วารสาร "โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานด้านคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 7"

โครงแกลาดระา สนนัมำคมเสณนนิตาอวศผิชาลสางกตาารนร ครงท 7ระหวา งวนั ท 30-31 มกราคม 2563 สาขาวิชาคณติ ศาสตรแ ละสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค



โครงการสมั มนาวชิ าการ และนำเสนอผลงาน ดา นคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7ระหวา งวันท่ี 30-31 มกราคม 2563 สาขาวิชาคณิตศาสตรแ ละสถิติ คณะวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค



ก คำนำ สาขาวชิ าคณิตศาสตรและสถิติ คณะวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภัฏนคร- สวรรค ไดตระหนกั และเหน็ ความสําคัญในการสงเสรมิ และพฒั นานกั ศึกษาในรูปแบบตา ง ๆ ทัง้ กจิ กรรม ในหอ งเรียนและนอกหองเรยี นเพ่อื ใหนักศกึ ษามีความรู ความสามารถ มีทักษะการเรียนรูในศตวรรษ ท่ี 21 ซง่ึ ประกอบดวย 4 กลุมหลกั ซึ่งหนึง่ ในนนั้ คอื กลุม ทักษะชีวิตและอาชีพท่ีประกอบดว ยความ สามารถในการปรับตวั และยืดหยนุ ความคดิ รเิ ร่ิมและการเรยี นรูไดดว ยตวั เอง ปฏสิ ัมพันธทางสงั คม และวฒั นธรรม ความรับผดิ ชอบและความสามารถผลติ ผลงาน ความเปน ผนู ําและรบั ผดิ ชอบตอ สงั คม ดงั นน้ั สาขาวิชาคณิตศาสตรและสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภัฏ นครสวรรค จงึ ไดดําเนินการจัดโครงการยกระดับคณุ ภาพบัณฑติ สูประเทศไทย 4.0 ในกจิ กรรมสมั มนา วชิ าการและนาํ เสนอผลงานดานคณิตศาสตรขึน้ โดยเปนเวทีเพ่ือใหนกั ศกึ ษาไดนําเสนอผลงานดา น คณติ ศาสตรพรอ มทง้ั มีการประกวดสมั มนาและโครงงานคณิตศาสตรของนักศึกษาระดับปรญิ ญาตรี ซงึ่ จะสงผลใหเกิดการแลกเปลีย่ นความคดิ เห็นดานคณติ ศาสตรกับมหาวทิ ยาลัยท่ีเขารวมโครงการรวมถึง การถายทอดความรูจากวทิ ยากรที่มีความรูความเชย่ี วชาญดานคณิตศาสตร และทําใหเกดิ การกระตนุ การสรา งผลงานวิจยั ทีม่ ีคุณภาพเพอ่ื สรา งองคความรูนวัตกรรมใหม ๆ ในการพัฒนาประเทศตอไป สาขาวชิ าคณติ ศาสตรแ ละสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค



สารบัญ ค สารบัญ หนา คำนำ ก สารบัญ ค ตารางการนำเสนอผลงาน ฌ ผลงานวิจยั 1 11 RE-AP 01 การพัฒนาตัวแบบทางคณติ ศาสตรสำหรบั การแกปญ หาการจดั ตารางสอนโดย วิธกี ารกำหนดการเชงิ เสน แบบทวิภาค 33 39 จริ ัฏฐ ย่งั ยืนสขุ , สทุ ธิชัย ปาสานะเก และ วฒุ เิ ดช นาควสิ ุทธิ์ 47 53 RE-AP 02 The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials for the Oxygen Diffusion in a Spherical Cell with Michaelis-Menten Up- take Kinetics Nantana Prabthong, Sukolkit Mongkolsin, Orapan Cahapunya and Montri Torvattanabun RE-AP 04 Application of Mohand Transform for Second-Order Linear ODEs with Variable Coefficients Kitsada Warin, Kanokon Suphason and Somthawin Khunkhet RE-AP 05 Kamal Transform for Solving Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients Nantida Yenchai, Prakairung Laokiom and Somthawin Khunkhet RE-PU 01 On the Ternary Quadratic Equation (n + 1)(x2 + y2) − (2n − 2)xy = 4nz2 Darunee Tharawngsa, Supaporn Sriracha and Supamit Pimsri RE-PU 02 Solution and Stability of an n-dimensional Cauchy Functional Equa- tion of Pexider Type Sutthiphong Moonmee and Choodech Srisawat โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

ง สารบญั RE-PU 16 On the Ternary Quadratic Diophantine Equation 63 n(x2 + y2) − (2n − 1) xy = (4n − 1 + m2)z2 Kallayanee Angkeaw, Chawewan Petdee and Supamit Pimsri ผลงานสัมมนา 71 81 SE-AP 01 การวเิ คราะหก ารถดถอยโดยใชตัวอยางแบบชดุ ลำดับ 91 ธนาภรณ อนิ เอยี่ ม 113 SE-AP 02 แบบจำลองทางคณิตศาสตรเกยี่ วกบั โรคชิคุนกุนยา ดวยอบุ ตั ิการณมาตรฐาน 123 และอตั ราการเสยี ชวี ิตเนือ่ งจากการติดเช้ือไวรสั 133 วาสนิ ี อนิ ทรฉัตร 155 163 SE-AP 03 การพยากรณส ำหรบั ขอมูลเชงิ ปรมิ าณ 173 185 ธรี ภทั ร ประจำถนิ่ , ชดิ ชนก สุขวงคต านนท และ สตรวี ิทย ชาลกี ร 193 211 SE-AP 04 ตวั ประมาณ คา แบบ อัตราสว น เม่อื ใช แผนการ สุม ตวั อยา ง แบบ ชั้น ภูมิ โดยท่ี แตล ะชั้นภมู ิสมุ ตวั อยา งแบบงา ยและแบบเรียงอันดับ ชูเกียรติ โพนแกว และ วิราวรรณ ไชยรบ SE-AP 05 การประมาณคา ชวงความเชอ่ื มั่นคาเฉลยี่ ของการแจกแจงแบบปว ซงส ชเู กียรติ โพนแกว และ ปยธดิ า หนุ เฮฮา SE-AP 06 การประยุกตใชอัลกอริทึมพันธุกรรม เพอ่ื พัฒนาความแมนยำของการจำแนก ประเภทขอ มลู สำหรบั ชดุ ขอมูลท่ไี มส มดุล เมธาวี บวั กลน่ิ , กชกร โพธิพ์ นั ธ และ ศภุ ศักด์ิ โรพนั ดุง SE-AP 07 การแปลงเอลซากแิ ละสมการเชิงอนุพนั ธอินทโิ กรพรอ มดว ยฟงกช นั บัลจ ราชาวดี เครอ่ื งวชิ า SE-PU 01 สมาชิกรกั ษาปกตใิ นกึ่งกรุปอันดบั ปกติ วิวฒั น มลู สุข SE-PU 02 คณุ สมบัตบิ างอยางของจดุ ตรึงรวมในปริภูมิเมตริกคา เชงิ ซอน วรินทรญ า อนิ ทรฉ ำ่ , สุดารตั น ติครบุรี และ วิชุดา ไหมทอง SE-PU 03 บนจุดสมดุลของสมการเชงิ ผลตางตรรกยะในระนาบทมี่ สี พ่ี ารามิเตอร ศศิวิมล ต่ิงมงั SE-PU 04 สมบัติของกึ่งริงปรกตบิ ริบรู ณ สายชล ตา ยธาน,ี จฑุ ามาศ กลน่ิ ตา ย และ มณีรตั น เครอื ศรี SE-PU 05 ทฤษฎีบทจดุ ตรงึ สำหรับอันดบั การหดตวั ในปรภิ ูมิ b-เมตรกิ บางสวน ปภาวดี ขมขำ, กญุ จเร ชูเฉลิม และ เกศสรินทร สงิ หโ ขง โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สารบัญ จ SE-PU 06 การแปลงวางนยั ทั่วไปของพีชคณติ BCC 231 245 สุรตั นล ดา หอมจำปา และ อรปรยี า วารวี ิไลธรรม 257 271 SE-PU 07 สมาชิกคงสภาพปรกติในกึ่งกรุปอันดับปรกติ 277 285 วายุพงษ ทง่ั ทอง, ศรัณย ศกั ด์วิ ริ ิยะวฒั นะ และ ชัยรัตน บุญเยน็ 293 305 SE-PU 08 สาทสิ สัณฐานบน B-algebras พรธิดา ศรดี าพันธ SE-PU 09 สมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 ยศกร สายสงั ข SE-PU 10 เซตเปด แบบนาโนวคิ ลยี  อาดุลย จงรักษ และ พรรณราย พั้วปอง SE-PU 11 ความตอ เนื่องแบบนาโน อาดุลย จงรักษ และ เสาวลักษณ คำวเิ ศษ SE-PU 12 นจิ พลใน Semimedial Semigroup ภัทรศักดิ์ โทนหงสษ า SE-PU 13 (m, n)-ไอดีลในก่ึงกรุป LA ราชนั ขนั ชา บทคัดยอผลงานวจิ ัยอ่นื ๆ ทร่ี วมนำเสนอในโครงการ 323 324 RE-AP 03 On Volterra Integral Equations of the Second Kind with a Bulge Func- 325 tion by Using the Mohand Transform 326 327 Chadaporn Khamhaeng, Jantra Udorn and Somthawin Khunkhet RE-AP 06 การวิเคราะหแ นวโนม ของคุณภาพนำ้ แมน ้ำบางปะกง เพชรพริง้ ทองโสภณ, อภิศกั ด์ิ ไชยโรจนวัฒนา RE-AP 07 Optical Solitons of Biswas-Arshed Equation by The Generalized (G′/G)-Expanding Method Orapin Sangduck, Arunya Mawiang and Montri Torvattanabun RE-AP 08 การวางนยั ทวั่ ไปของการประสานลำดบั ฟโบนกั ชีและลำดบั ลูคัสอนั ดบั สี่ มอดโุ ล 3 และการประยกุ ต เสฏฐวฒุ ิ บญุ ด,ี อนริ ธุ สุขขัง และ ฐิตกิ าญจน มูลสาร RE-AP 09 The Solution of Volterra Integral Equations of the Second Kind with a Bulge Function by Using the Yang Transform Saralee Khannak, Supichaya Rayabsri and Somthawin Khunkhet โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

ฉ สารบญั RE-PU 03 ทฤษฎีจดุ ตรึงของคาสโนเซสกิบนปริภมู ิฟรเี ชทสำหรบั การสงหดตัวแบบ φ 328 นฤมล กล่นั มาลัย, ทิพวรรณ พวั เฮง และ อารรี ตั น อรุณชัย RE-PU 04 สตู รการหาจำนวนตน ไมแผทว่ั ของกราฟ 2-วัฏจักร 329 ปฐยา มีสขุ และ นริ ุตติ์ พิพรรธนจนิ ดา RE-PU 05 การหารแบบใหมข อง 3-ลำดับฟโบนัชชี 330 พิทยา โพธจิ ันทร, ณัฐพล บรรพตะธิ และ โกสมุ ภ จันทรแสงกระจา ง RE-PU 06 การทำซ้ำใหมสำหรบั จุดตรงึ รวมของการสง แบบไมขยาย G บนปริภูมิบานาค 331 พรอมดวยกราฟ พรพรรณ เลาหล่ือ และ อไุ รลักษมณ สงิ หทอง RE-PU 07 A Common Fixed Point Theorem in Complex Valued Sb-Metric 332 Spaces 333 M. Phothum and U. Singthong RE-PU 08 สมการไดโอแฟนไทน 15x + 4y = z2 เกียรตศิ กั ดิ์ กมุ ภาพนั ธ RE-PU 09 เอกลกั ษณทัว่ ไปบางประการเกยี่ วกับผลคณู ของจำนวน k-จาคอบสทอล และ 334 จำนวน k-จาคอบสทอล-ลูคสั นวลฤดี โพธศิ รี, ศริ พิ ร นิสัยกลา และ ปยะณัฐ พวงจำปา RE-PU 10 การเขา-ถอดรหสั แบบ Affine Cipher ชนดิ ใหม 335 อนพุ งษ ดาปง, วษิ ณุ คำม,ี ทพิ ากร วงศใหญ และ กมลรตั น แนมมณี RE-PU 11 q-Continuous Functions on Quasi Generalized Weak Spaces 336 337 Gumpon Sritanratana, Jarupichaya Pongman and Bancha Nanjaras 338 339 RE-PU 12 pq-Interior Sets and pq-Closure Sets in Bi-Quasi Generalized Weak Spaces Gumpon Sritanratana, Darunee Bandorn and Bancha Nanjaras RE-PU 13 pq-Derived Sets and pq-Boundary Sets in Bi-Quasi Generalized Weak Spaces Gumpon Sritanratana, Auscharaporn Praothaisong and Bancha Nanjaras RE-PU 14 Some Property of Common Fixed Point in Complex Valued b-Metric Spaces Warinsinee Chantakun, Issara Inchan and Chonthicha Khun-inpho โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

สารบัญ ช RE-PU 15 Common Fixed Point Theorem for Some Contractive Condition with 340 φ-Mapping in Complex Valued b-Metric Spaces 341 Warinsinee Chantakun, Wilaiwan Rattanakool and Kanjana Gajai ภาคผนวก คณะกรรมการดำเนินงาน ผทู รงคุณวุฒิวิพากษผลงานวจิ ัย คณะกรรมการประจำหองนำ เสนอผลงาน โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค



ตารางการนำเสนอผลงาน ฌ ตารางการนำเสนอผลงาน 30 มกราคม 2563 หอ งโครงงาน 1 (คณติ ศาสตร 1) เวลานำเสนอ Article ID ช่อื เรื่อง 13.00 - 14.30 RE-PU 02 Solution and Stability of an n-dimensional Cauchy Functional Equation of RE-PU 03 Pexider Type ทฤษฎีจุดตรงึ ของคาสโนเซสกบิ นปรภิ ูมิฟรเี ชทสำหรบั การสงหดตัวแบบ φ RE-PU 06 การทำซำ้ ใหมสำหรับจดุ ตรึงรวมของการสงแบบไมขยาย G บนปริภูมิบานาคพรอม ดวยกราฟ 14.30 - 14.45 พกั รบั ประทานอาหารวา ง RE-PU 07 A Common Fixed Point Theorem in Complex Valued Sb-Metric Spaces 14.45 - 16.15 RE-PU 11 q-Continuous Functions on Quasi Generalized Weak Spaces RE-PU 12 pq-Interior Sets and pq-Closure Sets in Bi-Quasi Generalized Weak Spaces หองโครงงาน 2 (คณติ ศาสตร 2) เวลานำเสนอ Article ID ชือ่ เรื่อง RE-PU 01 On the Ternary Quadratic Equation (n + 1)(x2 + y2) − (2n − 2)xy = 4nz2 13.00 - 14.30 RE-PU 04 สตู รการหาจำนวนตน ไมแ ผท ว่ั ของกราฟ 2-วฏั จักร RE-PU 05 การหารแบบใหมของ 3-ลำดบั ฟโ บนชั ชี 14.30 - 14.45 พักรับประทานอาหารวาง RE-PU 08 สมการไดโอแฟนไทน 15x + 4y = z2 14.45 - 16.30 RE-PU 09 เอกลกั ษณทว่ั ไปบางประการเกย่ี วกับผลคูณของจำนวน k-จาคอบสทอล และจำนวน k-จาคอบสท อล-ลูคสั RE-PU 10 การเขา-ถอดรหสั แบบ Affine Cipher ชนดิ ใหม RE-PU 16 On the Ternary Quadratic Diophantine Equation n(x2 + y2) − (2n − 1) xy = (4n − 1 + m2)z2 หองโครงงาน 3 (คณิตศาสตรป ระยกุ ตแ ละสถิติ) เวลานำเสนอ Article ID ชื่อเรื่อง 13.00 - 14.30 RE-AP 01 การพัฒนาตวั แบบทางคณิตศาสตรสำหรบั การแกปญหาการจดั ตารางสอนโดยวิธีการ RE-AP 02 กำหนดการเชิงเสน แบบทวภิ าค The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials for the Oxygen Diffusion in a Spherical Cell with Michaelis-Menten Uptake Kinetics RE-AP 03 On Volterra Integral Equations of the Second Kind with a Bulge Function by Using the Mohand Transform โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

ญ ตารางการนำเสนอผลงาน หอ งโครงงาน 3 (คณิตศาสตรประยกุ ตและสถิต)ิ (ตอ ) 14.30 - 14.45 พักรบั ประทานอาหารวาง 14.45 - 16.15 RE-AP 04 Application of Mohand Transform for Second-Order Linear ODEs with Vari- RE-AP 05 able Coefficients Kamal Transform for Solving Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients RE-AP 06 การวิเคราะหแ นวโนมของคณุ ภาพน้ำแมน ำ้ บางปะกง หอ งสมั มนา 1 (คณติ ศาสตร 1) เวลานำเสนอ Article ID ชื่อเร่อื ง SE-PU 01 สมาชกิ รกั ษาปกตใิ นกงึ่ กรุปอนั ดับปกติ 13.00 - 14.30 SE-PU 03 บนจุดสมดลุ ของสมการเชิงผลตางตรรกยะในระนาบที่มสี ่ีพารามิเตอร SE-PU 04 สมบตั ิของกงึ่ ริงปรกติบริบูรณ 14.30 - 14.45 พกั รับประทานอาหารวา ง SE-PU 07 สมาชิกคงสภาพปรกตใิ นกงึ่ กรุปอันดบั ปรกติ 14.45 - 16.15 SE-PU 08 สาทิสสณั ฐานบน B-algebras SE-PU 09 สมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 หองสัมมนา 2 (คณติ ศาสตรประยุกตแ ละสถิติ) เวลานำเสนอ Article ID ช่ือเรื่อง SE-AP 01 การวเิ คราะหการถดถอยโดยใชตัวอยางแบบชุดลำดับ 13.00 - 14.30 SE-AP 02 แบบจำลองทางคณติ ศาสตรเ ก่ยี วกบั โรคชิคุนกนุ ยา ดว ยอบุ ัติการณม าตรฐานและอัตรา การเสียชีวิตเนื่องจากการตดิ เช้อื ไวรัส SE-AP 03 การพยากรณส ำหรบั ขอมูลเชงิ ปริมาณ 14.30 - 14.45 พกั รบั ประทานอาหารวา ง 14.45 - 16.30 SE-AP 04 ตัวประมาณคา แบบอตั ราสวนเม่อื ใชแผนการสุมตวั อยางแบบชนั้ ภมู ิ โดยท่ีแตล ะช้นั ภมู ิ SE-AP 05 สุมตัวอยางแบบงายและแบบเรยี งอันดบั การประมาณคา ชว งความเช่อื ม่ันคา เฉลีย่ ของการแจกแจงแบบปว ซงส SE-AP 06 การประยกุ ตใชอลั กอริทึมพนั ธกุ รรม เพอ่ื พัฒนาความแมนยำของการจำแนกประเภท ขอมูล สำหรบั ชดุ ขอ มลู ท่ีไมส มดุล SE-AP 07 การแปลงเอลซากิและสมการเชิงอนพุ นั ธอนิ ทิโกรพรอ มดว ยฟง กช นั บลั จ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

ตารางการนำเสนอผลงาน ฎ 31 มกราคม 2563 หองโครงงาน 1 (คณิตศาสตร 1) เวลานำเสนอ Article ID ชื่อเรอ่ื ง 09.00 - 10.30 RE-PU 13 pq-Derived Sets and pq-Boundary Sets in Bi-Quasi Generalized Weak RE-PU 14 Spaces Some Property of Common Fixed Point in Complex Valued b-Metric Spaces RE-PU 15 Common Fixed Point Theorem for Some Contractive Condition with φ- Mapping in Complex Valued b-Metric Spaces หอ งโครงงาน 3 (คณติ ศาสตรป ระยุกตแ ละสถติ )ิ เวลานำเสนอ Article ID ชอื่ เรื่อง 13.00 - 14.30 RE-AP 07 Optical Solitons of Biswas-Arshed Equation by The Generalized (G′/G)- RE-AP 08 Expanding Method การวางนยั ทวั่ ไปของการประสานลำดับฟโบนักชแี ละลำดบั ลูคัสอันดบั สี่ มอดุโล 3 และ การประยุกต RE-AP 09 The Solution of Volterra Integral Equations of the Second Kind with a Bulge Function by Using the Yang Transform หองสมั มนา 1 (คณิตศาสตร 1) เวลานำเสนอ Article ID ชอ่ื เรื่อง SE-PU 06 การแปลงวางนัยทั่วไปของพชี คณติ BCC 09.00 - 10.30 SE-PU 12 นิจพลใน Semimedial Semigroup SE-PU 13 (m, n)-ไอดลี ในก่ึงกรุป LA หอ งสัมมนา 2 (คณิตศาสตร 2) เวลานำเสนอ Article ID ช่ือเรอ่ื ง SE-PU 02 คุณสมบัตบิ างอยา งของจุดตรึงรวมในปริภมู ิเมตรกิ คา เชิงซอน 09.00 - 10.30 SE-PU 05 ทฤษฎีบทจุดตรงึ สำหรบั อันดบั การหดตวั ในปรภิ มู ิ b-เมตรกิ บางสวน SE-PU 10 เซตเปด แบบนาโนวิคลยี  SE-PU 11 ความตอเนอื่ งแบบนาโน โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค



ผลงานวจิ ยั



Type of the Article: Research RE-AP 01 1 การพัฒนาตัวแบบทางคณติ ศาสตรส ำหรับการแกป ญ หาการจัด ตารางสอนโดยวิธีการกำหนดการเชงิ เสนแบบทวิภาค SAcBhiendaurylinLginPeraorbPlreomgramming Approach to the Class จริ ัฏฐ ยง่ั ยืนสขุ *, สุทธิชยั ปาสานะเก และ วฒุ ิเดช นาควิสุทธิ์ Jirat Yungyuensook*, Suttichai Pasanake and Wuttidach Nakwisut สาขาวิชาคณติ ศาสตร ภาควิชาคณิตศาสตรและวทิ ยาการคอมพิวเตอร คณะวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยีราชมงคลธัญบุรี Division of Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science Faculty of Science and Technology, Rajamangala University of Technology Thanyaburi *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ ปญหาการจัดตารางสอนเปน ปญ หาที่แกไดยากและมีความซบั ซอ น ซง่ึ หลายวิธีในการแกปญหานี้ไม สามารถบอกไดวา จะสามารถหาผลเฉลยภายใตขอจำกัดท่ีมี หรอื ไมสามารถการนั ตีวา ผลเฉลยท่ีไดมา จะเปน ผลเฉลยทเี่ หมาะสมที่สุด เราจงึ นำเสนอตวั แบบทางคณิตศาสตรเพ่อื แกปญ หาการจัดตารางสอนดว ย วธิ ีกำหนดการเชงิ เสน แบบทวิภาค โดยคำนงึ ถงึ ตนทนุ การจัดตารางสอนต่ำสุด ซ่งึ เหน็ ไดชดั วาผลเฉลยที่ได มาจากตวั แบบน้นั สง ผลใหลดตน ทนุ การจัดตารางสอนไดมากกวา 26% เมื่อเปรยี บเทียบกับขอ มูลการจดั ตารางสอนท่ีเคยมีมาในอดีต คำสำคัญ: ตัวแบบทางคณิตศาสตร, การแกปญ หาการจัดตารางสอน, วิธีกำหนดการเชงิ เสน แบบทวภิ าค Abstract The problem of scheduling is difficult and complicated. There are many ways to solve this problem, however, some approaches are neither infeasible nor optimized, i.e, they are not the most suitable for this problem. In this paper, we presented a mathematical model to solve the problem of class scheduling by using a binary linear programming model regarding the minimum cost of scheduling. Clearly, the solution obtained from the model results in the cost of scheduling lower than 26 %, when compared to the past scheduling data. Keywords: Mathmodeling, Class Scheduling Problem, Binary Linear Programming โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

