دروس مادة الرياضيات للفصل الاول للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫‪ – 1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﻥ‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪I‬‬ ‫ﻭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻭﺘﺤﻘﻕ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( )g′ x = f x : I‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ x‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪0 : f‬‬ ‫ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪4 : g‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x x3 + 4 x : g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ x‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪3x2 + 4: f‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x : g‬‬‫‪ x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪1 :f‬‬ ‫ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫[∞‪]0;+‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x cos x : g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ x sin x : f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (5‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x x2 + sin x : g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ x 2 x + cos x : f‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪ – 2‬ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ ) 1‬ﺘﻘﺒل ﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ( ‪:‬‬‫ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﺘﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﻌﻜﺱ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﺴﺕ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ﻤﻀﺎﺩ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪f ( x ) = 0 : x = 0‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ ) 0‬ﻷﻨﻬﺎ ﻻ ﺘﻘﺒل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪( 0‬‬ ‫ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﻘﺒل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪g ( x ) = 0 : x = 0‬‬ ‫ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﺸﺭﻁ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻟﻭﺠﻭﺩ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﺸﺭﻁ ﻜﺎﻑ ﻭ ﻏﻴﺭ ﻻﺯﻡ ‪.‬‬‫ﺃﻱ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻟﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫‪ – 3‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ gλ‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‬ ‫‪ I‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( )gλ x = g x + λ :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ g‬ﻫﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g‬ﻫﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ‪( ) ( )g′ x = f x :‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ gλ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ‪( ) ( )gλ′ x = f x‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( )gλ′ x = g′ x : I‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ gλ′ ( x) − g′( x) = 0‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪( gλ − g)′ ( x) = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ gλ − g :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺜﺎﺒﺕ ‪ λ‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫‪gλ ( x) − g( x) = λ‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪gλ ( x ) = g ( x ) + λ :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x x4 − x : g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f x = 4 x3 − 1 : f‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪( )gλ‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪gλ ( x) = x4 − x + λ :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 2‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x cos x - sin x : g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬‫‪ x - sin x - cos x : f‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ gλ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )gλ x = cos x - sin x + λ :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬‫‪ – 4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ y0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ x0‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ‪ y0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ‬ ‫‪ ، x0‬ﻤﻥ ‪ ، I‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪. x‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪ x0 . I‬ﻋﺩﺩ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ y0‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻁﻲ ‪.‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ gλ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ gλ x = g x + λ :‬ﺤﻴﺙ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪ gλ x0 = y0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g x0 + λ = y0 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( ) ( ):‬‬ ‫) ‪ λ = y0 − g ( x0‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪gλ ( x ) = g ( x ) + y0 − g ( x 0 ) :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ λ‬ﺇﺫﻥ ﺘﻭﺠﺩ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ gλ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x x2 − 4 : f‬‬‫∈ ‪( )λ‬‬ ‫‪x3‬‬‫‪ gλ‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− 4x + λ‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬‫ﻟﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 4‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x = 0‬‬

‫‪03‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪4(0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺃﻱ ‪gλ (0) = 4 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪λ = 4 :‬‬ ‫‪ gλ‬ﻭ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪( ).‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪− 4x + 4‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ – 5‬ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭ ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫‪ g‬ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ λ . I‬ﻴﺩل ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪g(x) = λ‬‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x n+1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪f ( x) = xn‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫∈‪n‬‬ ‫∗‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫∗‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫(‬ ‫‪)n-1 xn-1‬‬ ‫‪n≥ 2‬ﻭ ∈‪n‬‬ ‫∗‬ ‫‪g(x) = 2 x + λ‬‬ ‫‪f (x) = 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪g( x) = -cos x + λ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪g( x) = sin x + λ‬‬ ‫‪f ( x) = sin x‬‬ ‫‪f ( x) = cos x‬‬ ‫ﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos2‬‬‫‪ -π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫;‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g ( x) = tan x + λ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺤﻴﺙ ∈ ‪k‬‬ ‫‪f (x) =1+tan2 x‬‬

‫‪ – 6‬ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻠﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 1‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g1‬ﻭ ‪ g2‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺃﺼﻠﻴﺘﺎﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f1‬ﻭ ‪ f2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ g2 + g1‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f2 + f1‬ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ x x + cos x :‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫‪ f : x 1 − sin x‬ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 2‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ λ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ λ g‬ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. λ f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ x 2sin x :‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ x 2cos x :‬ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 3‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f ′. f n :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪n+1‬‬‫‪ x‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( )2 x x2 + 1 2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 + 1 3‬‬‫‪ x‬ﻋﻠﻰ) (‬‫‪3‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 4‬‬‫‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ f .‬ﺩﺍﻟﺔ ﻻ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬

‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪f ′‬‬ ‫‪f ′ −1‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ n − 1 f n−1 :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f n‬ﻋﻠﻰ ‪( ). I‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪x2 + 1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪2 x2 + 1 2 :‬‬‫‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 5‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f :‬ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f′‬‬ ‫ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ 2 f‬ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2 + x + 1 :‬‬‫‪x 2x +1‬‬ ‫‪2 x2 + x + 1‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪: 6‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪. I1‬‬ ‫‪ h‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ‪ I2‬ﻭ ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ‪I1‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ h‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I2‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪ h′‬ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ I2‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x g h x ‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ) (‬‫‪ x h′( x ) . f h( x )‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a cos(ax + b) : g‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪x h′( x ) . f h( x ) :‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ h( x) = ax + b :‬ﻭ ‪ h′( x) = a‬ﻭ ‪f ( x) = cos x‬‬ ‫ﻭ ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪:‬‬ ‫‪x sin(ax + b) + λ‬‬ ‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x cos ax + b :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل) (‬‫‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫(‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻊ ‪ a ≠ 0‬ﻭ ∈ ‪. λ‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x sin ax + b :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪( ):‬‬‫‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬ ‫‪−1‬‬ ‫( ‪cos‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻊ ‪ a ≠ 0‬ﻭ ∈ ‪. λ‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫ﻀﻊ ﻋﻼﻤﺔ √ ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ× ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫‪ x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪x3 − 5 x :‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪3 x2 − 5 :‬‬ ‫‪ – 3‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺈﻥ ‪ g2‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f 2‬‬ ‫‪ – 5‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g′‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. g′′‬‬ ‫‪ – 6‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ‬ ‫ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ‪. I‬‬ ‫‪ – 7‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x sin 2 x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ x cos 2 x‬ﻋﻠﻰ ‪.‬‬‫‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ – 8‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x2‬‬ ‫‪ – 9‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪.‬‬ ‫‪ – 10‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f (n) :‬ﻫﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ – 11‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ x cos x + sin x :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪. x sin x − cos x :‬‬‫‪ – 12‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺘﺎ ‪ g‬ﻭ ‪ h‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺃﺼﻠﻴﺘﺎﻥ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( ). h x − g x = λ : I‬‬‫‪ x‬ﻻﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [0;+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ – 13‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬

‫‪ – 14‬ﺘﻭﺠﺩ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﺇﺤﺩﻯ ﺩﻭﺍﻟﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ‪0‬‬ ‫‪ – 15‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x3‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x 3 x2‬‬ ‫‪ – 16‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫‪ – 17‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺘﻘﺒل ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ -18‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a;b‬ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ] [‬ ‫ﻋﻠﻰ ]‪. [a;b‬‬ ‫‪ x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫‪ – 19‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( )x2 + 1 2‬‬ ‫∈‪λ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 + 1 3 + λ‬‬ ‫‪( )، x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ x‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ – 20‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪∑ ai xi :‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪∑n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ai‬‬ ‫‪x i +1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﻌﻴﻨﺎ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ‪:‬‬‫‪1) f ( x) = 2x − 1‬‬ ‫‪2) f ( x) = x2 − 4x + 3‬‬‫‪3) f ( x) = −3x3 + 5x2 − 4 4) f ( x) = x4 − x3‬‬‫)‪5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6) f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x3‬‬

7) f ( x) = 1 8) f ( x) = 1 x x−1 9) f ( x ) = cos2 x − sin2 x 10) f ( x ) = sin 2 x cos3 x . 3 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ‫ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﻌﻴﻨﺎ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ‬f ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬( ) ( )1) f ( x) = x2 x3 + 1 2 2) f ( x) = ( x + 1) x2 + 2x −1 3 ( ) x x−1 + x2 − 2x + 4 33) f x = ( x2 1) 2 ( )4) f ( x) = 5) f ( x) = x3 6) f ( x) = x x4 + 1 x2 −17) f ( x) = 1 cos x − π  8) f ( x) = cos2x − sin3x 2  10) f ( x) = cos2x.sin2x 29) f ( x) = sin x.cos3 x 4 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬( )‫ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬g 0 = 0 ‫ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬I ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬f ‫ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬g ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ : 1) f ( x) = sim x + cos x 2) f ( x) = 1 2 2 x+1 I= I= ]-1;+∞[3) f ( x ) = ( x 1 2) 3 4) f ( x) = xn -1 ; n∈ + I= ]-∞; −2[ I=

‫)‪5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos2‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫;‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫[∞‪I= ]-1;+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪7) f ( x) = sin x.cosn x‬‬ ‫)‪8‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 2)2‬‬ ‫‪+ 2)3‬‬ ‫∈ ‪I= ، n‬‬ ‫[‪I= ]-∞; −2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )f x = sin3 x :‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ h‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪1)2‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ‪ D f‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ D f‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ∞‪] [. 1;+‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ h‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ‪x = 2‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ∞‪] [. 1;+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬

‫‪ (1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪( )g x = 3 − 2 x :‬‬‫‪ (2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )( )f x = α x2 + β x + γ 3 − 2 x :‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪ γ‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ (3‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f ( x ) = sin x + sin3 x : f‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺍﺤﺴﺏ ) ‪ f ′( x‬ﻭ ) ‪. f ′′( x‬‬‫‪ ( 2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪f ′′( x ) + α f ( x ) = β sin x :‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.‬‬‫‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ ( 4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ h‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ F .‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬‫‪ G‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪G ( x ) = F ( x ) − F ( − x ) :‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ G‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬‫‪( ). f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪+‬‬ ‫‪ C‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪( ).‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪+‬‬ ‫‪ – 2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ‪( ).‬‬

