คณิตเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 204 คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.5 เล่ม 1 ข้อสอบแนว O-NET กาำ หนดให ้ a, b, c เปน็ า งตวั ด กาำ หนดระบบสมการ ϭ −1 เ งิ เสน้ ดงั น้ี −1 xϩyϩz ϭ a ϭ1 y ϭ det(A2 ) det(A) 2xϩz ϭ b 1 92 3yϩ3z ϭ c 0 − 17 − 7 า ง 6xϩ3yϪ3z ในเท ม ง a, b, c ตรงกบั ้ ใด 3 0 −5 ϭ −1 1. 14a؊6b؊5c 2. 2aϪbϩc 3. 19aϩ7bϩ7c 4. 2aϪc ϭ (85 + (− 189) + 0) − ((− 102) + 0 + 0) −1 ตอบ อ 1 ย อยี ϭ −2 −1 นาำ มาเ ี นเปน็ เมทรกิ ซ์ ดด้ งั น้ี ϭ2 1 11x a zϭ det(A3 ) det(A) 2 0 1 yϭ b 11 9 0 33z c 0 2 − 17 1 11 1 11 36 0 det 2 01 2 01 33 ϭ 0 33 ϭ 0 −1 ϭ (0ϩ(Ϫ5)ϩ0)Ϫ(54ϩ(Ϫ102)ϩ0) Ϫ1 ϭ 0ϩ0ϩ6ϩ0Ϫ3Ϫ6 ϭ Ϫ3 ϭ Ϫ3 Ϫ1 หา า x, y และ z ด ใ ก้ ง ราเม รด์ งั นี้ ϭ3 ตอบ a 11 ดังนน้ั ำาต บ งระบบสมการที่กาำ หนด (x, y, z) ϭ (1, 2, 3) b 01 น กจากวิ ีดังกลาวแล้ว การหา ำาต บ งระบบสมการเ ิงเส้น าจจะหา ด ใ ้วิ ีการ ดำาเนนิ การตามแถวเ ่ หา ำาต บทีต่ ้ งการ ซง่ จะกลาวต ปนี้ xϭ c 33 Ϫ3 0ϩ3bϩcϪ0ϪaϪ3b บท ิยา กำาหนดระบบสมการเ ิงเสน้ ท่ีม ี m สมการ และ n ตวั แปร ϭ Ϫ3 a11x1ϩa12x2ϩ...ϩa1nxn ϭ b1 Ϫaϩc ϭ Ϫ3 a21x1ϩa22x2ϩ...ϩa2nxn ϭ b2 … … … … 1 a1 am1x1ϩam2x2ϩ...ϩamnxn ϭ bm 2 b1 yϭ 0 c3 Ϫ3 3bϩ0ϩ2cϪ0ϪcϪ6a แหล่งสบื คน้ ϭ Ϫ3 - https://www.youtube.com/watch?v=jItF04mLHvA Ϫ6aϩ3bϩc ϭ Ϫ3 11a 2 0b ΂ ΃ ΂ ΃ ดงั นน้ั 6xϩ3yϪ3z ϭ 6 Ϫaϩc ϩ3 Ϫ6aϩ3bϩc 03c Ϫ3 Ϫ3 Ϫ3 zϭ ΂ ΃6aϪ3bϪ2c 0ϩ0ϩ6aϪ0Ϫ3bϪ2c Ϫ3 Ϫ3 ϭ Ϫ3 ϭ 2aϪ2cϩ6aϪ3bϪcϩ6aϪ3bϪ2c 6aϪ3bϪ2c ϭ 14aϪ6bϪ5c ϭ Ϫ3 242 คมู่ อื ครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 205 ความรเู้ พ่ิมเติม ท ิ ต่ง ติ งระบบสมการน้ี เราสามารถใ ้การดาำ เนินการตามแถวเป็นเ ร่ งม ในการ หาเมทรกิ ซ์ ก นั ดด้ ังนี้ ⎡ a11 a12 … a1n b1 ⎤ ให ้ A เปน็ เมทรกิ ซ์ มเ ก านท่ีมมี ติ ิ nϫn เราสามารถหา ⎢ ⎥ AϪ1 ดต้ าม นั้ ต นต ปน้ี ⎢ ⎥ ขั้นที่ 1 สร้างเมทรกิ ซ ์ A : In] ⎢ a21 a22 … a2n b2 ⎥ ขน้ั ที่ 2 ใ ก้ ารดาำ เนนิ การตามแถวบนเมทรกิ ซ ์ [A : In] จนกระท่ัง ดเ้ มทริกซ ์ [In : B] ⎢ ⎥ จะ ด ้ B ϭ AϪ1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ am1 am2 … amn bm ⎥⎦ เ น กาำ หนดระบบสมการเ ิงเสน้ 5xϩ2yϪ4z ϭ Ϫ3 2xϪyϩ3z ϭ 9 xϩy ϭ 3 นาำ ระบบสมการเ งิ เสน้ ดังกลาวมาเ ี นในรปเมทรกิ ซแ์ ตงเติม ดด้ งั นี้ ⎡5 2 −4 −3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 −1 3 ⎢ 9⎥ ⎢⎣ 1 1 0 ⎥ 3 ⎦⎥ เ ่ วามสะดวก จะใ ส้ ั ลัก ์ Rn เ ่ แทนแถวแตละแถว งเมทรกิ ซ์ เ น แถวท ี่ 1 ใ ส้ ั ลกั ์ R1 ดงั นน้ั เมทรกิ ซแ์ ตงเตมิ ในตวั าง า้ งตน้ าจเ ี นแตละแถวให้ ดั เจน ด้ดังนี้ R1 ⎡5 2 −4 −3⎤ ⎢ ⎥ R2 ⎢ ⎢ 2 −1 3 9⎥ ⎥ R3 ⎣⎢ 1 1 0 3 ⎦⎥ บท ยิ า ให้ A เป็น mϫn เมทริกซ์ เรี กการดำาเนินการต ปน้ีวาเป็น า ำา ิ า ตา วกับเมทริกซ์ A 1. สลบั ทแี่ ถวท ่ี i และแถวที่ j ง A เ ี นแทนดว้ Rij 2. สมา ิกในแถวท่ี i ดว้ า งตัว c ซ่ง c 0 เ ี นแทนดว้ cRi 3. เปล่ี นแถวท ี่ i ง A ด นำา า งตวั c สมา ิกในแถวที่ j(j i) แลว้ นำา ปบวกกบั สมา ิกแตละตวั ในแถวท ่ี i เ ี นแทนด้ว RiϩcRj คมู่ อื ครู หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 243

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แหลง่ สบื คน้ 206 คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.5 เล่ม 1 - https://www.youtube.com/watch?v=jItF04mLHvA บท ิยา ให ้ A เป็น mϫn เมทริกซ ์ กลาววา A มี บบ ั บั บบ วเม่ A มสี มบตั ิ ต ปน้ี 1. ถ้า A มแี ถวทีม่ สี มา กิ บางตวั มเทากบั 0 แลว้ สมา ิกตวั แรก (จากซ้า ป วา) ท่ี มใ 0 ต้ งเปน็ 1 เรี ก 1 ตัวน้ีวาเป็น 1 ตัว าำ ในแถว 2. ถา้ A มแี ถวทีม่ ีสมา กิ ทกตัวในแถวเทากับ 0 แล้ว แถวเหลานี้ต้ ง ด้านลาง ง แถวท่มี ีสมา กิ บางตัว มเทากับ 0 3. ถ้า aij เปน็ 1 ตัวนาำ ในแถวที่ i และ a(iϩ1)k เปน็ 1 ตวั นาำ ในแถวท่ี iϩ1 แลว้ j Ͻ k ั ข ท ท่ี ี ขนั้ นั ⎡ 1 −2 3 −4⎤ ⎡ 1 4 2⎤ ⎡ 1 −2 ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ 0 2 ⎥, ⎢0 1 −3⎥ 0, In, ⎢ 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 ⎦⎥ ⎢ 18 ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 ⎢⎣ 0 01 7 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 0 ⎥⎦ ั ข ท ที่ ี ขน้ั ัน ⎡ 1 0 −1⎤ ⎡ 1 −2 3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥, ⎢0 0 0 ⎥ ⎢⎣ 0 − 2 ⎦⎥ ⎢ ⎥ 6 ⎣⎢ 0 0 4 ⎥⎦ บท ิยา ถ้าเมทริกซ์ B ด้จากเมทริกซ์ A ด การดำาเนินการตามแถวแล้ว จะกลาววา B สมมลแบบแถวกบั A เ ี นแทน B สมมลแบบแถวกบั A ด้ว A ϳ B การแกร้ ะบบสมการเ ิงเส้น ด ใ ้วิ กี ารดำาเนินการตามแถวมี ั้นต นดงั นี้ ั ที่ 1 เ ี นระบบสมการเ ิงเส้นให้ ในรปเมทริกซแ์ ตงเติม ั ท่ี 2 ใ ก้ ารดาำ เนนิ การตามแถวกบั เมทรกิ ซแ์ ตงเตมิ ใน น้ั ท ี่ 1 เ ่ ให้ ดเ้ มทรกิ ซแ์ ตงเตมิ ทม่ี รี ปแบบ ัน้ บัน ดแบบแถวทีม่ ีสมา กิ ในแถวท ่ี 1 หลกั ท ่ี 1 เป็น 1 และสมา ิกในแถว ่นๆ งหลกั ท่ี 1 เป็น 0 ั ที่ 3 ใ ้การดำาเนินการตามแถวต จาก ั้นท่ี 2 เ ่ ให้ ด้เมทริกซ์แตงเติมท่ีมีรปแบบ ้ันบัน ด แบบแถวท่ีมีสมา กิ ในแถวท่ี 2 หลักท่ี 2 เปน็ 1 และสมา กิ ในแถว ่นๆ งหลักท่ี 2 เปน็ 0 จากนน้ั ดาำ เนนิ การตามแถวในหลกั ถดั ปในทำาน งเดี วกันจน รบทกหลัก ั ที่ 4 สรป ำาต บ งระบบสมการ ด ิจาร าทาง วา งเมทริกซ์แตงเติมที่ ด้จาก ั้นที่ 3 ด ำาต บ งระบบสมการจะเรี งลำาดับตามตวั แปรในระบบสมการจากบนลงลาง 244 คมู่ ือครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 207 กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยา่ งท่ี 4 จากตัว างท ี่ 4 รให้นกั เรี น ว กันบ ก วามหมา ง และ R3Ϫ3R1, 1 11 จงแกร้ ะบบสมการทกี่ ำาหนดให้ ด ใ ้การดำาเนนิ การตามแถว 2 R2, R1ϪR2, R3Ϫ3R2, Ϫ2R3, R1Ϫ 2 R3 xϩyϩ2z ϭ 9 R2ϩ 7 R3 2 2yϪ7z ϭ Ϫ17 ว ำาตอบ ตัว างเ น 3xϩ6yϪ5z ϭ 0 R3Ϫ3R1 หมา ถง เปล่ี นแถวที่ 3 ง วธิ ที าำ จากระบบสมการทก่ี ำาหนดให ้ เ ี นเมทริกซ์แตงเติมและใ ้การดำาเนินการตามแถว ดด้ ังน้ี เมทริกซ์ ด นำา 3 สมา ิกในแถวที่ 1 แล้วนำา ปลบกับสมา ิกแตละตัวในแถวที่ 3 ⎡1 1 2 9⎤ ⎡1 1 2 9⎤ ด สมา กิ ในแถวท ่ี 3 เป็นตัวตงั้ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢0 2 −7 − 17 ⎥ ϳ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ 2 −7 − 17 ⎥ ⎢⎣ 3 6 − 5 ⎥ 0 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 3 − 11 − 27 ⎦⎥ R3− 3R1 ⎡1 1 2 9⎤ 1 R2 หมา ถง เปล่ี นแถวท ี่ 2 งเมทริกซ์ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ϳ ⎢0 1 − 7 − 17 ⎥ 1 R 2 ด นาำ 12 สมา กิ ในแถวท ่ี 2 2 2 ⎥ 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 0 3 − 11 − 27 ⎦ R2ϩ 7 R3 หมา ถง เปล่ี นแถวท่ี 2 ง 2 ⎡ 1 0 11 35 ⎤ R1− R2 เมทริกซ์ ด นำา 7 สมา ิกในแถวที่ 3 ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 − 7 − 17 ⎥ แลว้ นาำ ปบวกกบั สมา กิ แตละตวั ในแถวท ่ี 2 ϳ ⎢0 2 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 − 1 − 3 ⎦⎥ R3− 3R2 2 2 ⎡ 1 0 11 35 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ϳ ⎢ −7 17 ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ 0 1 − ⎥ ข้อสอบแนว O-NET ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 3 ⎦⎥ Ϫ− 22RR32 1 ⎡1 0 0 1⎤ R1 − 11R 3 กาำ หนดระบบสมการเ งิ เสน้ ดงั น้ี ⎢ ⎥ 2 ϳ ⎢ 0 1 0 2 ⎥ R2 + 7 R 3 xϩz ϭ 2 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 3 ⎥⎦ 2xϪ3yϩ4z ϭ 6 ดังนนั้ าำ ต บ งระบบสมการ (x, y, z) ϭ (1, 2, 3) ตอบ xϪ7yϪ2z ϭ 6 แลว้ xz ้ ใด y2 1. Ϫ14098 2. Ϫ14099 3. ؊14190 4. Ϫ14191 ตอบ อ 3 ค่มู ือครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 245

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition กจิ กรรมเสนอแนะ 208 คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ม.5 เล่ม 1 จากตวั างท ่ี 5 รใหน้ ักเรี น ว กันบ ก วามหมา ง ตัวอยา่ งที่ 5 จงแกร้ ะบบสมการที่กำาหนดให้ ด ใ ก้ ารดำาเนนิ การตามแถว และ R2ϪR1, 1 Ϫ 1 R3Ϫ2R1, 4 R2, R1ϪR2, 5 R3, R1Ϫ6R3 xϩyϩzϩ7t ϭ 0 R2ϪR3 xϩyϩ5zϩ11t ϭ Ϫ2 ว าำ ตอบ ตวั างเ น 2xϩ2yϩ4zϩ11t ϭ 2 R1ϪR2 หมา ถง เปลี่ นแถวท ่ี 1 งเมทรกิ ซ์ วธิ ีทำา จากระบบสมการที่กำาหนดให ้ เ ี นเมทริกซแ์ ตงเตมิ และใ ก้ ารดำาเนินการตามแถว ดด้ งั น้ี ด นำาสมา ิกในแถวท่ี 2 ปลบกับสมา ิก แตละตวั ในแถวท ี่ 1 ด สมา ิกในแถวท่ ี 1 ⎡1 1 1 7 0⎤ ⎡1 1 1 7 0⎤ เปน็ ตวั ต้ัง ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 1 1 5 11 ϳ ⎢0 −2⎥ ⎢ −2⎥ ⎢ 0 4 4 ⎥ R2 − R1 ⎣⎢ 2 2 4 11 ⎥ 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 0 2 − 3 2 ⎥⎦ R3− 2R1 Ϫ 1 R3 หมา ถง เปลี่ นแถวท ่ี 3 งเมทรกิ ซ์ ⎡1 1 1 7 0⎤ 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ด นาำ Ϫ51 สมา กิ ในแถวท ่ี 3 ϳ ⎢0 0 1 1 − 1 ⎥ 1 R 2 2 ⎥ 4 ⎢ ⎢ ⎥ R1Ϫ6R3 หมา ถง เปล่ี นแถวท ี่ 1 งเมทรกิ ซ์ ⎣ 0 0 0 −5 3 ⎦ ด นาำ 6 สมา กิ ในแถวท ่ี 3 แลว้ นาำ ปลบ ⎡ 1 1 0 6 1⎤ R1− R2 ⎢ ⎥ กับสมา ิกแตละตัวในแถวที่ 1 ด สมา ิก ⎢ 2 ⎥ ในแถวท ่ี 1 เป็นตัวต้ัง ⎢ 1 ⎥ ϳ ⎢0 0 1 2 ⎥ ⎢ 1 − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 0 − 5 3 ⎥⎦ ⎡ 1 1 0 6 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ϳ ⎢0 2 ⎥ แหลง่ สืบคน้ ⎢ 0 1 1 − ⎥ - https://www.youtube.com/watch?v=4qJBn83Tdwo ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 0 1 − 3 ⎦⎥ − 1 R3 5 5 ⎡ 1 1 0 0 41 ⎤ R1− 6R3 ⎢ ⎥ ⎢ 10 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ϳ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 10 10 ⎥ R2− R3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 0 1 − 3 ⎥⎦ 5 จะ ด้ xϩy ϭ 41 , z ϭ 1, t ϭ Ϫ3 10 10 5 246 ค่มู ือครู หนังสือเรยี นรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 209 ข้อสอบแนว O-NET ดงั นัน้ เซต าำ ต บ งระบบสมการทกี่ าำ หนด กาำ หนดระบบสมการเ งิ เสน้ ดงั น้ี ⎧⎨⎪(x, y, z, t) x + y = 41, z = 1, t = − 3⎪⎫ ϭ ⎪⎪⎩⎧⎨⎜⎛⎝x, y, 1, − 3⎞ x+y = 1401⎪⎭⎪⎫⎬ ⎪⎩ 10 10 ⎬ 10 5⎠⎟ xϩyϩz ϭ Ϫ2 5 ⎪⎭ ⎨⎪⎩⎪⎧⎜⎛⎝c, 41 1, 3⎞ c ʦ R⎪⎬⎫ ตอบ Ϫxϩy ϭ 0 10 10 5⎟⎠ ⎭⎪ ϭ − c, − yϩz ϭ 1 แลว้ xyz เทากบั ้ ใด ตัวอย่างที่ 6 1. 0 2. 12 จงแกร้ ะบบสมการ 3. 24 4. 36 xϩ2yϩzϩ4t ϭ 4 ตอบ อ 4 zϩt ϭ 1 xϩ2yϩ3t ϭ 4 วิธีทาำ จากระบบสมการท่กี ำาหนดให ้ เ ี นเมทริกซแ์ ตงเตมิ และใ ้การดำาเนินการตามแถว ด้ดังน้ี ⎡1 2 1 4 4⎤ ⎡1 2 1 4 4⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢0 0 1 1 ⎢ 1⎥ ϳ ⎢0 0 1 1 1⎥ ⎢⎣ 1 2 0 3 ⎥⎢ ⎥ 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 − 1 − 1 0 ⎥⎦ R3− R1 ⎡1 2 1 4 4⎤ ⎢ ⎥ ϳ ⎢0 0 1 1 ⎢ 1⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 ⎥ 1 ⎥⎦ R3+ R2 เมทริกซ์สดท้า เปน็ เมทริกซ์แตงเติม งระบบสมการ ตอบ xϩ2yϩzϩ4t ϭ 4 0xϩ0yϩzϩt ϭ 1 0xϩ0yϩ0zϩ0t ϭ 1 จะเหนวา มมจี าำ นวนจรงิ x, y, z, t ท่ีส ด ล้ งกบั สมการ 0xϩ0yϩ0zϩ0t ϭ 1 ดังนั้น ระบบสมการน้ี มมี ำาต บ จากวิ ีการดำาเนินการตามแถวกับเมทริกซ์แตงเติม งระบบสมการเ ิงเส้น สังเกต ด้วาระบบสมการท่ีกำาหนด าจมี ำาต บหร มมี ำาต บก ด้ และใน กร ที ่ีมี าำ ต บ จำานวน าำ ต บ าจมี ดเดี วหร มจี าำ นวนเปน็ นนั ตก์ ด้ คู่มอื ครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 247

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition L earning for 21st Century Skills 210 คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 ย บบ ั า 260 ให้นักเรี นแบงกลม สร้างแบบทดส บปรนั 4 ตัวเล ก แบบ กหั ท่ี เร่ งการแกร้ ะบบสมการเ งิ เสน้ ด ใ เ้ มทรกิ ซด์ ว้ วิ ตี างๆ กลมละ 5 ้ จากนนั้ จบั กับเ ่ นกลม น่ แลกเปล่ี นกนั จงแก้ระบบสมการต ปน้ี 2. xϩ2y ϭ 5 ทำาแบบทดส บ แล้วรวมกนั เ ล าำ ต บ 3xϪy ϭ 8 1. Ϫxϩy ϭ 4 L earning for Metacognition 2xϩ3y ϭ 22 4. 4xϪ3y ϭ Ϫ7 6xϩ14y ϭ 8 ใหน้ กั เรี นแบงกลม ก าเ ม่ิ เติมเกี่ วกบั การหาเมทรกิ ซ์ 3. Ϫ3xϪ4y ϭ 2 ก นั ด ใ ก้ ารดาำ เนนิ การตามแถวจากแหลง วามรต้ างๆ 5xϩ3y ϭ 4 6. 