Telaris 7 ano matemática

LEITURA Leitura Cheque especial Principais habilidades da BNCC As agências bancárias (bancos) são instituições onde EF07MA03 EF07MA04 depositamos de maneira segura as economias, os salários; Primeiramente, pergunte aos enfim, o dinheiro. Chamamos de saldo a quantia que um © Duke/Acervo do cartunista alunos se lembram o que é che- que especial e verifique o quan- cliente tem depositada na conta bancária dele. Quando ele to se recordam das transações bancárias. necessita de toda ou parte dessa quantia, pode emitir uma Em seguida, pergunte aos ordem de pagamento através de um documento chamado alunos se sabem o que é um talão de cheques e a forma co- cheque. Esse documento autoriza o cliente ou outra pessoa mo é utilizado. Alguns alunos podem conhecê-lo por presen- a fazer a retirada da quantia descrita nele. Jornal O Tempo, 1o dez. 2008. ciar situações de compra e venda nas quais o cheque foi Porém, o cliente não pode emitir um cheque com valor superior ao saldo da conta, pois teríamos, então, utilizado, mas, muitas vezes, não compreendem o processo um cheque desprovido de fundos, mais conhecido como cheque sem fundos. A emissão desse tipo de cheque envolvido nesta transação. Aproveite a oportunidade para pode levar ao encerramento da conta bancária e outras consequências, como a perda de crédito no comércio. ensiná-los a preencher um cheque, explorando também a Para evitar esse tipo de problema, os bancos criaram uma linha de crédito para os clientes, que é chamada escrita por extenso. cheque especial. Nela, o banco estabelece um limite que diz até qual quantia está à disposição, além do saldo. Se julgar pertinente, elabore uma pesquisa para que possam Por exemplo, se o limite for de R$ 2 000,00, isso significa que, mesmo que não se tenha saldo (saldo zero), conhecer todas as etapas en- volvidas, desde a fabricação das o banco disponibiliza essa quantia como empréstimo ao cliente. folhas de cheque até a compen- sação de um pagamento reali- Por ser um empréstimo sem garantias, os custos dessa concessão são elevados e, por isso, o banco zado dessa maneira. cobra uma taxa chamada juros, que você aprenderá mais adiante. O fato é que o cheque especial só deve Em seguida, permita refle- xões sobre as responsabilida- ser usado em uma emergência e nunca como complemento de salários ou para pagar dívidas. O valor des envolvidas quando opera- mos com uma instituição fi- desse empréstimo pode quadruplicar em alguns meses tornando essa dívida com o banco praticamente nanceira (banco). Explique, por exemplo, as consequên- impagável. cias existentes quando emiti- mos um cheque com um valor Quest›es maior do que o saldo que pos- suímos no banco. 1 Pedro estava com saldo zero na conta bancária e fez uso do cheque especial. O limite de crédito era de R$ 3 500,00. Ele emitiu 2 cheques: um de R$ 1 850,00 e outro de R$ 745,00. Para evitar a cobrança de Na sequência, peça que leiam juros, logo em seguida, fez um depósito de R$ 4 000,00. o texto do livro e que resolvam a) Depois de emitir os 2 cheques, como ficou o saldo de Pedro na conta? 2R$ 2 595,00 (21 850 2 745 5 22 595) as questões apresentadas. Le- b) Depois do depósito que Pedro fez, como ficou o saldo? 1R$ 1405,00 (22 595 1 4 000 5 11405) ve-os a perceber cada situação c) Com o atual saldo, qual é o valor máximo em cheques que Pedro poderia emitir para não estourar o limite ilustrada. Ao final, peça que da conta dele? R$ 4 905,00 (1 405,00 1 3 500,00 5 4 905,00) compartilhem as estratégias utilizadas, as operações efetua- 2 Qual outra modalidade de empréstimo ou concessão de crédito você conhece, sem garantias para a instituição das e os resultados obtidos. financeira, que também cobra juros muito altos? Exemplo de resposta: Cartão de crédito. Como há a apresentação de 3 Em 27 de junho de 2016, o site do G1-Globo publicou a seguinte notícia sobre os juros do cheque especial. uma notícia sobre os juros do cheque especial na questão 3, No cheque especial, os juros subiram de 308,7% em abril para 311,3% ao ano em maio – a maior taxa proponha a localização de notí- desde o início da série histórica, em julho de 1994, ou seja, em quase 22 anos. cias nas quais seja possível identificar informações seme- G1-GLOBO. Economia. Disponível em: <http://g1.globo.com/economia/seu-dinheiro/noticia/2016/06/juros-do-cheque-especial-e- lhantes às apresentadas no li- do-cartao-de-credito-batem-recorde-em-maio.html>. Acesso em: 13 set. 2017. vro. Estas explorações permi- tem o desenvolvimento de pro- Se um correntista usou R$ 2 000,00 do cheque especial, depois de um juro de 300% (a dívida dele foi acrescida jetos que contemplam alguns em 300%), qual seria a dívida dele com o banco? temas contemporâneos, como educação para o consumo e 3. R$ 8 000,00 Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 35 educação financeira e fiscal. (300% de 2 000 5 300 3 2 000 5 3 3 2 000 5 6 000; 2 000 1 6 000 5 8 000) 100 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 35

5 Expressões 5 Expressões numéricas numéricas com números inteiros com números inteiros Principal habilidade da Veja alguns exemplos de expressões numéricas com números inteiros. BNCC (23 1 9 2 1 2 7)2 EF07MA04 (22) ? [(23) 2 (22)] As expressões numéricas, 6 : (12) 1(25)2 ? (24) muitas vezes, são tidas como algo complexo e inexistente no {(21) 1 [(26) 2 (23 1 5)] ? (21)}2 dia a dia. Então, é importante fa- zer os alunos perceberem que Recorde a ordem em que devemos efetuar as operações para calcular o valor das expressões numéricas. elas podem representar e nos ajudar a resolver situações do • Efetuamos primeiro as operações dentro dos parênteses, depois dentro dos colchetes e, cotidiano. Para isso, crie alguns em seguida, no interior das chaves. exemplos representáveis por expressões numéricas, como • As operações devem ser feitas nesta ordem: compras realizadas em um su- 1a) potenciação; permercado, caixas contendo 2a) multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem; um determinado número de 3a) adição e subtração, na ordem em que aparecem. produtos, etc. Neste momento, não há necessidade de criar ex- Veja o cálculo dos valores das expressões numéricas dadas acima. pressões muito grandes, pois a • (23 1 9 2 1 2 7)2 5 (211 1 9)2 5 (22)2 5 14 ideia é levá-los a compreender • (22) ? [(23) 2 (22)] 5 (22) ? [(23) 1 2] 5 (22) ? (21) 5 12 as possíveis alterações no re- • 6 : (12) 1 (25)2 ? (24) 5 (16) : (12) 1 (125) ? (24) 5 (13) 1 (2100) 5 297 sultado quando não respeita- • {(21) 1 [(26) 2 (23 1 5)] ? (21)}2 5 {(21) 1 [(26) 2 (12)] ? (21)} 2 5 mos a ordem a ser seguida. 5 {(21) 1 [(26 2 2)] ? (21)} 2 5 {(21) 1 (28) ? (21)} 2 5 {(21) 1 (18)} 2 5 (17) 2 5 149 Pode-se apresentar a seguin- te situação: uma locadora de Atividades b) [24 2 (18)] 4 2 5 (24 2 8) 4 2 5 (212) 4 2 5 26 veículos cobra R$ 60,00 pela diária e mais R$ 3,00 por quilô- 83. a) 26 1 [2 3 (15)] 5 26 1 (110) 5 14 c) (2 2)3 1 (2 5) ? (14) 228 metro rodado. Admitindo-se que d) (23 1 4 2 2) 5 21 você alugou um carro e rodou 83 Indique no caderno a expressão numérica corres- e) (218) : (22) ? (13) 127 254 km com ele, que valor deve pondente a cada item e calcule o valor dela. f) (29) 2 (15) 1 (11) 213 pagar à locadora de veículos ao a) A soma de 26 com o dobro de 15. g) (25) 2 (23) 2 (17) 1 (24) 213 final do dia? h) (11) 1 (16) 2 (22) 1 (29) 0 b) A metade da diferença entre 24 e 18. i) (24) 2 (23) 1 (12) 2 (11) 1 (28) 28 Peça que registrem os dados para calcular o valor gasto e c) O produto do quadrado de 23 com o cubo questione-os como resolveriam de 22. (23)2 3 (22)3 5 9 3 (28) 5 272 a questão. Espera-se que os alu- nos notem a necessidade de d) O quociente do quadrado de 26 pelo dobro multiplicar o valor do quilômetro de 23. (26)2 4 [2 3 (23)] 5 36 4 (26) 5 26 rodado pelo número de quilôme- tros rodados e, depois, somar o 84 Calcule no caderno o valor de cada expressão j) 25 1 2 2 (24) 1 2 2 (15) 1 2 0 valor da diária. Provavelmente numérica. Esteja atento à ordem em que as ope- eles efetuariam os cálculos se- rações devem ser efetuadas. Depois, confira com 85 Copie esta expressão numérica no caderno e paradamente, mas peça que os colegas. substitua o pelo valor correto. tentem representar a situação a) (22) 1 (25) ? (23) 113 (25) 2 (12) 1 ( ) 5 0 17 por uma expressão numérica. (26)2 (16) 86 Determine no caderno o valor de: Antes de calcular o valor des- b) 23 (210)5 sa expressão, coloque-a na lou- sa e pergunte por onde devemos (22)2 (210)2 3 (210)3 começar verificando se são ca- pazes de estabelecer a ordem. 86. 1  2100 000 5 2100 000  Se necessário, comece o cálcu-  2100 000 5 1 lo pela operação de soma para 36 CAPÍTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências 100 3 (21000) mostrar aos alunos que o resul- tado não será o mesmo. dente a cada item e, depois, calcular o valor. Como é esperado que en- c) (2 2)3 1 (2 5) 3 (1 4) 5 (28) 1 (220) 5 228 contrem certa dificuldade na transcrição em forma de expressão nu- d)(–3 1 4 – 2) 5 5 (25 1 4)5 5 (21)5 5 21 Em seguida, peça a eles que mérica, se necessário, faça essa parte junto com a turma, deixando e) (218) 4 (22) 3 (13) 5 (19) 3 (13) 5 127 leiam as informações do livro e os cálculos para serem efetuados individualmente. f) (29) 2 (15) 1 (11) 5 29 2 5 1 1 5 214 1 1 5 213 observem o quadro com a or- g)(25) 2 (23) 2 (17) 1 (24) 5 25 1 3 2 7 2 4 5 dem das operações, ressaltan- Atividade 84 do que “na ordem em que apa- Veja a resolução desta atividade. 5 216 1 3 5 213 recem” é o mesmo que “da es- querda para a direita”. Se neces- a) (22) 1 (25) 3 (23) 5 (22) 1 (115) 5 113 sário, peça que reproduzam esse quadro no painel de desco- b) (26)2 (16) 5 26 2 6 5 −12 5 23 bertas para que possam consul- (22)2 4 +4 tá-lo sempre que necessário. Atividade 83 Os alunos devem escrever a expressão numérica correspon- 36 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

6 Representação de pares ordenados que sejam capazes de perceber que seria necessário um ende- de números inteiros no plano cartesiano reço ou a localização dessa pessoa para que se possa expli- (coordenadas cartesianas) car como chegar a determinado lugar. Aproveite, então, para ex- Neste capítulo, estudamos que podemos representar todos os números inteiros com pontos de uma reta plicar a utilização e a funciona- ou, então, localizar alguns pontos de uma reta usando números inteiros. lidade do plano cartesiano. Agora, vamos representar ou localizar pontos em um plano cartesiano usando pares ordenados de números. Na lousa, reproduza a ima- gem do livro, indicando os es- As imagens desta página não estão tabelecimentos apenas pelos representadas em proporção. nomes. Explorar e descobrir Explique aos alunos que as retas destacadas na figura são Vamos pensar na planta de uma cidade como a des- Paulo Manzi/Arquivo da editora chamadas de eixo x (reta hori- ta imagem. zontal) e eixo y (reta vertical). Para localizar a piscina, Thiago Neumann/Arquivo da editora Enfatize que os eixos são retas Foram traçadas 2 retas perpendiculares para a in- saio da prefeitura, perpendiculares, pois formam dicação de certos locais nessa planta. Essas retas são ando 2 quarteirões ângulos retos no ponto de inter- chamadas de eixos cartesianos, geralmente indicados para a esquerda (22) secção, e que nos localizaremos por x (o eixo horizontal) e y (o eixo vertical). e depois 4 quarteirões a partir deles. para cima (14). O ponto de encontro dos eixos, cujo par ordenado Em seguida, questione-os so- é (0, 0), é chamado de origem do sistema de eixos bre como podemos localizar a cartesianos. prefeitura e, após as respostas, mostre que ela está no ponto 1 Observe a planta ao lado. A construção que fica no (0, 0) por estar no encontro, ou encontro dos eixos é considerada o marco zero. Que seja, na origem, dos eixos. construção é essa? Prefeitura. Peça que, a partir desse pon- A partir do marco zero, a localização das demais to, definam a localização dos construções pode ser feita usando pares de números. outros estabelecimentos, con- O primeiro número de cada par indica quantos quartei- siderando que: rões para a direita (1) ou para a esquerda (2) da prefei- tura a construção está, e o segundo número indica • na primeira coordenada, se- quantos quarteirões ela está para cima (1) ou para rá colocado o valor referente baixo (2) da prefeitura. ao eixo x, ou seja, quanto precisa se movimentar para Por exemplo, com o par ordenado (22, 4) localiza- a direita (1) ou para a es- mos a piscina e com o par ordenado (2, 22) localizamos querda (2) da origem do o supermercado. plano; Veja que a ordem dos números no par ordenado é • nasegundacoordenada,se- importante. Os pares (4, 2) e (2, 4) indicam lugares di- rá colocado o valor referente ferentes. Por isso, dizemos que são pares ordenados ao eixo y, ou seja, quanto de números inteiros. precisa se movimentar para cima (1) ou para baixo (2) Os 2 números do par ordenado são as coordenadas da origem do plano. cartesianas do ponto correspondente. A primeira coor- denada é a abscissa do ponto, e a segunda coordenada Se necessário, como exem- é a ordenada do ponto. plo, mostre a localização da sor- veteria: está 2 unidades à direi- 2 Quais construções estão localizadas em (4, 2) e (2, 4) dessa planta? Loja de tecidos e igreja, respectivamente. ta e 1 unidade acima, ou seja, tem coordenadas (2, 1). 3 Saindo da prefeitura, andando 2 quarteirões para a esquerda e subindo 1 quarteirão, a qual lugar chegamos? Qual é o par ordenado que indica esse lugar? Jardim; (22, 1). Desse modo, você estará mos- trando que o sistema de coorde- 4 Qual é o lugar indicado pelo par ordenado (24, 3)? Escola. nadas cartesianas é um sistema de localização, semelhante às Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 37 coordenadas que podem ser ob- servadas no globo terrestre. h) (11) 1 (16) 2 (22) 1 (29) 51116122951929 50 6 Representação de pares ordenados de números inteiros no plano cartesiano (coordenadas Essa exploração pode ser ex- i) (24) 2 (23) 1 (12) 2 (11) 1 (28) 5 24 1 3 1 cartesianas) pandida a partir de um jogo de batalha naval em que os alunos 1 2 2 1 2 8 5 213 1 5 5 28 Primeiramente, comente com os alunos que, neste momento, construam um tabuleiro, para j) 25 1 2 2 (24) 1 2 2 (15) 1 2 5 25 1 2 1 4 1 ampliarão as explorações anteriores sobre pontos na reta nume- disposição dos navios, em um rada, representando e localizando pontos em um plano. plano cartesiano. O tabuleiro de- 1 2 2 5 1 2 5 210 1 10 5 0 ve ser de material mais resisten- Explorar e descobrir Atividade 85 Pergunte aos alunos como fariam para explicar a localização de te, como papel cartão. Se necessário, alerte os alunos que precisam descobrir qual valor um lugar a uma pessoa que não sabe como encontrá-la. Espera-se Incentive os alunos a procu- que, somado com o resultado de (25)2  (  12), dará 0. rar o marco zero da cidade onde moram. Em São Paulo, por exem- plo, o marco zero é a praça da Sé. Oriente-os a acessar mapas on-line e procurar esse local. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 37

6 Representação de Atividades pares ordenados de números inteiros no 87 Copie esta tabela no caderno e complete-a com o 89 Com um colega, providenciem 16 papéis para plano cartesiano local ou o par ordenado considerando a planta da sorteio com os pares ordenados de A a P. (coordenadas página anterior. cartesianas) A (12, 11) G (11, 21) M (11, 23) Atividades 87 a 89 20 pontos. 10 pontos. 15 pontos. Estas atividades trabalham a Planta da cidade B (13, 22) H (21, 22) N (0, 21) localização de pontos no plano a partir das coordenadas dadas. Local Par ordenado 15 pontos. 20 pontos. 10 pontos. Além disso, também envolvem (2, 22) a escrita dos pares ordenados Supermercado C (0, 11) I (21, 0) O (12, 12) de pontos no plano cartesiano (atividade 87) e retomam con- 10 pontos. 10 pontos. 20 pontos. ceitos de triângulos trabalhados em anos anteriores (atividade D (21, 13) J (11, 11) P (13, 12) 88). Por isso, se necessário, re- veja as classificações dos triân- Bombeiros (25, 23) 15 pontos. 10 pontos. 15 pontos. gulos em relação aos ângulos e aos lados. E (22, 23) K (12, 22) Veja a resposta completa da Clube (3, 3) 15 pontos. 20 pontos. atividade 88 na página XLVII Floricultura (4, 21) deste Manual. F (21, 21) L (0, 0) 10 pontos. Você sabia? 10 pontos. Peça aos alunos que pesqui- Cada aluno sorteia um papel e localiza na figura o sem sobre René Descartes, o matemático francês que desen- Cemitério (25, 25) ponto correspondente ao par. Depois, verifica a cor volveu a representação das coor- denadas cartesianas, e quais as Delegacia de polícia (21, 23) da região atingida e anota os pontos no caderno. aplicações das coordenadas car- tesianas no dia a dia. Oriente-os Sorveteria (2, 1) Após a retirada de todos os papéis (8 rodadas), a citar a fonte de pesquisa e a verifiquem quem fez o maior número de pontos. refletir sobre a importância de Banca de jornal (0, 2) localizar fontes confiáveis e con- y frontar informações. Farmácia (24, 0) 14 Banco de imagens/Arquivo da editora Atividade 90 Hospital (23, 22) 13 Nesta atividade, os alunos, Cinema (4, 24) em grupo, devem fazer um tra- balho sobre alguma situação co- Agência dos correios 12 tidiana em que sejam aplicados números inteiros positivos e ne- (21, 25) gativos, criando, em seguida, 5 questões relacionadas às si- 11 tuações tratadas. Tabela elaborada para fins didáticos. Permita que usem os assuntos dados como sugestão, mas in- 88 Em uma folha de papel quadriculado, trace os eixos 24 23 22 21 0 11 12 13 14 x centive-os a pensarem em ou- x e y e marque os pontos: A(24, 11); B(14, 23); 21 tros. Aproveite a oportunidade pa- C(22, 13); D(14, 11); E(23, 23); F(13, 21); 22 ra complementar as situações G(0, 23); H(11, 23) e I(23, 0). Por fim, trace os 23 apresentadas, retomando com a triângulos ACD, IEG, FHB e classifique-os quanto aos 24 turma algumas vistas em explo- ângulos e quanto aos lados. rações anteriores e outras encon- tradas na região onde moram. Você sabia? 15 pontos 20 pontos 10 pontos A ideia de representar os pontos do plano por pares ordenados 90 Aplicações dos números inteiros. Pesqui- de números teve como grande mentor o filósofo e matemático sem e elaborem um trabalho que aborde alguma francês René Descartes (1596-1650). Por isso, os nomes coorde- aplicação dos números inteiros positivos e nega- nadas cartesianas e eixos cartesianos em homenagem a ele. tivos. Depois, de acordo com os assuntos pesqui- sados, criem 5 questões que envolvam cálculos Raciocínio lógico de números inteiros. Resposta pessoal. (FCC-SP) Considere que as sentenças abaixo são verdadeiras. Sugestões: • Se a medida da temperatura está abaixo de 5 °C, há nevoeiro. • registro das medidas de temperatura mais altas • Se há nevoeiro, os aviões não decolam. e mais baixas de determinado local ou de vários locais; Assim sendo, também é verdadeira a sentença: a) se não há nevoeiro, os aviões decolam. • extratos bancários; X b) se não há nevoeiro, a medida da temperatura está igual • saldo de gols da seleção brasileira ou de clubes em ou acima de 5 °C. campeonatos de futebol masculinos e femininos; c) se os aviões não decolam, então há nevoeiro. • maiores e menores medidas de altitude em vá- d) se há nevoeiro, então a medida da temperatura está abai- rios locais do planeta; xo de 5 °C. • localização de construções em mapas de cidades. e) se a medida da temperatura está igual ou acima de 5 °C, os aviões decolam. 38 CAPÍTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências 38 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

7 Sequ•ncias 7 Sequências Você já estudou, em anos anteriores, diferentes tipos de sequências. Principal habilidade da BNCC Sequência é uma sucessão, uma lista ordenada de números, objetos, figuras geométricas, entre outros elementos. EF07MA14 Para representar uma sequência, podemos listar os elementos dela, em ordem, usando a notação entre Inicie perguntando aos alu- nos: “Vocês se lembram das parênteses. Por exemplo, a sequência dos números naturais é (0, 1, 2, 3, 4, 5, »). explorações realizadas nos anos anteriores envolvendo Em muitas situações do cotidiano e da Matemática podemos perceber a ideia de sequência. Veja alguns sequências?”; “O que é se- quência?”; “Quais sequências exemplos. numéricas vocês conhecem?”. Se necessário, cite alguns • A sequência dos dias de uma semana: (domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, exemplos de sequências, como a lista dos nomes dos alunos sexta-feira, sábado). no diário da turma. • A sequência dos meses de um ano: (janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, Ao final dessas explorações, peça que formulem uma defini- outubro, novembro, dezembro). ção de sequência. Espera-se que pensem em algo como “se- • A sequência dos números obtidos no lançamento sucessivo de um dado, por 7 vezes, como: quência é uma lista ordenada de números, objetos, figuras geo- (1, 6, 5, 3, 1, 1, 4). métricas, etc.”. • A sequência dos 5 primeiros presidentes do Brasil: (Deodoro da Fonseca, Floriano Peixoto, Prudente Ao final, leia com os alunos o texto do livro, peça que criem de Moraes, Campos Sales, Rodrigues Alves). As imagens desta página não estão outras sequências e anote-as representadas em proporção. na lousa. Romulo Fialdini/Tempo Composto/ Reprodução/Museu Paulista da Reprodução/Assembleia Romulo Fialdini/Tempo Composto/ Palácio do Itamaraty, Brasília, DF. Universidade de São Paulo, São Paulo, SP. Legislativa do Estado do Rio de Janeiro, RJ. Palácio dos Bandeirantes, São Paulo, SP. Romulo Fialdini/Tempo Composto/ Museu da República, Rio de Janeiro, RJ. Retrato do Marechal Retrato do Marechal Prudente de Morais. 1980. Retrato de Manuel Retrato de Rodrigues Deodoro. 1980. Antonio Floriano Peixoto. Data José Ferraz de Almeida Ferraz de Campos Sales. Alves. 1910-1920. Antonio Felix da Costa. Óleo sobre desconhecida. Delfim Júnior. Óleo sobre tela, Data desconhecida. Rocco. Óleo sobre tela, tela, 58,5 cm 3 55,5 cm. da Câmara. Óleo sobre 235 cm 3 144 cm. Manuel Pereira da 185 cm 3 180 cm. tela, 73 cm 3 64 cm. Rocha. Óleo sobre tela, 59 cm 3 56 cm. Sefa Karacan/Anadolu Agency/ • A sequência dos anos, a partir de 2002, nos quais a Copa do Mundo de Futebol Agência France-Presse foi ou será realizada: (2002, 2006, 2010, 2014, 2018, 2022, 2026, 2030, »). • A sequência dos polígonos regulares: Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora (Triângulo equilátero, Quadrado, Pentágono regular, Hexágono regular, Taça da Copa do Mundo de Futebol da Rússia, Heptágono regular, Octógono regular, Eneágono regular, ») em 2018. Bate-papo Converse com um colega e inventem outras sequências de números ou de figuras. Resposta pessoal. Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 39 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 39

7 Sequências Os elementos de uma sequência também são grebeshkovmaxim/Shutterstock chamados de termos. Na sequência dos dias de uma Questione os alunos se sa- semana, por exemplo, temos: bem o que é o termo de uma sequência, explicando, se ne- • 1o termo: domingo; cessário, que são os elemen- • 2o termo: segunda-feira; tos que a compõem. Nesse mo- • 3o termo: terça-feira; mento, aproveite para enfati- • 4o termo: quarta-feira; zar a importância da ordem • 5o termo: quinta-feira; dos termos de uma sequência. • 6o termo: sexta-feira; As sequências (1,  2,  3) e • 7o termo: sábado. (3, 2, 1), por exemplo, não são iguais, pois os termos 1 e Identifica•‹o dos termos da sequ•ncia 3 não ocupam a mesma posi- ção nas 2 sequências. Para identificar cada termo de uma sequência, usamos uma letra minúscula do alfabeto, seguida por um índice. (a1, a2, a3, a4, », an, ») Explique também que, para identificarmos um termo de • 1o termo: a1 a1 uma sequência, geralmente • 2o termo: a2 Lemos: a índice um, ou a um. usamos a letra a acompanhada • 3o termo: a3 do índice do termo, mas pode ser qualquer letra minúscula do æ alfabeto. • n-ésimo termo: an an Após essas explorações, Lemos: a índice n, ou a n. apresente algumas sequências e pergunte quais delas são fini- Por exemplo, na sequência dos dias de uma semana, temos: tas e quais são infinitas. Se ne- cessário, classifique algumas • 1o termo: a1 5 domingo; sequências para eles entende- • 2o termo: a2 5 segunda-feira; rem a diferença. æ Atividades 91 e 92 Estas atividades trabalham a • 7o termo: a7 5 sábado. escrita das sequências pedidas Essa sequência dos dias de uma semana é finita, pois tem um número finito de termos (7 termos). e a classificação delas em fini- tas ou infinitas. Há também sequências que são infinitas, pois têm infinitos termos, como a sequência dos números Atividade 93 naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, »). Você já deve ter notado que, para indicar que uma sequência tem infinitos termos, Incentive os alunos a inven- usamos as reticências (») no início ou no final dela. tar 2 sequências diferentes das apresentadas nas atividades Atividades 92. Finitas: sequência dos 5 primeiros números naturais primos e sequência dos divisores de 10; anteriores: uma finita e outra in- infinitas: sequência dos números naturais ímpares e sequência dos números finita. Em seguida, convide-os a inteiros menores do que 2. compartilhá-las com um colega para que esse indique qual é fi- 91 Faça os registros no caderno. 93 Invente e registre no caderno uma sequên- nita e qual é infinita. a) Escreva a sequência dos números naturais ím- cia finita e uma sequência infinita. Depois, troque pares. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ») com um colega e peça a ele que indique qual das Atividades 94 e 95 sequências é finita e qual é infinita. As sequências são apresen- b) Escreva a sequência dos números inteiros me- nores do que 2. (», 24, 23, 22, 21, 0, 1) 94 Considere a sequência dos números naturais pa- tadas em língua materna para res. Escreva no caderno os termos a1, a3 e a6. os alunos descobrirem os ter- c) Escreva a sequência dos 5 primeiros números mos solicitados. Para facilitar a naturais primos. (2, 3, 5, 7, 11) a1 5 0, a3 5 4 e a6 5 10. identificação dos termos, peça que escrevam as sequências d) Escreva a sequência dos divisores de 10. 95 Considerando a sequência dos meses de um ano, até o último termo desejado. escreva no caderno os termos an para n 5 2, 5, (1, 2, 5, 10) 8, 11. a2 5 fevereiro, a5 5 maio, a8 5 agosto e 92 Quais das sequências da atividade anterior são a11 5 novembro. finitas? E quais são infinitas? 93. Exemplo de resposta: Sequência finita das vogais: (a, e, i, o, u); sequência infinita 40 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências dos números inteiros: (», 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, »). 40 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

Sequência recursiva 7 Sequências Em Matemática, nos interessa estudar as sequências que têm uma lei de formação, ou seja, uma regra Inicie propondo um desafio: peça aos alunos que elaborem que explica a relação entre os termos de cada sequência. Veja os exemplos. uma sequência no caderno e que desafiem um colega a descobrir Lei de formação Sequência um dos termos dessa sequência. Aproveite esse momento para Números naturais pares. (0, 2, 4, 6, ») alertá-los deque todasequência obedece a uma lei de formação e Divisores de 12. (1, 2, 3, 4, 6, 12) para verificar se todos conse- guem criar uma sequência. Ao fi- Em algumas sequências é possível identificar uma recursividade entre os termos. Por exemplo, observe nal do desafio, peça que cada um apresente a lei de formação ou a sequência construída com a seguinte lei de formação: um primeiro termo, que é o triângulo, e cada novo padrão da sequência que criou. termo é obtido acrescentando-se 1 traço ao termo anterior. Ilustrações: Em seguida, separe as se- Banco de imagens/ quências criadas em 2 grupos: , , , ,È Arquivo da editora as que cujo padrão é relaciona- do ao termo anterior e as que 1o termo. cujo padrão não tem relação com o termo anterior, classifi- Como cada termo dessa sequência é definido em relação ao termo anterior, dizemos que ela é uma cando-as em recursivas e não sequência recursiva. recursivas, respectivamente. Veja outros exemplos de sequências recursivas, agora com termos numéricos. Neste momento, serão apre- • Sequência em que o 1o termo é 0 e a lei de formação é somar 1 ao termo anterior. sentadas no livro apenas se- quências com recursividade de (0, 0 1 1, 0 1 1 1 1, 0 1 1 1 1 1 1, 0 1 1 1 1 1 1 1 1, ») primeira ordem, ou seja, em que o termo an depende apenas do Ou seja: termo anterior an 2 1. Porém, é possível definir sequências com (0, 1, 2, 3, 4, 5, ») recursividades de outras or- dens: segunda, terceira, etc.; • Sequência em que o 1o termo é 3 e a lei de formação é multiplicar o termo anterior por 2. por exemplo, a sequência de Fibonacci. (3, 2 ? 3, 2 ? 2 ? 3, 2 ? 2 ? 2 ? 3, 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3, 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3, ») Se julgar conveniente, escre- Também podemos escrever: va na lousa a sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, È), Ou seja: (3, 2? 3 , 2? 6 , 2? 12 , 2? 24 , 2? 48 , ») chamada de sequência de Fibo- nacci, e desafie-os a descobrir o 6 12 24 48 96 próximo termo, explicando o mo- tivo da escolha. Em seguida, (3, 6, 12, 24, 48, 96, ») convide-os a pesquisar mais in- formações sobre Leonardo de • Sequência na qual o 1o termo é 5 e a regra é multiplicar o termo anterior por 3 e somar 1. Pisa (o Fibonacci) e a sequência de Fibonacci. Ou seja: (5, 3 ? 5 1 1, 3 ? 16 1 1 , 3 ? 49 1 1, ») Atividade 96 16 49 148 Nesta atividade trabalha-se a (5, 16, 49, 148, ») escrita de sequências a partir do primeiro termo e da lei de forma- Observação: Quando não é possível estabelecer nenhuma regra que defina cada termo em relação ao ção fornecidos. anterior, dizemos que a sequência é não recursiva. É o caso, por exemplo, da sequência dos números primos Antes de resolverem esta ati- vidade, classifique, junto com os (2, 3, 5, 7, 11, »). alunos, a sequência de cada item em finita ou infinita. Após 96. a) (2, 6, 18, 54, 162, ») (3 3 2 5 6; 3 3 6 5 18; 3 3 18 5 54; 3 3 54 5 162; ») perceberem que todas são infi- nitas, peça que representem Atividades b) (10, 5, 0, 25, 210, ») (10 2 5 5 5; 5 2 5 5 0; 0 2 5 5 25; 25 2 5 5 210; ») 4 ou 5 termos de cada sequência e lembre-os de colocar reticên- 96 Escreva no caderno em cada item a sequência c) O 1o termo é 4 e a regra é multiplicar o termo cias para indicar que as sequên- recursiva dada. anterior por 2 e somar 5. cias têm infinitos termos. a) O 1o termo é 2 e a lei de formação é multiplicar o termo anterior por 3. d) O 1o termo é 10 e a lei de formação é subtrair 1 Atividade 97 do termo anterior e multiplicar por 2. Os alunos, em dupla, devem b) O 1o termo é 10 e a lei de formação é subtrair 5 do termo anterior. 97 Inventem uma lei de formação para uma se- criar uma lei de formação para quência numérica recursiva e registrem a lei e a uma sequência numérica recur- sequência no caderno. Resposta pessoal. siva e anotá-la junto com a se- quência no caderno. Aproveite a 96. c) (4, 13, 31, 67, ») (2 3 4 1 5 5 13; 2 3 13 1 5 5 31; 2 3 31 1 5 5 67; ») Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 41 oportunidade para fazer um no- d) (10, 18, 34, 66, ») (2 3 (10 2 1) 5 18; 2 3 (18 2 1) 5 34; 2 3 (34 2 1) 5 66; ») vo desafio: os alunos apresen- tam a lei de formação e os cole- gas precisam representar a se- quência referente a ela. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 41

Revisando seus Revisando seus2c7onhecimentos conhecimentos 1 Alguns cristais de gelo, na forma de cilindro oco, se for-Kenneth Libbrecht/SPL/Fotoarena 4 Uma empresária do ramo alimentício, no intuito de Principais habilidades verificar o lucro da empresa, solicitou ao departa- da BNCC mam a 24 °C. Outros, na forma estrelada, se formam mento financeiro um extrato bancário com os últimos lançamentos da semana. EF07MA03 EF07MA14 a 210 °C. Data Lançamento Valor (em reais) Saldo (em reais) EF07MA04 EF07MA36 Micrografia (fotografia da imagem da tela de 11/2 Saldo anterior — 5 000,00 Explique aos alunos que nes- um microscópio ta seção terão a oportunidade de eletrônico) de um Pagamento de 2780,00 4 220,00 revisar grande parte dos conteú- cristal de gelo com a 12/2 dos explorados neste capítulo. forma estrelada. Esse tipo de cristal de gelo fornecedores Se necessário, antes de soli- costuma ter entre citar a resolução das atividades, 2 mm e 4 mm de Pagamento de 2 870,00 retome as explorações realiza- medida de diâmetro. 13/2 21 350,00 das na reta numerada e recorde a eles que um número negativo fornecedores com valor absoluto maior é me- nor do que um número negativo Pagamento de 2840,00 2 030,00 com valor absoluto menor. 14/2 Atividade 1 fornecedores Esta atividade apresenta a a) Qual desses tipos de cristal se forma na tempera- Recebimento 1 200,00 3 230,00 comparação de números intei- tura mais baixa? Forma estrelada. 15/2 ros para colocá-los em ordem crescente ou para determinar b) Quais medidas de temperatura inteiras estão en- de clientes valores que se encontram entre tre 210 °C e 26 °C. 29 °C, 28 °C e 27 °C. os números apresentados. Pagamento de 2370,00 2 Suponha que em uma cidade a medida da temperatura 16/2 23 600,00 Atividade 2 era de 6 °C às 22 horas e, às 4 horas da manhã do dia Esta atividade solicita a des- seguinte, a medida era de 22 °C. Quantos graus Celsius funcionários a medida da temperatura baixou nesse período? coberta da variação das medi- Saldo da — 2370,00 das de temperatura, o que pode 8 °C ((22) 2 (16) 5 (28)) 17/2 ser feito por cálculo ou na reta numerada. Peça aos alunos que 3 Examine o gráfico com as medidas de temperatura conta‑corrente respondam à pergunta desta ati- máxima e mínima em 4 cidades A, B, C e D da região vidade e alerte-os de que não Sul do país, em um mesmo dia. No dia 17/2, o saldo da conta-corrente era, em reais, de: devem escrever que a medida de temperatura baixou 28 ¡C, Medidas de temperatura em X a) 2370,00. c) 10 370,00. pois isso é um pleonasmo, o que cidades da região Sul do país pode ser melhor explicado nas b) 22 770,00. d) 12 770,00. aulas de Língua Portuguesa. Medida de temperatura (em °C) 5 Qual é o valor de (25)2 2 3 1 1? 23 (25 2 3 1 1 5 23) Atividade 3 10 Esta atividade se baseia na 8 6 Fernanda foi a um supermercado realizar uma pes- 6 quisa sobre conservação de alimentos. Ela montou a interpretação do gráfico. Para fa- 4 seguinte tabela com os dados coletados. cilitar a resolução, peça aos alu- 2 nos que anotem as 2 medidas 0Banco de imagens/Arquivo da editora Medida de temperatura de refrigeração de temperatura referentes a ca- de alguns alimentos da cidade. 22 A B C D Cidade 24 Alimento Medida de temperatura Atividade 5 26 Para a resolução desta ativi- 28 Frutas, verduras e legumes 7 °C 210 Carnes e aves 0 °C dade, devem ser efetuadas ope- Peixes 24 °C rações com números inteiros. Máxima Mínima Pratos prontos congelados 215 °C Leites e derivados 3 °C Atividade 6 Esta atividade trabalha a Tabela elaborada para fins didáticos. construção de gráfico com nú- Gráfico elaborado para fins didáticos. a) Construa em papel quadriculado um gráfico de meros inteiros em situações co- barras verticais com os dados dessa tabela. tidianas. a) Qual cidade teve medida de temperatura mínima b) Qual desses alimentos é refrigerado com menor Além disso, no item c, é pedi- de 28 °C? Cidade D. medida de temperatura? E com maior medida? da uma pesquisa em grupo so- bre a conservação de alimentos, b) Qual cidade teve medida de temperatura máxima c) Por que é importante saber como conservar que pode ser realizada em con- os alimentos? Converse com os colegas e com os junto com as aulas de Ciências. de 1 °C? Nenhuma. professores de Matemática e de Ciências a respei- Comente com a turma a impor- to disso. Vocês podem realizar uma pesquisa sobre tância do acompanhamento das c) Cite 2 medidas de temperatura do gráfico que indi- conservação de alimentos no supermercado, como medidas de temperatura dos fez Fernanda, e registrar no caderno as conclusões freezers de refrigeração e as cam números inteiros opostos. Exemplo de e 24. a que chegarem. Resposta pessoal. consequências do mal acondi- resposta: 14 cionamento ou de um processo 6. b) Pratos prontos congelados; frutas, verduras e legumes. de descongelar e congelar um d) Qual medida de temperatura do gráfico tem maior valor absoluto? 10 °C e) Qual é a diferença entre a maior e a menor medida de temperatura do gráfico? 18 °C (10 2 (28) 5 10 1 8 5 18) 42 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências mesmo produto. Os alunos podem pesquisar a medida de temperatura ideal de produtos refrigerados ou congelados inclusive nas embalagens dos produtos. Veja a resposta do item a desta atividade na página XLVII deste Manual. 42 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

7 Escreva no caderno os números inteiros em ordem 10 Um sistema de eixos cartesianos foi colocado sobre Revisando seus crescente, ou seja, do menor para o maior. um mapa do estado do Paraná. O par ordenado (0, 0) conhecimentos a) 0, 24, 22, 13. 24, 22, 0, 13. foi associado à cidade de Ivaiporã. Atividades 8 e 9 b) 12, 22, 14, 25. 25, 22, 12, 14. Estado do Paraná com eixos cartesianos Nestas atividades são traba- c) 27, 210, 26, 24. 210, 27, 26, 24. d) 29, 0, 210, 25. 210, 29, 25, 0. y Banco de imagens/Arquivo da editora lhadas situações com números 8 Analise esta imagem e determine no caderno o nú- inteiros que envolvem medidas mero correspondente à medida de altitude do que é Maringá +6 Centenário do Sul N de altitude, operações financei- indicado em cada item. Lembre-se: ao nível do mar, a ras, medidas de temperatura, medida de altitude é zero. Cianorte +5 Cornélio Procópio operações que envolvem datas a.C. e d.C. e saldo de gols. As imagens desta página não estão Umuarama +4 Londrina O L representadas em proporção. S Atividade 10 +3 x Esta atividade apresenta um 30 cm +2 Apucarana mapa do estado do Paraná no plano cartesiano e trabalha a lo- Campo Mourão +1 Ivaiporã Telêmaco Borba calização de cidades no plano a partir das coordenadas dadas e –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 a escrita dos pares ordenados –1 referentes às cidades pedidas. Toledo –2 Pitanga Ponta Grossa Atividade 11 25º S No item b desta atividade, é Cascavel –3 Curitiba trabalhada a escrita de uma se- –4 PARANÁ quência a partir da lei de forma- ção. Se necessário, retome as –5 Irati Paranaguá ATLOÂCNETIACNOO transformações com unidades de medida de massa. –6 Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora Pato Branco –7 –8 0 100 km –9 50º O Fonte de consulta: IBGE. Atlas geogr‡fico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. Observe alguns caminhos possíveis nesse mapa. 15 cm • (12, 14): saindo de (0, 0), andando 2 para a direita (12) e, em seguida, 4 para cima (14), chegamos a Londrina. Londrina: (12, 14) 0 • Campo Mourão: para localizar essa cidade, partindo 2m 9m de (0, 0), devemos andar 3 para a esquerda (23) e 1 para cima (11). 4m Campo Mourão: (23, 11) a) Peixe. 23 d) Fundo do barco. 0 • Irati: (14, 25) b) Automóvel. 115 e) Planta aquática. 25 • Pitanga: (0, 22) c) Topo de árvore. 145 f) Estrela-do-mar. 29 • Telêmaco Borba: (14, 0) • Toledo: (27, 21) 9 Responda às perguntas no caderno e indique a res- posta com um número inteiro. Agora, localize a cidade por meio do par ordenado ou indique o par ordenado correspondente à cidade e re- a) Qual será o novo saldo de Vera se ela tinha saldo po- gistre no caderno. sitivo de R$ 200,00 e fez uma retirada de R$ 320,00? a) Pato Branco: ( , ) (23, 28) b) Maringá: ( , ) (22, 15) Saldo negativo de R$ 120,00 (2120). (200 2 320 5 2 120) c) : (11, 13) Apucarana. d) : (0, 16) Centenário do Sul. b) Em determinado dia, a medida de temperatura em e) Cornélio Procópio: ( , ) (14, 15) Moscou, capital da Rússia, passou de 8 graus Cel- f) Curitiba: ( , ) (19, 24) sius abaixo de zero para 2 graus Celsius abaixo de g) : (26, 23) Cascavel. zero. Qual foi a variação dessas medidas de tem- h) : (23, 14) Cianorte. peratura? Subiu 6 graus Celsius (16). ((22) 2 (28) 5 22 1 8 5 16) c) Em qual ano nasceu uma pessoa que viveu 70 anos e morreu no ano 50 d.C. (depois de Cristo)? No ano 20 a.C. (220). (50 2 70 5 220) d) Um time disputou 6 partidas de futebol: venceu 3 delas por 2 a 1, 4 a 2 e 3 a 0; perdeu 2 delas por 11 Medida de massa. 3 a 1 e 2 a 0, empatou uma vez por 2 a 2. Qual foi a) Descubra a regularidade desta sequência. Depois, saldo de gols nessas 6 partidas? e) Um país exportou produtos no valor de 7 bilhões copie-a no caderno e complete. 5 kg 250 g; 4 kg 200 g. (8 kg e 400 g, 7 kg 350 g, 6 kg 300 g, , ) de dólares e importou produtos no valor de 9 bi- b) Forme no caderno uma sequência de 5 termos na lhões de dólares. Esse país teve superávit (lucro) qual o 1o termo é 200 g e, a partir do 2o termo, cada ou déficit (prejuízo)? De quanto? termo é o triplo do anterior. 9. d) Saldo positivo de 2 gols (12). (Marcou: 2 1 4 1 3 1 1 1 2 5 12; (200 g, 600 g, 1 kg 800 g, 5 kg 400 g, 16 kg 200 g) 43 sofreu: 1 1 2 1 3 1 2 1 2 5 10; 12 2 10 5 2) Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 e) Déficit de 2 bilhões de dólares (22 000 000 000). (7 2 9 5 22) MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 43

Testes oficiais Testes oficiais Principais habilidades 1 (Saresp) Leia a notícia abaixo. 4 (Saresp) Imagine um jogo em que um participante da BNCC deva adivinhar a localização de algumas peças de- Uma onda de frio já causou 46 mortes nos últimos dias senhadas em um tabuleiro que está nas mãos do EF07MA03 EF07MA36 nos países da Europa Central. No centro da Romênia, outro jogador. Veja um desses tabuleiros com uma a temperatura chegou a 232 °C na noite passada. No peça desenhada. EF07MA04 noroeste da Bulgária, a temperatura era de 222 °C e as ruas ficaram cobertas por uma camada de 10 cm Expique aos alunos que, nes- de gelo. Foram registradas as marcas de 230 °C na ta página, encontrarão ques- República Tcheca e de 223 °C na Eslováquia. tões extraídas de provas ofi- Banco de imagens/ ciais, facilitando a análise das Arquivo da editora habilidades desenvolvidas e dos conteúdos que ainda devem ser Banco de imagens/Arquivo da editora retomados. Segundo a notícia, o país em que a temperatura esta- ABCDE FGH I J 1 Atividades 1 a 3 va mais alta é: (232 < 230 < 223 < 222) 2 Estas atividades apresentam 3 a) Romênia. c) República Tcheca. 4 situações sobre medidas de 5 temperatura em que são traba- X b) Bulgária. d) Eslováquia. 6 lhadas a comparação entre nú- 7 meros inteiros negativos e a in- 2 (Saeb) A figura a seguir é uma representação da lo- 8 terpretação da representação calização das principais cidades ao longo de uma es- 9 na reta numerada. Além disso, a trada, onde está indicada por letras a posição dessas 10 atividade 2 também se refere à cidades e por números as temperaturas registradas variação de medidas de tempe- em °C. ratura na reta. A BC DE FGH I J KLM Na atividade 1, os alunos po- dem recorrer à localização dos 29 27 números na reta numerada para fazer as comparações. Veja um Com base na figura e mantendo-se a variação de tem- A sequência de comandos que acerta as quatro partes exemplo abaixo. peratura entre as cidades, o ponto correspondente a da peça desenhada é: 0 °C estará localizado: Na atividade 3, antes de pedir a) sobre o ponto M. a) D4, E3, F4, E4. c) D4, E3, F3, E4. que leiam cada alternativa, in- b) entre os pontos L e M. centive-os a interpretar os da- X c) entre os pontos I e J. b) D4, E4, F4, E5. X d) D4, E3, F4, E5. dos apresentados na tabela por d) sobre o ponto J. meio de algumas indagações: 5 (Obmep) O quadrado abaixo é chamado quadrado “Qual cidade teve a medida de 3 (Saeb) No mês de julho, foram registradas as tempe- mágico, porque a soma dos números de cada linha, temperatura mais baixa?”; raturas mais baixas do ano nas seguintes cidades. cada coluna e cada diagonal é sempre a mesma. Nes- “Quais medidas de temperatura te caso essa soma é 15. são menores do que 0 ¡C?”; “Qual é a diferença entre as me- Cidades Temperaturas (¡C) didas de temperatura mais bai- xa e mais alta?”. X 21 492 Y 12 Atividade 4 Z 23 357 Esta atividade trabalha a lo- A representação correta das temperaturas registradas 816 calização de coordenadas em nas cidades X, Y e Z, na reta numerada, é: um tabuleiro de maneira seme- Complete no caderno os cinco números que faltam lhante a um jogo de batalha a) Ilustração: Banco de imagens/Arquivo da editora no quadrado abaixo para que ele seja um quadrado naval, o que envolve conceitos mágico. vistos nas atividades de coorde- XO YZ nadas cartesianas. b) 212 16 24 Ilustrações: Banco de imagens/ Atividade 5 O X YZ 8 0 28 Arquivo da editora Esta atividade é relacionada 4 216 12 c) ao quadrado mágico. Então, leia Z XOY o enunciado com a turma a fim de que compreendam os funda- X d) mentos dos quadrados mágicos Z XO Y e destaque que nem todo qua- drado mágico tem soma 15, co- 44 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências mo o do exemplo. 250 245 240 235 230 225 220 215 210 25 0 Banco de imagens/Arquivo da editora Se necessário, retome com a turma os quadrados mágicos Legenda explorados anteriormente e so- Romênia licite aos alunos que façam uma Bulgária pesquisa sobre os tipos de qua- República Tcheca drados mágicos e que apresen- Eslováquia tem para a turma os exemplos que encontraram. 44 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

VERIFIQUE Marianas, localizada no oceano Pacífico, a leste das Atividade 2 O QUE ESTUDOU Filipinas, com medida de altitude (ou profundidade) Esta atividade tem por obje- de aproximadamente 211 034 m. 3. Não, pois 15 °C indica 5 graus acima de zero e 25 °C a) Qual desses números é maior? Compare-os no ca- tivo verificar se os alunos com- indica 5 graus abaixo de zero. preenderam como distribuir os derno utilizando o sinal >. 8 848 > 211 034 números na reta numerada. 1 Observe estes números. b) Qual é o módulo ou valor absoluto de 211 034? Espera-se que, diante das ati- vidades trabalhadas, eles re- 13 26 22 0 110 21 16 11 034 solvam essa atividade sem grandes dificuldades. 28 15 17 212 116 29 c) Qual é a diferença entre a maior e a menor dessas medidas de altitude? Atividade 3 a) Quais números pertencem ao conjunto dos núme- Esta atividade visa analisar o ros inteiros? Todos. 19882 m (8848 2 (211034) 5 8848 1 11034 5 19882) conteúdo de simétrico ou opos- b) Quais pertencem ao conjunto dos números intei- 7 Onde estão os eixos? Os pontos A, B, C represen- to de um número inteiro. Reto- ros negativos? 26, 22, 21, 28,212 e 29. tados nesta malha quadriculada têm coordenadas me com os alunos que, apesar A(4, 0), B(1, 21) e C (1, 2). de possuírem o mesmo valor ab- c) Quais números são maiores do que 15? soluto (5), os números 25 °C e y 15 °C indicam medidas de tem- 110, 16, 17 e 116. peratura diferentes: 5 graus 2C abaixo de zero e 5 graus acima d) Quais números ficam entre 24 e 14? de zero, respectivamente. 1D 13, 22, 0 e 21. Atividades 5 e 6 A Dê atenção especial a estas e) Quais números correspondem a números naturais? 0 1 2 3 4 5 6x atividades, pois envolvem inter- 13, 0, 110, 16, 15, 17 e 116. 21 B E pretação dos dados do texto, comparação de números intei- f) Quais são os 2 números cuja a soma é igual a zero? a) Reproduza essa figura em uma malha quadriculada. ros, uso do módulo, cálculo da b) Trace o eixo x e o eixo y na malha quadriculada e diferença entre medidas de alti- 26 e 16. tude e comparação entre as localize a origem O dos eixos. subtrações permitidas no con- g) Quais são os 2 números cujo produto é igual a c) Determine as coordenadas dos pontos D e E. junto dos números naturais e as 230? 26 e 15. permitidas no conjunto dos nú- Banco de imagens/ D(3, 1) e E(2, 21). meros inteiros. Arquivo da editora 8 Crie uma sequência recursiva. Troque com um co- Atividade 8 Banco de imagens/Arquivo da editoralega e peça a ele que identifique a lei de formação daOs alunos devem criar 2 se- 2 Quais números correspondem aos pontos A, B e C sequência que você criou e você identifica a da dele. nesta reta numerada? A: 5 12, B: 28 e C: 16. quências (uma recursiva e uma Resposta pessoal. não recursiva) e, em seguida, de- B AC safiar um colega a descobrir o pa- 25 0 14 Atenção drão ou lei de formação. Comente com a turma que o criador da se- 3 As medidas de temperaturas de 15 °C e 25 °C são as Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique quência precisa saber essas in- mesmas? Justifique. em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- formações para que possa averi- do maneiras de reforçar seu aprendizado. guar se o colega acertou ou não. 4 O que podemos dizer sobre a subtração 3 2 7 con- Autoavaliação siderando o conjunto dos números naturais (N)? E o As questões de autoavalia- conjunto dos números inteiros (Z)? Em N é impossível; ção apresentadas propiciam em Z é 3 2 7 524. aos alunos refletir sobre os es- tudos, as atitudes e as aprendi- 5 Pense no caso da atividade anterior. Você acha zagens. Dê um tempo para que cada aluno reflita individual- que foi preciso ampliar o conjunto dos números mente sobre elas e registre as respostas no caderno. Em se- naturais para o conjunto dos números inteiros? guida, àqueles que desejarem, permita que compartilhem as Por quê? Dê exemplos que justifiquem sua res- respostas com os colegas. posta. Resposta pessoal. Ao longo do ano, é importante a retomada dos registros de au- 6 Estudamos que o ponto mais alto da superfície ter- toavaliação feitos no fim de cada restre é o monte Everest, na fronteira da China com capítulo, para que eles possam o Nepal, com medida de altitude de aproximada- perceber e mensurar o quanto mente 8 848 m, e o ponto mais baixo é a fossa das aprenderam e melhoraram em diversos aspectos. Autoavaliação Em relação às perguntas pro- Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita postas nesta página, converse sobre elas. Respostas pessoais. com a turma sobre a importân- cia de comparecer a todas as au- • Compareci a todas as aulas e fui pontual? las e ser pontual. Enfatize que • Mantive-me atento às aulas? sanar todas as dúvidas é essen- • Procurei sanar minhas dúvidas com o professor ou com os colegas? cial para garantir um bom de- • Realizei com empenho todas as tarefas para casa? sempenho. Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 45 Verifique o que estudou que puderam ser resolvidas com autonomia. Se julgar pertinente, oriente-os a retomar as anotações pessoais realizadas ao longo das Principais habilidades da BNCC explorações ou revisitar páginas no livro para auxiliar com alguns EF07MA03 EF07MA04 EF07MA14 conceitos. Comente com os alunos que, neste momento, terão a oportunida- Atividade 1 de de revisar os conceitos desenvolvidos neste capítulo. Se julgar Os alunos devem analisar a quais conjuntos pertencem os núme- conveniente, peça que resolvam cada uma das atividades individual- mente, anotando as possíveis dúvidas e sinalizando as atividades ros da atividade. Se necessário, retome as explorações sobre os con- juntos dos números inteiros, dos naturais e dos inteiros negativos, e os elementos que os compõem. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 45

Abertura CAPÍTULO Revendo e aprofundando múltiplos, divisores Principais habilidades 2 e frações da BNCC YAN Comunicação/Arquivo da editora EF07MA01 EF07MA08 46 Comente com os alunos que, neste capítulo, serão retomados Explique aos alunos que esse tipo de organização (definir os ho- e ampliados alguns conceitos rários dos ônibus, a quantidade de vezes que eles passarão pelo vistos no 6o ano: múltiplos e di- mesmo lugar, o número de veículos disponíveis para fazer o trans- visores de um número natural, porte e os momentos com mais passageiros) é responsabilidade frações equivalentes, simplifi- de um profissional que estuda a necessidade da população local, cação de frações, comparação baseando-se no número de habitantes do bairro e na frequência de frações, operações com fra- com que essas pessoas se locomovem dentro da cidade, e calcula ções e decimais, entre outros. o que será suficiente para suprir a demanda em cada horário. É a aplicação da Matemática no cotidiano. Reúna a turma para que os alunos possam analisar e inter- pretar a ilustação da rodoviária. Em seguida, pergunte quais deles utilizam ônibus para ir à escola ou se locomover pela ci- dade. Questione também se utilizam ônibus em viagens com a família ou se conhecem alguém que utilize habitual- mente esse tipo de transporte. Pergunte a eles se conhe- cem as linhas de ônibus exis- tentes no bairro onde moram e a rota que realizam ou, ainda, quais linhas de ônibus têm pa- radas próximas à escola. A partir das respostas, crie mais algumas indagações, co- mo: “Vocês conhecem os horá- rios em que o ônibus passa pe- lo bairro onde moram?”; “Vocês conhecem os horários em que o ônibus passa pelas imedia- ções da escola?”; “Vocês acre- ditam que esses horários se- guem algum padrão?”; “Acredi- tam que o número de vezes que o ônibus passa por essas ime- diações obedece a alguma fre- quência? Se sim, qual?”. Se necessário, anote na lou- sa as informações que os alu- nos apresentarem e, caso resi- dam em bairros diferentes, faça uma tabulação desses horários para que entendam que o sim- ples fato de os ônibus circula- rem pelas ruas da cidade obe- dece a um padrão matemático, ou seja, que a Matemática é uti- lizada para organizar os horá- rios dos ônibus e a frequência com que circulam pela cidade. Pergunte também se obser- vam que, em determinados ho- rários, a frequência de circula- ção dos ônibus é maior do que em outros horários. Explique que, como as pessoas se deslo- cam para o trabalho ou para a escola pela manhã, a circulação de passageiros é maior nesse período e, dessa maneira, a em- presa de ônibus precisa aumen- tar a circulação da frota para se adequar à necessidade da po- pulação. 46 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Em terminais rodoviários das capitais brasileiras, é comum serem vendidas Abertura passagens para as cidades próximas e também para outras capitais do país. Em alguns terminais rodoviários, também podemos encontrar passagens para países Mostre aos alunos o quadro vizinhos do Brasil. com os horários de partida dos ônibus e pergunte a eles se ob- Os horários das passagens costumam ser fixos em cada dia da semana e com servam algum padrão nesses regularidade entre um horário e o próximo. horários. Espera-se que eles respondam que o ônibus para Considere um terminal rodoviário que ofereça as seguintes opções de horário a cidade A parte de 4 em 4 ho- para as cidades A e B. ras, e o ônibus para a cidade B parte de 6 em 6 horas. YAN Comunicação/Arquivo da editora Após terem encontrado os Você percebeu que os números que aparecem nos horários da placa para a cidade A padrões, pergunte a eles por são múltiplos de 4? Percebeu também que 4 é divisor de cada um desses números? que acham que as empresas de ônibus definiram esses nú- Neste capítulo, vamos retomar e ampliar o estudo de múltiplos e de divisores de meros como intervalo entre as números naturais, assim como das aplicações desses conceitos, por exemplo, no saídas dos ônibus. Verifique se estudo das frações. algum aluno levanta a hipótese de que é devido à quantidade de horas existentes em um dia (24 horas), pois ambos os nú- meros (4 e 6) são divisores de 24, ou seja, ao dividirmos 24 por 4 ou por 6, chegamos a um valor inteiro. Então, solicite a leitura das informações e a resolução das questões desta página, sem fazer qualquer intervenção. Ob- serve as estratégias dos alu- nos e incentive-os a repensá- -las, quando necessário. Antes de passar à próxima página, pergunte se observam algum padrão ou frequência em outros eventos que ocor- rem no cotidiano. Recolha as situações por eles apresenta- das e complemente-as, se ne- cessário. Converse com os colegas sobre as questões seguintes e registre as respostas no caderno. 1 Qual característica podemos perceber nos números que aparecem nos horários da placa para a cidade B? Exemplo de resposta: São números múltiplos de 6. 2 O número 6 é divisor de quais números que apareceram nessa placa? De todos. 3 Em quais horários do dia partem, ao mesmo tempo, ônibus para as cidades A e B? 0 h e 12 h. 4 A sequência  3 , 6, 9, 12 , 15 , È é a sequência das frações 3 . 5 10 15 20 25 equivalentes a 5 Quais números aparecem nos numeradores? E nos denominadores? Múltiplos de 3 diferentes de 0; múltiplos de 5 diferentes de 0. 5 Você já viajou com seus familiares e amigos? Conte um pouco de sua experiência. Resposta pessoal. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 47 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 47

1 Múltiplos e 1 Múltiplos e divisores divisores de números naturais de números naturais Principal habilidade As ideias de múltiplo e de divisor de números naturais podem ajudar a resolver da BNCC situações do cotidiano. Vamos ver 2 exemplos. EF07MA01 Explorar e descobrir É interessante dizer aos alu- Com um colega, tentem resolver estas situações com os conhecimentos que vocês já têm. nos que, neste momento, será possível perceber a utilização 1a situação dos conceitos de múltiplos e di- visores em diferentes situações Em um jogo para 2 ou mais pessoas há 18 fichas vermelhas e 24 fichas azuis para serem distribuídas igualmen- do cotidiano. te entre os participantes. Nenhuma ficha pode sobrar. Explorar e descobrir Para resolver as atividades a) Esse jogo pode ser disputado por 3 participantes? Sim. (18 4 3 5 6 e 24 4 3 5 8) desta seção, talvez seja neces- b) Esse jogo pode ser disputado por 4 participantes? Não. (18 4 4 5 4 e resto 2; 18 não é divisível por 4 e, então, sário retomar com a turma os sobrariam fichas vermelhas; 24 4 4 5 6.) conhecimentos que já têm so- c) Qual é o número máximo de pessoas que podem participar desse jogo? 6 pessoas. bre múltiplos e divisores. Além disso, é interessante propor que 2a situação Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora montem no caderno esquemas para facilitar a visualização dos No autorama de Paulo foram colocados 2 car- problemas. rinhos: o carro vermelho, que dá uma volta comple- ta na pista em 40 segundos, e o carro azul, que faz Na primeira situação, pergun- o mesmo percurso em 60 segundos. te aos alunos por que acham que o jogo pode ser disputado Se esses carrinhos saírem juntos, então depois por 3 jogadores. Desenvolva de quanto tempo eles voltarão a ficar alinhados à com eles o conceito e o raciocí- faixa de partida? 2 minutos ou 120 segundos. nio sobre divisores, porém, sem falar sobre os processos, traba- Agora, vamos recordar e aprofundar os conceitos de múltiplos e de divisores de 152 8 lhando apenas a noção intuitiva. um número natural, que você estudou no volume 6. 28 19 Pergunte: “Os números 18 e 24 072 podem ser divididos por um Os múltiplos de 5 são m(5): 0, 5, 10, 15, 20, 25, », pois qualquer 27 2 mesmo número? Qual número um desses números, quando dividido por 5, tem resto 0 (zero). (ou quais números)?”. 00 Os divisores de 16 são d(16): 1, 2, 4, 8, 16, pois quando dividimos Em seguida, trabalhe com a 16 por qualquer um desses números o resto da divisão é 0 (zero). resto 0 turma a segunda situação. Se ne- (divisão exata) cessário, diga-lhes que o próximo Em um clube será realizado um torneio de basquete infantil para o qual estão momento em que os carrinhos inscritas 152 crianças. Ao formar equipes de 8 crianças, alguma criança ficará sem voltarão a ficar alinhados à faixa equipe? de partida deve ser um número que possa ser dividido, sem so- Para responder a essa questão, precisamos saber se 152 4 8 é uma divisão brar resto, pelos tempos das vol- exata (ou seja, tem resto 0) ou não exata (ou seja, tem resto diferente de 0). tas completas dos 2 carrinhos. Observe ao lado. Então, pergunte a eles: “Qual nú- mero pode ser dividido ao mes- Como a divisão é exata, podemos afirmar que: mo tempo por 40 e por 60?”. • 8 é divisor de 152 ou 152 é divisível por 8; • 8 divide 152 ou 8 é fator de 152; Depois que os alunos com- • 152 é múltiplo de 8. preenderem, por meio dessa ati- Logo, ao serem formadas equipes de 8 crianças, não sobrarão crianças sem vidade prática, o conceito e a equipe. aplicação de múltiplos e diviso- res, peça que leiam as informa- 48 CAPÍTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e fra•›es ções do livro. Se necessário, tra- balhe outros exemplos e proble- mas de aplicação. 48 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Atividade resolvida passo a passo 1 Múltiplos e divisores de (Obmep) Uma professora distribuiu 286 bombons igualmente entre seus alunos do 7o ano. No dia seguinte, ela números naturais distribuiu outros 286 bombons, também igualmente, entre seus alunos do 8o ano. Os alunos do 8o ano reclama- Inicialmente, leia com os alu- nos o problema da divisão dos ram que cada um deles recebeu 2 bombons a menos que os alunos do 7o ano. Quantos alunos a professora tem bombons e leve-os a compreen- der que se trata de um problema no 8o ano? no qual será preciso dividir igualmente certo valor por outro a) 11 b) 13 c) 22 d) 26 e) 30 sem que haja resto, ou seja, a divisão deve ser exata. Lendo e compreendendo Depois, ajude os alunos a Se o número de bombons distribuído em cada ano foi o mesmo e os alunos do 8o ano receberam 2 bombons a planejar a resolução, anotando menos do que os alunos do 7o ano, podemos concluir que o 8o ano tem mais alunos do que o 7o ano. Como não na lousa as considerações de- sobraram bombons em nenhum dos casos, a divisão de 286 pelo número de alunos de cada ano é exata, ou seja, les. Em seguida, peça a eles 286 é divisível pelo número de alunos do 7o ano e pelo número de alunos do 8o ano. A pergunta é: Quantos alunos que executem o que planeja- o 8o ano tem? ram e verifiquem se a resposta a que chegaram está correta, Planejando a solução registrando os processos rea- lizados pela turma na lousa. Para resolvermos esta atividade, devemos observar que os alunos do 8o ano receberam 2 bombons a menos que os alunos do 7o ano e que esses números de alunos devem ser divisores de 286, já que a divisão dos bombons Então, peça que comparem foi exata. Então, devemos determinar os divisores de 286 para identificar quais deles podem representar o número a resolução que fizeram com de alunos de cada ano. a apresentada no livro e que, em grupos, ampliem a atividade. Executando o que foi planejado Ao final, peça que compartilhem as situações criadas e desafiem Os divisores de 286 são d(286): 1, 2, 11, 13, 22, 26, 143, 286. os colegas a resolvê-las, sempre Como os alunos do 8o ano receberam 2 bombons a menos que os alunos do 7o ano, estamos procurando os justificando as escolhas que fi- divisores que têm 2 unidades de diferença. No caso, apenas 11 e 13 apresentam essa característica. zeram. Aproveite para mostrar Então, cada aluno do 7o ano recebeu 13 bombons e cada aluno do 8o ano, 11 bombons. aos alunos que os passos segui- dos para o problema inicial po- Como eram 286 bombons e cada aluno do 8o ano recebeu 2 8 6 11 dem ser utilizados também para 11 bombons, efetuamos: 2 2 2 26 outros problemas. Logo, há 26 alunos no 8o ano. 066 26 6 00 Verificando 2 8 6 13 2 2 6 22 Calculamos o número de alunos do 7o ano: 26 22 6 00 Os alunos do 7o ano receberam 13 bombons (286 4 22 5 13) e os alunos do 8o, 11 bombons (286 4 26 5 11), o que confirma o resultado. Emitindo a resposta A alternativa correta é a d (26 alunos). Ampliando a atividade E se a professora, ao distribuir os bombons, tivesse observado que os alunos do 8o ano haviam recebido 4 bombons a menos que os alunos do 7o ano, então quantos seriam os alunos do 7o ano? Solução No caso, os divisores escolhidos seriam 22 e 26, cuja diferença é 4. Então, cada aluno do 7o ano teria recebido 26 bombons. Logo, o número de alunos do 7o ano seria 286 4 26 5 11. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 49 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 49

1 Múltiplos e Atividades 9. a) 25 alunos. (25 4 2 5 12 e resto 1; 25 4 3 5 8 e resto 1; 25 4 4 5 6 e resto 1) divisores de 10. a) Sim; com cédulas de R$ 2,00, de R$ 5,00 ou de R$ 10,00, porque 70 é múltiplo números naturais de 2, de 5 e de 10, mas não é múltiplo de 20, de 50 ou de 100, ou porque 2, 5 Atividades 1 a 6 Estas atividades trabalham e 10 são divisores de 70 e 20, 50 e 100 não são divisores de 70. os conceitos de múltiplos e di- b) Não, porque 123 não é múltiplo de 5 ou porque 5 não é divisor de 123. visores. 1 Escreva no caderno. m(7): 0, 7, 14, 21, 28, 35, » b) 1 260 é múltiplo de 7? Sim. (1 260 4 7 5 180) A atividade 5 propõe a cons- a) A sequência dos múltiplos de 7. c) 378 é divisível por 12? Não. (378 4 12 5 31 e trução de um quadrado mágico. resto 6) Seria interessante orientar os b) A sequência dos múltiplos de 20. d) 14 é divisor de 182? Sim. (182 4 14 5 13) alunos a dispor os múltiplos de m(20): 0, 20, 40, 60, 80, 100, » outro número da mesma manei- 9 Paulo está dando aula de Matemática para uma ra que fizeram com os múltiplos 2 Responda no caderno e justifique. de 3 para perceber que conti- nuam formando quadrados má- a) 72 é múltiplo de 8? Sim, pois na divisão de 72 por 8 turma que tem entre 20 e 35 alunos. Ele quer gicos. Além disso, podem com- o resto é zero. montar grupos nessa turma, mas encontrou um parar as somas mágicas obtidas problema: se ele formar grupos de 2 alunos, en- em todos os casos, verificando b) 46 é múltiplo de 6? Não, pois na divisão de 46 por 6 que são múltiplas de 15. c) 99 é múltiplo de 9? o resto é 4. Sim, pois na divisão de 99 por 9 o resto é zero. Atividades 7 e 8 tão sobrará 1 aluno sem grupo; se ele formar gru- Essas atividades trabalham 3 Escreva no caderno. os conceitos de múltiplo e divi- a) Os divisores de 20. d(20): 1, 2, 4, 5, 10, 20. pos de 3 alunos, então também sobrará 1 aluno; sor, usando também outros ter- mos relacionados ao assunto b) Os divisores de 54. d(54): 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. e, inacreditavelmente, se ele formar grupos de (divisível e fator). Além disso, pedem que os alunos efetuem 4 Responda no caderno e justifique. 4 alunos, também sobrará 1 aluno. divisões. a) 9 é divisor de 63? Sim, pois na divisão de 63 a) Quantos alunos essa turma tem? Atividade 9 por 9 o resto é zero. Os alunos podem resolver o b) É possível formar grupos de 5 alunos sem que b) 13 é divisor de 52?Sim, pois na divisão de 52 item a desta atividade por tenta- sobre aluno nessa turma? E grupos de 6 alunos? tiva e erro, verificando quais nú- c) 8 é divisor de 87? por 13 o resto é zero. meros entre 20 e 35 atendem Não, pois na divisão de 87 por 8 o resto é 7. Sim; não. (25 4 5 5 5; 25 4 6 5 4 e resto 1) aos dados do enunciado. Porém, também podem pensar logica- 5 Construa no caderno um quadrado como este. 10 Pense nas cédulas do Real e, no caderno, faça o mente na relação dos múltiplos. Observe: 12 27 6 que se pede. O número de alunos da turma DIB Reprodução/Casa da Moeda do Brasil/ está entre 20 e 35 e deve ser o Ministério da Fazenda sucessor (1 a mais) de um nú- 9 15 21 mero que é múltiplo de 2, de 3 e de 4, ou seja, de um número que CEG é múltiplo comum desses nú- meros. 24 3 18 m(2): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, HAF 16, 18, » a) No quadrado que você construiu, coloque os múl- a) É possível juntar R$ 70,00 com cédulas de tiplos de 3, a partir do 3, seguindo a ordem alfa- mesmo valor? Se sim, de qual valor? Justifique m(3): 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, bética das letras que aparecem nos quadrinhos. sua resposta. 24, » b) O quadrado formado é um quadrado mágico? b) É possível juntar R$ 123,00 com cédulas de m(4): 0, 4, 8, 12, 16, 20, Se sim, qual é a soma mágica dele? Sim; 45. R$ 5,00? Justifique sua resposta. 24, » (A soma de cada linha, coluna ou diagonal é igual a 45.) c) Copie e complete esta tabela com os valores Múltiplos comuns de 2, 3 e 4: que faltam. 0, 12, 24, 36, » 6 Verifique no caderno se cada afirmação dada é verdadeira ou falsa, sendo a um número natural Cédulas do Real Sucessores desses múlti- diferente de 0 (zero). plos: 1, 13, 25, 37, » a) 1 é divisor de a. Verdadeira. (a 5 1 3 a) Quantidade de cédulas Valor das cédulas Quantia total b) a é divisor de a. Verdadeira. (a 5 a 3 1) Desses números, apenas o c) 3 é divisor de 42. Verdadeira. (42 5 3 3 14) 5 R$ 20,00 R$ 100,00 25 está entre 20 e 35. Logo, a d) 4 é divisor de 0. Verdadeira. (0 5 4 3 0) turma tem 25 alunos. e) 0 é divisor de 5. Falsa. (Não existe nenhum 27 R$ 5,00 R$ 135,00 número natural a para o qual 5 5 0 3 a.) 15 R$ 2,00 R$ 30,00 7 Leia esta situação-problema e faça no caderno 20 R$ 10,00 R$ 200,00 o que se pede. Se forem distribuídas igualmente 224 folhas de papel sulfite entre os 32 alunos de 8 R$ 50,00 R$ 400,00 uma turma, então sobrará alguma folha? a) Efetue a divisão que permite responder a essa 7 R$ 100,00 R$ 700,00 questão. 224 4 32 5 7 b) Verifique se essa divisão é exata ou não e es- Tabela elaborada para fins didáticos. creva as afirmações que podem ser feitas usando as expressões divisível por, múltiplo d) Copie as afirmações abaixo e complete-as com de, divisor de e fator de. os números naturais da 3a linha da tabela. c) Responda à pergunta proposta. é divisor de . 15; 30. é divisor de . 2; 30. 8 Efetue as divisões e responda no caderno. é múltiplo de . 30; 15. é múltiplo de . 30; 2. a) 495 é divisível por 9? Sim. (495 4 9 5 55) 7. b) A divisão é exata; 224 é divisível por 32; 224 é múltiplo de 32; 32 é divisor de 224; 32 é fator de 224. c) Distribuindo igualmente 224 folhas de papel sulfite entre 32 alunos não sobrará nenhuma folha. 50 CAPêTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações 50 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Lembrando os conceitos de número primo afirmação, incentive os alunos e de número composto a descobrir o motivo desse fas- cínio. Em seguida, construa o Número primo é todo número natural maior do que 1 que tem exatamente crivo de Eratóstenes na lousa 2 divisores distintos (o 1 e ele mesmo). (como na imagem a seguir) e peça aos alunos que o reprodu- Por exemplo, 11 é primo, pois é maior do que 1 e tem exatamente 2 divisores distintos: 1 e 11. Já o nú- zam em uma folha à parte. mero 28 não é primo, pois tem mais de 2 divisores: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número composto é todo número natural maior do que 1 que tem mais de 2 divisores distintos. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Por exemplo, o número 28 citado acima é um número composto. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A palavra primo vem do latim primus, que significa primeiro, ou seja, a partir dos números primos é que são formados os demais números naturais, os números compostos. Por exemplo: o 28 é obtido pelos fatores 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 primos 2 e 7, ou seja, 2 ? 2 ? 7 5 28; o número 70 é obtido pelos fatores primos 2, 5 e 7, ou seja, 2 ? 5 ? 7 5 70. 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Atividades 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 11 Quais são os números primos menores do que 30? 21 No século XVIII, o matemático Christian Goldbach 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. afirmou que qualquer número natural par maior 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 12 Qual é o primeiro número primo maior do que 50? ou igual a 4 pode ser escrito como a soma de 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 53 2 números primos iguais ou distintos. Por exem- 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 13 Qual é o menor número natural de 2 algarismos plo, 4 5 2 1 2, 6 5 3 1 3, 8 5 3 1 5, 10 5 5 1 5 que é primo? 11 Na sequência, explique aos e 12 5 5 1 7. alunos que devem circular todos 14 Todos os números primos são ímpares? Justifi- os números primos e marcar que. Não, o número 2 é primo e é par. Verificações por computadores já confirmaram a com um X os números compos- tos. Inicialmente, mostre que o 15 Qual é o único número natural par que é primo? 2 conjectura (hipótese, suposição) de Goldbach para número 2 deve ser circulado, pois é primo (divisível apenas 16 O 0 (zero) é um número primo ou composto? uma quantidade imensa de números. Todavia, a por 1 e por 2), e pergunte aos alunos quais números são divi- Nenhum dos dois. demonstração matemática ainda não ocorreu. síveis por 2. Incentive-os a ver que todos os números pares 17 Verifique no caderno se cada número é primo ou No caderno, escreva os números pares dados são divisíveis por 2, ou seja, to- composto e justifique sua resposta. dos devem ser marcados com a) 15 Composto, pois d(15): 1, 3, 5, 15. como uma soma de 2 números primos. um X, excetuando-se o próprio b) 23 Primo, pois d(23): 1, 23. 2. Peça aos alunos para segui- c) 39 Composto, pois d(39): 1, 3, 13, 39. a) 12 5 1 7 d) 60 17 1 43 rem sempre da mesma maneira: d) 27 Composto, pois d(27): 1, 3, 9, 27. devem verificar se o próximo nú- e) 17 Primo, pois d(17): 1, 17. b) 24 11 1 13 e) 82 11 1 71 mero sem marcação é primo ou f) 1 846 Composto, pois é par e tem pelo menos o composto (se eles marcaram c) 38 7 1 31 f) 94 5 1 89 corretamente, será primo), mar- 1, o 2 e ele mesmo como divisor. cando-o devidamente, e devem © Marlon Tenório/Acervo do cartunista marcar todos os múltiplos dele 18 Pesquise, descubra e registre no caderno a lista como números compostos. dos números primos até 100. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, TENÓRIO, Marlon. Cartuns. Disponível em: <www. marlontenorio.com/cartuns.html>. Acesso em: 23 out. 2018 Todas atividades apresenta- 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. das nesta página envolvem o assunto números primos. 19 A soma de 2 números primos é 40 e a diferença entre eles é 6. Quais são esses números? 17 e 23. Atividades 12 a 20 O crivo de Eratóstenes feito 20 Números primos espelhados são pares de nú- meros primos cujos algarismos estão invertidos. nas explorações pode facilitar a Quais números primos até 100 são espelhados? resolução destas atividades, pois os alunos terão uma visua- 13 e 31; 17 e 71; 37 e 73. lização mais rápida dos núme- ros primos. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 51 Na atividade 18, destaque 1 Múltiplos e divisores de números naturais contrados jogos sobre divisores (Achando os divisores), múltiplos que o 0 e o 1 não são números (Achando múltiplos) e números primos (Caça-primos). Incentive-os primos nem números com- Inicialmente, verifique do que os alunos se lembram sobre núme- a pesquisar outros jogos também, a confeccionar os tabuleiros e a postos. ros primos e números compostos, fazendo perguntas como: “O que utilizar os jogos no dia a dia, como ferramenta para ajudar na com- são números primos?”; “O que são números compostos?”; “Um nú- preensão e na memorização de diversos conceitos, não apenas de Atividade 21 mero pode ser primo e composto?”. Se necessário, retome esses con- Matemática, mas de todas as disciplinas e conteúdos trabalhados na Nesta atividade, peça aos ceitos vistos no 6o ano. Em seguida, peça que leiam as informações escola. apresentadas no livro. alunos que pesquisem sobre Antes de fazer a resolução das atividades, seria interessante falar Goldbach e a conjectura dele, No link <https://portaldosaber.obmep.org.br/index.php/modulo/ um pouco sobre Eratóstenes e o mistério dos números primos. Expli- compartilhando com a turma as ver?modulo=23&tipo=5> (acesso em: 20 set. 2018), podem ser en- que que os números primos causavam fascínio nele. A partir dessa principais informações obtidas. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 51

1 Múltiplos e Decomposição de um número composto divisores de em fatores primos números naturais Todo número natural composto, ou seja, todo número natural maior do que 1 que não é primo, pode ser Explique que, neste momen- decomposto em um produto de 2 ou mais fatores primos. Veja alguns exemplos. to, conhecerão outra maneira de representar os números com- • 28 5 2 ? 2 ? 7 ou 22 ? 7 (fatores primos 2 e 7). postos: a decomposição em fa- • 36 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 ou 22 ? 32 (fatores primos 2 e 3). tores primos. • 10 5 2 ? 5 (fatores primos 2 e 5). A decomposição de um número natural em fatores primos é única, embora haja várias maneiras de es- Comece colocando alguns crevê-la. Por exemplo: números na lousa, realize junta- mente com os alunos o proces- 36 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 36 5 2 ? 3 ? 3 ? 2 so de decomposição desses nú- 36 5 3 ? 3 ? 2 ? 2 36 5 2 ? 3 ? 2 ? 3 meros e represente-os pelo pro- 36 5 22 ? 33 duto dos números primos. É um momento importante também Método prático para trabalhar as potências. Mostre que, quando os números Há uma maneira prática de determinar todos os fatores primos de um número composto. primos se repetem, podemos re- Veja a aplicação do método das divisões sucessivas na determinação dos fatores primos do número 60. presentá-los utilizando uma po- tência que indica a quantidade 60 2 ñ Começamos procurando um número primo divisor de 60. Neste caso, de repetições desse número. escolhemos o 2 e calculamos o quociente entre eles, que é 30. Por exemplo: 30 2 ñ Procuramos um número primo divisor de 30. Escolhemos novamente o 2 e calculamos o quociente entre eles, que é 15. 18 5 2 3 9 5  15 3 ñ Procuramos um número primo divisor de 15. Escolhemos o 3 e 5  2 3 3 3 3 5 2 3 32 55ñ calculamos o quociente entre eles, que é 5. 1ñ No livro, é apresentado, sem Como 5 é um número primo, fazemos a divisão por ele mesmo. nomeá-lo, o Teorema Funda- mental da Aritmética: todo nú- O quociente 1 indica o final do processo. mero natural maior do que 1 pode ser decomposto em um Assim, a decomposição do 60 em fatores primos é: produto de números primos, e esta decomposição é única. 60 5 2 ? 2 ? 3 ? 5 5 22 ? 3 ? 5 Em seguida, mostre o mé- Veja outros exemplos: todo prático para decompor um número em fatores pri- 90 2 175 5 mos, explicando que os núme- 35 5 ros primos à direita não preci- 45 3 77 sam estar em ordem crescen- 1 te, mas que essa ordenação 15 3 facilita a visualização das po- tências, principalmente quan- 55 90 5 2 ? 3 ? 3 ? 5 5 2 ? 32 ? 5 175 5 5 ? 5 ? 7 5 52 ? 7 do os números são grandes. 1 Atividades 22 a 27 Atividades Estas atividades trabalham a 22 No caderno, decomponha os números naturais 25 Escreva no caderno o número natural cuja forma decomposição de um número e em fatores primos. a descoberta do número que foi a) 48 24 3 3 decomposta é dada em cada item. dado decomposto. Nas ativida- b) 72 23 3 32 des de decomposição, os alu- a) 22 ? 32 ? 5 180 b) 23 ? 7 56 nos podem utilizar o método 23 Decomponha o número 253 em fatores primos. prático ou qualquer outro méto- 26 No caderno, some os 2 números naturais da ati- do que for mais fácil para eles. 253 5 11 3 23 vidade anterior e escreva o resultado na forma decomposta. 236 5 2 3 2 3 59 (180 1 56 5 236) Na atividade 22, por exem- 24 A decomposição em fatores primos de um núme- plo, eles podem registrar as de- ro natural é 2 ? 3 ? 5 ? 5. Qual é esse número? 150 27 Se um número é um fator primo de 12, então ele composições dos números na- turais de outras maneiras. será um fator primo de 36? Explique. Na atividade 27, se necessá- Como 36 5 3 3 12, se o número for fator primo de 12, rio, pergunte aos alunos se é então também será de 36. possível decompor 36 de modo que um dos fatores seja 12. 52 CAPÍTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e fra•›es 52 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

M‡ximo divisor comum (mdc) 30 2 1 2 Acompanhe esta situação-problema. 15 3 3, 6 Uma loja vai distribuir igualmente 30 chavei- 5, 10, 15, 30 ros e 20 camisas para um grupo de clientes. Sa- 55 bendo que nessa distribuição não devem sobrar 1 chaveiros nem camisas, qual é o número máximo de clientes que pode ter esse grupo? Ilustrações: Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora d(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Para resolver essa situação, precisamos deter- minar um número que seja divisor de 30 e de 20 ao Se julgar conveniente, expli- mesmo tempo. que aos alunos que, quando o Os divisores de 20 são d(20): 1, 2, 4, 5, 10, 20. máximo divisor comum de 2 nú- meros inteiros é 1, esses núme- Os divisores de 30 são d(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, ros são primos entre si. Por 15, 30. exemplo, 12 e 25 são primos en- tre si (mdc(12, 25) 5 1). Analisando as 2 listas de divisores, temos que os divisores comuns de 20 e de 30 são: 1, 2, 5 e Todas as atividades desta pá- 10. Portanto, o grupo deve ter o número máximo gina trabalham os conceitos de de 10 clientes, pois o maior dos divisores comuns máximo divisor comum. de 20 e 30 é o 10. Podemos escrever: Atividade 29 mdc(20, 30) 5 10 Nesta atividade, os alunos O máximo divisor comum (mdc) de 2 ou mais números naturais é o As imagens desta devem individualmente criar maior número que é divisor comum desses números. página não estão um problema a ser resolvido representadas em usando máximo divisor comum proporção. e trocar com um colega para que um resolva a situação cria- da pelo outro. Se possível, orien- te os alunos a elaborar uma si- tuação-problema envolvendo outras disciplinas. Veja outro exemplo. Atividades 33 e 34 Vamos calcular o máximo divisor comum de 18 e 42. Estas atividades contextuali- mdc(18, 42) 5 ? d(18): 1, 2, 3, 6, 9, 18 zam situações que podem ser d(42): 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 resolvidas a partir do cálculo do Divisores comuns de 18 e 42: 1, 2, 3, 6. máximo divisor comum. Se ne- mdc(18, 42) 5 6 (maior dos divisores comuns de 18 e 42). cessário, na atividade 34, des- taque que o mdc de 3 números Atividades 30. mdc(24, 16) (mdc(12, 6) 5 6; mdc(24, 16) 5 8; 6 < 8) é encontrado da mesma manei- 31. 34 (d(51): 1, 3, 17, 51; um dos divisores do outro número é 17 e, como ele é par, tem também o divisor 2; ra que para 2 números, ou po- de ser encontrado de 2 em 2 d(?): 1, 2, 17, 34 ñ ? 5 34; mdc(51, 34) 5 17) (pode ser descoberto o mdc de 2 números e feito o mdc entre esse valor e o 3o número). 28 Determine no caderno o mdc dos números. 33 Os funcionários de um museu querem organizar 42 a) 12 e 18. mdc(12, 18) 5 6 b) 24 e 36. obras de arte do século XIX e 48 obras de arte do século XX em salas de exposição com quantidades mdc(24, 36) 5 12 29 Invente um problema envolvendo a ideia de máximo divisor comum. Dê para um colega iguais. Todas as obras em cada sala precisam ser do Resposta pessoal. mesmo século. Qual é o maior número de obras que resolver. 30 Quem é maior: mdc(12, 6) ou mdc(24, 16)? podem ser colocadas em cada sala de exposição? 31 O mdc de 2 números, um par e outro ímpar, é 17. 6 obras de arte. (mdc(42, 48) 5 6) 34 Um professor tem 3 turmas com 21, 35 e 28 alu- O número ímpar é 51. Qual é o menor número nos. Para realizar um projeto, ele precisa dividir os possível para o outro? alunos de cada turma em grupos. Considerando 32 Se 2 números são primos, então o mdc entre que todos os grupos, independente da turma, de- eles é 1? Faça uma conjectura analisando vários vem ter o mesmo número de alunos, qual é o maior exemplos. número de alunos que cada grupo pode ter? 7 alunos. (mdc(21, 28, 35) 5 7) 32. Sim; exemplo de resposta: 13 e 19 são primos; d(13) 5 1, 13; d(19) 5 1, 19; mdc(13,19) 5 1. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 53 1 Múltiplos e divisores de números naturais Caso ache necessário, para facilitar a determinação dos divisores Esta página inicia-se apresentando um problema que é resolvido a de cada um dos números (20 e 30, por exemplo), apresente o algorit- partir do máximo divisor comum (mdc). É importante explorá-lo com a turma para que possam analisar e perceber em quais situações de- mo a seguir. Destaque que, inicialmente, ele determina todos os fato- vemos utilizar o mdc. Leia o problema com os alunos e sugira que gri- fem a expressão distribuir igualmente e que anotem as quantidades res primos de cada número. a serem distribuídas. Peça que acompanhem as etapas apresentadas no livro e, juntos, percebam a relação entre os divisores de 20 e de 30. 1 ñ Começamos com o 1 por ele ser divisor de qualquer número. Resolva com os alunos outros exemplos. 20 2 2 ñ Multiplicamos o número da 2a coluna pelo número que está na linha superior da 3a coluna (2 3 1). 10 2 4 ñ Multiplicamos o número da 2a coluna pelos números que estão nas linhas superiores da 3a coluna, 55 mas evitamos repetir a multiplicação já efetuada (2 3 1), ficando apenas o resultado de 2 3 2. 5, 10, 20 ñ Multiplicamos o número da 2a coluna pelos números que estão nas linhas superiores da 3a coluna 1 (5 3 1, 5 3 2 e 5 3 4). d(20): 1, 2, 4, 5, 10, 20 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 53

1 Múltiplos e Mínimo múltiplo comum (mmc) Kruchankova Maya/Shutterstock/Glow Images divisores de números naturais Observe a resolução desta situação-problema. Criança doente sendo medicada por adulto. Sabrina está doente e a mãe dela a levou ao médico. Ele receitou Nesta página, iniciamos à Sabrina 1 comprimido, que deve ser tomado de 6 em 6 horas, e com uma situação-problema 1 colher de xarope, para ser tomada de 4 em 4 horas. A mãe dela que envolve o cálculo de mí- deu o comprimido e o xarope à zero hora (meia-noite). Qual é o pri- nimo múltiplo comum. Leia a meiro horário em que Sabrina voltará a tomar o comprimido e o situação-problema com os xarope ao mesmo tempo? alunos, destacando os ele- Uma maneira de resolver essa situação é escrever todos os horários mentos apresentados, e per- em que cada medicação será tomada e identificar os horários comuns. gunte se alguma vez já foram ao médico e lhes foram recei- • Horários para tomar o comprimido ñ 0, 6, 12, 18, 24 tados 2 ou 3 medicamentos que deveriam ser tomados múltiplos de 6, até24 em intervalos de tempo dife- rentes. • Horários para tomar o xarope ñ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 Caso eles já tenham viven- múltiplos de 4, até24 ciado essa situação ou conhe- çam alguém que já a viveu, • Horários em que coincidem os 2 remédios ñ 0, 12, 24 pergunte: “Durante o tempo em que ficaram tomando os medi- múltiplos comuns camentos, havia algum mo- de 6 e 4, até24 mento em que todos eram to- mados juntos? Esse momento Logo, o primeiro horário, após a zero hora, em que Sabrina voltará a tomar o comprimido e o xarope ao se repetia?”. mesmo tempo será às 12 horas (meio-dia), pois o menor dos múltiplos comuns de 4 e 6 é o 12. Em seguida, volte à resolução Podemos escrever: do problema apresentado no li- mmc(6, 4) 5 12 vro, explicando aos alunos que, para descobrir o primeiro horá- O mínimo múltiplo comum (mmc) de 2 ou mais números naturais rio em que Sabrina deve tomar é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números. os medicamentos juntos, é pre- ciso encontrar o menor número, Processo prático para determinar o mmc diferente de zero, que seja múl- tiplo dos intervalos de tempo Pedro e Paulo são representantes comerciais de uma empresa. Pedro visita os clientes de 20 em 20 dias dos medicamentos e somá-lo ao e Paulo de 15 em 15 dias. Em certo dia, ambos saíram juntos para as visitas. Depois de quantos dias eles horário em que ela os tomou ao voltarão a sair juntos novamente? mesmo tempo. • Vamos determinar o mmc de 15 e 20. Agora, peça aos alunos que transcrevam para o caderno as m(15): 0, 15, 30, 45, 60, 75, » próprias situações-problema, ou seja, que se recordem dos in- m(20): 0, 20, 40, 60, 80, 100, » tervalos de tempo dos medica- mentos que tomaram quando mmc(15, 20) 5 60 estiveram doentes e calculem de quanto em quanto tempo to- • Agora vamos decompor os números 15, 20 e 60 em fatores primos. mavam todos os medicamen- tos juntos. Caso não tenham vi- 15 5 3 ? 5 20 5 2 ? 2 ? 5 5 22 ? 5 60 5 2 ? 2 ? 3 ? 5 5 22 ? 3 ? 5 vido essa situação, devem re- presentar uma situação infor- Note que o número 60 contém todos os fatores primos de 20 (2, 2 e 5) e contém também todos os fatores mada por um colega ou uma primos de 15 (3 e 5). apresentada por você. Assim, mmc(15, 20) 5 60. Caso algum aluno diga que tomou 3 medicamentos com in- No processo prático, escrevemos e calculamos o valor da expressão numérica que tem cada fator primo tervalos de tempo distintos, ex- dos números dados, 1 única vez, com o maior expoente que ele tem. plique que o método para se en- contrar o mínimo múltiplo co- 22 ? 3 ? 5 5 60 mum de 3 números (3 remé- dios) é o mesmo que o utilizado Assim, mmc(15, 20) 5 60. para se encontrar o mínimo Logo, Pedro e Paulo voltarão a sair juntos 60 dias depois. múltiplo comum de 2 números (2 medicamentos). 54 CAPêTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e fra•›es Após essas explorações, Questione os alunos a respeito do motivo de esse processo dar cer- 15, 20 2 comente com os alunos a im- to e pergunte também o que eles acreditam que está por trás da 15, 10 2 portância de só tomar medi- estrutura prática. Se necessário, mostre que, no exemplo, ao fato- 15, 5 3 camentos com prescrição rarmos os múltiplos dos números 15 e 20 menores do que 60, o médica. menor número que possui todos os fatores é o 60. 5, 5 5 1, 1 2 3 2 3 3 3 5 5 60 Em seguida, mostre-lhes Se julgar conveniente, esse método também pode ser feito usan- um processo mais prático para do-se o algoritmo a seguir, em que fatoramos os 2 números (15 e 20) encontrar o mínimo múltiplo ao mesmo tempo para calcular o mmc entre eles. comum de números inteiros. 54 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Atividades 35. a) m(14): 0, 14, 28, 42, 56, 70, » ; m(35): 0, 35, 70, 105, 140, » 1 Múltiplos e 39. À meia-noite do outro dia. (mmc(6, 8) 5 24; meia-noite 1 24 horas 5 meia-noite do outro dia) divisores de números naturais 35 Escreva no caderno. 41 O tabuleiro de um jogo tem 30 casas. Antes de a) A sequência dos múltiplos de 14 e a sequência iniciar uma partida, os jogadores devem pintar As atividades desta página dos múltiplos de 35. algumas casas do tabuleiro, de acordo com as desenvolvem os conceitos de b) Os múltiplos comuns de 14 e 35. 0, 70, 140, » regras sorteadas. Robson sorteou a instrução de mínimo múltiplo comum. Caso c) O mínimo múltiplo comum de 14 e 35, isto é, o pintar as casas de 3 em 3, a partir da casa 3, e a questão não peça o uso de um menor número, diferente de zero, que é múltiplo Félix sorteou a instrução de pintar de 2 em 2 ca- método específico, os alunos comum de 14 e 35. mmc(14, 35) 5 70 sas, a partir da casa 2. podem usar qualquer processo que lhes for mais conveniente. 36 Determine no caderno o mmc dos números: a) Só Robson. a) 3 e 5. mmc(3, 5) 5 15 b) 9 e 6. mmc(9, 6) 5 18 (Félix: 2, 4, 6, Atividades 38, 39, 41, 42 e 8, 10, 12, 14, 45 37 No caderno, determine o mmc pelo processo prático. 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 e Estas atividades contextuali- a) 9 e 30 mmc(9, 30) 5 90 d) 20 e 90 30; Robson: 3, zam situações que podem ser mmc(20, 90) 5 180 6, 9, 12, 15, 18, resolvidas a partir do cálculo do b) 12 e 16 e) 4, 25 e 100 21, 24, 27, 30.) mínimo múltiplo comum. mmc(12, 16) 5 48 5 100 mmc(4, 25, 100) a) De acordo com essas regras, algum deles vai Ao trabalhar a atividade 38, pintar a casa 15 do tabuleiro? mostre aos alunos os 2 calen- c) 10 e 15 mmc(10, 15) 5 30 f) 8, 140 e 172 dários disponibilizados nesta mmc(8, 140, 172) 5 12 040 b) Algum deles vai pintar a casa 23? Não. página. Explique a eles que o c) Algum deles vai pintar a casa 18? Os dois. calendário apresenta os 12 d) Quais casas do tabuleiro ambos vão pintar? meses do ano e os 30 ou 31 dias de cada mês (exceto no Casas 6, 12, 18, 24 e 30. mês de fevereiro, que pode ter 28 ou 29 dias), assemelhando- e) Qual é o mínimo múltiplo comum de 2 e 3, isto -se a uma tabela (apresenta li- é, qual é o valor de mmc(2, 3)? 6 nhas e colunas na composição). Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora Ilustranet/Arquivo da editora Na atividade 42, peça aos 38 Duas cidades A e B realizam festas frequente- alunos que pesquisem quanto tempo dura o mandato para ca- mente. A cidade A realiza festa de 5 em 5 meses da cargo político no Brasil. Esse assunto pode ser ampliado nas e a cidade B realiza festa de 6 em 6 meses. Essas aulas de História, ao verificar se os mandatos sempre tiveram festas coincidiram em abril de 2020. Quando as essa duração atual. festas voltarão a coincidir? Em outubro de 2022. Após a resolução da ativida- de 45, incentive os alunos a (mmc(5, 6) 5 30); pesquisar sobre os diferentes 30 meses 5 2 anos fenômenos lunares, ressaltan- e 6 meses; 2 anos e do que podem ampliar essa 6 meses depois de pesquisa nas aulas de Ciências. abril de 2020 será em outubro de 2022.) Atividade 40 Veja a resolução desta ativi- 42 Em um país, os prefeitos são eleitos a cada 4 anos e os senadores, a cada 6 anos. Se em 2014, houve dade. coincidência de eleições para esses cargos, então qual é o próximo ano em que elas voltarão a coincidir? d(36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 2026 (mmc(4, 6) 5 12; 2014 1 12 5 2026) d(28): 1, 2, 4, 7, 14, 28. 43 Responda no caderno e dê 3 exemplos. mdc(36, 28) 5 4 a) Em quais casos o mmc de 2 números naturais m(2): 0, 2, 4, 6, 8, » distintos é igual ao maior desses números? m(4): 0, 4, 8, 12, » As imagens desta b) Nesses casos, qual é o mdc dos 2 números? página não estão mmc(2, 4) 5 4 representadas em 44 No caderno, formule um problema envolven- proporção. Então:mdc(36,28) 5mmc(2,4) do o mmc de 2 números. Depois, troque-o com 39 José está gripado e com o nariz congestionado. De Atividade 41 6 em 6 horas ele toma um comprimido e de 8 em um colega; você resolve o dele e ele resolve o seu. Robson vai pintar as casas 8 horas faz inalação. Se à meia-noite ele tomou o comprimido e fez inalação, então em qual horário Resposta pessoal. que têm números múltiplos de ele voltará a fazer os 2 procedimentos? 3, de 1 até 30, e Félix vai pintar 45 Um fenômeno lunar raro ocorre de 12 em as casas que têm números múl- 40 No caderno, compare os valores de mdc(36, 28) e tiplos de 2. de mmc(2, 4). mdc(36, 28) 5 mmc(2, 4) 12 anos. Outro fenômeno lunar mais raro ainda Atividade 44 ocorre de 32 em 32 anos. Em 2010, os 2 even- Nesta atividade, os alunos tos ocorreram juntos. Em qual ano eles ocorrerão devem individualmente criar um problema a ser resolvido usando juntos novamente? (mmc(12, 32) 5 96) mínimo múltiplo comum e tro- car com um colega para que um a) 2022 c) 2096 resolva a situação criada pelo outro. Se possível, oriente os b) 2052 X d) 2106 alunos a elaborar uma situação- -problema envolvendo outras 43. a) Quando o maior número é múltiplo do menor número; exemplos: mmc(10, 5) 5 10; mmc(2, 8) 5 8; mmc(6, 3) 5 6. 55 disciplinas. b) É igual ao menor número; exemplos: mdc(10, 5) 5 5; mdc(2, 8) 5 2; mmc(6, 3) 5 3. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 Sugestão de atividade Seria interessante propor aos alunos que formem equipes para criar problemas sobre máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, inspirados em situações que costumam vivenciar no dia a dia. Esses problemas funcionariam como desafios e todas as equi- pes, exceto a que o criou, teriam que resolvê-los. Nessa etapa, os próprios alunos devem cuidar da mediação da atividade. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 55

1 Múltiplos e Cálculo mental do mmc divisores de números naturais Alex está calculando mentalmente o mmc de alguns números. Veja: Incentive os alunos a ana- Thiago Neumann/Arquivo da editora Para calcular o mmc(8, 10), tento efetuar Para calcular o mmc(6, 15): lisar as tentativas de Alex e a divisão exata do maior pelo menor. 15 4 6 não é uma divisão exata. encontrar o padrão no proce- 10 4 8 não é exata. 30 4 6 é uma divisão exata. dimento por ele executado. Tento o dobro do maior número pelo menor. Logo, mmc(6, 15) 5 30. Apresentar os dados em um 20 4 8 não é exata. quadro pode ajudar a organi- Tento o triplo. Para calcular o mmc(7, 14): zar o raciocínio. Ressalte que 30 4 8 não é exata. 14 4 7 é uma divisão exata. o objetivo de Alex foi encontrar Tento o quádruplo. Logo, mmc(14, 7) 5 14. um múltiplo do maior número 40 4 8 é exata. que fosse divisível pelo menor Então, mmc(8, 10) 5 40. número. Você descobriu como Alex fez? Monte no caderno um quadro com as informações do procedimento rea- Peça aos alunos para re- gistrarem, no painel de des- lizado por ele. cobertas, as informações que acharem pertinentes sobre Atividades 47. 3 pacotes de biscoitos e 5 caixas de bombons. máximo divisor comum e míni- (mmc(6, 10) 5 30; 30 4 10 5 3; 30 4 6 5 5) mo múltiplo comum. 46 Calcule mentalmente com os colegas. 49 Uma empresa tem 2 tipos de ônibus: tradicional As atividades desta página trabalham o assunto mínimo Um relata como fez o cálculo e os outros confe- e leito. O ônibus tradicional parte do terminal ro- múltiplo comum. Avise aos alu- nos que podem usar o processo rem. Depois, todos anotam o resultado no ca- doviário a cada 60 minutos e o leito parte a cada que preferirem para calcular mmc. derno. 1 hora e meia. Se ambos partiram juntos às 12 h, Atividades 46 e 48 a) mmc(6, 9) 18 e) mmc(14, 4) 28 então qual é o próximo horário em que voltarão a Na atividade 46, proponha partir juntos? 15 h (1,5 h 5 90 min; mmc(60, 90) 5 180; aos alunos que efetuem cálcu- 180 min 5 3 h; 12 1 3 5 15) los mentais. b) mmc(5, 15) 15 f) mmc(10, 9) 90 Após a resolução destas ati- c) mmc(12, 18) 36 g) mmc(40, 8) 40 50 Os planetas Júpiter e Saturno completam uma vidades, pergunte aos alunos se perceberam alguma relação en- volta em torno do Sol em aproximadamente 12 e tre os números e o mmc entre eles. Debata sobre as relações d) mmc(3, 7) 21 h) mmc(8, 6) 24 30 anos terrestres, respectivamente. percebidas, levando-os a perce- ber que: 47 Miriam vende pacotes com 10 biscoitos cada um Fonte de consulta: UOL EDUCAÇÃO. e caixas com 6 bombons cada uma. Pesquisa escolar. Disponível em: <https://educacao.uol. • se os 2 números são primos ou não têm divisores co- Um cliente pretende comprar a mesma quanti- com.br/disciplinas/geografia/sistema-solar-planetas- muns (primos entre si), o e-caracteristicas.htm>. Acesso em: 14 ago. 2017. mmc é simplesmente o pro- dade de biscoitos e de bombons. Quantos pa- duto entre esses números, Suponha que em certo momento as posições como nos itens d e f da ati- cotes de biscoitos e quantas caixas de bombons vidade 46; desses planetas e do Sol sejam as desta imagem. • se um dos números é divisí- ele deve comprar, no mínimo, para conseguir o Banco de imagens/Arquivo da editora vel pelo outro, o mmc é o maior número, como no que quer? As imagens desta página não estão item b da atividade 46. representadas em proporção. Atividades 47, 49 e 50 Fotos: Fabio Yoshihito Matsuura/ Representação fora de escala e com cores fantasia Estas atividades contextuali- Arquivo da editora de Júpiter e Saturno orbitando o Sol. zam situações que podem ser Pacote com Caixa com 6 bombons. a) 60 anos terrestres. (mmc(12, 30) 5 60) resolvidas a partir do cálculo do 10 biscoitos. mínimo múltiplo comum. a) Depois de quantos anos terrestres esses pla- 48 Responda no caderno e dê 3 exemplos. A atividade 50 pode ser am- pliada em conjunto com as aulas a) Qual é o mmc de 2 números naturais primos? netas voltarão a ficar na posição representada? de Ciências. Peça aos alunos que formem grupos, defina um b) Qual é o mmc de 2 números naturais diferentes b) Quantas voltas cada planeta precisa completar planeta para cada grupo e soli- cite que pesquisem as medidas de 0 (zero) em que um deles é o sucessor do outro? para que isso ocorra? Júpiter: 5 voltas; Saturno: de comprimento de raio, de mas- sa, de distância ao Sol, de tem- 2 voltas. (60 4 12 5 5; 60 4 30 5 2) peratura, etc., entre outras infor- mações importantes. 48. a) É o produto dos 2 números; exemplos: mmc(2, 3) 5 6; mmc(5, 7) 5 35; mmc(2, 11) 5 22. b) É o produto dos 2 números; exemplos: mmc(3, 4) 5 12; mmc(9, 10) 5 90; mmc(5, 6) 5 30. 56 CAPÍTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações 56 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

2 Frações 2 Frações No próximo capítulo vamos estudar os números positivos e negativos que podem ser escritos na forma Principais habilidades de fração, chamados números racionais. Assim, vamos recordar agora algumas ideias associadas às frações. da BNCC EF07MA05 EF07MA09 Retomando as ideias de frações EF07MA06 EF07MA10 EF07MA07 EF07MA11 Fra•‹o como parte/todo EF07MA08 EF07MA12 Nessa ideia, um todo, ou uma unidade, é dividido em partes iguais Neste momento, retomare- e é selecionada 1 ou mais partes. mos conceitos de frações já tra- balhados no 6o ano. Veja os exemplos. Inicie a aula perguntando • Qual fração do todo foi pintada de roxo? • Qual fração representa o número de triângulos aos alunos se saberiam citar exemplos de como as frações O todo é uma região retangular que foi dividida do total de figuras? são utilizadas nas situações do cotidiano e anote-as na lou- em 4 partes iguais e 3 dessas partes estão pin- Temos um total, um todo, de 9 figuras das sa. Apresente também outras situações. Por exemplo: como tadas de roxo. Dizemos que 3 dessa região foi quais 4 são triângulos. Então 4 das figuras a pizza geralmente é cortada 4 9 em 8 pedaços, quem comer 1 dessa região não foi pin- são triângulos. pintada de roxo e Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora4 tada de roxo. Banco de 2 pedaços estará comendo imagens/ Arquivo da 2 ou 1 da pizza inteira. 8 4 editora • Roberto já pagou 7 de 12 prestações na compra • Qual fração representa a parte pintada da figura? Se necessário, para que os do celular dele. Qual fração do número de pres- Como todas as partes da figura são iguais e alunos percebam as relações tações Roberto já pagou? foram pintadas 3 das 6 partes dela, temos que entre as diferentes frações e tra- 3 ou 1 da figura foi pintada. balhem a ideia de parte do todo, Ele pagou 7 das prestações. Neste caso, o 62 trabalhe com discos de frações 12 ou objetos quaisquer, como lá- pis coloridos. Crie diferentes si- todo são 12 prestações, das quais Roberto pa- tuações com esses materiais gou 7. manipuláveis e peça que as re- presentem usando frações. todo 2 cm Atividades 51 a 53 Estas atividades trabalham Atividades frações como parte do todo. 51 Felipe repartiu uma região quadrada em 4 par- 52 Considera-se “final de semana” os dias sábado e Nas atividades 51 e 52, os alu- tes iguais e pintou 2 partes de verde e 2 partes domingo. Qual fração representa os dias do final nos devem escrever em forma de fração as situações apresen- de semana no total de dias da semana? 2 tadas, enquanto na atividade 53 devem representar a fração da- 7 da em relação a um círculo. 53 Considere uma figura circular para representar o No item b da atividade 51, os alunos devem descobrir que a fração representada no item a é equivalente à metade do todo. de azul. a) Qual fração representa a parte pintada de ver- Sequência didática de nessa região quadrada? 2 todo. Desenhe-a no caderno e pinte nela uma re- Para mais informações, 4 1 veja a sequência didática 2 4 do 1o bimestre. b) Que parte do todo essa fração representa? gião correspondente a do todo. Metade. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 57 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 57

2 Frações Fração como quociente Resolva na lousa, junto com Quando a fração tem a ideia de quociente, ela indica uma divisão do numerador os alunos, as situações de fra- pelo denominador e o resultado dessa operação. ção como quociente e de fração como operador apresentadas Veja os exemplos. no livro. • Em uma reunião de equipe foram distribuídas 2 pequenas tortas para 6 crianças. Quanto de torta cada Se necessário, utilize nova- criança recebeu, aproximadamente? mente materiais manipuláveis para simular essas situações. Ilustrações: Rodrigo Pascoal/ Os alunos podem usar os discos Arquivo da editora de frações para representar a torta da primeira situação, faci- Cada criança recebeu 1 ou 2 de torta. Observe. litando a visualização da parte 36 que cada criança receberá. Lá- pis e outros materiais manipu- A B A B láveis podem ser utilizados para C F C representar a segunda situação A BD E ilustrada no livro. ou F Nas situações de fração co- mo operador, faça a reta nume- CF ED ED rada na lousa para os alunos visualizarem a representação São 2 tortas para repartir igualmente entre 6 crianças. Cada uma recebeu 1 de torta, que é o mesmo desses problemas apresenta- 3 dos no livro. Aproveite a opor- tunidade para criar outras si- que 2 de torta. Logo, 2 : 6 5 2 . tuações sobre o assunto. 66 • Elisa quer repartir igualmente 12 conchinhas entre as 3 amigas dela. Quantas conchinhas cada uma receberá? Como 12 4 3 5 4, cada amiga receberá 4 conchinhas. Aqui também podemos escrever 12 5 4 , ou 3 seja, o traço de fração indica uma divisão. Observe que, neste caso, a fração 12 corresponde ao número natural 4, pois o resultado da divisão 3 do numerador 12 pelo denominador 3 é igual a 4. Fração como operador (ou fração de uma quantidade) • Cláudio comprou uma caixa com 6 laços. Ele usou 1 da quantidade de laços para decorar um vestido 3 da filha Luana. Quantos laços ele usou? 1 de 6 5 ? 3 11 1 1 de 6 5 2 33 3 3 0123456 Veja que 6 : 3 5 2. Assim, ele usou 2 laços. Observe que 6 laços foram transformados em 2 quando a eles foi aplicada a fração 1. 3 Quando a fração atua como operador, ela transforma uma quantidade em outra. 58 CAPÍTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações 58 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

¥ A medida de distância entre as cidades de Campi- 2 de 90 5 ? 2 Frações 3 nas e São Paulo é de 90 km. Caio já percorreu 2 2 de 90 5 60 Atividades 54 e 55 3 1 3 Estas atividades apresentam 3 dessa medida. Quantos quilômetros ele percorreu? 90 problemas contextualizados re- 0 30 60 solvidos utilizando-se fração co- Na prática, para calcular 2 de 90, fazemos 90 : 3 5 30 mo quociente. 2 e 2 ? 30 5 60. 3 3 Na atividade 54, a resposta Assim, 2 de 90 5 60. pode ser dada por um número 3 ( )misto 1 1 . Veja um esquema 2 Logo, ele já percorreu 60 km. possível para a resolução dela. Observe que, neste caso, a fração transforma uma medida de comprimento em outra. Banco de imagens/Arquivo da editora 57. a) 0 2 41 72 5 Atividades 55 62. 15 L  p41ágdiena60s.5A1n5a  54 Noemi quer repartir igualmente 3 barras de cho- 61 Um livro de Matemática tem 300 colate para as netas Angelina e Antonela. Qual já estudou 3 do livro. Quantas páginas ela já fração de barra cada uma receberá? 3 10 estudou? 90 páginas.  3 de 300 5 90  Veja um esquema possível 2 10 para a resolução da ativida- de 55. 55 A professora Denise quer repartir igualmente 62 O tanque de gasolina de um carro tem medida AA 2 folhas sulfite para 5 crianças. Qual fração de fo- de capacidade de 60 L. O marcador de combustí- BB Banco de imagens/Arquivo da editora lha cada uma receberá? 2 vel está marcando que apenas 1 do tanque está Banco de imagens/ 4 CC Arquivo da editora 5 cheio. Quantos litros de gasolina há no tanque? DD 56 Observe a reta numerada em que cada unidade EE foi dividida em partes iguais. a) A: 1 , B: 3 e C: 5 . 22 2 Atividades 58 a 62 ABC 63 Veja o que Raquel e Vagner disseram. Estas atividades trabalham 0 1 23 Ilustrações: Thiago Neumann/Arquivo da editora situações resolvidas a partir do uso de fração como operador. a) Escreva no caderno as frações representadas Na nossa turma, 19 crianças vêm para Na atividade 60, comente pelos pontos assinalados com letras. com os alunos que o mês co- a escola de carro. mercial é muito utilizado em b) Qual fração de denominador 2 corresponde ao contabilidade e Matemática fi- número 2? 4 Os outros 11 alunos da nanceira. São contabilizados turma não vêm para a 30 dias para cada mês para fa- 2 cilitar os cálculos. escola de carro. 57 Trace um reta numerada no caderno. Se julgar conveniente, na ati- vidade 62, peça aos alunos que a) Localize na reta os números 2 , 4 e 7 . pesquisem informações sobre a 55 5 medida de capacidade dos tan- b) Qual fração de denominador 5 corresponde ao ques de combustível e da medi- da mínima de capacidade para número 1? E ao número 2? 5 ; 10 . evitar uma pane seca. No link <www.gazetadopovo.com.br/ 55 automoveis/nao-deixe-o- tanque-secar-79xwt0tt3ep 58 Copie, calcule e complete no caderno. d79e7okunipb9q> (acesso em: a) 18 (24 4 4 5 6; 3 3 6 5 18) 20 set. 2018), é possível en- a) 3 contrar informações sobre esse de 24 livros 5 livros assunto. 4 Atividade 64 b) 3 de b) 32 (24 4 3 5 8; 4 3 8 5 32) Esta atividade trabalha fra- 4 c) bananas 5 24 bananas ção como medida. cca)de152iras5 em 12 5 5  12  de 12 cadeiras 5 5 59 Em um campeonato de handebol, a equipe vence- Qual fração do total de alunos dessa turma não dora ganhou 3 dos 20 jogos que disputou. Quan- vai para a escola de carro?11 19 1 11 5 30; 11 em 30 5 11  30 4 30 tos jogos ela ganhou? 15 jogos.  3 de 20 5 15  64 Manuel já percorreu 2 de um percurso, o que cor-  4  5 60 Um mês comercial tem 30 dias. Quantos desses responde a 60 km. Quantos quilômetros o percurso dias representam 2 de um mês comercial? 5 ¥todo tem?  2 de 5 60; 60 4 2 5 30; 5 3 30 5150 150 km 5 60. 12 dias.  2 de 30 5 12 Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 59 5 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 59

2 Frações Fração como razão ou comparação de grandezas Inicialmente, é interessante Veja os exemplos. mostrar aos alunos a presença • Em uma escola, há 10 alunos no período da manhã e 20 alunos no período da tarde. Veja como Maria- de frações como razão ou com- paração em diversas situações na e Rodrigo interpretaram essa informação. do cotidiano. Então, leia com os alunos as Na escola, a razão entre o número de alunos informações do livro e pergun- te se conseguem pensar em que estudam no período da manhã e o número 10 em 20 alguma outra comparação pa- de alunos que estudam no período da tarde 4 10 4 10 ra a situação apresentada, es- é de 10 para 20 ou 10 . Isso significa que, 1 em 2 20 perando-se que respondam proporcionalmente, para cada aluno que estuda que a razão entre o número de de manhã, há 2 alunos que estudam à tarde. alunos que estudam no perío- Ilustrações: Thiago Neumann/Arquivo da editora do da manhã e o número total 10 1 Na escola, há 20 alunos que estudam no período da 30 3 de alunos é ou . tarde e um total de 30 alunos na escola. Posso dizer No exemplo de fração vista 20 em 30 que a razão entre o número de alunos que estudam no 2 em 3 como probabilidade, ressalte 4 10 4 10 período da tarde e o número total de alunos é de 20 20 que um dado perfeito é um dado em 30 ou 30 . Isso significa que, proporcionalmente, não viciado, ou seja, é um dado para cada 3 alunos dessa escola, 2 estudam no que, ao ser lançado, os resulta- período da tarde. dos têm a mesma probabilidade Veja que, apesar de usar procedimentos diferentes, Mariana e Rodrigo chegaram a conclusões equiva- de ocorrer. As atividades desta página lentes. Podemos observar que: As imagens desta são problemas contextualiza- Neste caso, a fração relaciona os valores de 2 grandezas. página não estão dos que trabalham o conceito de representadas em fração como razão. proporção. Atividade 65 • No lançamento de um dado perfeito, qual fração representa a probabilidade de sortear um número par? No item c desta atividade, os No lançamento de um dado há 6 possibilidades de resultados: sair o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 ou o 6. Desses alunos devem indicar os dados que comparados resultam na números, são 3 números pares: o 2, o 4 e o 6. Paulo Manzi/ fração dada. Arquivo da editora Assim, a probabilidade de sortear um número par é de 3 em 6, ou seja, 3 . 6 Atividades 65 Em uma pesquisa, 6 alunos de um grupo dizem preferir viajar para a praia e os 4 restantes dizem preferir viajar para o campo. a) Qual fração indica a razão entre o número de alunos que preferem viajar para o campo e o número de alu- 4 2 nos que preferem praia? 6 ou 3 fração?160 3 5 b) A razão entre o número de alunos que preferem praia e o número de alunos pesquisados é dada por qual 5 c) O que indica, nesta situação, a razão correspondente à fração 4 ? Dos 10 alunos pesquisados, 10 4 preferem viajar para o campo. 66 Para fazer uma torta foram necessários 50 g de recheio e 150 g de massa. a) A razão entre a medida de massa do recheio e a medida de massa da torta é dada por 50 , 50 ou 50 ? 50 5 1 150 200 100 200 4 b) Para cada 10 g de recheio são necessários quantos gramas de massa? 30 g de massa. (10 5 50 4 5; 150 4 5 5 30) 67 Em um suco, a razão entre a quantidade de concentrado e a quantidade de água é de 1 para 3, ou seja, é dada pela fração 1 . a) 6 copos de água. (2 3 3 5 6) 3 a) Se forem colocados 2 copos de concentrado, então quantos copos de água serão necessários? 3 b) Qual fração indica a razão entre a quantidade de água e a quantidade de suco? 4 60 CAPÍTULO 2 • Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações TELARIS_Mat_7ano_PNLD2020_046a075_U01C02.indd 60 7/3/19 4:41 PM Sugestão de atividade para explicar a importância da reciclagem do lixo e mostrar o quanto os alunos estão conscientes disso. Separe os alunos em grupos e peça que pesquisem na escola o número de alu- nos de cada turma e se colaboram com a reciclagem do lixo ou não. Para trabalharmos o assunto fração como razão, solicite aos grupos que calcu- lem o número total de alunos da escola e, também, o número total de alunos que Em seguida, explique a eles que essas informações serão utilizadas, no mo- fazem reciclagem. Peça também que calculem a razão entre o número de alunos mento, para o estudo de fração como razão, mas esses dados podem ser usa- que reciclam lixo e o número de alunos que não reciclam; a razão entre o número dos para explorar diversos conteúdos futuros, como comparação de frações, de alunos do 7o ano e o total de alunos da escola; a razão entre o número de alunos representação de gráficos, etc. Além disso, essa pesquisa, com todos os estu- que reciclam e o número de alunos que não reciclam de cada turma, etc. dos feitos sobre ela, pode ser exposta à comunidade escolar no final do ano 60 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

68 Considerando a região quadrada ABCD como unidade de medida de área, determine a medida de área da re- 2 Frações gião quadrada EFGH. B A medida de área de EFGH é igual a 1 da medida de área de ABCD. Atividade 68 9 Esta atividade trabalha fra- A ção como medida. AB Atividades 69 e 70 EF EF Ilustrações: Estas atividades trabalham Banco de imagens/ HG HG Arquivo da editora fração como probabilidade. Ve- rifique se os alunos simplifi- DC 69. 1 (Há 2 possibilidades: cara ou coroa.) cam as frações obtidas, embo- 2 ra não seja necessário exigir DC isso deles por enquanto. 69 No lançamento de uma moeda, qual fração representa a probabilidade de a face virada para cima ser coroa? Um pouco de História Mostre aos alunos o mapa da 70 No lançamento de um dado perfeito, qual fração representa a probabilidade de sortear um número maior do que 2? 4 (Há 4 números maiores do que 2, que são 3, 4, 5 e 6.) África, onde se localiza o Egito. Se possível, incentive-os a pes- 6 quisar outras informações so- bre as principais contribuições Um pouco de Hist—ria Continente africano: Egito da população africana para a Matemática. Os números naturais (0, 1, 2, 3, 5, ») surgiram da necessidade da Meridiano de Greenwich ÁSIA Banco de imagens/Arquivo da editora Em seguida, converse com contagem, e as frações  1 , 1, 1 ,  , da necessidade de medir. Mar Mediterrâneo 0º os alunos sobre o texto que  » EGITO OCEANO apresenta os métodos utiliza- 2 3 4  Trópico de Câncer ÍNDICO dos para medir o comprimento Mar Vermelho das terras inundadas pelo rio Ni- Os egípcios já usavam as primeiras noções de frações. O rio Nilo lo no Egito antigo. Utilizando um barbante ou uma corda, repro- transbordava anualmente e havia necessidade de fazer novas duza com os alunos a técnica utilizada pelos egípcios para medições das terras inundadas pela água. Os medidores de terras, medir. Se possível, faça 2 cor- das: uma com meio cúbito de também chamados de “estiradores de corda”, usavam cordas para medida de distância entre cada nó e a outra corda com 1 cúbito tais medições. ÁFRICA de medida de distância entre cada nó. Peça aos alunos que Equador meçam o comprimento da sala de aula, do armário, da lousa, OCEANO etc., reproduzindo as técnicas ATLÂNTICO que os egípcios utilizavam para realizar as medições. Trópico de Capricórnio N OL Para finalizar, solicite aos alu- nos que realizem a divisão do 0 1 165 2 330 km cúbito em frações, para que pos- sam calcular o valor mais próxi- Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora S mo do real. 0º Aproveite a oportunidade pa- Fonte de consulta: IBGE. Atlas geográfico escolar. ra solicitar aos alunos uma pes- 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. quisa sobre outras particulari- dades dos antigos egípcios. Ao Cada corda tinha muitos nós, e a medida de distância entre 2 nós consecutivos era de um cúbito ou um côvado, que era a unidade de final da pesquisa, devem com- partilhar as descobertas com a medida de comprimento usada. 1 cúbito correspondia a aproximadamente 45 cm. Para medir, os estiradores comparavam o cúbito com turma. Essa exploração pode ser ampliada nas aulas de História. a distância a ser medida. A medida seria quantas vezes o cúbito coubesse nessa distância. Mas, nem sempre, o cúbito cabia um número inteiro de vezes no comprimento a ser medido. Assim, a necessidade de fazer medições com mais precisão levou os egípcios a criarem as subunidades do cúbito, fracionando a unidade de medida. Surgem, assim, as frações do cúbito. Os egípcios usavam somente as frações unitárias, ou seja, aquelas que têm o numerador igual a 1. Por exemplo, 1 , 1 , 1 . Eles 2 3 100 conheciam também as frações 2 e 3 . 34 Qualquer outra fração era obtida somando frações unitárias. Por exemplo, 35 11 1 . 5 2 10 Algumas frações tinham símbolos especiais, como estas: Ilustrações: Banco de imagens/ 11 23 Arquivo da editora 42 3 4 1 Atualmente, uma subunidade obtida pela divisão do cúbito em n partes iguais é representada por n ; e, se um comprimento contém m exatamente m dessas subunidades, então a medida desse comprimento é representada pela fração n . Fonte de consulta: UOL. Educação. Disponível em: <https://educacao.uol.com.br/disciplinas/ matematica/fracao-1-historia-do-conceito.htm>. Acesso em: 19 jun. 2018. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 61 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 61

2 Frações Frações equivalentes e simplificação de frações Se achar necessário, inicie Frações equivalentes esse tema com a sugestão de atividade proposta abaixo. Mostre aos alunos os 2 círcu- As frações 2 e 4 são equivalentes. Você se lembra do porquê? Fração da los apresentados nesta página 3 6 e pergunte: “Sendo os 2 círculos figura que está iguais, as partes pintadas repre- sentam a mesma quantida- • 2 de um todo corresponde a 4 do mesmo todo. Veja nestas figuras. pintada: 2 de?”. Se necessário, represente 3 6 3 os círculos na lousa e divida ca- Ilustrações: Banco de da parte do círculo verde ao • 2 de uma quantidade é o mesmo que 4 da mesma quantidade. Por Fração da imagens/Arquivo da editora meio (as partes pintadas e, 36 também, as sem pintura), per- exemplo, se o todo for 18, temos: figura que está guntando: “Agora, as partes pin- tadas representam a mesma 2 de 18 5 12 e 4 de 18 5 12. Portanto, 2 5 4. pintada: 4 quantidade?”. Destaque que, ao 3 6 3 6 6 dividirmos o círculo em mais partes, não mudamos a quanti- Podemos dizer que 2 frações são equivalentes quando indicam o mesmo valor, dade pintada, ou seja, o valor re- para uma mesma unidade ou todo. presentado continua o mesmo. Simplificação de frações Explique, então, aos alunos Para determinar uma fração equivalente a uma fração dada, podemos dividir ou multiplicar o numerador que 2 frações são equivalentes e o denominador pelo mesmo número, diferente de 0. Quando dividimos o numerador e o denominador por quando, embora sejam repre- um mesmo número natural, diferente de 0, a fração equivalente que obtemos é mais simples do que a fração sentadas por números dife- original. Nesse caso, dizemos que foi feita uma simplificação da fração inicial. Veja os exemplos. rentes, indicam o mesmo va- lor ou a mesma quantidade • Simplificação de 10 ñ 10 45 5 2 . 15 15 45 3 de partes do todo. Destaque que, para dizer que 2 é equiva- • Simplificação de 3 ñ não é possível fazer ( 3 é uma fração irredutível, ou seja, não existe fração 3 8 8 lente a 4 , usaremos a expres- mais simples, equivalente a ela). 6 são: 2 5 4. • Simplificação de 12 ñ 12 42 5 6 43 5 2 ou 12 46 5 2 . 3 6 Note que mdc(12, 30) 5 6. Atividades 30 30 42 15 43 5 30 46 5 Em seguida, verifique o quan- 74. b) 3 43 1; 15 2 5 3 5 4 5» to os alunos se lembram de sim- plificação de frações e frações 30 46 5  mdc(30,42) 30 42 15 43 5  5 irredutíveis, assuntos vistos no 73. d) 42 46 7 42 42 21 43 7 15 43 5 5 10 15 20 6o ano. Na lousa, simplifique, 5 5 6 ou 5 5 quando possível, os exemplos apresentados no livro. 71 Copie as igualdades no caderno e complete-as e) 10 15 5 f) 18 3 para que as frações de uma mesma unidade sejam 14 21 equivalentes. = 35 7 Explique que o valor que divi- 73 No caderno, simplifique as frações até obter uma de o numerador e o denomina- dor, simplificando a fração, pode a) 3 5 12 c) 4 5 1 2 e) 5 5 3 3 fração irredutível. ser descoberto ao calcularmos 5 20 8 5 o mdc entre o numerador e o de- 15 15 45 3 35 35 47 5 5 8 d) 30 nominador. Peça para os alunos 49 47 7 calcularem o mdc para os exem- a) 5 4b) c) plos apresentados, destacando 20 45 que, quando a fração é irredutí- 20 49 21É irredutível. 42 vel, o mdc entre o numerador e b) 18 5 2 d) 5 10 5 6 9 o denominador é 1. 45 5 48 f) 10 5 15 74 Determine no caderno a sequência das frações 72 Copie no caderno as frações de uma mesma uni- equivalentes a cada fração dada. No item b, pri- dade, verifique se elas são ou não equivalentes e meiro simplifique a fração. coloque 5 ou = entre elas. a) 3 3 5 6 5 9 5 12 5» b) 3 4 15 4 8 12 16 a) 6 12 5 c) 15 5 75 No caderno, descubra 2 frações de mesmo de- 9 18 5 21 7 nominador, sendo a primeira equivalente a 5 e a Atividades 71 e 72 b) 1 2 = d) 3 2 segunda equivalente a 2 . 6 39 No item e da atividade 71, ve- = 9 68 rifique se os alunos percebem que 5 51. 75. Exemplos de resposta: 15 e 4; 30 e 8. 5 5 10 5 15 5 20 5 »; 25 4 5 6 5 » 5 Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações 18 18 36 36 6 12 18 24 9 18 27 62 CAPêTULO 2 ¥ No item f da atividade 71 e Sugestão de atividade vam a fração correspondente à parte pintada da folha. Sugira que nos itens d e e da atividade 72, coloquem todas as folhas pintadas lado a lado e observem seme- os alunos devem efetuar 2 ope- Peça aos alunos que formem grupos e entregue uma folha de sul- lhanças e diferenças. rações (divisão e multiplica- fite para cada grupo para que procedam da seguinte maneira: o grupo ção) com o numerador e com o 1 deve recortar a folha em 2 partes iguais; o grupo 2 deve recortar a Então, questione-os: “Há alguma folha que tenha a parte colorida denominador. folha em 4 partes iguais; o grupo 3, em 6 partes iguais; o grupo 4, em menor do que as outras?”; “As frações representam quantidades di- 8 partes iguais; e assim por diante. Todos os grupos devem dividir a ferentes do todo?”; “Essas frações recebem algum nome específico?”. Atividade 73 folha de sulfite em quantidades diferentes de partes, mas todas pares. Nesta atividade, são trabalha- Após as respostas, se necessário, explique que essas frações, Em seguida, peça aos alunos que pintem metade das partes, chamadas de equivalentes, correspondem à mesma parte do to- dos os conceitos de simplifica- de forma que cada grupo utilize uma cor diferente, e que escre- do, ainda que sejam representadas por números diferentes. ção de frações e frações irredu- tíveis. Permita que os alunos usem o método que preferirem para resolver a atividade. 62 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Comparação de frações 2 Frações Comparação de frações com denominadores iguais Comparação de frações com denominadores iguais Em uma horta, todos os canteiros têm o mesmo número de pés de alface. Aline Inicie as explorações lendo a colheu 2 dos pés de alface de um dos canteiros e Alberto colheu 4 dos pés de outro situação dada no livro e mos- 55 trando aos alunos as 2 frações com denominadores iguais canteiro. Quem colheu mais pés de alface? apresentadas e então pergunte: “Vocês sabem o que os 2 núme- Para responder a essa pergunta, podemos comparar as frações 2 e 4 . Para ros que formam a fração repre- 55 sentam na prática?”; “O que re- presenta o numerador (número isso, vamos representar essas frações em relação a uma mesma figura. de cima)?”; “O que representa o denominador (número de bai- Banco de imagens/Aline:2 xo)?”. Antes de explicar as res- Arquivo da editora5 postas, peça aos alunos que analisem os 2 desenhos, cujo Banco de imagens/Alberto:4 número de partes em que foram Arquivo da editora5 divididos refere-se às partes do canteiro e o número de partes Podemos observar que 4 > 2. Logo, Alberto colheu mais pés de alface do que pintadas refere-se às partes que 5 5 tiveram os pés de alface colhi- Bate-papo dos por Aline e Alberto. Aline. E se não houver figura Faça mais alguns questiona- Também poderíamos usar uma reta numerada para comparar as frações 2 e 4 . ou reta numerada para mentos: “O tamanho dos 2 can- 55 olhar? Converse com um teiros é igual?”; “O tamanho de colega e descubram cada uma das partes em que os 0 12345 outra maneira de canteiros foram divididos é 5 55555 comparar 2 frações com igual?”; “Quem colheu mais? denominadores iguais. Por quê?”. 01 Verifique se foram capazes Como 4 fica à direita de 2 , temos que 4 > 2 e que Alberto colheu mais pés de compreender que, para com- 55 5 5 parar frações de mesmo deno- de alface. minador, basta comparar os nu- Ao compararmos 2 meradores. ou mais frações com denominadores iguais, a Bate-papo Comparação de frações com denominadores diferentes maior fração é aquela cujo Peça que compartilhem numerador é maior. Por Ana e Beto estão fazendo uma caminhada em volta de uma praça. Ana já per- 4 1 ideias sobre a problematização correu 2 do trajeto e Beto, 7. Quem percorreu o maior trajeto? exemplo, 7 > 7 , porque apresentada. Verifique se são capazes de sistematizar as ex- 39 os denominadores são plorações e dizer que, neste ca- Para responder a essa pergunta, podemos comparar as frações 2 e 7 , que têm so, a maior fração será aquela iguais e 4 > 1. cujo numerador é maior. 39 denominadores diferentes, e determinar qual é a maior. Comparação de frações com denominadores Há várias maneiras de fazer isso. diferentes 1a maneira: Usando uma representação dessas frações em relação a uma mes- ma unidade (figura ou número). Leia, junto com os alunos, a situação apresentada no livro e Beto: 7 7 de 18 5 14 Ilustrações: Banco de pergunte: “Podemos resolvê-la 9 9 imagens/Arquivo da editora da mesma maneira que o pro- ou Banco de imagens/ blema anterior?”; “Podemos Arquivo da editora apenas comparar os numerado- Ana: 2 2 de 18 5 12 res?”. Se necessário, explique 3 3 que, embora o todo seja o mes- mo, ele está dividido em partes Observe que 7 > 2 , ou seja, Beto percorreu o maior trajeto. 9 diferentes, o que nos impossibi- 93 9 lita de agir da mesma maneira que na primeira situação. AB 1 0123456 78 Em seguida, explique na lou- sa as 4 maneiras apresentadas 2a maneira: Usando uma reta numerada. 9 9 9 9 9 9 9 9 9 no livro para comparar as fra- ções com os denominadores di- 0 1 2 ferentes e resolver o problema. 3 3 Para ampliar as explorações, Como o ponto B (de Beto) está à direita do ponto A (de Ana), temos que 7 > 2 sugerimos o desenvolvimento e Beto percorreu o maior trajeto. 9 3 da atividade ao lado. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 63 TELARIS_Mat_7ano_PNLD2020_046a075_U01C02.indd 63 7/3/19 4:42 PM Sugestão de atividade • do terceiro conjunto obtendo frações equivalentes; Apresente as frações obtidas a partir dos dados coletados na • do quarto conjunto determinando as frações equivalentes a sugestão de atividade da página 62, separe-as aleatoriamente em partir do mmc entre elas; 4 conjuntos e peça à turma para descobrir qual é a maior. Para isso, reúna os alunos em grupos de 3 ou 4 pessoas e explique que • as maiores frações de cada conjunto usando o método que devem comparar as frações: preferirem. • do primeiro conjunto por meio da representação delas; Se possível, peça que coloquem todas as frações em ordem crescente, sendo possível apresentar qual sala mais colabora com • do segundo conjunto usando a reta numerada; a reciclagem de lixo independentemente da quantidade de alunos. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 63

77. a) 1; 3; 6; 8 ; 12 . b) 0 ; 1 ; 5 ; 7 ; 25 . c) 7 ; 1; 2; 4. d) 1; 5 ; 3 ; 5. 5 5 5 55 9 999 9 15 2 3 5 3 12 4 6 2 Frações 3a maneira: Podemos comparar as frações 2 e 7 obtendo frações equivalentes a elas que tenham de- Estas atividades trabalham a 39 comparação de frações com de- nominadores iguais. nominadores iguais ou com de- nominadores diferentes. Peça 2 ñ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , » 7 → 7 , 14 , 21 , 28 , » aos alunos que resolvam as si- 3 3 6 9 12 15 9 9 18 27 36 tuações a partir do método que acharem mais fácil. Como 7 > 6 , temos que 7 > 2 . Logo, Beto percorreu o maior trajeto. 99 93 7 2, de mesmo denominador, 4a maneira: Podemos determinar diretamente as frações equivalentes a e Atividade 76 93 Se achar conveniente, mostre usando o mmc dos denominadores: mmc(9, 3) 5 9. que, no item b, como os nume- radores são iguais, podemos 7 5 7 (9 : 9) ? 7 5 1 ? 7 5 7 2 5 6 (9 : 3) ? 2 5 3 ? 2 5 6 comparar apenas os denomina- 99 39 dores: a maior fração é a que possui menor denominador. Como 7 > 6 e 6 5 2 , então 7 > 2 . Logo, Beto percorreu o maior trajeto. 9 9 9 3 9 Atividade 78 37 < 3.  14 < 15  Veja possíveis justificativas 82. José, porque 10 4 20 20 79. a) Camila: 7 ; Luciana: 9 . b) Luciana, porque 9 > 7. da resposta desta atividade. 12 12 12 12 • Usando um diagrama. Atividades 80. Mais alunos que preferem ir ao teatro e ao cinema, porque 12 > 7.  72 > 70  25 15 150 150 76 Compare as frações da mesma unidade, copiando- -as no caderno e substituindo cada pelos sinais Banco de imagens/ 9 81 Um pintor misturou 4 de um galão de tinta ver- Arquivo da editora 10 9 > 4 5 Paulo Manzi/Arquivo da editora4 10 5 5 > , < ou 5 . de com 5 de um galão de tinta branca. Os 2 ga- 6 • 4 é equivalente a 8 , pois a) 2 8 c) 4 6 e) 5 3 5 10 lões tinham a mes- < > > 77 37 89 ma medida de capa- 32 b) 1 1 d) 1 6 f) 4 6 cidade. Nessa mis- 4 8 10 15 5 5 32 5 10 > < 58 97 Como 9 > 8 , então 77 Em cada item, escreva no caderno as frações da tura há mais tinta 10 10 verde ou mais tinta mesma unidade em ordem crescente. branca? Justifique. 9 >4. 10 5 a) 3 , 1 , 6 , 12 , 8 . c) 2 , 1 , 4 , 7 . 82 Em uma gincana de desafios matemáticos no 555 5 5 3 2 5 15 9 • 10 é equivalente a 0,9. b) 1 , 0 , 5 , 25 , 7 . d) 5 , 3 , 1 , 5 . 7o ano, de uma lista de desafios que o professor 999 9 9 12 4 3 6 propôs à turma, Marta resolveu 3 deles e José, 4 5 é equivalente a 0,8. 78 Qual fração de uma mesma unidade é maior: 4 4 7 . Quem resolveu menos desafios? Justifique. E 0,9 > 0,8. Logo, 9 > 54. ou 9 ? No caderno, justifique sua resposta 5 10 10 de 10 83 Ronaldo e Gisele ganharam a mesma quantidade • Usando um mesmo número pelo menos 2 maneiras diferentes. 9 ; justificativa 10 pessoal. de morangos. Ronaldo comeu 5 dos morangos 9 8 para o total 10 de 30 5 27 79 Em uma gincana de pênaltis na escola, Camila que ganhou e Gisele, 7 . Quem comeu mais mo- e 4 de 30 5 24. Logo, chutou 12 pênaltis e marcou 7 gols. Luciana chu- 12 5 rangos? Justifique.Ronaldo, porque tou 12 pênaltis e marcou 9 gols. 5 > 7.  15 > 14  8 12  24 24  9 > 54 . a) Escreva no caderno frações para representar o 10 84 A professora de Língua Portuguesa sugeriu a lei- desempenho de Camila e de Luciana. tura de um livro. Pascoal já leu 3 do livro e Fer- Atividade 79 b) Quem teve melhor aproveitamento? Justifique. 5 Esta atividade apresenta 80 Na turma de Fernando 7 dos alunos preferem nanda, 5 do mesmo livro. Quem já leu mais pági- uma situação contextualizada 15 6 que deve ser resolvida por meio nas? Justifique. Fernanda, porque 5 > 3.  25 > 18  da comparação de frações com praticar esportes no final de semana e 12 prefe- 6 5  30 30  denominadores iguais. 25 85 Do orçamento de uma família, são gastos 3 com Atividades 80 a 85 rem ir ao teatro e ao cinema. Nessa turma há mais 10 Estas atividades são contex- alunos que preferem praticar esportes ou mais aluguel, 1 com alimentação e 4 com outras des- 5 25 tualizações da comparação de frações com denominadores alunos que preferem ir ao teatro e ao cinema? pesas. Com o que se gasta menos: alimentação, diferentes. Justifique. aluguel ou outras despesas? Justifique. Se julgar pertinente, assim como apresentado na atividade 81. Mais tinta branca, porque 5 > 4.  25 > 24  85. Com outras despesas, porque 4 < 1 < 3.  8 < 10 < 15  80, elabore uma pesquisa com 6 5 30 30 25 5 10 50 50 50 a turma para descobrir se prefe- 64 CAPêTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações rem esportes ou teatro e cine- ma, representando os dados ob- evitar o desperdício de alimentos, etc. Essas explorações podem levar tidos por frações. ao desenvolvimento de um projeto com os temas contemporâneos educação para o consumo e vida familiar e social. Ampliando a atividade 85, re- tome com os alunos o conceito de orçamento e promova refle- xões sobre as ações que podem colaborar com a diminuição dos gastos mensais de uma família, como economizar água e luz, 64 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Operações com frações Paulo Manzi/Arquivo da editora 2 Frações No volume anterior, você já estudou algumas operações com frações. Vamos Neste momento, retomare- agora retomar e aprofundar esse estudo. mos as explorações sobre as operações com frações vistas Adição e subtração de frações no 6o ano e ampliaremos o as- sunto até multiplicação e divi- Com denominadores iguais são de frações. Se necessário, permita que os alunos usem Pela manhã, Paulo tomou a água correspondente a 1 da medida de capacidade materiais manipuláveis para fa- cilitar a compreensão das ações e dos procedimentos realizados. de uma jarra. No período da tarde, tomou o 5 a 2 dessa medida de Com denominadores iguais correspondente No caso da adição e subtra- 5 Jarra. ção de frações com denomi- capacidade. Qual fração da medida de capacidade da jarra ele tomou ao todo? As imagens desta nadores iguais, utilizando a página não estão situação apresentada no texto, Para determinar essa fração, precisamos adicionar o 1 da medida de capacida- representadas em desenhe a jarra na lousa e per- 5 proporção. gunte aos alunos: “Em quantas de que foi tomado de manhã com os 2 da medida de capacidade consumidos no partes iguais a jarra deve ser di- vidida?”; “Quantas partes Paulo período da tarde. 5 tomou pela manhã?”; “Quantas partes ele tomou à tarde?”; 11253 “Quantas partes ele tomou no 555 total?”. Após as respostas, a partir das indicações dos alu- Logo, Paulo bebeu 3 da medida de capacidade da jarra. nos, represente matematica- 5 mente essa situação na lousa. Para adicionar ou subtrair frações com denominadores iguais, adicionamos Em seguida, aproveite para ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. perguntar: “Caso inicialmente a jarra estivesse com a medida de Veja outros exemplos. 23 Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora capacidade máxima de água, • 2 1 3 5 5 5 4 1 1 5 11 44 quantas partes dessa medida 44444 4 01234 56 78 44444 44 44 Paulo não tomou?”. Se necessá- 4 rio, mostre a representação des- 10 sa situação e efetue a subtração 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 2 3 . 5 5 • 72453 Efetue na lousa os outros 10 10 10 exemplos de adição e subtra- ção de frações com mesmo de- Com denominadores diferentes nominador apresentados no li- vro, verificando se os alunos ne- A mãe de Maria tinha aproximadamente 7 de um queijo e usou aproximada- cessitam ou não da representa- ção na reta numerada. mente 1 8 Com denominadores do queijo para fazer uma torta. Qual fração do queijo restou? diferentes 6 Explique que retomaremos, Para encontrar a resposta para esse problema, precisamos subtrair a quanti- agora, adição e subtração de frações com denominadores di- dade de queijo usada da quantidade que a mãe de Maria tinha. Paulo Manzi/ ferentes. Leia a situação apre- Arquivo da editora sentada no livro e pergunte: “Vo- 721 cês conseguem resolvê-la?”. 86 Destaque que, a partir das fra- ções dadas, sabemos encontrar Como os denominadores são diferentes, precisamos determinar frações equi- Queijo. frações equivalentes cujo deno- valentes a essas, que tenham denominadores iguais, para prosseguir com a sub- minador seja o mesmo e sabe- mos somar frações com deno- tração. Veja 2 maneiras diferentes de fazer isso. minadores iguais, ou seja, con- seguimos resolver o problema Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 65 apresentado. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 65

89. a) 22  10 1 12 5 22  b) 1  15 2 3 5 12 5 1 c) 3  10 2 6 1 559 5 3 15  15 15 15   12 12 12 10  30 30 30 30 10  2 Frações 1a maneira: Usando um denominador comum que seja múltiplo dos 2 denominadores. Peça aos alunos que leiam as 2 maneiras apresentadas para Por exemplo, podemos usar o denominador 48, obtido multiplicando os denominadores das frações resolução do problema da pági- na anterior, verificando as dúvi- (8 3 6 5 48). das que surgirem. 7 3 6 5 42 e 1 3 8 5 8 Comente com os alunos que 8 3 6 48 6 3 8 48 o mmc, obtido no segundo mé- todo, é igual ao denominador Depois, subtraímos as frações equivalentes obtidas e simplificamos a fração resultante. que obtivemos no primeiro mé- 7 2 1 5 42 2 8 5 34 4 2 5 17 todo, porque os números dos 8 6 48 48 48 4 2 24 denominadores são primos en- tre si. Se eles fossem múltiplos, Poderíamos ter escolhido outro denominador, como 120, que também é múltiplo de 8 e de 6. o mmc seria diferente. 7 3 15 5 105 e 1 3 20 5 20 7 2 1 5 105 2 20 5 85 4 5 5 17 Antes da resolução das ati- 8 3 15 120 6 3 20 120 8 6 120 120 120 4 5 24 vidades, peça aos alunos para registrar o que acharem neces- 2a maneira: Usando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores. sário sobre adição e subtração de frações no painel de desco- m(6): 0, 6, 12, 24, 36, 48, » m(8): 0, 8, 16, 24, 32, 40, » mmc(6, 8) 5 24 bertas. Destaque também que podem anotar informações so- Usamos o mmc nos denominadores para determinar as frações equivalentes e subtraímos as frações bre comparação de frações. equivalentes obtidas. Atividades 86 a 88 Estas atividades apresentam 7 3 3 5 21 e 1 3 4 5 4 7 2 1 5 21 2 4 5 17 8 3 3 24 6 3 4 24 8 6 24 24 24 situações-problema encontra- das no cotidiano, que devem ser Logo, restou aproximadamente 17 do queijo. Observe que nesse caso não foi necessário resolvidas efetuando-se opera- 24 simplificar a fração resultante. ções de adição e subtração de frações. 87. Poderia dizer que o raciocínio não estava correto, pois para adicionar frações com Se julgar conveniente, após a Atividades denominadores diferentes não podemos adicionar os numeradores e adicionar os resolução da atividade 88, con- denominadores; precisamos determinar frações equivalentes com o mesmo denominador e, vide os alunos a registrar algu- mas ações praticadas por eles então, adicionar os numeradores e manter o denominador comum. em um dia e a mensurar a quan- tidade de tempo utilizada em ca- 86 Para uma viagem, Roberto encheu o tanque de Adição ou Banco de imagens/Arquivo da editora da uma delas. Em seguida, gasolina do carro. No primeiro trecho da viagem, subtração de frações com oriente-os a escrever a fração do dia correspondente a cada ação, foi consumido 1 da gasolina do tanque e, no se- denominadores diferentes. assim como apresentado na ati- 4 vidade. gundo trecho, foram consumidos 2 da gasolina. Calcule o mmc dos denominadores 3 das frações dadas. Qual fração do tanque ainda restou com gasolina Use o mmc para determinar as frações equivalentes às frações dadas. após esses 2 trechos? 12 2 11 1 1 1 2 3 8 11 ; 12 12 12  Adicione ou subtraia as frações 12 4 1 3 5 12 1 12 5 12 5 equivalentes obtidas. 87 Bruna está no 7o ano e a irmã dela, Gisele, está no 4o ano. Gisele registrou a seguinte operação: 2 1 3 3 1 4 5 7 .O que Bruna poderia dizer a ela? É possível simplificar a fração obtida? 88 Caio gasta 1 das horas de um dia na escola, 1 Sim. Não. 63 Simplifique a fração. dormindo e 1 brincando. Qual fração das horas 12 A fração obtida é o resultado da operação. do dia ele dedica a outras coisas? 89 Reveja os passos apresentados acima, na 2a maneira Use esse fluxograma para efetuar as operações de efetuar uma adição ou subtração de frações com dadas e registre o resultado no caderno. denominadores diferentes, e compare-os com o fluxograma a seguir. a) 2 1 4 b) 15 2 1 c) 1 2 1 1 1 35 12 4 356 88. 5 1 1 1 1 1 5 2 1 4 1 1 5 7; 12 2 7 5 5 12 6 3 12 12 12 12 12 12 12 12  66 CAPÍTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações 66 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Multiplicação de frações Podemos dizer que 2 casos, ou seja, efetuamos a o dobro de 5 é o mesma operação, a multiplica- Anastácio tem um terreno. Ele quer usar 1 desse mesmo que 2 3 5. ção. Sugira aos alunos que 5 criem hipóteses de como proce- parte Analogamente, 2 de 1 der para multiplicar frações e 35 anote-as na lousa. Avise que, após resolvermos a situação da- é o mesmo que 2 3 1 . da no livro, verificaremos essas 35 hipóteses. Ilustrações: Paulo Manzi/terrenoparaplantarfloresequerque2da com Arquivo da editora 3 Thiago Neumann/Arquivo da editora flores tenham rosas. Qual parte do terreno deverá ser plantada com rosas? Devemos calcular 2 de 1 do terreno, ou seja, 2 3 1 . Em seguida, leia o enunciado 3 5 3 5 do problema junto com os alu- nos e represente-o graficamen- te na lousa, como mostrado no livro. Na terceira representa- Terreno 1 do terreno 2 de 1 do terreno  2 3 1  2 do terreno ção, evidencie que não sabe- 5 3 5 3 5 15 m51oesmqurealnatçoãoreaporetosdeon,tpaor23issdoe, dividimos os outros quintos em 3 partes (quarta representa- 2 1 2 1, 2 ção) e podemos determinar es- 3 5 3 5 15 ( )se valor As figuras mostram que de , ou seja, 3 é o mesmo que . 2 . Represente na 15 2 As imagens desta página não estão Logo, 2 3 1 5 2 e Anastácio deve plantar rosas em 15 do terreno. representadas em proporção. lousa a operação efetuada 3 5 15 2 1 2 31 2 3( )215 2 e questione: 3 5 3 35 15 5 15 3 5 5 3 Também podemos escrever: . “O que fazemos com os nume- radores para chegar a 2?”; “E Para multiplicar uma fração por outra, multiplicamos o numerador de uma fração pelo com os denominadores para numerador da outra, e o denominador de uma fração pelo denominador da outra. obter 15?”. Espera-se que res- pondam que multiplicamos nu- merador por numerador e deno- Observações minador por denominador. En- • A conclusão acima pode, também, ser aplicada quando um dos fatores é um número natural. tão, peça que comparem essa conclusão com as hipóteses le- 23 3 5 2 3 3 5 6 1 355 1 3 5 5 5 vantadas anteriormente. 7177 7 717 Resolva na lousa o outro • Na multiplicação de frações, podemos fazer a simplificação antes ou depois de efetuar a operação. exemplo apresentado no livro e peça que leiam as observações, 31 3 82 5 1 3 2 5 2 4 3 51 5 4 3 1 5 4 42 3 1 3 5 23 1 5 2 verificando se algum aluno ficou 41 15 5 1 5 5 25 5 3 5 3 15 6 6 3 com dúvidas. Sugira que ano- ou tem no painel de descobertas o ou 4 3 5 5 204 5 5 4 ou que acharem necessário. 25 3 754 5 15 3 3 8 5 24 4 6 5 4 4 2 5 2 4 3 1 5 44 2 5 2 Frações inversas 4 15 60 4 6 10 4 2 5 6 64 2 3 Pergunte aos alunos se sa- Frações inversas bem o que é a inversa de uma fração, destacando que a inver- A inversa de uma fração diferente de zero é a fração que se obtém sa não é o mesmo que a oposta. invertendo o numerador com o denominador da fração dada. Após as respostas, coloque al- gumas frações na lousa e mos- tre as respectivas inversas. Por exemplo, a inversa de 3 é 4 e a inversa de 2 é 5. Espera-se que os alunos en- 43 52 tendam o que é a inversa de uma fração, mas, se necessário, Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 67 explique que, para encontrar a inversa de uma fração, basta co- locar o numerador no lugar do denominador e o denominador no lugar do numerador, ou seja, basta inverter as posições do numerador e do denominador. 2 Frações representa em relação ao todo da folha. Espera-se que respondam Multiplicação de frações que cada parte representa 1 da folha. Agora, questione: “E se qui- 4 Como provavelmente é a primeira vez que os alunos veem multipli- 1 cações de frações, seria interessante propor a eles algumas explora- séssemos a metade de 4 da folha?”; “Quanto seria isso?”. Espera-se ções que permitam reflexões sobre essa operação com frações. 1 . Então, junto com os alunos, escre- Inicialmente, entregue-lhes uma folha de papel e peça que dobrem ( )que eles respondam que seria 8 a folha ao meio e, em seguida, que dobrem-na ao meio novamente, 1 1 1 dividindo a folha em 4 partes iguais. Peça que risquem as marcações va essa situação na lousa usando frações 2 de 4 5 8 e pergun- da folha, utilizando lápis e régua, e pergunte a eles quanto cada parte te qual operação estamos efetuando. Se necessário, peça para efe- tuarem o dobro de 4, escrevendo essa operação na lousa e destacan- do a preposição de. Destaque que usamos a mesma palavra nos MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 67

2 Frações Explorar e descobrir Explorar e descobrir Peça aos alunos que efe- 1 Determine no caderno o produto de cada fração pela fração inversa dela. tuem a multiplicação de cada fração indicada pela própria in- a) 2 2 3 7 5 14 51 b) 4 4 3 5 5 20 51 c) 6 6 3 7 5 42 51 d) 2 1 versa e que então verifiquem o 7 7 2 14 5 5 4 20 7 7 6 42 3 que acontece. Em seguida, peça a eles que realizem as explora- 2 Responda no caderno: O que ocorreu com os resultados? Todos são iguais a 1. 2 1 5 7 ; 7 3 3 5 21 5 1 ções desta seção. 3 3 3 7 21 Ao final, pergunte aos alu- Os matemáticos já provaram que isso que você descobriu vale sempre. nos: “Qual é a relação existente entre uma fração e a inversa O produto de uma fração pela fração dela?”. Verifique se são capa- inversa dela é sempre igual a 1. zes de concluir que o resultado da multiplicação entre elas se- 95. 3; 30%. 3 de 1 5 3 3 1 5 3; 3 5 30 5 30% rá sempre igual a 1 e peça para 10 5 2 5 2 10 10 100 anotarem essa relação no pai- Atividades nel de descobertas. 3 1 3 1 3 3  20  5 4 5 4 20  Atividades 90 a 95 93. de 5 3 5 . Estas atividades trabalham 90 Efetue as multiplicações no caderno. Nos itens e 93 Em uma cidade, 3 dos habitantes têm entre 15 e multiplicação de frações. e f, resolva de 2 maneiras, simplificando antes e 4 depois. 30 anos de idade e 1 dessas pessoas declaram Se necessário, chame a aten- ção dos alunos para os itens b e a) 5 3 3 15 5 3 5 1 1 5 d da atividade 90, pois apresen- 10 10 2 2 ser fluentes em espanhol. As pessoas com idade tam multiplicações de números mistos. entre 15 e 30 anos que falam espanhol represen- Relembre os conceitos de b) 11 33 3 3 3 5 9 5 4 1 tam qual fração do total de habitantes da cidade? porcentagem relacionados a fra- 2 2 22 ções (vistos no 6o ano), mos- 94 Pedro tinha R$ 60,00. Ele separou 4 dessa quan- trando aos alunos que toda por- c) 6 3 2 12 5 4 5 centagem pode ser representa- 33 tia e gastou 2 do que havia separado. Qual fração da por uma fração cujo denomi- nador é 100. 3 8  2 4 8  15  3 5 15  Veja a resolução da atividade do que tinha ele gastou? 3 5 91. d) 11 32 3 6 3 11 5 66 5 33 5 3 3 Reprodução/Casa da 5 4 5 4 20 10 10 Moeda do Brasil/ e) 6 3 7 42 5 1 ou 6 1 7 1 13 1 5 1 Ministério da Fazenda 3 5 35 30 1050 25 35 5 30 5 5 5 25 3 3 18 f) 4 3 3 3 7 12 3 7 5 84 5 1 ou 4 2 3 3 1 3 95 A metade da herança de Nicanor ficou para o filho 3 2 7 2 6 14 6 84 71 21 mais velho dele, o Luís. Do restante, 3 couberam a) 2 3 18 5 5 5 5 3 71 5 2 3 1 3 1 5 2 5 1 ao caçula, o Heitor. Qual fração da herança de Ni- 5 54 5 27 91 Calcule no caderno. 62 1 1 2 2 2 canor coube ao Heitor? Ela corresponde a qual a) 3 de 18. 27 c) 2 de 3 . 1 b) 2 3 1 5 231 5 2 2 32 porcentagem da herança? 3 5 335 15 c) 2 3 3 5 233 5 6 51 b) 2 de 1 . 2 d) 20% de 2 . 2 96 Calcule no caderno o valor de cada expressão nu- 3 2 332 6 3 5 15 3 15 mérica. b) 5 1 3 3 2 5 8 3 2 5 16 9 9 3 9 3 27 d) 20 3 2 5 20 3 2 5 5 92 Calcule o que se pede e, no caderno, coloque a a) 51 132 5 1 2 5 7 b)  5 1 1  3 2 100 3 100 3 3 933 9 9 9 9 3 3 5 40 5 2 resposta na forma fracionária. 300 15 a) 30% de 60%. 9 97 Responda no caderno. c) 7 3 3 7 5 21 5 1 a) Qual é o inverso de 3 ? 4 3 7 3 21 Veja a resolução da atividade 50 92. 43 b) 1 de 40%. 2 30 60 5 25 b) Qual é o inverso de 3? Justifique. 1 , pois 3 5 3 . 100 3 100 5 3 1 a) c) Terça parte de 9 . 3 c) Qual é o número que 3 77 multiplicado por dá 1? 7 3 5 30 3 60 5 1 800 5 d) 20% de 0,5. 1 98 Como é o inverso de 9 escrito na forma mista? 5 100 3 100 10 000 25 10 3 5 18 5 9 27  25 7  100 50 9 9 9  98. 5 2 68 CAPêTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações b) 1 3 40 5 1 3 40 5 5 5 100 5 3 100 5 40 5 2 500 25 c) 1 3 9 5 139 5 5 A atividade 95 apresenta uma situação-problema envolvendo a di- operações e explique que nas frações deve-se proceder de maneira 3 7 337 análoga ao conjunto dos números naturais. visão de uma herança. Verifique se os alunos compreendem esse ter- Atividades 97 e 98 5 9 5 3 mo e quando é utilizado. Se necessário, destaque que o valor que pro- Estas atividades desenvolvem os conceitos de fração inversa apre- 21 7 curamos é 3 da metade da herança. sentados na página anterior. 5 d) 20 5 100 3 10 5 Atividade 96 Esta atividade apresenta expressões numéricas com frações. Re- 5 20 3 5 5 100 5 1 100 3 10 1 000 10 lembre os alunos sobre a ordem em que devem ser efetuadas as 68 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Divisão de frações 2 Frações Divisão de fração por número natural Inicialmente, pergunte aos alunos se, a partir das desco- Ângela separou metade de uma pizza e repartiu-a em pedaços aproximadamente iguais entre os 3 sobri- bertas relacionadas à multipli- nhos. Qual fração da pizza inteira cada um ganhou? cação de frações, seriam capa- zes de resolver uma divisão de Para responder a essa pergunta, precisamos efetuar a divisão 1 4 3. frações. Verifique as hipóteses 2 da turma e anote-as na lousa. É esperado que algum aluno diga Ilustrações: Paulo Manzi/ que, analogamente à multiplica- Arquivo da editora ção de frações, bastaria dividir o numerador de uma fração pe- Pizza inteira. Metade da pizza : 1 . Metade da pizza repartida 1 4 3 é o mesmo lo numerador da outra e dividir 2 em 3 partes iguais. 2 o denominador de uma fração pelo denominador da outra. Cada parte corresponde que 1 da pizza Sem dizer se as respostas es- a 1 4 3. 6 tão corretas ou incorretas, peça 2 inteira. que verifiquem essas hipóteses durante as explorações que fa- remos sobre divisão de frações. Nesta página, veremos a divisão de uma fração por um Assim, 1 4 3 5 1 . número natural. Para isso, re- 26 tomaremos a exploração da pá- Observe que a divisão 1 435 1 tem o mesmo resultado que a multiplicação 1 3 1 5 1 (lembre-se gina 67, em que trabalhamos 2 6 2 3 6 com o papel dobrado em 4 par- de que 1 é o inverso de 3). Assim, temos: tes e a metade disso. Pergunte: 3 “Quando tínhamos o papel do- 1 435 1 3 1 5 1 brado em 4 partes, se pedísse- 2 236 mos que o dividissem em 2, em quantas partes estaria divi- Veja mais um exemplo de divisão de fração por número natural. dido?”; “Que fração representa isso?”; “Seria diferente da 2 45 metade do papel dobrado em 3 Vamos dividir 2 de uma unidade por 5. 4 partes?”. Se necessário, leve 3 Pintamos 2 da figura. Dividimos essa parte pintada em 5 partes iguais e hachuramos 1 delas. os alunos a concluir que pedir 3 a metade do papel é equivalen- te a pedir que o dividam em 2. Então, escreva na lousa: Banco de imagens/Arquivo da editora 1 425 1 3 1 5 1 e per- 4 4 2 8 gunte qual é a relação que há entre 2 e 1 . Espera-se que res- 2 pondam que um é o inverso do outro e percebam que, na divi- são de uma fração por um nú- mero natural, multiplicamos a 2 2 2 fração pelo inverso do número. 15 3 15 A parte hachurada corresponde a da figura inicial, ou seja, 4 5 5 . Em seguida, faça com os alu- nos os exemplos do livro, princi- Observe que 2 4 5 5 2 3 1 5 2 . palmente o exemplo da pizza, 3 3 5 15 para que possam associar a di- visão de frações com uma ativi- Para dividir uma fração por um número natural diferente de zero, dade do cotidiano. multiplicamos a fração pelo inverso do número natural. Para finalizar, peça que com- Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 69 parem as hipóteses atuais so- bre divisão de frações com as iniciais e deixem anotado na lou- sa as conclusões a que chega- ram até o momento. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 69

2 Frações Divisão de número natural por fração Inicialmente, leia a situação- Bianca tem uma caixa em que cabem 12 laranjas. Quantos grupos de 3 laranjas cabem nessa caixa? -problema apresentada no livro Para responder a essa pergunta, precisamos efetuar a divisão 12 4 3. Nesse caso, podemos pensar: e peça aos alunos que reali- quantas vezes o 3 cabe em 12? zem a divisão por meio de de- Nessa pergunta, usamos a ideia de medida associada à divisão. senhos, ou seja, agrupando as laranjas, evitando pensar no Banco de imagens/ método prático por enquanto. Arquivo da editora Explique aos alunos que usa- remos, para a divisão com as Cabem 4 grupos. Logo, 12 4 3 5 4. frações, essa ideia de medida, de quantas vezes cabe. Resolva a situação do biscoi- Essa ideia da divisão será usada na divisão de número natural por fração. Veja o exemplo. to junto com os alunos na lousa, representando-a por desenhos Pedro está fazendo biscoitos e se perguntou: Quantas metades  1 de um biscoito cabem em 1 biscoito?  2 como no livro, ou usando discos de frações. Chame a atenção Para responder a essa pergunta, precisamos efe- tuar a divisão 14 1 . dos alunos para o fato de que 2 1 4 1 5 1 3 2 5 2 e pergun- Banco de imagens/ 2 1 Como podemos ver, cabem 2 metades na figura. Arquivo da editora Assim, 1 4 1 5 2. 1 11 te se a divisão de um número 2 22 2 natural por uma fração pode ser efetuada do mesmo modo que a divisão de uma fração por um número natural. Em seguida, pergunte para os Observe que a divisão 1 4 1 5 2 tem o mesmo resultado que a multiplicação 1 3 2 5 2  2 é o inverso de 1 . 2 1  1 2 alunos como representariam a divisão 2 4 3 e, na lousa, de- Assim, temos: 5 14 1 513 2 5 2 5 2 senhe a imagem a seguir: 2 11 Banco de imagens/ 3 3 3 1 de 3 O que ocorreu nesse exemplo, os matemáticos já provaram que ocorre sempre. Então, podemos escrever: Arquivo da editora 5 5 535 Então, peça aos alunos para Para dividir um número natural por uma fração, multiplicamos verificarem se a resposta será a o número natural pela inversa da fração. mesma usando o método práti- co utilizado no exemplo anterior e para atualizarem as hipóteses que estão na lousa. Atividade 99 Atividades 99. c) 2 4 7 52 3 4 5 8 511 101. 8 vezes.  24 1 523 4 58 5 8 Se necessário, chame a aten- 4 77 7 4 1 1 11 ção dos alunos para os itens b e 99 Efetue as divisões no caderno. alimentação. Com do que sobrou, ele comprou c, pois apresentam divisões com números mistos. a) 4 : 3 4 3 5 5 20 5 6 2 c) 2 : 1 3 5 5 33 3 4 roupas e, com o restante, pagou outras despesas. b) 1 2 : 5 5 3 1 5 5 5 1 d) 3 : 3 3 3 1 5 3 5 1 Atividade 102 3 3 5 15 3 4 4 3 12 4 a) Quanto Cláudio gastou com moradia? R$ 800,00 Esta atividade apresenta 100 Mara separou 3 de uma quantia e comprou b) Quanto ele gastou com alimentação? R$ 600,00 uma situação contextualizada 4 c) Quanto ele gastou com roupas? R$ 200,00 resolvida usando multiplica- ções com frações. Retome as 2 cadernos iguais. O preço de cada caderno cor- d) Quanto ele gastou em outras despesas? explorações anteriores sobre os responde a qual fração da quantia total? e) Qual fração do salário representa o gaRs$to80d0e,00 gastos mensais de uma família. Aproveite a oportunidade para 101 Quantas vezes 1 de hora cabe em 2 horas? Cláudio com roupas? 1 ampliar o diálogo sobre consu- 4 mo consciente, desejo e neces- 12 sidade, poupar e investir, etc. 102 Cláudio recebeu um salário de R$ 2 400,00. Ele gastou 1 desse dinheiro com moradia e 1 com 103 O número 4 é 16 vezes maior do que o inverso 34 dele. Se um número é 9 vezes maior do que o próprio inverso, qual é esse número? Veja as resoluções dos itens 100. 3 3 425 33 15 3 103. 3  3 495 3 3 1 5 3 5 1 ou 3 3 1 5 9 5 3 desta atividade. 8 4 4 2 8  1 1 9 9 3 3 3 1 2400 70 CAPêTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações 3 3 a) 3 2400 5 5800 b) 1 3 2400 5 2 44005 600 4 c) 2 400 2 800 2 600 5 5 1 000 1 3 1000 5 1 000 5 200 5 5 d) 24002800260022005 5 800 e) 200 5 1 2 400 12 70 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

Divisão de fração por fração 2 Frações Qual é o resultado da divisão 1 : 1 ? Acompanhe os alunos na lei- 24 tura da primeira situação apre- Usando a ideia de medida da divisão, podemos perguntar: Quantas vezes 1 de uma pizza cabe em sentada no livro e represente-a usando discos de fração ou 1 dessa pizza? 4 com desenhos na lousa. Per- gunte se, nesse caso, pode- 21 mos usar o mesmo método que usamos anteriormente e, 2 após as respostas, escreva 11 Banco de imagens/ 1 4 1 5 1 3 4 5 4 5 2. 44 Arquivo da editora 2 4 2 1 2 1 Sugira a leitura da segunda 4 situação do livro, verificando se surgem dúvidas. Em seguida, peça que reavaliem as hipóte- Temos que 1 de pizza cabe 2 vezes em 1 da mesma pizza. Então, podemos escrever 1 : 1 5 2 . ses da lousa e que anotem as 42 24 conclusões no painel de desco- Observe que a divisão 1 : 1 5 2 tem o mesmo resultado da multiplicação 1 3 4 5 4 5 2 bertas. Se necessário, faça in- 24 2 12 tervenções para levá-los a con- 4 é o inverso de 1 . cluir que, na divisão de frações, 1 4 multiplicamos o primeiro termo Assim, temos: 1 : 1 5 1 3 4 5 4 5 2. pelo inverso do segundo, mes- 24 2 1 2 mo que algum deles seja um nú- Observe outro exemplo, da divisão 2 : 4 . 55 mero natural. Nestas figuras, veja que só metade  1 da parte azul  4  cabe na parte laranja  2  . Assim, 2 : 4 5 1. Atividade 105  2  5   5  5 5 2 Veja a resolução dos itens desta atividade. Observe que a divisão 2 : 451 tem o mesmo resultado Banco de imagens/Arquivo da editora a) 5 4 2 5 5 3 3 5 5 52 6 3 6 2 2 5 10 1  5 4 5 15 5 5 5 1 1 5 4 20 2  4 5 12 4 4 da multiplicação 3 5 5 é o inverso de . Assim, temos: 2 : 4 5 2 3 5 . b) 1 4 1 5 1 3 9 5 55 5 4 5 9 5 1 24 5 9 5 1 4 55 5 5 Para dividir uma fração por outra fração, multiplicamos a primeira c) 34 1 53 3 2 56 fração pela inversa da segunda. 2 1 Atividades c) 3 3 2 5 6 5 1 d) 5 3 2 5 10 5 5 512 Atividade 106 8 9 72 12 61 6 3 3 Nesta atividade, os alunos 104 Efetue as divisões no caderno. 106 Calcule no caderno o valor das expressões nu- devem calcular o valor de ex- pressões numéricas envolven- a) 3 : 2 3 3 5 5 15 c) 3 : 9 méricas. a) 4 b) 5 c) 10 3 do frações e as 4 operações. Se 8 5 8 2 16 82 5 18 77 d) 2 necessário, relembre a ordem em que devem ser efetuadas as b) 1: 3 1325 2 51 d) 5 : 1 a)  2 1 1  :  1 1 2  c)  2 3 1  :  3 2 1  operações, destacando a priori- 4 2 4 3 12 6 62 5 5 4 4 7 4 4 5 dade do que está dentro dos pa- rênteses em relação ao que es- 105 Lembrando que o traço de fração significa uma b)  1 2 1  :  2 2 1  d)  2 2 1  3  3 : 5  tá fora. 3 4 5 10 3 4 6 divisão, calcule no caderno. 107 Em uma garrafa de água cabem 3 de 1 litro. Veja a resolução dos itens 51 desta atividade. a) 6 5 ou 1 1 . b) 5 9 ou 14 . c) 3 6 Quantos copos de 1 4 3 3 3 4 2 44 1 55 1 de litro cabem nessa 5 4 5 3 4 a) 4 5 3 5 garrafa? 3 copos.  1 3 1 4 3 39 2 4 4 4 5 4 3 3 5 1 5 3 5 12 5 4 15 5 Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 71 b) 1 4 3 5 1 3 10 5 12 10 12 3 5 10 5 5 36 18 c) 2 4 11 5 2 3 20 5 28 20 28 11 5 40 5 10 308 77 ( ) ( )d)62 1 3 3 3 6 5 3 3 4 5 5 5 3 18 5 90 5 3 3 20 60 2 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 71

