Telaris 7 ano matemática

Depois que efetuarem os cálculos, incentive-os a elaborar uma regra para Também propomos, ao longo do capítulo, atividades que envolvem esses cálculos. Em seguida, proponha que leiam as soluções apresenta- números racionais e grandezas e medidas. Essa é uma maneira de os das no livro e ajustem as soluções e regras que criaram, se necessário. alunos aplicarem o que estudaram em atividades contextualizadas e que envolvem diferentes Unidades temáticas. Depois, propomos a retomada do conceito de inverso de uma fração para, em seguida, explorar a divisão de números racionais na forma fra- cionária ou decimal. Principais objetivos • Recordar o algoritmo da divisão. • Compreender a posição decimal dos algarismos na divisão. Páginas 76 e 77 | Abertura • Efetuar divisões usando diferentes métodos. • Identificar decimais na imagem de abertura. • Resolver situações-problema envolvendo as 4 operações com números • Indicar como ler uma fração. • Escrever números como decimais e frações. racionais. • Calcular a porcentagem de um número. • Resolver situações-problema envolvendo grandezas e medidas e nú- • Indicar como ler um número. meros racionais. Páginas 78 a 83 | 1 Os números racionais • Compreender a definição de números racionais. Página 90 | Leitura • Entender que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto • Analisar as informações contidas no texto. • Responder a questões a partir dos dados fornecidos no texto. dos números racionais. • Entender que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto Página 91 | Revisando seus conhecimentos • Resolver situações-problema usando números racionais. dos números racionais. • Identificar qual expressão tem o maior valor. • Recordar os conceitos de dízima periódica. • Descobrir a regularidade em uma sequência de números racionais. • Resolver situações-problema com números racionais. • Completar uma pirâmide com multiplicações de números racionais. • Identificar quais números são racionais. • Encontrar a fração que corresponde à dízima periódica. • Representar números racionais na reta numerada. • Identificar quais números inteiros estão antes e depois de um número Página 92 | Testes oficiais • Identificar o número racional indicado na reta numerada. racional. • Identificar entre quais números inteiros está um número racional na • Compreender a ideia de módulo de um número racional. • Identificar números racionais que são opostos ou simétricos. reta numerada. • Comparar números racionais utilizando >, < e 5. • Resolver situações-problema envolvendo as 4 operações com números Páginas 84 a 89 | 2 Operações com números racionais racionais. • Compreender a adição e a subtração de números racionais. • Recordar o algoritmo da adição. Página 93 | Verifique o que estudou • Compreender a posição decimal dos algarismos nas adições e sub- • Escrever números nas formas fracionária, decimal e porcentual. • Identificar diferentes usos dos números racionais no cotidiano. trações. • Identificar se as afirmações sobre números racionais são verdadeiras • Efetuar adições e subtrações usando diferentes métodos. • Compreender a multiplicação de números racionais. ou falsas, dando exemplos. • Recordar o algoritmo da multiplicação. • Identificar números racionais na reta numerada. • Compreender a posição decimal dos algarismos na multiplicação. • Escrever a conclusão obtida na adição de números opostos ou simé- • Efetuar multiplicações usando diferentes métodos. • Compreender a divisão de números racionais. tricos. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do estudo deste capítulo. Capítulo 4 – Expressões algébricas variáveis e as incógnitas de modo significativo, explorando a passagem e equações do 1o grau da linguagem usual para a linguagem algébrica. Procuramos, na medida do possível, desenvolver conceitos, procedimentos e atitudes positivas Neste capítulo, introduzimos o estudo da Unidade temática Álgebra em relação a essa parte da Matemática, com o uso de situações contex- iniciando um trabalho de generalização e abstração. Nosso objetivo, no tualizadas, sem propor cálculos enfadonhos e desprovidos de significado, estudo desse capítulo, é evitar o cálculo algébrico mecânico e usar as próprios do ensino de Matemática do passado. XLIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA

As atividades foram elaboradas de modo a mostrar que a linguagem a perceber a presença da recursividade em diferentes situações do co- algébrica é uma poderosa ferramenta para resolver problemas e para tidiano, identificar a lei de formação de sequências e classificá-las em sintetizar, em fórmulas, certos fenômenos físicos, sociais, etc. recursivas ou não recursivas. Assim, neste capítulo, abordamos as seguintes dimensões da Álgebra: Ainda neste capítulo, buscamos abordar as equações do 1o grau com aritmética generalizada, usando as letras como generalizações de mode- 1 incógnita explorando a resolução por cálculo mental, tentativa, ope- los; estrutural, empregando as letras como símbolo abstrato, obtendo ex- rações inversas e ideia de equilíbrio (balanças), sempre por meio de pressões algébricas equivalentes por meio de cálculos algébricos simples, situações-problema e enfatizando a compreensão do que é feito. O estudo integrados a noções geométricas e de medidas; e, finalmente, resolução das equações também permite importantes conexões com Geometria e de equações, em que as letras são incógnitas, sem haver necessidade de com Grandezas e medidas, como as que são feitas neste capítulo. memorizar regras, dicas e atalhos sem significado. É importante apresentar aos alunos problemas que possam ser resol- Focamos especificamente as sequências, as expressões algébricas vidos facilmente com cálculos aritméticos e outros para os quais esses e as equações do 1o grau com 1 incógnita. No trabalho com sequências, cálculos não são suficientes, isto é, em que o enfoque algébrico facilita a re- os alunos são incentivados a analisar a fórmula dada (fórmula do termo solução. Assim, fica evidenciada a necessidade da representação algébrica. geral ou fórmula de recorrência da sequência). Também são estimulados Esses temas serão retomados em capítulos e volumes posteriores. Principais objetivos Página 108 | Jogos • Calcular o valor numérico de uma expressão. Páginas 94 e 95 | Abertura Páginas 109 a 111 | 2 Equação, incógnita e solução ou raiz • Indicar a medida de perímetro de um terreno a partir das medidas de comprimento dos lados. • Compreender o conceito de equação. • Compreender a diferença entre variáveis e incógnitas. • Resolver situações-problema usando as ideias de equações do 1o grau. • Escrever equações do 1o grau que estão em linguagem usual, na lin- Páginas 96 a 105 | 1 Expressões algébricas guagem matemática. • Compreender o que é o conjunto solução. • Transformar frases que estão escritas em linguagem usual para a lin- • Compreender o que é o conjunto universo de uma equação. guagem matemática. • Identificar equações equivalentes. • Transformar frases que estão escritas em linguagem matemática para Página 112 | Jogos a linguagem usual. • Identificar se 2 equações são equivalentes. • Aprender sobre a história de René Descartes. • Retomar as ideias de sequências e descrever o padrão delas usando Páginas 114 a 119, 122 a 127 | 3 Equação do 1o grau com 1 incógnita as equações do 1o grau. • Compreender as propriedades da igualdade. • Resolver situações-problema usando equações do 1o grau. • Compreender diversas maneiras de resolver equações do 1o grau. • Compreender a ideia de função de um número a partir das máquinas • Resolver equações do 1o grau. • Resolver situações-problema usando equações do 1o grau. de calcular. • Compreender a ideia de equilíbrio entre os membros de uma equação • Adivinhar um número a partir da repetição de um algoritmo. • Compreender o que são expressões algébricas equivalentes. do 1o grau. • Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. • Aprender sobre a história da Álgebra. • Aprender sobre a história da Álgebra. • Aprender sobre a unidade de medida de temperatura grau Fahrenheit. • Compreender que a expressão algébrica representa um número quando • Aprender como calcular a medida de comprimento do pé a partir do o denominador é diferente de zero (0). número do sapato e vice-versa. • Resolver atividades que envolvem o conceito de expressões algébricas. • Indicar expressões algébricas que representem as medidas de área e Páginas 126 e 127 | Leitura de perímetro de polígonos. • Conhecer um pouco da história da criptografia. • Entender alguns métodos de criptografia. Páginas 106 e 107 | Leitura • Criptografar uma mensagem. • Resolver equações utilizando a aritmética do relógio. • Aprender sobre outros usos da recursividade. • Compreender o conceito de fractal. Páginas 128 e 129 | Revisando seus conhecimentos • Compreender que os fractais são obtidos usando recursividade. • Resolver equações do 1o grau. • Conhecer a curva de Koch e a esponja de Menger. • Resolver situações-problema usando equações do 1o grau. • Compreender os passos para obter a curva de Koch. • Escrever equações na linguagem matemática a partir de afirmações • Perceber que a recursividade pode ser utilizada na propaganda e na na linguagem usual. literatura. • Inventar um padrão para transformar uma figura com a recursividade. • Pesquisar e criar textos, imagens e vídeos que usem recursividade. L MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA

• Determinar o número de vértices e de arestas de um prisma a partir de • Escrever uma expressão algébrica equivalente a outra dada. uma equação do 1o grau. • Identificar quais equações são do 1o grau. • Escrever equações que indiquem a medida de perímetro e a medida • Encontrar uma regularidade em uma sequência e indicar os próximos termos. de área de uma região. • Resolver equações do 1o grau. • Encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica. • Resolver situações-problema usando equações do 1o grau. • Identificar a regularidade em uma sequência. Página 130 | Testes oficiais • Criar uma situação-problema envolvendo uma equação do 1o grau. • Escrever uma expressão algébrica que represente o padrão de uma • Resolver equações do 1o grau. • Resolver situações-problema usando equações do 1o grau. sequência. • Encontrarumaregularidadeemumasequênciaeindicarospróximostermos. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do Página 131 | Verifique o que estudou estudo deste capítulo. • Escrever expressões algébricas a partir de afirmações escritas na lin- guagem usual. Veja mais resoluções das atividades. interessante explicar a eles como conservar o compasso adequadamente, detalhando como armazená-lo e como trocar o grafite. Atividade 79 Exploramos o conceito de ângulos congruentes e introduzimos as no- Quantidade de fichas: x ções de ângulos adjacentes, ângulos complementares e ângulos suplemen- tares. Abordamos também os conceitos de ângulos opostos pelo vértice x 225 x ~ 6x 2 180 5 5x ~ 6x 2 180 5 5x ~ e de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. 15 18 90 90 90 Depois da retomada e da ampliação dos conhecimentos relacionados ~ 6x 2 5x 5 180 ~ x 5 180 aos ângulos, os alunos devem estar preparados para a ampliação do es- tudo de polígonos. Retomamos esse tópico com a definição de polígono Verificação: 180 4 15 5 12 ~ 180 4 18 5 10 ~ 10 5 12 2 2 a partir do conceito de linha poligonal, ressaltando as diferenças entre polígonos convexos e polígonos não convexos. Logo, a professora Eliane tem 180 fichas para repartir. A ampliação está no estudo dos ângulos internos e dos ângulos ex- Atividade 80 ternos de um polígono e na relação entre as medidas deles. É interes- sante mostrar aos alunos diferentes polígonos e pedir a eles que usem o Se a medida de perímetro é de 88 cm, então a soma das medidas de transferidor para medir a abertura do ângulo interno e a medida do ângulo comprimento da base e da altura é de 44 cm. externo de um mesmo vértice e verifiquem a relação existente entre elas. 44 2 x Banco de imagens/ Depois, focamos o estudo nos triângulos. Retomamos os elementos e as Arquivo da editora classificações dos triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos, que os x alunos já conhecem dos anos anteriores. Depois, apresentamos as relações Assim: entre os lados e os ângulos de um triângulo. É interessante mostrar a eles x 2 (44 2 x) 5 20 ~ x 2 44 1 x 5 20 ~ 2x 5 64 ~ x 5 32 diferentes exemplos de triângulos, para que eles constatem essas relações. Medida de comprimento da base: 32 cm Medida de comprimento da altura: 44 cm 2 32 cm 5 12 cm Mostramos também uma maneira de construir um triângulo usando Medida de área: 32 cm 3 12 cm 5 384 cm2 régua e transferidor (conhecendo as medidas de aberturas de 2 ângulos internos e a medida de comprimento de um dos lados) ou usando régua e Capítulo 5 – Geometria: circunferência, compasso (conhecendo as medidas de comprimento dos 3 lados). ângulo e polígono A partir dessa construção com compasso, é possível que os alunos Neste capítulo, dando continuidade ao desenvolvimento do currículo verifiquem a condição de existência de um triângulo: a soma das medidas em espiral, as noções de ângulo e de polígono, já estudadas no 6o ano de comprimento de 2 lados de um triângulo deve ser maior do que a medida desta coleção, são retomadas, ampliadas e aprofundadas. No início do de comprimento do outro lado. capítulo, ressaltamos a diferença entre esfera, círculo e circunferência. Depois, introduzimos os estudos de desenho geométrico, com a constru- Apresentamos também a propriedade de rigidez do triângulo, ção da circunferência e a identificação dos elementos dela, abordando, mostrando diversas aplicações dessa característica. É interessante também, a história da invenção da roda. incentivar os alunos a construir polígonos usando canudinhos e bar- bante; assim eles podem verificar que o triângulo é o único polígono Iniciamos o conteúdo de ângulos retomando a ideia de ângulo e quais que tem essa rigidez. são as classificações deles quanto à medida de abertura: raso, reto, agu- do e obtuso. Depois, fazemos a retomada do trabalho com a unidade de Para finalizar essa parte do capítulo, apresentamos ainda as cons- medida de abertura de ângulos. truções do triângulo equilátero e do quadrado, com régua e compasso. Novamente, ressaltamos a importância de os alunos lerem o passo a Fazemos também algumas construções geométricas, como transpor- passo descrito no livro e realizarem as construções indicadas. te de segmentos de reta, construção de ângulos e transporte de ângulos, para embasar os assuntos que virão na sequência. Nos estudos relaciona- Em seguida, propomos a verificação de que a soma das medidas de dos às construções geométricas, oriente os alunos a ler o passo a passo abertura dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180¡. Essa é uma descrito no livro e a realizar cada construção usando régua e compasso. É relação muito importante e será utilizada em diversas situações-proble- ma e na dedução de muitas propriedades e relações geométricas que os alunos estudarão neste volume e nos próximos. MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA LI

Não fazemos a demonstração dessa relação, pois os alunos aindaBanco de imagens/A partir disso, os alunos podem explorar a soma das medidas de aber- não têm conhecimento suficiente para entender essa demonstração.Arquivo da editoratura dos ângulos internos de outros polígonos convexos e chegar a uma Contudo, existem várias maneiras de verificar a propriedade; algumas generalização. Uma maneira de fazer isso é dividir o quadrilátero convexo delas, experimentalmente. Uma maneira é realizar a atividade de dobrar em 2 triângulos; assim, fica fácil perceber que a soma das medidas de convenientemente as “pontas” de uma região triangular feita de papel. aberturas dos ângulos internos de um quadrilátero é o dobro dessa soma no triângulo, ou seja, é igual a 360°. O mesmo pode ser feito para os demais B^ B^ polígonos convexos, dividindo-os em triângulos. ^A C^ Uma importante aplicação dos ângulos internos e dos ângulos exter- ^A C^ m( ^A) 1 m( B^) 1 m( C^) 5 180° nos de polígonos é o ladrilhamento. Esse contexto traz diversas possibi- lidades de trabalho com os alunos. Principais objetivos • Transformar graus em minutos ou segundos e vice-versa. • Construir segmentos de reta usando régua e compasso. Páginas 132 e 133 | Abertura • Transportar segmentos de reta usando uma régua não graduada e • Identificar polígonos e ângulos na imagem de abertura. • Identificar polígonos e ângulos em outras imagens e situações do co- compasso. • Construir ângulos usando transferidor. tidiano. • Transportar ângulos usando régua e compasso. • Recordar ângulos congruentes. Páginas 134 a 136 | 1 Circunferência e círculo • Entender a ideia de ângulos adjacentes. • Perceber a diferença entre esfera, círculo e circunferência. • Entender a ideia de ângulos adjacentes e suplementares. • Recordar a definição de circunferência como lugar geométrico. • Entender a ideia de ângulos opostos pelo vértice. • Recordar os elementos da circunferência: centro, raio, diâmetro. • Identificar ângulos opostos pelo vértice em figuras geométricas. • Identificar os elementos de uma circunferência na figura. • Encontrar a medida de abertura de ângulos em figuras utilizando o • Aprender a construir uma circunferência usando um compasso. • Perceber que todos os raios de uma circunferência têm a mesma me- conceito de ângulos opostos pelo vértice. • Resolver situações-problema no contexto de ângulos opostos pelo dida de comprimento. • Indicar outros objetos que têm a forma de uma circunferência ou cujo vértice. • Verificar a relação entre os ângulos formados ao intersectar um par de contorno tem a forma de uma circunferência. • Pensar em diferentes maneiras de traçar uma circunferência. paralelas com uma transversal. • Identificar a posição de uma circunferência em relação à outra circun- • Resolver situações-problema no contexto de ângulos opostos formados ferência. ao interceptar um par de paralelas com uma transversal. • Traçar circunferências a partir do centro e da medida de comprimento Páginas 149 e 150 | Matemática e tecnologia do raio usando um compasso. • Criar desenhos usando arcos e circunferências. • Conhecer o software GeoGebra. • Resolver uma situação-problema que envolve circunferências. • Aprender e aplicar os passos de construção de 2 retas paralelas inter- Página 137 | Leitura sectadas por 1 transversal. • Aprender sobre a invenção da roda. • Aprender e aplicar os passos para medir a abertura de ângulos utilizando • Identificar usos da roda no cotidiano. • Pesquisar sobre uma situação em que a roda esteja presente, descre- pontos dos lados de um ângulo e o vértice dele. • Perceber as relações de ângulos suplementares e congruentes na cons- vê-la e apresentá-la para os colegas de turma. trução de 2 retas paralelas intersectadas por 1 transversal. Páginas 138 a 148 | 2 Ângulo • Perceber a relação entre ângulos alternos, colaterais e correspondentes • Recordar a ideia de ângulo. • Recordar os principais tipos de ângulo. na construção de 2 retas paralelas intersectadas por 1 transversal. • Medir a abertura de ângulos usando o transferidor. • Aprender sobre os submúltiplos do grau: minuto e segundo. Páginas 151 a 163 | 3 Polígono • Identificar ângulos rasos, retos, nulos, agudos e obtusos. • Calcular a medida de abertura de ângulos suplementares e comple- • Lembrar as classificações para linhas (abertas ou fechadas, simples ou não simples). mentares. • Lembrar o conceito de polígono a partir de linha poligonal. • Lembrar o conceito de polígonos convexos e não convexos. • Generalizar uma fórmula para encontrar o número total de diagonais de um polígono convexo. • Calcular o número total de diagonais de um polígono convexo. LII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA

• Identificaropolígonoconvexoapartirdonúmerodediagonaisqueelepossui. • Compreender o conceito relacionado a ladrilhamento. • Compreender que os polígonos regulares, que podem ser usados para • Perceber que a soma da medida de abertura de um ângulo interno com a medida de abertura do ângulo externo adjacente a ele é 180°. construir um mosaico, têm como medida de abertura do ângulo interno um número múltiplo de 360. • Perceber que, em polígonos regulares, todos os ângulos externos têm a mesma medida de abertura. Página 168 | Jogos • Identificar o número de lados de um polígono regular, a partir da medida • Recordar como identificar a medida de abertura de um ângulo em uma de abertura do ângulo interno. figura geométrica. • Recordar os elementos de um triângulo. • Resolver equações do 1o grau para identificar a medida de abertura de ângulos. • Recordar as classificações de um triângulo quanto aos ângulos e quanto aos lados. Página 174 | Jogos • Identificarpolígonosconvexosdeacordocomcaracterísticasapresentadas. • Perceber a relação entre os lados e ângulos de um triângulo (o lado com maior medida de comprimento se opõe ao ângulo com maior medida Páginas 175 a 177 | Revisando seus conhecimentos de abertura). • Construir ângulos adjacentes usando régua e transferidor. • Construir um triângulo a partir da medida de comprimento de 1 lado • Compreender como são formados mosaicos. e das medidas de abertura dos ângulos adjacentes a ele, usando um • Encontrar as medidas de abertura de um ângulo interno e de um ângulo transferidor. externo em polígonos convexos. • Compreender a condição de existência de um triângulo. • Adicionar o número de faces de um sólido ao número de arestas de • Construir um triângulo dados os 3 lados, usando um compasso e régua outro sólido. não graduada. • Calcular a medida de perímetro e área de regiões poligonais usando • Compreender a rigidez geométrica do triângulo. equações do 1o grau. • Resolver um problema envolvendo ângulos complementares. • Perceber a utilização dos triângulos em construções e nas artes. • Classificar triângulos de acordo com características dadas. • Construir um triângulo equilátero usando compasso e régua não gra- Página 178 | Testes oficiais duada. • Indicarasmedidasdeaberturadosângulosinternosdeumpolígonoregular. • Construir um quadrado usando compasso e régua não graduada. • Identificar a relação correta entre as medidas de abertura de ângulos Páginas 164 a 167, 169 a 173 | 4 Soma das medidas de abertura dos formados por 1 par de retas paralelas intersectado por 1 transversal. ângulos de um polígono • Indicar as medidas de abertura dos ângulos formados por retas oblí- • Perceber que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de quas. um triângulo é sempre 180°. • Resolver uma situação-problema envolvendo as medidas de abertura • Entender a demonstração da soma das medidas de abertura dos ân- de ângulos formados por retas paralelas e oblíquas. gulos internos de um triângulo. Página 179 | Verifique o que estudou • Encontrar a medida de abertura de 1 ângulo interno de um triângulo dadas as medidas de abertura dos outros 2 ângulos. • Perceber o que define a medida de abertura de um ângulo. • Calcular mentalmente o valor da medida de abertura de um ângulo for- • Resolver atividades utilizando a propriedade da soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo. mado por retas oblíquas ou formado por 1 par de paralelas interceptado por 1 transversal. • Compreender a relação entre as medidas de abertura dos ângulos in- • Criar um problema que envolva a subdivisão dos ângulos em minutos ternos e externos em um triângulo. e segundos. • Calcular as medidas de abertura dos complementos e suplementos • Perceber que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de de ângulos. um quadrilátero convexo é sempre 360°. • Indicar propriedades da circunferência. • Escrever a diferença entre uma circunferência e um círculo. • Generalizar o padrão da soma das medidas de abertura dos ângulos • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do internos, visto nos triângulos e quadriláteros convexos, para todos os estudo deste capítulo. polígonos convexos. • Decompor polígonos convexos em triângulos a partir de um único vértice. • Perceber que a soma das medidas de abertura dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre 360°. • Resolver atividades usando os conceitos de soma de medidas de aber- tura dos ângulos internos e externos. • Entender o padrão na determinação da medida de abertura dos ângulos externos em polígonos regulares. LIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA

Veja a resolução de uma atividade. Capítulo 6 – Simetria Atividade 24 (Revisando seus conhecimentos) Neste capítulo, os alunos são incentivados a perceber simetrias e a relação entre pontos simétricos. Também são incentivados a ob- nHIJ: x 1 70° 1 40° 5 180° ~ x 5 70° servar fotos e desenhos de situações do cotidiano que apresentam nSTU: x 1 45° 1 45° 5 180° ~ x 5 90° simetria, a desenhar e recortar figuras e a trabalhar com malhas nEFG: x 1 60° 1 70° 5 180° ~ x 5 50° quadriculadas. nABC: x 1 60° 1 20° 5 180° ~ x 5 100° nMNO: x 1 25° 1 90° 5 180° ~ x 5 65° Ao longo do capítulo, as atividades e os textos vão, aos poucos, nPQR: x 1 30° 1 15° 5 180° ~ x 5 135° trazendo diferentes tipos de simetria, ampliando o vocabulário e pro- movendo tanto a leitura e a identificação das situações como a produ- Triângulos ção e a comunicação verbal. Incentive os alunos a trabalhar em grupos para promover a necessidade de se comunicar e de argumentar com Triângulo Medidas de abertura Classificação do Classificação do os colegas para validar as conclusões e as hipóteses e, também, para dos ângulos internos triângulo quanto triângulo quanto reformular conclusões. aos ângulos aos lados Observe que os alunos precisam identificar simetrias em diferentes linguagens. As indicações são dadas em frases e textos, outras vezes, nABC 100°, 60°, 20° Obtusângulo Escaleno por meio de um desenho ou de um vetor. Eles precisam relacionar essas nEFG 60°, 50°, 70° informações com os movimentos correspondentes. nMNO 90°, 65°, 25° Acutângulo Escaleno nPQR 15°, 135°, 30° Outro aspecto que pode ser novidade para alguns alunos é o fato de nHIJ 70°, 70°, 40° Retângulo Escaleno as situações que envolvem simetrias implicarem movimento. As figuras nSTU 45°, 90°, 45° não podem ser consideradas de maneira estática. Os alunos precisam Obtusângulo Escaleno desenvolver a capacidade de imaginar movimentos e prever resultados a partir de reflexões, giros e deslocamentos. Acutângulo Isósceles Uma parte importante desse estudo é a aplicação das simetrias no Retângulo Isósceles plano cartesiano. Por esse motivo, a seção Matemática e tecnologia apre- senta uma exploração utilizando o software GeoGebra. Tabela elaborada para fins didáticos. Principais objetivos • Verificar a simetria de rotação usando um transferidor. • Identificar a simetria de rotação em representações planas de objetos Páginas 180 e 181 | Abertura • Identificar simetria em fotos e representações de objetos tridimen- tridimensionais e em figuras geométricas. • Construir figuras de acordo com a simetria de rotação. sionais. • Entender o conceito de simetria de translação. • Identificar simetria em figuras geométricas. • Verificar a simetria de translação usando um vetor. • Identificar a simetria de translação em representações planas de ob- Páginas 182 a 189, 191 a 195 | 1 Tipos de simetria • Identificar diferentes tipos de simetria em figuras geométricas. jetos tridimensionais e em figuras geométricas. • Recordar o conceito de simetria axial (ou de reflexão). • Construir figuras de acordo com a simetria de translação. • Verificar a simetria axial usando uma dobradura. • Verificar a simetria axial usando um espelho. Página 190 | Jogos • Compreender o que são eixos de simetria. • Identificar se 2 figuras são simétricas a partir de um eixo. • Identificar a simetria axial em representações planas de objetos tridi- Página 196 | 2 Simetrias no plano cartesiano mensionais e em figuras geométricas. • Identificar simetrias em figuras no plano cartesiano. • Completar figuras de acordo com o eixo de simetria. • Construir figuras simétricas no plano cartesiano. • Construir figuras simétricas com relação a um eixo. • Compreender que existem figuras com mais de um eixo de simetria. Páginas 197 a 199 | Matemática e tecnologia • Identificar todos os eixos de simetria de uma figura. • Aprofundar o conhecimento sobre o software GeoGebra. • Identificar a simetria axial no quadro de adição de números naturais. • Aprender e aplicar os passos de construção de polígonos e os respec- • Identificar a simetria axial em letras. • Identificar a simetria axial em palavras. tivos simétricos, usando simetria de reflexão, rotação e translação. • Identificar a simetria axial em algarismos. • Compor simetrias com vários eixos. Páginas 200 e 201 | Revisando seus conhecimentos • Entender o conceito de simetria de rotação. • Identificar a simetria axial em figuras. • Identificar a quantidade de triângulos que compõem um triângulo equi- látero com os respectivos eixos de simetria. • Resolver situações-problema usando as 4 operações. LIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA

• Identificar se afirmações sobre simetrias são verdadeiras ou falsas, Página 203 | Verifique o que estudou apresentando exemplos ou um contraexemplo na justificativa. • Identificar as simetrias de reflexão, rotação e translação em um padrão • Resolver uma divisão entre 2 números. geométrico. • Identificar qual quadrilátero apresenta exatamente 2 eixos de simetria. • Identificar quais sólidos geométricos compõem o sólido indicado. • Verificar se existe simetria axial em letras. • Indicar quais palavras apresentam simetria axial. • Indicar pontos simétricos no plano cartesiano. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do Página 202 | Testes oficiais estudo deste capítulo. • Resolver uma situação-problema usando os conceitos de simetria axial, de rotação e de translação. Veja a resolução de uma atividade. Capítulo 7 – Proporcionalidade Atividade 4 (Verifique o que estudou) Neste capítulo, a partir de situações-problema, desencadeamos e estudamos as ideias de razão e de proporção. Com base nesses Banco de imagens/Arquivo da editora y conceitos, desenvolvemos o estudo das grandezas diretamente proporcionais, das grandezas inversamente proporcionais e das (22, 4) 5 C situações de não proporcionalidade, bem como a ideia de coeficiente 4 de proporcionalidade. 3 Exploramos também a interdisciplinaridade com História e com Arte, tratando das aplicações das ideias de proporção na Arte na An- (26, 1) 2 tiguidade e no Renascimento. (22, 1) 1 A B Trabalhamos também o procedimento fundamental da regra de 3 sim- ples, resolvendo diversas situações-problema, incluindo porcentagens. 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 x As atividades desse tópico envolvem situações-problema contextuali- zadas para que os alunos percebam a importância desse conhecimento 21 (2,21) (6,21) no próprio cotidiano. 22 Em conexão com Ciências, trabalhamos também situações-problema envolvendo os conceitos de velocidade média e de movimento uniforme 23 (velocidade constante). 24 (2,24) 25 Principais objetivos • Compreender a ideia de grandezas diretamente proporcionais. • Compreender a ideia de grandezas inversamente proporcionais. Páginas 204 e 205 | Abertura • Compreender a ideia de grandezas não proporcionais. • Resolver situações-problema envolvendo a ideia de proporção. • Compreender a ideia de coeficiente de proporcionalidade. • Aplicar a ideia de coeficiente de proporcionalidade na resolução de Página 206 a 209 | 1 As ideias de proporcionalidade e de razão atividades de proporção. • Compreender a ideia de proporcionalidade. • Aprender sobre a proporção na arte. • Compreender que a proporcionalidade pode ser representada de di- Página 216 | Leitura versas maneiras. • Aprender sobre a proporção na arte. • Resolver situações-problema usando a ideia de proporcionalidade. • Compreender a ideia de proporcionalidade como razão. Páginas 217 a 219 | 3 Regra de 3 simples • Resolver situações-problema utilizando a ideia de razão. • Encontrar a razão entre 2 grandezas. • Compreender a ideia de regra de 3 simples. • Conhecer razões entre grandezas de mesmo tipo ou de tipos dife- • Aplicar a regra de 3 na resolução de situações-problema. • Compreender que o termo que falta em uma proporção é chamado de rentes. • Compreender a ideia de escala. quarta proporcional. • Encontrar a escala em mapas, plantas baixas, etc. • Utilizar a porcentagem como uma maneira de representar a razão. Páginas 220 e 221 | 4 Outras atividades e problemas que envolvem • Resolver atividades utilizando a ideia de porcentagem como razão. proporcionalidade Páginas 210 a 215 | 2 Proporções • Aplicar os conceitos de probabilidade em diferentes situações-pro- blema. • Compreender a ideia de proporção. • Compreender a propriedade fundamental das proporções. • Compreender a ideia de densidade demográfica e velocidade média. • Utilizar a ideia de proporção e a propriedade fundamental para resolver • Compreender que, quando um objeto está a velocidade constante, o atividades. movimento é uniforme. • Compreender como ampliar e reduzir figuras a partir de uma proporção. MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA LV

Página 222 | Jogos • Indicar a razão entre 2 grandezas. • Usar as ideias de proporcionalidade para resolver os problemas propostos. • Usar o conceito de escala para resolver uma situação-problema. Página 223 | Revisando seus conhecimentos • Resolver situações-problema usando as ideias de proporcionalidade. • Indicar uma situação que envolve grandezas diretamente proporcionais. • Encontrar a medida de abertura de um ângulo a partir da figura dada. • Indicar quais afirmações são verdadeiras e quais são falsas, dando • Indicar uma situação que envolve grandezas inversamente propor- cionais. exemplos ou um contraexemplo, respectivamente. • Calcular a porcentagem de um número. Página 224 | Testes oficiais • Resolver situações-problema usando as ideias de proporcionalidade. • Indicar a medida de distância entre 2 cidades a partir da medição de um mapa. Página 225 | Verifique o que estudou • Comparar números utilizando o conceito de razão. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do estudo deste capítulo. Veja mais resoluções das atividades. Grandezas inversamente proporcionais. Atividade 40 9 5 x ~ 360 5 6x ~ x 5 60 6 40 b) Serão necessários 60 minutos para concluir a caminhada. Giro do ponteiro f) Horas Minutos Alunos confeccionando bandeirinhas 30° 3608 Alunos Tempo x 608 15 6 horas 20 x Tabela elaborada para fins didáticos. Tabela elaborada para fins didáticos. Grandezas diretamente proporcionais. 30 5 360 ~ 360x 5 1 800 ~ x 5 5 Grandezas inversamente proporcionais. x 60 A medida da abertura do giro do ponteiro das horas é de 5°. 15 5 x ~ 90 5 20x ~ x 5 4,5 20 6 c) Comprimento do muro Serão necessárias mais 4 horas e meia para terminar a confecção das Dias Comprimento bandeirinhas. 3 0,6 x 0,4 Atividade 41 Páginas lidas Tabela elaborada para fins didáticos. Grandezas diretamente proporcionais. Horas Páginas 4 60 3 5 0,6 ~ 0,6x 5 1,2 ~ x 5 2 6x x 0,4 Tabela elaborada para fins didáticos. O muro estará pronto em mais 2 dias. d) Litros de suco Grandezas diretamente proporcionais. Quilogramas Litros 4 5 60 ~ 360 5 4x ~ x 5 90 6 x 40 24 Ulisses lerá mais 90 páginas em 4 horas. 30 x Tabela elaborada para fins didáticos. Atividade 42 Grandezas diretamente proporcionais. Economia de dinheiro 40 5 24 ~ 40x 5 720 ~ x 5 18 Quantia por mês Meses 30 x 18 10 x8 Serão obtidos 18 L de suco. Tabela elaborada para fins didáticos. e) Tempo da caminhada Velocidade Tempo 9 km/h 40 min Grandezas inversamente proporcionais. 6 km/h x 18 5 8 ~ 8x 5 180 ~ x 5 22,50 x 10 Tabela elaborada para fins didáticos. Gilberto deveria ter guardado 22,50 por mês. LVI MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA

Atividade 43 Atividade 48 Aproveitamento em uma Em 1 h a torneira enche 1 do tanque e o ralo esvazia 1 do tanque. partida de handebol 4 6 Arremessos Acertos Abertos simultaneamente, o saldo em 1 hora será 1 do tanque. 20 12 12 25 x 1 2 1 5 322 5 1 Tabela elaborada para fins didáticos. 4 6 12 12 1 5 x ~ 1 x 5 1 ~ x 5 12 3 1 5 12 1 1 12 Grandezas diretamente proporcionais. 12 20 5 12 ~ 20x 5 300 ~ x 5 15 Portanto, levará 12 horas para encher o tanque. 25 x Brenda acertou 15 arremessos. Atividade 49 Atividade 44 Piso do banheiro Confecção de pipas Área Gasto 16 100 Folhas Pipas 30 x 68 9x Tabela elaborada para fins didáticos. Tabela elaborada para fins didáticos. Grandezas diretamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais. 16 5 100 ~ 3 000 5 16x ~ x 5 187,50 30 x 6 5 8 ~ 6x 5 72 ~ x 5 12 Alfredo vai gastar R$ 187,50 na compra das lajotas. 9 x Gilberto pode fazer 12 pipas. Atividade 50 Atividade 45 a) Divisão da corda do varal Pintura da parede Medida de cada pedaço Número de pedaços Volume de tinta (em L) Área (em m2) 4 m 18 2 28 6m x 3x Tabela elaborada para fins didáticos. Tabela elaborada para fins didáticos. Grandezas inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais. 4 5 x ~ 6x 5 72 ~ x 5 12 2 5 28 ~ 2x 5 84 ~ x 5 42 6 18 3 x Lucimar obterá 12 pedaços. Peterson pintará 42 m2. Atividade 46 b) Pintura da parede Alimentação dos gatos Gatos Dias Volume de tinta (em L) Área (em m2) 29 2 28 3x x 70 Tabela elaborada para fins didáticos. Tabela elaborada para fins didáticos. Grandezas inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais. 2 5 x ~ 3x 5 18 ~ x 5 6 2 5 28 ~ 28x 5 140 ~ x 5 5 3 9 x 70 A ração seria suficiente para 6 dias. Ele precisará de 5 L de tinta. Atividade 47 Atividade 51 Copos na promoção 1a maneira: 14 4 4 5 3,5 e 3 3 3,5 5 10,5 2a maneira: Número de copos Preço (em R$) 3 2,67 Medidas de altura 4x 5y Poste Árvore 43 Tabela elaborada para fins didáticos. 14 x Tabela elaborada para fins didáticos. Grandezas diretamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais. 3 5 2,67 ~ x 5 3,56 4 5 3 ~ 4x 5 14 3 3 ~ 4x 5 42 ~ x 5 10,5 4 x 14 x O preço de 5 copos é R$ 3,56 devido à promoção leve 5 e pague 4. A medida da altura da árvore é de 10,5 m. LVIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA

Atividade 52 g)Verdadeira; exemplos: quadrado com lados de medida de comprimento de Caixa-d’água 3 cm e quadrado com lados de medida de comprimento de 5 cm: 3 5 12 . 5 20 Torneiras Horas Quadrado com lados de medida de comprimento de 1 cm e quadrado com 33 2x lados de medida de comprimento de 3 cm: 1 5 142. Quadrado com lados 3 Tabela elaborada para fins didáticos. de medida de comprimento de 4 cm e quadrado com lados de medida de comprimento de 2 cm: 4 5 16 . 2 8 Grandezas inversamente proporcionais. h) Falsa; contraexemplo: região quadrada com lados de medida de compri- 3 5 3 ~ 2x 5 9 ~ x 5 4,5 mento de 3 cm e região quadrada com lados de medida de comprimento de 2 x 5 cm: 3 = 9 . 5 25 As 2 torneiras enchem a mesma caixa-d’água em 4 horas e meia. i) Falsa; contraexemplo: cubo com arestas de medida de comprimento de 2 cm Atividade 2 (Revisando seus conhecimentos) e cubo com arestas de medida de comprimento de 3 cm: 2 = 8 . 3 27 21 5 7 ~ 7x 5 7 560 ~ x 5 1 080 x 360 1 080 s 5 18 min, pois 1 080 4 60 5 18. Capítulo 8 – Matemática financeira: regra Raimundo atrasará 18 minutos em 360 dias. de sociedade, acréscimos e decréscimos Atividade 4 (Revisando seus conhecimentos) Neste capítulo, a partir de situações-problema, introduzimos o que são números diretamente proporcionais e números inversamente pro- a) Verdadeira; exemplos: 3 5 6 e 3 3 8 5 4 3 6; 1 5 3 e 1 3 6 5 2 3 3; porcionais e, em seguida, a divisão de um número em partes diretamente 4 8 2 6 proporcionais e inversamente proporcionais a números dados. Esse as- sunto é uma retomada e ampliação do capítulo anterior. Como aplicação 4 5 2 e 4 3 5 5 10 3 2. desses conceitos, abordamos a regra de sociedade. 10 5 Os alunos são incentivados a retomar e ampliar as explorações en- b) Falsa; contraexemplo: a razão entre 3 e 9 é 3 5 1 . volvendo frações e porcentagens, com foco nas situações de Matemática 9 3 financeira. Essa é uma grande oportunidade para elaborar com os alunos um projeto de Educação financeira e, ainda, criar relações entre as dife- c) Falsa; contraexemplo: 1 e 2 são diretamente proporcionais a 3 e 6, nessa rentes unidades temáticas. ordem, e 1 ? 3 é diferente de 2 ? 6 . Os assuntos deste capítulo permitem conexão também com outras d)Verdadeira; exemplos: 2 e 4 são inversamente proporcionais a 6 e 3, e áreas do conhecimento e temas contemporâneos, como trabalho (encar- 2 ? 6 5 4 ? 3; 5 e 15 são inversamente proporcionais a 9 e 3, e 5 ? 9 5 15 ? 3; gos e tributos) e educação ambiental (investimento em meio ambiente). 2 e 8 são inversamente proporcionais a 4 e 1, e 2 ? 4  5 8 ? 1. Aproveite para trabalhar com os alunos as relações entre as explorações do capítulo e assuntos atuais, como o uso da propaganda na venda de e) Falsa; contraexemplo: 1 5 3 e 3 é diferente de 1 . mercadorias, a variação do dólar, a taxa de juros, entre outros. 2 6 12 2 f) Verdadeira; exemplos: 2 5 4 e 6 5 2 ; 1 5 3 e 4 5 1 ; 10 5 1 5 10 15 5 2 6 8 2 50 5 e 11 5 10 . 55 50 Principais objetivos Páginas 232 a 238 | 2 Regra de sociedade • Compreender a ideia de regra de sociedade.  Páginas 226 e 227 | Abertura • Acompanhar a resolução passo a passo de uma atividade que envolve • Diferenciar compra à vista de compra a prazo.  • Calcular a porcentagem de um número mentalmente.  regra de sociedade.  • Analisar e resolver uma situação-problema envolvendo acréscimos e • Resolver situações-problema que envolvem regra de sociedade.  • Retomar o conceito de porcentagem.  decréscimos. • Entender a importância do uso da porcentagem.  • Aprender a calcular porcentagens mentalmente.  Páginas 228 a 231 | 1 Números proporcionais • Retomar diversas maneiras de calcular porcentagem.  • Retomar a ideia de grandezas diretamente proporcionais.  • Resolver atividades usando o conceito de porcentagem.  • Retomar a ideia de grandezas inversamente proporcionais.  • Calcular porcentagem de outros números e figuras.  • Compreender a ideia de números diretamente proporcionais.  • Descobrir o número a partir da porcentagem e do número resultante da • Resolver situações-problema utilizando o conceito de números direta- porcentagem desse número.  mente proporcionais.  • Aprender a calcular o valor de expressões com porcentagem na cal- • Compreender a ideia de números inversamente proporcionais.  • Resolver situações-problema utilizando o conceito de números inver- culadora.  • Compreender a ideia de acréscimos e decréscimos.  samente proporcionais.  • Entender o que é fator de acréscimo e fator de decréscimo.  • Dividir um número em partes diretamente proporcionais.  • Dividir um número em partes inversamente proporcionais.  LVIII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA

Página 239 | Revisando seus conhecimentos Página 240 | Testes oficiais • Resolver situações-problema usando o conceito de números direta- • Calcular a porcentagem de um número.  mente proporcionais.  • Usar o conceito de porcentagem para resolver situações-problema.  • Indicar se uma afirmação é verdadeira ou falsa.  Página 241 | Verifique o que você estudou • Contar o número de triângulos e de quadriláteros em um polígono.  • Calcular a porcentagem de um número.  • Calcular mentalmente a divisão de números em quantidades propor- • Dividir uma quantidade em partes proporcionais.  cionais.  • Resolver uma situação-problema usando lógica.  • Indicar a soma das medidas de área de todas as faces de um parale- • Calcular mentalmente a porcentagem de um número.  • Calcular mentalmente acréscimos e decréscimos de um número.  lepípedo.  • Elaborar e resolver um problema sobre regra de sociedade.  • Indicar a soma das medidas de todas as arestas de um paralelepípedo.  • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do • Escrever uma quantidade de minutos em horas e minutos.  estudo deste capítulo. Capítulo 9 – Noções de estatística de dados são mais adequados para serem representados por esse e probabilidade tipo de gráfico. Neste capítulo, tratamos da pesquisa estatística e dos termos relacio- Na seção Matemática e tecnologia, abordamos a construção de grá- nados a ela: população, amostra, indivíduo, tipos de variável (quantitativa ficos de setores usando o software livre LibreOffice. e qualitativa) e valor da variável. Em seguida, introduzimos as noções de frequência absoluta e frequência relativa de uma variável. Em seguida, retomamos os conceitos de probabilidade vistos no 6o ano, definindo de maneira mais concisa os elementos desse tópico, Tratamos, ainda, de uma das medidas de tendência central, a média como a definição de fenômenos aleatórios, espaço amostral e evento, aritmética, trabalhando a média aritmética simples e a média aritméti- considerando inclusive os tipos de evento. ca ponderada a partir de situações-problema contextualizadas. É muito importante trabalhar as situações para que os alunos aprendam a inter- Encerramos o capítulo com mais situações-problema contextualiza- pretar a média em diferentes contextos e que percebam que essa é uma das envolvendo Estatística e Probabilidade, revisando os conceitos e os ferramenta de análise de dados muito poderosa. procedimentos que foram abordados e aplicando-os de maneira diversa. Damos destaque à obtenção de probabilidades experimentalmente, Apesar de os alunos já conhecerem os gráficos de setores e sabe- ressaltando que, independentemente do número de repetições, não há rem ler e interpretar os dados representados neles, neste capítulo, é a como definir uma probabilidade empírica de maneira experimental. Mas primeira vez que aprenderão a construí-los. Se for necessário, retome essas experiências são importantes para que os alunos compreendam os conceitos de medida de abertura dos ângulos e de proporcionali- o raciocínio lógico envolvido. dade para que eles tenham condições de relacionar essa medida com a porcentagem que cada setor irá representar. Ressalte quais tipos Os assuntos deste capítulo permitem diversas conexões fora da Matemática, com temas como consumo consciente, porcentagem de pessoas endividadas, saúde, alimentação saudável e índices calóricos, obesidade, entre outros. Principais objetivos Páginas 249 e 250 | Leitura Páginas 242 e 243 | Abertura • Aprender como são feitas as pesquisas de intenção de votos de uma eleição. • Reconhecer a presença de dados estatísticos no cotidiano. • Identificar dados em uma página de abertura de jornal. Páginas 251 a 253 | 2 Média aritmética Páginas 244 a 248 | 1 Pesquisa estatística e termos relacionados • Compreender o que é média aritmética. • Calcular a média aritmética de um conjunto de dados. • Compreender a diferença entre população (universo estatístico) e • Interpretar a média de um conjunto de dados. amostra. • Compreender o conceito de média aritmética ponderada. • Determinar a média aritmética ponderada de um conjunto de dados. • Compreender o que é uma variável e os valores relacionados a ela. • Compreender a diferença entre variáveis qualitativas e quantitativas. Páginas 254 a 259 | 3 Gráfico de setores • Identificar o tipo da variável em uma pesquisa. • Compreender o conceito de frequência absoluta e frequência relativa • Retomar diferentes tipos de gráfico e os respectivos usos. • Aprender a construir um gráfico de setores usando o transferidor. de uma variável. • Responder a questões a partir de dados apresentados em um gráfico • Calcular a frequência absoluta e a frequência variável a partir dos dados de setores. de uma pesquisa. • Relacionar os dados de um gráfico de setores com as respectivas por- • Construir uma tabela de frequências a partir dos dados de uma pes- centagens. quisa. LIXMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA

Páginas 260 e 261 | Matemática e tecnologia • Identificar o maior resultado entre um conjunto de expressões numé- • Conhecer o software LibreOffice. ricas. • Fazer uma pesquisa com os colegas da sala. • Utilizar a planilha eletrônica como ferramenta para a organização dos • Calcular a porcentagem de um número. • Descobrir a regularidade de uma sequência. dados obtidos na pesquisa em uma tabela. • Formar uma sequência a partir de uma regularidade. • Utilizar a planilha eletrônica como ferramenta para a construção de um • Resolver uma situação-problema usando o conceito de probabilidade gráfico de setores a partir dos dados de uma tabela. de um evento. • Analisar os dados obtidos com a pesquisa e o gráfico de colunas gerado • Calcular a divisão de 2 números naturais. • Calcular a probabilidade de um evento. pela planilha eletrônica. • Usar os conceitos de múltiplos, divisores e números primos para iden- Página 262 | Leitura tificar um espaço amostral. • Conhecer um pouco da história da Estatística. Página 276 | Testes oficiais • Analisar os dados de uma pesquisa e responder a questões sobre ela. • Calcular a probabilidade de um evento. Páginas 263 a 268, 270 a 274 | 4 Probabilidade • Calcular a frequência relativa na forma de porcentagem. • Responder a questões de acordo com os dados apresentados em um • Compreender o conceito de experimentos aleatórios. • Compreender o conceito de espaço amostral e evento. gráfico de barras. • Identificar todos os elementos de um espaço amostral. • Responder a questões de acordo com os dados apresentados em uma • Compreender o conceito de experimento elementar. • Compreender a diferença entre evento certo e evento impossível. tabela de dupla entrada. • Compreender o conceito de espaços amostrais equiprováveis. • Responder a questões de acordo com os dados apresentados em um • Compreender a definição teórica de probabilidade. • Calcular a probabilidade de um evento. gráfico de setores. • Obter a probabilidade de um evento experimentalmente. • Compreender a diferença entre a probabilidade teórica e a probabilidade Página 277 | Verifique o que estudou experimental. • Indicar a frequência absoluta e a frequência relativa em uma pesquisa. • Resolver atividades que envolvem estatística e probabilidade. • Calcular a média aritmética de um conjunto de elementos. • Calcular a probabilidade de um evento. Página 269 | Leitura • Responder a questões de acordo com os dados apresentados em um • Conhecer as origens dos jogos. gráfico de setores. • Realizar e analisar uma pesquisa de opinião. Página 275 | Revisando seus conhecimentos • Criar um problema que envolva probabilidade. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do • Calcular a frequência relativa de um conjunto de dados. estudo deste capítulo. Veja mais resoluções das atividades. Atividade 10 Atividade 11 c) Fruta preferida Estado de origem Frequência Valor da variável Frequência FA FR (em %) Melancia FA FR (em %) 4 10% Valor da variável Alagoas 1 7% Pêssego 8 20% Bahia 2 13% Abacaxi 6 15% Minas Gerais 6 40% Uva 10 25% Paraná 3 20% Laranja 2 5% Rio de Janeiro 3 20% Melão 10 25% Total 15 100% Tabela elaborada para fins didáticos. Total 40 100% Tabela elaborada para fins didáticos. LX MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA

Atividade 15 Time carioca Turma B: 42 1 48 1 48 1 24 1 30 5 192 5 3,2 60 60 Frequência FR FR 2 3 3,2 5 6,4 Valor da variável (em fração) (em %) Botafogo FA As médias das turmas A e B foram, respectivamente, 6,6 e 6,4. 1 1 12,5% Atividade 27 8 37,5% 25% Votantes: 16 1 8 1 12 1 4 5 40 Flamengo 3 3 25% 40 votos ñ 360° 8 100% 4 votos ñ 36° Futebol: 16 votos (4 3 4 5 16) ñ 4 3 36° 5 144° Fluminense 2 2 5 1 Voleibol: 8 votos ñ 72° (metade de 144°) 8 4 Tênis: 12 votos ñ 108° (3 3 36° 5 108°) Basquete: 4 votos ñ 36° Vasco da Gama 2 2 5 1 8 4 Total 8 8 51 8 Tabela elaborada para fins didáticos. Atividade 16 Esporte favorito Número de passageiros por veículo 10% Frequência 40% Banco de imagens/Arquivo da editora FA FR (em %) 30% Valor da variável 20% 1 19 38% 2 9 18% Futebol Tênis 3 8 16% Voleibol Basquete 4 6 12% 5 5 10% 6 3 6% Total 50 100% Tabela elaborada para fins didáticos. Atividade 19 1 1,9 1 1,85 1 1,91 1 Gráfico elaborado para fins didáticos. 5 1,8 1,78 5 9,24 â 1,85 5 Atividade 28 Atividade 20 B: 25% de 360° 5 90° a) 125 1 140 1 100 1 130 1 120 5 615 5 123 C: 30% de 360° 5 108° 5 5 Brancos e nulos: 10% de 360° 5 36° Em média, foram vendidas 123 camisetas. b) 7,5 16 1 x 57 ~ 13,5 1 x 5 21 ~ x 5 7,5 Resultado da eleição 3 brancos A nota do terceiro trabalho foi 7,5. e nulos Banco de imagens/Arquivo da editora c) 5 x 1,85 1 1,97 5 11,22 5 1,87 36° 6 6 C 108° A A média de altura passará a ser 1,87 m. 126° d) 100 1 85 1 88 5 273 5 91 3 3 90° 88 1 91 1 82 5 261 5 87 B 3 3 A média de pontos marcados é 91 e a média de pontos sofridos é 87. Gráfico elaborado para fins didáticos. Atividade 24 Atividade 30 Na turma A, há 40 alunos (32 1 8 5 40) e na turma B há 60 alunos Total de livros: 20 1 40 1 80 1 60 5 200 (42 1 18 5 60). Para determinar a média de acertos, podemos adicionar todos os acertos da turma em cada questão e dividir pelo número de Segunda-feira: 20 em 200 5 20 5 10 510%; 10% de 360° 5 36° alunos da turma. Por último, é preciso multiplicar esse resultado por 2, 200 100 que é o valor de cada questão. Terça-feira: 40 em 200 5 20%; 20% de 360° 5 72° 32 1 28 1 36 1 16 1 20 Turma A: 40 5 132 5 3,3 Quarta-feira: 80 em 200 5 40%; 40% de 360° 5 144° 40 2 3 3,3 5 6,6 Quinta-feira: 60 em 200 5 30%; 30% de 360° 5 108° LXIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA

Venda de livros Atividade 38 10% a) Cachorro: 40% de 360° 5 144° Gato: 30% de 360° 5 108° 30% Segunda-feira Peixe: 20% de 360° 5 72° 20% Terça-feira Outros: 10% de 360° 5 36° Quarta-feira Quinta-feira b) Banco de imagens/Arquivo da editora Animal preferido Banco de imagens/Arquivo da editora 10% 40% 20% 40% Cachorro Gato Gráfico elaborado para fins didáticos. Peixe Outros Atividade 34 30% a) A liderança do Brasil na Gráfico elaborado para fins didáticos. venda de automóveis Atividade 71 Marca FR (em %) A 48% a) 5 1 14 1 10 1 16 1 9 1 12 5 11 B 12% 6 C 11% D 29% Eles gastaram 11 minutos para ir das próprias casas à escola. Tabela elaborada para fins didáticos. b) 58 1 61 1 62 1 59 5 60 4 b) O coração de Beto bate, em média, 60 vezes por minuto. A liderança do Brasil na venda de automóveis 60 3 60 3 24 5 86 400 FR (em %) Em 1 dia, o coração dele bate 86 400 vezes. 60% c) 148 1 152 1 x 5 154 ~ x 5 162 50% 3 40% 30% Rodrigo mede 162 cm. 20% 10% Capítulo 10 – Perímetro, área e volume 0% Neste capítulo, exploramos as grandezas perímetro, área e volume A B C D Marcas e as medidas delas. Os alunos são incentivados a fazer estimativas e a relacionar as informações e os cálculos às experiências locais e Gráfico elaborado para fins didáticos. avaliações pessoais. São propostas explorações com material mani- pulável, desenhos e experimentações de modo que eles tenham um c) aprendizado mais significativo, além de estarem expostos a diferentes A liderança do Brasil na venda de automóveis representações. Marcas Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Abordamos o conceito de perímetro para analisar a medida de compri- D mento da circunferência. Nesse estudo, apresentamos o número p; esse C é o primeiro contato dos alunos com números irracionais. Nas atividades B do livro, propomos que seja utilizado o número indicando apenas a letra A p ou a aproximação 3,14. 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% FR (em %) Depois, trabalhamos atividades relacionadas à medida de área. Gráfico elaborado para fins didáticos. Retomamos a relação entre medidas de área e medidas de perímetro e damos foco às atividades de equivalência de áreas e medidas de decomposição de regiões planas em regiões poligonais cujas medi- das de área os alunos já sabem calcular, como regiões triangulares e regiões retangulares. Por fim, retomamos o cálculo de medida de volume para trabalhar o conceito de equivalência de volumes. LXII MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECÍFICA

Principais objetivos Página 292 | Leitura Páginas 278 e 279 | Abertura • Compreender que as medidas empíricas são sempre medidas apro- ximadas. • Retomar as ideias de perímetro, área e volume. • Identificar o uso de perímetro, área e volume na situação da imagem • Compreender o conceito de erro relativo e erro absoluto. • Entender a importância de considerar o erro em uma medição. de abertura. • Aprender a calcular o erro relativo e o erro absoluto. • Calcular a medida de perímetro, área e volume em situações cotidianas. Páginas 293 a 296 | 3 Volume Páginas 280 a 283 | 1 Perímetro • Retomar o conceito de volume. • Retomar o conceito de perímetro. • Calcular a medida de volume de um sólido utilizando cubinhos com • Medir o comprimento dos lados de polígonos e calcular a medida de medida de volume de 1 cm3 como unidade de medida de volume. perímetro. • Compreender o conceito de equivalência de volumes. • Concluir que figuras diferentes e com medidas de área diferentes • Encontrar figuras diferentes que têm a mesma medida de volume. • Calcular a medida de volume de paralelepípedos ou blocos retangulares podem ter a mesma medida de perímetro. • Determinar a medida de perímetro de figuras geométricas. contando os cubinhos de 1 cm3 que compõem o sólido. • Estimar a medida de perímetro de figuras geométricas. • Calcular a medida de volume de paralelepípedos ou blocos retangulares • Calcular a medida de perímetro em escala. • Calcular a medida de comprimento de uma circunferência. utilizando a fórmula. • Compreender como é obtido o número p e a relação dele com a medida • Conhecer a história de quando Arquimedes descobriu como medir o de comprimento da circunferência. volume de um corpo. • Estabelecer a relação entre o p, a medida de comprimento da circun- Páginas 297 a 299 | Revisando seus conhecimentos ferência e a medida de comprimento do diâmetro. • Determinar a medida de comprimento do raio ou do diâmetro a partir • Determinar o retângulo de maior medida de área. • Calcular a relação entre 2 grandezas depois de um acréscimo porcentual. da medida de comprimento da circunferência. • Calcular a medida de área de uma região utilizando a medida de área Página 284 | Leitura de outra região como unidade de medida. • Conhecer a história do número p. • Analisar o padrão de uma sequência de figuras, comparando as medidas • Compreender como se deram as primeiras relações entre a medida de perímetro delas. de comprimento de uma circunferência e a medida de comprimento • Analisar o padrão de uma sequência de figuras, comparando as medidas do raio dela. de área delas. Páginas 285 a 291 | 2 Área • Calcular a porcentagem de um número. • Retomar o conceito de área. • Encontrar uma expressão equivalente a outra dada. • Compreender o conceito de área aproximada de uma superfície. • Resolver situações-problema envolvendo medidas de área, perímetro • Compreender a relação entre as medidas de área e de perímetro de e volume. uma figura geométrica. • Compreender o conceito de equivalência de áreas. Página 300 | Testes oficiais • Encontrar figuras diferentes que possuem a mesma medida de área. • Calcularamedidadeáreaderegiõesplanasretangulares,quadradas,trian- • Calcular a medida de perímetro de uma região plana. • Calcular a medida de área de uma região plana. gulares, limitadas por paralelogramos, limitadas por trapézios e limitadas por losangos. Página 301 | Verifique o que estudou • Decompor regiões planas em regiões mais simples para facilitar o cál- • Indicar a ideia presente em cada contexto, considerando perímetro, culo da medida de área da região original. • Acompanhar o passo a passo da resolução de uma atividade de me- área e volume. dida de área. • Calcular a medida de comprimento de uma circunferência. • Comparar medidas de perímetro e área de regiões planas. • Autoavaliar atitudes e aprendizagens desenvolvidas no decorrer do estudo deste capítulo. Veja a resolução de mais uma atividade. Quarto 2 3 cm 3 3,5 cm 5 10,5 cm2 10,5 m2 Cozinha Atividade 26 3 cm 3 3,5 cm 5 10,5 cm2 10,5 m2 Sala Medidas de área Total 5 cm 3 3,5 cm 5 17,5 cm2 17,5 m2 Cômodo Medida de área na planta baixa Medida de área real 56 cm2 56 m2 Quarto 1 3 cm 3 3,5 cm 5 10,5 cm2 10,5 m2 Banheiro 2 cm 3 2,5 cm 5 5 cm2 5 m2 Tabela elaborada para fins didáticos. 2 cm 3 1 cm 5 2 cm2 2 m2 Hall LXIIIMANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA

11 Estrutura específica do Manual do Professor do 7o ano (página a página) Apresentamos a seguir a estrutura das páginas 1 a 312 deste Manual no formato “em U”. Resolução das atividades que buscam desenvolver operações de nível Habilidades da BNCC abordadas nas superior (análise, síntese, resolução de páginas. problemas) também são apresentadas aqui, com as devidas orientações. 1 Explorando a ideia 1 Explorando a ideia de número positivo 2 No caderno, escreva cada medida de tempera- Medidas de temperatura Atividades 5 e 6 de número positivo tura, em °C. nos 8 primeiros dias de janeiro Estas atividades trabalham e de número negativo e de número negativo a) 3 graus Celsius abaixo de zero. 23 °C b) 10 graus Celsius acima de zero. 110 °C Medida de temperatura (em °C) Banco de imagens/Arquivo da editora novamente a identificação de Principais habilidades Acompanhe alguns exemplos de situações do cotidiano nas quais usamos números positivos, números medidas de temperatura em ter- da BNCC negativos e o zero. 5 mômetros de álcool colorido. Ve- rifique se os alunos são capazes EF07MA03 EF07MA29 Temperatura 3 Se uma medida de temperatura de 0 °C baixar 4 de perceber a importância do 5 graus Celsius, então qual será a nova medida de 0 (zero) como “ponto de parti- EF07MA04 temperatura? 25 °C (0 2 5 5 25) 3 da” para as observações. Ao trabalhar com a grandeza 2 Atividade 7 temperatura, sempre que pos- Aproveite esta atividade para sível, utilize situações próximas 4 Se uma medida de temperatura de 21 °C subir 1 ao cotidiano dos alunos. Quan- 7 graus Celsius, então qual será a nova medida de verificar como os alunos interpre- to mais relações eles puderem temperatura? 16 °C (21 1 7 5 16) 0 12345678 Dia tam o gráfico de linha (ou de seg- estabelecer entre os conceitos 21 mento). Se necessário, reprodu- explorados na escola e as situa- A unidade-padrão de medida de temperatura 5 Indique no caderno os números correspondentes 22 za-o na lousa para que possam ções do dia a dia, mais signifi- utilizada no Brasil é o grau Celsius (¡C). 23 acompanhar a identificação dos cativo se tornará o aprendizado. 24 pontos que indicam a medida de É importante levá-los a perce- às medidas de temperatura A, B, C e D neste ter- temperatura em cada dia. ber a importância da Matemáti- ca, inclusive, como ferramenta A medida de temperatura em que ocorre a passagem da água do mômetro. As imagens desta página não estão Gráfico elaborado para fins didáticos. Para a resolução desta ativi- para outras áreas do conheci- estado líquido para o sólido, em determinadas condições, corresponde a representadas em proporção. dade, construa a tabela na lousa mento, como Física, Química, zero grau Celsius (0 °C). conforme as orientações do item entre outras. Medida de Leonardo Teixeira/ DB CA a) Faça no caderno uma tabela que corresponda a a, deixando em branco a coluna As medidas de temperatura maiores do que 0 °C são positivas. Por temperatura de Arquivo da editora das medidas de temperatura, e Apresente aos alunos a uni- exemplo: 13 °C, 11,5 °C, 112 °C e 131 °C. Também podemos dizer que 110 ebulição da água Leonardo Teixeira/Arquivo da editora esse gráfico. b) 4 °C; dia 1º. peça aos alunos que completem dade de medida de temperatura elas são “mais quentes” do que 0 °C. 100 ao nível do mar. com o que falta. Se necessário, grau Celsius a partir das medi- b) Qual foi a maior medida de temperatura regis- localize os primeiros 3 pontos das de temperatura de fusão e As medidas de temperatura menores do que 0 °C são negativas. Por 90 Medida de para mostrá-los como proceder. de ebulição da água. É interes- exemplo: 24 °C, 21 °C, 20,5 °C e 210,8 °C. Também podemos dizer que 80 temperatura 24 23 22 21 0 11 12 13 14 trada nesses dias? Em qual dia ela ocorreu? Em seguida, solicite que, consul- sante esboçar na lousa uma es- elas são “mais frias” do que 0 °C. 70 normal do corpo A: 13 °C; B: 22 °C; C: 11 °C; D: 23,5 °C. tando a tabela, respondam aos cala de temperatura, como se 60 6 Quais destes termômetros estão indicando medi-Ilustrações: Leonardo Teixeira/c) Qual foi a menor medida de temperatura? Em outros itens. fosse um termômetro, no mes- Observe que: 50 humano. das de temperatura negativas?Arquivo da editora qual dia ela ocorreu? 23 °C; dia 3. mo formato da reta numerada, • os números negativos aparecem sempre com o sinal 2; 40 X a) c) Veja a resposta do item a des- porém posicionada na vertical, • os números positivos aparecem com o sinal 1 ou sem o sinal; 30 Medida de d) Em qual dia a medida de temperatura registra- ta atividade. e pedir aos alunos para acres- • o número zero não é um número positivo nem negativo. 20 temperatura de 15 15 da foi de 0 °C? Dia 4. centarem na reta as medidas de 10 solidificação da 10 10 temperatura citadas nesta pági- e) Qual foi a medida de temperatura registrada no na. Assim, intuitivamente eles 0 água ao nível 55 dia 2? 21 °C explorarão a localização de nú- 210 do mar. 00 meros inteiros positivos e nega- 25 25 Você sabia? tivos na reta numerada. 210 210 Você sabia? Sensação térmica: você já ouviu falar nisso? Medidas de temperatura Você sabia? Sensação térmica é um fenômeno que resulta da percepção nos 8 primeiros dias Aproveite o tema deste boxe Até abril de 2018, a maior medida de temperatura registrada no Brasil foi de 44,7 °C em Bom Jesus (PI), em 21 de novembro de 2005. Já a do vento com a temperatura. Considere, por exemplo, que os de janeiro menor medida de temperatura foi de 211,1 °C registrada em Xanrerê (SC), em 20 de julho de 1953. termômetros meteorológicos estejam registrando uma medi- e pergunte aos alunos quais fo- da de temperatura t de 10 °C. Se a medida de velocidade v dos Dia Medida de ram as medidas de temperatura Fonte de consulta: MUNDO ESTRANHO. Ambiente. Disponível em: <https://mundoestranho.abril.com.br/ambiente/ ventos for de 7 km/h, então a medida de sensação térmica s, temperatura (em ¡C) mais altas e mais baixas regis- qual-e-o-recorde-de-frio-no-brasil-e-de-calor/>. Acesso em: 23 ago. 2018. ou seja, a medida de temperatura que nosso corpo “sente”, será tradas na cidade deles. de 9 °C; com ventos a 40 km/h, a medida de sensação térmica 14 será de 21 °C; se estiver ventando a 79 km/h, então a medida Pode-se aproveitar a escala b) X d) de sensação térmica será de 24 °C. Veja outros exemplos 2 21 que está na lousa para repre- 15 15 nesta tabela. sentar as medidas de tempera- 10 10 3 23 tura apresentadas neste boxe e 5 5 as citadas pelos alunos. As imagens desta página não estão 0 0 40 representadas em proporção. 25 25 Atividade 1 Relação entre a temperatura e o vento 5 21 Nesta atividade, os alunos Atividades 210 210 que resulta na sensação térmica 63 devem observar os termôme- tros de álcool colorido e, consi- 1 Observe os termômetros e escreva no caderno a medida de temperatura, em °C, que cada um está marcando. t (em °C) v (em km/h) s (em ¡C) 72 derando a escala e a posição do álcool colorido, identificar a me- a) b) c) d) 25 7 26 81 dida de temperatura que cada 1 27 °C 24 °C 29 °C 11 °C termômetro está marcando. 28° 0° 28° Ilustrações: Leonardo Teixeira/Arquivo da editora 25 40 223 Tabela elaborada para fins didáticos. Se necessário, desenhe o ter- 2° 25 79 228 Para ampliar a atividade, pro- mômetro na lousa e retome a lo- ponha aos alunos a observação calização dos números entre as 26° 22° 210° 0° 0 7 21 da medida de temperatura na ci- graduações. Ao final, pergunte dade durante 1 semana, sempre aos alunos se conhecem os ele- 7 Em uma cidade europeia, foi registrada a medida 0 40 216 no mesmo horário. Depois eles mentos que compõem um ter- de temperatura ao meio-dia durante os 8 primei- podem construir uma tabela e mômetro como os desta ativida- 24° 24° 212° 22° ros dias de janeiro de determinado ano. Veja os 0 79 220 um gráfico para representar as de, podendo ampliar essa explo- registros no gráfico a seguir, que relaciona cada medidas de temperatura e o ração nas aulas de Ciências. 22° 26° 214° 24° dia à medida de temperatura correspondente. Fonte de consulta: INFOESCOLA. Sensa•‹o tŽrmica. comportamento da variação de- Disponível em: <www.infoescola.com/termodinamica/ las entre os dias. sensacao-termica/>. Acesso em: 21 maio 2018. 12 CAPÍTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 13 Você sabia? Retome com os alunos a con- Sequência didática Sugestão de atividade 1 Explorando a ideia de número positivo Atividades 3 e 4 e de número negativo Estas atividades abordam o conceito de variação de medidas versa sobre sensação térmica Para mais informações, Solicite aos alunos que façam uma pesquisa sobre as variações das medidas de temperatu- proposta na abertura do capítu- veja a sequência didática 1 ra em diferentes regiões, relacionando esse assunto com outras disciplinas, como Geografia e Nas respostas das atividades, os alunos podem indicar as medidas de temperatura. Verifique as estratégias que os alunos utilizam lo. Pergunte a eles o que ela sig- do 1o bimestre. Ciências. Por exemplo, solicite a eles que pesquisem informações sobre as regiões do planeta de temperatura positivas com ou sem o sinal 1. para resolvê-las e peça que compartilhem os registros que fize- nifica quando é usada em jor- em que as medidas de temperatura registradas são extremas (muito altas ou muito baixas). rem. Eles também podem fazer o registro em uma escala como a nais, revistas, televisão, entre Atividade 2 de um termômetro e indicar nela as variações. Oriente-os a repre- outros meios de comunicação. Outra sugestão é organizá-los em 6 grupos e pedir a cada grupo que pesquise as medidas de tem- Os alunos devem representar com números, sinais e símbolos as sentar numericamente essa ação de deslocamento: 0 2 5 5 25 e peratura máximas e mínimas registradas em um continente e a maneira como a população local lida 21 1 7 5 16. Após a leitura, é interessante com essas medidas no dia a dia. Desse modo, eles devem dividir as tarefas, organizar-se quanto ao medidas de temperatura citadas nesta atividade, interpretando o sinal explorar a tabela, que relaciona as prazo de entrega da pesquisa e, para finalizar, apresentar aos colegas os resultados obtidos. a partir das informações de acima ou abaixo de 0 °C. medidas de temperatura, de velo- cidade do vento e de sensação térmica. Essa atividade pode ser ampliada nas aulas de Ciências. 12 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 13 Sugestões de atividades, textos Reprodução reduzida de cada e leituras para o professor e página do Livro do Estudante para os alunos. com as respostas das atividades. Comentários e orientações para cada página, além de sugestões de acompanhamento dos alunos que apresentarem maior dificuldade e sugestões de aprofundamento e de possibilidades de ampliação, inclusive interdisciplinares, quando possível. LXIV MANUAL DO PROFESSOR - PARTE ESPECêFICA

3a EDIÇÃO Luiz Roberto Dante SÃO PAULO, 2018 Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp-SP), campus de Rio Claro Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP) Licenciado em Matemática pela Unesp-SP, Rio Claro Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Unesp-SP, Rio Claro Ex-professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio na rede pública de ensino Autor de várias obras de Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio 7 Ensino Fundamental - Anos Finais MATEMATICA COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA MANUAL DO PROFESSOR 1

Direção geral: Guilherme Luz Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas Gestão de projeto editorial: Mirian Senra Gestão e coordenação de área: Ronaldo Rocha Edição: Pamela Hellebrekers Seravalli, Marina Muniz Campelo, Carlos Eduardo Marques (editores); Sirlaine Cabrine Fernandes, Darlene Fernandes Escribano (assist.) Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga Planejamento e controle de produção: Paula Godo, Roseli Said e Márcia Pessoa Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci, Ana Paula C. Malfa, Brenda T. M. Morais, Célia Carvalho, Daniela Lima, Diego Carbone, Flavia S. Vênezio, Gabriela M. Andrade, Hires Heglan, Luís M. Boa Nova, Maura Loria, Raquel A. Taveira, Sueli Bossi, Vanessa P. Santos; Amanda T. Silva e Bárbara de M. Genereze (estagiárias) Arte: Daniela Amaral (ger.), André Gomes Vitale (coord.) e Renato Neves (edição de arte) Diagramação: Arte4 Produção editorial Iconografia: Sílvio Kligin (ger.), Roberto Silva (coord.),  Tempo Composto LTDA. (pesquisa iconográfica) Licenciamento de conteúdos de terceiros: Thiago Fontana (coord.), Luciana Sposito e Angra Marques (licenciamento de textos), Erika Ramires, Luciana Pedrosa Bierbauer, Luciana Cardoso e Claudia Rodrigues (analistas adm.) Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin Ilustrações: Ericson Guilherme Luciano, Ilustranet, Leonardo Teixeira, Luiz Rubio, Mauro Souza, Paulo Manzi, Rogrigo Pascoal, Thiago Neumann e Yan Comunicação Cartografia: Eric Fuzii (coord.), Robson Rosendo da Rocha (edit. arte) Design: Gláucia Correa Koller (ger.), Adilson Casarotti (proj. gráfico e capa) Gustavo Vanini e Tatiane Porusselli (assist. arte) Foto de capa: Jane Sweeney/Getty Images Todos os direitos reservados por Editora Ática S.A. Avenida das Nações Unidas, 7221, 3o andar, Setor A Pinheiros – São Paulo – SP – CEP 05425-902 Tel.: 4003-3061 www.atica.com.br / [email protected] Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Dante, Luiz Roberto Teláris matemática, 7º ano : ensino fundamental, anos finais / Luiz Roberto Dante. -- 3. ed. -- São Paulo : Ática, 2018. Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia. ISBN: 978-85-08-19115-4 (aluno) ISBN: 978-85-08-19116-1 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental). I. Título. 2018-0072 CDD: 372.7 Julia do Nascimento - Bibliotecária - CRB - 8/010142 2018 Código da obra CL 713481 CAE 631711 (AL) / 631712 (PR) 3a edição 1a impressão Impressão e acabamento 2 2 MANUAL DO PROFESSOR

Apresenta•‹o Caro aluno Bem-vindo a esta nova etapa de estudos e aprendizagens. Como você já sabe, a Matemática é uma parte importante de sua vida. Ela está presente em todos os lugares e em todas as situações de seu cotidiano: na escola, no lazer, nas brincadeiras, em casa. Escrevi este livro para você compreender as ideias matemáticas e aplicá-las em seu dia a dia. Estou certo de que fará isso de maneira pra- zerosa, agradável, participativa e sem aborrecimentos. Sabe por quê? Porque ao longo deste livro você será convidado a pensar, explorar, resol- ver problemas e desafios, trocar ideias com os colegas, observar ao seu redor, ler sobre a evolução histórica da Matemática, trabalhar em equipe, conhecer curiosidades, brincar, pesquisar, argumentar, redigir e divertir-se. Gostaria muito de que você aceitasse este convite com entusiasmo e dedicação, participando ativamente de todas as atividades propostas. Vamos começar? Um abraço. O autor 3 MANUAL DO PROFESSOR 3

CONHEÇA SEU LIVRO Abertura do capítulo Ao longo dos capítulos, há várias seções e boxes Apresenta algumas imagens e um breve texto de introdução que vão prepará-lo para especiais que vão contribuir as descobertas que você fará no decorrer do trabalho proposto. Também apresenta para a construção de seus algumas questões sobre os assuntos que serão desenvolvidos no capítulo. conhecimentos matemáticos. CAPÍTULO Geometria: Muitos arranha-céus impressionam não apenas pela grandiosidade, mas também Banco de imagens/Arquivo da editora circunferência, pela arquitetura. Um exemplo disso é a torre do Banco da China, em Hong Kong. 5 ângulo e polígono Na foto da fachada da torre, na página anterior, podemos identificar diferentes Alamy/Fotoarena figuras geométricas, como segmentos de reta, ângulos retos, ângulos Dmitry Kalinovsky/Shutterstock/Glow images Review News/Shutterstock agudos e polígonos. Neste capítulo vamos retomar o estudo dos ângulos, com especial atenção aos ângulos em polígonos, em regiões poligonais e em retas paralelas cortadas por uma transversal. Vamos também retomar o estudo da circunferência. Veja a seguir algumas imagens relacionadas a esses assuntos. As imagens desta página não estão representadas em proporção. Soma das medidas de abertura dos ângulos internos R‑photos/Shutterstock/Glow images de um polígono convexo Você já estudou estas relações. Ilustrações: • Triângulo: 3 lados. • Quadrilátero: 4 lados. Banco de imagens/ • A soma das medidas de aber- • A soma das medidas de aber- Arquivo da editora tura dos ângulos internos de tura dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. um quadrilátero é igual a 360°. Explorar e descobrir Trevo. Guindaste. Torre de Pisa, na Itália. Foto de 2018. 1 tVea,mdoessernelheemubmrarpoentrtaáçgaodnoodcaosndvieaxgoonqauisaldqeueurm. Epsocloíglhoanouma pdaorFtsairdcvdhaéearCtduhicamiendsavaé,detretomliecrreHeedodtenrolagec.BKeEaomntnocgduo.amsaafsoldhiaagdoenpaaispeal sulfi- partir Foto de 2017. desse vértice. Depois, responda às questões no caderno. a) Quantos lados tem um pentágono? Converse com os colegas sobre as seguintes quest›es. 1 Na figura que representa detalhes da fachada da torre do Banco da China, onde b) Quantos triângulos foi possível obter na decomposição do pentágono desenhado? aparece: c) Indique no caderno, usando uma multiplicação, a soma das medi- a) um ângulo reto? b) um quadrado? das de abertura dos ângulos internos de um pentágono convexo. De maneira prática, podemos observar que, c) um triângulo? d) um ângulo com medida de abertura menor do que a de um ângulo reto? 2 Repetindo o mesmo procedimento realizado no pentágono, copie para determinar a soma das medidas de 2 Como são os ângulos destacados nas fotos do trevo, do guindaste e da torre de Pisa? a tabela no caderno e complete-a com as informações necessá- abertura dos ângulos internos dos polígonos, rias sobre os polígonos convexos. basta decompô-los em triângulos e multiplicar Geometria: circunferência, ângulo e polígono • CAPÍTULO 5 133 o número de triângulos obtidos por 180°. Polígonos convexos n (número de t (número de triângulos em que o polígono S (soma das medidas de abertura i lados do polígono) pode ser decomposto a partir de um vértice) dos ângulos internos do polígono) 3 1 S 5 1 ? 180° 5 180° i 4 Thiago Neumann/Arquivo da editora 5 6 n Tabela elaborada para fins didáticos. 132 Atividades 86  Determine no caderno a soma das medidas de Raciocínio lógico Banco de imagens/ Explorar e LEITURA abertura dos ângulos internos nos seguintes po- Utilizando 13 palitos de fósforo já queimados, é possível Arquivo da editora lígonos convexos: formar 6 retângulos iguais. descobrir a) heptágono; Recursividade b) octógono; Utilizando o mesmo raciocínio forme no caderno: Atividades de exploração, c) decágono. a) 6 triângulos iguais com 12 palitos; experimentação, verificação, O termo recursividade é usado para descrever, a partir de um elemento, o processo de repetição desse b) 2 triângulos iguais com 5 palitos; descobertas e sistematização 87  Calcule no caderno o número de lados em um c) 5 triângulos com 9 palitos. dos conteúdos apresentados. elemento ou de parte dele de maneira similar ao que já foi mostrado antes. Existe um ramo da Matemática, polígono convexo no qual: a) a soma das medidas de abertura dos ângulos conhecido como Geometria fractal, em que figuras são construídas usando o conceito de recursividade. internos é igual a 1 440°; b) a soma das medidas de abertura dos ângulos internos é igual a 1 800°. 170 CAPêTULO 5 ¥ Geometria: circunferência, ângulo e polígono A figura curva de Koch, inventada pelo matemático sueco Helge von Koch A palavra fractal vem do (1870-1924), foi um dos primeiros fractais estudados. Observe o processo de latim fractus, que quer dizer recursão que cria uma nova figura a partir da anterior. Após algumas recur- pedaço, fração. sividades, obtém-se uma figura que se assemelha a um floco de neve. Luiz Rubio/ As imagens desta Arquivo da editora página não estão representadas em proporção. (, , , , , È) Atividades Neste caso, a figura do 1o termo é um triângulo equilátero. Banco de imagens/ Arquivo da editora Seção que propõe diferentes atividades A cada etapa, cada lado do triângulo é dividido em 3 segmentos de reta de mesma medida de comprimento, e o segmento de reta central serve de base para a construção de um novo triân- 1o termo. 2o termo. gulo equilátero. As bases dos triângulos são apagadas da figu- ra, obtendo-se assim um termo da sequência. Outro exemplo de recursividade na Matemática é a esponja de Menger, descrita pelo matemático austríaco Karl Menger (1902-1985). Esse fractal é obtido a partir de um cubo (1o termo) e, a partir dele, é construída uma sequência de figuras. e situações-problema para você resolver, Ericson Guilherme Luciano/ © 2018 The M.C. Escher Company-The Netherlands. All rights reserved. desenvolvendo os conceitos abordados. Arquivo da editora Nela, você pode encontrar atividades do tipo desafio, que instigam e exigem maior Esponja de Menger. perspicácia na resolução. Em algumas atividades, há também indicações Contudo, a recursividade não é exclusiva da Matemática, sendo muito utilizada de cálculo mental , de resolução oral na Arte, em propagandas, na fotografia, na música, na Literatura, entre outros. Veja e de conversa em dupla ou em grupo . alguns exemplos. Outras atividades indicam o uso kamilopafilms/Shutterstock RF Pictures/Getty Images Lizards (n o 101). 1956. M. C. Escher. Tinta nanquim, lápis e da calculadora . JOGOS O efeito droste, muito usado na fotografia, é formado por uma imagem que aparece “dentro” dela própria. aquarela, dimensões Por exemplo: na foto à esquerda, vemos reduções do relógio conforme olhamos para o centro da imagem; desconhecidas. na foto à direita, vemos a pessoa refletida “infinitamente” no espelho. O artista holandês Escher é muito conhecido pelo uso de padrões geométricos nas obras de arte. Nesta obra, observamos a repetição da imagem do lagarto de maneira similar aos demais, alterando a cor, a posição e o tamanho. Tem simetria axial ou não? 106 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Com este jogo, você aplicará os conceitos sobre simetria axial. Preste atenção às orientações e bom jogo! Orientações Material necessário: folha de papel sulfite. Número de participantes: 2 jogadores. Preparação Leitura Recorte 20 papéis, cada um com 1 das letras de A a T. Dobre-os para serem usados no sorteio. Textos adicionais e interessantes Como jogar que complementam e contextualizam a aprendizagem, Na sua vez, cada jogador deve sortear um papel com uma letra e localizar abaixo a imagem correspondente. Em seguida, deve dizer se a imagem mostra uma figura simétrica em relação ao eixo, uma figura e a simétrica dela em relação ao eixo ou se não há simetria axial. Se acertar o palpite, então ganha 1 ponto; se errar, então não ganha pontos. Vence a partida quem fizer mais pontos depois que todas as letras forem sorteadas. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora AFKP BGL Q C H MR muitas vezes com contextos interdisciplinares que priorizam Jogos D I NS temas como: ética, saúde e meio ambiente. Os textos Seção de jogos relacionados aos E J O T são acompanhados de questões conteúdos que estão sendo que evidenciam a Matemática estudados no capítulo. 190 CAPêTULO 6 ¥ Simetria em diferentes contextos. 4 4 MANUAL DO PROFESSOR

