Telaris 7 ano matemática

Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Figuras com simetria em relação a mais de um eixo e1 e2 1 Tipos de simetria e3 Observe estas figuras planas. Peça que observem as figu- ras desta página e comparti- e1 e1 lhem as percepções sobre as e2 imagens. e3 Explorar e descobrir e2 Inicialmente, pergunte quan- e4 tos eixos de simetria diferentes há em uma região quadrada e e5 anote as respostas na lousa. Em seguida, peça que realizem a ex- Cada uma destas figuras apresenta simetria em relação a mais de um eixo. ploração desta seção para con- ferir qual resposta está correta. Explorar e descobrir Atividades 8 a 11 Desenhe uma região plana quadrada em uma folha de papel sulfite e recorte-a. Dobre-a de todas as maneiras Estas atividades trabalham a possíveis, de modo que cada dobra seja um eixo de simetria. simetria em relação a mais de Pinte cada vinco de uma cor e, depois, responda no caderno: Quantos eixos de simetria diferentes uma região um eixo. quadrada tem? 4 eixos. Banco de imagens/ Depois que os alunos resol- Arquivo da editora verem a atividade 10, comen- te que o círculo é chamado de “o paraíso das simetrias”, por- que possui infinitos eixos de simetria. Atividades 8 Decalque em uma folha de papel sulfite estas fi- 11 Simetria axial nos polígonos. Os polígonos a se- guras. Em cada uma delas, trace os eixos de sime- guir têm 3 lados, ou seja, são triângulos. tria que forem possíveis e escreva quantos são. a) c) I IV 2 eixos. 6 eixos. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora II V Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora b) d) 3 eixos. 6 eixos. III VI 9 Desenhe no caderno uma figura plana diferente a) Quais destes triângulos não apresentam sime- tria axial? Os triângulos I e V. das que foram mostradas anteriormente e que b) Quais apresentam simetria com apenas 1 eixo tenha 2 eixos de simetria. Indique na figura os ei- Banco de imagens/ de simetria? Os triângulos III e IV. xos de simetria. Resposta Arquivo da editora c) Quais apresentam simetria com mais de 1 eixo pessoal. de simetria? Os triângulos II e VI. 10 Desafio. Você sabe quan- Simetria • CAPÍTULO 6 185 tos eixos de simetria há em um círculo? Infinitos. (Basta traçar os eixos de simetria passando pelo centro do círculo.) 185MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

1 Tipos de simetria 12 Quantos eixos de simetria um triângulo pode ter, 16 Existe um quadrilátero que tem 4 eixos de sime- caso ele apresente simetria axial? 1 eixo ou 3 eixos. tria. Qual é ele? Faça no caderno um desenho para Você sabia? justificar sua resposta. Leia coletivamente o texto Você sabia? 17 Simetria nos algarismos. Observe os 10 algaris- deste boxe e inicie uma conver- O eixo de simetria de um ângulo é chamado de bissetriz. mos do sistema de numeração decimal. sa para que compartilhem o A bissetriz é a semirreta que divide um ângulo em 2 partes que entenderam. Questione os de medidas de abertura iguais. 01234 alunos se há relação entre os eixos de simetria e a bissetrizIlustrações: Banco de imagens/ bissetriz 56789 de um ângulo. Arquivo da editora 13 Os polígonos que aparecem nas malhas quadricu- Copie no caderno apenas os algarismos que apre- Atividade 20 Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editoraladas têm 4 lados, ou seja, são quadriláteros. sentam simetria axial e trace neles todos os eixos Veja a resolução do item a. Banco de imagens/ de simetria. Arquivo da editora 18 Escreva no caderno o maior número possível usan- OO do apenas 1 vez cada algarismo e usando apenas os algarismos que apresentam simetria. 830 EC0 19 Simetria nas letras. Veja as letras maiúsculas do nosso alfabeto. OV0 A BB C D E F G H I Copie-os em uma malha quadriculada e verifique Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora quais deles apresentam simetria axial. Em cada J K L MNO PQ R quadrilátero simétrico, trace os eixos de simetria e escreva quantos eixos ele tem. a) e) Sim; Sim; 1 eixo. 1 eixo. b) f) ST U V WX Y Z Sim; g) Não. 2 eixos. Não. Copie no caderno apenas as letras que apresen- c) tam simetria axial e trace nelas todos os eixos h) de simetria. Não. Não. 20 Simetria nas palavras. Você já sabe que alguns d) algarismos e algumas letras apresentam simetria axial. Agora, vamos conhecer a simetria axial em Sim; palavras. Veja 2 exemplos. 1 eixo. AMA EE Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 14 Pensando na atividade anterior, conver- a) Observe as 4 palavras abaixo e copie no cader- se com um colega e responda no caderno: Existe no apenas aquelas que apresentam simetria algum quadrilátero com exatamente 3 eixos de axial. Trace nelas o eixo de simetria. simetria? Não. O O A A EC0 OV0 15 O retângulo é um exemplo de quadrilátero que Não é simétrica. apresenta simetria axial. Quantos eixos de sime- b) Invente mais uma palavra que apresente simetria axial, registre-a no caderno e trace o tria ele tem? Confirme sua resposta fazendo um eixo de simetria dela. Depois, confira a resposta com um colega. Exemplos de resposta: ATA, desenho no caderno. Ilustrações: Banco de imagens/ OCO, BECO, EXCEDE. 15. 2 eixos e, se 16. O quadrado. for também um Arquiv o da editora quadrado, 4 eixos. 186 CAPêTULO 6 ¥ Simetria 186 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

Simétrico de uma figura plana em relação a um eixo 1 Tipos de simetria Iniciamos este capítulo mostrando a foto da fachada do Palácio Itamaraty refletida em um espelho-d’água. Solicite aos alunos que obser- Veja outras figuras que apresentam as mesmas características. vem as imagens do livro e com- partilhem as percepções. Se Thiago Neumann/ possível, apresente algumas fi- Arquivo da editora guras simples na lousa e, defi- nindo um eixo de simetria para Ilustrações: Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora cada desenho, peça a eles que copiem as representações e de- terminem o simétrico de cada uma delas. Em seguida, leia as informa- ções apresentadas no livro com os alunos. Imagem refletida em espelho. Pedra, nuvem, céu e árvores refletidos em um lago. Joaninhas. Bate-papo Observe que a imagem de uma figura O que você observa em refletida em um espelho é uma figura cada uma dessas simétrica à figura original. O mesmo figuras? Converse com podemos dizer do reflexo de uma os colegas e descubra figura na superfície de um lago, ou se eles perceberam o quando uma figura é refletida em mesmo que você. relação a um eixo de simetria. Resposta pessoal. As imagens desta página não estão representadas em proporção. Dizemos, em cada caso, que a figura e o respectivo reflexo são figuras simétricas, ou então que uma figura é a simétrica da outra em relação ao eixo. Por esse motivo, dizemos que na simetria axial de uma figura plana há uma reflexão em relação ao eixo. Observe que a figura original e a figura simétrica a ela mantêm a mesma forma e o mesmo tamanho. Simetria • CAPÍTULO 6 187 187MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

1 Tipos de simetria 25. Matemática é fácil e divertida. Até em brincadeiras como esta, ela está presente. Você não acha tudo isso muito legal? Que tal mandar uma mensagem assim para Atividades 21 a 26 o(s) amigo(s)? Mas atenção! Não se esqueça de mandar um espelho junto! Estas atividades apresentam Atividades o simétrico de figuras e de pala- vras em relação a um eixo. Nas Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora21 Verifique se as figuras de cada item são simétri- 25 O espelho colocado convenientemente em uma atividades 24 a 26, os alunos cas em relação à linha tracejada (eixo). figura produz outra figura que é simétrica a ela. devem determinar a simétrica Com a ajuda de um adulto, use um espelho e ten- de cada figura ou palavra dada a) São te ler esta mensagem. em relação ao eixo fornecido. simétricas. Na atividade 23, incentive-os a estimar em quais casos a si- b) c) licáf é acitámetaM métrica da figura é igual à figura .aditrevid e original. Depois, na atividade 24, Não são simétricas. peça que desenhem a simétrica São sariedacnirb me étA e verifiquem se a estimativa es- simétricas. ale ,atse omoc tava correta. .etneserp átse 22 Simetria nas palavras. Observe os exemplos dos ahca oãn êcoV Após a resolução da ativida- simétricos de 4 palavras em relação a um eixo. de 25, pergunte aos alunos se ?lagel otium ossi odut lembram de situações do coti- amu radnam lat euQ diano em que as palavras são arap missa megasnem escritas para serem lidas com um espelho. É possível que se ?)s(ogima )s(o lembrem, por exemplo, da indi- !oãçneta saM cação em ambulâncias ou por- radnam ed açeuqse es oãN tas e janelas de vidro, com pa- !otnuj ohlepse mu lavras e textos afixados para um dos lados. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora I III 26 Copie cada figura e o eixo em uma malha quadri- culada. Em seguida, desenhe a simétrica de cada Na atividade 26, proporcione II OVO OVO figura em relação ao eixo. Pinte com a mesma cor a oportunidade de desenharem as partes correspondentes. e recortarem as figuras feitas na R IV BBBB O D E malha quadriculada, mantendo- O D E a) -se a original junto com o eixo de R simetria e a simétrica. Assim, podem dobrar no eixo e verificar As figuras simétricas são iguais; as figuras simétricas se as partes coincidem. Veja a não são iguais. resolução desta atividade. a) O que aconteceu com as palavras das figuras III e b) IV? E com as palavras das figuras I e II? Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 23 Faça estimativas: Em quais das 4 palavras indica- b) c) das ocorrerá o mesmo que nas figuras III e IV da atividade anterior em relação aos eixos dados? Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Estimativas pessoais. X I III COICE ELE ELE COICE X IV T Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora II BBB OO T B 24 Copie as palavras da atividade anterior em uma folha de papel quadriculado, determine as figuras simétricas delas e confira suas estimativas. c) 188 CAPêTULO 6 ¥ Simetria 188 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

Composição de simetrias axiais Observe que os 1 Tipos de simetria eixos de simetria Podemos montar bonitos ladrilhamentos e painéis decorativos usando uma são paralelos. Bate-papo peça de referência e aplicando simetrias axiais. Veja um exemplo. Solicite aos alunos que obser- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora vem a peça de referência e os Thiago Neumann/Arquivo da editora painéis decorativos apresenta- Peça de 1-ª peça. 2-ª peça. 3-ª peça. 4-ª peça. 5-ª peça. 6-ª peça. dos nesta página. Depois, faça referência. algumas perguntas, como: e1 e2 e3 e4 e5 e6 “Qual é a diferença entre um painel e outro?”; “Quais são as Se mudarmos a posição da peça de referência, então obtemos outro painel. Bate-papo posições da peça de referência em cada um deles?”; “Como são 1-ª peça. 2-ª peça. 3-ª peça. 4-ª peça. 5-ª peça. 6-ª peça. Analise os 2 painéis a 1a, a 3a e a 5a peças?”; “E a 2a, apresentados e a 4a e a 6a peças?”; “O que é Em cada um destes casos, dizemos que foi feita uma composição de simetrias converse com os possível observar em relação axiais. colegas. aos eixos de simetria e em rela- a) Como são a 1a, a 3a ção à posição da peça de refe- rência?”. Incentive-os a perce- e a 5a peça em cada ber que a peça de referência re- painel? pete a posição de maneira re- b) Por que e quando isso gular, devido aos eixos serem acontece? paralelos com a mesma medida de distância. a) Iguais e na mesma posição em cada painel. Atividades 27 a 30 Estas atividades apresentam b) Porque os eixos são paralelos e a medida de composição de simetrias axiais. distância entre eles é sempre a mesma. Veja abaixo a resolução da atividade 27. Atividades Nesta atividade, se possível, 27 Construa no caderno um painel de 6 peças com peça que criem outro painel com a mesma peça de referência mostrada anterior- essa mesma peça de referência mente, mas, agora, na posição indicada abaixo. em outra posição e comparti- Banco de imagens/ AX lhem com a turma. Arquivo da editora B Na atividade 28, incentive os Ilustranet/Arquivo da editora C alunos a criar peças que for- mem figuras no painel e promo- 28 Em uma malha quadriculada, crie uma peça de 30 Estimativas. Observe a figura abaixo e estime va a exposição dos trabalhos na em quais quadrinhos a figura inicial vai aparecer sala de aula ou pela escola. Se na mesma posição ao fazer a composição de si- houver oportunidade, proponha metrias axiais em relação aos eixos traçados em que identifiquem painéis deco- vermelho. Depois, copie a figura em uma malha rativos em situações do cotidia- quadriculada e confira sua resposta. no e fotografem para comparti- lhar com os colegas. Estimativa pessoal. referência e construa um ladrilhamento usan- do composição de simetrias axiais com eixos paralelos. Resposta pessoal. 29 Qual é a casa de Carlos? Para descobrir, siga o ca- E? ? E? Banco de imagens/ minho que contém apenas composição de sime- Arquivo da editora trias axiais em relação às linhas do quadriculado, ? E? ? E? em todo o trajeto. Copie em uma malha quadricu- lada apenas as figuras desse trajeto e a casa do menino. Simetria • CAPÍTULO 6 189 Banco de imagens/ Arquivo da editora e1 e2 e3 e4 e5 189MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

Jogos JOGOS Principais habilidades Tem simetria axial ou não? da BNCC Com este jogo, você aplicará os conceitos sobre simetria axial. Preste atenção às orientações e bom jogo! EF07MA20 EF07MA21 Orientações Material necessário: folha de papel sulfite. Forme duplas e peça aos alu- nos que recortem os papéis Número de participantes: 2 jogadores. com letras de A a T, organizan- do-os em um monte, com as le- Preparação tras voltadas para baixo. Sugira também que elaborem uma ta- Recorte 20 papéis, cada um com 1 das letras de A a T. Dobre-os para serem usados no sorteio. bela para o registro da pontua- ção de cada participante. Como jogar Para iniciar, o primeiro joga- Na sua vez, cada jogador deve sortear um papel com uma letra e localizar abaixo a imagem correspondente. dor pega uma letra no monte, Em seguida, deve dizer se a imagem mostra uma figura simétrica em relação ao eixo, uma figura e a simétrica dela em observa a figura correspon- relação ao eixo ou se não há simetria axial. Se acertar o palpite, então ganha 1 ponto; se errar, então não ganha pontos. dente na tabela e verifica se ela Vence a partida quem fizer mais pontos depois que todas as letras forem sorteadas. é simétrica em relação ao eixo ou não. Se acertar, ganha um Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora AFKP ponto, mas se errar, não pon- tua. Em qualquer dos casos, Figuras assimétricas. Figuras assimétricas. Figura assimétrica. Figura simétrica. passa a vez ao outro partici- pante. Ganha o jogo quem tiver BGL Q mais pontos ao final. Figuras simétricas. Figuras simétricas. Figuras simétricas. Figuras assimétricas. Se houver necessidade, pro- videncie material para que pos- C H MR sam reproduzir as figuras e re- cortá-las para fazer a sobrepo- sição, verificando simetria ou assimetria em cada caso. Incentive-os a criar outras pe- ças para que tenham partidas mais longas e outros desafios na decisão das simetrias. Figura simétrica. Figura assimétrica. Figura assimétrica. Figuras simétricas. D I NS Figura simétrica. Figuras assimétricas. Figuras simétricas. E JO Figura simétrica. T Figuras simétricas. Figura simétrica. Figuras simétricas. Figuras simétricas. 190 CAPêTULO 6 ¥ Simetria 190 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

Simetria de rota•‹o 1 Tipos de simetria Agora que você já recordou a simetria axial (ou de reflexão) e já aprendeu a fazer composições delas, Explorar e descobrir vamos estudar outras simetrias. Peça aos alunos que sigam os Explorar e descobrir passos apresentados nesta se- ção, acompanhando-os durante Use uma malha quadriculada e siga o passo a passo para descobrir outro tipo de simetria. esta exploração. Oriente-os a 1 Desenhe na malha quadriculada uma região triangular ABC. coincidir os vértices do triângu- lo ABC e o ponto P com os vérti- 2 Marque um ponto qualquer P fora dessa região e trace o segmento de reta que liga o vértice A a esse ponto P. ces da malha quadriculada. 3 Use um transferidor e construa uma semirreta formando 90° no sentido horário com o segmento de reta AP no Em seguida, peça que com- parem as medidas de compri- ponto P. A8 Banco de imagens/Arquivo da editora mento dos lados e as medidas de abertura dos ângulos dos 4 Marque o ponto A8 nessa semirreta determinando o segmento C8 triângulos ABC e A8B8C8, verifi- cando que elas são iguais, ou de reta A8P com a mesma medida de comprimento do AP . seja, os triângulos são con- gruentes. 5 Repita os passos 2, 3 e 4 com os vértices B e C do triângulo. A B B8 C P Leia coletivamente a defini- 6 Trace os segmentos de reta que ligam os pontos A8 e B8, B8 e C 8, ção de simetria de rotação da- C 8 e A8. Depois, pinte a região triangular A8B8C 8. da no livro e incentive os alu- Veja um exemplo de construção obtida com esses passos. nos a compartilhar o que en- tenderam. Se necessário, des- Neste caso a região A8B8C 8 foi obtida por meio de uma simetria de rotação. taque que, para realizarmos uma simetria de rotação, pre- A simetria de rotação ocorre quando uma figura plana é girada em torno de um ponto, de acordo com um cisamos conhecer a figura ori- ângulo (com medida de abertura entre 0° e 360°), em certo sentido (horário ou anti-horário). Com isso, ginal, o ponto de rotação, a me- obtemos sempre uma figura plana que mantém a mesma forma e o mesmo tamanho da figura original. dida de abertura do ângulo do giro e o sentido do giro. Veja mais exemplos. • Uma região retangular ABCD transformada na região A8B8C8D8 por uma rotação com ângulo de medida Peça que observem os exem- plos do livro e, se houver opor- de abertura de 90°, no sentido horário, em torno do ponto O. tunidade, solicite que dese- Observe o giro com medida de abertura de 90° efetuado no ponto A para obter o correspondente A8. nhem, em malha quadriculada, O giro feito pelos demais pontos da região ABCD tem a mesma medida de abertura. uma figura qualquer e reprodu- zam, por simetria de rotação, Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora C D B8 C8 Observe que, ao descrever uma uma figura congruente. Deixe- A8 D8 simetria de rotação, é muito -os escolher também o ponto de importante identificar a figura que rotação, a medida de abertura B AO foi rotacionada, o ponto de rotação, do ângulo do giro e o sentido do a medida de abertura do ângulo e o giro. Ao final, pergunte como po- sentido do giro. deríamos fazer a rotação da fi- gura, sobrepondo-a totalmente à original. Se necessário, mos- tre na lousa que basta escolher um ângulo de medida de aber- tura de 360¡. • A mesma região ABCD transformada por uma rotação com ângulo de medida de abertura de 45°, no sentido horário em torno do vértice A. C D C8 Thiago Neumann/Arquivo da editora D8 B8 B A 5 A8 Simetria • CAPÍTULO 6 191 191MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

1 Tipos de simetria Atividades Atividades 31 a 35 31 Observe as figuras, converse com os co- Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora Estas atividades desenvol- legas e, depois, respondam às questões propostas. vem os conceitos de simetria I A III B Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora de rotação, verificando as me- BA didas de abertura dos giros necessárias para sobrepor as II O O Estrela-do-mar. figuras dadas. A B 34 Copie estas figuras no caderno. Depois, copie e O c) Simetria de Comente com os alunos que rotação, em torno complete as frases indicando a menor medida de nem sempre objetos que en- de O, no sentindo abertura possível. contramos na natureza são si- anti-horário, com um métricos. Uma flor, por exem- ângulo de medida de AB plo, teria simetria em relação abertura de 45°. ao ponto central, mas isso ape- C DE nas se todas as pétalas fos- a) Em qual figura o segmento de reta OB é simétri- a) A figura que não apresenta simetria de rotação Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora sem idênticas. Ressalte que, ca do segmento de reta OA por uma simetria de apesar disso, podemos obser- rotação em torno de O, no sentido horário, com é a figura . D var esses objetos e imagens ângulo de medida de abertura de 90°? Em III. b) A figura A apresenta simetria de rotação com para criar simetrias perfeitas com imagens e figuras. b) Em qual figura o OB não é simétrico do OA por ângulo de medida de abertura de . 120° uma rotação em torno de O ? Em II. c) A figura B apresenta simetria de rotação com c) A figura que sobrou mostra que tipo de simetria? ângulo de medida de abertura de . 180° d) A figura C apresenta simetria de rotação com 32 Figura com simetria de rotação. Observe a figura do cata-vento. Com um giro das hélices em um ângulo de medida de abertura de . 90° ângulo de medida de abertura de 90°, é possível e) A figura E apresenta simetria de rotação com fazer com que elas sejam vistas em uma posição igual à inicial. ângulo de medida de abertura de . 60° 35 Pense no giro de um parafuso e responda aos As imagens desta Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora página não estão itens no caderno. representadas em proporção. Rotações com Cata-vento. Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora ângulos de medidas de abertura de 180° e de 270°. Quais outras rotações das hélices podemos fazer (com ângulos de medidas de abertura entre 0° e 360°) para que isso também aconteça? 33 O desenho ou a foto de uma estrela-do-mar tam- a) Sim, em bém apresenta simetria de rotação. Observe este desenho e escreva no caderno a medida de aber- Parafuso Círculo. relação ao tura do menor giro que deixa o desenho como na centro dele. posição inicial. 72° (360 4 5 5 72°) a) Um círculo apresenta simetria de rotação? b) Qual pode ser a medida de abertura do ângulo de rotação de um círculo? Qualquer ângulo com medida de abertura entre 0° e 360°. 192 CAPêTULO 6 ¥ Simetria 192 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

