Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 3.4: Funciones de densidad de probabilidades 91 vam ente. Para tratar de m anera más general el problem a de asociar probabilidades con los valores de variables aleatorias continuas, supongam os que un em botellador de be­ bidas gaseosas está interesado en la cantidad real de una bebida gaseosa que su m áqui­ na d e em b o tellar p o n e en las botellas d e 16 onzas. E v id en tem en te, la c an tid ad variará algo de botella a botella; es, de hecho, una variable aleato ria continua. Sin em bargo, si él redondea las cantidades al décim o de onza m ás cercano, estará tratando con una va­ riable aleatoria discreta que tiene una distribución de probabilidad, y esta distribución de probabilidad se puede ver com o un histogram a en el cual las probabilidades están dadas por las áreas de los rectángulos, digam os, com o el diagram a en la parte superior de la figura 3.6. Si él red o n d ea las cantidades al centésim o de onza m ás cercano, e sta ­ rá otra vez tratando con una variable aleatoria discreta (una diferente) que tiene una distribución de probabilidad, y esta distribución de probabilidad se puede ver como un histogram a donde las probabilidades están dadas por las áreas de los rectángulos, diga­ m os, com o el diagram a en la parte m edia de la figura 3.6. 15.9 16.0 16.1 Cantidades redondeadas al décimo de onza más cercano 16.00 16.10 Cantidades redondeadas al centésimo de onza más cercano 15.9 16.0 16.1 F ig u ra J . 6 D efinición de probabilidad en el caso co n tin u o .

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad D ebe ser evidente que si redondeam os las cantidades al m ilésimo de onza más cercano o al diezm ilésim o de onza m ás cercano, los histogram as de las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias discretas correspondientes se aproxim arán a la curva continua m ostrada en el diagram a en la parte inferior de la figura 3.6, y la sum a de las áreas de los rectángulos que representan la probabilidad de que la cantidad q u e d e d e n tro de un in terv alo especificado se ap ro x im a al á re a c o rre sp o n d ie n te b ajo la curva. C iertam ente, la definición de probabilidad en el caso continuo presum e para cada variab le a le a to ria la ex isten cia d e u n a fu n ció n , llam ad a u n a fundón de densidad de probabilidad, tal que las áreas bajo la curva d an las probabilidades asociadas con los intervalos correspondientes sobre el eje horizontal. En otras palabras, una función de d en sid ad de p ro b ab ilid a d , in te g rad a d e a a b (con a 2 b ), d a la p ro b ab ilid a d de q u e la variable aleato ria co rresp o n diente asum irá un valor en el intervalo de a a b. definición 3.4 U na función con valores f ( x ) , definida sobre el conjunto de to d o s los n ú m e ro s reales, se llam a una función de densidad de probabilidad de la variab le a le a to ria co n tin u a A\" si y sólo si p ara cualesquiera co n stan tes reales a y b con a á b. Las funciones de densidad de probabilidad tam bién se conocen, m ás brevem ente, como densidades de probabilidad, fundones de densidad, densidades, o f.d.p. A dvierta que /(c ) , el valor de la densidad de probabilidad de X en c, no da P ( X = c) com o en el caso discreto. E n relación con la variables aleatorias continuas, las probabilidades siem pre están asociadas con intervalos y P ( X = c) = 0 para cualquier constante real c. E sto concuerda con lo que dijim os en la página 90 y tam ­ bién se sigue d ire c ta m e n te de la definición 3.4 con a = b = c. D ebido a esta propiedad, el valor de una función de densidad de probabilidad se puede cam biar con algunos de los valores de una variable aleatoria sin cam biar las probabilidades, y esto es por lo que decim os en la definición 3.4 que f ( x ) es el valor de una densidad de probabilidad, n o la densidad de probabilidad, de la variable aleatoria X en x. T am bién, en vista de esta propiedad, no im porta si incluim os los puntos term i­ nales del intervalo de a a ó; sim bólicamente. t eo r em a 3 .4 Si X es una variable aleatoria continua y a y b son constantes reales con a % b, entonces P{a ^ X á b) = P(a á X < b) = P(a < X S b) = P(a < X < b)

Sección 3.4: Funciones de densidad de probabilidades 93 A nálogo al teorem a 3.1, enunciem os ahora las siguientes propiedades de las den­ sidades de probabilidad que. una vez más. se siguen directam ente de los postulados de probabilidad. teo r em a 3 .5 U na función puede servir com o una densidad de probabilidad de una variable aleato ria continua X si sus valores, f { x ) . satisfacen las condicionest 1 . f ( x ) £ 0 p ara —oo < x < oo; 2. J j ( x ) d x = l . EJEM PLO 3.9 Si X tiene la densidad de probabilidad _ í k • e ~ix para x > 0 en cualquier otra parte f ( x ) z lo encuentre k y P (0.5 S X S 1). Solución Para satisfacer la segunda condición del teorem a 3.5. debem os tener k • e~3x d x = k e~ix 11 k • lím — = - = i-» |0 3 1 —3 y se sigue qu e k — 3. P ara la probabilidad obtenem os i P ( 0.5 S J f S l ) * f 3e~ix dx = - e \" 3* = - e ~ 3 + e~u = 0.173 Jo s 0.5 A unque la variable aleatoria del ejem plo an terio r no puede asum ir valores negativos, am pliam os artificialm ente el dom inio de su densidad de probabilidad para incluir todos los núm eros reales. Ésta es una práctica que seguirem os en todo este texto. C om o en el caso discreto, hay m uchos problem as en los que nos interesa cono­ cer la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria continua X sea m enor que o igual a algún núm ero real x. Así. hagam os la siguiente definición análoga a la defini­ ción 3.3. t Las condiciones no son “si y sólo si\" com o en el teorem a 3.1 porque /(.*) podría ser negativa p ara algunos valores d e la variable aleatoria sin afectar a cualesquiera de las probabilidades. Sin em bargo, ambas condiciones del teorem a 3.5 las satisfacen casi todas las densidades d e probabilidad usadas en la práctica y estudiadas en este texto.

94 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad d efin ic ió n 3.5 Si X e s u n a v a ria b le a le a to ria c o n tin u a y el v a lo r d e su d e n s id a d d e p ro b ab ilid ad en t es f(t), entonces la función d ad a por í/•'(.O = P { X á x ) = f(t) di p a ra —oo < x < oo J-00 se llam a la función de distribución, o la distribución acumulativa, d e X . Las propiedades de las funciones de distribución dadas en el teorem a 3.2 son tam ­ bién válidas e n el caso c o n tin u o ; e s to es, F ( — oo) = 0, F (o o ) = 1 y F ( a ) á (¿>) cu ando a < b. A dem ás, se sigue directam ente de la definición 3.5 que t e o r e m a 3.6 Si f ( x ) y F{ x ) son los v alo res d e la d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d y la función de distribución de X en x, entonces P(a ^ X á b) - F(b) - F(a) para cualesquier constantes reales a y b con a S b, y donde la derivada existe. EJEMPLO 3.10 Encuentre la función de distribución de la variable aleatoria X del ejem plo 3.9, y úsela para evaluar de nuevo P ( 0.5 i ^ S 1), Solución Para * > 0, F ( x ) = f A t ) di = í 3 e ~ * d t =- - J - <x> Jo y puesto que F{x) = 0 para x á 0, , podem os escribir . í0 para x á o “ \\ l - e \" 1* para x > 0 Para d eterm in ar la probabilidad P( 0.5 ^ X ^ 1 ),usam os la prim era p arte del teorem a 3.6, y obtenem os P{0.5 S X ^ 1) = F ( l ) - F(0.5) = O \" ^ 3) - ( 1 \" e - '* ) = 0.173

Sección 3.4: Funciones de densidad de probabilidades 95 E sto concuerda con el resultado obtenido al usar la densidad de probabilidad d irectam en te en el ejem plo 3.9. A EJEM PLO 3.11 E ncuentre una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria cuya fun­ ción de distribución está dada por F(x) = 0 para x = 0 para 0 < x < 1 x para x S i 1 y dibuje su gráfica Solución Puesto que la función de densidad dada es diferenciable en todas partes excepto enjr = O y j r = l , diferenciam os para j c < 0 , 0 < x < l y x > l , obteniendo 0, 1 y 0. A sí. de acuerdo a la segunda p arte del teorem a 3.6. podem os escribir /0 0 = 0 para x < 0 para 0 < x < 1 i para x > 1 0 Para llenar los vacíos en x = 0 y x = 1, hacem os /(O ) y / ( I ) am bos igual a cero. E n realidad, no im porta cóm o se defina la densidad de probabilidad en estos dos puntos, pero hay ciertas ventajas (las cuales se explican en la página 243) para escoger las variables de m anera que la densidad de probabilidad sea diferente de cero en un intervalo abierto. A sí. podem os escribir la densidad de probabilidad de la variable aleatoria original como para 0 < x < 1 en cualquier otra parte E sta gráfica se m uestra en la figura 3.7 a /<*) 1 0 x Figura 3 .7 Densidad de probabilidad del ejemplo 3.11.

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad E n la m ayoría de las aplicaciones encontram os variables aleatorias que son dis­ cretas o son continuas, de m anera que las funciones de distribución correspondientes tienen una apariencia de escalera com o en la figura 3.5. son curvas continuas o son com binaciones d e líneas com o en la figura 3.8. que m uestra la gráfica de la función de distribución del ejem plo 3.11. Las funciones de distribución discontinuas com o la m ostrada en la figura 3.9 se p re se n ta n c u a n d o las variab les a le a to ria s so n mixtas. U n a función d e d istrib u ció n tal será discontinua en cada punto que tenga una probabilidad no cero y continua en cualquier otra parte. C om o en el caso discreto, la altura del escalón en el punto de dis­ continuidad da la probabilidad que la variable aleatoria asumirá ese valor particular. C on respecto a la figura 3.9, P { X = 0.5) = j — | p e ro fuera d e eso la variable aleatoria es com o una variable aleatoria continua. En este libro nos lim itarem os a variables aleatorias que son discretas o continuas en donde las últim as tienen funciones de distribución que son diferenciables en todos los valores de las variables aleatorias excepto en un conjunto finito de valores F(x) F ig u ra 3.8 Función de distribución del ejem plo 3.11. F(x) F ig u ra 3 .9 Función de distribución de una variable aleatoria mixta.

Sección 3.4: Funciones de densidad de probabilidades 97 EJERCICIOS 3.24 La densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X está dada por /(*) = '1 para 2 < x < 7 ^ en cualquier otra parte 0 (a) dibuje su gráfica y verifique que el área total bajo la curva (arriba del eje x ) es igual a 1 . (b) Encuentre P(3 < X < 5). 3 .2 5 E n cu en tre la función de distribución de la variable aleatoria X del ejercicio 3.24 y úsela para evaluar de nuevo el inciso (b). 3.26 (a) D em uestre que f(x) = 3x2 para 0 < x < 1 representa una función de densidad. (b) B osqueje u na gráfica de esta función e indique el á rea asociada con la p ro b ab ilid ad q u e 0.1 < x < 0.5. (c) C alcule la probabilidad que 0.1 < x < 0.5. 3 .2 7 (a) D em uestre que f { x ) = e~x p ara 0 < * < representa una función de densidad de probabilidad. (b) Bosqueje una gráfica de esta función e indique el área asociada con la pro­ bab ilid ad de q u e .r > 1 . (c) C alcule la p ro b ab ilid a d de q u e x > 1. 3 .2 8 La densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y está dada por /(> ’) = 1 para 2 < y < 4 en cualquier otra parte —(y + 1) 8 0 Encuentre P ( Y < 3.2) y P {2.9 < Y < 3.2). 3.29 E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria Y del ejercicio 3.28 y úsela para determ inar las dos probabilidades pedidas en ese ejercicio. 3.30 La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X está dada por para 0 < x < 4 en cualquier otra parte E n c u e n tre (a) el v alo r d e c: (b) p ( * < i ) y P ( * > i).

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.31 E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria X del ejercicio 3.30 y úsela para determ inar las dos probabilidades pedidas para el inciso (b) de ese ejercicio. 3 .3 2 La densidad de probabilidad de la variable aleatoria Z está dada por para z > 0 para : 1 0 E ncuentre k y dibuje la gráfica de esta densidad de probabilidad. 3 .3 3 C on referencia al ejercicio 3.32, encu en tre la función de distribución de Z y dibuje su gráfica. 3 .3 4 La función de densidad de la variable aleatoria X está dada por 6^(1 - x) para 0 < x < 1 en cualquier otra parte 0 Encuentre P ( X < 4) y P { X > |). 33 5 C on respecto al ejercicio 3.34, encuentre la función de distribución de X y úsela para evaluar de nuevo las dos probabilidades pedidas en ese ejercicio. 3 .3 6 E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria X cuya densidad de probabilidad está dada por — para 0 < x < 1 f[x) = • j para 2 < x < 4 0 en cualquier otra parte T am bién bosqueje las gráficas de la densidad de probabilidad y las funciones de distribución. 3 .3 7 E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria X cuya densidad de probabilidad está dada por Tam bién bosqueje las gráficas de la densidad de probabilidad y las funciones de distribución. 3 .3 8 C on resp ecto al ejercicio 3.37 encuentre P ( 0.8 < X < 1.2), usando (a) la densidad de probabilidad; (b) la función de distribución. 3.39 E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria X cuya densidad de probabilidad está dada por

Sección 3.4: Funciones de densidad de probabilidades 99 f(x) = x para 0 < x S 1 para 1 < x = 2 2 para 2 < x < 3 en cualquier otra parte 1 2 3- x 2 0 Tam bién bosqueje las gráficas de estas densidades de probabilidad y funciones de distribución. 3.40 La función de distribución de la variable aleatoria X está dada por F(x) = 0 p a r a x < —1 para — 1 S x < 1 x+ 1 1 p a r a x ¡S 1 Encuentre P ( - J < X < }) y P(2 < X < 3). 3 .4 1 C o n re fe re n c ia al ejercicio 3.40, e n c u e n tre la d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d d e A' y úsela para volver a calcular las dos probabilidades. 3 .4 2 La función de distribución de la variable aleatoria Y está dada por F{y) = 0 en cualquier otra parte E ncuentre P ( y á 5) y P { Y > 8 ). 3.43 C on resp ecto al ejercicio 3.42, encu en tre la densidad de probabilidad de Y y úsela para volver a calcular las dos probabilidades. 3 .4 4 C on resp ecto al ejercicio 3.42 y el resu ltad o del ejercicio 3.43, bosqueje las gráficas de la función de distribución y la densidad de probabilidad de Y, haciendo /(3 ) = 0 . 3 4 5 La función de distribución de la variable aleatoria X está dada por F(x) - ( l + x)e~* para x > 0 parax § 0 0 E ncuentre P { X á 2), P ( \\ < X < 3), y P ( X > 4). 3 .4 6 C on respecto al ejercicio 3.45, encuentre la densidad de probabilidad de X. 3 .4 7 C on respecto a la figura 3.9, encuentre expresiones para los valores de la fun­ ción de distribución de la variable aleatoria m ixta X para (a) x ^ 0; (b ) 0 < x < 0.5; (c) 0.5 S x < 1; (d) x i l .

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.48 U se los resultados del ejercicio 3.47 para encontrar expresiones para los valores de la densidad de probabilidad de la variable aleatoria m ixta A' para (a) x < 0; (b) 0 < x < 0.5; (c) 0.5 < x < 1; (d ) x > 1. P ( X = 0.5) = ?, como ya se indicó en la página 96, y /(O ) y / ( 1 ) están indefinidas. 3.49 La función de distribución de la variable aleatoria m ixta Z está dada por p ara z < —2 para — 2 í z < 2 para z § 2 Encuentre P ( Z = - 2 ) , P ( Z = 2). P ( - 2 < Z < 1). y P (0 S Z ^ 2). APLICACIONES 3.50 La cantidad real de café (en gram os) en un frasco de 230 gram os que llena cierta m áquina es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad está dada por 10 para x S= 227.5 2 3 2 .5 i p ara 2 2 7 .5 < x < 0 p ara x S 2 3 2 .5 E ncuentre las probabilidades de que un frasco de230 gram os que llene esta m áquina contendrá (a) cuando m ucho 228.65 gram os de café; (b) cualquier cantidad entre 229.34 y 231.66 gram os de café; (c) al m enos 229.85 gram os de café. 3.51 El núm ero de m inutos que un vuelo de Phoenix a Tucson se adelanta o atrasa es una v ariab le a le a to r¿ia( 3cu6ya -d enxs2i)d ad dpeapraro—b a6b i<lidxa d<e s6tá d a d a p o r /(-O = 0 en cualquier otra parte donde los valores negativos son indicativos de que un vuelo llega adelantado y los valores positivos son indicativos de que llega con retraso. E ncuentre las probabilidades de uno de estos vuelos llegará (a) al m enos 2 minutos adelantado; (b) al m enos 1 m inuto retrasado; (c) cualquier tiem po entre 1 y 3 m inutos adelantado; (d) exactam ente 5 m inutos retrasado.

Sección 3.4: Funciones de densidad de probabilidades 101 3.52 La vida en el anaquel (en horas) de un alim ento em pacado perecedero es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está dada por f(x) = 20,000 para x > 0 {x + 10 0 ) 5 en cualquier otra parte 0 Encuentre las probabilidades que uno de estos paquetes tendrá una vida en el anaquel de (a) al m enos 200 horas; (b) cuando m ucho 100 horas; (c) cualquier tiem po entre 80 y 120 horas. 3.53 El desgaste (en miles de kilóm etros) que los dueños de autom óviles tienen con cierta clase de neum áticos es una variable aleatoria cuya densidad de probabi­ lidad está dada por E ncuentre la probabilidad que una de estos neum áticos durará (a) cuando m ucho 18,000 kilóm etros; (b) cualquier valor entre 27.000 y 36.000 kilóm etros; (c) al m enos 48,000 kilóm etros. 3.54 En una cierta ciudad el consum o diario de agua (en m illones de litros) es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad está dada por 0 en cualquier otra parte ¿C uáles son las probabilidades de que en un día dado (a) el consum o de agua en esta ciudad no sea m ayor de 6 m illones de litros; (b) el abastecim iento de agua sea inadecuado si la capacidad diaria de esta ciudad es 9 m illones de litros? 3.55 La duració n de vida total (en años) de p erros de cinco años de edad de una cierta raza es una variable aleatoria cuya función de distribución está dada por para x á 5 para x > 5 Encuentre las probabilidades de que un perro com o ésos de cinco años de edad vivirá (a) m ás allá de los 10 años; (b) m enos de 8 años; (c) e n tre 12 y 15 años.

102 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.5 DISTRIBUCIONES M ULTIVARIADAS Al principio de este capítulo definim os una variable aleatoria com o una función de valor real definida sobre un espacio m uestral con una m edida de probabilidad, y es lógico que se pueden definir m uchas variables aleatorias diferentes sobre un y el mismo espacio m uestral. C on respecto al espacio m uestral de la figura 3.1, p or ejem plo, sólo consideram os la variable aleatoria cuyos valores fueron los totales lanzados con un par de dados, pero tam bién podíam os haber considerado la variable aleatoria cuyos valores fueran los productos de los núm eros lanzados con los dos dados, la variable aleatoria cuyos valores sean la diferencia de los núm eros lanzados con el d ad o rojo y el dado verde, la variable aleatoria cuyos valores sean 0 , 1 o 2 dependiendo del núm ero de dados que salieran con 2, y así sucesivam ente. Más real, un experim ento puede consis­ tir en escoger aleatoriam ente algunos de los 345 estudiantes que asisten a una escuela prim aria, y tal vez al director le interesen sus coeficientes de inteligencia, a la enferm era de la escuela sus pesos, a sus profesores el núm ero de días que han estado ausentes, y así sucesivamente. En esta sección exam inarem os prim ero en el caso bivariado, esto es, en las situa­ ciones donde nos interesa, al mismo tiem po, un p ar de variables aleatorias definidas en un espacio m uestral conjunto. Más tarde, am pliarem os este examen al caso m ultivariado que abarca cualquier núm ero finito de variables aleatorias. Si X y Y son variables aleatorias discretas, escribim os com o P { X = x, Y = y). la probabilidad que X asum irá el valor x y Y asum irá el valor y. Así, P ( X = x, Y = y ) es la probabilidad de la intersección de los eventos X = x y Y = y. C om o en el caso univariado, donde tratam os con una variable aleatoria y podíam os m ostrar las proba­ bilidades asociadas con todos los valores de X m ediante una tabla, podem os ahora, en el caso bivariado, m ostrar las probabilidades asociadas con todos los pares de valores d e A\" y y m e d ia n te u n a tabla. EJEMPLO 3.12 Dos cápsulas se seleccionan al azar de un frasco que contiene tres aspirinas, dos se d a n te s y c u a tro cápsulas laxantes. Si A”y y son, resp e c tiv a m e n te, los n ú m ero s d e cáp­ sulas de aspirina y sedantes incluidas entre las dos cápsulas que se sacaron del frasco, encuentre las probabilidades asociadas con todos los pares posibles de valores de X y Y. Solución Los pares posibles son (0, 0), (0, 1), (1, 0 ), (1, 1), (1, 2) y (2. 0). Para encon­ trar la probabilidad asociada con ( 1 , 0 ), por ejem plo, observe que estam os in tere­ sados en el evento de o b ten er u na de las tres cápsulas de aspirina, ninguna de las dos cápsulas de sedante y. por tanto, una de las cuatro cápsulas laxantes. El nú­ m ero de m aneras en que esto se puede hacer es = 12, y el núm ero total de m aneras en las que se pueden seleccionar dos de las nueve cápsulas es /9 \\ I J = 36. Puesto que esas posibilidades son igualmente probables en virtud de la suposición de que la selección es al azar, se sigue del teorem a 2 .2 que la pro-

Sección 3.5: Distribuciones multivariadas 103 habilidad asociada con (1, 0) es (1. 0 ) es = 5 . Sim ilarm ente, la probabilidad asociada con ( 1 , 1 ) es /3 V 2 V 4 \\ V1 A 1A 0 / __ 6_ _ 1 36 “ 36 “ 6 y, continuando de esta m anera, obtenem os los valores m ostrados en la siguiente tabla 0 12 0 y1 2 En realidad, com o en el caso univariado. generalm ente es preferible representar probabilidades com o éstas m ediante una fórm ula. En otras palabras, es preferible ex­ presar las probabilidades m ediante una función con los valores f { x , y) = P ( X = x, Y = y ) para cualquier par de valores (x, y) dentro del intervalo de las variables aleatorias X y Y. Por ejem plo, verem os en el capítulo 5 que para los dos varia­ bles aleatorias del ejem plo 3.12 podem os escribir — x4 — y )) para x — 0 , 1, 2 ; y — 0, 1, 2; 0S x+ yá2 d e f in ic ió n 3 .6 Si A\" y y so n v a ria b le s a le a to ria s d iscretas, la fu n ció n d a d a p a ra /(■*• y ) = P { X = x , Y = y ) p a ra cad a p a r de v alo res (x, y ) d e n tro del in te r­ valo d e ( x , y ) se llam a distribución de probabilidad conjunta d e X y Y. A nálogo al teo rem a 3.1, se sigue de los postulados de probabilidad que teo rem a 3 .7 U n a función bivariada p uede servir com o la distribución de p ro ­ babilidad co n ju n ta de u n p a r de variables aleato rias discretas X y Y si y sólo si sus valores, f ( x , y), satisfacen las condiciones

104 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 1 - /(*> y) ^ 0 p a ra cada p a r d e v alo res d e (x, y ) d e n tro d e su dom inio. 2. ^ = 1 ’ donde la doble sum a se extiende sobre todos los posi- *y bles pares de (x, y) dentro de su dominio. EJEMPLO 3.13 D eterm ine el valor de k para el que la función dada por / ( x . y ) = Arxy p a ra x = 1, 2. 3; y = 1 ,2 ,3 puede servir com o una distribución de probabilidad conjunta. Solución Al sustituir los diversos valores de x y y. obtenem os / ( 1 . 1) = k , f ( 1 ,2 ) = 2 k f / ( l , 3) = 3k, /(2 , 1) = 2k, /(2 , 2) = 4k, /( 2 , 3) = 6 *. /( 3 , 1) = 3*, /( 3 ,2 ) = bk y / ( 3 , 3) = 9*. Para satisfacer la prim era condición del teorem a 3.7, la constante k debe ser no negativa, y para satisfacer la segunda condición, k + 2k + 3* + 2k + 4k + 6k + 3k + 6k + 9k = 1 de m anera que 36k = \\ y k = ¿ . ▲ C om o en el caso univariado. hay muchos problem as en los que interesa conocer la probabilidad de que los valores de dos variables aleatorias sean m enores que, o igua­ les a, algunos núm eros reales x y y. d e f in ic ió n 3.7 Si A’ y y son v ariab les a le a to ria s d iscretas, la función d a d a p o r f(x , y) = P { X á x, y g y) = 2 2 / ( * . t) para - o o < , < oo, ,S l,S > r - O O < y < CX d o n d e f ( s , t ) e s el v a lo r de la distrib u ció n d e p ro b ab ilid a d co n ju n ta d e A’ y y en (s, t ), se llam a la función de distribución conjunta, o la distribución acumulativa y.conjunta, d e A y En el ejercicio 3.62 se pedirá al lector que dem uestre las propiedades de las funciones d e distribución co n ju n ta que son análogas a las del teo re m a 3.2.

Sección 3.5: Distribuciones multivariadas 105 EJEMPLO 3.14 C on resp e c to al e je m p lo 3.12, e n c u e n tre F{ 1, 1). Solución F( 1, 1) = P{ X S 1, Y S 1) = /(O . 0) 4 - /(O , 1) + / ( 1 .0 ) + / ( 1 ,1 ) 8 9 C om o en el caso univariado, la función de distribución conjunta de dos varia­ bles aleatorias se define para todos los núm eros reales. Por ejem plo, para el ejem plo 3.12 ta m b ié n o b te n e m o s F ( —2, 1) = P ( X S —2, Y § 1) = 0 y F (3 .7 , 4 .5 ) = P ( X S 3 .7 , Y S 4 .5 ) = 1. A m pliem os ahora los diversos conceptos introducidos en esta sección al caso con­ tinuo. d e fin ic ió n 3.8 U na función bivariada con valores f ( x , y ), definida sobre el p la n o xy. se llam a función de deasidad de probabilidad conjunta d e las variables a le a to ria s c o n tin u a s X y Y si y sólo si para cualquier región A en el plano xy. A nálogo al teorem a 3.5, se sigue de los postulados de probabilidad que teo r em a 3.8 U na función bivariada puede servir com o una función de densidad de p ro b ab ilid ad conjunta de un par de variables aleato rias continuas A' y y si sus valores f ( x , y ), satisfacen las condiciones 1. f(x, y) S 0 p a ra —°o < * < oo, —oo < y < oo; 2.

106 C a p ítu lo 3: Distribuciones d e p robabilidad y densidades de probabilidad EJEMPLO 3.15 D ada la función de densidad de probabilidad conjunta /(*. y) = 3 para 0 < x < l , 0 < y < 2 t(y + x) en cualquier otra parte 0 de dos variables aleatorias X y Y, encuentre P [ ( X . Y ) e A] , donde A es la región { ( x , y ) \\ 0 < x < i , l < y < 2 }. Solución /> [(*, Y) e A] = < X < 1< Y < 2 = J J | x(y + x ) d x dy = [2¿y+¥.r'dy y, io 151 y = [ 2(h . + L ) dy =* ¿ +JL J x \\40 4 0 / ^ 80 40 n 80 A nálogo a la definición 3.7, tenem os la siguiente definición de la función de dis­ tribución conjunta de dos variables aleatorias continuas. d e fin ic ió n 3.9 Si A” y y so n v aria b le s a le a to ria s co n tin u as, la función d a d a p o r F ( x , y ) = P ( X á x , Y S y ) = [ ’ í f ( s , t ) d s dt para - o o < x < oo, < <_ o c y OO J-oo J-o o d o n d e f ( s , t ) es el v a lo r d e la d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d co n ju n ta de A' y y en (s, r), se llam a la función de distribución conjunta de X y Y. A dvierta que las propiedades de las funciones de distribución conjunta, que se pedirá al lector que dem uestre en el ejercicio 3.62 para el caso discreto, tam bién son válidas para el caso continuo. C om o en la sección 3.4, lim itarem os nuestro exam en aquí a las variables aleato­ rias cuya función de distribución conjunta es continua en todas partes y parcialm ente diferenciable con respecto a cada variable para todos los valores de las dos variables aleatorias, excepto un conjunto finito de valores. dF (x ) A nálogo a la relación f ( x ) = — -— del teorem a 3.6, la diferenciación parcial en dx la definición 3.9 nos lleva a

Sección 3.5: Distribuciones multivariadas 107 f{x' y) = ¿ F { x ' y) en todas partes donde existan estas derivadas parciales. C om o en la sección 3.4, la fun­ ción d e d istrib u ció n co n ju n ta d e d o s v ariab les a le a to rias c o n tin u a s d e te rm in a su densi­ dad conjunta (abreviación de función de densidad de probabilidad conjunta) en todos los puntos (*, y ) donde la densidad conjunta es continua. Tam bién com o en la sección 3.4, generalm ente hacem os los valores de las densidades de probabilidad conjunta igual a cero siem pre qu e no estén definidas p or la relación anterior. EJEM PLO 3.16 Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por íx + y para 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\0 en cualquier otra parte encuentre la función de distribución conjunta de estas dos variables aleatorias. Solución Si * < 0 o y < 0, se sigue inm ediatam ente que F ( x , y) = 0. Para 0 < x < 1 y ü < y < 1 (R egión I de la figura 3.10), obtenem os para x > 1 y 0 < y < 1 (R egión II de la figura 3.10), obtenem os p ara 0 < . r < l y y > l (R egión III de la figura 3.10), obtenem os III IV 1 II I F ig u ra 3 .1 0 Diagram a para el ejem plo 3.16.

108 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad .1 - i F (x (s + t ) d s di = ^ x{x + 1 ) ■ --1 1 y para .t > 1 y y > 1 (R egión IV de la figura 3.10), obtenem os .1 , i F(x (s + t)d s dt = 1 ■ --1 1 Puesto que la función de distribución conjunta es continua en todas partes, los lím ites en tre dos regiones cualquiera se pueden incluir en cualquiera de los dos y podem os escribir (0 para r á O o y á O para 0 < * < 1, 0 < y < 1 2*y(* + y) para x £ 1 . 0 < y < 1 F{x, y) = \\ y ( y + i) para 0 < x < l j 2 1 \\x{x + 1) para x ^ 1, y = 1 a EJEMPLO 3.17 E ncuentre la densidad de probabilidad conjunta de las dos variables aleatorias X y Y cuya función de distribución conjunta está dada por F(x (1 — e * )(1 — e y) para x > 0 y y > 0 0 en cualquier otra parte Tam bién use la densidad de probabilidad conjunta para determ inar P(\\ < X < 3,1 < Y < 2). Solución Puesto que la diferenciación parcial nos da d2 F ( x , y ) = e~{x+y) dx dv para x > 0 y y > O y O e n cualquier otra parte, encontram os que la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por e -(*+y) para x > 0 y y > 0 f(x en cualquier otra parte 0 Así, la integración nos da

Sección 3.5: Distribuciones multivariadas 109 2 />3 e '~+r) d x d y = {e~l - e _3 ) ( e ' ' - e~2) 11 =- e~~2 - e \" 3 - + e\" 5 = 0.074 p ara />(1 < X < 3, 1 < Y < 1). ▲ Para dos variables aleatorias, la probabilidad conjunta es. geom étricam ente ha­ blando. una superficie y la probabilidad que calculam os en el ejem plo precedente está dada p or el volum en bajo esta superficie, com o se m uestra en la figura 3.11. /< * .» f(x.y) =e~(,+r) 2 3 ............... F i g u r a 3 .1 1 D ia g ra m a para el e je m plo 3.17. T odas las definiciones de esta sección se pueden generalizar al caso m ultivariado. donde hay n variables aleatorias. E n correspondencia a la definición 3.6. los valores de distribución de p ro b ab ilid ad conjunta de n variables aleatorias discretas X i , X 2, . . . y X„ está dado por f { x ], x 2 t . . . , x„) = P ( A'j = , X 2 = x 2, . . . , X„ = .rn) p a ra cad a “n-ada'\" (.v ,, ,t2 .........r„) d e n tro del in te r\\a lo de las variables aleato rias; y en correspondencia a la definición 3.7. los valores de su función de distribución conjunta están dados por F { x x, x 2........•*„) = P ( X x j :2 g x n) para - o o < < oo, - o o < ,r2 < - o o < x „ < oo. EJEMPLO 3.18 Si la distribución de probabilidad conjunta de tres variables aleatorias discretas X. Y y Z está dada por

110 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad f { x , y , z ) = — * - - ■* p a ra * = 1 , 2 ; y = 1 ,2 , 3; z = 1 ,2 encuentre PÍA' = 2, V + Z á 3), Solución P { X = 2, V + Z % 3 ) = /(2 , 1, 1) + /( 2 , 1, 2) + /( 2 , 2, 1) 63 63 63 13 63 En el caso continuo, se obtienen otra vez las probabilidades al integrar la densi­ dad de probabilidad conjunta, y la función de distribución conjunta está dada por P{xx, x 2x„) = f [ í f [ t x, t 2 ..........,„) dt \\ dt 2••• dt„ . J —00 J-OO J —00 p a ra —oo < < oo, —oo < x 2 < , —0 0 < x n < °o ,a n á lo g a a la d efin ició n 3.9. T am bién, la diferenciación parcial nos da f { x u x 2 , . . . , x m) = dn x,) d x ~ : r d~ f ( x í , x 2 en cualquier p arte en que estas derivadas parciales existan. EJEMPLO 3.19 Si la densidad de p robabilidad trivariada d e X x, X 2 y X 3 está d ad a p o r ^ , _ í ( x x + x 2)e~Mi para 0 < x x < 1 , 0 < x2 < 1, x 3 > 0 | o en cualquier otra parte e n c u e n tre P [ { X x, X 2 , X} ) e A ] , d o n d e A e s la región |( x ,,x 2,x 3)|0 < x x < < x 2 < 1, * 3 < l}

Sección 3.5: Distribuciones multivariadas 111 Solución p [(xx, x 2, x 3) g a ] = p(o < x x < i < * 2 < i , x y < í j = Í f Í +x^gXidXidXldXi -íT C 't )-'-.'.. = - (1 - e~') = 0.158 EJERCICIOS 3.56 Si los valores de la distribución de probabilidad conjunta de X y Y son com o se m uestra en la tabla .r 012 0 1 y 2 3 encuentre (d) P { X > Y). (a) P ( X = 1, Y = 2); (c) / >( ^ + V , ^ l ) ; 3.57 C on resp ecto al ejercicio 3.56, encuentre los siguientes valores de la función de distribución conjunta de las dos variables aleatorias: (a) F(1.2, 0.9); (b) F ( - 3 , 1.5); (c) F(2, 0); (d) F (4,2.7). 3.58 Si la distribución de probabilidad conjunta de X y Y está dada por f t x . y ) = c { x 2 + y 2) p a ra x = - 1 , 0, 1, 3; y = - 1 , 2, 3 e n c u e n tre el valor d e c.

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.59 Con respecto al ejercicio 3.58 y al valor obtenido parac, encuentre (a) P ( X S 1 J > 2); (b) P ( X = 0, Y á 2); (c) P { X + Y > 2). 3.60 D em uestre que no hay un valor de k para el cual f(x, y) = ky(2y - x) p ara x = 0, 3; y = 0. 1. 2 p u ed a serv ir com o la distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias. 3.61 Si la d istrib u ció n de p ro b ab ilid a d c o n ju n ta d e A\" y y e s tá d a d a p o r /(* . y ) = ¿ {x + y ) p a ra * = 0, 1, 2, 3; y = 0, 1, 2 elabore una tabla que m uestre los valores de la función de distribución conjunta d e las d o s variab les a le a to ria s enlos 12 p u n to s (0.0 ). (0 .1 ) . . . . . (3, 2 ). 3.62 Si F ( x . y ) es el valor de lafunción de distribuciónconjunta de dos variables aleatorias discretas X y Y en (x, y ), dem ostrar que (a) F ( - o o , - o o ) = 0 ; (b) F(oo, oo) = i; (c) si a < b y c < d. entonces F(a, c) S F( b, d). 3.63 D eterm ine k de m anera que /(*. y) kx(x — y) p a r a 0 < x < 1 . —x < y < x en cualquier otra parte pueda servir com o una densidad de probabilidad conjunta. 3.64 Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por . í 24xy p a r a 0 < x < 1, 0 < y < 1, jc + v < 1 /(x , y) = \\ en cualquier otra parte [0 encuentre P ( X + Y < ^). 3.65 Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por / ( * •V ) = { o p a ra .r > 0 , y > 0 . x + y < 1 en cualquier otra parte encuentre (a ) P ( X 25 J , Y t í 1); (b) P ( X + Y > j); (c) P ( X > 2 Y). 3.66 C on referencia al ejercicio 3.65, encuentre una expresión para los valores de la función d e distrib u ció n co n ju n ta de A\" y y c u a n d o ,r > 0 y > 0 y r + y < 1, y úsela para verificar el resultado del inciso (a).

Sección 3.5: Distribuciones multivariadas 113 3.67 Si la densidad de probabilidad conjunta de A' y y está d ad a por 1 para 0 < x < y, 0 < y < 1 en cualquier otra parte /(*. y) = encuentre la probabilidad que la suma de los valores de X y Y excederá s . 3.68 E ncuentre la densidad de probabilidad conjunta de las dos variables aleatorias X y Y cuya función de distribución conjunta está dada por nx-y) = { ó* ~ | , ) ( 1 ~ para x > 0 . y > ü en cualquier otra parte 3.69 U se la densidad de probabilidad conjunta obten id a en el ejercicio 3.68 para encontrar P(1 < X ^ 2. 1 < Y S 2). 3.70 E ncuentre la densidad de probabilidad conjunta de las dos variables aleatorias X y Y cuya función de distribución conjunta está dada por — x —e y + e x y para x > 0 , y > 0 en cualquier otra parte 3.71 U se la d e n sid a d de p ro b ab ilid ad co n ju n ta o b te n id a en el ejercicio 3.70 p ara encontrar P ( X + Y > 3). 3.72 Si F(x, y) es el valor de la función de distribución conjunta de las dos variables aleatorias continuas X y Y en (x. y ), exprese P(a < X á b. c < Y ^ d) en térm inos de F(a, c). F(a. ti), F(b, c) y F(b, d). O bserve que el resultado tam ­ bién es válido para variables aleatorias discretas. 3.73 Use la fórm ula o b ten id a en el ejercicio 3.72 p ara verificar el resultado 0.074, del ejem p lo 3.17. 3.74 Use la fórm ula obtenida en el ejercicio 3.72 para verificar el resultado del ejercicio 3.69. 3.75 Use la fórm ula obtenida en el ejercicio 3.72 para verificar el resultado del ejercicio 3.71. 3.76 E n cu en tre k si la densidad de probabilidad conjunta de X , Y y Z está dada por /(.v, y, z ) = kx vz para x = 1, 2; y = 1, 2, 3; z = 1. 2. 3.77 C on respecto al ejercicio 3.76, encuentre (a) P ( X = 1, K S 2, Z = 1); (a) P ( X = 2, Y + Z = 4). 3.78 C on referencia al ejercicio 3.76, encuentre los siguientes valores de la función de distribución conjunta de las tres variables aleatorias: (a) F (2 , 1 , 2 ); (b ) F ( l , 0 , 1 ); (c) F( 4 ,4 .4 ) .

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.79 E ncuentre k si la densidad d e probabilidad conjuntade X, Y y Z está dada por z\\ — / — z) paraO < x < l , 0 < y < l , 0 < z < l , x + y + z < l \\o en cualquier otra parte 3.80 C on respecto al ejercicio 3.79, encuentre P ( X + Y < }). 3.81 Use el resu lta d o del ejercicio 3.16 p ara verificar la función de distribución c o n ­ junta de las variables aleatorias X x, X 2 y X 3 del ejem plo 3.19 está dada por ’0 para x, S 0 , x2 ^ 0 , o x3 S 0 ^ x , x 2(x , + x 2) ( l — e - *3)p a r a 0 < x , < 1 , 0 < x 2 < 1 , x 3 > 0 F ( x , , x 2 , x 3) = ^ x 2(x 2 + l ) ( l - e~x>) p a r a x , £ 1 , 0 < x 2 < l , x 3 > 0 ~X |(x| + l ) ( l - e”' J) p araO < x, < l ,x 2 S l , x 3 > 0 . 1 — e~Xy parax! ^ 1, x2 l,x 3 > 0 3 ^ 2 Si la densidad de probabilidad conjunta de X , Y y Z está dada por í ^ (2x + 3 y + z ) p a ra 0 < x < 1 ,0 < y < 1, 0 < z < 1 en cualquier otra parte ñx.y,z) = < 3 (o encuentre (a) P ( X = l Y = \\ , Z = \\); (b) P { X < j , Y < \\ , Z < J). APLICACIONES 3.83 Suponga que tiram os un p ar de dados balanceados y X es el núm ero de dados q u e salen 1, y Y e s e l n ú m ero d e d a d o s q u e salen 4, 5 o 6 . (a) D ib u je un d iag ra m a c o m o el d e la figura 3.1 q u e m u e stre los v a lo re s d e X y Y asociados con cada uno de los 36 puntos igualm ente probables del espacio muestral. (b) C onstruya una tabla que m uestre los valores de la distribución de proba­ bilidad conjunta de X y Y. 3.84 Se seleccionan al azar dos libros de texto de un anaquel que contiene tres tex­ tos de estadística, dos textos de m atem áticas y tres textos de física. Si X es el núm ero de textos de estadística y Y el núm ero de textos de m atem áticas real­ m ente escogidos, construya una tabla que m uestre los valores de la distribución d e p ro b ab ilid a d co n ju n ta de X y Y. 3.85 Si X es el núm ero de caras y y es el núm ero de caras m enos el núm ero de cruces obtenidas en tres lanzamientos de una m oneda balanceada, elabore una tabla que m uestre los valores de la distribución d e p robabilidad conjunta de X y Y. 3.86 U n tira d o r c e rte ro a p u n ta a u n b lanco c ircu lar con ra d io 1. Si d ibujam os un sis­ tem a de coordenadas rectangular con su origen en el centro del blanco, las

Sección 3.6: Distribuciones marginales 115 coordenadas del punto de im pacto, (X . Y), son variables aleatorias que tienen la densidad de probabilidad conjunta /(*. y) = 1 p a r a u0 «<c x 2 -+t- y 2 < 1 en cualquier otra parte — 0 E n c u e n tre (a) P [ ( X , Y) e A] , donde A es el sector del círculo en el prim ercuadrante lim itado por las líneas y = 0 y y = x; (b ) P [ { X , Y) e fl], d o n d e fi = { (x , y ) |0 < x 2 + y 2< |} . 3.87 U na cierta universidad aplica exám enes de aptitud atodoslosalum nosde prim er ingreso en ciencias y hum anidades. Si A' y Y son, respectivam ente, las proporciones de respuestas correctas que un estudiante obtiene en las pruebas de las dos m aterias, la distribución de probabilidad conjunta de estas variables aleatorias se puede aproxim ar con la densidad de probabilidad conjunta /(*. y) = '2 p ara 0 < x < 1, 0 < y < 1 - (2x + 3y) en cualquier otra parte 0 ¿Cuáles son las probabilidades de que un estudiante obtenga (a) m enos de 0.40 en am bas pruebas: (b) m ás de 0.80 en la prueba de ciencias y m enos de 0.50 en la p ru eb a de hum anidades? 3.88 Suponga q u e P, el precio d e cierta m ercancía (en dó lares), y 5. sus ventas totales (en 10,0 0 0 unidades), son variables aleatorias cuya distribución de probabilidad conjunta se puede aproxim ar bastante con la densidad de probabilidad conjunta 5p e ~ p‘ p ara 0.20 < p < 0.40, 5 > 0 en cualquier otra parte /(fi. *) Encuentre las probabilidades que (a) el precio será m enos que 30 centavos y las ventas excederán 20,000 unida­ des; (b) el precio estará en tre 25 y 30 centavos y las ventas serán de m enos de 1 0 ,(XX) unidades. 3.6 DISTRIBUCIONES MARGINALES Para introducir el concepto de una distribución m arginal, considerem os el siguiente ejem plo. EJEMPLO 3.20 En el ejem plo 3.12 derivam os la distribución de probabilidad conjunta de dos variables a le a to rias A\" y Y, el n ú m ero de cápsulas de aspirinas y el n ú m ero de cápsulas de sed an te

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad incluidas entre las dos cápsulas que se sacaron al azar de un frasco que contiene tres aspirinas, dos sedantes y cuatro cápsulas laxantes. E ncuentre la distribución de p ro b a­ bilidad de X sola y de Y sola. Solución E n la siguiente tabla se m uestran los resultados del ejem plo 3.12, ju n to con los totales m arginales, esto es, los totales de las respectivas hileras y colum nas x 0 12 1_ 12 1_ 18 J_ 36 A I J_ 12 2 12 Los to ta le s d e colum na son las p ro b ab ilid a d e s de q u e X a su m irá los v alo res 0, 1, y 2. E n o tras palabras, son los valores 2 y) Para * = o, i, 2 g(.x) = y=0 de la distribución de probabilidad de X . P or la m ism a razón, los totales de las hileras son los valores *(>) = y) paray= 0 , 1 ,2 x=0 ▲ de la distribución de probabilidad de Y. A sí llegam os a la siguiente definición. d e f in ic ió n 3.10 Si X y Y son variables aleatorias discretas y f \\ x , y ) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta en (x ,y ), la función dada por g{x) = ^f{x> y) y para cada x d en tro del intervalo X es llam ada la distribución m arginal de X. C o­ rrespondientem ente, la función dada p or

Sección 3.6: Distribuciones marginales 117 *(y) = 2 /U .y ) M p a ra cad a y e s llam ad a la distribución marginal d e Y. C uando A' y y son variables aleatorias continuas, las distribuciones de probabilidad se reem plazan con densidades de probabilidad, las sumas se reem plazan con integrales y obtenem os d e fin ic ió n 3.11 Si A- y y so n v aria b le s a le a to ria s c o n tin u a s y f \\ x , y ) es e l valor de sudensidad de probabilidad conjunta en (.r, y ), la función dada por g(j) = J f(x, y) dy p a ra - o o < * < oo es llam adala densidad marginal de X. C o rrespondientem ente, la función dada por M y ) = / f i x • y ) d x p a r a —oo < y < oo J-QC es llam ada la densidad marginal d e Y. EJEM PLO 3.21 D ada la densidad de probabilidad conjunta = 1 3 (x + 2>') Para 0 < x < l , 0 < y < l [ o en cualquier otra parte e n c u en tre la d iv ersid ad m arginal de X y Y. Solución A l efectuar las integraciones necesarias, obtenem os JoOO J | (* + 2y) dy = | (x + 1 ) *(*) = J ^ /(*• y) dy = para 0 < x < 1 y g ( x ) = 0 en cualquier otra parte. De igual m anera, A(y) = J ^ ñ * . y) dx = j | (x + 2y) dx = i (1 + 4y) para 0 < y < 1 y h (y) = 0 en cualquier otra parte. ▲ Cuando estam os trabajando con más de dos variables aleatorias, podemos hablar no sólo de las distribuciones m arginales de las variables aleatorias individuales, sino tam ­ bién d e las distribuciones marginales conjuntas de m uchas de las variab les aleatorias. Si

118 C a pítulo 3: Distribuciones de p robabilidad y densidades de probabilidad la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas A ',, X 2,... y X n tiene los valores f [ x x, x 2, , x„), la distribución m arginal de X } sola está dada por 8Í-Xi) = — »*..) para todos los valores dentro del intervalo de X \\ , la distribución m arginal conjunta de A j, X 2 y Xy está dada por m ( x 1 , x 2 , x 3) = r 2 .........*«) para todos los valores dentro del rango de X \\ , X 2 y X 3, y otras distribuciones m ar­ ginales se pueden definir en la m ism a form a. Para el caso continuo, las distribuciones de probabilidad se reem plazan con densidades de probabilidad, las sum as se reem ­ plazan con integrales, y si la densidad de probabilidad conjunta de las variables a le a to ­ rias co ntinuas X ¡ , X 2, . . . y X n tien e los valores f [ x } , x 2, . . . , x „ ), den sid ad m arginal de X 2 sola está dada por p a ra —oo < x 2 < oo, la distrib u ció n m arginal co n ju n ta d e A', y X„ e stá n d a d a s p o r p a ra —oo < x , < oo y —oo < x„ < oo, y así sucesivam ente. EJEM PLO 3.22 C onsiderem os o tra vez la densidad de probabilidad trivariada del ejem plo 3.19, para 0 < x, < 1, ü < x2 < 1 , x3 > 0 en cualquier otra parte e n c u e n tre la d e n sid a d m arginal c o n ju n ta de A j y X 2 y la d e n sid a d m arginal d e A', sola. Solución Al efectuar la integración necesaria, encontram os que la densidad m arginal con­ junta de A, y A 3 está dada por p a ra 0 < x , < 1 y r 3 > 0 y m ( x ,, x 3) = 0 e n c u a lq u ie r o tra p a rte . U sa n d o este resultado, encontram os que la densidad marginal de A, sola está dada por para 0 < X| < 1 y g (x ,) = 0 en cualquier otra parte. ▲

Sección 3.7: Distribuciones condicionales 119 C orrespondiendo a las diversas densidades y distribuciones m arginales y marginales conjuntas que h em o s introducido e n e sta sección, tam b ién po d em o s definir fundones de distribución marginales y marginales conjuntas. A lgunos p ro b lem as relacio n ad o s con tales funciones d e distribución se dejan al lector en los ejercicios 3.92, 3.99 y 3.100. 3.7 D ISTR IBUCIO N ES C O N D IC IO N A LES En el capítulo 2 definim os la probabilidad condicional del evento A. dado el evento B , com o siem pre y cuando P { B ) ^ 0. Supongam os ahora que A y B son los eventos X = x y Y = v de m odo que podem os escribir = /(*, y) *00 siem pre y cuando P ( Y = y ) = h ( y ) # 0, donde f(x, y ) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de X y Y en (.t, y), y h ( y ) es el valor de la distribución m ar­ ginal de Y en y. D e n o te m o s la p ro b ab ilid a d condicional con f ( x \\ y ) p a ra indicar q u e x es una variable y y está fija, hagam os ahora la siguiente definición. d e f in ic ió n 3 .1 2 Si f ( x . y ) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y Y en (x, y ) , y h (y ) es el valor de la dis­ tribución m arginal de Y en y, la función dada por / (\" l v ) = fj t ñ } hiy) * \" p a ra cada x d e n tro del in terv alo d e X . se llam a la distribución condicional de X dado Y = y. E n form a correspondiente, si g (.t) es el valor de la distribución m ar­ ginal d e X e n jc. la función d a d a p o r » (v!j) = *(x) * 0 p ara cada y d e n tro del intervalo de Y , se llam a la distribución condicional d e Y dado X — x. EJEM PLO 3.23 C on respecto a los ejem plos 3.12 y 3.20, encuentre la distribución condicional de X d a d o Y = 1.

120 C apítulo 3: Distribuciones d e probabilidad y densidades d e probabilidad Solución A l sustituir los valores apropiados de la tabla en la página 116, obtenem os 2 94 /(olí) = y = y 18 /(.i d = 4 = 1 * 18 / ( 2 11 ) = - y = 0 Ts D onde X y Y son variables aleatorias continuas, las distribuciones de probabili­ dad se reem plazan con densidades de probabilidad, y obtenem os definición 3.13 Si /( .r, y ) e s el v a lo r d e la d en sid ad co n ju n ta d e las v ariab les a le a to ria s c o n tin u a s A\" y y e n (x , y ) , y h ( y ) e s el v a lo r d e la d e n s id a d m a rg in a l de y en y, la función d ad a p o r ^= h(y) * ° p a ra —oo < x < o o , se llam a densidad condicional d e X d a d o Y = y . D e m a n e ­ ra co rresp o n d ien te, si g (x ) es el valor de la densidad m arginal de X en x, la fun­ ción dada por \"(yU ) = *o p a ra —oo < y < oo, se llam a densidad condicional d e Y d a d o X = x. EJEMPLO 3.24 Con respecto al ejem plo 3.21, encuentre la densidad condicional de X dado Y = y y úsela para evaluar P ( X S Y = |) .

Sección 3.7: Distribuciones condicionales 121 Solución Al valernos d e los resultados obtenidos en la página 117, tenem os et 7 (•* + 2 y ) = ------------------ /(x |v ) = h(y) ¿ (1 + 4y) = 2 x + 4 -v 1 + 4y para 0 < x < 1 y /(x |y ) = 0 en cualquier otra parte. A hora 2x + 4 • — f\\* l ) = 1 + 4 . 1 _ 2x + 2 y podem os escribir 2x + 2 , 5 i./ j o J tí. i xsi\\Y=\\)=i!\\ Í. E s in te resa n te ob serv ar que en la figura 3.12 esta p robabilidad está d a d a p o r la razón del área del trapezoide A B C D al área del trapezoide A E F D . A F ig u ra 3 .1 2 D iagram a para el ejem plo 3.24.

122 C a p ítu lo 3: Distribuciones de pro ba b ilid a d y densidades de probabilidad EJEM PLO 3.25 D ada la densidad de probabilidad conjunta 4xy p ara 0 < x < 1, 0 < y < 1 en cualquier otra parte encuentre las densidades marginales de A' y y y la densidad condicional de A dado Y = y. Solución Al efectuar las integraciones necesarias, obtenem os £(*) = / y) dy = Jo 4xy dy J-OO \\y-\\ = 2xy2 = 2x \\y=Q p a ra 0 < x < 1, y g ( x ) = 0 e n c u a lq u ie r o tr a p a r te ; ta m b ié n 00 1 h(y) = J /(x, y) dx = J 4xy dx |* -l = 2 x 2y \\ = 2y lx - 0 p a ra 0 < y < 1, y h ( y ) = 0 e n c u a lq u ie r o tra p arte . E n to n ce s, al su stitu ir e n la fórm ula p ara la densidad condicional, obtenem os f{xh) = ñ ± iil = = 2x I[X 'y) h(y) 2y para 0 < x < 1, y f ( x \\ y ) = 0 en cualquier o tra parte. A C uando estam ostrabajando con más de dos variables aleatorias, ya seacontinuas o discretas, podem os considerar varias clases diferentesde distribuciones o densidades condicionales. P o r ejem p lo , si / ( x , , x 2 , x 3, x 4) e s el v a lo r d e la d istrib u ció n c o n ju n ta de las v ariab les a le a to ria s d isc re ta s A’,, A 2, A 3 y A 4 e n ( x ,. x2 , x 3 , * 4). p o d e m o s escribir p ( x y\\ xt , x 2, x 4) = g { x u x 2, x 4) * 0 8 \\ x 1. x 2, x 4) p ara el valor d e la distribución condicional de A3 en x 3 d a d o A, = x ,, X 2 = x 2 y X 4 = x4, donde g (x l t *2»*4) es el valor de la distribución m arginal conjunta de X ,, X 2 y X 4 en ( x ,, x2, *4). T am b ién p o d em o s escribir q ( x 2, x 4\\x 1 , x 3) = X* \\ X*- m (x ,,x 3) * 0 m f x ,, x 3J p a ra el v a lo r d e la d istrib u c ió n co n d icional c o n ju n ta d e X 2 y X 4 e n (x 2, x 4) d a d o A, = x, y A 3 = x3, o

Sección 3.7: Distribuciones condicionales 123 r(x 2, x3, x4|x ,) = ’ 't4-) b{Xl) * 0 p ara el valor de la distribución condicional conjunta de X 2, X 3 y X A en (x2, x 3, x4) dado X x = Xi. C uando trabajam os con dos o más variables aleatorias, son generalm ente de gran im p o rtan cia las p reg u n tas de independencia. E n el ejem p lo 3.25 vem os que f ( x \\y) = 2x no depende del valor dado Y = y. pero éste claram ente no es el caso en 2x ‘i’ 4 v el ejem plo 3.24, d onde f ( x \\ y ) = - + . Siem pre que los valores de la distribución condicional de X dado Y = y no dependan de y , se sigue que f { x \\ y ) = g (x ), y por tan to las fórm ulas de las definiciones 3.12 y 3.13 nos dan fíx.y) =f(.x\\y)-h(y) = n(x)-h(y) E sto es, los valores de distribución conjunta están dados por los productos de los valo­ res correspondientes de las dos distribuciones m arginales. Al generalizar a partir de esta observación, hagam os ahora la siguiente definición. d efin ic ió n 3.14 S i/(x ], x2 - O e s el valor de la distribución de probabilidad co n ju n ta de las n variables aleato rias discretas X t , X 2 X n en ( x 3, x 2, . . . , x„), y f ( x , ) es el valor de la distribución m arginal de X, en x, para i = 1, 2 , . . . , n. e n to n c e s las n v ariab les a le a to ria s son independientes si y só lo si fi x i.Jfj x„) = f i { x x) - f 2( x 2) - . . . •fn{ x n) p a ra to d a ( x j , x 2, . . . , x„) d e n tro d e su intervalo. Para dar la definición correspondiente para variables aleatorias continuas, sim plem ente sustituim os la p alab ra densidad por la palabra distribución. C on esta definición de independencia, se puede verificar fácilm ente que las tres variables aleatorias del ejem plo 3.22 no son independientes, p ero que las variables a le a to ria s A*, y X y X x y X 3 y tam b ién las d o s variab les a le a to ria s X 2 y X 3 son in d ep en ­ dientes por parejas (ver ejercicio 3.101). Los ejem plos siguientes sirven para ilustrar el uso de la definición 3.14 para encontrar probabilidades relacionadas a varias variables aleatorias independientes. EJEMPLO 3.26 C o n sid e re m o s n la n z a m ie n to s in d e p e n d ie n te s d e u n a m o n ed a b a la n c e a d a , sea A', el núm ero de caras (0 o 1 ) obtenidas en el iésimo lanzam iento para i = 1 , 2 , . . . , n. E ncuentre la distribución de probabilidad conjunta de estas n variables aleatorias Solución Puesto qu e cada una de las variables aleatorias X ¡, para i = 1, 2 , . . . , n, tiene la distribución de probabilidad

124 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad fM = 2 Para x¡ = °- 1 y las n variables aleatorias son independientes, su distribución de probabilidad conjunta está dada por /(•*!• * 2 - O = f t ( x ••• -/nU n) 1i I 2 ' 2 ’ *\" * 2 d o n d e = 0 o 1 p ara i = 1 , 2 , . . . , n. EJEMPLO 3.27 D adas las variables aleatorias independientes X x, X 2 y Xy con densidades de probabi- lidad p a ra .r, > 0 en cualquier otra parte 2e 1 para x 2 > 0 en cualquier otra parte 0 para x 3 > 0 3e- l r j en cualquier otra parte 0 cncuentre la densidad de probabilidad conjunta y úsela para evaluar la probabilidad P { X x + X 2 S 1, * 3 > 1). Solución D e acuerdo a la definición 3.14, los valores de la densidad de probabilidad con­ junta están dadas por / ( * , , j 2 , x 3) = J ¡ ( x , ) \\ 6 ( x 2 )-.6 (x 3 ) = e~x' ■2e~u ' • = 6e~x' -2 *2-3,J p a ra jc, > 0 , x 2 > 0, > 0, y f { x x, x 2 , x 3) = 0 e n c u a lq u ie r o tra p a rte . A sí Ji Jo Jo = ( l — 2e~l + e 2)e 3 = 0.020 ▲

Sección 3 .7 : Distribuciones condicionales 125 EJERCICIOS 3.89 D ados los valores de la distribución de probabilidad conjunta de X y Y m ostra­ dos en la tabla x -1 1 11 82 1 0 4 1 0 8 encuentre (a) la distribución m arginal de X\\ (b ) la d istrib u ció n m arginal d e Y; (c) la distrib u ció n condicional de X d a d o Y = — 1. 3 .9 0 C on respecto al ejercicio 3.56. encuentre (a) la distribución m arginal de X: (b) la distribución m arginal de Y\\ (c) la d istrib u c ió n co n d icional d e X d a d o Y = 1; (d) la distribución condicional de Y dado X = 0. 3.91 D ada la distribución de probabilidad conjunta f(x, y , z) = p a r a x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3; z = 1 ,2 lUo encuentre m arginal co n ju n ta de X y Y\\ (a) la distribución marginal conjunta de X y Z; (b) la distribución m arginal de X\\ (c) la distribución condicional de Z d ad o X = 1 yY = 2; (d) la distribución de probabilidad conjunta de Y yZ dadoX = 3. (e) la distribución 3 .9 2 C on respecto al ejem plo 3.20, encuentre (a) la función de distribución m arginal de X , es decir, la función dada por G(jc) = P { X § x ) para - o o < x < oo; (b ) la función de distribución condicional d e X d a d o Y = 1, es decir, la función d a d a p o r / r( r | l ) = P ( X ^ r | Y = 1) p a ra —oo < < oo. 3 .9 3 V erifique si X y Y son in d ep en d ien tes si su distribución de probabilidad con­ junta está dada por (a) f[x, y ) = j para x = —1 y y = —1, x = — 1 y y = 1, x = 1 y y = —1 , y x = 1 y y = 1;

126 C a p ítu lo 3: Distribuciones de p robabilidad y densidades de probabilidad (b ) f ( x , y ) = \\ p a ra r = 0 y >- = 0 , * = 0 y y = l , y j r = l y y = 1. 3.94 Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por para 0 < . r < l , 0 < y < 2 en cualquier otra parte encuentre (a) la densidad m arginal de X\\ (b) la densidad condicional de Y dado X = 5 . 3.95 C on respecto al ejercicio 3.94, encuentre (a) la densidad m arginal de Y\\ (b ) la d e n sid a d condicional d e X d a d o Y = 1. 3.96 Si la densidad de probabilidad conjuntade A' y y está dada p or 24y(l ~ x - y) para x > 0 . y > 0 , x + y < 1 en cualquier otra parte /(*. y) = { 0 encuentre (a) la densidad m arginal de X; (b) la densidad m arginal de Y. D eterm ine tam bién si las dos variables aleatorias son independientes. 3.97 Con respecto al ejercicio 3.67, encuentre (a) la densidad m arginal de X\\ (b ) la d e n sid a d m arginal de Y. D eterm ine tam bién si las dos variables aleatorias son independientes. 3.98 C on respecto al ejem plo 3.22, encuentre (a ) la d e n sid a d co n d icio n al d e X 2d a d o X x= 5 y Xy = 2; (b) la densidad de probabilidadconjuntadeX 2 y X }d a d o X x = \\ . 3 .9 9 Si F(x, y ) es el valor de la función de distribución conjunta de X y Y en (x , y), dem uestre que la función de distribución m arginal de X está dada por G(x) = F(x, co) para - 0 0 < x < 00 Use este resultado para encontrar la función de distribución m arginal de X para las v ariables aleatorias del ejercicio 3.68. 3.100 Si F (jr, , x 2 , x 3) es el v a lo r d e la función d e distrib u ció n co n ju n ta d e X }, X 2 y X y e n ( x | , x 2, Xy), d e m u e stre q u e la función de distribución marginal conjunta X¡ y X 3 está dada por A / (x ,, x 3) = F ( x , , 0 0 , x 3) p a ra —°o < x , < 0 0 , —0 0 < x 3 < °o y q u e la función de distribución marginal de A', e stá d a d a p o r G ( x t ) = F (or,. 0 0 , co ) para - 0 0 < < 00

Sección 3.7: Distribuciones condicionales 127 C on respecto al ejem plo 3.19. use estos resultados para encontrar (a) la función d e distrib u ció n m arginal co n ju n ta d e Af, y X 3\\ (b) la función de distribución m arginal de X ¡ . 3 .1 0 ! C on referencia al ejem plo 3.22, verifique que las tres variables aleatorias X x, X 2 y X 3 no son independientes, pero que las dos variables aleatorias X x y X 3 y tam ­ bién las dos variables aleatorias X 2 y X 3 son independientes por parejas. 3 .102 Si las variables aleatorias in dependientes X y Y tienen las densidades m ar­ ginales /(•O = para 0 < x < 2 en cualquier otra parte n(y) = para 0 < y < 3 en cualquier otra parte encuentre (a ) la d e n sid a d de p ro b ab ilid a d co n ju n ta d e A” y Y\\ (b) el valor de P { X 2 + Y2 > l). APLICACIONES 3 .1 0 3 C on respecto al ejercicio 3.84, encuentre (a) la distribución m arginal de X: (b) la distribución condicional de Y d ad o X = 0. 3.104 Si se sacan dos cartas aleatoriam ente (sin reem plazo) de una baraja común de 52 cartas de juego, Z es el núm ero de ases obtenidos en la prim era carta y W es el núm ero total de ases obtenidos en las dos cartas, encuentre (a) la distribución de probabilidad conjunta de Z y W; (b) ladistribución m arginal de Z; (c) la d istrib u ció n condicional de W d a d o Z = 1. 3 .105 Si X esla proporción de personas que responderán a una clase de solicitud por correo, Y es la proporción que responderán a otra clase de solicitud por correo, y la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por ’2 para ( ) < * < 1,0 < y < - (.r + 4 v) 0 en cualquier otra parte encuentre las probabilidades de que (a) al m enos 30% responderá a la prim era clase de solicitud por correo; (b) cuando m ucho 50% responderá a la segunda clase de solicitud p or correo dado q ue ha habido un 2 0 % de respuesta a la prim era clase de solicitud por correo.

Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad 3.106 C on respecto al ejercicio 3.88. encuentre (a) la d en sid ad m arginal d e P-, (b) la densidad condicional de 5 dado P = p \\ (c) la probabilidad de que las ventas serán m enores que 30.000 unidades cuando p = 25 cents. 3.107 Si X es la cantidad de dinero (en dólares) que un agente de ventas gasta en gasolina durante un día y Y es la cantidad de dinero (en dólares) correspondiente que le reem bolsan, la densidad conjunta de estas dos variables aleatorias está dada por para 10 < x < 2 0 , ^ < y < x en cualquier otra parte encuentre (a) la densidad m arginal de X; (b ) la d en sid ad co n d icional d e X d a d o X = 12; (c) la probabilidad de que al agente de ventas se le reem bolsarán al m enos $8 cuando gasta $ 12 . 3.108 M uestre que las dos variables aleatorias del ejercicio 3.87 no son independientes. 3.109 La vida útil (en horas) de cierta clase de tubo al vacío es una variable aleatoria que tiene la densidad de probabilidad para x > 0 en cualquier otra parte Si tres de estos tubos funcionan independientem ente, encuentre (a) la densidad de probabilidad conjunta de X t , X 2 y X¡, q ue representan las longitudes de sus vidas útiles; (b) el valor de P ( X } < 100, X 2 < 100, X 3 2 200). REFERENCIAS Tratam ientos más avanzados o más detallados del m aterial en este capítulo se pueden encontrar en B ru n k , H. D., A n Introduction lo Mathematical Statistics, 3rd ed. Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, 1975, D e G ro o t, M. H ., Probability and Statistics, 2nd ed. Reading, Mass.: Addison-W esley Pub­ lishing Com pany, Inc., 1986, F r a s e r , D. A. S., Probability and Statistics: Theory and Applications. N orth Scituate. Mass.: D uxbury Press, 1976, H o g g , R. V.. and C ra ig , A. T., Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed. Nueva York: M acmillan Publishing Co., Inc., 1978, K e n d a l l , M. G ., and St u a r t , A., The A dvanced Theory o f Statistics. Vol. 1, 4th ed. Nueva Y ork: M acm illan Publishing Co., Inc., 1977, K h a z a n ie , R .. Basic Probability Theory and Applications. Pacific Palisades, Calif.: G oodyear Publishing Com pany, Inc., 1976.

CAPÍTULO 4 Esperanza matemática 4.1 IN T R O D U C C IÓ N 4 .2 EL VALO R ESPERADO D E U N A VARIABLE ALEATO R IA 4.3 M O M E N TO S 4.4 TEOREM A DE CHEBYSHEV 4.5 FU N CIO N ES GENERATRICES DE M O M E N TO S 4.6 M O M E N TO S P R O D U C TO 4.7 M O M E N T O S DE C O M B IN A C IO N E S LINEALES DE VARIABLES ALEATORIAS 4.8 ESPERANZA C O N D IC IO N A L 4.1 INTRODUCCIÓN O riginalm ente, el concepto de esperanza m atem ática surgió en relación con los juegos de azar, y en su form a m ás simple es el producto de la cantidad que un jugador puede ganar y la p ro b ab ilid ad de que ganará. Por ejem plo, si tenem os u n o de 10,000 boletos en una rifa cuyo prem io principal es un viaje que vale $4,800, nuestra esperanza m ate­ m ática es 4,800 • — - = $0.48. E sta cantidad deb erá interpretarse en el sentido de un 10,000 prom edio: en conjunto los 10,000 boletos pagarán $4,800 o en prom edio $4 800 = $0.48 p o r ib_o l, et.o . 1 tJ.UlMJ Si tam bién hay un segundo prem io que vale $1.200 y un tercer prem io con valor d e $400, podem os arg u m en tar q ue e n co n ju n to los 10,000 boletos pagan $4,800 + $1.200 + $400 = $6,400, o en prom edio 1U,(X)U = $0.64 p o r boleto. V eam os esto en una form a d iferen te, po d em o s arg u m en tar que si la rifa se repite m uchas veces, p e rd ería­ m os 99.97 por ciento de las veces (o con una probabilidad de 0.9997) y ganaríam os ca­ d a u n o de los p rem io s 0.01 p o r cien to de las veces (o con p ro b ab ilid a d de 0.0001). E n prom edio ganaríam os así 0(0.9997) + 4,800(0.0001) + 1,200(0.0001) + 400(0.0001) = $0.64 que es la sum a de los productos obtenidos al m ultiplicar cada cantidad p o r la p ro b ab i­ lidad correspondiente. 129

130 C a p ítu lo 4 : Esperanza m atem ática 4.2 EL VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA En la ilustración de la sección anterior, la cantidad que ganam os fue una variable alea­ toria, y la esperanza m atem ática de esta variable aleatoria fue la sum a de los produc­ tos obtenidos al m ultiplicar cada valor de la variable aleatoria p o r la probabilidad correspondiente. Nos referim os a la esperanza m atem ática de una variable aleatoria sim plem ente co m o su valor esperado, y ex ten d em o s la definición al caso co n tin u o al reem plazar la operación de sum a p o r la integración, así tenem os d e f in ic ió n 4.1 Si X es una variable aleatoria discreta y f ( x ) es el valor de su distribución d e p robabilidad en x , el valor esperado de X es E(X) = 'Zx-f(x) X De m anera correspondiente, si X es variable aleatoria continua y f ( x ) es el valor d e su d en sid ad de p ro b ab ilid ad en x, el valor esperado de X es E (X ) = í x -f(x ) dx En esta definición se supone, por supuesto, que la sum a o la integral existe; de o tra m a­ nera. la esperanza m atem ática está indefinida. EJEM P LO 4.1 E n u n lo te d e 12 a p a ra to s de televisión se incluye 2 con cab les blancos. Si se e s « n en al azar tres de los aparatos para enviarse a un hotel, ¿cuántos de los aparatos con ca­ bles blancos p u e d e el e x p e d id o r e s p e ra r e n v ia r a) h o tel? Solución P u e sto q u e x d e los do s a p a ra to s con cables blancos y 3 — x d e los o tro s 10 a p a ­ ratos se pueden escoger en m a n e ra s ’ tre s *os ^ a p a ra to s se p u e ­ den escoger de m aneras, y estas posibilidades son presuntam ente equiprobables, encontram os que la distribución de probabilidad de X , el núm e­ ro de aparatos con cables blancos enviados al hotel, está dado por ex.”-)/(* ) = ----- 7 ^ 7 ----- x = 0, 1, 2 UJ o, en form a tabular:

Sección 4 .2 : El valor esperado de una variable aleatoria 131 X 0 12 691 fix) 11 22 22 A hora, *(*> = ° - T Í + 1 - ¿ + 2 - ¿ = í y puesto que no es posible enviar m edio aparato, está claro que el térm ino “es­ p erar” no se usa en su sentido familiar. C iertam ente, deberá interpretarse como un prom edio tocante a envíos repetidos hechos en las condiciones dadas. ▲ 4.2 C iertas m edidas cifradas del diám etro de separación de las roscas de un adaptador tie­ nen la densidad de probabilidad í4 Para 0 < x < 1 I ~ 7 ------------------- 77 P f ( x ) = t 7r ( l + * -) en cualquier otra parte [o Encuentre el valor esperado de esta variable aleatoria Solución A l usar la definición 4.1, tenem os y dx 1+ ln 4 = 0.4413 7T H ay m uchos problem as donde nos interesa no sólo el valor esperado de una va­ riable aleatoria X , sino tam bién los valores esperados de variables aleatorias relaciona­ das con X . A sí, nos p odría interesar la variable aleato ria Y, cuyos valores están relacionados con los de X p or m edio de la ecuación y = g ( x) ; para sim plificar nues­ tra notación, denotam os esta variable aleatoria con g(A '). Por ejem plo. g { X ) podría ser X 3 así que cuando X asum e el valor de 2, g ( X ) asum e el valor 23 = 8 . Si querem os en ­ contrar el valor esperado de una variable aleatoria g ( X ) , tal, podríam os prim ero deter­ m inar su distribución o densidad de probabilidad (m ediante uno de los m étodos que se

132 C a p ítu lo 4 : Esperanza m atem ática exam inarán en el capítulo 7) y entonces usam os la definición 4.1, pero generalm ente es más fácil y m ás directo usar el siguiente teorem a tf .o r f .m a 4.1 Si X es u n a v a ria b le a le a to ria d iscreta y f { x ) es el v a lo r de su dis­ tribución de probabilidad en x , el valor esperado de g(-V) está dado por £[*(■*■)]= -m X De form a correspondiente, si X es una variable aleatoria continua y f ( x ) es el va­ lor de su densidad de probabilidad en x, el valor esperado de g ( X ) está dado por D em ostración. Puesto que una dem ostración más general rebasa el alcan­ ce de este texto, dem ostrarem os aquí este teorem a sólo para el caso donde X es discreta y tiene un intervalo finito. Puesto que y = g( x) no necesariam ente defi­ ne una correspondencia unívoca, supongam os que g ( x ) asum e el valor g, cuando x asum e los valores x n , x a , . . . , x ^ . Entonces, la probabilidad que g ( X ) asum i­ rá el valor g, es **[*(•*■) = g¡i = 2 f o n ) /= ' y si g (x ) asum e los valores g , . g2 g m. se sigue que m £ [ * ( * ) ] = 1 . g. ■P [ g ( X ) = g.] m ni = •2- i & * /2- i / W i - i i=\\ X donde la sum a se extiende sobre todos los valores de X. EJEM PLO 4.3 Si X es el n ú m ero de puntos tirados con un dado balanceado, encuentre el valor esp e­ rado de g ( * ) = 2 X 2 + 1.

Sección 4 .2 : El valor esperado de una variable aleatoria 133 Solución Puesto que cada resultado posible tiene la probabilidad g, obtenem os E[g(X)]= Í ( 2 * ’ + l ) - i = (2-12+ 1 ) - - + (2-6J + l ) - i 94 EJEM PLO 4.4 Si X tiene la densidad de probabilidad f{ x) = i e\" pa r a -t > 0 en cualquier otra parte [0 e n c u e n tre el v a lo r e sp e ra d o de g ( X ) = e iXI*. Solución D e acuerdo al teorem a 4.1, tenem os La determ inación de las esperanzas m atem áticas a m enudo se puede simplificar al usar los siguientes teorem as, que nos perm iten calcular los valores esperados a p ar­ tir de otras esperanzas conocidas o fácilm ente calculadas. Puesto que los pasos son esencialm ente los mismos, algunas dem ostraciones se harán para el caso discreto o pa­ ra el caso continuo; otras se dejan com o ejercicios para el lector t e o r e m a 42 Si a y b so n co n stan te s, en to n ces E ( a X + ¿>) = a E ( X ) + b

134 C a p ítu lo 4 : Esperanza m atem ática D em ostración. A l usar el teorem a 4.1 con g { X ) = a X + b, obtenem os E ( a X + b ) = í ( a x + b ) ■f { x ) d x J -oo f í= a X ' f ( x ) d x + b f ( x ) dx J-oo J-oo = aE(X) + b ▼ Si hacem os b = 0 o a = 0, se sigue del teorem a 4.2 que c o r o l a r io 1 Si a es una constante, entonces E(aX) = aE(X) c o r o l a r i o 2 Si b es una constante, entonces E{b) = b O bserve que si escribim os E ( b ) , la constante b se p u e d e considerar com o una variable a le a to ria q u e sie m p re asum e el v a lo r b. TEOREMA 4 3 SÍ C , , C 2 , . . , y c„ s o n c o n s t a n t e s , e n to n c e s E = í c . £[*,< *)] i- 1 1-1 D em o stra ció n . D e a c u e rd o al te o re m a 4.1 con g ( X ) = c ig, (A ’), o b te ­ nem os i=i 2 cí& (* )1 = 2 Ax) i=i J r li=l = ¿ 2 c>g¡(x)f(x) i=l « = 2 2 & (*)/(*) i-i » = ^ c tE[gt(X)] «=t

Sección 4 .2 : El valor esperado de una variable aleatoria 135 EJEM PLO 4.5 R ecurrim os al hecho de que E ( X 2) = ( l 2 + 22 + 3 2 + 4 2 + 52 + 6 2) = y p ara la variable aleatoria del ejem plo 4.3, rehaga ese ejem plo. ▲ Solución Q1 Q 4 E ( 2 X 2 + l ) = 2 E ( X 2) + 1 = 2 - — + 1 = — o3 EJEM PLO 4.6 Si la densidad de probabilidad de X está dada por 2(1 — *) para 0 < x < 1 en cualquier otra parte (a) dem uestre que EW (,+ l K r + 2) (b) y use este resultado para evaluar £ [( 2 X + 1)! ] Solución (a ) E ( X ' ) = f x r - 2 { \\ - x ) d x = 2 f (xT - x r+l) dx Jo Jo = 2 ( — 1________ L - ) = ________2 ______ \\r + 1 r + 2/ ( r + l ) ( r + 2) (b ) P u e s to q u e E [ { 2 X + 1 )2] = 4 E ( X 2) + 4 E ( X ) + 1 y la su stitu c ió n de r = l y r = 2 e n l a fórm ula anterior nos da E ( X ) = = |y E ( X 2) = 2i 2*3 3 = —, o b ten e m o s 3-4 6’ E[{ 2 X + 1)2J = 4 - | + 4 - j + 1 = 3 ▲ EJEM PLO 4.7 Dem uestre que E[(aX + ó)\"] = o V‘ /

136 C a p ítu lo 4 : Esperanza m atem ática j í 0-*)” 'b ‘ de a c u erd o al teo re m a 1.9, se sigue que Solución Puesto que (ax + b )n = ¿ E [ { a X + b ) n] = = ,¿=o (VT\" / V - ' W ' ) A El concepto de una esperanza m atem ática se puede am pliar fácilm ente a situacio­ nes que im plican m ás de una variable aleatoria. P or ejem plo, si Z es la variable ale a to ­ ria cuyos valores están relacionados con los de las dos variables aleatorias X y Y por m edio de la ecuación z = g ( x , .y), se puede dem ostrar que t e o r e m a 4 .4 Si A' y K son variables aleatorias discretas y f ( x , y ) es el valor de su distribución de probabilidad conjunta en (*, y ) , el valor esperado de g ( X , Y) es *y De m anera correspondiente, si X y Y son variables aleatorias continuas y f(x, y) es el valor d e su d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d c o n ju n ta e n (jc, y ) , el valor e sp e ra d o d e g ( X , Y ) es E[g(X, Y)] = La generalización de este teorem a a funciones de cualquier núm ero finito de variables aleatorias es directa EJEM PLO 4.8 Con respecto al ejem plo 3.12, encuentre el valor esperado de g (A \\ Y) = X + Y. Solución 22 + y) -/(x.y) E ( X + Y) = 2 «■*0 y- 0 = (0 + 0) i + (0 + 1 ) . | + (0 + 2 ) . ¿ + (1 + 0) - J + (l + l ) - i + ( 2 + 0)-^ 10

Sección 4 .2 : El valor esperado de una variable aleatoria 137 EJEM PLO 4.9 Si la densidad de probabilidad conjunta d e X y Y está dada por / u . y) = - (x + 2y) para 0 < x < \\, \\ < y < 2 en cualquier otra parte 0 encuentre el valor esperado de g { X . Y) = X / Y i. Solución £ (/ íy !) = í í ' ^ ^ - ' * Lo siguiente es otro teorem a que tiene aplicaciones útiles en trabajo subsecuen­ te. E s una generalización del teorem a 4.3, y su dem ostración es paralela a la d em o stra­ ción de ese teorem a. TEOREMA 4 .5 Si C j, c 2, . . . , y c„ so n co n stan tes, e n to n c e s n ........-V») n ........X .) ] E2 =2 1= ! ¡=1 EJERCICIOS 4 1 Para ilustrar la dem ostración del teorem a 4.1, considere la variable aleatoria X , q u e a su m e los v a lo re s —2, —1. 0, 1. 2 y 3 c o n p ro b a b ilid a d e s / ( —2 ), / ( —1), /(O ). /(1 )» / ( 2 ) y f { 3 ) . Si g ( X ) = A’2, e n c u en tre (a ) 8 1 >£ :- 8 i y 8 4 • l° s c u a tro v a lo re s posibles de g ( x ) \\ (b ) las p ro b ab ilid a d e s P [ g ( X ) = g ,] p a ra 1 = 1, 2. 3, 4; 4 (c) £ [g (A ')] = 2 8 ¡ ' P [ g ( X ) = &]. y m uestre que es igual a í= í 4.2 Dem uestre el teorem a 4.2 paravariables aleatorias discretas. 4.3 D em uestre el teorem a 4.3 p aravariables aleatorias continuas. 4.4 D em uestre el teorem a 4.5 paravariables aleatorias discretas. 4 .5 D adas dos variables aleatorias continuas X y Y, use el teorem a 4.4 p ara expre­ sar E { X ) en térm inos de

Capítulo 4: Esperanza matemática (a) la d en sid ad conjunta de A’ y y; (b) la densidad m arginal de X. 4 .6 O btenga el valor esperado de la variable aleatoria discreta X que tiene la dis­ tribución de probabilidad U - 2| p a ra jr = —1 ,0 , 1 ,3 /(*) = 4 .7 O btenga el valor esperado de la variable aleatoria Y cuya densidad de pro b a­ bilidad está dada por fl para 2 < y < 4 en cualquier otra parte - (y + 1) O 0 4 .8 O btenga el valor esperado de la variable aleatoria X cuya densidad de p ro b a­ bilidad está dada por f(x) = x para 0 < x < 1 2 —x para l á r < 2 en cualquier otra parte 0 4 .9 (a ) Si X asu m e los v alo res 0, 1, 2 y 3 c o n p ro b ab ilid a d e s T2 5 . m . i b y m » e n * c u e n tre E ( X ) y E ( X 2). (b ) U se los resultados del inciso (a) p ara determ in ar el valor d e £ [ ( 3 X + 2 )2]. 4 .1 0 (a) Si la densidad de probabilidad de X está dada por ñ*) = *(ln 3) para 1 < x < 3 en cualquier otra parte 0 e n c u e n tre E ( X ) , E ( X 2) y E ( X 3). (b) Use los resultados de la parte (a) para determ inar E ( X 3 + 2 X 2 — 3 X + l) . 4 .1 1 Si la densidad de probabilidad de X está d ada por X para 0 < x á 1 2 para 1 < x S 2 para 2 < x < 3 1 en cualquier o tra parte 2 3 —x 2 0 en cu en tre los valores esperados de g ( X ) = X 2 — 5 X + 3. 4 .1 2 C on resp ecto al ejercicio 3.61, encuentre £ ( 2 ^ — Y).

Sección 4 .2 : El va lo r esperado d e una variable aleatoria 139 4 .1 3 C on respecto al ejercicio 3.67, encuentre E ( X / Y ) . 4 .1 4 C on respecto al ejercicio 3.76, encuentre el valor esperado de U = X + Y + Z. 4.15 C on re sp e c to al ejercicio 3.82, e n c u e n tre el v alo r e s p e ra d o de W — X 2— Y Z . 4.16 Si la d istrib u ció n d e p ro b ab ilid a d de X e stá d a d a p o r f(x ) = ( |) p a ra x = 1, 2. 3 , . . . dem uestre q u e E ( 2x ) no existe. É sta es la fam osa paradoja de Petersburgo, se­ gún la cual la esperanza de un ju g ad o r es infinita (no existe) si recibirá 2X d ó ­ lares cu a n d o , en una serie d e lan zam ien to s de una m o n ed a b a la n c e ad a , la prim era cara aparece en el xésim o tiro. A P L IC A C IO N E S 4.17 La probabilidad de que la Sra. V élez venderá una propiedad con una ganancia de $3,000 e s la probabilidad de que la venderá con una ganancia de $1,500 es ¿ , la probabilidad de que salga a m ano es ¿ , y la probabilidad de que p er­ derá $1,500 es ¿Cuál es su ganancia esperada? 4.18 U n ju e g o d e a z ar se c o n sid e ra ju s to , o e q u ita tiv o , si la e sp era n z a de c a d a ju g a ­ dor es igual a cero. Si alguien nos paga $10 cada vez que tiram os un 3 o un 4 con un dado balanceado, para hacer el juego equitativo, ¿cuánto debem os pa­ g a r a esa p e rs o n a c u a n d o lan zam o s u n 1, un 2, un 5 o un 6 ? 4 .1 9 El gerente de una pastelería sabe que el núm ero de pasteles de chocolate que p uede vender en un día dado es una variable aleatoria que tiene la distribución de probabilidad f ( x ) = g p ara x = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 y 5. T am bién sabe que hay una ganancia de $1 p o r cada pastel que él venda y una pérdida (causada p or la des­ com posición) de $0.40 por cada pastel que no vende. Supongam os que cada pastel puede venderse sólo en el día en que se hace, encuentre la ganancia es­ perada del pastelero para un día en que hornee (a) uno d e los pasteles; (b) dos de los pasteles; (c) tres de los pasteles; (d) cuatro de los pasteles; (e) cinco de los pasteles. ¿Cuántos debe hornear para m aximizar su ganancia esperada? 4.20 Si la g anancia d e una co n tratista e n un tra b a jo d e construcción se pu ed e conside­ rar com o una variable aleatoria continua que tiene la densidad de probabilidad / t x ) = | s (\" * l ) P» r a - ! < ' < 5 \\0 en cualquier otra parte d o n d e las u n id a d e s e stá n en $ 1 ,0 0 0 , ¿cu ál es su g an an cia e sp era d a ?

140 C a p ítu lo 4: Esperanza m atem ática 4.21 C on respecto al ejercicio 3.53, ¿qué desgaste de uno de los neum áticos puede esperar obtener el dueño de un auto? 4 J 2 C on respecto al ejercicio 3.54, ¿cuál es el consum o de agua esperado en la ciu­ dad para cualquier día dado? 4.23 C on resp ecto al ejercicio 3.88. encuentre E ( P S ) , los ingresos esperados de la m ercancía. 4.24 El señor A rias y la señorita Sánchez están apostando en lanzam ientos rep eti­ dos de u na m oneda. A l principio del ju eg o el señor A rias tiene a dólares y la señorita Sánchez tiene b dólares, en cada lanzam iento el perdedor paga al ga­ nador un dólar, y el juego continúa hasta que uno de los dos jugadores está “arruinado.” R ecurra al hecho de que en un juego equitativo la esperanza m a­ tem ática de cada jugador es cero, encuentre la probabilidad de que el señor A rias ganará a la señorita Sánchez sus b dólares antes de perder sus a dólares. 4.3 MOMENTOS E n estadística, las esperanzas m atem áticas definidas aquí y en la definición 4.4. llam a­ das los momentos de la distribución de una variable aleatoria o sim plem ente los mo­ mentos de una variable aleatoria, son de especial im portancia. d efin ic ió n 4 ^ El résim o m om ento alrededor del origen de una variable alea­ to ria X , d e n o ta d o p o r p .', e s el v alo r e s p e ra d o d e X r\\ sim b ó licam en te, ti = E {r) = 5 X -/W X para r = 0, 1, 2 ,... donde X es discreta, y Mr = E ( X ' ) = f x ' - f { x ) d x J-0o donde X es continua. Es d e in te ré s se ñ ala r q u e el térm in o “ m o m e n to \" viene d el c a m p o d e la física: si las cantidades f \\ x ) en el caso discreto fueran puntos de m asa que actúan perpendicu­ larm ente al eje x a distancias x del origen, fi\\ sería la coordenada x del centro de gra­ v ed ad , e sto es, el p rim e r m o m e n to d iv id id o p o r 2 f ( x ) = 1 , y fi'2 sería el m o m e n to de inercia. E sto tam bién explica p or qué los m om entos /i' se llam an m om entos alrededor del origen: en an alo g ía a la física, la longitud del b razo d e palan ca en cada caso es la distancia desde el origen. L a analogía tam bién se aplica en el caso co n tin u o , d o n d e /¿í y f i '2 p o d ría n s e r la c o o rd e n a d a x d el c e n tro d e g rav ed ad y el m o m e n to d e in ercia de una varilla de densidad variable. C u an d o r = 0, tenem os n'0 = E ( X ° ) = £ ( l ) = 1 el co ro lario 2 del teo re m a 4.2 y este resu ltad o está, com o deb iera ser. de acuerdo con los teorem as 3.1 y 3.5. C uando