การประมวลผลสัญญาณสำหรับการจัดเก็บข้อมูลดิจิทัล เล่ม 1: พื้นฐานช่องสัญญาณอ่าน-เขียน

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ññ þ õõ ÿó õ öö õ õ úÿö òú ÿ ý÷õê öö ã þ õúñ þ ñúñ ´ÅÁÅÇ ÑÙÐØ ÒÔÙØ ÑÙÐØ ÓÙØÔÙصä ð ð õõõ þ ý ÿò õñÿ ÿþ ´ ÒØ Ö Ø ÓÒµ ÿ ý õúñ ý ñúñ ó ð ý þñý þ õ ÿ úý÷ÿ óôü úÿ ý ÿ öö ð ÷õê ñõ ´ ÿ þ þð úý ñý ð õ ¾ ¸ ¾ µ½º º ó õ þ ÿûó õ þ ÿ û ´ ÓÐÓ Ö Ô Ýµ ½¸ ¾ ý ÿò þ úý ý ý ÿðð ðÿû õ ð ð ó õ þó õ þ õ÷è öõ ðý õ ðþ õ ó õ þ õ ó ý ñõðþ ÿ ð ö ý ó õ þ ÿ û ó ÿöõó ý ÷ü þ õ õ öõó óõó ð ö ý ú öõúõø õöõó ý õ ö ó õ þó õ þ õ÷è öõ úÿ õõ ó õ þ ÿ û ý ÿòó ó ÿ þõ ÿ õ ý öö õ õðó þ õöñ ð þ ÿ þ úþ ÿ ðþ ñ ó õ þ ÿöõó öö õ õ õ ÿ õ ñ ó ó ÿ õ ÿ þõ ý ðó ½ öñ ð õõ ó õ þ ÿ û ý ÿòÿ ÿö ñÿ ý ð ý þ ÷ ÿ ö ý ´ÓÔØ Ð ×ØÓÖ Ú µ ðþ ÿ÷ ó õ þ ÿ ûò ÷õê ó õ óõ õ ó õ ý õ ÿ ð ö ý õ õ ñ õ ý ð þ þ õ ý ý ¸ ñÿ ò þ õ ý ¸ ý óò ö õ öõó ý ýóõó õ¸ ÿó õýõ ò ¸ öõó ÿ ò ÷êõñõ ñ þ ÿ ñ ýõó ÷ öñþ ý÷è þ þ óõ þ ñ ó ÿ õó ý ÿòõ ó õ þ ÿ ûý õ ÿ õ ÿðð ðÿû ð ÿöÿ þ þð ó õ þ ÿ û ý ÿò úý ñý 𠽸 ¾½º ÿ÷ó þöóõ ÿ õ ÷ ÿ óÿ õ ñ õ ÿ ýú ñ ÿ¸ óÿ úóý ò ¸ ÿ õ ú ööú ú ¸ ð ó ÷êõñõ ý õ õý õ ÿ þ ó ý ý ð ó ÷õê õ õý ó ñ ó ÿ ð ö ð õõ ýñ ÿÿ öö ÿöõó ý óý÷ÿ óôü ú ¸ ÿ ò ¸ ý ýõ ò ÷êõ ó þ ý ð õ÷è öõý ÷ ÿ ÿö ÿöõó ý ý ý þ

½º º ööù ðó þöó ¾ð øõöõó ý ¸ òööõó ý ¸ ÿðð ðÿû¸ õ þ ÿ ñ ý ÿðð ðÿû ð ð ÷êõ ÷ ÿ ó õ ÿ ð ö ý ó ý ý ó ð ý ú ÿ ÷è þ þþ ´ õ ý ý ¸ ÿ ¸ ÷ÿ óôü ú ÷êõñõµ ÿ ý õÿ õ ÿ þõ ý õ ÿðð ðÿû þ ÿ ÿ ÷ þõ ÷ ÿ ðö ü úý ÷êõ ý öõó ÿöõó öö õ õ õ ÷õê ó õ þó õ ÿöõó ýÿðð ðÿû õ÷è öõ þ ÿ ñ ý ý ý ÿðð ðÿûó ó õ þ ÿöõóöö õ õ õõ ò ð ð ÷ ÿú ÿ ý õñ ó ý ý ÿò úý ý ýý ð ðõ ð ð õõ õ ÿ úý ý ý ý ý ý ÿò ó õ þ ÿöõó öö õ õ õ ÷õê ñ ó õ þ ÿöõó ý öö ý õ ó õ þ ÿöõóöö õ ñ ¸ ó õ þ ÿöõó ÿ öö ý ó ýÿ õ þ¸ ó õ þ õ þ ö úÿö¸ó õ þ ÿ û ÷õê ñõ õ÷è öõõ ÿðð ðÿûó ó õ þ ÿöõó öö õñ ÿýó ý õ þ õó ñ 𽺠ööù ðó þöó½º ôö þ ñ ñ ÿ ÿð ö ýðó ÿð ö ý õ¾º ôö þò ý õ ÿ ð ö ý ð ó¿º ôö þ ÿó õ ÿöõó ÿ öö ýº ôö þ ÿ ö ñõ ÿ ö õ ÿ þõ ÿ õ ý õ ÿðð ðÿûº ôö þ ý ý þ ÷ÿ þ õ ÷ ó ÿ õÿ÷ó ½ºº ôö þ ñ ÿ ð ÷ ÿú ÿ ý õñº ÷ÿþö óþö ÿó õó ÷ÿ ÿöõó öö õ õ õ ÿöõó öö õ ñº ôö þ ÿó õó ÷ ó õ þ ÿöõó ÿ öö ý ó ýÿ õ þ

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ º ôö þ ÿó õó ÷ ó õ þ õ þ ö úÿö½¼º ôö þ ÿó õó ÷ ó õ þ ÿ û

öóó ¾ ñ ñÿ ÿö ÿððúõ õó ðÿûõöóõ ò ó úõ õñ ó ñ ñÿó þ öÿ öö ÿ÷ÿ ý øÿðð ðÿû ðþ ÿý ÿ õ ÷ÿ üó õõ ôö þòð ó ¸ õ õ¸ ÿ öö¸ ýúõô ÷êõñõ ú ñÿþý ýúÿ ý öø õð ò úõ õó ñ ñÿñ ó ÷õê ÿö ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý øÿðð ðÿû õó õöóñ ÷ ÿöø õ óñ ÿ ÿ þ þð úý ñýõ õöóõ ý ÿò õ ð ¾ ¸ ¿¾¸ ¿¿¸ ¿¾º½ ÷ÿ üó´× Ò Ðµ ÷êõûè õ ´ ÙÒ Ø ÓÒµ ó ð ÷ÿý ó þü ú õó ñ ñÿý ÿòó ò óõð þûè õ ñ ÷ÿ ÿ õ f (t) ý þò f ó ÷õêûè õ ñ ÷ÿ ÿ t ðþó ÷ ý ÿòó ò õ ÷õê ÷ÿ üó ¾ñý ðõ ¾

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t) x[k] t k óñ õ ó -2 -1 1 234 5 (a) (b)ÿ÷ó ¾º½ ñ þ ´ µ ´ µ ó ýñ õ 󾺽º½ óñ õ ó ó ýñ õ ó óñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ × Ò Ðµ óý ÿ ÷ þõ ÷ þ ñ õó ðþó ÷ x(t) óõ óñ õ ó x ý t ñ ÷ÿÿ óñ õ ó ´õõ ñ ÷ÿ t ý ÿòý ÷êõ õ õ ÿ ð µ ð õõ óñ õ ó ÷õê ý ñ õ õ ÿ ÿ ñ ý ð ´ Ò Ò Ø × Øµ ñ þóñ õ ó õ þ úð õ óþ ÷êõñõ ö þ ÿ óñ õ ó òÿþ ã õ õ ´ Ò ÐÓ × Ò Ðµä ó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ × Ò Ðµ ó ýý ÿ ÷ þõ ÷ þñõ ó õ õ ýõ x[k] ÿ xk óõ ó ýñ õ óx ý k ñ ÷ÿ ÿ ó ýñ õ ó ´õõ ñ ÷ÿ k ý ðµ ð õõ ó ýñ õ ó ÷õê ý ñ ð ´ Ò Ø × Øµ ñ þ óýñ õ ó õ ð õñ ð õ óþ¸ õ õ ÿðð ðÿûóø ñ ð¸ õ õ÷ÿ ÿÿ óú ÷õê ñõ ÿ÷ó ¾º½ ð ñ þ ÿ÷ÿ óñ õ ó óýñõ óõõ ó ýñ õ ó xk ðý ÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Ò µóñ õ ó x(t) óó t = kTs ý k ÷õê õ õ ñý Ts öÿ

¾º½º ÷ÿ üó ¾ñ þ ´× ÑÔÐ Ò Ô Ö Ó µ ðþ fs = 1/Ts ýò ÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Ò Ö ÕÙ Ò ÿ ñ þ ý ÿò þõ ÷êõ ý ÿóݵ úÿ õõ ó ýñ õ ó ó ðñ ñÿ ðð õ ´ðÿ÷ó ¾º½´ µµ x[k] = xk = x(t)|t=kTs = x(kTs) ´¾º½µõõ ý xk ñ ñ þ õ Ts õ þý þ ñ ý ÿ ´¾º½µ ð ó ýñ õ ó x[k] ý ÿò ÷êõñ óõ ýöÿ ò ýò ÿ ñ þ ð öó öó óñ õ ó x(t) ð þ ôö þñ ÷ õ ó ºÿ ñ þ ´× ÑÔÐ Ò Ø ÓÖ Ñµ¾º½º¾ ÷õê ö ý ÷õê ö ÷õê ö ´Ô Ö Ó × Ò Ðµ óýÿ÷ÿ ñ ýõ ó ó õð õ ÿþ ö ´Ô Ö Ó µ ð õõÖ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ × Ò Ðµ óñ õ ó ÷õê öóñ õ ó ´Ôö µ óó ó ý ÿò ö T ´ó ÷êõ x(t) = x(t + mT ) ´¾º¾µÿöó t ý m ÷êõ õ õ ñý ÿ÷ó ¾º¾´ µ ð ñ þ ÷êõ öóñ õó õóõ ý ÿòó ú ÿ x(t) ÷êõ óý ö ó ö mT õ þþ ÿ ñ ý T óõ þó ðóþ ó ý ÿ ´¾º¿µ ÷õê ÿ ò ÿþ öý õ ´ ÙÒÑ ÒØ Ð Ô Ö Ó µ þõ óõð þ T0 ´õõ ý m = 1 ð T0 = T µ õö ö T0 ýòý õ f0 ´ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ÕÙ Ò Ýµ ð ý ýúõô 1 ´¾º¿µ f0 = T0ý õ þ ÷õê ÿñ ´ÀÞ ÖØÞµ

¿¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ(a) Periodic continuous-time signal x(t) -2T -T 0 T t(b) Periodic discrete-time signal x[k] 2T -5 -4 -2 -1 12 45 k -6 -3 0 3 6ÿ÷ó ¾º¾ ñ þ ´ µ ÷êõ öóñ õ ó ´ µ ÷êõ öó ýñ õóõõ ó ýñ õ ó ý ÿò ÷êõ ÷õê ö ð ò ý ÿò ö ´¾º µN ´ó ÷êõ ö µ óó x[k] = x[k + N ]ÿöó k ý N ÷êõ õ õ ñý ð ð õÿ÷ó ¾º¾´ µ õóõ ð x[k]ý ö ó ö N¸ 2N¸ 3N¸ . . . õ ðþ õ öý õ N0 N óõ þó ðóó ý ÿ´¾º µ ÷õê ÿ ´ õ ÿ õ N0 = Nµ÷êõ öý ýöñó ÷õê ö úþ õ ö ý ýõö ó ýð ÿöò õó ÷ÿ ÿ ð õõ ÷êõ ö úþ õ ö ý ÿòõ ý õÿ ÿ ý ñ ð ÿöò õ óõó ÿ ý ó ýð ÿöõ ó ý ðý ÷êõ ÷êõ ö ÿþ ý ÷êõ ö ´ Ô Ö Ó ÿ ÒÓÒÔ Ö Ó × Ò Ðµ

¾º½º ÷ÿ üó ¿½ñ þ ó ¾º½ õð x1(t) x2(t) ÷êõ ÷êõ öóý ö ó ö T1 T2ñ ý ðö ú ÿ x(t) = x1(t) + x2(t) ÷êõ ÷êõ ö ÿ ýôó ýöñ ÷êõ ö ðým n ÷êõ x1(t) = x1(t + mT1) ð x2(t) = x2(t + nT2) õ õ ñý ð ò õð mT1 = nT2 = T x(t) = x1(t) + x2(t) = x1(t + mT1) + x2(t + nT2) = x1(t + T ) + x2(t + T ) = x(t + T )ð õõ x(t) ÷êõ ÷êõ ö ñ ý ñÿ õ T1/T2 ÷õê õ õñÿÿ þ ½ ö x(t) ó öñ ÿ ýõ þ ´Ð ×Ø ÓÑÑÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ µ ö T1 T2ñ þ ó ¾º¾ öý õ T0 õ þð ´× ÒÙ×Ó Ð × Ò Ðµ x(t) = sin(0.4πt) ôó x(t) ý öý õ ó ö T0 ñ ý ý ÿò T0 óó ý ýúõôñ ÷õ ÷êõ ÿ x(t) = x(t + T0) sin(0.4πt) = sin(0.4π[t + T0]) = sin(0.4πt + 0.4πT0)½ õ õ ñý ÿ ò ÷êõ õ ÷êõ õó øÿ ñ õõ ðø úô ÷êõó õþýÿ ö ÿó õþý õ −2, 3, 100, 10/3 = 3.3333... ÷êõñõ

¿¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñõ sin(θ) = sin(θ + 2nπ) ý n ÷õê õ õ ñý ð ð õõ öý õ T0 ðý n = 1 õõ öý õ 0.4πT0 = 2nπ T0 = 5 x(t) ý ó ö T0 = 5 õ þ¾º½º¿ õð ý õð ´ Ø ÖÑ Ò ×Ø × Ò Ðµ ó ý ÿòÿ ö ð õõ õ ÿ ýöñ ð ÷êõ þ ÿ ð õõ ÷ÿ üóõ ý ÿò þõ þ õÿ÷ûè õ ðõ ó ý ´Ö Ò ÓÑ × Ò Ðµ ó ý ý ÿòÿ ö ð õõ õ ÿ ýöñ ð ÷êõ þ ÿ ÿö õÿ öö ÿ óúöö þ ý ÷õê ý ðþ þ õÿ÷ ÿóñ ÿ ÿ ÷ÿ þ õ ð õ þ õÿ öö óÿ úó¸ üúø õÿ ööð óþý¸ ý ó ð ö õ ÿðð ðÿû ÷õê ñõ ÿ þ õÿ÷ ÿö õ ´ÒÓ × µ ó ð õ õÿ öö ÷êõ ó ýñ ÿ õ ÿö õ ýÿ õ´Ø ÖÑ Ð ÒÓ × µ ó ð ÿ õ ñÿ õ õ õ ÷ ÿ óÿ õ óð ÿ ø ýÿ õ ý õÿ÷ ÿö õ ÿ÷ó ¾º¿ ð ñ þ ý ööþõ ´ Ù×× Òµ óý þ ´Ñ Òµ ó ö õþ ý ÷ÿ÷ÿ õ ´Ú Ö Ò µ ó öõ ðþó ÷ ÿö õ ýÿ õ ýú ñ ÿÿý ÿ ýöñ ý õ öý öö þõý þ ñ õ õ ýõ ÷ÿ ÿý Ë ÁÄ ¾ ¿¼ õ ÿ ðÿ÷ ÿ û ñÿ ýó ø ÿóð ó ð ÿó ÿ ´× ÑÙÐ Ø ÓÒµ ÿ öö ø õ ÿó úþ þ ýóððÿ÷ ÿ ûñ õ õ ýõ ú ó ð þó õöó ÿþõý þ õ ¾ ÷ÿ ÿý Ë ÁÄ ÷êõ ÷ÿ ÿýó ý ÿòó õ ð þ ý÷ÿ óôü ú þ ö ÷ÿ ÿý Å ÌÄ ¿½ óôDZ ûñ ÿ ÷ÿ ÿý Å ÌÄ ýÿ ú ý ñ ÷ÿ ÿý Ë ÁÄ ÷õê ÷ÿ ÿýó ûÿ ´ Ö Û Ö µø õ ý ÿòð õ ðñ ÷ÿ ÿý ð ØØÔ»»ÛÛÛº× Ð ºÓÖ ÿ ØØÔ »» ÓÑ ºÒÔÖÙº ºØ »∼Ø¿¼ »Ë Ð º ØÑÐ

¾º½º ÷ÿ üó ¿¿ Amplitude 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Time (in bit periods)ÿ÷ó ¾º¿ ý öö þõóý þ ó ö õþ ý ÷ÿ÷ÿ õ ó ö õ¾º½º ú õõ ÿ ÿ ÿ ûû ò õð v(t) ÿ ðõ ûû ý õ þ ÷êõ ñ ´Î ÚÓÐصi(t) ÿ ûû ý õ þ ÷êõ ý ÷ÿ ´ ÑÔ Ö µ ó ÿ ýñ ýñ õó õ R ý õ þ÷êõ ý ´Ω Ó Ñµ ð õõ ð õ ´ Ò×Ø ÒØ Ò ÓÙ× ÔÓÛ Öµ ò õþ ý ðþ p(t) = v(t)i(t) = 1 v2(t) ´¾º µ R ´¾º µ ´¾º µúÿ õõ ú õÿ ý ´ØÓØ Ð Ò Ö Ýµ ó ÷ ÿö t1 ≤ t ≤ t2 t2 t2 1 v2(t) p(t)dt = t1 t1 R þ ´ Ú Ö ÔÓÛ Öµ ó ÷ ÿö t1 ≤ t ≤ t2 1 t2 1 t2 1 v2(t) p(t)dt = t2 − t1 t1 t2 − t1 t1 R

¿ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ õþ ý ú õ ´ Ò Ö Ýµ ´ÔÓÛ Öµ ó õ ÿ ûû ú õÿ ýóñ õ ó x(t) ó ÷ ÿö t1 ≤ t ≤ t2 ý ÿòó õþ ý ð ð õ t2 ´¾º µ |x(t)|2dt t1ðþó |x| õ ð ´Ñ Ò ØÙ µ x þó ´Ø Ñ Ú Ö ÔÓÛ Öµx(t) 1 t2 ´¾º µ t2 − t1 õ ðþ õ ú õÿ ý |x(t)|2dt k1 ≤ k ≤k2 ý ÿòó õþ ý ð ð õ t1 ´¾º½¼µ þó x[k] ó ýñ õ ó x[k] ó ÷ ÿö k2 |x[k]|2 k=k1 1 k2 ´¾º½½µ |x[k]|2 k2 − k1 + 1 k=k1 þ ÿ ñ ý õó ÷ öñý õ ú õ ÿö õõñ õõ ý óñ õ−∞ ≤ t ≤ ∞ −∞ ≤ k ≤ ∞ ð õõ õ ÿ õ ð ú õÿ ý ´¾º½¾µó T∞ E = lim |x(t)|2dt = |x(t)|2dt T →∞ −T −∞ ú õÿ ý ó ýñ õ ó N∞ E = lim |x[k]|2 = |x[k]|2 ´¾º½¿µ N →∞ k=−N k=−∞õó õ ðþ õ ð þó óñ õ ó x(t) ó ÷ ÿö õõñ ´¾º½ µ T P = lim 1 |x(t)|2dt T →∞ 2T −T

¾º½º ÷ÿ üó ¿ õõñ þó ó ýñ õ ó x[k] ó ÷ ÿö ´¾º½ µ 1 N ý P = lim N→∞ 2N + 1 |x[k]|2 k=−N ð ò ÿþ ´ÔÓÛ Ö × Ò Ðµ ñ ý ð 0 < P < ∞ ð ð õñ þ ñ ÷õñ þ ó ¾º¿ x(t) = A cos(ωt + φ) ý ω 2πf φ ÷êõ ñ´ ÓÒ×Ø Òص ýý ûôó õ x(t) ÷êõ ÷õê öóý ö ó ö T0 ð õõ ý ÿò ð ý ÿ ´¾º½ µ õõ 1 T 1 T0 P = lim |x(t)|2dt = |x(t)|2dt T →∞ 2T −T T0 0 =1 T0 T0 0 |A cos(ωt + φ)|2dt = 1 A2 T0 T0 0 cos2(ωt + φ) dt 1 A2 T0 1 + cos(2ωt + 2φ) dt = T0 0 2 = 1 A2 T0 T0 2T0 (1) dt + cos(2ωt + 2φ) dt 00 = 1 A2 {T0 + 0} 2T0 A2 = 2õ T0 cos(2ωt + 2φ)}dt = 0 0 ñ þ ó ¾º¿ úö ÷õê ö ý ÿò õ ð ðþ ÿ

