(− 2) (− 1)(− 2) + (− 2)(1) ⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ (− 2)(3) + (− 3)(− 2) (− 2)(− 2) + (− 3)(1) ⎦⎥ ⎡1 0⎤ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 1 ⎦⎥ ϭI ตอบ ดังนน้ั A และ B เปน็ ตวั ก ันการ ซง่ กันและกนั 200 คมู่ อื ครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 163 ขอ้ สอบแนว O-NET (2) จากสมบตั กิ ารมตี ัว ก นั การ จะ ดว้ า กาำ หนดให้ A ϭ xϪ2 0 ด ท ่ี x เปน็ ำาต บ ง ถ้า D เปน็ ตวั ก นั การ ง C แล้ว CD ϭ DC ϭ I Ϫx2ϩ9 1 ในท่ีน้จี ะแสดงวา CD ϭ I และ DC ϭ I ⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎡ 1 2 −2 ⎤ สมการ x2Ϫ6xϩ9 ϭ 0 และ B ϭ 2 4 แลว้ A3BϪA2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3 7 CD ϭ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 1 ⎥ ⎢ −1 0 1 ⎥ ⎣⎢ − 2 1 − 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 −1 −2 ⎦⎥ เมทริกซใ์ น ้ ใด ⎡ (1)(1) + (− 1)(− 1) + (0)(0) (1)(2) + (− 1)(0) + (0)(− 1) (1)(− 2) + (− 1)(1) + (0)(− 2) ⎤ ⎢ (2)(2) + (0)(0) + (− 1)(− 1) ⎥ ⎢ (− 2)(2) + (1)(0) + (− 2)(− 1) ⎥ 21 24 ϭ ⎢ (2)(1) + (0)(− 1) + (− 1)(0) (2)(− 2) + (0)(1) + (− 1)(− 2) ⎥ 1. 2. ⎢ (− 2)(1) + (1)(− 1) + (− 2)(0) (− 2)(− 2) + (1)(1) + (− 2)(− 2) ⎥ 43 72 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 2 2 −3⎤ 01 14 ⎢⎥ 3. 4. 3 6 ϭ ⎢ 2 5 − 2 ⎥ ( I) ⎢⎥ 10 ⎣⎢ − 3 − 2 9 ⎦⎥ ตอบ อ 4 ⎡ 1 2 −2 ⎤ ⎡ 1 −1 0⎤ ย อีย ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ิจาร า x2Ϫ6xϩ9 ϭ 0 DC ϭ ⎢ −1 0 ⎥ ⎢ 2 0 −1⎥ ⎥ (xϪ3)2 ϭ 0 ⎣⎢ 0 −1 −2 ⎥⎦ ⎢⎣ − 2 1 − 2 ⎦⎥ xϭ3 ⎡ (1)(1) + (2)(2) + (− 2)(− 2) (1)(− 1) + (2)(0) + (− 2)(1) (1)(0) + (2)(− 1) + (− 2)(− 2) ⎤ ⎢ (− 1)(− 1) + (0)(0) + (1)(1) ⎥ นำา x ปแทนใน A จะ ด้ ⎢ (0)(− 1) + (− 1)(0) + (− 2)(1) ⎥ ϭ ⎢ (− 1)(1) + (0)(2) + (1)(− 2) (− 1)(0) + (0)(− 1) + (1)(− 2) ⎥ ⎢ (0)(1) + (− 1)(2) + (− 2)(− 2) (0)(0) + (− 1)(− 1) + (− 2)(− 2) ⎥ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎡ 9 −3 2⎤ Aϭ 1 0 ϭI ⎢⎥ 01 ϭ ⎢−3 2 − 2 ⎥ ( I) ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 − 2 5 ⎥⎦ จะ ด ้ A2 ϭ I และ A3 ϭ I ดงั น้ัน C และ D มเป็นตัว ก ันการ ซง่ กนั และกนั ตอบ ดังนนั้ A3BϪA2 ϭ (IϫB)ϪI ϭ 1 0 2 4Ϫ 1 0 01 37 01 ϭ 14 36 คมู่ ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1 201

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 164 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.5 เล่ม 1 หลงั จาก ก าตวั างท ่ี 15 รใหน้ กั เรี นแบงกลม แตละ ตวั อยา่ งที่ 15 กลมสร้างเมทรกิ ซ ์ A และ B ที่มมี ติ ิเทากัน แลว้ ให้นักเรี น ิจาร าวา ้ วามต ปน้เี ป็นจรงิ หร เทจ กาำ หนดเมทรกิ ซ ์ A และ B ดังนี้ 1. (At)t ϭ A ⎡ 0 1⎤ ⎡−2⎤ 2. (Bt)t ϭ B Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ 3. (AB)t ϭ BtAt ⎣⎢ − 1 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ 4. (AϩB)t ϭ AtϩBt 5. (AϪB)t ϭ AtϪBt จงหา (AB)t และ BtAt ร้ มท้ังบ กวา (AB)t ϭ BtAt หร ม าำ ตอบ เปน็ จริงทัง้ 5 ้ วาม วิธที าำ ⎡0 1⎤ ⎡ −2 ⎤ ϭ ⎡ (0)(− 2) + (1)(2) ⎤ ϭ ⎡2⎤ AB ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎢ (− 1)(− 2) + (3)(2) ⎦⎥ ⎣⎢ 8 ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ (AB)t ϭ 2 8 ⎡ 0 −1 ⎤ และ At ϭ ⎢ ⎥ , Bt ϭ Ϫ2 2 ⎣⎢ 1 3 ⎥⎦ BtAt ϭ Ϫ2 ⎡ 0 −1 ⎤ 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 3 ⎥⎦ ϭ (Ϫ2)(0)ϩ(2)(1) (Ϫ2)(Ϫ1)ϩ(2)(3) ϭ 2 8 ดังน้นั (AB)t ϭ BtAt ตอบ หมายเหตุ จากตัว างท่ี 15 จะ ด้วา ถ้า A ϭ aij mϫn และ B ϭ bij nϫp แล้ว (AB)t ϭ BtAt ตัวอยา่ งที่ 16 กาำ หนดเมทรกิ ซ ์ A, B และ C ดังน้ี ⎡1 0⎤ ⎡x+y 2⎤ และ C ⎡2 y⎤ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ w 1 ⎦⎥ z ⎥⎦ ⎣ ⎦ − 2 y ถา้ At ϭ BC แลว้ า ง 8wϩ6xϪ12yϪ5z เทากับเทา ร วิธที าำ At ϭ ⎡1 w⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎡x+y 2⎤ ⎡ 2 y⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ BC ϭ ⎣⎢ z ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ − 2 y ⎦ 3 202 คมู่ อื ครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 165 ขอ้ สอบแนว O-NET ϭ ⎡ 2x + 2y − 4 xy + y2 + 2y ⎤ ถ้า A และ B เป็นเซต งเมทรกิ ซ์ ด ที่ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 6 − 2z 3y + yz ⎥⎦ ͕ ͖n เน่ งจาก At ϭ BC 23 n เป็นจำานวนเตมบวก Aϭ 1 Ϫ1 จะ ดว้ า ⎡1 w⎤ ϭ ⎡ 2x + 2y − 4 xy + y2 + 2y ⎤ ͕΂ ΃ ͖n กลาว ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 ⎢ ⎥ 23 13 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 6 − 2z 3y + yz ⎥⎦ Bϭ Ϫ n เป็น จำานวนเตมบวก 2xϩ2yϪ4 ϭ 1 14 13 xyϩy2ϩ2y ϭ w ..........(1) แล้ว ้ ใดต ปนี้ถกต้ ง ..........(2) 1. A เป็นเซตจำากดั และ B เป็นเซตจำากัด 2. A เป็นเซตจำากัด และ B เป็นเซต นันต์ 6Ϫ2z ϭ 0 ..........(3) 3. A ตอ ั ต B ต ำา ั 4. A เปน็ เซต นนั ต์ และ B เป็นเซต นนั ต์ 3yϩyz ϭ 1 ..........(4) ตอบ อ 3 Ϫ2z ϭ Ϫ6 ย อีย จาก (3); z ϭ3 แทน า z ϭ 3 ใน (4); 3yϩy(3) ϭ 1 6y ϭ 1 y ϭ 1 6 2 แทน า y ϭ 1 ใน (1); 2xϩ2 ⎛ 1⎞ Ϫ4 ϭ 1 หา A; 23 23 23 6 ⎝⎜ 6⎠⎟ 1 Ϫ1 ϭ 1 Ϫ1 1 Ϫ1 2xϪ 11 ϭ1 3 73 2x ϭ 14 ϭ 14 3 3 73 2 3 xϭ 7 1 4 1 Ϫ1 3 23 ϭ แทน า x ϭ 7 และ y ϭ 1 ใน (2); 3 6 1 Ϫ1 ⎛ 7⎞ ⎛ 1⎞ + ⎛ 1⎞ 2 2⎜⎛⎝ 1⎞ ϭw ϭ 17 18 ⎝⎜ 3⎟⎠ ⎝⎜ 6⎟⎠ ⎝⎜ 6⎠⎟ 6⎠⎟ 6 Ϫ1 + 7 + 1 + 1 ϭw ͕A ϭ 18 36 3 2 3 73 wϭ 3 1 Ϫ1 , , 4 1 4 ดงั นัน้ 8wϩ6xϪ12yϪ5z ϭ 8 ⎛ 3⎞ + 6 ⎛ 7⎞ − 12 ⎛ 1⎞ Ϫ5(3) ͖17 18 , ... ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎝⎜ 3⎠⎟ ⎜⎝ 6⎟⎠ 6 Ϫ1 ϭ 6ϩ14Ϫ2Ϫ15 ตอบ ϭ3 หา B; 23 13 10 Ϫϭ 01 14 13 ϭI 23 10 10 ϭ I, ϭ I, ... 01 01 B ϭ {I} ดงั นัน้ A เปน็ เซต นนั ต์ และ B เปน็ เซตจาำ กัด คู่มือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 203

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสบื ค้น 166 คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ม.5 เลม่ 1 - https://www.youtube.com/watch?v=yu_VEXduOjA ตวั อยา่ งที่ 17 กาำ หนดให้ A และ B เปน็ เมทริกซ์ ด ท ่ี 2AϪB ϭ ⎡3 4 ⎤ และ Aϩ2B ϭ ⎡ −1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 6 ⎦⎥ ⎢⎣ 4 − 2 ⎥⎦ ถ้า C ϭ ⎡x y ⎤ และ C ϭ BA แลว้ า ง x2ϩy2ϩz2ϩw2 เทากบั เทา ร ..........(1) ⎢ w ⎥ ⎣⎢ z ⎥⎦ วธิ ที าำ ⎡3 4⎤ 2AϪB ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 6 ⎥⎦ ⎡ −1 2 ⎤ Aϩ2B ϭ ⎢ ⎥ ..........(2) ⎢⎣ 4 − 2 ⎦⎥ (1)ϫ2; ⎡3 4⎤ 4AϪ2B ϭ 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 6 ⎦⎥ ⎡6 8⎤ 4AϪ2B ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 6 12 ⎥⎦ ..........(3) ⎡ −1 2 ⎤ ⎡ 6 8 ⎤ (2)ϩ(3); (Aϩ2B)ϩ(4AϪ2B) ϭ ⎢ ⎥ϩ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 − 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 6 12 ⎥⎦ ⎡ 5 10 ⎤ 5A ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 10 10 ⎥⎦ 1 ؒ5A ϭ 1 ⎡ 5 10 ⎤ 5 ⎢ ⎥ 5 ⎢⎣ 10 10 ⎥⎦ ⎡1 2⎤ Aϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ แทน า A ϭ ⎡1 2 ⎤ ใน (1); ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 2 ⎥⎦ ⎡1 2⎤ ⎡3 4⎤ 2 ⎢ ⎥ ϪB ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 2 ⎦⎥ ⎢⎣ 3 6 ⎥⎦ ⎡2 4⎤ ⎡3 4⎤ ⎢ ⎥ ϪB ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 4 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 6 ⎦⎥ ⎡2 4⎤ ⎡3 4⎤ Bϭ ⎢ ⎥Ϫ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 3 6 ⎦⎥ 204 คู่มอื ครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 167 ข้อสอบแนว O-NET ⎡ −1 0⎤ กำาหนดให้ cos x sin x sin x 2 Bϭ ⎢ ⎥ sin(xϩy) 0 cos x 0 ⎢⎣ 1 − 2 ⎦⎥ C ϭ BA เน่ งจาก จะ ดว้ า ⎡ −1 0 ⎤ ⎡ 1 2 ⎤ Cϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 3 ⎣⎢ 1 − 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 ⎦⎥ 3 ϭ2 ⎡x y ⎤ ⎡ −1 −2 ⎤ 1 า ง cos(2xϩy) เม่ 0 р x р π, ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ 2 2 ⎢⎣ z w ⎥⎦ ⎣⎢ − 3 − 2 ⎥⎦ นน่ั x ϭ Ϫ1, y ϭ Ϫ2, z ϭ Ϫ3 และ w ϭ Ϫ2 0 р y р π เทากับ ้ ใด ดงั นน้ั x2ϩy2ϩz2ϩw2 ϭ (Ϫ1)2ϩ(Ϫ2)2ϩ(Ϫ3)2ϩ(Ϫ2)2 3 2. 2 1. 2 ϭ 1ϩ4ϩ9ϩ4 2 4. ؊21 ϭ 18 ตอบ 3. Ϫ 1 2 ตัวอยา่ งที่ 18 ตอบ อ 4 กาำ หนดเมทรกิ ซ ์ A และ B ดังนี้ ย อีย ⎡1 2⎤ ⎡x y⎤ cos x sin x sin x 2 Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ sin(xϩy) 0 cos x 0 ⎣⎢ 1 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ x z ⎥⎦ ถ้า AϪ1B ϭ ⎡−2 0 ⎤ แล้ว า ง zϪxϪy เทากับเทา ร ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 4 ⎥⎦ cos x sin xϩsin x cos x 2 cos x วิธีทำา เน่ งจาก AAϪ1 ϭ AϪ1A ϭ I ϭ sin x sin(xϩy) 2 sin(xϩy) และ จท ก์ ำาหนด AϪ1B ϭ ⎡−2 0⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 2 sin x cos x 2 cos x − 4 ⎦⎥ ϭ นาำ A ทางซ้า ทง้ั ส ง ้าง งสมการ; sin x sin(xϩy) 2 sin(xϩy) AAϪ1B ϭ ⎡−2 0⎤ 3 A⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ϭ2 3 − 4 ⎦⎥ 1 2 2 ⎡1 2 ⎤ ⎡−2 0⎤ IB ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − 4 ⎥⎦ ⎡−2 −8⎤ จะ ด ้ 2 sin x cos x ϭ 3 Bϭ ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ − 2 4 ⎦⎥ 3 2 sin 2x ϭ 2x ϭ π 3 x ϭ π .....(1) 6 นำา (1) แทนใน 2 sin(xϩy) ϭ 2 ΂ ΃2 sinπ ϩy ϭ2 6 ΂ ΃sinπ ϩy ϭ1 6 π6 ϩy ϭ π 2 y ϭ π .....(2) 3 นำา (1) และ (2) แทนใน cos(2xϩy) cos΂2΂ π6 ΃ϩ΂ π3 ΃΃ ϭ cos 2π ϭ Ϫ 1 3 2 คมู่ ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 205

