Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2014 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Pak Anang
SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA Program IPA Per Indikator Kisi-Kisi UN 2014 By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) SKL 1. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah. 1. 1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Implikasi Kesetaraan Implikasi ������ ⇒ ������ ≡ ~������ ∨ ������ ≡ ~������ ⇒ ~������ Penarikan Kesimpulan Modus Ponens & Tollens Silogisme “implikasi” + “pernyataan” = “pernyataan” “implikasi” + “implikasi” = “implikasi” Coret pernyataan yang sama Selesai Keterangan: Warning!! Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsep kesetaraan implikasi. Modus Ponens dan Modus Tollens Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis kedua berisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal. Contoh: : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 1 : Bona keluar rumah. Premis 2 : Hari ini tidak hujan deras. Kesimpulan Silogisme Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain. Contoh: : Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung. Premis 1 : Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah. Premis 2 : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah. Kesimpulan = Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah. = Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1
1. 2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor. Ingkaran Pernyataan Majemuk Pernyataan Berkuantor “Dan, Atau” “Jika Maka” “Semua, Ada” Ubah operator dan pernyataan “dan tidak” Ubah kuantor dan pernyataan Selesai Keterangan: “Dan, Atau” Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator dan ingkarkan semua pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari Saya makan mie dan dia membeli baju adalah: Saya tidak makan mie atau dia tidak membeli baju “Jika Maka” Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah “dan tidak”. Contoh: maka ayah memberi hadiah Ingkaran dari Jika saya lulus ujian adalah: Saya lulus ujian dan ayah tidak memberi hadiah “Semua, Ada” Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan ingkarkan pernyataannya. Contoh: Semua siswa ikut upacara bendera pada hari Senin. Ingkaran dari adalah: Ada siswa tidak ikut upacara bendera pada hari Senin Halaman 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah .... Modus tollens : A. Hari ini hujan deras ℎ������������������������ ⇒ ∼ ������������������������������������ B. Hari ini hujan tidak deras ������������������������������������ C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah ∴ ∼ ℎ������������������������ D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah Jadi kesimpulannya hari ini tidak E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah hujan deras. 2. Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat ” adalah .... ∼ [(∀������������������������������������������, ������������������������������) ⇒ (∀������������������������������, ������������������������������������������)] ≡ (∀������������������������������������������, ������������������������������) ∧ (∃������������������������������, ∼ ������������������������������������������) A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat. B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi. C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi. D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat. E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi. 3. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit. Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam. Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah .... Silogisme : A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan. ℎ������������������������ ⇒ ������������������������������ B. Jika Tio kehujanan maka ia demam. ������������������������������ ⇒ ������������������������������ C. Tio kehujanan dan ia sakit. ∴ ℎ������������������������ ⇒ ������������������������������ D. Tio kehujanan dan ia demam. E. Tio demam karena kehujanan. Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan, maka ia demam. 4. Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah .... A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet. B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet. C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet. D. Ada mahasiswa berdemonstrasi. E. Lalu lintas tidak macet. ∼ [(∀������������ℎ������������������������������������, ������������������������) ⇒ ������������������������������] ≡ (∀������������ℎ������������������������������������, ������������������������) ∧ ∼ ������������������������������ 5. Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.” Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.” Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah .... Silogisme : A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. ������������������������������ ⇒ ������������������������������������������ B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. ������������������������������������������ ⇒ ������������������������������������������ ∴ ������������������������������ ⇒ ������������������������������������������ C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang. Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang. ujian maka saya pergi ke Lembang. E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian. 6. Negasi dari pernyataan: “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan”, adalah ... ∼ [(∀������������������������������, ������������������������������������ℎ������) ⇒ ������������������������������������������] ≡ (∀������������������������������, ������������������������������������ℎ������) ∧ ∼ ������������������������������������������ A. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan. B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan. C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan. D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan. E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 3
SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah. 2. 1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma. Syarat: ������ ∈ ������ Pangkat ������ ∈ ℤ + Definisi Sifat ������������ = ⏟������ × ������ × … × ������ “Bilangan Pokok Sama” “Kurung” ������ ������������������������������������ (������������)������ = ������������×������ untuk ������ ≠ 0, berlaku: ������������ × ������������ = ������������+������ ������0 = 1 1 ������������ ������������−������ (������ × ������)������ = ������������ × ������������ ������������ ������������ (������������)������ ������−������ = = ; ������ ≠ 0 = ������������ ; ������ ≠ 0 ������������ Pangkat Pecahan Syarat: ������, ������ ∈ ℝ Bentuk Akar ������ ∈ ℤ + Definisi Sifat “Invers Pangkat” “Bentuk Akar Sama” “Kurung” ������ = ������������ ⇔ ���√��� ������ = ������ ���������√��� ������ + ������ ���√��� ������ = (������ + ������)���√��� ������ ���√��� ���√��� ������ = ������×���√��� ������ \"Pangkat Pecahan\" ���������√��� ������ − ������ ���√��� ������ = (������ − ������)���√��� ������ ���√��� ������ = ���������1��� ���√��� ������������ = ���√��� ������ × ���√��� ������ ���√��� ������������ = ���√��� ������ ; ������ ≠ 0 ���√��� ������ Haram menjadi penyebut pecahan \"Bentuk Akar Beda\" Rasionalisasi Untuk ������ > ������, berlaku: √������ + √������ = √(������ + ������) + 2√������������ “kalikan sekawan penyebut” √������ − √������ = √(������ + ������) − 2√������������ ������ = ������ × √������ √������ √������ √������ ������ = ������ × √������−√������ √������+√������ √������+√������ √������−√������ Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Logaritma Syarat: ������, ������ > 0 ������ ≠ 1 Definisi Sifat ������������ = ������ ⇔ ������ log ������ = ������ \"Penjumlahan Pengurangan\" \"Perbandingan\" Sehingga diperoleh: ������ log(������������) = ������ log ������ + ������ log ������ ������ log ������ = ������ log ������ = ������ 1 ������0 = 1 ⇔ ������ log 1 = 0 ������ log (������������) = ������ log ������ − ������ log ������ ������ log ������ log ������ ������1 = ������ ⇔ ������ log ������ = 1 ������ log ������������ = ������ ⋅ ������ log ������ ������������ = ������������ ⇔ ������ log ������������ = ������ ������ log ������ = ������ log ������ ⋅ ������ log ������ ������ ������������ log ������������ = ������ ⋅ ������ log ������ ������ log ������ = ������ log ������ ⇔ ������������ log ������ = ������ Tipe soal yang sering keluar Pangkat Menyederhanakan bentuk pangkat Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel. Contoh: Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: Tentukan bentuk sederhana dari: 55 24������−7������−2������1 212 ⋅ 126 6������−2������−3������−6 = …. = …. 3 1 84 ⋅ 63 Penyelesaian: Penyelesaian: 24������−7������−2������1 5 5 6������−2������−3������−6 = 8 ⋅ ������−7−(−2) ⋅ ������−2−(−3) ⋅ ������1−(−6) 5 5 ⋅ (22 ⋅ = 212 3)6 = 8������−5������������7 212 ⋅ 126 (23)43 ⋅ (2 ⋅ 1 = 8������������7 3 1 ������5 3)3 84 ⋅ 63 5 55 212 ⋅ 23 ⋅ 36 = 9 1 1 24 ⋅ 23 ⋅ 33 = 2152+35−49−31 ⋅ 356−31 2−12 1 = 1 ⋅ 32 = 32 1 22 = (23)21 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 5
