การประมวลผลสัญญาณสำหรับการจัดเก็บข้อมูลดิจิทัล เล่ม 1: พื้นฐานช่องสัญญาณอ่าน-เขียน

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t ) β =2 1 β =1 β = 0.5 −1 − 1 − 1 0 1 1 1 t 24 42 X(f) 2ÿ÷ó ¿º¿ 1 f ýú ð |X(f )| 0.5 −2 −1 0 1 2 ú ÿ÷ þý x(t) = Π(βt) ÷ ñÿýýA W ñ ó ÷õê õ õ ÿ ð ð õÿ÷ó ¿º ð õõ ò õð ð ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ý ó öx(t) = Asinc(2W t) Afð ð õÿ÷ó ¿º X(f ) = Π 2W 2Wµ ýöñ ÿ õó ´Ø Ñ × Ø Ò µ x(t − td) ⇐⇒ X(f )e−j2πftd ´¿º¾¼µý td ÷êõ ñ ó ÷êõ õ õ ÿ ýöñ ÿ õó ð õý õ ð ýõóÿõ x(t) ÷õê td õ þ ø ó ð õ ö ýú ð õ õõe−j2πftdýò ÿ X(f) ð þûè

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó x(t) = A Π ⎛ t ⎞ X ( f ) = Asinc(2Wf ) 2W ⎜ 2W ⎟ ⎠ A ⎝ A F 2W F -1 f−W t − 3 −1 − 1 1 13 W 2W W 2W 2W W 2W 0 x(t) = Asinc(2Wt ) ( ) A ⎛ f ⎞ 2W ⎜ 2W ⎟ A ⎠ F X f = Π A ⎝ F -1 2W t f− 3 −1 − 1 1 13 −W W 2W W 2W 2W W 2W 0ÿ÷ó ¿º ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þýñ ý ýöñó ü X(f ) þ ý õ ðý úþ ñ û X(f) ÷ þõ ÷ öö õ ð þ 2πf td ýò ´ Ö ÕÙ Ò Ý × Ø Ò µµ ýöñ ÿ õó ej2πfctx(t) ⇐⇒ X(f − fc) ´¿º¾½µý fc ÷õê ñ ó ÷êõ õ õ ÿ ýöñ ÿ õó ýò ð õ ý x(t) ð þûè õ ej2πfct ýø ó X(f ) ò õ ýò ÷ ÷êõ÷ÿý fc ÿñ ð õõ ýöñ ÿ õó ýòý ò õ ý õ õÿÿ ´ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒµ õÿ öö ÿ ñ úö ýöñ ÿ õó õ ý ÿ ´¿º¾¼µ ýöñ ÿ õó ýò õ ý ÿ ´¿º¾½µ ý ýöñóü ÿ õ

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñµ ýöñ ÿó õ õó ´ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ñ µ õð x(t) ⇐⇒ X(f ) h(t) ⇐⇒ H(f ) ð x(t) ∗ h(t) ⇐⇒ X(f )H(f ) ´¿º¾¾µý ∗ ñ ð õõ ÿ õ õ õõ ÿó õ õó ý óþö ó ö ÿ ó ýò ý ÿòú õ ð ð õú õ õð y(t) = x(t) ∗ h(t) ð ∞ y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(t − τ )h(τ )dτ −∞úÿ õõ ø ÿ ÷ û ÿþÿ y(t)F[y(t)] = ∞ y(t)e−j 2πf t dt −∞ ∞ ∞ x(t − τ )h(τ )dτ e−j2πftdt = −∞ −∞ ∞ ∞ h(τ )dτ = x(t − τ )e−j2πftdt −∞ −∞ ∞ = X(f )e−j2πfτ h(τ )dτ = X(f ) −∞ ∞ h(τ )e−j2πfτ dτ −∞ = X(f )H(f )ð õõ ð x(t) ∗ h(t) ⇐⇒ X(f )H(f ) ñ ýóñ ÿµ ýöñ ÿ ó ´ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ µ õð x(t) ⇐⇒ X(f ) h(t) ⇐⇒ H(f ) ð x(t)h(t) ⇐⇒ X(f ) ∗ H(f ) ´¿º¾¿µõõ ÿ ó ý óþö ó ö ÿó õ õó ýò ñ úö ýöñ õÿó õ õó ýöñ ÿ ó ý ýöñó ü ÿ

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ óµ úõó ñ ÿ û x(t) ∞ ´¿º¾ µ x(t)dt = X(0) ÿ ÷ û ÿþÿ ö ûû ÿ −∞ ý þ ý úõó ñ ÿ ûó ýð x(t) ý ó öøX(f ) ó ýò f = 0 ðþó ÷ X(0) ö ò ÷ÿý ÷ÿñÿ ´ º º ÓÑÔÓÒ Òص ó ù þü þ õ x(t)µ úõó ñ ÿ û X(f ) ∞ ´¿º¾ µ X(f )df = x(0) x(t) −∞ ý þ ý úõó ñ ÿ ûó ýð X(f ) ý ó öó t=0½¼µ ÿ õúõôó ´Ø Ñ Ö ÒØ Ø ÓÒµ ðð ò ýýñ ÿ ÷ û ÿþÿ õúõô x(t) ý þ ÿ ´ Ü ×Ø Ò µ dn x(t) ⇐⇒ (j2πf )n X (f ) ´¿º¾ µ dtný dn x(t) õúõô õðöó n x(t) ý ÿ ´¿º¾ µ úö ÿ dtnõúõôó ø ÷ÿ ö ýò ý ÿ þ þ õ ð õ ´ý úýý õµ ð ö ý ÿ ó ÿ õúõô ð ÿ ÷ þõ ÷½½µ ýöñ ÿ ÷ÿúõôó ´Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒµ t 1 X(f ) + 1 X(0)δ(f ) ´¿º¾ µ j2πf 2 x(τ )dτ ⇐⇒ −∞ðþó ú õó ó ð õ ý ÿ ´¿º¾ µ ð õò ÷ÿ ö ûû ÿ ñÿ ÿ ÷ÿúõô õÿ þ ó ÷õê ø ý ÷ÿ ö ýò õ ý ÿ ´¿º¾ µ ö óÿ ö ÿ ÷ÿúõô þó÷ÿúõôó ø ý ÿð ðö ýÿó ÿ ý ÿ ñõþ

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ½¾µ ûè õ þ ´ ÓÒ Ù Ø ÙÒ Ø ÓÒµò x(t) ÷õê ûè õ õð x∗(t) ⇐⇒ X∗(−f ) ´¿º¾ µý (·)∗ ñ ð õõ ÿ þ õ ´ ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ø ÓÔ Ö ØÓÖµ½¿µ ý ýúõô ú ÿ ´È Ö× Ú Ðâ× Ö Ð Ø ÓÒµ ∞∞ |X(f )|2df ´¿º¾ µ |x(t)|2dt = −∞ −∞ðþó |x(t)|2 = x(t)x∗(t) ò ÿþ ã ý ý ú õ ´ Ò Ö Ý ÒØ Ò× Øݵä ó÷ÿ ÷ þõñ ý |X(f )|2 X(f )X∗(f ) ò ÿþ ã ý õ õõ ÷ ñÿýú õ ´ Ò Ö Ý ×Ô ØÖ Ð Ò× Øݵä ý õ þ ÷õê ñ ÿñ ´ ÓÙÐ × Ô Ö ÖØÞµ¿º¾º¾ ó öóú õ ÿþõ ó ¾º½º ð ð ô ÿ ú õ õ ð ýõ ñ ý ý ÿ ´¾º½¾µ õõ ∞ ´¿º¿¼µ E = |x(t)|2dt −∞õ õ þ ý ÿò ú õ õ ð ýõ ýò ð ðþ ãó öóú õÿþ ´Ê ÝÐ â× Ò Ö Ý Ø ÓÖ Ñµä ð õ ∞ ´¿º¿½µ E = |X(f )|2df −∞õ úõ ý ÿò ð ý ÿ ´¿º¿¼µ ´¿º¿½µ úÿ õõ ó öóú õ ÿþ ð ö ý ýúõô ú ÿ ñ ý ý ÿ ´¿º¾ µ ý õ õõ úõñ þ õ ò õð x(t) ⇐⇒ X(f ) X(f ) = AT sinc(f T ) ð÷ ñÿýú õ |X(f)|2 ý ñ ýÿ÷ó ¿º ýýñ ñ ÿ õó þ õ òö ýò (−1/T, 1/T ) ý ÿò ð ð õ

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó X(f )2 A2T 2 f −3 −2 −1 0 1 2 3 T TT TTTÿ÷ó ¿º ý õ õõ ÷ ñÿýú õ |X(f)|2 X(f ) = AT sinc(f T ) E= 1/T |X(f )|2df −1/T 1/T = A2T 2sinc2(f T ) df −1/T ≈ 0.92A2Týþ ý ú õ ÷ÿ ý ¾± þü þ õ òö ýò (−1/T, 1/T )ÿñ ð õõ ò ýýñ X(f ) ó ò ø õ ÷þ ÿ ÿ ø õñ ´ÐÓÛÔ ×× ÐØ Öµ õó ñ ÷þ ÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Öµ ý þ öú õõ ý ÿòóõ ý þ õ ÿ öö ýòñð ´ ÙØ Ó Ö ÕÙ Ò Ýµ ÿ ÿ ø õñ ð õ òõð ÿ ööþ ý ÿòó õ ð þ ý÷ÿ óôü ú ò ú õ x(t) óø õÿ ÿ ø õñ ý÷ÿý ýõ þ ¼± ú õó ýð ð õõ ÿ ÿ ø õñýò f = 1/T ÷êõ ýòñð óõó ýò f > 1/T ó õ ÷õê úÿ ýòñðóýõ þ þ ð÷ÿý ÿö õ ´ÒÓ × µ ó ø õ ÿ ÿ ø õñ ÷ õÿ öö ð

¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t ) 1 0.368 −1 0 1 t aa ÿ÷ó ¿º ÿ÷ x(t) = e−a|t|¿º¾º¿ ñ þ ÿ õ ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ óõ õ ð ñ þ ÿ õ ÿö ÿ ÿ ðþ ýöñ ÿ ÷ û ÿþÿñ ó ý õ ó ¿º¾º½ ð ñ ÷õñ þ ó ¿º¿ ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) = e−a|t|, a > 0ý a ÷õê ñ ó ÷õê õ õ ÿôó x(t) ó õð ý ÿò ð ÷õê ÿ÷ ý ÿ ý ð ð õ ⎧ ⎨⎪⎪⎪ e−at, e−a|t| t>0 x(t) = = ⎪⎪⎪⎩ 1, t=0 eat, t<0ð ð õÿ÷ó ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ý ÿò ð ý ÿ ´¿º½ µ ðþ

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó ½þ ýöñ ÿ õóöñ ý ý ÿ ´¿º½ µ ð 11 X(f ) = a + j2πf + a − j2πf (a − j2πf ) + (a + j2πf ) = (a − j2πf )(a + j2πf ) 2a = a2 + (2πf )2ð õõ ÿ ÷ û ÿþÿ öö ð õ e−a|t| ⇐⇒ a2 2a + (2πf )2ñ þ ó ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) = A Π t − T 2 Tý T ÷õê ñ ó ÷êõ õ õ ÿ ôó ý ÿ ´¿º½¿µ ð AΠ t ⇐⇒ AT sinc(f T ) õ x(t) ó óþ õðý T ÷ T/2 õ ó ð õõ õó ñ ý ý ÿø ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þýóò õ ´ Рݵ´¿º¾¼µ ð x(t) ý ÿò ð ðþ ýöñ ÿ X(f ) ⇐⇒ AT sinc(f T )e−jπfT

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t ) = AΠ ⎛ t − (T / 2) ⎞ X(f) ⎜ ⎟ ⎝ T ⎠ AT AF F -1 t f 0T −3 −2 −1 0 1 2 3 TTT TT T ÿ÷ó ¿º ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þýóò õ ÷ T/2 õ óÿ ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ðþñÿ ð ð õ X(f ) = T Ae−j 2πf t dt 0 =A e−j2πf t T −j2πf t=0 = − A e−j2πfT − 1 j2πf = A e−jπfT ejπfT − e−jπfT j2πf = A e−jπfT sin(πf T ) πf = AT e−jπfT sinc(f T )ÿ÷ó ¿º ð ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þýó õ ÷ T/2 õ þ õ ð÷ ñÿý ýú ð x(t) õõ |X(f )| = AT |sinc(f T )| þ ý õ ðý´ õ õ ð |ejθ| = 1µ úþ ñ ÷ ñÿý û x(t) ÷ þõ ÷ ´ ý ð ð óõµñ þ ó ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þý x(t) ó ð õÿ÷ó ¿º

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó ¿ x(t) t 1.5 1 1 2 34 x1 (t ) x2 (t) 1 1 −1 t −3 t 2 1 2 3 2 2ÿ÷ó ¿º ú ÿ÷ þý x(t) ÷ÿ ö ÷ð þ x1(t) x2(t)ôó ÿ÷ó ¿º ð x(t) ý ÿò þõ þ õÿ÷ø ÿ ý x1(t)x2(t) ð x(t) = 1 − 2.5) + x2(t − 2.5) 2 x1(tõ ú ÿ÷ þýý ÿ ÷ û ÿþÿñ ý ý ÿ ´¿º½¿µ õõ Π(t/T ) ⇐⇒ T sinc(f T )úÿ õõ ø ÿ ÷ û ÿþÿ x1(t) x2(t) F[x1(t)] = sinc(f ) F[x2(t)] = 3sinc(3f )ðþ þ ýöñ ÿ õóöñ ý ý ÿ ´¿º½ µ ýöñ ÿ õó ñ ý ý ÿ ´¿º¾¼µ

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t) F jX ( f ) F -1A t 4 AT π−T 0 T − 3 −1 − 1 0 f −A 2T T 2T 11 3 2T T 2T (a) (b) ÿ÷ó ¿º ´ µ ú ÿ÷ðö ñ ´ µ ÷ ñÿý ýòð ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ý ó ö X(f ) = 1 sinc(f )e−j2πf(2.5) + 3sinc(3f )e−j2πf(2.5) 2 = e−j5πf sinc(f ) + 6sinc(3f ) 2ñ ýóñ ÿñ þ ó ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ðö ñ ´ ÓÙ Ð Ø × Ò Ðµ ñ ýÿ÷ó¿º ´ µôó ÿ÷ó ¿º ´ µ úö ú ÿ÷ðö ñ x(t) ð ú ÿ÷ þýõõ x(t) = A Π t + T −AΠ t − T 2 2 TTðþ ÿ ø ÷ û ÿþÿ ñ ñ þ ýöñ ÿ õóöñ ý ý ÿ ´¿º½ µ

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó x(t) X(f) AT AT 2 −T 0 T F f F -1 (a) t − 3 −1 − 1 0 1 1 3 2T T 2T 2T T 2T (b) ÿ÷ó ¿º½¼ ´ µ ú ÿ÷ ý þý ´ µ ÷ ñÿý ýú ðø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ý ó ö X(f ) = AT sinc(f T )ejπfT − AT sinc(f T )e−jπfT = AT sinc(f T ) ejπfT − e−jπfT = 2jAT sinc(f T ) sin(πf T )ý √ õ õ õñü ú ÿ÷ÿ jX(f) ð õÿ÷ó ¿º ´ µ j = −1ñ þ ó ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ ý þý ñ ýÿ÷ó ¿º½¼´ µ ýÿ÷ý ÿó ñ ñÿ ⎧ ⎨ |t| Λt = ⎩ 1− T , |t| < T T 0, |t| ≥ 0ôó õ ú ÿ÷ ý þý õÿ÷ó ¿º½¼´ µ ð ÿ ÷ÿúõôðö ñ õÿ÷ó ¿º ´ µ ð õõ ø ÿ ÷ û ÿþÿ ÿ÷ ý þý ý ÿò ð ðþ þ

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñýöñ ÿ ÷ÿúõôó ñ ý ý ÿ ´¿º¾ µ ð X(f ) = 1 {2jAT sinc(f T ) sin(πf T )} j2πf = AT sin(πf T ) sinc(f T ) πf = AT 2sinc2(f T )ðþ ÷ ñÿý ýú ð |X(f)| ð õÿ÷ó ¿º½¼´ µ úÿ õõ ÿ ÷ û ÿþÿú ÿ÷ ý þý Λ t ⇐⇒ T sinc2(f T ) T¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿ ÷êõ ö÷êõ ö ý ÿò ð þ õÿ÷ø ÿ ý ûè õ õó ÷õê ûè õýò ð ðþ ÿ ý ó ñ ñÿ ó ÿþ ã õ ÿýû ÿþÿ ´ ÓÙÖ Ö × Ö ×µä ¿¿¸ ¿þ ÿ ñ ý ÿ ÷ û ÿþÿ ý ÿò ö ÷êõ ö ð ðþ þûè õ ð ÿ ð ñ ðôö þñ ÷õò õð ÷õê ö xp(t) ý ö ó ö T0 ñÿ õ ÿýû ÿþÿ ð ∞ xp(t) = cnej2πnf0t ´¿º¿¾µ n=−∞ðþó n ÷êõ õ õ ñý¸ f0 = 1/T0 ýòý õ¸ cn ý÷ÿ óôûDZ ÿþÿ õ´ ÓÑÔÐ Ü ÓÙÖ Ö Ó Òص ý ÿò ð 1 T0/2 ´¿º¿¿µ cn = T0 xp(t)e−j2πnf0tdt −T0 /2 f0 = 1/T0 ýòý õ ´ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ÕÙ Ò Ýµ ò õð x(t) ÷êõ ý ÷êõ öóñ õ ó ´ Ô Ö Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ×Ø Ñ × Ò Ðµ óý ú ü þ õ ´−T0/2 ≤ t ≤ T0/2µ õ õõý ÷õê õþ õð