¿ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñúþ ö ðþ õõ ÷õê ö x(t) óý ö ó ö T0 ð 1 T0 ´¾º½ µ P= T0 0 |x(t)|2dt ñú õ ÷êõ ö ý ÷êõ õõñ ´ð ý ÿ ´¾º½¾µµ úÿ õõ ðþó ÷ ÷õê ö ò ú ÿ ÷êõ õ ó ÿö ý ÷õê ö ý ó ÿþ öõ õõñ ðø úô ÷êõ õþ ð õõ ý ÷êõ öý ý ÿò ð ñ õþ ý ãú õä ý þð ò ÿþ ú õ ´ Ò Ö Ý × Ò Ðµ ñ ý ú õ ýðõõ 0 < E < ∞ñ þ ó ¾º ú ÿ óñ õ ó õÿ÷ó ¾º ÷êõ ÿú õ ý c ÷õê ñ ð x(t) y(t) A A t −c c 5c t -A 3c −c 0 c (b) (a)ÿ÷ó ¾º ñ þ ´ µ ý ÷õê öóñ õ ó ´ µ ÷õê öóñ õóôó

¾º½º ÷ÿ üó ¿µ ÿ÷ ¾º ´ µ x(t) ý ó ö P = lim 1 T |x(t)|2dt T →∞ 2T −T 1 c = lim A2dt T →∞ 2T −c = lim 1 (2cA2) T →∞ 2T =0úõ x(t) ý ó ö ∞ |x(t)|2dt E= −∞ c = A2dt −c = 2cA2ð õõ x(t) õÿ÷ ¾º ´ µ ÷õê ú õõ 0<E<∞µ ÿ÷ ¾º ´ µ y(t) ý ó ö úõ 1 T P = lim |y(t)|2dt T →∞ 2T −T 1 3c = |y(t)|2dt 4c −c =1 c 3c 4c (A)2dt + (−A)2dt −c c = 1 2cA2 + 2cA2 4c = A2 x(t) ý ó ö ∞ |y(t)|2dt E= −∞ =∞

¿ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t) (binary signal) y (t ) (multi-level signal) 1 11 3 3 22 0 00 0 1 11 t 0t T (a) T (b) ÿ÷ó ¾º ñ þ ´ µ öõ ÿ ´ µ þÿ ðöð õõ y(t) õÿ÷ ¾º ´ µ ÷õê õ 0<P <∞¾º¾ ð ó ð ó ´ Ø Ð × Ò Ðµ óý ð ú ü þ õ ñ ð ´ Ò Ø × Øµ ý ÿò ö ð ÷êõ ¾ ÷ÿ üó ÿ ðö ÿ öõ ÿ ´ Ò ÖÝ × Ò Ðµ þÿ ðö ´ÑÙÐØ Ð Ú Ð × Ò Ðµ ð ð õÿ÷ó ¾º¾º¾º½ öõ ÿ öõ ÿ ýÿ ðö ´ ÿ ýú ðµ þ ¾ ÿ ðö ðþó ÷ ÿ ðö õ óõ ý ã¼ä ÿ ðö õ óõ ý ã½ä ð ð õÿ÷ó ¾º ´ µõ õ õó ÿ öö ÿð ó ý ÿþ ý ñ ñ ãöñ ´ صä õõ öñ ¼ öñ½ ðþó öñ ñ öñ ý õ T õ ó ´ ÿ ö µ ð õõ ñÿ ý ´ Ø Ö Ø µ ý ÿòó õþ ý ð ÷õê 1 ´¾º½ µ R= Tý õ þ ÷õê öññ õ ó ´ Ô× Ø Ô Ö × ÓÒ µ

¾º¿º ûè õóõ õ ¿ ð öõ ÿ ý ÿòõ ý ÷÷ÿ ý ø ð þ ÿ ð ÿ õ ýý ¼ ½ ð ö ÿó õ ÿ öö ýú ñ ÿ õ õ ÿ öö ÿ ÿ ÿ óÿ õ ñ ú ö öõ ÿ ý ÿòó ð ðþ þ ýÿ òþ ÿ ñý þ ÿ öõ ÿ ´ ý óþö ö þÿ ðöµ ñ öñõ õý ÿö óõ ý õ ýýñ ò ñ ÿ ö ý ñ ÿ { ¸ ¸ ¸ . . .¸ } ÿ ýó ýð ñ ÿ ð ñ öñ þ õ þ ÷õê õ õ öñ ´26 = 64µ ÿö óõ ñÿ ñ ñ ó õ ÷ õ ó õ ÿ ð ö ý õ ÿðð ðÿû¾º¾º¾ þÿ ðö þÿ ðö ýÿ ðö þ þÿ ðö ñ þü þ õ ñ õ õ ð ñ þ õ þÿ ðö õÿ÷ó ¾º ´ µ ýÿ ðö ó ýð ÿ ðö ðþó ñ ÿ ðöò óõð þñ {¼¸ ½¸ ¾¸ ¿} ð þÿ ðö þ÷ÿ þð õ ó õ ÿ ð ö ý õ ýýñþÿ ðöý ó ÷õê ÷ ðó ýð ð õõò ñ ÿ ö ý ñ ÿ { ¸ ¸ ¸ . . .¸ }ÿ ýó ýð ñ ÿ ð ñ ñ {0, 1, 2, 3} þ õ þ ÷õê õ õ ¿ ñ ´43 =64µ ÿö óõ ñ ÿ ñ ñ þ ÿ ñ ý þ ÿ þÿ ðö ÿóÿ õ ñ óó õÿ ý ö þÿ ðö ý ý ö õý õ ð õõð ó ó ööõý ð þñ õ õ þ ö õ÷ÿ þ ñ ´ ÔÔÐ Ø ÓÒµ óõõ öõ ÿ ò õ ý õÿ öö ÿöõó ý ÿðð ðÿû õ ó þÿ ðö ò õ ý õÿ öö ÿöõó ý øõ ð øõð ð ÷êõñõ¾º¿ ûè õóõ õðþó ÷ ñ ý ÿò þõ þ õÿ÷ ûè õó ñ ñÿ ð õ õò ûè õóúöö þ õÿ öö ÿ õ ûè õ õ õ õ þ ´ÙÒ Ø ×Ø Ô ÙÒ Ø ÓÒµ¸ ûè õ ýú´ ÑÔÙÐ× ÙÒ Ø ÓÒµ¸ ûè õ ´× Ò ÙÒ Ø ÓÒµ ðþýÿ þ þðð ñ ÷õ

¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ u(t ) t u[k] k 1 1 (a) (b) ÿ÷ó ¾º ûè õ õ õ õ þ ´ µ óñ õ ó ´ µ ó ýñ õ 󾺿º½ ûè õ õ õ õ þ ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ ÙÒ Ø ×Ø Ô ÙÒ Ø ÓÒµ õþ ý ðþ ´¾º½ µûè õ õ õ õ þóñ õ ó ⎧ ⎨ 1, t > 0 u(t) = ⎩ 0, t < 0ð ð õÿ÷ó ¾º ´ µ ðþó ûè õ u(t) ó ó t = 0 ýõþ ý ñò ý ý ÷êõñ ûè õ u(t) ó t = 0 ý ÿò u(0) = 0.5 ð õ ó ûè õ õ õõ þó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ ÙÒ Ø ×Ø Ô ÙÒ Ø ÓÒµ õþ ý ðþ ⎧ ´¾º½ µ ⎨ 1, k ≥ 0 u[k] = ⎩ 0, k < 0ð ð õÿ÷ó ¾º ´ µ¾º¿º¾ ûè õ ýúûè õ ýú óñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ ÑÔÙÐ× ÙÒ Ø ÓÒµ ÿ ó ÿþ õ ãûè õð ÿ ð ñ ´ Ö ÐØ ÙÒ Ø ÓÒµä ¿¾ ýñ ûè õ δ (t) óõþ ý ðþ ⎧ |t| < 2 ´¾º¾¼µ ⎨ 1, |t| > 2 δ (t) = ⎩ 0,

¾º¿º ûè õóõ õ ½1 δ ε (t ) ε →0 δ (t ) tε t−ε ε 22ÿ÷ó ¾º ûè õ ýú óñ õ ó ÿ ûè õ ð ÿ ð ñý õð ýñ → 0 ð ÷êõûè õ ð ÿ ð ñ ð õ ´¾º¾½µ ⎧ ⎨ ∞, t = 0 δ(t) = ⎩ 0, t = 0ûè õ ð ÿ ð ñ ÷êõ ú óý ý ó ö õõñ ý ýú õ þý ð ð õÿ÷ó ¾ºûè õ ð ÿ ð ñ ÷õê ú ðý ñ ÷ÿ þ õý ÿö ÿ ÿÿ öö ðþ ýöñó ûè õ ð ÿ ð ñ ýð õ ∞ ´¾º¾¾µ δ(t)dt = 1 ´¾º¾¿µ ´¾º¾ µ −∞ ´¾º¾ µ 1 ´¾º¾ µ δ(at) = |a| δ(t) δ(t) = δ(−t) f (t)δ(t − t0) = f⎧(t0)δ(t − t0) ⎨ f (t0), t2 = ⎩ 0, t1 ≤ t0 ≤ t2 else f (t)δ(t − t0)dt t1ý f(t) ûè õ ð t0 õ õ ÿ ó ð ò ÷ÿý õ õ ûè õ

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ δ [k] 1 k ÿ÷ó ¾º ûè õ ýú ó ýñ õ ó ÿ ûè õ ÿ õ ÿ ð ñð ÿ ð ñ δ(t) þ ý ý ýúõô öûè õ õ õ õ þ u(t) du(t) ´¾º¾ µ = δ(t) ´¾º¾ µ dt t u(t) = δ(τ )dτ −∞ ÿöûè õ ýú ó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ ÑÔÙÐ× ÙÒ Ø ÓÒµ ÿ ó ÿþ õ ãûè õ ÿ õ ÿ ð ñ ´ÃÖÓÒ Ö ÐØ ÙÒ Ø ÓÒµä ¿¾ õþ ý ðþ ⎧ ´¾º¾ µ ⎨ 1, k = 0 δ[k] = ⎩ 0, k = 0ð ð õÿ÷ó ¾º ûè õ ÿ õ ÿ ð ñ ý ýöñó ñ ý õ öûè õ ð ÿð ñ ñ ýó ôö þ ñõ úþ ñ þ õ ð ýõ ´ ÓÑ Òµ óñ õ ó õõ õõ ûè õ ÿ õ ÿ ð ñ þ õ ð ýõó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ ÓÑ Òµ ûè õ ð ÿ ð ñ þ õ ð ýõóñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ ÓÑ Òµ¾º¿º¿ ûè õûè õ ´× Ò ÙÒ Ø ÓÒµ ÿ ÿþ ãûè õ ÿ÷ÿ ý õ ´ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÙÒ ´¾º¿¼µØ ÓÒµä õþ ý ðþ ⎧ sinc(t) ⎨ sin(πt) , t=0 =⎩ πt t=0 1,