Bentuk Akar Menyederhanakan Bentuk Akar Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh: √72 = √36√2 = 6√2 3√54 = 3√273√2 = 33√2 Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep √(������ + ������) ± ������√������������ = √������ ± √������ Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh: √5 + √24 = …. Penyelesaian: √5 + √24 = √5 + √4√6 = √5 + ������√6 = √(3 + 2) + 2√3 ∙ 2 = √3 + √2 Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut) Sekawan dari √������ adalah √������. Sekawan dari √������ + √������ adalah √������ − √������. Sekawan dari √������ − √������ adalah √������ + √������. Contoh: Bentuk sederhana dari 3√3 + √7 √7 − 2√3 adalah …. Penyelesaian: 3√3 + √7 = 3√3 + √7 × √7 + 2√3 = 3√21 + 18 + 7 + 2√21 = 25 + 5√21 = −5 − √21 √7 − 2√3 √7 − 2√3 √7 + 2√3 7 − 12 −5 Logaritma Menyederhanakan bentuk logaritma Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh: 2 + 2 log 5 2 5 ∙ log 3 2 log 9 − log 15 = …. Penyelesaian: 2 2 + 2 log 5 2 35 2 log 5 − 2 5 ∙ log 3 2 log 9 − log 15 log + 2 log 9 log 15 = 2 log (3515∙ 5) 2 log 9 = = 2 log 34 2 log 9 = 9 log 34 = 9 log(32)2 = 9 log 92 = 2 ∙ 9 log 9 =2∙1 =2 Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Contoh: Jika 2 log 3 = ������ dan 3 log 5 = ������. Nilai dari 12 log 150 = …. Penyelesaian: 3 log 150 3 log(2 ∙ 3 ∙ 52) 3 log 2 + 3 log 3 + 3 log 52 3 log 2 + 3 log 3+ 2 ∙ 3 log 5 3 log 12 3 log(22 ∙ 3) 3 log 22 + 3 log 3 2∙3 log 2 +3 log 3 12 log 150 = = = = = 1 + 1 + 2������ ������ 2 ������ + 1 = 1 + 1 + 2������ × ������ ������ ������ 2 ������ + 1 = 1 + ������ + 2������������ 2 + ������ Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai. TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui. ������ log ������ = ������ dan ������ log ������ = ������. Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5. Lalu, cari bilangan yang sama. Ternyata bilangan yang sama adalah 3. Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut. 1 ������ log 2 = ������ ������ log 5 = ������ ������ log 3 = 1 Cara membacanya: Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan ���1���. Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1. Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan (������������������������������������������������������������������������). ������������������ ������������ log ������������������ ⇒ ������������ Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan. 1 1 150 = 2 × 3 × 5 × 5 = ������ +1 + ������ + ������ = ������ + 1 + 2������ 12 2 × 2 × 3 1 +1 1 + ������ 2 + 1 ������ ������ Jadi, 1 ������������ log ������������������ = ������ + 1 + 2������ 2 + 1 ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 7
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui a 1 , b 2, dan c 1. Nilai dari a 2 .b.c 3 adalah .... 2 a.b 2 .c 1 ������−2������������3 ������4 14 A. 1 ������������2������−1 = ������3������ = (21)3 B. 4 C. 16 2 D. 64 = 1 1 E. 96 4 =4 2. Diketahui a 4, b 2, dan c 1 . Nilai (a 1 )2 b4 adalah .... A. (������−1)2 × ������������−432= c 3 1 (4−1)2 24 2 × (21)−3 B. 1 = 1 × 16 4 16 8 1 C. 1 = 8 8 D. 1 16 E. 1 32 3. Jika diketahui x 1 , y 1 , dan z 2. Nilai x 4 yz 2 adalah .... 35 x 3 y 2 z 4 ������−4������������−2 A. 32 ������−3������2������−4 = ������ −4−(−3) ������(1−2) ������−2−(−4) B. 60 C. 100 = ������−1 ������−1 ������2 D. 320 E. 640 = (13)−1 (15)−1 (2)2 =3∙5∙4 = 60 Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
4. Bentuk 3 3 7 dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 72 3 A. 25 5 21 3√3 + √7 = 3√3 + √7 × √7 + 2√3 LOGIKA PRAKTIS: B. 25 5 21 √7 − 2√3 √7 − 2√3 √7 + 2√3 Pembilang positif semua tandanya. C. 5 5 21 Sekawan penyebut juga positif semua. D. 5 21 = 3√21 + 18 + 7 + 2√21 Pasti pembilang hasil rasionalisasi E. 5 21 7 − 12 positif juga (plus plus). Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar = 25 + 5√21 dari bilangan positif, artinya perkalian −5 penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif. = −5 − √21 Pola jawabannya pasti negatif semua (min min). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E). 5. Bentuk 2 2 3 dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 2 3 A. 4 3 6 √2 − 2√3 = √2 − 2√3 × √2 + √3 B. 4 6 √2 − √3 √2 − √3 √2 + √3 C. 4 6 = 2 + √6 − 2√6 − 6 2−3 D. 4 6 = −4 − √6 E. 4 6 −1 = 4 + √6 6. Bentuk 2 3 5 dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 2 5 A. 1 17 4 10 √2 + 3√5 = √2 + 3√5 × √2 + √5 3 √2 − √5 √2 − √5 √2 + √5 B. 2 15 4 10 = 2 + √10 + 3√10 + 15 3 2−5 C. 2 15 4 10 = 17 + 4√10 3 −3 D. 1 17 4 10 = 1 (17 + 4√10) 3 −3 1 E. 1 17 4 10 = − 3 (17 + 4√10) 3 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 9
7. Diketahui 5 log 3 a dan 3 log 4 b. Nilai 4 log15 .... TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka A. 1 a 3 log 15 itu menjadi basis logaritma! ab 4 log 15 = 3 log 4 1 ������ B. 1 a 3 log 15 5 log 3 = ������ ⇒ 3 log 5 = bertemu 5 tulis 1 1 b 3 log 4 ������ = 3 log 4 = ������ bertemu 4 tulis ������ C. 1 b 1 a 3 log(3 × 5) 3 log 3 = 1 } bertemu 3 tulis 1 3 log 4 D. ab = Ingat tanda kali diganti tambah ya. 3 log 3 + 3 log 5 Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka 3 log 4 = berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi, 1 a 1 faktorkan E. ab 1 + ������ ������ sehingga ubah tanda = ������ × ������ kali menjadi 1b jadikan muncul tambah,dan 1 ������ + 1 4 log 15 15 angka warna 3 × 5 1 + ������ = ������������������ ������������������ ������������ p⇒ecahan 4 4 ⇒ ������ = ⇒biru di atas 8. Diketahui 3 log 6 p, 3 log 2 q. Nilai 24 log 288 ....TRIK SUPERKILAT: A. 2 p 3q 24 log 288 Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu B. menjadi basis logaritma! p 2q ⇒ 3 log 288 3 log 6 = ������ bertemu 6 tulis ������ 3p 2q ⇔ 3 log 2 = ������ } bertemu 2 tulis ������ p 2q 3 log 24 3 log(23 × 62) 3 log 3 = 1 bertemu 3 tulis 1 p 2q Ingat tanda kali diganti tambah ya. 2 p 3q 3 log(22 × 6) Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! C. ⇔ 3 log 23 + 3 log 62 3 log 22 + 3 log 6 D. p 2q ⇔ 3 ∙ 3 log 2 + 2 ∙ 3 log 6 Jadi, faktorkan E. 3p 2q ⇔ log 6 q 2p 2 ∙ 3 log 2 + 3 sehingga ubah tanda 3������ + 2������ kali menjadi 24 log 288 jadikan 288 muncul 23 × 62 tambah,dan 3������ + 2������ = ������������������ ������������������ 2������ + ������ 24 angka warna 22 × 6 2������ + ������ ⇒pecahan ⇒ 2 p 3q ⇒biru di atas 9. Diketahui 2 log 3 x, 2 log10 y. Nilai 6 log120 .... TRIK SUPERKILAT: A. x y 2 6 log 120 Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. B. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! x 1 ⇒ 2 log 120 2 log 3 = ������ x 1 2 log 6 bertemu 3 tulis ������ 2 log 10 = ������ } bertemu 10 tulis ������ 2 log(22 × 3 × 10) 2 log(2 × 3) 2 log 2 = 1 bertemu 2 tulis 1 x y 2⇔ C. x 2 log 22 + 2 log 3 + 2 log 10 Ingat tanda kali diganti tambah ya. xy 2 2 log 2 + 2 log 3 ⇔ Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru 2 log 2 + 2 3+2 disamping lho! 2 log 2 log 3 Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! D. xy 2 ⇔ 2 ∙ log log 10 Jadi, E. +2 x faktorkan 2xy 2 + ������ + ������ sehingga ubah tanda x 1 ⇔ 1 + ������ kali menjadi jadikan muncul tambah,dan 6 log 120 120 angka warna 22 × 3× 10 2 + ������ + ������ = ������������������ ������������������ ⇒pecahan 6 2 ×3 ⇒ 1 + ������ ⇒biru di atas Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan Kuadrat (PK) ������������������ + ������������ + ������ = ������ Akar-Akar PK ������1 = −������+√������2−4������������ atau ������2 = −������−√������2−4������������ 2������ 2������ Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK ������1 + ������2 = − ������ ������1������2 = ������ ������ ������ Selisih Akar-Akar PK |������1 − ������2| = √������2−4������������ = √������ ������ ������ Bentuk Simetri Akar-Akar PK ������12 ± ������22 = (������1 ± ������2)2 ∓ 2������1������2 ������12 − ������22 = (������1 + ������2)(������1 − ������2) ������13 ± ������23 = (������1 ± ������2)3 ∓ 3(������1������2)(������1 ± ������2) ������14 ± ������24 = (������12 ± ������22)2 ∓ 2(������1������2)2 1 1 ������1 ± ������2 ������1 ± ������2 = ������1������2 1 + 1 = ������12 + ������22 ������12 ������22 (������1������2)2 ������12 ± ������22 ������1 ± ������2 = ������1������2 ������2 ������1 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11
