Construção de circunferências As imagens desta 1 Circunferência página não estão e círculo representadas em Ponta-seca proporção. Inicialmente, ensine os alu- nos a manusear o compasso e a BorisShevchuk/ Irina Rogova/Shutterstock fazer o traçado da circunferência Shutterstock FabrikaSimf/ utilizando-o. Em seguida, peça Shutterstock que, individualmente, desenhem no caderno uma circunferência Régua graduada. Esquadro. Compasso. e localizem o diâmetro e o raio. Sugira que façam também um Observe a roda de uma bicicleta. 3d_man/Shutterstock círculo para verificar se entende- O aro da roda nos dá a ideia de circunferência e todos os raios dela têm ram qual é a diferença entre ele medidas de comprimento iguais. Vamos recordar como devemos proceder para Roda de bicicleta. e a circunferência. traçar uma circunferência usando um compasso. Colocamos a ponta-seca do compasso em um ponto, que será o centro Durante essas explorações, da circunferência, e damos uma volta completa com a outra ponta. Todos os verifique como os alunos ma- pontos obtidos formam a circunferência, ou seja, estão no mesmo plano e nipulam o compasso, pois ge- têm a mesma medida de distância do centro. ralmente apresentam certa di- Veja. ficuldade ao iniciar as explora- ções utilizando esse instru- Ilustrações: Rodrigo Pascoal/ Todos os raios têm medidas mento. Intervenha sempre que Arquivo da editora de comprimento iguais. necessário. B Thiago Neumann/Arquivo da editora Mostre que, ao se traçar a cir- C: centro. cunferência com um compasso, a marca que a ponta-seca deixa r r : raio. no papel é o centro da circunfe- rência e que qualquer ponto r D AC : raio. dessa circunferência possui a BC : raio. mesma medida de distância em C C A rC relação a ele. DC : raio. Neste momento, peça aos alunos que tracem circunfe- Essa propriedade comum a todos os pontos de uma circunferência vai permitir muitas construções rências com medidas de com- geométricas. primento de raio definidas, co- mo 3 cm e 10 cm, no caderno, Você sabia? O símbolo dos anéis olímpicos é formado por 5 circunferências com mostrando-lhes que devem raios de mesmas medidas de comprimento. Cada circunferência medir a abertura do compasso A vitória-régia, planta característica da Amazônia, tem folhas circu- representa 1 dos 5 continentes do planeta. na régua. lares e flutuantes que chegam a ter até 2 m de medida de compri- mento de diâmetro. As flores dessa planta, as maiores da América, Alexsey Valentinovich/Shutterstock Você sabia? com 30 cm de medida de comprimento de diâmetro, possuem pé- Pergunte aos alunos se já ou- talas brancas ou rosadas que só abrem à noite. viram falar na vitória-régia e ve- Edson Grandisoli/Pulsar Imagens rifique as informações que pos- suem. Em seguida, sugira que Vitória-régia. Escultura do símbolo dos anéis olímpicos em Sochi, Rússia, leiam o texto do livro e vejam a uma das cidades sede dos Jogos Olímpicos de 2018. imagem apresentada. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 135 Se possível, peça que pesqui- sem informações acerca desta planta, como a medida de massa que suportamoulendasemque a vitória-régia esteja presente. Verifique se os alunos sa- bem o nome dos 5 continentes representados nas cores das circunferências existentes no símbolo olímpico. Se julgar per- tinente, peça que pesquisem qual cor representa cada con- tinente e outras informações acerca dos Jogos Olímpicos e dos Jogos Paralímpicos. Sequência didática Para mais informações, veja a sequência didática 3 do 2o bimestre. Audiovisual Para mais informações, veja o audiovisual Geometria e Arte do 2o bimestre. 135MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
1 Circunferência Atividades e círculo 1. Exemplos de resposta: Roda-gigante, volante de automóvel, anel, contorno da tampa de panela e contorno de praças circulares. Atividade 1 1 Há muitos outros objetos que têm a 5 Use um compasso e trace no caderno: Os alunos, em grupos, podem forma da circunferência ou cujos contornos têm a) 1 circunferência com medida de comprimento escolher objetos já citados nas explorações anteriores, mas in- a forma da circunferência. Converse sobre isso do raio de 2,5 cm; 2,5 cm centive-os a pensar em novos exemplos. com os colegas e, depois, registre no caderno b) 1 circunferência com medida de comprimento Banco de imagens/Arquivo da editora pelo menos 3 exemplos. do diâmetro de 6 cm; 3 cm Atividade 2 Resolva oralmente esta ati- 2 Observe esta circunferência e os pontos assinala- c) 2 circunferências concêntricas (de mesmo cen- vidade com os alunos, pedindo dos com letras. tro) e raios com medidas de comprimento de que registrem as respostas no caderno. Trabalham-se as indi- C 2 cm e de 3 cm; 3 cm 2 cm cações de alguns elementos B da circunferência: o centro, os Banco de imagens/Arquivo da editora d) 2 circunferências tais que o centro de uma seja pontos pertencentes a ela, os G raios, os diâmetros e as medi- um ponto da outra; das de comprimento do raio e do diâmetro. E e) 2 circunferências tais que o diâmetro de uma Se necessário, relembre-os D seja um raio da outra. dos conceitos de raio e de diâ- AO 6 A circunferência verde tem centro em A e 2 cm de metro da circunferência, cer- tificando-se de que os alunos medida de comprimento do raio. A circunferência compreenderam. vermelha tem centro em B e 1 cm de medida de Atividade 3 Peça aos alunos que se sen- F comprimento do raio. tem em grupos e que resolvam a) Qual dos pontos indicados na figura é o centro X A Banco de imagens/Arquivo da editora esta atividade debatendo dentro da circunferência? O B do grupo e, em seguida, com a turma toda. b) Quais dos pontos nomeados na figura perten- Responda no caderno, sem medir com uma régua: cem à circunferência? A, B, G, D e F. Quais são as medidas de distância entre o ponto X É interessante mostrar a eles e os pontos A e B? Depois, meça as distâncias para novamente como utilizar um c) Quais dos segmentos de reta indicados na figura conferir sua resposta. 2 cm até A e 1 cm até B. compasso corretamente. Para são raios da circunferência?AO, BO , GO , DO e FO . construir uma circunferência, 7 Em uma folha de papel sulfite, marque 2 pontos por exemplo, é preciso abrir o d) Qual dos segmentos de reta indicados na figura A e B distantes 7 cm um do outro. Em seguida, compasso com a medida de são diâmetros da circunferência? AD use um compasso para localizar um ponto O, que comprimento do raio da circun- dista 5 cm de A e 4 cm de B. ferência, escolher um ponto na e) Qual é a medida de comprimento do raio dessa folha de papel, colocar a ponta- circunferência? E do diâmetro? 2 cm; 4 cm. 8 O tiro com arco (arco e flecha) é um esporte olím- -seca do compasso sobre esse pico. Conheça um pouco sobre ele. ponto e traçar a circunferência 3 No final da aula de Matemática, a pro- • A medida de comprimento do diâmetro do alvo colocando a outra ponta do com- fessora Carla propôs aos alunos que pensassem, é de 1,22 m. passo sobre o papel e girando-o. para a aula seguinte, em 4 maneiras diferentes de • No alvo, há 10 circunferências de mesmo centro. traçar uma circunferência. Exemplos de resposta: • A cada 2 circunferências há mudança de cor. Atividades 4 e 5 • O círculo amarelo é conhecido por mosca e a medi- Nestas atividades, os alunos Contornar um prato ou uma moeda. da de comprimento do diâmetro dele é de 12,2 cm. devem traçar circunferências a Depois de pensar muito, veja as propostas que partir das especificações do Rubens levou para a aula. E você, teria outras? Con- enunciado, usando objetos coti- verse com os colegas sobre isso. dianos, como moedas (atividade 4) ou compasso (atividade 5). Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora Atividades 6 e 8 4 Use 2 moedas de tamanhos diferentes para tra- Dmitry Naumov/Shutterstock Alvo utilizado Nestas atividades, são abor- çar no caderno: no esporte arco a) 2 circunferências com 2 pontos comuns; e flecha. dados conceitos de raio de uma b) 2 circunferências com apenas 1 ponto comum; circunferência, como a medida c) 2 circunferências sem ponto comum. Quanto mede o comprimento do raio do alvo? de comprimento do raio ser me- tade da medida de comprimento 0,61 m ou 61 cm. (1,22 4 2 5 0,61) do diâmetro (atividade 8) e o raio ser o segmento que liga 4. b) ou c) ou Banco de qualquer ponto da circunferên- imagens/ cia ao centro (atividade 6). 136 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono Arquivo da Atividade 7 editora Para resolver esta atividade, a circunferência ou o arco de modo a intersectar o primeiro traçadoBanco de imagens/ os alunos devem colocar a pon- feito. O ponto O é um dos pontos de intersecção dos 2 arcos. DestaqueArquivo da editora ta-seca do compasso em A e, que os 2 pontos encontrados atendem às condições do enunciado. com a medida de comprimento de 5 cm, traçar a circunferência 0 ou parte dela (um arco). Em se- 5 cm 4 cm guida, com a ponta-seca do compasso em B, com a medida A 7 cm B de comprimento de 4 cm, traçar 136 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
LEITURAArquivMoaudraoeSdiotuozraa/ Leitura A invenção da roda Paulo Manzi/Arquivo da editora Principal habilidade da BNCC A roda é considerada uma das mais importantes invenções da humanidade. Você já imaginou o mundo sem elas? EF07MA22 Apesar da importância da roda, é difícil precisar a data ou mesmo a época da invenção dela. Acredita-se Peça aos alunos que conver- que os povos mesopotâmios (cerca de 3500 a.C.) usavam objetos circulares para a fabricação de cerâmica. sem sobre o texto apresentado nesta página. Peça que obser- Também há evidências de que os egípcios (aproximadamente 3000 a.C.) fizeram uso de toras de madeira vem a primeira imagem e per- cilíndricas para locomover objetos grandes e pesados. gunte qual é o formato dos troncos e o motivo de serem As imagens desta utilizados. Verifique se são ca- página não estão pazes de perceber que, com o representadas em auxílio dos troncos, fica mais proporção. fácil o deslocamento da pedra. Se possível, realize algumas Ainda na Mesopotâmia, foram encontradas evidências arqueológicas (entre 3000 e 2000 a.C.) de rodas explorações concretas, como presas por suportes em forma de cruz. A tábua central apresentava um orifício, onde provavelmente se en- empurrar uma caixa pesada caixava um eixo. E rodas presas a eixos permitiram o surgimento de meios de transportes, como as bigas, que sem e com o auxílio de cabos foram muito utilizadas nas batalhas da época. de vassoura. Com o passar do tempo, para que a roda se tornasse mais leve e veloz, foram feitas aberturas, o que deu Solicite que observem as origem à roda com raios. Posteriormente, passou-se a usar rodas feitas de madeira com aros e protegidas 4 rodas representadas nesta pá- por uma circunferência de metal para evitar o desgaste. gina e pergunte qual é o motivo das aberturas na roda, verifican- Representação da evolução da roda. do as hipóteses que eles formu- laram. Comente que essa evolu- Depois desse modelo, muitos outros foram surgindo com o tempo, e a roda passou a ser usada não só ção da roda ocorreu para au- para o transporte, mas também em outras invenções, como os moinhos de vento e as máquinas de costura. mentar a velocidade e facilitar o manejo. Apesar da importância da roda, raramente reconhecemos a presença e o uso dela em objetos do cotidiano. É interessante sugerir aos Fontes de consulta: BBC NEWS BRASIL. Internacional. Disponível em: <www.bbc.com/portuguese/internacional‑41795604>; alunos que pesquisem sobre INFO ESCOLA. Sociedade. Disponível em: <www.infoescola.com/cultura/roda/>; outras aplicações da roda, além das apresentadas no tex- SITE DE CURIOSIDADES. Inven•›es. Disponível em: <www.sitedecuriosidades.com/invencoes/>. Acesso em: 13 set. 2018. to. Na próxima aula, peça que apresentem aos colegas as Questões descobertas obtidas com a pesquisa, lembrando-os da im- 1 No caderno, faça uma lista de situações do seu cotidiano em que a roda é utilizada. Respostas pessoais. portância de citar as fontes (lo- 2 Escolha uma das situações listadas. Pesquise sobre ela, desenhe-a no caderno e escreva um peque- cais de onde foram retiradas as informações). no texto descrevendo como a roda funciona nessa situação. Depois, apresente sua pesquisa aos colegas. Oriente os alunos na reso- Resposta pessoal. lução das questões, realizan- do intervenções quando for Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 137 necessário. 137MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
2 Ângulo 2 Ângulo Principal habilidade Antes de aprofundar o estudo dos ângulos, vamos revisar o que você estudou nos anos anteriores. da BNCC A ideia de ângulo EF07MA23 Tanto na natureza quanto nas obras do ser humano vemos objetos ou parte deles que dão a ideia de ângulo. É interessante pedir aos alu- Em Matemática, ângulo é definido assim: nos que observem os ângulos presentes em imagens e objetos Ângulo é a figura formada por 2 semirretas de mesma origem. Em alguns casos, consideramos o do cotidiano. Solicite que apon- As semirretas são os lados do ângulo. ângulo formado por 2 segmentos tem, na sala de aula, locais e ob- de reta com uma extremidade jetos em que conseguem iden- O ponto de origem das 2 semirretas é o vértice do ângulo. comum. É o caso, por exemplo, dos tificar ângulos, procurando rela- Entre essas 2 semirretas fica a abertura do ângulo. ângulos internos de um polígono. cionar o ângulo encontrado com a classificação referente à me- Veja alguns exemplos. dida de abertura do ângulo (agudo, reto, obtuso ou raso). Banco de imagens/Arquivo da editora P HO Para ampliar as explorações, Ângulo: PRM ou MRP ou R. Ângulo: EOH ou HOE ou O. leve alguns relógios analógicos R Lados: RP e RM . para a sala e peça aos alunos E Lados: OH e OE . que se sentem em grupos. Em Vértice: R. Vértice: O. seguida, diga as horas que eles M devem representar no relógio para, em seguida, descobrir Tipos de ângulo a classificação de cada ângulo formado pelos ponteiros nos ho- Vamos retomar os principais tipos de ângulo, que você já estudou. rários apresentados. Por exem- plo, 3 h forma ângulo reto, 6 h A posição dos ponteiros do relógio às 6 horas dá ideia Às 3 horas e às 9 horas, a posição dos ponteiros Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora forma ângulo raso, 5 h forma de um ângulo raso ou ângulo de meia-volta. do relógio dá ideia de ângulo reto. ângulo obtuso e 11 h forma ân- gulo agudo. BFotos: Simon Murrell/Keystone NL Peça aos alunos que esco- P E lham outros horários e que de- R RPB é um LEN é um ângulo reto. safiem outro grupo a classifi- car os ângulos formados sem ângulo raso. Indicamos um ângulo reto por %. utilizar o relógio. Ângulos agudos são aqueles com a medida de abertura Ângulos obtusos são aqueles com a medida Após essas explorações, pe- menor do que a do ângulo reto e em que as semirretas de abertura maior do que a do ângulo reto ça que leiam as informações apresentadas no livro. não coincidem. e menor do que a do ângulo raso. E PQ E BF é um R ângulo agudo. PQR é um ângulo obtuso. B F 138 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono 2 Ângulo • A marca do transferidor que indica 0° esteja alinhada com um dos lados do ângulo. Inicialmente, revise como se mede a abertura de ângulos usando transferidor, que os alunos já viram no 6o ano. Assim, a marca numérica do transferidor que indicará a medida de abertura do ângulo estará alinhada ao outro lado do ângulo. Pa- Peça que observem a imagem do livro com o posicionamento ra relembrarem sempre que for preciso, sugira que os alunos ano- correto do transferidor para medir a abertura de um ângulo e que di- tem como fazer essa medição no painel de descobertas. gam o que entenderam da imagem ou o que se lembram sobre o uso do transferidor. Para concluir, destaque que, para medir corretamente, Caso o objetivo seja construir um ângulo com uma medida de é necessário que: abertura específica, retome com os alunos a construção vista no 6o ano. Explique que devem marcar o vértice do ângulo e, tendo-o • o centro do transferidor esteja alinhado com o vértice do ângulo. 138 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Medida de abertura de um ‰ngulo abertura de cada um. Em se- guida, devem trocar de caderno Você já estudou, no ano anterior, que um instrumento que usamos para medir a abertura de um ângulo, com o colega para que um con- fira se o outro está medindo em graus (°), é o transferidor. corretamente. Veja um exemplo. 130 120 110 100 90 80 70 60 50 Você sabia? O ângulo PMA tem medida de abertura de 20°. 180 170 160 150 140 Peça que leiam as informa- Indicamos assim: m(PMA)520°. Paulo Manzi/Arquivo da editora30 20 10A O ângulo PMA é um ângulo agudo, pois a medida de aber- 40 ções apresentadas nesta seção e que compartilhem com a tur- tura está entre 0° e 90°. 0 ma as hipóteses criadas a partir da leitura. Complemente ideias MP incompletas e corrija pensamen- tos equivocados para que os alu- Você sabia? nos tirem conclusões corretas dessa conversa. Se eles acha- Submúltiplos do grau: minuto e segundo rem necessário, podem anotar Em muitas situações, como na aviação ou na confecção de lentes de óculos, as medidas de abertura dos ângulos envolvidos precisam ser feitas resumidamente as conclusões com muita precisão. Por isso, para medir aberturas de ângulos menores do que 1 grau ou aberturas de ângulos entre 2 valores inteiros de grau, no painel de descobertas. usamos submúltiplos (ou frações) do grau: o minuto e o segundo. Se achar conveniente, peça 1 minuto corresponde a 1 do grau. Representamos por: 18. que pesquisem situações nas 60 quais as medidas de abertura dos ângulos precisam ser reali- 1 segundo corresponde a 1 do minuto. Representamos por: 19. zadas com muita precisão. 60 Atividade 9 Logo, 1° 5 608 e 18 5 609. Nesta atividade, é possível Veja os exemplos. • 50,5° 5 50° 1 0,5° 5 50° 308 • 729 5 609 1 129 5 18 129 verificar se os alunos se lem- bram das definições de reta, se- • 0,5° 5 308 mirreta, segmento e ângulo ao traçá-los. Corrija item por item 9. Exemplos de resposta: a) Banco de imagens/Arquivo da editoraA B b) c) F d) G perguntando: “A figura traçada é Banco deI finita ou infinita?”; “É finita (ou Atividades imagens/CDH infinita) nos 2 sentidos?”. Arquivo daE Se necessário, ajude-os a re- editora lembrar que se indica por uma 9 No caderno, marque 9 pontos diferentes (A, B, C, 11 Observe os ângulos representados na malha qua- seta o sentido que é infinito. D, E, F, G, H e I). Depois, trace e indique o que se Banco de imagens/Arquivo da editoradriculada. pede. Atividade 10 a) A reta que passa pelos pontos A e B. P E Nesta atividade, os alunos b) A semirreta com origem em C e que passa por D. RA JT c) O segmento de reta com extremidades em E FC devem medir a abertura do ân- e F. HV gulo para reproduzi-lo no cader- d) O ângulo com vértice em H e lados HG e HI . no. Alerte-os de que o enuncia- B do pede que se indique o ângu- 10 Copie esta figura no caderno. Depois, represente lo em vez da medida de abertu- o ângulo e indique quais são os lados e qual é o G N ra do ângulo e verifique se usam vértice. S as notações corretas para ân- M gulo e lado do ângulo (notação H de semirreta). I U BF O QD Ângulo HBF ou FBH ou B ; lados BH e BF ; vértice B. L a) Qual deles é um ângulo raso? RHB b) Quais são ângulos retos? PAV e NFC . c) Quais são ângulos agudos? ETJ e IOL. d) Quais são ângulos obtusos? GSM e UQD. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 139 como origem, traçar uma semirreta na direção desejada. Em segui- Ao traçarmos uma semirreta com origem no vértice e que passe da, colocando o transferidor como se fossemos medir a abertura do por esse último ponto feito, formamos o ângulo com a medida de aber- ângulo, desenhamos um ponto na marca numérica do transferidor tura desejada. referente à medida desejada, como na imagem a seguir: Neste momento, apresente algumas medidas de abertura de ân- 120 110 100 90180 170 160 150 1408070 gulo para que os alunos representem no caderno usando o transferi- 130 dor, como 30°, 90°, 135° e 180°, e classifiquem esses ângulos, verifi- Banco de imagens/6050 cando que 90° é um ângulo reto e que 180° é um ângulo raso. Arquivo da editora 30 20 10 0 Se for conveniente, peça que representem no caderno 3 ângulos 40 quaisquer, desde que não sejam retos nem rasos, e meçam a MP MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5 139
2 Ângulo 12 Meça as aberturas dos ângulos dados usando umIlustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 15 Observe cada ângulo representado. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora transferidor e registre no caderno. Durante a resolução das a) c) C atividades, auxilie os alunos E na utilização do transferidor, 40¡ 110¡ mostrando que é importante A ON realizar as medições e as re- presentações com cuidado e b) d) 180¡ B QF atenção. G 90¡ Atividades 12 e 13 R Estas atividades trabalham o PH uso do transferidor para medir 13 Usando um transferidor, desenhe no caderno a abertura dos ângulos dados cada ângulo de medida de abertura dada: (atividade 12) e para desenhar os ângulos referentes às medi- a) 30° d) 120° MV S das de abertura dadas (ativida- b) 45° e) 1 de 100° de 13). c) 60° Copie e complete esta tabela no caderno e preen- 2 cha a coluna da estimativa da medida de abertura Se necessário, nos itens e e f) 3 de 100° de cada ângulo. Depois, meça as aberturas deles f da atividade 13, ajude os alu- com um transferidor, anote as medidas exatas e nos a calcular as frações dos 4 compare com sua estimativa. ângulos. 14 Desafio. Em cada figura, calcule mentalmente o Finalmente, registre o tipo de ângulo (raso, reto, Veja exemplos de posição dos valor de x, em graus, sem usar o transferidor, e agudo ou obtuso). ângulos da atividade 13. registre no caderno. a) a) C Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 75° x 5 15° B 30° A x b) D Ângulos F b) Ângulo Estimativa da Medida exata Tipo de medida de da abertura do ângulo x 1 10° AOB abertura do x 5 40° RHS ângulo ângulo Agudo E FG Obtuso x M PV C NQ Reto Resposta pessoal. 40° Agudo Raso 45° c) x 5 40° Resposta pessoal. 110° E 140° x C Resposta pessoal. 90° c) Resposta pessoal. 20° B d) 60° Resposta pessoal. 180° 80° x 5 10° Tabela elaborada para fins didáticos. x 16 Faça as transformações no caderno. A e) x 5 130° a) 12° em minutos. 7208 (12 3 60 5 720) x d) b) 12° em segundos. 43 2009 (12 3 3 600 5 43 200 A 50° B ou 720 3 60 5 43 200) 120° 17 No caderno, transforme cada medida de abertura C para graus e minutos. f) x a) 10 5009 2° 558 (10 5009 4 3 600 5 2° e resto 3 3009; 30° x 5 150° 3 3009 4 60 5 558) b) 3° 1258 3609 5° 118 (3609 4 60 5 68 09; 1258 1 68 5 1318; 1318 4 60 5 2° 118; 3° 1 2° 5 5°) 140 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora e) 100° 4 2 5 50° f) 100° 4 4 5 25°; 25° 3 3 5 75° Atividade 14 B Nesta atividade, os alunos devem identificar o ângulo reto ou raso C 25° C B 50° A que forma a figura toda para utilizar cálculo algébrico com as medidas A de abertura e calcular o valor de x. Se necessário, relembre-os de que a abertura do ângulo reto mede 90° e de que a abertura do ângulo ra- so mede 180°. Nas figuras dos itens a, b e d trabalhamos informalmente a ideia de ângulos complementares (cuja soma das medidas de abertura é igual a 90°) e, nas figuras dos itens c, e e f, a ideia de ângulos suplementa- res (cuja soma das medidas de abertura é igual a 180°). 140 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Construções geométricas de segmentos As imagens desta 2 Ângulo de reta e de ângulo página não estão representadas em Antes de começar o traba- Para fazer construções geométricas, geralmente utilizamos os instrumentos proporção. lho com as construções geo- régua, transferidor, esquadro e compasso. métricas, é interessante que Compasso. conversem sobre a utilização 29 30 Banco de imagens/ de diferentes instrumentos, 28 Arquivo da editora A como régua, transferidor, es- 24 25 26 27 editora 130 120 110 100 90 80 70 60 50 quadro e compasso. 23 da Rodrigo Pascoal/ Transferidor. Arquivo da editora Comece indagando os alunos 11 12 16 d17e18im19 a20g2e1 n22s/Arquivo 180 170 160 150 140 30 20 10 Banco de imagens/ sobre os conhecimentos que 15 40 Arquivo da editora têm acerca desses objetos. Per- 9 10 14 gunte também se conhecem al- 13 guma profissão que utiliza tais 8 instrumentos. Por exemplo, ar- Banco quitetos, cartógrafos e projetis- 7 tas de diversas áreas necessi- tam constantemente de tais fer- 6 ramentas na construção de plantas ou projetos. 5 Destaque aos alunos que, 4 na Antiguidade, com o uso de régua e compasso, os gregos 3 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 realizaram uma grande quan- tidade de construções geomé- 1 2 Esquadro. tricas, como construção de re- tas paralelas a uma reta dada, 0 construção de circunferência, construção de uma reta per- Régua. pendicular a uma reta dada passando por um ponto dado, Transporte de segmentos de reta entre outras. Também, por meio dessas construções, re- Veja a figura da janela. solveram diversos problemas Rafaela queria reproduzir no caderno o segmento de reta AB da figura, utilizando a geométricos. mesma medida de comprimento e sem usar a graduação da régua. Veja o que ela fez. Leia com os alunos as infor- 1) Ela traçou uma reta r na posição desejada e marcou r Ilustraçnoes: Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora mações apresentadas no livro, sobre ela um ponto A8, correspondente ao ponto A. representando na lousa o proce- A8 dimento para o transporte de um segmento de reta. Em segui- 2) Na figura da janela, ela abriu o compasso com as pontas em A e B da, explique que a medida de (como se fosse o raio de uma circunferência). distância entre as pontas do compasso em A e B é a mesma 3) Com a mesma abertura, colocando a ponta-seca do B medida de comprimento do seg- compasso em A8, ela traçou um arco que intersectou a mento AB. Por isso, ao transpor- reta r obtendo o ponto B8, correspondente a B. tarmos essa medida para o pon- to A', a medida de comprimento r do segmento A8B8será a mesma A8 B8 do segmento AB. O segmento de reta A8B8 é a solução do problema de Rafaela. Chame a atenção dos alunos para o fato de 2 segmentos com AB e A8B8 têm medidas de comprimento iguais. Por isso, dizemos 19. A8 Banco de imagens/ a mesma medida de compri- que AB e A8B8 são segmentos de reta congruentes. A Arquivo da editora mento serem chamados con- Indicamos assim: AB à A8B8 B gruentes e para o símbolo usado B8 para indicar congruência (à). Atividades Atividades 18 a 20 Estas atividades trabalham 18 Construa no caderno o segmento de reta AB da 20 Construa no caderno, usando régua e compasso, figura da janela. Use apenas régua e compasso, um segmento de reta EF cuja medida de compri- o transporte de segmentos de sem usar a graduação da régua. mento seja o triplo da medida de comprimento reta usando régua e compas- deste segmento de reta AB . so. Então, avise os alunos que Reprodução da imagem do livro. A não devem usar a graduação da régua para a resolução des- 19 Desenhe no caderno um segmento de reta qual- B tas atividades. quer na posição horizontal. Depois, usando régua e compasso, construa um segmento de reta con- Se necessário, ajude-os a gruente a ele, na posição vertical. perceber que devem construir 3 vezes o segmento AB na ati- 20. F 141 vidade 20. E Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 Banco de imagens/Arquivo da editora Veja a resolução dos itens desta atividade. Atividade 15 a) x 1 75° 5 90° ~ x 5 15° Nesta atividade, os alunos devem estimar as medidas de abertura b) x 1 10° 1 x 5 90° ~ 2x 5 80° ~ x 5 40° c) x 1 140° 5 180° ~ x 5 40° dos ângulos dados. Em seguida, usando o transferidor, devem obter d)x 1 80° 5 90° ~ x 5 10° as medidas exatas e verificar se estavam corretos nas estimativas, e) x 1 50° 5 180° ~ x 5 130° classificando também os ângulos quanto à medida de abertura. f) x 1 30° 5 180° ~ x 5 150° Atividades 16 e 17 Estas atividades trabalham as transformações de graus em minu- tos e segundos e as transformações de segundos em graus e minutos. Explique que, na atividade 17, devem ser usadas as unidades de me- dida grau e minuto ao mesmo tempo. 141MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
2 Ângulo Construção de ângulos Neste momento, explique aos Veja como Roberto construiu um ângulo de medida de abertura de 30° usando transferidor e régua. alunos que, com o uso de com- passo, régua e transferidor, po- 1) Ele usou a régua para construir uma reta r e marcou um 2) Depois, ele colocou o transferidor sobre a reta r, alinhando Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora demos fazer a construção e o ponto A nela. a marca central do transferidor sobre o ponto A, e marcou transporte de ângulos com as com o ponto B a indicação de 30°. medidas de abertura desejadas. Ar Se necessário, retome as 3) Por fim, ele traçou a semirreta que parte do ponto A e passa pelo ponto B. B explorações da página 139 deste Manual sobre o uso do A 30¼ r transferidor para construir um ângulo com a medida de aber- Transporte de ângulos tura desejada. Juliana não tinha transferidor, então ela decidiu transportar o ângulo que Roberto construiu para o cader- Leia com os alunos as infor- no dela. Veja como ela fez. mações apresentadas no livro, representando na lousa o proce- 1) Ela usou a régua para construir uma reta r e marcou um ponto A8 nela. A8 r dimento para a construção e o transporte de ângulos. Após rea- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 2) Depois, ela colocou a ponta-seca do compasso no ponto A, no caderno de Roberto, abriu o compasso até o ponto B e lizar o passo 2 do transporte de traçou um arco intersectando a reta r. Ela nomeou esse ponto de C. Com a mesma abertura do compasso, ela colocou a ângulos, explique que qualquer ponta-seca no ponto A8, no caderno dela, e traçou um arco intersectando a reta r no ponto C8. ponto que marcarmos no arco que passa por C, terá medida de B distância a A8 igual às medidas de comprimento de A8C8, de AB A 30¡ r A8 r e de AC, mostrando que as me- C8 didas de distância entre as pon- C tas do compasso são as mes- Caderno de Juliana. mas em todos esses casos. No Caderno de Roberto. entanto, queremos encontrar o ponto B8 tal que a medida de 3) Novamente no caderno de Roberto, ela colocou a ponta- 4) Por fim, ela traçou a semirreta partindo do ponto A8 e pas- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora abertura do ângulo B8A8C8seja -seca do compasso em C e abriu até o ponto B. No caderno sando pelo ponto B8. igual à medida de abertura do dela, colocou a ponta-seca no ponto C8 e traçou um arco ângulo BAC, o que só é possível intersectando o arco existente. Ela nomeou o ponto de B8 se a medida de distância entre intersecção dos arcos como B8. B8 e C8 for igual à medida de dis- tância entre B e C, como feito no B8 passo 3. A8 r A8 r Durante estas atividades, é C8 C8 esperado que os alunos se con- fundam algumas vezes e neces- Caderno de Juliana. Caderno de Juliana. sitem apagar todo o desenho para recomeçar. Quando isso Atividades acontecer, peça que mante- nham a calma e recomecem a 21 Use uma folha de papel vegetal e copie o ângulo B8A8C8 construído por Juliana. Depois, siga o procedimento atividade. Explique que nem to- dela e transporte o ângulo da folha para seu caderno. Reprodução da imagem do livro. dos temos as mesmas habilida- des, por isso alguns colegas po- 22 Use um transferidor e meça a abertura do ângulo construído por Juliana e a abertura do ângulo construído por você. dem ter mais ou menos facilida- Elas são iguais? Sim. de para realizar os desenhos so- licitados. Destaque que, com 142 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono treino e persistência, todos po- dem desenhar com régua e Atividade 22 compasso mais facilmente. Esta atividade trabalha o uso de transferidor para medir as abertu- Peça aos alunos que repre- ras dos 2 ângulos feitos e comparar as medidas obtidas. sentem as informações perti- nentes sobre transporte de um Como ampliação e em duplas, os alunos podem explicar o motivo segmento e sobre construção de estar correto o procedimento apresentado anteriormente no livro e transporte de ângulos no pai- para o transporte de ângulos. nel de descobertas. Enfatize que não deve ser uma cópia do livro, mas um registro das ideias dos próprios alunos so- bre esses assuntos. Atividade 21 Nesta atividade, os alunos devem fazer a cópia de um ân- gulo em folha de papel vegetal e o transporte para o caderno usando régua e compasso co- mo apresentado anteriormente no livro. 142 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
ångulos congruentes 2 Ângulo Explorar e descobrir Inicie esta página perguntan- do se os alunos se lembram o Decalque um dos ângulos abaixo em uma folha de papel vegetal. Depois, coloque-o sobre o outro ângulo e com- que são segmentos congruen- pare as aberturas deles. tes. Se necessário, retome o as- sunto. Em seguida, pergunte o F que imaginam que sejam ângu- Ilustrações: Banco de imagens/ los congruentes e anote as res- A G Arquivo da editora postas na lousa. Avise que, após BC E a próxima exploração, poderão conferir quais respostas estão O que você percebeu? Use um transferidor para conferir sua resposta. Os ângulos têm medidas de abertura iguais. corretas. Podemos afirmar que os ângulos ABC e E FG são ângulos congruentes, pois m(ABC ) 5 m(E FG ) 5 45°. Para esta exploração, dese- Indicamos assim: ABC à E FG . (Lemos: o ângulo ABC é congruente ao ângulo E FG .) nhe na lousa alguns ângulos com medidas de abertura de Dizemos que 2 ângulos são congruentes quando as medidas de abertura 15° (2 ângulos com essa medi- deles são iguais. O símbolo que representa essa congruência é à. da), 35°, 90° (2 ângulos com essa medida), 165° e 180° fora Quando 2 ângulos ou 2 figuras Thiago Neumann/Arquivo da editora de ordem. Os ângulos com me- quaisquer são congruentes, didas de abertura iguais devem podemos transportar uma sobre estar em posições diferentes. a outra, de modo que coincidam. Peça aos alunos que copiem os ângulos em papel vegetal e que Atividades tentem sobrepor aos outros ângulos. Defina que ângulos 23 Registre no caderno quais destes ângulos você julga que são congruentes. Em seguida, meça a abertura de congruentes são aqueles cujas todos eles com um transferidor e confira sua estimativa. Finalmente, indique simbolicamente a congruência. aberturas coincidem com a so- breposição, ou seja, os ângulos Estimativas pessoais; RSP à IJL. H L com mesma medida de aber- G 120¡ 110¡ J tura. Peça aos alunos que con- R N O firam essa definição com as 110¡ F 80¡ I respostas dadas anteriormente. P M Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora S Então, pergunte o que são fi- guras congruentes. Se necessá- F rio, após as respostas, explique 24 Desenhe no caderno, usando régua e transferidor, um ânguloT XU congruente ao ângulo AFL (T XU à AFL ). aos alunos que 2 figuras são congruentes se elas coincidem 40¡ quando sobrepostas. Peça que AL leiam as informações do livro e incentive-os a construir em uma Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 143 folha de papel, ou mesmo utili- zando algum software, figuras congruentes para confirmar as afirmações apresentadas nesta página. Atividade 23 Peça aos alunos que esti- mem quais ângulos são con- gruentes e que, em seguida, ob- tenham as medidas dos ângulos utilizando o transferidor para conferir se a estimação está correta. Destaque aos alunos que também devem indicar sim- bolicamente a congruência. Atividade 24 Nesta atividade, os alunos devem medir a abertura do ân- gulo dado no livro (que é de 40°) e desenhar no caderno um ângulo com essa medida de abertura. 143MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
2 Ângulo Ângulos adjacentes Oriente os alunos a procurar Observe os ângulos AOB e BOC . A Banco de imagens/ no dicionário o significado da OB Arquivo da editora palavra adjacente e a compar- Dizemos que os ângulos AOB e BOC são ângulos adjacentes, pois têm um lado tilhar com a turma as desco- comum (OB ) e as regiões determinadas por eles não têm outros pontos comuns. C bertas. Eles devem encontrar algo parecido com “algo que Os ângulos AOB e AOC não são adjacentes, pois, embora tenham um lado comum, a região em lilás é está ao lado de”. Agora, per- comum às regiões determinadas por esses 2 ângulos. gunte a cada um dos alunos quais colegas de classe estão Ângulos complementares e ângulos suplementares sentados adjacentes a eles. Es- pera-se que apontem os cole- Explorar e descobrir gas que estão exatamente ao lado deles. Considere estes ângulos. Então, explique aos alunos B E Banco de imagens/ que, em Geometria para que Arquivo da editora dois ângulos sejam adjacentes, D 40¡ é preciso que os ângulos pos- suam apenas um lado em co- 50¡ C 110¡ mum (com o vértice também em comum), não havendo ou- 70¡ 30¡ tros pontos em comum. A Explorar e descobrir a) Utilize um transferidor para medir as aberturas destes ângulos e registre no caderno. Peça que respondam às ques- b) Quais são os 2 ângulos cuja soma das medidas de abertura é igual a 90°? C e E. (50° 1 40° 5 90°) tões e verifique se são capazes c) Quais são os 2 ângulos cuja soma das medidas de abertura é igual a 180°? A e D . (70° 1 110° 5 180°) de utilizar o transferidor com au- tonomia para identificar o valor Quando a soma das medidas de Thiago Neumann/ Quando a soma das medidas de de cada ângulo. Então, chame a abertura de 2 ângulos é igual Arquivo da editora abertura de 2 ângulos é igual atenção para os ângulos cujas a 90°, dizemos que eles são a 180°, dizemos que eles são somas das medidas de abertura ângulos complementares, ou que ângulos suplementares, ou que totalizam 90° ou 180° e defina: um é o complemento do outro. um é o suplemento do outro. • Ângulos complementares Ângulos adjacentes e suplementares são 2 ângulos cuja soma das medidas de abertura é 90°; Rodrigo traçou uma reta AB e marcou um ponto O sobre ela. A partir desse ponto, traçou a semirreta OC , como nesta a figura. • Ângulos suplementares são 2 ângulos cuja soma das CBanco de imagens/ medidas de abertura é 180°. Arquivo da editora m(AOC ) 1 m(BOC ) 5 180° Explique aos alunos que complementar significa com- A OB pletar algo, enquanto que suple- mentar é adicionar algo a mais Dizemos que os 2 ângulos formados (AOC e BOC ) são ângulos adjacentes e suplementares, pois do que o necessário para com- têm um lado comum e os outros 2 lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta. pletar. Por isso, a soma das me- didas de abertura dos ângulos 144 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono suplementares (180°) é maior do que a soma das medidas dos formações apresentadas nesta página e, se possível, que registrem ângulos complementares (90°). as informações mais importantes no painel de descobertas, usan- do as próprias palavras. Ângulos adjacentes e suplementares Pergunte aos alunos como os ângulos são adjacentes e suplementares ao mesmo tempo, peça que representem esses ângulos no caderno. Se necessário, explique que são 2 ângulos com apenas um lado comum e com medidas de abertura cuja soma é 180°. Em seguida, mostre na lousa que, para traçar ângulos adjacentes e suplementares, basta traçar uma reta e uma semirreta tal que o único ponto comum entre elas seja a origem. Explique também que pode- mos ter ângulos adjacentes e complementares ao mesmo tempo. Sugira que leiam todas as in- 144 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Para indicar o nome de ângulos, também podemos adotar uma C e Banco de imagens/ 2 Ângulo O Arquivo da editora notação mais simples. Observe. d Atividades 25 e 26 O ângulo AOC pode ser escrito utilizando uma letra minúscula, por A B Estas atividades trabalham exemplo, d. Analogamente, o ângulo BOC pode ser escrito como e . os conceitos de ângulos adja- centes, sendo necessário iden- Nesse caso, também podemos usar a mesma letra minúscula para tificá-los e achar as medidas de indicar as medidas de abertura desses ângulos: m (d) 5 d e m(e ) 5 e. abertura a partir da ideia de que possuem um único lado comum. Então: m(AOC ) 1 m(BOC ) 5 180° ou d 1 e 5 180° Atividade 27 Nesta atividade, são traba- 29. a) 90° 90° b) 45° 30. 20° 31. 140°b^ 45° 70° 40° a^ lhados os conceitos de ângulos suplementares e ângulos com- Atividades plementares. 25 Indique no caderno se cada par de ângulos são ou d) Se a abertura de um ângulo mede 10°, então a Destaque que, no item e, não adjacentes. abertura do suplemento dele mede . pede-se a medida de abertura do suplemento do comple- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora RQ HM 170° (180° 2 10° 5 170°) mento do ângulo cuja abertu- ra mede 43¡. FDS e) Se a abertura de um ângulo mede 43°, então a abertura do suplemento do complemento dele Atividade 28 E X mede . 133° (90° 2 43° 5 47°; 180° 2 47° 5 133°) Esta atividade aborda os ân- P 28 Nos transferidores com graduação nos gulos adjacentes e suplementa- NG 2 sentidos, como este, podemos identificar simul- res, verificando as medidas dos I taneamente as medidas de abertura de ângulos ad- ângulos em um transferidor jacentes e suplementares (por exemplo: GHI e IHG). com graduação nos 2 sentidos. C J GHI 5 130°; Banco de imagens/ Atividades 29 e 30 IHJ 5 50°. Arquivo da editora Estas atividades devem ser a) E RP e PRQ . Sim. d) HDM e SDM .Sim. 1206011700 100 90 80 70 60 I b) F DH e SDM . Não. e) F DH e HDM . Sim. 80 90 100 110 120 130 resolvidas a partir dos conceitos c) JCN e GIX . Não. 130 50 de ângulos adjacentes e suple- mentares ou de ângulos adja- 140 50 40 centes e complementares. Além disso, os alunos devem dese- 160 150 40 30 20 nhar, usando o transferidor, os 20 30 140 150 160 ângulos apresentados. 170 10 10 170 180 0 0 180 GH J Você sabia? Converse com um colega sobre este tipo de trans- A palavra adjacente refere-se à posição de um ângulo em relação ao outro, e a palavra suplementar, à soma das medidas feridor e os valores que aparecem nas 2 graduações. de abertura dos ângulos, que é igual a 180°. 29 Copie no caderno e substitua cada pela medida de abertura adequada. Depois, para cada item, faça 26 A soma das medidas de abertura de 2 ângulos um desenho correspondente usando transferidor. adjacentes é igual a 80°. Sabendo que a medida de abertura de um deles é o triplo da medida de a) Se 2 ângulos adjacentes e suplementares têm abertura do outro, quais são as 2 medidas: 50° e 30°, 66° e 22° ou 60° e 20°? aberturas com medidas iguais, então a abertu- 60° e 20°. (60 1 20 5 80 e 3 3 20° 5 60°) ra de cada um deles mede . 27 Copie as frases no caderno e substitua cada 90° (x 1 x 5 180° ~ x 5 90°) pela medida de abertura adequada. a) A metade da medida de abertura do suplemento b) Se 2 ângulos adjacentes e complementares de um ângulo, que tem medida de abertura de 35°, é de . têm aberturas com medidas iguais, então a 72° 308 (180° 2 35° 5 145°; 145° 4 2 5 72,5° 5 72° 308) abertura de cada um deles mede . 30 Use um transferidor e dese4n5h°e(xn1o cxa5de9rn0o° ~2 âxn5gu4-5°) b) São suplementares 2 ângulos cujas aberturas medem, respectivamente, 53° e . los adjacentes e complementares. Um deles deve 127° (180° 2 53° 5 127°) ter medida de abertura de 70°. 31 Os ângulos a e b são adjacentes e suplementa- c) O complemento de um ângulo de medida de abertura de 27° é um ângulo de medida de aber- res. A medida de abertura do ângulo a é de 40°. tura de . 63° (90° 2 27° 5 63°) Qual é a medida da abertura de b ? Use régua e transferidor para construir no caderno 2 ângulos a e c nessas condições. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 145 145MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
2 Ângulo Ângulos opostos pelo vértice Inicie perguntando o que é Explorar e descobrir ser oposto. Como provavelmen- te os alunos devem falar sobre Para entender melhor o que são ângulos opostos pelo vértice, siga as orientações e chegue às conclusões. os números opostos, questione- -os em relação a, por exemplo, 4 Método experimental e 24, apresentando, na lousa, a reta numerada a seguir. Espera- 1 Em uma folha de papel vegetal, trace 2 retas concorrentes oblíquas. Observe os ângulos formados por elas e responda. -se que a resposta seja em rela- a) Quantos ângulos são? 4 ângulos. ção ao zero. b) Como podemos classificá-los, de acordo com as medidas de abertura deles? 2 agudos e 2 obtusos. 24 0 4 2 É possível dobrar a folha de papel vegetal de modo que os ângulos agudos se sobreponham? O que podemos afirmar sobre esses ângulos? Sim; são ângulos congruentes. Em seguida, desenhe na lou- ^ Ilustrações: Banco de imagens/ sa 2 retas concorrentes, indi- Arquivo da editora cando o vértice O e os ângulos b a, b e c , como na imagem a se- guir. Destaque que o ponto O é dobra da folha o vértice dos ângulos da figura e pergunte quais ângulos repre- sentados são opostos pelo vér- tice. r Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 3 Repita a atividade anterior para os ângulos obtusos. Também são congruentes. Banco de imagens/Arquivo da editora 4 Os 2 ângulos agudos, assim como os 2 ângulos obtusos, são chamados de ângulos a^ s opostos pelo vértice. No caderno, escreva com suas palavras o que você observou a^ ^ O Exemplo de resposta: Ao traçar 2 retas concorrentes oblíquas, formamos 2 pares b ^c de ângulos opostos pelo vértice e cada par de ângulos é congruente entre si. sobre eles. b^ Usando o transferidor Usando um transferidor, meça a abertura dos ângulos que você obteve e verifique se a resposta dada na ativida- de anterior continua correta. Sim, continua. Se necessário, ajude-os a Você usou processos diferentes, mas chegou à mesma conclusão: perceber que os ângulos a e b Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura. são opostos pelo vértice, mos- trando que estão em “lados” Muito bem! Mas atenção! O que você fez vale para um exemplo e vale para Acompanhe na lousa a demonstração opostos do vértice, e questione outro, mas, com isso, só podemos fazer uma conjectura, isto é, uma suposição. dessa importante propriedade. o que podem dizer sobre as me- Apenas fazendo uma demonstra•‹o, ou seja, a prova, podemos garantir que essa Utilizando informações verdadeiras didas de abertura desses ângu- conclusão é verdadeira para todos os ângulos opostos pelo vértice, inclusive e raciocínio lógico, concluímos que a los anotando as respostas na quando as retas concorrentes são perpendiculares. afirmação é verdadeira. lousa. Demonstração Thiago Neumann/Arquivo da editora Mostre que os ângulos a e b Queremos demonstrar que as medidas de abertura dos ângulos são suplementos do ângulo c , pois a 1 c 5 180° e b 1 c 5 Ba e Bb são iguais, ou seja, a 5 b. Na figura vemos que: 5 180°, e pergunte o que pode- mos dizer, então, sobre as me- a 1 x 5 180° e b 1 x 5 180°. didas de abertura de a e b. Es- a^ Dessas 2 igualdades podemos obter outra: pera-se que respondam que são iguais. x^ a 1 x 5 b 1 x Subtraindo x dos 2 membros, obtemos: Explorar e descobrir Para esta atividade, os alunos b^ a 1 x 2 x 5 b 1 x 2 x a105b10 precisarão de papel vegetal, a5b régua e transferidor. Acompa- nhe-os durante a execução das Ou seja, demonstramos que 2 ângulos opostos pelo vértice são etapas propostas. sempre congruentes (têm medidas de abertura iguais). Ao final, peça aos alunos 146 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono que registrem as descobertas que fizeram sobre ângulos opostos pelo vértice no painel de descobertas. 146 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Veja outro exemplo. Observe na representação 2 Ângulo de um mapa o cruzamento da rua Lombroso com a rua Savigni em uma cidade. Sugira aos alunos que obser- vem atentamente o mapa, mais Podemos representar esse cruzamento e os especificamente o cruzamento 4 ângulos formados usando um modelo matemá- da rua Lombroso com a rua Sa- tico, conforme esta figura. vigni. Faça questionamentos, como: “Quais tipos de retas de- r terminam o cruzamento entre Banco de imagens/Arquivo da editora Rua Lombroso essas ruas?”; “Quantos ângulos Rua Orlandoa^^Rua Dr. Vicente Giacaglini são formados pelo cruzamento dessas ruas?”. Rua Savignib Júlio Dian/Arvquivo da editora Explique aos alunos que as ^ c^ s retas concorrentes (as que representam o cruzamento) d podem ser de 2 tipos: perpen- diculares (que formam ângu- As retas r e s são retas concorrentes, já que se intersectam em um único ponto. los com medidas de abertura de 90° entre elas) ou oblíquas Observando as posições relativas dos ângulos a e c e também dos ângulos b e d, podemos chegar a (que formam ângulos com medidas de abertura diferen- algumas conclusões. tes de 90°). • r e s são 2 retas concorrentes que determinam os ângulos a , b , c e d, de medidas de abertura a, b, c e Peça aos alunos que identifi- d, respectivamente. quem os ângulos adjacentes e • a e b são ângulos adjacentes e suplementares (a 1 b 5 180°), assim como os pares de ângulos b e c suplementares e os ângulos opostos pelo vértice e que os re- , c e d, d ea. gistrem no caderno. Em segui- • a e c são ângulos opostos pelo vértice (a 5 c), assim como o par de ângulos b e d. da, sugira que leiam as informa- ções apresentadas no livro e re- Atividades 34. 60° e 120°, respectivamente. (m(POQ)5 x ; m(ROQ)5 2x ; x 1 2x 5 180° ~ 3x 5 180° ~ x 5 60°) solvam as atividades. 32 Determine o valor de x em cada figura, sem fazer 34 Calcule as medidas de abertura do POQ e do ROQ Atividades 32 e 33 medições, e registre no caderno. sabendo que a abertura do ROQ mede o dobro da Estas atividades trabalham Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a) abertura do POQ. os conceitos de ângulos opos- tos pelo vértice, sendo necessá- x 41¡ x 5 41° Banco de imagens/Arquivo da editora rio também que os alunos se lembrem que a abertura de um Q ângulo reto mede 90º (item c da atividade 32) e que construam b) ângulos usando régua e trans- feridor (atividade 33). 130¡ Atividade 34 x 5 130° A partir dos conhecimentos x sobre ângulos adjacentes suple- Banco de imagens/Arquivo da editora c) P OR mentares e da relação dada en- tre as medidas de abertura dos 33. 75° x 35 Duas retas r e s são concorrentes e determinam 2 ângulos, devem ser descober- a^ 4 ângulos de medidas de abertura iguais. tas as medidas de abertura des- ^ ses ângulos. x 5 90° a) Nesse caso, qual é a medida de abertura de b cada ângulo? 90° (360° 4 4 5 90°) Atividade 35 Se necessário, peça que, pri- (a 5 b 5 75°) b) Qual nome podemos dar às retas, uma em rela- ção à outra? Retas concorrentes perpendiculares. meiramente, desenhem as re- 33 Se a e b são ângulos opostos pelo vértice e a aber- tas do enunciado (item c) para tura de a mede 75°, então quanto mede a abertura c) Faça no caderno um desenho de 2 retas r e s que possam identificar a medi- de b ? Use régua e transferidor para construir no ca- Banco de imagens/ da de abertura de cada um dos nessas condições. s Arquivo da editora ângulos formados (item a) e a derno uma figura nessas condições. relação entre essas retas (item b). r 147 Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 147MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
2 Ângulo Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal Pergunte aos alunos o que significa a palavra transversal. O professor Mauro desenhou 3 retas na lousa e assi- Banco de imagens/Arquivo da editora Esperamos que surja uma defi- nição parecida com “objeto que nalou os ângulos formados por elas. Em seguida, ele ex- r ^ ^ cruza algo”. Em seguida, trace plicou: “As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano s na lousa 2 retas paralelas e per- e não têm ponto comum (r / s). A reta t é transversal às a^ b f gunte aos alunos como seria retas r e s. As retas t e r determinam 4 ângulos, assim c^ g^ uma reta transversal a elas. como as retas t e s determinam outros 4 ângulos”. t ^ Após traçar uma reta trans- Neste caso, considerando as posições relativas dos versal seguindo a indicação dos d alunos, nomeie os ângulos co- e^ mo no livro e peça que represen- tem o mesmo desenho em pa- ^ pel vegetal, dando a medida de abertura de um ângulo formado h entre a transversal e as parale- las. Evite que a reta transversal ângulos, tomados 2 a 2, podemos atribuir nomes a eles. seja perpendicular às retas pa- ralelas, pois queremos mostrar Analise os nomes e o que acontece com as medidas de abertura dos ângulos. Bate-papo o caso geral e isso seria um caso • Ângulos correspondentes: a e e ; b e f ; c e g ; d e h . específico. Converse com os Com isso, temos que: a 5 e; b 5 f ; c 5 g ; d 5 h. colegas e procurem Em seguida, apresente na • Ângulos colaterais externos: a e h ; b e g . justificar os nomes lousa os nomes atribuídos aos usados para relacionar ângulos quanto às posições re- Com isso, temos que: a 1 h 5 180°; b 1 g 5 180°. os ângulos. lativas entre eles nas retas pa- ralelas e na transversal: • Ângulos colaterais internos: c e f ; d e e . 38. Quando a transversal Resposta pessoal. é perpendicular às 2 retas • Correspondentes: na mes- ma posição em relação às Com isso, temos que: c 1 f 5 180°; d 1 e 5 180°. paralelas. (Os 8 ângulos são 37. b) paralelas e à transversal. retos, ou seja, têm medida Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora • Colaterais externos: do • Ângulos alternos externos: a e g ; b e h . de abertura igual a 90°.) t mesmo lado em relação à 40¼ transversal e na parte ex- Com isso, temos que: a 5 g ; b 5 h. terna em relação às para- • Ângulos alternos internos: c e e ; d e f . r lelas. r • Colaterais internos: do mesmo lado em relação à Com isso, temos que: c 5 e ; d 5 f . s transversal e na parte in- terna em relação às para- s lelas. t • Alternos externos: em la- dos diferentes em relação Atividades à transversal e na parte externa em relação às pa- 36 As retas a e b são paralelas e a reta t é uma trans- Banco de imagens/Arquivo da editora 39 Determine no caderno as medidas de abertura x e Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora ralelas. versal. Copie esta figura no caderno e, em segui- da, meça a abertura dos 8 ângulos formados para y dos ângulos de cada figura. Em todas as figuras, • Alternos internos: em la- conferir as afirmações dadas acima. dos diferentes em relação ab r e s são retas paralelas. à transversal e na parte in- terna em relação às para- 120º 60º 120º 60º x 5 62° e y 5 118°. (x 5 180° 2 118° 5 62°) lelas. 60º 120º 60º 120º t a) t 118¡ Neste momento, os alunos 37 Duas retas paralelas r e s foram intersectadas por devem sentar-se em duplas pa- uma transversal t, de modo que a abertura de um xy r ra continuar as explorações. Pe- dos 8 ângulos determinados mede 40°. s ça que identifiquem todos os pa- a) Escreva no caderno a medida de abertura dos res de ângulos para cada classi- 8 ângulos. 40°, 40°, 40°, 40°, 140°, 140°, 140° e 140°. b) s r ficação e que descubram as re- b) Desenhe no caderno a figura correspondente. 133¡ x lações entre as medidas de abertura desses pares, sobre- 38 Quando 2 retas paralelas cortadas por uma trans- y t pondo as representações no pa- versal determinam 8 ângulos congruentes? De- pel vegetal. Ao final, corrija na senhe no caderno a figura correspondente. x 5 133° e y 5 47°. (y 5 180° 2 133° 5 47°) lousa com os alunos. c) r s Em seguida, incentive os alu- nos a utilizar papel vegetal para 62¡ verificar que, se as retas não fo- rem paralelas, as relações entre t as medidas de abertura dos ân- gulos não se mantêm. Para eles x realizarem essa exploração, re- produza na lousa a imagem a y seguir. x 5 62° e y 5 118°. (y 5 180° 2 62° 5 118°) 148 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR 148 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono Banco de imagens/Arquivo da editora t Atividades 36 a 38 45° Os alunos devem desenhar, com régua e transferidor, as 2 retas r s 60° paralelas cortadas por uma transversal referente a cada atividade. As medidas de abertura dos ângulos formados por essas retas devem Após essas explorações, peça que leiam as informações desta ser descobertas por medição com o transferidor (atividade 36) ou a página e anotem o que acharem necessário no painel de desco- partir das relações entre as medidas de abertura dos ângulos em po- bertas. sições relativas (atividades 37 e 38). Atividade 39 Esta atividade trabalha a descoberta das medidas representadas por incógnitas a partir das relações entre as medidas de abertura dos ângulos em posições relativas.
EM A TTEEM ÁCT INC AOLOGIA Matemática e tecnologia O GeoGebra Principal habilidade O GeoGebra é um software livre e dinâmico de Matemática que pode ser utili- Software livre: qualquer da BNCC zado em diversos conteúdos de Álgebra e de Geometria, em todos os níveis de programa gratuito de EF07MA23 ensino. Ele foi criado em 2001 pelo matemático austríaco Markus Hohenwarter computador cujo código- (1976-) e recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos. -fonte deve ser Antes de levar os alunos ao disponibilizado para laboratório de informática, ins- No endereço <www.geogebra.org/download>, você pode fazer o download do permitir o uso, o estudo, tale e explore o software para software “Geometria” ou acessá-lo on-line. Se precisar, peça para alguém mais ex- a cópia e a redistribuição. descobrir o que ele oferece. É periente ajudá-lo com a instalação. muito importante conhecê-lo bem antes de apresentá-lo à Ângulos determinados por retas paralelas turma. Além disso, providencie intersectadas por uma transversal que os computadores da escola tenham o programa já instalado Veja a seguir os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para construir e funcionando adequadamente. retas paralelas intersectadas por uma transversal e analisar as relações entre as aberturas dos ângulos determinados. Caso encontre dificuldades na utilização do software, exis- 1o passo: Clique na opção “Reta” no menu de ferramentas (à esquerda da tem vários vídeos disponíveis na internet e diversos manuais tela, na parte superior), marque 2 pontos próximo ao centro da tela e desenhe uma e apostilas que poderão auxiliá- -lo a compreender mais sobre reta horizontal. Nomeie esses pontos como A e B e a reta como r. ele. No entanto, é de esperar que os alunos não encontrem gran- 2o passo: Clique na opção “Ponto” e marque 1 ponto fora da reta traçada des dificuldades para utilizá-lo, devido à afinidade que possuem anteriormente. Nomeie esse ponto como C. com a tecnologia. 3o passo: Clique na opção “Reta paralela” . Em seguida, clique no ponto C e Seria interessante ler com os alunos a apresentação do Geo- em qualquer ponto da reta r para construir uma reta que passa por C e é paralela à Gebra presente no livro, poden- do citar mais algumas informa- reta r. Nomeie essa reta como s. ções sobre o software: • é utilizado em 190 países; 4o passo: Clique novamente na opção “Reta” e marque 2 pontos, de maneira • foi traduzido para 55 idio- que a reta que passa por eles seja transversal às retas r e s. Nomeie os pontos mas; • são feitos mais de 300000 marcados como D e E e a reta como t. downloads mensais; Reprodução/<www.geogebra.org> • para dar suporte para o uso, TELARIS_Mat_7ano_PNLD2020_132a179_U01C05.indd 149 Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 149 existem 62 Institutos Geo- Gebra em 44 países. 7/3/19 4:48 PM Fonte de consulta: PUC-SP. Sobre o GeoGebra. Disponível em: <www.pucsp.br/geogebrasp/ geogebra.html>. Acesso em: 23 ago. 2018. No site indicado no livro para download do software, também é possível acessar o “GeoGebra clássico”, que apresenta outras funcionalidades além das que aparecem na versão exclusiva de Geometria. Nesta página, são apresen- tados os passos para a cons- trução de 2 retas paralelas in- tersectadas por uma transver- sal usando o GeoGebra. Então, se possível, leve os alunos ao laboratório de informática para desenvolver essas explora- ções. Solicite aos alunos que sigam os passos apresentados no livro e acompanhe o desen- volvimento dos comandos, fa- zendo intervenções quando necessário. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5 149
Matemática e 5o passo: Clique novamente na opção “Ponto” e marque os pontos de intersec- tecnologia ção da reta t com as retas r e s. Nomeie esses pontos como F e G. Nesta página, os alunos de- 6o passo: Clique novamente na opção “Ponto” e marque um ponto na reta r do vem continuar seguindo as orientações apresentadas no li- lado contrário ao ponto C. Nomeie esse ponto como H. vro para que, após o 7o passo, 7o passo: Clique opção “Ângulo” e, em seguida, clique nos pontos C, F e D obtenham as 2 retas paralelas cortadas por uma transversal para medir a abertura do ângulo CFD. com todas as medidas de aber- Observe que, para obter a medida de abertura um ângulo utilizando o GeoGebra, tura dos ângulos indicadas. No 8o passo, os alunos devem per- é necessário clicar em um ponto de um dos lados do ângulo, no vértice, e em um ceber que as relações entre as ponto do outro lado do ângulo. medidas de abertura dos ângu- los se mantêm mesmo moven- Repita esse procedimento para obter a medida de abertura dos outros ângulos do-se a reta t. determinados pelas retas paralelas e a transversal. Proponha aos alunos que re- Reprodução/<www.geogebra.org> solvam no caderno as questões Reprodução/<www.geogebra.org> desta página e, se necessário, retome os conceitos explorados anteriormente sobre o assunto. 8o passo: Clique na opção “Mover” e movimente lentamente a reta t. Em seguida, pergunte aos O que você pôde observar? As medidas de abertura dos ângulos não são alteradas. alunos o que aconteceria se mo- vessem uma das retas parale- Clique agora no ponto D da reta t e movimente-o de maneira circular, rotacio- las, tornando-as concorrentes. Como foi usada a ferramenta nando a reta. O que acontece com as medidas de aberturas dos ângulos? “Reta paralela” para criar a reta s, destaque que será necessário São alteradas, porém fica mantida a relação preexistente entre as medidas de abertura dos excluir essa reta clicando no bo- ângulos congruentes e suplementares. tão “Apagar” e selecionando a reta. Quest›es Neste momento, peça que criem uma nova reta s, usan- do a opção “Reta” , que não seja paralela às outras retas, e meçam as aberturas dos ângulos formados entre as re- tas s e t usando a ferramenta “Ângulo” . Após obterem uma constru- ção como a apresentada a se- guir, peça aos alunos que veri- fiquem que as relações entre as medidas de abertura dos ângulos das retas r e s não se mantêm. Veja o exemplo abaixo. 1 Qual relação você pode observar quando escolhe 2 ângulos entre os 8 ângulos determinados na construção? São congruentes ou complementares. 2 Identifique, nos ângulos que você determinou, as medidas de abertura dos ângulos: Respostas pessoais. a) alternos internos; d) colaterais externos; b) alternos externos; e) correspondentes. c) colaterais internos; 150 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono E Banco de imagens/Arquivo da editora G 115° 65° H 65° 115° B A 120° 60° 60° 120° D 150 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
3 Polígono 3 Polígono Você se lembra de que linhas podem ser fechadas ou abertas, simples (não se cruzam) ou não simples Principais habilidades (se cruzam)? da BNCC Quando uma linha é formada apenas por uma sequência de segmentos de reta, ela é chamada de linha EF07MA24 EF07MA27 poligonal. EF07MA25 EF07MA28 Polígono é uma linha poligonal fechada simples. EF07MA26 Veja os exemplos. Como polígonos já foram vis- Polígonos. N‹o polígonos. Ilustrações: Banco de imagens/ tos no 6o ano, primeiramente, Arquivo da editora verifique as informações que os alunos possuem acerca do as- Também podemos definir polígono como o contorno de uma região plana que é formado apenas por sunto, perguntando o que é um segmentos de reta. Esses segmentos de reta são os lados do polígono e os pontos de encontro deles são os polígono. Anote na lousa as res- vértices. postas e defina polígono como uma linha poligonal fechada O nome dado a um polígono depende do número de lados que ele tem. Por exemplo: triângulo (3 lados), simples, explicando que é linha heptágono (7 lados), eneágono (9 lados). poligonal por ser formado ape- nas por segmentos de reta e Polígono convexo e polígono não convexo que é linha simples por esses segmentos não se cruzarem. Quando traçamos uma reta sobre cada lado de um polígono e o restante Relembre aos alunos também do polígono fica do mesmo lado dessa reta, temos um polígono convexo. o que são vértices e lados de um polígono. Este quadrilátero é um exemplo de polígono Os polígonos abaixo são exemplos de polígonos Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Em seguida, questione-os convexo. não convexos. se conseguem identificar ele- mentos que lembram polígo- Atividade Ilustrações: Banco de imagens/ nos na sala de aula e se sabem Arquivo da editora nomear os polígonos em geral. 40 Copie os contornos no caderno e, em cada um, escreva se é ou não um polígono. Quando for um polígono, É de se esperar que apontem, escreva se ele é convexo ou não convexo. por exemplo, a lousa, a porta da a) b) c) d) e) sala, o interruptor da tomada, etc., e que saibam os nomes Polígono das figuras mais comuns, co- convexo. mo quadrado, retângulo e triângulo. Caso algum aluno fa- Não é polígono. Polígono convexo. Polígono não convexo. Não é polígono. le cubo, destaque que essa for- ma geométrica é um sólido Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 151 geométrico, não um polígono. Para trabalhar polígonos convexos e não convexos, de- senhe na lousa alguns polígo- nos de cada um desses grupos e trace retas sobre todos os la- dos, perguntando aos alunos se saberiam classificá-los em convexos ou não convexos, e pedindo que justifiquem essas classificações. Se necessário, explique que, nos polígonos convexos, ao traçar uma reta sobre cada lado, a figura toda fica do mesmo lado da reta, o que não ocorre para polígonos não convexos. Peça que leiam as informa- ções apresentadas no livro e acompanhe a resolução das ati- vidades, fazendo intervenção apenas quando necessário. Atividade 40 Nesta atividade, os alunos devem apontar quais figuras são polígonos e quais não são, indicando também quais polí- gonos são convexos e quais não são. 151MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
3 Polígono Número de diagonais de um polígono convexo Pode-se começar o tópico A diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta com extremidades em 2 vértices não perguntando aos alunos se sa- consecutivos dele. bem o que é diagonal. Na lousa, desenhe um quadrado e pergun- O número de diagonais em um polígono convexo depende do número de lados dele. te onde fica a diagonal nessa fi- Veja os exemplos. gura, verificando se os alunos identificam as 2 diagonais do Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono quadrado. B B BC AB Agora, desenhe na lousa um A CA CA DG C triângulo e um pentágono e per- gunte aos alunos se conseguem D ED F FD traçar as diagonais dessas figu- E E ras. No triângulo, espera-se que 4 lados. 5 lados. os alunos percebam que não 2 diagonais. 5 diagonais. 6 lados. 7 lados. existem diagonais. No pentágo- 9 diagonais. 14 diagonais. no, talvez alguns alunos pensem que só podem traçar uma diago- Observe a tabela e perceba o padrão no número de diagonais por vértice. nal por vértice, não sabendo a qual vértice devem ligá-la. En- Polígonos convexos Número de lados Número de diagonais por vértice Padrão tão, apresente a definição de 4 diagonal: segmento de reta que Polígono 5 1 42351 liga 2 vértices não consecutivos. Quadrilátero 6 Pentágono 7 2 52352 Em seguida, peça aos alunos Hexágono que leiam as informações do li- Heptágono 3 62353 vro até o primeiro quadro. Nesse momento, para que ocorra a 4 72354 descoberta da fórmula em vez de apenas a memorização dela Tabela elaborada para fins didáticos. de maneira mecânica, com os alunos, procure estabelecer Se um polígono tem n lados, então podemos Thiago Neumann/Arquivo da editora uma relação entre o número de traçar n 2 3 diagonais em cada vértice. lados e o número de diagonais Mas como fazemos para calcular o número por vértice do polígono, expli- total de diagonais de um polígono? cando que o número de lados é o mesmo número de vértices, e Observe a nova tabela. que o 3 subtraído do número de lados representa o vértice que Polígonos convexos usamos como referência, e os 2 vértices consecutivos a ele Polígono Número de lados Número de diagonais por vértice Número de diagonais do polígono Padrão (1 1 2 5 3). 12 4?1 52 Quadrilátero 4 Sugira que os alunos leiam 2 o segundo quadro, ajudando- -os a entender o padrão. Expli- Pentágono 5 2 5 5?2 55 que que efetuamos a multipli- 2 cação, pois, por exemplo, para o pentágono, cada vértice tem Hexágono 6 3 9 6?3 59 2 vértices possíveis para se li- 2 gar. Apresente o esquema a se- guir para facilitar a visualiza- Heptágono 7 4 14 7 ? 4 5 14 ção da situação. 2 AC Tabela elaborada para fins didáticos. D 152 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono BD E Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora CA A partir do esquema, mostre que são indicadas 2 vezes cada dia- E gonal ( AC 5 CA, por exemplo), e, por isso, dividimos por 2, contando DA apenas uma vez cada diagonal. B EB C 152 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
11 ? (112 3) 11 ? 8 88 b) 35 diagonais. 10 ? (10 2 3) 5 10 ? 7 5 70 5 35 2 2 2 5 44 2 2 2 48. a) 44 diagonais. 5 5 c) 65 diagonais. 13 ? (13 2 3) 5 13 ? 10 5 130 5 65 Atividades 43 a 45 e 48 2 2 2 Nestas atividades, os alunos Atividades podem usar a fórmula obtida na 41 No caderno, nomeie os polígonos de acordo com a 47 Os 5 pontos dispostos nesta figura representam atividade 42 para calcular o nú- quantidade de lados de cada um. os vértices de um polígono convexo. mero de diagonais dos polígo- a) c) nos dados em cada atividade. A Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Para o uso dessa regra, de- Paulo Manzi/Arquivo da editoraEB vem descobrir o número de la- dos do polígono dado a partir Quadrilátero. do nome (atividades 43 e 44) ou do número de diagonais em Hexágono. cada vértice da figura (ativida- de 45). DC Atividades 46 e 47 b) d) Quantos segmentos de reta podemos traçar unin- Na resolução destas ativida- do 2 vértices não consecutivos? Marque os pontos Pentágono. Eneágono. no caderno, trace os segmentos de reta e confira des, peça aos alunos que repre- sua resposta. 5 segmentos de reta. sentem os pontos no caderno e os liguem pelo lado de fora, for- 48 Calcule no caderno o número de diagonais em: mando polígonos. Assim, podem a) um polígono convexo de 11 lados; descobrir o número de lados b) um decágono convexo; desses polígonos e calcular o c) um polígono convexo de 13 lados. número de diagonais usando a regra obtida na atividade 42. 42 Copie no caderno a tabela da página anterior. Em 49 Um polígono convexo tem 9 diagonais. Quantos seguida, crie uma nova linha e complete-a consi- lados esse polígono tem? Qual é o nome dele? Na atividade 46, destaque derando um polígono de n lados. O que você pode que as estradas são os lados e concluir? 6 lados; hexágono. as diagonais do polígono. 43 Utilize a conclusão que você obteve na atividade 50 Em um polígono convexo, o número de diagonais Na atividade 47, lembre os anterior para descobrir o número de diagonais de é o dobro do número de lados. Quantos lados o alunos de traçar as diagonais da um dodecágono convexo. polígono tem? 7 lados. figura para conferir a resposta obtida através do cálculo. 51 Quantas diagonais ainda podem ser traçadas em cada polígono? Atividades 49 e 50 Nestas atividades, os alunos a) 17 diagonais. devem descobrir o número de (20 2 3 5 17) lados dos polígonos a partir do Ilustrações: Banco de imagens/ número de diagonais (atividade 44 Determine no caderno o número de diagonais de Arquivo da editora 49) ou da relação dada entre o cada polígono convexo. número de lados e de diagonais a) Quadrilátero. 2 diagonais. (atividade 50). b) Icoságono. 170 diagonais. Na atividade 49, lembre-os de indicar o nome do polígono após 45 Responda no caderno. b) 23 diagonais. descobrir a quantidade de lados a) Em qual polígono convexo podem ser traçadas dele. 5 diagonais em cada vértice? Octógono. 9 3 (9 2 3) 5 936 5 27; 2 2 Na atividade 50, peça que re- solvam por tentativa e erro, pois b) Qual é o total de diagonais desse polígono? 27 2 4 5 23 ainda não sabem resolver equa- 8 3 (8 2 3) ções do 2o grau. 20 diagonais. 2 5 Atividade 51 46 Veja a representação de 7 cidades. Se necessário, peça aos alu- 21 estradas. 5 835 5 20 nos que calculem o número de (Correspondem aos 2 diagonais de cada polígono e, 7 lados do polígono A depois, descubram quantas ABCDEFG, mais as G B Banco de imagens/ 52 Qual polígono convexo tem o número de lados ainda podem ser traçadas nas 14 diagonais.) Arquivo da editora igual ao número de diagonais? figuras. C Pentágono. (5 lados e 5 diagonais.) Atividade 53 Sugira que desenhem, no ca- F D 53 Desafio. Quando traçamos todas as diagonais E possíveis a partir de um vértice quantos triângu- derno, os polígonos dos itens a los são formados em cada polígono convexo? e b, e que tracem todas as dia- Se forem construídas estradas ligando essas cida- a) Quadrilátero. 2 triângulos. gonais de um único vértice para des 2 a 2, quantas serão as estradas no total? determinar a quantidade de b) Pentágono. 3 triângulos. triângulos formados. Em segui- da, devem relacionar o número c) Polígono de n lados. (n 2 2) triângulos. de triângulos com o número de lados do polígono para resolver 43. 54 diagonais. 12 ? (12 2 3) 5 12 3 9 5 54 o item c. 2 2 Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 153 3 Polígono Polígono convexo Atividade 41 Polígono Número Número de Número de Padrão Se necessário, com os alunos, nomeie os polígonos com até de lados diagonais diagonais do por vértice 20 lados, destacando os prefixos das palavras e indicando o sig- polígono nificado desses prefixos. Polígono de n n23 n ? (n 2 3) n ? (n 2 3) Atividade 42 n lados 2 2 Esta atividade trabalha a generalização do cálculo do número de Tabela elaborada para fins didáticos. diagonais de um polígono a partir da tabela anterior. Veja a linha que deve ser criada na tabela para um polígono de n lados. 153MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
3 Polígono Ângulos internos e ângulos externos dos polígonos Primeiro, é importante que os Observe os polígonos representados abaixo. A p^ B alunos entendam a diferença en- u^ q^ tre ângulo interno e ângulo ex- GH terno de um polígono. Por isso, Ilustrações: Banco de imagens/ F C na lousa, desenhe um polígono Arquivo da editora qualquer, como o apresentado a k r^ seguir, e pergunte quais são os t^ D Banco de imagens/Arquivo da editora ângulos internos da figura. J IK E s^ BC Veja algumas informações sobre estes polígonos. AD • O polígono laranja é um quadrilátero, já que ele é formado por 4 lados. O polígono verde é um hexágo- FE no, já que ele é formado por 6 lados. Em seguida, pergunte como • Os ângulos marcados em vermelho em ambos os polígonos são chamados de ângulos internos. Ou seja, podemos encontrar os ângulos GHI , HIG , IJG , JGH , ABC , BCD , C DE , DEF , E FA e F A B são ângulos internos dos respectivos polígonos. externos do polígono da lousa e mostre que um ângulo externo Ângulos internos são aqueles formados por 2 lados consecutivos do polígono. é formado por um lado (BC ) e o • Os ângulos marcados em azul em ambos os polígonos são chamados de ângulos externos. Ou seja, HIK (ou k ), p , q , r , s , t e u são ângulos externos dos respectivos polígonos. prolongamento do lado adjacen- Banco de imagens/Arquivo da editora Atividades Ângulos externos são aqueles formados por 1 lado do polígono e pelo te (CD) a ele, como na imagem prolongamento do lado consecutivo a ele. a seguir. 56. b) Adjacentes suplementares. (São adjacentes, pois têm um lado comum, e BC as regiões determinadas por eles não têm outros pontos comuns; e são suplementares, pois a soma das medidas de abertura dos ângulos é igual a 180°.) AD 54 Trace no caderno um pentágono convexo ABCDE. 78° (x 5 180° 2 102° 5 78°) Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora FE Aproveite para mostrar que a) o ângulo interno e o ângulo ex- terno adjacente a ele são su- Prolongue o lado DE e marque um ponto F sobre o plementares, e que o mesmo prolongamento, de modo que AEF seja um ângulo ângulo externo da figura pode ser formado por CD e o prolon- Banco de imagens/ A x 102¡ gamento de BC. Arquivo da editora F Atividade 54 Banco de imagens/ BE Nesta atividade, os alunos Arquivo da editora externo do pentágono. 168° (x 5 180° 2 12° 5 168°) devem desenhar um pentágono 55 Examine este polígono convexo. e representar o ângulo externo desejado. AB CD b) 12¡ Atividades 55 e 56 x Na atividade 55 é feita a ve- F c) 90° (x 5 180° 2 90° 5 90°) rificação de que um ângulo C interno de um polígono e um ângulo externo adjacente a ele ED x são suplementares. Já na ati- vidade 56, é usado esse con- a) Qual é a soma da medida da abertura de um d) 65° (x 5 180° 2 115° 5 65°) ceito para determinar as medi- ângulo interno com a medida da abertura do das de abertura dos ângulos ângulo externo no mesmo vértice? 180° x 115¡ internos ou externos de um e) polígono. b) Com base na resposta do item anterior, como é 81¡ chamado cada par de ângulo interno e ângulo x externo no mesmo vértice? 99° (x 5 180° 2 81° 5 99°) 56 Para cada ângulo interno de um polígono existe um ângulo externo adjacente a ele. Determine a medida de abertura x em cada polígono. 154 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono 154 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Tri‰ngulo c A Banco de imagens/Arquivo da editora 3 Polígono a Elementos de um triângulo C Como os alunos já viram as C A classificações dos triângulos O triângulo ao lado pode ser indicado por: nABC. no 6o ano, revise o assunto na Observe que: BB lousa apresentando o quadro do • o lado oposto ao ângulo A é o lado BC ; b livro. • o lado oposto ao ângulo B é o lado CA ; • o lado oposto ao ângulo C é o lado AB . Vértices: pontos A, B e C. Em seguida, solicite aos Lados: segmentos de reta AB , BC e CA. alunos que formem duplas e Classificações de um triângulo Ângulos internos: A, B e C. construam 3 triângulos (um Ângulos externos: a , b e c . retângulo, um obtusângulo e um acutângulo) com lados de O triângulo pode ser classificado quanto aos ângulos ou quanto aos lados. Relembre as classificações. medidas quaisquer de com- primento. Peça que, usando Quanto aos lados Quanto aos ‰ngulos transferidor e régua, obte- nham as medidas de abertura Equilátero Isósceles Escaleno Retângulo Obtusângulo Acutângulo dos ângulos internos desses triângulos e as medidas de 3 lados de mesma 2 lados de mesma 3 lados de medidas de 1 ângulo reto 1 ângulo obtuso e 3 ângulos Banco de imagens/Arquivo da editora comprimento dos lados. agudos. medida de comprimento. medida de comprimento. comprimento diferentes. e 2 ângulos agudos. 2 ângulos agudos. Questione os alunos se con- seguem perceber alguma rela- Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo ção entre as medidas de aber- tura dos ângulos e as medidas Examine as comparações feitas utilizando as medidas de comprimento dos lados e as medidas de aber- de comprimento dos lados. Es- tura dos ângulos dos triângulos. pera-se que eles sejam capa- zes de concluir que ao ângulo Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora A nABC 90° > 60° > 30° Observe que ao ângulo de maior de maior medida de abertura 60° medida de abertura opõe-se o lado opõe-se o lado de maior medi- ôôô de maior medida de comprimento, da de comprimento, e ao lado C e ao ângulo de menor medida de de menor medida de compri- P lado oposto lado oposto lado oposto abertura opõe-se o lado de menor mento opõem-se o ângulo de 44° medida de comprimento. menor medida de abertura. a 90° a 60° a 30° 80° Observe que ao lado de maior medida Incentive-os a ler as informa- R ôôô de comprimento opõe-se o ângulo de ções apresentadas no livro e a maior medida de abertura, e ao lado anotar as que acharem mais im- 30° AB > BC > CA de menor medida de comprimento portantes no painel de desco- B opõe-se o ângulo de menor medida bertas. de abertura. nPQR PQ > PR > QR 56° ôôô Q ângulo oposto ângulo oposto ângulo oposto ao lado PQ ao lado PR ao lado QR ô ô ô 80° > 56° > 44° Essas relações de desigualdade já foram provadas matematicamente para qualquer triângulo e podem ser enunciadas assim: Em todo triângulo, ao ângulo de maior medida de abertura opõe-se o lado de maior medida de comprimento e, reciprocamente, ao lado de maior medida de comprimento opõe-se o ângulo de maior medida de abertura. Da mesma maneira, ao ângulo de menor medida de abertura opõe-se o lado de menor medida de comprimento e, reciprocamente, ao lado de menor medida de comprimento opõe-se o ângulo de menor medida de abertura. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 155 155MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
3 Polígono Construção de triângulos usando transferidor e régua graduada Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Leia, com os alunos, as in- Carolina usou a ideia da construção de ângulos para construir um triângulo ABC usando transferidor e régua formações apresentadas no li- graduada. Para isso, ela escolheu a medida de comprimento do lado AB e as medidas de abertura dos ângulos vro para a construção de um internos A e B. Veja como ela fez. triângulo com régua e transfe- ridor, fazendo o passo a passo 1) Usando uma régua, ela traçou um segmento de reta AB com 3 cm de medida de comprimento. na lousa. A 3 cm B Em seguida, questione: 01 2 3 “Quais medidas foram forneci- das no exemplo do livro?”; 2) Depois ela usou o transferidor para construir o ângulo interno A de medida de abertura de 70° no ponto A e o ângulo “Sempre que forem fornecidas interno B de medida de abertura de 30° no ponto B. 1 medida de comprimento de lado e 2 medidas de abertura 130 1206011700 100 90 80 70 60 50 130 1206011700 100 90 80 70 60 50 dos ângulos será possível 80 90 100 110 120 130 80 90 100 110 120 130 construir um triângulo?”. En- tão, peça que cada aluno esco- 140 50 40 140 50 40 lha 3 medidas para tentar construir um triângulo no ca- 160 150 40 30 20 160 150 40 30 20 derno e ajude-os na tarefa. 20 30 140 150 160 20 30 140 150 160 Após as construções, pergunte 70° 70° 30° se alguém descobriu um caso 170 A 3 cm 10 A 3 cm170 10 em que seja impossível cons- 10 170 10 170 truir um triângulo. Se necessá- rio, mostre na lousa que, se a 180 0 180 0 soma das medidas de abertura 0 180 0 180 dos ângulos escolhidas for maior do que 180°, não conse- B B guimos formar um triângulo. 3) Por fim, ela nomeou o ponto de intersecção dos lados dos ângulos traçados como C, formando assim o nABC. Questione qual é o motivo dessa impossibilidade. Espera- C Bate-papo -se que justifiquem argumen- tando que a soma das medidas 70° 30° B Converse com um colega sobre a de abertura dos ângulos inter- A 3 cm construção de Carolina. Você acha nos de um triângulo é 180°, co- que é possível usar o mesmo mo visto anteriormente. procedimento para construir triângulos diferentes desses? Bate-papo É provável que os alunos Resposta pessoal. respondam que sim, é possível Condição de existência de um triângulo usar o mesmo procedimento para construir outros triângu- Utilizando estes segmentos de reta, régua e compasso, Denise construiu um triângulo. los. Porém, nem todas as me- didas de abertura dos ângulos 2 cm internos “fecham” um triângu- lo, assim como nem todas as 3 cm medidas de comprimento dos lados. 4 cm Condição de existência Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 1) Usando uma régua, ela traçou uma reta r em uma folha de papel e marcou um ponto A nela. de um triângulo 2) Depois, ela abriu o compasso com a mesma medida de comprimento do segmento de reta de 4 cm, colocou a Se achar necessário, antes ponta-seca sobre o ponto A e traçou um arco à direita desse ponto, sobre a reta r. Ela nomeou o ponto de intersecção de trabalhar o passo a passo desse arco com a reta r de B. do livro, desenvolva inicial- mente uma atividade usando A Br material manipulável, como a atividade sugerida a seguir. 156 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono Sugestão de atividade Para os alunos compreenderem a condição de existência de um triângulo, é interessante que trabalhem com uma atividade prática para concluírem em quais condições não é possível construir um triângulo. Peça aos alunos que se reúnam em grupos e entregue a cada grupo um pedaço de linha que meça 30 cm de medida de comprimen- to e 4 pedaços de canudos com as seguintes medidas de comprimento: 3 cm, 4 cm, 7 cm e 10 cm. Em seguida, solicite aos alunos que passem a linha por 3 pedaços de canudo e que confiram se formam triângulos. Peça que façam o mesmo para as outras 3 possibilida- des, anotando as medidas e se constroem ou não um triângulo. 156 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
3) Em seguida, Denise abriu o compasso com a mesma medida de comprimento do segmento de reta de 3 cm e, colocando 3 Polígono a ponta-seca sobre o ponto A, traçou um arco acima da reta. Analogamente, com a medida de comprimento do segmento de reta de 2 cm, com a ponta-seca do compasso no ponto B, ela traçou um arco acima da reta r. Ela nomeou o ponto de Leia, com os alunos, as ins- intersecção desses 2 arcos como C. truções apresentadas no livro para a construção de um C triângulo com régua e com- passo, mostrando na lousa ca- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editoraA Br da passo. Banco de imagens/ Arquivo da editora4) Por fim, ela traçou os segmentos de reta AC e BC , obtendo assim o nABC. Antes de continuar, verifique Ilustrações: Banco de imagens/C se os compassos de todos os Arquivo da editora alunos estão em ordem, facili- 3 cm 2 cm tando o desenvolvimento das explorações. Em seguida, peça A 4 cm B r aos alunos que tentem fazer no caderno 2 triângulos (um pos- Fábio tentou seguir o mesmo procedimento para construir um triângulo, usando segmentos de reta sível de construir e um impos- com medidas de comprimento de 4 cm, 2 cm e 1,5 cm; mas não conseguiu. sível), intervindo apenas se for preciso. Após as construções, sugira aos alunos que resolvam as atividades do Explorar e desco- brir, aproveitando para verifi- car se todos compreenderam o processo, mesmo que ainda apresentem dificuldades em reproduzir sozinhos todas as construções. 2 cm 1,5 cm 4 cm Ficou, então, a pergunta: “Dadas as medidas de comprimento de 3 segmentos de reta, em quais condições é possível construir um triângulo cujos lados tenham essas medidas?“. Procure encontrar a resposta fazendo a atividade a seguir. Explorar e descobrir 1 Use régua e compasso e tente construir no caderno cada triângulo de medidas de comprimento dos 3 lados dadas: a) 6 cm, 8 cm e 4 cm. c) 7 cm, 4 cm e 2 cm. b) 3,5 cm, 6 cm e 3,5 cm. d) 6 cm, 3 cm e 3 cm. 2 Converse com um colega sobre por que em alguns itens da atividade anterior não foi possível construir um triângulo. Resposta pessoal. 1. a) 6 cm 4 cm b) 3,5 cm 3,5 cm c) 4 cm 2 cm d) 3 cm 3 cm 6 cm 7 cm 6 cm 8 cm Observe, no Explorar e descobrir, que só é possível construir o triângulo quando o lado com maior medida de comprimento é menor do que a soma das medidas de comprimento dos outros 2 lados. Por exemplo: 8 < 6 1 4 e 6 < 3,5 1 3,5. Se isso não ocorre (por exemplo 7 > 4 1 2 e 6 5 3 1 3), não é possível construir o triângulo. Condi•‹o de exist•ncia de um tri‰ngulo: em todo triângulo, a medida de comprimento de um lado é sempre menor do que a soma das medidas de comprimento dos outros 2 lados. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 157 Então, explique aos alunos que eles acabaram de verificar que não se pode utilizar qualquer medida de comprimento para cons- truir um triângulo, ou seja, existe uma condição de existência. Questione-os se descobriram qual é essa condição. Se necessário, mostre que, ao unirmos os pedaços de canudo que medem 3 cm e 4 cm de comprimento, eles formam o mesmo comprimento do pedaço de 7 cm de medida de comprimento, mas que essa união é desfeita com qualquer movimentação para tentar formar um triângulo. Após isso, espera-se que os alunos concluam que, para construir um triângulo, é necessário que a medida de comprimento de qual- quer um dos lados seja menor do que a soma das medidas de comprimento dos outros 2 lados. 157MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
3 Polígono 57. a) GE ; FG . (Lado de maior medida de comprimento: GE (oposto a F , que é o ângulo de maior medida de abertura); lado de menor medida de comprimento: FG (oposto a E , que é o ângulo de menor medida de abertura).) Peça aos alunos que leiam as informações apresentadas Assim, se a, b e c são as medidas de comprimento, na mesma unidade de medida, dos 3 lados de um nesta página e que registrem, no painel de descobertas, a triângulo, podemos afirmar que: condição de existência de um triângulo e os passos para a<b1c b<a1c c<a1b construir um triângulo usando régua, compasso e transferi- 59. a) Sim, pois 4 < 4 1 4. dor. Destaque que devem ano- cb tar tudo o que acharem neces- Banco de imagens/ sário para essas construções. Arquivo da editora4 cm 4 cm Banco de imagens/ Atividades 57 e 58 Arquivo da editora Estas atividades trabalham a 4 cm comparação das medidas de 57. b) S ; H . (Ângulo de maior medida de abertura: S (oposto a que é o lado de maior medida de comprimento); comprimento dos lados a partir ângulo de menor medida de abertura: H (oposto a SM a MH , o lado de menor medida de comprimento).) das medidas de abertura dos , que é ângulos de triângulos dadas (item a da atividade 57) e vice- Atividades 61. 5 ou 6 ou 7 ou 8 cm. (8 5 4 1 4 (4 não serve); 8 < 4 1 5; 8 < 4 1 6; 8 < 4 1 7; 8 < 4 1 8) -versa (item b da atividade 57 e atividade 58). 57 Responda no caderno, sem construir as figuras, e 62 Se um triângulo tem 2 lados com medidas de justifique sua resposta. comprimento de 6 cm e 3 cm, qual é o maior nú- Destaque aos alunos que não a) Qual é o lado de maior medida de comprimen- mero natural que pode indicar a medida de com- devem construir as figuras; es- to e o lado de menor medida de comprimen- primento do terceiro lado, em centímetros? E o tas atividades devem ser resol- to no nEFG, em que m(E) 5 25°, m(F) 5 95° e menor número natural? vidas por meio dos conceitos m(G) 5 60°? sobre o assunto. 63 Determine as possíveis medidas de comprimento b) Qual é o ângulo de maior medida de abertu- Atividades 59 a 64 ra e o ângulo de menor medida de abertura do terceiro lado de um triângulo isósceles, saben- Estas atividades trabalham no nMHS em que MH 5 12 cm , HS 5 10 cm e SM 5 7 cm? do que as medidas de comprimento dos outros conceitos da condição de exis- tência de um triângulo, para que 58 Em um triângulo que tem 2 lados com medidas lados são: 8 cm ou 5 cm. (x > 3 e x < 13; os alunos verifiquem, por meio de comprimento iguais, o que acontece com os de cálculo, se 3 medidas de 2 ângulos opostos a esses lados? a) 8 cm e 5 cm; 3 < 5 < 13 e 3 < 8 < 13) comprimento dadas formam um triângulo e construam essa figu- Têm medidas de abertura iguais. b) 7 cm e 3,5 cm; 7 cm (x > 3,5 e x < 10,5; 3,5 < 7 < 10,5) ra quando possível (atividade 59); ou descubram a medida de 59 Verifique se é possível construir um triângulo nas c) 10 cm e 3 cm; 10 cm (x > 7 e x < 13; 7 < 10 < 13) comprimento do terceiro lado a condições dadas. Se sim, construa-o no caderno. partir das outras 2 medidas de Se não, explique por quê. d) 5 cm e 5 cm. Qualquer x positivo tal que x < 10 cm. comprimento e das condições fornecidas no enunciado (ativi- a) Lados com medidas de comprimento de 4 cm, (x < 5 1 5 ~ x < 10) dades 60 a 63). 4 cm e 4 cm. 64 Desenhe no caderno um triângulo obtusângulo Na atividade 61, pergunte aos alunos se existem outras EFG e depois, com régua e compasso, construa um medidas que podem ser consi- deradas caso as medidas sejam nE8F8G8 congruente a ele. Resposta pessoal. decimais. Ressalte que, neste caso, o número de medidas se- 65 Analise o triângulo que aparece na placa de trân- ria infinito. sito e faça os registros no caderno. Na Atividade 64, os alunos de- b) Lados com medidas de comprimento de 8 cm, Banco de imagens/ vem construir com régua e com- 4 cm e 3 cm. Não, pois 8 > 4 1 3. Arquivo da editora passo um triângulo EFG, em que um dos ângulos é obtuso e, de- 60 Se x centímetros é a maior medida de compri- Michael Biehler/Shutterstock pois, outro triângulo E8F8G8, que é congruente a ele, transportan- mento de um lado de um triângulo escaleno e do as medidas de comprimento dos lados do triângulo EFG. 7 cm e 4 cm são as medidas de comprimento dos b) Atividade 65 outros 2 lados, então quais são os possíveis va- Placa de tr‰nsito. Se julgar conveniente, amplie a) Escreva a classificação desse triângulo quanto lores naturais de x? 8,9 ou 10 cm. (x é um número a atividade apresentando aos natural entre 7 e 11; 7 < x < 11.) aos lados e quanto aos ângulos. alunos outras placas de trânsito para que possam, juntos, inter- 61 A maior medida de comprimento de um lado Equilátero e acutângulo. pretá-las. Para finalizar, podem criar um painel contendo as pla- de um triângulo é 8 cm e um dos outros 2 la- b) Construa um triângulo usando régua e compasso. cas de trânsito estudadas. c) Qual é o significado dessa placa de trânsito? Se dos tem 4 cm de medida de comprimento. Para trabalhar o tema con- necessário, faça uma pesquisa. Dê a preferência. temporâneo educação para o Quais números naturais podem ser a medida trânsito, amplie a conversa so- bre a segurança no trânsito e a de comprimento que o terceiro lado deve ter, legislação vigente. em centímetros? 158 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR 158 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono 62. 8 cm; 4 cm. (9 5 6 1 3 (9 não serve); 8 < 6 1 3; 6 5 3 1 3 (3 não serve); 6 < 3 1 4)