2 จริ ฏั ฐ ยง่ั ยืนสขุ และคณะ 1. บทนำ โดยทัว่ ไปแลว การจัดตารางสอนคอื การจัดคูอันดบั รายวชิ าและหอ งเรยี นภายใตขอ จำกัดท่ีมี โดยจะตองตอบโจทยในเรอื่ งอรรถประโยชน (Utilization) ไดอยางมีประสิทธภิ าพ การจดั ตารางสอนที่ มีประสิทธิภาพจะสง ผลใหการเรียนการสอนดำเนินไปไดอยา งราบร่นื ปญ หาการจัดตารางสอนมีปจ จยั ที่เก่ียวของหลายอยา ง ไมวา จะเปนจำนวนรายวชิ า จำนวน นักศกึ ษาที่ลงทะเบยี นเรียน จำนวนหอ งเรยี นหรือความจหุ อ งเรยี น ทง้ั หมดนจ้ี ะตอ งสอดคลอ งกับทรัพยากร ท่ีมีอยูอยางจำกดั และขอ บังคับตาง ๆ การจัดตารางสอนภายใตขอ จำกัดโดยใชวธิ ีลองผิดลองถกู อาจ ทำใหเกิดความผิดพลาด โดยเฉพาะกรณี ปญ หาจำนวนนกั ศึกษาและขนาดของหอ งเรียนไมสมั พนั ธกนั ยกตัวอยา งเชน การจัดรายวิชาที่มีนกั ศกึ ษาลงทะเบยี นเรียน 50 คน แตจัดใหเรียนหองท่ีมีขนาดบรรจุ 80 คน ท้งั ทม่ี ีหอ งเรียนที่มขี นาดบรรจุ 60 คนวา งอยู เราพบวามีหลายแนวทางในการแกปญ หาการจดั ตารางสอน เชน การใชก ำหนดการเชงิ พลวตั ร (Dynamic Programming) การใชว ธิ ีแบบศึกษาสำนกึ (Heuristic) การใชข้ันตอนวิธีเชงิ พันธกุ รรม (Ge- netic Algorithm : GA) การคน หาผลเฉลยเฉพาะที่ (Local Search) หรอื การใชโครงขา ยประสาท (Neural Network) วิธีการที่เปนทน่ี ิยมในชวงทศวรรษท่ีผา นมา คอื วิธีการคนหาผลเฉลยเฉพาะท่อี ยา ง ขน้ั ตอนวธิ ปี นเขา (Hill Climbing) การจำลองการอบเหนียว (Simulated Annealing) หรอื การคน หา แบบทาบู (Tabu Search) และการใชตวั แบบกำหนดการเชงิ เสน แบบจำนวนเตม็ (Integer Linear Pro- gramming ; ILP) ที่มีตัวแปรตดั สินใจ (Decision Variable) มีคา เปน 0 หรือ 1 (Binary) ซึ่งเราเรียก กำหนดการเชงิ เสน แบบนีว้ า กำหนดการเชิงเสน แบบทวภิ าค (Binary Linear Programming ; BLP) 2. วตั ถปุ ระสงคของโครงงาน เราตองการนำเสนอตวั แบบทางคณติ ศาสตรสำหรับการแกปญ หาการจัดตารางสอนโดยวิธี กำหนดการเชงิ เสน แบบทวภิ าคโดยคำนงึ ถงึ ตนทุนการจดั ตารางสอนตำ่ สุดภายใตขอจำกดั อนั มีปจ จัย จากรายวชิ าที่เปดสอน จำนวนหองเรียน จำนวนนักศึกษาท่ีลงทะเบียนเรยี นในแตล ะรายวชิ าท่ีเปด สอน และความจุของแตล ะหอ งเรียน เรายังไดทำการเปรยี บเทยี บระหวา ง ตนทุนการจัดตารางสอนจากการ จดั ตารางสอนจรงิ ในภาคการศกึ ษาท่ี 1 ประจำปการศกึ ษา 2561 สาขาวิชาคณติ ศาสตร มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี และ ตน ทุนการจดั ตารางสอนจากผลเฉลยของตัวแบบทเี่ ราไดน ำเสนอ 3. ทบทวนวรรณกรรม กาญจนี วงศวิภาพร [2] ไดเสนอแนวคิดทางการจดั ตารางสอนของโรงเรยี นแบบอัตโนมัติซงึ่ เปนตารางสอนที่สามารถตรวจสอบและปรบั ปรุงรปู แบบตารางสอนใหดีขึน้ ตามขอจำกัดที่กำหนดโดย อาศัยขนั้ ตอนวธิ ีเชงิ พนั ธุกรรม โดยมีฟง กชันวัตถุประสงคของการจดั ตารางสอน ไมเปนการตรวจสอบ โครโมโซมตารางสอนภายใตขอจำกดั ดงั น้ี โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การพัฒนาตวั แบบทางคณิตศาสตรส ำหรับการแกปญ หาการจัดตารางสอนโดยวิธี… 3 • แตล ะชัน้ เรยี นไมมีเรยี นวชิ าใดชนกันในแตล ะคาบเรียน • แตล ะชั้นเรยี นไมเ รยี นวิชาเดียวกันในคาบเรียนติดกัน • แตล ะชั้นเรยี นไมเรียนวชิ าเดยี วกนั ในวันเดยี วกนั • ไมมชี ้นั เรยี นใดในวิชากลุม เรียนในคาบเรียนทต่ี า งกนั • ครูแตล ะคนไมม ีการสอนใดชนกนั ในแตละคาบสอน • ครแู ตละคนไมมกี ารสอนติดกนั เกิน 2 คาบเรียน เราพบวา การจดั ตารางสอนแบบอัตโนมตั ิในงานวิจยั นี้สามารถปรบั ปรุงการจดั ตารางสอนในสว นท่ีขัด กับขอ จำกดั ได กมลวรรณ กล่ันเกล้ยี ง [1] ไดเสนอตัวแบบทางคณิตศาสตรสำหรบั การจัดตารางเรยี นตาราง สอนภาควิชาสถิติโดยใชกำหนดการเชิงเสน แบบทวิภาค โดยมีฟงกชันวัตถุประสงค คือ คา ใชจา ยต่ำสุด โดยคิดคา ใชจา ยจากการใชหองและที่น่งั วาง ภายใตขอจำกดั มีวชิ าเปด สอน 18 วิชา มีหองเรียน 10 หอง ท่ีความจุแตกตางกนั เรยี นวนั ละ 3 ช่ัวโมง โดยแบง ออกเปน 2 แบบ คอื วนั จนั ทร พธุ ศกุ ร วันละ 1 ชั่วโมง และวนั องั คาร พฤหัสบดี วนั ละ 1 ชั่วโมง 30 นาที ภาระงานสอนของอาจารยผ ูสอน และกลมุ นักศกึ ษา งานวจิ ยั น้ีใชโปรแกรม LINGO เพ่ือหาผลเฉลยของตวั แบบโดยไดผลสรุป คอื ใชหองเพียง 4 หอง จาก 10 หอง ไพฑรู ย ศรีนลิ และคณะ [3] ไดเสนอวิธีการจดั ตารางสอนสำหรบั การเรยี นการสอนในมหาวิทยาลยั โดยใชขั้นตอนวิธีเชิงพันธกุ รรม โดยมีจุดประสงคของการจดั ตารางสอนคอื ตอ งการคนหาตารางสอนท่ีดี ทส่ี ุดโดยใชฟงกชันวดั คา ความเหมาะสมของตารางสอนที่สรา งขนึ้ เพ่อื ใหไดตารางสอนท่ีสมบรู ณ ภาย ใตขอจำกัด คอื • จำนวนคาบเรียนของนักศึกษา • การเลือกวันเวลาของอาจารยผสู อน • นักศึกษาไมส ามารถเรยี นในเวลาเดียวกนั ไดม ากกวา 1 วชิ า • อาจารยผ สู อนไมสามารถสอนในเวลาเดียวกนั ไดม ากกวา 1 วิชา เราพบวาการใชข้นั ตอนวธิ ีเชิงพนั ธกุ รรมสามารถแกปญ หาการจัดตารางสอนท่ีมีขอ จำกดั จำนวนมากที่ มีความซบั ซอ นไดเปนอยา งดี ไดตารางเวลาตรงกับความตองการตามท่ีระบุในขอจำกัดในการจัดตาราง สอน สริ ิลกั ษณ จณุ ณทัศน และพยุง มีสจั [5] ไดใชโปรแกรมประยกุ ตสำหรับการแกปญหาการจัด ตารางสอนของโรงเรียนโดยขั้นตอนวิธีเชิงพนั ธกุ รรมแบบหลายจดุ ประสงค โดยมีขอจำกดั ดงั น้ี • กำหนดใหในแตล ะวันและเวลาเดียวกันอาจารยผูสอน 1 คนสอนได 1 กลมุ • ใน 1 สปั ดาหผ ูสอนจะตองสอนวชิ าท่ีกำหนดเทากบั จำนวนคาบของวชิ าน้ัน • ผูส อนมจี ำนวนวันที่สอนเทากับจำนวนครง้ั ของวชิ านน้ั โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

4 จริ ัฏฐ ยั่งยนื สขุ และคณะ • ผสู อนตองสอนในคาบทถ่ี กู บงั คับ • ผสู อนไมสามารถสอนในคาบทไ่ี มว างได ผลจากการดำเนนิ งานพบวา ข้ันตอนวิธีเชิงพนั ธกุ รรมแบบหลายจุดประสงค สามารถหาผลเฉลยไดดี และสามารถจดั ตารางสอนไดต รงตามขอจำกัด การใชตัวแบบทางคณิตศาสตรเขามาชว ยในการลดคาใชจา ยแลวยังสามารถนำมาใช เพอ่ื ชว ยอำนวยความสะดวก และลดเวลาได สุวพร นาคะปรีชา [6] ไดเสนอวธิ ีการจัดสรรหองเรียนโดย ใชกำหนดการเชงิ เสน แบบทวิภาคแบบหลายฟง กชนั วตั ถปุ ระสงค (Multi-objective) อนั ไดแ กคา ใช จายต่ำสดุ และระยะทางระหวา งอาคารเรียนต่ำสดุ โดยกำหนดคา นำ้ หนกั ใหกับระยะทางและกำหนด ความสำคัญใหแตละวตั ถุประสงคโดยคิดเปน เปอรเซ็นต ภายใตขอจำกัดของความจุหอ งเรยี นและตองมี หอ งเรียนรองรบั ความตองการใชห อ งเรียนของทุกวิชา Daskalaki, Birbas และ Housos [8] ไดใชกำหนดการเชิงเสน แบบทวิภาค ในการแกปญหา การจัดตารางเรยี นในมหาวิทยาลัยโดยตองการใหเกิดคาใชจา ยตำ่ สดุ โดยมีขอ จำกดั ท่ีคลา ยคลึงกับงาน วิจยั ทีก่ ลา วมากอนหนา น้ี คอื • อาจารยแตละคนตองถกู จัดวชิ าใหใ นแตล ะชวงเวลาไมเ กิน 1 วชิ า • กลุม นกั ศกึ ษาถกู จดั ใหมวี ิชาเรยี น มีอาจารย หอ งเรียนแตละชวงเวลาไมเ กิน 1 วิชา • ในแตละชวงเวลาหอ งเรียนถกู จัดไดเ พียง 1 วิชา • ตอ งมีวชิ าเรยี นเทากบั จำนวนหลกั สตู ร • ระยะเวลาเรยี นตอ งเทา กับจำนวนหลักสูตร • การเรยี นแตล ะกลมุ ตดิ กนั เราพบวา ในงานวิจยั น้ีกำหนดการเชงิ เสนแบบทวภิ าคสามารถนำมาใชแกปญหาการจดั ตารางสอนที่มี ความซับซอนไดเปน อยางดี วนี า พรหมเทศ [4] ไดศกึ ษาพฒั นาโปรแกรมการจดั ตารางสอนอตั โนมตั แิ บบยืดหยนุ ได โดยใช ข้นั ตอนวิธีเชงิ พนั ธกุ รรม เปรียบเทียบคา เฉลีย่ ที่ไดจากกลไกการคดั เลือก 2 วิธีคือแบบวงลอ รูเลทและ เฟน สมุ สากล โดยมีขอบงั คบั ท่ีพจิ ารณาเปน ขอ จำกดั ที่ไมสามารถยืดหยุน ได และขอจำกัดท่ีสามารถ ยืดหยนุ ได ผลสรปุ กลไกการคัดเลอื กท่ีระดับความเช่ือมนั่ 95% กลไกการคัดเลือกแบบวงลอรูเลทไดผล เฉลีย่ เรว็ กวา กลไกการคดั เลอื กเฟน สุม สากลเลก็ นอ ย Gunawan, Ng และ Poh [9] ไดแกปญหาการจัดตารางสอนโดยใชขัน้ ตอนวธิ ีแบบผสมผสาน (Hybrid Algorithm) ซง่ึ เปน การรวมเอาวิธีกำหนดการเชงิ เสน แบบจำนวนเตม็ และข้นั ตอนวธิ ีการ คนหาเฉพาะที่แบบตา ง ๆ ไวดว ยกนั เราพบวาวิธีน้ี สามารถนำไปใชแกปญ หาการจดั ตารางสอนที่มี ขนาดใหญ (Large – Scale) ไดเปน อยางดี Oladokun และ Badmus [11] ไดแกปญ หาการจดั ตารางสอนโดยใชกำหนดการเชิงเสน แบบ ทวิภาค แบบหลายฟง กช นั วตั ถปุ ระสงค ( Multi-objective) ซึ่งมีขอจำกัดแบงเปน โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การพฒั นาตวั แบบทางคณติ ศาสตรสำหรบั การแกปญ หาการจดั ตารางสอนโดยวิธ…ี 5 • ขอ จำกัดที่ไมสามารถยดื หยุน ได (Hard Constraints) โดยงานวิจัยนี้ เนนขอ จำกดั เร่ืองเวลา เชน 1 วิชาสามารถสอนได 1 คร้งั ตอวนั และตองมีช่วั โมงเรียนติดกนั • ขอ จำกดั ทสี่ ามารถยดื หยุนได (Soft Constraints) ซง่ึ ขอ จำกดั นี้สามารถปรับเปลยี่ นไดตามความ เหมาะสมโดยในงานวิจัยน้ีตอ งการใหเกดิ การเรยี นการสอนในเวลาที่ไมจำเปน นอ ยท่สี ดุ แบง ออกเปน มีการเรยี นการสอนเชา และเยน็ ที่นอกเหนอื จากตารางงานของมสุ ลมิ เวลารับประทาน อาหารกลางวันและการใชเวลาการเรยี นการสอนของคณะอื่น นอกจากการนำแบบจำลองทางคณิตศาสตรมาใชใ นการจดั ตารางสอนแลวยังสามารถนำมา ใช แกปญหาการจดั ตารางสอบได อรอนงค ดอกจันรี [7] ไดศกึ ษาการพัฒนาขั้นตอนวิธีแบบศกึ ษาสำนึก ในการแกปญ หาการจัดตารางสอบ โดยพจิ ารณาขอจำกัด 2 ประการ ไดแก • ขอ จำกดั หลกั (ตอ งปฏิบตั ิตามอยางเครงครดั ) คือ ไมมีนกั ศึกษาคนใดสอบมากกวา 1 วชิ าในคาบ เวลาสอบเดียวกนั และนักศกึ ษาภาคพิเศษตอ งสอบในคาบเวลาท่กี ำหนดให • ขอ จำกดั รอง (ปฏบิ ตั ิใหไดมากที่สุดเทา ที่จะทำได) คอื จัดตารางสอบโดยใหระยะหา งระหวา ง คาบเวลาสอบมากท่สี ดุ จากการวจิ ยั พบวา สามารถใชข ้ันตอนวธิ แี บบศึกษาสำนกึ จัดตารางสอบไดต ามตอ งการ Chaoroenruengkit [10] ไดทำการเสนอตัวแบบจำลองทางคณติ ศาสตร โดยใชกำหนดการ เชิงเสน แบบจำนวนเตม็ ในการวางแผนการจัดตารางเรียนของนักศึกษาที่ ตองมีการลงทะเบยี นรายวิชา ตามลำดบั แผนการเรยี นในหลกั สูตร และไดทำการจำลองสถาณการณในการจัดแผนการสอนสำหรับ นักศึกษา 3 สาขาวชิ าเปนเวลา 4 ภาคการศกึ ษา ท่ีตอ เนื่องกนั โดยแตล ะภาคการศึกษาจะมีจำนวน นักศกึ ษาทล่ี งทะเบียนเรยี นในแตละรายวชิ าแตกตา งกนั ออกไป 4. วิธกี ารดำเนินโครงงาน จากการศึกษางานวจิ ัยท่ีเกยี่ วขอ งกับปญหาการจัดการตารางสอนขา งตน เราไดพบวา วิธีการ คน หาผลเฉลยเฉพาะท่ี (Local Search) ไมสามารถบอกไดวาจะสามารถหาผลเฉลยภายใตขอ จำกัด ที่มีได (Unsatisfiability) และไมสามารถการันตีวาผลเฉลยที่ไดมาจะเปน ผลเฉลยที่เหมาะสมท่ีสุด (Optimal Solution) เราจงึ สนใจท่ีจะนำเสนอตัวแบบทางคณติ ศาสตรเพือ่ แกปญหาการจัดตารางสอน ดว ยวธิ ีกำหนดการเชงิ เสน แบบทวิภาค โดยมีวัตถุประสงคคอื ตอ งการหาผลเฉลยที่มีอรรถประโยชนคมุ คาที่สดุ ภายใตขอ จำกดั ท่ีมีปจ จยั มาจาก รายวชิ าที่เปด สอน จำนวนหอ งเรยี น จำนวนนักศึกษาที่ลง ทะเบยี นเรยี นในแตละรายวิชาท่เี ปดสอน และความจขุ องแตล ะหอ งเรยี น ถา เราพจิ ารณาการจดั ตารางสอนสำหรับ n รายวชิ า (Courses) และมี m หองเรียน (Class- rooms) โดยที่ m ≥ n > 0 แลวสำหรบั แตล ะรายวชิ า i เราจะกำหนดใหมีตัวแปรตดั สนิ ใจ m ตวั คอื โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