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ óx(t) ý ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ⇐⇒ X(f ) ð õõ ÷õê ö xp(t) ý ÿò ÿ ð ý ÷õê ö x(t) ðþ þ ý ýúõôñ ÷õ ∞ xp(t) = x(t − mT0) ´¿º¿ µ m=−∞ý m ÷êõ õ õ ñý ÿ ð ûè õ õ õ ûè õ x(t) ò ÿþ ÷õê ãûè õõð ´ Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒµäðþó ÷ ý ÷êõ ö x(t) ò ú ÿ ÷õê ÷õê ö ð ðþó öx(t) ý ó ö õõñ õõ T0 → ∞ úÿ õõ ý ÿ ý÷ÿ óôDZû ÿþÿõ õ ý ÿ ´¿º¿¿µ ý ÿò þõ ð ý ÷êõ ð õ ∞ x(t)e−j2πnf0tdt cn = f0 −∞ = f0X(nf0) ´¿º¿ µý X(nf0) ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ó ýò nf0 ð õõ óõ cn ý ÿ ´¿º¿ µõ ý ÿ ´¿º¿¾µ ð ÷õê ÷õê ö ∞ xp(t) = f0 X (nf0 )ej 2πnf0 t ´¿º¿ µ n=−∞ý ÿ ´¿º¿ µ ´¿º¿ µ ð ∞∞ x(t − mT0) = f0 X (nf0 )ej 2πnf0 t ´¿º¿ µ m=−∞ n=−∞õ ej2πnf0t ⇐⇒ δ(f − nf0) ý δ(t) ûè õ ð ÿ ð ñ ð õõ ÿ ÷ û ÿþÿ ý ÿ ´¿º¿ µ ´¿º¿ µ ∞∞ x(t − mT0) ⇐⇒ f0 X(nf0)δ(f − nf0) m=−∞ n=−∞ý ýúõôõ ð õ ÿ ÷ û ÿþÿ ÷êõ ö ÷ÿ ö ÷ð þûè õ ð ÿð ñ ó ð õó ýò nf0 ý n ÷õê õ õ ñý ñ ûè õ ð ÿ ð ñ ò ò

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t) F X( f ) F -1 1 1 Ts t −2 −1 0 1 2 f−2Ts −Ts 0 Ts 2Ts Ts Ts (b) Ts Ts (a) ÿ÷ó ¿º½½ ´ µ ûè õ ÿ ñ þ ðý ñ ´ µ ÷ ñÿý ýòõ õ ð þñ ÷ÿ ö ÿ ó ö X(nf0) ÿ ÷ û ÿþÿ õ ý ÿ ´¿º¿ µ õý ý óý ÿö ó öó ÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Ò Ø ÓÖ Ñµ ôö þÿ þ þðñ ÷ õ ºñ þ ó ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ ûè õ ÿ ñ þ ðý ñ ´ Ð × ÑÔÐ Ò ÙÒØ ÓÒµ ÷ÿ ö ÷ð þ ðö ð ÿ ð ñ óýÿ þ ó õ ð ð õÿ÷ó ¿º½½´ µôó ÿ÷ó ¿º½½´ µ ý ÿò þõ ý ÿûè õ ÿ ñ þ ðý ñ ð ð õ ∞ x(t) = δ(t − mTs) m=−∞ý Ts ö ÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Ò Ô Ö Ó µ õ ÿ ÷ û ÿþÿ ûè õ ð ÿ ðñ δ(t) ⇐⇒ 1 ð õõ ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ý ó ö X(f ) = 1 ∞ δ f − n Ts n=−∞ Tsð ð õÿ÷ó ¿º½½´ µ úÿ õõ ÿ ÷ û ÿþÿ ûè õ ÿ ñ þ ðý ñ ∞ ⇐⇒ 1 ∞ f− n ´¿º¿ µ Ts Ts δ(t − mTs) δ m=−∞ n=−∞

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó x(t ) T 1 −2T0 −T0 0 T0 t (a) 2T0 X( f ) −1 1 f TT −4 −2 0 2 4 T0 T0 (b) T0 T0ÿ÷ó ¿º½¾ ´ µ ûè õ ö õ ú ÿ÷ þý öö ÷êõ ö ´ µ ÷ ñÿý ýò ý ÿ ´¿º¿ µ ð õ ÿ ÷ û ÿþÿ ö õ ð ÿ ð ñ ¿ óýÿ þ ñ ú ó ö Ts õ ó ðø úô ÷õê ö õ ð ÿ ð ñ óò ò õ õ ð þñ ÷ÿ ö ÿ ó ö 1/Ts ûè õ ð ÿ ð ñ ñ ýÿ þ õ ó ö 1/Ts ÿññ þ ó ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ ûè õ ö õ ú ÿ÷ þý öö ÷õê ö´Ô Ö Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÔÙÐ× ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒµ ð ð õÿ÷ó ¿º½¾´ µ¿ öõ ð ÿ ð ñ ÿ óÿ õ õ öõ ýú ´ ÑÔÙÐ× ØÖ Òµ

¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñôó ÿ÷ó ¿º½¾´ µ x(t) ý ÿò þõ ÷õê ý ÿ ñ ñÿ ð ð õ ∞ x(t) = g(t − mT0) m=−∞ðþó ûè õ õð g(t) = Π(t/T ) ú ÿ÷ þý ýø ÿ ÷ û ÿþÿ óö G(f ) = T sinc(f T )ð õõ ðþ þ ý ÿ ´¿º¿ µ ð ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ý ó ö ∞ X(f ) = f0 T sinc(nf0T )δ(f − nf0) ´¿º ¼µ n=−∞ý f0 = 1/T0 ýòý õ ÷ ñÿý ýò X(f) ð õÿ÷ó ¿º½¾´ µ úÿ õõ ú ÿ÷ þý öö ÷êõ ö ÿ ÷ û ÿþÿ ûè õ ö õ ∞ t − mT0 ∞ T Π ⇐⇒ f0 T sinc(nf0T )δ(f − nf0) ´¿º ½µ m=−∞ n=−∞¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóõ õõ õ ðÿ öÿ ý ÿ ÷ û ÿþÿóõ õ þó ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû þ õ ð ð õñ ÿ ó ¿º½¿º¿ ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó õð x[k] ÿ xk ý ÷õê öó ýñ õ ó ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ´¿º ¾µó x[k] õþ ý ðþ ∞ X(ejω) = x[k]e−jωk k=−∞

¿º¿º ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó ½ñ ÿ ó ¿º½ ñ ÿ ð ÿ ÷ û ÿþÿóõ õx(t) X(f ) δ(t) 1 1 δ(f ) δ(t − td) e−j2πf td u(t) 11 e−j2πfct + δ(f ) t j2πf 2 Π T δ(f − fc) sinc(2W t) T sinc(f T ) t 1f Λ Π T 2W 2W T sinc2(f T )e−atu(t), a > 0eatu(−t), a > 0 1te−atu(t), a > 0 a + j2πf te−a|t|, a > 0 1 e−πt2 a − j2πf |t| 1 (a + j2πf )2 2a a2 + (2πf )2 e−πf 2 2 (j2πf )2

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t) X(f ) cos(2πfct) 1 {δ(f − fc) + δ(f + fc)} 2 sin(2πfct) 1 {δ(f − fc) − δ(f + fc)} ∞ 2j δ(t − mT0) 1 ∞ n ) m=−∞ T0 n=−∞ δ(f − T0ý ω = 2πf ýò ýý ´ Ò ÙÐ Ö Ö ÕÙ Ò Ýµ ý õ þ ÷õê ÿ ðþõñ õ ó ´Ö ÒÔ Ö × ÓÒ µ X(ejω) ó ð ý ÿ ´¿º ¾µ ý ÷êõ ÷êõ öóýö ýò ó ö ω = 2π ÿ ðþõ õ ðþ õ ò ñ ÿ ÷ X (ej ω ) ö÷÷êõ õ ð ýõ x[k] ý ÿòó ð ðþ ÿ ÷ û ÿþÿø øõó ýñ õ ó´ × Ö Ø Ø Ñ ÒÚ Ö× ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖѵ õþ ý ðþ 1 π ´¿º ¿µ x[k] = X (ej ω )ej ωk dω 2π −π ú ý ð õ ÿ ôö þ ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó X(ejω) = F [x[k]] ´¿º µóõø ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó x[k] = F −1 X(ejω) ´¿º µóõø ÿ ÷ û ÿþÿø øõó ýñ õ ó õ õ x[k] ⇐⇒ X(ejω) ´¿º µú ð ý ýúõôÿ ÿ ÷ û ÿþÿÿ x[k] X(ejω)

¿º¿º ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó ¿ |H(ejω)| 2−1.5 −1 −0.5 0 fÿ÷ó ¿º½¿ ÷ ñÿý ýú ð 0.5 1 1.5 H(D) 1 − D2ñ þ ó ¿º½¼ õ ð ýõ ýò H(D) 1−D2 ´õõ h0 = 1¸h1 = 0¸ h2 = −1µôó ý ÿ ´¿º ¾µ ð 2 H(ejω) = hk e−j ωk k=0 = h0e0 + h1e−jω + h2e−j2ω = 1 + 0 + (−1)e−j2ω = 1 − e−j2ω ÿ ý ÿòó H(ejω) ð ðþñÿ H(D) = 1 − D2 ðþ ÿ óõ D = e−jωñ ýó ôö þñ ÷ õH(D) õ ð ó ¿º º¾ ÿ÷ó ¿º½¿ ð ÷ ñÿý ýú ð ÿñ H(ejω) ý ÷õê ÷õê öóý ö ýò ó ö f = 1