Triângulo, um polígono fantástico 3 Polígono Uma das figuras geométricas mais conhecidas e usadas pela humanidade é o triângulo. Desde a Antigui- Pergunte aos alunos se co- dade até os dias atuais fazemos uso de objetos triangulares. nhecem alguma estrutura que utilize triângulos como parte meunierd/Shutterstock de sua sustentação. Por exem- Mauro Souza/Arquivo da editora plo, não é raro encontrarmos, Banco de imagens/Arquivo da editora atrás de um armário ou embai- Nordling/Shutterstock xo de um guarda roupa mais antigo, uma madeira unindo os Cúpula geodésica formada por triângulos construída na Corda de nós utilizada Triângulo de sinalização. vértices e formando um triân- cidade de Montreal, Canadá. Foto de 2017. pelos egípcios. gulo. Estruturas como andai- As imagens desta mes e guindastes também página não estão possuem formato triangular. representadas em proporção. Pergunte aos alunos: “Por que vocês acham que o triângulo é O triângulo é considerado o “mais simples” de todos os polígonos. Ele apresenta a menor quantidade de utilizado para a sustentação de lados (3) e de ângulos internos (3). Contudo, por trás dessa simplicidade existe uma das propriedades mais certas estruturas?”; “O que há importantes da Geometria: a rigidez geométrica. de tão especial nesse polígo- no?”. Para responder a essas Explorar e descobrir perguntas, proponha aos alunos a leitura das informações desta Reúna-se com um colega, peguem alguns palitos de sorvete e tachinhas. Com cuidado e sob a supervisão de um página e a resolução das ativi- adulto, prendam as pontas dos palitos formando triângulos, quadriláteros e pentágonos. dades propostas. 1 Qual polígono não se deforma quando você tenta mover o lado do polígono? Triângulo. 2 Por que você acha que isso acontece? Resposta pessoal. Explorar e descobrir Para esta atividade, é impor- Como vimos no Explorar e descobrir, os triângulos são os únicos polígonos que apresentam rigidez geo- métrica, isto é, não é possível alterar a medida de abertura dos ângulos internos dos triângulos se as medidas tante que os palitos de sorvete de comprimento dos lados dele forem mantidas. entregues aos alunos já este- jam previamente perfurados Rigidez geométrica: é a propriedade que os triângulos têm de não se deformarem, nas pontas. Dessa maneira, o que não acontece com os demais polígonos. evitamos que se machuquem ao prender os palitos com as Observe as figuras a seguir para entender a rigidez dos triângulos e a não rigidez dos demais polígonos. tachinhas. • Não é possível deformar um triângulo, ou seja, mudar a forma dele mantendo as medidas de compri- Ao final da atividade, enfatize mento dos lados. que o triângulo é utilizado em • Os demais polígonos podem ser deformados mantendo as medidas de comprimento dos lados. estruturas pelo fato de ser im- possível modificar a medida de Fotos: Sérgio Dotta Jr./Arquivo abertura de seus ângulos. As- da editora sim, uma estrutura feita em for- mato de triângulo não irá se movimentar ou ser deformada, apresentando maior rigidez do que outros polígonos, como quadrados e retângulos. Sequência didática Para mais informações, veja a sequência didática 2 do 2o bimestre. Triângulo. Quadriláteros. Pentágonos. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 159 159MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
3 Polígono A rigidez do triângulo nas grandes construções Dando continuidade ao que As formas triangulares têm grande aplicação, principalmente na Engenharia civil. Quando necessitamos foi explorado na página anterior, de estruturas sólidas, que não se deformem quando submetidas à ação de pesos ou de outras forças, é comum mostre os desenhos dos telha- vermos em edificações o uso de treliças para obter estruturas rígidas e indeformáveis. dos disponibilizados nesta pá- gina e pergunte a eles se já vi- Banco de imagens/Arquivo da editora ram algum telhado com esse formato. Treliças. Mostre também a foto da Para sustentar os telhados, os carpinteiros usam “tesouras”, como a desta imagem, para tornar a estru- ponte Akashi-Kaikyo, localizada tura rígida. no Japão, perguntando aos alu- nos se a conhecem ou se conhe- Banco de imagens/Arquivo da editora As imagens desta cem alguma característica do página não estão Japão. Ouça todas as informa- representadas em ções que possuem acerca do as- proporção. sunto. Em seguida, peça que identifiquem os triângulos na Tesoura simples. estrutura da ponte. Veja algumas construções cuja arquitetura faz uso das formas triangulares. Em seguida, solicite que ob- servem a foto da torre Eiffel, lo- calizada na França. Novamente, pergunte aos alunos se conhe- cem essa torre ou alguma ca- racterística sobre este país, ou- vindo todas as colocações e co- nhecimentos que possuem. Pa- ra finalizar, peça aos alunos que identifiquem triângulos na es- trutura da torre. Se possível, amplie essa ex- ploração pedindo que os alunos localizem construções brasilei- ras nas quais seja possível iden- tificar a utilização dos triângu- los ou a presença dos triângulos nas artes. A ponte Akashi- Leonid Andronov/Alamy/Fotoarena A torre Eiffel, um dos -Kaikyo foi construída principais símbolos Ozgur Gonen/Shutterstock da França, foi em 1998, tem inaugurada em 31 3 991 metros de de março de 1889 e construída para medida de comemorar o comprimento e centenário da possui o maior vão Revolução Francesa suspenso do mundo, (1789-1799). Ela com 1 991 metros de tem mais de 300 metros de medida medida de de altura, pesa comprimento. É uma aproximadamente 10 000 toneladas e a estrutura que tem estrutura de ferro é como base triângulos repleta de treliças triangulares. que, além de permitirem uma Torre Eiffel, em Paris (França). excelente rigidez, Foto de 2018. oferecem baixa resistência ao vento. Ponte Akashi-Kaikyo, entre a cidade de Kobe e a ilha Awajê, (Japão). Foto de 2016. 160 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono 160 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Reprodução/Coleção Particular/Cedida por Tarsila Educação/<www.tarsiladoamaral.com.br> A presen•a dos tri‰ngulos na Arte 3 Polígono Uma das mais importantes Atividade 66 artistas do Brasil, Tarsila do Nesta atividade, peça que Amaral (1886-1973), também utilizou a rigidez dos triângulos identifiquem as figuras geomé- em parte das obras. Na tela A gare tricas encontradas na sala de a artista retrata uma estação de aula, ou até mesmo no dia a dia, trem e é possível identificar os destacando-se os triângulos. triângulos como estrutura de Em seguida, os alunos devem sustentação de um poste e de compartilhar as respostas com um telhado. a turma. O artista sueco Oscar Atividades 67 e 68 Reutersvärd (1912-2002) intriga Nestas atividades, os alunos muita gente por ser considerado o artista que foi capaz de devem perceber os triângulos construir o “triângulo impossível”. nas imagens e explicar o motivo de uso dessa figura em portões Wikipedia/Wikimedia Commons (atividade 67) e pontes (ativida- de 68). Atividade 69 Para a resolução desta ativi- dade, solicite aos alunos que for- mem grupos e pesquisem sobre obras de arte em que sejam usa- dos triângulos. Peça que, se possível, levem imagens dessas obras para compartilhar com os colegas e expor na sala de aula. A gare. 1925. Tarsila do Amaral. Óleo sobre tela, 84,5 cm 3 65 cm. Triângulo de Penrose. Atividades 66 Olhe ao seu redor e procure identificar algumas 68 Observe esta ponte de madeira, identifique triân- figuras geométricas. Entre elas, destaque a pre- sença de triângulos. Resposta pessoal. gulos nela e justifique a presença deles. Os triângulos mantêm a estrutura rígida. 67 Com um colega, expliquem por que ge- beckysphotos/Shutterstock ralmente os portões têm madeiras colocadas na diagonal, como estas da foto. Para manter o portão rígido, firme. Mario Friedlander/Pulsar Imagens Portão de madeira. Ponte de madeira. 69 Em grupo, pesquisem na internet algumas obras de arte nas quais aparecem triângulos. Resposta pessoal. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 161 161MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
3 Polígono Construção de triângulos equiláteros Explique aos alunos que Lembre-se: O triângulo Thiago Neumann/Arquivo da editora construiremos polígonos com equilátero é aquele cujas régua e compasso, iniciando medidas de comprimento dos pelo triângulo equilátero nesta lados são iguais e cujas medidas página. Antes de começarmos de abertura dos ângulos as construções, retome a defi- internos são iguais a 60¡. nição de retas paralelas e per- pendiculares. Julia construiu um triângulo equilátero com lados de medidas de comprimento de 4 cm. Veja como ela fez isso, usando apenas a medida de comprimento dos lados. Em seguida, solicite que leiam as informações apresen- 1) Ela traçou uma reta r no caderno e marcou um A tadas no livro, enquanto você ponto A na reta. registra na lousa e explica cada r procedimento da construção. 2) Usando uma régua graduada, ela abriu o Bate-papo compasso com a medida de comprimento de Peça a cada aluno que esco- 4 cm, colocou a ponta-seca do compasso sobre o ponto A e traçou um arco sobre a reta r. O ponto lha uma medida de compri- de intersecção entre o arco e a reta r é o ponto B. mento para o lado do triângulo equilátero a ser construído. As- AB sim, podem perceber com mais facilidade que, se seguirem o AB 5 4 cm r procedimento corretamente, devem obter sempre um triân- 3) Com o compasso aberto com a medida de C gulo equilátero. É interessante comprimento de 4 cm, ela colocou a que eles percebam que os la- ponta-seca no ponto B e traçou um arco AB Bate-papo dos do triângulo foram forma- sobre a reta r. O ponto de intersecção dos a partir da construção de entre os 2 arcos é o ponto C. AB 5 4 cm r Faça no caderno a circunferências cujos raios mesma construção que têm a mesma medida que o 4) Por fim, ela traçou os segmentos de reta AC e C Julia fez. Em seguida, comprimento dos lados. BC e obteve o nABC, equilátero com lados de use um transferidor medidas de comprimento de 4 cm. AB Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora para medir a abertura Durante as construções, ex- dos ângulos do triângulo plique um passo por vez, dando 162 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono AB 5 4 cm r e uma régua graduada tempo para os alunos o realiza- para medir o rem. Destaque que é natural comprimento dos lados. que alguns demorem mais do O triângulo que você que outros. obteve é equilátero? Compare com a Depois, peça aos alunos construção de um que, usando régua e transferi- colega e conversem dor, meçam as medidas de sobre o porquê de esse comprimento dos lados e as procedimento funcionar. medidas de abertura dos ângu- los do triângulo que acabaram Resposta pessoal. de construir a fim de constata- rem de que se trata de um triângulo equilátero. Em segui- da, devem compartilhar as construções e debater com a turma sobre o motivo de o pro- cedimento funcionar. Você de- ve ser mediador desse debate, apenas intervindo na conversa para ajudar quando o entendi- mento dos alunos estiver in- correto ou incompleto. 162 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Constru•‹o de quadrados Retas paralelas: 3 Polígono retas de um mesmo plano Para construir quadrados e alguns outros polígonos, com régua e compasso, sem ponto comum. Explique aos alunos que con- precisamos saber construir retas paralelas e retas perpendiculares. Retas perpendiculares: tinuaremos com as construções retas que se intersectam de polígonos usando régua e Lembre-se: O quadrado é o quadrilátero que tem todos os lados com medidas de formando ângulos retos compasso, sendo construído comprimento iguais e todos os ângulos com medidas de abertura iguais a 90°. entre elas. um quadrado neste momento. Manuel construiu um quadrado com lados de medidas de comprimento de Leia, com os alunos, as infor- 1,5 cm. Veja como ele fez. mações apresentadas no livro e faça a construção na lousa, ex- 1) Ele traçou uma reta r no caderno e marcou um ponto A na reta. A plicando-a passo a passo. r Bate-papo Assim como feito para o triân- 2) Para traçar a reta perpendicular a r no ponto A, ele colocou a ponta-seca do compasso no ponto A e traçou uma circunferência de tamanho qualquer. Os pontos de intersecção entre a circunferência e a reta r são P e Q. gulo equilátero, peça a cada alu- no que escolha uma medida de 3) Depois, ele colocou a ponta-seca do M r comprimento para o lado do compasso em P e traçou uma P AQ quadrado a ser desenhado, faci- circunferência com medida de litando a percepção de que esse comprimento do raio igual à do N método sempre constrói um segmento de reta PQ . Analogamente, s quadrado. traçou outra circunferência com centro em Q e medida de Durante as construções, es- comprimento do raio igual à do clareça o que deve ser feito em segmento de reta PQ . Os pontos de cada passo, dando mais tempo intersecção das circunferências são para os alunos nos passos em M e N e a reta que passa por eles é que são realizadas mais cons- perpendicular à reta r. Essa é a reta s. truções. Explique novamente Em seguida, Manuel apagou as que alguns colegas podem de- circunferências construídas, deixando morar um pouco mais do que apenas as retas r e s e o ponto A, para outros para fazer o desenho. ficar com uma imagem mais “limpa”. Para finalizar, peça que, com 4) Usando uma régua graduada, 5) Com o compasso aberto na medida de 6) Por fim, ele traçou os segmentos de régua e transferidor, meçam o ele abriu o compasso com a comprimento de 1,5 cm, ele colocou a reta BC e CD e obteve o quadrado ABCD. comprimento dos lados e a aber- medida de comprimento de ponta-seca no ponto B e traçou uma tura dos ângulos do polígono 1,5 cm, colocou a ponta-seca circunferência. Analogamente, traçou construído a fim de verificarem do compasso sobre o ponto A outra circunferência, com mesma que se trata de um quadrado. e traçou uma circunferência. O medida de comprimento do raio, com Devem também compartilhar os ponto de intersecção entre a centro em D. O ponto de intersecção quadrados feitos e tentar desco- circunferência e a reta r, à entre essas 2 circunferências é o ponto C. brir, juntos, o porquê de o proce- direita do ponto A, é o ponto B. dimento funcionar. O ponto de intersecção entre a circunferência e a reta s, acima DC r da reta r, é o ponto D. O A AB 5 1,5 B D DC s Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora A AB 5 1,5 B r O Bate-papo Resposta pessoal. s A AB 5 1,5 B r Faça no caderno a mesma construção, com s AB 5 5 cm. O quadrilátero que você obteve é um quadrado? Compare com a construção de um colega e conversem sobre o porquê de esse procedimento funcionar. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 163 163MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
4 Soma das medidas 4 Soma das medidas de abertura de abertura dos ângulos de um dos ângulos de um polígono polígono Soma das medidas de abertura dos ângulos internos Principais habilidades de um triângulo da BNCC Você já conhece a ideia de ângulo e já aprendeu várias propriedades dos triângulos. Agora, vamos explo- EF07MA24 EF07MA27 rar a propriedade relacionada à soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo. Explique aos alunos que nes- Explorar e descobrir ta página será explorado um dos conceitos mais importantes so- 1 Observe as fotos dos esquadros, que têm triângulos como contorno. Os ângulos assinalados são os ângulos in- bre triângulos: a soma das me- ternos desses triângulos. Qual é a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo? didas de abertura dos ângulos internos. 180° em ambos. (90° 1 60° 1 30° 5 180° e 90° 1 45° 1 45° 5 180°) Explorar e descobrir Indric/Shutterstock 90° 30° 90° Primeiramente, peça aos Igor Kovalchuk/Shutterstock alunos que efetuem a soma As imagens desta das medidas de abertura dos página não estão ângulos internos dos 2 esqua- dros ilustrados nesta página. 60° representadas em Após terem efetuado as so- 45° 45° proporção. mas, pergunte o que podemos dizer sobre os resultados das 2 Utilize um transferidor para medir as aberturas dos ângulos internos de cada triângulo. Depois, calcule a soma 2 operações, levando os alu- desses valores. nos a constatar que ambas as somas são iguais a 180°. 40° 1 60° 1 80° 5 180°Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 60° Será que foi coincidência 80° ou sempre resulta em Em seguida, peça aos alunos 40° 100° 180° quando eu somo as que, utilizando o transferidor, medidas de abertura dos meçam a abertura dos ângulos 30° ângulos internos de um dos triângulos do item 2 e efe- triângulo? tuem a soma dessas medidas. Thiago Neumann/ Leia a frase do balão e pergunte 50° Arquivo da editora qual é a opinião deles. Após as respostas, explique que não se 30° 1 100° 1 50° 5 180° trata de uma coincidência, mas de uma propriedade dos triângu- 3 Em uma folha de papel sulfite, desenhe um triângulo qualquer e pinte cada ângulo de uma cor diferente, dos los, sendo confirmada essa afir- 2 lados do papel, e recorte o triângulo. Dobre-o de acordo com as figuras. mação na próxima exploração. B Por último, convide-os a reali- Ilustrações: Banco de imagens/ zar o experimento do item 3, em B^ Arquivo da editora que devem desenhar um triân- gulo qualquer em uma folha de C^ A^ A B^ A^ C^ B^ A^ sulfite, pintar os ângulos (dos C C^ 2 lados da folha) e efetuar as do- bras conforme indicado na figura a) O que você constatou experimentalmente? A soma das medidas de abertura dos ângulos internos desse do livro. Explique aos alunos que, triângulo é igual a 180°. ao unirmos os 3 vértices do triângulo, novamente obtemos b) Compare sua dobradura com a dos colegas. Em todas ocorreu o mesmo? Sim. um ângulo raso, ou seja, de 180° de medida de abertura. Peça aos 164 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono alunos que compartilhem com os colegas o triângulo feito e o resultado das dobras, para per- ceberem que essa propriedade vale em qualquer triângulo. Agora, comente com os alu- nos a diferença entre constatar uma propriedade ou um fato (o que foi feito até agora) e fazer a demonstração matemática des- se fato. Destaque que, por meio de experimentos como os de- senvolvidos nesta página, com- preendemos e constatamos conceitos de forma mais sim- ples, mas que formalmente são necessárias demonstrações pa- ra que as propriedades sejam consideradas válidas. 164 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Em todo triângulo, a soma das medidas de abertura dos 3 ângulos internos é igual a 180°. 4 Soma das medidas de abertura dos Veja como podemos demonstrar a propriedade verificada no Explorar e descobrir, para todos os triângulos. ângulos de um polígono Demonstração Peça aos alunos que leiam a Consideremos um nABC qualquer. Pelo ponto A, podemos sempre traçar uma única reta r paralela ao demonstração feita no livro e ve- lado BC (verdade aceita sem demonstração), obtendo os ângulos x , y e z , cujas medidas de abertura são rifique o que eles entenderam. Em seguida, apresente a mes- x, y e z e tal que x 1 y 1 z 5 180°. ma demonstração na lousa, ex- plicando-a passo a passo. A r Banco de imagens/Arquivo da editora y^ x^ As atividades dadas nesta e z^ na próxima página trabalham a descoberta das medidas de BC abertura dos ângulos internos e externos de um triângulo e a Podemos notar que: possibilidade de construir um • x 5 m( A ), ou seja, x é a medida de abertura do ângulo interno A do triângulo; triângulo com as medidas de • y 5 m( B ), pois a reta r é paralela a BC , AB é transversal e y e B são ângulos alternos internos. abertura de ângulos dadas, a • z 5 m(C), pois a reta r é paralela a BC , AC é transversal e z e C são ângulos alternos internos. partir da propriedade da soma Se x 1 y 1 z 5 180°, então podemos concluir que m( A ) 1 m( B ) 1 m(C ) 5 180°. das medidas de abertura dos ân- Dessa maneira, está demonstrada a propriedade. gulos internos de um triângulo ser igual a 180°. Atividades 72. Não, porque a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer Atividade 71 triângulo é de 180°, e 90° 1 50° 1 60° 5 200°. Veja a resolução desta ativi- 70 Responda no caderno. 75 Em um nEFG, E é reto e a medida de abertura dePaulo Manzi/Arquivo da editora dade. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora2 a) Se o nABC tem m( A ) 5 47° e m( B ) 5 103°, F corresponde a 5 da medida de abertura de E . x 1 40° 1 x 1 2(x 1 40°) 5 então qual é a medida da abertura de C? 5 180° ~ 2x 1 40° 1 2x 1 30° (x 1 47° 1 103° 5 180° ~ x 5 30°) 1 80° 5 180° ~ 4x 5 60° ~ ~ x 5 15° b) Se os 3 ângulos internos de um triângulo são con- x 1 40° 51 5° 1 40° 5 55° gruentes (têm medidas de abertura iguais), então 2(x 1 40°) 5 2 3 55° 5 110° qual é a medida de abertura de cada um deles? a) Qual é a medida de abertura de G? 54° Atividade 74 60° (x 1 x 1 x 5 180° ~ x 5 60°) Veja a resolução desta ativi- b) Qual é a medida de abertura do ângulo externo 71 Em um nEFG, a abertura do ângulo E mede 40° a adjacente a F? 144° (180° 2 36° 5 144°) dade. mais do que a abertura do ângulo F , e a abertura do ângulo G mede o dobro da abertura de E . Cal- 76 Uma corda foi esticada do topo do prédio até o Número: x cule as medidas de abertura de E , F e G . chão. A abertura do ângulo determinado no chão pode ser medida: 62°. Qual é a medida de abertu- Números consecutivos: m(E ) 5 55°; m(F ) 5 15°; m(G ) 5 110°. ra do ângulo no topo desse prédio? x 1 1° e x 1 2° x 1 (x 1 1°) 1 (x 1 2°) 5 72 É possível desenhar um triângulo cujos ângulos 28° (x 1 62° 1 90° 5 180° ~ ~ x 5 28°) 5 180° ~ 3x 1 3° 5 180° ~ internos têm medidas de abertura de 90°, 50° e ~ 3x 5 177° ~ x 5 59° ? x 1 1° 5 59° 1 1° 5 60° 60°? Justifique sua resposta. x 1 2° 5 59° 1 2° 5 61° 73 Um triângulo pode ter: Atividade 75 Veja a resolução do item a a) 2 ângulos internos retos? Por quê? desta atividade. b) 1 ângulo interno agudo, 1 obtuso e 1 reto? Por quê? m( F ) 5 2 de 90° 5 36°, pois 5 74 As medidas de abertura, em graus, dos ângulos 90° 4 5 5 18° e 2 3 18° 5 36° internos de um triângulo são 3 números naturais 62° m(G ) 1 90° 1 36° 5 180° ~ consecutivos. Determine as 3 medidas. ~ m(G ) 5 54° 59°, 60° e 61°. 73. a) Não, porque a soma das medidas de abertura de 2 ângulos retos é igual a 180°, e, nesse caso, a medida de abertura do 165 terceiro ângulo precisaria ser 0°, o que é impossível. b) Não, porque a soma das medidas de abertura do ângulo reto e do ângulo Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 obtuso é maior do que 180°. 165MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
4 Soma das medidas 77 Determine no caderno o valor de x, em graus, e b) de abertura dos calcule as demais medidas de abertura dos ângu- ângulos de um los internos em cada triângulo. x 5 68° polígono Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a) c) 82° Atividades 77 a 79 30° x Para a resolução destas ati- 40° 35° vidades, é necessário o uso da 110° 70° 75° x105° c) x 5 45° propriedade de que o ângulo in- 60° 80° x100° terno e o ângulo externo adja- x Ilustrações: Paulo Manzi/Arquivo da editora cente a ele são suplementares, ou seja, a soma das medidas de b) x d) x abertura desses ângulos é igual 45° 85° 2x a 180°. d) x 5 140° 50° 130° 36° 20° x Veja a resolução da ativida- 20° de 77. x 5 18° x a) (180° 2 x) 1 60° 1 40° 5 5 180° ~ 180° 2 x 1 54° 3x 1 100° 5 180° ~ x 5 5 100° 78 Determine mentalmente a medida de aber- e) x 5 80° tura, em graus, de cada ângulo indicado por uma b) (180°2130°)145°1 x5 5 180° ~ 50°1 45°2 x5 letra. 5 180° ~ x 5 85° Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a) x 5 60°; y 5 120°. c) x x c) (180°2x)1(180°2110°) 1 x 10° 1 35°5180° ~ 180°2x1 60° 60° y 45° 60° 1 70° 1 35° 5 180° ~ ~ x 5 1 05° x 5 75°. d)2x 1 3x 1 90° 5 180° ~ ~ 5x 5 90° ~ x 5 18° b) d) 142° 80 Registre no caderno apenas as alternativas pos- 2x 5 2 3 18° 5 3 6° x síveis de ocorrer com os 3 ângulos internos de 108° um triângulo qualquer. Se necessário, construa 3x 5 3 3 18° 5 5 4° os triângulos no caderno. y 40¡ x Veja a resolução da ativida- x 5 90°; y 5 50°. x 5 34°; y 5 38°. X a) 1 reto e 2 agudos. de 78. b) 2 retos e um agudo. 79 Reúna-se com um colega para interpretar c) 3 obtusos. a) x 1 60° 1 60° 5 180° ~ cada figura e calcular, no caderno, a medida de ~ x 5 60° abertura x, em graus. X d) 3 agudos. y 1 60° 5 180° ~ X e) 1 obtuso e 2 agudos. ~ y 5 120° a) x 5 50° Ilustrações: Paulo Manzi/Arquivo da editora Thiago Neumann/Arquivo da editora Lembre-se: Quando o b) x 1 90° 5 180° ~ As imagens desta triângulo tem 1 ângulo ~ x 5 90° página não estão interno reto, ele é retângulo. y 1 90° 1 40° 5180° ~ representadas em Quando o triângulo tem ~ y 5 50° proporção. 1 ângulo interno obtuso, ele é obtusângulo. c) x 1 60° 1 45° 5 180° ~ x Quando o triângulo só tem ~ x 5 75° ângulos internos agudos, 40° ele é acutângulo. d) y1142°5180°~y538° x 1 108° 1 38° 5 180° ~ 166 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono ~ x 5 34° Veja a resolução da ativida- de 79. a) x 1 90° 1 40° 5 180° ~ ~ x 5 50° b) x 1 82° 1 30° 5 180° ~ ~ x 5 68° c) x 1 x 1 90° 5 180° ~ ~ 2x 5 90° ~ x 5 45° d)x 1 20° 1 20° 5 180° ~ ~ x 5 140° e) x 1 90° 1 10° 5 180° ~ ~ x 5 80° 166 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Relação que envolve as medidas de abertura Banco de imagens/ 4 Soma das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos Arquivo da editora de abertura dos de um triângulo ângulos de um polígono Agora, vamos verificar a relação que existe entre a medida de abertura de um ângulo externo e as medi- das de abertura dos 2 ângulos internos não adjacentes a ele. Primeiramente, explique que, nesta página, veremos outra Ax importante propriedade dos triângulos. Peça aos alunos que zy desenhem um triângulo qual- CB quer em uma folha de papel sul- fite, pintem cada ângulo de uma Considerando este triângulo ABC, sabemos que: cor diferente e destaquem um • m(A) 1 m(B) 1 m(C) 5 180° dos ângulos externos. Em se- • m(A) 1 x 5 180° guida, devem recortar o ângulo em que x é a medida da abertura de um ângulo externo, e B e C são os ângulos internos não adjacentes a ele. externo e os 2 ângulos inter- Comparando as 2 igualdades, concluímos que: nos não adjacentes a ele, veri- ficando que esses 2 ângulos, m(A) 5 180° 2 x juntos, formam aquele ângulo Logo, substituindo m(A) na primeira igualdade, obtemos: recortado. 180° 2 x 1 m(B) 1 m(C) 5 180° ~ x 5 m(B) 1 m(C) Sugira aos alunos que leiam De modo análogo, chegamos a: a demonstração apresentada no livro e, depois, explique-a passo y 5 m(A) 1 m(C) e z 5 m(A) 1 m(B) a passo na lousa. Assim, demonstramos que: Atividades 81 a 84 Em todo triângulo, a medida de abertura de um ângulo externo é igual à soma das Nestas atividades, os alunos medidas de abertura dos 2 ângulos internos não adjacentes a ele. devem usar a propriedade de Atividades que a medida de abertura de um ângulo externo de um triângulo 81 Observe as medidas de abertura dos ângu- 82 Em um triângulo, a abertura de um dos ângulos é igual à soma das medidas de los internos e de um ângulo externo de cada externos mede 140°. Qual é a medida de abertu- abertura dos 2 ângulos internos triângulo e confira no caderno, para estes ra dos 2 ângulos internos não adjacentes a ele, não adjacentes a ele, confirman- triângulos, a propriedade que você acabou de sabendo que eles têm a mesma medida? do a validade dessa propriedade estudar. (atividade 81) e usando-a para 70° (x 1 x 5 140° ~ x 5 70°) descobrir as medidas de abertu- a) 150° 5 110° 1 40° ra dos ângulos desejados (ativi- 110° 83 Observe esta figura e calcule no caderno o valor dades 82 a 84). de y, em graus. y 5 37° (180° 2 158° 5 22°; São usadas também as pro- y 5 22° 1 15° 5 37°) priedades de ângulos opostos Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora pelo vértice (atividade 83) e de 40° Banco de imagens/Arquivo da editora150°158°22º que o ângulo interno e o ângu- 30° y lo externo adjacente a ele são Banco de imagens/Arquivo da editora15ºsuplementares (atividades 83 15° e 84). b) 22° 84 Em um nABC, as medidas de abertura de 2 dos Na atividade 84, lembre os 63° 117° 82. ângulos externos são de 117° e de 153°. Deter- alunos de classificar o triângulo 140¼ mine no caderno a medida de abertura dos ângu- quanto aos ângulos e peça que 63° 5 41° 1 22° 41° los internos e escreva a classificação do triângulo desenhem essa situação para xx quanto aos ângulos. facilitar a resolução. Se neces- sário, mostre-os que há mais de 84. 63°, 27° e 90°; triângulo retângulo. (180° 2 117° 5 63°; 180° 2 153° 5 27°; 63° 1 27° 5 90°; 180° 2 90° 5 90°) 167 uma resolução para esta ativi- Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 dade, apresentando, no mínimo, 2 resoluções: a do livro e a for- necida a seguir. A 153° 117° CB 180° 2 117° 5 63° 153° 2 63° 5 90° 117° 2 90° 5 27° 167MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
Jogos JOGOS Principais habilidades Ângulos e equações da BNCC Com este jogo você vai, além de se divertir, aprender mais sobre ângulos e equações. EF07MA13 EF07MA18 Preste atenção às orientações e bom jogo! Esta página apresenta outra proposta de jogo. Desta vez, tra- Orientações Cartelas: balharemos conceitos de ângu- Número de participantes: 2, 3 ou 4 jogadores. los e de equações. Explique à Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora turma que se trata de uma ativi- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editoraMaterial necessário: 1 folha de papel sulfite para cada jogador dade diferente, mas que deve ser executada com bastante e mais 1 folha extra. atenção, pois poderá auxiliá-los na compreensão de assuntos já Preparação do jogo 2 participantes. estudados que serão vistos de novo futuramente. Em uma folha de papel sulfite, cada participante constrói a pró- 3 participantes. 4 participantes. pria cartela de acordo com o número de participantes. Os quadradi- O ideal é explicar aos alunos nhos da cartela devem ter lados de medida de comprimento de 1 cm. o que será realizado, expondo os objetivos da aula, para que en- Alternadamente, os participantes escolhem uma das medidas tendam que é um momento im- de abertura de ângulo indicadas a seguir e escrevem em um qua- portante para a formação deles. dradinho da própria cartela, sem repetir a mesma medida, até que todas elas tenham sido escolhidas. Em seguida, faça a leitura do texto a fim de que possam com- 7° 10° 19° 20° 21° 22° 30° 40° 47° 50° 100° 110° preender as regras e os objeti- vos do jogo, prepare os mate- Antes de começar a partida, os participantes devem recortar e dobrar 12 fichas com as letras de A a L, riais e incentive-os a jogar. Ao que serão sorteadas. final, os alunos devem compar- tilhar com a turma as aprendi- Como jogar zagens adquiridas. Na sua vez, cada jogador retira um papel de sorteio e localiza o quadro correspondente de acordo com a Se achar conveniente, peça letra sorteada. que criem outras fichas que en- volvam os assuntos ângulos e Juntos, todos os jogadores “montam” uma equação de acordo com a informação dada no quadro e calcu- equações e joguem novamente. lam o valor de x. O jogador que tiver esse valor na própria cartela deve pintar o quadradinho correspondente. Vence a partida quem pintar primeiro todos os quadradinhos da própria cartela. AC E GI K x 2 ângulos são 2 ângulos são 2x x 5 30° congruentes e as suplementares e as F 3(x 1 14¡) medidas de medidas de 3x 2 10° 5x 2x 5x 1 26¡ abertura deles, abertura deles, em 2(x 1 10°) 2x x 5 21° x 5 22° graus, são 5x e 4x. x 5 50° em graus, são x B D 2 e x 1 5° . x 5 10° 3 x 5 20° HJ L Um ângulo é obtuso e 2x 4x 5x 5 3x 1 14° 41° 2 ângulos são a medida de abertura 3x 70¡ 2x 1 30° 5x 97° 3 (x 2 1°) dele, 2x 2 90°, x 5 47° complementares e as corresponde a uma x 5 40° 2(x 2 1°) 3x 1 14° destas 3 medidas: medidas de abertura 30°, 130° e 180°. x 5 19° x 5 7° deles, em graus, são x 5 110° x 2 60° e x . 2 x 5 100° 168 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono 168 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Soma das medidas de abertura dos ângulos internos 4 Soma das medidas de um quadrilátero convexo de abertura dos ângulos de um Quadriláteros são polígonos que têm 4 lados. Podemos destacar o estudo dos quadrados, dos retângulos polígono e dos trapézios. Explorar e descobrir Explorar e descobrir É muito interessante traba- 1 Qual é a medida de abertura de cada ângulo interno de um retângulo? 90° lhar a atividade prática apresen- 2 Qual é a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um retângulo? 360° (4 3 90° 5 360°) tada nesta seção antes de intro- 3 Vamos verificar se, nos quadriláteros que não têm todos os ângulos internos retos, a soma das medidas de abertu- duzir o conteúdo teórico, facili- tando a compreensão da pro- ra desses ângulos também é igual a 360°. Desenhe em uma folha de papel sulfite um quadrilátero convexo qualquer priedade que será vista. e recorte-o. Depois, pinte os 4 ângulos internos de cores diferentes, recorte e una-os como indicado na figura. Peça aos alunos que cons- Q truam um quadrilátero convexo P qualquer em folha de sulfite, Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora pintem cada ângulo interno de Thiago Neumann/Arquivo da editoraSR uma cor, recortem esses ângu- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editoraCompare sua construção com a dos colegas. Em todas ocorreu o mesmo? Sim.los e os unam, descobrindo que a soma das medidas de abertu- Rodrigo realizou a atividade do Explorar e descobrir e, depois, pensou em outra estratégia. Observe. ra dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360°. AD Em seguida, sugira aos alu- C Liguei 2 vértices não consecutivos do nos que desenhem um quadri- B quadrilátero ABCD e obtive 2 triângulos. látero convexo qualquer e repro- Então, fiz 2 3 180° 5 360°. duzam o procedimento mostra- do no balão de pensamento O que Rodrigo fez pode ser utilizado em qualquer quadrilátero convexo. Logo, podemos afirmar: desta página: unam uma das diagonais, formando 2 triângu- Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas de abertura los, e descubram a soma das dos 4 ângulos internos é igual a 360°. medidas de abertura dos ângu- los internos de um quadrilátero Atividade convexo a partir da soma das medidas de abertura dos ângu- 85 No caderno, determine a medida de abertura x, em graus, em cada quadrilátero, sem usar transferidor. los internos de um triângulo. a) b) 130° x c) x x 5 100° Destaque que esse método x x 5 60° x (descobrir o número de triân- x 5 69° gulos que compõem a figura e multiplicar essa quantidade 98° 70° 80° 80° por 180°) será retomado na 103° 100° próxima página para determi- nar a soma das medidas dos Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 169 ângulos internos de qualquer polígono. Atividade 85 Os alunos devem resolver es- ta atividade usando a proprieda- de de que a soma das medidas dos ângulos internos dos qua- driláteros convexos é 360°. Veja a resolução. a) x 1 98° 1 103° 1 90° 5 5 360° ~ x 5 69° b) x 1 100° 1 70° 1 130° 5 5 360° ~ x 5 60° c) x 1 x 1 80° 1 80° 5 5 360° ~ 2x 5 200° ~ ~ x 5 100° 169MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
4 Soma das medidas Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de abertura dos de um polígono convexo ângulos de um polígono Explorar e descobrir Você já estudou estas relações. Antes de iniciar a atividade 1 Ilustrações: • Triângulo: 3 lados. • Quadrilátero: 4 lados. deste boxe, peça aos alunos que Banco de imagens/ • A soma das medidas de aber- • A soma das medidas de aber- retomem a atividade 53 da pá- Arquivo da editora gina 153, relembrando como tra- tura dos ângulos internos de tura dos ângulos internos de çaram as diagonais de polígo- um triângulo é igual a 180°. um quadrilátero é igual a 360°. nos a partir de um vértice. Em seguida, entregue para Explorar e descobrir cada aluno uma folha com polí- gonos convexos, representados 1 Vamos relembrar o traçado das diagonais de um polígono a partir de um vértice dele. Em uma folha de papel sulfi- desde um triângulo até um de- cágono. Peça que tracem, para te, desenhe um pentágono convexo qualquer. Escolha um dos vértices dele e trace todas as diagonais a partir todas as figuras, as diagonais que partem apenas de um vér- desse vértice. Depois, responda às questões no caderno. tice, destacando que, assim, eles determinaram a quantida- a) Quantos lados tem um pentágono? 5 lados. de mínima de triângulos que b) Quantos triângulos foi possível obter na decomposição do pentágono desenhado? 3 triângulos. compõem cada polígono. c) Indique no caderno, usando uma multiplicação, a soma das medi- Após traçarem os triângulos, questione-os: “Sabendo que a das de abertura dos ângulos internos de um pentágono convexo. De maneira prática, podemos observar que, soma das medidas de abertura para determinar a soma das medidas de dos ângulos internos de cada 3 3 180° 5 540° abertura dos ângulos internos dos polígonos, triângulo é 180°, como pode- basta decompô-los em triângulos e multiplicar mos determinar a soma das me- 2 Repetindo o mesmo procedimento realizado no pentágono, copie o número de triângulos obtidos por 180°. didas de abertura dos ângulo in- ternos desses polígonos decom- a tabela no caderno e complete-a com as informações necessá- postos em triângulos?”. Verifi- que as hipóteses da turma e rias sobre os polígonos convexos. ajude-os a perceber que basta multiplicar a quantidade de Polígonos convexos triângulos que compõem a figu- ra por 180°. n (número de t (número de triângulos em que o polígono S (soma das medidas de abertura i lados do polígono) pode ser decomposto a partir de um vértice) dos ângulos internos do polígono) 3 1 S 5 1 ? 180° 5 180° i 4 Thiago Neumann/Arquivo da editora 5 6 n Tabela elaborada para fins didáticos. Então, peça que completem Atividades o quadro apresentado no livro. Para ajudá-los a obter a genera- 86 Determine no caderno a soma das medidas de Raciocínio lógico Banco de imagens/ lização para essa situação, abertura dos ângulos internos nos seguintes po- Arquivo da editora mostre que: lígonos convexos: Utilizando 13 palitos de fósforo já queimados, é possível a) heptágono; 900° (5 3 180° 5 900°) formar 6 retângulos iguais. Banco de imagens/ • O triângulo tem 3 lados e a Arquivo da editora soma das medidas de aber- b) octógono; 1 080° (6 3 180° 5 1 080°) Utilizando o mesmo raciocínio forme no caderno: tura dos ângulos internos a) 6 triângulos iguais com 12 palitos; desse polígono é 1 3 180°. c) decágono. 1 440° (8 3 180° 5 1 440°) b) 2 triângulos iguais com 5 palitos; c) 5 triângulos com 9 palitos. • O quadrilátero tem 4 lados 87 Calcule no caderno o número de lados em um e a soma das medidas de polígono convexo no qual: abertura dos ângulos in- a) a soma das medidas de abertura dos ângulos ternos desse polígono é internos é igual a 1 440°;11 lados. (1620 4 180 5 9; 2 3 180°. 9 1 2 5 11) E assim sucessivamente, le- vando-os a concluir que o núme- b) a soma das medidas de abertura dos ângulos ro que se multiplica por 180° é internos é igual a 1 800°. o número de lados menos 2. 12 lados. (1 800° 4 180° 5 10; 10 1 2 5 12) 170 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono Veja a tabela da atividade 2 deste boxe. Polígonos convexos Atividades 86 e 87 Utilizando os conceitos vistos sobre as medidas de abertura dos n (número de t (número de triângulos em que o polígono S (soma das medidas de abertura i ângulos internos de polígonos convexos, os alunos devem descobrir a soma das medidas de abertura dos ângulos internos do polígono lados do polígono) pode ser decomposto a partir de um vértice) dos ângulos internos do polígono) convexo pedido (atividade 86) e o polígono convexo cuja soma das medidas de abertura dos ângulos internos é dada (atividade 87). 31 1 3 180° 5 180° Raciocínio lógico 42 2 3 180° 5 360° Se possível, entregue aos alunos os palitos de fósforo usados, 53 3 3 180° 5 540° ou material similar, para que possam reproduzir a construção apre- sentada e criar as demais. 64 4 3 180° 5 720° n n22 (n 2 2) 3 180° Tabela elaborada para fins didáticos. 170 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Soma das medidas de abertura dos ângulos externos 4 Soma das medidas de um polígono convexo de abertura dos ângulos de um Vejamos agora qual é a soma das medidas de abertura dos ângulos externos de um polígono convexo. polígono Considerando este triângulo ABC, sabemos que: Aa Banco de imagens/Arquivo da editora Inicialmente, peça aos alu- m(A ) 1 m(a ) 5 180° nos que desenhem um triângu- lo qualquer em folha de papel m(B) 1 m(b ) 5 180° A CC sulfite, indicando o ângulo exter- m(C ) 1 m(c ) 5 180° bB c no referente a cada vértice. Su- gira que pintem cada um desses B ângulos de uma cor, os recor- tem e os unam, formando um Somando as igualdades, obtemos: ângulo de 360° de medida de abertura. m( A ) 1 m( a ) 1 m( B ) 1 m( b ) 1 m(C ) 1 m(c ) 5 3 ? 180° 5 540° Solicite que os alunos leiam a Mas, sabendo que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a demonstração no livro e verifi- 180°, temos que a soma das medidas de abertura dos ângulos externos é: que se eles entenderam o que foi apresentado. Se necessário, Se 5 540° 2 180° 5 360° explique essa demonstração Ou seja, Se 5 m( a ) 1 m( b ) 1 m(c ) 5 360° para qualquer triângulo. passo a passo na lousa. Explorar e descobrir Explorar e descobrir Peça aos alunos que preen- Vamos investigar outros polígonos convexos. Repita o mesmo procedimento feito anteriormente para outros polígonos. Em seguida, copie e complete a tabela no caderno. cham o quadro desta seção repetindo o procedimento Polígonos convexos Será que apresentado no livro. Se ne- isso ocorre cessário, sugira que dese- n (número S (soma das medidas Se (soma das medidas de para todos nhem um quadrilátero, um de lados do i abertura dos ângulos exter- os polígonos pentágono e um hexágono de abertura dos convexos? convexos em folha de papel polígono nos do polígono convexo) sulfite para verificar, como fei- convexo) ângulos internos do to inicialmente, que a soma das medidas de abertura dos polígono convexo) ângulos externos é 360°. 3 1 ? 180° 5 180° (3 ? 180°) 2 180° 5 360° Thiago Neumann/Arquivo da editora Leia, com os alunos, a de- monstração de que a soma das 4 2 3 180° 5 360° (4 3 180°) 2 360° 5 360° medidas de abertura dos ângu- los externos de qualquer polígo- 5 2 3 180° 5 360° (5 3 180°) 2 540° 5 360° no convexo é 360°, explicando-a passo a passo na lousa. 6 4 3 180° 5 720° (6 3 180°) 2 720° 5 360° Tabela elaborada para fins didáticos. Podemos provar que esse padrão visto nos polígonos da tabela é válido para qualquer polígono convexo de n lados. Já estudamos que a soma da medida de abertura de um ângulo interno e da medida de abertura do ân- gulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Como temos n vértices, podemos dizer que: Si 1 Se 5 n ? 180°. Como Si 5 (n 2 2) ? 180°, podemos escrever: (n 2 2) ? 180° 1 Se 5 n ? 180° n ? 180° 2 360° 1 Se 5 n ? 180° Se 5 n ? 180° 2 n ? 180° 1 360° Se 5 360° Como queríamos provar. Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas de abertura dos ângulos externos é igual a 360°. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 171 171MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
4 Soma das medidas Atividades de abertura dos ângulos de um 88 Calcule no caderno: a) 900° (7 2 2 5 5; 94 Copie a tabela no caderno e complete-a. polígono 5 3 180° 5 900°) Atividades 88 a 90 a) a soma das medidas de abertura dos ângulos Polígonos regulares Nestas atividades trabalha- internos de um heptágono convexo; -se a soma das medidas de abertura dos ângulos internos Banco de imagens/ dos polígonos convexos dados, Arquivo da editora além das descobertas do núme- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora ro de lados de um polígono con- b) o número de lados de um polígono convexo no Soma das medi- Medida de Medida de vexo a partir do resultado dessa das de abertura abertura abertura soma (item b da atividade 88) e qual Si 5 1 440º. 5 (n 2 3 ~ n 5 Polígono de cada de cada da medida de abertura de um regular dos ângulos ângulo ângulo ângulo externo a partir da pro- 10 lados. (1 440 2) 180 10) internos interno externo priedade de que um ângulo in- terno de um polígono e o ângulo 89 Qual é o valor de x, em graus, nesta figura? externo adjacente a ele são su- plementares (atividade 89). x 5 75º Veja a resolução da ativida- 160° de 89. 95° O polígono dado tem 5 lados. x Triângulo 3 3 180° 5 540° equilátero 90° 1 90° 1 160° 1 95° 1 90 Calcule a soma das medidas de abertura dos ân- 1 (180° 2 x) 5 540° ~ x 5 gulos internos nos seguintes polígonos convexos: Quadrado a) decágono; 1 440° (8 3 180° 5 1 440°) 5 90° 1 90° 1 160° 1 95° 1 Pentágono 1 180° 2 540° ~ x 5 75° b) dodecágono; 1 800° (10 3 180° 5 1 800°) regular Atividade 91 c) pentadecágono; 2 340° (13 3 180° 5 2 340°) Hexágono Os alunos devem descobrir o d) icoságono. 3 240° (18 3 180° 5 3 240°) regular polígono que satisfaz a relação 91 Qual é o polígono convexo cuja soma das medidas Decágono apresentada entre a soma das regular medidas de abertura dos ângu- de abertura dos ângulos internos é igual à soma los internos e a soma das medi- das de abertura dos ângulos ex- das medidas de abertura dos ângulos externos ternos. mais 720º? Octógono. (Si 5 Se 1 720 ~ Atividades 92 a 95, 97 e 99 Nestas atividades, os alu- ~ (n 2 2) 3 180º 5 360º 1 720º ~ n 5 8) nos descobrem as fórmulas da 92 Sabendo que um polígono regular tem a soma medida de abertura de cada ângulo interno e da medida de das medidas de abertura dos ângulos internos abertura de cada ângulo exter- no de qualquer polígono regu- igual a (n 2 2) ? 180°, qual é a medida de aber- lar, usando-as para preencher a tabela da atividade 94. tura de cada um dos ângulos internos desse Após a resolução da atividade polígono? Si (n 2 2) 3 180° 94, sugira aos alunos que ano- 5 tem no painel de descobertas nn como determinar a soma das medidas de abertura dos ângu- Lembre-se de que o Thiago Neumann/Arquivo da editora los internos e dos ângulos exter- polígono regular é nos de qualquer polígono conve- aquele que tem todos xo e como calcular a medida de os lados com medidas abertura de cada ângulo interno de comprimento e de cada ângulo externo de iguais e todos os qualquer polígono regular. ângulos com medidas de abertura iguais. Veja a tabela da atividade 94. 93 Analogamente à atividade anterior, sabendo que Polígono regu- lar de n lados um polígono regular tem a soma das medidas de Tabela elaborada para fins didáticos. abertura dos ângulos externos igual a 360°, qual é a medida de abertura de cada um dos ângulos externos do polígono? Se 5 360° nn 172 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono Polígonos regulares Polígono regular Soma das medidas de abertura dos ângulos internos Medida de abertura de cada ângulo interno Medida de abertura de cada ângulo externo Triângulo equilátero 1 3 180° 5 180° 180° 4 3 5 60° 360° 4 3 5 120° 2 3 180° 5 360° 360° 4 4 5 90° 360° 4 4 5 90° Quadrado 3 3 180° 5 540° 540° 4 5 5 108° 360° 4 5 5 72° Pentágono regular 4 3 180° 5 720° 720° 4 6 5 120° 360° 4 6 5 60° Hexágono regular 8 3 180° 5 1 440° 360° 4 10 5 36° Decágono regular 1 440° 4 10 5 144° 360° Polígono regular (n 2 2) 3 180° n (n 2 2) ? 180° de n lados n Tabela elaborada para fins didáticos. 172 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
100. a) Com as regiões planas triangulares, quadradas e hexagonais. c) Não, porque no octógono regular cada ângulo interno tem b) Não, porque cada ângulo interno do pentágono regular tem medida de medida de abertura de 135°, e 360° não é múltiplo de abertura de 108°, e 360° não é múltiplo de 108°. (360° 5 3 3 108° 1 36°) 135° (360° 5 2 3 135° 1 90°). 4 Soma das medidas de abertura dos 95 Em um polígono regular de 20 lados (icoságono a) Usando apenas um tipo de região poligonal ângulos de um regular), qual é a medida de abertura de cada ân- regular, com quais das regiões poligonais an- polígono gulo interno? E de cada ângulo externo?162º; 18º. teriores você acha que é possível obter um ladrilhamento? Confirme seu raciocínio com- Você sabia? 96 Em um polígono regular, cada ângulo interno tem pondo colagens com cada uma das figuras. Neste boxe, é proposta uma medida de abertura de 160°. Quantos lados esse polígono tem? 18 lados. b) É possível obter um ladrilhamento só com fi- atividade de ladrilhamento para guras pentagonais regulares? Por quê? que os alunos concluam que o 97 Determine no caderno a medida de abertura do encaixe das figuras geométricas c) Examine esta figura. É possível um ladrilha- só é possível quando a soma das ângulo interno de um: 7 3 180º 5 140º mento só com formas octogonais regulares? medidas de abertura dos ângu- a) eneágono regular; 140º 9 los encaixados for 360°. Peça 101 Também podemos formar ladrilhamento pela aos alunos que olhem atenta- b) dodecágono regular. 150º 10 3 180º 5 150º combinação de 2 ou mais regiões poligonais mente a figura da calçada ladri- 12 regulares. Veja este exemplo, constituído por lhada com hexágonos. Pergunte regiões quadradas e octogonais regulares. Jus- Banco de imagens/Arquivo da editora se é possível cobrir uma super- 98 Qual é o polígono regular cuja soma das medi- tifique no caderno por que isso foi possível. fície com outros polígonos, além do hexágono. Provavelmente, das de abertura dos ângulos internos é igual a Porque em todas as junções temos: 135° 1 135° 1 90° 5 360°. responderão que já viram super- fícies cobertas por ladrilhos qua- 2 340°? drados ou retangulares. 99 Qual é a medida de abertura de cada ângulo ex- Atividade 95 Veja a resolução desta ati- terno de um polígono regular de 25 lados? vidade. 14° 248 (360° 4 25 5 14° 248) Você sabia? Ângulo interno: Ladrilhamento: preenchimento de uma superfície plana (20 2 2) 3 180° 5 3240° Em um ladrilhamento, as figuras geométricas planas, cujos contornos são polígonos, devem se encaixar sem que haja 3240° 4 20 5 162° espaço entre elas e sem que haja superposição. Dessa ma- neira, elas podem ocupar toda a superfície considerada. Ângulo externo: 360° 4 20 5 Yury Zap/Shutterstock 5 18° Banco de imagens/Arquivo da editora Atividade 96 Veja a resolução desta ativi- Ladrilhamento de cal•ada. dade. 100 Explore e descubra! Reproduza as regiões poli- gonais regulares em uma folha de papel sulfite, (n 2 2) 3 180° pelo menos 12 vezes cada uma, e recorte-as. n 5 160° ~ Ilustrações: Banco de imagens/ 102 Cite uma forma poligonal que não seja regular e ~ 160° 3 n 5 (n 2 2) 3 Arquivo da editora 3 180° ~ 160°3n5180°3 3 n 2 360° ~ 20° 3 n 5 com a qual seja possível obter um ladrilhamen- 5 360° ~ n 5 18 to. No caderno, justifique a resposta com um Atividades 101 e 102 Em seguida, proponha à sala desenho. a realização da atividade prática Qualquer tipo de paralelogramo. descrita no livro em grupos. Su- gira que cada grupo reproduza 98. Pentadecágono ou polígono de 15 lados. ((n 2 2) 3 180 5 2 340 ~ n 5 15) Banco de imagens/ 12 vezes cada uma das figuras Arquivo da editora apresentadas. Peça que tentem 173 recobrir uma superfície qualquer Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 utilizando apenas figuras iguais. Os alunos devem observar, por exemplo, que não é possível recobrir a superfície usando apenas pentágonos. Pergunte a eles o motivo de isso acontecer e verifique as hipóteses que for- mularam. Aproveite para mostrar que, para as figuras formarem um encaixe perfeito, os ângulos também devem se encaixar per- feitamente. Questione o que ocorre com a soma das medidas de abertura dos ângulos nesses casos, esperando-se obter co- mo resposta que essa soma é igual a 360°. Assim, ao usar ape- nas um tipo de polígono regular para o ladrilhamento, ele só será possível se as medidas de aber- tura dos ângulos internos forem divisores de 360. 173MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
Jogos JOGOS Banco de imagens/Arquivo da editora Identificação de polígonos convexos Principais habilidades da BNCC Este jogo vai ajudá-lo com os conhecimentos sobre polígonos convexos, os elementos e as medidas de abertura dos ângulos deles. Preste atenção às orientações e bom jogo! EF07MA24 EF07MA27 Orientações EF07MA25 EF07MA28 Número de participantes: 2 jogadores. EF07MA26 Material: 12 papéis para sorteio, como estes: Jogos e brincadeiras são mui- A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 to importantes no desenvolvi- mento dos alunos. Por meio des- Como jogar sas atividades, podem se desen- volver do ponto de vista físico, Copie o quadro no caderno. emocional, cognitivo e social. Nas aulas de Matemática, os jo- A BC D gos ajudam a criar contextos de aprendizagem mais significati- Podem ser traçadas A medida de abertura de Possui 5 diagonais. Possui todos os lados com vos do que as aulas tradicionais. 1 5 diagonais em cada vértice. cada ângulo externo é de 72°. medidas de comprimento iguais Pentágono. Comece explicando que este Pentágono regular. e todos os ângulos internos jogo não se trata apenas de uma Octógono. retos. aula de recreação, pois ele favo- rece o desenvolvimento de dife- Quadrado ou quadrilátero rentes habilidades, a utilização regular. de conceitos desenvolvidos an- teriormente e a assimilação e fi- A soma da medida de xação de alguns conteúdos abordados neste capítulo. Mais abertura de qualquer ângulo A medida de abertura de Possui exatamente 10 ângulos especificamente, este jogo pode internos. auxiliar na memorização, de 2 Possui exatamente 12 vértices. interno com a medida de cada ângulo interno é de uma forma divertida e prazero- Decágono. sa, de diversas características Dodecágono. abertura do ângulo externo 120°. dos polígonos, como nome, nú- adjacente a ele é igual a 180°. mero de lados, medida de aber- Hexágono regular. tura de cada ângulo externo, etc. Qualquer polígono convexo. Explique aos alunos que, an- tes de começar a jogar, devem A soma das medidas de Não possui diagonais. Possui exatamente A soma das medidas de ler com atenção as regras. Co- 3 abertura dos ângulos 2 diagonais. abertura dos ângulos internos mente que vale até mudar as Triângulo. regras do jogo, mas essas alte- externos é igual a 360°. Qualquer quadrilátero. é igual a 360°. rações devem ser previamente combinadas com a turma toda Qualquer polígono convexo. Qualquer quadrilátero. Durante a realização do jo- Cada jogador, na sua vez, sorteia um papel e localiza a pista no quadro de acordo com as coordenadas indicadas no go, aproveite para acompanhar papel. Por exemplo, C2 indica o quadrinho na 3a coluna e na 2a linha. o desempenho dos alunos, ve- rificando o entendimento do O jogador deve tentar descobrir qual polígono tem a característica descrita na pista e justificar o palpite. Se acertar o conteúdo e as estratégias uti- polígono, então deve escrever o nome dele no quadrinho correspondente do quadro, no caderno, e marca 1 ponto. Se lizadas. Se necessário, retome errar, então passa a vez para o próximo. os assuntos que os alunos mais mostrarem dificuldades. Ganha quem tiver mais pontos após o sorteio dos 12 papéis. 174 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono Sugestão de jogo • 2 com a quantidade de lados do polígono (em 1 ma pedra uma vez, não devendo Banco de imagens/Arquivo da editora ponta); Dominó de polígonos convexos ocorrer algo como ao lado: Quadrilátero 3 Se possível, em grupos, os alunos devem confeccio- • 2 com a soma das medidas de abertura dos ângu- nar, em cartolina ou papel-cartão, um jogo de dominó los internos do polígono (em 1 ponta). As regras usadas podem ser as com polígonos convexos (do triângulo ao eneágono). Deveriam ser criadas as pedras da seguinte maneira: Para obter a soma das medidas de abertura dos ân- mesmas do jogo de dominó tradi- • 1 com o desenho do polígono (nas 2 pontas); gulos internos de cada polígono, os alunos devem efe- cional, ou a turma pode criar re- Triângulo 360° • 2 com o nome do polígono (em 1 ponta); tuar os cálculos, conferindo com os colegas. gras novas. Durante a confecção do jogo, eles devem estar aten- tos ao fato de que os polígonos só devem dividir a mes- Durante o jogo, deixe os alunos consultar os cálculos que fizeram para determinar a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada polígono. 174 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
1. 124º Banco de imagens/ 5. a) x 5 97° e y 5 83°. (x 5 360° 2 108° 2 90° 2 65° 5 97°; Arquivo da editora y 5 180° 2 97° 5 83°) Após a resolução desta ativi- 56º (x 1 x 1 68° 5 180° ~ x 5 56°; b) x 5 79° e y 5 101° (x 5 180° 2 55° 2 46° 5 79°; dade, se possível, solicite que 180° 2 56° 5 124°) y 5 55° 1 46° 5 101° ou y 5 180° 2 79° 5 101°) construam mosaicos utilizando polígonos já trabalhados e que Revisando seus conhecimentos pesquisem sobre os mosaicos e a utilização deles em diferen- 1 Use régua e transferidor e construa no caderno 2 ân- 5 Nos polígonos desenhados a seguir, x indica a medi- tes épocas. gulos adjacentes e suplementares, um deles com me- dida de abertura de 68° a mais do que a do outro. da de abertura de um ângulo interno e y, a medida Atividades 3 e 4 Nestas atividades, os alunos 2 Mosaicos. de abertura de um ângulo externo, ambos em graus. a) Em 2011, uma emissora brasileira de televisão usou devem descobrir quais polígonos a ideia de mosaico para compor em computação Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Determine os valores de x e y em cada polígono. regulares possuem ângulos in- gráfica uma chamada da Copa América de Futebol. ternos com as medidas de aber- Nessa chamada, as regiões hexagonais regulares se a) b) tura dadas, indicando também o encaixavam, como mostra este esquema. 108° 125° número de lados da figura. ångulos da jun•‹o. x 55° Veja a resolução da ativida- y 65° y x 46° de 3. Em cada junção, há 3 ângulos internos 46° (n 2 2) ? 180 de um hexágono n 5 140 ~ regular, cuja soma 6 Somando o número de faces de um cubo com o nú- das medidas de ~ 180n 2 360 5 140n ~ abertura é igual a mero de arestas de uma pirâmide de base pentago- ~ 180n 2 140n 5 360 ~ 360°. ~ 40n 5 360 ~ n 5 9 nal, o resultado é: (6 1 10 5 16) Logo, o polígono tem 9 lados, Banco de imagens/Arquivo da editora a) 12. X b) 16. c) 18. d) 22. é um eneágono. 7 Escreva no caderno expressões algébricas que repre- Veja a resolução da ativida- sentem: de 4. a) a medida de perímetro e a medida de área de uma região quadrada de lado de medidas de compri- Não, o quadrado tem 4 lados mento a; Medida de perímetro: 4a; medida de área: a2 e a medida da abertura do ângu- lo interno é 90°, o pentágono Considerando os ângulos de junção entre as peças, Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a tem 5 lados e a medida da aber- justifique por que as regiões hexagonais se encai- tura do ângulo interno é 108°. xam sem deixar espaço. b) a medida de perímetro deste triângulo isósceles. Como não podemos ter polígo- nos com lados não inteiros, é b) Este mosaico é formado por polígonos regulares. 2x 1 3 possível concluir que não existe Identifique no caderno quais polígonos aparecem xx nenhum polígono cujo ângulo na figura e determine a medida de abertura de interno tenha medida da abertu- cada ângulo indicado. ra igual a 100°. Banco de imagens/Arquivo da editora B 3 Banco de imagens/ Atividade 5 A 8 Observe a figura plana cujas medidas de dimensões Arquivo da editora Nesta atividade, são trabalha- C são dadas em metros. dos conceitos de soma das me- D 2 didas de abertura dos ângulos x internos de polígonos, de medi- da de abertura de ângulos exter- 3 nos de polígonos e de ângulos x opostos pelo vértice. 3 Um polígono regular no qual a abertura de cada ân- Atividade 6 Esta atividade exige a lem- gulo interno mede 140° tem quantos lados:8 lados, Escreva no caderno a expressão algébrica ou numéri- brança do assunto sólidos geo- 9 lados ou 10 lados? 9 lados. ca que representa, em metros quadrados: métricos, visto no 6o ano. Se ne- cessário, relembre os alunos do 4 Existe algum polígono regular em que a abertura de a) a medida de área da região quadrada amarela; que são as faces e as arestas de cada ângulo interno mede 100°? Justifique sua res- um sólido e leve para a sala um x2 (x 3 x 5 x2) cubo e uma pirâmide de base posta no caderno. Não, pois no quadrado (4 lados) pentagonal para facilitar a visua- b) a medida de área da região retangular azul; lização deles. 6 (3 3 2 5 6) Atividades 7 e 8 c) a medida de área de toda a figura. x2 1 6 Estas atividades desenvol- mede 90° e no pentágono regular (5 lados) mede 108°. 2. b) Hexágono regular, triângulo equilátero e quadrado; m(A) 5 60°, m(B) 5 90°, m(C ) 5 120° e m(D) 5 90°. vem a escrita de expressões que representam medidas de Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 175 perímetro e medidas de área das figuras dadas. Revisando seus conhecimentos Atividade 1 Principais habilidades da BNCC Esta atividade trabalha a descoberta das medidas de abertura dos ângulos dados, usando o conceito de ângulos adjacentes e suplemen- EF07MA14 EF07MA24 EF07MA29 tares, e a construção de ângulos com régua e transferidor. EF07MA23 EF07MA27 Atividade 2 No item a, os alunos devem explicar o motivo de ser possível a for- Explique aos alunos que este é um momento importante de revisão do conteúdo deste capítulo. Durante a resolução das atividades, pro- mação do mosaico. Enquanto no item b, devem determinar o nome cure analisar o que ainda precisa ser retomado e o que a turma já dos polígonos regulares da figura e a medida de abertura de cada ân- compreendeu. gulo indicado. 175MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
Revisando seus 9 Geometria e Arte. Veja as figuras construídas com 12 Copie as afirmações abaixo no caderno e indique se conhecimentos circunferências. Use uma malha quadriculada e um cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de compasso, copie 1 delas e crie mais algumas. Depois, ser verdadeira, dê 3 exemplos que confirmem a afir- Atividade 9 recorte e cole-as no caderno. Respostas pessoais. mação feita. No caso de ser falsa, dê 1 contraexemplo. Esta atividade deve ser feita a) Se 2 ângulos são complementares, então cada um Banco de imagens/Arquivo da editora tem medida de abertura de 45°. em malha quadriculada com uso do compasso. Incentive a criati- 10 Qual nome podemos dar aos ângulos assinalados em b) Um polígono com todos os lados congruentes é vidade dos alunos, motivando- um polígono regular. -os a “fazer arte” com Geome- cada fotografia considerando a posição de um em tria. c) Um polígono com todos os ângulos internos con- relação ao outro? O que podemos afirmar sobre as gruentes é um polígono regular. Após a resolução da ativida- de, os mosaicos podem ficar ex- medidas de abertura deles? d) Um triângulo sempre tem os 3 ângulos internos postos na sala de aula. agudos. a) Atividade 10 13 Considere 2 ângulos complementares tal que a dife- Nesta atividade, os alunos rença entre a medida de abertura do maior e a medida de abertura do menor é de 16°. Quanto medem as devem classificar os ângulos aberturas desses ângulos? apresentados em objetos do co- tidiano e comentar sobre as re- 53° e 37°. (Resolução por tentativa.) lações entre as medidas de abertura desses ângulos. Am- 14 É necessário 1 caloria de energia para aquecer 1 g de plie a atividade pedindo que água em 1 °C. Quantas calorias são necessárias para localizem objetos e outras si- elevar 10 g de água de 3 °C para 8 °C? tuações nas quais seja possível identificar ângulos adjacentes 50 calorias. (8 2 3 5 5; 10 3 5 5 50) suplementares, ângulos adja- centes complementares e ân- 15 Crie um problema em que seja dado o número de gulos opostos pelo vértice. vértices de um polígono convexo e seja necessário descobrir o número de diagonais que ele tem. Depois, Atividade 11 entregue-o para um colega resolver. Resposta pessoal. Esta atividade retoma a con- 16 Observe os ângulos representados por letras nas fi- versão de unidades de medida, guras e indique os ângulos no caderno. trabalhada no 6o ano. Se neces- sário, retome os conceitos sobre Lusoimages/Shutterstock a Opostos pelo Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora c y o assunto e a tabela de conver- vértice; as de n são na lousa. b medidas de Tesoura. abertura dos Atividade 12 ângulos são Esta atividade revisa alguns iguais (a 5 b). conteúdos, como ângulos com- b) As imagens desta plementares (item a), polígonos regulares (itens b e c) e triângu- página não estão ps los (item d). representadas em ar Veja exemplos de resposta proporção. para os itens desta atividade. a) Os 3 ângulos cuja soma das medidas de abertura é a) Falsa;contraexemplo:ângu- los de medidas de abertura igual a 180°. c, d e e. de 70° e 20° são comple- mentares. b) Os 2 ângulos cuja soma das medidas de abertura é b) Falsa; contraexemplo: um igual a 180°.a e r. losango com 2 ângulos agu- dos e 2 ângulos obtusos Brasiliao/Shutterstock eB Adjacentes c) Os 2 ângulos cuja soma das medidas de abertura é tem todos os lados con- suplementares; igual a 90°. y e n. gruentes, mas não é um po- Bf a soma das lígono regular. Poste de luz. medidas de d) Os 2 ângulos com medidas de abertura iguais. p e s . abertura dos c) Falsa; contraexemplo: um ângulos é 17 Dinheiro. a) Exemplo de resposta: R$ 11,50; R$ 9,25; R$ 7,00. retângulo cujos lados têm igual a 180° a) Descubra a regularidade, copie a sequência no ca- medidas de comprimento (e 1 f 5180°). derno e complete-a. de 5 cm e 2 cm, tem todos (R$ 20,50; R$ 18,25; R$ 16,00; R$ 13,75; ; ; ) os ângulos congruentes (de medida de abertura de 90°) 11 Felipe viajou de uma cidade à outra em 20 minutos, b) Forme uma sequência de 5 termos, na qual o e não é um polígono regular. com medida de velocidade de 87 quilômetros por 1o termo é a quantia de R$ 3,25 e, a partir do d)Falsa; contraexemplo: um triângulo obtusângulo tem hora. Quantos metros ele viajou? 2o termo, cada termo é o dobro do termo anterior. 1 ângulo interno obtuso. 29 000 m (87 km 5 87 000 m; 20 5 60 4 3; 87 000 4 3 5 29 000) (R$ 3,25; R$ 6,50; R$ 13,00; R$ 26,00; R$ 52,00) Atividade 13 Esta atividade usa o conceito 176 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono de ângulos complementares pa- Atividade 14 Atividade 16 ra descobrir as medidas de aber- Se necessário, peça aos alunos que, primeiramente, determinem Nesta atividade, devem ser identificadas as relações entre as me- tura dos ângulos dados. quantas calorias serão necessárias para aquecer 1 g de água de 3 °C didas de abertura de ângulos suplementares, de ângulos complemen- para 8 °C. tares, de ângulos internos de um triângulo e de ângulos opostos pelo vértice. Atividade 15 Os alunos devem criar, individualmente, um problema que trabalhe, Atividade 17 Nesta atividade, os alunos devem determinar, a partir dos termos a partir do número de vértices de um polígono convexo, a descoberta do número de diagonais desse polígono. Em seguida, o exercício deve dados,aregularidadeeospróximostermosdeumasequência(itema), ser resolvido por um colega. e descobrir uma sequência através da lei de formação fornecida. 176 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
22. C, A e B. 1 . 1 . 1 23. 7o ano A. 5 5 10 ; 10 . 6 2 3 6 7 14 14 14 Revisando seus 18 Sendo x a medida de abertura de um ângulo, em graus, 21 Determine no caderno o valor de x e de y. conhecimentos escreva no caderno as expressões na linguagem A Banco de imagens/ Arquivo da editora matemática. 80° Atividades 18 e 19 Estas atividades trabalham a) O triplo da medida de abertura do ângulo. 3x 150° y x conceitos relacionados às medi- b) A medida de abertura do complemento do ângulo. das de abertura de ângulos para c) A medida de abertura do suplemento do âng9u0l°o2. x BC representar, por expressões al- d) A medida de abertura do complemento do d1o8b0r°o2dox gébricas, o que é dado em língua x 5 30° e y 5 110°. (x 5 180° 2 150° 5 30°; y 5 30° 1 80° 5 110°) materna (atividade 18), ou para ângulo. 90° 2 2x escrever em linguagem usual o 22 Em uma eleição, considerando os votos válidos, o que é fornecido na forma de ex- 19 Se x representa a medida de abertura de um ângulo, pressão algébrica (atividade em graus, o que representam as expressões algébri- candidato A teve 1 dos votos, o candidato B, 1 , o 19). cas de cada item? Exemplos de resposta: 3 6 candidato C, 1 . Quais foram, por ordem decrescente a) 2 x Dois quintos da medida de abertura do ângulo. 5 O dobro da medida de abertura 2 b) 2 ? (180° 2 x) do suplemento do ângulo. de votação, o 1o, o 2o e o 3o colocados? 23 Em um campeonato de futebol, o 7o ano A ganhou 5 7 das partidas que disputou e o 7o ano B ganhou 6 do Atividade 20 Veja a resolução desta ativi- 14 dade. mesmo total de partidas. Qual dessas turmas ganhou c) 1 ? (90° 2 x) A metade da medida de abertura mais partidas nesse campeonato? a) 9 de 80 5 36, pois do complemento do ângulo. 20 2 O triplo da medida de abertura do 24 No caderno, calcule o valor de x, em graus, em cada 80 4 20 5 5 e 9 3 4 5 35 d) 3 ? (180° 2 2x) suplemento do dobro da medida de triângulo. Em seguida, copie e complete a tabela com 80 2 36 5 44 abertura do ângulo. a medida de abertura dos ângulos internos dos triân- 20 Observe a imagem que representa a ligação rodoviá- gulos, a classificação deles quanto aos ângulos e a Ademir está entre Caxias ria entre 3 importantes cidades do Rio Grande do Sul, classificação quanto aos lados. do Sul e Novo Hamburgo, a com medidas de distância indicadas. Caxias do Sul A N 44 km de Novo Hamburgo. Novo Hamburgo x Porto Alegre x 60° B Banco de imagens/Arquivo da editora 5 de 45 5 25, pois 65° 9 Banco de imagens/Arquivo da editora 100° M 45 4 9 5 5 e 5 3 5 5 25 80 km 20° E H 45 2 25 5 20 x 45 km 60° 25° Laura está entre Porto Alegre 70° 50° x C 70° 40° J e Novo Hamburgo, a 20 km de G F 70° Novo Hamburgo. Ademir, Laura, Raul e Mariana, cada um com o próprio OI T Logo, a distância de Ademir P carro, estão transitando entre essas cidades por essa e Laura é: rodovia. R 30° x135° 15° x 44 km 1 20 km 5 64 km a) Ademir está indo de Caxias do Sul para Novo Ham- 45°90°45° b) 80 1 45 5 125 burgo e já percorreu 9 do percurso. Laura está Q SU 20 3 de 125 5 75, pois indo de Porto Alegre para Novo Hamburgo e já 5 percorreu 5 do percurso. Ademir e Laura estão Triângulos 9 125 4 5 5 5 e 3 3 5 5 125 distantes quantos quilômetros um do outro nessa Medidas de Classificação do Classificação do 75 < 80 rodovia? 64 km Triângulo abertura dos triângulo quanto triângulo quanto 80 2 75 5 5 b) Raul está indo de Caxias do Sul para Porto Alegre e já percorreu 3 do percurso total. Ele está entre ângulos internos aos ângulos aos lados c) 45 2 10 5 35, ou seja, ela 5 Caxias do Sul e Novo Hamburgo ou entre Novo nABC já percorreu 35 km dos nEFG nMNO 125 km do percurso total. 35 em 125 5 35 5 7 125 25 Hamburgo e Porto Alegre? A quantos quilômetros nPQR Atividade 24 de Novo Hamburgo? nHIJ Nesta atividade, os alunos c) Mariana está indo de Porto Alegre a Caxias do Sul e nSTU devem preencher a tabela no ca- faltam 10 km para chegar a Novo Hamburgo. Qual derno, retomando as classifica- fração do percurso total ela já percorreu? 7 Tabela elaborada para fins didáticos. ções dos triângulos quanto aos 25 25 Converse com um colega e respondam no caderno. lados e quanto aos ângulos. d) Copie este esquema no caderno e localize nele a a) Qual é a medida de abertura de cada ângulo inter- Banco de imagens/ posição de cada pessoa nos pontos assinalados. no de um triângulo equilátero? 60° (180° 4 3 5 60°) Veja na página LIV a resolu- Arquivo da editora b) Por que um triângulo não pode ser ao mesmo ção completa desta atividade. Caxias do Novo Porto Atividade 25 Sul Hamburgo Alegre Esta atividade trabalha a des- Ademir Raul Mariana Laura tempo equilátero e retângulo? coberta das medidas de abertu- ra dos ângulos internos de um O triângulo equilátero é sempre acutângulo. (A abertura triângulo equilátero (item a) e a impossibilidade de construir 20. b) Entre Caxias do Sul e Novo Hamburgo; a 5 km de Novo Hamburgo. dos 3 ângulos interno mede 60°.) 177 um triângulo equilátero e retân- gulo (item b). Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 177MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
Testes oficiais 3. (x 1 y 1 50° 5 180° ~ x 1 y 5 180° 2 50° 5 130°) Reprodução/Obmep, 2009 Principais habilidades Testes oficiais da BNCC EF07MA23 EF07MA27 1 (Saeb) Cristina desenhou quatro polígonos regula- res e anotou dentro o valor da soma de seus ângu- EF07MA24 los internos. Qual é a medida de cada ângulo interno do hexágono Atividade 1 regular? (720° 4 6 5 120°) Nesta atividade, os alunos Banco de imagens/ 540¡ 720¡ 900¡ 1 080¡ devem determinar qual polígo- Arquivo da editora no apresentado é um hexágono regular e qual é a medida de a) 60° b) 108° X c) 120° d) 135° abertura de cada ângulo interno dessa figura. 2 (Saresp) Na figura abaixo, as paralelas r e s são corta- Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em das pelas transversais t e v. Atividade 2 pontilhado, qual seria o ângulo desse trecho com a Esta atividade trabalha as Banco de imagens/Arquivo da editora direção norte? relações entre as medidas de abertura dos ângulos forma- du s a) 12° c) 14° e) 16° dos entre retas paralelas e re- g tas transversais. X b) 13° d) 15° Atividade 3 a b r 6 (Obmep) Sabe-se que as retas r e s são paralelas. De- Banco de imagens/Arquivo da editora Nesta atividade, os alunos t v termine as medidas dos ângulos Bx e By. podem perceber que x 1 y 5 É correto afirmar que: c) b 1 g 1 u 5 180°. x 5 40° e y 5 100°. (y 5 180° 2 80° 5 100°; x 5 100° 2 60° 5 40°) 5 180° 2 50° ou determinar X a) a 1 b 5 d 1 u. d) g 1 u 5 b. 60º as medidas de x e de y separa- xr damente, somando-as depois. b) g 1 b 5 90°. y Atividade 4 3 (Saresp) As retas r, s e t interceptam-se num mes- s Esta atividade pode ser resol- 80º vida usando-se a relação entre as medidas de abertura de um ân- mo ponto, formando ângulos cujas aberturas medem gulo externo e dos 2 ângulos in- ternos não adjacentes a ele ou 32°, 50°, x, y, etc. Banco de imagens/ 7 (Saresp) O trajeto feito pelo gato ao passear pela usando-se a soma das medidas Arquivo da editora de abertura dos ângulos internos A soma de x 1 y é igual a: casa tem a forma de um triângulo equilátero, cujas de um triângulo e a relação entre X a) 130°. as medidas de abertura de ângu- x 50° r medidas dos ângulos inter- Banco de imagens/ los adjacentes e suplementares. b) 128°. y 32° Arquivo da editora c) 120°. nos estão indicadas abaixo. 60º Atividade 5 s Com estas informações, in- Se necessário, apresente a d) 118°. t dique a medida da abertura imagem abaixo, representando a direção norte pelas retas r e s, do ângulo a. o que facilitará a visualização de que AB é transversal a essas re- 4 (Saresp) O encosto da última poltrona de um ônibus, X a) 60° c) 30° 60º a tas paralelas. b) 50° d) 90° quando totalmente reclinado, forma um ângulo de C rs 30° com a parede do ônibus (veja a figura abaixo). O 8 (Saeb) Fabrício percebeu que as vigas do telhado da 44° sua casa formavam um triângulo retângulo, como ângulo a na figura abaixo mostra o maior valor que o desenhado abaixo. B 18° encosto pode reclinar. Banco de imagens/Arquivo da editora ? O valor de a é: (90° 1 30º 5 120°) Banco de imagens/ Arquivo da editora a) 50°. a 30¼ 68¼ b) 90°. c) 100°. X d) 120°. Banco de imagens/Arquivo da editora 5 (Obmep) A figura mostra dois trechos de 300 km Se a abertura de um dos ângulos mede 68°, quanto cada um percorridos por um avião. O primeiro trecho faz um ângulo de 18° com a direção medem as aberturas dos outros ângulos? norte, e o segundo, um ângulo de 44°, também com a (180° 2 90° 2 68° 5 22°) X a) 22° e 90°. c) 56° e 56°. direção norte. b) 45° e 45°. d) 90° e 28°. 178 180º 2 18º 2 44º 5 118º; 180º 2 118º 5 31º; 31º 2 18º 5 13º 2 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono A Atividade 6 Os alunos devem resolver esta atividade a partir das relações entre Nesta atividade são trabalha- das a relação entre as medidas as medidas de abertura de ângulos adjacentes e suplementares e en- de abertura de ângulos alternos tre ângulos correspondentes. internos, a medida de abertura de um ângulo raso, a soma das medidas de abertura dos ângu- los internos de um triângulo e a relação entre as medidas de abertura dos ângulos da base de um triângulo isósceles. 178 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
VERIFIQUE 1. b) Circunferência é um contorno (linha) e círculo é a Atividade 2 O QUE ESTUDOU circunferência mais o interior dela (região plana). Nesta atividade, os alunos 5 Apenas 2 das afirmações são corretas. Conver- devem usar as relações entre se com um colega para definir quais são elas. as medidas de abertura de ân- gulos opostos pelo vértice, de 1. a) Estão no mesmo plano e a) Dois ângulos adjacentes e suplementares podem ângulos adjacentes e suple- ser ambos agudos. mentares, dos ângulos internos 1 Responda no caderno. têm a mesma medida de de um triângulo e de ângulos distância até o centro O. X b) Dois ângulos adjacentes e suplementares podem formados por 2 retas paralelas ser um agudo e outro obtuso. cortadas por uma transversal, a) Qual é a propriedade comum a todos os pontos de além de calcular mentalmente as medidas de abertura dos ân- uma circunferência de centro O? gulos desejados. b) Qual é a diferença entre circunferência e círculo? c) Dois ângulos adjacentes e suplementares podem Atividade 3 Peça aos alunos que criem 2 Calcule mentalmente o valor de x em cada ser ambos obtusos. um problema que envolva ope- figura, registre no caderno e, depois, confira com os X d) Dois ângulos adjacentes e suplementares podem rações com medidas de abertu- ra de ângulos em minutos e se- colegas. ser ambos retos. gundos. Em seguida, devem tro- car com um colega, para que um Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a) 43¡ x 5 43° d) x r 6 Exemplifique cada afirmação correta da atividade resolva o problema criado pelo x 50° r /s anterior com uma destas placas de trânsito. Depois, outro. responda. b) x 5 110° (x 5 180° 2 70° 5 110°) s Atividade 4 Por que as outras afirmações da atividade anterior são Nesta atividade, são trabalha- b) e) A x falsas? C dos conceitos de complemento x 6. b e d, Creativedoxfoto/Shutterstock e suplemento de um ângulo. 60¡ respectivamente; se os 2 ângulos Atividades 5 e 6 70¡ forem agudos, Estas atividades abordam o então a soma B das medidas de assunto ângulos adjacentes e abertura deles suplementares, verificando a c) 70¡ f) A 2x 2 10 será menor que classificação desses ângulos x C 180°; se os quanto à medida de abertura. x 2 ângulos forem Entroncamento obtusos, então a oblíquo à direita. Na atividade 6, os alunos de- c) x 5 20° (x 5 180° 2 70° 2 90° 5 20°) soma das medidas vem justificar a resolução da ati- d) x 5 130° (x 5 180° 2 50° 5 130°) de abertura deles Trainman32/Shutterstock vidade 5. e) x 5 150° (x 5 90° 1 60° 5 150°) será maior do que 180°. Portanto, Autoavaliação B 2x 1 10 nenhuma dessas As questões de autoavalia- situações representaria ção apresentadas propiciam aos 2 ângulos alunos refletir sobre os estudos, suplementares. as atitudes e as aprendizagens. Dê um tempo para que cada alu- 3 Reúna-se com um colega. Cada um escreve no Via lateral à direita. no reflita individualmente sobre caderno uma operação com medidas de abertura de elas e registre as respostas no ângulos, em graus, minutos e segundos, e passa para caderno. Em seguida, àqueles o colega resolver. Resposta pessoal. que desejarem, permita que compartilhem as respostas com 4 Quanto mede a abertura: Atenção os colegas. a) do complemento de um ângulo de medida de abertura de 40°? 50° (90° 2 40° 5 50°) Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique Ao longo do ano, é importante em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- a retomada dos registros de au- b) do suplemento de um ângulo de medida de aber- do maneiras de reforçar seu aprendizado. toavaliação feitos no fim de cada tura de 40°? 140° (180° 2 40° 5 140°) capítulo, para que eles possam perceber e mensurar quanto 2. f) x 5 60° (2x 1 10° 5 x 1 (180° 2 (2x 2 10°) ~ aprenderam e melhoraram em ~ 2x 1 10° 5 x 1 180° 2 2x 1 10° ~ diversos aspectos. ~ 3x 5 180° ~ x 5 60°) Em relação às perguntas pro- Autoavaliação postas nesta página, converse com a turma sobre as proprieda- Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita des geométricas estudadas sobre elas. Respostas pessoais. neste capítulo. Enfatize os as- suntos vistos nas aulas e reto- • Entendi bem as propriedades das figuras geométricas estudadas neste capítulo? me tudo o que for necessário. • Retomei em casa cada assunto visto durante as aulas? • Procurei ajudar os colegas nas dúvidas deles? Avaliação • Estou encerrando o estudo deste capítulo conhecendo adequadamente os temas estudados? Para mais informações, ve- ja a avaliação do 2o bimestre. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 179 179MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5 Verifique o que estudou Principais habilidades da BNCC EF07MA23 EF07MA24 EF07MA27 Após a resolução das atividades, crie um momento para que os alunos possam compartilhar as estratégias utilizadas e, juntos, pos- sam resolver coletivamente as atividades que geraram mais dúvidas. Atividade 1 Esta atividade deve ser resolvida a partir dos conceitos de circun- ferência e círculo.
Abertura CAPÍTULO Simetria Principal habilidade 6 Andre Dib/Pulsar Imagens da BNCC EF07MA21 Peça aos alunos que obser- vem a imagem e compartilhem o que sabem sobre o edifício re- tratado. Pergunte: “Que edifício é esse?”; “Quem o projetou?”; “E as esculturas, de quem são?”; “Onde fica?”; “Quem pro- jetou Brasília?”. Se possível, in- centive-os a pesquisar sobre o tema, sobre o prédio (Palácio Itamaraty) e sobre as escultu- ras. Peça que pesquisem tam- bém sobre figuras importantes na arquitetura de Brasília, como Oscar Niemeyer, Lúcio Costa, Burle Marx, Bruno Giorgi e Alfre- do Ceschiatti (o autor da escul- tura que aparece na imagem). Depois, chame a atenção pa- ra as formas e para as simetrias da figura. Pergunte: “Há linhas retas horizontais?”; “E verti- cais?”; “Há linhas curvas?”; “Há simetria?”. Peça que indiquem os eixos de simetria na imagem. Chame a atenção para a si- metria nas colunas e a simetria no espelho d’água. Se houver oportunidade, organize uma aula para a criação de figuras estilizadas e simétricas, com inspiração nas imagens da ar- quitetura de Brasília, e expo- nha os desenhos obtidos na sala de aula. Plano de desenvolvimento Para mais informações, veja o plano de desenvolvi- mento do 3o bimestre. Palácio Itamaraty em Brasília (DF). Foto de 2016. 180 180 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR
Observe a foto na página anterior e as fotos a seguir. Abertura Tat'ana/Shutterstock As imagens desta Peça aos alunos que obser- página não estão vem as imagens desta página representadas em e pergunte: “Há padrões que proporção. se repetem nessas figuras?”; “É possível imaginar eixos de si- Estrela-do-mar. Cata-vento. Irina Kildiushova/Shutterstock metria nelas?”. Desenhe-as na Veniamin Kraskov/Shutterstock lousa (não precisam ficar idên- ticas) e registre as simetrias ci- Ladrilhamento com padrão de repetição. tadas pela turma. Essas fotos, que estão representadas no plano, dão a ideia de vários tipos de simetria, Em seguida, peça que for- e esse será o estudo deste capítulo. mem grupos para responder às questões propostas. Na ques- A simetria é muitas vezes relacionada à ideia de perfeição, de harmonia e de tão 1, pergunte se os alunos equilíbrio, e vice-versa. sabem o que é simetria axial e explique que a identificamos Converse com os colegas sobre estas questões e registre as respostas ao marcar os eixos nas figuras no caderno. Se necessário, faça desenhos. da lousa. 1 Observe as regiões planas e responda aos itens. Para a questão 2, disponibili- ze papel e tesoura para que pos- ABCD sam reproduzir a figura da re- gião quadrada e fazer movimen- tos e tentativas de visualizar os efeitos de alguns giros. a) Quais dessas regiões planas têm simetria axial, ou A BIlustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora seja, simetria em relação a uma reta? As figuras B e C. O b) Qual delas tem mais de 1 eixo de simetria axial? D C Simetria • CAPÍTULO 6 181 A figura C. 2 Qual é o menor giro que devemos fazer nesta região pla- na quadrada, em torno do ponto O, para que ela seja vis- ta nessa mesma posição? Um giro de 90¡. 181MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6
1 Tipos de simetria 1 Tipos de simetria Principal habilidade Existem alguns tipos de simetria. A simetria axial, que é a simetria em relação a uma reta, você prova- da BNCC velmente já conhece. Agora, vamos retomar esse tipo de simetria e conhecer outros. EF07MA21 Explorar e descobrir Se achar conveniente, inicie Com um colega, sigam o passo a passo para descobrir mais sobre simetria e sobre figuras simétricas. retomando a exploração feita 1 Em uma folha de papel sulfite, cada aluno deve desenhar uma região plana como esta, usando as medidas indicadas. para números opostos ou simé- tricos. Em seguida, explique que 3 cm esse é apenas um tipo de sime- tria (simetria axial) e que, além 4 cm dessa, veremos outras neste capítulo. 6 cm Recortem a região plana e pintem a frente e o verso dela. Cada aluno pinta a própria região com uma cor dife- Explorar e descobrir rente da do colega. Organize os alunos em du- 2 Para cada item, usem as regiões planas confeccionadas por vocês e considerem as figuras indicadas a seguir. Depois, conversem sobre qual é o movimento mais simples necessário para que uma das regiões planas fique na plas e solicite a cada uma que posição da outra. Anotem no caderno uma descrição do movimento efetuado. Respostas pessoais. desenhe a figura, de acordo com a) e) a indicação, recorte-a e pinte-a Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora com uma cor de cada lado. As- Thiago Neumann/Arquivo da editorab) f) sim, eles podem identificar facil- mente se a figura foi colocada c) de um lado ou de outro. d) Veja a seguir mais Depois, peça que represen- 3 A partir das explorações feitas, registrem no caderno. detalhes sobre tem os desenhos de cada item essas simetrias. do passo 2, usando as figuras produzidas, e pergunte: “Qual movimento é preciso fazer com uma das figuras para que ela se sobreponha à outra?”. Solicite que registrem, no caderno, a descrição do movimento neces- sário para cada item. Depois, no passo 3, eles de- vem identificar as simetrias de translação, axial e de rotação a partir dos itens citados. Ao final, se possível, peça que elaborem uma nova posição relativa para cada uma das simetrias e repro- duzam os desenhos no caderno, com a indicação do tipo de sime- tria e uma breve explicação de cada uma delas. a) Nas regiões planas do item a há uma simetria de translação. Pensem no movimento das regiões planas desse item e indiquem qual outro item mostra uma simetria como essa. Item f. b) Nas regiões planas do item b há uma simetria axial. Pensem no movimen- to das regiões planas desse item e indiquem qual outro item mostra uma simetria como essa. Item d. c) Nas regiões planas do item c há uma simetria de rotação. Pensem no mo- vimento das regiões planas desse item e indiquem qual outro item mostra uma simetria como essa. Item e. 182 CAPÍTULO 6 ¥ Simetria 182 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR
Simetria axial ou simetria de reflex‹o 1 Tipos de simetria Você lembra o que é simetria axial? Faça esta atividade para recordar alguns conceitos! Explorar e descobrir Distribua uma folha de papel Explorar e descobrir sulfite para cada aluno. Peça 1 Siga o passo a passo e observe as imagens se ficar com dúvida sobre como realizar o procedimento. que a dobrem de maneira que as 2 partes coincidam. Pergun- • Dobre uma folha de papel sulfite de modo que as 2 partes coincidam. te: “De que maneira a folha pode ser dobrada para satisfazer essa • Com a folha dobrada, trace uma linha curva qualquer que comece e termine no lado em que está a dobra. exigência?”. É provável que os alunos encontrem as 2 manei- • Vire a folha e, na outra metade, decalque a curva que você desenhou. ras diferentes de fazer isso: uma dobra horizontal ou uma dobra • Desdobre a folha, recorte e observe a figura formada. O que você pode perceber? Resposta esperada: vertical, ambas passando pelo Que a figura centro. Banco de imagens/ formada é simétrica Arquivo da editora em relação ao vinco Peça que tracem uma linha da dobra. curva com início e término em algum ponto da dobra da folha e 2 Observe as fotos a seguir. Elas são representações planas de objetos tridimensionais. que, no outro lado, reproduzam o desenho pelo decalque. Depois Marc Bruxelle/Shutterstock Gabro Nemes/kino.com.br As imagens desta que perceberem o efeito do de- página não estão senho completo, na folha desdo- representadas em brada, incentive-os a fazer outro proporção. desenho e compartilhá-lo com a turma. Torre Eiffel, em Paris Folha de uma planta. (França). Foto de 2018. Em seguida, peça que obser- vem as fotos da página e o fio Com a ajuda do professor, posicione um espelho retangular sobre a linha tracejada vermelha em cada foto. O que tracejado em cada uma delas. você pode constatar? Resposta esperada: Ao posicionar o espelho sobre a linha tracejada de cada foto, a parte da foto Pergunte: “O que representa es- se fio tracejado em cada figu- refletida no espelho é igual à outra parte da foto. ra?”. Auxilie-os a perceber que, ao colocar o espelho sobre esse Dizemos, nesse caso, que cada foto apresenta simetria ou é simétrica. fio, a imagem refletida é a mes- As explorações anteriores dão ideia de simetria axial ou simetria de reflexão. A dobra na folha de papel ma que está do lado oposto da e as linhas tracejadas vermelhas nas fotos representam o eixo de simetria de cada figura. imagem. Observe outras fotos que apresentam simetria axial. O eixo de simetria de cada foto está indicado pela linha tracejada vermelha. Ao final, solicite a leitura do texto do livro e proponha uma Anneka/Shutterstock Bate-papo conversa para compartilharem Ivonne Wierink/Shutterstock as conclusões. Converse com um colega sobre a simetria Borboleta-coruja. Vaso de decora•‹o. axial. O que ela significa para vocês: Bate-papo equilíbrio, beleza, harmonia, ordem? Inicie uma conversa para Citem algumas figuras planas e fotos de obras de arte e de objetos arquitetônicos que os alunos possam compar- que apresentam simetria axial e outras que tilhar conhecimentos relaciona- não apresentam. Aproveitem para conversar dos com simetria em obras de sobre a simetria axial da foto do corpo arte, objetos arquitetônicos e humano visto de frente. Resposta pessoal. na natureza. Amplie a proposta abordando o corpo humano e o Simetria • CAPÍTULO 6 183 de outros seres vivos. Em segui- da, organize os alunos em gru- pos e incentive-os a pesquisar sobre o tema. Sugerimos que cada grupo pesquise a simetria em uma área de interesse dife- rente, podendo ser até mesmo em jogos, e apresente as ima- gens e as informações obtidas para a turma. Sequência didática Para mais informações, veja a sequência didática 1 do 3o bimestre. 183MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6
1 Tipos de simetria 6. b) Porque a adição de números naturais Atividades 1 a 7 Atividades tem a propriedade comutativa, ou 6. c) Sim, porque a multiplicação de números naturais Estas atividades desenvol- seja, trocando a ordem das parcelas, também tem a propriedade comutativa. vem os conhecimentos sobre si- a soma permanece a mesma. 6 Simetria axial e operações. Observe a tabela com metria axial. a adição de números naturais. Ela apresenta uma 1 Recorte de revistas ou jornais 3 figuras que apre- simetria em relação ao eixo vermelho, levando em Nas atividades 1 e 4, os alu- consideração a posição dos números. nos devem apresentar figuras sentam simetria axial. Cole-as no caderno e trace simétricas e figuras assimétri- 10 1 2 3 4 5 cas. Se achar conveniente, per- o eixo de simetria de cada uma delas. Depois, re- gunte qual delas é mais fácil de 001 2345 encontrar e verifique as respos- corte e cole uma figura assimétrica (que não apre- tas obtidas. 1 1 23456 senta simetria). Resposta pessoal. Veja a resolução da ativida- de 5. 2 Copie em uma malha quadriculada apenas as fi- a) guras que apresentam simetria axial e trace, em cada uma delas, o eixo de simetria. b) Banco de imagens/Arquivo da editora 2 234 5 67 c) 3345678 A atividade 6 relaciona os conteúdos simetria axial eIlustrações: Banco de imagens/ 4456789 operações (adição e multipli-Arquivo da editora cação). No item c, represente 5 5 6 7 8 9 10 a tabela da multiplicação na lousa, facilitando a visualiza- 3 Observe as figuras e responda no caderno. a) Copie a tabela no caderno e complete-a. Ob- ção dos alunos. Em seguida, serve que alguns quadradinhos com números se necessário, explique melhor Banco de imagens/Arquivo da editora em posições simétricas estão pintados com a a propriedade comutativa para mesma cor. Faça o mesmo com mais 3 pares de a adição e para a multiplica- a) Qual figura apresenta simetria axial e a linha números nessas condições. Pintura pessoal. ção, pedindo aos alunos que anotem, com exemplos, no pai- tracejada é o eixo de simetria? A figura azul. b) Por que os números em posições simétricas Paulo Manzi/Arquivo da editora nel de descobertas. Sugira- são iguais? -lhes que aproveitem para re- b) Qual não apresenta simetria axial? A figura gistrar também as informa- amarela. c) Na tabela da multiplicação de números naturais ções que considerarem impor- também haverá esse tipo de simetria? Por quê? tantes sobre simetria axial. c) Qual apresenta simetria axial, mas a linha tra- 7 Veja um desenho do mosquito Aedes aegypti, Na atividade 7, se achar con- cejada não é o eixo de simetria? A figura verde. transmissor da dengue. Por isso ele é conhecido veniente, peça aos alunos que como \"mosquito da dengue\". pesquisem informações sobre 4 Desenhe em uma folha de papel quadriculado a dengue, o Aedes aegypti e 2 figuras que apresentam simetria em relação a Representação artística como evitar a proliferação de- um eixo e 2 figuras que não apresentam sime- do mosquito transmissor le. Essa pesquisa pode ser am- tria. Nas que apresentam simetria, trace o eixo pliada nas aulas de Ciências. de simetria. Resposta pessoal. da dengue. Esta é uma ótima oportunida- Responda no caderno: Esse desenho apresenta de para abordar o tema con- 5 Copie e complete as figuras em uma malha qua- simetria axial? Justifique sua resposta. temporâneo Saúde. driculada de modo que a figura obtida apresente simetria em relação ao eixo indicado. Mantenha a Sim; justificativa pessoal. 184 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR mesma cor nas partes simétricas. Bate-papo a) b) c) Ilustrações: Banco de imagens/ O mosquito da dengue tem por hábito picar durante o dia. Arquivo da editora Ele se desenvolve em água parada e limpa. Com os colegas, façam um levantamento de 3 ou mais atitudes que podemos tomar para prevenir a proliferação do mosquito da dengue. 184 CAPêTULO 6 ¥ Simetria Bate-papo. Exemplos de resposta: Evitar o acúmulo de água parada em garrafas, latas, pneus, vasos de plantas e outros recipientes; manter bem tampados caixas-d’água, poços, cisternas e outros depósitos de água; manter tratada a água de piscinas.
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