Menyusun bentuk simetri akar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK: ������12 + ������22 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (������1 + ������2)2 = ������12 + 2������1������2 + ������22, maka diperoleh: ������12 + ������22 = (������������ + ������������)2 − 2������������������������ Selisih Kuadrat Akar-Akar PK ������12 − ������22 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (������1 − ������2)2 = ������12 − 2������1������2 + ������22, maka diperoleh: ������12 − ������22 = (������������ − ������������)2 + 2������������������������ Atau ingat bentuk (������1 + ������2)(������1 − ������2 ) = ������1 2 − ������12, maka diperoleh: ������12 − ������22 = (������������ + ������������)(������������ − ������������) Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK ������13 + ������23 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (������1 + ������2)3 = ������13 + 3������12������2 + 3������1������22 + ������23 = ������13 + 3(������1������2)(������1 + ������2) + ������23 maka diperoleh: ������13 + ������23 = (������������ + ������������)3 − 3(������������������������)(������������ + ������������) Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK: ������14 + ������24 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (������2 + ������22)2 = ������14 + 2������2������2 + ������24, maka diperoleh: ������14 + ������24 = (������������������ + ������������������)2 − 2(������������������������)2 = [(������������ + ������������)2 − 2������������������������]2 − 2(������������������������)2 Dan lain-lain …. Contoh: Persamaan kuadrat −2������2 + 3������ − 2 = 0 memiliki akar-akar ������1 dan ������2, maka nilai ������12 + ������22 = .... Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut: ������ 3 3 ������������ + ������������ = − ������ = − −2 = 2 ������������������������ = ������ = −2 = 1 ������ −2 Kedua, cari bentuk identik dari ������12 + ������22 yang memuat bentuk ������1 + ������2 dan ������12 + ������22. ������12 + ������22 = (������������ + ������������)2 − 2������������������������ = (32)2 − 2(1) 9 = 4 − 2 = 1 4 Halaman 12 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyusun PK Baru Diketahui: ������������������ + ������������ + ������ = ������ adalah PK Lama ������������ dan ������������ adalah akar-akar PK Lama ������ dan ������ adalah akar-akar PK Baru Cek dan perhatikan! Apakah ������ dan ������ identik atau tidak? Jika ������ dan ������ identik Jika ������ dan ������ tidak identik Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama ������−������ ������������ + ������������ dan ������������������������ Substitusi ������−������ ke PK Lama cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru ������ + ������ dan ������������ Rumus PK Baru adalah menggunakan nilai ������������ + ������������ dan ������������������������ ������(������−������)2 + ������(������−������) + ������ = 0 Rumus PK Baru adalah ������2 − (������ + ������)������ + (������������) = 0 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien ������ juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah ������������2 + ������������ + ������ = 0, maka: 1. PK Baru yang akar-akarnya (������ + ������) dan (������ + ������) ������(������ − ������)2 + ������(������ − ������) + ������ = 0 2. PK Baru yang akar-akarnya (������ − ������) dan (������ − ������) ������(������ + ������)2 + ������(������ + ������) + ������ = 0 3. PK Baru yang akar-akarnya (������������) dan (������������) ������������2 + ������������������ + ������������������ = 0 4. PK Baru yang akar-akarnya (������������) dan (������������) ������������2 + ������������ + ������ = 0 5. PK Baru yang akar-akarnya (−������) dan (−������) ������������2 − ������������ + ������ = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 13
Contoh 1: Akar-akar persamaan kuadrat 3������2 − 12������ + 2 = 0 adalah ������ dan ������. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (������ + 2) dan (������ + 2) adalah …. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak? Akar-akar PK Baru (������ + 2) dan (������ + 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (������ + 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (������ + 2). Invers dari (������ + 2) adalah (������ − ������). Ketiga, Substitusikan (������ − ������) menggantikan variabel ������ pada PK Lama: 3(������ − ������)2 − 12(������ − ������) + 2 = 0 ⇔ 3(������2 − 4������ + 4) − 12������ + 24 + 2 = 0 ⇔ 3������2 − 12������ + 12 − 12������ + 24 + 2 = 0 ⇔ 3������2 − 24������ + 38 = 0 Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (������ + 2) dan (������ + 2) adalah 3������2 − 24������ + 38 = 0. Contoh 2: Akar-akar persamaan kuadrat 2������2 − 4������ + 8 = 0 adalah ������ dan ������. ������ ������ Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ������ dan ������ adalah …. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak? ������ ������������, Akar-akar PK Baru ������ dan ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama. Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama. 82==−4−24 ������ + ������ = 2 ������������ = Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai ������ + ������ dan ������������ . ������2 + ������2 ������ + ������ = ������������ ������ ������ = (������ + ������)2 − 2������������ ������������ = ������2 −2 ∙ ������ ������ 4 − 8 = 4 = − 4 4 = −1 ������ ������ ������ ������ = 1 Keempat, rumus PK Baru adalah: ������2 − (jumlah akar-akar PK baru)������ + hasil kali akar-akar PK baru = 0 ������2 − (−1)������ + 1 = 0 ������2 + ������ + 1 = 0 Jadi, PK Baru yang akar-akarnya ������ dan ������ adalah ������2 + ������ + 1 = 0. ������ ������ Halaman 14 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh 3 Akar-akar persamaan kuadrat 2������2 − 5������ + 3 = 0 adalah ������ dan ������. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (������ + 3) dan (������ + 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (������ − 3). Jadi, PK Baru adalah: 2(������ − 3)2 − 5(������ − 3) + 3 = 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat 3������2 + 12������ − 1 = 0 adalah ������ dan ������. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (������ − 2) dan (������ − 2) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (������ + 2). Jadi, PK Baru adalah: 3(������ + 2)2 + 12(������ + 2) − 1 = 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 5 Akar-akar persamaan kuadrat −4������2 + 2������ − 7 = 0 adalah ������ dan ������. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2������ dan 2������ adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: −4������2(20) + 2������(21) − 7(22) = 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 7������2 − 5������ + 13 = 0 adalah ������ dan ������. ������ ������ Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 5 dan 5 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 7������2(55) − 5������(51) + 13(50) = 0 Jabarkan sendiri ya…! Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 2������2 − ������ + 5 = 0 adalah ������ dan ������. 1 1 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ������ dan ������ adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien ������2 dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 5������2 − ������ + 2 = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 15
Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat −������2 + 2������ + 4 = 0 adalah ������ dan ������. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya −������ dan −������ adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien ������ dikalikan (−1). Jadi, PK Baru adalah: −������2 + 2������(−1) + 4 = 0 −������2 − 2������ + 4 = 0 Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat 2������2 − 5������ + 3 = 0 adalah ������ dan ������. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2������ − 3) dan (2������ − 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (������ + 3). Jadi, PK Baru adalah: 2������2(20) − 5������(21) + 3(22) = 0 2������2 − 10������ + 12 = 0 Dilanjutkan dengan substitusi (������ + 3). 2(������ + 3)2 − 10(������ + 3) + 12 = 0 Jabarkan sendiri ya…! Halaman 16 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Berlawanan Berkebalikan ������ = 0 ������ = ������ Sifat-Sifat Akar-Akar PK Perbandingan Selisih ������������2 = (������ + 1)2������������ ������ = (������������)2 Keterangan: Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui. Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat ������������2 + ������������ + ������ = 0 yang mungkin keluar di soal: 1. Jika akar yang satu kelipatan ������ dari akar yang lain (������1 = ������������2), maka ������������2 = (������ + 1)2������������ 2. Jika selisih akar-akarnya adalah ������ (|������1 − ������2| = ������), maka ������ = (������������)2 3. Jika akar-akarnya berlawanan (������1 = −������2 atau ������1 + ������2 = 0), maka ������ = 0 1 4. Jika akar-akarnya berkebalikan (������1 = ������2 atau ������1������2 = 1), maka ������ = ������ Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 2������2 + ������������ + 16 = 0 adalah ������ dan ������. Jika ������ = 2������ dan ������, ������ positif maka nilai ������ = …. Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu. Karena ������ = 2������, maka jelas nilai ������ = 2. Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. ������������2 = (������ + 1)2������������ ⇔ 2������2 = (2 + 1)2 ∙ 2 ∙ 16 ⇔ ������2 = 32 ∙ 42 ⇔ ������ = ±12 Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga: −−���2��������������� ������1 + ������2 > 0 ⇒ > 0 ⇔ > 0 ⇔ ������ < 0 Sehingga pilih nilai ������ yang negatif. Jadi, ������ = −12. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 17
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 ax 4 0 adalah p dan q. Jika p 2 2 pq q2 8a, maka nilai a ������ + ������ = −������ .... ������. ������ = −4 A. −8 ������2 − 2������������ + ������2 = 8������ B. −4 ⇒ (������ + ������)2 − 4������������ = 8������ C. 4 ⇔ ������2 + 16 = 8������ D. 6 ⇔ ������2 − 8������ + 16 = 0 E. 8 ⇔ (������ − 4)(������ − 4) = 0 ⇒ ������ = 4 2. Persamaan kuadrat x2 (m 1) x 5 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 . Jika x12 x2 2 2x1x2 8m, maka nilai m .... ������12 + ������22 − 2������1������2 = 8������ A. −3 atau −7 ������1 + ������2 = −������ + 1 ⇒ (������1 + ������2)2 − 4������1������2 = 8������ ������1. ������2 = −5 ⇔ (−������ + 1)2 + 20 = 8������ B. 3 atau 7 ⇔ ������2 − 10������ + 21 = 0 C. 3 atau −7 ⇔ (������ − 3)(������ − 7) = 0 D. 6 atau 14 ⇔ ������ − 3 = 0 atau ������ − 7 = 0 E. −6 atau −14 ⇒ ������ = 3 ������ = 7 3. Persamaan kuadrat x2 4 px 4 0 mempunyai akar-akar x1dan x2 . Jika x1x22 x12 x2 32, maka nilai p .... −4 ������1 + ������2 = −4������ ������1������22 + ������12������2 = 32 −2 ������1. ������2 = 4 ⇒ ������1������2(������1 + ������2) = 32 A. ⇔ 4(−4������) = 32 B. 2 C. ⇔ −16������ = 32 D. 4 E. ⇔ ������ = 32 8 −16 ⇔ ������ = −2 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 18 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 3. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan. Persamaan Kuadrat (PK) ������������������ + ������������ + ������ = ������ Diskriminan ������ = ������������ − ������������������ Persamaan Kuadrat Fungsi Kuadrat ������������2 + ������������ + ������ = 0 ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ ������ ≥ 0 ������ < 0 ������ > 0 ������ = 0 ������ < 0 akar real akar imajiner memotong menyinggung terpisah ������ > 0 ������ = 0 ������ > 0, ������ < 0 ������ < 0, ������ < 0 berbeda kembar definit positif definit negatif ������ = ������2 rasional TRIK SUPERKILAT. Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis! “Persamaan kuadrat ������������2 + (������ + 2)������ − ������ + 4 = 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai ������ = ….“ “Fungsi kuadrat ������ = ������������2 + (������ + 2)������ − ������ + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai ������ yang memenuhi adalah ….” “Grafik ������ = ������������2 + (������ + 2)������ − ������ + 4 memotong garis ������ = ������ di dua titik. Batas-batas nilai ������ yang memenuhi adalah ….” ������������������������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������ akar real ������������������������������������������ ������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������ sumbu X di ������������������ titik ������������������������������������������} ⇒ ������ > 0 ������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������ garis di ������������������ titik ������������������������������������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������ akar real ������������������������������������ (= ������������������������) ������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������ sumbu X di ������������������������ titik } ⇒ ������ = 0 ������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������ garis di ������������������������ titik ������������������������������������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������������ akar real ������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������������/������������������������������ ������������������������������������������������������������������ sumbu X } ⇒ ������ < 0 ������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������������/������������������������������ ������������������������������������������������������������������ garis Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar. Jadi ������ ≥ 0. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 19
Soal yang sering ditanyakan PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda. Contoh: Jika persamaan kuadrat ������������2 + (������ + 2)������ − ������ + 4 = 0 akan memiliki dua akar berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat ������������2 + (������ + 2)������ − ������ + 4 = 0 diperoleh: ������ = ������, ������ = (������ + 2), dan ������ = (−������ + 4) Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ > 0 ������2 − 4������������ < 0 ������ > 0 ⇒ ⇔ (������ + 2)2 − 4(������)(−������ + 4) < 0 ⇔ ������2 + 4������ + 4 + 4������2 − 16������ < 0 ⇔ 5������2 − 12������ + 4 < 0 ⇔ (5������ − 2)(������ − 2) < 8 ⇔ ������ < 2 ������������������������ ������ > 2 5 2 ⇔ ������ < 3 Sehingga nilai m yang memenuhi adalah ������ < 23. Persamaan kuadrat memiliki akar kembar. Contoh: Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat ������2 + (������ − 3)������ + 4 = 0 memiliki dua akar kembar. Maka nilai ������ yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat ������2 + (������ − 3)������ + 4 = 0 diperoleh: ������ = 1, ������ = (������ − 3), ������������������ ������ = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ = 0 ������2 − 4������������ = 0 ������ = 0 ⇒ ⇔ (������ − 3)2 − 4(1)(4) = 0 ⇔ (������ − 3)2 − 16 = 0 ⇔ ������2 − 6������ + 9 − 16 = 0 ⇔ ������2 − 6������ − 7 = 0 ⇔ (������ + 1)(������ − 7) = 0 ⇔ ������ = −1 atau ������ = 3 Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai ������ = −1 atau ������ = 7. Halaman 20 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner) Contoh: 1 27) 2 Persamaan kuadrat ������2 + (������ + 2)������ + (������ + = 0 tidak memiliki akar real untuk nilai ������ = …. Penyelesaian: 1 27) 2 Dari persamaan kuadrat ������2 + (������ + 2)������ + (������ + = 0 diperoleh: = (������ + 72) ������ = 1 , ������ = (������ + 2), ������������������ ������ 2 Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ < 0. ������2 − 4������������ < 0 ������ < 0 ⇒ ⇔ (������ + 2)2 − 4 (12) (������ + 27) < 0 ⇔ ������2 + 4������ + 4 − 2������ − 7 < 0 ⇔ ������2 + 2������ − 3 < 0 ⇔ (������ + 3)(������ − 1) < 0 ⇔ ������ = −3 ������������������������ ������ = 1 (������������������������������������������ ������������������) Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: +−+ −1 3 Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai −1 < ������ < 3. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 21
FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong). Contoh: Grafik ������ = ������������2 + (������ + 2)������ − ������ + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat ������ = ������������2 + (������ + 2)������ − ������ + 4 diperoleh: ������ = ������, ������ = (������ + 2), ������������������ ������ = (−������ + 4) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ > 0 ������2 − 4������������ < 0 ������ > 0 ⇒ ⇔ (������ + 2)2 − 4(������)(−������ + 4) < 0 ⇔ ������2 + 4������ + 4 + 4������2 − 16������ < 0 ⇔ 5������2 − 12������ + 4 < 0 ⇔ (5������ − 2)(������ − 2) < 8 ⇔ ������ < 2 ������������������������ ������ > 2 5 2 ⇔ ������ < 3 Sehingga nilai m yang memenuhi adalah ������ < 32. Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung). Contoh: Grafik fungsi kuadrat ������(������) = ������2 + (������ − 3)������ + 4 menyinggung sumbu X pada satu titik. Maka nilai ������ yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat ������(������) = ������2 + (������ − 3)������ + 4 diperoleh: ������ = 1, ������ = (������ − 3), ������������������ ������ = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ = 0 ������2 − 4������������ = 0 ������ = 0 ⇒ ⇔ (������ − 3)2 − 4(1)(4) = 0 ⇔ (������ − 3)2 − 16 = 0 ⇔ ������2 − 6������ + 9 − 16 = 0 ⇔ ������2 − 6������ − 7 = 0 ⇔ (������ + 1)(������ − 7) = 0 ⇔ ������ = −1 atau ������ = 3 Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai ������ = −1 atau ������ = 7. Halaman 22 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah) Contoh: 1 72) 2 Fungsi kuadrat ������ = ������2 + (������ + 2)������ + (������ + tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X untuk nilai ������ = …. Penyelesaian: 1 72) 2 Dari fungsi kuadrat ������ = ������2 + (������ + 2)������ + (������ + diperoleh: + = (������ + 27) ������ = 1 , ������ = (������ 2), ������������������ ������ 2 Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ < 0. ������ < 0 ⇒ (������ + 2)2 − 4 (21) (������ + 72) < 0 ⇔ ������2 + 4������ + 4 − 2������ − 7 < 0 ⇔ ������2 + 2������ − 3 < 0 ⇔ (������ + 3)(������ − 1) < 0 ⇔ ������ = −3 ������������������������ ������ = 1 (������������������������������������������ ������������������) Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: +−+ −1 3 Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai −1 < ������ < 3. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 23
Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong). Contoh: Grafik fungsi kuadrat ������(������) = ������2 + ������������ + 4 memotong garis ������ = 3������ + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Substitusikan ������ = 3������ + 4 dan ������ = ������2 + ������������ + 4 ⇒ ������2 + ������������ + 4 = 3������ + 4 ⇔ ������2 + ������������ + 4 − 3������ − 4 = 0 ⇔ ������2 + (������ − 3)������ = 0 Koefisien-koefisien persamaan kuadrat ������ = 1, ������ = (������ − 3), ������������������ ������ = 0 Kurva memotong garis, maka diskriminan ������ harus memenuhi D > 0 ������ = 0 ⇒ (������ − 3)2 − 4(1)(0) > 0 ⇔ (������ − 3)2 − 0 > 0 ⇔ (������ − 3)2 > 0 ⇔ ������ − 3 > 0 ⇔ ������ > 3 Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > 3. Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK? Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung). Contoh: Grafik fungsi kuadrat ������(������) = ������2 + ������������ + 4 menyinggung garis ������ = 3������ + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva menyinggung garis, maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ = 0 ������ = 0 ⇒ (������ − 3)2 − 4(1)(0) = 0 ⇔ (������ − 3)2 − 0 = 0 ⇔ (������ − 3)2 = 0 ⇔ ������ − 3 = 0 ⇔ ������ = 3 Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai ������ = 3. Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah). Contoh: Grafik fungsi kuadrat ������(������) = ������2 + ������������ + 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis ������ = 3������ + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva terpisah garis, maka diskriminan ������ harus memenuhi ������ < 0 ������ = 0 ⇒ (������ − 3)2 − 4(1)(0) < 0 ⇔ (������ − 3)2 − 0 < 0 ⇔ (������ − 3)2 < 0 ⇔ ������ − 3 < 0 ⇔ ������ < 3 Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai ������ < 3. Halaman 24 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Persamaan kuadrat x2 (m 2)x 2m 4 0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah .... Akar-akar real ⇒ ������ ≥ 0 A. m 2 atau m 10 ������2 − 4������������ ≥ 0 +−+ B. m 10 atau m 2 ⇒ (������ − 2)2 − 4 . 1 . (2������ − 4) ≥ 0 2 10 ������2 − 12������ + 20 ≥ 0 C. m 2 atau m 10 ⇔ Jadi daerah penyelesaian: ⇔ (������ − 2)(������ − 10) ≥ 0 ������ ≤ 2 atau ������ ≥ 10 D. 2 m 10 E. 10 m 2 ������������������������������������������ ������������������ ∶ ������ − 2 = 0 atau ������ − 10 = 0 ⇒ ������ = 2 ������ = 10 2. Persamaan kuadrat 2x2 2( p 4)x p 0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah .... Akar-akar real berbeda ⇒ ������ > 0 A. p 2 atau p 8 ������2 − 4������������ ≥ 0 +−+ B. p 2 atau p 8 ⇒ (2(������ − 4))2 − 4 . 2 . ������ ≥ 0 28 C. p 8 atau p 2 ⇔ 4������2 − 40������ + 64 ≥ 0 Jadi daerah penyelesaian: ������ < 2 atau ������ > 8 D. 2 p 8 ⇔ 4(������ − 2)(������ − 8) ≥ 0 ������������������������������������������ ������������������ ∶ E. 8 p 2 ������ − 2 = 0 atau ������ − 8 = 0 ⇒ ������ = 2 ������ = 8 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 25
2. 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. Ingat lagi tentang konsep determinan matriks Determinan Matriks ������ ������ ������ |������������ ������������| = ������������ − ������������ |������ ������ ������| = ������������������ + ������������������ + ������������ℎ − ������������������ − ������������ℎ − ������������������ ������ ℎ ������ Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks! Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Bentuk Umum SPLDV ������1������ + ������1������ = ������������ ������2������ + ������2������ = ������������ Penyelesaian SPLDV Nilai ������ Nilai ������ Kolom ������ diganti! Kolom ������ diganti! ������ = |������������������������ ������1 | ������ = |������������12 ������������������������| |������������21 ������2 |������������21 ������������12| ������������21| Halaman 26 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Bentuk Umum SPLTV ������1������ + ������1������ + ������1������ = ������������ ������2������ + ������2������ + ������2������ = ������������ ������3������ + ������3������ + ������3������ = ������������ Penyelesaian SPLTV Nilai ������ Nilai ������ Nilai ������ Kolom ������ diganti! Kolom ������ diganti! Kolom ������ diganti! ������������ ������1 ������1 ������1 ������������ ������1 ������1 ������1 ������������ |������������ ������2 ������2| |������2 ������������ ������2| |������2 ������2 ������������| ������������ ������3 ������3 ������3 ������������ ������3 ������3 ������3 ������������ ������ = ������1 ������1 ������1 ������ = ������1 ������1 ������1 ������ = ������1 ������1 ������1 |������2 ������2 ������2| |������2 ������2 ������2| |������2 ������2 ������2| ������3 ������3 ������3 ������3 ������3 ������3 ������3 ������3 ������3 Keterangan: Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi. Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi. Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke? Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 27
TRIK SUPERKILAT: Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh. Contoh Soal: {32������������ − 3������ = 1 + 5������ = 11 Penyelesaian dari SPL adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 2������ − 3������ = 1 3������ + 5������ = 11 Karena yang paling pojok kiri variabel ������, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel ������. Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel ������. Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara −3atau 5. 2������ − 3������ = 1 3������ + 5������ = 11 Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan −3, ya? 2������ − 3������ = 1 3������ + 5������ = 11 Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut. Ingat acuan awal kita adalah bilangan −3! Hasilnya adalah: −3 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5. (−3)(11) − (1)(5) = −33 − 5 = −������������ 2������ − 3������ = 1 3������ + 5������ = 11 Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut. Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan −3 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah: −3 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5. (−3)(3) − (2)(5) = −9 − 10 = −������������ Jadi, nilai variabel ������ adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua. ������ = −������������ = 2 −������������ Selesai! Paham, kan? Kalau mencari nilai ������, gimana dong? Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel ������ harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi: −3������ + 2������ = 1 5������ + 3������ = 11 Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel ������ di atas. Oke? Halaman 28 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh 1: Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah .... Penyelesaian: Misal: ������ = hari biasa ������ = hari lembur Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: 6������ + 4������ = ������������. ������������������ 5������ + 2������ = ������������. ������������������ Ditanyakan: 4������ + 4������ = ? Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks. ������ = |������������������������.. ������������������ 42| = 148.000 − 220.000 = −72.000 = 9.000 ������������������ 12 − 20 −8 |56 24| ������ = |65 ������������. ������������������������������������| = 330.000 − 370.000 = −40.000 = 5.000 ������������. 12 − 20 −8 |56 24| Jadi, 4������ + 4������ = 4(9.000) + 4(5.000) = 36.000 + 20.000 = 56.000 TRIK SUPERKILAT: Dengan acuan koefisien variabel ������ adalah 4, maka nilai variabel ������ diperoleh dengan cara: “(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)” dibagi dengan “(4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan 2)” Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 29
Contoh 2: Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero? Penyelesaian: Misal: ������ = buah apel ������ = buah salak ������ = buah kelengkeng Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: ������ + 2������ + 2������ = 47.000 2������ + ������ + 3������ = 68.500 3������ + 2������ + ������ = 63.000 Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks. ������������. ������������������ 2 2 1 ������������. ������������������ 2 1 2 ������������. ������������������ |������������. ������������������ 1 3| |2 ������������. ������������������ 3| |2 1 ������������. ������������������| ������������. ������������������ 2 1 ������ = 3 ������������. ������������������ 1 ������ = 3 2 ������������. ������������������ ������ = 12 2 122 1 22 |2 1 3| |2 1 3| |2 1 3| 321 321 321 Contoh 3: Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah …. Penyelesaian: Misal: ������ = uang Artha ������ = uang Deby ������ = uang Yanti Perhatikan dan baca soal dengan seksama. Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya! Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 ⇔ ������ + ������ = 142.000 ⇔ ������ + ������ + ������������ = ������������������. ������������������ Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 ⇔ ������ − ������ = 4.000 ⇔ −������ + ������������ + ������ = ������. ������������������ Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 ⇔ 2������ = ������ + 100.000 ⇔ ������������ − ������ + ������������ = ������������������. ������������������ Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah: ������ + ������ + 0������ = 47.000 −������ + 0������ + ������ = 68.500 0������ − ������ + 2������ = 63.000 Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks. ������������������. ������������������ 1 −0 1 ������������������. ������������������ −0 1 1 ������������������. ������������������ | ������. ������������������ 0 1| |−1 ������. ������������������ 1| |2 0 ������. ������������������| ������������������. ������������������ −1 2 0 ������������������. ������������������ 2 ������ = 3 −1 ������������������. ������������������ ������ = 1 1 −0 ������ = 1 1 −0 1 1 −0 |−1 0 1| |−1 0 1| |−1 0 1| 0 −1 2 0 −1 2 0 −1 2 Jadi nilai ������ + ������ + ������ pasti ketemu deh! Halaman 30 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah .... ������ = ������ + 28 ⇒ ������ = ������ − 28 ������ = ������ − 6 A. 86 tahun Misal Jadi, ������ + ������ + ������ = 119 ������ = Pak Andi ������ + ������ + ������ = 119 B. 74 tahun ������ = Bu Andi ⇒ 51 + ������ + ������ = 119 C. 68 tahun ������ = Amira ⇒ ������ + (������ − 6) + (������ − 28) = 119 ⇔ ������ + ������ = 119 − 51 ⇔ 3������ − 34 = 119 ⇔ ������ + ������ = 68 D. 64 tahun ⇔ 3������ = 153 ⇔ ������ = 51 E. 58 tahun 2. Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah .... A. 52 tahun B. 45 tahun Misal ������ = ������ + 4 Jadi, ������ + ������ + ������ = 58 ������ = Umur Deksa ������ = ������ + 3 ⇒ ������ = ������ − 3 ⇒ ������ + 19 + ������ = 58 C. 42 tahun ������ = Umur Elisa ⇔ ������ + ������ = 58 − 19 D. 39 tahun ������ + ������ + ������ = 58 ⇔ ������ + ������ = 39 ������ = Umur Firda E. 35 tahun ⇒ (������ + 4) + ������ + (������ − 3) = 58 ⇔ 3������ + 1 = 58 ⇔ 3������ = 57 ⇔ ������ = 19 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 31