Revisando seus Revisando seus conhecimentos conhecimentos Principais habilidades 1 Qual é o quociente entre o mmc(8, 10) e 4?(40 4 4 5 10) 5 Qual destas comparações não está correta? da BNCC a) 20 b) 5 c) 8 X d) 10 a) 1,23 < 12,3 X c) 0,302 5 0,320 EF07MA01 EF07MA12 2 Copie este quadro em um papel quadriculado e com- b) 2,4 > 2,269 d) 0,976 < 1 EF07MA03 EF07MA15 plete-o (um algarismo em cada quadrinho com ). 6 Observe esta reta numerada e, considerando os nú- EF07MA04 EF07MA22 A1 6 B 9C 3 D1 4 E2 meros correspondentes às letras, escreva no cader- no se cada item é verdadeiro (V) ou falso (F). EF07MA10 EF07MA27 F8 8 AB C D Banco de imagens/ EF07MA11 EF07MA34 26 24 22 0 12 Arquivo da editora 8 066 Inicialmente, convide os alunos a compartilhar as ex- 30 G 3H 2 7 perimentações e descobertas realizadas ao longo do capítulo. I 9J 9K 9 L4 2 a) D > C V d) C > A V Pergunte à turma, por exemplo: b) A > B F e) D < A F “Qual conceito foi compreendido 0 c) C < B F f) B > D F com maior facilidade?”; “Qual conceito, para cada um de vo- M5 N2 O5 7 Copie as afirmações abaixo no caderno e indique se cês, foi o mais complexo?”. cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso 0 0 2 de ser verdadeira, dê 3 exemplos que confirmem a Enumere com a turma as ha- afirmação feita. No caso de ser falsa, dê 1 contrae- bilidades e os conceitos explo- P9 4 Q9 xemplo, ou seja, um exemplo que contesta a afirma- rados no capítulo e verifique ção feita. quais foram as principais difi- 8 00 culdades encontradas. Aprovei- te a oportunidade para verificar R 1S 8 T5 se ainda há alguma dificuldade 4 00 e para retomar as explorações que possam favorecer a supera- U2 V6 a) Todo número natural diferente de zero tem mais ção de possíveis desafios. de 2 divisores. 7 0600 Atividade 1 Esta atividade retoma os con- Horizontal Vertical b) Todo número natural diferente de zero tem infini- A. 347 1 962 1 384 A. 6 766 2 4 927 tos múltiplos. ceitos de quociente e mmc. Se D. 14 dezenas 12 B. 16 1 26 1 37 1 19 necessário, explique aos alunos F. 11 538 2 3 472 C. 3 centenas. c) Se um número natural é par, então o quadrado dele que devem calcular o mmc e, em G. 23 1 126 1 84 1 94 D. 163 ? 100 é sempre um múltiplo de 4. seguida, efetuar a divisão por 4. I. 4 256 2 3 257 E. 2 centenas 1 8 dezenas 1 7 L. 89 1 230 1 36 1 47 H. 10 214 2 7 985 d) Se um número natural é ímpar, então o quadrado Atividade 2 M. 632 2 582 J. 122 1 836 dele é sempre um múltiplo de 3. Nesta atividade, os alunos N. 2 ? 1 000 1 2 ? 10 1 5 K. 9 000 1 40 1 1 P. 1 057 2 73 L. 32 000 1 10 000 e) O mmc de 2 números naturais diferentes de zero é devem efetuar os cálculos pa- Q. 1 006 2 916 O. 50 centenas. maior ou igual a cada um desses números. ra que possam completar o R. Mil oitocentos e cinco. P. 94 dezenas 1 2 quadro. Observe se algum alu- U. 3 000 2 2 973 S. 13 1 9 1 14 1 26 1 24 f) O mdc de 2 números naturais diferentes de zero é no ainda encontra dificuldade V. 606 centenas. T. 34 562 2 34 506 menor ou igual a cada um desses números. na interpretação das quantida- des que se encontram escritas 3 Usando moedas de R$ 0,50, R$ 0,25 e R$ 0,10, de g) Todo divisor de 20 é divisor de 10. por extenso e faça as interven- ções que julgar pertinentes. quantas maneiras diferentes podemos fazer um pa- h) Todo múltiplo de 20 é múltiplo de 10. gamento de R$ 1,00? i) Os múltiplos de um número par são todos pares. Atividade 3 X a) 6 b) 4 c) 3 d) 5 Esta atividade apresenta 4 Frações e sequências. j) Os múltiplos de um número ímpar são todos uma situação muito comum no a) Descubra uma regularidade, copie a sequência no ímpares. cotidiano dos alunos: o uso de moedas. Se necessário, retome caderno e complete-a. k) A adição de 2 frações menores do que 1 dá um nú- as explorações envolvendo o sistema monetário brasileiro. 1 , 4 , 12 , 2, 2 3 , , , , mero maior ou igual a 1. 55 5 5 l) Simplificar uma fração é reduzir o valor dela. Atividade 4 Esta atividade retoma con- b) Forme uma sequência de 7 termos, em que o m) Se mdc(a, b) 5 1, então a fração a é irredutível. 1o termo é 2 , o 2o termo é 11 , e cada termo, a par- b ceitos de sequências e opera- 33 ções com frações (adição e subtração). tir do 3o termo, é a soma dos 2 termos anteriores. n) Nenhum número primo é par. Atividades 5 e 6 4. a) Exemplo de resposta: 3 1 , 3 4 , 4 2 , 5. b)  2 , 11, 2, 3 1 , 5 1 , 8 2 , 14 Estas atividades são sobre 55 5 3 3 3 3 3 72 CAPêTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações comparação entre números, en- volvendo decimais, números in- Atividade 7 10 é par e 102 5 100, que é múltiplo de 4; 8 é par e 82 5 64, que teiros na reta numerada e orde- Nesta atividade, são revistos diversos conceitos: múltiplo e di- é múltiplo de 4. nação de números inteiros. d)Falsa; contraexemplo: 5 é ímpar e 525 25, que não é múltiplo visor de números naturais, inclusive mdc, mmc e números primos, de 3. Na atividade 5, comente com e frações. e) Verdadeira; exemplos: mmc(4, 6) 5 12; mmc(10, 5) 5 10; a turma que, neste caso, o enun- mmc(9, 12) 5 36. ciado pede a localização da alter- Veja exemplos de resposta para os itens desta atividade. f) Verdadeira; exemplos: mdc(4, 6) 5 2; mdc(10, 5) 5 5; nativa incorreta. Ao final, peça mdc(9, 12) 5 3. que a tornem verdadeira modifi- a) Falsa; contraexemplo: 7 só tem 2 divisores: 1 e 7. cando o sinal. b) Verdadeira; exemplos: m(5): 0, 5, 10, 15, »; m(12): 0, 12, g)Falsa; contraexemplo: 4 é divisor de 20 e não é divisor de 10. 24, 36, »; m(8): 0, 8, 16, 24, » c) Verdadeira; exemplos: 6 é par e 62 5 36, que é múltiplo de 4; 72 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

12. 2 (As possibilidades são: 35 (10 1 25 5 35), 60 (10 1 50 5 60) e 75 (25 1 50 5 75); Revisando seus 3 2 possibilidades resultam em valores maiores do que 40.) conhecimentos 8 No caderno, compare os números inteiros de cada 12 Em uma caixa há 1 moeda de 10 centavos, 1 moeda Atividade 10 item usando o sinal <. de 25 centavos e 1 moeda de 50 centavos. Retirando Nesta atividade, se possível, peça que pesquisem a popula- a) 23, 14, 11, 17, 212. 212 < 23 < 21 < 14 < 17 2 moedas sem olhar, qual é a probabilidade de se ob- ção do estado onde moram e, a b) 18, 26, 29, 25, 110, 115. ter mais do que 40 centavos? partir desse dado, criem compa- rações com a população de ou- 29 < 26 <25 < 18 < 110 < 115 13 No caderno, copie e complete o quadrado mágico tros estados. Incentive-os a uti- que tem a adição dos números das linhas, colunas e lizar frações e porcentagens du- 9 Quais destas figuras são polígonos? diagonais igual a 3 15 . rante as comparações. 16 X a) X d) Atividade 11 Nesta atividade, permita que X b) X e) Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 1186 ou 1 1 1136 1146 ou 1 1 2 4 os alunos façam uma estimati- va e peça que, em seguida, cal- c) f) 1156 1196 culem o valor exato. 1 1 Atividade 13 16 Esta atividade trabalha um 10 De acordo com o Censo do IBGE, no ano de 2010 a 1166 ou 1 3 1 7 1 1 quadrado mágico com frações. 8 16 8 Se achar conveniente, sugira população de Minas Gerais correspondia a, aproxi- que os alunos criem um qua- madamente, 1 da população do Brasil. Um pouco de Hist—ria drado cujo resultado seja uma fração diferente da apresenta- 10 Há mais de 1 000 anos, os chineses usavam um método prático da e que desafiem um colega a Por sua vez, a população da capital Belo Horizonte e diferente para somar frações. Esse método não exigia que os solucioná-lo. Permita que os correspondia a cerca de 1 da população de Mi- denominadores das parcelas fossem iguais. Ele aparece em alunos forneçam o valor de ou- um dos primeiros livros chineses de Matemática, chamado tras casas do quadrado mági- 12 Nove capítulos. Veja um exemplo de como eles faziam. co, diferentes das casas da ati- nas Gerais. vidade, desde que verifiquem 214 5? se, a partir delas, é possível Minas Gerais BA N Banco de imagens/Arquivo da editora 35 completar a figura. 50º O DF 214 Um pouco de História MT 35 Este boxe apresenta a ma- GO 2 ? 5 5 10 ñ 10 1 12 5 22 neira utilizada pelos chineses MG 3 ? 4 5 12 há mais de 1 000 anos para efe- (este será o numerador da soma) tuar adições de frações. Nesse MS Belo Horizonte ES método, a fração resultante é RJ OCEANO 214 composta da soma dos produ- SP 35 tos entre os numeradores e de- Trópico de Capricórnio ATLÂNTICO 3 ? 5 5 15 nominadores opostos em rela- (este será o denominador da soma) ção ao sinal de mais (1) no nu- PR 0 215 km merador, e é composta do pro- Assim, 2 1 4 5 22 . duto entre os denominadores Fonte de consulta: IBGE. Atlas geogr‡fico escolar. 3 5 15 no denominador. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. Mostre aos alunos que essa Considerando essas informações, calcule e respon- maneira de adicionar frações é equivalente a encontrar o mmc da no caderno: A população de Belo Horizonte cor- entre as 2 frações, determinar as frações equivalentes e efe- respondia, em 2010, a qual fração da população do tuar a adição dessas frações. Brasil? 1 1 31 5 1 Comente que, nesse méto- 120  12 10 120  do chinês, caso desejem adi- cionar mais do que 2 frações, 11 Cássio tem barbantes com medidas de comprimento devem repetir o processo com 2 a 2 frações. Incentive-os a de 3 5 m, 1 1 m e 1 1 m. Ele afirmou que, no total, efetuar algumas adições uti- 64 8 lizando-o para que possam verificar as compreensões e tem aproximadamente 5 m de barbante. A estimati- 14 A resposta da soma de frações do Um pouco de Histó- possíveis dúvidas. va dele foi razoável? Explique. Não. (4 1 1 1 1 5 6) ria está correta? Verifique no caderno. Se quiser ampliar as explora- ções, peça aos alunos que pes- Sim, pois 2 1 4 5 10 1 12 5 10 1 12 5 22 quisem informações sobre as . principais contribuições orien- 3 5 15 15 15 15 tais para a Matemática. Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 73 h) Verdadeira; exemplos: 0, 40 e 100 são múltiplos de 20 e tam- m) Verdadeira; exemplos: mdc(3, 4) 5 1 e 3 é irredutível; bém de 10. 4 i) Verdadeira; exemplos: m(6): 0, 6, 12, »; m(10): 0, 10, 20, 30, mdc(4, 9) 5 1 e 4 é irredutível; mdc(25, 33) 5 1 e 25 é ir- »; m(8): 0, 8, 16, 24, » 9 33 redutível. j) Falsa; contraexemplo: 20 é múltiplo de 5 e é par. n) Falsa; contraexemplo: 2 é par e é primo. k) Falsa; contraexemplo: 1 1 2 5 3 e 3 é menor do que 1. 5 5 5 5 l) Falsa; contraexemplo: simplificando 10 , obtemos 2 e 15 3 10 2 15 5 3 . MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 73

2. 1 2 1 2 1 5 12 2 2 2 3 5 7  8. (20 3 5 5 100; 100 4 12 5 8 e resto 4; total de 9 pizzas, sendo 1 grátis; 8 3 30 5 240.) 6 4 12 12 12 12 Testes oficiais Testes oficiais Principais habilidades da BNCC 1 (Saeb) Observe as figuras. Pedrinho 5 (Obmep) A capacidade do tanque de gasolina do car- EF07MA01 EF07MA09 José ro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medi- dor de gasolina do carro no momento de partida e no EF07MA06 EF07MA10 Ilustrações: Banco de imagens/ momento de chegada de uma viagem feita por João. Arquivo da editora EF07MA08 EF07MA12 Reprodução/Obmep, 2005. Pedrinho e José fizeram uma aposta para ver quem Explique aos alunos que as atividades desta página foram comia mais pedaços de pizza. Pediram duas pizzas de Quantos litros de gasolina João gastou nesta viagem? extraídas de provas e testes ofi- ciais e, normalmente, possuem igual tamanho. Pedrinho dividiu a sua em oito pedaços a) 10 c) 18 e) 30 enunciados elaborados. iguais e comeu seis; José dividiu a sua em doze peda- b) 15 X d) 25  3 2 1 5 2 5 1; 1 3 50 5 25 Atividades 1, 2 e 4    4 4 4 2 2 Estas atividades trabalham ços iguais e comeu nove. Então: 6 5 18 ; 9 5 18 8 24 12 24 conceitos de frações, como fra- X a) Pedrinho e José comeram a mesma quantidade de 6 (Obmep) Qual o sinal que Clotilde deve colocar no lu- ções equivalentes e operações com frações, para resolução das pizza. gar de “?” para que a igualdade fique correta? situações. b) José comeu o dobro do que Pedrinho comeu. Reprodução/Obmep, 2006. Se necessário, oriente os alu- nos a utilizar frações para resol- c) Pedrinho comeu o triplo do que José comeu. ver a atividade 4. d) José comeu a metade do que Pedrinho comeu. Atividade 3 Para resolver esta atividade, 2 (Saeb) A estrada que liga Recife a Caruaru será recu- os alunos devem usar o conceito perada em três etapas. Na primeira etapa, será recu- de múltiplo de um número natu- perado 1 da estrada e na segunda etapa 1 da estrada. ral. Como é esperado que alguns alunos iniciem a atividade pro- 64 curando todos os múltiplos, Uma fração correspondente à terceira etapa é: oriente-os que temos 1 múltiplo de 3 a cada 3 números consecu- a) 1 . X c) 7 . X a) 4 c) 1 e) 2 tivos e peça que usem essa in- 5 12 31 3 formação na resolução. b) 3 d) 5 3 4 6 5 7 5 5 5  7 5 62 14  b) 5 . d) 12 . 12 7 7 (Obmep) Qual dos seguintes números está mais pró- ximo de 1? 1 < 1 < 1 < 1 < 1 a) 1 1 1  10 8 5 3 2 3 (Obmep) Quantos números inteiros, múltiplos de 3, c) 11 1 X e) 11 1 2 existem entre 1 e 2 005? 5 10 a) 664 c) 667 e) 669 b) 12 1 d) 11 1 (A cada 3 números naturais 8 3 b) 665 X d) 668 temos 1 múltiplo de 3; 2005 4 3 5 668 e resto 1.) 4 (Obmep) As três faixas horizontais da bandeira abai- 8 (Obmep) Um grupo de 20 amigos reuniu-se em uma xo têm o mesmo comprimento, mesma altura e cada pizzaria que oferece a promoção descrita na figura. faixa é dividida em partes iguais. A medida da área Reprodução/Obmep, 2015. total da bandeira é 900 cm2. As imagens desta Reprodução/OBMEP, 2016. página não estão representadas em proporção. Cada pizza grande foi cortada em 12 fatias e cada um Qual é a soma das medidas das áreas dos retângulos dos amigos comeu 5 fatias de pizza. Quantos reais, brancos? no mínimo, o grupo pagou pelas pizzas? a) 300 cm2 c) 375 cm2 e) 600 cm2 a) R$ 180,00 X c) R$ 240,00 e) R$ 300,00 X b) 370 cm2 d) 450 cm2 1 b) R$ 210,00 d) R$ 270,00 1 1 1 5 4. 3 3 900 5 300; 4 3 300 5 75; 3 3 300 5 100; 3 300 5 60; 75 1 75 1 100 1 60 1 60 5 370 74 CAPêTULO 2 ¥ Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações 74 CAPÍTULO 2 - MANUAL DO PROFESSOR

VERIFIQUE 9 Guilherme, Didi, Eliane e Dunga participaram de uma 4 em 12 5 4 5 1 O QUE ESTUDOU 12 3 gincana cultural. Do total de perguntas propostas, Vejaaresoluçãodaatividade4. Guilherme acertou 3 , Didi acertou 5 , Eliane acertou 6. a) Exemplos de resposta: 1 , 2 e 3 . 3445 3 23 4 68 4 1 Descubra e registre os números no caderno. Vejaaresoluçãodaatividade5. a) Múltiplos de 4 entre 30 e 40. 32 e 36. 4 e Dunga acertou 4 . Houve um empate entre 2 deles. a) 6 em 15 5 6 5 2 86 15 5 b) Divisores pares de 30. 2, 6, 10 e 30. Quais participantes acertaram o mesmo número de Paulo Manzi/Arquivo da editora b) 6 em 9 5 6 5 2 9 3 c) Múltiplos comuns de 6 e 8, com 2 algarismos. perguntas? Eliane e Guilherme. 3 5 4 5 1 6 8 2 24, 48, Atividade 6 d) Divisores comuns de 40 e 18. 1 e 2. 72 e 96. 10 Observe a reta numerada e responda no caderno. A (B 3 C deve ser menor do que B e menor do que C.) Veja a resolução de alguns AB C D e) mmc(20, 30) e mdc(20, 32). 60 e 4. itens desta atividade. f) Números primos entre 20 e 30. 23 e 29. 01 b) Exemplo de resposta: 2 Em uma rodovia existe uma barraca de frutas a cada Se B e C são números entre 0 e 1, então B 3 C cor- 2 ñ 3 ; 8 < 9. responde a qual ponto: A ou D ? 3 4 12 12 6 km e uma lanchonete a cada 16 km. No marco 11 André comeu 1 de uma pizza e quer dar 1 do que zero há uma barraca de frutas e uma lanchonete. De 42 c) Exemplo de resposta: quantos em quantos quilômetros encontraremos sobrou para a irmã dele, Paula. Qual fração da pizza 1 < 2 ; 2 < 3 ; 3 < 4 . 2 3 3 4 4 5 uma lanchonete e uma barraca de frutas juntas? Paula vai receber? 3  4 2 1 5 3 ; 1 de 3 5 1 3 3 5 3  8 4 4 4 2 4 2 4 8 Atividade 7 De 48 em 48 quilômetros. (mmc(6, 16) 5 48) 12 Veja os registros que Caio fez. 3 Uma região quadrada com lados de medidas de com- primento de 2 cm representa qual fração de uma Esta atividade trabalha o con- região retangular com lados de medidas de compri- 2 3 18 5 18 4 3 5 6 3 2 5 12 ceito de frações como probabili- 3 mento de 3 cm e de 4 cm? 4 ou 1 . 4. 3 de litro. a) O resultado 2 3 18 5 12 está correto? Sim. dade. 4 12 3 3 Veja a resolução. b) Os registros dos cálculos que Caio escreveu estão 800 em 1200 5 4 Repartindo igualmente 3 litros de suco entre 4 pes- soas, qual fração do litro cada uma deve receber? 5 Em um saquinho há 6 fichas verdes e 9 amarelas. In- todos corretos? Se ele errou, identifique o erro, 5 800 5 8 5 2 a) 2 dique as razões no caderno, com frações irredutíveis. 1 200 12 3 argumente porque ele errou e, no caderno, faça o 5 a) Entre o número de fichas verdes e o total de fichas. b) 2 b) Entre o número de fichas verdes e o de amarelas. registro correto de todo o cálculo. Atividade 13 Veja a resolução desta ativi- 3 13 Carlos mora a 13 km da escola e Joel mora a 12 km 43 dade. 6 Faça no caderno o que se pede. a) Escreva uma fração em que o numerador seja o da escola na mesma direção. Quem mora mais longe 3 2 3 2 antecessor do denominador. 4 3 4 3 b) Somando 1 ao numerador e 1 ao denominador, o da escola? Quanto a mais? Carlos; 1 km a mais. 1 2 1 5 2 5 valor da fração aumenta, fica igual ou diminui em 12 relação à fração inicial? Aumenta. 14 Em uma pesquisa sobre a 3 dos 9 8 1 c) Escolha outras frações e descubra se o mesmo preferência de cores, 12 12 12 fato acontece sempre. Sim. 5 2 5 2 5 entrevistados preferem azul, 1 prefere amarelo e 1 Atividade 14 15 3 prefere vermelho. A fração que representa a quanti- Veja a resolução desta ativi- dade de entrevistados que preferem azul é maior, me- dade. nor ou igual à fração que representa os entrevistados 1 1 1 5 11 5 5 6 15 3 15 15 7 Uma companhia aérea faz 1 200 voos em cada mês. que preferem amarelo e vermelho juntos? Justifique. No último mês, 800 deles partiram no horário pre- 3 5 9 Maior. 5 15 visto. Qual é a probabilidade de escolher um voo que, Atenção 9 > 6 nesse mês, saiu no horário previsto? 2 15 15 Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique 3 8 No caderno, escreva as frações 7 , 3, 9 e 5 em or- em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- Autoavaliação dem crescente. 3 , 7 , 5 , 9 . 7 8 3 4 do maneiras de reforçar seu aprendizado. As questões de autoavaliação 8 7 43 12. b) Ele errou ao escrever a igualdade falsa 18 4 3 5 6 3 2; o correto seria, apresentadas propiciam aos alu- nos refletir sobre os estudos, as Autoavaliação por exemplo, 2 3 18 5 12, pois 18 4 3 5 6 e 2 3 6 5 12. atitudes e as aprendizagens. Dê 3 um tempo para que cada aluno re- flita individualmente sobre elas e Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita registre as respostas no caderno. sobre elas. Respostas pessoais. Em seguida, àqueles que deseja- rem, permita que compartilhem • Há respeito no meu relacionamento com os colegas, professores e demais funcionários da escola? as respostas com os colegas. • Dos assuntos revistos dos anos anteriores, consegui recordar da maioria? • Costumo retomar em casa os assuntos em que tive mais dificuldade na sala de aula? Verifique o que estudou Revendo e aprofundando múltiplos, divisores e frações • CAPÍTULO 2 75 Ao longo do ano, é importante a retomada dos registros de au- Principais habilidades da BNCC Atividades 2 a 5 toavaliação feitos no fim de cada Estas atividades trabalham os conceitos de frações como parte do capítulo, para que eles possam EF07MA01 EF07MA09 EF07MA11 perceber e mensurar o quanto EF07MA12 todo, quociente, operador e razão. aprenderam e melhoraram em EF07MA08 EF07MA10 Na atividade 3, se necessário, retome os cálculos das medidas de diversos aspectos. Atividade 1 área de regiões quadradas e retangulares. Permita que os alunos re- Em relação às perguntas pro- Nesta atividade, são revistos alguns conceitos de múltiplo e divi- presentem também a resposta como um número na forma decimal. postas nesta página, converse com a turma sobre a importân- sor de números naturais, como mdc, mmc e números primos. Veja a resolução da atividade 3. cia de respeitar os colegas da 23254 turma. Enfatize que a Matemá- 3 3 4 5 12 tica deve ser construída de acordo com o que já sabemos. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 2 75

Abertura CAPÍTULO Nœmeros racionais Principais habilidades 3 da BNCC QUADRO DE MEDALHAS Rio 2016/Arquivo da editora EF07MA02 EF07MA08 JOGOS OLÍMPICOS RIO 2016 Explique aos alunos que, neste capítulo, nomearemos al- MAIORES MEDALHISTAS E RESULTADOS DO BRASIL guns números, já conhecidos, como números racionais e ex- Medalha Logotipo dos Jogos ploraremos módulo, compara- País Olímpicos Rio 2016. ção e operações com números racionais. Total Rubens Chaves/Pulsar Imagens Inicie o capítulo mostrando Bronze Prata Ouro aos alunos o símbolo dos Jogos Olímpicos. Pergunte se conhe- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora EUA 38 37 46 121 cem esse símbolo e se sabem o significado dele. Colete as infor- Reino Unido 17 23 27 67 mações que eles já têm sobre o assunto e informe que os anéis 26 18 26 70 representam os 5 continentes unidos em prol do esporte. China Torcedores na arena de vôlei de praia, O anel azul representa a Europa, na praia de Copacabana, no Rio de o anel preto representa a África, 66 7 19 Janeiro (RJ). Foto de 2016. o anel vermelho representa a América, o anel amarelo repre- Brasil Queniano Eliud Kipchoge cruzando a linha senta a Ásia e o anel verde repre- de chegada na maratona masculina, senta a Oceania. Fonte de consulta: UOL. Quadro de medalhas. Disponível em: <https://olimpiadas.uol.com. no sambódromo do Rio de Janeiro (RJ). Robert Beck/Sports Illustrated/Getty Images br/quadro-de-medalhas/>. Acesso em: 26 set. 2017. Foto de 2016. Então, peça aos alunos que analisem o quadro de medalhas As imagens desta página não estão e o comentário sobre as meda- representadas em proporção. lhas da China, verificando se sa- bem representar as frações cor- Dos Jogos Olímpicos Rio 2016, participaram 11 554 atletas respondentes ao número de me- dalhas de cada tipo em relação de 205 países. O Brasil ficou em 13o lugar na classificação geral ao total de medalhas de cada país apresentado no quadro. em número de medalhas. Aproveite a oportunidade para fazer a representação na lousa, A China ganhou 70 medalhas no total, das quais 13 delas juntamente com os alunos. 35 de ouro, 9 de prata e 13 de bronze. Pergunte aos alunos se sa- 35 35 bem identificar o número de in- gressos vendidos para os jogos Dos 7,7 milhões de ingressos colocados à venda, mais de realizados na arena de vôlei, incentivando-os a comparti- 80% foram vendidos. lhar as estratégias que utiliza- riam para esse cálculo. A última prova dos Jogos Olímpicos Rio 2016 foi a maratona, Depois, pergunte aos alunos se sabem calcular o tempo apro- ximado em que Eliud Kipchoge percorreu cada quilômetro, a partir dos dados da notícia. vencida na modalidade masculina por Eliud Kipchoge, do Quênia, que fez o percurso de 42,195 km em 2 h 8 min 44 s. 76 76 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR

Banco de imagens/Arquivo da editora Você já ouviu falar dos números racionais? São números que podem ser escritos Abertura Rubens Chaves/Pulsar Imagensna forma fracionária e estão muito presentes no cotidiano. Inicie as explorações pergun- Nas informações dadas na página anterior, sobre os Jogos Olímpicos Rio 2016, todos tando aos alunos sobre os nú- os números citados podem ser chamados de números racionais. meros racionais. Antes mesmo de explicar quais são esses nú- Neste capítulo vamos estudar esses números. meros, peça que elaborem uma definição analisando os núme- SUPLEMENTOS DIÁRIOS ros do texto, pois todos são ra- OU SEMANAIS cionais. Possivelmente eles irão concluir que, no conjunto dos números racionais, encontram- -se os números inteiros, as fra- ções e até os decimais. Em relação ao mapa do Brasil com a localização da cidade do Rio de Janeiro, crie algumas in- dagações, como: “Conhecendo a medida de área da superfície do Brasil e o número de habitan- tes (encontram-se na legenda do mapa), como podemos en- contrar o número de habitan- tes por quilômetro quadrado?”; “Os números dados na legenda e esse calculado são números racionais?”. Peça que resolvam, em gru- po, as atividades disponibiliza- das nesta página. Se necessá- rio, faça intervenções. Apesar de a cidade-sede dos Jogos Olímpicos de 2016 ter sido o Rio de Janeiro (RJ), algumas partidas de futebol de campo foram disputadas na cidade de São Paulo (SP). Nesta foto, partida entre Brasil e Canadá pela disputa da medalha de bronze do futebol feminino, na Arena Corinthians, em São Paulo. Converse com os colegas sobre as seguintes questões e registre as respostas no caderno. 1 Dos números que aparecem nas notícias, quais estão na forma decimal? 7,7 e 42,195. 2 Como se lê o número 9 ? Nove trinta e cinco avos. 35 3 Qual número natural corresponde à fração 14 ? 7 2 4 Como podemos escrever 80% na forma de fração irredutível? 4 80% 5 80 5 8 5 4  5 100 10 5 5 Quanto é 80% de 7,7 milhões? 6 Qual número, na forma decimal, corresponde ao número misto 7 1 ? 7,5 7 1 5 75 5 7,5 7 2 2 10 Como se lê o número 42,195? Quarenta e dois inteiros, cento e noventa e cinco milésimos. 5. 6,16 milhões ou 6 160 000.  4 de 7 700 000 5 6160 000, pois 7 700 000 4 5 5 1540 000 e 4 3 1540 000 5 6160 000 5 Números racionais • CAPÍTULO 3 77 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 77

1 Os números 1 Os nœmeros racionais Sérgio Dotta Jr./The next racionais No capítulo 1, você estudou os números inteiros e viu, por exemplo, que no painel de Painel de elevador. Principais habilidades um elevador o 0 (zero) indica o andar térreo, o 21 indica o primeiro andar abaixo do da BNCC térreo e o 12 indica o segundo andar acima do térreo. EF07MA03 EF07MA10 No capítulo 2, retomamos as ideias das frações, estudando as frações positivas. Agora, você vai ver que muitas situações também podem envolver números positi- EF07MA04 vos e números negativos, escritos na forma fracionária, na forma mista ou na forma decimal, especialmente as situações que envolvem medidas. Mostre aos alunos o painel do Veja alguns exemplos. elevador e pergunte que tipos de números podem ser encontra- • Movimentação de uma conta-corrente. • Medida de temperatura em uma cidade. dos nele, esperando-se que a resposta seja números inteiros Movimentação da A medida de temperatura correspondente ao pon- positivos e negativos. Comente conta-corrente to A é 23 °C (3 graus Celsius abaixo de zero), a que os números racionais englo- correspondente ao ponto B é 111 °C ou 11,5 °C bam esses números, pois con- Data Movimentação Saldo têm os números inteiros. 7/11/19 2 9/11/19 Depósito: R$ 50,00 1R$ 78,30 e a correspondente a C é 2 1 °C ou 20,5 °C. Mostre também a tabela de movimentação da conta cor- Retirada: R$ 40,00 1R$ 38,30 2 rente e pergunte quais tipos de números podem ser observa- 16/11/19 Retirada: R$ 90,00 2R$ 51,70 Paulo Manzi/Arquivo da editora dos nela. Faça-os perceber que nessa tabela podem ser encon- 20/11/19 Retirada: R$ 20,00 2R$ 71,70 As imagens desta trados números inteiros posi- página não estão tivos e decimais positivos e ne- 31/11/19 Depósito: R$ 80,00 1R$ 8,30 representadas em gativos. Assim, informe que os proporção. números na forma decimal Tabela elaborada para fins didáticos. também fazem parte do con- Termômetro. junto dos números racionais. No dia 16/11/19, o saldo ficou negativo (2 R$ 51,70). Peça que observem o termô- No fim do mês, o saldo ficou positivo metro graduado, indicando as (1 R$ 8,30). medidas de temperatura dos pontos B e C por números mis- 11 tos. Diga que os números mistos Números como 0; 21; 22; 16; 11; 251,70; 18,30; 23; 11 2 ; 11,5; 2 2quseãsoigenxiefimcapqlouse de números também fazem parte do conjun- racionais. Observe que os números inteiros também são números racionais, o vamos fazer to dos números racionais. uma ampliação do estudo feito no capítulo 1. Pergunte aos alunos se sa- bem diferenciar decimais exatos Os números naturais, os números inteiros e os decimais exatos podem ser escritos na forma de fração. e dízimas periódicas (também chamadas de decimais periódi- Veja alguns exemplos. cos) e apresente-os na forma fracionária. Então, pergunte se 05 0 22 5 22 5 22 16 5 16 18,30 5 1 830 5 1 83 ambos os números são racio- 1 11 1 100 10 nais e peça que justifiquem a resposta. Espera-se que respon- Os decimais periódicos também podem ser escritos na forma de fração. Por exemplo: dam que decimais exatos e dízi- mas periódicas são racionais, 0,5 5 5 4 9 5 5 2 41 5 2(41 4 99) 5 20,4141» 5 20,41 pois ambos podem ser escritos 9 99 como frações de numerador e denominador inteiros e denomi- Qualquer número que pode ser escrito na forma fracionária, com numerador e nador diferente de zero. denominador inteiros e denominador diferente de zero, é chamado de número racional. Além disso, mostre alguns de- Assim, são números racionais os números naturais, 20,5 Racionais 1 3 Banco de imagens/Arquivo da editora cimais que não são exatos nem os números inteiros, os decimais exatos e os decimais 4 periódicos, como 0,121221222» periódicos (dízimas periódicas). As dízimas não periódicas 1 Inteiros 212 1,25 e 34,65467928», que não po- não são números racionais. 2 9 dem ser escritos na forma de Naturais fração, ou seja, não são núme- Você já viu que todo número natural é também um 4 37 0 26 ros racionais. número inteiro, como todo número inteiro é também 2 0,5 um número racional, podemos desenhar este diagrama. 1 Por fim, componha na lousa o 2 28 27 2 2 diagrama com os conjuntos nu- 4 5 méricos e mostre aos alunos 3 que todos os números apresen- tados nesta página podem ser 78 CAPÍTULO 3 ¥ Números racionais escritos na forma fracionária. Em seguida, defina um número racional como um número repre- sentado na forma de fração, des- de que numerador e denomina- dor sejam números inteiros com denominador diferente de zero. 78 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR

1. Porque todos eles podem ser escritos como o quociente de 2 números inteiros, com denominador não nulo: 21 5 21 5 21; 251,70 5 25 170 5 2 5 170 5 2 517 e 11 1 5 1 2 1 1 513 5 3. 1 Os números 11 1 000 1 000 100 2 2 2 2 2 racionais Atividades 2. a) 22,5 5 22 5 5 225 5 225 d) 13 5 1 3 e) 2 4 10 10 10 15 Atividade 1 1 No caderno, justifique o fato de 21; 251,70 e 4 Escreva no caderno, de pelo menos 2 maneiras Nesta atividade, os alunos 111 serem números racionais. diferentes, o número racional correspondente a devem explicar o motivo de clas- 2 cada divisão. sificarmos os números dados como racionais. 2 Cada situação a seguir pode ser expressa por um a) 8 : 4 f) 0 : 8 número racional. Escreva no caderno qual é o nú- mero e indique-o na forma de fração irredutível. b) 7 : 3 g) 10 : 9 Atividades 2 a 5 Estas atividades trabalham Uma fração é irredutível quando não c) (29) : (24) h) 43 : 5 há mais como simplificá-la. d) 5 : 11 i) 5 : 6 as diferentes representações e) (115) : (23) j) (280) : 10 dos números racionais, inclusi- a) 2,5 m abaixo do nível do mar. ve como porcentagens, na ativi- dade 5. b) Um saldo positivo de R$ 50,00. 150 5 150 1 5 Copie a tabela no caderno e complete-a com os Reprodução/Casa da Moeda do Brasil/ números correspondentes. Atividade 3 Ministério da Fazenda Para determinar a fração cor- Observe que as porcentagens também represen- tam números racionais. respondente às dízimas perió- dicas do quadro vermelho desta Números racionais em diferentes formas atividade, os alunos devem divi- dir o numerador pelo denomina- dor das frações. Cédula de 50 reais. Porcentagem Fração Decimal Atividade 4 irredutível Veja exemplos de respostas c) Uma medida de temperatura de 2 3 graus Cel- 12% 3 0,12 desta atividade. 25 sius abaixo de zero. 22 3 5 2 11 4 75% a) 8 ou 2. 4 4 As imagens desta 244% 3 0,75 4 d) O andar 3 acima do térreo. 130% 4 página não estão 7 1 61 3 3 e) 4 m abaixo do nível do mar. representadas em 25 2,44 b) ou 2 ou 2,3. 5 proporção. 13 André Seale/Pulsar Imagens c) 29 ou 9 ou 2 1 ou 2,25. 1,3 24 4 4 10 d) 5 ou 0,45. 11 Tabela elaborada para fins didáticos. 115 ou 2135 6 No caderno, classifique como decimal exato, deci- e) 23 ou 25. mal periódico ou decimal nem exato nem periódico cada número a seguir. f) 0 ou 0. a) 0,34 Decimal exato. 8 g) 10 ou 1 1 ou 1,1. 9 9 b) 0,21 Decimal periódico. h) 43 ou 8 3 ou 8,6. 5 5 Mergulhador em atividade. c) 3,2 Decimal periódico. 3 No caderno, relacione cada número racional in- d) 0,12122122212222» Decimal nem exato i) 5 ou 0,83. dicado no quadro vermelho com a fração corres- 6 pondente indicada no quadro azul. Por exemplo: nem periódico. j) 280 ou 21800 ou 2 8 ou 3 5 12 e) 2 é igual a 0,4. Decimal exato. 10 1 4 5 28. 0,4 3 25 0,4 2 1 20,5 0,04 f) 2 é igual a 0,22222» Decimal periódico. 4 9 9 210 4 12 2 2 2 2 7 Observe os números e indique no caderno quais Atividades 6 e 7 4 2 9 4 4 45 5 Estas atividades apresen- deles são racionais. tam decimais exatos, decimais a) 0,213 Racional. periódicos e decimais nem exatos nem periódicos para b) 1,231 Racional. O número do que, através da classificação c) 2,2342901357» Não é racional. item c não é (atividade 6) e comparação d) 1,625 Racional. uma dízima entre esses números, os alu- periódica. nos identifiquem quais perten- cem e quais não pertencem ao 3. 0,4 5 4 ; 3 5 12 ; 25 5 210 ; 0,4 5 2 ; 2 1 5 9 ; 20,5 5 2 2 ; 0,04 5 2 . conjunto dos números racio- 94 2 54 4 4 45 nais (atividade 7). Números racionais • CAPÍTULO 3 79 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 79

1 Os números O conjunto dos números racionais A palavra racional lembra razão, racionais que, em Matemática, está relacionada Você já viu a definição de número racional. à comparação pela divisão. Q é a Chame a atenção dos alunos primeira letra da palavra quociente. para o fato de que não consegui- mos apresentar os elementos O conjunto dos números racionais, indicado pela letra Q, é formado do conjunto dos números racio- por todos os números racionais, ou seja, todos os números que nais em ordem crescente, como feito para os números naturais podem ser escritos na forma fracionária, com numerador inteiro e e para os números inteiros. Por denominador inteiro diferente de zero. Simbolicamente, ele é isso, temos a necessidade de re- representado por: presentá-los simbolicamente. Q 5  p , com p e q números inteiros e q = 0 Na lousa, apresente simboli-  q  camente o conjunto dos núme-  ros racionais. Neste momento, é importante que os alunos co- A relação entre os conjuntos N, Z e Q Thiago Neumann/Arquivo da editora nheçam a simbologia matemá- tica, mas é fundamental que Você já estudou que: compreendam o conceito de nú- • N 5 {0, 1, 2, 3, 4, »} é o conjunto dos números naturais. mero racional. • Z 5 {», 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, »} é o conjunto dos números inteiros. Reproduza na lousa o diagra- ma que relaciona N, Z e Q e co- • Q 5 p , com p e q números inteiros e q = 0 é o conjunto dos números racionais. mente que é possível dizer:    q • N está contido em Z. • Z está contido em Q. Observe o diagrama que relaciona os conjuntos numéricos N, Z e Q. • Portanto, N está contido Banco de imagens/ Z Todo número natural é Thiago Neumann/Arquivo da editora em Q. Arquivo da editora QN também um número inteiro e um número Peça aos alunos para, no pai- racional. Todo número nel de descobertas, definirem os inteiro é também um conjuntos numéricos com as número racional. próprias palavras e em forma de conjunto. Atividades 8 e 11 8. d) 0,41» ê N; 0,41» ê Z e 0,41» é Q. Nestas atividades, os alu- 12. Exemplos de resposta: 1,2 5 12 5 6 e 21,5 5 2 3 5 23 . 10 5 22 nos devem verificar quais nú- Atividades meros pertencem ou não aos 8 No caderno, indique se cada número pertence (é) 10 Copie no caderno as afirmações verdadeiras. conjuntos N, Z e Q. Relembre ou não pertence (ê) aos conjuntos N, Z e Q. X a) Todo número natural é um número inteiro. com eles as notações de que a) 15 15 é N; 15 é Z e 15 é Q. b) Todo número inteiro é um número natural. um número pertence (é) ou c) Todo número racional é um número natural. não pertence (ê) a um con- X d) Todo número natural é um número racional. junto numérico, estudadas no e) Todo número racional é um número inteiro. X f) Todo número inteiro é um número racional. capítulo 1. 11 No caderno, escreva 2 números racionais e 2 nú- Atividades 9 e 10 b) 20,7 20,7 ê N; 20,7 é Z e 20,7 é Q. meros não racionais. Nestas atividades, os alunos c) 20,40400400040000» Não pertence 12 Pense em um número racional na forma deci- precisam relacionar os conjun- a nenhum dos mal e escreva-o no caderno como o quociente de tos N, Z e Q, a partir dos ele- d) 0,41 2 números inteiros. mentos que os compõem. conjuntos N, Z e Q. Veja as respostas da ativida- 9 Escreva no caderno se existe ou não o núme- de 9. ro descrito em cada item. Dê exemplos, quando existir. a) Existe; exemplos: 25, 22, a) Um número inteiro que não é natural. 219, etc. b) Um número natural que não é racional. b) Não existe. c) Um número que não é racional. c) Existe; exemplo: d) Um número racional que não é inteiro. 0,50500500050000» d)Existe; exemplos: 3  ; 11. Exemplos de resposta: Racionais: 3 e 20,8; não racionais: 0,20200200020000» e 0,210210021000210000» 7 7 80 CAPÍTULO 3 ¥ Números racionais 20,1; 1 1 ; 0,666» 9 80 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR

Representação dos números racionais 1 Os números em uma reta numerada racionais Você estudou, no capítulo 1, a representação dos números inteiros em uma reta numerada. Agora, vamos Explique aos alunos que, nes- localizar alguns números racionais na reta numerada. ta página, representaremos nú- meros racionais na reta numera- Primeiro, fixamos uma origem O, determinamos uma unidade OA, tal que OA 5 1, e escolhemos um sentido da, lembrando-os de que já fize- para ser o positivo. Em seguida, marcamos alguns números inteiros usando a mesma unidade de medida: ram isso anteriormente ao traba- lhar com frações. Então, trace a 23 22 21 OA 23 Banco de imagens/ reta numerada na lousa e peça 01 sentido positivo Arquivo da editora que representem diferentes nú- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora meros nela. Em seguida, acom- unidade panhe-os na leitura das informa- ções e dos exemplos apresenta- Marcados alguns números inteiros, podemos localizar na reta numerada os pontos correspondentes a dos no livro. alguns números racionais. Veja os exemplos. Nesta página, há um balão 1,6 é um número racional entre 1 e 2, 2 2 é um número racional entre 21 e 0. A dízima periódica 2,333» é resultado de fala em que são apresenta- pois 1,6 5 16 51 6 513 . 3 de 7 : 3; logo, corresponde a 7 ou 2 1. dos os números irracionais. Leia-o e pergunte aos alunos 10 10 5 Dividindo o intervalo de 21 a 0 em 33 se sabem quais são esses nú- Dividindo o intervalo de 1 a 2 em 3 partes iguais e tomando 2 delas no Dividindo o intervalo de 2 a 3 em 3 meros. Antes de explicá-los, 5 partes iguais e tomando 3 delas sentido negativo, localizamos o partes iguais e tomando 1 delas no solicite a eles que pesquisem no sentido positivo, localizamos o ponto correspondente ao número sentido positivo, localizamos o ponto informações e exemplos de nú- ponto da reta correspondente ao racional 2 2 . correspondente ao número racional meros irracionais. Na aula se- número 1,6. 2,333» guinte, peça que compartilhem 3 o que encontraram e comente 1 1,6 2 2 2,333... 3 que, posteriormente, tais nú- 21 2 2 0 meros serão amplamente ex- 3 plorados. Como todo número racional pode ser Podemos afirmar que para cada número Thiago Neumann/Arquivo da editora Atividades 13 e 14 escrito na forma fracionária, com o pro- racional existe um ponto na reta numerada. Mas Estas atividades trabalham cesso utilizado nos exemplos, podemos nem todo ponto da reta numerada tem como localizar qualquer número racional na correspondente um número racional. Existem os números racionais na reta reta numerada. pontos que representam números chamados numerada. irracionais, que você estudará futuramente. Atividade 15 Atividades Nesta atividade, os alunos 13 Considere um ponto P no meio do intervalo de 1 a 2 de uma reta numerada. Escreva no caderno o número devem identificar entre quais racional correspondente a esse ponto na forma mista, na forma fracionária e na forma decimal. 11; 3 e 1,5. inteiros consecutivos se locali- zam os números racionais da- 22 dos. Verifique se conseguem re- solver esta atividade sem usar 14 Observe os pontos indicados com letras maiúsculas nesta reta numerada. a reta numerada. Banco de G DE BI CF HA I Audiovisual imagens/ Para mais informações, Arquivo da 23 22 21 0 1 23 veja o audiovisual Constru- ção da reta numerada e rea- editora lização de operações com compasso do 1o bimestre. No caderno, identifique entre os números racionais relacionados nos itens o correspondente a cada letra. a) 5 F c) 3 H e) 21 1 B g) 211 G i) 2 3 J k) 13 A 8 2 6 4 8 4 b) 21,9 E d) 0,444» C f) 1,75 A h) 20,8 I j) 22,125 D l) 1,5 H 15 Escreva no caderno entre quais números inteiros consecutivos fica cada número racional indicado. a) 212,7 Entre 213 e 212. c) 16,815 Entre 16 e e) 0,888» Entre 0 e 1. g) 219,25 Entre 220 b) 17 5 Entre 17 e 18. 17. 23 5 27 2 e 219. 8 3 3 d) 2 4 Entre 21 e 0. f) 2 Entre 28 h) 119 Entre 13 e 14. 9 e 27. 5 Números racionais • CAPÍTULO 3 81 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 81

1 Os números Módulo ou valor absoluto de um número racional racionais Observe esta reta numerada. Inicie perguntando: “Vocês lembram o que é o módulo ou O que você estudou sobre Thiago Neumann/Arquivo da editora3 da unidade 3 da unidade valor absoluto de um núme- módulo ou valor absoluto Banco de imagens/44 ro?”. Ao ouvir as respostas, se para os números inteiros Arquivo da editora necessário, complemente-as vale também para os demais A OB ou corrija-as. Relembre os alu- números racionais. nos de que o módulo de um nú- 21 2 3 2 1 0 1 1 1 3 11 mero é a medida de distância 4 2 2 4 entre o ponto que representa esse número e o zero. Assim, o A medida de distância entre o ponto A que representa o 2 3  e a origem O é de 3 da unidade. módulo de um número positivo 4 4 ou de um número negativo é sempre positivo, e o módulo de A medida de distância entre o ponto B que representa o 1 3  e a origem O é de 3 da unidade. zero é zero. 4 4 Em seguida, questione o que Chamamos de módulo ou valor absoluto de um número racional a medida de distância recordam sobre números opos- entre o ponto que representa esse número e a origem da reta numerada. tos ou simétricos. Represente uma reta numerada na lousa e Então, o módulo de 2 3 é 3 , e indicamos assim: 23 5 3 . mostre que números opostos 44 44 apresentam a mesma medida de distância em relação ao zero, O módulo de 1 3 também é 3 , e indicamos assim: 13 5 3. ou seja, o zero funciona como 4 4 4 4 um espelho que reflete números As imagens desta positivos em negativos de mes- Oposto ou simétrico de um número racional página não estão mo módulo e números negati- representadas em vos em positivos de mesmo va- proporção. lor absoluto. Observe esta reta numerada e veja que os pontos A e B têm a mesma medida de distância até a origem O. Atividade 17 Nesta atividade, são usados Dizemos que 2 3 e 3 são números opostos ou números simétricos ou, então, que um deles é o oposto ou 44 os conceitos de oposto ou si- métrico. Verifique se os alunos simétrico do outro. Veja também nesta reta numerada outros exemplos de números racionais opostos. não se confundem nos itens b e c por apresentarem números Opostos Bate-papo negativos. Opostos Banco de imagens/ 22,3 A 2 1 O 1 B 2,3 Converse com um colega Arquivo da editora 23 22 4 4 e descubram por que o 123 oposto de um número 21 0 3 Dois números racionais e opostos racional recebe também 4 apresentam simetria em relação à o nome de simŽtrico. 2 3 33 4 44 origem da reta numerada. Chamamos de números opostos ou números simétricos os números que são representados por pontos que estão à mesma medida de distância até a origem. Atividades 16 Represente no caderno e calcule o que é pedido 17 Escreva no caderno. em cada item. a) O módulo de 26. | 26 | 5 6 a) O oposto de 1,3. 21,3. b) O valor absoluto de 9,7. | 9,7 | 5 9,7 b) O oposto de 23. 2(23) ou 13. c) O módulo de 27 2 . 27 2 5 7 2 c) O simétrico de 25,7. 2(25,7) ou 15,7. 5 55 d) O módulo de 0. | 0 | 5 0 d) O oposto de 12 1 . 2 12 1  ou 22 1. e) O valor absoluto de 118. | 118 | 5 18 3 3 3 f) O módulo de 0,777» | 0,777» | 5 0,777» e) O simétrico de 0. 0 82 CAPêTULO 3 ¥ Números racionais 82 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR

Comparação de números racionais 1 Os números racionais Você já estudou no capítulo 1 a comparação de números inteiros. Agora vamos usar a mesma ideia para comparar números racionais. Como no capítulo anterior os alunos já compararam frações Comparar 2 números significa dizer se o primeiro é maior do que (>), e decimais, espera-se que não menor do que (<) ou é igual ao (5) segundo número. apresentem muitas dificuldades nesta página. Quando representamos 2 números racionais em uma reta numerada, com o sentido positivo para a direita, Inicie colocando na lousa o menor deles é o número que está representado à esquerda do outro. Analogamente, o maior número é o 2 números com representações diferentes, como uma fração e que está representado à direita do outro. um decimal. Em seguida, per- gunte aos alunos qual dos nú- Veja alguns exemplos. • 23 < 0 • 0 > 22 meros representa o maior valor. • 22,5 < 20,4 2 É provável que alguns alunos não consigam identificá-lo pelo • 22 < 0,8 • 5 < 2,1 • 1 > 21 Banco de imagens/ fato de estarem representados 4 Arquivo da editora de maneiras diferentes. 22,5 5 2 3 20,4 4 2,1 Assim, transforme os 2 nú- 2 meros em frações ou em deci- mais e refaça a pergunta. Caso 22 21 012 algum aluno ainda não consi- ga visualizar qual número re- Atividades 20. a) 2 4 ; 2 2 ; 0; 1 ; 1 2 . presenta a maior quantidade, compare os números na reta 99 99 21 No caderno, compare os números racionais de numerada. 18 Faça a comparação dos números corresponden- cada item e também os opostos deles. Coloque também na lousa tes às situações dadas e registre no caderno. 2 frações com numeradores e denominadores diferentes e pe- a) 3,5 °C abaixo de zero e 1,3 °C acima de zero. a) 24 e 13. d) 25 e 21. ça aos alunos que determinem 25 < 21; 15 > 11 a que representa o maior valor. 23,5 < 11,3 24 < 13; 14 > 23. 0 e22 1.0 > 22 1 ; 0 1 Se necessário, relembre-os de 4 4 4 que é preciso deixar as frações b) 0,8 m abaixo do nível do mar e 1 m abaixo do < 12 . com o mesmo denominador pa- 2 <13; 2 ra fazer essa comparação. nível do mar. 20,8 > 21 b) 23,7 e 22. e) 55 c) 2 >23. Todas as atividades desta pá- c) Saldo positivo de R$ 85,20 e saldo positivo de 22 O 23,7 < 22; 13,7 > 12. 0. f) 1 gina apresentam comparações 11 aos e5scre-5 entre números racionais. 2 e 0.1 1 0; 2 1 12 e 1 3 . 2 Atividade 18 R$ 52,10. 185,20 > 152,10 2 > < 5 152 Na atividade, são trabalhadas d) Saldo negativo de 5 gols e saldo de 0 gol. professor Ruan pediu alunos que situações contextualizadas, em que os alunos devem interpretar 25 < 0 vessem os números racionais 23; 3,2; 26,1; 3,4; matematicamente as situa- ções-problema. 19 Copie os números racionais no caderno e substi- 21,6 e 26 em ordem crescente. Atividade 21 tua cada por >, < ou 5. Nesta atividade, se necessá- 1a) 1 2 2 32 Veja as respostas de Ana, Beto e Carla. rio, destaque para os alunos 94 que devem comparar os núme- e) 22,48 21,7 < ros racionais dados e os opos- tos deles. Além disso, chame a > (positivo > negativo) Ana: Ilustrações: Paulo Manzi/Arquivo da editora atenção deles para o fato de 3,4; 3,2; 21,6; 23; 26; 26,1. que, na comparação dos núme- b) 0 22 1 1f) 13 115 > ros opostos, a desigualdade fica 5 6 invertida. > (0 > negativo) c) 22,75 1,82 2g) 23 222 2>57 2 3 < (negativo < positivo) 9 2 10  Beto: > 15 21,6; 23; 26; 26,1; 3,2; 3,4. d) 2 1 202,5 5 15 2 2h) 125 caderno, 6 2 18 < 2 1281 < 2 15  18 20 No escreva os números: a) 1 2 ; 24; 0; 2 2 e 1 em ordem crescente; Carla: 9 9 9 9 26,1; 26; 23; 21,6; 3,2; 3,4. b) 23,25; 13,4; 3,31; 23,3; 0 e 22,7 em ordem decrescente; 13,4; 3,31; 0; 22,7; 23,25; 23,3. c) 3 ; 21; 23; 11 e 0 em ordem crescente. Quem escreveu corretamente os números em or- 10 4 8 2 dem crescente? Por que os outros alunos erraram? 2 3 ;  2 1 ; 0; 3 ; 1 1 . 8 4 10 2 22. Carla respondeu corretamente; Ana escreveu os números racionais em ordem decrescente e Beto confundiu-se ao comparar os números racionais negativos. Números racionais • CAPÍTULO 3 83 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 83

2 Operações com 2 Operações com números racionais números racionais Você já efetuou adições, subtrações, multiplicações e divisões com números inteiros e com decimais e Principais habilidades da BNCC frações positivas. Agora vamos retomar as estratégias e usá-las nas operações com números racionais. EF07MA10 EF07MA12 Observe a situação a seguir, que envolve adição com números racionais. EF07MA11 EF07MA29 Considere a medida de temperatura de 2 graus Celsius e meio abaixo de zero 22 1 °C ou 22,5 °C no 2 Inicie o estudo das operações com números racionais utilizan- início do dia, no centro de uma cidade. Até o meio-dia, a medida de temperatura havia subido 4 graus Celsius do situações encontradas no co- tidiano, como as apresentadas (14 °C). Qual era a medida de temperatura ao meio-dia? no livro. Efetue todas as opera- ções passo a passo, pois inicial- Para determinar a resposta, precisamos adicionar a medida de temperatura que aumentou à medida de mente os alunos podem não se recordar de algum processo su- temperatura inicial. primido. Relembre também o uso dos algoritmos da adição e Com frações: 22 1  1 (14) 5  25  1  18  5 13 5 111 ou 22 1 1 4 5 25 1 8 5 13 5 111 da subtração. 2 2 2 2 2 2 222 2 Atividade 23 Com decimais: (22,5) 1 (14) 5 11,5 ou 22,5 1 4 5 11,5 Esta atividade apresenta adi- Logo, a medida de temperatura ao meio-dia era de 11,5 °C. ções e subtrações com núme- ros racionais. No item f, os alu- Adição e subtração de números racionais nos devem efetuar operações entre frações e decimais, ou se- A adição e a subtração de números racionais são baseadas nos conhecimentos Thiago Neumann/Arquivo da editora ja, inicialmente, devem trans- anteriores: adição e subtração de números inteiros e de frações e decimais positivos. formar as frações em decimais Observe os exemplos. ou os decimais em frações. Ve- rifique se é necessário relem- • 1 1  1 2 1  5 1 142  1 2132  5 (14)1 (23) 51 1 brá-los como fazer isso. 3 4 12 12 Atividades 24 a 26 • (22,3) 1 (24,5) 5 22,3 24,5 5 26,8 Nestas atividades, trabalha- • 2 2  2 2 3  5 2 2  1 1 3  5 (210)1 (19) 5 210 1 9 5 21 Bate-papo mos problemas cotidianos que 3 5 3 5 15 15 15 envolvem adições e subtrações Converse com os com números racionais. • (13,4) 2 (11,8) 5 3,4 2 1,8 5 1,6 colegas: Qual é o valor da soma de 2 números Atividade 27 •D U, d c racionais simétricos? Nessa atividade, os alunos 5, 3 4 Zero. 6 2, 5 5 devem criar uma situação e 11 trocá-la com um colega para 7, 8 9 que um resolva o problema do 7 outro. Se achar conveniente, peça que a operação, que re- Atividades solve a atividade, seja entre frações e decimais. 23 Efetue as adições e as subtrações no caderno. 25 Responda: Quando a medida de temperatura pas- sa de 21,3 °C para 24,1 °C, qual é a variação? Sequência didática a) 1 2  1 231  1 d) 1 2  2 1 1  3 Para mais informações, 5 15 5 4 20 Baixou 2,8 °C. ((24,1) 2 (21,3) 5 24,1 1 1,3 5 22,8) veja a sequência didática 3 b) (20,4) 1 (22,8) 23,2 e) (20,54) 2 (20,6) 26 Um mergulhador atingiu a medida de profundida- do 1o bimestre. de de 18,3 m (218,3 m). Em seguida, subiu 3,4 m c) 2 5  2 1 3  21 f) 2 1  2 0,06 e desceu 5,7 m. Qual é a medida de profundidade 8 8 4 máxima que ele atingiu nesse mergulho? (13,8) 220,6 m (218,3 1 3,4 2 5,7 5 220,6) 24,05 27 Escreva no caderno um problema envolvendo 24 O saldo da conta bancária de André era de R$ 950,00. adição e subtração de números racionais. Depois, troque com um colega; ele resolve o seu e você Ele emitiu 3 cheques que já foram descontados: o pri- resolve o dele. Resposta pessoal. meiro de R$ 256,40, o segundo de R$ 123,60 e o ter- ceiro de R$ 523,30. Qual é o saldo atual de André? R$ 46,70 (950 2 256,40 2 123,60 2 523,30 5 46,70) 84 CAPÍTULO 3 ¥ Números racionais 84 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR