Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4.3: M om entos 141 r — 1, tenem os fx\\ = E ( X ) , que es justam ente el valor esperado de la variable alea­ toria X , y en vista de su im portancia en la estadística le dam os un sím bolo especial y un nom bre especial d e f in ic ió n 4 3 n \\ se llam a la m edia de la d istrib u ció n de X , o sim p le m e n te la m e d ia d e X . y se d e n o ta co n ix. Los m om entos especiales que definirem os a continuación son de im portancia en la estadística p orque sirven para describir la form a de la distribución de una variable aleatoria, esto es, la form a de la gráfica de su distribución o densidad de probabilidad. d e fin ic ió n 4.4 El résim o m om ento alrededor del origen de una variable alea­ to ria X , d e n o ta d o p o r n , , es el valor e sp e ra d o d e ( X — /x)r; sim b ó licam en te, = E [ ( X - M)'] = X para r = 0, 1 ,2 ,... cuando X es discreta, y = £ [ ( * - m )'] = (-<■ - dx cuando X es continua A dvierta que fi0 = 1 y ¿i, = 0 para cualquier variable aleatoria para la cual fx exista (véase el ejercicio 4.25). El segundo m om ento alrededor de la m edia es de especial im portancia en esta­ dística porque indica la am plitud o dispersión de la distribución de una variable alea­ toria; así, se le da un sím bolo especial y un nom bre especial. DEFINICIÓN 4 3 f i 2 se llam a la varian za d e la distrib u ció n de X , o sim p lem en te la varíanz.a d e X , y se d e n o ta p o r a 2, var(X) o V'(A'): a . la raíz c u a d ra d a positiva de la varianza, se llam a la desviación estándar. L a figura 4.1 m u e stra cóm o la v a ria n za refleja la am p litu d o disp ersió n d e la d istrib u ­ ción de una variable aleatoria. M ostram os aquí los hislogram as de las distribuciones de probabilidad de cu atro variables aleatorias con la m ism a m edia fx = 5 p ero con varian- zas iguales a 5.26. 3.18, 1.66 y 0.88. C om o se puede ver, un valor peq u eñ o de a 2 sugie­ re que es probable que obtengam os un valor cercano a la m edia, y un valor grande de a 1 sugiere que hay una m ayor probabilidad de sacar un valor q ue no está cercano a la m edia. E sto se exam inará m ás am pliam ente en la sección 4.4. U n breve exam en de có-

142 C a pítulo 4: Esperanza m atem ática 123456789 H = 5 y tr2 = 1.66 ¿i = 5 y a 2 = 0.88 Figura 4.1 Distribuciones con diferentes dispersiones. m o /x3 , m o m e n to a lre d e d o r d e la m ed ia, describe la sim e tría o a sim e tría (falta d e sim e­ tría) de u na distribución se d a en el ejercicio 4.34. En m uchos casos, los m om entos alrededor de la m edia se obtienen al calcular pri­ m ero los m om entos alrededor del origen y entonces expresar el ai, en térm inos del n'r. C on este fin, se le pedirá al lector que verifique una fórm ula general en el ejercicio 4.33. A q u í, sim p lem e n te d e riv a re m o s la siguiente fórm ula d e cálculo p a ra o 2. TEOREMA 4.6 D em ostración «íK» *K» II II •KJP 1 1 1=W M = E { X 1 - 2 tx X + ¿i2) = E { X 2) - 2 f i E ( X ) + E { ai2) = E ( X 2) - 2 n - n + n 2 = a4 - ti2 ▼

Sección 4.3: M om entos 143 EJEM PLO 4.10 U se el teorem a 4.6 p ara calcular la varianza de X , que representa el núm ero de puntos lanzados con un dado balanceado. Solución Prim ero calculem os „ = £(*) = ! .i + 2 -i + 3 -i + 4 .i + 5 -i + 6 .i _7 “2 A hora. = £(X!) = l2- i + 2; 46 + 3=4 + 4*4 + + 6 6 6 6 6 91 6 y se sigue que , 91 / 7 V 35 T - V2 J = n EJEM P LO 4.11 C on respecto al ejem plo 4.2, encuentre la desviación estándar de la variable aleatoria X . Solución E n el e je m p lo 4.2 m o stram o s q u e ¿i = E ( X ) = 0.4413. A h o ra •i 2 - E H dx * = rf? = 17T - ! = 0.2732 y se sigue que a 2 = 0.2732 - (0.4413)2 = 0.0785 y o- = V 0 .0 7 8 5 = 0.2802. ▲

144 Capítulo 4: Esperanza matemática El siguiente es otro teorem a que reviste im portancia para el trabajo relacionado con desviaciones estándar o varianzas. t e o r e m a 4 .7 Si X tiene la varianza entonces v a r(u A r + b ) = a 2a 2 La dem ostración de este teorem a se le dejará al lector, p ero señalem os los siguientes corolarios: para a = 1 , encontram os que añadir una constante a los valores de una va­ riable a le a to ria , re s u lta e n u n d esp la z am ien to de to d o s los v alores d e A* a la izq u ierd a o la derecha, no afecta de m anera alguna la am plitud de la distribución : p ara b = 0 , en co n tram o s q u e si los valores de u n a variable ale a to ria se m ultiplican p o r una cons­ tante, la varianza se m ultiplica por el cuadrado de esa constante, lo que resulta en un cam bio correspondiente en la am plitud de la distribución. 4.4 TEOREMA DE CHEBYSHEV P a ra d e m o s tra r c ó m o tr o <r2 e s in d icativ o d e la am p litu d o d isp e rsió n de la d istrib u ­ ción de una variable aleatoria, dem ostrarem os ah o ra el siguiente teorem a, llam ado teo­ rema de Chebyshev en h o n o r del m atem ático ru so del siglo x ix , P. L C hebyshev. A quí sólo lo probarem os para el caso continuo, dejam os el caso discreto com o un ejercicio. t e o r e m a 4 .8 ( Teorema de Chebyshev) Si fi y a son la m edia y la desviación es­ tándar de una variable aleatoria X , entonces para cualquier constante positiva k la p robabilidad es al m enos 1 — - i que X asum irá un valor d en tro de k desvia- fv ciones estándar de la m edia; sim bólicam ente l P ( \\ X - fi\\ < k o ) S 1 - k D em ostración. D e acuerdo con las definiciones 4.4 y 4.5, escribim os <T2 = E [ ( x - / i ) 2] = J ( x - dx E ntonces, al dividir la integral en tres partes com o se m uestra en la figura 4.2, o b ­ tenem os — k o ¿.ji + Acr

Sección 4 .4 : Teo re m a de Chebyshev 145 Figura 4 .2 Diagrama para demostración del teorema de Chebyshev. Puesto que el integrando (x - f i)2 • /( x ) es no negativo, podem os form ar la d e ­ sigualdad a2^ í {x - m)2 - A x ) dx + í {x - ¡i)2-f(x) dx J-oc Jit+ko al borrar la segunda integral. Por consiguiente, puesto q ue (x — / i ) 2 £ k?cr2 pa- ra x ^ fx — k a o x £ /x + k a se sigue que ■lÁ — krr a2£ í k 2a 2 ' f { x ) d x + f k 2a 2■‘.f;{ x ); d x J —oo JItfii ++ kktor y de ahí que , rv-ka f »» —I M dx + / M dx J u + kir K J-*a siem pre y cuando a 2 ^ 0. Puesto que la suma de las dos integrales en el lado de­ recho es la probabilidad de que X asum irá un valor m enor que o igual a /i — k a o m ay o r q u e o igual a ¡x + k a •, h em o s d e m o stra d o así que y se sigue que />(\\ X - i i \\ £ k a ) ^ ¿ P ( \\ X - M| < k a ) £ 1 - p Por ejem plo, la probabilidad es al m enos 1 — 13 ~ que una variable aleatoria X asum irá un valor d entro de dos desviaciones están d ar de la m edia, la probabilidad es 18 al m en o s 1 — = —q u e asu m irá un valo r d e n tro de tre s desv iacio n es e s tá n d a r de la 1 24 m edia y la probabilidad es al m enos 1 — = — que asum irá un valor dentro de cinco desviaciones están d ar de la m edia. Es en este sentido que a controla la am plitud o dis­ persión de la distribución de una variable aleatoria. C laram ente, la probabilidad dada

146 Capítulo 4 : Esperanza matem ática p or el teorem a d e C hebyshev es solam ente un lím ite inferior; si la probabilidad de que u na variable a le a to ria dada asum a un valor d e n tro de k desviaciones e stá n d a r d e la m edia sea realm en te m ayor que 1 — y, si es así, no podem os decir p o r cuánto, p e­ ro el teorem a de Chebyshev nos asegura que esta probabilidad no puede ser m enor que 1 — p r . Sólo cuando se conoce la distribución de una variable aleatoria podem os calcu­ lar la probabilidad exacta. EJEM PLO 4.12 Si la densidad de probabilidad de X está dada por í 630x4( l — x ) 4 para 0 < x < 1 \\0 en cualquier otra parte encuentre laprobabilidad de que asum irá un valor dentro de dos desviacionesestán­ d a r de lam edia y com pare esta probabilidad con el lím ite inferior p roporcionado por el teorem a de Chebyshev. Solución L a in te g ra c ió n d ire c ta n o s m u e stra q u e /x = 5 y tr2 = ¿ , d e m a n e ra q u e (t = V l / 4 4 o a p ro x im ad a m en te 0.15. A sí, la p ro b ab ilid a d d e q u e X asu m irá un valor d en tro de dos desviaciones estándar de la m edia es la probabilidad de que asum irá un valor entre 0 .2 0 y 0.80. esto es, . 0 80 P (0 .2 0 < X < 0 .8 0 ) = / 630x4( 1 - x ) 4 d x J 0.20 = 0.96 O bserve qu e la aseveración “la probabilidad es 0.96” es una aseveración m ás fir­ me que \"la probabilidad es al m enos 0.75”, la que es proporcionada p o r el teo re­ ma de Chebyshev. ▲ 4.5 FUNCIONES GENERATRICES DE M OM ENTOS A unque los m om entos de la m ayoría de las distribuciones se pueden d eterm in ar d i­ rectam ente al evaluar las integrales o sum as necesarias, un procedim iento alternativo algunas veces proporciona simplificaciones considerables. E sta técnica utiliza las fu n d o ­ nes generatrices de momentos. definición 4.6 La función generatriz de m om entos de una variable aleatoria X , donde existe, está dada por

Sección 4 .5 : Funciones generatrices de m om entos 147 M,{<) = E(e'*) = cuando X es discreta y MAt) = j e\"-f{x)dx cuando X es continua. L a variable independiente es /, y por lo general estam os interesados en los valores de i en la cercanía d e 0 . Para explicar por qué nos referim os a esta función como una función “generatriz d e m o m e n to s\", su stitu y am o s p o r elx su ex pansión e n la serie d e M aclaurin, esto es, e'x = 1 + t t + ^ + ^ + - + ^ + - 2! 3! r. Para el caso discreto, obtenem os así VvW= s [ , + „ + t i + ... + t i + A*) 2! r! = Z’ ñ x ) + t • 2 x f { x ) + 2 x 2f ( x ) + ••• + 2 *7 (x) + Xi Í '• X 1 + til + M2 + \"■ + Mr y se puede ver q ue en la serie de M aclaurin de la función generatriz de m om entos de X el coeficiente de es /z ', cl résim o m om ento alrededor del origen. En el caso con­ tinuo, el argum ento es el mismo. EJEM PLO 4.13 Encuentre la función generatriz de m om entos de la variable aleatoria cuya densidad de probabilidad está dada por /(* ) para x > 0 -{f en cualquier otra parte y úsela para encontrar una expresión para /x'.

148 C a p ítu lo 4: Esperanza m atem ática eT-é-* dx Solución Por definición Mx (i) = E(e'x ) = e-W -i) dx C om o es bien sabido, cuando |í| < 1 la serie de M aclaurin para esta función ge­ neratriz de m om entos es M x {t) = 1 + t + r + t3 + + f + ••• t t2 r1 f = 1 + 1! - - + 2 ! - - + 3!.- + + r ! . - + - y por tanto p a ra r = 0 . 1 , 2 . ___ ▲ La dificultad principal al usar la serie de M aclaurin de una función generatriz de m om entos para determ inar los m om entos de una variable aleatoria generalm ente no es encontrar la función generatriz de m om entos, sino expandirla en la serie de M aclaurin. Si sólo estam os interesados en los pocos prim eros m om entos de una variable aleatoria, digam os, ¿i', y f i 2 , g e n e ra lm e n te p o d e m o s sim plificar su d ete rm in a ció n m ed ia n te el si­ guiente teorem a. TEOREMA 4.9 <TA# , ( 0 __ 9 df Pr í=0 E sto se sigue del hecho que si una función se expande com o una serie exponencial en t, el coeficiente de-y es la résim a derivada de la función con respecto a / en / = 0 . EJEM PLO 4.14 D ado que X tiene la distribución de probabilidad f ( x ) = Para * = 0 ,1 ,2 y 3, encuentre la función generatriz de m om entos de esta variable aleatoria y úsela para d e­ te rm in a r fi\\ y fi'2 ■

Sección 4 .5 : Funciones generatrices de m om entos 149 Solución D e acuerdo a la definición 4.6 = ^ ( 1 + 3e' + 3 e^ + e3') O E ntonces, p o r el teorem a 4.9 3 = m ;(0 ) = g (l + 1=0 2 Mi = A í ; ( 0 ) = ^ ( 1 + e ')e :' + | ( 1 + , - ) V =3 »=o A m enudo el trabajo que implica el uso de funciones generatrices de m om entos se puede sim plificar al asar el siguiente teorem a. t e o r e m a 4 .1 0 Si a y b son constantes, entonces 1. A/,+„(f) = El,'-1'*'»] = 2 . M t x (,) = £ ( / \" ) = M x (b,y. 3. M ^ ( 0 = E ^ ^ ' ] = La dem ostración d e este teorem a se deja al lector en el ejercicio 4.46. C om o verem os m ás ad e la n te , la p rim e ra p a rte del teo re m a es d e especial im portancia cu ando a = —/i, y la te rc e ra p a rte e s d e especial im p o rtan cia c u a n d o a = —fj. y b = <r, e n cuyo caso M x^t) = \\ (f EJERCICIOS 4.25 C o n re s p e c to a la d efin ició n 4.4, d e m u e s tre q u e fi0 = 1 y q u e /x, = 0 p a ra cualquier variable aleatoria para la que exista E ( X ) . 4 J 6 E n c u e n tre n , ¿tí y <r2 p a ra la variab le a le a to ria X q u e ten g a la d istrib u ció n de p ro b ab ilid a d f ( x ) = 5 p a ra x = —2 y x = 2.

150 C a p ítu lo 4 : Esperanza m atem ática 4.27 E n c u e n tre ¡x, fi'2 y <x2 p a ra la v ariab le a le a to ria X q u e tien e la d en sid ad de p ro ­ babilidad para 0 < x < 2 en cualquier otra parte 4.28 E n c u e n tre ¡i'r y cr2 p a ra la variab le a le a to ria X q u e tien e la d e n sid a d d e p ro b a ­ bilidad f(x) = 11 para 1 < x < 3 In 3 x 0 en cualquier otra parte 4.29 D em uestre el teorem a 4.7. 4 3 0 C on re sp e c to al ejercicio 4.8. e n c u e n tre la v arian za d e g ( X ) = 2 X + 3. 4 3 1 Si la variable a leato ria X tiene la m edia /¿ y la desviación e stá n d a r cr,d e m u e s­ tre que la variable aleatoria Z cuyos valores están relacionados con los de X por m ed io d e la ecuación z — ----- — tien e E ( Z ) = 0 y v a r ( Z ) = 1 (T U na distribución que tiene la m edia 0 y la varianza 1 se dice que estáen forma norm al, y cuando efectuam osel cam bio de variable anterior, decimos que esta­ m os norm alizando la distribución de X. 4 3 2 Si la densidad de probabilidad de X está dada por _ í 2x ~3 para x > 1 \\0 en cualquier otra parte verifique si existen su m edia y su varianza. 433 Dem uestre que ~ ( [ ) * * ' - 1 + *** + ‘ M< + + ( - 1 r ’( r - 1 ) V p a ra r — 1, 2, 3 , . . . , y use e sta fórm ula p a ra e x p re sa r n 3 y en térm inos de m om entos alrededor del origen. 4 3 4 La sim etría o asim etría (falta de sim etría) de una distribución a m enudo se mi­ de por la cantidad „ _ Mi “ 3 “ o-3 U se la fórm ula para fi3 o b tenida en el ejercicio 4.33 para determ inar a 3 p ara ca­ da una de las siguientes distribuciones (las cuales tienen m edias y desviaciones estándar iguales): (a) /( 1 ) = 0.05, f [ 2 ) = 0.15, /( 3 ) = 0.30, /(4 ) = 0.30, f { 5) = 0.15 y / ( 6 ) = 0.05;

Sección 4 .5 : Funciones generatrices de m om entos 151 (b) /( 1 ) = 0.05, /(2 ) = 0.20, /( 3 ) = 0.15, /( 4 ) = 0.45, 5) = 0.10 y / ( 6 ) = 0.05. T am bién dibuje los histogram as de las dos distribuciones y advierta que m ien­ tras la prim era es sim étrica, la segunda tiene una “cola” en el lado izquierdo y se dice que es negativam ente asimétrica. 4 3 5 El grado en el cual una distribución sea puntiaguda o aplanada, tam bién se cono­ ce com o la curtosis de la distribución, a m enudo se m ide p o r m edio d e la cantidad U se la fó rm u la p a ra /x4 o b te n id a e n el ejercicio 4.33 p a ra e n c o n tra r a 4 p a ra ca­ da una de las siguientes distribuciones sim étricas, de la cual la prim era es más puntiaguda (pico más angosto) que la segunda: (a) / ( —3 ) = 0.06, / ( —2 ) = 0.09, / ( —1) = 0.10. / ( 0 ) = 0.50, / ( 1 ) = 0 .1 0 , f i 2) = 0.09 y /(3 ) = 0.06: (b ) / ( —3 ) = 0.04. f { - 2 ) = 0 .1 1 ,/ ( - l ) = 0 .2 0 ,/ ( 0 ) = 0 .3 0 ,/( 1 ) = 0.20, / ( 2 ) = 0.11 y / ( 3 ) = 0.04. 4.36 R epita los pasos usados en la dem ostración del teorem a 4.8 para probar el teo­ rem a de Chebyshev para una variable aleatoria discreta X. 4 3 7 D e m u e stre q u e si X es una v a ria b le ale a to ria con la m ed ia n p a ra la cual f ( x ) = 0 p a ra x < 0 , entonces p a ra cualquier co n stan te positiva a. E sta desig u ald ad se llam a desigualdad de M arkov. y la dam os aq u í prin cip al­ m ente porque nos lleva a una dem ostración alternativa, relativam ente simple del teorem a de Chebyshev. 4 .3 8 Use la desigualdad del ejercicio 4.37 para probar el teorem a de C hebyshev [Su- g a e r c La: su stitu y a (A\" — n ) 2 e n vez d e A'.] 4 3 9 ¿C uál es el valor m ás pequeño de k en el teorem a de C hebyshev para el q ue la probabilidad de que una variable aleatoria asum a un valor en tre /x — krr y fx + k a sea (a) al m enos 0.95; (b) al m enos 0.99? 4 .40 Si hacem os k v = c en el teorem a de Chebyshev, ¿qué afirm a este teorem a so­ bre la probabilidad de que una variable aleatoria asum a un valor en tre n — c y \\i + c? 4.41 E ncuentre la función generatriz de m om entos de la variable aleatoria discreta X que tiene la distribución de probabilidad p a ra x = 1, 2, 3 . . . . y úsela p a ra d e te rm in a r los v alo res de /xj y ¿i í .

Capítulo 4: Esperanza matemática 4.42 E ncuentre la función generatriz de m om entos de la variable aleatoria continua X cuya densidad de probabilidad está dada por = /1 Para 0 < x < I \\0 en cualquier otra parte y úsela p a ra e n c o n tra r n \\ . n 2 y a 2. 4.43 Si h a c em o s R x ( t ) = In M x (t), d e m u e s tre q u e /? * ( 0 ) = n y R x {0) = <r2. T am bién, use estos resultados para encontrar la m edia y la varianza de una va­ riable aleatoria X que tenga la función generatriz de m om entos Mx {t) = 4.44 Explique por qué no puede haber una variable aleatoria para la cual M x (t) = ^ _ f • 4.45 D em u estre que si una variable aleato ria tiene la densidad de probabilidad / ( * ) = ^ e_W Para _ 0 ° < x < °c su función generatriz de m om entos está dada por MxC) = 4.46 Con respecto al ejercicio 4.45, encuentre la varianza de una variable aleatoria (a) al expandir la función generatriz de m om entos com o una serie infinita y leer de ella los coeficientes necesarios; (b) al u sar el teorem a 4.9. 4.47 D em uestre las tres partes del teorem a 4.10. 4.48 D a d a la función g e n eratriz d e m o m en to s M x ( t ) = e 3' +8/2. e n c u e n tre la función generatriz de m om entos de la variable aleatoria Z = \\ ( X — 3 ), y úsela para determ inar la m edia y la varianza de Z. APLICACIONES 4.49 Con respecto al ejem plo 4.1, encuentre la varianza del núm ero de aparatos de televisión con cables blancos. 4.50 El tiem po que tom a servir a una persona en un restaurante dado es una varia­ ble aleatoria con la densidad de probabilidad f(x) = 1 -í para x > 0 -e en cualquier otra parte 0 E ncuentre la m edia y la varianza de esta variable aleatoria 4.51 C on respecto al ejercicio 3.51, encuentre la m edia y la varianza de la variable aleatoria en cuestión.

Sección 4.6: M om entos producto 153 4 5 2 C on resp ecto al ejercicio 3.20, encuentre la m edia y la varianza de la variable a le a to ria V. 4 5 3 L o q u e sigue son algunas ap licaciones d e la d esig u ald ad d e M a rk o v d el ejerci­ cio 4.37: (a) La puntuación que un estudiante de tercer año de secundaria obtiene en la p arte verbal de la prueba PSAT7NM SQT se puede considerar com o los v a lo re s de una variable a le a to ria con la m edia y. = 41. E n c u e n tre el lím i­ te superior de la probabilidad de que uno de los estudiantes obtenga una puntuación de 65 o más. (b) El peso de ciertos anim ales se puede considerar com o una variable alea­ to ria con una m edia de 212 gram os. Si ninguno de los anim ales pesa m e­ nos d e 165 gram os, e n c u en tre un lím ite su p erio r a la p ro b ab ilid ad d e que un anim al así pese al m enos 250 gramos. 4.54 E l n ú m ero de licencias d e m atrim onio ex p ed id as en c ie rta ciudad d u ra n te el m es de ju n io se puede considerar com o una variable aleatoria con y = 124 y ít = 7.5. D e acuerdo con el teorem a de Chebyshev, ¿con qué probabilidad po­ d e m o s a firm a r q u e ah í se e m itirán e n tre 64 y 184 licencias d e m atrim o n io d u ­ rante el m es de junio? 4.55 U n e stu d io del valor alim enticio d e cierta clase d e pan m u estra q u e la cantidad de tiam in a (vitam ina B :) e n u n a reb a n a d a se pu ed e co n sid erar co m o una v aria­ ble a le a to ria con y. = 0.260 m iligram os y cr = 0.005 m iligram os. D e acu erd o al teorem a de Chebyshev, ¿entre qué valores debe estar el contenido de tiamina de (a) al m enos de todas las rebanadas de este pan; (b) al m enos de todas las rebanadas de este pan? 4.56 C on resp ecto al ejercicio 4.50, ¿q u é p odem os afirm ar sobre la cantidad d e tiem ­ p o que to m a servir a una persona en el restau ran te dado si usam os el teorem a de C hebyshev con k = 1.5? ¿C uál es la probabilidad correspondiente con cua­ tro decimales? 4.6 M OMENTOS PRODUCTO Para continuar el exam en de la sección 4.3. presentarem os ahora los m om entos p ro ­ ducto de dos variables aleatorias. d efin ició n 4 7 El résim o y el assimo m om entos producto alrededor del origen de las variables aleatorias X y Y. denotadas por y'r s , es el valor esperado de X rV ; sim bólicam ente, - £<*'*\") = 2 S'V-A*..»-) *y p a ra r = 0, 1 . 2 , . . . y s = 0 , 1 , 2 ___ c u a n d o X y Y son discretas, y

Capítulo 4: Esperanza matemática 00 00 MÍ., = E ( X ' r ) = f f x W - f ( x , y ) d x d y J-o o J -O í. donde X y Y son continuas. En el caso discreto, la doble sum a se extiende en el intervalo conjunto com pleto de las dos variables aleatorias. A dvierta que 0 = E ( X ) y el cual denotam os aquí con n x , y q u e /¿ó j = E ( Y) , el cual d e n o ta m o s a q u í c o n /i y . A náloga a la definición 4.4, definam os ahora los m om entos producto alrededor de sus m edias respectivas. d e fin ic ió n 4.8 El résim o y aisim o m om entos p ro d u cto alred ed o r d e la m edia de las v ariab les a leato rias X y Y. d e n o ta d a s p o r fxr s , e s el v alo r e sp e ra d o de { X — / i * ) r( y — ¿¿y)1; sim b ó licam en te. = E [ { X - n x )'{Y - tiy )’} = * x ) ' { y - M»-)1’ K X' y ) *y para r = 0, 1, 2 ,... y s = 0. 1, 2 ,... cuando X y Y son discretas, y t í ,., = E [ ( X - » X)’(Y - ,m,Y } oo oc = í í {x - Hx Y{ y - Hy Y ' A x , y) d x d y J -oc J —oc cuando X y Y son continuas. En estadística, fi] , es de especial im portancia porque es indicativa de la relación, si es que la hay, e n tre los valores X y Y \\ así, se le da un sím bolo especial y un nom bre especial. d e f i n i c i ó n 4 .9 ¿i, , se llam a la c o v a ria n z a de A' y y . y se d e n o ta c o n crAT, cov(Af, Y) o C ( X , Y). O bserve que si existe una probabilidad alta de que valores grandes de X vayan con va­ lores grandes de y y valores pequeños de X con valores pequeños de Y , la covarianza será positiva; si hay una alta probabilidad de que valores g ran d es de X vayan con va­ lores pequeños de Y, y viceversa, la covarianza será negativa. E s en este sentido que la covarianza m ide la relación, o asociación, en tre los valores de A' y y.

Sección 4.6: M om entos producto 155 Probem os ah o ra el siguiente resultado, análogo al teorem a 4.6, que es útil en d e­ term inar realm ente las covarianzas. D em ostración. Al usar los diversos teorem as sobre los valores esperados, podem os escribir Oxy = E [ { X - HX) { Y - tly)] = E ( X Y - X’fiy - Yiix + = E { X Y ) - h y E { X ) - fix E ( Y ) + n x n Y = E ( X Y ) - /Xyflx - flxó-Y + Hx V y = MÍ. 1 ” V -X Ó -Y ▼ EJEM PLO 4.15 En el ejem plo 3.20. las probabilidades marginal y conjunta de X y Y, los núm eros de cáp­ sulas de aspirinas y sedantes entre dos cápsulas sacadas al azar de un frasco que contie­ ne tres aspirinas, dos sedantes y cuatro cápsulas laxantes, se registraron com o sigue: x 1 1_ 12 1_ 18 J_ 36 12 12 E ncuentre la covarianza d e X y Y. Solución Al referirnos a las probabilidades conjuntas dadas aquí, obtenem os M',., = E { X Y )

156 Capítulo 4 : Esperanza matem ática y al usar las probabilidades m arginales, obtenem os „ = * W = o . A+1.I + 2.-L = ¡ Se sigue que 1 2 4_ 7 a*v 6 3 9 54 El resultado negativo sugiere que m ientras saquem os más tabletas de aspirinas, saca­ rem os m enos tabletas de sedante y viceversa, y esto por supuesto es razonable. ▲ EJEM PLO 4.16 E ncuentre la covarianza de las variables aleatorias cuya densidad de probabilidad está dada por f(x para x > 0 . y > 0 , x + y < 1 en cualquier otra parte • v) = {o Solución Al evaluar las integrales necesarias, obtenem os Se sigue que JL _ I 1 - _ 1 a x Y ~ \\ 2 3 * 3 \" 36 P o r lo q u e to c a a la relación e n tre A' y Y, o b serv e q u e si X y Y son in d e p e n d ie n ­ tes. su covarianza es cero; sim bólicamente. t e o r e m a 4.12 Si A’ y y so n in d e p e n d ie n te s , e n to n c e s E ( X Y ) = E ( X ) • E ( Y ) y (Txy = 0 .

Sección 4.6: M om entos producto 157 D em ostración. Para el caso discreto tenem os, por definición. F . [ X Y ) = 2 z *>■■/(*■ y ) *y Puesto que X y Y son independientes, podem os escribir / ( x. y) = g(.r) ' h ( y ) , donde g (x ) y h ( y ) donde g(x) y h(y) son los valores de las distribuciones m argi­ n a le s d e A\" y V, y o b ten e m o s £(a t ) = 2 2 (v) *y y,x-g(x) 2 >-A(y) y = E{X) •E(Y) Por tanto. <*XY = MÍ. t - P x P y = E(X)-E(Y) - E(X)-E(Y) =0 Es interesante señalar que la independencia de dos variables aleatorias implica una covarianza cero, pero una covarianza cero no implica necesariam ente su independencia. E sto se ilustra con el siguiente ejem plo (véanse tam bién los ejercicios 4.61 y 4.62). EJEM PLO 4.17 Si la distribución de probabilidad conjunta de X y Y está dada por .r 1 -1 ü 11 1 1 6 63 000 0 1 1 10 6 6 III 33 3 dem uestre que su covarianza es cero aun cuando las dos variables aleatorias no son independientes.

158 C apítulo 4: Esperanza m atem ática Solución Al usar las probabilidades m ostradas en los m árgenes, obtenem os M* = ( - 1 ) ' ^ + 0 ' J + 1 *J = 0 Mv = ( - 1 ) * j + 0 - 0 + 1 - y = - j y Mi.i = ( - i ) ( - i ) - g + 0 ( - i ) - j + i ( - i ) - ¿ + i-i-£ =o A sí. a XY = 0 — 0 ( —5 ) = 0. la co v arian za es c e ro , p e ro las d o s v ariab les a le a to ­ rias no son independientes. Por ejem plo, f ( x , y) ^ g (x ) • h ( y ) para x = — 1 y y = - 1. A Los m om entos producto tam bién se pueden definir para el caso donde hay más de dos variables aleatorias. A quí sim plem ente enunciem os el resultado im portante que TEOREMA 4.13 Si X x. A%,. . . . X n son in d e p e n d ie n te s, e n to n c e s E { X xX 2 - .. ■X. ) = E ( X , ) - E ( X , ) - ... • £ ( * „ ) Ésta es una generalización de la prim era p arte del teorem a 4.12; de hecho, la dem os­ tración de este teorem a, basado en la definición 3.14, es esencialm ente com o la de la prim era p arte del teo rem a 4.12. 4 .7 M O M E N TO S DE C O M B IN A C IO N E S LIN EALES D E VA R IA B LES A LE A TO R IA S En esta sección derivarem os expresiones para la m edia y la varianza de una com bina­ ción lineal de n variables aleatorias y la covarianza de dos com binaciones lineales de n variables aleatorias. Las aplicaciones de estos resultados se tratarán más adelante en nuestro exam en de la teoría del m uestreo y los problem as de inferencia estadística. t e o r e m a 4.14 Si X x, X , X n son variables aleatorias y y = ±°,x, ¡=i donde a x, a2, . . . , a„ son constantes, entonces

Sección 4 .7 : M om entos de com binaciones lineales de variables aleatorias 159 F.(Y) = ¿ a ,£ (2 f ,) 1=1 y v a r ( V ) = ¿ o ‘ * v a r ( ^ ) + 2 2 2 a>a>• c o v ( X , X ¡ ) 1=1 t < i d onde la doble sum a se extiende para todos los valores de i y j, desde 1 hasta n, para los que i < j. Dem ostración. P a rtie n d o d el te o re m a 4.5 con £ i(A,1, X 2 X k ) = A', para / = 0 , 1 , 2 « .s e sigue inm ediatam ente que E(Y) = £ Í¿ a ,J f,) = ¿ o .t'U ) \\ í - l / 1=1 y esto dem u estra la prim era p arte del teorem a. Para o b ten er la expresión de la va ria n za de Y. escrib am o s /x, p a ra E ( X ¡ ) d e m an e ra q u e o b ten e m o s v a r ( y ) = £ ( [ y - E ( y ) f ) = e { [ 2 <1, A-, - ¿ o , £ ( * , ) ] \" } = £ { [ ¿ .,U '- M ') ) } Entonces, al expandir por m edio del teorem a m ultinom ial, de acuerdo al cual (a + b + c + d ) 2, p o r ejem p lo , es igual a a 2 + b 2 + c + d 2 + l a b + l a c + l a d + 2be + 2b d + 2cd. y refiriéndonos o tra vez al teorem a 4.5, obtenem os v a r ( y ) = Í > : E [ ( X - M.)2] + 2 2 2 » , « , £ [ ( * , - m.)(AT, - M.)] i- 1 !</ -2 • v a r (^« ) + 2 2 2 a ‘ai *c o v (* f» X j) 1=1 1</ A dvierta que tácitam ente nos valimos del hecho que cov( X ¡. Xj) = cov(Xt , X,). ▼ P uesto que c o v ( X ¡ , X¡) = 0 cu an d o X i y X¡ son independientes, se sigue inm e­ diatam ente que c o r o l a r i o Si las variables aleatorias X { , X 2, . . . , X n son independientes y n Y = 2 o,X,, entonces 1=1 v a r ( y ) = ¿ a f •var(A') i=i

160 C apítulo 4 : Esperanza matem ática EJEM PLO 4.18 Si las variables aleatorias X , Y y Z tienen las m edias /jlx = 2, = ~ 3 y ¿ i/ = 4, las varian- zas < r \\ = l,<7y = 5 y <r\\ = 2, y las covarianzas cov(A ', Y ) = —2. cov(AT, Z ) = - 1 y cov(K , Z ) = 1, encuentre la m edia y la varianza de W = 3 X — Y + 2Z. Solución Por m edio del teorem a 4.14, obtenem os E(W) = E{3X - Y + 2Z) = 3E(X) - E(Y) + 2E(Z) = 3-2 - (-3 ) + 2-4 = 17 y v ar(W ) = 9 var(A ') + v a r(y ) + 4 v a r(Z ) — 6 cov(A \\ P) + 12 c o v ( X , Z ) - 4 cov(V , Z ) = 9 - 1 + 5 + 4 * 2 - 6 ( —2 ) + 12( —1) - 4 - 1 = 18 ▲ Lo que sigue es otro teorem a im portante acerca de com binaciones lineales de va­ riables aleatorias; se refiere a la covarianza de dos com binaciones lineales de n varia­ bles aleatorias. t e o r e m a 4 .1 5 Si A ',, X 2 X n son variables aleatorias y y, = i > , * , y n = Í > , * , i*l i - 1 d on d e a , , a 2, . . . , a„ . b x, b2, . . . , b n son constantes, entonces c o v ( P ,, y2) = - v a r ( ^ ) + £ 2 (a‘b¡ + aibi ) ' c o v (X t, X,) i» l /</ La dem ostración de este teorem a, que es m uy sim ilar a la del teorem a 4.14, se dejará al lector en el ejercicio 4.67.

Sección 4 .8: Esperanza condicional 161 Puesto que cov(A 'i , X¡) = 0 cuando X, y X¡ son independientes, se sigue inm e­ diatam ente que COROI.ARIO Si las variables aleato rias X x, X 2 X„ son independientes Y , — nn 2 a,X¡ y Y2 = ^ b . X , , en to n ces i=i i=i c o v ( y , , Y2) = -var(^) 1=1 EJEM PLO 4.19 Si las variab les a le a to ria s X , Y y Z tie n e n las m edias fxx = 3, n Y = 5 y n z = 2. las va- ria n z as tz* = 8 , <zy = 12 y = 18, y cov(A \\ V) = 1, cov(A \\ Z ) = - 3 y c o v (y , Z ) = 2. en cu en tre la covarianza de U = X + 4 Y + 2 Z y V = 3AT - y - Z Solución Por el teorem a 4.15, obtenem os cov(U, V) = c o \\ { X + 4 Y + 2 Z . 3 X - Y - Z ) = 3 v a r ( * ) - 4 v a r ( y ) - 2 v a r ( Z ) + 11 c o v ( * , y ) + 5 cov(AT, Z ) — 6 c o v ( y , Z ) = 3 - 8 - 4 -1 2 - 2 - 1 8 + 1 1 -1 + 5 ( —3 ) - 6 - 2 = -76 ▲ 4.8 ESPERANZA CONDICIONAL E n la sección 3.7 obtuvim os las probabilidades condicionales al sum ar los valores de las distribuciones de probabilidades condicionales o al integrar los valores de las densidades de p ro b ab ilid ad es condicionales. Las esperanzas condicionales de variables aleato rias se definen de la m ism a m anera en térm inos de sus distribuciones condicionales. d efin ic ió n 4.10 Si X es u n a variable a le a to ria d iscre ta y f ( x \\ y ) es el v alo r d e la d is trib u c ió n d e p ro b a b ilid a d c o n d ic io n a l d e X d a d o Y = y e n x, la esperanza condicional d e ti(A ') d a d o Y = y es E [ u ( X ) \\ y ] = 2 > ( * ) ■/(*!>)

162 C a pítulo 4: Esperanza m atem ática D e m anera correspondiente, si X es una variable aleatoria continua y f [ x \\ y ) es el valor de la densidad de probabilidad condicional de X d ad o Y = y en x , la es­ peranza condicional de u ( X ) dado Y = y es E[u(X)\\y] = í u ( x ) ‘f[x\\y) dx J - oo Expresiones sim ilares basadas en la distribución o densidad de probabilidad condicio­ nal de Y dado X = x definen la esperanza condicional de v( Y) dado X = x. Si hacem os u ( X ) = X en la definición 4.10, o btenem os la m ed ia co n d icio n al de la variable aleato ria X dado Y = y, la cual denotam os por /i*1v = E { X \\ y ) D e m anera correspondiente, la varianza condicional de X dado Y = y es <4, = E[(jr - m xJ'H = E(X*\\y) - ^ d o n d e E { X 2\\ y) e s tá d a d a p o r la definición 4.10 con u ( X ) = X 2. A l lec to r n o le d ebe ser difícil generalizar la definición 4.10 para esperanzas condicionales que im plican más de dos variables. EJEMPLO 4.20 C on resp e c to al e je m p lo 3.12, e n c u e n tre la m ed ia co n d icional d e X d a d o Y — 1. Solución Al usar los resultados obtenidos e n el ejem plo 3.23, esto es. / ( 0 1 1) = * . / ( 1 11) = | y / ( 2 11 ) = 0 , obtenem os E(*|l) = 0-y + 1 - | + 2-0 = | A EJEMPLO 4.21 Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por {\\ (x + 2y) para 0 < x < l , 0 < y < l 3 en cualquier otra parte 0 encuentre la m edia condicional y la varianza condicional de X dado Y = ¿ . Solución E n el ejem plo 3.24 m ostram os qu e para esas variables aleatorias la densidad con­ dicional de X dado Y = y es

Sección 4 .8 : Esperanza condicional 163 f(*b) = 2x + 4y para 0 < x < 1 1 + 4y en cualquier otra parte de m anera que p a ra 0 < .r < 1 en cualquier otra parte A sí, /xA-|| e s tá d a d a p o r £H 0 = í !* (* + »* 5 9 A continuación encontram os E { x ' ] í ) = l ¡ ^ x + 1)dx 7_ 18 y se sigue que 1_ 5 n2 13 < r\\\\ 18 162 EJERCICIOS 4.57 Si X y Y tie n e n la d istrib u c ió n de p ro b a b ilid a d c o n ju n ta f ( x , y ) = ¿p a ra x = —3 y y = —5, x = —1 y y = —1, x = 1 y y = 1, y x = 3 y y = 5, e n ­ c u e n tre co v (A r, Y) . 4.58 C on re s p e c to al ejercicio 3.56. e n c u e n tre la co v arian za de X y Y. 4.59 C on re s p e c to al ejercicio 3.22, e n c u e n tre la co v arian za d e X ] y X 3. 4.60 C on re sp e c to al ejercicio 3.94, e n c u e n tre c o v (A \\ V). 4.61 Si A' y y tie n e n la distrib u ció n de p ro b ab ilid a d c o n ju n ta / ( —1 ,0 ) = 0, n - l , 1) = i- /(O , 0 ) = I m 1) = o. X l.O ) = ¿ y / ( l , 1) = i dem uestre que (a) cov(Af, y ) = 0; (b) las dos variables aleatorias no son independientes. 4.62 Si la d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d de X e s tá d a d a p o r 1+ x para — 1 < x ^ 0 f(x) = 1 1 — x para 0 < x < 1 en cualquier otra parte 0 y U = X y V — X 2, d e m o s tra r que

Capítulo 4: Esperanza matemática (a) cov(E/, V) = 0; (b) U y V son dependientes. 4.63 P ara k variables aleatorias A ',, X 2, . . . , * * , los valores de la función generatriz de momentos conjunta e stá n d a d o s p o r £ ( f i,x,+*2Ar2+ - +i***) (a) D em uestre p ara el caso discreto o para el caso continuo q ue la derivada parcial d e la función g e n e ra triz d e m o m en to s co n ju n ta con resp e c to a I, en ^ a tj = t2 = = tk = 0 es £ ( * ,) . (b) D em uestre para el caso discreto o para el caso continuo que la segunda derivada parcial de la función generatriz de m om entos conjuntacon res­ p e c to a t, y t¡, i * j , en r, = t2 = • \" = tk = 0 es E ( X ¡ X ¡ ) . (c) Si dos variables aleatorias tienen la densidad conjunta dada por ñ* ■ » - { r p a ra x > 0. y > 0 en cualquier otra parte encuentre su función generatriz de m om entos conjunta y úsela para deter­ m inar los valores de E ( X Y ) , E ( X ) , E ( Y ) y c o v (* , P ). 4.64 Si X x, X 2 y X } son independientes y tien en las m edias 4. 9 y 3, y las varianzas 3, 7 y 5, encuentre la m edia y la varianza de (a) Y = 2 X x — 3 X 2 + 4 * 3 ; (b) Z = X x + 2 * z - * 3. 4.65 R ep ita am b as p a rte s del ejercicio 4.64, sin h acer la suposición d e in d ep e n d e n ­ cia y e n vez d e ello use la inform ación de q u e c o v ( * , . * 2) = 1 . c o v ( * 2, * 3) = - 2 y co v (* ,. * 3) = -3 . 4.66 Si la d e n sid a d d e p ro b ab ilid a d c o n ju n ta de * y Y e stá d a d a p o r 1 para 0 < x < 1,0 < y < 2 -(* + y) 0 en cualquier otra parte encuentre la varianza de W = 3 X + 4 Y — 5. 4 .6 7 D em u estre el teo rem a 4.15 4 .6 8 Exprese v a r ( * + P ), v a r ( * — Y) y c o v ( * + Y, X — Y) en térm inos de las varian zas y la co v arian za de * y Y. 4 .6 9 Si v a r( A j) = 5, v a r ( * 2) = 4, v a r ( * 3) = 7, c o v ( * , , X 2) = 3. c o v { * ,. * 3) = —2, y X 2 y * 3 so n in d e p e n d ie n te s , e n c u e n tre la c o v a ria n z a d e Yx = X x - 2 * , + 3 * 3 y Y2 = - 2 * , + 3* 2 + 4 * j . 4 .70 Con respecto al ejercicio 4.64, encuentre c o v (y , Z ). 4.71 C on respecto al ejercicio 3.89, encuentre la m edia condicional y la varianza con­ dicional d e * d a d o Y = — 1. 4 .7 2 C on respecto al ejercicio 3.91, encuentre la esperanza condicional de la varia­ ble a le a to ria (J = Z 2 d a d o * = 1 y Y = 2.

Sección 4.8: Esperanza condicional 165 4.73 C on resp ecto al ejercicio 3.94. en cu en tre la m edia condicional y la varianza con­ dicional de Y dado X = ¡ . 4.74 C o n resp ecto al ejem plo 3.22 y el inciso (b ) de! ejercicio 3.98, en cu en tre el v a­ lor esperado de X \\ X 3 dado X x = \\ . 4.75 (a) D em u estre que la función de distribución condicional de la variable a le a ­ toria continua X . dada por a < X á b, está dada por F(x\\a < ! § / ) ) = 0 p a ra x = </ para a < x £ b F(x) - F(a) para x > b F(b) ~ F(a) 1 (b ) D iferencie el resultado del inciso (a) con respecto a x para encontrar la den ­ sidad de probabilidad condicional de X dado a < X % b, y dem uestre que £[n(A f)|rt < X á b] = í u{x)f{x) dx --------------- I f(x) dx A P L IC A C IO N E S 4.76 U n a m o n e d a d e 23 c e n ta v o s e s tá to rc id a d e m a n e ra q u e las p ro b a b ilid a d e s de caras y cruces son 0.40 y 0.60. Si se lanza dos veces, ¿cuál e s la covarianza de Z , el n ú m ero de caras o b tenidas en el p rim er tiro, y W, el n ú m ero to tal d e ca ­ ras ob ten id as en los dos tiros de la m oneda? 4.77 El d iám etro in terio r d e un tu b o cilindrico es una variable aleato ria con una m e­ dia de 3 pulgadas y una desviación estándar de 0.02 pulgadas, el espesor del tu ­ bo es una variable aleatoria con una m edia de 0.3 pulgadas y una desviación estándar de 0.005 pulgadas, y las dos variables aleatorias son independientes. Encuentre la m edia y la desviación estándar del diám etro exterior del tubo. 4.78 L a longitud d e ciertos ladrillos es una v ariab le aleato ria con una m edia d e 8 pulgadas y una desviación estándar de 0.1 pulgadas, y el espesor del m ortero entre dos ladrillos es una variable aleatoria con una m edia de 0.5 pulgadas y una desviación estándar de 0.03 pulgadas. ¿C uál es la m edia y la desviación es­ tán d ar de la longitud de una pared construida con 50 de estos ladrillos puestos lado a lado, si podem os suponer que todas las variables aleatorias implicadas son independientes? 4.79 Si o b te n e r c a ra e s un é x ito c u a n d o lan zam o s u n a m o n ed a , sacar un seis e s un éxito cuando tiram os un dado, y sacar un as es un éxito cuando sacamos una carta de una baraja com ún de 52 cartas de juego, encuentre la m edia y la des­ viación estándar del núm ero total de éxitos cuando (a) lanzamos una m oneda equilibrada, tiram os un dado balanceado y enton­ ces sacam os una carta de una baraja bien barajada; (b) lanzamos tres veces una m oneda equilibrada, tiram os dos veces un dado balanceado, y entonces sacamos una carta de una baraja bien barajada.

Capítulo 4: Esperanza matemática 4.80 Si lan zam o s a lte rn a tiv a m e n te u n a m o n ed a e q u ilib ra d a y u n a q u e e stá carg ad a de m an era que la probabilidad de o b ten e r cara sea 0.45, ¿cuál es la m edia y la desviación estándar del núm ero de caras que obtenem os en 10 lanzam ientos de estas m onedas? 4.81 C on respecto al ejercicio 3.84 y el inciso (b) del ejercicio 3.103, e n cu en tre el n ú ­ m ero esperado de textos de m atem áticas dado en que no se selecciona ningu­ no de los textos de estadística. 4.82 C on respecto al ejercicio 3.107, ¿cuánto puede esperar se le reem bolse un ven­ dedor que ha gastado $ 1 2 en gasolina? 4.83 La cantidad de tiem po (en m inutos) que el ejecutivo de cierta em presa habla por teléfono es una variable aleatoria que tiene la densidad de probabilidad para 0 < r § 2 ñx) = -j para x > 2 0 en cualquier otra parte Con respecto al inciso (b) del ejercicio 4.75, encuentre la longitud esperada de una de estas conversaciones telefónicas que ha durado al m enos 1 m inuto. REFERENCIAS En los textos m ás avanzados de estadística m atem ática listados al final del capítulo 3 se puede encontrar inform ación adicional sobre el m aterial de este capítulo.

CAPÍTULO 5 Distribuciones de probabilidad especiales 5.1 IN TR O D U C C IÓ N 5 .2 LA D ISTR IBUCIÓ N U N IFO R M E DISCRETA 5 .3 LA DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI 5 .4 LA DISTRIBUCIÓN BINO M IAL 5 .5 LAS D ISTR IBUC IO N ES B IN O M IA L N E G A TIV A Y G E O M ÉTR IC A 5 .6 LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 5 .7 LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON 5 .8 LA DISTRIBUCIÓN M U LTIN O M IA L 5 .9 LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOM ÉTRICA M ULTIVARIADA 5.1 IN T R O D U C C IÓ N En este capítulo estudiarem os algunas de las distribuciones de probabilidad que figuran de m anera más prom inente en la teoría y las aplicaciones estadísticas. Tam bién estudia­ rem os sus parám etros; esto es. las cantidades que son constantes para distribuciones particulares pero que pueden tom ar diferentes valores para diferentes m iem bros de las fam ilias de distribuciones de la misma clase. Los parám etros m ás com unes son los m o­ m en to s inferiores, principalm ente /¿ y c r . y com o vim os en el capítulo 4. hay esencialm en­ te dos m aneras en que se pueden obtener: podem os evaluar las sum as necesarias directam ente o podem os trabajar con funciones generatrices de momentos. A unque pa­ recería lógico usar en cada caso cualquier m étodo que fuera m ás sim ple, algunas veces usarem os ambos. E n algunos casos esto se hará porque los resultados se necesitan m ás adelante; en otro s m eram ente servirán para d ar al lector experiencia en la aplicación de las técnicas m atem áticas correspondientes. T am bién, para m antener la extensión de este capítulo dentro de lo razonable, m uchos de los detalles se dejan com o ejercicios. 5 .2 LA D ISTR IB U C IÓ N U N IFO R M E D ISCR ETA Si una variable aleato ria discreta puede asum ir k valores diferentes con igual probabi­ lidad. decim os que tiene una distribución uniform e discreta; sim bólicamente. 167

16# C a p ítu lo 5: Distribuciones d e p robabilidad especiales DEFINICIÓN 5.1 U n a variable a le a to ria X tien e u n a d istrib u ció n u n ifo rm e dis­ creta y se conoce com o una variable aleatoria uniform e discreta si y sólo si su distri­ bución de probabilidad está dada por para x = x ¡ ,x 2 x k don d e x¡ ^ xt cuando i ^ j. D e acuerdo a las definiciones 4.2 y 4.4. la m edia y la varianza de esta distribución son i*l K i=l * E n el c a so esp ec ial d o n d e x¡ = i, la d istrib u c ió n u n ifo rm e d isc re ta se vuelve f(x) = — para x = 1 , 2 k, y en esta form a se aplica al núm ero de puntos que lan- zam os con un d ad o balanceado. La m edia y la varianza de esta distribución discreta uniform e y su función generatriz de m om entos se tratan en los ejercicios 5.1 y 5.2. 5.3 LA D ISTR IB U C IÓ N DE BERNOULLI Si un experim ento tiene dos resultados posibles, “éxito\" y “fracaso\", y sus probabilida­ d es son, resp ectiv am en te, 6 y 1 — 0, e n to n ces el n ú m ero d e éxitos, 0 o 1 , tie n e u n a distribución de Bem oulli; sim bólicam ente. definición 5.2 U na variable aleato ria X tiene una distribución de Bem oulli y se conoce com o una variable aleatoria de Bernoulli si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por f[x; d) = 1 - d)'~x para * = 0 ,1 A sí. / ( 0 : 0) = 1 — (9 y f { 1; 0) = 0 se c o m b in an en u n a so la fórm ula. O b serv e q u e u sa­ mos la notación f{x\\ 6) para indicar explícitam ente que la distribución de B em oulli tie­ ne el p a rá m e tro único 6. P u e sto q u e la distrib u ció n de B em o u lli e s un caso especial de la distribución de la sección 5.4, no la exam inarem os aquí en detalle. En relación con la distribución de Bem oulli, un éxito puede ser sacar cara con una m oneda equilibrada, puede ser pescar una pulmonía, puede ser aprobar (o reprobar) un exam en, y puede ser perder una carrera. Esta incongruencia es un rem anente de los días cuando la teoría de probabilidad se aplicaba sólo a los juegos de azar (y el fracaso de un jugador era el éxito del otro). Tam bién por esta razón, nos referimos a un experim ento

Sección 5 .4 : La distribución b inom ial 169 al cual se aplica la distribución d e B em o u lli com o un ensayo de Bernoulli. o sim p lem en ­ te un ensayo, y a la serie d e esos ex p erim en to s com o en say o s repetidos. 5.4 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Los ensayos repetidos juegan un papel muy im portante en probabilidad y estadística, especialm ente cuando el núm ero de ensayos es fijo, el parám etro 0 (la probabilidad de un éxito) es el m ism o para cada ensayo, y los ensayos son todos independientes. Com o verem os, surgen varias variables aleatorias en relación con ensayos repetidos. La que estudiarem os tra ta del núm ero total de éxitos; en la sección 5.5 se darán otras. La teoría que exam inarem os en esta sección tiene muchas aplicaciones; por ejem ­ plo, se aplica si querem os saber la probabilidad de sacar 5 caras en 12 lanzam ientos de una m o n ed a, la p ro b ab ilid ad de que 7 de 10 personas se rec u p e rará n de u n a en ferm ed ad tropical o la probabilidad de que 35 de 80 personas responderán a una solicitud por c o rre o . Sin e m b arg o , éste es el caso sólo si cada una d e las 10 p erso n as tiene la m ism a oportunidad de recuperarse de la enferm edad y su recuperación es independiente (diga­ m os, que las tra tan doctores diferentes en diferentes hospitales), y si la probabilidad de obtener una respuesta a la solicitud por correo es la misma para cada una de las 80 perso­ nas y hay independencia (digamos, no hay dos de ellas que pertenezcan al mismo hogar). Para derivar una fórm ula para la probabilidad de obtener “x éxitos en n ensayos\" bajo las condiciones enunciadas, observe que la probabilidad de o btener x éxitos y n — x fra c a so s e n un o r d e n especí fi co e s 0X( 1 — 0 )\" - í . H a y u n fa c to r 0 p o r c a d a é x ito , un factor 1 — 0 p o r cada fracaso, y los x factores 0 y \\ — 0 factores n — x se m ultiplican todos en tre sí en virtud de la suposición de independencia. P uesto que esta probabili­ dad se aplica a cualquier serie de n ensayos en la cual hay x éxitos y n — x fracasos, sólo tenem os que contar cuántas series hay de esta clase y entonces m ultiplicar ^*(1 — 0 ) n~* p o r e sc n ú m e ro . C la ra m e n te , el n ú m e ro d e m a n e ra s e n q u e p o d e m o s seleccionar x ensayos en los que un éxito es f * Y y se sigue q ue la probabilidad d esea­ da p a ra “x éx ito s e n n e n say o s\" es ^ r )***(! — *• d efinición 5.3 U na variable aleatoria X tiene una distribución binom ial y se co­ noce com o una variable aleato ria binom ial si y sólo si su distribución de p ro b a ­ bilidad está dada por b{x\\n,0) = f — 0 ) n~ x p a r a r = 0 , 1 , 2 n Así, el núm ero de éxitos en n ensayos es una variable aleatoria que tiene una dis­ trib u ció n b in o m ial con los p a rá m e tro s n y 0. E l n o m b re “d istrib u ció n b in o m ial\" se d e ­ riva d el h e c h o q u e los v a lo re s d e b ( x \\ n , 0 ) p a ra .v = 0 , 1 , 2 , . , . , / i s o n los té rm in o s

170 C a p ítu lo 5: Distribuciones de p robabilidad especiales sucesivos d e la e x p an sió n binom ial d e [ ( 1 — 0 ) + 6]\"; e s to d e m u e stra tam b ié n q u e la sum a de las probabilidades es igual a 1 , com o debe ser. EJEM PLO 5.1 E n cu en tre la p ro b ab ilid ad d e sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzam ientos d e una m o­ neda equilibrada. Solución A l su stitu ir x = 5, n = 12 y 0 = 5 e n la fó rm u la de la d istrib u ció n bin o m ial. o b ­ tenem os ‘(‘ - a - e / x m - r / 12\\ y, al buscar el valor de I ^ 1 en la tabla V II, encontram os q ue el resultado es 7 9 2 ( |) 12 o a p ro x im ad a m en te 0.19. ▲ EJEMPLO 5.2 E n c u e n tre la p ro b a b ilid a d d e q u e siete d e 10 p e rso n a s se re c u p e ra rá n d e u n a e n fe rm e ­ dad tropical si podem os suponer independencia y la probabilidad de que cualquiera de ellos se recuperará de la en ferm edad es 0.80. Solución Al sustituir x = 7 ,n = lO y 0 = 0.80 en la fórm ula para la distribución binom ial. obtenem os ¿>(7; 1 0 .0 .8 0 ) = ( ^ ( O . S O ^ l - 0 .80)10-7 / 10\\ y, al buscar el valor de I I en la tabla VII. encontram os que el resultado es 120(0.80)7(0 .2 0 )3 o a p ro x im ad a m en te 0 .2 0 . ▲ Si in ten táram o s calcular la tercera probabilidad p ed id a en la página 169. la tocan­ te a las respuestas de una solicitud p o r correo, al sustituir x = 35, n = 80 y, digam os, 0 = 0.15. en la fórm ula de la distribución binom ial, encontraríam os que esto requiere una cantidad prohibitiva de trabajo. En la práctica real, rara vez se calculan directam en­ te las probabilidades binomiales ya que hay extensas tabulaciones para diversos valores de 0 y n, y existe una abundancia de softw are de com putadoras que da las probabilida­ des binomiales así com o las probabilidades acumuladas correspondientes X n ,0 ) B(x: n, 0) = *=0 con sólo d a r instru ccio n es sencillas. E n la fig u ra 5.1 se m u e stra u n ejem p lo d e u n a im ­ presión así (con una notación algo diferente).

Sección 5 .4 : La distribución b inom ial 171 MTB > B IN O M IA L N= 1 0 P = 0 . 6 3 P R O B A B ILID A D ES B IN O M IA LES PARA N = 10 y P = . 6 30000 K P ( X = K) P ( X MENOR O = K ) 0 . 0000 .0000 1 .0008 .0009 2 .0063 .0071 3 .0285 .0356 4 .0849 .1205 5 .1734 .2939 6 .2461 .5400 7 .2394 .7794 8 .1529 .9323 9 .0578 .9902 10 . 0098 1 . 0 0 0 0 Fig u ra 5.1 Impresión d e com putadora para probabilidades binomiales para n = 10 y 9 = 0.63. A n teriorm ente, se usó am pliam ente la tabla del N ational B ureau of S tandards y el libro d e H. G . R om ing; se e n cu en tran en la lista de las referencias al final de e ste ca­ pítulo. T am bién, la tabla 1 da los valores de b{x\\ n, tí) con cuatro cifras decim ales para n = 1 a n = 20 y 0 = 0.05, 0 .1 0 ,0 .1 5 ,..., 0.45, 0.50. P ara u sar esta tab la cu an d o tí es m ayor qu e 0.50, nos referim os a la identidad TEOREMA 5.1 b(x: n, tí) = b ( n — x; n. 1 — tí) cuya dem ostración se ped irá al lector en el inciso (a) del ejercicio 5.5. Por ejem plo, p a ­ ra e n c o n tra r ¿>(11; 1 8 ,0 .7 0 ), buscam os 6(7 ; 18,0.30) y o b te n e m o s 0.1376. T a m b ié n , hay varias m aneras m ediante las cuales se pueden aproxim ar las distribuciones binom iales cu an d o n es g ran d e; en la sección 5.7 se m enciona una de éstas y o tra en la sección 6 .6 . Hallem os ahora fórm ulas para la m edia y la varianza de la distribución binomial. teo r em a 5.2 L a m edia y la varianza de la distribución binom ial son fx = ntí y <r2 = h 0 (1 — tí)

172 C a p ítu lo 5: Distribuciones de p robabilidad especiales Dem ostración *¿= * - í\\\"•*V/ (i -« r* 0 - S u - .)T(— 0)— donde om itim os el térm ino correspondiente a x = 0 , que es 0 , y cancelam os la x contra el prim er factor de x! = x (x — 1)! en el denom inador de Entonces, sacam os el factor n en ni = n ( n — 1 )! y un factor 0. o b ten em o s * = »«• ¿ ( ” i ¡ V \" d - 1=1 y, al hacer v = x — 1 y m = n — 1 , esto se vuelve m M = nd- 2 ( m ) ^ ( 1 “ 0)m~y = n0 y=0 \\ y / puesto que la últim a sum a es la sum a de todos los valores de una distribución bi­ n om ial co n p a rá m e tro s m y 0, y p o r ta n to es igual a 1. P a ra e n c o n tra r e x p re s io n e s p a ra /xí y c r , u sem o s el h e c h o q u e E ( X 2) = E [ X ( X — 1)] + £ (A ”) y p rim e ro ev alu am o s É [ X ( X — l ) ] . R e p e tim o s p a ra to ­ do propósito práctico los pasos antes usados y obtenem os así E [ X { X - 1)] = 2 * ( * “ ^ ( \" V o - »)\"“* i=o \\ * / =% - I)tr v - r - = n C « - n o 2 - ± ( ” - a )® * 2(1 ~ e r ‘ y, al h acer y = x — 2 y m = n — 2 , esto se vuelve E [ X ( X - 1 )] = n ( n - 1)02 ■ ¿ f V v( l - y-o \\ y / = n(n - 1)02 Por consiguiente, H'2 = E [ X ( X - 1 )] + E ( X ) = n ( n - l ) * 2 + «0 y, finalm ente, &2 —— Hz' ~ V-2 = n ( n — 1 )d2 + n d — n 2d2 = «0(1 - d ) T

Sección 5 .4 : La distribución binom ial 173 En el ejercicio 5.6 se sugiere una dem ostración alternativa de este teorem a que requie­ re m ucho m enos detalle algebraico. N o nos d eb e causar sorpresa q u e el producto nft. nos dé la m edia de la distribu­ ción binom ial. D e sp u é s d e to d o , si lan zam o s una m o n ed a eq u ilib ra d a 20() veces, e s p e ­ ram os (en el sentido de esperanza m atem ática) 200 = 100 caras y 100 cruces; en fo rm a sim ilar, si un d a d o e q u ilib ra d o se tira 240 veces, e sp era m o s 240 • j; = 40 seises, y si la probabilidad es 0.80 de que una persona de com pras en una tienda departam ental haga una com pra, debem os esperar que 400(0.80) = 320 de 400 personas de com pras en la tienda d ep artam en tal hagan una com pra. La fórm ula de la varianza de la distribución binom ial. al ser una m edida de la va­ riación, tiene m uchas aplicaciones im portantes; pero, para subrayar su im portancia, X considerem os la variable aleatoria Y = — , donde X es una variable aleatoria que tiene una distribución binom ial con los parám etros n y 0. Esta variable aleatoria es la pro­ porción de éxitos en n ensayos, y en el ejercicio 5.6 se le pedirá al lector q ue pruebe el siguiente resultado. t e o r e m a 5 3 Si X tie n e una d istrib u ció n b in o m ial co n los p a rá m e tro s n y 0 X y Y = — , entonces E m -S y A hora, si aplicam os el teorem a de C hebyshev con ker = c (véase el ejercicio 4.40), podem os afirm ar que para cualquier constante positiva c la probabilidad es al m enos 0(1 ~ 0 ) nc2 de que la proporción de éxitos en n ensayos caiga entre 0 — c y 0 + c. Por tan to , cuan­ do n S °°, la probabilidad se aproxim a a I de que la proporción de éxitos diferirá de 6 por m enos que cualquier constante arbitraria c. Este resultado se llama una ley de gran­ des núm eros, y se debe observar que aplica a la proporción de éxitos, no a su núm ero real. Es una falacia suponer que cuando n es grande el núm ero de éxitos necesariam en­ te d e b e e s ta r p ró x im o a nO. U na fácil ilustración de esta ley de grandes núm eros se puede obtener m ediante una sim ulación p o r com putadora de los lanzam ientos repetidos de una m oneda equili­ brada. E sto se m uestra en la figura 5.2 donde los 1 y los 0 d en o tan caras y cruces. Al leer a lo ancho de renglones sucesivos, encontram os que entre los prim eros cinco lanzam ientos sim ulados hay 3 caras, en tre los prim eros diez hay 6 caras, en tre los p rim e ro s 15 hay 8 caras, e n tre los p rim e ro s 20 hay 12 caras, e n tre los p rim e ro s 25 hay 14 c a ra s y e n tr e to d o s los cien hay 51 caras. L as p ro p o rc io n es c o rre sp o n d ie n te s, c u ­ ya g ráfica se m u e s tra e n la figura 5.3, so n | = 0.60, = 0.60. $ = 0.53, 5§ = 0.60,

Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales MTB > BRANDOM 100 N«1 P = .5 C1 100 EXPERIMENTOS BINOMIALES CON N - 1 Y P • .5000 0 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1 1. 0.1.0. 0. 1. 1. 1. 0. 1 0. 1.0.0. 0. 0. 1. 0. 0. 1 1. 0.0.0. 0. 0. 1. 0. 0. 1 1. 0.0.1. 1. 1. 0. 1 . 1. 1 0. 1.1.0. 1. 1 . 0. 0. 0. 0 0. 0.1.0. 0. 1. 0. 1. 1. 1 0. 1.1.1. 1. 0. 1. 0. 1. RESUMEN VALOR FRECUENCIA 0 49 1 51 Figura 5 .2 Simulación por com putadora de 100 lanzamientos de una m oneda equilibrada. 1.000 O '• • w | 0.500 I 1 1 .1. l.- L L i i i i i i -1 I 1 I I 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Número simulado de lanzamiento de una moneda F ig u ra 5.3 Gráfica q u e ilustra la ley d e los grandes núm eros. y = 0 .5 6 ,... y = 0.51. O bserve que la proporción de caras fluctúa pero se acerca cada vez m ás a 0.50, la probabilidad de cara en cada lanzam iento de la m oneda. Puesto que la función generatriz de m om entos de la distribución binom ial es fá­ cil de o b ten er, encontrém osla y usém osla p ara verificar los resultados del teorem a 5.2. t e o r e m a 5.4 La función generatriz de m om entos de la distribución binom ial es­ tá dada por M ,(<) = [1 + • W - O ]\"

Sección 5 .4 : La distribución binom ial 175 Demostración. Por las definiciones 4.6 y 5.3, obtenem os Mx {t) = = *¿-o( v\"*/W o - « r * y p o r el teo re m a 1.9 e sta sum a se reconoce fácilm ente com o la expansión b in o ­ m ial de [de1 + ( l — y )]\" = 11 + d(el — 1 )]\". ▼ Si diferenciam os M x (¡) dos veces con respecto a t, obtenem os M'x ( t ) = nde'[ 1 + tí{e‘ - 1 ) ]\" “ * M x {t ) = n6e'[ 1 -f 0{e' - l ) ] \" \" 1 + n ( n - \\ ) d 2e2l[ l + d( e' - l ) ] \" - 2 = nde’ i l - 0 + ri0 e ')[l + d(e ' - l ) ] \" ' 2 y,d e sp u é s d e s u s titu ir t = 0. o b te n e m o s n \\ = nO y M: = t id(\\ — 6 + nd) . A sí. H = n d y a 2 = fi'z — n 2 = n d ( \\ — 6 + nO) — ( n0) 2 = n 0 ( \\ — 0), lo cual c o n c u e rd a con las fórm ulas d ad as en el teo rem a 5.2. A partir del trabajo de esta sección puede parecer m ás fácil encontrar los m o­ m entos de la distribución binom ial con la función generatriz de m om entos queevaluar­ las d irectam en te, pero debe ser ev id en te q ue la diferenciación se vuelve bastante com plicada si querem os determ inar, digam os, ^ o E n realidad, existe todavía una form a m ás fácil de determ inar los m om entos de la distribución binom ial; se basa en su fundón factorial generatriz de momentos, la cual se explica en el ejercicio 5.12. EJERCICIOS 5.1 Si X tie n e una distrib u ció n u n ifo rm e discreta f ( x ) = — p a ra x = 1, 2 . . . . , k , dem uestre que (a) su m edia es n = +1 2 k1 - 1 (b) su v a ria n za e s <r2 = 12 (Sugerencia: refiérase al apéndice A .) 5.2 Si X tie n e u n a d istrib u ció n u n ifo rm e d isc re ta f { x ) = — p a ra x = 1 , 2 k, dem uestre que su función generatriz de m om entos está dada por - T a m b ié n e n c u e n tre la m ed ia de esta distrib u ció n al e v a lu a r lím M'x (t), y co m ­ f-*0 p are el resu lta d o con el o b ten id o en el ejercicio 5.1.

176 C a p ítu lo 5: Distribuciones de probabilidad especiales 5 3 En ia sección 5.3 no estudiam os la distribución de B ernoulli con m ucho d e ta ­ lle, p o rq u e p u e d e co n sid erarse c o m o u n a distrib u ció n b inom ial con n = 1. D e ­ m u e stre q u e p a ra la distrib u ció n d e B em o u lli, ¡i'r = 0 p a ra r = 1 ,2 ,3 al i (a) ev alu ar la sum a ^ x r •f ( x : 0 ); i= 0 (b) hacer n = 1 en la función generatriz de m om entos de la distribución bino­ mial y al exam inar su serie de M aclaurin. 5.4 U se el resu ltad o del ejercicio 5.3 para dem ostrar que p ara la distribución de Bem oulli 1 - 20 (a) a»= — / 1 , d o n d e a-, es la m ed id a d e la a s im e tría d e fin id a e n el V 0 ( 1 - 0) 3 ejercicio 4.34; J 3 0 / J _ _ 0\\ de distribuciónpuntiaguda (b ) a 4= ------ - j- ---- —------ .d o n d e a 4es lam ed id a 0 (1 — 0) definida en el ejercicio 4.35. 5.5 V erifique que (a) b(x\\ n , 0) = b{n — x; n, 1 — 0). 1 T am bién dem u estre que si B ( x ; n, 0) = 2 b ( k \\ n , 0) p ara x = 0, 1 ,2 entonces *=0 (b ) b ( x \\ n , 0) — B ( x \\ n, 0) — B ( x — 1; n , 0); (c) b( x ; n, 0) = B ( n — x\\ rt, 1 — 0) — B ( n — x — 1; n , 1 — 0); (d ) B{ x \\ n, 0) = 1 - B ( n - x - 1; n , 1 - 0 ). 5.6 U na dem ostración alternativa del teorem a 5.2 se puede basar en el hecho que si X \\ , X 2. . . . y X n son variables aleato rias in d ep en d ien tes que tien en la m ism a distribución de B em oulli con el p a rá m e tro 0. entonces Y = X x + X 2 + ■•• + X n es una variable aleatoria que tiene la distribución binomial con los parám etros n y 0 . (a) V erifique directam ente (esto es, sin recurrir al hecho que la distribución de B em oulli es un caso especial de la distribución binom ial) que la m edia y la varianza d e la distribución de B ernoulli son ¿i = 0 y a 2 = 0(1 —0 ). (b ) C on base e n el te o re m a 4.14 y su c o ro la rio en las páginas 158 y159,d e ­ m u estre que si X U X 2, . . . y X n son variables aleato rias in d ep en d ien tes que tienen la m isma distribución de B ernoulli con el parám etro 0 y Y = A', + X 2 + h X n , en to n c e s E ( Y ) = n0 y v a r(y ) = «0(1 — 0) 5.7 D em uestre el teorem a 5 3 . 5.8 Al calcular todos los valores de una distribución binomial. suele ser posible simpli­ ficar el trabajo al calcular prim ero b{0 ; n, 0) y después usar la fórm ula recursiva M * + i ; - . »> = (x >7,

Sección 5 .4 : La distribución b in o m ia l 177 V erifique esta fórm ula y úsela para calcular los valores de la distribución bino­ mial con n = 7 y 6 = 0.25. 5.9 Use la fórm ula recursiva del ejercicio 5.8 para dem o strar que para 0 = \\ la dis­ tribución binom ial tiene (a) un máximo en x = ^ cuando n es par; n —1 n+ 1 , (b) máximos en x = — - — y x = — - — cuando n es impar. 5.10 Si X es u n a variable aleato ria binom ial, ¿p ara qué valor de 0 es la p ro b ab ili­ dad de b{x\\ n, 6) un máximo? 5.11 E n la d e m o stra c ió n del te o re m a 5.2 d e te rm in a m o s la c a n tid ad E [ X ( X — 1 )], llam ado el seg u n d o momento factorial. E n general, el résim o m o m en to facto­ rial de X está dado por *ir) = E [ X ( X - 1 ) { X - 2 )* ... - ( X ~ r + 1)] E x p rese /x3 y en térm in o s d e los m o m e n to s factoriales. 5.12 La fundón generatriz de momentos factoriales d e u n a v ariab le a le a to ria d iscre­ ta X está dada por Fx ( t ) = £ ( < * ) = 2 '• / M 1 e s fx¡r), H X D e m u e stre q u e la résim a d e riv a d a d e Fx ( t ) con resp e c to a t en t = résim o m om ento factorial definido en el ejercicio 5.11. 5.13 C o n resp e c to al ejercicio 5.12, e n c u en tre la función g en e ra triz de m o m en to s fac­ toriales de (a) la d istrib u c ió n d e B ern o u lli y d e m u e s tre q u e ^i¡„ = 0 y = 0 para r > 1; (b ) la d istrib u c ió n binom ial y úsela p ara e n c o n tra r /x y a 2. 5.14 Si h acem o s a = —n e n la p rim e ra p a rte d el te o re m a 4.10, d o n d e /x es la m e ­ dia de X. obtenem os AM O = A#jr-,(0 = e ~ » - M x (t) (a) D em uestre que la résim a derivada de M y - ^ i t ) con respecto a • en t = 0 da el résim o m om ento alrededor de la m edia de X. (b) E ncuentre esa función generatriz para los m om entos alred ed o r de la m e­ dia de la distribución binom ial, y verifique que la segunda derivada en t = 0 e s n fl(l - 0). 5.15 U se el resultado del inciso (b ) del ejercicio 5.14 para dem ostrar que p ara la dis­ tribución binomial a3 - 1 - 20 . V /i0 (l - 0) donde a 3 es la m edida de la asim etría definida en el ejercicio 4.34. ¿Q ué p o d e­ m os concluir sobre la asim etría de la distribución binom ial cuando;

Capítulo 5: Distribuciones d e probabilidad especiales (a) 8 = l; (b) n es grande? APLICACIONES 5.16 U n exam en d e selección m últiple consiste en ocho p reg u n tas y tres respuestas a c a d a p re g u n ta (de las cu ales sólo u n a e s c o rre c ta ). Si un e stu d ia n te c o n testa cada p reg u n ta tiran d o un d a d o b alan cead o y m arca la p rim era resp u esta si sa­ ca 1 o 2, la segunda respuesta si saca 3 o 4. y la tercera resp u esta si saca 5 o 6 , ¿cuál es la probabilidad de que tendrá exactam ente cuatro respuestas correctas? 5.17 U n in g en iero en seguridad a u to m o triz afirm a q u e 1 d e 10 accidentes autom ovi­ lísticos son causados p or fatiga del conductor. U se la fórm ula para la distribución binom ial y con redondeo a cu atro decim ales, ¿cuál es la probabilidad d e que al m enos 3 de 5 accidentes automovilísticos sean causados por fatiga del conductor? 5.18 Si 40 p o r c ien to d e los ra to n e s q u e se usan en u n e x p e rim e n to se v u elv en m uy agresivos dentro de 1 m inuto después de habérseles adm inistrado un m edica­ m e n to e x p e rim e n tal, e n c u e n tre la p ro b a b ilid a d de q u e e x a cta m e n te seis d e 15 ratones a los que se les ha adm inistrado el m edicam ento se volverán m uy agre­ sivos d en tro de 1 m inuto, use (a) la fórm ula de la distribución binomial; (b) la tabla I 5.19 En cierta ciudad, la incom patibilidad se da com o la razón legal en 70 por cien­ to de todos los casos de divorcio. E ncuentre la probabilidad que cinco de los seis casos siguientes de divorcio registrados en esta ciudad darán la incom pati­ bilidad com o razón legal, use (a) la fórm ula para la distribución binom ial; (b) la tabla 1. 5.20 U n cien tífico social afirm a q u e só lo 50 p o r c ie n to d e los e stu d ia n te s d e últim o año de preparatoria capaces de desarrollar trabajo universitario van realm ente a la universidad. S uponiendo que esta afirm ación es cierta, use la tabla I para e n c o n tra r las p ro b ab ilid ad es d e q u e e n tre 18 estu d ian tes del últim o a ñ o d e p re ­ paratoria capaces de hacer trabajo universitario (a) exactam ente 1 0 irán a la universidad; (b) al m enos 10 irán a la universidad; (c) cuando m ucho ocho irán a la universidad. 5.21 S u p o n g a q u e la p ro b ab ilid a d d e q u e u n a u to m ó v il ro b a d o en c ie rta c iu d a d del oeste se recu p ere es 0.63. U se la im presión de co m p u ta d o ra d e la figura 5.1 p a ­ ra en co n trar la probabilidad de que al m enos 8 de 1 0 carros robados en esta ciudad se recuperarán, use (a) los valores en la colum na P (X = K ); (b) los valores en la colum na P (X LESS O R = K). 5.22 C on resp ecto al ejercicio 5.21, encuentre la probabilidad d e que e n tre 10 carros ro ­ bados en la ciudad dada se recuperará cualquier cantidad entre tres y cinco, use (a) los valores en la colum na P(X = K); (b) los valores en la colum na P (X LESS O R = K).

Sección 5 .4 : La distribución b in o m ia l 179 5.23 C on respecto al ejercicio 5.18, suponga que el porcentaje haya sido 42 en vez de 40. U se una tabla apropiada o una im presión de com putadora de la distri­ bución binom ial con n = 15 y 0 = 0.42 p ara volver a tra b a ja r con am bas p a r­ tes de ese ejercicio. 5 2 4 C on resp ecto al ejercicio 5.20, suponga que el p o rcen taje haya sido 51 en vez de 50. Use una tabla apropiada o una im presión de com putadora de la distribución binom ial c o n n = 18 y 9 = 0.51 p ara reh acer las tre s p a rte s de ese ejercicio. 5-25 Al planear la operación de una nueva escuela, un m iem bro del consejo de la es­ cuela afirm a que cuatro de cada cinco profesores recién contratados perm ane­ cerán en la escuela por más de un año, m ientras que otro m iem bro del consejo de la escuela afirm a que sería correcto decir que tres de cada cinco. En el pasa­ do, los dos m iem bros del consejo han sido casi igualm ente confiables en sus p re­ dicciones, así que en ausencia de cualquier otra información le asignaríam os a sus juicios igual peso. Si uno o cl o tro tiene que tener la razón ¿qué probabili­ d ades le asignaríam os a sus afirm aciones si se e n co n trara que 11 de 12 p ro feso ­ res recientem ente contratados perm anecieron en la escuela por m ás de un año? 5 2 6 (a) Para reducir la desviación estándar de la distribución binomial a la mitad, ¿qué cam bios debem os hacer en el núm ero de ensayos? (b) Si n es m ultiplicado por el factor k en la distribución binom ial que tiene parám etros n y p, ¿qué afirm ación se puede hacer sobre la desviación es­ tán d ar de la distribución resultante? 5 2 7 Un fabricante afirma que cuando m ucho 5 por ciento de las veces un producto dado aguantará m enos de 1,000 horas de operación antes de requerir servicio. D e la línea de producción se seleccionaron al azar veinte productos y se p roba­ ron. Se e n co n tró que tres de ellos req u iriero n servicio antes de 1,000 horas de operación. C om ente la afirm ación del fabricante. 5.28 (a) U se un program a de cóm puto para calcular la probabilidad de tirar entre 14 y 18 “ sietes\" e n 100 tira d a s d e un p a r d e d ados. (b ) ¿L e s o rp re n d e ría si se tira ra n m ás d e 18 “ sie te s” ? ¿ P o r q u é ? 529 (a) Use un program a de cóm puto para calcular la probabilidad de que m ás de 12 de 80 llam adas telefónicas d u ren m ás de cinco m inutos si se supone que 10 por ciento de esas llam adas duran ese tiempo. (b) ¿Se puede usar este resultado com o evidencia de que la suposición es ra­ zonable? ¿Por qué? 5.30 U se el teo re m a de C hebyshev y el teorem a 5.3 p ara verificar que la probabili­ dad es al m enos ^ de que (a) en 900 lanzam ientos de una m oneda equilibrada la proporción de caras es­ tará e n tre 0.40 y 0.60; (b) en 1 0 ,0 0 0 lanzam ientos de una m oneda equilibrada la proporción estará e n tre 0.47 y 0.53; (c) en 1 ,0 0 0 , 0 0 0 d e lan zam ien to s de una m o n e d a eq u ilib ra d a la p ro p o rc ió n de caras estará entre 0.497 y 0.503. A dvierta que esto sirve para ilustrar la ley de los grandes núm eros.

180 C a p ítu lo 5: Distribuciones de p robabilidad especiales 5.31 U sted puede captar el sentido de la ley de los grandes núm eros de la página 173 lanzando m onedas. Lance u na m oneda 100 veces y haga una gráfica de la proporción acum ulada de caras después de cada cinco lanzam ientos. 5.32 Registre los prim eros 200 núm eros que se encuentra en un periódico, em piece con la página 1 y proceda en cualquier form a sistem ática y conveniente. Inclu­ ya tam bién los núm eros que aparecen en los anuncios. Para cada uno de estos núm eros tom e nota del dígito de extrem a izquierda y registre la proporción de los 1, los 2, los 3 ,... y los 9 (o b serv e q u e 0 n o p u e d e se r el dígito d e e x tre m a iz­ quierda; en el núm ero decim al 0.0074, el dígito de extrem a izquierda es 7). Los resultados pueden parecer m uy sorprendentes, pero la ley de los grandes núm e­ ros d ad a en la página 173 dice q u e d eb e e sta r estim an d o co rrectam en te. 5.5 LAS D ISTR IB U C IO N ES B IN O M IA L N E G A TIV A Y G E O M É TR IC A En relación con ensayos de Bem oulli repetidos, algunas veces nos interesa el núm ero del ensayo en el cual ocurre el Pésim o éxito. P or ejem plo, puede interesarnos la probabili­ dad de que el décim o niño expuesto a una enferm edad contagiosa será el tercero en con­ tagiarse, la probabilidad de que la quinta persona en escuchar un rum or será la prim era en creerlo o la probabilidad de sorprender a un ladrón por segunda vez en su octavo robo. Si el Pésim o éxito va a ocurrir en el ensayo xésimo, debe haber k — 1 éxitos en los p rim e ro s jc — 1 en say o s, y la p ro b ab ilid a d p a ra e sto es La probabilidad d e un éxito en el pésim o ensayo es 0 , y la probabilidad de que el k é si­ m o éxito ocurra en el ensayo résim o es, p o r consiguiente. definición 5.4 U na variable aleatoria X tiene una distribución binom ial nega­ tiv a y se conoce com o una variable aleato ria binom ial negativa si y sólo si p a ra x — k , k + 1 . k + 2 ........ Así, el núm ero de ensayos en que ocurre el késim o éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binom ial negativa con los p arám etro s y 0. El no m b re “distribu­ ción binom ial negativa” se deriva del hecho que los valores b*{x; k, 6) para x = k, k + 1, Ar + 2 , . . . son los té rm in o s sucesivos d e la e x p a n sió n b in o m ial de

Sección 5 .5 : Las distribuciones binom ial negativa y g eo m étrica 181 —0\\I~k. t E n la lite ra tu ra e sta d ístic a , las d istrib u c io n e s b in o m iale s n eg ativ as tam b ién se c o n o cen com o distribuciones de tiempo de espera binomiales o c o m o dis­ tribuciones de Pascal. EJEM PLO 5.3 Si la probabilidad es 0.40 de que un niño expuesto a una enferm edad contagiosa la con­ traiga, ¿cuál es la probabilidad de que el décim o niño expuesto a la enferm edad será el tercero en contraería? Solución S ustituim os .r = 10. k = 3 y 6 = 0.40 e n la fórm ula p a ra la distrib u ció n binom ial negativa, y obtenem os b * ( 10: 3. 0 .4 0 ) = 0 ( O . 4 O ) 3 (O.6O) 7 = 0.0645 ▲ C uando hay una tabla de probabilidades binom iales disponible, generalm ente se puede simplificar la determ inación de las probabilidades binom iales negativas m edian­ te la identidad TEOREMA 5.5 b * (x ; k, 6) = j - b { k \\ x , 0) Se pedirá al lector que verifique este teorem a en el ejercicio 5.35. EJEMPLO 5.4 U se el teorem a 5.5 y la tabla I para rehacer el ejem plo 5.3. Solución Sustituim os x = 10. A: = 3 y 0 = 0 .40 e n la fórm ula del teo rem a 5.5. y obtenem os b * ( 10; 3. 0.40) = ^ • b ( 3; 10. 0.40) = ^,(0-2150) = 0.0645 ▲ t Las expansiones binom iales con exponentes negativos se explican en el libro de W . Feller m en ­ c io n ad o en tre las referen cias al final de cap ítu lo 2.

182 C a p ítu lo 5: Distribuciones de p robabilidad especiales Los m om entos de la distribución binom ial negativa se pueden obtener al proce­ d e r com o en la dem ostración del teorem a 5.2; para la m edia y la varianza obtenem os com o se pedirá al lector que verifique en el ejercicio 5.36. Puesto que la distribución binom ial negativa con k = 1 tiene m uchas aplicacio­ nes im portantes, se le ha dado un nom bre especial: distribución geom étrica. d e fin ic ió n 5 5 U na variable aleatoria X tiene una distribución geom étrica y se le conoce com o una variable aleato ria geom étrica si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por g(x; 0) = 0(1 - 0 )* -' p a ra jc = 1 ,2 , 3 . . . . EJEMPLO 5.5 Si la probabilidad es 0.75 de que el solicitante de una licencia de m anejo pasará la p ru e­ ba de m anejo en un ensayo dado, ¿cuál es la probabilidad de que un solicitante final­ m ente pase la prueba en el cuarto ensayo? Solución A l sustituir x = 4 y 0 = 0.75 en la fórm ula de la distribución geom étrica, o b te ­ nemos g(4; 0.75) = 0.75(1 - 0.75)4 -' = 0.75(0.25 ) 3 = 0.0117 Por supuesto, este resultado se basa en la suposición de que las pruebas son in­ dependientes y aquí puede haber algunas dudas sobre su validez. ▲ 5.6 LA D ISTR IB U C IÓ N H IP ER G EO M ÉTR ICA En el capítulo 2 usam os el m uestreo con y sin reem plazo para ilustrar las reglas de m ul­ tiplicación para eventos independientes y dependientes. Para obtener una fórm ula aná­ loga a la de la distribución binom ial que sea válida para el m uestreo sin reem plazo, en cuyo caso los ensayos no son independientes, considerem os un conjunto de N elem en­ tos de los cuales M se consideran com o éxitos y los otros N - M com o fracasos. A sí co-

Sección 5 .6 : La distribución hipergeom étrica 183 m o en relación con la distribución binom ial, estam os interesados en la probabilidad de o b ten er x éxitos en n ensayos, p ero ahora estam os escogiendo, sin reem plazo, n de los N elem entos contenidos en el conjunto. el conjunto, y supondrem os que son todos igualm ente posibles (que es lo que quere­ m os decir cuando afirm am os que la selección es al azar), se sigue del teorem a 2.2 que la p ro b ab ilid a d d e “x éx ito s en n e n say o s\" es d e fin ic ió n 5.6 U na variable aleatoria X tiene una distribución hipergeom étri- ca y se conoce com o variable aleatoria hipergeom étrica si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por para x = 0 , 1 , 2 n, x ^ M yn —x ^ N —M Así, para el m uestreo sin reem plazos, el núm ero de éxitos en n ensayos es una variable aleatoria que tiene una distribución hipergeom étrica con los parám etros n, N y M. 5.6 Com o parte de una encuesta de contam inación del aire, un inspector decide exam inar las em isiones de seis de los 24 cam iones d e una com pañía. Si cu atro de los cam iones d e la com pañía em iten cantidades excesivas de contam inantes, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos sea parte de la m uestra del inspector? Solución A l sustituir x = 0, n = 6 , N = 24 y M = 4 en la fórm ula p ara la distribución hi­ pergeom étrica, obtenem os

Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales h (0; 6 , 24, 4) = = 0.2880 El m étodo p or el cual encontram os la m edia y la varianza de la distribución hi- p ergeom étrica es m uy sim ilar al em pleado en la dem ostración del teorem a 5.2. te o r e m a 5.7 La m edia y la varianza de la distribución hipergeom étrica son n M , n M (N - M )(N - n) M = ~Ñ y * = r f ( N - l ) ---------- D em ostración. Para determ inar la m edia, evaluem os directam ente la suma n 1= 0 /N - M\\ M\\ Vn - x ) (x - 1 )!(M - x)\\ ' ^ donde om itim os el térm ino correspondiente a x = 0 , el cual es 0 , y cancelam os Ola x c o n tra el p rim e r facto r d e .r! = * (* — 1 )! en el d e n o m in a d o r de y, al hacer v = x — 1 y m = n — 1 , esto se convierte en Finalm ente, usam os el teorem a 1.12, y obtenem os

Sección 5 .6 : La distribución hipergeom étrica 185 M_ ÍN - 1 \\ _M_Í N - l \\ _ nM N ^\\ m ) “ 1/ *V A fin de o b te n e r la fó rm u lap a ra a 2, p ro ce d e m o s com o en la d em o stració n del teo rem a 5.2. evaluam os p rim ero E [X ( X - 1)] y entonces usam os el hecho q u e E ( X 2) = E [ X ( X — 1)] + E( X) . Le d ejam o s al lector d e m o stra r que F\\X(X - ni - N (N -\\) E [X (X 1)1 “ en el ejercicio 5.44, obtenem os así 2 =M ( M - 1)n(n ~ 1) nM ínM \\2 \" N { N - 1) N VN ) _ nM (N - M )(N - n) T N 2( N - 1) P uesto q ue la función generatriz de m om entos de la distribución hipergeom étri­ ca es bastante com plicada, no la tratarem os en este libro. Sin em bargo, se pueden en­ contrar los detalles en el libro de M. G . Kendall y A. Stuart que se enum era en tre las referen cias al final del c a p ítu lo 3. C u a n d o A' e s g ran d e y n es re la tiv a m e n te p e q u e ñ a c o m p a rad a con N (la regla empírica es que n no debe exceder de 5 por ciento de N), no hay mucha diferencia en­ tre m uestrear con reem plazo y m uestrear sin reem plazo y se puede usar la fórm ula para la distrib u ció n b inom ial con los p a rá m e tro s n y 8 = ~ p a ra a p ro x im ar las p ro b ab ili­ dades hipergeom étricas. EJEM PLO 5.7 E n tre los 120 so licitan tes p a ra un tra b a jo , sólo 80 son re a lm e n te aptos. Si cinco d e los solicitantes se seleccionan al azar para una entrevista m ás extensa, encuentre la proba­ bilidad de que sólo dos de los cinco serán aptos para el trabajo, para ello use (a) la fórm ula p ara la distribución hipergeom étrica; (b) la fórm ula para la distribución binom ial con 0 = com o una aproxim ación. Solución (a) Al sustituir x = 2, n = 5, N = 120 y M = 80 en la fórm ula de la distribu­ ción hipergeom étrica, obtenem os h ( 2; 5. 120, 80) = 0.164 redondeado a tres decimales;

186 C apítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales (b) Al sustituir x — 2, n 5 y 0 = $o = 5 c n la fórm ula p ara la distribución binomial, obtenem os = 0.165 redondeado a tres decimales. Com o se puede ver a partir de estos resulta­ dos la aproxim ación es m uy cercana. ▲ 5.7 LA D IS TR IB U C IÓ N D E POISSON C uando n es grande, el cálculo de las probabilidades binom iales con la fórm ula de la definición 5.3 im plica una cantidad prohibitiva de trabajo. Por ejem plo, p ara calcular la p ro babilidad d e que 18 de 3,000 personas, q u e ven un desfile e n un día m uy caluroso /3 ,0 0 0 \\ d e v e ra n o , s u frirá n de in so lació n , p rim e ro d e b e m o s d e te rm in a r I ^ I, y si la probabilidad es 0.005 de q ue cualquiera de las 3,000 personas que ven el desfilen sufri­ rá n de insolación, tam b ié n ten e m o s q u e c alcu lar el valor de (0.005) l8(0.995)2-982. En esta sección presentarem os una distribución de probabilidad que se puede usar para aproxim ar probabilidades binom iales de esta clase. Específicam ente, investi­ g arem o s la fo rm a lím ite de la d istrib u ció n b in o m ial c u a n d o n -» < » , 0 -►0 , m ie n tra s nd p e rm a n e c e c o n sta n te . Sea e sta c o n sta n te A. e sto es, nd = A y, p o r ta n to , 0 = pode­ m os escribir 6 (x; n, fl) = Q ( ¿ ) ( l - -(B - x + l ) ^ i _ A J-- = n ( « - l)(n Entonces, si dividim os u n o de los x factores n en cada factor del producto n (n — 1) (n — 2 ) • ... • (n — x + 1 ) y escribimos ( ,. i j - [ ( ,. . i)- obtenem os l ( l - - 1); ! - ( ' - r n ■ - r

Sección 5.7: La distribución d e Poisson 187 F in a lm en te , si h a c e m o s n —►oo m ie n tra s x y A p e rm a n ec e n fijas, e n c o n tra m o s que <>■- i ) n r- o -r ~ y, por tanto, que la distribución límite se vuelve \\*e~Á para x = 0, 1, 2 ,... p ( x A) = — j— d efin ic ió n 5.7 U na variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson y se conoce com o una variable aleato ria de Poisson si y sólo si su distribución de p ro ­ babilidad está dada por A‘ e~* p a ra x = 0. 1, 2 ,... p ( x ; A) = — — Así, en el límite cuando n -> oo, o -* 0, y nd = A perm anece constante, el núm e­ ro de éxitos es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con el p a­ rá m e tro A. E sta d istrib u c ió n se llam a así e n h o n o r al m a te m á tic o fra n c é s S im eón Poisson (1781 - 1840). E n general, la distribución de Poisson brindará una buena a p ro ­ ximación a las probabilidades binom iales cuando n S 20 y 8 ^ 0.05. C uando n ^ 100 y nd < 1 0 , la aproxim ación generalm ente será excelente. Para tener una idea sobre la cercanía de la aproxim ación de Poisson a la distri­ bución binom ial, considere la im presión de com putadora de la figura 5.4, que m uestra, una arriba de la o tra, la distribución binom ial con n = 150 y 8 = 0.05 y la distribución de Poisson con A = 150(0.05) = 7.5. EJEM PLO 5.8 U se la figura 5.4 p ara d ete rm in a r el valor de x (desde 5 hasta 15) p a ra el cual el e rro r es el m ás grande cuando usam os la distribución de Poisson con A = 7.5 para aproxi­ m ar la distribución binom ial con n = 150 y 8 = 0.05. Solución Calculam os las diferencias correspondientes a x = 5 ,.r = 6 , . . . , x = ^ .o b te n e ­ m os 0.0006, -0 .0 0 1 7 , -0 .0 0 3 4 , -0 .0 0 3 7 , -0 .0 0 2 7 , -0 .0 0 1 1 , 0.0003, 0.0011, 0.0013, 0.0011 y 0.0008. A sí, el m áxim o e rro r (num éricam ente) es -0 .0 0 3 7 , y co­ rresponde a x = 8 . a

Capítulo 5: Distribuciones d e probabilidad especiales MTB > BINOMIAL N=150 P=0.05 PROBABILIDADES BINOMIALES MENOR N = 1.50 Y P = .050000 K P(X = K) P(X PARA O = K) 0 .0005 .0005 1 .0036 .0041 2 .0141 .0182 3 .0366 .0548 4 .0708 .1256 5 .1088 .2344 6 .1384 .3729 7 .1499 .5228 8 .1410 .6630 9 .1171 .7809 10 .0869 .8678 11 .0582 .9260 12 .0355 .9615 13 .0198 .9813 14 .0102 .9915 15 .0049 .9964 16 .0022 .9986 17 .0009 .9995 18 .0003 .9998 19 .0001 .9999 MTB > POISSON MU= 7 .5 PROBABILIDADES DE POISSON PARA MEDIA = 7.500 K P(X = K) P(X MENOR O = K) 0 .0006 .0006 1 .0041 .0047 2 .0156 .0203 3 .0389 .0591 4 .0729 .1321 5 .1094 .2414 6 .1367 .3782 7 .1465 .5246 8 .1373 .6620 9 .1144 .7764 10 .0858 .8622 11 .3585 .9208 12 .0366 .9573 13 .0211 .9784 14 .0113 .9897 15 .0057 .9954 16 .0026 .9980 17 .0012 .9992 18 .0005 .9997 19 .0002 .9999 20 .0001 1.0000 F ig u ra 5 .4 Im presión d e c o m p u ta d o ra d e la distribución binom ial co n n = 150 y 0 - 0 .0 5 y la d istribució n de Poisson co n A = 7.5.

Sección 5 .7 : La distribución de Poisson 189 El siguiente ejem plo ilustra la aproxim ación de Poisson a la distribución binom ial. EJEMPLO 5.9 Si 2 por ciento de los libros encuadernados en cierto taller tiene en cuadem ación defec­ tuosa, use la aproxim ación de Poisson a la distribución binomial para determ inar la proba­ bilidad de que cinco de 400 libros encuadernados en este taller tendrán encuadernaciones defectuosas. Solución Al su stitu ir x = 5, A = 400(0.02) = 8 y e-8 = 0.00034 (de la tabla V III) en la fórm ula de la definición 5.7. obtenem os pli, g) = = (32J6JM 00034) = 0M 3 ^ En la práctica real, rara vez se obtienen las probabilidades de Poisson p or susti­ tución d irecta en la fórm ula de la definición 5.7. A lgunas veces nos referim o s a las ta ­ blas de p ro babilidades de Poisson, com o la tabla II. o a tablas m ás extensas en los m anuales de tablas estadísticas, pero más a m enudo, hoy en día, nos referimos a p ro ­ gram as de com putadora apropiados. El uso de tablas o com putadoras es de especial im portancia cuando nos interesan probabilidades relacionadas con varios valores de x. EJEMPLO 5.10 Los registros m uestran que la probabilidad es 0.00005 de que a un autom óvil se le re­ viente un neum ático m ientras cruza cierto puente. U se la distribución de Poisson para aproxim ar las probabilidades binom iales que. de 10,000 autos que cruzan este puente, (a) exactam ente dos tendrán un neum ático reventado; (b) cuando mucho dos tendrán un neum ático reventado. Solución (a) Al consultar la tabla II. encontram os que para x = 2 y A= 10,000(0.00005) = 0.5, la probabilidad de Poisson es 0.0758. (b) Al consultar la tabla II, encontram os que para x = 0 ,1 y 2, y A = 0.5. las probabilidades de Poisson son 0.6065. 0.3033 y 0.0758. Así, la probabilidad de que cuando m ucho dos de los 10,0 0 0 autos que cruzan el puente tendrán un neum ático reventado es 0.6065 4- 0.3033 + 0.0758 = 0.9856 ▲

190 C a p ítu lo 5: Distribuciones de p robabilidad especiales EJEM P LO 5.11 U se la figura 5.5 p ara rehacer el ejem plo anterior. Solución (a) L eem os el valor p ara K = 2 en la colum na P(X = K ) obtenem os 0.0758. (b ) E n este caso podem os sum ar los valores para K = 0. K = 1 y K = 2 en la colum na P(X = K) o podem os leer el valor para K = 2 en la colum na P (X LESS O R = K ) y o b ten er 0.9856. ▲ MTB > POISSO N MU=.5 P R O B A B ILID A D ES DE P O ISSO N PARA M EDIA = . 500 K P ( X = K) P ( X MENOR 0 = 0 .6065 .6065 1 .3033 .9098 2 .0758 .9856 3 .0126 .9982 4 .0016 .9998 5 .0002 1.0000 F ig u ra 5 .5 Im presión d e co m p u ta d o ra de la distribución de Poisson co n A *= 0 .5 . Al h aber derivado la distribución de Poisson com o una form a lím ite de la distri­ bución binom ial. podem os o b ten er fórm ulas para su m edia y su varianza al aplicar las m ism as c o n d ic io n e s lím ite (n —>0 0 , 0 —>0 y n d = A p e rm a n e c e c o n s ta n te ) a la m ed ia y la varianza de la distribución binom ial. P ara la m edia o b ten em o s ¡i = nd = A y p a ­ ra la varian za o b te n e m o s cr2 = «0(1 — 0) = A(1 — 0), la cual se ap ro x im a a A c u a n d o 0->O . t e o r e m a 5.8 La m edia y la varianza de la distribución de Poisson están dadas por H = \\ y a2 = A E stos resultados tam bién se pueden obtener al evaluar directam ente las sum as necesarias (véase el ejercicio 5.50) o al trabajar con la función generatriz de m om entos dada en el siguiente teorem a t e o r e m a 5.9 L a función g e n e ra triz d e m o m en to s d e la d istrib u ció n d e Poisson está dada por AMO =