¾º¿º ûè õóõ õ ¿ 1.2Amplitude 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 −0.2 −0.4 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 Time (in bit periods) ÿ÷ó ¾º ûè õ sinc(t)ð ð õÿ÷ó ¾º õóý÷ÿ þ õý õ ÿ ÿ ÿ öö ÿð ó ðþ ú þ þ õ ñ þ ÿ÷ÿ ý õ ýöñó ûè õ ûè õ ÷õê ûèÿ ó öó ÿýð õ½µ sinc(t) = 0 ý t = ±1, ±2, ±3, . . .¾µ ∞ sinc(t) dt = 1 õõ úõó ñ ÿ û sinc(t) ÿ ýó ýðý ó ö ½ −∞¿µ lima→0 1 sinc t = δ(t) πa aµ lima→0 ∞ 1 sinc t f (t) dt = ∞ δ(t)f (t) dt = f (0) −∞ πa a −∞

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ x(t ) fold x(− t ) T0 T1 t − T0 t − T1delay x(t − T ) x(t + T ) advance t T0 − T T1 − T t T1 + T T0 + Tx(t / a) Time-expand x (at ) Time-compress ttaT0 aT1 T0 / a T1 / aÿ÷ó ¾º½¼ ÿúö ´ ÓÐ µ¸ ÿ õ ´ Рݵ¸ ÿ õ ´ Ú Ò µ¸ ÿ þ þ´Ø Ñ ÜÔ Ò µ¸ ÿöö ´Ø Ñ ÓÑÔÖ ××µ x(t)¾º ÿ õ ÿöö» þ þ ÿúöõÿ ÿ ö þ ÿ óý ý ÷õê ñ õ ý ó ÿ õ ´Ø Ñ × Øµ¸öö ´Ø Ñ ÓÑÔÖ ×× ÓÒµ¸ þ þ ´Ø Ñ ÜÔ Ò× ÓÒµ¸ ÿúö ´ ÓÐ Ò µ ú þó ÿÿ ýñ õõý ý þ õ ð ð õÿ÷ó ¾º½¼¾º º½ ÿ õÿ õ ý ÿòó ðó öö õ ´ Рݵ öö õ ´ Ú Ò µõó ñ ñÿ ý ÿòó ð þ ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿ ñ þ õ ò ñ ÿy(t) ý ó ö x(t) óò õ ÷ T õ ó ý ÿòó ð ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿ

¾º º ÿ õ ÿöö» þ þ ÿúöÿ x(t) t ÷ ÷õê t − T õõ y(t) = x(t)|t→(t−T ) = x(t − T ) ´¾º¿½µñ úö óò õ õ ÷ó ´Ö Ø × Øµ ý þ ýy(t) ð õ x(t) ÷õê ÿ þ T õ þõ ðþ õ ò ñ ÿ y(t) ý ó ö x(t) óò õ ÷ Tõ ó ý ÿòó ð ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿ ÿ x(t) t ÷ ÷êõ t + T õõ y(t) = x(t)|t→(t+T ) = x(t + T ) ´¾º¿¾µ ñ úö óò õ õ ÷ó þ ´Ð Ø × Øµ ý þ ýy(t) ð õ ÿ x(t) ÷õê ÿ þ T õ þ¾º º¾ ÿöö» þ þõó õ ðþ õ ÿöö ÿ þ þ ý ÿòó ð ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿ õ x(t) óò öö ÷ ÷êõ õ õ a ó ý ÿòòñ ÿ y(t) ý ó ö x(t) t ÷ ÷êõ at ð õó ð ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿ ÿ y(t) = x(t)|t→aT = x(at) ´¾º¿¿µõó õ ðþ õ ò ñ ÿ y(t) ý ó ö x(t) óò þ þ ÷ ÷õê x(t) t ÷ ÷êõ t/a ð õõ õ a ó ý ÿòó ð ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿ ÿ ´¾º¿ µ y(t) = x(t)|t→ t = x t a a¾º º¿ ÿúöýýñ x(t) ð þ õÿ õ öú ð (x, y) ÿúö ÷ÿþö ý õ ö ÿ ó õ ´Ö Ø ÓÖ Ñ ÖÖÓÖµ x(t) ÿ ö õ y = 0 ó ð ðþ ÿ ÷ þõñ ÷ÿ ÿ x(t) t ÷ ÷êõ −t õõ y(t) = x(t)|t→(−t) = x(−t) ´¾º¿ µ

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ÿúö ö þý ÿö ÿó õ õ ´ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒµ ôö þÿ þ þð õó ¾º¾º º ÿø ýÿ ÿõ ÿúö ÿ ÷ þõñ ÷ÿ ÿ ý ÿòõ ý ÿ ý õó ð ÷êõ ÿ ÷ ó ö õý õ õ ò ñ ÿúö x(t) õ ø úôó ð ÷êõ T õ ó ý ÿòó ðð õ x(t) t−→→−t x(−t) t→−(t→−T ) x(−(t − T )) x(T − t) fold delayÿ ý ÿòó ð ô õ ú ðø úô ý ó õ ÿõ ÷õêT õ ó õ þúö ðø úô ÷êõ x(t) t→−(t→+T ) x(t + T ) t−→→−t x(−t + T ) x(T − t) advance foldõð ó ôõ ðø úô ý ó õ x(T − t)¾º õ õÿó õ õ ´ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒµ óñ õ ó x1(t) x2(t) ð ÷õê óñ õ ó ý x(t) õþ ý ðþ x(t) = x1(t) ∗ x2(t) = ∞ ´¾º¿ µ = ´¾º¿ µ x1(τ )x2(t − τ )dτ −∞ ∞ x1(t − τ )x2(τ )dτ −∞ý ∗ ñ ð õõ ÿ õ õ ´ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖµ õó õ ðþ õ ÿó õ õ ó ýñ õ ó x1[k] x2[k] ð ÷êõ ó ýñ õ ó

¾º º õ õ ý x[k] õþ ý ðþ ∞ x[k] = x1[k] ∗ x2[k] = x1[n]x2[k − n] ´¾º¿ µ ´¾º¿ µ n=−∞ ∞ = x1[k − n]x2[n] n=−∞ ÿó õ õ ó ýñ õ ó ö þý ÿö ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû ð õõ ø õ ÿ ÿó õ õ ööõõó õöóñ ÷ õóõ þ ñ þ ÿ õ ø úô ÿó õ õ ó ýñ õ ó ð ñ ÷õ ý ÿ ´¾º¿ µ x[k] ð ÿø ÿ ý ´×ÙÑÑ Ø ÓÒµ ó ýð ñ ÷ÿ n ðþ ú ÿ x1[k − n] x1[n] óó ÿúö ò õ ÷êõ õ õ k õ þ ð õõ ò õð ðö ý ´ Ø × ÕÙ Ò µak {a0, a1, . . . , ai} ý þò ý a0 þó ó k = 0¸ ý a1 þó ó k = 1¸ ý ai þó ó k = i õ õ ýõ ý ñ ñ ó þü þ õ ðö ý ò ÿþ ã ý ÷ ´× ÑÔÐ µä ÿ÷ó ¾º½½ ð ñ þ ÿó õ õó ýñ õ ó ´ × Ö ØØ Ñ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒµ ý ó ýñ õ ó x1[n] = {1, −1} x2[k] = {1, 2, 1}ðþø úôó ð x[k] = x1[k] ∗ x2[k] {1, 1, −1, −1} ý õñ õ ÿ õ ð õõ x2[k] ý õ õ ó÷ ´Ø Ôµ ¿ ó÷ ´ ÿ ý ý ¿ ñ µ ð õõ x[k]ð 2 x[k] = x1[k − n]x2[n] n=0 ó k<0 ð x[k] = 0 õ x1[k − n] = 0 ÿö n ¼¸ ½¸ ¾ ó k=0 ð 2 x[0] = x1[0 − n]x2[n] = x1[0]x2[0] + x1[−1]x2[1] + x1[−2]x2[2] n=0 = (1)(1) + (0)(2) + (0)(1) = 1

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñx1 [n] x2 [n] 2 11 1 1 n n 0 012 -1x1 [−n] 1 x[k] = x1 [k]∗ x2 [k ] -1 n ∞ 0 -1 = ∑ x1 [k − n]x2 [n] n=−∞x1 [k − n] 1 11 k-1 n 23 k k 01 k+1 x[k] -1 -1 -1ÿ÷ó ¾º½½ ñ þ ÿó õ õó ýñ õ ó x[k] = x1[k] ∗ x2[k]ó k=1 ð x[1] = = 2 x1[1 − n]x2[n] = x1[1]x2[0] + x1[0]x2[1] + x1[−1]x2[2] n=0 (−1)(1) + (1)(2) + (0)(1) = −1 + 2 = 1ó k=2 ð 2x[2] = x1[2 − n]x2[n] = x1[2]x2[0] + x1[1]x2[1] + x1[0]x2[2] n=0 = (0)(1) + (−1)(2) + (1)(1) = −2 + 1 = −1ó k=3 ð 2x[3] = x1[3 − n]x2[n] = x1[3]x2[0] + x1[2]x2[1] + x1[1]x2[2] n=0 = (0)(1) + (0)(2) + (−1)(1) = −1

