Multiplicação de números racionais 2 Operações com números racionais Explorar e descobrir Explique que a multiplicação Você já tentou descobrir por que o algoritmo da multiplicação funciona com decimais? Vamos pensar sobre isso dos números racionais pode ser realizada de maneira análoga à fazendo algumas atividades. 1. 1 0, 8 1 multiplicação entre frações ou decimais, estudados anterior- 1 Utilize o algoritmo da multiplicação para efetuar no caderno 10,81 ? 1,3. 3 1, 3 mente. Na lousa, efetue exem- plos de multiplicações, como os 3243 apresentados no livro, seguindo as indicações dos alunos. 2 Agora você vai efetuar a mesma multiplicação, mas usando outro método. 11081 Destaque que a novidade 1 4, 0 5 3 agora é que as frações ou os de- Exemplos de resposta: cimais podem ser negativos, ou seja, além de efetuarem a mul- a) Multiplique cada fator da multiplicação (10,81 e 1,3) por uma potência de 10, de modo que os fatores passem tiplicação, devem estar atentos aos sinais. a ser números inteiros. 100 3 10,81 5 1 081 e 10 3 1,3 5 13. Explorar e descobrir b) Efetue a multiplicação utilizando os fatores inteiros obtidos no item a. 1 081 3 13 5 14 053 O livro apresenta outro méto- c) Multiplique as 2 potências de 10 que você usou no item a para transformar os fatores da multiplicação em do para efetuar a multiplicação de decimais. Ao seguir as indi- números inteiros. 10 3 100 5 1 000 cações desta seção, os alunos devem descobrir o motivo da va- d) Divida o resultado da multiplicação obtida no item b pelo resultado obtido no item c. 14 053 4 1 000 5 14,053 lidade da regra das vírgulas no algoritmo da multiplicação, a 3 Compare o resultado obtido na atividade 1 e no item d da atividade 2. O que você pode concluir? partir da percepção de que o Converse com os colegas e escreva uma conclusão no caderno.eE,xneamrpelaoliddeadrees, pooaslgtao:rOitms omdéatomdousltispãliocaeçqãuoivéaluemntaes método apresentado é equiva- lente ao algoritmo. simplificação do método desenvolvido. Atividades 28 e 29 A multiplicação de números racionais também é baseada nos Thiago Neumann/Arquivo da editora Estas atividades apresentam conhecimentos anteriores sobre multiplicação de números inteiros e de frações e decimais positivos. Acompanhe os multiplicações envolvendo nú- exemplos e observe os sinais dos fatores e o sinal do resultado. meros racionais. • 232 ? 1 1 5 (22) ? (11) 5 22 52 2 Veja a resolução dos itens da 5 3?5 15 15 atividade 29. • 2 1 ? 2 3 5 (21) ? (23) 5 13 5 3 a) (21,1) 3 (21,1) 5 11,21 7 5 7?5 35 35 • (20,1) ? (11,2) 5 2110 ? 11102 5 (21) ? (112) 5 212 5 2 12 5 20,12 10 ? 10 100 100 2 • (20,5) ? (22,4) 5 11,2 ( )b) 2112 5223 ;2 3 3 2, 4 2 • 20% de 2500 5 20 ? (22500) 5 0,20 ? (2500) 5 2100 3 0, 5 223( ) ( )332 3 5 100 2 1 2, 0 5 2 287 5 23 3 8 Atividades c) (10,3) 3 (10,3) 5 10,09 28 Efetue as multiplicações no caderno: 29 Desafio. Lembre-se do cálculo do valor de potên- ( ) ( )d) 1110 3 1110 3 a) (10,5) ? (20,4)20,2 d) (20,5) ? (22, 0) 1 cias no conjunto dos números naturais (base e expoente naturais) e calcule no caderno o valor de ( )3 cada potência dada, com número racional na base 1110 5 11 1 e número natural no expoente. 000 2 3 227 3 b) 4 ? 14 e) 15% de 2300 245 e) (20,7)05 11 f) 35% de 1900 1315 0 e) 20,7 11 ( )a) (21,1)2 11,21 c) (10,3)2 10,09 ( ) ( ) ( )f) 212 3 212 3 212 3 c) 235 ? 1 5 21 b) 2121 3 d) 1 1 3 11 f) 2 1 4 1 ( )3 6 2 10 1000 2 4 1 212 1 4 5 1 29. b) 227 ou 23 3 . Números racionais • CAPÍTULO 3 85 88 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 85
2 Operações com Inverso de um número racionalThiago Neumann/Arquivo da editora números racionais No capítulo 2 você estudou as frações positivas ou nulas e Inicie as explorações reto- viu que, se uma fração é diferente de zero, obtemos a inversa mando com a turma as proprie- dessa fração invertendo o numerador com o denominador dela. dades da inversa de uma fra- Também podemos determinar o inverso de números racionais. ção, estendendo essas proprie- Observe os exemplos. dades para todos os números racionais. Destaque o motivo de • O inverso de 3 é 4 . o zero ser o único número racio- 43 nal sem inverso: não existe di- visão por zero. • Como 3 1 5 13 , então o inverso de 3 1 é 4 . 44 4 13 Na lousa, mostre os exemplos do livro e explique o procedi- • 0,7 5 7 ; logo, o inverso de 0,7 é 10 ou 13 . Bate-papo mento para inverter os números 10 7 7 racionais, chamando a atenção Experimente multiplicar dos alunos para o fato de que • O inverso de 1 é 8 ou 8. outros números racionais um número e o inverso dele pos- 81 pelos respectivos suem sinais iguais. inversos e veja o que • Aplicando o mesmo raciocínio, o inverso do número racional ocorre. Converse com Bate-papo um colega sobre isso. Peça que multipliquem os nú- 22 é 23. Observe que 2 2 ? 2 3 5 11. 3 2 3 2 Resposta pessoal. meros racionais dos exemplos pelos respectivos inversos e ve- • O inverso de 13 é 1 1 . Note que (13) ? 1 31 5 1 3 5 11. rifiquem que o resultado é sem- 3 3 pre 1, ou seja, mantém-se válida a relação que vimos anterior- O produto de um número racional e o inverso dele é sempre igual a 1 1. mente para frações. Contudo, é preciso observar que: Atividade 30 De todos os números racionais, o único que não tem Nesta atividade, os alunos inverso é o zero, pois não existe divisão por zero. devem determinar o inverso Atividades dos números racionais dados. Verifique se os alunos lem- 30 Determine no caderno o inverso de cada número racional. bram que o zero não possui in- verso (item c), que devem de- a) 2 7 2 3 d) 2 3 4 terminar a fração imprópria re- 37 4 11 ferente ao número misto antes de invertê-la (item d), que de- vem descobrir a fração referen- te ao decimal para invertê-la (item e) e que devem transfor- mar a dízima periódica em fra- ção geratriz antes de invertê-la (item f). b) 12 1 e) 21,1 2 10 21,1 5 21 1 5 2 11 12 11 10 10 9 4 1. c) 0 Não existe. f) 0,222» (sabendo que 2 4 9 5 0,222»). 2 ou 2 31 Produto de inversos. Faça os cálculos no caderno. a) Calcule o produto dos números racionais a 5 2 3 e b 5 2 5 . 15 2 3 3 2 151 5 15 4 11 44 4 44 b) Escreva o inverso de cada um dos números dados no item a. 2 4 e 211. 3 5 c) Calcule o produto desses inversos. 44 2 4 3 2151 44 3 5 15 15 d) Compare os resultados obtidos nos itens a e c. O produto dos inversos dos 2 números racionais dados é igual ao inverso do produto deles. 86 CAPÍTULO 3 ¥ Números racionais 2 Operações com números racionais dos com números racionais neste capítulo, como módulo, as 4 ope- rações, etc. Primeiro, chame a atenção dos alunos para o fato de que já efetua- ram divisões de frações e divisões de decimais, mas que, para os nú- Explorar e descobrir meros racionais, devem estar atentos também aos sinais que acom- panham esses números. Realize com os alunos estas atividades e faça-os descobrir o Em seguida, efetue, na lousa com a turma, exemplos de divisões, motivo de a regra do algoritmo da divisão para os decimais funcio- como os dados no livro, seguindo as indicações dos alunos. nar. Mostre que a mesma percepção é possível por meio de frações Neste momento, sugira a eles que completem os assuntos regis- trados anteriormente no painel de descobertas e que foram trabalha- equivalentes: 33 3100 3300 5 25 . 132 5 1,32 3100 Na atividade 3, também é possível obter a mesma conclusão, 86 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR
Divisão de números racionais Thiago Neumann/Arquivo da editora Atividade 33 Nesta atividade, os alunos de- Você já aprendeu no capítulo 2 que, para Para dividir um número dividir uma fração por outra, multiplicamos a racional por outro, também vem calcular o valor de expres- primeira fração pelo inverso da segunda fração. multiplicamos o primeiro sões numéricas envolvendo adi- Veja um exemplo. pelo inverso do segundo. ções, subtrações, multiplicações Veja os exemplos. e divisões de números racionais. 4 4 3 5 4 ? 7 5 4 ? 7 5 28 5 113 Em todas as expressões numé- 5 7 5 3 5 ? 3 15 15 Também podemos usar os ricas, pelo menos uma das ope- decimais para efetuar a rações é uma multiplicação ou divisão 5,4 4 (20,12) com uma divisão. o algoritmo usual. Veja exemplos de resolução. 2 31 1 2 2 1 1 3 (21) ? (13) 23 23 521 ( ) ( )a) (12)? 3 • : 3 5 3 ? 2 5 3 ?2 5 6 5 6 2 2 4 ? 116 5 5, 4 0 0,12 ( ) ( )5 • 2 25 : (10,5) 5 2 2 : 1 21 5 2 2 ? 1 2 5 24 524 45 2 6 ? 116 5 5 5 1 5 5 24 8 0 4 0 54 211020 54 9 100 10 5 2 90 06 0 5 6 4 6 52 1 10 10 1 2 12 2 2 26 2 24 4 6 4 • 5,4 4 (20,12) 5 4 5 3 5 245 0 5,4 4 (20,12) 5 245 ou ( )(12 1 ) ? 2 3 ? 1 1 5 42 6 Explorar e descobrir 2 31 1 1 2 62 Você já tentou descobrir por que o algoritmo da divisão funciona com decimais? Vamos pensar sobre isso fazen- 5 ? 5 do algumas atividades. 5 2 1 1 Utilize o algoritmo da divisão para efetuar no caderno 33 4 1,32. 4 2 Agora você vai efetuar a mesma divisão, mas usando outro método. Exemplos de resposta: b) 2 15 1 3 11 ? 2 1 5 a) Multiplique o dividendo e o divisor por uma mesma potência de 10 de modo que ambos passem a ser nú- 4 3 meros inteiros. 100 3 33 5 3 300 e 100 3 1,32 5 132. b) Efetue a divisão utilizando o dividendo e o divisor inteiros obtidos no item a. 3 300 4 132 5 25 5 2 240 1 15 1 20 ? 2 1 5 20 20 3 3 Compare o resultado obtido na atividade 1 e no item b da atividade 2. O que você pode concluir? 5 1 31 ? 2 1 52 31 20 3 60 Converse com os colegas e escreva uma conclusão no caderno. Exemplos de resposta: Os métodos são da divisão equivalentes e, na realidade, o algoritmo é uma simplificação do método desenvolvido. c) 2 3 1 212 : 1 1 5 4 4 Atividades 2 32 Efetue as divisões no caderno. 5 2 3 12 1 3 1 5 4 21 4 1 a) 1 1 : 2 1 21 c) 2 3 : 2190 12 e) (22,5) : 11020 2125 2 3 212 4 2 2 25 15 4 5 1 5 3 b) 2 2 : (13) 22 d) (25) : (210) 1 1 f) 5 : 2 4 2 20 ou 26 2 5 15 3 3 2 2 3 2 8 5 4 1 4 5 33 Calcule no caderno o valor de cada expressão. As expressões numéricas envolvendo números racionais são resolvidas da mesma maneira que as 5211 522 3 expressões numéricas envolvendo números inteiros e frações e decimais positivos. 44 a) (12) ? 2 3 ? 1 1 21 1. 3 3, 0 0 1,32 c) 2 3 2 21 1 1 22 3 d)(23) 3 (11,25) 2 4 6 4 2264 25 4 4 4 0660 1 : 2 (11,2) 4 (20,6) 5 26 6 0 b) 2 1 1 3 1 1 ? 2 1 2 31 000 d) (23) ? (11,25) 2 (11,2) : (20,6) 21,75 5 (23,75) 2 (22) 5 5 4 3 60 5 23,75 1 2 5 21,75 Números racionais • CAPÍTULO 3 87 ( ) ( )c) 2235 2 31 2 10 2 5 1 125 transformando os decimais em frações e utilizando frações equi- : 2190 5 25 5 3 93 valentes. Atividade 32 d) (25) 4 (210) 5 (25 1) 3 2 1 2 5 112 10 Esta atividade trabalha a divisão de números racionais. Veja exem- plos de resolução. ( ) ( ) ( )a)1 1 2 5 212 ( )e) (22,5) : 11020 1 100 50 1 4 : 212 5 1 4 3 (22) 52 4 5 (22,5) 3 21 5 2125 ( ) ( ) ( )b) 252 1 5 2125 ( ) ( )f) 5 : (13) 5 252 3 1 3 : 2 3 5 5 3 243 5 2230 526 2 4 3 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 87
2 Operações com Números racionais, grandezas e medidas números racionais Vamos rever algumas grandezas e medidas resolvendo atividades e situações-problema com o uso de Inicie perguntando aos alu- números racionais. nos se recordam os procedi- mentos necessários para con- 39. 187,78 cm2; 66,2 cm. (8,7 3 5,2 1 3,5 3 8,7 1 8,7 3 5,2 1 3,5 3 5,2 1 3,5 3 5,2 1 8,7 3 3,5 5 187,78; verter unidades de medidas. Na 2á3á8,7á1á4á3á5,2á1á8á3á3,5 5 66,2) lousa, juntamente com os alu- nos, construa o quadro com os Atividades múltiplos e submúltiplos do me- tro para conversão de unidades 34 O amigo de Lúcia mediu a altura dela e disse que 37 Avaliação de resultados. A equipe de Maurí- de medida de comprimento. ela tem 145 cm ou 1,45 m de medida de altura. Nessa afirmação, está registrada uma mudança cio iniciou uma partida de vôlei às 15 h 45 min e Explique ainda que esse qua- de unidade de medida de comprimento. dro pode ser adaptado para tra- terminou às 17 h. Cada jogador anotou quanto balhar as unidades de medida de massa, capacidade, área e tempo durou a partida de uma maneira diferente. volume. Junto com os alunos construa, na lousa, um quadro Copie os itens a seguir no caderno e substitua cada Copie no caderno as 4 maneiras corretas. para cada uma dessas grande- pelo número racional adequado. As igualdades indi- zas e relembre as conversões cam mudanças de unidades de medida de várias X a) 75 min X e) 11 h das unidades de medida de grandezas. Para cada uma, escreva qual é a grandeza. X b) 1 h 15 min 4 tempo. Destaque também a cor- a) 3,5 kg 5 g 3 500; massa. respondência entre as unida- b) 2 h 10 min 5 min 130; intervalo de tempo. c) 1,15 h f) 1 1 h des de medida de capacidade e c) 7 520 mL 5 L 7,520 ou 7,52; capacidade. X d) 1,25 h 15 de volume. d) 1 m 5 dm 10; comprimento. e) 1 m2 5 dm2 100; área. 38 Sonares especiais são usados para mapear o Retome os conceitos de f) 1 m3 5 dm3 1 000; volume. fundo do oceano. Quando um sonar estava a cálculo das medidas de perí- g) 4 000 s 5 h min s 1; 6; 40; intervalo 47 m de profundidade (247 m), ele indicou que o metro para qualquer polígono fundo do oceano estava a 22 000 m da superfície. e das medidas de área para re- de tempo. Qual era a medida de distância entre o sonar e o giões triangulares, quadra- fundo do oceano? 1 953 m (2 000 2 47 5 1 953) das, retangulares ou limitadas h) 8 600 kg 5 t 8,6; massa. por paralelogramos. i) 0,38 cm 5 mm 3,8; comprimento. Australian Defense Force/Reuters/Latinstock 35 Calcule a medida de distância de A até B, passan- do por C, de 3 maneiras diferentes. Atividades 34 e 36 A 3 Banco de imagens/ Estas atividades desenvol- 8 Arquivo da editora km vem a conversão de unidades de medida de massa, tempo, ca- C 0,4 km B Sonar usado para mapear o fundo dos oceanos. pacidade, comprimento, área e volume. a) Em quilômetros, com as medidas na forma 39 Ao planificar a superfície de um paralelepípedo, decimal. 0,775 km Atividades 35, 37 e 38 encontramos a forma plana representada abaixo. Estas atividades apresentam b) Em quilômetros, com as medidas na forma fracionária. 31 km Qual é a medida de área total da planificação? E a situações resolvidas a partir de adições ou subtrações de núme- 40 medida de perímetro? ros racionais. Além disso, nas atividades 35 e 37, os alunos de- c) Em metros. 775 m As imagens desta 3,5 cm 5,2 cm Banco de imagens/Arquivo da editora vem converter unidades de me- página não estão dida de comprimento e tempo. 36 Copie as igualdades no caderno e substitua cada representadas em 5,2 cm 3,5 cm pelo número adequado. proporção. Veja as resoluções dos itens da atividade 35. a) 6,3 kg 5 g 6 300 8,7 cm 8,7 cm b) 6,3 décadas 5 anos 63 a) 3 1 0,4 5 0,375 1 0,4 5 c) 6,3 séculos 5 anos 630 3,5 cm 8 d) 6,3 milênios 5 anos 6 300 5 0,775 e) 6,3 L 5 mL 6 300 f) 6,3 cm 5 mm 63 40 Marcela juntou 1,5 L de água com 500 mL de suco b) 3 1 0,4 5 3 1 4 5 Raciocínio lógico 2 pares. (1 par de botinas concentrado. Se ela usar copos com medida de 8 8 10 e 1 par de meias.) capacidade de 125 mL, então quantos copos po- Botina e meia mais botina e meia, quantos pares são? 16 copos. (1,5 L 1 500 mL 5 15 16 31 derá servir? 5 1 500 mL 1 500 mL 5 2 000 mL; 5 40 1 40 5 40 2 000 4 125 5 16) c) 0,775 km 5 775 m Na atividade 38, chame a 88 CAPêTULO 3 ¥ Números racionais atenção dos alunos para o fato de que a medida de distância é sempre positiva ou nula, ou seja, não pode ser um número negativo. Atividade 39 Esta atividade trabalha os conceitos de medida de períme- tro e de medida de área. 88 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR
41 De acordo com o IBGE (2013), as medidas de Você sabia? 2 Operações com números racionais área dos estados de Santa Catarina e Paraná O número 1 é o início de tudo! Atividade 41 Veja a resolução desta ativi- correspondem a aproximadamente 4e7 da Você pode escrever qualquer número racional, “pequeno” ou 25 20 dade. “grande”, usando apenas o 1. medida de área da região Sul do Brasil. Calcule e Veja alguns exemplos: Santa Catarina e Paraná: responda no caderno: A medida de área do Rio 55111111111 4 1 7 5 16 1 35 5 Grande do Sul ultrapassa 50% da medida de área 25 20 100 100 1000 000 5 1 1 1 1 1 1 1 1 » 1 1 1 1 da região Sul? Não. 1 milhão de parcelas 5 51 5 51% 100 Região Sul do Brasil 0,5 5 1 5 1 2 111 Rio Grande do Sul: Banco de imagens/Arquivo da editora 100% 2 51% 5 49% e 50° O 20,001 5 2 1 5 2 1 49% < 50% Trópico de Capricórnio Logo, a medida de área do Rio Grande do Sul não ultrapas- PR 1000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 » 1 1 sa 50% da medida de área da região Sul. 1 000 parcelas OCEANO 45 Cíntia resolveu verificar como estava o consumo de gasolina do carro dela (em km/L). Para isso, ATLÂNTICO antes da viagem, ela encheu o tanque e anotou SC a quilometragem indicada no painel: 018968. Quando retornou, anotou a quilometragem nova- RS 30° S mente: 019198. Encheu mais uma vez o tanque e Atividades 42 a 45 N viu que gastou 18,4 L de gasolina. Estas atividades são resolvi- a) Qual foi o consumo do carro de Cíntia, em quilô- OL 0 275 550 km metros por litro? 12,5 km/L (19 198 2 18 968 5 230; das a partir de operações com S números racionais relacionados 230 4 18,4 5 12,5) a unidades de medida. Fonte de consulta: IBGE. Atlas geogr‡fico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016 b) Considerando o mesmo consumo, quanto Cíntia Na atividade 42, explique aos gastaria de gasolina para percorrer 387,5 km, alunos que é importante verifi- 42 Rosana comprou uma broa de fubá em uma pa- pagando na época R$ 4,49 o litro da gasolina? car as informações na embala- daria. Veja a etiqueta que estava na embalagem gem dos produtos que compram com algumas informações sobre a compra dela. R$ 139,19 (387,5 4 12,5 5 31; 4,49 3 31 5 139,19) no dia a dia para verificar a data de validade, a composição, a As imagens desta página não estão Raciocínio lógico medida de massa, etc. representadas em proporção. Na atividade 45, os alunos Paulo Manzi/Arquivo da editora Decifre o enigma escrevendo no caderno a resposta à pergunta: devem fazer a correspondência Onde dorme um cachorro bravo de 90 quilogramas? entre as unidades de medida de a) De quanto foi o troco recebido, se Rosana pa- Veja algumas dicas: volume e de capacidade. Para gou com 1 nota de R$ 5,00? ampliar esta atividade, se pos- • 1a palavra: Os primeiros 2 da palavra embora. sível, solicite aos alunos que R$ 3,81 (5,00 2 1,19 5 3,81) 6 calculem o consumo de com- bustível do veículo dos familia- b) Se o “peso” líquido tivesse sido de 0,220 kg, en- • 2a palavra: Os primeiros 4 da palavra qualidade, res deles. Assim, podem calcu- tão qual seria o total a pagar? 9 lar o valor gasto para ir de carro mais os primeiros 4 da palavra quero. à escola, à casa de algum pa- R$ 1,54 (0,22 3 7 5 1,54) 5 rente ou a algum ponto turístico da cidade. 43 Em uma cidade de Santa Catarina, a medida de • 3a palavra: Os primeiros 5 da palavra lugarejo. temperatura no período da tarde era de 5,5 °C. Até 8 Raciocínio lógico o final da noite, a medida de temperatura diminuiu Esta atividade trabalha a mul- 7 °C. No final da noite, qual era a medida de tempe- • 4a palavra: Os últimos 3 da palavra leque. ratura na cidade? 21,5 °C (5,5 2 7 5 21,5) 5 tiplicação de frações por quan- tidades inteiras (palavras) em • 5a palavra: Os primeiros 3 da palavra elegante. forma de enigma para incenti- 8 var a curiosidade dos alunos. • 6a palavra: Os primeiros 3 da palavra quibe, mais 5 a primeira 1 da palavra sert‹o. Em qualquer lugar 2 que ele quiser. 44 Felipe tinha R$ 1 250,48 na poupança no início da 46 A medida de capacidade de um copo é de 1 L, semana. Na quarta-feira ele fez uma retirada de 4 R$ 852,80 e, na sexta-feira, fez um depósito de R$ 300,00. Qual era o saldo da poupança de Felipe e a de uma jarra é de 11 L. Para encher a jarra, 2 no sábado? quantos copos cheios de água são necessários? R$ 705,68 (1 250,48 1 (2852,80) 1 300 5 705,68) 46. 6 copos. 1 4 15 3 ⋅ 42 1 5 6 2 4 21 1 Números racionais • CAPÍTULO 3 89 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 89
Leitura LEITURA Principais habilidades O fenômeno Usain Bolt da BNCC Nascido em Sherwood Content, na Jamaica, em 21 de agosto de 1986, Usain Oponente: adversário, rival. Ian Walton/Equipa/Getty Images EF07MA11 EF07MA29 Bolt viria a deixar o mundo perplexo por ser provavelmente um atleta que obteve Perplexo: embaraçado, marcas insuperáveis. É recordista nos 100 e 200 metros rasos, bem como no re- atrapalhado, perturbado. EF07MA12 vezamento 4 3 100 m. Obteve 9 medalhas de ouro nos Jogos Olímpicos de Pequim (2008), Londres (2012) e Rio de Janeiro (2016). Jamais perdeu uma final nessas Usain Bolt cruzando a linha Inicie a aula perguntando aos competições. Os recordes mundiais de Bolt de 9,58 segundos nos 100 metros de chegada da prova de alunos se assistiram às Olímpia- rasos, 19,19 segundos nos 200 metros rasos e 36,84 no revezamento 4 3 100 m 200 metros rasos masculino, das que aconteceram no Rio, são considerados por especialistas como praticamente inalcançáveis. nos Jogos Ol’mpicos de 2016. mais especificamente se viram as provas de atletismo. Então, O que faz de Usain Bolt imbatível em corridas curtas (100 e 200 metros ra- pergunte aos alunos se sabem sos)? Em princípio, poderíamos pensar que ele move as pernas mais rápido do quem é Usain Bolt. Na sequên- que os oponentes; mas não é isso que ocorre, pois ele executa passadas mais cia, realize com os alunos a lei- longas e fortes. tura do texto desta página. Um corredor amador dá entre 50 e 55 passadas para completar 100 metros. Em seguida, peça a eles que Atletas de elite fazem esse percurso, em uma corrida, dando em torno de 45 façam uma pesquisa sobre os passadas. E Usain Bolt? Apenas 41! Com 1,94 m de medida de altura e pernas recordes mundiais antes de longas, esse detalhe, associado a outras características físicas, permite tal fa- Bolt, anotando as medidas de çanha. As passadas do início e do final não têm a mesma medida de comprimen- tempo e as respectivas épocas. to. Mas se quisermos saber a medida média dessas passadas basta dividirmos Com essa pesquisa, é possível 100 por 41, o que resulta em 2,43902 m, ou aproximadamente 2,44 m; isto é, estabelecer um comparativo da quase 2 metros e meio. evolução da performance dos atletas e da queda da medida de Nos Jogos Olímpicos do Rio, depois de 21 passos, Bolt atingiu a medida de tempo. Pode-se solicitar aos alu- velocidade de 43,9 km/h, tendo largado 0,165 segundo depois do sinal de partida. nos que calculem o percentual Depois de 5,6 segundos, ele atingiu 50 metros. Poucos carros nacionais atingiriam de vantagem das medidas de 50 metros em 5,6 segundos ou menos. tempo de Bolt em relação aos antigos recordes mundiais. Então, Bolt é ou não um fenômeno? Nas questões sobre o texto, Fontes de consulta: UOL. Mídia Global. Disponível em: <https://noticias.uol.com.br/ os alunos deverão relacionar midiaglobal/nytimes/2009/04/12/ult574u9279.jhtm>; conteúdos sobre medida de ve- locidade e medida de tempo. Se BBC. Geral. Disponível em: <www.bbc.com/portuguese/geral-40863129>. necessário, na questão 4, ex- Acesso em: 29 ago. 2017. plique que 10 m/s 5 (10 m) 4 (1 s). Quest›es 1 Chamamos de velocidade média o resultado da divisão da medida de comprimento um percurso pela me- dida de intervalo de tempo gasto para percorrê-lo. Então, qual é a medida de velocidade média de Bolt ao percorrer 100 metros em 9,58 segundos? 10,44 m/s (100 4 9,58 â 10,44) 2 Qual é a medida de velocidade média de Bolt no recorde mundial nos 200 metros rasos? 10,42 m/s (200 4 19,19 â 10,42) 3 Um atleta de alto rendimento dá em torno de 45 passadas ao percorrer 100 metros. Qual é, em média, a me- dida de comprimento de cada passada desse atleta? 2,22 m (100 4 45 5 2,222... â 2,22) 4 Lembrando que 10 m 5 0,01 km e que 1 segundo 5 1 hora, quando Bolt está correndo a uma medida de 3 600 1 51 3 600 velocidade de 10 m/s, qual é a medida de velocidade dele em km/h? 36 km/h [0,01 4 3 600 100 3 1 5 36] 90 CAPêTULO 3 ¥ Números racionais 90 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR
1. R$ 34,50 (36,3 4 12,1 5 3; 198 4 16,5 5 12; 12. 2 ? 5 2 1 ? 4 1/2 5 3 1 12 5 15; 15 3 2,30 5 34,5) Revisando seus Revisando seus conhecimentos conhecimentos 1 Considere as informações sobre o consumo de com- 8. 16 pontos. (13 3 (11,5) 1 7 3 (20,5) 5 119,5 2 3,5 5 116) Principais habilidades bustível do carro do Antônio. da BNCC • Consumo médio urbano: 12,1 km/L. 8 Uma avaliação consta de 20 questões. Cada questão EF07MA10 EF07MA12 • Consumo médio na estrada: 16,5 km/L. respondida certa vale 11,5 ponto e cada questão res- EF07MA11 EF07MA29 No caderno, calcule e responda: Em uma viagem, esse carro percorreu 36,3 km na cidade e 198 km na es- pondida errada vale 20,5 ponto. Se Paulo acertou trada. Qual foi a despesa com combustível se o preço de cada litro foi de R$ 2,30? 13 questões e errou 7, então quantos pontos ele fez? 9 Descreva como localizar em uma reta numerada As atividades apresentadas nesta página trabalham dife- os pontos correspondentes aos números racionais rentes conceitos de números racionais. dados. b) 217 c) 20 1 a) 17,25 5 2 Atividades 1 e 2 Estas atividades são contex- 2 Pedro foi ao banco pagar algumas contas: a de ener- 10 Copie e calcule no caderno. gia elétrica (R$ 193,47), a de água (R$ 48,57) e a de tualizações de operações com gás (R$ 34,89). Sabendo que Pedro levou ao banco a a) 22 2 c) 3 3 números racionais. quantia de R$ 300,00, quanto ele recebeu de troco 3 3 5 5 após pagar as 3 contas? Na atividade 1, se necessário, b) |20,25 | 0,25 d) |6,4| 6,4 explique que precisam efetuar R$ 23,07 (300 2 193,47 2 48,57 2 34,89 5 23,07) os cálculos separadamente, 11 Você se lembra de que, na calculadora, o ponto é pois o rendimento do combustí- 3 Qual destas expressões tem valor maior? vel é diferente para cada local do usado para indicar a vírgula de decimal? Assim, te- percurso. 2(0,8)2 2 (21,6) X a) (20,48) clando 2 ? 5 , aparece no visor , que cor- Atividades 3, 4 e 6 Estas atividades apresentam 24 12 responde a 2,5. expressões numéricas com nú- 2134 1 2 2 Algumas calculadoras têm uma tecla que muda o sinal meros racionais. 4 5 b) 2 1 (22) ? (21,2) do número digitado antes dela: 1/2 . Ou seja, ela for- Veja a resolução da ativida- de 3. nece o oposto desse número. 4 No caderno, copie e complete a “pirâmide” de números Algumas calculadoras também têm a tecla 1/x ou x21 , racionais efetuando multiplicações. que fornece o inverso do número digitado antes dela. 23,12 Escreva no caderno o que você acha que aparecerá no ( )a) 2 0,8 2 2 (21,6) 5 visor da calculadora ao teclar cada sequência indicada. 24 12 Depois, confira com uma calculadora. 15,2 20,6 Banco de imagens/Arquivo da editora 5 20,64 11,6 5 0,96 5 Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 22 22 a) 7 ? 3 6 27,3 5 20,48 22,6 22 10,3 b) 2 1/x 0,5 21,3 12 21 20,3 c) 3 4 4 5 1/x 1,333... ( )b)2132 1 1 (22) ? 4 4 d) 4 ? 5 x 2 6 5 29 5 Porcentagem. a) 40% de 300 5 120; 50% de 300 5 150. ( ) ( )? 25252 7 2 1 1 a) Descubra a regularidade, copie a sequência no e) 1 3 6 × 5 169 4 4 caderno e complete-a. f) 0 ? 2 1/x 1 1 6 5 4 1( ) ( )145 2 8 1 10% de 300 5 30 20% de 300 5 60 5 4 12 Escreva no caderno a sequência de teclas da cal- culadora que devemos apertar para obter o resultado ( )114 522 1 4 5 de (12,5) 2 (21,4), que é 3,9. Depois, confira com 5 5 30% de 300 5 90 uma calculadora. b) No caderno forme uma sequência de 5 termos, na 13 Copie cada afirmação no caderno e complete-a com 5 2150 1 4 5 2 6 5 existe apenas um, não existe ou existe mais de um. 5 5 No caso de existir só um, indique qual é; no caso de qual o 1o termo é 20 000, e cada termo, a partir do existir mais de um, cite pelo menos 2 exemplos. 5 21,2 a) número primo cujo algarismo das unidades é 6. 2o, é 20% do termo anterior. Atividade 9 Não existe. Esta atividade trabalha os 6 (20 000, 4 000, 800, 160, 32) 1 . 104 b) número primo entre 30 e 40. números racionais na reta nu- Calcule no caderno o valor da expressão 17,28 ? merada. Oriente os alunos a Existe mais de um; 31 e 37. descrever de que modo pode- 0,001728 riam proceder para identificar c) número primo par. a localização dos números ra- 7 A dízima periódica 0,5333» corresponde a qual das cionais na reta. Existe apenas um; 2. frações abaixo? d) número primo entre 24 e 30. a) 3 (0,60) c) 53 (0,53) 5 100 Existe apenas um; 29. b) 11 (0,7333...) X d) 8 (0,5333...) e) número primo cujo algarismo das unidades é 3. Atividade 10 15 15 Esta atividade trabalha os Existe mais de um; exemplos: 13, 23 e 43. conceitos de módulo ou valor Números racionais • CAPÍTULO 3 91 absoluto. Atividade 11 Esta atividade trabalha os conceitos de oposto e inverso de números racionais com o uso da calculadora. Destaque aos alunos que a calculadora deve ser usada ape- nas para conferir as respostas obtidas nestas situações. Atividade 12 Esta atividade trabalha o con- ceito de sequências com núme- ros racionais. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 91
8. 42 000 2 3 71 ? 397 1 5 2 3 (271) 3 1 19 2 7 5 12 5 2; 24 4 5 2 5 1; 7 2 1 5 7 2 3 5 4 5 2 397 1 2 7 7 6 6 6 4 2 6 2 6 6 6 3 Testes oficiais 21000 1 Principais habilidades Testes oficiais da BNCC EF07MA10 EF07MA12 1 (Prova Brasil) Observe os números que aparecem na 6 (Saeb) A figura abaixo mostra os pontos P e Q que reta abaixo. correspondem a números racionais e foram posicio- EF07MA11 EF07MA29 Banco de imagens/ nados na reta numerada do conjunto dos racionais. Arquivo da editora Banco de imagens/ As atividades desta página 0,5 0,6 PQ Arquivo da editora trabalham conceitos de núme- ros inteiros. O número indicado pela seta é: 20,5 0 Atividades 1, 2, 6 e 7 a) 0,9. X b) 0,54. c) 0,8. d) 0,55. Os valores atribuídos a P e Q, conforme suas posições Estas atividades desenvol- 2 (Prova Brasil) Em uma aula de Matemática, o profes- na reta numérica abaixo são: vem a localização dos números sor apresentou aos alunos uma reta numérica como racionais na reta numerada. a da figura a seguir: a) P 5 20,2 e Q 5 20,3. As imagens desta X b) P 5 20,3 e Q 5 20,2. página não estão Atividades 3 a 5 Banco de 24 23 22 21 0 1 2 3 4 representadas em Estas atividades apresentam imagens/ c) P 5 20,6 e Q 5 20, 7. proporção. Arquivo da situações cotidianas resolvidas d) P 5 20,7 e Q 5 20,6. a partir de operações com nú- editora meros racionais. O professor marcou o número 211 nessa reta. Esse 7 (Obmep) A figura mostra uma reta numerada na qual 4 estão marcados pontos igualmente espaçados. Os número foi marcado entre quais pontos da reta nu- pontos A e B correspondem, respectivamente, aos mérica? números 7 e 19 . a) 24 e 23. c) 2 e 3. 66 Banco de imagens/ d) 3 e 4. Arquivo da editora X b) 23 e 22. 2 11 5 22 3 CA B 4 4 3 (Prova Brasil) Uma casa mede 3,88 metros na altura. 7 19 66 Um engenheiro foi contratado para projetar um segun- Qual é o número que corresponde ao ponto C ? do andar e foi informado que a prefeitura só permite 12 a) 6 X d) 3 construir casa de dois andares com altura medindo 7,80 metros. Qual deve ser a medida da altura, em me- 1 3 tros do segundo andar? (7,8 2 3,88 5 3,92) b) e) 1 X a) 3,92 b) 4,00 c) 4,92 d) 11,68 1 2 4 (Obmep) Alvimar pagou uma compra de R$ 3,50 com c) uma nota de R$ 5,00 e recebeu o troco em moedas 8 (Saresp) Simplificando a expressão de R$ 0,25. Quantas moedas ele recebeu? 42 000 ? 2 71 ? 397 , chega-se a uma das 397 21 000 7 a) 4 b) 5 X c) 6 d) 7 e) 8 (5,00 2 3,50 5 1,50; 1,50 4 0,25 5 6) 5 (Saresp) Joana e seu irmão estão representando uma expressões abaixo. Qual delas? corrida em uma estrada assinalada em quilômetros, X a) 2? (271) ? 1 7 como na figura abaixo: 1 ? 21 ? 7 Banco de imagens/ 0 1 km 2 km b) 2 71 Arquivo da editora c) 397 ? 221 ? 7 42 71 397 partida A B d) 2271 ? 1 7 Joana marcou as posições de 2 corredores com os 9 (Obmep) Qual é o valor de 11 1 2 ? pontos A e B. Esses pontos A e B representam que os 12 corredores já percorreram, respectivamente, em km: 3 a) 1 d) 2 3 e 13 c) 1 e 2,75. X a) 0,5 4 . 4 b) 3 X e) 4 2 b) 0,25 e 10 . d) 1 e 2,38. c) 4 4 2 3 92 CAPêTULO 3 ¥ Números racionais Verifique o que estudou Principais habilidades da BNCC EF07MA10 EF07MA11 EF07MA12 Nesta página, as atividades trabalham os conceitos estudados neste capítulo sobre números racionais. 92 CAPÍTULO 3 - MANUAL DO PROFESSOR
VERIFIQUE 5. 3 unidades. 3 1 3 5 6 5 3 b) Falsa; contraexemplo: 1 O QUE ESTUDOU 2 2 2 2 f) O dobro de um número racional é igual ao quadra- é racional, mas não é inteiro. do desse número. 1. d) Exemplo de resposta: 22. g) Exemplo de resposta: 9 . 5 Desenhe no caderno uma reta numerada e marque c) Falsa; contraexemplo: nela o ponto A, que representa o número racional 11 . f) Exemplos de resposta: 22 1, 22,4. 40 2 3 4 4 5 3 . Depois, marque o ponto B, que representa o oposto 4 2 ou simétrico do número representado por A. Qual é a 1 Copie as frases no caderno, descubra e complete com medida de distância entre os pontos A e B? d)Verdadeira; exemplos: os números corretos. 3445 3 a) 12 na forma de fração irredutível é . 9 4 , que é racio- 77 nal; (212) 4 (22) 5 16, b) 0,17 na forma de fração irredutível é . 17 6 Escreva no caderno alguns números racionais e que é racional; 9 4 2 5 100 passe para um colega representá-los em uma reta numerada. Você confere o que ele fez. Depois, re- 5 9 5 4 1 , que é racional. c) 4 na forma de fração irredutível é . 2 presente os números que o colega escreveu e passe 2 2 30 15 para que ele os confira. Resposta pessoal. e) Verdadeira; exemplos: 2,5 d) é um número inteiro mas não é um número natural. e) é um número racional mas não é um número fica entre 2 e 3; 1 fica en- inteiro. Exemplo de resposta: 2 1 . 2 4 7 Determine no caderno: tre 2 e 3 ; 0,75 fica entre 55 f) é um número racional entre 23 e 22. 2 1 22 0,7 e 0,8. g) é um número racional entre 1 1 e 1 1. 3 3 54 a) o dobro de ; f) Falsa; contraexemplo: o h) é um número racional entre 11,4 e 11,5. dobro de 5 é 10 e o quadra- Exemplo de resposta: 11,43. b) o triplo da soma 1 31 1 2 1 ; 21 do de 5 é 25. 2 2 2 No caderno, dê exemplos de usos dos números ra- cionais no dia a dia. Resposta pessoal. Falsa; contraexemplo: 80 4 4 3 5 5 80 4 20 5 4 3 Determine os possíveis valores racionais de x em c) o valor da expressão (10,1) 2 (21,1) ? (20,4). 20,34 (incorreta) e 80 4 4 3 5 5 5 20 3 5 5 100 (correta). cada item. 8 A conta bancária de Pamela estava com saldo negati- vo de R$ 125,50. Qual será o saldo bancário em cada a) |212| 5 x x 5 12 d) | x | 5 0 x 5 0 situação? No item f, comente com os a) Se ela depositar R$ 260,00. b) | x | 5 9 x 5 9 ou x 5 29. e) |3,75| 5 x x 5 3,75 alunos que devemos sempre R$ 134,50 (2125,50 1 260,00 5 134,50) 1 efetuar a multiplicação e a divi- 2 b) Se for descontado um cheque de R$ 130,00. c) | x | 5 27 Não existe valor f) | x | 5 1 1 x 5 1 1 ou são na ordem em que aparecem. 2 x 5 2 . 2R$ 255,00 (2125,50 2 130,00 5 2255,50) racional para x. 2 Atividades 5 e 6 9 Escreva no caderno uma sequência de 6 termos, sa- Estas atividades trabalham a 4 Copie as afirmações abaixo no caderno e indique bendo que o primeiro termo é 23,5 e, a partir do 2o, cada termo é igual ao anterior somado com 1,5. representação de números ra- se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No cionais na reta numerada. (23,5; 22; 20,5; 11; 12,5; 14) caso de ser verdadeira, dê 3 exemplos que confir- 10 A soma de 2 números racionais opostos é zero. Quais mem a afirmação feita. No caso de ser falsa, dê 1 são esses números? Atividade 11 Nesta atividade, os alunos contraexemplo. devem concluir o que ocorre a) Todo número inteiro é racional. quando adicionamos um núme- ro ao oposto dele e quando mul- b) Todo número racional é inteiro. 11 O que ocorre quando multiplicamos um número pelo tiplicamos um número pelo in- inverso dele? Dê exemplos no caderno. verso dele. c) O quociente de 2 números inteiros, com o segundo diferente de zero (0), é sempre um número inteiro. d) O quociente de 2 números inteiros, com o segundo Atenção Autoavaliação diferente de zero (0), é sempre um número racional. As questões de autoavalia- Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique e) Entre 2 números racionais sempre existe um nú- em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- ção apresentadas propiciam aos do maneiras de reforçar seu aprendizado. alunos refletir sobre os estudos, mero racional. as atitudes e as aprendizagens. Dê um tempo para que cada alu- 10. Qualquer número racional somado ao oposto dele é igual a 0; por exemplo: 21 e 11; 20,5 e 10,5; 2 3 e 1 3 . no reflita individualmente sobre 44 elas e registre as respostas no caderno. Em seguida, àqueles Autoavaliação que desejarem, permita que compartilhem as respostas com Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita os colegas. sobre elas. Respostas pessoais. Ao longo do ano, é importante • Prestei atenção às explicações do professor durante as aulas? a retomada dos registros de au- • Realizei as tarefas de casa? toavaliação feitos no fim de cada • Empenhei-me em ler e compreender os textos do livro, bem como em resolver as atividades propostas? capítulo, para que eles possam perceber e mensurar o quanto 11. O resultado é sempre 1; exemplos de resposta: 2 3 1 5 1; 5 3 7 5 1. 93 aprenderam e melhoraram em 2 7 5 Números racionais • CAPÍTULO 3 diversos aspectos. Atividade 1 Atividade 4 Em relação às perguntas pro- Esta atividade relaciona os elementos de conjuntos numéricos, Nesta atividade, os alunos devem julgar a veracidade das afirma- postas nesta página, converse com a turma sobre a importân- além de representar alguns números como frações e identificar nú- ções sobre relações entre números inteiros e números racionais e cia de realizar as tarefas de ca- meros racionais entre 2 números racionais. sobre a ordem de efetuação das operações em uma expressão. sa. Enfatize que essas ativida- des são uma oportunidade de Atividade 2 Veja as respostas dos itens desta atividade. perceber dúvidas que ainda Esta atividade pode ser resolvida em conjunto com a turma. Para existem. isso, enumere na lousa os exemplos que os alunos citarem, comple- ( )a)Verdadeira; exemplos: 5 é inteiro e é racional 5 ; 22 é in- Avaliação mentando-os se necessário. Em seguida, peça que anotem esses 1 exemplos no caderno. Para mais informações, ve- ( ) ( )teiro e é racional 0. ja a avaliação do 1o bimestre. 212 ; 0 é inteiro e é racional 1 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 3 93
Abertura CAPÍTULO Expressões Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora algébricas e Principal habilidade 4 equações do 1o grau Paulo Manzi/ da BNCC Arquivo da editora 94 Medida de perímetro EF07MA18 x131x13 x1x1313 Inicialmente, comente com 2?x16 os alunos que, neste capítulo, serão explorados diversos con- ceitos: expressões algébricas, equações do 1o grau (incógnita e solução ou raiz) e sequências. Mostre o terreno ilustrado nesta página e pergunte como podem calcular a medida de pe- rímetro desse terreno, uma vez que 2 medidas de comprimento dos lados estão representadas por números e 2 medidas de comprimento dos lados estão representadas pela mesma le- tra. Verifique as hipóteses da turma e, em seguida, explique aos alunos que devem somar número com número e letra com letra, como mostrado no livro. Como temos uma expressão formada pela soma de letras e números, não podemos definir apenas um valor numérico para a medida de perímetro do terre- no. Assim, dizemos que essa ex- pressão algébrica está dada em função da letra que representa a medida de comprimento do la- do do terreno, ou seja, está dada em função de x. Explique que, quando dize- mos em função de, podemos interpretar como depende de, pois a medida de perímetro vai depender do valor de x. Ao atri- buirmos um valor maior para x, a medida de perímetro do ter- reno será maior e, ao atribuir- mos um valor menor para x, a medida de perímetro do terre- no será menor. Plano de desenvolvimento Para mais informações, veja o plano de desenvolvi- mento do 2o bimestre. 94 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Neste capítulo vamos iniciar o estudo das expressões algébricas e das equações. Abertura Na situação mostrada na página anterior, temos um terreno retangular com medida de comprimento da largura de 3 metros e medida de comprimento da profundidade de Converse com os alunos so- x metros. Podemos indicar a medida de perímetro desse terreno, em metros, por bre a situação da compra do es- 2x 1 6, que é um exemplo de expressão algébrica. tojo e do caderno. Mostre que Veja outra situação. possuímos 2 valores em função da mesma letra. Explique que, Ilustrações: Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora como estão representados pela mesma letra, o valor dela é o mesmo. No entanto, no caso do caderno, a letra aparece multi- plicada por 2, então podemos dizer que o valor dele é o dobro do valor do estojo. Ainda não é necessário so- mar 2x e x e resolver a equação, pois os alunos devem descobrir os preços do estojo e do cader- no, na questão 2, da forma que preferirem, seja por tentativa e erro, pela resolução da equação ou por qualquer outro método. Peça que resolvam, em gru- po, as atividades disponibiliza- das nesta página. Se necessá- rio, faça intervenções. 2x reais x reais 2x 1 x 5 18 reais Para indicar que o caderno custa o dobro do estojo e que juntos eles custam 18 reais, escrevemos 2x 1 x 5 18, que é um exemplo de equação. Converse com os colegas sobre estas questões e faça os registros no caderno. 1 Se, no terreno retangular, a medida de comprimento da profundidade é de 7 metros, ou seja, x 5 7, então qual é a medida de perímetro do terreno? 20 m (7 1 3 1 7 1 3 5 20) 2 Qual é o preço do estojo? E do caderno? 6 reais; 12 reais. (12 5 2 3 6; 6 1 12 5 18) 3 Se o caderno custasse o triplo do estojo e os 2 juntos custassem 20 reais, então qual das 3 equações indicaria essa situação? X a) 3x 1 x 5 20 b) 3x 1 3 5 20 c) x 1 3 5 20 Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 95 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4 95
1 Expressões 1 Express›es algŽbricas algébricas Podemos representar matematicamente algumas expressões dadas em lin- Principais habilidades guagem usual. Observe. da BNCC Linguagem usual Linguagem matemática EF07MA13 EF07MA16 O dobro de cinco. 2?5 O triplo de oito. 3?8 EF07MA15 EF07MA18 Quatro mais seis. 416 Nove menos 2. 922 Na lousa, represente mate- maticamente as expressões Também podemos representar um número cujo valor ainda não conhecemos 3x significa 3 ? x, ou fornecidas em linguagem usual por uma letra qualquer. Por exemplo, a frase “o triplo de um número” pode ser re- seja, 3 vezes x. no livro. Então, pergunte: “Como presentada, em linguagem matemática, por 3x. podemos escrever a expressão ‘o quádruplo de um número’?”. Expressões como essas são chamadas de expressões algébricas. Elas são Se necessário, mostre que po- formadas por números, letras e sinais de operações. demos representar o número desconhecido por uma letra Nesse exemplo, x pode assumir qualquer valor, como 4; 23; 0; 1 ; 20; 211 ; 0,5. qualquer, como x. Explique que 5 3 essa letra pode assumir qual- quer valor e que, por isso, a cha- E, como x representa diferentes números, ele é chamado de variável da expressão maremos de variável. Defina também expressões algébri- algébrica. cas como apresentado no livro. Neste capítulo, trabalharemos apenas com variáveis representando números racionais. Em seguida, peça aos alunos que escrevam as expressões Observe outros exemplos de uso de variáveis em expressões algébricas. algébricas que representam os outros exemplos dados em lin- Linguagem usual Linguagem matemática guagem usual no livro, verifi- O dobro de um número. 2x cando se surgem dificuldades para interpretar situações que A metade de um número. x envolvem mais de uma opera- 2 ção, como em “o triplo de um Um número mais cinco. x15 número menos seis”. Se achar O triplo de um número menos seis. conveniente, apresente outros A soma de dois números. 3x 2 6 exemplos, além de pedir que es- crevam, na língua materna, al- x1y gumas expressões algébricas dadas. Você sabia? 05_f001_7TelMat- Reprodução/Museu do Louvre, g20At Paris, França. Você sabia? Geralmente usamos as últimas letras do alfabeto IMAGEM NOVA. Leia com os alunos esta se- (x, y, z) para representar quantidades desconheci- Retrato de René das. Essa ideia foi proposta pelo filósofo e mate- Descartes. (Página ção e explique a eles que utiliza- mático francês René Descartes (1596-1650), na 148). mos as letras x, y e z apenas por primeira metade do século XVII. convenção. Mostre que, embora essas letras sejam as mais uti- Retrato de René Descartes. lizadas, podemos utilizar outras c. 1649. Frans Hals. Óleo sobre ou até símbolos. tela, 77,5 cm 3 68,5 cm. Neste momento, peça aos alunos que escrevam, de modo 96 CAPÍTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau que todos entendam, o que é uma expressão algébrica e o que é uma variável no painel de descobertas. Sequência didática Para mais informações, veja a sequência didática 1 do 2o bimestre. 96 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Atividades 1 Expressões algébricas 1 Copie o quadro no caderno e complete-o. 6 Mônica e o pai dela estão brincando de perguntas Atividade 1 Linguagem usual Linguagem e respostas. As regras são as seguintes: Nesta atividade, os alunos O quíntuplo de um número. matem‡tica O quadrado de um número. • quem acertar, ganha 10 pontos; devem escrever em linguagem 5x usual as expressões algébri- A metade de um número. • quem errar, perde 3 pontos. cas fornecidas ou representar x2 em linguagem matemática as A soma de um número com cinco. Mônica teve x acertos e y erros. Qual expressão al- descrições dadas em língua x materna. 2 gébrica indica os pontos obtidos por ela no total? Atividade 2 x15 10x 23y Nesta atividade, os alunos 7 Qual expressão algébrica indica o número de dias devem determinar quais são as variáveis em cada item, com- em um período formado por x semanas comple- preendendo que elas são as le- tras da expressão algébrica. tas mais 3 dias? 7x 1 3 Atividades 3, 4, 5 e 9 O triplo de um número mais quatro. 3x 1 4 8 Considere que n representa um número natural. Nestas atividades, os alunos O quíntuplo de um número menos oito. 5x 2 8 Indique por meio de expressões algébricas: devem escrever a expressão algébrica a partir da lingua- A diferença entre um número e três. x23 a) a soma do triplo desse número com 7; 3n 1 7 gem usual. O dobro de um número menos dez. 2x 2 10 b) 40% desse número; 0,40n ou 2n . Observe a estratégia que os alunos utilizam para resolver o Um número menos a terça x 2 x 5 item d da atividade 3. parte dele. 3 c) o sucessor desse número; n 1 1 Atividades 6 a 8 Um número mais a sétima Estas atividades trabalham a parte dele. d) 2(n 2 9) escrita de expressões algébri- d) o dobro da diferença entre esse número e 9; cas a partir de algo escrito em linguagem usual. x e) a metade desse número diminuída de 11. n 2 11 7 2 Atividades 10 e 11 x 1 f) a soma de 8 com 2 2n . Nestas atividades, os alu- 3 desse núm8e1ro.2 n ou 8 1 33 nos precisam determinar as 9 O cartaz está anunciando a promoção de uma loja. expressões algébricas referen- 2 Quais são as variáveis em cada expressão algébrica? tes às medidas de perímetro Banco de imagens/Arquivo da editora das figuras. a) 2y 1 8 y c) 2xy 1 x x e y . Pagamento: R$ 100,00 1 3 3 P b) 5x 1 3 x d) 1 x 1 z x e z. As imagens desta 2 Só R$ 100,00 e 3 prestações iguais. página não estão representadas em 3 Transforme as afirmações escritas em linguagem Televisores proporção. Fogões usual para expressões algébricas. a) O triplo de um número. 3x 1x 13 2 b) A metade de um número mais 3. Refrigeradores c) O quadrado de um número menos 4. x2 2 4 O valor de cada prestação. d) A terça parte de um número mais o dobro des- a) O que a letra P está indicando? se número. 1 x 1 2x ou x 1 2x. b) A expressão algébrica 100 1 3 3 P, indica o quê? 33 100,00 de entrada e mais 3 prestações iguais. e) 5 menos um número. 5 2 x 10 Escreva no caderno, de 2 maneiras diferentes, a f) O dobro de um número mais 7. 2n 1 7 expressão algébrica que representa a medida de g) Um número dividido por 4. y perímetro de cada retângulo. 4 Banco de imagens/ a) x b) x13 c) x Arquivo da editora 4 No caderno, transforme cada expressão algébri- ca em uma afirmação escrita na linguagem usual, 3x 3x x x y f) A metade da diferença sendo x um número racional. entre um número Exemplos de racional e 1. O quádruplo de um x 21 g) Um número x x13 resposta:a) 4x 1 9 11 Para cada região plana I, II e III a seguir, associe no número racional f) racional mais mais 9. 2 8 ou a soma caderno uma expressão algébrica A, B ou C que 1 representa a medida de perímetro da região. b) 4 x 15 A quarta parte de g) x18 de um número c) x um número racio- h) racional com 8. I II III d) 3 nal mais 5. i) h) 8 vezes um 3 cm x2 A terça parte de um 8z número racional. número racional. y i) Um número O quadrado de um racional dividido por Banco de imagens/Arquivo da editora 5 ou a quinta parte 1 10 número racional 5 de um número mais 10. racional. e) x 2 1 2x O quadrado de um número racional mais o dobro desse número. 5 Invente uma expressão algébrica, registre-a no x x 3 cm x caderno e dê para um colega passá-la para a lin- guagem usual. Resposta pessoal. A) 4x B) 3x 1 9 C) 2(x 1 3) I – C; II – B e III – A. 10. a) x 1 3x 1 x 1 3x ou 8x. b) x 1 x 1 3 1 x 1 x 1 3 ou 4x 1 6. c) x 1 y 1 x 1 y ou 2x 1 2y. 97 Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4 97
1 Expressões Máquinas programadas para gerar operações algébricas Berenice e Joel, para recordar o que aprenderam na aula de Matemática, imaginaram 2 máquinas. Uma Apresentamos as máquinas está programada para dobrar o número de entrada e, em seguida, adicionar 3 ao resultado. A outra está pro- programadas para desenvolver gramada para triplicar o quadrado do número de entrada. o conceito de função de forma intuitiva com os alunos. 1a máquina S Ilustrações: Paulo Manzi/Arquivo da editora 3 Na lousa, apresente a 1a má- E Operação 5 quina programada e os números 0 23013 21 que entram, perguntando quais 1 23113 13 operações efetuamos e quais 22 2 3 (22) 1 3 1 números saem em cada caso. Fa- 5 23513 43 ça o mesmo para a 2a máquina. 21 2 3 (21) 1 3 2n 1 3 20 2 3 20 1 3 Em seguida, destaque que os n 23n13 números que saem dependem do número que fica no lugar da 2a máquina letra na expressão algébrica, ou seja, eles estão dados em fun- E Operação S ção do quanto vale a letra. 0 3 3 02 0 Atividades 12 e 13 Estas atividades trabalham 1 3 3 12 3 a descoberta dos números e 2 3 3 22 12 das expressões algébricas que saem das máquinas pro- 21 3 3 (21)2 3 gramadas. 3 3 3 32 27 No item b da atividade 12 e na atividade 13, os alunos devem 22 3 3 (22)2 12 apresentar a programação da máquina. x 33x2 3x 2 Na atividade 13, peça que se Tabelas elaboradas para fins didáticos. reúnam em duplas, sendo que um aluno deve inventar a má- Observe que a cada número de entrada na máquina tem um único número correspondente de saída. Dize- quina programada e apresentar mos que o número de saída é dado em fun•‹o do número de entrada. alguns valores que entram nela, enquanto o outro deve escrever Atividades os números e a expressão algé- brica que saem. Depois, eles tro- 12 Observe as máquinas programadas em cada item. b) Máquina b cam de papéis. Copie as tabelas no caderno e complete-as com os números que faltam. No item b, escreva tam- bém a mensagem que deve aparecer na máquina. a) Máquina a Paulo Manzi/Arquivo da editora ES Paulo Manzi/Arquivo da editora 5 12 26 ES 21 0 20 Adicionar 1 ao número e dobrar 02 ou dobrar a soma do número 10 4 com 1. 10 22 0 21 m 2(m 1 1) 24 23 Tabela elaborada para fins didáticos. 21 1 2 y y 21 13 Invente uma máquina que gera operações e 2 escreva no caderno a expressão algébrica cor- respondente. Resposta pessoal. Tabela elaborada para fins didáticos. 98 CAPÍTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 98 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Express›es algŽbricas equivalentes Fácil! É só dizer 1 Expressões 7 vezes o 5! algébricas Acompanhe o raciocínio de Julia e Guilherme. Isso resulta em 35. Acompanhe, com os alunos, Existe outra maneira de dizer Ilustrações: o raciocínio de Julia e Guilherme “3 vezes o 5 mais 4 vezes o 5”, Thiago Neumann/ acerca das expressões algébri- sem falar o resultado? Arquivo da editora cas equivalentes e analise as maneiras que eles encontraram Genericamente, chamando um número desconhecido de x, podemos dizer que \"3 vezes esse número mais para representar uma mesma 4 vezes esse número\", que representamos por 3x 1 4x, é o mesmo que \"7 vezes esse número, que represen- expressão. Mostre que, consi- tamos por 7x \". derando um número genérico x, podemos dizer que as expres- Dizemos que as expressões algébricas 3x 1 4x e 7x são equivalentes e podemos, sempre que quisermos, sões 3x 1 4x e 7x são equi- valentes. Pergunte o que são substituir uma delas pela outra. expressões equivalentes. Uso da propriedade distributiva Em seguida, explique aos alunos o uso da propriedade Vamos usar a propriedade distributiva para determinar expressões algébricas equivalentes. distributiva, apresentando os cálculos na lousa e mostrando • 2x 1 6x 5 (2 1 6) ? x 5 8 ? x 5 8x x 14 como fazer os agrupamentos • 3y 1 5y 1 y 5 (3 1 5 1 1) ? y 5 9 ? y 5 9y 3 3 ? x 5 3x 3 ? 4 5 12 dos fatores, como no livro. • 3(x 1 4) 5 3 ? x 1 3 ? 4 5 3x 1 12 17. (x 1 x) 4 3 e 2x ; (x 1 5) 1 (x 2 5) e 2x; 2(5x 2 3) e Ao final, peça aos alunos que registrem, no painel de desco- Atividades bertas, o que são expressões al- gébricas equivalentes, exempli- ficando-as a partir da proprieda- de distributiva. 3 4x 116 e x 1 4. Atividades 14 a 18 10x 2 6; 2 1 4x 2 3x 1 3 e x 1 5; Estas atividades trabalham 4 expressões algébricas equiva- 14. f) 15x (5 1 1 1 9) 3 x 5 15 3 x 5 15x) 16 Mário escreveu algo muito simples de uma ma- lentes, usando-se a propriedade distributiva. 14 Escreva no caderno uma expressão algébrica equivalente a cada expressão dada. neira muito complicada. No caderno, simplifique a) 2x 1 3x e) 8a 1 7a a expressão algébrica e descubra o que ele es- Na atividade 15, mostre que, 5x ((2 1 3) 3 x 5 5 3 x 5 5x) 15a ((8 1 7) 3 a 5 15 3 a 5 15a) creveu. x 7x 1 24x 112 2 12 5 31x 5 x no exemplo, podemos escrever 31 31 b) 8y 2 5y f) 5x 1 x 1 9x 4x 5 4 x 5 2x. 2 2 3y ((8 2 5) 3 y 5 3 3 y 5 3y) 3x 1 4x 13(8x 1 4) 212 Veja as simpli- c) 8a 2 3a 1 4a g) 7y 2 2y ficações das expressões algé- 9a ((8 2 3 1 4) 3 a 5 9 3 a 5 9a) 5y ((7 2 2) 3 y 5 5 3 y 5 5y) 31 d) 5x 1 6x 2 x h) 5 ? (y 2 1) 5y 2 5 bricas desta atividade. 10x ((5 1 6 2 1) 3 x 5 10 3 x 5 10x) 17 Identifique e registre no caderno os 5 pares de 3y 1 9 3y 15 Observe: expressões algébricas equivalentes entre as re- a) 3 5 3 1 9 5 lacionadas abaixo. 3 4x 112 5 4x 1 12 52x 1 6 2 22 5y13 A expressão algébrica 2x 1 6 é equivalente a x14 x15 4x 116 b) 4a 18 135 4a 1 8 1 4 2 2 2 4x 112 e mais simples! Dizemos que ela é a ex- 2 2x 1 3 5 2a 1 4 1 3 5 2a 1 7 pressão algébrica simplificada. 2x c) 5x 16x 1 22 25 5 11 Agora, faça você. Escreva no caderno a expressão algébrica equivalente e simplificada de cada ex- 3 2(5x 2 3) 10x 2 6 5 11x 1 22 2 55 pressão dada. 11 5x 12255x 23 a) 3y 1 9 y13 c) 5x 1 6x 122 25 (x 1 5) 1 (x 2 5) (x 1 x) 4 3 2 1 4x 2 3x 13 d) 2m 215 1 8m 5 3 11 x 2 3 5 18 Crie no caderno uma expressão algébrica que, b) 4a 1 8 13 d) 2m 215 1 8m simplificada, seja igual a 2x. 5 10m 2 15 5 2m 2 3 2 2a 1 7 5 2m 2 3 5 5 18. Exemplos de resposta: 8x 1 3x 2 9x; 4x 1 4 2 2; 2 99 5x 2 x 1 2(3x 2 5) 2 8x 1 10. Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4 99
1 Expressões Valor numérico de uma expressão algébrica Banco de imagens/Arquivo da editora algébricas Thiago Neumann/Arquivo da editora Você se lembra que a medida Na lousa, apresente o exem- de perímetro de um polígono plo do livro e peça aos alunos é a soma das medidas de que calculem a medida de perí- comprimento dos lados dele? metro do quadrado de medida a de comprimento dos lados. A medida de perímetro deste quadrado é representada pela expressão algé- Pergunte aos alunos que valo- brica a 1 a 1 a 1 a ou 4a, em que a é a medida de comprimento do lado do qua- res esse a pode assumir e quais drado, em centímetros (cm). as respectivas medidas de pe- rímetro. a Explique aos alunos que, ao • Se a 5 2 cm, então a medida de perímetro é 4 ? 2 cm 5 8 cm. substituirmos a letra da expres- • Se a 5 3,5 cm, então a medida de perímetro é 4 ? 3,5 cm 5 14 cm. são algébrica por um número e Dizemos que o valor numérico da expressão algébrica 4a é igual a 8 cm quando efetuarmos as operações indi- a é igual a 2 cm e é igual a 14 cm quando a é 3,5 cm. cadas, obteremos o valor numé- rico da expressão algébrica para esse número. Em seguida, coloque alguns exemplos de expressões algé- bricas na lousa e peça aos alu- nos que obtenham o valor nu- mérico delas, substituindo as variáveis por números quais- quer. Destaque que o valor nu- mérico que a expressão assume está em função do número que substitui a letra. O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor que ela assume quando substituímos cada variável por um número e efetuamos as operações indicadas. Veja outros exemplos. • O valor numérico da expressão algébrica 5 ? x para x 5 3 é 5 ? 3 5 15. • O valor numérico da expressão algébrica x 1 x para x 5 9 é 9 1 9 5 9 1 3 5 12. 3 3 • O valor numérico da expressão algébrica x 2 1 x 1 3 para x 5 21 é (21)2 1 (21) 1 3 5 1 2 1 1 3 5 3. • O valor numérico da expressão algébrica x2 1 y para x 5 5 e y 5 10 é 52 1 10 5 25 1 10 5 35. Explorar e descobrir O que será que acontece com o valor numérico de expressões algébricas equivalentes? Verifique nas expressões algébricas equivalentes a seguir, para x 5 1, x 5 2 e x 5 23, converse com os colegas e registre no caderno sua conclusão. Para cada valor de x, o valor numérico é o mesmo em expressões algébricas equivalentes. a) 2x 1 4 b) 2(x 1 2) c) 2x 2 (24) (2 3 1 1 4 5 6; 2 3 2 1 4 5 8; (2(1 1 2) 5 6; 2(2 1 2) 5 8; (2 3 1 2 (24) 5 6; 2 3 2 2 (24) 5 8; 2 3 (23) 2 (24) 5 22) 2 3 (23) 1 4 5 22) 2(23 1 2) 5 22) 100 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Sugestão de atividade Ilustrações: Banco de imagens/ Arquivo da editora Uma atividade interessante para propor aos alunos é x 2 z x1 z2 y x 1 y Depois, peça que escolham valores para x, y e z. x2z56 x 1 z2 x 1y 5 a conexão que se pode estabelecer entre números e ex- Por exemplo, x 5 8, y 5 5 e z 5 2, substituindo 2 y 5 5 5 13 pressões algébricas mediante quadrados mágicos. as letras por esses valores no “quadrado secreto”. Por exemplo, apresente aos alunos o “quadrado secreto” ao lado, que permite construir um quadrado mágico com x1y1z x x2y2z x1y1 x58 x2y2 quaisquer números que se escolherem para x, y e z. 1 z 515 2 z51 x 2 y x1y 2 z x 1 z x2y53 x1y 2 x1z5 Quadrado secreto 2 z 511 5 10 Quadrado secreto 100 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Restriç›es para o denominador 1 Expressões algébricas Algumas expressões algébricas não representam um número para alguns valores atribuídos às variáveis. Inicie relembrando os alu- Por exemplo, 1 não representa um número quando x 5 0, pois não existe a divisão por zero. Por isso, se nos de que não podemos divi- x dir por zero, como vimos ao precisarmos escrever a expressão 1 , devemos escrever ao lado dela a restrição x = 0, assim: trabalhar com múltiplos e di- x visores. Desse modo, pergun- 1 te se podemos definir o valor x , x = 0 numérico da expressão algé- brica 1 para x 5 0. Espera-se x Veja outros exemplos. que respondam que não é pos- • x 21 , x = 21, pois a expressão algébrica x 21 não tem significado quando x 1 1 5 0, ou seja, sível determinar esse valor. As- x 11 x 11 sim, explique que para essa ex- quando x 5 21. pressão a restrição x = 0 é necessária. • a 1b , a = b, pois a expressão algébrica a 1b não representa um número quando a 2 b 5 0, ou seja, a 2b a 2b Na lousa, apresente outras expressões algébricas (algu- quando a 5 b. mas com restrições e outras sem) e peça aos alunos que de- Assim, para representar um número, o denominador em uma expressão algébrica terminem para quais valores necessariamente tem que ser diferente de zero. elas não estão definidas. Ao fi- nal, leve os alunos a perceber Para qual valor de x a Thiago Neumann/Arquivo da editora que apenas as expressões algé- expressão algébrica x bricas fracionárias apresentam restrições: os denominadores x 22 precisam ser diferentes de zero. representa um número? No painel de descobertas, sugira aos alunos que escre- vam sobre o valor numérico e as restrições de uma expressão algébrica, apresentando alguns exemplos. Procuramos inicialmente o valor de x que anula o denominador: Atividades 19 e 20 Estas atividades trabalham x x 2 2 5 0, quando x 5 2. x 22 a determinação do valor nu- Assim, representa um número se x = 2 pois, quando x for diferente de 2, o denominador x 2 2 mérico das expressões algé- bricas dadas. será diferente de zero. Atividades Na atividade 20, os alunos devem, primeiramente, repre- 19. c) 215 (2 5 1 2 3 (25) 5 25 2 10 5 215) c) 2 menos x. sentar por expressões algébri- 3 cas as sentenças dadas em lín- 19 Calcule o valor numérico das expressões algébri- gua materna. d) Um número x dividido por 2. cas dadas para x 5 2, y 5 1 e z 5 25. 3 a) x 1 3 5 (2 1 3 5 5) c) z 1 2z Atividade 21 21 Arredondamento, cálculo mental e resultado Nesta atividade, os alunos b) 6y 2 6 3 1 5 6 5 2 d) x 1 z aproximado. a) O preço de 4 cadernos e de 3 pastas devem descobrir o valor numé- 3 3 juntos. rico aproximado da expressão 3 (2 2 5 5 23) dada. a) Se c indica o preço de um caderno e p o de uma 20 Escreva no caderno as expressões algébricas pasta, então o que indica a expressão 4c 1 3p? que correspondem às sentenças dadas. Depois, b) Ana fez a compra indicada por 4c 1 3p em uma determine o valor numérico de cada uma delas papelaria que tem c 5 R$ 4,99 e p 5 R$ 2,05. para x 5 10. Registre no caderno o valor mais próximo do a) 2,5 mais x. 2,5 1 x; 12,5. (2,5 1 10 5 12,5) que ela gastou. b) A soma de um número x com o triplo de x. I. R$ 23,00 II. R$ 20,00 X III. R$ 26,00 x 1 3x; 40. (10 1 (3 3 10) 5 10 1 30 5 40) (4 3 5 1 3 3 2 5 20 1 6 5 26) 20. c) 2 2 x; 2 28 . 2 2 10 5 2 2 30 5 2 28 20. d) x ; 5. 10 5 5 3 3 3 3 3 3 2 2 Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 101 O resultado é um quadrado mágico 6 5 13 Banco de imagens/ 2. Use x 5 15, y 5 9 e z 5 4. Qual é a soma mágica desse qua- cuja soma mágica é 24. Sugira a eles que Arquivo da editora drado? confiram. 15 8 1 3. Escolha 3 números para construir um quadrado mágico com Em seguida, proponha estas atividades: a condição de que x seja maior do que a soma de y com z (x > y 1 z). Determine a soma mágica. 1. Use o “quadrado secreto” e monte um quadrado mágico para x 5 12, 3 11 10 Respostas: y 5 7 e z 5 3. Qual é a soma má- Quadrado secreto gica dele? 1. 36 2. 45 3. Resposta pessoal. 101MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
1 Expressões 22 Observe as informações das etiquetas dos eletro- 26 Escreva no caderno a expressão algébrica que algébricas domésticos, que estão sendo vendidos na mesma representa a medida de perímetro deste polígo- loja da atividade anterior. no. Depois, determine o valor numérico dessa Atividades 22 e 25 expressão para x 5 1,5. No item c da atividade 22, os Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editora xx alunos devem encontrar os va- Banco de imagens/Arquivo da editora lores das prestações intuitiva- Banco de imagens/ mente. Verifique se algum aluno Arquivo da editora resolveu as equações. Na atividade 25, os alunos Refrigerador xx devem descobrir a restrição pa- Cada prestação ra a expressão algébrica do As imagens desta xx item b da atividade 24. R$ 280,00 página não estão representadas em 6x; 9. (x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 6x; 6 3 1,5 5 9) Refrigerador. proporção. 27 No caderno, faça o que se pede em cada item. Atividades 26 e 27 TV 23\" Estas atividades desenvol- Cada prestação Karam Miri/Shutterstock/Glow Images a a) Escreva 2 expressões algébri- a cas que representam a medi- vem a escrita de expressões R$ 215,00 da de área total desta figura. que representam medidas de área e medidas de perímetro Televisor. b) Calcule o valor numérico de das figuras dadas. Fogão 4 Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editora cada expressão para a 5 3 cm Na atividade 26 e no item b bocas da atividade 27, também de- Preço total: e b 5 6 cm. vem ser calculados os valores R$ 370,00 b a) Exemplos de resposta: numéricos das expressões encontradas. Fogão. a2 1 ab e a(a 1 b). b) 27 cm2 (32 1 3 3 6 5 9 1 18 5 27 e 3 3 (3 1 16) 5 3 3 9 5 27) Atividade 28 a) Dado que 28 Um reservatório já está com 200 L de água. Uma Esta atividade apresenta o 100 1 3 3 P, torneira que despeja nesse reservatório 25 L de como P 5 215 água por minuto é aberta. cálculo do valor numérico de ex- fazemos a) Qual expressão algébrica representa o número pressões algébricas. No item a, de litros de água no reservatório após x minu- os alunos devem determinar a 100 1 (3 3 215) 5 tos com a torneira aberta? 200 1 25x expressão algébrica referente à 5 100 1 645 5 situação dada. 5 745. b) Qual é o valor numérico dessa expressão para x 5 12? 500 L (200 1 25 3 12 5 200 1 300 5 500) Atividades 29 e 30 a) Se cada prestação do televisor é de R$ 215,00, Estas atividades envolvem os então o preço total dele é de R$ 745,00. Como c) No item b, o que representam a igualdade podemos obter esse valor? x 5 12 e o valor numérico obtido? conceitos de restrição ao deno- minador de expressões algébri- b) Qual é o preço do refrigerador, ou seja, o valor cas. Destaque para os alunos que devem resolver a atividade numérico de 100 1 3 3 P, quando P 5 280? 29 Escreva no caderno as restrições ao denominador 30 da mesma maneira que as si- tuações anteriores sobre restri- R$ 940,00 (100 1 3 3 280 5 100 1 840 5 940) ções de expressões algébricas. c) Qual é o valor de cada prestação na compra do fogão de 4 bocas, ou seja, o valor de P para o qual de cada expressão algébrica para que ela repre- • Ana: x 5 1 100 1 3 3 P tem valor numérico igual a 370? sente um número. c) x x = 25 a) a 21 b = 0 x 15 R$ 90,00 (Por tentativa: 100é1é3 3 P 5 370 ou 370 2 100 5 270 e 270 4 3 5 90.) 2b 23 Determine no caderno o valor numérico de cada 5 5 2151 expressão algébrica para x 5 2. b) x 1y x = 22y d) 1 1 11 11 214 x 12y x 29 x = 9 a) 3x 11 1 c) x 2 2 5x 1 6 0 • João: x 5 2 7 d) x 3 12x 2 1 x 11 18 5 5 2 5 b) x 2 1 3x 1 2 12 2 30 Avaliação de resultados. Ao determinar uma 12 214 0 814 24 Calcule no caderno o valor numérico das expressões restrição que deve ser feita para que a expressão • Lia: x 5 0 algébricas. algébrica x3 1x2 5 represente um número, 1x 5 52154 a) a 2 2 b2 para a 5 21 e b 5 2. 23 214 1 0 1 0 0 214 3 alunos de uma turma apresentaram as respostas b) x 1 y para x 5 8 e y 5 5. 4 1 a seguir. x 2y 3 • Ana: x = 1 • João: x = 2 • Lia: x = 0 25 Qual é a restrição aos valores de x e y na Descubra qual deles acertou e confira sua escolha expressão do item b da atividade anterior? x = y com a dos colegas. João. 102 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 28. c) x 5 12 indica a torneira aberta por 12 minutos; o valor numérico obtido indica quantos litros de água haverá no reservatório após 12 minutos com a torneira aberta. 102 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Sequências e expressões algébricas 1 Expressões algébricas No capítulo 1 você estudou sobre sequências e identificou algumas sequências recursivas. Agora vamos ampliar o estudo das sequências numéricas e usar expressões algébricas para representar os termos delas. Neste momento, ampliare- mos o estudo das sequências F—rmula do termo geral de uma sequ•ncia feito no capítulo 1 utilizando ex- pressões algébricas para expli- Observe este exemplo. car e relacionar os termos. Sequências Na lousa, apresente os pri- meiros termos da sequência Número natural não nulo 1 2 3 4 5 » n » dos números naturais pares e, com os alunos, pensem em uma Número natural par 2 4 6 8 10 » 2n » regra para determinar qualquer termo que dependa da posição Tabela elaborada para fins didáticos. do termo na sequência. Chama- remos essa regra de fórmula do Quando generalizamos para qualquer número natural não nulo n, o número natu- Note que, para termo geral e ela deve depender ral par correspondente é dado pela expressão algébrica 2n, em que a variável n varia n 5 1, 2, 3, », ficam de n, letra que usaremos para a de acordo com os números naturais não nulos. determinados os posição do termo na sequência, termos a1, a2, a3, », como visto no capítulo 1. Assim, Escrevendo a sequência dos números naturais pares não nulos (2, 4, 6, », respectivamente. os alunos devem associar os 2n, »), podemos obter qualquer termo an dessa sequência pela fórmula termos com as posições (núme- ros naturais não nulos) que ocu- an 5 2n , para n 5 1, 2, 3, » pam na sequência. A fórmula dada é a fórmula do termo geral da sequência, pois cada termo an dela Mostre também a sequência depende do valor de n. dos números quadrados perfei- tos, explique que também é Veja outro exemplo: a sequência dos números quadrados perfeitos a partir da sequência dos números possível descobrir uma fórmula naturais não nulos. do termo geral para ela e verifi- que se os alunos conseguem determiná-la. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora » 14 9 16 25 Sequências Número natural não nulo 1 2 3 4 5 » n » Número quadrado perfeito 1 4 9 16 25 » n 2 » Tabela elaborada para fins didáticos. Neste caso, para qualquer número natural não nulo n, o número quadrado perfeito correspondente é dado pela expressão algébrica n 2. Assim, escrevendo a sequência dos números quadrados perfeitos (1, 4, 9, », n 2, »), podemos obter a fórmula do termo geral como an 5 n 2 , para n 5 1, 2, 3, » Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 103 103MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
1 Expressões Agora, vamos construir uma sequência conhecendo a fórmula do termo geral. Por exemplo, a sequência algébricas dada por an 5 2n 1 1 para n 5 1, 2, 3, » Na lousa, apresente as fór- • Para n 5 1, temos: a1 5 2 ? 1 1 1 5 3. mulas do termo geral de algu- • Para n 5 2, temos: a2 5 2 ? 2 1 1 5 5. mas sequências e peça aos alu- • Para n 5 3, temos: a3 5 2 ? 3 1 1 5 7. nos que as construam. Desta- • Para n 5 4, temos: a4 5 2 ? 4 1 1 5 9. que que não é necessário deter- minar muitos termos, apenas a æ quantidade suficiente para se descobrir o padrão. Logo, a sequência construída é (3, 5, 7, 9, »). Atividades 31, 32 e 36 Atividades 33. (5, 8, 11, 14, 17, ») (3 3 1 1 2 5 5; 3 3 2 1 2 5 8; Nestas atividades, devem ser 3 3 3 1 2 5 11; 3 3 4 1 2 5 14; 3 3 5 1 2 5 17) 32. d) 24 triângulos. (2 3 ? 1 1 5 49; 49 2 1 5 48 e completadas as tabelas com os 48 4 2 5 24; ou 49 5 41 1 4 3 2 e 20 1 4 5 24) termos da sequência relaciona- dos a números naturais não nu- 31 Copie e complete as tabelas no caderno, relacio- c) Quantos palitos são necessários para formar los (atividades 31 e 36) ou ao número de triângulos que for- nando cada sequência numérica à sequência dos 77 triângulos? 155 palitos. (2 3 77 1 1 5 155) mam as figuras (atividade 32), além de determinar a fórmula números naturais não nulos. d) E quantos triângulos podemos formar com do termo geral. a) Sequências 49 palitos? No item b da atividade 32, os alunos devem determinar os Número natural 1 2 3 4 » n » 33 Construa no caderno a sequência infinita cujo ter- termos da sequência e a fór- não nulo mo geral an é dado pela fórmula an 5 3n 1 2 para mula do termo geral, a partir n 5 1, 2, 3, » apenas da lei de formação da Quíntuplo 5 10 15 20 » 5n » sequência. do número 34 Invente a fórmula do termo geral de uma se- No item d da atividade 32, ob- quência numérica e, no caderno, a construa para serve a estratégia que os alunos utilizam para resolver a questão, b) Sequências n 5 1, 2, 3, 4, 5, » Resposta pessoal. ainda sem fazer uso da resolu- ção da equação 49 5 2x 1 1. Número natural 1 2 3 4 » n » 35 Uma sequência é dada por an 5 2n 2 1, para não nulo Para ampliar a atividade 36, n 5 1, 2, 3, » Verifique se o número 25 pertence seria interessante solicitar aos alunos que criem ou que pesqui- Dobro do a essa sequência. (1, 3, 5, 7, 9, 11, ») é a sequência sem outras sequências, como dos números naturais ímpares; então, os números pentagonais. 1 3 5 7 » 2n 2 1» número menos 1 a resposta é sim e temos a13 5 25. Atividades 33 a 35 Estas atividades trabalham a 36 Desafio. Esta é a sequência dos números naturais construção de sequências a Tabelas elaboradas para fins didáticos. triangulares. Copie e complete a tabela no caderno. partir da fórmula do termo geral delas. 32 Observe as figuras formadas por triângulos de Paulo Manzi/ Na atividade 34, os alunos palitos.Arquivo da editora devem inventar essa fórmula, Banco de imagens/Arquivo da editora então permita que sejam criati- 136 vos. Se achar conveniente, peça que compartilhem a fórmula a) Copie a tabela no caderno e complete-a com o criada, verificando quem produ- número de palitos necessário para formar os ziu a “mais difícil”. triângulos. » Figuras com palitos Número de 1 2 3 4 5» n 10 15 triangulos Número de 3 5 7 9 11 » 2n 1 1 Sequências palitos Tabela elaborada para fins didáticos. Número b) Observando que o número de palitos é dado natural 1 2 3 4 5 6 » n » em função do número de triângulos que se quer formar na figura, quantos palitos são não nulo necessários para formar 20 triângulos? Número » 41 palitos. (2 3 20 1 1 5 41) triangular 1 3 6 10 15 21 » 104 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Tabela elaborada para fins didáticos. n (n 1 1) 2 104 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Fórmula de recorrência de uma sequência 1 Expressões algébricas Considere agora a sequência em que o primeiro termo é 1 e a lei de recorrência é somar 3 ao termo an- terior. Você já aprendeu a obter os termos dessa sequência. Apresentamos, nesta página, a descoberta da fórmula de re- (1, 11 3 , 41 3 , 71 3 , »), ou seja: (1, 4, 7, 10, ») an é o n-ésimo corrência de uma sequência e a termo da sequência construção de sequências a 4 7 10 e an 2 1 é o termo partir dessa regra. anterior a ele. Neste caso, o primeiro termo é a1 5 1 e cada termo an , com n 5 2, 3, 4, » Na lousa, escreva a sequên- é obtido somando 3 ao termo anterior. Então, podemos indicar os termos dessa cia (1, 4, 7, 10, ») e peça aos alunos que definam a regra sequência assim: a1 5 1 e an 5 an 2 1 1 3 . usada para descobrir um termo a partir do anterior, explicando Nesse exemplo, temos uma fórmula de recorrência da sequência, pois cada que ela recebe o nome de fór- termo an dela, a partir do segundo termo, depende do termo anterior an 2 1. mula de recorrência. Apresente a sequência dos números natu- Agora, vamos construir uma sequência conhecendo a fórmula de recorrência. Por exemplo, a sequência rais ímpares e sugira que os alu- nos determinem a fórmula de em que a1 5 2 e cada termo an, para n 5 2, 3, 4, », é dado por an 5 2 ? an 2 1. recorrência dela. • Para n 5 1, temos: a1 5 2. Em seguida, apresente algu- • Para n 5 2, temos: a2 5 2 ? a1 5 2 ? 2 5 4. mas fórmulas de recorrência, como as dadas no livro, para os • Para n 5 3, temos a3 5 2 ? a2 5 2 ? 4 5 8. alunos construírem as respec- tivas sequências. • Para n 5 4, temos a4 5 2 ? a3 5 2 ? 8 5 16. 40. Exemplos de fórmulas: Antes da resolução das ativi- æ a) (0, 5, 10, 15, »); fórmula do termo geral: dades, os alunos devem anotar an 5 5(n 2 1); fórmula de recorrência: no painel de descobertas o que são as fórmulas do termo geral a1 5 0 e an 5 an 2 1 1 5. e de recorrência de uma se- quência, criando exemplos para Logo, a sequência construída é (2, 4, 8, 16, »). b) (1, 3, 5, 7, 9, »); fórmula do termo geral: facilitar o entendimento. an 5 2n 2 1; fórmula de recorrência: Atividades 37, 38 e 41 a1 5 1 e an 5 an 2 1 1 2. Estas atividades trabalham a Atividades c) (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2); fórmula do termo geral: construção de sequências a an 5 2; fórmula de recorrência: a1 5 2 e an 5 an 2 1. partir da fórmula de recorrência. 37. a) (2, 7, 12, 17, 22, ») (2 1 5 5 7; 7 1 5 5 12; 12 1 5 5 17; 17 1 5 5 22) Na atividade 38, os alunos devem inventar a regra antes de 37 Determine no caderno os termos da sequência f) O primeiro termo é 22 e a regra é multiplicar construir a sequência. definida pela fórmula de recorrência de cada item, por 22 o valor de n. Atividades 39 e 40 Estas atividades trabalham a sendo n um número natural. Pela fórmula do termo geral; an 5 22n; (22, 24, 26, 28, »). fórmula do termo geral e a fór- a) a1 5 2 e an 5 an 2 1 1 5 40 Observe a regra de cada sequência e, no caderno, mula de recorrência. b) a1 5 4 e an 5 3an 231 1 3, para n , 5. 1 3 5 48; escreva os termos dela. Depois, escreva uma fór- Na atividade 39, os alunos devem determinar qual tipo de (4, 15, 48, 147, 444) (3 413 5 15; 3 3 15 mula do termo geral e uma fórmula de recorrência fórmula é dada em cada item e escrever a sequência represen- 383 I3nv4e8nt1e 3a5fó1rm47u; l3a3de14re7c1or3rê5nc4ia44d)e uma sequên- para cada sequência. tada pela regra dada. cia infinita e, no caderno, a construa para n 5 1, 2, a) Sequência dos múltiplos de 5. Na atividade 40, a partir da lei 3, 4, 5, » Resposta pessoal. de formação, os alunos devem b) Sequência dos números naturais ímpares. construir a sequência e determi- 39 Indique no caderno se a sequência de cada item nar a fórmula do termo geral e a está definida pela fórmula do termo geral ou pela c) Sequência de 10 termos em que todos os termos fórmula de recorrência dela. fórmula de recorrência. Depois, escreva os 4 primei- são iguais a 2. ros termos da sequência. Considere n natural. 41 No caderno, determine os termos da sequência definida pela fórmula de recorrência an 5 22 ? an 21, a) an 5 (n 1 1)2 Pela fórmula do termo geral; para cada valor de a1. (4, 9, 25, 36, »). a) a1 5 1 (1, 22, 4, 28, 16, ») b) a1 5 2 e an 5 (an 2 1)2 Pela fórmula de recorrência; b) a1 5 23 (23, 6, 212, 24, 248, ») (2, 4, 16, 256, »). c) a1 5 0 (0, 0, 0, 0, 0, ») an 21 Pela fórmula de 2 c) a1 5 1 e an 5 recorrência; 1, 1, 1, 1 , » . 2 4 8 d) an 5 2n Pela fórmula do termo geral; (2, 4, 8, 16, »). e) O primeiro termo é 25 e a regra é multiplicar por 0,1 o termo anterior. Pela fórmula de recorrência; d) a1 5 21 (21, 2, 24, 8, 216, ») a1 5 25 e an 5 0,1 3 an 2 ; (25; 20,5; 20,05; 20,005; 20,0005; »). 1 Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 105 105MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
Leitura LEITURA Principal habilidade Recursividade da BNCC O termo recursividade é usado para descrever, a partir de um elemento, o processo de repetição desse EF07MA14 elemento ou de parte dele de maneira similar ao que já foi mostrado antes. Existe um ramo da Matemática, Primeiramente, pergunte aos alunos o que significa recursi- conhecido como Geometria fractal, em que figuras são construídas usando o conceito de recursividade. vidade para eles. Em seguida, peça que leiam o texto e obser- A figura curva de Koch, inventada pelo matemático sueco Helge von Koch A palavra fractal vem do vem os exemplos apresentados (1870-1924), foi um dos primeiros fractais estudados. Observe o processo de latim fractus, que quer dizer no livro. recursão que cria uma nova figura a partir da anterior. Após algumas recur- pedaço, fração. Se possível, peça aos alunos sividades, obtém-se uma figura que se assemelha a um floco de neve. que pesquisem informações so- bre os matemáticos Helge von Luiz Rubio/ As imagens desta Koch e Karl Menger e apresen- Arquivo da editora página não estão tem aos colegas as descobertas representadas em feitas. Se julgar mais interessan- proporção. te, divida a turma em 2 grupos e peça que cada grupo pesquise (, , , , , È) sobre um dos matemáticos ci- tados no texto, apresentando, Neste caso, a figura do 1o termo é um triângulo equilátero. Banco de imagens/ em seguida, as informações Arquivo da editora mais interessantes. A cada etapa, cada lado do triângulo é dividido em 3 segmentos Se possível, visite com os de reta de mesma medida de comprimento, e o segmento de alunos o site do artista Es- cher, disponível em: <www. reta central serve de base para a construção de um novo triân- 1o termo. 2o termo. mcescher.com> (acesso em: gulo equilátero. As bases dos triângulos são apagadas da figu- 20 set. 2018), ou peça que o visitem. ra, obtendo-se assim um termo da sequência. Outro exemplo de recursividade na Matemática é a esponja de Menger, descrita pelo matemático austríaco Karl Menger (1902-1985). Esse fractal é obtido a partir de um cubo (1o termo) e, a partir dele, é construída uma sequência de figuras. Ericson Guilherme Luciano/ Reprodução/© 2018 The M.C. Escher Company-The Netherlands. Arquivo da editora All rights reserved. Esponja de Menger. Contudo, a recursividade não é exclusiva da Matemática, sendo muito utilizada na Arte, em propagandas, na fotografia, na música, na Literatura, entre outros. Veja alguns exemplos. kamilopafilms/Shutterstock RF Pictures/Getty Images Lizards (n o 101). 1956. M. C. Escher. Tinta nanquim, lápis e O efeito droste, muito usado na fotografia, é formado por uma imagem que aparece “dentro” dela própria. aquarela, dimensões Por exemplo: na foto à esquerda, vemos reduções do relógio conforme olhamos para o centro da imagem; desconhecidas. na foto à direita, vemos a pessoa refletida “infinitamente” no espelho. O artista holandês Escher é muito conhecido pelo uso de padrões geométricos nas obras de arte. Nesta obra, observamos a repetição da imagem do lagarto de maneira similar aos demais, alterando a cor, a posição e o tamanho. 106 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 106 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
cristi180884/Shutterstock Reprodução/Warner Bros. Leitura As bonecas russas Matrioskas representam bem a recursividade: cada Incentive os alunos a identi- boneca é menor do que a anterior, mantendo a forma e os desenhos. ficarem a recursividade em ou- Esse tipo de recursividade também é conhecido como mise en abyme tras áreas do conhecimento, co- (do francês, narrativa em abismo) e pode ser aplicado, por exemplo, em mo na música, na literatura, na imagens, vídeos, histórias e textos dentro deles próprios. fotografia, etc. Reprodução/<https://www.youtube. No clipe da música “Let forever be”, de The O conceito mise en abyme é Questões 1 e 2 com/watch?v=s5FyfQDO5g0> Chemical Brothers, podemos ver diversas imagens bem amplo e permite Estas atividades trabalham que recursivamente se repetem, giram, se fundem, diferentes tipos de entre muitos outros efeitos visuais. Nele, vemos a recursividade. Nos filmes, por a recursividade, seja matema- narrativa visual do conceito mise en abyme. exemplo, ele pode ser visto ticamente em sequências na narrativa de A origem (questão 1) ou em outras áreas Um elefante incomoda muita gente (Inception) em que temos (questão 2). 1 elefante incomoda muita gente “um sonho dentro de um 2 elefantes incomodam, incomodam muito mais sonho”. Outros exemplos de Para ampliar a questão 2, se filmes são Titanic e As possível, sugira a montagem de 3 elefantes incomodam muita gente aventuras de Pi (Life of Pi), um painel com exemplos de re- 4 elefantes incomodam, incomodam, incomodam, incomodam muito mais em que o personagem conta cursividade em diferentes áreas a própria história. e situações. 5 elefantes incomodam muita gente 6 elefantes incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, As imagens desta incomodam muito mais página não estão representadas em 7 elefantes incomodam muita gente proporção. 8 elefantes incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam muito mais 9 elefantes incomodam muita gente 10 elefantes incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam, incomodam muito mais [...] Cantiga popular. Na literatura, podemos citar outro exemplo de recursividade nesta cantiga: o primeiro verso cita “1 elefante”, e a cada novo verso há 1 elefante a mais e a cada novo parágrafo acrescentam-se tantas palavras “incomodam” quantas forem necessárias para corresponder ao número de elefantes. Questões 1 Crie um procedimento e utilize esta figura para criar uma sequência recursiva. Resposta pessoal. 2 Pesquise outros textos, imagens, vídeos ou filmes que apresentem recursividade. Depois, se inspire e escreva no caderno um pequeno parágrafo usando recursividade. Resposta pessoal. Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 107 107MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
Jogos JOGOS Principais habilidades Batalha algébrica da BNCC Com este jogo você aplicará o que estudou sobre valor numérico de uma expressão algébrica. Preste atenção às EF07MA13 EF07MA18 orientações e bom jogo! A introdução dos jogos no Orientações ambiente escolar pode auxiliar no processo de aprendizagem, Número de participantes: 2 jogadores. desenvolvendo diferentes habi- Material necessário: lidades e favorecendo a aplica- • 1 dado; ção dos conceitos explorados. • 1 objeto para ser o marcador; Acreditamos que o jogo pode • 1 folha de papel sulfite para copiar a tabela de pontuação. proporcionar ao professor um importante momento de avalia- Como jogar ção, já que, durante a atividade, é possível observar os alunos Na sua vez, cada participante lança o dado, escolhe e coloca o marcador sobre uma expressão algébrica dos cartões que ainda têm dificuldades e os abaixo. Depois, calcula o valor numérico da expressão, substituindo a variável pela quantidade de pontos obtida no dado. que já utilizam os conceitos com O valor numérico encontrado na substituição da variável na expressão algébrica corresponde aos pontos obtidos pelo destreza. O jogo pode promover participante na rodada (pode ser zero, um número positivo ou um número negativo). maior socialização, incentivar a curiosidade e despertar a vonta- Os pontos obtidos em cada rodada devem ser marcados na tabela de pontuação. de de participar e interagir. Não poderá ser calculado o valor numérico de uma expressão algébrica que já foi usada e a partida termina quando todas as expressões algébricas tiverem sido escolhidas. Ganha a partida quem obtiver mais pontos no total. Se julgar conveniente, peça aos alunos que se dividam em 2x 2 x 1 1 x 2 2 x 51x 4 2 2x 22x 1 1 3x x 2 equipes, jogando com os inte- grantes das outras equipes. As- Pontuação sim, ao final, você pode definir a equipe vencedora, somando a Rodada 1a rodada 2a rodada 3a rodada 4a rodada Total de pontos quantidade de vitórias de cada integrante. Jogador Avise com antecedência que Jogador 1 haverá a aplicação do jogo para que os alunos possam treinar Jogador 2 os cálculos e as substituições, evitando que a atividade se tor- Tabela elaborada para fins didáticos. ne muito longa e enfadonha. Se julgar necessário, insira mais algumas expressões algé- bricas criadas por você ou pelos próprios alunos. Ilustranet/Arquivo da editora 108 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 108 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
2 Equa•›es Thiago Neumann/Arquivo da editora 2 Equações Veja a pergunta de Melina. Principais habilidades da BNCC Pensei em um número EF07MA13 EF07MA16 racional. Somei 8 ao número e obtive 31. Em EF07MA15 EF07MA18 qual número pensei? Inicialmente, leia com os alu- Podemos escrever que Melina pensou em um número x e o que ela falou é representado por x 1 8 5 31. nos o balão de fala e oriente-os Sentenças matemáticas como esta são chamadas de equações e são muito usadas para resolver problemas. a transcrever a expressão des- crita. Em seguida, apresente o Equações são igualdades que contêm pelo menos uma letra que exemplo de expressão algébrica representa um ou mais números desconhecidos. e de equação dados no livro e pergunte aos alunos qual é a di- Em uma equação, podemos destacar: ferença entre elas. É importante que percebam que na equação x1 8 5 31 x 2 1 5x 5 x 2 5 temos uma igualdade de expres- sões algébricas. 1o membro 2o membro 1o membro 2o membro Em seguida, peça que repre- Observe que x 1 8 é uma expressão algébrica e x 1 8 5 31 é uma equação. sentem por equações as 2 situa- Acompanhe mais alguns exemplos de frases na linguagem usual sendo representadas por equações. ções dadas no livro. • O dobro de um número menos 10 é igual a 20. Qual é esse número? Atividades 42 e 43 Número: x Dobro do número: 2x Nestas atividades, os alunos Equação: 2x 210 5 20 devem diferenciar expressões algébricas de equações. 1o membro 2o membro Se achar conveniente, na • Carina tinha certo número de figurinhas. Ela ganhou 15 figurinhas e ficou com 50. Quantas figurinhas atividade 43 peça que citem si- ela tinha? tuações do cotidiano para se- Número de figurinhas de Carina: f rem escritas por equações e expressões algébricas. Equação: f 115 5 50 44. a) x 1 8 5 12 b) 72 y 5 2y c) 3x 1 5 5 11 1o membro 2o membro 1o membro 2o membro Atividades 44 a 46 1o membro 2o membro 1o membro 2o membro Nestas atividades, trabalha- Atividades d) x 1 x 3 1 1 5 16 e) x 1 x 5 36 -se a representação de situa- 3 2o membro ções na linguagem usual na 1o membro 2o membro forma de equações (atividades 1o membro 44 e 46) e vice-versa (ativida- de 45). 42 Escreva no caderno quais dos itens apresentam c) O triplo de um número mais 5 é igual a 11. d) Um número mais o cubo dele mais 1 é igual a 16. uma expressão algébrica e quais apresentam e) Um número somado com a terça parte dele é uma equação. Expressões algébricas: a e d; igual a 36. equações: b e c. a) 4x 2 7 c) 3x 2 4 5 11 b) 2x 2 1 1 5 5 d) x 1 10 45 Escreva no caderno, na linguagem usual, as equa- ções dadas em cada item. Exemplos de respostas: 43 Escreva no caderno 2 expressões algébricas e a) x 1 3 5 13 Um número mais 3 é igual a 13. 2 equações. Resposta pessoal. 44 No caderno, transforme as frases em equações e b) 10 2 x 5 6 1 x 10 menos um número é igual a destaque os 2 membros da equação obtida. 6 mais esse número. a) Um número somado com 8 é igual a 12. c) 3x 1 x 5 20 O triplo de um número mais esse b) 7 menos um número é igual ao dobro desse número. número é igual a 20. 46 Elabore no caderno uma situação que pode ser representada por uma equação. Resposta pessoal. Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 109 109MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
2 Equações Incógnita de uma equação Inicie definindo o que é incóg- As incógnitas de uma equação são os números desconhecidos, os números que queremos saber. nita. Em seguida, explique aos Normalmente cada incógnita é representada por uma letra do alfabeto da língua portuguesa. alunos que descobrir a solução ou raiz de uma equação é en- Na equação 3x 2 1 5 8, a incógnita é x. contrar o número que, ao subs- Na equação 2y 1 z 5 13, as incógnitas são y e z. tituir a incógnita, torna a igual- Neste capítulo, estudaremos apenas as equações com 1 incógnita. dade verdadeira. Transcreva na lousa as equações apresenta- Solução ou raiz de uma equação das como exemplo no livro e de- termine as raízes com a turma, Por exemplo, a solução ou raiz da equação Em uma equação com uma Thiago Neumann/Arquivo da editora sendo importante apresentar x 1 8 5 31 é 23, porque este número torna a sen- incógnita, quando calculamos o também números que não tor- tença verdadeira. valor para a incógnita que torna nam a igualdade verdadeira. a sentença verdadeira, dizemos x 1 8 5 31 ~ x 5 23, pois 23 1 8 5 31 que descobrimos uma solução Então, explique o que é o con- Veja outros exemplos. ou uma raiz da equação. junto universo de uma equação. • Vamos analisar a equação 4x 1 7 5 3, subs- Na lousa, escreva alguns exem- plos com o conjunto universo e tituindo x por alguns números. a equação, como feito no livro, e Para x 5 5, temos: 4 ? 5 1 7 5 27 e 27 = 3. peça aos alunos que determi- nem a raiz em cada situação. Para x 5 21, temos: Dessa forma, devem perceber 4 ? (21) 1 7 5 24 1 7 5 3 e 3 5 3. que, se a raiz não pertence ao conjunto universo, a equação Nesse exemplo, podemos dizer que 5 não é solução da equação 4x 17 53 e que 21 é solução ou raiz não tem solução. da equação 4x 1 7 5 3. Comece explicando aos alu- • 5 é raiz ou solução da equação x 2 2 5 3, pois 5 2 2 5 3 e 3 5 3. nos que o conjunto solução de uma equação é o conjunto dos • 1 é raiz ou solução da equação 2x 5 1, pois 2 ? 1 5 1 e 1 5 1. elementos que tornam a equa- 22 ção verdadeira. Então, peça a eles que definam o conjunto so- • 23 não é solução da equação x2 2 4 5 0, pois (23)2 24 5 9 24 5 5 e 5 = 0. lução de algumas equações co- locadas com os respectivos con- juntos universo na lousa. Conjunto universo e conjunto solução de uma equação O conjunto universo de uma equação Resolver uma equação Thiago Neumann/Arquivo da editora é o conjunto O de todos os valores significa determinar todas as soluções dela que podem ser atribuídos à incógnita. no conjunto universo O conjunto solução de uma equação considerado. é o conjunto S formado pelos elementos do conjunto universo que tornam a equação verdadeira. Veja os exemplos. • A equação x 1 3 5 5 tem uma única solução, que é x 5 2. Considerando o conjunto universo O 5 {1, 2, 3}, temos que o conjunto solução dessa equação é S 5 {2}, pois 2 pertence a O (indicamos: 2 é O). Considerando o conjunto universo O 5 {5, 6, 8}, temos que o conjunto solução dessa equação S 5 0 (conjunto vazio), ou seja, essa equação não tem solução nesse conjunto universo, pois 2 não pertence a O (indicamos: 2 ê O). 110 CAPÍTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 110 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