6 จริ ัฏฐ ย่งั ยนื สุข และคณะ  1 ถา รายวิชา i ถูกจดั ไปทห่ี อ งเรียน j xij = 0 ในกรณีอื่น ในเบื้องตนเรามชี ดุ ของขอจำกัดในการจดั ตารางสอนดงั น้ี • แตละรายวชิ าตอ งถกู จัดไปท่หี องเรยี นเดียวเทา นน้ั เราสามารถเขียนสมการขอจำกดั ได ดังน้ี ∑m ∀i (4.1) xij = 1 j=1 • แตละหองเรียนตอ งถกู จัดใหกบั รายวชิ าเดียวเปน อยา งมากเพอื่ เปนการหลีกเลย่ี งปญหาจัด สองรายวิชาลงหอ งเรยี นเดียวกัน เราสามารถเขียนอสมการขอ จำกัดไดด ังนี้ ∑n ∀j (4.2) xij ≤ 1 i=1 • ความจุแตล ะหอ งเรยี นตอ งไมตำ่ กวา จำนวนนกั ศึกษาท่ีลงทะเบยี นในรายวชิ านน้ั เราสามารถ เขยี นสมการขอ จำกัดไดดงั นี้ ∑ xij = 0 (4.3) j∈T เม่อื T = ∪ และ Ti คอื เซตของหอ งเรียนท่ีความจุนอยกวา จำนวนนกั ศึกษาที่ลงทะเบยี น Ti ในรายวิชา i ∀i เราเรียกชดุ ขอ จำกัด (4.1) - (4.3) ขางตน วา ชุดขอจำกดั พื้นฐานของปญ หาการจดั ตาราง สอน ซึง่ ชุดขอจำกดั ขางตน เปน การการันตีวา แตละรายวชิ าจะถกู จัดไปท่ีหอ งเรยี นท่ีมีความจุไมตำ่ กวา จำนวนนกั ศึกษาที่ลงทะเบยี นในวิชานัน้ ๆ และเพื่อท่ีจะหลีกเลยี่ งปญหาการใชทรพั ยากรไปอยา งไม เหมาะสม เชน การจัดรายวชิ าท่ีมีนักศึกษาลงทะเบียนเรียนนอยไปยงั หอ งเรยี นท่ีมขี นาดใหญเกนิ ไป เรา จะทำการกำหนดฟงกช ันวตั ถปุ ระสงคโดยพิจารณาถึงอรรถประโยชนท ่ีเหมาะสมท่ีสดุ คือ ∑ (4.4) min ⌈ωijcij⌉xij ∀i∀j โดยท่ี สมั ประสทิ ธิ์ ωij คือ คาคงท่ี Scaling factor สำหรบั แตละ xij cij คอื อตั ราสว นระหวา งความจุของหองเรียน j และจำนวนของนกั ศึกษาทีล่ งทะเบียนในรายวชิ า i เราใชสัญลกั ษณ ⌈a⌉ แทนจำนวนเตม็ บวกท่ีมีคา นอยที่สดุ ท่ีมีคา ไมตำ่ กวาจำนวนจรงิ บวก a แเรลาะเรเรยี ากเผรยีลกคณู ∑⌈ω⌈ωijicjicji⌉jx⌉xijijววาา ตตน น ททนุ นุ กกาารรจจดั ดั ตตาารราางงสสออนนสำหรบั การจัดรายวชิ า i ไปยังหองเรยี น j ∀i∀j โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

การพฒั นาตัวแบบทางคณติ ศาสตรสำหรับการแกป ญ หาการจัดตารางสอนโดยวิธ…ี 7 เราจะพจิ ารณาวิชาที่มรี หัสเดยี วกนั แตต า งกลุมเรยี น (Section) เปนคนละรายวชิ า (Course) กัน และเรายังพจิ ารณาหองที่ใชในวันเวลาตางกนั เปน หอ งเรยี น (Classroom) ที่แตกตา งกนั ดวย ยก ตัวอยา งเชน รายวชิ า 09111051 Section 1 และ รายวชิ า 09111051 Section 2 จะถูกพจิ ารณาเปน สองรายวชิ าที่แตกตางกัน หรือในกรณีหอ ง ST1911 ในวนั จันทรเ วลา 9.00 – 12.00 และ หอ ง ST1911 ในวนั จันทรเวลา 13.00 – 16.00 ก็จะถกู พิจารณาเปน สองหองเรียนที่แตกตา งกนั เราจะเรยี กหอ งท่ีถกู ระบวุ นั เวลาในการใชง านวา หองเรยี น (Classroom) ยกตวั อยางเชน ถาเรามหี อ งทง้ั หมด 10 หอง และ มีวนั เวลาท่ีสามารถใชหองเหลา น้ีไดคอื วนั จนั ทรถึงวนั ศุกรในสองชวงเวลาคือ ชวงเวลาเชา (9.00 น. – 12.00 น.) และ ชวงเวลาบาย (13.00 น. – 16.00 น.) แลว เราจะมีหอ งเรียนท้งั สนิ้ 10 หอ ง x 5 วนั x 2 ชวงเวลา = 100 หองเรียน มากไปกวา น้นั เรายังมีขอจำกดั เฉพาะเพ่มิ เติมเขา มาในกรณีท่ีบางรายวชิ าตองถกู จัดสอน เฉพาะหอ งเทานัน้ ยกตวั อยา งเชน รายวชิ าท่ีจำเปน ตองใชคอมพิวเตอรตอ งมีการเรยี นที่หอง ST1905 เทานัน้ และจะตอ งไมม ีการจัดรายวิชาอ่นื ที่ไมไดตองการใชคอมพวิ เตอรลงในหอง ST1905 ดว ย เรา สามารถเขียนสมการขอจำกดั ดังกลาวได คือ ∑ ∀i ∈ L (4.5) xij = 1 (4.6) j∈Ri ∑ xij = 0 ∀i ∈/ L j∈/Ri โดยท่ี L คอื เซตของรายวิชาทง้ั หมดที่ตองใชค อมพวิ เตอร Ri คอื เซตของหองเรยี นทงั้ หมดทสี่ ามารถถกู จดั ไปใชส ำหรับรายวิชา i ได และจำนวนของนกั ศึกษาทีล่ งทะเบยี นในรายวชิ า i 5. ผลการดำเนินโครงงาน เราไดใชขอ มูลจรงิ ของการจดั ตารางสอนของสาขาวชิ าคณติ ศาสตร คณะวทิ ยาศาสตรและ เทคโนโลยีมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลธญั บรุ ี ในภาคการศึกษาที่ 1 ปการศึกษา 2561 มาใชใน การเปรยี บเทยี บตน ทุนการจดั ตารางสอนจากการจดั ตารางสอนจริงในปการศึกษา 2561 และตน ทุน การจดั ตารางสอนจากผลเฉลยของตวั แบบท่ีเราไดนำเสนอ เราไดท ำการแบงพจิ ารณาตัวแบบสำหรับการจัดตารางสอนเปน สองตัวแบบ คอื ตัวแบบสำหรบั การจัดตารางสอนภาคปกติ (ใชหอ งเรยี นในเวลาราชการ) และตัวแบบสำหรับการจดั ตารางสอนภาค พิเศษ (ใชหองเรียนนอกเวลาราชการ) ตารางตอไปนี้เปน การนำเสนอขอมลู ในดานจำนวนตวั แปรตดั สิน ใจ จำนวนขอ จำกัดของตวั แบบดงั กลาว ตลอดจนตนทุนการจดั ตารางสอนจากการจัดตารางสอนจริง และตน ทนุ การจดั ตารางสอนจากผลเฉลยของตวั แบบ ในการหาผลเฉลยน้ีเราไดทำการกำหนดสมั ประ สิทธิ Scaling factor ωij = 1000 สำหรับทุกคา i และ j ใด ๆ ในแบบจำลอง โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

8 จริ ฏั ฐ ยงั่ ยืนสุข และคณะ ตารางที่ 1. การเปรยี บเทยี บขอ มูลและตนทนุ การจัดตารางสอน ภาคปกติ ภาคพเิ ศษ จำนวนรายวชิ า (Courses) 96 8 จำนวนหอ ง (Rooms) 37 37 จำนวนหอ งเรยี น (Classrooms) 370 185 จำนวนตัวแปรตดั สินใจ 35520 1480 จำนวนขอ จำกัด 563 202 ตนทนุ การจดั ตารางสอนจากการจัดตารางสอนจรงิ 162578 15216 ตนทุนการจดั ตารางสอนจากผลเฉลยของตวั แบบ 118024 11254 ผลเฉลยจากตัวแบบทำใหป ระหยัดตน ทุนการจัดตารางสอน 27.40 % 26.03 % 6. สรปุ ผลการดำเนินโครงงานและการนำไปใชป ระโยชน ในงานวิจยั น้ีเราไดนำเสนอตวั แบบทางคณติ ศาสตรสำหรบั การแกปญหาการจัดตารางสอนโดย วธิ ีกำหนดการเชิงเสนแบบทวภิ าค และทำการเปรียบเทียบตนทนุ การจัดตารางสอนจากการจัดตาราง สอนจริงในภาคการศกึ ษาที่ 1 ปการศึกษา 2561 และตนทนุ การจัดตารางสอนจากผลเฉลยของตัว แบบท่ีเราไดนำเสนอ โดยไดผลลพั ธซงึ่ เหน็ ไดชัดวา ผลเฉลยที่ไดมาจากตัวแบบน้ันสงผลใหลดตนทนุ ได 27.40 % และ 26.03 % ในการจัดตารางสอนสำหรับภาคปกติและภาคพเิ ศษตามลำดับ เอกสารอา งองิ [1] กมลวรรณ กลัน่ เกล้ียง, “การจดั ตารางเรยี นตารางสอนโดยใชกาหนดการเชงิ เสนกรณีศึกษา ภาควชิ าสถติ ิคณะวิทยาศาสตร”, อสิ ระปริญญาวทิ ยาศาสตรมหาบณั ฑติ สาขาวิชาสถิติประยุกต บัณฑิตวิทยาลัย มหาวิทยาลยั ขอนแกน , 2004 [2] กาญจนี วงศวภิ าพร, “การจัดตารางสอนของโรงเรยี นแบบอัตโนมัติโดยจีเนติกอัลกอริทมึ ”, วิทยานิพนธปรญิ ญามหาบณั ฑิต สาขาวิศวกรรมไฟฟา มหาวทิ ยาลัยพระจอมเกลาเจา คณุ ทหาร ลาดกระบงั , 1998 [3] ไพฑูรย ศรีนิล, พรเทพ โรจนวส,ุ เอ้ือน ปน เงนิ , “การจดั ตารางสอนอตั โนมัติแบบเลอื กสรรได โดยใช จีนีติกอัลกอริทมึ ”, เอกสารประกอบการประชุมวิชาการ เร่อื ง Computer Science and Software Engineering, ชลบรุ ี : มหาวิทยาลยั บูรพา, 2005 [4] วีนา พรหม เทศ, “การ จดั ตาราง สอน อตั โนมตั ิ แบบ ยืดหยุน โดย ใช วธิ ี genetic algorithm”, รายงานวจิ ยั สาขาวชิ าคอมพวิ เตอรแ ละเทคโนโลยสี ารสนเทศ มหาวทิ ยาลัยราชภฎั เลย, 2007 [5] สริ ิลกั ษณ จณุ ณทศั น, พยุง มีสัจ, “การจัดตารางสอนอตั โนมัติแบบยืดหยนุ โดยใชวิธี genetic algorithm”, รายงานวิจยั สาขาวิชาคอมพวิ เตอรและเทคโนโลยีสารสนเทศ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฎ เลย, 2007 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การพัฒนาตวั แบบทางคณิตศาสตรส ำหรบั การแกป ญ หาการจดั ตารางสอนโดยวิธ…ี 9 [6] สุวพร นาคะปรีชา, “ตัวแบบคณิตศาสตรสาหรบั การจดั สรรหองเรียน”, เอกสารประกอบการ ประชุม วชิ าการ เรือ่ ง การวจิ ัยดาเนินงาน,สานกั งานพัฒนาวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยีแหง ชาติ, 2005 [7] อรอนงค ดอกจนั ร,ี “ฮิวรีสติกสสาหรบั การจัดตารางเวลาสอบกรณีศึกษาคณะสถติ ิประยกุ ต” , วทิ ยานิพนธปริญญามหาบัณฑติ สาขาสถติ ิประยุกต สถาบนั บณั ฑติ พัฒนบรหิ ารศาสตร, 2008 [8] Daskalaki, S., Birbas, T. and Kamoun, H., An integer programming formulation for a case study in university timetabling, European Journal of Operational Research, Vol 153, pp. 117-135, 2006 [9] Gunawan, A., Ng ,and Poh, K. L., Solving the Teacher Assignment-Course Scheduling Problem by a Hybrid Algorithm, World Scheduling of Science and Technology, Vol 33, pp. 259-264., 2007 [10] Chaoroenruengkit, C., Couse Planning Optimization with Conditional Constrains us- ing Integer Linear Programming, In Proceeding of 2rd International Conference on Digital Technology in Education, pp. 71-76., 2018 [11] Oladokun, V. and Badmus, S. O., An Integer Linear Programming Model of a Univer- sity Course Timetabling Problem , The tacific Journal of Science and Technology, Vol 9, pp. 426-431., 2008 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

10 จริ ฏั ฐ ยั่งยืนสขุ และคณะ โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Research RE-AP 02 11 The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials for the Oxygen Diffusion in a Spherical Cell with Michaelis-Menten Uptake Kinetics Nantana Prabthong*, Sukolkit Mongkolsin, Orapan Cahapunya and Montri Torvattanabun Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Loei Rajabhat University, Loei 42000, Thailand *Correspondence: [email protected] Abstract In this work, the variational iteration method involving adomian polynomials is used to study the oxygen diffusion in a spherical cell with Michaelis-Menten uptake kinetics.The method is tested for its efficiency and reliability. It is shown that the resulting solution appear to be higher accurate when compared to existing numerical methods. Keywords: Oxygen diffusion, The variational iteration method involving Adomian polyno- mials 1. Introduction The aim of this work is to introduce a new approach for the numerical solution of the oxygen diffusion in a spherical cell with Michaelis-Menten uptake kinetics [1-3] : 2′′ ′ 0.76129y (1.1) y + y= , x y + 0.03119 where 0 < x ≤ 1 , and subject to the boundary conditions y′(0) = 0, 5y(1) + y′(1) = 5. ( 1.2) The solution of boundary value problems (1.1)-(1.2) is numerically challenging due to the singularity behaviour at a certain point in the domain of the problem. This problem has been actively studied by numcrical and analytical approximate by B-spline method [4], modified Taylor method [5], mixed MADM-collocation method [6] variational itera- tion method [7] and modified decomposition method [8] The variational iteration method (VIM) was first proposed by Ji-Huan He [9-11]. The idea of the VIM is to construct an iteration method based on a correction functional that includes a generalized Laurange multiplier. The value of the multiplier is chosen โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

12 Nantana Prabthong et al. using variational theory so that each iteration improves the accuracy of the solution. The initial approximation (trial function) usually includes unknown coefficients which can be determined to satisfy any boundary and initial conditions. The VIM has been shown to solve effectively, easily and accurately, a large class of linear or nonlinear problems. [12-17]. In 2019 Chang [18] combine a VIM with Adomian polynomials to obtain the ap- proximate solutions of a strongly nonlinear boundary value problem In this work, we applied the VIM involving Adomian polynomials for solving the oxygen diffusion in a spherical cell with Michaelis-Menten uptake kinetics. In sections 2, we introduce the main idea of the VIM involving Adomian poly- nomials(VIMIAP). Sections 3 describes briefly the VIMIAP for the oxygen diffusion in a spherical cell with Michaelis-Menten uptake kinetics. Finally, Sections 4 concludes the paper. 2. Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials Consider the following differential equation Ly + N y = g(x), (2.1) where L is a linear operator, N is a nonlinear operator and g(x) is a known real function. According to VIM [7-1], we can construct a correction functional, y(x), as follows: ∫t yn+1(x) = yn(x) + λ(Lyn(s) + N yn(s) − g(s))ds, (2.2) 0 where yn(s) is a correction functional, yn(y) is considered as a restriced variation [14,15], i.e. δyn(y) = 0. The subscript n denotes the n th-order approximation.The optimal value of the general Lagrange multipliers λ [19] can be identified by using the stationary coditions of the variational theory. In 2019, Chang [18] combined a VIM proposed the variational iteration method with Adomian polynomials.The differential equation is considered as Ly + N y + g(y, x) = 0. (2.3) The considered method enroll corrective action functional for (2.3) as given ∫x yn+1(x) = yn(x) + λ(Lyn(s) + N yn(s) + g(yn, s))ds. (2.4) 0 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 13 We consider the nonlinear form ∑∞ (2.5) N u + g(u, s) = Ak(u0(x), u1(x), ..., un(x)), k=0 where u0(x) = y0(x), un(x) = yn(x) − yn−1(x), A0(u0(x)) = N u0 + y(u0, x) and for k ≥ 1. The Adomian polynomials An(x) are recurrently defined in [20] ,taking into (2.4), we obtain ∫ x ∑n (2.6) yn+1(x) = yn(x) + λ(Lyn(s) + Ak(s))ds. 0 k=0 3. The Variational Iteration Method Involving Adomian Polyno- mials for diffusion and nonlinear uptake oxygen in a spher- ical cell In this section, we will study the boundary value problems for diffusion and nonlinear uptake oxygen in a spherical cell[1-8]. y′′ + 2 y′ − 0.76129y = 0, x y + 0.03119 with the boundary conditions y′(0) = 0, 5y(1) + y′(1) = 5. (3.1) In VIMIAP, we can construct a correction functional for (3.2) as follows [ ] yn+1(x) = yn(x) + ∫x λ(s; x) yn′′(s) + 2 yn′ (s) − 0.76129y(s) (3.2) s 0 ds. y(s) + 0.03119 To determine the optimal value of λ(s; x) we take the variation for both sides with respect to yn(x) to obtain [ ] x) yn′′(s) 0.76129y(s) δyn+1(x) = δyn(x) + δ ∫x λ(s; + 2 yn′ (s) − (3.3) s ds, 0 y(s) + 0.03119 or equivalently [ ] x) yn′′(s) δyn+1(x) = δyn(x) + δ ∫x λ(s; + 2 yn′ (s) ds. (3.4) s 0 Integrating the integral at the right side by parts yields δyn+1(x) =δyn(x)(1 − λ′(s; x) + 2− λ(s; x)) + δλ(s; x)yn′ (x) + δ ∫x yn(s) x )) ( ( x) − 0 λ′′ 2 λ(s; x) (s; x) − sλ′(s; s2 ds. (3.5) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

14 Nantana Prabthong et al. This in turn gives the stationary conditions λ(s = x) = 0, λλ′′′|s−=x2(=s1λ,′x−2 λ ) = 0, result into λ(s; x) = s(s − x) . x In construct, the variational iteration method involving Adomian polynomials, the yn+1(x) is calculated by the formula yn+1(x) = yn(x) + ∫x s(s − [ + 2 yn′ (s) + ∑n ] (3.6) x x) yn′′(s) s Ak(s) ds. 0 k=0 According to the algorithm (2.5), the Adomian polynomials are A0 =f (u0), A1 =f (1)(u0)u1, A2 =f (1)(u0)u2 + f (2) (u0) u21 , 2! A3 =f (1)(u0)u3 + f (2)(u0)u1u2 + f (3)(u0) u13 , 3! A4 =f (1)(u0)u4 + f (2)(u0)(u1u3 + u22 ) + f (3)(u0) u21u2 + f (4)(u0) u14 , 2! 2! 4! A5 =f (1)(u0)u5 + f (2)(u0)(u1u4 + u2u3) + f (3)(u0)( u3u12 + u1u22 ) + f (4) (u0) (u13u2) 2! 3! + f (5) (u0 ) u15 , 5! ( ) ( u32 ) A6 =f (1)(u0)u6 + f (2) (u0) u23 + u2u4 + u1u5 + f (3) (u0) u4u21 + u3u1u2 + 3! 2! 2! ( ) ( ) ( ) ) u3u13 u21u22 ) u14u2 (6)(u0) u16 , + f (4) (u0 3! + 4 + f (5) (u0 4! + f 6! A7 =f (1)(u0)u7 + f (2)(u0)(u1u6 + u2u5 + u3u4) + f ( u5u21 + u4u1u2 (3)(u0) 2! u1u23 + u22u3 ) ( u4u13 u3u21u2 u1u23 ) ( u3u14 2! (4)(u0) 3! 2 3! (5)(u0) 4! + + f + + + f u13u22 ) ( u51u2 ) ( u71 ) 12 (6)(u0) 5! (u0) 7! , + + f + f (7) A8 =f (1)(u0)u8 + f (2) ( u24 + u1u7 + u2u6 + ) + f ( u6u12 + u5u1u2 (u0) 2! u3u5 (3)(u0) 2! u4u22 + u2u32 ) ( u5u13 u4u21u2 u12u32 u1u22u3 2! (4)(u0) 3! 2! 4 2! + u4u1u3 + + f + + + โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 15 + u42 ) + f ( u4u14 + u3u13u2 + u12u23 ) + f ( u3u51 + u41u22 ) 4! (5)(u0) 4! 3! 12 (6)(u0) 5! 48 ( u16u2 ) ( u18 ) f (7)(u0) 6! (8)(u0) 8! . + + f Choosing a constant a as the initial approximation y0. By means of the iteration formula (3.6), we obtain = + 0.1268816667ax2 y1(x) a , a + 0.03119000000 ( ) ( 0.006344083335ax4 −0.7612900000 a + 0.03119000000 y2(x) = y1(x) − ( a + 0.03119000000 ) 0.006344083335ax4 0.7612900000a ) (a + 0.03119000000)2 +, a + 0.03119000(000 1 y3(x) = y2(x) − (100000a + 3119)5 2.380952380 × 10−8ax(7.645277351 × 1027ax4 + 2.8 × 1022a4 − 7.153686017 × 1025x4 + 3.49328 × 1021a3 + 1.634331048 × 1020a2 + 3.398319026 × 1018a + 2.64983926 × 1016) − 1.190476190 ) × 10−8ax2(3.058110940 × 1028x3a − 2.861474407 × 1026x3) , 1 ( (100000a + y4(x) = y3(x) − 3119)7 1.587301587 × 10−11 ax2(−4.243949207 × 1039 x6a2 + 2.617939858 × 1031 x4a3 + 9.833109052 × 1037 x6a + 8.4 × 1025 a6 + 2.493186685 × 1032 x2a4 + 1.444254981 × 1030 x4a2 − 1.769392334 × 1035 x6 + 1.571976000 × 1025 a5 + 3.110499708 × 1031 x2a3 + 1.368940446 × 1028 ax4 + 1.225748286 × 1024 a4 + 1.455247288 × 1030 x2a2 − 1.836831494 × 1026 x4 + 4.953478539 × 1022 a3 + 3.025944195 × 1028 ax2 + 1.130634567 × 1021 a2 ) + 2.359479985 × 1026 x2 + 1.522463955 × 1019 a + 104606212700000000) , 1 ( a+ y5(x) = y4(x) − (100000.0 3119.0)9 7.215007215 × 10−17 ax2(2.970201813 × 1021 a − 3.191510687 × 1019 + 1.161527811 × 1024 a2 + 2.934642399 × 1038 x4 + 7.632549187 × 1025 a3 + 2.370887921 × 1027 a4 + 9.564105293 × 1029 a6 + 5.399016882 × 1028 a5 + 8.761146240 × 1030 a7 − 8.402715062 × 1046 x8 + 3.511200000 × 1031 a8 + 4.535944961 × 1029 x2 − 2.506064275 × 1038 x6 − 7.959085308 × 1045 x4a4 − 3.481862083 × 1044 x4a3 − 1042 x4a2 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

16 Nantana Prabthong et al. × 6.234403020 − 2.072648587 × 1045 x6a4 − 8.715128552 × 1043 x6a3 + 3.548113025 × 1041 x6a2 + 2.142152034 × 1038 x2a6 + 4.462023316 × 1037 x2a5 + 4.473775761 × 1036 x2a4 + 2.049884360 × 1035 x2a3 + 1033 x2a2 × 4.598821841 + 5.840380899 × 1031 ax2 − 2.509045552 × 1040 ax4 + 2.492532418 × 1040 x6a + 7.754102624 × 1053 a3x8 − 3.069197513 ) × 1052 a2x8 + 1.792435532 × 1050 ax8 − 6.628069526 × 1046 x4a5) , y6(x) = y5(x) − (a + 1 (1.666666667 × 10−21(a18 + (9.357000028 × 106x2 0.03119)20 + 0.5119)a17 + (−3.3333 × 106x6 + 4.961362121 × 106x2 + 0.1341567245)a16 + (−37548.09610x4 − 8.408666681 × 105x6 + 1.237959075 × 106x2 + 0.02342960100)a15 + (−1.27171000963155 × 10−10x5 − 6.31665194844978 × 10−19x + 1.057995168 × 105x4 + 4.94187345 × 105x6 + 3.818181817 × 105x8 + 1.930597178 × 105x2 + 0.00292006745)a14 + (−466.7787140x4 + 76978.75721x6 − 3.003215726 × 1012x10 + 23817.81817x8 + 21075.36409x2 + 0.0002666169899)a13 + (−1964.168637x4 + 5729.805211x6 − 6.697629047 × 1011x10 − 4444.924761x8 + 1709.085576x2 + 0.00001819321594)a12 + (−158.2271954x4 + 329.8915154x6 − 5.851702937 × 1010x10 − 509.3538544x8 + 106.6127582x2 + 9.45158218010−7a11 + (−3.176651818x4 + 12.12968406x6 − 2.137569597 × 109x10 − 25.08082153x8 + 5.225395889x2 + 3.798556564 × 10−8)a10 + (9.09821054233992 × 10−24x + 1.75621802180133 × 10−15x3 + 5.21020223086298 × 10−13x5 + 3.33452942775231 × 10−11x7 + 10−10x9 × 4.26819766752295 + 0.164912051899971x4 + 0.0684704762275675x6 + 1.537780274 × 107x10 − 0.744391945156808x8 + 0.2037251222x2 + 10−9)a91 × .194963421 + (−3.54325989747253 × 10−17x3 + 1.94572032927366 × 10−14x5 + 1.99241761717622 × 10−12x7 + 1.27514727499278 × 10−10x9 + 4.594202234 × 106x10 + 0.0117740520299994x4 − 0.0135987242702386x6 + 2.957711750 × 10−11 − 0.0149945549292229x8 + 0.006354186557x2)a8 + (−1.33330768912016 × 10−18x3 − 4.74756711350708 × 10−16x5 − 1.62050290807708 × 10−13x7 + 0.0003420519326x4 − 0.000604105763288699x6 + 1.868312651 × 105x10 − 0.000211539498061075x8 + 0.0001585496629x2 + 5.730418568 × 10−13)a7 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 17 + (−1.59774219967715 × 10−20x3 + 1.16279137265586 × 10−17x5 + 10−15x7 × 1.48837295699950 + 6.30023388499975 × 10−6x4 − 0.0000133129251802151x6 + 3431.954378x10 + 0.000003146922533x2 − 0.00000245317119518868x8 + 8.50730534899999 × 10−15)a6 + (4.27429293383325 × 10−31x + 10−22x3 × 1.06670376031208 − 2.93727173829403 × 10−20x5 − 7.51941565003272 × 10−18x7 + 4.81242601602094 × 10−16x9 − 1.84911998299096 × 10−7x6 + 17.33859201x10 + 4.907625689 × 10−8x2 + 8.70950984900055 × 10−8x4 − 1.09867021650502 × 10−7x8 + 9.2248491220000010−17)a5 + (10−22x5 × 6.97971623158961 + 1.11120203635746 × 10−24x3 − 5.51397582295579 × 10−20x7 − 5.71778353691821 × 10−18x9 + 5.88726327500000 × 10−10x2 − 1.68048521400497 × 10−9x6 + 8.52254588899987 × 10−10x4 − 0.4120097249x10 − 2.80301694520041 × 10−9x8 + 6.590966555 × 10−19)a4 + (1.14151346891864 × 10−27x3 − 2.89564257488346 × 10−24x5 + 1.60708162906032 × 10−22x7 + 5.246392616 × 10−12x2 − 0.006837142721x10 − 1.30398914000219 × 10−11x6 − 1.07216302065263 × 10−11x8 + 4.02602780900023 × 10−12x4 + 2.285296241 × 10−21)a3 + (−1.88005068056576 × 10−26x5 − 1.01884053295285 × 10−28x3 − 5.14593241238131 × 10−35x + 4.81292974224834 × 10−24x7 + 3.08027503503894 × 10−22x9 + 5.38574726000109 × 10−15x4 + 3.27269971100000 × 10−14x2 − 1.25747644800112 × 10−13x6 − 0.00002219572080x10 − 6.85963639337860 × 10−15x8 − 3.697864097 × 10−24)a2 + (−2.08975463241892 × 10−31x3 − 1.72820250237621 × 10−40x + 4.86445759107640 × 10−26x7 − 5.40724967 × 10−26 − 2.85114920804497 × 10−16x6 + 1.03583462000011 × 10−16x4 + 1.121667553 × 10−7x10 + 1.275943801 × 10−16x2 − 1.09527937990565 × 10−16x8)a + 2.340981598 × 10−19x2 − 5.306269635 × 10−20x8 + 10−19x6 × 2.365927913 − 4.932916559 × 10−20x4 − 1.546631785 × 10−11x10 − 8.712719807 × 10−29)ax2, y7(x) = y6(x) + (a + 1 (1.666666669 × 10−11(1.15501818585785 × 10−48x 0.03119)23 − 3.28420789399994 × 10−34x2 − 2.06480981324081 × 10−34x8 + 10−43x9 × 3.02781087313519 + 8.51571808069274 × 10−44x7 + 3.69605819474511 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

18 Nantana Prabthong et al. × 10−47x3 + 7.09643173391061 × 10−45x5 + 4.30723812397106 × 10−33x6 + 7.38479161400000 × 10−34 + 1.000a22 + 6.38548547099903 × 10−33x4 + (−5.785803997 × 10−21x2 + 0.6861800001)a21 + (−0.0004326364794x2 + 0.2247205190)a20 + (−0.0002698786375x2 + 0.0001088571427x4 − 0.001916666666x6 + 0.04672688658)a19 + (−0.00007996638985x2 + 0.00006929766273x4 − 0.0002127272724x8 − 0.0009101324994x6 + 0.006922705065)a18 + (−1.979902365 × 10−7x2 + 5.178454740 × 10−7x4 − 0.00001027508425x10 − 0.3657462570 × 10−5x8 − 0.2424675512 × 10−5x6 − 28.30679624x12 + 0.4897157455 × 10−5)a15 + (−1.543828872 × 10−8x2 + 5.122781418 × 10−8x4 − 3.762767063 × 10−7x8 − 6.649053615x12 − 1.478915063 × 10−7x6 − 1.191943723 × 10−6x10 + 2.863918893 × 10−7)a14 + (−9.630404531 × 10−10x2 + 3.930000203 × 10−9x4 − 10−8x8 × 2.859832532 − 6.015997210 × 10−9x6 − 0.5987841484x12 − 9.391536365 × 10−8x10 + 1.389509804 × 10−8)a13 + (−4.881050165 × 10−11x2 + 2.393321919 × 10−10x4 − 1.653539628 × 10−9x8 − 1.262644089 × 10−10x6 − 0.01977371650x12 − 5.286405624 × 10−25x9 + 8.64181106752584 × 10−26x7 × 10−9x10 + 5.634045405 × 10−10)a12 + (−1.382681530 × 10−20x2 + 1.534144810 × 10−19x4 − 5.049342849 × 10−19x8 + 1.942485056 × 10−19x6 − 2.146632543 × 10−11x12 − 3.532524789 × 10−19x10 + 5.984949604 × 10−20)a6 + (−1.725033476 × 10−22x2 + 2.128175565 × 10−21x4 − 5.995422553 × 10−21x8 + 2.382300551 × 10−21x6 − 3.993527190 × 10−13x12 − 3.242795998 × 10−21x10 + 6.588373347 × 10−22)a5 + (2.185203463 × 10−23x6 + 2.293128143 × 10−23x4 − 1.681368564 × 10−24x2 − 2.548268739 × 10−23x10 − 5.196712274 × 10−23x8 − 2.214044114 × 10−15x12 + 5.70809346910−24)a4 + (−2.105936450 × 10−31x2 − 2.246150954 × 10−30x8 + 2.641714409 × 10−30x6 − 1.413607175 × 10−22x12 + 1.178997318 × 10−30x10 + 3.770059238 × 10−30x4 + 5.20889437010−31)a + (−1.97468639599 × 10−15x2 + 1.52641943600315 × 10−14x4 − 7.74015062832743 × 10−14x8 + 1.59973067717811 × 10−14x6 + 0.000003561285943x12 − 1.54833072144326 × 10−13x10 + 1.3149920110 × 10−14 + 2.35666135024578 × 10−29x − 10−23x9 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 19 × 4.94227706399064 + 3.95382165119251 × 10−22x11 − 7.72230791248538 × 10−24x7 + 1.50826326415730 × 10−27x3 − 1.93057697812134 × 10−25x5)a9 + (−10−6x2 × 1.98371108700001 + 3.91319144600003 × 10−6x4 − 5.38973422300000x10 − 2.53494925100001 × 10−5x8 − 2.739902771 × 10−5x6 − 0.000002857142852x12 + 0.0000686920932299999 + 4.06024419703499 × 10−20x + 1.01506104925875 × 10−20x9 + 6.34413155786717 × 10−22x11 + 4.06024419703499 × 10−20x7 + 1.52259157388812 × 10−20x5)a16 + (−4.61928515699850 × 10−17x2 + 10−16x4 × 4.06122608999757 − 1.77593042856311 × 10−15x8 + 5.08909858181872 × 10−16x6 + 6.642219879 × 10−8x12 − 2.65149478211651 × 10−15x10 + 2.6366529120 × 10−16 − 1.31863572197355 × 10−30x + 4.60896590268045 × 10−25x9 + 8.64181106752584 × 10−26x7 − 5.62617908042047 × 10−29x3 + 2.70056595860183 × 10−27x5)a8 + (−6.96426749700346 × 10−14x2 + 10−13x4 × 4.68545253799968 − 2.70224837210591 × 10−12x8 + 3.29850587730120 × 10−13x6 + 0.00008693030274x12 − 6.72535730183842 × 10−12x10 + 5.4808900790 × 10−13 + 3.01600073873698 × 10−22x9 − 4.82560118197917 × 10−21x11 − 3.77000092342122 × 10−23x7 + 1.84082076338927 × 10−25x3 − 5.89062644284566 × 10−24x5 + 1.72576946567744 × 10−27x)a10 + (−10−5x2 × 1.49649101999991 + 2.079653940999 × 10−5x4 − 1.296153844 × 10−4x10 − 1.0863076350 × 10−4x8 − 2.04834764500 × 10−4x6 + 7.7730901520 × 10−4 − 2.18731015841911 × 10−18x − 4.02925555498257 × 10−18x3 + 10−19x5 × 1.72682380927824)a17 + (−2.02986606599929 × 10−12x2 + 1.17440609400582 × 10−11x4 − 7.49916070859020 × 10−11x8 + 2.29801991027805 × 10−12x6 + 6.400129125 × 10−4x12 − 2.18419964278026 × 10−10x10 + 1.91700955 × 10−11 − 6.77640029444605 × 10−26x − 1.77639267878726 × 10−20x9 − 7.1055707151 × 10−20x11 − 7.21659525757326 × 10−21x7 − 7.04745630622389 × 10−24x3 − 4.51037203598329 × 10−22x5)a11 + (1.5390579560874 × 10−25x6 − 10−25x8 × 3.14188599135679 + 1.85086379700325 × 10−25x4 − 1.2339267179996 × 10−26x2 + 1.086569814 × 10−17x12 − 1.42572788576571 × 10−25x10 + 3.748114426 × 10−26 + 7.53959265853421 × 10−35x9 − 2.07081097188745 × 10−38x3 + 7.19031587460919 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

20 Nantana Prabthong et al. × 10−41x − 2.2088650366799 × 10−36x5 − 1.41367362347516 × 10−35x7)a3 + (−1.29253267316713 × 10−27x8 + 1.05330148500 × 10−27x4 − 6.41436237900 × 10−29x2 + 8.03917041095177 × 10−28x6 − 2.40200892942014 × 10−28x10 + 1.161703245 × 10−19x12 + 1.753555334 × 10−28 + 8.06093556487975 × 10−37x9 − 1.28974969038076 × 10−35x11 − 1.23000115430904 × 10−41x3 + 10−43x × 7.68750721443152 + 5.03808472804984 × 10−38x7)a2 + (−8.86618486800094 × 10−19x2 + 8.78969246999271 × 10−18x4 − 3.31914840718862 × 10−17x8 + 1.16316555197283 × 10−17x6 + 8.312570317 × 10−11x12 − 3.41168424090826 × 10−17x10 + 4.38598423000 × 10−18 + 4.40063808429195 × 10−33x + 1.15360086996863 × 10−27x9 + 9.37300706849511 × 10−28x7 + 1.12656334957874 × 10−30x3 + 4.95687873814645 × 10−29x5)a7 − 8.16903608984171 × 10−35x10 + 5.454419168 × 10−27x12)ax2, y8(x) = y7(x) + (a + 1 (8.412835487 × 10−13(−7.12234310640 × 10−48x 0.03119)23 + 1.463000917 × 10−32 + 3.972760262 × 10−32x6 − 8.4382210528873 × 10−21x + 1.38251813730506 × 10−17x13 + 2.21202901968809 × 10−16x11 + 4.42405803937618 × 10−16x9 − 1.87708227321478 × 10−18x3 + 10−17x5 × 7.17877436963861 + 4.42405803937618 × 10−16x7 + 3.24948796700015 × 10−7x2 − 0.01556577042x14 + 1.202713567x8 + 0.1351612922x12 + 0.00000235023737799158x4 − 4.096232926x6 − 0.3679386545x10 + 0.000005673709141)a14 + (6.99338036813657 × 10−19x13 − 10−18x11 × 5.59470429450926 + 10−17x9 × 1.11894085890185 + 4.18945485310427 × 10−20x3 + 3.22018189534277 × 10−18x5 + 1.46396654199986 × 10−8x2 − 0.001574769261x14 + 0.007011178153x12 + 0.06540862052x8 − 0.2281643096x6 − 0.01989059624x10 + 1.63356210299111 × 10−7x4 + 2.752757592 × 10−7)a13 + (−2.48125344057826 × 10−35x7 − 10−36x5 × 4.16848760692850 + 3.48320490315551 × 10−38x3 − 7.57218457207720 × 10−40x + 6.20313360144564 × 10−36x11 + 2.80885266499993 × 10−24x4 + 9.11297742998595 × 10−27x2 − 3.12874972 × 10−20x8 − 1.234182876 × 10−19x6 − 6.984107544 × 10−21x14 + 5.104034664 × 10−21x12 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 21 + 1.93889144799998 × 10−21x10 + 7.425388731 × 10−25)a3 + (−10−17x × 8.21330869024695 − 7.50931080251149 × 10−16x13 + 2.40297945680368 × 10−14x11 + 7.68953426177177 × 10−13x9 − 5.26238421082251 × 10−15x3 − 1.18193178708319 × 10−13x5 − 7.68953426177177 × 10−13x7 + 0.00610506848310534x4 + 0.0100989103399997x2 + 0.8454732333x14 + 1.31240645099998x12 + 5925.972751x8 − 8575.086587x6 − 532.4921285x10 + 0.137145696)a18 + (−3.02938057195057 × 10−16x + 3.46214922508636 × 10−16x13 + 1.10788775202764 × 10−14x11 + 9.56026526838204 × 10−14x3 + 4.25218260160719 × 10−12x5 + 5.67238529038150 × 10−12x7 + 0.0202850696434920x4 + 0.0719526225440539x2 − 0.3898033490x14 − 1.58762559544762x12 + 16013.7639099229x8 + 1.04664048177823 × 105x6 + 61.2295917585556x10 + 0.925706255003852)a19 + (7.77666982811629 × 10−24x + 4.24709861546191 × 10−20x13 + 5.09651833855429 × 10−19x11 + 10−18x9 × 3.39767889236953 − 4.79561306067171 × 10−22x3 − 6.80043854236009 × 10−20x5 + 9.03545208999819 × 10−9x4 + 5.47933397499813 × 10−10x2 − 0.00009563615871x14 + 0.00274438061300000x8 + 0.000204142469400000x12 − 0.000759020499300001x10 − 0.01005078041x6 + 1.116160621 × 10−8)a12 + (−8.36197848911979 × 10−14x11 − 2.67583311651833 × 10−12x9 + 10−13x3 × 8.87806934899515 − 1.39605614325534 × 10−11x5 + 1.28439989592880 × 10−10x7 − 6.20615590989360 × 10−15x + 0.0706760192792374x4 + 0.364249451800094x2 + 0.3677637032x14 + 9.71843392200001x12 + 27644.04841x8 + 526.4958718x10 + 1.189702109 × 106x6 + 4.451937746)a20 + (2.41009878617859 × 10−14x + 2.12753548021283 × 10−13x11 + 10−11x9 × 1.36162270733621 + 6.10103002857223 × 10−12x3 + 1.31031136655687 × 10−11x5 + 6.53578899521381 × 10−10x7 + 0.250440948071836x4 + 1.16784049899x2 + 0.4678499998x14 + 21.17652908x12 + 92625.9107899998x8 + 5.216197587 × 106x6 + 1481.407736x10 + 13.59391059)a21 + (10−14x × 2.66453525910038 − 1.77635683940025 × 10−15x13 − 6.82121026329696 × 10−13x11 − 2.9103830456733 × 10−11x9 − 1.59217083961494 × 10−12x37 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

22 Nantana Prabthong et al. − 5.39661121345958 × 10−10x5 + 0.401476351643155x4 + 1.78298981635684x2 + x14 + 1.64985057132997 × 105x8 + 8.80207487076041 × 106x64 + 42.4345324784869x12 + 2793.89649055878x10 + 19.8109979839622)a22 + (−5.19381066405913 × 10−44x + 3.84726715856232 × 10−45x7 + 6.92508088541217 × 10−44x3 − 1.92363357928116 × 10−43x5 + 9.39274208633378 × 10−49x9 + 2.033009734 × 10−29x6 + 4.230114976 × 10−33x10 + 4.47745823300004 × 10−29x4 + 2.31418243600000 × 10−29x8 + 4.22154829699261 × 10−32x2 + 1.03193395800001 × 10−29)a + (−5.56997720049671 × 10−34x5 − 1.52358540098714 × 10−35x3 − 6.97293089696634 × 10−38x − 5.71222499079482 × 10−34x13 − 9.13955998527172 × 10−33x11 − 9.13955998527172 × 10−33x9 − 1.82791199705434 × 10−32x7 + 1.850449605 × 10−24x2 − 3.356234689 × 10−17x6 + 3.89714625400139 × 10−22x4 − 1.286278717 × 10−18x14 − 5.25037546099999 × 10−18x8 + 1.130519068 × 10−18x12 + 2.377975546 × 10−18x10 + 1.130830281 × 10−22)a4 + (−4.89048540867291 × 10−30x + 3.20502851742788 × 10−25x9 − 1.17172973838422 × 10−27x3 + 4.54998536209406 × 10−26x5 + 6.41005703485575 × 10−25x7 + 1.04416793599778 × 10−14x4 + 1.70950012199740 × 10−16x2 + 9.021353273 × 10−11x14 − 1.985317996 × 10−10x12 + 5.663736866999 × 10−10x8 + 1.62158577 × 10−10x10 − 4.235340127 × 10−9x6 + 5.223472553 × 10−15)a8 + (−1.65408863125535 × 10−26x + 1.35502940672438 × 10−22x11 + 1.62603528806926 × 10−21x9 − 6.10978988169946 × 10−25x3 + 8.15300286345763 × 10−23x5 − 2.16804705075901 × 10−21x7 + 1.46175389199877 × 10−11x4 + 4.44198693300109 × 10−13x2 − 3.814068707 × 10−8x14 + 0.00000223385542x8 − 1.769140094 × 10−7x12 − 2.77941701900001 × 10−7x10 − 0.00001009083116x6 + 1.085819022 × 10−11)a10 + (−2.61039716649121 × 10−23x3 − 8.78123400564561 × 10−22x5 + 9.31020346683908 × 10−20x7 − 4.43945096342043 × 10−25x + 1.45471929169361 × 10−21x13 + 4.07321401674210 × 10−20x11 + 2.32755086670977 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 23 × 10−19x9 + 4.03052326200808 × 10−10x4 + 1.70900426799951 × 10−11x2 − 0.00000327573663x14 + 0.0000892347059999997x8 + 0.00000108025392499999x12 − 0.0000195727618x10 − 0.0003547881247x6 + 3.797787247000 × 10−10)a11 − 8.019045440 × 10−33x8 + 6.62531166800000 × 10−32x4 + 1.42446862128054 × 10−47x2 − 8.90292888300337 × 10−48x5 + (0.00139130633x4 + 0.001070949046x2 − 1.417188615x14 + 32.48431091x12 + 1258.811504x8 − 220.3203491x10 − 3776.191761x6 + 0.01539926733)a17 + (0.0002242278653x4 + 0.00008907440200x2 − 0.4161091633x14 + 10.77178183x12 + 173.4056751x8 − 41.67571185x10 − 575.1632582x6 + 0.001360858919)a16 + (0.00002637133595x4 + 0.000005953351287x2 − 0.09454385589x14 + 1.591706671x12 + 16.80492309x8 − 56.69593412x6 − 4.776775832x10 + 0.00009701757642)a15 + (4.325833336 × 10−13x4 + 9.591616570 × 10−15x2 + 1.699866733 × 10−9x14 + 4.210942636 × 10−8x8 − 8.356974201 × 10−9x12 + 1.114552878 × 10−9x10 − 2.311105824 × 10−7x6 + 2.605130410 × 10−13)a9 + (2.046476836 × 10−16x4 + 2.488234420 × 10−18x2 + 1.905874419 × 10−12x14 − 2.73017387610−12x12 + 4.643641815 × 10−12x8 + 4.173886938 × 10−12x10 − 6.130681765 × 10−11x6 + 8.689072475 × 10−17)a7 + (3.226773779 × 10−18x4 + 2.910301195 × 10−20x2 + 1.856307955 × 10−14x14 + 5.570001820 × 10−15x8 − 1.841037126 × 10−14x12 + 6.056920954 × 10−14x10 − 6.858462324 × 10−13x6 + 1.185678246 × 10−18)a6 + (2.669773375 × 10−22x2 + 4.031310507 × 10−20x4 + 1.139607057 × 10−17x14 − 3.963419181 × 10−16x8 + 1.765695113 × 10−17x12 + 5.263238577 × 10−16x10 − 5.723656836 × 10−15x6 + 1.305222512 × 10−20)a5 + (9.580267934 × 10−24x14 − 2.142241201 × 10−22x6 + 1.419145838 × 10−26x4 + 2.842337698 × 10−29x2 − 2.917552309 × 10−24x12 − 7.722701549 × 10−23x8 − 1.797406578 × 10−23x10 + 3.473968119 × 10−27)a2)x2a), y9(x) = y8(x) + (a + 1 (3.684639485 × 10−14ax2((0.8782628056 0.03119)27 − 0.002976740602x4 − 2.172061488 × 10−12x2 − 326.0182270x12 − 1.272327118x16 + 0.001097879054x6 + 2568.755915x10 − 2332.935809x8 + 39.87485483x14)a21 + (35.68397449 − 0.06860012096x4 − 7.107886702 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

24 Nantana Prabthong et al. × 10−11x2 − 0.2884675937x16 + 0.002357726563x6 + 24681.22057x10 + 3.729776559 × 105x8 + 171.1583718x12 − 0.2726400716x14)a23 + (366.8111012 − 0.4837069453x4 + 0.5614200000x16 − 0.1074331449x6 + 1.309041612 × 105x10 + 7.396557728 × 106x8 + 2116.583829x12 + 30.77115469x14)a25 + (0.09587555920 − 0.0004178652835x4 − 1.443540139 × 10−13x2 − 87.61979813x12 − 0.4901069975x16 + 0.0002128438238x6 + 496.9339012x10 − 1177.631817x8 + 16.92944547x14)a20 + (452.3282871 − 0.6461832663x4 + 0.9999999999x16 − 0.1497597408x6 + 1.998567326 × 105x10 + 1.077932573 × 107x8 + 3393.048780x12 + 51.92479817x14)a26 + 3.16121105110−37 + (2.63518715400000 × 10−34 + 1.58344118099194 × 10−50x3 + 2.96895221435989 × 10−51x5 + 1.23706342264995 × 10−52x7 + 1.20097627900000 × 10−37x8 + 8.924735877 × 10−37x6 − 9.28441871600004 × 10−37x4 − 4.352529976 × 10−39x10 + 1.03010528513254 × 10−44x2)a + (1.92724152300000 × 10−15 − 1.10919437729725 × 10−30x − 6.69213940969341 × 10−29x3 − 2.30342699018729 × 10−28x5 + 6.88734375516801 × 10−26x7 + 9.69228836140701 × 10−26x11 − 2.42307209035175 × 10−26x13 − 3.02884011293969 × 10−27x15 − 2.75418132793503 × 10−17x4 + 8.54194287271203 × 10−26x2 + 3.21886748789127 × 10−17x6 − 6.820341602 × 10−12x16 − 4.73562707300000 × 10−10x8 + 4.24663137900042 × 10−13x12 + 9.87619192199999 × 10−11x10 − 1.932987903 × 10−11x14)a10 + (0.008543881971 + 1.12712186181585 × 10−17x + 7.42574403078677 × 10−17x3 + 9.22789586057984 × 10−16x5 − 2.45793370568155 × 10−15x7 − 6.51768161787913 × 10−14x9 + 8.14710202234892 × 10−15x11 − 1.35785033705815 × 10−15x13 − 1.69731292132269 × 10−16x15 − 4.64579427305186 × 10−5x4 + 2.56619127421073 × 10−15x2 − 16.17772122x12 − 0.1911004460x16 + 0.0000293339768073500x6 − 214.5031104x8 + 73.68709285000x10 + 3.9533492100x14)a19 + (5.51426935420750 × 10−19 + 1.15437081640163 × 10−32x3 + 2.89972930076540 × 10−31x5 − 1.79489526517874 × 10−29x7 − 3.28925416624770 × 10−29x9 − 1.64462708312385 × 10−29x11 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 25 − 2.56972981738102 × 10−31x15 − 7.99454883056347 × 10−21x4 + 6.30084450862419 × 10−29x2 + 9.44924276506778 × 10−21x6 − 5.786517124 × 10−16x16 + 1.50681181701703 × 10−14x10 − 1.39412381479964 × 10−13x8 − 7.85925794478260 × 10−15x14 + 9.57177095338447 × 10−15x12)a8 + (7.90538738435119 × 10−23 + 2.66618557542841 × 10−34x13 − 5.55726546636233 × 10−36x3 − 1.42167950479330 × 10−34x5 + 2.34082009061571 × 10−34x7 + 2.13294846034273 × 10−33x9 − 8.13655265938847 × 10−39x + 2.83788921206132 × 10−32x2 − 1.06361273834658 × 10−24x4 + 1.23467801721618 × 10−24x6 + 3.001858091 × 10−19x16 − 1.67694342901387 × 10−17x8 + 1.82550011212271 × 10−18x12 − 4.70335316817533 × 10−19x10 − 3.10686331663108 × 10−19x14)a6 + (7.04482950592243 × 10−25 + 2.26813050863690 × 10−37x5 + 2.25532966777915 × 10−36x7 + 1.12748042866428 × 10−35x9 + 5.63740214332142 × 10−36x11 − 2.81870107166071 × 10−36x13 − 7.04675267915178 × 10−37x15 − 2.64511285258688 × 10−39x3 + 1.00972688606153 × 10−34x2 − 8.71820526667995 × 10−27x4 + 1.586787637 × 10−21x16 + 9.91773130382774 × 10−27x6 − 1.34490371959974 × 10−20x10 − 1.22576205381251 × 10−19x8 + 1.27390440806279 × 10−20x12 + 1.93013508043502 × 10−21x14)a5 + (1.24368963200000 × 10−10 − 4.18175976919094 × 10−26x + 3.07359343035534 × 10−24x3 − 6.04656326626452 × 10−23x5 − 1.27220109298183 × 10−21x7 + 5.48111616467395 × 10−21x9 − 1.37027904116849 × 10−21x11 − 6.85139520584244 × 10−22x13 − 1.52369838398901 × 10−12x4 + 3.09543267074994 × 10−21x2 + 1.64873446982428 × 10−12x6 − 1.774916267 × 10−6x12 + 1.928496306 × 10−7x16 − 0.00002176848638x8 + 0.000006438125568x10 + 3.968202986 × 10−7x14)a13 + (2.093359876 × 10−6 − 1.57083221538797 × 10−21x + 9.267910070789 × 10−21x3 + 3.10714539284278 × 10−18x5 + 5.36490449956017 × 10−17x7 + 6.17676360405994 × 10−17x9 + 5.14730300338329 × 10−18x13 + 6.43412875422911 × 10−19x15 − 1.88052130303964 × 10−8x4 + 2.10901504070204 × 10−17x2 + 1.70893531969240 × 10−8x6 + 0.001448836993x16 − 0.1823879885x8 + 0.0583002180699999x10 + 0.006530458867x14 − 0.01815208294x12)a16 + (3.53592136 × 10−17 + 1.28862583798073 × 10−32x + 8.11834277927859 × 10−31x3 + 1.73835625543600 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

26 Nantana Prabthong et al. × 10−29x5 + 3.18853550394208 × 10−28x7 − 1.68902765835810 × 10−27x9 + 5.27821143236906 × 10−29x15 − 5.13878784702961 × 10−19x4 + 1.82790286491728 × 10−27x2 + 6.06216393108606 × 10−19x6 − 1.188547552 × 10−13x16 + 1.46537987 × 10−12x10 − 9.0060218590000 × 10−12x8 + 3.21852072800001 × 10−13x12 − 4.876548086 × 10−13x14)a9 + (143.01047810000 + 3.07806808010014 × 10−13x + 6.89626190515491 × 10−12x3 + 5.01534944413064 × 10−11x5 + 2.68353377037233 × 10−11x7 − 9.33908656006679 × 10−11x9 − 5.83692910004174 × 10−12x11 − 0.213807337908686x4 − 1.37442864934064 × 10−10x2 + 0.4011107135x16 − 0.0271885950837438x6 + 47480.0682100001x10 + 2.22278045200000 × 106x8 + 870.996758800002x12 + 15.3232845900000x14)a24 + (1.05610257830576 × 10−31 − 3.31346156841050 × 10−43x9 − 6.62692313682101 × 10−43x11 − 8.93081438360643 × 10−44x13 − 1.03545674012828 × 10−44x15 + 2.73703372201389 × 10−44x5 + 1.26398527847691 × 10−47x3 + 8.08950578225220 × 10−47x + 3.15053623598723 × 10−43x7 − 3.23547965787312 × 10−27x8 + 6.97284902742581 × 10−34x6 − 6.85111959365335 × 10−34x4 + 3.70085106291983 × 10−41x2 + 4.663282589 × 10−29x16 − 5.71995028499989 × 10−29x14 − 3.33887219354299 × 10−28x12 − 1.32584330705986 × 10−27x10)a2 + (8.987689634 × 10−14 + 6.08137687063654 × 10−25x7 − 4.98221424436451 × 10−24x9 + 2.49110712218226 × 10−24x11 + 1.55694195136391 × 10−25x15 − 9.50281952736762 × 10−29x + 2.12863157413035 × 10−27x3 + 7.64929457855456 × 10−26x5 − 1.24086412902722 × 10−15x4 + 3.35590171045082 × 10−24x2 + 1.42565514631763 × 10−15x6 − 1.752960798 × 10−10x16 − 2.04801095210−8x8 + 5.033932425 × 10−9x10 − 4.321330723 × 10−10x14 − 6.56169217199999 × 10−10x12)a11 + (9.49700284300 × 10−8 + 1.58386829238015 × 10−22x + 5.44274740472452 × 10−21x3 + 1.02119908151210 × 10−19x5 + 1.23159978550181 × 10−18x7 + 5.66183958596866 × 10−18x9 + 4.71819965497389 × 10−19x11 − 5.89774956871736 × 10−20x15 − 9.63990511213816 × 10−10x4 + 1.37723107543517 × 10−18x2 + 9.41702470635161 × 10−10x6 + 0.0001328055138x16 − 0.01091937254x8 + 0.003460812658x10 + 0.0003971732849x14 − 0.0011008982x12)a15 + (3.702643983 × 10−9 − 3.76878595117949 × 10−24x − 1.44909819822851 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 27 × 10−22x3 − 1.10048549774441 × 10−21x5 − 1.98097282657116 × 10−20x7 − 1.97592924877199 × 10−19x9 − 2.46991156096499 × 10−20x11 − 4.16606850995937 × 10−11x4 + 7.20708706230004 × 10−20x2 + 4.30961534727661 × 10−11x6 − 0.0000510061081300x12 + 0.000006952182991x16 − 0.0005362805506000x8 + 0.0001659802678x10 + 0.00001647465522x14)a14 + (6.39965320075519 − 5.82186168487375 × 10−15x + 4.84899795595406 × 10−14x3 − 1.77529676595839 × 10−12x5 − 1.18614910995211 × 10−11x7 − 5.02028325499850 × 10−12x9 − 1.25507081374963 × 10−12x11 + 7.84419258593516 × 10−14x13 + 0.6899824767x16 − 0.0164190383269010x4 − 6.88166112943726 × 10−10x2 − 625.936764500086x12 + 0.00342480253777136x6 + 9687.27126155155x10 + 29592.5069081162x8 + 1.68294613949459x14)a22 + (0.0006328987371 − 1.89153122331920 × 10−19x − 1.03088451670896 × 10−17x3 − 4.61533618489884 × 10−17x5 − 2.06029866344355 × 10−15x7 + 3.09908475628617 × 10−15x9 + 1.93692797267886 × 10−16x11 − 0.00000417180543499406x4 + 1.83513994872399 × 10−15x2 − 0.003407479725x16 + 0.00000307611573003384x6 + 8.56770914100000x10 − 26.4250314400000x8 − 2.21361874800000x12 + 0.645256634300000x14)a18 + (4.99382345900000 × 10−27 − 3.09422977420436 × 10−43x + 4.17159223424210 × 10−39x5 + 9.74682378874375 × 10−42x3 + 7.25169491563361 × 10−38x7 + 8.11133769929029 × 10−38x9 + 2.4080533794768 × 10−38x11 − 2.53479303102822 × 10−39x15 + 6.00791020792278 × 10−29x6 − 5.43227020402958 × 10−29x4 − 5.707846475 × 10−24x16 − 1.273623438 × 10−22x10 + 3.9355183603979 × 10−37x2 − 6.350924052 × 10−22x8 + 4.614748367 × 10−23x12 + 2.8701011700000 × 10−23x14)a4 + (7.24168679226290 × 10−21 + 7.57285604829818 × 10−36x − 5.27154923806534 × 10−34x3 − 1.68540222068250 × 10−32x5 − 3.10194162553815 × 10−31x7 − 2.20575419547231 × 10−31x9 − 2.20575419547231 × 10−31x11 − 1.37859637217019 × 10−32x13 + 6.89298186085097 × 10−33x15 − 1.02470360539983 × 10−22x4 + 2.20665031677136 × 10−30x2 + 1.20469049048788 × 10−22x6 + 1.5521615270000 × 10−17x16 − 1.72891549010779 × 10−15x8 + 7.69882531986526 × 10−17x10 − 7.67995116173623 × 1017x14 + 1.64101908223541 × 10−16x12)a7 + (2.70882354300 × 10−29 + 1.75228091563895 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

28 Nantana Prabthong et al. × 10−39x9 + 1.31421068672921 × 10−39x11 + 2.19035114454869 × 10−40x13 + 8.25526020360604 × 10−43x3 + 1.33688424349895 × 10−44x + 4.11344450665052 × 10−40x7 + 2.49596288261255 × 10−41x5 − 2.079415241 × 10−24x8 − 6.165290374 × 10−26x16 + 2.57780094281999 × 10−31x6 − 2.41816807305989 × 10−31x4 + 2.02207418260886 × 10−39x2 − 6.24972808600003 × 10−25x10 + 9.629002794 × 10−26x14 + 1.39448197599990 × 10−26x12)a3 + (3.60199168190338 × 10−12 + 4.11442831627779 × 10−28x − 7.03567242083501 × 10−26x3 + 2.02298725758286 × 10−24x5 − 6.06677919710267 × 10−24x7 + 1.07857269654232 × 10−22x9 − 4.72391599017310 × 10−14x4 − 4.97438497866301 × 10−23x2 + 4.743612885 × 10−10x16 + 5.29131748961007 × 10−14x6 − 7.32967123687317 × 10−7x8 + 2.01365562939143 × 10−7x10 + 3.49068388367681 × 10−12x14 − 4.4103895995066 × 10−8x12)a12 + (0.0000394802232300000 − 4.56533937450918 × 10−20x + 3.92945281877397 × 10−19x3 + 2.52108638369659 × 10−17x5 + 9.30705574431747 × 10−17x7 + 4.27420116068333 × 10−16x9 + 2.00353179407031 × 10−16x11 + 5.34275145085417 × 10−17x13 − 3.07362556998030 × 10−7x4 + 2.44142936400314 × 10−16x2 + 0.007519254201x16 + 2.54892205301570 × 10−7x6 + 0.790300571200x10 − 2.467055677x8 + 0.07639537239x14 − 0.2293814809x12)a17 − 5.042343796 × 10−47x4)). By the boundary conditions 5y(1) + y′(1) = 5, we obtain a = 0.828483290243085. Substituting a = 0.828483290243085 into y9(x), we obtain the approximation y9(x) = 0.828483290243085 + 0.1222782444x2 − 2.06317075 × 10−14x8 + 2.673660760 × 10−13x6 + 0.0001964345313x4 − 2.330878421 × 10−61x2(1.0472070740 × 1031 + 8.891477954 × 1037x2 + 4.200252762 × 1053x8 − 1.0257693620 × 1045x6 − 2.982257246 × 1046x4) − 1.16798751 × 10−11x18 − 5.0550925 × 10−15x10 + 9.600288692 × 10−9x12 − 9.901594324 × 10−10x14 + 1.06007402 × 10−10x16 − 3.789737848 × 10−46x2(−2.831692492 × 1039x6 + 1.588960019 × 1031x4 + 3.390539898 × 1025 + 1.361722247 × 1032x2) − 2.100570681 × 10−33x2(6.262447674 × 1027x4 + 1.52929675 × 1022) (3.1.37) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 29 Figure 1. The numerical solution of y(x) by variational iteration involving Adomian Polynomials of the oxygen diffusion in a spherical cell with Michaelis-Menten uptake kinetics. Table 1. The opproximate solution of the oxygen diffusion in a spherical cell with Michaelis- Menten uptake kinetics. โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

30 Nantana Prabthong et al. 4. Conclusions The variational iteration method involving adomian polynomials is a powerful tool to obtian approximate solutions of boundary value problems. In this work, we present the new applications of the variational iteration method involving adomian polynomials for finding the approximate solution of the oxygen diffusion in a spherical cell with nonlinear oxygen uptake kinetics model. The results obtained by this the vari- ational iteration method involving adomian polynomials is compared well with results obtained by other methods. In our work, we use the Maple Package to calculate the series obtained from the variational iteration method involving adomian polynomials. References [1] S. H. Lin, ”Oxygen in a spherical cell with nonlinear oxygen uptake kinetics,” J. theor. Biol., vol. 60, no. 2, pp. 449-457, 1976. [2] D. L. S. MCELWAIN, ”A re-examination oxygen diffusion in a spherical cell wlth Michaelis-Menten oxygen uptake kinetics,” J. theor. Biol., vol. 71, no. 2, pp. 255- 263, 1978. [3] P. HILTMANN and P. LORY, ”On oxygen diffusion in a spherical cell wlth Michaelis- Menten oxygen uptake kinetics,” Bulletin of Mathematical Biology, vol. 45, no. 5, pp. 661-664, 1983. [4] H. Caglar, N. Caglar and M. Ozer, ”B-spline solution of non-linear singular boundary value problems arising in physiology,” Chaos, Solitons and Fractals, vol. 39, no. 3, pp. 1232-1237, 2009. [5] H. V. Leal, M. Hernandez, R. Sheissa , U. Nino and A. Reyes, ”Modified Taylor solution of equation of oxygen diffusion in a spherical cell with Michaelis-Menten uptake kinetics,” International Journalof Applied Mathematical Research, vol. 4 no. 2, pp. 253-258, 2015. [6] P. Roul, ”A new mixed MADM-collocation approach for solving a class of Lane- Emden singular boundary value problems,” Journal of Mathematical Chemistry, vol. 57, pp. 945-969, 2019. โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

The Variational Iteration Method Involving Adomian Polynomials fo… 31 [7] A.M. Wazwaz,”the variational iteration method for solving nonlinear singular boundary value problems arising in various physical models,”Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, vol. 16, pp. 3881-3886, 2011. [8] S.A.Khuri, A. Sayfy, ”A novel approach for the solhtion of a class of singular bound- ary value problems arising in physiology,” Mathematical and Computer Modelling, vol. 52, pp. 626-636, 2010. [9] J.H. He, ”A new approach to Nonlinear partial differential equations,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., vol. 2, pp. 230-235, 1997. [10] J.H. He, ”Variational iteration method for delay differential equations,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., vol. 2, pp.235-236, 1997. [11] J.H. He, ”Variational iteration method-a kind of Nonlinear analytic technique: Some examples,” Int. J. Nonlinear Mrch., vol. 34, pp. 699-708, 1999. [12] A. S. V. Ravi Kanth and K. Arana, ”He’s variational iteration method for treating nonlinear singular boundary value problems,” Comput. Appl. Math., vol. 60, pp. 821-829, 2010. [13] G. Rezazadeh, H. Madinei and R. Shabani, ”Study of parametric oscillation of an eletrostatically actuated microbeam using variational iteration method,” Appl. Math. Model., vol. 36, pp. 430-443, 2012. [14] G. Yang and R. Chen, ”Choice of an optimal initial solution for a wave equation in the variational iteration method,” Comput. Appl. Math., vol. 61, pp. 2053-2057, 2011. [15] M. Torvattanabun and S. Duangpithak, ”Numerical Simulations of Fokker-Plank equation by variational iteration method,” Int. J. Math. Ananlysis., vol. 5, no. 44, pp. 2193-2201, 2011. [16] M. Torvattanabun and S. Koonprasert, ”Convergence of the Variational Iteration Method for Solving a First-Order Linear System of PDEs with Constant Coefficients,” Thai Journal of Mathematics, Special Issue Annual Meeting in Mathematics., pp. 1-13, 2009. โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

32 Nantana Prabthong et al. [17] M. Torvattanabun and S. Koonprasert, ”Variational Iteration Method for Solving Eighth- Order Boundary Value Problems,” Thai Journal of Mathematics, Special Issue Annual Meeting in Mathematics., pp.121-129, 2010. [18] S. Chang, ”A variational iteration method involving Adomian polynomials for a strongly nonlinear boundary,” East Asian Journal on Applied Mathematics, vol. 9, no. 1, pp. 153-164, 2019. [19] M. Inokuti, H. Sekine and T. Mura, ”General use of the Lagrange multiolier in non- linear mathematical physics, in: S. Nemat-Nassed (Ed.),Variational Method in the Mechanics of Solids,” Pergamon Press,, pp. 156-162, 1978. [20] R. Rach, ”A new definition of the Adomian polynomials”, Kybernetes, vol. 37, pp. 910-955, 2008. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค