أول ثانوي علمي 2018م

Ω2018/ `g1439 »YÉæ°üdGh »ª∏©dG ø«YôØ∏d ô°ûY …OÉëdG ∞°üdG äÉ«°VÉjôdG ISBN: 978-9957-84-747-0 9 789957 847470

äÉ«°VÉjôdG ô°ûY …OÉëdG ∞°üdG ø«YôØdG »YÉæ°üdGh »ª∏©dG ô°TÉæq dG º«∏©àdGh á«HôàdG IQGRh á«°SQóªdG ÖàµdGh ègÉæªdG IQGOGE á«J’B G øjhÉæ©dG ≈∏Y ÜÉàµdG Gòg ≈∏Y ºµFGQBGh ºµJɶMÓe ∫ÉÑ≤à°SG á«°SQóªdG ÖàµdGh ègÉæªdG IQGOGE ô°ùj 11118:…ójôÑdG õeôdG (1930) .Ü.¢U 4637569 :¢ùcÉa 4617304/508 :∞JÉg E-mail: [email protected] :»fhôàµd’E G ójôÑdG ≈∏Y hGC

‫قررت وزارة التربية والتعليم تدري�س هذا الكتاب في جميع مدار�س المملكة ال أاردنية الها�سمية بموجب قرار‬ ‫ م‬2017 / 2016 ‫ اعتبا ًرا من العام الدرا�سي‬2016/1/12 ï‫ تاري‬2016/12 ‫مجل�س التربية والتعليم رقم‬ º«∏©à‫ال‬h ‫«ة‬Hôà‫ ال‬IQ‫ا‬Rƒ‫ة ل‬XƒØ‫ح‬e É¡©«ªL ¥ƒ≤‫الح‬ ( 1930 ) Ü . ¢U – ¿OQ’C ‫ ا‬/ ¿ÉªY ‫ة‬q«æWƒ‫ة ال‬Ñà‫ك‬Ÿ‫ ا‬Iô‫ائ‬O ió‫ا´ ل‬ójE’‫ ا‬ºbQ )2016/3/1273( ISBN: 978 - 9957 - 84 - 747 - 0 :øe ‫ل‬w c ÜÉà‫ا الك‬òg ∞«‫ل‬ÉC J ≈∏Y ±ô°T‫ا‬C ‫«``ل‬MQ ˆ‫ ا‬ó``ÑY ó``ªMC‫ ا‬.O.C‫ا‬ …hÉ``棰T ó``ªMC‫``» ا‬Ø°Uh .O.‫ا‬C …O‫ا‬ó``≤e ó``ª‫ح‬e ≈``HQ .O.C‫ا‬ ‫©``ة‬HÉHQ ó``ª‫ح‬e ˆ‫ ا‬ó``ÑY .O.‫ا‬C .(‫ا‬Qk ô≤e) …hÉ棰û‫¿ ال‬ɪ«∏°S ΩÉ°üY ø°�`«`‫`ح‬e ó`ª`M‫ا‬C ø``°SÉ‫`ح‬e :øe ‫ل‬w c ¬Ø``«‫ل‬CÉàH ΩÉ`bh Iô``jÉ``ªY ó`ª`M‫ا‬C º`«`g‫ا‬ô`HE‫ا‬ ‫``ة‬Mƒ``°û`‫ ال‬ó``ª`M‫ا‬C OÉ````¡``f ‫`©`ة‬HÉ``HQ √ó``ÑY ¿É```°�M .O …hÉ``æ``£``°``û``‫¿ ال‬É``ª``«``∏``°``S ΩÉ``°``ü``Y :»ª`∏©‫ال‬ôjô‫ح‬à‫ال‬ ¿É`«`∏`Y ƒ````HC‫ ا‬ó```ª```MC‫ ا‬ô``ª``Y :º``°``Sô``‫ال‬ »°�jQÉ°�‫ ال‬ôªY AÉ°�«e : …ƒ¨∏‫ ال‬ô``jô‫ح‬à‫ال‬ ¿‫ا‬ƒ``£``Y ó````ª````MC‫ ا‬Ö```````jO‫ا‬C : ôj ƒ°üà‫ا ل‬ Ö`æ`°`Tƒ`H‫ا‬C O‫ا‬Dƒ````a A‫ا‬ó```f : »`æ``Ø‫ ال‬ô``jô‫ح‬à‫ال‬ ∂«∏«©°UƒHC‫¿ا‬ɪ«∏°SøªMô‫ال‬óÑY.O :êÉ```à```fE’‫ا‬ QÉ`«``¡`e ¿É`fó`Y OÉ```jR : º``«````ª```°ü````à`‫ال‬ ôgƒL óªMC‫ ا‬Ú#f :É```````¡`````©`````L‫ا‬Q h ‫```ة‬YÉ``Ñ``£‫``≥ ال‬bO Ω2016 / `g1437 ≈‫ل‬h’C ‫©ة ا‬Ñ£‫ال‬ Ω2018 - 2017 ¬àYÉÑW äó«Y‫ا‬C

‫ال‪Ø°ü‬حة‬ ‫‪Éb‬ئ‪ª‬ة ال‪ª‬ح‪äÉjƒà‬‬ ‫ال‪´ƒ°Vƒª‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪∫h’C G »°SGQódG π°üØdG‬‬ ‫‪áeó≤ªdG‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪äÉæjÉÑàªdG h ä’OÉ©ªdG :≈dhC’G IóMƒdG‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ :∫hC’G π°üØdG‬كثيرات الحدود‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫أاول ًا‪ :‬ق�سمة كثيرات الحدود‬ ‫‪24‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬نظرية الباقي و العامل‬ ‫‪28‬‬ ‫ثال ًثا‪ :‬تحليل كثيرات الحدود‬ ‫‪28‬‬ ‫‪ :»fÉãdG π°üØdG‬الاقترانات الن�سبية‬ ‫‪34‬‬ ‫‪ :ådÉãdG π°üØdG‬ح ‪t‬ل المعادلات و المتباينات‬ ‫‪40‬‬ ‫أاول ًا‪ :‬حل المعادلات الجبرية بمتغير واحد‬ ‫‪45‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬المتباينات غير الخطية بمتغير واحد‬ ‫‪48‬‬ ‫ثال ًثا‪ :‬الك�سور الجزئية‬ ‫‪C‬ا‪∏Ä°S‬ة ال‪IóMƒ‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪äÉfGôàb’G :á«fÉãdG IóMƒdG‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪ :∫h’C G π°üØdG‬كثيرات الحدود‬ ‫‪76‬‬ ‫‪ :»fÉãdG π°üØdG‬الاقتران الحقيقي‬ ‫‪85‬‬ ‫‪ :ådÉãdG π°üØdG‬اقترانات خا�سة‬ ‫‪94‬‬ ‫‪94‬‬ ‫أاول ًا‪ :‬الاقتران المت�سعب‬ ‫‪100‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬اقتران القيمة المطلقة‬ ‫‪108‬‬ ‫ثال ًثا‪ :‬اقتران أاكبر عدد �سحيح‬ ‫‪112‬‬ ‫‪ :™HGôdG π°üØdG‬العمليات على الاقترانات‬ ‫‪114‬‬ ‫‪114‬‬ ‫اأول ًا‪ :‬تركيب الاقترانات‬ ‫‪121‬‬ ‫‪C‬ا‪∏Ä°S‬ة ال‪ IóMƒ‬ثان ًيا‪ :‬الاقتران العك�سي‬ ‫‪125‬‬ ‫‪á«°Sóæ¡dGh á«HÉ°ùëdG äÓ°ù∏°ùàªdGh äÉ«dÉààªdG :áãdÉãdG IóMƒdG‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪ :∫h’C G π°üØdG‬المتتاليات والمت�سل�سلات‬ ‫اأول ًا‪ :‬المتتالية‬ ‫ثان ًيا‪ :‬المت�سل�سلة‬ ‫المتتاليات والمت�سل�سلات الح�سابية‬ ‫‪:»fÉãdG π°üØdG‬‬ ‫اأو ًلا‪ :‬المتتالية الح�سابية‬

‫‪131‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬مجموع المت�سل�سلة الح�سابية‬ ‫‪:ådÉãdG‬‬ ‫‪π°üØdG‬‬ ‫‪135‬‬ ‫المتتاليات والمت�سل�سلات الهند�سية‬ ‫أاول ًا‪ :‬المتتالية الهند�سية ‪135‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬مجموع المت�سل�سلة الهند�سية المنتهية ‪142‬‬ ‫ثال ًثا‪ :‬مجموع المت�سل�سلة الهند�سية اللانهائية ‪145‬‬ ‫‪C‬ا‪∏Ä°S‬ة ال‪148 IóMƒ‬‬ ‫‪ÊÉãdG »°SGQódG π°üØdG‬‬ ‫‪152 á«ã∏ãŸG äÉfGÎb’G :á©HGôdG IóMƒdG‬‬ ‫‪ :∫h’C G π`°üØdG‬التقدير الدائري والقيا�س ال�ستيني ‪154‬‬ ‫‪ :»fÉãdG π°üØdG‬قواني الاقترانات المثلثية ‪162‬‬ ‫‪ :ådÉãdG π°üØdG‬اقترانات (الجيب‪ ،‬جيب التمام‪ ،‬الظل) ‪175‬‬ ‫‪ :™HGôdG π°üØdG‬المعادلات والمتطابقات المثلثية ‪187‬‬ ‫اأول ًا‪ :‬المتطابقات المثلثية (‪187 )1‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬المتطابقات المثلثية (‪197 )2‬‬ ‫ثال ًثا‪َ :‬ح ‪t‬ل المعادلات المثلثية ‪203‬‬ ‫‪C‬ا‪∏Ä°S‬ة ال‪208 IóMƒ‬‬ ‫‪212 ᫪àjQÉZƒ∏dGh á«°S’C G äÉfGÎb’G :á°ùeÉÿG IóMƒdG‬‬ ‫‪ :∫hC’G π°üØdG‬الاقترانات والمعادلات ال أا�سية ‪214‬‬ ‫اأول ًا‪ :‬الاقترانات الاأ�سية ‪214‬‬ ‫‪229‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬المعادلات والمتطابقات الاأ�سية‬ ‫‪236‬‬ ‫الاقترانات والمعادلات اللوغاريتمية‬ ‫‪:»fÉãdG π°üØdG‬‬ ‫أاول ًا‪ :‬الاقترانات اللوغاريتمية ‪236‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬قواني اللوغاريتمات ‪256‬‬ ‫ثال ًثا‪ :‬المعادلات والمتطابقات اللوغاريتمية ‪269‬‬ ‫‪C‬ا‪∏Ä°S‬ة ال‪277 IóMƒ‬‬ ‫‪282 ó©dG ≥FGôW :á°SOÉ°ùdG IóMƒdG‬‬ ‫‪ :∫hC’G π`°üØdG‬مبداأ العد ‪284‬‬ ‫‪ :»fÉãdG π°üØdG‬الم†سروب ‪290‬‬ ‫‪ :ådÉãdG π°üØdG‬التباديل ‪294‬‬ ‫‪ :™HGôdG π°üØdG‬التوافيق ‪301‬‬ ‫ا‪∏Ä°SC‬ة ال‪308 IóMƒ‬‬

áeó≤ªdG QÉ°ùe /»YÉæ°üdGh ,»``ª∏©dG ø``«YôØ∏d …ƒfÉãdG ∫h’C G ∞``°ü∏d äÉ``«°VÉjôdG ÜÉ``àc OGóYGE ºs ``J iƒàëªdG ós Yp GoC óbh ,äÉ«°VÉjôdG êÉ¡æe ôjƒ£J »``a ᫪dÉ©dG äÉ¡LƒàdG ™e ºé°ùæj ɪH äÉ``©eÉédG ô«µØàdGh π«ãªàdGh §HôdGh π°UGƒàdG πãe iƒàëe ô«jÉ©eh äÉ«∏ªY ô«jÉ©e øª°†àJ ᫪dÉY ô«jÉ©e ≥ah .äÓµ°ûªdG πq Mh óbÉædG äGóMh çÓK ≈∏Y ∫h’nC G »°SGQódG π°üØdG …ƒàëj ,ø««°SGQO ø«∏°üa øe ÜÉàµdG ¿ƒµàj âeóq ≤a á«fÉãdG ÉeGC h ,É¡∏q Mh äÉæjÉÑàªdGh ä’OÉ©ªdG Ωƒ¡Øe âeóq b ≈dhC’G IóMƒdÉa ;á«°SGQO ÉeGC ,ájô°ùµdG äÉfGôàb’Gh áÑ©°ûàªdG äÉfGôàb’Gh á≤∏£ªdG ᪫≤dG ¿GôàbG πãe áYƒæàe äÉfGôàbG øe ójó©dG »a ᪡e á«∏ªY äÉ≤«Ñ£J É¡d »àdG äÓ°ù∏°ùàªdGh äÉ«dÉààªdG âeóq b áãdÉãdG IóMƒdG .iôN’C G Ωƒ∏©dGh á«JÉ«ëdG ä’ÉéªdG IóMƒdG âdhÉæJ åo «r M ;á«°SGQO äGóMh çÓK ≈∏Y iƒàMG ó≤a »fÉãdG »°SGQódG π°üØdG Éeq GC π«ãªJh É¡JÉ≤«Ñ£Jh äÉã∏ãªdG äÉHÉ°ùM ≈∏Y É¡«a õ«côàdG ºJ »àdG á«ã∏ãªdG äÉfGôàb’G á©HGôdG IóMƒdG ÉeCG ,᫪àjQÉZƒ∏dGh á«°SC’G äÉfGôàb’G âeóq b á°ùeÉîdG IóMƒdGh ,É«fÉ«H á«ã∏ãªdG äÉfGôàb’G πjOÉÑàdGh ÖLƒªdG Oó©dG Ühô°†e øe ,áØ∏àîªdG É¡JÉYƒ°Vƒeh ó©dG ≥FGôW âdhÉæJ ó≤a á°SOÉ°ùdG .IÉ«ëdG »a áYƒæàªdG É¡JÉ≤«Ñ£Jh ≥«aGƒàdGh .Gók «Øeh É©k aÉf ¿ƒµ«d ÜÉàµdG Gòg ºjó≤J »a Éæ≤ah ób ¿ƒµf ¿GC º«¶©dG »∏©dG ˆG ∫ÉC °ùf

6

7

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت واﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت‬ ‫‪1‬‬ ‫ُت�ستخدم المتباينات ب�س‪¢U‬ور مختلف ٍة في حياتنا مث َل حدود ال�سرعة الم�سموح بها على الطرق‪،‬‬ ‫‪36‬‬ ‫و عدد الر�سائل المجانية ال‪�24‬سهرية التي ي�سمح لك ب إار�سالها من هاتفك الخلوي‪ ،‬و أاق�سى ارتفاع‬ ‫‪12‬‬ ‫ل�سيارة يمكنه‪S‬ا‪¢‬ال‪3‬مر‪2‬ور‪1‬تح‪- 0‬ت‪- 1‬ج‪�2‬س‪3-‬ر‪4-.‬و ُت‪5�-‬ستخدم المعادلات في حل تلك المتباينات وفي تطبيقات‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪5-2‬‬ ‫حياتية اقت�سادية كثيرة‪ .‬إان‪4-‬م‪2‬عرفة تف�سير لغة المتباينات والمعادلات خطوة مهمة نحو تعلم كيفية‬ ‫‪36-‬‬ ‫حلها وتبرير ال إاجابات في �سياق الم�ساألة الحياتية‪ .‬في هذه الوحدة �سوف تتعرف على نظريات‬ ‫ت�ساعدك في ح ِّل المعادلات ذات الدرجات العليا‪ ،‬وت�ستخدمها في حل متباينات غير خطية‪.‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5- 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪24-‬‬ ‫‪36-‬‬ ‫‪¢S‬‬

‫‪Equation and Inequalities‬‬ ‫‪ øe ™bƒàj‬ال‪É£‬ل‪QO ó©H Ö‬ا‪°S‬ة ‪ √òg‬ال‪C IóMƒ‬ا¿ ‪j‬ك‪QOÉb ¿ƒ‬ا ‪:≈∏Y‬‬ ‫‪ ‬تع ‪t‬رف نظريتي الباقي والعامل ‪ ،‬وا�ستخدامها في تحليل كثيرات الحدود و إايجاد أا�سفارها‪.‬‬ ‫‪ ‬اإيجاد �سي≠ مكافئة لتعابير ن�سبية ‪ ،‬ك ‪w‬ل من ب�سطها ومقامها كثيرات حدود‪.‬‬ ‫‪ ‬ح ‪t‬ل معادلات غير خطية بالتحليل والر�سم البياني ‪.‬‬ ‫‪ ‬ح ‪t‬ل م�سائل حياتية تتعلق بكثيرات الحدود ‪ ،‬وتبرير الحل‪.‬‬ ‫‪ ‬ح ‪t‬ل متباينات غير خطية بمتغير واحد حتى الدرجة الثالثة‪.‬‬

‫ﻛثﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪوﺩ ‪Polynomials‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷول‬ ‫ال‪äÉLÉàæ‬‬ ‫• تتعرف نظرية الباقي والعامل‪.‬‬ ‫•‬ ‫• تحلل كثيرات الحدود اإلى عواملها ال أاولية‪.‬‬ ‫كثيرات‬ ‫تحليل‬ ‫في‬ ‫َت ْق ِ�س ُم كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫•‬ ‫ت�ستخدم نظرية الباقي والعامل‬ ‫الحدود واإيجاد أا�سفارها‪.‬‬ ‫‪Division of Polynomials‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬ﻗﺴﻤﺔ ﻛﺜﻴﺮات اﻟﺤﺪود‬ ‫ق نّدرت �سركة تكلفة إانتاج �س من الوحدات بكثير الحدود ‪� 0^03‬س‪� 4 + 2‬س ‪ 1000 +‬دينار‪.‬‬ ‫اكتب تعبي ًرا جبريًا يمثل متو�سط التكلفة للوحدة الواحدة‪.‬‬ ‫تعلمت كيفية ق�سمة كثير حدود على كثير حدود اآخر‪ .‬درجته اأقل من اأو ت�ساوي درجة‬ ‫المق�سوم با�ستخدام خوارزمية الق�سمة الطويلة‪ ،‬كما في المثال الاآتي‪:‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫جد خارج وباقي ق�سمة ق(�س) = ‪� 4‬س‪� 5 + 2‬س‪ 7 – 3‬على هـ (�س) = �س‪� 3 + 2‬س – ‪1‬‬ ‫ثم تحقق من �سحة الحل‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪�5‬س–‪11‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ا�ستخدم خوارزمية الق�سمة الطويلة باتباع الخطوات الاآتية‪:‬‬ ‫‪�5‬س‪�4+3‬س‪� 7–2‬س‪�3+2‬س–‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ )1‬رتب حدود الاقترانين تنازليا ح�سب قو‪� i‬س‪.‬‬ ‫‪�5‬س‪�15+3‬س‪�5–2‬س‬ ‫‪ )2‬اق�سم الحد الاأول في المق�سوم على الحد ال أاول في‬ ‫–‪�11‬س‪�5+2‬س–‪7‬‬ ‫المق�سوم عليه‪ ،‬و�سع الناتج ح ‪v‬دا أاو ًلا في خارج الق�سمة‪.‬‬ ‫–‪�11‬س‪�33–2‬س‪11+‬‬ ‫‪ )3‬ا�سرب المق�سوم عليه بالناتج الذي ح�سلت عليه في‬ ‫‪�38‬س–‪18‬‬ ‫الخطوة (‪ )2‬واطرح الناتج‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ )4‬كرر الخطوتين (‪ )3( ، )2‬حتى تح�سل على با ٍق درج ُت ُه اأقل من درجة المق�سوم عليه‪.‬‬ ‫خارج الق�سمة هو ‪� 5‬س – ‪ 11‬وباقي الق�سمة ‪� 38‬س – ‪.18‬‬ ‫التحقق من �سحة الحل‪:‬‬ ‫(‪� 5‬س– ‪� ( )11‬س‪� 3 + 2‬س – ‪� 38 ( + )1‬س – ‪� 5 = )18‬س‪� 4+ 3‬س‪7 – 2‬‬ ‫يمكنك فك الطرف الاأيمن من المعادلة وتب�سيطه لتح�سل على الطرف الاأي�سر‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫ا�ستخدم خوارزمية الق�سمة الطويلة لاإيجاد خارج ق�سمة وباقي ق(�س) = �س‪�6 – 3‬س ‪4 +‬‬ ‫على هـ (�س) = �س – ‪2‬‬ ‫‪q a‬ك‪¢ûbÉfh ô‬‬ ‫ما العلاقة بي درجة المق�سوم و درجة المق�سوم عليه و درجة خارج الق�سمة؟‬ ‫تﺬﻛﺮ‬ ‫ل أاي عددين �سحيحين موجبين ب‪ ،‬جـ يوجد عددان وحيدان غير �سالبين م‪ ،‬ر‬ ‫بحيث ب = م جـ ‪ +‬ر حيث ‪ ≤ 0‬ر < جـ‬ ‫ي�سمى م خارج ق�سمة العدد ب على العدد جـ وي�سمى ر باقي الق�سمة؛ فمث ًلا ‪2 + 14 × 5 = 72‬‬ ‫من الاآن ف�ساع ًدا عندما نقول كثير حدود ف إاننا نعني اقترا ًنا كثير حدود‪.‬‬ ‫وكما هو الحال في ال أاعداد ال�سحيحة الموجبة يمكن الربط بين كثيرات الحدود بال�سكل الاآتي‪:‬‬ ‫إاذا كان ق‪ ،‬هـ كثيري حدود ‪ ،‬فيوجد كثيرا حدود وحيدان ك‪ ،‬ر بحيث يكون‪:‬‬ ‫ق(�س) = ك(�س) × هـ(�س) ‪ +‬ر(�س) حيث ‪ ≤ 0‬درجة ر< درجة هـ ‪ ،‬و أان‬ ‫درجة ق = درجة ك ‪ +‬درجة هـ‬ ‫‪11‬‬

‫لقد ا�ستخدمت خوارزمية الق�سمة الطويلة لق�سمة كثيرات الحدود في المثال والتدريب ال�سابقين‪.‬‬ ‫‪ á≤jôW ∑Éægh‬أ�‪ô°ûH OhóM ô«ãc ≈∏Y OhóM ô«ãc ᪰ù≤d Iô°üàîe iôN‬ط أ�¿ ‪¬«∏Y Ωƒ°ù≤ªd� ¿ƒµj‬‬ ‫على ال�سورة (�س – اأ) وت�سمى هذه الطريقة طريقة ال≤�‪ª°‬ة ال‪«Ñ«côà‬ة (‪)Synthetic Division‬‬ ‫والاأمثلة الاآتية تو�سحها‪.‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫ا�ستخدم الق�سمة التركيبية لق�سمة ق(�س) = ‪� 5‬س‪� 4 – 3‬س‪ 9 – 2‬على‬ ‫هـ(�س) = �س – ‪2‬‬ ‫�سفر المق�سوم عليهمعاملات المق�سوم‬ ‫الحل‬ ‫–‪9– 0 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ )1‬رتب معاملات حدود المق�سوم تنازليا ح�سب قو‪� i‬س‬ ‫‪+++‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و َ�س ْع �سفرا معاملا للحد غير الموجود‪ ،‬واكتب‬ ‫‪24 12 10‬‬ ‫�سفرالمقدار (�س –‪ )2‬إالى اليمين‪.‬‬ ‫×‪2× 2× 2‬‬ ‫‪ )2‬اأنزل معامل الحد الاأول (‪ )5‬وا�سربه في العدد (‪)2‬‬ ‫واكتب الناتج تحت المعامل الثاني ثم اجمع‪.‬‬ ‫‪15 12 6 5‬‬ ‫‪ )3‬كرر عملية ال†سرب والجمع إالى اآخر معامل‪ ،‬فتكون الاأعداد الاأول والثاني والثالث هي‬ ‫معاملات حدود خارج الق�سمة والعدد ال أاخير هو الباقي‪.‬‬ ‫اإذن خارج الق�سمة هو ‪� 5‬س‪� 6 + 2‬س ‪ 12 +‬والباقي ‪15‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫جد خارج وباقي ق�سمة ق(�س) = �س‪� 2 – 3‬س‪ 1 + 2‬على هـ (�س) = �س‪1 +‬‬ ‫با�ستخدام الق�سمة التركيبية‬ ‫اإذا كان ق‪ ،‬هـ كثيري حدود‪ ،‬وكان هـ(�س) ≠ ‪ 0‬فاإن‪ ( :‬هقـ ) (�س) = هقـ((��سس))‬ ‫‪12‬‬

‫مثال (‪)٣‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = �س‪�8 – 4‬س‪�2 + 3‬س – ‪ ،7‬هـ (�س) = �س ‪ 1 +‬فجد‬ ‫( هقـ ) (�س) با�ستخدام الق�سمة التركيبية‪.‬‬ ‫‪7- 2 0 8– 1‬‬ ‫‪+ +++‬‬ ‫الحل‬ ‫–‪7 9– 9 1‬‬ ‫–‪1‬‬ ‫باتباع الخطوات ال�سالفة الذكر في مثال (‪ )2‬ينتج اأ َّن‬ ‫×–‪1–× 1–× 1–× 1‬‬ ‫( هقـ ) (�س) = �س‪�9 – 3‬س‪�9 + 2‬س – ‪7‬‬ ‫‪0 7– 9 9– 1‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٣‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = �س‪� – 4‬س‪� 8 + 2‬س ‪ ،4 +‬هـ (�س) = �س ‪ 2 +‬فجد كل ًا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ ( )2‬هقـ ) (‪)1‬‬ ‫‪ ( ) 1‬هقـ ) (�س)‬ ‫ﻧﺸاﻁ‬ ‫‪É°ûf ò«ØæJ ¬HÓW øe ÖdÉW πc øe º∏©e Ö∏W‬ط ‪: á«J’B � ä�ƒ£îd� ´ÉÑJu ÉH‬‬ ‫‪ ) 1‬اختر عددا غير العدد –‪ 2‬ثم ا�سربه في ‪. 3‬‬ ‫‪ ) 2‬اجمع الناتج الذي ح�سلت عليه في الخطوة (‪ )1‬إالى ناتج جمع العدد الذي اخترته‬ ‫مع ‪.8‬‬ ‫‪ ) 3‬اق�سم الناتج الذي ح�سلت عليه في الخطوة (‪ )2‬على ناتج جمع العدد الذي اخترته‬ ‫مع ‪ 2‬واحتفظ بال إاجابة‪.‬‬ ‫بعد الانتهاء‪ ،‬قال المعلم لطلابه‪ :‬جميعكم ح�سل على الناتج ‪.4‬‬ ‫و�سح با�ستخدام الرموز كي∞ عرف المعلم النتيجة ‪ ،‬ولماذا كانت موحدة عند الجميع ؟‬ ‫(اإر�ساد‪ :‬افر�س اأ َّن العدد الذي اخترته �س)‬ ‫‪13‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق(�س) = �س‪�6 – 5‬س‪� + 3‬س‪�8 + 2‬س – ‪ ، 4‬هـ(�س) = �س‪� – 2‬س ‪َ ،2 +‬فجد كل ًا‬ ‫مما ي�أتي‪:‬‬ ‫ أ� ) ( هقـ ) (�س) ب) ( هقـ ) (‪)3‬‬ ‫‪ ) 2‬جد خارج وباقي ق�سمة كثير الحدود ق على كثير الحدود هـ في كل مما ي أ�تي ‪:‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = �س‪� 6 – 3‬س‪ ، 4 – 2‬هـ (�س) = �س‪1 + 2‬‬ ‫ب ) ق(�س) = �س‪ ، 3 2 – 5‬هـ(�س) = �س – ‪2‬‬ ‫‪ )3‬ا�ستخدم الق�سمة التركيبية في �إيجاد خارج وباقي ق�سمة كثير الحدود ق على كثير الحدود‬ ‫هـ (�س) = �س – ‪3‬‬ ‫هـ �إذا كان ‪:‬‬ ‫هـ (�س) = �س ‪1 +‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = �س‪� 6 – 4‬س‪� 5 + 3‬س‪، 1 + 2‬‬ ‫ب ) ق(�س) = �س‪� 8 – 3‬س‪� 4 + 2‬س – ‪، 10‬‬ ‫‪� )4‬سجادة م�ستطيلة ال�شكل م�ساحتها ُتعطى بالاقتران ق(�س) = (�س‪�3 + 3‬س‪)16 + 2‬م‪ .2‬إ�ذا‬ ‫كان طول ال�سجادة (�س‪ )4 +‬م فجد عر�ضها بدلالة �س‪.‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪The Remainder and Factor Theorem‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﺎﻗﻲ واﻟﻌﺎﻣﻞ‬ ‫تعلمت في الدر�س ال�سابق اإيجاد خارج وباقي ق�سمة اقتران كثير حدود على اقتران كثير حدود اآخر‪.‬‬ ‫�ستتعرف في هـذا الـدر�س طريقــة مختـ�سرة ل إايجــاد باقي ق�سمة كثير الحدود ق عـلى كثير الحـدود‬ ‫هـ(�س) = �س – اأ دون إاجراء عملية الق�سمة ‪ ،‬كما �ستتعلم طريقة للك�س∞ عن عوامل كثير حدود معطى ‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = ‪� 3‬س‪� 8 – 2‬س ‪ ، 9 +‬هـ (�س) = �س – ‪ 2‬جد كل ًا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪9 8-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )1‬باقي ق�سمة ق على هـ ‪.‬‬ ‫‪++‬‬ ‫‪ )2‬ق(‪.)2‬‬ ‫‪4– 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫×‪2× 2‬‬ ‫‪ )1‬ب إاجراء خطوات الق�سمة التركيبية ف إان باقي ق�سمة ق على هـ‬ ‫‪5 2– 3‬‬ ‫ي�ساوي ‪. 5‬‬ ‫‪ )2‬ق(‪. 5 = 9 + 2 × 8 – 2)2(3 = )2‬‬ ‫ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪.á∏jƒ£dG ᪰ù≤dG á«eRQGƒN ΩGóîà°SÉH (1) ∫ÉãŸG ‘ `g ≈∏Y ¥ ᪰ùb »bÉH óL‬‬ ‫ﻧﺸاﻁ‬ ‫جد باقي ق�سمة ق على هـ لكل مما ي أاتي‪ ،‬ثم جد قيمة الاقتران ق عند النقطة المحددة‪.‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = �س‪�8 – 4‬س‪� 4 + 2‬س ‪ ، 1 +‬هـ (�س) = �س – ‪ ، 2‬عند �س = ‪2‬‬ ‫‪ ،‬هـ (�س) = �س ‪ ، 1+‬عند �س = –‪. 1‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = �س‪� 6 – 3‬س – ‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )3‬ق(�س) = ‪� 2‬س‪� 3 + 2‬س – ‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،‬عند �س =‬ ‫هـ (�س) = ‪�2‬س –‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ماذا تلاحظ ؟‬ ‫‪15‬‬

‫‪jô¶f‬ة ال‪»bÉÑ‬‬ ‫باقي ق�سمة كثير الحدود ق على كثير الحدود هـ حيث هـ (�س) = �س – أا ي�ساوي ق( أا )‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫاﻥ‬ ‫من خوارزمية الق�سمة‬ ‫ق(�س) = (�س– اأ ) ك(�س) ‪ +‬ر(�س)‬ ‫لكن درجة ر(�س) اأقل من درجة (�س– اأ )‪ .‬اإذن ر(�س) اقتران ثابت‬ ‫افر�س ر(�س) = جـ‬ ‫ق(�س) = (�س – اأ ) ك(�س) ‪ +‬جـ‬ ‫عند �س = اأ ‪ ،‬ق( اأ ) = ( اأ – اأ ) × ك( اأ ) ‪ +‬جـ ومنه ق( أا ) = جـ‬ ‫أاب)‪،‬‬ ‫أاي اأن ق( اأ ) ي�ساوي باقي ق�سمة ق على هـ‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≠‬ ‫أا‬ ‫(‪-‬‬ ‫ق‬ ‫هو‬ ‫ب‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫اأ‬ ‫=‬ ‫وب�سكل عام‪ ،‬باقي ق�سمة ق على هـ (�س)‬ ‫“ثل �سفر الاقتران هـ‪.‬‬ ‫ب‬ ‫‪-‬‬ ‫أان‬ ‫لاحظ‬ ‫أا‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫جد باقي ق�سمة الاقتران ق على الاقتران هـ با�ستخدام نظرية الباقي لكل م نّما ياأتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = �س‪�2 – 3‬س‪ ، 4 + 2‬هـ(�س) = �س – ‪3‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = �س‪� 5 – 4‬س– ‪ ، 6‬هـ(�س) = �س – ‪2‬‬ ‫‪ )3‬ق (�س) = ‪� 4‬س‪� 6 – 2‬س ‪ ، 5 +‬هـ(�س) = ‪� 2‬س – ‪1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬سفر الاقتران هـ هو ‪. 3‬‬ ‫ق(‪13 = 4 + 18 – 27 = 4 + 23 × 2 – 33 = )3‬‬ ‫باقي ق�سمة الاقتران ق على الاقتران هـ ي�ساوي ‪.13‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪� )2‬سفر الاقتران هـ هو ‪.2‬‬ ‫ق(‪0 = 6 – 10 – 16 = 6 – 2 × 5 – 42 = )2‬‬ ‫ي�ساوي �سف ًرا‪.‬‬ ‫هـ‬ ‫الاقتران‬ ‫باقي ق�سمة الاقتران ق على‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هو‬ ‫هـ‬ ‫الاقتران‬ ‫�سفر‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 5+ 3‬‬ ‫–‬ ‫‪1=5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×6‬‬ ‫)‪– 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫×‬ ‫=‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫باقي ق�سمة الاقتران ق على الاقتران هـ ي�ساوي‪. 3‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫ا�ستخدم نظرية الباقي لاإيجاد باقي ق�سمة الاقتران ق على الاقتران هـ في ما ي أاتي‪:‬‬ ‫هـ (�س) = �س ‪2 +‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = �س‪� 4 – 3‬س‪، 7 – 2‬‬ ‫هـ (�س) = �س – ‪1‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = �س‪� 3 – 3‬س ‪، 2 +‬‬ ‫لاحظ في الفرع (‪ )2‬من مثال (‪ )2‬اأن باقي ق�سمة ق على هـ ي�ساوي �سف ًرا‪.‬‬ ‫من تعري∞ عملية الق�سمة ‪:‬‬ ‫ق (�س) = ( �س – ‪ )2‬ك(�س)‪ .‬أاي اأن ( �س – ‪ ) 2‬عامل من عوامل ق‪ ،‬وهذا ي�ساعدنا في‬ ‫الك�س∞ عن عوامل كثير حدود كما في النظرية الاآتية‪:‬‬ ‫‪jô¶f‬ة ال©‪eÉ‬ل‬ ‫( �س– اأ ) عامل من عوامل كثير الحدود ق إاذا وفقط إاذا كان ق( اأ ) = �سف ًرا‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫاﻥ‬ ‫اأول ًا‪ :‬إاثبات الاتجاه ال أاول من النظرية‪:‬‬ ‫إاذا كان( �س – أا ) عاملا من عوامل ق فاإن ق ( اأ ) = �سف ًرا‪.‬‬ ‫بما اأن ( �س – أا ) عاملا من عوامل ق ‪ ،‬اإذن ق يقبل الق�سمة على ( �س – أا ) دون با ٍق‪.‬‬ ‫أاي اأن ق( اأ ) = �سف ًرا‪.‬‬ ‫‪17‬‬

‫من خوارزمية الق�سمة‬ ‫ثان ًيا‪ :‬اإثبات الاتجاه العك�سي من النظرية‪:‬‬ ‫من نظرية الباقي والفر�س‬ ‫اإذا كان ق( أا ) = �سف ًرا فاإن ( �س– أا ) عاملا من عوامل ق‪.‬‬ ‫ق (�س) = ( �س– أا ) ك(�س) ‪ +‬ر(�س)‬ ‫لكن ر(�س) = ق ( أا ) = �سف ًرا‬ ‫اإذن ق (�س) = ( �س– اأ ) ك(�س)‬ ‫اأي اأن ( �س– اأ ) عام ٌل من عوامل ق‪.‬‬ ‫مثال (‪)٣‬‬ ‫با�ستخدام نظرية العامل اأجب عن ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ب ّني اأن هـ (�س) = �س – ‪ 1‬عام ًلا من عوامل ق (�س) = ‪� 8‬س‪. 8 - 3‬‬ ‫‪ )2‬إاذا كان هـ ( �س) = �س ‪ 2 +‬عام ًلا من عوامل ق(�س ) = �س‪� + 3‬س‪ + 2‬ب �س ‪ ،2 -‬فجد‬ ‫قيمة الثابت ب‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬سفر الاقتران هـ هو ‪ ، 1‬ق (‪� = 8 - 3 1 × 8 = )1‬سف ًرا‬ ‫ح�سب نظرية العوامل‬ ‫اإذن ( �س – ‪ ) 1‬عام ًلا من عوامل ق‬ ‫‪� )2‬سفر الاقتران هـ هو – ‪ ، 2‬بما اأن هـ (�س) = �س ‪ 2 +‬عام ًلا من عوامل ق(�س)‪،‬‬ ‫ح�سب نظرية العوامل‬ ‫إاذن ق(– ‪� = ) 2‬سف ًرا‬ ‫(– ‪ + 2 )2 –( + 3 )2‬ب × – ‪0 = 2 – 2‬‬ ‫– ‪ 2 – 4 + 8‬ب – ‪� = 2‬سف ًرا‬ ‫–‪ 2‬ب = ‪ 6‬ومنه ب = – ‪3‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫اإذا كان هـ (�س) = �س ‪ 1 +‬عاملا من عوامل كثير الحدود‬ ‫ق(�س) = �س ‪ 2 + 3‬اأ�س‪� – 2‬س – ‪ ، 8‬فجد قيمة الثابت اأ ‪.‬‬ ‫‪18‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬ا�ستخدم نظرية الباقي لإيجاد باقي ق�سمة الاقتران ق على الاقتران هـ في ما ي�أتي ‪:‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = �س‪� 4 - 3‬س‪� 3 + 2‬س ‪ ،‬هـ (�س) = �س ‪1 +‬‬ ‫ب ) ق(�س) = ‪� 3‬س‪� 2 - 4‬س ‪ ، 4 +‬هـ (�س ) = ‪� 2‬س ‪1 -‬‬ ‫جـ) ق(�س) = ‪� 9‬س‪� 3 + 2‬س ‪ ، 8 -‬هـ (�س ) = ‪�3‬س ‪2 -‬‬ ‫‪ )2‬ب نّي �إذا كان ل عامل ًا من عوامل ق في ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ ،‬ل (�س) = �س ‪3 +‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = ‪� 2‬س‪54 + 3‬‬ ‫‪ ،‬ل (�س) = �س ‪2 -‬‬ ‫ب ) ق(�س) = ‪� 2‬س‪32 - 4‬‬ ‫جـ ) ق(�س) = ‪� 4‬س‪� 3 - 4‬س‪� 5 + 2‬س ‪ ، 2-‬ل (�س) = �س ‪2 -‬‬ ‫‪ )3‬جد قيمة الثابت �أ التي تجعل العبارات الآتية �صحيحة ‪:‬‬ ‫أ� ) (�س ‪ ) 1 -‬عاملا من عوامل ق (�س) = �س‪� 3 - 4‬س‪ + 2‬أ� �س ‪6 -‬‬ ‫ب ) باقي ق�سمة ق(�س) = �أ �س‪ ( + 2‬أ� ‪� )3 +‬س ‪ 4 +‬على هـ (�س) = �س ‪ 2+‬ي�ساوي ‪8‬‬ ‫‪ ) 4‬متوازي م�ستطيلات حجمه (�س‪� 8 - 3‬س ‪� +‬أ ) وحدة مكعبة ‪ ،‬جد قيمة الثابت �أ التي‬ ‫تجعل ( �س–‪ُ )1‬بع ًدا من �أبعاده‪.‬‬ ‫‪� )5‬إذا كان ق(�س) = �سن – �أن حيث ن ط ‪� ،‬أ ≠ ‪ ، 0‬أ�ثبت �أنه ‪:‬‬ ‫�أ ) عندما يكون ن عددا زوجيا ف�إن ( �س ‪ -‬أ� ) و( �س ‪� +‬أ) عاملان من عوامل ق‪.‬‬ ‫ب) عندما يكون ن عدد فرديا ف�إن ( �س ‪� -‬أ ) عام ٌل من عوامل ق‪.‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪Factoring Polynomials‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‪ :‬ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻛﺜﻴﺮات اﻟﺤﺪود‬ ‫بناي ٌة على �سكل متوازي م�ستطيلات حجمها �س‪� 2 + 3‬س‪�4 - 2‬س ‪ 8 -‬وحدة مكعبة‪ .‬إاذا كان‬ ‫أاحد اأبعاد البناية (�س– ‪ )2‬وحدة فجد بعديها الاآ َخر ْي ِن بدلالة �س‪.‬‬ ‫در�ست �سابقا تحليل مقادير جبرية إالى عواملها الاأولية وبطرق ‪‬تلفة مثل‪:‬‬ ‫�س‪ 25 – 2‬فرق بي مربعي‬ ‫�س‪ 8 + 3‬مجموع مكعبي‬ ‫�س‪� 3 + 2‬س – ‪ 4‬عبارة تربيعية‬ ‫�س‪ 64 – 6‬فرق بي مربعي وفرق بي مكعبي‪.‬‬ ‫كما در�ست نظريتي الباقي والعامل‪.‬‬ ‫في هذا الدر�س �سوف ت�ستخدم ما تعلمته �سابقا في تحليل كثيرات الحدود إالى عواملها ال أاولية‬ ‫إا�سافة اإلى طرق جديدة لتحليل كثيرات حدود ذات درجات عليا‪.‬‬ ‫تﺬﻛﺮ‬ ‫‪ )1‬يكون المقدار الجبري عاملا أاوليا اإذا ‪ ⁄‬يمكن تحليله إالى مقدار جبري أاقل منه درجة‪ ،‬وب�سكل‬ ‫عام تكون العوامل الاأولية لاقترانات كثيرات الحدود اإما خطية ‪ ،‬أاو تربيعية مميزها عدد �سالب‪.‬‬ ‫‪ )2‬مميز المعادلة التربيعية أا �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ =‪ ، 0‬اأ ≠ ‪ 0‬هو‪ :‬ب‪ 4 – 2‬اأ جـ‬ ‫قد تواجه �سعوبة في البحث عن أا�سفار اقتران كثير الحدود من الدرجة الرابعة اأو الخام�سة اأو درجات‬ ‫اأخر‪ i‬أاعلى‪ ،‬لذلك لا بد من طريقة �سهلة توفر الوقت والجهد في البحث عن هذه ال أا�سفار‪.‬‬ ‫‪jô¶f‬ة ا’‪ QÉØ°UC‬ال‪«Ñ°�æ‬ة لك‪ Òã‬ا◊‪Rational Zero Theorem Ohó‬‬ ‫ليكن ق(�س) = اأن �س ن ‪ +‬اأ ن–‪� 1‬س ن–‪ + ... + 1‬اأ‪� 1‬س ‪ +‬اأ‪ 0‬حيث أان ≠‪ 0‬كثير حدود جميع‬ ‫معاملاته اأعداد �سحيحة ‪ .‬اإذا كان العدد الن�سبي (جـب )�سف ًرا من اأ�سفار الاقتران ق ف إان (ب)‬ ‫عامل من عوامل الحد الثابت (اأ‪ ، )0‬جـ عامل من عوامل المعامل الرئي�س ( اأن )‪.‬‬ ‫‪20‬‬

‫مثال (‪)1‬‬ ‫جد جميع الاأ�سفار الن�سبية المحتملة لك ٍّل من الاقترانات ال آاتية‪.‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = ‪� 3‬س‪� – 4‬س‪� 9 + 2‬س – ‪6‬‬ ‫‪ )2‬ل(�س) = �س‪�5 + 3‬س‪� 3 – 2‬س ‪14 +‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬إاذا كان (جـب )�سف ًرا من أا�سفار ق(�س) ف إا َّن (ب) عامل من عوامل –‪ ،6‬جـ عامل من عوامل(‪.)3‬‬ ‫قيم ب هي‪6 ± ،3 ± ،2 ± ،1 ± :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫قيم جـ هي‪3 ± ،1 ± :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(جـب ) = ‪± ،1 ±‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪،3‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪،‬‬ ‫إاذن قيم‬ ‫‪ )2‬بما المعامل الرئي�س اأ‪ 1 = 3‬ف إان الاأ�سفار الن�سبية المحتملة يجب أان تكون من عوامل الحد الثابت ‪.14‬‬ ‫اإذن اأ�سفار ل(�س) الن�سبية المحتملة ‪.14 ± ،7 ± ،2 ± ،1 ±‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫جد الاأ�سفار الن�سبية المحتملة لكل من الاقترانات ال آاتية ‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = �س‪� 8 – 3‬س‪� + 2‬س – ‪18‬‬ ‫‪ )2‬ك(�س) = ‪� 2‬س‪� 3 – 5‬س‪� 2 + 4‬س ‪12 +‬‬ ‫‪21‬‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫حلل كثير الحدود ق( �س) = �س‪� – 5‬س‪� – 4‬س‪� 3 – 3‬س‪ 4 + 2‬اإلى عوامله ال أاولية ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫جد �سف ًرا للاقتران ق با�ستخدام نظرية ال أا�سفار الن�سبية‪.‬‬ ‫ال أا�سفار الن�سبية المحتملة ‪. 4 ± ،2 ± ،1 ±‬‬ ‫بالتجريب ق(‪� = )1‬سفر ‪ ،‬أاي أان(�س – ‪ )1‬عام ٌل من عوامل ق‪ .‬ل إايجاد العوامل ال أاخر‪ i‬جد خارج‬ ‫ق�سمة ق على (�س – ‪ )1‬ب إاحد‪ i‬طريقتي الق�سمة فيكـون خـارج ق�سمـة ق(�س) على (�س–‪ )1‬هو‪:‬‬ ‫�س‪� - 4‬س‪� 4 – 2‬س‪ ،4-‬وبالطريقة نف�سها جد �سفر المقدار‪:‬‬ ‫�س‪� - 4‬س‪� 4 – 2‬س‪ ، 4-‬الاأ�سفار المحتملة ‪.4 ± ،2 ± ،1 ±‬‬ ‫بالتجريب يتب ّني اأ َّن (‪�ِ )1-‬س ْف ٌر للمقدار‪ .‬اأي أان ( �س‪ )1+‬عامل من عوامل المقدار‪:‬‬ ‫�س‪� – 4‬س‪� 4 – 2‬س–‪4‬‬ ‫إاذن �س‪� – 4‬س‪� 4 – 2‬س– ‪� ( = 4‬س‪� ( )1+‬س‪� –3‬س‪.)4 – 2‬‬ ‫اتبع الطريق نف�سها لتجد أان‪:‬‬ ‫( �س‪� –3‬س‪� ( = )4 – 2‬س – ‪� ( )2‬س‪� + 2‬س ‪)2 +‬‬ ‫المقدار التربيعي �س‪� + 2‬س ‪ 2 +‬لا يمكن تحليله ل أان مميزه �سال ٌب‪.‬‬ ‫إاذن �س‪� – 5‬س‪� – 4‬س‪� 3 – 3‬س‪�( = 4 + 2‬س – ‪� ( )1‬س‪� ( )1+‬س – ‪� ( )2‬س‪� + 2‬س ‪)2 +‬‬ ‫‪q a‬ك‪¢ûbÉfh ô‬‬ ‫في المثال (‪ )2‬واأثناء التجريب لاإيجاد ال أا�سفار وجد طالب ال�سفر الاأول فكان ‪َ ،1‬ووجد‬ ‫طالب اآخر ال�سفر ال أاول فكان ‪ ، 2‬فهل �ستختل∞ عوامل الاقتران؟ برر إاجابتك‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫حلل كثير الحدود ق(�س) = �س‪� + 5‬س‪�2 – 4‬س‪� + 3‬س‪� + 2‬س – ‪ 2‬اإلى عوامله ال أاولية‪.‬‬ ‫‪22‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬جد ا أل�صفار المحتملة لكل من كثيرات الحدود الآتية‪:‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = ‪� 6‬س‪� 18 – 3‬س ‪12 +‬‬ ‫ب) هـ (�س) = ‪� 2‬س‪� 8 – 4‬س‪� 20 – 3‬س ‪30 +‬‬ ‫جـ ) ل (�س) = �س‪� 4 – 5‬س‪� 3 – 2‬س – ‪10‬‬ ‫‪ )2‬حلل كثيرات الحدود الآتية �إلى عواملها الأولية‪:‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = �س‪81 – 4‬‬ ‫ب ) ك(�س) = ‪� 5‬س‪� 40 – 6‬س‪3‬‬ ‫جـ) هـ(�س) = �س‪� + 3‬س – ‪2‬‬ ‫د ) م (�س) = �س‪� 2 – 3‬س‪� 3 + 2‬س ‪6 +‬‬ ‫‪ )3‬جد قيمة �أ التي تجعل (�س – ‪ )1‬عاملا من عوامل ق(�س) = �س‪� 3 – 3‬س‪� + 2‬أ �س – ‪4‬‬ ‫‪ُ )4‬ح َّل الم�س�ألة الواردة بداية الدر� ِس ‪.‬‬ ‫‪ ) 5‬جد كثير حدود من الدرجة الثالثة �أ�صفاره ‪4 ، 2 – ، 1‬‬ ‫‪23‬‬

Rational Functions ‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎت اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ .á«Ñ°ùædG äÉfGÎb’G õ«“ • äÉLÉàædG .»Ñ°ùædG ¿GÎb’G Ωƒ¡Øe ±ô©àJ • .É¡æe πc ∫É› øª°V á«q Ñ°ùf ÒHÉ©àd áÄaɵe ɨ«°U óŒ • .á«Ñ°ùædG äÉfGÎb’G π«∏– ‘ πeÉ©dGh »bÉÑdG »àjô¶f Ωóîà°ùJ• ¢S ∫ƒW ¿Éc GPEG.á©HQC’G ¬YÓ°VGC ¢ù“ å«ëH ™Hôe πNGO IôFGO ⪰SQo Ω x áMÉ°ùeh ™HôŸG áMÉ°ùe ÚH áÑ°ùædG óéa ;IóMh (¢S) IôFGódG ô£b ∞°üf (1 – 1 ) πµ°ûdG .IQƒ°U §°ùHÉC H IôFGódG π«∏ëàdG ¥ôW ≈dGE áaÉ°V’E ÉH πeÉ©dGh »bÉÑdG ájô¶f Ωóîà°ùJh á«Ñ°ùædG äÉfGÎb’G ¢SQódG Gòg ‘ ±ô©àà°S .á«Ñ°ùædG äÉfGÎb’G §«°ùÑJ ‘ É¡à°SQO »àdG ¢U ∞jô©J 36 :¿s pEG å«ëH ∫ , `g πãe OhóM GÒãc óLho GPEG »Ñ°ùf ¿GÎbG ¬fÉC H ¥ ¿GÎbÓd ∫É≤j 24 ¥1 ¿2 ƒ3µjh ¢,S¥ ¿GÎbE’G ∫É› ‘ ¢S º«b ™«ª÷ 0 ≠ (¢S) ∫ (¢S)`g I5Q- ƒ4-°U3- , (¢S)∫ = (¢S)¥ §2-°1ù-1H20CÉH

‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫ال�سبب؟‬ ‫ذكر‬ ‫كل منها مع‬ ‫ن�سب ّني �سمن مجال‬ ‫غير‬ ‫واأيها‬ ‫ن�سبي‬ ‫ال آاتية هو اقتران‬ ‫الاقترانات‬ ‫من‬ ‫اأي‬ ‫�س‪1 + 3‬‬ ‫‪ )2‬هـ (�س) =‬ ‫�س‪� 3 – 3‬س‬ ‫(�س) =‬ ‫ق‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪� – 4‬س‪2‬‬ ‫�س ‪4 +‬‬ ‫�س‪�6 – 4‬س‪1 + 3‬‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫م‬ ‫‪)4‬‬ ‫�س ‪� +‬س‪14-‬‬ ‫‪ )3‬ل (�س) =‬ ‫�س‪�4 – 2‬س ‪1 +‬‬ ‫�س‪�4 – 3‬س ‪1 +‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫اكتب �سيغا مكافئة لكل من الاقترانات الاآتية �سمن مجال كل منها ب أاب�سط �سورة ممكنة‪:‬‬ ‫‪�2‬س‪�3 + 3‬س‪�2 – 2‬س – ‪3‬‬ ‫‪ )2‬ل(�س) =‬ ‫�س‪� + 2‬س – ‪6‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪)1‬‬ ‫�س‪1 – 2‬‬ ‫�س‪�8 + 2‬س ‪15 +‬‬ ‫�س‪� + 4‬س‪15 – 2‬‬ ‫=‬ ‫‪ )4‬م(�س)‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫‪ )3‬هـ(�س) =‬ ‫�س – ‪3‬‬ ‫�س‪�2 + 4‬س‪� + 3‬س‪�2 + 2‬س‬ ‫(�س – ‪)2‬‬ ‫=‬ ‫(�س – ‪�( )2‬س ‪)3 1+‬‬ ‫الحل‬ ‫(�س ‪)5 +‬‬ ‫(�س ‪�( )5 +‬س ‪)3 1+‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) =‬ ‫= ‪�2‬س‪3+‬‬ ‫(‪�2‬س ‪�( )3 +‬س –‪)1 1‬‬ ‫=‬ ‫(�س ‪�2( )1 1+‬س‪� + 2‬س ‪)3 -‬‬ ‫ل(�س) =‬ ‫‪)2‬‬ ‫(�س –‪)1 1‬‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪)1 1+‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(�س ‪)2 1+‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(�س ‪)2 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‪4‬‬ ‫هـ(�س) =‬ ‫‪)3‬‬ ‫�س(�س‪2‬‬ ‫�س( �س ‪� ( )2 1+‬س‪)1+ 2‬‬ ‫‪� 2‬س‪� + 3‬س‪2‬‬ ‫‪ )4‬لاحظ أا َّن المقدار‪� :‬س‪� + 4‬س‪ 15 – 2‬لا يقبل الق�سمة على (�س– ‪ )3‬ل أان باقي الق�سمة‬ ‫�س‪� + 4‬س‪15 – 2‬‬ ‫ب أاب�سط �سورة‪.‬‬ ‫�س – ‪3‬‬ ‫ل (‪ ،75 = )3‬اإذن م(�س) =‬ ‫‪25‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫اكتب �سي ًغا مكافئة لك ٍّل من الاقترانات الن�سبية الاآتية �سمن مجال كل منها ب أاب�سط �سورة ممكنة‪:‬‬ ‫�س‪�2 + 4‬س‪� + 3‬س‬ ‫‪ )2‬ل (�س) =‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪� 5 – 2‬س ‪6 +‬‬ ‫ق (�س) =‬ ‫‪)1‬‬ ‫�س‪�3 + 2‬س‬ ‫�س‪�3 – 3‬س‪� + 2‬س –‬ ‫�س‪8 – 3‬‬ ‫‪ )3‬ع (�س) =‬ ‫�س‪4 – 2‬‬ ‫مثال (‪)٣‬‬ ‫يتحرك ُج َ�س ْي ٌم على خط م�ستقيم بحيث يكون بعده عن نقطة البداية بعد ن دقيقة معطى بالقاعدة‬ ‫ف (ن) = (ن‪ + 3‬ن‪6 + 2‬ن) قد ًما‪ ،‬اكتب متو�سط ال�سرعة في الفترة [ ‪� ،2‬س] بدلالة �س‪.‬‬ ‫الم�سافة المقطوعة في الفترة [‪� ، 2‬س]‬ ‫الحل‬ ‫زمن الفترة [ ‪� ،2‬س]‬ ‫متو�سط ال�سرعة في الفترة [‪� ، 2‬س] =‬ ‫ف(�س) – ف(‪� )2‬س‪� + 3‬س‪� 6 + 2‬س – ‪24‬‬ ‫�س – ‪= 2‬‬ ‫=‬ ‫�س – ‪2‬‬ ‫= �س‪� 3 + 2‬س ‪ 12 +‬قدم ‪ /‬دقيقة‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٣‬‬ ‫االلموقدحادراد(ت العم)نعت––جةد‪(2‬م‪2‬ن)�سلعباأةبم�اس هطو�سورة‪،‬‬ ‫�س من‬ ‫اإذا كان اقتران الاإيراد الكلي لمبيعات‬ ‫فاكتب‬ ‫د(�س) = – ‪� 2‬س‪� 60 + 2‬س دينارا‪،‬‬ ‫حيث ع > ‪. 2‬‬ ‫‪26‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬اكتب ثلاثة �أمثلة على اقترانات ن�سبية‪.‬‬ ‫‪ ) 2‬م ّيز الاقترانات الن�سبية من غيرها �ضمن مجال كل منها في ما ي أ�تي مع ذكر ال�سبب‪:‬‬ ‫‪�8‬س – ‪1‬‬ ‫ب) ق‪�(2‬س) =‬ ‫�أ ) ق‪�(1‬س) = � س‪ �+ 2‬س‪8 �+12‬س ‪5 +‬‬ ‫‪� 3‬س‪3 + 2‬‬ ‫�س ‪� +‬س‬ ‫د ) ق‪�(4‬س) =‬ ‫جـ) ق‪�(3‬س) = �س ‪�3‬س‪+ �2+‬س‪ �+7‬س ‪ 2‬‬ ‫‪� – 6‬س‪3‬‬ ‫‪25‬‬ ‫–‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪�2‬س‪3‬‬ ‫= ‬ ‫ق‪�(5‬س)‬ ‫هـ )‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‪4‬‬ ‫‪ )3‬اكتب �صي ًغا مكافئة لك ٍّل من الاقترانات الن�سبية الآتية �ضمن مجال كل منها ب أ�ب�سط �صورة ممكنة‪:‬‬ ‫‪�3 +‬س‪2‬‬ ‫– ‪�4‬س‪3‬‬ ‫�س‪4‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫ب)‬ ‫�أ ) ق(�س) = �س‪� 3‬س‪ �2+‬س‪�2+‬س– �–س‪2 +2‬‬ ‫�س‬ ‫�س‪– 3‬‬ ‫�س‪�6 – 2‬س ‪3 +‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫جـ) ق(�س) = ‪ �2‬س‪��5 + 2‬سس –‪� – 124+‬س‪3‬‬ ‫‪�3‬س‪�3 – 3‬س‬ ‫‪ُ ) 4‬ح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪ )5‬بئر ماء على �شكل متوازي م�ستطيلات طوله ‪ 4‬م وعر�ضه ‪ 3‬م وارتفاعه ‪ 2‬م ‪ُ ،‬أ�جريت عليه‬ ‫تو�سعة بحيث تم زيادة �أبعاده بمقدار مت�سا ٍو من الأمتار‪.‬‬ ‫أ� ) اكتب الاقتران الن�سبي الذي َب�ْس ُط ُه حجم البئر بعد التو�سعة ومقامه ارتفاع البئر بعد‬ ‫التو�سعة ب�أب�سط �صورة‪.‬‬ ‫ب ) ماذا يمثل الاقتران في الفرع ( �أ )؟‬ ‫‪27‬‬

‫ﺣل ﺍﻟمﻌاﺩﻻﺕ وﺍﻟمﺘﺒايﻨاﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟثاﻟﺚ‬ ‫‪Solving Algebraic Equations and Inequalities‬‬ ‫ال‪äÉLÉàæ‬‬ ‫• تحل معادلات غير خطية بمتغير واحد بالتحليل والر�سم البياني‪.‬‬ ‫• تحل متباينات غير خطية بمتغير واحد حتى الدرجة الثالثة‪.‬‬ ‫• تكتب �سي ًغا مكافئة لتعابير ن�سبية با�ستخدام الك�سور الجزئية‪.‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﺑﻤﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ ‪Solving Algebraic Equations with One Variable‬‬ ‫وجـد محـل لبـيع قـطـــع الحــا�سـوب أان الربـــح اليـومــي لمبـيـعاتــه ُيـعـطـــى بالاقـــتران‬ ‫ر(�س) = �س‪�5 – 3‬س‪�4 + 2‬س حيث �س عدد القطع المباعة ‪ ،‬ر(�س) الربح بالدينار‪ .‬فاإذا كان‬ ‫ربح المحل في اأحد الاأيام ‪ 20‬دينا ًرا ‪ ،‬فكم عدد القطع المباعة في ذلك اليوم؟‬ ‫در�ست �سابقا المعادلات بمتغير واحد من الدرجات ال أاولى والثانية والثالثة والتي �سورها‬ ‫العامة كما ياأتي‪:‬‬ ‫الدرجة مثال‬ ‫ال�سورة العامة‬ ‫‪� 5‬س ‪0 = 2 +‬‬ ‫الاأولى‬ ‫اأ �س ‪ +‬ب = ‪0‬‬ ‫‪�3‬س‪� – 2‬س ‪0= 9 +‬‬ ‫الثانية‬ ‫�س‪� 2 + 3‬س ‪� – 2‬س– ‪0= 5‬‬ ‫الثالثة‬ ‫اأ �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫أا �س‪ + 3‬ب �س‪ + 2‬جـ �س ‪ +‬د = ‪0‬‬ ‫حيث أا ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د ح ‪ ،‬أا ≠‪0‬‬ ‫وب�سكل عام إاذا كان ق(�س) = أان �س ن ‪ +‬اأن – ‪� 1‬س ن–‪ + . . . + 1‬اأ‪� 1‬س ‪ +‬اأ‪ ، 0‬أان ≠‪ 0‬كثير حدود‬ ‫من الدرجة ن ف إان أان �س ن ‪ +‬اأن – ‪� 1‬س ن–‪ + . . . + 1‬أا‪� 1‬س ‪ +‬أا‪OÉ©e 0 = 0‬لة ‪ôe‬ا‪≤a‬ة للاقتران ق(�س)‪.‬‬ ‫تﺬﻛﺮ‬ ‫‪ )1‬المعادلة ذات المتغير الواحد هي جملة ريا�سية تحوي متغي ًرا واح ًدا واإ�سارة =‬ ‫‪َ )2‬ح ‪t‬ل المعادلة ذات المتغير الواحد يعني اإيجاد قيمة ( اأو قيم ) المتغير التي تجعل المعادلة عبارة �سحيحة‪.‬‬ ‫‪ )3‬اإذا كان حا�سل �سرب مقدارين جبريي ي�ساوي �سف ًرا فاإن أاحدهما على ال أاقل ي�ساوي �سف ًرا‪.‬‬ ‫‪28‬‬

‫لحل المعادلات ال�سابقة ( إايجاد جذورها اأو إايجاد قيم المتغير التي تحققها) يمكن اتباع طرائق‬ ‫متعددة منها ‪:‬‬ ‫التحليل اإلى العوامل ‪ ،‬التعوي†س ‪ ،‬الر�سم البيا‪ ، Ê‬والاأمثلة الاآتية تو�سح ذلك‪:‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫ُح َّل المعادلة �س‪� 6 – 3‬س‪� 11 + 2‬س – ‪0 = 6‬‬ ‫‪6– 11 6– 1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪+++‬‬ ‫‪6 8– 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حلل الاقتران ق(�س) المرافق للمعادلة إالى عوامله ال أاولية ‪:‬‬ ‫×‪2× 2× 2‬‬ ‫ق(�س) = �س‪� 6 - 3‬س‪� 11 + 2‬س – ‪6‬‬ ‫‪0 3 4– 1‬‬ ‫ح�سب نظرية الاأ�سفار الن�سبية ف إان الاأ�سفار الن�سبية المحتملة‬ ‫هي ‪. 1± ،2 ± ،3 ± ،6 ± :‬‬ ‫بالتجريب تجد اأن ( �س – ‪ )2‬عام ٌل من عوامل ق(�س)‪،‬‬ ‫وبعد اإجراء عملية الق�سمة تجد اأن ‪:‬‬ ‫ق�سمة كثيرات الحدود‬ ‫�س‪� 6 – 3‬س‪� 11 + 2‬س – ‪�( = 6‬س – ‪� ( )2‬س‪� 4 – 2‬س ‪)3 +‬‬ ‫تحليل العبارة التربيعية‬ ‫( �س‪� 4 – 2‬س ‪� ( = )3 +‬س – ‪� ( )1‬س – ‪)3‬‬ ‫اإذن �س‪� 6 – 3‬س‪� 11 + 2‬س – ‪�( = 6‬س – ‪� ( )2‬س – ‪� ( )1‬س – ‪)3‬‬ ‫إاذن المعادلة المرافقة للاقتران ق(�س) هي‪�( :‬س ‪� ( )2 -‬س – ‪� ( )1‬س – ‪0= )3‬‬ ‫إاما (�س – ‪ 0= )2‬ومنه �س = ‪2‬‬ ‫أاو (�س – ‪ 0= )1‬ومنه �س = ‪1‬‬ ‫اأو (�س – ‪ 0= )3‬ومنه �س = ‪3‬‬ ‫∴ جذور المعادلة هي ‪. 3 ، 2 ، 1 :‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫ُح َّل المعادلة �س‪� 2 – 3‬س‪� 5 – 2‬س ‪0 = 6 +‬‬ ‫‪29‬‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫ُح َّل المعادلة ‪� 2‬س‪� 32 – 5‬س = ‪0‬‬ ‫إاخراج عامل م�سترك‬ ‫الحل‬ ‫تحليل فرق بي مربعي‬ ‫تحليل فرق بي مربعي‬ ‫‪� 2‬س‪� 32 – 5‬س = ‪� 2‬س( �س‪) 16 – 4‬‬ ‫= ‪� 2‬س ( �س‪� ( ) 4 – 2‬س‪)4 + 2‬‬ ‫= ‪� 2‬س( �س – ‪� ( ) 2‬س ‪�( )2 +‬س‪)4 + 2‬‬ ‫لا حظ اأن (�س‪ )4 + 2‬عبارة تربيعية مميزها �سالب و لا يمكن تحليلها ولذلك لا يوجد لها حل حقيقي‪.‬‬ ‫إاذن اإ ّنما �س = ‪0‬‬ ‫أاو (�س – ‪ 0= )2‬ومنه �س = ‪2‬‬ ‫أاو (�س ‪ 0 = )2 +‬ومنه �س = – ‪2‬‬ ‫اإذن للمعادلة ثلاثة جذور حقيقية هي ‪. 2 – ، 2 ، 0 :‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫ُح َّل المعادلة �س‪� 8 – 5‬س‪0 = 2‬‬ ‫قواني الاأ�س�س ( �سم ن) = (�سم)ن‬ ‫مثال (‪)٣‬‬ ‫بفر�س �س = �س‪2‬‬ ‫تحليل عبارة تربيعية‬ ‫ُح َّل المعادلة �س‪� 14 – 4‬س‪0 = 45 + 2‬‬ ‫الحل‬ ‫�س‪� 14 – 4‬س‪�( = 45 + 2‬س‪� 14 – 2)2‬س‪45 + 2‬‬ ‫= �س‪� 14 – 2‬س ‪45 +‬‬ ‫= ( �س – ‪� ( ) 9‬س – ‪) 5‬‬ ‫= ( �س‪� ( ) 9 – 2‬س‪)5 – 2‬‬ ‫‪30‬‬

‫تحليل فرق بي مربعي‬ ‫= (�س – ‪�( )3‬س ‪�( )3 +‬س– ‪�() 5‬س ‪) 5 +‬‬ ‫إاذن جذور المعادلة هي ‪5 – ، 5 ، 3 – ، 3 :‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٣‬‬ ‫ُح َّل كل ًا من المعادلات ال آاتية‪:‬‬ ‫‪� )1‬س‪� 7 – 6‬س‪0 = 8 – 3‬‬ ‫‪� )2‬س‪� 3 – 4‬س‪0 = 4 – 2‬‬ ‫مثال (‪)٤‬‬ ‫معتم ًدا ال�سكل الاآتي الذي يم ّنثل منحنى الاقتران ق(�س) = �س‪� 2 + 3‬س‪� 3 – 2‬س جد مجموعة‬ ‫ح ّنل المعادلة المرافقة للاقتران ق‪¢U .‬‬ ‫الحل ‪36‬‬ ‫لاحظ اأن منحنى ق(�س) = �س‪� 2 + 3‬س‪� 3 – 2‬س يقطع ‪24‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫محور ال�سينات عند �س = –‪. 1 ، 0 ،3‬‬ ‫لذلك ف إان للمعادلة �س‪� 2 + 3‬س‪� 3 – 2‬س= ‪0‬‬ ‫‪5- 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3‬‬ ‫المرتبطة بالاقتران ق(�س) = �س‪� 2 + 3‬س‪� 3 – 2‬س‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪24-‬‬ ‫‪36-‬‬ ‫ثلاثة حلول هي‪. 1 ، 0 ،3– :‬‬ ‫ال�سكل ( ‪)2 – 1‬‬ ‫‪31‬‬

‫مثال (‪)5‬‬ ‫َو َج َد محل أ�حذ َية �أن اقتران الإيراد الكلي الناتج من بيع (�س) من القطع هو‪:‬‬ ‫د(�س) = �س‪�2 - 3‬س‪ 2‬دينار‬ ‫و�أن اقتران التكلفة الكلية هو‪:‬‬ ‫ك(�س) = ‪�8‬س‪�9 - 2‬س دينار‪.‬‬ ‫ج ْد عدد القطع التي يمكن للمحل �أن يبيعها ليحق َق رب ًحا مقداره (‪ )90‬دينار‪.‬‬ ‫‪90- 9 10– 1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪90 0 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫الربح = الإيراد ‪ -‬التكلفة‬ ‫×‪10× 10× 10‬‬ ‫ر(�س) = ( �س‪�2 - 3‬س‪�8( - )2‬س‪�9 - 2‬س)‬ ‫‪� = 90‬س‪�10 - 3‬س‪�9 + 2‬س‬ ‫‪0 901‬‬ ‫�س‪�10 - 3‬س‪�9 + 2‬س ‪0 = 90 -‬‬ ‫وبا�ستخدام الق�سمة التركيبية ينتج �أن‪:‬‬ ‫�س‪�10 - 3‬س‪�9 + 2‬س ‪�( = 90 -‬س ‪�( )10 -‬س‪)9 + 2‬‬ ‫لاحظ �أن مميز العبارة (�س‪� )9 + 2‬سالب؛ لذا لا يوجد لها حل حقيقي‪.‬‬ ‫�إذن حل المعادلة هو‪� :‬س = ‪10‬‬ ‫وهذا يعني �أن على المحل �أن يبيع (‪ )10‬قط ٍع من ا ألحذية ليحقق رب ًحا مقداره (‪ )90‬دينار‪.‬‬ ‫‪32‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬اكتب مثالاً على اقتران كثير حدود على ال�صورة القيا�سية من الدرجة ا ألولى والثانية والثالثة‬ ‫ثم اكتب المعادلة المرافقة لكل اقتران‪.‬‬ ‫‪ُ ) 2‬ح َّل المعادلات ا آلتية وتحقق من �ص ّحة الحل ‪:‬‬ ‫�أ ) �س‪� 6 – 3‬س‪� 8 + 2‬س = ‪0‬‬ ‫ب) �س‪� + 3‬س‪� 5 – 2‬س ‪0 = 3 +‬‬ ‫جـ ) �س‪� 16 – 5‬س= ‪0‬‬ ‫د ) �س‪� + 5‬س‪� 6 – 4‬س‪� + 3‬س‪� + 2‬س – ‪0 = 6‬‬ ‫هـ ) �س‪64 = 6‬‬ ‫و ) �س‪� 6+ 5‬س‪� 5 + 4‬س‪0 = 3‬‬ ‫ز ) �س‪� 5 – 3‬س‪� 4 + 2‬س = ‪0‬‬ ‫ح ) �س‪� ( 3‬س ‪� 4 = )1 +‬س( �س ‪)1 +‬‬ ‫‪ )3‬بركة �سباحة قاعدتها م�ستطيلة ال�شكل يزيد طولها عن عر�ضها بمقدار‪ 6‬م ‪.‬يحيط بها ممر‬ ‫عر�ضه ‪ 1‬م‪ ،‬ف�إذا كانت م�ساحة البركة مع الممر ‪ 91‬م ‪ ، 2‬ف َجد بعدي البركة‪.‬‬ ‫‪ُ )4‬ح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪33‬‬

‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎت ﻏﻴﺮ اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺑﻤﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ ‪Nonlinear Inequalities with One Variable‬‬ ‫�ساحنة وزنها ‪ 15‬طنا تريد المرور فوق ج�سر يتحمل وزنا اأق�ساه ‪ 28‬طنا ‪ ،‬ما الوزن الذي يمكن‬ ‫لل�ساحنة اأن تحمله بحيث يمكنها من المرور فوق الج�سر؟‬ ‫تعلمت في الدر�س ال�سابق حل معادلات غير خطية بمتغير واحد ومنها معادلات من الدرجة‬ ‫الثانية التي �سورتها القيا�سية اأ �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ = ‪ 0‬و معادلات من الدرجة الثالثة التي �سورتها‬ ‫القيا�سية اأ �س‪ + 3‬ب �س‪ + 2‬جـ �س ‪ +‬د = ‪ ، 0‬حيث أا ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ح ‪ ،‬أا ≠‪. 0‬‬ ‫اإذا ا�ستبدلت اإ�سارة الم�ساواة في المعادلة باأحد الرموز ‪ , , ,‬تح�سل على ال�سورة القيا�سية‬ ‫للمتباينة بمتغير واحد من الدرجة الثانية أاو الثالثة‪.‬‬ ‫تﺬﻛﺮ‬ ‫المتباينة جملة مفتوحة تحتوي على رمز اأو اأكثر من الرموز >‪.≤ ، < ، ≥ ،‬‬ ‫لحل المتباينة �سعها باأحد �سورها القيا�سية‪ :‬ق(�س) > ‪ ،0‬ق(�س) ≥ ‪ ،0‬ق(�س) < ‪ ،0‬ق(�س)≤‪،0‬‬ ‫ثم حلل ق إالى عوامله الاأولية وادر�س إا�سارة ق على خط الاأعداد كما في الاأمثلة الاآتية ‪:‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫تحليل اإلى العوامل الاأولية‬ ‫ُح َّل المتباينة �س‪� – 2‬س – ‪ ، 0 ≥ 6‬وم ِّثلها على خط ال أاعداد ‪.‬‬ ‫بفر�س ق(�س) = �س‪� – 2‬س – ‪6‬‬ ‫ق(�س) = ( �س – ‪� () 3‬س ‪)2 +‬‬ ‫�سفرا ق هما ‪3 ، 2 – :‬‬ ‫إا�سارة ( �س– ‪)3‬‬ ‫ادر�س اإ�سارة كل عامل من عوامل ق‬ ‫اإ�سارة ( �س‪)2 +‬‬ ‫‪––––––––– ++++++‬‬ ‫اإ�سارة ق(�س) = �س‪� – 2‬س – ‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪– – – – +++++++++++++‬‬ ‫‪+ + + + +2–– – – – + + + + + +‬‬ ‫‪2– 3‬‬ ‫‪34‬‬