• Se O 5 {1, 2, 3, 4} e x 1 2 5 5, então podemos resolver essa equação testando os elementos do 2 Equações conjunto universo. 11253 21254 31255 41256 Neste momento, explique aos Essa equação é verdadeira para x 5 3. Então, o conjunto solução dessa equação é S 5 {3}. alunos que 2 equações são equivalentes quando, definidas • As soluções da equação x 2 2 3 5 6 são x 5 3 e x 5 23. no mesmo conjunto universo, possuem o mesmo conjunto so- Se O 5 N, então S 5 {3}, pois 3 é N e 23 ê Z. lução, ou seja, quando os núme- Se O 5 Z, então S 5 {23, 3}, pois 23 é Z e 3 é Z. ros que tornam a igualdade de ambas as equações verdadeiras Equações equivalentes forem os mesmos. Transcreva na lousa os exemplos do livro, Equações equivalentes são aquelas que têm o mesmo conjunto solução encontre com os alunos as so- em um mesmo conjunto universo. luções das equações e mostre- -lhes as situações em que as Veja os exemplos. equações são equivalentes. • Se O 5 {1, 2, 3, 4, 5}, então as equações x 1 1 5 5 e x 2 3 5 1 são equivalentes, pois têm o mesmo Antes da resolução das ativi- conjunto solução S 5 {4}. dades, peça aos alunos que • Se O 5 N, então as equações 2x 1 x 5 9 e x 1 1 5 4 são equivalentes, pois têm o mesmo conjunto anotem, no painel de descober- tas, informações relacionadas a solução S 5 {3}. equações que acharem perti- • Se O 5 N, então as equações x 1 7 5 8 e x 2 4 5 1 não são equivalentes, pois x 1 7 5 8 tem conjun- nentes, como incógnita, solução ou raiz, conjunto universo, con- to solução S 5 {1} e x 2 4 5 1 tem conjunto solução S 5 {5}. Ou seja, os conjuntos solução delas são junto solução e equações equi- diferentes para um mesmo conjunto universo. valentes, exemplificando-as se acharem necessário. Atividades Atividades 47 e 50 47 Responda e justifique no caderno. b) Se O 5 {1, 2, 3, 4, 5} e x 1 5 5 11. S 5 0 Nestas atividades, os alunos a) O número 6 é ou não solução da equação 3x 1 5 5 23? É, pois 3 3 6 1 5 5 18 1 5 5 23. c) Se O 5 {26, 25, 24, 23} e x 1 7 5 2. S 5 {25} devem verificar se os valores são raízes das equações dadas. b) O número 3 é ou não solução da equação d) Se O 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e x 2 3 5 4. S 5 {7} Atividades 48 e 49 x 215 4? Não, pois 3 2151215 0 e 0 = 4. e) Se O 5 N e x 1 8 5 1. S 5 0 Nestas atividades, os alunos 3 3 50 Desafio. Considere o conjunto universo dos nú- devem determinar a raiz de cada c) O número 23 é ou não raiz da equação meros racionais e verifique no caderno. equação e verificar se ela faz a) O número 2 é raiz ou solução da equação parte do conjunto universo. x2 1 1 5 10? É, pois (23)2 1 1 5 9 1 1 5 10. (2x 1 5) 1 1 5 4x 1 2? Sim; 10 5 10. b) O número 21 é raiz ou solução da equação Na atividade 49, também de- d) O número 1 é ou não solução da equação 2(x 1 1) 1 3(x 2 1) 5 x 2 5? Sim; 26 5 26. ve ser definido o conjunto solu- 2 c) O número 3 é raiz ou solução da equação ção em cada item. 3(x 2 2) 5 x 1 6x 2 1? Não; 3 = 20. 3y 5 y 1 1? É, pois 3 3 1 5 1 11. No item e da atividade 49, os 51 Para cada item, verifique no caderno se as equa- alunos podem testar os primei- 22 ções são equivalentes para O 5{ 22, 21, 0, 1, 2}. ros números naturais na equa- a) x 1 2 5 4 e x 2 1 5 1 Sim. ção e perceber que o valor de 48 Verifique no caderno se cada equação tem solu- b) x 2 1 5 23 e x 1 2 5 0 Sim. x 1 8 começa em 8 (0 1 8 5 8) c) x 1 3 5 7 e x 2 2 5 3 Não. e aumenta conforme aumenta- ção no conjunto universo dado. d) x 2 1 5 1 e x 1 2 5 4 Sim. mos os valores naturais de x. Assim, não será possível encon- a) x 1 3 5 9, sendo O 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. trar um número natural tal que essa soma seja igual a 1. Sim, x 5 6. Atividade 51 b) x 1 3 5 9, sendo O 5 {1, 2, 3, 4}. Esta atividade apresenta a Não, pois 6 ê O. verificação de equivalência ou não entre as 2 equações dadas c) x 1 7 5 5, de raiz x 5 22, sendo O 5 N. em cada item. Não, pois 22 não pertence a N. d) x 1 7 5 5, sendo O 5 Z. Sim, x 5 22 pertence a Z. 49 No caderno, determine o conjunto solução de cada equação. a) Se O 5 {1, 2, 3, 4, 5} e x 1 2 5 6. S 5 {4} Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 111 111MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
Jogos JOGOS Principais habilidades Jogo das equações equivalentes da BNCC Com este jogo você vai aprimorar seus conhecimentos sobre equações equivalentes. EF07MA16 EF07MA18 Orientações O livro apresenta uma pro- posta de jogo para o ensino das Número de participantes: 3 ou 4 jogadores. equações equivalentes. Obser- Material necessário: 2 folhas de papel de cores diferentes. ve que o uso de jogos no ensino pode favorecer o desenvolvi- Preparação do jogo mento de inúmeras habilidades e competências, inclusive so- Providenciem as 2 folhas de papel de cores diferentes; para exemplificar, usaremos as cores vermelho e azul. cioemocionais. Dividam cada folha em 12 partes iguais, escrevam as equações e recortem as 24 peças do jogo. Para desenvolver este jogo, 3x 5 6 4x 5 2 x1553 3x 5 15 3x 1 5 5 11 10x 5 5 x 5 22 3x 1 3 5 18 divida a sala em grupos de 3 ou Solução: Solução: Solução: Solução: 4 alunos, providencie as folhas x5 1. coloridas e solicite aos grupos x 5 2. x 5 22. x 5 5. que recortem as equações. 2 Em seguida, revise o conteú- x2153 12x52 x 1 1 5 1 x 51 4x 5 16 2 2 2x 5 4 3x 1 1 5 3 2x 5 10 do e exponha as regras do jogo Solução: Solução: 3 5 e os objetivos desta aula. É im- portante que os alunos perce- x 5 4. x 5 21. Solução: Solução: bam que o jogo pode favorecer a formação deles, pois utilizam x5 2. x 5 5. os próprios conhecimentos para 3 argumentar, propor soluções e auxiliar os colegas. 2x 2 15 27 3x 5 1 x1454 61x52 6x 2 3 5 221 2x 5 2 2x 1 5 5 5 2x 5 28 Solução: Solução: Solução: Solução: 3 Pode-se até combinar a da- x 5 24. ta em que essa abordagem x 5 23. x51. x 5 0. acontecerá, explicando aos 3 alunos que precisam se pre- parar, treinando os cálculos e Como jogar os procedimentos para que possam contribuir no momen- Antes de começarem a partida, misturem as peças vermelhas e distribuam igualmente entre os jogadores. As peças to da interação. azuis devem ser empilhadas no centro da mesa, com as equações viradas para baixo. Ao final, peça que comparti- A cada rodada, o jogador pega uma peça azul e verifica se nela há uma equação equivalente a alguma das equações lhem os conceitos e procedi- das peças vermelhas que estão com ele. Se houver, então o jogador separa esse par de peças. Por exemplo: mentos utilizados. 61x52 2x 5 28 Caso contrário, o jogador descarta a peça azul em uma pilha separada, também sobre a mesa. O próximo jogador pode escolher se quer pegar a peça azul descartada pelo jogador anterior ou uma peça azul nova. Quando terminarem as peças azuis sobre a mesa, ganha a partida quem tiver formado mais pares de peças com equações equivalentes. Ilustranet/Arquivo da editora 112 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 112 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
3 Equações do 1o grau com 1 incógnita Ilustrações: Paulo Manzi/Arquivo da editora 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita Propriedades fundamentais da igualdade Principais habilidades Antes de aprendermos a resolver equações do 1o grau com 1 incógnita, vamos retomar as propriedades da BNCC de uma igualdade. EF07MA13 EF07MA16 1) Se somarmos ou subtrairmos o mesmo número racional em ambos os membros EF07MA15 EF07MA18 de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade. Por exemplo, se x 5 4, então Primeiramente, apresente as x 135413 e x 2 1 54 2 1 . propriedades fundamentais da 22 igualdade para as 4 operações Observe também as balanças ao lado. a partir da equação x 5 2. Use também as ilustrações do livro 2) Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os para mostrá-las, destacando pa- membros de uma igualdade por um mes- ra os alunos que, ao observar- mo número racional diferente de zero (0), mos as figuras da direita para a obtemos uma nova igualdade. Por exem- esquerda, vemos a subtração e plo, se y 5 22, então y 3 3 5 (22) 3 3 e a divisão. y 4 (25) 5 (22) 4 (25). Observe também as balanças ao lado. Em seguida, defina o que é uma equação do 1o grau com Resolução de equações do 1o grau com 1 incógnita uma incógnita. No painel de descobertas, os alunos devem Uma equação é do 1o grau com 1 incógnita (x) quando pode ser escrita na registrar, com as próprias pala- forma ax 5 b, com a = 0. vras, as informações mais im- portantes sobre as proprieda- Esse tipo de equação é “do 1o grau” porque o maior expoente que aparece na incógnita é 1 quando a des fundamentais da igualda- equação está na forma geral. É “com 1 incógnita” porque há somente 1 elemento desconhecido. de e sobre equações do 1o grau com uma incógnita. Resolver uma equação do 1o grau com 1 incógnita é determinar o conjunto solução dessa equação. Então, escreva uma equação desse tipo na lousa e explique aos alunos as 2 maneiras dife- rentes de resolvê-la apresenta- das no livro. Analise os exemplos. ¥ Pensei em um número natural, somei 45 a ele e obtive 121. Em qual número pensei? Representando o número por x, temos a equação x 1 45 5 121, que queremos resolver. Resolução 1a maneira 2a maneira Subtraindo 45 em ambos os membros da igual- Vamos usar a operação inversa. A operação dade, ela não se altera e obtemos: inversa de somar 45 é subtrair 45. x 1 45 2 45 5 1212 45 x 5 121 2 45 (É uma equação equivalente a x 1 0 5 1212 45 x 1 45 5 121.) x 5 76 x 5 76 Verificação x 1 45 5 121 76 1 45 5 121 121 5 121 (verdadeiro) Resposta: O número pensado é 76. Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 113 113MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
3 Equações do 1o grau • A idade de Tiago menos 13 anos é igual a 34 anos. Qual é a idade de Tiago? com 1 incógnita Considerando x a idade de Tiago, a equação correspondente é x 2 13 5 34. Agora, escreva na lousa exemplos de situações do co- Resolução tidiano que podem ser repre- sentadas por equações. Peça 1a maneira 2a maneira aos alunos que encontrem a solução em cada caso, utili- Adicionando 13 em ambos os membros da igual- Vamos usar a operação inversa. A operação inversa zando os 2 processos e, em seguida, façam a verificação dade, ela não se altera e obtemos: de subtrair 13 é adicionar 13. dos resultados. x 2 13 1 13 5 34 1 13 x 5 34 1 13 (É uma equação equivalente a Apresente também os exem- plos do livro e peça que resol- x 1 0 5 34 1 13 x 2 13 5 34.) vam as equações das 2 manei- ras, verifiquem os resultados e x 5 47 x 5 47 definam o conjunto solução pa- ra os conjuntos universo N, Z Verificação e Q. Assim, os alunos podem perceber que a raiz do exemplo x 2 13 5 34 ~ 47 2 13 5 34 ~ 34 5 34 (verdadeiro) 5 não está definida no conjunto dos números naturais. Resposta: A idade de Tiago é 47 anos. • O triplo de um número natural é igual a 123. Qual é esse número? Representando o número por x, o triplo de x é representado por 3 ? x ou 3x. Assim, a equação corres- pondente é 3x 5 123. Resolução 1a maneira 2a maneira Dividindo ambos os membros da igualdade por Vamos usar a operação inversa. A operação inversa 3, obtemos outra igualdade: de multiplicar por 3 é dividir por 3. 3x 5 123 ~ x 5 123 ~ x 5 41 x 5 123 (É uma equação equivalente a 3x 5 123.) 3 3 3 3 Verificação x 5 41 3x 5 123 ~ 3 ? 41 5 123 ~ 123 5 123 (verdadeiro) Resposta: O número é 41. • A quinta parte do número de gibis que Pedro tem é igual a 16. Quantos gibis Pedro tem? Representando por x o número de gibis de Pedro, a quinta parte desse número é representada por x x 5 ( 5 é o mesmo que x : 5). Assim, a equação correspondente é x : 5 5 16 ou x 5 16. 5 Resolução 1a maneira 2a maneira Multiplicando ambos os membros da igualdade Vamos usar a operação inversa. A operação inversa por 5, obtemos outra igualdade. de dividir por 5 é multiplicar por 5. 5 ? x 55 ? 16 ~ x 55 ? 16 ~ x 5 80 x5 5 ? 16 (É uma equação equivalente a x 516.) 5 5 x 5 80 Verificação x 516 ~ 80 516 ~ 16 5 16 (verdadeiro) 5 5 Resposta: Pedro tem 80 gibis. • Vamos resolver a equação 4x 1 6 5 6x 1 10 no conjunto universo dos números inteiros, ou seja, O 5 Z. Subtraímos 6x em ambos os membros da equação: 4x 1 6 2 6x 5 6x 1 10 2 6x Usando a propriedade distributiva, temos que 4x 2 6x 5 (4 2 6)x 5 22x e que 6x 2 6x 5 (6 2 6)x 5 5 0x 5 0. Então: 22x 1 6 5 10 Subtraímos 6 em ambos os membros da equação: 22x 1 6 2 6 5 10 2 6 ~ 22x 5 4 Multiplicamos ambos os membros da equação por 21: 2x 5 24 Dividimos ambos os membros da equação por 2: x 5 22 Resposta: S 5 {22}. 114 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 114 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
d)Número de alunos da tur- Atividades ma toda: x x Equação 3 512 ~ x 5 36 52 No caderno, determine o valor de x em cada equa- 57 Determine no caderno o valor da letra nas equa- Logo, há 36 alunos na turma. ção, para O 5 Z. a) x 1 5 5 11 x 5 6 ções, no conjunto dos números inteiros. e) Número de horas trabalha- das: x b) x 1 10 5 7 x 5 23 a) t 1 21 5 6 t 5 215 e) 25 5 y 2 8 y 5 3 x 1 7 5 32 ~ x 5 27 b) 9 5 x 1 17 x 5 28 f) a 2 10 5 213a 5 23 Logo, Paulo trabalhou c) x 1 6 5 25 x 5 211 c) 6x 5 84 x 5 14 g) 23x 5 27 x 5 29 27 horas. d) x 2 8 5 210 x 5 22 d) x : 7 5 77 x 5 539 h) 5 1 y 5 0 y 5 25 e) 6x 5 42 x 5 7 58 Invente um problema que possa ser descrito f) Número pensado: x x 1 12 2 10 5 15 ~ f) 23x 5 24 x 5 28 pela equação 5x 5 125. Depois, troque-o com um ~ x 1 2 5 15 ~ x 5 13 g) x 5 212 x 5 236 colega; você resolve o dele, e ele resolve o seu. Logo, Mara pensou no núme- 3 Resposta pessoal. ro 13. x 4 59 Para cada situação a seguir, escreva uma equa- h) 5 20 x 5 80 ção e resolva-a no caderno para O 5 Q. Depois, g)Quantia: x x 2 12,50 5 17,50 ~ x 5 30 i) 5x 2 4 5 21 x 5 5 registre também a resposta. Logo, Beto tinha R$ 30,00. a) Em um hotel, cada andar tem o mesmo núme- j) 26x 1 9 5 251 x 5 10 ro de apartamentos. O total de apartamentos h) Número: x x x 1 38 5 115 ~ x 5 77 nos 12 andares é de 240 apartamentos. Quan- k) 2 1 5 5 11 x 5 12 Logo, o número é 77. tos apartamentos há por andar? x l) 3 2 7 5 24 x 5 9 b) Em um canil, o número de cachorros é 2 vezes i) Número: x 53 Determine no caderno o conjunto solução de cada x 2 147 5 58 ~ x 5 205 equação do 1o grau com 1 incógnita para O 5 Z. o de gatos. O canil tem 21 animais. Se no canil a) 2x 2 4 1 65 20 S 5 {9} Logo, o número é 205. b) 215 1 5x 5 25 S 5 {8} há apenas cachorros e gatos, então quantos c) 23x 1 (21 1 4) 5 9 S 5 {22} d) 2x 2 (1 1 3 2 6)5 12 S 5 {5} gatos há no canil? j) Fração: x e) 3x 1 5x 5 72 S 5 {9} c) Em uma exposição de cães havia 7 poodles, x 1 2 5 17 ~ 3 12 f) 2x 2 8x 5 18 S 5 {22} 5 labradores e 12 mastiff. Os demais cachor- g) 5x 1 2x 1 4x 5 121 S 5 {11} ros são de outras raças. O total de cachorros ~ x 5 17 2 2 ~ 12 3 h) 7x 2 2 5 5x 1 10 S 5 {6} da exposição é 40. Quantos cachorros há de i) x 1 1 5 5 2 x S 5 {2} outras raças? ~ x 5 17 2 8 ~ j) 4x 1 6 5 6x 1 10 S 5 {22} 12 12 d) Os 12 meninos de uma turma representam a 9 3 terça parte do número total de alunos da tur- ~ x 5 12 5 4 ma. Quantos alunos essa turma tem? Logo, a fração é 3 . 4 e) Paulo trabalhou certo número de horas e mais k) Número: x 7 horas extras, totalizando 32 horas. Quantas 7x 5 291 ~ x 5 213 horas ele trabalhou? 54 Determine no caderno o valor da letra em cada Logo, o número é 213. f) Mara pensou em um número, somou 12 a ele e, equação usando as operações inversas. As letras em seguida, subtraiu 10, obtendo 15. Em qual l) Idade de Paulo: x representam números naturais. x número ela pensou? 2 5 19 ~ x 5 38 a) x 1 8 5 20 x 5 12 d) 7d 5 28 d 5 4 g) Beto tinha certa quantia de dinheiro. Ele gastou b) y 2 21 5 42 y 5 63 e) c : 9 5 7 c 5 63 Logo, a idade de Paulo é c) a 2 174 5 308 a 5 482 f) 4r 5 48 r 5 12 R$ 12,50 e ficou com R$ 17,50. Quanto Beto 38 anos. 55 Use a linguagem usual para descrever no caderno tinha inicialmente? Atividades 55, 57 e 58 cada equação. Exemplos de resposta: Estas atividades trabalham a a) x 1 15 5 20 Um número mais 15 é igual a 20. h) Qual é o número que somado com 38 tem b) 3y 5 15 O triplo de um número é igual a 15. escrita das equações em lingua- c) y : 6 5 8 Um número dividido por 6 é igual a 8. como resultado o número 115? gem usual. d) m 1 14 5 20 Um número mais 14 é igual a 20. e) w 2 6 5 18 Um número menos 6 é igual a 18. i) De qual número devemos subtrair 147 para Na atividade 58, os alunos de- f) p 4 3 5 12 Um número dividido por 3 é igual a 12. vem criar um problema que seja obter como resultado o número 58? representado pela equação da- da e trocá-lo com um colega pa- j) Qual fração devemos somar a 2 para obter 17 ra que um resolva a situação in- 3 12 ? ventada pelo outro. k) 7 vezes um número é igual a 291. Qual número é esse? 56 No caderno, descreva a equação 3x 5 15 de l) A metade da idade de Paulo é igual a 19 anos. 3 maneiras diferentes. Qual é a idade de Paulo? 56. Exemplos de resposta: 3 vezes um número é igual a 15; o triplo de um número é igual a 15; 115 3 multiplicado por um número é igual a 15; o produto de 3 e um número é igual a 15. Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita a) Número de apartamentos por andar: x 12x 5 240 ~ x 5 20 Atividades 52 a 54, 56 e 59 Logo, há 20 apartamentos por andar. Estas atividades trabalham a resolução de equações do 1o b) Número de gatos: x grau. Permita que os alunos escolham o método a ser utilizado, Número de cachorros: 2x caso a atividade não exija uma maneira específica de resolução, Equação: 2x 1 x 5 21 ~ 3x 5 21 ~ x 5 7 como a atividade 54. Logo, há 7 gatos no canil. A atividade 59 apresenta situações cotidianas que devem ser c) Número de cachorros de outras raças: x representadas e resolvidas por equações. Veja a resolução dos 7 1 5 1 12 1 x 5 40 ~ 24 1 x 5 40 ~ x 5 16 itens dela. Logo, há 16 cachorros de outras raças. 115MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
3 Equações do 1o grau Explorando a ideia de equil’brio com 1 incógnita Observe a balança de pratos equilibrada e considere todas as latinhas vermelhas com o mesmo “peso”, Inicialmente, mostre a ilus- que vamos representar por x. Qual é o “peso” de cada latinha, ou seja, qual é o valor de x? tração da balança para os alu- nos, pergunte se sabem para Paulo Manzi/Arquivo da editora x x que serve uma balança desse Paulo Manzi/Arquivo da editorax x x x 50g tipo ou se já viram uma. Expli- x x 140 g Equação correspondente: que a eles que, nessa balança, 100g 50g 5x 1 50 5 3x 1 290 os pratos ficam em equilíbrio, ou seja, na mesma altura quando Quando tiramos ”pesos” iguais de cada prato, a balança continua equilibrada. se coloca a mesma medida de Vamos tirar 50 g de cada prato. massa nos 2 lados. xx x xx x 140 g 100g No livro, o termo peso apare- xx ce entre aspas, pois a rigor o ter- mo correto seria medida de Subtraindo 50 de ambos os membros da igualdade, obtemos outra igualdade. massa. Entretanto, utilizamos a 5x 1 50 2 50 5 3x 1 290 2 50 linguagem consagrada pelo uso. 5x 5 3x 1 240 Desse modo, quando tiramos (Equação equivalente à anterior, ou seja, apresenta a mesma solução.) objetos com a mesma medida Tirando 3 latinhas de cada prato, a balança continua equilibrada. de massa da balança ou quando colocamos objetos com a mes- Paulo Manzi/Arquivo da editora Subtraindo 3x de ambos os membros da ma medida de massa nos 2 la- dos, ela continua equilibrada. O igualdade, obtemos uma nova igualdade. que não se pode fazer é retirar ou adicionar um item com deter- xx 140g 100g 5x 5 3x 1 240 minada medida de massa ape- nas de um lado, pois, assim, a 5x 2 3x 5 3x 1 240 2 3x balança perde o equilíbrio. 2x 5 240 Pode-se levar uma balança de pratos ou construir uma com (Equação equivalente à anterior.) os alunos utilizando um cabide que possua alças laterais, bar- Se 2 latinhas de mesmo “peso”, juntas, pesam 240 g, então cada uma pesa 120 g (240 : 2 5 120). Assim, bante e 2 pratos descartáveis o “peso” de cada latinha é de 120 g. iguais. É importante que a me- dida de comprimento do barban- Se 2x 5 240, dividindo ambos os membros por 2, obtemos: te seja igual. Após pendurar a balança em algum lugar da sala, 2x 5 240 o professor pode colocar objetos 22 pequenos de mesma medida de x 5 120 massa nos pratos, de modo que Resposta: O “peso” de cada latinha é de 120 gramas. a balança fique em equilíbrio. 116 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Durante a exploração, faça a comparação entre a balança e as equações, mostrando que, ao adicionar ou tirar 2 objetos de mesma medida de massa dos 2 lados, a balança, assim como a equação, continua em equilíbrio. Pode-se também multiplicar os objetos ou dividi-los, desde que tudo o que for feito de um lado seja repetido do outro. 116 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Veja mais alguns exemplos de resolução de equação do 1o grau com 1 incógnita, no conjunto universo dos 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita números racionais. Procure justificar cada passagem. Mostre aos alunos os exem- • Exemplo 1 5x 5 13 1 2x plos de resolução de equação 3x 1 10 5 2x disponibilizados nesta página e 3x 1 10 2 10 5 2x 2 10 5x 2 2x 5 13 peça que justifiquem cada pas- 3x 5 2x 2 10 sagem do procedimento realiza- 3x 2 2x 5 2x 2 10 2 2x 3x 5 13 do e vá anotando na lousa de x 5 210 x 5 13 5 4 1 acordo com o que os alunos des- Portanto, S 5 {210}. 33 creverem. Ao fazer essa análise, eles criarão subsídios para pro- Portanto, S 5 {4 1 }. por soluções no momento de re- 3 solver uma atividade. • Exemplo 2 • Exemplo 5 Chame a atenção dos alu- 3y 2 20 5 y 1 80 nos para a conveniência da 3y 2 20 1 20 5 y 1 80 1 20 3x 1 x 526 multiplicação dos 2 membros 3y 5 y 1 100 4 de 26x 5 28 por 21 para ob- 3y 2 y 5 y 1 100 2 y termos 6x 5 8 no exemplo 3. 2y 5 100 1a maneira y 5 100 Neste momento, proponha a 2 3x 1 x 526 resolução de outras equações y 5 50 4 que podem parecer complexas. Portanto, S 5 {50}. Mostre a eles que, com um Multiplicamos ambos os membros por 4. bom entendimento e diferen- tes maneiras para se chegar à 4 ? 3x 1 x 5 4 ? 26 propriedade distributiva solução, essas podem ser fa- 4 cilmente resolvidas. Lembre-se: 4 ? 3x 1 4 ? x 5 104 4 ? x 5 4x 5 1x 5 x No exemplo 4, retomando a 4 propriedade distributiva, desta- 44 que aos alunos que, primeira- • Exemplo 3 12x 1 x 5 104 mente, devemos efetuar a multi- plicação dos números que estão 8 2 5x 5 x 13x 5 104 dentro dos parênteses pelo nú- mero que está fora. 8 2 5x 2 8 5 x 2 8 x 5 104 5 8 13 No exemplo 5, mostre aos 25x 5 x 2 8 alunos que, na primeira manei- ra, multiplicamos todos os nú- 25x 2 x 5 x 2 8 2 x 2a maneira (processo prático) meros por 4 para ficar com uma 3x 1 x 526 equação que contenha apenas 26x 5 28 números inteiros. Também 4 apresente à turma a segunda Multiplicamos ambos os membros por (21): maneira, fazendo-os perceber que encontramos o mínimo (26x) ? (21) 5 (28) ? (21) 3x 1 x 5 26 mmc(1, 4, 1) 5 4 múltiplo comum dos denomina- 141 dores e multiplicamos todas as 6x 5 8 frações por 4 para eliminar os x 5 8 5 4 511 12x 1 x 5 104 denominadores, ficando com 444 uma equação que possui ape- 63 3 nas números inteiros. Portanto, S 5 {4 1 }. Multiplicamos ambos os membros por 4 e Dê outros exemplos de equa- 3 ções com outros denominado- eliminamos os denominadores. res e com 2 denominadores di- • Exemplo 4 ferentes. Mostre aos alunos co- 5(x 2 2) 5 4 2 (22x 1 1) 12x 1 x 5 104 mo resolvê-las das 2 maneiras. 5x 2 10 5 4 1 2x 2 1 5x 2 10 5 3 1 2x 13x 5 104 Antes de solicitar a resolução 5x 5 3 1 2x 1 10 das atividades da próxima pági- x 5 104 58 na, peça aos alunos que regis- 13 trem, no painel de descobertas, algumas equações do 1o grau Portanto, S 5 {8}. com a resolução. Chame a aten- ção deles para o fato de que de- Banco de imagens/Arquivo da editora 5(x 2 2) 5 5 ? x 2 5 ? 2 5 5x 2 10 Usando a propriedade vem anotar o que acharem mais 2(22x 1 1) é o oposto de 22x 1 1, distributiva podemos obter difícil de lembrar, mas de uma que é 12x 2 1. uma equação equivalente, forma que consigam entender. Você pode também interpretar que: sem parênteses. Em seguida, se possível, apre- 2(22x 1 1) 5 21(22x 1 1) sente o jogo sugerido ao lado pa- Usando a propriedade distributiva, obtemos: Thiago Neumann/ ra que os alunos possam resol- 21(22x 1 1) 5 12x 2 1 Arquivo da editora ver mais algumas equações en- quanto se divertem. Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 117 Sugestão de jogo: Jogo das equações Os pontos devem ser anotados em uma folha de papel à parte. Número de participantes: 2 ou mais jogadores. 22x53 x1151 Modo de jogar x 5 21 x53 Banco de imagens/ Arquivo da editora Em cada rodada, todos os participantes giram um clipe com 2x 1 1 5 1 42x51 auxílio de um lápis, nas 2 roletas. Quando algum participante ob- 72x58 3x 5 23 tiver uma equação na roleta da esquerda e a solução dela na ro- leta da direita, ele marca 1 ponto. x 5 0 5x 5 15 x50 3 Vence a partida quem marcar 5 pontos primeiro. 117MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
3 Equações do 1o grau Atividades com 1 incógnita 60 Resolva estas equações no caderno, no conjunto Raciocínio lógico Nesta página, as atividades universo dos números racionais. desenvolvem a resolução de a) 2x 1 5 5 27 S 5 {11} Descubra quais são os números e registre-os no caderno. equações do 1o grau. Permita b) 4x 2 8 5 2x 1 6 S 5 {7} que os alunos utilizem os méto- c) 7x 1 1 5 6x 1 6 S 5 {5} a) Quando adicionam a mim a minha metade, resulto em dos que acharem mais adequa- d) 5x 2 3 5 2x 2 9 S 5 { 22} dos, evitando forçá-los a usar o 39. Quem sou eu? 26 x 1 x 5 39 procedimento que você prefere. 2 b) E eu? Quando subtraem de mim a minha terça parte, resulto em 12. 18 x 2 x 512 3 61 Resolva estas equações no caderno da maneira Atividade 60 que você quiser, no conjunto universo dos nú- 63 Calcule e faça a verificação no caderno. Qual é o Veja a resolução dos itens número natural cujo triplo do antecessor é igual meros racionais. ao dobro do sucessor dele? 5 (3(x 2 1) 5 2(x 1 1)) dessa atividade. a) y 2 426 5 700 y 5 1 126 a) 2x 1 5 5 27 ~ 2x 5 5 27 2 5 ~ 2x 5 22 ~ b) a 5132 a 5 792 64 A idade de Beto há 4 anos era a metade da ~ x 5 11 6 idade que ele terá daqui a 6 anos. Qual é a idade b) 4x 2 8 5 2x 1 6 ~ c) 6x 2 19 5 71 x 5 15 x 1 6 ~4x 2 2x 5 6 1 8 ~ 2 ~ 2x 5 14 ~ x 5 7 d) 2x 1 4 510 x 5 15 de Beto? 14 anos. x 245 5 x59 c) 7x 1 1 5 6x 1 6 ~ 65 Resolva as equações no caderno, no conjunto ~ 7x 2 6x 5 6 2 1 ~ e) x 1 4x 539 ~x55 3 universo dos números racionais. d)5x 2 3 5 2x 2 9 ~ f) x 1 x 512 x 5 8 a) x 1 x 5 x 1 6 x 5 12 ~ 5x 2 2x 5 29 1 3 ~ 2 24 2 ~ 3x 5 26 ~ x 5 22 g) x 2 15 2 1 x x 5 20 b) x 2 3 1 3x 5 5x 1 27 x 5 15 Atividade 62 4 10 22 Esta atividade apresenta vá- h) 50 1 (3x 2 4) 5 2(3x 2 4) 1 26 x 5 91 c) 2x 1 8 1 x 12 5 28 x 5 210 3 24 rias situações do cotidiano. So- i) x 1 4x 515 2 (2x 26) x56 d) x 21 5 x 2 2x 26 x 5 23 1 licite aos alunos que inicialmen- 2 x52 55 2 te montem cada uma das equa- j) 2(2x 2 4) 55 2 x 1 4 66 José teve o salário reajustado em 3 a mais do 2 5 ções para depois resolvê-las. a) Noemi: x; Alícia: x 1 500 62 Use equações para resolver estas situações no que era e passou a receber R$ 4 000,00. Qual era caderno. o salário de José antes do reajuste? R$ 2 500,00 x 1 x 1 500 5 3 000 ~ 67 Uma jarra tem medida de capacidad.e de 2 L. Com ~ 2x 5 3000 2 500 ~ a) Noemi tem certa quantia em um banco. A irmã ela cheia de água, foram enchidos 5 copos, que ~ 2x 5 2500 ~ x 5 1250 dela, Alicia, tem R$ 500,00 a mais do que ela. têm a mesma medida de capacidade, e sobraram Juntas, elas têm R$ 3 000,00. Quanto Noemi 350 mL de água na jarra. Qual é a medida de ca- b) Filipe: x anos tem? R$ 1 250,00 pacidade de cada copo? 330 mL 3x 2 18 5 57 ~ 3x 5 57 1 b) O triplo da idade de Filipe menos 18 anos é igual 1 18 ~ 3x 5 75 ~ x 5 25 a 57 anos. Qual é a idade de Filipe? 25 anos. c) Medida de área: 600 m2 c) A medida de área total deste terreno retangular Paulo Manzi/Arquivo da editora (30 1 20) ? x 5 600 ~ é de 600 m2. Qual é a medida de comprimento Leonardo Teixera/ da profundidade deste terreno? 12 m Arquivo da editora ~ 50 ? x 5 600 ~ As imagens desta página não estão ~ x5 600 ~ x 5 12 representadas em 50 proporção. d)Preço de cada caneta: x 25 1 4x 5 39 ~ 68 Paulo construiu a casa dele em um terreno retan- ~ 4x 5 39 2 25 ~ gular que tem 60 metros de medida de perímetro. ~ 4x 5 14 ~ A medida de comprimento da largura desse terre- no é o dobro da medida de comprimento da pro- ~ x 5 14 ~ x 5 3,5 30 m 20 m 4 d) Mariana comprou um livro por R$ 25,00 e 4 ca- fundidade. Quais são as medidas das dimensões e) número: n n 2 8 5 19 ~ netas iguais, gastando R$ 39,00 no total. Qual deste terreno? 3 n foi o preço de cada caneta? R$ 3,50 69 Invente um problema que possa ser resolvido ~ 3 5 19 1 8 ~ e) Descubra qual é o número: a diferença entre a pela equação 2x 1 x 5 36. Depois, troque-o com um colega; você resolve o dele e ele resolve o seu. ~ n 5 27 ~ terça parte dele e 8 é igual a 19. 81 3 Resposta pessoal. ~ n 5 3 ? 27 ~ n 5 81 68. Medida de comprimento da largura: 20 m; medida de comprimento da profundidade: 10 m. Atividade 63 118 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Veja a resolução desta ativi- x245 x16 ~ 2x 2 8 5 x 1 6 ~ 2x 2 x 5 6 1 8 ~ x 5 14 c) 2x1 8 1 x12 5 28 ~ 4x1 16 1 x 12 5 232 ~ 1 dade. 2 2 4 2 4 4 número: x antecessor: x 2 1 sucessor: x 1 1 3 ? (x 2 1) 5 2 ? (x 1 1) ~ Atividade 65 ~ 3x 2 3 5 2x 1 2 ~ Veja a resolução desta atividade. ~ 4x 1 16 1 x 1 2 5 232 ~ 5x 5 232 2 16 2 2 ~ a) x 1 x 5 x16 ~ 2x 1 x 5 2x 1 12 ~ ~ 5x 5 50 ~ x 5 210 2 4 2 4 4 4 ~ 3x 2 2x 5 2 1 3 ~ x 5 5 ~ 2x 1 x 2 2x 5 12 ~ x 5 12 x21 5x 2x 2 6 d) 5 5 5 2 5 ~ x 2 1 5 5x 2 (2x 2 6) ~ Atividade 64 x23 5x1 x23 Veja a resolução desta ativi- b) 2 1 3x 5 2 27 ~ 2 1 6x 5 5x 1 27 ~ 2 2 dade. ~ x 2 5x 5 1 2 2x 1 6 ~ 24x 1 2x 5 7 ~ Idade de Beto hoje: x ~x2316x55x127~x16x25x52713~ 2x530~ ~ 22x 5 7 ~ x 5 227 5 23 1 ~ x 5 15 2 118 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Atividades resolvidas passo a passo 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita O Epitáfio de Diofante (ou Diofanto). Diofante foi um matemático grego que es- Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora tudou as equações do 1o grau. Muitas fontes dizem que no túmulo de Diofante foi Pergunte aos alunos se sabe- escrito um problema matemático. Não sabemos se isto é verdade, mas o problema riam dizer o que é um epitáfio. proposto tem como objetivo descobrir com qual idade morreu Diofante. Verifique as hipóteses que pos- suem e explique que se trata de “Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um uma inscrição sobre lápides ou duocécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casa- monumentos funerários. Em mento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. seguida, proceda à leitura do Mas este filho [...] apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu. texto a fim de que possam co- Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos nhecer Diofante e o problema números, passou-os Diofante antes de chegar ao termo de sua existência.” matemático que acredita-se que foi deixado como epitáfio na MALBA TAHAN. O homem que calculava. 52. ed. Rio de Janeiro: Record, 2000. p. 135. lápide dele. Lendo esse texto é possível descobrir a idade de Diofante quando ele morreu? Verifique o que os alunos en- tenderam e planeje, com eles, Lendo e compreendendo uma forma de resolver a situa- ção apresentada. Então, enume- O problema procura descobrir com qual idade teria morrido o matemático Diofante de Alexandria. Ele nos for- re na lousa cada um dos dados nece dados da vida de Diofante. Esses dados representam 4 frações do total de anos que teria vivido o matemático do epitáfio e confira se os alu- e mais 2 números inteiros. Todos esses números, somados, devem resultar na idade procurada. nos conseguem representá-los por uma equação e resolvê-la, Planejando a solução ajudando-os se necessário. Ao final, peça que verifiquem se o Devemos estabelecer que a idade procurada seja a incógnita x. Em seguida, usando os dados fornecidos, escre- valor descoberto para a idade vemos uma equação compatível com o enunciado. com que Diofante morreu está correto e comparem-no com a Executando o que foi planejado resolução apresentada no livro. Vamos, com os dados fornecidos, escrever a equação, lembrando que Diofante viveu x anos: Em seguida, proponha aos alunos que ampliem o problema x que acabaram de resolver, es- “Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude” ñ 6 crevendo uma situação em lin- “[...] um duocécimo, na adolescência” ñ x 1 x guagem usual, assim como o epitáfio apresentado, que seja 6 12 resolvida por uma equação fra- cionária. Se achar conveniente, “[...] um sétimo [...] num casamento estéril” ñ x 1 x 1 x peça aos alunos que troquem a 6 12 7 situação criada com um colega, para que um resolva a criação “[...] Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho” ñ x 1 x 1 x 1 5 do outro. 6 12 7 “[...] Mas este filho [...] apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu.” ñ x 1 x 1 x 1 5 1 x 6 12 7 2 “[...] Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante antes de chegar ao termo de sua existência” ñ x 1 x 1 x 1 5 1 x 1 4 6 12 7 2 Esses dados, somados, representam toda a vida de Diofante; isto é, somados têm que ser iguais a x. x 1 x 1 x 151 x 145x 6 12 7 2 Para resolver essa equação temos incialmente que calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Temos que mmc(6, 12, 7, 2, 1) 5 84. Multiplicando cada termo da equação por 84, obtemos: 84 ? x 1 84 ? x 1 84 ? x 1 84 ? 5 1 84 ? x 1 84 ? 4 5 84 ? x 6 12 7 2 14x 1 7x 1 12x 1 420 1 42x 1 336 5 84x 14x 1 7x 1 12x 1 42x 2 84x 5 2420 2 336 29x 5 2756 x 5 2 756 5 84 29 Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 119 Atividade 66 Atividade 68 Veja a resolução desta atividade. Veja a resolução desta atividade. Medida de perímetro do terreno: 60 m Salário novo: x 1 3 x Medida de comprimento da profundidade do terreno: x 5 Medida de comprimento da largura do terreno: 2x x 1 2x 1 x 1 2x 5 60 ~ 6x 5 60 ~ x 5 10 x1 3 x 5 4000 ~ 8 x 5 4000 ~ 8x 5 20000 ~ x 5 2500 5 5 Atividade 69 Solicite aos alunos que elaborem um problema resolvido pela equa- Atividade 67 ção dada e que o troquem com um colega, para que um resolva a si- Se necessário, destaque aos alunos que uma medida de capacida- tuação criada pelo outro. de está em litros e a outra está em mililitros. Veja a resolução desta atividade. Medida de capacidade de cada copo: x 2000 2 5x 5 350 ~ 2000 2 350 5 5x ~1650 5 5x ~ x 5 330 119 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
3 Equações do 1o grau Verificando com 1 incógnita Substituindo x por 84 no primeiro membro da equação, obtemos: Um pouco de História Leia o texto com os alunos e 84 1 84 1 84 1 5 1 84 1 4 514 1 7 112 1 5 1 42 1 4 5 84, o que confirma o resultado. 6 12 7 2 pergunte se eles sabem como eram efetuados, na Antiguidade, Emitindo resposta os cálculos que hoje resolvemos por meio da Álgebra. Diofante morreu aos 84 anos de idade. Em seguida, proponha que Ampliando a atividade pesquisem informações sobre a Álgebra e a relação dela com Uma pessoa viveu 1 da vida dela na infância, 1 na adolescência, 1 na juventude e 1 na maturidade. Qual as civilizações, da Antiguidade 5 8 63 até os dias atuais. Por meio dessa pesquisa, é possível fração da vida dela restou para a velhice? que compreendam a impor- Solução tância da Álgebra no desenvol- vimento da Matemática e da x 1 x 1 x 1 x 5 24x 1 15x 1 20x 1 40x 5 99x 5 33x sociedade atual. 5 8 6 3 120 120 40 x 2 33x 5 40x 2 33x 5 7x 40 40 40 Logo, restou 7 da vida dela para a velhice. 40 Um pouco de Hist—ria Reprodução/Arquivo da editora A Álgebra antiga era a parte da Matemática que estuda- va as equações e os métodos de resolvê-las. A palavra Álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro Al-jabr w’al-mubalah ou A arte de reunir desco- nhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX pelo matemático árabe Al-Khwarizmi. Ele foi o res- ponsável por introduzir o sistema de numeração decimal e os algarismos indo-arábicos no Ocidente. A Álgebra começa a ser usada na Europa para designar o estudo das equações com 1 ou mais incógnitas a partir do século XI, quando a obra de Al-Khwarizmi é traduzida para o latim. Os problemas algébricos mais antigos conhecidos atual- mente datam do século XVII a.C. Eles estão registrados em um papiro descoberto em 1858 na cidade de Luxor, no Egito, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Veja o enunciado de um deles: “Ah, seu inteiro, seu sétimo, fazem 19.”. Na linguagem matemática atual pode ser traduzido por x 1 x 5 19. Entre a escrita do papiro de Rhind e a elabora- 7 x 519 ção dessa forma de apresentar uma equação x 1 7 passaram-se 34 séculos! Fonte de consulta: INFOESCOLA. Biografias. Disponível em: Página da obra Hisab al-jabr w’al-mugabalah, <www.infoescola.com/biografias/al-khwarizmi/>. de Al-Khwarizmi, escrita por volta do ano 825. Acesso em: 22 jun. 2018. 120 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Sugestão de jogo: Quebra-cabeça das equações Banco de imagens/ 2o quadro: retangular de medidas de comprimento de 15 cm por 10 cm, dividido Arquivo da editora em 6 quadrados com lados de medidas de comprimento de 5 cm. Cada quadrado é Número de participantes: 2, 3 ou 4 jogadores. dividido em 4 triângulos iguais. Nesse, os 24 triângulos devem ser recortados e neles escritas as 12 equações e as 12 soluções indicadas abaixo: Preparando o jogo Equações Soluções Construam, em papel-cartão ou sulfite, 2 quadros como o representado ao lado, com as dimensões des- x 1 2 5 3 2x 1 1 5 5 3x 5 26 3x 5 2 x53 x50 x 5 1 x 5 22 critas a seguir. 1o quadro, que servirá de tabuleiro: re- 6x 5 3 2x 1 5 5 5 2 2 x 5 3 x 2 2 5 1 x55 3 tangular de medidas de comprimento de 16,5 cm por 11 cm, dividido em 3x 5 1 5x 5 20 x 2 1 5 4 x 1 3 5 0 x 5 23 6 quadrados com lados de medidas de comprimento de 5,5 cm. Cada quadrado é x 5 1 x 5 21 x52 dividido em 4 triângulos iguais. x5 2 x54 x 5 1 3 2 120 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Outras situações-problema que envolvem a resolução 3 Equações do 1o grau de equações do 1o grau com 1 incógnita com 1 incógnita Veja algumas dicas na lousa. Elas serão importantes Leia com os alunos as dicas para equacionar e resolver situações-problema apresentadas no livro para a resolução de problemas e peça Banco de imagens/Arquivo da editora que as registrem com as pró- Thiago Neumann/Arquivo da editora prias palavras no painel de • Leia com atenção a situação dada e verifique o que se descobertas. conhece e o que vai ser determinado. As atividades desta página ¥ Represente um valor desconhecido com uma letra trabalham a resolução de pro- (incógnita). blemas a partir de equações do 1o grau. • Escreva uma equação que contenha essa incógnita, de acordo com as informações da situação. Atividades 70 e 71 Estas atividades devem ser • Resolva a equação e obtenha o valor da incógnita. • Faça a verificação para conferir se a resposta está correta. resolvidas, primeiramente, sem • Escreva a resposta no caderno. o uso de equações e, em segui- da, com o uso delas. Veja a resolução da ativida- de 71. x: número de pombas x 1 2x 1 1 5 100 ~ ~3x51002 1 ~ 3x 5 99 ~ ~ x5 99 ~ x 5 33 3 Atividades 70 Resolva o problema no caderno, de 2 maneiras diferentes: sem usar equação e, depois, usando equação. Um relógio cujo preço é de R$ 97,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 40,00 de entrada e o restante em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação? R$ 19,00 71 Você conhece esta charada? As imagens desta O gavião chega ao pombal e diz: página não estão – Adeus, minhas 100 pombas! representadas em As pombas respondem em coro: proporção. – 100 pombas não somos nós; com mais 2 tantos de nós e com você, meu caro gavião, 100 pássaros seremos nós. Quantas pombas estavam no pombal? Como podemos solucionar essa charada? Chame de x o número de pombas, monte uma equação e resolva-a no caderno. 33 pombas. (x 1 2x 1 1 5 100) Mauro Souza/Arquivo da editora Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 121 Durante o jogo, as peças deverão ser colocadas no tabu- x11562x 5 8 Daí em diante, cada participante faz uma destas 3 ações, pela ordem: coloca leiro de modo que cada equação tenha a solução de frente x54 uma peça com solução de frente para uma equação que já está no tabuleiro ou para ela, como nos exemplos ao lado. coloca uma peça com equação que não fique de frente para outra equação ou Banco de imagens/ passa a vez. Como jogar Arquivo da editora x55 Atenção: uma peça com solução não poderá ser colocada se a equação corres- pondente não estiver no tabuleiro. Misturem todas as peças viradas para baixo, distribuam-nas igualmente entre os participantes e decidam a ordem em que os participantes vão jogar. Ganha o jogo quem colocar primeiro todas as próprias peças no tabuleiro. O primeiro jogador coloca uma peça com equação em uma das posições indica- das nos exemplos dados. 121MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
73. 5 cm, 10 cm e 10 cm. x 1 x 1 x 5 25 ~ x 1 2x 1 2x 5 25 ~ 5x 5 50 ~ x 5 10 2 2 2 2 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita Raciocínio lógico 78 A professora Júlia reservou 10 folhas de papel crepom para cada aluno do 7o ano. Como naquele As atividades desta página Qual número natural sou eu? O dobro de meu antecessor, dia faltaram 5 alunos, foi possível dar 12 folhas contextualizam o uso de equa- menos 3, é igual a 25. 15 para cada aluno que compareceu. Qual foi o nú- ções para resolver problemas mero de folhas de papel crepom distribuídas pela cotidianos. 72 O terreno de Rosa é retangular e a largura tem professora Júlia? 300 folhas. medida de comprimento de 18 m a menos do Atividades 72 e 73 que a profundidade. O perímetro do terreno mede 79 A professora Eliane decidiu realizar um jogo com Estas atividades relacionam 84 m. Qual é a medida de comprimento da pro- fichas na aula. Se ela distribuir igualmente as fi- fundidade do terreno? E qual é a medida de com- chas que tem entre 15 alunos, então cada um vai equações aos conceitos de me- primento da largura? 30 m; 12 m. receber certa quantidade. Mas, se distribuí-las dida de perímetro (atividade entre 18 alunos, então cada um vai receber 2 fi- 72) e de medida de área (ativi- 73 A medida de comprimento da base de um triân- chas a menos do que na situação anterior. Quan- dade 73). gulo isósceles é igual à metade da medida de tas fichas a professora Eliane tem para distribuir? comprimento de cada um dos outros lados. Resolva e faça a verificação no caderno. 180 fichas. Veja as resoluções da ativi- A medida do perímetro desse triângulo é 20 cm. dade 72. Determine no caderno as medidas de compri- 80 O perímetro de um retângulo mede 88 cm e a Medida de comprimento da pro- mento dos lados. diferença entre as medidas de comprimento da fundidade: x base e da altura é de 20 cm. Descubra as medidas Medida de comprimento da lar- 74 Em uma partida de videogame, Juliana conse- de comprimento da base e da altura e a medida de gura: x 2 18 guiu 160 pontos em 3 rodadas. Na 2a rodada, área da região retangular correspondente. Medida do perímetro: 84 m ela fez 20 pontos a menos do que fez na 1a ro- dada. Na 3a rodada, ela fez o dobro de pontos Você sabia? x feitos na 2a rodada. Quantos pontos Juliana fez em cada rodada? A unidade de medida de temperatura que usamos no Brasil é o x 2 18 grau Celsius (°C). Mas não são todos os países que usam essa x 1 x 1 (x 2 18) 1 (x 2 18) 5 75 Francisca tinha certa quantia em dinheiro para unidade. Nos Estados Unidos e na Inglaterra, por exemplo, a 5 84~4x5841181 18~ comprar um par de tênis, mas viu que essa quan- unidade usada para medir temperatura é o grau Fahrenheit (°F). ~ 4x 5 120 ~ x 5 30 Banco de imagens/Arquivo da editoratia não seria suficiente. A mãe dela decidiu ajudá- Paulo Manzi/Arquivo da editora-la e deu a ela o dobro do que Francisca tinha. Logo, a medida de comprimen- Com isso, cada uma ficou com R$ 186,00. Qual to da largura é 30 2 18 5 12. quantia de dinheiro cada uma tinha no início? O terreno tem 30 m de medi- Francisca: R$ 62,00; mãe: R$ 310,00. da de comprimento de profundi- dade por 12 m de medida de 76 Em um concurso, cada participante deve respon- comprimento de largura. der a 20 perguntas. Para cada resposta correta, o participante ganha 3 pontos e, para cada res- Atividade 74 posta errada, perde 2 pontos. Quantos acertos e Veja a resolução desta ativi- quantos erros teve um participante que obteve 35 pontos no final? 15 acertos e 5 erros. dade. 1a rodada: x 77 Na festa de Carla só havia adultos e crianças. No Termômetros. 2a rodada: x 2 20 início da festa, o total de pessoas era 20. Depois, 3a rodada: 2(x 2 20) o número de crianças dobrou e o de adultos au- A fórmula C 5 5 ? (F 2 32) permite fazer a correspondência mentou 4. Com isso, o número de crianças ficou x 1 (x 2 20) 1 2(x 2 20) 5 o mesmo que o de adultos. Quantas crianças e 5 160 ~ x 5 55 quantos adultos havia no início da festa? Então: 1a rodada: 55 pontos Copie este esquema no caderno, complete-o e 9 2a rodada: 55 2 20 5 35; 35 depois resolva a atividade. pontos Início: crianças ñ x entre uma medida dada em uma dessas unidades e a outra. 3a rodada: 2(55 2 20) 5 5 2 ? 35 5 70; 70 pontos Quando temos a medida em graus Fahrenheit, por exemplo, Logo, Jorge fez 55 pontos na 1a rodada, 35 pontos na 2a roda- substituímos o F por essa medida e determinamos C, que é a da e 70 pontos na 3a rodada. adultos ñ 20 2 x medida correspondente em graus Celsius. Atividade 75 Veja a resolução desta ativi- Pode também ocorrer o inverso, em que substituímos o C e dade. Depois: crianças ñ 2x calculamos o F. Francisca: x x 1 2x 5 186 ~ x 5 62 adultos ñ 20 2 x 1 4 Este assunto é uma importante aplicação de equações. 186 1 2 ? 62 5 310 Francisca tinha R$ 62,00 e sua 74. 1a rodada: 55 pontos; 2a rodada: 35 pontos; 3a rodada: 70 pontos. 80. Comprimento: 32 cm; largura: 12 cm; área: 384 cm2. mãe, R$ 310,00. 77. 8 crianças e 12 adultos. (2x 5 20 2 x 1 4 ~ x 5 8; 20 2 x 5 12) Atividade 76 122 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Veja a resolução desta ativi- dade. Acertos: x Foram distribuídas 300 folhas de papel crepom pela professora Júlia. Erros: 20 2 x 122 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR 3x 2 2(20 2 x) 5 35 ~ x 5 15 Atividades 79 e 80 20 2 x 5 20 2 15 5 5 A atividade 80 trabalha a resolução de equações juntamente com Atividade 78 medidas de área e de perímetro. Veja a resolução desta atividade. Veja na página LI deste Manual a resolução destas atividades. Alunos: x Você sabia? 10x 5 12(x 2 5) ~ x 5 30 Trabalhe com os alunos a leitura apresentada nesta seção a fim Folhas: 10 ? 30 5 300 ou 25 ? 12 5 300 de fazê-los perceber que o cálculo de conversão de temperatura em escalas diferentes se torna simples quando utilizamos uma equação para efetuá-lo.
81 No caderno, calcule as medidas de temperatura de: Radius Images/Diomedia CB CASA BOA Atividade 83 a) 50 °F em graus Celsius; 10 °C Banco de imagens/Arquivo da editora Esta atividade apresenta uma b) 25 °C em graus Fahrenheit. 23 °F CASA BOA UTILIDADES PARA SUA CASA situação-problema presente no 82 Determine qual é a medida de temperatura cujo Rua Joaquim Pedro, 345 - Rio Branco - Belo Horizonte - MG dia a dia que pode ser resolvida número que a expressa em graus Fahrenheit é o a partir de expressões algébri- dobro do número que a expressa em graus Celsius. CEP 30 000-300 (99) 3444-6999 cas e equações do 1o grau. 320 °F ñ 160 °C CNPJ: 9.777.566/0001-11 Raciocínio lógico Leia juntamente com a turma 83 Escola de natação. Leia o folheto promocional de Nota Fiscal de Venda a Consumidor N° 001 uma escola de natação para a matrícula de novos a atividade desta seção. Caso alunos. Emissão: 25/07/2019 encontrem dificuldades em re- Nome: Rita da Silva solvê-la, oriente-os a fazer o de- As imagens desta página não estão senho da placa de madeira e dos representadas em proporção. Quantidade Produto Preço unitário Total cortes a serem feitos na placa. 5 Prato de louça Crianças em aula de natação. 1 Cafeteira de alumínio ****** ****** Atividades 85 2 Jarra de vidro R$ 39,00 R$ 39,00 Nesta atividade, que apresen- Aulas de natação R$ 16,00 R$ 32,00 • Matrícula: R$ 20,00* ta situações cotidianas, os alu- • Uniforme: R$ 40,00* Valor total da nota R$211,00 nos devem definir as equações • Curso de 40 aulas: R$ 720,00 (pago em no item a e usá-las para resolver a) Escreva no caderno uma equação que permita os itens seguintes. 6 prestações mensais iguais). calcular o preço unitário do prato de louça. * Devem ser pagos junto com a 1a parcela, Veja a resolução desta ativi- no ato da matrícula. 5x 1 39 1 32 5 211 dade. a) Converse com os colegas e obtenham b) Calcule o preço unitário do prato de louça. a) A: 16 1 3 3 (n 2 1) uma expressão algébrica que determina o valor B: 15 1 4 3 (n 2 1) arrecadado pela escola no mês de matrícula de R$ 28,00 acordo com o total de novos alunos matricula- C: 14 1 3 3 (n 2 1) dos (a). 85 Preços de estacionamentos. Observe o preço co- brado por alguns estacionamentos em uma gran- D: 12 1 5 3 (n 2 1) b) Qual será o valor arrecadado pela escola com a de cidade. matrícula de 25 novos alunos? b) A: 16 1 2 3 3 5 22 Preços dos estacionamentos B: 15 1 3 3 3 5 24; R$ 4 500,00 (a 5 25; 180 3 25 5 4 500) 24 2 22 5 2 Intervalo de 1a hora Demais horas c) Quantos novos alunos devem se matricular tempo Logo,AngélicagastouR$ 2,00 para que a escola arrecade R$ 5 940,00 com as a mais do que Hélio. matrículas? Estacionamento c) 14 1 3 3 (n 2 1) 5 35 ~ Raciocínio lógico A R$ 16,00 R$ 3,00 ~ 3n 2 3 5 21 ~ ~ 3n 5 18 ~ n 5 6 Uma placa de madeira será cortada em 5 partes por uma B R$ 15,00 R$ 4,00 serra. Logo, ele estacionou por 6 São necessários 3 minutos para serrar cada parte. Quantos C R$ 14,00 R$ 3,00 horas. minutos serão gastos para obter as 5 partes? D R$ 12,00 R$ 5,00 d)14 1 3(n 2 1) 5 12 minutos. (Serão apenas 4 cortes e 4 3 3 5 12.) Tabela elaborada para fins didáticos. 5 12 1 5(n 2 1) ~ 84 Nota fiscal. Rita comprou alguns utensílios domés- ~ 2 5 2n 2 2 ~ n 5 2 ticos na loja Casa Boa. Infelizmente, ela não conferiu a) Para cada um desses estacionamentos, escreva a nota fiscal e não percebeu que havia um erro na no caderno uma expressão algébrica que repre- Logo, eles estacionaram por digitação de um item. Observe a nota fiscal da com- sente a quantia a ser paga pelo cliente que utilizar 2 horas e cada um pagou pra de Rita e veja que os valores do preço unitário e esse estacionamento por n horas, sendo n um nú- R$ 17,00. do total de um dos itens apresentam asteriscos no mero natural maior do que 0 e menor do que 24. lugar dos números que indicam os valores em reais. e) Estimativa esperada: Não. b) Angélica estacionou durante 3 horas no esta- f) Cláudio: 12 1 5(3 2 1) 5 cionamento A e Hélio, durante 3 horas em B. Qual deles gastou mais? Quanto a mais? 5 12 1 5 3 2 5 5 12 1 10 5 22 c) Roberto estacionou o carro dele em C e, no fim Julia: 12 1 5(6 2 1) 5 do intervalo exato de horas, pagou R$ 35,00. 5 12 1 5 3 5 5 Por quantas horas o carro dele ficou estacio- 5 12 1 25 5 37 nado em C? Logo, Cláudio pagou R$ 22,00 e Julia pagou R$ 37,00. d) Fabiana e Rui estacionaram em B e D, respectiva- mente, pelo mesmo intervalo de tempo e paga- ram a mesma quantia. Por qual intervalo de tempo eles estacionaram? Qual quantia cada um pagou? e) Cláudio estacionou durante 3 horas em D, e Jú- lia, durante 6 horas, também em D. Faça uma estimativa e responda: A quantia paga por Júlia foi o dobro da paga por Cláudio? f) Calcule quanto Cláudio e Júlia pagaram. Depois, confirme sua estimativa. 83. a) a 20 1 40 1 720 ou 180 3 a. c) 33 novos alunos. (180 3 a 5 5 940 ~ a 5 5 940 4 180 5 33) 6 Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 123 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita 5(F 2 32) b) 25 5 9 ~ 25 ? 9 5 5F 2 160 ~ Atividades 81 e 82 Nestas atividades, os alunos devem usar a fórmula dada na ~245 1 160 5 5F ~ 115 5 5F ~ F 5 23 seção Você sabia?, que representa a conversão entre as unida- Veja a resolução da atividade 83. des de medida de temperatura grau Celsius e grau Fahrenheit. 5(F 2 32) Veja a resolução da atividade 82. C 5 9 ~ C 5 160 2 ? 160 5 320 5(F 2 32) 5(50 2 32) a) C 5 9 ~ C 5 9 ~ 320 é o dobro de 160. ~ C 5 5 ? 18 ~ C 5 90 ~ C 5 10 9 9 123MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
3 Equações do 1o grau 86 Curiosidade histórica: o “método de falsa posição”. Vamos ver Acervo Museu Britânico, Londres/Arquivo da editora com 1 incógnita como os antigos egípcios faziam para resolver equações. Atividade 86 Como você estudou anteriormente, uma das principais fontes de conhe- Leia o texto sobre o método cimento sobre a Matemática egípcia é o papiro de Rhind ou papiro de Ahmes, um antigo documento com mais de 3 mil e 500 anos copiado por da falsa posição com a turma. um escriba chamado Ahmes. Destaque que os antigos egíp- cios já sabiam resolver equa- Com medidas de dimensões de 5 metros por30 centímetros, esse ex- ções, como pode ser observado tenso rolo de papiro registra 84 problemas matemáticos sobre questões no papiro de Rhind. variadas. Muitos desses problemas pedem o que equivale a soluções de equações, em que a incógnita se chama aha. O problema 24, por exem- Mostre aos alunos e ajude- plo, pergunta o seguinte: qual é o valor de aha sabendo que aha mais um -os a compreender o método sétimo de aha dá 19? Na linguagem matemática atual, podemos tradu- da falsa posição. Em seguida, zir por x 1 x 519 . solicite que resolvam esta ati- vidade utilizando esse método, 7 conferindo o resultado a partir da resolução de uma equação. Fonte de consulta: BOYER, Carl B. Hist—ria da Matem‡tica. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. Veja a resolução desta ativi- Para solucionar esse e outros problemas desse tipo, os egípcios utilizavam Fragmento do papiro de Rhind no dade. um processo conhecido como “método de falsa posição”, em que um qual está contido o problema 24. valor falso era atribuído à incógnita para poder determinar a solução. Ob- • Exemplo de resolução pelo serve, passo a passo, como fazer. método de falsa posição: número falso ñ 12 (supos- Problema: um sétimo de um número mais esse número Banco de imagens/Arquivo da editora As imagens desta ta idade de Beto) é 19. Número falso: 7 página não estão representadas em Portanto, temos: proporção. 12 (idade) 1 12 (outro tanto como ela) 1 6 (metade da 1 ? n o falso 5 1 ? 7 5 1 idade) 1 4 (terça parte da 77 idade) 1 3 (quarta parte da idade) 5 37 Assim, vem: 1 1 no falso 5 1 1 7 5 8 12 ? 148 5 48 resultado verdadeiro 5 19 37 resultado falso 8 • Por equação: idade ñ x falso ? 19 5 7 ? 19 5 133 5 16 5 x x x x 5 no x1x1 2 1 3 1 4 5 Logo, 8 88 8 5 148 ~ ~ 12x 112x 16x 1 4x 1 3x 5 12 5 148 ~ 37x 5 148 ~ 12 ~ 37 x 5 1776 ~ x 5 48 Inicialmente, escolhemos o “número falso”. Vamos adotar, por exemplo, o número falso 7. Depois, usamos o número escolhido e efetuamos as Logo, Beto tem 48 anos. operações indicadas. Um sétimo de 7 é 1. Logo, 7 mais 1 é igual a 8. Thiago Neumann/ Por fim, dividimos o resultado verdadeiro pelo resultado falso, ou seja, Arquivo da editora dividimos 19 por 8. Assim, a incógnita x corresponde ao produto do número falso (7) pelo resultado da divisão de 19 por 8. Logo, o resultado procurado é obtido a partir desses cálculos. Veja na lousa. Após ler o texto, reúna-se com um colega e tentem resolver no caderno a situação a seguir pelo método de falsa posição dos antigos egípcios. Depois, usem uma equação para verificar o resultado. A idade de Beto mais outro tanto como ela, mais metade dela, mais a terça parte dela e mais a quarta parte dela dá o resultado 148. Qual é a idade de Beto? 48 anos. 124 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 124 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Você sabia? 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita O número dos calçados e a Matemática Corepics VOF/Shutterstock Você sabia? Quando vamos comprar calçados vem sempre a pergunta do vendedor: “Qual número você calça?”. Isso Esta seção apresenta uma nos sugere que deve haver alguma matemática relacionada a esse questionamento. E há. Veja como calcular, no Brasil, o número do sapato usando a expressão algébrica 5m 1 28 , sendo m a fórmula para se determinar o número do sapato, a partir da 4 medida de comprimento do pé medida de comprimento do pé. em centímetros. Então, leia o Se o pé tiver medida de comprimento de 25 cm, então o número do calçado será: texto com os alunos e peça que resolvam as atividades. 5 ? 25 1 28 5 125 1 28 5 153 5 38, 25 4 44 Se achar conveniente, peça aos alunos que, utilizando uma Se o número do sapato for 35, então qual será a medida de comprimento do pé? régua, obtenham a medida de comprimento do pé das pessoas 5 ? m 1 28 5 35 ⇒ 5m 1 28 5 140 ⇒ 5m 5 140 2 28 ⇒ 5m 5 112 ⇒ m 5 112 5 22, 4 Pessoa da família deles (em centíme- 45 experimentando tros) e que, utilizando a fórmula, determinem o número do calça- Logo, o pé tem medida de comprimento de 22,4 cm. sapatos. do de cada integrante da família. Fonte de consulta: MUNDO EDUCAÇÃO. Matemática. Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/ descubra-numero-que-voce-calca.htm>. Acesso em: 25 jun. 2018. 87 O grande ídolo do basquete brasileiro, Oscar Schmidt, calça sapatos de número 50. Qual deve ser a medida de Atividade 87 comprimento do pé dele? 34,4 cm Veja a resolução desta ativi- 88 O venezuelano Jeison Orlando Rodrigues Hernandez tem medida de altura de 2,20 m e o maior pé do mundo, de dade: acordo com o livro Guinness dos Recordes Mundiais. Os pés direito e esquerdo têm medidas de comprimento diferen- tes. O pé direito dele tem medida de comprimento de 41,1 cm e o sapato do pé esquerdo é número 52. 5m 1 28 5 50 ~ 4 Fonte de consulta: BBC. Notícias. Disponível em: <www.bbc.com/portuguese/noticias/2015/09/150918_maior_pe_do_mundo_rm>. Acesso em: 25 jun. 2018. ~ 5m 1 28 5 200 ~ a) Qual é o número do sapato do pé direito dele? 58 ~ 5m 5 172 ~ b) Qual deve ser a medida de comprimento do pé esquerdo dele? 36 cm ~ m5 172 5 34,4 5 Atividade 88 89 Resolva a situação-problema no caderno sem usar equação e, depois, Minas Gerais e São Paulo a) 5 ? 41,1 1 28 5 58,375 4 usando equação. 50° O Banco de imagens/Arquivo da editora De acordo com a estimativa da população feita pelo Instituto Brasilei- 0° Equador 5 ? m1 28 4 b) 5 52 ~ ro de Geografia e Estatística (IBGE) em 2018, os estados de São Pau- ~ m 536 lo e Minas Gerais eram os mais populosos do Brasil. Em valores apro- N ximados, eles tinham, juntos, 66 milhões de habitantes, dos quais São Trópico de Capricórnio MG OCEANO SP ATLÂNTICO Paulo tinha 24 milhões a mais do que Minas Gerais. Determine as OCEANO PACÍFICO 0 1 130 km populações aproximadas desses estados em 2018. Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. Minas Gerais: 21 milhões; São Paulo: 45 milhões. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. Fonte de consulta: IBGE. População. Disponível em: <https://ww2.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/>. Acesso em: 25 jun. 2018. 90 O dono de uma loja resolveu fazer uma promoção na venda de geladeiras, fogões e televisores. Mauro Souza/Arquivo da editora Nessa situação, o preço a pagar por qualquer produto pode ser representado pela expressão algébrica 100 1 5p, na qual a variável p indica o valor de cada prestação. a) Ana vai comprar um fogão que custa R$ 450,00. Qual será o valor de cada prestação? R$ 70,00 (100 1 5p 5 450 ~ 5p 5 350 ~ p 5 70) b) Paulo comprou uma geladeira. Ele pagou R$ 100,00 em cada prestação. Qual foi o preço da geladeira? R$ 600,00 (100 1 5 3 100 5 100 1 500 5 600) Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 125 125MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
Leitura LEITURA Principal habilidade A Matemática, as guerras As imagens desta Criptografia: conjunto de da BNCC e os códigos página não estão técnicas empregadas para EF07MA18 representadas em proporção. cifrar, codificar uma Antes de iniciar a leitura des- ta página, pergunte aos alunos escrita. se sabem que tipos de arma fo- ram utilizados na 1a e na De acordo com alguns historiadores a 1a Guerra Mundial foi a Na 2a Guerra Mundial, houve a Giorgio Rossi/Shutterstock 2a Guerra Mundial, as possí- “guerra dos químicos” enquanto a 2a Guerra Mundial foi a “guerra dos disputa entre os países do eixo veis consequências dos gases físicos”. Essa comparação é feita devido aos gases tóxicos (cloro, cia- (Alemanha, Itália e o império Album/Fine Art Images/Fotoarena utilizados na 1a Guerra Mun- nídrico e mostarda) que causaram a morte de milhares de soldados japonês) e os países aliados ou, dial e o efeito da bomba atômi- na 1a Guerra Mundial, e às bombas atômicas que destruíram as cida- simplesmente, aliados (Estados ca usada na 2a Guerra Mundial. des japonesas de Hiroshima e Nagasaki durante a 2a Guerra Mundial. Unidos, Reino Unido, União Divida a sala em 2 grupos e, Contudo, muitos esquecem que a Matemática foi decisiva na vitória Soviética e outros). em seguida, peça a cada grupo dos aliados contra os nazistas na 2a Guerra. que pesquise os efeitos des- Modelo de máquina Enigma usada sas armas utilizadas em cada Os alemães inventaram uma máquina eletromagnética, cha- na 2a Guerra Mundial. guerra e, ao final, socialize as mada Enigma, para codificar mensagens. Essa máquina era capaz informações obtidas. de criptografar mensagens que seriam enviadas e, usando a cha- Alan Turing. Foto de 1930. ve, podia “traduzir” as mensagens. Dessa maneira, eles podiam Faça a leitura do texto sobre enviar mensagens entre os nazistas sem correr o risco que os a máquina alemã que cripto- aliados conseguissem ler. Por esse motivo, era impossível desco- grafava as mensagens durante brir onde os alemães iam atacar ou onde estavam os navios e a 2a Guerra Mundial e sobre as submarinos deles apenas interceptando as mensagens que eles contribuições de um jovem enviavam. matemático no desenvolvi- mento da máquina que seria Os aliados perceberam que a Lógica matemática e a Teoria dos capaz de decifrar as mensa- números poderiam ajudar a decifrar as mensagens dos alemães e gens dos alemães. resolveram criar uma máquina para essa finalidade. Seria interessante, se possí- Em 1940, o matemático e criptoanalista britânico Alan Turing vel, assistir com os alunos ao fil- (1912-1954) foi convocado pela Escola de Códigos e Cifras do Go- me O jogo da imitação, que con- verno, na Inglaterra, para resolver esse problema. Ele e a equipe, ta a história de Alan Turing, o bri- depois de muitos esforços, criaram uma máquina capaz de traduzir lhante e excêntrico matemático as mensagens criptografadas pela Enigma, o aparelho dos alemães. britânico citado no texto, mos- Era um instrumento muito maior, mas capaz de cumprir a tarefa. trando as realizações, o tempe- Essa enorme engenhoca, chamada Colossus, predecessora dos ramento e o preconceito pelo computadores, foi decisiva no destino da guerra, pois os alemães qual passou. Temas como into- não sabiam que as mensagens deles estavam sendo “descripto- lerância, preconceito e respeito grafadas”. Por essa invenção, Alan Turing é considerado pelos cien- também podem ser trabalhados tistas atuais como um dos pioneiros no desenvolvimento dos a partir do filme. Caso não seja computadores. possível assistirem ao filme na escola, peça aos alunos que as- E você seria capaz de, usando a Matemática, criar um código e sistam-no em casa e promova, enviar mensagens criptografadas? Uma maneira bem simples é depois, o debate em sala de aula. usarmos a aritmética do relógio. Imagine os números naturais dis- postos em uma reta numerada. Pode-se sugerir também a lei- tura do livro O livro dos códigos, Banco de imagens/ de Simon Singh, que conta a his- Arquivo da editora tória dos códigos e da criptogra- fia desde o antigo Egito e a luta entre os criadores e os decifra- dores de códigos. 0 123456789 126 CAPÍTULO 4 • Expressões algébricas e equações do 1o grau TELARIS_Mat_7ano_PNLD2020_094a131_U01C04.indd 126 7/3/19 4:46 PM 126 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
Depois, “enrolamos” a reta numerada formando uma circunferência. Nesse caso, vamos escolher que o que todos entendam o princí- pio desse método de codificar. número 4 coincida com o 0, o 5 com o 1, o 6 com 2, o 7 com o 3 e assim por diante. Veja como fica a circun- Em seguida, proponha a cria- ferência numerada obtida. ção de mensagens e a resolu- ção das atividades. Banco de imagens/Arquivo da editora 4, 8, 12, » Você se lembra de que, no relógio 0 analógico, 3 horas e 15 horas Na aritmética do relógio 5, estão assinaladas em um números equivalentes são 7, 11, 15, » 3 1 5, 9, 13, » mesmo ponto do mostrador? aqueles que têm o mesmo resto Quando formos usar um número na divisão por 5. Na questão 2, nas mensagens, vamos usar verifique se os alunos resolvem esse artifício. as equações e depois substi- tuem o valor pelo equivalente na 2 aritmética do relógio 5 ou se realizam essas ações na ordem 6, 10, 14, » inversa. Em seguida, analise, com os alunos, qual ordem des- Nessa aritmética, temos: 0 ä 4 ä 8 ä 12 ä » sas ações facilita a resolução da • 0 ä 4 ä 8 ä 12 ä » (todos os números que divididos por 4 têm resto 0). atividade. • 1 ä 5 ä 9 ä 13 ä » (todos os números que divididos por 4 têm resto 1). Lemos: zero é • 2 ä 6 ä 10 ä 14 ä » (todos os números que divididos por 4 têm resto 2). congruente a quatro, que Questão 1 • 3 ä 7 ä 11 ä 15 ä » (todos os números que divididos por 4 têm resto 3). é congruente a oito, que Esta é a aritmética do reló- é congruente a doze. gio 5. E assim por diante. 5, 10, 15, » Na aritmética usual, temos que 2 1 3 5 5; já na aritmética do relógio 4, que acabamos de criar, 2 1 3 5 1, pois o 5 é equivalente a 1. Este fato, a princípio, parece algo sem importância; mas esse artifício possibilitou não só a criação de códigos, como a capacidade de lidar com um espaço limitado de números, o que nos per- mite determinar soluções para equações muito complicadas. 9, 14, 0 6, 11, Mas, e os códigos que pretendemos criar? Que tal criarmos também um relógio para as letras do alfabeto? 19, » 1 16, » 4 Então, criemos a aritmética do relógio F. Banco de imagens/ Arquivo da editora De acordo com o alfabeto, temos: A • AäFäKäPäUäZ 32 Banco de imagens/ EB • BäGäLäQäV 8, 13, 18, » 7, 12, 17, » Arquivo da editora • CäHäMäRäW Esta é o relógio da aritmética DC • DäIäNäSäX do relógio E. • EäJäOäTäY Fica relativamente fácil enviarmos uma mensagem cifrada com os códigos que acabamos de criar. Por E, I, M, Q, U, Y, » Banco de imagens/ exemplo, na mensagem: Arquivo da editora A “Os inimigos possuem 24 tanques, 15 navios, 41 aviões e 2 110 soldados.” Pode ser criptografada como: H, L, P, D B F, J, N, R, “ED DDDCDBED AEDDAEC 0 EANBAD, 0 DABDED, 1 ABDEED E 2 DEBDADEE.” Mas, para traduzir essa mensagem, o receptor precisaria de uma máquina como a Colossus. Isso porque T, X, » C V, Z, » apesar de conhecermos a regra de transformação, como há 4 ou 5 possíveis letras para cada letra na mensagem criptografada e infinitos números para cada número na mensagem, as possibilidades de respostas seriam muitas. G, K, O, S, W, » Por exemplo, o A, na mensagem criptografada, poderia representar o F ou K ou P ou U ou Y na mensagem real. Fonte de consulta: SINGH, Simon. Último Teorema de Fermat. Editora Best Bolso. A partir daí, podemos obter as respostas: Quest›es a) DCBA Á ABABABCÁBAC DE 1 Tente construir no caderno a aritmética do relógio 5 e a aritmética do relógio E e transmita estas mensagens. AABAA. a) Hoje é aniversário de Maria. b) Pedro comeu 8 bananas. b) DADBC CCAAA 2 BABABAC. DADBC CCAAA 2 BABABAC. DCBA Á ABABABCÁBAC DE AABAA. Questão 2 Para resolver esta atividade, 2 Resolva as equações no caderno utilizando a aritmética do relógio 5. é necessário transformar os nú- a) 12x 2 39 5 9 b) 2(x 2 4) 2 (x 1 11) 5 15 meros usando a aritmética do relógio 5, resolver a equação e, 2x 2 4 5 4 ~ 2x 5 4 1 4 ~ 2x 5 8 ~ x 5 4 2(x 2 4) 2 (x 1 1) 5 0 ~ 2x 2 3 2 x 2 1 5 0 ~ x 2 4 5 0 ~ x 5 4 se necessário, transformar o re- sultado final. Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 127 Leitura Diga aos alunos que, ao transmitir mensagens codificadas, ape- Veja a resolução desta ativi- nas as pessoas que conhecem o código conseguem compreendê- dade. Aproveitando o que foi visto sobre criptografia, pergunte aos -las, ou seja, quem não tem a chave para o código não entende alunos o que eles acham de criar um código para enviar mensa- aquele conjunto de letras e números aparentemente sem sentido. a) 12x 2 39 5 9 ~ gens codificadas, de maneira que apenas quem conhece o código ~ 2x 2 4 5 4 ~ poderá decifrá-las. Para que os alunos se envolvam na exploração, é necessário ~ 2x 5 4 1 4 ~ que, além de achar interessante, sejam capazes de buscar apli- ~ 2x 5 8 ~ x 5 4 Explique que uma das maneiras de realizar essa criação seria uti- cações para o que estão construindo ou desenvolvendo. Sendo lizando a aritmética do relógio e a reta numerada como no livro. Com assim, após incentivá-los a perceber o quanto a criptografia pode b) 2(x24)2(x111)515~ os alunos, leia o texto que contém as explicações sobre esse proce- ser importante e interessante, construa os relógios com a turma dimento e o entendimento do código. e explique as orientações quantas vezes for necessário, de modo ~ 2(x 2 4) 2 (x 1 1) 5 0 ~ 2x 2 8 2 x 2 1 5 0 ~ ~x2950~x59~ ~x54 127MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
Revisando seus 4. 10 vértices e 15 arestas. V 5 2 A; V 1 F 5 A 1 2 ~ 2A 175A12~7225 A2 2A~55 A ~ A 5 15; V 5 2 3 15 5 10 conhecimentos 3 3 3 3 3 Revisando seus conhecimentos Principais habilidades 1 Joaquim repartiu R$ 65,00 entre os 3 filhos, Paulo, 6 Qual destas equações não tem o número 23 como da BNCC EF07MA13 EF07MA16 João e Lauro, de modo que Paulo ficou com a metade solução? EF07MA15 EF07MA18 da quantia de João e Lauro ficou com 2 da quantia de a) x 1 5 5 2 c) 4 2 x 5 7 X d) x 5 1 João. Quanto cada um recebeu? 3 b) 22x 5 6 3 João: R$ 30,00; Paulo: R$ 15,00; Lauro: R$ 20,00. 7 Copie no caderno as afirmações que são verdadeiras. Atividades 1, 4, 6, 8 e 10 2 Considere s o saldo bancário atual da conta de Rei- X a) Todo número natural é inteiro. Estas atividades trabalham a naldo. No caderno, represente simbolicamente o X b) Todo número inteiro é racional. resolução de equações do 1o grau, sendo necessário, pri- novo saldo da conta nas situações descritas. meiramente, escrevê-las a par- tir das informações fornecidas a) Se houver um depósito de R$ 30,00. s 1 30 c) Existe número natural que não é racional. no enunciado. b) Se houver uma retirada de 60 reais. s 2 60 8 Sabendo que a diferença entre a metade de um núme- Na atividade 4, se necessá- rio, relembre a relação de c) Se o saldo atual triplicar. 3s ro e 5 é igual a 4, no caderno, determine qual número Euler (V 1 F 5 A 1 2), vista x no 6o ano. d) Se o saldo atual dobrar e, em seguida, houver uma é esse. 18 2 2554 ~ x 5 18 retirada de R$ 50,00. 2s 2 50 9 Medida de tempo. e) Se houver uma retirada de R$ 50,00 e depois o sal- a) Descubra a regularidade, copie a sequência de da- do dobrar. 2(s 2 50) tas no caderno e complete-a. f) Se ficar a metade do saldo atual. s Atividades 2 e 3 g) Se ficar 75% do saldo atual. 3s 2 3/2/2020 10/2/2020 17/2/2020 Estas atividades desenvol- 4 24/2/2020 2/3/2020 vem a escrita de situações cotidianas, em linguagem h) Se houver um depósito de R$ 90,00 e uma retirada usual, na forma de expressão algébrica. de R$ 30,00. s 1 60 (s 1 90 2 30) b) Forme uma sequência de 5 termos, na qual o 1o termo é o dia 8/1/2020, e cada termo, a partir 3 Em determinado ano, na cidade de Cuiabá, no Mato do 2o termo, indica 3 dias antes do termo anterior. Grosso, a bandeirada de táxi custava R$ 4,80, e o qui- (8/1/2020, 5/1/2020, 2/1/2020, 30/12/2019, 27/12/2019) lômetro rodado custava R$ 2,82. A expressão algé- 10 Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? Atividades 5 e 9 brica que indica o valor a ser pago por uma corrida de a) Analise as imagens e resolva a atividade no caderno, sem usar equação. 3 kg Estas atividades apresentam x quilômetros é: conceitos de sequências, como a descoberta da regularidade, a a) 4,80 2 2,82x. c) 4,80 : 2,82x. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora escrita da fórmula do termo ge- ral ou da fórmula de recursivida- b) 4,80 ? 2,82x. X d) 4,80 1 2,82x. de e o cálculo dos próximos ter- mos. No item b da atividade 9, 4 Em um prisma, o número de vértices corresponde a 1 kg meio tijolo os alunos devem escrever os 2 do número de arestas. Sabendo que o número de termos de uma sequência a par- 3 b) Agora, resolva a atividade no caderno usando equa- tir da lei de formação dada. faces é igual a 7, determine o número de vértices e o ção. (Sugestão: chame de x o “peso” de um tijolo.) 3 kg número de arestas do prisma. Atividade 7 Bate-papo 5 Veja os exemplos de sequências numéricas e fórmulas. Esta atividade trabalha a re- • 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, » Adivinhando o número lação entre os números que Você já tentou adivinhar um número que alguém estava compõem os conjuntos numé- Fórmula do termo geral: an 5 6(n 2 1) para n 5 1, pensando? Peça a um colega que pense em um número de ricos. 2, 3, » 1 a 20 e tente adivinhar o número em que ele está pensando. Para isso, peça a ele que: Atividade 10 • 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, » • subtraia 1 desse número; “Peso” de 1 tijolo: x • dobre o resultado; Fórmula de recursividade: a1 5 1 e an 5 an 2 1 1 2, para • some ao resultado o número que ele pensou; “Peso” de 1 tijolo e meio: n 5 2, 3, 4 » • diga o resultado que obteve. x Para adivinhar o número, some 2 ao resultado fornecido e, x 1 2 Descubra uma regularidade em cada sequência dada a em seguida, divida o valor obtido por 3. Esse número foi o que seguir e, no caderno, escreva uma fórmula do termo o colega pensou inicialmente. x 511 x ~ 2x 5 2 1 x ~ geral (itens a e b) ou uma fórmula de recorrência (itens c Teste o procedimento algumas vezes e depois tentem 2 e d). Depois, calcule os próximos 2 termos da sequência. descobrir por que ele funciona. Para cada etapa monte uma expressão algébrica. Resposta pessoal. ~ 2x 2 x 5 2 ~ x 5 2 Exemplos de fórmulas: Portanto, x 1 x 5 21 153 a) 0, 5, 10, 15, 20, 25, , , » 2 an 5 5(n 2 1); 30, 35. e, então, o “peso” de 1 tijolo e b) 1, 6, 11, 16, 21, 26, , , » meio é de 3 kg. an 5 5(n 2 1) 1 1; 31, 36. c) 2, 7, 12, 17, 22, 27, , , » a1 5 2 e an 5 an 2 1 1 5; 32, 37. d) 1, 5, 9, 13, 17, 21, , , » a1 5 1 e an 5 an 2 1 1 4; 25, 29. Bate-papo 128 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Peça aos alunos que for- Exemplo: Com mem duplas para resolver a Com letras atividade. Em seguida, devem explicar o motivo de, depois de números efetuar todas as operações, re- tornar exatamente para o nú- Número ñ 11 x mero que a pessoa pensou. 10 x 2 1 20 2(x 2 1) 31 2(x 2 1) 1 x 33 2(x 2 1) 1 x 1 2 2( x 2 1) 1 x 12 5 2x 221x 12 5 3x 5x 3 3 3 128 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
11. b) Ambas obtiveram 17 pontos. (Azul: 3 3 4 1 1 3 5 1 0 3 1 5 12 1 5 1 0 5 17; Verde: 3 3 5 1 1 3 2 1 0 3 3 5 15 1 2 1 0 5 17) Revisando seus c) 5 vitórias e 12 jogos. (1 3 3 1 0 3 4 5 3 1 0 5 3; 18 2 3 5 15; 15 4 3 5 5; 3 1 4 1 5 5 12) conhecimentos 11 A expressão algébrica 3 ? V 1 1 ? E 1 0 ? D indica a 14 Um pouco sobre a história das expressões algébricas. Atividade 14 Leia e analise o enunciado Como você estudou ao Rodrigo Pascoal/Arquivo da editorapontuação de uma equipe em um campeonato de fu- desta atividade juntamente com Paulo Manzi/Arquivo da editora a turma. Verifique quais seriam tebol, sendo V o número de vitórias, E o de empates e longo do capítulo, o uso as dificuldades em se utilizar as Album /akg-images/Fotoarena/ representações diferentes das Arquivo de coleção de arteD o de derrotas.da linguagem algébricaque utilizamos hoje em dia. Em e história, Berlim seguida, solicite que resolvam a a) Converse com os colegas e procurem nos permite fazer várias François Viète, 1540. Autor atividade. justificar a expressão algébrica dada. generalizações. O advo- desconhecido. Retrato gado e matemático gravado em madeira, Se achar conveniente, divida b) Em um campeonato, a equipe Azul teve 4 vitórias, francês François Viète 14,2 cm 3 21,3 cm. a turma em 4 grupos e peça a 5 empates e 1 derrota e a equipe Verde teve 5 vitó- (1540-1603) foi um dos cada grupo que pesquise sobre rias, 2 empates e 3 derrotas. Qual dessas equipes principais responsáveis um dos matemáticos citados obteve mais pontos? pelo desenvolvimento nesta atividade, excluindo René da linguagem algébrica, Descartes caso já tenha sido c) Em um torneio de futebol, a equipe de Paulo teve no século XVII. pesquisado anteriormente, e 3 empates e 4 derrotas e um total de 18 pontos. apresente à turma as informa- Qual foi o número de vitórias e qual foi o número Além dele, outros estudiosos também desenvolveram ções mais interessantes que total de jogos dessa equipe? outras notações que utilizavam letras para represen- encontraram. tar números desconhecidos. Observe como alguns 12 Uma das regras de um jogo estabelece que o número importantes matemáticos dessa época escreviam a mínimo de participantes é 5 e o número máximo é 10. As imagens desta seguinte expressão: página não estão representadas em A soma do quíntuplo do cubo de um número com o proporção. sétuplo do quadrado de outro número. Linguagem algébrica Ano Autor Característica Escrita 1620 Thomas Produto de fatores 5aaa 1 7bb Harriot iguais. Outra regra estabelece que 120 fichas devem ser dis- tribuídas igualmente entre os participantes, de modo 1634 Pierre Número, letra e 5a3 1 7b2 que todas sejam usadas. Hérigone expoente. De acordo com essas 2 regras, qual pode ser o núme- 1636 James Expoentes escritos 5aIII 1 7bII ro de participantes? 5, 6, 8 ou 10 participantes. Hume com algarismos romanos. 13 Veja a página de um livro representada em escala. 1637 René Expoentes escritos 5a3 1 7b2 11. a) Cada vitória Descartes com algarismos vale 3 pontos, cada indo-arábicos. empate vale 1 ponto e cada derrota, Fontes de consulta: SÓ MATEMÁTICA. Biografia. Disponível em: nenhum ponto; então <https://www.somatematica.com.br/biograf/francois.php>; a expressão algébrica que calcula o total de ECALCULO. História. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/ pontos é 3 3 V 1 1 3 historia/viete.htm>. Acesso em: 17 out. 2018. 3 E 1 0 3 D. Escreva no caderno as expressões a seguir usando as Representação da 4 maneiras de representação mostradas na tabela. página de um livro. a) 1 : 8 a) A metade do quadrado de um número. (24 4 3 5 8) b) A diferença entre a quarta potência de um número a) Sabendo que a medida de largura real dessa pági- na é de 24 cm, qual foi a escala usada no desenho? e o dobro do cubo de outro número. b) Usando o desenho e a escala, qual é a medida de xxxx 2 2yyy; x4 2 2y3; x IV 2 2y III; x 4 2 2y 3. c) No caderno, crie uma notação diferente das que altura real dessa página? 32 cm (8 3 4 5 32) foram apresentadas e descreva as características c) Se quisermos fazer outra representação desta pá- dela. Use essa notação para escrever a expressão gina, com 12 cm de medida de largura, então qual citada antes da tabela e as expressões dos itens a e b. será a medida de altura? Por fim, apresente para a turma. Resposta pessoal. 13. c) 16 cm 3 5 12 ou 24 5 12 ; 3x 5 4 3 12 ~ 3x 5 48 ~ x 5 16 14. a) 1 aa; 1 a2; 1 aII ; 1 a2 4 x 32 x 2222 129 Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 129MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
Testes oficiais Testes oficiais Principais habilidades 1 (Saresp) Considere esta sequência: 7 (Obmep) Um queijo foi partido em quatro pedaços de da BNCC mesmo peso. Três desses pedaços pesam o mesmo 2, 6, 10, 14, 18, 22, », n, » que um pedaço mais um peso de 0,8 kg. EF07MA13 EF07MA16 O número que vem imediatamente depois de n pode EF07MA15 EF07MA18 ser representado por: Reprodução/OBMEP, 2011. Atividade 1 Nesta atividade, os alunos a) n 1 1. c) 23. devem descobrir a fórmula de X b) n 1 4. d) 4n 2 2. recorrência da sequência, mes- mo que intuitivamente, e usá-la 2 (Saeb) O resultado da expressão 2x2 2 3x 1 10, para para obter o termo desejado. x 5 22, é: Atividade 2 Nesta atividade, os alunos a) 24. c) 12. devem substituir o valor de x b) 0. X d) 24. As imagens desta a fim de encontrar o valor nu- página não estão mérico da expressão algébri- 3 (Saresp) A tabela abaixo mostra o número de horas representadas em ca dada. que Lúcia assiste à televisão em relação ao número proporção. de dias. Atividades 3 a 8 Qual era o peso do queijo inteiro? Nestas atividades, os alunos a) 1,2 kg X c) 1,6 kg e) 2,4 kg devem definir as equações que expressam as situações dadas. b) 1,5 kg d) 1,8 kg Na atividade 5 é apresentada Número de horas (h) 3 6 15 18 8 (Obmep) Margarida viu no quadro-negro algumas uma situação cotidiana que po- anotações da aula anterior, um pouco apagadas, con- de ser resolvida a partir de uma Número de dias (d ) 1,0 2,0 5,0 6,0 forme mostra a figura. equação. Caso algum aluno te- nha resolvido este problema de Indica-se por h o número de horas, e por d o número Reprodução/OBMEP, 2005 outra maneira, peça que regis- tre também a resolução por de dias. A sentença algébrica que relaciona, de forma equação e compartilhe com a turma o método que utilizou. correta, as duas grandezas é: Vejaaresoluçãodaatividade6. a) d 5 h 2 2. X c) h : 3 5 d. Se n é o menor destes núme- b) d 5 h ? 3. d) h 2 3 5 d. ros então os outros 2 são n 1 1 e n 1 2 . A soma dos 4 (Saeb) Uma prefeitura aplicou R$ 850 mil na constru- Qual é o número que foi apagado? 3 números é: ção de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 mil. X a) 9 c) 12 e) 15 n 1 (n 1 1) 1 (n 1 2) 5 90 3n 1 3 5 90 A equação que representa o custo do parque, em mil b) 10 d) 13 3n 5 87 ~ n 5 29 reais, é: 9 (Obmep) No início de janeiro de 2006, Tina formou Logo, os números são 29, 30 a) x 1 850 5 250. c) x 1 250 5 850. com colegas um grupo para resolver problemas de e 31 e o maior é 31. Matemática. Eles estudaram muito e por isso, a b) x 2 580 5 750. X d) x 1 750 5 850. cada mês, conseguiam resolver o dobro do número Atividade 9 de problemas resolvidos no mês anterior. No fim de Vejaaresoluçãodaatividade9. 5 (Obmep) Rita tem R$ 13,37 em moedas de 1 centa- junho de 2006 o grupo havia resolvido um total de 1 134 problemas. Quantos problemas o grupo resol- Se o grupo resolveu x proble- vo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 centavos, veu em janeiro? mas em janeiro, então nos ou- tros meses eles resolveram 2x, de 50 centavos e de 1 real. Ela tem a mesma quanti- 4x, 8x, 16x e 32x. Assim, o total de problemas resolvidos ao final dade de moedas de cada valor. Quantas moedas ela de junho foi: tem no total? Reprodução/OBMEP, 2006 x 1 2x 1 4x 1 8x 1 16x 1 1 32x 5 63x a) 24 X d) 42 63x 5 1134 ~ x 5 18 b) 30 e) 48 63 c) 36 6 (Obmep) A soma de três números inteiros consecuti- vos é igual a 90. Qual é o maior destes três números? a) 21 X d) 31 b) 28 e) 32 a) 12 c) 20 e) 36 X b) 18 d) 24 c) 29 130 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau 130 CAPÍTULO 4 - MANUAL DO PROFESSOR
VERIFIQUE b) O triplo da idade de Elisa menos 5 é igual Veja a resolução da ativida- O QUE ESTUDOU a13 anos. x: idade de Elisa; 3x 2 5 5 13 de 5. c) O quádruplo da medida de comprimento do lado de Podemos montar a tabela com as indicações das idades 1 Considere que x representa um número natural. Escre- um quadrado é igual a 20 cm. 4x 5 20 de cada um de acordo com o período no tempo. va no caderno a expressão algébrica que representa: Banco de imagens/ Arquivo da editora Idades de pai e filho a) o quádruplo desse número; 4x x Banco de imagens/ Período b) o antecessor desse número; x 2 1 d) A medida de perímetro deste triângulo é igual a Arquivo da editora Presente Futuro c) a metade desse número mais 4; x 1 4 20 cm. Medida de perímetro: L 1 L 1 L 1 5; Pessoa 2 3L 1 5 5 20. LL Pai 4x 4x 1 5 d) o triplo do sucessor desse número; 3(x 1 1) Filho x x 1 5 e) a diferença entre o dobro e a terça parte desse nú- mero. 2x 2 x Tabela elaborada para fins didáticos. 3 Sabendo disso, temos a equa- ção: 4x 1 5 5 3(x 1 5) ~ 2 Escreva no caderno uma expressão algébrica ~ 4x 1 5 5 3x 1 15 ~ ~ 4x 2 3x 5 15 2 5 ~ e peça a um colega que determine uma expressão ~ x 5 10 equivalente a ela. Você faz o mesmo com a expres- L15 Banco de imagens/Arquivo da editora Portanto o filho tem 10 anos são que ele escreveu. Depois, calculem o valor numé- e o pai tem 40 anos. rico de cada expressão algébrica equivalente para os 8 No caderno, crie uma situação-problema que mesmos valores das variáveis. Resposta pessoal. possa ser resolvida por uma equação do 1o grau Atividade 7 com 1 incógnita. Dê para um colega resolver e re- Nesta atividade, trabalhamos 3 Desenhe uma região poligonal no caderno e indique solva a dele. Resposta pessoal. as medidas de comprimento dos lados com letras. a representação de situações Depois, escreva uma expressão algébrica que repre- 9 Resolva esta atividade no caderno, com um colega. na linguagem usual na forma de sente a medida de perímetro da região e outra que As quantidades de bolinhas das figuras formam equações. represente a medida de área. Resposta pessoal. uma sequência de números chamados números triangulares. Atividade 9 4 Identifique mentalmente e registre no caderno as Esta atividade trabalha con- equações que são do 1o grau com 1 incógnita. ceitos de sequências: a desco- berta do próximo termo (item a), X a) 3x 1 1 5 9 c) 3x2 5 27 a definição da fórmula do termo geral (item b) e o uso dessa fór- b) x 1 2y 5 6 X d) x 5 x 26 mula para determinar um termo 2 (item c). 5 A idade de um pai é o quádruplo da idade do filho. De- Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Autoavaliação As questões de autoavalia- pois de 5 anos, a idade do pai será o triplo da idade do a) Quantas bolinhas a próxima figura terá? 15 bolinhas. ção apresentadas propiciam filho. Qual é a idade atual de cada um? b) Qual é a fórmula do termo geral dessa sequên- aos alunos refletir sobre os es- tudos, as atitudes e as aprendi- 6 Qual item tem uma equação que tem o número 4 cia, ou seja, a fórmula que fornece o número de zagens. Dê um tempo para que cada aluno reflita individual- como solução? Todas. bolinhas an de uma figura n qualquer? mente sobre elas e registre as a) 3x 5 12 (3 3 4 5 12) c) Utilizando essa fórmula, determine quantas boli- respostas no caderno. Em se- guida, àqueles que desejarem, b) 7 2 x 5 x 21 (7 2 4 5 4 2 1) nhas a figura 20 dessa sequência terá. permita que compartilhem as respostas com os colegas. c) 2x 2 1 5 7 (2 3 4 2 1 5 8 2 1 5 7) Ao longo do ano, é importante d) 3(x 2 2) 5 6 (3(4 2 2) 5 3 3 2 5 6) Atenção a retomada dos registros de au- toavaliação feitos no fim de cada 7 No caderno, represente as situações com uma equação. Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique capítulo, para que eles possam a) O dobro do preço de um caderno mais R$ 4,00 é em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- perceber e mensurar o quanto igual a R$ 10,00. x: preço do caderno; 2x 1 4 5 10. do maneiras de reforçar seu aprendizado. aprenderam e melhoraram em diversos aspectos. 5. Filho: 10 anos; pai: 40 anos. (Equação: 4x 1 5 5 3(x 1 5)) n(n 1 1) 20 ? (20 1 1) Em relação às perguntas pro- Autoavaliação 9. b) an 5 , para n 5 1, 2, 3, » c) 210 bolinhas. 2 5 210 postas nesta página, converse 2 com a turma sobre as leituras do capítulo. Enfatize que sanar Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita sobre elas. as dúvidas é um método muito eficiente de melhorar a com- Respostas pessoais. preensão do conteúdo. • Participei das atividades propostas, contribuindo com o professor e os colegas para melhorar a qualidade das aulas? • Esforcei-me para realizar as leituras do livro com atenção e para resolver as atividades propostas? • Estou atento a erros cometidos e procuro sempre sanar as dúvidas com os colegas e com o professor? • Converso com os professores sempre que percebo haver ausência de motivação para a aprendizagem? • Ampliei meus conhecimentos em linguagens algébricas e em sequências? Expressões algébricas e equações do 1o grau • CAPÍTULO 4 131 Verifique o que estudou Atividades 4 a 6 Estas atividades apresentam conceitos de equação do 1o grau Principais habilidades da BNCC EF07MA13 EF07MA15 EF07MA16 EF07MA18 com 1 incógnita, como a identificação delas (atividade 4), a identificação e resolução de uma equação para resolver um Atividades 1 a 3 problema (atividade 5) e a verificação de se um valor é solução Estas atividades trabalham a escrita de expressões algébricas. (atividade 6). Na atividade 2, os alunos devem trocar de expressão algébrica com um colega para que um encontre uma expressão equivalente à do outro. 131MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 4
Abertura CAPÍTULO Geometria: circunferência, Principal habilidade da 5 ângulo e polígono BNCC Fachada da torre do Banco Alamy/Fotoarena EF07MA27 da China, em Hong Kong. Foto de 2017. Comente com os alunos que, neste capítulo, serão explorados 132 ângulos, polígonos, circunferên- cias, círculos e construções geo- métricas. Mostre, aos alunos, a foto que ilustra a fachada do Banco da China, em Hong Kong. Peça que observem a arquitetura e explique que este edifício foi construído com alumínio e cristal, sendo considerado, até 1992, o edifício mais alto da Ásia. Pergunte aos alunos se sa- bem algo sobre a China, como o idioma oficial, a capital, os cos- tumes, etc. Em seguida, faça al- gumas indagações sobre a ar- quitetura de edifícios e de cons- truções em geral, como: “Vocês conhecem outras construções na China que chamem a atenção por causa da arquitetura?”; “E no mundo todo?”. Se possível, apresente al- guns projetos arquitetônicos in- teressantes presentes no link <www.bbc.com/portuguese/no ticias/2016/03/160316_galeria_ projetos_futuros_2016_fn> (acesso em: 23 ago. 2018) ou peça aos alunos que acessem o link para conhecerem tais proje- tos. Esses projetos revolucioná- rios são repletos de elementos que lembram figuras geométri- cas, então aproveite para per- guntar aos alunos se sabem quais polígonos esses elemen- tos lembram. Verifique também se recordam o conceito de ân- gulo e os tipos de ângulos, per- guntando se os reconhecem nos polígonos identificados nos projetos. Em seguida, com os alunos, faça uma breve revisão sobre as medidas de abertura dos ângu- los, os tipos de ângulos, e as relações entre os ângulos e os polígonos. 132 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
Muitos arranha-céus impressionam não apenas pela grandiosidade, mas também Banco de imagens/Arquivo da editora Abertura pela arquitetura. Um exemplo disso é a torre do Banco da China, em Hong Kong. Dmitry Kalinovsky/Shutterstock/Glow images Review News/Shutterstock Primeiro, mostre aos alunos Na foto da fachada da torre, na página anterior, podemos identificar diferentes a foto da Torre de Pisa, localizada figuras geométricas, como segmentos de reta, ângulos retos, ângulos na Itália. Pergunte se observam agudos e polígonos. alguma peculiaridade nela; es- peramos que identifiquem a in- Neste capítulo vamos retomar o estudo dos ângulos, com especial clinação da torre. Em seguida, atenção aos ângulos em polígonos, em regiões poligonais e em retas pergunte se conhecem o motivo paralelas cortadas por uma transversal. Vamos também retomar o de tal inclinação. Explique que estudo da circunferência. essa torre foi construída sobre um terreno composto por areia Veja a seguir algumas imagens relacionadas a esses assuntos. e argila e que tais componentes não suportam uma construção As imagens desta daquele porte. Essa explicação página não estão poderá ser ampliada nas aulas representadas em de Ciências. proporção. Mostre aos alunos o ângulo R‑photos/Shutterstock/Glow images formado pela torre de Pisa com o solo e pergunte se sabem Trevo. Guindaste. Torre de Pisa, na Itália. Foto de 2018. quanto mede a abertura do ân- gulo. Explique aos alunos que, Converse com os colegas sobre as seguintes questões. como a torre é inclinada, não se pode esperar que aquele se- 1 Na figura que representa detalhes da fachada da torre do Banco da China, onde ja um ângulo reto, pois, para is- so, a torre deveria estar alinha- aparece: b) c) d) Banco de imagens/ da com o solo. Faça-os perce- Arquivo da editora ber que há a formação de 2 ân- a) um ângulo reto? O ângulo mais abaixo e os gulos em relação ao solo: um ângulos no centro da figura. ângulo obtuso (destacado na figura) e um agudo (à direita e b) um quadrado? não destacado). c) um triângulo? Peça aos alunos que obser- vem o guindaste e pergunte se d) um ângulo com medida de abertura menor do que a de um ângulo reto? sabem qual é a medida de aber- tura do ângulo formado entre as 2 Como são os ângulos destacados nas fotos do trevo, do guindaste e da torre de Pisa? estruturas vertical e horizontal do guindaste. Exemplo de resposta: Têm medida de abertura maior do que a de um ângulo reto. Para finalizar, peça aos alu- nos que observem o trevo na fo- to, mais especificamente o ân- gulo indicado na imagem. Veri- fique se percebem que a medida de abertura do ângulo é maior do que 90¡, ou seja, o ângulo destacado é obtuso. Se for conveniente, os alunos podem realizar pesquisas sobre os patrimônios históricos e cul- turais da cidade ou do estado onde moram. Para ampliar as explorações, o assunto pode ser trabalhado em conjunto com as aulas de Geografia, His- tória e Arte. Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 133 133MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 5
1 Circunferência 1 Circunferência e círculo e círculo Observe estas fotos e as figuras geométricas. Principal habilidade da BNCC Ilustrações: Banco de imagens/Eduardo está segurando uma Regina está segurando um Caio está deslizando o dedo Arquivo da editorabola que tem a forma de objeto com a forma de um pela borda de um copo. Essa EF07MA22 Clive Stewart/Gallo Images/Getty Imagesuma esfera.cilindro. A face que estáborda lembra a forma de uma Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editoraapoiada na palma da mãocircunferência. Reúna a turma e sugira que Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editoradela lembra um círculo. observem as imagens, apon- tando as principais diferenças Esfera. Círculo ou região circular. Circunferência. e semelhanças entre elas. Peça que, a partir das imagens, defi- Você já estudou vários assuntos relacionados à circunferência. Procure recordar esse estudo ao ler as nam circunferência e círculo e informações. anote na lousa as informações fornecidas por eles. Pergunte Uma circunferência é a figura geométrica formada Todo segmento de reta que liga ainda se saberiam identificar e por todos os pontos do plano cuja medida de um ponto da circunferência ao definir o raio e o diâmetro e a distância a um ponto do mesmo plano (centro) é centro dela é chamado de raio da relação entre as medidas de sempre a mesma. circunferência. Todos os raios de comprimento deles. Observe que o centro não faz parte da circunferência. uma mesma circunferência têm a mesma medida de comprimento. Explique que essas figuras Circunferência são importantíssimas em dife- As imagens desta rentes áreas do conhecimento, Centro página não estão como Engenharia, Matemática, Raio representadas em Física, Química, Arquitetura, proporção. Biologia, Astronomia, etc., além Diâmetro de estarem presentes no ramo Banco de imagens/ industrial e nas residências das Arquivo da editora pessoas. Ilustrações: Thiago Neumann/Arquivo da editora Peça aos alunos que se reú- nam em duplas e debatam so- bre exemplos,preferencialmen- te concretos, para a represen- tação de circunferência, círculo, cilindro e esfera. Em seguida, ca- da dupla deverá apresentar aos demais colegas o que conversa- ram. Seja o mediador desse com- partilhamento de informações e, ao final, retome os conceitos desenvolvidos até o momento. Sugira que leiam as defini- ções apresentadas no livro e, se julgar necessário, peça aos alu- nos que registrem no painel de descobertas essas definições usando as próprias palavras. Círculo é a região Todo segmento de reta que liga 2 pontos da plana limitada por circunferência e passa pelo centro dela é uma circunferência. chamado de diâmetro da circunferência. Perceba que a medida de comprimento de todos os diâmetros de uma circunferência é o dobro da medida de comprimento dos raios. 134 CAPÍTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ‰ngulo e pol’gono 134 CAPÍTULO 5 - MANUAL DO PROFESSOR
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