การประมวลผลสัญญาณสำหรับการจัดเก็บข้อมูลดิจิทัล เล่ม 1: พื้นฐานช่องสัญญาณอ่าน-เขียน

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ r0 = r0(t)|t = T = r0(T ) ò ý ñõó ´ ð ö a0µ ý ó ö ´ º ¼µ p(y|r0) = √1 exp − (y − a0)2 2πσ2 2σ2 p(y|r1) ý þò ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ ñ ÷ÿ ý y ý õð r1 = r1(t)|t = T = r1(T ) ò ý ñõó ´ ð ö a1µ ý ó ö p(y|r1) = √1 exp − (y − a1)2 ´ º ½µ 2πσ2 2σ2 ò õð å H0 ýýñ õó r0 = r0(T ) ò ý´ ð ö ak = a0µ å H1 ýýñ õó r1 = r1(T ) ò ý´ ð ö ak = a1µ ÿñÿ ð ÿý ÷ þõ ó ÿò ðÿ ý y ú ñð õ ý öñó ý ñõóa0 ÿ a1 ðþú ÿ ÿñð õ ´ × ÓÒ ÖÙÐ µ ñ ÷õ H1 ´ º ¾µ yk ≷ γ H0ý γ ÿ ðö ð ÿý ÷ þõ ´Ø Ö × ÓÐ Ð Ú Ðµ õ ÿ öö ÿñÿ ð ÿý ÷ þõ óõ ööÿ öö ñ ó ÿ γ óðó ðó ó ýõ ÷êõ øðú ðóð õ ÿñÿ ð ÿý ÷ þõý õ þó ð ÿ ÿ γ óó ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ ri ´ ÿö i ¼ ÿ ½µ ý õð y ý õõ p(ri|y) ´ º ¿µ öö Å Èý ý ð ð õõ ÿñð õ ó ÿñÿ ð ÿý ÷ þõ H1 p(r1|y) ≷ p(r0|y) H0 ÿñÿ ó ÿñð õ ñ ý ý ÿ ´ º ¿µ ÿþ õ ã ÿñÿ´Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ÔÖÓ Ð Øݵä

º¾º ÿñÿ ýõ ÿö õ ööö ½ó öó ö ´ Ý ×â Ø ÓÖ Ñµ p(a|b) = p(b|a)p(a)/p(b) úÿ õõý ÿ ´ º ¿µ ý ÿò þõ ð ý ÷õê p(y|r1)p(r1) H1 p(y|r0)p(r0) ´º µ ≷ p(y) H0 p(y)ý p(r0) p(r1) ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ õ ´ ÔÖ ÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò× ØÝÙÒ Ø ÓÒµ ó r0 r1 ò ý ñ ý ðö ý ÿ ´ º µ ý ÿò ðÿ÷ ý ð p(y|r1) H1 p(r0) ´º µ p(y|r0) p(r1) ≷ H0ÿñð õ õ ý ÿ ´ º µ ÿþ õó ÷ ã ÿóð ö ñÿ õ ýõ ÷êõ ÿ ´ÐÐ ÓÓ Ö Ø Ó Ø ×صäõ ÿ ó p(r0) = p(r1) õõ ýõ ÷õê ó ÿü r0 ÿ r1 ýó õ ð õõ ý ÿ ´ º µ ðÿ÷ ÷êõ H1 ´º µ p(y|r1) ≷ p(y|r0) H0ÿñÿ ó ÿñð õ ñ ý ý ÿ ´ º µ ÿþ õ ã ÿñÿ öö ÅÄ ´Ñ Ü ÑÙÑÐ Ð ÓÓ µä óõ p(y|r0) ý ÿ ´ º ¼µ p(y|r1) ý ÿ ´ º ½µ õ ý ÿ´º µ ð √ 1 exp − (y − a1 )2 H1 √ 1 exp − (y − a0)2 2πσ2 2σ2 2πσ2 2σ2 exp ≷ H0 − (y − a1 )2 H1 exp − (y − a0)2 ´º µ 2σ2 2σ2 ≷ H0ÿóýôÿÿý ñ ln(·) ó ý ÿ ´ º µ ð ÷êõ − (y − a1)2 H1 − (y − a0)2 2σ2 2σ2 ≷ H0 − y2 − 2ya1 + a21 H1 − y2 − 2ya0 + a20 2σ2 2σ2 ≷ H0 2y(a1 − a0) H1 a12 − a20 ≷ H0 y H1 a1 + a0 ´º µ ≷ H0 2

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ p ( y | r1 ) p (r1 ) p ( y | r0 ) p ( y | r1 ) p ( y | r0 ) p (r0 ) a0 γ a1 y(T ) a0 γ a1 y(T ) (a) p (r0 ) = p (r1 ) (b) p (r0 ) < p (r1 ) ÿ÷ó º½¿ ÿ ðö ð ÿý ÷ þõ γ ÿö ÿ ´ µ p(r0) = p(r1) ´ µ p(r0) < p(r1)ð õõ ÿ ðö ð ÿý ÷ þõóðó ð γ ó ó ýõ ÷êõ øðú ðóð õ ÿñÿ ð ÿý ÷ þõý õ þó ð ý ó ö γ = a0 + a1 ´º µ 2 õ ÿ ó p(r0) = p(r1) ÿ ðö ð ÿý ÷ þõó ý ó ð γ õ þ ö p(r0) p(r1)ð þñ ý ý ÿ ´ º µ ÿ÷ó º½¿ ð ñ þ ÿ ðö ð ÿý ÷ þõ ý p(r0) = p(r1)p(r0) < p(r1) ÿ÷ó º½¿´ µ ý p(r0) = p(r1) γ þ ñ õ ÿ a0 a1 ú ð õ ó ý p(r0) < p(r1) ñ ýÿ÷ó º½¿´ µ ý þ ý ýõ ÷êõó ÿü r1 ýý r0 ð õõ γ þ a1 ý a0 ú ó ðó ó ý y(T ) ñ þ öÿ a1 ´ ý y(T ) > γµ ýý ó ÿñÿ ðÿý ÷ þõñð õ y(T ) a1 þ ÿ ñ ý õó ÷ öñ ý ñ ýýñ õ ÿ öö ÿ ý ð þ p(r0) = p(r1) ú ýý ÷êõñ ÷ÿ ý ó þñ ÿ ÿÿ öö º¾º ÿ õ ýõ ÷õê øðú ðú ÿ ÿ÷ó º½¿´ µ ý p(r0) = p(r1) ÿü ÿö ð øðú ð ñ ý ÿ öör0(t) ñ ÿñÿ ð ÿý ÷ þõñð õ ý a1 ò ý ´õõ ÿö õü þ õ

º¾º ÿñÿ ýõ ÿö õ ööö ½ÿ ööó y(T ) > γµ ð õõ ýõ ÷õê øðú ð õ ÿ õ ∞ ´ º ¼µ p(e|r0) = p(H1|r0) = p(y|r0) dy γõó õ ðþ õ øðú ð ð õ ò ÿ öö r1(t) ñ ÿñÿ ð ÿý ÷ þõñð õ ý a0 ò ý ´õõ ÿö õ õÿ ööó y(T ) < γµ úÿ õõýõ ÷êõ øðú ð ÿö ÿ õ γ ´ º ½µ p(e|r1) = p(H0|r1) = p(y|r1) dy −∞ð õõ ýõ ÷êõ øðú ðÿ ý ó ÿ öö ´ ÿöÿ öö öõ ÿµ ÿ ñÿ øðú ðöñ ´ ʵ ð 1 ´ º ¾µ Pe = p(e|ri)p(ri) = p(e|r0)p(r0) + p(e|r1)p(r1) i=0õ ÿ ó p(r0) = p(r1) ý ÿ ´ º ¾µ ðÿ÷ ÷õê Pe = 1 p(e|r0) + 1 p(e|r1) ´ º ¿µ 2 2 õ ý ýý ñÿ ûè õ ý õ õõ ýõ ÷êõ p(e|r0) = p(e|r1) ð õõð ∞ ´º µóõ γ ð ÷õê Pe = p(e|r1) = p(e|r0) = p(y|r0) dy ´º µ γ ý ÿ´º µ p(y|r0) ý ÿ ´ º ¼µ õ ý ÿ ´ º µ Pe = ∞ √ 1 exp − (y − a0)2 dy a0+a1 2πσ2 2σ2 2ðÿ÷ ý ÿ ´ º µ ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿð ñ ÷õ u = (y − a0)/σ ð dy = σdu ð õõ ´º µ Pe = ∞ √1 exp − u2 du a1−a0 2π 2 2σ = Q a1 − a0 2σ

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñý ûè õ Q õþ ý ðþ Q(x) = √1 ∞ e−u2/2 du ¸¿ ¸¿ σ2 = N0/2 2π x ý ÿ ´ º µ Pe ý ð ð ñ ý (a1 − a0)/σ ý úý õ ý ÿòó ð ðþ ÿ öö ÿ ÿ ü ÿöó ý ö r1(t) − r0(t) õõ úÿ õõ ËÆÊ t = T ý ÿò þõ þ õÿ÷ SNRT = (a1 − a0)2 = 2Ed ´º µ σ2 N0ý σ2 = N0/2 þ ÿö õóð õ ÿ ñ þ ¸ Edú õ øñ ó õþ ý ðþ ∞ ´º µ Ed = {r1(t) − r0(t)}2 dt −∞ð õõ ýõ ÷êõ øðú ð õ ý ÿ ´ º µ ý ÿò ðÿ÷ ý ð ÷êõ 1 Ed ´º µ Pe = Q 2 SNRT = Q 2N0 ú õ øñ ó Ed õ ý ÿ ´ º µ ý ÿò ÿ þ ð ÷êõ TT T ´ º ¼µ Ed = r12(t) dt + r02(t) dt − 2 r1(t)r0(t) dt 00 0ðþó ú õ ÿ ó ð õ ý ÿ ´ º ¼µ ú õ r1(t) r0(t) õó ÷ öñ ý ò ãú õöñ´õõ Er1 Er0µ õõ þ ´ÚÖ ØÒ Eb õ õþ ý ðþÖ Ýµä Eb õ ÿ õ ñ 1 TT ´ º ½µ Eb = 2 r12(t) dt + r02(t) dt 00 ÿöú õ ðó þó ð õ ý ÿ ´ º ¼µ ýúõô ö ý÷ÿ óôDZ ýúõô ý ´ ÖÓ××ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Òص ð õ 1T ρ= r1(t)r0(t) dt ´ º ¾µ Eb 0ý −1 ≤ ρ ≤ 1 óõ ý ÿ ´ º ½µ ´ º ¾µ õ ý ÿ ´ º ¼µ ð Ed = 2Eb − 2Ebρ = 2Eb(1 − ρ) ´ º ¿µ

