65-07-23-คู่มือคณิตฯ ม.ปลาย

PASSWORD ปลดล็อก คณิตศาสตร์ มัธยมศกึ ษาตอนปลาย I S B N: _________________________________________ โดย: สมชัย จินตนไชยวฒั น์ วท.บ.(จุฬาฯ) วท.ม.(มหิดล) เทคนคิ การแพทย์ ศศ.บ.(มสธ.) นกั เรียนเก่าช้ัน ม.ศ.๕/๑๒ ปี ๒๕๑๖ รนุ่ ๔๗ โรงเรยี นอำนวยศลิ ป์ ครูประจำชน้ั อาจารยจ์ ไุ ร ภานทุ ตั ห้ามจดั พมิ พเ์ พอื่ จำหนา่ ย วตั ถุประสงค์ : -เพอ่ื ใช้เปน็ คู่มอื ประกอบการเรยี นคณิตศาสตรม์ ัธยมศกึ ษาตอนปลายในการสรา้ งเสริม ประสบการณ์และความเข้าใจให้มากข้ึน นำไปสกู่ ารพฒั นาศกั ยภาพการเรียนรู้ การแก้ปญั หาโจทย์คณิตศาสตร์ ทีย่ ากและซบั ซอ้ นไดอ้ ยา่ งถูกต้องและมปี ระสิทธภิ าพ -เพื่อเป็นอนุสรณ์ รำลึกถงึ อาจารย์จไุ ร ภานุทตั ผปู ระสทิ ธิป์ ระสาทวิชาความรู้ ดแู ล เอาใจใส่ สัง่ สอนศษิ ยใหเ้ รียนดี มีความรแู ละคณุ ธรรม พิมพท์ :่ี สำนักพิมพ์ __________________________________ ดำเนินการ: กลมุ่ นักเรยี นเกา่ ชัน้ ม.ศ. ๕/๑๒ ปี ๒๕๑๖ ร่นุ ๔๗ โรงเรียนอำนวยศิลป์

ก คำนำ คณติ ศาสตร์ เปน็ วิชาทีส่ ามารถเรียนรู้อย่างสนุกได้ หากผูเ้ รยี นมีความเข้าใจอย่างแจ่มแจ้งในหลักคิด และวธิ ีการแกป้ ญั หา คู่มอื คณิตศาสตรเ์ ล่มน้จี ะสอนวิธีคิดพื้นฐานด้วยภาษาง่ายๆ ประกอบการอธิบายขยาย ความเพิ่มเตมิ ในขั้นตอนที่สำคญั พร้อมทั้งมีตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ซึ่งล้วนเป็นโจทยค์ ณิตศาสตร์ที่ น่าสนใจ มหี ลกั คิดสอดแทรกอยเู่ กือบทกุ ขอ้ คู่มือคณิตศาสตร์เล่มนี้มีจุดเด่นที่แตกต่างจากหนังสือคู่มือคณิตศาสตร์ทั่วไป หากผู้อ่านศึกษาและ ฝกึ ฝนตามขัน้ ตอนจะสามารถนำความรูไ้ ปใช้ในการศึกษาคณติ ศาสตร์ขัน้ สงู ๆ ต่อไปไดเ้ ป็นอยา่ งดี เหนอื กวา่ อน่ื ใด คูม่ อื คณิตศาสตรเ์ ลม่ นเี้ กดิ ข้ึนจากความมุง่ มน่ั ของผู้เขยี นที่มีประสบการณ์มากกวา่ 30 ปี ในการสอนพิเศษวิชาคณติ ศาสตร์ระดับมัธยมศกึ ษาตอนปลาย ท่ตี ้องการเผยแพรค่ วามรู้เปน็ วทิ ยาทานไปยัง นักเรียนในโรงเรียนต่างจังหวัดซึ่งขาดโอกาสท่ีจะเข้าถงึ แหล่งความรู้เหล่านี้ โดยมีแรงบันดาลใจทีส่ ำคัญจาก การรำลึกถงึ คุณความดี ความรักและความเมตตา ของทา่ นอาจารยจ์ ุไร ภานทุ ตั อาจารย์ประจำชน้ั มัธยมศึกษา ปีที่ 5/12 ปีการศึกษา 2516 ท่ีมตี อ่ ผเู้ ขยี นและเพือ่ นๆ ศิษยเ์ กา่ โรงเรียนอำนวยศิลป์ 26/6/65

สารบัญ ข เซต 1-11 จำนวนจรงิ 12-30 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น 31-36 ตรรกศาสตร์ 37-60 การให้เหตุผล 61-65 ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน 66-108 เรขาคณิตวเิ คราะห์ และภาคตัดกรวย 109-128 ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ และการประยุกต์ 129-157 ฟงั กช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการทิ มึ 158-179 เมทรกิ ซ์ 180-209 กำหนดการเชิงเส้น 210-215 เวคเตอร์ 216-236 จำนวนเชิงซอ้ น 237-264 ลำดับและอนุกรม 265-281 แคลคูลสั เบอ้ื งต้น 282-327 วีธีเรียงสับเปล่ยี น การจัดหมู่ และทฤษฎีบททวินาม 328-342 ความนา่ จะเป็น 343-351 ทฤษฎกี ราฟเบอื้ งตน้ 352-361 สถติ ิ 362-401

1 เซต 1. A คือ เซตของพยัญชนะในภาษาไทย A = x / x เปน็ พยัญชนะในภาษาไทย = x / x  พยัญชนะในภาษาไทย A = ก, ข, ค, ..., ฮ 2. สัญลกั ษณท์ ่คี วรรู้ ������ = เอกภพสัมพัทธ เ์ ป็นเซตที่สอดคล้องกับเงื่อนไข  = เซตว่างเปน็ เซตทีไ่ มม่ สี มาชิก ตามเงื่อนไข =    = เซตของจำนวนเตม็ ซ่ึงประกอบดว้ ยจำนวนเตม็ บวก เต็มศูนย์ และเต็มลบ N = เซตของจำนวนนบั ซึ่งถือวา่ เปน็ จำนวนเต็มบวก Q = เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นค่าแนน่ อนสามารถทำเปน็ เศษส่วนได้ Q = เซตของจำนวนอตรรกยะ เป็นคา่ ประมาณไม่สามารถทำเป็นเศษส่วนได้ R = เซตของจำนวนจริง ซึ่งประกอบด้วยเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะ 3. เซตจำกัดเปน็ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกทีแ่ ตกตา่ งกันได้ ว่ามีจำนวนเทา่ ใด เซตอนันต์ เปน็ เชตท่ีไม่ใช่เซตจำกดั บอกจำนวนสมาชิกที่แตกตา่ งกนั ไมไ่ ด้, นบั ไม่ถ้วน 4. สับเซต หมายถงึ เซตยอ่ ยที่ทุกๆสมาชกิ เปน็ สมาชกิ ของเซตใหญ่ ใชส้ ัญลกั ษณ์สับเซต  ไมเ่ ปน็ สบั เซต  สับเซตประกอบด้วย สับเซตแท้ หมายถงึ สับเซตทีม่ สี มาชิกของเซตน้อยกวา่ เซตใหญ่ สับเซตไมแ่ ท้ หมายถึงสับเซตที่มีสมาชกิ ของเซตเทา่ กบั เซตใหญ่ 5.  อา่ นวา่ อนิ เตอรเ์ ซก็ ชั่น หมายถึง เซตท่มี ีสมาชิกซำ้ กันระหว่างเซต  อ่านว่า ยเู นยี น หมายถึง เซตท่มี ีสมาชิกทง้ั หมดระหวา่ งเซตทั้งซ้ำและไม่ซำ้ 6. ' อา่ นวา่ คอมพลีเมนต์ หมายถึง สมาชกิ เซตทไ่ี ม่อยูใ่ นเซตทีก่ ลา่ วถึง แตอ่ ยู่ใน ������ - อา่ นว่า ลบ หมายถึง สมาชกิ ของเซตตวั ตั้งท่ีไมม่ ีมีสมาชกิ ที่ซ้ำกนั กับสมาชกิ เซตของตวั ลบ 7. P(X) อ่านว่า เพาเวอร์เซต คือ เซตท่ปี ระกอบด้วยสมาชิกทเี่ ป็นสบั เซตของเซตใดๆ 8. คณุ สมบตั ทิ ่ีเกีย่ วกับเซต เซตวา่ ง เปน็ สับเซตของทกุ เซต หรอื   A เม่อื A เป็นเซตใดๆ เซตใดๆท่มี ีสมาชิก n ตวั จำนวนสบั เซตทัง้ หมดของเซตน้นั = 2n สับเซต เซตใดๆเป็นสับเซตของเซตเอกภพสัมพทั ธ์ หรอื A  U เซตใดๆเปน็ สับเซตของเซตตวั มนั เองเสมอ A  A

2 ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C ด้วยเสมอ A A = A A A = A A= A= A A U = A A U =U A B=BA A B = B  A A (B C ) = (A B)C = A B C A (BC ) = (A B)C = A BC A  B ก็ต่อเม่ือ A  B = A A  B ก็ต่อเมื่อ A  B = B (A B)  A และ(A  B)  B A  (A B) และB  (A B) ถา้ A  B =  จะไดว้ ่า A =  และ B =  A (B C) = (A B) (A C) (การกระจาย - แจกแจง) A (B C) = (A B) (A C) (การกระจาย - แจกแจง) (A) = A ,  = U A  A = U U =  A  A =  (การกระจาย ' เปลี่ยน  เป็น  ) (A B) = A B (การกระจาย ' เปลยี่ น  เปน็  ) (A B) = A B A - B = A B = A - (A B) (A B = A - B) A-B=A กต็ อ่ เมอื่ AB= A - B =  ตอ่ เมอ่ื AB 9. คณุ สมบัติที่เก่ียวกับเพาเวอร์เซต P(A)   ก็ตอ่ เมือ่ A เป็นเซตใดๆ ใน ������  P(A) A P(A) จำนวนสมาชกิ ท่เี ปน็ สบั เซตทัง้ หมดในเซต A ทีเ่ ป็นเพาเวอร์เซต = 2n เม่อื n เปน็ จำนวนสมาชิกท้งั หมดใน เซต A ถ้า A  B แลว้ P(A)  P(B) P(A) P(B) = P(A B) (สมาชกิ P(A B) มากกวา่ P(A) P(B) ) P(A) P(B)  P(A B)

3 10. จำนวนสมาชิกของเซตในแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ n(A B) = n(A) +n(B) - n(A B) n(A B C) = n(A) +n(B) +n(C) - n(A B) - n(A C) - n(B C) + n(A BC) ตวั อย่างท่ี 1 บริเวณทีแ่ รเงาในแผนภาพตอ่ ไปน้ี แสดงถงึ เซตใด C ������ 1. A - (B  C) 2 2. (A - C) B 1 47 5 6 3 3. C  (A B) B A8 4. (C - A) B วิธีคิด ใส่สมาชกิ เซตให้ครบต้ังแต่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ลงในภาพ ลองข้อ 1, B  C = {1, 2, 4, 5, 6, 7} , (B  C) = {3, 8} A - (B  C) = {5, 6, 7} ผิด ลองขอ้ 2, A - C = {3, 6} , (A - C) B = {3, 6,1, 4, 7} ผดิ ลองข้อ 3, C = {1, 6, 3, 8} , (A B) = {6, 7} C  (A  B) = {6} ผดิ ลองขอ้ 4, (C - A) = {2, 4} , (C - A) = {1, 3, 5, 6, 7, 8} (C - A)  B = {1, 6, 7} ถกู ตอบ ข้อ 4 ตัวอยา่ งที่ 2 กำหนดให้ A, B, C เซตของจำนวนจริง โดยท่ี A = [- 2 , 2) B = (-, - 12]  (25 , ) 3 C = [-3, 1) จงหา ก. C - (B  A) ข. A - (B  C) ค. (C B) - A

4 วิธคี ิด เขียนกราฟเส้นจำนวนจรงิ ของแตล่ ะเซต แล้วแสดงการกระทำ C B B A -3 0 1 2 ก. C - (B  A) (B  A = A  B = A - B) (ทึบ - ใส = ทึบ) เน่อื งจาก คำตอบ [-3, - 12] B  A = A  B = A - B -3 C A-B 012 ข. A - (B  C) C (ทึบ = ใส, ใส = ทึบ) A B B -3 01 2 คำตอบ [- 2 ,1) 3

5 ค. (C B) - A C B = (C B) เนือ่ งจาก A -3 0 1 2 ตวั อย่างที่ 3 จงแรเงาตามเซตทก่ี ำหนดใหด้ งั ตอ่ ไปนี้ ตอบ [2, 25] ก. (A C) - (B C) ข. (A  C) B A B ������ ค. (A B)  (B  C) C ง. (B  C) - (A B) วธิ ีคดิ ใส่สมาชกิ ลงในชอ่ งว่างของเซตในรปู แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ เปน็ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 โดยให้ ������ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {1, 4, 5, 7} A B ������ B = {2, 4, 6, 7} 1 42 C = {3, 5, 6, 7} 57 6 ดำเนินการใส่สมาชิกตามเซต 3 C8 ที่โจทย์กำหนดแล้วแรเงา ผลลัพธ์

ก. (A C) - (B C) 6 ������ A C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} B C = {6, 7} ตอบ (A  C) - (B  C) = {1, 3, 4, 5} ข. (A  C) B ������ A C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} ตอบ B = {1, 3, 5, 8} (A  C) B = {1,3,5} ค. (A  B)  (B  C) ������ A B = {4, 7} ตอบ B C = {1,3,5,8} {3,5,6,7} = {1, 3, 5, 6, 7, 8} (A B)  (B C) = {1,3,4,5,6,7,8} ง. (B  C) − (A B) ตอบ B C = {2,3,4,5,6,7} A B = {2,3,6,8}  {2,4,6,7} = {2, 6} (B  C) - (AB) = {3,4,5,7} ตวั อย่างที่ 4 ถา้ A มีสบั เซตแท้ 511 เซต แลว้ เซต A มสี มาชกิ กต่ี ัว และในจำนวน 511 เซตน้ัน สับเซตท่มี ี สมาชกิ 5 ตัว มกี ่ีเซต วธิ ีคิด สตู ร จำนวนสับเซต = 2n [n = จำนวนสมาชกิ ของเซต] จำนวนสับเซตแท้ = 511 เซต (สับเซตแทไ้ ม่รวมตัวมันเอง)

7 แสดงว่าจำนวนสบั เซตรวม = 511 + 1 = 512 เซต ดังน้นั 2n = 512 2n = 29 n=9 ตอบ เซต A มสี มาชกิ 9 ตัว กรณี สับเซตทมี่ สี มาชกิ 5 ตัว จากทั้งหมด 9 ตวั หาไดจ้ ากวิธกี ารจัดหมู่ 9 ตัว เลือก 5 ตัว ไม่เรียง ( )C9,5 = 9 = (9 9! = 9! = 9×8×7×6×5 [5 ตัว] 5 - 5)!5! 4!5! 1×2×3×4×5 ( )= 126 n (n - 1) Cn,r =  12  (n - 2)...rตัว  3...rตัว ตอบ สบั เซตทีม่ ีสมาชกิ 5 ตวั = 126 เซต ตัวอยา่ งท่ี 5 ถ้า A = {, {}, 0, {{}, 0}, {, {0}}, {{, {0}}} แล้ว ก. n(P(A)) เท่ากับเท่าใด ข. n(P(A)-A} เท่ากับเท่าใด วธิ ีคิด ตอ้ งหาจำนวนสมาชิก (n) ในเซต A ใหไ้ ด้วา่ มกี ต่ี วั สมาชกิ A = , {}, 0, {{}, 0}, {, {0}}, {{, {0}}} n(A) = 6 ตัว ก. ดงั น้ัน n(P(A)) = 26 = 64 (จำนวนสับเซต = 2n ) ข. P(A) - A ตอ้ งหาวา่ P(A)  A มีก่ตี ัวแล้วลบออก เพราะ P(A) - A = P(A) - (P(A) A) หา P(A) ที่ซ้ำกับ A สมาชิก A =  แลว้ สมาชกิ P(A) มี  ซ้ำกับ  ใน A สมาชกิ A = {{},0} แลว้ สมาชกิ P(A) = {{}, 0} ซำ้ กบั {{}, 0} ใน A สมาชกิ A = {} แลว้ สมาชกิ P(A) = {} ซำ้ กบั {} ใน A สมาชกิ A = {{, {0}}} แล้วสมาชิก P(A) = {{, {0}}} ซ้ำกับ {{, {0}}} ใน A รวมซำ้ กนั ระหว่างสมาชกิ ใน A กบั สมาชิกใน P(A) 4 ตวั

ดงั นนั้ n(P(A) - A) = 64 - 4 = 60 ตัว 8 ตอบ ตวั อยา่ งที่ 6 นกั ท่องเท่ยี วกลุ่มหนงึ่ ไปพักผอ่ นทหี่ ัวหิน ตลอดช่วงการพักผ่อนพวกเขาสังเกตว่า มีฝนตก 7 วัน ในช่วงเช้าหรือชว่ งเย็น ถา้ วันใดฝนตกช่วงเชา้ แลว้ จะไม่ตกในช่วงเยน็ มี 6 วัน ท่ีพบวา่ ฝนไมต่ กในช่วงเช้า และ มี 5 วนั ทฝ่ี นไมต่ กในช่วงเยน็ ถามวา่ นักทอ่ งเท่ียวกล่มุ นไี้ ปพักผ่อนท่หี วั หินก่วี ัน วิธคี ดิ วาดรปู แผนภาพเวนน์ - ออยเลอรช์ ่วย ช ย ������ ช = ฝนตกชว่ งเช้า ab ย = ฝนตกชว่ งเย็น x = จำนวนวนั ทฝี่ นไม่ตก x ทง้ั ช่วงเชา้ และเย็น ถ้าวนั ใดฝนตกชว่ งเชา้ แล้วจะไม่ตกชว่ งเยน็ แสดงวา่ 2 วงกลม ไมซ่ อ้ นกนั 6 วนั ฝนไม่ตกในช่วงเชา้ b+x=6 ---------- 5 วัน ฝนไมต่ กในช่วงเย็น a+x=5 ----------  +  , b + a + 2x = 11 ---------- แต่ 7 วนั ฝนตกทง้ั ช่วงเชา้ และช่วงเย็นรวมกนั a+b=7 แทนใน  7 + 2x = 11 (ดงั นนั้ 2x = (6 + 5) - 7) 2x = 11 - 7 (x = 2) 2x = 4 x = 4 = 2 2 แสดงวา่ นักทอ่ งเที่ยวกล่มุ น้ไี ปพกั ผอ่ นท่ีหวั หนิ = a + b + x = 7 + 2 = 9 วัน ตอบ ตัวอยา่ งที่ 7 จำนวนเตม็ ต้ังแต่ 0 ถึง 100 มกี ีจ่ ำนวนที่หารด้วย 2 และ 3 และ 5 ไมล่ งตวั วธิ คี ดิ หาจำนวนทห่ี ารด้วย 2, 3 และ 5 ลงตัวก่อนแล้วค่อยลบออก

9 ( )= หารดว้ ย 2 ลงตัว 100 - 2 + 1 = 50 ตัว an = a1 + (n - 1)d 2 หารด้วย 3 ลงตัว ( )=99 - 3 + 1 = 33 ตวั หรือ n =  an - a1  + 1 3  d  ( )= หารดว้ ย 5 ลงตวั 100 - 5 + 1 = 20 ตวั a1 = ตัวแรกท่ีหารด้วย d ลงตัว 5 an = ตวั สดุ ท้ายที่หารด้วย d ลงตวั ( )หารดว้ ย 2 × 3 = 6 ลงตวั =96 - 6+ 1 = 16 ตวั 6 ( )หารดว้ ย 2 × 5 = 10 ลงตัว = 100 - 10 + 1 = 10 ตัว 10 ( )หารด้วย 3 × 5 = 15 ลงตวั =90 - 15+ 1 = 6 ตวั 15 ( )หารด้วย 2 × 3 × 5 = 30 ลงตัว=90 - 30+ 1 = 3 ตวั 30 ดังนนั้ จากสตู ร n(A B C) = n(A) +n(B) +n(C) - n(A B) - n(A C) - n(B C) +n(A B C) = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 จำนวนทห่ี ารด้วย 2, 3 และ 5 ลงตวั = 74 ตวั รวมกับ 0 ที่ถูกหารลงตัว รวมเปน็ 75 ตวั ดังนน้ั จำนวนตงั้ แต่ 0 ถงึ 100 ที่หารดว้ ย 2, 3 และ 5 ไม่ลงตวั = จำนวนท้ังหมด - จำนวนที่หารด้วย 2, 3 และ 5 ลงตัว = 101 - 75 = 26 ตวั ตอบ ตวั อย่างท่ี 8 โรงเรยี นแหง่ หนึ่งมนี กั เรยี น 80 คน และมชี มรมกีฬา 3 ชมรม คอื ฟุตบอล กรีฑา และวา่ ยนำ้ นักเรยี นทุกคนตอ้ งเปน็ สมาชกิ อยา่ งน้อย 1 ชมรม ถา้ มนี กั เรยี น 30 คน ท่ีไมเ่ ปน็ สมาชิกชมรมวา่ ยน้ำ มนี ักเรียน 20 คน ที่เปน็ สมาชิกชมรมว่ายนำ้ แต่ไม่เป็นสมาชิกชมรมฟุตบอล และมนี กั เรียน 18 คน ทเ่ี ป็นสมาชิกท้งั ชมรมฟตุ บอล และชมรมวา่ ยน้ำแตไ่ มเ่ ป็นสมาชิกชมรมกรฑี า แลว้ จำนวนนักเรียนที่เป็นสมาชกิ ทั้ง 3 ชมรม เทา่ กับข้อใด 1. 8 2. 12 3. 14 4. 15

10 วธิ ีคิด วาดรปู แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แล้วแรเงาตามโจทย์ ฟ = ชมรมฟตุ บอล 30 ก = ชมรมกรีฑา ว = ชมรมวา่ ยน้ำ 20 x = จำนวนนักเรียนที่เปน็ สมาชิกทง้ั 3 ชมรม นักเรยี นทุกคนต้องเปน็ สมาชิกอยา่ งน้อย 1 ชมรม แสดงวา่ นอกวงกลม = 0 30 คน ไม่เป็นสมาชกิ ชมรมวา่ ยนำ้ 20 คน เปน็ สมาชิกชมรมว่ายน้ำ แต่ไม่เปน็ สมาชกิ ชมรมฟุตบอล 18 คน เป็นสมาชิกชมรมฟุตบอล และชมรมวา่ ยน้ำ แตไ่ ม่เปน็ สมาชกิ ชมรมกรฑี า ดงั นน้ั แรเงาทัง้ หมด และ x ในวงกลม = 80 หรือ 30 + 20 + 18 + x = 80 x = 12 ตอบ ขอ้ 2 ตวั อย่างท่ี 9 สำหรับเซต X ใดๆ ให้ X แทนจำนวนสมาชิกของ X ให้ A, B, C เปน็ เซตซ่ึง A B  C = 100 และมีสมบตั ิดังแผนภาพน้ี ถ้า A - B = 6 และ (B  C) - A มีค่าเท่ากับเทา่ ไร ดูรปู วิธคี ดิ สมมตใิ ห้ a, b ตามรปู จากรูปแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ A B ������ สรา้ งสมการให้ a, b เป็นจำนวนตามรปู a 20 b 22 23 11 A - B =6 9C (a + 20 + 22 + 23) - (b + 20 + 11 + 23) = 6 (a + 65) - (b + 54) = 6 a + 65 - b - 54 = 6 a - b = 6 - 65 + 54 a - b = -5 ---------- A  B  C = 100

11 a + b + 9 + 20 + 22 + 11 + 23 = 100 a + b + 85 = 100 a + b = 100 - 85 a + b = 15 ---------- + 2a = (-5) + 15 2a = 10 a = 10 = 5 2 แทน a ใน  , 5 + b = 15 b = 15 - 5 b = 10 จากคำถาม (B  C) - A = b +11 + 9 = 10 + 11 + 9 = 30 ตอบ

12 จำนวนจริง จำนวนจรงิ (R) จำนวนตรรกยะ (Q) จำนวนอตรรกยะ ไดแ้ ก่ จำนวนทศนิยมไมร่ ้จู บไม่ซ้ำ จำนวนเต็ม (Ι) จำนวนเศษสว่ น ค่าประมาณ เช่น ประมาณ จำนวนทศนิยมรู้จบ หรอื จำนวนทศนิยมไม่รูจ้ บซ้ำ จำนวนเตม็ บวก จำนวนเตม็ ศนู ย์ จำนวนเต็มลบ (0) 1. เซตของจำนวนจรงิ (R) หมายถึง เซตของจำนวนท่ีมีจรงิ ในระบบ 2. เซตของจำนวนไมจ่ ริง หรือจำนวนจินตภาพ (Im) หมายถึง เซตของจำนวนที่ไมม่ จี รงิ ในระบบ 3. เซตของจำนวนตรรกยะ คอื เซต ของจำนวนท่ีสามารถทำเป็นเศษสว่ นได้ ทำใหห้ าค่าแนน่ อนได้ 4. เซตของจำนวนอตรรกยะ คอื เซตของจำนวนทีไ่ ม่สามารถทำเปน็ เศษส่วนได้ ทำให้เปน็ คา่ ประมาณหาคา่ แน่นอนไม่ได้ 5. คณุ สมบัติของจำนวนจรงิ สมบัตสิ ะท้อน  a=a สมบตั กิ ารสมมาตร  a = b แล้ว b = a สมบัติการถ่ายทอด  a = b และ b = c แล้ว a = c สมบตั ิการเทา่ กัน  a = b แล้ว a + c = b + c a = b แลว้ a × c = b × c สมบตั ิปิดของการบวก  จำนวนจริง + จำนวนจรงิ ไดจ้ ำนวนจรงิ สมบัติปิดของการคณู  จำนวนจริง × จำนวนจริง ไดจ้ ำนวนจรงิ สมบัตสิ ลับทกี่ ารบวก  a + b = b + a และการคณู a × b = b × a สมบัตกิ ารเปล่ยี นกล่มุ หรือ  (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c จดั หมู่การบวก และการคูณ (a × b) × c = a × (b × c) = a × b × c

13 สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์การบวก  a + 0 = a 0 เป็นเอกลักษณก์ ารบวก และการคณู a× 1 =a 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ สมบตั กิ ารมีอินเวอร์สการบวก  a + - a = 0 (เอกลักษณ์) -a เปน็ อินเวอร์สการบวก และการคูณ a× 1 =1 (เอกลักษณ์) 1 เป็นอินเวอร์สการคูณ a a สมบัติการแจกแจง  a × (b + c) = (ab) + (ac) 6. คุณสมบตั ิของจำนวนตรรกยะ / อตรรกยะ / จำนวนเต็ม ก็คิดแบบเดยี วกัน ลองทำดจู ะรู้ว่ามีสมบตั ติ า่ งๆ หรือไม่ บางอนั ก็ไมไ่ ด้ เช่น จำนวนเต็มมีอนิ เวอรส์ การบวกแตไ่ ม่มีอินเวอร์สการคูณ ดังนี้ 5+ -5 = 0 (เอกลักษณก์ ารบวก) แต่ 5× 1 = 1 (เอกลกั ษณก์ ารคูณ) 5 มีอนิ เวอรส์ การบวก 1 ไม่มีอินเวอร์สการคณู เพราะ 5 ไม่ใชจ่ ำนวนเต็ม สรปุ จำนวนใดมีคุณสมบัติอินเวอรส์ ของการกระทำใด ต้องสามารถแสดงการกระทำน้นั ๆแล้วได้ คา่ เอกลกั ษณข์ องการกระทำนน้ั เสมอ 7. การแก้สมการ ตัวแปรเดียว ง่าย ยา้ ยข้าง บวก ยา้ ยไป ลบ / ลบ ย้ายไป บวก เมอื่ บวกลบกัน คณู ย้ายไปหาร / หาร ยา้ ยไป คูณ เมอ่ื คณู หารกัน X2 → ต้องย้ายขา้ งมาขา้ งเดยี วใหห้ มด อกี ข้างเท่ากับ 0 แล้วแยกตวั ประกอบใหค้ ูณกันใหห้ มด แล้วแก้สมการต่อหาค่า X X3 → ใช้ทฤษฎีเศษเหลอื แยกตวั ประกอบ สว่ นอีกขา้ งเทา่ กับ 0 ตวั อย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 2x2 + 5x + 2 = 0 วิธีคดิ 2x + 4x +2 x + x +1

14 (2x + 1)(x + 2) = 0 2x + 1 = 0 หรอื x + 2 = 0 2x = -1 หรอื x = -2 x = - 1 หรอื x = -2 2 ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาคา่ x จากสมการ 2x2 - 6x - 3 = 0 วิธีคิด 2x2 - 6x - 3 = 0 แยกตัวประกอบตามตวั อย่าง 1 ไมไ่ ด้ จงึ จำเป็นต้องใชส้ ตู ร สูตร ax2 + bx + c = 0 x = -b ± b2 - 4ac 2a แทนค่า a = 2, b = -6, c = -3 = -(-6) ± (-6)2 - 4(2)(-3) 2(2) ( 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2 15) = 6 ± 36 + 24 = 6± 60 4 4 = 6±2 15 4 = 2(3 ± 15) (ดึงตวั ร่วม 2 ออกมาตดั กบั 4 ได)้ 4 2 = 3 ± 2 15 ตอบ x = 3 + 2 15 , x = 3 - 2 15 ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคา่ x จากสมการ x3 - 5x2 - 4x + 20 = 0 วิธีคดิ ลองแทนคา่ x ดู, ดูจากตวั ประกอบของ 20 หารดว้ ยตวั ประกอบหนา้ x3 พจิ ารณาทงั้ +, - ตัวประกอบของ 20 → ±1,±2,±4,±5,±10,±20 และตวั ประกอบของ 1 = ±1 ลอง x = 1  = 13 - 5(1)2 - 4(1) + 20 (x = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20) ±1 = 1- 5 - 4 + 20  0 ไมใ่ ชต่ ัวประกอบ ลอง x = -1  = (-1)3 - 5(-1)2 - 4(-1) + 20

15 = -1- 5 + 4 + 20  0 ไมใ่ ชต่ วั ประกอบ ลอง x = 2  = 23 - 5(2)2 - 4(2) + 20 x - 2 = 0 = 8 - 20 - 8 + 20 = 0 แสดงวา่ x - 2 x3 - 5x2 - 4x + 20 ใช้ทฤษฎีเศษเหลือ เป็นตวั ประกอบ x-2 หาตวั ประกอบทเ่ี หลอื x - 2 หาร x3 - 5x2 - 4x + 20 ลงตัว ไมเ่ หลอื เศษ โดยเอา x - 2 ไปหาร x3 x2 x 1 -5 -4 20 + ++ x = 2 2 -6 -20 1 -3 -10 0 เศษ แสดงวา่ x - 2 เป็นตวั ประกอบของ x3 - 5x2 - 4x + 20 และผลลัพธ์ x2 - 3x - 10 สามารถแยกตวั ประกอบ x2 - 3x - 10 ได้ x -5x -5 x +2x +2 หรอื x - 5 = 0 หรือ x = 5 x2 - 3x -10 = (x + 2)(x - 5) สรปุ x3 - 5x2 - 4x + 20 = 0 (x - 2)(x + 2)(x - 5) = 0 x - 2 = 0 หรอื x + 2 = 0 x = 2 หรอื x = -2 ตอบ x = -2, 2, 5

16 ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตัวประกอบ x4 + 6x3 + 7x2 - 12x - 18 วธิ ีคดิ ตวั ประกอบของ 18 คอื ±1,±2,±3,±6,... ตัวประกอบของ 1 คือ ±1 ลองสมมติ x = 1, แทนค่า  = 14 + 6(1)3 + 7(1)2 - 12(1) - 18 = 1+ 6 + 7 -12 -18  0 x = -1, แทนค่า  = (-1)4 + 6(-1)3 + 7(-1)2 - 12(-1) - 18 x = 2, แทนค่า  = 1- 6 + 7 +12 -18  0 = 24 + 6(2)3 + 7(2)2 - 12(2) - 18 = 16 + 48 + 28 - 24 -18  0 x = -2, แทนคา่  = (-2)4 + 6(-2)3 + 7(-2)2 -12(-2) -18 = 16 - 48 + 28 + 24 -18  0 x = -3, แทนค่า  = (-3)4 + 6(-3)3 + 7(-3)2 -12(-3) -18 = 81 – 162 + 63 + 36 – 18 = 0 แสดงวา่ x = -3 หรอื x + 3 = 0 เป็นตวั ประกอบของ x4 + 6x3 + 7x2 - 12x - 18 ดังน้ัน ถ้าเอา x + 3 ไปหาร x4 + 6x3 + 7x2 - 12x - 18 ยอ่ มลงตัว หาผลหารโดยใชท้ ฤษฎีเศษเหลือ x4 x3 x2 x 1 6 7 -12 -18 x = -3 + + ++ -3 -9 6 18 1 3 -2 -6 0 เศษ แสดงว่า x + 3 เปน็ ตัวประกอบ x4 + 6x3 + 7x2 - 12x - 18 และผลลัพธ์ 1x3 + 3x2 - 2x - 6 ตอ้ งแยกตัวประกอบตอ่ ลองแทน x = -3 ซ้ำอีกครั้ง = (-3)3 + 3(-3)2 - 2(-3) - 6 = -27 + 27 + 6 - 6 = 0 แสดงว่า x = -3 หรอื x + 3 = 0 เป็นตัวประกอบของ 1x3 + 3x2 - 2x - 6

17 x3 x2 x 1 3 -2 -6 + ++ x = -3 -3 0 6 1 0 -2 0 เศษ แสดงว่า x + 3 เปน็ ตวั ประกอบของ x3 + 3x2 - 2x - 6 ผลลพั ธ์ x2 + 0x - 2 = x2 - 2 หรอื x2 - 2 แยกไม่ไดแ้ ลว้ ตอบ x4 + 6x3 + 7x2 -12x -18 = (x + 3)(x + 3)(x2 - 2) ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบ 3x3 - 2x2 - 3x + 2 วธิ คี ิด x = ตัวประกอบของ 2 = ±1, ±2 ตัวประกอบของ 3 ±1, ±3 ลองสมมติ x = ±1 = ±1 ลองแทนคา่ ±1 x = ±1 = ± 1 ±3 3 x = ±2 = ±2 ±1 x = ±2 = ± 2 ±3 3 x = 1  = 3(1)3 - 2(1)2 - 3(1) + 2 =3-2-3+2=0 หรอื ลองแทนค่า x = 2  = 3(23)3 - 2(23)2 - 3(23) + 2 3 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 9 9 x = 1 หรอื x - 1 =0 แสดงว่า x - 1 เป็นตวั ประกอบของ 3x3 - 2x2 - 3x + 2 x= 2 หรือ x- 2 = 0 แสดงวา่ x- 2 เปน็ ตวั ประกอบของ 3x3 - 2x2 - 3x + 2 3 3 3

18 ลองเอา x - 1 หาร 3x3 - 2x2 - 3x + 2 x = 1 x3 x2 x 3 -2 -3 2 + ++ x = 1 3 1 -2 3 1 -2 0 เศษ แสดงวา่ x - 1 หาร 3x3 - 2x2 - 3x + 2 ผลลัพธ์ 3x2 + x - 2 ดังนนั้ (x - 1)(3x2 + x - 2) = 3x3 - 2x2 - 3x + 2 แยกตัวประกอบ 3x2 + x - 2 ต่อ 3x +3x +1 x -2x -2 ดังน้ัน 3x2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1) ตอบ 3x3 - 2x2 - 3x + 2 = (x - 1)(3x - 2)(x +1)

19 8. ช่วง ab ab [a, b] = {x / a  x  b} ab (a, b] = {x / a < x  b} ab [a,b) = {x / a  x < b} a ab (a,b) = {x / a < x < b} a (a, ) = {x / x > a} a (-, a) = {x / x < a} 0 [a, ) = {x / x  a} a (-, a] = {x / x  a} (-, ) = {x / x R} (-, a)  (a, ) = {x / x  a}

9. การหาเซตคำตอบของอสมการ 20 ตัวอย่างที่ 6 จงหาเซตคำตอบของ -3  2x -1  5 ตอบ วธิ ีคิด ทำไปพรอ้ มๆกนั ได้ เพราะมี x อยู่ตรงกลาง หัว ท้าย ไมม่ ี x +1 ตลอด, -3  2x -1  5 -3 +1  2x-1+1  5 +1 -2  2x  6 2 หารตลอด, -2  2x  6 2 2 2 -1  x  3 -1 3 เซตคำตอบ = [-1, 3] ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาเซตคำตอบของ x2 - 4x > -3 วิธคี ิด ต้องทำให้ ข้างหนง่ึ เปน็ 0 x2 - 4x + 3 > 0 แยกตวั ประกอบใหค้ ณู กัน x -3x -3 x -x -1 (x - 1)(x - 3) > 0 หาค่าวิกฤต x-1=0 x-3=0 x=1 x=3

21 ⊕ ⊖⊕ ( - )( - ) ( + )( - ) ( + )( + ) 13 13 ตอบ เซตคำตอบ (- ,1)  (3, ) ตัวอย่างท่ี 8 จงหาเซตคำตอบของ x +1 <7 x-2 วิธคี ดิ ตอ้ งย้าย 7 มาขา้ งซ้าย ใหข้ า้ งขวา เปน็ 0 กอ่ น x +1 - 7 < 0 x -2 1(x + 1) - 7(x - 2) < 0 x - 2 x + 1- 7x + 14 < 0 x -2 -6x + 15 < 0 x -2 ห้ามย้าย x - 2 ไปคูณข้างขวา เพราะ x - 2 อาจเป็นลบ เครอ่ื งหมายมากกวา่ ต้องเปลีย่ นเป็นน้อยกว่า หรอื เปลีย่ นนอ้ ยกว่าเปน็ มากกว่า ดงั น้ัน ตอ้ งคูณด้วย (x - 2)2 ทั้งสองขา้ ง แต่มีข้อแม้ x - 2  0 เพราะ x - 2 =0 แลว้ 0 หารอะไรไมไ่ ด้ (x - 2)2(-6x + 15) < (x - 2)2 0 (x - 2) (x - 2)(-6x + 15) < 0 (แต่ x  2 รอตอบ) (x - 2)(-(6x -15)) < 0  x - 2  0

22 (-1) คูณตลอด (x – 2)(6x – 15) > 0  x2 ค่าวกิ ฤต , x – 2 = 0 , 6x – 15 = 0 เซตคำตอบ เซตคำตอบ x = 2 , x = 15 = 5 2 6 2 เซตคำตอบ (- ,2)  (25 , ) ตอบ ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาคำตอบของ x -1 0 x3 - 5x2 + x - 5 วิธคี ดิ สังเกต (x - 5) เปน็ ตวั ประกอบได้ x3 - 5x2 + x - 5 = (x3 - 5x2) + (x - 5) = x2(x - 5) +1(x - 5) (จับคู่ดึงตัวรว่ มออก) = (x - 5)(x2 +1) (x - x -1 + 1)  0 5)(x2 x2 +1 เป็นบวกเสมอ สามารถย้ายข้างได้ หรอื คูณทั้ง 2 ขา้ งได้ (x - 1)(x2 + 1)  0  (x2 + 1) (x - 5)(x2 + 1) x - 1  0 x - 5 หา้ มย้าย x - 5 เพราะ อาจเป็นลบต้องเอา (x - 5)2 คณู ท้ัง 2 ขา้ ง และ x - 5  0 เพราะ ตวั หารเป็น 0 ไมไ่ ด้ (x - 5)2 (x - 1)  0  (x - 5)2  x-50 (x - 5) (x - 5)(x - 1)  0  x5 หาค่าวกิ ฤต x เมอ่ื f(x) = 0, x - 5 = 0 หรือ x - 1 = 0

23 x = 5 หรอื x=1 ⊕ ⊖⊕ ( - )( - ) ( + )( - ) ( + )( + ) 15 เซตคำตอบ เซตคำตอบ 15 = [1, 5) = {x / 1  x < 5} ตอบ 10. ค่าสมั บรู ณ์ ถา้ x = 0 x =0 ถา้ x > 0 (+) x = x ถา้ x < 0 (-) x = -x x 0 x = -x x x x+y  x + y x-y  x - y xy = x y x = x เม่ือ y  0 (ตัวหารเปน็ 0 ไมไ่ ด)้ y y เพราะเปน็ 0, + เสมอ x 2 = x2 แล้ว x = 5, -5 แลว้ -5  x  5 -5 5 x =5 แล้ว x  -5 หรือ x  5 x 5 -5 5 x 5 -5 5

24 ตัวอย่างท่ี 10 จงหาคำตอบของอสมการ 6x - 3  5 วิธีคิด -5  6x - 3  5 +3 ตลอด, -5 + 3  6x - 3 + 3  5 + 3 (ทำพร้อมกนั ได้) -2  6x  8 6 หาร, - 2  6x  8 เซตคำตอบ 6 6 6 - 1  x  4 3 3 - 1 , 4  หรือ {x / - 1  x  43} ตอบ 3 3  3 ตัวอย่างที่ 11 จงหาเซตคำตอบของอสมการ  2x + 4 > 0  2x > -4 x - 3 < 2x + 4 +-+ -(2x + 4) 2x + 4 -(2x + 4) < x - 3 < 2x + 4 -2x - 4 < x - 3 < 2x + 4 แยกกนั คดิ x > - 4 2 -2x - 4 < x - 3  x - 3 < 2x + 4  x > -2 -4 + 3 < x + 2x  - 3 - 4 < 2x - x  x > -2 -1< 3x  - 7 < x  x > -2 - 1 < x  -7<x  x > -2 3 เซตคำตอบ -7 -2 ( )  เซตคำตอบ= - 1 ,  หรอื x / x > - 1 ตอบ 3 3

ตวั อย่างที่ 12 จงหาเซตคำตอบของอสมการ 5x - 1 < x + 3 25 วิธีคดิ มี 2 วธิ ี ยกกำลงั 2 ทง้ั 2 ขา้ ง กับพิจารณาเปน็ กรณี ตอบ วธิ ีท่ี 1 กรณนี ี้ ยกกำลงั สองทงั้ 2 ขา้ งได้ ไม่ทำใหอ้ สมการเปลยี่ นไป ∴ x2 = x 2 = (x)2 5x - 1 < x + 3 5x - 1 2 < x + 3 2 (5x -1)2 < (x + 3)2 ยา้ ยข้างใหเ้ ปน็ กำลังสองลบกัน สตู ร A2 - B2 = (A - B)(A + B) (5x -1)2 - (x + 3)2 < 0 [(5x - 1) - (x + 3)] [(5x - 1) + (x + 3)] < 0 (5x - 1 - x - 3)(5x - 1 + x + 3) < 0 (4x - 4)(6x + 2) < 0 หาคา่ วิกฤต 4x - 4 = 0 หรือ 6x + 2 = 0 4x = 4 หรอื 6x = -2 x = 4 = 1 หรือ x = - 2 = - 1 4 6 3 ⊕ ⊖⊕ ( - )( - ) ( + )( - ) ( + )( + ) ( )เซตคำตอบ - 1 < x < 1 หรือ - 1 , 1 1 3 3 วิธีที่ 2 พิจารณา 2 กรณี แล้วตอบทงั้ 2 กรณี กรณี  เครอื่ งหมายหนา้ ค่าสัมบูรณเ์ หมอื นกนั ท้ัง 2 ตวั (5x - 1) < (x + 3) 5x - x < 3 + 1 4x < 4 x < 1 ----------

26 กรณี  เครอ่ื งหมายหนา้ คา่ สมั บูรณต์ รงข้ามกันทั้ง 2 ตัว -(5x - 1) < (x + 3) -5x + 1 < x + 3 1 - 3 < x + 5x -2 < 6x x > - 2 6 x > - 1 ---------- 3 เซตคำตอบ 1 เซตคำตอบ - 1 < x < 1 ตอบ 3 ตวั อย่างที่ 13 จงหาค่า x ท่ีทำให้ x x +1 1 = 5 +1 - วิธีคดิ มี 2 วธิ ี วธิ ที ี่ 1 x x +1 1 = 5  x+1 -1  0 +1 - x+1 1 X + 1 = 5( X + 1 - 1) X+1 = 5 X+1 -5  x+1 1 5= 5 x+1 - x+1  x + 1  1 หรอื x +1  -1  x  0 หรือ x  -2 5= 4 x+1 5 = x +1 4 x + 1 = 5 หรอื x + 1 = - 5 4 4

x = 5 - 1 หรือ x = - 5 - 1 27 4 หรือ 4 x  0 หรอื x  -2 x = 1 x = - 9  4 4 (ไม่ต้องตอบเพราะไมม่ ีผล) ตอบ x = 1 หรือ x = - 9 4 4 วธิ ที ่ี 2 พิจารณาเปน็ กรณี x x +1 1 = 5 +1 - กรณี  ถ้า x + 1  0 แลว้ x +1 = x +1 กรณี  ถา้ x + 1 < 0 แลว้ x +1 = -(x +1) x  -1 -(x +1) 1 = 5 -(x +1) - (x +1) 1 = 5  -x -1 = 5 (x +1) - -x - 1-1 x + 1 = 5 -x - 1 = 5 x -x - 2 x + 1 = 5x  -x - 1 = 5(-x - 2) 1 = 5x - x -x - 1 = -5x - 10 1 = 4x -x + 5x = -10 + 1 1 = x ---------- 4x = -9 4 และ x +1 - 1  0 (ตัวหาร  0 )  x = - 9 ---------- 4 x+1 1 x + 1  1 หรอื x +1  -1 x  0 หรอื x  -2 ----------  ดงั นนั้ เซตคำตอบ = 1 , - 9 (จาก  ,  ,  ) ตอบ 4 4

28 ตวั อย่างท่ี 14 จงหาคำตอบของอสมการ 3x - 2 1 > 5 x+ 1 - วธิ ีคิด หาค่าวิกฤตที่ส่งผลต่อค่าสัมบรู ณ์   -1 หาคา่ วกิ ฤต, 3x - 2 = 0 , x + 1 = 0 3x = 2 , x = -1 x = 2 พจิ ารณาทงั้ 3 กรณี 3 กรณที ี่  ถา้ x  2 3 3x - 2 = (3x - 2) x + 1 = (x + 1) ดังนน้ั (3x - 2) > 5 (x +1) -1 3x - 2 > 5 x + 1 - 1 3x - 2 > 5 x ย้าย 5 มาฝ่ังซา้ ย เพ่อื ให้ฝั่งขวาเปน็ 0 3x - 2 - 5 > 0 x 1 3x - 2 - 5x > 0 x -2x - 2 > 0 x x2 คณู ทัง้ สองขา้ ง (x2) -2x - 2 > (x2)0  x0 x x(-2x - 2) > 0 x[-(2x + 2)] > 0 (-1) คูณทง้ั สองขา้ งพรอ้ มเปลี่ยนเครือ่ งหมาย x(2x + 2) < 0  x  0 หาคา่ วิกฤต, x = 0 2x + 2 = 0

29 x = - 2 = -1 2 +-+ -1 0 ตอบ (-1, 0) กรณีที่  ถ้า -1  x < 2 แล้ว 3x - 2 = -(3x - 2) 3 x+1 = x+1 ดังนั้น -(3x - 2) > 5 (x +1) -1 3x + 2 > 5 x+ 1 - 1 -3x + 2 > 5 x -3x + 2 - 5 > 0 x -3x +2 - 5x > 0 x x2 คูณทง้ั สองขา้ ง (x2) (-8x + 2) > (x2)0  x0 x x[ -(8x - 2)] > 0 (-1) คูณทง้ั สองข้าง, x (8x - 2 ) < 0 หาค่าวกิ ฤต x = 0, 8x - 2 = 0 + - + 8x = 2 0 x = 2 = 1  x0 8 4 ( )ตอบ0,1 4

30 กรณี  ถ้า x < -1 แลว้ 3x - 2 = -(3x - 2) x + 1 = -(x + 1) -(3x - 2) > 5 -(x +1) - 1  x+20 -3x + 2 > 5 x  -2 -x - 1 - 1 เซตคำตอบ -3x +2 > 5 -6 -2 -x -2 ลบ = บวก , -(3x - 2) > 5 ลบ -(x + 2) 3x - 2 - 5 > 0 x+ 2 (3x - 2) - 5(x + 2) > 0 x +2 3x - 2 - 5x - 10 > 0 x +2 -2x - 12 > 0 x+2 (x + 2)2(-2x - 12) > 0  (x + 2)2 (x + 2) (x + 2)[-(2x + 12)] > 0 (-1) คูณทั้งสองขา้ ง, (x + 2)(2x + 12) < 0 (เปลย่ี นเครือ่ งหมาย) หาค่าวิกฤต x + 2 = 0 หรอื 2x + 12 = 0 x = -2 x = -6 ตอบ (-6, -2)   -6 -2 -1 0 2 4 ตอบ (-6, -2)  (-1, 0)  (0, 41)

31 ทฤษฎีจำนวนเบอ้ื งต้น 1. นิยาม : ถ้า m และ n เปน็ จำนวนเต็ม โดยท่ี n  0 แลว้ n หาร m ลงตวั กต็ ่อเม่ือ มี c เปน็ จำนวน เต็ม ซึง่ m = nc เมือ่ n เป็นตวั หารของ m m เป็นพหุคูณหรือตวั ตั้งของ n 2. สญั ลักษณ์ : n / m หมายถึง n หาร m ลงตัว n \\ m หมายถงึ n หาร m ไม่ลงตัว 3. การหารลงตัว 1. ถ้า a / b และ b / c แลว้ a / c เมอื่ a, b และ c เป็นจำนวนเต็ม 2. ถ้า a และ b เปน็ จำนวนเตม็ บวก ซ่งึ a / b แล้ว a  b 3. ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนเตม็ ซ่งึ a / b และ a / c แล้ว a / (bx + cy) เมอื่ x และ y เปน็ จำนวนเตม็ ใดๆ 4. จำนวนเฉพาะ คอื จำนวนเต็มที่ x / p แล้ว x  {1, -1,p, -p} จำนวนประกอบ คือ จำนวนเตม็ ท่ไี ม่ใช่ 1 และไมใ่ ชจ่ ำนวนเฉพาะ 5. การหาร : ถ้า m, n   และ n  0 m = nq + r เม่อื q,r โดยท่ี 0  r < n 6. ห.ร.ม. : ให้ a และ b เปน็ จำนวนเต็มท่ี a  0 หรือ b  0 (หารร่วมมาก) 1) (a, b) = 1 หมายถึง a และ b มีตัวประกอบร่วม = 1 เท่านั้น เรยี ก a และ b เปน็ จำนวนเฉพาะสมั พัทธ์ 2) (a, b) = d เรียก d วา่ เปน็ ผลรวมเชงิ เส้นของ a และ b ดงั นั้น d = ax + by เมอื่ x และ y คือจำนวนเต็ม ตวั อย่าง (12, 20) = 4 สามารถเขยี นเป็นผลรวมเชิงเส้นได้ 4 = 12(2) + 20(-1) 3) เม่ือ จำนวนเตม็ a, b และจำนวนเฉพาะ p แล้ว จะได้ p / ab หรอื p / a หรือ p / b 7. ค.ร.น. : ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มท่ี a  0 หรือ b  0 (คูณร่วมน้อย) 1) [a, b] = c เรยี ก c ท่เี ป็นจำนวนเตม็ บวก ท่ีมีคา่ น้อยทีส่ ุด ซง่ึ a / c และ b / c วา่ เป็น ค.ร.น. ของ a และ b

32 8. ทฤษฎีบท : ถ้า a และ b เปน็ จำนวนเต็มบวกแล้ว 9. สมบตั ิของจำนวนเต็ม (Ι) ab = (a,b)[a,b] สมบัตกิ ารคูณ ให้ a,b, c  1. คุณสมบตั ิปิด สมบตั กิ ารบวก มี มี 2. คุณสมบตั กิ ารสลบั ที่ a+b a×b 3. คณุ สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์ มี มี 4. คณุ สมบัติการมอี นิ เวอรส์ a+b=b+a a×b=b×a 5. คณุ สมบัติการแจกแจง มี มี 0 เปน็ เอกลกั ษณ์การบวก 1 เปน็ เอกลกั ษณ์การคูณ 0+a=a 1×a=a มี ไมม่ ี a + (-a) = 0 เพราะ 1 ไมเ่ ปน็ จำนวนเตม็ a เอกลกั ษณ์การบวก และ a  0 มี a × 1 = 1 a a (b + c) = ab + ac เอกลกั ษณ์การคูณ ตัวอยา่ งท่ี 1 3 / 15 เพราะ 15 = 3 × 5 และ 5 เปน็ จำนวนเตม็ -4 / 12 เพราะ 12 = (-4) × (-3) และ -3 เปน็ จำนวนเต็ม 7 / 0 เพราะ 0 = 7 × 0 และ 0 เปน็ จำนวนเตม็ 8 / 3 เพราะ 3 = 8 × 3 และ 3 ไม่เป็นจำนวนเตม็ 8 8 ตวั อยา่ งท่ี 2 ให้ a,b, c  กำหนดให้ a / b และ b / c จงแสดงวา่ a / c วิธีคิด a / b จะไดว้ ่ามี m  ทท่ี ำให้ b = am ---------- b / c จะได้วา่ มี n ทที่ ำให้ c = bn ---------- แทน  b = am ใน  , c = (am) n

c = a(mn) เมือ่ mn 33 แสดงว่า a / c ตอบ ตวั อยา่ งท่ี 3 ถ้า a เป็นจำนวนคแี่ ล้ว จงแสดงวา่ 4 / (a2 - 1) วิธคี ดิ เนอ่ื งจาก a เปน็ จำนวนค่ี ดงั นน้ั a = 2n + 1 เมื่อ n a2 = (2n + 1)2 ตอบ a2 - 1 = (2n +1)2 - 1 = (4n2 + 4n +1) - 1 = 4n2 + 4n +1 -1 a2 -1 = 4(n2 + n) (n2 + n) แสดงวา่ 4 / (a2 -1) ตวั อยา่ งที่ 4 จงหา ห.ร.ม. ของ 153 และ 207 โดยใชข้ ั้นตอนของยูคลิค วิธีคดิ 207 = 153 (1) + 54 หรอื 1 207 153 2 153 = 54(2) + 45 ห.ร.ม. 153 108 54 = 45(1) + 9 1 54 45 5 45 = 9(5) + 0 45 45 90 ดงั น้ัน (153, 207) = 9 ตอบ ตวั อย่างที่ 5 จงหาจำนวนเตม็ บวกท่ีมีคา่ มากที่สุด ทห่ี าร 81, 441 และ 1089 แล้วมเี ศษเหลอื เทา่ กนั วธิ คี ดิ ให้ x + 81 = xk + r ---------- เมือ่ ให้ k   , r เปน็ เศษ 441 = xm + r ---------- m 1089 = xn + r ---------- n  -  , 360 = x(m - k)  แสดงว่า x / 360  -  , 648 = x(n - m)  แสดงว่า x / 648

34  -  , 1089 = x(n - k)  แสดงว่า x / 1089 ดังนั้น x จงึ เปน็ ตัวหารรว่ มของ 360, 648 และ 1008 (360, 648) = 72 (360, 648) 648 = 360(1) + 288 ห.ร.ม. (72, 1089) = 72 360 = 288(1) + 72 288 = 72(4) + 0  ตอบ (72, 1008) 1089 = 72(14) + 0  ดงั นัน้ (81, 441, 1089) เหลือเศษเทา่ กัน = 72 ตวั อยา่ งที่ 6 ถ้า d = (84, 100) จงเขยี น d เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 84 และ 100 วธิ คี ิด 100 = 84(1) + 16 ห.ร.ม. 84 = 16(5) + 4 16 = 4(4) + 0 (84, 100) = 4 4 = 84 - 16(5) ตอบ = 84 - (100 - 84(1))(5) = 84 - 100(5) + 84(5) 4 = 84(6) - 100(5) 4 = 6(84) - 5(100) ตัวอย่างท่ี 7 จงหาค่า m และ n ซงึ่ (54, 66) = 54m + 66n วิธีคดิ 66 = 54(1) + 12 ห.ร.ม. 54 = 12(4) + 6 12 = 6(2) + 0 (54, 66) = 6 6 = 54 - 12(4) = 54 - (66 - 54(1))(4) = 54 - 66(4) + 54(4) = 54(5) - 66(4)

= 54(5) + 66(-4) 35 m = 5, n = -4 ตอบ ตวั อย่างท่ี 8 จำนวนเต็ม a และ 132 มี ห.ร.ม. เป็น 4 และมี ค.ร.น. เป็น 924 จงหาค่า a วธิ คี ิด จาก (a, b) × [a, b] = a × b ห.ร.ม. × ค.ร.น. = เลข 2 จำนวนคณู กันเปน็ + เสมอ 4 × 924 = a ×132 4 × 924 = a 132 a = 28 ตอบ a = 28, a = -28 ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาจำนวนเต็มบวกทมี่ ีคา่ มากท่ีสุดทีห่ าร 453 และ 843 แลว้ เหลอื เศษ 3 เท่ากนั วธิ คี ิด 453 = x n + 3 843 = x m + 3 453 - 3 = x n 450 = x n 843 - 3 = x m 840 = x m ดังนน้ั x จึงเปน็ ตวั ประกอบรว่ มของ 450 กับ 840 (450, 840) 840 = 450(1) + 390 450 = 390(1) + 60 ห.ร.ม. 390 = 60(6) + 30 60 = 30(2) + 0 ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 840 กับ 450 คือ 30 ตัวอย่างท่ี 10 จงหาจำนวนเต็มบวกที่มคี ่ามากท่ีสดุ ท่ีหาร 413, 566 และ 1790 แล้วเหลือเศษเท่ากนั 413 = xn + r (r = เศษ) 566 = xm +r

1790 = xk + r 36 เอามาลบกนั 3 คู่ 566 - 413 = xm - xn ตอบ 153 = x(m - n) 1790 - 413 = xk - xn 1377 = x(k - n) 1790 - 566 = xk - xm 1224 = x(k - m) ดงั นั้น x จงึ เป็นตัวประกอบร่วมของ 153, 1377 และ 1224 (1377, 1224) 1377 = 1224(1) + 153 1224 = 153(8) + 0 ดงั นั้น (1377, 1224) = 153 ห.ร.ม. ระหว่าง 153, 153 คือ 153 ห.ร.ม. = 153

37 ตรรกศาสตร์ 1. ประพจน์ คอื ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏเิ สธ ที่สามารถบอกค่าความจรงิ วา่ เปน็ “จรงิ ” หรอื “เท็จ” อย่างใดอยา่ งหนึ่งเท่านัน้ ตัวอย่างที่ 1 จงพจิ ารณาประโยคตอ่ ไปน้ีวา่ เป็นประพจน์หรอื ไม่ เพราะอะไร 1. แมน่ ำ้ ทา่ จนี เป็นแม่น้ำสายหลักของประเทศไทย ตอบ เป็นประพจน์ เพราะ เปน็ ประโยคบอกเล่าทม่ี ีความจรงิ เปน็ “เท็จ” 2. -1 เปน็ จำนวนเตม็ บวก ตอบ เป็นประพจน์ เพราะ เป็นประโยคบอกเล่าทม่ี ีความจรงิ เป็น “เท็จ” 3. จงหาเซตคำตอบของสมการ 3x2 - 2x - 2 = 0 ตอบ ไม่เป็นประพจน์ เพราะ เป็นประโยคคำถามไม่สามารถบอกคา่ ความจรงิ ได้ 4. กรณุ าอย่าส่งเสียงดัง ตอบ ไม่เปน็ ประพจน์ เพราะเป็นประโยคขอร้องไมส่ ามารถบอกคา่ ความจริงได้ 5. {x R / x2 + 1 = 0} ไม่เป็นสบั เซตแท้ ตอบ เป็นประพจน์ เพราะ เปน็ ประโยคปฏิเสธ ที่มีความจริงเป็น “จรงิ ” x2  0 ดงั นัน้ x2 +1  1 แสดงวา่ x2 + 1  0 ตอบวา่ ไม่มีค่า x ใดๆ ที่ทำให้ x2 +1 = 0 เพราะอยา่ งน้อย x2 +1 = 1 เมอ่ื x = 0 ตอบ  2. การเชือ่ มประพจน์ ใชส้ ญั ลักษณ์แทนดว้ ย \"  \" “และ” ใช้สัญลักษณแ์ ทนด้วย \"  \" “หรอื ” “ถ้า...แล้ว” ใชส้ ญั ลักษณแ์ ทนดว้ ย \" → \" “ก็ตอ่ เมื่อ” ใช้สญั ลักษณ์แทนด้วย \"  \" . สมมตใิ ห้ p, q, r, s เป็นประพจนใ์ ดๆ ให้ T แทนกรณที ป่ี ระพจน์มีค่าความจรงิ เป็น “จรงิ ” ให้ F แทนกรณีทป่ี ระพจน์มคี ่าความจรงิ เป็น “เท็จ”

38 3. รายการแสดงค่าความจริงของการเชอื่ มประพจน์ดว้ ยตัวเชอื่ ม  ,  , →,  กรณี \"  \" p  q = T กรณีเดียว เม่อื p = T/q = T T  T = T นอกนน้ั เป็น F หมด กรณี \"  \" เช่น T  F = F / F  T = F / F  F = F / p  q = F กรณีเดยี ว เมอื่ p = F/q = F F  F = F นอกนนั้ เปน็ T หมด เชน่ T  T = T / T  F = T / F  T = T / กรณี \" → \" p → q = F กรณเี ดียว เมอื่ p = T/q = F T → F = F นอกน้นั เปน็ T หมด เชน่ T → T = T / F → T = T / F → F = T / กรณี \"  \" p  q = F เม่อื p กับ q มีค่าความจริงไม่เหมือนกนั เช่น T  F = F / F  T = F / p  q = T เม่ือ p กับ q มีคา่ ความจริงเหมือนกัน เชน่ T  T = T / F  F = T / 4. นเิ สธของประพจน์ ถา้ p เป็นประพจนใ์ ดๆ นเิ สธของประพจน์ p เขียนแทนดว้ ย p p หมายถึง ประพจน์ท่ีมีคา่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจน์ p p = F เม่อื p = T p = T เมอื่ p = F 5. สมมูล ประพจนท์ ี่สมมูลกัน คือ ประพจน์ทมี่ คี า่ ความจรงิ เหมือนกนั ทกุ กรณี p  q หมายถงึ ประพจน์ p มคี ่าความจริงเหมอื นกับประพจน์ q ทุกกรณี ประพจน์ทีส่ มมลู กันที่ควรทราบ [สลับท่ี] p  q  q  p / p  q  q  p / p  q  q  p / [เปล่ียนกลุ่ม / จดั หมู่] (p  q)  r  p  (q  r)  p  q  r (p  q)  r  p  (q  r)  p  q  r

39 [กระจาย / แจกแจง] p  (q  r)  (p  q)  (p  r) [p → q] p  (q  r)  (p  q)  (p  r) [p  q] p→q pq p→q q→ p p  q  (p → q)  (q → p) p  q  p  q / (p  q)  p  q  p  q [ ] ( p)  p (p  q)  p  q [เพ่มิ เตมิ ] (p  q)  p  q pp p/p→ p  p/pT  T /p  p F p p  T / p  T  T / p → T  T / F → p  T ขอ้ สงั เกต : วิธีพิสจู นว์ ่าสมมลู กันหรือไม่ ตอ้ งพยายามทำรูปแยกยากใหง้ า่ ย โดยเปลี่ยนเป็น ,  เชน่ p → q  p  q แล้วจะทำใหส้ รุปวา่ สมมลู กนั หรือไม่ง่ายขึ้น เช่น p → (p → (q  r)) สมมลู กับ p → (q  r) หรอื ไม่ ข้างซ้าย p → (p → (q  r))  p → ( p  (q  r))  p → ( p  q  r)  p  ( p  q  r)  p p  q  r  p  q  r ข้างขวา p → (q  r)  p  (q  r)  p  q  r สมมลู กัน 6. สจั นิรนั ดร์ ประพจน์ท่เี ป็นสจั นิรันดร์ คือ ประพจน์ทม่ี ีค่าความจริง เปน็ จริงทุกกรณี มีวิธีตรวจสอบว่า ประพจนเ์ ป็นสัจนิรนั ดร์หรอื ไม่ 2 วธิ ี วธิ ที ี่  ใชต้ าราง ง่าย ช้า แต่แน่นอน เช่น [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่ p, q, r มีตัวแปร 3 ตัว แต่ละตวั กำหนดจรงิ - เท็จ ได้ 2 แบบ รวมทั้งหมด p, q, r

40 สามารถทำ จรงิ - เท็จ ไม่ซ้ำกนั 2 × 2 × 2 = 8 แบบ p q r pqr T T TTT F TTF T T TFT F F TFF F T T FTT F F FTF T FFT F FFF วธิ ที ำแบบตาราง [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] p q r q  r p  (q  r) p  q p  r (p  q)  (p  r) [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] TTT T T T T T T TTF F T T T T T TFT F T T T T T TFF F T T T T T FTT T T T T T T FTF F F T F F T FFT F F F T F T FFF F F F F F T วิธีท่ี  ใชว้ ิธีหา “ข้อขัดแย้ง” โดยสมมตใิ ห้ ประพจนท์ ้ังหมดเป็นเทจ็ แล้วหาข้อขัดแยง้ ถ้ามขี อ้ ขดั แย้ง แสดงวา่ ประพจน์ท้ังหมดเปน็ จรงิ แสดงว่า เป็นสัจนริ นั ดร์ ถ้าไมม่ ขี อ้ ขัดแย้ง แสดงว่า เปน็ เท็จ หรือไมเ่ ป็นสัจนิรนั ดร์ เชน่ [((p  q) → r)  (p → q)] → (p → r) เป็นสจั นริ ันดร์หรอื ไม่

41 ดู (F) พบขอ้ ขัดแยง้ แสดงวา่ ไม่เป็นเท็จ หรือ เป็นจรงิ เสมอ แสดงวา่ เปน็ สัจนริ นั ดร์ ข้อสงั เกต : กรณี A  B แลว้ ให้หาวา่ เป็นสจั นิรันดร์หรอื ไม่ ให้ใช้ สมมูลมาชว่ ย หาก A สมมลู กับ B (A  B) แล้วค่าความจรงิ จะเหมือนกนั ทุกกรณี ถ้า A มคี ่าความจรงิ เหมอื นกับ B แสดงว่า A  B จะเป็นจริงเสมอ แสดงวา่ เป็นสัจนิรนั ดร์ น่นั เอง เชน่ จาก ข้อวิธที ี่  ตวั อย่างท่ี 1 [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] [p  (q  r)]  (p  q)  (p  r) (ดึงตวั ร่วม p  ออก) [p  (q  r)]  p  (q  r) 2 ข้าง เหมอื นกันทุกประการ แสดงวา่ ตอ้ งสมมูลกันดว้ ย  [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] แสดงว่าเป็นสัจนริ ันดร์  [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] แสดงว่าเป็นสัจนิรนั ดร์ ตัวอย่างที่ 2 [p → (q → r)]  [(p → q) → r] เปน็ สัจนริ นั ดรห์ รือไม่ ขา้ งซ้าย[p → (q → r)]  p  (q → r) ขา้ งขวา [(p → q) → r]  ( p  q) → r  p  ( q  r)  ( p  q)  r  p q  r  p q  r ประพจน์ขา้ งซา้ ย กับขา้ งขวา ไม่สมมลู กนั แสดงว่า ไมเ่ ปน็ สัจนริ นั ดร์ ตอบ

42 ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ p = 22 เปน็ จำนวนคู่ q = 213 เปน็ จำนวนคี่ r = 215 เป็นจำนวนคี่ s = 24 เป็นจำนวนคู่ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ [(p  q) → r] → (p  s) มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ ข. ประพจน์ [ (p s)]  (q r) มคี า่ ความจริงเป็นจริง ขอ้ ใดถกู (คณติ ก/2534) p = 22 เปน็ จำนวนคู่ = T q = 213 เป็นจำนวนคี่ = F r = 215 เป็นจำนวนค่ี = F s = 24 เปน็ จำนวนคู่ = T ก. [(p  q) → r] → (p  s) TF F TT F T T T เป็นจริง ถกู ตอ้ ง ข. [ (p s)]  (q r) T TFF FT FF T T เป็นจรงิ ถกู ตอ้ ง ตอบ ถูกขอ้ ก. และข้อ ข.

43 ตวั อย่างที่ 4 ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ ถ้า [(p → q)  r]  (q  s)]มคี า่ ความจริง เปน็ จริง และ (p  s) → r มคี า่ ความ จรงิ เป็น เทจ็ แลว้ ประพจน์ในขอ้ ใดต่อไปนีม้ ีคา่ ความจริง เปน็ เทจ็ (คณิต 1/2548) 1. p → q 2. q → r 3. r → s 4. s → p โจทย์ [(p → q)  r]  (q  s) และ (p  s) → r T F TT T T T แสดงวา่ p = T, q = F, r = F, s = T T F ข้อ 2. q →r ผิด FF ข้อ 1. p →q ถูก TF T T ขอ้ 4. s →p ผิด TT ขอ้ 3. r →s ผดิ FT ตอบ ขอ้ 1 ตัวอย่างท่ี 5 ให้ p, q, r เป็นประพจน์ ถ้าประพจน์ p → (q  r) มคี ่าความจริงเป็น จริง p  (q  r) มีคา่ ความจริงเป็น เทจ็ แลว้ ประพจนใ์ นขอ้ ใดต่อไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ (A-NET /2549) 1. q  (p → r) 2. p → ( p  q) 3. (q  r) → p  (q  r) 4. [( q)  ( r)] → [p  (q  r)]

44 โจทย์ p → (q  r) และ p  (q  r) TF แสดงว่า q  r = T,F แสดงวา่ q  r = F ขอ้ 1. q  (p → r)  q  ( p  r)  q p  r  q F  r  qTr  qrT  T ผิด [T  T  T / F  T  T] 2. p → ( p  q)  ( p)  ( p  q)  p p  q  T  q [p p  T]  T ผดิ 3. (q  r) → p  (q  r)  (q  r) → (p → (q  r)  (q  r) → (F → (q  r)  (q  r) → T  T ผิด [T → T  T / F → T  T] 4. [( q)  ( r)] → [p  (q  r)]  [ (q  r)] → [p  (q  r)]  [ (q  r)] → [F  (q  r)]  [ (q  r)] → F [F  T  F / F F  F]  [ F] →F [q  r  F]

 T →F 45  F ถูก ตอบ ตัวอยา่ งท่ี 6 กำหนดให้ p, q, r เป็นประพจน์ทมี่ คี ่าความจริงเปน็ จรงิ เทจ็ และเท็จ ตามลำดบั ประพจนใ์ น ข้อใดตอ่ ไปนี้มีค่าความจรงิ เหมอื นกับประพจน์ (p → q)  (r p) (คณติ 1/2544) 1. ( r → p)  (q  r) 2. (q r)  ( p → q) 3. ( p  r) → (q r) 4. (p → q)  (r  p) กำหนดให้ p = T , q = F , r = F โจทย์ (p → q)  (r  p) ข้อ 2. (q  r)  ( p → q) T FF T FF TF TF T FT TF F T T F ขอ้ 1. ( r → p)  (q  r) F T FF TF T F 3. ( p  r) → (q  r) 4. (p → q)  (r  p) T FFT TF F F FT FF F FF T ตอบ ขอ้ 3

46 ตวั อย่างท่ี 7 กำหนดใหป้ ระพจน์ A → B สมมูลกบั ประพจน์ B → A ประพจนใ์ นขอ้ ใดต่อไปน้ี สมมลู กบั ประพจน์ r → (p  q) (คณิต ก / 2534) 1. r → ( p  q) 2. ( p  q) → r 3. r → (p  q) 4. ( p  q) → r โจทย์ A → B  B → A r → (p  q)  (p  q) → r  ( (p  q))  r  (p  q)  r ขอ้ 1. r → ( p  q)  r  ( p  q) ผดิ  r p q ขอ้ 2. ( p  q) → r  ( p  q)  r  (p  q)  r ถกู ขอ้ 3. r → (p  q)  ( r)  ( (p  q))  r  (p  q) ผดิ ข้อ 4. ( p  q) → r  ( p  q)  r  (p  q)  r ผดิ ตอบ ขอ้ 2 ตัวอย่างที่ 8 กำหนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ จงพจิ ารณาข้อใดถกู ก. ประพจน์ p → (p → (q  r)) สมมูลกบั ประพจน์ p → (q  r) ข. ประพจน์ p  (q → r) สมมลู กบั ประพจน์ (q → p) (p → r) โจทย์ ขอ้ ก. p → (p → (q  r))  p → ( p  (q  r))  p → ( p  q  r)  p  ( p  q  r)  p pqr  pqr p → (q  r)  p  (q  r) สมมูลกนั ข้อ ก. ถูก  pqr