Estudando Matemática, você vai adquirir conhecimentos que vão auxiliá-lo a compreender MATEMÁTICA o mundo à sua volta, estimulando também seu interesse, sua curiosidade, seu espírito investigativo e sua capacidade de resolver problemas. Desse modo, você estará apto, E TECNOLOGIA por exemplo, a comprar produtos de modo mais consciente, a ler jornais e revistas de maneira mais crítica, a entender documentos importantes, como contas, boletos e notas fiscais, Simetrias no GeoGebra a interpretar criticamente textos, tabelas e gráficos divulgados pela mídia, entre outras coisas. Assim, você terá uma participação mais ativa e esclarecida na sociedade. Você se lembra das construções feitas no GeoGebra no capítulo 4? Agora, Atenção: o GeoGebra vamos fazer construções de simetrias usando esse software. nomeia como polígono, mas a construção é de Reflexão de um polígono em relação a um eixo uma região poligonal. Veja os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para construir um polígono e a reflexão dele em relação a um eixo. 1o passo: Clique na opção “Polígono” no menu de ferramentas (à esquerda da tela, na parte superior), marque 3 pontos próximo ao centro da tela e desenhe um triângulo. Nomeie esses pontos como A, B e C. 2o passo: Clique na opção “Reta” , marque 2 pontos próximo ao centro da tela e desenhe uma reta ho- rizontal. Nomeie esses pontos como C e D e a reta como r. 3o passo: Clique na opção “Reflexão em relação a uma reta” . Depois, clique no nABC que você construiu e na reta DF . Aparecerá o nA8B8C 8 simétrico ao nABC em relação à reta DF (o eixo de simetria). Fotos: Reprodução/www.geogebra.org Revisando seus conhecimentos Matemática 4o passo: Clique na função “Mover” , clique em um dos vértices do nABC e arraste. Veja o que acontece. Fotos: Reprodução/www.geogebra.org Se você repetir o 1o e o 2o passos, mas clicar em um dos eixos cartesianos, então vai obter um triângulo 1 A figura da pipa: Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora 6 As simetrias estão presentes em fotos e desenhos desuns07butterfly/Shutterstock meow_meow/Shutterstock e tecnologia simétrico ao original, mas em relação ao eixo escolhido. a) não apresenta simetria axial. muitos objetos, painéis, construções, obras de arte e Observe que você também pode fazer as mesmas construções com outros polígonos. b) apresenta simetria axial em elementos da natureza, entre outros. Qual simetria Seção de exploração da tecnologia, como o uso de relação a apenas 1 eixo. (reflexão, rotação ou translação) pode ser observada calculadora e de softwares livres. As atividades envolvem Simetria • CAPêTULO 6 197 c) Apresenta simetria axial em em cada imagem? relação a exatamente 2 eixos. conteúdos de operações, geometria e estatística. d) apresenta simetria axial em a) d) relação a mais de 2 eixos. As imagens desta página não estão representadas em proporção. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 2 Em qual dos itens as figuras não são simétricas em Borboleta. Painel. relação ao eixo? b) e) a) c) b) d) Noppharat4969/Shutterstock AJ_INDIA/Shutterstock Flores. Taweesak Sriwannawit/Shutterstock Tecido. Curly Part/Shutterstock Revisando seus c) f) conhecimentos 3 Observe os 3 eixos de simetria deste triângulo e res- Flores. Atividades, problemas, situações-problema VERIFIQUE a) Em qual destas faixas está associada a ideia de ponda no caderno: Quantos triângulos são formados contextualizadas e testes que revisam contínua O QUE ESTUDOU translação? nesta figura? e cumulativamente os conceitos e os procedimentos fundamentais estudados no 1 Entre as 9 figuras a seguir, indique no caderno 3 assi- b) Em qual delas está associada a ideia de reflexão? Banco de imagens/ Painel. capítulo e nos capítulos e anos anteriores. métricas, 3 simétricas que têm apenas 1 eixo de sime- c) Em qual delas está associada a ideia de rotação? Arquivo da editora tria e 3 simétricas que têm mais de 1 eixo de simetria. 7 O resultado da divisão 7,864 : 6 é: Testes oficiais a) e) De quantos graus? a) 1,310. c) 1,3106. Questões de avaliações oficiais b) f) sobre os conteúdos que estão b) 1,3106. d) 1,2106. sendo estudados. 4 Copie esta região triangular ABC em um plano carte- siano e trace a simétrica dela em relação ao eixo x e a 8 Qual destes quadriláteros apresenta exatamente Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora simétrica em relação ao eixo y. 2 eixos de simetria? a) c) y Banco de imagens/Arquivo da editora Ilustrações: Banco de imagens/ 5 4 Um livro custa R$ 18,00 a mais do que um caderno, e Arquivo da editora 4C os 2 juntos custam R$ 28,00. O preço do caderno é: 3 a) R$ 5,00. c) R$ 13,00. 2 b) R$ 8,00. d) R$ 10,00. b) d) 1 A 5 Copie as afirmações abaixo no caderno e indique se B cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, dê 3 exemplos que confirmem a c) g) 0 12 3 4 5 6 7x afirmação feita. No caso de ser falsa, dê 1 contrae- xemplo, ou seja, um exemplo que conteste a afirma- 9 Se x e y são números racionais, com x = y, então a h) 5 Reproduza esta figura F em uma malha quadriculada. ção feita. d) Depois, construa uma figura F 8 simétrica à F em rela- a) Se 2 regiões planas apresentam simetria axial, de única afirmação falsa é: ção ao ponto O. translação ou de rotação, uma em relação à outra, i) então elas têm mesma forma e mesmo tamanho. a) x 1 y 5 y 1 x. c) x 2 y 5 y 2 x. b) Se 2 regiões planas têm mesma forma e mesmo b) x 1 0 5 x. d) 1 ? y 5 y. Banco de imagens/ tamanho, então elas apresentam simetria axial, Arquivo da editora uma em relação à outra. 10 Este sólido é composto de: Banco de imagens/ 2 Em qual destas letras a simetria axial não está corre- O a) 1 cone e 1 prisma. Arquivo da editora ta em relação ao eixo dado? F b) 1 cilindro e 1 pirâmide. c) 1 cilindro e 1 cone. Banco de imagens/ AFHTY 6 O ponto P (3, 2) está assinalado no plano cartesiano. d) 2 cones. Arquivo da editora Indique no caderno as coordenadas dos pontos indi- cados em cada item. 200 CAPêTULO 6 ¥ Simetria AFH T Y a) Ponto A, simétrico de P em relação ao eixo x. b) Ponto B, simétrico de P em relação ao eixo y. 3 Observe estas faixas decorativas. c) Ponto C, simétrico de P em relação ao ponto de en- contro dos eixos. A Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora d) Ponto D, simétrico de P por uma translação de 3 unidades na horizontal, para a esquerda. B Atenção C Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- do maneiras de reforçar seu aprendizado. Testes oficiais Autoavaliação 1 (Saresp) Considere esta sequência: 7 (Obmep) Um queijo foi partido em quatro pedaços de Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita mesmo peso. Três desses pedaços pesam o mesmo sobre elas. que um pedaço mais um peso de 0,8 kg. • Participei ativamente das atividades de exploração propostas? • Quando tive dúvidas, procurei a ajuda do professor e dos colegas para saná-las? • Compreendi cada tipo de simetria estudada? • Respeitei os colegas e o professor nas atividades coletivas, ouvindo atentamente a opinião de todos? 2, 6, 10, 14, 18, 22, », n, » O número que vem imediatamente depois de n pode ser representado por: Reprodução/OBMEP, 2011. Simetria • CAPÍTULO 6 203 a) n 1 1. c) 23. b) n 1 4. d) 4n 2 2. 2 (Saeb) O resultado da expressão 2x2 2 3x 1 10, para x 5 22, é: a) 24. c) 12. Verifique b) 0. d) 24. As imagens desta o que estudou página não estão 3 (Saresp) A tabela abaixo mostra o número de horas representadas em Atividades de revisão e verificação que Lúcia assiste à televisão em relação ao número proporção. de alguns dos conteúdos e temas de dias. abordados ao longo do capítulo, Qual era o peso do queijo inteiro? seguidas de uma proposta de autoavaliação para você refletir a) 1,2 kg c) 1,6 kg e) 2,4 kg sobre seu processo de aprendizagem e sobre atitudes que tomou em b) 1,5 kg d) 1,8 kg relação aos estudos, ao professor e aos colegas. Número de horas (h) 3 6 15 18 8 (Obmep) Margarida viu no quadro-negro algumas anotações da aula anterior, um pouco apagadas, con- Número de dias (d ) 1,0 2,0 5,0 6,0 forme mostra a figura. Indica-se por h o número de horas, e por d o número Reprodução/OBMEP, 2005 de dias. A sentença algébrica que relaciona, de forma correta, as duas grandezas é: a) d 5 h 2 2. c) h : 3 5 d. b) d 5 h ? 3. d) h 2 3 5 d. 4 (Saeb) Uma prefeitura aplicou R$ 850 mil na constru- Qual é o número que foi apagado? e) 15 ção de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada a) 9 c) 12 creche foi de R$ 250 mil. b) 10 d) 13 A equação que representa o custo do parque, em mil reais, é: 9 (Obmep) No início de janeiro de 2006, Tina formou com colegas um grupo para resolver problemas de a) x 1 850 5 250. c) x 1 250 5 850. Matemática. Eles estudaram muito e por isso, a cada mês, conseguiam resolver o dobro do número b) x 2 580 5 750. d) x 1 750 5 850. de problemas resolvidos no mês anterior. No fim de junho de 2006 o grupo havia resolvido um total de 5 (Obmep) Rita tem R$ 13,37 em moedas de 1 centa- 1 134 problemas. Quantos problemas o grupo resol- veu em janeiro? vo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 centavos, de 50 centavos e de 1 real. Ela tem a mesma quanti- dade de moedas de cada valor. Quantas moedas ela tem no total? Reprodução/OBMEP, 2006 a) 24 d) 42 b) 30 e) 48 c) 36 6 (Obmep) A soma de três números inteiros consecuti- vos é igual a 90. Qual é o maior destes três números? a) 21 d) 31 b) 28 e) 32 a) 12 c) 20 e) 36 b) 18 d) 24 c) 29 130 CAPêTULO 4 ¥ Expressões algébricas e equações do 1o grau Raciocínio lógico Você sabia? Atividades voltadas para a aplicação de noções Fatos e curiosidades relacionados de lógica na resolução de problemas. aos tópicos estudados. Bate-papo Um pouco de História Atividades orais para você, os colegas e o professor Informações e fatos históricos relacionados à Matemática. compartilharem opiniões e conhecimentos. Atividade resolvida Indica que há material audiovisual relacionado ao tema passo a passo ou ao conteúdo abordado. Atividade com proposta de resolução detalhada e comentada, seguida de uma ampliação. 5 MANUAL DO PROFESSOR 5

SUMçRIO Revisando seus conhecimentos .............................. 42 Testes oficiais .................................................................. 44 Verifique o que estudou .............................................. 45 Capítulo 1 Capítulo 2 Números inteiros Revendo e aprofundando e sequências ...................................................... 10 múltiplos, divisores e frações ........... 46 1 Explorando a ideia de número positivo 1 Múltiplos e divisores de números e de número negativo ......................................... 12 naturais ..................................................................... 48 Temperatura ....................................................... 12 Lembrando os conceitos de número Altitude ................................................................ 14 primo e de número composto ...................... 51 Fuso horário civil ............................................... 14 Decomposição de um número composto Valor monetário ................................................ 15 em fatores primos ............................................ 52 Máximo divisor comum (mdc) ....................... 53 2 O conjunto dos números inteiros ................... 17 Mínimo múltiplo comum (mmc) ................... 54 Cálculo mental do mmc .................................. 56 Representação na reta numerada ............... 17 Módulo ou valor absoluto de um 2 Frações ...................................................................... 57 número inteiro ................................................... 19 Números opostos ou simétricos .................. 20 Retomando as ideias de frações .................. 57 Frações equivalentes e simplificação 3 Comparação de números inteiros .................. 21 de frações ........................................................... 62 Comparação de frações .................................. 63 4 Operações com números inteiros .................. 23 Operações com frações .................................. 65 Multiplicação de frações ................................. 67 Adição de números inteiros ........................... 23 Frações inversas ............................................... 67 Subtração de números inteiros .................... 26 Divisão de frações ............................................ 69 Leitura ................................................................................. 29 Revisando seus conhecimentos .............................. 72 Multiplicação de números inteiros .............. 30 Testes oficiais .................................................................. 74 Divisão de números inteiros .......................... 32 Verifique o que estudou .............................................. 75 Potenciação: número inteiro na base e número natural no expoente ..................... 33 Capítulo 3 Leitura ................................................................................. 35 Números racionais ...................................... 76 5 Expressões numéricas 1 Os números racionais .......................................... 78 com números inteiros ......................................... 36 O conjunto dos números racionais .............. 80 6 Representação de pares ordenados A relação entre os conjuntos N, Z e Q ....... 80 Representação dos números racionais de números inteiros no plano cartesiano em uma reta numerada .................................. 81 (coordenadas cartesianas) ................................ 37 7 Sequências ............................................................... 39 Identificação dos termos da sequência ..... 40 Sequência recursiva ......................................... 41 6 6 MANUAL DO PROFESSOR

Módulo ou valor absoluto 3 Equações do 1o grau com 1 incógnita ........ 113 de um número racional ................................... 82 Oposto ou simétrico de um número Propriedades fundamentais da racional ................................................................ 82 igualdade .......................................................... 113 Comparação de números racionais ............. 83 Resolução de equações do 1o grau com 1 incógnita .............................................. 113 2 Operações com números racionais ................ 84 Explorando a ideia de equilíbrio ................ 116 Outras situações-problema que Adição e subtração de números racionais ... 84 envolvem a resolução de equações Multiplicação de números racionais ........... 85 do 1o grau com 1 incógnita ......................... 121 Inverso de um número racional .................... 86 Leitura .............................................................................. 126 Divisão de números racionais ....................... 87 Revisando seus conhecimentos ........................... 128 Números racionais, grandezas e medidas ... 88 Testes oficiais ............................................................... 130 Leitura ................................................................................. 90 Verifique o que estudou ........................................... 131 Revisando seus conhecimentos .............................. 91 Testes oficiais .................................................................. 92 Capítulo 5 Verifique o que estudou .............................................. 93 Geometria: circunferência, Capítulo 4 ângulo e polígono ........................................ 132 Expressões algébricas 1 Circunferência e círculo .................................... 134 e equações do 1o grau ................................ 94 Construção de circunferências .................. 135 1 Expressões algébricas ......................................... 96 Leitura .............................................................................. 137 Máquinas programadas para gerar 2 Ângulo .................................................................... 138 operações ............................................................ 98 Expressões algébricas equivalentes ........... 99 A ideia de ângulo ............................................ 138 Valor numérico de uma Tipos de ângulo .............................................. 138 expressão algébrica ...................................... 100 Medida de abertura de ângulo ................... 139 Restrições para o denominador ................ 101 Construções geométricas Sequências e expressões algébricas ....... 103 de segmentos de reta e de ângulo ........... 141 Leitura .............................................................................. 106 Ângulos congruentes .................................... 143 Jogos ................................................................................. 108 Ângulos adjacentes ....................................... 144 Ângulos complementares e ângulos 2 Equações ............................................................... 109 suplementares ............................................... 144 Ângulos adjacentes e suplementares ..... 144 Incógnita de uma equação .......................... 110 Ângulos opostos pelo vértice ..................... 146 Solução ou raiz de uma equação ............... 110 Ângulos formados por retas paralelas Conjunto universo e conjunto solução cortadas por uma reta transversal ........... 148 de uma equação ............................................. 110 Matemática e tecnologia ......................................... 149 Equações equivalentes ................................ 111 Jogos ................................................................................. 112 3 Polígono ................................................................. 151 7 MANUAL DO PROFESSOR 7

Polígono convexo e polígono 2 Simetrias no plano cartesiano ...................... 196 não convexo .................................................... 151 Ângulos internos e ângulos externos Matemática e tecnologia ......................................... 197 dos polígonos .................................................. 154 Revisando seus conhecimentos ........................... 200 Triângulo ........................................................... 155 Testes oficiais ............................................................... 202 Construção de quadrados ........................... 163 Verifique o que estudou ........................................... 203 4 Soma das medidas de abertura dos Capítulo 7 ângulos de um polígono .................................. 164 Proporcionalidade ..................................... 204 Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo ............. 164 1 As ideias de proporcionalidade Relação que envolve as medidas de abertura dos ângulos internos e dos e de razão .............................................................. 206 ângulos externos de um triângulo ............ 167 Porcentagem como razão ........................... 209 Jogos ................................................................................. 168 Soma das medidas de abertura 2 Proporções ............................................................ 210 dos ângulos internos de um quadrilátero convexo .................................... 169 A ideia de proporção ..................................... 210 Soma das medidas de abertura Propriedade fundamental das dos ângulos internos de um proporções ....................................................... 210 polígono convexo ........................................... 170 Proporcionalidade entre grandezas ......... 212 Soma das medidas de abertura Coeficiente de proporcionalidade ............. 215 dos ângulos externos de um Leitura .............................................................................. 216 polígono convexo ........................................... 171 Jogos ................................................................................. 174 3 Regra de 3 simples ............................................ 217 Revisando seus conhecimentos ........................... 175 4 Outras atividades e problemas Testes oficiais ............................................................... 178 Verifique o que estudou ........................................... 179 que envolvem proporcionalidade ................ 220 Jogos ................................................................................. 222 Capítulo 6 Revisando seus conhecimentos ........................... 223 Testes oficiais ............................................................... 224 Simetria ................................................................ 180 Verifique o que estudou ........................................... 225 1 Tipos de simetria ................................................ 182 Capítulo 8 Simetria axial ou simetria de reflexão ..... 183 Matemática financeira: regra Simétrico de uma figura plana de sociedade, acréscimos em relação a um eixo .................................... 187 e decréscimos ................................................ 226 Composição de simetrias axiais ................ 189 Jogos ................................................................................. 190 1 Números proporcionais ................................... 228 Simetria de rotação ....................................... 191 Simetria de translação ................................. 194 Números diretamente proporcionais ...... 228 Números inversamente proporcionais .... 229 Divisão de um número em partes proporcionais a números dados ................ 230 8 8 MANUAL DO PROFESSOR

2 Regra de sociedade ........................................... 232 Outras atividades que envolvem estatística e probabilidade .......................... 272 Porcentagem ................................................... 234 Revisando seus conhecimentos ........................... 275 Revisando seus conhecimentos ........................... 239 Testes oficiais ............................................................... 276 Testes oficiais ............................................................... 240 Verifique o que estudou ........................................... 277 Verifique o que estudou ........................................... 241 Capítulo 9 Capítulo 10 Noções de estatística Perímetro, área e volume .................... 278 e probabilidade ............................................. 242 1 Perímetro .............................................................. 280 1 Pesquisa estatística e termos Medida de perímetro de polígonos .......... 280 relacionados ......................................................... 244 Equivalência de perímetros ........................ 281 População e amostra .................................... 244 Medida do comprimento da Indivíduo ou objeto da pesquisa ................ 245 circunferência e o número p ...................... 282 Variável e valor da variável ......................... 245 Leitura .............................................................................. 284 Tipos de variável ............................................ 245 Frequência absoluta e frequência 2 Área ......................................................................... 285 relativa de uma variável ............................... 247 Leitura .............................................................................. 249 Medida aproximada de área ........................ 285 Área e perímetro ............................................ 285 2 Média aritmética ................................................ 251 Equivalência de áreas ................................... 286 Medida de área de regiões planas ............ 288 Interpretação da média aritmética ........... 252 Medida de área de regiões planas Média aritmética ponderada ...................... 253 que podem ser decompostas em outras mais simples ...................................... 289 3 Gráfico de setores .............................................. 254 Leitura .............................................................................. 292 Construção de um gráfico de setores ...... 254 3 Volume ................................................................... 293 Gráfico de setores e porcentagem ........... 256 Matemática e tecnologia ......................................... 260 Equivalência de volumes ............................. 293 Leitura .............................................................................. 262 Medida de volume de um paralelepípedo ou bloco retangular ......... 294 4 Probabilidade ....................................................... 263 Revisando seus conhecimentos ........................... 297 Testes oficiais ............................................................... 300 Experimentos aleatórios ............................. 263 Verifique o que estudou ........................................... 301 Espaço amostral e eventos ........................ 263 Respostas ....................................................................... 302 Evento certo e evento impossível ............. 264 Lista de siglas ............................................................... 311 Cálculo de probabilidades ........................... 265 Sugestões de leitura .................................................. 311 Leitura .............................................................................. 269 Sugestões de sites ....................................................... 311 Obtendo a probabilidade Bibliografia .................................................................... 312 experimentalmente ...................................... 270 9 MANUAL DO PROFESSOR 9

Abertura CAPÍTULO Números inteiros e sequências Principais habilidades 1 da BNCC Reprodução/Arquivo da editora EF07MA03 EF07MA04 RETROSPECTIVA Banco de imagens/Arquivo da editora Inicie o trabalho com este 31 dezembro DOMINGO capítulo explorando com os alunos a foto da cidade de São TEMPO ESPORTE Joaquim (SC), que aparece nesta página. Pergunte a eles No dia 18 de julho de 2017, a cidade Na fase de grupos da Copa do se sabem localizar o estado de de São Joaquim (SC) registrou Nordeste de futebol de 2017, a Santa Catarina em um mapa medida de temperatura mínima Associação Esportiva de Altos (PI) do Brasil e se conhecem algu- de 25 °C. Devido aos ventos, a marcou 7 gols e sofreu 9, obtendo ma informação sobre a cidade sensação térmica na região che- saldo de gols igual a 22. de São Joaquim. Crie também gou a 217 °C. algumas problematizações en- volvendo as medidas de tem- Wagner Urbano OnJack/Futura Press Honório Moreira/Futura Press peratura, como: “Qual número citado no jornal representa a Cidade de São Joaquim (SC). Foto de 2017. Equipe de futebol da Associação Esportiva de Altos (PI). maior medida de temperatu- Foto de 2017. ra?”; “Qual é a diferença entre a medida de temperatura re- Fontes de consulta: ESTADÃO. Notícias; CBF. Copa Nordeste. Disponíveis em: <http://brasil.estadao.com.br/noticias/ gistrada e a da sensação tér- geral,sul-registra-temperaturas-negativas-cidade-tem-sensacao-termica-de-17c,70001894725>; mica?”; “Vocês sabem o que é sensação térmica e quais fa- <www.cbf.com.br/competicoes/copa-nordeste/tabela/2017#.WwLDvCBv8dU>. Acesso em: 23 ago. 2018. tores climáticos influenciam nela?”. 10 Em seguida, explore a foto da equipe de futebol da Associação Esportiva de Altos (PI), na Copa do Nordeste de 2017, e pergunte aos alunos se sabem o signifi- cado da palavra saldo nesta si- tuação. Explique que saldo é a diferença entre o valor que se ganhou e o valor que se perdeu ou se gastou. No caso do cam- peonato de futebol, saldo é a di- ferença entre os gols marcados e os gols sofridos e, como o time sofreu mais gols do que marcou, o saldo dele é negativo. Também é interessante mos- trar na lousa como funciona o cálculo do saldo bancário, por exemplo. Em conjunto com os profes- sores de Geografia e de Ciên- cias, podem ser trabalhadas as diferentes medidas de tempe- ratura nas regiões do Brasil e as mudanças de fusos horários, elaborando propostas que en- volvam também a localização geográfica de alguns estados brasileiros e a relação existente entre a posição desses estados no planeta e o clima, ou ainda o estudo das variações climáticas com as possíveis causas e con- sequências. Plano de desenvolvimento Para mais informações, veja o plano de desenvolvi- mento do 1o bimestre. 10 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

Você já estudou alguns números como estes que estão representados a seguir. Abertura As imagens desta página não estão Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora Observando o folheto de pro- representadas em proporção. moção da loja, peça aos alunos que verifiquem as informações Banco de imagens/Arquivo da editora nele contidas. Pergunte: “O que é desconto?”; “Qual é a diferen- ça entre o valor com desconto e o valor sem desconto?”; “O que significa o número 50 após a vír- gula no preço com desconto?”. Em seguida, explore a ima- gem da Terra vista do espaço e peça que expliquem o que signi- fica dizer que 3 da superfície 4 da Terra são cobertos por água. Se necessário, explique que o denominador é o número de partes em que o todo foi dividido e que o numerador é o número Barnaby Chambers/Shutterstock de partes selecionadas; neste caso, o todo é a superfície do planeta. Então, explique que apenas 1 da superfície da Ter- 4 ra não é coberto por água, que é a diferença entre 4 (1 inteiro) 4 3 e 4 . Calendário do ano de 2020. Por fim, explore as questões apresentadas nesta página 3 da superfície da Terra percebendo os conhecimentos 4 prévios dos alunos e o enten- dimento que fazem dos sinais são cobertos por água. matemáticos 1 e 2. Há situações em que os números já conhecidos vêm acompanhados de um sinal Questão 1 de 1 ou de 2, como 110 e 23. Esses números serão o assunto deste capítulo. Alguns alunos podem res- Converse com os colegas sobre as seguintes questões e, depois, registre ponder que ambos os números as respostas no caderno. desta atividade são chamados de números racionais, o que está correto. 1 Qual nome é dado ao número 3 ? E ao número 28,50? Exemplos de resposta: Fração ou 4 número fracionário; decimal ou número na forma decimal. 2 O que indica o número natural 1, quando aparece em 1o andar? Ordenação ou ordem. 3 Qual é o 6o mês do ano? Junho. 4 O que diferencia uma medida de temperatura com o sinal 1 de uma medida de temperatura com o sinal 2? As medidas de temperatura com o sinal 1 são medidas acima de 0 °C (positivas) e com o sinal 2 são medidas abaixo de 0 °C (negativas). 5 Como foi obtido o saldo de gols do time de Altos? Subtraindo o número de gols sofridos do número de gols marcados; nesse caso, o saldo é 22, pois o time marcou 2 gols a menos do que os gols que sofreu. (7 2 9 5 22) Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 11 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 11

1 Explorando a ideia 1 Explorando a ideia de número positivo de número positivo e de número negativo e de número negativo Principais habilidades Acompanhe alguns exemplos de situações do cotidiano nas quais usamos números positivos, números da BNCC negativos e o zero. EF07MA03 EF07MA29 Temperatura EF07MA04 A unidade-padrão de medida de temperatura utilizada no Brasil é o grau Celsius (¡C). Ao trabalhar com a grandeza temperatura, sempre que pos- A medida de temperatura em que ocorre a passagem da água do 110 Medida de Leonardo Teixeira/Arquivo da editora sível, utilize situações próximas estado líquido para o sólido, em determinadas condições, corresponde a 100 temperatura de ao cotidiano dos alunos. Quan- zero grau Celsius (0 °C). ebulição da água to mais relações eles puderem 90 ao nível do mar. estabelecer entre os conceitos As medidas de temperatura maiores do que 0 °C são positivas. Por 80 explorados na escola e as situa- exemplo: 13 °C, 11,5 °C, 112 °C e 131 °C. Também podemos dizer que 70 Medida de ções do dia a dia, mais signifi- elas são “mais quentes” do que 0 °C. 60 temperatura cativo se tornará o aprendizado. 50 normal do corpo É importante levá-los a perce- As medidas de temperatura menores do que 0 °C são negativas. Por 40 ber a importância da Matemáti- exemplo: 24 °C, 21 °C, 20,5 °C e 210,8 °C. Também podemos dizer que 30 humano. ca, inclusive, como ferramenta elas são “mais frias” do que 0 °C. 20 para outras áreas do conheci- 10 Medida de mento, como Física, Química, Observe que: temperatura de entre outras. • os números negativos aparecem sempre com o sinal 2; 0 solidificação da • os números positivos aparecem com o sinal 1 ou sem o sinal; 210 Apresente aos alunos a uni- • o número zero não é um número positivo nem negativo. água ao nível dade de medida de temperatura do mar. grau Celsius a partir das medi- das de temperatura de fusão e Você sabia? de ebulição da água. É interes- sante esboçar na lousa uma es- Até abril de 2018, a maior medida de temperatura registrada no Brasil foi de 44,7 °C em Bom Jesus (PI), em 21 de novembro de 2005. Já a cala de temperatura, como se menor medida de temperatura foi de 211,1 °C registrada em Xanrerê (SC), em 20 de julho de 1953. fosse um termômetro, no mes- mo formato da reta numerada, Fonte de consulta: MUNDO ESTRANHO. Ambiente. Disponível em: <https://mundoestranho.abril.com.br/ambiente/ porém posicionada na vertical, qual-e-o-recorde-de-frio-no-brasil-e-de-calor/>. Acesso em: 23 ago. 2018. e pedir aos alunos para acres- centarem na reta as medidas de As imagens desta página não estão temperatura citadas nesta pági- representadas em proporção. na. Assim, intuitivamente eles explorarão a localização de nú- Atividades meros inteiros positivos e nega- tivos na reta numerada. 1 Observe os termômetros e escreva no caderno a medida de temperatura, em °C, que cada um está marcando. Você sabia? a) b) c) d) 2° Ilustrações: Leonardo Teixeira/Arquivo da editora Aproveite o tema deste boxe 1 27 °C 24 °C 29 °C 11 °C e pergunte aos alunos quais fo- 28° 0° 28° ram as medidas de temperatura mais altas e mais baixas regis- 26° 22° 210° 0° tradas na cidade deles. 24° 24° 212° 22° Pode-se aproveitar a escala que está na lousa para repre- 22° 26° 214° 24° sentar as medidas de tempera- tura apresentadas neste boxe e 12 CAPÍTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências as citadas pelos alunos. Sequência didática Sugestão de atividade Atividade 1 Nesta atividade, os alunos Para mais informações, Solicite aos alunos que façam uma pesquisa sobre as variações das medidas de temperatu- veja a sequência didática 1 ra em diferentes regiões, relacionando esse assunto com outras disciplinas, como Geografia e devem observar os termôme- do 1o bimestre. Ciências. Por exemplo, solicite a eles que pesquisem informações sobre as regiões do planeta tros de álcool colorido e, consi- em que as medidas de temperatura registradas são extremas (muito altas ou muito baixas). derando a escala e a posição do álcool colorido, identificar a me- Outra sugestão é organizá-los em 6 grupos e pedir a cada grupo que pesquise as medidas de tem- dida de temperatura que cada peratura máximas e mínimas registradas em um continente e a maneira como a população local lida termômetro está marcando. com essas medidas no dia a dia. Desse modo, eles devem dividir as tarefas, organizar-se quanto ao prazo de entrega da pesquisa e, para finalizar, apresentar aos colegas os resultados obtidos. Se necessário, desenhe o ter- mômetro na lousa e retome a lo- calização dos números entre as graduações. Ao final, pergunte aos alunos se conhecem os ele- mentos que compõem um ter- mômetro como os desta ativida- de, podendo ampliar essa explo- ração nas aulas de Ciências. 12 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

2 No caderno, escreva cada medida de tempera- Medidas de temperatura Atividades 5 e 6 tura, em °C. nos 8 primeiros dias de janeiro Estas atividades trabalham a) 3 graus Celsius abaixo de zero. 23 °C b) 10 graus Celsius acima de zero. 110 °C Medida de temperatura (em °C) Banco de imagens/Arquivo da editora novamente a identificação de medidas de temperatura em ter- 5 mômetros de álcool colorido. Ve- rifique se os alunos são capazes 3 Se uma medida de temperatura de 0 °C baixar 4 de perceber a importância do 5 graus Celsius, então qual será a nova medida de 0 (zero) como “ponto de parti- temperatura? 25 °C (0 2 5 5 25) 3 da” para as observações. 2 Atividade 7 4 Se uma medida de temperatura de 21 °C subir 1 Aproveite esta atividade para 7 graus Celsius, então qual será a nova medida de temperatura? 16 °C (21 1 7 5 16) 0 12345678 Dia verificar como os alunos interpre- 21 tam o gráfico de linha (ou de seg- 5 Indique no caderno os números correspondentes 22 mento). Se necessário, reprodu- 23 za-o na lousa para que possam às medidas de temperatura A, B, C e D neste ter- 24 acompanhar a identificação dos pontos que indicam a medida de mômetro. As imagens desta página não estão Gráfico elaborado para fins didáticos. temperatura em cada dia. representadas em proporção. Para a resolução desta ativi- Leonardo Teixeira/ DB CA a) Faça no caderno uma tabela que corresponda a dade, construa a tabela na lousa Arquivo da editora conforme as orientações do item esse gráfico. b) 4 °C; dia 1º. a, deixando em branco a coluna das medidas de temperatura, e Ilustrações: Leonardo Teixeira/24 23 22 21 0 11 12 13 14 b) Qual foi a maior medida de temperatura regis- peça aos alunos que completem Arquivo da editoraA: 13 °C; B: 22 °C; C: 11 °C; D: 23,5 °C. trada nesses dias? Em qual dia ela ocorreu? com o que falta. Se necessário, localize os primeiros 3 pontos 6 Quais destes termômetros estão indicando medi- c) Qual foi a menor medida de temperatura? Em para mostrá-los como proceder. das de temperatura negativas? qual dia ela ocorreu? 23 °C; dia 3. Em seguida, solicite que, consul- tando a tabela, respondam aos X a) c) d) Em qual dia a medida de temperatura registra- outros itens. da foi de 0 °C? Dia 4. 15 15 Veja a resposta do item a des- 10 10 e) Qual foi a medida de temperatura registrada no ta atividade. dia 2? 21 °C 55 00 Você sabia? 25 25 210 210 Sensação térmica: você já ouviu falar nisso? Medidas de temperatura Sensação térmica é um fenômeno que resulta da percepção nos 8 primeiros dias do vento com a temperatura. Considere, por exemplo, que os de janeiro termômetros meteorológicos estejam registrando uma medi- da de temperatura t de 10 °C. Se a medida de velocidade v dos Dia Medida de ventos for de 7 km/h, então a medida de sensação térmica s, temperatura (em ¡C) ou seja, a medida de temperatura que nosso corpo “sente”, será de 9 °C; com ventos a 40 km/h, a medida de sensação térmica 14 será de 21 °C; se estiver ventando a 79 km/h, então a medida b) X d) de sensação térmica será de 24 °C. Veja outros exemplos 2 21 nesta tabela. 15 15 3 23 10 10 Relação entre a temperatura e o vento 5 que resulta na sensação térmica 40 0 5 25 0 5 21 210 25 210 63 t (em °C) v (em km/h) s (em ¡C) 72 25 7 26 81 25 40 223 Tabela elaborada para fins didáticos. 25 79 228 Para ampliar a atividade, pro- ponha aos alunos a observação 0 7 21 da medida de temperatura na ci- dade durante 1 semana, sempre 7 Em uma cidade europeia, foi registrada a medida 0 40 216 no mesmo horário. Depois eles de temperatura ao meio-dia durante os 8 primei- podem construir uma tabela e ros dias de janeiro de determinado ano. Veja os 0 79 220 um gráfico para representar as registros no gráfico a seguir, que relaciona cada medidas de temperatura e o dia à medida de temperatura correspondente. Fonte de consulta: INFOESCOLA. Sensa•‹o tŽrmica. comportamento da variação de- Disponível em: <www.infoescola.com/termodinamica/ las entre os dias. sensacao-termica/>. Acesso em: 21 maio 2018. Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 13 Você sabia? Retome com os alunos a con- 1 Explorando a ideia de número positivo Atividades 3 e 4 e de número negativo Estas atividades abordam o conceito de variação de medidas versa sobre sensação térmica proposta na abertura do capítu- Nas respostas das atividades, os alunos podem indicar as medidas de temperatura. Verifique as estratégias que os alunos utilizam lo. Pergunte a eles o que ela sig- de temperatura positivas com ou sem o sinal 1. para resolvê-las e peça que compartilhem os registros que fize- nifica quando é usada em jor- rem. Eles também podem fazer o registro em uma escala como a nais, revistas, televisão, entre Atividade 2 de um termômetro e indicar nela as variações. Oriente-os a repre- outros meios de comunicação. Os alunos devem representar com números, sinais e símbolos as sentar numericamente essa ação de deslocamento: 0 2 5 5 25 e 21 1 7 5 16. Após a leitura, é interessante medidas de temperatura citadas nesta atividade, interpretando o sinal explorar a tabela, que relaciona as a partir das informações de acima ou abaixo de 0 °C. medidas de temperatura, de velo- cidade do vento e de sensação térmica. Essa atividade pode ser ampliada nas aulas de Ciências. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 13

1 Explorando a ideia Altitude Autumn Sky Photography/Shutterstock de número positivo e de número negativo Os números positivos, os números negativos e o zero também Monte Everest. Foto de 2017. são usados para indicar medidas de altitude. Essa é a grandeza que Altitude indica a medida vertical entre um ponto da superfície terrestre e o nível do mar. Pergunte aos alunos se sa- bem o que é altitude, verifican- Medidas de altitudes acima do nível do mar são indicadas por nú- do se são capazes de associá-la meros positivos e medidas de altitude abaixo do nível do mar são indi- à medida vertical entre determi- cadas por números negativos. Para o nível do mar, usamos o 0 (zero). nado lugar e o nível do mar. Des- taque que medidas de altitude Por exemplo, o ponto mais alto da superfície terrestre é o mon- positivas são referentes a lo- te Everest, na fronteira entre a China e o Nepal, com medida de cais acima do nível do mar, en- altitude de aproximadamente 8 848 metros acima do nível do mar quanto as negativas se referem (ou 18 848 m). E o ponto mais baixo é a fossa das Marianas, lo- a lugares abaixo do nível do calizada no oceano Pacífico, a leste das Filipinas, cuja medida de mar. Comente que altitudes ne- altitude é de aproximadamente 11 034 metros abaixo do nível do gativas também são chamadas mar (211 034 m). de profundidades. Fuso horário civil As imagens desta página não estão Questione os alunos se representadas em proporção. conseguem citar alguma re- gião com medida de altitude Cada fuso horário é uma faixa situada entre pares de meridianos dentro da qual prevalece o mesmo horário. muito alta ou muito baixa. Pe- ça que façam a leitura do tex- Fuso horário civil to e que procurem estabelecer a diferença entre as medidas 180° de altitude (em metros) do Banco de imagens/Arquivo da editora 120° O 60° O 0° 60° L 120° L 180° 90° N A partida final de futebol masculino nos monte Everest e da fossa das Meridiano de Greenwich (GMT) Jogos Olímpicos de 2016 aconteceu na Marianas. Londres Berlim 60° N cidade do Rio de Janeiro. Os países na Lisboa 30° N disputa eram Brasil e Alemanha. O fuso Sugerimos uma atividade 0° horário de Berlim, capital da Alemanha, que relaciona o assunto aos segduonmdian-gfeoir Brasília N 30° S em relação ao Rio de Janeiro, é de 15. conteúdos abordados nas au- Rio de Janeiro OL Isso significa que, quando o jogo teve las de Ciências e Geografia. Pe- início às 17 h e 30 min do dia 20 de ça aos alunos que pesquisem São Paulo agosto de 2016 no Rio de Janeiro, eram informações sobre as 5 cida- 22 h e 30 min do mesmo dia em Berlim. des latinas com maiores medi- das de altitude e os possíveis a efeitos dessa altitude sobre o S desempenho físico dos habi- tantes e dos atletas da região, 60° S descobrindo o que ocorre com o corpo em locais muito altos 90° S e quais são os limites do corpo -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10+11+12 humano. Horário fracionado Linha Internacional de Mudança de Data Cidade 0 3 665 7 330 km Fuso horário civil Tempo universal de Greenwich Capital de país Verifique as informações que os alunos têm sobre o assunto Fonte de consulta: IBGE. Atlas geogr‡fico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. através de algumas indagações, como: “Vocês sabem o que é fu- Veja alguns exemplos, sem considerar se o país está ou não no horário Thiago Neumann/Arquivo da editora so horário?”; “Por que existem de verão. diferenças entre o horário mar- cado aqui e em outros estados • Se em Londres forem 10 horas da manhã, então em Brasília serão ou países?”. 7 horas da manhã, pois o fuso horário de Brasília em relação a Londres é 23 (menos 3 ou 3 negativo). Em seguida, sugira que leiam o texto e que representem em • Se em São Paulo forem 10 horas da manhã, então em Londres serão uma escala, como uma reta nu- 13 horas, pois o fuso horário de Londres em relação a São Paulo é 13 merada, as situações apresen- (mais 3 ou 3 positivo). tadas nos exemplos e calculem a variação de horário entre uma • Se em Londres forem 10 horas da manhã, então em Lisboa serão 10 horas localidade e outra. da manhã também, pois as 2 cidades estão no mesmo fuso horário, ou seja, o fuso horário de uma em relação à outra é 0 (zero). Pode-se ainda trabalhar com a turma as vantagens e as des- 14 CAPÍTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências vantagens do horário de verão, que acontece em alguns esta- dos do Brasil. Peça que pesqui- sem os estados em que ele acontece, quais mudanças ocorrem na rotina das pessoas e qual é a economia de energia que o país consegue fazer com essa alteração. 14 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

Valor monet‡rio Se possível, estipule um pra- zo para verificar se houve redu- Veja mais um exemplo de aplicação dos números positivos, dos números negativos e do zero: para indicar ção do consumo e convide os valores monetários. alunos que conseguirem maior redução a expor para a turma as Mara tinha R$ 250,00 na conta bancária, ou seja, 1R$ 250,00, que é um número positivo. Ao pagar um estratégias usadas, incentivan- boleto, ela ficou com saldo negativo de R$ 60,00 na conta, ou seja, 2R$ 60,00, que é um número negativo. do, assim, um replanejamento nas ações daqueles que não Você sabia? conseguiram reduzir os gastos de energia. Se julgar convenien- O cheque especial é um serviço oferecido pelos bancos a alguns clientes e que permite a eles retirar, mediante pagamento de juros e outras te, desenvolva essa atividade despesas e dentro de um limite estabelecido, uma quantia superior à quantia que eles têm depositada em conta. em várias épocas do ano para Leia mais sobre esse assunto na página 35 deste capítulo. que a redução no consumo de energia se torne um hábito. As imagens desta página não estão representadas em proporção. Novamente, nas respostas das atividades, os alunos po- Atividades dem indicar as medidas de alti- tude com ou sem o sinal 1. 8 Registre no caderno usando números positivos, 10 Converse com os colegas sobre o significado de: números negativos e o zero. Atividade 10 a) Uma altitude que mede 60 m acima do nível do mar. a) extrato bancário; Respostas pessoais. Para facilitar a definição dos 160 m b) movimentação da conta; termos apresentados, registre na lousa as informações apre- b) A medida de altitude ao nível do mar. 0 m c) retirada e depósito; sentadas pelos alunos e, ao fi- c) Uma altitude que mede 45 m abaixo do nível nal, peça a todos que regis- d) saldo positivo e saldo negativo. trem no caderno, para que pos- do mar. 245 m sam consultar sempre que ne- d) Um depósito de R$ 100,00. 1R$ 100,00 11 Consultando o mapa de fuso horário da página cessário. Também é possível e) Uma retirada de R$ 80,00. 2R$ 80,00 anterior, temos a seguinte correspondência: propor a construção coletiva f) Um depósito de R$ 50,00 seguido de uma reti- • Fuso de Nova York em relação a Brasília: 22. de um painel de descobertas • 20 h em Brasília ñ 18 h em Nova York. matemáticas para que possam rada de R$ 70,00. 2R$ 20,00 (250 1 70 5 220) registrar conteúdos, exemplos, Consulte o mesmo mapa de fuso horário e, no cader- descobertas, estratégias, res- 9 Para fazer algumas retiradas de dinheiro, Luís pre- no, substitua os pelas informações adequadas. postas, etc. Esse painel pode e cisou utilizar o cheque especial da conta bancária. a) Fuso de Brasília em relação a Buenos Aires: 0 deve ser complementado no Neste extrato bancário da conta bancária dele, decorrer do ano. observe que o saldo era positivo nos dias 5/2 e 12 h em Buenos Aires ñ em Brasília. 12 h 10/2,de 1R$ 400,00 e de 1R$ 330,00, respectiva- b) Fuso de Moscou em relação a Paris: 12 Veja algumas sugestões de mente, e era negativo no dia 7/2, de 2R$ 50,00. resposta. 7 h em Paris ñ em Moscou. 9 h Quais eram os saldos nos dias 15/2, 20/2 e 26/02? c) Fuso de Buenos Aires em relação a Moscou: 26 a) O extrato bancário mostra Copie no caderno o extrato bancário e substitua as transações sobre a mo- cada pelo saldo correto. 16 h em Moscou ñ em Buenos Aires. 10 h vimentação de uma conta. Paulo Manzi/Arquivo da editora b) Movimentar uma conta é Paulo Manzi/Arquivo da editora depositar, sacar, pagar contas, fazer transferên- 2R$ 20,00 (saldo negativo) Relógios representando o horário em diversas cidades cias, etc. 2R$ 120,00 (saldo negativo) do mundo. c) Retirada é quando se faz 1R$ 80,00 (saldo positivo) um saque (retirada de di- nheiro) de sua conta. Depó- Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 15 sito é quando se insere um valor em sua conta ou na 1 Explorando a ideia de número positivo Em seguida, os alunos podem analisar as contas de energia elé- conta de outra pessoa. e de número negativo trica e de água do local onde residem e elaborar um plano de redu- ção do consumo para ser trabalhado com a família. Para facilitar a d)Saldo bancário positivo in- Antes de solicitar aos alunos a resolução das atividades desta pá- visualização das informações, eles podem elaborar uma tabela com dica que existe determina- gina, apure o que eles sabem sobre os serviços oferecidos pelos ban- o consumo em kWh dos aparelhos que possuem em casa e uma do valor “guardado” no cos. Pergunte, por exemplo, se sabem o que é cheque especial e como lista dos aparelhos que mais consomem energia, criando estraté- banco, pertencente ao pro- funciona o cartão de crédito. gias para reduzir o intervalo de tempo em que esses aparelhos fi- prietário da conta. Saldo cam ligados. Essas explorações permitem o desenvolvimento de bancário negativo indica Neste momento, podem ser trabalhados tópicos de Educação fi- alguns temas contemporâneos, como educação para o consumo e que o proprietário da conta nanceira, destacando a importância de fazer um planejamento dos educação ambiental. está “devendo” determina- gastos e incentivando o consumo consciente. Esses temas serão ex- do valor ao banco. (Normal- plorados novamente na página 35 deste capítulo. mente os bancos cobram taxas proporcionais ao in- tervalo de tempo em que a conta ficou com saldo ne- gativo; essas taxas são chamadas de juros). MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 15

1 Explorando a ideia 12 Você deve ter notado que, de modo geral, os nú- j) Débito de R$ 40,00. 240; negativo. de número positivo meros negativos estão sempre relacionados a certas k) Crédito de R$ 65,00. 165; positivo. e de número negativo expressões, como antes de, abaixo de, à esquerda l) 21 m abaixo do nível do mar. 221; negativo. de, entre outras expressões. Os números positivos m) Lucro de R$ 100,00. 1100; positivo. Atividade 12 estão relacionados às situações opostas a essas, n) Prejuízo de R$ 50,00. 250; negativo. Nesta atividade, iniciamos a como depois de, acima de, à direita de, entre outras. 13 No calendário cristão, o nascimento de Cristo é formalização da relação entre Convide alguns colegas para realizar esta atividade algumas expressões, na língua com você. Em cada item, um de vocês diz qual é o considerado o marco zero (0). Os fatos acontecidos materna, e a representação ma- número correspondente e se ele é positivo ou nega- temática dos números positivos tivo. Os demais conferem e todos anotam no caderno. antes do nascimento de Cristo têm os anos indica- e dos números negativos. a) 20 m acima do nível do mar. 120; positivo. b) Uma dívida de R$ 100,00. 2100; negativo. dos pela sigla a.C. ou pelo sinal de menos (2). São, Atividade 13 c) 2 m para trás. 22; negativo. Leia o enunciado desta ati- d) Descer 12 degraus. 212; negativo. por isso, considerados números negativos. Já os e) 10 °C acima de zero. 110; positivo. vidade com os alunos e traba- f) Ganhar R$ 6,00. 16; positivo. fatos acontecidos depois de Cristo têm os anos in- lhe a relação dos fatos que g) 8 °C abaixo de zero. 28; negativo. aconteceram antes de Cristo h) Ficar parado. 0; nem positivo nem negativo. dicados pela sigla d.C., ou pelo sinal de mais (1), ou (a.C.) com os números inteiros i) Avançar 2 m. 12; positivo. negativos e dos fatos ocorridos ficam sem sigla nem sinal. São números positivos. depois de Cristo (d.C.) com os números inteiros positivos. Es- a) Em qual ano morreu uma pessoa que nasceu sa exploração pode ser amplia- da nas aulas de História. no ano 210 e viveu 50 anos? Ano 140 ou 40 d.C. Verifique se os alunos são ca- b) Quantos anos viveu uma pessoa que nasceu no pazes de resolver esta atividade através dos deslocamentos na ano 265 e morreu no ano 111? 76 anos. 5 76) reta numerada e dos cálculos, (65 1 11 como 210 1 50 5 140. Caso ache necessário, peça que fa- c) Em qual ano nasceu uma pessoa que viveu çam as 2 resoluções. 70 anos e morreu no ano 220? Um pouco de História Verifique se os alunos co- Ano 290 ou 90 a.C. nhecem outros sistemas de Um pouco de Hist—ria contagem diferentes do nosso. Para promover o debate, per- A origem dos números negativos gunte se conhecem a origem do número zero, se conhecem Toda civilização que desenvolveu a atividade de contar teve também que estabelecer o conceito de número natural. Quando dizemos “conceito a origem dos números negati- vos, se sabem o motivo de os de número natural” não estamos nos referindo aos símbolos como os conhecemos, mas sim às ideias que eles representam. Assim, podemos minutos e os segundos serem contados de 60 em 60, entre deduzir que o conceito de número natural data de tempos muito remotos, com a exceção do zero, que é um conceito mais recente. outras explorações históricas. Os primeiros indícios da existência de números negativos vêm da China, na época da dinastia Han (220 a 202 a.C.). Os chineses representavam os Aproveite esse momento pa- ra explorar a História da Mate- números negativos utilizando barras negras e os números positivos utilizando barras vermelhas. mática juntamente com o tema contemporâneo ciência e tec- Os indianos também chegaram a fazer uso dos números negativos na resolução de nologia, solicitando que pes- Rodrigo Pascoal/ quisem sobre as inovações Arquivo da editora tecnológicas desenvolvidas por civilizações antigas. Para Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora isso, peça para formarem gru- determinadas equações, chamadas de quadráticas. O indiano Brahomagupta pos e para cada grupo pesqui- sar sobre uma civilização. (598-670 d.C.), na obra mais importante dele, Brahmasphutasiddhanta, nos apresenta Oriente-os a dividir as tarefas entre os participantes do gru- uma aritmética mais sistematizada, aparecendo nela os números inteiros negativos. po e a expor de forma interes- sante os dados e as descober- No século III, Diofanto de Alexandria, no livro Aritmétika, fez uso de números inteiros tas obtidos. negativos na resolução de vários problemas. O objetivo dessa exploração é que os alunos percebam que ino- Mas foi difícil para muitos matemáticos aceitar a existência desses números; muitos vações tecnológicas podem ser quaisquer técnicas ou instrumen- os chamavam de “numeri absurdi”. tos inovadores para determinada época e que algumas tornaram- Com o desenvolvimento do comércio nos séculos XVI e XVII, foram implementadas -se tão comuns que é difícil de imaginarmos que em algum mo- 2 noções importantes: o lucro e o prejuízo. Assim, os lucros poderiam ser mento não existiam, como os nú- meros, o zero ou o compasso. Es- representados por números positivos e os prejuízos e as dívidas por números As imagens desta sa exploração também pode mostrar que algumas civilizações negativos. Esse conjunto de números recebeu o nome de conjunto dos números página não estão possuíam tecnologias que se tor- inteiros. No século XVIII surgia a interpretação geométrica e a representação dos representadas em naram tão obsoletas que atual- números inteiros na reta numerada, o que propiciou um melhor entendimento da proporção. mente são desconhecidas pela maioria das pessoas. relação entre os números positivos e os números negativos. Fonte de consulta: UFRGS. Disponível em: <www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/ html/historia%20negativos.pdf>. Acesso em: 21 maio 2018. 16 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências Após a socialização da pesquisa, convide-os a ler o texto apresen- tado nesta página e a verificar as informações que estiveram presen- tes nas pesquisas da turma e as que podem ser novidades. 16 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

2 O conjunto dos números inteiros 2 O conjunto dos números inteiros O conjunto dos números naturais é representado por: Principais habilidades N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, »} da BNCC Como as representações 2 e 12 têm o mesmo significado, o conjunto dos números naturais também EF07MA03 EF07MA04 pode ser escrito desta maneira: Inicialmente, peça aos alu- nos que definam o conjunto dos N 5 {0, 11, 12, 13, 14, 15, 16, »} números naturais usando a língua materna e na forma de Dizemos que os números naturais correspondem aos números inteiros positivos com o zero. conjunto e registre na lousa. Em seguida, faça os mesmos regis- Observe agora o conjunto dos números inteiros negativos: tros para os números inteiros negativos. Una os 2 conjuntos {», 26, 25, 24, 23, 22, 21} e comente o significado das reticências à direita e à esquer- Reunindo os números naturais com os números inteiros negativos, obtemos o conjunto dos números da no conjunto formado. inteiros, que é representado assim: Escreva na lousa alguns nú- meros inteiros (positivos e ne- Z 5 {», 26, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, »} Você sabia? gativos) e solicite aos alunos que verifiquem se todos os nú- ou assim: A letra Z é a inicial da palavra meros fazem parte do conjunto Z 5 {», 26, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, 15, 16, »} zahl, que significa ‘número’ em dos números naturais. O objeti- alemão. vo é que percebam que todo nú- Observe que 24 é um elemento de Z, mas não é um elemento de N. Uma curiosidade é que Z é mero natural é um número intei- Dizemos que: também a primeira letra do ro, mas nem todo número intei- sobrenome do matemático ro é um número natural. • 24 pertence ao conjunto Z e representamos isso por 24 é Z; alemão Ernst Zermelo • 24 não pertence ao conjunto N e representamos isso por 24 ê N. (1871-1953), que se dedicou ao Em seguida, trabalhe a reta estudo dos números inteiros. numerada, ampliando os co- Representação na reta numerada nhecimentos dos alunos sobre a representação de números Considere a reta r abaixo. Para representar os números negativos, os números positivos e o zero nela, nela. Proponha a identificação começamos com a escolha de um ponto que será a origem. Vamos escolher o ponto O. Em seguida, precisamos dos números representados por escolher uma unidade, por exemplo, OI, sendo OI 5 1 cm. letras na reta numerada desta página e a localização de outros OI OI Ilustrações: Banco números. Você também pode 01 r unidade de imagens/Arquivo aproveitar para explorar infor- malmente as medidas de dis- da editora tância entre 2 números e as operações simples de adição e A partir da origem O, marcamos outros pontos usando a mesma unidade de medida. subtração usando a reta nume- rada como suporte. Acompa- SR P Y OI X W nhe-os durante essas ativida- 28 27 26 25 24 23 22 21 des para verificar os conheci- 0 11 12 13 14 15 16 17 18 r mentos de cada aluno. sentido negativo (2) sentido positivo (1) Incentive os alunos a pensar que existem pontos na reta que Observe que o ponto X está na parte Chamamos esta reta de reta não correspondem a números positiva da reta, a 3 unidades da origem O, numerada ou reta graduada. inteiros, o que significa que exis- ou seja, ele corresponde ao número positi- Para cada número inteiro, há tem outros conjuntos de núme- vo 3 ou 13. Representamos x: 3 ou x : 13. um ponto na reta numerada. ros, além dos inteiros. Sugira Mas nem todo ponto da reta que compartilhem diferentes Já o ponto Y está na parte negativa, a numerada corresponde a um exemplos com os colegas e, se 1 unidade de O, ou seja, ele corresponde número inteiro. necessário, retome as explora- ao número negativo 21. Representamos ções feitas nos anos anteriores y: 21. Thiago Neumann/ com frações e com decimais na Arquivo da editora reta numerada. Matematicamente, dizemos que o ponto X tem abscissa 13 e o ponto Y tem abscissa Você sabia? 21. Se julgar pertinente, peça Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 17 aos alunos que registrem no painel de descobertas mate- Sugestão de atividade máticas o uso da letra Z para Desenhe uma reta numerada na lousa, colocando apenas o 0 e a escala nela. Distribua aos alunos fichas com números inteiros e representar o conjunto dos nú- solicite a eles que, um a um, localizem na reta numerada os números recebidos, da maneira que julgarem mais adequada. meros inteiros. Evite fazer muitas interferências nesse primeiro momento e permita que eles se justifiquem ao localizar os números para, então, fazer as correções necessárias. Em seguida, faça alguns questionamentos, como: “O que vocês podem dizer sobre os números que estão posicionados à direita do 0?”; “E dos números que estão posicionados à esquerda dele?”. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 17

2 O conjunto dos Atividades 19. Exemplo de resposta: Ambos estão a 7 unidades da origem O; números inteiros um é positivo e outro é negativo. Atividade 14 14 Considere o conjunto dos números inteiros e es- 22 Copie estas retas numeradas no caderno, descu- Inicie esta atividade relem- creva no caderno: bra a unidade de medida que está sendo usada e a) o antecessor do zero; 21 indique o número que o ponto A representa em brando com os alunos os con- cada uma delas. ceitos de antecessor e de su- b) o sucessor de 25; 24 a) A: 14 cessor de um número natural e amplie-os para os números in- c) o antecessor de 22; 23 O A Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora teiros. Recorde que, no conjunto 22 0 dos números naturais, não d) o sucessor de 3; 14 As imagens desta página não estão r existe número antecessor do 0. Contudo, no conjunto dos nú- representadas em proporção. b) A: 230 meros inteiros existe e é o 21. No conjunto dos números intei- e) o sucessor de 270; 269 ros todo número tem um ante- f) o antecessor de 195. 194 cessor e um sucessor. 15 Copie os itens no caderno e substitua cada A O Se necessário, peça que re- pelo símbolo de pertence (é) ou de não pertence 210 0 s corram à reta numerada para a (ê). resolução desta atividade. a) 28 N ê d) 15 N é c) A: 2500 Atividade 15 A Verifique se os alunos com- b) 21 Z é e) 111 Z é O 0t preendem a utilização dos sím- c) 0 Z é f) 1,5 Z ê 2200 bolos de pertence (é) e não pertence (ê). Esses símbolos 16 Escreva no caderno: a) Exemplos de resposta: são bastante utilizados em Ma- 25 e 211. temática e devem ser bem com- d) A: 17 preendidos. Se possível, peça a a) um número inteiro que não é natural; eles que os registrem no painel de descobertas matemáticas, b) um número natural que não é inteiro. Não existe. OA acompanhados de exemplos. 0 114 17 Z* é o símbolo que indica o conjunto dos números u Atividade 16 O item a desta atividade per- inteiros sem o zero. Represente esse conjunto no e) A: 25 mite infinitas respostas, bastan- caderno indicando os elementos dele. A O do que os alunos citem um nú- 0 mero inteiro não positivo, ou se- Z* 5 {», 23, 22, 21, 11, 12, 13, »} 110 m ja, que seja negativo ou nulo. Pe- ça a eles que socializem com os 18 Observe a reta numerada da página anterior e colegas os números que esco- lheram e que expliquem o moti- escreva no caderno o número correspondente a vo da escolha. cada ponto. 23 Considerando uma reta numerada com números No item b, eles devem ser capazes de perceber que todo a) P 24 b) W 17 c) R 27 d) S 28 inteiros, como a da página anterior, represente no número natural é inteiro, for- malizando esse conceito. 19 Em que os números correspondentes aos pontos caderno o que se pede. W e R, da atividade anterior, são semelhantes? Atividade 17 E em que são diferentes? a) O conjunto A dos números inteiros que estão à Nesta atividade, apresenta- direita de 23. A 5 {22, 21, 0, 11, 12, »} mos outra notação de conjunto que representa um subconjunto 20 Observe um trecho de uma reta numerada em b) O conjunto B dos números inteiros de 21 até dos números inteiros. Sugira aos alunos que pesquisem ou- uma malha quadriculada. Banco de imagens/ 15; B 5 {21, 0, 11, 12, 13, 14, 15} tros subconjuntos, como Z1 e Arquivo da editora Z2, anotando-os no painel de descobertas, e leve-os a perce- E OI P c) O conjunto C dos números inteiros que estão ber que Z1 5 N. 230 225 220 215 210 25 0 15 110 115 120 125 130 entre 21 e 15; C 5 {0, 11, 12, 13, 14} Atividade 20 Ressalte para os alunos que, d) O conjunto D dos números inteiros que estão à nesta atividade, a unidade de me- a) Copie esse trecho da reta numerada em uma esquerda de 12; D 5 {», 23, 22, 21, 0, 11} didaé OI 5 5,ouseja,aescala malha quadriculada e complete-o. da reta numerada é de 5 em 5. e) O conjunto E dos números inteiros de 27 até 22. b) Qual número o ponto E representa? 215 Atividades 21 e 22 c) Marque na reta numerada que você traçou a le- E 5 {27, 26, 25, 24, 23, 22} Se possível, entregue aos tra P no ponto correspondente ao número 120. 24 Escreva no caderno os números inteiros repre- alunos uma malha quadriculada para que eles representem as sentados pelos pontos A, B e C em cada reta nu- retas numeradas destas ativida- des, tornando-se mais fácil a merada. construção e a visualização da unidade de medida. 21 Desenhe no caderno uma reta numerada esco- a) A C B Ilustrações: Banco de imagens/ 16 Arquivo da editora lhendo uma unidade de medida. Depois, localize A: 26; B: 14; C: 22. 0 estes pontos nela. b) A BC 215 0 a) A: 15 e) D: 12 15 B A: 25; B: 110; C: 115. C 19 b) O: 0 f) E: 21 c) A c) B: 23 g) F: 25 23 0 d) C:27 h) G: 13 A: 26; B: 16; C: 13. 18 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências 21. C F B E O D G A 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110 Atividade 23 Questione os alunos se, no item c desta atividade, os números 21 e 15 fazem parte do conjunto C ou não, levando-os a perceber que não. 18 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

Módulo ou valor absoluto de um número inteiro reta, a unidade utilizada para medir a distância desse colega Observe esta reta numerada. até o número 0 é positiva. A OB Banco de imagens/ Explique aos alunos que es- Arquivo da editora sas medidas de distância rece- 23 22 21 0 11 12 13 r bem o nome de módulo ou valor absoluto, sendo representado, 2 unidades 2 unidades simbolicamente, o módulo de 3 por | 3 | e o módulo de 23 por A medida de distância entre o ponto A (que representa o 22) e a origem é de 2 unidades. O número 2, que expressa a medida de distância entre A e a origem O, é chamado de módulo ou valor | 23 |. absoluto do número inteiro 22. Indicamos assim: |22| 5 2 e lemos: módulo de menos dois é igual a dois. Aproveite esse momento pa- Observe que a medida de distância entre o ponto B (que representa o 12) e a origem também é de ra dizer a eles que o módulo é 2 unidades, ou seja, o módulo ou o valor absoluto de 12 também é 2. Simbolicamente: |12| 5 2. um conceito muito importante em disciplinas como Física, na Chamamos de módulo ou valor absoluto de um número inteiro a medida de distância entre qual os conceitos de distância o ponto que representa esse número e a origem da reta numerada. O módulo de um percorrida e posição na reta nu- número inteiro diferente de 0 (zero) é sempre positivo. merada são utilizados com fre- quência. Veja outros exemplos. • |16| 5 16 • O valor absoluto de 23 é 3, ou seja, |23| 5 3. • |33| 5 33 Atividades 25 e 26 • O módulo de 19 é 9, ou seja, |19| 5 9. • |241| 5 41 Estas atividades verificam se • O módulo de 0 (zero) é 0, ou seja, |0| 5 0. • |239| 5 39 • O valor absoluto de 220 é 20, ou seja, • |128| 5 28 os alunos compreenderam o • |13| 1 |22| 5 3 1 2 5 5 conceito de módulo. Se neces- |220| 5 20. • |27| 1 |28| 5 7 1 8 5 15 sário, explique novamente a de- • |111| 5 11 finição de módulo, fazendo-os • |216| 5 16 perceber que um número em módulo é sempre positivo, pois Atividades 28. 212 (|28| 5 8; |25| 5 5; |15| 5 5; |110| 5 10; |212| 5 12) se trata da medida de distância desse número em relação ao 0. 25 Escreva no caderno o valor absoluto de cada nú- 289 °C, na Estação Vostok, na Antártida, em 21 mero inteiro. de julho de 1983. Qual é o valor absoluto desse Atividade 27 Esta atividade envolve adi- a) 17 7 c) 11 1 e) 18 8 número? 89 (|289| 5 89) b) 26 6 d) 27 7 f) 210 10 ções de módulos de números in- Fonte de consulta: SUPERINTERESSANTE. Tecnologia. teiros. Os alunos devem primeiro 26 Determine no caderno. Disponível em: <https://super.abril.com.br/tecnologia/estacao- determinar os módulos e depois efetuar a adição. Como o módu- vostok-a-morada-do-frio/>. Acesso em: 21 maio 2018. lo é sempre positivo e eles farão apenas adições, devem sempre a) |22| 2 c) |2100| 100 e) |15| 5 30 Responda e represente simbolicamente no caderno. obter números positivos. b) |1100| 100 d) |29| 9 f) |211| 11 a) Qual é o valor absoluto de 24? 4 (|24| 5 4) Atividade 29 Explique aos alunos que a 27 Calcule no caderno. c) |23| 1 |11| 1 |28| 12 b) Qual é o valor absoluto de 18? 8 (|18| 5 8) a) |25| 1 |24| 9 d) |298| 1 |22| 100 c) Quais números inteiros têm valor absoluto medida de temperatura apre- sentada como curiosidade nesta b) |13| 1 |21| 4 igual a 7? 27 e 7 (|27| 5 7; |17| 5 7) atividade é a menor medida já d) Quais números têm valor absoluto igual a 0 registrada, mas que, de acordo com estudos científicos, é pos- 28 Entre os números 28, 25, 15, 110, 212, qual (zero)? Só o zero. (|0| 5 0) sível que nosso planeta (que tem mais de 4 bilhões de anos) tem maior valor absoluto? e) Qual é o módulo de 16? 6 (|16| 5 6) já tenha passado por medidas de temperatura muito abaixo de- 29 Até abril de 2018, a menor medida de temperatu- f) Qual é o módulo de 210? 10 (|210| 5 10) la e também medidas de tempe- ra já registrada na Terra foi de aproximadamente g) Quais números inteiros têm módulo igual a 28? ratura muito elevadas. Nenhum. Atividade 30 Nos itens a, b, e e f desta ati- Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 19 vidade, apresentamos números 2 O conjunto dos números inteiros inteiros e solicitamos o módulo deles; nos itens c, d e g, fornece- Utilizando uma reta numerada desenhada no chão da quadra ou do pá- mos os módulos e solicitamos tio da escola, posicione um aluno no número 3 e outro no número 23. Em os números referentes a eles. seguida, pergunte aos demais alunos qual é a medida de distância de ca- da um dos colegas até o 0. Se necessário, explique que essa medida equi- Peça aos alunos que com- vale a 3 unidades da reta. Se possível, utilize uma trena ou uma fita mé- partilhem as ideias e os regis- trica para medir a distância de cada um dos colegas até o número 0 e mos- tros que fizeram em cada item, tre aos alunos que essa medida de distância é um número positivo. Expli- como no item c: 27 e 17, que que, embora um dos colegas esteja posicionado na parte negativa da pois |27 | 5 7 e | 17 | 5 7. Verifique se eles entenderam que não existe um número in- teiro tal que o módulo dele seja 28 ou que seja qualquer nú- mero negativo, pois o módulo de um número é sempre posi- tivo ou nulo. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 19

2 O conjunto dos Números opostos ou simétricos números inteiros Em qualquer reta numerada com números positivos e Devido a essa simetria em Thiago Neumann/Arquivo da editora Pergunte aos alunos se sa- números negativos temos uma simetria central em relação relação á origem, ou seja, bem o que é simetria e se co- à origem da reta. em relação ao zero, os nhecem o conceito de simétrico. números inteiros também Antes de explicar esses concei- Por exemplo, nesta reta numerada temos o ponto O na são chamados de inteiros tos, seria interessante propor origem. Os pontos A e B têm a mesma medida de distância relativos. que fizessem uma exploração até a origem O, ou seja, têm uma simetria em relação à diferente: entregue uma folha e origem O. Então, dizemos que 11 e 21 (os números cor- peça que desenhem uma borbo- respondentes a esses pontos) são números opostos ou leta com as asas idênticas. números simétricos. Após concluídos os dese- Banco de imagens/ B OA nhos, explique aos alunos que Arquivo da editora » 24 23 22 21 0 11 12 13 14 » a borboleta que fizeram só se- rá simétrica se, ao dobrá-la ao Veja mais alguns exemplos de números opostos: 12 e 22, 13 e 23, e assim por diante. meio, as partes sobrepostas coincidirem perfeitamente. Agora, veja como indicamos o oposto ou o simétrico de um número. Pergunte a eles se já observa- ram simetria em outras repre- • Oposto de 4 ñ 24. • O simétrico de 0 é o próprio 0. sentações, como em imagens e fotografias de elementos da • Simétrico de 17 ñ 2(17) 5 27. • Oposto de 210 ñ 2(210) 5 110 ou 10. natureza ou de obras de arte. Amplie a exploração pedindo • Oposto de 29 ñ 2(29) 5 19 ou 9. As imagens desta página não estão que localizem figuras geomé- representadas em proporção. tricas simétricas ou que façam outros desenhos simétricos. O Banco de imagens/ conteúdo de simetria na Geo- Arquivo da editora metria será retomado e amplia- do no capítulo 6 do livro. 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110 r Em seguida, pergunte aos Atividades alunos o que seria o simétrico de um número. Por exemplo: 31. g) 2(259) 5 159 ou 59 h) 2(130) 5 230 i) 2(244) 5 144 ou 44 “Qual é o simétrico do número 4 na reta numerada?”. Verifique 31 Indique e determine no caderno o oposto ou si- i) Uma medida de temperatura de 3 graus Celsius se são capazes de relacionar es- abaixo de zero (23). sas informações com as explo- métrico de cada número. rações anteriores. Uma medida de temperatura a) 156 d) 120 g) 259 de 3 graus Celsius acima de Fom Conradi/Folhapress Em seguida, peça que leiam 2(156) 5 256 2(120) 5 220 zero (13). as informações desta página b) 219 e) 1150 h) 130 e verifique se são capazes de 2(219) 5 119 ou 19 2(1150) 5 2150 compreender os conceitos de c) 211 f) 2203 i) 244 simetria central e de números 2(211) 5 111 ou 11 2(2203) 5 1203 ou 203 opostos ou simétricos. 32 Escreva no caderno o oposto de cada situação e o Atividade 31 Destaque para os alunos número correspondente. que a resolução desta ativida- a) Ganhar 5 pontos em um jogo (15). de pode ser mais fácil sem o uso da reta numerada, pois al- Um crédito de guns números, como 259 e 2203, podem ser difíceis de b) Um débito de R$ 20,00 (220). R$ 20,00 (120). indicar nela. c) Um lucro de R$ 50,00 (150). Um prejuízo de Verifique principalmente se R$ 50,00 (250). os alunos apresentam dificulda- des nos itens b, c, f, g e i, pois d) Dois andares abaixo do térreo (22). pedem o oposto de números in- teiros negativos. Comente com e) 150 m acima do nível do mar (1150). eles que o oposto de 4 é 24 e, portanto, analogamente, o opos- f) Ano 7 antes de Cristo (27). Ano 7 depois de Cristo to de 24 é 4, ou seja, (17). 4 5 2(24), por exemplo. g) 3 unidades à direita do zero (13). Atividade 32 Nesta atividade, os alunos h) Recuar 6 metros (26). Avançar 6 metros (16). Termômetro de rua na cidade de Urupema (SC). Foto de 2018. precisam representar o oposto 32. a) Perder 5 pontos em um jogo (25). d) Dois andares acima do térreo (12). e) 150 m abaixo do nível do mar (2150). de cada situação na língua ma- g) 3 unidades à esquerda do zero (23). terna e em linguagem matemá- 20 CAPÍTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências tica. Os contextos citados reto- mam explorações feitas ante- riormente no capítulo. 20 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

3 Compara•‹o de nœmeros inteiros 13 Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 3 Comparação de números inteiros Comparar 2 números significa dizer se o primeiro é maior do que (>), é menor do que (<) ou 12 é igual ao (5) segundo número. 11 Principais habilidades da BNCC Para fazer a comparação de números inteiros, podemos usar vários recursos, como pensar em 0 medidas de temperatura, relacionar a débitos e créditos, usar uma reta numerada, entre outros. 21 EF07MA03 EF07MA04 22 Veja alguns exemplos que os alunos do 7o ano C deram à professora usando uma reta numerada Neste momento, retomamos na posição vertical, uma reta numerada na posição horizonta e outras situações. o trabalho com os sinais de é maior do que (>), é menor do 24 23 22 21 0 11 12 13 14 23 que (<) e é igual a (5) a fim de utilizá-los na comparação de 12 > 23 Ilustrações: Thiago Neumann/ 24 números inteiros. É muito co- Arquivo da editora mum, nesta fase, os alunos 12 está acima de 23 na reta numerada vertical. confundirem os sinais. Por isso, crie estratégias e utilize diferen- Um crédito de 2 reais é 12 fica à direita de 23. tes técnicas que lhes permitam melhor do que um débito de na reta numerada compreendê-los e memorizá- 3 reais, pois crédito significa horizontal. -los, como identificar que a que eu tenho 2 reais, abertura do sinal fica para o la- enquanto débito significa do do número maior. que eu devo 3 reais. Inicie a exploração da com- 21 > 22 Atenção! 21 fica à direita de paração de números inteiros 22 na reta numerada pelas situações contextualiza- 21 está acima horizontal. das apresentadas nesta página, de 22 na reta o que facilita o entendimento. numerada 21 °C é uma Por exemplo, é mais fácil com- vertical. medida de preender inicialmente que uma temperatura maior medida de temperatura de (\"mais quente\") 12 °C é maior do que uma de do que 22 °C. 23 °C, ou estar 2 metros acima do nível do mar é mais alto do 24 < 0 A altitude 24 m está que estar 3 metros abaixo do ní- abaixo do nível do vel do mar, do que fazer a com- mar (que é zero). 24 fica à esquerda do 0 paração direta 12 > 23. As na reta numerada comparações envolvendo situa- 24 está abaixo horizontal. ções de medida de altitude po- do zero na reta dem ser aprofundadas nas au- numerada vertical. las de Geografia. Veja outros exemplos de comparações. Bate-papo Outras explorações podem ser feitas usando, por exemplo, • 23 < 0 • 23 < 11 Converse com os colegas sobre as comparações a coluna de saldo de gols da ta- feitas em 23 < 0 e em 11 > 21 e justifiquem. bela de qualquer campeonato de • 0 < 11 • 12 5 2 futebol. Colete as hipóteses que os alunos têm sobre esse as- • 14 > 12 • 11 > 21 sunto e incentive-os a compar- tilhar as estratégias utilizadas Exemplos de resposta: 23 °C é uma medida de temperatura menor do que 0 °C (“mais fria”); 1 m acima do nível do mar (11 m) para comparar os saldos. é mais alto do que 1 m abaixo do nível do mar (21 m). Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 21 Finalize a exploração desta página escrevendo na lousa al- guns pares de números inteiros e pedindo aos alunos que veri- fiquem qual é o maior número e que desenhem o sinal que os relaciona. Exemplifique núme- ros inteiros de sinais iguais ou diferentes e também números que têm mesmo valor absoluto e sinais diferentes, como 2 e 22. Destaque as comparações entre números negativos, pois geralmente são as que mais confundem os alunos. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 21

3 Comparação de Explorar e descobrir números inteiros 1 Copie os itens no caderno e substitua cada por >, < ou 5. Use o processo que julgar mais conveniente para Atividade 34 As comparações de 2 núme- fazer as comparações. ros negativos (como no item e) a) 23 19 < d)16 12 > g)18 8 5 j)2374 2200 < costumam gerar mais dúvidas do que as comparações entre 2 b) 116 0 > e)26 22 < h) 0 111 < k)1623 1519 > números positivos ou entre 1 número negativo e 1 positivo. c) 218 0 < f)14 24 > i)0 26 > l)86 2100 > Por isso, após a resolução desta atividade, converse com a turma 2 Depois de tudo o que estudou sobre comparação de números inteiros, você pode tirar algumas conclusões. sobre as dificuldades encontra- Copie os itens no caderno e substitua cada pelo símbolo ou pela informação adequados. das e destaque o item citado pa- ra que os alunos tenham mais a) Quando comparamos um número positivo com um número negativo, o maior deles é sempre o . Exem- atenção e saibam o que fazer plos: 187 295 e 2326 1188. Número positivo; >; <. quando se depararem com si- tuações semelhantes. b) Quando comparamos um número positivo com o zero, o maior deles é sempre o . Exemplos: 176 0 e 0 85. Número positivo; >; <. Atividade 36 Chame a atenção dos alu- c) Quando comparamos um número negativo com o zero, o maior deles é sempre o . Exemplos: 239 0 e 0 2149. Zero; <; >. nos para o fato de a atividade solicitar que os números este- d) Quando comparamos 2 números positivos, o maior deles é o que tem o módulo . Exemplos: 1378 1169 jam em ordem decrescente, ou e 194 100. Maior; >; <. seja, do maior para o menor nú- mero inteiro. e) Quando comparamos 2 números negativos, o maior deles é o que tem o módulo . Exemplos: 225 220 e 2169 2200. Menor; <; >. Atividade 37 Nesta atividade, verifique se Atividades 33. João ñ 2350; Marta ñ 1200; Lúcia ñ 1150; Marcelo ñ 2180; André ñ 0. os alunos percebem que, nos itens b e c, não é possível deter- 33 Observe o saldo bancário de 5 pessoas. 37 Observe o conjunto dos números inteiros (Z): minar o maior e o menor núme- • João: saldo negativo de R$ 350,00. ro inteiro, pois esse conjunto é • Marta: saldo positivo de R$ 200,00. Z 5 {», 25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, infinito tanto no sentido positi- • Lúcia: saldo positivo de R$ 150,00. 15, »} vo quanto no sentido negativo. • Marcelo: saldo negativo de R$ 180,00. a) Qual é o menor número inteiro positivo? 11 Se achar conveniente, aproveite • André: saldo zero. b) Qual é o maior número inteiro positivo? para comparar os conjuntos Escreva no caderno o número inteiro correspon- dos números inteiros e dos na- dente ao saldo de cada pessoa. Por exemplo: Não existe. turais, mostrando que ambos João ñ 2350. iniciam no 0 e são infinitos no c) Qual é o menor número inteiro negativo? sentido positivo. Não existe. Atividade 38 Nesta atividade, apresenta- d) Qual é o maior número inteiro negativo? 21 mos novamente situações con- 38 Indique no caderno os números de cada item e textualizadas para que os alu- nos representem matematica- compare-os. a) 25; 17; 25 < 17. mente e façam as comparações dos números inteiros. 34 Faça a comparação dos números da atividade an- a) Medidas de temperatura de 5 graus Celsius abai- terior nos seguintes casos: Atividade 39 xo de zero e de 7 graus Celsius acima de zero. Explique aos alunos que, se a a) João e Marta; d) Lúcia e André; b) Altitude ao nível do mar e altitude a 2 metros afirmação estiver correta, de- vem mostrar exemplos; se não, 2350 < 1200 1150 > 0 abaixo do nível do mar. 0; 22; 0 > 22. devem apresentar pelo menos 1 contraexemplo, ou seja, um b) Marta e Lúcia; e) Marcelo e João; c) Débito de 200 reais e débito de 350 reais. exemplo que mostre que a afir- mação está incorreta. 1200 > 1150 2180 > 2350 2200; 2350; 2200 > 2350. c) André e Marcelo; f) Lúcia e Marcelo. d) Saldo positivo de 6 gols e saldo negativo de 0 > 2180 1150 > 2180 35 Escreva no caderno os 5 números das atividades 6 gols. 16; 26; 16 > 26. anteriores em ordem crescente. e) Lucro de 500 reais e lucro de 600 reais. 2350, 2180, 0, 1150, 1200. 1500; 1600; 1500 < 1600. 36 No caderno, escreva em ordem decrescente os 39 Veja o que Letícia afirmou. números que aparecem nos quadrinhos. Banco de imagens/ Se um número inteiro é maior do que 15, Arquivo da editora então o oposto dele é menor do que 25. 210 22 0 9 15 17 26 A afirmação dela está correta? Explique no caderno. 9, 17, 15, 0, 22, 26, 210. Sim; por exemplo: 16 > 15 e 26 < 15; 18 > 15 e 28 < 25. 22 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências 22 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

4 Operações com números inteiros 4 Operações com números inteiros Vamos agora estudar as seguintes operações no conjunto dos números inteiros: adição, subtração, Principais habilidades multiplicação, divisão e potenciação. As imagens desta da BNCC página não estão Adição de números inteiros representadas em EF07MA03 EF07MA29 proporção. EF07MA04 São vários os recursos que podemos utilizar para efetuar a adição de 2 números oC Paulo Manzi/Arquivo da editora inteiros. Analise cada exemplo e procure utilizar um ou mais recursos que achar Apresentamos nesta página convenientes ao longo dos estudos. Se quiser, pode imaginar outras maneiras deBanco de imagens/13 situações contextualizadas pa- adicionar os números. Arquivo da editora 12 ra iniciar o estudo da adição de 11 15 números inteiros. Trabalhe-as • Adição de 22 e 15. com os alunos e, se necessário, Podemos pensar da seguinte maneira: uma medida de temperatura que era 0 apresente outros exemplos en- de 2 graus Celsius abaixo de zero (22) e subiu 5 graus Celsius (15) passou a 21 volvendo situações do cotidiano ser de 3 graus Celsius acima de zero (13). 22 deles, como o uso do dinheiro. Podemos também usar uma reta numerada: partindo do 22 e contando 23 5 unidades para a direita (15), chegamos ao 13. Utilize a reta numerada, como Termômetro. exemplificado no livro, e verifi- 24 23 22 21 0 11 12 13 14 que as estratégias utilizadas pe- la turma, ressaltando que somar 15 um número negativo é o mesmo que subtrair o módulo dele. Por Algebricamente podemos escrever: (22) 1 (15) 5 13 ou 22 1 5 5 13. exemplo, (21) 1 (23) é equi- • Adição de 21 e 23. valente a 21 2 3, e não a 21 1 3. Um mergulhador estava a 1 metro abaixo do nível do mar (21) e desceu 3 metros (23), ficando a 4 metros abaixo do nível do mar (24). 21 Paulo Manzi/Arquivo da editora Também podemos usar uma reta numerada: partindo do 21 e andando 22 3 unidades para a esquerda (23), vamos parar no 24. 23 24 23 22 21 0 11 12 13 14 23 24 23 Banco de imagens/ Indicamos essa adição assim: (21) 1 (23) 5 24 ou 21 2 3 5 24. Arquivo da editora Veja outros exemplos, agora utilizando apenas a reta numerada. • Adição de 13 e 24. 24 23 22 21 0 11 12 13 14 Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora (13) 1 (24) 5 21 ou 13 2 4 5 21 24 • Adição de 12 e 12. 24 23 22 21 0 11 12 13 14 (12) 1 (12) 5 14 ou 12 1 2 5 14 12 • Adição de 24 e 14. 24 23 22 21 0 11 12 13 14 (24) 1 (14) 5 0 ou 24 1 4 5 0 14 Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 23 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 23

4 Operações com Atividades 41. a) 23 (25 1 2 5 23) b) 17 (3 1 4 5 17) d) 24 (22 2 2 5 24) e) 0 (23 1 3 5 0) números inteiros 40 Escolha o recurso que julgar mais conveniente 44 Adição de 2 números inteiros com si- Para a resolução das ativida- para efetuar as adições e registre-as no caderno. nais diferentes (1 positivo e 1 negativo). Observe des, sempre é pertinente propor os exemplos e converse com os colegas. as resoluções individuais ou em Recurso pessoal. duplas e pequenos grupos para, depois, dispor de um momento a) Adição de 25 e 14. (25) 1 (14) 5 21 em que todos compartilham as estratégias utilizadas. b) Adição de 22 e 23. (22) 1 (23) 5 25 (22) 1 (15) 5 13 (12) 1 (24) 5 22 c) Adição de 12 e 24. (12) 1 (24) 5 22 Se achar necessário, peça aos alunos que registrem as d) Adição de 23 e 14. (23) 1 (14) 5 11 522 422 conclusões obtidas nas ativida- des 42, 44, 46 e 48 no caderno 41 Efetuem no caderno estas adições. Em cada (24) 1 (14) 5 0 e no painel de descobertas, para item, um de vocês calcula o resultado e diz o re- que possam ser consultadas sempre que necessário. curso que utilizou. Os demais conferem a respos- 25 1 4 5 21 13 2 4 5 21 ta e, se alguém quiser, pode justificar de outra Atividade 40 A escolha do recurso a ser uti- maneira. Todos devem registrar as respostas no 524 423 caderno. lizado pelos alunos é pessoal. Mas é importante que não dei- a) (25) 1 (12) g) (14) 1 (26) 22 (4 2 6 5 22) (15) 1 (2 5) 5 0 xem de registrar no caderno as b) (13) 1 (14) h) (25) 1 (17) 12 (25 1 7 5 12) operações resolvidas. c) 0 1 (25) 25 (0 2 5 5 2 5) i) (23) 1 (24) 27 (23 2 4 5 Pensando em cálculos similares, respondam no Veja abaixo as resoluções 2c7a) derno ao que se pede em cada item. usando a reta numerada como d) (22) 1 (22) j) (13) 1 0 13 5 (13 1 0 5 13) recurso. a) Quando as parcelas são 2 números opostos, Atividades 42 e 43 e) (23) 1 (13) k) (16) 1 (11) 17 (6 1 1 5 17) qual é o resultado? Zero (0). Debata com os alunos sobre f) (12) 2 012 (12 2 0 5 12) l) (15) 1 (24) 11 (5 2 4 5 11)b) Quando as parcelas não são números opostos, os esquemas apresentados na atividade 42 para que eles refli- 42 Adição de 2 números inteiros com si- mas têm sinais diferentes (uma positiva e uma tam sobre a adição de 2 núme- ros inteiros com sinais iguais. As nais iguais (os 2 positivos ou os 2 negativos). negativa), qual delas define o sinal do resultado conclusões obtidas devem ser usadas na resolução da ativida- Observe os exemplos a seguir e converse com os da adição? A parcela de maior módulo. de 43. colegas. c) Nesse caso, como é obtido o módulo do resul- Atividades 44 e 45 Na atividade 44, converse tado? Subtraindo o menor módulo do maior. com os alunos sobre os casos (21) 1 (23) 5 24 12 1 2 5 14 45 A partir das conclusões da atividade anterior, possíveis para uma adição de 2 números inteiros com sinais 113 212 copie e efetue as adições a seguir no caderno. De- diferentes (as parcelas podem ser números opostos ou não) e pois, confira suas respostas com as de um colega. leve-os a concluir o que ocorre em cada caso. Depois, eles de- 22 2 3 5 25 (18) 1 (12) 5 110 a) (151) 1 (251) 0 d) (1230) 1 (2201) vem usar essas informações na b) 280 1 30 250 resolução da atividade 45. 129 (230 2 201 5 129) Atividades 46 e 47 e) 237 1 37 0 Comente com os alunos so- 213 812 c) 227 1 30 13 f) 146 2 59 213 bre as adições de 2 parcelas em que uma delas é 0 e peça que Pensando em cálculos similares, respondam no 46 Adição que tem o 0 (zero) como uma vejam os exemplos da atividade caderno ao que se pede em cada item. das 2 parcelas. O zero támbem é o elemento 46 para criarem um modo de neutro da adição de números inteiros. agir em situações semelhantes, a) Quando as 2 parcelas são negativas, o resulta- como as apresentadas na ativi- do da adição é sempre negativo? Sim. Observe os exemplos e converse com os colegas. dade 47. b) Quando as 2 parcelas são positivas, o resultado 0 1 (228) 5 228 0 1 (125) 5 125 da adição é sempre positivo? Sim. 145 1 0 5 145 0 2 33 5 233 c) Em ambos os casos, como é obtido o módulo do resultado? Somando os módulos das parcelas. Pensando em cálculos similares, respondam no caderno ao que se pede em cada item. 43 A partir das conclusões da atividade anterior, a) Quando uma das 2 parcelas é zero, qual é o re- copie e efetue as adições a seguir no caderno. De- sultado da adição? O resultado é igual à outra parcela. pois, confira suas respostas com as de um colega. b) Por que você acha que o zero é chamado de a) (212) 1 (215) d) 2132 229 elemento neutro na adição? b) 123 1 30 e) 1132 1 29 c) Qual é o resultado quando as 2 parcelas são c) (17) 1 (49) f) 224 1 (212) iguais a zero? O resultado é zero. 43. a) 227 (212 2 15 5 227) b) 153 (23 1 30 5 53) c) 166 (17 1 49 5 166) d) 2161 (2132 2 29 5 2161) 24 e) 1161 (132 1 29 5 1161) f) 236 (224 2 12 5 236) 46. b) Exemplo de resposta: Porque, se uma parcela for zero, CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências ela não vai interferir no resultado final da adição. a) (25) 1 (14) 5 21 ou 25 1 4 5 21 c) (12) 1 (24) 5 22 ou 12 2 4 5 22 Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 25 24 23 22 21 0 11 12 13 14 15 24 23 22 21 0 11 12 13 14 14 24 b) (22) 1 (23) 5 25 ou 22 2 3 5 25 25 24 23 22 21 0 11 12 13 d)(23) 1 (14) 5 11 ou 23 1 4 5 11 24 23 22 21 0 11 12 13 14 23 14 24 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

48. a) Não, existem várias estratégias que podem ser usadas. 4 Operações com b) Exemplo de resposta: Adicionar as parcelas positivas e as parcelas negativas separadamente. Depois, adicionar os valores obtidos. números inteiros 47 A partir das conclusões da atividade anterior, 51 A prima de Letícia e de Rodrigo tinha no banco um Atividades 48 e 49 copie e efetue as adições a seguir no caderno. De- saldo positivo de R$ 30,00. Nos dias posteriores, Na atividade 48, os alunos devem pensar na melhor ma- pois, confira suas respostas com as de um colega. fez as seguintes movimentações: neira de adicionar mais de 2 parcelas, compartilhando as in- a) 0 1 (132) 132 d) 0 1 (219)219 • depósito de R$ 40,00; ((130) 1 (140) 1 (235) 1 formações com a turma. Se ne- 1 (130) 1 (250) 5 cessário, ajude-os a perceber b) 0 1 21 121 e) (138) 1 0 138 • retirada de R$ 35,00; 5 1100 2 85 5 115) que diversas estratégias po- dem ser usadas, mas uma delas c) (286) 1 0 286 f) 244 1 0 244 • depósito de R$ 30,00; é adicionarmos as parcelas de mesmo sinal e depois subtrair- 48 Adição com mais de 2 parcelas. Observe • retirada de R$ 50,00. mos o resultado negativo do re- os exemplos a seguir e converse com os colegas. sultado positivo. Em seguida, Lembre-se das propriedades comutativa e associa- No fim de todas essas movimentações, qual era o peça que resolvam a atividade tiva da adição, que você já estudou para os núme- 49 a partir das conclusões ob- ros naturais. saldo da conta da prima de Letícia e de Rodrigo? tidas. 30 1 40 1 (2 50) 5 70 1 (2 50) 5 120 1R$ 15,00 Atividades 50 e 51 Antes de pedir a resolução 52 Para um experimento de Ciências, Lúcio mediu a destas atividades, elabore ex- temperatura do ambiente em 7 momentos de um plorações nas quais os alunos possam perceber a movimenta- dia e anotou-as como neste esquema. ção financeira de uma pessoa em um banco fictício. Assim, de (235) 1 20 1 (260) 5 20 1 (295) 5 275 22 °C Banco de imagens/Arquivo da editora uma maneira dinâmica, é pos- 15 1 (230) 1 (210) 1 50 5 65 1 (240) 5 125 sível favorecer compreensões e desenvolver conhecimentos so- (240) 1 17 1 53 1 (230) 5 70 1 (270) 5 0 subiu 5 °C bre Matemática financeira. Pensando em cálculos similares, respondam no ? 13 °C ? 12 °C Se necessário, retome o sig- caderno ao que se pede em cada item. nificado das palavras depósito e retirada durante a resolução a) Ao adicionar mais de 2 parcelas é preciso sempre baixou 3 °C baixou 1 °C destas atividades. seguir a ordem em que os números aparecem? Veja as respostas da ativida- b) Explique uma estratégia para adicionar mais de ? 0 °C ? 13 °C de 50. 2 parcelas. baixou 3 °C subiu 2 °C a) 2120 1 200 5 180 c) Crie um exemplo de adição com mais de 2 par- Saldo positivo de R$ 80,00. celas e troque com um colega. Depois, verifique ? 23 °C ? 11 °C b) 95 2 100 5 25 subiu 4 °C Saldo negativo de R$ 5,00. as estratégias utilizadas pelo colega. c) 255 2 60 5 2115 Resposta pessoal. Saldo negativo de R$ 115,00. 49 A partir das conclusões da atividade anterior, d)0 1 250 5 250 Saldo positivo de R$ 250,00. copie e efetue as adições a seguir no caderno. De- e) 427 1 139 5 566 pois, confira suas respostas com as de um colega. Copie no caderno as anotações de Lúcio e substitua Saldo positivo de R$ 566,00. a) 212 1 4 1 11 2 8 1 13 1 1 220 1 29 5 1  9 os sinais “?” pelas medidas de temperatura corre- Atividade 53 Esta atividade explora os qua- b) (16) 1 (214) 1 (27) 1 (16) 1 (19)(121) 1 (221) 5 0 tas. Em seguida, indique a adição correspondente, drados mágicos. Se possível, c) 22 1 5 1 3 2 2 1 1 24 1 9 5 15 com mais de 2 parcelas, para obter a última medi- após a resolução, peça a cada d) 27 2 3 2 9 1 8 21 2 4 224 1 8 5 216 da de temperatura registrada. aluno que crie um quadrado má- gico de números inteiros e desa- e) (116) 1 (229) 1 (133) 1 (237) (149) 1 (266) 5 Banco de imagens/53 Os quadrados mágicos foram criados na China por fie um colega a completá-lo. f) (23) 1 (25) 1 (22) 1 (21) 211 5 217 Arquivo da editoravolta de 2200 a.C. Nas linhas, nas colunas e nas diagonais os números têm a mesma soma, cha- Atividade 54 50 No caderno, escreva e efetue a adição correspon- mada soma mágica. Copie este quadrado mágico Se julgar conveniente, peça dente a cada situação e indique o novo saldo. no caderno e complete-o com números inteiros. a) O saldo de José era negativo de R$ 120,00 e ele aos alunos que se reúnam em fez um depósito de R$ 200,00. 1R$ 80,00 (Soma mágica: duplas para resolver o desafio b) O saldo de Ana era positivo de R$ 95,00 e ela 0 11 24 (12) 1 (21) 1 (24) 5 proposto e verifique as estraté- realizou uma retirada de R$ 100,00. 2R$ 5,00 gias usadas por eles, intervindo 5 (12) 1 (25) 5 23) se necessário. Sugira que, ao fi- 25 21 13 nal, compartilhem as resolu- ções com a turma. c) O saldo de Sílvio era negativo de R$ 55,00 e ele 2 23 22 efetuou uma retirada de R$ 60,00. 2R$ 115,00 54 Desafio. Calcule o número que deve substituir cada e registre-o no caderno. d) O saldo de Sueli era zero e ela fez um depósito a) (25) 1 (13) 1 ( ) 1 (14) 1 (23) 5 0 11 de R$ 250,00. 1R$ 250,00 b) 2 5 1 8 2 2 1 4 5 21 26 e) O saldo de Sérgio era positivo de R$ 427,00 e ele realizou um depósito de R$ 139,00. 1R$ 566,00 52. (22) 1 (1 5) 1 (23) 1 (23) 1 (14) 1 (12) 1 (21) 5 (29) 1 (111) 5 12 Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 25 Sugestão de atividade Explique aos alunos que o objetivo desta atividade é facilitar o entendimento das movimentações bancárias e das adições com nú- meros inteiros. Em uma folha, forneça os dados que caracterizam um extrato bancário, como débito, crédito, saldo final, data, discriminação do va- lor, etc. Explique que, no extrato bancário, o débito é considerado uma retirada e o crédito é uma entrada na conta. Dessa maneira, os débitos são adições de números negativos e os créditos são adições de números positivos no saldo. Inicialmente, faça na lousa uma lista com débitos e créditos para que preencham a folha. Trabalhe apenas com valores inteiros. Em seguida, peça que efetuem as operações e coloquem o resultado na coluna saldo. A cada operação efetuada, pergunte o resul- tado, evitando que um erro afete todos os resultados seguintes. Ao final, peça que compartilhem as estratégias utilizadas e per- gunte a eles quais operações foram mais difíceis, efetuando-as na lousa a partir das indicações dos alunos. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 25

4 Operações com Subtração de números inteiros números inteiros Até agora, todas as subtrações com números naturais que você efetuou tinham É interessante explicar aos alunos que o sinal de subtração o primeiro termo (minuendo) maior ou igual ao segundo termo (subtraendo). Veja oC Paulo Manzi/Arquivo da editora (2) pode ter 2 funções: 12 alguns exemplos. 11 • representar o sinal de um número, indicando que ele é 72255 42450 62353 10 2 10 5 0 0 negativo, ou seja, menor do 21 que 0; Algumas subtrações não eram possíveis no conjunto dos números naturais. 22 23 • representar uma subtração. Por exemplo: 24 ? 25 Em seguida, apresente as si- 225 429 10 2 12 30 2 80 26 tuações contextualizadas desta 27 página para iniciar o estudo da Agora, com os números inteiros negativos, sempre podemos efetuar a subtra- 28 subtração de números inteiros. 29 Trabalhe-as com os alunos e, se ção entre 2 números naturais e também entre quaisquer 2 números inteiros. necessário, apresente outros Termômetro. exemplos envolvendo situações Analise as 3 situações a seguir e procure observar a maneira de efetuar a sub- do cotidiano deles. As imagens desta tração de números inteiros usando a operação inversa. página não estão Chame a atenção dos alunos representadas em para as subtrações que não • Quando uma medida de temperatura passou de 12 °C para 29 °C, qual foi proporção. eram possíveis no conjunto dos números naturais, mas que ago- a variação? ra, no conjunto dos números in- teiros, podem ser efetuadas. Para responder a essa questão, precisamos calcular a diferença entre 29 e 12, ou seja, efetuar a subtração (29) 2 (12). Usando a operação inversa, podemos descobrir qual é o número cuja adição com (12) resulta em (29). Esse número é o 211, pois (211) 1 (12) 5 29. Logo, (29) 2 (12) 5 211 e, então, a temperatura baixou 11 °C. Analise a subtração efetuada, agora pelo processo prático. (29) 2 (12) 5 29 2 2 5 211 Oposto de 12, que é 22. • Em alguns prédios, existem andares superiores e andares inferiores (subso- lo) ao térreo. Veja a fotografia de um painel de elevador. Nele aparecem o zero (térreo), os números negativos (subsolo) e os números positivos (aci- ma do térreo) para indicar os andares do prédio. Para sair do 4o andar (14) e chegar ao 1o subsolo (21), qual será o deslocamento do elevador? Fernando Favoretto/Criar Imagem Painel de elevador. Para responder a essa questão, precisamos calcular a diferença entre 21 e 14, ou seja, efetuar a subtração (21) 2 (14). Usando a operação inversa, podemos descobrir qual é o número cuja adição com (14) resulta em (21). O resultado é o 25, pois (25) 1 (14) 5 21. Logo, (21) 2 (14) 5 25 e, então, o elevador vai descer 5 andares. Analise a subtração efetuada, agora pelo processo prático. (21) 2 (14) 5 21 2 4 5 25 Oposto de 14, que é 24. 26 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências Sugestão de atividade e leve-os a perceber que isso também acontece na Matemática, principalmente com as operações. Converse com a turma sobre operações inversas no dia a dia, como abrir e fechar uma porta; subir e descer escadas; abrir e fe- Em seguida, explique que existe uma ação inversa para cada char um zíper. Então, pergunte se, para toda ação, existe uma operação, que é chamada de operação inversa, e retome com a ação inversa, pedindo que citem mais alguns exemplos. turma os conhecimentos que possuem sobre o assunto. Relem- bre-os das operações inversas (adição e subtração, multiplicação Verifique se são capazes de fazer associações com conteúdos e divisão) estudadas nos anos anteriores para números naturais. explorados em outras áreas do conhecimento, como em Ciências, 26 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

¥ Que movimentação deve ser feita em uma conta bancária para passar de um saldo negativo de 4 Operações com R$ 85,00 para um saldo positivo de R$ 48,00? números inteiros Para responder a essa questão, precisamos calcular o saldo final menos o saldo inicial, ou seja, efetuar a subtração (148) 2 (285). Usando a operação inversa, podemos descobrir qual é o nú- Nesta página, propomos a formalização da subtração de mero cuja adição com (285) resulta em (148). números inteiros, relacionan- do-a com a adição. Apresenta- Esse número é o 1133, pois (1133) 1 (285) 5 148. Logo, (148)  2 (285)  5 1133 e, então, deve mos também o uso da reta nu- merada como auxiliar dos cál- ser feito um depósito de R$ 133,00. culos e das representações. Analise a subtração efetuada, agora pelo processo prático. Peça aos alunos que leiam as (148) 2 (285) 5 148 1 85 5 1133 informações apresentadas no livro e registrem as conclusões Oposto de 285, e alguns exemplos no caderno que é 185. ou no painel de descobertas. Conclus‹o Você sabia? Relacionando as subtrações efetuadas, podemos escrevê-las da seguinte maneira. Comente novamente com os (29) 2 (12) 5 (29) 1 (22) 5 29 2 2 5 211 alunos que no conjunto dos nú- (21) 2 (14) 5 (21) 1 (24) 5 21 2 4 5 25 meros naturais nem sempre a (148) 2 (285) 5 (148) 1 (185) 5 48 1 85 5 1133 subtração é possível, mas no conjunto dos números inteiros Banco de imagens/Arquivo da editora 2(12) 5 1(22) Observe que subtrair um número é a subtração sempre é possível. 2(1 4) 5 1(24) o mesmo que adicionar o oposto ou Por exemplo, 5 2 10 é possível 2(285) 5 1(185) o simétrico desse número. apenas no conjunto dos inteiros, já que o resultado é um número As imagens desta As situações que acabamos inteiro não natural, ou seja, um página não estão de ver mostram que o número inteiro negativo. representadas em resultado de uma subtração proporção. Thiago Neumann/ de números inteiros pode ser Arquivo da editora obtido por meio da adição do primeiro número com o oposto do segundo. (18)2 (13)5 (18) 1 (23) 5 8 2 3 5 5 Oposto de 13. 18 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Banco de imagens/ 15 23 Arquivo da editora Você sabia? Usando apenas números naturais, sabemos que a subtração é impossível quando o primeiro termo (minuendo) é menor do que o segundo (subtraendo). Assim, por exemplo, 3 2 5 é uma subtração impossível em N. Veja agora a mesma subtração em Z. 3 2 5 equivale a (13) 2 (15) 5 (13) 1 (25) 5 13 2 5 5 22 A subtração é sempre possível em Z. Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 27 Sugestão de jogo Com o material pronto, explique aos alunos que deverá ser efetuada a operação 0 1 (23); assim, o eles devem iniciar a partida na casa “largada” e ga- pino deve ser colocado na casa 23, que é o resultado. Construa, ou peça aos alunos que construam, um nhará a partida quem chegar primeiro em uma das tabuleiro numerado de 215 até 15. No lugar do zero, casas “chegada”. Sugira aos alunos que efetuem todos os cálculos deve haver a “largada” e, antes do 215 e depois do 15, dos movimentos de todos os jogadores para garantir deve haver 2 casas de “chegada”. Monte 2 dados: um Para se mover pelo tabuleiro, na sua vez, eles devem que ninguém seja ajudado ou prejudicado por possíveis com os sinais 1 e 2 (3 faces do dado com cada sinal) lançar os 2 dados e efetuar a operação sorteada em erros de cálculo. e o outro com os números 23, 22, 21, 1, 2 e 3. Para relação ao número da casa em que se encontra o pino representar cada jogador no tabuleiro, use tampinhas deles. Por exemplo: na primeira rodada, o pino está na Fonte de consulta: PORTAL DO PROFESSOR. Espaço da aula. casa “largada” (casa 0) e se saírem 1 e 23 nos dados, Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/ coloridas ou pinos. fichaTecnicaAula.html?aula=49849>. Acesso em: 29 ago. 2018. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 27

4 Operações com Explorar e descobrir números inteiros Com um colega, utilizem uma calculadora para realizar as atividades. Explorar e descobrir Apresentamos neste boxe o 1 Copiem no caderno esta sequência numérica: 12, 10, 8, 6, 4, » Exemplo de resposta: 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, 22, 24, » (Subtraindo 2 do termo anterior.) uso da calculadora para efe- tuar subtrações consecutivas. Observem a sequência e, seguindo o mesmo padrão, determinem os próximos 4 números. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Ao subtrair 2 consecutivamen- te dos números inteiros positi- 2 Agora, em uma calculadora, teclem: 1 2 2 2 5 vos dados, os alunos vão ob- tendo números inteiros nega- Continuem pressionando a tecla 5 e registrem no caderno os 12 primeiros termos da sequência de resultados tivos sempre 2 unidades me- obtidos. Como são os números do 7o termo em diante? 10, 8, 6, 4, 2, 0, 22, 24, 26, 28, 210, 212; nores do que o anterior. são números inteiros negativos. Incentive-os a explorar ou- tras sequências numéricas ob- 3 Na sequência 42, 35, 28, 21, », seguindo o mesmo padrão, qual será o 8o termo? Exemplo de resposta: 27. tidas por meio de subtrações. (Subtraindo 7 do termo anterior.) Atividade 56 Esta atividade trabalha situa- 4 Escrevam no caderno os 6 termos da sequência que tem o número 11 como primeiro termo e, a partir do segun- ções nas quais há variação da do, cada termo vale 5 a menos que o anterior. 11, 6, 1, 24, 29, 214. medida de temperatura. Se per- ceber que os alunos estão tendo Atividades 58. a) 213 (210 2 3 5 213) b) 27 (215 1 8 5 27) c) 125 (01 25 5 125) dificuldades, proponha o uso da d) 24 (15 2 9 5 24) e) 117 (117 2 0 5 117) f) 136 (124 1 12 5 136) reta numerada como auxiliar. 55 Efetue no caderno as subtrações de números 59 Imagine o movi- 18 Paulo Manzi/Arquivo da editora Atividade 57 mento do eleva- 17 Nesta atividade, propomos a naturais com resultados em Z. dor em um prédio 16 que tem 8 andares 15 análise dos números inteiros a) 10 2 4 6 d) 3 2 8 25 acima do térreo e 14 positivos que estão sendo sub- 3 subsolos, como 13 traídos para a identificação de b) 8 2 8 0 e) 45 2 45 0 nesta imagem. 12 quais resultados são negativos. Copie e complete a 11 Espera-se que os alunos perce- c) 5 2 9 24 f) 16 2 28 212 tabela no caderno. bam que o resultado é negativo Na última coluna, 0 quando o subtraendo é maior do 56 No caderno, efetue a subtração correspondente a indique o cálculo que o minuendo. cada situação e escreva a medida de temperatura efetuado. 21 resultante. 22 Em seguida, propomos o uso a) A medida de temperatura era de 14 °C e baixou 23 da calculadora para a conferên- 4 °C. 110 °C (14 2 4 5 10) cia dos resultados. Movimentação entre os andares do prédio b) A medida de temperatura era de 9 °C e baixou Atividade 58 9 °C. 0 °C (9 2 9 5 0) Andar de Deslocamento Andar de Cálculo Nesta atividade, apresenta- saída do elevador chegada efetuado c) A medida de temperatura era de 1 °C e baixou mos a subtração de números in- 3 °C. 22 °C (1 2 3 5 22) teiros. Porém, ao tirar os parên- teses, algumas das operações d) A medida de temperatura era de 0 °C e baixou passam a ser calculadas como 4 °C. 24 °C (0 2 4 5 24) a adição de números inteiros. Por exemplo, no item b: 57 Analise cada subtração com números natu- 21 13 12 22 21 23 (215) 2 (28) 5  rais. Sem efetuar os cálculos, copie no caderno 13 26 23 0 12 12 5 215 1 8. apenas aquelas cujos resultados são números 0 22 22 23 12 21 Após a resolução desta ati- inteiros negativos. Depois, confira as respostas vidade, peça aos alunos que formulem conclusões para a usando uma calculadora. subtração de números intei- ros negativos e números intei- a) 386 2 149 (237) X d) 777 2 819 (242) ros positivos, assim como fei- to anteriormente para a adi- X b) 926 2 1 036 (2110) e) 6 000 2 596 (5 404) ção, e anotem essas conclu- sões no caderno e no painel c) 5 274 2 5 274 (0) X f) 74 2 2 001 (21 927) de descobertas. 58 Efetue as subtrações no caderno. Tabela elaborada para fins didáticos. Atividade 59 a) (210) 2 (13) Nesta atividade, os alunos 60 No caderno, use 2 métodos diferentes para calcu- b) (215) 2 (28) 59. Exemplos de cálculo: lar o resultado de cada item. devem imaginar o movimento c) 0 2 (225) (21) 1 (13) ou 21 1 3 5 12 a) (23) 1 (12) 1 (24) 1 (21) 1 (12) 1 de um elevador. Sugira a eles d) (15) 2 (19) (22) 1 (21) ou 22 2 1 5 23 1 (11) 2 (22) 1 (21) 22 que registrem de diferentes e) (117) 2 0 (23) 2 (13) ou 23 2 3 5 26 maneiras o movimento realiza- f) (124) 2 (212) (12) 1 (12) ou 12 2 2 5 0 b) (22) 2 (24) 2 (12) 2 (23) 1 (21) 2 (12) 1 do, como desenhando ou regis- 0 1 (22) ou 0 2 2 5 22 1 (13) 2 (25) 18 trando os cálculos das opera- (21) 2 (23) ou 21 1 3 5 12 ções. Aproveite para contextua- lizar as operações e a variação 28 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências entre os números a partir do deslocamento do elevador. Atividade 60 Deixe que os alunos escolham os métodos que preferirem para efetuar os cálculos. Ao final, peça que compartilhem com os colegas como resolveram a atividade. 28 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

LEITURA Leitura Acima e abaixo de zero As imagens desta Carlos Cardetas/Alamy/Fotoarena Principais habilidades página não estão da BNCC Localizada no maciço da Serra da Mantiqueira, uma das mais representadas em Cristiano Tomaz/Folhapress elevadas cadeias de montanhas do Brasil, a cidade de Campos do proporção. EF07MA03 EF07MA29 Jordão (SP) tem a sede administrativa posicionada a 1628 metros de altitude. Existe um método de classificação do clima, chamado Vista aérea em dia de verão na cidade de Campos EF07MA04 Köppen-Geiger, que classifica o clima da cidade como “tempera- do Jordão (SP). Foto de 2018. do marítimo” com verões amenos e medidas de temperatura média Peça aos alunos que leiam o inferiores a 22 °C, mesmo no mês mais quente, e superiores a 10 °C Geada durante o inverno na cidade de Campos texto desta página e comparti- em um intervalo de 4 meses. Em relação aos 12 meses do ano, do Jordão (SP). Foto de 2017. lhem informações sobre a cida- a medida de temperatura média é de 14 °C. de de Campos do Jordão, que fica no estado de São Paulo. Per- Embora situada em altitude elevada para os padrões brasileiros, gunte se algum deles conhece é muito rara a ocorrência de neve nessa cidade; foram registradas essa cidade, se já esteve lá e se precipitações apenas nos anos de 1928, 1942, 1947 e 1966. Mas sabe citar alguma característica é frequente a ocorrência de geadas durante o inverno. O clima e a da cidade, como a arquitetu- altitude, a baixa umidade e a pureza do ar, a rarefação da atmosfe- ra, que lembra regiões monta- ra e a intensidade de irradiação solar, fizeram de Campos do Jordão nhosas europeias, e o clima uma excelente localidade para a cura de doenças pulmonares, prin- frio no inverno. cipalmente a tuberculose. Antes de se tornar um dos principais polos turísticos do país, a partir da metade do século XX, a cidade Represente uma escala ter- era conhecida pela grande quantidade de sanatórios e pensões que mométrica na lousa, solicitando abrigavam doentes dessas enfermidades. aos alunos que façam o mesmo no caderno e que localizem na Como grande polo turístico que é atualmente, a “alta estação” escala as medidas de tempera- ocorre nas férias de julho, quando milhares de turistas chegam tura citadas no texto. Junto a para “curtir o frio”. A medida de temperatura mais baixa regis- essa escala, eles devem repre- trada na cidade, de acordo com dados oficiais, foi de aproximada- sentar, com cores diferentes, as mente 27 °C, em 6 de junho de 1988; mas há registros não oficiais medidas de temperatura máxi- de medidas de temperatura de 28,7 °C em julho de 1926. Já a mas e mínimas previstas para medida de temperatura mais elevada já registrada foi de aproxi- o dia, na cidade onde residem. madamente 30 °C, em 17 de setembro de 1961. A partir dessa informação, faça com eles um comparativo entre Fontes de consulta: MUNDO ESTRANHO. Cotidiano. Disponível em: <https://mundoestranho. a variação das medidas de tem- abril.com.br/cotidiano/qual-e-a-cidade-mais-alta-do-brasil/>. Acesso em: 12 set. 2017; peratura máximas e mínimas. FILHO, Pedro P. História de Campos do Jordão. Aparecida: Santuário, 1986; MIRANDA, Questões 1 a 3 Marina J. de.; et al. A classificação climática de Koeppen para o Estado de São Paulo. Aproveite que a escala já es- Centro de Pesquisas Meteorológicas e Aplicadas à Agricultura (CEPAGRI). tá pronta na lousa para resol- Questões ver com os alunos estas ativi- dades. Localize os valores na 1 Qual é a diferença entre a maior medida de temperatura (30 °C) e a menor medida de temperatura (27 °C) escala, mostre a variação e, registradas oficialmente em Campos do Jordão? 37 °C (30 2 (27) 5 30 1 7 5 37) em seguida, peça que efetuem os cálculos, utilizando os mé- 2 Um termômetro registra 17 °C. Quanto a medida de temperatura deve variar para chegar a 23 °C? todos já estudados para calcu- lar os resultados. Deve baixar 20 °C. ((23) 2 (117) 5 23 2 17 5 220) Questão 4 3 Um termômetro registra 25 °C. Quanto a medida de temperatura deve variar para atingir 12 °C? Nesta atividade, os alunos Exemplo de resposta: Neve é a precipitação na forma Deve subir 17 °C. ((112) 2 (25) 5 1 12 1 5 5 117) devem pesquisar informações 4 Você sabe qual é a diferença entre neve e geada? Pesquise. de flocos de água cristalina congelada que caem de sobre neve e geada, o que pode ser transformado também em nuvens e geada é o orvalho congelado. um projeto interdisciplinar, ex- plorando as diferentes regiões Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 29 do Brasil e o clima delas. Ao final da pesquisa, peça a eles que compartilhem as informações sobre as semelhanças e as di- ferenças entre esses fenôme- nos naturais. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 29