‫‪ – 3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ F‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ∞‪ 0;+‬ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻌﺩﻡ[ ]‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪ . 0‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ F‬ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. F‬‬ ‫‪ – 5‬ﻨﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ‪ +‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ H‬ﻭ ‪ K‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫)‪H ( x‬‬ ‫=‬ ‫‪F ( x) −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪K ( x‬‬ ‫=‬ ‫‪F ( x) −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ H‬ﻭ ‪ K‬ﻋﻠﻰ ‪. +‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪x ≥ 0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫≤ )‪F(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( ).‬‬ ‫‪lim F‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫‪ – 6‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ F x = π‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ‪ α‬ﻓﻲ ‪( ). +‬‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‬ ‫‪α‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y′‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪{ }. − −1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. x = 0‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻀﻊ ‪ . y = f x :‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( ). f‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( )C‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ) ‪ (C‬ﺒﻌﺩ ﺤﺴﺎﺏ ‪. f ( −2) , f (0) , f ( 2) , f (1) :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x = 2‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪:‬‬‫‪.‬‬ ‫= ‪ y′‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪x2 + 2x + 8‬‬‫‪ -‬ﺒﻭﻀﻊ ‪ . y = f x :‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( ). f‬‬‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪( ). f‬‬‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ‪f (-5) , f (-4), f (-2) , f ( 3) , f ( 2) , f (0) :‬‬‫ﺃﻋﻁﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ‪ 10−2‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ‪( ). C‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫‪. × (4‬‬ ‫‪× (3‬‬ ‫‪× (2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪. × (8‬‬ ‫‪× (7‬‬ ‫‪× (6‬‬ ‫‪√ (1‬‬ ‫‪. √ (12‬‬ ‫‪√ (11‬‬ ‫‪× (10‬‬ ‫‪√ (5‬‬ ‫‪. × (16‬‬ ‫‪√ (15‬‬ ‫‪√ (14‬‬ ‫‪√ (9‬‬ ‫‪. √ (20‬‬ ‫‪× (19‬‬ ‫‪√ (18‬‬ ‫‪× (13‬‬ ‫‪× (17‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 2‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫= ‪Df‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f x = 2 x − 1 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( ):‬‬ ‫∈ ‪g( x) = x2 − x + λ ,λ‬‬ ‫‪ f ( x ) = x2 − 4 x + 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Df = :‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫)‪g( x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫∈ ‪,λ‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪ f ( x ) = −3 x3 + 5 x2 − 4‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Df = :‬‬‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫∈‪; λ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ f x = x4 − x3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫= ‪( )Df‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫∈‪; λ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪( )Df‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= x2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪∗ :‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ −∞;0‬ﻭ ∞‪ 0;+‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ[ ] [ ]‬ ‫‪( ). g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪ g‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= ‪( )Df‬‬ ‫‪= x2 − x3‬‬ ‫‪ 6) f‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪∗ :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (6‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻨﺎﻁﻘﺘﻴﻥ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪ −∞;0‬ﺃﻭ ∞‪ 0;+‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪] [ ] [:‬‬‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫∈ ‪,λ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪f x=1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪( )Df‬‬ ‫∗‬ ‫‪ (7‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﻘﻠﻭﺏ ﺩﺍﻟﺔ ﺼﻤﺎﺀ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ‬ ‫‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫∈‪g(x) = 2 x + λ ; λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Df = ]1;+∞[ :‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪x−1‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﻘﻠﻭﺏ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﻴﻥ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫∈ ‪g(x) = 2 x −1 + λ ; λ‬‬ ‫= ‪Df‬‬ ‫‪ f ( x ) = cos2 x − sin2 x (9‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪g‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ( x ) = cos 2 x :‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫∈‪; λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪sin 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (10‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪cos3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Df = { x ∈ : cos x ≠ 0} :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫;‬ ‫∈‪k‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Df‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+ kπ‬‬ ‫;‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫∈‪k‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﻷﻨﻬﺎ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﻭﺍل ﻤﺜﻠﻴﺔ‬ ‫ﻭ ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺤﺩﻭﺩ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪g‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2sin x.cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−2.‬‬ ‫‪− sin x‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪.cos3 x‬‬ ‫‪.cos2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪[cos x]2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫×‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ λ‬ﺜﺎﺒﺕ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪( ).‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 3‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫= ‪Df‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f x = x2 x3 + 1 2 :‬ﻭ) () (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x3 + 1 2‬‬ ‫‪( )f‬‬‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x3 + 1 3 + λ‬‬ ‫‪( )g‬‬‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫∈‪λ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x3 + 1 3 + λ‬‬ ‫‪( ).‬‬ ‫‪9‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬

( )Df = ‫ ؛‬2) f ( x) = ( x + 1) x2 + 2x − 1 3 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬2 ( )f 1 3 ( x) = 2 .(2x + 2) x2 + 2x − 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 1 1 x2 + 2x − 1 4 + λ(( )gx) = 2 × 4 ; λ∈ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 1 x2 + 2x − 1 4 + λ ( ). 8 g(x) = ; λ∈ : ‫ﺃﻱ‬ Df = f (x) = x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬3 x2 + 1 2 ( )‫؛‬ ( x) 1 2x 2 x2 + 1 2 ( )f = × : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ . g(x) = 1 −1 + λ ; λ∈ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2× x2 + 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬4 x−1 f (x) = x2 − 2x + 4 3 ( )Df = ‫؛‬ ( x ) 1 2x − 2 2 x2 − 2x + 4 2 ( )f = × : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬. g(x) = 1 x2 −1 +λ ; λ∈ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2× − 2x + 4 Df = ( )‫؛‬ x3 f x= x4 + 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬5 f ( x ) = 1 × 2 4x3 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 2 x4 + 1

. g(x) = 1 × x4 + 1 + λ ; λ∈ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 4 xDf = ]−∞;−1[ ∪ ]−1;+∞[ ‫ ؛‬f ( x) = x2 − 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬6 f (x) = 2x : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 2 x2 −1 . g( x) = x2 −1 + λ ; λ ∈ : ‫ﺇﺫﻥ‬ Df = ‫؛‬ f ( x) = 1 cos  x − π  : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬7 2  : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2 g ( x ) = 1 sin  x − π  + λ ;λ∈ 2   2 Df = ‫ ؛‬f ( x) = cos 2x − sin3x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬8g ( x) = 1 sin 2x + 1 cos 3x + λ ; λ∈ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2 3 D f = ‫ ؛‬f ( x) = sin x.cos3 x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬9 g ( x ) = 1 cos4 x + λ ; λ∈ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 4 Df = ‫ ؛‬f ( x) = cos 2x.sin2x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬10 f ( x ) = 1 × 2 sin 2 x .cos 2 x : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 2 f ( x ) = 1 sin 4 x : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 2

‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos 4x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫∈‪; λ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 4‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫؛‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪−2 cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬‫‪ g (0) = 0‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ −2 + 0 + λ = 0 :‬ﺃﻱ‪λ = 2 :‬‬‫‪.‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪−2 cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫؛ [∞‪I= ]-1;+‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪f (x) = 2× 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪g ( x ) = 2 x + 1 + λ :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ g ( 0) = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ 2 + λ = 0 :‬ﺃﻱ ‪λ = −2 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. g ( x ) = 2 x + 1 − 2 :‬‬ ‫[‪I= ]-∞; −2‬‬ ‫؛‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬

g( x) = 2( −1 + λ : ‫ﺇﺫﻥ‬ x + 2)2λ = 1 :‫ﺃﻱ‬ − 1 + λ = 0 :‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ g (0) = 0 : ‫ﻟﻜﻥ‬ 8 8 −1 1 . g( x) = 2( + 8 : ‫ﺇﺫﻥ‬ x + 2)2 I= ‫ ؛‬f ( x ) = xn − 1 ; n ∈ : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬4 g( x) = x n+1 − x + λ : ‫ﺇﺫﻥ‬ n+1λ = 0 : ‫ﺃﻱ‬ 0 − 0 + λ = 0 : ‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬g (0) = 0 : ‫ﻟﻜﻥ‬ . g(x) = x n+1 x : ‫ﺇﺫﻥ‬ n+1− : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬5 : ‫ﺇﺫﻥ‬ I=  − π ; π2  ‫؛‬ f ( x) = 1 x   cos2 2 g ( x) = tan x + λλ = 0 :‫ ﺃﻱ‬tan0 + λ = 0 :‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬g (0) = 0 : ‫ﻟﻜﻥ‬ . g ( x ) = tan x : ‫ﺇﺫﻥ‬I=]-1 ; +∞[ ‫؛‬ 6) f ( x) = x + 1 − ( x 1 1)2 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬6 + g(x) = x2 +x+ 1 +λ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2 x+1λ = −1 :‫ ﺃﻱ‬1 + λ = 0 :‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬g (0) = 0 : ‫ﻟﻜﻥ‬ . g(x) = x2 + x 1 −1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2 x+1

I= f ( x ) = sin x .cosn x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬7 f ( x) = −1× ( − sin x)(cos x)n : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ g( x) = −1 cosn+1 x + λ : ‫ﺇﺫﻥ‬ n+1 −1 −1λ = n+1 :‫ﺃﻱ‬ n+1 + λ = 0 :‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ g (0) = 0 :‫ﻟﻜﻥ‬ g( x) = −1 cos n+1 x + n 1 1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ n+1 + 1 1I= ]-∞ ; − 2[ ‫؛‬ f ( x) = ( x + ( x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬8 + 2)2 + 2)3 g( x) = −1 − 1 2)2 + λ : ‫ﺇﺫﻥ‬ x+2 2( x +λ = 5 :‫ﺃﻱ‬ −1 − 1 + λ = 0 :‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ g (0) = 0 :‫ﻟﻜﻥ‬ 8 2 8 −1 1 5 . g(x) = n+2 − 2)2 + 8 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2(n + . 5 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : f ‫ – ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬1 ( )sin3 x = sin x .sin2 x = sin x 1 − cos2 x : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ f ( x ) = sin x − sin x.cos2 x : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ g ( x) = − cos x + 1 cos3 x + λ : ‫ﺇﺫﻥ‬ 3

h( x ) = − cos x + 1 cos3 x + λ : ‫ ﺤﻴﺙ‬h ‫ – ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬2 3 2 1 λ = 3 :‫ﺃﻱ‬ −1 + 3 + λ = 0 :‫ﻭﻤﻨﻪ‬ h(0) = 2 : ‫ﻤﻊ‬ . h( x ) = − cos x + 1 cos3 x + 2 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 3 3 . 6 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ Df = { }− 1 : ‫ – ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬1 : a, b,c ‫ – ﺘﻌﻴﻴﻥ‬2f ( x ) = ( ax + b)( x2 − 2x + 1) + c ( x − 1)2 = ax 3 − 2ax 2 + ax + bx2 − 2bx + b + c ( x − 1)2 ax3 + ( −2a + b) x2 + (a + 2b) x + b + c = ( x − 1)2  a=1 : ‫ﺃﻱ‬  a=1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ b = +2 −2a + b = 0 c = −2 a − 2b = −3  b + c = 0 f ( x) = x + 2 − ( x 2 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ − 1)2 : g ‫ – ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬3

‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 1)2‬‬ ‫∈‪. λ‬‬ ‫؛‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ h‬ﺤﻴﺙ ‪( )h 2 = 0 :‬‬ ‫)‪h( x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ h( 2) = 2 + 4 + 2 + λ :‬ﺃﻱ ‪h( 2) = λ + 8 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ λ + 8 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪λ = −8 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪h( x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 7‬‬ ‫‪Df‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪: g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬‫∞‪ lim g ( x) = lim 3 − 2x = +‬؛ ‪lim g ( x) = 0‬‬ ‫<‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→‬ ‫‪g′( x) = 2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪3− 2x‬‬ ‫;∞‪( )−‬‬‫‪3‬‬‫‪‬‬ ‫‪g′‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪< 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪g‬‬

x −∞ 3 2g′( x) -g( x) +∞ 0 : α , β ,γ : ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ‬-2 ( ) ( ): ‫ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬f ′ x = g x : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬g ‫ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ff ′( x) = (2α x + β ) ( )3-2x + α x2 + β x + γ × -2 2 3-2 x( )= (2α x + β ) 3-2x - α x2 + β x + γ 3-2 x 3-2 xf ′( x) = (2α x + β )(3-2x) ( )3-2x - α x2 + β x + γ 3-2 x 3− 2x 3-2 x 3-2 x( )= 6α x-4α x2 + 3β -2β x-α x2 -β x-γ= 3-2 x × -5α x2 + ( 6α -3β ) x + 3β -γ  3-2 x : ‫ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬g ‫ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬f ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ -5α x2 + (6α -3β ) x + 3β -γ =1 3− 2x -5α x2 + (6α -3β ) x + 3β -γ = 3 − 2x : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬

α =0  −5α = 0 6α − 3β = −2 β = 2 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬  3β − γ = 3 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 3γ = −1 f ( x ) =  2 x − 1  3 − 2 x : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬  3  : g ‫ – ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺒﻴﺎﻥ‬3 y 3 2 1-3 -2 -1 0 1 2x . 8 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : f ′′( x ) ‫ ﻭ‬f ′( x ) ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬1 f ′( x ) = cos x + 3cos x sin2 x : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ( )f ′( x) = cos x 3 + sin2 x : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬( )f ′′( x) = -sin x 3 + sin2 x + cos x (2cos x sin x) f ′′( x ) = sin x −3 − sin2 x + 2cos2 x f ′′( x ) + α f ( x ) = β sin x : β ‫ ﻭ‬α ‫( ﻨﺒﻴﻥ ﻭﺠﻭﺩ‬2

-3sin x-sin3 x + 2sin xcos2 x + α sin x + α sin3 x = β sin x ( )(α -3)sin x-sin3 x + 2sin x 1-sin2 x ×α sin3 x = β sin x(α -3)sin x-sin3 x + 2sin x-2sin3 x + α sin3 x-β sin x = 0(α − β − 1)sin x + (α − 3) 2sin3 x = 0 α = 3  α−3=0 β = 2 : ‫ ﺃﻱ‬α − β − 1 = 0 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ f ′′( x) + 3 f ( x) = 2sin x : ‫ﺇﺫﻥ‬ : f ‫ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬g ‫( ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬3 ( )f 1 ( x) = 3 − f ′′( x) + 2sin x : ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ‬( )g 1( x ) = 3 − f ′( x) − 2cos x +λ , λ∈ : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬( ( ) )g 1 ( x ) = 3 cos x. 3 + sin2 x − 2cos x +λ : ‫ﺇﺫﻥ‬ ( )g 1 ( x ) = 3 cos x + cos x.sin2 x +λ : ‫ﺃﻱ‬ h π  = 1 : ‫ﺤﻴﺙ‬ h ‫ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ (4  2 ( )h( 1 x ) = 3 cos x + cos x sin2 x +λ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ h π  = 1  cos π + cos π sin2 π  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  3   2 2 2 2 h π  = λ : ‫ﺇﺫﻥ‬  2

‫‪( )h‬‬ ‫‪1‬‬‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos x + cos x sin2 x‬‬ ‫‪+λ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪λ = 1 :‬‬ ‫(‪( )h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 + sin2 x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 9‬‬ ‫ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ G‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪G ( x) = F ( x) − F ( − x) :‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ F :‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( ) ( )F ′ x = f x :‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻓﺈﻥ ‪( ) ( )f − x = f x :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪G′( x) = F′( x) − (−1) F′(− x) :‬‬ ‫)‪G′( x) = F′( x) + F′(−x‬‬ ‫)‪G′( x) = f ( x) + f (−x‬‬ ‫‪G′( x) = f ( x) − f ( x) = 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ G x = λ :‬ﺤﻴﺙ ‪ λ :‬ﻋﺩﺩ ﺜﺎﺒﺕ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 10‬‬ ‫‪ – 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪: +‬‬‫‪( ) ( )lim f‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫>‬ ‫‪x2‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪ lim f‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = 1 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‪2x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫()‪x + 1) − (2x + 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪( )x2 + x + 1 2‬‬

‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪2x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪+ 2x − 2x3 − 2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 + x + 1 2‬‬ ‫‪( )f‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 − 1‬‬ ‫‪x2 + x + 1 2‬‬ ‫= )‪( )f ′( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪ 1;+‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪[ ] [ [0;1‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫∞‪1 +‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11‬‬‫‪f (x) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ‪( ):‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ lim f x = 1 :‬ﻓﺈﻥ ‪ y = 1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ‪( ).‬‬ ‫∞‪x +‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ F‬ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ +‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﺘﻘﺒل‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ F‬ﻭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0‬ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: F‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪F ′( x ) = f ( x ) :‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪F′( x) > 0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪≤1‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ F‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [. 0;+‬‬ ‫‪ -5‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ‪: H‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻜﻥ‬ ‫= )‪H′(x‬‬ ‫‪F′(x) −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x) −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ H ′ x ≥ 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ H‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪( ). +‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ‪: k‬‬ ‫‪ K′(x) = F′(x) −1= f (x) −1‬؛ ‪f (x) ≤1‬‬ ‫‪ K ′ x ≤ 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ K‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪( )+‬‬ ‫‪( )2‬‬‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪F‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ‪≤ x :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ( x ) ≤ 1 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫≥‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪F‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫≤‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪F ( x ) ≤ x :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ‪:‬‬‫‪( )lim F‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ lim‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪= +∞ :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫∞‪x +‬‬ ‫‪3‬‬‫∞‪x +‬‬ ‫∞‪x +‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ F x = π‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ‪ α‬ﻓﻲ ‪( ): +‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ +‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪π ∈ +‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( )f α = π‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‬ ‫‪α‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬ ‫‪2‬‬‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪‬‬ ‫≤‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪‬‬ ‫≤‬ ‫‪3π‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‬ ‫‪F‬‬ ‫‪(π‬‬ ‫)‬ ‫≤‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪(π‬‬ ‫)‬ ‫‪≤π‬‬ ‫≤‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪‬‬ ‫≤‬ ‫‪3π‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩﺍﺕ‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ‬ ‫ﺤﺴﺏ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪≤α‬‬ ‫≤‬ ‫‪3π‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ − −1‬ﻫﻭ ‪{ }:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫∈‪; λ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺤل ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( ): f 0 = 0‬‬ ‫‪f (0) = 0‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 0 = −1 + λ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪λ = 1 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫[∞‪Df = ]−∞;−1[ ∪ ]−1;+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪+1‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪+1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = −‬‬ ‫‪،‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = +‬‬ ‫‪x>−1‬‬ ‫‪x<−1‬‬ ‫‪x > −1‬‬ ‫‪x < −1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ D f‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )f ′ x > 0 :‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ −1;+∞ :‬ﻭ ‪] [ ] [−∞;−1‬‬‫‪x −∞ −1‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻓﺭﻭﻉ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x = −1 :‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫)‪x( x + 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪( )+‬‬ ‫ﻭﺁﺨﺭ ﻋﻨﺩ ∞‪. −‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪-2‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫؛‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫؛‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪( ): C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪. f (0) = 0‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 12‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪: f‬‬‫= ‪y′‬‬ ‫‪2x + 2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫= ‪y′‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 + 2x + 8‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x2 + 2 x + 8 :‬‬ ‫)‪y′ = g′( x‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫)‪2 g(x‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ y = g ( x ) + c = x2 + 2 x + 8 + c :‬؛ ∈ ‪c‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f ( x ) = x2 + 2 x + 8 + c :‬؛ ∈ ‪c‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ f ( 2) = 1 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪( 2)2 + 2( 2) + 8 + c = 1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ 4 + c = 1 :‬ﺃﻱ ‪c = −3 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪f ( x ) = x2 + 2 x + 8 − 3 :‬‬

‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪: f‬‬ ‫[∞‪Df = ]−∞;+‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = +‬‬ ‫‪،‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = +‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪f ′(x) = x +1‬‬ ‫‪x2 + 2x + 8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ‪:‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫∞‪−∞ 1- +‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [−1;+‬‬ ‫ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪] ]. −∞;−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ -‬ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪- 1 +‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f (−1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ f (−1) = 7 − 3‬؛ ‪f (−1) −0,35‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻋﺎﻥ‬ ‫ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬‫‪( )lim f x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬‫∞‪xx→+‬‬

= lim x 1+ 2 + 8 − 3 x x x2 x x→+∞ = lim 1+ 2 + 8 − 3 =1 x→+∞ x x2 xlim  f ( x) − x  = lim x2 + 2x + 8 − 3 − xx→+∞ x→+∞  x2 + 2x + 8 − ( x + 3)   x2 + 2x + 8 + ( x + 3)  = lim     x→+∞  x2 + 2x + 8 + x + 3  = lim ( x2 + 2x + 8) − ( x + 3) x→+∞ x2 + 2 x + 8 + x + 3 = lim x2 + 2x + 8 − x2 − 6x − 9 x→+∞  2 8 3 x  1+ x x2 +1+ + x    x −4 − 1 x  = lim = −2 x→+∞  2 8 3 x  1+ x x2 +1+ + x    . +∞ ‫ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ‬y = x − 2 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ x 2  1 + 2 + 8   x x2  ( )lim f x = lim − 2 x x→−∞ x x→−∞ x

− x  1 + 2 + 8  3  x x2  x = lim − x→−∞ x = lim − 1+ 2 + 8 − 3 = −1 x→−∞ x x2 xlim  f ( x) + x  = lim x2 + 2x + 8 − 3 + xx→−∞ x→−∞  x2 + 2x + 8-( x + 3)  x2 + 2x + 8 + ( - x + 3)   = lim     x→−∞  x2 + 2x + 8 + ( - x + 3)    ( )x2 + 2x + 8 − (− x + 3)2 = lim x→−∞ x2 + 2 x + 8 − x + 3 = lim x2 + 2x + 8 − x2 + 6x − 9 x→−∞ x2 + 2 x + 8 − x + 3 = lim 8x −1 x→−∞ x2 + 2 x + 8 − x + 3 x  8 − 1   x  = lim = −4 x→−∞ x − 1+ x x2 1+ x  + −  . −∞ ‫ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ‬y = − x − 4 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ f (0) −0,17 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ : ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‬ f (0) = 8 − 3 f (2) = 16 − 3 = 1

f (3) 1,80 , f (3) = 23 − 3f (−2) −0,17 , f (−2) = 8 − 3 f (−4) = 1f (−5) 1,80 , f (−5) = 23 − 3 ( ): C ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ‬ y 3 2 1-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x -1 -2 -3 -4

‫‪ - 4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺍﻟﻨﻴﺒﺭﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺒﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‪.‬‬‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺎﻥ ‪ C f‬ﻭ ' ‪ C f‬ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠـﻤﻴﻥ) ( ) (‬ ‫ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪33‬‬‫)’‪2,5 (Cf‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2 (Cf‬‬‫‪1,5‬‬ ‫‪1,5‬‬‫‪11‬‬‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬‫‪-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 x‬‬ ‫‪-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 x‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ' ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ )‪ f (0‬ﻭ )‪. f '(0‬‬ ‫‪ -3‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ‪ f‬ﻭ ' ‪ f‬ﺜﻡ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻋﻴﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ' ‪. f‬‬ ‫‪ -5‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﺨﻤﻴﻨﻙ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ' ‪. f‬‬ ‫‪ -6‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ' ‪ f = f‬ﺍﺤﺴﺏ ''' ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -(1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ f‬ﻭ ' ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f ' (0) = 1 ، f (0) = 1 -(2‬‬ ‫‪ -(3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ‪ f‬ﻭ ' ‪: f‬‬‫ﺇﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻥ ‪ C f‬ﻭ ' ‪ C f‬ﻴﻘﻌﺎﻥ ﻓﻭﻕ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ) ( ) (‬ ‫‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫‪ f ' x > 0‬ﻭ ‪ f x > 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻭ ' ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ) ( ) (‬ ‫‪ -(4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−∞ +‬‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f ′′( x‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ -(5‬ﺍﻟﻤﺨﻤﻨﺔ ﺤﻭل ‪ f‬ﻭ ' ‪: f‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪. f (0) = f ′(0) = 1 :‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim f ( x) = 0‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = lim f ( x) = +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻭ ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪( ) ( )f ′ x = f x :‬‬ ‫‪ -(6‬ﺇﺫﺍ ﻓﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ‪ f = f ′‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪f ′′ = f ′ = f‬‬ ‫‪f ′′′ = f ′′ = f‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. f ′′′ = f :‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ ) : 1‬ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ ( ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪ y′ = y‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﻴﺤﻘﻕ ‪( )f 0 = 1‬‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪exp‬‬ ‫‪ – 2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ exp‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫* ‪ exp‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻫﻲ ‪. exp :‬‬ ‫* ‪exp(0) = 1‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪g ( x) = exp( x) .exp( − x ) :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ g‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬‫‪g′( x) = exp( x) . exp(−x) - exp( x) . exp(−x) = 0‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ exp(0) = 1‬ﻓﺈﻥ ‪g ( x ) = 1 :‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪exp( x) .exp( − x) = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ exp :‬ﻻ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﺃﺒﺩﺍ ‪.‬‬‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺎﻟﺨﻠﻑ ‪:‬‬‫ﻨﻔﺭﺽ ﻭﺠﻭﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ exp x0 ≤ 0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪( )0 ; x0 ‬‬‫ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ .  x0 ; 0‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻬﻲ ﺇﺫﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‪.‬‬‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ( )exp x0 < 0 :‬ﻭ ‪exp(0) > 0‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ exp x = 0‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻭ ﻫﺫﺍ) (‬ ‫ﻴﻨﺎﻗﺽ ﺍﻟﻔﺭﺽ ﻷﻥ ‪ exp‬ﻻ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪( )exp x0 < 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ exp x > 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( ). x‬‬‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪ -4‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪: 3‬‬ ‫‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪ y′ = ay‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ fk‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ fk x = k.exp ax‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪( ) ( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ fk‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺤﻴﺙ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ fk′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ) ‪fk′ ( x) = ka.exp(a x‬‬‫ﻷﻥ ‪ fk‬ﻫﻲ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺩﺩ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪fk′ ( x) = afk ( x) :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ fk‬ﺤل ﻋﻠﻰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪y′ = ay‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﻭﺠﻭﺩ ﺤل ﺁﺨﺭ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪( ) ( )g′ x = a.g x :‬‬‫= )‪u(x‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻋﻠﻰ‬ ‫) ‪exp ( ax‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫( ‪u′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‪g′‬‬ ‫( ‪x)exp(ax) − a.exp(ax).g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪exp ( ax )  2‬‬‫= )‪u′( x‬‬ ‫)‪g′( x) − ag ( x‬‬ ‫=‬ ‫)‪g′( x) − g′( x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫) ‪exp ( ax‬‬ ‫) ‪exp ( ax‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪u′( x ) = 0 :‬‬

‫‪ u x = k :‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪( ):‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪ .‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ‬ ‫)‪g( x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪exp ( ax‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪g ( x) = k.exp(ax) :‬‬ ‫‪ -5‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 4‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪exp(a + b) = exp(a ) × exp(b) : b‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫)‪ g ( x ) = exp( x + b‬ﺤﻴﺙ ‪ b‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ g′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬‫)‪ g′( x ) = exp( x + b‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ g′ x = g x‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﺤل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪y′ = y‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪g ( x ) = k.exp( x ) : 3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪exp( x + b) = k.exp( x) :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪exp(b) = k.exp(0) : x = 0‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ exp(0) = 1 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪k = exp(b) :‬‬‫ﻭ ﺒﻭﻀﻊ ‪ x = a :‬ﻨﺠﺩ ‪exp(a + b) = exp(a) exp(b) :‬‬ ‫‪ –6‬ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ x .‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫‪exp‬‬ ‫(‬ ‫)‪−a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‬ ‫‪(1‬‬ ‫( ‪exp‬‬

: ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬( )exp(0) = exp a + ( −a) ( )‫ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬exp 0 = 1 ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬( ( )): (1) ‫ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬exp a + −a = 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ exp(a)exp(−a) = 1 exp ( −a ) = 1 : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ exp ( a ) exp ( a − b) = exp ( a ) (2 exp ( b )exp(a − b) = exp(a + (−b)) = exp(a) exp(−b) :‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬= exp ( a ) 1 ) exp ( b exp ( a − b) = exp ( a ) : ‫ﺇﺫﻥ‬ exp ( b ) exp(nx) = (exp( x))n (3( )exp(0.x ) = ( )exp 0 0 : n = 0 ‫ﻓﻤﺜﻼ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ( )exp 0 = 1 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺤﻘﻘﺔ ﻷﻥ‬ . ‫ ﻭ ﻫﻲ ﻤﺤﻘﻘﺔ‬exp(1.x ) = exp( x )1 : n = 1 : ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل‬( ) ( )4 ‫ ﻭ ﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬exp 2.x = exp x 2 : n = 2 : ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ .( ) ( )exp n.x = exp x n : ‫ ﻓﺈﻥ‬n ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻨﻘﺒل ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬

‫‪ -7‬ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 5‬‬‫ﻨﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ e‬ﺃﻱ ‪ exp 1 = e :‬ﻭ ﻴﺴﻤﻰ ‪ e‬ﺍﻟﻌﺩﺩ) (‬ ‫ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻗﻴﻤﺔ ‪e = 2, 718281828... : e‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪( )exp x = e x : x‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪( ) ( )exp nx = exp x n :‬‬ ‫‪ -‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x = 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪exp( n) = exp(1)n :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪exp( n) = en :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﺴﺎﻟﺏ ‪x‬‬ ‫= )‪exp( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪e- x‬‬ ‫)‪exp(− x‬‬‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻨﺎﻁﻕ ‪ : x‬ﻨﻀﻊ ‪ x = pa‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻤﻊ ‪ q‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪exp(qa) = exp(a)q‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ qa = 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪exp(a )q = exp(1) = e :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪exp(a ) = e q :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬‫= )‪exp( x‬‬ ‫= )‪exp( pa‬‬ ‫‪exp(a) p‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪p‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ exp( x ) = e q = e x :‬ﺇﺫﻥ ‪exp( x ) = e x :‬‬

‫‪ -‬ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ‬ ‫‪ -‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪exp( x ) = e x :‬‬‫‪ -8‬ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺭﻤﺯ ‪: e x‬‬‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x e x‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﻫﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬‫ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻫﻲ ‪ . x e x :‬ﺤﻴﺙ ‪. e0 = 1 :‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. e x > 0 : x‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪e−a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫•‬ ‫• ‪ea+b = ea ⋅ eb‬‬ ‫‪ea‬‬‫• ‪ ena = ea n‬؛ ∈ ‪( )n‬‬ ‫‪ea−b‬‬ ‫=‬ ‫‪ea‬‬ ‫•‬ ‫‪eb‬‬ ‫‪ -9‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫∞‪lim e x = +‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( ). f x = e x − x :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺘﻘﺒﻼﻥ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺤﻴﺙ ‪( )f ' x = e x − 1 :‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x e x‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻷﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﺎﻥ ‪f '( x ) ≥ 0 :‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ e x ≥ 1‬ﺃﻱ ‪ e x ≥ e0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x ≥ 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫∞‪ 0, +‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪] ] [ [−∞,0‬‬

‫∞‪x −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪( )f x ≥ 1 : x‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ f x ≥ 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ e x − x ≥ 0‬ﺇﺫﻥ ‪( )e x ≥ x :‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ lim x = +∞ :‬ﻓﺈﻥ ‪lim e x = 0 :‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻭ ﺫﻟﻙ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺩﻨﻰ ‪.‬‬ ‫‪lim e x = 0‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﺒﻭﻀﻊ ‪− x = z :‬‬ ‫‪lim e x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e− x‬‬ ‫‪ez‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪z→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪(c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ e x ≥ x : x‬ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≥‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x≥0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ex x‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫≥‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪x ≥4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪lim e x‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬‫∞‪xx→+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪lim xe x = 0‬‬ ‫‪(d‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫‪lim xe x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪e− x‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪ez‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪z→+‬‬ ‫‪−x z‬‬ ‫ﻭ ﺫﻟﻙ ﺒﻭﻀﻊ ‪z = − x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪(e‬‬ ‫‪x→0‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪e x : f‬‬ ‫‪(1) ... f‬‬ ‫)‪′(0‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪e x -e0‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪e x -1‬‬ ‫‪x-0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬‫ﻭ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )f ′ x = e x :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪( 2) ... f ′(0) = e0 = 1 :‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭ )‪( 2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x→0‬‬

‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪f : x e x :‬‬‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪f ( x) +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A 0;1‬ﻫﻲ ‪( ):‬‬ ‫)‪ y = f ′(0) .( x − 0) + f (0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪y = x + 1 :‬‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ B ( 0;1‬ﻫﻲ ‪ y = f ′(1) .( x − 1) + f (1) :‬ﻭ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪y = e ( x − 1) + e :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = ex :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪2,5 (Cf‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 x‬‬