¾º º õ õ x2 [n] 2 11 x[k] 1 1 -1 0 1 2 3 n 23 k n 01 n n -1 -1 nk=0 1 x[0] = (1) (1) = 1 -1x1 [n] x[1] = (−1)(1) + (1)(2) = 1 -1k=1 1 x[2] = (−1)(2) + (1)(1) = −1x1 [1− n] -1 x[3] = (−1)(1) = −1 1k=2 -1x1 [2 − n] 1k=3 -1x1 [3 − n]ÿ÷ó ¾º½¾ ÿ þ þð ÿó õ õó ýñ õ ó ÿ÷ó ¾º½½ó k > 3 ð x[k] = 0 õ x1[k − n] = 0 ÿö n ¼¸ ½¸ ¾úÿ õõ ø úô ÿó õ õ x[k] {x0, x1, x2, x3} {1, 1, −1, −1} ÿ÷󾺽¾ ð ÿ þ þð õñ õ ÿó õ õó ýñ õ ó ñ ýó ð ôö þ ñõõð ý k<0 k>3 x1[k − n] x2[n] ýý ý õ ðóý õý õ ´ÓÚ ÖÐ Ôµ ð õõ ý õõ ðø úô ÷õê õþ ñ ÿóõ õó ýñ õ ó õ õ ý ø úôó ð ÿó õ õ ý õ õó ö õõ ý ó ÿ ý õ öð þ õ ýýöñó ÿó õ õó ýñ õ ó ýð ñ ÷õ

¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ½µ ýöñ ÿ ÷ þõ ý ´ ××Ó Ø Ú ÔÖÓÔ ÖØݵ ´¾º ¼µ x1[k] ∗ x2[k] = x2[k] ∗ x1[k] ¾µ ýöñ ÿ öó ´ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÔÖÓÔ ÖØݵ ´¾º ½µ {x1[k] ∗ x2[k]} ∗ x3[k] = x1[k] ∗ {x2[k] ∗ x3[k]} ¿µ ýöñ ÿ ´ ×ØÖ ÙØ Ú ÔÖÓÔ ÖØݵ x1[k] ∗ {x2[k] + x3[k]} = {x1[k] ∗ x2[k]} + {x1[k] ∗ x3[k]} ´¾º ¾µõ õ ÿó õ õ öûè õ ýú õ õ þ ý ýöñð õ x[k] ∗ δ[k] = x[k] ´¾º ¿µ x[k] ∗ δ[k − n] = x[k − n] ´¾º µðþó ýöññ õ ý ÿòõ ý ö ÿó õ õóñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ×Ø Ñ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒµ ð õ õ¾º ÿ ööÿ öö ´×Ý×Ø Ñµ ý þò õóñ ´ ÒØ Øݵ ÿ ÷ ÿ õ ó ý ÿòñ ö õ öõúñ ´ ÒÔÙØ × Ò Ðµ ðþ ñúñ ´ÓÙØÔÙØ × Ò Ðµ ý ý ýöñýõõÿñ õö ñúñ ð ðþó ÷ õúñ ÿ öö ò ÿþã ÿ ñõ ´ Ü Ø Ø ÓÒ × Ò Ðµä ñúñ ò ÿþ ã ñöõ´Ö ×ÔÓÒ× × Ò Ðµä ð õõ ò õð x(t) õúñ y(t) ñúñ ð ÿ öö ó õ ó ÷ x(t) ÷ ÷õê y(t) ð ð õÿ÷ó ¾º½¿ ý h(t) øñ ö õ ýú ´ ÑÔÙÐ× Ö ×ÔÓÒ× µ ÿ öö

¾º º ÿ öö ½ system x(t) h (t ) y (t ) ÿ÷ó ¾º½¿ øõü úö ó ð ÿ öö ´×Ý×Ø Ñµ¾º º½ ÷ÿ üó ÿ öö õ ð ÷õê ÷ÿ üó ðõðþó ÷ ÿ öö ý ÿòó òÿ ööóñ õ ó ÿ ööó ýñ õ óò õúñ ñúñ ÿ öö ÷õê óñ õ ó ÿ ööõ òÿþ ÿ ööóñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ ×Ý×Ø Ñµ õó õ ðþ õ ò õúñ ñúñ ÿ öö ÷êõ ó ýñ õ ó ÿ ööõ ò ÿþ ÿ ööóýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ ×Ý×Ø Ñµÿ öö õò õð ø ñ ö õ ÿ ööñ õúñ x1(t) ñúñ y1(t)ø ñ ö õ ÿ ööñ õúñ x2(t) ñúñ y2(t) ð õõ ÿ öö õ´Ð Ò Ö ×Ý×Ø Ñµ ÿ ööóý ýöñ ¾ ¿¿ ð ñ ÷õ½µ ýöñ ÿö ´ Ø Ú ØÝ ÔÖÓÔ ÖØݵ øñöõ ÿ ööñ õúñx1(t) + x2(t) ñúñ y1(t) + y2(t)¾µ ýöñ úõô ´ ÓÑÓ Ò ØÝ ÿ × Ð Ò ÔÖÓÔ ÖØݵ øñöõ ÿ öö ñðñ õúñ ax1(t) ñúñ ay1(t) ý aýöñó õ ý ÿ ý õ ÿþ ã ýöñ ÿ õóö ´×ÙÔ ÖÔÓ× Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØݵäø ñ ö õ ÿ ööñ õúñ a1x1(t)+a2x2(t) ñúñ a1y1(t)

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ+ a2y2(t) ý a1 a2 ñ ð ÿ ööõõ ÷êõ ÿ öö ý õ ´ÒÓÒÐ Ò Ö ×Ý× ÿ öö ð ó ýý ýöñ ÿ õóö òØ Ñµÿ ööó ý ÷ÿ ÷ þõñ ýò õð ø ñ ö õ ÿ ööñ õúñ x(t) ñúñ y(t) ð õõÿ ööó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ´Ø Ñ ÒÚ Ö ÒØ ×Ý×Ø Ñµ ÿ ÿ öö ó ´ Ü ×Ý×Ø Ñµ ÿ ööóÿö õúñóò õ ÷ T õ þ õõ x(t − T ) ñúñóò õ ÷ T õ þ õõ y(t − T ) õ õ ÿ öö ð ó ýý ýöñ ÷êõ ÷ñ ýõ ÿþ ÿ ööó ÷ÿ ÷ þõñ ý ´Ø Ñ Ú ÖÝ Ò×Ý×Ø Ñµÿ öö õó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ÿ ööóý ýöñóÿ öö õó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ´ÄÌÁ Ð Ò Ö Ø Ñ ÒÚ Ö Òص õ ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ÿ ÿþ õ ÿ öö ÄÌÁ¾º º¾ ø ñ ö õ ÿ ööò õð ÿ ööóñ õ ó õÿ÷ó ¾º½¿ ÷õê ÿ öö ÄÌÁ ý x(t) õúñ¸ ð øñöõh(t) ø ñ ö õ ýú ÿ öö¸ y(t) ñúñ õúñ ÿ öö ÿ ñúñ ý ÿòó ð ÿó õ õÿø ñ ö õ ýú õõ ∞ ´¾º µ y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ )h(t − τ )dτ −∞õó ÷ öñ ÿ öö ÄÌÁ ý ÿòó ò ôö þ ð þ ýöÿ ð þø ñ ö õ ýú ÿ ööh(t) ý ó ö ñúñ y(t) ý õúñ ÷õê ýú x(t) = δ(t)

¾º º ÿ öö ¿´ûè õ ð ÿ ð ñ µ õõ ∞ ´¾º µ y(t) = δ(t) ∗ h(t) = δ(τ )h(t − τ )dτ = h(t) −∞ðþó ÷ ûè õ h(t) ý ÷õê ÿ ð ý ÷õê ñ ó ö õþó t < 0 ñò øñ ö õ ýú ÿ ööý ó ö õþó t < 0 õõ h(t) = 0, t < 0 ´¾º µÿ÷ ð ÿ ööý ã ýöñ ñ ´ Ù× Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØݵä ý þ ý øñöõ õ ðñ ó õõ ý ðÿ öö õ÷è öõ õ þ ö õúñó ðÿö õ÷è öõ ÿ ÿö õóý ñý ¿õþö õúñ õ õ ñ úÿ õõ ÿ öö ð ó ÿ õý õúñ x[k]ÿñ ö õ öö ÿþ óý ´Ö Ð Ø Ñ µ ÿ ööõõ ñ ý ýöñÿöÿ öö ÄÌÁ ó ýñ õ ó óýø ñ ö õ ýú h[k]ð ñúñ y[k] ý ÿò ð ∞ y[k] = x[k] ∗ h[k] = x[n]h[k − n] ´¾º µ n=−∞õ ðþ õ ø ñ ö õ ýú h[k] ñúñ y[k] ý õúñ ÷õê ûè õÿ õ ÿ ð ñ x[k] = δ[k] õõ ∞ y[k] = δ[k] ∗ h[k] = δ[n]h[k − n] = h[k] ´¾º µ n=−∞õ ð ÿ öö ÄÌÁ ÷êõÿ ööó þñ ÿ ÿ ý õ ÿ öö ÄÌÁ ý ÿòóò ôö þ ð þ ýöÿ ðþ ø ñ ö õ ýú ÿ öö õ õ ñúñÿ öö ø úôó ð ÿó õ õÿ õúñ ø ñ ö õ ýúÿ öö ð õõ ðþó ÷ ÿ ÿ ÿ öö õó ÷ öñ ý ñ ýýñ õ ÿ öö ÷êõ öö ÄÌÁú ó þñ ÿó õ

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ 1 hk rk ak 1 gk bk 1 1 fk ykak k k k 01012 01 -1 -1(a) system A (b) system B ÿ÷ó ¾º½ ÿ öö ÄÌÁ ÿ ööñ þ ó ¾º ú ÿ ÿ öö ÄÌÁ ÿ öö ñ ýó ð õÿ÷ó ¾º½ ý ðö ý õúñ {a0, a1, a2, a3} {1, 0, 1, 1} ðõ ñúñ ó ÿ ööý ó õ õõ {rk} = {yk}ôó ú ÿ ÿ öö ñúñ rk ð 2 rk = ak ∗ hk = hnak−n n=0ðø úô {rk} {r0, r1, r2, r3, r4, r5} {1, 0, 0, 1, −1, −1}õó õ ðþ õ ÿöÿ öö ñúñ bk ð 1 bk = ak ∗ gk = gnak−n n=0ðø úô {bk} {b0, b1, b2, b3, b4} {1, −1, 1, 0, −1} õõ ðö ý {bk}ò ø õ ÷ õÿ öö {fk} ó ð ÷êõ ñúñ yk ð 1 yk = bk ∗ fk = fnbk−n n=0ðø úô {yk} {y0, y1, y2, y3, y4, y5} {1, 0, 0, 1, −1, −1} ð õõ {yk} = {rk}õ hk ÷õê ÿ öö öö ÄÌÁ ó ý ÿò þ ÷êõ ÿ ööþ þ ð hk = gk ∗ fkõ õ þ ó ý ÿòó ú õ ð {yk} = {rk} ðþ ÿ ýöññ õõ