2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran Bentuk Umum (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 ������2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 dibagi (−2) Pusat Jari-jari Pusat (������, ������) ������ (− 1 ������, − 1 ������) 2 2 Jumlah kuadrat pusat dikurangi ������ Jari-jari ������ = √(− 1 ������)2 + (− 1 ������)2 − ������ 2 2 Halaman 32 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran PGS Lingkaran PGS Lingkaran di titik (������1, ������1) pada lingkaran dengan gradien ������ Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus ������ = ������������ + ������ Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut! ������2 →������������������������������������������ ������1������ Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien ������, (������ − ������)2 →������������������������������������������ maka PGS tersebut adalah ������ = ������������ ± ������ (������1 − ������)(������ − ������) dimana ������ = ������√������ + ������������ ������ →������������������������������������������ 1 (������1 + ������) 2 PGS lingkaran di titik (������1, ������1) PGS dengan gradien ������ pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ������ dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ������ ������1������ + ������1������ = ������2 ������ = ������������ ± ������√1 + ������2 PGS lingkaran di titik (������1, ������1) PGS dengan gradien ������ pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ������ dari lingkaran pusat (������, ������) dan jari-jari ������ (������1 − ������)(������ − ������) + (������1 − ������)(������ − ������) = ������2 (������ − ������) = ������(������ − ������) ± ������√1 + ������2 PGS lingkaran di titik (������1, ������1) pada lingkaran dengan bentuk umum ������2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 ������1������ + ������1������ + ������ (������1 + ������) + ������ (������1 + ������) + ������ = 0 2 2 Catatan Tambahan: jarak titik ������1) ke garis ������������ + ������ = Ingat juga tentang konsep (������1, ������������ + 0: ������ = |������������1 + ������������1 + ������| √������2 + ������2 TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (������1, ������1) jari-jari ������ yang sejajar dengan garis ������������ + ������������ + ������ = 0: ������������ + ������������ = ������������1 + ������������1 ± ������√������2 + ������2 PGS lingkaran pusat (������1, ������1) jari-jari ������ yang tegak lurus dengan garis ������������ + ������������ + ������ = 0: ������������ − ������������ = ������������1 − ������������1 ± ������√������2 + ������2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 33
PGS Lingkaran di titik (������1, ������1) yang berada di luar lingkaran (������, ������) (0, 0) (������1, ������1) Titik Singgung (������, ������) Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel ������, ������). Substitusi titik (������1, ������1) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran Diperoleh dua titik Singgung (������1, ������1) dan (������2, ������2) Substitusikan ke PGS di langkah kedua Selesai TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai. Halaman 34 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran ������2 + ������2 = 10! Penyelesaian: (������, ������) (5, 5) PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik (0, 0) singgung tersebut (������, ������). Artinya titik (������, ������)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran. Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel ������ dan ������. Perhatikan bahwa (������, ������) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (������, ������) adalah ������������ + ������������ = ������������ Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (������, ������) adalah ������������ + ������������ = ������������ Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (������, ������) ke PGS akan diperoleh: ������������ + ������������ = 10 ⇔ 5������ + 5������ = 10 ⇔ ������ + ������ = 2 ⇔ ������ = 2 − ������ Dari persamaan lingkaran ������2 + ������2 = 10 dan ������ = 2 − ������, substitusikan ������ = ������ − ������ ke persamaan lingkaran diperoleh: ������2 + (2 − ������)2 = 10 ⇔ ������2 + (4 − 4������ + ������2) = 10 ⇔ 2������2 − 4������ + 4 = 10 ⇔ 2������2 − 4������ + 4 − 10 = 0 ⇔ 2������2 − 4������ − 6 = 0 ⇔ ������2 − 2������ − 3 = 0 ⇔ (������ + 1)(������ − 3) = 0 ⇔ ������ = −1 atau ������ = 3 Dari ������ = −1 atau ������ = 3 akan diperoleh nilai ������, yaitu: ������ = −1 ⇔ ������ = 2 − ������ = 2 + 1 = 3 ������ = 3 ⇔ ������ = 2 − ������ = 2 − 3 = −1 Jadi dua titik singgung tersebut adalah (−������, ������) dan (������, −������). Sehingga PGS lingkaran pada titik (−������, ������) dan (������, −������) adalah: −������ + 3������ = 10 dan 3������ − ������ = 10. TRIK SUPERKILAT: Lingkaran ������2 + ������2 = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari ������ = √10. Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus: ������ = ������������ ± ������√1 + ������2 ⇒ 5 = ������(5) ± √10√1 + ������2 ⇔ 5 − 5������ = ±√10√1 + ������2 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ 25 − 50������ + 25������2 = 10 + 10������2 ⇔ 15������2 − 50������ + 15 = 0 ⇔ 3������2 − 10������ + 3 = 0 ⇔ (3������ − 1)(������ − 3) = 0 1 ∴ ������ = 3 atau ������ = 3 Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ������ = 1 ������ − ������1 = ������(������ − ������1) 3 ������ − 5 = 1 (������ − 5) 3 −������ + 3������ = 10 Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ������ = 3 Halaman 35 ������ − ������1 = ������(������ − ������1) ������ − 5 = 3(������ − 5) ������������ − ������ = 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal! Contoh: 1. Diberikan persamaan lingkaran ������2 + ������2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: (������ − 0)2 + (������ − 0)2 = 25 ������2 = 25 ⇒ ������ = 5 Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5. 2. Diberikan persamaan lingkaran (������ − 3)2 + (������ − 4)2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: (������ − 3)2 + (������ + 4)2 = 25 ������2 = 25 ⇒ ������ = 5 Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5. 3. Diberikan persamaan lingkaran ������2 + ������2 − 2������ + 4������ − 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian: ������2 + ������2 − 2������ + 4������ − 20 = 0 1 −2 dibagi (-2) Maka pusat (1, −2), dan jari-jari adalah ������ = √(1)2 + (−2)2 − (−20) Halaman 36 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan persamaan lingkaran Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran. Misal diketahui pusat lingkaran (������, ������) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka ������ = |������|. Misal diketahui pusat lingkaran (������, ������) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka ������ = |������|. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung. Contoh: 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, −1) dan jari-jari 3 adalah …. Penyelesaian: Persamaan lingkaran dengan pusat (������, ������) dengan jari-jari ������: (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 (������ − 5)2 + (������ + 1)2 = 9 atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran: (������ − 5)2 + (������ + 1)2 = 9 ⇒ ������2 − 10������ + 25 + ������2 + 2������ + 1 − 9 = 0 ⇔ ������2 + ������2 − 10������ + 2������ + 17 = 0 2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah …. Penyelesaian: (������ − 3)2 + (������ − 2)2 = 22 ⇒ ������2 + ������2 − 6������ − 4������ + 9 = 0 3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian: (������ + 1)2 + (������ − 2)2 = (−1)2 ⇒ ������2 + ������2 + 2������ − 4������ + 4 = 0 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3������ − 4������ − 2 = 0 adalah …. Penyelesaian: Pusat (������1, ������1) = (1, 4) Garis 3������ − 4������ − 2 = 0, dengan ������ = 3, ������ = −4, dan ������ = −2. Persamaan lingkaran dengan pusat (������1, ������1) menyinggung garis ������������ + ������������ + ������ = 0 adalah: (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = [���������√���1���+���2���+������������1���2+������]2 ⇒ (������ − 1)2 + (������ − 4)2 = [3(1√) 3−24+(44)2− 2]2 ⇔ ������2 − 2������ + 1 + ������2 − 8������ + 16 = 9 ⇔ ������2 + ������2 − 2������ − 8������ + 8 = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 37