2xϪ4yϩ6z ϭ 18 ร้ ม กตวั างประก บ จัดทาำ เป็นรา งาน ตวั แทนกลม Ϫxϩ3y ϭ Ϫ4 กมานาำ เสน หนา้ ัน้ เรี นเ ่ แลกเปล่ี นเรี นร้ 5. xϪyϪ3z ϭ Ϫ2 2xϩyϪz ϭ 5 2xϪ5yϩ5z ϭ 17 8. xϩyϪzϩ5t ϭ 8 3xϪ2yϩ2z ϭ Ϫ3 7. xϪ4z ϭ Ϫ3 xϩyϩ2zϩ3t ϭ 3 3xϩ3yϩzϪt ϭ 4 2xϩyϪ5z ϭ 1 10. 2yϪ7z ϭ Ϫ17 Ϫxϩ3yϪz ϭ 10 9. xϩ2yϩz ϭ 8 xϩyϩ2z ϭ 9 2xϩ3yϩ2z ϭ 14 6xϩ12yϪ10z ϭ 0 12. xϪyϩzϪt ϭ 2 3xϪyϩz ϭ 6 2xϩyϪ3zϪt ϭ Ϫ3 11. xϩ2yϩ7z ϭ 10 xϪ2yϩ3zϩ2t ϭ 5 3xϩ5yϪ4zϩt ϭ 0 2xϪyϩ4z ϭ 5 xϩyϩ5z ϭ 7 ย ิ า 260 กิจกรรมตรวจสอบการเรยี นร้ทู ่ี 1. ใหน้ กั เรี นแบงกลม กลมละ 3-4 น 2. แตละกลม ว กันสร้าง จท ์ป หาเกี่ วกับระบบสมการเ ิงเส้นท่ีมีตัวแปรต้ังแต 3 ตัว ้น ป ร้ มท้ังหา ำาต บ ด ใ ้เมทริกซ์ทั้ง 3 วิ ี แล้วตรวจส บวา ำาต บ งระบบสมการท่ี ด้ เทากนั หร ม 3. นาำ ลงาน งทกกลมมารวมเป็นเลม 248 คู่มือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 211 กิจกกรจิ รกมรตรมามถอรรรมหชัสาจตากวิ เชิมทารกิ ง 1. กแบบเกมถ ดรหสั ด ใ ้การ ระหวางเมทรกิ ซม์ ติ ิ 1ϫn และ nϫ1 เม่ n เป็นจาำ นวนเตมบวกที่มากกวา 1 2. กทกั ะการ ระหวางเมทริกซ์ อ 1. กระดา วาดรป 2. สีเมจิก/ดนิ ส /ดนิ ส สี 3. ปกร ต์ กแตง น่ ๆ ั ตอ า าำ ิ ิ 1. ใหน้ ักเรี นจบั กัน 2. แตละ สร้างเกมถ ดรหสั ด ใ ้การ ระหวางเมทริกซม์ ติ ิ 1ϫn และ nϫ1 เม่ n เป็นจำานวนเตมบวกท่ีมากกวา 1 เ ่ ให้ ด้ ล เป็นจำานวนท่ีเป็นลำาดับ งตัว ัก ร า า งั ก ซง่ เม่ เรี งตามลำาดบั แลว้ จะ ด้ าำ ั ท์ า า ังก 3. ตกแตง นิ้ งานใหส้ ว งามแลว้ แลกเปลี่ นระหวางกลมเ ่ ทดล งเลนเกมถ ดรหสั ⎡ 3⎤ ⎡ 2⎤ ⎢⎥ ⎡ 14 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢−4⎥ Ϫ1 ⎢ ⎥ Ϫ4 ⎢ 3 ⎥ Ϫ1 2⎢ ⎥ 1 ⎢⎣ − 1 ⎥⎦ 2 3 ⎥ 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 ⎦⎥ 8 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ คูม่ อื ครู หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 249

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 212 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.5 เลม่ 1 สร Knowledge (K) ทิ ท ิ ท ิ ับ ่ยี เมทริกซ์ กลม งจำานวนที่เ ี นเรี งเป็นรปส่ีเหล่ี มมม าก ด เ ี น า ใน เ ร่ งหมา เมทริกซ์สลับเปลี่ น เมทริกซท์ ีเ่ กิดจากการนาำ สมา ิกในเมทริกซ์ A มาเปลี่ นจาก แถวเปน็ หลักและจากหลักเป็นแถว า บว ท ิ า ท ิ ับ ำา ว งิ า ว่าง ท ิ ᭹ ถา้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซท์ ม่ี ีมติ เิ ดี วกัน AϩB เมทริกซท์ ่สี มา ิกแตละตวั เกิดจาก สมา กิ ท่ี ในตำาแหนงเดี วกนั ง A และ B บวกกัน ᭹ ถา้ c เปน็ จาำ นวนจรงิ ใดๆ แลว้ cA เมทรกิ ซท์ เี่ กดิ จากการนาำ c เ า้ ปในสมา กิ ทกตวั ง A ถ้า และ แลว้᭹ A ϭ aij mϫn B ϭ bij nϫr AϫB ϭ AB ϭ C ϭ cij mϫr ด ท่ี cij ϭ ai1b1jϩai2b2jϩ...ϩainbnj ี ทอ ิ ต เปน็ สมบตั ิที่ บในเมทรกิ ซจ์ ตั รัสเทานนั้ ด แตละเมทรกิ ซจ์ ตั รสั จะหาดเี ท รม์ ิแนนต์ ด้ เ ี ง าเดี วเทานน้ั ใ ส้ ั ลกั ์ A หร det(A) แทนดเี ท รม์ แิ นนต์ ง A ทิ ั เมทรกิ ซใ์ ดๆ ทน่ี าำ มา กบั เมทรกิ ซท์ สี่ นใจแลว้ ด้ ลลั เ์ ปน็ เมทรกิ ซเ์ กลกั ์ เมทรกิ ซ์ ก ัน ง A ใ ้สั ลกั ์ AϪ1 หร 1 A า บบ า ิง ย ทิ ᭹ ด ใ เ้ มทรกิ ซ์ ก ัน ᭹ ด ใ ้หลักเก ์ ราเม ร์ ᭹ ด ใ ้การดำาเนนิ การตามแถว 1. ทกั ะการแก้ป หา 1. ทำา วามเ ้าใจหร สร้างกร ีทั่ว ป ด ใ ้ วามร้ท่ี ด้จากการ ก ากร ี 2. ทัก ะการเ ่ ม ง ตวั างหลา ๆ กร ี 3. ทัก ะการให้เหต ล 4. ทกั ะการ ิดสรา้ งสรร ์ 2. มี วามมมานะในการทาำ วามเ า้ ใจป หาและแก้ป หาทาง ิต าสตร์ 250 ค่มู ือครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ่ ารเร ร ่ เม ริ ์ 213 ย บบท อบ า 263 แบบท สอบวั ลสมั ท ิ 1. ถา้ ⎡ 5 x+y⎤ ⎡x−3 2 ⎤ แลว้ า ง x2ϩy2 เทากับเทา ร ⎢ 14 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢⎣ − 5 ⎦⎥ ϭ ⎣⎢ 14 − ⎦⎥ 2. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡5 − 2 ⎤ และ B ⎡3 4 ⎤ จงหา ⎢ 4 ⎥ ⎢ −1 ⎥ (1) 3AϪBt ⎣⎢ − 1 ⎥⎦ ϭ ⎢⎣ 2 ⎦⎥ (2) AB 3. ถา้ x2 4 ϭ 4 8 แล้ว า ง x เทากบั เทา ร x1 23 4. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡3 4 ⎤ และ B ϭ ⎡4 −1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 3 ⎦⎥ จงหา า ง det(AtBt)Ϫdet(AB)ϩdet(2A3B2) 5. กาำ หนด A ϭ ⎡1 2⎤ ถา้ A เป็นเมทริกซ์เ ก าน แลว้ า ง 2xϩy เทากบั เทา ร ⎢ ⎥ ⎢⎣ − x − 2 y ⎦⎥ ⎡ 3 1 −3⎤ ⎢ ⎥ 6. ถ้า A ϭ ⎢ −1 0 2 ⎥ แล้ว c23(A)ϪM32(A) เทากบั เทา ร ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 − 2 5 ⎦⎥ 7. กาำ หนดให้ A ϭ ⎡−2 − 6 ⎤ จงหา AϪ1 ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 1 4 ⎥⎦ ⎡ 0 −1 2 ⎤ ⎢ ⎥ 8. กาำ หนดให้ A ϭ ⎢−3 0 3 ⎥ จงหา AϪ1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 2 1 ⎥⎦ ⎡ 1 −1 2 ⎤ ⎢ ⎥ 9. กาำ หนดให้ A ϭ ⎢0 1 − 3 ⎥ จงหา det(adj(A)) ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 4 ⎥⎦ 10. จงแก้ระบบสมการ xϪ3z ϭ Ϫ2 3xϩyϪ2z ϭ 5 2xϩ2yϩz ϭ 4 ค่มู อื ครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 251

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition เฉลย ย บบ ั ท่ี 1 1. (1) มิติ งเมทรกิ ซ์ A 2ϫ3 (2) เมทรกิ ซ ์ A ม ี 2 แถว 3 หลัก ด มีสมา ิกเปน็ ดงั นี้ a11 ϭ Ϫ1 a12 ϭ 3 a13 ϭ 8 a21 ϭ Ϫ5 a22 ϭ 1 a23 ϭ Ϫ4 2. (1) มิติ งเมทรกิ ซ ์ B 2ϫ4 (2) เมทรกิ ซ ์ B มี 2 แถว 4 หลกั ด มสี มา ิกเปน็ ดังน้ี a11 ϭ Ϫ4 a12 ϭ 0 a13 ϭ 2 a14 ϭ 8 a24 ϭ 5 a21 ϭ 6 a22 ϭ 10 a23 ϭ Ϫ4 3. (1) i ϭ j (2) i j ⎡2 3 4 5⎤ (2) B ϭ ⎡1 1 1⎤ ⎢⎥ ⎢ −1 ⎥ 4. (1) A ϭ ⎢ 3 4 5 6 ⎥ ⎢ − 64 − 1,024 ⎢⎥ ⎢ 1⎥ ⎢⎣ 4 5 6 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 256 ⎥ − 3 ⎦⎥ ⎡ 4 7⎤ ⎡8⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢0 6⎥ 5. (1) At ϭ ⎢5⎥ (2) Bt ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ 2 5⎥ ⎣⎢ 6 ⎦⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ − 4 11 ⎦⎥ (3) Ct ϭ ⎡3 9⎤ ⎡−3 5 7⎤ ⎢ ⎥ (4) Dt ϭ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 4 6 ⎦⎥ ⎢⎣ − 6 − 12 ⎦⎥ 6. (1) At ϭ ⎡3 −5⎤ (2) (At)t ϭ ⎡3 −4 6⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−4 ⎣⎢ − 5 7 8 ⎦⎥ ⎢ 7⎥ ⎢⎣ 6 ⎥ 8 ⎦⎥ (3) ((At)t)t ϭ ⎡3 −5⎤ ⎡3 −4 6⎤ 7. B ϭ C ⎢ ⎥ (4) (((At)t)t)t ϭ ⎢ ⎥ ⎢−4 ⎢⎣ − 5 7 8 ⎦⎥ ⎢ 7⎥ ⎣⎢ 6 ⎥ 8 ⎥⎦ 8. (1) x ϭ 1 (2) x ϭ 1 และ y ϭ 2 (3) x ϭ Ϫ3, 3, y ϭ Ϫ1, 1 และ z ϭ 10 9. เทากนั 10. 1 252 คู่มอื ครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ย ิ ต ว อบ า ีย ที่ 1 ⎡ 2 4 −6⎤ ⎢ ⎥ เน่ งจาก At ϭ ⎢4 −7 7⎥ ϭ A ⎢⎥ ⎢⎣ − 6 7 1 ⎥⎦ ⎡ 2 5 −6 9⎤ ⎢⎥ ⎢5 1 4⎥ และ Dt ϭ ⎢ −1 ⎥ ϭD ⎢−6 1 0 0⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ 9 4 0 7 ⎦⎥ ดังนนั้ A และ D เปน็ เมทริกซส์ มมาตร ย บบ ั ท่ี 2 ⎡8 −3 −4 0⎤ ⎡−4 −3 6 8⎤ 1. (1) ⎢ ⎥ (2) ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 2 1 8 ⎦⎥ ⎣⎢ − 4 0 − 1 2 ⎥⎦ ⎡ 12 0 − 10 − 8 ⎤ ⎡6 −6⎤ (3) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 2 6 ⎦⎥ ⎢−9 (4) ⎢ 3⎥ ⎢3 ⎥ ⎢ ⎢⎣ 12 0⎥ ⎥ 15 ⎦⎥ ⎡6 10 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢9 (5) ⎢ −1⎥ ⎢ − 13 ⎥ ⎢ ⎣⎢ − 20 2⎥ ⎥ − 9 ⎥⎦ (6) ตัว ก นั การบวก ง A ⎡ − 2 3 −1 − 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 − 1 0 − 5 ⎦⎥ ตัว ก ันการบวก ง B ⎡ − 6 0 5 4⎤ ⎢ − 2 −1 −1 ⎥ ⎣⎢ − 3 ⎥⎦ ค่มู ือครู หนังสอื เรียนรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 253

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ⎡ 6 12 − 4 ⎤ (2) มสามารถหา ล ด้ 2. (1) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 2 3 ⎦⎥ ⎡ 12 ⎤ (4) ⎢ ⎥ ⎡ 6 4⎤ (3) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 15 ⎦⎥ ⎢⎣ 20 10 ⎦⎥ (6) [ − 2 − 10 ] (5) [ − 3 8 ] ⎡−2 −6 −8⎤ ⎡ 1 −3⎤ (7) ⎢ ⎥ (8) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 3 4 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 6 ⎥⎦ ⎡ −1 2 −2⎤ (10) มสามารถหา ล ด้ ⎢⎥ (9) ⎢ − 8 − 3 − 1 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ − 2 − 4 3 ⎥⎦ 3. (1) มสามารถหา ล ด้ (2) มสามารถหา ล ด้ (3) หา า ด้ ด ลลั ม์ มี ิตเิ ป็น 4ϫ5 (4) หา า ด้ ด ลลั ์มีมติ ิเป็น 4ϫ2 (5) มสามารถหา ล ด้ (6) หา า ด้ ด ลลั ม์ ีมิติเปน็ 5ϫ5 (7) หา า ด้ ด ลลั ม์ มี ติ เิ ปน็ 5ϫ2 (8) หา า ด้ ด ลลั ม์ มี ติ ิเปน็ 5ϫ2 ⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ 4. (1) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 4 ⎥⎦ (2) ⎢ ⎥ (3) ⎢⎣ 0 16 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 − 8 ⎦⎥ ⎡ − 10 − 4 2 ⎤ ⎡ 6 2⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ 5. (1) ⎢ 22 9 5 ⎥ (2) ⎢⎣ 26 0 ⎦⎥ ⎢⎥ ⎣⎢ 22 11 − 7 ⎥⎦ ⎡ − 26 − 12 8⎤ ⎡ − 3 14 18 ⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ (3) ⎢ 58 27 7⎥ (4) ⎢ − 2 8 9⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 62 31 − 21 ⎦⎥ ⎢⎣ 0 5 − 4 ⎥⎦ ⎡ − 10 4 ⎤ (5) ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 40 − 8 ⎥⎦ 6. (1) มเป็นตัว ก ันการ ซ่งกนั และกัน (2) เปน็ ตวั ก ันการ ซ่งกนั และกนั 254 คู่มอื ครู หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ⎡−1 0⎤ ⎡ 10 4 ⎤ (2) ⎢ ⎥ 7. (1) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 14 ⎦⎥ ⎢⎣ 6 3 ⎥⎦ ⎡1 − 2 ⎤ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎡2 5⎤ (2) ⎢ ⎥ 8. (1) ⎢ 3 1 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢⎣ 5 7 ⎦⎥ − ⎥⎦ ⎣⎢ 5 ⎡ 41 − 20 ⎤ (3) ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 20 21 ⎥⎦ 9. 24 2A2AϪ1Ϫ3A2B ϭ A2I 2AϪ3I ϭ A2 10. จาก 2AϪ1Ϫ3B ϭ I นาำ A2 มา ท้งั ส ง า้ ง งสมการ ; ⎡ 0 a⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ 0 a⎤ ⎡ 0 a⎤ 2⎢ ⎥ Ϫ3 ⎢ ⎥ϭ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 b ⎥⎦ ⎣⎢ 0 1 ⎥⎦ ⎣⎢ − 1 b ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 b ⎥⎦ ⎡−3 2a ⎤ ⎡ − a ab ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 2b − 3 ⎦⎥ ϭ ⎣⎢ − b ..........(1) − a + b2 ⎦⎥ จาก (1) บวา a ϭ 3 และ b ϭ 2 ดงั นนั้ a2ϩb2 ϭ 32ϩ22 ϭ 13 ย ิ ต ว อบ า ยี ท่ี 2 (AϩB)2 ϭ (AϩB)(AϩB) ϭ A2ϩABϩBAϩB2 ดงั นั้น (AϩB)2 A2ϩ2ABϩB2 (AϪB)2 ϭ (AϪB)(AϪB) ϭ A2ϪABϪBAϩB2 ดังนนั้ (AϪB)2 A2Ϫ2ABϩB2 (AϩB)(AϪB) ϭ A2ϪABϩBAϪB2 ดังน้ัน (AϩB)(AϪB) A2ϪB2 คู่มอื ครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1 255

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ย บบ ั ที่ 3 Ϫ1 3 1. (1) 5 (2) (3) 2 (4) 19 (3) Ϫ4 (4) Ϫ1 2. (1) 10 (2) Ϫ2 (4) Ϫ21 3. Ϫ2 (2) 158 (3) 16 (4) Ϫ216 4. (1) 96 5. 40 6. (1) 12 (2) 12 (3) 32 7. Ϫ7 det(Ct) ϭ 1 2 8. เน่ งจาก det(C) ϭ 1 (Ї det(Ct) ϭ det(C)) จะ ด ้ 2 จาก A3 ϭ 3I det(A3) ϭ det(3I) (det(A))3 ϭ 33 det(I) det(A) ϭ 3 ⎡ − 3g − 3h − 3i ⎤ ⎡a b c⎤ ⎢ ⎥ ิจาร า BtC ⎢ ⎥ และ A ⎢ ⎥ จะ ดว้ า ϭ ⎢ −a −b − c ⎥ ϭ ⎢d e f⎥ ⎢ ⎣⎢ 2d 2e 2f ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ g h i ⎥⎦ − 3g − 3h − 3i det(BtC) ϭ − a − b − c 2d 2e 2f gh i det(Bt) det(C) ϭ (Ϫ3)(Ϫ1)(2) a b c def abc (det(B))и 1 ϭ (Ϫ3)(Ϫ1)(2)(Ϫ1) g h i 2 def ab c f 1 det(B) ϭ (Ϫ3)(Ϫ1)(2)(Ϫ1)(Ϫ1) d e i 2 h g 1 det(B) ϭ (Ϫ3)(Ϫ1)(2)(Ϫ1)(Ϫ1)иdet(A) 2 1 det(B) ϭ (Ϫ3)(Ϫ1)(2)(Ϫ1)(Ϫ1)(3) 2 1 det(B) ϭ 18 2 det(B) ϭ 2(18) det(B) ϭ 36 ดงั นัน้ det(2B) ϭ 23 det(B) ϭ 8 det(B) ϭ 8(36) ϭ 288 256 คมู่ ือครู หนังสอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition 9. จท ์กาำ หนด A ϭ ⎡ sin 2x sin 3x ⎤ เม่ x ʦ ⎢⎡⎣− π, π⎤ ⎢ ⎥ 2 2 ⎦⎥ ⎢⎣ cos 2x cos 3x ⎦⎥ จะ ด ้ sin 2x sin 3x det(A) ϭ cos 2x cos 3x det(A) ϭ sin 2x cos 3xϪcos 2x sin 3x det(A) ϭ sin(2xϪ3x) det(A) ϭ sin(Ϫx) det(A) ϭ Ϫsin x จาก det(A2)ϩdet(ϪA)ϩdet(2I) ϭ 6 จะ ด ้ (det(A))2ϩ(Ϫ1)2 det(A)ϩ22 det(I) ϭ 6 (det(A))2ϩdet(A)Ϫ2 ϭ 0 (Ϫsin x)2Ϫsin xϪ2 ϭ 0 sin2xϪsin xϪ2 ϭ 0 (sin xϩ1)(sin xϪ2) ϭ 0 sin x ϭ Ϫ1, 2 ม ิจาร า sin x ϭ 2 เน่ งจาก Ϫ1 р sin x р 1 น่ัน sin x ϭ Ϫ1 เม่ x ʦ ⎢⎡⎣− π, π⎤ 2 2 ⎥⎦ x ϭ Ϫπ 2 ดงั นั้น cot x ϭ cot ⎝⎜⎛− π⎞ ϭ Ϫcot π ϭ0 2⎠⎟ 2 ย ิ ต ว อบ า ยี ท่ี 3 จาก A2 ϭ 2(InϩA) จะ ด ้ A2 ϭ 2Inϩ2A A2Ϫ2A ϭ 2In ดังนนั้ A2Ϫ2AϩIn ϭ 2InϩIn (AϪIn)2 ϭ 3In det(AϪIn)2 ϭ det(3In) (det(AϪIn))2 ϭ 3n det(In) (det(AϪIn))2 ϭ 3n det(AϪIn) ϭ Ϯ 3n คมู่ อื ครู หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 257

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ย บบ ั ที่ 4 ⎡−3 4⎤ (2) มมีเมทริกซ์ ก นั 1. (1) ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 2 3 ⎥⎦ ⎡ 23 − 5 7⎤ ⎡ − 17 18 − 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (3) Ϫ 1 ⎢ 8 −5 22 ⎥ (4) 1 ⎢ 52 16 15 ⎥ 75 ⎢ ⎥ 151 ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 22 − 5 − 23 ⎦⎥ ⎢⎣ − 54 − 5 − 33 ⎦⎥ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 12 − 21 40 ⎤ ⎢ 3 −1 0 0⎥ ⎢ ⎥ (5) 1 ⎢ 1 18 − 23 ⎥ (6) ⎢ ⎥ 79 ⎢ ⎥ ⎢ −8 51 0 ⎥ ⎣⎢ − 6 − 29 59 ⎦⎥ ⎢ 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 31 9 2 − 1 ⎥⎦ {2. (1) x|x }46 (2) {x|x Ϫ1, 2} {(3) x|x 5 (4) {x|x Ϫ2, 0, 4} 3. 1 }3 2 4. (1) 338 (2) Ϫ1,404 5. Ϫ2 3 6. 1,089 7. จาก D ϭ 2ABϪ1ϩBϪ1 จะ ด ้ D ϭ BϪ1(2AϩI) [ ]det(D) ϭ det BϪ1(2AϩI) det(D) ϭ det(BϪ1) det(2AϩI) det(D) ϭ 1 иdet(2AϩI) det(B) det(B) det(D) ϭ det(2AϩI) ..........(1) จาก จท ์ det(D) ϭ 1, det B ϭ (Ϫ1)(1)Ϫ(1)(2) ϭ Ϫ3 และ ⎡1 2⎤ ⎡1 0⎤ 2AϩI ϭ 2 ⎢ ⎥ϩ ⎢ ⎥ ⎣⎢ x 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 1 ⎦⎥ ⎡ 3 4⎤ 2AϩI ϭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2x 7 ⎥⎦ det(2AϩI) ϭ (3)(7)Ϫ(4)(2x) det(2AϩI) ϭ 21Ϫ8x 258 คู่มอื ครู หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition แทน า det(D), det(B) และ det(2AϩI) ใน (1) ; (Ϫ3)(1) ϭ 21Ϫ8x Ϫ3 ϭ 21Ϫ8x 8x ϭ 24 x ϭ3 ⎡3−1 −1 1⎤ ⎡2 −1 1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ จะ ด้วา Ct ϭ ⎢ 0 1 1⎥ ϭ ⎢0 1 1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 x − 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 3 − 2 ⎦⎥ det(Ct) ϭ Ϫ14 เน่ งจาก det(C) ϭ Ϫ14 ดังน้ัน det(adj(A)) ϭ (det(A))nϪ1 เม่ n มิติ งเมทรกิ ซ ์ A det(2(adj(C))) ϭ 23иdet(adj(C)) ϭ 8(det(C))3Ϫ1 ϭ 8(det(C))2 ϭ 8(Ϫ14)2 ϭ 1,568 8. เน่ งจาก AϪ1 ϭ 1 и(adj(A)) ..........(*) det(A) ..........(1) จะ ด ้ (At)Ϫ1 ϭ det 1 ) и(adj(At)) ..........(2) (At adj(At) ϭ (det(At))(At)Ϫ1 จาก (*) ; adj(At) ϭ (det(A))(AϪ1)t (adj(A)) ϭ det(A)AϪ1 (adj(A))t ϭ (det(A)AϪ1)t (adj(A))t ϭ (det(A))(AϪ1)t เน่ งจาก (1) ϭ (2) ดังนั้น (adj(A))t ϭ adj(At) ย ิ ต ว อบ า ยี ที่ 4 (1) (AϩB)Ϫ1 ϭ (AIϩIB)Ϫ1 ϭ (A(BϪ1B)ϩ(AAϪ1)B)Ϫ1 ϭ (ABϪ1BϩAAϪ1B)Ϫ1 ϭ (A(BϪ1BϩAϪ1B))Ϫ1 ϭ (A(BϪ1ϩAϪ1)B)Ϫ1 คูม่ อื ครู หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 1 259

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ให้ (2) X ϭ ((AϪ1ϪB)Ϫ1ϪBϪ1)Ϫ1 จะ ด ้ X((AϪ1ϪB)Ϫ1ϩBϪ1) ϭ I X(AϪ1ϪB)Ϫ1ϩXBϪ1 ϭ I [ ]X(AϪ1ϪB)Ϫ1ϩXBϪ1 (AϪ1ϪB) ϭ I(AϪ1ϪB) X(AϪ1ϪB)Ϫ1(AϪ1ϪB)ϩXBϪ1(AϪ1ϪB) ϭ AϪ1ϪB XϩXBϪ1AϪ1ϪXBϪ1B ϭ AϪ1ϪB XϩXBϪ1AϪ1ϪX ϭ AϪ1ϪB XBϪ1AϪ1 ϭ AϪ1ϪB XBϪ1AϪ1A ϭ (AϪ1ϪB)A XBϪ1I ϭ AϪ1AϪBA XBϪ1 ϭ IϪBA XBϪ1B ϭ (IϪBA)B XI ϭ BϪBAB X ϭ BϪBAB ดังนน้ั ((AϪ1ϪB)Ϫ1ϩBϪ1)Ϫ1 ϭ BϪBAB ย บบ ั ที่ 5 1. ำาต บ งระบบสมการ (x, y) ϭ (2, 6) 2. ำาต บ งระบบสมการ (x, y) ϭ (3, 1) 3. ำาต บ งระบบสมการ (x, y) ϭ (2, Ϫ2) 4. ำาต บ งระบบสมการ (x, y) ϭ (Ϫ1, 1) 5. ำาต บ งระบบสมการ (x, y, z) ϭ (1, 3, 0) 6. าำ ต บ งระบบสมการ (x, y, z) ϭ (1, Ϫ1, 2) 7. าำ ต บ งระบบสมการ (x, y, z) ϭ (1, 4, 1) 8. าำ ต บ งระบบสมการ (x, y, z, t) ϭ (c, 2Ϫc, Ϫ1, 1) เม่ c ʦ R 9. ำาต บ งระบบสมการ (x, y, z) ϭ (2, 2, 2) 10. าำ ต บ งระบบสมการ (x, y, z) ϭ (1, 2, 3) 11. ระบบสมการน้ี มมี าำ ต บ 12. าำ ต บ งระบบสมการ (x, y, z, t) ϭ (1, 1, 2, 0) ยิ ตว อบ า ีย ที่ 5 ว ำาตอบ xϪ3y ϭ 16 2xϩz ϭ 4 yϪz ϭ Ϫ7 260 คมู่ อื ครู หนังสือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ● วธิ ี ท ิ ั จากระบบสมการท่กี าำ หนด เ ี นสมการเมทรกิ ซ์ ดด้ งั น้ี ⎡1 −3 0⎤ ⎡x⎤ ⎡ 16 ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢2 0 1⎥ ⎢y⎥ ϭ ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎢ 0 1 − 1 ⎥⎦ ⎣⎢ z ⎥⎦ ⎣⎢ − 7 ⎥⎦ ให ้ ⎡1 −3 0⎤ ⎢⎥ A ϭ ⎢2 0 1⎥ ⎢⎥ ⎣⎢ 0 1 − 1 ⎦⎥ det(A) ϭ Ϫ7 tt ⎡⎡ 000 111 222 111 222 000 ⎤⎤ ⎢⎢ Ϫ ⎥⎥ ⎢⎢ 000 111⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢ 111 −−1−11 000 −−1−11 ⎢⎢ 111 000 ⎥⎥ ⎢⎢ 000 −−1−11 ⎥⎥ ⎢⎢ −−−333 111 −−3−33⎥⎥ AϪ1 ϭ 1 ⎢⎢Ϫ 000 111 000 Ϫ ⎥⎥ Ϫ − 7 ⎢⎢ 010 1−11 000 111⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢ 222 111 ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ −−3−33 000 111 −−3−33 ⎥⎥ ⎢⎢ 000 111 222 000 ⎥⎥ ⎢⎣⎣⎢ ⎦⎥⎦⎥ t ⎡ −1 2 2⎤ ⎢ ⎥ ϭ Ϫ 1 ⎢ − 3 −1 −1⎥ 7 ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 3 − 1 6 ⎦⎥ ⎡−1 − 3 − 3⎤ ⎢ ⎥ ϭ Ϫ1 ⎢ 2 −1 −1⎥ 7⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 − 1 6 ⎥⎦ จาก AX ϭ B จะ ด้ X ϭ AϪ1B ⎡x⎤ ⎡ − 1 − 3 − 3 ⎤ ⎡ 16 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ดังนน้ั ⎢y⎥ Ϫ1 ⎢ 2 −1 −1⎥ ⎢ 4 ⎥ ϭ ⎢−5⎥ ϭ ⎢ ⎥ 7⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 2 − 1 6 ⎥⎦ ⎣⎢ − 7 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 ⎦⎥ นั่น าำ ต บ งระบบสมการทกี่ ำาหนด (x, y, z) ϭ (1, Ϫ5, 2) คู่มือครู หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่ม 1 261

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ● วธิ ี ั าอ จากระบบสมการทก่ี าำ หนด เ ี นสมการเมทริกซ์ ด้เป็น AX ϭ B ⎡1 −3 0⎤ ⎡x⎤ ⎡ 16 ⎤ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ เม่ A ϭ ⎢ 1⎥, X ϭ ⎢y⎥, B ϭ ⎢ 4 ⎥ ⎢2 0 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎣⎢ 0 1 − 1 ⎦⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ − 7 ⎥⎦ เน่ งจาก det(A) ϭ Ϫ7 ( 0) จงใ ้หลกั เก ์ ราเม ร์ ด้ จะ ด้ x ϭ det(A1) det(A) 16 − 3 0 401 − 7 1 −1 ϭ −7 ϭ −7 −7 ϭ1 ในทำาน งเดี วกนั หา า y และ z ด้จาก y ϭ det(A2 ) det(A) และ z ϭ det(A3) det(A) จะ ด ้ y ϭ Ϫ5 และ z ϭ 2 ตามลำาดับ ดงั น้นั ำาต บ งระบบสมการท่กี ำาหนด (x, y, z) ϭ (1, Ϫ5, 2) ● วิธี า าำ ิ า ตา ว จากระบบสมการที่กาำ หนด เ ี นเมทริกซ์แตงเติมและดาำ เนินการตามแถว ด้ดังนี้ ⎡1 −3 0 16 ⎤ ⎡ 1 − 3 0 16 ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢2 0 1 ⎥ Ϫ2R1ϩR2 ⎢ 4⎥ ϳ ⎢0 6 1 − 28 ⎥ ⎢⎣ 0 1 − 1 ⎥⎢ − 7 ⎥⎦ − 7 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 1 − 1 ⎡1 −3 0 16 ⎤ ⎢ ⎥ ϳ ⎢0 1 −1 7⎥ R3 ⎢ − ⎥ ⎢⎣ 0 6 1 − 28 ⎥⎦ R2 ⎡1 0 −3 −5⎤ R1 + 3R2 ⎢ ⎥ ϳ ⎢0 1 −1 −7⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 7 14 ⎥⎦ − 6R2 + R3 262 คมู่ ือครู หนงั สือเรียนรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ 1

Introduction Indesign Innovation ICT Learning fSokril2ls1st Learning for Century Metacognition ⎡1 0 −3 −5⎤ ⎢ ⎥ ϳ ⎢0 1 −1 −7⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 1 2 ⎥⎦ 1 R 3 7 ⎡1 0 0 1 ⎤ 3R3 + R1 ⎢ ⎥ ϳ ⎢0 1 0 ⎥ R2 + R3 ⎢ −5 ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 2 ⎦⎥ ดงั น้ัน าำ ต บ งระบบสมการทีก่ ำาหนด (x, y, z) ϭ (1, Ϫ5, 2) ย บบท อบวั ั ทธิ 1. 100 −8⎤ ⎡ 11 22 ⎤ ⎡ 12 ⎥ (2) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 5 − 8 ⎦⎥ 2. (1) ⎢ 13 ⎦⎥ ⎢⎣ − 7 3. 2 4. 576 5. Ϫ4 6. 6 7. AϪ1 ϭ Ϫ1 ⎡4 6⎤ ⎢ ⎥ 14 ⎢⎣ 1 − 2 ⎦⎥ ⎡2 −1 −1⎤ ⎢ ⎥ 8. AϪ1 ϭ 1 ⎢1 0 −2⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 0 − 1 ⎦⎥ 9. 16 10. (x, y, z) ϭ (4, Ϫ3, 2) คมู่ ือครู หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 1 263