¾º º ýúõôõõ rk = ak ∗ hk = ak ∗ [gk ∗ fk] = [ak ∗ gk] ∗ fk = bk ∗ fk = yk ðø úô ý õ õ¾º ýúõôýúõô ´ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµ ÷õê ÿ ý ýúõôÿ ý ýð ý ý ýúõô öõý õ þ úþ ð ò ý ý ýúõô õý ø úôó ð ýúõô ´ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµ÷êõ ¾ ÷ÿ üó ýúõô ý ´ ÖÓ×× ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµ ñýÿ þ þðð õ¾º º½ ýúõô ýò õð x(t) y(t) ÷êõ ú õ ´ Ò Ö Ý × Ò Ðµ óý ÷êõ õ õ ÿûè õ ýúõô ý Rxy(t) ÿ x(t) y(t) õþ ý ðþ ∞ x(τ + t)y∗(τ )dτ ´¾º ¼µ Rxy(t) = −∞ý y∗(τ) þ õ ´ ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ø µ y(τ ) õ ó ûè õ ýúõô ýó ´¾º ½µöÿ ööó ýñ õ ó õþ ý ðþ ∞ Rxy[k] = x[n + k)y∗[n] n=−∞ý y∗[n] þ õ y[n] ý ÿ ´¾º ¼µ ´¾º ½µ úö ûè õ ýúõô ýýÿ÷ öö þ ö ÿó õ õõ ý ñ þ õ ò ú ÿ ý ÿ´¾º ¼µ ÷ÿþö ý õ ö ÿ÷ õ õúñx(t) ÷ õÿ öö ÄÌÁ óýø ñ ö õ ýú h(t) = y∗(−t) ñúñ z(t)

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ý ÷êõ Rxy(t) õõ ÿ÷ ð ´¾º ¾µ z(t) = x(t) ∗ h(t) ∞ = x(u) h(t − u) du ∞ =y∗ (−(t−u)) ∞ = x(u)y∗(u − t)du ∞ ∞ = x(τ + t)y∗(τ )dτ ∞ = Rxy(t)ðþó ý ÿ õöÿÿóðó ðý ÿ ÷ þõñ ÷ÿ u = τ + t ð õõ Rxy(t) = x(t) ∗ y∗(−t)¾º º¾ ñ ýúõôò õð x(t) ÷õê ú õóý ÷õê õ õ ÿ ûè õ ñ ýúõô x(t) x(t)µ õþ ý ðþþõ óõð þ Rxx(t) ´õõ ýúõôÿ x(t) ´¾º ¿µ ∞ x(τ + t)x∗(τ )dτ Rxx(t) = −∞õó õ ðþ õ ý ÿòó ú õ ð Rxx(t) = x(t) ∗ x∗(−t) ´¾º µÿöûè õ ñ ýúõôó öÿ ööó ýñ õ ó õþ ý ðþ ýöñó ∞ Rxx[k] = x[n + k]x∗[n] ´¾º µ n=−∞ ûè õ ñ ýúõô ýð õ

¾º º ýúõô½µ ûè õ ñ ýúõôó t = 0 ý ó öú õ õõ õõ ÿöÿ ööóñ õ ó ð ´¾º µ ð ∞ |x(τ )|2dτ ´¾º µ Ex = Rxx(0) = −∞õ |x(τ )|2 = x(τ )x∗(τ ) ÿöÿ ööó ýñ õ ó ∞ Ex = Rxx[0] = |x[n]|2 −∞¾µ |Rxx(t)| ý ý ð ý t = 0 ó õõ õõ Rxx(0) ≥ |Rxx(t)| ´¾º µÿöó t ý ÿòú õ ð ÿ ã ý ÿ ÿ ´Ë Û ÖÞâ× Ò ÕÙ Ð Øݵä ð õ |Rxx(t)|2 = ∞ ≤ |x(t + τ )x∗(τ ) dτ |2 −∞ ∞∞ |x∗(τ )|2dτ = |Rxx(0)|2 ´¾º µ |x(t + τ )|2dτ −∞ −∞ðþó ÿ ý þ ≤ ÷õê ÿ ý þ = ñ ý x(t + τ) αx(τ) ðþó α ÷õê ñ𿵠ò ú õ x(t) ÷õê ûè õ ÿ ´Ö Ð Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒµ ûè õ ñ ýúõô ÷êõûè õ ´ Ú Ò ÙÒØ ÓÒµ õõ |Rxx(t)| = |Rxx(−t)| ´¾º ¼µñ þ ó ¾º õð ðö ý {x[n]} {x[0], x[1], x[2]} {1, 2, 1} õ ñ ýúõô x[n] õõ Rxx[k]

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñôó Rxx[k] ý ÿò ð 2 Rxx[k] = x[n + k]x[n] n=0 ðø úô {Rxx[−2], Rxx[−1], Rxx[0], Rxx[1], Rxx[2]} {1, 4, 6, 4, 1} ðþý õñ õ ÿ õ ðõó k=0 ð 2Rxx[k] = x[n + 0]x[n] = x[0]x[0] + x[1]x[1] + x[2]x[2] n=0 = (1)(1) + (2)(2) + (1)(1) = 6ó k=1 ð 2Rxx[k] = x[n + 1]x[n] = x[1]x[0] + x[2]x[1] + x[3]x[2] n=0 = (2)(1) + (1)(2) + (0)(1) = 4ó k=2 ð 2Rxx[k] = x[n + 2]x[n] = x[2]x[0] + x[3]x[1] + x[4]x[2] n=0 = (1)(1) + (0)(2) + (0)(1) = 1ó k ≥ 3 ð Rxx[k] = 0 õ x[n + k] = 0 ÿöó nÿ÷ó ¾º½ ð ñ þ ÿ õ Rxx[k] ÿö k ≥ 0 õ x[n] ÷õê ÿ ð õõ x[n] ý ó öRxx[k] ýý ñÿÿ ö õ k = 0 úÿ õõ ñ ýúõô ⎧ ⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ 6, k=0 Rxx[k] = 4, |k| = 1 |k| = 2 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ 1, else 0,

¾º º ýúõô 6 Rxx [k ] 44 2 x[n] 11 k 11 n -2 -1 0 1 2 012 ∞x[n+ k] 2 n Rxx [k] = ∑ x[n + k] x[n] 11 n n=−∞ k=0 n 2 Rxx [0] = (1)(1) + (2)(2) + (1)(1) = 6 k=1 11 Rxx [1] = (2)(1) + (1)(2) = 4 k=2 2 11 Rxx [2] = (1)(1) = 1 k>3 2 Rxx [k ≥ 3] = 0 11 n 012 ÿ÷ó ¾º½ ñ þ õñ õ ÿ õ Rxx[k] ÿö k ≥ 0ð ð õÿ÷ó ¾º½ñ þ ó ¾º õð ðö ý {xk} {x0, x1} {1, −1} {yk} {y0, y1, y2}{1, 0, −1} õ Rxx[k]¸ Ryy[k]¸ Rxy[k]¸ Ryx[k]ôó Rxx[k] ð 1 Rxx[k] = xn+kxn n=0

¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñø úôó ð {Rxx[−1], Rxx[0], Rxx[1]} {−1, 2, −1} Ryy [k] ð {−1, 0, 2, 0, −1}ø úôó ð 2 Ryy[k] = yn+kyn n=0 {Ryy[−2], Ryy[−1], Ryy[0], Ryy[1], Ryy[2]} Rxy [k] ðø úôó ð 2 Rxy[k] = xn+kyn n=0 {Rxy[−2], Rxy[−1], Rxy[0], Rxy[1]} {−1, 1, 1, −1} Ryx[k] ðø úôó ð 1 Ryx[k] = yn+kxn n=0 {Rxy[−1], Rxy[0], Rxy[1], Rxy[2]} {−1, 1, 1, −1}ñ ýúõôõÿ ó ÷õê ´ÔÓÛ Ö × Ò Ðµ õþ ý ûè õ ñ ýúõô þó´Ø Ñ Ú Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒµ ¾ þõ óõð þ Rxx(t) ð õ Rxx(t) = lim 1 T /2 ´¾º ½µ T →∞ T x(τ + t)x∗(τ )dτ −T /2ð õõ ý õð t = 0 õ ý ÿ ´¾º ½µ ð ´ÔÓÛ Öµ x(t) Rxx(0) = lim 1 T /2 ´¾º ¾µ T →∞ T |x(τ )|2dτ = Px −T /2õ õ ò x(t) ÷õê ÷êõ öóý ö ó ö T0 ûè õ ñ ýúõô þó x(t) 1 T0 /2 ´¾º ¿µ Rxx(t) = T0 x(τ + t)x∗(τ )dτ −T0 /2

¾º º ýúõô ½¾º º¿ ÷ÿ þ õ ýúõôõ ûè õ ýúõô ý ûè õ ñ ýúõô ÷êõ ÿ ý ýúõôÿ ýñ ý ÷ ÷ÿ þ õó ðÿö ÿó ý ñ ý ÷ ý ý ýúõô õ ýð õå þó ý ÿò ô õ ÿó ó õ þ ý ÷ õ õ ñ ð õ ýýñ ý ðöý {xk} {1, 3, 5, 7, 9, 11} ý ñ òð ý ÿòó ò ð ð ð ÷õê ½¿ ÷õê ñõò õ ðö ý õ ÷ ûè õ ñ ýúõô Rxx[k] ó ð ý ý ýk = 0 ð õõ ÿ÷ ð ò ý ÷ ñ ý ÷ ý ý ýúõô õý óóõþ ý ÷ õ õ ñ ð þ ò ñ ýý úÿ õõ õ ööÿ ööý÷ÿ þ õ õ õ ÿõ ÷ ÿ ÿó õ þ ´ÔÖ ØÓÖµ õ õ÷ÿ þ ññå þõÿ ÿÿ öÿ öö ´×Ý×Ø Ñ ÒØ Ø ÓÒµ ýýñ ò ýÿ öö þÿ ööõ ñ ýÿ ÿ ööõýûè õò þ õ ´ØÖ Ò× Ö ÙÒ Ø ÓÒµ þ ÿ ÷ÿ ý ûè õò þ õõ ý ÿò ð ðþ ÿ÷ õ ý õúñ xk ÷ õÿ öö ö ý ñúñ ykó ð ÿ öö ò ý ýúõôÿ xk yk ý ý õð ÿûè õ ýúõô ý ýò ñ ÷ÿ ý ûè õò þ õ ýýð õõ ûè õ ýúõô ý ûè õ ñ ýúõôý÷ÿ þ õý õ ÿ öö ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû õ õ ÿ öö¿ ó ÿ ñ ´Ø Ö Øµ¸ ÿ ´ ÕÙ Ð Þ Öµ¸ Ø ØÓÖµ ÷õê ñõ õ õ þ ÿñÿ ÆÈÅÄ ´ÒÓ × ÔÖ Ø Ú Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ þó ò ÿ ÿ ÿü ÿö õ ÿ ýúõô ´ ÓÖÖ Ð ØÓÖµ ó õÿ öö ÿð óýþ ñ õ õÿ öö ÿ÷ÿ ý ÿðð ðÿû ý ó ýðóÿö ü þ õ ÿðð ðÿû ÷õê ûè õ ÿ ð õõ ñ ñõñ ÷ õ õýõ ÿ ý þ þ õó õ ÿ ûè õ ÿú õ ñÿó ñ ñÿñò õ õó ¿ ÿþ þð ð õ õ ã ÿ÷ÿ ý ø ÿö ÿ ð ö ý ð ó ý ¾ ÿ öö ÿü ÿöä

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ¾º ÿ÷ó þöó ý ÿò õ ÷êõ þ÷ÿ üó õ óñ õ ó óýñõ ó ¸ õð ý¸ ú õ÷êõñõ ð ó ÷õê ÷ÿ üó õ óýÿ ðö þ õü þ õ ñ ð ðþó ð ó ó ö þ õ ÿðð ðÿû öõ ÿ ý ÿ ðö þÿ ðö ó ý ý ö ÿ óõ ý öñ ¼ öñ ½ õ õ õöóõþ ð ò ûè õ óõ õ õ ûè õ ýú ûè õ ÷õê ñõ ý÷ÿ þ õý ñ ÿ ÿ ÿ öö ÿ ÿ ýó ð ôö þò ô ÿ õ ¸ ÿöö» ÿ þ þ¸ ÿúö ÷êõúõ õ ÿó õ õ ÿó õ õö þý õ ÿ ÿ ÿ öö õó ý ÷ÿ ÷ þõñ ý ´ÿ öö ÄÌÁµ õ ñúñ ÿ öö ø úôó ð ÿó õ õÿ õúñ ø ñ ö õýú ÿ öö ðó þ ð ôö þò ûè õ ýúõô ý ûè õ ñ ýúõô ý÷ÿ þ õý õ ÿ öö ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû¾º ööù ðó þöó ½º ú ÿ ñ ÷õ ÷õê ÷õê ö ÿ ý ò ÷êõ ÷õê ö ö õõð þ ½º½µ x(t) = cos(0.8t) ½º¾µ x(t) = sin2(5t) ½º¿µ x(t) = 2 sin(t) cos(t) ½º µ x(t) = cos(2t) + cos(3t) ½º µ x(t) = cos(3t) − cos(5t + π/2) ½º µ x(t) = 2 cos(2t) − 3 cos(3t) + 5 cos(5t)

¾º º ööù ðó þöó ¿¾º ú ÿ ñ ÷õ ÷êõ ¸ ú õ¸ ÿ ý ó ÷ÿ üó ñ ð a>0ý õð a¸ A¸ A1¸ A2¾º½µ x(t) = A cos(ωt) ý ω = 2πf ýò ýý¾º¾µ x(t) = e|t|¾º¿µ x(t) = At2¾º µ x(t) = A1 cos(ω1t) + A2 cos(ω2t)¾º µ x(t) = Ae−at¾º µ x(t) = 1 t¾º µ x(t) = Ae−at cos(t)¾º µ x(t) = tu(t) ý u(t) ûè õ õ õ õ þ¾º µ x(t) = Ae−a|t|¿º ú õ ýöñ ûè õ ýú ñ ÷õ¿º½µ δ(at) = 1 δ(t) ýa ñð |a|¿º¾µ δ(t) = δ(−t)¿º¿µ f (t)δ(t − t0) = f (t0)δ(t − t0)º ú õ ýöñ ÿó õ õ ñ ÷õº½µ x(t) ∗ δ(t − t0) = f (t − t0) ý t0 ñð ûè õ õ õ õ þº¾µ x(t) ∗ u(t) = t x(τ )dτ ý u(t) −∞ºõ ñúñ {yk} ÿ öö ÄÌÁ ý õúñ {xk} {1, −1, 1, −1} ÿ ööýø ñ ö õ ýú {hk} ð ñ ÷õº½µ {hk} = {1, 2, 1}

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñº¾µ {hk} = {1, 3, 3, 1}º¿µ {hk} = {1, 0, −1}º µ {hk} = {1, 1, −1, −1}º ûè õ ñ ýúõô ´ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµ ñ ÷õ úÿ ýó ðÿ÷ø úô ÷ÿ ö x(t) = e−atu(t)ý a>0 ñ ð u(t) ûè õ õ õ õ þº ûè õ ñ ýúõô þó ´Ø Ñ Ú Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒµ ñ ÷õ x(t) = A sin(2πf t + φ)ý A ñ ¸ f ýò¸ φ ýý û óý ó

öóó ¿ ÿ÷õöóõ ò ÿ ý ó ñ ñÿñ ó ÿö ÿ ÷ ´× Ò Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒµ õ ð ýõ ´Ø Ñ ÓÑ Òµ ÿ ó ÷êõûè õ þ õÿ÷õ ð ýõ õ ð ð ýõ ýò ´ Ö ÕÙ Ò Ý ÓÑ Òµ¸ ð ýõ Z¸ ð ýõ D ÿ ÷ õ ð ýõ þ õÿ÷ õ ð ýõ õ þó ÿ ÿÿ öö þ õ ÿö õöóõ ôö þ ú õ ó ÷êõ ô ÿ ÷ ööñó õ ý õ ÿ ÿ ÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû ÿöÿ þ þðô ÿ÷ ñ öö ý ÿò úý ñý ð õ ó ÷ó þ ö ÿ÷ÿ ý ø ¿¿¸ ¿¿º½ ÿ ÷ û ÿþÿÿ ÷ û ÿþÿ ¿¿¸ ¿ ¸ ¿ ´ ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖѵ ÷õê ÿ ý ó ñ ñÿó õ ÿ ÷ õ ð ýõ þ õÿ÷ õ ð ýõ ýò ÿ ó ÷õê ûè õ ýò ðþó ÷ ÿþ õ ã ÷ ñÿý ´×Ô ØÖÙѵä ÷ ñÿý ý÷ÿ þ õý ÿöÿ öö ÷ ÿ õÿ öö ÿñ õ ÿ ÿ ´ ÐØ Öµ ÿ ´ ÕÙ Ð Þ Öµ÷êõñõ ÿ ÿ õ ð ýõ ýò þ ÿ ÿ õ ð ýõ

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñõõ õ ð ýõ ýòþ ö óÿ öò öõð ðó ´ Ò Û Ø µ ÿ÷ÿ ÷ ñÿý þó ýöñ õõý þ õ ñ þ õ ÿ ÿñ öö þ ý òö ýò õ ø õ ÷ ð õ ó ð ÿ ðó õ ´ ØØ ÒÙØ ÓÒµ õ òö ýò õ ÷êõñõ ÿ ÷ û ÿþÿ ð ö ý ÷êõ ö ´ Ô Ö Ó × Ò Ðµ õ ó õ ÿýû ÿþÿ ´ ÓÙÖÖ × Ö ×µ ¿¿ ö ÷õê ö½ ´Ô Ö Ó × Ò Ðµ þ ÿ ñ ý õÿ öö ÿ÷ÿ ý ø ÿðð ðÿû ÿ÷ öö óúöö þý ÷êõ ý ÷êõ ö ¾ ÷ÿ üó ý ÷õê öóñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ Ô Ö Ó × Ò Ðµ ý÷êõ öó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø Ñ Ô Ö Ó × Ò Ðµ ð õõ õöóõ ôö þ ú ÿ ÷ û ÿþÿó ö ó ööõ ó õõ õõ ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖѵ ÿ ÷ û ÿþÿó ýñ õ ó ´ × Ö Ø Ø ÑÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖѵ ýÿ þ þðð ñ ÷õ¿º¾ ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó õð x(t) ý ÷êõ öóñ õ ó ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó x(t) õþ ý ðþ ∞ x(t)e−j 2πf t dt ´¿º½µ X(f ) = −∞ý √ õ õ õñü ú f ýò ý õ þ ÷êõ ÿñ ´ÀÞ ÖØÞµ õ j = −1ó õ ðþ õ ò ñ ÿ ÷ õ ð ýõ ýò X(f) ö ÷ ÷êõ õ ð ýõ x(t) ý ÿòó ð ðþ ÿ ÿ ÷ û ÿþÿø øõóñ õ ó ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø ÑÒÚ Ö× ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖѵ õþ ý ðþ ∞ X(f )ej2πftdf ´¿º¾µ x(t) = −∞ ½ ÿ ÷ û ÿþÿ ý ÿò ö ÷õê ö ð õ õ ðþ þûè õ ð ÿ ð ñ ¿¿¸ ¿

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó ñ ÷õ ´¿º¿µ ú ð ñ ÿ ôö þ ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó X(f ) = F[x(t)] x(t) = F−1[X(f )] ´¿º µ ÿ÷ý F[·] ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó F −1[·]û ÿþÿø øõóñ õ ó õ õ x(t) ⇐⇒ X(f ) ´¿º µú ð ý ýúõô ÿ ÷ û ÿþÿ ´ ÓÙÖ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ô Öµ ÿ x(t) X(f)ý ú ÿ ý ÿ ´¿º¾µ úö x(t) ý ÿò ð þ õÿ÷ ø ö þñ õ ûè õ ´ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒµ óý ýò õ (−∞, ∞) ý ýú ð´ ÑÔÐ ØÙ µ ñ ÷ÿ ö ýò f ý õ ð ÷ÿøõñ ýûè õ X(f) ð õõ ÿ ÷û ÿþÿó ý ÿò ÷ x(t) þ õÿ÷ ÷ÿ ö õó ÿ öýñ ðó þ õ ýò ðþó X(f) ÷êõñ ö õ ð ýú ð ñ ÷ÿ öýò fõ õø ÿ ÷ û ÿþÿ X(f) ý ÿòó þõ þ õÿ÷ ûè õ õýò f ð X(f ) = |X(f )|ej∠X(f) ´¿º µý |X(f)| ÷ ñÿý ýú ð ööñ õ ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÑÔÐ ØÙ ×Ô ØÖÙѵ ∠X(f ) = tan−1 Im[X(f )] ´¿º µ Re[X(f )]÷ ñÿý û ööñ õ ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ô × ×Ô ØÖÙѵ x(t) ý Re[·]ø úô ý õó ÷õê ÿ ´Ö Ð Ô Öص Im[·] ø úô ý õó ÷êõõñü ú ´ Ñ Ò ÖÝ Ô Öص õ óñ õ ó x(t) óúö õÿ öö ÿ÷ÿ ý ø

õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ÿðð ðÿû ÷êõûè õ ÿ ´Ö Ð Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒµ ð õõ ð ý ýúõôñ ðõ X(−f ) = X∗(f ) = |X(f )|e−j∠X(f) ´¿º µ |X(−f )| = |X(f )| ´¿º µ ∠X(−f ) = −∠X(f ) ´¿º½¼µý X∗ þ õ ´ ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ø µ X ý ÿ ´¿º µ ´¿º½¼µ ð|X(f)| ÷êõûè õ ´ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒµ ∠X(f) ÷õê ûè õ ´Ó ÙÒ Ø ÓÒµ õ õûè õó ÿ ý õ ÿþ ã ÷ ñÿýû ÿþÿ ´ ÓÙÖ Ö ×Ô ØÖÙѵä x(t) ðþ ý÷êõ ÷ ñÿý ööñ õ ´ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ×Ô ØÖÙѵ ñ õ ÿýû ÿþÿóý ÷ ñÿý ööõ ´Ð Ò ×Ô ØÖÙѵñ þ ó ¿º½ ÿ ÷ û ÿþÿ ÿö ÷ ú ÿ÷ þý x(t) ó ð õÿ÷ó õ ð ýõ ýò X(f)¿º½´ µ ÷êõôó ý ÿ ´¿º½µ ð X(f ) = T /2 (1)e−j 2πf t dt −T /2 e−j2πf t T /2 = −j2πf t=−T /2 = 1 ej2πfT /2 − e−j2πfT /2 j2πf 1 = sin(πf T ) πf = T sinc(f T )ý sin(θ) = ejθ −e−jθ ûè õ sinc(θ) sin(πθ) ÿ÷ó ¿º½´ µ ð 2j πθX(f) õ ð ýõ ýò

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó X ( f ) = Tsinc( fT ) T x(t ) = Π ⎛ t ⎞ ⎜⎝ T ⎠⎟1−T T tf 22 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 TT T T T TTT (a) (b) ÿ÷ó ¿º½ ´ µ ú ÿ÷ þý x(t) ´ µ X(f ) ñ þ ó ¿º½ ò õð ú ÿ÷ þý õ ð ýõ ý ÿò þõ þ õÿ÷ý ÿó ñ ñÿ ð ´¿º½½µ t Π ⎧ − T ≤t ≤ T ⎨ 1, 2 2 T = ⎩ 0, elseð õõ ø ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þýõ X(f ) = T sinc(f T ) ´¿º½¾µúÿ õõ ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þý ý ÿò þõ ð ÷êõ Π t ⇐⇒ T sinc(f T ) ´¿º½¿µ Tð ð õÿ÷ó ¿º½ý ú ÿ ý ÿ ´¿º½¿µ ÿ÷ó ¿º½ úö ò Tý õþ ý úx(t) ñ ý X(f ) õó ö õ ò T ý ý ýú x(t) ñ ý X(f) ð õõ ý ÿòó ÿ÷ ð

¼ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ (a) x(t) 1 0.368 1 t 0 a ∠X ( f )(b) 1 X ( f ) (c) π /2 a π /4 a 1 f 2a −a ´µ − a a f −π / 4 2π 2π −π / 2ÿ÷ó ¿º¾ ´ µ ú x(t)¸ ´ µ ÷ ñÿý ýú ð X(f)¸ ÷ ñÿý û X(f ) ð ý ý ÿòó ÷õê ðó óý ð ´Ø Ñ Ð Ñ Ø × Ò Ðµóý òö ýò ð ´ Ò Ð Ñ Ø × Ò Ðµ ø õ ý ÿò ÿ þ þð úý ñý ð õ 󿺾º½ñ þ ó ¿º¾ ø ÿ ÷ û ÿþÿ ú ´ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÔÙÐ× µ x(t) ó x(t) ý ÿò þõ þ õÿ÷ ý ÿó ð õÿ÷ó ¿º¾´ µôó ÿ÷ó ¿º¾´ µ ú ñ ñÿ ð x(t) = e−atu(t)¸ a > 0

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó ½ý u(t) ûè õ õ õ õ þ ñ ýóõþ ý õ ý ÿ ´¾º½ µ ð õõ ø ÿ ÷ û ÿþÿx(t) ý ó ö X(f ) = ∞ e−at e−j 2πf t dt 0 ∞ = e−(a+j2πf)tdt 0 ∞ e−(a+j2πf )t = −(a + j2πf ) t=0 1 = a + j2πfúÿ õõ ÿ ÷ û ÿþÿ ú e−atu(t) ⇐⇒ 1 ´¿º½ µ a + j2πf õ X(f) ý ÷õê õ õ õ ð õõ ðþó ÷ ÿ û ´ Ö Ô µX(f ) ý ð þ õÿ÷ õ ð ´Ñ Ò ØÙ µ ýý û ´Ô × µ ð |X(f )| = 1 a2 + (2πf )2 ∠X(f ) = − tan−1 2πf aý ÷ ñÿý ýú ð |X(f)| ÷ ñÿý û ∠X(f) ð õÿ÷ó ¿º¾´ µ ¿º¾´ µñ ý ðö ðþó ÷ ÷ ñÿý ýú ð ò õ ý õý ÷ ñÿý û ð õõõ ÷õê ñõ ÷ õ õ ýõ ÷ ñÿý û ò õ õóý þ ñ ûè õ x(t) ð ý ÿò ø ÿ ÷ û ÿþÿ X(f) ð ñ ý ûè õ x(t) ð ö õ ðÿ ´ Ö Ð Øâ× ÓÒ Ø ÓÒ×µ óý ý ð õ ½µ ý x(t) ÷êõûè õ ðþ ´× Ò Ð Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒµ óý ð ð ðñ ð ÷õê õ õ ðüþõ ó ðð

¾ õþ ó õ þ óÿ õ ýú ñ ÿ ñ ¾µ ý x(t) ÷êõûè õóý õ õ ðóý ýñ õ ´ × ÓÒØ ÒÙ Ø ×µ ð ü þ õ ó ðð ¿µ ý x(t) ÷êõûè õó ý ÿò ÷ÿúõô ´ ÒØ Ö Ðµ ð õõ ∞ |x(t)|dt < ∞ −∞ð õõ ò ûè õ ð õ ð ýõ óý ýöñ ÷õê ÷ñ ý õ ó ý õ¾ ûè õõõ ý ÿ ÷ û ÿþÿ ý¿º¾º½ ýöñóõ õ ÿ ÷ û ÿþÿõ õõ ò ýöñóõ õ ñ ÿ ÷ û ÿþÿ ú þó ÿÿõÿ öö ÿð ó þ õ ð ñ ÷õ ½µ ýöñ ÿ õóö ´×ÙÔ ÖÔÓ× Ø ÓÒµ ÿ ýöñ õ ´Ð Ò Ö Øݵ akxk(t) ⇐⇒ akXk(f ) ´¿º½ µ ûè õ kk ýöñ õý÷ÿ þ õ ÿö ÿ ÷ û ÿþÿ ûè õ x(t) ó ÷õê ø ÿ ý x1(t)¸ x2(t)¸ . . .¸ xn(t) óóÿ ö X1(f )¸ X2(f )¸ . . .¸ Xn(f ) þ ¾µ ýöñ ÿ ó ´Ø Ñ × Ð Ò µ x(βt) ⇐⇒ 1 f ´¿º½ µ |β| X β ý β ÷êõ ñ ð ýöñ õ ÷êõ ÿþõþõ ð ý ý ÿòó ÷õê ð ó óý ð óý òö ýò ð õõ ò β > 1 ûè õ x(βt) ÿöö x(t) ö õó ð þñ ÷ÿ ö ÿ ó ö β õ ó ¾õ õ ÷õê õ óú úþ ´×Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒµ ó ý ÿò ÿ÷ x(t) ÷êõûè õóý ÿ÷û ÿþÿ X(f ) ñ ý õ ó ÷êõ ´Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒµ ý ÷

¿º¾º ÿ ÷ û ÿþÿóñ õ ó ¿X(f/β) ÷êõ ÿ þ þ X(f) õ õó ýò ð þñ ÷ÿ ö ÿó ö β õó õ ðþ õ ò 0 < β < 1 ûè õ x(βt) ÿ þþ x(t)õ õó ð þñ ÷ÿ ö ÿ ó ö β X(f/β) ÷êõ ÿööX(f) ö õó ýò ð þñ ÷ÿ ö ÿ ó ö βñ þ õ ý ÿ ´¿º½¿µ ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þý Π(t) Π(t) ⇐⇒ sinc(f )ý T = 1 ð õõ ò õð x(t) = Π(βt) ý β ñð ÿ÷û ÿþÿ x(t) Π(βt) ⇐⇒ 1 sinc f |β| βÿ÷ó ¿º¿ ð x(t) ÷ ñÿý ýú ð |X(f)| ÿö β ó ö ¼º ¸½¸ ¾ õ ð ø úô ÷êõ ÷ñ ý ýöñ ÿ ó ñ ýó ôö þ ñõ ÿö õ ÿ ó β = −1 ÷õê ÿúö ´ÿ ÿ ö µðÿ ÷ û ÿþÿ ð õ ´¿º½ µ x(−t) ⇐⇒ X(−f ) ò ø ÿ ÷ û ÿþÿ x(t) ý ÷êõ X(f) ð ø ÿ ÷ û ÿþÿx(−t) ý ÷êõ X(−f )¿µ ýöñó ü ´ Ù Ð Øݵ ò õð x(t) ⇐⇒ X(f ) ð X(t) ⇐⇒ x(f ) ´¿º½ µñþ õ ý ÿ ´¿º½¿µ ÿ ÷ û ÿþÿ ú ÿ÷ þý ý ÿò þõð ÷õê A t ⇐⇒ Asinc(2W f ) ´¿º½ µ Π 2W 2W