4 Operações com Multiplicação de números inteiros números inteiros Explorar e descobrir Explorar e descobrir Nas atividades propostas, os Regularidade e multiplicação com números inteiros alunos irão explorar as regula- Reproduza esta tabela em papel quadriculado. Tabela de multiplicações ridades na multiplicação de nú- meros inteiros, trabalhando Lembre-se de que existe uma correspondência entre os núme- com a multiplicação de núme- ros inteiros positivos, de um nú- ros inteiros positivos mais o zero e os números naturais. Veja: 3 13 12 11 0 21 22 23 mero inteiro positivo por zero (e vice-versa), de um número in- 0 11 12 13 » 13 19 16 13 0 23 26 29 teiro negativo por zero (e vice- -versa) e de números inteiros 0 12 3 12 16 14 12 0 22 24 26 negativos. 11 13 12 11 0 21 22 23 Podemos usar essa correspondência nas multiplicações que 00 0 0 0 0 0 0 Propomos uma sequência envolvem os números inteiros positivos e o zero. 21 23 22 21 0 11 12 13 de atividades, como um roteiro 22 26 24 22 0 12 14 16 para preencher a tabela; po- Por exemplo: 23 29 26 23 0 13 16 19 rém, você pode explorar a ta- bela com os alunos seguindo (13) 3 (15) 5 115 (110) 3 (15) 5 150 outros roteiros, conforme as ideias que eles próprios forne- 3 3 5 5 15 0 ? (18) 5 0 10 3 5 5 50 cerem ao observar e operar com os números. 0?850 Tabela elaborada para fins didáticos. Na atividade 5, os alunos de- 1 Na tabela que você reproduziu no caderno, preencha os quadrinhos das regiões amarela e laranja com o resul- vem concluir o que ocorre com o sinal do resultado da multipli- tado das multiplicações entre números inteiros positivos e entre esses números e o zero. Veja que um dos re- cação em relação aos sinais dos fatores envolvidos, conversando sultados já aparece na tabela. sobre essas informações com a turma. É interessante que ano- 2 Copie as sentenças no caderno e substitua cada pela palavra correta. tem as conclusões obtidas após a conversa, no caderno ou no a) A multiplicação entre números inteiros positivos resultou em um número inteiro . positivo painel de descobertas. b) Em uma multiplicação em que um fator é um número inteiro positivo e o outro é zero, o resultado é sempre . zero 3 Os demais quadrinhos da tabela você pode preencher observando a regularidade nas linhas e nas colunas. a) Observe a linha do 13. Qual é a regularidade da sequência numérica dessa linha? Os números diminuem de 3 em 3 unidades, da esquerda para a direita. b) Observe agora a coluna do 13. Qual é a regularidade da sequência numérica dessa coluna? A mesma regularidade da linha, mas aqui ela ocorre de cima para baixo. 4 Observando a tabela que você completou, converse com os colegas e responda no caderno. a) Como devemos fazer para obter o resultado de uma multiplicação de 2 números inteiros com sinais diferen- tes (um positivo e o outro negativo)? O sinal do resultado é sempre 2 (negativo) e os módulos dos fatores devem ser multiplicados. b) Como podemos obter o resultado em uma multiplicação de 2 números inteiros negativos? O resultado tem sempre o sinal 1 (positivo) e os módulos dos fatores devem ser multiplicados. Segundo número 5 Nessas atividades, fizemos multiplicações que envolvem números positivos, nú- Primeiro número meros negativos e o zero. Em todas elas, os módulos dos 2 números foram mul- 31 0 2 Thiago Neumann/Arquivo da editora tiplicados e o sinal do resultado dependeu dos sinais dos 2 fatores. 11 0 2 0000 Observe ao lado como ficou a tabela analisando apenas os sinais. Agora, indique no caderno se o resultado de cada multiplicação abaixo será zero, positivo ou negativo. 22 0 1 a) 0 ? 0 Zero. b) 0 ? número positivo Zero. Resumindo: na multiplicação, se um c) 0 ? número negativo Zero. fator é zero, então o resultado é zero. d) número positivo ? 0 Zero. O produto de 2 números inteiros e) número negativo ? 0 Zero. com sinais iguais tem sempre f) número positivo ? número positivo Positivo. sinal positivo. g) número negativo ? número negativo Positivo. O produto de 2 números inteiros h) número positivo ? número negativo Negativo. com sinais diferentes i) número negativo ? número positivo Negativo. tem sempre sinal negativo. 30 CAPÍTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências 4 Operações com números inteiros Comente com eles que, na multiplicação, podemos in- Atividade 63 dicar os sinais 3 ou ? ou nenhum sinal entre os parênte- Sugira aos alunos que observem os exemplos dados Novamente, para a resolução das atividades, sempre é ses. Dê exemplos disso. pertinente propor as resoluções individuais ou em duplas nesta atividade, conversem sobre eles e citem novos e pequenos grupos para, depois, dispor de um momento Atividade 62 exemplos que verificam as hipóteses. em que todos compartilham as estratégias utilizadas. Veja a resposta desta atividade. Chame a atenção deles para a seguinte regularidade: na Atividade 61 Resposta pessoal. Exemplos de resposta: uma “cruz” multiplicação de números negativos, quando o número de Nesta atividade, os alunos devem analisar os sinais de zeros; resultados iguais em posições simétricas em fatores for par, o resultado será sempre um número posi- relação às diagonais do quadro; resultados com sinais tivo,porexemplo:(23) 3 (23) 3 (23) 3 (23)5 181. envolvidos na multiplicação dada em cada item e, usan- iguais nos cantos opostos do quadro. do as conclusões obtidas na página anterior, efetuar as Isso se deve ao fato de que cada 2 sinais negativos se multiplicações. “transformam” em 1 sinal positivo. 30 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

Atividades Veja o cálculo do valor da po- tência de cada item. 61 No caderno, efetue estas multiplicações aplicando 64 Qual é o produto de 1 999 fatores iguais a 21? suas descobertas. Justifique. 21, porque 1999 é ímpar e, então, a) (27) 3 (27) 5 149 a) (22) 3 (13) 26 f) (115) ? (28) 2120 o sinal é negativo. b) (19) 3 (19) 5 181 b) (11) ? (22) 22 g) 0 ? (2342) 0 65 No caderno, efetue as multiplicações. c) (12) 3 (12) 3 (12) 3 a) (12) ? (17) ? (110) 1140 3 (12) 3 (12) 5 132 c) (21) 3 (13) 23 h) (112) ? (212) 2144 b) (24) ? 0 ? (13) ? (28) 0 d)(110) 3 (110) 3 (110) 3 d) (27) ? (211) 177 i) (21) 3 (21) 11 c) (15) ? (23) ? (12) ? (11) ? (22) 160 3 (110) 5 110 000 e) (214) ? 0 0 j) (211) ? (29) 199 d) (21) ? (12) ? (22) ? (15) ? (23) 260 e) (23) 3 (23) 3 (23) 3 e) (22) ? (25) ? (21) ? (23) 130 62 Com um colega, tentem descobrir algumas f) (210) ? (22) ? (22) ? (210) ? (22) 2800 3 (23) 5 181 propriedades da multiplicação de números intei- ros observando a tabela que vocês construíram 66 Desafio. Lembre-se do cálculo do valor de po- f) (22) 3 (22) 3 (22) 3 na página anterior. 3 (22) 3 (22) 5 232 63 Multiplicação com mais de 2 fatores. tências no conjunto dos números naturais (base Em cada item, converse com os colegas sobre os g)(11) 3 (11) 3 (11) 5 11 exemplos dados, confiram os resultados e justifi- e expoente naturais) e calcule no caderno o valor quem as afirmações. Respostas pessoais. h) (11) 3 (11) 5 11 de cada potência dada, com base inteira e expo- a) (22) ? (15) ? (13) ? 0 ? (22) 5 0 i) (21) 3 (21) 3 (21) 3 ente natural. 3 (21) 3 (21) 5 21 a) (27)2 149 f) (22)5 232 j) (21) 3 (21) 3 (21) 3 (14) ? (23) ? 0 5 0 b) (19)2 181 g) (11)3 11 3 (21) 5 11 0 ? (18) ? (14) ? (29) 5 0 c) (12)5 132 h) (11)2 11 Atividade 69 Se pelo menos um dos fatores for zero, então d) (110)4 110 000 i) (21)5 21 Nesta atividade, os alunos o resultado será zero. e) (23)4 181 j) (21)4 11 devem verificar a veracidade b) (13) ? (12) ? (15) ? (12) ? (11) 5 160 67 Veja como Carina escreveu uma multiplicação: das afirmações sobre números (17) ? (110) ? (13) 5 1210 inteiros na reta numerada (12) ? (12) ? (12) ? (12) 5 116 3 3 28 5 224 (item a), sobre a relação do conjunto dos números natu- Se todos os fatores forem positivos, então Esta maneira de escrever 3 vezes o número 28 rais com o conjunto dos núme- o resultado será positivo e os módulos está correta? Por quê?N3 ã3o ,(2po8r)q 5ue 2o2c4o, rurseatondéoepsacrreenvteêrses. ros inteiros (itens b e c) e so- dos fatores serão multiplicados. 68 Qual é o sinal do resultado de uma multiplicação bre operações com números de números inteiros não nulos, em que o número inteiros (itens d e e). c) (13) ? (15) ? (22) ? (11) 5 230 de fatores negativos é o dobro do número de fa- tores positivos?Positivo. (O número de fatores negativos Veja exemplos de resposta (1 fator negativo) para os itens desta atividade. é par, pois é o dobro de um número natural.) (13) ? (25) ? (22) ? (11) 5 130 a) Falsa; contraexemplo: os 69 Copie as afirmações abaixo no caderno e indique pontos entre 22 e 21 não (2 fatores negativos) se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No corresponderão a números caso de ser verdadeira, dê 3 exemplos que confir- inteiros. (13) ? (25) ? (22) ? (21) 5 230 mem a afirmação feita. No caso de ser falsa, dê 1 contraexemplo, ou seja, um exemplo que con- b) Verdadeira; exemplos: 0 é (3 fatores negativos) testa a afirmação feita. um número natural e intei- a) Representando os números inteiros em uma ro; 5 é um número natural e (23) ? (25) ? (22) ? (21) 5 130 reta numerada, todos os pontos dessa reta inteiro (15); 8 é um número corresponderão a números inteiros. natural e inteiro (18). (4 fatores negativos) b) Todo número natural é um número inteiro. c) Falsa; contraexemplo: 21 Nos demais casos, contamos o número de é um número inteiro e não fatores negativos: se o número for par, então c) Todo número inteiro é número natural. é um número natural. o resultado será positivo; se o número for d) A diferença entre 2 números inteiros negativos d)Falsa; contraexemplo: ímpar, então o resultado será negativo. é sempre um número inteiro positivo. (27) 2 (22) 5 27 1 2 5 5 25. Os módulos dos fatores serão multiplicados. e) O produto de 2 números inteiros negativos é sempre um número inteiro positivo. e) Verdadeira; exemplos: (22) 3 (23) 5 16; Números inteiros e sequências • CAPÍTULO 1 31 (21) 3 (29) 5 19; Peça que, após a resolução desta atividade, registrem no caderno Assim, temos um número ímpar de fatores e, então, o resultado é ou no painel de descobertas as conclusões obtidas até aqui, com exem- negativo. (25) 3 (27) 5 135. plos de multiplicações. Atividade 66 Comente com os alunos que, Atividade 64 Esta atividade é um desafio, pois os alunos devem calcular o valor mesmo se encontrarmos inú- Nesta atividade, temos esta multiplicação: meros exemplos favoráveis à ve- de potências de base inteira negativa ou positiva e expoente natural racidade de uma afirmação, não (21) 3 (21) 3 (21) 3 ... 3 (21) a partir do que sabem sobre potências de base natural (inteira positi- podemos assumir que ela seja 1 999 vezes va). Se necessário, relembre-os de que uma potenciação é a multipli- verdadeira. Contudo, se achar- cação de fatores iguais e que, no caso de base inteira negativa, preci- mos apenas 1 contraexemplo, sam estar atentos ao sinal do resultado. podemos ter certeza de que a afirmação é falsa. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 31

4 Operações com Divisão de números inteiros números inteiros Lembre-se de que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Retome as explorações feitas Usando números naturais, por exemplo, podemos escrever: entre as operações inversas de adição e subtração para intro- Se 3 ? 5 5 15, então 15 : 5 5 3 e 15 : 3 5 5. duzir a relação entre multiplica- Se 18 : 2 5 9, então 9 ? 2 5 18 e 2 ? 9 5 18. ção e divisão. Essa relação será Agora que você estudou a multiplicação de números inteiros, pode usar a ideia de operação inversa para usada para efetuar divisões de efetuar a divisão de números inteiros. números inteiros e explorar a re- Por exemplo, qual é o valor de (212) : (13)? gra de sinais. Atividade 70 Penso assim: Qual É o 24. Então, 212 dividido por 13 é Esta atividade explora as é o número que igual a 24, pois 24 multiplicado por multiplicado por 13 23 é igual a 212. ideias sobre operações inversas. resulta em 212? Verifique se os alunos conse- As imagens desta página não estão guem explicar a estratégia utili- Veja outros exemplos. representadas em proporção. zada para efetuar cada cálculo. • (220) 4 (24) 5 15, pois (15) ? (24) 5 220. Veja exemplos das justificativas. • (18) 4 (18) 5 11, pois (11) ? (18) 5 18. • (115) 4 (25) 5 23, pois (23) ? (25) 5 115. • (235) 4 (17) 5 25, pois (25) ? (17) 5 235. • 0 4 (14) 5 0, pois 0 ? (14) 5 0. a) (214) 4 (22) 5 17, • 0 4 (28) 5 0, pois 0 ? (28) 5 0.Thiago Neumann/ Arquivo da editora pois 7 3 (22) 5 214 b) (125) 4 (15) 5 15, pois 5 3 5 5 25. c) (14) 4 (24) 5 21, pois (21) 3 (24) 5 4. d) 0 4 (16) 5 0, pois 0 3 6 5 0. e) (22) 4 (22) 5 11, pois Atividades 1 3 (22) 5 (22). 71. Porque não existe número que multiplicado por 0 resulte em 15 ou 29. f) (1369) 4 (241) 5 29, 70 Efetue estas divisões no caderno utilizando a c) o quociente é zero; zero 4 positivo e zero 4 negativo. pois (29) 3 (241) 5 369. ideia de operação inversa. Depois, com os colegas, d) a divisão é impossível; positivo 4 zero e negativo 4 zero. confira os resultados. Em cada item, um explica g) (142) 4 (26) 5 27, como fez o cálculo e os demais checam a resposta. e) a divisão é considerada uma indeterminação. zero 4 zero pois (27) 3 (26) 5 42. a) (214) : (22) 17 h) (212) : (24) 13 h) (212) 4 (24) 5 13, b) (125) : (15) 15 i) 0 : (15) 0 As regras de sinais c) (14) : (24) 21 j) 2 8 24 da divisão envolvendo pois 3 3 (24) 5 (212). Thiago Neumann/Arquivo da editora só números inteiros d) 0 : (16) 0 12 positivos e números i) 0 4 (15) 5 0, pois e) (22) : (22) 11 k) 0 : (213) 0 inteiros negativos f) (1369) : (241) 29 l) (145) : (115) 13 são as mesmas da 0 3 5 5 0. g) (142) : (26) 27 m) (28) : (18) 21 multiplicação. Certo ou errado? Certo. j) 28 5 24, pois n) (217) : (217) 1 12 (24) 3 2 5 (28). k) 0 4 (213) 5 0, pois 71 Converse com um colega para tentar res- 73 Indique e efetue no caderno as operações corres- ponder: Por que divisões como (15) : 0 e (29) : 0, 0 3 (213) 5 0. em que o divisor é zero, são impossíveis? pondentes. (26) 1 (12) 5 24 ou l) (145) 4 (115) 5 13, 72 Analise as divisões efetuadas com o uso da opera- a) A soma de 26 e 12. 26 1 2 5 24. pois 3 3 15 5 45. ção inversa e registre no caderno em quais casos: b) A diferença entre 26 e 12. (26) 2 (12) 5 26 2 2 5 28 a) o quociente é positivo; positivo 4 positivo e c) O produto de 26 e 12. (26) 3 (12) 5 212 negativo 4 negativo. m) (28) 4 (18) 5 21, b) o quociente é negativo; d) O quociente de 26 por 12. (26) 4 (12) 5 23 positivo 4 negativo e negativo 4 positivo. pois (21) 3 8 5 (28). n) (217) 4 (217) 5 1, 32 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências pois 1 3 (217) 5 (217). Atividade 71 Atividade 72 4 operações, percebendo que os resultados da adição e da multiplica- Se necessário, sugira aos ção permanecem os mesmos (porque essas operações admitem a Esta atividade leva os alunos a estabelecer as regras de sinais pa- propriedade comutativa), o que não acontece com a subtração e a alunos que verifiquem como ra a divisão de números inteiros. Após a resolução, converse com eles divisão. Além disso, podem perceber que na subtração o sinal também seria a operação inversa se sobre as conclusões obtidas e peça que as anotem no caderno ou no mudou, o que não aconteceu na divisão. fosse possível dividir por 0. painel de descobertas. Comente com eles que a divi- Atividade 73 são 0 4 0 é uma indetermina- ção, pois qualquer número ve- Nesta atividade, com o mesmo par de números inteiros, os alunos zes 0 resulta em 0, ou seja, não efetuam as 4 operações. Depois de resolvida esta atividade, peça a há um único quociente. eles que invertam a ordem dos números e efetuem novamente as 32 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR

Potenciação: número inteiro na base 4 Operações com e número natural no expoente números inteiros Você já estudou a operação de potenciação (multiplicação com fatores iguais) envolvendo números na- Inicialmente, retome com turais: como obter o resultado, quais são os nomes dos termos e como fazer a leitura. Veja alguns exemplos. eles que a potenciação é uma maneira simplificada de escre- 53 5 5 ? 5 ? 5 5 125 ver multiplicações de fatores iguais. Relembre também as Base: 5 nomenclaturas de base, ex- Expoente: 3 poente, potência e potencia- Potência: 53 ção e a leitura da operação. Re- Operação de potenciação: 53 5 125 lembre-os de que o expoente Leitura: cinco elevado ao cubo é igual a cento e vinte e cinco. indica o número de vezes que devemos multiplicar a base. 26 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 64 Em seguida, trabalhe com as Leitura: dois elevado à sexta potência é igual a sessenta e quatro. combinações de base e expoen- te propostas no livro. Podemos estender a ideia da potenciação para as bases sendo números inteiros. Observe estes exemplos com número inteiro na base e número natural no expoente. Diga aos alunos que a potên- cia 0º tem valor indeterminado Base inteira positiva e verifique se lembram que: • (18)1 5 18 • (17)2 5 (17) ? (17) 5 149 • quando a base for 0 e o ex- • (12)3 5 (12) ? (12) ? (12) 5 18 poente for diferente de 0, o • (11)4 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) 5 11 valor da potência é 0; Base 0 e expoente diferente de 0 • quando a base for diferente • 01 5 0 de 0 e o expoente for 0, o va- • 02 5 0 ? 0 5 0 lor da potência é 1. • 03 5 0 ? 0 ? 0 5 0 • 04 5 0 ? 0 ? 0 ? 0 5 0 Utilizando as potências, ex- plore novamente as regras de Base inteira negativa sinais da multiplicação com nú- • (25)1 5 25 meros inteiros. Em seguida, ex- • (26)2 5 (26) ? (26) 5 136 plique aos alunos que, quando • (24)3 5 (24) ? (24) ? (24) 5 264 o número e o sinal estiverem • (210)4 5 (210) ? (210) ? (210) ? (210) 5 110 000 dentro dos parênteses, ambos estarão elevados ao expoente, Atenção: Não podemos confundir potência de base inteira negativa com potência negativa. Por exemplo, diferentemente de quando ape- (23)4 é uma potência de base inteira negativa. E em 234 a potência toda é negativa, pois é o oposto da po- nas a base for elevada ao ex- tência 34; também poderíamos escrever 2(34). poente. Por exemplo: E como calcular o valor de potências negativas? O próprio nome já indica que esse valor é negativo. Veja (24)2 = 242, pois alguns exemplos. (24)2 5 (24) 3 (24) 5 16 Potência de base inteira negativa • (25)2 5 (25) ? (25) 5 125 e 242 5 2 (4 3 4) 5 216. • (22)3 5 (22) ? (22) ? (22) 5 28 • (210)0 5 11 Ao final da leitura das infor- mações apresentadas no livro, Potência negativa incentive os alunos a registrar • 252 5 2 (5 ? 5) 5 225 as descobertas sobre a poten- • 223 5 2 (2 ? 2 ? 2) 5 28 ciação no caderno ou no painel • 2100 5 (210)0 5 21 de descobertas. Números inteiros e sequências • CAPêTULO 1 33 MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 1 33

4 Operações com 81. b) Exemplo de resposta: Pedro efetuou a multiplicação (23) 3 5 em vez da potenciação; números inteiros Atividades José não levou em conta que o expoente é ímpar e, então, o resultado é negativo. Atividade 74 Nesta atividade, os alunos 74 Recorde a potenciação que envolve apenas nú- f) 22 elevado à sétima potência. (22)7 5 2128 g) 130 elevado ao quadrado. (130)2 5 1900 devem escrever e efetuar as po- meros naturais. Indique e efetue no caderno as h) 22 elevado à quarta potência. (22)4 5 116 tenciações descritas, envolven- i) Base 21 e expoente 8. (21)8 5 11 do apenas números naturais. potenciações correspondentes. j) 210 elevado à oitava potência. Se necessário, relembre-os a) 5 elevado ao cubo. 53 5 5 3 5 3 5 5 125 (210)8 5 1100 000 000 de que “elevado ao quadrado” significa ter expoente 2 e “ele- b) A base é 3 e o expoente é 4. 34 5 3 3 3 3 3 3 3 5 81 k) Base 23 e expoente 6. (23)6 5 1729 vado ao cubo” significa ter ex- l) Base 211 e expoente 0. (211)0 5 11 poente 3. c) 1 no expoente e 9 na base. 91 5 9 m) 130 elevado ao cubo. (130)3 5 127 000 n) Base 25 e resultado 25. (25)1 5 25 Atividade 75 d) 1 elevado à sétima potência. 17 5 1 78 Calcule no caderno o valor de cada item. Oriente os alunos a escrever a) 224 1 (22)4 0 (216 1 16 5 0) e) 8 elevado ao quadrado. 82 5 8 3 8 564 as potências na forma de multi- b) (23)2 2 (250) 10 (9 2 (21) 5 9 1 1 5 10) plicações sucessivas e, depois, f) 0 elevado à quarta potência. 04 5 0 efetuá-las. c) 270 2 (23)3 26 (21 2 (227) 5 21 1 27 5 26) g) Base 6 e expoente 0. 60 5 1 Veja a resolução dos itens d) 21100 2 32 1 (22)3 218 (21 2 9 1 (28) 5 2 10 2 8 5 218) desta atividade. h) 10 elevado à quinta potência. 105 5 100 000 a) (15)3 5 (15) 3 (15) 3 79 No caderno, copie e efetue as operações de cada i) Base 6 e resultado 36. 62 5 6 3 6 5 36 item e compare os resultados. 3 (15) 5 1125 a) (212) 1 (17) e (23)2 25 < 19 j) Expoente 3 e resultado 27. 33 5 3 3 3 3 3 5 27 b) (25)3 5 (25) 3 (25) 3 b) (16)2 e (24) ? (29) 136 5 136 k) Base 9 e resultado1. 90 5 1 3 (25) 5 2125 c) (21) 2 (29) e (22)3 18 > 28 l) 100 elevado ao quadrado. c) (110)2 5 (110) 3 (110)5 d) (110) : (22) e (21)5 25 < 21 1002 5 100 3 100 5 10 000 5 1100 e) (23)2 e (23)3 19 > 227 75 Determine no caderno o valor de mais estas po- d) 05 503030303050 f) (25) (15) e (25)2 225 < 125 tências, agora também com números inteiros ne- e) (12)5 5 (12) 3 (12) 3 g) (18)2 e (14)3 164 5 164 gativos na base. 3 (12) 3 (12) 3 (12) 5 h) (21) 2 (25) e (21)(25) 14 < 15 a) (15)3 1125 d) 05 0 g) 09 0 5 132 80 Desafio. Registre no caderno 5 potenciações b) (25)3 2125 e) (12)5 132 h) (21)4 11 diferentes, todas com resultado 116. f) (22)5 5 (22) 3 (22) 3 c) (110)2 1100 f) (22)5 232 i) (28)0 11 81 Sobre o valor de (23)5, Pedro calculou o resultado 3 (22) 3 (22) 3 (22) 5 215, Paulo calculou 2243 e José calculou 243. 76 Analisando as potenciações que você já efe- a) Qual deles acertou? Paulo. ((23)5 5 (23) 3 (23) 3 5 232 tuou, é possível chegar a conclusões que valem para todas as potenciações com número inteiro 3 (23) 3 (23) 3 (23) 5 2243) g)09 5 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 na base e número natural no expoente. Responda no caderno e dê um exemplo para cada item. De- b) Explique os erros dos outros. 3030303050 pois, confira com os colegas. a) 0; exemplo: 0³ 5 0. 82 Verifique no caderno se a afirmação de Fabrício é a) Qual é o resultado quando a base é 0 e o expo- h) (21)4 5 (21) 3 (21) 3 ente é número natural diferente de 0? verdadeira ou falsa e justifique sua resposta. 3 (21) 3 (21) 5 11 b) Qual é o resultado quando a base é um número Um número inteiro inteiro positivo? O resultado é positivo; positivo elevado i) (28)0 5 11 a um expoente exemplo: 42 5 16. ímpar resulta em Atividade 76 um número inteiro Nesta atividade, os alunos c) Qual é o resultado quando a base é um número negativo. inteiro negativo e o expoente é um número na- chegam às conclusões sobre os tural par? O resultado é positivo; exemplo: sinais dos resultados de poten- ciações de acordo com os sinais (27)2 5 49. da base e o valor do expoente. Essas conclusões também po- d) Qual é o resultado quando a base é um número dem ser registradas no caderno inteiro negativo e o expoente é um número na- ou no painel de descobertas. tural ímpar? O resultado é negativo; exemplo: Atividade 77 (27)3 5 2343. Analogamente à atividade 77 Indique e efetue no caderno as potenciações cor- 74, nesta atividade os alunos respondentes usando as conclusões da atividade devem escrever e efetuar as anterior. potenciações descritas, agora envolvendo números inteiros a) Base 28 e expoente 3. (28)3 5 2512 na base. b) 120 elevado ao cubo. (120)3 5 18 000 Atividade 78 Nesta atividade, os alunos c) 27 elevado ao quadrado. (27)2 5 149 Thiago Neumann/ Arquivo da editora devem calcular o valor de ex- d) Base 0 e expoente 5. 05 5 0 pressões numéricas com po- tências de números inteiros. e) 110 elevado à sexta potência. Chame a atenção para a pre- (110)6 5 11 000 000 80. (116)1 5 116; (14)2 5 116; (24)2 5 116; (12)4 5 116; (22)4 5 116. 82. Falsa, pois, por exemplo, (12)3 5 (12) 3 (12) 3 (12) 5 18, que é um número inteiro positivo. 34 CAPêTULO 1 ¥ Números inteiros e sequências sença dos parênteses e para a localização do expoente (dentro ou Atividade 81 fora dos parênteses). Nesta atividade, os alunos devem observar os 3 resultados obtidos, Atividade 80 dizer qual está correto e intuir quais erros podem ter sido cometidos e que culminaram nos 2 resultados incorretos. Nesta atividade, os alunos são desafiados a registrar potenciações diferentes que tenham o mesmo valor. Aproveite a oportunidade para Essa análise dos erros é pertinente para que eles próprios percebam pedir que criem outros desafios semelhantes, com outros valores, e possíveis momentos em que podem se equivocar e estabeleçam es- entreguem para um colega resolvê-los. tratégias para não cometer esses erros. Além disso, saber qual foi o erro cometido permite melhorar as estratégias de ensino e aprendiza- gem, tendo o conhecimento de onde e por que os alunos estão errando. 34 CAPÍTULO 1 - MANUAL DO PROFESSOR