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ 1 x[k] h[k ] k 1101 k y[k ] -1 01ÿ÷ó ¿º½ ñ þ ÿ öö ÄÌÁ ó ýñ õ óñ þ ó ¿º½½ ÿ÷ó ¿º½ ð ÿ öö õó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ´ÿ öö ÄÌÁµ ó ýñ õó õ ð ýõ ýò x[k]¸ h[k]¸ y[k] úÿ ýó ð õ Y (ejω) X (ej ω )H (ej ω )ôó ÿ öö ÄÌÁ ó õðý ð ñúñ ý ÿò ð ý ýúõô õ ð ýõ ýòy[k] = x[k] ∗ h[k] ý ó ö { y0 = 1¸ y1 = 0¸ y2 = −1} ð õõx[k]¸ h[k]¸ y[k] ðð õ 1X(ejω) = xke−jωk = (1)e−jω(0) + (−1)e−jω(1) k=0= 1 − e−jω 1H(ejω) = hke−jωk = (1)e−jω(0) + (1)e−jω(1) k=0= 1 + e−jω 2Y (ejω) = yke−jωk = (1)e−jω(0) + (0)e−jω(1) + (−1)e−jω(2) k=0= 1 − e−j2ωõ 1 − e−j2ω = (1 − e−jω)(1 + e−jω) ð õõ ð Y (ejω) X(ejω)H(ejω) ðþó ÷ ñÿý ýú ð |X(ejω)|¸ |H(ejω)|¸ |Y (ejω)| ð õÿ÷ó ¿º½ ò ú ÿ

¿º¿º ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó |Y(ejω)| |X(ejω)| |H(ejω)| −1.5 −1 −0.5 f ÿ÷ó ¿º½ ÷ ñÿý ýò 0 0.5 1 1.5 ñ õÿ öö ÄÌÁ ñ ýÿ÷ó ¿º½ ÿ÷ úö ý õ õ ÿ û X(ejω) ý ö õ ÿ û H(ejω) ðø úô÷êõ õ ÿ û Y (ejω) ñ ýóñ ÿú ð ÿö ýöñ ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó ý õ ö ýöñ ÿ ÷û ÿþÿóñ õ ó ñ ýó ð ôö þ õ ó ¿º¾º½ úþ ñ ÷ þõñ ÷ÿ ý ý ö÷ÿ üó ó õõ ÿö ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿûÿ ÷ û ÿþÿ ´ ðþ ú þ þ ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó µ ýöóö ó ýÿö ÿ ööÿ ööñ õ ÿðð ðÿû ð õõ ø õ ÿ ó ý ÿ ÿ ÷û ÿþÿ õöóõ õó õöóñ ÷

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ¿º ÿ ÷ Z ÿ÷ Dÿ ÷ Z ´Z ØÖ Ò× ÓÖѵ ÿ ÷ D ´D ØÖ Ò× ÓÖѵ ÷õê ÿ ý ó ñ ñÿó õÿ ÷ ó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ × Ò Ðµ þ õÿ÷ õ ð ýõZ ð ýõ D ñ ý ðö þó þñ ÿ ÿ õ ðþ õ ö ÿ ÷û ÿþÿ õ ý ÿòõ ý ÷ ñÿý öõð ðó ð ÷êõñõ ðþó ÷ ÿ ÷Z õþý ý õ ó þ ö ÿ÷ÿ ý ø ð ó õ ÿ ÷ D úöö þó ð õÿ öö ÿð ó¿º º½ ÿ ÷ Zò õð h[k] ÷êõø ñ ö õ ýú ÿ ööó ýñ õ ó ø ÿ÷ Z ´¿º µh[k] õþ ý ðþ ¿¿ ∞ H(z) = h[k]z−k k=−∞ðþó z ñ ÷ÿ õ ´ ÓÑÔÐ Ü Ú Ö Ð µ z−k ñ ð õõ ÿ õ k õþõ õ ú þñ ÿ ôö þ ñ ÷õ óõ ÿ ÷ Z h[k] ⇐⇒ H(z) ´¿º µ ÿö ÿ ÷ Z ø øõ ´ ÒÚ Ö× Z ØÖ Ò× ÓÖѵ ý ôö þ õóõ õ ý þ ðý ÿõ ý õ õ õ ýõ ÿöø õ ý ÿò ÿ þ þð ð õ ¿¿ ø ÿ ÷ Z ý ÿò ð þ õÿ÷ ø ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó ð ðþ ÿ óõ ñ ÷ÿ z = ejω õõ ∞ H(ejω) = H(z)|z=ejω = h[k]e−jωk ´¿º µ k=−∞

¿º º ÿ ÷ Z ÿ÷ D¿º º¾ ÿ ÷ Dõ ðþ õ ö ÿ ÷ Z ò õð h[k] ÷êõø ñ ö õ ýú ÿ ööó ýñ õ ó ø ÿ÷ D h[k] õþ ý ðþ ´¿º ¼µ ∞ ú þñ ÿ ôö þ H(D) = h[k]Dk k=−∞ðþó D ñ ð õõ ÿ õ õ õ þ ´ÙÒ Ø Ð Ý ÓÔ Ö ØÓÖµ ñ ÷õ óõ ÿ ÷ D h[k] ⇐⇒ H(D) ´¿º ½µ ñ ý ÿ ´¿º µ ´¿º ¼µ úö ø ÿ ÷ D ý ÿò ð ðþñÿ ø ÿ÷ Z ðþ ÿ óõ z−1 = D õ D ý ãð þ ´ Рݵäý þò ÿ õ ð õõ ÿ ÷ D ý ö þ õÿ öö ÿð ó úÿ þó þñ ÿ ôö þ öö ´ ÒÒ Ð ÑÓ Ðµ ÿ ÿ ÿ öö ÿð óðþ ú þ þ õ ÿ ÿ ÿ ú øðú ð ´ ÖÖÓÖ ÓÖÖ Ø ÓÒ Ó Ò µ õó õ ðþ õ ø ÿ ÷ D ý ÿò ð þ õÿ÷ ø ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õó ð ðþ ÿ óõ ñ ÷ÿ D = e−jω õõ ∞ H(ejω) = H(D)|D=e−jω = h[k]e−jωk ´¿º ¾µ k=−∞ ý þ ñ ø ÿ ÷ Z ø ÿ ÷ D ý ý ý þ óþö ó öø ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó úþ ññ ÷ÿó ÷õê õ ñ õ ðþ õ þ öÿ÷ öö ýý ý õ÷ÿ þ ñ ´ ÔÔÐ Ø ÓÒµ ó õñ þ ó ¿º½¾ ú ÿ ÿ öö ÄÌÁ õÿ÷ó ¿º½ ý ak ý õúñöñ¸ hk ø ñ ö õýú ¸ nk ÿö õ¸ fk ø ñ ö õ ýú ÿ¸ zk ý ñúñöñ ø ÿ ÷ D ý ñúñ zk ý fk = 1/hk ÿö

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ nk channel equalizer ak hk xk yk fk zk ÿ÷ó ¿º½ ÿ öö ÄÌÁ ó ýñ õ óók ñúñ ÿ ôó ÿ÷ ¿º½ ñõ zk = yk ∗ fk ð ÷õêð õõ ð yk = ak ∗ hk + nk õõ ÿ ÷ D ú ÷ zk = {ak ∗ hk + nk} ∗ fk ý ÿ ñõ þ õ ð ýõ D Z(D) = {A(D)H(D) + N (D)}F (D) = A(D)H(D)F (D) + N (D)F (D)ý zk ⇐⇒ Z(D)¸ ak ⇐⇒ A(D)¸ hk ⇐⇒ H(D)¸ fk ⇐⇒ F (D)¸ nk ⇐⇒ N (D)ð õõ ý õð F (D) = 1/H(D) ð ý ñúñ zk õ ð ýõ D ý ó ö N (D) Z(D) = A(D) + H (D)õó ÷ öñ ÿ õ ÿþ õó ÷ ã ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò äôö þÿ þ þðñ ÷ õ ó º

¿º º ý ýúõôÿ õúñ ñúñxk h0 h1 h2 yk yk h0 h1 01 2 xk h2 k D xk−1 D xk−2 (a) (b)ÿ÷ó ¿º½ ´ µ ø ñ ö õ ýú ÿ öö ´ µ øõü úö ÿ¿º ý ýúõôÿ õúñ ñúñýöñó ÿ öö ÄÌÁ ñúñ ý ó ö ÿó õ õÿ õúñ ø ñ ö õ ýú ÿ öö ú ÿ ø ñ ö õ ýú ÿ öö õÿ÷ó ¿º½ ´ µ õõ ø ñ ö õ ýú ÿ ööý ó ö h0 ó ó k = 0¸ h1 ó ó k = 1¸h2 ó ó k = 2 ðþó ÷ ø ñ ö õ ýú ÿ ööõ ý ÿò þõ þ õÿ÷ý ÿó ñ ñÿ ð hk = h0δ[k] + h1δ[k − 1] + h2δ[k − 2] ýúý δ[k] ûè õ ÿ õ ÿ ð ñ ´ð ó ¾º¿º¾µ õ ðþ õ ø ñ ö õÿ öö õÿ÷ ð ýõ Z ð ýõ D ý ó ö H(z) = h0 + h1z−1 + h2z−2 H(D) = h0 + h1D + h2D2õð ó ýñ õ ó ý ÿòó ò ÷ þõ þ õÿ÷ õ ð ýõõ ð ðþ þ þó ÿ ÿ þõõ õø ñ ö õ ýú ÿ ööþ ý ÿò ð þ õÿ÷ øõü úö ´ ÐÓÖ Ñµ ÿ ð ñ ýÿ÷ó ¿º½ ´ µ ðþó ö D ó õ ó ý õ ÷êõ ÿ ñ ÿ

½¼¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñöö õ ´× Ø Ö ×Ø Öµ ÿ ñ ð õõ ÿ õ õ õ þ ð õõ ý õúñ xkø õö D ðø úô ÷êõ xk−1 ý xk−1 ø õö D ðø úô ÷êõ xk−2úÿ õõ ý ú ÿ ÿ÷ó ¿º½ ´ µ ñúñ yk ý ÿò þõ þ õÿ÷ý ÿó ñ ñÿó ÷êõûè õ õúñ xk ð ð õ yk = h0xk + h1xk−1 + h2xk−2 ý ÿòõ ý õÿõ ñúñ ÿ öö ð ðþñÿ ´ ý óþ õðø ñ ö õ ýú¾º ðö ý õúñý µ óõ ÿ ô ÿó õ õñ ýó ôö þ õ óñ þ ó ¿º½¿ õð õúñ xk ø õ ÷ õ ÈÊ óýø ñ ö õ ýú H(D) = 1 − D2 ð ÷êõ ñúñ ykµ ðü úø ñ ö õ ýú hk øõü úö ÿ ÿ ööµð ñúñ yk þ õÿ÷ ý ÿó ñ ñÿó ÷õê ûè õõúñ xkµ ò {x0, x1, x2} = {1, 1, 0} õ ñúñ yk ÿö k = 0, 1, 2, 3, 4ôóµ ó õðý ý ÿò ðü úø ñ ö õ ýú øõü úö ÿ ÿ öö ð ð ð õÿ÷ó ¿º½µ ÿ÷ó ¿º½ ´ µ ý ÿò þõ ý ÿ ñ ñÿ ð ý ýúõôÿ yk xk ðð õ yk = xk − xk−2µ ð õõ ò {x0, x1, x2} = {1, 1, 0} ð ñúñ yk ý ó ö

¿º º ÿ÷ó þöó ½¼½1 yk 0 2 k DD01 xk (b) -1 ÈÊ ´ µ øõü úö ÿ (a)ÿ÷ó ¿º½ ´ µ ø ñ ö õ ýú {y0, y1, y2, y3, y4} = {1, 1, −1, −1, 0}¿º ÿ÷ó þöóÿ ÷ û ÿþÿ¸ ÿ ÷ Z¸ ÿ ÷ D ÷õê ÿ ý ó ñ ñÿó õ ÿ ÷ õ ð ýõ þ õÿ÷ õ ð ýõ ýò¸ ð ýõ Z¸ ð ýõ D ñ ýðö þó ÿ ÿ õÿ öö þ õ õ õþ ð ð õ ÿ ÷ó ý ôõý ý ýúõô õ õ ý õ õ õ õ ýõ ý õõ÷ó ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû ð õõø õ ÿó õõöóõ õó õöóñ ÷¿º ööù ðó þöó ½º ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) = sin(t) sin(t/2) πt2

½¼¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ¾º ú õ ý ýúõô ú ÿ õ ý ÿ ´¿º¾ µ¿º ø ÿ ÷ û ÿþÿ ⎧ ⎨ x(t) = ⎩ A {1 + cos(πt/T )}, |t| < T 2 |t| > T 0, ý A ÷õê ñ ð º õð x(t) ÷êõ ÿ ý ÿ ÷ û ÿþÿ ó ö X(f) ú õ F[x(−t)] = X(−f ) = X∗(f ) º ð úõó ñ ÿ ûó ýð ûè õ ý ó ö õ õõ ∞ sinc(t)dt = 1 −∞ º ð ÿ û ð ÷ ñÿý ýú ð H1(D) = 1−D2 H2(D) = 1 + 2D + D2 úÿ ýó ÷ÿþö óþöø úôó ð º õð õúñ xk ø õ ÷ õ Èʾ óýø ñ ö õ ýú H(D) = 1 + 2D + D2 ð ÷õê ñúñ yk hk øõü úö ÿ ÿ öö µ ðü úø ñ ö õ ýú þ õÿ÷ ý ÿó ñ ñÿó ÷êõûè õ µð ñúñ yk õ ñúñ yk ÿö k = 0, 1, 2, 3, 4 õúñ xk µ ò {x0, x1, x2} = {1, 0, 1} º õð ÿ öö ÄÌÁ ýø ñ ö õ ýú h(t) = e−atu(t) ðþó a > 0 u(t) ûè õ õ õ õ þ x(t) = e−btu(t) ý b > 0 ñúñ õ ð ýõ ýò ò õúñ

¿º º ööù ðó þöó ½¼¿º ò ÿ öö ÄÌÁ ò õð ðþ ý ÿ ý a>0 dy(t) ñ ö õ ýú + ay(t) = x(t) dt ñ ¸ x(t) õúñ¸ y(t) ñúñ ø H(f ) ý y(t) = x(t) ∗ h(t) ÿ ööõ õ ð ýõ ýò õõ

½¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ

öóó ÿöõ ÿ ýõöóõ ôö þò ýÿúõ õ þ ö ÿ ö õ ÿ ý õ ñ ÷ÿ ý¸ þõ ý ö ¸ ý ýõñ¸ ÿ ö õ ÿ ý¸ ÿ ö õ ÿ ÿ ð ¸ ý õ õõ ÷ ñÿý ¸ ý ýúõôÿ ÿ ö õ ÿ ý ÿ öö õó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ÷õê ñõ úøõ òôÿ ÿ ô ÿð ÿö ý ó õ ÷õê úÿ ý ÿñóÿö õÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿûý ÷õê ý ð õõõ ü þ õöóõ þó ø õ ò ÿ ö õ ÿ ýý õ ø ó ý ÿò õ õöóñ ÷ ð þ õ ÿöø õ óñ ÿ ÿ þ þðúý ñý õ õöóõ ý ÿò õ ð ¸ ¿ ¸ ¿º½ öóõð÷ÿ ÿ öö ÿ ÿ ÿ ´ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒµ ÿü ´ØÖ Ò×Ñ ØØ Öµø õ ´ ÒÒ Ðµ ÷þ ÿü ÿö ´Ö Ú Öµ ðþó ÷ ÿñ õÿ öö ÿ ý ÷õê ã ý ´Ö Ò ÓÑ × Ò Ðµä ó ý ý ÿòÿ ö ðõõ õñ þñ õõ ýý ýöñ ÷êõ þ ÿ ñ þ ýõ ÿ ´Ñ ×× × Ò Ðµ ÿö õ ´ÒÓ × µ ÷êõñõ ½¼

½¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ õÿ ÿ ý ýý ò ÷ þ õÿ÷óý ýöñ ÷õê õð ´ Ø ÖÑ Ò ×Ø × Ò Ðµ ú ó ð ý ÿòõ ÿ ó ñ ó ÿöÿ öö õó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ´ÄÌÁ Ð Ò Ö Ø Ñ ÒÚ Ö Òص ý õ ÿ ÿ ð ý óñ ÿ ý ýõõ ÿ ý ó ñ ñÿó õ ÿ ÷ ý ý ýöñ ÷õê õð õ ûè õ ñ ýúõô ´ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµ¸ ûè õ ý÷ÿ÷ÿ õÿ ý þ ´ ÓÚ Ö Ò µ¸ ûè õ ý õ õõ ÷ ñÿý ´ÔÓÛ Ö ×Ô ØÖ Ð Ò× Øݵ ÷êõñõ ûè õ õ ó ÿþ ãñ ð õõ ÿ ð ý þ ´ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÔ ÖØÓÖµä ý þ õ ÿ õ ð õõ ð ñ ð õõ ÿ ð ý þ ó õ ó õ ÿ ð ý ý õõ õ ´ÙÒ ÖØ ÒØݵ ý ýð ÷º¾ ñ ÷ÿ ý ú ÿ ñ ÿ ÿ þõ ÿþ ö ó ø úôó ð ý ¾ öö ã ´ µä ÿ ã þ´Ø еä ò þõ ÿþ ö ó þ ÿ ðþó ÷ ý ð õ õ ÿ ó ðø úô ÷êõ ã ä ó ö õ õ ÿ ó ðø úô ÷êõ ã þä ò õð N õ õ ÿ óó ÿ þõ ÿþ ö ó¸ nH õ õ ÿ ó ðø úô ÷õê ã ¸ä nT õ õ ÿ ó ðø úô ÷õêã þä ð õõ ð nH ≈ 0.5 ; nT ≈ 0.5 NNõõ ò ÿþ ö óó ýý ÿò õ õ ýõ ÷õê ´ÔÖÓ Ð Øݵ ó ðø úô ÷õêã ä ÿ ã þä ý ó õ õó ñ ñÿ ýõ ÷êõ ø úôó õ ý ÿòþõ ÷õê ý ýúõô ð ð õ Pr{H} = 0.5 ; Pr{T } = 0.5 ´ º½µý Pr{x} ýõ ÷õê x¸ H ø úô ÷êõ ã ¸ä T ø úô ÷êõ ã þä õ õ ñ ø úôó ÷õê ÷ ðó ýðó ð ÿóð õ ÿþ ã÷ÿüýñ þ´× ÑÔÐ ×Ô µä ðþ Ω óõ÷ÿüýñ þ ý ýõ ÷õê ó ö õ

º¾º ñ ÷ÿ ý ½¼ý õõ Pr{Ω} = 1 ´ º¾µ ÿö ÿóð ÿ þõ ÿþ ö ó ð Ω = {H, T } ñþ þ ´×Ù × Øµ ÷ÿüýñ þ ÿþ õ ã ñ ÿ ´ Ú Òصä ñ ý õ ñ ÿ ÿþ ã ñ ÿ ý õ ´ Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ú ÒØµä ¿ ÿö ñ ÿ ÿ þõ ÿþ ö ó÷ÿ ö ÷ð þ ñ ÿ ý õ ω1 = {H} ; ω2 = {T }ò õð ñ ÷ÿ ÿ x óõø úôó ð ñ ÿ ÿ þõ ÿþ ö ó ðþó x =1 ý ø úô ÷êõ ã ä x = −1 ý ø úô ÷êõ ã þä ð õõ ý ÿòõþ ý ÿ ö´Ñ ÔÔ Ò µ ÿ ñ ø úô ωi ∈ Ω ñ õ õ ÿ R õõ f : Ω → R ðð õ ω1 = {H} =⇒ x = 1 ω2 = {T } =⇒ x = −1 ÿ õð ýõ ÷êõ öø úôó ð ÿ þõ ÿþ ö ó õ ý ÿ ´ º½µ ðýõ ÷õê ó x = 1 ÿ x = −1 ý ó õ Pr{x = 1} = 0.5 ´ º¿µ Pr{x = −1} = 0.5õ ÿ þõ ÿþ ö ó ðø úô úþ ¾ öö ó õõ ã ä ÿ ã þä ð õõñ ÷ÿ x ó ÷õê ÷ ð ½ −1 ó õõ õ x õ ý ýõ ÷õê ó öõþ õõ Pr{x = α} = 0

½¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñý α = ±1 ýõ ÷êõóñ ÷ÿ x ý ÷êõ ½ ÿ −1 Pr{Ω} = Pr{x = ±1} = 1 ÿ õð ýõ ÷õê ö ñ ñ ÿ ý õ õ÷ÿüýñ þ Ω ÿ ÷ñ ñ ÿ ý õ ωi ∈ Ω ÷êõ õ õ ÿ úÿ õõ ãñ ÷ÿ ý ´Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð µä ðò õþ ý õý ÿ õþ õ ñ ÷ÿ ý X(A) ó ÿ ÷ ñ ÿ ý A ÷ ÷êõ õ õ ÿ ñ þ õ õ ÿ þõ ÿþ ö ó õ ÿ ø úôó ð õ ð ýó ýð öö ½ ´ óõ ã äµ −1 ´ óõ ã þäµ ð õõ X(A) ∈ {1, −1} ÿ õ ÿó ð ñ õ ÿ ø úôó ð õ ð ýó ýð öö ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ð õõ ðX(A) ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ÷õê ñõ ÿ õð ýõ ÷êõ ´ õ õ ÿ µ ö ñ ñ ÿ A õ÷ÿüýñ þ ñ ð ö ú õ ´ Ü Óѵ ó ¿ ñ ÷õ ½µ Pr{A} ≥ 0 ÿöó ñ ÿ A ∈ Ω ¾µ Pr{Ω} = 1 ÿö ñ ÿ ó õõ õ Ω ¿µ ÿö ñ ÿ ý ðÿ ý ´ÑÙØÙ ÐÐÝ Ü ÐÙ× Ú Ú ÒØ×µ A1 A2 ð Pr{A1 ∪ A2} = Pr{A1} + Pr{A2} ó ðõþ ý ÿ õð ýõ ÷êõ ñ ÿ õ÷ÿüýñ þ ôö þ ýõ ÷êõ ÿöñ ÷ÿ ý X ý ÿòó õð õý ð ðþó ÷ ý þ õÿ÷ ýõ ÷êõóñ ÷ÿ ý X ý ú ÿ ý ü þ õ ó õð õ Pr{X = 1}¸Pr{X = −1}¸ ÿ Pr{0 < X ≤ 1} õó ÷ öñ ýõ ÷êõ ñ ÷ÿ ýýò õð ðþñÿ ´ óõó õð ö ñ ÿ õ÷ÿüýñ þ µ õÿ÷ ãûè õ ÿ ýõ ÷õê ´ÔÖÓ Ð ØÝ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒµä ÿ ó ÿþ õ ãûè õ ÿ ý ´ ÙÑÙÐ Ø Ú ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒµä õþ ý ðþ FX (x) = Pr{X ≤ x} ´ºµ

º¾º ñ ÷ÿ ý ½¼ý FX (x) ýõ ÷õê óñ ÷ÿ ý X ý õ þ ÿ ó ö õ õ ÿ x ýöñó ûè õ ÿ ý ýð õ½µ 0 ≤ FX (x) ≤ 1¾µ FX (x1) < FX (x2) ò x1 < x2¿µ FX (−∞) = 0 µ FX (+∞) = 1 ý ý ó ö ãûè õ ý õ õõõ õ õúõô ´ Ö Ú Ø Ú µ ûè õ ÿ ýõ ÷õê ´ÔÖÓ Ð ØÝ Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒµä õõ pX (x) = dFX (x) ´ºµ dx ýöñó ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ ýð õ½µ 0 ≤ pX(x) ≤ 1¾µ Pr{a ≤ X ≤ b} = b pX (x)dx a¿µ FX (x) = x pX (α)dα −∞µ ∞ pX (x)dx = FX (+∞) − FX (−∞) = 1 −∞ñ þ ó º½ õð ñ ÷ÿ ý X ó õÿ ÿø õ ðþó X÷õê ñ ÷ÿ ý öö ´ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð µ óýûè õ ýõ ÷õê Pr{X > x} = e−λx, x > 0ý x ÷õê õ õ ÿ ð λ ñ ´ ÓÒ×Ø Òص õµ ûè õ ÿ ý FX (x)

½½¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ FX ( x) pX (x) 1 x λe−λx x 1− e−λx ý FX (x) (b) (a) ´ µ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõÿ÷ó º½ ´ µ ûè õ ÿpX(x) ñ ÷ÿ ý ööµ Pr{T < X ≤ 2T } ý T = 1/λµ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê pX(x)ôó ýðµ ûè õ ÿ FX (x) = Pr{X ≤ x} = 1 − Pr{X > x} = ⎧1 − e−λx x<0 ⎨ 0, x≥0 = ⎩ 1 − e−λx,ð ð õÿ÷ó º½´ µµ ýöñ ûè õ ÿ ýð Pr{T < X ≤ 2T } = Pr{X < 2T } − Pr{X < T } = (1 − e−λ2x) − (1 − e−λx) = e−λx − e−λ2x

º¾º ñ ÷ÿ ý ½½½ pX (x) FX ( x) x K 1 ab x (a) ab (b)ÿ÷ó º¾ ´ µ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê pX(x) ´ µ ûè õ ÿ ýFX(x) ñ ÷ÿ ý öö ÿ÷ð õõ ý T = 1/λ ð Pr{T < X ≤ 2T } = e−1 − e−2 ≈ 0.233µõ FX(x) ÷õê ûè õóñ õ ñ ðó x ð õúõô FX(x) ý þÿ ÿöó x þ õó x = 0 ð õõ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ pX(x) ⎧ ⎨ pX (x) = dFX (x) = ⎩ 0, x<0 dx λe−λx, x>0ð ð õÿ÷ó º½´ µñ þ ó º¾ õð ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ ñ ÷ÿ ý öö ÿ÷ X ´ÙÒÓÖÑ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð µ ⎧ a≤x≤b ⎨ K, else pX (x) = ⎩ 0,ð ð õÿ÷ó º¾´ µ ý a b ñð õ K ûè õ ÿ ý FX (x)

½½¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñôó K ý ÿò ð ÿ ýöñ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê õõõó õ ðþ õ ûè õ ÿ ∞ pX (x) dx = 1 −∞ b K dx = 1 a K(b − a) = 1 1 K = b−a ýð x FX (x) = pX (α) dα −∞ ý óö ⎧ ⎪⎪⎪⎨ 0, x<a a≤x≤b FX (x) = ⎪⎪⎪⎩ x−a , x>b b−a 1,ð ð õÿ÷ó º¾´ µ ÿöñ ÷ÿ ý þñ ´ × Ö Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð µ ûè õý ýõ ÷õê ´ÔÖÓ Ð ØÝÑ ×× ÙÒ Ø ÓÒµ ò õ ý óõûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê õþ ý ðþ pX (x) = Pr{x = xi} δ[x − xi] ´ºµ ý i ´ºµý δ[·] ûè õ ÿ õ ÿ ð ñ ´ÃÖÓÒ Ö ÐØ ÙÒ Ø ÓÒµ ûè õ ÿ ñ ÷ÿ ý þñ ý ÿò ð x FX (x) = pX (y) dy = Pr{x = xi} u[x − xi] −∞ i

º¾º ñ ÷ÿ ý ½½¿ FX ( x) pX (x) 1 1 0.5 -1 1 0.5 (a) xxÿ÷ó º¿ ´ µ ûè õ ÿ -1 1 ÿóð ÿ þõ ÿþ ö ó (b) ý FX(x) ´ µ ûè õý ýõ ÷õê pX(x)ý u[·] ûè õ õ õ õ þó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ ÙÒ Ø ×Ø Ô ÙÒ Ø ÓÒµ ñ þõ ÿóð ÿ þõ ÿþ ö óñ ýó ôö þ ñõ ð ⎧ x < −1 ⎨⎪⎪⎪ 0, ´ºµ FX (x) = ⎪⎪⎪⎩ 0.5, −1 ≤ x < 1 1, x≥1ð ð õÿ÷ó º¿´ µ ðþó ûè õý ýõ ÷õê ÿóð ÿ þõ ÿþ ö ó pX(x) ð õÿ÷ó º¿´ µº¾º½ þ õ ý öõó ÷ öñö ÿ ýý ý ÷õê ó ñ õ ó õõ õ ûè õ ýõ ÷õê ´ õûè õ ÿ ý¸ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ¸ õ µ ñ ÷ÿ ý ò óÿ öú ñ ÿÿý þ ´ Ú Ö Ú ÓÖµ ÿ ó ÿþ ã þó òñ ´×Ø Ø ×Ø Ú Ö µäñ ÷ÿ ý ÿö ñ ÿ õõ þ õÿ÷ ã ð ý þ ´ ÜÔ Ø Ú ÐÙ µä ñ ÷ÿ ýðþó ÷ þó òñ ñ ÷ÿ ý ÿ õ õ ã þ õ ý ö ´ Ò× Ñ Ð Ú Öµä ÿ þó ð

½½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ò õð X ÷êõñ ÷ÿ ý ñ ÿ ÿó ð ñ ¸ N õ õ ÿ óó ð ñ ¸k = {1, 2, 3, 4, 5, 6} õ ñ ó ð ÿó ð ñ ¸ nk õ õ ÿ ó ÿó ð ñ ðø úô ÷õê k ð õõ þ ø úôó ð ÿó ð ñ N ÿ ÿþã þ ñ þ ´× ÑÔÐ Ñ Òµä ý ó ö X = n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 + 5n5 + 6n6 ´ºµ Ný · ñ ð õõ ÿ þó ´Ø Ñ Ú Ö ÓÔ Ö ØÓÖµ¸ N = n1 + n2 + n3 + n4 +n5 + n6 ò N 1 nk/N ≈ Pr{X = k} ð õõ ý ÿ ´ º µ ý ÿò þõ ý ð ÷êõ 6 ´ º½¼µ X ≈ k Pr{X = k} k=1 þ ´Ñ Òµ ÿ ð ý þ ñ ÷ÿ ý þñ X óý ó ö αk ð þ ýõ ÷õêPr{X = αk} õþ ý ðþ ´ º½½µý E[·] ñ ð õõ ÿ E[X] = αk Pr{X = αk} ý õ õõ k ð ý þ ÿ ý ÿò þõ þ õÿ÷ ûè õ ýõ ÷êõ pX(α) ð ∞ E[X] = α pX (α) dα ´ º½¾µ ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ö Ò ÓÑ Ú Ö −∞ý ÿ ´ º½¾µ õþ ý ÿò õþ ý ð ý þ ñ ÷ÿ ýóñ õе ð õ õñ þ ó º¿ þ ´ ÿ ð ý þµ ñ ÿ ÿ þõ ÿþ ö ó ÿó ð ñ ýý ÿò õ õ ñ ý ÿþ ö óôó ÿö ñ ÿ ÿ þõ ÿþ ö ó þ ñ ÷ÿ ý X ý ó ö E[X] = (1)Pr{X = 1} + (−1)Pr{X = −1} = 1(0.5) − 1(0.5) =0

º¾º ñ ÷ÿ ý ½½õó õ ðþ õ ÿö ñ ÿ ÿó ð ñ þ ñ ÷ÿ ý X 6 16 E[X] = k Pr{X = k} = k = 3.5 6 k=1 k=1ý Pr{X = k} = 1/6 ÿöó kñ þóº õð ñ ÷ÿ ý öö ÿ÷ X ýûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê ⎧ ⎨ pX (x) = ⎩ 1 , a≤x≤b b−a else 0, þ ñ ÷ÿ ý X ôó þ ñ ÷ÿ ý X ðð õõ ∞ E[X] = α pX (α) dα −∞ 1b = α dα b−a a 1 b2 − a2 = b−a 2 = a+b 2 þ ñ ÷ÿ ý öö ÿ÷ X (a + b)/2º¾º¾ ý ýõñý ýõñ ´ÑÓÑ Òص ÿ þó òñ ðöó n ÿ ýõ ÷êõ ñ ÷ÿ ýX óý ÿ ´Ö Ð Ú ÐÙ µ õþ ý ðþ ´ º½¿µ E[Xn] = ∞ xnpX (x) dx −∞

½½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñõ ÿ ÿ ÿ öö ÿ ý ýõñ ñ ÷ÿ ý X óõþý ý ýõñ ðöó ½ ¾ õõ þE[X] E[X2] ñ ý ðö ðþó E[X] þ X E[X2] ñð´Ñ Ò ×ÕÙ Ö Ú ÐÙ µ X ò õð X Y ñ ÷ÿ ý a ýöñó ñ ð õõ ÿ ð ý þ ýð ñ ÷õ ½µ E[a] = a ¾µ E[aX] = aE[X] ¿µ E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] õ õ ý ýõñ ÿ÷ öö õ óõþý õÿ öö ÿ ý ýõñ õþ ´ ÒØÖ Ð ÑÓÑ Òص ðöó n õþ ý ðþ E[(X − mX )n] = ∞ (x − mX )npX (x) dx ´ º½ µ −∞ý mX = E[X] þ X ò ÷êõ ñ ÿö ý ýõñ õþ ó õý ý ýõñ õþ ðöó ðþý ú ÿþ õó ÷ ã ý ÷ÿ÷ÿ õ ´Ú Ö Ò µä ý óö Var(X) = σX2 = E[(X − mX )2] = E[X2 − 2XmX + m2X ] = E[X2] − 2E[mX X] + E[m2X ] = E[X2] − 2mX E[X] + mX2 = E[X2] − mX2ý σX öþ öõý ñÿ õ ´×Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒµ X ý ÷ÿ÷ÿ õõ ÷õê ñ ð ñ ýöñó ýã ý ý ´Ö Ò ÓÑÒ ××µä ñ ÷ÿ ý X ð ò õð X ñ ÷ÿ ý a÷ÿ÷ÿ õ ýð õ

º¾º ñ ÷ÿ ý ½½ ½µ Var(a) = 0 ¾µ Var(X + a) = Var(X) ¿µ Var(aX) = a2Var(X)ñ þóº ý ÷ÿ÷ÿ õ ñ ÷ÿ ý öö ÿ÷ X óý ú ü þ õ [a, b]ñ ýó ð õÿ÷ó º¾´ µôó ñ þ ó º ð þ ñ ÷ÿ ý öö ÿ÷ X (a + b)/2 úÿ õõ ý ÷ÿ÷ÿ õ X ð σX2 = E[(X − mX )2] = 1 b x− a+b 2 b−a a 2 dxò y = x − (a + b)/2 ð σX2 = 1 (b−a)/2 b−a y2 dy −(b−a)/2 (b − a)2 = 12ð õõ ý ÷ÿ÷ÿ õ ñ ÷ÿ ý öö ÿ÷ X (b − a)2/12º¾º¿ ñ ÷ÿ ý þñ õð X Y ÷êõñ ÷ÿ ý õ÷ÿüýñ þ ´× ÑÔÐ ×Ô µ ðþ õ ûè õ ÿ ýõ ÷õê ÿ ý ´ Ó ÒØ ÙÑÙÐ Ø Ú ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒµ õþ ý ðþ FXY (x, y) = Pr{X ≤ x, Y ≤ y} ´ º½ µðþý ýöñó ð ñ ÷õ

½½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ½µ FXY (x1, y1) ≤ FXY (x2, y2) ò x1 ≤ x2 y1 ≤ y2 ¾µ FXY (−∞, y) = FXY (x, −∞) = 0 ¿µ FXY (∞, ∞) = 1 µ FX (x) = FXY (x, ∞) = ∞ FX Y (x, y) dy −∞ µ FY (y) = FXY (∞, y) = ∞ FXY (x, y) dx −∞õó õ ðþ õ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõÿ ý ´ Ó ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒµ õþ ý ðþ ´ º½ µ ∂2ðþý ýöñó pXY (x, y) = ∂x∂y FXY (x, y) ðõ ½µ FXY (x, y) = y x pXY (u, v) dudv −∞ −∞ ¾µ pX(x) = ∞ pXY (x, y) dy −∞ ¿µ pY (y) = ∞ pXY (x, y) dx −∞ µ ∞ ∞ pXY (x, y) dxdy = 1 −∞ −∞ õ õ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê ý õ ´ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ Ò× ØÝÙÒ Ø ÓÒµ ´ º½ µ ñ ÷ÿ ý X ý õðñ ÷ÿ ý Y = y ý ò õþ ý ðþ ⎧ ⎨ pXY (x,y) pX|Y (x|y) = ⎩ pY (y) , pY (y) = 0 else 0,ò ñ ÷ÿ ý X Y ÷õê ã ÿ òñ ´×Ø Ø ×Ø ÐÐÝ Ò Ô Ò Òصä ñ õ ð pXY (x, y) = pX (x)pY (y) ´ º½ µð õõ ý ÿ ´ º½ µ ðÿ÷ ð ÷êõ pX|Y (x|y) = pX (x) ´ º½ µ