º¾º ÿñÿ ýõ ÿö õ ööö ½ a0 0 a1 − Eb d01 Eb ÿ÷ó º½ ñ õ õñ ú ðð õõ ý ÿ ´ º µ þõ ý ð ÷õê ⎛⎞ Pe = Q ⎝ Eb(1 − ρ) ⎠ ´º µ N0 Ê õñ ú ðò öõ ÿ r0(t) = −r1(t) ´õõ a0 = −a1µ ÿ÷ ööõ ÿþ õ ã õñ ú ð ´ ÒØ ÔÓ Ð × Ò Ðµä ð ð õÿ÷ó º½ õ ÿ õ ð ú õ öñ Er0 =−√Eb¸ Er1 = √Eb¸ ý÷ÿ óôDZ ýúõô ý ρ ý ó ö 1 T r1(t)r0(t) dt = −1 T ρ= 0 Eb r12(t) dt = −1 Eb 0ð õõ ý ÿ ´ º µ Ê ÿ öö ÿó õñ ú ð õ ÿ ýýóö ´º µ ⎛ ⎞ Pe = Q ⎝ Eb(1 − (−1)) ⎠ = Q 2Eb N0 N0 ÿ ñ ý ÿ ´ º µ úö Ê ÿ öö õ þ ö Eb/N0 ó õõ ý ð õ öÿ÷ÿ ó õ ÿ ý a0 a1 õ õ þ ý ÿò ð Ê õÿ÷ ÿ þ ó ÿ ý a0 a1 ð õ õ ÿ÷ó º½ ÿ þ ó ÿ ý a0 a1 d01 ý ó ö √ ð õõ Eb = d201/4 2 Eb

½¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ Eb d01 = 2Eb 0 Eb ñ ÿ÷ó º½ ñ õóõ Eb õ õ ý ÿ ´ º µ ð ÷õê ⎞ ⎛ Pe = Q ⎝ d021 ⎠ = Q Ed ´º µ 2N0 2N0ý d201 = Ed = −∞∞{r1(t) − r0(t)}2 dtÊñ ñ ´ÓÖØ Ó ÓÒ Ð × Ò Ðµ öõ ÿ r0(t) r1(t) óýú õöñ √ ý÷ÿ óôDZ ýúõô ý ρ ó öEr0 = Er1 = Ebð ð õÿ÷ó º½ õõ 1 T õ ð √ ρ= d01 = 2Eb r1(t)r0(t) dt = 0 Eb 0 ó ó ýý õ 90o õ ÿð õõ Ê ÿ öö ÿó ñ õÿ ý óö ⎛ ⎞ Pe = Q ⎝ d021 ⎠ = Q Ed = Q Eb ´º µ 2N0 2N0 N0ñþ ÿõ Êõ õõ ð ñ þ ÿ õ Ê ÿ öö ÿó ÿ÷ ööñ õ ÿ ý öñ a0 a1

º¾º ÿñÿ ýõ ÿö õ ööö ½½ r0 (t ) (milli-volts) r1 (t ) (milli-volts) t (μs)2 1 231 −1 01 2 3 t (μs) −2 ÿ÷ó º½ ÿ÷ õ r0(t) r1(t) ó õÿ öö ÿñ þ ó º ú ÿ ÿ öö ÿ öõ ÿ ´ Ò ÖÝ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ ó r0(t)r1(t) óýÿ÷ õ ñ ýÿ÷ó º½ r(t) ò ÿö õð þ Ï Æ óý ýõ õõ ÷ ñÿý öö ð õ ó ö N0/2 ò ÿ ð þ ÿ ÿ ý ð õõò ó ÿ ñ þ ó t = T ò õð N0 = 10−12 ññ» ÿñ õ Êÿ ööõôó ÿ÷ õ õÿ÷ó º½ úö r0(t) = −r1(t) õõ ð ÿ öö ÿ õñ ú ð õ ÿ ý õ Ê õñ ú ð ý ñ ý ý ÿ´ º µ õõ Pe = Q 2Eb N0ð õõ õ ÿó Pe ð ñ óÿ ö ú õ þ öñ Eb õ ý ÿò ðð ñ ÷õ ÿýñõð þ ÿ ú õ r0(t) 3×10−6 |r0(t)|2 dt Er0 = 0 = (2 × 10−3)2(1 × 10−6) + (1 × 10−3)2(2 × 10−6) = 6 × 10−12 Joules

½¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñõ r0(t) = −r1(t) úÿ õõ ú õ r1(t) ý ó ö r0(t) õõEr0 = Er1 ð õõ Joules Eb = Er0 + Er1 = 6 × 10−12 2óõ Eb õ Pe ð Pe = Q 2(6 × 10−12) 10−12 √ = Q 12 = 0.000266 õ ð Ê ÿ öö ý õ öÿ÷ÿ r0(t) r1(t) ð õõ ý r0(t)r1(t) ýÿ÷ÿ þ ÿ ñ ý ñÿ ö ðóÿ öö ý ó ðý r0(t) r1(t) ýú õ ó õ Êñ þ ó º ú ÿ ÿ öö ÿ öõ ÿó ÿ öö öö ðþ ´ÙÒ ÔÓÐ Ö × Ò Ð Ò µðþó r0(t) = 0, 0 ≤ t ≤ T r1(t) = A, 0 ≤ t ≤ TýA ñ ÿ÷ó º½ ð ñ þ r(t) ó ð ö ðö ý {1, 0, 1, 1, 0,1, 0} r(t) ò ÿö õð þ Ï Æ óý ý õ õõ ÷ ñÿý öö ð õ ó ö N0/2 ò ÿ ð þ ÿ ÿ ý ð õõ ò ó ÿ ñ þ ó t = T õ Ê ÿ ööõ õÿ÷ ûè õ Qôó õ r0(t) r1(t) ý ÷õê ñ úÿ ý÷ÿ óôDZ ÿö ñ ý ÿò ð ýúõô ýρ= T r1(t)r0(t) dt = 0 ð õõ Ê 0

º¾º ÿñÿ ýõ ÿö õ ööö ½¿ r (t) t r0 (t ) r1 (t ) t 1011010 0T AA t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 0Tÿ÷ó º½ r(t) ó ð ö ðö ý {1, 0, 1, 1, 0, 1, 0} ý ÿ öö öö ðþ ´ ÿ ñµý ÿ ´ º µ õõ Pe = Q ⎛⎞ Ed = Q ⎝ A2T ⎠ 2N0 2N0ý ú õ øñ ó Ed = T (A − 0)2 dt = A2T õó õ ðþ õ 0´ º µ õõ Ê ý ÿòó ú õöñ þ Eb ð õ õ ñ ý ý ÿ Pe = Q ⎛⎞ Eb = Q ⎝ A2T ⎠ N0 2N0ðþó Eb = (Er0 + Er1)/2 = A2T /2 ý Er0 = 0 Er1 = T (A)2 dt = A2T 0ñ þ ó º ú ÿ ÿ öö ÿ öö öõ ÿó ÿ öö öö ´ ÔÓÐ Ö × Ò Ð Ò µðþó r0(t) = −A, 0 ≤ t ≤ T r1(t) = A, 0 ≤ t ≤ TýA ñ ÿ÷ó º½ ð ñ þ r(t) ó ð ö ðö ý {1, 0, 1, 1, 0,1, 0} r(t) ò ÿö õð þ Ï Æ óý ý õ õõ ÷ ñÿý öö ð õ ó

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ r (t ) r0 (t ) r1 (t ) 1011010 A A t t0 T t 0T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T−A −Aÿ÷ó º½ r(t) ó ð ö ðö ý {1, 0, 1, 1, 0, 1, 0} ý ÿ öö öö ´ÿ õñ ú ð µ ö N0/2 ò ÿ ð þ ÿ ÿ ý ð õõ ò ó ÿ ñ þ ó t = T õ Ê ÿ ööõ õÿ÷ ûè õ Qôó õ r0(t) = −r1(t) úÿ õõ óý ÷õê öö õñúð Ê ÿö õñ ú ð ý ÿò ð ý ÿ ´ º µ õõ Pe = Q Ed ⎛⎞ 2N0 = Q ⎝ 2A2T ⎠ N0ý ú õ øñ ó Ed = T [A − (−A)]2 dt = (2A)2T õó õ ðþ õ 0´ º µ õõ Ê ý ÿòó ú õöñ þ Eb ð õ õ ñ ý ý ÿ Pe = Q ⎛⎞ 2Eb = Q ⎝ 2A2T ⎠ N0 N0ðþó Eb = (Er0 + Er1)/2 = A2T õ Er0 = Er1 = T (A)2 dt = A2T 0 ñ þóº º ÷ÿ óôü ú õÿ÷ Ê ÿ öö ÿó ÿ öö öö Pe = Q 2Eb/N0 ð ÿ ÿ öö öö ðþ Pe = Q Eb/N0ð ð õÿ÷ó º½ ó õ õ ò ú ÿ ñ õ ÿ öö öö ðþ ´õõ

º¿º ÿ óÿ ðÿ ½ 100 Probability of error, P 10−1 e Unipolar signaling 10−2 10−3 Bipolar signaling 10−4 10−5 3dB 10−6 10−7 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 E /N (dB) b0ÿ÷ó º½ ÷ÿ óôü ú ÿ öö ÿ öõ ÿó ÿ öö öö ðþ ÿ öö öö ñ µ õÿ÷ó º½ ñ õ ÿ öö öö ´õõ õñ ú ð ýõñ ú ð µ õÿ÷ó º½ úö ÿ þ ý öñ ÿö ó ÿñÿý ÿþ ý öñ ÿö ñ ýþ ý Ê õ þ ÿ ööñð õ øðú ð ýõ þ ó ÿ öö öö ýöö ðþº¿ ÿ óÿ ðÿÿ óÿ ðÿ ´ÁËÁ ÒØ Ö×ÝÑ ÓÐ ÒØ Ö Ö Ò µ ÷ÿ ÿ ó úðöó k ó ñõó ÷ÿö õ ÿ óÿ ð ö ú ó þñð õ ´õõú ðöó k−i ý i ÷õê õ õ ñýó ý ó ö õþµ ô ÿ ñ

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ nk ak H(D) rk yk detector aˆk ÿ÷ó º¾¼ öö ó ýñ õ ó ÿ ´ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ðµ ó õ ð ÁËÁ ÿ ý ý ÿòó ð ðþ ÿú õú ÷õ ò ú óð õ ýý õúð õ ð ÁËÁ ú ÿ öö ó ýñ õ ó õÿ÷ó º¾¼ ý ðö ý õúñ H(D) ó õð ðþak óý ö öñ ´ Ø Ô Ö Ó µ T ò ø õ ÷þ ν ´º µ H(D) = hkDk k=0ý hk ý÷ÿ óôñDZ ó k ¸ ν õ þ ý ´Ñ ÑÓÖݵ T õþ´ ÿ ν + 1 õ õ ó÷ ´Ø Ôµ µ¸ D ñ ð õõ ÿ õ ý ñúñ rk ò ÿö õð þ Ï Æ nk ý þ ó ö õþ ý ÷ÿ÷ÿ õ ´Ú Ö Ò µ ó ö σ2 ÿ þõ ÷êõ ð nk ∼ N (0, σ2) õõ ÿ ÿñÿ ó ÿñð õ ÷ÿ ý ý õúñ ak ý yk ó ðÿö õõ aˆk ò õð H(D) ÷êõÿ öö õó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ´ÿ öö ÄÌÁµ ð õõ ý ñúñ ´ ÒÒ Ð ÓÙØÔÙص rk ø úôó ð ÿó õ õÿ ý ÷ÿ÷ÿ õ ÿö õ ööö þ ÿö õ õõ