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 168 คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ม.5 เล่ม 1 ⎡x y⎤ ⎡−2 −8⎤ ⎢ ⎥ ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ x z ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 4 ⎦⎥ จะ ดว้ า x ϭ Ϫ2, y ϭ Ϫ8 และ z ϭ 4 ดังน้ัน zϪxϪy ϭ 4Ϫ(Ϫ2)Ϫ(Ϫ8) ϭ 4ϩ2ϩ8 ϭ 14 ตอบ ย บบ ั า 253 แบบ กหั ท่ี 2 1. กาำ หนดเมทรกิ ซ ์ A และ B ดงั น้ี ⎡ 2 −3 1 4⎤ ⎡6 0 −5 −4⎤ Aϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 2 1 0 5 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 1 1 3 ⎦⎥ จงหา (1) AϩB (2) AϪB (3) 2B (4) 3At (5) (2B)tϪ3At (6) ตัว ก ันการบวก ง A และ B 2. จงหา ลลั ์ในแตละ ้ ต ปนี้ (ถา้ ม)ี ⎡ 1 2 −1⎤ ⎡ 1 −2 −1⎤ ⎡ 4 0 2⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ 4 0 2⎤ ⎥⎢0 1⎥ (2) ⎢ 0 1 1 ⎥ ⎢ (1) ⎢ ⎦⎥ ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥ ⎢⎣ − 1 ⎣⎢ 2 ⎣⎢ 1 ⎥⎦ − 1 ⎥⎦ 2 1 1 0 ⎦⎥ − 1 2 2 0 ⎡ 2⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 −2⎤ ⎡8 2⎤ ⎡1 2 2 ⎤ ⎢ −1 ⎥ (3) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (4) ⎢ 1 3 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎢⎣ 3 − 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1 ⎡ −1 3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎡0 −1⎤ (5) 0 1 2 ⎢ 0⎥ (6) Ϫ4 Ϫ2 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ − 1 ⎣⎢ 1 7 ⎦⎥ 4 ⎦⎥ ⎡ 2 ⎤ (8) ⎡ 2 −1⎤ ⎡1 −1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ (7) ⎢ ⎥ Ϫ1 Ϫ3 Ϫ4 ⎣⎢ − 3 ⎢⎣ − 1 ⎥⎦ 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 1 1 ⎦⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ −1 2 −2 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (9) ⎢ 0 − 1 0 ⎥ ⎢ 8 3 1 ⎥ ⎡4 −1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ (10) ⎢ 0 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎣⎢ 0 0 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 4 − 3 ⎦⎥ ⎦⎥ ⎣⎢ −1 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 206 คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 169 3. กาำ หนดให้ A, B, C, D และ E เป็นเมทรกิ ซท์ ีม่ ีมิติดังต ปนี้ A มีมติ ิ 4ϫ5, B มีมิต ิ 4ϫ5, C มีมิต ิ 5ϫ2, D มีมิต ิ 4ϫ2 และ E มีมติ ิ 5ϫ4 จงตรวจส บวาเมทริกซ์ ลลั ใ์ นแตละ ้ หา า ดห้ ร ม ถา้ หา า ด้ใหห้ ามิติ งเมทรกิ ซ์ ลลั ใ์ น ้ นัน้ ดว้ (1) AB (2) BA (3) AϩB (4) ACϩD (5) AEϩB (6) E(AϩB) (7) EAC (8) (AtϩE)D 4. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡1 0 ⎤ จงหา ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 2 ⎥⎦ (1) A2 (2) A3 (3) A4 5. กาำ หนดเมทริกซ ์ A, B, C และ D ดังนี้ ⎡4 2 0⎤ ⎡ −1 0⎤ Aϭ ⎢ ⎥, Bϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 5 ⎦⎥ ⎢3 ⎢ 1⎥ ⎣⎢ 5 ⎥ − 1 ⎦⎥ ⎡ − 3 −1 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡−2 −3⎤ C ϭ ⎢ 4 1 0⎥, D ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ 0 2 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 1 − 1 ⎦⎥ จงหา (1) BAϩ2C (2) ABϩD2 (3) 3BAϪ2C2 ซ่งกันและกันหร ม (4) AtBtϩI3 เม่ I3 แทนเมทริกซ์เ กลกั ์ นาด 3ϫ3 (5) (AB)Dt 6. จงตรวจส บวาเมทริกซท์ กี่ ำาหนดใหใ้ นแตละ ้ เปน็ ตวั ก นั การ ⎡2 − 3 ⎤ และ B ϭ ⎡ 1 0⎤ (1) A ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 4 ⎦⎥ ⎢⎣ − 1 2 ⎦⎥ ⎡1 − 5 7⎤ ⎢ 18 ⎥ และ ⎡ 2 3 1 ⎤ ⎢ 18 18 ⎥ ⎢⎥ Dϭ ⎢ 7 1 − 5 ⎥ (2) C ϭ ⎢ 1 2 3 ⎥ ⎢ 18 18 ⎥ ⎢ 18 ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 1 2 ⎦⎥ ⎢ 7 1⎥ ⎢⎣ − 5 18 18 18 ⎦⎥ คู่มือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 207

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition L earning for 21st Century Skills 170 คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.5 เลม่ 1 ให้นักเรี นแบงกลม ้นหา จท ์เกี่ วกับการบวกเมทริกซ์ 7. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡ −1 4 ⎤ จงหาเมทรกิ ซท์ ่บี วกกบั A แล้ว ด้เมทริกซ์ต ปน้ี และการ เมทริกซ์ท่ีมี วามซับซ้ นในการแก้ป หา ⎢ ⎥ จากแหลง วามรต้ างๆ กลมละ 2 ้ ด ตวั แทนกลม กมา ⎢⎣ 2 3 ⎦⎥ เ ี น จท ์บนกระดาน ให้นักเรี นกลมท่ีเหล แ งกัน หา ำาต บ (1) 2At (2) A2 L earning for Metacognition 8. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡1 −2 ⎤ จงหาเมทริกซ ์ X ทที่ าำ ให้ ้ วามต ปนเี้ ปน็ จริง (เม่ I2 แทน ⎢ ⎥ รให้นักเรี นแบงกลม แล้วให้ตัวแทนกลมจับสลากเล ก ⎢⎣ 3 − 1 ⎥⎦ หัว ้ ท่ี 2.1-2.3 ในหนังส เรี น จัดปา นิเท นำาเสน เมทรกิ ซเ์ กลกั ์ นาด 2ϫ2) วามร้ตามหวั ้ ท่ีจับสลาก ด้ (1) AϩX ϭ 2AϪ4X (2) AAt ϭ 3I2ϩX (3) 4AtA ϭ XϪI2 9. กาำ หนดให้ A, B และ C เป็นเมทรกิ ซ์ ด ท ่ี AϪ2B ⎡−5 −8 ⎤ ⎡ − 4 −4⎤ ⎢ 0 ⎥, ⎢ 5 ⎥ ϭ ⎢⎣ 4 ⎦⎥ 2AϪB ϭ ⎣⎢ 6 ⎦⎥ และ C ϭ ⎡ x+y z −w ⎤ ถ้า Ct AB แล้ว า ง 3wϪxϩ5yϪ2z เทากบั เทา ร ⎢ w ⎥ ⎣⎢ 3x + 5y ⎦⎥ ϭ 10. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡0 a⎤ B เป็นเมทรกิ ซ์มิติ 2ϫ2 และ I เป็นเมทรกิ ซ์เ กลัก ์ ⎢ ⎥, ⎢⎣ − 1 b ⎥⎦ นาด 2ϫ2 ถ้า A2B ϭ I และ 2AϪ1Ϫ3B ϭ I แล้ว า ง a2ϩb2 เทากบั เทา ร ย ิ า 255 กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรู้ท่ี 2 1. ให้นกั เรี นแบงเปน็ 3 กลม 2. แตละกลม ว กนั ตรวจส บ ้ วามต ปนว้ี าเปน็ จรงิ หร เป็นเทจ เม่ กำาหนดให้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซ์จัตรัสทมี่ มี ติ ิเดี วกนั ร้ มทัง้ กตัว างประก บ ที่ 1 ตรวจส บ ้ วาม (AϩB)2 ϭ A2ϩ2ABϩB2 ท่ี 2 ตรวจส บ ้ วาม (AϪB)2 ϭ A2Ϫ2ABϩB2 ที่ 3 ตรวจส บ ้ วาม A2ϪB2 ϭ (AϩB)(AϪB) 3. แตละกลมสงตวั แทน กมานำาเสน ลการตรวจส บที่หนา้ ัน้ เรี น 208 คู่มอื ครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 171 I ntroduction . เ รม์ ิ ต์ .1 เ ร์มิ ต์ 1؋1 1. รเ ี น ำาวา ดีเท ร์มิแนนต์ บนกระดาน แล้ว เม ริ ์ แนะนำาวา ดีเท ร์มิแนนต์ า งที่ซ่งส ด ล้ งกับ แนวคิ สาำ คญั เมทรกิ ซ์จตั รสั A ใดๆ บท ยิ า ให ้ A ϭ a 1ϫ1 เรี ก a วาเปน็ ถ้� A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทน ดีเท ร์มิแนนต์ ง A 2. รซักถามนกั เรี นดงั นี้ ดีเทอร์มิแนนตข์ อง A ดว้ ย det(A) หรือ |A| และ าำ า จะพิจ�รณ�ค�่ ดีเทอร์มแิ นนตเ์ ป็นกรณตี ่�งๆ ดังน้ี จากบทนิ ามจะ ด้วา ถ้า A ϭ a แล้ว a การหาดเี ท ร์มแิ นนต์ งเมทรกิ ซ์ทมี่ มี ติ ิ 1ϫ1, 2ϫ2, จะเป็นทั้งสมา กิ และดเี ท ร์มิแนนต์ ง A ดีเทอร์มแิ นนตข์ อง 1ϫ1 เมทรกิ ซ์ : 3ϫ3, 4ϫ4 เหม นหร แตกตางกนั าง ร ถ้� A ϭ [a] แลว้ det(A) ϭ a ( น นั ี น ัน ดีเทอร์มแิ นนต์ของ 2ϫ2 เมทรกิ ซ์ : ั) ⎡a b⎤ I ndesign ถ�้ A ϭ ⎢ ⎥ แลว้ det(A) ϭ adϪbc 1. รให้นักเรี น ก าบทนิ าม งดีเท ร์มิแนนต์ ง ⎢⎣ c d ⎥⎦ 1ϫ1 เมทริกซ์ และ 2ϫ2 เมทรกิ ซ์ในหนังส เรี น แลว้ สมเรี กนักเรี น กมาแสดงวิ ีหา ำาต บ ง จท ์ ดีเทอรม์ ิแนนตข์ อง 3ϫ3 เมทรกิ ซ์ : ตัว างที่ 1-2 ในหนงั ส เรี นบนกระดาน ⎡a b c⎤ 2. ร ิบา วาสำาหรับการหาดีเท ร์มิแนนต์ ง nϫn ⎢⎥ เมทริกซ์ เม่ n เป็นจำานวนเตมบวกท่ีมากกวา 2 สามารถหา ด้ ด ใ ้วิ ีการกระจา แ กเต ร์หร ถ้� A ϭ ⎢ d e f ⎥ แลว้ det(A) ตัวประก บรวมเกี่ ว ตามบทนิ ามต ปนี้ ⎢⎥ บท ิยา กาำ หนด A ϭ [aij]nϫn ด ท ่ี aij ʦ R และ n ⎣⎢ g h i ⎦⎥ เปน็ จำานวนเตมบวกที่มากกวา 2 ดีเท ร์มแิ นนต์ ง A ϭ (aeiϩbfgϩcdh)Ϫ(gecϩhfaϩidb) … และa11C11(A) ϩ a12C12(A) ϩ ϩ a1nC1n(A) เ ี นแทนดเี ท รม์ ิแนนต์ ง A ด้ว det (A) ตัวอยา่ งที่ 1 หร a11 a12 ... a1n กาำ หนดให้ A ϭ Ϫ2 จงหา det(A) A ϭ Ϫ2 วิธที าำ เน่ งจาก ดังนัน้ ตอบ det(A) ϭ Ϫ2 . เ รม์ ิ ต์ ؋ เม ริ ์ บท ยิ า ถ้า A ϭ ⎡a b ⎤ และ a, b, c, d เป็นจาำ นวนจริง แล้วดีเท รม์ แิ นนต์ ง A ⎢ d ⎥ ⎣⎢ c ⎥⎦ เ ี นแทนด้ว det(A) หร A หร a b ϭ adϪbc a21 a22 ... a2n cd ӇӇ Ӈ an1 an2 ... ann I nnovation จากนน้ั รใหน้ กั เรี น ว กนั แสดง วาม ดิ เหนในการ หา ำาต บ ง จท ์ตัว างท่ี 3-4 ในหนังส เรี น ให้นักเรี นแบงกลม กแบบแ น ัง วาม ิด (Mind Mapping) สรปวิ ีหาดีเท ร์มิแนนต์ บนกระดาน ด ใ ว้ ิ ีถาม ต บ แล้วนาำ เสน ลงานเ ่ แลกเปล่ี นเรี นร้ 3. รใหน้ กั เรี นแบงกลม ก าสมบตั ิ งดเี ท รม์ แิ นนต์ I CT ท้ัง 9 ้ จากน้ัน รสมเรี กนักเรี น กมาแสดงวิ ี หา ำาต บ ง จท ์ตัว างท่ี 5-9 ในหนังส เรี น ใหน้ กั เรี น ก า จท เ์ ร่ งการหาดเี ท ร์มแิ นนต ์ จาก search engine ตางๆ บนกระดาน 4. ให้นักเรี นทำาแบบ กหัดที่ 3 และกิจกรรมตรวจส บ การเรี นร้ท่ี 3 คู่มือครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 209