º¾º ñ ÷ÿ ý ½½ò õð g(X, Y ) ûè õ ñ ÷ÿ ý X Y úÿ õõ ð ý þ g(X, Y )ý ÿò ð ∞∞ ´ º¾¼µ E[g(X, Y )] = g(X, Y )pXY (x, y) dxdy −∞ −∞º¾º ý ýúõôÿ ñ ÷ÿ ý õð X Y ñ ÷ÿ ýóý þ mX mY ¸ ý ý ÷ÿ÷ÿ õ σX2σY2 ñ ý ðö ý ýúõôó ñ ñ ÷ÿ ýó ñ õ ýð ñ ÷õ½µ ýúõô ´ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµ õþ ý ðþ ∞∞ ´ º¾½µ RXY = E[XY ] = xypXY (x, y) dxdy −∞ −∞¾µ ý ÷ÿ÷ÿ õÿ ý þ ´ ÓÚ Ö Ò µ õþ ý ðþ Cov(X, Y ) = E[(X − mX )(Y − mY )] ´ º¾¾µ = E[XY ] − E[XmY ] − E[mX Y ] + E[mX mY ] = E[XY ] − E[X]mY − mX E[Y ] + mX mY ´ º¾¿µ = E[XY ] − mX mY − mX mY + mX mY ÷õê = E[XY ] − mX mY ´ º¾ µõ E[X] = mX E[Y ] = mY ñ¿µ ý÷ÿ óôDZ ýúõô ´ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Òص õþ ý ðþ ρXY = Cov(X, Y ) = E[XY ] − mX mY σX σY σX σYý −1 ≤ ρXY ≤ 1õþ ý ý ýúõô ñ ÷ÿ ýó ýõ ð ñ ÷ÿ ý X Yýñ ´ÓÖØ Ó ÓÒ Ðµ ñ ý E[XY ] = 0

½¾¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñõó õ ðþ õ ñ ÷ÿ ý X Y ýý ýúõô õ ´ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø µ ñ ý ρXY = 0 =⇒ E[XY ] = E[X]E[Y ] ´ º¾ µ ýöñó ÿóñ ÷ÿ ý X Y ýý ýúõô õ ò õð Z = X +Y ÷õê ñ ÷ÿ ý ø ÿ ý ð õõ ý ÷ÿ÷ÿ õ Z ý ÷ÿ÷ÿ õ ñ ÷ÿ ý X Y õõ ó öø ÿ ý ý σZ2 = σX2 + σY2 ´ º¾ µ õ õ ñ ÷ÿ ý X Y ò ÷êõ ÿ òññ õ ñ ý pXY (x, y) = pX (x)pY (y) =⇒ E[XY ] = E[X]E[Y ] ´ º¾ µú ÿ ý ÿ ´ º¾¿µ úö ò ñ ÷ÿ ý X Y ÷êõ ÿ òññ õ ñ ÷ÿ ýó ý ý÷ÿ óôDZ ýúõô ρXY = 0 ðþ ñ õýñ ÿ õþ õ ò ñ ÷ÿ ýX Y ÷õê ÿ òññ õ ñ ÷ÿ ýó ýý ýúõô õ ñ õó ö õò ñ ÷ÿ ý X Y ýý ýúõô õ ý ÷êõ ý ÷ó ñ ÷ÿ ýó ÷õê ÿòññ õ þ õ ÿ ó X Y ÷êõñ ÷ÿ ý öö þõÿ ý ´ Ó ÒØ Ù×× Ò Ö Ò ÓÑÚ Ö Ð µ ó õõ ¿º¾º ûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê öö þõñ ÷ÿ ý öö þõ ´ Ù×× Ò Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð µ ÷õê óõþý õ õ ÿ ÿ ÿ öö ÿ ó õ õ ú ñ ÿÿý ñ ÷ÿ ý öö þõý þ ö ý óÿö ü þ õÿ öö ÿ õ ÿö õ ý ÿ ÷êõñõ ñ ÷ÿ ý öö þõ X ýûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê ð õ pX (x) = 1 − (x − mX )2 ´ º¾ µ exp 2σX2 2πσX2ý exp{·} ûè õ ´ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒµ¸ mX þ X¸ σX2 ý ÷ÿ÷ÿ õ X õ õ ýõ þõ óõð þ pX (x) ∼ N (mX , σX2 )

º¾º ñ ÷ÿ ý ½¾½ ÿ÷ó º ñ þ ñ ÷ÿ ý öö þõóý N (0, 1)õó ÷ öñ ûè õ ý õ õõ ñ ÷ÿ ý öö þõ ò õþ ý ðþ ýöÿ ð þþ mX ý ÷ÿ÷ÿ õ σX2 ÿö õ ÿ ó mX = 0 σX2 = 1 ÿþ ûè õý õ õõ ýõ ÷êõ N (0, 1) ý ã ÿ ÷ ñ ööý ñÿ õ ´×Ø Ò Ö ÒÓÖÑ Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒµä ÿ÷ó º ð ñ þ ñ ÷ÿ ý öö þõóý N (0, 1)ÿ÷ ó ÿý ´ ×ØÓ Ö Ñµ ó ð õÿ÷ó º ´ µ úö ñ ÷ÿ ý X õý þõöÿ õþ ð ö þ mX = 0 ñ ÷ÿ ý X ÿö õ ýÿ õ ´Ø ÖÑ Ð ÒÓ × µ ÷õê ÿö õóúö õó ÷ ÿ óÿõ ðþ ð ó õ ÷ ÿ óÿ õ õ ÷õê õ õ ñÿ õ õ ÷ ÿóÿ õ ÷ ý õó ð ÿ øú õ ýÿ õ ý ÷õê ÿö õ ð õõ

½¾¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ññ ÷ÿ ý öö þõý ò õ ý ÷êõ öö ÿö õ ýÿ õ õ ÷õê øõ ý ãó öó ýñ õþ ´ ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñµä ¿ ûè õ ýõ õõ ýõ ÷õê ø ö ñ ÷ÿ ý ð óý ý ÷õê ÿ ñ õ õ õ j ð ý ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ öö þõ ý j ý õõñ ÿöûè õ ÿ ý FX(x) ñ ÷ÿ ý öö þõóýûè õ ý õ õõýõ ÷êõ N (mX, σX2 ) ý ÿò ð ð õ FX (x) = Pr{X ≤ x} x = pX (α) dα −∞ +∞ = 1− pX (α) dα x = 1− 1 +∞ − (α − mX )2 dα ´ º¾ µ 2πσX2 2σX2 exp xò õð v = (α − mX)/σX ð dv = dα/σX ð õõ ý ÿ ´ º¾ µ ý ÿò ðÿ÷ ýð ÷õê FX (x) = 1 − √1 ∞ − v2 dv 2 exp 2π x−mX σX = 1 − Q x − mX ´ º¿¼µ σXý ûè õ Q(x) õþ ý ðþ Q(x) = √1 ∞ − v2 dv ´ º¿½µ 2π x 2 exp÷õê ÿ õó ÿ õ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê öö þõ ðþó ÷ ûè õ Q(x) ÿö x ñ ý ÿò ð ãñ ÿ õ ´ÐÓÓ ÙÔ Ø Ð µä ó þñ ÿ õ ð ð õü øõ ñ õ ÿ ó x 3 ûè õ Q(x) ý ÿò÷ÿ ý ððõ Q(x) ≈ √1 exp − x2 x 2π 2 ´ º¿¾µ

º¾º ñ ÷ÿ ý ½¾¿ñ ÷ÿ ý öö þõÿ ýñ ÷ÿ ý X Y ÿþ ÷õê ñ ÷ÿ ý öö þõÿ ý ´ Ó ÒØ Ù×× Ò Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð µ ò ûè õ ý õ õõ ýõ ÷õê ÿ ýý ó öpXY (x, y) = 1 − 2(1 1 ) (x − mX )2 exp − ρX2 Y σX2 2πσX σY 1 − ρ2XY −2ρXY (x − mX )(y − mY ) + (y − mY )2 ´ º¿¿µ σX σY σY2ý ñ ÷ÿ ý X Y ý þ mX mY ¸ ý ÷ÿ÷ÿ õ σX2 σY2 ¸ ýý÷ÿ óôDZ ýúõô ρXY þõ ýð ñ ÷õ ¿ ýöñóõ õ ñ ÷ÿ ý öö½µ ò X Y ÷êõñ ÷ÿ ý öö þõÿ ý a b ñð ð ñ ÷ÿ ý Z = aX + bY÷êõñ ÷ÿ ý öö þõð þ óý þ mZ = amX + bmY ý ÷ÿ÷ÿ õ σZ2 = a2σX2 + b2σY2 + 2ab σX σY ρXY¾µ ò X Y ÷êõñ ÷ÿ ý öö þõÿ ý ó ýý ýúõô õ õõ ρXY = 0 ñ ÷ÿ ý X Y ÷êõ ÿ òñ ðþ ñ õýñ¿µ ò X ÷õê ñ ÷ÿ ý öö þõ ⎧ ⎨ E [X n ] = ⎩ 1 × 3 × 5 × . . . × (n − 1)σX2 , n even 0, n odd