mathm6_1

คูม� อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติม ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท� ่ี คณติ ศาสตร� ๖ เลม� ๑ ตามผลการเรียนรู� กลม�ุ สาระการเรยี นร�ูคณิตศาสตร� (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑ v= ds dt ฉบับเผยแพร พ.ค. 63



คมู อื ครู รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ ๖ เลม ๑ ตามผลการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขน้ั พื้นฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑ จดั ทําโดย สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ



คาํ นาํ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) มีหนาที่ในการ พัฒนาหลักสูตร วิธีการเรียนรู การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คูมือครู แบบฝก ทักษะ กิจกรรม และสื่อการเรียนรูเพื่อใชประกอบการเรียนรูในกลุมสาระการเรียนรู วิทยาศาสตรแ ละคณิตศาสตรข องระดับการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี ๖ เลม ๑ นี้ จัดทําตาม ผลการเรียนรู กลุมสาระการเรียนรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเน้ือหาสาระ ขอเสนอแนะ เก่ียวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทา ยบทกับจดุ มงุ หมายประจําบท ความรเู พิม่ เติม สําหรับครู ซึ่งเปนความรูท่ีครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน ตัวอยาง แบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงสอดคลองกับหนังสือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๖ เลม ๑ ทต่ี องใชค วบคกู ัน สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวา คูมือครูเลมน้ีจะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรู และเปนสวนสําคัญในการพัฒนาคุณภาพและมาตรฐานการศึกษากลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร ขอขอบคุณผูทรงคณุ วุฒิ บคุ ลากรทางการศกึ ษา และหนว ยงานตาง ๆ ท่ีมีสว น เก่ียวของในการจดั ทําไว ณ โอกาสน้ี (ศาสตราจารยชกู จิ ลิมปจาํ นงค) ผูอ าํ นวยการสถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



คําชแ้ี จง สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจัดทําผลการ เรียนรูและสาระการเรียนรูเพิ่มเติม กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑ โดยมจี ดุ เนนเพ่ือ ตองการพัฒนาผูเรียนใหมีความรูความสามารถทางคณิตศาสตรท่ีทัดเทียมกับนานาชาติ ดวยการลงมือปฏิบัติทํากิจกรรมและแกปญหาท่ีหลากหลายเพ่ือใหผูเรียนเกิดทักษะและ กระบวนการทางคณิตศาสตร รวมท้ังมีทักษะแหงศตวรรษที่ ๒๑ สสวท. จึงไดจัดทําคูมือครู ประกอบการใชหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี ๖ เลม ๑ ท่ีเปนไปตามมาตรฐานหลักสูตร เพื่อเปนแนวทางใหโรงเรียนนําไปจัดการเรียนการสอนใน ชัน้ เรยี น คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๖ เลม ๑ นี้ ประกอบดวย เน้ือหาสาระ ขอเสนอแนะเกี่ยวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การ วัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับ จุดมุงหมายประจําบท ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซ่ึงเปนความรูที่ครูควรทราบนอกเหนือจาก เนื้อหาในหนังสือเรียน ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงครูผูสอนสามารถนําไปใชเปนแนวทางในการวางแผนการจัดการเรียนรูใหบรรลุ จุดประสงคที่ตั้งไว โดยสามารถนําไปจัดกิจกรรมการเรียนรูไดตามความเหมาะสมและความ พรอมของโรงเรียน ในการจัดทําคูมือครูเลมน้ี ไดรับความรวมมือเปนอยางดีย่ิงจาก ผูทรงคุณวุฒิ คณาจารย นักวิชาการอิสระ รวมทั้งครูผูสอน นักวิชาการ จากสถาบัน และ สถานศึกษาทั้งภาครัฐและเอกชน จึงขอขอบคณุ มา ณ ทนี่ ้ี สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวา คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษา ปท ่ี ๖ เลม ๑ น้ี จะเปน ประโยชนแกผสู อนและผทู ี่เกี่ยวของทุกฝา ย ทีจ่ ะชว ยใหจ ัดการศึกษา ดานคณิตศาสตรไดอยางมีประสิทธิภาพ หากมีขอเสนอแนะใดท่ีจะทําใหคูมือครูเลมน้ี มคี วามสมบูรณย่งิ ขึ้น โปรดแจง สสวท. ทราบดว ย จะขอบคณุ ยง่ิ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

แนะนําการใชค มู อื ครู ในหนังสือเลมนี้แบงเปน 2 บท ตามหนังสือเรียนหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 โดยแตละบทจะมสี วนประกอบ ดงั น้ี ตวั ชี้วัดและสาระการเรยี นรูแกนกลาง ตัวช้ีวัดระบุส่ิงที่นักเรียนพึงรูและปฏิบัติได รวมทั้งคุณลักษณะของผูเรียนในแตละ ระดับช้ัน ซ่ึงสะทอนถึงมาตรฐานการเรียนรู มีความเฉพาะเจาะจงและมีความเปน รปู ธรรม นําไปใชใ นการกาํ หนดเนอ้ื หา จัดทาํ หนว ยการเรียนรู จัดการเรยี นการสอน และ เปน เกณฑสาํ คัญสาํ หรับการวัดประเมนิ ผลเพือ่ ตรวจสอบคณุ ภาพผเู รยี น จุดมุงหมาย เปา หมายท่ีนักเรียนควรไปถึงหลงั จากเรียนจบบทนี้ ความรูก อนหนา ความรูท ่ีนกั เรยี นจาํ เปนตอ งมีกอนท่ีจะเรียนบทนี้

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั เนือ้ หาและสิ่งท่ีควรตระหนักเกี่ยวกับการสอน ประเด็นเกี่ยวกับเนื้อหาท่ีครูควรเนนย้ํากับนักเรียน ประเด็นเก่ียวกับเนื้อหาที่ครูควร ระมัดระวัง จุดประสงคของตัวอยางที่นําเสนอในหนังสือเรียน เน้ือหาที่ควรทบทวน กอนสอนเน้อื หาใหม และประเดน็ ท่ีครคู วรตระหนักในการสอน ความเขาใจคลาดเคลอื่ น ประเด็นทนี่ กั เรยี นมักเขา ใจผิดเกีย่ วกบั เนอ้ื หา ประเด็นสําคญั เกีย่ วกับแบบฝกหดั ประเด็นที่ครูควรทราบเกี่ยวกับแบบฝกหัด เชน จุดมุงหมายของแบบฝกหัด เนื้อหาทค่ี วรทบทวนกอ นทําแบบฝก หดั และเร่ืองทีค่ รคู วรใหความสาํ คญั ในการทํา แบบฝกหัดของนักเรยี น กิจกรรมในคมู ือครู กิจกรรมที่คูมือครูเลมนี้เสนอแนะไวใหครูนําไปใชในชั้นเรียน ประกอบดวย กิจกรรมนําเขาสูบทเรียน ท่ีใชเพื่อตรวจสอบความรูกอนหนาที่นักเรียนจําเปนตอง ทราบกอนเรียนเนื้อหาใหม และกิจกรรมท่ีใชสําหรับสรางความคิดรวบยอด ในเน้อื หา โดยหลงั จากทํากจิ กรรมแลว ครูควรเชื่อมโยงผลทีไ่ ดจากการทาํ กจิ กรรม กบั ความคิดรวบยอดที่ตองการเนน ท้งั นี้ ครูควรสงเสริมใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติ กจิ กรรมเหลา นด้ี วยตนเอง

กิจกรรมในหนงั สือเรียน กิจกรรมท่ีนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดดวยตนเอง เพื่อชวยพัฒนาทักษะการ เรียนรูและนวัตกรรม (learning and innovation skills) ที่จําเปนสําหรับศตวรรษท่ี 21 อันไดแก การคิดสรางสรรคและนวัตกรรม (creative and innovation) การคิด แบบมีวิจารณญาณและการแกปญหา (critical thinking and problem solving) การส่ือสาร (communication) และการรว มมือ (collaboration) เฉลยกจิ กรรมในหนงั สือเรยี น เฉลยคําตอบหรือตวั อยางคาํ ตอบของกิจกรรมในหนังสือเรยี น แนวทางการจัดกิจกรรมในหนงั สือเรยี น ตัวอยางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน ที่มีขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม ซงึ่ เปดโอกาสใหนักเรยี นไดใชแ ละพฒั นาทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร

สารบัญ บทท่ี 1 – 2 บทท่ี เน้ือหา หนา 1 บทท่ี 1 ลาํ ดบั และอนุกรม 1 1.1 เน้อื หาสาระ 3 ลําดบั และอนุกรม 1.2 ขอเสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน 12 1.3 การวดั ผลประเมินผลระหวางเรยี น 47 d 49 1.4 การวิเคราะหแบบฝก หัดทายบท 53 2 1.5 ความรูเ พิ่มเติมสําหรบั ครู 71 1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท แคลคูลสั เบื้องตน และเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท บทที่ 2 แคลคลู สั เบอื้ งตน 84 2.1 เนอ้ื หาสาระ 86 2.2 ขอ เสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน 98 2.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนังสอื เรยี น 126 132 2.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน 134 2.5 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท 138 2.6 ความรเู พม่ิ เตมิ สาํ หรับครู 161 2.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท และเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท

สารบัญ เนื้อหา หนา บทที่ เฉลยแบบฝกหัดและวธิ ีทําโดยละเอียด 174 บทที่ 1 ลําดับและอนุกรม 174 บทที่ 2 แคลคูลสั เบอื้ งตน 360 1 แหลง เรียนรเู พิ่มเติม 549 1 บรรณานกุ รม 550 552 คณะผจู ัดทาํ

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 1 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 บทที่ 1 ลาํ ดับและอนกุ รม ความรูเกย่ี วกับลาํ ดบั และอนุกรมเปนพน้ื ฐานสําคัญทนี่ าํ ไปใชในการแกปญ หาตาง ๆ ในชวี ิตจริง เชน ปริมาณยาที่ลดลงในรางกาย การออมเงิน การผอนคาสินคา ซ่ึงในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ไดนาํ เสนอเน้ือหา เรอื่ ง ความหมายของลําดับและการเขียน แสดงลําดับ ลําดับเลขคณิต ลําดับเรขาคณิต ลําดับฮารมอนิก ลิมิตของลําดับอนันต ความหมายของ อนุกรมและการเขียนแสดงอนุกรม อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต สัญลักษณ แสดงการบวก การประยกุ ตของลําดบั และอนุกรม โดยเฉพาะอยางย่ิงการประยุกตของลําดับและ อนุกรมในการแกปญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยและมูลคาของเงิน ซึ่งเปนเนื้อหาสําคัญท่ีมีในหลักสูตร กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา ข้นั พนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551 ในบทเรียนนี้มุงใหนักเรียนบรรลุตัวช้ีวัดตามสาระการเรียนรูแกนกลาง บรรลุผลการเรียนรูตาม สาระการเรยี นรูเ พม่ิ เตมิ และบรรลจุ ดุ มงุ หมายดังตอไปน้ี ตัวชว้ี ดั และสาระการเรียนรูแกนกลาง/ผลการเรยี นรแู ละสาระการเรยี นรเู พิม่ เติม ตวั ช้ีวดั สาระการเรียนรแู กนกลาง • เขาใจและนําความรเู กีย่ วกับลําดบั • ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต • อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต และอนุกรมไปใช • ดอกเบีย้ • มลู คา ของเงนิ • เขาใจและใชค วามรูเกี่ยวกับดอกเบ้ีย • คา รายงวด และมูลคาของเงนิ ในการแกปญหา สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 2 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ผลการเรียนรู สาระการเรียนรูเพม่ิ เตมิ • ระบไุ ดว าลําดับทก่ี ําหนดให • ลําดบั จํากดั และลําดับอนันต • ลําดบั เลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณิต เปน ลาํ ดับลเู ขาหรือลูออก • ลมิ ิตของลําดบั อนันต • หาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรม • อนุกรมจํากดั และอนุกรมอนนั ต • อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต เลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต • ผลบวกอนกุ รมอนนั ต • การนาํ ความรเู กยี่ วกบั ลาํ ดบั และ • หาผลบวกอนกุ รมอนนั ต • เขา ใจและนําความรเู กยี่ วกับลําดับ อนุกรมไปใชในการแกปญหามลู คา ของเงนิ และคา รายงวด และอนุกรมไปใช จดุ มงุ หมาย 1. หาพจนตา ง ๆ ของลําดบั เลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณติ 2. หาลมิ ิตของลําดับอนนั ตโดยใชทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั ลมิ ติ 3. ระบุไดวา ลาํ ดับที่กาํ หนดใหเปนลําดบั ลูเขาหรือลําดับลูออก 4. หาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต 5. หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต 6. ระบุไดว า อนุกรมท่กี าํ หนดใหเ ปนอนุกรมลูเขาหรืออนกุ รมลอู อก 7. ใชความรูเกี่ยวกับลําดับและอนุกรมในการแกปญหา ความรกู อ นหนา • เลขยกกาํ ลัง • ความสมั พนั ธแ ละฟง กช นั ipst.me/10550 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 3 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 1.1 เน้ือหาสาระ 1. บทนิยาม 1 ลาํ ดบั คือ ฟง กชันที่มีโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, , n} หรอื มโี ดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก 2. ในการเขียนแสดงลําดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเรียงกัน กลาวคือ ถา a เปน ลาํ ดบั ซ=งึ่ a(1) a=1, a(2) a=2, a(3) a3, =, a(n) an แลว เรยี ก a1 วา พจนท ่ี 1 ของลาํ ดับ เรียก a2 วา พจนท ่ี 2 ของลําดบั เรยี ก a3 วา พจนที่ 3 ของลําดับ  และเรยี ก an วา พจนท ่ี n ของลาํ ดับ หรอื พจนท วั่ ไปของลาํ ดบั 3. ลาํ ดับทีม่ โี ดเมนเปน เซต {1, 2, 3, , n} เรยี กวา ลําดบั จํากัด และลาํ ดบั ทมี่ โี ดเมนเปน เซตของจาํ นวนเต็มบวก เรยี กวา ลาํ ดับอนนั ต กรณี a เปน ลาํ ดบั จาํ กัด เขียนแทนลําดับดว ย a1, a2, a3, , an กรณี a เปน ลาํ ดบั อนันต เขยี นแทนลําดับดวย a1, a2, a3, , an,  4. บทนิยาม 2 ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับซึ่งมีผลตางท่ีไดจากการนําพจนที่ n +1 ลบดวยพจนท่ี n เปนคา คงตัวทเี่ ทากัน สําหรบั ทกุ จาํ นวนเต็มบวก n และเรยี กคา คงตัวที่เปน ผลตางน้ีวา ผลตา งรวม จากบทนิยาม ลําดับ a1, a2, a3, , an,  จะเปนลําดับเลขคณิต ก็ตอเม่ือ มีคาคงตัว d ที่ an+1 − an =d สาํ หรับทกุ จํานวนเตม็ บวก n 5. บทนิยาม 3 ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับซ่ึงมีอัตราสวนของพจนท่ี n +1 ตอพจนท่ี n เปนคาคงตัวที่ เทา กัน สําหรบั ทุกจาํ นวนเต็มบวก n และเรยี กคา คงตัวที่เปน อตั ราสวนนวี้ า อัตราสว นรว ม จากบทนิยาม ลําดับ a1, a2, a3, , an,  จะเปนลําดับเรขาคณิต ก็ตอเม่ือ มีคาคงตัว r ท่ี an+1 = r สาํ หรับทุกจํานวนเตม็ บวก n an สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 4 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 6. บทนยิ าม 4 ลําดับฮารมอนิก คือ ลําดับ an ซ่ึงมีสมบัติวา ลําดับของสวนกลับ bn = 1 เปนลําดับ an เลขคณติ 7. บทนยิ าม 5 ให a1, a2, a3, , an,  เปนลําดับอนันต ถา n มากข้ึนโดยไมมีที่สิ้นสุดแลว an เขาใกล หรือเทากับจํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทาน้ัน จะเขียน lim an = L (อานวา ลิมิตของ n→∞ ลําดับ an เมื่อ n มากข้ึนโดยไมมีท่ีส้ินสุด เทากับ L ) และจะเรียก L วา ลิมิตของ ลาํ ดับ และกลา ววา ลําดับนีม้ ลี ิมิตเทากบั L เรยี กลาํ ดบั อนันตท ่ีมลี มิ ิตวา ลําดบั ลเู ขา และ เรียกลาํ ดับอนนั ตท ี่ไมใ ชลาํ ดบั ลเู ขาวา ลําดับลูอ อก 8. ทฤษฎบี ท 1 ให r เปนจาํ นวนจรงิ บวก จะไดวา lim 1 =0 และ lim nr ไมม คี า n→∞ nr n→∞ 9. ทฤษฎบี ท 2 ให r เปนจาํ นวนจริง จะไดว า ถา r <1 แลว lim rn = 0 n→∞ ถา r >1 แลว lim rn ไมม ีคา n→∞ 10. ทฤษฎีบท 3 ให an, bn, tn เปนลําดับของจํานวนจริง A, B เปนจํานวนจริง และ c เปนคาคงตัวใด ๆ โดยท่ี lim an = A และ lim bn =B จะไดว า n→∞ n→∞ 1) ถา tn = c ทุกจาํ นวนเต็มบวก n แลว lni→m=∞tn li=m c c n→∞ 