คณิตเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสืบค้น 40 า รเ ่ เ เ่ - https://www.youtube.com/watch?v=Nex9vTojqXI กรา ของ งกชนั คไ น - https://www.youtube.com/watch?v=dFwf5K9Bp28 ให้ (x, y) ʦ cosine จะได้ y ϭ cosine x หรือเขยี นสั้นๆ ว่า y ϭ cos x ในทาำ นองเดยี วกันกับการเขียนกรา ของ y ϭ sin x จะเขยี นกรา ของ y ϭ cos x ได้ดังนี้ x 0 π π π π 2π 3π 5π p 7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π 2p 6 4 3 23 4 6 6 4 3 2 3 46 cos x 1 3 21 0 Ϫ 1 Ϫ 2 Ϫ 3 Ϫ1 Ϫ 3 Ϫ 2 Ϫ 1 0 1 2 3 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y 1 0 ppp p 2p 3p 5p p 7p 5p 4p X 643 2 3p 5p 7p 11p 2p 3 46 6 43 2 34 6 Ϫ1 สงั เกตได้ว่า ᭹ ขณะท ่ี ␪ เพิ่มจาก 0 ถึง π กรา ของ y ϭ cos ␪ จะเริม่ จาก 1 และลดลงไปเรื่อยๆ จนถงึ 0 2 ᭹ ขณะท ่ี ␪ เพ่ิมจาก π ถงึ p กรา ของ y ϭ cos ␪ จะเริ่มจาก 0 และลดลงไปเรอ่ื ยๆ จนถึง Ϫ1 2 ᭹ ขณะท ่ี ␪ เพม่ิ จาก p ถึง 3π กรา ของ y ϭ cos ␪ จะเริ่มจาก Ϫ1 และสงู ขน้ึ ไปเรื่อยๆ จนถงึ 0 2 ᭹ ขณะท ี่ ␪ เพิ่มจาก 3π ถงึ 2p กรา ของ y ϭ cos ␪ จะเร่มิ จาก 0 และสงู ขึน้ ไปเร่ือยๆ จนถึง 1 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี ก น รี ก 41 กจิ กรรมเสนอแนะ พิจารณากรา ของ y ϭ cos x ต่อไปน้ี ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลมุ่ ละ 3-4 คน เขยี นกรา ของ งั กช์ นั ต่อไปนี้ พร้อมทงั้ บอกคาบและแอมพลิจดู จากกรา Y 1. y ϭ 2 cos x 1 ϭ x 2 2. y 3 cos Ϫ2p Ϫp 0p X ว าต 1. 2p 3p 4p Ϫ1 Y จากกรา ดังกล่าว เน่ืองจาก cos(2npϩ␪) ϭ cos ␪ เมอ่ื n เป็นจาำ นวนเตม็ ใดๆ จะพบวา่ ในช่วง 2 [2p, 4p หรอื ในชว่ ง Ϫ2p, 0 ลกั ณะของกรา จะเหมือนกบั กรา ในชว่ ง 0, 2p และจะมลี กั ณะเช่นน้ี ไปเรื่อยๆ ดังนัน้ ังก์ชันโคไซนเ์ ปน็ งั ก์ชนั ทเ่ี ปน็ คาบ และคาบของ งั กช์ ันดังกลา่ วเทา่ กับ 2p ซ่งึ ก็คือ 3π Ϫπ π 0 π π 3π X ความยาวของช่วงจาก 0 ถึง 2p นน่ั เอง 2 2 2 2 ทำานองเดียวกนั กับกรา ของ ังกช์ ันไซน์จะไดว้ ่าแอมพลจิ ูดของกรา ของ y ϭ cos x เทา่ กับ 1 Ϫ Ϫ Ϫ2 สร ์ ์ คาบ ϭ 2π และแอมพลิจูด ϭ 2 1. โดเมนของ ังก์ชัน คือ เซตของจาำ นวนจริง นนั่ คอื Dr ϭ {x|x ʦ R} 2. 2. เรนจ์ของ ังกช์ นั คือ Ϫ1, 1] Y นั่นคือ Rr ϭ {y|Ϫ1 р y р 1} 3 3. ังก์ชนั y ϭ sin x ไมเ่ ป็น งั กช์ นั หน่ึงตอ่ หนึง่ 4. งั ก์ชันไซนม์ ีคาบเทา่ กับ 2p และมีแอมพลจิ ดู เท่ากับ 1 5. การบอกลัก ณะของ ังก์ชันเพ่ิมและ ังก์ชันลดทำาได้โดยดูจาก Ϫ3π Ϫ2π Ϫπ 0 π 2π 3π X กรา เช่น ในช่วง ⎝⎜⎛− π , π⎞ ังก์ชันไซน์เป็น ังก์ชันเพ่มิ 2 2⎟⎠ Ϫ3 สร ์ ์ คาบ ϭ 4π และแอมพลจิ ดู ϭ 3 1. โดเมนของ งั กช์ นั คือ เซตของจาำ นวนจริง น่ันคอื Dr ϭ {x|x ʦ R} ข้อสอบแนว O-NET 2. เรนจ์ของ งั กช์ ัน คอื Ϫ1, 1] น่นั คือ Rr ϭ {y|Ϫ1 р y р 1} กาำ หนดให ้ x ʦ [Ϫπ, π คา่ ของ 3Ϫ2 sin 2x จะมคี า่ นอ้ ย 3. ังก์ชนั y ϭ cos x ไมเ่ ป็น ังก์ชนั หนง่ึ ต่อหนึ่ง ทส่ี ดุ เมอ่ื x เทา่ กบั ขอ้ ใด 4. ังก์ชันโคไซนม์ ีคาบเทา่ กบั 2p และมแี อมพลจิ ดู เท่ากบั 1 5. การบอกลัก ณะของ ังก์ชันเพิ่มและ ังก์ชันลดทำาได้โดยดูจาก กรา เชน่ ในช่วง (0, p) งั กช์ นั โคไซน์เป็น งั กช์ ันลด 1. Ϫπ 2. Ϫπ 2 4 3. 0 4. π 4 ต4 ยย เน่อื งจาก Ϫ1 р sin x р 1 จะไดว้ า่ Ϫ1 р sin 2x р 1 น่ันคอื 3Ϫ2 sin 2x จะมีค่าน้อยที่สุด เม่อื sin 2x ϭ 1 เนอ่ื งจาก sin π ϭ 1 ดังนน้ั 2 2x ϭ π 2 xϭ π 4 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 43

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสืบค้น 42 า รเ ่ เ เ่ - https://www.youtube.com/watch?v=GrFKPlHibDo ตว ยา ท 17 จงเขยี นกรา ของ y ϭ 3 cos x พร้อมทงั้ หาโดเมน เรนจ์ คาบและแอมพลิจูดของ ังกช์ ัน วิ ทา x Ϫ2p Ϫ 3π Ϫp Ϫπ 0 π p 3π 2p cos x 2 2 1 2 2 1 0 Ϫ1 0 0 Ϫ1 0 1 3 cos x 3 0 Ϫ3 0 3 0 Ϫ3 0 3 จากตารางนำามาเขียนกรา ไดด้ ังน้ี Y yϭ3 x 3 2 yϭ x 1 Ϫ2p 3p Ϫp p 0 p p 3p 2p X 2 2 Ϫ1 2 2 Ϫ Ϫ Ϫ2 Ϫ3 จากกรา จะเหน็ วา่ กรา ของ y ϭ cos x และ y ϭ 3 cos x ตดั แกน X ทจ่ี ดุ เดียวกัน โดเมนของ ังกช์ นั y ϭ 3 cos x คอื เซตของจำานวนจรงิ เรนจข์ อง ังก์ชัน y ϭ 3 cos x คือ Ϫ3, 3] คาบของ งั ก์ชัน y ϭ 3 cos x เท่ากบั 2p แอมพลจิ ูดของ งั ก์ชัน y x เทา่ กบั 3 − (− 3) ต ϭ 3 cos 2 ϭ3 ตว ยา ท 18 จงเขยี นกรา ของ y ϭ cos 3x พรอ้ มท้ังหาโดเมน เรนจ์ คาบ และแอมพลจิ ดู ของ ังก์ชนั วิ ทา x Ϫ2p Ϫ11π Ϫ 5π Ϫ 3π Ϫ 4π Ϫ 7π Ϫp Ϫ5π Ϫ 2π Ϫπ Ϫπ Ϫπ 0 6 3 2 3 6 63 2 3 6 1 cos 3x 1 0 Ϫ1 0 1 0 Ϫ1 0 1 0 Ϫ1 0 44 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ ก น รี ก 43 ขอ้ สอบแนว O-NET x π π π 2π 5π p 7π 4π 3π 5π 11π 2p กาำ หนดให ้ f(x) ϭ 20 cos x Ϫ38 ถา้ a เปน็ คา่ สงู สดุ ของ 6 3 2 36 6 3 2 36 5 cos 3x 0 Ϫ1 0 1 0 Ϫ1 0 1 0 Ϫ1 0 1 f(x) และ b เปน็ คา่ ตาำ่ สดุ ของ f(x) แลว้ aϪb มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใด 1. 18 2. 20 จากตารางนำามาเขยี นกรา ได้ดงั นี้ 3. 38 4. 40 Y ต4 1 Ϫ2p 3p Ϫp Ϫ p 0 X 2 2 p p 3p 2p Ϫ 22 Ϫ1 จากกรา จะเห็นว่า กรา ของ y ϭ cos 3x ตัดแกน X ท่ีจดุ (x, 0) เมื่อ x คอื ..., Ϫ116π , Ϫ 3π , Ϫ 7π , Ϫ 5π , Ϫ π , Ϫ π , π, π, 5π , 7π , 3π , 11π , ... แหลง่ สืบคน้ 2 6 6 26 6 2 6 6 2 6 - https://www.youtube.com/watch?v=T6LjYa63w7c โดเมนของ ังกช์ นั y ϭ cos 3x คอื เซตของจำานวนจริง เรนจ์ของ ังก์ชัน y ϭ cos 3x คือ Ϫ1, 1] คาบของ งั ก์ชนั y ϭ cos 3x เท่ากบั 2π 3 แอมพลจิ ูดของ งั กช์ นั y ϭ cos 3x เท่ากบั 1 − (− 1) ϭ 1 ต 2 จากตัวอยา่ งที่ 17 และ 18 สรปุ เปน็ กรณที วั่ ไปไดด้ ังน้ี ์์ ์์ f : R R, f(x) ϭ sin(nx), n Ͼ 0 f : R R, f(x) ϭ cos(nx), n Ͼ 0 คาบเท่ากบั 2π คาบเทา่ กบั 2π n n แอมพลจิ ดู เทา่ กบั 1 แอมพลจิ ดู เทา่ กับ 1 เรนจค์ ือ Ϫ1, 1] เรนจค์ ือ Ϫ1, 1] f : R R, f(x) ϭ a sin(nx), n Ͼ 0 f : R R, f(x) ϭ a cos(nx), n Ͼ 0 คาบเทา่ กับ 2π คาบเทา่ กบั 2π n n แอมพลจิ ูดเท่ากับ a| แอมพลิจดู เทา่ กบั a| เรนจ์คือ Ϫa, a], a Ͼ 0 เรนจค์ อื Ϫa, a], a Ͼ 0 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 44 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม หาคาบและแอมพลิจูดของ ังก์ชัน เม่ือทราบคาบและแอมพลิจูดของ ังก์ชันตรีโกณมิติที่กำาหนดให้แล้ว จะสามารถร่างกรา ของ ตอ่ ไปน้ี แลว้ เขียนกรา ในชว่ ง Ϫ2π р x р 2π โดยพิจารณา งั กช์ นั ดังกล่าวไดง้ า่ ยขน้ึ ดังตวั อยา่ งต่อไปน้ี จากคาบและแอมพลจิ ดู ท่หี าไดม้ าช่วยในการเขยี นกรา 2 1. y ϭ 3 sin x ตว ยา ท 19 2. y ϭ Ϫ3 cos x จงเขยี นกรา ของ y ϭ 3 sin 2x เมือ่ Ϫp р x р p วิ ทา จาก y ϭ 3 sin 2x ว าต 1. คาบ ϭ 2π และแอมพลจิ ูด ϭ 2 จะได้ แอมพลจิ ดู เทา่ กับ 3| ϭ 3 3 Y และคาบเท่ากบั 2π ϭp 2 เขยี นกรา ของ y ϭ 3 sin 2x เมอ่ื Ϫp р x р p ไดด้ งั นี้ 2 Y 3 3 Ϫ2π Ϫπ 0π 2π X Ϫ 2 2 3 1 Ϫp Ϫp2 0p X 2 p 2. คาบ ϭ 2π และแอมพลิจดู ϭ 3 Ϫ1 Y Ϫ2 Ϫ3 ต 3 การเขียนกรา ของ ังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ มีข้อควรสังเกตเกี่ยวกับโดเมนและเรนจ์ของ ังก์ชัน ตรโี กณมิต ิ ดังตารางตอ่ ไปน้ี Ϫ2π Ϫπ 0 π 2π X Ϫ3 ์ ม ร์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ RϪ ⎧ x ʦ R|x = (2n − 1)π ; n ʦ I ⎫ R เซแคนต์ ⎨ 2 ⎬ โคเซแคนต์ ⎩ ⎭ R RϪ{x ʦ R|x ϭ np ; n ʦ I} RϪ{x ʦ R|Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1} RϪ{x ʦ R|Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1} RϪ ⎧ x ʦ R|x = (2n − 1)π ; n ʦ I ⎫ ⎨ 2 ⎬ ⎩ ⎭ RϪ{x ʦ R|x ϭ np ; n ʦ I} 46 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 45 แหลง่ สืบค้น เน่ืองจากโดเมนของ ังก์ชันแทนเจนต์ ังก์ชันโคแทนเจนต์ ังก์ชันเซแคนต์ และ ังก์ชัน - https://www.youtube.com/watch?v=2VCFgEvrS7A โคเซแคนต์ ไม่ใชเ่ ซตของจาำ นวนจรงิ จงึ จะแสดงการเขียนกรา ของ ังกช์ นั ข้างต้นไวเ้ ปน็ ตวั อย่างดงั น้ี ตว ยา ท 20 จงเขียนกรา ของ y ϭ tan x เมือ่ Ϫ π Ͻ xϽ π 2 2 วิ ทา x Ϫπ Ϫπ Ϫπ 0 ππ π 346 64 3 tan x Ϫ 3 Ϫ1 Ϫ3 0 3 1 3 3 3 Y yϭ x 3 ⎜⎛⎝π3 , ⎞ 3⎟ ⎠ 1 ⎝⎛⎜π4 , 1⎟⎞⎠ 3 ⎝⎛⎜⎜π6 , 3 ⎞ 3 3 ⎟⎟⎠ p p p4Ϫ p 0 p pp p X 2 3 6 6 43 2 Ϫ Ϫ Ϫ ⎛ π , − 33 ⎟⎟⎞⎠ 3 ⎜⎜⎝− 6 Ϫ3 ⎛ π , ⎞ Ϫ1 ⎜− 4 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ π , − ⎞ Ϫ3 ⎝⎜− 3 3⎠⎟ จากกรา จะเหน็ ว่า เมอ่ื x มคี า่ เพมิ่ ขึ้นจาก 0 เขา้ ใกล ้ π 2 ᭹ ค่าของ tan x จะเปน็ จำานวนบวกและเพมิ่ ขึน้ เรอ่ื ยๆ ᭹ เส้นกรา จะโคง้ เขา้ หาเสน้ ตรง x ϭ π 2 ᭹ เมือ่ x ϭ π จะหาค่าของ tan x ไมไ่ ด้ 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่ 47

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 46 า รเ ่ เ เ่ เม่อื x มคี ่าลดลงจาก 0 เข้าใกล ้ Ϫ π 2 ᭹ คา่ ของ tan x จะเป็นจำานวนลบและลดลงเรอื่ ยๆ ᭹ เสน้ กรา จะโคง้ เขา้ หาเสน้ ตรง x ϭ Ϫ π 2 ᭹ เมอ่ื x ϭ Ϫ π จะหาคา่ ของ tan x ไม่ได้ 2 ในทาำ นองเดียวกัน เมอ่ื x มีค่าเพมิ่ ขน้ึ จาก p เข้าใกล ้ 3π 2 ᭹ คา่ ของ tan x จะเป็นจำานวนบวกและเพิม่ ขนึ้ เร่ือยๆ ᭹ เส้นกรา จะโคง้ เขา้ หาเสน้ ตรง x ϭ 3π 2 ᭹ เมอื่ x ϭ 3π จะหาค่าของ tan x ไม่ได้ 2 เมื่อ x มคี ่าลดลงจาก Ϫp เขา้ ใกล ้ Ϫ 3π 2 ᭹ คา่ ของ tan x จะเป็นจำานวนลบและลดลงเร่อื ยๆ ᭹ เส้นกรา จะโค้งเขา้ หาเส้นตรง x ϭ Ϫ 3π 2 ᭹ เมือ่ x ϭ Ϫ 3π จะหาค่าของ tan x ไมไ่ ด้ 2 ใ ห้เขียนกดรังานัน้ ไ ดใน้ง่ากยาขร้ึนเข ียแนตก่เรสา้นปดรังะกดลังา่ กวล ถ่า้าวลนาั้นกมเสิไ้นด้เปปร็นะ สx่วนϭหน่ึงπ2ข อหงรกือร าx ϭเรียϪกเπส2้น เปสรียะกท่อ่ีมนิไจดะ้เชปว่ ็นย สว่ นหน่งึ ของกรา แต่เส้นกรา โคง้ เขา้ หาว่า ส า ต่อไปใหน้ ักเรียนพิจารณากรา ของ y ϭ tan x เมอ่ื Ϫ 5π 5π ตอ่ ไปน้ี 2 Ͻx 2 Y Ϫ 52p Ϫ2p Ϫ 3p Ϫp Ϫp2 0 pp 3p 2p X 2 2 2 5p 2 48 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี ก น รี ก 47 กิจกรรมเสนอแนะ จากรูปจะเหน็ วา่ ังกช์ นั แทนเจนต์เป็น งั กช์ ันทีเ่ ปน็ คาบ และมีคาบเทา่ กับ p 1. ครใู ชต้ ารางตอ่ ไปนปี้ ระกอบการอธบิ ายการเขยี นกรา ของ y ϭ cosec x เขยี นกรา ของ งั กช์ นั โคเซแคนต ์ งั กช์ นั เซแคนต ์ และกรา ของ งั กช์ นั โคแทนเจนต ์ ซง่ึ คา่ ของ ังก์ชันเหล่านี้เมื่อ x เป็นส่วนกลับของค่าของ ังก์ชันไซน์ ังก์ชันโคไซน์ และ ังก์ชันแทนเจนต์ที่ x x Ϫ2π Ϫ32π Ϫπ Ϫ π 0 π π 3π 2π ตามลำาดับ ไดด้ งั น้ี 2 2 2 กรา ของ y ϭ cosec x y ‫ ؍‬cosec x - 1 - Ϫ1 - 1 - Ϫ1 - Y (คาบ ϭ 2π และไมม่ แี อมพลิจูด) 2. ครใู ชต้ ารางตอ่ ไปนปี้ ระกอบการอธบิ ายการเขยี นกรา ของ y ϭ sec x x Ϫ2π Ϫ32π Ϫπ Ϫ π 0 π π 3π 2π 2 2 2 Ϫp2 1 3p y ‫ ؍‬sec x - 1 - Ϫ1 - 1 - Ϫ1 - 2 Ϫ2p Ϫ32p Ϫp Ϫ10 p p 2p 5p 3p X (คาบ ϭ 2π และไม่มีแอมพลิจดู ) 2 2 กรา ของ y ϭ sec x แหลง่ สบื ค้น Y - https://www.youtube.com/watch?v=dAMPL0IXrIA 3p Ϫ p 1 p 3p 5p 2 2 2 2 2 Ϫ p 2p Ϫ2p Ϫp 0 X Ϫ1 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 49

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 48 า รเ ่ เ เ่ ครใู ชต้ ารางต่อไปน้ีประกอบการอธบิ ายการเขยี นกรา ของ กรา ของ y ϭ cot x y ϭ cot x Y x Ϫ2π Ϫ32π Ϫπ Ϫ π 0 π π 3π 2π 2 2 2 y ‫ ؍‬cot x - 0 - 0 - 0 - 0 - (คาบ ϭ π และไมม่ ีแอมพลิจดู ) Ϫp Ϫp2 0 πp 3p 2p 5p X 2 2 2 จากรปู จะเหน็ วา่ ังกช์ ันโคเซแคนต์เป็น งั กช์ นั ท่เี ปน็ คาบ และมคี าบเทา่ กับ 2p ังก์ชัน เซแคนต์เป็น ังก์ชันที่เป็นคาบ และมีคาบเท่ากับ 2p และ ังก์ชันโคแทนเจนต์เป็น ังก์ชันท่ีเป็น คาบ และมคี าบเทา่ กับ p ย า 97 แบบ กหดั ที่ 1. จงหาคาบของ ังก์ชันต่อไปน ี้ (1) y ϭ sin 4x (2) y ϭ Ϫ2 cos(Ϫx) (4) y ϭ 0.008 sin 2πx ϩ1 (3) y ϭ 1 cos px 3 3 2. จงหาแอมพลิจูดของ ังกช์ ันตอ่ ไปนี้ (1) y ϭ sin 3x (2) y ϭ Ϫcos x 3 (3) 2y ϭ 0.1 sin x (4) 4y ϭ Ϫ3 cos 2x ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี ก น รี ก 49 3. จงเขียนกรา ของ ังก์ชนั ตอ่ ไปน้ี (1) y ϭ 2 sin x (2) y ϭ sin 2x (3) y ϭ sin(Ϫx) (4) y ϭ 1 cos x 2 (5) y ϭ Ϫcos x (6) y ϭ 3 cos 2x 2 (7) y ϭ 2 sin 2xϩ1 (8) y ϭ Ϫ2 cos x ϩ1 3 4. จงเขียน ังก์ชนั ตรีโกณมิติจากกรา ตอ่ ไปนี้ (1) Y 2 p 2p 3p 4p 5p X Ϫ2p Ϫp 0 Ϫ2 (2) Y 2 p 2p 3p 4p 5p X Ϫ2p Ϫp 0 Ϫ2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition I ndesign 50 า รเ ่ เ เ่ 1. ครูให้นักเรยี นศึก าใบความรูท้ ่ี 2 งั กช์ นั ตรโี กณมิติ ก น รี ก วก ่า ของ ลบวกและ ลต่างของจำานวนจริงหรือมุม และ านวน ร หร รายละเอียดของ ังก์ชันตรีโกณมิติของ ลบวกและ ลต่างของจำานวนจรงิ หรอื มุม พิจารณาค่าของ cos(AϪB) เม่ือ A, B เปน็ จาำ นวนจรงิ หรอื มุมใดๆ จากรูปตอ่ ไปน้ี 2. ครูเขียนโจทย์ตัวอย่างท่ี 21-30 บนกระดาน สุ่มเรียก Y นักเรียนออกมาแสดงวิธีทำาทีละบรรทัดหรือแสดง วิธีทำาเป็นช่วงๆ ตามความเหมาะสมกับความยาวของ P2(x2, y2) P3(x3, y3) วิธที าำ ในตวั อย่าง O P1(x1, y1) 3. ครูให้นักเรียนทำาแบบฝกหัดท่ี 7 กิจกรรมตรวจสอบ X การเรียนร้ทู ี่ 1 และใบงานที่ 1 P(1, 0) I nnovation บนวงกลมหนึง่ หนว่ ย ให้สว่ นโคง้ PP1 ยาว B หนว่ ย และสว่ นโคง้ PP2 ยาว A หน่วย ให้นักเรียนแบ่งเป็น 5 กลุ่ม แล้วพิสูจน์สูตรของ ังก์ชัน ดังน้ัน สว่ นโค้ง P1P2 ยาว AϪB หนว่ ย ตรโี กณมติ ิตอ่ ไปนี้ ให้ P3 เปน็ จดุ บนวงกลมหน่ึงหนว่ ยที่ทำาใหส้ ว่ นโค้ง PP3 ยาวเทา่ กบั ส่วนโคง้ P1P2 ดังนัน้ ส่วนโคง้ PP3 ยาว AϪB หน่วย กล ท่ี 1 สูตร ลบวกและ ลต่างของจำานวนจริง ใหพ้ กิ ดั ของจุด P1, P2, P3 เป็น (x1, y1), (x2, y2) และ (x3, y3) ตามลำาดับ หรอื มุม เน่อื งจากส่วนโคง้ PP3 ยาวเทา่ กบั สว่ นโคง้ P1P2 ดังนั้น คอร์ด PP3 ยาวเทา่ กับคอร์ด P1P2 กล ที่ 2 สตู รมมุ สองเทา่ นั่นคอื กล ที่ 3 สูตรมุมสามเท่า PP 2 ϭ P1P 2 กล ท่ี 4 สูตร ลบวกหรอื ลต่างของ งั ก์ชัน 3 2 กล ท่ี 5 สตู ร ลคณู ของ งั ก์ชัน นำา ลงานของทุกกลุ่มมารวมเป็นเล่มเพื่อใช้ในการค้นคว้า (x3Ϫ1)2ϩ(y3Ϫ0)2 ϭ (x2Ϫx1)2ϩ(y2Ϫy1)2 เพ่มิ เติม x23 Ϫ2x3ϩ1ϩ y23 ϭ x22 Ϫ2x2x1ϩ x12 ϩ y22 Ϫ2y2y1ϩ y12 I CT Ϫ2x3ϩ2 ϭ Ϫ2x2x1Ϫ2y2y1ϩ2 ใหน้ กั เรยี นศกึ าเพมิ่ เตมิ เกย่ี วกบั สตู รของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ และการพสิ ูจน์ จาก search engine ต่าง ๆ x3 ϭ x2x1ϩy2y1 ..........(1) เนื่องจากจดุ (x1, y1), (x2, y2) และ (x3, y3) เปน็ จดุ ปลายสว่ นโค้งท่ยี าว B, A และ AϪB หนว่ ย ตามลำาดับ จะได ้ x1 ϭ cos B y1 ϭ sin B x2 ϭ cos A y2 ϭ sin A x3 ϭ cos(AϪB) จากสมการ (1) จะได้ cos(AϪB) ϭ cos A cos Bϩsin A sin B แหล่งสืบคน้ - https://www.youtube.com/watch?v=rPAVEKDkilw ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 51 ควำมรเู้ พ่มิ เติม จากสมการ (1) เปน็ การหาโคไซนข์ อง ลตา่ งระหวา่ งจาำ นวนจริงสองจาำ นวนหรือมมุ สองมมุ ใน cos A ΂ ΃ϭ sin πϪA ท่นี ้ีจะนำาความสมั พันธ์ cos(AϪB) ไปใชใ้ นการหา งั ก์ชนั อ่ืนๆ คือ cos(AϩB), sin(AϩB) และ sin(AϪB) tan A 2 ไดด้ งั นี้ cosec A ΂ ΃π sec A ϭ cot 2 ϪA cos(AϩB) ϭ cos(AϪ(ϪB)) cot A ΂ ΃ϭ sec πϪA ϭ cos A cos(ϪB)ϩsin A sin(ϪB) 2 ϭ cos A cos BϪsin A sin B ΂ ΃ϭ cosec πϪA 2 ดงั นนั้ cos(AϩB) ϭ cos A cos BϪsin A sin B ΂ ΃ϭ tan πϪA เน่ืองจาก cos ⎛ π − θ⎟⎠⎞ ϭ cos π cos ␪ϩsin π sin ␪ 2 ⎝⎜ 2 2 2 cos ⎛ π − θ⎞⎠⎟ ϭ sin ␪ ⎝⎜ 2 ให้ ␪ ϭ A จะได้ cos ⎛ π − A⎠⎞⎟ ϭ sin A ⎜⎝ 2 หรือ sin A ϭ cos ⎛π − A⎟⎠⎞ ข้อสอบแนว O-NET ⎝⎜ 2 จาก cos ⎛ π − A⎟⎠⎞ ϭ sin A 1. ถ้า A เป็นมุมแหลม และ cos A ϭ 2 แล้วค่าของ ⎝⎜ 2 3 ให้ B ϭ π ϪA จะได ้ A ϭ π ϪB cos2 Aϩtan2 (90ЊϪA) เทา่ กบั ข้อใด 2 2 cos A จาก ⎛ A⎠⎟⎞ cos ⎜⎝ π − ϭ sin A 1. 15 2. 25 2 28 28 cos ⎛ π − ⎛π − B⎞⎠⎟⎞⎠⎟ ϭ sin ⎛ π − B⎞⎠⎟ 3. 28 4. 28 ⎝⎜ 2 ⎝⎜ 2 ⎝⎜ 2 15 25 ดงั นัน้ cos B ϭ sin ⎛ π − B⎟⎞⎠ ต3 ⎜⎝ 2 2. คา่ ของ sin 113Њ cos 323Њϩcos 247Њ cos 307Њ เทา่ กบั sin(AϩB) ϭ ⎛ π − (A + B)⎠⎞⎟ ข้อใด ⎝⎜ 2 cos 1. 0 2. 1 ϭ cos ⎛⎛ π − A⎟⎠⎞ − ⎞ 3. 1 3 ⎝⎜⎜⎝ 2 B⎟⎠ 2 4. ⎛ A⎠⎟⎞ ⎛ π A⎠⎞⎟ 2 ⎝⎜ ⎝⎜ 2 ϭ cos π − cos Bϩsin − sin B ต 3 2 ϭ sin A cos Bϩcos A sin B ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ควำมร้เู พิ่มเตมิ 52 า รเ ่ เ เ่ ตว ยา สรมิ ท รย ดังนนั้ sin(AϩB) ϭ sin A cos Bϩcos A sin B จงหาคา่ ของ tan 75Њ วิ ทา tan 75° = tan (45Њϩ 30Њ) = tan45Њϩtan45Њ sin(AϪB) ϭ sin(Aϩ(ϪB)) 1Ϫtan45Њtan30Њ sin(AϪB) ϭ sin A cos(ϪB)ϩcos A sin(ϪB) = 1+ 1 ϭ sin A cos Bϩcos A(Ϫsin B) = 3 ϭ sin A cos BϪcos A sin B ⎛ 1 ⎞ ดังนน้ั sin(AϪB) ϭ sin A cos BϪcos A sin B 1−(1)⎝⎜⎜ ⎟ 3⎠⎟ 3+1 ในการหาความสัมพนั ธข์ อง tan(AϩB) จะอาศยั ความสมั พันธ์ของ sin(AϩB) และ cos(AϩB) 3−1 ดงั นี้ = 3+1× 3+1 tan(AϩB) ϭ sin (AϩB) cos(AϩB) 3−1 3+1 ϭ sin A cos B + cos A sin B = 4+2 3 cos A cos B − sin A sin B 2 เมื่อ sin A cos B + cos A sin B ϭ cos A cos B cos A cos B cos A 0, = 2ϩ 3 cos B 0 cos A cos B − sin A sin B cos A cos B cos A cos B ϭ tan A + tan B 1 − tan A tan B กิจกรรมเสนอแนะ ให้นักเรียนหาค่าของ tan 15Њ โดยใชส้ ตู ร tan (A Ϫ B) ดงั น้ัน tan(AϩB) ϭ tan A + tan B 1 − tan A tan B ว าต tan 15Њ ϭ tan (60Њ Ϫ 45Њ) ϭ 2− 3 ในทาำ นองเดียวกนั จะได้ว่า tan(AϪB) ϭ tan A − tan B 1 + tan A tan B ข้อสอบแนว O-NET จากทก่ี ลา่ วมา สามารถสรุปคา่ ของ งั ก์ชันตรโี กณมิติของ ลบวกและ ลต่างของจำานวนจรงิ หรือ ของมมุ ไดด้ ังนี้ กำาหนดให้ cos ␣ ϭ 3 โดยที่ π Ͻ ␣ Ͻ π และ 5 2 tan ␤ ϭ 5 โดยท่ี Ϫ2π Ͻ ␤ Ͻ 3π คา่ ของ tan(␣ϩ␤) 12 12 เทา่ กับขอ้ ใด ดังนน้ั tan(␣ϩ␤) ϭ tan ␣ϩtan ␤ 1. Ϫ 25 2. Ϫ 27 1Ϫtan ␣ tan ␤ 36 56 3. Ϫ 29 4. ؊ 33 Ϫ4ϩ 5 56 56 3 12 ϭ ต4 1Ϫ Ϫ4 5 3 12 ยย Ϫ 11 12 เนื่องจาก π Ͻ␣Ͻπ 2 ϭ 14 แสดงวา่ ␣ เปน็ มุมในจตุ าคที่ 2 9 เนื่องจาก 3π ϭ Ϫ 11 и 9 ϭ Ϫ 33 2 12 14 56 Ϫ2π Ͻ ␤ Ͻ Ϫ แสดงวา่ ␤ เป็นมมุ ในจตุ าคที่ 1 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรู้ที่ ก น รี ก 53 กจิ กรรมเสนอแนะ ใหน้ ักเรียนแบ่งกลมุ่ แลว้ แขง่ กันหาค่าของ 1. cos 15° 2. cos 195° sin(AϩB) ϭ sin A cos Bϩcos A sin B 3. sin 15° 4. sin 75° sin(AϪB) ϭ sin A cos BϪcos A sin B cos(AϩB) ϭ cos A cos BϪsin A sin B โดยใช้สตู รในหนังสือเรียนหนา้ 53 cos(AϪB) ϭ cos A cos Bϩsin A sin B ว าต 1. cos 15Њ ϭ cos (60Њ Ϫ 45Њ) ϭ 2+ 6 4 tan A + tan B tan(AϩB) ϭ 1 − tan A tan B − 6− 2 2. cos 195Њ ϭ cos (150Њ ϩ 45Њ) ϭ 4 tan(AϪB) ϭ tan A − tan B 6− 2 1 + tan A tan B 4 ตว ยา ท 21 3. sin 15Њ ϭ sin (45Њ Ϫ 30Њ) ϭ 6+ 2 4. sin 75Њ ϭ sin (45Њ ϩ 30Њ) ϭ 4 จงหาคา่ ของ sin 5π 12 วิ ทา เน่ืองจาก 5π ϭ π ϩ π 12 4 6 จาก sin(AϩB) ϭ sin A cos Bϩcos A sin B แหลง่ สบื ค้น จะได้ sin 5π ϭ sin ⎛ π + π⎞ - https://www.youtube.com/watch?v=DBo2Eo8VBxE 12 ⎜⎝ 4 6⎠⎟ ϭ sin π cos π ϩcos π sin π 4 6 4 6 ϭ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ + ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ ϭ 6+ 2 ϭ 6+ 2 ต 44 4 ตว ยา ท 22 15Њ ϭ 45ЊϪ30Њ จงหาค่าของ cos 15Њ วิ ทา เนอ่ื งจาก cos(AϪB) ϭ cos A cos Bϩsin A sin B จาก จะได้ cos 15Њ ϭ cos(45ЊϪ30Њ) ϭ cos 45Њ cos 30Њϩsin 45Њ sin 30Њ ϭ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ + ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2⎟⎠ ϭ 6+ 2 ϭ 6+ 2 ต 44 4 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหล่งสืบคน้ 54 า รเ ่ เ เ่ - https://www.youtube.com/watch?v=CeqrZn4Eupo ⎛ π A⎠⎟⎞ ⎝⎜ 2 จากตวั อย่างที่ 22 อาจหาคา่ ของ cos 15Њ โดยใชค้ วามสัมพันธ ์ cos B ϭ sin − ได้ ดังนี้ cos 15Њ ϭ cos π ϭ sin ⎛ π − π⎞ ϭ sin 5π ϭ 6+ 2 12 ⎝⎜ 2 12⎟⎠ 12 4 ตว ยา ท 23 จงหาค่าของ tan π 12 วิ ทา เนื่องจาก π ϭ π Ϫ π 12 4 6 จาก tan(AϪB) ϭ tan A − tan B 1 + tan A tan B จะได้ tan π ϭ tan ⎛ π − π⎞ 12 ⎝⎜ 4 6⎠⎟ tan π − tan π 4 6 ϭ π tan π 1 + tan 4 6 1− 1 ϭ3 1 + (1)⎝⎜⎛ 1⎞ 3⎟⎠ 3 −1 ϭ3 3 +1 3 ϭ 3−1 3 +1 ϭ 3−1ؒ 3−1 3+1 3−1 ϭ 3− 3− 3+1 3−1 ϭ 4−2 3 2 ϭ 2Ϫ 3 ต กิจกรรมเสนอแนะ ใหน้ ักเรยี นแบ่งกลุม่ แลว้ แขง่ กนั พิสจู น์ว่า cos (A ϩ B) ؒ cos (A Ϫ B) ϭ cos2A Ϫ sin2B ϭ cos2B Ϫ sin2A ว าต cos (A ϩ B) ؒ cos (A Ϫ B) ϭ (cos A cos B Ϫ sin A sin B)(cos A cos B ϩ sin A sin B) ϭ cos2A cos2B Ϫ sin2A sin2B ϭ cos2A (1 Ϫ sin2B) Ϫ (1 Ϫ cos2A) sin2B ϭ cos2A Ϫ cos2A sin2B Ϫ sin2B ϩ cos2A sin2B ϭ cos2A Ϫ sin2B ϭ (1 Ϫ sin2A) Ϫ (1 Ϫ cos2B) ϭ cos2B Ϫ sin2A ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรูท้ ่ี ก น รี ก 55 ตว ยา ท 24 ขอ้ สอบแนว O-NET จงหาค่าของ sin 79.8Њ cos 10.2Њϩcos 79.8Њ sin 10.2Њ 1. กำาหนดให้ sin ␣ ϭ 3 โดยท ่ี 0 Ͻ ␣ Ͻ π และ 5 2 วิ ทา เนื่องจาก sin A cos Bϩcos A sin B ϭ sin(AϩB) cos ␤ ϭ 3 โดยท ี่ 3π Ͻ ␤ Ͻ 2π คา่ ของ cos(␣Ϫ␤) 5 2 จะไดว้ า่ sin 79.8Њ cos 10.2Њϩcos 79.8Њ sin 10.2Њ ϭ sin(79.8Њϩ10.2Њ) เทา่ กับขอ้ ใด ϭ sin 90Њ 1. 0 ϭ1 ต 2. 12 25 ตว ยา ท 25 3. 1 4. 24 2 25 กาำ หนดให้ π p และ π p ถา้ sin A 3 และ cos 5 แล้วจงหา 2 Ͻ A Ͻ 2 Ͻ B Ͻ ϭ 5 B ϭ Ϫ 13 ต4 sec(AϩB) 2. กำาหนดให้ cos(␣Ϫ␤) 1 และ cos(␣ϩ␤) 3 2 4 วิ ทา เนอ่ื งจาก sin2Aϩcos2A ϭ 1 ϭ ϭ จะได ้ ⎛ 3⎞ 2 ϩcos2A ค่าของ cos ␣ cos ␤ เท่ากบั ข้อใด ⎜⎝ 5⎠⎟ ϭ 1 cos2A ϭ 1Ϫ 9 ϭ 16 1. 1 2. 5 25 25 52 cos A ϭ Ϯ4 3. 5 4. 5 5 48 แต่ π Ͻ A Ͻ p จะได้ cos A ϭ Ϫ4 ต4 2 5 และเนื่องจาก sin2Bϩcos2B ϭ 1 ยย จะได้ ⎛ 5⎞ 2 ⎝⎜ 13⎟⎠ sin2Bϩ − ϭ1 เนอ่ื งจาก cos(␣Ϫ␤) ϭ 1 2 sin2B ϭ 1Ϫ 25 ϭ 144 169 169 จะได้วา่ 1 cos ␣ cos ␤ϩsin ␣ sin ␤ ϭ 2 ..........(1) 12 sin B ϭ Ϯ 13 3 4 แต่ π p จะได้ 12 และ cos(␣ϩ␤) ϭ 2 13 ϽB Ͻ sin B ϭ 3 4 เพราะว่า cos(AϩB) ϭ cos A cos BϪsin A sin B จะไดว้ า่ cos ␣ cos ␤Ϫsin ␣ sin ␤ ϭ ..........(2) ϭ ⎝⎛⎜− 4⎞ ⎛⎝⎜− 5⎞ Ϫ ⎛ 3⎞ ⎛12⎞ (1)ϩ(2); 2 cos ␣ cos ␤ ϭ 1ϩ3 5⎠⎟ 13⎠⎟ ⎝⎜ 5⎟⎠ ⎝⎜ 13⎟⎠ 24 ϭ 20 − 36 cos ␣ cos ␤ ϭ 5 65 65 8 ϭ Ϫ16 65 ดงั นนั้ sec(AϩB) ϭ 1 ϭ 1 ϭ Ϫ 65 ต − 16 16 cos(A + B) 65 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ควำมรู้เพม่ิ เติม 56 า รเ ่ เ เ่ sin 2A ϭ 2tanA เม่ือทราบคา่ ของ cos A, sin A และ tan A จะสามารถหาคา่ ของ ังกช์ ันตรีโกณมิตขิ องจาำ นวนซ่งึ cos 2A ϭ 1ϩtan2 A เป็นสองเท่าของ A ไดโ้ ดยอาศัยค่าของ cos(AϩB) และ sin(AϩB) ได้ดงั นี้ cot 2A ϭ 1Ϫtan2 A เน่ืองจาก 1ϩtan2 A sin 2A ϭ sin(AϩA) cot2 AϪ1 ϭ sin A cos Aϩcos A sin A 2cot A ϭ 2 sin A cos A ดงั น้ัน sin 2A ϭ 2 sin A cos A แหล่งสบื ค้น นอกจากน้ยี ังสามารถหาค่า cos 2A ได้ดังน้ี เนอ่ื งจาก - https://www.youtube.com/watch?v=S3micrwtdPY cos 2A ϭ cos(AϩA) ϭ cos A cos AϪsin A sin A แต ่ ϭ cos2AϪsin2A จะได้ cos2A ϭ 1Ϫsin2A cos 2A ϭ (1Ϫsin2A)Ϫsin2A cos 2A ϭ 1Ϫ2 sin2A และเมอ่ื แทนค่า sin2A ดว้ ย 1Ϫcos2A จะได้ cos 2A ϭ cos2AϪ(1Ϫcos2A) cos 2A ϭ cos2AϪ1ϩcos2A cos 2A ϭ 2 cos2AϪ1 และจะสามารถหาคา่ ของ tan 2A โดยใช้ tan(AϩB) ดงั น้ี tan 2A ϭ tan(AϩA) ϭ tan A + tan A 1 − tan A ⋅ tan A ϭ 2 tan A 1 − tan2A จากทก่ี ล่าวมา สามารถสรุปคา่ ของ ังกช์ นั ตรโี กณมิตขิ องมุมซง่ึ เปน็ สองเท่าของ A ได้ดังนี้ sin 2A ϭ 2 sin A cos A cos 2A ϭ cos2AϪsin2A cos 2A ϭ 2 cos2AϪ1 cos 2A ϭ 1Ϫ2 sin2A tan 2A ϭ 2 tan A 1 − tan2A ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี ก น รี ก 57 ตว ยา ท 26 ขอ้ สอบแนว O-NET กาำ หนดให้ sin A ϭ Ϫ 4 และ cos A Ͼ 0 จงหาค่าของ 1. กาำ หนดให้ cos 2A ϭ 1Ϫ2 sin2 A ถ้า cos 16Њ ϭ a 5 แล้วคา่ ของ sin 8Њ ในรูปของ a เทา่ กบั ขอ้ ใด (1) cos 2A (2) sin 2A (3) tan 2A cos2Aϩsin2A ϭ 1 วิ ทา เนื่องจาก 1. 1؊a 2. 1ϩa 2 2 2 จะได้ ⎝⎜⎛− 4⎞ cos2Aϩ 5⎟⎠ ϭ 1 aϪ1 1Ϫa2 2 2 ⎛⎜⎝− 4⎞ 2 3. 4. 5⎟⎠ cos2A ϭ 1Ϫ ต1 cos2A ϭ 1Ϫ 16 ϭ 9 2. กาำ หนดให้ tan 2A ϭ 2 atm A ถ้า cot 20Њ ϭ b แลว้ 25 25 1Ϫtan2 A cos A ϭ Ϯ 3 tan 40Њ ในรูปของ b เทา่ กบั ข้อใด 5 แต่ cos A Ͼ 0 จะได ้ cos A ϭ 3 b b 5 1. b2Ϫ1 2. b2ϩ1 (1) จาก cos 2A ϭ 2 cos2AϪ1 ϭ 2 ⎛ 9⎞ Ϫ1 b2Ϫ1 2b ⎝⎜ 25⎠⎟ 3. b 4. b2؊1 ϭ 18 Ϫ1 ต4 25 ยย ϭ Ϫ7 ต เน่ืองจาก 25 ต นั่นคอื (2) จาก sin 2A ϭ 2 sin A cos A ดงั นน้ั cot 20Њ ϭ b ϭ 2 ⎝⎜⎛− 4⎞ ⎛ 3⎞ 1 ϭb 5⎟⎠ ⎝⎜ 5⎠⎟ tan 20Њ ϭ Ϫ 24 tan 20Њ ϭ 1 25 b (3) จาก sin A − 4 4 จะได ้ cos A 5 3 tan A ϭ ϭ ϭ Ϫ 3 tan 40Њ ϭ tan 2(20Њ) 5 tan 2A ϭ 2 tan A ϭ 2 tan 20Њ 1 − tan2A 1Ϫtan2 20Њ ϭ 2⎜⎝⎛− 4⎞ 2 1 3⎟⎠ b 1 − ⎛⎝⎜− 4⎞ 2 ϭ 1 3⎟⎠ b2 1Ϫ 2 b ϭ b2Ϫ1 b2 แหล่งสืบคน้ ϭ 2 и b2 b b2Ϫ1 - https://www.youtube.com/watch?v=8_Nbj4bww38 ϭ 2b b2Ϫ1 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 58 า รเ ่ เ เ่ ใหน้ กั เรียนใช้สูตร sin 3A, cos 3A และ tan 3A หาคำาตอบ −8 ของโจทยต์ อ่ ไปน้ี 3 ϭ 3 5 1. กำาหนด sin A ϭ จงหาค่าของ sin 3A 1 − 16 9 2. กาำ หนด cos A ϭ 1 จงหาคา่ ของ cos 3A −8 3 3 ϭ 7 3. กำาหนด tan A ϭ 3 จงหาคา่ ของ tan 3A − 9 าต ϭ 24 ต 7 1. 117 จากค่าของ sin(AϪB), sin(AϩB), cos(AϪB) และ cos(AϩB) เมอื่ นาำ มาบวกหรอื ลบกันจะได้ 125 ความสมั พนั ธด์ ังน้ี 2. − 23 27 9 2 sin A cos B ϭ sin(AϩB)ϩsin(AϪB) 3. 13 2 cos A sin B ϭ sin(AϩB)Ϫsin(AϪB) 2 cos A cos B ϭ cos(AϩB)ϩcos(AϪB) Ϫ2 sin A sin B ϭ cos(AϩB)Ϫcos(AϪB) ข้อสอบแนว O-NET นอกจากนย้ี งั สามารถหาความสัมพนั ธ์อ่นื ๆ ไดด้ ังน้ี sin Aϩsin B ϭ 2 sin ⎛ A + B⎞ cos ⎛ A − B⎞ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ถา้ cos A ϭ 3 แลว้ คา่ ของ 32 sin A sin 5A เทา่ กบั ขอ้ ใด 4 2 2 sin AϪsin B ϭ 2 cos ⎛ A + B⎞ sin ⎛ A − B⎞ 1. 1 2. 4 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 3. 8 4. 11 cos Aϩcos B ϭ 2 cos ⎛ A + B⎞ cos ⎛ A − B⎞ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ต4 ⎛ A + B⎞ ⎛ A − B⎞ cos AϪcos B ϭ Ϫ2 sin ⎜⎝ 2 ⎟⎠ sin ⎜⎝ 2 ⎟⎠ และ sin 3A ϭ 3 sin AϪ4 sin3A cos 3A ϭ 4 cos3AϪ3 cos A แหล่งสบื ค้น tan 3A ϭ 3 tan A − tan3A 1 − 3 tan2A - https://www.youtube.com/watch?v=94yOfsnUDfQ ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 59 กิจกรรมเสนอแนะ ตว ยา ท 27 ให้นกั เรยี นแบ่งกลุ่ม กล่มุ ละ 3-4 คน สร้างโจทยก์ ารหาค่า ังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สูตรในทำานองเดียวกับตัวอย่างท่ี จงหาค่าของ cos 75Њϩcos 15Њ 27-28 พร้อมท้งั แสดงวิธีทาำ และหาคาำ ตอบกลุ่มละ 2 ข้อ แล้ว นาำ โจทยท์ ส่ี รา้ งขึ้นมาให้เพือ่ นกลุ่มอื่นแขง่ กนั หาคำาตอบ วิ ทา เนอื่ งจาก cos Aϩcos B ϭ 2 cos ⎛ A + B⎞ cos ⎛ A − B⎞ ดังนั้น ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ แหลง่ สืบคน้ cos 75Њϩcos 15Њ ϭ 2 cos ⎛ 75° + 15°⎞ cos ⎛ 75° − 15°⎞ - https://www.youtube.com/watch?v=pekgEAYRPmw ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ϭ 2 cos 45Њ cos 30Њ ϭ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ϭ6 ต 2 ตว ยา ท 28 จงหาคา่ ของ 2 cos 105Њ sin 15Њ วิ ทา เน่อื งจาก 2 cos A sin B ϭ sin(AϩB)Ϫsin(AϪB) ดงั นนั้ 2 cos 105Њ sin 15Њ ϭ sin(105Њϩ15Њ)Ϫsin(105ЊϪ15Њ) ϭ sin 120ЊϪsin 90Њ ϭ sin(180ЊϪ60Њ)Ϫsin 90Њ ϭ sin 60ЊϪsin 90Њ ϭ 3 Ϫ1 2 ϭ 3−2 ต 2 ตว ยา ท 29 จงหาค่าของ sin 20Њ sin 40Њ sin 80Њ วิ ทา เน่ืองจาก Ϫ2 sin A sin B ϭ cos(AϩB)Ϫcos(AϪB) ดังนัน้ sin 20Њ sin 40Њ sin 80Њ ϭ (Ϫ2 sin 20Њ sin 40Њ)(sin 80Њ) ⎛ − 1⎞ ⎝⎜ 2⎠⎟ ϭ (cos(20Њϩ40Њ)Ϫcos(20ЊϪ40Њ))(sin 80Њ) ⎛⎝⎜− 1⎞ 2⎟⎠ ϭ (cos 60ЊϪcos(Ϫ20Њ))(sin 80Њ) ⎝⎛⎜− 1⎞ 2⎠⎟ ϭ ⎛1 − cos 20°⎟⎠⎞ (sin 80Њ) ⎛⎝⎜− 1⎞ ⎜⎝ 2 2⎟⎠ ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 60 า รเ ่ เ เ่ ϭ ⎛ sin 80° − cos 20° sin 80°⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜− 1⎞ ⎝⎜ 2 2⎠⎟ ϭ ⎛ sin 80° − 2 cos 20° sin 80° ⎛ 1⎞ ⎞ ⎜⎝⎛− 1⎞ ⎝⎜ 2 ⎜⎝ 2⎟⎠ ⎠⎟ 2⎠⎟ ϭ ⎛ sin 80° − sin(20° + 80°) − sin(20° − 80°)⎞ ⎛ − 1⎞ ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2⎠⎟ ϭ ⎛ sin 80° − sin 100° − sin(− 60°)⎞ ⎝⎜⎛− 1⎞ ⎝⎜ 2 2 ⎟⎠ 2⎟⎠ ϭ ⎛ sin 80° − sin 100° − sin 60°⎞ ⎜⎝⎛− 1⎞ ⎜⎝ 2 2 2 ⎠⎟ 2⎟⎠ ϭ ⎛ sin 80° − sin 100° − 3⎞ ⎝⎜⎛− 1⎞ ⎝⎜ 2 2 4 ⎠⎟ 2⎟⎠ ϭ ⎛ sin 80° − sin(180° − 80°) − 3⎞ ⎛⎝⎜− 1⎞ ⎝⎜ 2 2 4 ⎠⎟ 2⎠⎟ ϭ ⎛ sin 80° − sin 80° − 3⎞ ⎝⎛⎜− 1⎞ ⎜⎝ 2 2 4 ⎠⎟ 2⎟⎠ ϭ ⎛ 3⎞ ⎛⎝⎜− 1⎞ ⎝⎜− 4 ⎠⎟ 2⎟⎠ ϭ 3 ต 8 ตว ยา ท 30 กาำ หนดให้ sin 3Aϩsin A ϭ 1Ϫ4 sin3A จงหาคา่ ของ sin A วิ ทา เนอื่ งจาก sin 3A ϭ 3 sin AϪ4 sin3A โจทย์กำาหนดให้ sin 3Aϩsin A ϭ 1Ϫ4 sin3A จะได ้ 3 sin AϪ4 sin3Aϩsin A ϭ 1Ϫ4 sin3A ขอ้ สอบแนว O-NET 4 sin A ϭ 1 sin A ϭ 1 ต 4 คา่ ของ 1 sin 70Њ sin 50Њ sin 10Њ เทา่ กบั ขอ้ ใด 8 1. 1 2. 1 4 8 3. 1 4. 1 16 64 ต4 ยย เนื่องจาก sin 20Њ sin 50Њ sin 10Њ ϭ sin 70Њ sin 50Њ sin 10Њ (2 cos 10Њ) ϭ 2 cos 50Њ sin 50Њ 2 cos 10Њ 2(4 cos 10Њ) ϭ ϭ sin 70Њ sin 50Њ sin 20Њ ϭ sin 100Њ ϭ 2 cos 10Њ 8 cos 10Њ ϭ cos 20Њ sin 50Њ sin 20Њ ϭ cos 10Њ 2 cos 10Њ 8 cos 10Њ (2 cos 20Њ sin 20Њ) sin 50Њ ϭ1 2(2 cos 10Њ) 8 sin 40Њ sin 50Њ ดังนั้น 1 sin 70Њ sin 50Њ sin 10Њ ϭ 1ϫ1 ϭ 1 4 cos 10Њ 8 88 64 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรู้ที่ ก น รี ก 61 ย า 100 แบบ กหัดที่ 1. จงใช้ งั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิของ ลบวกและ ลตา่ งของจาำ นวนจรงิ หรือมุมหาค่าตอ่ ไปน ี้ (1) sin 7π (2) cos 17π 12 12 (3) tan ⎛⎜⎝− 19π⎞ (4) cosec ⎛⎝⎜− π⎞ 12 ⎠⎟ 12⎠⎟ (5) cot 5π (6) sec 105Њ 12 (7) cos(Ϫ165Њ) (8) sin(Ϫ75Њ) 2. จงหาค่าตอ่ ไปนี้ (1) sin 5π sin π ϩcos π cos 5π (2) sin π cos ⎜⎝⎛− π⎞ ϩsin ⎛⎜⎝− π⎞ cos π 2 2 2 2 3 4⎟⎠ 4⎟⎠ 3 (3) tan 76° − tan 46° (4) sin 19Њ cos 11Њϩcos 19Њ sin 11Њ 1 + tan 76° tan 46° (5) 1 − tan 20° tan 25° tan 20° + tan 25° 3. จงหาคา่ ของ sin(AϩB), cos(AϪB) และ tan(AϪB) เมอื่ กำาหนดเงอ่ื นไขดงั นี้ (1) sin A ϭ 3 เมื่อ 0 Ͻ A Ͻ π และ 5 2 cos B ϭ Ϫ 2 5 เม่อื π ϽBϽp 5 2 (2) tan A ϭ Ϫ 4 เมื่อ π Ͻ A Ͻ p และ 3 2 cos B ϭ 1 เม่ือ 3π Ͻ B Ͻ 2p 2 2 4. กาำ หนดให้ sin A ϭ Ϫ 1 เมื่อ p Ͻ AϽ 3π จงหา 4 2 (1) sin 2A (2) cos 2A (3) tan 2A (4) sin 3A (5) cos 3A (6) tan 3A 5. จงหาค่าตอ่ ไปนี้ (1) Ϫ2 sin 22.5Њ cos 22.5Њ (2) 4 sin3 π Ϫ3 sin π 9 9 2 tan 3π 8 (4) 1Ϫ2 cos252.5Њ (3) 1 − tan2 3π 8 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 63

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition L a nin o 21st Century Skills 62 า รเ ่ เ เ่ ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ ตามความเหมาะสม แต่ละกลุ่มชว่ ยกนั 6. จงแสดงวา่ ศึก าเรื่องโค ังก์ชัน พร้อมทั้งยกตัวอย่าง ังก์ชันที่เป็น คโู่ ค งั กช์ นั ซง่ึ กนั และกนั จากนน้ั แตล่ ะกลมุ่ สง่ ตวั แทนออกมา (1) sin A ϭ Ϯ 1 − cos A (2) cos A ϭ Ϯ 1 + cos A นาำ เสนอท่ีหนา้ ชั้นเรียนเพ่ือแลกเปลยี่ นเรยี นรู้ 2 2 2 2 L earning for Metacognition (3) tan A ϭ Ϯ 1 − cos A 2 1 + cos A ให้นักเรยี นแบง่ กล่มุ ตามความเหมาะสม แตล่ ะกลุ่มช่วยกัน ศกึ าเรอ่ื งมมุ ครง่ึ เทา่ พรอ้ มทง้ั แสดงการพสิ จู น์ จากนนั้ แตล่ ะ 7. จงหาค่าต่อไปน้ี กลมุ่ สง่ ตวั แทนออกมานาำ เสนอทห่ี นา้ ชน้ั เรยี นเพอื่ แลกเปลยี่ น เรยี นรู้ (1) sin 15Њϩsin 75Њ (2) cos π Ϫsin π 12 12 (3) sin 4π Ϫsin π ϩcos 23π (4) cos 20Њ cos 40Њ cos 80Њ 9 9 18 (5) cos π sin 2π cos 7π 18 9 18 8. กาำ หนดให้ cos 3AϪcos A ϭ 1ϩ4 cos3A จงหาคา่ ของ sec A ย ิ รรม า 102 กจิ กรรมตรวจสอบกำรเรียนรู้ที่ 1 1. ใหน้ ักเรียนแบง่ กลุ่ม กลมุ่ ละ 2-3 คน 2. แตล่ ะกล่มุ ช่วยกันพสิ จู น์วา่ sin 18Њ ϭ −1+ 5 , cos 18Њ ϭ 10 + 2 5 4 4 sin 36Њ ϭ 10 − 2 5 และ cos 36Њ ϭ 5 +1 4 4 3. ครูสมุ่ ตัวแทนออกมานำาเสนอท่หี นา้ ชนั้ เรยี น 64 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี ก น รี ก 63 I ntroduction ก น รี ก กน 1. ครทู บทวนเรอ่ื งตวั ก นั ของ งั กช์ นั ทว่ั ๆ ไป โดยใชก้ าร ถาม-ตอบเพอ่ื ใหน้ กั เรยี นทราบวา่ งั กช์ นั ทม่ี ตี วั ก นั คอื งั กช์ นั ทเ่ี ปน็ งั กช์ ัน 1-1 2. ครซู กั ถามนักเรียนดงั นี้ ตัว ก ันของ ังก์ชันตรีโกณมิติ เกิดจากการสลับท่ีระหว่าง า าม : แนวคิดส�ำคั สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ และเพื่อให้ - งั กช์ ัน f ทกี่ ำาหนดโดย f(x) ϭ 3x ϩ 1 มี ังกช์ นั ก ัน ตวั ก นั เปน็ งั กช์ นั จงึ กาำ หนดโดเมนของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ หรอื ไม่ อยา่ งไร งก ัน รี ก ม ไมเ น งก ันหนง อหนง ใหเ้ หมาะสม ดงั นนั วั ผกผนั ของ งก นั รี ก ม จงไมเ น งก นั แ เมือจากัด ดเมนของ งก ันเ ือ หเ น งก ันหนง - (แนว าำ ตอบ : ี งก นั ก นั อหนงแลว จะเรียก ัวผกผันของ งก ัน รี ก ม นี ย fϪ1 ϭ {(x, y) | y ϭ x Ϫ 1 }) วา งก ัน รี ก ม ผกผนั 3 - นกั เรยี นคดิ วา่ งั กช์ นั ตรโี กณมติ มิ ี ังก์ชัน ก ันหรือไม่ อยา่ งไร (แนว าำ ตอบ : ร น้ กั เรยี นรว กนั อ ราย ยยงั ไ เ ลย าำ ตอบ) วกน กน น าสา : พิจารณากรา ของ งั ก์ชนั y ϭ sin x งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ก นั Y 1 I ndesign Ϫ2p 3p Ϫ p 0 p p 3p 2p X 2 2 2 2 Ϫ Ϫp Ϫ1 เมื่อกำาหนดโดเมนของ y ϭ sin x ใหม่เปน็ Ϫ π рx р π 1. ครยู กตวั อย่าง ังกช์ นั ไซน์ แล้วถามนกั เรยี นวา่ 2 2 “{(x, y) | y ϭ sin x} โดย Ϫϱ Ͻ x Ͻ ϱ, Ϫ1 Յ y Յ 1 { } π π ัน จะได้ว่า (x, y)|y ϭ sin x, Ϫ 2 рx р 2 เปน็ งั ก์ชนั หนึ่งต่อหนงึ่ ซึง่ มี ังก์ชัน ก เ ปน็ งั กช์ นั 1-1 หรอื ไม่ ครใู หน้ กั เรยี นสงั เกตวา่ งั กช์ นั { }เป็น (x, y)|x ϭ sin y, Ϫ1 Ϫ π р π เรยี ก ังกช์ นั ก ันน้วี ่า arcsine рx р 1, 2 рy 2 ไซนไ์ มเ่ ปน็ งั ก์ชนั 1-1 ดงั นั้น ตัว ก นั ของ ังก์ชนั ไซน์ ท ิยาม ังกช์ นั arcsine คือ เซตของคู่อันดับ (x, y) โดยท ่ี x ϭ sin y และ Ϫ π р y р π คือ {(x, y) | x ϭ sin y} จึงไม่เป็น ังกช์ ัน แต่ถ้ากำาหนด 2 2 ͉x π Յ x Յ π โดเมนของ ังก์ชันไซน์เป็น 22 ังก์ชัน {(x, y) | y ϭ sin x เม่อื Ϫπ Յ x Յ π } เปน็ ังกช์ นั 2 2 1-1 จะมตี วั ก นั เปน็ งั กช์ นั คอื {(x, y) | x ϭ sin y เม่อื Ϫπ ՅyՅ π } ซ่ึงเรียกว่า arcsine 2 2 I CT I nnovation 2. ค รเู ขียนบทนิยามของ งั ก์ชนั arcsine บนกระดาน แลว้ ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ และรว่ มกนั ศกึ าเรอ่ื งตวั ก นั ของ งั กช์ นั ไซนใ์ นหนงั สอื เรยี น ใหน้ กั เรยี นศกึ าเพมิ่ เตมิ เกย่ี วกบั งั กช์ นั ให้นักเรียนแบ่งเป็น 3 กลุ่ม แต่ละกลุ่มช่วยกันทำา 3. ครูเขียนบทนิยามของตัว ก ันของ ังก์ชันตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติ ก ัน จาก search engine จดั ปายนเิ ทศในชน้ั เรยี นโดยนาำ เสนอกรา ของ งั กช์ นั อนื่ ๆ บนกระดาน จากนนั้ นาำ เสนอตัวอย่างในหนังสือ ต่างๆ ต่อไปนี้ เรียน โดยอาจตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรยี นโดยใช้ กล ที่ 1 กรา ของ y ϭ arcsin x การถาม-ตอบ กล ท่ี 2 กรา ของ y ϭ arccos x 4. ค รูให้นักเรียนทำาแบบฝกหัดท่ี 8 กิจกรรมตรวจสอบ กล ที่ 3 กรา ของ y ϭ arctan x การเรียนรู้ที่ 2 และใบงานที่ 2 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 64 า รเ ่ เ เ่ ใหน้ ักเรยี นหาค่าต่อไปน้ีเพิ่มเติมจากตวั อย่างที่ 1 เมอ่ื (x, y) ʦ arcsine จะได ้ y ϭ arcsine x หรอื เขยี นสน้ั ๆ เปน็ y ϭ arcsin x ซง่ึ มคี วามหมาย เช่นเดยี วกับ x ϭ x sเiมn่ือy Ϫเมπ2อ่ื Ϫрπ2 π2р บนπ2ระ เนขาียบนเกดรียาวก ันyไดϭ้ดังนsi้ี n x เมอื่ Ϫ π π 2 และ y ϭ arcsin р y 2 р xр 2 2 р 1. arcsin y ΂ ΃2. arcsinϪ 1 p ( )Y 1, p yϭx 2 2 2 ( )p, y ϭ arcsin x 2 3 1 1 2 3. arcsin y ϭ sin x าต p Ϫ1 0 1p X 2 2 Ϫ 1. π ( )Ϫp, 4 2 Ϫ1 Ϫ1 2. Ϫ π ( )Ϫ1,Ϫp2 Ϫ p 6 2 3. π จากกรา โดเมนของ ังก์ชัน arcsine คือ Ϫ1, 1 และเรนจ์ของ ังก์ชัน arcsine คือ 3 ⎣⎢⎡− π, π⎤ 2 2 ⎥⎦ ข้อสอบแนว O-NET การหาค่าของ งั ก์ชัน ก นั ของ ังกช์ นั ตรโี กณมิติอาจทำาได้โดยอาศัยกรา ของ งั กช์ นั แตเ่ พอื่ ความสะดวกจะหาค่าของ งั กช์ นั ก ันโดยอาศัย ังก์ชนั ตรโี กณมิตนิ นั้ ๆ ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้ ถา้ f(x) ϭ arcsin x แลว้ f(0)Ϫf(1) เทา่ กบั ขอ้ ใด ตว ยา ท 1 π จงหาค่าของ arcsin ⎛ 3⎞ 2 ⎜⎝− 2 ⎠⎟ 1. 0 2. 3. ؊π2 4. π วิ ทา ให้ arcsin ⎛ 3⎞ ϭ ␪ จะได้ sin ␪ ϭ Ϫ3 ⎜⎝− 2 ⎠⎟ 2 ต3 หาค่า ␪ เมือ่ Ϫ π р␪р π อย่ใู นจตุ าคท ่ี 1 และจตุ าคท ่ี 4 2 2 ยย จากโจทย์ จาก sin ␪ ϭ Ϫ3 f(x) ϭ arcsin x จะได้ 2 จะได้ f(0)Ϫf(1) ϭ arcsin 0Ϫarcsin 1 ␪ ϭ Ϫ π sin ␪ Ͻ 0 มุมจงึ อย่ใู นจตุ าคท ี่ 4 3 Ї arcsin 0 ϭ 0 และ arcsin 1 ϭ 2 ดงั นั้น ⎛ 3⎞ ϭ Ϫ π ต ดงั นนั้ f(0)Ϫf(1) ϭ 0Ϫ2π arcsin ⎝⎜− 2 ⎟⎠ 3 ϭ Ϫπ2 แหลง่ สืบคน้ - https://www.youtube.com/watch?v=ZBslpIA35CI - https://www.youtube.com/watch?v=X9NV0yVGhDw 66 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี ก น รี ก 65 วกน กน น พิจารณากรา ของ งั กช์ ัน y ϭ cos x Y 1 Ϫp p 0 p p 3p 2p 5p X 2 Ϫ1 2 22 Ϫ เม่ือกำาหนดโดเมนของ y ϭ cos x ใหม่เปน็ 0 р x р p จะไดว้ ่า (x, y)|y ϭ cos x, 0 р x р p เปน็ งั ก์ชนั หนึง่ ต่อหน่ึง ซงึ่ มี งั ก์ชัน ก ันเปน็ (x, y)|x ϭ cos y, Ϫ1 р x р 1, 0 р y р p เรียก งั ก์ชัน ก นั นีว้ า่ arccosine ท ยิ าม ังก์ชัน arccosine คือ เซตของคูอ่ ันดับ (x, y) โดยท ่ี x ϭ cos y และ 0 р y р p เมื่อ (x, y) ʦ arccosine จะได้ y ϭ arccosine x หรอื เขยี นสัน้ ๆ เปน็ y ϭ arccos x ซง่ึ มี ความหมายเชน่ เดยี วกบั x ϭ cos y เมอ่ื 0 р y р p เขยี นกรา y ϭ cos x เมอ่ื 0 р x р p และ y ϭ arccos x เมือ่ 0 р y р p บนระนาบเดยี วกันไดด้ งั นี้ Y yϭx (Ϫ1, p) p y ϭ arccos x X p p 2 (p, Ϫ1) (0, 1) Ϫ1 0 (1, 0) p 2 Ϫ1 y ϭ cos x จากกรา โดเมนของ ังก์ชัน arccosine คอื Ϫ1, 1 และเรนจ์ของ งั ก์ชัน arccosine คอื 0, p] ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 67

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กิจกรรมเสนอแนะ 66 า รเ ่ เ เ่ ใหน้ ักเรียนหาคา่ ตอ่ ไปนเี้ พ่ิมเติมจากตัวอย่างท่ี 2 ตว ยา ท 2 ΂ ΃1. arccosϪ 3 จงหาค่าของ arccos 1 2 วิ ทา ให้ arccos 1 ϭ ␪ จะได้ cos ␪ ϭ 1 หาค่า ␪ เมือ่ 0 р ␪ р p อยู่ในจตุ าคท ่ี 1 และจตุ าคท ี่ 2 2. arccos 1 2 ΂ ΃3. arccosϪ 1 จาก cos ␪ ϭ 1 cos ␪ ϭ 1 พจิ ารณาคา่ x บนแกน X 2 จะได ้ ␪ ϭ 0 ของวงกลมหนึ่งหน่วยทางบวก ดังนั้น ต arccos 1 ϭ 0 าต 1. 5π ว ก น ก น ทนเ น 6 2. π พิจารณากรา ของ งั ก์ชนั y ϭ tan x 3 Y 3. 2π 3 แหลง่ สืบค้น 1 - https://www.youtube.com/watch?v=wUbKVtFzih0 5p Ϫ2p 3p π 0 π p 3p 2p 5p X 2 2 2 2 2 2 Ϫ Ϫ Ϫp Ϫ Ϫ1 เมอื่ กำาหนดโดเมนของ y ϭ tan x ใหม่เปน็ Ϫ π Ͻx Ͻ π 2 2 จะได้วา่ π π เปน็ ังก์ชนั หน่งึ ตอ่ หน่งึ ซึง่ มี งั กช์ นั ก นั เป็น (x, y) | y ϭ tan x, Ϫ 2 Ͻx Ͻ 2 (x, y)| x ϭ tan y, Ϫϱ Ͻ x Ͻ ϱ และ Ϫ π ϽyϽ π เรียก งั ก์ชนั ก ันน้วี า่ arctangent 2 2 ท ิยาม งั กช์ นั arctangent คอื เซตของคอู่ นั ดบั (x, y) โดยท ่ี x ϭ tan y และ Ϫ π Ͻ yϽ π 2 2 68 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรู้ที่ ก น รี ก 67 กิจกรรมเสนอแนะ เม่ือ (x, y) ʦ arctangent จะได ้ y ϭ arctangent x หรือเขยี นสัน้ ๆ เปน็ y ϭ arctan x ซึ่งมี ใหน้ ักเรียนหาคา่ ต่อไปนี้เพิ่มเตมิ จากตัวอยา่ งที่ 3 ความหมายเชน่ เดียวกับ x ϭ Ͻy แπ2ละ บϪนπร2ะนϽาบyเϽดียπ2วก เนั ขไยี ดนด้ กงั รนา้ี y เมื่อ Ϫ π π tan ϭ tan x 2 ϽxϽ 2 1. arctan 1 Ͻy 3 และ y ϭ arctan x เมือ่ Ϫ π 2 2. arctan 1 Y y ϭ tan x ΂ ΃3. arctan Ϫ 3 p y ϭ arctan x าต 2 X 1 Ϫ p2 Ϫ1 0 1 p 1. π Ϫ1 2 6 Ϫ p2 2. π 4 3. Ϫπ3 จากกรา โดเมนของ ังก์ชัน arctangent คือ R และเรนจ์ของ ังก์ชัน arctangent คือ ⎝⎛⎜− π, π⎞ 2 2⎟⎠ ตว ยา ท 3 จงหาคา่ ของ arctan ⎛ − 3⎞ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ วิ ทา ให้ arctan ⎛ 3⎞ ϭ ␪ จะได้ tan ␪ ϭ Ϫ3 ⎝⎜− 3 ⎟⎠ 3 หาคา่ ␪ เม่อื Ϫ π Ͻ␪ Ͻ π อยใู่ นจตุ าคท ี่ 1 และจตุ าคท ่ี 4 2 2 จาก tan ␪ ϭ Ϫ3 จะได้ 3 ดังนน้ั ␪ ϭ Ϫπ tan ␪ Ͻ 0 มุมจงึ อยู่ในจตุ าคท ่ี 4 6 ⎛ 3⎞ ϭ Ϫ π ต arctan ⎝⎜− 3 ⎟⎠ 6 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่ 69

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 68 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนจับคู่กัน โดยนักเรียนคนที่หนึ่งกำาหนด ังก์ชัน Y y ϭ arcsin x y ϭ arccos x Y ก นั ของ งั กช์ นั ไซน์ งั กช์ นั โคไซน์ หรอื งั กช์ นั แทนเจนต์ p (อย่างใดอย่างหน่ึง) ให้นักเรียนคนที่สองหาค่า นักเรียน p คนที่หนึ่งตรวจสอบความถูกต้อง จากนั้นสลับให้นักเรียน 2 คนที่สองกำาหนด ังก์ชัน ก ัน ให้นักเรียนคนที่หน่ึงหาค่า นักเรยี นคนทสี่ องตรวจสอบความถูกตอ้ ง Ϫ1 0 1 X p 2 แหล่งสบื คน้ X Ϫ1 0 1 - https://www.youtube.com/watch?v=bNQWTf76jRE Ϫ p2 โดเมน คือ Ϫ1, 1] โดเมน คอื Ϫ1, 1] เรนจ ์ คือ 0, p] เรนจ ์ คือ ⎡⎣⎢− π, π⎤ 2 2 ⎥⎦ Y p 2 Ϫ1 0 1 X สร ตว ์ Ϫ p2 ตร มติ ิ โดเมน คือ R เรนจ ์ คือ ⎝⎛⎜− π, π⎞ 2 2⎠⎟ y ϭ arctan x ังกช์ ัน ก นั ของ งั กช์ นั ไซน์อาจเขยี นแทนด้วย y ϭ sinϪ1x ังกช์ ัน ก ันของ งั ก์ชันโคไซน์อาจเขยี นแทนดว้ ย y ϭ cosϪ1x ังก์ชนั ก นั ของ ังกช์ ันแทนเจนตอ์ าจเขียนแทนด้วย y ϭ tanϪ1x ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี ก น รี ก 69 Trick ตว ยา ท 4 1. การทาำ โจทยเ์ รอ่ื ง งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ก นั ใหแ้ ทน งั กช์ นั ก ันเป็นมมุ ให้หมด แล้วจึงทาำ การคำานวณ จงหาค่าของ cos ⎛ ⎛ 23⎟⎞⎠⎟⎞⎠ ⎜arcsin ⎝⎜ 2. sin (arcsin x) ϭ x เมอื่ Ϫ1 р x р 1 ⎝ วิ ทา ให้ arcsin ⎛ 3⎞ ϭ ␪ จะได้ sin ␪ ϭ 3 arcsin (sin x) ϭ x เมอื่ Ϫπ р x р π ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 2 2 2 3. cos (arccos x) ϭ x เมื่อ Ϫ1 р x р 1 หาคา่ ␪ เมอื่ Ϫ π р␪ р π อย่ใู นจตุ าคท ี่ 1 และจตุ าคท ่ี 4 2 2 arccos (cos x) ϭ x เมื่อ 0 р x р π จาก 3 จะได ้ sin ␪ ϭ 2 4. tan (arctan x) ϭ x เมื่อ x ʦ R ดังนัน้ ␪ ϭ π sin ␪ Ͼ 0 มุมจึงอยใู่ นจตุ าคท ี่ 1 arctan (tan x) ϭ x เมอ่ื Ϫπ Ͻ x Ͻ π 3 2 2 ϭ1 ⎛⎛ 23⎞⎠⎟⎞⎠⎟ π 2 ต cos ⎜arcsin ϭ cos 3 ต ⎝ ⎝⎜ ตว ยา ท 5 จงหาค่าของ cos ⎜⎛⎝2 arccos 4⎞ 5⎟⎠ ข้อสอบแนว O-NET วิ ทา ให้ ␪ ϭ arccos 4 5 จะได้ cos ␪ ϭ 4 เมือ่ 0 р ␪ р p 1. คา่ ของ ΂sin arcsin 5 4 ΃ มีคา่ เทา่ ไร 5 13 5 ϩarccos ดงั น้ัน ⎝⎜⎛2 4⎞ cos arccos 5⎠⎟ ϭ cos 2␪ ϭ 2 cos2␪Ϫ1 1. 63 2. 56 65 65 ⎛ 4⎞ 2 3. 54 4. 52 ⎝⎜ 5⎠⎟ 65 65 ϭ 2 Ϫ1 ϭ 2 ⎛ 16 ⎞ Ϫ1 2. ต2 ΂sin arccos 3 ΃ และ ⎝⎜ 25⎠⎟ กาำ หนดให้ 5 A ϭ B ϭ sin(arctan(Ϫ3)) ϭ 32 − 25 ค่าของ AϩB2 เทา่ กบั ขอ้ ใด 25 ϭ7 1. 1 2. 7 25 10 10 3. 11 4. 17 10 10 ต ย 4 ย กาำ หนดให้ arccos 3 ϭ x 5 กาำ หนดให้ arctan(Ϫ3) ϭ y cos x ϭ 3 5 นนั่ คอื tan y ϭ Ϫ3 4 5 B ϭ sin(arctan(Ϫ3)) น่นั คอื 3 10 ϭ sin y x ϭ Ϫ3 3 10 ΂ ΃A ϭ sin 3 y arccos 5 1 ดงั น้นั 4 9 AϩB2 ϭ 5 ϩ 10 ϭ sin x cos x ϭ 180 ϩ 9 ϭ 4 10 5 น่ันคอื ϭ 17 10 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 70 า รเ ่ เ เ่ ข้อสอบแนว O-NET ตว ยา ท 6 1. คา่ ของ cos[arctan(sin(arccot 7))] เท่ากบั ขอ้ ใด จงหาค่าของ sin ⎜⎝⎛arccos⎝⎜⎛− 1⎞⎞ 3⎠⎟⎟⎠ 8 8 1. 3 2. 9 วิ ทา ให้ ␪ ⎜⎝⎛− 1⎞ 3⎟⎠ ϭ arccos 8 4. 8 จะได้ cos ␪ ϭ Ϫ 1 เมอื่ 0 р ␪ р p 3. 65 3 12 เนอื่ งจาก cos ␪ Ͻ 0 และ 0 р ␪ р p จะได้ π Ͻ␪ Ͻ p หา sin ␪ โดยพจิ ารณาจาก 2 ต1 2. ค่าของ arcsin(cos(arcsin x))ϩarccos(sin(arccos x)) sin2␪ ϭ 1Ϫcos2␪ เทา่ กับขอ้ ใด ⎝⎛⎜− 1⎞ 2 3⎠⎟ ϭ 1Ϫ 1. 0 2. π ϭ 1Ϫ 1 3 9 3. π 4. π ϭ8 2 4 9 ต ย 3 sin ␪ ϭ Ϯ2 2 3 ย แต่ π Ͻ␪ Ͻ p จะได้ sin ␪ Ͼ 0 2 ให้ A ϭ arcsin x จะได้ sin A ϭ x ดงั น้ัน sin ⎛ ⎜⎝⎛− 1⎞⎞ ϭ sin ␪ ϭ 22 ต ⎜⎝arccos 3⎠⎟⎠⎟ 3 1 ตว ยา ท 7 x กาำ หนดให้ arctan xϩarctan y Ͼ π จงแสดงว่า arctan ⎛ x+y⎞ 2 xϩarctan yϪarctan ⎝⎜1 − xy⎠⎟ ϭ0 A วิ ทา ให้ arctan x ϭ A จะได้ tan A ϭ x และ Ϫ π ϽA Ͻ π 1Ϫx2 2 2 І cos A ϭ 1−x2 ให้ arctan y ϭ B จะได้ tan B ϭ y และ Ϫ π ϽB Ͻ π B ϭ arccos x 2 2 และ cos B ϭ x เม่ือ Ϫ π ϽAϽ π และ Ϫ π ϽBϽ π และ 2 2 2 2 จะได้ Ϫp Ͻ AϩB Ͻ p แต่ arctan xϩarctan y Ͼ π จะได้ AϩB Ͼ π 2 2 นั่นคือ π Ͻ AϩB Ͻ p 2 1 B 1Ϫx2 x І sin B ϭ 1−x2 แหล่งสบื ค้น จะเหน็ วา่ sin A ϭ cos B และ cos A ϭ sin B - https://www.youtube.com/watch?v=OgT3Bw_5aTo นน่ั คือ AϩB ϭ π 2 ดงั นน้ั arcsin(cos(arcsin x))ϩarccos(sin(arccos x)) ϭ arcsin(cos A)ϩarccos(sin B) ϭ arcsin( 1−x2 )ϩarccos( 1−x2 ) ϭ BϩA ϭ π 2 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี ก น รี ก 71 จาก tan(AϩB) ϭ tan A + tan B แทนคา่ จะได้ 1 − tan A tan B tan(AϩB) ϭ x + y 1 − xy AϩB ϭ arctan ⎛ x+y⎞ ⎝⎜1 − xy⎠⎟ ดงั นั้น arctan xϩarctan yϪarctan ⎛ x+y⎞ ϭ AϩBϪ(AϩB) ϭ 0 ต ⎝⎜1 − xy⎟⎠ ย า 104 แบบ กหัดท่ี 1. จงหาคา่ ต่อไปนี้ (1) arcsin 1 (2) arccos ⎝⎜⎛− 1⎞ 2 2⎠⎟ (3) arccos 0 (4) arctan(Ϫ1) (5) arctan 3 (6) arcsin 3 3 2 (7) arctan(Ϫ 3 ) (8) ⎛ 3⎞ arccos ⎝⎜− 2 ⎠⎟ 2. จงหาค่าตอ่ ไปนี้ (1) sin ⎛ ⎛⎜⎝− 1⎞⎞ (2) arcsin ⎛ ⎛ 3π⎞⎞ ⎝⎜arcsin 2⎠⎟⎟⎠ ⎝⎜ tan ⎜⎝ 4 ⎠⎟⎠⎟ (3) cosec ⎜⎛⎝arccos⎝⎛⎜− 1⎞⎞ (4) cos(arctan 2) 5⎠⎟⎠⎟ (5) sec(arctan(Ϫ 5 )) (6) cos(2 arcsin a) เมอื่ a Ͼ 0 (7) sin ⎜⎛⎝arcsin 4 + arcsin 12⎞ (8) arcsin 4 ϩarccos 12 ϩarcsin 16 5 13⎠⎟ 5 13 65 3. จงแสดงวา่ arctan xϩarctan(Ϫx) ϭ 0 4. จงแสดงวา่ cos(2 arcsin x) ϭ 1Ϫ2x2 5. จงแสดงวา่ sin(2 arcsin x) ϭ 2x 1 − x2 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 73

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition L a nin o 21st Century Skills 72 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนแบ่งกลุ่มตามความเหมาะสม จากน้ันครูเขียน ย ิ รรม า 105 โจทย์ cos ΂2arctan 1 ΃ ΂Ϫ tan2 arcsin 1 ΃ บนกระดาน แลว้ กจิ กรรมตรวจสอบกำรเรยี นรู้ที่ 2 ให้นักเรียนแต่ละก2ลุ่มแข่งกันหา ลลัพ5ธ์ของโจทย์ข้างต้น 1. ให้นกั เรียนแบง่ เปน็ 3 กลุ่ม กลมุ่ ใดหาคาำ ตอบไดก้ อ่ นและถกู ต้องจะเปน็ กลุ่มที่ชนะ 2. แต่ละกลมุ่ ส่งตัวแทนมาจับสลากเพ่อื เลอื กโจทย์จากครู L earning for Metacognition ทย์ ท 1 arcsin xϩarccos x ϭ π 2 ให้นักเรียนแบ่งกลุ่มตามความเหมาะสม แต่ละกลุ่มสืบค้น สมการของ ังก์ชันตรีโกณมิติ ก ันจากอินเทอร์เน็ต ทย์ ท 2 arccos xϩarccos(Ϫx) ϭ p กลมุ่ ละ2 สมการแลว้ พสิ จู นว์ า่ สมการนน้ั เปน็ จรงิ หรอื เปน็ เทจ็ จากนน้ั แตล่ ะกลมุ่ สง่ ตวั แทนออกมานาำ เสนอการพสิ จู นห์ นา้ ทย์ ท 3 sec(arctan x) ϭ 1 + x2 ชน้ั เรยี นเพือ่ แลกเปลี่ยนเรยี นรู้ แล้วช่วยกันพิสูจนข์ ้อความทก่ี ลมุ่ ของตนจับได้ I ntroduction 3. แต่ละกลุ่มส่งตัวแทนออกมานำาเสนอวิธีการพิสจู นท์ ่ีหนา้ ช้นั เรียน 1. ครทู บทวนความสมั พนั ธพ์ นื้ านของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ เกก การ รี ก 2. ครซู กั ถามนกั เรยี นดงั นี้ า าม : เกก - สมการตรโี กณมิตคิ อื อะไร แนวคิดสำ� คั สมการ cosec ␪ ϭ 1 จะเป็นจรงิ สำาหรับ (แนว ำาตอบ : การท่ี ี งก ันตรี ก ต) sin θ - นักเรียนทราบหรือไม่ว่า สมการตรีโกณมิติที่เป็นจริง สมการ ีมี งก ัน รี ก ม เรียกวา สมการ ทกุ คา่ ของ ␪ ทท่ี าำ ใหค้ า่ ของ งั กช์ นั ทป่ี ราก อยใู่ นสมการ สำาหรับทุกค่าของ ␪ เม่ือ ␪ เป็นจาำ นวนจรงิ หรอื มุมใดๆ รี ก ม สมการ รี ก ม เี นจรงสาหรบั กคาของ เรียกว่าอะไร นน้ั ไดค้ อื คา่ ของ cosec ␪ และ 1 เรยี กสมการ (แนว ำาตอบ : เอกลกั ตรี ก ต) ␪ เมอื ␪ เ นจานวนจรงหรอื มม ด เรยี กวา เอกลกั sin าสา : 1. เอกลกั ณ์ ␪, sin θ 2. สมการตรีโกณมิติ ทมี่ ีสมบตั เิ ช่นสมการ cosec ␪ ϭ 1 ว่า ์ sin θ เอกลัก ในรปู ก�าลงั สอง sin2␪ϩcos2␪ ϭ 1 sec2␪Ϫtan2␪ ϭ 1 cosec2␪Ϫcot2␪ ϭ 1 I ndesign I CT 1. ครยู กตวั อยา่ งการนาำ ความสมั พนั ธพ์ น้ื านไปใชใ้ นการพสิ จู น์ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ให้นักเรียนศึก าเพิ่มเติมเกี่ยวกับเอกลัก ณ์และสมการ บนกระดาน และทบทวนเ ร่ือง ลบวกและ ลตา่ งของจำานวนจรงิ หรือมุม ตรีโกณมิติ จาก search engine ตา่ งๆ 2. ครูทบทวนวิธีการแก้สมการพีชคณิต แล้วยกตัวอย่างสมการตรีโกณมิติ โดย ซักถามนักเรียนว่าจะแก้สมการได้อย่างไร หลังจากนั้นครูใช้การถาม-ตอบ และยกตวั อย่างเพอ่ื อธิบายวิธกี ารแก้สมการตรโี กณมติ เิ พอ่ื ให้ได้ข้อสรุป 3. ครใู หน้ ักเรยี นทาำ แบบฝกหัดท่ี 9-10 กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรทู้ ี่ 3 และ ใบงานท่ี 3 74 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ ก น รี ก 73 ควำมร้เู พิม่ เติม ตัวอยางเอกลกั ที่ านการ นแลว้ 1 ตว ยา สริม ท รย tan θ cot ␪ ϭ จงพสิ ูจนว์ ่า cosθ ϩ1Ϫsinθ 1ϩsinθ cosθ sin (Ϫ␪) ϭ Ϫsin ␪ ϭ 2(secθϪtanθ) cos (Ϫ␪) ϭ cos ␪ วิ ทา cosθ ϩ1Ϫsinθ ϭ cos2θϪ1sin2θ cos (␣ϩ␤) ϭ cos ␣ cos ␤Ϫsin ␣ sin ␤ 1ϩsinθ cosθ (1ϩsinθ)cosθ sin (␣ϩ␤) ϭ sin ␣ cos ␤ϩcos ␣ sin ␤ ϭ 1Ϫsin2θϩ1Ϫsin2θ tan ␣ϩtan ␤ (1ϩsinθ)cosθ tan (␣ϩ␤) ϭ 1Ϫtan ␣ tan ␤ ϭ 2(1Ϫsin2θ) sin 2␣ ϭ 2 sin ␣ cos ␣ (1ϩsinθ)cosθ cos 2␣ ϭ cos2␣Ϫsin2␣ ϭ 2(1ϩsinθ)(1Ϫsinθ) (1ϩsinθ)cosθ การพสิ จู นเ์ อกลกั ณเ์ ปน็ การแสดงใหเ้ หน็ วา่ จาำ นวนทงั้ สองขา้ งของเครอื่ งหมายเทา่ กบั เทา่ กนั จรงิ โดยใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ การพสิ จู นเ์ อกลกั ณจ์ งึ ชว่ ยใหเ้ หน็ ความสมั พนั ธต์ า่ ง ๆ ระหวา่ ง ϭ 2(1Ϫsinθ) ังก์ชันตรีโกณมิติ และเอกลัก ณ์ที่พิสูจน์แล้วสามารถนำาไปใช้ในการพิสูจน์เอกลัก ณ์อ่ืน ๆ ได้ cosθ ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี ตว ยา ท 1 ϭ 2 1 Ϫ sinθ cosθ cosθ จงพสิ ูจน์วา่ tan x cosec2x ϭ cot x ϭ 2 (secθϪtanθ) 1 + tan2 x tan x cosec2x sin x ⋅ 1 วิ ทา 1 + tan2 x cos x sin2 x ϭ sec2 x ϭ 1 sin x cos x ข้อสอบแนว O-NET 1 cos2 x ϭ cos2 x cos(␣Ϫ␤) cos ␤ sin(␣Ϫ␤) sin ␤ sin x cos x cos ␣ cos ␣ ϭ cos x คา่ ของ Ϫ เทา่ กบั ขอ้ ใด sin x 2. Ϫ12 ϭ cot x tan x ϭ sin x ต 1. Ϫ1 cos x cosec x ϭ 1 3. 0 4. 1 sin x ต4 1ϩtan2x ϭ sec2x ยย cos x ϭ cot x sin x cos(␣Ϫ␤) cos ␤ Ϫ sin(␣Ϫ␤) sin ␤ cos ␣ cos ␣ ϭ cos[(␣Ϫ␤)ϩ␤] cos ␣ ϭ cos ␣ cos ␣ ϭ1 แหล่งสืบคน้ - https://www.youtube.com/watch?v=34_sY7V09dg ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 74 า รเ ่ เ เ่ ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน ศึก าโจทย์เพ่ิมเติม ตว ยา ท 2 เรอ่ื งการพิสจู นเ์ อกลกั ณ์ตรีโกณมิติจากแหล่งความรตู้ ่างๆ กลุ่มละ 2 ตัวอย่าง จัดทำาเป็นรายงานและออกมานำาเสนอ จงพสิ จู นว์ ่า (sec xϩtan x)(1Ϫsin x) ϭ cos x หน้าชนั้ เรยี น วิ ทา (sec xϩtan x)(1Ϫsin x) ϭ ⎛1 x + sin x ⎞ (1Ϫsin x) ⎝⎜ cos cos x⎟⎠ ϭ (1 + sin x)(1 − sin x) cos x ϭ 1 − sin2 x cos x ขอ้ สอบแนว O-NET ϭ cos2 x cos x ϭ cos x ต sec x ϭ 1 cos x 1. กำาหนดให้ A B C 2 ϩ 2 ϩ 2 ϭ 45Њ tan x ϭ sin x cos x คา่ ของ sin(AϩB) cosCϩcos(AϩB) sin C เทา่ กบั ขอ้ ใด (aϩb)(aϪb) ϭ a2Ϫb2 1. Ϫ2 2. Ϫ1 sin2xϩcos2x ϭ 1 3. 0 4. 1 ตว ยา ท 3 ต4 กาำ หนดให้ AϩBϩC ϭ 180Њ จงพิสูจน์ว่า sin AϪsin B cos C ϭ cos B sin C วิ ทา 2. กำาหนดให้ AϩBϩC ϭ π AϩBϩC ϭ 180Њ 2 คา่ ของ tan Aؒtan Bϩtan Bؒtan Cϩtan Cؒtan A เท่ากับ A ϭ 180ЊϪ(BϩC) ข้อใด ]sin A ϭ sin 180ЊϪ(BϩC) sin A ϭ sin 180Њ cos(BϩC)Ϫcos 180Њ sin(BϩC) 1. 0 2. 1 sin A ϭ (0) cos(BϩC)Ϫ(Ϫ1) sin(BϩC) sin A ϭ sin(BϩC) 3. 2 4. 3 sin A ϭ sin B cos Cϩcos B sin C sin AϪsin B cos C ϭ cos B sin C ต2 ต ยย sin(AϩB) ϭ sin A cos Bϩcos A sin B เนื่องจาก AϩBϩC ϭπ sin(AϪB) ϭ sin A cos BϪcos A sin B จะได้ว่า 2 ดังนน้ั AϩB ϭ π ϪC tan(AϩB) 2 tan Aϩtan B 1Ϫtan A tan B ΂ ΃ϭtan π ϪC 2 ϭ1 tan C tan A tan Cϩtan B tan C ϭ 1Ϫtan A tan B tan A tan Bϩtan A tan Cϩtan B tan C ϭ 1 แหล่งสบื คน้ - https://www.youtube.com/watch?v=XceBX0W9ReI 76 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ ก น รี ก 75 ย า 106 แบบ กหัดท่ี 1. จงพสิ ูจนว์ ่า (1) cos ␪(tan ␪ϩcot ␪) ϭ cosec ␪ (2) (sin2␪Ϫ1)(cot2␪ϩ1) ϭ 1Ϫcosec2␪ (3) (1ϩsin ␪)(sec ␪Ϫtan ␪) ϭ cos ␪ (4) sin4θ − cos4θ ϭ sin ␪ϩcos ␪ sin θ − cos θ (5) sin θ ϭ cosec ␪ϩcot ␪ 1 − cos θ (6) tan θ − 1 ϭ 1 − cot θ tan θ + 1 1 + cot θ (7) 1 − sin θ ϭ (sec ␪Ϫtan ␪)2 1 + sin θ (8) (sec ␪ϩtan ␪)2 ϭ sec θ + tan θ sec θ − tan θ (9) sin θ ϭ tan θ sin θ + cos θ 1 + tan θ (10) sec ␪ cosec ␪Ϫ2 cos ␪ cosec ␪ ϭ tan ␪Ϫcot ␪ 2. จงพสิ จู นว์ า่ (1) cos θ − sin θ ϭ sec 2␪Ϫtan 2␪ cos θ + sin θ (2) 1 + sin 2θ + cos 2θ ϭ cot ␪ 1 + sin 2θ − cos 2θ (3) cos 3θ + cos θ ϭ cot ␪ sin 3θ − sin θ (4) sin 3θ − cos 3θ ϭ2 sin θ cos θ (5) cos 7␪ϩcos 5␪ϩ2 cos ␪ cos 2␪ ϭ 4 cos 4␪ cos 2␪ cos ␪ (6) sin θ + sin 2θ + sin 3θ ϭ tan 2␪ cos θ + cos 2θ + cos 3θ 3. กาำ หนดให้ AϩBϩC ϭ 180Њ จงพสิ จู นว์ า่ (1) cos Aϩcos(BϩC) ϭ 0 (2) tan Aϩtan Bϩtan C ϭ tan A tan B tan C (3) cos Aϩcos Bϩcos C ϭ 1ϩ4 sin A sin B sin C 2 2 2 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 77

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition Trick 76 า รเ ่ เ เ่ 1. คำาตอบท่ัวไปของสมการ ังก์ชัน sin, cosec เท่ากับ การ รี ก 2nπϩθ เม่ือ θ เป็นคำาตอบทั้งหมดของสมการในช่วง [0, 2π) และ n ∈ I การแก้สมการตรีโกณมิติใชว้ ิธกี ารเดียวกับการแกส้ มการพชี คณิต สมการลอการิทึมหรือสมการ เอกซโ์ พเนนเชยี ล โดยอาศัยความรเู้ กย่ี วกบั ังกช์ ันตรโี กณมติ ิ 2. คำาตอบทั่วไปของสมการ ังก์ชัน cos, sec เท่ากับ 2nπϮθ เมื่อ θ เป็นคำาตอบท้ังหมดของสมการในช่วง ังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็น ังก์ชันหน่ึงต่อหน่ึง ค่าของ ังก์ชันตรีโกณมิติของจำานวนจริง [0, 2π) และ n ∈ I หรอื มุมใดๆ อาจจะซำ้ากนั ถา้ โจทย์ไมไ่ ด้กาำ หนดให้คำาตอบอยูใ่ นชว่ งใดชว่ งหนง่ึ ควรตอบ ในรปู ของคา่ ทั่วไป 3. คำาตอบทั่วไปของสมการ ังก์ชัน tan, cot เท่ากับ nπϩθ เมอ่ื θ เป็นคำาตอบของสมการท่ีเปน็ จรงิ ทน่ี ้อย ตว ยา ท 4 ท่สี ุดหรือศนู ย์ และ n ∈ I : การเขยี นคาำ ตอบทว่ั ไปของสมการตรโี กณมติ ิ จงแกส้ มการ sin ␪ ϭ 1 เม่ือ 0 Ͻ ␪ Ͻ π 2 2 อาจเขียนไดม้ ากกว่า 1 วิธีที่ใหไ้ วข้ ้างตน้ วิ ทา เน่อื งจาก 0 Ͻ ␪ Ͻ π แหลง่ สืบคน้ 2 - https://www.youtube.com/watch?v=3BF3S7JWq_8 จะเห็นวา่ คา่ ของ ␪ ในช่วงท่ที ำาให้ sin ␪ ϭ 1 คือ π 2 6 ดงั นัน้ เซตคำาตอบของสมการน ้ี คอื ⎧π⎫ ต ⎩⎨6 ⎬ ⎭ ตว ยา ท 5 จงแก้สมการ cos ␪ ϭ Ϫ3 2 วิ ทา Y 1 P1 3 0 X Ϫ (1, 0) 2 P2 จากวงกลมหนงึ่ หนว่ ยจะเห็นว่าค่าของ ␪ เม่ือ 0 р ␪ р 2p ซ่ึงทาำ ให้ cos ␪ ϭ Ϫ 3 คือ 2 5π และ 7π 6 6 78 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรู้ที่ ก น รี ก 77 Y Ϫ56p 1 5p 7p 17p กจิ กรรมเสนอแนะ 0 66 6 X Ϫ1 Ϫp Ϫ p p p 3p 2p 5p ให้นักเรียนหาคำาตอบทัว่ ไปของสมการ 2 sin2θ ϭ 3 cosθ 2 2 2 2 Ϫ3 ว าต 2 sin2θ ϭ 3 cosθ 2 3 2(1Ϫcos2θ) ϭ 3 cosθ เน่อื งจาก cos ⎜⎝⎛2nπ + 5π⎞ ϭ cos 5π ϭ Ϫ 2 เมอ่ื n ʦ I 6 ⎟⎠ 6 2cos2θϩ3cosθϪ2 ϭ 0 และ cos ⎜⎛⎝2nπ 7π⎞ ϭ cos 7π 3 เมอื่ n + 6 ⎠⎟ 6 ϭ Ϫ 2 ʦ I (2cosθϪ1)(cosθϩ2) ϭ 0 cosθ ϭ 1, Ϫ2 ดงั นั้น คา่ ท่ัวไปของ ␪ ท่ีทำาใหส้ มการเป็นจริงคือ 2npϩ 5π และ 2npϩ 7π 2 6 6 เม่ือ n เปน็ จาำ นวนเต็ม ต เนื่องจาก cosθ ϭ Ϫ2 เปน็ ไปไมไ่ ด้ ตว ยา ท 6 ดงั นัน้ cosθ ϭ 1 2 1 จงแกส้ มการ sin2␪ϩcos ␪ϩ1 ϭ 0 เมอื่ 0 р ␪ р 2p ถา้ cosθ ϭ 2 แลว้ จะได้ θ ϭ π3 , 5π วิ ทา 3 Y ดังน้ัน ค่าท่ัวไปของ θ ที่ทำาให้สมการเป็นจริงคือ sin2␪ϩcos ␪ϩ1 ϭ 0 1 2nπϮπ3, 2nπϮ53π เม่อื n เป็นจำานวนเต็ม (1Ϫcos2␪)ϩcos ␪ϩ1 ϭ 0 Ϫcos2␪ϩcos ␪ϩ2 ϭ 0 Ϫ1 0 1X cos2␪Ϫcos ␪Ϫ2 ϭ 0 (cos ␪Ϫ2)(cos ␪ϩ1) ϭ 0 Ϫ1 น่นั คือ cos ␪ ϭ 2 หรอื cos ␪ ϭ Ϫ1 ขอ้ สอบแนว O-NET เน่ืองจากไม่มี ␪ ทท่ี ำาให้ cos ␪ ϭ 2 (เพราะ Ϫ1 р cos ␪ р 1) จงึ ไม่พิจารณา cos ␪ ϭ 2 ต ͕ ͖กาำ หนดให้ Aϭ ʦ΄0, 3π ΅ และ 1 จากโจทย ์ 0 р ␪ р 2p จะเหน็ ว่าคา่ ของ ␪ ในช่วงทีท่ ำาให้ cos ␪ ϭ Ϫ1 คือ p x|x 2 sin 2xϩcos 2x ϭ 2 ดังนั้น เซตคาำ ตอบของสมการนี้คือ p} จาำ นวนสมาชกิ ของเซต A เทา่ กบั ขอ้ ใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 ต3 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่ 79

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 78 า รเ ่ เ เ่ ขอ้ สอบแนว O-NET ตว ยา ท 7 Ά ·กำาหนดให้ 2 cos 2␪ จงแกส้ มการ cos 2␪ ϭ cos ␪Ϫ1 เมื่อ 0 р ␪ Ͻ 2p Aϭ sin ␪|tan ␪(1Ϫsin ␪) ϭ cos ␪ ลบวกของสมาชกิ ในเซต A เทา่ กบั ขอ้ ใด วิ ทา cos 2␪ ϭ cos ␪Ϫ1 2 cos2␪Ϫ1 ϭ cos ␪Ϫ1 1. 2 2. 5 2 cos2␪Ϫcos ␪ ϭ 0 3 3 cos ␪(2 cos ␪Ϫ1) ϭ 0 1 1 3. 3 4. Ϫ 3 cos ␪ ϭ 0 หรือ 2 cos ␪Ϫ1 ϭ 0 ต 1 ␪ϭ π, 3π หรอื cos ␪ ϭ 1 ย 2 2 2 ย ␪ ϭ π, 5π 33 2␪ ͕p ͖5p จากโจทย์ tan ␪(1Ϫsin ␪) ϭ 2 cos ␪ , cos ␪ 0 ดงั น้นั เซตคำาตอบของสมการน้ีคือ , p, 3p, ต cos 3 2 2 3 csoins␪␪(1Ϫsin ␪) ϭ 2(1Ϫ 2 sin2 ␪) ย า 111 cos ␪ แบบ กหัดท่ี 1 นาำ cos ␪ คูณทั้งสองขา้ งของสมการ จะได้ sin ␪(1Ϫsin ␪ ) ϭ 2(1Ϫ2 sin2 ␪ ) 1. จงแกส้ มการต่อไปน้ี เม่ือ 0 р ␪ Ͻ 2p sin ␪Ϫsin2 ␪ ϭ 2Ϫ4 sin2 ␪ (1) sin ␪ ϭ Ϫ 3 (2) cos ␪ ϭ 1 2 2 3 sin2 ␪ϩsin ␪Ϫ2 ϭ 0 (3) 2 sin ␪ ϭ cosec ␪ (4) tan2␪ ϭ 1 (5) 2 sin ␪ cos ␪ ϭ cos ␪ (6) 4 sin2␪ϩ(2 2 Ϫ2) sin ␪ ϭ 2 (3 sin ␪Ϫ2)(sin ␪ϩ1) ϭ 0 (7) sin ␪ cos ␪ ϭ 3 (8) sin2␪ϩcos ␪ ϭ Ϫ1 4 ΂ ΃(10) sin ␪ϩcos ␪ϩp6 ϭ 0 3 sin ␪Ϫ2 ϭ 0 หรือ sin ␪ϩ1 ϭ 0 (9) sin ␪ ϭ 2 cos ⎛⎝⎜θ − π⎞ 6⎟⎠ (12) cos 3␪ ϭ cos ␪ sin ␪ ϭ 2 หรือ sin ␪ ϭ Ϫ1 (11) cos 2␪ ϭ cos ␪ϩsin ␪ 3 ␪ ϭ 270Њ (ทาำ ให ้ (13) tan 2␪ ϭ 3 tan ␪ (14) sin ␪Ϫsin 2␪ϩsin 3␪ ϭ 0 cos␪ ϭ0ใชไ้ มไ่ ด)้ (15) sin 5␪Ϫsin ␪ ϭ 0 (16) sin ␪ϩsin 3␪ϩsin 5␪ ϭ 0 2. จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี โดยตอบในรูปของคา่ ทว่ั ไป จะได้ A ϭ Ά 2 · (1) cot ␪ ϭ Ϫ 3 (2) sin2␪ ϭ 1 3 (3) cos ␪ ϭ cos 2␪ 2 ดงั นนั้ ลบวกของสมาชิกในเซต A เทา่ กับ 2 (4) 2 sin2␪Ϫsin ␪Ϫ1 ϭ 0 3 แหลง่ สบื คน้ I nnovation - https://www.youtube.com/watch?v=r4IQKJHnevc ใหน้ กั เรียนแบง่ กล่มุ ตามความเหมาะสม แตล่ ะกลุ่มชว่ ยกัน ทาำ บตั รความรเู้ กยี่ วกบั ก ของโคไซนแ์ ละก ของไซน์ ตกแตง่ ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ ใหส้ วยงามแลว้ ออกมานำาเสนอหน้าชนั้ เรยี น I CT ให้นกั เรียนศึก าเพมิ่ เตมิ เก่ยี วกบั ก ของโคไซน์และก ของ ไซน์ จาก search engine ตา่ งๆ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรยี นรู้ที่ ก น รี ก 79 L a nin o 21st Century Skills ย ิ รรม า 111 ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ ตามความเหมาะสม แตล่ ะกลมุ่ ชว่ ยกนั สบื คน้ เอกลกั ณท์ ป่ี ระกอบดว้ ยตวั ก นั ของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ กิจกรรมตรวจสอบกำรเรียนรทู้ ี่ พรอ้ มทง้ั ชว่ ยกนั พสิ จู นเ์ อกลกั ณด์ งั กลา่ ว เมอ่ื เสรจ็ แลว้ ใหส้ ง่ ตวั แทนออกมานาำ เสนอหนา้ ชน้ั เรยี นเพอ่ื แลกเปลย่ี นเรยี นรู้ 1. ใหน้ กั เรยี นแบง่ เปน็ 3 กล่มุ 2. แตล่ ะกลุ่มร่วมกนั ค้นคว้าข้อมูลและศึก าการแกส้ มการของ งั ก์ชันตรีโกณมติ ิ ก นั แล้ว ส่งตวั แทนมาจบั สลากเพ่ือเลือกโจทยจ์ ากครู ทย์ ท 1 arcsin(x)ϩarcsin(5x) ϭ π L earning for Metacognition 2 ทย์ ท 2 arccos(x 3 )ϩarccos( 1 − x2 ) ϭ arcsec ⎛ 1⎞ ⎝⎜ x⎠⎟ ทย์ ท 3 arcsin(1Ϫx)ϩarcsin(x) ϭ arcsec ⎛ 1⎞ ⎜⎝ x⎟⎠ ใหน้ กั เรยี นแบง่ เปน็ 3 กลมุ่ แตล่ ะกลมุ่ สง่ ตวั แทนมาจบั สลาก 3. แต่ละกลุ่มช่วยกนั หาเซตคาำ ตอบของโจทยท์ กี่ ล่มุ ของตนจับได้ แล้วส่งตวั แทนออกมานำาเสนอ เลอื กโจทยจ์ ากครูดงั นี้ วิธีการแกส้ มการของ ังกช์ ันตรีโกณมติ ิ ก นั ที่หน้าชน้ั เรียน ทยขอ้ ท่ี 1 3 เมอื่ 0 Ͻ ␪ Ͻ 2π sin ␪ ϭ 2 ก นก น ทยข้อที่ 2 cos ␪ ϭ – 1 เม่ือ 0 Ͻ ␪ < 2π 2 ทยขอ้ ที่ 3 tan ␪ ϭ –1 เม่อื 0 Ͻ ␪ Ͻ 2π กน I ntroduction แนวคิดส�ำคั ์ ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใดๆ ถ้า a, b 1. ครูสุ่มนักเรียนออกมาวาดรูปสามเหลี่ยมมุม ากบน และ c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ กระดาน 1 รปู โดยกำาหนดความยาวของด้านสองด้าน ก ของ คไ นและก ของไ นเ นสมการแสดง A, B และ C ตามลำาดบั แล้วให้นักเรียนหาความยาวของด้านที่เหลือโดยใช้ ความสัม ัน ระหวางความยาวของดานและขนาดของ จะได้ ท บี ทพที าโกรสั มมของรู สามเหลยี ม ด เมอื ราบความยาวของดาน a2 ϭ b2ϩc2Ϫ2bc cos A หรอื ขนาดของมมบางสวน จะสามาร คานว หาขนาด 2. ครวู าดรปู สามเหลยี่ มใดๆ ทไี่ มใ่ ชร่ ปู สามเหลย่ี มมมุ าก ของมมและความยาวของดาน ีเหลือได b2 ϭ c2ϩa2Ϫ2ca cos B จากนนั้ ซักถามนักเรียนดงั น้ี c2 ϭ a2ϩb2Ϫ2ab cos C า าม : - ถา้ ครกู าำ หนดความยาวดา้ นใหส้ องดา้ น จะหาดา้ นทเ่ี หลอื B ได้หรอื ไม่ อย่างไร ca (แนว ำาตอบ : ร น้ ักเรยี นรว กันอ ราย ยยงั ไ เ ลย าำ ตอบ) Ab C าสา : 1. ก ของโคไซน์ I ndesign 2. ก ของไซน์ 1. ครูแนะนำาว่าในการหาความยาวของด้านที่เหลือของรูปสามเหล่ียมใดๆ นั้น สามารถใชค้ วามรเู้ รอื่ งตรโี กณมติ โิ ดยใชก้ ของโคไซนแ์ ละก ของไซนไ์ ด้โดยครู ให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึก าเร่ืองก ของโคไซน์และก ของไซน์ในหนังสือเรียน แล้วให้ตัวแทนกลุ่มออกมาสรุปสาระสำาคัญที่หน้าชั้นเรียนตามความเข้าใจของ นักเรียน 2. ครูนำาเสนอโจทยต์ ัวอย่างท่ี 1-4 ในหนังสือเรียนบนกระดานที่หน้าชนั้ เรียน 3. ครใู หน้ กั เรยี นทาำ แบบฝกหัดท่ี 11 กจิ กรรมตรวจสอบการเรยี นรทู้ ่ี 4 และใบงาน ท่ี 4 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 80 า รเ ่ เ เ่ ข้อสอบแนว O-NET พสิ จู นก์ ของโคไซน์ได้ดงั นี้ ิส ์ ใหม้ มุ A ของรูปสามเหลย่ี ม ABC ทกี่ าำ หนดใหอ้ ย่ทู จ่ี ดุ กาำ เนิด ดงั รปู 1. กาำ หนดใหร้ ูปสามเหลีย่ ม ABC มีดา้ น a, b และ c เปน็ ด้านตรงขา้ มมมุ A, B และ C ซง่ึ มคี วามยาวเป็น 3, 2.5 Y และ 1 หนว่ ย ตามลาำ ดบั คา่ ของ bؒcos Cϩcؒcos B เทา่ กบั ขอ้ ใด C(b cos A, b sin A) จากรูป จดุ A มีพิกดั (0, 0) และ จดุ B มพี ิกัด (c, 0) 1. 1 2. 2.5 b จะได้ จดุ C มพี กิ ดั (b cos A, b sin A) a 3. 3 4. 3.5 X A(0, 0) c B(c, 0) ต3 และ 2. กาำ หนดให้รปู สามเหลี่ยม ABC มดี ้านตรงขา้ มมมุ A, B ดังนนั้ a ϭ (b cos A − c)2 + (b sin A − 0)2 ทำานองเดียวกนั จะได้ และ ยาว และ หน่วย ตามลาำ ดับ คา่ ของ sin2 A และ a2 ϭ (b cos AϪc)2ϩb2sin2A 2 ตว ยา ท 1 C 8, 5 7 ϭ b2cos2A Ϫ 2 bc cos Aϩc2ϩb2sin2A เท่ากับขอ้ ใด ϭ b2(cos2Aϩsin2A)ϩc2Ϫ2bc cos A 1 3 ϭ b2ϩc2Ϫ2bc cos A (Ї cos2 Aϩsin2 A ϭ 1) 7 7 1. 2. a2 ϭ b2ϩc2Ϫ2bc cos A 3. 6 4. Ϫ1 b2 ϭ c2ϩa2Ϫ2ca cos B 7 7 c2 ϭ a2ϩb2Ϫ2ab cos C ต 2 ในรปู สามเหลยี่ ม ABC ให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มมุ B และมมุ C ตามลำาดับ ย ย A ถา้ A^ ϭ 60Њ, b ϭ 40 และ c ϭ 60 จงหา a 7 วิ ทา จากก ของโคไซน์ a2 ϭ b2ϩc2Ϫ2bc cos A 5 ϭ 402ϩ602Ϫ2(40)(60) cos 60Њ ϭ 1,600ϩ3,600Ϫ2(2,400) ⎛ 1⎞ ⎜⎝ 2⎟⎠ BC 8 ϭ 2,800 ดงั นนั้ a ϭ 20 7 ต จากก ของโคไซน์ จะได้ a2 ϭ b2ϩc2Ϫ2bcؒcos A จะไดว้ ่า 82 ϭ 52ϩ72Ϫ2(5)(7) cos A 64 ϭ 25ϩ49Ϫ70 cos A 64 ϭ 74Ϫ70 cos A 70 cos A ϭ 10 cos A ϭ 1 7 1Ϫ2 sin2 A ϭ 1 แหลง่ สบื ค้น 2 7 - https://www.youtube.com/watch?v=yWAe72wvsMk 6 ϭ 2 sin2 A - https://www.youtube.com/watch?v=ShuWeQlIqI8 7 2 ดังน้นั sin2 A ϭ 3 2 7 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรู้ที่ ก น รี ก 81 กิจกรรมเสนอแนะ ตว ยา ท 2 ให้นกั เรยี นแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน สรา้ งโจทยท์ ่ีใชค้ วามรู้ เรอ่ื งก ของโคไซนท์ ำานองเดยี วกบั ตวั อย่างท่ี 1 และ 2 แลว้ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มุม B และมมุ C ตามลำาดบั แลกเปลีย่ นโจทย์กนั หาคาำ ตอบและตรวจสอบความถกู ตอ้ ง ถา้ a ϭ 4, b ϭ 2 19 และ c ϭ 6 จงหาขนาดของมมุ B วิ ทา จากก ของโคไซน ์ b2 ϭ c2ϩa2Ϫ2ca cos B cos B ϭ c2 + a2 − b2 2ca ϭ 62 + 42 − (2 19 )2 ข้อสอบแนว O-NET 2(6)(4) ϭ 36 + 16 − 76 กำาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมท่ีมีขนาดของมุม A 48 เทา่ กบั 60Њ, BC ϭ 6 หน่วย และ AC ϭ 1 หน่วยคา่ ของ cos 2B เท่ากับขอ้ ใด ดงั น้ัน ϭ Ϫ1 ต 2 B^ ϭ 120Њ กน 1. 1 2. 1 4 2 ์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา้ a, b และ c เปน็ ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ 3 4. 3 A, B และ C ตามลำาดบั จะได้ 3. 4 4 ต4 ยย sin A ϭ sin B ϭ sin C จากเงอื่ นไขของโจทย์ เขยี นรูปครา่ ว ๆ ได้ดังน้ี a b c B ca B Ab C พสิ จู น์ก ของไซนไ์ ด้ดังนี้ 6 สิ ์ ใหม้ ุม A ของรูปสามเหลยี่ ม ABC ท่กี าำ หนดให้อยูท่ ี่จุดกาำ เนิด ดงั รปู 60Њ Y C 1A C(b cos A, b sin A) จากรูป จดุ A มีพกิ ัด (0, 0) และ จะพบว่า a ϭ 6 , b ϭ 1 และขนาดของมมุ A ϭ 60Њ จุด B มพี กิ ดั (c, 0) จากก ของไซน์ b a จะได้ จดุ C มีพิกดั (b cos A, b sin A) A(0, 0) c B(c, 0) X จะได้ sin A ϭ sin B a b sin 60Њ ϭ sin B 6 1 3 1 ϭ sin B 2ؒ 6 ϭ sin B 1 22 ดงั นน้ั cos 2B ϭ 1Ϫ2 sin2 B ΂ ΃ϭ 1Ϫ2 1 2 22 ϭ3 4 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่ 83

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 82 า รเ ่ เ เ่ พ้ืนทข่ี องรปู สามเหลี่ยม ABC ϭ 1 ϫความสูงϫความยาวของ าน 2 ϭ 1 (b sin A)(c) 2 ϭ 1 bc sin A 2 ทาำ นองเดยี วกนั ถา้ ใหม้ มุ B และมมุ C อยทู่ จี่ ดุ กาำ เนดิ จะไดพ้ นื้ ทข่ี องรปู สามเหลยี่ ม ABC เทา่ กบั 1 B และ 1 C ตามลำาดับ 2 ca sin 2 ab sin เน่อื งจาก 1 bc sin A ϭ 1 ca sin B ϭ 1 ab sin C 2 22 นาำ 2 คณู ตลอดจะได ้ sin A ϭ sin B ϭ sin C abc abc อาจเขยี นก ของไซนเ์ ป็น a A ϭ b ϭ c sin sin B sin C ตว ยา ท 3 กาำ หนดใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มดี า้ น a ยาว 2 2 หนว่ ย มุม B มขี นาด 60Њ และมมุ C มขี นาด 75Њ จงหาความยาวดา้ น b วิ ทา เนอ่ื งจาก A^ ϩ B^ ϩ C^ ϭ 180Њ แทนค่า A^ ϩ60Њϩ75Њ ϭ 180Њ จะได้ A^ ϭ 180ЊϪ60ЊϪ75Њ ϭ 45Њ จากก ของไซน์ sin A ϭ sin B ดังนน้ั a b ควำมร้เู พิ่มเติม sin 45° ϭ sin 60° ตว ยา สรมิ ท รย 22 b รูปสามเหล่ียมรูปหนึ่งมีพ้ืนท่ี 450 3 ตารางนิ้ว มีมุม bϭ 2 2 sin 60° sin 45° มุมหนึ่งเท่ากับ 60 องศา และด้านตรงข้ามกับมุมนี้ยาว 2 ⎛ 3⎞ 2 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 30 3 นวิ้ จงหาความยาวของดา้ นทสี่ น้ั ทสี่ ดุ ของรปู สามเหลย่ี ม ϭ 2 รูปนี้ 2 วิ ทา ให้ ∧ ϭ 60º และ a ϭ 30 3 น้วิ ϭ 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ 2 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ A พ้ืนที่ ΔABC ϭ 1 bc sinA ϭ 450 3 ϭ 2 3 หนว่ ย ต 2 ΂ ΃1bcsin 60º ϭ 450 3 12 bc 3 ϭ 450 3 2 2 bc ϭ 1,800 …..(1) จากก ของโคไซนจ์ ะได้ a2 ϭ b2ϩc2Ϫ2bc cos A แหล่งสืบค้น ΂ ΃(30 3 )2 ϭ b2ϩc2Ϫ2(1,800) 1 - https://www.youtube.com/watch?v=ZWXJw_IVoX8 2 b2ϩc2 ϭ 2,700ϩ1,800 b2ϩc2 ϭ 4,500 …..(2) แกร้ ะบบสมการ (1) และ (2) จะได้ b ϭ 30 c ϭ 60 ดังนน้ั ความยาวของดา้ นทสี่ ้ันที่สดุ ของรปู สามเหลีย่ มนี้เทา่ กบั 30 น้ิว 84 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ่ี ก น รี ก 83 กจิ กรรมเสนอแนะ ตว ยา ท 4 ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน ศึก าโจทย์เพ่ิมเติม เร่ืองก ของโคไซน์และก ของไซน์จากแหล่งความรู้ต่างๆ กาำ หนดให้รปู สามเหลี่ยม ABC มีดา้ น b ยาว 20 หน่วย ด้าน c ยาว 10 6 ( 3 Ϫ1) หนว่ ย และมมุ B กลุ่มละ 2 ข้อ จัดทำาเป็นรายงานแล้วออกมานำาเสนอหน้า มขี นาด 75Њ จงหาขนาดของมมุ ทเ่ี หลือ ชน้ั เรยี น วิ ทา จากก ของไซน์ sin B ϭ sin C b c sin 75° ϭ sin C 20 10 6( 3 − 1) จะได้ sin C ϭ 10 6( 3 − 1) sin 75° ขอ้ สอบแนว O-NET 20 10 6( ⎛ 6+ 2⎞ 1. กำาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมซ่ึงมีสมบัติว่า 3 − 1)⎝⎜ 4 ⎟⎠ 6 sin A ϭ 4 sin B ϭ 3 sin C แลว้ cos C มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใด sin 75Њ ϭ sin (45Њϩ30Њ) ϭ 20 ϭ sin 45Њ cos 30Њϩcos 45Њ sin 30Њ ϭ 1 6 ( 3 Ϫ1)( 6 ϩ 2 ) ϭ 8 ⎛ 2 ⎞⎛ 23⎟⎟⎞⎠ϩ ⎛ ⎟⎟⎞⎠⎝⎜⎛12⎞⎠⎟ Ϫ 3 2. ؊ 1 ϭ ⎜⎝⎜ 2 ⎠⎟⎟⎜⎜⎝ ⎝⎜⎜ 2 1 1. 4 4 2 8 ( 3 Ϫ1)(6ϩ2 3) ϭ 6+ 2 ϭ 6 3+6−6−2 3 3. Ϫ1 4. 1 4 8 2 4 ϭ 43 ต2 8 2. กาำ หนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี ม ดงั นั้น ϭ3 ถ้า (sin Aϩsin B ϩsin C)ؒ(sin Aϩsin BϪsin C) และ 2 ϭ 3sin Aؒsin B ค่าของ cos C เท่ากบั ขอ้ ใด C^ ϭ 60Њ A^ ϭ 180ЊϪ75ЊϪ60Њ ϭ 45Њ ต 1. 1 2. 1 2 2 3 4. Ϫ 3 3. 2 2 1 ต ยย จากก ของไซน์ sin A ϭ sin B ϭ sin C ϭk a b c จะได ้ sin A ϭ ak, sin B ϭ bk, และ sin C ϭ ck แทนคา่ ในโจทย ์ จะได้ (akϩbkϩck)(akϩbkϪck) ϭ 3(ak)(bk) k2[(aϩb)ϩc][(aϩb)Ϫc] ϭ k2(3ab) (aϩb)2Ϫc2 ϭ 3ab a2ϩ2abϩb2Ϫc2 ϭ 3ab a2ϩb2Ϫc2 ϭ ab .....(1) Ї cos C ϭ a2ϩb2Ϫc2 2ab І 2abؒcos C ϭ a2ϩb2Ϫc2 แทนใน (1) จะได ้ 2abؒcos C ϭ ab ดังนนั้ cos C ϭ 1 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition L a nin o 21st Century Skills 84 า รเ ่ เ เ่ ย า 113 ให้นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ ตามความเหมาะสม แตล่ ะกลุม่ ชว่ ยกนั แบบ กหดั ที่ 11 สร้างสถานการณ์ตัวอย่างและแก้ปัญหาสถานการณ์นั้นๆ โดยใช้ก ของโคไซน์หรือก ของไซน์ เมื่อเสร็จแล้วให้ส่ง 1. กาำ หนดใหร้ ปู สามเหลี่ยม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A มุม B และมุม C ยาว a, b และ c หน่วย ตัวแทนออกมานาำ เสนอหนา้ ชนั้ เรยี นเพือ่ แลกเปล่ียนเรยี นรู้ ตามลำาดบั จงหาความยาวของด้านหรอื ขนาดของมุมตอ่ ไปนี้ (1) c เมอ่ื กำาหนดให ้ C^ ϭ 60Њ, a ϭ 6 และ b ϭ 5 L earning for Metacognition (2) a เมื่อกำาหนดให ้ C^ ϭ 120Њ, b ϭ 3 และ c ϭ 7 ใหน้ กั เรยี นแบง่ เปน็ 3 กลมุ่ แตล่ ะกลมุ่ สง่ ตวั แทนมาจบั สลาก (3) b เมอ่ื กำาหนดให ้ A^ ϭ 30Њ, B^ ϭ 45Њ และ a ϭ 4 เลือกโจทยจ์ ากครูดังนี้ (4) a เมอ่ื กำาหนดให ้ B^ ϭ 75Њ, C^ ϭ 45Њ และ c ϭ 3 ทยขอ้ ที่ 1 ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใดๆ มุม A มขี นาด 120 องศา มมุ B มขี นาด 45 องศา 2. (5) A^ เม่อื กำาหนดให ้ a ϭ 39 , b ϭ 5 และ c ϭ 7 BC ยาว 3 หนว่ ย และ และดา้ น b มีความยาว 5 2 หนว่ ย กาำ หนดใหร้ ูปสามเหลย่ี ม ABC มมี มุ B เป็นมุมปาน sin A เทา่ กบั 1 AC ยาว 7 หน่วย จงหา cos B 3 , ทยข้อท่ี 2 ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใดๆ มุม A มขี นาด 60 องศา ด้าน b มคี วามยาว 40 3. จากจดุ สองจดุ คือ A และ B อยู่บนอาคารเดยี วกันห่างกนั 19 เมตร ในแนวต้งั มองเหน็ รถยนต์ หน่วย และด้าน c มคี วามยาว 60 หนว่ ย คนั หนง่ึ จอดอยหู่ นา้ อาคารชนั้ ลา่ งเปน็ มมุ กม้ 58Њ และ 34Њ ตามลาำ ดบั จดุ B อยสู่ งู จากพน้ื ระดบั เดยี วกบั รถยนตเ์ ท่าไร ทยขอ้ ที่ 3 ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ มุม A 4. ถนนขน้ึ เนนิ ทาำ มมุ กบั แนวราบ 32Њ ชายคนหนง่ึ ปนั จกั รยานจากจดุ ทมี่ องเหน็ ยอดเขาแหง่ หนงึ่ มีขนาด 120 องศา ดา้ น b มคี วามยาว 6 เป็นมุมเงย 47Њ เม่ือปันจักรยานขึ้นเนินไปได้ 1 กิโลเมตร มองเห็นยอดเขาเป็นมุมเงย 77Њ หน่วย และด้าน c มีความยาว 4 หน่วย ยอดเขาอย่สู ูงจากแนวราบเท่าไร แต่ละกลุ่มช่วยกันหาความยาวของ a จากโจทยท์ ีจ่ บั สลากได้ 5. เครอื่ งบนิ 2 ลาำ บนิ ออกจากสนามบนิ เดยี วกนั และเวลาเดยี วกนั ลาำ ทหี่ นง่ึ บนิ ไปทางทศิ ตะวนั - เมอ่ื เสรจ็ แลว้ ใหส้ ง่ ตวั แทนออกมานาำ เสนอหนา้ ชน้ั เรยี นเพอื่ ออกเ ยี งเหนือดว้ ยความเร็ว 400 ไมล์ต่อชัว่ โมง ลำาทสี่ องบินไปทางทิศตะวนั ตกด้วยความเร็ว แลกเปล่ยี นเรยี นรู้ 300 ไมลต์ อ่ ชวั่ โมง หลงั จากทเี่ ครอ่ื งบนิ สองลาำ นอี้ อกจากสนามบนิ ไปได ้ 2 ชว่ั โมง จะอยหู่ า่ งกนั กไี่ มล์ ย ิ รรม า 114 กิจกรรมตรวจสอบกำรเรยี นรทู้ ่ี แหล่งสืบค้น 1. ให้นกั เรยี นแบ่งกลุ่ม กลุม่ ละ 3-4 คน 2. แต่ละกลุ่มช่วยกันพิสูจน์ Hero’s Formula (หรือ Heron’s Formula) ท่ีกล่าวว่า พื้นที่ของ - https://www.youtube.com/watch?v=qT084adl8ls รปู สามเหลย่ี มใดๆ ทม่ี ี a, b และ c เปน็ ดา้ นทง้ั สามของรปู สามเหลย่ี ม เทา่ กบั s(s − a)(s − b)(s − c) เมอื่ s ϭ a+b+c 2 3. ครูสุ่มนกั เรยี นออกมานาำ เสนอท่ีหน้าชั้นเรียน 86 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หนว่ ยการเรียนรู้ที่ ก น รี ก 85 กจิ กรรมสะเตมศกึ ษำ คล นมเิ ตอรอ์ ยำ่ งง่ำย รส ์ 1. นาำ ความรเู้ รอ่ื งตรีโกณมติ ไิ ปใช้หาความสูงของวตั ถไุ ด้ 2. ประดิ ์ไคลโนมิเตอรอ์ ยา่ งงา่ ย พรอ้ มทัง้ ทดสอบการใช้งานได้ ร์ 1. กระดา แขง็ 2. เคร่อื งวดั มมุ เอียง 3. ตลับเมตร 4. แท่งไม้ 5. ด้าย 6. วัตถสุ ำาหรับใช้ถว่ งน้ำาหนกั 7. ดินสอ 8. เทปใสและอุปกรณอ์ ่นื ๆ ตามความเหมาะสม ต าร า ิ ิ รรม 1. ใหน้ กั เรยี นเแบง่ กลมุ่ ตามความเหมาะสม แล้วช่วยกันสบื ค้นขนั้ ตอนการประดิ ์ ไคลโนมิเตอร์ 2. ประดิ ์ตามขัน้ ตอนทีส่ ืบคน้ มาพร้อมทงั้ ทดสอบการใช้งาน 3. แต่ละกลุ่มนำาเสนอ ลงานเพ่อื แลกเปลีย่ นเรียนรู้ ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่ 87

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 86 า รเ ่ เ เ่ สรป Knowledge (K) ์ ตร มติ ิ าร า า ์ รา ์ ตร มิติ าร า า ์ ตร มติ ิ มม ตร มติ ิ า ว ริ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ทิ กุ งั กช์ นั เป็น ังก์ชนั ท่ีเปน็ คาบ กาำ หนดจำานวนจรงิ ␪ จะหาจุด (x, y) ซ่ึงเปน็ หน่วยในการวัดมุมที่นิยมใช้ ᭹ f(x) ϭ a sin(nx) จุดปลายส่วนโค้งท่ียาว ␪ หน่วย ได้บน คือ เรเดียนและองศา โดย วงกลมหน่ึงหน่วยสำาหรับแต่ละจำานวนจริง 180 องศา เทา่ กบั p เรเดียน คาบเท่ากับ 2π ␪ ใดๆ จะได้ การหาคา่ ของ งั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ อง |n| มุมในหน่วยเรเดียนใช้วิธีการเดียว กับการหาค่าของ ังก์ชันตรีโกณมิติ แอมพลิจดู เท่ากบั a| ของจำานวนจริง ␪ และการหาค่าของ ังก์ชันตรีโกณมิติในหน่วยองศา ᭹ f(x) ϭ a cos(nx) ทำาได้โดยเปล่ียนค่าของมุมจาก x ϭ cos ␪ หน่วยองศาให้เป็นหน่วยเรเดียน คาบเทา่ กบั 2π ก่อน |n| y ϭ sin ␪ แอมพลิจดู เทา่ กับ a| tan ␪ ϭ sin θ sec ␪ ϭ cos θ ᭹ f(x) ϭ a tan(nx) cosec ␪ ϭ cot ␪ ϭ 1 คาบเทา่ กับ p cos θ |n| 1 sin θ ᭹ f(x) ϭ a sec(nx) 1 คาบเท่ากบั 2π tan θ |n| ᭹ f(x) ϭ a cosec(nx) คาบเท่ากับ 2π |n| ᭹ f(x) ϭ a cot(nx) คาบเท่ากับ p |n| 1. ทัก ะการแก้ปญั หา 1. ทาำ ความเขา้ ใจหรอื สรา้ งกรณที ว่ั ไปโดยใชค้ วามรทู้ ไี่ ดจ้ ากการ 2. ทกั ะการเชื่อมโยง ศึก ากรณตี ัวอยา่ งหลายๆ กรณี 3. ทัก ะการให้เหตุ ล 4. ทกั ะการคิดสร้างสรรค์ 2. มองเห็นวา่ สามารถใช้คณติ ศาสตร์แกป้ ญั หาในชวี ติ จรงิ ได้ 3. มีความมุมานะในการทำาความเข้าใจปัญหาและแก้ปัญหา ทางคณติ ศาสตร์ 4. คน้ หาลกั ณะทเ่ี กดิ ขนึ้ ซา้ำ ๆ และประยกุ ตใ์ ชล้ กั ณะดงั กลา่ ว เพื่อทำาความเข้าใจหรอื แก้ปัญหาในสถานการณ์ตา่ งๆ 88 ู่ รู หน เรียนรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ก น รี ก 87 งั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ อง ลบวกและ ตวั ก ันของ ังก์ชันตรโี กณมิติ เอกลกั ณแ์ ละสมการ ลตา่ งของจำานวนจริงหรอื มุม ตรโี กณมติ ิ มี ค ว า ม สั ม พั น ธ์ ที่ ค ว ร ท ร า บ ตัว ก ันของ ังก์ชันตรีโกณมิติ ᭹ สมการที่มี ังก์ชันตรีโกณมิติ ดังในส่วนสรุปความสัมพันธ์ ไม่เป็น ังก์ชันแต่ถ้ากำาหนด ปราก อยู่ เรียกสมการ (ในหนา้ ถดั ไป) โดเมนของ ังก์ชันตรีโกณมิติ ดังกลา่ ววา่ สมการตรีโกณมิติ ให้เหมาะสมแล้ว ตัว ก ันของ ซึ่งการแก้สมการตรีโกณมิติ งั ก์ชันตรีโกณมิตจิ ะเป็น งั ก์ชัน ทำาได้ในทำานองเดียวกับการ แก้สมการพชี คณติ งั กช์ นั ก ัน arcsine, arccosine และ arctangent มีโดเมนและเรนจ์ดงั นี้ ᭹ สมการตรีโกณมิติที่เป็นจริง ์ ม ร์ สำาหรับทุกค่า ␪ จะเรียก {x|Ϫ1 р x р 1} ส ม ก า ร ต รี โ ก ณ มิ ติ นี้ ว่ า y ϭ arcsin x {x|Ϫ1 р x р 1} π{ }y|Ϫ π เอกลกั ณ์ 2 2 y ϭ arccos x R р y р y ϭ arctan x {y|0 р y р p} π{ }y|Ϫ π 2 ϽyϽ 2 ก ของโคไซน์และก ของไซน์ ก ของโคไซน์ ก ของไซน์ a2 ϭ b2ϩc2Ϫ2bc cos A sin A ϭ sin B ϭ sin C a b c b2 ϭ c2ϩa2Ϫ2ca cos B c2 ϭ a2ϩb2Ϫ2ab cos C ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่ 89

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 88 า รเ ่ เ เ่ สร วามสม ์ทสา sin(AϩB) ϭ sin A cos Bϩcos A sin B sin(AϪB) ϭ sin A cos BϪcos A sin B cos(AϩB) ϭ cos A cos BϪsin A sin B cos(AϪB) ϭ cos A cos Bϩsin A sin B tan(AϩB) ϭ tan A + tan B 1 − tan A tan B tan(AϪB) ϭ tan A − tan B sin 2A ϭ 2 sin A cos A 1 + tan A tan B cos 2A ϭ cos2AϪsin2A ϭ 2 cos2AϪ1 ϭ 1Ϫ2 sin2A tan 2A ϭ 2 tan A 1 − tan2A sin 3A ϭ 3 sin AϪ4 sin3A cos 3A ϭ 4 cos3AϪ3 cos A tan 3A ϭ 3 tan A − tan3A 1 − 3 tan2A 2 sin A cos B ϭ sin(AϩB)ϩsin(AϪB) 2 cos A sin B ϭ sin(AϩB)Ϫsin(AϪB) 2 cos A cos B ϭ cos(AϩB)ϩcos(AϪB) Ϫ2 sin A sin B ϭ cos(AϩB)Ϫcos(AϪB) sin Aϩsin B ϭ 2 sin ⎛A+ B⎞ cos ⎛ A − B⎞ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ sin AϪsin B ϭ 2 cos ⎛ A + B⎞ sin ⎛ A − B⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ cos Aϩcos B ϭ 2 cos ⎛ A + B⎞ cos ⎛ A − B⎞ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ΂ ΃ ΂ ΃cos AϪcos B ϭ Ϫ2 sin A+B sin A−B 2 2 ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ท่ี เ ่

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition หน่วยการเรียนรูท้ ี่ ก น รี ก 89 ย ทส า 115 แบบทดสอบวัด ลสมั ท ิ 1. จงเขียนมุมในหนว่ ยองศาในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ใี หม้ ีหนว่ ยเปน็ เรเดยี น (1) 40Њ (2) 145Њ (3) Ϫ450Њ 2. จงเขียนมมุ ในหนว่ ยเรเดียนในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ใี ห้มีหนว่ ยเป็นองศา (1) 4p (2) Ϫ π (3) 5π 5 18 3. จงหาคา่ ของ 10π 7π 25π (1) sin 30ЊϪcos 150Њ tan 210Њ (2) sec 3 cosec 6 cot 4 4. กาำ หนดให้ sin ␪ ϭ 0.1 จงหาคา่ ของ sin(6pϪ␪) 5. กำาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุม ากโดยมีมุม C เป็นมุม าก มุม A มีขนาด 22Њ และมีด้านตรงข้ามมุม ากยาว 20 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AC และ BC (กาำ หนด sin 22Њ ϭ 0.37 และ cos 22Њ ϭ 0.93) 6. จงหาแอมพลจิ ดู และคาบจากกรา y ϭ Ϫ 1 sin 4x 4 7. จงหาคา่ ของ cos π cos π Ϫsin π sin π 9 18 18 9 8. กาำ หนดให้ m(tan ␪Ϫcot ␪) sin ␪ cos ␪ ϭ 1Ϫ2 cos2␪ จงหาค่าของ mϩ2 9. จงหาค่าของ sin ⎜⎛⎝arccos 3 + arcsin 5⎞ 5 13⎠⎟ 10. กาำ หนดให้ 1 tan A ⋅ 1 tan B = 1 จงพิสจู น์วา่ tan(AϩB) ϭ 1 − tan A − tan B 2 11. จงหาเซตคำาตอบของสมการตรโี กณมติ ติ อ่ ไปนี้ (1) sin ␪ϩcos ␪ ϭ 0 (2) cosec2θ − 1 ϩtan ␪ ϭ 2 เมื่อ 0 р ␪ Ͻ 2p 12. กาำ หนดให้รูปสามเหล่ยี ม ABC มีด้านตรงขา้ มมุม A มุม B และมมุ C ยาว a, b และ c หนว่ ย ตามลาำ ดบั ถ้ามุม A มีขนาด 45 องศา ดา้ น a ยาว 2 2 หน่วย และด้าน b ยาว 2 หนว่ ย แลว้ ขนาดของมมุ C เท่ากับเทา่ ไร ู่ รู หน เรยี นรายว าเ ่ เ า ร น ย ก า ที่ เ ่