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหลง่ สืบค้น 172 คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.5 เลม่ 1 - https://www.youtube.com/watch?v=LcXzHXY1FJc ตวั อย่างท่ี 2 กาำ หนดให้ A ϭ ⎡2 1 ⎤ จงหา det(A) ⎢ 3 ⎥ ⎢⎣ 3 − ⎦⎥ วิธที ำา เน่ งจาก ⎡2 1⎤ Aϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 − 3 ⎦⎥ กจิ กรรมเสนอแนะ ดงั นน้ั 21 det(A) ϭ 1. รเ ี นเมทรกิ ซม์ ติ ิ 2ϫ2 บนกระดาน จาำ นวน 10 เมทรกิ ซ์ ตอบ ให้นักเรี นแบงกลมแ งกันหาดีเท ร์มิแนนต์ งท้ัง 3 −3 ϭ (2)(Ϫ3)Ϫ(1)(3) ϭ Ϫ6Ϫ3 ϭ Ϫ9 10 เมทริกซ์ กลมที่ต บ ด้ถกต้ งและรวดเรวที่สดเป็น . เ ร์มิ ต์ ؋ เม ริ ์ เม่ เ กลมท่ี นะ า เตม ่มา า่ 2. ให้นักเรี นหา า m ท่ที าำ ให ้ 7 Ϫ5 ϭ 11 Ϫ2 m ว ำาตอบ 7 Ϫ5 ϭ 11 บท ิยา ให้ A ϭ aij nϫn ด ท่ี aij ʦ R และ n เป็นจำานวนเตมบวกท่ีมากกวา 2 Ϫ2 m อ ง aij ดีเท ร์มแิ นนต์ งเมทริกซ์ท่ี ด้จากการตัดแถวท่ี i และหลักที่ j 7mϪ10 ϭ 11 งเมทรกิ ซ์ A ก เ ี นแทน มเน ร์ ง aij ดว้ Mij(A) 7m ϭ 21 จากบทนิ ามจะหา มเน ร์ งสมา กิ ใน A ด้ m ϭ3 ⎡ a11 a12 a13 ⎤ ⎢ ⎥ เ น ⎢ ⎥ A ϭ ⎢ a21 a22 a23 ⎥ ⎢ a 31 a 32 a 33 ⎥ ⎣⎢ ⎥⎦ ข้อสอบแนว O-NET M11(A) ϭ a22 a23 a 32 ϭ a22a33Ϫa23a32 a 33 1. ถา้ A ϭ 1 1 และ B ϭ 4 3 M21(A) ϭ a12 a13 a 32 ϭ a12a33Ϫa13a32 a 33 23 12 a11 a12 a21 ϭ a11a22Ϫa12a21 แลว้ ดีเท ร์มิแนนต์ ง AϩB ตรงกับ ้ ใด M33(A) ϭ a22 1. 11 2. 13 3. 15 4. 17 ตอบ อ 2 2. ถ้า A ϭ 2 1 และ B ϭ Ϫ1 2 4 3 1 4 แล้วดีเท รม์ แิ นนต์ ง AB ตรงกับ ้ ใด 1. ؊12 2. 12 3. 21 4. 28 ตอบ อ 1 210 คมู่ ือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 173 Trick บท ยิ า กำาหนด A ϭ aij nϫn ด ท ี่ aij ʦ R และ n เป็นจาำ นวนเตมบวกท่มี ากกวา 2 เน่ งจาก Cij(A) ϭ (Ϫ1)iϩj Mij(A) เราสามารถประห ดั ตัว อบ ว่ ยี่ ว ง aij ล ง (Ϫ1)iϩj และ Mij(A) เ ี นแทน เวลาในการหา (Ϫ1)iϩj ด้ ด ดหลักที่วา ลลั ์ ง ตัวประก บรวมเกี่ ว ง aij ด้ว Cij(A) (Ϫ1)iϩj จะเป็น ϩ1 และ Ϫ1 สลับกนั เร่ ๆ เ น ตัวประก บรวมเก่ี ว าจเรี กวา เมทรกิ ซ์มิต ิ 3ϫ3 แ กเต ร์ (cofactor) จากบทนิ ามจะ ด้ Cij(A) ϭ (Ϫ1)iϩjMij(A) ϩϪϩ Ϫϩ Ϫ ⎡ a11 a12 a13 ⎤ ϩϪϩ ⎢ ⎥ เ น ⎢ ⎥ A ϭ ⎢ a21 a22 a23 ⎥ ⎢ a 31 a 32 a 33 ⎥ ⎣⎢ ⎥⎦ C11(A) ϭ (Ϫ1)1ϩ1M11(A) ϭ M11(A) ϭ a22 a23 เมทรกิ ซ์มติ ิ 4ϫ4 a 32 ϭ a22a33Ϫa23a32 ϩϪϩϪ a 33 Ϫϩ Ϫ ϩ ϩϪϩϪ C21(A) ϭ (Ϫ1)2ϩ1M21(A) ϭ ϪM21(A) ϭ a12 a13 ϪϩϪϩ Ϫ ϭ Ϫ(a12a33Ϫa13a32) a 32 a 33 C33(A) ϭ (Ϫ1)3ϩ3M33(A) ϭ M33(A) ϭ a11 a12 เมทริกซ์มติ ิ 5ϫ5 ϭ a11a22Ϫa12a21 a21 a22 บท ิยา กำาหนด A ϭ aij nϫn ด ที่ aij ʦ R และ n เป็นจำานวนเตมบวกที่มากกวา 2 ϩϪϩϪ ϩ ี ทอ ิ ต ง A และเa11C11(A)ϩa12C12(A)ϩ...ϩa1nC1n(A) ี นแทน Ϫϩ Ϫ ϩ Ϫ ϩϪϩϪ ϩ ⎡ a11 a12 … a1n ⎤ ϪϩϪϩ Ϫ ⎢ ⎥ ϩϪϩϪ ϩ ⎢ ⎥ ดเี ท รม์ แิ นนต์ ง A ดว้ det(A) หร ⎢ a 21 a22 … a2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ an1 an2 … anm ⎥⎦ จากบทนิ ามจะสามารถหาดีเท ร์มแิ นนต์ งเมทรกิ ซม์ ิติ 3ϫ3 ด้ เ น ⎡ a11 a12 a13 ⎤ ⎢ ⎥ ถ้า ⎢ ⎥ จะ ด้วา A ϭ ⎢ a21 a22 a23 ⎥ หร ⎢ a 31 a 32 a 33 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ det(A) ϭ a11C11(A)ϩa12C12(A)ϩa13C13(A) det(A) ϭ a11M11(A)Ϫa12M12(A)ϩa13M13(A) คู่มอื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 211

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition Trick 174 คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ม.5 เลม่ 1 ในการหาดเี ท รม์ แิ นนต์ ด ใ ต้ วั ประก บรวมเกี่ ว วรเล ก ที่กลาวมาเป็นการหา det(A) ด การกระจา ตามแถวที่ 1 ซ่งการหา det(A) จะหา ด้ ด แถวหร หลกั ทมี่ ี น ม์ ากๆ เ ่ ประห ดั เวลาในการ าำ นว การกระจา ตามแถวหร ตามหลักใดก ด้ ต ปจะหา det(A) เม่ A เปน็ 3ϫ3 เมทริกซ์ ความรเู้ พม่ิ เตมิ ⎡ a11 a12 a13 ⎤ ั ตอ า า ี ทอ ิ ต ย ตวั อบ ⎢ ⎥ ว่ ยี่ ว จาก ⎢ ⎥ ขนั้ ที่ 1 เล กสมา กิ แถวใดแถวหนง่ หร หลกั ใดหลกั หนง่ A ϭ ⎢ a21 a22 a23 ⎥ งเมทริกซ์ท่ีต้ งการหาดีเท รม์ แิ นนต์ ขั้นที่ 2 หาตวั ประก บรวมเกี่ ว งสมา กิ แตละตวั ในแถว ⎢ a 31 a 32 a 33 ⎥ หร หลักท่ีเล ก วจ้ าก ั้นท ่ี 1 ⎣⎢ ⎥⎦ ขน้ั ที่ 3 นำาสมา กิ แตละตวั ในแถวหร หลักท่ีเล ก ว้ กับตวั ประก บรวมเกี่ ว งตวั เ ง แลว้ นำา ล det(A) ϭ a11C11(A)ϩa12C12(A)ϩa13C13(A) ที่ ดม้ าบวกกนั ลบวกท่ี ด้ ดเี ท รม์ แิ นนต์ ง เมทรกิ ซ์น้นั ϭ a11M11(A)Ϫa12M12(A)ϩa13M13(A) แหล่งสืบคน้ a22 a23 a21 a23 a21 a22 ϭ a11 Ϫa12 ϩa13 a 32 - https://www.youtube.com/watch?v=IL3JIW5e5bM a 32 a33 a31 a33 a31 ϭ a11(a22a33Ϫa23a32)Ϫa12(a21a33Ϫa23a31)ϩa13(a21a32Ϫa22a31) ϭ a11a22a33Ϫa11a23a32Ϫa12a21a33ϩa12a23a31ϩa13a21a32Ϫa13a22a31 ϭ (a11a22a33ϩa12a23a31ϩa13a21a32)Ϫ(a11a23a32ϩa12a21a33ϩa13a22a31) ϭ (a11a22a33ϩa12a23a31ϩa13a21a32)Ϫ(a31a22a13ϩa32a23a11ϩa33a21a12) สงั เกต ดว้ า det(A) ประก บดว้ จำานวน 2 จำานวนลบกนั ซ่งหา ด้จากการนาำ หลักท ี่ 1 และ หลกั ท ี่ 2 ง A มาเ ี นต จากหลักที่ 3 จากนน้ั หา า h และ k ดังน้ี (a31a22a13)ϩ(a32a23a11)ϩ(a33a21a12) ϭ k a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 (a11a22a33)ϩ(a12a23a31)ϩ(a13a21a32) ϭ h det(A) ϭ (a11a22a33)ϩ(a12a23a31)ϩ(a13a21a32) Ϫ (a31a22a13)ϩ(a32a23a11)ϩ(a33a21a12) หร det(A) ϭ hϪk 212 คู่มอื ครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 175 Trick ตวั อย่างท่ี 3 การหา det (A) งตวั างท ่ี 3 วิ ที ี่ 1 วรเล กกระจา ตามแถวท ่ี 3 หร หลกั ท ี่ 2 เ ราะมี 0 เป็นสมา ิก จะทาำ ให้ ⎡4 1 2⎤ การ ำานว เรว ้น ⎢ ⎥ กาำ หนดให้ A ϭ ⎢2 −3 4 ⎥ จงหา det(A) ⎢⎥ ⎣⎢ 1 0 2 ⎦⎥ วธิ ีทาำ 1 จากบทนิ าม งดเี ท ร์มแิ นนตจ์ ะ ด้วา det(A) ϭ a11C11(A)ϩa12C12(A)ϩa13C13(A) ขอ้ สอบแนว O-NET ϭ 4C11(A)ϩC12(A)ϩ2C13(A) ϭ 4M11(A)ϪM12(A)ϩ2M13(A) −3 4 2 4 2 −3 ϭ4 Ϫ ϩ2 1 0 02 12 ϭ 4((Ϫ6)Ϫ0)Ϫ(4Ϫ4)ϩ2(0Ϫ(Ϫ3)) x 18 6 ϭ Ϫ24Ϫ0ϩ6 1. กาำ หนดให้ A ϭ 9 2 5 ϭ Ϫ18 4 79 2 นาำ หลกั ท ี่ 1 และหลักท่ี 2 ง A มาเ ี นต จากหลกั ท ี่ 3 แลว้ หาดีเท ร์มิแนนต์ ง A ถ้า มเน ร์ ง a22 ϭ 3 แล้ว า ง x เทากับ ้ ใด (Ϫ6)ϩ0ϩ4 ϭ Ϫ2 ϭ k 1. 1 2. 2 4 12 41 3. 3 4. 4 2 −3 4 2 −3 1 02 10 ตอบ อ 3 (Ϫ24)ϩ4ϩ0 ϭ Ϫ20 ϭ h x4 2 det(A) ϭ hϪk 2. กาำ หนดให้ A ϭ 1 3 0 ϭ (Ϫ20)Ϫ(Ϫ2) ϭ Ϫ18 46 1 จะ ดว้ า และ แ กเต ร์ ง a22 ϭ Ϫ3 า แ กเต ร์ ง a33 เทากบั ้ ใด ตอบ 1. Ϫ11 2. Ϫ9 3. 9 4. 11 ตอบ อ 4 คูม่ ือครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 213

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 176 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ม.5 เล่ม 1 ให้นักเรี นสร้างเมทริกซ์ 4ϫ4 แล้วหาดีเท ร์มิแนนต์ ง ตัวอยา่ งที่ 4 เมทริกซ์ที่สร้าง ้น จากน้ันจับ กับเ ่ นแลกเปล่ี น จท ์ กันหาดีเท ร์มิแนนต์ และรวมกันตรวจส บวาถกหร ิด ⎡ 1 3 4 −1⎤ ⎢⎥ าง รบา้ ง ⎢ ⎥ กาำ หนดให้ B ϭ ⎢ 1 5 5 1 ⎥ จงหา det(B) แหล่งสบื คน้ ⎢ 2 6 9 7 ⎥ ⎢ ⎥ - https://www.youtube.com/watch?v=Q6LpHoH7ECo ⎣⎢ − 1 − 3 − 4 4 ⎥⎦ วิธที ำา det(B) ϭ a11C11(A)ϩa21C21(A)ϩa31C31(A)ϩa41C41(A) ϭ C11(A)ϩC21(A)ϩ2C31(A)ϪC41(A) ϭ M11(A)ϪM21(A)ϩ2M31(A)ϩM41(A) 5 51 3 4 −1 3 4 −1 3 4 −1 ϭ 6 9 7 Ϫ 6 9 7 ϩ2 5 5 1 ϩ 5 5 1 −3 −4 4 −3 −4 4 −3 −4 4 6 9 7 ϭ 98Ϫ9ϩ2(Ϫ15)Ϫ53 ตอบ ϭ6 การหาดเี ท รม์ แิ นนต์ ง nϫn เมทริกซ ์ เม่ n เป็นจำานวนเตมบวกที่มากกวา 3 จะหา ด้ ด ใ ้ บทนิ ามเทาน้ัน จะ มสามารถหา ด ใ ้การ ต หลกั ดังตัว างท่ี 3 214 คมู่ อื ครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 177 ขอ้ สอบแนว O-NET บตั ิ อง ี ทอ ิ ต เมทริกซใ์ น ้ ใดมดี ีเท รม์ ิแนนตเ์ ทากบั 0 กาำ หนด A ϭ aij nϫn เม่ n เป็นจาำ นวนเตมบวกทีม่ ากกวาหร เทากับ 2 0 10 Ϫ1 2 0 1. 2 Ϫ1 1 2. 2 1 1 0 01 1 2 Ϫ1 ถา้ สมา กิ ทกตวั ในแถวใดแถวหนง่ หร หลกั ใดหลกั หนง่ งเมทรกิ ซ ์ A ؊1 2 1 4. ถกต้ งทก ้ เปน็ 0 แลว้ det(A) ϭ 0 3. 0 0 0 ⎡ −1 2 3 4 ⎤ 2 ؊2 ؊1 ตอบ อ 3 ⎡0 1 2⎤ ⎢ ⎥ 1 เ น ⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 5 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 5 6 7 8⎥ ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢0 4 5⎥, ⎢ ⎥ 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 6 0 ⎦⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 ⎢⎣ 0 7 8 ⎦⎥ ⎢ − 2 0 8 9 ⎥ 0 0 ⎣⎢ 0 0 ⎥⎦ ดเี ท ร์มแิ นนต์ งเมทรกิ ซ์ า้ งต้นเทากับ 0 ถา้ B ด้จากการสลบั แถว 2 แถว หร สลับหลกั 2 หลัก ง A แลว้ 2 det(B) ϭ Ϫdet(A) ⎡ 1 1 2⎤ ⎡−3 2 4⎤ ⎡2 1 1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ เ น A ϭ ⎢−3 2 4⎥, B ϭ ⎢ 1 2⎥, C ϭ ⎢4 2 −3⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 1 3 ⎦⎥ ⎢⎣ 0 − 1 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 − 1 0 ⎥⎦ det(A) ϭ 25 จะ ด้ det(B) ϭ Ϫ25 และ det(C) ϭ Ϫ25 คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 215

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 178 คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ม.5 เลม่ 1 ถา้ สมา กิ ใน 2 แถว หร 2 หลักใด งเมทรกิ ซ์ A เหม นกันแลว้ det(A) ϭ 0 ⎡1 4 1 5⎤ ⎡ 1 2 3⎤ ⎡2 3 2⎤ ⎢ ⎥ 3 เ น ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 1 0 1 −2⎥ ⎢ 1 2 3⎥, ⎢0 4 0⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 5 − 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 1 2 ⎦⎥ ⎢ 2 32 6 ⎥ ⎣⎢ 2 − 1 2 3 ⎥⎦ ดเี ท รม์ แิ นนต์ งเมทริกซ์ า้ งตน้ เทากับ 0 det(At) ϭ det(A) เ น ⎡1 1 2⎤ ⎢⎥ A ϭ ⎢ 2 − 3 4 ⎥ , det(A) ϭ Ϫ5 ⎢⎥ ⎣⎢ 1 0 3 ⎥⎦ 4 ⎡ 1 2 1⎤ ⎢⎥ At ϭ ⎢1 ⎥ det(At) ⎢ −3 0 ⎥ , ϭ Ϫ5 ⎢⎣ 2 4 3 ⎦⎥ ถ้าเมทริกซ์ B เกิดจากการ สมา ิกทกตัวในแถวใดแถวหน่งหร หลักใด หลักหนง่ ง A ด้ว า งตัว c แล้ว det(B) ϭ c det(A) เ น ⎡ 1 2 4⎤ ⎢⎥ 5 A ϭ ⎢ − 3 8 0 ⎥ , det(A) ϭ Ϫ70 ⎢⎥ ⎢⎣ 1 2 − 1 ⎦⎥ ⎡ 1 2 4⎤ ⎢⎥ B ϭ ⎢ − 3 8 0 ⎥ , det(B) ϭ 2(Ϫ70) ϭ Ϫ140 ⎢⎥ ⎣⎢ 2 4 − 2 ⎦⎥ เกดิ จากแถวท ่ี 3 ง A ด้ว 2 216 ค่มู ือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 179 ขอ้ สอบแนว O-NET det(kA) ϭ kn det(A) เม่ k เปน็ า งตวั และ n มาจาก nϫn เมทริกซ์ ถ้า A ϭ 1 2 แล้ว det(3At) มี าตรงกับ ้ ใด Ϫ1 0 เ น ⎡3 2⎤ Aϭ ⎢ ⎥ , det(A) ϭ (3)(4)Ϫ(2)(5) ϭ 2 6 ⎣⎢ 5 4 ⎥⎦ 1. 12 2. 16 ⎡ 9 6⎤ 4. 2 3A ϭ ⎢ ⎥ , det(3A) ϭ (9)(12)Ϫ(6)(15) ϭ 18 3. 18 ⎢⎣ 15 12 ⎥⎦ ตอบ อ 3 det(3A) ϭ 18 ϭ 9ϫ2 ϭ 32 det(A) det(AB) ϭ det(A)ؒdet(B) เ น กาำ หนด A ϭ ⎡1 2⎤ ⎡2 1⎤ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ 7 ⎣⎢ 3 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 3 ⎦⎥ ⎡1 2⎤ ⎡2 1 ⎤ ⎡ 10 7⎤ AB ϭ ⎢ ⎥⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 4 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 22 15 ⎦⎥ det(AB) ϭ (10)(15)Ϫ(7)(22) ϭ Ϫ4 det(A)ؒdet(B) ϭ (1)(4)Ϫ(2)(3) (2)(3)Ϫ(1)(4) ϭ (Ϫ2)(2) ϭ Ϫ4 คูม่ ือครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 217

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition Trick 180 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.5 เล่ม 1 จากสมบตั ิ งดเี ท รม์ ิแนนต์ ้ ท่ี 9 หมา วามวา ดเี ท ร์ ถ้า B ด้จาก A ด เปล่ี นเ าะสมา ิกในแถวที่ j ง A ด ใ ้ า งตัว c มิแนนต์ งเมทริกซ์สามเหล่ี มบน (หร สามเหลี่ มลาง) กับสมา ิกทกตัวในแถวท่ี i ง A เม่ i j แล้วนำา ปบวกกับสมา ิก งแตละตวั ใน เทากบั ล งสมา ิกบนเส้นทแ งมมหลักน่ันเ ง แถวท ี่ j ง A นั่น bjk ϭ caikϩajk สำาหรับทก k ท่เี ปน็ สมา กิ ง 1, 2, 3, ..., n แลว้ แหลง่ สบื คน้ det(B) ϭ det(A) สมบตั ิ ้ น้ี งั งเปน็ จรงิ เม่ เปลี่ นจากแถวเป็นหลัก - http://matrix-krupranee.blogspot.com/2012/02/ 8 1 −1 0 1 −1 0 blog-post_1299.html เ น 2 3 − 2 ϭ (1)(2) + 2 (− 1)(2) + 3 (0)(2) + (− 2) ϭ Ϫ5 1 4 −3 14 −3 ถ้า A ϭ aij nϫn ด ท ่ี aij ϭ 0 เม่ i Ͼ j แล้ว det(A) ϭ a11a22a33 ... ann และถ้า B ϭ bij nϫn ด ท ี่ bij ϭ 0 เม่ i Ͻ j แล้ว det(B) ϭ b11b22b33 ... bnn 9 เ น 12 3 0 4 5 ϭ (1)(4)(6) ϭ 24 006 218 คู่มอื ครู หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 181 กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอย่างที่ 5 จากตัว างท่ี 5 รให้นักเรี นหาดีเท ร์มิแนนต์ต ปนี้ เ ม่ิ เตมิ ด ใ ส้ มบตั ิ งดเี ท รม์ แิ นนต์ ้ ท ่ี 4 และ ้ ท ี่ 6 x+2 x x+1 ϭ 0 และ A ϭ ⎡ x2 1− x ⎤ แลว้ det(3A) เทากบั เทา ร ในหนงั ส เรี น x x+1 ⎢ x+3 ⎥ ถา้ 0 ⎣⎢ 2x ⎦⎥ 1. det(At) x+1 −1 x x+2 x x+1 2. det(2At) 0 x x+1 ϭ 0 วธิ ีทาำ เน่ งจาก 3. det(4At) x+1 −1 x det΂ ΃4.Ϫ1 At 2 จะ ด้ x2(xϩ2)ϩ(xϩ1)(xϩ2) ϭ 0 ΂ ΃5. 1 At (xϩ2)(x2ϩxϩ1) ϭ 0 det Ϫ 4 xϩ2 ϭ 0 x2ϩxϩ1 ϭ 0 าำ ตอบ x ϭ Ϫ2 มมี า ง x ทเี่ ป็นจาำ นวนจรงิ ท่เี ปน็ ำาต บ งสมการ 1. det(At) ϭ det(A) ϭ 16 (Ї b2Ϫ4ac ϭ 12Ϫ4(1)(1) ϭ Ϫ3 Ͻ 0 ) 2. det(2At) ϭ det(2A) ϭ 22det(A) ϭ 4ϫ16 ϭ 64 เน่ งจาก A ϭ ⎡ x2 1− x ⎤ 3. det(4At) ϭ det(4A) ϭ 42det(A) ϭ 16ϫ16 ϭ 256 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2x x + 3 ⎦⎥ ΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃4.1 1 2 แทน า x ϭ Ϫ2 ลงใน A; ⎡ (− 2)2 1 − (− 2) ⎤ det Ϫ 2 At ϭ det Ϫ 12 A ϭ Ϫ 2 ϭ 1 ϫ16 ϭ 4 ⎢ ⎥ det(A) 4 Aϭ ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ 2(− 2) (− 2) + 3 det΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃5.Ϫ1AtϭdetϪ 1 A ϭ Ϫ 14 det(A) ϭ 1 ϫ16 4 4 16 ⎡4 3⎤ Aϭ ⎢ ⎥ ϭ1 ⎢⎣ − 4 1 ⎥⎦ det(A) ϭ (4)(1)Ϫ(3)(Ϫ4) det(A) ϭ 16 จากสมบัติทวี่ า det(kA) ϭ kndet(A) เม่ k เป็น า งตวั และ n มาจาก nϫn เมทริกซ์ ดังนนั้ det(3A) ϭ 32det(A) ϭ 9 det(A) ขอ้ สอบแนว O-NET ϭ 9ϫ16 ตอบ กำาหนดให้ A, B, C และ I เป็นเมทริกซ์ นาด 2ϫ2 ϭ 144 และ I เป็นเมทริกซ์เ กลัก ์ ด ที่ det A ϭ det(4I), det C ϭ 2 และ ABtC ϭ 11 7 า ง 9 4 4 det B ตรงกบั ้ ใด 2. 18 1. 11 3. 19 4. 21 ตอบ อ 2 ย อยี ิจาร า det A ϭ det(4I) det A ϭ 42 det I det A ϭ 16 16 det Btؒ2 ϭ 16 11 7 44 1 ิจาร า ABtC ϭ 2 det B ϭ ดงั น้ัน 9 B ϭ 9 ϭ 18 det(ABtC) ϭ 11 7 det 1 44 2 det Aؒdet Btؒdet C ϭ 16 ค่มู ือครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1 219

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 182 คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ม.5 เล่ม 1 1. ใหน้ กั เรี นแบงกลมสรา้ ง จท ใ์ นทาำ น งเดี วกบั ตวั าง ตวั อยา่ งที่ 6 ที่ 6 (ม ี 4 ้ ) ด ใหเ้ มทริกซ์ Aและ B เปน็ เมทริกซ์ มิติ 3ϫ3 แล้วจับ กับเ ่ นกลม ่นสลับกันหา ำาต บ กาำ หนดให้ A ϭ ⎡ −1 1⎤ ⎡0 1⎤ ง จท ์ท่ีสรา้ ง น้ และรวมกนั ตรวจส บ วามถกต้ ง ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 − 1 ⎦⎥ ⎢⎣ 3 7 ⎦⎥ 2. ให้นักเรี นรวมกัน ิปรา วา จท ์ตัว างท่ี 6 และ ตัว างที่ 7 ใ ้สมบัติ งดีเท ร์มิแนนต์ ้ ใดบ้าง จงหา (1) det(ABt) (2) det(Ϫ3B) มา ว ในการหา าำ ต บ (3) det(2A3) (4) det(ϪAtB2) วธิ ที ำา จาก จท ์ det(A) ϭ (Ϫ1)(Ϫ1)Ϫ(1)(3) ϭ Ϫ2 และ det(B) ϭ (0)(7)Ϫ(1)(3) ϭ Ϫ3 (1) det(ABt) ϭ det(A)ؒdet(Bt) (2) det(Ϫ3B) ϭ (Ϫ3)2ؒdet(B) ϭ det(A)ؒdet(B) ϭ 9 det(B) ϭ (Ϫ2)(Ϫ3) ϭ 9(Ϫ3) ϭ Ϫ27 ϭ6 ตอบ ตอบ ϭ 22ؒdet(A3) ตอบ ขอ้ สอบแนว O-NET (3) det(2A3) ϭ 4 det(A) 3 (4) det(ϪAtB2) ϭ (Ϫ1)2ؒdet(At)ؒdet(B2) ϭ 4(Ϫ2)3 ϭ det(At)ؒdet(B2) 1 2 1 3 ϭ det(A)ؒ det(B) 2 Ϫ1 1 ,Bϭ 2 0 กำาหนดให ้ A ϭ และ ϭ 4(Ϫ8) ϭ (Ϫ2)ؒ(Ϫ3)2 ϭ Ϫ18 ϭ Ϫ32 ตอบ Cϭ x Ϫ2 า ง x ทีท่ ำาให ้ det C ϭ det(2AϩBt) ตวั อยา่ งที่ 7 2 xϪ4 ตรงกบั ้ ใด กาำ หนดให้ A ϭ ⎡ − 3 a2 ⎤ , B ϭ ⎡4 −1⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ 1. Ϫ2 ⎣⎢ a ⎥⎦ ⎣⎢ 0 2. Ϫ1 3 ⎥⎦ 3. 0 4. 2 และ det(ABt) ϭ Ϫ132 จงหา det(AϩB) ตอบ อ 4 วธิ ที ำา ย อยี det(A) ϭ (Ϫ3)(1)Ϫ(a2)(a) ϭ Ϫ3Ϫa3 24 เน่ งจาก det(B) ϭ (4)(3)Ϫ(Ϫ1)(0) ϭ 12 2A ϭ จะ ด ้ det(ABt) ϭ Ϫ132 det(A)ؒdet(Bt) ϭ Ϫ132 Ϫ2 2 det(A)ؒdet(B) ϭ Ϫ132 Bt ϭ 1 2 (Ϫ3Ϫa3)(12) ϭ Ϫ132 3 0 Ϫ12(a3ϩ3) ϭ Ϫ132 2 41 2 a3ϩ3 ϭ 11 Ϫ2 0 a3 ϭ 8 2AϩBt ϭ ϩ 3 aϭ2 2 36 ϭ12 det(2AϩBt) ϭ 3 6 1 2 ϭ 6Ϫ6 ϭ 0 จิ าร า det C ϭ x Ϫ2 2 xϪ4 ϭ x2Ϫ4xϩ4 จาก จท ก์ าำ หนดให้ det C ϭ det(2AϩBt) ดงั นัน้ x2Ϫ4xϩ4 ϭ 0 (xϪ2)2 ϭ 0 xϭ2 220 คู่มอื ครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 183 แหล่งสบื ค้น แทน า a ϭ 2 ใน A; A ϭ ⎡ − 3 22 ⎤ ϭ ⎡−3 4⎤ - https://www.youtube.com/watch?v=oo2GLZ4sHPM ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 1 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 1 ⎥⎦ จะ ด ้ ⎡−3 4⎤ ⎡4 −1⎤ ⎡ 1 3⎤ ดังน้ัน AϩB ϭ ⎢ ⎥ϩ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 3 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 4 ⎥⎦ det(AϩB) ϭ (1)(4)Ϫ(3)(2) ϭ Ϫ2 ตอบ ตวั อย่างที่ 8 ⎡ a 1 2a + 6 ⎤ ⎢ ⎥ กาำ หนดให้ a เปน็ จาำ นวนจรงิ และ A ϭ ⎢6 a 3⎥ ⎢ ⎣⎢ a 2 ⎥ a ⎦⎥ ถ้า M11(A) ϭ 18 และ M22(A) ϭ Ϫ12 แลว้ C31(A) มี าเทา ร วธิ ีทาำ จาก จท ์ M11(A) ϭ 18 จะ ด้ a3 ϭ 18 2a a2Ϫ6 ϭ 18 a2 ϭ 24 และจาก จท ์ a ϭ Ϯ2 6 ..........(1) M22(A) ϭ Ϫ12 ..........(2) จะ ด้ a 2a + 6 ϭ Ϫ12 aa a2Ϫa(2aϩ 6 ) ϭ Ϫ12 Ϫa2Ϫ 6 a ϭ Ϫ12 a2ϩ 6 a ϭ 12 a2ϩ 6 aϪ12 ϭ 0 (aϪ 6 )(aϩ2 6 ) ϭ 0 a ϭ 6 , Ϫ2 6 า a ที่ส ด ล้ งกบั (1) และ (2) a ϭ Ϫ2 6 คู่มอื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1 221

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหลง่ สืบคน้ 184 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ม.5 เล่ม 1 - https://www.youtube.com/watch?v=t9ENaCDAm1Q เน่ งจาก 1 2a + 6 แทน า a ϭ Ϫ2 6 ; (Ϫ1)3ϩ1 3 C31(A) ϭ a ดังน้ัน 1 2(− 2 6 ) + 6 (Ϫ1)3ϩ1 3 C31(A) ϭ −2 6 ข้อสอบแนว O-NET C31(A) ϭ (1)(3)Ϫ(2(Ϫ2 6 )ϩ 6 )(Ϫ2 6 ) ตอบ C31(A) ϭ 3Ϫ(Ϫ3 6 )(Ϫ2 6 ) C31(A) ϭ 3Ϫ36 C31(A) ϭ Ϫ33 กำาหนดให ้ A ϭ 1 Ϫ1 า ง det(3AϩAt)At ตวั อยา่ งที่ 9 Ϫ1 1 กาำ หนดให้ A, B, C, I เป็น 2ϫ2 เมทรกิ ซ์ ด ท ่ี I เปน็ เมทรกิ ซเ์ กลกั ์ ถา้ det(ϪA3) ϭ det(3 3I), ตรงกับ ้ ใด det(Ct) ϭ 1 และ ABtC ϭ ⎡−6 1 ⎤ จงหา det(B) 4 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 − 2 ⎦⎥ 1. 0 2. 8 วิธที ำา จาก จท ์ det(ϪA3) ϭ det(3 3I) จะ ด ้ (Ϫ1)2ؒdet(A3) ϭ (3 3)2ؒdet(I) 3. 14 4. 16 (det(A))3 ϭ 27ؒdet(I) ตอบ อ 1 (det(A))3 ϭ 27 ย อยี det(3AϩAt)At ϭ det(3AϩAt)ؒ(det A) det(A) ϭ 3 3A ϭ 3 Ϫ3 จาก จท ์ det(Ct) ϭ 1 Ϫ3 3 จะ ด ้ det(C) ϭ 4 1 4 At ϭ 1 Ϫ1 เน่ งจาก ABtC ϭ ⎡−6 1⎤ Ϫ1 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 − 2 ⎥⎦ 3AϩAt ϭ 4 Ϫ4 จะ ด ้ det(ABtC) ϭ − 6 1 Ϫ4 4 3 −2 det(ABtC) ϭ 12Ϫ3 ϭ 9 จะ ด้ det(3AϩAt) ϭ 4 Ϫ4 det(A)ؒdet(Bt)ؒdet(C) ϭ 9 Ϫ4 4 (3)(det(Bt))⎜⎛⎝ 1⎞ 4⎟⎠ ϭ9 ϭ 16Ϫ16 det(Bt) ϭ 9ϫ 4 ϭ 12 det(B) ϭ 3 ϭ0 เน่ งจาก det(Bt) ϭ det (B) ดงั นนั้ ตอบ 12 ดงั น้นั det(3AϩAt)ؒ(det A) ϭ 0ؒ(det A) ϭ0 222 คมู่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ย บบ ั ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 185 า 256 แบบ กหั ที่ 1. จงหาดีเท ร์มิแนนต์ งเมทรกิ ซ์ต ปน้ี (2) ⎡⎣⎢− 1⎤ (1) 5 3⎦⎥ ⎡−2 8⎤ ⎡ 2 −1⎤ (3) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 − 5 ⎥⎦ (4) ⎣⎢ 3 8 ⎦⎥ ⎡ 1 8 −1⎤ ⎢ ⎥ 2. กาำ หนดให้ A ϭ ⎢0 2 1 ⎥ จงหา า ง ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 0 − 1 ⎦⎥ (1) M31(A) (2) M12(A) (3) C13(A) (4) C32(A) ⎡x 1 1⎤ ⎢ ⎥ 3. กาำ หนดให้ A ϭ ⎢3 1 1 ⎥ ถา้ C12(A) ϭ 4 แลว้ M22(A) มี าเทา ร ⎢ ⎥ ⎢⎣ x 0 − 1 ⎦⎥ 4. จงหาดเี ท ร์มแิ นนต์ งเมทริกซ์ต ปน้ี ⎡−2 4 4⎤ ⎡ 8 −1 −2 ⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ (1) ⎢ 1 − 4 2 ⎥ (2) ⎢ 4 2 5 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ 3 6 − 6 ⎦⎥ ⎢⎣ 6 − 3 1 ⎥⎦ ⎡ 3 8 1 0⎤ ⎡ 1 −1 1 −2 ⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ 2 3 0 0⎥ ⎢ 0 1 2 4⎥ (3) ⎢ ⎥ (4) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 4 5 2 0 ⎥ ⎢ 0 −1 1 2 ⎥ ⎣⎢ 0 1 2 2 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 − 1 0 1 ⎥⎦ x−6 −3 −2 5. ถ้า − 1 0 1 ϭ 0 และ A ϭ ⎡x −1 ⎤ แลว้ det(2A) เทากบั เทา ร ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2x 3 ⎥⎦ x 3 x+2 คูม่ อื ครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 223

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition L earning for 21st Century Skills 186 คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.5 เล่ม 1 ให้นักเรี นแบงกลม ก า จท ์การ ิสจน์เกี่ วกับ ⎡ −1 −2 1 ⎤ ⎡0 −3 −3⎤ ดีเท ร์มิแนนต์ งเมทริกซ์จากแหลง วามร้ตางๆ กลมละ ⎢ 1 ⎥ ⎢ −1 1 ้ ร้ มทง้ั แสดงวิ ีการ ิสจน์ จากนั้นใหต้ วั แทนกลม 6. กาำ หนดให้ A ϭ ⎢ 2 ⎥ ⎢1 ⎥ จงหา ⎢ 1 2 ⎥ , B ϭ ⎢ 1 1 ⎥ กมาเ ี น จท ์บนกระดาน ให้นกั เรี นกลม ่นแสดงวิ ี ⎣⎢ 0 ⎥ การ ิสจน์ เวี น ปจน รบทกกลม ⎣⎢ 1 3 ⎦⎥ 2 ⎦⎥ L earning for Metacognition (1) det(AB) (2) det(AtB) (3) det(2A) (4) det(Ϫ2B3) ใหน้ กั เรี นแบงกลม ก า จท ท์ ใ่ี ส้ มบตั ิ งดเี ท รม์ แิ นนต์ มา ว ในการหา าำ ต บจากแหลง วามรต้ างๆ กลมละ 2 ้ 7. กาำ หนดให้ A ⎡−2 1 ⎤ ⎡a 2 ⎤ เม่ a Ϫ2 และ det(2AtB) ϭ 60 ด ระบสมบตั ทิ นี่ าำ มา ว ในการแกป้ หา นาำ เสน ด จดั ϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥ Ͼ ปา นเิ ท ตามระ ะเวลาทก่ี าำ หนด เวี น ปจน รบทกกลม ⎢⎣ a 1 − a ⎦⎥ ⎢⎣ 3 − 1 ⎥⎦ จงหา det(AϪB) 8. กำาหนดให้ A, B และ C มี าดีเท ร์มิแนนต์ มเทากับ น ์ และมีมิติ 3ϫ3 และ I เป็น ⎡a b c⎤ ⎢ ⎥ เมทริกซเ์ กลกั ม์ ติ ิ 3ϫ3 ถ้า A ϭ ⎢d e f ⎥ , A3 ϭ 3I, det(Ct) ϭ 1 และ ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ g h i ⎦⎥ ⎡ − 3g − 3h − 3i ⎤ ⎢ ⎥ BtC ⎢ ⎥ แลว้ det(2B) เทากบั เทา ร ϭ ⎢ −a −b − c ⎥ ⎢⎣ 2d 2e 2f ⎥⎦ 9. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡ sin 2x sin 3x ⎤ เม่ x ʦ ⎣⎡⎢− π, π⎤ ⎢ ⎥ 2 2 ⎦⎥ ⎣⎢ cos 2x cos 3x ⎥⎦ ถ้า x ส ด ล้ งกบั det(A2)ϩdet(ϪA)ϩdet(2I) ϭ 6 แลว้ cot x มี าเทา ร ยิ า 257 กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรูท้ ่ี 1. ใหน้ ักเรี นจับ กนั 2. แตละ ว กนั สิ จน์ ้ วามต ปนี้ ถา้ A เปน็ เมทริกซจ์ ตั รสั ทีม่ ีมิติ nϫn เม่ n เป็นจาำ นวนเตมบวกทม่ี ากกวาหร เทากับ 2 ด A ส ด ล้ งกับสมการ A2 ϭ 2(InϩA) เม่ In แทนเมทริกซเ์ กลกั ม์ ิติ nϫn แลว้ det(AϪIn) ϭ Ϯ 3n ” 3. รสมตัวแทน 1 กมานำาเสน วิ ีการ สิ จน์ทห่ี น้า น้ั เรี น 224 คมู่ อื ครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 187 I ntroduction ถ้า A เป็นเมทรกิ ซ์ทีม่ ตี วั ก นั การ แลว้ . เม ริ ์ จะกลาว ด้วา A มเี มทรกิ ซ์ ก ัน รทบทวนเร่ งตัว ก ันการ งจำานวนในระบบ จำานวนจริง ด ซักถามนักเรี นดงั นี้ แนวคิ สำาคัญ าำ า ตวั ก นั การ ง 5 จาำ นวนใด เมทรกิ ซ์ ก ัน คือ เมทริกซ์ ดๆ ทีน�ม�คณกั 1 เมทริกซ์ทีสน จแล้ว ด้ ลลัพ ์เป็นเมทริกซ์จัตุรัสทีมี (น 5 น่ 5ϫ 1 ϭ 1) สม� ิก นแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นหนง และสม� ิก าำ าำ ั 5 ตัวอืนทีเหลือทั้งหมดเป็น นย์ เมทริกซ์ ก ันของ A เขียนแทนดว้ ย AϪ1 หรือ 1 1. เมทริกซ์ ก นั 2. เมทริกซ์ ก นั A 3. เมทรกิ ซ์เ ก าน 4. เมทริกซ์ มเ ก าน บท ยิ า ถ้า A เป็น nϫn เมทรกิ ซ์ แลว้ AϪ1 เปน็ เมทรกิ ซ์ ก ัน ง A กต เม่ I ndesign A(AϪ1) ϭ (AϪ1)A ϭ I 1. ร บิ า บทนิ าม งเมทริกซ์ ก ันดังนี้ บท ิยา ถ้า A เป็น nϫn เมทริกซ ์ แล้ว AϪ1 เปน็ สมา ิกทกตัวในเซต RϪ 0 มี ินเว ร์สการ น่ัน จำานวนจริงทกจำานวนที่ มเทากับ 0 เมทรกิ ซ์ ก นั ง A กต เม่ A(AϪ1) ϭ (AϪ1)A ϭ I มี ินเว ร์สการ แตในเร่ ง งเมทริกซแ์ ลว้ าจมเี มทรกิ ซท์ ี่ มเทากบั 0 ท่ี มมเี มทรกิ ซ์ ก ันก ด้ 2. ร บิ า วาเมทรกิ ซ์ ก นั ง 2ϫ2 เมทรกิ ซ ์ สามารถ .1 าร าเม ริ ์ ؋ เม ริ ์ หา ดด้ งั นี้ ⎡a b ⎤ ⎡ x1 x2 ⎤ กำาหนดให้ A ϭ a b ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎥ c d ⎦⎥ กาำ หนดใหเ้ มทริกซ ์ A ϭ ⎢⎣ c d ⎦⎥ และ AϪ1 ϭ ⎣⎢ x3 เปน็ เมทรกิ ซ์ ก นั ง A d Ϫb Ϫc a จาก A(AϪ1) ϭ I จะ ด้ AϪ1 ϭ 1 เม่ adϪbc 0 adϪbc ⎡a b ⎤ ⎡ x1 x2 ⎤ ⎡1 0⎤ จากนน้ั รใหน้ กั เรี น ว กนั แสดง วาม ดิ เหนในการ ⎢ d ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ หา าำ ต บ ง จท ต์ วั างท ี่ 1 ในหนงั ส เรี น ด ใ ้ ⎣⎢ c ⎥⎦ ⎢ ⎥ ϭ ⎣⎢ 0 วิ ถี าม ต บ ⎣ x4 ⎦ 1 ⎦⎥ ⎡ ax1 + bx3 ax2 + bx4 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ cx1+ dx3 cx2 + dx4 ⎥⎦ ϭ ⎣⎢ 0 1 ⎥⎦ แหล่งสืบคน้ I nnovation - https://www.youtube.com/watch?v=tnuAB-XUoxw ให้นักเรี นแบงกลม กแบบแ น ัง วาม ิด (Mind - https://www.youtube.com/watch?v=pVKW-kClhrU Mapping) สรปวิ ีหาเมทริกซ์ ก ัน แล้วนำาเสน ลงาน เ ่ แลกเปลี่ นเรี นร้ I CT ให้นักเรี น ก า จท ์เร่ งการหาเมทริกซ์ ก ัน จาก search engine ตางๆ คมู่ ือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1 225