Explorar e descobrir 1 Tipos de simetria Um caso particular de simetria de rotação: simetria central ou simetria de rotação de 180° Explorar e descobrir Peça aos alunos que sigam Observe esta figura e, usando uma malha quadriculada, siga o passo a passo. B Banco de imagens/Arquivo da editora 1 Marque os pontos A, B e O na malha quadriculada, de acordo com as posições da figura, os passos desta exploração. AO A8 Leia a descrição da situação e e trace o segmento de reta AB. incentive-os a compartilhar as B8 hipóteses que criaram a partir 2 A partir de uma rotação em torno do ponto O, no sentido horário, com ângulo de medida da atividade. Então, pergunte se de abertura de 180°, localize o ponto A8, simétrico de A. o ponto O sempre deve ser um vértice da figura para ocorrer 3 Repita o passo 2 para o vértice B e obtenha o ponto B8, simétrico dele. Depois, trace o segmento de reta A8B8. uma reflexão em relação a ele. Podemos descrever essa situação de diferentes maneiras: Após ouvir as respostas, se ne- cessário, mostre, na lousa, atra- • O A8B8 é simétrico do AB por uma simetria de rotação em torno do ponto O, no sentido horário, com ângulo vés da representação de uma de medida de abertura de 180°. figura qualquer que não é ne- cessário que o ponto O seja um • O A8B8 é simétrico do AB por uma simetria central de centro O. dos vértices da figura. • O A8B8 é simétrico do AB por uma reflexão em relação ao ponto O. Atividades 36 e 37 Estas atividades desenvol- Atividades 36. Exemplo de resposta: Traçar a semirreta que parte do ponto A e passa pelo ponto O e prolongar a vem o assunto simetria central. 36 semirreta até A8, de modo que OA e OA8 tenham a mesma medida de comprimento. Na atividade 36, os alunos Converse com os colegas sobre como 39 Observe esta figura e responda no caderno. devem formar grupos e criar um método prático de realizar a si- obter o simétrico A8 de um ponto A, por uma si- Banco de imagens/Arquivo da editora metria central de um ponto. Se achar necessário, peça a eles metria central de centro O. que estendam esse procedi- mento a figuras e, após debate- 37 Copie as figuras em uma malha quadriculada e rem as respostas, anotem no painel de descobertas as con- faça a reflexão de cada uma delas em relação ao clusões obtidas, assim como as principais informações sobre ponto O. Depois, recorte e cole no caderno. simetria de rotação. a) A O Ilustrações: b) B A BA Atividades 38 a 40 C Banco de imagens/ Estas atividades trabalham C8 B8 Arquivo da editora EO E O D8 C8 CD simetria axial e simetria de rota- A O A8 B CD E8 ção (incluindo simetria central). BC A8 B8 Na atividade 38, seria interes- sante desafiá-los a verificar se Banco de imagens/Arquivo da editora38 Copie as figuras no caderno. Nas figuras que apre- a) A figura apresenta simetria axial? Sim.Banco de imagens/Arquivo da editora em cada item é possível obter, a sentam simetria axial, trace o eixo de simetria, e partir de outra simetria em rela- nas que apresentam simetria central, indique o b) A figura apresenta simetria de rotação? Em ção à mesma figura original, a centro com o ponto O. caso positivo, qual é a menor medida de aber- mesma simétrica. a) tura do ângulo de rotação? Sim; 90°. Simetria axial. 40 Descreva no caderno as simetrias das figuras em cada item. b) a) Simetria de rotação em O Simetria central. torno de O, com ângulo de medida de abertura de 180° ou simetria O central de centro O ou reflexão em relação ao ponto O. c) Não apresenta b) Simetria axial em relação ao eixo simetria axial nem ou reflexão em central. relação ao eixo. Simetria • CAPÍTULO 6 193 193MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

1 Tipos de simetria Simetria de transla•‹o As imagens desta página não estão representadas em proporção. Solicite que observem a ima- gem que mostra um carro se Vamos estudar outro tipo de simetria, a simetria de translação. O deslocamento de um carro em linha reta deslocando em linha reta e ex- dá ideia desse tipo de simetria. plique que esse movimento é semelhante à próxima simetria Rodrigo Pascoal/ que veremos: a simetria de Arquivo da editora translação. Explorar e descobrir Explorar e descobrir Peça que executem as ações Usando uma malha quadriculada, siga o passo a passo descrito a seguir. indicadas para desenhar as 2 re- 1 Marque os pontos A, B e C e trace os segmentos de reta de modo a formar a região triangular ABC. Neste caso, giões triangulares, conforme a é importante que os vértices sejam marcados sempre no encontro das linhas da malha. proposta do material. 2 A partir do ponto A, conte 5 quadradinhos para a direita, na direção horizontal, e marque o ponto A8. Em seguida, peça que com- parem as medidas de compri- 3 Repita o passo 2 para os pontos B e C e marque os pontos B8 e C 8. A A8 Banco de imagens/ mento dos lados e as medidas B Arquivo da editora de abertura dos ângulos dos 4 Trace os segmentos de reta que ligam os pontos A8, B8 e C 8 e pinte a região B8 triângulos ABC e A8B8C8, verifi- triangular A8B8C 8. C C8 cando que elas são iguais, ou Veja ao lado um exemplo de construção obtida com esses passos. seja, os triângulos são con- Converse com um colega sobre o que aconteceu e o que vocês puderam gruentes. observar. Resposta esperada: A figura obtida mantém a mesma forma e o mesmo Então, leia coletivamente a definição de simetria de trans- tamanho da figura original, e está deslocada 5 quadradinhos para a lação e solicite que comparti- direita, na direção horizontal. lhem o que entenderam. Se necessário, questione: “Quais Quando uma figura é obtida a partir de outra, fazendo um deslocamento de todos os pontos dela, na são as características de uma mesma direção, no mesmo sentido e na mesma medida de distância, temos um caso de simetria de simetria de translação?”; “O transla•‹o. Também aqui, a figura inicial e a simétrica dela têm a mesma forma e o mesmo tamanho. que é necessário identificar para descrever uma transla- Thiago Neumann/Arquivo da editora Observe que, para descrever uma translação, precisamos identificar ção?”. Peça que anotem as a figura transladada, a direção (vertical ou horizontal, por exemplo) conclusões no painel de des- do movimento, o sentido (direita ou esquerda, para cima ou para cobertas. baixo, por exemplo) do movimento e a medida de distância (número de quadradinhos, centímetros, etc.) do movimento. Atividade 41 Atividades Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Esta atividade desenvolve o assunto simetria de translação. 41 Copie estas figuras em uma malha quadriculada b) A figura com a seta indica a direção, o sentido e e obtenha as figuras simétricas por translação de a medida de distância. No item a da atividade 41, a acordo com as indicações dadas em cada item. simetria de translação é apre- a) 4 quadradinhos na direção vertical, para baixo. AB sentada por meio da descrição D da direção, do sentido e da me- dida de distância. No item b da D8 C atividade 41, a indicação é dada E8 F E em forma de seta. AD AD A8 B8 BC BC C8 A8 D8 AB F8 B8 C8 C D F E 194 CAPÍTULO 6 ¥ Simetria 194 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

44. Composição da translação do primeiro ladrilho na direção b) horizontal, para a direita, com medida de distância igual à A medida de comprimento do lado do ladrilho. B d) Simetria central de centro O. e AO 2 Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 42 Construa mais estas simetrias de translação em Irina Kildiushova/ uma malha quadriculada. Observe a seta que in- Shutterstock B8 dica a direção, o sentido e a medida de distância. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a) B e) Simetria de translação com direção, sentido e medida de distância indicados em azul. b) A8 A c) B A8 A0 44 Composição de translações e ladrilha- B8 B mentos. Observe novamente o ladrilhamento 43 Simetrias com o segmento de reta AB. Faça as apresentado na abertura deste capítulo. d) simetrias com o segmento de reta AB em uma malha quadriculada. Ladrilhamento com padrão de repetição. A B8 a) Simetria axial em relação ao eixo e1. Você já viu que podemos obter ladrilhamentos ou 0 e1 painéis decorativos usando a composição de sime- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora A trias axiais. B A8 Converse com um colega e descrevam no caderno e) B como podemos obter o ladrilhamentos acima b) Simetria axial em relação ao eixo e2. usando a composição de simetrias de translação A8 do primeiro ladrilho. A A 45 Observe esta figura plana e, em uma malha qua- driculada, faça as construções de ladrilhamentos B8 B descritas. B e2 Banco de imagens/ Se houver oportunidade, soli- c) Simetria de rotação em torno do ponto O, no Arquivo da editora cite que desenhem uma figura qualquer em malha quadricula- sentido horário, com ângulo de medida de a) Composição de simetrias de translação hori- da e sorteie os tipos de simetria abertura de 45°. zontais desta figura. que devem usar para fazer a fi- gura simétrica. Depois que rea- O b) Composição de simetrias de translação verti- lizarem a tarefa, exponha os de- A cais desta figura. senhos e peça que expliquem o tipo de simetria usado. B c) Composição de simetrias axiais desta figura, com eixos verticais paralelos. Atividades 44 e 45 Estas atividades abordam a composição de simetrias de translação e axiais. Veja a resolução da ativida- de 45. a) » Simetria • CAPÍTULO 6 195 b) Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 1 Tipos de simetria Banco de imagens/ æ Arquivo da editora c) Atividade 43 Esta atividade trabalha simetria axial, simetria de rotação (incluin- æ do simetria central) e simetria de translação em relação a um seg- mento de reta. Veja a resolução desta atividade. a) e 1 A A8 B B8 195MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

2 Simetrias no plano 2 Simetrias no plano cartesiano Lembre-se: o plano cartesiano cartesiano é um sistema formado por Agora que você já conhece a simetria axial (ou de reflexão), a simetria de 2 eixos perpendiculares Principais habilidades rotação e a simetria de translação, vamos aprender como usar essas simetrias graduados x e y. Nele, os da BNCC no plano cartesiano. pontos são determinados pelas EF07MA19 EF07MA21 coordenadas do par ordenado: o 1o número é a abscissa e o EF07MA20 2o número é a ordenada. Recorde o que foi estudado Explorar e descobrir sobre o plano cartesiano e as coordenadas cartesianas. Leia 1 Observem as figuras e analisem as coordenadas dos vértices. De- yG Ilustrações: com os alunos as informações pois, copiem e completem no caderno as conclusões de cada item. Banco de imagens/Arquivo da editora do livro, destacando que o 1o número do par ordenado (abs- Iy II D8 y III cissa) corresponde ao valor no eixo x e que o 2o (ordenada) C C8 E8 F8 HI corresponde ao valor no eixo y. B B8 0x I8 O x A A8 EF H8 0x D Explorar e descobrir G8 Peça aos alunos que, em du- A (22, 1), B (23, 2), C (21, 3). D(22, 21), E(24, 21), F(21, 21). G(1, 3), H(1, 1), I(2, 1). plas, analisem as figuras e as A8(2, 1), B8(3, 2), C 8(1, 3). D8(22, 2), E8(24, 1), F8(21, 1). G8(21, 23), H8(21, 21), I8(22, 21). coordenadas dos vértices delas, completando as conclusões. Se a) Na figura I, para construir o nA8B8C 8 a partir do nABC, as abscissas de A, B e C foram multiplicadas por e necessário, auxilie-os a escre- ver as informações que faltam, as ordenadas foram . 21; repetidas. c) Repetidas; ordenadas; perguntando sobre as relações b) O nABC e o nA8B8C 8 apresentam simetria . Axial em relação ao eixo y. multiplicadas por 21. entre as coordenadas em cada caso. c) Na figura II, para construir o nD8E 8F 8 a partir do nDEF, as abscissas de D, E e F foram e as foram . Incentive-os a criar um exem- d) O nDEF e o nD8E 8F 8 apresentam simetria . Axial em relação ao eixo x. plo diferente para cada tipo de simetria identificado nos itens e) Na figura III, temos que . Exemplo de resposta: Para construir o nG8H8I8 a partir do nGHI, as abscissas b, d e f e a verificar se as mes- e as ordenadas de G, H e I foram multiplicadas por 21. mas relações entre as coorde- nadas se repetem. Então, os alu- f) O nGHI e o nG 8H 8I 8 apresentam simetria . Central de centro em O. (Ou simetria de nos devem compartilhar as con- clusões com a turma. rotação de 180° em torno de O.) Se achar conveniente, peça 2 Criem no caderno mais um exemplo para cada tipo de simetria e verifiquem se os mesmos fatos se repetiram. que desenhem uma figura qual- quer e a simétrica dela, a partir Depois, confiram com as demais duplas. Resposta pessoal. de simetria axial em relação ao eixo x e, em seguida, de simetria 47. a) Simetria de translação de 4 unidades na vertical, para cima. axial em relação ao eixo y, para que verifiquem que é o mesmo b) Composição de simetrias de translação do nJKL em 4 unidades na horizontal, para a que usar a simetria central de direita e, depois, do nJ8K8L8 obtido em 4 unidades na vertical, para cima (ou vice-versa). centro na origem dos eixos. Atividades Atividades 46 a 48 46 Trace os eixos cartesianos x e y em uma ma- 48 Trace o segmento de reta AB em um plano carte- lha quadriculada. Depois, construa o nJKL cujos siano, com A (3, 1) e B (1, 2), e faça o que é pedido Estas atividades associam vértices são J (0, 3), K (22, 1) e L (1, 1). Adicione em cada item. a) Multiplique as abscissas de A e B por 2 e man- simetrias a operações (adição 4 unidades às abscissas de cada vértice do tenha as ordenadas para obter A8 e B8. Trace o A8B8 e responda: O AB e o A8B8 são simétricos? e multiplicação) com as coor- triângulo e mantenha as ordenadas para determi- Em caso positivo, em qual tipo de simetria? nar os vértices J 8, K 8 e L8. Trace o novo triângulo denadas cartesianas de alguns e responda: Qual é o tipo de simetria entre esses b) Multiplique as ordenadas de A e B por 2 e man- triângulos? Simetria de translação de 4 unidades tenha as abscissas. Trace A8B8 e responda: pontos. Veja a resolução da ati- O AB e o A8B8 são simétricos? Em caso positi- na horizontal, para a direita. vo, em qual tipo de simetria? vidade 48. 47 Verifique o que acontece em mais estes casos, c) Multiplique as abscissas e as ordenadas de A e a) y partindo do nJKL da atividade anterior. B por 2. Trace A8B8 e responda: O AB e o A8B8 5 a) Quando somamos 4 unidades às ordenadas dos são simétricos? Em caso positivo, em qual tipo 4 vértices J, K e L e mantemos as abscissas. de simetria? b) Quando somamos 4 unidades às abscissas e A8(6, 2) e B8(2, 4); também não há simetria. também às ordenadas dos vértices J, K e L. 3 B B8 196 CAPÍTULO 6 ¥ Simetria 48. a) A8 (6, 1) e B8 (2, 2); não há simetria, pois o 2 AB e o A8B8 têm medidas de comprimento diferentes. 1A b) A8(3, 2) e B8(1, 4); também não há simetria. A8 0 1 2 3 4 5 6 7x b) 5 y c) 5 y Ilustrações: Banco de imagens/ Verifique se os alunos percebem que, nas atividades 46 e 47, 4 B8 4 B8 Arquivo da editora ocorrem simetrias de translação e que, na atividade 48, os 2 seg- mentos de reta obtidos em cada item não são congruentes e, por 3 B A8 3 isso, não são simétricos. 2 2B 1 1A A8 0 1 2 3 4 5 6 7x A 0 1 2 3 4 5 6 7x 196 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

MATEMÁTICA Matemática e tecnologia E TECNOLOGIA Principais habilidades Simetrias no GeoGebra da BNCC Você se lembra das construções feitas no GeoGebra no capítulo 4? Agora, Atenção: o GeoGebra EF07MA19 EF07MA21 vamos fazer construções de simetrias usando esse software. nomeia como polígono, mas a construção é de EF07MA20 Reflexão de um polígono em relação a um eixo uma região poligonal. Se possível, antes de desen- Veja os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para construir um polígono e a reflexão dele em volver estas explorações no GeoGebra com os alunos, treine- relação a um eixo. -as para que você se acostume com o programa e para que a 1o passo: Clique na opção “Polígono” no menu de ferramentas (à esquerda da tela, na parte superior), apresentação dos passos à tur- ma seja algo natural. Além dis- marque 3 pontos próximo ao centro da tela e desenhe um triângulo. Nomeie esses pontos como A, B e C. so, você pode verificar novas possibilidades que enriqueçam 2o passo: Clique na opção “Reta” , marque 2 pontos próximo ao centro da tela e desenhe uma reta ho- ainda mais o aprendizado ao rizontal. Nomeie esses pontos como C e D e a reta como r. usar o software. 3o passo: Clique na opção “Reflexão em relação a uma reta” . Depois, clique no nABC que você construiu Para realizar a exploração e na reta DF . Aparecerá o nA8B8C 8 simétrico ao nABC em relação à reta DF (o eixo de simetria). com os alunos, leve-os ao labo- ratório de informática e, inicial- Reprodução/<www.geogebra.org> mente, permita que observem a tela e as ferramentas do O vértice simétrico software para relembrarem co- também se move, mo usá-lo e se familiarizarem mantendo a simetria de ainda mais com o ambiente. reflexão dos triângulos Peça a eles que tentem refletir em relação à reta. um triângulo em relação a uma reta sem seguir os passos do 4o passo: Clique na função “Mover” , clique em um dos vértices do nABC e arraste. Veja o que acontece. livro, consultando-o apenas se Se você repetir o 1o e o 2o passos, mas clicar em um dos eixos cartesianos, então vai obter um triângulo necessário. simétrico ao original, mas em relação ao eixo escolhido. Observe que você também pode fazer as mesmas construções com outros polígonos. Após fazer a figura e a simé- trica dela, pergunte: “O que acon- tece quando arrastamos o triân- gulo ou apenas os pontos de- le?”; “Continua ocorrendo sime- tria?”; “E continua sendo o mesmo tipo de simetria?”. Após as respostas, incentive-os a ex- plorar a reflexão de outros dese- nhos em relação a uma reta. Reprodução/<www.geogebra.org> Simetria • CAPÍTULO 6 197 197MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

Matemática Reflexão de um polígono em relação a um ponto e tecnologia Agora, veja os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para construir um Incentive-os também a fazer polígono e a reflexão dele em relação a um ponto. Para isso, salve sua construção experiências com a reflexão de anterior e comece um novo trabalho. uma figura qualquer em relação a um dos eixos cartesianos. Ca- 1o passo: Clique na opção “Polígono” no menu de ferramentas, marque 4 pon- so os eixos não estejam visíveis, tos próximo ao centro da tela e desenhe um quadrilátero. Nomeie esses pontos aperte o botão direito do mouse como A, B, C e D. na janela de visualização e sele-Reprodução/<www.geogebra.org> cione a opção “Exibir Eixos” Reprodução/<www.geogebra.org>2o passo: Clique na opção “Ponto”e marque um ponto P fora da região do polígono. . 3o passo: Clique na opção “Reflexão em relação a um ponto” . Depois, Então, questione: “O que ocorre se refletirmos em relação clique no polígono que você construiu e no ponto P. Aparecerá o polígono simétrico ao eixo das abcissas?”; “Ou se ao original em relação ao ponto P. refletirmos em relação ao eixo das ordenadas?”; “E se, após re- 4o passo: Clique na função “Mover”, clique em um dos vértices do quadrilátero O vértice simétrico fletirmos em relação a um dos e arraste. Veja o que acontece. também se move, eixos, refletirmos em relação ao mantendo a simetria de outro eixo?”; “O que acontece Rotação de um polígono em relação a um ponto reflexão dos quadriláteros com a figura?”; “Usando outro em relação ao ponto. tipo de simetria, em relação ao mesmo desenho original, con- Veja agora os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para construir um seguiríamos obter o mesmo si- polígono e a rotação dele em relação a um ponto. Salve sua construção anterior e métrico?”. Se necessário, sugira comece um novo trabalho. que reflitam a figura em relação à origem dos eixos para verificar se a simétrica é a mesma que a obtida ao refletir em relação aos 2 eixos cartesianos. Essa reflexão pode ser feita seguindo os passos apresenta- dos nesta página do livro. Em seguida, pergunte: “O que ocorre ao mover um dos vértices da fi- gura original?”; “O que ocorre ao mover a figura original?”. Deixe os alunos compartilharem des- cobertas e sugira que façam ou- tras figuras para refletir em re- lação a alguns pontos, incluindo um ponto dentro da região deli- mitada pelo desenho feito. 1o passo: Clique na opção “Polígono” no menu de ferramentas e desenhe um polígono qualquer. 2o passo: Clique na opção “Ponto” e marque um ponto P fora da região do polígono. . Depois, clique 3o passo: Clique na opção “Rotação em torno de um ponto” no polígono que você construiu e no ponto P. Na janela que abrir, escolha a medida de abertura do ângulo de rotação e o sentido do giro. Clique em \"Ok\" e aparecerá o polígono simétrico ao original em relação ao ponto P, de acordo com a medida de abertura do ângulo de rotação e do sentido do giro. 198 CAPêTULO 6 ¥ Simetria 198 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

4o passo: Clique na função “Mover”, clique em um dos vértices do polígono e O vértice simétrico Para fazer a reta paralela, arraste. Veja o que acontece. também se move, se necessário, peça aos alu- mantendo a simetria de nos que cliquem na opção Reprodução/<www.geogebra.org> rotação do polígono em relação ao ponto, à medida “Ponto” , marcando um de abertura do ângulo e ao sentido do giro. ponto fora da reta, e na ferra- menta “Reta Paralela” , escolhendo o ponto e a reta já criados para construir a reta paralela. Então, peça aos alunos que reflitam a figura em relação a uma das retas e a simétrica em relação a outra reta. Fotos: Reprodução/<www. geogebra.org> Translação de um polígono a partir de um vetor Pergunte: “Qual simetria ocor- re da figura original para a últi- Por fim, veja os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para construir um ma simétrica?”. Espera-se que polígono e a translação dele a partir de um vetor. Não se esqueça de salvar sua respondam que é uma simetria construção anterior antes de começar o novo trabalho. de translação. Fale aos alunos que, no GeoGebra, podemos rea- Um vetor define a direção, o sentido e a medida de distância a ser deslocada. lizar esse tipo de simetria a par- tir de um vetor e questione: “Al- 1o passo: Clique na opção “Polígono” no menu de ferramentas e desenhe um guém sabe o que é um vetor?”. polígono qualquer. Explique que um vetor é uma se- ta que indica direção, sentido e 2o passo: Clique na opção “Translação por um vetor” . Depois, clique no medida de distância a ser des- locada, como as setas apresen- polígono e, em seguida, em 2 pontos fora dele para determinar o vetor. Aparecerá tadas nas atividades anteriores o polígono simétrico ao original em relação ao vetor criado. resolvidas em sala de aula. Reprodução/<www.geogebra.org> Peça aos alunos que confir- mem que, ao transladarmos a 3o passo: Clique na função “Mover”, clique em uma das extremidades do vetor O polígono simétrico figura original a partir do vetor e arraste. Veja o que acontece. também se move, determinado por um ponto da fi- mantendo a simetria de gura original e o correspondente translação dos polígonos na última simétrica obtida por em relação ao novo vetor. reflexão em relação à reta, a si- métrica seria a mesma. Se ne- Simetria • CAPÍTULO 6 199 cessário, sugira que sigam os passos apresentados no livro. Em seguida, incentive-os a criar outras figuras e outros ve- tores para experimentar outras translações. Também sugira que movam a figura original in- teira e os vértices dela, verifi- cando o que ocorre com a simé- trica. Neste momento, pergunte se ela se mantém simétrica à original e peça que comparti- lhem as descobertas feitas. Matemática e tecnologia Incentive-os a desenhar outras figuras para fazer experiências com a rotação em relação a um ponto, modificando o ponto, a medida de Pergunte aos alunos: “A reflexão em relação a um ponto é o caso abertura do giro e o sentido do giro. Proponha também que movam a específico de qual tipo de simetria?”. Espera-se que eles lembrem figura original inteira e os vértices dela. Ao final, pergunte se a figura que a reflexão em relação a um ponto é uma rotação cuja abertura se mantém simétrica à original. Permita que compartilhem as desco- do giro mede 180°. Então, peça que desenhem uma figura e reali- bertas feitas a partir da exploração do software. zem essas 2 simetrias sobre ela para verificar se as simétricas são iguais. Se necessário, peça que verifiquem os passos apresentados Neste momento, peça aos alunos que construam no GeoGebra uma no livro para a reflexão e para a rotação em relação a um ponto (na página anterior). figura, uma reta qualquer, usando a opção “Reta” , e uma reta paralela a essa reta. 199MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