2) ln=i→m∞ can c=lni→m∞ an cA ( )3) lim an + bn =lim an + lim bn =A + B n→∞ n→∞ n→∞ ( )4) − =A − lim an − bn =lim an lim bn B n→∞ n→∞ n→∞ ( )5) lim an ⋅ bn = lim an ⋅ lim bn= AB n→∞ n→∞ n→∞ 6) ถา bn ≠ 0 ทุกจํานวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 แลว lni→m∞= abnn  ln=i→m∞ an A lim bn B n→∞ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 5 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 11. ทฤษฎบี ท 4 ให a1, a2, a3, , an,  เปนลําดบั ซงึ่ an ≠ 0 สําหรบั ทุกจาํ นวนเตม็ บวก n ถา  1  = 0 แลว ลาํ ดบั a1, a2 , a3, , an ,  จะลอู อก lim  an  n→∞   12. สาํ หรับลาํ ดับที่พจนท ่ัวไปอยใู นรูปเศษสวนของพหนุ าม • ถาดีกรขี องพหนุ ามทีเ่ ปนตวั สวนมากกวาดกี รีของพหนุ ามที่เปนตวั เศษแลว ลําดบั จะมี ลมิ ิตเปน ศนู ย • ถาดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวเศษเทากับดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวสวนแลว ลําดับจะ เปนลําดับลเู ขาท่ีมีลมิ ติ ไมเ ปน ศนู ย • ถาดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวสวนนอยกวาดีกรีของพหุนามที่เปนตัวเศษแลว ลําดับจะ เปน ลาํ ดบั ลูออก 13. ทฤษฎบี ท 5 ให an เปนลําดับของจํานวนจริงที่มากกวาหรือเทากับศูนย L เปนจํานวนจริง และ m เปนจาํ นวนเต็มทีม่ ากกวาหรอื เทา กบั สอง จะไดวา ถา แลวlim an = L lni=→m∞ m an m=lni→m∞ an m L n→∞ 14. ถา a1, a2, a3, , an เปนลําดับจํากัดที่มี n พจน จะเรียกการเขียนแสดงการบวกของ พจนทกุ พจนของลําดบั ในรปู a1 + a2 + a3 ++ an วา อนุกรมจํากดั เรยี ก a1 วา พจนท ี่ 1 ของอนกุ รม เรยี ก a2 วา พจนที่ 2 ของอนกุ รม เรียก a3 วา พจนท ี่ 3 ของอนกุ รม  และเรียก an วา พจนท ่ี n ของอนกุ รม สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 6 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 15. ให Sn แทนผลบวก n พจนแ รกของอนุกรม นัน่ คือ S1 = a1 S=2 a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3  Sn = a1 + a2 + a3 +  + an 16. อนกุ รมที่ไดจ ากลําดบั เลขคณติ เรยี กวา อนุกรมเลขคณติ 17. ให a1, a2, a3, , an เปนลําดับเลขคณิต ซง่ึ มี d เปน ผลตางรว ม ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิต คอื =Sn n ( a1 + an ) หรอื S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 2 18. อนกุ รมทไ่ี ดจากลําดับเรขาคณติ เรียกวา อนุกรมเรขาคณิต 19. ให a1, a2, a3, , an เปน ลาํ ดับเรขาคณติ ซ่งึ มี r เปนอตั ราสวนรวม ( )Sn ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ คือ = a1 1− rn เมอ่ื r ≠1 1− r 20. ถา a1, a2, a3, , an,  เปน ลําดับอนันต จะเรียกการเขยี นแสดงการบวกในรปู a1 + a2 + a3 +  + an +  วา อนุกรมอนนั ต เรียก a1 วา พจนท ่ี 1 ของอนกุ รม เรยี ก a2 วา พจนที่ 2 ของอนุกรม  และเรยี ก an วา พจนท่ี n ของอนุกรม สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 7 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 21. บทนิยาม 6 กาํ หนด a1 + a2 + a3 + + an + เปน อนกุ รมอนันต ให S1 = a1 S=2 a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3  Sn = a1 + a2 + a3 +  + an เรียก Sn วา ผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรม เม่อื n เปน จํานวนเตม็ บวก เรยี กลาํ ดบั อนันต S1, S2, S3, , Sn,  วา ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรม 22. บทนยิ าม 7 กําหนดอนกุ รมอนันต a1 + a2 + a3 + + an + ให S1, S2, S3, , Sn,  เปน ลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนกุ รมน้ี ถา ลาํ ดับ Sn เปนลําดับลเู ขา โดย lim Sn =S เมอื่ S เปน จํานวนจริง n→∞ แลวจะกลาววาอนุกรม a1 + a2 + a3 ++ an + เปน อนุกรมลูเขา และเรียก S วา ผลบวกของอนุกรม ถา ลาํ ดับ Sn เปน ลาํ ดับลูอ อก จะกลา ววา อนกุ รม a1 + a2 + a3 ++ an + เปน อนกุ รม ลอู อก 23. การแสดงวา อนุกรมอนันตใ ดจะเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ทาํ ไดดงั น้ี 1) พิจารณาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม และหาสูตรท่ัวไปของผลบวกยอย n พจนแรก (Sn ) ของอนุกรม 2) พิจารณาลิมิตของ Sn ถา lim Sn =S เม่ือ S เปนจํานวนจริง แลวอนุกรมนั้นเปน n→∞ อนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ S แตถา lim Sn ไมมีคา แลวอนุกรมน้ันเปน n→∞ อนกุ รมลอู อก สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนุกรม 8 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 24. ทฤษฎีบท 6 กําหนดใหอ นุกรมเรขาคณิตมี a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตั ราสวนรว ม ถา r <1 แลว อนกุ รมนเี้ ปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมเทากับ a1 1− r ถา r ≥1 แลว อนกุ รมน้เี ปน อนกุ รมลอู อก 25. การเขียนอนุกรมเพื่อความสะดวกจะใชตัวอักษรกรีกตัวพิมพใหญ ∑ (อานวา ซิกมา) เปนสญั ลกั ษณแสดงการบวก กลาวคือ จะเขียนแทนอนุกรมจํากัด a1 + a2 + a3 + + an ดวยสัญลักษณ n ∑ ai i =1 (อานวา ซัมเมชัน ai เมื่อ i เทากับ 1 ถึง n) และเขียนแทนอนุกรมอนันต a1 + a2 + a3 + + an +  ดวยสัญลักษณ ∞ (อานวา ซัมเมชัน ai เมื่อ i เทากับ 1 ∑ ai i =1 ถึง ∞) เรียกตัวแปร i ที่ปรากฏในสัญลักษณ n หรือ ∞ วา ดัชนี ซ่ึงอาจจะใช ∑ ai ∑ ai i=1 i=1 ตัวแปรอ่นื แทน i ได 26. ทฤษฎีบท 7 ให n เปนจาํ นวนเต็มบวกใด ๆ จะไดวา 1) n = nc เม่ือ c เปนคา คงตัว ∑c i =1 2) nn เมื่อ c เปนคาคงตวั ∑cai = c∑ ai =i 1=i 1 n nn 3) ∑(ai + bi )= ∑ ai + ∑bi =i 1 =i 1=i 1 n nn 4) ∑(ai − bi )= ∑ ai − ∑bi =i 1 =i 1=i 1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 9 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 27. ทฤษฎบี ท 8 ให n เปน จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ จะไดวา 1) n = n(n + 1) ∑i i=1 2 ∑2) n i 2= n(n +1)(2n +1) i=1 6 ∑ ∑==3) in1=i 3 =n (n2+ 1) 2  in1 i 2  28. ทฤษฎบี ท 9 ถาเริม่ ฝากเงินดวยเงินตน P บาท ไดรบั อัตราดอกเบ้ีย i% ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตน ทุกป (ปละครงั้ ) แลว เม่อื สนิ้ ปที่ n จะไดเ งินรวม P(1+ r)n บาท เม่ือ r = i 100 29. ทฤษฎบี ท 10 ถา เรม่ิ ฝากเงินดวยเงนิ ตน P บาท ไดรับอตั ราดอกเบ้ีย i% ตอ ป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน ปล ะ k ครง้ั แลวเมอื่ ฝากเงินครบ n ป จะไดเงนิ รวม P 1 + r kn บาท เมือ่ r= i k  100 30. ถาลงทุน P บาท ไดรับอัตราดอกเบ้ีย i% ตอป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตนปละ k ครั้ง เปนเวลา n ป กาํ หนดให r = i แลว เมือ่ ครบ n ป เงินรวมท่ีได คือ 100 =S P 1 + r kn k  เรยี ก S วามูลคาอนาคตของเงนิ ตน P ในทางกลบั กนั จะเรียก P วามลู คา ปจ จบุ นั ของเงินรวม S ดงั นนั้ มลู คา ปจจุบัน P ของเงินรวม S คือ =P S 1 + r  − kn k  31. การรบั หรอื จายคางวด มีลักษณะ 3 ประการ ดังน้ี 1) รับหรอื จา ยเทากนั ทุกงวด 2) รับหรือจายติดตอ กันทุกงวด 3) รบั หรอื จายตอนตนงวดหรือสนิ้ งวด สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนุกรม 10 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 32. คางวดที่รบั หรอื จา ยตอนตนงวด พิจารณาการรับหรือจายเงินแตละงวด โดยที่แตละงวดเปนเงิน R บาท ซ่ึงเริ่มรับหรือ จายเงินตอนตน งวด รวมท้งั หมด n งวด และอตั ราดอกเบ้ียแตละงวดเปน i% ให r = i 100 จะได แผนภาพแสดงคา งวดแตละงวด ดงั น้ี จะได เงนิ รวมเม่อื ส้นิ งวดท่ี n คอื R(1+ r) + R(1+ r)2 +  + R(1+ r)n ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี n พจน โดยพจนแรก คือ R(1+ r) และอัตราสวนรวม คือ 1+ r ดงั นั้น เงนิ รวมเมอ่ื สนิ้ งวดที่ n คอื ( )R(1+ r ) (1+ r )n −1 ซง่ึ เทากับ (1+ r ) −1 ( )R(1+ r ) (1+ r )n −1 r สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนกุ รม 11 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 33. คา งวดทีร่ บั หรือจายตอนส้ินงวด พิจารณาการรับหรอื จายเงนิ แตละงวด โดยท่ีแตละงวดเปนเงิน R บาท ซึง่ เรม่ิ รบั หรือจายเงินตอนสิน้ งวด รวมท้ังหมด n งวด และอตั ราดอกเบย้ี ตอ งวดเปน i% ให r = i 100 จะได แผนภาพแสดงคางวดแตล ะงวด ดังนี้ จะได เงนิ รวมเมื่อสิน้ งวดท่ี n คือ R + R(1+ r) + R(1+ r)2 +  + R(1+ r)n−1 ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี n พจน พจนแ รก คอื R และอัตราสวนรว ม คอื 1+ r ดงั น้นั เงนิ รวมเมอื่ สิ้นงวดท่ี n คอื ( )R (1+ r )n −1 ซึ่งเทา กับ ( )R (1+ r )n −1 (1+ r ) −1 r สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 12 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 1.2 ขอเสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน ลาํ ดบั ความหมายของลาํ ดับ กจิ กรรม : แนะนําลําดบั จุดมงุ หมายของกิจกรรม กิจกรรมน้ีใชเพื่อนําเขาสูบทเรียน เรื่อง ลําดับ เพ่ือใหนักเรียนเขาใจความหมายของ ลําดบั และการเขยี นแสดงลําดบั แนวทางการดําเนนิ กจิ กรรม 1. ครใู หนักเรยี นพิจารณาแบบรูปตอ ไปนี้ โดยสงั เกตจาํ นวนจุดในแตล ะรปู • แบบรปู ชดุ ท่ี 1 รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 รปู ท่ี 5 • แบบรปู ชดุ ท่ี 2 รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2 รปู ที่ 3 รูปที่ 4  สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 13 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 2. ครูใหนักเรียนเขียนเซตของคูอันดบั จากแบบรูปชุดที่ 1 และ 2 โดยใหสมาชิกตัวหนาของ คูอันดับคือรูปท่ี และสมาชิกตัวหลังของคูอันดับคือจํานวนจุดในแตละรูป เชน แบบรูป ชุดท่ี 1 รูปที่ 1 มีจาํ นวนจดุ 1 จุด เขียนไดเปน (1, 1) แนวคาํ ตอบ • เซตของคอู นั ดบั จากแบบรูปชดุ ท่ี 1 คอื {(1, 1), (2, 3), (3, 6), (4, 10), (5, 15)} • เซตของคูอนั ดับจากแบบรูปชุดท่ี 2 คอื {(1, 4), (2, 9), (3, 16), (4, 25), } 3. จากคาํ ตอบทไ่ี ดในขอ 2 ครูใหนักเรียนพจิ ารณาวาเซตของคูอนั ดบั ท่ีไดในขอ 2 ตามแบบ รูปชุดที่ 1 และ 2 เปน ฟง กชนั หรือไม เพราะเหตใุ ด แนวคาํ ตอบ เซตของคูอันดับที่ไดในขอ 2 ตามแบบรูปชุดท่ี 1 และ 2 เปนฟงกชัน เน่ืองจาก สมาชิกตัวหนาของแตล ะคอู นั ดบั จับคกู บั สมาชิกตัวหลงั เพยี งตัวเดียวเทานนั้ 4. จากคําตอบที่ไดในขอ 3 ครูใหนักเรียนหาโดเมนและเรนจของฟงกชันที่ไดจากแบบรูป ชุดที่ 1 และ 2 แนวคําตอบ • ฟงกช นั ท่ีไดจ ากแบบรูปชุดท่ี 1 มโี ดเมน คอื {1, 2, 3, 4, 5} และเรนจ คือ {1, 3, 6, 10, 15} • ฟง กชันที่ไดจากแบบรูปชุดที่ 2 มีโดเมน คือ {1, 2, 3, } และเรนจ คือ {4, 9, 16, } 5. จากคาํ ตอบที่ไดในขอ 4 ครชู แี้ นะใหนกั เรียนสังเกตวา โดเมนของฟง กชนั ท่ีไดจากแบบรูป ชุดที่ 1 เปนสับเซตของเซตของจํานวนเต็มบวก และโดเมนของฟงกชันท่ีไดจากแบบรูป ชุดที่ 2 เปนเซตของจํานวนเตม็ บวก จากนัน้ ครูใหน กั เรียนพิจารณาวา โดเมนของฟง กชัน ท่ไี ดจ ากแบบรูปแตล ะชุดเปนเซตจํากดั หรอื เซตอนันต แนวคาํ ตอบ • โดเมนของฟง กชนั ทไ่ี ดจากแบบรูปชดุ ท่ี 1 เปน เซตจํากัด • โดเมนของฟง กช ันที่ไดจากแบบรปู ชุดท่ี 2 เปนเซตอนันต 6. ครนู าํ เขาสูบ ทนยิ ามของลาํ ดับ (บทนยิ าม 1) และการเขียนแสดงลาํ ดบั สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 14 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ประเด็นสาํ คญั เกย่ี วกบั เน้ือหาและสิง่ ท่คี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน • ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเขาใจวา ลําดับเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนสับเซตของเซตของ จาํ นวนเตม็ บวกหรอื เซตของจํานวนเต็มบวก โดยในการเขยี นแสดงลําดบั จะเขยี นเฉพาะ สมาชิกของเรนจเรียงกัน และใชเคร่ืองหมายจุลภาค (,) ค่ันระหวางแตละตัว โดยไม เขียนโดเมน • หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 ใชส ัญลักษณ an แทนท้งั พจนท ี่ n ของลําดับ และพจนทว่ั ไปของลําดบั • การเขียนแสดงลําดับโดยเขียนแจกแจงพจนของลําดับในหัวขอนี้ ตองเขียนพจนทั่วไป กํากับไวเสมอ เนื่องจากมีบางลําดับท่ีมีพจนแรก ๆ เหมือนกัน แตมีพจนท่ัวไปแตกตางกัน เชน เขียนแจกแจงพจนของลาํ ดับที่ an = 1 ไดเปน 1, 1 , 1 ,  n 23 เขยี นแจกแจงพจนของลําดับท่ี bn= 1 (n2 − 6n +11) ไดเปน 1, 1 , 1 ,  6 23 จะเห็นวา ท้ังสองลําดับมีสามพจนแรกเหมือนกัน จึงอาจจะเขาใจผิดวาลําดับ an และ bn เปนลําดับเดียวกัน อยางไรก็ตามเมื่อพิจารณาพจนท่ี 4 จะไดวา a4 = 1 แต b4 = 1 4 2 นั่นคือ ลาํ ดบั an และ bn ไมใชลาํ ดับเดยี วกนั ดังนั้น การเขียนแจกแจงพจนของลําดับ an และ bn โดยเขียนพจนที่ n กํากับไว จะไดเ ปน 1, 1 , 1 , , 1 ,  และ 1, 1 , 1 , , 1 (n2 − 6n +11),  ตามลาํ ดบั 23 n 23 6 • เนื่องจากการกําหนดพจนแรก ๆ แลวใหหาพจนท่ัวไปของลําดับนั้น นักเรียนอาจได พจนท่ัวไปท่ีแตกตางกัน ดังน้ัน หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ัน มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 หัวขอ 1.1.1 จึงกลาวถึงเฉพาะการหาพจนแรก ๆ จากพจน ทั่วไปท่ีกําหนดให โดยไมกลาวถึงการหาพจนท่ัวไปจากพจนแรก ๆ ที่กําหนดให สวน การหาพจนทั่วไปจากพจนแรก ๆ ท่ีกําหนดใหนั้น ไดกลาวถึงเฉพาะในกรณีท่ีศึกษา เก่ยี วกับลําดับเลขคณิตหรอื ลาํ ดบั เรขาคณิตเทาน้นั สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 15 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 • ลาํ ดบั ท่ี an = n + (−1)n n ในตวั อยางท่ี 2 สามารถเขยี นไดใ นอีกรูปแบบหน่ึง คอื เมื่อ เปนจาํ นวนคู เมือ่ เปนจํานวนคี่ ท้ังน้ี ในกรณีทีน่ กั เรยี นมีขอสงสยั สามารถอธิบายไดด งั น้ี ให n เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ กรณที ่ี n เปน จาํ นวนคูบวก จะไดว า มจี าํ นวนเตม็ บวก k ที่ทาํ ให n = 2k จาก an = n + (−1)n n เม่อื n = 2k จะได an = a2k = 2k + (−1)2k (2k ) = 2k + 2k = 4k = 2(2k ) = 2n กรณีที่ n เปนจาํ นวนคี่บวก จะไดว า มจี ํานวนเตม็ บวก k ท่ีทาํ ให =n 2k −1 จาก an = n + (−1)n n = a2k −1 เมอ่ื =n 2k −1 จะได an = (2k −1) + (−1)2k−1 (2k −1) = (2k −1) − (2k −1) =0 2n เมอ่ื n เปน จํานวนคู ดังนัน้ an = n + (−1)n n เขียนไดใ นรูป an =   0 เมอ่ื n เปน จํานวนคี่ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 16 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 • ลําดับ bn ซ่ึง b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 ในตัวอยางท่ี 4 สามารถเขียนไดใน อกี รูปแบบหนึง่ คอื bn = n! ทง้ั น้ี ในกรณีที่นักเรียนมขี อสงสัยสามารถอธบิ ายไดดงั นี้ จาก ลาํ ดับ bn ซง่ึ b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 จะได b1 = 1 = 1! b2 = 2b1 = 2 ×1 = 2! = 3! b3 = 3b2 = 3× 2 ×1 = 4!  b4 = 4b3 = 4 × 3× 2 ×1  bn = nbn−1 = n × (n −1) × (n − 2) ×× 3× 2 ×1 = n! ดังนน้ั ลาํ ดับ bn ซ่งึ b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 เขยี นไดใ นรูป bn = n! นอกจากนี้ การแสดงวาลาํ ดบั bn สามารถเขียนไดในอีกรปู แบบหนง่ึ คือ bn = n! นัน้ สามารถทําไดโดยใชว ธิ ีอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร ซงึ่ แสดงไวในความรเู พิ่มเตมิ สาํ หรับครู ลาํ ดับเลขคณิต ลําดบั เรขาคณิต และลาํ ดบั ฮารม อนกิ กจิ กรรม : แนะนําลาํ ดบั เลขคณติ จุดมงุ หมายของกิจกรรม กิจกรรมน้ีใชเพื่อนําเขาสูบทเรียน เร่ือง ลําดับเลขคณิต เพ่ือใหนักเรียนเขาใจความหมาย ของลาํ ดบั เลขคณิต แนวทางการดําเนนิ กจิ กรรม 2) 1, 4, 16, 64, , 4n−1 1. ครกู าํ หนดลําดบั ตอไปนี้ 4) 1, −1, 1, −1, 1, , ( )−1 n+1 ,  1) 6, 10, 14, 18, , 4n + 2,  3) 2 , 4 , 2, 8 , , 2 n ( )6) 2, 4, 6, , − 2 n3 − 6n2 − 6 ,  11 33 3 3 5) 10, 6, 2, − 2, , 10 − 4(n −1) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 17 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 2. จากแตละลําดับที่กําหนดใหในขอ 1 ครูใหนักเรียนหาผลตางของพจนที่อยูติดกัน โดย นําพจนท ่ีอยหู ลงั ลบดว ยพจนที่อยูกอ นหนา ทัง้ นี้ ครคู วรเนน ย้ําใหน กั เรยี นหาผลตา งของ พจนท ่ี n และ n −1 ดว ย แนวคําตอบ 1) a2 − a1 = 10 − 6 = 4 a3 − a2 = 14 −10 = 4 a4 − a3 = 18 −14 = 4 และ an − an−1= (4n + 2) − (4(n −1) + 2)= 4 2) a2 − a1 = 4 −1 = 3 a3 − a2 = 16 − 4 = 12 a4 − a3 = 64 −16 = 48 และ ( )an − an−1 = 4n−1 − 4(n−1)−1 = 3 4n−2 3) a2 − a1 = 4 − 2 = 2 3 3 3 a3 − a2 =2 − 4 = 2 3 3 a4 − a3 = 8 −2= 2 3 3 และ an − an−1 = 2 n − 2 (n −1) = 2 3 33 4) a2 − a1 =−1 −1 =−2 a3 − a2 = 1− (−1) = 1+1 = 2 a4 − a3 =−1 −1 =−2 a5 − a4 = 1− (−1) = 1+1 = 2 และ an − an−1 =(−1)n+1 − ( )−1 (n+1)−1 =−2(−1)n 5) a2 − a1 =6 −10 =−4 a3 − a2 =2 − 6 =−4 a4 − a3 =−2 − 2 =−4 และ ( )an − an−1 =(10 − 4(n −1)) − 10 − 4((n −1) −1) =−4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 18 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 6) a2 − a1 = 4 − 2 = 2 a3 − a2 = 6 − 4 = 2 ( ) ( )และ an − an−1  −2   2  =  11 n3 − 6n2 − 6  −  − 11 (n −1)3 − 6(n −1)2 − 6  ( )= − 2 3n2 −15n + 7 11 3. จากคําตอบท่ีไดในขอ 2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวาลําดับในขอใดท่ีมีผลตางของพจนที่ อยตู ิดกนั เปนคาคงตัวทีเ่ ทา กัน แนวคาํ ตอบ ลาํ ดบั ในขอ 1, 3 และ 5 มผี ลตา งของพจนที่อยตู ิดกนั เปน คา คงตัวทเี่ ทากัน 4. ครูนําเขาสูบทนิยามของลําดับเลขคณิต (บทนิยาม 2) โดยจากขอ 3 จะไดวาลําดับในขอ 1, 3 และ 5 ซง่ึ มผี ลตา งของพจนท ี่อยตู ิดกนั เปน คาคงตัวทเ่ี ทากัน เปน ลําดบั เลขคณิต ท้งั น้ี ครคู วรเนน ย้ําความสําคัญของการตรวจสอบผลตางของพจนท่ี n และพจนที่ n −1 ใน การพิจารณาวาลําดับที่กําหนดใหเปนลําดับเลขคณิตหรอื ไม เนื่องจาก อาจมีบางลําดับ ซ่ึงผลตางของพจนท ี่อยูติดกันพจนแรก ๆ เปนคา คงตวั ที่เทากัน แตไ มเทา กับผลตา งของ พจนท ่ี n และ n −1 (เชน ลําดับในขอ ที่ 6) หมายเหตุ • ครูอาจใหน กั เรียนทาํ กจิ กรรมนีเ้ ปนกลุม กลุมละ 3 – 4 คน • ครูสามารถใชกิจกรรมในลักษณะเดียวกับกิจกรรมน้ี เพ่ือนําเขาสูบทเรียน เร่ือง ลําดับ เรขาคณิต เพอ่ื ใหน กั เรียนเขา ใจความหมายของลาํ ดับเรขาคณิต สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 19 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 ประเด็นสําคัญเกย่ี วกบั เนอ้ื หาและส่ิงทีค่ วรตระหนักเก่ยี วกบั การสอน • ลําดับท่ีมีทุกพจนเปนจํานวนเดียวกันท่ีไมเปนศูนย จะเปนทั้งลําดับเลขคณิตที่มี d = 0 และลาํ ดบั เรขาคณติ ท่มี ี r =1 เชน 1, 1, 1,  • ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนใหเหตุผลประกอบ ในการระบุวาลําดับท่ีกําหนดใหเปน ลําดับเลขคณติ หรือเปนลําดบั เรขาคณติ • ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชเคร่ืองคํานวณชวยในการคํานวณเกี่ยวกับลําดับ เชน ตัวอยา งที่ 14 และ 18 • จากบทนิยาม 4 จะเหน็ วา ไมม ีพจนใ ดของลาํ ดบั ฮารม อนกิ ทเ่ี ปน 0 ประเด็นสําคญั เก่ยี วกับแบบฝกหัด • การหาพจนท ่ีหายไปของลําดับเรขาคณติ ท่ีกําหนดใหในแบบฝกหดั 1.1.3 ขอ 10 ครูควร เนนย้ําใหนักเรียนหาอัตราสวนรวมกอน จึงจะหาพจนที่หายไป และสําหรับขอท่ีมี อัตราสวนรวมมากกวา 1 คา ครูควรกระตุนใหนักเรียนหาอัตราสวนรวมอื่น ๆ ที่ทําให ลําดับท่ีกําหนดใหเปนลําดับเรขาคณิต แลวจึงหาพจนที่หายไปอีกคร้ัง เชน ขอ 2) มี อตั ราสว นรว ม คือ 1 หรอื − 1 ทาํ ใหล ําดับเรขาคณติ ในขอนี้ คือ 2, 2 , 2 , 2 , 2 หรือ 33 3 9 27 81 2, − 2 , 2 , − 2 , 2 3 9 27 81 • เมื่อกําหนดให a เปนพจนท่ีอยูระหวาง 2 พจนที่กําหนดใหในแบบฝกหัด 1.1.3 ขอ 11 จะไดวา a เปนไดท ้ังจาํ นวนจริงบวกและจาํ นวนจริงลบ เนอื่ งจาก a2 เปนจาํ นวนจรงิ บวก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 20 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ลิมติ ของลาํ ดับอนนั ต กจิ กรรม : แนะนาํ ลิมิตของลําดับอนันต จุดมุงหมายของกิจกรรม กิจกรรมนี้ใชเพ่ือนําเขาสูบทเรียน เรื่อง ลิมิตของลําดับอนันต เพ่ือใหนักเรียนมีความ เขาใจพน้ื ฐานเกย่ี วกับลมิ ิตของลาํ ดับอนนั ต แนวทางการดาํ เนินกจิ กรรม 1. ครูแจกกระดาษท่ีตัดเปนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีมีลักษณะดังรูปใหนักเรียนแตละคน โดย กาํ หนดใหก ระดาษนี้มพี ื้นท่ีเปน 1 ตารางหนวย 2. ครูใหนักเรียนพับคร่ึงกระดาษในขอ 1 ตามแนวนอนไปเร่ือย ๆ จนไดเปน 2, 4, 8 และ 16 สวน ท่ีเทากันตามลําดับ โดยในการพับแตละคร้ัง ใหพิจารณาวาพื้นท่ีของกระดาษ แตละสว นเปน เทาใด แลว เตมิ คําตอบลงในตารางตอไปนี้ การพบั จํานวนสวนของกระดาษ พ้ืนที่ของกระดาษแตละสวน กระดาษคร้ังที่ ทเี่ กิดจากการพับ (ตารางหนว ย) 12 24 38 4 16 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 21 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 แนวคําตอบ พื้นทีข่ องกระดาษแตล ะสว น การพบั จํานวนสวนของกระดาษ (ตารางหนว ย) กระดาษครั้งท่ี ท่ีเกดิ จากการพบั 1 12 2 1 24 4 38 1 4 16 8 1 16 3. จากขอ 2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวา หากพับกระดาษตอไปเรื่อย ๆ พื้นที่ของกระดาษ แตละสว นจะเปน อยางไร แนวคําตอบ เม่ือพับกระดาษตอไปเร่ือย ๆ พื้นท่ีของกระดาษแตละสวนจะนอยลงเรื่อย ๆ จน เกอื บเปน 0 4. ครูใหนักเรียนเปดเว็บไซต ipst.me/11545 แลวปฏิบัติตามข้ันตอนและตอบคําถาม ตอไปนี้ 4.1 เล่ือนสไลเดอรเพ่ือปรับคา n สังเกตวาหนาจอจะปรากฏพื้นที่ของกระดาษแตละ สว นทไ่ี ดจากการพบั กระดาษ n ครง้ั 4.2 ตรวจสอบคําตอบในขอ 3 โดยเลอื่ นสไลเดอรเพื่อหาวา เมอ่ื n มีคา มากขึ้นเรื่อย ๆ พืน้ ทีข่ องกระดาษแตละสว นที่ไดจากการพบั กระดาษ n ครงั้ จะเปนอยางไร แนวคาํ ตอบ เมื่อ n มีคามากข้ึนเรื่อย ๆ พ้ืนที่ของกระดาษแตละสวนที่ไดจากการพับ แตล ะครัง้ จะนอยลงเรือ่ ย ๆ จนเกือบเปน 0 แตไ มเ ทากบั 0 5. ครูนําเขาสูบทนิยามเก่ียวกับลิมิตของลําดับอนันต ลําดับลูเขา และลําดับลูออก (บท นิยาม 5) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 22 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 ประเด็นสาํ คญั เก่ยี วกบั เน้อื หาและสงิ่ ที่ควรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน • ในการสอนเก่ียวกับลําดับลูเขาและลําดับลูออก ครูควรจัดกิจกรรมใหนักเรียนไดลงมือ เขียนกราฟของลําดับหลาย ๆ แบบ โดยอาจใชลําดับตามท่ีนําเสนอในหนังสือเรียน รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 หรือในรปู แบบท่ใี กลเคยี งกัน • การเขยี นกราฟเพ่ือพิจารณาลิมติ ของลาํ ดับอนันต ไมมีขอกําหนดที่แนนอนวาตองเขียน กราฟของลาํ ดับกี่พจน แตต องเขียนใหเ หน็ แนวโนมของกราฟ เพื่อใหไ ดขอสรุปวาลําดับ อนนั ตทก่ี ําหนดเปน ลําดบั ลูเขาหรือลาํ ดบั ลอู อก • ทฤษฎบี ททนี่ าํ เสนอไวใ นหนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 บทที่ 1 ลําดับและอนุกรม มีไวเพื่อใหนักเรียนนําไปใชไดโดยไมตองพิสูจน อยางไรกต็ าม ครูอาจเพม่ิ เตมิ การพิสจู นท ฤษฎีบทเหลา นีใ้ หนักเรยี นไดโดยพิจารณาตาม ความสามารถของนักเรยี น • การสอนทฤษฎีบท 1 และ 2 น้ัน ครูควรใหนักเรียนพิจารณาแนวโนมคาของ an เมื่อ n มากขึ้นโดยไมม ีทส่ี น้ิ สุด หรอื เขียนกราฟของลาํ ดับ แลว พจิ ารณาแนวโนมของกราฟ เชน o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับที่ an = 1 (ดังแสดงในตัวอยางท่ี 21 ขอ 1) และ n2 an = 1 เพ่ือนําไปสูทฤษฎีบท 1 ที่วา lim 1 = 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ nr 1 n→∞ n2 1 ทง้ั นี้ นักเรยี นควรสรุปไดวา เมอื่ n มากขนึ้ โดยไมม ีท่ีส้ินสุด n2 และ n2 จะมากขึ้น โดยไมม ที ่ีสิน้ สุดดวย ซึ่งทําให 1 และ 1 มคี า นอ ยลงและเขาใกล 0 n2 1 n2 o ใหนักเรียนพจิ ารณาลาํ ดับ an = n3 (ดงั แสดงในตวั อยางท่ี 21 ขอ 2) และ an 1 = n3 เพื่อนาํ ไปสูท ฤษฎบี ท 1 ที่วา lim nr ไมมคี า เม่ือ r เปนจํานวนจรงิ บวกใด ๆ ทั้งนี้ n→∞ 1 นักเรียนควรสรุปไดวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีท่ีส้ินสุด n3 และ n3 จะมากข้ึน โดยไมมีท่สี ้ินสุดดว ย สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 23 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับ an =  1 n และ an =  − 1 n (ดังแสดงในตัวอยางที่ 22  3   2  ขอ 1) เพอ่ื นาํ ไปสูทฤษฎีบท 2 ท่ีวา lim rn = 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r <1 n→∞ o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับ an =  − 5 n และ an = 2n (ดังแสดงในตัวอยางท่ี 22  4  ขอ 2 และ 3 ตามลําดับ) เพ่อื นาํ ไปสูทฤษฎีบท 2 ท่ีวา lim rn ไมม ีคา เมือ่ r เปน n→∞ จํานวนจริง และ r >1 • ทฤษฎีบท 2 อธิบายเก่ียวกับลิมิตของลําดับอนันตท่ีอยูในรูป rn เม่ือ r เปนจํานวนจริง และ r ≠1 แตใ นกรณที ี่ r =1 จะไดเปนลิมติ ของคา คงท่ี • เม่ือนักเรียนไดเรียนทฤษฎีบท 2 แลว ครูอาจแสดงใหนักเรียนเห็นวาการหาคาลิมิตของ ลําดับในตวั อยางที่ 22 สอดคลอ งกับทฤษฎบี ท 2 ดงั นี้ จาก จะได1)an = − 1 n lni→m∞=an lim  − 1 n  2   2  n→∞ เนื่องจาก − 1 =1 ซง่ึ 1 <1 22 2 โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดว า lim an =0 n→∞ จาก จะได2)an = − 5 n lni→m∞=an lim  − 5 n  4   4  n→∞ เน่อื งจาก − 5 =5 ซงึ่ 5 >1 44 4 โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดวา lim an ไมมคี า n→∞ 3) จาก an = 2n จะได lim an = lim 2n n→∞ n→∞ เนื่องจาก 2 = 2 ซึ่ง 2 >1 โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดวา lim an ไมมีคา n→∞ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 24 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • การหาลิมิตของลําดับโดยใชทฤษฎีบท 3 ตองมีเงื่อนไขเบ้ืองตนท่ีเปนจริงกอน เชน จะ ใชทฤษฎีบท lim an = lim an ไดเม่ือ lim an และ lim bn หาคาได และ lim bn ≠ 0 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ bn→∞ lim bn n n→∞ แตถามีเง่ือนไขเบ้ืองตนเง่ือนไขใดไมเปนจริง จะไมสามารถใชทฤษฎีบทดังกลาวได เชน เม่ือตอ งการหา lim 2n2 − 3n จะไมส ามารถใชทฤษฎีบท 3 ได เนือ่ งจาก (lim 2n2 − 3n) n→∞ 4n − 5 n→∞ และ lim(4n − 5) ไมมีคา n→∞ ความเขา ใจคลาดเคลอ่ื น นักเรียนอาจเขาใจผิดเก่ียวกับลําดับลูเขา วาเปนลําดับอนันตที่มีลิมิตของลําดับเปน 0 เทานั้น เพ่ือแกไขความเขาใจผิดดังกลาว ครูควรเนนย้ํานักเรียนเกี่ยวกับบทนิยาม 5 วา ลําดับลูเขา คือ ลําดับอนันตท่ีเมื่อ n มากข้ึนโดยไมมีที่ส้ินสุดแลว an เขาใกลหรือเทากับ จํานวนจริง L เพยี งจาํ นวนเดยี วเทา น้นั พรอมกบั ยกตวั อยางลําดบั ลเู ขา อ่นื ๆ เพม่ิ เติม ทม่ี ี ลิมิตของลําดับเปนจํานวนจริงอ่ืนท่ีไมใช 0 เพ่ิมเติม เชน สําหรับลําดับท=ี่ an  1 n −1  2  จะไดว า lim an = lim   1 n    2  − 1 n→∞ n→∞ = lim  1 n − lim1  2  n→∞ n→∞ = 0–1 = −1 จะเห็นวา ลิมิตของลาํ ดับท=่ี an  1 n −1 เปน −1 น่นั คอื ลําดับน้ีเปน ลําดับลเู ขา  2  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 25 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 อนุกรม กิจกรรม : ผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ จุดมุงหมายของกจิ กรรม กิจกรรมนี้ใชเพ่ือสอนนักเรยี นเก่ียวกบั ท่ีมาของสูตรที่ใชในการหาผลบวก n พจนแรก ของอนกุ รมเลขคณิต แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม แนวทางการดําเนินกจิ กรรมแบง เปน 3 สวน ดังนี้ สว นท่ี 1 การแนะนํากลวิธี 1. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียนโดยถามนักเรียนวา 1+ 2 + 3 +  +10 มีคาเทาใด และหาไดอ ยางไร 2. ครูอธิบายวิธีการพิสูจนแบบใชรูปภาพเปนหลัก (Proof without word) ในการหาคาของ 1+ 2 + 3 +  +10 2.1 ครูแทนจํานวน 1, 2, 3, , 9 และ 10 ดวยวงกลมสีดําจํานวน 1, 2, 3, , 9 และ 10 รูป ตามลําดับ เรียงตอ กันในแนวเสนตรง ดงั นี้ 1 แทนดวย เรียกวา รูปแทน 1 2 แทนดวย เรียกวา รูปแทน 2 3 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 3 4 แทนดว ย เรยี กวา รปู แทน 4 5 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 5 6 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 6 7 แทนดวย เรยี กวา รูปแทน 7 8 แทนดว ย เรียกวา รูปแทน 8 9 แทนดวย เรียกวา รปู แทน 9 10 แทนดว ย เรยี กวา รูปแทน 10 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 26 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 2.2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวาจะหาคาของ 1+ 2 + 3 +  +10 โดยใชรูปแทน 1, 2, 3, , 9 และ 10 ทไ่ี ดในขอ 2.1 ไดอ ยา งไร แนวคําตอบ นักเรียนอาจตอบไดหลายแบบ แตครูตองช้ีแนะวาจะหาคําตอบโดยนํารูป แทน 1, 2, 3, , 9 และ 10 มาวางตอกันดงั นี้ แถวที่ 1 (รปู แทน 1) แถวท่ี 2 (รปู แทน 2) แถวที่ 3 (รูปแทน 3) แถวท่ี 4 (รูปแทน 4) แถวท่ี 5 (รูปแทน 5) แถวท่ี 6 (รูปแทน 6) แถวท่ี 7 (รูปแทน 7) แถวที่ 8 (รปู แทน 8) แถวที่ 9 (รปู แทน 9) แถวที่ 10 (รูปแทน 10) รปู ท่ี 1 จะไดว า • แถวที่ l จะมวี งกลมจาํ นวน l รูป เมอื่ l ∈{1, 2, 3, , 10} • คา ของ 1+ 2 + 3 +  +10 เทา กบั จํานวนวงกลมสีดําในรปู ท่ี 1 2.3 ครูจําลองรูปท่ี 1 โดยเปล่ียนวงกลมสีดําเปนวงกลมสีขาว โดยเรียกวารูปท่ี 2 แลว สอบถามความเขาใจของนักเรียนวาจํานวนวงกลมสีขาวในรูปท่ี 2 สัมพันธกับ จาํ นวนวงกลมสีดาํ ในรูปท่ี 1 อยา งไร สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 27 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 แนวคําตอบ แถวท่ี 1 แถวท่ี 2 แถวที่ 3 แถวท่ี 4 แถวท่ี 5 แถวที่ 6 แถวที่ 7 แถวท่ี 8 แถวท่ี 9 แถวท่ี 10 รปู ที่ 2 จะเห็นวา จํานวนวงกลมสีขาวในรูปท่ี 2 และจํานวนวงกลมสีดําในรูปท่ี 1 มี จาํ นวนเทากัน 2.4 ครหู มุนรูปที่ 2 ดวยมมุ 180 องศา ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกา ไดดังน้ี แถวที่ 10 แถวท่ี 9 แถวท่ี 8 แถวท่ี 7 แถวท่ี 6 แถวท่ี 5 แถวท่ี 4 แถวท่ี 3 แถวที่ 2 แถวที่ 1 รปู ที่ 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 28 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 2.5 ครูนาํ รูปที่ 1 และ 3 มาตอกัน โดยนาํ แถวที่ 1 ในรปู ท่ี 1 มาตอ กับแถวที่ 10 ในรูปท่ี 3 ในแนวเสนตรงเดียวกัน โดยเรียกวารูปที่ 4 แลวสอบถามความเขาใจของนักเรียน วาในรปู ที่ 4 มีแถวใดหรือไม • ทีม่ ีวงกลมซอ นทบั กนั • ทมี่ วี งกลมไมเรยี งตอ กนั ในแนวเสนตรง แนวคําตอบ แถวที่ 1 แถวที่ 2 แถวท่ี 3 แถวท่ี 4 แถวท่ี 5 แถวที่ 6 แถวท่ี 7 แถวท่ี 8 แถวที่ 9 แถวที่ 10 รปู ที่ 4 จะไดว า • ไมมีแถวใดท่มี วี งกลมซอนทับกัน • ไมม ีแถวใดที่มวี งกลมไมเรยี งตอกนั ในแนวเสน ตรง หมายเหตุ ครูควรสรปุ วาการตอรูปตามท่ีกําหนดให ทาํ ใหไดร ปู ที่ตอกนั สนิทพอดี ไมมีแถว ใดทมี่ ีวงกลมซอ นทับกัน และไมมแี ถวใดทวี่ งกลมไมเ รยี งตอกันในแนวเสน ตรง สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 29 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2.6 ครูกระตุนใหนักเรียนพิจารณาวามีวิธใี ดบางท่ีสามารถหาจํานวนวงกลมทั้งหมดใน รูปที่ 4 ได แนวคาํ ตอบ (1) พิจารณาจํานวนวงกลมสีดําและสีขาวในแตละแถวในรูปท่ี 4 ดังน้ันจํานวน วงกลมท้ังหมดในรูปท่ี 4 เทากับผลบวกของจํานวนวงกลมสีดําและสีขาวใน แตละแถวในรูปท่ี 4 (2) เนื่องจากจํานวนวงกลมสีขาวในรูปที่ 3 เทากับจํานวนวงกลมสีดําในรูปที่ 1 และจํานวนวงกลมทั้งหมดในรูปที่ 4 เทากับผลบวกของจํานวนวงกลมสีดํา และสีขาว ดังน้ัน จํานวนวงกลมทั้งหมดในรูปที่ 4 เทากับ 2 เทาของจํานวน วงกลมสดี ําในรูปท่ี 1 หมายเหตุ ครคู วรกระตนุ ใหนกั เรยี นไดคาํ ตอบทั้งในขอ (1) และ (2) 2.7 จากแนวคําตอบ 2.6 (1) ครูใหนกั เรยี นพิจารณาหาจํานวนวงกลมสีดําและสขี าวใน แตละแถวในรปู ท่ี 4 แนวคาํ ตอบ จํานวนวงกลมท้ังหมดในแถวท่ี l หาไดจากจํานวนวงกลมสีดํา (ซ่ึงมาจาก แถวท่ี l ในรปู ท่ี 1) รวมกับจาํ นวนวงกลมสีขาว (ซึ่งมาจากแถวที่ 10 − (l −1) ใน รูปที่ 3) เม่ือ l ∈{1, 2, 3, , 10} เชน จํานวนวงกลมท้ังหมดในแถวท่ี 1 หาไดจาก จํานวนวงกลมสีดํา (ซ่ึงมาจากแถวที่ 1 ในรูปที่ 1) รวมกับจํานวนวงกลมสีขาว (ซึ่ง มาจากแถวที่ 10 − (1−1) ในรูปที่ 3) ไดเปน 1+ (10 − (1−1)) =1+10 =11 รูป 2.8 จากขอ 2.7 ครูใหน ักเรยี นหาจํานวนวงกลมทั้งหมดในรปู ท่ี 4 แนวคาํ ตอบ จาํ นวนวงกลมทั้งหมดในรปู ที่ 4 = (1+10) + (2 + 9) + (3 + 8) ++ (10 +1) = 11+11+11+  +11 = 10 ×11 = 10(10 +1) รูป สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 30 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 2.9 จากแนวคําตอบ 2.6 (2) และขอ 2.8 ครูใหนักเรยี นหาจํานวนวงกลมสดี ําในรูปที่ 1 แนวคําตอบ จํานวนวงกลมสดี าํ ในรปู ท่ี 1 เทากบั 10(10 +1) รปู 2 3. จากขอ 2 ครูสรปุ วา 1+ 2 + 3 +  + 10 10 (10 + 1) = 2 สว นที่ 2 การลงมือใชกลวิธี 1. ครูแบง นกั เรียนเปน กลุม กลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ 2. ครใู หนักเรยี นแตละกลุมใชวธิ ใี นสวนท่ี 1 ขอ 2 แตละกลุมหา • 1+ 2 + 3 +  +18 +19 + 20 • 1+ 2 + 3 +  + 24 + 25 + 26 • 1+ 2 + 3 +  + 37 + 38 + 39 • 1+ 2 + 3 +  + 48 + 49 + 50 • 1+ 2 + 3 +  + 60 + 61+ 62 แนวคาํ ตอบ เมือ่ ใชวธิ ีในสวนที่ 1 ขอ 2 แลว จะไดว าคําตอบของแตล ะขอ เปนดงั น้ี • 1+ 2 + 3 +  +18 +=19 + 20 20=(20 +1) 210 2 • 1+ 2 + 3 +  + 24 +=25 + 26 26=(26 +1) 351 2 • 1+ 2 + 3 +  + 37 +=38 + 39 39(=39 +1) 780 2 • 1+ 2 + 3 +  + 48 +=49 + 50 50(=50 +1) 1, 275 2 • 1+ 2 + 3 +  + 60 +=61+ 62 62(=62 +1) 1,953 2 3. ครใู หนกั เรียนพิจารณาวาคา 1+ 2 + 3 +  + n เปนเทาใด 4. ครใู หน ักเรยี นดูคลิปวีดทิ ัศนในเวบ็ ไซต ipst.me/11561 5. ครสู รปุ วา 1+ 2 + 3 +  + n =n(n +1) 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 31 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 สว นท่ี 3 การหาขอสรปุ ในกรณขี องลาํ ดับเลขคณิต 1. ครูกําหนดให a1, a2, a3,, an เปนลําดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรก คือ a1 และผลตางรวม คอื d แลวใหนักเรยี นเขยี น a2, a3 และ an ในรปู a1 และ d แนวคําตอบ a=2 a1 + d a=3 a2 + 2d an = a1 + (n −1) d 2. จากขอ 1 ครูใหนักเรียนหาคาของ a1 + a2 + a3 ++ an หรือหาคาของผลบวก n พจนแรกทไี่ ดจ ากลําดับเลขคณติ a1, a2, a3,, an ในรูปของ n, a1 และ an แนวคาํ ตอบ ( )a1 + a2 + a3 ++ an = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) ++ a1 + (n −1) d n พจน = na1 + (d + 2d + 3d ++ (n −1) d ) (*) (**) = na1 + (1+ 2 + 3 ++ (n −1)) d (***) (n −1)n = na1 + 2 d = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 = n ( a1 + ( a1 + ( n − 1) d )) 2 = n ( a1 + an ) 2 หมายเหตุ • การเขียนบรรทัดท่ี (*) ใหอ ยใู นรปู ตามบรรทัดที่ (**) ครูอาจแนะนําใหน ักเรียน ใชส มบัตกิ ารแจกแจง ซง่ึ จะเห็นวาบรรทดั ที่ (*) มีตวั คณู รวม คือ d • การเขียนบรรทัดท่ี (**) ใหอยูในรูปตามบรรทัดที่ (***) ครูอาจแนะนําให นกั เรยี นใช 1+ 2 + 3 +  + n =n(n +1) ซงึ่ ไดจ ากสวนท่ี 2 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 32 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 3. จากขอ 2 ครอู ธิบายวา จะแทน a1 + a2 + a3 ++ an ดว ยสัญลักษณ Sn จึงสรปุ ไดวา • Sn ในรปู n, a1 และ an เขยี นไดเปน =Sn n ( a1 + an ) 2 • Sn ในรูป n, a1 และ d เขยี นไดเปน S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับเน้ือหาและสิ่งท่ีควรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน ( )Sn • การหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต โดยใช = a1 1− rn เม่ือ r ≠ 1 นั้น 1− r อาจจดั รูปใหมไ ดเปน Sn = ( )a1 rn −1 r −1 • ครูควรเปดโอกาสใหนักเรยี นใชเ ครอ่ื งคาํ นวณชว ยในการคํานวณเกย่ี วกบั อนกุ รม กจิ กรรม : อนุกรมอนันตและผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมอนนั ต จดุ มุงหมายของกจิ กรรม กจิ กรรมนี้ใชเพอ่ื สอน เรือ่ ง อนุกรมอนนั ตและผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนกุ รมอนนั ต แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม 1. ครูแจกกระดาษขนาด A4 ใหนักเรียนแตละคน จากนั้นครูกําหนดใหพ้ืนท่ีทั้งหมดของ กระดาษ เปน 1 ตารางหนวย 2. ครใู หนักเรียนพับครึง่ ตามรูปแลวตัดกระดาษตามรอยพบั ออกเปน 2 สว น สว นท่ี 1 สว นท่ี 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 33 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 3. ครูใหนักเรียนหาพ้ืนท่ีของกระดาษแตละสวนที่ไดจากการตัด และเขียนคําตอบท่ีไดลง ในกระดาษสวนท่ี 2 แลว นํากระดาษสว นนใ้ี สไ วในกลอง สวนที่ 1 สว นท่ี 2 4. นํากระดาษสว นท่ี 1 มาทาํ ซา้ํ ตามข้ันตอนในขอที่ 2 และ 3 อกี 4 ครง้ั หมายเหตุ กระดาษที่ไดจากการตัดกระดาษครั้งที่ 2, 3, 4 และ 5 ที่ตองนําไปใสไวใน กลอ ง มพี ้นื ที่ 1 , 1 , 1 และ 1 ตารางหนวย ตามลําดับ 4 8 16 32 5. ครูใหนักเรียนหาวาพ้ืนท่ีของกระดาษสวนที่นําไปใสในกลองหลังจากการตัดครั้งที่ n เทา กบั เทา ใด แนวคําตอบ 1 ตารางหนว ย 2n หมายเหตุ ครูอาจช้ีแนะใหนักเรียนพิจารณาจากพ้ืนท่ีของกระดาษสวนที่นําไปใสใน กลอ งหลังจากการตัดครงั้ ท่ี 1, 2, 3, 4 และ 5 ซง่ึ นักเรียนจะเห็นวา หลงั จากการตดั คร้งั ท่ี พนื้ ท่ขี องกระดาษสว นท่ีนําไปใสกลอง (ตารางหนวย) 1 1= 1 2 21 2 1= 1 4 22 3 1= 1 8 23 4 1=1 16 24 5 1=1 32 25 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 34 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 6. ครูใหนักเรียนพิจารณาวา ถาการตัดกระดาษในรูปแบบนี้สามารถดําเนินการตอไปได เร่ือย ๆ แลวใหนักเรียนเขียนแสดงพ้ืนที่ของกระดาษสวนที่นําไปใสในกลองหลังจาก การตดั โดยเรยี งตามลําดับการตดั แนวคําตอบ 1, 1, 1, 1, 1 , , 1 ,  2 4 8 16 32 2n หมายเหตุ ในการตอบคําถามขอน้ี ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเขียนพจนที่ n กํากับไว เสมอ เนื่องจากมบี างลําดับที่มพี จนแรก ๆ เหมอื นกนั แตม พี จนทว่ั ไปแตกตา งกนั 7. ครูสรปุ วา คําตอบท่ีไดใ นขอ 6 เปน ลาํ ดบั อนนั ต 8. ครใู หนักเรียนเติมขอมลู ลงในตารางตอ ไปนใ้ี หส มบรู ณ หลังจากการตัดครง้ั ที่ พนื้ ทรี่ วมของกระดาษท่อี ยูในกลอง (ตารางหนวย) 1 2 3 4 5 แนวคําตอบ พืน้ ทรี่ วมของกระดาษทีอ่ ยใู นกลอง หลงั จากการตัดครงั้ ท่ี (ตารางหนว ย) 11 2 2 1 + 1 =3 244 3 1 + 1 + 1 =7 2488 4 1 + 1 + 1 + 1 =15 2 4 8 16 16 5 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =31 2 4 8 16 32 32 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 35 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 9. ครูใหน กั เรยี นหาพืน้ ที่รวมของกระดาษที่อยใู นกลองหลังจากการตดั คร้ังท่ี n แนวคําตอบ พนื้ ที่รวมของกระดาษทอี่ ยใู นกลองหลงั จากการตดั คร้งั ที่ n เทากับ 1 + 1 + 1 +1 + 1 + + 1 =2n −1 =1 − 1 ตารางหนวย 2 4 8 16 32 2n 2n 2n หมายเหตุ ในการหาคําตอบของขอน้ี ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนเขียนพื้นที่รวมของ กระดาษท่ีอยูในกลองหลังจากการตัดคร้ังท่ี n ใหอยูในรูป 2n −1 ได โดยอาจพิจารณา 2n จากแบบรปู ของพนื้ ท่รี วมของกระดาษท่ีอยูในกลองที่ไดในขอ 8 หรือความรอู ื่นกอนหนานี้ สําหรับ 1− 1 มาจากการพิจารณาพ้ืนที่กระดาษทั้งหมดลบดวยพ้ืนท่ีกระดาษ 2n สว นท่ี 1 หลงั จากการตดั ครงั้ ท่ี n 10. จากขอ 9 ครูใหนักเรียนพิจารณาหาพื้นท่ีรวมของกระดาษที่อยูในกลองเมื่อสามารถ ดําเนินการตดั กระดาษตามรปู แบบขางตน ตอไปเรื่อย ๆ ได โดยเขียนในรูปผลบวก แนวคําตอบ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ++ 1 + 2 4 8 16 32 2n 11. ครสู รุปวา • คําตอบทไ่ี ดในขอ 10 ซ่งึ คือ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + เรียกวา อนุกรม 2 4 8 16 32 2n อนนั ต • คําตอบทีไ่ ดใ นขอ 9 ซ่งึ คือพ้ืนที่รวมของกระดาษท่อี ยูใ นกลองหลังจากการตัดคร้ัง ท่ี n เรียกวา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมอนันต แทนดวยสัญลักษณ Sn น่ันคือ Sn = 1 + 1 + 1 +1 + 1 ++ 1 2 4 8 16 32 2n สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 36 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 • คําตอบท่ีไดในขอ 8 จะไดวา พ้ืนที่รวมของกระดาษที่อยูในกลองหลังจากการตัด ครงั้ ที่ 1 คือ S1 ซึง่ เทากับ 1 ในทาํ นองเดียวกนั จะไดว า 2 S2= 1+1 24 S3 = 1 + 1 + 1 2 4 8 S4 = 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 S5 = 1 + 1 + 1 +1 + 1 2 4 8 16 32 12. ครูอธบิ ายสรปุ เก่ียวกับอนุกรมอนนั ตและบทนยิ าม 6 ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับเน้อื หาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนักเกี่ยวกับการสอน ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 การพิจารณาวา อนกุ รมท่ีกําหนดใหเ ปนอนุกรมลูเ ขาหรืออนุกรมลูออก จะทาํ ไดจ ากการพจิ ารณาลําดับของ ผลบวกยอ ยของอนุกรม เชน การพิจารณาอนุกรม 1+1+1+  +1n−1 +  ทําไดดังนี้ จากสูตร =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได Sn = n (1+1)= n 2 นนั่ คอื lim Sn = lim n n→∞ n→∞ จากทฤษฎบี ท 1 จะได lim n ไมมีคา n→∞ ดงั นนั้ อนุกรม 1+1+1+  +1n−1 +  เปน อนกุ รมลูอ อก สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 37 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ความเขาใจคลาดเคล่อื น นักเรียนอาจเขาใจผิดวา “ทุกอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตเปนอนุกรมลูออก” ทั้งน้ี ครูควรยกตัวอยางอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิต แตเปนอนุกรมลูเขา เชน อนุกรม เลขคณติ ท่มี ี=a1 0=, d 0 จะไดวา Sn = 0 ดงั นั้น lim Sn =0 n→∞ ประเดน็ สําคัญเก่ยี วกบั แบบฝก หัด จากแบบฝก หัด 1.3.3 ขอ 1 • ในการสรุปวาอนุกรมที่กําหนดใหเปนอนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิตน้ัน ครู ควรเนนยํ้าใหนักเรียนตรวจสอบวาพจนที่ n ในอนุกรมท่ีกําหนดให เปนพจนที่ n ของอนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิตจริง เชน จากขอ 4) จะไดวาเปนอนุกรม เลขคณิตที่มี a1 = 2 และ d = −3 จะเห็นวาพจนที่ n ของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 2 + (n −1)(−3) =5 − 3n ซึ่งเทากับพจนท่ี n ในอนุกรมทีโ่ จทยก ําหนด • ในการหาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมที่กําหนดให ครูอาจใหนักเรียน เปรียบเทียบ S1, S2 และ S3 ที่หาไดจากผลบวก 1, 2 และ 3 พจนแรกของอนุกรมท่ี กาํ หนด กับทห่ี าไดจากสตู รการหาผลบวกยอย n พจนแรกของอนกุ รม สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 38 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 สญั ลกั ษณแสดงการบวก ประเดน็ สาํ คญั เกี่ยวกบั เน้ือหาและสงิ่ ทีค่ วรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน • ครอู าจแนะนาํ สญั ลกั ษณ ∑ ไปพรอมกบั การสอน เรอื่ ง อนกุ รมอนันต ไดเ ลย หากพจิ ารณา แลว วา สอดคลอ งกบั แนวทางการจัดการเรียนรทู ีป่ ฏบิ ตั อิ ยู • การเขียนแสดงการบวกดวยสัญลักษณ ∑ อาจเขียนไดหลายรูปแบบ โดยดัชนีไมจําเปน ตองเร่ิมจาก 1 เชน ในตัวอยางที่ 51 นอกจากเขียนแสดง 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 +10x5 ไ ด เ ป น 5 แ ล ว อ า จ เ ขี ย น ไ ด เ ป น แ บ บ อื่ น ท่ี ดั ช นี ไ ม เ ร่ิ ม จ า ก 1 เ ช น ∑ 2ixi i =1 6 หรือ 7 ∑ 2(i −1) xi−1 ∑ 2(i − 2) xi−2 i=2 i=3 • การจดั รูป 4 ในตัวอยา งท่ี 60 ทําไดดงั นี้ (4i − 3)(4i +1) ให ( 4i − 4 4i=+ 1) A+B นน่ั คือ =4 A(4i +1) + B (4i − 3) 4i − 3 4i + 1 3)( เมื่อ i = 3 จะได A =1 4 เม่ือ i = − 1 จะได B = −1 4 ดงั น้ัน ( 4i − 4 4i=+ 1) 1 −1 4i − 3 4i + 1 3)( เรียกการจัดรปู โดยวธิ ีนี้วาการแยกเศษสว นยอ ย (Partial fraction decomposition) ประเด็นสําคญั เกยี่ วกับแบบฝกหัด การหาผลบวก n พจนแ รก และผลบวก 20 พจนแ รกของอนกุ รมท่กี ําหนดใหในแบบฝกหัด 1.4 ขอ 8 นัน้ นกั เรยี นอาจจัดรปู อนุกรมท่กี ําหนดใหในทํานองเดียวกับตวั อยางที่ 60 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี