Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 15.5: Análisis de la varianza en dos sentidos con interacción 519 Noreste A Diseños /) Totale Sureste 107 BC 125 423 Noroeste 78 59 132 88 324 Suroeste 122 40 118 100 423 Totales 65 60 141 71 257 372 22 99 384 1427 181 490 A sí, p o r ejem plo, 7¡.. = 372, T.z. — 324, 7j,. = 107 y así sucesivam ente. T a m ­ bién, calculam os a p a rtir d e los d a to s originales T.., = 738 y T..2 = 689. La sum a d e cuadrados total es 2 £ S * 2 = 73.667. La sustitución de estos va­ lores ju n to con k = n = 4 y r = 2 e n las fórm ulas del te o re m a 15.6 nos da C = j r (1.427 )2 = 63.635 al en tero m ás cercano y SSA = ¿ (3 7 2 2 + 1812 + 4 9 0 2 + 3842) - 63,635 O = 6,203 SSB = ^ (4 2 3 2 + 3242 + 4232 + 2572) - 63.635 O = 2,475 S S R = ¿ (7 3 8 2 + 6892) - 63.635 16 = 75 SSI = — ( 1072 + 592 + 1322 + ••• + 9 9 2 + l l 2) - 6,203 - 2.475 - 63,635 = 311 y por tanto SSE = 73,667 - 6,203 - 2,475 - 75 - 311 - 63,635 = 968 Los cálculos restantes se m uestran en la siguiente tabla de análisis de la va- rianza:

Sección 15.5: Análisis de la varianza en dos sentidos co n interacción 521 Lanzador X Combus­ Combus­ Combus­ Combus­ Lanzador Y tible 1 tible 2 tible 3 tible 4 Lanzador Z 46.1 55.9 52.6 44.3 46.3 57.9 51.4 39.6 45.8 56.2 47.6 C om bine esto s d ato s con los del ejercicio 15.19, realice un análisis de la v arian ­ za apropiado para p ro b ar la hipótesis nula que incluya com bustibles, lanzado­ res, rép licas y la in teracción co m b u stib le con lanz.ador. U se el nivel 0.01 de significancia. 15.28 E l e x p e rim e n to d e scrito e n el ejercicio 15.20 se rep itió c o n los re su lta d o s si­ guientes. A lim en to A lim ento A lim en to dietético dietético dietético ABC Laboratorio 1 3.5 2.5 2.9 Laboratorio 2 3.0 2.9 3.2 Laboratorio 3 3.6 3.4 3.8 Laboratorio 4 3.3 3.5 3.4 C om bine estos datos con los del ejercicio 15.20, realice un análisis de la varian­ za apropiado para probar la hipótesis nula que involucre alim entos dietéticos, laboratorios, réplicas, y la interacción de alim entos con laboratorio. U se el ni­ vel 0.05 de significancia. 15.29 T re s o p e ra d o re s o p e ra n cad a un o c u a tro m áq u in as de in terco n ex ió n d iferen tes (usadas para conectar eléctricam ente los alam bres delgados en la fabricación de circuitos integrados). Los operadores se asignaron aleatoriam ente a las m áqui­ nas de interconexión. Después se repitió el experim ento con una nueva aleato- rización de los operadores a las m áquinas de interconexión. D espués de que se hicieron to d as las interconexiones, se probó la resistencia de la conexión de ca­ da una m idiendo el núm ero de gram os de fuerza requerida para rom per la co­ nexión. Los resultados de los experim entos son com o sigue. Réplica 1 Réplica 2 Máquina de A B CDA B CD interconexión 11.8 9.6 12.6 10.2 10.6 11.9 9.8 9.9 Operador 1 10.4 12.4 11.0 10.5 12.0 10.3 10.0 11.6 Operador 2 9.6 10.2 11.4 3.1 11.8 9.9 9.1 5.8 Operador 3 Realice un análisis de la varianza apropiado para probar la hipótesis nula con­ cerniente a operadores, m áquinas de interconexión, réplicas y la interacción del o p erad o r con la m áquina de interconexión en el nivel 0.05 de significancia. 15.30 Se usó un índice de sabores para evaluar el efecto de añadir dioctil sulfosuccinato de sodio (DSS) a la leche para estabilizar su sabor. Se usaron cuatro niveles de DSS

Sección 15.6: Comparaciones múltiples 523 2. La ta b la IX d a v alo res d e rp p a ra los niveles d e significancia d e 0.05 y 0.01, d e ­ pendiendo del núm ero de grados de libertad para el erro r en el análisis de la va­ rianza y de p , el núm ero de m edias que se está com parando. 3. Calcule el in terv alo d e significancia m ínim o, use la fórm ula = r, s¡ 4. O rd en e las m edias p o r tam año, de la m ás p equeña a la m ás grande. 5. C om pare la diferencia de la últim a y la prim era m edia con R k. Si esta diferencia es m ayor que R k, se puede concluir que las k medias m uéstrales son significativamente diferentes con el nivel de significancia usado para d eterm inar rk de la tabla IX. E n la misma forma, compare todos los conjuntos adyacentes de k — 1 medias, use ahora R k- Xcom o el criterio de significancia. Continúe este procedim iento para los conjun­ tos de k — 2 medias adyacentes, y así sucesivamente, hasta llegar a conjuntos de dos m edias adyacentes. Al hacer estas comparaciones, es útil subrayar las medias adyacen­ tes en un conjunto cuyas medias no son significativamente diferentes. Si entre la com ­ paraciones posteriores hay un subconjunto de medias ya conectadas por un subrayado, no se necesita hacer comparaciones adicionales entre las medias en ese subconjunto. EJEMPLO 15.4 C on respecto al ejem p lo 15.2, use la p ru eb a de intervalo m últiple de D uncan en el ni­ vel 0.05 de significancia para determ inar la naturaleza de las diferencias entre las m e­ dias de los tratam ientos. Solución 1. D e la tabla de análisis de la varianza en la página 511. tenem os M SE = 2.27; así, - ,/f - 2. D e la ta b la IX con a + 0.05 y 12 g rad o s de lib e rta d , o b te n e m o s los sig u ien ­ tes v a lo re s de rp . p2 34 rr 3.08 3.23 3.31 3. A l m u ltip licar cad a v alo r de rp p o r s-x = 0.67, o b ten e m o s P234 12.06 2.16 2.22 4. A continuación ordenam os las cuatro m edias de acuerdo a su tam año, co­ mo sigue R u ta 12 43 M edia 25.8 27.0 28.2 30.2 5. La diferencia en tre la m edia m ás grande y la más pequeña es 30.2 — 25.8 = 4.4, lo cual excede a 2.22. el valor de /?4. Así, ningún subrayado conecta a las cuatro m edias. (E ste resultado era esperado, com o el análisis de la va-

C a p ítu lo 15: Análisis d e la varianza rianza m ostró una diferencia significativa entre las cuatro m edias en el nivel 0.05 d e significancia.) A l com parar la diferencia en tre la m edia más grande y la segunda m edia m ás pequeña, obtenem os 30.2 — 27.0 = 3.2. lo cual ex­ cede a R 3 = 2.16, y al com parar el o tro conjunto de tres m edias adyacentes, obtenem os 28.2 — 25.8 = 2.4, lo cual tam bién excede a 2.16. A continua­ ción, al com parar la m edia m ás grande con la segunda m edia más grande 30.2 — 28.2 = 2.0, lo cual no excede a R 2 2.06. Así, estas dos m edias no son significativamente diferentes, y se pueden conectar m ediante un subrayado. D e la misma m anera, al com parar los otros dos juegos de las dos m edias ad ­ y acentes, o b te n e m o s 28.2 — 27.0 = 1.2 y 27.0 — 25.8 = 1.2. A sí, podem os conectar estos pares de medias con un subrayado, obteniendo finalmente Ruta 12 43 M edia 25.8 27.0 28.2 30.2 A E n u n cian d o el resu ltad o m o strad o en el ejem plo 15.4 con palabras, podem os d e ­ cir que las rutas 1 y 2 no están asociadas con tiem pos de m anejo estadísticam ente dife­ rentes, pero com o un grupo tienen tiem pos de m anejo significativamente diferentes que las otras dos ru ta s en el nivel 0.05 de significancia. E n la m ism a form a, las rutas 2 y 3 n o son '‘significativam ente d ife re n te s” , p e ro c o m o u n g ru p o tien en tiem pos de m an ejo significativamente más grande que el prim er grupo y tiem pos de m anejo significativa­ m ente más pequeños que el últim o grupo. Este resultado tal vez no sea tan definitivo com o nos gustaría (por ejem plo, la ru ­ ta 2 aparece en am bos grupos, el m ás bajo y el de en m edio). Sin em bargo, se pueden tom ar decisiones razonables con base en la prueba. Por ejem plo, sería racional escoger la ruta 1 o la ru ta 2 si el objetivo es minimizar el tiem po de manejo. U no podría esco­ ger entre estas rutas con base en la seguridad, el paisaje, o algún otro criterio adicional. Sin em bargo, con este objetivo en m ente, no sería razonable escoger la ruta 3 o la ru ta 4. APLICACIONES 1 5 3 1 Realice u n a pru eb a de intervalos m últiples p ara d eterm in ar la naturaleza de las d iferen cias e n tre los tre s d e te rg e n te s e n el e je m p lo 15.1. U se el nivel 0.01 de significancia. 1 5 3 2 Realice u n a pru eb a de intervalos m últiples para d eterm in ar la naturaleza de las d iferen cias de blo q u e en e l ejem p lo 15.2. U se el nivel 0.05 d e significancia. 1533 Realice una prueba de intervalos m últiples para caracterizar las diferencias en­ tre los d iseños d e com presores y e n tre las regiones en el ejem p lo 15.3. U se el nivel 0.05 de significancia. 1 5 3 4 Realice pru eb as apropiadas d e am plitud m últiple, use el nivel 0.05 de significan­ cia, para caracterizar las diferencias entre las m edias de los alim entos dietéticos y las m edias d e los laboratorios en e l ejercicio 15.28. ¿B ajo qué circunstancias no sería apropiado hacer una prueba como ésa? 1 5 3 5 R ealice p ru e b a s a p ro p ia d a s d e in terv alo s m últiples, use el nivel 0.01 de signifi­ cancia, p ara caracterizar las diferencias en tre las m edias de los lanzadores y las

CAPÍTULO 16 Pruebas no paramétrícas 16.1 IN TR O D U CCIÓ N 16.2 LA PRUEBA DEL SIG N O 16.3 LA PRUEBA DE R AN GO S C O N SIG N O 16.4 PRUEBAS DE SU M A DE RANGOS: LA PRUEBA U 16.5 PRUEBAS DE SU M A DE RANGOS: LA PRUEBA H 16.6 PRUEBAS BASADAS EN CORRIDAS 16.7 EL C O E FIC IEN TE D E C O R R E LA C IÓ N DE R A N G O S 16.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo 10 introdujim os el concepto de robustez en relación con problem as de estim ación. E xtendam os ahora este concepto a las pruebas de hipótesis, que se dice son ro b u stas si las distribuciones m uéstrales de las estadísticas de p ru eb a n o están seria­ m ente afectadas por violaciones en las suposiciones sustentantes. E n relación con las p ru eb as de hipótesis, es especialm ente im p o rtan te saber si las violaciones de las suposiciones sustentantes pudieran afectar el nivel de significancia. C o m o vim os en la sección 12.5, c u a lq u ier c o m p aració n d e las funciones de p o ten c ia de dos o más pruebas requiere que los niveles de significancia sean iguales; y si éste no es el caso, la com paración es inválida. P or ejem plo, la prueba t de una m uestra de la sec­ ción 13.3 req u iere que nuestra m uestra venga de una población norm al. A sí, ¿qué pa­ sa c u a n d o la p o b lació n e s “*no m uy n o rm a l'’, digam os, si tien e fo rm a de c a m p a n a p e ro no es perfectam ente sim étrica? Las sim ulaciones con com putadoras han m ostrado que aun cuando una población puede apartarse algo de la norm alidad, la m ayor p arte del tiem po el nivel de significancia todavía estará cercano a los valores prescritos de a. Los siguientes ejem plos m uestran cóm o la violación de las suposiciones sustentan­ tes acerca de una población puede afectar el nivel de significancia. Supongam os que q u e re m o s p ro b a r la hipótesis nula ¿i = /z0 e n el nivel 0.05 de significancia, d o n d e /x es la m edia de una población norm al con desviación están d ar conocida a , p ero hay una probabilidad im portante (digam os, una en 50) de que uno de los valores se registrará incorrectam ente. E n relación con la pru eb a que se ilustra en el ejem plo 13.1, estam os así violando la suposición de que estam os tratan d o con una m uestra aleatoria de una p oblación n orm al. Si u n o de los v a lo re s e n el e je m p lo 13.1 se h u b iese reg istra d o inco- 527

528 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas rrectam ente, digam os, com o 7.452 onzas en vez de 7.952 onzas, la m edia del peso de los 25 paquetes de galletas se habría visto reducido por 7.952 - 7.452 „ _ 25------------- 0 0 2 0 onzas, z se hubiese visto reducida de 2.48 a 2.22, y el valor P correspondiente hubiese aum entado de 0.0046 a 0.0264. Puesto que el nuevo valor de P excede a 0.025, ya no se puede rechazar la hipótesis nula; esto m uestra cóm o los valores P y p o r tanto el nivel de significancia pueden verse afectados cuando perm itim os la posibilidad de registrar incorrectam ente los datos. A hora supongam os que en un problem a com o el an terio r a es desconocida, de m anera que el procedim iento estándar sería la prueba t de unam uestra ilustrada en el ejem p lo 13.3. E n ese caso, un e rro r al reg istra r u n valor a fe c ta rá la desviacióne stá n d a r m uestral así com o la m edia m uestral, que aparecen, respectivam ente, en el denom ina­ dor y num erador de la estadística de prueba. C om o se ilustra para un caso especial en el ejercicio 16.1, e s to a m en u d o d a rá valores d e ¡ m ás cercan o s a + 1 o —1 y, p o r ta n ­ to, hará más difícil rechazar la hipótesis nula. En otras palabras, con el riesgo de un error así, el nivel de significancia bien puede ser m enor que el valor a prescrito. E sto tam bién se ilustra en los ejercicios 13.17 y 13.18 de la página 423. Puesto que hay m uchas situaciones donde nos enfrentam os a dudas serias sobre la robustez de las pruebas de hipótesis, en especial con relación a las suposiciones de norm alidad, los estadísticos han desarrollado técnicas alternativas que requieren m e­ nos suposiciones, si es que requieren alguna. Estas pruebas en general se conocen co­ m o no paramétricas: e n tre ellas se e n c u e n tra n p ru e b a s q u e e stán libres de distribución (donde no hacem os suposiciones sobre la población, excepto, quizá, que son continuas) y tam bién pruebas que son no param étricas sólo en cuanto a que no estam os preocu­ pados por los parám etros específicos de las poblaciones dadas. A parte del hecho que las pruebas no param étricas se pueden usar en condiciones m ás generales que las pruebas estándar a las que reem plazan, tienen una atracción in­ tuitiva considerable, por lo general, son fáciles de explicar y fáciles de entender. T am ­ bién, en m uchas pruebas no param étricas la carga de cálculo es tan ligera que pueden caer bajo el encabezado de técnicas “rápido y fácil” o “atajos”. E n parte por estas ra­ zones, las pruebas no param étricas se han vuelto muy populares, y hay una extensa li­ teratura dedicada a su teoría y aplicación. La principal desventaja de las pruebas no param étricas es que a m enudo desper­ dician la inform ación y así son m enos eficientes que las técnicas estándar que reem pla­ zan. Se debe observar, sin em bargo, que las com paraciones de eficiencia suelen suponer que se satisfacen las condiciones que sustentan a las pruebas estándar, y p o r lo tanto tienden a subestim ar el valor real de los m étodos no param étricos cuando se tratan los asuntos de robustez. En general, es verdad que cuanto m enos se suponga, tanto m enos puede inferirse d e un conjunto de datos; pero tam bién es verdad que cuanto m enos se suponga, tanto m ás se amplía la aplicabilidad de nuestro método.

Sección 16.2: La prueba del signo 529 16.2 LA PRUEBA DEL SIGNO La prueba del signo se usa a m enudo com o una alternativa no param étrica a la prueba r de una m uestra, donde probam os la hipótesis nula p = p 0 contra una alternativa apropia­ da. Para la prueba del signo, suponem os m eram ente que la población m ucstreada es con­ tinua y sim étrica. Suponem os que la población es continua de m anera que hay cero probabilidad de obtener un valor igual a p 0, y ni siquiera necesitam os la suposición de si­ m etría si cam biam os la hipótesis nula a p = p 0, d o n d e p es la m ediana de la población. E n la prueba del signo reem plazam os cada valor de la m uestra que exceda a p 0 con un signo m ás y con cada valor m enor que p 0 con un signo m enos, y después probam os la hipótesis nula que el núm ero de signos positivos es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución binom ial con los parám etros n (el núm ero total de signos posi­ tivos o negativos) y 6 = f. La alternativa bilateral p * p 0 se vuelve así 0 ^ i , y las al­ ternativas un ilaterales p —* p ü y p > p 0 se vuelven 0 —> \\ y 0 > \\ , respectivam ente. Si un valor m uestral es igual a p ^, lo cual puede suceder cuando tratam os con datos redon­ deados aun cuando la población sea continua, sim plem ente lo descartam os. Para realizar una prueba del signo cuando el tam año de la m uestra es m uy peque­ ño, nos referim os d irectam en te a una tabla de probabilidades binom iales com o la tabla I; cuando el tam año de la m uestra es grande, usam os la aproxim ación norm al de la dis­ tribución binomial. EJEMPLO 16.1 É stas son las m ediciones de la resistencia a la ruptura, en libras, de cierta clase de cin­ ta de algodón de 2 pulgadas: 163 165 160 189 161 171 158 151 169 162 163 139 172 165 148 166 172 163 187 173 U se la p ru eb a del signo p ara p ro b a r la h ipótesisnula p = 160 c o n tra la hipótesis a lte r­ nativa p > 160 en el nivel 0.05 de significancia. Solución 1. Hf¡: p = 160 //,: p > 160 a = 0.05 2'. U se la estadística de prueba X , el núm ero observado de signos positivos. 3'. R eem place cada valor que excede a 160 con un signo m ás, cada valor m e­ no r de 160 con un signo m enos, y d e sc a rte el valor único q u e e s igual a 160, obtenem os + + + + + -- + + + - + + - + + + + + de m a n e ra q u e n = 19 y x = 15. A p a rtir de la ta b la I e n c o n tra m o s q u e P ( X £ 15) = 0.0095 para 0 = 4'. Puesto q ue el valor P,0.0095. es m enor que 0.05,se debe rechazar la h ipó­ tesis nula, y concluim os que la m edia de laresistencia a la ruptura de la cla­ se d a d a d e cinta ex ced e a 160 libras. ▲

530 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas EJEMPLO 16.2 Los datos siguientes, en toneladas, son las cantidades de óxidos de azufre em itidos por una planta industrial grande en 40 días: 17 15 20 29 19 18 22 25 27 9 24 20 17 6 24 14 15 23 24 26 19 23 28 19 16 22 24 17 20 13 19 10 23 18 31 13 20 17 24 14 U se la p ru eb a del signo para p ro b ar la hipótesis nula fi = 21.5 contra la hipótesis al­ ternativa fi < 21.5 en el nivel 0.01 de significancia. Solución 1. Ho-. t i = 21.5 //,: m < 21.5 a = 0.01 2. R e c h a ce la hipótesis n u la si z ^ ~Zo.oi = —2.33, d o n d e x - n6 z= V n d { i - e) con 0 = i , y x es el núm ero de signos m ás (valores que exceden a 21.5). 3. P u e s to q u e n = 40 y x = 16, o b te n e m o s n0 = 40 • ^ = 20, V n 0 ( 1 — d) — V 4 0 (0 .5 )(0 .5 ) = 3.16, y p or tanto 16 — 20 T i i ” =z “ - 1 -2 6 4. P u e s to q u e z — —1.26 e x c e d e a —2.33, n o se p u e d e re c h a z a r la h ip ó tesis nula. ▲ T am bién se puede usar la prueba del signo cuando tratam os con datos asociados en p a re jas, c o m o en los ejercicios 13.31 y 13.32. E n tales p ro b le m as, cad a p a r d e los v a ­ lores de la m uestra se reem plaza con un signo m ás si la diferencia entre las observacio­ nes asociadas en p arejas es positiva (esto es, si el p rim er valor excede al segundo valor) y p o r un signo m enos si la diferencia en tre las observaciones asociadas en parejas es ne­ gativa (esto es, si el p rim e r valor e s m e n o r q u e el seg u n d o v alo r), y se d e sc a rta si la d i­ ferencia es cero. Para probar la hipótesis nula de que dos poblaciones sim étricas continuas tienen m edias iguales (o que dos poblaciones continuas tienen m edianas igua­ les), podem os así usar la prueba del signo, que en relación con esta clase de problem as se co n o ce c o m o la prueba del signo de muestras asociadas en parejas. C u a n d o la p ru e ­ ba del signo se usa com o en los ejem plos 16.1 y 16.2 nos referim os a ella com o la prueba del signo de una muestra. EJEMPLO 16.3 Para determ inar la eficacia de un nuevo sistem a de control de tránsito, se observó el n ú m e ro de ac cid e n te s q u e o c u rrie ro n e n 12 in tersecciones p eligrosas d u ra n te 4 sem a-

532 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas para variables aleatorias y las letras minúsculas correspondientes para sus valores. Esto evita la confusión e n tre las estadísticas usadas a q u í y la estadística t del capítulo 13.) n(n f | ) Puesto q u e la sum a de T + y T ~ es siem pre —*— ^ ^ y am b as son valores de va­ riables a le a to ria s que asum en v alo res en el in terv alo d e 0 a -1-——— con d istrib u cio ­ nes que son sim étricas alrededor de podem os dibujar la relación entre las distribuciones d e las variables aleato rias co rrespondientes a 7\"*, T ~ y T com o en la fi­ g u ra 16.1 p a ra n = 5. v» 1/32 ^upynyruLU imoiyu ^ 0 123 456789 13 14 Distribución de la variable aleatoria que corresponde a T o T~ 4 23 6 Distribución de la variable aleatoria que corresponde a T F igura 16.1 Distribuciones de variables aleatorias que corresponden a T ' , T , y T para n = 5.

536 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas Después Antes 137.9 176.2 147.0 219.0 183.5 163.8 232.1 193.5 161.6 201.4 197.5 180.6 206.3 203.2 177.0 149.0 215.4 195.4 147.7 158.5 208.1 134.4 166.8 149.3 131.9 189.1 150.3 159.1 197.2 173.2 159.8 171.7 Use la p ru eb a de rangos con signo p a ra p ro b ar en el nivel 0.05 de significancia si el ré ­ gimen alim enticio de reducción de peso es eficaz. Solución 1. //„ : Mi = fi2 //,: mi > a = 0.05 2. R e c h a ce la h ipótesis n u la si z ^ Zo.os = 1.645, d o n d e y p, y a 2 e stá n d a d a s p o r las fó rm u las d el te o re m a 16.1. 3. L as diferen cias e n tre los p a re s respectivos son 9.1. 7.3. 13.1, —2.2. 4.0. 4.9, - 3 .6 , 12.2, - 1 .3 , 12.7, 8.3, - 2 .5 , 1.0, 8.1, 0.7 y - 1 .5 , y si susvaloresab so lu ­ tos se ordenan, encontram os que las diferencias positivas ocupan los rangos 1 3 ,1 0 , 16. 8, 9. 14. 15, 12, 2 .1 1 y 1. Así, T * = 1 3 + 1 0 + 1 6 + 8 + 9 + 1 4 + 1 5 + 12 + 2 + 1 1 + 1 = 111 16*17 2 16-17-33 P u e sto que m = — ~ - = 68 y <r¿ = ------— -------= 374. o b te n e m o s . 111 - 6 8 _______________ z= / = 2.22 V374

Sección 16.3: La prueba de rangos con signo 537 4. P u e sto q u e z = 2.22 excede a zoos = 1.645, se d e b e re c h a z a r la hipótesis n u ­ la; concluim os que el régim en alim enticio es, en realidad, eficaz para red u ­ cir de peso. ▲ EJERCICIOS 16.1 Se to m a u n a m u estra a le a to ria de ta m a ñ o n = 2 p a ra p ro b a r si u n a población n orm al tie n e la m edia /x = 0. ( a ) Si los valores observados d e la m uestra son x, y x 2 con .t, > x 2 > 0, dem ues­ tre que la estadística para la prueba t de una m uestra se puede escribir como = *i + *2 x, - x2 (b ) Si el p u n to decim al se m ueve erró n eam en te un lugar a la derecha cuando se registra X |, encuentre una expresión para t', el valor correspondiente de la estad ística t, y verifique que 1 < f' < t 16J. M u estre q u e b ajo la h ipótesis nula d e la sección 16.3, 7 \" ' es un v a lo r d e una va­ riable aleatoria cuva distribución es simétrica alrededor de — 4 163 C on respecto a la prueba de rangos con signo, encuentre la m edia y la varian­ za de la variable aleatoria cuyos valores están dados por T + — T ~ . 16.4 Explique p o r qué, entre otros, está en blanco el elem ento de la tabla X para n = 5 en la c o lu m n a p a ra 7¿02. APLICACIONES 163 Éstas son las cantidades de tiem po, en minutos, que tardó a una m uestra alea­ toria de 20 técnicos en realizar cierta tarea: 18.1, 20.3,18.3,15.6. 22.5, 16.8,17.6, 16.9, 18.2, 17.0.19.3. 16.5,19.5, 18.6, 20.0, 18.8, 19.1, 17.5, 18.5 y 18.0. S u p o n ien ­ do que esta m uestra vino de una población sim étrica continua, use la prueba del signo en el nivel 0.05 de significancia para p ro b ar la hipótesis nula q u e la m e­ d ia d e la p oblación e s 19.4 m in u to s c o n tra la hipótesis a lte rn a tiv a q u e n o e s 19.4 m inutos. R ealice la prueba usando (a ) la tabla I; (b ) la aproxim ación norm al a la distribución binom ial. 16.6 R ehaga el ejercicio 16.5 u san d o la p ru eb a de rangos con signo basada en la ta ­ bla X. 16.7 É stas son las c a n tid ad e s de d in e ro (en d ó lare s) q u e g a sta ro n 16 p e rso n a s e n un p a rq u e d e diversiones: 20.15, 19.85, 23.75, 18.63, 21.09, 25.63,16.65,19.27. 18.80, 21.45,20.29, 19.51, 23.80, 20.00.17.48 y 19.11. Suponiendo que ésta es una m ues­ tra aleatoria de una población sim étrica y que la probabilidad de que una per­ sona gastará $19.00 exactam ente es extrem adam ente pequeña, use la prueba del

Sección 1 6 .4 : Pruebas de sum a de rangos: la prueba U 539 d e sig n ifican cia p a ra p ro b a r la h ip ó tesis nula m = A‘o c o n tra la h ip ó te sis a lte r ­ nativa ( a ) n * Mc>: (b ) n > m<>: (c) h < Mo? 1 6 .1 6 R ehaga el ejercicio 16.15 cam b ian d o el nivel de significancia a 0.01. 16 .17 En una m uestra aleatoria tom ada en un parque público, se tardaron 38. 43. 36, 29. 44. 28. 40. 50. 39. 47 y 33 m inutos en jugar un partido de tenis. Use la p ru e­ ba de rangos con signo en el nivel 0.05 de significancia para p ro b ar si en p ro ­ m edio se tardan 35 m inutos en jugar un partido de tenis en ese parque público. 16.18 U na m uestra de 24 m aletas que transporta una línea aérea en vuelos transoceáni­ cos pesó 3 2 .0 .4 6 .4 .4 8 .1 .2 7 .7 , 35.5. 52.6. 66.0,41.3,49.9, 3 6 .1,50.0,44.7,48.2, 36.9, 40.8.35.1, 63.3,42.5,52.4.40.9.38.6.43.2,41.7 y 35.6 libras. Pruebe en el nivel 0.05 de significancia si la m edia del peso de las m aletas que transportó la línea aérea en esos vuelos es 37.0 libras usando la prueba de rangos con signo basada en (a) la tabla X; (b ) los resultados del teo rem a 16.1. 1 6 .1 9 L o sig u ien te es una m u estra a le a to ria de los IO de m arid o s y esposas: 108 y 103, 104 y 116. 103 y 106, 112 y 104, 99 y 99, 105 y 94, 102 y 110, 112 y 128, 119 y 106, 106 y 103, 125 y 120, % y 98. 107 y 117, 115 y 130, 101 y 100,110 y 101,103 y 96, 105 y 99, 124 y 120, y 113 y 116. P ru e b e en el nivel 0.05 d e significanciasi los m aridos y las m ujeres son en prom edio igualm ente inteligentesen lap obla­ ción m uestreada usando la prueba de rangos con signo basada en (a) la tabla X; ( b ) los resu lta d o s del te o re m a 16.1. 16.4 PRUEBAS DE S U M A DE RANGOS: LA PRUEBA U E n esta sección presentarem os una alternativa no param étrica a la prueba i de dos m uestras, que se llam a la prueba U. la prueba Wilcoxon. o la prueba Mann-W hitney. nom bradas en honor a los estadísticos que contribuyeron a su desarrollo. Sin tener que suponer que las dos poblaciones m uestreadas tienen distribuciones norm ales, podre­ m os p ro b ar la hipótesis nula de que estam os m uestreando poblaciones continuas idén­ ticas contra la alternativa de que las dos poblaciones tienen m edias desiguales. Para ilustrar el procedim iento, suponga que querem os com parar dos clases de se­ ñales lum inosas d e em ergencia con base en los siguientes tiem pos de ilum inación (re­ dondeadas al décim o de m inuto más cercano): M arca A : 14.9, 11.3, 13.2, 16.6. 17.0, 14.1, 15.4, 13.0, 16.9 M arca fí : 15.2, 19.8. 14.7. 18.3, 16.2, 21.2, 18.9, 12.2, 15.3, 19.4 Al arreglar estos valores en form a conjunta (com o si fueran una m uestra) en un orden creciente e n m ag n itu d y asignarles e n este o rd en los rangos 1, 2, 3 ,... y 19, encontram os que los valores d e la prim era m uestra (m arca A ) ocupan los rangos 1, 3, 4. 5, 7, 10, 12. 13 y 14,en tan to q u e los d e la segunda m uestra (m arca B ) ocupan los rangos. 2. 6. 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18 y 19. Si hubiese h ab id o em pates, les hab ríam o s asignado a cada una de las observaciones em patadas la m edia de los rangos que hubiesen ocupado conjuntam ente. Si hay una diferencia notable entre las m edias de las dos poblaciones, es p roba­ ble que la m ayoría de los rangos inferiores vaya a los valores de una m uestra, en tan-

542 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas y la varianza D em ostración. Bajo la hipótesis nula de q ue las dos m uestras vienen de poblaciones idénticas que son continuas (de m anera que la probabilidad de que h ab rá c u a le sq u ie r e m p a te s sea c e ro ), W, e s la sum a de n , e n te ro s positivos selec­ cionados al azar entre los prim eros n , + n 2 enteros positivos. A l hacer uso de los resultados del inciso (c) del ejercicio 8.13 con n = n , y N = n , + n 2, e n c o n tra ­ m os q u e VK, e s el v a lo r d e una variab le a le a to ria con la m edia n,(n, + n2 + l) y la varianza + /I2 + l) 12 «)(r!i + l) P u e sto q u e L\\ = W , ----------- , se sigue que la m edia y la varianza de varia­ ble aleato ria que corresponden a Ut son n i( n ] + n 2 + l ) /! ,( « , + l ) n xn 2 m ^------------------------- ; --------- = 2 _ \"i'»2('»i + n 2 + 1) \" 12 T am b ién , p u e sto q u e U} + U2 siem pre es igual a n ¡ n 2. la m edia y la varianza de la variab le a le a to ria q u e c o rre sp o n d e a U2 so n iguales a las d e la variab le a le a to ­ ria que c o rresp o n d e a £/, [véase el inciso (a) del ejercicio 16.20], T EJEM PLO 16.7 A continuación se m uestran los aum entos de peso (en libras) de dos m uestras aleato ­ rias de pavos jóvenes alim entados con dos dietas diferentes pero, en otros aspectos, m antenidos bajo condiciones idénticas: D ie ta 1: 16.3,10.1,10.7,13.5,14.9,11.8,14.3,10.2, 12.0,14.7.23.6, 15.1,14.5, 18.4,13.2, 14.0 D ieta 2: 21.3,23.8,15.4,19.6,12.0, 13.9,18.8,19.2, 15.3, 2 0 .1 .1 4 .8 .1 8 .9 , 20.7, 21.1,15.8, 16.2 U se la p ru eb a U en el nivel 0.01 de significancia p a ra p ro b a r la hipótesis nula que las dos poblaciones m uestreadas son idénticas contra la hipótesis alternativa que en pro­ m edio la segunda dieta produce un m ayor aum ento de peso.

Sección 16.5: Pruebas de suma de rangos: la prueba H 545 «-¿U t * ¥ * ¥ ) - > • » = 6.67 4. P u esto q u e H = 6.67 ex ced e a * 0.05.2 = 5.991, se d eb e rec h a z ar la h ip ó te ­ sis nula; concluim os que los tres m étodos no son igualm ente eficaces. ▲ EJERCICIOS 16.20 M uestre q u e (a ) (/, + CA = n l n 2 p a ra c u a lq u ie r p a r de v alo res d e las variab les aleato rias; (b ) am b as v ariab les a le a to ria s c o rre sp o n d ie n te s a t/, y U2 asu m en v alo res en el ra n g o de 0 a n yn 2. 16.21 D e m u e stre q u e la distrib u ció n d e la variable a le a to ria q u e c o rre sp o n d e a VV, es sim étrica alrededor de n y( n y + w2 + 1) 2 y p o r ta n to q u e la distrib u ció n d e la variable a le a to ria q u e c o rre sp o n d e a Í7, es sim étrica alrededor de — . (Sugerencia: O rdene los datos com binados tan ­ to en orden creciente como decreciente de m agnitud.) 16.22 V erifiq u e q u e Uy y U2 tam b ié n e stá n d a d a s p o r ¿7, = n , n 2 + n2(n, + l) - W2 ÍA _= n ]n 2 -i \" \\ ( \" \\ -+---1-)---- VV, 16.23 Si X y, X 2 X n] y VJ. Y2 Y„, son variables a le a to ria s in d ep e n d ien te s, po ­ dem os p ro b ar la hipótesis nula de que vienen de poblaciones continuas idénti­ cas con base en la estadística U de M ann-W hitney. la cual es sim plem ente el núm ero de pares (.r„ y¡) p ara las cuales x¡ > y¡. En form a sim bólica. \"1 «i A 1/ 1=1 /=1 donde fl si*, > y, si x f < y f \" \\o p a ra i = 1, 2 ........./i, y j = 1 ,2 .........n 2. M uestre q u e e sta estad ística U de M ann- W hitney e s la m ism a q u e la estad ística £/, de la sección 16.4.

Capítulo 16: Pruebas no paramétricas 16.24 V erifique que la estadística Kruskal-W allis en la página 544 es equivalente a 16.25 M uestre que si un análisis de la varianza en un sentido se realiza sobre los ran- gos de las observaciones en vez de las observaciones mismas, se vuelve equiva­ lente a la prueba basada en la estadística H. APLICACIONES 16.26 É stas son cifras acerca del núm ero de robos com etidos en u n a ciudad en m ues­ tras aleatorias de seis días en la prim avera y seis días en el otoño: P rim a vera : 3 6 ,2 5 ,3 2 ,3 8 ,2 8 ,3 5 O toño: 2 7 ,2 0 ,1 5 ,2 9 ,1 8 ,2 2 U sc la p rueba U en el nivel 0.05 de significancia para p ro b ar la afirm ación que en prom edio hay igualm ente tantos robos por día en la prim avera com o en el otoño, contra la alternativa de que hay m enos en el otoño. 16.27 Los siguientes son los núm eros de dureza Rockw ell obtenidos para seis fundi­ ciones a troquel de alum inio seleccionadas aleatoriam ente del lote de produc­ ción A y ocho del lote de producción B: Lote de producción A : 7 5 ,5 6 .6 3 ,7 0 ,5 8 ,7 4 Lote de producción B: 63, 85, 77, 80, 86, 76.72, 82 U se la p ru eb a U para p ro b ar en el nivel 0.05 de significancia p ara p ro b ar si las fu n diciones del lo te de pro d u cció n B son e n p ro m e d io ig u alm en te d u ra s o si son m ás duras que las del lote de producción A . 16.28 A continuación se m uestra el núm ero de m inutos que a una m uestra aleatoria d e 15 h o m b re s y 12 m u je res ta rd ó e n te rm in a r u n a p ru e b a escrita d a d a p a ra la renovación de sus licencias de m anejar: Hombres-. 9.9, 7.4, 8.9, 9.1, 7.7, 9.7, 11.8, 9.2, 10.0, 10.2. 9.5. 10.8, 8.0,11.0, 7.5 Mujeres-. 8 .6,10.9.9.8,10.7, 9.4,10.3, 7.3,11.5, 7.6, 9.3,8.8, 9.6 U se la p ru eb a U basada en la tabla XI en el nivel 0.05 de significancia para d e ­ cidir si a c ep ta m o s la h ip ó tesis nula /¿i = P2 0 la h ip ó tesis a lte rn a tiv a mi ^ donde /x, y p.2 son los prom edios de la cantidad de tiem po que tardan los hom ­ bres y las m ujeres en term inar la prueba. 16.29 R eh ag a el ejercicio 16.28 usando la aproxim ación norm al a la distribución d e la estadística de prueba. 16.30 U n exam en diseñado para m edir el conocim iento básico sobre la historia de E s­ tados U nidos se aplicó a m uestras aleatorias de alum nos de prim er año de dos universidades im portantes, y sus calificaciones fueron:

548 Capítulo 16: Pruebas no paramétrícas dosis de 0.5 mg: 8.2 10.0 10.2 13.7 14.0 7.8 dosis d e 1.0 m g: 12.7 10.9 d o sis de 1.5 mg: 9.7 13.1 11.0 7.5 13.3 12.5 8.8 12.9 7.9 10.5 12.0 7.2 8.0 9.4 11.3 9.0 11.5 8.5 U se la p ru eb a H en el nivel 0.01 de significancia p a ra p ro b ar la hipótesis nula de que las diferencias en dosis no tienen efecto en el periodo que tardan los co­ nejillos de indias en dorm irse. 16.6 PRUEBAS BASAD AS EN CORRIDAS H ay varios m étodos no param étricos para p ro b ar la aleatoriedad de los datos observa­ dos con base en el orden en que se obtuvieron. La técnica que describirem os aquí se b a sa en la teoría de las corridas, d o n d e una corrida e s u n a sucesión d e letras idénticas (u otra clase de sím bolos) precedida o seguida por diferentes letras o por ninguna le­ tra. Para ilustrarlo, considere los siguientes arreglos de piezas defectuosas, d , y no d e­ fectuosas. n, q u e cie rta m áq u in a p ro d u jo en el o rd e n dado: n n n n n d d d d n n n n n n n n n n d d n n d d d d n d d n^n Al usar corchetes para com binar las letras que constituyen una corrida, encontram os q u e hay p rim e ro u n a c o rrid a de cinco n , d esp u és u n a c o rrid a d e c u a tro d, d esp u és una c o rrid a d e diez n , ... y finalm ente u n a c o rrid a de d o s n; e n to ta l, hay nu ev e co rrid as de longitud variable. El núm ero total de corridas que aparece en un arreglo de esta clase es, a m enu­ do, una buena indicación de una posible falta de aleatoriedad. Si hay m uy pocas corri­ das, podríam os sospechar una agrupación o apiñam iento, o quizá una tendencia; si hay dem asiadas corridas, podríam os sospechar algún tipo de patrón alternante que se repi­ te. E n nuestra ilustración, parece haber una agrupación definitiva, las piezas defectuo­ sas p arecen v en ir en grupos; p e ro q u ed a p o r ver si esto es significativo o si se puede atribuir al azar. Para encontrar la probabilidad de que n , letras de una clase y n 2 letras de otra clase form arán u corridas cuando cada uno de los * ” 2 ^ arreglos posibles de es­ tas letras se considera com o igualm ente probable, investiguemos prim ero el caso donde u es par, esto es, cuando u = 2k y k es un entero positivo. E n este caso tendrá que haber k corridas de cada clase alternando entre sí. Para en co n trar el n úm ero de form as en que n , letras pueden form ar k corridas, considerem os prim ero el caso muy simple donde te­ nem os cinco letras c que se van a dividir en tres corridas. A l usar barras verticales para separar las cinco letras en tres corridas, encontram os que hay seis posibilidades

Sección 16.6: Pruebas basadas en corridas 549 que corresponden a las J form as en que podem os colocar dos barras verticales en dos de los cuatro espacios en tre las cinco c. P or la mism a razón, hay ^ _ j ^ form as en las que n¡ letras de la prim era clase pueden form ar k corridas y ^ ^ ^ formas en las que n 2 letras d e la segunda clase pueden form ar k corridas, y se sigue que hay en to­ tal 2 ^ ” ' _ ^ y ^ ” 2 j ^ form as en las que estas n, + n2 letras pueden form ar 2k corridas. El factor 2 se explica p o r el hecho que cuando com binam os las dos clases de corridas de m anera que puedan alternar, podem os em pezar ya sea con una corrida de la prim era clase d e letra o con una corrida de la segunda clase. Así, cuando u = 2k (donde k es un en tero positivo), la probabilidad de ob ten er todas esas corridas es , . V k - i ;V k - i /(« ) = - /n , + ”2 V '«1 y se d eja al lector p ara d em o strar en el ejercicio 16.37 que argum entos sim ilares nos lle­ van a ,, ( v x r : )* (::;x v ) V \"i donde u = 2 k + 1 (donde k es un entero positivo). C uando n, y n 2 son pequeños, las pruebas de aleatoriedad basadas en u suelen realizarse con las tablas especiales com o la XII. R echazam os la hipótesis nula de alea­ toriedad en el nivel a de significancia si u 2 u 'a ¡2 o u ^ u a /2 d o n d e u a' í2 es el v alo r m ás g ran d e p a ra el cual la p ro b ab ilid a d d e o b te n e r u n v a lo r m e­ n o r que, o igual a, éste no excede a / 2 , y ua /2 es el valor m ás peq u eñ o para el cual la probabilidad de obtener un valor m ayor que, o igual a. éste no excede a a /2 . EJEMPLO 16.9 Al revisar los olm os que se plantaron hace m uchos años a lo largo de un cam ino veci­ nal. un funcionario del condado obtuvo los siguientes arreglos de árboles sanos, 5, y enfermos, E : SSSSEEESSSSSSSEESSEEEE Pruebe en el nivel 0.05 de significancia si este arreglo se puede considerar com o fortuito.

550 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas Solución 1. H 0: El a rreg lo e s fortuito. H j: El arreglo no es fortuito, a = 0.05 2. P u e sto q u e n , = 13 y n 2 = 9. rech ace la h ip ó tesis n u la si u ^ 6 o u ^ 17. d o n d e 6 y 17 son los v alo res c o rre sp o n d ie n te s d e y Mo„25- 3. u = 6 p or inspección de los datos. 4. P uesto que u = 6 es igual a «¿025 = 6 . se debe rechazar la hipótesis nula; el arreglo de olmos sanos y enferm os no es fortuito. Parece que los árboles enferm os vienen en grupos. ▲ C u a n d o /t, y n 2 son am b o s m ay o res q u e. o iguales a 10. se co n sid era razo n ab le suponer que la distribución de la variable aleatoria correspondiente a u se puede a p ro ­ xim ar muy cercanam ente con una curva norm al. Para efectuar las corridas de prueba sobre la base de esta suposición, necesitam os los siguientes resultados. t e o r e m a 1 6 3 Bajo la hipótesis nula de alcatoricdad. la m edia y la varianza de la variable aleatoria que corresponde a u son 2/i, n 2 +1 /i, + n 2 _ 2 n i n 2( 2 n ]n 2 — n x — n 2) («i + n2) \\ n x + n 2 - l ) Estos resultados se pueden o b ten er directam ente con las fórm ulas dadas en la p á ­ gina 549. Los detalles de esas pruebas, así com o un enfoque alternativo que es m ás fá­ cil, se pueden en c o n trar en el libro de J. D. G ibbons listado entre las referencias al final de este capítulo. EJEMPLO 16.10 L o siguiente es un arreglo de hom bres. H, y m ujeres, M , que hacen fila para com prar boletos de un concierto de “rock”: HMHMHHHMHMHHHMMHHHHMMHMH HHMHHHMMMHMHHHMHMHHHHMMH Pruebe por aleatoriedad en el nivel 0.05 de significancia. Solución 1. //(,: El a rre g lo e s fortuito. / /,; El arreglo no es fortuito. a = 0.05

552 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas u es el núm ero de corridas por arriba y por debajo de la m ediana, y u y a 2 e stá n d a d a s p o r las fórm ulas del te o re m a 16.3. 3. P uesto que la m ediana de las velocidades es 59.5, o btenem os el siguiente a rre g lo de a y b: bbabaabbabbbbabaaaaabbbba bbabbbaaabaaabbbbbaaaaaaa Entonces, puesto que n , = 25, n 2 = 25 y u = 20, obtenem os _ 2-25-25 _ \" - B Í B + 1 - 26 , 2 -2 5 -2 5 (2 -2 5 -2 5 - 25 - 25) * = (2 5 ~ + 2 5 )^ 2 5 + 25 — l) = 12'2 _ 20 - 26 _ z = — ,------ = - 1 . 7 2 V122 4. P u e s to q u e z = —1.72 cae e n tre —1.% y 1.96, n o se p u e d e re c h a z a r la hipó­ tesis nula; no hay evidencia real para que la m uestra no se pueda conside­ rar com o al azar. ▲ EJERCICIOS 1637 V erifique la fórm ula dada en la página 549 p ara la probabilidad de o b ten er u co rrid as c u a n d o u = 2 k + 1, d o n d e k es un e n te ro positivo. 16 3 8 Si una p e rso n a ob tien e siete caras y tres cruces en 10 lanzam ientos d e una m o­ neda balanceada, encuentre las probabilidades para 2, 3, 4, 5, 6 y 7 corridas. 1639 E ncuentre la probabilidad de que n { = 6 letras de una clase y n 2 = 5 letras de otra clase form arán al m enos 8 corridas. 16.40 Si hay n¡ = 8 letras de una clase y n 2 = 8 letras de o tra clase, ¿para cuántas co­ rrid a s rec h a z aríam o s la h ipótesis n u la de a le a to rie d a d e n el nivel 0.01 de signi­ ficancia? APLICACIONES 16.41 É ste es el o rd en en que un c o rred o r recibe órdenes de com pra, C, y venta, V para cierta acción: CCCCCCCCVVCVVVVVVCCCCC Pruebe p o r aleatoriedad en el nivel 0.05 de significancia. 16.42 U n a c o n d u c to ra com pra gasolina en u n a gasolinera T exaco, T, o en u n a gaso ­ lin era M obil, M, y los siguientes arreglos m u estran el o rd en d e las g asolineras donde com pró gasolina durante cierto periodo:

554 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas 155, 146 y 158 d u ra n te un p e rio d o d e 33 años. H ag a uso del hech o q u e la m e­ diana es 138, p ru eb e en el nivel 0.05 de significancia si hay una tendencia ver­ dadera. 16.51 É stas so n las v en tas trim e stra le s d u ra n te seis años (e n m illones d e d ó lare s) de un fab rican te d e m aquinaria pesada: 83.8, 102.5, 121.0, 90.5, 106.6, 104.8, 114.7, 93.6, 98.9, 96.9. 122.6. 85.6, 103.2, 96.9, 118.0, 92.1, 100.5, 92.9, 125.6, 79.2, 110.8, 95.1,125.6 y 86.7. ¿E n el nivel 0.05 de significancia, hay un verdadero patrón cí­ clico? 16.52 L a te o ría d e las c o rrid a s ta m b ié n se p u e d e u sa r c o m o u n a a lte rn a tiv a d e la p ru e b a d e su m a d e rangos d e la sección 16.4, e sto es. la p ru e b a d e la hipótesis nula que dos variables aleatorias independientes vienen de poblaciones conti­ nuas idénticas. Sim plem ente ordenados los datos conjuntam ente, escribim os un 1 debajo de cada valor que pertenece a la prim era m uestra y un 2 debajo de ca­ da valor que pertenece a la segunda m uestra, y después probam os la aleatorie- d ad del arreglo resultante de 1 y 2. Si hay muy pocas corridas, esto bien puede explicarse por el hecho que las dos m uestras vienen de poblaciones con medias desiguales. C on respecto a los datos en la página 539, use esta técnica para pro­ b ar en el nivel 0.05 de significancia si las dos m uestras vinieron de poblaciones co ntinuas idénticas o si las dos poblaciones tienen m edias desiguales. 16.7 EL COEFICIENTE D E CO RRELACIÓ N DE RANGOS Puesto que las suposiciones que sustentan la prueba de significancia para los coeficien­ tes de co rrelació n d e la sección 14.5 son m ás bien estrictas, a veces es preferible usar una alternativa no param étríca. M uy popular entre esas m edidas de asociación no pa­ ram étricas e stá e l coeficiente de correlación de rangos, tam b ié n lla m a d o coeficiente de correlación de rangos de Spearman, rs . P ara un co n ju n to d ad o d e d ato s asociados en parejas { (x (, y(); i = 1, 2 , . . . , n } , se obtiene al o rd en a r las x e n tre sí m ism as y tam bién las y. am bas de m enor a m ayor o de m ayor a m enor, y después sustituirlas en la siguien­ te fórm ula. d e f in ic ió n 16.1 E l coeficiente d e correlación d e rangos está d a d o p o r 6*¿¿? rs = 1 \" - 1) d o n d e d, es la diferencia en tre los rangos asignados a x, y y¡. C uando hay un em pate en el rango, procedem os com o antes y asignam os a las obser­ vaciones em patadas la m edia de los rangos que ocupan conjuntam ente.

Sección 16.7: El coeficiente d e correlación de rangos 555 C uando no hay em pates en el rango, rs es realm ente igual al coeficiente de co­ rrelación r calculado p ara los rangos. P ara verificar esto, sean r, y s, los rangos d e x, y y¡. A l hacer uso del hecho que la sum a y la sum a de los cuadrados de los prim eros n en- n(/i + l) n( n + 1)(2/i + 1) teros positivos son —1 y -~v— ----- ^------------- £-, respectivam ente, encontram os que 26 i=l i=l z ± 4 - \" b + ’ f - + ■) »-l i=i 0 tr.s, = 'y \" - Ü - i- ¿ d ? 1=1 O ¿ ¿=1 y si su stituim os e sta s e x p re sio n es e n la fórm ula p ara r, o b ten e m o s la fórm ula p a ra rs d a d a en la d efinición 16.1. EJEMPLO 16.12 A continuación se d a el n ú m ero d e h oras que 10 estudiantes estu d iaro n p a ra un ex a­ m en y las puntuaciones que obtuvieron: Número de horas Puntuación estudiadas y x 56 8 44 5 79 11 72 13 70 10 54 5 94 18 85 15 33 2 65 8 Calcule rs . Solución Al o rd en ar las x y las v y al proceder com o en la siguiente tabla, obtenem os

556 Capítulo 16: Pruebas no paramétricas Rango Rango d d2 de x de y 6.5 1 -0 .5 0.25 8.5 9 -0.5 0.25 4 3 1.0 1.00 3 4 1.0 1.00 5 5 0.0 0.00 8.5 8 0.5 0.25 1 1 0.0 0.00 2 2 0.0 0.00 10 10 0.0 0.00 6.5 6 0.5 0.25 3.00 E ntonces, la sustitución en la fórm ula para rs nos da = 1 “ l O ( l t f - l ) = 098 4 Com o se puede ver a partir de este ejem plo, r5 se determ ina con facilidad; cier­ tam ente. a veces se usa en vez de r principalm ente a causa de su facilidad de cálculo. Si hubiésem os calculado r p ara los datos del ejem plo anterior, habríam os o b ten id o r = 0.% , y esto está m uy cercano a rs = 0.98. Para valores pequeños de n (n % 10), la prueba de la hipótesis nula de no corre­ lación, ciertam ente, la hipótesis nula de que las x y las y están asociadas aleatoriam en­ te en parejas, se puede basar en las tablas especiales determ inadas de las distribuciones m uéstrales exactas de R s (véanse las referencias en la página 559). La m ayoría de las veces, sin em bargo, usam os el hecho que la distribución de m uestreo de R s puede ap ro ­ xim ar m uy cercanam ente con la distribución norm al, y para este fin necesitam os los si­ guientes resultados. TEOREMA 16.4 Bajo la hipótesis nula de no correlación, la m edia y la varianza de Rs son E ( R S) = 0 y v a r( R s ) = ^ U na prueba de este teorem a se puede encontrar en el libro de G ibbons que se encuen­ tra entre las referencias al final de este capítulo. En el sentido estricto, el teorem a se aplica cuando no hay em pates, pero se puede usar a m enos que el núm ero de em pates sea grande. EJEMPLO 16.13 C on respecto al ejem p lo 16.12, p ruebe en el nivel 0.01 de significancia si el valor o b te ­ nido para rs , 0.98. es significativo.

Sección 16.7: El coeficiente de correlación de rangos 557 Solución 1. H0: N o hay correlación. //,: H ay correlación. a = 0 .0 1 2. R e c h a ce la h ipótesis nula si z S —2.575 o z = 2.575. d o n d e Z = rs X t ¡ — 1 3. Al sustituir n = 10 y rs = 0.98. obtenem os z - 0.98 \\ / 10 - 1 = 2.94 4. Puesto que z = 2.94 excede a 2.575, se debe rechazar la hipótesis nula; con­ cluimos que hay una relación verdadera (positiva) entre el tiem po de estu­ dio y las puntuaciones. ▲ EJERCICIOS 16.53 D a d o u n c o n ju n to d e A adas ( x n , x I2, . . . , x u ), (x 2, , x ^ . - . - . x ^ ) , . . . y (x n l, x„2........x„*), el alcance de su asociación, o concordancia, se p u e d e m e d ir p o r m ed io del coeficiente de concordancia: 12 _ k{n + 1) W= '2 k 2n ( n 2 — l ) 1=1 d o n d e R, e s la sum a de los rangos asignados a Xyj, x a , . . . y x ik c u a n d o las x con el segundo subíndice 1 se ordenan entre sí mismas y lo mism o se hace con las x con el se g u n d o subíndice 2 __ y las x con el segundo subíndice k. ¿C uáles son los valores m áxim os y m ínim os de W, y qué reflejan con respecto a la con­ cordancia, o falta de ella, de los valores de las k variables aleatorias? APLICACIONES 16.54 C alcule rs p a ra los d a to s sig u ien tes que re p re se n ta n las calificaciones de e s ta ­ dística, x, y las calificaciones d e psicología, y , d e 18 e stu d ia n te s Xy Xy 78 80 97 90 86 74 74 85 49 63 53 71 94 85 58 67 53 55 62 64 89 86 74 69 94 90 74 71 71 84 70 67 7 0 71 74 71

APÉNDICE A Sumas y productos A .1 REGLAS PARA SUM AS Y P R O D U C TO S A . 2 SU M AS ESPECIALES A.1 REGLAS P A R A SU M A S Y P R O D U C TO S Para simplificar las expresiones que incluyen sum as y productos, en estadística se usan am pliam ente las notaciones X y T I. E n la notación usual escribim os b 2 X- = *• + *•♦> + *•+* + + *b i=a y b 1 1 X¡ ~ Xa ' Xj+i ' X a+2* ••• mX¡f i~a para cualesquier en tero s no negativos a y b con a á b. C uando se trabaja con sumas o productos, a m enudo es útil aplicar las siguientes reglas, las cuales se pueden verificar al escribir las expresiones respectivas en su totali­ dad. esto es, sin la notación 2 o f i : TEOREM A A.1 1. 2 bXi = k • 2 Xt (=1 i«l 2. 2 * = nk i-i 3. 2 (x>+ y») = + ¿ y¡ i=i ¿ - i i=i 4 . n k x t = * \" • n X, 1=1 1=1 s. n * = i=i 560

Sección A .2 : Sum as especiales 561 «■ ñ ^ , = ( n ^ ) ( n > , ) 7. In f j x¡ = ¿ ln x¡ 1=1 <=i En la estadística tam bién se usan am pliam ente sum as dobles, sum as triples y si aplicam os rep etid am en te la definición de 2 dada arrib a, tenem os, p o r ejem plo ¿ = 2 (*« + x (í + \" ■ + x « ) i-l ;=1 i=l = (X U + X l2 + \" • + * i„) + (-*21 + -*22 + + *2n) + (-*ml + X m 2 + — + X m n ) A dvierta que cu an d o las x tj se acom odan así e n un arreglo rectangular, el p rim er subíndice denota el renglón al cual pertenece el elem ento en particular, y el segundo subíndice denota la columna. C uando trabajam os con sum as dobles, el siguiente teorem a es de especial interés; es consecuencia inm ediata de la expansión polinom ial de (x , + x 2 + ••• + x „ )2 T E O R E M A A.2 (V ii=*l , )/ ' - i2=l* . ! 2 i2<¡* . * / = <2=i >2—i+i x ‘x ¡ donde A .2 SUMAS ESPECIALES E n la teoría de la estadística no param étrica, particularm ente cuando tratam os con su­ mas de rangos, frecuentem ente necesitam os expresiones para sum as de potencias de los prim eros n enteros positivos, esto es, expresiones para S { n , r ) = 1' + 2' + 3r + — + nr

Sección A.2: Sumas especiales 563 A J D a d o *, = 1, x 2 = 3. x 3 = —2, x A= 4, x s = —1, * 6 = 2. = 1 y * 8 = 2, en cu en tre (a) £ * ,; (b ) X v<- i=i <=i A .4 D a d o * , = 3,x 2 = 4, x 3 = 5, x 4 = 6, x s = 7, / = 3,j§ = 7, £ = 10, fA = 5 y fc = 2, e n c u en tre (a) 51=>1 ,; (b> S1=1í : (c) ¿ * ? í- <=i i=i A.5 D ado *, = 2. *2 = - 3 , x 3 = 4, x A = - 2 , y, = 5. y 2 = - 3 , y 3 = 2 y y 4 = —1, e n c u e n tre (a) 2 * '* (b) 2 ^ i=i i=i (C) ¿ X ? ; (d) ¿ v ; ; (e) ¿x,v,. i=l 1=1 1=1 A .6 D ado * i, = 3, *[2 = 1. * i3 = 2, x i4 = 2, *21 = -*22 = *23 = —2, x 24 = 5, * 3| = 3, * 32 = —1, Xjj = 2 y * 34 = 3. e n c u en tre 3 ( a ) 2 x¡j se p a ra d a m e n te p a ra j = 1, 2, 3, y 4; <■1 4 (b ) 2 x ‘>se p a ra d a m e n te p a ra r = 1. 2, y 3. y-i A .7 C on referen cia al ejercicio A .6, evalúe la sum a doble 34 (a) los resultados del inciso (a) de ese ejercicio; 2 2 ^usando i- 1 /=i (b) los resultados del inciso (b) de ese ejercicio.

APÉNDICE B Distribuciones de probabilidad especiales B.1 D IS TR IB U C IÓ N D E BERNOULLI f{x; 0 ) = 0 ‘( 1 - para * = 0,1 Parámetro: 0 < 6 < 1 M ed ia y varianza'. fx = 0 y a 2 — 0{ 1 — 0) B.2 D ISTR IBUCIÓ N B IN O M IA L b{x\\n,d) = ( ” ) ^ ( ! “ 0Y p a r a x = 0, 1, 2 n Parámetros: n es un entero positivo y 0 < 6 < 1 M edia y varianza: n = nO y a 2 = nd( 1 — 0) B.3 D ISTR IBUCIÓN UN IFOR M E DISCRETA (C A S O ESPECIAL) f{x; k) = p a ra * = 1,2, . . . , k •v Parámetro: k es un entero positivo M edia y varianza: fx — —* -+—1 y cr2 = —* 2—\" —1 564

APÉNDICE c Densidades de probabilidad especiales C.1 D ISTR IB U C IO N B E TA /v( * ; a , / 3\\) = {i r ( a ) . r ( | 8 ) x“ *V(l —x )>fi 1 1Para 0 < x < 1 0 en cualquier otra parte Parámetros', a > 0 y /3 > 0 Media y .crianza: a = ^ y = (a + -- j C.2 DISTRIBUCIÓN DE C A U C H Y £ TT p ( * ; a , p ) = {x _ a)! + p Parám etros: —o o < « < o o y ¡3 > 0 M edia y varianza: N o existen C .3 D IS T R IB U C IO N JI C U A D R A D A 1 tul _i parax > 0 -x 2 e 2 en cualquier otra parte l\\x -.c ) = { r i2 T ( e / 2 Y 0 Parámetros: p es un entero positivo Media y varianza: /x = v y a 2 — 2p 566

Sección C .7 : Distribución norm al 567 C.4 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL para x > 0 en cualquier otra parte Parámetro: 6 > 0 M edia y varianza: jjl = 0 y a 2 = O2 C.5 DISTRIBUCIÓN F g(/) = r (ü ± j¿ ) /2 1+ —/ ) para / > 0 r í V r 1'2 *>2 / o en cualquier otra parte Parámetros: t>, > 0 y i<2 > 0 Media: a = Vi — vi ~ 2 C.6 DISTRIBUCIÓN G A M M A /(* ) = 1 p a ra .v > ü en cualquier otra parte rr(«) o P arám etros: a > ü y /3 > 0 M edia y varianza: = a [i y o -2 — a(32 C.7 DISTRIBUCIÓN N O R M A L m ( x ; ¡i, a ) = | _Í/ÍZ ÍÍ)2 p a ra —oo < x < oo -j= e l' a ) (T V 277 Parámetros: fx y fr > 0 Media y varianza: fi = ¡x y a 2 = a 2

Tablas estadísticas I. PROBABILIDADES BINOM IALES II. PROBABILIDADES DE POISSON III. DISTRIBUCIÓN N O R M AL ESTÁNDAR I V . VALO R ES D E tB>„ V . VALORES DE V I . VALO R ES D E f00^ u n Y f00h^ 2 V II. FACTORIALES Y COEFICIENTES BINOMIALES VIII. VALORES DE e' Y e * I X . VALO R ES D E rp X . VALORES CRÍTICOS PARALA PRUEBA DE RANGOS C O N SIG N O X I. VALORES CR ÍTICOS PARALA PRUEBA U X II. VALORES CR ÍTICO S PARALA PRUEBA DE CORRIDAS 569

Tablas estadísticas 571 .15 .20 .25 .30 .0026 .0092 .0231 .0467 .1719 .2188 .0002 .0011 .0038 .0100 .0703 .1094 .0000 .0001 .0004 .0012 .0164 .0312 .0000 .00(K) .0000 .0001 .0017 .0039 o .2316 .1342 .0751 .0404 .0046 .0020 1 .3679 .3020 .2253 .1556 .0339 .0176 2 .2597 .3020 .3003 .2668 .1110 .0703 3 .1069 .1762 .2336 .2668 .2119 .1641 4 .0283 .0061 .1168 .1715 .2600 .2461 5 .0050 .0165 .0389 .0735 .2128 .2461 6 .0006 .0028 .0087 .0210 .1160 .1641 7 .0000 .0003 .0012 .0039 .0407 .0703 8 .0000 .OOÍX) .(XX)1 .0004 .0083 .0176 9 .0000 .0000 .0000 .0000 .0008 .0020 O .1969 .1074 .0563 .0282 .0025 .0010 1 .3474 .2684 .1877 .1211 .0207 .0098 2 .2759 .3020 .2816 .2335 .0763 .0439 3 .1298 .2013 .2503 .2668 .1665 .1172 4 .0401 .0881 .1460 .2001 .2384 .2051 5 .0085 .0264 .0584 .1029 .2340 .2461 6 .0012 .0055 .0162 .0368 .1596 .2051 7 .0001 AAAn .0090 .0746 .1172 8 .0000 ■UUU1 .WKH .0014 .0229 .0439 9 .0000 .0000 .0000 .0001 .0042 .0098 10 .0000 .0000 .0000 .(XXX) .0003 .0016 0 .1673 .0859 .0422 .0198 .0014 .0005 1 .3248 .2362 .1549 .0932 .0125 .0054 2 .2866 .2953 .2581 .1998 .0513 .0269 3 .1517 .2215 .2581 .2568 .1259 .0806 4 .0536 .1107 .1721 .2201 .2060 .1611 5 .0132 .0388 .0803 .1321 .2360 .2256 6 .0023 .0097 .0268 .0566 .1931 .2256 7 .0003 .0017 .0064 .0173 .1128 .1611 8 .0000 .0002 .0011 .0037 .0462 .0806 9 .0000 .0000 .0001 .0005 .0018 .0126 .0269 .0000 .0000 .(XXX) .0000 .0002 .0054 .0000 .0000 .0000 .0000 .OOÍX) .0005 .0002 .0029 .0161 .0537 .1208 .1934 .2256 .1934 .1208 .0537

tadísticas nuadón) .r .05 .1 0 .1 5 .2 0 .2 5 .3 0 .3 5 .4 0 .4 5 .5 0 10 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 1 .0 0 0 8 .0 0 4 2 .0 1 4 9 .0 3 8 5 .0 7 7 1 .1 2 4 8 .1 6 6 9 11 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 1 .0 0 1 0 .0 0 4 6 .0 1 5 1 .0 3 7 4 .0 7 4 2 .1 2 1 4 12 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 2 .0 0 1 2 .0 0 4 7 .0 1 4 5 .0 3 5 4 .0 7 0 8 13 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0012 .0045 .0134 .0327 14 .0000 .0 0 0 0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0011 .0039 .0117 15 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0009 .0031 16 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0006 17 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 18 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .OOÍX) .0 0 0 0 0 .3774 .1351 .0 4 5 6 .0 14 4 .0 0 42 .0011 .0003 .0001 .0000 .0000 1 .3774 .2852 .1529 .0685 .0268 .0093 .0029 .0008 .0002 .0000 2 .1787 .2852 .2428 .1540 .0803 .0358 .0138 .0046 .0013 .0003 3 .0533 .1 7 % .2428 .2182 .1517 .0869 .0422 .0175 .0062 .0018 4 .0 1 1 2 .0 7 9 8 .1714 .2182 .2023 .1491 .09 0 9 .0 4 67 .0 20 3 .0074 5 .0018 .0266 .0907 .1636 .2023 .1916 .1468 .0933 .0497 .0222 6 .0002 .0069 .0374 .0955 .1574 .1916 .1844 .1451 .0949 .0 5 1 8 7 .(XXX) .0 0 1 4 .0 1 2 2 .0 4 4 3 .0 9 7 4 .1 5 2 5 .1 8 4 4 .1 7 9 7 .1 4 4 3 ,0 % 1 8 .0000 .0 0 0 2 .0032 .0 1 6 6 .0487 .0981 .1489 .1797 .1771 .1442 9 .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 7 .0051 .0198 .0514 .0980 .1464 .1771 .1762 10 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0001 .0 0 1 3 .0 0 6 6 .0 2 2 0 .0 5 2 8 .0 9 7 6 .1 4 4 9 .1 7 6 2 11 .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 0 .0 0 0 3 .0 0 1 8 .0 0 7 7 .0 2 3 3 .0 5 3 2 .0 9 7 0 .1 4 4 2 12 .(XXX) .(XXX) .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 4 .0 0 2 2 .0 0 8 3 .0 2 3 7 .0 5 2 9 .0 % 1 13 .(XXX) .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 1 .0 0 0 5 .0 0 2 4 .0 0 8 5 .0 2 3 3 .0 5 1 8 14 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .OOÍX) .(XXX) .0 0 0 1 .0 0 0 6 .0 0 2 4 .0 0 8 2 .0 2 2 2 15 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .(XXX) .0001 .0 0 0 5 .0 0 2 2 .0 0 7 4 16 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0005 .0018 17 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 18 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 19 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .(XXX) .(XXX) 0 .3 5 8 5 .1 2 1 6 .0 3 8 8 .0 1 1 5 .0 0 3 2 .0 0 0 8 .0 0 0 2 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .(XXX) 1 .3774 .2702 .1368 .0576 .0211 .0068 .0020 .0005 .0001 .0000 2 .1887 .2 852 .2293 .1369 .0669 .0278 .0100 .0031 .0008 .0002 3 .0 5 % .1901 .2428 .2054 .1339 .0716 .0323 .0123 .0040 .0011 4 .0133 .0898 .1821 .2182 .1897 .1304 .0738 .0350 .0139 .0046 5 .0022 .0319 .1028 .1746 .2023 .1789 .1272 .0746 .0365 .0148 6 .0003 .0089 .0454 .1091 .1686 .1916 .1712 .1244 .0746 .0370 7 .0000 .0020 .0160 .0545 .1124 .1643 .1844 .1659 .1221 .0739 8 .0000 .0001 .0046 .0222 .0609 .1144 .1614 .1797 .1623 .1201 9 .0000 .0001 .0011 .0074 .0271 .0654 .1158 .1597 .1771 .1602 10 .(XXX) .0 0 0 0 .0 0 0 2 .0 0 2 0 .0 0 9 9 .0 3 0 8 .0 6 8 6 .1 1 7 1 .1 5 9 3 .1 7 6 2 11 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 5 .0 0 3 0 .0 1 2 0 .0 3 3 6 .0 7 1 0 .1 1 8 5 .1 6 0 2 12 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0001 .0 0 0 8 .0 0 3 9 .0 1 3 6 .0 3 5 5 .0 7 2 7 .1201 13 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .OOÍX) .0 0 0 2 .0 0 1 0 .0 0 4 5 .0 1 4 6 .0 3 6 6 .0 7 3 9 14 .(XXX) .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 2 .0 0 1 2 .0 0 4 9 .0 1 5 0 .0 3 7 0 15 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0003 .0013 .0049 .0148 16 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0003 .0013 .0046 17 .0000 .0 0 0 0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0011 18 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 1 9 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 0 .0 0 0 0 .(XXX) .(XXX) .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 0 .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 0 .(XXX) .0 0 0 0

Tablas estadísticas 575 TABLA II Probabilidades de Poisson t A X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679 1 .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 3293 .3476 .3595 .3659 .3679 2 .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839 3 .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613 4 .0000 .0001 .0002 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153 5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031 6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0003 .0005 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 A X 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0 .3329 .3012 .2725 .2466 .2231 .2019 .1827 .1653 .14% .1353 1 .3662 .3614 .3543 .3452 .3347 .3230 .3106 .2975 .2842 .2707 2 .2014 .2169 .2303 .2417 .2510 .2584 .2640 .2678 .2700 .2707 3 .0738 .0867 .0998 .1128 .1255 .1378 .14% .1607 .1710 .1804 4 .0203 .0260 .0324 .0395 .0471 .0551 .0636 .0723 .0812 .0902 5 .0045 .0062 .0084 .0111 .0141 .0176 .0216 .0260 .0309 .0361 6 .0008 .0012 .0018 .0026 .0035 .0047 .0061 .0078 .0098 .0120 7 .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 .0011 .0015 .0020 .0027 .0034 8 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0003 .0005 .0006 .0009 9 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 A X 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0 .1225 .1108 .1003 .0907 .0821 .0743 .0672 .0608 .0550 .0498 1 .2572 .2438 .2306 .2177 .2052 .1931 .1815 .1703 .15% .1494 2 .2700 .2681 .2652 .2613 .2565 .2510 .2450 .2384 .2314 .2240 3 .1890 .1966 .2033 .2090 .2138 .2176 .2205 .2225 .2237 .2240 4 .0992 .1082 .1169 .1254 .1336 .1414 .1488 .1557 .1622 .1680 5 .0417 .0476 .0538 .0602 .0668 .0735 .0804 .0872 .0940 .1008 6 .0146 .0174 .0206 .0241 .0278 .0319 .0362 .0407 .0455 .0504 7 .0044 .0055 .0068 .0083 .0099 .0118 .0139 .0163 .0188 .0216 8 .0011 .0015 .0019 .0025 .0031 .0038 .0047 .0057 .0068 .0081 9 .0003 .0004 .0005 .0007 .0009 .0011 .0014 .0018 .0022 .0027 10 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0004 .0005 .0006 .0008 11 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 12 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 t B a sa d o e n E . C . M o lin a, Poisson s Exponential Binomial Limil, 1973 R e p rin t, R o b e rt E . K rie g e r P ublishing C om pany, M elbourne. Fia., con perm iso del editor.

576 Tablas estadísticas T A B L A II (co n tin u a ció n ) A X 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 0 .0450 .0408 .0369 .0334 .0302 .0273 .0247 .0224 .0202 .0183 1 .1397 .1304 .1217 .1135 .1057 .0984 .0915 .0850 .0789 .0733 2 .2165 .2087 .2008 .1929 .1850 .1771 .1692 .1615 .1539 .1465 3 .2237 .2226 .2209 .2186 .2158 .2125 .2087 .2046 .2001 .1954 4 .1734 .1781 .1823 .1858 .1888 .1912 .1931 .1944 .1951 .1954 5 .1075 .1140 .1203 .1264 .1322 .1377 .1429 .1477 .1522 .1563 6 .0555 .0608 .0662 .0716 .0771 .0826 .0881 .0936 .0989 .1042 7 .0246 .0278 .0312 .0348 .0385 .0425 .0466 .0508 .0551 .0595 8 .0095 .0111 .0129 .0148 .0169 .0191 .0215 .0241 .0269 .0298 9 .0033 .0040 .0047 .0056 .0066 .0076 .0089 .0102 .0116 .0132 10 .0010 .0013 .0016 .0019 .0023 .0028 .0033 .0039 .0045 .0053 11 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0009 .0011 .0013 .0016 .0019 12 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 .0006 13 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 14 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 A X 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 0 .0166 .0150 .0136 .0123 .0111 .0101 .0091 .0082 .0074 .0067 1 .0679 .0630 .0583 .0540 .0500 .0462 .0427 .0395 .0365 .0337 2 .1393 .1323 .1254 .1188 .1125 .1063 .1005 .0948 .0894 .0842 3 .1904 .1852 .1798 .1743 .1687 .1631 .1574 .1517 .1460 .1404 4 .1951 .1944 .1933 .1917 .1898 .1875 .1849 .1820 .1789 .1755 5 .1600 .1633 .1662 .1687 .1708 .1725 .1738 .1747 .1753 .1755 6 .1093 .1143 .1191 .1237 .1281 .1323 .1362 .1398 .1432 .1462 7 .0640 .0686 .0732 .0778 .0824 .0869 .0914 .0959 .1002 .1044 8 .0328 .0360 .0393 .0428 .0463 .0500 .0537 .0575 .0614 .0653 9 .0150 .0168 .0188 .0209 .0232 .0255 .0280 .0307 .0334 .0363 10 .0061 .0071 .0081 .0092 .0104 .0118 .0132 .0147 .0164 .0181 11 .0023 .0027 .0032 .0037 .0043 .0049 .0056 .0064 .0073 .0082 12 .0008 .0009 .0011 .0014 .0016 .0019 .0022 .0026 .0030 .0034 13 .0002 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 .0011 .0013 14 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 15 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 A X 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 0 .0061 .0055 .0050 .0045 .0041 .0037 .0033 .0030 .0027 .0025 1 .0311 .0287 .0265 .0244 .0225 .0207 .0191 .0176 .0162 .0149 2 .0793 .0746 .0701 .0659 .0618 .0580 .0544 .0509 .0477 .0446 3 .1348 .1293 .1239 .1185 .1133 .1082 .1033 .0985 .0938 .0892 4 .1719 .1681 .1641 .1600 .1558 .1515 .1472 .1428 .1383 .1339

Tablas estadísticas 577 TABLA II (continuación) A X 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 5 .1753 .1748 .1740 .1728 .1714 .1697 .1678 .1656 .1632 .1606 6 .1490 .1515 .1537 .1555 .1571 .1584 .1594 .1601 .1505 .1606 7 .1086 .1125 .1163 .1200 .1234 .1267 .1298 .1326 .1353 .1377 8 .0692 .0731 .0771 .0810 .0849 .0887 .0925 .0962 .0998 .1033 9 .0392 .0423 .0454 .0486 .0519 .0552 .0586 .0620 .0654 .0688 10 .0200 .0220 .0241 .0262 .0285 .0309 .0334 .0359 .0386 .0413 11 .0093 .0104 .0116 .0129 .0143 .0157 .0173 .0190 .0207 .0225 12 .0039 .0045 .0051 .0058 .0065 .0073 .0082 .0092 .0102 .0113 13 .0015 .0018 .0021 .0024 .0028 .0032 .0036 .0041 .0046 .0052 14 .0006 .0007 .0008 .0009 .0011 .0013 .0015 .0017 .0019 .0022 15 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 16 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 17 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 A X 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0 0 .0022 .0020 .0018 .0017 .0015 .0014 .0012 .0011 .0010 .0009 1 .0137 .0126 .0116 .0106 .0098 .0090 .0082 .0076 .0070 .0064 2 .0417 .0390 .0364 .0340 .0318 .0296 .0276 .0258 .0240 .0223 3 .0848 .0806 .0765 .0726 .0688 .0652 .0617 .0584 .0552 .0521 4 .1294 .1249 .1205 .1162 .1118 .1076 .1034 .0992 .0952 .0912 5 .1579 .1549 .1519 .1487 .1454 .1420 .1385 .1349 .1314 .1277 6 .1605 .1601 .1595 .1586 .1575 .1562 .1546 .1529 .1511 .1490 7 .1399 .1418 .1435 .1450 .1462 .1472 .1480 .1486 .1489 .1490 8 .1066 .1099 .1130 .1160 .1188 .1215 .1240 .1263 .1284 .1304 9 .0723 .0757 .0791 .0825 .0858 .0891 .0923 .0954 .0985 .1014 10 .0441 .0469 .0498 .0528 .0558 .0588 .0618 .0649 .0679 .0710 11 .0245 .0265 .0285 .0307 .0330 .0353 .0377 .0401 .0426 .0452 12 .0124 .0137 .0150 .0164 .0179 .0194 .0210 .0227 .0245 .0264 13 .0058 .0065 .0073 .0081 .0089 .0098 .0108 .0119 .0130 .0142 14 .0025 .0029 .0033 .0037 .0041 .0046 .0052 .0058 .0064 .0071 15 .0010 .0012 .0014 .0016 .0018 .0020 .0023 .0026 .0029 .0033 16 .0004 .0005 .0005 .0006 .0007 .0008 .0010 .0011 .0013 .0014 17 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 18 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 19 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 X 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 0 .0008 .0007 .0007 .0006 .0006 .0005 .0005 .0004 .0004 .0003 1 .0059 .0054 .0049 .0045 .0041 .0038 .0035 .0032 .0029 .0027 2 .0208 .0194 .0180 .0167 .0156 .0145 .0134 .0125 .0116 .0107 3 .0492 .0464 .0438 .0413 .0389 .0366 .0345 .0324 .0305 .0286 4 .0874 .0836 .0799 .0764 .0729 .06% .0663 .0632 .0602 .0573 5 .1241 .1204 .1167 .1130 .1094 .1057 .1021 .0986 .0951 .0916 6 .1468 .1445 .1420 .1394 .1367 .1339 .1311 .1282 .1252 .1221 7 .1489 .1486 .1481 .1474 .1465 .1454 .1442 .1428 .1413 .13% 8 .1321 .1337 .1351 .1363 .1373 .1382 .1388 .1392 .1395 .13% 9 .1042 .1070 .10% .1121 .1144 .1167 .1187 .1207 .1224 .1241

578 Tablas estadísticas T A B L A II (continuación) A X 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 10 .0740 .0770 .0800 .0829 .0858 .0887 .0914 .0941 .0967 .0993 11 .0478 .0504 .0531 .0558 .0585 .0613 .0640 .0667 .0695 .0722 12 .0283 .0303 .0323 .0344 .0366 .0388 .0411 .0434 .0457 .0481 13 .0154 .0168 .0181 .01% .0211 .0227 .0243 .0260 .0278 .02% 14 .0078 .0086 .0095 .0104 .0113 .0123 .0134 .0145 .0157 .0169 15 .0037 .0041 .0046 .0051 .0057 .0062 .0069 .0075 .0083 .0090 16 .0016 .0019 .0021 .0024 .0026 .0030 .0033 .0037 .0041 .0045 17 .0007 .0008 .0009 .0010 .0012 .0013 .0015 .0017 .0019 .0021 18 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009 19 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0003 .0004 20 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 21 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 A X 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 0 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001 1 .0025 .0023 .0021 .0019 .0017 .0016 .0014 .0013 .0012 .0011 2 .0100 .0092 .0086 .0079 .0074 .0068 .0063 .0058 .0054 .0050 3 .0269 .0252 .0237 .0222 .0208 .0195 .0183 .0171 .0160 .0150 4 .0544 .0517 .0491 .0466 .0443 .0420 .0398 .0377 .0357 .0337 5 .0882 .0849 .0816 .0784 .0752 .0722 .0692 .0663 .0635 .0607 6 .1191 .1160 .1128 .1097 .1066 .1034 .1003 .0972 .0941 .0911 7 .1378 .1358 .1338 .1317 .1294 .1271 .1247 .1222 .1197 .1171 8 .1395 .1392 .1388 .1382 .1375 .1366 .1356 .1344 .1332 .1318 9 .1256 .1269 .1280 .1290 .1299 .1306 .1311 .1315 .1317 .1318 10 .1017 .1040 .1063 .1084 .1104 .1123 .1140 .1157 .1172 .1186 11 .0749 .0776 .0802 .0828 .0853 .0878 .0902 .0925 .0948 .0970 12 .0505 .0530 .0555 .0579 .0604 .0629 .0654 .0679 .0703 .0728 13 .0315 .0334 .0354 .0374 .0395 .0416 .0438 .0459 .0481 .0504 14 .0182 .01% .0210 .0225 .0240 .0256 .0272 .0289 .0306 .0324 15 .0098 .0107 .0116 .0126 .0136 .0147 .0158 .0169 .0182 .0194 16 .0050 .0055 .0060 .0066 .0072 .0079 .0086 .0093 .0101 .0109 17 .0024 .0026 .0029 .0033 .0036 .0040 .0044 .0048 .0053 .0058 18 .0011 .0012 .0014 .0015 .0017 .0019 .0021 .0024 .0026 .0029 19 .0005 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 .0010 .0011 .0012 .0014 20 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0005 .0006 21 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0002 .0003 22 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 A X 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10 0 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0000 1 .0010 .0009 .0009 .0008 .0007 .0007 .0006 .0005 .0005 .0005 2 .0046 .0043 .0040 .0037 .0034 .0031 .0029 .0027 .0025 .0023 3 .0140 .0131 .0123 .0115 .0107 .0100 .0093 .0087 .0081 .0076 4 .0319 .0302 .0285 .0269 .0254 .0240 .0226 .0213 .0201 .0189

Tablas estadísticas 579 TABLA II (continuación) A X 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10 5 .0581 .0555 .0530 .0506 .0483 .0460 .0439 .0418 .0398 .0378 6 .0881 .0851 .0822 .0793 .0764 .0736 .0709 .0682 .0656 .0631 7 .1145 .1118 .1091 .1064 .1037 .1010 .0982 .0955 .0928 .0901 8 .1302 .1286 .1269 .1251 .1232 .1212 .1191 .1170 .1148 .1126 9 .1317 .1315 .1311 .1306 .1300 .1293 .1284 .1274 .1263 .1251 10 .1198 .1210 .1219 .1228 .1235 .1241 .1245 .1249 .1250 .1251 11 .0991 .1012 .1031 .1049 .1067 .1083 .1098 .1112 .1125 .1137 12 .0752 .0776 .0799 .0822 .0844 .0866 .0888 .0908 .0928 .0948 13 .0526 .0549 .0572 .0594 .0617 .0640 .0662 .0685 .0707 .0729 14 .0342 .0361 .0380 .0399 .0419 .0439 .0459 .0479 .0500 .0521 15 .0208 .0221 .0235 .0250 .0265 .0281 .0297 .0313 .0330 .0347 16 .0118 .0127 .0137 .0147 .0157 .0168 .0180 .0192 .0204 .0217 17 .0063 .0069 .0075 .0081 .0088 .0095 .0103 .0111 .0119 .0128 18 .0032 .0035 .0039 .0042 .0046 .0051 .0055 .0060 .0065 .0071 19 .0015 .0017 .0019 .0021 .0023 .0026 .0028 .0031 .0034 .0037 20 .0007 .0008 .0009 .0010 .0011 .0012 .0014 .0015 .0017 .0019 21 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009 22 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 23 .0000 .0001 .(XX)1 .0(301 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 24 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 A X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 2 .0010 .0004 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 3 .0037 .0018 .0008 .0004 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 4 .0102 .0053 .0027 .0013 .0006 .0003 .0001 .0001 .0000 .(XXX) 5 .0224 .0127 .0070 .0037 .0019 .0010 .0005 .0002 .0001 .0001 6 .0411 .0255 .0152 .0087 .0048 .0026 .0014 .0007 .0004 .0002 7 .0646 .0437 .0281 .0174 .0104 .0060 .0034 .0018 .0010 .0005 8 .0888 .0655 .0457 .0304 .0194 .0120 .0072 .0042 .0024 .0013 9 .1085 .0874 .0661 .0473 .0324 .0213 .0135 .0083 .0050 .0029 10 .1194 .1048 .0859 .0663 .0486 .0341 .0230 .0150 .0095 .0058 11 .1194 .1144 .1015 .0844 .0663 .0496 .0355 .0245 .0164 .0106 12 .1094 .1144 .1099 .0984 .0829 .0661 .0504 .0368 .0259 .0176 13 .0926 .1056 .1099 .1060 .0956 .0814 .0658 .0509 .0378 .0271 14 .0728 .0905 .1021 .1060 .1024 .0930 .0800 .0655 .0514 .0387 15 .0534 .0724 .0885 .0989 .1024 .0992 .0906 .0786 .0650 .0516 16 .0367 .0543 .0719 .0866 .0960 .0992 .0963 .0884 .0772 .0646 17 .0237 .0383 .0550 .0713 .0847 .0934 .0963 .0936 .0863 .0760 18 .0145 .0256 .0397 .0554 .0706 .0830 .0909 .0936 .0911 .0844 19 .0084 .0161 .0272 .0409 .0557 .0699 .0814 .0887 .0911 .0888 20 .0046 .0097 .0177 .0286 .0418 .0559 .0692 .0798 .0866 .0888 21 .0024 .0055 .0109 .0191 .0299 .0426 .0560 .0684 .0783 .0846 22 .0012 .0030 .0065 .0121 .0204 .0310 .0433 .0560 .0676 .0769 23 .0006 .0016 .0037 .0074 .0133 .0216 .0320 .0438 .0559 .0669 24 .0003 .0008 .0020 .0043 .0083 .0144 .0226 .0328 .0442 .0557

.tadísticas Inuación) X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 .0001 .0004 .0010 .0024 .0050 .0092 .0154 .0237 .0336 .0446 26 .0000 .0002 .0005 .0013 .0029 .0057 .0101 .0164 .0246 .0343 27 .0000 .0001 .0002 .0007 .0016 .0034 .0063 .0109 .0173 .0254 28 .0000 .0000 .0001 .0003 .0009 .0019 .0038 .0070 .0117 .0181 29 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0011 .0023 .0044 .0077 .0125 30 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0006 .0013 .0026 .0049 .0083 31 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0007 .0015 .0030 .0054 32 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0004 .0009 .0018 .0034 33 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0010 .0020 34 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0006 .0012 35 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0007 36 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 37 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 38 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 39 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001

Tablas estadísticas 581 TABLA III Distribución normal estándar z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .05% .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .1389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 ,4%2 ,4%3 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4988 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990 Tam bién, para z = 4.0, 5.0, y 6.0, las probabilidades son 0.49997, 0.4999997 y 0.499999999.

8 3 o>vv, s t- r~ *—• ov •—< 3 Ol Oqi *T, q 8 t Reproducido de M. Merrington and C. M. Thompson, \"Tables of percentage points of the inverted beta (F) distribution,” Biometrika, vol. 33 (1943), con 04 r¡ qa q8 i 8 04 s O8 8 óc R 8 o -* permiso de los fideicomisarios de Biomelrika. oi oi oi oi oi oi oi oi oi oi oi —1 —*— — 30 «vi 60 120 «Vi 4.40 r-* 253 q 3.70 8X 19.5 00 «vi 3.27 1.87 1.79 2.97 1.84 1.77 2.75 1.68 2.58 1.58 2.45 1.47 2.34 1.35 2.25 1.22 2.18 2.11 2.06 2.01 1.97 1.93 04 «VI Vo-. Oo oi OT- — Ov oqi q «o «w Ol qov OqI IoOii O' 00 «vi q f*i c r~ oi 04 04 oi 8 S q 8 8 So q s q 8 ov 8oi 04 oi 8 8 rn oi oi oi — —• i 0v4'¡ «o, «oV>I 04 8 rr-~- 3 3 ov «oVv, ov 3 o~ «V. O 8 3 8 83 «. X o qO oq qOv ®í 00 r~ X8 t OI a 04 oi oi oi •“ q «vi oi oi ov oi oi OI 04 oi oi oi — •“ •—• 8 «OV. «V, 04 «VI 8 8 8oi q 8R q 8oi ov a O- «VV o «8-* 8 8 8 ■>T «w «qV, 04 oí «C O; 't ri oi 04 oi oi oi oi 33 oi q q oó «vi —1 — 04 04 oi oi oi oi — — -* —■ «v¡ O- O, 04 3 «VV3 ov 0o4« 0■*4r r— «VI 3 oq« o OI 3q IV) -T 3 oi oi oi oi 04 04 04 oi oi oi q8 o8 q q q 3 304 oí od «vi 't 3 oi oi r8i oi r i oi oi r8—« •r—• rn Grados de libertad del num erador 'T 8 «vVO, «VV o «V *r s o Oovl X ov O' >o 0«—4t o r» «Vi Ol ov «VV «ro- «vi 't * 3 3 o- ~D «V, ov 04 04 qqos q8q •—• 20 054 o—í1*00 oi oi oi oi 04 oi 04 04 oi oi oi oi oi oi 04 r i oi oi oi oi *“■ >/1 ■» R 04 3 «Vi 0044 o X 04 04 OV «oVvI 3 o- X «^V-1i Ol 3 s r-' «o-Hí oc q oi oi oi ov oi O; «o 04 a a r i oi oi oi OI o r- 0s4 8 oi oi 0•40 8 oi 8 •* «vi 04 04 oi oi oi 04 ri 04 504 oí fT\" o s g «V, 8 o- rO-' cq> s ov 04 0a4 3 q a soi 3 a X ««—O• s8 8 r* OC «vi •'T qq 5 •«r oi oi ri oi oi 04 oi oi 04 — ~ i oi oi oi 04 oi oi oi oi 04 04 C T04f -r Ov oT - 3 «VV •—■O5gv «VV o «W -? 8 «w o04v 8 r- a '0t4 •o 04 ot—í r* ■o n s o- 3 s 3 TT ov 04 s8 X 8 8 04 oi 04 oi 04 8 «vi ’T oi ov oi 04 oi oi oi oi r i oi oi oi oi oi oi oi \"o«—0í*oÓCc s r~ ■O—« oov« X s ■V, 3 o■q« 8 04 OO)' oo.- 3 04 04 04 ~c K 'T ov oi oi § P -c «VV 04 oi r i 04 oi q8 oi oi 3 O' Tf ■o 8oi 8 04 oi oi oi 8 oi r8—•—8• 04 oi oi oi oi Ol r i <0O*4') «* 3 04 «V, ov 3 «V, o- Oo; 3 iOr,' «O «w 04 q 3 a ■X—>C 3 oc oí vo OC q 5 oi X K «VV«VV 5 q -T 8 3 04 oi oi 04 8oó ■«» oi ri o8i •8—< rí 04 oi 04 oi oi oi oi oi oi oi oi oi 04 oi 04 o O0r4-l *«r XO' s XX 04 or>- 8 0O4' —•oN O & XOV r«O- O' 8 •c X«w ’«VTI «o ■«r # 3 Ol 5 O, •Vi r~ o» oc «o 'T T ov 04 £ o oi oi oi oi oi oi oi 04 oi 04 oi oi oi oi 04 oi ri oi oi 04 oi oi 04 oi «C 'OT, 3 vC O&v So «XV. oov- 0O4I 8 s. SI s R 3 R « «C 8 ■oV-) ««VVVI un ■V) to« 04 a X o 04 oc -o ■'f -r oi oi oi oi oi oi 04 oi 04 oi oi oi oi oi oi oi r i oi oi 'T 3 oí o¡ oi oi oi oi U*l O) 5 0so4 «V. oO>V o s? OI a8 5 «w ■o 5S 8 3 qOI s OV «V. r- 0C74>a c o ov X X O; O•0I q 804 oí oí rf oi oi oi oi oi oi oi ri oi 04 oi oi 04 04 oi 04 oi 04 04 0q4 oi oi «£) «vi rt V, 04 04 OSOí o> «OViI *0-4* 3 ov o8i o3i 0•c4 X ••—-m % o, s So i X R O' 3 O«VVi «VV o 0044 oí OÍ sC «vi •*fr •o oi oi rñ q «c ’T q oi oi q 8 OV i §0 oi r i oi oi 04 oi oi oi oi oi oi 04 oi 04 oi Ov «O 04 a O«V-I ^r OvC- «V, q s •—« «&V>V o 't 3 O(N 04 O ■o ov o 3o o q 804 8 3 «c o8i 8 04 oí vo «vi ov o- -r 04 oi ri r» oi OÍ ri oi oi oi -é - i oi oi oi oi oi oi r^t OV oi oi oi r i 04 8 o «V, 3 o> *T o'S-- «0o4 o 3 X3; •—' o-_ r8n O, qo« «VV q04 8 o- 3 04 o« 0q4 a «Vi 8 fN «V, q X oí «C q 'T q oí oí vO «vi •vi ■«r • i 'T oi oi oi q? 3 OV oi oi oi oi oi o, r i r i Ol oi rn ri r i m «VI o- 8 o«V>V 04 04 8 3 O«VV o- s 3 ■-wr «w O04l 001 OXl a T o- g s3 s r~í vC O) «o rr ’í rr ■«r 'T 04 ri ri •<r r i 'O 00 c *’lf r i fñ vi «vi «vi «vi rr ■«r rr 41 - 04 o> «VI sC o- X o« o r—^ OI ov *F“T« «l-VH, -o o- X 04 24 04 04 a 25 a 30 a8 40 60 jopeuiuiouap p p p eu aq il ap sopear) = i* 584

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586 Tablas estadísticas TA B LA VII n! logn! Factoriales 1 0.0000 1 0.0000 /I 2 0.3010 6 0.7782 0 24 1.3802 1 120 2.0792 2 3 720 2.8573 4 5.040 3.7024 5 40.320 4.6055 362,880 5.5598 6 3,628,800 6.5598 7 8 39,916,800 7.6012 9 479,001,600 8.6803 10 6,227,020,800 9.7943 87,178,291,200 10.9404 11 1,307.674,368.000 12.1165 12 13 14 15 Coeficientes binomiales i) (;) o o o G ) (i) (;) (;) (;) (;.) 0 2 1 1 1 3 31 21 4 64 31 41 51 5 10 10 5 1 61 71 6 15 20 15 6 1 81 91 7 21 35 35 21 7 1 8 28 56 70 56 28 8 1 91 9 36 84 126 126 84 36 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 16 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 17 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 18 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 19 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 20 1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756

588 Tablas estadísticas TABLA IX V alores de rp para a = 0.011 \\p2 3 4 5 6 7 89 10 g-L 1 90.02 2 14.04 14.04 3 8 .2 6 8.32 8 .3 2 4 6.51 6 .6 8 6.74 6 .7 6 5 5 .7 0 5 .9 0 5 .9 9 6 .0 4 6 .0 7 6 5 .2 4 5 .4 4 5 .5 5 5.62 5.66 5 .6 8 7 4 .9 5 5 .1 5 5 .2 6 5 .3 3 5 .3 8 5 .4 2 5.44 8 4 .7 4 4 .9 4 5 .0 6 5 .1 3 5 .1 9 5.23 5 .2 6 5.28 9 4 .6 0 4.79 4.91 4 .9 9 5 .0 4 5 .0 9 5.12 5.14 5 .1 6 10 4 .4 8 4 .6 7 4 .7 9 4 .8 8 4 .9 3 4 .9 8 5.01 5 .0 4 5 .0 6 11 4 .3 9 4 .5 8 4.70 4 .7 8 4.84 4 .8 9 4 .9 2 4 .9 5 4 .9 7 12 4 .3 2 4.50 4 .6 2 4.71 4 .7 7 4.81 4 .8 5 4 .8 8 4.91 13 4 .2 6 4 .4 4 4 .5 6 4.64 4 .7 1 4 .7 5 4 .7 9 4 .8 2 4 .8 5 14 4.21 4 .3 9 4.51 4 .5 9 4 .6 6 4 .7 0 4 .7 4 4 .7 7 4 .8 0 15 4 .1 7 4 .3 4 4 .4 6 4 .5 5 4.61 4 .6 6 4 .7 0 4 .7 3 4 .7 6 16 4.13 4.31 4.43 4.51 4.57 4 .6 2 4 .6 6 4 .7 0 4 .7 2 17 4 .1 0 4.27 4 .3 9 4 .4 7 4 .5 4 4 .5 9 4 .6 3 4 .6 6 4 .6 9 18 4.07 4 .2 5 4 .3 6 4 .4 5 4.51 4 .5 6 4 .6 0 4 .6 4 4 .6 6 19 4.05 4 .2 2 4.33 4.42 4 .4 8 4 .5 3 4 .5 7 4.61 4 .6 4 20 4 .0 2 4.20 4.31 4 .4 0 4 .4 6 4.51 4 .5 5 4 .5 9 4 .6 2 24 3.96 4 .1 3 4.24 4 .3 2 4 .3 9 4 .4 4 4 .4 8 4 .5 2 4 .5 5 30 3 .8 9 4 .0 6 4.17 4.25 4.31 4 .3 6 4.41 4 .4 5 4 .4 8 40 3 .8 2 3.99 4 .1 0 4 .1 8 4 .2 4 4 .2 9 4 .3 3 4 .3 8 4.41 60 3 .7 6 3 .9 2 4 .0 3 4.11 4 .1 8 4 .2 3 4 .3 7 4.31 4 .3 4 120 3 .7 0 3 .8 6 3 .9 7 4.04 4.11 4 .1 6 4 .2 0 4.24 4 .2 7 oo 3 .6 4 3 .8 0 3 .9 0 3 .9 8 4 .0 4 4 .0 9 4 .1 3 4 .1 7 4.21 tE s ta tab la se rep ro d u ce de H . L. H arter. “C ritical V alúes for D u n can 's N ew M últiple R angc T e st”. C ontiene algunos valores corregidos p a ra reem p lazar los q u e b rin d a D . B. D uncan en “ M últiple R ange and M últiple F T e s ts ” . Biometrics, vol. 11 (1 9 5 5 ). L a ta b la d e a rr ib a se re p r o d u c e b a jo p e rm is o d e l a u to r d e la B io m c tric S o ciety .

Tablas estadísticas 589 TABLA IX (continuación) V alores de rp para a = 0.05 \\p 2 34 5 6 7 89 10 \\ 1 17.97 3.63 3.55 2 6.09 6.09 3.57 3.58 3.52 3 4.50 4.52 4.52 3.54 3.54 4 3.93 4.01 4.03 4.03 3.51 3.52 3.50 5 3.64 3.75 3.80 3.81 3.81 3.48 3.48 3.49 3.47 6 3.46 3.59 3.65 3.68 3.69 3.70 3.46 3.47 3.46 7 3.34 3.48 3.55 3.59 3.61 3.62 3.46 3.46 3.45 8 3.26 3.40 3.48 3.52 3.55 3.57 3.43 3.44 9 3.20 3.34 3.42 3.47 3.50 3.52 3.41 3.43 3.44 10 3.15 3.29 3.38 3.43 3.47 3.49 3.43 3.40 3.42 3.42 11 3.11 3.26 3.34 3.40 3.44 3.46 3.39 3.41 3.41 12 3.08 3.23 3.31 3.37 3.41 3.44 3.38 3.40 3.41 13 3.06 3.20 3.29 3.35 3.39 3.42 3.38 3.40 14 3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.40 3.37 3.39 3.39 15 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 3.39 3.37 3.35 3.37 3.35 16 3.00 3.14 3.23 3.30 3.34 3.38 3.32 3.35 3.33 17 2.98 3.13 3.22 3.28 3.33 3.37 3.30 3.33 3.31 18 2.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.36 3.28 3.31 19 2.% 3.11 3.20 3.26 3.31 3.35 3.25 3.29 3.29 20 2.95 3.10 3.19 3.25 3.30 3.34 3.23 3.27 24 2.92 3.07 3.16 3.23 3.28 3.31 30 2.89 3.03 3.13 3.20 3.25 3.29 40 2.86 3.01 3.10 3.17 3.22 3.27 60 2.83 2.98 3.07 3.14 3.20 3.24 120 2.80 2.95 3.04 3.12 3.17 3.22 oo 2.77 2.92 3.02 3.09 3.15 3.19

590 Tablas estadísticas TABLA X Valores críticos para la prueba de rangos con signo t n 7o.10 Toas Toca 7¿.oi 4 51 621 7 42 0 8 64 20 9 86 32 10 11 8 5 3 11 14 11 7 5 12 17 14 10 7 13 21 17 13 10 14 26 21 16 13 15 30 25 20 16 16 36 30 24 19 17 41 35 28 23 18 47 40 33 28 19 54 46 38 32 20 60 52 43 37 21 68 59 49 43 22 75 66 56 49 23 83 73 62 55 24 92 81 69 61 25 101 90 77 68 tD e F. W ilcoxon and R. A. Wilcox. Som e Rapid Approxim aie Statistical Pro- cedures, A m erican Cyanam id Company. Pearl River, N.Y.. 1964. R eproducido con permiso de American Cyanamid Company.

Tablas estadísticas 591 TABLA XI Valores críticos para la prueba Ut X V alores de U 0 to 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 0 0 0 1 11 12 2 3 3 3 0 0 1223 44 556 77 4 0 12 3 45 6 7 8 9 10 11 12 5 0 1 2 4 5 6 8 9 11 12 13 15 16 18 60 2 3 5 7 8 10 12 14 16 17 19 21 23 70 2 4 6 8 11 13 15 17 19 21 24 26 28 813 5 8 10 13 15 18 20 23 26 28 31 33 914 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 10 1 4 7 11 14 17 20 24 27 31 34 37 41 44 11 1 5 8 12 16 19 23 27 31 34 38 42 46 50 12 2 5 9 13 17 21 26 30 34 38 42 47 51 55 13 2 6 10 15 19 24 28 33 37 42 47 51 56 61 14 3 7 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 15 3 7 12 18 23 28 33 39 44 50 55 61 66 72 V alores de t/„os 23 45678 9 10 11 12 13 14 15 2 0 00 0 11 1 1 3 0 1 12 23 344 55 4 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 5 0 12 356 7 8 9 11 12 13 14 6 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 16 17 19 7 1 3 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 80 2 4 6 8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 90 2 4 7 10 12 15 17 20 23 26 28 31 34 10 0 3 5 8 11 14 17 20 23 26 29 30 36 39 11 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30 33 37 40 44 12 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37 41 45 49 13 1 4 8 12 16 20 24 28 30 37 41 45 50 54 14 1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55 59 15 1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 tE sta tabla se basa en D. Auble, “Extended Tables for the Mann-Whitney Statistics”, en Bulletin o f ihe Instí­ lale o f Educational Research at Indiana University, vol. 1. 1953. Con perm iso del autor.

592 Tablas estadísticas TABLA XI (continuación) V alores de U 0fa 23 45678 9 10 11 12 13 14 15 X 2 000 3 00 11 122 23 4 0 1 12 33455 67 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 15 7 0 1 3 4 6 7 9 11 12 14 16 17 19 8 0 2 4 6 7 9 11 13 15 17 20 22 24 9 1 3 5 7 9 11 14 16 18 21 23 26 28 10 1 3 6 8 11 13 16 19 22 24 27 30 33 11 14 7 9 12 15 18 22 25 28 31 34 37 12 2 5 8 11 14 17 21 24 28 31 35 38 42 13 0 2 5 9 12 16 20 23 27 31 35 39 43 47 14 0 2 6 10 13 17 22 26 30 34 38 43 47 51 15 0 3 7 11 15 19 24 28 33 37 42 47 51 56 V alores de U0oí 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 0 00 1112 4 0011 223345 5 0 1123 45677 8 6 0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 7 0 1 3 4 6 7 9 10 12 13 15 16 8 1 2 4 6 7 9 11 13 15 17 18 20 90 13 5 7 9 11 13 16 18 20 22 24 10 0 2 4 6 9 11 13 16 18 21 24 26 29 11 0 2 5 7 10 13 16 18 21 24 27 30 33 12 1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 31 34 37 13 1 3 7 10 13 17 20 24 27 31 34 38 42 14 1 4 7 11 15 18 22 26 30 34 38 42 46 15 2 5 8 12 16 20 24 29 33 37 42 46 51

5 % Respuestas a ejercicios con num eración im par CAPÍTULO 2 1 5 (a) (6 .8 .9 ); (b) |8 |; (c) (1, 2, 3 ,4 .5 . 8); ( d ) { l , 5 |; (e) {2, 4, 8|; ( 0 0 . 2.7 (a) |A u to 5. A uto 6. A uto 7. A u to 8); (b) {Auto 2. A uto 4. A u to 5, A u to 7}; (c) {Auto 1. A uto 8}; (d) {Auto 3, A uto 4. A u to 7. A uto 8). 2.9 (a) La casa tiene m enos d e tres baños, (b) La casa no tiene u n a chim enea, (c) La casa no cuesta más de $100.000. (d) La casa no es nueva, (e) La casa tiene tres o más baños y una chim enea, (f) La casa tiene tres o más baños y cuesta m ás de $100,000. (g) La casa cuesta más de $100.000 pero no tiene chimenea, (h) La casa es nueva y cuesta más de $100.000. (i) La casa es nueva o cuesta m ás de $100,000. (j) La casa tiene tres o más baños y/o una chimenea, (k) La casa tiene tres o más baños y/o cuesta más de $100,000. (1) La casa es nueva y cuesta más de $100,000. 2.11 (a) (H, 1). (H , 2), (H , 3), (H . 4). (H . 5). (H . 6) (T, H . H ). (T. H . T). (T. T . H ) y (T. T. T); (b) (H . 1). (H . 2), (H , 3), (H , 4), (H , 5). (H . 6), (T. H. T ) y (T, T , H ); (c) (H. 5). (H, 6), (T, H. T). (T, T, H ) y (T. T. T). 2.13 (a) 5*\"1; (b) 2.15 { ( . r , > 0 l ( * - 2 ) 2 + (>- + 3)2 =S9}. 2.17 (a) El evento de que una conductora tenga seguro de responsabilidad civil, (b) El evento de que una conductora no tenga seguro contra accidentes, (c) El evento de que una conductora tenga seguro de responsabilidad civil o seguro contra accidentes, pero no ambos, (d) El evento de que una conductora no tenga ambas clases de seguro. 2.19 (a) región 5; (b) regiones 1 y 2 juntas; (c) regiones 3, 5 y 6 juntas; (d) regiones 1, 3 .4 y 6 juntas. 2.21 Las cifras son inconsistentes y se deben poner en duda los resultados del estudio. 2.35 (a) Permisible; (b) no perm isible porque la suma de las probabilidades excede a 1; (c) permisible; (d) no permisible porque P(E) es negativa; (e) no permisible porque la sum a de las probabilidades es m enor que 1. 2.37 (a) La probabilidad de que no pasará no puede ser negativa, (b) 0.77 + 0.08 = 0.85 *■ 0.95; (c) 0.12 + 0.25 + 0.36 + 0.14 + 0.09 + 0.07 = 1.03 > 1; (d) 0.08 + 0.21 + 0.29 + 0.40 = 0.98 < 1. 2.39 (a) 0.29; (b) 0.80; (c) 0.63; (d) 0.71. 2.41 (a) 1; (b) J; (c) ¿¡; (d) jfc; (e) J¿. 2.43 $ . 2.45 (a) fiüs; (b ) (c) ¿g; (d) 2.47 (a) P ( A U B) es m enor que P( A) . (b) P( Aí~l B ) excede a P(A). (c) P(A U B) excede a 1. 2.49 0.34. 2¿1 fi. (b) l i a 5; (c) 7 a 2 en contra 2 ^ 3 0.94. 2.55 (a) 3 a 2; 2S7 5 a 3.

Respuestas a ejercicios con n um eració n im p ar 597 2.75 (a) h (b) (c) (d) (e) J; (f) 2.77 j |. 2.79 1|. 2.81 2.83 0.44. 2.85 (a) 0.096; (b ) 0.048; (c)0.0512; (d) 0.76. 2.87 (a) Los eventos son independientes por parejas: (b) los eventos no son independientes. 2.89 (a) 0.1406; (b) 0.1198. 2.91 0.7176. 2.93 2.97 0.76. 2.99 0.5684. 2.101 (a) 0.0944; (b) 0.8051. 2.103 (a) 0.032; (b ) 0.09375; (c) 0.625. 2.105 (a) 0.6757. CAPÍTULO 3 3.1 (a) No, p orque /( 4 ) es negativa; (b) sí; (c) no. porque la suma de las probabilidades es m enor que 1. 3.5 0 < k < 1. 3.9 (a) No, p orque /r(4) excede a 1; (b) no. porque F{2) es m enor que F ( l) ; (c) sí. 0 para jr < 1 13 para 1 S X < 2 para 2 5 X < 3 n para 3 g X < 4 « para 4 s X < 5 1 para .t g 5 3.13 (a) 4 : ( b ) i ; (c) J; ( d ) | ; (e) (f) i. 3.17 (a) f { 3) = l f { 4) = l f { 5) = J ,/{ 6 ) = * y f{ 7) = 0 para z < 3 p a ra 3 25 Z < 4 i para 4 § z < 5 i para 5 s z < 6 s para 6 S z < 7 ,1 p a ra z s 7 0 para .r < 0 para 0 £ .r < 1 s para 1 S .r < 2 9 para 2 25 X < 3 1 para x g 3 (a ) fc (b ) ft.

Respuestas a ejercicios c o n n u m e ra ció n im p a r 601 4.49 15 44- 4.51 H = 0 y a 2 = 7.2. 4.53 (a) 0.631; (b) 0.553. 4.55 (a) E ntre 0.230 y 0.290; (b) en tre 0.200 y 0.320. 4.57 8. 4.59 0. 4.61 Por ejem plo, / ( 0 . 0) = l y g (0 )/;(0 ) = de m anera que / ( 0 , 0) ^ g (0)/i(0). 4.63 (O K W ' r ) = (1 _ h y H .V K I = 1. E l M = 1. f.( r ) = I y cov(a', y) = 0 . 4.65 (a) 143; (b) 54. 4.69 75. 4.71 mai-i = \\ y oii-i = $• 4.73 Mui/4= V y ^yii/4 = ii • 4.77 0.0224. 4.79 (a) m = 0.74 y a = 0.68; (b) n = 1.91 y «r = 1.05. 4.81 0.8. 4.83 2.95 minutos. CAPÍTULO 5 ^<y,5.11 MÍ = Mt2) + MÍO- MÍ = MÍ3) + 3m(2) + MÓ) y MÍ - Mi4) + + 7M(2) + MÍi)- 5.13 (a) Ev(/) = 1 - 0 + en (b) /> (/) = [ 1 + *(/ - 1)]\". 5.15 (a ) o j = 0 cuando 0 = ¿; (b) a 3 —*0 cuando n —*oo. 5.17 0.0086. 5.19 (a) 0.3025; (b) 0.3025. 5.21 (a) 0.2205; (b) 0.2206. 5.23 0.2041. 5.25 0.9222. 5.27 0.0754. 5.29 (a) 0.0538. 5.33 Ky) = ( j \\ 1)**(1 \" ° y Para y =° ’ 2...... 5.43 /i(0; 4 , 9 ,5 ) = /»(1; 4 ,9 ,5 ) = h ( 2; 4. 9, 5) = h{3; 4, 9 ,5 ) = $ y *(4:4,9.5) « A . 5.47 (a) 0.0060; (b) 0.0076. 5.53 M: = A.M3 = AyM4 = A + 3A2. 5.55 (a) 0.1298; (b) 0.1101. 5.57 (a) 0.0180; (b) 0.0180.