Revisando seus 3. 16 triângulos: A; B; C; D; E; F; A e B; C e D; E e F; A, B e C; B, C e D; C, D e E; conhecimentos D, E e F; E, F e A; F, A e B; A, B, C, D, E e F. Principais habilidades Revisando seus conhecimentos da BNCC EF07MA18 EF07MA20 1 A figura da pipa: Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora 6 As simetrias estão presentes em fotos e desenhos desuns07butterfly/Shutterstock meow_meow/Shutterstock a) não apresenta simetria axial. muitos objetos, painéis, construções, obras de arte e EF07MA19 EF07MA21 elementos da natureza, entre outros. Qual simetria X b) apresenta simetria axial em (reflexão, rotação ou translação) pode ser observada Atividades 1 a 3, 5, 6 e 8 relação a apenas 1 eixo. em cada imagem? Estas atividades trabalham c) Apresenta simetria axial em a) d) simetria (axial, de rotação e de relação a exatamente 2 eixos. translação). As imagens desta página d) apresenta simetria axial em não estão representadas Na atividade 2, chame a aten- relação a mais de 2 eixos. em proporção. ção dos alunos para o fato de o enunciado pedir a identificação Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 2 Em qual dos itens as figuras não são simétricas em Borboleta. Reflexão. Painel. das figuras não simétricas. relação ao eixo? Translação. a) X c) Na atividade 3, se necessário, explique aos alunos que devem b) e) Noppharat4969/Shutterstock AJ_INDIA/Shutterstock considerar a união entre os triângulos menores formando b) d) maiores. Flores. Rotação. Tecido. Veja um exemplo de resposta para a atividade 5. c) f) Reflexão e translação. a) Verdadeira; exemplos: Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora 3 Observe os 3 eixos de simetria deste triângulo e res- Taweesak Sriwannawit/Shutterstock Curly Part/Shutterstock Br ponda no caderno: Quantos triângulos são formados nesta figura? Banco de imagens/ Translação. Flores. Painel. A Arquivo da editora 7 O resultado da divisão 7,864 : 6 é: Rotação. C FA C8 B8 EB DC a) 1,310. X c) 1,3106. b) 1,3106. d) 1,2106. A8 8 Qual destes quadriláteros apresenta exatamente 2 eixos de simetria? L8 a) c) L K8 M8 4 Um livro custa R$ 18,00 a mais do que um caderno, e Ilustrações: Banco de imagens/ KM Arquivo da editora os 2 juntos custam R$ 28,00. O preço do caderno é: O8 N8 X a) R$ 5,00. c) R$ 13,00. ON Q b) R$ 8,00. d) R$ 10,00. X b) d) (x 1 x 1 18 5 28 ~ 2x 5 10 ~ x 5 5) P 5 Copie as afirmações abaixo no caderno e indique se G8 cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, dê 3 exemplos que confirmem a 9 Se x e y são números racionais, com x = y, então a F8 afirmação feita. No caso de ser falsa, dê 1 contrae- única afirmação falsa é: G H8 xemplo, ou seja, um exemplo que conteste a afirma- a) x 1 y 5 y 1 x. X c) x 2 y 5 y 2 x. I8 H J ção feita. b) x 1 0 5 x. d) 1 ? y 5 y. F a) Se 2 regiões planas apresentam simetria axial, de I translação ou de rotação, uma em relação à outra, 10 Este sólido é composto de: Banco de imagens/ b) Falsa; contraexemplo: a) 1 cone e 1 prisma. Arquivo da editora então elas têm mesma forma e mesmo tamanho. b) 1 cilindro e 1 pirâmide. W b) Se 2 regiões planas têm mesma forma e mesmo X c) 1 cilindro e 1 cone. d) 2 cones. tamanho, então elas apresentam simetria axial, uma em relação à outra. X 200 CAPêTULO 6 ¥ Simetria V W8 Z X8 Atividade 7 Esta atividade apresenta divisões de números naturais com resto. V8 Z8 Atividade 10 Atividades 4 e 9 Nesta atividade, os alunos devem descobrir os sólidos que com- Estas atividades retomam o põem o sólido dado. assunto equações do 1o grau, resolvendo um problema a par- tir de uma equação. 200 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

11 Qual destes números tem divisão exata por 7 e não a) Desenhe no caderno os 12 pentaminós possíveis. Revisando seus conhecimentos exata por 11? b) Quantos deles não apresentam simetria axial? Atividade 11 a) 385 b) 198 X c) 189 d) 358 6 pentaminós. Esta atividade apresenta di- 12 Qual destas palavras não apresenta simetria axial? c) Quantos apresentam simetria axial e têm apenas visões de números naturais 1 eixo de simetria?4 pentaminós. com resto. a) AVA X b) EVE c) EBE d) OVO d) Quantos apresentam simetria axial e têm mais de Atividade 12 13 Qual é a medida de abertura do menor ângulo de 1 eixo de simetria? 2 pentaminós. Esta atividade trabalha sime- rotação em cada figura? 16 Observe a figura em que as retas r e s são paralelas. tria axial em relação a palavras. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a) 120° c) 90° t Banco de imagens/Arquivo da editora Atividades 13 e 14 Estas atividades retomam si- PP c^ a^ d^ r e^ f^ s metria de rotação. b^ No item c da atividade 14, per- Pb) 60° PP Copie esta figura no caderno e marque nela os ângulos gunte aos alunos como pode- As imagens desta página b^, c^, d^, e^ e f^ de modo que: mos chamar essa simetria de não estão representadasP • a^ e b^ sejam alternos internos; rotação em torno de O com me- em proporção. • a^ e c^ sejam opostos pelo vértice; dida de abertura de ângulo de Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora • c^ e d^ sejam alternos externos; 180¡. 14 Observe as figuras e responda no caderno. • b^ e e^ sejam colaterais internos; A • e^ e f^ sejam correspondentes. Atividade 15 B Esta atividade apresenta a si- OO 17 Há animais que vivem em temperaturas muito baixas e animais que vivem em temperaturas muito altas. metria em relação a mais de um eixo em pentaminós. A iguana do deserto pode viver em temperaturas altas com medida de 45 °C, enquanto o pinguim imperador Veja as respostas do item a pode viver em temperaturas com medida de 230 °C. desta atividade. Não simétricos. C David McNew/Getty Images/ Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Agência France-Presse O Iguana no deserto de Mojave, Califórnia (Estados Unidos). Kyodo/AP Photo/Glow Images 1 eixo de simetria. a) Qual figura não apresenta simetria de rotação em Foto de 2017. Mais de 1 eixo de simetria. torno de O ? A figura B. Ilustrações: Banco Pinguins imperadores no litoral da Antártida. Foto de 2017. b) Qual figura apresenta simetria de rotação em de imagens/Arquivo Qual é a diferença entre a maior e a menor dessas me- torno de O, com ângulo de medida de abertura da editora didas de temperatura? 75 °C (45 2 (230) 5 45 1 30 5 75) de 120°? A figura C. Simetria • CAPÍTULO 6 201 c) A figura que não foi indicada nos itens a e b apre- senta simetria de rotação em torno de O, com ân- gulo de qual medida de abertura? Medida de abertura de 180°. 15 Pentaminós (penta 5 5) são regiões planas formadas por 5 regiões quadradas, de modo que cada região qua- drada toca pelo menos 1 das outras em 1 dos lados. Veja 2 exemplos de pentaminós. 201MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

Testes oficiais Testes oficiais a) 45° X d) 120° b) 60° e) 180° Principal habilidade 1 (Enem) Um programa de edição de imagens possi- c) 90° da BNCC bilita transformar figuras em outras mais comple- EF07MA21 xas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da 3 (Enem) A imagem apresentada na figura é uma cópia original. A nova figura deve apresentar simetria em em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, Atividades 1 a 3 relação ao ponto O. de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede Estas atividades trabalham a para exposição e fixada nos pontos A e B. O simetria de rotação, especifica- Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora A imagem que representa a nova figura é: Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela mente a simetria central na ati- a) se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, vidade 1. ela ficou posicionada como ilustrado na figura, for- mando um ângulo de 45° com a linha do horizonte. Na atividade 3, se necessá- rio, peça aos alunos que dese- nhem e recortem a figura, re- produzindo os movimentos para observá-los. O b) O c) O d) O X e) Fotos: Reprodução/ENEM, 2017. O 2 (Enem) O polígono que dá forma a essa calçada é in-Reprodução/ENEM, 2011. Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se variante por rotações, em torno de seu centro, de: girá-Ia, rente à parede, no menor ângulo possível in- ferior a 360°. Ladrilho de cal•ada. A forma de recolocar a tela na posição original, obe- decendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. ângulo de: Acesso em: 28 abr. 2010. (Foto: Reprodução/Enem) a) 90° no sentido horário. X b) 135° no sentido horário. 202 CAPêTULO 6 ¥ Simetria c) 180° no sentido anti-horário. d) 270° no sentido anti-horário. e) 315° no sentido horário. 202 CAPÍTULO 6 - MANUAL DO PROFESSOR

VERIFIQUE a) Em qual destas faixas está associada a ideia de Verifique o que O QUE ESTUDOU translação? B estudou 1 Entre as 9 figuras a seguir, indique no caderno 3 assi- b) Em qual delas está associada a ideia de reflexão? A Principais habilidades c) Em qual delas está associada a ideia de rotação? da BNCC métricas, 3 simétricas que têm apenas 1 eixo de sime- De quantos graus? C, de 90°. EF07MA19 EF07MA21 tria e 3 simétricas que têm mais de 1 eixo de simetria. 4 Copie esta região triangular ABC em um plano carte- EF07MA20 siano e trace a simétrica dela em relação ao eixo x e a Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora a) e) simétrica em relação ao eixo y. Atividades 1 a 6 Simétrica Simétrica y Banco de imagens/Arquivo da editora Estas atividades abordam: (1 eixo). (2 eixos). 5 simetria em relação a mais de 4C um eixo; simetria axial com le- b) f) tras; simetria axial, de transla- 3 ção e de rotação com faixas de- Assimétrica. Assimétrica. corativas; simetria axial com uma região triangular no plano 2 cartesiano; simetria central com uma figura na malha qua- 1 B driculada; e simetria axial, cen- A tral e de translação com um ponto no plano cartesiano. c) g) 0 12 3 4 5 6 7x Na atividade 1, se achar con- Simétrica Simétrica (2 eixos). 5 Reproduza esta figura F em uma malha quadriculada. veniente, sugira a criação de (2 eixos). Depois, construa uma figura F 8 simétrica à F em rela- uma figura assimétrica, uma h) ção ao ponto O. com apenas um eixo de simetria d) e uma com mais de um eixo de Simétrica (1 eixo). Banco de imagens/ simetria. Em seguida, os alunos Simétrica Arquivo da editora podem trocar as figuras com um (1 eixo). i) colega para que um determine os eixos de simetria nos dese- Assimétrica. O nhos do outro. F 2 Em qual destas letras a simetria axial não está corre- Veja a resolução da atividade 6 O ponto P (3, 2) está assinalado no plano cartesiano. 4 na página LV deste Manual. ta em relação ao eixo dado? A letra T. Indique no caderno as coordenadas dos pontos indi- cados em cada item. Confira a resolução da ativi- Banco de imagens/ AFHTY a) Ponto A, simétrico de P em relação ao eixo x. A(3, 22) dade 5. Arquivo da editora b) Ponto B, simétrico de P em relação ao eixo y. B(23, 2) AFH T Y c) Ponto C, simétrico de P em relação ao ponto de en- F8 contro dos eixos. C(23, 22) 3 Observe estas faixas decorativas. d) Ponto D, simétrico de P por uma translação de 0 3 unidades na horizontal, para a esquerda. D(0, 2) F A Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Banco de imagens/Arquivo da editora Atenção Autoavaliação B As questões de autoavalia- Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique C em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- ção apresentadas propiciam aos do maneiras de reforçar seu aprendizado. alunos refletir sobre os estudos, as atitudes e as aprendizagens. Autoavaliação Dê um tempo para que cada alu- no reflita individualmente sobre Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita elas e registre as respostas no sobre elas. Respostas pessoais. caderno. Em seguida, àqueles que desejarem, permita que • Participei ativamente das atividades de exploração propostas? compartilhem as respostas com • Quando tive dúvidas, procurei a ajuda do professor e dos colegas para saná-las? os colegas. • Compreendi cada tipo de simetria estudada? • Respeitei os colegas e o professor nas atividades coletivas, ouvindo atentamente a opinião de todos? Ao longo do ano, é importante a retomada dos registros de au- Simetria • CAPÍTULO 6 203 toavaliação feitos no fim de cada capítulo, para que eles possam perceber e mensurar quanto aprenderam e melhoraram em diversos aspectos. Em relação às perguntas pro- postas nesta página, converse com a turma sobre os tipos de simetria estudados. Enfatize a importância de procurar os co- legas e o professor para sanar as dúvidas. 203MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 6

Abertura CAPÍTULO Proporcionalidade Principal habilidade 7 da BNCC EF07MA17 Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora Solicite aos alunos que ob- servem a ilustração desta pá- gina e pergunte: “Vocês costu- mam fazer compras?”; “Já re- pararam nas ofertas do dia ou da semana?”; “E em promo- ções do tipo leve 3 e pague 2?”. Peça a eles que compartilhem vivências sobre o assunto. Se possível, leve folhetos de papelarias com as ofertas da se- mana e proponha a elaboração de uma lista de compras escolar. 204 204 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

Vendo o quadro da promoção na papelaria, as crianças Abertura tiraram conclusões usando a ideia de proporcionalidade. Veja o que elas pensaram. Junto com os alunos, leia as informações desta página. En- Sabendo que 1 pacote tem tão, organize-os em grupos e 3 canetas, se eu comprar peça que incluam mais uma si- 4 pacotes, ficarei com 12 canetas. tuação diferente para cada fala. Por exemplo, alterar a quantida- Se com 10 reais dá pra de de canetas em cada pacote comprar 1 pacote, então com ou alterar o preço do pacote. Pro- 30 reais dá para comprar mova o compartilhamento das 3 pacotes de canetas. situações. Se o preço de 3 canetas Incentive-os a responder às é 10 reais, então o preço perguntas do texto e anotar co- de 6 canetas é 20 reais. mo raciocinaram para chegar a uma resposta. Faça outras per- guntas semelhantes e, em se- guida, peça aos alunos que compartilhem as hipóteses. De- pois, explique que essas situa- ções apresentam o assunto pro- porcionalidade, que será apro- fundado neste capítulo. Ilustrações: Rodrigo Pascoal/ Arquivdo da editora Neste capítulo vamos estudar o assunto proporcionalidade e muitas aplicações. Converse com os colegas sobre estas questões e registre as respostas no caderno. 1 Quantas canetas dá pra comprar com 50 reais? 15 canetas. (5 3 10 5 50; 5 3 3 5 15) 2 Qual é o preço de 4 pacotes de canetas? R$ 40,00 (4 3 1 5 4; 4 3 10 5 40) 3 Quantos pacotes são necessários para comprar 18 canetas? 6 pacotes. (6 3 3 5 18; 6 3 1 5 6) 4 Ao comprar 8 pacotes de canetas, uma pessoa vai comprar quantas canetas ao todo? E quantos reais vai gastar? 24 canetas; R$ 80,00. (8 3 3 5 24; 8 3 10 5 80) Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 205 205MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

1 As ideias de Paulo Manzi/Arquivo da editora1 As ideias de proporcionalidade e de raz‹o proporcionalidade e de razão Joana foi preparar leite usando leite em pó instantâneo. Veja o rótulo da embalagem. Principal habilidade Modo de preparo da BNCC Para cada copo de água (180 mL), coloque EF07MA17 2 colheres de sopa de leite em pó instantâneo Leia, junto com os alunos, o modo de preparo do leite e a ta- e misture bem. bela que relaciona a quantidade de leite em pó instantâneo com Lata de leite em pó. Preparo do leite a quantidade de copos de água. Em seguida, peça que leiam o Para organizar melhor os dados, Joana montou uma Quantidade de copos de água Quantidade de colheres texto que explica a razão entre tabela indicando a quantidade de colheres de sopa de 1 de sopa de leite em pó essas 2 grandezas, a relação de leite em pó instantâneo necessária para cada quantidade proporcionalidade e a indicação de copos de água. 2 matemática para esse caso. Pe- ça aos alunos que expliquem Neste caso, estamos relacionando a quantidade de 24 com as próprias palavras o que copos de água com a quantidade de colheres de sopa são grandezas proporcionais e, de leite em pó. Dizemos que “de 1 para 2” ou “1 em 2” 36 se necessário, corrija ou com- é a razão entre a quantidade de copos de água e a quan- plemente as respostas. tidade de colheres de sopa de leite em pó. 48 Atividades 1 e 2 Tabela elaborada para fins didáticos. Estas atividades trabalham a Indicamos essa razão assim: 1 em 2 ou 1 : 2 ou 1 representação de razões em si- 2 tuações cotidianas. Observe que, quando dobramos a quantidade de copos de água, a quantidade de colheres de sopa de Na atividade 2, as respos- leite em pó também dobra. Quando triplicamos a quantidade de copos de água, a quantidade de colheres de tas devem ser dadas na forma sopa de leite em pó também triplica. E assim por diante. de fração irredutível, na forma de porcentagem e na forma Neste caso, dizemos que as grandezas quantidade de copos de água e quantidade de colheres de sopa decimal. de leite em pó são grandezas proporcionais. Sequência didática Neste capítulo vamos estudar vários assuntos relacionados às ideias de proporção e de razão. Para mais informações, veja a sequência didática 2 do 3o bimestre. Atividades 1. c) 7 14 14 7  3  6 6 3  10 20 10 10 20 10 em 20 ñ 5 d) em 20 ñ 5 1 Em uma prova de Matemática, Dora acertou 2 Em uma partida de basquete, a equipe de Paulo e 14 questões e errou 6. de Vítor marcou 80 pontos, dos quais Paulo mar- Exemplos de resposta: cou 16 pontos e Vítor marcou 20 pontos. a) Qual é a razão (na forma de fração irredutível) a) Qual é a razão entre o número de acertos e o nú- entre o número de pontos marcados por Paulo mero de erros de Dora? 7 14 em 6 ñ 14 5 7  3 6 3  b) Qual é a razão entre o número de erros e o núme- e o número de pontos marcados por Vítor? b) Qual é a razão (na forma de porcentagem) en- ro de acertos de Dora? 3  6 em14 ñ 6 5 3  7  14 7  tre o número de pontos marcados por Vítor e o número de pontos marcados pela equipe? c) Qual é a razão entre o número de acertos de c) Qual é a razão (na forma decimal) entre o nú- Dora e o número total de questões? d) Qual é a razão entre o número de erros de Dora mero de pontos marcados por Vítor e o número e o número total de questões? de pontos marcados por Paulo? 1,25 (20 em 16 ñ 20 4 16 5 1,25) 2. a) 4 16 em 20 ñ 16 5 4  2. b) 25%  20 em 80 ñ 20 5 1 5 25 5 25% 5 20 5 80 4 100 206 CAPÍTULO 7 ¥ Proporcionalidade 206 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

Veja mais este exemplo. 1 As ideias de proporcionalidade Na turma do 7o ano A há 15 meninos e 20 meninas. e de razão Uma das maneiras de comparar esses números é calcular a razão entre eles, estando atento à ordem Principal habilidade da BNCC considerada. EF07MA17 A razão entre o número de meninos e o número de meninas, nessa ordem, é 15 em 20 ñ 15 5 3 . 20 4 Conte a quantidade de meni- que 3  nas e de meninos da turma e Veja o significado da razão entre 15 e 20 é igual a 4 , expresso de várias maneiras. pergunte: “Há mais meninos ou meninas nesta sala?”; “Qual é a • A razão entre o número de meninos e o número de meninas no 7o A é 3 . razão entre o número de meni- 4 nos e o número de meninas?”. Apresente na lousa as diferen- • No 7o A, para cada 3 meninos, há 4 meninas. tes possibilidades de resposta para essa pergunta. Depois • No 7o A, o número de meninas corresponde a 3 do número de meninos. questione: “Qual é a razão entre 4 o número de meninas e o núme- ro de meninos?”; “É o mesmo que • A razão entre o número de meninos e o número de meninas, no 7o A, é de 3 para 4. já fizemos?”. Verifique se perce- bem que não e peça que respon- A razão entre 2 números racionais a e b, com b = 0, é o Assim como calculamos a razão dam com as diferentes formas quociente de a por b expresso por a : b ou a entre 2 números racionais, propostas. Em seguida, explique b podemos calcular a razão entre que essas razões também po- 2 medidas de grandezas. dem ser escritas na forma de por- (lemos: a está para b), ou qualquer outra maneira equivalente. centagem ou decimal. Por exemplo: A razão entre 9 e 15 é representada por 9 : 15 ou 9 Por exemplo, a razão entre as 3 Então, peça que leiam as in- 15 5 formações desta página, des- medidas de massa 3 g e 5 g é . tacando o que é e como se es- creve uma razão. Questione: ou 3 ou 0,6 (pois 3 4 5 5 0,6) ou 60%. “Por que há a ressalva de Atividades5 b = 0 para representar uma  11  3 3 9 3 razão?”. Se necessário, relem-  5 6. b) 7 2 6 2 bre-os de que não podemos di- 4. c) 3 5 0,6  2 5 6 425 6 3 1 5 6 5 3 5 0,6 d) 5 vidir por zero. 5 5 5 2 10 5 Atividades 3 a 7 3. b) 75% 0,75 5 75 5 75% Estas atividades trabalham a 100 3 Considerando a razão entre o número de meninos a) a razão entre as medidas de comprimento da escrita de razões. e o número de meninas na turma do 7o ano A, ci- base de A e da base de B; 2  10 5 2 As atividades 3, 4 e 7 soli- 3  15 3 citam a escrita das razões em tada acima, registre no caderno. a) 0,75 (3 em b) a razão entre as medidas de comprimento da formas específicas: na forma 4 ñ 3 4 4 5 0,75) decimal, na forma de porcen- a) Essa razão escrita na forma decimal. 2  4 2  tagem e na forma de fração ir- altura de A e da altura de B; 3 6 5 3 redutível. b) Essa razão escrita na forma de porcentagem. c) a razão entre as medidas de perímetro de A e Nas atividades 5 e 7, se ne- cessário, retome os conteúdos c) A razão entre o número de meninas e o núme- de B; 2  28 5 14 5 2 d) 4  40 5 4 já estudados, pois, na atividade 3  42 21 3 9  90 9 5, os alunos devem calcular a ro de meninos do 7o ano A na forma de fração razão entre as medidas de com- d) a razão entre as medidas de área de A e de B. primento, de largura, de períme- 4  20 em 15 ñ 20 5 4  tro e de área das figuras; e, na irredutível. 3 15 3 6 Observe a figura. atividade 7, devem escrever as razões entre medidas de mes- 4 No caderno, calcule e dê a resposta na forma de ma grandeza, mas representa- das por unidades de medida di- fração irredutível. No item c, dê também a respos- A 2 km B 4 km C 3 km D ferentes. ta na forma decimal. 3  12 5 3  Calcule no caderno a razão (na forma de fração a) A razão entre 12 e 28. 7 28 7 irredutível) entre as medidas de comprimento de: b) A razão entre 216 e 210. 8  216 5 8  a) AB e BC ; 1 2 5 1 c) AC e CD; 2 6 5 2 c) A razão entre 11 e 2. 5 210 5 2 4 2 1 3 1 5 b) CD e BD; d) AD e AC . d) A razão entre 1 e 20,24. 7 Escreva no caderno a razão, na forma de fração 5 Observe 2 regiões retangulares cujas medidas irredutível, entre as grandezas na mesma unidade 1 35 1 das dimensões estão indicadas. de medida. a) 4  3 meses em 12 meses ñ 12 4  Ilustrações: Banco de imagens/ 15 m a) 3 meses em 1 ano. 1  5 min em 60 min ñ 5 5 1 Arquivo da editora b) 5 minutos em 1 hora.12  60 12  10 m A 4m B 6m c) 10 cm em 8 m. 1 10 cm em 800 cm ñ 10 5 1 800 80  80 250 1 581rea2is5.0 2 000 8 d) 250 g em 2 kg. g em 2 000 g ñ 5 e) 30 centavos em Calcule no caderno, na forma de fração irredutível: 4. d) 2 25 1 4  2 12040  513 2 100  5 2100 5 2 25  7. e) 3 R$ 0,30 em R$ 5,00 ñ 0,30 5 3 6  24  24 6  50 5 50  Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 207 207MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

1 As ideias de Você sabia? Brasil político proporcionalidade e de razão Existem algumas razões entre grandezas de mesmo tipo ou de OCEANO60º O tipos diferentes que são conhecidas por nomes especiais. PACÍFICO Você sabia? A escala é uma delas. Ela é usada principalmente na elaboração Boa Vista OCEANO Leia com os alunos o texto, de mapas, plantas baixas e maquetes. A escala é a razão entre Banco de imagens/Arquivo da editoraAP ATLÂNTICO uma medida de comprimento no desenho e a medida de RR que explica que a escala é um comprimento correspondente na realidade. 0º Equador tipo especial de razão. Possibi- lite o compartilhamento dos co- escala 5 medida de comprimento no desenho Manaus nhecimentos sobre o assunto. medida de comprimento real Pergunte: “Os mapas digitais AM PA MA CE RN também têm indicação de es- No mapa do Brasil ao lado, a escala é de 1 cm para 730 km, isto é, AC cala?”. Incentive-os a observar cada 1 cm no mapa corresponde a 730 km (ou 73 000 000 cm) na PI PB e comparar a indicação de es- realidade. RO PE cala em mapas em papel e em Indicamos essa escala assim: 1 : 73 000 000 ou 1 ou meios digitais. Também podem Trópico de Capricórnio MT TO AL ser comparadas as escalas 73 000 000 BA SE quando representamos o país, 1 cm : 730 km. o estado, a cidade, o bairro da Cuiabá DF escola, etc. Essas explorações (Lemos: um centímetro para setecentos e trinta quilômetros). MS GO podem ser ampliadas nas aulas de Geografia. 8 No mapa do Brasil mostrado no Você sabia?, a Goiânia Belo medida de distância em linha reta entre Porto Horizonte Incentive-os a observar a in- Alegre e Cuiabá é de 2,3 cm. Como cada centí- dicação de escalas em plantas metro no mapa corresponde a 730 km na reali- MG ES baixas de construção civil, apre- dade, temos que 2,3 cm no mapa correspondem RJ sentadas em folhetos de venda a 2,3 ? 730 km 5 1 679 km na realidade. Assim, a SP de apartamentos e de decora- distância real entre Porto Alegre e Cuiabá, em linha ção de ambientes. Pergunte se reta, mede, aproximadamente, 1 679 km. PR N conhecem outras situações em Sabendo disso, meça as distâncias no mapa do Bra- que há indicações de escala e, sil acima e calcule no caderno as medidas de dis- SC em caso afirmativo, peça que tância reais aproximadas indicadas em cada item. deem exemplos. a) Entre Goiânia e Manaus (em quilômetros). RS Porto Alegre Atividades 8 a 12 1 971 km (2,7 3 730 5 1 971) 0 730 1 460 km Estas atividades desenvol- b) Entre Belo Horizonte e Boa Vista (em quilôme- Fonte de consulta: IBGE. Atlas geogr‡fico escolar. vem o assunto escala. tros). 3 212 km (4,4 3 730 5 3 212) 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. Na atividade 8, incentive-os 9 Observe a planta de um conjunto de escritórios. 9. a) A cada centímetro na planta, correspondem a calcular a medida de distân- 200 cm ou 2 m da medida da distância real. cia entre outras cidades, de acordo com os vínculos que a) Qual é o significado da escala 1 : 200? possam apresentar. Por exem- plo, a medida de distância en- b) Qual é a medida de largura real (indicada por x) tre a cidade em que moram e a do escritório 1, em metros? 4 m (2 3 2 5 4) cidade natal ou de moradia de alguns amigos ou parentes, a c) Qual é a medida de área do escritório 1, em me- medida de distância entre a ci- 28 m2 dade em que moram e a cidade tros quadrados? (3,5 3 2 5 7; 7 3 4 5 28) onde algum ídolo ou figura pú- blica nasceu, etc. d) Desenhe no caderno um cômodo retangular Na atividade 12, distribua tre- cujas dimensões meçam 6 m por 3,5 m, usando nas ou fitas métricas para os alunos medirem o comprimento essa escala. 1,75 cm Banco de imagens/ e a largura da sala e dos objetos que há nela. Se achar conve- 3 cm Arquivo da editora niente, incentive-os também a fazer a planta da casa ou do 10 Registre no caderno qual destas formas também é apartamento onde moram. Peça a eles que usem a seguinte es- correta para indicar a escala 1 cm : 3,5 km. cala: 1 cm no desenho corres- ponde a 100 cm na medida real, 1 : 3,5 que é 1 m. 1 : 3 500 X 1 : 350 000 Paulo Manzi/Arquivo da editora Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora Banheiro 11 Examine estas legendas de mapas, plantas ou cro- quis (esboços de desenhos). Indique no caderno a Escritório 1 escala correspondente a cada uma delas. Sala de Corredor x a) 100 km 1 cm : 25 km ou recepção Escritório 2 1 : 2500000 Escritório 3 b) 30 m 1 cm : 30 m ou 1 : 3 000 c) 0 5 10 km1 cm : 2,5 km ou 1 : 250 000 Escala d) 0 100 200 300 400 500 km 1 cm : 2 m ou 1 : 200 1 cm : 100 km ou 1 : 10 000 000 12 Agora, você é o arquiteto. Faça no caderno a plan- ta da sala de aula. Utilize a escala 1 : 100. Resposta pessoal. 208 CAPÍTULO 7 ¥ Proporcionalidade 208 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

Porcentagem como raz‹o 1 As ideias de proporcionalidade Você já trabalhou com e de razão a porcentagem antes. Agora vamos usá-la com o Explique aos alunos que pode- conceito de razão. mos escrever uma porcentagem como uma razão, apresentando alguns exemplos. Em seguida, pe- ça que leiam a relação entre por- centagem e razão dada no livro. Thiago Neumann/Arquivo da editora Atividades 13 a 16 e 18 Banco de imagens/Arquivo da editora Estas atividades trabalham a escrita de porcentagens na for- ma de razão e vice-versa. Verifique a resolução da ativi- dade 15. a) 7 5 35 5 35% 20 100 Por exemplo, calcular 40% de uma quantidade é o mesmo que calcular 2 dessa mesma quantidade. b) 0,3 5 3 5 30 5 30% 5 10 100 40% é a razão entre 40 e 100, ou seja: 400 5 4 5 2 c) 0,28 5 28 5 28% 100 10 5 100 13. c) 21 2 20 5 2 1  Porcentagem é a razão que tem o 2o termo igual a 100. d)2583250,3275(35428)13507050 5 5 100 5  d) 8  160 5 16 5 8 1 1 37,5 5  100 10 5 4 10 100 14. 3 em 5 ñ 60%; de 3 para 4 ñ 75%; 1 : 2 ñ 50%; ñ 25%; ñ 10%. 52 5 237,5% Atividades Para resolver a atividade 18, os alunos podem contar a quan- 13 Determine no caderno as frações irredutíveis cor- 18 Examine a figura e considere a região quadrada tidade de quadradinhos que ABCD. compõem cada região plana em respondentes às seguintes porcentagens. AB relação à quantidade total (64 quadradinhos) da região a) 75% 3  75 5 3 c) 220% 1 quadrada ABCD. Veja a resolu- 4  100 4 ção. b) 90% 9  90 5 9 d) 160% 10  100 10  14 No caderno, relacione cada porcentagem com a razão correspondente. 75% 25% 50% 60% 10% a) 12 5 3 5 0,1875 5 64 16 1 1 5 18,75% 4 10 3 em 5 de 3 para 4 1 : 2 b) 4,5 â 0,0703 5 7,03% 64 15 Determine no caderno a porcentagem correspon- c) 8 5 1 5 0,125 5 12,5% 64 8 dente a cada item. 23 a) 7 35% c) 0,28 28% d)100% – (18,75% 1 7,03% 1 d) 2 3 237,5% DC 1 12,5%) 5 61,72% 20 Use calculadora e responda no caderno qual por- b) 0,3 30% 8 centagem dessa região ocupa: a) a região 1? 18,75% 16 Em um restaurante há 80 fotografias autografadas b) a região 2? 7,03% Atividade 17 por artistas e celebridades. Destas, 32 são colori- c) a região 3? 12,5% Nesta atividade, os alunos das. Qual é a porcentagem de fotografias coloridas? d) a região amarela? 61,72% devem descobrir quantas horas 17 Jaime é representante comercial. Ele passa 60% representam a porcentagem de do tempo de trabalho dirigindo um carro. Em uma medida de tempo. 40 horas semanais de trabalho, quantas horas Jaime passa dirigindo? 16. 40%  32 em 80 ñ 32 5 4 5 40 5 40% 17. 24 horas. x 5 60% ~ x 5 60 ~ x 5 24 80 10 100  40 40 100 209 Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 209MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

2 Proporções 2 Proporções Principal habilidade A ideia de proporção da BNCC Explorar e descobrir EF07MA17 Observe os retângulos representados na malha quadriculada: Explorar e descobrir Oriente-os a calcular as ra- 3 6 Banco de imagens/Arquivo da editora 4 zões pedidas no livro. Depois, in- centive-os a compará-las para 8 constatarem que são iguais. Retângulo A. Retângulo B. Então, comente com os alu- nos o significado das razões, a) Qual é a razão entre as medidas de comprimento da altura do retângulo A e da altura do retângulo B? 1 3 5 1 ou seja, cada 1 unidade de me- 2 6 2 dida de comprimento do retân- gulo A equivale a 2 unidades de b) Qual é a razão entre as medidas de comprimento da largura do retângulo A e da largura do retângulo B? 1  4 5 1  medida de comprimento do re- 8 2 tângulo B, o que significa que c) Observe os resultados obtidos nos itens anteriores. O que você pode afirmar? 2 as medidas de comprimento das dimensões do retângulo A As razões são iguais: 3 5 4 , porque 3 5 1 e 4 5 1. equivalem à metade das medi- 68 6 28 2 das de comprimento das di- mensões correspondentes do Definimos proporção como a igualdade de 2 razões. retângulo B. Em seguida, apresente a in- formação de que proporção é a igualdade de 2 razões. Explo- re os exemplos de proporções e incentive-os a verificar a pro- priedade fundamental das pro- porções em cada um dos exemplos dados. Assim, no Explorar e descobrir acima temos a seguinte proporção: 354 68 (Lemos: 3 está para 6, assim como 4 está para 8.) Os números 3, 6, 4 e 8 são chamados de termos da proporção. O primeiro e o último termos (3 e 8, nes- te caso) são os extremos da proporção, e os outros 2 termos (6 e 4, neste caso) são os meios da proporção. Propriedade fundamental das proporções Observe o que ocorre com estas proporções. 3 5 4 ñ 3? 8 5 6? 4 3 5 6 ñ 3? 14 5 7? 6 6 8 7 14 24 24 42 42 O que ocorreu com essas proporções ocorre com todas as proporções. Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim, se a 5 c é uma proporção, então a ? d 5 b ? c. bd 210 CAPÍTULO 7 ¥ Proporcionalidade 210 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

Atividades 2 Proporções 20. 21 5 18 ; vinte e um está para catorze, assim como dezoito está para doze. Atividades 19 e 20 14 12 Na atividade 19, os alunos 19 Calcule no caderno a razão entre os números dos 25 Marcio e Larissa tiveram o mesmo aproveitamen- devem determinar a razão en- tre os 2 valores fornecidos em itens, nesta ordem: c) 3  18 5 9 5 3 to em um concurso de perguntas e respostas. cada item, enquanto que, na ati- 2  12 6 2 vidade 20, devem verificar a) 21 e 14. 3  21 5 3 c) 18 e 12. Márcio respondeu a 30 questões e acertou 24. quais das razões da atividade 2  14 2 anterior formam uma propor- 5  20 5 10 5 Larissa respondeu a 35 questões. Quantas ques- ção, escrevendo-a simbolica- b) 15 e 12. 5  15 5 5 d) 20 e 8. 2 8 4 5 2 mente e como se lê.  12 4 4 tões Larissa acertou? 28 questões.  24 5 ?  20 Na atividade anterior, 2 das razões formam uma 30 35 proporção. Quais são elas? Indique essa propor- 26 Em uma gaveta há garfos e facas na razão de 3 ção simbolicamente e depois escreva no caderno para 5. Sabendo que são 12 garfos, quantas facas como se lê. há na gaveta? 20 facas. 3 5 12  5 ? 21 Copie as igualdades no caderno e complete-as de 27 As razões 4 e 3 formam uma proporção? Explique. Atividades 23, 24, 27 e 30 modo a formar proporções. 75 Estas atividades trabalham o Não, pois 4 3 5 = 7 3 3. uso da propriedade fundamental a) 2 5 10 d) 0,5 5 5 28 Em uma sorveteria, de cada 10 sorvetes vendi- das proporções para determinar 5 25 2 20 se razões são uma proporção. dos, 6 são de chocolate. Em certo dia foram ven- b) 4 5 6 16 didos 200 sorvetes. Quantos sorvetes de choco- Atividades 25, 26 e 28 9 Estas atividades são proble- e) 5 4 8 late foram vendidos? 120 sorvetes  6 5 ?  5 2,5 de chocolate. 10 200 mas cotidianos que podem ser resolvidos utilizando os concei- c) 5 5 10 14 29 Desafio. (Fuvest-SP) O retângulo de dimensões a tos de proporção. 7 f) 12 5 21 100 e b está decomposto em quadrados. Qual o valor 175 da razão a ? 22 Observe os dados na tabela. b Confira a resolução da ativi- Banco de imagens/Arquivo da editora dade 25. 3x a 2x Cor predileta de 100 alunos 2x 30 5 35 ~ 30x 5 24 3 24 x Cor Número de alunos b 2x Azul 50 3x 3 35 ~ 30x 5 840 ~ x 5 28 Vermelho 30 Verde 20 x Verifique a resolução da ativi- dade 26. X a) 5 5x 3x x x e) 1 3 3x 2 3 5 12  ~ 3x 5 5 3 12 ~ c) 2 5 x Tabela elaborada para fins didáticos. b) 2 d) 3 ~ 3x 5 60 ~ x 5 20 32 a) Em 100 alunos, 30 preferem o vermelho. Se Veja a resolução da atividade 30 Identifique no caderno quais dos retângulos a se- 28. em outro grupo, de 200 alunos, 60 disserem que preferem o vermelho, teremos uma pro- guir têm medidas de dimensões proporcionais às porção? Explique. Sim, pois 30 5 60 . medidas de dimensões do retângulo da atividade 6 5 x  ~ 10x 5 6 3 100 200 10 200 anterior e justifique. b) Em 100 alunos, 20 preferem o verde. Mantida 3 200 ~ 10x 5 1200 ~ ~ x 5 120 essa proporção, em 300 alunos quantos dirão X a) que preferem o verde? 60 alunos.  20 5 60  Atividade 29  100 300  Nesta atividade, peça aos alu- 23 Copie cada item no caderno e verifique se as 5 5 5 nos que representem a medida 3 3 desconhecida de comprimento razões formam ou não uma proporção colocando do lado do quadrado menor por uma letra qualquer e, em função 5 ou = no lugar de cada . dela, descubram as medidas de comprimento dos lados dos ou- a) 6 4 5 d) 10 23 tros quadrados, obtendo as me- 96 20 26 5 didas a e b. Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora b) 12 18 e) 4 5 b) 10 15 5 12 20 = 5 = 3 3 2 c) 5 2 7 = f) 9 3 5 46 12 4 24 Escreva no caderno uma proporção usando os c) 5 2,5  números 20, 5, 4 e 25 e justifique que é uma pro- 3 1 porção pela propriedade fundamental. = 24. Exemplos de resposta: 20 5 25 ; 5 3 20 5 4 3 25. Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 211 45 211MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

2 Proporções Proporcionalidade entre grandezas Pergunte aos alunos o que é Você lembra o que é grandeza?Thiago Neumann/As imagens desta grandeza. Recorde situações Grandeza é tudo o que pode ser medidoArquivo da editorapágina não estão que envolvem grandezas estu- ou contado. Comprimento, intervalo de representadas em dadas, como comprimento, área, tempo, temperatura, massa, população e proporção. capacidade, etc. valor monetário são grandezas. Monty Rakusen/Getty Images Na lousa, apresente a situa- Grandezas diretamente proporcionais ção dada no livro, mostrando a tabela abaixo, e explique que as Raimunda é costureira e está fazendo bermudas encomen- grandezas trabalhadas são di- dadas por uma loja. Ela fez 2 bermudas com um tecido com retamente proporcionais, pois medida de comprimento de 1,40 m. Agora ela quer saber de se uma dobra, a outra também quantos metros de tecido ela precisa para fazer 6 bermudas. dobra; se uma triplica, a outra Veja o raciocínio de Rodrigo, o filho dela. faz o mesmo. Se para fazer 2 bermudas, Peça que deem outros exem- minha mãe gasta 1,40 m plos de grandezas diretamente de tecido, então, como 6 proporcionais, desafiando-os a é o triplo de 2, ela gastará pensar em situações em que é o triplo de 1,40 m, pois possível usá-las. Se necessário, 3 3 1,40 5 4,20. peça que retomem os exemplos Thiago Neumann/ dados nos estudos de razões e Arquivo da editora Costureira cortando tecido. de proporções e avaliem se são grandezas diretamente propor- Em casos como esse, dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais, cionais. ou apenas que são proporcionais. Ao final, peça que leiam o Quando o valor de uma grandeza dobra, triplica ou é reduzido à metade, o valor da outra grandeza, texto que retoma o que é gran- que é diretamente proporcional a ela, também dobra, triplica ou é reduzido à metade. deza e o texto que explica gran- dezas diretamente proporcio- Então, as grandezas número de bermudas e comprimento do tecido dessa situação são diretamente nais. proporcionais. Atividades 31 a 33 Estas atividades desenvol- vem os conceitos de grandezas diretamente proporcionais em situações cotidianas. Atividades 32. 620 km (Como 50 L é o dobro de 25 L, ele percorrerá o dobro de 310, ou seja, 2 3 310 5 620.) 31 Para fazer 12 bermudas, Raimunda precisa de 33 Maria está vendendo na feira saquinhos com quantos metros de tecido? (Observe que 12 é o 3 maçãs ao preço de R$ 5,00. Antônio é dono dobro de 6.) 8,40 m (2 3 4,20 5 8,40) de uma confeitaria e vai precisar de 30 maçãs para fazer algumas tortas. Quanto Antônio vai 32 Para percorrer 310 km, o carro de Afonso gastou gastar comprando de Maria as maçãs de que 25 L de gasolina. Nas mesmas condições, Afonso necessita? quer saber quantos quilômetros o carro dele per- correrá com 50 L. Calcule no caderno e justifique. R$ 50,00 (Como 10 3 3 5 30, fazemos 10 3 5 5 50.) 212 CAPÍTULO 7 ¥ Proporcionalidade Quantidade de bermudas e medida de comprimento de tecido (em m) Quantidade Medida de comprimento de bermudas de tecido (em m) 2 1,40 33 33 6 4,20 Tabela elaborada para fins didáticos. 212 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

Grandezas inversamente proporcionais As imagens desta 2 Proporções página não estão Imagine um percurso feito de 3 maneiras diferentes: de bicicleta, de moto e de carro. representadas em Na lousa, forneça a situação proporção. apresentada no livro e explique que as grandezas que apare- Scott Markewitz/ cem nela são inversamente pro- Photographer's Choice RF/Getty Images porcionais. Incentive os alunos a completar a tabela que relacio- Sara Zinelli/Photographer's Choice/ na medidas de velocidade com Getty Images medidas de tempo. Proponha mais alguns valores, como Roy Ooms/All Canada Photos/Getty Images 10 minutos, 40 minutos, um carro a 60 km/h. Então, desafie- Pessoa andando de bicicleta. Pessoa andando de moto. Pessoa andando de carro. -os a pensar em outros exem- plos de grandezas inversamen- Com a medida de velocidade média de Com a medida de velocidade média de Com a medida de velocidade média de te proporcionais. 15 km/h, João gastou 120 min para 30 km/h, Maurício gastou 60 min para 90 km/h, Luciana gastou 20 min para completar o percurso. completar o mesmo percurso. completar o mesmo percurso. Ao final, peça que leiam o tex- to que explica grandezas inver- Observe que o veículo com medida de velocidade menor gastou intervalo de tempo maior. A velocidade samente proporcionais. e o intervalo de tempo não são grandezas diretamente proporcionais, pois, quando a medida de velocidade dobrou de 15 km/h para 30 km/h, o intervalo de tempo não dobrou, foi reduzido à metade, pois passou de Atividades 34 e 35 120 minutos para 60 minutos. Estas atividades trabalham o Observe os valores dessa situação. conceito de grandezas inversa- mente proporcionais. Percurso de João, Maurício e Luciana No item a da atividade 35, os 32 Velocidade (em km/h) Intervalo de tempo (em min) alunos devem verificar se as 36 33 grandezas dadas são direta ou 15 120 inversamente proporcionais, 42 justificando a resposta. 30 60 4 3 4 6 Sequência didática 90 20 Para mais informações, Tabela elaborada para fins didáticos. veja a sequência didática 3 do 3o bimestre. Em casos como esse, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais. Quando o valor de uma grandeza é multiplicado por um número, o valor da outra grandeza, que é inversamente proporcional a ela, é dividido pelo mesmo número. Então, as grandezas velocidade e intervalo de tempo dessa situação são inversamente proporcionais. Atividades 34. b) 60 km/h (60 4 2 5 30; 2 3 30 5 60) c) 150 min ou 2 h 30 min. (120 4 10 5 12; 10 3 15 5 150) 34 Considere o percurso de João, Maurício e Luciana. 35 Uma torneira que despeja 15 litros de água por a) Qual seria o tempo necessário para percorrer minuto enche uma piscina em 2 horas. esse percurso se a medida de velocidade média a) As grandezas indicadas em litros por minuto e em horas são diretamente proporcionais ou fosse de 45 km/h? 40 min (3 3 15 5 45; inversamente proporcionais? Justifique. 120 4 3 5 40) b) Qual deve ser a medida de velocidade para per- correr o percurso em 30 minutos? b) Se essa torneira despejasse 30 litros de água c) Paulo vai participar de uma maratona e está em por minuto, então em quanto tempo encheria fase de treinamento. Quanto tempo ele gastará essa mesma piscina? 1 h (2 3 15 5 30; 2 4 2 5 1) para percorrer esse percurso correndo com me- dida de velocidade média de 12 km/h? 35. a) Inversamente proporcionais, pois dobrando o número de litros despejados por minuto, o tempo cai para a metade. Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 213 213MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

2 Proporções Situações de não proporcionalidade Paul Thomas/The Image Bank/Getty Images Apresente a situação dada no Às vezes, observamos situações nas quais não há propor- livro junto com a tabela e per- cionalidade entre as grandezas, como neste exemplo: Os pais gunte aos alunos se as grande- de Aline registraram a medida de altura da filha aos 5, aos 10 zas parecem ser diretamente e aos 15 anos. Observe. proporcionais ou inversamente proporcionais, explicando, em Idade e medida de altura de Aline seguida, que se trata de um caso de grandezas não proporcio- Idade (em anos) 5 10 15 nais. Então, peça que comparti- Medida de altura (em metros) 1,06 1,59 1,63 lhem hipóteses sobre o assunto e incentive-os a pensar em ou- Tabela elaborada para fins didáticos. tras situações de não proporcio- nalidade. Em seguida, sugira Quando a idade dobra de 5 para 10 anos, a medida de M‹e medindo a altura da filha. que registrem, no painel de des- altura não dobra (de 1,06 m para 2,12 m), nem reduz à me- cobertas, as conclusões obti- tade (de 1,06 m para 0,53 m). das sobre grandezas não pro- porcionais e as principais infor- Em casos como esses, dizemos que as grandezas não são proporcionais. mações sobre grandezas dire- tamente proporcionais e sobre grandezas inversamente pro- porcionais. Atividade 36 Atividade Nesta atividade, os alunos de- 36 Gilson e Marta estão brincando com um jogo de perguntas e respostas. Um pergunta e o outro diz vem identificar se as grandezas como são as 2 grandezas envolvidas e depois responde à questão. Veja os exemplos. são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou I. Para fazer 2 bolos, gastei 6 ovos. Quantos ovos gastarei ñ Grandezas diretamente proporcionais. não proporcionais e efetuar cál- culos mentais para descobrir o para fazer 4 bolos do mesmo tipo? 12 ovos (2 3 2 5 4 e 6 3 2 5 12). valor desejado. Verifique a reso- lução desta atividade. II. Jogando 2 dados, eu fiz 7 pontos. Quantos pontos eu ñ As grandezas não são proporcionais. a) As grandezas não são pro- farei se jogar 4 dados? Não dá para saber a quantidade de pontos a porcionais. Não é informado se todas as faixas do CD têm ser obtida. a mesma duração, por esse motivo, não há como saber III. A ração que José tem é suficiente para alimentar igualmente ñ Grandezas inversamente proporcionais. a duração total do CD. 4 cachorros por 3 dias. Se fossem 2 cachorros e fosse man- 6 dias (4 4 2 5 2 e 3 3 2 5 6). tida a quantidade de ração por cachorro, então a ração seria b) As grandezas são direta- suficiente para quantos dias? mente proporcionais. Agora, você calcula mentalmente, responde e escreve no caderno como são as grandezas. Em seguida, con- Impressão de folhas fere com os colegas. a) A duração das músicas de 2 faixas de um CD é de 6 minutos. Como o CD tem 10 faixas, qual é a duração Folhas Minutos total? 50 3 b) Uma impressora imprime 50 folhas em 3 minutos. Quantos minutos ela gastará para imprimir 500 folhas 3 10 3 10 mantendo o mesmo ritmo ? c) Se 3 caixas de creme dental custam R$ 8,00, então qual é o preço de 6 caixas iguais a essas? 500 30 d) Se Marta ler 8 páginas por hora, ela lerá um livro de contos em 12 horas. Se ela ler 16 páginas por hora, então Tabela elaborada para fins didáticos. em quantas horas ela lerá esse livro? e) Nos 5 primeiros dias de janeiro, choveu em 3 dias. Em quantos dias choveu nos 10 primeiros dias de janeiro? 50 5 500 f) Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas com medida de capacidade de 6 L cada uma. Se forem 3 30 usadas vasilhas com medida de capacidade de 3 L cada uma, então quantas vasilhas serão necessárias? (50 3 30 5 3 3 500) g) Se dobrarmos a medida de comprimento do lado de um quadrado, então qual será a medida de área dele? 50 é o coeficiente de pro- 3 porcionalidade entre a grandeza dada pelo núme- 214 CAPêTULO 7 ¥ Proporcionalidade ro de folhas e o tempo dado em minutos. 3 5 6 (3 3 16 5 8 3 6) e) As grandezas não são proporcionais. Não é possível saber 8 16 quantos dias choveu. Portanto, a impressora gasta- rá 30 minutos. 3 é o coeficiente de proporcionalidade entre a grandeza dada pelo f) Grandezas inversamente proporcionais. 60 vasilhas (6 4 2 5 3 8 e 30 3 2 5 60) c) As grandezas são direta- mente proporcionais. g)As grandezas não são proporcionais. Dobrando-se a medida Preço da caixa de comprimento do lado de um quadrado, quadruplica-se a de creme dental medida de área dele. Caixa de número de caixas de creme dental e o preço dado em reais. creme Preço dental Portanto, o preço de 6 caixas é R$ 16,00. 38 d)As grandezas são inversamente proporcionais. Lendo o dobro de páginas por hora, Marta deve terminar de ler o livro na meta- 32 32 de do tempo, ou seja, em 6 horas (8 3 2 5 16 e 12 4 2 5 6). 6 16 Tabela elaborada para fins didáticos. 214 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

Coeficiente de proporcionalidade Africa Studio/Shutterstock 2 Proporções Vamos usar as situações de grandezas diretamente propor- Peça aos alunos que indi- cionais da atividade 36 da página anterior para descobrir proprie- quem as razões entre o núme- dades importantes. No item I, vimos que foram necessários 6 ovos ro de bolos e o número de ovos, para fazer 2 bolos e que foram necessários 12 ovos para fazer verificando se formam uma 4 bolos. Portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. proporção. Solicite que simpli- fiquem essas razões e expli- Preparação de bolos que que essa simplificação é o coeficiente de proporcionalida- Número de bolos Número de ovos de entre as 2 grandezas dessa situação. 2 6 32 32 Proponha a leitura do texto da página e, em seguida, inicie 4 12 uma conversa para que com- partilhem hipóteses. Pergunte: Tabela elaborada para fins didáticos. Nares Soumsomboon/ “O que é razão de proporciona- Shutterstock lidade ou coeficiente de propor- As razões entre os valores correspondentes das 2 grandezas cionalidade?”. Incentive-os a explicar e auxilie-os corrigindo formam uma proporção: 2 5 4 ou complementando as expli- 6 12 cações. Bolo e ovos. As imagens desta Atividades 37 a 39 Simplificando 2 e 4 , obtemos 1 . página não estão Estas atividades desenvol- 6 12 3 representadas em proporção. vem o assunto coeficiente de proporcionalidade, descobrindo- 1 é a razão de proporcionalidade ou o coeficiente de proporcionalidade das grandezas -o entre grandezas direta ou in- 3 número de bolos e número de ovos. versamente proporcionais e usando o coeficiente dado para Observe que também são iguais as razões entre os valores das 2 grandezas, mantidas as correspondências: determinar o valor de uma das 25 6 grandezas. 4 12 Após a resolução da ativida- Atividades 37. Item b: 50 ; item c: 3 . 38. Item d: 8 3 12 5 16 3 6 ~ 8 5 6 ; item f: 30 3 6 5 3 3 60 ~ 30 5 60 . de 39, peça aos alunos que anotem no painel de descober- 38 16 12 36 tas como determinar o coefi- ciente de proporcionalidade en- 37 Comprove todos esses fatos nas situações dos Os produtos dos valores correspondentes das tre grandezas direta ou inver- samente proporcionais. 2 grandezas são iguais: 4 3 3 5 2 3 6 5 12. O nú- itens b e c da atividade 36, que têm grandezas diretamente proporcionais. Em cada uma, escre- mero 12 é coeficiente de proporcionalidade dessas va no caderno qual é o coeficiente de proporcio- grandezas. nalidade. Uma proporção pode ser formada pela razão entre 38 Agora, vamos fazer a mesma análise nas situa- os valores de uma grandeza e a razão inversa entre ções com grandezas inversamente proporcionais. os valores correspondentes da outra. Por exemplo: Veja a situação do item III da atividade 36. 4 5 6 ou 2 5 3 23 46 Consumo de ração Comprove esses mesmos fatos nas situações dos Número de cachorros Número de dias itens d e f da atividade 36, que têm grandezas in- versamente proporcionais. 4 3 39 Calcule o valor de x, sabendo que 6 e x são valores 42 3 2 correspondentes a 2 grandezas diretamente pro- 26 porcionais e que o coeficiente de proporcionali- Tabela elaborada para fins didáticos. dade delas, nessa ordem, é 12 . 3 39. x 5 3,6 1 2 5 5; 655 ~ 5x 5 6 3 3 ~ 5x 5 18 ~ x 5 3,6 3 3 x3 Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 215 215MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

Leitura LEITURA As imagens desta página não estão representadas Principal habilidade em proporção. da BNCC A propor•‹o na Arte Ð Antiguidade e Renascimento EF07MA17 Na Grécia antiga, o período que vai do século V a.C. ao Policleto/Museu Arqueológico Nacional, Nápole/foto: Nimatallah/Akg-Images/Latinstock Proponha a leitura do texto e século IV a.C. é conhecido como Período Clássico. Nesse mo- o compartilhamento do que foi mento histórico, a arte grega se caracterizou principalmente compreendido e das informa- pela busca de equilíbrio, harmonia e beleza. Na escultura clás- ções mais interessantes. Se sica, artistas como Fídias (c. 490 a.C.-432 a.C.) e Policleto possível, solicite uma pesquisa (480 a.C.-420 a.C.) buscavam as proporções ideais do para ampliar o tema. Por exem- corpo humano. plo, separe a turma em 7 grupos e cada grupo deve pesquisar in- Em meados do século V a.C., Policleto escreveu um tratado, formações adicionais sobre um o Cânone (regra), no qual descreve a própria concepção a respei- dos temas: to das proporções matemáticas ideais do corpo humano. A es- cultura Doríforo (do grego Doryphóros, que significa 'portador de • Período Clássico da Grécia lança') ilustra essas teorias. Para Policleto, um dos princípios da antiga; proporção ideal era que a medida de altura do corpo humano deveria corresponder a 7 vezes a medida de altura da cabeça. • Fídias, Policleto e o Cânone; • Proporções ideais do corpo A preocupação em representar as proporções ideais do corpo humano aparece também no Renascimento (aproximadamente humano no Renascimento; entre fins do século XIII e meados do século XVII), período da his- • Leonardo da Vinci; tória da Europa marcado por transformações que mostram o fim • Michelangelo Buonarotti; da Idade Média e o início da Idade Moderna e caracterizado por • Rafael Sanzio; grandes mudanças na Arte, na Filosofia e nas ciências. • Homem vitruviano. O Renascimento se destacou por uma retomada do pensa- Incentive-os a encontrar ilus- mento e da Arte da Antiguidade clássica e pela valorização do trações e fotos relacionadas a ser humano como centro do Universo. Artistas como Leonardo cada um desses temas. Depois, da Vinci (1452-1519), Michelangelo Buonarotti (1475-1564) e acompanhe-os na organização Rafael Sanzio (1483-1520) criaram obras de grande rigor na da exposição ou da apresenta- proporção das formas, buscando transmitir beleza e harmonia. ção dos trabalhos. O Homem vitruviano é um desenho de Leonardo da Vinci, feito por volta de 1490. A obra representa uma figura mascu- Doríforo. 440 a.C. Polykleitos. Escultura de mármore, 2,12 m Leonardo da Vinci/Galleria dell'Accademia,Veneza, Itália. lina, em 2 posições sobrepostas de braços e pernas estendidos, de altura. Museu Arqueológico Nacional, Nápoles, Itália. desenhada dentro de uma circunferência e de um quadrado. Trata-se de um estudo das proporções do corpo humano, com Human Proportions. 1942. Leonardo da Vinci. Desenho com base no tratado De architectura, do arquiteto romano Marcus lápis e tinta no papel branco, 34,4 cm 3 24,5 cm. Vitruvius Pollio (90 a.C.-20 a.C.), segundo o qual os edifícios deveriam se basear na simetria e na proporção da figura hu- mana. De acordo com Vitruvius, o corpo humano, com braços e pernas estendidos, deveria se ajustar perfeitamente à cir- cunferência e ao quadrado. Fontes de consulta: UOL. Disciplinas. Disponível em: <https://educacao.uol.com.br/ disciplinas/artes/arte-na-grecia-antiga-3-periodo-classico-490-80-ac-a-330-20-ac.htm>; KOTHE, Flávio R. Vitrúvio Revisto. Disponível em: <http://periodicos.unb.br/index.php/ esteticaesemiotica/article/viewFile/19609/13956>. Acesso em: 15 out. 2018. 216 CAPêTULO 7 ¥ Proporcionalidade 216 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

3 Regra de 3 simples Banco de imagens/ 3 Regra de 3 simples Arquivo da editora Acompanhe as situações. Principal habilidade • Uma barra de cano com medida de comprimento de 6 m tem medida de massa de 10 kg. Qual é a da BNCC medida de massa de uma barra de medida de comprimento de 9 m desse mesmo tipo de cano? EF07MA17 6m Pergunte aos alunos se eles 10 kg sabem o porquê do nome “regra de 3”. Se necessário, explique 9m que é porque conhecemos 3 nú- ? meros de uma proporção e pro- curamos o quarto (quarta pro- Essa é uma situação de proporcionalidade direta, pois, dobrando a medida de comprimento da barra, a porcional). medida de massa dobra; triplicando a medida de comprimento, a medida de massa triplica; e assim por diante. Então, proponha a leitura da Observe como organizamos as informações e estabelecemos Esse número que precisamos descobrir primeira situação. Pergunte: uma proporção que permite o cálculo da medida procurada. é chamado de quarta proporcional. Ele “Quais são as grandezas envol- recebe esse nome pois já temos 3 números vidas nesse problema?”; “São Medidas do cano e precisamos descobrir o quarto. grandezas diretamente propor- O procedimento usado na resolução dessa cionais ou inversamente pro- Medida de comprimento (em m) Medida de massa (em kg) situação é conhecido por regra porcionais?”. Reproduza a ta- 6 10 de 3 simples, pois se deseja determinar bela na lousa com cada coluna 9 x um número conhecendo-se 3 outros. indicando uma das grandezas envolvidas e proponha que es- Tabela elaborada para fins didáticos. crevam a proporção e apli- quem a propriedade funda- Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos mental das proporções para calcular o valor que falta. Ao fi- escrever: As imagens desta página nal, leia o texto explicativo para não estão representadas formalizar os conhecimentos. 6 5 9 ou 6 5 10 em proporção. 10 x 9 x Em seguida, leia a segunda situação. Pergunte: “Quais são Assim: 90 as grandezas envolvidas nesse 6 problema?”; “Essas grandezas 6 ? x 5 9 ? 10 ~ 6x 5 90 ~ x5 5 15 Thiago Neumann/ são diretamente proporcionais Arquivo da editora ou inversamente proporcio- Logo, uma barra de medida de comprimento de 9 m tem medida nais?”. Organize na lousa a ta- bela com uma coluna para cada de massa de 15 kg. grandeza envolvida e sugira que escrevam a proporção e apli- • Com 4 pedreiros trabalhando, a reforma de uma casa é realizada em 15 dias. Em quantos dias quem a propriedade fundamen- tal das proporções para calcular 6 pedreiros realizariam a mesma reforma trabalhando no mesmo ritmo? o valor que falta. Essa é uma situação de proporcionalidade inversa, pois, dobrando o número de pedreiros, o Verifique se ficou claro para intervalo de tempo cai pela metade; triplicando o número de pedreiros, o intervalo de tempo os alunos como “montar” a pro- porção para as grandezas inver- é reduzido à terça parte; e assim por diante. samente proporcionais. Chame a atenção para o fato de que Reforma da casa Intervalo de tempo (em dias) Como as grandezas são inversamente proporcio- uma razão é invertida e a outra Número de pedreiros 15 nais, podemos escrever: permanece como está. Após os 4 x alunos calcularem o valor dese- 6 6 5 15 jado, leia o texto junto com eles Tabela elaborada para fins didáticos. 4x para verificarem uma explicação Assim: mais teórica sobre o assunto. 6 ? x 5 4 ? 15 ~ 6x 5 60 ~ x 5 60 5 10 6 Logo, 6 pedreiros realizariam a reforma em 10 dias. Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 217 217MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

3 Regra de 3 simples Atividades Destaque que, primeiro, é ne- Agora que você já estudou regra de 3 simples, resolva 46 A ração que Álvaro comprou é suficiente para ali- Margrit Hirsch/Shutterstock cessário verificar se as grande- algumas situações-problema usando esse importante mentar 2 gatos durante 9 dias, e cada gato come zas envolvidas nas situações conceito. Esteja sempre atento em relação às grandezas: a mesma quantidade de ração. Se fossem 3 ga- são direta ou inversamente pro- se são direta ou inversamente proporcionais. tos, mantendo a quantidade de ração por gato, porcionais e, depois, verificar se então a ração seria suficiente para quantos dias? os valores encontrados estão 40 Usando regra de 3 simples, resolva no caderno. de acordo com a questão pro- a) Em um relógio, enquanto o ponteiro das horas 6 dias. posta. faz um giro com medida de abertura de 30°, o dos minutos gira 360°. Qual é a medida de 47 Cíntia viu em um mercado uma promoção de “Leve Em seguida, peça que deba- abertura do giro do ponteiro das horas quando 5 e pague 4”. tam as hipóteses criadas sobre o ponteiro dos minutos gira 60°? 5° regra de 3 e registrem as con- b) Em 3 dias, foram construídos 6 do compri- Copie a tabela no caderno e complete-a de acordo clusões sobre o assunto no pai- 10 com essa promoção. As imagens desta página não estão nel de descobertas. mento de um muro. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quan- representadas em proporção. Atividade 40 tos dias o muro estará pronto? Em mais 2 dias. Esta atividade desenvolve o Copos na promoção c) Se, com 40 quilogramas de laranja, é possível fazer assunto regra de 3 para resolver 24 litros de suco, então quantos litros de suco se- Número de problemas cotidianos com gran- rão obtidos com 30 quilogramas de laranja?18 litros. copos dezas direta ou inversamente proporcionais. d) Com velocidade medindo 9 km/h, Luís faz uma Preço 2,67 3,56 3,56 caminhada em 40 min. Se a medida de velo- (em R$) Veja a resolução desta ativi- cidade dele fosse de 6 km/h, então quantos dade na página LVI deste Ma- minutos seriam necessários para que ele con- Tabela elaborada para fins didáticos. Paulo Manzi/Arquivo da editora nual. cluísse essa caminhada? 60 minutos. 48 Uma torneira enche um tanque em 4 horas e um ralo Atividades 41 a 52 e) Para um evento na escola, um grupo de 15 alu- o esvazia em 6 horas. Estando o tanque completa- Estas atividades contextua- nos fez certo número de bandeirinhas em 6 ho- mente vazio e abrindo simultaneamente a torneira e ras. Em quantas horas um grupo de 20 alunos, o ralo, em quanto tempo esse tanque ficará cheio? lizam regra de 3 em situações trabalhando no mesmo ritmo, faria o mesmo que apresentam grandezas di- número de bandeirinhas? 4 horas e meia 12 horas. reta ou inversamente propor- cionais. ou 4,5 horas. 49 Alfredo colocou lajotas no piso do banheiro, que mede 4 m por 4 m de comprimento, e gastou Na atividade 47, chame a 41 Em 4 horas, Ulisses leu 60 páginas de um livro de R$ 100,00. Agora, ele quer colocar o mesmo tipo atenção dos alunos para o fato poemas. No mesmo ritmo, quantas páginas ele de lajota na cozinha, que mede 5 m por 6 m de de que a tabela fornece o preço lerá em 6 horas? 90 páginas. comprimento. Quanto Alfredo gastará na compra em reais para a compra de 3 co- das lajotas? R$ 187,50 pos. Pergunte: “Qual é o valor de 42 Guardando R$ 18,00 por mês, Gilberto conseguiu cada copo?”; “Qual é o valor de juntar certa quantia em 10 meses. Para obter 50 O pintor Peterson gastou uma lata com 2 L de 4 copos?”; “E o valor de 5 copos, essa mesma quantia em 8 meses, quanto ele de- tinta para pintar uma parede de medida de área considerando a promoção?”. veria ter guardado por mês? R$ 22,50 de 28 m2. a) Quantos metros quadrados Peterson pintará Na atividade 48, oriente os 43 Luísa e Brenda tiveram o mesmo aproveitamento com 3 L de tinta? 42 m2 alunos a calcular quanto a tor- em uma partida de handebol. Luísa arremessou neira enche e quanto o ralo es- 20 bolas ao gol e acertou 12. Brenda arremessou b) De quantos litros de tinta ele precisará para vazia o tanque em uma hora. As- 25 bolas. Quantos arremessos ela acertou? pintar uma parede de medida de área de 70 m2? 5 L sim, ao efetuar a diferença entre quanto o tanque enche e quanto 15 arremessos. 51 No caderno, resolva ele esvazia em uma hora, pode- esta situação de mos descobrir quanto tempo é 44 Com 6 folhas de papel de seda, Ademir fez 8 pipas 2 maneiras diferen- necessário para que fique cheio. iguais. Quantas pipas iguais a essas ele pode fa- tes, 1 delas por re- Como esse cálculo envolve sub- zer com 9 folhas de papel de seda? 12 pipas. gra de 3. tração de frações com denomi- Se a medida de altura nadores diferentes, retome, se 45 Lucimar tem uma corda para varal e vai dividi-la em do poste é de 14 m, necessário, esse assunto. pedaços, todos com a mesma medida de compri- então qual é a medida mento. Se cada pedaço tiver 4 metros de medida de altura da árvore? A atividade 49 trabalha o cál- de comprimento, então ele obterá 18 pedaços. Se culo das medidas de área de cada pedaço tiver 6 metros de medida de compri- 10,5 m uma região quadrada e de uma mento, então quantos pedaços ele obterá? região retangular. Se for preci- 52 Temos que 3 torneiras iguais enchem uma caixa- so, retome o cálculo da medida 12 pedaços. -d’água em 3 horas. Então 2 torneiras iguais a essas de área desses polígonos. enchem a mesma caixa-d’água em quantas horas? Na atividade 51, destaque 4 horas e meia ou 4,5 h. para os alunos que a medida de altura do poste foi dividida 218 CAPêTULO 7 ¥ Proporcionalidade em 4 partes iguais, como indi- cado à esquerda na figura. Ao final, peça que compartilhem a maneira de resolução dife- rente da regra de 3 para verifi- car como os alunos pensaram essa situação. Veja as resoluções destas ati- vidades nas páginas LVI a LVIII deste Manual. 218 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

3 Regra de 3 simples 53 Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrô- Se os valores obtidos nessas medições forem Atividades 53 a 55 nomo e matemático grego. Ele usou os conhe- 1,5 m, 1,2 m e 21 m, respectivamente, então qual Estas atividades contextuali- cimentos de Geometria e de proporcionalidade é a medida de altura do prédio? 26,25 m para determinar a medida de altura de uma pirâ- zam regra de 3 em situações que mide. Nos estudos, Tales observou que os raios 55 Porcentagem de números usando regra apresentam grandezas direta solares que chegavam à Terra estavam na posi- ou inversamente proporcionais. ção inclinada e eram paralelos; dessa maneira, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre de 3. Observe o que Ariane, Tadeu e João fizeram Na atividade 53, leia com os as medidas de comprimento da sombra e da al- alunos as informações sobre o tura dos objetos, conforme esta imagem. para calcular o valor de 60% de 35. procedimento elaborado por Ta- les de Mileto para o cálculo da 4m 3m Ariane medida de altura de uma pirâmi- 60% 5 60 5 3 de, incentivando-os a verificar 2 m 1,5 m se os triângulos da imagem são 100 5 proporcionais e, em seguida, re- Usando esse esquema, Tales conseguiu medir a al- solver a situação proposta. Se tura de uma pirâmide observando a medida de com-Banco de imagens/ 3 de 35 5 21, pois 35 4 5 5 7 e 3 3 7 5 21. achar conveniente, sugira uma primento da sombra dela. Para tal situação ele pro-Arquivo da editora 5 rápida pesquisa sobre Tales de cedeu da seguinte maneira: fincou uma estaca na Logo, 60% de 35 5 21. Mileto. Assim, os alunos devem areia, mediu o comprimento das sombras respectivas compartilhar com a turma as in- da pirâmide e da estaca em determinada hora do dia Tadeu formações mais importantes e estabeleceu a proporção. que encontrarem. A pirâmide de Queóps tem medida de atura de, apro- 60% 5 60 5 0,60 5 0,6 ximadamente, 146 m. Suponha que em determina- 100 da hora do dia ela projetasse uma sombra com me- dida de comprimento de 10 m e, para medi-la, Tales 0,6 de 35 5 0,6 ? 35 5 21 fincasse no solo uma estaca que projetasse uma sombra com medida de comprimento de 20 cm. Qual Logo, 60% de 35 5 21. Veja a resolução da atividade seria a medida de altura da parte visível da estaca? 53: João 2,92 m 60 5 x As grandezas são diretamen- 54 A professora queria saber qual equipe da turma 100 35 descobriria a maneira mais fácil para medir a altu- te proporcionais. ra de um prédio. Veja o que propôs a equipe de Alberto: subir em 100x 5 60 ? 35 ~ 100x 5 2100 ~ x 5 2100 5 21 146 5 x ~ x 5 2,92 m uma escada de bombeiro e medir com uma régua. 100 10 0,2 A equipe de Rogério não achou esse procedimen- to nada prático e sugeriu efetuar algumas medidas Logo, 60% de 35 5 21. O comprimento da estaca e usar proporcionalidade. Em um dia de sol, no mesmo instante e no mesmo mede 2,92 m. lugar, eles deveriam medir: Converse com um colega sobre qual dos métodos Veja a resolução das ativida- • o comprimento do cabo está correto. Depois, use um deles para calcular o des 54 e 57. de uma vassoura; valor de 30% de 240. Todos estão corretos; 72. 54. As grandezas são inversa- • o comprimento da som- bra da vassoura quando 56 Copie as igualdades no caderno e use o processo mente proporcionais. ela é colocada vertical- que julgar mais conveniente para completá-las mente apoiada no chão; com os números corretos. 1,5 5 1,2 ~ x 5 26,25 a) 35% de 120 crianças 5 crianças 42 x 21 • o comprimento da som- b) 25% de °C 5 217 °C 268 bra do prédio. c) % de 90 livros 5 63 livros 70 A altura do prédio mede d) 40% de R$ 723,00 5 R$ 289,20 e) 75% de R$ 5 R$ 1 800,00 2 400,00 26,25 m. f) % de 2R$ 8,00 5 2R$ 0,32 4 57. 90 5 378 ~ 100 x ~ x 5 4 200 O número de eleitores inscri- tos era 4 200. 4 200 2 3 780 5 420 Paulo Manzi/Arquivo da editora Você sabia? Deixaram de votar 420 elei- tores. Cerca de 75% da massa de uma pessoa é constituída por água. Assim, se uma pessoa tem medida de massa de 80 kg, Atividades 55 e 56 então ela tem 60 kg de água, pois 75% de 80 é igual a 60. Estas atividades desenvol- 57 Em uma eleição de uma pequena cidade, votaram vem o cálculo de porcentagens 3 780 eleitores, que correspondem a 90% da po- a partir do uso de regra de 3. pulação votante. a) Qual era o número de eleitores que podiam votar? A atividade 55 deve ser resol- b) Quantos eleitores deixaram de vo4t2a0r?0 eleitores. vida em dupla e oralmente, mas peça aos alunos que registrem 420 eleitores. no caderno como obtiveram os resultados. Verifique se perce- Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 219 bem que os 3 métodos apresen- tados estão corretos. Pergunte: “Qual procedimento vocês pre- ferem utilizar?”. E permita que cada aluno use o método que preferir na resolução da ativida- de 56. Você sabia? Solicite a leitura do texto e, se possível, peça que pesquisem a porcentagem de água que com- põe a massa de animais e de plantas, escolhidos pelos alu- nos. Essa exploração pode ser ampliada em conjunto com as aulas de Ciências. 219MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

4 Outras atividades 4 Outras atividades e problemas que e problemas que envolvem envolvem proporcionalidade proporcionalidade Principal habilidade Atividades da BNCC EF07MA17 Você sabia? Você sabia? Um movimento é chamado de uniforme quando Proponha a leitura do texto a medida de velocidade é constante. Além das grandezas já estudadas, existem outras grandezas que explica velocidade média e especiais; a velocidade média e a densidade demográfica são Agora é sua vez! Resolva no caderno a seguinte si- densidade demográfica como exemplos disso. tuação-problema: Um carro de corrida percorre, casos especiais de razão. Em A velocidade média é a razão entre a medida de distância a uma velocidade constante de medida de 20 km de seguida, pergunte: “Quais são as percorrida e o tempo gasto. distância em 6 minutos. Qual medida de distância ele grandezas relacionadas à velo- Ou seja, se um automóvel percorre 240 quilômetros em percorrerá em 15 minutos? 50 km cidade média?”; “Quais são as 3 horas, então a velocidade média desse veículo, em quilôme- grandezas relacionadas à den- tros por hora, é calculada pela razão entre 240 e 3. sidade demográfica?”. Incenti- ve-os a calcular a medida de ve- 240 5 80 5 80 ñ 80 km/h (Lemos: 80 quilômetros por hora.) 59 Um carrinho de corda percorreu, em um movi- locidade média de caminhada 3 1 mento uniforme, 30 cm em 4 segundos. Quantos deles e a densidade demográfi- metros ele percorrerá em 5 minutos? 22,5 m ca da sala de aula. Já a densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de habitantes dessa região e a medida de área da região. 60 Um trem desloca-se a uma velocidade constante Atividades 58 a 61 Por exemplo, se um município tem população de 12 000 habi- de medida de 80 km/h. Quanto tempo ele demo- Estas atividades apresen- tantes e medida de área de 150 km2, então a densidade demo- rará para percorrer 200 km? 2,5 h ou 2 h 30 min. gráfica desse município é de 80 habitantes por quilômetro tam o conceito de movimento quadrado (80 hab./km2). 61 Em quanto tempo um carro, com velocidade cons- uniforme a partir de grandezas tante de medida de 90 km/h, atravessa um túnel diretamente proporcionais e 12 000 5 1 200 5 80 5 80 ñ 80 hab./km2 de medida de comprimento 3 km? 2 min regra de 3. Confira a resolução 150 15 1 das atividades. (Lemos: oitenta habitantes por quilômetro quadrado.) 62 Ampliação e redução de figuras planas. Va- mos fazer uma ampliação da figura a seguir na 58. 20 5 6 ~ 6x 5 300 ~ 58 Movimento uniforme: velocidade constante. Ob- razão 2 : 1. Isso significa que, para a medida de x 15 serve os dados do movimento de uma motocicle- comprimento 1 da figura original, devemos ter a ta que se desloca a uma velocidade constante de medida de comprimento 2 na figura ampliada. medida de 50 quilômetros por hora (50 km/h). ~ x 5 50 Figura original. Figura ampliada. Deslocamento da motocicleta Ele percorrerá 50 km em Banco de imagens/Arquivo da editora 15 minutos. Intervalo de tempo (em h) 123 59. 30 5 4 ~ Distância percorrida (em km) 50 100 150 x 300 ~4x 5 9000 ~ x 5 2250 Tabela elaborada para fins didáticos. 2250 cm 5 22,5 m Veja que as grandezas intervalo de tempo e dis- Ele percorrerá 22,5 m em tância percorrida são diretamente proporcionais: Thiago Neumann/Arquivo da editora 5 minutos. 1 5 2 5 3 ou 50 100 150 Quando fazemos uma redução 60. 80 5 1 ~ 1 5 50 ; 2 5 100 ; 1 5 50 ou uma ampliação usando escala, 200 x 2 100 3 150 3 150 dizemos que a figura original e a figura obtida são figuras ~ 80x 5 200 ~ x 5 2,5 semelhantes. Em figuras semelhantes, os ângulos Ele demorará 2 h 30 min pa- Assim, podemos calcular a medida de distância correspondentes permanecem com ra percorrer 200 km. percorrida em 1,5 h a uma velocidade constante de as mesmas medidas de abertura. medida de 50 km/h. 61. 90 5 1 ~ 90x 5 3 ~ Com um colega, ampliem a figura original no ca- 3 x 1 5 50 ~ x 51,5 ? 50 575 derno na razão 3 : 1. 1 1,5 x ~ x5 30 Logo, a medida de distância percorrida em 1,5 h foi 1 h 5 2 min de 75 km. 30 O carro leva 2 min para atra- vessar o túnel. Leia, com os alunos, as in- 220 CAPÍTULO 7 ¥ Proporcionalidade formações apresentadas na atividade 58, explicando que, ções da turma, a medida de distância percorrida em 1,5 h, verifi- alguns exemplos de ampliação e redução para os alunos. Veja a am- quando a medida de velocidade cando o entendimento dos alunos sobre o assunto. pliação da figura original na razão 3 : 1, como pedido na atividade. é constante, o movimento cha- ma-se uniforme. Em seguida, Atividade 62 Banco de imagens/ proponha que observem os da- Esta atividade trabalha ampliação e redução de figuras a partir de Arquivo da editora dos da tabela, que indica as grandezas intervalo de tempo grandezas diretamente proporcionais e regra de 3. em horas e medida de distân- cia percorrida em quilômetros. Leia, junto com a turma, as informações da atividade, explicando Questione se essas grandezas que, em figuras semelhantes, as medidas de abertura dos ângulos são diretamente proporcionais correspondentes são iguais, e as medidas de comprimento dos lados e calcule, a partir das indica- correspondentes são proporcionais. Se achar conveniente, apresente 220 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

64. b) Sim; como as razões são iguais e os ângulos c) 6,9 cm  1,5 5 4,5 ~ 1,5x 5 10,35 ~ x 5 6,9 das fotos são todos retos, isso significa que as  2,3 x figuras são semelhantes. 4 Outras atividades e problemas que 63 Em uma folha de papel quadriculado, faça o que é de B desenvolve medida de velocidade média de envolvem pedido em cada item. 48 km/h, então qual é a medida de distância entre proporcionalidade as estações A e B? 11 km Banco de imagens/Arquivo da editora Atividade 63 66 Pontos de táxi. Em algumas cidades, há pon- Veja a resolução desta ativi- tos de táxi muito disputados por terem bastante movimento. Veja alguns desses principais pontos dade abaixo. em determinada cidade e alguns números que eles apresentam. Atividade 64 Esta atividade desenvolve o Informações sobre os pontos de táxi da cidade assunto ampliação e redução de figuras, usando grandezas a) A redução da figura acima na razão 1 : 2. Local Aeroporto Rodoviária Shopping diretamente proporcionais e re- b) A ampliação da figura acima na razão 3 : 2. Circulação de 58 000 90 000 48 000 gra de 3. pessoas por dia 336 327 106 64 As medidas das dimensões de 2 fotos, a original Táxis no ponto 350 100 200 Atividade 65 e outra ampliada, são proporcionais. Rose tirou Lucro do taxista por uma foto na praia e mandou ampliá-la. As medi- dia (em reais) Para a resolução desta ati- das das dimensões da foto original são 1,15 cm por 1,8 cm, e as da ampliação, 4,6 cm por 7,2 cm. vidade, devem ser usados os a) Determine a razão entre as medidas de largu- ra e as medidas de comprimento da ampliação conceitos de grandezas direta- em relação à foto original. 4,4. b) As razões encontradas foram iguais? O que mente proporcionais. Como isso significa? c) Se uma nova fotografia, igual a essas, for feita são apresentadas medidas de com medida de largura de 4,5 cm, então qual será a medida de comprimento dela? Tabela elaborada para fins didáticos. velocidade média, se achar ne- Com um colega, considerem os dados da tabela cessário, explique aos alunos acima e verifiquem quais das afirmações a seguir são verdadeiras. Expliquem suas escolhas. que a medida de velocidade média é a razão entre as medi- das de distância e de tempo. a) O local com maior circulação de pessoas é o Verifique a resolução. que dá maior lucro ao taxista. Primeiro calculamos a medi- b) O local em que há mais táxis é aquele em que o da de distância que o trem que taxista lucra mais. Verdadeira; o aeroporto tem sai de A percorre. essas 2 características. 40 60 c) O local em que a razão entre o número de pes- x 5 7,5 ~x55 soas circulantes por dia e o número de táxis Logo, o trem que sai de A per- Banco de imagens/ no ponto é maior é aquele que corresponde ao corre 5 km. Arquivo da editora menor lucro do taxista. Analogamente, calculamos Luis Salvatore/Pulsar Imagens 67 Analise a tabela a seguir. 67. a) 117 600 (336 3 350 5 117 600) a medida de distância que o 32700 (327 3 100 5 32700) trem que sai de B percorre, e Informações sobre os pontos 21200 (106 3 200 5 21200) de táxi da cidade descobrimos que são 6 km. Ve- ja: 48 5 60 ~ x56 x 7,5 Locais Aeroporto Rodoviária Shopping 106 Logo, a distância entre as es- Táxis no ponto 336 327 200 tações A e B é 11 (5 1 6 5 11). Lucro do taxista por 350 100 Atividades 66 e 67 dia (em reais) Nestas atividades, são abor- Foto original e foto ampliada. Lucro total do dadas informações sobre pontos 65 Metrô de Brasília. A figura abaixo representa uma ponto (em reais) de táxi a partir da interpretação das linhas da rede metroviária de Brasília. Consi- de informações disponibiliza- dere 2 composições de metrô saindo ao mesmo Tabela elaborada para fins didáticos. das em uma tabela, do preen- tempo das estações A e B e chegando juntas à chimento de outra tabela e do estação P 7 minutos e meio após partirem. a) Copie a tabela no caderno e complete os espa- trabalho com grandezas direta ços que estão faltando. e inversamente proporcionais. AP B b) Se o número de táxis no shopping passar para Veja a resolução da ativida- Se a composição que parte de A desenvolve medi- 212, então qual será o lucro do taxista por dia? de 67. da de velocidade média de 40 km/h e a que parte 100 reais por dia. b) As grandezas são inversa- mente proporcionais, ou c) Se o lucro do taxista por dia na rodoviária pas- seja, dobrando o número sar para 300 reais, então qual será o lucro total de táxis, o lucro do taxista do ponto? 98 100 reais. cai para a metade. 66. a) Falsa; a circulação de pessoas é c) Falsa; o shopping é o lugar em que essa razão é 221 c) As grandezas são direta- maior na rodoviária, mas o lucro maior, mas o menor lucro do taxista é na rodoviária. mente proporcionais, ou é maior no aeroporto. Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 seja, triplicando o lucro do taxista, triplica o lucro total Veja a resolução da ativi- do ponto. dade 63. Ilustrações: Banco de imagens/ a) Como se trata de uma Arquivo da editora redução, deve-se dividir todas as medidas de comprimento por 2. b) Como se trata de uma ampliação, para cada 2 com- primentos da figura dada, coloca-se 3 no desenho a ser feito. 221MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

Jogos JOGOS Principal habilidade Jogo da proporcionalidade da BNCC Vamos jogar? Neste jogo, você e os colegas aplicarão os conteúdos de proporcionalidade que estudaram. EF07MA17 Preste atenção às orientações e bom jogo! Peça aos alunos que se orga- Orientações nizem em grupos de 4 pessoas, distribua uma moeda para cada Número de participantes: 4 jogadores (2 duplas de alunos). grupo e leia, junto com eles, as Material necessário: 1 moeda. regras do jogo, explicando-as novamente se necessário. Des- Como jogar taque que a dupla que ganhar mais rodadas vence o jogo e que Em cada rodada, uma das duplas lança a moeda. Se ela cair com a face cara voltada para cima, então a dupla que a vitória em cada rodada depen- lançou a moeda fica com o item a e a outra dupla, com o item b. Se a face coroa for sorteada, então invertem-se os itens. de da condição dada. Ganha a partida a dupla que vencer mais rodadas, ao final das 6 rodadas propostas. Solicite aos alunos que resol- vam todos os itens, mesmo os • 1a rodada: vence a dupla que tem a razão de menor valor. referentes à dupla adversária. Se achar conveniente, crie ou a) Razão entre os números 10 e 30, nessa ordem. 1 peça a eles que criem outras ro- b) Razão entre os números 5 e 20, nessa ordem. 1 3 dadas. Vencedor: b.  1 < 1 4  4 3 Em ordem crescente, as ro- dadas apresentadas no livro • 2a rodada: vence a dupla que tem a leitura de uma proporção. trabalham os assuntos: com- paração de razões, propriedade a) 8 está para 2, assim como 12 está para 3. 8 5 12 fundamental das proporções, re- gra de 3, porcentagem de núme- 23 ros usando regra de 3, grande- zas inversamente proporcionais b) 9 está para 18, assim como 4 está para 12. 9 = 4 Vencedor: a. e densidade demográfica. 18 12 Ao final do jogo, os alunos de- vem calcular os pontos de cada • 3a rodada: vence a dupla cujo valor de x na proporção é um número inteiro. dupla e definir quem venceu. a) 255 x 5 12 1 5x 2 b) 4 5 6 x 5 9 Vencedor: b. 6x • 4a rodada: vence a dupla que tem o resultado de maior valor. a) 40% de 80 5 ? 32 b) 25% de 120 5 ? 30 Vencedor: a. • 5a rodada: vence a dupla que tem 2 grandezas inversamente proporcionais. a) Distância e intervalo de tempo para percorrer um percurso, com velocidade constante. b) Velocidade média e intervalo de tempo para percorrer um percurso. Vencedor: b. • 6a rodada: vence a dupla que tem maior densidade demográfica. a) Região de medida de área de 50 km2 com 10 000 habitantes. 200 hab/km² b) Região de medida de área de 30 km2 com 9 000 habitantes. 300 hab/km² Vencedor: b. Ilustranet/Arquivo da editora 222 CAPêTULO 7 ¥ Proporcionalidade 222 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

5.  2 5 x ~x 5 12; 18 112 5 30 6.  1 5 x ~ x 5 12 7. b) (7 km e 800 m; 7 km e 400 m; 7 km; 3 18 75 900 6 km e 600 m; 6 km e 200 m; 5 km e 800 m) Revisando seus conhecimentos Veja a resolução da ativida- de 2 na página LVIII deste Ma- 1 Renata arremessou uma bola de basquete 20 vezes e 6 A medida da altura de uma árvore é 9 m. Se ela for nual. acertou 8 vezes. Bianca fez 15 arremessos e acertou desenhada com escala de 1 : 75, então a medida de Atividade 3 Esta atividade retoma o cál- 5 vezes. Qual delas obteve o melhor aproveitamento? altura no desenho será de: culo da medida de abertura de Renata. X a) 12 cm. c) 18 cm. um ângulo, sabendo-se que es- se ângulo e o adjacente a ele 2 Raimundo comprou um relógio que tem apresentado b) 15 cm. d) 20 cm. são suplementares. o seguinte problema: ele atrasa 21 segundos a cada Atividade 4 Esta atividade trabalha a pro- 7 dias. Quanto ele atrasará em 360 dias? 18 minutos. Banco de imagens/ Raciocínio lógico 3 Qual é a medida de abertura do ângulo ABC ? Arquivo da editora priedade fundamental das pro- Para percorrer uma distância, uma galinha dá 10 passos. Cada porções com razões entre gran- (10x 1 18° 1 8x 5 180° ~ 2 passos da galinha correspondem a 5 passos do passarinho. dezas diretamente proporcio- ~ 18x 5 162° ~ x 5 9°; A Quantos passos o passarinho deve dar para percorrer a mesma nais, grandezas inversamente 8x 5 8 3 9° 5 72°) distância? 25 passos. proporcionais, medidas de com- primento e de perímetro, medi- 10x 1 18¡ 8x 7 Medida de comprimento. das de comprimento e de área e a) Descubra a regularidade, copie a sequência no ca- medidas de comprimento e de BC derno e complete-a. volume. a) 80° b) 88° X c) 72° d) 64° Nos itens e e f, são efetuadas operações (adição ou multipli- 4 Copie as afirmações abaixo no caderno e indique se 1 m e 60 cm 1 m e 90 cm 2 m e 20 cm cação) no numerador e no deno- cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de minador de razões para verificar se são proporcionais a uma das ser verdadeira, dê 3 exemplos que confirmem a afir- 2 m e 50 cm 2 m e 80 cm; razões originais. 3 m e 10 cm. Veja a resolução desta ativi- mação feita. No caso de ser falsa, dê 1 contraexemplo. b) Forme uma sequência de 6 termos, na qual o 1o ter- dade na página LVIII deste Ma- a) Se a razão entre os números racionais a e b é igual mo é 7 km e 800 m, e cada termo, a partir do 2o, tem nual. 400 m a menos do que o anterior. à razão entre os números racionais c e d, então Raciocínio lógico a ? d 5 b ? c. Para a resolução desta situa- b) A razão entre um número racional diferente de 8 Invente um problema usando as medidas de massa ção, deve ser usado o assunto zero e o quadrado dele é sempre igual a 1 . 15,2 g e 15,2 kg. Resposta pessoal. grandezas diretamente propor- 2 cionais. 9 Copie cada frase no caderno e complete-a com uma c) Se os números racionais a e b são diretamente Atividade 8 Nesta atividade, permita que proporcionais aos números racionais c e d, nessa dessas expressões: sempre é, nunca é ou às vezes é. os alunos escrevam um proble- ordem, então a ? c 5 b ? d . Considere x no conjunto dos números naturais. ma sobre o tema que desejarem usando as medidas de massa d) Se os números racionais a e b são inversamente a) O valor numérico de 2x 1 1 um número ímpar. dadas. No entanto, incentive-os proporcionais aos números racionais c e d, nessa a trabalhar algum assunto rela- Sempre é. cionado à proporcionalidade, te- ordem, então a ? c 5 b ? d . ma deste capítulo. e) Sendo a, b, c e d números racionais, se a 5 c , b) O valor numérico de x 2 1 1 um número par. então ac 5 a . bd Se achar conveniente, peça Às vezes é. aos alunos que troquem as si- tuações criadas com um colega, c) O valor numérico de 6x 1 1 um múltiplo de 3. para que um resolva a do outro. Nunca é. Atividade 9 Esta atividade retoma o as- d) O valor numérico de x 2 1 x 1 7 um menor do sunto valor numérico de expres- bd b que 5. Nunca é. sões algébricas. f) Sendo a, b, c e d números racionais, se a5c , e) O valor numérico de 3x 1 1 um número ímpar. Atividades 10 e 11 bd Estas atividades revisam a então a 1 c 5 a . x2 1x Às vezes é. b1d b f) O valor numérico de comparação de frações de de- um número natural. nominadores diferentes. g) A razão entre as medidas de comprimento dos la- 2 Sempre é. Na atividade 11, se necessá- rio, avise aos alunos que não dos de 2 quadrados é igual à razão entre as medi- 10 Em uma avaliação, Felipe acertou 5 das perguntas existe apenas uma resposta 6 correta. das de perímetro deles, na mesma ordem. e Anelise acertou 4 delas. Quem acertou mais per- h) A razão entre as medidas de comprimento dos la- guntas? 5 dos de 2 regiões quadradas é igual à razão entre as 11 Os carros de Marcelo, Sandro e Ricardo têm tanques medidas de área delas, na mesma ordem. i) A razão entre as medidas de comprimento das com a mesma medida de capacidade. Para ir de uma arestas de 2 cubos é igual à razão entre as medi- das de volume deles, na mesma ordem. cidade A para uma cidade B, o carro de Marcelo gas- tou 5 da medida de capacidade do tanque e o carro 5 Em uma turma, a razão entre o número de meninas 6 de Sandro gastou 5 . Sabendo que o carro de Ricardo gastou menos do q8ue o carro de Marcelo e mais do e o de meninos é de 2 para 3. Se nessa turma há que o carro de Sandro, escreva no caderno uma fração 18 meninos, então o número total de alunos é: que represente o quanto da medida de capacidade do a) 45. X b) 30. c) 36. d) 40. tanque o carro dele gastou. 10. Felipe.  5 5 25 ; 4 5 24 ; 25 > 24  11. Exemplos de resposta: 5, 13 , 7 e 8 .  Frações que estão entre 5 e 5 .  6 30 5 30 30 30  7 20 10 10  8 6 223 Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 Revisando seus conhecimentos Renata: 8 em 20, ou seja, 8 5 2 . 20 5 Principal habilidade da BNCC EF07MA17 Bianca: 5 em 15, ou seja, 5 5 1 . 15 3 Atividade 1 2 > 1 Nesta atividade, os alunos devem definir as razões entre o número 5 3 de arremessos e o número de acertos de Renata e de Bianca e com- Logo, Renata obteve o melhor aproveitamento. pará-las. Veja a resolução desta atividade. Atividades 2, 5 e 6 Estas atividades podem ser resolvidas usando-se regra de 3 em situações de proporcionalidade direta. A atividade 6 trabalha o assunto escala. 223MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

Testes oficiais Testes oficiais Principal habilidade 1 (Prova Brasil) Uma torre de comunicação está repre- 5 (Saeb) Em uma cidade em que as passagens de ôni- da BNCC sentada na figura. bus custam R$ 1,20, saiu em um jornal a seguinte EF07MA17 Unidade: manchete: Banco de imagens/Arquivo da editora Atividade 1 Reprodução/Obmep, 2013.“Novo prefeito reajusta o preço das passagens de Esta atividade trabalha de ônibus em 25% no próximo mês”. maneira teórica a redução de uma figura. Qual será o novo valor das passagens? Atividades 2 a 6 a) R$ 1,23 c) R$ 1,45 Nestas atividades, os alunos b) R$ 1,25 X d) R$1,50 podem usar regra de 3 em situa- ções que apresentam proporcio- 6 (Saeb) Trabalhando 10 horas por dia, um pedreiro nalidades direta ou inversa ou porcentagem. constrói uma casa em 120 dias. Em quantos dias ele Atividade 7 construirá a mesma casa, se trabalhar 8 horas por dia? Nesta atividade, peça aos alu- a) 96 b) 138 X c) 150 d) 240 nos que determinem as porcen- tagens das medidas de área de Para construir uma miniatura dessa torre que tenha 7 (Obmep) Dois quadrados de papel se sobrepõem cada região quadrada que está dimensões 8 vezes menores que a original, deve-se: como na figura. A área não sobreposta do quadrado sobreposta e que calculem a ra- a) multiplicar as dimensões da original por 8. menor corresponde a 52% da área desse quadrado e zão entre essas medidas, desta- X b) dividir as dimensões da original por 8. a área não sobreposta do quadrado maior correspon- cando que essa razão é entre as c) multiplicar as dimensões da original por 4. de a 73% da área desse quadrado. medidas de área e que se deseja d) dividir as dimensões da original por 4. descobrir a razão entre as medi- das de comprimento do lado. 2 (Enem) Para uma atividade realizada no laborató- Qual é a razão entre os lados do quadrado menor e do rio de Matemática, um aluno precisa construir uma Atividades 8 a 10 maquete da quadra de esportes da escola, que tem quadrado maior? c) 2 e) 4 Estas atividades podem ser 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maque- X a) 3 3 5 te deverá ser construída na escala de 1 : 250. resolvidas usando-se regra de 3 4 em situações de proporcionali- dade direta ou inversa. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o alu- b) 5 d) 4 87 Na atividade 10, que traba- no utilizará na construção da maquete? lha escala, alerte os alunos para o fato de que 1 cm2 na a) 4,8 e 11,2 d) 28,0 e 12,0 8 (UFSM-RS) Uma ponte é feita em 120 dias por planta corresponde a 2 500 cm2 (50 3 50) ou 0,25 m2 reais. b) 7,0 e 3,0 e) 30,0 e 70,0 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores X c) 11,2 e 4,8 for elevado para 24, o número de dias necessários 3 (Saresp) Na composição da água (H2O) há 2 átomos para a construção da mesma ponte será: de hidrogênio para 1 átomo de oxigênio. Em certa a) 180. c) 100. e) 60. quantidade de água há 3 800 átomos de hidrogênio. b) 128. X d) 80.  16 5 x ~ x 5 80  24 120 Então, o número de átomos de oxigênio nesta quan- 9 (Fuvest-SP) A sombra de um poste vertical, projeta- tidade de água é: da pelo Sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse a) 190. X c) 1 900. mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de b) 760. d) 7 600. 1 m de altura mede 0,6. A altura do poste é: a) 6 m. c) 12 m. e) 72 m. 4 (Enem) Uma mãe recorreu à bula para verificar a do- b) 7,2 m. X d) 20 m.  1 5 x ~ x 5 20 sagem de um remédio que precisava dar a seu filho.  0,6 12 Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 go- tas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. 10 (Fuvest-SP) Um engenheiro fez a planta de um apar- tamento, de modo que cada centímetro do desenho corresponde a 50 centímetros reais. Então a área real Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a de um terraço que tem 20 cm2 na planta é, em me- seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de: tros quadrados, igual a: X a) 12 kg. c) 24 kg. e) 75 kg. a) 2. X c) 5. e) 10. b) 16 kg. d) 36 kg. b) 4. d) 8. 10. (1 cm2 4 2 500 cm2; 20 3 2 500 5 50 000; 50 000 cm2 5 5 m2) 224 CAPêTULO 7 ¥ Proporcionalidade 224 CAPÍTULO 7 - MANUAL DO PROFESSOR

VERIFIQUE d) Com certa quantia é possível dar R$ 30,00 para Verifique o que O QUE ESTUDOU cada pessoa, em um grupo de 6 pessoas. Se fos- estudou sem só 3 pessoas, então seria possível dar R$ 1 O conceito de razão nos permite comparar 2 grande- a cada uma. 60,00 Principal habilidade da BNCC zas. Dê exemplos que justifiquem essa afirmação. e) Renato tinha um pacote com 200 folhas de pa- pel sulfite. Como já usou 60% delas, ele ainda tem EF07MA17 Resposta pessoal. folhas. 80 Atividades 1, 2 e 4 2 Uma turma tem 15 meninos e 18 meninas. f) Se na planta de uma casa um corredor que tem Estas atividades trabalham o 6 m de medida de comprimento aparece com a) Qual é a razão entre o número de meninos e o nú- 3 cm de medida de comprimento, então a escala assunto razão e se estendem usada nessa planta é 1 : . 200 até proporção e propriedade mero de meninas? 5  15 5 5 fundamental das proporções. 6  18 6 g) Em uma região com medida de área de 400 km2, vive uma população de 80 000 habitantes. A den- Atividades 3 e 9 b) Qual é o número de meninas para cada 10 meninos? sidade demográfica dessa região é de . 200 hab./km² Estas atividades trabalham 3 A planta de uma casa está desenhada na escala h) A ampliação de uma fotografia 3 por 4, se tiver com escalas, devendo-se des- 1,5 m . Desenhe no caderno como será na planta o medida de largura de 12 cm, então terá medida de cobrir as medidas de compri- desenho de uma sala retangular de medidas de di- comprimento de . 16 cm mento dos lados de uma sala na mensões de 4,5 m por 6 m. Terá 3 cm por 4 cm. planta e a medida real de distân- i) 50% de 12 5 ; 50% de 5 12 e % de 12 5 3. cia entre 2 localidades. 4 Ao igualar 2 das razões dos itens, podemos formar 6; 24; 25. Atividades 5 e 8 uma proporção. Quais delas formam uma proporção? Nestas atividades, são abor- 6 8 Copie as afirmações no caderno e complete-as de X a) 4 : 10 b) 9  4 5 6  X c) 6 para 15. maneira conveniente. Exemplos de resposta: dadas grandezas diretamente 10 15 a) Se 3 cadernos custam R$ , então cadernos cus- proporcionais e grandezas inver- tam R$ . 15,00; 6; 30,00. samente proporcionais. 5 Indique no caderno uma situação que envolva gran- b) Uma região retangular de medidas de dimensões de 3 cm por cm tem a mesma medida de área de Atividade 6 dezas diretamente proporcionais e outra que envolva outra região retangular de medidas de dimensões Nesta atividade, são apre- de 6 cm por cm. 4; 2. grandezas inversamente proporcionais. Explique a rela- sentadas porcentagens, po- 9 Observe um mapa e destaque 2 localidades. Meça dendo ser calculadas por regra ção entre as grandezas em cada situação e resolva-as. a distância entre elas, em centímetros, confira a es- de 3 ou da forma que os alunos cala no mapa e calcule a medida de distância real, em preferirem. Resposta pessoal. quilômetros. Resposta pessoal. Atividade 7 6 Copie os itens no caderno, calcule e complete. Atenção Esta atividade apresenta vá- a) 35% de 120 5 42 c) % de 2150 5 269 Retome os assuntos que você estudou neste capítulo. Verifique rias aplicações de proporciona- b) 40% de 5 90 225 em quais teve dificuldade e converse com o professor, buscan- lidade, trabalhando: diferentes 46 do maneiras de reforçar seu aprendizado. representações de razões, pro- porção, grandezas diretamen- 7 Em cada item, um aluno calcula mentalmente te proporcionais, grandezas in- o valor que completa a frase e diz a resposta. Os de- versamente proporcionais, por- centagem, escala, densidade mais conferem e todos registram no caderno. demográfica e ampliação de figura. a) A razão de 6 para 212 na forma de fração irredu- Autoavaliação tível é , na forma decimal é e na forma de por- As questões de autoavalia- centagem é . 2 1 ; 20,5; 250%. ção apresentadas propiciam aos 2 alunos refletir sobre os estudos, as atitudes e as aprendizagens. b) 15 está para 5 assim como 90 está para . 30 Dê um tempo para que cada alu- no reflita individualmente sobre c) Se com 3 latas de tinta é possível pintar uma pa- elas e registre as respostas no caderno. Em seguida, àqueles rede com medida de área de 200 m2, então com que desejarem, permita que compartilhem as respostas com 6 latas de tinta é possível pintar uma parede com os colegas. medida de área de . 400 m² Ao longo do ano, é importante a retomada dos registros de au- 2. b) 12 meninas.  5 5 10 ~ x 5 12 toavaliação feitos no fim de cada  6 x capítulo, para que eles possam perceber e mensurar o quanto Autoavaliação aprenderam e melhoraram em diversos aspectos. Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita sobre elas. Respostas pessoais. Em relação às perguntas pro- postas nesta página, converse • Participei das atividades propostas, contribuindo com o professor e com os colegas para melhorar a qualidade com a turma sobre a participa- das aulas? ção nas propostas de aula. En- fatize a importância de realizar • Fiz as atividades em sala de aula e as propostas para casa? todas as atividades. • Sei identificar situações que não envolvem proporcionalidade e diferenciar situações que envolvem proporciona- lidade direta ou inversa? • Ampliei meus conhecimentos de Matemática? Proporcionalidade • CAPÍTULO 7 225 225MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 7

Abertura CAPÍTULO Matemática financeira: regra de Principais habilidades 8 sociedade, acréscimos da BNCC  e decréscimos EF07MA02 EF07MA09 Rodrigo Pascoal/Arquivo da editora Explique aos alunos que, neste capítulo, serão estudados assuntos relacionados à Mate- mática financeira. Questione: “Quais temas de Matemática fi- nanceira estão presentes no cotidiano?”. Incentive-os a compartilhar experiências e co- nhecimentos relacionados a transações bancárias, paga- mento de impostos, planeja- mento e utilização de mesadas e salários, entre outros. Nesta página, proponha que observem a imagem e analisem as ofertas para a compra dos re- frigeradores. Pergunte: “Qual de- les sai mais barato para compra à vista?”; “E para compra a pra- zo?”. Na lousa, responda a es- sas perguntas a partir das indi- cações dos alunos. 226 226 CAPÍTULO 8 - MANUAL DO PROFESSOR

Para as compras do comércio, transações bancárias, pagamen- Abertura to de impostos, planejamento da utilização do salário e muitas outras situações, precisamos desenvolver habilidades de como Peça aos alunos que leiam lidar com o dinheiro. os balões de fala de Antônio e Marisa e, em grupo, analisem Na imagem da página ao lado aparece o anúncio de 2 lojas de as escolhas feitas por eles para eletrodomésticos com planos de pagamentos diferentes para o responder às questões desta mesmo refrigerador. Veja as escolhas de Antônio e Marisa. página. Eu vou comprar à Eu vou comprar a Em seguida, incentive-os a vista e escolhi a loja prazo e escolhi a loja compartilhar experiências de Boa Compra! Compre Certo! análise de preços em compras a prazo e à vista. Pergunte: “Em Ilustrações: Thiago Neumann/ geral, é mais vantajoso comprar Arquivo da editora à vista ou a prazo?”; “Que fato- res devem ser levados em conta Neste capítulo serão estudados diversos assuntos relaciona- para a análise?”. Verifique as hi- dos ao que chamamos de Matem‡tica financeira. póteses dos alunos, ajudando-os a compreender que: Converse com os colegas sobre as questões seguintes e registre no caderno os cálculos e as respostas. • a compra à vista tem des- conto em relação à compra a prazo e o pagamento é fei- to apenas uma vez, não ha- vendo débitos nos meses seguintes; • a compra a prazo pode ser uma forma mais acessível de comprar algo quando não se tem todo o dinheiro ne- cessário no momento ou quando o produto tem alto valor, mas deve ser planeja- da, pois os débitos são fei- tos nos meses seguintes de acordo com a quantidade e o valor das parcelas defini- dos na compra. Se necessário, leve para a sa- la de aula alguns folhetos de compra e peça aos alunos que comparem a diferença entre os preços à vista e a prazo. 1 Qual é a diferença entre comprar à vista e comprar a prazo? À vista: o pagamento é feito todo no ato da compra; a prazo: é feito em várias prestações, às vezes com valor de entrada à vista. 2 Como podemos calcular mentalmente 10% de uma quantia? 10 1. Dividindo a quantia por 10, pois 10% 5 5 100 10 3 Quanto Antônio vai pagar a menos comprando na loja Boa Compra? R$ 387,00 a menos. (10% de 3 870 5 3 870 4 10 5 387; 3 870 2 387 5 3 483; 3 870 2 3 483 5 387) 4 Quais cálculos Marisa fez para concluir que a compra a prazo é melhor na loja Com- pre Certo? Compre Certo: 10% de 3 500 5 3 500 4 10 5 350; 3 500 1 350 5 3 850; 3 850 4 5 5 770. Boa Compra: 3 870 4 5 5 774. (770 < 774) 5 No total, quanto Marisa vai pagar a menos comprando na loja Compre Certo? R$ 20,00 a menos. (3 870 2 3 850 5 20) Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos • CAPêTULO 8 227 227MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 8

1 Números 1 Números proporcionais proporcionais No capítulo anterior, você estudou que 2 grandezas podem ser direta ou inversamente proporcionais. Principais habilidades Agora, a ideia é a de números diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. da BNCC  EF07MA02 EF07MA09 Leia o exemplo do livro, que Números diretamente proporcionais apresenta números diretamen- te proporcionais, e oriente os Vando é eletricista e vai realizar uma instalação na casa dele. Para isso, foi a uma loja de materiais elétri- alunos a organizar uma tabela cos comprar alguns metros de cabo. Ele encontrou um tipo de cabo que custava R$ 3,00 o metro. com as 2 grandezas envolvidas e a verificar se são direta ou in- A medida de comprimento de um pedaço de cabo e o preço a pagar por ele são grandezas diretamente versamente proporcionais. Após proporcionais. falarem que as grandezas são diretamente proporcionais, ex- Veja alguns valores correspondentes a essas 2 grandezas quando cada metro de cabo custa R$ 3,00. plique que os valores que as re- presentam são conhecidos co- Preço do cabo de acordo com a medida mo números diretamente pro- de comprimento dele porcionais. Medida de comprimento do cabo (em m) 2 5 8 10 Depois, proponha que reali- Preço a pagar (em R$) 6 15 24 30 zem o registro das razões entre os números proporcionais e es- Tabela elaborada para fins didáticos. tabeleçam o coeficiente de pro- porcionalidade. Então, mostre Em casos como esse, dizemos que os números 2, 5, 8 e 10 são di- Vidux/Shutterstock que a razão entre a soma dos nu- retamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30, respectivamente. meradores e a soma dos deno- minadores é equivalente ao coe- As razões 2 , 5 , 8 e 10 são todas iguais a 1 , que é chamado ficiente de proporcionalidade, 6 15 24 30 3 sendo equivalente também às razões. Peça aos alunos que de coeficiente de proporcionalidade ou fator de proporcionalidade. leiam a representação dessa propriedade no livro e destaque Observe ainda que 2 1 5 1 8 1 10 5 25 5 1 . que ela vale para números dire- 6 1 15 1 24 1 30 75 3 tamente proporcionais. De modo geral, vale a seguinte propriedade para números direta- Flavia Morlachetti/Shutterstock mente proporcionais: Atividades 1 a 3 Se a 5c 5 e , Estas atividades abordam os b d f assuntos coeficiente de propor- então cionalidade e números direta- mente proporcionais. a 1c 1e 5 a ou c ou e . b 1d 1f b d f Veja a resolução dessas ativi- dades. 1. 9 5 3 ; 15 5 3 ; Dois tipos de cabos elétricos. 6 2 10 2 21 5 3 ; 6 5 3 ; Atividades 4 2 4 2 1 Verifique no caderno se os números 9, 15, 21 e 6 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 10, Coeficiente de proporcionali- 14 e 4, respectivamente. Se sim, determine o coeficiente de proporcionalidade. Sim; 3 . dade: 3 2 2 2 Os números 6, 10, 18 e 30 são diretamente proporcionais a outros números e o fator ou coeficiente de pro- 9 1 15 1 21 1 6 5 porcionalidade é 2. Quais são os números correspondentes? 3, 5, 9 e 15. 6 1 10 1 14 1 4 3 Determine no caderno os valores de x e y para que os números 3, 4 e 8 sejam diretamente proporcionais aos 5 51 5 3 números 15, x e y. x 5 20 e y 5 40. 34 2 2. 6 5 10 5 18 5 30 52 3 5 9 15 A sequência é 3, 5, 9 e 15. 3. 3 5 4 5 8 228 CAPÍTULO 8 ¥ Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos 15 x y {{ ô { { 1 5 1 5 4 ~ x 5 20 5 x 1 5 8 ~ y 5 40 5 y Verificando: 3 4 8 15 5 20 5 40 ôô ô 11 1 55 5 228 CAPÍTULO 8 - MANUAL DO PROFESSOR

Números inversamente proporcionais Hurst Photo/Shutterstock 1 Números proporcionais Carla está organizando um piquenique coletivo. Ela gastou R$ 180,00 com os alimentos, mas ainda faltam alguns colegas confirmarem se vão comparecer. Leia o exemplo, que apre- senta números inversamente Veja os valores correspondentes a essas 2 grandezas quando a quantia a ser proporcionais, e peça aos alu- repartida entre as pessoas é de R$ 180,00. nos que organizem uma tabela com as 2 grandezas e que ve- Valor pago por pessoa no piquenique 2 346 Cesta de piquenique. rifiquem se são direta ou inver- 90 60 45 30 samente proporcionais. Após Número de pessoas As imagens desta página não descobrirem que são inversa- Valor pago por pessoa (em R$) Tabela elaborada para fins didáticos. estão representadas em mente proporcionais, diga que proporção. os valores que representam essas grandezas são conheci- Em casos como esse, dizemos que os números 2, 3, 4 e 6 são inversamente proporcionais aos números dos como números inversa- 90, 60, 45 e 30, respectivamente. mente proporcionais. Observe que as razões 2 , 3 , 4 , 6 são todas iguais a 180 Assim como feito para os nú- 1 1 1 1 meros diretamente proporcio- nais, peça que escrevam as ra- 90 45 45 30 zões entre os números propor- cionais e o coeficiente de pro- ôôôô porcionalidade. 2 3 90 5 180 3 3 60 5 180 4 3 45 5 180 6 3 30 5 180 Estas atividades abordam os assuntos coeficiente de propor- (coeficiente ou fator de proporcionalidade). cionalidade e números direta ou inversamente proporcionais. Dobrando o número de pessoas, o Além disso, são apresentados valor pago por cada uma delas é números não proporcionais. dividido por 2. Triplicando o número de pessoas, o valor pago por cada Atividades 4 a 7 uma delas é dividido por 3. E assim Veja a resolução destas ati- por diante. vidades. Thiago Neumann/ Arquivo da editora 4. 9 5 6 5 2 1 1 1 { { 4 6 18 { Atividades 9 3 4 5 6 3 6 5 2 3 18 5 5 36 4 Verifique no caderno se os números 9, 6 e 2 são 6 Os números 4, x, 24 e 6 são inversamente propor- 5. 2 = 3 : não são diretamen- inversamente proporcionais aos números 4, 6 e cionais aos números y, 3, z e 8, respectivamente. 5 6 18, nessa ordem. Em caso afirmativo, qual é o Determine no caderno os valores de x, y e z. coeficiente de proporcionalidade? Sim; 36. te proporcionais. x 5 16, y 5 12 e z 5 2. 5 Observe o número de gols marcados pelo time 2 3 5 = 3 3 6: não são in- de Danilo de acordo com o número de jogos 7 Verifique no caderno se os números da primeira disputados. sequência são proporcionais aos da segunda, na versamente proporcionais. ordem em que aparecem. Em caso positivo, veri- fique se são direta ou inversamente proporcionais 6. 4y 5 3x 5 24z 5 6 ? 8 5 48 e determine o coeficiente de proporcionalidade. 4y 5 48 ~ y 5 12 a) 24, 56 e 16 e 15, 35 e 10 . Diretamente 8 3x 5 48 ~ x 5 16 proporcionais; . Número de gols do time 5 24z 5 48 ~ z 5 2 Número de jogos disputados 2 3 5 b) 2, 4 e 8 e 20, 10 e 5 . Inversamente 7. Número de gols marcados 5 6 10 proporcionais; 40. 24 5 56 5 16 15 35 10 Tabela elaborada para fins didáticos. c) 6, 10 e 9 e 5, 3 e 4 . Não são proporcionais. a) ôô ô Verifique no caderno se os números da 1a linha 88 8 são proporcionais aos da 2a linha e, em caso posi- tivo, se são direta ou inversamente proporcionais. 55 5 Não são proporcionais. d) 6, 10, 14 e 9 e 24, 40, 56 e 36 . Diretamente 1. Diretamente proporcionais; proporcionais; 4 8 5 Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos • CAPÍTULO 8 229 b) 2 3 20 5 4 3 10 5 5 8 3 5 5 40 Inversamente proporcionais; 40 c) 6 = 10 5 3 6 3 5 5 10 3 3 = 9 3 4 Não são proporcionais. d) 6 5 10 5 14 5 24 40 56 5 9 5 1 36 4 Diretamente proporcionais; 1 4 229MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 8

1 Números Divisão de um número em partes proporcionais proporcionais a números dados Peça aos alunos que leiam a primeira situação apresentada e pergunte: “Quantos morangos Podemos dividir um número em partes proporcionais aos números de uma sequência dada. Estudaremos pri- meiramente a divisão em partes diretamente proporcionais e, em seguida, em partes inversamente proporcionais. cada um recebeu?”. Oriente-os a indicar as partes que André, Marília e Renato receberam, res- Divisão de um número em partes diretamente proporcionais pectivamente, por x, y e z. Em aos números dados seguida, incentive-os a aplicar a propriedade das proporções O pai de André (2 anos), Marília (4 anos) e Renato (6 anos) Thiago Neumann/ vista na página anterior e ques- resolveu distribuir 48 morangos entre os filhos dele, de manei-Arquivo da editora tione: “Qual é o coeficiente de Bergamont/Shutterstock proporcionalidade?”. Se neces- ra que as quantidades fossem diretamente proporcionais às sário, mostre que o coeficiente idades das crianças. Quantos morangos cada um recebeu? é x1 y1 z 5 48 5 4 , pois Para resolver esse problema, podemos dividir o número 48 em 21416 12 partes diretamente proporcionais aos números 2, 4 e 6. Observe. x 1 y 1 z 5 48. Indicando por x, y e z o número de morangos em cada parte, Morangos. Auxilie-os a calcular o valor de As imagens desta página cada incógnita, a partir da pro- porção entre cada razão e o coe- temos: x 5 y 5 z . não estão representadas ficiente de proporcionalidade en- 246 em proporção. contrado, e sugira que verifi- quem a resolução apresentada Usando a propriedade dos números diretamente proporcionais, temos: x 5 y 5 z 5 x 1y 1 z . no livro. 2 4 6 21416 Neste momento, apresente a Marília tem o dobro Como x 1 y 1 z 5 48 e 2 1 4 1 6 5 12, escrevemos: da idade de André e situação da divisão do número recebeu o dobro dos x 5 y 5 z 5 48 5 4 5 4 morangos que ele 2 4 6 12 1 51 em partes diretamente pro- ganhou. As proporções x 5 4 , y 5 4 , z 5 4 nos dão os se- porcionais a 1 , 2 e 1 e sugi- 246 4 3 2 guintes resultados: ra aos alunos que resolvam da mesma forma que o proble- x 5 4 ~ x 5 2 ? 4 5 8 (André) 2 ma anterior, aplicando a pro- y 5 4 ~ y 5 4 ? 4 516 (Marília) 4 priedade das proporções e des- z 5 4 ~ z 5 6 ? 4 5 24 (Renato) 6 cobrindo o coeficiente de pro- porcionalidade. A partir das in- dicações da turma, apresente na lousa o que podemos obter: x 5 y 5 z 5 O número de morangos em cada parte é 8, 16 e 24, ou seja, André recebeu 8 morangos, Marília ganhou 1 2 1 16 morangos e Renato ficou com 24 morangos. 432 5 x1 y1 z 5 Observe agora como podemos dividir o número 51 em partes diretamente proporcionais aos números 1 , 2 e 1 . 43 2 1 1 2 1 1 4 3 2 5 51 5 Inicialmente, escrevemos frações equivalentes com o mesmo denominador. Como mmc(4, 3, 2) 5 12, obtemos 3 , 8 e 6 . 3 1 8 1 6 12 12 12 12 12 12 5 51 5 51 ? 12 5 17 17 Agora, dividimos o número 51 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 8 e 6. 12 5 3 ?12 5 36 x 5 y 5 z 5 x 1 y 1 z 5 51 5 3 3 8 6 3 1 8 1 6 17 Agora, desafie-os a calcular cada parte, fazendo a proporção x 53⇒ x 53?359 y 5 3 ⇒ y 5 8 ? 3 5 24 z 5 3 ⇒ z 5 6 ? 3 5 18 3 8 6 entre cada razão e o coeficiente de proporcionalidade. Em segui- da, calcule cada valor na lousa e Logo, as partes correspondem a 9, 24 e 18, respectivamente. peça aos alunos que compa- rem-nos com a resolução da apostila. Então, mostre que: 230 CAPêTULO 8 • Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos • x 5 x 5 x ? 12 5 1 3 3 4 12 x 5 12 ? 3 Assim, no livro, todos os termos da igualdade foram divididos por y • y 5 y 5 y? 12 5 12, ficando apenas x , 8 e z . Como a resolução apresentada no li- 2 8 8 3 6 3 12 vro é a forma reduzida da apresentada neste Manual, explique aos y alunos que podem usar qualquer uma das resoluções, mas que a do 8 512 ? livro é mais rápida e menos trabalhosa. • z 5 z 5 z? 12 5 1 6 6 2 12 z 5 12 ? 6 230 CAPÍTULO 8 - MANUAL DO PROFESSOR

Divisão de um número em partes inversamente Atividades 8 a 14 Estas atividades desenvol- proporcionais aos números dados Exclusive studio/Shutterstock vem a divisão de um número em A mãe de André (2 anos), Marília (4 anos) e Renato (6 anos) resolveu partes direta ou inversamente proporcionais. Além disso, as distribuir 33 lápis de cor entre eles. Agora, as quantidades de lápis devem atividades 13 e 14 contextuali- zam esse assunto. ser inversamente proporcionais às idades. Para resolver esse problema, podemos dividir o número 33 em partes Veja as resoluções das ativi- inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 6. Veja como fazer. dades. Os números x, y e z de lápis em cada parte devem ser diretamente 8. x 5 y 5 z 5 125 5 5 7 13 25 proporcionais aos números 1 , 1 e 1 , que são os inversos de 2, 4 e 6. L‡pis. 55 ~ x 525, y 535 e 24 6 z 565 Reduzindo essas frações ao mesmo denominador, obtemos 6 , 3 e 2 . Então, repartimos 33 em partes 9. 1 , 1 e 1 ñ 1 , 2 e  63; 12 12 12 6 3 2 6 6 inversamente proporcionais a 6, 3 e 2. As imagens desta página x 5 y 5 z 5 72 5 x 5 y 5 z 5 x 1y 1 z 5 33 5 3 não estão representadas 1 2 3 6 6 3 2 6 13 12 11 em proporção. 512 ~ x 512, y 524 e z 536 x 5 3 ~ x 5 18 (An5dré) y 5 3 ~ y 5 9 (Marília) z 5 3 ~ z 5 6 (Renato) 10. x 5 y 5 27 53 ~ 6 3 2 2 1 3 ~ x 518 e y 5 9 Logo, o número de lápis em cada parte é 18, 9 e 6, ou seja, André Marília tem o dobro 11. x 5 y 5 z 5 recebeu 18 lápis, Marília ganhou 9 lápis e Renato ficou com 6 lápis. da idade de André 15 12 10 Observe agora como podemos dividir o número 162 em partes e recebeu a metade 5 444 512 ~ 37 inversamente proporcionais aos números 1 , 1 e 1 . Nesse caso, dos lápis que 23 4 ele ganhou. ~ x 5180, os números x, y e z correspondentes às partes devem ser diretamente y 5144 e z 5120 proporcionais aos inversos dos números 1 , 1 e 1 , ou seja, aos números 2, 3 e 4. Thiago Neumann/ 12. 23 4 Arquivo da editora a) x 5 y 5 120 5 30 ~ 2 2 4 x 5 y 5 z 5 x 1 y 1 z 5 162 5 18 2 3 4 21314 9 ~ x 560 e y 560 x 5 18 ⇒ x 5 2 ? 18 5 36 y 5 18 ⇒ y 5 3 ? 18 5 54 z 5 18 ⇒ z 5 4 ? 18 5 72 234 b) x 5 y 5 120 5 24 ~ 2 3 5 ~ x 5 48 e y 572 Atividades c) 1 e 1 ñ 2 e 1 ; 2 4 4 4 8 Divida no caderno o número 125 em partes dire- 13 Quando Luciana dividiu um número em 3 partes x 5 y 5 120 5 40 ~ tamente proporcionais a 5, 7 e 13. 25, 35 e 65. diretamente proporcionais a 4, 5 e 6, descobriu 2 1 3 que a primeira parte valia 12. Qual é o número? 9 Divida no caderno o número 72 em partes direta- E quais são as outras partes? 45; 15 e 18. ~ x 580 e y 5 40 mente proporcionais a 1 , 1 e 1 . 12, 24 e 36. 63 2 14 José tem 3 empregados na empresa. Nas festas 13. 12 5 x 5 y ~ x 515 de fim de ano, ele distribuiu 11 cestas básicas em 4 5 6 10 Divida no caderno o número 27 em partes inver- quantidades inversamente proporcionais ao salá- samente proporcionais a 9 e 18. 18 e 9. rio dos funcionários. e y 518; 11 Reparta no caderno 444 em partes inversamente • Renato ganha 1 salário mínimo; 12 115 118 5 45 proporcionais a 4, 5 e 6. 180, 144 e 120. • Geraldo ganha 2 salários mínimos; 14. x 5 y 5 z 5 11 51 12 Divida no caderno o número 120 em: 6 3 2 11 a) 2 partes iguais; 60 e 60. • Mirela ganha 3 salários mínimos. Então, quantas cestas básicas cada um recebeu? O primeiro empregado rece- b) partes diretamente proporcionais a 2 e 3; 48 e 72. Renato: 6 cestas; Geraldo: beu 6 cestas básicas, o se- c) partes inversamente proporcionais a 2 e 4. 3 cestas; Mirela: 2 cestas. gundo, 3 cestas e o terceiro, 80 e 40. 2 cestas. Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos • CAPÍTULO 8 231 1 Números proporcionais sa, registre as resoluções deles, corrigindo-as ou complementando-as se necessário. Leia com os alunos o problema apresentado e pergunte: “Quantos lápis cada um vai receber?”. Em seguida, desafie-os a dividir o número 156 em partes inver- Oriente-os a indicar as partes que André, Marília e Renato recebe- samente proporcionais aos números 1 , 1 e 1 . Verifique se lem- rão, respectivamente, por x, y e z e explique que esses valores são 2 3 4 inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, ou seja, diretamente propor- bram que os números x, y e z, correspondentes às partes, são di- cionais a 1 , 1 e 1 , inversos de 2, 4 e 6. retamente proporcionais a 2, 3 e 4, o que nos permite resolver da 2 4 6 mesma maneira que foi resolvida a primeira situação da página Agora, temos um caso semelhante à segunda situação da página anterior. Então, na lousa, apresente a resolução a partir das indica- anterior. Peça aos alunos que resolvam da mesma maneira e, na lou- ções dos alunos. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 8 231

2 Regra de sociedade 2 Regra de sociedade Principais habilidades Quando o número ou a quantia que é dividida em partes diretamente proporcionais ou inversamente propor- da BNCC  cionais a outros números representa o lucro ou o prejuízo de determinada sociedade, e as partes proporcionais representam as partes de cada sócio no lucro ou prejuízo, a divisão recebe o nome de regra de sociedade. EF07MA02 EF07MA09 Vamos estudar as situações em que 2 ou mais pessoas investem quantias diferentes pelo mesmo período Leia com os alunos o texto de tempo e vão repartir o lucro ou o prejuízo no final desse período. que explica o que é regra de so- ciedade. Incentive-os a compar- As quantias investidas Por exemplo, um sócio investe tilhar o que entenderam sobre são diretamente R$ 1 000,00, e outro investe R$ 500,00, o conceito apresentado, com- proporcionais às partes no mesmo período de tempo. Se houver plementando ou corrigindo as no lucro ou no prejuízo. lucro, então a parte do primeiro deve informações apresentadas pela ser o dobro da parte do segundo, pois turma. R$ 1 000,00 é o dobro de R$ 500,00. Thiago Neumann/ Em seguida, resolva os Acompanhe os exemplos a seguir.Arquivo da editora 2 exemplos do livro seguindo ¥ Carla, Gina e Mauro entraram, respectivamente, com os seguintes capitais na abertura de uma empre-Monkey Business Images/Shutterstock as indicações dos alunos. No primeiro exemplo, é interes- sa de moda têxtil: R$ 30 000,00, R$ 20 000,00 e R$ 25 000,00. No final do primeiro ano de sociedade, sante simplificar os valores por a empresa teve um lucro de R$ 15 000,00. Qual foi o ganho correspondente a cada sócio? 1 000, como feito no material, pois facilita a visualização e a Empresa de resolução da situação. moda têxtil. Se achar conveniente, peça O lucro de R$ 15 000,00 deve ser dividido em partes diretamente proporcionais ao valor que cada aos alunos que se sentem em sócio investiu: R$ 30 000,00, R$ 20 000,00 e R$ 25 000,00. Dividindo esses valores por 1 000, para duplas e desafie-os a elaborar simplificar os cálculos, podemos dividir 15 em partes proporcionais a 30, 20 e 25. um problema de regra de socie- Indicando por x, y e z os lucros (divididos por 1 000) de Carla, Gina e Mauro, respectivamente, temos: dade com caso de lucro ou de prejuízo. Em seguida, proponha x 5 y 5 z 5 x 1y 1 z 5 15 5 1 que troquem a situação criada 30 20 25 30 120 125 75 5 com outra dupla para que ela a Desse modo, obtemos: resolva. x 5 1 ~ x 56 Ao final, peça aos alunos que 30 5 anotem, no painel de descober- y 5 1 ~y 54 tas, as informações que consi- 20 5 derarem necessárias sobre nú- z 5 1 ~z 55 meros proporcionais, divisão de 25 5 um número em partes propor- Logo, Carla ficou com R$ 6 000,00 do lucro, Gina com R$ 4 000,00 e Mauro com R$ 5 000,00. cionais e regra de sociedade. 232 CAPÍTULO 8 ¥ Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos 232 CAPÍTULO 8 - MANUAL DO PROFESSOR

¥ Antônio, Benedita e Carlos abriram uma empresa de transportes investindo, respectivamente, Então, na lousa, siga as indi- R$ 1 800,00, R$ 2 400,00 e R$ 3 000,00. Ao final de certo período, a empresa apresentou um prejuízo cações dos alunos de acordo de R$ 4 800,00. Qual foi a perda correspondente a cada um? com o que planejaram. Se ne- cessário, lembre-os de usar a Antônio: R$ 1 800,00 Paulo Manzi/Arquivo propriedade dos números dire- Benedita: R$ 2 400,00 da editora tamente proporcionais vista an- Carlos: R$ 3 000,00 teriormente. Depois de resolvido Prejuízo: R$ 4 800,00 o problema, peça aos alunos que verifiquem se a resposta é Sendo a, b e c os prejuízos de Antônio, Benedita e Carlos, respectivamente, temos: adequada ou não e que a com- parem com a resolução apre- sentada no livro. a 5 b 5 c 5 a 1b 1c Em seguida, peça que criem 1800 2 400 3 000 7200 uma situação semelhante e tro- quem-na com um colega para Sabemos que a 1 b 1 c 5 4 800. Portanto, podemos escrever: que um resolva a atividade cria- da pelo outro. a 5 b 5 c 5 a 1b 1c 5 4 800 5 2 1800 2 400 3 000 7 200 7200 3 Atividades 15 a 19 Desse modo, obtemos os seguintes resultados: Estas atividades trabalham a a 5 2 ~ a 5 1200 regra de sociedade, efetuando a 1800 3 divisão de um número em par- tes diretamente proporcionais. b 5 2 ~ b 5 1600 2 400 3 Na atividade 19, destaque que, diferentemente das outras c 5 2 ~ c 5 2 000 situações, são fornecidos os lu- 3 000 3 cros em vez dos valores inves- tidos. Pergunte aos alunos o que Logo, Antônio teve R$ 1 200,00 de prejuízo, Benedita teve R$ 1 600,00, e Carlos, R$ 2 000,00. muda e verifique se eles perce- bem que podem resolver da Atividades 16. c) Rafael: R$ 54 000,00; Roberta: 36 000,00. mesma forma que os outros 15. 1a pessoa: R$ 4 000,00; 2a pessoa: (45 000 1 9 000 5 54 000; 30 000 1 6 000 5 36 000) problemas. R$ 5 000,00; 3a pessoa: R$ 3 000,00. c) Com quanto cada um ficou na divisão da quan- Veja a resolução das ativida- 15 Três pessoas constituíram uma sociedade para a abertura de uma loja de roupas. Cada pessoa entrou tia obtida com a venda? des 18 e 19. y com um capital diferente. A primeira entrou com 17 Avaliação de resultado. Ao resolver o 18. x 5 50 5 z 5 R$ 20000,00, a segunda entrou com R$ 25000,00, item b da atividade anterior, um aluno concluiu 30 40 e a terceira entrou com R$ 15000,00. No fim do que tanto a parte de Rafael quanto a de Roberta ano, a loja apresentou um lucro de R$ 12000,00. Se são de R$ 10 000,00. 5 12 5 1 o lucro for dividido em partes proporcionais, então 120 10 quanto cada um deve receber? Converse com os colegas sobre como ele poderia perceber que essa conclusão está errada. x 5 1 ~ x53 16 Rafael investiu R$ 45 000,00 e Roberta investiu 30 10 R$ 30 000,00 na compra de um terreno em socie- 18 Três pessoas formaram uma sociedade. A primei- dade. Depois de certo tempo, venderam o terreno ra entrou com R$ 30 000,00, a segunda, com y 5 1 ~ x55 por R$ 90 000,00. R$ 50 000,00, e a terceira, com R$ 40 000,00. No 50 10 balanço de final de ano, constatou-se um prejuí- y 5 1 ~ x54 40 10 Paulo Manzi/Arquivo da editora zo, e foram necessários R$ 12 000,00 para cobrir O primeiro sócio deu R$ 3000,00; o segundo, essa perda. Qual foi a quantia que cada sócio teve R$ 5000,00 e o terceiro, R$ 4000,00. de pagar? 1o sócio: R$ 3 000,00; 2o sócio: R$ 5 000,00; 19. Marcos: x 3o sócio: R$ 4 000,00. Paula: 2200 2 x ~ 19 Marcos e Paula investiram um total de R$ 2 200,00. x 2200 2 x No final de certo tempo, eles tiveram um lucro, do ~ 120 5 144 ~ qual Marcos ficou com R$ 120,00 e Paula ficou a) Qual foi o lucro na venda desse terreno? com R$ 144,00. Qual foi a quantia que cada um ~ 144x 5 b) Qual foi a parte de cada um no luRc$ro1d5e0s0s0a,0v0en- investiu? Marcos: R$ 1 000,00; Paula: R$ 1 200,00. 5 264000 2 120x ~ ~ x 5 1000 5 1200 da, de acordo com o investimento? Marcos investiu Rafael: R$ 9 000,00; Roberta: R$ 6 000,00. R$ 1000,00 e Paula, R$ 1200,00. 17. Exemplo de resposta: Se eles investiram quantias diferentes, então não deveriam receber quantias iguais ou se o lucro foi de 233 R$ 15 000,00, então não daria para cada um receber R$ 10 000,00, pois o total seria de R$ 20 000,00. Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos • CAPÍTULO 8 2 Regra de sociedade Peça aos alunos que leiam o problema da empresa de transportes e verifique o que compreenderam. Pergunte: “Quais são as grande- zas envolvidas nesse problema?”; “Quantas pessoas vão dividir o prejuízo?”; “O prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais às grandezas envol- vidas?” Incentive-os a planejar a solução para o problema, intervindo, se necessário. MANUAL DO PROFESSOR - CAPÍTULO 8 233

2 Regra de sociedade Porcentagem Verifique o que os alunos lem- Você já viu que as porcentagens correspondem a frações de denominador 100 ou frações equivalentes a bram sobre porcentagem e leia ela. Por exemplo, temos que cerca de 80% (oitenta por cento) do nosso sangue é composto por água. com eles a primeira parte do tex- to. Então, apresente o exemplo 80% 5 80 em 100 5 80 do livro sobre os 2 times e peça 100 que determinem qual time está com melhor aproveitamento. Fa- No corpo humano há, em média, aproximadamente, 5 litros de sangue. Assim, podemos escrever: ça-os perceber que não é possí- vel comparar o aproveitamento 80% de 5 5 80 3 5 5 400 5 4 dos times apenas observando 100 100 os valores, mas que, usando porcentagens, podemos deter- Logo, desses 5 litros de sangue, temos que 4 litros são de água. minar qual time está com o me- lhor aproveitamento. Por que é importante usar porcentagem? Em seguida, na lousa, apre- Em algumas situações, quando comparamos 2 quantidades, é mais conveniente expressar essa compa- sente as porcentagens dadas no livro para serem calculadas ração com o uso de porcentagem. Veja um exemplo. mentalmente. Se houver oportu- nidade, proponha um jogo de Dos 24 pontos que já disputou, o time A ganhou 18. bingo com cálculos de porcenta- gens que devem ser efetuados Dos 30 pontos que já disputou, o time B ganhou 21. mentalmente. Para saber qual dos times está com melhor aproveitamento, podemos fazer uso de porcentagens. Neste momento, peça que calculem 6% de R$ 6700,00 e Time A: ganhou 18 em 24: 18 46 5 3 325 5 75 5 75%  Logo, o time A está com compartilhem com a turma a Time B: ganhou 21 em 30: 24 46 5 4 325 100 5 70%  melhor aproveitamento. maneira como efetuaram o cál- 21 43 7 310 5 70  culo. Anote, na lousa, os diferen- 30 43 10 310 100  tes métodos que os alunos usa-  ram e as maneiras apresenta- das no livro nesta e na próxima Cálculo mental da porcentagem de uma quantidade página. Algumas porcentagens de quantidades, por serem mais simples, podem ser calculadas mentalmente. Por exemplo, em uma escola há 800 alunos. Assim, sem fazer cálculos no papel ou na calculadora, podemos dizer que: • 100% dos alunos são 800 alunos, pois 100% indicam o total; • 50% dos alunos são 400 alunos, pois 50% indicam a metade; • 25% dos alunos são 200 alunos, pois 25% indicam a metade da metade, ou seja, um quarto; • 10% dos alunos são 80 alunos, pois 10% indicam a décima parte; • 20% dos alunos são 160 alunos, pois 20% indicam o dobro de 10%; • 5% dos alunos são 40 alunos, pois 5% indicam a metade de 10%; • 1% dos alunos são 8 alunos, pois 1% indica a centésima parte. A partir desses resultados, podemos obter outros. Por exemplo: • 75% de 800 5 3 3 25% de 800 5 3 3 200 5 600 • 15% de 800 5 10% de 800 1 5% de 800 5 80 1 40 5 120 Como calcular a porcentagem de uma quantidade? Há várias maneiras de calcular a porcentagem de uma quantidade. Veja, por exemplo, para o cálculo de 6% de R$ 6 700,00. • 1a maneira: Vamos calcular direto o valor de 6% de R$ 6700,00. 6% de 6700 5 6 de 6 700 5 6 3 6 700 5 40 200 5 402 100 100 100 • 2a maneira: Calculamos 1% e multiplicamos por 6. 1% de 6 700 5 1 3 6 700 5 67 100 6% de 6 700 5 6 3 1% de 6 700 5 6 3 67 5 402 234 CAPêTULO 8 ¥ Matemática financeira: regra de sociedade, acréscimos e decréscimos 234 CAPÍTULO 8 - MANUAL DO PROFESSOR