‫لاحظ أان �س‪� – 2‬س – ‪0 ≥ 6‬‬ ‫لجميع قيم �س في الفترتي (–∞‪) ∞ ،3 [ ، ] 2– ،‬‬ ‫أاي اأن مجموعة ح نّل المتباينة ‪�:‬س‪� - 2‬س ‪ 0 ≥ 6 -‬هي الفترتي (–∞‪) ∞ ،3 [ ، ] 2– ،‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫ُح َّل المتباينة �س‪� + 2‬س –‪ ، 0 > 2‬ومثلها على خط ال أاعداد ‪.‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫ُح َّل المتباينة �س‪� 2 < 6 + 2‬س‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫�س‪� 2 – 2‬س ‪0 < 6 +‬‬ ‫كتابة المتباينة بال�سورة القيا�سية‬ ‫اح�سب مميز العبارة �س‪� 2 – 2‬س ‪ 6 +‬لتجد اأن المميز ‪ ، 0 < 20- = 6 × 1 × 4 – 4‬وعليه‬ ‫ف إان العبارة أاولية ولا يمكن تحليلها‪ ،‬ويمكن إاعادة كتابتها باإكمال المربع‪.‬‬ ‫�س‪�2 – 2‬س ‪6 +‬‬ ‫إا�سافة وطرح مربع ن�س∞ معامل �س‬ ‫= �س‪� 2 – 2‬س ‪6 + 1 – 1 +‬‬ ‫= ( �س – ‪5 + 2)1‬‬ ‫بما أان ( �س – ‪ 0 ≥ 2)1‬لجميع قيم �س ح ‪ ،‬فاإن ( �س – ‪ 0 > 5 + 2)1‬لجميع قيم �س ح‬ ‫اإذن مجموعة حل المتباينة �س‪� 2 – 2‬س ‪ 0 < 6 +‬هي ‪ø‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫ُح َّل المتباينة ‪� 6‬س – �س‪ ،0 < 10 – 2‬ومثلها على خط ال أاعداد ‪.‬‬ ‫‪35‬‬

‫مثال (‪)٣‬‬ ‫تحليل إالى العوامل‬ ‫ُح َّل المتباينة �س‪� 9 – 3‬س ≤‪ ، 0‬ومثلها على خط الاأعداد ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫َن ْف ِر�ُس ق(�س) = �س‪�9 - 3‬س‬ ‫�س‪� 9 – 3‬س = �س( �س‪� = ) 9 – 2‬س( �س–‪� ( )3‬س ‪)3 +‬‬ ‫إا�سارة �س‬ ‫بدرا�سة إا�سارة كل عامل من عوامل ق‬ ‫اإ�سارة ( �س– ‪)3‬‬ ‫اإ�سارة ( �س‪)3 +‬‬ ‫‪– – – – – – ++++++++‬‬ ‫اإ�سارة ق(�س) = �س‪�9 – 3‬س‬ ‫‪0‬‬ ‫‪––––––––– ++++++‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪– – – – +++++++++++++‬‬ ‫–‪3‬‬ ‫‪–––– + + – –+ + + +‬‬ ‫‪3– 0 3‬‬ ‫تجد اأ َّن �س‪� 9 – 3‬س ≤ ‪� 0‬سحيحة لجميع قيم �س في الفترتي (– ∞‪] 3 ،0 [ ، ] 3 – ،‬‬ ‫اأي أا َّن مجموعة ح نّل المتباينة �س‪� 9 - 3‬س ≤ ‪ 0‬هي الفترتي (– ∞‪]3 ،0[ ، ] 3 – ،‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٣‬‬ ‫ُح َّل المتباينة �س‪� 16 > 3‬س ‪ ،‬ومثلها على خط الاأعداد ‪.‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪∫ IQÉ°TGE‬‬ ‫مثال (‪- - - - - - - - + + + + + )٤‬‬ ‫ُح َّل المتباينة �س‪+� –+ 3‬س‪2�+3+>+‬س‪ ،+ 3+–+2+‬و‪+‬مثل‪+‬ها‪+‬على‪-‬خ‪-‬ط ال‪-‬اأعداد ‪.‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫كتابة المتباينة بال�سورة القيا�سية‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫>‪-0-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪++‬‬ ‫‪+‬‬ ‫الحل‬ ‫‪--‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪+3 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪� – 3‬س –‬ ‫التحليل اإلى العوامل‬ ‫نفر�س اأ َّن ق(�‪+‬س)‪�3+=+‬س‪�2–-3-‬س‪�+3+–+‬س‪- - - 1- 3+ ++ 2+‬‬ ‫إاذن‪� :‬س‪� – 3‬س – ‪� 3‬س‪� ( = 3 + 2‬س – ‪� ( )3‬س –‪� ( )1‬س ‪)1 +‬‬ ‫اأ�سفار ق ‪3 ، 1 ، 1 – :‬‬ ‫بدرا�سة إا�سارة كل عامل من عوامل ق‬ ‫‪É°TGE‬اإ‪I�Q‬سا)ر‪S‬ة‪3�-(¢‬س( – ‪)3‬‬ ‫‪- - - - - - - - - - - +++‬‬ ‫إا�سارة ( �س – ‪)1‬‬ ‫اإ�سارة ( �س ‪)1 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اإ�سارة ق(�س )‬ ‫‪-- -- - - - +++++++‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- - - ++++++++++++‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪- - - +++ + ---- + ++‬‬ ‫‪1- 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تجد اأ َّن ق(�س) > ‪ ، 0‬لجميع قيم �س في الفترتي (–‪) ∞ ،3 ( ، )1 ،1‬‬ ‫اأي اأ َّن مجموعة ح ّنل المتباينة �س‪� - 3‬س ‪�3-‬س‪ 0 > 3 + 2‬هي الفترتي (– ‪)∞ ،3( ، )1 ،١‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٤‬‬ ‫ُح َّل المتباينة ‪� 2‬س‪� 5 + 3‬س‪� 12 < 2‬س ‪ ،‬و َم نّثلها على خط الاأعداد ‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬ع ّرف المتباينة‪ ،‬وما معنى مجموعة حلها؟‬ ‫‪� )2‬إذا كان ق كثير حدود من الدرجة الثانية وكانت مجموعة حل المتباينة ق(�س) ≥‪ 0‬هي الفترة‬ ‫[ أ�‪ ،‬ب] فجد ما ي�أتي‪:‬‬ ‫أ� ) أ��صفار الاقتران ق‪.‬‬ ‫ب ) مجموعة حل المتباينة ق(�س) < ‪0‬‬ ‫‪ ) 3‬اكتب المتباينات الآتية على �صورتها القيا�سية‪ ،‬ثم جد �أ�صفار الاقتران المرافق لكل منها‪:‬‬ ‫أ� ) �س‪� 3 + 2‬س < ‪4‬‬ ‫ب) �س‪16 ≤ 2‬‬ ‫جـ) �س‪� 6 – 3‬س < ‪� 3‬س‪8 – 2‬‬ ‫‪ )4‬جد مجموعة حل كل من المتباينات الآتية ومثل الحل على خط الأعداد‪:‬‬ ‫أ� ) �س‪� 4 – 3‬س < ‪0‬‬ ‫ب) ‪� 4‬س‪� + 2‬س ≤ ‪� 2 – 2‬س‪2‬‬ ‫جـ) ‪� 2‬س‪� 8 + 3‬س >‪� 10‬س‪2‬‬ ‫د ) �س‪� 6 – 2‬س ‪0≥9 +‬‬ ‫‪ )5‬اعتما ًدا على ا أل�شكال الآتية التي تو�ضح �إ�شارة ك ٍّل من الاقترانات ل ‪ ،‬م ‪ ،‬هـ ‪ ،‬ق المعرفة‬ ‫على ح‪ .‬أ�جب عما يليها‪:‬‬ ‫‪� ∫ IQÉ°TGE‬إ�شارة ل‬ ‫‪- - - - - - - - +++++‬‬ ‫إ��شارة م‬ ‫�إ�شارة هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫�إ�شارة ق‬ ‫‪- - - ++++++++++++‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪- - - - - - - - - - - +++‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪- - - +++ + ++ -- + ++‬‬ ‫‪1- 2 3‬‬ ‫‪38‬‬

‫�أ ) اكتب قاعدة ك ٍّل من الاقترانات الخطية ل ‪ ،‬م ‪ ،‬هـ علما ب أ�ن المعامل الرئي�س لك ٍّل منها ‪.1‬‬ ‫ب) �إذا كان ق = ل × م × هـ فاكتب قاعدة ق‪.‬‬ ‫جـ ) جد مجموعة حل المتباينة ق(�س) < ‪ ، 0‬و المتباينة ق(�س) ≤‪.0‬‬ ‫د ) هل يمكن �أن يكون الاقتران ل غير خطي و تبقى إ��شارته كما هو مو�ضح �أعلاه؟ برر‬ ‫إ�جابتك �إن كانت الإجابة لا ‪ ،‬و�إن كانت ا إلجابة نعم ف َأ� ْع ِط مثالا يدعم ر أ�يك‪.‬‬ ‫‪39‬‬

‫‪Partial Fractions‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‪ :‬اﻟﻜﺴﻮر اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ‬ ‫�س‬ ‫‪+ ...+‬‬ ‫�س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫جد مجموع المقدار‬ ‫ن(ن‪)1+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لاحظ اأنه من ال�سعب اإيجاد مجموع المقدار ال�سابق بالطرائق العادية ولكن يمكن كتابته ب�سورة‬ ‫أاخر‪ i‬كما ياأتي‪:‬‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫–‬ ‫�س‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...+‬‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫–‬ ‫�س‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫–‬ ‫�س‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫( �س –‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫ن‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ن �س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫�س–‬ ‫=‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫لحل بع†س الم�سائل التي تحتوي �سيغا ن�سبية قد تحتاج كتابتها على �سكل �سيغتي ن�سبيتي اأو أاك‪Ì‬‬ ‫كما في الم�س أالة ال�سابقة‪.‬‬ ‫تعلمت �سابقا كي∞ تجد ناتج جمع �سيغتي ن�سب َّي َت ْي ِن ‪:‬‬ ‫‪�(3‬س ‪�( 4 + ) 2+‬س – ‪)1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪)2 +‬‬ ‫( �س ‪)2 +‬‬ ‫( �س – ‪)1‬‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫=‬ ‫�س‪� + 2‬س –‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫اإذن‬ ‫( �س ‪)2+‬‬ ‫( �س –‪)1‬‬ ‫�س‪� + 2‬س –‪2‬‬ ‫؟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ال�سورة‬ ‫على‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪�7‬س‬ ‫كي∞ يمكن كتابة‬ ‫( �س ‪)2+‬‬ ‫( �س –‪)1‬‬ ‫�س –‪2‬‬ ‫�س‪+ 2‬‬ ‫لاإجراء هذه العملية اتبع الخطوات الاآتية‪:‬‬ ‫تحليل المقام اإلى عوامله ال أاولية‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫=‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪)2 +‬‬ ‫�س‪� + 2‬س –‪2‬‬ ‫‪40‬‬

‫ب‬ ‫ ‪+‬‬ ‫�أ‬ ‫ =‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫افر�ض أ�ن‬ ‫( �س ‪)2 +‬‬ ‫( �س – ‪)1‬‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪)2 +‬‬ ‫توحيد المقامات‬ ‫ب ( �س – ‪)1‬‬ ‫�أ ( �س ‪+ )2 +‬‬ ‫ =‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫( �س ‪)2 +‬‬ ‫( �س – ‪)1‬‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪)2 +‬‬ ‫من ت�ساوي ال�صيغتين الن�سبيتين‬ ‫‪� 7‬س ‪� = 2 +‬أ ( �س ‪ + )2 +‬ب( �س – ‪)1‬‬ ‫بفر�ض �س = –‪2‬‬ ‫– ‪ 3 – = 12‬ب ⇐ ب = ‪4‬‬ ‫بفر�ض �س = ‪1‬‬ ‫‪� 3 = 9‬أ ⇐ �أ = ‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫أ�ي �أن‬ ‫( �س ‪)2+‬‬ ‫( �س –‪)1‬‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪)2 +‬‬ ‫بهذه ال�صورة تجزئة الك�سر �أو كتابة الك�سر على �شكل ك�سور‬ ‫‪�7‬س ‪2 +‬‬ ‫تدعى عملية كتابة‬ ‫�س‪� + 2‬س –‪2‬‬ ‫جزئية‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫‪�2‬س ‪10+‬‬ ‫اكتب الك�سور الجزئية المكافئة لل�صيغة الن�سبية ‪:‬‬ ‫�س‪�3 – 3‬س‪� – 2‬س ‪3 +‬‬ ‫الحل‬ ‫تحليل المقام �إلى عوامله ا ألولية‬ ‫‪�2‬س ‪10+‬‬ ‫ =‬ ‫‪�2‬س ‪10+‬‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪�( )1 +‬س – ‪)3‬‬ ‫�س‪�3 – 3‬س‪� – 2‬س ‪3 +‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ +‬‬ ‫ب‬ ‫ ‪+‬‬ ‫�أ‬ ‫ =‬ ‫‪�2‬س ‪10+‬‬ ‫افر�ض أ�ن‬ ‫( �س – ‪)3‬‬ ‫( �س ‪)1 +‬‬ ‫( �س – ‪)1‬‬ ‫�س‪�3 – 3‬س‪� – 2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪41‬‬

‫بتوحيد المقامات نح�صل على‬ ‫�أ ( �س ‪� ( )1 +‬س – ‪ + )3‬ب ( �س – ‪� ( )1‬س – ‪ + )3‬جـ ( �س – ‪� ( )1‬س ‪)1 +‬‬ ‫= ‬ ‫(�س – ‪�( )1‬س ‪�( )1 +‬س – ‪)3‬‬ ‫من خلال الم�ساواة‬ ‫‪� 2‬س ‪� = 10 +‬أ (�س‪�( )1+‬س– ‪ + )3‬ب (�س – ‪�()1‬س – ‪ + )3‬جـ (�س – ‪�( )1‬س‪)1+‬‬ ‫بفر�ض �س = –‪1‬‬ ‫‪ 8=8‬ب ⇐ب=‪1‬‬ ‫بفر�ض �س = ‪3‬‬ ‫‪ 8 = 16‬جـ ⇐ جـ = ‪2‬‬ ‫بفر�ض �س = ‪1‬‬ ‫‪� 4– = 12‬أ ⇐ أ� = –‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪+‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫ =‬ ‫‪�2‬س ‪10+‬‬ ‫إ�ذن‬ ‫( �س – ‪)3‬‬ ‫( �س ‪)1 +‬‬ ‫( �س – ‪)1‬‬ ‫�س‪�3 – 3‬س‪� – 2‬س ‪3 +‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫�س‪�2 + 3‬س –‪1‬‬ ‫ج ِّزئ ال�صيغة الن�سبية‬ ‫�س‪� + 2‬س –‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫بما �أن درجة الب�سط �أكبر من درجة المقام نجري عملية الق�سمة ‪.‬‬ ‫إ�جراء عملية الق�سمة‬ ‫‪�5‬س – ‪3‬‬ ‫= �س –‪+ 1‬‬ ‫�س‪�2 + 3‬س –‪1‬‬ ‫�س‪� + 2‬س – ‪2‬‬ ‫�س‪� + 2‬س – ‪2‬‬ ‫‪�5‬س – ‪3‬‬ ‫والآن نجزئ‬ ‫�س‪� + 2‬س – ‪2‬‬ ‫‪42‬‬

‫ب‬ ‫‪+‬‬ ‫أا‬ ‫=‬ ‫‪�5‬س – ‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪�5‬س – ‪3‬‬ ‫( �س – ‪)1‬‬ ‫( �س ‪)2 +‬‬ ‫( �س ‪� ( )2 +‬س – ‪) 1‬‬ ‫�س‪� + 2‬س – ‪2‬‬ ‫اأ ( �س – ‪ + )1‬ب ( �س ‪)2 +‬‬ ‫=‬ ‫(�س ‪�( )2 +‬س – ‪)1‬‬ ‫من الم�ساواة تجد ‪� 5‬س – ‪ = 3‬أا (�س – ‪ + )1‬ب(�س ‪)2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇐ب=‬ ‫‪ 3 = 2⇐ 1‬ب‬ ‫بفر�س �س =‬ ‫‪3‬‬ ‫بفر�س �س = – ‪ 3 – = 13 – ⇐ 2‬أا ⇐ أا = ‪133‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫�س‪�2 + 3‬س –‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= �س –‪+ 1‬‬ ‫�س‪� + 2‬س – ‪2‬‬ ‫( �س ‪)1 -‬‬ ‫‪+‬‬ ‫( �س ‪)2+‬‬ ‫اإذن‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫�س‪�2 – 3‬س‪�6 – 2‬س ‪12 +‬‬ ‫جزئ ال�سيغة الن�سبية‬ ‫�س‪�3 – 2‬س – ‪4‬‬ ‫من خلال الاأمثلة ال�سابقة تلاحظ أانه يمكن إاجراء عملية تجزئة الك�سور اإذا كانت درجة الب�سط اأقل‬ ‫من درجة المقام ‪.‬‬ ‫اأما اإذا كانت درجة الب�سط اأكبر من درجة المقام اأو ت�ساويها ن�ستخدم الق�سمة الطويلة لكتابة الناتج‬ ‫على �سكل كثير حدود م†سا ٍف اإليه �سيغة ن�سبية يمكن كتابتها على �سكل ك�سور جزئية‪.‬‬ ‫‪43‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬جد ناتج ما ي�أتي ب أ�ب�سط �صورة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب)‬ ‫ ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ +‬‬ ‫) � س‪ 1 +3‬‬ ‫أ�‬ ‫�س‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫د)‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جـ) ‪�2‬س‪ � - 3 + 2‬س‬ ‫�س ‪7 +‬‬ ‫�س ‪4 +‬‬ ‫–‬ ‫‪ )2‬جزئ كلا من الك�سور الآتية‪:‬‬ ‫�س – ‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫) ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪17‬‬ ‫) ( �س –‪1 �8‬س) (–‬ ‫أ�‬ ‫�س( �س ‪) 1 +‬‬ ‫�س –‬ ‫�س‬ ‫د)‬ ‫ ‬ ‫جـ) ((��سس ‪ ))1 1–+2‬‬ ‫�س‪� + 2‬س – ‪2‬‬ ‫‪�12‬س‪�23 + 2‬س ‪2 +‬‬ ‫و)‬ ‫ ‬ ‫هـ ) ( �س‪ )2 5 –1 2‬‬ ‫‪�7 – 3‬س – ‪�6‬س‪2‬‬ ‫�س‪�12 + 2‬س ‪12 +‬‬ ‫ح)‬ ‫ز ) ‪�2‬س ‪–� 3‬س‪–� 42‬س‪– �22‬س‪8�1–5‬س ‪ 5 +‬‬ ‫�س‪�4 – 3‬س‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫ي ) ‪� – 1‬س‪2‬‬ ‫طـ ) �س‪� – 2‬أ‪ 2‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪¢S‬‬ ‫ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫‪Ωx‬‬ ‫‪ )1‬جد خارج وباقي الق�سمة في ما ي أاتي ‪:‬‬ ‫أا ) (‪� 5‬س‪� 13 – 3‬س‪� 10 + 2‬س – ‪� ( _ )8‬س – ‪)2‬‬ ‫ب) (‪� 8‬س‪� 4 – 4‬س‪� + 2‬س ‪� 2 ( _ )4 +‬س ‪)1 +‬‬ ‫‪ )2‬اكتب مثالًا على كثيري حدود باقي ق�سمة اأحدهما على ال آاخر (‪.)5‬‬ ‫‪ )3‬اكتب �سي ًغا مكافئة لكل من الاقترانات الاآتية (اإن اأمكن)‪:‬‬ ‫‪� ،‬س ≠ ‪¢U 2-‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪�2‬س‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‪4‬‬ ‫=‬ ‫ق‪�(1‬س)‬ ‫)‬ ‫أا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪36‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪+‬‬ ‫‪�7‬س‪3‬‬ ‫–‬ ‫=�س‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪¢S‬‬ ‫ب) ق‪�(2‬س)‬ ‫‪� ،3- ≠5- 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3‬س‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪

‫‪ُ )6‬ح َّل كل ًا من المتباينات ال آاتية وم نّث ِل الح َّل على خط الاأعداد‪:‬‬ ‫أا ) �س‪� 4 – 2‬س ‪0 < 3 +‬‬ ‫ب) �س‪�4 – 3‬س ≥ �س‪4 – 2‬‬ ‫جـ) �س‪� 3 – 3‬س‪� ≤ 2‬س – ‪3‬‬ ‫‪ )7‬جزئ ال�سي≠ الن�سبية الاآتية ‪:‬‬ ‫‪�8‬س – ‪42‬‬ ‫)‬ ‫أا‬ ‫�س‪�3 + 2‬س – ‪18‬‬ ‫�س‪� – 2‬س ‪3 +‬‬ ‫ب)‬ ‫�س‪� + 2‬س –‪2‬‬ ‫‪�3‬س – ‪1‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪�2‬س‪�5 – 2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪ )8‬اإذا كان خارج ق�سمة كثير الحدود ق على ( �س – ‪ ) 3‬ي�ساوي �س‪� 6 – 2‬س ‪ ، 9 +‬وكان‬ ‫الباقي –‪ ،1‬فاكتب قاعدة ق‪.‬‬ ‫‪1±‬‬ ‫‪ ،‬حيث �س ≠‬ ‫‪�4 +‬س‪�3 – 3‬س‬ ‫�س‪4‬‬ ‫اكتب �سيغة مكافئة للاقتران ق(�س) =‬ ‫‪)9‬‬ ‫�س‪1 – 2‬‬ ‫‪ )10‬دوار دائري ال�سكل طول ن�س∞ قطره ‪ 8‬م ‪ ،‬تم عمل نافورة ماء دائرية ال�سكل طول‬ ‫ن�س∞ قطرها (�س) متر بو�سط الدوار بحيث كان مركزها مركز الدوار نف�سه‪ ،‬أاجب عن‬ ‫ك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫اأ ) اكتب الاقتران الن�سبي الذي ب�سطه م�ساحة الجزء المتبقي من ال ّندوار‪ ،‬ومقامه الم�سافة‬ ‫بي ن�سفي قطري الدوار والنافورة‪.‬‬ ‫ب) إاذا كانت م�ساحة الجزء المتبقي من الد نّوار ‪ π 10‬م‪ ، 2‬جد طول ن�س∞ قطر النافورة‪.‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪ )11‬إاذا كان ق(�س) = �س‪ 2 – 2‬م �س ‪ +‬ن حيث ن‪ ،‬م ثابتان وكان اأحد اأ�سفار ق يختل∞‬ ‫بمقدار ‪ 2‬عن �سفره الاآخر‪َ .‬أاثبت اأن م‪ = 2‬ن ‪. 1 +‬‬ ‫‪ )12‬يتك ّنون هذا ال�س ‪D‬وال من أاربع فقرات من نوع الاختيار من متعدد‪ ،‬لكل فقرة أاربع بدائل‪،‬‬ ‫واحد فقط منها �سحيح‪� .‬سع دائرة حول رمز البديل ال�سحيح‪:‬‬ ‫(‪ )1‬إاذا كان باقي ق�سمة ق(�س) = �س‪� 5 – 3‬س ‪ +‬جـ على هـ (�س) = �س ‪ 2 +‬ي�ساوي‬ ‫‪ 5‬فما قيمة الثابت جـ ؟‬ ‫اأ ) – ‪ 3‬ب) ‪ 3‬جـ) ‪ 7‬د) – ‪2‬‬ ‫؟‬ ‫ق(اأ – ‪)1‬‬ ‫ثابت ≠ ‪َ 1‬فما قيمة‬ ‫اإذا كان ق(�س) = �س‪ – 2‬أا �س ‪ ،‬أا‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ق(‪)1‬‬ ‫جـ) اأ – ‪1‬‬ ‫ب) – ‪1‬‬ ‫د) �سفر‬ ‫اأ ) ‪1‬‬ ‫فما قيمة الثابتي اأ ‪ ،‬ب على‬ ‫ب‬ ‫‪+‬‬ ‫أا‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫اإذا كان‬ ‫(‪)3‬‬ ‫�س – ‪1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‪� – 2‬س‬ ‫الترتيب؟‬ ‫د) ‪1 – ، 1‬‬ ‫جـ)– ‪1 ، 1‬‬ ‫أا ) ‪ 1 ، 0‬ب) ‪0 ، 1‬‬ ‫(‪ )4‬اأي مما ي أاتي ُيعد عاملا من عوامل �س‪� 7 –3‬س ‪ 6 +‬؟‬ ‫أا ) �س ‪3 +‬‬ ‫ب) �س ‪1 +‬‬ ‫جـ) �س – ‪6‬‬ ‫د ) �س ‪2 +‬‬ ‫‪47‬‬

‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎت‬ ‫‪2‬‬ ‫يعد علم �لجبر �أحد �لفروع �ل أا�شا�شية في علم �لريا�شيات; فهو لا يتعامل مع �ل أارقام فح�شب‬ ‫بل ي�شو‪� Æ‬لعلاقات با�شتخد�م �لرموز و�لمتغير�ت‪.‬‬ ‫وللاقتر�نات �أهمية كبر‪ ;i‬نظ ًر� لتطبيقاتها �لو��شعة و�رتباطها بفروع �لريا�شيات �لمختلفة‪،‬‬ ‫مثل‪� :‬لتفا�شل و�لتكامل و�لعلوم �لاأخر‪ i‬كالفيزياء و�لكيمياء و�لطب و�لهند�شة وحتى �لعلوم‬ ‫�لاإن�شانية‪ .‬ويمكن بو��شطتها تمثيل ظو�هر كونية كثيرة‪.‬‬