Sección 7 .2 : Técnica de la funció n de distribución 241 (c) 1 < y < 2 ; (d) y £ 2 . E ncuentre tam bién la densidad de probabilidad de Y. 7.8 Si la densidad conjunta de X y Y está dada por A« *, y)v = f<*»~-(*+r) p a ra * > O.y > 0 en cualquier otra parte X+ Y y Z = — - — , encuentre la densidad de probabilidad de Z por la técnica de la función de distribución. APPLICACIONES 7.9 En el ejercicio 3.88. el precio de cierta m ercancía (en dólares) y sus ventas to tales (en unidades de 10,000) se denotó m ediante P y S. U se la densidad con ju n ta dada en ese ejercicio y la técnica de la función de distribución para en co n trar la densidad de probabilidad de V = SP , la cantidad total de dinero (en u n id a d e s d e $ 1 0 ,0 0 0 ) q u e se gasta e n esa m ercancía. 7.10 C on respecto al ejercicio 3.53, encuentre la densidad de probabilidad del milla- je prom edio de dos neum áticos com o ésos. Suponga independencia. 7.11 En el ejercicio 3.107, X es la cantidad de dinero (en dólares) que un vendedor gasta en gasolina, y y es la cantidad de dinero q ue se le reem bolsa. U se la d en sidad de probabilidad conjunta dada en ese ejercicio y la técnica de la función de distribución para en co n trar la densidad de probabilidad de la variable alea toria Z = X — Y, la cantidad de dinero que no se le reem bolsa. 7.12 Sea X la cantidad de gasolina prem ium (en 1,000 galones) que una estación de servicio tiene en sus tanques al principio del día. y y la cantidad que esa estación de servicio ven d e d u ra n te el día. Si la d ensidad conjunta de A- y y está d a d a p o r f{x, y) = | 200 p a r a 0 < v < jc < 2 0 [O en cualquier otra parte use latécnica de la función de distribución para en co n trar la densidad de p ro babilidad d e la cantidad que le queda a la estación de servicio en sus tanques al final del día. 7.13 Si los porcentajes de cobre y hierro en cierta clase de m ineral son, respectivam en te, X¡ y X 2. Si la densidad conjunta de estas dos variables aleatorias está d ad a po r = { n ( 5' ' + *> para *, > 0 , x2 > 0 y *, + 2 r2 < 2 en cualquier otra parte use la técnica de la función de distribución para encontrar la densidad de p ro babilidad d e y = X x + X 2. E n cu en tre tam bién E ( Y ) , el p o rcen taje to tal esp e rado de cobre y hierro en el mineral.
242 Capítulo 7: Funciones d e variables aleatorias 7.3 TÉCNICA DE TRANSFORM ACIÓN: U N A VARIABLE M ostrem os ahora cóm o se puede determ inar la densidad o distribución de probabilidad d e la función de una variable aleatoria sin obtener prim ero su función de distribución. E n el caso discreto no hay un problem a real m ientras la relación entre los valores de X y Y = u ( X ) sea unívoca; todo lo que tenem os que hacer es la sustitución apropiada. EJEMPLO 7.4 Si X es el núm ero de caras obtenidas en cuatro tiros de un dado balanceado,encuen tre la distribución de probabilidad de Y = - • 1 i j\\ Solución U sam os la fórm ula para la distribución binom ial con n = 4 y 9 = | , encontra mos que la distribución de probabilidad de X está dada por X 01234 14 6 4 1 16 16 16 16 16 Entonces, usamos la relación y = j x para sustituir los valores de Y en vez de los valores de X , encontram os que la distribución de probabilidad de Y está dada por 1111 i y 2345 i464 1 g{y) 16 16 16 16 16 Si hubiésem os querido hacer la sustitución directam ente en la fórm ula para la dis tribución binom ial con n = 4 y 9 = \\ , podíam os haber sustituido x = y — 1 en vez de x en ^ * (x )(í) para x = 0 ,1 ,2 . 3,4 y obtenem os O bserve q u e en el ejem plo anterior las probabilidades quedaron sin cam bio; la única diferencia es que en el resultado están relacionadas con los diversos valores de Y
Sección 7.3: Técnica de transform ación: una variable 243 en vez de los c o rre sp o n d ie n te s v alo res d e X . E sto es to d o lo q u e hay p a ra la técnica de la transformación (o cambio de variable) e n el caso d isc re to m ie n tra s la relació n sea unívoca. Si la relación no es unívoca, podem os proceder com o en el siguiente ejem plo. EJEM PLO 7.5 Con respecto al ejem plo 7.4, encuentre la distribución de probabilidad de la variable a le a to ria Z = ( X — 2 ) 2. Solución Calculam os las probabilidades h ( z ) asociadas con los diversos valores de Z , y o b tenem os U m = / ( 2 ) “ 16 h( i) = /( 1 ) + 44 8 II T 16 16 16 h( 4) = /( 0 ) II _1_ 1, 1 _2 _ T 16 16 16 + y por tanto 0 14 341 h(z) 888 P ara efectuar una transform ación de la variable en el caso continuo, supondrem os que la función dada p or y = u ( x) es diferenciable ya sea creciente o decreciente para to d o s los v a lo re s d e n tro del in te rv alo de X p a ra el cual f ( x ) ^ 0, de m an e ra q u e la función inversa, dada por x — w( y) , existe para todos los valores correspondientes de y y es diferenciable excepto donde u ' ( x ) = O.t Bajo estas condiciones, podem os p ro bar el siguiente teorem a t e o r e m a 7.1 S ea / ( x ) el valo r d e la d e n sid a d de p ro b a b ilid a d de la v ariab le a le a to ria c o n tin u a X e n x. Si la fu nción d a d a p o r y = n ( x ) e s d iferen ciab le y ya sea creciente o decreciente para todos los valores dentro del intervalo de X para el cual f { x ) ¥=■ 0 . e n to n ces, p a ra esto s v alo res de x , la ecu ació n y = u ( x ) se p u e de despejar de m anera única en x para x = w{y), y para los valores correspon dientes de y la densidad de probabilidad de Y = u { X ) está dada por tP a ra evitar puntos donde u' (x) podría ser 0, generalmente no incluimos los puntos terminales de los intervalos para los cuales las densidades de probabilidad no son cero. Ésta es la práctica que he mos seguido y continuarem os siguiendo en todo este libro.
C apítulo 7: Funciones de variables aleatorias g (y ) = / [ i c ( ) 0 ]* Iw 'O O l siem pre que u'(x) * 0 E n cualquier o tra p arte, g ( y ) = 0. D em ostración. Prim ero, dem ostrem os el caso donde la función dada por y = u ( x ) es creciente. C om o se puede ver en la figura 7.3, X debe asum ir un va lor entre w { a ) y w ( b ) cuando Y asum e un valor entre a y b. Por tanto, P(a < Y < b) = P[w{a) < X < w{b)] rw(b) = / /(*) dx Jw(a) f[w(y)]w'(y) dy F ig u ra 7 .3 Diagramas para la prueba del teorema 7.1.
Sección 7.3: Técnica de transformación: una variable 245 donde efectuam os el cam bio de variable y = u(x), o en form a equivalente x = w ( y ) , e n la integral. D e a c u erd o con la definición 3.4, el in te g ra n d o d a la densidad de probabilidad de Y m ientras w ' ( y ) exista, y podem os escribir g(y) = / M . v ) K ( y ) C uando la función dada por y = u ( x ) es decreciente, se puede ver de la figura 7.3 que X debe asum ir un valor en tre w ( b ) y w ( a ) cuando Y asum e un valor e n tre a y b. P o r tan to P(a < Y < b) = P[w{b) < X < w (a)] /•«-(») = / f{x)dx Jw(b) = f [ ™( y) ] w' ( y) <*y .h = - í AMy)]w'(y)dy donde efectuam os el mismo cam bio de variable com o antes, y se sigue que g(y) = - f l M y )]tu' (y) P uesto que w?'(y) = — = -7- es positivo cuando la función d ad a p o r v = u ( x ) ay ay dx es creciente, —w ' ( y ) es positivo cuando la función dada p or y = u ( x ) es decre* cíente, podem os com binar los dos casos al escribir g(y) = AMy ) ] - l w ' ( y ) l ▼ EJEM PLO 7.6 Si X tiene la distribución exponencial dada por f(x) = para x > 0 - [r 0 en cualquier otra parte encuentre la densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y = V A \\ Solución La ecuación y = V x , que relaciona los valores de X y Y, tiene la inversa única x = y 2, q u e d a t r '( y ) = ^ = 2y. P or consiguiente, dy g ( y ) = e ~y‘ \\2 y \\ = 2 y e _v p ara y > 0 de acuerdo al teorem a 7.1. P uesto q u e la probabilidad de o b te n e r un valor de Y m enor que o igual a 0, com o la probabilidad de obtener un valor de X m enor que o igual a 0. es cero, se sigue que la densidad de probabilidad de Y está dada por
246 C apítulo 7: Funciones de variables aleatorias , ( , ) = l 2 v e \" rI para y > 0 en cualquier otra parte (0 A dvierta q u e ésta es la distribución de W eibull del ejercicio 6.23 con a = 1 y 0 = 2. A L os dos diagram as de la figura 7.4 ilustran lo q u e pasó en este ejem plo cuando transform am os d e X a Y. C om o en el caso discreto (p o r ejem plo, el ejem plo 7.4). las probabilidades perm anecen igual, pero corresponden a diferentes valores (intervalos de valores) d e las variables aleato rias respectivas. E n el diagram a d e la izquierda, la probabilidad 0.35 corresponde al evento de que X asum irá un valor en el intervalo 1 a 4. y en el diagram a de la derecha, la probabilidad 0.35 corresponde al evento de q ue Y asum irá un valor en el intervalo de 1 a 2 . Figura 7.4 Diagramas para el ejem plo 7.6. EJEM PLO 7.7 Si se hace girar la flecha doble de la figura 7.5 de m anera q u e la variable aleato ria 0 tenga la densidad uniform e F ig u ra 7 .5 Diagrama para el ejemplo 7.7.
Sección 7.3: Técnica de transformación: una variable 247 1 TT TT p a ra —— < 0 < — m = ir 12 2 0 en cualquier otra parte determ ine la densidad de probabilidad de X , la abscisa del punto en el eje x a la cual apuntará la flecha. Solución C om o es evidente a partir del diagram a, la relación entre x y 6 está dada por x = a ■ta n 0 , d e m an e ra que íW _ a dx a2 + x2 y se sigue que a a2 + x 2 para - o o < .t < °o * a2 + x2 de acu erd o al teorem a 7.1. O bserve q ue éste es un caso especial de la d istrib u ción d e C au ch y d el ejercicio 6 .6 . ▲ EJEM PLO 7.8 Si F ( x ) es el valor de la función de distribución de la variable aleatoria continua X en x, encuentre la densidad de probabilidad de Y = F( X ) . Solución C om o se puede ver a partir de la figura 7.6, el valor de Y que corresponde a cual q u ier valor particular de X está d ad o por el área bajo la curva, esto es, el área b a x F ig u ra 7 .6 Diagrama para el ejemplo 7.8.
248 C a pítulo 7: Funciones de variables aleatorias jo ia gráfica de la densidad de X a la izquierda de x. D iferenciam os y = F (x ) con respecto a r . y obtenem os ^ = F(x) = f(x) y por tanto dx 1 1 dy dy f(x) dx siem p re q u e f ( x ) ¥= 0. Se sigue p o r e l te o re m a 7.1 que 1 =1 g(y) = f{x) flx) para 0 < y < 1 . y podem os decir que y tiene la densidad uniform e con a = 0 y 0=1. a L a tra n sfo rm ac ió n q u e e fectu am o s e n e ste e je m p lo se llam a transformación de la integral de probabilidad. El resu ltad o no es sólo de im portancia teórica, sino q u e faci lita la simulación de los valores observados de variables aleato rias continuas. E n la p á gina 265 se da una referencia de cóm o se hace, especialm ente en relación con la distribución norm al. C uando no se satisfacen las condiciones que sustentan el teorem a 7.1. podem os estar en dificultades serias y tendríam os que usar el m étodo de la sección 7.2 o una ge n eralización d e l te o re m a 7.1 al q u e no s referim o s e n tre las referen cias d e la p ágina 265; algunas veces hay una salida fácil, com o en el siguiente ejem plo. EJEM PLO 7.9 Si X tiene una distribución norm al estándar, encuentre la densidad de probabilidad de Z = X 2. Solución Puesto que la función dada por z = x 2 es decreciente para valores negativos de x, y creciente para los valores positivos de x. no se satisfacen las condiciones del teorem a 7.1. Sin em bargo, es posible hacer en dos pasos la transform ación de X a Z: prim ero, encontram os la densidad de probabilidad de Y = \\X | , y después en co n tram o s la densidad de probabilidad de Z = Y 7 ( = X 2). E n lo tocante al prim er paso, ya hem os estudiado la transform ación Y = | A' i e n el e je m p lo 7.2; d e h e c h o , d e m o s tra m o s q u e si X tie n e la d istrib u ción norm al estándar, entonces Y = \\ X \\ tiene la densidad de probabilidad g(y) = 2/t(y;0,1) = 2\" para y > 0, y g(y) = 0 en cualquier otra parte. Para el segundo paso, la función dada por z = y 2 es creciente para y > 0, esto es, para todos los valores de Y pa ra lo cuales g (y ) ^ 0. Así, podem os usar el teorem a 7.1, y puesto que
Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 249 JdL = L A dz 2 obtenem os 2 -jj Mz) = e V 2 TT K1 para z > 0. y h (z) = 0 en cualquier otra parte. O bserve que puesto que r Q ) = V r r , la distribución a la que hem os llegado p ara Z es una distribución ji cuadrada (véase la definición 6.4) con v = 1. ▲ 7 .4 TÉ C N IC A D E TR A N S FO R M A C IÓ N : V A R IA S VAR IA BLES El m étodo de la sección precedente tam bién se puede usar para en co n trar la distribu ción de una variable aleatoria que es una función de dos o m ás variables aleatorias. Su pongam os, por ejem plo, que se nos da la distribución conjunta de dos variables aleatorias X , y X 2 y que querem os determ inar la distribución de probabilidad o la d e n sidad d e p ro b ab ilid ad d e la variable aleatoria Y = u ( X j , X 2). Si la relación e n tre y y .r, con x 2 m an ten id a constante o la relación en tre y y x 2 con .r, m antenida constante lo perm ite, podem os proceder en el caso discreto com o en el ejem plo 7.4 para encontrar la distribución conjunta de Y y X 2 o la de X { y F y luego sum arles los valores de la otra variable aleatoria para obtener la distribución m arginal de Y. En el caso continuo, p ri m e ro usam os el te o re m a 7.1 con la fórm ula de tra n sfo rm ac ió n escrita com o síy.-O = f o t , * 2) dx. dy o como g { x , , y ) = / ( - t i . * 2 ) £>y don d e fix\\,x¿ ) y la derivada parcial se deben expresar en térm inos de y y x2 o .r, y y. en to n ces sacam os p o r integración la o tra variable para o b ten er la densidad m arginal de y. EJEMPLO 7.10 Si y son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de Pois son con los p a rá m e tro s A, y Á2. e n c u e n tre la distrib u ció n d e p ro b ab ilid a d d e la v a ria ble a le ato ria Y — A', + X 2.
250 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias Solución Puesto que X x y X 2 son independientes, su distribución conjunta está dada por e ^ A , ) * ' e “ Al(A2 )*2 A x \\>x2) = x\\! *2* ^-<AI +A2)(AI )Jt,(A 2) ^ * ,!* 2! p ara *, = 0 , 1, 2 ,... y x 2 = 0 , 1 , 2 Puesto que y = x¡ + x 2 y p or tanto x , = y — x 2, p o d e m o s su stitu ir y — x 2 e n vez d e x ,. o b te n ie n d o e - ( ^ \\ \\ 2y ^ x xy - ^ g(y^x2) = x :'-(y ~ x 2 )'- p ara y = 0, 1, 2 ,... y x 2 = 0 , 1 , . . . ,y , p ara la distribución conjunta de Y y X 2. E n tonces. al sum ar sobre x2 de 0 a y, obtenem os h(y) ~ 2 . *,!{, - *)! d esp u és sacam o s co m o fa c to r e '* A| +Aj' y m ultiplicam os y dividim os p o r y!. Id e n tificam os la sum a a la que hem os llegado com o la expansión binom ial de (A, + A2) \\ y fin alm en te o b te n e m o s e -<A,+*2)(Aj + A iyv h (y ) = ------------ — para y = 0 , 1 , 2,... y hem os m ostrado así que la sum a de dos variables aleatorias independientes que tien en d istrib u c io n e s d e P o isso n con los p a rá m e tro s A, y A2 tie n e u n a distrib u ció n d e Poisson con el p a rá m e tro A = A, + A2. ▲ EJEM PLO 7.11 Si la densidad de probabilidad conjunta de X x y X 2 está dada por .-<*1 +*2) p a r a Xx > 0 , x 2 > 0 - {* en cualquier otra parte y encuentre la densidad de probabilidad de Y = 1. X\\ + X 2 Solución Puesto que y decrece cuando x2 aum enta y x, se m antiene constante, podemos usar el te o re m a 7.1 (com o se m odificó e n la página 249) p a ra e n c o n tra r la densidad Xi 1 — y conjunta d e AT, y Y. P u esto q u e y = — —— nos d a x 2 = x X‘ — - — y p o r tan to X\\ + X2 y
Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 251 dx2 _ _£i_ dy y 2 se sigue que g{x¡.y) = e = - 1 . ^i/r p a ra i , > 0 y 0 < y < l . F inalm ente, al sacar x, p o r integración y cam b iar la variable de integración a u = x, /y , obtenem os h(y) ■[ u •e “ du -í = r (2) =i para 0 < y < 1 y h { y) = 0 en cualquier o tra parte. A sí, la variable aleatoria Y tiene la d e n sid a d u niform e con a = 0 y /3 = 1. (A d v ie rta q u e e n el ejercicio 7.6 se le pidió q ue m ostrara esto con la técnica de la función de distribución.) ▲ El ejem plo anterior tam bién se podía haber trabajado con un m étodo general d o n d e em p ezam o s c o n la distrib u ció n co n ju n ta d e do s variables a le a to ria s X x y X 2, y d eterm inam os la distribución conjunta de dos variables aleato rias nuevas Y t = u x{ X x, X 2) y Y 2 = u 2( X x, X 2). E n to n c es p o d e m o s e n c o n tra r la distrib u ció n m arginal de y ^2 P °r sum a o integración. Este m étodo se usa principalm ente en el caso continuo, donde necesitam os el si g uiente teo rem a, q u e es una generalización d irecta del teo rem a 7.1. t e o r e m a 72 S ea f [ x x, x 2) el valor de la densidad d e probabilidad co njunta de las variables aleato rias continuas X x y A\"2 e n (x,, x 2). Si las funciones d ad as p o r y x = . * 2 ) y >'2 = m2(* i *-*2 ) son p arcialm en te diferenciables con resp ecto tan to a x, com o a x 2 representan una transform ación unívoca para todos los valores dentro del intervalo d e X x y X 2 para los cuales f [ x x, x 2) ^ 0, entonces, p ara estos valo res d e x x y x 2, las ecuaciones y x = u , ( x , , x 2) y y 2 = u 2( x x, x 2) se p u e d e n resolver de m anera única p ara x, y x 2 a fin de dar x, = , y 2) y x 2 = w 2( y x, y 2), y p a ra los valores correspondientes de y , y y 2. la densidad de probabilidad conjunta de y , = u x( X x, X 2) y Y 2 = u 2( X x, X 2) está d ada por «Owz) = /twji(yi.,v2).W>'i.>’2)]'M A quí, J, llam ado el jacobiano de la transform ación, es el d eterm in an te
252 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias J= dxx dx¡ dy¡ dy2 dX2 dx2 dy, dy2 E n cu alq u ier o tra p a rte , g ( y i,> 2) = 0. N o dem ostrarem os este teorem a, pero la inform ación sobre los jacobianos y su aplicación se puede encontrar en la m ayoría de los libros de texto de cálculo avanzado. Se usan principalm ente en relación con integrales múltiples, digamos, cuando quere mos cam biar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares o de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas. EJEMPLO 7.12 C on respecto a las variables aleatorias X x y X 2 del ejem plo 7.11, encuentre ( a ) la d e n sid a d co n ju n ta d e Y x = X x + X 2 y Y 2 = - - - y1- ; A, + X2 (b ) la densidad m arginal de Y 2. Solución (a ) D e sp e ja m o s >•, = x x + x 2 y y 2 — x p a ra x , y x 2, y o b te n e m o s x x = 1* 2 y xy 2 y X2 = y , ( l - y 2) , y se sigue que J= >-2 yx = ~yx ~y\\ i - yi P uesto que la transform ación es unívoca, al rep resen tar la región x x > 0 y x 2 > 0 en el p lan o x xx 2-en la región y , > 0 y 0 < y 2 < 1 e n el p lan o y xy 2, podem os usar el teorem a 7.2 y se sigue que g(ynYi) = = y\\e~y' p a ra y x > 0 y 0 < y 2 < 1 ; en cu alq u ier o tra p a rte g(> -|, y 2) = 0 . (b ) A l usar la densidad conjunta obtenida en el inciso (a) y sacar y ,, por in te gración, obtenem os
Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 253 p a ra 0 < y 2 < 1; e n c u a lq u ier o tra p a rte . h ( y 2) = 0. A d v ie rta q u e e ste re sultado concuerda con el obtenido en la página 251. ▲ EJEM PLO 7.13 Si la d en sid ad c o n ju n ta d e A', y X 2 e stá d a d a p o r para 0 < j r t < 1, 0 < 1 en cualquier otra parte f i x i*x i) = 0 encuentre (a ) la d e n sid a d c o n ju n ta de Y = A\", + X 2 y Z = X 2; (b ) la d en sid ad m arginal de Y. O bserve que en e l ejercicio 7.7 se le pidió que trab ajara el m ism o problem a m ediante la técnica de la función de distribución. Solución (a) Al despejar y = x x + x 2 y z — x 2 para .i, y x 2. obtenem os *1 = y — z y x 2 = z. de m anera que 1 -1 J= = 1 01 D ebido a que esta transform ación es unívoca, al rep resen tar la región 0 < x t < 1 y 0 < x 2 < 1 en el plano x tx 2 en la región z < y < z + 1 y 0 < z < 1 en el plano y z (véase la figura 7.7), podem os usar el teorem a 7.2 y obtenem os g(.v, z ) = 1 * 11 1 = 1 p a ra z < y < Z + 1 y ü < z < 1; en c u a lq u ier o tra p a rte g ( y , z ) = 0. 0 z= 0 1 2 F igura 7 .7 Espacio m uestral tra nsfo rm ado para el e je m p lo 7.1 3.
254 C apítulo 7: Funciones de variables aleatorias (b ) A l s a c a r z p o r in te g ra c ió n d e m a n e ra s e p a ra d a p a ra y á 0 , 0 < y < 1, 1 < y < 2, y y ^ 2, obtenem os Í0 para y á 0 para 0 < y < 1 h(y) = í 1 dz= y Jo para 1 < y < 2 para y é 2 í 1 dz = 2 - Jy-l 0 y p a ra hacer c o n tin u a la función de densidad, hacem os /i( 1) = 1. A sí hem os d em ostrado que la sum a de las variables aleatorias d ad as tiene la densidad de probabilidad triangular, cuya gráfica se m uestra en la figura 7.8. ▲ h{y) Figura 7.8 Densidad de probabilidad triangular. H asta ahora aquí sólo hem os considerado funciones de dos variables aleatorias, pero el m étodo basado en el teorem a 7.2 se puede generalizar fácilm ente a funciones de tres o m ás v ariab les a leato rias. P o r ejem plo, si nos d an la d en sid ad de p ro b ab ili d a d c o n ju n ta d e tre s v a ria b le s a le a to ria s A\",, X 2 y X 3, y q u e re m o s e n c o n tr a r la d e n sid a d d e p ro b a b ilid a d co n ju n ta d e las v a ria b le s a le a to ria s Y , = M i(A ,, X 2, X 3), Y 2 = u 2( X , , X 2, Xy ) y Yy = u3( X ¡ , X 2, X 3), el en fo q u e g e n e ra l es el m ism o, p e ro el jacobia- no es ahora el determ inante de 3 X 3 dx, dx, dx, dy i dy2 dyi dx2 dX2 dX2 dy i dy2 dy3 Ar, dx3 d X 3 dy i dy2 dy 3
Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 255 U na vez determ inada la densidad de probabilidad conjunta de las tres nuevas variables aleatorias, podem os encontrar la densidad m arginal de dos variables aleatorias cual quiera, o de una cualquiera, por integración. EJEMPLO 7.14 Si la d en sid ad d e p ro b ab ilid a d c o n ju n ta d e X ¡ , X 2 y X 3 e stá d a d a p o r e~[x' +x^ x^ p ara v, > 0 , x 2 > 0 , x 3 > 0 en cualquier otra parte A * 1 , x 2, x 3) — | 0 encuentre ( a ) la den sid ad conjunta de Y x = X x + X 2 + X 3, Y 2 — X 2 y Y 3 = X 3\\ (b ) la densidad m arginal de E , . Solución (a) Al resolver el sistem a de ecuaciones y, = x, + x 2 + x it y 2 = x 2 y y 3 = x^ para x t , x 2 y obtenem os x , = y , - y 2 ~ y 3, x2 = y 2 y x 3 = y 3. Se sigue que J= 1 -1 -1 0 0 1 0 =1 01 y, puesto que la transform ación es unívoca, que « (7 1 . y 2 .y 3 ) = e~r x ' U I para y 2 > 0 . y 3 > Oy y , > y 2 + y 3; en cualquier o tra parte, g ( y ,, y 2, y 3) = 0 . (b ) E lim inam os y 2 y y 3, p o r integración, y o b ten em o s /r•rv,i r*y\\x~y*,* M y.) = l Ja e , x dy2dy3 = jvT-,-' para y, > 0; h ( y () = 0 en cualquier otra parte. Observe que hem os m os trado que la sum a de tres variables aleatorias independientes que tienen la d istrib u ció n gam m a con a = 1 y /3 = 1 e s u n a variab le a le a to ria q u e tien e la d istrib u ció n gam m a con a = 3 y /3 = 1. ▲ C om o el lector encontrará en el ejercicio 7.47, hubiera sido m ás fácil o b ten e r el resu lta d o del inciso (b ) d el ejem p lo 7.14 u sa n d o el m éto d o b a sa d o en el te o re m a 7.1 co m o se m odificó en la página 249.
256 C apítulo 7: Funciones de variables aleatorias EJERCICIOS 7.14 Si X tien e una distribución hipergeom étrica con k = 3, N = 6 y n = 2. en cuentre la distribución de probabilidad de Y, el núm ero de éxitos m enos el nú m ero de fracasos. 7.15 C on respecto al ejercicio 7.14, encuentre la distribución de probabilidad de la variab le a le a to ria Z = ( X — l ) 2. 7.16 Si X tiene una distribución binom ial con n = 3 y 9 = | , encuentre las distri buciones de probabilidad de distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y = 4 — 5X. 7.18 Si X es el total que tiram os con un p ar de dados, para el cual la distribución de probabilidad se da en la página 77, encuentre la distribución de probabilidad d el re sid u o q u e o b te n e m o s c u a n d o los v a lo re s d e X se div id en e n tre 3. 7.19 U se la técnica de latransform ación de la variable p a ra p ro b ar el teo rem a 6.7. 7.20 U se la técnica de latransform ación p a ra reh acer el ejem plo 7.1. 7.21 Si X = ln Y tie n e u n a d istrib u ció n norm al con la m ed ia /x ay la d esv iació n e s tá n d a r cr, e n c u e n tre la d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d d e Y , la cual se dice q u e tiene la distribución log-normal. 7.22 Si F(x) es el valor de la función de distribución de X en x, entonces la m edia n a d e X , d e n o ta d a p o r ¡1 e s tal q u e F ( £ ) = C o n re sp e c to al ejercicio 7.21, m u estre q u e ¡L = eM. 7.23 C on respecto al ejercicio 7.21, m uestre qu e la distribución log-norm al tiene un m áxim o relativ o en eM-4r. 7.24 Si la densidad de probabilidad de X está dada por e n c u e n tre la d en sid ad d e p ro b a b ilid a d d e Y = A'3. T a m b ié n , d ib u je las gráficas de las densidades de probabilidad de X y Y e indique las áreas respectivas ba jo las curvas que representan P{\\ < X < 1) y P ( | < Y < l) . 7.25 Si la densidad de probabilidad de X está dada p or f(x) = kx3 para x > 0 (1 + 2x)‘ en cualquier otra parte 0
Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 257 donde k es una constante apropiada, encuentre la densidad de probabilidad de 2X la variable aleatoria Y = - ~ . Identifique la distribución de Y, y determ i- 1 t ZA ne así el valor de k. 7.26 Si X tiene la densidad uniform e con a = 0 y /3 = 1. m uestre que la variable alea toria Y = —2 • ln X tiene una distribución gam m a. ¿C uáles son sus parám etros? 7.27 Si X tien e la d e n sid a d u n ifo rm e con a = 0 y /3 = 1, m u estre q u e Y = X ~ l a con a > 0 tien e la distribución de P areto del ejercicio 6.21. 7.28 C onsidere la variable aleatoria X con la densidad de probabilidad de en cualquier otra parte (a) U se el resultado del ejem plo 7.2 p a ra e n co n trar la densidad de probabili dad de Y = 1*1. (b ) E n c u e n tre la d en sid ad d e p ro b ab ilid a d d e Z = X 2 ( = Y 2). 7.29 C onsidere la variable aleatoria X con densidad uniform e q u e tiene a = 0 y /3 = 1. (a) Use el resultado del ejem plo 7.2 p ara en c o n trar la densidad d e probabili dad de Y = |* |. (b) E n c u e n tre la d en sid ad de p ro b ab ilid ad d e Z = X* ( = V4). 7.50 Si la distribución de probabilidad conjunta de * , y X 2 está dada por /(* .,* :) p a ra x , = 1. 2, 3 y x 2 = 1, 2. 3. en c u en tre (a ) la d istrib u ció n d e p ro b ab ilid a d de X yX 2. (b) la distribución de probabilidad de * , / * > . 7 3 1 C on respecto al ejercicio 7.30, encuentre (a) la probabilidad conjunta de Y x = * , + X 2 y Y 2 = * i — * 2; (b) la distribución marginal de Y x. 7 3 2 Si la distribución de probabilidad conjunta de * y Y está dada por /<->■) = p ara x = 1, 2 y y = 1, 2, 3. encuentre (a) la distribución conjunta de U = X + Y y V = X — Y ; (b ) la d istrib u ció n m arginal d e U. 7 3 3 Si * j , * 2 y * 3 tiene la distribución m uitinom ial (véase la definición 5.6) con n = 2 , 0 i = i .0 2 = $ y 0 j = t7 , encuentre la distribución deprobabilidad con junta de y , = * , + * 2. Y 2 = * , - X 2 y Y3 = X }.
C a p ítu lo 7: Funciones de variables aleatorias 7 3 4 C on respecto al ejercicio 3.12, encuentre (a) la distribuciónde probabilidad de U = X +Y; V = XY; (b) la distribuciónde probabilidad de W = X — Y. (c) la distribuciónde probabilidad de 7 3 5 Si A', y X 2 son variables aleato rias in d ep en d ien tes q u e tien en la distrib u ció n b i nom ial c o n los resp ectiv o s p a rá m e tro s n, y 0 y n 2 y 0, m u e stre q u e Y = A', + X 2 tien e la d istrib u ció n b inom ial con los p a rá m e tro s n , -I- n 2 y 6. (S u g e rencia: u se el teo rem a 1 .1 2 .) 7 3 6 Si X { y X 2 son variables aleatorias in d ependientes q ue tienen la distribución geom étrica con el parám etro 0, m uestre que Y = X¡ + X 2 es una variable alea to ria q u e tien e la d istrib u ció n b inom ial n eg ativ a con los p a rá m e tro s 6 y k = 2. 7 3 7 Si A', y Y so n variables a le a to ria s in d ep e n d ien te s q u e tie n e n la d istrib u ció n n o r mal estándar, m uestre que la variable aleatoria Z = X + Y tam bién está dis tribuida norm alm ente. (Sugerencia: com plete el cuadrado en el exponente.) ¿C uáles son la m edia y la varianza de esta distribución norm al? 738 Considere dos variables aleatorias X y Y con la densidad de probabilidad conjunta f 12xy(l - y) paraO < x < 1. 0 < y < l \\0 en cualquier otra parte E n c u e n tre la d en sid ad de p ro b ab ilid a d d e Z = X Y 2 m ed ia n te el te o re m a 7.1 (con la m odificación de la página 249), a fin de determ inar la densidad de p ro babilidad conjunta de Y y Z y después integrar para elim inar y. 7 3 9 R ehaga el ejercicio 7.38 m ediante el uso del teo rem a 7.2 para d eterm in ar la densidad de probabilidad conjunta de Z = X Y 2 y U = Y y después encuen tre la densidad m arginal de Z. 7.40 C o n sid e re dos variab les a le a to ria s in d ep e n d ien te s A', y X 2 q u e tie n e n la m ism a distribución de Cauchy ^ x) = ¿ (i V v j para < * < 00 E n c u e n tre la d e n sid a d d e p ro b a b ilid a d de Y¡ = AT, + X 2 m e d ia n te el te o re m a 7.1 (com o se m odificó en la página 249) p a ra d e te rm in a r la d en sid ad d e p ro b a b ilid ad c o n ju n ta d e A-, y y , y d e sp u és in te g ra r p a ra e lim in a r x , . T a m b ié n , id e n tifique la distribución de K ,. 7.41 R ehaga el ejercicio 7.40 m ediante el uso del teo re m a 7.2 p a ra d e te rm in a r la densidad de probabilidad conjunta de y , = X x + X 2 y Y 2 = X x — X 2 y des pués encuentre la densidad m arginal de y ,. 7.42 C onsidere dos variables aleatorias X y Y cuya densidad de probabilidad conjun ta está dada por parax > 0 , y > 0 ,x + y < 2 2 0 en cualquier otra parte
Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 259 E n c u e n tre la d ensidad d e p ro b ab ilid a d de U = Y — X al u sa r el te o re m a 7.1 com o se m odificó en la página 249. 7.43 R eh ag a el ejercicio 7.42 m ed ian te el teo rem a 7.2 p a ra d e te rm in a r la d en sid ad de probabilidad conjunta de U = Y — X y V = X y después encuentre la d en sid ad m arginal d e U. 7.44 Sean X x y X 2 dos variab les a le a to rias co n tin u as q u e tien en la d en sid ad d e p ro babilidad conjunta para 0 < x 1 < l , 0 < j r 2 < l en cualquier otra parte E ncuentre la densidad de probabilidad conjunta de Y x = X ] y Y 2 = X xX 2. 7.45 S ean X y Y do s variables a le a to rias c o n tin u a s q u e tien en la d en sid ad d e p ro b a bilidad conjunta 24xy p a r a 0 < x < 1, 0 < y < 1, x + y < en cualquier otra parte 0 E ncuentre la densidad de probabilidad conjunta de Z = X + Y y W = X. 7.46 Sean X y Y dos variab les a le a to rias in d ep e n d ien te s q u e tie n e n distrib u cio n es gamm a idénticas (a) E ncuentre la densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias (b ) E n c u e n tre e id en tifiq u e la d e n sid a d m arginal d e U. 7.47 E n la p á g in a 249 indicam os q u e el m éto d o de la tran sfo rm ació n b asad o en el te o re m a 7.1 se p u e d e g e n e ra liz a r p a ra q u e tam b ién se a p liq u e a variab les a le a torias que son funciones de dos o más variables aleatorias. H asta ahora hemos usado este m étodo sólo para funciones de dos variables aleatorias, pero cuan do hay tres, p o r ejem plo, introducim os la nueva variable aleatoriaen lugar de una de las variables aleatorias originales, y después elim inam os (por sum a oin tegración) las otras dos variables aleatorias con que em pezam os. Use este m é to d o p a ra re h a c e r el e je m p lo 7.14. 7.48 E n el ejem p lo 7.13 en c o n tram o s la d en sid ad de p ro b ab ilid a d d e la sum a d e dos variables aleatorias independientes que tienen la densidad uniform e con a = 0 y j8 = 1. D a d a u n a te rc e ra v ariab le a le a to ria X y , la cual tien e la m ism a d e n si d a d u n ifo rm e y e s in d e p e n d ie n te ta n to d e A', co m o de X 2, d e m u e stre q u e si = +U Y + X 3 = X i X 2 + X y , en to n ces (a) la densidad de probabilidad conjunta de U y Y está dada por
C a p ítu lo 7: Funciones de variables aleatorias u (b) la densidad de probabilidad d e U está dada por 0 para u S 0 paraO < u < 1 í\"2 para 1 < u < 2 ~ j (« ~ l ) 2 + ^ ( u - 2)2 para 2 < u < 3 para u 0 A d v ierta q u e si h ( 1) = h ( 2 ) = esto hará continua la densidad de probabili d a d d e U. APLICACIONES 7.49 D e acuerdo a la ley de M axw ell-Boltzm ann de la física teórica, la densidad de probabilidad de V, la velocidad de una m olécula de gas, es í para v > 0 \\ 0 en cualquier otra parte donde 0 depende de su m asa y la tem peratura absoluta y A es una constante apropiada. D em uestre que la energía cinética E = [ m V 2 es una variable alea toria que tiene una distribución gamma. 7.50 C on respecto al ejercicio 3.86, encuentre la densidad de probabilidad de la dis tancia entre el punto de im pacto y el centro del blanco.
Sección 7.5: Técnica de función generatriz de m om e nto s 261 7.51 C on resp ecto al ejercicio 3.87, encuentre la densidad de probabilidad de la va- x+y riable aleatoria Z = — - — , que es el prom edio de las dos proporciones de respuestas correctas que un estudiante obtendrá en las dos pruebas de aptitud. 7.52 C on respecto al ejercicio 3.88, use el teorem a 7.2 para en co n trar la densidad de probabilidad conjunta de las dos variables aleatorias V = SP y W = P. y en tonces encuentre la densidad m arginal de V. 7.53 U se un p ro g ra m a d e có m p u to p a ra g e n e ra r 10 n ú m ero s “ p seu d o a le a to rio s\" que tengan la distribución norm al estándar. 7.54 D escriba cóm o quienes escribieron el softw are que usted utilizó para el resul tado del ejercicio 7.53 p udieron h ab er usado la transform ación de la integral de probabilidad. 7.5 TÉ C N IC A DE FU N CIÓ N G EN ER A TR IZ D E M O M E N TO S Las funciones generatrices de m om entos pueden jugar un papel im portante en la de term inación de la densidad o distribución de probabilidad de una función de variables aleatorias cuando la función es una com binación lineal de n variables aleatorias inde pendientes. A quí ilustrarem os esta técnica cuando una com binación lineal tal es, de he cho, la sum a d e n variables aleato rias in d ep en d ien tes, le d ejam os al lector que lo generalice en los ejercicios 7.59 y 7.60. El m étodo está basado en el teorem a que la función generatriz de m om entos de la sum a de n variables aleatorias independientes es igual al producto de sus funciones generatrices de m om entos, esto es. te o re m a 73 Si X ¡ , X 2 y X n son variables aleatorias independientes y Y = X x + X 2 + •• + X „ , e n to n c e s a m o = n ««.(o i» i d o n d e Mx¡( t) e s e l v a lo r d e la función g e n e ra triz d e m o m e n to s d e X , e n t. D em ostración. Hacem os uso del hecho que las variables aleatorias son in dependientes y por tanto f { x \\ , x ....... *„) = f i { x i ) - f 2( x 2) ' ... -fn{x„) de acuerdo a la definición 3.14 podem os escribir
262 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias M r ( i ) = E ( e Yl) - * X , * ••+ *.> ] = 1=1 lo cual dem uestra el teorem a para el caso continuo. Para dem ostrarlo para el ca so discreto, sólo tenem os que reem plazar todas las integrales por sumas. Y A dvierta q u e si qu erem o s usar el teo rem a 7.3 p a ra en c o n trar la distribución de probabilidad o la densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y = X x + X 2 + ••• + X n, d e b e m o s p o d e r id en tificar c u a lq u ie r d en sid ad o d istrib u ció n d e p ro b a bilidad que corresponda a M y (f). Entonces, debem os basarnos en el prim ero de los dos teorem as que dim os en la página 224, el teorem a de unicidad sobre la correspondencia entre las funciones generatrices de m om entos y las densidades o distribuciones de p ro babilidad. EJEMPLO 7.15 E ncuentre la distribución de probabilidad de la sum a de n variables aleatorias indepen dientes X x, X 2, . . . , X„ que tienen distribuciones de Poisson con los respectivos p a rá m etro s A,, A2, An. Solución Por el teorem a 5.9 tenem os Mx (,) = e M '-» y p o r ta n to p a ra Y = A', + X 2 + \" • + X „ , o btenem os M y (t) = +*2 1) <=i que se puede identificar rápidam ente com o la función generatriz de m om entos d e la d istrib u ció n d e Poisson con el p a rá m e tro A = A, + A2 + ••• + A„. A sí, la distribución de la sum a de n variables aleatorias independientes que tienen dis trib u c io n e s d e P oisson con los p a rá m e tro s A, es u n a d istrib u ció n de Poisson con el p a rá m e tro A = A, + A2 + ••• + A„. O b serv e que en el e je m p lo 7.10 d e m o stra mos esto para n = 2. A EJEMPLO 7.16 Si X t, X 2 X „ sin variab les a le a to ria s in d e p e n d ie n te s q u e tie n e n d istrib u cio n es ex ponenciales con el mismo parám etro 0 , encuentre la densidad de probabilidad de la va riab le a le a to ria Y = X x + X 2 + ••• + X „.
Sección 7.5: Técnica de función generatriz de m om entos 263 Solución Puesto que la distribución exponencial es una distribución gam m a con o = 1 y fi = 0, ten em o s Mx(t) =(i - <¡<r' por el teorem a 6.4, y por tanto A M O = F I O “ « 0 “‘ = (1 ~ *)\"\" i=1 de acuerdo a la segunda de las reglas especiales para productos dadas en el apén dice A . Identificam os la función generatriz de m om entos de Y com o una distri bución g am m a con a = n y /3 = 0, concluim os q u e la distrib u ció n de la su m a de n variables aleatorias independientes que tienen distribuciones exponenciales con el m ism o p arám etro 0 es una distribución gam m a con los parám etros a = n y fi = 0. A d v ie rta q u e e s to c o n c u e rd a con e l re s u lta d o d el e je m p lo 7.14, d o n d e m ostram os que la sum a de tres variables aleatorias independientes que tienen dis tribuciones exponenciales con el parám etro 0 = 1 tiene una distribución gamma con a = 3 y fi = 1. ▲ El teorem a 7.3 tam bién proporciona una m anera fácil y elegante de derivar la función g en eratriz d e m om entos de la distribución binom ial. S upongam os q u e X x, X 2, . . . , X n son v a ria b le s a le a to rias in d ep e n d ien te s q u e tien en la m ism a distrib u ció n B ernoulli f ( x : 0) = 0 ' ( \\ — 0 ) l _ * p a ra x = 0, 1. Por la definición 4.6, ten e m o s así M xM ~ “ 0 ) + «’ l ' 0 = 1 + 0 (e ‘ ~ 0 de m anera que el teorem a 7.3 produce amo = n i 1+ - o] = [i + »(<•'- oí\" i=i Esta función generatriz de m om entos se identifica rápidam ente com o la de la distribu ción binom ial con los parám etros n y 0. P or supuesto, Y = X x + X 2 + + X„ es el núm ero total de éxitos en n ensayos, puesto que X x es el núm ero de éxitos en el pri m e r in te n to , X 2 es e l n ú m ero d e éx ito s e n el seg u n d o i n te n to ,..., y X„ es el n ú m ero de éxitos en el nésim o intento. Com o verem os m ás adelante, esta es una m anera m uy fruc tífera de ver la distribución binomial. EJERCICIOS 7.55 U se la técnica d e la función generatriz de m om entos para rehacer el ejercicio 7.35. 7.56 E ncuentre la función generatriz de m om entos de la distribución binom ial nega tiva al hacer uso del hecho que si k variables aleatorias independientes tienen distribuciones geom étricas con el m ism o p arám etro 0, su sum a es una variable aleatoria q ue tiene la distribución binom ial negativa con los parám etros 0 y k. (Sugerencia: use el resultado del ejercicio 5.37.)
Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias 7.57 Si n variables aleatorias independientes tienen la m ism a distribución gam m a con los parám etros o y ^ , encuentre la función generatriz de m om entos de su sum a y. si es posible, identifique su distribución. 7.58 Si n variables aleatorias independientes X , tienen distribuciones norm ales con las m ed ias ¿t, y las desviaciones e s tá n d a r erMe n c u e n tre la función g e n e ra triz de m om entos de su sum a e identifique la distribución correspondiente, su m edia y su varianza. 7.59 D em u estre la siguiente generalización del teo rem a 7.3: Si A ',, X 2, - . . y X n son va riables aleatorias independientes y Y = a xX x + a2X 2 + \" + anX n , entonces A M O = ñ M* , M i=l donde es el valor de la función g eneratriz de m om entos de X , en t. 7.60 U se el resultado del ejercicio 7.59 para m ostrar q ue, si n variables aleatorias independientes X¡ tienen distribuciones norm ales con las m edias y las des viaciones e s tá n d a r <r„ e n to n c e s Y = a xX x + a 2X 2 + ••• + an X ntien e una d istri bución norm al. ¿C uáles son la m edia y la desviación estándar de esta dis tribución? APLICACIONES 7.61 U n a a b o g a d a tien e u n n ú m e ro p riv ad o e n e l cual recib e e n p ro m e d io 2.1 llam a das cada media hora y un núm ero que se encuentra en el directorio telefónico en el cual recibe en p ro m e d io 10.9 llam adas cada m edia hora. Si se p u e d e su poner que los núm eros de llam adas que recibe en estos teléfonos son variables aleatorias independientes q u e tienen distribuciones de Poisson, ¿cuáles son las probabilidades de que en m edia hora ella reciba en total (a ) 14 llam adas: (b) cuando m ucho seis llamadas? 7.62 En un periódico, un vendedor de autos anuncia un C hrysler Le B arón 1993, un Ford Escort 1991, y un Buick Skylark 1994. Si el núm ero de entrevistas que ten drá sobre estos autos se puede considerar com o variables aleatorias indepen d ie n te s q u e tie n e n d istrib u c io n e s d e P o isso n c o n los p a rá m e tro s A, = 3.6, Aj = 5.8 y A3 = 4.6, ¿cu áles so n las p ro b ab ilid a d e s de q u e e n to ta l tenga (a) m enos de 10 entrevistas sobre estos autos; (b ) cu alq u ier n ú m ero e n tre 15 y 20 en trev istas sobre esto s autos; (c) a l m en o s 18 en tre v istas so b re e sto s au to s? 7.63 Con respecto al ejercicio 7.62, ¿cuál es la probabilidad de que el vendedor de a u to s ten g a seis e n tre v istas so b re el F o rd E scort 1991 y o c h o e n tre v ista s sobre los otros dos autos? 7.64 Si el núm ero de quejas que un negocio recibe por día es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con A = 3.3, ¿cuáles son las probabilida des de que recibirá (a) dos quejas en un día dado;
C apítulo 7: Referencias 265 (b) cinco quejas en total en dos días cualquiera; (c) al m enos 12 quejas en total en tres días dados cualquiera? 7.65 El n ú m ero d e peces que una p ersona pesca p o r h o ra en W oods C anyon L ake es una v a ria b le a le a to ria q u e tien e la distrib u ció n de Poisson con A = 1.6. ¿Cuáles son las probabilidades de que una persona que pesca ahí atrapará (a) cuatro peces en 2 horas; (b) al m enos dos peces en 3 horas; (c) cuando m ucho tres peces en 4 horas? 7.66 Si el n ú m ero de m inutos que tard a un em pleado en una estación de servicio p a ra balancear un neum ático es una variable aleatoria q ue tiene la distribución exponencial con el parám etro 0 = 5. ¿cuáles son las probabilidades de que el em pleado tardará (a) m enos de 8 m inutos en balancear dos neumáticos; (b) al m enos 12 m inutos para balancear tres neum áticos? 7.67 Si el n ú m e ro d e m inutos que u n d o c to r dedica a un pacien te es una variable alea toria que tiene una distribución exponencial con el parám etro 0 = 9, ¿cuáles son las probabilidades de que el doctor tardará al m enos 2 0 m inutos para tratar (a) un paciente: (b) dos pacientes; (c) tres pacientes? REFERENCIAS El uso de la transform ación de la integral de probabilidad en problem as de sim ulación se examina en J o h n so n , R . A .. M iller and Freund’s Probability and Statistics fo r Engineers, 5 th ed. U p p e r Saddle River, N J .: Prentice Hall. 1994. U na generalización del teorem a 7.1. el cual se aplica cuando el intervalo dentro del dom i nio de * para el cual f{x) # 0 se puede dividir en k subintervalos de m anera que las con diciones del teorem a 7.1 se aplican separadam ente p ara cada uno de los subintervalos, se puede encontrar en W a lp o lf., R. E.. and M y ers. R. H.. Probability and Statistics fo r Engineers and Scientists, 4th ed. N ueva York: M acmillan Publishing Com pany, Inc., 1989. En muchos textos avanzados sobre estadística matemática se dan tratam ientos más detalla dos y más avanzados del material de este capítulo; por ejemplo, en H o g g , R. V ., an d C r a ig , A . T ., Introduction to Mathematica! Statistics. 4 th ed. N u ev a Y ork; M acm illan Publishing Com pany, Inc.. 1978, R o u ssa s, G . G ., A First Course in Malhematical Statistics. Reading, Mass.; Addison-W esley Publishing C om pany. Inc.. 1973. W ilk s, S. S.. M alhematical Statistics. N ueva York; John Wiley & Sons, Inc., 1962.
CAPITULO 8 Distribuciones de muestreo 8.1 IN T R O D U C C IÓ N 8.2 LA DISTR IBUCIÓ N DE LA M EDIA 8.3 LA D ISTR IBU C IÓ N DE LA M EDIA: PO B LACIO NES FINITAS 8 .4 LA D IS T R IB U C IÓ N JI C U A D R A D A 8.5 LA DISTRIBUCIÓN f 8 .6 LA D ISTR IB UC IÓ N F 8.7 ESTADÍSTICAS DE O R DEN 8.1 INTRODUCCIÓN La estadística se ocupa principalm ente de las conclusiones y las predicciones provenien tes de los resultados fortuitos que ocurren en experim entos o investigaciones cuidadosa m ente planeadas. En el caso finito, estos resultados fortuitos constituyen un subconjunto, o muestra, d e las m ediciones u observaciones d e un conjunto m ayor d e valores llam ado población. E n el caso co n tin u o g en eralm en te son valores de variables aleato rias d istrib u i das en form a idéntica, a cuya distribución nos referim os com o distribución de población o población infinita m u estread a. La p alab ra “infinita” implica q u e, h ab lan d o e n form a ló gica, no hay límite al núm ero de valores que podrían observarse. Todos estos térm inos se usan aquí en form a poco convencional. Si una científica debe escoger y después pesar cinco de 40 conejillos de india com o parte de un experim en to, a persona sin conocim ientos en la m ate ria podría decir q u e los conejilos que ella se lecciona constituyen una m uestra. A sí es com o el térm ino “m uestra” se usa en el lenguaje cotidiano. En estadística, es preferible considerar los pesos de los cinco conejillos de in dias com o una m uestra de la población, que consiste en el peso de todos los 40 conejillos de indias. E n esta form a la población, así com o la m uestra, consiste en núm eros. T am bién. supongam os que. para estim ar el prom edio de la vida útil de cierta clase de transis tor. un ingeniero selecciona 10 de estos transistores, los prueba durante cierto periodo, y registra para cada uno la hora en que se descom pone. Si estas horas de descom postura son valores de variables aleatorias que tienen una distribución exponencial con parám e tro 6. decimos que constituyen una m uestra de esta población exponencial. C om o bien nos podem os im aginar, no todas las m uestras se prestan a generaliza ciones válidas sobre la población de donde vinieron. D e hecho, la m ayoría de los m é todos de inferencia q ue se exam inan en este libro se basan en la suposición de que estam o s tra ta n d o con muestras aleatorias. E n la práctica, a m e n u d o tra ta m o s con m ues- 266
Sección 8.1: Introducción 267 tras aleatorias de poblaciones finitas, pero suficientem ente grandes para tratarse com o si fueran infinitas. A sí. la m ayoría de la teoría estadística y la m ayoría de los m étodos que exam inarem os se aplican a m uestras de poblaciones infinitas, y em pezarem os aquí con una definición de m uestras aleatorias de poblaciones infinitas. Las m uestras alea torias de poblaciones finitas se tratarán m ás adelante en la sección 8.3. d e fin ic ió n 8.1 Si X 2, . . . , X„ son variables aleatorias independientes y dis trib u id a s e n fo rm a id é n tic a , d ec im o s q u e c o n stitu y e n u n a muestra aleatoria d e la población infinita dada por su distribución com ún. Si ,x„) es el valor de la distribución conjunta de un conjunto tal de v aria bles aleatorias en (jtj, x 2 - O , podem os escribir n K x l.*2.... * n ) = n/í-o 1=1 donde f (x¡) es el valor de la distribución de la población en x¡. O bserve que la defini ción 8.1 y el análisis subsecuente se aplican sólo al m uestreo con reem plazo de pobla ciones finitas: el m uestreo sin reem plazo de poblaciones finitas se exam ina en las páginas 272 y 273. Las in feren cias estad ísticas su elen b asarse e n las estadísticas, e s to es, e n variab les aleato rias q u e son funciones de un co n ju n to de variables aleato rias X ¡ , X 2, . . . , X„, q u e co n stitu y en u n a m u e stra a le a to ria . E je m p lo s d e lo q u e significa ‘'e sta d ístic a s\" son la media de la muestra y la varianza de la muestra. DEFINICIÓN 8.2 Si X x, X 2, . . . , X n constituyen una m uestra aleatoria entonces n Z* se llam a la media de la muestra y c2 — É(.V, - X )' i — I_______________________ n- 1 s e llam a la varianza de la m uestra, t Com o se dan aquí, estas definiciones sólo se aplican a m uestras aleatorias, pero la m e dia de la m uestra y la varianza de la m uestra se pueden definir de la m ism a m anera p a ra cualquier conjunto de variables aleatorias X ¡ , X 2, . . . , X„. T am bién es com ún aplicar los térm inos “m uestra aleato ria”, “estadística\", “m e dia de la m uestra” y “varianza de la m uestra\" a los valores de las variables aleatorias t La razón de dividir entre n — 1 en vez de la elección aparentemente más lógica, n, se explicará en la sección 10.3.
268 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo e n vez de a las variables aleato rias en sí. Intuitivam ente, esto tiene m ás sen tid o y se apega al uso coloquial. Así, podríam os calcular ¿x, í rr _ < -1 „ _2 _ i - 1 ___________________ para los datos observados de la m uestra y referirse a estas estadísticas com o la m edia de la m u estra y la v arian za d e la m uestra. A quí, las **, x y s2 son valores d e las variables aleato rias co rre sp o n d ie n te s X¡, X y S 2. C ie rta m e n te, las fórm ulas p a ra x y r se usan aun cuando tratam os con cualquier clase de datos, no necesariam ente con datos de m uestreo, en cuyo caso nos referimos a x y s2 sim plem ente com o la m edia y la varianza. Se debe entender que aquí hem os presentado X y S 2 m eram ente com o ejem plos de estadísticas y que hay m uchas otras estadísticas que se presentarán m ás adelante en este capítulo y en capítulos subsecuentes. 8.2 LA D ISTR IB U C IÓ N DE LA M ED IA Puesto que las estadísticas son variables aleatorias, sus valores variarán de m uestra a mues tra, y es co stu m b re referirse a sus distribuciones com o distribuciones de muestreo. L a m a yor parte del resto de este capítulo se dedicará a las distribuciones de m uestreo de estadísticas que juegan un papel im portante en las aplicaciones. P rim ero estu d iem o s un po co d e te o ría so b re la distribución de muestreo de la me dia. h arem os sólo algunas suposiciones m uy generales sobre la naturaleza de las p o b la ciones m uestreadas. t e o r e m a 8 .1 Si X {, X 2 X n constituyen una m uestra aleatoria de una po b lación in fin ita con la m ed ia /x y la v a ria n za o 2. e n to n c e s 2 E { X ) = fi y v a r (X ) = ^ D em o stra ció n . H agam os Y = X en el teorem a 4.14 y por tanto al hacer 1 a, — —. o b te n e m o s n e (x ) = ¿ ¡ r * = \" ( ; ;• * ) =#* puesto que E( X¡ ) = /x. E ntonces, p o r el corolario del teorem a 4.14, concluim os que var(S,)= = =£ T Se acostum bra escribir E ( X ) com o /z* y var(A f) com o a \\ y referirse a o * co m o el error estándar de la media. L a fó rm u la p a ra el e r r o r e s tá n d a r d e la m ed ia.
Sección 8 .2 : La distribución de la m edia 269 ffjf = -~^=, m u estra q u e la desviación e stán d ar d e la d istribución de X dism inuye cuando n. el tam año de la m uestra, se aum enta. E sto significa que cuando n se vuelve m ayor y en realidad tenem os más inform ación (los valores de más variables aleatorias), p o d em o s e sp erar valores d e X m ás cercanos a ¿i, la cantidad que se p ro p o n en estim ar. Si nos referim os al teorem a de Chebyshev com o se planteó en el ejercicio 4.40, pode mos expresar esto form alm ente de la siguiente m anera TEOREMA 8 ¿ Para cualquier constante positiva c, la probabilidad de que X asu m irá un valor entre /i — c y / x + c e s cuando menos C u a n d o n —►o o , esa p ro b ab ilid a d se ap ro x im a a 1. E ste resu ltad o , llam ado ley de números grandes, e s de interés teórico prim o rd ial m ente. D e m u ch o m ás valor práctico es el teorema del límite central, u n o de los teorem as m ás im p o rtan tes d e la estadística, q u e tiene que ver con la distribución lím ite de la media estandarizada de n variables aleatorias cuando n —* o o . A q u í sólo d em ostrarem os este teo rema para el caso donde las n variables aleatorias son una m uestra aleatoria de una po blación cuya función generatriz de m om entos existe. E n los ejercicios 8.7 y 8.9 se dan condiciones más generales bajo las cuales este teorem a es válido, y al final de este capítu lo se hace referencia a las condiciones más generales en que este teorem a es válido. TEOREMA 8 .3 (T eorem a del lím ite central) Si X x. X 2 X„ constituyen una m u e stra a le a to ria d e u n a p oblación infinita con la m ed ia /x, la v arian za <x2 y la función generatriz de m om entos Mx (t), entonces la distribución límite de conforme n y- tr/V n oc e s la distribución norm al estándar. D e m o stra c ió n . Si p rim ero usam os la tercera p arte del teo rem a 4.10 y des pués usam os la segunda, obtenem os M -Át) = M Í - . V ) = '' tr/Vn P u e sto q u e n X = X , + X 2 + ••• + X n . se sigue p o r el te o re m a 7.3 que
270 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo Mz(t) Mi ■va y por tanto que l-A íz M = - :^ + Expandim os Mx ^ — c o mo una serie exponencial en /, y obtenem os In M z {t) = ~ ~ ~ ~ + «*l n 2 tr2/i r3 + 6 tr3n V ñ d o n d e /x',, /x2 y ¿xí so n los m o m en to s a lre d e d o r del o rig en d e la d istrib u ció n de población, esto es. aquellos de las variables aleatorias originales X¡. Si n e s lo suficien tem en te g ran d e , p o d e m o s u sa r la ex pansión de ln (1 + x ) com o una serie exponencial en .r (com o en la página 223), y obtenem os ln M , ( t ) = ------- -~r~— f n f í / i í -j= + u í - — + i t \\ z—t— 7 = + “ * z w tr ( [ <t V ñ ^ ‘ 2 a ' n ™ 6 a 3n V n 1_ i f2 2 Mi a V n + M2 2 cr 2n + MÍ 6<r3n V ñ l i2 4 Mi (T V ñ + ^ 2 2tr‘n + Mí 6<r3n V n D espués, reunim os las potencias de t, y obtenem os + M3 Mi -M2 + Mi 6 cr3V ñ 2cr V n 3a3 y p u e sto q u e /x¡ = / i y ix2 — MÍ = esto se simplifica a ■< / , \\ - i ^M Í MÍMÍ , Mi3 ^ ? - 1- A M 0 - ^ + ( y - — + + •\" Finalm ente, al observar que el coeficiente r1 es una constante m ultiplicada por - ^ = y en general, para r i 2 , el coeficiente de f es una constante m ultiplicada por — — ; , obtenem os V n ' ~ 2' lím ln M A t ) = —Z2 n-^cx. 2 y por tanto lím M
Sección 8 .2 : La distribución de la m edia 271 puesto que el límite de un logaritm o es igual al logaritm o del límite (a condición de que estos lím ites existan). Identificam os la función generatriz de m om entos a la que hem os llegado com o la de la distribución norm al estándar, sólo necesita m os los dos teorem as enunciados en la página 224 para com pletar la dem o stra ción del teorem a 8.3. ▼ A lgunas veces, el teorem a del límite central se interpreta incorrectam ente como si im plicara que la distribución de X se aproxim a a una distribución norm al cuando n -> o c . E sto es in co rrecto p o rq u e v a r( X ) —►0 cu an d o n —►oo; p o r o tra p a rte , el te o re m a del lím ite central justifica la aproxim ación de la distribución de X con una distribu- 7 ción norm al que tenga una m edia ¡i y la varianza — cuando n es grande. E n la práctica, esta aproxim ación se usa cuando n 30 sin im portar la form a real de la población mues- treada. P ara valores m enores de n la aproxim ación es dudosa, pero vea el teorem a 8.4. EJEM P LO 8.1 Una m áquina de refrescos está arreglada para que la cantidad de bebida que sirve sea una variab le a le a to ria con u n a m ed ia d e 200 m ililitros y u n a desviación e s tá n d a r d e 15 mililitros. ¿C uál es la probabilidad de que la cantidad prom edio (m edia) servida en una m uestra aleatoria de tam año 36 sea al m enos de 204 mililitros? Solución D e acu erd o al teo rem a 8.1, la distribución de X tiene la m edia /x* = 200 y la d esv iació n e stá n d a r o v = — 7 = = 2.5, y de a c u e rd o al te o re m a del lím i- V36 te central, esta distribución es aproxim adam ente norm al. Puesto que z = ^ ^ ^ = 1.6, se sigue de la tab la III q u e P ( X ^ 204) = P ( Z S 1.6) = 0.5000 - 0.4452 = 0.0548. ▲ Es interesante advertir que cuando la población q ue estam os m uestreando es nor m al, la distribución de X es una distribución norm al sin im portar el tam año de n. TEOREM A 8 ,4 Si X es la m edia de una m uestra aleatoria de tam año n de una p o b lació n n o rm a l con la m ed ia ¡x y la v arian za <r2, su distrib u ció n d e m u estre o es una d istrib u ció n no rm al con la m ed ia /x y la v arianza cr2/n . Dem ostración. D e acuerdo con los teorem as 4.10 y 7.3, podem os escribir M x W = [ M. v ( í ) \" y puesto q u e la función generatriz de m om entos de una distribución norm al con la m ed ia fx y la v arian za <r2 e stá d a d a p o r
272 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo d e a c u erd o al te o re m a 6 .6 , o b ten e m o s M g(t) = Esta función generatriz de m om entos se ve en seguida que es la de una distribución n orm al con la m edia ^ i y l a varianza <r2/ n , y p a ra co m p letar la d em o stració n del teorem a 8.4 sólo tenem os que referim os a los dos teorem as de la página 224. ▼ 8.3 LA DISTRIBUCION DE LA MEDIA: POBLACIONES FINITAS Si un experim ento consiste en seleccionar uno o m ás valores de un conjunto finito de nú m ero s { c ,, c 2, . . . , cN} , este co n ju n to se conoce com o población finita de tamaño N. E n la definición que sigue se supondrá que estam os m uestreando sin reem plazo de una población finita d e tam año N. d e f in ic ió n 8 3 Si A', e s el p rim e r v alo r sacad o de u n a p o b lació n finita d e ta m año N , X 2 es el segundo valor sacad o ,..., X„ es el nésim o valor sacado, y la dis tribución de probabilidad conjunta de estas n variables aleatorias está dada por A * t,X 2 = n {N - 1 )- ... - { N - n + 1) para cada «tupio ordenado de valores de estas variables aleatorias, entonces se dice que X ¡ , X 2 y X„ constituyen una m uestra aleatoria de la población finita dada. C om o en la definición 8.1, la m uestra aleatoria es un conjunto de variables aleatorias, pero, aquí una vez m ás, tam bién es com ún aplicar el térm ino “m uestra aleatoria” a los valores de las variables aleatorias, esto es, a los núm eros reales extraídos. D e la d istrib u c ió n d e p ro b ab ilid a d co n ju n ta d e la definición 8.3, se sigue q u e la probabilidad de cada subconjunto de n de estos N elem entos de la población finita (sin im portar el o rd en en el cual se saquen los valores) es n\\ 1 N ( N ~ 1)* ... * (N - n + 1) C) A m enudo esto se da com o una definición alternativa o com o un criterio para la selec ción de una m uestra aleatoria de tam año n de una población finita de tam año N: cada Ou n a d e las ( 1 m uestras p o sib les d ebe tener la m ism a probabilidad.
Sección 8 .3 : La distribución de la m edia: poblaciones finitas 273 T am bién se sigue de la definición 8.3 de la distribución de probabilidadconjunta que la distribución m arginal de X , está dada por f i x r) = para xr = c ,,c 2 cN para r = 1 , 2 n , y nos referim os a la m edia y la varianza deesta distribución uni form e discreta com o la m edia y la varianza de la población finita. Por consiguiente. Finalm ente, d e la definición 8.3 de la distribución de probabilidad conjunta se si gue que la distribución m arginal conjunta de dos variables aleatorias cualesquiera A'i. X 2, . . . , X„ está dad a por S(x \" x ') = N ( N _ j) para cada p ar ordenado de elem entos de la población finita. Así, podem os dem ostrar que t e o r e m a & 5 Si X , y X , son las résim a y el sésim a variables aleatorias d e una m ues tra aleatoria de tam añ o rt sacada de una población finita { c l , c 2 cs }, entonces c o v (* „ X ,) = Dem ostración. D e acuerdo con la definición 4.9 m v (X „ X t) = | | j j í r , - M)(c, - r í >+> N M) \\ 2 (c, - N {N - 1) ¡ /-1 1*1 NN y puesto que 2 ( c ¡ “ a ) = 2 ( c/ ~ **) “ (c, ~ /x) = - ( c , - f i) , obtenem os y=t í+i
274 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo N —l- 1 o> Al hacer uso de todos estos resultados, dem ostrem os ahora el siguiente teorem a, el cual corresponde al teorem a 8.1 para m uestras aleatorias de poblaciones finitas. t e o r e m a 8 .6 Si X es la m edia de una m uestra aleatoria de tam año n de una p o b lació n fin ita d e tam a ñ o N con la m ed ia n y la v arian za o 2, e n to n c e s E {X ) = fi y var(jF) = D e m o s t r a c ió n . S u stitu im o s ai = j j , var(A fj) = o-2, y c o v ( X , , X j ) = o2 en la fórm ula del teorem a 4.14, y obtenem os N- 1 E i X ) = i2=i =M var ~1<) .2 = £ _ + ? n('n ~ n '2 Es interesante observar que las fórm ulas que obtuvimos para var( X ) en los teo re m a s 8 .1 y 8 . 6 só lo d ifie re n p o r e l factor de corrección por población finita ^ _ - y . t C iertam ente cuando N es grande com parado con n, la diferencia entre las dos fórm u las p a ra v a r( A’) su e le s e r d esp reciab le y la fó rm u la o # = se usa a m enudo como t Puesto que hay muchos problemas que nos interesan en la desviación estándar más que en la varianza. el térmlino “factor de corrección por población finita” a menudo se refieere a \" en vez de \" - - y . Por supuesto, esto no importa en tanto el uso se entienda claramente.
Sección 8 .3 : La distribución de la m edia: poblaciones finitas 275 una aproxim ación cuando estam os m uestreando a partir de una población finita gran de. U na regla em pírica general es usar esta aproxim ación cuando la m uestra no cons tituye más del 5% de la población. EJERCICIOS 8 .1 U se el co ro lario del teo rem a 4.15 p ara m o strar que si X ¡ , X 2, . . . , X „ c o n stitu yen una m uestra aleatoria de una población infinita, entonces cov(AV — X , X ) = 0 para r = 1 , 2 , . . . , n. 8 .2 U se el te o re m a 4.14 y su c o ro la rio p ara m o strar q u e si A jí, A j2, . . . , A j„t , X 2x, X u X ^ , son variables aleatorias independientes, donde la prim eras n ] constituyen una m uestra aleatoria de una población infinita con la m edia ¿t, y la v arian za o-f y las o tra n 2 c o n stitu y en u n a m u e stra a le a to ria d e u n a p oblación infinita con la m edia /x2 y la varianza a \\ , entonces ( a ) E ( X , - X ; ) = mi - m: ; (b) var( J , - X 2) = ^ + ^ . 8 3 Con respecto al ejercicio 8.2, dem uestre que si las dos m uestras vienen de po blaciones norm ales, en to n ces A , — X 2 es una variable aleatoria que tiene la distrib u ció n norm al con la m ed ia /x, — f i 2 y la varian za + j p . (Sugerencia: proceda com o en la dem ostración del teo rem a 8.4.) 8 .4 Si X y , A 2 A„ son variables aleatorias independientes que tienen distribucio nes de B ernoulli idénticas con el parám etro 0. entonces X es la proporción de éxitos en n intentos, lo que denotam os con 0 . V erifique que (a) £ (Ó ) = 6; 0(1 - 0) (b ) v a r ( e ) = ------ . 8 3 Si las prim eras n , variables aleatorias del ejercicio 8.2 tien en distribuciones de Bernoulli con el parám etro 0, y las otras n 2 variables aleatorias tienen distribu ciones de B ern o u lli con el p a rá m e tro 0 2, d e m u e stre q u e. en la notación del e je r cicio 8.4, ( a ) £ ( 0 ! - é 2) = 0, - 02; * . 0 , ( 1 - 0 ,) 0 2( 1 - 0 2) ( b ) v a r ( 0 , - 0 2) = +. 8 . 6 D e m u e stre el teo re m a 6 .8 , co n sid ere las variab les a le a to rias b in o m iales com o en la página 263, esto es, com o sumas de variables aleatorias de Bernoulli indepen dientes distribuidas en form a idéntica y utilice el teorem a del límite central. 8 .7 Lo siguiente es una condición suficiente para el teorem a del lím ite central: si las v ariab les a le a to ria s A ',, X 2, . . . , X„ son in d e p e n d ie n te s y u n ifo rm e m en te lim ita-
276 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo das (esto es, existe una constante positiva k tal que la probabilidad es cero de que una de las variables aleatorias cualesquiera X ¡ asumirá un valor mayor que k o m enor que —A), entonces si la varianza de n = X x + X 2 + - + X„ se vuelve infinita cuando n —►oo, la distribución de la media estandarizada de X t se aproxima a la distribución normal estándar. Muestre que esta condición suficiente es válida para una serie de variables aleatorias independientes A^que tienen las respectivas distribuciones de probabilidad M =* 8JJ Considere la serie de variables aleatorias independientes X x, X 2, X y ,... que tienen las densidades uniformes i i para 0 < x¡ < 2 — ~ 0 en cualquier otra parte Use la condición suficiente del ejercicio 8.7 para mostrar que el teorem a del lí mite central es válido. 8.9 La siguiente es una condición suficiente, la condición Laplace-Liapounoff, para el teorem a del límite central: si X x, X 2, X y , ... es una serie de variables aleato rias independientes, cada una de las cuales tiene un tercer momento absoluto c, = E { \\X , - /t,|3) y si lím [var(V;)] ¿ c , = 0 donde Y„ = X x + X 2 + ••• + X„, entonces la distribución de la media estan darizada de las X, se aproxima a la distribución normal estándar cuando n —►oo. Use esta condición para dem ostrar que el teorem a del límite central es válido para la serie de variables aleatorias del ejercicio 8.7. 8.10 Use la condición del ejercicio 8.9 para mostrar que el teorem a del límite cen tral es válido para la serie de variables aleatorias del ejercicio 8.8. 8.11 Explique por qué, cuando muestreamos con reemplazo de una población fini ta, se aplican los resultados del teorem a 8.1 en vez de los del teorem a 8.6. 8.12 Explique los resultados del ejercicio 5.45 a la luz del teorem a 8.6. 8.13 Si una muestra aleatoria de tam año n se selecciona de la población finita que consiste de los enteros 1. 2 , . . . , N . demuestre que:
Sección 8 .3 : La distribución de la m edia: poblaciones finitas 277 (a) la media de X es —y — ; ~ {N + \\){N - n) (b) la varianza de X e s —------------ ; 12n (c) la media y la varianza de y = n •X son E (Y ) . í í í L t l ! y v ar(y) _ -< * + ■>(\" - - ) (Sugerencia: consulte el apéndice A o los resultados del ejercicio 5.1.) 8.14 Encuentre la media y la varianza de la población finita que consiste de los 10 números 15,13, 18,10, 6, 21, 7,11, 20 y 9. 8.15 Demuestre que la varianza de la población finita { c ,,c 2, . . . , c*} se puede es cribir como N 1 _ /= I 2 También, use esta fórmula para recalcular la varianza de la población finita del ejercicio 8.14. 8.16 Muestre que, análoga a la fórmula del ejercicio 8.15, la fórmula para la varian za de la muestra se puede escribir como S2 _= 1=1 ti — 1 n —1 También, use esta fórmula para calcular la varianza de los siguientes datos de muestreo sobre el número de llamadas de servicio que recibe el operador de un camión grúa en ocho días de trabajo consecutivos: 1 3 ,1 4 ,1 3 ,1 1 ,1 5 ,1 4 ,1 7 y 11. 8.17 Demuestre que la fórmula para la varianza de la muestra se puede escribir como 2 s2 = ■ ( s * ) - ( ! * ■ ) ' n { n - 1) T am bién, use esta fórm ula p ara recalcular la varianza de los dato s d e la m ues tra del ejercicio 8.16. APLICACIONES 8.18 ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño n = 3 se pueden sacar de una pobla ción finita de tamaño (a) N = 12; (b) N = 20; (c) N = 50? 8.19 ¿Cuál es la probabilidad de cada muestra posible si (a) se va a sacar una muestra aleatoria de tamaño n = 4 de una población fi nita de tam año N = 12;
278 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo (b) se va a sacar una m uestra aleatoria de tam año n = 5 de una población fi nita de tam año N = 22? 8 .2 0 Si se saca una m uestra aleatoria de tam año n = 3 de una población finita de tam a ñ o N = 50. ¿cuál es la p ro babilidad d e q u e un e le m en to e n particu lar d e la población se incluirá en la m uestra? 8 .2 1 Para m uestras aleatorias de una población infinita, ¿qué pasa con el error es tándar de la m edia si el tam año de la m uestra se ( a ) a u m e n ta d e 30 a 120; (b ) a u m e n ta de 80 a 180; (c) dism inuye de 450 a 50; (d) disminuye de 250 a 40? N —n 8.22 E ncuentre el valor del factor de corrección por población finita ^ ^ Para (a) n = 5 y N = 200; (b) n = 50 y N = 300; (c) n = 200 y N = 800. 8 .2 3 Se tom a una m uestra aleatoria de tam año n = 100 de una población infinita con la m edia p. — 75 y la varianza a 2 = 256. (a) Con base en el teorem a de Chebyshev, ¿con qué probabilidad podem os a firm a r q u e el v a lo r q u e o b ten e m o s p a ra X ca erá e n tre 67 y 83? (b) Con base en el teorem a del límite central, ¿conqué probabilidad podem os afirm ar que el valor que obtenem os para X caerá entre 67 y 83? 8 3 4 U n a m u e stra a le a to ria d e tam a ñ o n = 81 se to m a d e u n a p o b lació n infinita con la m edia ¡i = 128 y la desviación estándar a = 6.3. ¿Con qué probabilidad podem os afirm ar que el valor q ue obtenem os p ara X no caerá en tre 126.6 y 129.4 si usam os (a) el teorem a de Chebyshev; (b) el teorem a del límite central? 8 .2 5 V uelva a resolver el inciso (b) del ejercicio 8.24. suponiendo q u e la población no es infinita sino finita y de tam año N = 400. 8 .2 6 Se tom ará una m uestra aleatoria de tam año n = 225 de una población expo nencial con 0 = 4. C on base en el teorem a del lím ite central, ¿cuál es la pro babilidad de que la m edia de la m uestra excederá 4.5? 8 3 7 Se tom ará una m uestra aleatoria de tam año n = 200 de una población unifor m e con a = 24 y 0 = 48. B asado en el teorem a del lím ite central, ¿cuál es la probabilidad de que la m edia de la m uestra será m enor que 35? 8.28 Se tom a una m uestra aleatoria de tam año 64 de una población norm al con p = 51.4 y a = 6 .8 . ¿C uál es la probabilidad de que la m edia de la m uestra (a) excederá 52.9; (b) caerá en tre 50.5 y 52.3; (c) será m enor que 50.6?
Sección 8 .4 : La distribución ji cuadrada 279 8.29 Se to m a u n a m u estra a le a to ria d e ta m a ñ o 100 d e u n a p o b lació n n o rm al con o = 25. ¿C uál es la probabilidad de que la m edia de la m uestra diferirá de la m edia de la población por 3 o m ás en cualquier dirección? 8 JO Se tom an m uestras aleatorias independientes de tam año 400 de cada una de dos poblaciones que tienen m edias iguales y desviaciones estándar o t = 2 0 y <r2 = 30. A l u sa r el te o re m a de C hebyshev y el resu lta d o del ejercicio 8.2, ¿q u é podem os afirm ar con una probabilidad de al m enos 0.99 sobre el valor que ob te n d re m o s p a ra X t — AV? (P o r “ in d e p e n d ie n te \" q u e re m o s d ecir q u e las m u es tra s satisfacen las co n d icio n es d el ejercicio 8 .2 .) 831 Suponga que las dos poblaciones del ejercicio 8.30 son norm ales y use el resul tad o del ejercicio 8.3 p ara e n co n trar k tal que P ( - k < X ¡ - X 2 < k ) = 0.99 8 3 2 Se tom an m uestras aleatorias independientes tam año n, = 30 y n2 = 50 de dos poblaciones norm ales que tienen las m edias ¿i, = 78 y n 2 = 75 y las va- rian zas a \\ = 150 y <7 2 = 200. U se los resu ltad o s d el ejercicio 8.3 p a ra e n c o n tra r la p ro b ab ilid ad d e que la m edia de la p rim era m uestra excederá la de la segunda m u estra p o r al m enos 4.8. 8 3 3 La proporción real de familias que en cierta ciudad son dueñas de sus casas, en vez de rentarlas, es 0.70. Si se entrevistan aleatoriam ente 84 fam ilias en esta ciu d ad y sus respuestas a la p reg u n ta de si son du eñ as de sus casas se consideran com o valores de variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de Bernoulli idénticas con el parám etro 0 = 0.70, ¿con qué probabilidad pode m os afirm ar que el valor que obtenem os para la m uestra de la proporción 0 caerá en tre 0.64 y 0.76, use el resultado del ejercicio 8.4 y (a) el teorem a de Chebyshev; (b) el teorem a del límite central? 8.34 L a p ro p o rc ió n real de h o m b res q u e favorecen cie rta p ro p u esta de im p u esto s es 0.40 y la proporción correspondiente de m ujeres es 0.25; aleatoriam ente se en trevistan /i] = 500 hom bres y n 2 = 400 m u je res y sus respuestas individuales se consideran com o los valores de variables aleatorias independientes que tie nen distribuciones de Bernoulli con los respectivos parám etros 0, = 0.40 y 02 = 0.25. ¿Q ué podem os afirm ar, de acuerdo al teorem a de Chebyshev, con una probabilidad de al m enos 0.9375 sobre el valor que obtendrem os para 0 , — 0 2. la diferencia en tre las dos m uestras de proporciones de respuestas favorables? Use el resultado del ejercicio 8.5. 8 .4 L A D IS TR IB U C IÓ N JI C U A D R A D A E n el ejem plo 7.9 dem ostram os que si X tiene la distribución norm al estándar, e n to n ces X 2 tiene la distribución gam m a especial, a la cual nos referim os com o distribución ji cuadrada, y esto explica el papel im portante que la distribución ji cuadrada tiene en problem as de m uestreo de poblaciones norm ales. La distribución ji cuadrada a m enu do se denota com o “distribución donde x es la letra m inúscula griega ji. Tam bién
280 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo usam os x 2 Para los valores de las variables aleatorias que tienen distribuciones ji cua drada, pero nos abstendrem os de denotar las variables aleatorias correspondientes con X 2, d o n d e X e s la le tra m ayúscula griega ji. E s to e v ita te n e r q u e re ite ra r e n cad a caso si X es una variable aleatoria con valores x o una variable aleatoria con valores x - R evisem os algunos de los resultados de la sección 6.3, una variable aleatoria X tien e la distribución ji cuad rad a con v grados de libertad si su densidad de p robabili dad está dada por ñ*) = 1 azi para* > 0 * * x/2 en cualquier otra parte 2¥f2T(<v/ 2 ) x 0 La m edia y la varianza de la distribución ji cuadrada con v grados de libertad son v y 2v, y su función generatriz de m om entos está dada por M x {¡) = ( 1 - La distribución ji cuadrada tiene varias propiedades m atem áticas im portantes, que se dan en los teorem as 8.7 a 8.10. Prim ero, enunciem os form alm ente el resultado del ejem plo 7.9, al cual nos referim os anteriorm ente t e o r e m a 8.7 Si X tiene la distribución norm al están d ar, en to n ces X 2 tiene la distribución ji cuadrada con v = 1 grados de libertad. Más generalm ente, dem ostrem os que t e o r e m a 8 ^ Si X x, X 2, . . . , X n so n v ariab les a le a to ria s in d e p e n d ie n te s q u e tie nen distribuciones norm al estándar, entonces y = i:*? í-1 tiene la distribución ji cuadrada con v = n grados de libertad. D em ostración. Al usar la función generatriz de m om entos dada arriba con v = 1 y el teorem a 8.7, encontram os que M M t) = (1 - 2,)~ 2 y se sigue, p o r el teorem a 7.3, que M r(0 = n I I d - 2 0 2 = (1 - 2 0 2 i-i Esta función generatriz de m om entos se identifica en seguida com o la de la dis tribución ji cuadrada con v = n grados de libertad. ▼
Sección 8 .4 : La distribución ji cuadrada 281 D os propiedades adicionales de la distribución ji cuadrada se dan en los dos teo rem as q u e siguen; se pedirá al lector q ue los dem uestre en los ejercicios 8.35 y 8.36. t e o r e m a 8.9 Si A j, X 2, . . . , X„ son variab les a le a to ria s in d e p e n d ie n te s q u e tie n e n d istrib u c io n e s ji c u a d ra d a con »*,, v2>. . . , vn g rad o s de lib e rta d , en to n ces y - ¿*, «-i tien e la d istrib u ció n ji c u a d ra d a con v x + v2 + *\" + v„ g rad o s d e libertad. t e o r e m a 8.10 Si A', y X 2 so n v ariab les a le a to ria s in d e p e n d ie n te s, AT, tien e la distribución ji cuadrada con v, grados de libertad, y X¡ + X 2 tiene la distribu ción ji cuadrada con v > grados de libertad, entonces X 2 tiene la distribución ji cuadrada con v — v x grados de libertad. La distribución ji cuadrada tiene m uchas aplicaciones im portantes, varias de las cu ales se e x a m in an e n los cap ítu lo s 10 al 13. L as m ás d e sta c ad a s, son a q u e llas b asad as directa o indirectam ente en el siguiente teorem a. TEOREMA 8.11 Si X y S 2 son la m edia y la varianza de una m uestra aleatoria d e ta m a ñ o n de u n a p o b lació n n o rm al c o n la m ed ia ¡x y la desviación e s tá n d a r ir, entonces 1. X y S 2 son independientes; 2. L a v a ria b le a le a to ria — -----T ^ ~ l *e n e distribución ji cuadrada con n — 1 grados de libertad. D em ostración. Puesto que una dem ostración detallada d e ja parte 1 reba saría el alcance de este libro, supondrem os la independencia de X y S 2 en nues tra dem ostración de la p a rte 2. A dem ás de las referencias a las dem ostraciones de la parte 1 al final de este capítulo, el ejercicio 8.46 bosqueja los pasos princi pales de una dem ostración un poco m ás sim ple basada en la idea de una función generatriz d e m om entos condicional, y el ejercicio 8.45 pedirá al lector que d e m uestre la independencia de X y S 2 para el caso especial donde n = 2. P ara d em o strar la p arte 2, em pezam os con la identidad ¿ (*, - n f = ¿ (*, - X ) 2 + n ( X - n f /-I i»l que se p ed irá al lector verifique en el ejercicio 8.37. A hora, si dividim os cada tér- n m in o e n tre o-2 y su stituim os (n — 1 )S 2 e n vez d e ^ ( X¡ — A ')2, se sigue q u e
282 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo En cuanto a los tres térm inos de esta identidad, sabem os por el teorem a 8.8 que la que está en el lado izquierdo de la ecuación es una variable aleatoria que tiene la distribución ji cuadrada con n grados de libertad. Tam bién, según los teo rem as 8.4 y 8.7, el segundo térm ino en el lado derecho de la ecuación es una va riable aleatoria que tiene la distribución ji cuadrada con 1 grado de libertad. A hora, puesto que se supone que X y S 2 son independientes, se sigue que los dos térm inos en el lado derecho de la ecuación son independientes, y concluim os por el teorem a 8 .10 que —— es una variable aleatoria independiente que tiene una distribución ji cuadrada con n — 1 grados de libertad. ▼ Puesto que la distribución ji cuadrada se presenta en m uchas aplicaciones im por tantes, se han tabulado extensivam ente las integrales de su densidad. La tabla V con tiene los valores d e x l . * p a ra a = 0.995, 0.99, 0.975, 0.95, 0.05, 0.025, 0.01 y 0.005, y v = 1, 2 , . . . , 30, donde x l. y es tal que el área a su derecha bajo la curva ji cuadrada con v gra dos de libertad (véase la figura 8.1) es igual a a . Esto es, x l . , es tal que si X es una va riable aleatoria que tiene la distribución ji cuadrada con v grados de libertad, entonces P(X a xl . ) = a C uando v es m ayor que 30, no se puede usar la tabla V y las probabilidades referentes a las distribuciones ji cuadrada usualm ente se aproxim an con las distribuciones norm a les, com o en el ejercicio 8.40 u 8.43. F ig u ra 8 .1 Distribución ji cuadrada. EJEM PLO 8.2 Supongam os que el espesor de una parte usada en un sem iconductor es su dimensión crítica y q u e el p ro ceso d e fab ricar estas p a rte s se considera que está b ajo co n tro l si la variación real entre el espesor de las partes está dada por una desviación estándar no m ayor que a = 0.60 milésimas de pulgada. Para m antener un control sobre el proce so, periódicam ente se tom an m uestras aleatorias de tam año n = 2 0 y se considera que
Sección 8 .5 : La distribución t 283 está “fuera de co ntrol” si la probabilidad de que S 2 asum irá un valor m ayor que, o igual, al v alo r o b se rv a d o d e la m u estra es 0.01 o m e n o r (au n c u a n d o <r = 0 .6 0 ). ¿ Q u é puede uno concluir sobre el proceso si la desviación estándar de una m uestra aleatoria periódica tal es s = 0.84 m ilésimas de pulgada? Solución J\\j2 El proceso se declarará “ fuera de control” s i j con n = 20 y a = 0.60 excede a jfo.ot.t9 = 36.191. Puesto que (n - 1)s2 _ 19(0.84)2 _ o 2 ~ (0 .6 0 )2 ” 3 7 -2 4 excede 36.191, se declara el proceso fuera de control. Por supuesto, se supone que la m u estra se puede considerar una m uestra aleatoria de una población norm al. ▲ 8 .5 LA D ISTR IB U C IÓ N t En el teorem a 8.4 dem ostram os que para m uestras aleatorias de una población norm al con la m edia y y la varianza <r2, la variable a leato ria X tiene una distribución norm al con la m edia y. y la varianza — ; en otras palabras, X - ii tr/V ñ tiene la distribución norm al estándar. E ste es un resultado im portante, pero la m ayor dificultad para aplicarlo es que en las aplicaciones m ás reales se desconoce la desvia ción e s tá n d a r d e la po b lació n , a . E sto hace n ecesario re e m p la z a r <r con un estim ad o , u su a lm c n te con e l v a lo r de la desviación e s tá n d a r d e la m u e stra S. A sí, la te o ría q u e si- gue nos lleva a la distribución exacta de X- a para m uestras aleatorias de poblacio nes normales. 'n Para derivar esta distribución de m uestreo. estudiem os prim ero la situación más general tratada en el teorem a siguiente. t e o r e m a 8.12 Si Y y Z son variables aleatorias independientes, Y tiene la dis trib u c ió n ji c u a d ra d a con v g ra d o s d e lib e rta d , y 7. tien e la distrib u ció n n o rm al estándar, entonces la distribución de está dada por
Capítulo 8: Distribuciones de muestreo r ( ! L ± J .) _ e+ i f ( t ) = ----------------------------+ 7 ) para < 1 < 00 Viri' r y se llam a la d istrib u ció n / con v grados de libertad. D em ostración. Puesto que Y y Z son independientes, su densidad de pro babilidad conjunta está dada por ny-Z )= V i T -T 7 T T / ‘( O para y > 0 y — 0 0 < z < °°, y f{y, z ) = 0 en cualquier otra parte. Entonces, pa ra u s a r la téc n ica d e c a m b io d e v a ria b le d e la sección 7.3, reso lv e m o s t = —Vyy=/¡v= p ara z , y obtenem os z = t V y / v y por tan to — = V y jv . A sí. p o r el teo rem a 7.1, O/ la densidad conjunta de Y y T está dada por / _______ 1________ ” j ( I+r) para y > O y - 0 0 0 0 /v\\ , y e * 0 .0 - v ^ rU > ! lo en cualquier otra parte y, al e lim in a r y p o r in teg ració n con la ay u d a d e la sustitución t*» = —y (I I -f- —? \\1 , finalm ente obtenem os rm ~H-rl P a ra -00 < , < 00 ▼ ñ¡) = ' + 7) O riginalm ente W. S. G osset in trodujo la distribución t, y publicaba sus escritos científicos bajo el seudónim o “Student”, puesto que la com pañía para la que trabajaba, una cervecería, no perm itía que sus em pleados hicieran publicaciones. Así, la distribu ción t tam bién se conoce com o la distribución Student-/, o la distribución / de Student. E n vista de su im portancia, la distribución t se ha tabulado extensam ente. Por ejem plo, la tab la IV co n tien e los valores d e ta „ p a ra a = 0.10 ,0 .0 5 ,0 .0 2 5 ,0 .0 1 y 0.005, y v = 1 , 2 ........29, d o n d e ta „ es tal q u e el á re a a su d e re c h a b ajo la c u rv a d e la d istrib u ción t con v grados de libertad (véase la figura 8.2) es igual a a . E sto es, ta „ es tal que si T es una variable aleatoria que tiene una distribución t con v grados de libertad, entonces
Sección 8 .5 : La distribución t 285 F ig u ra 8 .2 D istrib ució n t. P(F £ O = a L a tab la n o c o n tie n e v alores d e ta „ p a ra a > 0.50, p u e sto q u e la d e n sid a d e s sim é tri ca con respecto a i = 0 y por tanto t = ~ t a „. C u a n d o v e s 30 o m ás, las p ro b a bilidades referen tes a la distribución t suelen aproxim arse con el uso de distribuciones norm ales (véase el ejercicio 8.50). E ntre tantas aplicaciones de la distribución t, algunas de las cuales se tratarán en los capítulos 11 y 13, su principal aplicación (p ara la cual se d esarrolló originalm ente) se basa en el siguiente teorem a. t e o r e m a 8.13 Si X y S 2 son la m edia y la varianza de una m uestra aleatoria d e ta m a ñ o n d e u n a p o b lació n n o rm al c o n la m ed ia yx y la v a ria n za <r2, e n to n c e s tiene la distribución t con n — 1 grados de libertad. D em o stra ció n . P o r los teo rem as 8.11 y 8.4, las variables aleatorias y = (\" — ' ) # y z = Í - H Ü (T2 (T/ VTj tienen, respectivam ente, una distribución ji cuadrada con n — 1 grados de libertad y la distribución norm al estándar. Puesto que tam bién son independientes p or la parte 1 del teorem a 8.11, la sustitución en la fórm ula para T del teorem a 8.12 nos da X ~ ii j — a l yf * x — X — ii V s 2/<r2 S / V ñ y esto com pleta la dem ostración. ▼
286 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo EJEM PLO 8.3 E n 16 c o rrid as d e p ru e b a de una h o ra, el co n su m o d e gasolina d e u n a m áq u in a p ro m e d ió 16.4 galones con u n a desviación e s tá n d a r de 2.1 galones. P ru e b e la afirm ació n de que el consum o prom edio de gasolina es de 12.0 galones por hora. Solución A l su stitu ir n = 16, ¡i = 12.0, x = 16.4, y s = 2.1 en la fó rm u la p a ra / e n el te o rem a 8.13, obtenem os x - ix 16.4 - 12.0 t — —:—-7 =------ y = ------ 8.38 í/V n 2.1/V 16 P u e sto q u e la tabla IV m uestra q u e p ara v = 15 1a p ro babilidad d e o b te n e r un va lor de T m ayor que 2.947 es 0.005, la probabilidad de o b ten er u n valor m ayor que 8 debe ser despreciable. Así, parecería razonable concluir que el verdadero prom e dio de consum o de gasolina por hora de la m áquina excede a 12.0 galones. ▲ 8 .6 LA D ISTR IB U C IÓ N F O tra distribución con un papel im portante en relación con el m uestreo de poblaciones norm ales de la distribución F, llam ada así en h o n o r a Sir R onald A . Fisher, uno de los estadísticos m ás prom inentes de este siglo. O riginalm ente, se estudió com o la distribu ción de m uestreo de la razón de dos variables aleatorias independientes con distribucio nes ji cuadrada, cada una dividida por sus grados de libertad respectivos, y es así como la presentarem os aquí. TEOREM A 8 .1 4 Si U y V son variables aleatorias independientes q ue tienen dis tribuciones independientes con y, y v2 grados de libertad, entonces V /v2 es una variable aleatoria que tiene la distribución F, esto es, una variable aleato ria cuya densidad de probabilidad está dada por W Ü J r f ü j '* '2 ' ' y* ‘ para / > 0 y g (f) = 0 en cualquier otra parte.
Sección b .ó : La distribución f 287 D em ostración. La densidad conjunta de U y V está dada por 1 1,M 1 *'2 , l! f(u,v) = 7 -T -B 7 e 5 ---------- T T ~ \\ ' V ' e2 2^ '2r | 2 ‘,,/2r í y ) i) *>] , *-2 , M+«f u 2‘ i r2 e ¿2 2<-.+^V2 r (* M ? ) para u > 0 y v > 0. y f(u . v ) = 0 en cualquier otra parte. Entonces, para usar la técnica del cam bio de variable de la sección 7.3, despejam os f = u/v1 v /v 2 p ara u, y o b ten em o s u = — • v f y p o r tan to = — • v . Así. p o r el teo re m a 7.1, v2 ‘ a j i>2 la densidad conjunta de F y V está dada por (0 ” g ( f , v ) = --------------------------------------------v T ~ ~ 2(»|+riV2 P f _1 J r í — J para / > 0 y « > 0, y g (f, v) = 0 en cualquier otra parte. A hora, eliminamos v por integración al hacer la sustitución w = ^ ^ + 1 ^ , y finalm ente obtenem os y ( v, + v2 / V , .” 1 / ( l ’\\ *'1 / v —| (*”1+*-2) r i- 'f \"i A para / > 0 , y g (f) = 0 en cualquier otra parte. En vista de su im portancia, la distribución F se ha tabulado extensam ente. Por ejem plo, la tabla VI contiene valores de 2 para a = 0.05 y 0.01, y para diversos valores de y v2, donde £ „2 es tal que el área a su derecha bajo la curva de la dis tribución F con v t y v2 grados de libertad (véase la figura 8.3) es igual a a . E sto es £ es tal que P(F a =o Las aplicaciones del teorem a 8.14 se presentan en problem as en los que nos in te resa com parar las varianzas trf y a \\ de dos poblaciones normales; por ejem plo, en pro- ir? . . blem as e n los q u e q u e re m o s e stim a r la ra z ó n —2 o q u izá p ro b a r si a , = a 2. B asam os (Tj
288 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo F ig u ra 8 .3 Distribución F. tales inferencias e n muestras aleatorias independientes d e tam a ñ o n , y n 2 de dos p o blaciones y en el teorem a 8 .1 1 , de acuerdo al cual *1 *22 _ ( « 1 - l)* l 2 _ (\" 2 - 1)*2 - ~<rz, y = ------ a— 22— son los valores de variables aleatorias que tienen distribuciones ji cuadrada con n¡ — 1 y n 2 - 1 grados de libertad. Por “variables aleatorias independientes” querem os decir que las /», + n 2 variables aleatorias que constituyen las dos m uestras aleatorias son todas in dependientes, de m anera que las dos variables aleatorias ji cuadrada son independientes y la sustitución de sus valores por U y V en el teorem a 8.14 produce el siguiente resultado. t e o r e m a 8 .1 5 Si S | y S \\ son las varianzas de las m u estras aleato rias in d ep en d ien tes de tam añ o n , y n 2 de poblaciones norm ales con las varianzas a \\ y <r\\, entonces _ S\\/<r\\ _ irlS j F= S\\/o\\ es una variable aleatoria qu e tiene la distribución F con n, — 1 y n 2 — 1 grados de libertad. ír¡ E n e l c a p ítu lo 11 a p lic are m o s e s te te o re m a al p ro b le m a d e e s tim a r la ra z ó n —j °\"2 c u a n d o se d esconocen las varianzas d e estas dos poblaciones; tam bién, e n el cap ítu lo 13 d e m o stra re m o s c ó m o p ro b a r si crf = a \\ . E n los p ro ce d im ie n to s d el análisis d e la v a rianza del capítulo 15 se presentan aún otras pruebas basadas en la distribución F. Pues to qu e todas estas aplicaciones se basan en las razones de varianzas de m uestras, la distrib u ció n F ta m b ié n se conoce com o la distribución de la razón de varianzas.
Sección 8 .6 : La distribución f 289 EJERCICIOS 835 Demuestre el teorem a 8.9. 8 3 6 D em uestre e l teorem a 8.10. 8 3 7 V erifique la identidad í - l 1=1 que usam os en la dem ostración del teorem a 8 .1 1 . 838 U se el te o re m a 8.11 p ara m o strar que, p ara m u estras aleato rias d e tam añ o n de u n a p o b la c ió n n o rm a l con la v a ria n za o-2, la d istrib u c ió n d e m u e stre o S 2 tien e 20.4 la m edia a 2 y la v arian za n— 1 (E n el libro de H. C ram ér, incluido entre las referencias al final de este capítulo, se puede encontrar una fórm ula general pa ra la varianza de S2 de m uestras aleatorias de cualquier población con segundo y cuarto m om entos finitos.) 8 3 9 D e m u e stre q u e si X x, X 2 X„ so n v a ria b le s a le a to ria s in d e p e n d ie n te s que tie n e n la d istrib u c ió n ji c u a d ra d a con v = 1 y Y„ = X x + X 2 + ••• + X n , e n tonces la distribución límite de J -1 Z V2/n c o n fo rm e n —►0 0 e s la d istrib u c ió n n o rm a l e stá n d a r. 8.40 C o n b ase e n los re su lta d o s d el ejercicio 8.39, m u e stre q u e si X e s u n a variab le aleatoria que tiene una distribución ji cuadrada con v grados de libertad y v es Af — |p g ra n d e , la d istrib u c ió n d e — -7 = - se p u e d e a p ro x im a r con la d istrib u c ió n n o r mal estándar. ^ *-v 8.41 U se el m é to d o del ejercicio 8.40 p a ra e n c o n tra r e l valo r ap ro x im ad o d e la p ro babilidad de que una variable aleatoria que tiene una distribución ji cuadrada con v = 50 asum irá un valor m ayor q ue 68.0. 8.42 Si la a m p litu d d e X e s u n c o n ju n to d e to d o s los n ú m ero s reales positivos, m u es tre que p a ra k > 0 la probabilidad de que \\ / l X — 's /l v asum irá un valor ^____ m e n o r q u e k es igual a la p ro b ab ilid a d d e q u e — 7 ==- a su m irá u n v a lo r m e n o r k2 V 2 i/ q u e k + ----- 7= . 2v2v 8.43 U se los re su lta d o s d e los ejercicios 8.40 y 8.42 p a ra m o stra r q u e si X tie n e una distribución ji cuadrada con v grados de libertad, entonces para v grande la dis tribución de \\ ¡ 2 X — \\/2 Ü se puede aproxim ar con la distribución norm al es tándar. Tam bién, use este m étodo de aproxim ación para volver a resolver el ejercicio 8.41. 8.44 E n c u e n tre e l p o rce n taje d e e rro r d e las ap ro x im acio n es d el ejercicio 8.41 y 8.43, dado que el valor real de la probabilidad (redondeado a cinco decim ales) es 0.045% .
290 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo 8.45 (D em ostración de la independencia de X y S 2 para n = 2.) Si X x y X 2 son va riables aleatorias independientes que tienen la distribución norm al estándar, m uestre que (a) la densidad conjunta de X x y X está dada por /(*„ f) 7r p a ra —oo < < oo y —oo < jf < oo; (b) la densidad conjunta de U = \\X] —X \\ y X está dada por * (« ,!) = 7T p a ra u > 0 y —oo < Jr < oo, p u e sto q u e f ( x t , Je) es sim étrica a lre d e d o r d e x p ara x \\ fija; (c) S2 = 2( X, - X ) 2 = 2U\\ (d ) la d en sid ad co n ju n ta d e X y S2está d a d a p o r 1 1, -}** p a ra s2 > 0 y —oo < * < oo, de m an era q u e X y S 2 son independientes. 8.46 (D em ostración de la independencia d e X y S 2.) Si X ¡ , X 2, . . . , X„ c o n stitu y e una m u estra a le a to ria d e una p o b lació n n o rm a l c o n la m edia p. y la v arian za a 2, (a ) e n c u e n tre la d e n sid a d condicional d e X , d a d o X 2 = x 2, X 2 = x 3, . . . , X„ = x„ , y lu eg o haga X x = n X — X 2 — ••• — X„ y use la técnica d e la transform ación p a ra e n c o n trar la d ensidad condicional de X d a d o X 2 = x 2, X } — x 3, . . . , X„ — x„\\ (b ) e n c u e n tre la densidadjx> njunta d e X . X 2, X y X„ al m ultiplicar la d e n sidad condicional de X obtenida en el inciso (a) por la densidad conjunta d e X 2, X 3, . . . , X „ , y m u e stre que ( | \\n-l _(n-l)r W Z) '* para - o o < i ( < o o , j = 2,3 (c) m u estre q u e la función g e n e ra triz d e m o m e n to s condicional d e —----- dado X = x es <■“ »>*.. _n-l i e a2 = (1 - 21) ^ para t < - Puesto que este resultado no tiene x , se sigue que X y S 2 son indepen dientes; tam bién m uestra que —— l*e ne Ia distrib u ció n ji c u a d ra d a (T con n — 1 grados de libertad.
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