(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมฟิสิกส์2

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 37 3. กรอบไม้เบารปู ส่ีเหลีย่ มผืนผา้ ABCD ด้าน AB ยาว 40 เซนติเมตร ด้าน BC ยาว 30 เซนติเมตร มแี รงกระท�ำ 4 แรง ดังรูป 20 N C D 30 N 30 N 30 cm A 40 cm B 20 N รูป ประกอบแบบฝกึ หัด 4.4 ขอ้ 3 โมเมนตร์ วมทกี่ ระทำ�ต่อกรอบไม้ มขี นาดเทา่ ใดและเป็นชนดิ ใด วธิ ที ำ� เนอื่ งจากแรงลพั ธข์ องแรงทั้งหลายที่กระท�ำ ต่อกรอบไมเ้ ปน็ ศูนย์ โมเมนตร์ วมเป็นลักษณะ ของโมเมนต์ของแรงคคู่ วบ จะไม่ขน้ึ กับจุดหมนุ จากรูป กรอบไม้ถูกกระทำ�ดว้ ยแรงคู่ควบ 2 คู่ ทจี่ ุด A และ C มีแรงคคู่ วบ 30 N กระทำ� M30N = (30 N)(AC) = (30 N)(0.5 m) = 15 N m ตามเข็มนาฬกิ า ทีจ่ ดุ B และ D มแี รงคู่ควบ 20 N กระทำ� M20N = (20 N)(AB) = (20 N)(0.4 m) = 8 N m ตามเข็มนาฬิกา ∑ M = 15 N m+8N m = 23 N m ตามเข็มนาฬิกา ตอบ โมเมนต์รวมมขี นาด 23 นิวตัน เมตร เป็นโมเมนตต์ ามเขม็ นาฬกิ า

38 บทท่ี 4 | สมดลุ กล ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 4. ถงั รูปทรงกระบอกเสน้ ผ่านศนู ย์กลาง 20 เซนตเิ มตร สงู 40 เซนติเมตร หนัก 120 นิวตนั วางบน พ้ืนราบ ใชแ้ รง 36 นิวตนั กระทำ�ในแนวระดับ ทำ�ใหถ้ งั เคลอ่ื นท่ดี ว้ ยความเรว็ คงตวั โดยไมล่ ม้ แรง ท่ีใชต้ อ้ งอยูส่ งู จากพน้ื ไม่เกินเทา่ ใด รปู ประกอบแบบฝึกหดั 4.4 ข้อ 4 วธิ ีทำ� เขยี นแผนภาพแสดงแรงต่าง ๆ ทีก่ ระทำ�ตอ่ ถังรูปทรงกระบอก ไดด้ งั น้ี 36 N 10 cm h 120 N A N ใหแ้ รง 36 N อยู่สงู จากพน้ื มากสดุ เป็นระยะ h ถังอยู่ในสมดุลตอ่ การหมุนรอบจดุ A แรงปฏกิ ริ ิยาท่ีพนื้ กระทำ�ต่อถัง N จะเลอ่ื นไปสุดที่จดุ A ให้ A เปน็ จดุ หมุน Mทวน = Mตาม (120 N)(10 cm) = (36 N)h h = 33.33 cm ตอบ แรงท่ใี ช้ต้องอยู่สูงจากพน้ื ไม่เกนิ 33.33 เซนตเิ มตร

ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 39 4.5 เสถยี รภาพของวัตถุ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1. สงั เกตและอธบิ ายผลของศนู ยถ์ ่วงท่มี ตี อ่ เสถยี รภาพของวัตถุ 2. นำ�ความเข้าใจเกย่ี วกบั ศูนย์ถว่ งของวัตถุไปอธิบายเสถยี รภาพของวัตถตุ า่ ง ๆ ในชีวติ ประจ�ำ วัน ความเข้าใจคลาดเคลอื่ นท่ีอาจเกดิ ข้ึน แนวคิดทถี่ ูกต้อง ความเข้าใจคลาดเคล่อื น 1. วตั ถทุ อ่ี ยใู่ นสมดลุ อาจมเี สถยี รภาพต�ำ่ ถา้ ศนู ย์ 1. วตั ถทุ อ่ี ยู่ในสมดลุ คือวัตถทุ ม่ี ีเสถียรภาพสงู ถ่วงของวัตถุอย่สู ูง หรือ ฐานของวัตถุแคบ 2. นำ้�หนกั ของวัตถมุ ผี ลกับเสถียรภาพของวัตถุ 2. น้ำ�หนักของวัตถุจะมีผลกับเสถียรภาพของ วัตถเุ มอื่ ทำ�ใหศ้ ูนยถ์ ว่ งของวัตถสุ งู ขึน้ สง่ิ ทค่ี รตู ้องเตรียมลว่ งหนา้ 1. อุปกรณ์สำ�หรบั การสาธติ เช่น กล่องชอล์ค กลอ่ งนม 2. ชดุ อปุ กรณก์ ิจกรรม 4.3 ผลของศนู ยถ์ ่วงท่ีมีต่อเสถยี รภาพของวตั ถุ 3. ใบกจิ กรรรม 4. ถ้าจะมกี ารแจกแนวทางการใหค้ ะแนนการประเมินทักษะต่าง ๆ จากการท�ำ กจิ กรรม ใหก้ ับนกั เรียน ให้จัดเตรียมเอกสารใหเ้ พียงพอกบั จำ�นวนนกั เรียน แนวการจดั การเรียนรู้ ครูชแี้ จงจุดประสงค์การเรียนรหู้ ัวข้อ 4.5 ครูยกตวั อย่างวัตถตุ า่ ง ๆ ทอ่ี ยใู่ นสมดลุ เชน่ แทง่ ชอล์คทว่ี างนอนบนพน้ื โตะ๊ ลกู บอลวางบนพ้ืน เมอื่ นำ� ชอล์ค (อาจใชป้ ากกา หรอื ดินสอหรอื วัตถุทรงยาวอน่ื ๆ) วางตง้ั บนพ้ืนโตะ๊ แล้วผลกั วัตถุ แต่ละอยา่ ง ให้ นักเรยี นสงั เกตการเปล่ยี นแปลงของวัตถเุ หล่านัน้ วา่ มกี ารเปล่ียนแปลงแตกตา่ งกนั หรือไม่ อย่างไร ครูให้นักเรียนพจิ ารณารูป 4.14 ในหนังสอื เรียน จากน้นั ครูและนกั เรียนร่วมกันอภิปรายรายละเอียด ตามในหนังสอื เรียน จนได้ขอ้ สรุปได้วา่ วัตถุต่าง ๆ ท่พี บเห็นในชีวติ ประจ�ำ วนั เม่ือมีการวางตัวในลักษณะ แตกต่างกนั จะมแี นวโนม้ ทีจ่ ะลม้ ได้งา่ ยหรอื ยากแตกตา่ งกนั เชน่ เดยี วกับกรณีของแจกัน น่ันคือ วตั ถจุ ะมี เสถียรภาพมากหรือนอ้ ย ขน้ึ อยูก่ บั การวางตวั ของวัตถุ ปัจจยั ใดบา้ งท่ีเกีย่ วข้องกบั เสถยี รภาพของวตั ถุ ให้ นกั เรียนศกึ ษาจากการท�ำ กจิ กรรม 4.3 ผลของศนู ย์ถว่ งท่มี ตี อ่ เสถยี รภาพของวัตถุ

40 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟิสิกส์ เล่ม 2 กจิ กรรม 4.3 ผลของศูนยถ์ ว่ งทีม่ ตี อ่ เสถยี รภาพของวัตถุ จดุ ประสงค์ 1. สงั เกตสภาพการเคล่อื นทขี่ องวตั ถเุ มอื่ ไดร้ บั แรง 2. อภปิ รายเพ่อื สรปุ เก่ียวกับผลของศนู ย์ถว่ งทมี่ ตี อ่ เสถยี รภาพของวตั ถุ เวลาท่ใี ช้ 45 นาที วสั ดุและอุปกรณ์ 2 กล่อง 1. กล่องเปลา่ ท่ีมขี นาดของฐานกลอ่ ง 2 อัน ใกลเ้ คียงกัน แต่ความสูงตา่ งกัน 2 เส้น 2. ลวดหนบี กระดาษ 3. เชือกยาวประมาณ 1 เมตร 2 แทง่ 4. แท่งไม้ขนาดเล็กทม่ี คี วามยาวมากกวา่ ความกวา้ งของกล่อง แนวคำ�ตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม □ เมือ่ ดนั ใหก้ ล่องท้งั สองเอยี งท�ำ มมุ ตา่ ง ๆ แลว้ ปลอ่ ย โดยท่กี ล่องแตล่ ะใบไมล่ ม้ แนวของเส้นเชอื ก ทหี่ ้อยลวดหนบี กระดาษเป็นอยา่ งไรเมื่อเทียบกับสว่ นฐานของกล่อง แนวคำ�ตอบ แนวของเสน้ เชอื กทหี่ ้อยลวดหนบี กระดาษยังไม่เลยสว่ นฐานของกล่อง □ เมือ่ ดันให้กล่องทง้ั สองเอียงท�ำ มุมตา่ ง ๆ แล้วปล่อย โดยที่กลอ่ งล้ม แนวของเส้นเชือกทีห่ ้อยลวด เสียบกระดาษเปน็ อยา่ งไรเมอื่ เทยี บกบั สว่ นฐานของกล่อง แนวคำ�ตอบ แนวของเส้นเชอื กทห่ี อ้ ยลวดหนบี กระดาษเลยส่วนฐานของกลอ่ ง □ มุมท่มี ากทีส่ ุดท่กี ล่องแต่ละใบสามารถเอยี งได้โดยไมล่ ม้ แตกต่างกันหรอื ไม่ และเกย่ี วขอ้ งกบั ศูนย์ถ่วงแต่ละใบอยา่ งไร แนวค�ำ ตอบ เอยี งกลอ่ งโดยกลอ่ งไมล่ ม้ พบวา่ กลอ่ งทม่ี คี วามสงู นอ้ ยกวา่ จะเอยี งไปไดม้ ากกวา่ กลอ่ ง ที่สูงกว่า แสดงวา่ กลอ่ งทีม่ ศี นู ยถ์ ่วงอยู่ตำ่�กวา่ จะล้มไดย้ ากกว่าหรอื มเี สถยี รภาพดีกวา่

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 41 อภปิ รายหลังการท�ำ กจิ กรม ครนู �ำ นกั เรยี นอภปิ รายโดยใชค้ �ำ ตอบของนกั เรยี นจากค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม จนไดข้ อ้ สรปุ วา่ เสถยี รภาพ ของวัตถุขึ้นอยู่กบั 2 ปัจจัย คอื 1. ศูนยถ์ ว่ งของวัตถุ 2. ความกว้างส่วนฐานของวตั ถุ ครูนำ�นักเรียนอภิปรายเกี่ยวกับเสถียรภาพของวัตถุในรูป 4.16 – 4.17 ในหนังสือเรียน จากนั้น ใหน้ กั เรยี นยกตวั อยา่ งการน�ำ ความเขา้ ใจเกย่ี วกบั เสถยี รภาพของวตั ถไุ ปใชใ้ นชวี ติ ประจ�ำ วนั ตามรายละเอยี ด ในหนังสอื เรียน ครใู หน้ กั เรยี นตอบค�ำ ถามตรวจสอบความเขา้ ใจทา้ ยหวั ขอ้ 4.5 โดยอาจมกี ารเฉลยค�ำ ตอบและอภปิ ราย คำ�ตอบร่วมกนั ความรเู้ พ่มิ เตมิ ส�ำ หรบั ครู เสถียรภาพของสมดุล วัตถุขณะอยใู่ นสมดุลอาจวางตัวในลกั ษณะตา่ งกนั ซึ่งจะท�ำ ให้วตั ถนุ น้ั ๆ มเี สถียรภาพของ สมดุลตา่ งกันด้วย เช่น การวางกรวยในรูป ก. ข. และ ค. ก. ข. ค. รปู กรวยวางตวั ในลักษณะต่างกนั บนพ้ืนระดบั ในแตล่ ะกรณี กรวยจะรกั ษาสมดลุ ไดต้ ่างกัน จากรปู ก. เม่อื ผลักกรวยให้เอียงไปจากเดิม เล็กนอ้ ยแล้วปลอ่ ยมือ กรวยจะเคล่ือนทก่ี ลบั มาอยู่ในลักษณะเดิม กรณนี เ้ี รียกว่ากรวยอยใู่ นสมดุล เสถยี ร (stable equilibrium) ถ้ากรวยอย่ใู นลักษณะดงั รูป ข. เมือ่ ผลกั กรวยอย่างไรก็ตาม กรวย จะเคลอื่ นตัวไมก่ ลบั ท่ีเดิม แตอ่ ยูน่ ง่ิ ในลกั ษณะเดมิ ได้ เรียกวา่ กรวยอย่ใู นสมดุลสะเทนิ (neutral equilibrium) แต่ถา้ วางกรวย ดงั รปู ค. เม่ือผลักกรวยให้เอยี งจากเดมิ เล็กน้อยแลว้ ปลอ่ ยมอื กรวย จะล้ม ในกรณีน้เี รยี กวา่ กรวยอยใู่ นสมดุลไม่เสถียร (unstable equilibrium)

42 บทที่ 4 | สมดลุ กล ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 สมดลุ เสถียร จากรปู ก. เดิมกรวยอยใู่ นสภาพสมดุลเสถยี ร เมือ่ มแี รงกระท�ำ ต่อกรวยใหเ้ อยี งไปเลก็ น้อย ศนู ยก์ ลางมวล (CM) ของกรวย จะเปล่ยี นตำ�แหนง่ อยู่ในระดบั สงู ขึน้ ซึง่ หมายถึงกรวยมพี ลังงาน ศกั ยส์ ูงขน้ึ เมือ่ กรวยเอียงไปทางใดทางหนึง่ น�ำ้ หนกั W จะไมอ่ ยใู่ นแนวเดียวกบั แรงท่ีพื้นดันวตั ถุ ในทิศทางตง้ั ฉาก N ทำ�ให้เกดิ โมเมนตข์ องแรงคูค่ วบท่ีจะท�ำ ใหก้ รวยกลบั มาตง้ั อยู่ในลกั ษณะเดิม สมดลุ สะเทนิ จากรปู ข. เมอื่ ออกแรงผลักกรวย ไม่ว่าจะผลกั อยา่ งไร กรวยจะกลง้ิ โดยศูนย์กลางมวลของ กรวยอยูส่ ูงจากพ้ืนเทา่ เดมิ พลงั งานศักยข์ องศูนย์กลางมวลเทา่ เดิม และแนวนำ้�หนัก W ยังคงอยู่ ในแนวแรง N จงึ ไมเ่ กิดโมเมนตข์ องแรงใหก้ ลับคืนท่เี ดมิ ทำ�ให้กรวยอยู่ ณ ต�ำ แหน่งใหม่ทกุ ครัง้ แต่วางตวั ในลกั ษณะเดิม สมดุลไมเ่ สถยี ร จากรูป ค. เมื่อกรวยถูกผลักให้เอียงไปเล็กน้อย ศูนย์กลางมวลจะเปลี่ยนตำ�แหน่งอยู่ใน ระดบั ท่ีตำ่�ลง พลังงานศักยข์ องกรวยจะลดลง และเมื่อศนู ย์กลางมวลของกรวยพ้นแนวปลายแหลม ของกรวยท่ีเป็นฐาน ทำ�ใหก้ รวยล้มเน่ืองจากโมเมนต์ของแรงคู่ควบของน้ำ�หนกั W และ N โดย กรวยจะไมว่ างตวั กลับไปดังเดมิ สำ�หรับระบบใด ๆ ทเี่ ราพิจารณา หากว่าพลงั งานศักย์ของระบบมีการเปลีย่ นแปลง ระบบ จะพยายามปรับเปลี่ยนตวั เองให้มพี ลังงานศักยต์ ำ่�ทส่ี ุด ตัวอย่างเช่น วตั ถุทรงกลมวางอยู่บนพ้นื ท่ี มีลกั ษณะต่าง ๆ ดังรูปด้านลา่ ง ทรงกลมท่เี ขยี นเป็นเส้นประแสดงตำ�แหน่งของทรงกลมขณะท่ี อยู่ในสมดลุ ทรงกลมทบึ แสดงต�ำ แหน่งของทรงกลมหลังจากถกู แรงภายนอกกระท�ำ จนตำ�แหน่ง เปลี่ยนไปจากเดิม และลูกศรแสดงทิศทางของแรงลัพธ์ที่กระทำ�ต่อทรงกลม สังเกตว่า สำ�หรับ สมดลุ เสถยี ร (รูป ง.) แรงลพั ธ์จะกระทำ�ในทศิ ทางท่จี ะลดพลังงานศกั ยข์ องระบบลง ในกรณนี ้เี ปน็ ทิศทช่ี เ้ี ข้าหาจุดสมดลุ เดิม ซงึ่ ทำ�ให้วตั ถุถูกดงึ กลับไปสู่จุดสมดุล ส�ำ หรับสมดุลสะเทนิ (รปู จ.) ไมม่ ี แรงลัพธก์ ระท�ำ ตอ่ วตั ถเุ นือ่ งจากพลงั งานศักย์ของวตั ถเุ ท่ากันทกุ ต�ำ แหนง่ นั่นหมายถงึ วัตถุสามารถ อยใู่ นสมดุล ณ ต�ำ แหนง่ ใหมไ่ ด้ และสำ�หรบั สมดลุ ไม่เสถยี ร (รูป ฉ.) แรงลพั ธ์กระท�ำ ในทศิ ทางท่ีจะ ลดพลังงานศกั ยข์ องระบบ แต่กรณนี ้ีทศิ ของแรงชีอ้ อกจากต�ำ แหนง่ สมดุล ซึง่ หมายถงึ วัตถจุ ะเสยี สภาพสมดลุ ไป

ฟิสิกส์ เลม่ 2 บทที่ 4 | สมดุลกล 43 Fลัพธ Fลัพธ ง. สมดุลเสถียร จ. สมดุลสะเทิน ฉ. สมดุลไมเ่ สถยี ร รปู วตั ถุทรงกลมวางอยบู่ นพ้นื ลกั ษณะต่าง ๆ ทำ�ให้เกิดแรงลัพธ์แตกตา่ งกนั แนวการวดั และประเมนิ ผล 1. ความร้เู ก่ยี วกับเสถียรภาพของวตั ถุจากแบบฝึกหดั ทา้ ยหวั ข้อ 4.5 2. ทักษะการสังเกต และการลงความเห็นจากขอ้ มลู จากการทำ�กจิ กรรม 3. จติ วิทยาศาสตร์ ดา้ นการเหน็ คุณค่าทางวทิ ยาศาสตร์ จากการอภิปรายร่วมกัน แนวคำ�ตอบค�ำ ถามตรวจสอบความเข้าใจ 4.5 1. เสถยี รภาพของวตั ถุข้ึนกบั อะไรบา้ ง แนวคำ�ตอบ รปู ทรงของวัตถุ ความสูงของศนู ยถ์ ว่ ง และความกว้างของฐาน 2. เพราะเหตใุ ด ชอ่ งเก็บสมั ภาระของรถบัสจึงอย่ขู ้างล่างของตัวรถ แนวค�ำ ตอบ เพื่อรกั ษาให้ศนู ย์ถ่วงของรถบัสอยูต่ �ำ่ 3. ขวดนำ้�ดืม่ แบบเดียวกนั สามขวด ขวดหน่งึ ไม่มีน�ำ้ ขวดทส่ี องมนี ำ้�อย่คู รง่ึ ขวด และขวดที่สาม มนี ้ำ�อยเู่ ตม็ ขวดใดมเี สถยี รภาพมากกว่ากนั อธบิ าย แนวคำ�ตอบ ขวดนำ้�เปล่าจะมีศนู ยถ์ ว่ งสูงประมาณครงึ่ หนง่ึ ของความสูงขวด แตข่ วดทม่ี ีน้ำ� คร่ึงขวดจะมีศูนย์ถ่วงสูงประมาณครึ่งหนึ่งของความสูงนำ้�หรือสูงประมาณหนึ่งในสี่ความสูง ขวด ส่วนขวดท่บี รรจนุ �ำ้ เตม็ จะมศี นู ย์ถ่วงสงู ประมาณครึ่งหนึ่งของความสงู ขวด ดังน้นั ขวด ทม่ี นี �ำ้ ครง่ึ ขวดมเี สถยี รภาพมากทส่ี ดุ สว่ นขวดเปลา่ กบั ขวดมนี �ำ้ เตม็ จะมเี สเถยี รภาพพอ ๆ กนั

44 บทที่ 4 | สมดลุ กล ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 เฉลยแบบฝกึ หัดทา้ ยบทท่ี 4 คำ�ถาม 1. แทง่ ไม้แท่งหน่งึ มเี ชอื กผกู ทป่ี ลายบน ปลายล่างแตะอยู่บนแผ่นวัตถซุ ่งึ ลอยน้�ำ อยู่ (แผน่ วตั ถลุ อย เคลื่อนทไี่ ปมาในน�ำ้ ได)้ จงอธิบายใหเ้ ห็นวา่ แผน่ วัตถุจะอยใู่ นสมดุล คอื หยดุ นง่ิ เม่อื เสน้ เชือกท่ผี ูก อยใู่ นแนวด่ิง ไม่ว่าแท่งไมจ้ ะเอยี งท�ำ มมุ เท่าไรก็ตาม รปู ประกอบคำ�ถามข้อ 1 แนวคำ�ตอบ ตามรปู ก. เส้นเชอื กท่ีแขวนปลาย A ไม่อยู่ในแนวดิง่ T = แรงดงึ เชือก W = น�ำ้ หนักแทง่ ไม้ R = แรงท่แี ผ่นวตั ถุกระท�ำ ต่อปลาย B ของแทง่ ไม้ T sinθ T R T θ T cos θ R A W W ก. ข. แยกแรง T ออกเป็นแรงย่อย T cosq ตามแนวระดับ และ T sinq ตามแนวดง่ิ W จะเท่ากับ Tsinq + R จงึ หักล้างกนั พอดี เหลอื แรง T cosq ผลกั ไมไ้ ปทางด้านขวาจนแนวเสน้ เชือกท่ีแขวน ปลาย A อย่ตู ามแนวด่ิง ดังรูป ข. T cosq จะเป็นศนู ย์และแผน่ วตั ถุจะอย่ใู นสภาพ สมดลุ สถติ

ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 45 2. สุภาษิตท่ีว่า “หาบดกี ว่าคอน” เปน็ จรงิ หรอื ไมใ่ นแงข่ องวชิ าฟสิ ิกส์ ก. การหาบ รปู ประกอบคำ�ถามข้อ 2 ข. การคอน N2 แนวคำ�ตอบ F N1 mg mg 2 mg

46 บทท่ี 4 | สมดลุ กล ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 กรณขี องหาบนั้นแรงที่กระทำ�กบั บ่าจะมีค่าเท่ากบั น�ำ้ หนกั ท่ีแขวนท้งั สองข้าง ส่วนคอนน้นั แรง ที่กระท�ำ กบั บา่ จะมคี ่าเทา่ กบั น้ำ�หนักที่แขวนบวกกบั แรงท่มี อื กระท�ำ กับคาน ดังน้ันแรงทกี่ ระท�ำ กบั บา่ ของหาบจะน้อยกวา่ คอน กรณีหาบ คือ การถ่วงน้ำ�หนกั ท่ีปลายแต่ละด้านของคาน แรงทก่ี ระท�ำ ตอ่ บ่าหาได้จากแรงท่บี า่ กระทำ�ตอ่ คาน (N) จากรูป N = 2mg กรณีคอน คือ การถ่วงน้ำ�หนักไปรวมกันที่ปลายข้างเดียวของคาน ดังนั้นจะต้องออกแรงกดที่ ปลายคานอีกดา้ นหน่งึ ดว้ ยแรง F จากรูป N = 2mg + F แรงที่กระทำ�ต่อบ่ากรณีคอนจะมากกว่ากรณีที่หาบ คำ�กล่าวที่ว่า “หาบจึงดีกว่าคอน” ในแง่วิชา ฟิสกิ สน์ นั้ เปน็ จริง 3. ในกรณที ว่ี ตั ถถุ กู กระท�ำ ดว้ ยแรงคคู่ วบหนง่ึ คู่ วตั ถนุ น้ั จะไมอ่ ยใู่ นสมดลุ ตอ่ การหมนุ ถา้ จะใหว้ ตั ถุ อยู่ในสมดุลของการหมุน ต้องทำ�ให้ผลรวมของโมเมนต์ของแรงมีค่าเป็นศูนย์ นั่นคือต้องมีแรงคู่ ควบอกี อย่างน้อยหน่งึ คู่ กระทำ�ตอ่ วัตถุ แรงคูค่ วบนน้ั จะตอ้ งกระท�ำ ตอ่ วตั ถุในลักษณะใด เขยี นรูป ประกอบค�ำ อธิบายด้วย แนวคำ�ตอบ แรงคู่ควบหนึ่งคู่ กระทำ�ต่อวัตถุ ดังเส้นลูกศรทึบ จะทำ�ให้วัตถุอยู่ในสมดุลต่อการ เลือ่ นต�ำ แหน่ง แต่ไม่สมดลุ ตอ่ การหมุน เนอ่ื งจากโมเมนต์ของแรงไม่เป็นศูนย ดงั นั้นเมอ่ื มแี รงคู่ควบ หนงึ่ คู่ (ดงั ลกู ศรเส้นทบึ ) กระท�ำ กบั วัตถุแลว้ ตอ้ งใช้แรงคู่ควบอกี อย่างนอ้ ยหนึง่ คู่ (ดงั ลูกศรเส้นประ) กระท�ำ ต่อวตั ถใุ ห้เกดิ โมเมนตต์ รงข้ามกบั โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบแรก โดยมีขนาดเทา่ กัน วตั ถจุ งึ จะ ไม่เลอื่ นต�ำ แหน่งและไม่หมนุ วัตถุจะอยู่ในสมดลุ ดังรูป FF FF

ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 47 4. วางแท่งไม้สม่ำ�เสมอยาว l ซอ้ นกันดงั รปู แทง่ ไมใ้ นรูปใดที่อย่ใู นสมดลุ เพราะเหตุใด l/4 l /2 l/2 l/4 ก. ข. รปู ประกอบคำ�ถามข้อ 4 แนวคำ�ตอบ แท่งไมร้ ูป ข.จะอยูใ่ นสมดลุ เนอ่ื งจากจุดศนู ยก์ ลางของก้อนวัตถอุ ยบู่ นโต๊ะ จงึ ทำ�ให้ กอ้ นวัตถไุ มต่ กจากโต๊ะ 5. เมอ่ื น�ำ วตั ถทุ รงลกู บาศกส์ องกอ้ น ท�ำ จากไมแ้ ละโลหะ ซง่ึ ยดึ ตดิ กนั อยมู่ าวางไวบ้ นพน้ื ฝดื ดงั รปู ก. ไม ข. โลหะ โลหะ ไม รูป ประกอบค�ำ ถามข้อ 5 วตั ถใุ นรปู ใดทม่ี แี นวโน้มที่จะล้มได้ง่ายกว่าเมอ่ื ถูกผลกั ด้วยแรงเท่า ๆ กันจากระดบั ความสงู เดียวกัน อธิบาย แนวค�ำ ตอบ ส�ำ หรบั วตั ถทุ ม่ี รี ปู ทรงเดยี วกนั วตั ถทุ ม่ี ศี นู ยถ์ ว่ งต�ำ่ กวา่ จะมเี สถยี รภาพทด่ี กี วา่ เนอ่ื งจาก โลหะมีความหนาแน่นมากกว่าไม้ ดังนั้นศูนย์กลางมวลของวัตถุ (ก) ซึ่งมีโลหะทรงลูกบาศก์อยู่ ดา้ นล่างจงึ อยู่ท่ีระดบั ต�ำ่ กวา่ ศูนย์กลางมวลของวตั ถุ (ข) ซึ่งมโี ลหะทรงลกู บาศกว์ างตัวอย่ดู า้ นบน ในสนามโน้มถว่ งสมำ�่ เสมอ ตำ�แหน่งศูนยก์ ลางมวลเปน็ ต�ำ แหนง่ เดียวกับต�ำ แหน่งศูนย์ถ่วง ดังน้นั วัตถุ (ก) จงึ มีศนู ยถ์ ่วงที่ตำ่�กว่าวัตถุ (ข) สง่ ผลให้วตั ถุ (ก) มเี สถียรภาพท่ีดกี วา่ เม่ือวัตถทุ ้ังสองถกู ผลกั ดว้ ยแรงเท่า ๆ กันจากระดบั ความสงู เดยี วกนั วัตถุ (ข) จึงมีแนวโนม้ ทจี่ ะลม้ ได้งา่ ยกว่า

48 บทที่ 4 | สมดลุ กล ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 6. ระบบซึง่ ประกอบด้วยชอ้ น ส้อม และไม้จมิ้ ฟนั เราสามารถน�ำ เอาไมจ้ ิม้ ฟนั ไปวางทข่ี อบแก้ว แลว้ ท�ำ ให้เกดิ สมดุลดังรูป รูป ประกอบคำ�ถามข้อ 6 จงอธบิ าย เพราะเหตใุ ดจึงเกิดสมดลุ ได้ แนวคำ�ตอบ เมอ่ื มองจากดา้ นบน ศนู ยถ์ ว่ งของระบบสามารถประมาณไดว้ า่ อยทู่ ต่ี �ำ แหนง่ จดุ สมั ผสั ขอบแก้ว ดงั รูป cg ดงั น้นั หากน�ำ ไมจ้ ้ิมฟนั ไปวางไวโ้ ดยใหต้ �ำ แหนง่ ศูนย์ถ่วงสัมผสั ขอบแก้วพอดี จะท�ำ ใหแ้ รงลัพธ์ที่ กระท�ำ ต่อระบบเปน็ ศูนย์ เน่อื งจาก ท่จี ดุ สัมผสั มีแรงโนม้ ถ่วงและแรงแนวฉากทีม่ ีขนาดเทา่ กันแต่มี ทศิ ทางตรงกนั ขา้ มกระทำ�ตอ่ ระบบผ่านศูนย์ถว่ ง

ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดลุ กล 49 ปัญหา  1. แรง 20 นิวตนั แรง 40 นวิ ตัน และ แรง F กระทำ�ต่อวัตถหุ น่ึง ดังรูป 20 N 60 ° 40 N F รูป ประกอบปัญหาข้อ 1  ขนาดของแรง F ทที่ �ำ ให้วตั ถุอยู่ในสมดุลเป็นเท่าใด วิธที �ำ แรงลัพธข์ องแรง 2 แรงต้องมขี นาดเทา่ กับแรงท่ี 3 แตม่ ที ศิ ตรงข้ามกัน จงึ หาแรงลัพธโ์ ดย สร้างรปู สามเหลย่ี มปดิ และหาขนาดของแรงลพั ธโ์ ดยใชก้ ฎโคไซน์  F 20 N 60 40 N ตามสมการ F 2 = F12 + F22 − 2F1F2cosθ แทนค่า F 2 = (20 N)2 + (40 N)2 − 2(20 N)(40 N)cos 60o F 2 = 400 N2 +1600 N2 − (2)(800 N 2 )  1   2  = 1200 N2 F = (400)(3) N = 20 3 N  ตอบ ขนาดของแรง F ทที่ ำ�ให้วตั ถอุ ย่ใู นสภาพสมดุลเท่ากับ= 20 3 Nนิวตนั

50 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟิสกิ ส์ เล่ม 2  2. น้ำ�หนัก W แขวนไวด้ ้วยเชือกสองเสน้ ซึง่ เอยี งท�ำ มุม 60 องศา และ 30 องศา กบั แนวดิ่ง จง หาขนาดแรงดึงในเส้นเชือกทง้ั สอง  วธิ ีท�ำ เขยี นแผนภาพวัตถุอสิ ระของจุดบนเชือกที่มี W แขวนดังรูป T2 T2cos30° 60° 30° 30° T1cos60° 60° T1 T2 sin30 ° T1 sin60° W T1cos60° +T2cos30° = W (1) (2) T1 sin 60o = T2 sin 30o (3) จากสมการ (2) T1 = T2 sin 30 = T2 sin 60 3 นำ�ค่า T1 จากสมการ (3) แทนคา่ ในสมการ (1) T2 cos 60o + T2 cos 30o =W 3 T2 + 3T2 = W 23 23 4T2 = W 23 T2 = 3W 2

ฟสิ กิ ส์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | สมดลุ กล 51 นำ�ค่า T2 ไปแทนในสมการ (3) =T1 T=2 3W 3 23 = W 2 ตอบ แรงดงึ ในเสน้ เชือก T1 มคี า่ เทา่ กับ W และแรงดึงในเส้นเชอื ก T2 มีค่าเท่ากบั 3W 2 2 3. วัตถเุ ลอื่ นลงมาตามพื้นเอียงดว้ ยความเรว็ คงตวั พื้นเอยี งนย้ี าว 6.0 เมตร สงู 3.0 เมตร จงหา สมั ประสทิ ธิค์ วามเสยี ดทานจลนร์ ะหวา่ งวตั ถกุ บั พื้นเอยี ง วิธีทำ� N A Wsinθ 6.0 m 3.0 m f θ C Bθ W cosθ W แยกแรง W ออกเปน็ แรงย่อย 2 แรง ท่ตี ัง้ ฉากกัน คอื แรงในแนวขนานกับพื้นเอียงมคี า่ เทา่ กบั Wsinq มีทิศลงตามแนวพนื้ เอยี ง และแรงทก่ี ดพืน้ ในแนวตัง้ ฉากกับพ้ืนเอียง มีคา่ เทา่ กับ Wcosq วัตถอุ ยูใ่ นสมดุล เพราะวัตถุเลอ่ื นลงตามพนื้ เอียงดว้ ยความเร็วคงตัว ดังนั้น แรงลัพธ์ในแนวขนานกับพื้นเอียง = 0 น่ันคือ Wsinq = f และแรงลัพธ์ในแนวตงั้ ฉากกับพื้นเอยี ง = 0 น่นั คอื Wcosq = N จาก fk = µk N ดงั น้ัน W sinθ = µkW cosθ µk = tanθ

52 บทท่ี 4 | สมดุลกล ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 พจิ ารณาสามเหล่ยี ม ABC (6.0 m)2 = (3.0 m)2 + BC2 BC = 27 m นัน่ คอื µk = 3m = 0.58 27 m ตอบ สัมประสิทธิค์ วามเสียดทานจลนร์ ะหวา่ งวตั ถแุ ละพน้ื เอยี งเทา่ กบั 0.58 4. วัตถุมีน้ำ�หนัก 20 นิวตัน วางบนพื้นเอียงทำ�มุม 45 องศากับแนวระดับ ถ้าสัมประสิทธิ์ ความเสยี ดทานจลน์ระหวา่ งวัตถกุ บั พื้นเท่ากบั 0.3 แรง F กระท�ำ ต่อวตั ถมุ ีแนวขนานกบั พ้ืนเอยี ง ดังรปู F 45° รปู ประกอบปญั หาข้อ 4 จงหา  ก. แรงดงึ F ทที่ ำ�ใหว้ ัตถเุ คลือ่ นทขี่ นึ้ พื้นเอยี งด้วยความเรว็ คงตัว ข. แรงดึง F ทีท่ ำ�ให้วตั ถุเคล่อื นที่ลงพนื้ เอยี งด้วยความเรว็ คงตวั วิธีท�ำ  F ก. หาแรงดึง F ทท่ี ำ�ใหว้ ัตถเุ คล่ือนท่ีขึน้ N ไปตามพ้ืนเอียงด้วยความเร็วคงตัว ให้ N เปน็ แรงทพ่ี น้ื ดนั วตั ถใุ นแนวตง้ั ฉาก f กั บ พื้ น เ อี ย ง เ ม่ื อ วั ต ถุ เ ค ล่ื อ น ที่ ข้ึ น แรงเสียดทานจลน์ระหว่างวัตถุและ k พ้ืนเอียงอยู่ในทิศลงขนานกับพื้นเอียง ดงั รปู W sin45° 45°W cos 45° W 45°

ฟิสิกส์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 53 แรงลพั ธ์ของแรงทก่ี ระทำ�ตอ่ วตั ถใุ นแนวขนานกับพื้นเทา่ กับศูนย์ F = W sin 45 + fk โดย N = W cos 45 = ( 20 N )  2  + µk N  2  F = ( 20 N)  2  + ( 0.3) ( 20 N ) ( cos 45 )  2  ( )= (10 N) 2 + (0.3) ( 20 N)  2  2  = (10 N)( 2 ) + (3N)( 2 ) = 18.39 N ตอบ แรงดงึ ท่ที ำ�ให้วตั ถเุ คล่อื นที่ขนึ้ ไปตามพื้นเอียงด้วยความเรว็ คงตวั มคี ่า 18.39 นวิ ตนั ข. หาแรงดงึ F ทท่ี �ำ ใหว้ ตั ถเุ คลอ่ื นทล่ี งตามพน้ื เอยี งดว้ ยความเรว็ คงตวั เมอ่ื วตั ถเุ คลอ่ื นทล่ี ง แรงเสยี ดทานจลนร์ ะหว่างวัตถแุ ละพื้นจะอยใู่ นทิศขึน้ ขนานกบั พื้นเอยี ง ดงั รูป แรงลัพธ์ ของแรงทีก่ ระทำ�ตอ่ วตั ถุในแนวขนานกับพื้นเอยี งเท่ากบั ศูนย์ F N f k W sin45° 45°W cos 45° W 45° ดงั น้นั F + fk = W sin 45 ( 20 N ) sin 45 F = − µ N k

54 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 โดย N = W cos 45 F = (20 N) sin 45 − µkW cos 45 = ( 20 N)  2  − (0.3) ( 20 N)  2  2   2  = (10 N)( 2 ) − (3)( 2 ) = 9.90 N ตอบ แรงดงึ F ทีท่ �ำ ให้วัตถเุ คล่อื นทล่ี งไปตามพน้ื เอยี งดว้ ยความเรว็ คงตัวมคี า่ 9.90 นิวตัน 5. วตั ถมุ ีนาำ้ หนัก 50 นิวตัน วางไวบ้ นพ้นื และมีแรง 20 นวิ ตนั กระทำาดงั รปู 20 N 30° รูป ประกอบปัญหาขอ้ 5 จงหาแรงกดพื้นในแนวตง้ั ฉากกบั ผิว และถา้ วัตถุก�ำ ลงั เคลือ่ นท่ดี ้วยความเร็วคงตวั จงหาสัมประสทิ ธค์ิ วามเสียดทานจลนร์ ะหวา่ งวตั ถุกับพ้ืน วธิ ที ำ� เนือ่ งจากแรงลพั ธ์ในแนวดิ่งเป็นศนู ย์ N 20 sin30° f 20 N 30° k 20 cos30° W

ฟิสิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 55 ( ) ดงั นัน้ N = W + (20 N) sin 30 = (50 N) + (20 N)(sin 30 ) = (50 N ) + ( 20 N )  1  2  = 60 N ถา้ วัตถุเคลื่อนทีด่ ว้ ยความเรว็ คงตัว แรงลัพธใ์ นแนวระดับเป็นศนู ย์ ( ) ดงั น้ัน fk = (20 N) cos 30 ( µk ) ( 60 N ) = ( 20 N )  3   2  µk = 0.29 ตอบ แรงท่ีวัตถุกดพ้ืนจะเท่ากบั แรงทพ่ี น้ื กระทำ�กับวัตถมุ คี า่ เท่ากบั 60 นวิ ตนั สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลนเ์ ทา่ กบั 0.29 6. วัตถุหนกั 40 นิวตนั และวัตถหุ นัก W ผูกไวด้ ้วยเชือกและอยใู่ นสมดลุ ในลกั ษณะดังรปู ถา้ สัมประสทิ ธ์คิ วามเสยี ดทานสถติ ระหวา่ งวัตถุกบั พ้นื โตะ๊ เท่ากบั 0.4 จงหาน�ำ้ หนกั W ที่มากทส่ี ุดที่ จะท�ำ ให้วัตถทุ ้งั สองยงั คงอยู่นิ่งเช่นเดิม 40 N 30° T1 T3 T2 W รูป ประกอบปัญหาข้อ 6

56 บทที่ 4 | สมดลุ กล ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 วิธีท�ำ N T1 T3 sin30° 30° T1 T3 T3 cos30° fs A T2 T2 40 N W หาค่า W ท่ีมากทส่ี ุดท่ีจะท�ำ ใหว้ ัตถทุ ั้งสองยังคงอยใู่ นสมดลุ สถิต พิจารณาทวี่ ัตถุนำ้�หนัก 40 N แรงลัพธ์เท่ากบั ศูนย์ ดงั นนั้ T1 = fs fs = µs N T1 = (0.4)(40 N) = 16 N พจิ ารณาท่ี A แรงลพั ธท์ ี่กระท�ำ ตอ่ ตำ�แหน่ง A เทา่ กับศนู ย์ ดงั นน้ั T3 cos 30 = T1  3  = (16 N) T3  2  =2 (16 N) =T3 3 18.48 T2 = T3 sin 30 = (18.48 N )  1   2  = 9.24 N

ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 57 พจิ ารณาทวี่ ัตถุ W W = T2 W = 9.24 N เพราะฉะน้ัน ตอบ ค่า W ทีม่ ากที่สดุ ทีจ่ ะทำ�ใหว้ ตั ถุทัง้ สองยงั คงอยูน่ ง่ิ มีคา่ เปน็ 9.24 นิวตนั 7. วตั ถุหนัก 20 นิวตัน แขวนไวด้ ้วยเชอื กคลอ้ งผ่านรอกทไี่ มค่ ิดความฝืด (ความฝืดนอ้ ยมาก) ปลายอกี ขา้ งหนงึ่ ของเชือกผกู วตั ถหุ นกั 25 นิวตนั ซ่งึ วางอยู่บนพน้ื เอียง ดงั รปู 30° รูป ประกอบปัญหาข้อ 7 เมื่อปล่อยไว้อย่างอิสระ ปรากฏว่า วัตถุที่วางบนพื้นเอียงเคลื่อนที่ขึ้นพื้นเอียงได้พอดี จงหา สัมประสทิ ธค์ิ วามเสยี ดทานสถิตระหวา่ งพ้ืนกับวตั ถุ วิธีท�ำ N T fs T (25)(cos30°) (25)(sin30°) 30° 25 N 20 N หาค่าสมั ประสิทธิ์ความเสียดทานสถติ (µs) ระหว่างพ้ืนกับวตั ถุ แรงลัพธ์ท่กี ระทำ�ต่อวตั ถุท้ังสองเท่ากบั ศูนย์ เมือ่ พจิ ารณาทว่ี ัตถหุ นัก 20 นวิ ตัน ดังนั้น T = 20 N

58 บทท่ี 4 | สมดลุ กล ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 พิจารณาทวี่ ตั ถุหนกั 25 นวิ ตัน ซ่ึงเคล่ือนท่ีขึน้ พอดี T = W sin 30 + fs (1) = (25 N)(sin 30 ) + fs = (25 N)(sin 30 ) + µs N N = (25 N)(cos 30 ) แทน T และ N ในสมการ (1) จะได้ ( 20 N ) = ( 25 N )  1  + ( µs ) ( 25 N )  3  2   2  (20 N) = (12.5 N) + (21.65 N) µs µs = (20N ) − (12.5N ) (21.65N ) µs = 0.35 ตอบ สัมประสทิ ธิค์ วามเสยี ดทานสถิตระหวา่ งพ้นื กบั วัตถเุ ป็น 0.35 8. มวล m วางบนพ้นื เอยี งซงึ่ ทำ�มมุ 30 องศากับแนวระดับ ถา้ วัดได้ว่ามวลน้นั ไถลลงพน้ื เอยี งดว้ ย ความเรง่ 1 g สมั ประสทิ ธิค์ วามเสียดทานจลนร์ ะหวา่ งมวลนนั้ กบั พน้ื จะเป็นเท่าไร 8 วิธที �ำ N mg sin30° 30° mg cos30° fk 30° mg

ฟิสิกส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 59 วัตถุเล่ือนลงด้วยความเร่ง a = 1 g แรงเสยี ดทาน 8 fk = µk N = µkmg cos 30 ∑ จากกฎข้อ 2 ของนิวตนั  = ma F ดังน้นั mg sin 30 − fk = (m)  1 g   8   1  = 1 mg ( )  2  8 ( mg ) − µkmg cos 30 µk =  3 2  = 0.43  8  3  ตอบ สัมประสทิ ธ์ขิ องความเสียดทานจลน์ระหว่างมวลกับพื้น มีค่าเทา่ กบั 0.43 9. แผน่ พลาสติกรูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ABC แต่ละด้านยาว 40 เซนติเมตร มีแรงกระท�ำ ดงั รูป 10 N A BC 30 N 20 N รูป ประกอบปญั หาข้อ 9 โมเมนตข์ องแรงรอบจดุ A มีขนาดเทา่ ใด และเป็นโมเมนตช์ นดิ ใด

60 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 วธิ ที �ำ โจทย์ก�ำ หนดให้ A เปน็ จดุ หมุน ดังนนั้ แรง 10 N ที่ผา่ นจุด A และแรง 20 N ทแี่ นวแรงก็ ผ่านจดุ A ไม่ทำ�ให้เกดิ โมเมนต์ เหลือแรง 30 N ทำ�ใหเ้ กดิ โมเมนตร์ อบจดุ A ดงั รูป A ACsin60o 60o C 30 N โมเมนตข์ องแรง 30 N รอบจุด A M = (30 N)(0.4 m)sin 60° = (30 N)(0.4 m) 3 2 = 6 3 N m เป็นโมเมนตท์ วนเข็มนาฬกิ า ตอบ โมเมนตข์ องแรงรอบจุด A มขี นาด 6 3 นวิ ตนั เมตร เป็นโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา 10. ไม้เมตรสม�ำ่ เสมอหนกั 8 นิวตนั นำ�มาวางบนพ้ืนโต๊ะทอ่ี ยู่ในแนวระดบั โดยให้ปลายดา้ นหนง่ึ ยน่ื ออกไปจากขอบโตะ๊ 80 เซนตเิ มตร จะตอ้ งใชแ้ รงกดทป่ี ลายอกี ดา้ นหนง่ึ อยา่ งนอ้ ยเทา่ ใด ไมเ้ มตร จึงไมก่ ระดก วิธีท�ำ เขียนแผนภาพแสดงแรงทีก่ ระท�ำ ตอ่ ไมเ้ มตรไดด้ ังรูป  F 20 cm o 30 cm  N 8N

ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดลุ กล 61 ∑ เม่ือคานสมดุลตอ่ การหมุน M = 0 คดิ โมเมนต์รอบจุด O (8 N)(30 cm) = ( F )(20 cm) F = 12 N ตอบ ตอ้ งใชแ้ รงกดทป่ี ลายอีกดา้ นหนง่ึ อย่างนอ้ ยเท่ากับ 12 นวิ ตนั  11. คานสมำ�่ เสมอหนัก 50 3 นิวตัน แขวนไวก้ ับเพดานที่จดุ หมุนลน่ื ออกแรง F ในแนวระดบั กระทำ�ตอ่ ปลายคานแลว้ ทำ�ใหค้ านเบนไปจากแนวด่ิง 30 องศา ดงั รูป O 30  F  รูป ประกอบปญั หาข้อ 11 จงหาขนาดของแรง F วิธที �ำ ให้คานสม�่ำ เสมอยาว L เขยี นแผนภาพแสดงแรงที่กระท�ำ ตอ่ คานไดด้ งั รปู O 30 50 3 N 60o  F

62 บทท่ี 4 | สมดลุ กล ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 ∑ เมื่อคานอยใู่ นสมดลุ ตอ่ การหมุน M = 0 คดิ โมเมนตร์ อบจุด O ( )  L  30o = ( )( L ) sin 60o 50 3N  2  sin F ( ) 25  1  = ( F )  3  3N  2   2  F = 25 N ตอบ ขนาดของแรง F เท่ากับ 25 นิวตัน 12. คานสม�ำ่ เสมอ AB ยาว L หนกั W วางนิง่ อยู่บนพน้ื เอียงผวิ เกลย้ี ง โดยปลาย A ทำ�มมุ q กบั พ้นื เอียงซ่ึงท�ำ มมุ 30 องศากบั แนวระดับ สว่ นปลาย B อยูบ่ นพน้ื เอยี งซงึ่ ท�ำ มมุ 60 องศากับ แนวระดับ ดังรูป B A θ 30 60 รูป ประกอบปญั หาขอ้ 12 จงหาแรงทพี่ นื้ เอียงกระท�ำ กบั แตล่ ะปลายคานในเทอมของ W วิธีท�ำ เขยี นแผนภาพแรงทก่ี ระท�ำ กับคานไดด้ งั รูป NA NB 30 60 B 60 A θ 30 W 30 60

ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 63 ให้ NA และ NB เปน็ แรงที่พนื้ เอียงกระทำ�กบั ปลายคานท่ี A และ B ตามล�ำ ดับ ได้ NA ทำ�มมุ 30 กบั แนวดง่ิ , NB ท�ำ มมุ 60 กบั แนวดิง่ และ W ช้ีลงในแนวด่ิง แสดงวา่ คานอยูใ่ นสมดลุ ของแรง 3 แรง น�ำ เวกเตอรแ์ ทนแรงทง้ั สามมาเขียนต่อกันได้รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากดงั รปู ใชก้ ฎไซน์กบั สามเหล่ียมรูปนจ้ี ะได้ NA = NB = W NB 60 sin 60° sin 30° sin 90° W จะได้ NA = Wsin 60° 30 NA = 3W 2 NA = 0.866W จะได ้ NB = Wsin 30 = 1 W 2 NNB = 0.50W ตอบ แรงที่พ้นื เอยี งกระท�ำ ทป่ี ลาย A เทา่ กบั 0.87W และปลาย B เทา่ กับ 0.50W 13. แผ่นไมไ้ ม่สม�่ำ เสมอ AB หนกั 120 นิวตนั ยาว 2 เมตร วางตวั ในแนวระดบั ดงั รูป 50 N 70 N AB 2m รปู ประกอบปัญหาข้อ 13 ศูนย์ถว่ งของแผน่ ไมอ้ ยหู่ ่างจากปลาย A เป็นระยะเท่าใด วิธที ำ� แผ่นไมไ้ ม่สม�่ำ เสมอ ศูนย์ถว่ ง (CG) ของแผน่ ไมไ้ ม่อย่ตู รงกลาง ให้ CG ห่างปลาย A เปน็ ระยะ x ดังนั้น CG หา่ งปลาย B เป็นระยะ 2m_x เขียนแผนภาพวัตถุอสิ ระแสดงแรงตา่ ง ๆ ที่กระท�ำ ตอ่ แผ่นไม้ ได้ดงั นี้

64 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 50 N 70 N CG A x B (2 m-x) 120 N แผ่นไม้สมดลุ ตอ่ การหมุน ให้ CG เป็นจุดหมุน = (70 N)(2 m − x) = (50 N) x x=7 m 6 7 ตอบ ศนู ยถ์ ่วงของแผน่ ไม้อยู่ห่างจากปลาย A เป็นระยะ 6 เมตร 14. มีแรงคู่ควบกระท�ำ ตอ่ วตั ถใุ นแนวตา่ ง ๆ ดงั รปู 100 N 100 N 3 cm 100 N 3 cm 3 cm 210° 100 N 100 N 120° ก. ข. 100 N ค. รปู ประกอบปญั หาขอ้ 14 จะหาขนาดของโมเมนตข์ องแรงคู่ควบเหลา่ น้นั และในแตล่ ะกรณวี ัตถจุ ะหมุนอยา่ งไร วิธที ำ� จากรูป ก. ผลรวมของโมเมนต์แรงค่คู วบ M c = Fl l เป็นระยะทางต้ังฉากระหว่างแนวแรงท้งั สอง ซง่ึ มคี ่าเท่ากับ 3 เซนตเิ มตร F เป็นขนาดของแรงคคู่ วบ M c = Fl ( )= (100 N) 1 3×10−2 m  2  =3Nm

ฟสิ ิกส์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 65 จากรปู ข. ผลรวมของโมเมนต์แรงคู่ควบ M c = Fl ( )( ) l เปน็ ระยะทางต้ังฉากระหวา่ งแนวแรงทงั้ สอง ซงึ่ มคี า่ เท่ากับ 3×10−2 m sin 30 F เป็นขนาดของแรงคู่ควบมขี นาดเท่ากบั 100 N 100 N 3 cm 210° 60° 100 N M c = Fl ( )= (100 N) 1 3×10−2 m  2  = 1.5 N m จากรปู ค. ผลรวมของโมเมนต์แรงคู่ควบ M c = Fl ( )( ) l เปน็ ระยะทางต้งั ฉากระหวา่ งแนวแรงทงั้ สอง ซึ่งมีคา่ เท่ากบั 3×10−2 m cos 30 F เปน็ ขนาดของแรงคู่ควบ 100 N 3 cm 30° 100 N M c = Fl ( )= (100 N)  3 3×10−2 m  2  = 2.60 N m

66 บทท่ี 4 | สมดุลกล ฟิสิกส์ เลม่ 2 ตอบ จากรูป ก. ผลรวมของโมเมนต์แรงคู่ควบ มคี ่าเท่ากบั 3 N m ทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า จากรูป ข. ผลรวมของโมเมนตแ์ รงคคู่ วบ มคี า่ เทา่ กับ 1.5 N m ทิศตามเขม็ นาฬิกา จากรูป ค. ผลรวมของโมเมนต์แรงคคู่ วบ มคี า่ เท่ากบั 2.6 N m ทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า 15. คานสม่ำ�เสมอยาว 50 เซนติเมตร มีไม้หมอนหนุนไว้ที่จุดกึ่งกลางคาน P และมีน้ำ�หนัก แขวนไว้ท่ีตา่ ง ๆ ดงั รูป 5 cm 20 cm P 25 cm 20 N 40 N 40 N รปู ประกอบปัญหาขอ้ 15 ถ้าต้องการใหค้ านวางตัวตามแนวระดับ จะต้องแขวนมวลหนัก 50 นวิ ตนั ทีต่ ำ�แหน่งใด วิธีท�ำ ให้แขวนมวล 50 นวิ ตันหา่ งจดุ P เป็นระยะ x เมตร 5 cm 20 cm P 25 cm x 20 N 50 N 40 N 40 N คิดโมเมนต์รอบแกนหมนุ P โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬิกา = โมเมนต์ตามเข็มนาฬกิ า (20 N)(0.25m) + (40 N)(0.2 m) = (50 N) x + (40 N)(0.25m) x = 0.06 m มวล 50 N หา่ งจดุ P = 6 cm ตอบ แขวนมวล 50 นวิ ตนั ห่างจดุ P ไปทางขวาเปน็ ระยะ 6 เซนตเิ มตร

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 67 16. เส้นลวดดงึ คาน AB ซงึ่ มีน�้ำ หนกั 50 นวิ ตัน แขวนไว้ท่ปี ลายคาน ถา้ คานสม่ำ�เสมอมนี ำ้�หนกั 20 นิวตนั ยาว 5 เมตร มีปลาย A ตรึงติดกบั กำ�แพง คานสมดลุ อยไู่ ดด้ งั รูป จงหาแรงดงึ ของเสน้ ลวด 30° วิธที �ำ 60° 1m B A 4m 50 N รูป ประกอบปัญหาข้อ 16 30° Tsin60 ° 4m 60° 1m B W A 50 N 50 N หาแรงดึงในเส้นลวด เมือ่ วตั ถอุ ยใู่ นสมดลุ สถติ และสมดุลตอ่ การหมุนคิดโมเมนต์รอบจดุ A

68 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 ดงั นนั้ โมเมนต์ตามเขม็ นาฬกิ า = โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬกิ า W (2.5 m) + (50 N)(5 m) = (T sin 60 )(4 m) (20 N)(2.5m) + (50 N)(5m) = (T sin 60 )(4 m)  3  (4 m) 50 N + 250 N = T  2  T = 86.60 N ตอบ แรงดึงในเส้นลวดมคี ่าเป็น 86.60 นิวตนั 17. AB เปน็ คานสม่ำ�เสมอตรงึ ไวท้ ี่ A ลวด BC ดึงคานท่ีห้อยวัตถไุ ว้ ถา้ คานหนกั 200 นวิ ตนั และวตั ถุ W หนกั 1,000 นวิ ตัน แขวน ดงั รูป จงหาแรงดึงในเสน้ ลวด BC B W วิธที ำ� 30° 45 ° CA B รูป ประกอบปญั หาขอ้ 17 T 15° 30° x 1000 N C 45° 200 N วัตถุสมดุลสถิตและสมดุลต่อการหมุน A หาแรงดงึ ในเสน้ ลวด คดิ โมเมนตร์ อบจดุ A

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดุลกล 69 ดังนนั้ โมเมนตต์ ามเข็มนาฬกิ า = โมเมนต์ทวนเข็มนาฬกิ า ( ) ( ) (  AB  (1, ) 200 N )  2 cos 45  + 000 N AB cos 45 = (T ) ABsin15 AB หารตลอดจะได้ (100 N )  2  + (1, 000 N )  2  = (T ) ( 0.259)  2  2  T = 3, 003.16 N ตอบ แรงดึงในเส้นลวดเท่ากับ 3003.16 นวิ ตัน 18. บนั ไดยาว 2.5 เมตร มีน้ำ�หนัก 40 นวิ ตนั วางพงิ ก�ำ แพงเกลยี้ ง (ไม่คิดแรงเสยี ดทาน) ดังรปู A 60 ° B รูป ประกอบปัญหาขอ้ 18 ศนู ย์ถ่วงของบันไดอยูห่ ่างปลายลา่ ง 1.0 เมตร จงหา ก. แรงเสียดทานระหวา่ งพนื้ ลา่ งกับบันได เพ่อื ทำ�ใหบ้ นั ไดวางนง่ิ อยไู่ ด้ ข. จงหาแรงทบี่ นั ไดกระทำ�ตอ่ กำ�แพงทีจ่ ดุ A

70 บทท่ี 4 | สมดุลกล ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 วธิ ีทำ� หาแรงเสยี ดทานสถิตระหว่างพนื้ ลา่ งกับบันได ( fs ) และแรงท่ีบนั ไดกระท�ำ ตอ่ ก�ำ แพงที่จุด A (N1) A N1 2.5 m 1.0 m N W = 40 N60° fs B บนั ไดอยใู่ นสมดลุ สถติ และสมดลุ ตอ่ การหมนุ แรงลพั ธท์ ก่ี ระท�ำ ตอ่ บนั ไดเทา่ กบั ศนู ย์ หาโมเมนต์ ของแรงรอบ B และโมเมนต์ของแรงรอบจดุ ใด ๆ เทา่ กับศนู ย์ โมเมนตต์ ามเขม็ นาฬิกา = โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬกิ า ( N1 )(2.5 m)(sin 60 ) = (40 N)(1m)(cos 60 ) ( N1 ) ( 2.5 m )  3  = ( 40 N )× (1m ) ×  1   2   2  N1 = 9.24 N fs = 9.24 N ด้วย ตอบ ก. แรงเสยี ดทานระหวา่ งพื้นลา่ งกบั บันไดมคี ่าเปน็ 9.24 นวิ ตนั ข. แรงทบี่ ันไดกระทำ�ตอ่ ก�ำ แพงที่จดุ A เปน็ 9.24 นิวตนั ด้วย

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 71 19. คานยาว 2.0 เมตร หนัก 40 นวิ ตัน ศูนย์กลางมวลอยู่ห่างจากปลายท่ดี ้านลา่ ง 0.8 เมตร ปลายอีกด้านหนึ่งวางพงิ กำ�แพงผิวเกล้ียง ดงั รูป 1.2 m 2.0 m 0.8 m 40 N รปู ประกอบปญั หาข้อ 19 ถ้าคานที่พงิ เรม่ิ ไถล จงหาสัมประสทิ ธคิ์ วามเสยี ดทานสถิตระหวา่ งพนื้ กับคาน วธิ ที ำ� เขยี นแผนภาพแสดงแรงกระท�ำ กบั คานได้ดังรปู N1 2.0 m 1.2 m 0.8 m N2 40 N θ fs 1.6 m เมือ่ คานอยู่ในสมดุล ∑ F = 0 และ ∑ M = 0 พิจารณาแรงลพั ธใ์ นแนวระดบั N1 − fs = 0 N1 = fs

72 บทท่ี 4 | สมดุลกล ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 พิจารณาแรงลัพธ์ในแนวด่ิง N2 − 40 N = 0 N2 = 40 N ∑ หา N1 จาก M = 0 รอบจุดทปี่ ลายคานสมั ผสั กับพน้ื ได้ (40 N)(0.8 m) cosθ − N1 (1.2 m) = 0 ( 40 N ) ( 0.8 m )  1.6 m  − N1 (1.2 m ) = 0  2.0 m  ( 40 N)(0.8 m) (0.8) N1 = (1.2 m) = 21.33 N หา µs จาก µs = fs N2 = 21.33 N 40 N µs = 0.53 ตอบ สัมประสิทธ์คิ วามเสยี ดทานสถติ ระหวา่ งผวิ พ้ืนกับคานเทา่ กับ 0.53

ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 4 | สมดุลกล 73 20. คานสมำ�่ เสมอยาว L หนกั W ปลายขา้ งหน่ึงวางพงิ ก�ำ แพงผวิ เกลีย้ งท�ำ มุม q กับก�ำ แพง ปลายอีกข้างอยู่บนพ้ืนระดับผิวฝืด ถ้าคานอยนู่ ง่ิ จงหาแรงเสียดทานท่พี น้ื กระท�ำ ตอ่ คาน ในเทอม W และ q วธิ ีท�ำ เขยี นแผนภาพแสดงแรงท่ีกระท�ำ กับคานไดด้ ังรูป Ν1 θ L N2 W fs ให้ และ เปน็ แรงในแนวตั้งฉากกับกำ�แพงและแรงในแนวตัง้ ฉากพืน้ ที่กระท�ำ ตอ่ คาน เป็นแรงเสยี ดทานทพี่ ืน้ กระทำ�ต่อคาน เม่ือคานอยู่ในสมดลุ และ พิจารณาแรงลพั ธใ์ นแนวระดับ ù 1 − fs = 0 (1) N1 = fs หา จาก รอบจดุ ทีป่ ลายคานสมั ผัสกับพ้ืน WWL2L2ssininθθ−−ùù11((LLccoossθθ))==00 N1 = W tan θ (2) 2 สมการ (1) = (2) fs = W tan θ 2 ตอบ แรงเสยี ดทานทพ่ี ้ืนกระท�ำ ต่อคานมคี า่ W tan θ 2

74 บทท่ี 4 | สมดลุ กล ฟิสิกส์ เล่ม 2 ปัญหาท้าทาย 21. วางวัตถุมวล m บนแผน่ ไมซ้ ง่ึ ทำ�มมุ 30 องศากบั แนวระดบั เมื่อคอ่ ย ๆ ยกปลายแผน่ ไมใ้ ห้ สูงข้นึ พบวา่ วัตถจุ ะเรมิ่ เคลอื่ นท่ีเมอ่ื แผน่ ไมท้ �ำ มุม 60 องศา กับแนวระดับ แรงเสยี ดทานทก่ี ระท�ำ ตอ่ วตั ถุ ตง้ั แต่แรกจนถึงวัตถุเริ่มเคลือ่ นท่ีมคี า่ เปลีย่ นแปลงหรือไม่ อยา่ งไร วิธีทำ� วัตถุมวล m อยู่บนพื้นที่เอียงทำ�มุม q กับแนวระดับ แรงเนื่องจากน้ำ�หนักของวัตถุตาม พน้ื เอยี งมคี า่ mg sinθ ซง่ึ เปน็ ขนาดของแรงเสยี ดทานขณะวตั ถยุ งั ไมเ่ คลอ่ื นท่ีเขยี นแผนภาพ วตั ถุอิสระทก่ี ระทำ�ตอ่ วตั ถุเมอ่ื แผ่นไม้ท�ำ มุม 30 องศาและ 60 องศากบั แนวระดบั ไดด้ งั นี้ N f f N mg 30o mg 60o รูป 1 รปู 2 พิจารณารปู 1 แรงเสียดทานยงั ไม่สูงสดุ แต่วัตถุสมดุล แสดงว่า f = mg sin 30° = mg  1  = 0.5mg  2  พจิ ารณารปู 2 แรงเสยี ดทานสูงสุด f = mg sin 60°  3 = mg  2  = 0.87mg ตอบ แรงเสยี ดทานท่กี ระท�ำ ตอ่ วตั ถุ ต้ังแตแ่ รกจนถงึ วตั ถุเริม่ เคลื่อนท่ีมีค่าเปลย่ี นแปลงโดยมีค่า เพ่ิมข้นึ จาก 0.5mg เปน็ 0.87mg

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 75 22. แทง่ ไมส้ ม�ำ่ เสมอหนกั W ยาว L ตดิ บานพับทป่ี ลาย A มีเชอื กผูกที่จุด B ระยะ AB เท่ากับ 2 L ดังรปู 3 60o B 60o W A รปู ประกอบปญั หาขอ้ 22 แรงดึงในเส้นเชอื กมีคา่ เทา่ ใด (ตอบในเทอมของ W) วธิ ีทำ� แรงท่ีกระท�ำ ต่อแท่งไมม้ ี 3 แรงคือ น้ำ�หนกั W แรงดงึ ในเส้นเชือก T และแรงท่กี ระท�ำ ที่ ปลาย A ซง่ึ ท�ำ ให้แทง่ ไม้สมดลุ ต่อการหมุน ถา้ ให้ปลาย A เป็นจดุ หมุน เขยี นแผนภาพแสดง W และ T ทก่ี ระทำ�ต่อแท่งไมแ้ ละท�ำ ใหเ้ กดิ โมเมนต์ ไดด้ ังนี้ 60o Tsin60o T Tcos60o 60o B 60o o 60 Wsin60o Wcos60o AW เมอ่ื A เปน็ จดุ หมุน = (T sin 60°) 2 L = (W sin 60°) L 32 3 T = 4 W ตอบ แรงดึงในเสน้ เชือกมีค่า 3W 4

76 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟิสิกส์ เล่ม 2 23. งอลวดสม�ำ่ เสมอเป็นมุมฉาก ดา้ น ab ยาว 80 เซนติเมตร ด้าน bc ยาว 40 เซนติเมตร มีแรง กระทำ�ทป่ี ลาย a และปลาย c ท�ำ ให้ลวดอยู่ในสมดุลตอ่ การหมุนรอบจุด b ดงั รูป a F c 2N 60o 30o b รูป ประกอบปญั หาข้อ 23 ถ้าความเสยี ดทานทจ่ี ดุ สมั ผสั มากพอที่จะไมไ่ ถล แรง F ท่ีกระท�ำ ทปี่ ลาย a มคี ่าเท่าใด ก�ำ หนดให้ ลวดยาว 100 เซนติเมตร มนี ้ำ�หนกั 1 นิวตนั วิธที �ำ เขียนแผนภาพแสดงแรงต่าง ๆ ทก่ี ระทำ�ต่อลวด ได้ดงั นี้ a F (0.8 N)cos606o 0o c 2N b (0.4 N)sin60o 0.8 N 0.4 N ลวดด้าน ab มีน�ำ้ หนัก (1N/m)(0.8 m) = 0.8 N ลวดดา้ น bc มนี ้�ำ หนัก (1N/m)(0.4 m) = 0.4 N ลวดสมดลุ ตอ่ การหมุน ใหป้ ลาย b เปน็ จุดหมุน F (0.8 m) + (0.8 N) cos 60°(0.4 m) = F (0.8 m) + (0.8 N) cos 60°(0.4 m) = (2 N)(0.4 m) + (0.4 N)sin 60°(0.2 m) (2 N)(0.4 m) + (0.4 N)sin 60°(0.2Fm=)0.89 N ตอบ แรง F ท่ีกระทำ�ที่ปลาย a มีคา่ 0.89 นิวตนั

ฟสิ กิ ส์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | สมดลุ กล 77 24. แท่งเหล็กสม่ำ�เสมอ ab ปลาย a ผูกไว้ด้วยเชือกเบา ปลาย b วางอยู่บนเครื่องชั่งและ อยู่ในสมดุลในลกั ษณะดงั รปู รูป ประกอบปัญหาขอ้ 24 ถ้าแทง่ เหลก็ มนี �ำ้ หนกั 80 นิวตนั เคร่อื งช่งั จะอา่ นน�ำ้ หนกั ได้กีน่ วิ ตัน วิธที ำ� เขยี นแผนภาพแสดงแรงต่าง ๆ ที่กระทำ�ตอ่ แทง่ เหลก็ ไดด้ ังนี้ a (80 N)sinθ R θ Rsinθ θ 80 N b เข็มเคร่ืองช่งั จะบอกคา่ ของแรงท่ีเครือ่ งช่ังกระทำ�ต่อปลาย b ของแท่งเหลก็ ใหแ้ รงนม้ี ีคา่ เปน็ R ให้แทง่ เหล็กยาว 2L แทง่ เหลก็ สมดลุ ตอ่ การหมนุ ใหป้ ลาย a เป็นจุดหมุน

78 บทที่ 4 | สมดลุ กล ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 = (R sinθ )(2L) = [(80 N) sinθ ]L R = 40 N ตอบ เครอื่ งชง่ั จะอา่ นน�้ำ หนักได้ 40 นวิ ตนั 25. วา่ วจฬุ าเปน็ การละเลน่ ของไทย ในการเลน่ จะตอ้ งใชเ้ ชอื กผกู ทต่ี วั วา่ วสองเสน้ เรยี กวา่ “สายซงุ ” โดยเชอื กท�ำ มมุ ไมเ่ ท่ากันดงั รปู วาว 45o T 30o รปู ประกอบปญั หาขอ้ 25 ถา้ เสน้ เชอื กทใ่ี ชด้ งึ สายซงุ มแี รงดงึ ในเชอื ก 10 นวิ ตนั จงหาแรงดงึ ในเชอื กสายซงุ เสน้ บนและเสน้ ลา่ ง ตามล�ำ ดบั วิธที �ำ เขียนแผนภาพวตั ถอุ สิ ระไดด้ ังนี้ T2sin45o T2 T1 45o T2cos45o 60o T3cos60o T3sin60o T3

ฟิสิกส์ เลม่ 2 บทที่ 4 | สมดลุ กล 79 สมดลุ ตอ่ การเลื่อนท่ี แรงในแนวแกน x ∑ Fx = 0 T1 = T2 cos 45° + T3 cos 60° (1) แรงในแนวแกน y ∑ Fy = 0 T2 sin 45° = T3 sin 60° (2) จาก (1) 1100NN== 2 T2 + T3 2 2 และ (2) 2 T2 = 3 T3 2 2 T2 = 8.97 N T3 = 7.32 N ตอบ แรงดึงในเชือกสายซงุ เส้นบนและเสน้ ลา่ งเทา่ กบั 8.97 นวิ ตัน และ 7.32 นิวตัน ตามล�ำ ดับ

80 บทที่ 4 | สมดุลกล ฟสิ ิกส์ เลม่ 2 26. วัตถหุ นกั W แขวนไวด้ ว้ ยเชอื ก AB และ BC เชือก AB อยใู่ นแนวระดับและเชือก BC ทำ�มุม 60 องศากบั แนวดง่ิ ดังรปู C 60o B A W รูป ประกอบปญั หาขอ้ 26 ถ้าเสน้ เชอื กแตล่ ะเสน้ ทนแรงดึงไดส้ งู สุดเสน้ ละ 30 นวิ ตนั จงหานำ้�หนกั W ท่ีมากท่ีสุดท่ที ำ�ให้วัตถุ อยู่นงิ่ ได้ วธิ ที ำ� ใหแ้ รงดึงเชอื ก AB เป็น T2 ให้แรงดงึ เชอื ก BC เป็น T2 เขยี นแผนภาพวตั ถอุ สิ ระ ขณะวัตถุอยใู่ นสมดุล ได้ดังน ้ี T2cos60o T2 60o T1 T2sin60o W จากรูป T1 = T2 sin 60 แสดงว่า T2 > T1 และ W = T2 cos 60 แสดงวา่ T2 > W จะเห็นวา่ T2 > W และ T2 > T1 ดงั นนั้ ถ้าเพ่มิ W เชอื ก BC จะขาดกอ่ น เชือก AB ให้ T2 = 30 N (ค่าสงู สดุ ท่เี ชอื ก BC รับได้) จากรปู วัตถหุ ยดุ น่ิง แนวดงิ่ W = T2 cos 60° = (30 N )  1   2  W = 15 N ตอบ น�้ำ หนัก W ทมี่ ากทีส่ ุดท�ำ ใหว้ ัตถอุ ยู่น่ิงได้มคี ่า 15 นวิ ตนั

ฟิสิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดลุ กล 81 27. เสน้ ลวดโตสม�ำ่ เสมอหนกั W ดดั ใหโ้ คง้ เปน็ สว่ นหนง่ึ ของวงกลมทม่ี คี วามยาว 1 ของความยาว 4 เสน้ รอบวง วางพิงผนงั ลื่นท่จี ดุ A และสมั ผัสพื้นทจ่ี ุด B ดงั รูป ผนงั A พน้ื B รูป ประกอบปญั หาข้อ 27 แรงเสียดทานทเ่ี กดิ ขน้ึ ทพี่ ้ืนต้องมีขนาดอยา่ งนอ้ ยเทา่ ใด จงึ ท�ำ ใหล้ วดหยุด (ตอบในรูปของ W) วิธที �ำ เขยี นแผนภาพแสดงแรงต่าง ๆ ทกี่ ระทำ�ตอ่ ลวด ไดด้ ังนี้ NA O A r 45o W fs จากรปู O เป็นศูนย์กลางของวงกลม B NB r เปน็ รศั มขี องลวด NB เปน็ แรงปฏกิ ิรยิ าที่พืน้ กระท�ำ ตอ่ ลวดทีจ่ ดุ B และแนวแรงผ่าน O fs เป็นแรงเสยี ดทานท่นี ้อยทสี่ ุดทีจ่ ุด B ลวดสมดุลตอ่ การหมนุ ให้ O เปน็ จุดหมุน = W (r sin 45°) = fsr fs = W 2 W ตอบ แรงเสียดทานทพี่ ้ืนอย่างนอ้ ยตอ้ งมีขนาด 2

82 บทท่ี 4 | สมดุลกล ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 28. หอเอนเมืองปิซ่าในประเทศอิตาลี หากยังไม่คิดถึงการเอียงตัวของหอคอยจะมีความสูง ประมาณ 56 เมตรและมคี วามกว้างของฐานประมาณ 15 เมตร แต่ในความเป็นจรงิ เมื่อหอคอย เอยี งตัวและพบวา่ ยอดหอคอยดา้ นหนึ่งมีระยะห่างจากแนวดิง่ เปน็ ระยะประมาณ 3.9 เมตร ดงั รูป 15 m 3.9 m 56 m θ รปู ประกอบปญั หาขอ้ 28 หอคอยน้เี อยี งตัวเปน็ มุมเทา่ ใด และจะเอียงเป็นมุมมากทสี่ ดุ เทา่ ใดโดยท่ไี มล่ ม้ ลงมา วิธีทำ� หอคอยจะลม้ ลงมาถา้ ต�ำ แหนง่ ของศนู ยถ์ ว่ งนัน้ อย่นู อกฐานของหอคอย a r มุมทีห่ อคอยเอียงตัว สามารถหาไดจ้ ากรปู ด้านบนโดยใชค้ วามสัมพันธ ์ θ = โดย a = 3.9 m และ r = 56 m แทนคา่ จะได้ θ = 3.9 m 56 m θ = 3.9 rad =  3.9 rad   180  = 3.99 ≅ 4.0 56  56   π rad    หากประมาณให้ศูนย์ถ่วงของหอคอยอยู่ท่ี θMAX ตำ�แหน่งกึ่งกลางของแต่ละด้าน ตำ�แหน่ง สุดท้ายก่อนท่ีหอคอยจะล้มลงมานั้นจะมี แนวของศูนย์ถ่วงอยู่ที่ขอบของฐานหอคอย พอดี ดงั รูป 28.0 m 7.5 m

ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | สมดลุ กล 83 จากรปู จะได้ θmax มีค่าเปน็ θmax = tan −1  7.5 m   28.0 m    = tan−1 0.2678 ≅ 15° ตอบ หอคอยเอยี งตวั ท�ำ มุม 4.0 องศา และจะเอยี งตวั ไดม้ ากที่สุดเป็นมมุ 15.0 องศา 29. บนั ไดขนาดสม�่ำ เสมอหนกั 80 นิวตัน วางพาดไว้กบั ผนังห้อง โดยทัง้ ผนังห้องและพ้นื ห้องล่ืน ถ้าเด็กคนหนง่ึ มนี �ำ้ หนกั 100 นิวตนั ปีนขึน้ ไปตามบนั ไดน้ไี ด้สงู 2.2 เมตร ดงั รูป 100 N 2.6 m 2.2 m เชือก 30 o 1.2 m O รูป ประกอบปญั หาข้อ 29 แรงดึงของเชอื กจะเปน็ เท่าใด

84 บทท่ี 4 | สมดลุ กล ฟิสิกส์ เลม่ 2 วิธที �ำ สามารถเขียนแรงทก่ี ระท�ำ กับบนั ได ได้ดงั รูป R1 0.6 m 100 N 2.6 m T cos30o 80N 2.2 m R2 30 o เชอื กT T sin30o 30 o x OK 1.2 m ตามรูป 2.2 m = 2.6 m x 1.2 m x = 1.015 m และ K = 1.2 m −1.015 m = 0.185 m (1) (2) จาก ∑  = 0 (3) F ในแนว x : = R1 =T cos 30 T 3 2 ในแนว y : R2 = T sin 30 + 80 N +100 N จะได R2 = T +180 N 2 ∑ จาก M = 0 คดิ รอบจุด O จะได้

ฟิสิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | สมดุลกล 85 โมเมนต์ตามนาฬกิ า = โมเมนต์ทวนนาฬิกา R1(2.6 m)+(100 N)(K)+(80 N)(0.6 m) = R2(1.2 m) แทนคา่ จากสมการ (2) และ (3) จะได้ T 3T ( 23.6(m2.6) +m(1)8+.5(1N8.5mN) +m()4+8 (N48mN) m=) = =1801N80+ NT + (T12.2 (m1.2) m ) 2 2 2 T = 90.5 N ตอบ แรงดึงของเชือกเทา่ กับ 90.5 นิวตัน 30. วตั ถุแขง็ เกรง็ รูปเหลย่ี มสม�ำ่ เสมอ หนา้ ตัดเปน็ รูปสี่เหลยี่ มจัตรุ ัส พื้นที่ a2 วตั ถุมีความยาว h หนกั W ดังรปู Q เ ืชอกยาว L L L L B A x P C a a D h W รูป ประกอบปญั หาขอ้ 30 จงหา ก. แรงดึงเชอื กแต่ละเสน้ ถา้ มุมบนทั้งส่ีผกู ด้วยเชือกยาว L เท่ากนั 4 เสน้ โดยปลายบนรวบไป แขวนไวท้ ี่จุดบนเพดาน ข. ความตึงของเชือกที่เหลือแต่ละเส้น เม่อื ตดั เชือก QC และระบบยงั อยใู่ นสมดลุ สถิต

86 บทท่ี 4 | สมดลุ กล ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 ก. วธิ ีทำ� เน่ืองจากความสมมาตรเชือกทั้งสี่ซ่ึงมีความยาว A xP เท่ากันจะมีความตึงเท่ากัน และพื้นที่ ABCD ax จะเป็นพื้นที่ระดับ พิจารณาสามเหลี่ยม ADP ตามรปู จะได้ D 2x2 = a2 x = a 2 พิจารณาสามเหล่ยี ม APQ ถา้ เชือกแตล่ ะเสน้ มีความตงึ T จาก จะได้ Q T cosθ = W θ 4 T cosθ cosθ = PQ = 1 L2 − x2 T LL L 1 θ =  − a2  2 Ax = 1 2L2    1 P ดังนนั้ T W 2 ตอบ 4 1 a2  −  2L2  −  W 1 − a2  − 1 4  2L2 2 แรงดึงของเชือกแตล่ ะเส้นเทา่ กับ   ข. วธิ ีทำ� จากความสมมาตร เพ่ือที่จะใหว้ ตั ถอุ ยใู่ นสมดุลสถิต ความตงึ ของเชอื ก AQ จะเท่ากับ ศูนย์ ความตงึ ของเชือก QD และ QB (ซึ่งเทา่ กนั ) หาไดจ้ าก 1 T cosθ W , cosθ = 1 − a2  2 2  2L2  =  W 1 − a2  − 1 2  2L2 2 จะได้ T =   W 1 − a2  − 1 2  2L2 2 ตอบ เชอื กทีเ่ หลอื แตล่ ะเส้นจะมีความตงึ เท่ากับ  