º¿º ÿ óÿ ðÿ ½ý õúñ ak ø ñ ö õ ýú ÿ öö hk õõ rk = ak ∗ hk ´º µ ν = ak−ihi i=0 = akh0 + ak−1h1 + . . . + ak−ν hν wanted signal ISI ý ÿ´º µ óÿ ööñ ÿ akh0 ó õõ õú õ õ ÷õê õóð ÁËÁ ð õõ ð ÷ÿ ÿ ÁËÁ ð õ ý ñúñ÷è öõ ÷õê ûè õ õúñ ý ú ÷è öõ ó õõ ñþ ÷êõûè õ õúñ õ ðñ õ õ ñð þ õ ý ÿ ´ º µ õ ñúñ rk ÷êõûè õ õúñ õ÷è öõ ak õ ðñak−i ÿ ÿ÷ ð ò H(D) ýý õ þ ý ´õõ ν = 0µ ñúñ ýý ÁËÁþ ñ þ õ ÿ÷ó º õ g(t) ø ñ ö õ ýú óýú 0ò T ´ ò õ ýý õ þ ý µ ý ý õúñ ak ø õ õ ø úôó ð r(t) ýý ÁËÁ ÷ ÷õ þ úÿ õõ ý ú ÿ ÿ÷ÿ r(t) ý ÿòó ÿ ö ðóõó õ ý ak ý ÷êõöñ ½ÿ öñ −1 ð ðþ þ ñò g(t) ý õ T øóð ÁËÁ ð ð õÿ÷ó º¾½ õ ð ú ó ð ñ ak õ ý õóÿ ýó ð ´ õ ÿ û ó µ ý ýøð úþõ ð õ ð õõ ÷êõ ÿþ ó ö ðõ ý ak ý ÷õê ÿº¿º½ ÿñÿ öÿ ðö ýÿõ ÿ ÁËÁðþó ÷ ÿ ðö ýÿõ ÿ ÁËÁ ý ÿò ñ õ ð ã øõü úð ñ ´ Ý Ö Ñµäð ÿõ õ óñ ÿ ð ÷õê øõü úð ñ õ ñ ÿ õóÿðð ðÿû ÿþ õ ãöñ ´ Ø Ðеä T ý õ ý õ ð ð õÿ÷ó º¾¾õ ð ø úôó ð ý þð ñ ýõ þ ð õõ ÿþ õ øõü úð ñ

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ g (t ) ak g(t) r(t) 1 t 0 T 2T 3T r(t) 22 1 2T 1 t 0 0T k –1 T 2T 3T –1 ÿ÷ó º¾½ ñ þ ð ÿ ð ÿ óÿ ðÿ ´ÁËÁµ tt T T ÿ÷ó º¾¾ ñ þ ÿ ÿ øõü úð ñðþ øõü úð ñ õ ó óÿ öò ÿ ðö ýÿõ ÿ ÿö õ ÁËÁ ò ð ñ ÿ ÿ ÷ð ð ÿö õ ÁËÁ ý ýÿõ ÿ ý õó ñÿ õ ý ò ð ñ ÷ð ð ÿö õ ÁËÁ ý ýÿõ ÿ õ þ

º¿º ÿ óÿ ðÿ ½ sensitivity optimum timing error sampling time distortion of zero crossings peak distortion noise margin ÿ÷ó º¾¿ ÿ þ þð øõü úð ñõó ÷ öñ øõü úð ñ ö óÿ öò ó ý ó ð ÿö ÿ ñ þ ´ÓÔØÑÙÑ × ÑÔÐ Ò Ø Ñ µ¸ ý ñ øðú ðó ´× Ò× Ø Ú ØÝ Ø Ñ Ò ÖÖÓÖµ¸ ýøð úþõ ð ´Ô ×ØÓÖØ ÓÒµ¸ ö ñ ÿö õ ´ÒÓ × Ñ Ö Òµ¸ ýøð úþõðñð õþ ´ ×ØÓÖØ ÓÒ Ó Þ ÖÓ ÖÓ×× Ò ×µ ð ð õÿ÷ó º¾¿ õ ð óðó ðÿö ÿ ñ þ ð öñ ÿ÷ó º¾ ð ñ þ øõü úð ñ H(D) = 1 − D2 ÿö ËÆÊ ñ ðóð õ ÿñÿ ý ËÆÊõþ ý ðþ SNR = 10 log10 Eb ´ º ¼µ N0ý õ þ ÷êõ ð ö ´ е ý Eb ú õ ñ õ öñ¸ σ2 = N0/2 ÿö õ õ ð ý ËÆÊ ý õ þ ÿö õ ý ýÿõ ÿý ó ðñ ö ÷ð õó ñÿ õ ý ý ËÆÊ ÿ ööý ýÿö õ ý ýÿõ ÿ õ þ ó ð ñ ÷ð

½¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñAmplitude4 4 SNR = 30 dB Amplitude3 SNR = 10 dB 2 0 1 0.5 3 0 (b) Time −1 2 −2 −3 1 −4 0.5 −0.5 0 −1 −2 −3 −4 −0.5 0 (a) Timeÿ÷ó º¾ ñ þ øõü úð ñ H(D) = 1 − D2 ÿö ´ µ ËÆÊ ½¼ ´ µ ËÆÊ ¿¼º¿º¾ ÿ õ ÿ ðö ýÿõ ÿ ÁËÁõ ÿú ÿ ÿ ðö ýÿõ ÿ ÁËÁ ðþ øõü úð ñ ÿ ðö ýÿõ ÿÁËÁ ó ð ý ÿòó õ ý ÷êõñ ð õ õ ú ÿ ööÿ öö ÿ õÿ÷ó º¾¼ ý ñúñ rk ý ÿò þõ ÷êõ ý ÿó ñ ñÿð ñ ý ý ÿ ´ º µ õõ ν rk = ak ∗ hk = ak−ihi i=0ð õõ ÿ ðö ýÿõ ÿ ÁËÁ ý ÿò ð ξ= k |hk| − maxk |hk| ´ º ½µ maxk |hk| ý ð ÁËÁý maxk |hk| ð hk ó ÷êõ ÷ ð ò ξ = 0 ý þò ð ÿ ðö ýÿõñò ξ > 0 ý þò ð ÁËÁ ðþó ξ ó ðþ ýÿ ÁËÁ þ ý

º¿º ÿ óÿ ðÿ ½½ñ þ ó º½¼ ú ÿ ð ð ÁËÁ ý ÿ H1(D) = 1 − D2 H2(D) = 1 + D − D2 − D3 H1(D)ôó ó óþ õð H1(D) ý ξ1 ýú õ ð ÁËÁ ý (|1| + |0| + | − 1|) − |1| ξ1 = |1| = 1õó H2(D) ý ξ2 (|1| + |1| + | − 1| + | − 1|) − |1| ξ2 = |1| = 3õ ξ2 > ξ1 ð H2(D) ð ÁËÁ ýý ÿò ôö þ ðð þ ý ÿ ó ÷ó ò õð ¾ óó õ óý õ õ ó÷ ´ ÿ õ þ ý µ ý ýº¿º¿ ø ÿ óö ÁËÁ ñ ñÿ øðú ðöñõ õ ú ÿ ò ø ÿ óö ÁËÁ ñ ñÿ øðú ðöñ ´ ʵ ú ÿ ööÿ öö ÿñ ýÿ÷ó º¾¼ ðþó ÷ ý ËÆÊ ÿ öö úý õ ÷ÿ óôü úÿ ý õÿ÷ Êð ð õõ ò õð ÿ öö ÷êõÿ ööó ýý ÁËÁ ý÷ÿ óôü ú õÿ÷ Ê ñ ýõ ÿ û õÿ÷ó º¾ ò úýÿ ðö ýÿõ ÿ ÿö õ ý õ Êÿ öö ýõ þ ÷õê õ ÿ û ð õõ ýýñ ò ñ ÿÿ ÿ ðö Ê ÿ öö ýý ó ö Ê ÿ öö ðý õ óÿ ðö Ê 10−5 ð ñ úý ËÆÊ ÷ õÿ ööý ý õ ñ ýó ó ÿó ð õÿ÷ó º¾ ´ µ þ ÿ ñ ý ò õÿ ööý ÁËÁ ´õõν > 0µ Ê ÿ ööó ð þ ÷êõ õ ÿ û ý þ ý ý ÿ ööó õò Êÿ ðö õ ý úý ËÆÊ ÷ õÿ ööý õ ó ð ñ ý Ê ó ð ý ð÷ÿ ÿ õ ÿþ õ ãúõ øðú ð ´ ÖÖÓÖ ÓÓÖµäýõ ÷õê ´ÔÖÓ Ð Øݵ ó ý ak = aˆk ´ðÿ÷ó º¾¼µ

½¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ BER [ noise only ] BER A B [ noise + ISI ] AC10−5 SNR 10−5 SNR (a) (b) ÿö õ þ ðþÿ÷ó º¾ ñÿ øðú ðöñ ´ ʵ ´ µ ÿ ööóý ú´ µ ÿ ööóýó ÿö õ ÁËÁ ðþ ÿ÷ ò ÿ ööò ÿö õ ðþ ÿö õ úþ þ ðþ ´ ýý ÁËÁµ ý úý ËÆÊ ÿ öö Ê ð ý ñò õÿ ööý ÁËÁ ý úý ËÆÊ ÿ öö Ê ð õòÿ ðö õ ó ý úý ËÆÊ ÷ õÿ ööý õ ó ð ñ ý Ê ó ð ý ðð õõ ÷êõ ó ñ ô õ ÿ ð ÿ ðø ÿ óö ÁËÁ õÿ öö ðý ó ðú þó ÿ ööý÷ÿ óôü úý õ ´ ý úý ËÆÊ ÷ õÿ ööµ ô õ ó ý ÿò þ ðø ÿ óö ÁËÁ ð ÿ ÿ ôö þñ ÷ õ ó ºº ó öó õ ñú ÿ öö ý õ ÿ ´Ö Ð ×Ø ÒÒ Ð ÑÓ Ðµ õÿ÷ó º¾ ý akðö ý õúñ¸ Gt(f) ÿ ÿ ü ´ØÖ Ò×Ñ ØØ Ò ÐØ Öµ õ ð ýõ ýò¸ Gc(f) õ ð ýõ ýò¸ Gr(f) ÿ ÿ ü ÿö ´Ö Ú Ò ÐØ Öµ õ ð ýõ ýò¸ w(t) ÿö õ ò õð G(f ) = Gt(f )Gc(f )Gr(f ) ´ º ¾µ

º º ó öó õ ñ ½¿ w(t)ak transmitting channel receiving r(t) rk detector aˆk filter filter Gc ( f ) tk = kT Gr ( f ) Gt ( f ) G ( f ) = Gt ( f )Gc ( f )Gr ( f ) ÿ÷ó º¾ öö ý õÿ øñöõ ÿý ýò ó ÿ öö ý ÿ ÷ û ÿþÿ õ ð ýõ g(t) õõg(t) ⇐⇒ G(f ) ð r(t) ý ÿò þõ ÷õê ý ÿó ñ ñÿ ð ð õ r(t) = amg(t − mT ) + n(t) ´ º ¿µ mý n(t) ÿö õóò ÿ ýø ÿ ÷ û ÿþÿ N (f ) = W (f )Gr(f )¸ ó ÿñþ r(t) ó tk = kT ýW (f) ø ÿ ÷ û ÿþÿ w(t)õõ ÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Öµk ÷õê õ õ ñý õõ rk = r(t)|t=kT = r(kT ) = amg(kT − mT ) + n(kT ) m = akg(0) + amg(kT − mT ) + n(kT ) ´º µ m=ký n(kT ) õ ð ÿö õó kT ú õ ÿ ó ð õ ý ÿ´º µò÷õê ý óÿ ööñ ÿ õú õó ó ð õ ý ÿ ´ º µ ÁËÁ ó ð õÿ öö õó ðý ñ ÿü ÿöñ ÿ ñúñ ÿ ñ þ r(kT ) ý óö akg(0) + n(kT ) ´õõ ýý ÁËÁµ ú ó ð ý ÿò õ ÿñÿ óýÿ÷ öö þõ ÿñÿ ð ÿý ÷ þõ ÿöò ðÿÿ ÿñÿ ý þ ÿ ñ ý ýñ ý rk þó ÷ÿ þð þ õ ÿ ÿó r(kT ) = akg(0) + n(kT ) ð õ

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñð ñý ⎧ ⎨ 1, k = 0 g(kT ) = ⎩ 0, else ´º µó õõ úÿ ó ú õó ó ð õ ý ý ÿ ´ º µ ý ÷êõ õþ ú óý ýöñ ÷õê ÷ñ ý ý ÿ ´ º µ ÿþ õó ÷ ã ú õñ ÷êõ ¿´ÆÝÕÙ ×Ø ÔÙÐ× µä ðþó ú õ ñ óõ õ õÿ öö ÿ ý ÿò ö öö ½µ ú õ ñ ðý ñ ´ Ð ÆÝÕÙ ×Ø ÔÙÐ× µ ¾µ ú Ê ´Ö × Ó× Ò µ ¿µ ú ÊÊ ´ÖÓÓØ Ö × Ó× Ò µ ýÿ þ þðð ñ ÷õ º º½ ú õ ñ ðý ñ ú õ ñ ðý ñ gI(t) õþ ý ðþ ´º µ t sin(πt/T ) gI (t) = sinc T = πt/Tý sinc(t) ûè õ ´× Ò ÙÒ Ø ÓÒµ ýÿ÷ÿ ð ó ð õÿ÷ó º¾ ´ þµ õ ð ú õ ñ ðý ñ gI(t) ý ýöñ ð ö õðñ ý ý ÿ´ º µ õõ gI(kT ) = 1 ý k = 0 gI(kT ) = 0 ý k ÷êõ õ õ ñý ð ó ýó ö õþ ò ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖѵ úó ÿ÷ gI(t) ÷õê õ ð ýõ ýò ø úôó ð GI (f ) = T Π(f T ) ´º µ ò ø ñ ö õ ýú ÿ ý ÿ öö¸ g(t)¸ ý ýöññ ý ý ÿ ´ º µ ýõ ú g(t) ÷ ö ý õúñ ñúñó ð ýý ÁËÁ ñ õ óó ÿ ñ þ

º º ó öó õ ñ ½ gI (t ) = sinc(t /T ) GI ( f ) = TΠ ( fT ) 1 T f F t F -1 −1 1−3T −2T −T 0 T 2T 3T 2T 2T ÿ÷ó º¾ ÿ ÷ û ÿþÿ ú õ ñ ðý ñý Π(f T ) ú ÿ÷ þý õ ð ýõ ýò õþ ý ðþ ⎧ − 1 ≤f ≤ 1 ´º µ ⎨ 1, 2T 2T Π(f T ) = ⎩ 0, elseð ð õÿ÷ó º¾ ´ µ ú õ ñ ðý ñý ý ý õ ÿ ã ÿ ö õ ÿ ÿ õö õý ´ Ò ÐÓ × Ò Ð Ö ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒµä ñ þ õ ú ÿ õ¿õÿ÷ó º¾ ¸ ¸ ý T ö öñ ò ó ÿñþ õ ó ý t = kT ý k ½¸ ¾¸ ¿¸ ðý ý ÷ ý öñ {1, 1, −1, 1} ý õ õ ´ðÿ÷ó º¾ µ þ ÿ ñ ý õó öõòñ ÿ ÿ õ ý ý ÷ {1, 1, −1, 1} õ ý õúþ ðþ ó õõ ó ý ÿò ÿ ö õý ð ý õ ðý ðþ ð öó öóÿñþ ó ¸ ¿ ã ý ý ÷ ó ð ÿ ñ þ ý ýöñ óþö óö õ ñ ý ýò ÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Ò Ö ÕÙ Ò Ýµ ý ý ÿóö ó ýò ð õ õõä ´ ÿ þ þð ð õ ó º µõó ÷ öñ õ ý ÿòò ÿ ö õý ð ý ý ÷ ðþ ÿ ýý ÷ õõø õ ÷ õ ÿ ÿ ø õñ ðý ñ ´ Ð ÐÓÛ Ô ×× ÐØ Öµ õõ ÷ÿþö ý õ ö

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ C 1 3T A B t T 2T 4T T -1ÿ÷ó º¾ õ¿ óó ÿ ñ þ t = kT ð ý ý ÷ öñ {1, 1, −1, 1} ý õ õ ÿõ ý ý ÷ ý ó õ õ öûè õ ´ ú õ ñ ðý ñµ ÿ÷ó º¾ ð õ óÿ ý ý ÷ {1, 1, −1, 1} õ ð ú óð ý öñ þ ý óÿ ð ö ú ý öñóñ ÿ ñ õ óó ÿ ñ þ ñÿ ö ðó õÿ öö ýý ñ ñ ÿó ´Ø Ñ Ò ØØ Öµ º º¾ öõð ðóóõ þó ðó ó öõð ðó ´ Ò Û Ø µ òö ýòð õö óý õ ð ÷ ñÿý ýú ð ý ó ö õþ ý õ þ ÷êõ ÿñ ´ÀÞ ÖØÞµ ñ þ õ ú ÿ ÿ÷ó º¿¼ð öõð ðó òö ýò õ ´ × Ò × Ò Ðµ W = fmax öõð ðó ø õ òö ´ Ò Ô ×× × Ò Ðµ W = 2fmax õ õ öõð ðóþ ý ÿòó õþ ý ð þ öö ðþ õ þ ö õ ó õðý õ öõð ðó öö õþò õþ ´ÒÙÐÐ ØÓ ÒÙÐÐ Ò Û Ø µ¸ öõð ðó öö ¿ ´¿ Ò Û Ø µ¸ ÿ öõð ðó öö ÿ ´ Ð ÔÓÛ Ö Ò Û Ø µ ÷êõñõ ð õõ õ ÿó öõð ðó ñ ÿö ñ ñ ÿó ÿö õ÷ÿ üó õ ó ÷ÿö õ ÿó õ ÿ ñþ ýø óñõ ó ó ÿ ñ þ ñ ÿ ð ý ð õ ÷ ñ õ óñ ÿ

º º ó öó õ ñ ½ 2.0 1.5 1.0Am plitude 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T Tim eÿ÷ó º¾ ø ÿ ý ú õ ñ ðý ñ þ ó õ õ öñ T ( )X fbaseband ( )X bandpass f− fmax 0 f f fmax 0 2 fmaxÿ÷ó º¿¼ öõð ðó ´ þµ òö ýò õ ´ µ ø õ òöõ öõð ðó ð õ õ ñ ÿ öõð ðó öö ð õ öõð ðó ñ ÷ÿ üóýñ õõ õ ýõ ú ÿ ú öõð ðó öö õþò õþ ó õõ ú ÿ úó õÿ öö ÿ ñ ýÿ÷ó º¾ õó ó ð ã öõð ðóóõ þó ð ´Ñ Ò ÑÙÑ

½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ Ò Û Ø µ¸ä W0¸ õ ÿó ñÿ ´ Ø Øµ ý óò ð þ ñÿ ÿ Rs ñ õó´×ÝÑ ÓÐ Ô Ö × ÓÒ µ ðþ÷ÿ ÁËÁ W0 = Rs (Hz) ´º µ 2 õ õ ÿú ÿý Rs = 1/T T ö ´×ÝÑ ÓÐ Ô Ö Ó µ õ ð ã÷ÿ óôü ú öõð ðó ñ ÿ öö ðò õ þ ý ÿ ý ý ÿòú ÿ öõð ðó ´ Ò Û Ø Ò Ýµ¸ä η¸ õþ ý ðþ η = Rs ´ º ¼µ W0ý õ þ ÷õê öññ õ óñ ÿñ ´ Ø×»× ÓÒ » ÖØÞµ ò ÿ ööý η ý ð ý ÿ õ öõð ðó ÿ öö þ ý ñ þ õ ú õ ñ ðý ñ ý öõð ðóóõ þó ð ó ö W0 = 1 = Rs (Hz) ý÷ÿ óôü ú öõð ðó ó 2T 2 ö η = Rs = 2 (bits/second/Hz) (Rs/2) º º¿ ú Êõó ÷ öñ ú õ ñ ðý ñ ý ý ÿòó ò ÿ ÿ óÿ õ ð ðõ õ ð ýõ ýò GI(f) ý ÿ ÷ þõ ÷ þ öú õ õ ð ýõ gI(t) ý ñ ð −∞ < t < ∞ ð ð õÿ÷ó º¾ ô ÿ ÷è õ þ ý GI(f) ý ÿ ÷ þõ ÷ þ ð ö ó ÿþ õ ãú Ê ´Ö × Ó× Ò ÔÙÐ× µ¸ä GRC(f)¸ õþ ý ðþ ⎧ ⎪⎪⎪⎨ 1, |f | < 2W0 − W GRC = ⎩⎪⎪⎪ cos2 π |f |+W −2W0 , 2W0 − W < |f | < W ´ º ½µ 0, 4 W −W0 |f | > W

º º ó öó õ ñ ½ GRC ( f ) r =0 T r = 0.5 r =1−1 −1 1 f 2T T 2T W0 1−2W0 −W0 gRC (t ) T 1 2W0 r = 1 r = 0.5 r =0−3T −2T −T t 0 T 2T 3Tÿ÷ó º¿½ ÿ ÷ û ÿþÿ úÊý W0 = 1/(2T ) öõð ðó õ ñ óõ þ ð¸ W öõð ðó ýöÿ ´ ×ÓÐÙØ ÒÛ Ø µ ý ó ö W0 ≤ W ≤ 2W0¸ W − W0 öõð ðó õ ´ Ü ×× Ò Û Ø µ¸r = (W − W0)/W0 ñ ÷ÿ ö ÿ û ´ÖÓÐÐ Ó ØÓÖµ ý 0 ≤ r ≤ 1 ÿ÷ó º¿½´öõµ ð ÿ÷ÿ GRC(f) õ ð ý r = 0 ð ÷õê ÷ ñÿýÿ÷ þýÿ÷ ðþ õ ö ÷ ñÿý ú õ ñ ðý ñ õ õ ð ø ÿ ÷ û ÿþÿø øõ GRC(f)gRC (t) = 2W0 sinc(2W0t) cos[2π(W − W0)t] ´ º ¾µ 1 − [4(W − W0)t]2

¾¼¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñýÿ÷ÿ ñ ýÿ÷ó º¿½´ µ ÿö ú Ê öõð ðó ýöÿ ý óö ´ º ¿µ W = Rs (1 + r) (Hz) 2ñ þ ó º½½ ÿ öö óÿ úó ó ÿÿö þ óý öõð ðó ó ö ¿ ¼¼ ÿñ ñÿ ÿ ý ò õð ÿ÷ÿ öõ ÿ ´ó ð ÿ ÷ þ÷êõ ðö È Å µ ýÿ÷ÿ ÷õê ú Ê ý ñ ÷ÿ ö ÿ û ó ö r = 0.25ôó ñÿ ÿ ý Rs ý ÿò ð ý ÿ ´ º ¿µ õõ 1 2W 2(3500) Rs = T = 1 + r = 1 + 0.25 = 5600 bpsº º ú ÊÊú ÿ ÿ÷ó º¾ ÿó ó G(f ) = Gt(f )Gc(f )Gr(f ) ýø ñ ö õ ýò ÷êõ öö Gt(f )GI(f ) ÿ GRC (f ) ó ðþ õ õó ÷ öñ ý ý ÿòóÿ ö ð õõ õ ´º µGc(f ) ýø ñ ö õ ýò ÷êõ þ ÿ ð õõ ó ý ÿò ó ð ÿ Gr(f ) ú ø ñ ö õ ýò Gt(f )Gr(f ) ý ó ö Gt(f )Gr(f ) = GRC (f )úÿ õõ ò õð Gt(f ) = Gr(f ) ð Gt(f ) = Gr(f ) = GRC (f ) ´º µ ÿþ õó ÷ ø ñ ö õ ýò ú ÊÊ ó öö Gt(f )Gr(f ) = GRC (f ) úþ Gc(f )ó ñ ô õ ÿó ø ñ ö õ ÿ ý ó ÿ ööý ÷êõ ú õ ñô ÿó õó ÷ õó ÷ öñ ÿõ ÿý õ ÿ ð ÿ ö ´ÿ þ þð ð õ ó º µ ú ó G(f ) = Gt(f )Gc(f )Gr(f ) ý ó öø ñ ö õ ýò ú õ ñ

º º ó öó ÿ ñ þ ¾¼½ X(f) 1 − fmax 0 fmax f ÿ÷ó º¿¾ óý òö ýò ðº ó öó ÿ ñ þó öó ÿ ñ þ õ ñ ´ÆÝÕÙ ×Øâ× × ÑÔÐ Ò Ø ÓÖ Ñµ ò õ óóý ý÷ ó ð ÿ ñ þ õ ýý ÿ þ ÿ ð õõ ýý ÷ õ ý ÿòõ ý ÿ ö õ ÷êõ õ ð ý õ ðý ðþ ýý øðú ðð õ ÿó ó õõ ðõõ õ ñ ÷õê ã óý òö ýò ð ´ ÒÐ Ñ Ø × Ò Ðµä ýò ÿ ñ þ ñ ý ÿ ó ö ó ýò ð õò õð x(t) õ ó ÷êõûè õ ÿ ðþýø ÿ ÷ û ÿþÿ óö X(f) ð õõ x(t) ò ÿþ ÷õê óý òö ýò ð ñ ý X(f ) = 0, |f | > fmax ´º µý fmax ýò ð x(t) ð ð õÿ÷ó º¿¾ ð õõ ò ñ ÿ ýý÷ óð ÿ ñ þ ý ýöñ óþö ó ö õ ñó ÿñþx(t) ð þ ýò fs ≥ 2fmax ´º µý fs = 1/Ts ýò ÿ ñ þ Ts ö ÿ ñ þ ´ ÿ ý ý ÷ óñð õµ ý ý ÷ {xk} = {x(kTs)} ý ýöñ óþö ó ö

¾¼¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñx(t) ý ÿ ´ º µ ýò ÿ ñ þ ñ ð ò ÿþ ã ýò õ ñ ´ÆÝÕÙ ×Ø ÖÕÙ Ò Ýµä õõ fN = 2fmax ñò ó ÿ ñ þ x(t) ð þ ýò fs < 2fmax ð÷ÿ ÿ ó ÿþ ã ýøð úþõü ú ´ Ð × Ò µä ÷êõ ó ýñ ÿ õó õ÷ÿ þ ñ õ ý ý÷ óð ý ÿ þ ÿ ý õ ý ý÷ óðÿ ñ þ ó ýò fs < 2fmax ý ÿ ö õ ÷êõ õ õó ð ýÿ÷ÿ øð úþõ ÷ ðý ´ ÿ þ þð úý ñý ð õ ó º º¿µ ó öó ÿ ñ þ ò õ ý õ õ þ ð õ ñ þ õ å ÿ öö þ ð ó øõ ð ´ ÓÑÔ Ø × µ ýò ð óñ ÿ öõó ÷ õ øõ ð ú ý ó ö ¾¼ ÀÞ ´ ÿñ µ ñÿ öö ýò ÿ ñ þ ó ö º½ ÀÞ õ ñÿ ÿ ñ þ õ ñ 2 × 20 = 40 ÀÞ ð ÿ öö ÿ öõð ðó º½ ÀÞ ÿöó õ ó ÷êõ òö÷ õ ´ Ù Ö Ò µ å ÿ öö óÿ úó þ ´×Ô × Ò Ðµ ý öõð ðó ó ö ¿º ÀÞ ÿ öö óÿ úó ýò ÿ ñ þ ó ö ÀÞ õ ñÿ ÿ ñ þ õ ñ 2 × 3.4 = 6.8 ÀÞ ð ÿ öö ÿ öõð ðó ½º¾ ÀÞ ÿöó õ ó ÷êõ òö ÷õñ þ ó º½¾ õð x(t) = 10 cos(2000πt) cos(8000πt) ýò ÿñ þ ñ ðó ð öó öó ÿ ñ þôó x(t) ý ÿò ðÿ÷ ý ð ÷êõ x(t) = 10 cos(2000πt) cos(8000πt) = 5 cos(6000πt) + 5 cos(10000πt) = 5 cos(2π(3000)t) + 5 cos(2π(5000)t) õ ð ýò ð x(t) ¼¼¼ ÿñ ð õõ ýò ÿ ñ þ ñ ðÿ ýò õ ñ ý ó ö fN = 2fmax = 2 × 5000 = 10000 ÿñ

º º ó öó ÿ ñ þ ¾¼¿º º½ ÿ ö õ ÿ ñ þ ÿó õ ÿ ö õ ÿ ñ þ ý ÿòó ò ôö þ ð ðþ þ ý ÿó ñ ñÿð ñ ÷õ ý ý ÷ {xk} ó ð ÿ ñ þ õ x(t) ý ÿò þõ þõÿ÷ ø ÿ x(t) ö õ ýú ð ñ ´ ÐØ ÑÔÙÐ× ØÖ Òµõõ ∞ {xk} = x(t) × δ(t − mTs) m=−∞ ∞ = x(mTs)δ(t − mTs) ´º µ m=−∞õ ÿ ÿ ÷ û ÿþÿ ö õ ýú ð ñ ∞ 1∞ ´º µ δ(t − mTs) ⇐⇒ δ(f − kfs) Ts m=−∞ k=−∞ý Ts = 1/fs þ ýÿó ÿ õ õ ð ýõ ý ó ö ÿóõ õ õ ð ýõ ýò ð õõ ø ÿ ÷ û ÿþÿ ý ÿ ´ º µ X (ej ω ) = X(f ) ∗ 1 ∞ − kfs) ´ º ¼µ Ts ´ º ½µ δ(f k=−∞ = 1 ∞ − kfs) Ts X (f k=−∞ý ω = 2πf ýò ýý ý ÿ ´ º ½µ úö ÷ ñÿý ø úôó ð ÿñ þ X(ejω) ý ó ö ÷ ñÿý X(f) óò ò õ õ ð þñ ÷ÿ ö ÿ ó ö 1/Ts ó õ ÷ ÿ þ ðþýÿ þ õ ó ö fs ÿñ ÿ÷ó º¿¿ ð õñ õ ÿñ þ õ õ ð ýõ õ ð ýõ ýòº º¾ ÿ ö õ ÿ ÿ õ ö õý õð õ x(t) ý òö ýò ð ýø ÿ ÷ û ÿþÿ ó ö X(f) ñ ýÿ÷ó º¿¾ ò ýòó õ ÿ ñ þ x(t) ý ó ö fs ≥ 2fmax ý ý ÷

¾¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t) × ∑δ (t − mTs ) = x (t )∑δ (t − mTs ) (multiplication) m m t t t Ts ( ) ∑X f 1 δ (t − kfs ) = X (e jω ) 1 Ts 1 Ts ∗ k (convolution) − fmax 0 fmax f − fs 0 f − fs 0 fs f fs ÿ÷ó º¿¿ ÿ ö õ ÿ ñ þ õ ð ýõ ´öõµ ð ýõ ýò ´ µ HLP ( f ) X (e jω ) Ts 2 fmax 1/ Ts − fs − fmax 0 fs > 2 fmax f f max − fc fcÿ÷ó º¿ ÷ ñÿý ý ý ÷ {xk} ó ð ÿ ñ þ x(t) ó ýòfs ≥ 2fmax úÿ ýó ð õñ õ ÿ ÿ õ ö õý{xk} ó ð ý ÷ ñÿý X(ejω) ñ ýÿ÷ó º¿ ÿöõ ÿ ÿ õ ö õý ´× Ò Ð Ö ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ÔÖÓ ××µ ÿÿ õ x˜(t) ý ý ÷ {xk} ð ð õÿ÷ó º¿ ðþó ò ýò ÿ

º º ó öó ÿ ñ þ ¾¼ sampling process reconstruction processx (t ) xk hLP (t ) x(t) tk ≥ kTs ideal fs ≥ 2 fmax low-pass filterÿ÷ó º¿ ÿ ö õ ÿ ñ þ ÿ ö õ ÿ ÿ õ ö õýñ þ ó ý fs ≥ 2fmax ý ÿòó x˜(t) = x(t) ð ðþ ÿõ ýý ÷ {xk} ÷ø õ ÿ ÿ ø õñ ðý ñóýø ñ ö õ ýú ó ö hLP(t) = sinc πt = sin(πt/Ts) ´ º ¾µ Ts πt/Tsýø ÿ ÷ û ÿþÿ ⎧ ⎨ HLP(f ) = Ts Π(Tsf ) = ⎩ Ts, |f | ≤ fs ´ º ¿µ 0, 2 elseýòñð ÿ ÿ ø õñ ðý ñó ñ ý ó ö fc = fs/2 (Hz) ´º µÿó õ ÿ ö õ ÿ ÿ õ ö õý ý ÿòó ôö þ õð ýõ ýò ðð ñ ÷õ x˜(t) = x(t) ñ ý x˜(t) ýø ÿ ÷ û ÿþÿó ö X(f) ñ ýÿ÷ó º¿¾ úÿ õõ ÷ ñÿý X(ejω) õÿ÷ó º¿ ý ó ö X(f) ðñ ý õ X(ejω) ý ö HLP(f ) õõ X(f ) = X(ejω) × HLP(f ) ´º µý HLP(f ) = Ts Π(Tsf ) ñ ý ý ÿ ´ º ¿µ ýø ÿ ÷ û ÿþÿø øõ hLP(t) =sin(πt/Ts)/(πt/Ts) ñ ý ý ÿ ´ º ¾µ ðþ þ ýÿó ÿ õ õ

¾¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñð ýõ ýò ý ó ö ÿó õ õ õ ð ýõ úÿ õõ ø ÿ ÷û ÿþÿø øõ ý ÿ ´ º µ ∞ x(t) = x(mTs)δ(t − mTs) ∗ sinc(πt/Ts) ´º µ ´º µ m=−∞ = ∞ π(t − mTs) Ts x(mTs) sinc m=−∞ý ÿ ´ º µ ý þò ÿ ý ý ÷ {xk} ø õ ÷ õ ÿ ÿ ø õñ ðý ñ ð ñúñ ý ÷õê x(t) ñ ýÿ÷ó º¿ ´õõ x(t) ðý ÿó õ õÿ ý ý ÷ {xk} ø ñ ö õ ýú ÿ ÿ ø õñ ðý ñµ õ ó ý ÿ ´ º µ ÿþ õ ã ñÿ ÿ÷ÿ ý õ õ ñ õõ õ ´ÆÝÕÙ ×ØË ÒÒÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ µä ý ý ý þ ý ñ ý ÷ ò ð þûè õ ðþó ð õþ ûè õ ò õ ÷ ñ ý ñ ý ÷ õõ õ ó ýðý ÿ ý õ ÷õê ðþ ð ñ þ ó ð õÿ÷ó º¾º º¿ ýøð úþõü ú ýøð úþõü ú ´ Ð × Ò µ ð ÿ ýò ÿ ñ þ fs õ þ ó ýòð õ ÿ ÿ ýò ÿ ñ þ õ þ ýò õ ñ õõfs < fN ý fN = 2fmax ÿ÷ó º¿ ð ýøð úþõü ú ð ÿ ýò ÿ ñ þ fs < 2fmax õ ð ý fs < 2fmax ÷ ñÿý óð ÿ ñþ õ ý õó ð ýøð úþõü ú ø ó ý ñ ÿóÿ õ ö õý ý ý ÷ ó ð ÿ ñ þ ð þ ýò fs <2fmax õ ó ð ýÿ÷ÿ øð úþõ ÷ ðý ÿ÷ó º¿ ð ñ þ ÿ ñ þ x(t) = cos(2πf t) ý f = 1 ÿñ ð þ ýò ÿ ñ þ fs = 1.5 ÿñ fs = 4 ÿñ ÿ÷ó º¿ ´ µ ò ó ÿ ñ þ ðþ fs < 2fmax ý ÿ õ ö õý ý ý ÷ {xk} õ ó ð ÿ÷ÿ ý ý õ ðý ´ ð ýøð úþõü ú õµ þ ÿ ñ ý ò ó ÿ

º º ó öó ÿ ñ þ ¾¼ X (e jω ) 1 f − fs 0 fs < 2 fmax aliasing ÿ÷ó º¿ ýøð úþõü ú ð ÿ ýò ÿ ñ þ fs < 2fmax 1.5 1.5 1.0 sam ples^xk` 1.0 0.5 0.5Am plitude 0.0 0.0 -0.5 -0.5 -1.0 -1.0 fs 1.5 Hz fs 4 Hz -1.5 -1.5 01 23456 78 01 23456 78 ((aa)) Timmee ((b) TTiimmee Analogsignalxt cos2S ft, f= 1 Hz Reconstructed signalfrom ^xk`ÿ÷ó º¿ ñ þ ÿ ñ þ x(t) óý ýò ½ ÿñ ð þ ýò ´ µ fs = 1.5 ÿñ ´ ð ýøð úþõü úµ ´ µ fs = 4 ÿñ ´ ý ð ýøð úþõü úµ ñþ ðþ fs ≥ 2fmax õ ó ÿ ö õý ý ý ÷{xk} ý õ ðý ñ ýó ð ÿ÷ó º¿ ´ µ úÿ õõ ýøð úþõü ú ÷êõ óñ

¾¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ nk channel equalizer detector aˆk ak H(D) rk sk F(D) yk ÿ÷ó º¿ öö úÿ ý ÿ þ õ õ÷ÿ þ ñó ÷ÿ üó ðþó ÷ ô ÿ÷ õ ÿ ð ýøð úþõü ú ý ÿòóð þô õ å úý ýò ÿ ñ þ ´ úý fsµ å ÿ ÿ ñ ñ õ ýøð úþõü ú ´ ÒØ Ð × Ò ÐØ Öµý þ ñ õó ÷ öñ ÿü ÿö ´Ö Ú Öµ ÿ öö ÿó ÷ ´ÿ ýó ÿðð ðÿûµ ÿ ÿ ø õñ óý ýòñð ó ö fc ÿñ ú ó õ ó õ ÿ ð ÿö õó þü þõ òö ýò fc ýð ÷ õ õ ÿ ÿ ø õñ þ þó õ ó õ ÿ ð òö ýò ó ðÿö þü þ õ òö ýò fc ú ó ó ý ÿò õð ýò ÿ ñ þ fs ó ý ý ð ´õõ fs ≥ 2fcµ ú ÷ õ ÿ ð ýøð úþõü úó ÿñþºÿ ÿ ´ ÕÙ Ð Þ Öµ ó õ ó ð þ ð þ õ ÿ÷ÿöÿ÷ÿ ÿ ó ðÿö ÷êõ ÷ñ ýóÿ ööñ ÿ¸ þ ðø ÿ óö ÁËÁ ó ù þ õó ðÿö¸ ÿ þ ðø ÿ óöó ð ýøð úþõ öö õ ÷êõñõ ú ÿ öö õÿ÷ó º¿ ýýñ ÿ ööõý ýöñ ñ õ õÿ öö ð õ ´ÏË˵ ðþó ó ÿü ÿö ðÿö ý ÿò þõ ÷õê ý ÿó ñ ñÿ ð sk = ak ∗ hk + nk ´º µ

ºº ÿ ¾¼ sk DDD f−K f0 f1 fK Algorithm for yk coefficient adjustment Σ ÿ÷ó º¿ ÿ ÿ ÿ öö õñð F (D) = K fiDi i=−Ký ak ý õúñöñóý ÿ öö þõ ýú õ ó ö Ea¸H(D) = ν hk Dk ø ñ ö õ ýú õ ð ýõ D¸ hk ý÷ÿ óôDZ k=0ðöó k ¸ nk Ï Æ óý þ ó ö õþ ý ÷ÿ÷ÿ õó ö σ2 õõ nk ∼ N (0, σ2) ýýñ ý ak nk ýý ýúõô õ ñò÷ÿ ÿü ÿö ñ ÿó ak ý sk ð õõ ú þ ÿñÿ ý ý þ ÿ ò ý ÿõ ÿ F (D) ý þ õ ÿ÷ÿö ýöñý sk ÷õê ý yk ó ý ý öÿ öö þñ ÿò ðÿ ý õõ ýyk ÷þ ÿñÿ ò õð ÿýø ñ ö õ õ ð ýõ D K F (D) = fkDk ´º µ k=−Ký fk ý÷ÿ óôDZ ðöó k ÿ ó÷ õþ ´ ÒØ Ö Ø Ôµ þóñ õk = 0 úÿ õõ ÿ F (D) ý õ õ ó÷ ´Ø Ôµ ó ýð 2K + 1 ó÷ ðþó ÷ ÿóõþýõ ý õ ý ÿ ÿ ñ ýÿ÷ó º¿ ÿþ õ ã ÿöö Ì Ä ´Ø ÔÔ Ð Ý Ð Ò ÕÙ Ð Þ Öµä ÿ ã ÿ öö õñð ´ØÖ Ò×Ú Ö× ÐÕÙ Ð Þ Öµä

¾½¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ÿ÷ó º¿ ý ñúñ yk ÿ ý ÿòó þõ þ õÿ÷ ý ÿóñ ñÿ ð yk = sk ∗ fk skf0 + sk−1f1 + . . . + sk−KfK ´ º½¼¼µ K = sk−ifi i=−K = sk+Kf−K + . . . + sk+1f−1 + ISI wanted signal ISI ý ÿ ´ º½¼¼µ úö ÿõ ý ÿ´º µ ð ÿ õ õÿ öö÷êõ õ õ K õ þ ý þ ý ý ÷ õ ý õúñ s0 ´sk ðöó k = 0µ ÷ õ ÿ þ ý ð ý ñúñ y0 ý óõó õ ÿý ÿ õ÷êõ õ õ K õ þ ý þ ý ÿ öö ñ ÿ ÷ õ ÿ ó ý õúñ ðöó K¸ sK¸ò ÷õ ÿ ´õõ ñ ÿ ÷õê ÿ þ K õ þµ ÿýñúñ y0 ý ´y0 ð ö s0µ ÿö ÿ õ ÿ õÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû ÿóý õ õ ó÷ý þó ý ÿò÷ÿöÿ÷ÿ ÷õê ÷ñ ýóÿ ööñ ÿ ð þ ñø þ ð ÿ õ õÿ ööý ø ÿ óöñ ÿó õ ÿ öö óýý ÿ û ÿ ´Ø Ñ Ò Ö ÓÚ Öݵ õõ ÿ öö ÿ ÿ ó ðÿö ö ÿ ñ þ õó õ ÿý õ õÿ öö ÿ ó ñ ó ÿ ý÷ÿ óôDZ ñó÷ ÿ ý ý ö ýñ ÿ ñ õ÷ÿ þ ñ õó ÷ öñ ÿó õ õó ÷ý þ öö õ õ ýõ ôö þ ú ÿñ ÷õ½µ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ´Þ ÖÓ ÓÖ Ò ÕÙ Ð Þ Öµ¾µ ÿ öö ÅÅË ´Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ò ×ÕÙ Ö ÖÖÓÖ ÕÙ Ð Þ Öµ¿µ ÿ öö ´ × ÓÒ ÕÙ Ð Þ Öµø õ ý ÿò ÿ þ þð ÿ öö óýý ÿ û ÿ ð õöóó ¾ õ ã ÿ÷ÿ ý øÿö ÿ ð ö ý ð ó ý ¾ ÿ öö ÿü ÿöä

ºº ÿ ¾½½ µ ÿ öö÷ÿöñ ´ ÔØ Ú ÕÙ Ð Þ Öµº º½ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ý ÿ ´ º½¼¼µ õ ð ý ñúñ ÿ yk ý ÁËÁ ÷ ÷õ þ ÿöö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ó õ ó ð ÁËÁ õ ó ðÿö ýð ÷ ÿ öö ÿöö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ý ÿòó ðð ñ ÷õ ý ÿ ´ º½¼¼µ ý ÿò þõ þ õÿ÷ ýóÿð ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎢⎢⎢ y−K ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ s0 s−1 s−2 ··· s−2K +1 s−2K ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎥ · ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎢ f−K ⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ y−K +1 s1 s0 s−1 ··· s−2K +2 s−2K +1 f−K +1 ··· ººº ººº ººº ººº ··· ººº ººº ººº ··· y0 sK sK −1 sK −2 ··· s−K +1 s−K f0 ººº ººº ººº ººº ººº ººº ººº yK −1 s2K −1 s2K −2 s2K −3 s0 s−1 fK −1 yK s2K s2K−1 s2K−2 · · · s1 s0 fK y S f ´ º½¼½µõõ y = Sf ´ º½¼¾µò ýóÿ S ÷õê ýóÿ ñÿ ´×ÕÙ Ö Ñ ØÖ Üµ ð ý÷ÿ óôDZ ÿ ý ÿò õ ð ÿ ý ÿ ´ º½¼¾µ ðø úô f = S−1 y ´ º½¼¿µ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ó ý ñúñ ÿ ñ õ óñ ÿ ý ýøð úþõó ð ÁËÁ õ þó ð ý ÿòó ð ðþ ÿ ý÷ÿ óôDZ ÿóó ý ñúñ ÿ ñ õ õ ý ÷õê õþ ý ñúñ

¾½¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ s(t) 0.9 0 0.3 – 0.2 0.1 0 t 0T – 0.1 −T 2T 3T −3T −2T ÿ÷ó º ¼ ú óý ýøð úþõ ÿñý óö ⎧ ⎨ yk = ⎩ ak + wk, k=0 ´ º½¼ µ 0, k = ±1, ±2, . . . , ±Ký ak ý õúñöñ ´ñ ýÿ÷ó º¿ µ¸ wk ÿö õ nk óò ÿ ðþ ÿ F (D) ÿ õþ õ ð ý ñúñ ÿñ ó k¸ yk¸ ýó ö ý õúñöññ ó k¸ ak¸ ÿ ý ö ÿö õóò ÿ ñ ó k¸ wkñ þ ó º½¿ õð ðö ý {sk} ó ý ó ÿ {−0.1, 0.3, 0.9, −0.2, ÿñ ýÿ÷ó º¿ óý õ õ ó÷ ó ö ¿0.1} ð ð õÿ÷ó º ¼ ò ÿü ÿö ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ú ó óó÷ õõ {f−1, f0, f1} ý÷ÿ óôDZý ñúñý ÷êõ {y−1, y0, y1} {0, 1, 0}ôó ý ÿ ´ º½¼½µ ý ÿò þõ ý ÿ ð ý ýúõôÿ ý õúñ ý

ºº ÿ ¾½¿ñúñ ÿ õÿ÷ ýóÿ ð ⎡⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ 0 ⎥⎦⎥⎥ = ⎢⎢⎢⎣ s0 s−1 s−2 ⎥⎦⎥⎥ ⎢⎢⎣⎢ f−1 ⎥⎦⎥⎥ 1 s1 s0 s−1 f0 0 s2 s1 s0 f1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢⎢⎣⎢ 0.9 0.3 −0.1 ⎦⎥⎥⎥ ⎢⎢⎣⎢ f−1 ⎥⎥⎦⎥ −0.2 0.9 0.3 f0 0.1 −0.2 0.9 f1ý ÿ ´ º½¼¿µ ð ý÷ÿ óôDZ ÿý ó ö ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ f−1 ⎥⎦⎥⎥ = ⎢⎢⎣⎢ −0.2938 ⎥⎥⎥⎦ f0 0.9636 f1 0.2468ð õõ ý ðö ý {sk} = {−0.1, 0.3, 0.9, −0.2, 0.1} ø õ ÷ õ ÿ ðø úô÷êõ{y−3, y−2, y−1, y0, y1, y2, y3} = {0.0294, −0.1845, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0470, 0.02468}õ ð õ ð ý ÷ ó ðø ÿ óö ÁËÁ ý 𠼺½ ø ÿ óöÿ ýó ýðó ð ÁËÁ ý ó ö ¼º¾ õ õ úö ÿóý ¿ ó÷ úþ þ ýö ö ý÷ ó þ ý ÷ óñ ÿý ÷êõ õþ úÿ õõ ò ÿóýõ õ ó÷ý õ þó ó ý÷ ó þ ý ÷ óñ ÿý ÷êõ õþþ ý÷ ý õõó ÷ öñ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ý ÿòó ò öö ý÷ÿ óôü úý õðý ð ´ ðþ ú þ þ õ ÿ óÿ ööý ÁËÁ ÿö õóÿõ ÿ µ ðþ ÿý÷ÿ óôDZ ÿóó øðú ð þ ´ÅË µ ÁËÁ ó ú õ ý ÿ ý

¾½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñö ÿö õóð õ ÿý õ þ ð õ ÿ õ ýóÿ Sý ýóÿ ñÿ ñ ÷ úÿ ÿ õ ý÷ÿ óôDZ ñ õ ý õúñ ÿó ý ÷ ý õ ÿõ ýóÿ ST ý ó ÿ ð õõ ñ ö ý ÿ ´ º½¼¾µ ý ÿò ð ðþ ý ÿ ´ º½¼¾µ ð ÷õê STy = STS f ´ º½¼ µý (·)T ñ ð õõ ÿ ö ÷ þõ ´ØÖ Ò×ÔÓ× ÓÔ Ö ØÓÖµ ýóÿ ¸ STS ý÷õê ýóÿ ñÿ ðþ ÿ ý ÿ ´ º½¼ µ ð ý÷ÿ óôDZ ÿý ó ö f = STS −1 STy ´ º½¼ µÿ ðÿ÷ ý ð ÷êõ f = R−ss1rsy ´ º½¼ µðþó Rss = STS ýóÿ ñ ýúõô ´ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Üµ ý õúñ ÿ rsy = STy ñ ÿ ýúõô ý ´ ÖÓ×× ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú ØÓÖµ õó÷ öñ Rss rsy ÷õê ó ý ý ÿòó õ õ ó ý ý ÿòý÷ÿ óôDZ ÿ õ ÿ õ ÿ ð þ ÿ ñ ý óó õ÷ÿ þ ñ õó ÷ öñ ý ÿýñõ ÿ ÿ öö ó ÿ ý ó ÿþ ã óð ö½¼ ´Ø ×Ø ×Ò Ðµä ø õ ÷þ ÿü ÿö õõ ÿü ÿö õ ý ó ðÿöý õ ÿý÷ÿ óôDZ ÿ½¼ óð ö ÷õê ý ó ÿü ÿü ÿöñ õ õ ýý ÷êõ þ ÿ ÿðð ý õÿ ÿö õÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ðÿû óð öõ ÿþ õ ãÔÖ Ñ Ð ä ÿ þ þð þ õÿ ý÷ÿ óôDZ ÿ ÿöõ ÿ ÿ öö óýý ÿ û ÿúý ñý ð õöóó

ºº ÿ ¾½ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò õ ð ýõ Dõ ÿ ó õð öö ý ñ ýÿ÷ó º¿ ý ÿòö ðóõó ÿöö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ÿöÿ ööõ 1 F (D) = H (D)ó ð ý ñúñ ÿ yk = ak + wk ´ º½¼ µý wk ÿö õóò ÿ ðþ ÿ ðþýø ñ ö õ õ ð ýõ D N (D) ´ º½¼ µ W (D) = H (D)N(D) ø ñ ö õ õ ð ýõ D nk ý ÿ ´ º½¼ µ ý yk ýý ÁËÁ þ õõ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò þ ð ÁËÁ ýð ÷ õõ ýyk ò ÷ó ÿñÿ ú ak ò ýýñ wk ý õ þý ÿü ÿö ý ÿòó ÿñÿ öö þ ð ´ õ ÿñÿ ð ÿý ÷ þõµ ò ÷êõ ðóÿõ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò þ ÿ ñ ý þ óó ÿ öö Þ ÖÓÓÖ Ò ý ÷õê óõþý õ ÿ ÿö õ wk ò þ þ ý ý ð ò ÷ ñÿýýú ð H(D) = H(ejω) = 0 ö ýò f ÷ÿ ÿ õ ÿþ õã ÿþþ ÿö õ ´ÒÓ × Ò Ò Ñ Òصä ÿö õó ÿðð ðÿû ÿ ööÞ ÖÓ ÓÖ Ò õ ÿþ õ ã ÿ ööø ñ ö õ ñý½½ ´ ÙÐÐ Ö ×ÔÓÒ× ÕÙ Ð Þ Öµäº º¾ ÿ öö ÿ öö ´ × ÓÒ ÕÙ Ð Þ Öµ ðò ú õ õý ú ÷è ÿ ÿþ þ ÿö õ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ðþ ý ó ò ÷ó ÿò ðÿ½½ø õ ý ÿò ÿ þ þð ÿ ööø ñ ö õ ñý ð õöóó õ ã ÿ÷ÿ ý ø ÿ öö ÿü ÿöä ÿö ÿ ð ö ý ð ó ý ¾

¾½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ nk channel sk detector aˆk ak H(D) rk yk zk 1 – H(D) ÿ÷ó º ½ öö úÿ ýó ÿ öö ý ó ÿñÿ ýý ÁËÁ ÷ ÷õ ÿö õ ýò þ þ ÿ ööý ÿó õñ ýÿ÷ó º ½ ÿ÷ó º ½ ý ó ò ÷ó ÿò ðÿ ý ó ÿñÿ yk ý ÿò þõ ÷êõý ÿó ñ ñÿ ð yk = sk − zk ´ º½½¼µõ sk = (ak ∗ hk) + nk zk = (1 − hk) ∗ aˆk óõ sk zk õ ý ÿ ´ º½½¼µ ð ÷êõ yk = [(ak ∗ hk) + nk] − [aˆk ∗ (1 − hk)] ´ º½½½µ = [(ak − aˆk) ∗ hk] + nk + aˆkò ýýñ ak = aˆk ý ÿ ´ º½½½µ ðÿ÷ ð ÷êõ yk = ak + nk ´ º½½¾µ÷ÿþö óþö ý ÿ ´ º½¼ µ ´ º½½¾µ úö ý yk ÿ öö õ ý ÿ´ º½½¾µ ýý ÷ÿ ö ÁËÁ ÿö õ ýò þ þ ðþó ÷ ÿ öö ý÷ÿ óôü úð ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò ñ þó ÿ öö ð÷è ÿ ã ÿ úÿ ÿ þ

ºº ÿ ¾½ øðú ð ´ ÖÖÓÖ ÔÖÓÔ Ø ÓÒµä ð õ ý ak = aˆk ÿö k ð õõ ý ýýñ õak = aˆk ó k ð ý ÷êõ ÿ ýøðú ðó ýð ð õõ÷è ÿ ý ñúñ ÿñÿ aˆi ý i > k þ õó õ÷ÿ þ ñ ÿ úÿ ÿ þ øðú ð ÷êõ ó ÿº º¿ ÿ öö ÅÅËú ÿ öö õÿ÷ó º¿ ÿ öö ÅÅË ´Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ò ×ÕÙ ÖÖÖÓÖµ ò ú õ õý ú ÷ÿ õ÷ÿ õ ý ð þ ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Òöö ðþ ÿ öö ÅÅË ò öö ú ó øðú ð þÿ ý ó ðÿö yk ý óñ ÿ ak ý õ þ ð ÿ ð ÿ ööÅÅË ó MSE = E (yk − ak−d)2 ´ º½½¿µý õ þ ð ý E[·] ñ ð õõ ÿ ð ý þ ´ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖµ¸ d ÷ÿý ÿ ýõ óð ÿ¸ ýýñ aˆk−d = ak−dõ ÷ÿý ÿ õ ó ð ÿ d ðò ÷ õ ý ÿ ´ º½½¿µð õõ ú ð ñ ÿ ôö þ ô ÿ öö ÿ öö ÅÅË õþ ýñ ÷ÿõý ÿö ý÷ÿ óôDZ ñ ó÷ ÿ õõ ck = fk−K úÿ õõ ò õð ÿ ⎡ ⎤⎡ ⎤ c = ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ c0 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ f−K ⎥⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ c1 c2 ººº ººº f0 ººº cN −1 fKý N = 2K+1 õ õ ó÷ó ýð ÿ¸ ñ ÿ s = [sk, sk−1, sk−2, . . . ,sk−N+1]T ð õõ ý ñúñ ÿ k ý óö yk = cTs = sTc ´ º½½ µ

¾½ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ú ÿ ÿ ó ý ó ýðóÿö ü þ õÿ öö ÷êõ ÿ ´Ö Ð Ú ÐÙ µ úÿ õõ ý ÿ´ º½½¿µ ý ÿò ðÿ÷ ý ð MSE = E[yk2] − 2E[ykak−d] + E[a2k−d] ´ º½½ µóõ yk ý ÿ ´ º½½ µ ÷ õ ý ÿ ´ º½½¿µ ð MSE = E cTssTc − 2E ak−dcTs + Ea ´ º½½ µ = cTE ssT c − 2cTE [ak−ds] + Ea ´ º½½ µ = cTRssc − 2cTp + Ea = (c − Rs−s1p)TRss(c − R−ss1p) − pTRs−s1p + Ea úõý c ò ÷êõ õð ´ Ø ÖÑ Ò ×Ø Ú ÐÙ µ¸ Ea = E ak2−d = E ak2 ý õúñöñ ak¸ ýóÿ ñ ýúõô ý {sk} Rss = E ssT ´ º½½ µ ñ ÿ ýúõô ýÿ ak {sk} p = E [ak−ds] ´ º½½ µ ÿ öö ÅÅË ò öö ú ÅË õ ý ÿ ´ º½½ µ ý õ þó ðõ ýóÿ Rss õ ý ÿ ´ º½½ µ ý ýöñ ýý ñÿ õõ RTss = Rss ´ º½¾¼µ ´ º½¾½µ þ ýÿó bTRssb ≥ 0 ÿöó ñ ÿ b ¿ úÿ õõ ý ÿ ´ º½½ µ ý õ þó ð ñ ý c − Rs−s1p = 0 ´ º½¾¾µ

ºº ÿ ¾½ð õõ ý÷ÿ óôDZ ÿ öö ÅÅË ð cMMSE = Rs−s1p ´ º½¾¿µ ÅË ñ ðó ð õ MSEmin = Ea − pTR−ss1p ´ º½¾ µ ñ ÿö ÿ öö ÿ öö ÅÅË ÿó ð ÷õê öö ý÷ÿöñ´ÒÓØ ÔØ Ú µ ý ÷êõñ õ ý ÿ {ak} {sk} ý õ ÿ õ ýóÿRss ñ ÿ p ñ úþ ó òñ {ak} {sk} ó õõ ñ ýó ôö þ õòð ÷ÿ Rss p ý õð H(D) ý öö õÿ÷ó º¿ ò õð H (D) ν ´ º½¾ µ H(D) = hkDk k=0ð õõ ý ó ÿü ÿö ðÿö sk ý ÿò þõ þ õÿ÷ ýóÿ ð⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎢ sk ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎥ = ⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢ h0 ··· hν 0 0 ··· 0 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ · ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢ ak ⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥ + ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nk ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎥⎥⎥ sk−1 0 h0 hν 0 ak−1 nk−1 ··· ··· 0 0 ººº ººº ººº h0 ººº ººº ººº ººº ººº ººº sk−N +2 0 ··· 0 ak−N +2 nk−N +2 0 ··· hν sk−N +1 0 · · · 0 0 h0 · · · hν ak−N +1 nk−N +1 s H a n ´ º½¾ µÿ s = Ha + n ´ º½¾ µ

¾¾¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ýóÿ Rss ý ÿò ð ðþ ÿ óõ s ý ÿ ´ º½¾ µ õ ý ÿ ´ º½½ µ ðø úô ÷õê Rss = E ssT ´ º½¾ µ = E (Ha + n)(Ha + n)T = HE aaT HT + E nnTý E anT = E naT = 0 úÿ ý ak nk ýý ýúõô õ¸ õ E[nnT] ý ó öý ò ó i õ ñ ó j ýóÿ E[aaT] ⎧ ⎨ E aaT (i,j) = E[ak−iak−j] = ⎩ 0, i=j Ea, i=j ⎧ ⎨ E nnT (i,j) = E[nk−ink−j] = ⎩ 0, i=j σ2, i=jñ ý ðö ð õõ ý ÿ ´ º½¾ µ ý ÿò ðÿ÷ ý ð ÷õê Rss = EaHHT + σ2I ´ º½¾ µý I ýóÿ ´ ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Üµ óý õ õ N ò N õñ s ý ÿ ´ º½¾ µ õó õ ðþ õ ñ ÿ p ý ÿòó ð ðþ ÿ óõõ ý ÿ ´ º½½ µ ðø úô ÷õê p = E [ak−d(Ha + n)] ´ º½¿¼µ = HE[ak−da] + E[ak−dn]

ºº ÿ ¾¾½õ E[ak−dn] = 0 ⎡ ⎤ E[ak−da] = E ⎢⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ E[ak−dak] ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎥⎥ = Eaed E[ak−dak−1] ººº E[ak−dak−d] ººº E [ak−d ak−N +1]ý ñ ÿ õ ñ ed óý õ õ ý ó ö N ñ ðþó ý ñ ñ ý ð õ ed = [0, · · · , 0, 1 , 0, · · · , 0]T (d+1)thõõ ý ó ñ õ ñ ÿ ed ý ó ö õþ þ õ ý ñ ó d + 1 óý ó ö õ ð õõ ý ÿ ´ º½¿¼µ ý ÿò ðÿ÷ ý ð ÷êõ p = EaHed ´ º½¿½µý ð ýóÿ Rss ñÿp óõ õ ý ÿ ´ º½¾¿µ ð ý÷ÿ óôDZñ ó÷ ÿ öö ÅÅË ñ ýóñ ÿ ðþó ÷ ÿ öö ÅÅËý÷ÿ óôü úð ÿ öö Þ ÖÓ ÓÖ Ò öö ðþ ú þ þ ý ÿ ööý ÿö õ ÁËÁ óÿõ ÿ ÿöÿ þ þð úý ñý þ ö ÿ öö ÿöö ÅÅË ó õÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû ý ÿò ð õöóó ¿ õ ã ÿ÷ÿ ý ø ÿö ÿ ð ö ý ð ó ý ¾ ÿ öö ÿüÿöä º º ÿ öö÷ÿöñ σ2 ÿ ð õõ ÿó õ ÿ ÿ ñ ð õÿ óÿö ý ýõó ÷ öñ ýõ ÷õê ÿþ ó óÿ ö Hý ó ÿ÷ÿö ý÷ÿ óôDZ ñ ó÷

¾¾¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ f (x) x0 xm x x0 ÿ÷ó º ¾ ñ þ ûè õ f(x)ý ÿóó õ õ ÿþ õ ã ÿ öö÷ÿöñ ´ ÔØ Ú ÕÙ Ð ÿ öö õñð ´ñ ýÿ÷Þ Öµä ý ÿ ÿ ý õ ö ÿ öö Ì Ä ÿ ÷õ ÿ ú õ ÿó º¿ µ ñ ý ÿ ÿóýó õ ÿ÷ÿö ý÷ÿ óôDZð þ ý ý õõ õ ÿóý ×Ø Ô ×Ø × ÒØ õð f(x) ÷êõûè õ ÿ ñ ÷ÿ ÿ x óý ÿ ûñ ýÿ÷ó º ¾ ÿóý ×Ø Ô ×Ø× ÒØ ÿ ÿóý ÿ ðþõñ ´ Ö ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñµ ó ÿ x óó ûè õ f(x)ý ñ ð ðþý õñ õ ÿó õ ð õ½µ õð ÿýñõ x = x0 ý x0 ñð¾µ ÿö k = 1 ò L ¾º½µ xk+1 = xk − μf (xk)ý L õ õ ÿ ÿ õ ´ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö Ø ÓÒ×µ¸ μ õ ð ÿ ÿ ðð ´×Ø Ô× Þ µ ý ó ö 0 < μ < 1¸ f (xk) õúõô ûè õ f(x) ó x = xk ðþó ÷÷ÿ óôü ú ÿóý ×Ø Ô ×Ø × ÒØ õ þ öú ÿ ý ñ ÿ μ õõ

ºº ÿ ¾¾¿åò μý õ þ õ÷ ó þ õõ ó ð x óñ ÿ ÿ ð μ óõ þ õ ÷ ø ó ñÿ ÿ ´ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø µ ÿåò μý ý õ÷ ó ð ÿ ´ Ú Ö Ò µ ó ý ð x óññ þ ó º½ õð f (x) = 3xex2 + 2 3x − 5 + x2 ÿóý ×Ø Ô ×Ø × ÒØ ú õ xk ÿö k = 2 ý õð x0 = 0μ = 0.2ôó ûè õ f(x) ó õð ý ÿò õúõô f(x) ð f (x) = df (x) = (3x)ex2 (2x) + ex2 (3) + (2 + x2)(3) − (3x)(2x) dx (2 + x2)2 ÿóý ×Ø Ô ×Ø × ÒØ ð xk ý k ¼¸ ½¸ ¾ ð õ k xk ¼ x0 = 0 ½ x1 = x0 − μf (x0) = 0 − (0.2)f (0) = −0.9 ¾ x2 = x1 − μf (x1) = (−0.9) − (0.2)f (−0.9) = −4.524úÿ õõ ð x2 = −4.524 ñ ýóñ ÿÿóý ×Ø Ô ×Ø × ÒØ öö N ýñõ ÿ ó f ÷õê ûè õ ñ ÷ÿ ÿ õ õý õ ñ õõ f (x) ý x = [x1, x2, . . . ,xN]T ÿóý ×Ø Ô ×Ø × ÒØ þ ý ÿòó õ ý ÷ÿ þ ñ õ ÿ ñ ÿ x óóûè õ f(x) ý ñ ð ð ñ ý õñ õñ ÷õ½µ õð ÿýñõ x = x0 ý x0 ñÿ ñ ð