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya. Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan. Contoh: 1. Persamaan garis singgung lingkaran ������2 + ������2 = 25 di titik (4, −3) adalah …. Penyelesaian: ������1 = 4 dan ������1 = −3 Ingat, ganti ������2 menjadi ������1������, dan ������ menjadi (������12+������). ������2 + ������2 = 25 ⇒ ������1������ + ������1������ = 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 4������ − 3������ = 25 2. Persamaan garis singgung lingkaran (������ − 1)2 + (������ − 4)2 = 25 di titik (−2, 0) adalah …. Penyelesaian: ������1 = −2 dan ������1 = 0 Ingat, ganti ������2 menjadi ������1������, dan ������ menjadi (������12+������). (������ − 1)2 + (������ − 4)2 = 25 ⇒ (������1 − 1)(������ − 1) + (������1 − 4)(������ − 4) = 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: (−2 − 1)(������ − 1) + (0 − 4)(������ − 4) = 25 ⇒ (−3)(������ − 1) + (−4)(������ − 4) = 25 ⇔ −3������ − 4������ − 6 = 0 3. Persamaan garis singgung lingkaran ������2 + ������2 − 6������ + 4������ − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah …. Penyelesaian: ������1 = 7 dan ������1 = 1 Ingat, ganti ������2 menjadi ������1������, dan ������ menjadi (������12+������). ������2 + ������2 − 6 ������ + 4 ������ − 12 = 0 (������1 + ������2) (������1 + ������) ⇒ ������1������ + ������1������ − 6 2 + 4 2 − 12 = 0 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 7������ + ������ − 3(7 + ������) + 2(1 + ������) − 12 = 0 ⇒ 4������ + 3������ − 31 = 0 Halaman 38 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran. 1. Persamaan garis singgung lingkaran ������2 + ������2 = 9 di titik (1, 3) adalah …. Penyelesaian: TRIK SUPERKILAT: Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ������ = 3. Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?). ������2 + ������2 = 9 ⇒ (1)2 + (3)2 = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut: ������ = ������������ ± ������√1 + ������2 ⇒ 3 = ������(1) ± 3√1 + ������2 ⇔ 3 − ������ = ±3√1 + ������2 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ 9 − 6������ + ������2 = 9 + 9������2 ⇔ 8������2 + 6������ = 0 ⇔ 2������(4������ + 3) = 0 3 ∴ ������ = 0 atau ������ = − 4 Melalui (1 ,3) dan gradien ������ = 0 ������ − ������1 = ������(������ − ������1) ������ − 3 = 0(������ − 1) ������ = 3 Melalui (1 ,3) dan gradien ������ = − 3 4 ������ − ������1 = ������(������ − ������1) 3 ������ − 3 = − 4 (������ − 1) 4������ − 12 = −3������ + 3 3������ + 4������ = 15 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 39
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis. 1. Persamaan garis singgung lingkaran (������ − 3)2 + (������ + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis ������ − 2������ + 5 = 0 adalah …. Penyelesaian: Trik Superkilat: PGS lingkaran pusat (������1, ������1) jari-jari ������ yang Sesuaikan sejajar apa nggak? sejajar dengan garis ������������ + ������������ + ������ = 0: Masukkan substitusikan pusat ������������ + ������������ = ������������1 + ������������1 ± ������√������2 + ������2 ± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari ������ = √80 PGS yang sejajar ������ − 2������ + 5 = 0 adalah ������ − 2������ juga!!! ������ − 2������ = (−5) − 2(3) ± √80 √12 + (−2)2 ⇒ ������ − 2������ = −11 ± 20 ⇔ ������ = 2������ − 11 ± 20 2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ������2 + ������2 − 4������ − 8������ + 15 = 0 yang tegak lurus garis ������ + 2������ = 6 adalah …. Penyelesaian: Trik Superkilat: Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari ������ = √5 PGS yang sejajar ������ + 2������ = 6 adalah ������ + 2������ harus diubah menjadi 2������ − ������ !!! 2������ − ������ = 2(2) − (4) ± √5 √(2)2 + (1)2 ⇒ 2������ − ������ = 0 ± 5 ⇔ 2������ − ������ = 5 dan 2������ − ������ = −5 Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Lingkaran L x 12 y 32 9 memotong garis y 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah .... A. x 2 dan x 4 Memotong garis ������ = 3 PGS lingkaran B. x 2 dan x 2 ������ = 3 ⇒ (������ + 1)2 + (3 − 3)2 = 9 (������1 + ������)(������ + ������) + (������1 + ������)(������ + ������) = ������2 ⇔ (������ + 1)2 = 9 C. x 2 dan x 4 ⇔ ������ + 1 = ±3 (−4, 3) ⇒ (−4 + 1)(������ + 1) + 0 = 9 D. x 2 dan x 4 ⇔ ������ + 1 = −3 atau ������ + 1 = 3 ⇔ −3������ − 3 = 9 ⇔ ������ = −4 E. x 8 dan x 10 ⇔ ������1 = −4 ������2 = 2 (2, 3) ⇒ (2 + 1)(������ + 1) + 0 = 9 TRIK SUPERKILAT: Jadi titik potongnya di ⇔ 3������ + 3 = 9 Gunakan sketsa lingkaran (−4, 3) dan (2, 3) ⇔ ������ = 2 ������ = 3 ������ = −4 ������ = 2 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 41
2. 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor. Polinomial (Suku Banyak) ������(������) = ������������������������ + ������������−������������������−������ + ������������−������������������−������ + … + ������������������ + ������������ Nilai Suku Banyak Jika diketahui ������(������) = 2������3 − 5������2 + ������ − 3 Tentukan nilai ������(������) untuk ������ = 3 ! Cara Biasa Cara Horner “Substitusi ������” “Kalikan miring-miring” ������ = 3 2 −5 −1 −3 ������(3) = 2(3)2 − 5(3)2 + (3) − 3 = 54 − 45 + 3 − 3 −6 3 12 =9 2149 Jadi ������(3) = 9 Pembagian Suku Banyak Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2������3 − 5������2 + ������ − 3 oleh ������ − 3! Cara Biasa Cara Horner “Porogapit” “Kalikan miring-miring” ������������������ + ������������ + 4������ − 2������3 − 5������2 + ������ − 3 − ������ − ������ = ������ 2 −5 −1 −3 2������3 − 6������2 − ������ = ������ −6 3 12 ������ − ������ ������2 + ������ − ������2 − 3������ − ������ ������ ������ ������ − 4������ − 3 − − 4������ − 12 − hasil bagi sisa − − ������ − 2������2 + ������ + 4 9 Halaman 42 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
3 Tips mengingat konsep pembagian suku banyak! 27 Jika 7 dibagi 2, hasilnya 3, tapi masih sisa 1. 6 Jadi ������ = ������ ∙ ������ + ������ 1 Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa ������(������) = ������(������) ∙ ������(������) + ������(������) Inti permasalahannya pembagian suku banyak adalah: Gimana kalau pembaginya adalah nol? dan Gimana kalau sisa pembagian adalah nol? Suku Banyak Teorema Sisa Teorema Faktor ������(������) = ������(������) ∙ ������(������) + ������(������) ������(������) = ������(������) ∙ ������(������) + ������(������) ������(������) = (������ − ������) ∙ ������(������) + ������(������) ������(������) = (������ − ������) ∙ ������(������) + ������(������) ������(������) = ������ ∙ ������(������) + ������(������) ������(������) = (������ − ������) ∙ ������(������) + ������ ������(������) = ������(������) ������(������) = (������ − ������) ∙ ������(������) Jika suku banyak di bagi (������ − ������) (������ − ������) adalah faktor suku banyak maka sisanya adalah ������(������) jika dan hanya jika ������(������) = 0 Artinya: Artinya: Jika ������(������) dibagi oleh (������ − ������) maka sisanya adalah ������(������) Jika (������ − ������) adalah faktor dari ������(������), maka ������(������) = 0 Jika ������(������) dibagi oleh (������������ + ������) maka sisanya adalah ������ (− ������������) Jika ������(������) = 0, maka (������ − ������) merupakan faktor dari ������(������) Derajat sisa selalu satu kurangnya dari derajat pembagi ������(������) dibagi (������ − ������) sisanya ������ ������(������) dibagi (������ − ������)(������ − ������) sisanya ������������ + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 43
TRIK SUPERKILAT Contoh Soal: Tentukan sisa pembagian suku banyak ������3 − 6������ − 5 oleh ������2 − 2������ − 3 ! Penyelesaian: Karena ������2 − 2������ − 3 bisa difaktorkan menjadi (������ + 1)(������ − 3), maka sisa pembagian suku banyak bisa kita cari menggunakan konsep teorema sisa. Mari kita kerjakan: ������(������) dibagi (������ + 1), artinya sisanya adalah ������(−1) = 0 ������(������) dibagi (������ − 3), artinya sisanya adalah ������(3) = 4 Susun dalam susunan seperti matriks. |−31 04| Maka sisa pembagiannya adalah: (������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������)������(������) = (������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������)������ + (������������������������������������������������������������ ������������������������������������������) ((−1) − (3)) ������(������) = (0 − 4) ������ + ((−4) − (0)) −4 ������(������) = −4������ + (−4) ������(������) = ������ + 1 Jadi sisa pembagian ������3 − 6������ − 5 oleh ������2 − 2������ − 3 adalah ������ + 1. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dengan cara Horner Modifikasi: Perhatikan pembagi: ������2 − 2������ − 3 = 0 ⇔ ������2 = 2������ + 3 Maka hasil bagi dan sisa pembagian bisa diperoleh dengan memodifikasi cara Horner menjadi: 1 −0 −6 −5 3 36 2 24 ������ ������ ������ ������ hasil bagi sisa ������ + 2 ������ + 1 Jadi sisa pembagian ������3 − 6������ − 5 oleh ������2 − 2������ − 3 adalah ������ + 1. Halaman 44 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal: Suku banyak ������(������) dibagi (������ + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2������ − 3) sisanya 5. Jika suku banyak ������(������) dibagi (2������2 − ������ − 3), sisanya adalah …. Penyelesaian: Ingat jika pembaginya berderajat 2, maka sisanya adalah suku banyak berderajat 1. Jika suku banyak ������(������) dibagi (2������2 − ������ − 3), sisanya adalah ������������ + ������. Ingat sisa pembagian suku banyak oleh (������ − ������) adalah ������(������). Dan sisa pembagian suku banyak oleh (������������ + ������) adalah ������ (− ������������). Mari kita kerjakan: ������(������) dibagi (������ + 1) sisa 10, artinya ������(−1) = 10 ������(������) dibagi (2������ − 3) sisa 5, artinya ������ (23) = 5 Susun dalam susunan seperti matriks. |−31 150| 2 Maka sisa pembagiannya adalah: (������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������)������(������) = (������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������)������ + (������������������������������������������������������������ ������������������������������������������) ((−1) − (23)) ������(������) = (10 − 5) ������ + ((−5) − (15)) − 5 ������(������) = 5������ + (−20) 2 −2������ + 8 ������(������) = Jadi sisa pembagian ������(������) dibagi (2������2 − ������ − 3) adalah −2������ + 8. Contoh TRIK SUPERKILAT yang lain masih diketik… Selalu update di http://pak-anang.blogspot.com Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 45
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x2 x 6 bersisa 5x 2, jika dibagi x2 2x 3 bersisa 3x 4. Suku banyak tersebut adalah .... A. x3 2x2 x 4 TRIK SUPERKILAT: Misal kita pilih satu fungsi saja, ������(������) dibagi (������ + 2)(������ − 3) bersisa (5������ − 2) ������(−1) = 1 B. x3 2x2 x 4 Artinya: ������(−2) = 5(−2) − 2 = −12 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan ������ = −1 maka C. x3 2x2 x 4 ������(3) = 5(3) − 2 = 13 ������(������) dibagi (������ + 1)(������ − 3) bersisa (3������ + 4) hasilnya adalah 1. D. x3 2x2 4 Artinya: ������(−1) = 3(−1) + 4 = 1 Dan ternyata hanya dipenuhi oleh E. x3 2x2 4 jawaban D saja. ������(3) = 3(3) + 4 = 13 2. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x2 2x 3 bersisa 3x 4, jika dibagi x2 x 2 bersisa 2x 3. Suku banyak tersebut adalah .... Misal kita pilih satu fungsi saja, TRIK SUPERKILAT: ������(1) = −1 A. x3 x2 2x 1 ������(������) dibagi (������ + 3)(������ − 1) bersisa (3������ − 4) Jadi, pilih diantara jawaban dimana B. x3 x2 2x 1 Artinya: ������(−3) = 3(−3) − 4 = −13 jika disubstitusikan ������ = 1 maka C. x3 x2 2x 1 hasilnya adalah −1. D. x3 2x2 x 1 ������(1) = 3(1) − 4 = −1 Dan ternyata hanya dipenuhi oleh E. x3 2x2 x 1 ������(������) dibagi (������ + 1)(������ − 2) bersisa (2������ + 3) Artinya: ������(−1) = 2(−1) + 3 = 1 jawaban B saja. ������(3) = 2(3) + 3 = 9 3. Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi x2 3x 2 bersisa 4x 6 dan jika dibagi x2 x 6 bersisa 8x 10 Suku banyak tersebut adalah .... A. x3 2x2 3x 4 TRIK SUPERKILAT: Misal kita pilih satu fungsi saja, ������(������) dibagi (������ − 1)(������ − 2) bersisa (4������ − 6) ������(1) = −2 B. x3 3x2 2x 4 Artinya: ������(1) = 4(1) − 6 = −2 C. x3 2x2 3x 7 Jadi, pilih diantara jawaban dimana D. 2x3 2x2 8x 7 jika disubstitusikan ������ = 1 maka E. 2x3 4x2 10x 9 ������(2) = 4(2) − 6 = 2 ������(������) dibagi (������ + 2)(������ − 3) bersisa (8������ − 10) hasilnya adalah −2. Artinya: ������(−2) = 8(−2) − 10 = −26 Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban A saja. ������(3) = 8(3) − 10 = 14 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 46 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers. Fungsi Komposisi Definisi Sifat ������ ������ Tidak Komutatif (������ ∘ ������)(������) ≠ (������ ∘ ������)(������) ������ ������(������) ������(������(������)) = (������ ∘ ������)(������) Assosiatif (������ ∘ (������ ∘ ℎ))(������) = ((������ ∘ ������) ∘ ℎ)(������) ������ ∘ ������ Identitas (������ ∘ ������)(������) = (������ ∘ ������)(������) (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) Fungsi Invers Definisi Sifat ������ “Identitas” (������ ∘ ������−1) = (������−1 ∘ ������) = ������ ������ = ������−1(������) ������ = ������(������) “Invers Komposisi itu Dibalik” (������ ∘ ������)−1 = (������−1 ∘ ������−1) ������ −1 (������ ∘ ������)−1 = (������−1 ∘ ������−1) Grafik fungsi ������(������) dan ������−1(������) “Penyusun Komposisi” simetris terhadap garis ������ = ������ (������ ∘ ������) = ℎ ⇒ ������ = (ℎ ∘ ������−1) (������ ∘ ������) = ℎ ⇒ ������ = (������−1 ∘ ℎ) TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT “Balik Operasi, Balik Urutan” “Hilangkan Yang Lain” +↔ − (������ ∘ ������) = ℎ ×↔ ÷ ⇒ ������ ∘ ⏟������ ∘ ������−������ = ℎ ∘ ������−������ ������2 ↔ √������ ������ log ������ ↔ ������������ ������������������������������������������������������ ⇒ ������ = ℎ ∘ ������−1 “Gambarkan” ������ ������ ℎ ������ = ������−1 ℎ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 47
Tipe Soal yang Sering Muncul Menyusun komposisi fungsi Contoh Soal 1: Diketahui ������(������) = 2������ − 1 dan ������(������) = ������2 − 5������ + 2. Tentukan (������ ∘ ������)(������) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(������2 − 5������ + 2) = 2(������2 − 5������ + 2) − 1 = 2������2 − 10������ + 4 − 1 = 2������2 − 10������ + 3 Contoh Soal 2: Diketahui ������(������) = 2������ − 1 dan ������(������) = ������2 − 5������ + 2. Tentukan (������ ∘ ������)(������) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(2������ − 1) = (2������ − 1)2 − 5(2������ − 1) + 2 = 4������2 − 4������ + 1 − 10������ + 5 + 2 = 4������2 − 14������ + 3 Menentukan nilai komposisi fungsi Contoh Soal 1: Diketahui ������(������) = 2������ − 1 dan ������(������) = ������2 − 5������ + 2. Tentukan (������ ∘ ������)(5) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(������2 − 5������ + 2) = 2(������2 − 5������ + 2) − 1 = 2������2 − 10������ + 4 − 1 = 2������2 − 10������ + 3 Jadi, (������ ∘ ������)(5) = 2(5)2 − 10(5) + 3 = 50 − 50 + 3 = 3 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ������(5) = 2, maka: ������(������(5)) = ������(2) = 3 Contoh Soal 2: Diketahui ������(������) = 2������ − 1 dan ������(������) = ������2 − 5������ + 2. Tentukan (������ ∘ ������)(−1) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(2������ − 1) = (2������ − 1)2 − 5(2������ − 1) + 2 = 4������2 − 4������ + 1 − 10������ + 5 + 2 = 4������2 − 14������ + 8 Jadi, (������ ∘ ������)(−1) = 4(−1)2 − 14(−1) + 8 = 4 + 14 + 8 = 26 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ������(−1) = −3, maka: ������(������(−1)) = ������(−3) = 26 Halaman 48 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan fungsi pembentuk komposisi Contoh Soal 1: Diketahui (������ ∘ ������)(������) = 3������ + 2 dan ������(������) = 3������ − 1, maka ������(������) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = 3������ + 2 ������(������(������)) = 3������ + 2 3������(������) − 1 = 3������ + 2 3������(������) = 3������ + 2 + 1 3������(������) = 3������ + 3 3������ + 3 ������(������) = 3 ������(������) = ������ + 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ������ ∘ ������ = ℎ, maka ������ = ������−1 ∘ ℎ. Jadi ������(������) = ������−1(ℎ(������)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi ������−1. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 2: Diketahui (������ ∘ ������)(������) = 3������ + 2 dan ������(������) = ������ + 1, maka ������(������) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = 3������ + 2 ������(������(������)) = 3������ + 2 ������(������ + 1) = 3⏟������ + 2 ������������������������������������������������������ ������������������������������������ (������+1) ������(������ + 1) = 3(������ + 1) − 1 ������(������) = 3������ − 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ������ ∘ ������ = ℎ, maka ������ = ℎ ∘ ������−1. Jadi ������(������) = ℎ(������−1(������)), artinya substitusikan fungsi ������−1 ke fungsi komposisi ℎ. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 3: Diketahui (������ ∘ ������)(������) = 2������2 − 10������ + 3 dan ������(������) = 2������ − 1, maka ������(������) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = 2������2 − 10������ + 3 ������(������(������)) = 2������2 − 10������ + 3 2������(������) − 1 = 2������2 − 10������ + 3 2������(������) = 2������2 − 10������ + 4 2������2 3������(������) = − 10������ + 3 2 ������(������) = ������2 − 5������ + 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ������ ∘ ������ = ℎ, maka ������ = ������−1 ∘ ℎ. Jadi ������(������) = ������−1(ℎ(������)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi ������−1. Invers akan dibahas nanti. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 49
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325