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 188 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม ม.5 เลม่ 1 รเ ี นเมทรกิ ซม์ ติ ิ 2ϫ2 บนกระดานจาำ นวน 10 เมทรกิ ซ ์ ด บทนิ าม งการเทากนั งเมทรกิ ซ ์ จะ ด้วา ให้นักเรี น ว กันต บวาเป็นเมทริกซ์เ ก านหร มเป็น เมทริกซเ์ ก าน ax1ϩbx3 ϭ 1 ..........(1) ..........(2) ax2ϩbx4 ϭ 0 ..........(3) ..........(4) cx1ϩdx3 ϭ 0 ความรู้เพ่ิมเติม cx2ϩdx4 ϭ 1 จากสมการ (1), (2), (3) และ (4) จะ ด ้ x1 ϭ d, x2 ϭ −b ad − bc ad − bc กำาหนดให้ A ϭ a 0 เป็นเมทริกซ์เ ี งมิติ 2ϫ2 x3 ϭ −c , x4 ϭ a 0 d ad − bc ad − bc เมทรกิ ซ์ A เปน็ เมทรกิ ซ์ มเ ก าน กต เม่ a 0 และ ดงั นั้น AϪ1 ϭ 1 ⎡d − b ⎤ เม่ adϪbc 0 ⎢ ⎥ ad − bc ⎣⎢ − c a ⎥⎦ d0 หมายเหตุ ถา้ adϪbc 0 (หร det(A) 0) จะหา AϪ1 ด ้ และเรี ก A วา ท ิ 1 0 ถา้ adϪbc ϭ 0 (หร det(A) ϭ 0) จะหา AϪ1 ม ด ้ และเรี ก A วา ท ิ ่อ า 1 อา และจะ ดว้ า AϪ1 ϭ 1 d 0 a ad 0 aϭ 0d 1 0 ตวั อย่างท่ี 1 1 เ น A ϭ 5 0 จะ ด ้ AϪ1 ϭ 3 จง ิจาร าวาเมทริกซ์ต ปน้ีเป็นเมทริกซ์เ ก านหร เมทริกซ์ มเ ก าน ถ้าเป็นเมทริกซ์ มเ ก าน 0 3 ใหห้ าเมทริกซ์ ก นั ดว้ 05 ⎡ 0 1⎤ ⎡−2 2⎤ ⎢ ⎥ (1) A ϭ ⎢ 2 ⎥ (2) B ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 4 ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 4 ⎦⎥ ข้อสอบแนว O-NET วธิ ที าำ (1) det(A) ϭ (0)(Ϫ4)Ϫ ⎛ 1⎞ (0) ϭ 0 ⎝⎜ 2⎟⎠ ดังนั้น A เป็นเมทรกิ ซ์เ ก าน ตอบ ตอบ 2 x Ϫ4 (2) det(B) ϭ (Ϫ2)(4)Ϫ(2)(Ϫ1) ϭ Ϫ6 ถา้ เมทรกิ ซ ์ 3 Ϫ2 Ϫ3 ่ ี นิ เวริ ส์ การ ดงั น้นั B เป็นเมทรกิ ซ์ มเ ก าน และ BϪ1 ϭ Ϫ 1 ⎡ 4 −2⎤ 6 ⎢ 1 ⎥ Ϫ1 1 2 ⎣⎢ − 2 ⎦⎥ แลว้ x2Ϫ2xϩ4 มี าเทา ร 1. ؊2 2. Ϫ1 3. 0 4. 1 ตอบ อ 1 ย อยี มมี นิ เวริ ส์ การ หมา วามวาดเี ท รม์ แิ นนต์ ง เมทรกิ ซม์ ี าเปน็ 0 ดงั นน้ั 2 x Ϫ4 3 Ϫ2 Ϫ3 ϭ 0 Ϫ1 1 2 (Ϫ8)ϩ3xϩ(Ϫ12)Ϫ(Ϫ8)Ϫ(Ϫ6)Ϫ6x ϭ 0 Ϫ3xϪ6 ϭ 0 xϭ Ϫ2 226 ค่มู อื ครู หนงั สือเรียนรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 189 I ndesign . าร าเม ริ ์ ؋ เม ริ ์ 1. ร บิ า วาเราสามารถหาตวั ก นั ง nϫn เมทรกิ ซ์ เม่ เ า ่มา า่ ด้ ด เร่ิมตน้ จากการหา ง ์ประก บเหลาน้ี บท ิยา ถา้ A ϭ aij nϫn เม่ aij ʦ R และ n เปน็ จาำ นวนนบั ที่มากกวา 1 แลว้ ท ิ ดเี ท ร์มิแนนต์ งเมทรกิ ซ์ ั ง A เมทรกิ ซ์ เt ี นแทนเมทรกิ ซ์ ก ัน ง A ดว้ adj(A) มเน รแ์ ละตวั ประก บรวมเกี่ ว ง aij Cij(A) เมทริกซ์ ก นั nϫn 2. รให้นักเรี น ก าบทนิ าม งเมทริกซ์ ก ันใน ตัวอยา่ งที่ 2 เมทริกซ์ ก นั าจเรี กวา adjoint matrix หนังส เรี นหน้า 189 แล้วสมเรี กนักเรี น กมา แสดงวิ หี า ำาต บ ง จท ์ตัว างท่ี 2 ในหนังส ⎡ 4 −1 0⎤ (2) adj(A) เรี นบนกระดาน ⎢ ⎥ (4) adj(A)A 3. รใหน้ กั เรี น ก าท บี ทในหนงั ส เรี นหนา้ 191 กาำ หนดให้ A ϭ ⎢0 3 ด ร าำ้ กบั นกั เรี นวา เราจะหา AϪ1 ด ้ กต เม่ A ⎢ 1⎥ เป็นเมทริกซ์ มเ ก าน นั่น det A ต้ ง มเทากับ 0 ⎥ 4. รให้นักเรี นกลมเดิม ก าสมบัติเก่ี วกับเมทริกซ์ ⎣⎢ 2 0 − 1 ⎦⎥ ก ันและตัว างที ่ 3-8 ในหนงั ส เรี น จากนัน้ ร สม เรี กนกั เรี น กมาแสดงวิ หี า าำ ต บบนกระดาน จงหา (1) det(A) 5. ให้นักเรี นทำาแบบ กหัดที่ 4 และกิจกรรมตรวจส บ การเรี นรท้ ่ี 4 (3) A adj(A) 4 −1 000 0 4 −1 วิธที าำ (1) det(A) ϭ0 3 1 0 3 (2) adj(A) 2 0 −1 2 0 Ϫ12 Ϫ2 0 ϭ ((Ϫ12)ϩ(Ϫ2)ϩ0)Ϫ(0ϩ0ϩ0) ϭ Ϫ14 ตอบ ⎡ C11(A) C12 (A) C13(A) ⎤ t ⎢ C22 (A) ⎥ ⎢ C32 (A) ⎥ ϭ ⎢ C21(A) C23 (A) ⎥ ⎢ C31 (A) C33 (A) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ t ⎢ ⎥ 31 01 0 3 − ⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 2 −1 2 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 40 ⎥ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎢ −1 0 4 −1 ⎥ ϭ ⎢ − 0 −1 40 − − ⎥ ⎢ 2 0 ⎥ 01 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 0 4 −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 31 0 3⎥ ⎣ ⎦ คู่มอื ครู หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1 227

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 190 คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ม.5 เล่ม 1 ข้อสอบแนว O-NET t ให้ A แทนเมทริกซ์ นาด n×n เม่ n เป็นจำานวนนับ ⎡−3 2 −6⎤ ทม่ี ากกวา 1 จิ าร า ้ วามต ปน้ี ⎢⎥ ก. เมทรกิ ซ์ ก นั ง A เ ี นแทนดว้ adj(A) ϭ ⎢ −1 − 4 −2 ⎥ . เมทรกิ ซ์ ก นั ง A าจมี นาด งเมทรกิ ซ์ มเทากบั A ⎢⎥ ้ สรปใดต ปนถ้ี กต้ ง ⎢⎣ − 1 − 4 12 ⎦⎥ 1. ถกต้ งทงั้ ้ ก และ ้ ⎡ − 3 −1 −1⎤ ตอบ 2. ตอง า อ ⎢⎥ ตอบ 3. ถกต้ งเ าะ ้ ϭ ⎢ 2 −4 −4⎥ ตอบ 4. ดิ ทง้ั ้ ก และ ้ ⎢⎥ ตอบ อ 2 ⎣⎢ − 6 − 2 12 ⎦⎥ ⎡ 4 −1 0 ⎤ ⎡ − 3 −1 −1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ (3) A adj(A) ϭ ⎢ 0 3 1 ⎥ ⎢ 2 − 4 − 4 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 0 − 1 ⎥⎦ ⎣⎢ − 6 − 2 12 ⎦⎥ ⎡ − 14 0 0 ⎤ ⎢⎥ ϭ ⎢ 0 − 14 0⎥ ⎢⎥ ⎣⎢ 0 0 − 14 ⎦⎥ ⎡1 0 0⎤ ⎢⎥ ⎢ 0⎥ ϭ Ϫ14 ⎢ 0 1 ⎥ ϭ Ϫ14 ϭ det(A)I3 ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎡ − 3 −1 −1⎤ ⎡ 4 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −4⎥⎢0 1⎥ (4) adj(A) A ϭ ⎢ 2 −4 ⎥⎢ 3 ⎥ ⎣⎢ − 6 − 2 12 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 0 − 1 ⎥⎦ ⎡ − 14 0 0 ⎤ ⎢⎥ ϭ ⎢ 0 − 14 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 − 14 ⎥⎦ ⎡1 0 0⎤ ⎢⎥ ⎢ 0⎥ ϭ Ϫ14 ⎢ 0 1 ⎥ ϭ Ϫ14 ϭ det(A)I3 ⎢⎣ 0 0 1 ⎦⎥ จากตัว างท่ี 2 จะเหนวา A adj(A) ϭ adj(A)A ϭ det(A)I3 228 คูม่ ือครู หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 191 กิจกรรมเสนอแนะ ถา้ A เป็น nϫn เมทริกซ์ แลว้ A adj(A) ϭ adj(A)A ϭ det(A)I3 เปน็ จริงหร ม ท ีบท จากตัว างท่ี 3 รให้นักเรี น ว กันแสดง วาม ิดเหน ต ปนจี้ ะทาำ ให้ทราบวา ้ วามดังกลาว ัง งเป็นจริงและ ังกลาวถงเมทรกิ ซ์ ก ันดว้ เก่ี วกบั การหา AϪ1 วามลี ำาดบั ัน้ ต น าง รบ้าง ท บี ท ให้ A เปน็ nϫn เมทรกิ ซ์ เม่ n เปน็ จาำ นวนนับทม่ี ากกวาหร เทากับ 2 จะ ดว้ า ว ำาตอบ ขน้ั ที่ 1 หา det(A) ก น ด det(A) ต้ ง มเทากับ 0 ซ่งแสดงวา A เป็น 1. A adj(A) ϭ adj(A)A ϭ det(A)In เมทริกซ์ มเ ก าน จงหา AϪ1 ด้ 2. ถา้ det(A) 0 แลว้ AϪ1 ϭ 1 adj(A) ข้นั ที่ 2 หาตวั ประก บรวมเก่ี ว งสมา ิก det(A) ทกตาำ แหนงในเมทริกซ์ A ตัวอย่างที่ 3 ขั้นท่ี 3 หาเมทรกิ ซ์ ก นั ง A(adj(A)) เมทรกิ ซ ์ [Cij(A)]tnϫn ⎡0 2 1⎤ ⎢ ⎥ ขั้นท่ี 4 หา AϪ1 จาก AϪ1 ϭ det1(A)adj(A) กาำ หนด A ϭ ⎢1 −1 2 ⎥ จงหา AϪ1 (ถา้ ม)ี ⎢ ⎥ แหล่งสืบค้น ⎢⎣ 0 1 3 ⎦⎥ 0 06 - https://www.youtube.com/watch?v=08YyhDyN564 2 0 210 −1 วธิ ีทาำ det(A) ϭ 1 − 1 2 1 0 13 0 1 001 ϭ (0ϩ0ϩ1)Ϫ(0ϩ0ϩ6) ϭ Ϫ5 ( 0) นน่ั A เปน็ เมทรกิ ซ์ มเ ก าน จงหา AϪ1 ด้ ⎡ C11(A) C12 (A) C13(A) ⎤ t ⎢ C22 (A) ⎥ ⎢ C32 (A) ⎥ adj(A) ϭ ⎢ C21( A) C23(A) ⎥ ⎢ C31(A) C33(A) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ t ⎢ ⎥ −1 2 12 1 −1 3 − ⎢ ⎥ ⎢1 1 03 0 1⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 01 ⎥ ⎢ 1 03 ⎥ ⎢ 2 2 0 2 ⎥ ϭ ⎢ − 1 01 − − ⎥ ⎢ 0 1 ⎥ 12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 0 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 1 −1 ⎥ ⎣ ⎦ คมู่ ือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 229

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 192 คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ม.5 เลม่ 1 จากตวั างท ี่ 4 รซักถามนกั เรี นดังนี้ t 1. เมทรกิ ซ์ A เปน็ เมทริกซ์ นดิ ใด ⎡−5 −3 1⎤ ว าำ ตอบ เมทริกซ์สามเหลี่ มบน ⎢⎥ 2. สมา กิ บนเสน้ ทแ งมมหลกั มีจำานวนใดบ้าง ϭ ⎢−5 0 0⎥ ⎢⎥ ว าำ ตอบ Ϫ1, 1, 1, 1 ⎢⎣ 5 1 − 2 ⎥⎦ 3. เราสามารถใ ส้ มบตั ิ งเมทรกิ ซม์ า ว ในการหา det(A) ด้ าง ร ⎡−5 −5 5⎤ ⎢⎥ ว าำ ตอบ ใ ส้ มบตั ิ ้ ท ี่ 9 ในหนงั ส เรี นหนา้ 180 ϭ ⎢ −3 0 1⎥ 4. นกั เรี นหา det(A) ด้ ด วิ ใี ด ⎢⎥ ⎣⎢ 1 0 − 2 ⎥⎦ ว ำาตอบ det(A) เทากับ ล งสมา ิกบน เสน้ ทแ งมมหลัก เน่ งจาก AϪ1 ϭ det1(A)adj(A) ดงั นนั้ det(A) ϭ (Ϫ1)(1)(1)(1) ϭ Ϫ1 ดงั น้นั ⎡−5 −5 5⎤ ⎢ ⎥ AϪ1 ϭ Ϫ 1 ⎢ − 3 0 1⎥ ตอบ 5⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 0 − 2 ⎥⎦ ตวั อยา่ งท่ี 4 ⎡ −1 2 3 4 ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ กาำ หนดให้ A ϭ ⎢ 0 1 2 3 ⎥ จงหา AϪ1 (ถ้าม)ี ข้อสอบแนว O-NET ⎢ 0 0 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 1 ⎥⎦ 1 21 Ϫ1 01 วิธที ำา det(A) ϭ (Ϫ1)(1)(1)(1) ϭ Ϫ1 ( 0) 00 นนั่ A เปน็ เมทรกิ ซ์ มเ ก าน จงหา AϪ1 ด้ ถ้า A ϭ Ϫ1 1 2 และ B ϭ 1 Ϫ1 0 หา Cij(A) ทก i, j จะ ด้ 1 Ϫ1 0 1 แลว้ AϪ1ϩBϪ1ตรงกบั ้ ใด 12 3 023 1 1 Ϫ1 Ϫ 1 5 Ϫ 12 C11(A) ϭ 0 1 2 ϭ 1 C12(A) ϭ Ϫ 0 1 2 ϭ 0 2 3 2 3 00 1 00 1 1. 2 Ϫ23 1 2. 1 2 Ϫ43 0 13 0 12 3 C13(A) ϭ 0 0 2 ϭ 0 C14(A) ϭ Ϫ 0 0 1 ϭ 0 2 Ϫ3 1 Ϫ1 2 1 00 1 000 3 Ϫ 3 Ϫ1 1 1 ؊1 ؊1 2 34 −1 3 4 5 C21(A) ϭ Ϫ 0 1 2 ϭ Ϫ2 C22(A) ϭ 0 1 2 ϭ Ϫ1 3 Ϫ1 1 ؊ 1 2 0 00 1 00 1 3 3 3 3. 4. 3 1 2 5 2 ؊1 3 3 3 ตอบ อ 4 230 ค่มู ือครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 193 ขอ้ สอบแนว O-NET −1 2 4 −1 2 3 100 010 C23(A) ϭ Ϫ 0 0 2 ϭ 0 C24(A) ϭ 0 0 1 ϭ 0 ถา้ A ϭ 0 0 1 และ B ϭ 0 0 1 00 1 000 010 100 2 34 −1 3 4 แลว้ B(ABϪ1) ตรงกบั ้ ใด C31(A) ϭ 1 2 3 ϭ 1 C32(A) ϭ Ϫ 0 2 3 ϭ 2 100 001 00 1 00 1 1. 0 1 0 2. 0 1 0 −1 2 4 −1 2 3 001 100 C34(A) ϭ Ϫ 0 1 2 ϭ 0 C33(A) ϭ 0 1 3 ϭ Ϫ1 00 1 000 2 34 −1 3 4 101 010 C41(A) ϭ Ϫ 1 2 3 ϭ 0 C42(A) ϭ 0 2 3 ϭ Ϫ1 3. 0 1 0 4. 1 0 0 0 12 0 12 101 001 −1 2 4 −1 2 3 ตอบ อ 4 C43(A) ϭ Ϫ 0 1 3 ϭ 2 C44(A) ϭ 0 1 2 ϭ Ϫ1 ย อยี 002 00 1 จาก BϪ1 ϭ 1 ؒ adj B det B ⎡ 1 0 0 0⎤ t ⎢⎥ ⎢ −2 −1 0 0 ⎥ adj(A) ϭ ⎢ ⎥ det B ϭ 1 ⎢ ⎢ 1 2 −1 0 ⎥ t ⎥ ⎢⎣ 0 − 1 2 − 1 ⎦⎥ 010 adj B ϭ 001 100 ⎡ 1 −2 1 0⎤ ⎢⎥ ⎢ 0 −1 2 −1⎥ ϭ⎢ ⎥ 001 ⎢ ⎥ ϭ 100 ⎢ 0 0 −1 2 ⎥ 010 ⎣⎢ 0 0 0 −1 ⎦⎥ เน่ งจาก AϪ1 ϭ 1 adj(A) 001 det(A) ⎡ 1 −2 1 0⎤ ⎡ −1 2 −1 0 ⎤ จะ ด้ BϪ1 ϭ 1 1 0 0 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 010 ⎢0 −1⎥ ⎢ 1⎥ ดังน้นั AϪ1 ϭ 1 ⎢ −1 2 ⎥ ϭ ⎢ 0 1 −2 ⎥ ตอบ −1 ⎢ 0 0 −1 2 ⎥ ⎢ 0 0 1 − 2 ⎥ 001 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ϭ 100 ⎣⎢ 0 0 0 −1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 1 ⎦⎥ 010 Trick ดงั นนั้ ABϪ1 ϭ 100 001 001 100 เราสามารถตรวจส บวาเมทรกิ ซ ์ AϪ1 ทห่ี า ดถ้ กต้ งหร ม ϭ 010 010 ด นาำ เมทริกซ ์ A กบั เมทริกซ ์ AϪ1 ถา้ เมทรกิ ซ์ ล ท่ี ด้ เมทรกิ ซ ์ I แสดงวา าำ ต บถกต้ ง และ B(ABϪ1) ϭ 001 001 010 010 100 100 010 001 100 010 ϭ 100 001 คู่มอื ครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 231

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหลง่ สบื คน้ 194 คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ม.5 เล่ม 1 - https://www.youtube.com/watch?v=4-odb16rhVA ตัวอยา่ งที่ 5 กาำ หนดให้ A ϭ ⎡4−c −2 ⎤ จงหาจำานวนจรงิ c ที่ทำาให้ A มีเมทรกิ ซ์ ก ัน ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 1 − c ⎦⎥ วิธีทำา ถา้ A มเี มทรกิ ซ์ ก นั แลว้ det(A) 0 0 จะ ด้วา det(A) ϭ (4Ϫc)(1Ϫc)Ϫ(Ϫ2)(1) 4Ϫ5cϩc2ϩ2 0 c2Ϫ5cϩ6 0 (cϪ2)(cϪ3) 0 c 2, 3 ตอบ ดงั นนั้ จำานวนจรงิ c ทท่ี ำาให้ A มเี มทรกิ ซ์ ก ัน RϪ 2, 3} สมบตั เิ ก วกบั เมทริกซ์ ก ัน กาำ หนดให้ A และ B เปน็ nϫn เมทริกซ์ ที่สามารถหา AϪ1 และ BϪ1 ด้ 1. (AϪ1)Ϫ1 ϭ A 2. (AB)Ϫ1 ϭ BϪ1AϪ1 3. (At)Ϫ1 ϭ (AϪ1)t 4. (An)Ϫ1 ϭ (AϪ1)n }5. (kA)Ϫ1 ϭ 1 AϪ1 , k ʦ RϪ 0 k 232 คมู่ อื ครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 195 กิจกรรมเสนอแนะ ตวั อย่างที่ 6 หลังจาก ก าตัว างท่ี 6 รให้นักเรี นใ ้สมบัติท่ี ด้ จากการ สิ จน์ det (adj(A)) ϭ (det(A))nϪ1 หา าำ ต บ กาำ หนดให้ A เปน็ nϫn เมทรกิ ซ์ และ det(A) 0 จง สิ จนว์ า det(adj(A)) ϭ (det(A))nϪ1 ง จท ต์ ปนี้ วิธที าำ จาก AϪ1 ϭ 1 adj(A) det A 212 AϪ1A ϭ 1 A adj(A)A กาำ หนดให ้ A ϭ 3 0 1 det 510 Iϭ 1 A adj(A)A det จงหา det (adj(A)) ว ำาตอบ : หา det A ด้ det(A) ϭ 9 adj(A)A ϭ I det(A) เน่ งจาก det(adj(A)) ϭ (det(A))nϪ1 ดงั นน้ั det(adj(A)A) ϭ det(I det A) ตอบ จะ ด ้ det(adj(A)) ϭ (9)3Ϫ1 ϭ 92 ϭ 81 det(adj(A))ؒdet(A) ϭ (det(A))n det(adj(A)) ϭ (det(A))nϪ1 จากตัว างที่ 6 จะ ดส้ มบัตเิ ก่ี วกับ ขอ้ สอบแนว O-NET เมทรกิ ซ์ ก ันและดีเท ร์มแิ นนต์ทวี่ า 1 0 Ϫ1 det(adj(A)) ϭ (det(A))nϪ1 1. ถา้ A ϭ 2 1 1 แลว้ det(adj A) เทากบั ้ ใด 0 Ϫ1 2 1. 1 2. 3 4. 7 3. 5 ตอบ อ 4 120 2. ถา้ A ϭ Ϫ1 1 1 แลว้ det(adj A) เทากบั Ϫ2 1 0 ้ ใด 2. 25 4. 49 1. 17 3. 32 ตอบ อ 2 คมู่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 233

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 196 คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.5 เล่ม 1 ข้อสอบแนว O-NET ตัวอยา่ งท่ี 7 ถา้ AϪ1 ϭ Ϫ2 Ϫ1 แลว้ Atؒadj A ้ ใด ⎡ 2 x 1⎤ Ϫ1 Ϫ1 ⎢ ⎥ กาำ หนดให้ A ϭ ⎢ −1 0 1 ⎥ ด ท ี่ x เป็นจาำ นวนจริง ⎢ ⎥ 1. ϪI 2. I ⎢⎣ 1 − x 2 2x ⎦⎥ 4. 2I 1 ถ้า C22(A) ϭ 14 แลว้ det(adj(A)) มี าเทา ร 3. 2I วิธีทำา จาก Aϭ ⎡2 x 1⎤ ตอบ อ 2 ⎢ 0 ⎥ ย อยี ⎢ −1 2 ⎢ 1⎥ ⎣⎢ 1 − x ⎥ 2x ⎦⎥ จาก AϪ1 ϭ Ϫ2 Ϫ1 จะ ด ้ C22(A) ϭ (Ϫ1)2ϩ2 2 1 Ϫ1 Ϫ1 1− x 2x จะ ด้ det(AϪ1) ϭ Ϫ2 Ϫ1 เน่ งจาก C22(A) ϭ 14 Ϫ1 Ϫ1 จะ ด ้ (Ϫ1)2ϩ2 2 1 ϭ 14 1− x 2x (det A)Ϫ1 ϭ 2Ϫ1 5xϪ1 ϭ 14 І det A ϭ 1 5x ϭ 15 1 xϭ3 det A จาก AϪ1 ϭ ؒadj A แทน า x ϭ 3 ลงใน A; จะ ด้ จะ ด ้ Ϫ2 Ϫ1 ϭ 1ؒadj A Aϭ ⎡2 3 1⎤ Ϫ1 Ϫ1 ⎢ 0 ⎥ ⎢ −1 2 ⎢ 1⎥ ⎢⎣ − 2 ⎥ adj A ϭ Ϫ2 Ϫ1 23 6 ⎥⎦ Ϫ1 Ϫ1 0 4 Ϫ18 1 23 det(A) ϭ − 1 0 1 − 1 0 สมมต ิ A ϭ a b −2 2 6 −2 2 c d 0 Ϫ6 Ϫ2 ϭ (0ϩ(Ϫ6)ϩ(Ϫ2))Ϫ(0ϩ4ϩ(Ϫ18)) จะ ด ้ adj A ϭ d Ϫb ϭ6 Ϫc a เมทรกิ ซ์ A เปน็ 3ϫ3 เมทริกซ์ จะ ด้ n ϭ 3 เน่ งจาก det(adj(A)) ϭ (det(A))nϪ1 adj A ϭ Ϫ2 Ϫ1 ดงั นน้ั det(adj(A)) ϭ (det(A))3Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1 ϭ (det(A))2 d Ϫb ϭ 62 ϭ Ϫc a ϭ 36 ตอบ จะ ด ้ a ϭ Ϫ1, b ϭ 1, c ϭ 1, d ϭ Ϫ2 นนั่ A ϭ Ϫ1 1 และ At ϭ Ϫ1 1 1 Ϫ2 1 Ϫ2 ดงั นน้ั Atؒadj A ϭ Ϫ1 1 Ϫ2 Ϫ1 1 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ1 10 ϭ 0 1 ϭI 234 คมู่ อื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 197 แหลง่ สบื ค้น ตวั อยา่ งที่ 8 - https://www.youtube.com/watch?v=N7HkAk0LS9E กำาหนดให้ A และ B เป็น 3ϫ3 เมทริกซ์ ถ้า AB ϭ 3I ด ท่ี I เป็นเมทริกซ์เ กลัก ์ และ adj(B) ϭ 1 A 3 จงหา (1) det(A) (2) det(2 adj(A)) วิธที าำ (1) เน่ งจาก AB ϭ 3I จะ ด้ det(AB) ϭ det(3I) det(A)ؒdet(B) ϭ 33ؒdet(I) det(A)ؒdet(B) ϭ 27 det(A) ϭ 27 ..........(1) det(B) ..........(2) ..........(3) จท ก์ าำ หนด adj(B) ϭ 1 A 3 ตอบ ตอบ เน่ งจาก BϪ1 ϭ 1 ؒadj(B) จะ ด ้ det(B) adj(B) ϭ det(B)BϪ1 จาก (2) และ (3); 1 A ϭ det(B)BϪ1 3 1 AB ϭ det(B)BϪ1B 3 1 (3I) ϭ det(B)I 3 แสดงวา 1 (3) ϭ det(B) จาก (1) จะ ด้ 3 det(B) ϭ 1 det(A) ϭ 27 (2) det(2 adj(A)) ϭ 23ؒdet(adj(A)) ϭ 8(det(A))3Ϫ1 ϭ 8(det(A))2 ϭ 8(27)2 ϭ 5,832 คมู่ อื ครู หนังสือเรียนรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 235

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 198 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.5 เลม่ 1 ย บบ ั า 258 แบบ กหั ท่ี 1. จงหาเมทรกิ ซ์ ก นั งเมทรกิ ซ์ในแตละ ้ ต ปนี้ (ถา้ ม)ี ⎡−3 4⎤ ⎡2 −4⎤ (1) A ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (2) B ϭ ⎢⎣ 1 − 2 ⎦⎥ ⎢⎣ − 2 3 ⎥⎦ ⎡−3 2 1⎤ ⎡−3 4 2⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ (3) C ϭ ⎢ 4 5 6 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢⎥ (4) D ϭ ⎢ 6 3 ⎥ ⎣⎢ 2 − 3 1 ⎦⎥ ⎢⎣ 4 − 7 − 8 ⎦⎥ ⎡1 0 0 0⎤ ⎡5 1 −3⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ 3 −1 0 0 ⎥ (5) E ϭ ⎢ 1 12 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (6) F ϭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 6 3 ⎥⎦ 1 5 2 0 ⎢⎣ − 2 1 4 − 1 ⎦⎥ 2. จงหาจำานวนจรงิ x ท่ีทำาใหเ้ มทรกิ ซต์ ปนมี้ เี มทรกิ ซ์ ก ัน ⎡ −1 2 3⎤ ⎡x 2 x⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ (1) ⎢ 0 5 4 ⎥ ⎢1 x 0⎥ ⎢⎥ (2) ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 8 x ⎦⎥ ⎢⎣ 0 − 1 1 ⎦⎥ ⎡ x−1 −2 3⎤ ⎡x+2 0 0 ⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ −2 0⎥ (3) ⎢ x 2 1⎥ (4) ⎢ x ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 1 x − 4 ⎥⎦ ⎢ 1 −1 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎡ 1 2 4⎤ ⎢ ⎥ 3. ถา้ A ϭ aij 3ϫ3 เป็นเมทรกิ ซซ์ ง่ มี AϪ1 ϭ ⎢−3 8 0 ⎥ แลว้ า ง 5a31 เทากบั เทา ร ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 1 − 1 ⎦⎥ ⎡1 1 2 ⎤ ⎡ 1 −1 1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 4. กาำ หนดให้ A ϭ ⎢1 2 1⎥ , B ϭ ⎢0 ⎥ จงหา ⎢ ⎥ ⎢ 1 2 ⎥ ⎣⎢ 1 2 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 5 − 3 ⎥⎦ (1) det(Atadj(B)) (2) det(3B adj(A)) 5. กาำ หนดให้ A, B, C และ D เป็นเมทรกิ ซ์จัตรัสมิติ 5ϫ5 ซ่ง det(A) ϭ Ϫ2, det(B) ϭ Ϫ3, det(C) ϭ 4 และ adj(adj(AB)) ϭ 108CD จงหา า ง det(Ϫ2DϪ1) 236 คู่มอื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 199 L earning for 21st Century Skills ⎡ 1 2 2 ⎤ ใหน้ กั เรี นแบงกลม ก า จท ก์ าร สิ จนเ์ ก่ี วกบั เมทรกิ ซ์ ⎢ ⎥ ก ัน เมทริกซ์ ก ัน จากแหลง วามรต้ างๆ กลมละ 1 ้ 6. กาำ หนดให้ At ϭ ⎢ 2 x 1 ⎥ ด ท ี่ x และ y เป็นจาำ นวนจริง ถา้ C11(A) ϭ 13 ร้ มทง้ั แสดงวิ กี าร สิ จน ์ จากนนั้ ใหต้ วั แทนกลม กมา ⎢ ⎥ เ ี น จท ์บนกระดาน ให้นักเรี นกลม ่นแสดงวิ ีการ ⎣⎢ −1 2 y ⎦⎥ สิ จน์ เวี น ปจน รบทกกลม และ C21(A) ϭ 9 แล้ว det(adj(A)) เทากับเทา ร L earning for Metacognition ⎡ x −1 −1 1 ⎤ ⎡1 2⎤ ⎡ −1 1⎤ ⎢ 1 1 ⎥⎥⎥ และ 7. กาำ หนดให้ A ϭ ⎢ ⎥, B ϭ ⎢ ⎥, Ct ϭ ⎢ 0 ⎣⎢ x ⎣⎢ 2 ⎢ 2 x −2 ⎦⎥ 3 ⎥⎦ 1 ⎥⎦ ⎣⎢ D ϭ 2ABϪ1ϩBϪ1 ถา้ det(D) ϭ 1 แลว้ det(2(adj(C))) เทากบั เทา ร 8. กาำ หนดให้ A เป็นเมทรกิ ซ์จัตรสั ใดๆ จง ิสจนว์ า (adj(A))t ϭ adj(At) ยิ า 259 ให้นักเรี นแบงกลม ก า จท ์เร่ งเมทริกซ์ ก ัน เมทริกซ์ ก ันท่ีมี วามซับซ้ นในการแก้ป หาจาก กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรูท้ ่ี แหลง วามร้ตางๆ กลมละ 2 ้ ร้ มท้ังแสดงวิ ีหา ำาต บ นำาเสน ด จัดปา นิเท ตามระ ะเวลาท่ีกำาหนด 1. ใหน้ กั เรี นแบงกลมตาม วามเหมาะสม เวี น ปจน รบทกกลม 2. แตละกลม ว กัน ิสจน์ ้ วามต ปนี้ (1) กาำ หนดให ้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซจ์ ตั รสั มติ เิ ดี วกนั ด ท ่ี det(A) 0 และ det(B) 0 ถา้ det(AϪ1ϩBϪ1) 0 และ det(AϩB) แล้ว 0 (AϩB)Ϫ1 ϭ (A(BϪ1ϩAϪ1)B)Ϫ1 (2) กาำ หนดให ้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซจ์ ัตรสั มติ เิ ดี วกัน ด ท ่ี det(A) 0, det(B) 0 และ det(AϪ1ϪB) แล้ว 0 ((AϪ1ϪB)Ϫ1ϩBϪ1)Ϫ1 ϭ BϪBAB 3. รสมเล กตัวแทน กมานาำ เสน วิ ี สิ จนห์ นา้ น้ั เรี น ค่มู ือครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 237

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ntroduction 200 คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ ม.5 เล่ม 1 รเ ี น ำาวา ระบบสมการเ ิงเส้น บนกระดาน แล้ว 5. าร ร สม ารเ ิ เส เม ริ ์ ซก้ ถามนักเรี น าำ า ระบบสมการเ ิงเส้น ะ ร (น น ข บบ า งิ หมา ถง ด งสมการ ที่ท น น นน แนวคิ สำาคญั ทที่ กสมการเปน็ สมการเ งิ เสน้ และจาำ นวนสมการ น ท ั นนั ) ในระบบเทากับจำานวนตัวแปร ก�รแก้ระ สมก�รเ ิงเส้น ดย ้เมทริกซ์ท� ด้ าำ ำา ั 3 วิ ี ด้แก่ ดย ้เมทรกิ ซ์ ก นั ดย ห้ ลกั เกณ ์ คร�เมอร์ และ ดย ้ก�รด�เนนิ ก�รต�มแถว 1. ระบบสมการเ งิ เส้น 2. เมทริกซ์สมั ประสิท ิ 3. เมทรกิ ซ์แตงเติม 4. หลกั เก ์ ราเม ร์ 5. การดาำ เนนิ การตามแถว เม่ กาำ หนดระบบสมการเ ิงเสน้ ทีม่ ี m สมการ และ n ตวั แปร a11x1ϩa12x2ϩ...ϩa1nxn ϭ b1 a21x1ϩa22x2ϩ...ϩa2nxn ϭ b2 I ndesign am1x1ϩam2x2ϩ...ϩamnxn ϭ bm 1. ร ิบา วาเราสามารถใ ้เมทริกซ์มา ว ในการ สามารถเ ี นเป็นสมการเมทริกซ์ ดด้ งั น้ี แก้ระบบสมการเ ิงเส้น ด้ ด ใ ้เมทริกซ์ ก ันและ ด ีเท ร์มิแนนต์ ด รแสดงวิ ีแก้ระบบสมการ ง ⎡ a11 a12 … a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ จท ต์ วั างท ่ี 1 ในหนงั ส เรี นบนกระดาน ด ใ ว้ ิ ี ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ถาม ต บ จากนั้นสมเรี กนักเรี น กมาแสดงวิ ี ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ แก้ระบบสมการ ง จท ต์ วั างท ี่ 2 ในหนังส เรี น ⎢ a21 a22 … a2n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ b2 ⎥ นละ 1 บรรทัด ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ϭ ⎢ ⎥ 2. ร บิ า ท บี ทหลกั เก ์ ราเม รใ์ นหนงั ส เรี น ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ หนา้ 203 แลว้ สมเรี กนกั เรี น กมาแสดงวิ แี กร้ ะบบ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ สมการ ง จท ์ตัว างท่ี 3 ในหนังส เรี น นละ ⎢⎣ am1 am2 … anm ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎦⎥ ⎣⎢ bm ⎦⎥ 1 บรรทดั A XB 3. รให้นักเรี นแบงกลม ก าวิ ีการแก้ระบบสมการ เ ิงเส้น ด ใ ้วิ ีการดำาเนินการตามแถวในหนังส เรี ก A วา ท ิ ั ทิ ธิ เรี น ให้แตละกลมเ ี นสรป ้ันต นการแก้ระบบ สมการแล้ว กมานำาเสน หน้า ้ันเรี น จากน้ันให้ ⎡ a11 a12 a13 b1 ⎤ นักเรี น กมาแสดงวิ ีแก้ระบบสมการ ง จท ์ ⎢ ⎥ ตัว างท ่ี 4-6 ในหนังส เรี นบนกระดาน ⎢ ⎥ เรี ก A : B ϭ ⎢ a21 a22 a23 b2 ⎥ วา ทิ ต่ง ติ 4. รใหน้ กั เรี นทาำ แบบ กหดั ท ่ี 5 และกจิ กรรมตรวจส บ ⎢⎥ การเรี นรท้ ่ี 5 ⎢⎣ a31 a32 a33 b3 ⎥⎦ I nnovation ถ้า m ϭ n และ det(A) 0 แลว้ X ϭ AϪ1B นน่ั ถ้า m ϭ n และ det(A) 0 แล้ว จะหา ำาต บ งระบบสมการ ด้จาก X ϭ AϪ1B ให้นักเรี นแบงกลม กแบบแ น ัง วาม ิด (Mind Mapping) สรปวิ ีการแก้ระบบสมการเ ิงเส้น ด ใ ้ I CT เมทรกิ ซ์ด้ว วิ กี ารตางๆ ให้นักเรี น ก า จท ์เร่ งการแก้ระบบสมการเ ิงเส้น ด ใ เ้ มทริกซ ์ จาก search engine ตางๆ 238 คู่มอื ครู หนงั สือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 201 กจิ กรรมเสนอแนะ ตวั อยา่ งที่ 1 จากตวั างท ี่ 1 รใหน้ กั เรี น ว กนั แสดง วาม ดิ เหนวา ในการแกร้ ะบบสมการมีลาำ ดบั น้ั ต น าง รบ้าง จงแก้ระบบสมการทกี่ ำาหนดให้ ด ใ เ้ มทรกิ ซ์ ก ัน ว ำาตอบ 2xϪ7y ϭ Ϫ5 ขนั้ ที่ 1 เปล่ี นระบบสมการที่ จท ก์ าำ หนดเปน็ สมการ ง เมทริกซ์ในรป AX ϭ B Ϫ3xϩ5y ϭ 2 วธิ ีทาำ จากระบบสมการท่กี ำาหนดให ้ เ ี นสมการเมทริกซ์ ด้ดังนี้ ⎡ 2 −7⎤⎡x⎤ ⎡−5⎤ ด ท ี่ A ϭ 2 Ϫ7 x Ϫ5 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ϭ ⎢ ⎥ Ϫ3 5 ,Xϭ y ,Bϭ 2 ⎣⎢ − 3 5 ⎥⎦ ⎣⎢ y ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ ให ้ ⎡ 2 −7⎤ Aϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 3 5 ⎥⎦ ขน้ั ท่ี 2 หา det(A) ด ท ี่ det(A) ต้ ง มเทากับ 0 det(A) ϭ (2)(5)Ϫ(Ϫ7)(Ϫ3) ϭ Ϫ11 AϪ1 ϭ Ϫ 1 ⎡ 5 7⎤ ขั้นที่ 3 หา AϪ1 จาก AϪ1 ϭ 1 d Ϫb 11 ⎢ 3 ⎥ det A Ϫc a ⎣⎢ จาก 2 ⎥⎦ จะ ด้ AX ϭ B x X ϭ AϪ1B ขน้ั ที่ 4 หา X ϭ y จาก X ϭ AϪ1B ดงั นั้น ⎡x⎤ ϭ Ϫ 1 ⎡ 5 7 ⎤ ⎡−5 ⎤ ⎢⎥ 11 ⎢ 3 ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ y ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ ϭ Ϫ1 ⎡ − 11 ⎤ ⎡1⎤ ⎢⎥ ϭ⎢⎥ 11 ⎣⎢ − 11 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ นั่น าำ ต บ งระบบสมการทก่ี าำ หนด (x, y) ϭ (1, 1) ตอบ ตัวอยา่ งที่ 2 จงแก้ระบบสมการทกี่ าำ หนดให้ ด ใ เ้ มทริกซ์ ก นั xϩyϩ2z ϭ 9 2yϪ7z ϭ Ϫ17 3xϩ6yϪ5z ϭ 0 วิธีทาำ จากระบบสมการทกี่ ำาหนดให ้ เ ี นสมการเมทรกิ ซ์ ด้ดงั น้ี ⎡1 1 2⎤ ⎡x⎤ ⎡ 9⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 17 ⎥ ⎢0 2 − 7 ⎥ ⎢ y ⎥ ϭ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 6 − 5 ⎥⎦ ⎣⎢ z ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎥⎦ คู่มือครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 239

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 202 คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ม.5 เล่ม 1 จากตวั างท ี่ 2 รใหน้ กั เรี น ว กนั แสดง วาม ดิ เหนวา ให ้ ⎡1 1 2⎤ ในการแกร้ ะบบสมการมลี าำ ดบั ัน้ ต น าง รบ้าง ⎢⎥ A ϭ ⎢0 2 −7⎥ ว าำ ตอบ ⎢⎥ ข้ันที่ 1 เปล่ี นระบบสมการที่ จท ก์ าำ หนดเปน็ สมการ ง ⎢⎣ 3 6 − 5 ⎦⎥ เมทรกิ ซใ์ นรป AX ϭ B det(A) ϭ ((Ϫ10)ϩ(Ϫ21)ϩ0)Ϫ(12ϩ(Ϫ42)ϩ0) 11 2 x ϭ (Ϫ31)ϩ30 ϭ Ϫ1 ด ที ่ A ϭ 0 2 Ϫ7 , X ϭ y , ⎡ ⎤ t ⎢ ⎥ 2 −7 0 −7 0 2 −5 − 3 6 Ϫ5 z ⎢ ⎥ ⎢6 2 3 −5 3 6⎥ −5 ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ 9 ⎢ −7 ⎥ B ϭ Ϫ17 AϪ1 ϭ 1 ⎢ − 1 12 1 1 ⎥ −1 ⎢ 6 3 −5 − 0 ⎢ 6 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 1 2 1 1⎥ ⎢ − ขน้ั ที่ 2 หา det(A) ด ท ่ี det(A) ต้ ง มเทากบั 0 ⎥ ข้ันท่ี 3 หาตวั ประก บรวมเกี่ ว งสมา กิ ทกตาำ แหนงใน ⎢2 0 −7 0 2⎥ เมทรกิ ซ ์ A ⎣ ⎦ ⎡ 32 − 21 − 6 ⎤ t ⎢⎥ ϭ Ϫ ⎢ 17 − 11 − 3 ⎥ ⎢⎥ ⎣⎢ − 11 7 2 ⎦⎥ ขนั้ ที่ 4 หา adj(A) ซ่งก เมทรกิ ซ ์ [Cij(A)]t3ϫ3 ⎡ 32 17 − 11 ⎤ 1 ⎢⎥ ข้ันที่ 5 หา AϪ1 จาก AϪ1 ϭ det(A) adj(A) ϭ Ϫ ⎢ − 21 − 11 7⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 6 − 3 2 ⎦⎥ x ขนั้ ท่ี 6 หา X ϭ y จาก X ϭ AϪ1B ⎡ −32 −17 11 ⎤ ⎢ ⎥ z ⎢ ⎥ ϭ ⎢ 21 11 −7 ⎥ ⎢⎣ 6 3 −2 ⎥⎦ จาก AX ϭ B จะ ด ้ X ϭ AϪ1B ดงั นั้น ⎡x⎤ ⎡ −32 −17 11 ⎤ ⎡ 9 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎢⎥ ⎢ 11 −7 ⎥ ⎢ 17 ⎥ ⎢⎥ ⎢y⎥ ⎢ 3 −2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢2⎥ ⎢⎥ ϭ ⎢ 21 ⎥ ⎢ − ⎥ ϭ ⎢⎥ ⎢⎣ z ⎦⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 6 นนั่ ำาต บ งระบบสมการท่กี าำ หนด (x, y, z) ϭ (1, 2, 3) ตอบ 240 คูม่ ือครู หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 203 กิจกรรมเสนอแนะ น กจากวิ ีที่กลาวน้ีแล้ว ังสามารถหา ำาต บ งระบบสมการ ด้ ด ใ ้หลักเก ์ ราเม ร์ จากตัว างท่ี 3 รให้นักเรี น ว กันแสดง วาม ิดเหน ดังน้ี วาในการแกร้ ะบบสมการ ด ใ ห้ ลกั เก ์ ราเม รม์ ลี าำ ดบั ้ันต น าง ร ท บี ท ( ั า อ) ถ้า A เปน็ nϫn เมทริกซ์ ด ท ี่ det(A) 0 แล้วระบบสมการเ ิงเส้นทีเ่ ี นในรป ว ำาตอบ สมการเมทรกิ ซ์ AX ϭ B เม่ x1, x2, ..., xn ตัว มทราบ า และ b1, b2, ..., bn ขนั้ ท่ี 1 เปล่ี นระบบสมการที่ จท ก์ าำ หนดเปน็ สมการ ง เมทรกิ ซ์ในรป AX ϭ B ⎡ ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ b1 ⎥ 11 2 x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ เป็น า งท ี่ ด ท ่ี X ϭ ⎢ x2 ⎥ ⎢ b2 ⎥ ด ท ี่ A ϭ 0 2 Ϫ7 , X ϭ y , ⎢ ⎥ , B ϭ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ 3 6 Ϫ5 z ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ bn ⎦⎥ ⎢⎣ xn ⎦⎥ จะมี าำ ต บ x1 ϭ det(A1) , x2 ϭ det(A2 ) , ..., xn ϭ det(An ) 9 det(A) det(A) det(A) B ϭ Ϫ17 เม่ Ai เมทริกซท์ ี่ ดจ้ ากการแทนหลักที่ i ง A ด้ว หลกั ง B 0 ตัวอยา่ งที่ 3 ข้ันที่ 2 หาเมทรกิ ซ์ A1 ด แทนหลกั ท ่ี 1 งเมทรกิ ซ ์ A ด้ว หลัก งเมทริกซ ์ B จะ ด้ จงแก้ระบบสมการท่ีกำาหนดให้ ด ใ ้หลกั เก ์ ราเม ร์ 9 12 xϩyϩ2z ϭ 9 2 Ϫ7 A1 ϭ Ϫ17 6 Ϫ5 2yϪ7z ϭ Ϫ17 0 3xϩ6yϪ5z ϭ 0 หาเมทริกซ์ A2 ด แทนหลกั ท ี่ 2 งเมทรกิ ซ ์ A ด้ว หลกั งเมทริกซ ์ B จะ ด้ วิธีทาำ จากระบบสมการทก่ี ำาหนดให ้ เ ี นสมการเมทริกซ์ ด้เป็น AX ϭ B ⎡1 1 2⎤ ⎡x⎤ ⎡ 9⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ เม่ A ϭ ⎢0 2 − 7 ⎥ , X ϭ ⎢ y ⎥ , B ϭ ⎢ − 17 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 6 − 5 ⎦⎥ ⎢⎣ z ⎦⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 19 2 เน่ งจาก det(A) ϭ Ϫ1 ( 0) จงใ ้หลักเก ์ ราเม ร์ ด้ A2 ϭ 0 Ϫ17 Ϫ7 30 Ϫ5 จะ ด ้ x ϭ det(A1) det(A) 91 2 หาเมทริกซ์ A3 ด แทนหลักท ่ี 3 งเมทริกซ์ A ดว้ หลกั งเมทรกิ ซ ์ B จะ ด้ − 17 2 − 7 11 9 0 6 −5 ϭ −1 A3 ϭ 0 2 Ϫ17 ϭ ((− 90) + 0 + (− 204)) − (0 + (− 378) + 85) 36 0 −1 ขัน้ ท่ี 3 หา det(A), det(A1), det(A2) และ det(A3) ข้นั ที่ 4 หา า x, y, z จาก x ϭ det(A1) , y ϭ det(A2) , det (A) det (A) ข้อสอบแนว O-NET z ϭ det(A3) det (A) กาำ หนดระบบสมการเ งิ เสน้ ดงั นี้ 2xϩyϩz ϭ 8 4xϪ7yϩ3z ϭ 10 3xϪ2yϪz ϭ 1 า ง xϩyϩz เทากบั ้ ใด 1. Ϫ1 2. 1 3. 2 4. 6 ตอบ อ 4 คู่มือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1 241